Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri A. Persamaan Trigonometri 1. Periodisi Periodisitas tas Trigonomet Trigonometri ri Teorema : Fungsi f (x) = sin x dan g (x) = cos x adalah fungsi periodic yang berperiode dasar 2π atau 3600. Sedangkan fungsi h(x) = tan x dan l (x) = cot x adalah fungsi periodic yang berperiode dasar π atau 1800. Dengan demikian, k . 2π) = sin x • sin (x (x + k . cos (x (x + k . k . 2π) = cos x • tan (x (x + k . k . π) = tan x • cosec (x (x + k . k . 2π) = cosec x • sec (x (x + k . k . 2π) = sec x • cot (x (x + k . k . π) = cot x • dengan k ∈ himpunan bilangan bulat. 2.

Persamaan Trigonometri yang Berbentuk sin px = a, cos px = a, dan tan px = a, dengan a dan p konstanta Teorema : 1. sin px = a ⇔

sin px = sin α

⇔

x= p

α  

+

k 

α   k  2π   atau x = (π   − ) + 2π   p p p α  

Himpunan penyelesaian umum : { p 2.

+

p

2π  } ∪{(π   −

α  

k 

p

p

)+

2π  }

cos px = a ⇔

cos px = cos α

⇔

x=

±

α  

p

+

k  p

2π   α  

Himpunan penyelesaian umum : { p 3.

k 

+

k  p

2π  } ∪{−

α  

+

p

k  p

2π  }

tan px = a ⇔

tan px = tan α

⇔

x= p

α  

+

k 

π  

p α  

Himpunan penyelesaian umum : { p

+

k  p

}

π  

Dengan k ∈ himpunan bilangan bulat. 3. Persamaan Trigonometri Trigonometri yang memuat memuat Jumlah dan Selisih Sinus atau Cosinus

a. sin α + sin β = 2 sin ½ (α + β) cos ½ (α − β) b. sin α − sin β = 2 cos ½ (α + β) sin ½ (α − β) c. cos α + cos β = 2 cos ½ (α + β) cos ½ (α − β) d. cos α − cos β = −2 sin ½ (α + β) sin ½ (α − β) 2. a. 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α − β) b. 2 cos α sin β = sin (α + β) − sin (α − β) c. 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α − β) d. 2 cos α sin β = cos (α − β) − cos (α + β) Bukti : Untuk mempelajari rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut dan selisih dua sudut, kita ulang kembali tentang hubungan antara koordinat cartesius titik P(x, y) dengan koordinat kutub titik P(r.cosα, r.sinα) sebagai berikut : Y P(x,y)= P(r.cosα , r.sinα) 1.

Ket : cos α =

r

sin α =

y

x r 

y r 



x = r . cos α



y = r . sin α

α O

X

x 

Perhatikan Gambar berikut,

Untuk membuktikan rumus sin (a + b), kita perlu mengingat kembali : a. Rumus-rumus sudut berelasi, di antaranya : i.

sin (

ii.

cos (

π   

2

− a) = cos a

π   

2

− a) = sin a

b.

Rumus cosinus selisih dua sudut, yaitu cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b Dengan menggunakan rumus-rumus tersebut, maka akan diperoleh : sin (a + b) = cos [

π   

2

sin (a + b) = cos [( sin (a + b) = cos (

− (a + b)]

π   

2

π   

2

− a) + b]

− a) cos b + sin (

π   

2

− a) sin b

4. Persamaan Trigonometri yang dapat diubah menjadi Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Cosinus, atau Tangens B. Pertidaksamaan Trigonometri