PODUDARNOST TROUGLOVA △ ABC i △ A1 B1C1 su podudarni ako postoji izometrija koja △ ABC prevodi u △ A1 B1C1 . Obično se podudarnost označava sa ≅ .
Po definiciji, dva trougla
Znači, ako su dva trougla podudarna onda je: △ ABC ≅△ A1 B1C1 → a = a1 , b = b1 , c = c1 , α = α1 , β = β1 , γ = γ 1 Postoje 4 teoreme ( stava ) o podudarnosti trouglova: Stav SSS Dva trougla su podudarna ako i samo ako su stranice jednog trougla jednake odgovarajućim stranicama drugog trougla. C
C1
△ ABC ≅△ A1 B1C1 ⇔ a = a1 ∧ b = b1 ∧ c = c1 a
b
b1
c
A
a1
B
c1
A1
B1
Stav SUS Dva trougla su podudarna ako i samo ako su dve stranice jednog trougla i ugao zahvaćen njima jednaki odgovarajućim stranicama i uglu drugog trougla. C
C
C1
γ
a
b
a1
b1
C
C1
γ1
a
b
C1
a1
b1
a
b
α1
α A
c
a1
b1
β c1
B A1
A
B1
△ ABC ≅△ A1 B1C1 ⇔ b = b1 ∧ c = c1 ∧ α = α1
c
c1
B A1
B1 A
△ ABC ≅△ A1 B1C1 ⇔ b = b1 ∧ a = a1 ∧ γ = γ 1
c
β1 c1
B A1
B1
△ ABC ≅△ A1 B1C1 ⇔ a = a1 ∧ c = c1 ∧ β = β1
Stav USU Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju jednaku po jednu stranicu i oba odgovarajuća ugla nalegla na tu stranicu. C
α
a1
b1
α1
β c
β1
γ1
a
b
A
B1
△ ABC ≅△ A1 B1C1 ⇔ c = c1 ∧ β = β1 ∧ α = α1
C1
γ a1
b1
c
γ1
a
b
α1
α
c1
B A1
C
C1
γ
a
b
A
C
C1
a1
b1
β c1
B A1
B1 A
△ ABC ≅△ A1 B1C1 ⇔ b = b1 ∧ γ = γ 1 ∧ α = α1
c
β1 c1
B A1
B1
△ ABC ≅△ A1 B1C1 ⇔ a = a1 ∧ β = β1 ∧ γ = γ 1
Stav SSU Dva trougla su podudarna ako i samo ako su dve stranice i ugao naspram jedne od njih u jednom trouglu jednaki sa dve odgovarajuće stranice i uglom u drugom trouglu, a uglovi naspram druge stranice u oba trougla su iste vrste ( oba oštra ili oba prava ili oba tupa) Ovaj stav najčešće primenjujemo kod pravouglog ili tupouglog trougla.... B
B
B1
β1
β c
a
b
c
a
α1
α C
β1
β c1
a1
B1
A
C1
b1
A1
△ ABC ≅△ A1 B1C1 ⇔ c = c1 ∧ b = b1 ∧ γ = γ 1 = 900
c1
a1
α1
α C
b
A
C1
b1
A1
△ ABC ≅△ A1 B1C1 ⇔ c = c1 ∧ a = a1 ∧ γ = γ 1 = 900
1
Primer 1. Dokazati da su trouglovi △ ABC i △ A1 B1C1 podudarni kada su im jednaki sledeći odgovarajući elementi: a) a = a1 , b = b1 , hb = hb1 b) a = a1 , c = c1 , tc = tc1 c) c = c1 , tc = tc1 , hc = hc1 d) γ = γ 1 , b = b1 , sγ = sγ 1 Rešenje: a) a = a1 , b = b1 , hb = hb1 Nacramo najpre sliku i na njoj drugom bojom ( kod nas crvenom) obeležimo date jednake elemente! C
C1
a
b D
hb c
A
a1
b1 D1
B
h b1 c1
A1
B1
Uvek prvo dokazujemo za delove koji se “ više šarene” ! Dakle prvo dokazujemo da je △ DBC ≅△ D1B1C1
Moramo da nadjemo tri elementa koja su jednaka I da kažemo koji je stav u pitanju!
hb = hb1 → △ DBC ≅△ D1B1C1 SSU ∡D = ∡D1 = 900 a = a1
E sad , odavde moramo izvesti neki zaključak koji će nam pomoći da dokažemo da je △ DBA ≅△ D1 B1 A1 C
C1
a
b D
A
b1 D1
hb c
B
A1
a1 h b1 c1
B1
Ovde je taj zaključak da je AD = A1 D1 jer je AC = A1C1 dato u zadatku a mi smo dokazali da je DC = D1C1
2
Sad možemo dokazati da je △ DBA ≅△ D1 B1 A1
hb = hb1 → △ DBA ≅△ D1 B1 A1 SUS ∡D = ∡D1 = 900 AD = A1 D1
Iz svega sledi da je △ ABC ≅△ A1 B1C1 b) a = a1 , c = c1 , tc = tc1 Dakle, nacrtamo sliku i ofarbamo zadate jednake elemente: C
C1
a
b
b1
tc D c/2
A
a1
t c1 D1
c/2
B
A1
c1 /2
c1 /2
B1
Sad krećemo od desnih trouglova:
a = a1 tc = tc1 → △ DBC ≅△ D1 B1C1 SSS c c1 = 2 2
Da izvučemo zaključak koji nam treba za drugi deo dokaza: C
∡BDC = ∡B1 D1C1 → ∡ADC = ∡A1 D1C1
C1
( Dopuna do opruženog ugla) a
b
A
c/2
D
c/2
a1
b1
B
A1
c1 /2
D1 c1 /2
B1
∡ADC = ∡A1 D1C1 tc = tc1 → △ DAC ≅△ D1 A1C1 SUS c c1 = 2 2
Iz svega sledi da je △ ABC ≅△ A1 B1C1 3
c) c = c1 , tc = tc1 , hc = hc1 C
C1
a
b
hc
M A c/2
h c1 t c1 M1
D c
a1
b1
tc
c/2
B
A1
D1
c1 /2
c1 /2
B1
Pazite, ovde dokaz moramo izvesti za sva tri trougla. Krećemo od srednjeg….
hc = hc1 → △ DMC ≅△ D1M 1C1 SSU ∡M = ∡M 1 = 900
tc = tc1
Ovde moramo izvući dva zaključka: C
C1
∡MDC = ∡M 1 D1C1 → ∡BDC = ∡B1 D1C1 ( ovo nam treba za desni trougao) b
a hc
b1
tc
M A c/2
a1 hc1 t c
MD = M 1 D1 → MA = M 1 A1 ( ovo nam treba za levi trougao)
1
D
c/2
B
M1 A 1 c1 /2
D1 c1 /2
B1
hc = hc1 → △ AMC ≅△ A1M 1C1 SUS ∡M = ∡M 1 = 900
( za levi trougao )
→ △ DBC ≅△ D1 B1C1 SUS ∡BDC = ∡B1 D1C1
( za desni trougao)
MA = M 1 A1
c c1 = 2 2 tc = tc1
Iz svega sledi da je △ ABC ≅△ A1 B1C1
4
d) γ = γ 1 , b = b1 , sγ = sγ 1 Da se podsetimo sγ je dužina simetrale ugla γ C
C1
γ/2 γ/2
γ 1/2
a
b
a1 sγ 1
D c
=
γ 1/2
b1
sγ
A
γ
( deli ugao na dva jednaka dela )
B
D1 c1
A1
B1
γ1
2 2 sγ = sγ1 → △ DAC ≅△ D1 A1C1 SUS b = b1 C
C1
γ/2 γ/2
γ 1/2
a
b
D
a1
b1
sγ
A
γ 1/2
sγ 1
B
A1
D1
B1
Zaključak koji nam treba: ∡ADC = ∡A1 D1C1 → ∡BDC = ∡B1 D1C1
Sad dokaz za desni trougao:
γ
γ1
2 2 sγ = sγ1 → △ DBC ≅△ D1 B1C1 USU ∡BDC = ∡B1 D1C1 =
Iz svega sledi da je △ ABC ≅△ A1 B1C1
5
Primer 2. Dokazati da su dva jednakokraka trougla podudarna ako su im jednaki elementi a = a1 , hb = hb1
Rešenje: A
A1
b1
b
b
b1 D1
D hb
hb1
a
B
C
a1
B1
C1
hb = hb1 → △ DBC ≅△ D1 B1C1 SSU ∡D = ∡D1 = 900 a = a1
A
A1
b1
b
b
b1 D1
D hb
B
a
hb1
C
B1
a1
C1
Izvučemo zaključak iz prvog dela dokaza da je: ∡DBC = ∡D1 B1C1 → ∡ABD = ∡A1 B1 D1 jer je početni trougao jednakokrak.
∡ABD = ∡A1 B1 D1 hb = hb1 → △ DBA ≅△ D1 B1 A1 USU ∡D = ∡D1 = 900 Iz svega sledi da je △ ABC ≅△ A1 B1C1
6
Primer 3. Na visini AD koja odgovara osnovici BC jednakokrakog trougla ABC uočena je tačka M. Dokazati da je MB = MC . Rešenje: Jednostavno uočimo dva trougla koji sadrže date duži i dokažemo da su oni podudarni a onda sledi da te duži moraju da budu jednake. A
ha b
a/2
B
b
M
D
a/2
C
Uzećemo da je tačka M unutar trougla, a dokaz bi bio isti i da je na visini van trougla. → △ DBM ≅△ D1 B1M 1 odavde sledi da je MB = MC SUS 0 ∡D = ∡D1 = 90 Primer 4. a a = 2 2 MD = MD
Dat je trougao ABC. Na njegovim stranicama spolja konstruisani su jednakostranični trouglovi ABM, BCN i ACP. Dokazati da su duži AN, BP i CM jednake. Rešenje: Da nacratmo najpre sliku i postavimo problem: N
a C
b
a
P b
a
b
B
c
A
c
c
M
7
Uočimo trouglove koji sadrže duži CM i AN . N
a C
b
a
P a
>
b b
o
60
>
x c
A
o
60
c
B
c
M
Dokazujemo da su trouglovi BCM i ABN podudarni ( crveni i plavi na slici )
MB = AB = c △ BCM ≅△ ABN pa je odavde CM = AN → sus 0 ∡MBC = ∡ABN = 60 + x BC = BN = a
Uočimo trouglove koji sadrže AN i PB . To su trouglovi ACN i BPC N
a C
b 60
o
a
60
o
P
x
b
a
b
B
c
A
c
c
M
△ BCP ≅△ ACN pa je odavde AN = PB CP = AC = b → sus 0 ∡BCP = ∡NCA = 60 + x
BC = CN = a
Iz svega sledi da su duži AN, BP i CM jednake !
8