FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
INFORME: “Aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales”
AUTORES: ALTAMIRANO RAMIREZ, Pedro COVEÑAS RAMOS, Geison CUEVA PEÑA, Roger SAAVEDRA TALLEDO, Riccyth TORRES CRUZ, Anell
ASESOR: Graciela del Pilar Burgos Namuche
Piura-Perú 2016
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INDICE I.
INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3
II.
OBJETIVOS ............................................................................................................................. 4
III.
MARCO TEÓRICO ................................................................................................................. 5
3.1.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN .......................................... 5
3.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES ............................................................................................................................. 5 IV.
APLICACIONES ...................................................................................................................... 7
V.
CONCLUSIONES .................................................................................................................. 13
VI.
REFERENCIAS ...................................................................................................................... 14
ANEXOS ....................................................................................................................................... 15
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I.
INTRODUCCIÓN
El presente tema aborda la especialidad de la ingeniería civil, referido a las ecuaciones diferenciales lineales, el cual pone de manifiesto el esfuerzo del grupo por el desarrollo a nivel de una descripción de carácter informativo (teórico - práctico), muestra de forma resumida algunos aspectos de su definición, que aunque de manera general, resulta no menos significativa en su connotación básica para resolver cualquier movimiento que realiza un cuerpo en su desplazamiento respecto a la posición de equilibrio. El estudio de las ecuaciones diferenciales lineales es un tema muy amplio en la que se requiere una ardua investigación, la cual hemos tratado de plasmar lo mejor posible en este presente informe donde encontramos una estructuración basada en su estudio. Una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial que tiene soluciones que pueden obtenerse a partir de combinaciones lineales de otras soluciones.
La finalidad de este estudio tiene como objetivo principal resolver aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y orden superior con coeficientes constantes y representarlo mediante una maqueta. Así mismo cuenta con dos objetivos específicos el primero, transferir los conceptos y métodos fundamentales de la teoría de ecuaciones diferenciales lineales a la resolución de problemas afines de nuestra carrera y el segundo demostrar la ecuación de Euler mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficiente constante.
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II.
-
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL:
Resolver aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y orden superior con coeficientes constantes y representarlo mediante una maqueta.
-
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
Transferir los conceptos y métodos fundamentales de la teoría de ecuaciones diferenciales lineales a la resolución de problemas afines de nuestra carrera.
-
Demostrar la ecuación de Euler mediante la aplicación de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficiente constante.
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III.
MARCO TEÓRICO
3.1.ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN La forma general de escribir una ecuación diferencial es la siguiente:
. − .− − .− … . . = Donde , , ,…, y R son funciones solo de x, por lo que recibe el nombre de “Ecuación diferencial lineal no homogénea co n coeficientes variables”.
Si en la primera ecuación, el segundo miembro es igual a cero, se obtiene la ecuación
. − .− − .− … . . = 0 Que recibe el nombre de “Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes variables.
Si en la segunda ecuación los
, , ,…, son constantes, la ecuación se llama
“Diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes”.
3.2. ECUACIONES
DIFERENCIALES
LINEALES
HOMOGÉNEAS
CON
COEFICIENTES
CONSTANTES Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes, son de la forma:
− − − ⋯ = 0 Donde
, ,…, son constantes. Para resolver estas ecuaciones diferenciales, primero
consideremos el p característico de la forma siguiente.
= − − ⋯ = 0 Como el polinomio característico siguientes raíces
= 0 es de grado n entonces se puede obtener las
, , ,…, los cuales pueden ser reales distintos por multiplicidad o
números complejos.
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Luego de dar solución a la primera ecuación consideremos los siguientes casos: 1° CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica
= 0 son reales y distintos <
< ⋯ < entonces el sistema fundamental de soluciones de la primera ecuación tiene la siguiente forma , , , y la solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea es:
⋯ = 2° CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica = 0 alguna de las raíces son de multiplicidad, consideremos = = …= = y donde r es la raíz de multiplicidad k, y son las demás raíces y distintas. Luego la solución general de la ecuación diferencial es:
= ⋯− + 3° CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica
= 0 alguna de estas raíces son
complejas, la solución general es:
= ⋯
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IV.
APLICACIONES
4.1.Demostrar mediante las ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente constante la ecuación de Euler.
= = × M= PY
=0
EDL de segundo orden con coeficiente constante
Hacemos:
= ……… (1.1)
Reemplazando tenemos
Condiciones de frontera
= 0
= 0 = =0 =0 = 1 2 Reemplazando las condiciones de frontera = 0 e = 0 tenemos 0 = 1 0 2 0 1=0 7
= e = 0 tenemos 0 = 0 2 2 = 0
Reemplazando las condiciones de frontera
Esta ecuación satisface para
2 = 0 o = 0. =,2,3,4, =
Si ocurre lo primero, la ecuación se reduce a y= 0 y la columna es recta .Si se satisface la segunda, PL= n y reemplazando en la ecuación (1.1) tenemos:
=
……………….. (1.2)
El menor de los valores de P definido por la ecuación (1.2) es el que corresponde a n= 1. Entonces
=
…………………. (1.3)
Ésta es la fórmula de Euler, llamada así en honor del matemático suizo Leonard Euler En el caso de una columna con sección circular o cuadrada, el momento de inercia I de la sección transversal es el mismo con respecto a cualquier eje centroidal y la columna se curvará en un plano u otro, excepto bajo las restricciones que se impongan en los extremos. Para otras secciones, la carga crítica debe calcularse haciendo = mín en la ecuación (1.3); si ocurre la curvatura, tendrá lugar en un plano perpendicular al correspondiente eje de inercia principal.
I I
El valor del esfuerzo correspondiente a la carga crítica es el esfuerzo crítico y se le designa por σcr. Retomando la ecuación (1.3) y haciendo =A , donde A es el área de la sección transversal y r el radio de giro, se tiene.
I
σcr = = ……..…….…(1.4) σcr = / La cantidad L/r es la relación de esbeltez de la columna. Es claro, dado la anotación del párrafo precedente, que el mínimo valor del radio de giro r debe usarse al calcular la relación de esfuerzo y el esfuerzo crítico de la columna. La ecuación (1.4) muestra que el esfuerzo crítico es proporcional al módulo de elasticidad del material e inversamente proporcional al cuadrado de la relación de esbeltez de la columna.
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4.1.1. La columna recibe una fuerza céntrica P con magnitud de 3.8 KN. Si se sabe que el factor de seguridad requerido es de 3.2. Determine la máxima longitud permisible L. Utilice E= 200GPa. P=3.8Kn
L
12mm
σCr = = / C = /
Cuando
Cuando
=0.022
=0.012
= . / 3.8×10 = ×200×10 0.012×0.022×3.2 /0.022 =14.574 3.8×10 = ×200×10 0.012×0.022×3.2 /0.012 = 7.94
En ambos las dos cargas son máximas pero para diseño es mejor trabajar con la menor porque genera menos materiales y menor presupuesto
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4.2. Una masa de 8lb de peso estira ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre el contrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s.
SOLUCION: De acuerdo con la ley de Hooke:
Entonces:
8 = 2 = 4
=
= 328 = 14 .
Entonces la ecuación diferencial del movimiento es:
=42 La ecuación auxiliar de (17) es
O sea
8 16=0
(17)
816=4 = 0, de forma que = = 4
Luego el sistema es críticamente amortiguado y
Al aplicar las condiciones iniciales
= − −.
(18)
0 = 0 y ’=3 vemos, a su vez, que = 0 y = 3.
Así, la ecuación del movimiento es:
=3 −.
(19)
procedemos igual que en el ejemplo 4. De ’=3 −14 tenemos que ’ = 0 cuando = . El desplazamiento extremo correspondiente es = − 3 =0.276 . En la figura 5. Vemos que podemos interpretar este valor como el Para graficar
punto en que el contrapeso alcanza una altura máxima de 0.276 ft sobre su posición de equilibrio.
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4.3. Un objeto que pesa 16 lb se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 ft arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea.
.
SOLUCION: ft, de modo que, según la 8.25=3.2 ley de Hooke, 16=3.2, o sea = 5 . Además, = = y la ecuación diferencial El alargamiento del resorte, después de unir el peso, es es:
=5 O sea 2 10=0 Las raíces de son sistema es sub-amortiguado y que:
210=0
=13 y =13 , lo cual implica que el
= − cos3 3). Por último, las condiciones iniciales
(21)
0 = 2 y ’0 = 0 determinan las constantes = 2
y = , así que la ecuación de movimiento es: = − 2cos3 3.
(20)
(22)
=0.25
en el capacitador de un circuito en serie LRC, cuando 4.4. Determine la carga henry (h), farad (f), , ohms (Ω), coulombs (C) e amperes (A).
0 = 0
=10
=0.001
= 0 0 =
SOLUCION: Como 1/C 1000, la ecuación 34 se transforma en
"10’1000=0
O sea
”40’4000=0.
Al resolver esta ecuación homogénea como de costumbre, tenemos que el circuito es sub− amortiguado y que Aplicamos las condiciones iniciales y obtenemos que y Entonces:
= cos60 60. = = /3. = − (cos60 13 60).
Mediante la ecuación (23) podemos escribir la solución anterior de la forma
= √ 310 601.249. 11
≠0
Cuando hay un voltaje aplicado en el circuito, se dice que las vibraciones eléctricas son , la iuncion complementaria de (34) se llama solución transitoria. forzadas. Cuando Si es periódico o una constante, la solución particular, , de (34), es una solución de estado estable.
4.5. La aparición de salitre en estructuras de concreto armado cerca a las orillas del mar se ve incrementando muchísimo al pasar del tiempo. Si se tuvo una cierta cantidad de salitre x. Después de 5 días se observó que aumentó en un 100% y después de 8 días 400%. Encontrar la expresión para la cantidad de salitre presente en estructuras de concreto al tiempo t y el porcentaje que había originalmente de salitre. SOLUCION: Sea
la cantidad de salitre que hay en t días. De ahí que 5 =100 y 8 =400 y es la
velocidad a la que se incrementa el salitre
Por la ley de maltusiana este problema se formula se la siguiente manera:
= 5 =100 8 =400 Cuya solución integrada es conocida: Como
5 =100 se tiene que:
Cuando
8 =400 resulta:
= =100 100 =400 − = 4 =0.462098
La ecuación resultante quedaría:
Hallan C, Si
5 =100
= . . =100 =9.9213
La ecuación resultante quedaría:
=9.9213 .
Rpt: El porcentaje que había inicialmente aproximadamente es de 9.9213% 12
V.
-
CONCLUSIONES
Señalar que las ecuaciones diferenciales lineales en ingeniería, tiene mucho valor, ya que nos permiten resolver distintos tipos de problemas.
-
Las aplicaciones de ecuaciones diferenciales son de gran importancia en ingeniería civil, ya que mediante su uso, se demostró cómo se obtuvo la ecuación de Euler.
-
Finalmente en nuestra maqueta, pudimos representar los tipos de deformación en las columnas dependiendo del tipo de apoyo, producidas por la carga crítica de Euler.
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VI.
REFERENCIAS LINKOGRÁFICAS
http://www.ma3.upc.edu/users/carmona/EDO.pdf
http://es. lideshsare.net/josmal7/ecuaciones-diferenciales-lineales
http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/index_files/Trab ajo%20Ec%20Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf
http://es.slideshare.net/juliocesarmontoya/aplicaciones-de-las-ecuacionesdiferenciales
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
EDUARDO ESPINOZA RAMOS. Análisis matemático IV, 2°edicion. Lima-Peru : Edukperu (2008): ISBN 10070440607
FERDINAND P.BEER / E. RUSSELL JOHNSTON. Mecánica de materiales IV, 5°edicion. The McGraw-Hill Company (2009).pag623: ISBN 978-607-15-0263-6
14
ANEXOS
15
