INTRODUCCION AL METODO DEL ELEMENTO FINITO 1. FUNDAMENT FUNDAMENTOS OS DEL METODO METODO DEL ELEMEN ELEMENTO TO FINITO FINITO
En nuestro tiempo el avance en el campo de la computación ha sido muy rápido, involucrando en ello el desarrollo de programas de diseño y cálculo. Dentro del diseño y cálculo se tienen programas o software de gran potencia, dentro de los cuales se puede mencionar los siguientes: CO!O, "# DE$, $%, C$& C$&"$, '$&($', $'), '"$, $*$+, etc. Estos programas de diseño y cálculo, tiene algo en com-n, ue sus procedimientos de análisis se /asan en el !E&ODO DE0 E0E!E'&O 1"'"&O. 0a com/inación entre este m2todo y el desarrollo de la computación ha venido a dar como resultado una poderosa herramienta de análisis. El m2todo de elemento finito ya se ven3a desarrollando desde los 45s, pero su avance prácticamente se detuvo de/ido al proceso matemático tan la/orioso. $ctualmente este proceso lo lleva a ca/o la computadora. Es fácil imaginar lo -til ue es este m2todo 6unto con la computación, por e6emplo el invertir una matri7 de 85 9 85, ue nos podr3a llevar meses en resolverla a mano, la computadora hace esto en segundos. El m2todo del elemento finito se /asa principalmente en el análisis matricial y su ha alcan7ado las disciplinas de &($'1E(E'C"$ DE C$0O C$0O(, (, !EC$ !EC$'"C '"C$ $ DE 10"D 10"DO O,, "D( "D($ $0"C 0"C$, $, E0EC E0EC&( &(O! O!$; $;'E 'E&" &"!O !O,, E&(C&($, E&(C&($, etc. Dentro Dentro de estas disciplinas tenemos tenemos pro/lemas pro/lemas ue no hace mucho
=5> eran eran intr intrat ata/ a/le le por por sus sus comp comple le6i 6ida dadd y ue ue ahor ahoraa con con este este !2to !2todo do son son resu resuel elto toss rutinariamente. Dentro del análisis Estructural podremos resolver estructuras reticulares como vigas, marcos, armaduras, columnas, y estructuras continuas como placas, cascarones, mem/ranas, etc. $s3 tam/i2n tam/i2n se puede llevar a ca/o análisis Dinámicos Dinámicos y pro/lemas no#lineale no#linealess geom2tricos geom2tricos o por material. n análisis del elemento finito t3pico involucra los siguientes pasos: ? ? ? ? ? ? ? ?
;enerar el di/u6o del elemento. eleccionar el el titipo ddee el elemento fi finito. "ntr "ntrod oduc uciir las las prop propiiedad edades es del del mat mater eria iall y la geom geomet etr3 r3a. a. Discr screti eti7ar la estru strucctura o medio dio continuo en eleme ementos finit nitos. 0os programas de generación de malla, llamados procesadores, ayudan a hacer este tra/a6o. Ensa Ensam/ m/le le de elem elemen ento toss par paraa o/ten o/tener er el model modeloo de de ele eleme ment ntos os finit finitos os del del sist sistem ema. a. $plicac cación de con condici dicioones de fro fronte ntera olu oluci ción ón del del sist sistem emaa de de ecuaci ecuacion ones es alge alge/ra /raic icas as para para determ determin inar ar las las res respue puest stas as.. !ostrar los resultados.
1ig.@.# !odelo de elemento finito de un medio contin-o
El n-mero de ecuaciones alge/raicas a resolver esta dado por el n-mero de grados de li/ertad, el cual nos da el n-mero de incógnitas, estas pueden ser generadas y resueltas por una computadora digital. $ctualmente, para pro/lemas peueños de más o menos de @55555 incógnitas, se puede usar una computadora personal. 0os resultados por este m2todo son raramente eAactos, sin em/argo, los errores disminuyen procesando más ecuaciones hasta o/tener la convergencia, y los resultados son demasiado precisos para propósitos de ingenier3a y son o/tenidos a un costo ra7ona/le. En el m2todo del elemento finito, las fronteras y el interior de la región están su/ divididas por l3neas en un n-mero finito de su/regiones de tamaño discreto o elementos finitos n n-mero de puntos nodales son esta/lecidos con malla. 0os nodos pueden estar a lo largo o dentro de las su/ divisiones de la malla, pero usualmente están locali7adas en las l3neas de intersección de la malla. 0os elementos pueden tener fronteras rectas o fronteras curvas. En la ta/la siguiente se muestra las varia/les t3picas en un análisis por elemento finito. &a/la @. Baria/les &3picas en el análisis por Elemento 1inito
$%0"C$C"O'
%("!$("O
$nálisis esfuer7os &ransferencia calor
de Despla7amiento rotación de &emperatura
1lu6o potencial
1unción potencial
$OC"$DO 1uer7a momento
EC'D$("O Esfuer7o criterio de falla
1lu6o
1lu6o interior Error estimado
Belocidad normal
Belocidad interior Error estimado
'avier# toes
Belocidad presión
;radiente presión
%otencial el2ctrico
Campo el2ctrico
Densidad de flu6o
%otencial magn2tico 1lu6o magn2tico
Densidad corriente
de Error estimado
Error estimado de Error estimado
2. ENSAMBLE DE ELEMENTOS
n importante concepto es la conectividad del elemento, esto es, la lista de la numeración glo/al de los nodos. 0os datos de conectividad del elemento definen la topolog3a de la malla , la cual es usada para el ensam/le del sistema de ecuaciones alge/raicas. De esta manera, para cada elemento es necesario introducir el n-mero de nodos en alg-n orden consistente en el sistema local y ue est2n asociados con el sistema glo/al. E'$!*0E %O( '!E(O DE 'ODO. ea la figura <>, donde etiuetamos los nodos de los elementos como i, 6, y , como una conveniente identificación durante la generación de las matrices de cada elemento. Esta estructura es seme6ante a una placa plana con un grado de li/ertad por nodo. 0a matri7 caracter3stica de cada elemento es entonces de A, además los nodos del elemento @ están numerados como @, y F y los del elemento F como , y F.
1ig.F. Ensam/le de elemento
0as matrices de rigide7 de cada elemento son: @
F
1 a1
a2
a3
K 1= 4 a 4
a5
a6
2 a 7
a8
a9
[
F
]
[
1 b1
b2
b3
K 2= 4 b 4
b5
b6
2 b 7
b8
b9
]
e ordenan los grados de li/ertad de acuerdo a los vectores de conectividad para o/tener ensam/le. %ara este e6emplo tenemos grados de li/ertad y al superponerlos simplemente se suman matricialmente. 1
2
@ a@
K @
= D 5 E a
F aH
E
3
aD a=
aF
5
+b
@
bH a8
4
bD
aG
b=
+b
E
b8
+b
F
bG a4
+b
4
e puede o/servar ue solo se suman los grados de li/ertad comunes a los dos elementos, ue en este caso corresponden a los nodos F y . i alguno de los nodos estuviera restringido, entonces los grados de li/ertad estar3an inactivos y la matri7 total se reducir3a solo a los grados de li/ertad activos. 0a matri7 de rigide7 siempre es cuadrada y sim2trica. De la solución del sistema de ecuaciones se o/tendrán los despla7amientos en los nodos F, , 4, y 8. 3. TIPOS DE ELEMENTOS FINITOS
0os tipos de elementos finitos más comunes se muestran en la figura y se clasifican de la siguiente manera. Elemento *arra.# Este es el elemento más com-n dentro de la familia de los elementos finitos. Cuando se com/inan con elementos del mismo tipo, descri/en estructuras como las armaduras y los marcos. Cuando se com/inan con elementos de otro tipo como los elementos placa, forman estructuras atiesadas. Elemento placa.# los elementos finitos /ásicos son las placas delgadas cargadas en su propio
plano y podemos tener elementos triangulares y cuadriláteros. !uchas otras formas geom2tricas son facti/les en esta clase de elementos, pero generalmente
solo sirven para propósitos especiales. e les conoce como los elementos /ásicos dentro del desarrollo de elemento finito, no solo por su uso en un amplio rango de análisis de diseño práctico, sino tam/i2n por su prioridad en el desarrollo de análisis del elemento finito. Elementos solidos.# los elementos solidos son la generación tridimensional de los elementos en
esfuer7o plano. El tetraedro y el heAaedro son las formas más comunes de los elementos tridimensionales, y son esenciales para modelos anal3ticos de pro/lemas de mecánica y sólidos y de estructuras y para plantas nucleares. Solidos Axisimericos.# uno de los campos de aplicación más importantes dentro del m2todo de
Elemento 1inito es el análisis con sólidos aAisim2tricos. na gran variedad de pro/lemas de ingenier3a caen en la categor3a incluyendo tanue de acero y de concreto, recipientes de contenido nuclear, rotores, pistones, flechas y escapes de cohetes. En estos elementos tanto la carga como la geometr3a, usualmente son aAisimetricos. %laca plana en fleAión.#on usados no solo entre s3, sino tam/i2n con cascarones y miem/ros de pared delgada. 0as formas geom2tricas son análogas a las de los elementos en esfuer7o plano, y se tienen tam/i2n en las formas triangulares y cuadriláteras. Cascaron axisimetrico.# &iene la misma importancia en aplicaciones prácticas ue los sólidos
aAisimetricos, aunue au3 las formulaciones se derivan de la teor3a de la mem/rana. Dentro de esta formulación esta la diferencia con respecto a los elementos placa en fleAión y tención y sirven para identificar pro/lemas especiales. Cascaron curvo.# Cuando una estructura esta curva, es preferi/le usar elementos cascaron curvo
para los modelos anal3ticos. Dentro de la venta6as esta la ha/ilidad para descri/ir de forma más adecuada la geometr3a de una superficie curva. EAiste un gran n-mero de alternativas para formular este tipo de elementos. 4. FORMULACION DE ELEMENTOS FINITOS
0a matri7 caracter3stica del elemento finito tiene diferente nom/res en pro/lemas de diferentes áreas. %or e6emplo en mecánica estructural se le llama matri7 de rigide7, y nos relaciona fuer7as con despla7amientos en los nodosI en conducción de calor esta se llama matri7 de conductividad, y nos relaciona temperaturas con flu6os en los nodos. &enemos cuatro formas importantes de derivar la matri7 caracter3stica del elemento.
?
1ormulación directa
?
1ormulación variacional
?
1ormulación de los residuos ponderados
?
1ormulación del /alance de energ3a
1ig.. &ipos de elementos finitos
1O(!0$C"O' D"(EC&$.
e le considera como una derivación del m2todo directo de rigide7 con dicha formulación se pueden resolver -nicamente elementos relativamente simples de/ido a ue este aumenta el entendimiento del concepto f3sico del m2todo de elemento finito. 1O(!0$C"J' B$("$C"O'$0 e /asa en el cálculo variacional e involucra la maAimi7ación o minimi7ación de una función. En mecánica de sólidos, la función puede eApresarse como la energ3a potencial, la energ3a potencial complementaria, el principio del tra/a6o virtual o alg-n derivado de los anteriores. 1O(!0$C"J' DE 0O (E"DO %O'DE($DO Esta formulación es más versátil ue el anterior, y se fundamenta en ecuaciones diferenciales. u aplicación comien7a por definir las ecuaciones go/ernantes del pro/lema y contin-a sin el empleo de funcionales. Es particularmente aplicado a pro/lemas donde en los cuales las ecuaciones diferenciales son conocidas y ue no tienen funcional representativa. 0as aplicaciones de esta formulación involucran: $. uponer el comportamiento general de la varia/le de manera ue tanto la ecuación diferencial como las condiciones de frontera dadas, sean satisfechas aproAimadamente. El empleo de esta aproAimación en la ecuación diferencial original y las condiciones de frontera, causara un error llamado residual. *. (esolver las ecuaciones ue resulten del primer paso y de este modo, pasar a la forma general funcional a una función espec3fica, la cual convertirá en la solución aproAimada 1O(!0$C"J' DE0 *$0$'CE DE E'E(;K$ Esta formulación está sustentada en el /alance t2rmico yLo de energ3a mecánica de un sistema. $u3 no se reuiere del cálculo variacional, por lo ue el rango de posi/les aplicaciones se amplia. 0a formulación del /alance de energ3a se /asa en el hecho de ue para los pro/lemas de mecánica del medio continuo es com-n ue eAistan formas de /alances de energ3a locales o glo/ales ue proporcionarán las relaciones necesarias sin recurrir a principios variacionales ni residuales. 5. ELEMENTO FINITO EN EL DINÁMICA ESTRUCTURAL
i la frecuencia de eAcitación aplicada a un sistema es aproAimadamente menor a @L de la frecuencia natural de vi/ración más /a6a de la estructura, el efecto de la inercia puede despreciarse y el pro/lema es cuasiestático. 0a inercia viene a ser importante si las frecuencias de eAcitación son mayores a lo notado anteriormente o si el sistema vi/ra li/remente. %ara un pro/lema donde el efecto de las vi/raciones es de tomarse en cuenta, la ecuación de go/ierno es + C x + Kx F = M x
Donde: ! M !atri7 de masa C M !atri7 de amortiguamiento N M !atri7 de rigide7 M !atri7 de aceleraciones
ẍ
M matri7 de velocidades
ẋ
AM !atri7 de despla7amientos 0a eAcitación y la respuesta están caracteri7adas por /a6as frecuencias y escalas de tiempo grandes, solo una peueña parte de modos de vi/ración de un modelo necesitan ser usados. sualmente se compara la frecuencia natural del sistema con la frecuencia de eAcitación, /uscando ue estas frecuencias est2n lo suficientemente separadas para para evitar resonancia. 0os m2todos ue intervienen en la variación de tiempo se les conocen como métodos en la historia de tiempo, siendo los más populares los métodos modales y los métodos de integración directa. El estudio de cargas s3smicas, vi/ración y fatiga a altos ciclos en elementos de mauinaria y las estructuras aeroespaciales involucran eAcitaciones ue no tienen un patrón repetitivo, por lo ue su magnitud no puede ser dado por una eApresión anal3tica como una función de tiempo. &ales eAcitaciones se les llaman aleatorias. %ara determinar este tipo de eAcitaciones, se emplea el método de superposición modal . Este m2todo reuiere la determinación de las frecuencias de vi/ración natural y los correspondientes modos normales los cuales sirven para desacoplar el sistema. De esta manera, las ecuaciones dinámicas se reducen luego a un con6unto de ecuaciones diferenciales independientes.
