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Matemática Financeira para o curso de Adminis Professora: Karin Storani Ementa : O conceito de juros
AULAS DE
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Juro simples, composto, real e nominal Fluxo de caixa Valor datado Sign up to vote on thisetitle Descontos simples composto Série uniforme de pagamentos Not useful UsefulRendas e Taxas Operação de descontos Sistemas de empréstimos Amortização, Depreciação
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M=(P1+P2+ML)/3
onde, P1 é prova 1 P2 é prova 2 ML=média das listas
Aula 2
Ainda, serão realizados alguns exercícios em sala de aula, referentes a
CONCEITO GERAIS
tópicos da matéria já explicados. Esses exercícios, serão entregues a professora e considerados na média final de acordo com o critério estabelecido pela professora, o qual será estabelecido em sala de aula. Se perdeu algum exercício não terá acréscimo ou decréscimo na média M (Exceção para os alunos que apresentarem atestado médico. Neste caso, o exercício será realizado em outra data marcada pelo professor).
PROVA SUBSTITUTIVA: O aluno que perder uma das avaliações, ou precisar substituir uma d as notas, poderá fazer uma prova substitutiva. Essa
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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É O ESTUDO DO VALOR DO DINHEIRO usefulDO TEMPO AO LONGO Not
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TAXA UNITÁRIA: centra-se na unidade de capital em certo período de tempo.
Considere o exemplo acima:
SIMPLES (ou linear) Admita um empréstim pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros simples a raz
ANO Início 1º ano
Saldo no início Juros apurados Saldo dev de cada ano para cada ano ao final de ano
Final do 2º ano Final do 3º ano
Sign to vote on this title Final doup 4 º ano
FinalUseful do 5 ano Not useful º
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Final do 5º ano
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J= juros C=capital I=taxa de juros N=período de aplicação
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Abaixo temos um quadro comparativo capitalização simples e composto: Capitalização Capitalização Simples Composta Juros Saldo Juros Saldo anuais devedor anuais devedor ($) ($) ($) ($) Início 1º ano Final do 2º ano
Ex1. Um capital de R$10000,00 é aplicado mês durante um trimestre. Pede-se determinar acumulados neste período.
do regimes de
Diferença:
Composta-Simples
Juros anuais ($)
Saldo devedor ($)
Resolução em sala
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Ex2. Um negociante tomou um empréstimo p juros simples de 5% ao mês d urante 8 meses.
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3) Uma pessoa aplicou em uma ins R$16000,00 resgatando R$ 21000,00 qu Calcular a taxa mensal de juros simp aplicação.
AULA 4 1.9 MONTANTE E CAPITAL O montante é constituído do capital mais o valor acumulado.
M=C+J Onde deduz-se,
Sign up to thisnecessitar title de R$ 100000,00 4) vote Se umaon pessoa
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quanto deverá ela depositar hoje num fund useful Not remunera à taxa linear de 12% ao ano?
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Essas taxas se dizem proporcionais se houver a seguinte igualdade, Assim deduz-se, i1 i2
n1 n2
Exemplo 1: Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.
Exercícios:
1) Calcular a taxa anual proporcional a: a) 7% ao mês b 2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional à a) ao trimestre. 3) Demonstre se 72% ao ano é proporcional a 24%ao t 4) Calcular o montante de um capital de R$60000,00 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e cinco meses. 5) Um dívida de RS30000,00 a vencer dentro de u meses antes. Para a sua quitação antecipada, o Sign up to vote on this titleApurar o valor da desconto de 15% ao ano. antecipadamente.
Exemplo 2: Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal.
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a) Calcular o juro comercial correspondente a essa aplicação.
Exercício 2: Um capital de $5000,00 rendeu $625,00 de juro. Sabendose que a taxa de juros contratada foi de 30% a.a. e que a aplicação foi feita dia 18 de março de 19X6, pergunta-se qual foi a data de vencimento, se: a) considerou-se juro comercial; b) considerou-se juro exato.
Exercício 1: Determinar se $438080,00 vencíveis equivalente a se receber hoje $296000,00, admitindo simples de 6% ao mês.
Exercício 2: Admita que A deve a B os seguintes pag $50000,00 hoje a 4 meses. $80000,00 de hoje a 8 meses. Sign Suponha up to vote on this title um novo esquema que A esteja avaliando substituição ao original. A proposta de A é a de paga Useful Not useful $30000,00 de hoje a 6 meses, e o restante ao final do ano. Sabe-se que B exige uma taxa de 2,0%ao mês. consegue obter normalmente em suas aplicações de capit saldo a ser pago.
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Exercício 5) Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 2 anos.
Exercício 6) Um título com valor nominal de $7200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor deste título: a) hoje; b) dois meses antes do vencimento; c) um mês após o seu vencimento.
$350000,00 vencíveis no fim de 3 meses; $ 650000,00 vencíveis no fim de 5 meses; Para o resgate dessas dívidas o devedor pretende u financeiras aplicando-as em uma conta de poupança que re juros simples. Pede-se determinar o valor do capital nesta poupança de forma que possam ser sacados os valor respectivas datas de vencimento sem deixar saldo no final n
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1ª Lista de Exercícios de Matemática Financeira Curso: Matemática Computacional Professora: Karin Storani
9) Uma pessoa aplicou $12000,00 no mercado financeiro a montante de 32000,00. Que taxa equivalente semestral receb
10) João emprestou de Carlos $20000,00 para pagá-lo após 2 a de 30% aa. Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses a dívida João quisesse resgatá-la e se nesta época o dinheiro v
1)Calcular o juro simples referente a um capital de R$10000, aplicado conforme hipóteses a seguir. Taxa de juros Prazo a) 15%aa 1 ano b) 17%aa 4 anos c) 21% aa 5 meses d) 30,8%aa 5 anos e meio 2) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 5000,00, se as hipóteses de taxa de aplicação e respectivos prazos forem: Taxa de juros Prazo a)18%aa 6 meses b)31,8%aa 2 anos e 7 meses c)42%aa 4 anos e 3 meses
11) Em quanto tempo quintuplica um capital aplicado à taxa sim
12) Uma aplicação de $15000,00 é efetuada pelo prazo de 3 simples de 26% aa. Que outra quantia deve ser aplicada po financeiro de 18% ao ano para se obter o mesmo rendimento
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13) Uma dívida é composta de 3 pagamentos no valor de $$7000,00 vencíveis em useful 60, 90 e 120 dias, respectivament Useful Not taxa de juros simples de mercado é de 4,5% ao mês. Determ se o devedor liquidar os pagamentos.
14)Um poupador com certo volume de capital deseja diversi
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AULA 7
JUROS COMPOSTOS JURO E MONTANTE No regime de j uros compostos, os juros são capitalizados, e como não só o capital rende juros mas estes são devidos também sobre os juros formados anteriormente, temos o nome de juros compostos. DIFERENÇAS ENTRE OS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO EXEMPLO: Seja um capital de $1000,00 aplicado à taxa de 20% a.a. por um período de 4 anos a juros simples e compostos. n
Juros Simples
Juros Compostos
Juro
Juro
período Montante
período
Montante
Pode-se generalizar o raciocínio anterior para se o final de n períodos à taxa i de juros:
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CÁLCULO DO JURO Calculemos os juros , período a período, do exemplo de juros compostos dado no quadro 1:
Para n períodos podemos inferir que:
Exemplo 3: Determinar a taxa mensal compost aplicação de $40000,00 que produz um montante de $4389 quadrimestre.
Sign Exemplo up to vote onothis title 4: Qual resgate de
uma aplicação de título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,
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O montante de um capital (C) aplicado na data zero, à taxa de juros compostos (i), após n períodos, conforme já vimos, será dado por:
meses a data de seu pagamento. Sabe-se que o credor está a dívida à taxa composta de 2,5% ao mês.
O valor atual, corresponde ao valor da aplicação em uma data inferior à do vencimento. Assim, VP= Ou M=
Exemplo 4: Admita um empréstimo que env pagamentos: $15000,00 de hoje a 2 meses; $40000,00 $50000,00 de hoje a 6 meses e $70000,00 de hoje a 8 mese
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Aplicando o mesmo capital C por q períodos, a taxa iq, tem-se:
Para que as taxas sejam equivalentes, devemos ter:
Exemplo 3: Explicar a melhor opção: aplicar um cap taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 2
Portanto:
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Elevando-se os dois membros a 1/q:
Useful Not useful : Demonstrar se a taxa de juros de 11,83 Exemplo 4 equivalente à taxa de 20,4999% para cinco meses. C equivalente mensal composta dessas taxas.
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Quando os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere a taxa, ou seja são incorporados ao capital inicial mais de uma vez no período, a taxa é dita nominal. Exemplos: 18% a.a capitalizados mensalmente 5% a.m. capitalizados diariamente A taxa nominal é muito utilizada no mercado, entretanto seu valor não é usado nos cálculos por não representar a taxa efetiva. A taxa nominal ocorre por juros proporcionais simples. Exemplo: Imaginemos uma quantia de $10000,00 aplicada por um período de 1 ano, rendendo juros de 10% a.a e sendo o período de capitalização igual a 1 ano. Após o prazo de 1 ano, teremos: 10000+10% de 10000=10000+1000=11000 Como a taxa de juros é anual e o período de capitalização também é anual dizemos que a taxa nominal coincide com a taxa efetiva. Poderia acontecer que a quantia de $10000,00, aplicada por um período
EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXA EFET NOMINAL
A taxa efetiva ao ano, será equivalente à resultarem no mesmo montante a partir do mesmo capital Esta equivalência pode ser calculada assim:
i a 1
j
k
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Onde :
Useful
kxm
1 ou i f
=taxa efetiva ao ano; Not useful nominal; j=taxa k=No. de capitalizações no periodo da taxa m=No. de unidades de tempo da taxa nomin
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2. A caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efet financeira. Considerando-se o ano comercial (360 dias), a seguinte identidade nos permite relacionar algumas taxas efetivas: (1 ia ) (1 i s ) 2 (1 it ) 4 (1 i d ) 360 Exemplos: 1) Determinar as seguintes equivalências entre taxas efetivas: a) taxa bimestral equivalente à taxa semestral de 35% b) taxa semestral equivalente à taxa mensal de 5% c) taxa diária equivalente à taxa trimestral de 90% d) taxa anual equivalente à taxa diária de 0,5% e) taxa bimestral equivalente à taxa de 35% em 45 dias.
3. Sendo de 24% a.a. a taxa nominal de juros cobrada p Sign up to voteefetivo on this calcular o custo anual,title admitindo-se que o perí dos juros seja:
Useful a)mensal; b)trimestral; c)semestral.
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Sendo n n 1 n 2 , tem se :
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FV PV (1 i ) n ou n n n n FV PV (1 i ) 1 (1 i ) 2 PV (1 i ) 1 2 PV (1 i ) n
O prazo do expoente ( do prazo n) pode ser fracionado de forma que a soma dos superíodos seja igual ao período inteiro. EXEMPLOS: 1) Calcular o montante de um capital de $30000,00 aplicado a 14% ao ano, pelo prazo de um ano, tendo os seguintes períodos de capitalização: a)12 meses b) 6 meses c) 4 meses
Sign 3)upUm totítulo votevence on this daquititle a 4 meses apresentado u
resgate) de $407164,90. É proposta a troca por a 8 meses. rentabilidade exigida pelo aplicador, pede-se a vantajosa.
Useful usefuldaqui Notvencível de $480000,00
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Taxa a) 10%a.a b)8%a.t. c) 1 % a.semana
Prazo 10 anosR:2390,61 18 mesesR:880,31 2 mesesR:124,29
3)Se eu quiser comprar um carro no valor de $60000,00, quanto devo aplicar hoje para que daqui a 2 anos possua tal valor? Considerar as seguintes taxas de aplicação: a)2,5% a.m.R:33172,52 b)10% a.s.R:40980,81 c)20%a.a.R:41666,67 4)Quanto deve ser aplicado hoje para que se aufiram $10000,00 de juros ao fim de 5 anos, se a taxa de juros for de : a) 4%a.t.R:8395,44 b) 20%a.q.R:694,11 c) 30%a.a.R:3686,05
10) Calcular a taxa equivalente anual dadas as período: a)1% a.m. R:12,68%a.a b)2%a.t. R:8,24%a.a c)5%a.q. R:15,76%a.a d)10%a.s R:21%a.a
11)Calcular as taxas equivalentes a 20% a.a., c abaixo: a)taxa semestral R:9,54%a.m Sign b)taxa up toquadrimestral vote on this title R:6,27%a.s c) taxa trimestral R:4,66%a.t Not useful Useful R:1,53%a.m d) taxa mensal
12)Um corretor de títulos propõe a seu cliente u rentabilidade é de 40% a.a. Se o investidor souber
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Como na prática é raro a formação de juros em intervalos de tempos inferiores a um período inteiro, passa-se a adotar duas convenções: linear e exponencial . CONVENÇÃO LINEAR A CONVENÇÃO LINEAR ADMITE A FORMAÇÃO DE JUROS COMPOSTOS PARA A PARTE INTEIRA DO PRAZO E DE JUROS SIMPLES PARA A PARTE FRACIONÁRIA. A EXPRESSÃO DE CÁLCULO DO MONTANTE NA CONVENÇÃO LINEAR É A SEGUINTE:
EXEMPLO 3: Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo à taxa de 18% ao ano. Determinar o valor da aplicação montante produzido ao final do período atinge $248 problema utilizando as convenções linear e exponencial.
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Onde, m/k=parte fracionária
FV PV (1 i) n 1 i
m
k
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Exemplo: Considerando de 4,5% a valorização determinado mês, apurar a taxa de juro instantânea.
EXEMPLO2: Para um empréstimo de $11500,00, um banco exige o pagamento de duas prestações mensais e consecutivas de $6000,00 cada. Determinar o custo de operação.
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EXERCÍCIOS:
Useful useful 1)Calcular a taxaNot mensal de juros de uma aplicaçã
produz um montante de $7385,81 ao final de 7 meses.
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Valor Descontado: é a diferença entre o valor nominal e o Desconto = Valor Nominal - Valor Descontado 5) Calcular a taxa efetiva anual ( ou capitalizar para um ano) às seguintes taxas: a) 2,5%a.m. b) 4%a.b. c) 6%a.t. d) 10%a.s
Assim, temos: Onde, D r
VNxixn
1 ixn
VN=valor nominal
Sign to vote i=taxa up simples de juroson this title
n=prazo de antecipação Useful Not useful
O valor descontado, conforme definição apresentada, é o expressão:
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VN=valor nominal d=taxa de desconto periódica "por fora" contratada na oper n=prazo de antecipação definido para o desconto. h=taxa de despesas administrativas O valor descontado "por fora", aplicando-se a definição, é V F VN (1 dxn)
3) Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate iguala $26000,00 e valor atual na data do desconto de $24436,10.
ou VN [1 (in h)]
Onde, VN=valor nominal na oper d=taxa de desconto periódica "por fora" contratada Sign up vote on this title n=prazo de to antecipação definido para o desconto. h=taxa de despesas administrativas
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Engenharia Econômica
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Desconto Simples e
Desconto Composto
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a) Qual o preço da aquisição? b) Qual a taxa efetiva de juros no período proporcionada pela a
4) Um título foi descontado no Banco X, que cobra 2% como despesa administrativas. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 40% a.a., qual o desconto bancário? Quanto recebeu o proprietário?
4)Um fundo de investimento adquiriu por $48800,00 um títu valor de face de $50000,00. Sabendo-se que o prazo de vencim dias, calcule: a) taxa efetiva de juros no período; b) taxa efetiva mensal de juros no simples
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