Problemas de Teorias de Juegos 1

5.1 Encuéntrense los puntos de silla de montar y los valores del juego para los siguientes juegos: contrario ataque retirada ataque 1 0 0 Maxi min amigo retirada -1 0 -1 1 0 Mini máx. El valor del juego es 0 5-2 w amigo

a b c

x 9 15 11

x

contrario y z 12 18 -4 1 12 13

8 9 10

z

a

12

8

8

c

12 12

10 10

10

maximi n

minimax El valor del juego es igual a 10 5.3 Encuéntrese la estrategia óptima para ambos jugadores y el valor del siguiente juego: oponente c d c 18 4 4 el maximi lector d 8 14 14 n 18 14 minimax 18-4=14 14/20 6/20 * debe jugar 30% 8-14 = 6/20 6/20 14/20 *debe jugar 70% 18-8=10 10/20 *debe jugar 80% 4-14 =10 10/20 10/20 18(6/20) +8(14/20) =4(6/20) +14(6/20) =11 -16(1/2)-4(1/2) =-8(1/2)-14(1/2) =-11 El valor del juego es 11

5.4 Considere el siguiente juego: tom arriba abajo arriba 4 -3 joe abajo -2 6 4

-3 -2

maximi n

6

minimax A. Encuentre la estrategia óptima para cada juego y el valor del juego B. Rescríbase la matriz para tom y repítase (a) ¿Cuál es la comparación de los dos resultados? En los siguientes juegos verifique la denominación primero y después obtenga la estrategia optima y el valor del juego 4-(-3) =7 7/15 8/15 *debe jugar 53% -2-6=8 8/15 7/15 *debe jugar 77% 4-(-2) =6 9/15 6/15 *debe jugar 40% -3-6=9 6/15 9/15 *debe jugar 60% 4(8/15)-2(7/15) =-3(8/15) +6(7/15) =1.2 -4(9/15) +3(6/15) =2(9/15)-6(6/15) =-1.2 El valor esperado para joe es de 1.2 par tom -1.2 Para tom joe arriba abajo arriba -4 3 -4 tom abajo 2 -6 -6 maximin 2 3 minimax 4-(-3) =7 7/15 8/15 2-(-6) =8 8/15 7/15 -4-2=6 6/15 9/15 3-(-6) =9 9/15 6/15 Da el mismo resultado visto desde tom porque es el mimo juego 5.5 . azul a rojo

a b c

b 16 12 9 azul

c 12 13 10

9 18 15

a

b

a

16

9

16

b

12 16

18 18

12

rojo

maximi n

minimax 16-9=7 12-8=6 16-12=4 9-18=9 5.6 .

renglón

renglón

7/14 6/14 6/14 7/14 4/13 9/13 9/13 4/13

1 2 3 4

a b c 6 15 8 9 12 14 2 9 14 2 11 9

columna a b 1 6 8 2 9 14 9 14

columna d e 22 28 8 18

6 9

25 16 4 3

maximin

minimax Tiene silla de montar por lo tanto el valor del juego es 9 5-7 Encuentre la estrategia optima y los valores pares los siguientes juegos: Un juego justo de “dos dedos escondidos” puede tener la siguiente matriz de pagos: jugador B 1 2 1 1 -1 -1 jugador maximi A 2 -1 1 -1 n 1 1 minimax 1-(-1) =2 1/2 -1-1=2 ½ 1-(-1) =2 ½ -1-1=2 ½ 1(1/2)-1(1/2) =-1(1/2) +1(1/2) =0 -1(1/2) +1(1/2) =1(1/2)-1(1/2) =0

El valor del juego es 0 nadie pierde ni gana 5-8 y b

a x

1 2 3

5 5 4 a

2 3

-2 5 -3 b

5 4 5

5 5 -3 -3 5 minimax Tiene silla de montar el valor del juego es 5

maximi n

5-9 Considérese los tres juegos que se describen en seguida: b b b 1 2 1 2 1 1 6 -2 1 12 -4 1 2 -6 a a a 2 4 8 2 8 16 2 0 4 A como se realizan estos juegos B encuéntrese la estrategia óptima para cada juego C cual es el valor de cada juego a 6-(-2) =8 8/12 4/12 0.33 33% 4-8=4 4/12 8/12 0.67 67% 6-4 =2 2/12 10/12 0.83 83% -2-8=10 10/12 2/12 0.17 17% 6(4/12) +4(8/12) =-2(4/12) +8(8/12) =4.6 -6(10/12) +2(2/12) =-4(10/12)-8(2/12) =-4.6 b 12-(-4) =16 16/24 8/24 0.33 33% 8-16=8 8/24 16/24 0.67 67% 12-8 =4 4/24 8/24 0.33 33% -4-16=20 20/24 16/24 0.67 67% -6(4/24) +2(20/24) =-4(4/24)-8(20/24) =0.66 c 2-(-6) =8 8/12 4/12 0.33 33% 0-4=4 4/12 8/12 0.67 67% 2-0 =2 2/12 10/12 0.83 83% -2-4=10 10/12 2/12 0.17 17% Es igual al primer juego

Se concluye que es múltiplo de un matriz no resulta lo mismo como ejemplo a y b c fue igual a 5-10 dos formas dominaban un periodo en particular y de echo forma un duopolio. Atreves de los años han aprendido a restringir la competencia en los precios y competir solo atravesó de la publicidad. Cada firma está planeando introducir una nueva línea de otoño y está considerando las posibles promociones especiales. Después de considerar muchas opciones las posibilidades se han reducido a dos (1) una fuerte campaña publicitaria en televisión durante las horas de primicia o (2) un gran número de exhibidores de mercancía en puntos clave. El efecto sobre porcentajes de mercado se muestra en seguida firma B TV POP TV 1 0 0 firma A PO P -1 2 -1 maximin 1 2 minimax ¿Qué debe hacer cada firma? 1-0=1 ¼ ¾ 0.75 75% -1-2 =3 ¾ ¼ 0.25 25% 1-(-1) =2 2/4 0.5 50% 1(3/4)-1(1/4) =2(1/4) = (2/4) =0.5 -1(2/4) =+1(2/4)-2(2/4) =0.5 A la firma a le conviene irse por propaganda en la TV y firma B por cualquiera de los dos al cabo obtendrá la misma ganancia 5-11 5-12 Un comando militar tiene dos instalaciones que debe defender: un almacén de combustible y almacén de municiones. Tiene fuerzas suficientes para repeler un ataque en una sola de las instalaciones. Por fortuna el enemigo también está debilitado y podrá organizar e ataque solo al blanco y no a los dos. Como el combustible esta escaso, se considera el doble de valioso que las municiones, si el enemigo ataca una posición defendida, el resultado será empate ¿Cuáles deberán ser estrategias del comando y del enemigo? (sugerencia asigne 1 unidad al amasen de municiones y 2 utilidades al de combustible) Energía combustibl munició e n combustibl comand e 0 1 o munición 2 0 1-0=1 1/3 = 1/5

2-0=2 2/3 = 1/5 Las estrategias de comando son 2/3 de tener el combustible 1/3 de las municiones las estrategias de la energía son 1/5 el combustible 2/3 atacar municiones 2-0=2 2/3=2/3 1-0=1 1/3=1/3 Por lo tanto, el comando el combustible y la energía las municiones 5-13 Un día, George iba del trabajo a su casa cuando recordó que era su aniversario. ¿O era el día siguiente? Como no estaba seguro comenzó a explorar las posibilidades: a Si compra flores para su esposa y hoy es su aniversario, todo estar muy bien. b si compra flores y mañana es su aniversario parecer un poco tonto pero todavía está bien. c si no compra flores y mañana es su aniversario todo estará neutral. D si no compra flores y hoy es su aniversario se ira a dormir al sofá. ¿Qué debe hacer George? 1 1/2 1 maximin -1 0 -1 1 1/2 minimax Es un juego de estrategia para George debe comprar flores, aunque no sea el aniversario 5-14 El gobierno local ha pedido a dos firmas competidoras que establezcan su política sobre el control de la contaminación. Ambas deben de decidir por adelantado, ya que las políticas se presentaran en el mismo día. El presidente de la compañía A revisa las opciones: A si la firma acepta voluntariamente su proceso mas limpio, incurrirá el grado de costo. Los costos agregados la pondrán en desventaja competitiva con la firma B, a menos que la firma B decida también tomar medidas voluntarias. Piensa que aceptara la opcin sola tiene una utilidad de -2, y si las dos firmas aceptan se tendrá una unidad de +1. B si su firma se espera a los controles obligatorios, habrá una publicidad negativa. En este caso no se incurrirá en costos extra. La unidad para esta estrategia será +2 si la firma b acepta voluntariamente será de -1, si ambas esperan los controles gubernamentales. ¿Qué harán las dos firmas?¿puede relacionase este problema con los papeles que desempeña el gobierno y la libre empresa? firma B aceptar rechazar aceptar 1 -2 -2 firma A rechazar 2 -1 -1 maximin 2 -1 Es un juego de estrategia pura la estrategia para ambas firmas es de -1 Abas deben rechazar este proceso más limpio

5-15 Se estaba haciendo tarde y el jurado estaba cansado. Habían debatido por muchas horas sin llegar a un veredicto. La mayor parte de la evidencia indica culpabilidad, pero el caso no está aclarado. El presidente del jurado comenzó a jugar con su lápiz pensando cómo podía contribuir la teoría de juegos a las deliberaciones. Asignando unidades a los resultados posibles, dibujo la sig. Matriz. acusado Culpabl e inocente Culpable 1 -2 veredicto inocente 2 -1 Cuando el presidente analizo la estrategia óptima del jurado se quedó perplejo. Parecía estar en un conflicto con las instrucciones del juez de llegar a un veredicto de culpabilidad solo si el jurado estaba convencido fuera de cualquier duda razonable. ¿Cuál era la estrategia optima del jurado? ¿Cómo se contrapone esto con las instrucciones del juez y como se explica esta condición? 1-(-1) =2 2/4=1/2 =0.5 =50% 1-(-1) =2 2/4=1/2 =0.5 =50% 50% culpable 50% inocente Existen las mismas propiedades para un veredicto como para el acuerdo No se sabe si es culpable o inocente 5-16 la administración y los líderes del sindicato se están preparando para las negociaciones de revisión del contrato en un futuro cercano. La administración considera las posiciones que puede tomar y reduce las estrategias a dos: rígida y conciliatoria. Prepara una matriz de pagos como la siguiente: sindicato rígida rechazar rígida -5 -2 -5 maximin adm. conc. -7 -4 -7 -5 -2 A) Como es un juego de estrategia pura tanto la administración como el sindicato utilizaron la estrategia rígida adm. rígida rechazar rígida 1 1 1 maximin sindicato conc. 1 2 1 1 2 minimax B) Tanto el sindicato como la administración usaron la estrategia rígida

Un valor del juego es 1 para el sindicato y -1 para la administración c) al parecer ninguna de las dos estrategias le conviene a la administración por eso se pone valeres negativos la matriz de pagos, pero como al sindicato el conviene los ponemos positivos d) no ya que solo se está viendo los intereses del sindicato 5-17 un duopolio puede verse como un juego entre dos firmas. Supóngase que la ganancia para la firma A por altos o bajos precios está dada como sigue: firma B alto bajo alto 10 3 3 firma A bajo 15 5 5 maximin 15 5 minimax Es un juego de estrategia pura A) ambos bajaron sus precios B) no porque ambas firmas utilizan la misma estrategia C) si, ya que la firma A gana si la firma B pierde -5