A.3 Normas de vectores y matrices Definición A.16
Sea
Producto interno un espacio vectorial sobre
. Una operación
se denomina producto interno o producto interior si satisface las siguientes condiciones P.1 La igualdad se cumple sólo si P.2 P.3 P.4 Ejemplo A.20 El producto escalar usual es un producto producto interno. Se define como
en donde , son las coordenadas de espacio es , Definición A.17 Norma de un vector Sea
,
respectivamente, y la dimension del
un espacio vectorial sobre
. Una operación
es una función de Norma si satisface las siguientes condiciones N.1 N.2 si y sólo si N.3 N.4
Ejemplo A.21 Sea un espacio vectorial sobre producto interno de ese espacio. Si la cantidad cantidad
, y sea
un
es una función de norma se dice que es una norma inducida por el producto interno El signo mismo.
resalta que se trata de la raiz positiva del producto interno de
.
consigo
Ejemplo A.22 Sea un espacio vectorial de dimensión , y sean las coordenadas del vector . En esas condiciones, las siguientes funciones son funciones de normas:
1. 2. 3. 4. Definición A.18
Sea
Distancia entre vectores un espacio vectorial sobre
, y sea
una norma
definida en ese espacio vectorial. Se define la distancia entre los vectores la operación
y
como
tal que
Toda función de distancia satisface las siguientes propiedades: d.1 d.2 si y sólo si d.3 d.4 Definición A.19 Vector normal Un vector es normal si su norma es Definición A.20 Bola unitaria
Sea un espacio vectorial sobre , y sea una función de distancia definida en ese espacio vectorial. Se define la bola unitaria como el conjunto de todos los vectores cuya distancia al origen sea . También puede definirse de forma equivalente como el conjunto de todos los vectores cuya norma sea , o lo que es igual, el conjunto de todos los vectores normales. Ejemplo A.23 La figura E.3 muestra las bolas unitarias para tres funciones de distancia diferentes, originadas las siguientes normas
,
y
definidas en
el Ejemplo E.22 , para el espacio vectorial . Como se trata de un espacio de dimensión se emplea el término circunferencia unitaria en lugar de bola unitaria
Definición A.21
Sea
Ángulo entre vectores un espacio vectorial sobre
definido en ese espacio, y vectores
y
Definición A.22
mediante
la norma inducida por
un producto interno . Se define el ángulo entre los
asi:
Vectores ortogonales
Un conjunto de vectores
Definición A.23
, sea
es ortogonal si
Vectores ortonormales
Un conjunto de vectores vectores son normales, es decir, si
es ortonormal si es ortogonal y todos sus
en donde se conoce como la función delta de Kronecker Teorema A.9 Los elementos de un conjunto ortogonal de vectores son linealmente independientes. Demostración A.9 Supóngase un conjunto ortogonal una combinación lineal nula de ellos:
Si seleccionamos un vector cualquiera de la ecuación tenemos
y construyamos
y efectuamos el producto interno a cada lado
Como se trata de un sistema ortogonal el único lo tanto
es
y por
Y por tanto Este conclusión se puede obtener para todos los coeficientes , por lo tanto la unica combinación lineal nula de los vectores es la que tiene coeficientes nulos, es decir, los vectores son linealmente independientes. Definición A.24 Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt Sea
un espacio vectorial sobre
definido en ese espacio, y linealmente independientes ortonormales Schmidt:
, sea
la norma inducida por
un producto interno .Dado un conjunto de vectores
es posible encontrar un conjunto de vectores siguiendo el proceso de ortonormalización de Gram-
Definición A.25 Norma de una matriz cuadrada Sea una matriz que representa una transformación lineal norma de la matriz inducida por una norma vectorial como
. Se define la
Es decir, la norma de una matriz es la norma más grande que se obtiene al aplicar la transformación lineal sobre los elementos de la bola unitaria. Ejemplo A.24 Sea la matriz
Para calcular norma
aplicamos la transformación
a la circunferencia unitaria de la
, tal como se muestra en la figura E.4.
La mayor distancia al origen que resulta es, según la norma a los puntos
y
Ejemplo A.25 Sea
Para calcular norma
, la correspondiente
, por lo tanto
la matriz
aplicamos la transformación
a la circunferencia unitaria de la
, tal como se muestra en la figura E.5.
La mayor distancia al origen que resulta es, según la norma , la marcada en la figura E.5 como . Es un ejercicio interesante demostrar que esta distancia corrresponde a los puntos
También puede demostrarse que
y
por lo tanto A.1
Ejemplo A.26 Sea
Para calcular norma
la matriz
aplicamos la transformación
a la circunferencia unitaria de la
, tal como se muestra en la figura E.6 .
La mayor distancia al origen que resulta es, según la norma a cualquiera de los puntos cuya segunda coordenada es por lo tanto
o
, la correspondiente , por ejemplo
,
