Persamaan Differensial Ordiner
Persamaan Differensial Ordiner (PDO)
persamaan differensial yang memiliki satu variabel bebas contoh :
dy
dx 2
x 2 y 2x
d3y dx 3
d2y dx 2
0
3y
x2
Penyelesaian PDO secara numeris :
PDO dg initial value problem (IVP)
Metode euller dan runge kutta (single step)
Metode predictor-corrector (multi step)
PDO dg boundary value problem (BVP)
Shooting method
Finite difference method
Penyelesaian PDO dg Matlab
Penyelesaian PDO dg matlab memakai fungsi ode Ada bermacam-macam fungsi ode seperti ode23, ode45, ode113, dll Sintaksis : [x,y]=ode45(odefun, xspan, yo) dimana : odefun = fungsi PDO orde satu yang akan diselesaikan xspan = [xo xn] yo
→ dari titik awal sampai akhir
= nilai y pada x=xo (titik awal)
Contoh 1
Persamaan differensial ordiner sbb : dy
dx x 0
4y x 2
y 1
Tentukan nilai y(1)
Buat grafik hubungan y vs x pada range 0 < x <1
Contoh 2
Persamaan differensial ordiner simultan sbb : dy dx dz
3z 2y
z 2y
dx x0
y
4 dan z
6
Tentukan nilai y(0,5) dan z(0,5)
Buat grafik hubungan y vs x dan z vs x
Tugas
Reaksi polimerisasi urea formaldehid dinyatakan dengan persamaan berikut, k 1
C A B k 2
D C B
E
Persamaan-persamaan kecepatan reaksi : dC A dt
k 1C A
dC B dt
C C
.C B
k 1C A
2 C A 0
.C B
C A
k 2 C B .C C
(C
B 0
C B )
Pada t = 0 menit → C A = C B = 1 gmol/L dan C C = 0 gmol/L k1 = 0,285 L/(gmol.mnt) dan k 2 = 0,111 L/(gmol.mnt) Tentukan C A dan CB setelah 5 menit reaksi Buat grafik hubungan C A dan CB vs t
Penyelesaian PDO orde banyak
Untuk menyelesaikan PDO orde banyak (>1) maka PDO tersebut harus diuraikan menjadi beberapa PDO orde satu
Jumlah PDO orde satu yang terbentuk tergantung pada orde dari PDO asal
Contoh : d2y
dy
dx 2 dx pada x 0
y0
y 0 dan y' 1
Tentukan y(2) dan buat gravik hubungan y vs x
Penyelesaian PDO dengan Boundary Value Problem (BVP)
Di dalam matlab digunakan fungsi bvp4c
Sintaksis : sol = bvp4c(odefun, bcfun, solinit) solinit = bvpinit(x, yinit) bcfun = fungsi boundary condition (residual) solinit =perkiraan awal penyelesaian yinit=perkiraan nilai yinit
Contoh : d2y 2
3
dy
dx dx pada x 0 x
1
2y 0
y0
y 10
buat grafik hubungan y vs x
Odefun
Fungsi yg mengevaluasi BVP dlm bentuk PDO order satu
BCfun
Fungsi untuk menyatakan BC dlm bentuk residal
Dinyatakan dengan bentuk : function res = bcfun(ya,yb) dimana ya dan yb mrpkn nila y pada x=a dan x=b
Ada beberapa cara menyatakan sistem residual pada BC
Jika BC berbentuk y(a) = Ya dan y(b) = Yb res=[ya(1)-Ya; yb(1)-Yb]
Jika BC berbentuk dy/dx(a) = Da dan dy/dx(b) = Db res=[ya(2)-Da; yb(2)-Db]
Jika BC berbenatuk y(a) = Ya dan dy/dx(b) = Db res=[ya(1)-Ya; yb(2)-Db]
Solinit
Berisi tebakan awal untuk penyelesaian BVP
Dapat dinyatakan dlm bentuk : solinit =bvpinit(x,yinit) x berbentuk vektor, untuk BVP dengan range x=a dan x=b x=linspace(a,b,n) yinit merupakan nilai tebakan awal untuk penyelesaian BVP
Sol
Struktur yang berisi penyelesaian sol.x = titik-titik range dari BVP sol.y = penyelesain untuk titik-titik range BVP sol.y(1,:) = penyelesaian untuk y sol.y(2,:) = penyelesaian untuk derivatif y
Contoh :
d2y
3
dy
dx 2 dx pada x 0 x
1
2y
0
y0
y 10
buat grafik hubungan y vs x
Tugas
Batang logam (k = 0,025 ) dg panjang 10 cm , diameter 2 cm dilekatkan pada dinding yang masing-masing bersuhu 400 oC dan 200 oC. Suhu udara (Tu) 30 oC ( h = 0,002 ). Distribusi suhu sepanjang batang logam arah aksial dinyatakan dengan persamaan d 2T
4h
T Tu 0 dx 2 kD x 0 T 400 x
10 T
200
Selesaikan persamaan di atas menggunakan fungsi matlab bvp4c
Buat grafik hubungan x vs T
