UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERIA Escuela Académico Profesional de Ingeniería Mecánica
INTEGRANTES:
Aguirre Loyola Ryutaro Baltazar Murga Pedro Trujillo Valderrama Arley
PROFESOR:
Jose Antonio Boza
CURSO:
Estadística y Probabilidades
Sean X 1, X 2, X 3,. . . ., X n, variables que se distribuyen normalmente, con la misma media: µ1= µ2=µ3 =. . . . = µ n y la misma varianza: σ1=σ2=σ3=. . . .= σn2. La variable que resulta de la suma de las n variables individuales: X = X 1 + X2 + X3+. . .+ Xn, también se distribuye normalmente con una media: µ x=µ1 +µ2+µ3+. . . .+µn=nµ y una varianza: σx =σ 12 + σ 22+ σ 32 +. . . .+σn2 = n 2 Puesto que es posible demostrar que cada uno de los valores (x1,x2,x3,.....nx) que forman parte de una muestra es una variable aleatoria que proviene de una misma población, se puede concluir que la media muestral es una variable que resulta de la suma de varias variables que tienen la misma µ y la misma varianza σ2.
= ∑ X= = = ( x1+ x2+ x3+........+ xn) = ⋯ Por lo tanto, la media y la varianza de la distribución de medias muestrales serán: µ x=
=µ
y
σ
En resumen, si se toman muestras aleatorias de la población de una variable X que se distribuye normalmente, la distribución de las medias muestrales también es normal con una media igual a la media de la población de la variable X y una varianza igual a la de la población dividida entre el tamaño de la muestra (Figura 4.5). La desviación de la distribución de medias muestrales se le denomina error estándar y se obtiene como el cociente de dividir la desviación de la población de la variable X entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra σ x= σ
n
Figura 4.5. Relación entre las distribuciones de las variables X y X.
,,
Solución: Sea y=longitud del brazo mecánico
Entonces y=
La variable aleatoria Y está distribuida normalmente de acuerdo a la propiedad reproductiva de la distribución normal con media.
µ µ µ µ 12241884 σ σ σ σ 0.020.030.040.09 − < .− ⌊53.8<<54.2⌋ ..− < .
P
− < <
=P
=Φ (0.67)- Φ (-0.67)
= 0.7486-0.2514=0.49
+ (,,) µ µ ; µ ; ; ; [ > ] Solución: → N( ;
µ σ x ),
independiente
a) Y es una combinación lineal de las x; por lo tanto tiene una distribución normal con E(y)= y var(y)= , donde
σ
µ
E (y)= E
+ [() ()] () =
(µ µ ).µ [2016]-25=-7
=
σ
+ [var() var()] [σ σ] σ
= var (y)= var
var (
=
+
(5+11)+5=9
[ > 0] P−δ > −(−) <
b) P
=
=1-Φ (2-33) =1-0.9901=0.0099
µ 800
y
σ
= =100
=
−) δ − =P ≤
P (x≤775)= P (z≤
√
=P
≤ − √ ≤
=P (z -2.5)=0.0062
)
µ
Supongamos una distribución binomial B(n,p) con un número muy grande de n; por ejemplo lanzamos un tiro libre 200 veces siendo la probabilidad de encestar del 40%, es decir B(n=200,p=0,4). Si nos planteamos cual es la probabilidad de encestar más de 100 lanzamientos tendremos que calcular 100 términos, siendo aburrido y muy laborioso: P(x>100)=p(x=100)+p(x=101)+…+…+p(x=199)+p(x=200)=
=
.0,6 200.0,4.0,6 ⋯200.0,4.0,6 200.0,4.0,6 200 0, 4 100 101 199 200 .
Surge así la pregunta natural: ¿no se podría calcular esta probabilidad sin tener que recurrir a la fórmula de distribución binomial 100 veces? Resulta que si se puede, el Teorema de Movire-Laplace nos muestra que de forma aproximada podemos aproximar esta probabilidad utilizando la distribución normal.
: si X es una variable discreta que sigue una distribución binomial de parámetros n y p, B(n,p) y se cumple que n>10, n·p>5 y n·q>5 resulta una aproximación bastante buena suponer que la variable X’ (recordemos que en la binomial µ=n·p y σ=
a la variable normal N(n·p,
..
..
se aproxima
).
Resulta mucho más sencillo trabajar con la variable normal X’ que con la binomial X, pues
recordemos que los valores de la normal están tabulados.
: cuando aproximamos una distribución binomial mediante una normal, estamos convirtiendo una variable X discreta (toma un número determinado de valores) en una continua X’ (toma valores en un intervalo).
Los valores de la probabilidad para valores fijos de la variable continua son cero (ya que sería el área de un punto), y necesitamos definir un intervalo. Para evitar este problema en la aproximación de los valores fijos estos se corrigen (corrección de continuidad o de Yates) sustituyéndolos por un intervalo centrado en el punto y de valor unidad.
Solución: N=300 X=1; 2; 3; …; 300 Puesto que la población es grande, la extracción de los 300 insectos puede considerarse como 300 ensayos de Bernoulli con p=0.25 constantes en cada extracción. Por lo tanto, la variable x tiene una distribución binomial con n=300 y p=0.25. Pero, np=300(0.25)=75>5, aproximadamente la binomial por la normal con media =np = 75 y
.. 300.(0.25).(0.75) [60<≤90] [60.5≤x≤90.5]
desviación estándar σ=
P
=
= 7.5
µ
− ≤ .− ..− ≤ √ .. . −.. ≤ ≤ .. =P
=P
= Φ (2.06)- Φ (-1.93)
= 0.9803- 0.0268 = 0.9535
Solución: n=200 x=1; 2; 3;…; 200 p=1/2 Debido a que n es grande, y np=100, daremos una aproximación de las probabilidades pedidas por la distribución normal, con:
µ
.. √ 50
=np = 100 y
σ=
=
a) X=49%. 200=98
P
[98] [97.5≤x≤98.5]
.− ..− ≤ √ − ≤ .. .
=P
= Φ (-0.21)- Φ (-0.35)=0.4168 – 0.3632 = 0.0536
b) P
[ 0] [0.5≤x≤0.5]
≤ − ≤ . −. . √ .. .
=P
= 0
Solución: a) n=300 x=0; 1; 2;…; 300 La variabilidad aleatoria así definida es una binomial, su distribución de probabilidad con n=300 y p=0.02, es
P
[x;300;0.2] 300(0.02)(0.98)− =
Los parámetros de x son n=300 y p=0.02
Desde que np=300(0.02)= 6 >5, aproximamos la distribución binomial a la distribución
µ
.. √ 5.88
normal con =np =6 y
b) P
σ=
=
− [ 1] [0.5≤x≤1.5] P.√ .− ≤ √ − ≤ .. √ . [2.27≤z≤1.56] =
= = = Φ (-1.86) - Φ (-2.27) = 0.0314 – 0.0116 = 0.0198
c) P
.− [ ≤ 5] [x≤5.5] P√ − ≤ .. √ . [z≤0.21] =
=
= Φ (-0.21)=0.4168
Bibliografía:
Probabilidad e inferencia estadística (Rufino Moya Calderón – Gregorio Saramia A.)
Probabilidad y estadística para ingenieros (Richard A. Johnson)
