Universidad de Guanajuato. División de ingenierías Campus Irapuato – Salamanca Salamanca INTRODUCCION AL VOLUMEN FINITO PROYECTO 1 KARIM ORTIZ ALDACO RODRIGUEZ SANTOYO EUNICE GUADALUPE
INTRODUCCION: El método del volumen finito es usado en este caso para resolver el campo de temperaturas en una aleta con sección transversal variable, se comienza con la formulación matemática de las ecuaciones gobernantes ya sea en la forma diferencial o en la forma integral, las cuales son ecuaciones no lineales que pueden ser resueltas con una buena aproximación utilizando métodos numéricos con la ayuda de una computadora. El Método del volumen finito f inito consiste en dividir el dominio en pequeños pedazos y aplica aplica las leyes de conservación de la energía utilizando la forma integral de las ecuaciones. Utilizaremos el FVM para convertir las ecuaciones gobernantes a un conjunto de ecuaciones algebraicas.
Planteamiento del problema: El problema consiste en una aleta sometida a conducción a una temperatura estable en el extremo izquierdo y convección en el área perimetral con cierto cierto fluido a una una temperatura constante. Los coeficientes de conducción y convección son conocidos. La
punta en su extremo extremo derecho se encuentra encuentra en condiciones adiabáticas. A la aleta antes mencionada se resolverá el campo de temperaturas utilizando un método de volumen finito.
ECUACIONES GOBERNANTES: Balance de Energía:
q x q x x hdA p (T T ) 0
Condiciones de Frontera: 20C
T
T b
100C
q (l ) 0
Radio
en h
r ( x)
2k
función
de
x:
( x 2 x 3 )
Dominio: r 2 ( x)
As
A p
2 r ( x)dx
Ecuación en forma integral:
[
d dx
(kAs
dAp dt )h (T T ) 0]dV dx dx 0
Universidad de Guanajuato. División de ingenierías Campus Irapuato – Salamanca INTRODUCCION AL VOLUMEN FINITO PROYECTO 1 KARIM ORTIZ ALDACO RODRIGUEZ SANTOYO EUNICE GUADALUPE
Discretización: La Discretización conduce a la ecuación diferencial de primer orden: [br 4 (e) br 4 (w) cr 3 ( p) 1 r ' ( p) 2 ]T p br 4 (e)T e br 4 (w)T w cr 3 ( p) 1 r ' ( p) 2 (T )
Para el nodo final: a p br 4 (e) cr 3 ( p) 1 r ' ( p)2 Donde:
ae br 4 (e) aw 0
b
k
x c h x
s p (cr 3 ( p) 1 r ' ( p)2 )T
Resultados:
Para el nodo inicial: a p 2br 4 (l ) br 4 (w´) cr 3 ( p) 1 r ' ( p)2 aw br 4 (w´) ae 0 s p (cr 3 ( p) 1 r ' ( p)2 )T 2br 4 (l )T b
Para nodos centrales: a p br 4 (e) br 4 (w´) cr 3 ( p) 1 r ' ( p)2 ae br 4 (e´) aw br 4 (w´) s p (cr 3 ( p) 1 r ' ( p)2 )T Figure 1 Análisis de la sensibili dad de malla. Figure 2. Análisis respecto a la variación con alpha. 1
Universidad de Guanajuato. División de ingenierías Campus Irapuato – Salamanca INTRODUCCION AL VOLUMEN FINITO PROYECTO 1 KARIM ORTIZ ALDACO RODRIGUEZ SANTOYO EUNICE GUADALUPE
Conclusiones:
espaciado ya no era necesario evaluar a mayor cantidad de nodos.
ORTIZ ALDACO KARIM En el análisis de sensibilidad de malla se observa que una malla de 100 nodos es relativamente aceptable debido a que cerca de ahí no existe mucha variación en los resultados, con lo que se puede concluir una buena convergencia de las ecuaciones, en la gráfica de la variación con respecto a alpha se observa que a mayor coeficiente de transferencia, menor la temperatura interna en la aleta, lo cual concuerda con los resultados esperados.
RODRIGUEZ SANTOYO EUNICE GUADALUPE Respecto a la sensibilidad de la malla, pudimos notar probando con diferentes valores para el número de nodos que en valores pequeños aún se logran presentar diferencias notorias entre cada temperatura en un mismo punto en equis, pero mientras más grande era el valor correspondiente al número de nodos la diferencia ya no era tan evidente, y valores entre los cuarenta y los sesenta nodos la diferencia ya no era tan notoria, por lo que pudimos identificar que a ese 1
Universidad de Guanajuato. División de ingenierías Campus Irapuato – Salamanca PROYECTO 1 KARIM ORTIZ ALDACO RODRIGUEZ SANTOYO EUNICE GUADALUPE
Apéndice 1. Gráficas Ampliadas
A.1. Sensibilidad de malla:
INTRODUCCIÓN AL VOLUMEN FINITO 1
Universidad de Guanajuato. División de ingenierías Campus Irapuato – Salamanca INTRODUCCION AL VOLUMEN FINITO PROYECTO 1 KARIM ORTIZ ALDACO RODRIGUEZ SANTOYO EUNICE GUADALUPE
A.2. Variación de alpha:
1
Universidad de Guanajuato. División de ingenierías Campus Irapuato – Salamanca INTRODUCCION AL VOLUMEN FINITO PROYECTO 1 KARIM ORTIZ ALDACO RODRIGUEZ SANTOYO EUNICE GUADALUPE
Apéndice 2. Código en MatLab
A.3. r1(x).m
function [s1]=r1(x) h=10; k=205; alpha=0.0; s1=h/(2*k)*(x^2-alpha*x^3);
A.4. d1(x).m
function [s2]=d1(x) h=10; k=205; alpha=0.0; s2=h/(2*k)*(2*x-3*alpha*x^2);
A.5. Proyectoivf1.m
clear all; clc; Tb=100+273; T_inf=20+273; h=10; k=205; L=1; nodos=100; dx=L/nodos; b=(k*pi^2)/dx; c=2*h*dx*pi^2; d=h/(2*k); A=zeros(nodos); B=1:nodos; B=B'; X=dx:dx:L; for i=1:nodos; if i==1 % A(i,i)=2*b*((r1(L)))^4+b*(r1(L-dx))^4+c*((r1(L-dx/2))^3)*sqrt(1+(d1(L-dx/2))^2); A(i,i+1)=-b*(r1(L-dx))^4; B(i)=(c*((r1(L-dx/2))^3)*sqrt(1+(d1(L-dx/2))^2))*T_inf+(2*b*((r1(L)))^4)*Tb; elseif i==nodos A(i,i)=b*(r1(L-(dx*(i-1))))^4+c*((r1(L+dx/2 -dx*i))^3)*sqrt(1+(d1(L+dx/2 dx*i))^2); A(i,i-1)=-b*(r1(L-(dx*(i-1))))^4; B(i)=(c*((r1(L+dx/2 -dx*i))^3)*sqrt(1+(d1(L+dx/2 -dx*i))^2))*T_inf; 2
Universidad de Guanajuato. División de ingenierías Campus Irapuato – Salamanca INTRODUCCION AL VOLUMEN FINITO PROYECTO 1 KARIM ORTIZ ALDACO RODRIGUEZ SANTOYO EUNICE GUADALUPE
else A(i,i)=b*(r1(L-(dx*i)))^4+b*(r1(L-(dx*(i-1))))^4+(c*((r1(L+dx/2 dx*i))^3)*sqrt(1+(d1(L+dx/2 -dx*i))^2)); A(i,i+1)=-b*(r1(L-(dx*i)))^4; A(i,i-1)=-b*(r1(L-(dx*(i-1))))^4; B(i)=(c*((r1(L+dx/2 -dx*i))^3)*sqrt(1+(d1(L+dx/2 -dx*i))^2))*T_inf; end end A=inv(A); T=A*B; plot(X,T,'k-') title('Variacion con \alpha; n=100') xlabel('Longitud, L [m]') ylabel('Temperatura,[°C]') grid on hold on plot(X,T,'g-') hold on plot(X,T,'b-') hold on legend('show')
1
