1. Verifique que se R e G forem pequenos se tem α =
β =ω
+
e
.
2. Uma linha de transmissão sem perdas tem indutância L=150nH/m. Determine o quociente de velocidades
se a capacidade for a) 10nF/m
b) 100nF/m c) 1µ F/m.
=
3. a) Verifique que se
(condição de Heaviside) então a impedância
característica da linha é real. ! #$ $ %
" $
4. Suponha que a tensão eléctrica numa linha de transmissão é dada por,
( )='
(
+
)+
&
(
)
[V].
Sabendo
que
característica é de 50Ω e que a carga está situada em
a
impedância
= λ ( calcule:
a) A corrente na linha. b) O coeficiente de reflexão na carga. c) A impedância da carga. 5. Um cabo sem perdas e comprimento λ ( , é alimentado por uma fonte de tensão sinusoidal de amplitude 1V. A amplitude de corrente à entrada é 15mA. O cabo é terminado por uma resistência de 73.5Ω. Determine: a) A impedância característica do cabo. b) O desfasamento entre a tensão e a corrente na entrada. 6. Um cabo sem perdas e com comprimento $'λ e impedância característica 50Ω é terminado com uma resistência de 60Ω. A tensão na carga é 20 exp(j40º) [V]. Calcule:
a) A potência média fornecida à carga. b) A tensão mínima na linha. c) A intensidade de corrente máxima na linha. 7. Considere uma linha de transmissão sem perdas, comprimento &$ 'λ , e impedância característica 300Ω. O gerador de entrada tem amplitude 90V e resistência interna de 100Ω. A linha é terminada com uma impedância de 500Ω. a) Calcule a potência na entrada. b) Determine a tensão na carga. c) Calcule a potência na carga (compare com a)). d) Determine a tensão no ponto médio da linha. 8. Uma fonte de tensão contínua de 100V e impedância interna 100Ω é ligada a uma linha com impedância característica 50Ω. A linha está em curtocircuito na carga. O tempo de propagação do início ao fim da linha é de T [s]. a) Trace o diagrama de Bewley-Lattice. b) Calcule a corrente em regime estacionário. 9. Considere um cabo coaxial sem perdas, com comprimento 400m, L=0.25µH/m, e C=100pF/m. O cabo é terminado em curto-circuito e é alimentado por um gerador de pulsos com resistência interna 150Ω. Um pulso genérico tem amplitude 100V e duração de 6µs. Calcule a tensão à entrada para t=18µs. 10. Uma linha de transmissão com impedância característica
= && Ω é
&)
usada para alimentar duas cargas resistivas R1=300Ω e R2=200Ω. A carga R1 é ligada à linha de transmissão, por intermédio de uma outra linha de transmissão com impedância característica
&
e comprimento
= λ ( . Da
mesma forma R2 é ligada à linha de transmissão, por intermédio de uma linha com impedância característica
&
e comprimento
= λ (.
Determine
&
e
&
por forma a que R1 receba o dobro da potência de R2,
e não haja potência devolvida ao gerador.
l1 R1=300 Ω
&
&)
= &&Ω &
l2
R2=200 Ω
11. Um cabo coaxial com impedância característica 50Ω tem pequenas irregularidades na bainha do condutor externo. O coeficiente de reflexão de cada irregularidade é 0.001|-90º. As irregularidades estão espaçadas de 11.25cm. Admita que cada irregularidade pode ser modelada como uma reactância capacitiva em paralelo e independente da frequência. A velocidade de propagação no cabo é 0.75c. Se o cabo tem 50m e está ligado a uma carga adaptada, determine o coeficiente de reflexão resultante medido à entrada para a) 500MHz, b) 1GHz, c) 2GHz. Sugestão: Obtenha o comprimento de cada secção em unidades de comprimento de onda.
Soluções: 2 → a) 0.086 b) 0.027 c) 8.6 10-3 4 → b) –0.5j c) 30- j 40 Ω 5 → a) 70Ω b) 0º 6 → a) 3.33Watt b) 16.7V c) 0.4A 7 → a) 9.3Watt b) -j96.44V c) 9.3Watt d) 79.5exp(-j59º) [V] 8 → b) 1A 9 → 4.6875V 10 → 212Ω e 245Ω 11 → a) 0 b) c) 0.41 |-114º
Ondas e Propagação Folha de exercícios nº2 - Carta de Smith
1. A impedância normalizada z=2-j0.5 dista 0.6λ da entrada de uma linha de transmissão sem perdas. Usando o diagrama de Smith calcule: a) a impedância normalizada na entrada. b) a distância da entrada ao ponto de tensão máxima mais próximo. c) a distância da carga ao ponto de tensão mínima. d) o coeficiente de onda estacionária. 2. Uma linha de transmissão sem perdas tem impedância característica Zc=50Ω e é terminada com a carga ZL =23-j48Ω . Sabendo que λ=2.5m, use a carta de Smith para determinar: a) o coeficiente de reflexão na carga e o coeficiente de onda estacionária. b) a distância da carga ao ponto de tensão máxima. c) a admitância à entrada, sabendo que o comprimento da linha é 3.45m. 3. Considere uma linha sem perdas com impedância característica Zc =50Ω, e admitância de carga normalizada 1.2+j1.4. Sabendo que λ=80cm, calcule a distância ao ponto mais próximo da carga em que: a) o modulo da admitância é mínimo. b) a parte real da admitância é igual à admitância característica. 4. Medições numa linha sem perdas mostram que o coeficiente de onda estacionária é 1.8, existindo um mínimo de tensão em x=-d (cm). Curtocircuitando a saída o ponto de tensão mínima desloca-se para x=-d-8(cm). Calcule a impedância da carga original assumindo que Zc =50Ω e que λ=80cm. 5. Numa linha de transmissão de 50Ω e terminada em curto-circuito são encontrados dois mínimos de tensão adjacentes em x=12 e x=27cm. Quando se troca o curto-circuito por uma carga ZL, o mínimo de tensão é 0.4V (na
posição 9cm) enquanto o máximo de tensão é 0.72V. Admita que a velocidade de propagação é igual à velocidade da luz no vácuo. Calcule: a) o comprimento de onda. b) a frequência temporal do sinal. c) o coeficiente de onda estacionária e o coeficiente de reflexão. d) a impedância ZL. 6. Uma linha sem perdas de 50Ω é terminada com a impedância ZL=100+j100Ω . A linha é adaptada por um stub de comprimento d1, colocado a uma distância d da carga. Se a velocidade de propagação é de 2c/3 e a frequência é de 10MHz calcule: a) o comprimento de onda. b) o valor de d, se d1 for o mínimo possível . c) o valor de d1. 7. Uma linha sem perdas de 50Ω é terminada com a impedância ZL=60-j80Ω. A linha é adaptada por um stub de comprimento d1 colocado a uma distância d da carga. Considere que λ=1m. a) Calcule d e d1. b) Determine o coeficiente de onda estacionária em cada uma das três secções.
Soluções: 1 → a) 0.77-j0.65 b) 0.124λ c) 0.226λ d) 2.2 2 → a) 0.62 |-86º e 4.4 b) 0.95m c) 4.6 10-3 Ω-1 3 → a) 0.318λ b) 0.147λ 4 → 0.72+j0.44 (normalizada) 5 → a) 30cm b) 1GHz c) 1.8 e 0.286 |-108º d) 0.72-j0.44 (normalizada) 6 → a) 20m b) 0.218λ c) 0.09λ 7 → a) 0.11λ e 0.094λ b) 1,4, ∞
Ondas e Propagação Folha de exercícios nº3 – Ondas planas
1. Uma onda plana uniforme de 9.4GHz propaga-se no polipropileno ( ε = $ ' e µ = ). Se a amplitude do campo magnético é 7mA/m e o material não tem perdas calcule: a) A velocidade de propagação. b) O comprimento de onda. c) A constante de fase. d) A impedância intrínseca. e) A amplitude do campo eléctrico. 2. O fasor do campo eléctrico de uma onda plana uniforme de 100MHz no ponto P(4,-2,6) é dada por
= && * − +& *
[V/m]. Calcule o campo eléctrico
instantâneo, a) no ponto P para t=0s. b) no ponto P para t=1ns. c) no ponto Q(3,5,8) para t=2ns se a onda viajar na direcção *
em espaço
livre 3. Duas ondas planas uniformes propagam-se na direcção z em espaço livre. Para t=0s e na origem, ambas atingem o campo eléctrico máximo positivo de 1 V/m (o campo está orientado segundo x). A frequência das ondas é respectivamente 920kHz e 930kHz. a) Calcule o intervalo de tempo necessário para que ambas as ondas voltem a atingir simultaneamente o valor máximo na origem. b) Para t=0s, qual o ponto mais próximo no eixo positivo dos zz em que
= * [V/m].
4. A onda plana
= ('& * −
&*
) %(
&& − β
)
[V/m] propaga-se no
polipropileno ( ε = $ ' e µ = ). Calcule a constante de fase, o comprimento de onda e o campo magnético
( , ).
5. Na zona distante o campo radiado por uma antena é aproximadamente (localmente) uma onda plana com comprimento de onda λ =
cm. Quando a
mesma onda se propaga num dado material sem perdas, o comprimento de onda decresce para 8cm. Neste material a amplitude do campo eléctrico é 50V/m, e a amplitude do campo magnético é de 0.1A/m. Calcule a frequência de radiação e os parâmetros característicos do material. 6. À frequência de 1MHz, um material é caracterizado pela permitividade relativa ε = $' , pela permeabilidade relativa µ = , e pela condutibilidade
σ = ( × & −' -
. Determine: a) a tangente de perdas, b) a constante de
atenuação, c) a constante de fase. 7. Calcule os parâmetros
(ε
, µ ,σ )
dum material caracterizado pela
impedância intrínseca (em módulo) de 200Ω , e onde uma onda plana e uniforme de 100MHz se propaga com o comprimento de onda de 1m e sofre uma atenuação de 2Np/m. 8. Uma onda plana uniforme com velocidade angular 2Mrad/s é caracterizada pelo fasor
= & * [mV/m] no plano z=0.
parâmetros ε = $' , µ = & e σ = & −( Ω − a) A constante de atenuação. b) A constante de fase (número de onda) c) O comprimento de onda. d) Velocidade de propagação (de fase) e) A impedância intrínseca. f) O campo eléctrico para z=10m e t=6µs.
−
O meio é caracterizado pelos . Determine:
9. Um forno de microondas trabalha à frequência de 2.5GHz. Nesta frequência um bife de lombo tem a permitividade complexa ε = )&( − &$) )ε & . a) Qual o comprimento das microondas no bife? b) Qual a profundidade de penetração (pelicular) das microondas no bife?
(
)
c) Se o bife é colocado num prato de plástico com ε = $ − × & −( ε & e espessura 3mm, explique como este procedimento afecta o aquecimento do bife pelas microondas. d) A água fresca tem um constante dieléctrica de ε = .&ε & e condutividade
σ = & −) -
. Qual a profundidade de penetração das microondas na água?
10. Quando uma onda plana de luz incide normalmente num vidro duma janela (n =1.5), qual a fracção de potência reflectida? 11. Uma onda plana e uniforme com amplitude 100V/m propaga-se no ar e incide normalmente num dieléctrico sem perdas com ε = ( . Calcule as amplitudes dos campos transmitido e reflectido. 12. Uma onda plana uniforme com frequência 1MHz propaga-se no ar, atravessando uma placa de um dieléctrico sem perdas e largura de um quarto de comprimento de onda. Os parâmetros do dieléctrico são ε = ( e µ = . Suponha que a incidência é normal, e que o campo incidente é caracterizado pelo fasor 100 | 0º [V/m]. Calcule o campo transmitido. a) Analiticamente. b) Usando a carta de Smith. 13. Uma onda plana propaga-se no ar com frequência 10MHz. Esta onda incide normalmente na superfície plana de uma placa de um dieléctrico com largura 3/8λ2 ( ε
,
=/ e µ
,
= ). Esta placa é seguida de um meio condutor perfeito (σ
= ∞). Assuma que o campo incidente é caracterizado pelo fasor 100 | 0º [V/m]. a) Determine a impedância total e o coeficiente de reflexão no plano de saída da placa de dieléctrico.
b) Calcule a impedância total à saída da região 1 (ar), bem como o coeficiente de reflexão. c) Determine a amplitude da onda reflectida na região 1, bem como o campo eléctrico total. d) Qual a largura em metros da placa dieléctrica? 14. Repita o problema 13 assumindo agora uma placa dieléctrica com uma tangente de perdas de 1.2. 15. Dimensione uma placa de material sem perdas para adaptar dois meios com parâmetros ε
,
= , ε
,)
= ), e µ
,
=µ
,)
= . Considere que a frequência é
8GHz. 16. A velocidade de propagação numa certa camada é 0.5% superior à velocidade de propagação
na camada menos densa onde se propaga uma
onda plana (ver figura). Qual é o ângulo crítico θ (se algum) para a situação ilustrada ?
17. Um par de óculos de sol (índice de refracção n=1.5) são revestidos por uma camada fina de outro material (tipo vidro) para eliminar as reflexões. Se as reflexões são completamente eliminadas para incidência normal de luz verde (comprimento de onda 0.5µm), qual a espessura do revestimento? 18. Numa fibra óptica, a luz é confinada por reflexão interna total à região entre o núcleo (core) e a bainha (cladding) da fibra. O núcleo e a bainha são ambos de vidro (n=1.5), mas o núcleo é dopado para aumentar o seu índice de
refracção de cerca de 1%. Determine o maior ângulo φ
(ver figura) para o qual a luz pode ser
perfeitamente confinada na fibra. (Use as seguintes aproximações
θ ≈ −θ
para θ << ,
(
+
)≈
− ,
+
≈ +
θ ≈θ ,
, para x << 1).
Nota: Numa fibra real (espessura da bainha ≅ 75µm), a abertura angular deve ser ligeiramente inferior ao valor que determinou para poder garantir que o campo evanescente na bainha decai suficientemente rápido e portanto é completamente desprezável na região exterior da bainha.
Soluções: 1 → a) 2×108 m/s b) 0.021m c) 295.3 m-1 d) 251.3 Ω e) 1.76 [mV/m] 2 → a) 100 ux-70uy [V/m] b) 80.9 ux-56.6uy [V/m] c) –97.8 ux-68.5uy [V/m] 3 → a) 10-4s b) 3×104m 4 → a) 50m-1 b) 0.13m c)
= (&$(. * + &$ & *
) (ω
−β
) [A/m]
5 → ε = $ 0 µ = $& ; f=1.67GHz 6 → a) 0.29 b) 0.047m-1 c) 0.033m-1 7 → ε = ($.(0 µ = $/+0 σ = &$& Ω −
−
8 → a) 0.029 m-1 b) 0.044 m-1 c) 142.8m d) 0.45×108 m/s e) 402+j262 Ω f) 12.64 ux [mV/m]
9 → a) 21.66mm b) 23.49mm c) Não afecta significativamente (há baixa absorção/reflexão de energia pelo prato) d) 21.06mm 10 → 4% 11 → 66.7V/m e –33.3 V/m 12 → -j80V/m 13 → = &&
(
− β
+
a) 0Ω e -1 b) –j153.9Ω e 1|-135.6º −
)'$/
+ β
) [V/m]
d) 4.59m
14 → a) b) c) d) 15 → εr=1.73 ; l=0.71cm 16 → 72.2º
c) E-=100 |-135.6º ;
17 → 0.1µm 18 → 8.1º
( 1
2
1. A secção transversal dum guia de ondas rectangular com perdas desprezáveis tem as dimensões a=7.214 cm e b=3.404 cm. Calcule a constante de fase e a correspondente velocidade de fase no guia para cada um dos modos TE10, TE01, TE11, TE02, à frequência de 5 GHz, sendo o dieléctrico o vácuo. 2. Um guia de ondas rectangular preenchido com ar tem as dimensões a=80mm e b=40mm. Determine: a) o comprimento de onda de corte do modo dominante; b) os modos que se propagam a uma frequência igual a 2.5⋅fc, em que fc é a frequência de corte do modo dominante. 3. Considere um guia de ondas rectangular com as dimensões a=0.568cm e b=0.284cm. Desprezando as perdas no dieléctrico e nas paredes do guia, determine: a) as frequências de corte para os vários modos TEmn e TMmn que se podem propagar no guia a frequências inferiores a 4⋅fc,10; b) a banda de frequências em que apenas se pode propagar o modo TE10. 4. Considere um guia de ondas rectangular com as dimensões a=22.86 mm e b=10.16mm. Supondo que são excitados simultaneamente vários modos, determine a atenuação sofrida pelos modos TE20, TE30, TE40, à frequência de 10 GHz, quando o dieléctrico é o ar. 5. Para que o modo TE10 se possa propagar num guia de ondas rectangular com as dimensões a=22.86 mm e b=10.16 mm à frequência de 5 GHz, é necessário preencher o guia com um dieléctrico de permitividade relativa εr>1.
a) Determine os valores máximo e mínimo que εr pode ter, para que se propague apenas o modo TE10. b) Supondo que não há perdas por efeito de Joule nas paredes do guia e considerando εr = 2,25 (polietileno), calcule o comprimento de onda, a velocidade de fase e a atenuação no guia para um factor de perdas do dieléctrico de tanθ = 10-3. 6. Verifique que o modo TE10 pode ser visto como a sobreposição de duas ondas planas uniformes. Indique a direcção de propagação dessas ondas planas. 7. Calcule a velocidade de grupo dum modo genérico dum guia de ondas rectangular. Obtenha ainda a permitividade efectiva do guia de ondas, ε que é definida de forma a que a seguinte relação seja válida: β = ε
,
β& ,
onde β é o número de onda do modo dominante do guia, e β & é o número de onda do meio ilimitado. A que é igual a permitividade efectiva do guia na banda de frequências onde não há propagação ? Interprete o resultado que obtiver. 8. Prove que um guia de ondas oco de secção transversal arbitrária não admite propagação de ondas TEM. 9. Considere o guia de ondas do exercício 2. Suponha que
= $
e que o
guia é terminado com uma chapa metálica (condutor perfeito). O modo dominante do guia de ondas é excitado, usando um gerador de sinal (por exemplo um cabo coaxial com o condutor interno extendido). Seja
λ é o comprimento de onda do modo dominante. Verifique que o campo total a uma distância de λ
do fim do guia é nulo.
Soluções: 1 → βz 01 = 49.48 rad/m; vz 01 = 6.35⋅108 m/s; βz 10 = 95.24 rad/m; vz 01 = 3.30⋅108 m/s; βz 11 = 23.50 rad/m; vz 11 = 13.37⋅108 m/s. 2 → a) λc 10 = 0,16 m. b) TE01, TE10, TE11, TM11, TE20.
3 → a) TE10: fc 10; TE01, TE20: fc=2fc 10; TE11, TM11: fc= ' fc 10; TE21, TM21: fc= . fc 10; TE30: fc=3fc 10; TE31, TM31: fc= ) fc 10; TE02, TE40: fc=4fc 10. b) [fc 10; 2fc 10[. 4 → αz 20 = 1.78⋅102 Np/m; αz 30 = 3.55⋅102 Np/m; αz 40 = 5.08⋅102 Np/m. 5 → a) εr ∈ [1.72; 6.89[. b) λz = 8.26⋅10-2 m; vz = 4.13⋅108 m/s; αd = 0.16 Np/m.
