Notas Sobre Declinación de Producción en Pozos de petróleo y Gas
Ing. Luis E. Brito Rodriguez
Contenido ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ................................... .................. .. 3 Conceptos Conceptos Básicos Básicos................
1.- Curvas de Declinación. Ecuaciones Ecuaciones de Arps. .......... ................... ................... .................. ................. ................... .................. ............ .... 3 2.- Asunciones de las Curvas de Declinación de Arps.......... .................... ................... ................. ................. ................... ............. ... 5 ............................... ................................... ...................................... ................................... ................................... ................... 6 3.- Declinación Declinación exponenci exponencial al ...............
4.- Declinación Declinación hiperbóli hiperbólica ca .............. .............................. ................................... ...................................... ................................... ................................... ...................... ... 8 5.- Declinación Declinación armónica armónica.............. .............................. ................................... ...................................... ................................... ................................... ....................... .... 10 6.- Identificación del Modelo. Gráficos de Diagnóstico. ......... ................... .................... ................. ................. ................... ......... 10 ................... .................... ................. ................. .................... ............... ..... 12 7.- Ejemplo de Modelo de Declinación Exponencial Exponencial.........
8.- Ejemplo Ejemplo de Modelo de Declinación Declinación Armónico Armónico.......... ................... ................... .................. ................. ................... .................. .......... .. 14 9.- Ejemplo de Modelo de Declinación Hiperbólica Hiperbólica.......... ................... ................... .................. ................. ................... ................. ....... 16 .................. ................... .................. ................. ................... .............. .... 18 10.- Limitaciones del Uso de Curvas de Declinación .........
11.- BIBLIOGRAF BIBLIOGRAFIA IA .............. .............................. ................................... ....................................... ................................... ................................... ................................... ............... 20
Listado de Figuras Figura 1. Comparación de curvas de declinación para valores de b entre 0 y 1. .......... .................. ........ 5 Figura 2. Gráficos de diagnostico para determinar modelo de declinación. .......... ................... ............... ...... 13 Figura 3. Gráficos cartesianos de q(t) q (t) vs t y q(t) vs Np. ......... .................. ................... .................. ................. ................... .............. .... 14 Figura 4. Gráficos de diagnóstico. El modelo de declinación es armónico, debido a que el grafico semi-log de q(t) vs Np origina una línea recta. ......... ................... .................... ................. ................. .................... ............... ..... 15 Figura 5. Grafico log-log, q(t) q (t) vs (1+Dit) ......... ................... ................... ................. .................. ................... .................. ................... .................... ............ 15 ................... ................... ................. .......... .. 17 Figura 6. Gráficos de diagnóstico Cartesiano y Semilog q(t) vs Np. ......... Figura 7. Grafica de diagnóstico para modelo de declinación hiperbólica. Log-Log q(t) vs ............................. ................................... ....................................... ................................... ................................... ................................... ................................... ..................... 18 (1+bDit). ..............
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Conceptos Básicos 1.- Curvas de Declinación. Ecuaciones de Arps.
El comportamiento normal de un pozo, que fluye a presión de fondo constante, ubicado en un área de drenaje cerrada, sin aporte de flujo en el límite externo es el de declinar su producción a medida que transcurre el tiempo. Arps publicó un trabajo en el año 1944, donde analizando las disminuciones o pérdidas de producción en pozos, logró definir una ecuación empírica, de tipo hiperbólico para ajustar el comportamiento de producción. El concepto utilizado por Arps fue el de relación de pérdida de producción (LossRatio), que es definida como la tasa de producción a un tiempo t n, dividida entre la diferencia de tasa de producción entre el tiempo t n y el tn-1. (Ver Tabla 1), tomada del informe de Jon Benedict, 1981 y a vez, tomado de J. J. Arps “Analysis of Decline Curves”, Petroleum Technology, 1944. La relación de pérdida de producción está definida como:
= Cuando el valor de la relación de pérdida de producción es una constante, entonces la declinación es exponencial.
=1∗
MONTH
YEAR
MONTHLY PRODUCTION RATE q
JULY JANUARY JULY JANUARY JULY JANUARY JULY JANUARY
1940 1941 1941 1942 1942 1943 1943 1944
460 431 403 377 352 330 309 288
LOSS IN PRODUCTION RATE 6 MTHS INTERVAL q
LOSS RATIO ON MONTH BASIS
-29 -28 -26 -25 -22 -21 -21
-89.2 -86.4 -87.0 -84.5 -90.0 -88.3 -82.3
=6*q/ q
Tabla 1. Relación de pérdida de producción. Ejemplo tomado del informe de Jon Benedict, a partir de publicación de Arps.
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En notación moderna el valor de 1/α se denomina el factor de declinación exponencial y se denota como Di . En el futuro nos referiremos a Di en lugar de 1/α, para evitar confusiones al revisar literatura mas reciente sobre el tema; sin embargo, la mención se hace como referencia histórica al tratamiento de la declinación y el uso de la relación de pérdida de producción. Resolviendo la ecuación diferencial y haciendo la sustitución por Di , nos queda la
= ∙
∙
En algunos casos el valor de la relación de pérdida de producción no es una constante, pero lo que sí es constante es la primera derivada de la pérdida de producción con respecto al tiempo, lo cual constituye la fórmula general de las curvas de declinación.
⎝
⎠=−
Donde β es lo que en la literatura moderna se conoce como b. A partir de esta ecuación y resolviendo la ecuación diferencial se obtiene la ecuación general de declinación, la cual es de tipo hiperbólico, con dos puntos límites: para b=0, la ecuación se transforma en la conocida declinación exponencial; y para b=1, la ecuación representa una declinación de tipo armónico; para cualquier otro valor entre 0 y 1 es la curva de declinación hiperbólica.
=( + ∙ ∙ )
En la Figura 1 se observa una comparación de varias curvas de declinación donde se varía el valor de b desde 0 hasta 1. Con un gasto inicial de 300 B/D y valor de Di igual. En esta grafica se observa que la declinación exponencial es el extremo más pesimista, y a medida que aumenta el valor de b, el comportamiento es más optimista.
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300
250 exp
200 d / B , e t i e c A 150 e d o t s a G
arm
hip 0.3
100
hip 0.5
50
hip 0.7
0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Tiempo de Producción, dias Figura 1. Comparación de curvas de declinación para valores de b entre 0 y 1.
Por ejemplo, si el límite económico es 50 B/D (lo cual es relativamente alto) con un pronóstico de declinación exponencial el tiempo de producción requerido para alcanzar este límite sería de aproximadamente 300 días y se recuperarían 41 mil barriles y con un pronóstico de declinación armónica el pozo podría producir hasta 800 días y se recuperarían 80 mil barriles al límite económico.
2.- Asunciones de las Curvas de Declinación de Arps
La ecuación de Arps ha sido utilizada para analizar el comportamiento de pozos productores de aceite, especialmente la variante cuando b=0, es decir la ecuación de declinación exponencial, por lo fácil que es de utilizar. Sin embargo existen unas asunciones básicas que deben ser observadas para que su aplicación sea correcta. 1. El pozo se encuentra fluyendo a condiciones de presión de fondo constante en el límite interior. Esto significa que si se efectúan cambios en las condiciones de producción del pozo, las características de declinación del pozo cambiaran.
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2. El pozo se encuentra fluyendo en un área de drenaje fija, con límite externo sin flujo. Esto implica que si el pozo se encuentra produciendo en equilibrio con otros pozos vecinos, cualquier ruptura del equilibrio al efectuar cambios relativos en las tasas de producción cambiaran las características de declinación. Si existe flujo en el límite externo del área de drenaje motivado al avance de un acuífero, la inyección de agua o gas, cambiará el patrón de declinación. 3. El pozo se encuentra en un área de drenaje homogénea e invariable, es decir con permeabilidad y daño constante. Es decir, si se cambia la condición de permeabilidad o de daño motivado a compactación, taponamiento de los poros o estimulación, entonces las características de declinación cambiarán. 4. Esta ecuación sólo es válida para cuando se ha alcanzado flujo pseudo estabilizado, es decir, cuando el disturbio de presión ocasionado por la producción del pozo ha alcanzado todas las fronteras externas, y la derivada de la presión con respecto al tiempo es constante a lo largo de toda el área de drenaje. Esta condición es muy importante, sobre todo en yacimientos que presentan baja permeabilidad y tienen áreas de drenajes relativamente grandes, porque el tiempo que tarda el pozo para alcanzar flujo pseudo estabilizado puede ser muy largo, y cualquier intento de realizar una predicción a largo tiempo será incorrecta si se aplica a datos de producción que no están en flujo pseudo estabilizado. Todo el periodo que ocurre desde el inicio de producción hasta alcanzar condiciones de flujo pseudo estático o estabilizado es lo que se denomina flujo transitorio o transiente.
3.- Declinación exponencial
La declinación exponencial ocurre cuando la relación de pérdida de producción es constante, y el valor de b es igual a 0.
Las ecuaciones que aplican para declinación exponencial son:
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Nota: Di tiene unidades de tiempo-1. : dias-1, mes-1, año-1. Dependiendo de las unidades de tiempo utilizadas en la relación 3, las unidades de gastos pueden ser utilizadas en B/d, independientemente de la escala de tiempo.
Unidades de tiempo dias meses Años
Unidades de
Di
dias-1 mesaño-
En la relación 4, sin embargo la Di dependerá de las unidades de los gastos de aceite. Notas sobre Declinación de Producción de Pozos
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Unidades de q
Unidades de -
Bls/dia Bls/mes Bls/año
Di
dias mes-1 año-1
En la relación 5, el Factor t dependera de las unidades de Di:
Unidades de
Factor t para % Dec anual
Di
diasmesaño-
365 12 1
4.- Declinación hiperbólica
En la declinación hiperbólica la relación de pérdida de producción no es constante (el factor Di no es constante), lo que es constante es la primera derivada de la relación de pérdida de producción con respecto al tiempo, es decir β, o b en la literatura moderna.
=
⎝
,y
=
⎠=−
Las ecuaciones que aplican para declinación hiperbólica son:
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Este tipo de declinación es más difícil de analizar que la del tipo exponencial y que la del tipo armónico como se verá más adelante. Esto porque en ningún tipo de grafico gasto vs tiempo o gasto vs producción acumulada se obtiene una representación lineal. Una forma de solventar esta situación es expresar la relación 1 en forma logarítmica.
log ( ) = log( ) − 1 log(1 + ∙ )
Una gráfica Log-Log del gasto q(t) en función de (1+bDi*t) realizada para varios valores de b generará una línea recta con pendiente igual al inverso de b, cuando el valor de b seleccionado sea el correcto. Un procedimiento sugerido por Arps en su publicación, consiste en calcular la primera derivada de la relación de pérdidas de producción, el cual es igual al valor de b, sin embargo los datos de producción raramente tienen buena calidad como para obtener buenas derivadas. Otras formas sugeridas utilizan métodos numéricos de regresión para conseguir valores de b y Di. Utilizando el Solver es posible hacer iteraciones en los valores de b y Di que minimicen el valor de la función objetivo, que en este caso es obtener el valor mínimo de la suma de las diferencias cuadradas.
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5.- Declinación armónica
La declinación armónica ocurre cuando el valor de b es igual a 1. Las ecuaciones que aplican para declinación armónica son:
6.- Identificación del Modelo. Gráficos de Diagnóstico.
Una de las ventajas que tiene el método de análisis de comportamiento utilizando curvas de declinación es que al graficar los datos de producción utilizando las escalas apropiadas en los ejes de coordenadas se obtienen líneas rectas, las cuales pueden ser extrapoladas a fin de realizar predicciones. Básicamente, existen dos grupos de gráficos: q(t) vs t y q(t) vs Np. Estos dos grupos pueden ser
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graficados en escala cartesiana, semi log y log-log, generándose 6 gráficos, como se muestra en la tabla 2.
Gráfico de Diagnóstico qo vs t
qo vs Np
cartesiano Semilog Log-Log cartesiano Semilog Log-Log
Modelo de Declinación Exponencial Hiperbólico Armónico Linea Recta Linea Recta Linea Recta
Tabla 2. Gráficos de Diagnóstico para definir modelo de declinación.
Del análisis de la tabla anterior se observa, que de los 6 gráficos, 3 son de diagnóstico: El semilog de qo vs t ( log (qo) vs t ): Cuando los datos se ajustan a una recta, el modelo de declinación es exponencial. El cartesiano de qo vs Np: Cuando los datos se ajustan a una recta, el modelo de declinación es exponencial. El semilog qo vs Np ( log (qo) vs Np ): Cuando los datos se ajustan a una recta, el modelo de declinación es armónico. Para el modelo de declinación hiperbólico ninguno de estos gráficos genera una línea recta. Así que la identificación del modelo hiperbólico resulta por descarte, cuando no se obtiene ningún ajuste lineal en los 3 gráficos de diagnóstico mencionados. Existen gráficos especializados para el modelo hiperbólico, donde el log (q(t)) en el eje vertical se grafica en función del logaritmo del log (1+bDit) , y se obtiene una línea recta cuando se selecciona el valor apropiado de b y Di . Una variación de este grafico resulta para reconocer el modelo declinación armónica y es cuando se obtiene una línea recta al graficar log(q(t)) vs log(1+Dit) . Otro grafico de diagnóstico que puede ser utilizado, y que es sugerido en la publicación de Arps es el inverso de la relación de pérdida de producción, α, es decir Di en función de q o Di en función de t .
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ó
é
ó= = = −1 = −
Para el caso de declinación exponencial se obtiene una línea recta paralela al eje horizontal, cuando la declinación es armónica se obtiene una línea con pendiente igual a 1, y los modelos hiperbólicos estarían ubicados entre estas dos líneas.
7.- Ejemplo de Modelo de Declinación Exponencial
Se tiene un pozo productor de aceite, y su histórico de producción se resume en la tabla que se muestra a continuación. Efectuar gráficos de diagnóstico para definir tipo de declinación. Di qi
0.006 1/dias 300 b/d
Tiempo dias
Gasto q(t) b/d
Q(t) Bls
30
251
8236
60
209
15116
90
175
20863
120
146
25662
150
122
29672
180
102
33020
210
85
35817
240
71
38154
270
59
40105
300
50
41735
330
41
43097
365
34
44404
390
29
45184
420
24
45977
450
20
46640
480
17
47193
510
14
47656
540
12
48042
570
10
48364
600
8
48634
630
7
48859
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Grafico Cartesiano q(t) vs t
Grafico Cartesiano q(t) vs Np
300
300
250
250
d / 200 b , ) t ( q 150 , o t s a 100 G
d / 200 b , ) t ( q 150 , o t s a 100 G
Modelo Exponencial
50
50
0
0 0
100
200
300
400
500
600
0.0
700
10.0
40.0
50.0
60.0
50.0
60.0
Grafico Semi-Log Log(q(t)) vs Np
Grafico Semi-Log Log(q(t)) vs t 1000
1000
100
100 d / b , ) t ( q , o t s a G
10
Modelo Exponencial
1
0
10
1
0.1 0
10 0
20 0
30 0
40 0
50 0
60 0
70 0
80 0
90 0 10 00
0.0
10.0
Tiempo, dias
20.0
30.0
40.0
Prod Acumulada, Np, Mbls
Grafico Log-Log Log(q(t)) vs Log(t)
Grafico Log-Log Log(q(t)) vs Log(Np)
1000
1000
100 d / b , ) t ( q , o t s a G
30.0
Prod Acumulada, Np, Mbls
Tiempo, dias
d / b , ) t ( q , o t s a G
20.0
100 d / b , ) t ( q , o t s a G
10
1
0
10
1
0.1 10
100
1000
1.0
Tiempo, dias
10.0
100.0
Prod Acumulada, Np, Mbls
Figura 2. Gráficos de diagnóstico para determinar modelo de declinación.
En los gráficos de diagnóstico mostrados en la Figura 2 se nota para los gráficos Semi-log: log(q(t)) vs t y Cartesiano q(t) vs Np una relación lineal; lo que indica que el comportamiento de producción se ajusta a una declinación exponencial.
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8.- Ejemplo de Modelo de Declinación Armónico
Los siguientes datos representan un pozo que declina según el modelo armónico. Di qi
0.006 1/dias 300 b/d
Tiempo dias 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 365 390 420 450 480 510 540 570 600 630
Gasto q(t) b/d 254 221 195 174 158 144 133 123 115 107 101 94 90 85 81 77 74 71 68 65 63
Q(t) Bls 8276 15374 21589 27116 32093 36618 40768 44600 48159 51481 54596 58001 60299 62923 65417 67792 70059 72228 74307 76303 78222
Grafico Cartesiano q(t) vs t
Grafico Cartesiano q(t) vs Np
300
300
250
250
d / 200 b , ) t ( q 150 , o t s a 100 G
d / b 200 , ) t ( q 150 , o t s a 100 G
50
50
0
0 0
100
200
300
400
500
600
700
Tiempo, dias
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
Prod Acumulada, Np, Mbls
Figura 3. Gráficos cartesianos de q(t) vs t y q(t) vs Np.
El grafico cartesiano q(t) vs Np no es una línea, por lo que el modelo de declinación no es exponencial como se muestra en la Figura 3.
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Grafico Semi-Log Log(q(t)) vs t
Grafico Semi-Log Log(q(t)) vs Np
1000
d / b , ) t ( q , o t s
1000
100
a G
100
d / b , ) t ( q , o t s
10
a G
1
Modelo Armónico
10
1
0
0 0
1 00
2 00
3 00
4 00
5 00
6 00
7 00
8 00
9 00 10 00
0.0
Tiempo, dias
40.0
60.0
80.0
100.0
Prod Acumulada, Np, Mbls
Grafico Log-Log Log(q(t)) vs Log(t)
Grafico Log-Log Log(q(t)) vs Log(Np)
1000
d / b , ) t ( q , o t s a G
20.0
1000
d / b , ) t ( q , o t s a G
100
10
1
100
10
1
0 1
10
100
1000
1.0
Tiempo, dias
10.0
100.0
Prod Acumulada, Np, Mbls
Figura 4. Gráficos de diagnóstico. El modelo de declinación es armónico, debido a que el grafico semi-log de q(t) vs Np origina una línea recta.
El grafico semi-log: Log(q(t)) vs Np es una línea recta, por lo que el modelo es armónico, Figura 4. El otro grafico de diagnóstico para el modelo de declinación armónico es log(q(t)) vs log(1+Dit), que se muestra en la Figura 5. Grafico Log-Log Log(q(t)) vs Log(1+Dit) 1000
d 100 / b , ) t ( q , o t s a G 10
Modelo Armónico
1 1.000
(1+Dit)
10.000
Figura 5. Grafico log-log, q(t) vs (1+Dit)
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9.- Ejemplo de Modelo de Declinación Hiperbólica
Los datos que se muestran a continuación representan un modelo de declinación hiperbólica. Di qi b Tiempo dias 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 365 390 420 450 480 510 540 570 600 630
(1+bDit) 1.090 1.180 1.270 1.360 1.450 1.540 1.630 1.720 1.810 1.900 1.990 2.095 2.170 2.260 2.350 2.440 2.530 2.620 2.710 2.800 2.890
0.006 1/días 300 b/d 0.5 Gasto q(t) Q(t) b/d Bls 253 8257 215 15254 186 21260 162 26471 143 31034 126 35065 113 38650 101 41860 92 44751 83 47368 76 49749 68 52267 64 53917 59 55752 54 57447 50 59016 47 60474 44 61832 41 63100 38 64286 36 65398
Como se puede observar en la Figura 6, ni el grafico cartesiano, ni el semi-log de q(t) vs Np es una línea recta, por lo que por descarte el modelo de declinación es hiperbólica. Una gráfica de log(q(t)) vs log(1+bdit) dará una línea recta, cuando se selecciona el valor adecuado de b, que en este caso es 0.5, tal y como se muestra en la Figura 7.
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Grafico Cartesiano q(t) vs Np 300 d250 / b , 200 ) t ( q150 , o t 100 s a G 50
0 0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
Prod Acumulada, Np, Mbls
Grafico Semi-Log Log(q(t)) vs Np 1000
d / b , ) t ( q , o t s a G
100
10
1
0 0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
Prod Acumulada, Np, Mbls
Figura 6. Gráficos de diagnóstico Cartesiano y Semilog q(t) vs Np.
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Grafico Log-Log Log(q(t)) vs Log(1+Dit) 1000
d / 100 b , ) t ( q , o t s a 10 G
1 1.000
b=0.5
Modelo Hiperbólico
(1+bDit)
10.000
Figura 7. Grafica de diagnóstico para modelo de declinación hiperbólica. Log-Log q(t) vs (1+bDit).
10.- Limitaciones del Uso de Curvas de Declinación
Una de las principales limitaciones, no solo para la aplicación de esta metodología, sino para cualquier tipo de análisis es la calidad y cantidad de la información. Considerando que la información disponible es de calidad, las limitaciones del método son las derivadas de las asunciones. La principal es que el pozo debe fluir a condiciones de presión de fondo constante, lo cual en la práctica es bastante difícil, considerando los cambios que se efectúan frecuentemente a las condiciones de producción de los pozos. Otra limitación es que el pozo debe fluir en un área de drenaje cerrada, sin flujo en el límite externo, y debe haber alcanzado condiciones de flujo semicontinuo. La condición de flujo semicontinuo está caracterizada matemáticamente por una condición de frontera exterior cerrada, sin flujo en el límite externo, y adicionalmente la derivada de la presión con respecto al tiempo es constante para cualquier punto dentro del área de drenaje. En términos físicos en el flujo
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semicontinuo el disturbio de presión ocasionado por la producción del pozo ha alcanzado todas las fronteras del área de drenaje. Las ecuaciones de declinación solo pueden ser aplicadas correctamente luego de que el pozo ha alcanzado condiciones de flujo pseudo continuo. El tiempo que tarda un pozo en alcanzar condiciones de flujo pseudo continuo para pozos no fracturados hidráulicamente viene dado por:
= 379∅
La duración del flujo transitorio puede ser larga, en el orden de meses a años si: •
Permeabilidad es baja.
•
El producto de porosidad por compresibilidad total es alto.
Por esta razón el comportamiento de declinación observado es más complejo, obteniéndose curvas que muestran más de un periodo de declinación. Como ejemplo para ilustrar esa situación, utilicemos los siguientes datos, que están en el orden de magnitud de los valores encontrados en las propiedades en los campos ubicados en varias partes del mundo. Propiedad Ø, fracc µo, cps Ct, psi-1 A, acres K, milidarcies
Valor 0.10 1.8 30X10-6 31 0.5
Con estos datos se puede conseguir que el tiempo para alcanzar flujo pseudo continuo es de 5527 horas, es decir 230 días. En una condición como esta no es correcto utilizar los datos de producción antes de los 230 días para efectuar pronósticos de largo plazo.
Notas sobre Declinación de Producción de Pozos
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