INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI
Nombre de la asignatura: Algebra Lineal Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales Clave: ACF-0903 Hrs. teoría - Hrs. práctica - Créditos: 3 - 2 - 5 EN EL ESTADO DE CAMPECHE
TEMARIO
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RAMIRO JOSE GONZALEZ HORTA
A r q u i t e c t o
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Matrices y Determinantes. 2.1 Definición de matriz, notación y orden. 2.2 Operaciones con matrices. 2.3 Clasificación de las matrices. 2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz. 2.5 Cálculo de la inversa de una matriz. 2.6 Definición de determinante de una matriz. 2.7 Propiedades de los determinantes. 2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta. 2.9 Aplicación de matrices y determinantes.
Arq. Ramiro González Horta. Febrero 2011
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Matrices y Determinantes. 2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz. La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación. Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer n´umero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha. Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades: 1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz. 2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima. Por ejemplo, entre las matrices:
A no es escalonada, mientras que B y C si lo son. Dada una matriz escalonada E se define el numero de filas no nulas de E .
RANGO
de E , que representamos por rg ( E ), como el
En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg ( B) = rg(C ) = 2, sin embargo no podemos decir que rg( A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg ( I n) = n. La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación. Dada una matriz A cualquiera, las
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por
filas de A son tres:
I. Intercambiar la posición de dos filas. II. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero. III. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera. Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después. Nota:
El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada. Teorema
A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E. Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1 1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2 2), y así sucesivamente. ,
,
El teorema anterior nos permite hacer una definición importante: Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg ( A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3. EJEMPLO
Rango de una matriz
Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.
U n a l í n e a e s l i n e a l m e nt e d e p e n d i e n t e d e o tr a u o tr as c ua nd o s e puede establecer una combinación lineal entre ellas.
Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.
El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).
T am bi én
p o de mo s
d ec ir
q ue
el
r an go
e s: e l o rd en
de la
m a yo r
submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.
Se puede calcular el rango de una matriz por dos métodos:
Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss Podemos descartar una línea si:
Todos sus coeficientes son ceros.
Hay dos líneas iguales.
Una línea es proporcional a otra.
Una línea es combinación lineal de otras.
F3 = 2F1 F4 es nula F5 = 2F2 + F1 r(A) = 2.
E n g e n e r a l c o n s is t e e n h a c er n u l as e l m á x im o n ú m e r o d e l í n ea s posible, y el rango será el número de filas no nulas.
F2 = F2 - 3F1 F3 = F3 - 2F1
Por tanto r(A) = 3.
Rango de una matriz
E s e l n ú m e ro d e f i l as o c o l u m na s l i n e al m e n t e i n d e p e n di e n t es , utilizando esta definición se puede calcular usando el método de G auss. También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor s ub ma tr iz
c ua dr ad a
no
n ul a.
U ti li za nd o
e st a
d ef in ic ió n
se
p ue de
calcular el rango usando determinantes.
Cálculo del rango de una matriz por determinantes
1. P o d e m o s d e s c a r t a r u n a l í n e a s i : •
Todos sus coeficientes son ceros.
•
Hay dos líneas iguales.
•
Una línea es proporcional a otra.
•
Una línea es combinación lineal de otras.
Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2
2. C om pr ob am os s i t ie n e r an go 1 , p ar a e ll o s e t ie ne q ue cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo. |2|=2≠0
3. T e nd r á r a n g o 2 s i e x is t e a l g u na s u bm a tr i z c u a d ra d a d e orden 2, tal que su determinante no sea nulo.
4. T e nd r á r a n g o 3 s i e x is t e a l g u na s u bm a tr i z c u a d ra d a d e orden 3, tal que su determinante no sea nulo.
Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2 .
5. S i t i e n e r a n g o 3 y e x i s t e a l g u n a s u b m a t r i z d e o r d e n 4 , c u y o determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.
