Primer Reto y Solución

CLASE 1: PROBLEMAS PROPUESTOS LEYES FINANCIERAS

PROBLEMA 1 Una inversión de 1.000.000 €, contratada a un tipo de interés del 5% de interés anual en base 365, me produce una rentabilidad de 51.271,10€, ¿Con qué ley financiera la he contratado? SOLUCION Para conocer con qué ley financiera se ha realizado debemos tener en cuenta que según los plazos existen diferentes leyes, en este ejercicio no nos indican el plazo con lo cual supondré que es de un año. Además si inicialmente tenemos 1.000.000 € y pasado un año 1.051.271,10 € tendremos que averiguar de qué ley se trata que en este caso es la ley de capitalización continua. 1.051.271,10€  1.000.000  e 0 ,051 PROBLEMA 2 Si invertimos una cantidad de dinero a un año, con pago de rendimiento trimestral ¿qué interés es mejor para nosotros, un 3% nominal o el 3% TAE? Justifíquelo cuantitativamente. SOLUCION Tenemos que transformar el tipo nominal anual capitalizable por trimestres del 3% a efectivo anual (TAE), una vez hecho esto lo compararemos con un TAE del 3% y nos quedaremos con el MAYOR ya que se trata de una inversión. j ( 4) =3 ⇒i (4 )=

0,03 =0,0075 ⇒ i=( 1+0,0075 ) 4−1=3,0339191 4

TAE=3 Elegimos el tipo nominal ya que nos reporta un mayor TAE (3,03391%>3%)

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CONCEPTOS BASICOS.LEYES FINANCIERAS. FINANZAS OPERATIVAS

PROBLEMA 3 Un banco nos ofrece como inversión un deposito a seis meses al 6% TAE y una caja de ahorros nos ofrece otro depósito al 3% semestral, ¿Cuál de los dos deberíamos aceptar? SOLUCION Debemos transformar el tipo semestral a anual para poder compararlo con el 6%TAE y elegiremos el MAYOR i=6 ( TAE ) i 2=3 ⇒i=(1+i 2)2−1=(1+0,03)2−1=6,09 PROBLEMA 4 Un capital de 50.000 euros impuesto al 8% de interés anual efectivo compuesto alcanzó un montante de 85.691 euros. Determinar el número de años que estuvo impuesto. SOLUCION

PROBLEMA 5 Calcular el montante que se obtiene al invertir un capital de 100.000 euros al 4,75% anual efectivo durante 6 años, en régimen de capitalización compuesta. SOLUCION

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Enrique García Villar

PROBLEMA 6 Siendo el tanto por ciento anual efectivo de interés del 9%, se pide hallar los tantos nominales equivalentes en régimen de interés compuesto para los siguientes períodos: a) semestral; b) cuatrimestral; c) trimestral; d) diario. SOLUCION

PROBLEMA 7 Hallar el valor actual de 50.000 euros pagaderos dentro de 2 años y 7 meses, siendo el interés del dinero del 4,8% anual convertible por cuatrimestres. SOLUCION


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MINI TEST RENTAS FINANCIERAS El valor actual de una renta pospagable inmediata es el valor financiero de todos los capitales que forman dicha renta: Seleccione una: a. en el momento en que vence el último capital b. un período antes del vencimiento del primer capital c. un período antes del vencimiento del último capital d. un período después del vencimiento del primer capital e. en el momento en que vence el primer capital f. un período después del vencimiento del último capital El valor actual de una renta prepagable inmediata es el valor financiero de todos los capitales que forman dicha renta: Seleccione una: a. un período después del vencimiento del último capital b. un período antes del vencimiento del primer capital c. un período después del vencimiento del primer capital d. en el momento en que vence el primer capital e. en el momento en que vence el último capital f. un período antes del vencimiento del último capital El valor final de una renta pospagable inmediata es el valor financiero de todos los capitales que forman dicha renta: Seleccione una: a. un período después del vencimiento del primer capital b. un período después del vencimiento del último capital c. en el momento en que vence el primer capital d. un período antes del vencimiento del primer capital INSTITUTO EUROPEO DE POSGRADO 2012 © Este contenido es propiedad del Instituto Europeo de Posgrado. Su difusión, reproducción o uso total o parcial para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

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e. en el momento en que vence el último capital f. un período antes del vencimiento del último capital El valor final de una renta prepagable inmediata es el valor financiero de todos los capitales que forman dicha renta: Seleccione una: a. en el momento en que vence el primer capital b. un período antes del vencimiento del primer capital c. un período después del vencimiento del primer capital d. un período antes del vencimiento del último capital e. en el momento en que vence el último capital f. un período después del vencimiento del último capital


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CLASE 2: PROBLEMAS PROPUESTOS RENTAS CONSTANTES PRIMER PROBLEMA Una compañía está estudiando su presupuesto anual. Los ingresos esperados serán:   

Venta de productos que le supondrán unos ingresos de 100.000€ al trimestre. Alquileres de inmuebles que supondrán 75.000 € mensuales Patentes y marcas, que pueden ser vendidas al final del año, a fin de cumplir el presupuesto anual.

Los gastos de la compañía son:   

Salarios: 75.000€ cada dos meses Gastos Generales: 425.000€ cada cuatro meses Amortizaciones: 37.500€ mensuales

 Gastos financieros: 100.000€ cada semestre Si todas las operaciones monetarias de la empresa se cargan o abonan usando una cuenta especial del banco retribuida al 3% TAE, ¿Cuál será el importe a obtener de la venta de patentes y marcas, a fin de cubrir los gastos anuales y además obtener un beneficio de 250.000€ este año?


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SOLUCION Problema muy sencillo de rentas en el cual hay que ir una por una, hallando el valor final tanto de los ingresos como de los gastos.

Ingresos: 

Venta de productos: i ( 4)  (1  0,03)

1

4

 1  0,7417071778%

1  (1  0,007417071778) 4  1  0,03  404.472,958552€ 0,007417071778 Alquileres de inmuebles: I 1  100.000 



i (12)  (1  0,03)

1 12

 1  0,2466269772%

1 (1 0, 002466269772)12 I 2  75.000 (1 0, 002466269772) 1  0, 03  914.558, 9556€ 0, 002466269772

Si sumamos ambos valores actuales tendremos 61.414,62 € a los cuales habrá que sumar una cantidad “X” que luego despejaremos y que será la solución de nuestro problema, es decir, el importe del lote de cuadros. Costes:  Salarios: i ( 6 )  (1  0,03)

1

6

 1  0,4938622031%


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1  (1  0,004938622031) 6  1  0,03  455.592,670544€ 0,004938622031 Gastos Generales: C1  75.000 



i (3)  (1  0,03)

C 2  425.000 



1

1  (1  0,00990163405) 3  1  0,03  1.287.666,25€ 0,00990163405

Amortizaciones: i (12)  (1  0,03)

C 3  37.500 



 1  0,990163404996%

3

1 12

 1  0,2466269772%

1  (1  0,002466269772) 12  1  0,03  456.154,477759€ 0,002466269772

Gastos financieros:

i ( 2 )  (1  0,03)

C 4  100.000 

1

2

 1  1,488915650922%

1  (1  0,01488915650922) 2  1  0,03  201.488,91551€ 0,01488915650922

GAST V ING final −V final =250.000 €

404.472,958552+914.558,9556+ X −455.592,670544−1.287 .666,25−456.154,477759−201.488,915651 = ⏟ ⏟ ING .

GASTOS

VF

VF

X =1.130.381,48 €


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SEGUNDO PROBLEMA Queremos comprar un coche y vamos a tres concesionarios que nos ofrecen las siguientes condiciones: -

Pago al contado de 19.000€ y el pago del seguro durante 3 años, cuyo importe es de 600 euros cada año. Entrada de 5000 euros, seis meses sin pagar nada y después 48 cuotas mensuales de 350 euros cada una Sin entrada, ocho meses sin pagar nada y después 54 cuotas mensuales de 400 euros.

Si los tipos de interés a los plazos indicados están al 5% TAE, ¿Cuál de las tres ofertas deberé aceptar? SOLUCION: OFERTA A VA=18.400−

600 600 − =17.284,35 € 1+ 0,05 (1+0,05)2

1

i 12=(1+0,05) 12 −1=0,4074124 OFERTA B 1−(1+0,004074124)−48 VA=5.000+350 ∙(1+0,004074124) ∙ =19.804,27 € 0,004074124 −5

OFERTA C VA=400 ∙(1+ 0,004074124)−7 ∙

1−(1+0,004074124)−54 =18.810,75 € 0,004074124

Elegiremos la oferta A ya que es la que menor VALOR ACTUAL TIENE Y SERA LA QUE MAS NOS INTERESA TERCER PROBLEMA INSTITUTO EUROPEO DE POSGRADO 2012 © Este contenido es propiedad del Instituto Europeo de Posgrado. Su difusión, reproducción o uso total o parcial para cualquier otro propósito queda prohibida. Todos los derechos reservados.

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Tengo contratado dos planes de ahorro con el objeto de obtener rentas complementarias cuando se produzca la jubilación. El primero se contrató cuando tenía 35 años y suponía la aportación mensual de 500€ a un tipo garantizado del 3,5% efectivo anual. El segundo se contrató cuando tenía 45 años y suponía la aportación trimestral de 750€ a un tipo garantizado del 3,25% efectivo anual. El primer plan dejo de recibir aportaciones cuando tenía 55 años y el segundo dejo de recibir aportaciones cuando tenía 62 años. Hoy, he cumplido 65 años y considero que tengo una esperanza de vida de 85 años, por lo que desearía rescatar el importe de ambos planes para, después de pagar el 18% de impuesto sobre plusvalías obtenidas (teniendo en cuenta que el 40% de dichas plusvalías están exentas de tributación), proceder a utilizar el dinero efectivo para completar mi pensión estatal. Una compañía de seguros me garantiza una rentabilidad efectiva anual del 3% sobre los saldos pendientes de amortización del capital acumulado anterior. ,¿Cuánto dinero recibiré mensualmente desde los 65 a los 85 años, fecha en la que se habrá amortizado completamente el capital ahorrado? SOLUCION

1 12

i 12= (1+ 0,035 ) −1=0,002870899 65 F

V =500 ∙❑140 ¬i

12

[

]

1−( 1+0,002870899 )−140 ∙ ( 1+0,035 ) =500 ∙ ∙(1+0,002870899)❑ ∙ (1+ 0,035 )30=86.882,58 0,002870899 30

1

i 4=( 1+0,035 ) 4 −1=0,00802781293

[

−68

1−( 1+ 0,00802781293 ) V =750 ∙❑68 ¬ i ∙ ( 1+0,0325 ) =750 ∙ 0,00802781293 65 F

20

4

]

∙(1+0,00802781293)∙ ( 1+ 0,0325 )20=39.49


10 Enrique García Villar

El total de las aportaciones asciende a los 65 años a 318.743,46€, pero las aportaciones del individuo ascienden a 171.000€, por tanto tendrá una plusvalía de 147.743,46€. De dicha plusvalía le retienen el 18% pero como están exentas es un 40%, la retención corresponderá a: 0,6 ∙ 0,18∙ 147.743,46=15.956,29 €

La cantidad recibida a los 65 años una vez quitada la retención de la plusvalía asciende a 302.787,17€. La cantidad mensual de la que dispondrá a lo largo de los siguientes 20 años será: 302.787,169=Q∙❑240 ¬i ⇒ 12

Q=

302.787,169

[

1−( 1+0,002466269772 )−240 0,002466269772

]

=1.673,12 € al mes

CUARTO PROBLEMA Queremos comprar un coche y pedimos oferta a tres concesionarios. El primero nos ofrece 48 cuotas mensuales de 500€ cada una; el segundo al contado por 22.000€; y el tercero nos da 6 meses sin pagar nada y después pagarlo en 60 cuotas mensuales de 350€ cada una. Si los tipos de interés



están al 5% nominal anual (BASE 360) ¿Cuál de las tres ofertas debemos aceptar? Una vez tomada la decisión, nos llama un amigo y nos indica que el dueño del concesionario que ha tenido la segunda mejor oferta (y que habíamos descartado) es familiar suyo y que querría mejorarla, ¿cuál sería la cuota mensual que le exigiríamos para poder comprarle a él el coche, sin perjudicarnos nosotros? SOLUCION Lo primero que debemos hacer es cambiar la base a 365: j (12) =5 ⇒ i(12)=

0,05 365 ∙ =0,00422453703703 12 360

Calcularemos el valor actual de cada alternativa y elegiré el menor valor actual ya que son pagos que debo realizar 1  (1  0,00422453703703) 48  21.681,85€ 0,00422453703703  22.000€

V0I  500 

V0II

V0III  350 

1  (1  0,00422453703703) 60  (1  0,00422453703703) 6  18.053,06€ 0,00422453703703

Eligo la tercera alternativa y planteo la equivalencia para calcular la cuota 18.053,06  Q 

1  (1  0,00422453703703) 48  Q  416,32€ 0,00422453703703

QUINTO PROBLEMA



Compramos un museo de cera por 2.000.000€ y lo queremos mantener como inversión durante 5 años, para venderlo después por la misma cantidad. Si hemos financiado la compra con un préstamo a un 5% TAE anual y tenemos intención de cobrar el ticket de entrada a 10€, ¿Cuántos visitantes tendremos que tener todos los meses para conseguir un beneficio de 200.000€ cuando vendamos el museo? SOLUCION La inversión se realiza por 60 mensualidades y como la renta es de periodificación mensual lo primero que debemos hacer es obtener el tipo de interés mensual correspondiente al 5% anual. 1

1

i (12)=( 1+TAE ) 12 −1=( 1+0,05 ) 12 −1=0,4074123784 La ecuación de equilibrio será: B=I −C=200.000 ⇒ I =C+ 200.000

El coste de la compra del museo será, teniendo en cuenta la financiación de: C=2∙ 106 ∙(1+0,05)5=2.552 .563,125

Por tanto habrá que generar unos ingresos como mínimo de: I =2.552.563,125−2.200 .000=352.563,125 Los ingresos se generan mediante la venta de localidades a 10€ la entrada, que por el número de visitantes (N), tendrá un valor final UNITARIO de:



V f  1

a

60 0 , 4074123784%       

 (1  0,004074123784)60

i1 2

1  (1  0,004074123784)  60  V f  1  (1  0,004074123784)60  67,81373792€ 0,004074123784 Planteamos la siguiente ecuación para obtener lo que nos pide el problema es decir, el número de visitantes (N): I =67,81373792∙ 10 ∙ N =352.563,125⇒ N =519,899 ≈ 520 visitantes



Primer Reto y Solución

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