0
GJIMNAZI “GJON BUZUKU” MATEMATIKË - INFORMATIKË
Punim Seminarik Njehsimi Integral
Punoi : Artan Gruda
Mentor : Prof. Afrim Shemsidini
Lënda : Analizë
Punuar : Prill, 2015 Prizren
1
Përmbajtja 1. Hyrje....................................................................................................................................... 3 2. Përkufizimi formal ................................................................................................................. 4 2.1 Integrali i Riemann-it ............................................................................................... 5 2.2 Integrali i Lebesgut ................................................................................................... 5 2.3 Funksioni primitiv dhe integrali i pacaktuar ............................................................ 6 3. Veti të integralit të pacaktuar .............................................................................................. 7 4. Dy metodat e integrimit ........................................................................................................ 8 4.1 Metoda e zëvendësimit .......................................................................................... 8 4.2 Metoda e integrimit me pjesë ................................................................................ 9 5. Integrali i caktuar ............................................................................................................... 10 5.1 Veti themelore të integralit të caktuar ................................................................. 10 6. Zbatime të integraleve ....................................................................................................... 12 7. Përmbledhje detyrash ........................................................................................................ 13 7.1 Integrimi i formave tabelare ................................................................................. 13 7.2 Integrimi me metodën e zëvendësimit ................................................................. 15 7.3 Integrimi me metodën parciale ............................................................................ 18 7.4 Integralet e caktuara ............................................................................................. 21 8. Literatura ............................................................................................................................ 23
2
1. Hyrje
Tema që trajtohet në këtë punim ka të bëjë me njehsimin integral apo termin përgjithësues integral. Ato paraqiten në shumë situata praktike në jetën tonë të përditshme, p.sh një pishinë, duke marrë parasysh dimensionet e saj me shumë lehtësi mund të llogarisim vëllimin e ujit i cili duhet për ta mbushur pishinën, gjithashtu mund të llogarisim syprinën dhe gjatësinë e këndeve. Nëse është i rrumbullakët me fund formë rrethi për të llogaritur të gjitha këto të dhëna duhet përdorur integralet. Llogaritja e përafërt në jetën praktike mund të na kryen punë edhe nëse na nevojiten rezultate të sakta dhe precize. Objekt studimi i këtij punimi do të jetë studimi i integralit të pacaktuar dhe atij të caktuar si dhe zbatimet e ndryshme të tyre.
3
2. Përkufizimi formal
Integrali është term shkencor i përdorur në matematikë dhe në degë të ndryshme të teknologjisë. Zakonisht shënohet me . Integrali është koncepti thelbësor i matematikës së lartë, ose analizës matematike. Integrali i funksionit f(x) (lexo f prej x-it ose funksion i x-it) i një ndryshoreje x dhe një intervali [a,b] nga 𝑏
drejtëza reale është : ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Ky integral paraqet syprinën (ose sipërfaqen) e një pjese në planin xy i lidhur nga grafiku i fës, aksit x, dhe vija vertikale x = a dhe x = b. Fjala "integral" gjithashtu mund të nënkuptojë një kundër-derivat, një funksion F derivati i të cilit është funksioni i dhënë f. Në këtë rast njihet si integral i pacaktuar, ndërsa integralet e diskutuara në këtë artikull quhen integrale të përcaktuar. Principet e integrimit u formuluan nga Isaac Newton dhe Gottfried Wilhelm Leibniz në fundin e shekullit të shtatëmbëdhjetë përmes teoremës themelore të analizës matematike që ata e zhvilluan të pavarur nga njëri tjetri. Integrali është i lidhur me diferencialin, dhe integrali i përcaktuar i një funksioni mund të llogaritet vetëm nëse kundër-derivati është i njohur. Integralet dhe derivatet u bënë instrumente themelore për analizën matematike, me shumë zbatime në shkencë dhe inxhinieri. Një definicion më rigoroz matematikor i integralit u dha nga Bernhard Riemann, bazuar në një procedurë kufizimi që përafron zonën e një hapësire lineare duke shkëputur hapësirën në fasha vertikale të holla. Një integral vijorë është e përcaktuar për funksione me dy ose tre ndryshore, dhe intervali i integralit [a,b] është zëvendësuar nga një lakore e sigurt që lidhë dy pika në fushë ose në hapësirë. Në një integral sipërfaqësorë, lakorja është zëvendësuar nga një copë e sipërfaqes në hapësirën tri dimensionale. Integralet e formave të ndryshme luajnë rol themelorë në gjeometrinë moderne të diferencialëve. Këto përgjithësime të integraleve fillimisht u bënë për shkak të nevojave të fizikës dhe luajnë rol të rëndësishëm në formulimin e shumë ligjeve të fizikës ku të njohur janë ligjet e elektrodinamikës. Konceptet moderne të integrimit janë të bazuara në teoremën abstrakte matematikore të njohur si integrimi Lebesgue, zhvilluar nga Henri Lebesgue.
4
2.1 Integrali i Riemann-it Integrali i Riemann-it (i Bernhard Riemann) është përcaktuar nën kushtet e shumës së funksioneve sipas Riemann-it duke respektuar ndarjet e etiketuara të një intervali. Le të jetë [a,b] një interval i mbyllur i një vije , ku ndarja e etiketuar e [a,b] është sekuencë e numërueshme: 𝑎 = 𝑥0 ≤ 𝑡1 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑡2 ≤ 𝑥2 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛 −≤ 𝑡𝑛 ≤ 𝑥𝑛 = 𝑏 Kjo e ndanë intervalin [a,b] në i nën intervale[xi−1, xi], k secili është i "etiketuar" me pikë të caktuar ti ∈ [xi−1, xi]. Le të jetë Δi = xi−xi−1 gjerësia e nen-intervalit i; pastaj rrjeta e ndarjeve të tilla të etiketuara është gjerësia e nën-intervalit më të madhe të krijuar nga ndarjet, maxi=1…n Δi. Shuma e Riemann-it e funksionit f me respekt ndaj pjesëve të tilla të etiketuar definohet si: 𝑛
∑ 𝑓(𝑡𝑖 )∆𝑖 𝑖=1
kështu çdo shprehjes e shumës është hapësirë e drejtkëndëshit me lartësi të barabatë me vlerën e funksionit në pikën e caktuar të nën-intervalit të dhënë dhe gjerësia e njejtë me gjerësinë e nën-intervalit. Integrali i Riemann-it i funksionit f mbi intervalin [a,b] është i barabartë me S nëse: Për të gjitha ε > 0 ekziston δ > 0 ku për çdo pjesë të etiketuar [a,b] me më pakë rrjetë se δ, kemi: 𝑛
|𝑆 − ∑ 𝑓(𝑡𝑖 )∆𝑖 < 𝜖| 𝑖=1
Kur etiketat e mbyllura japin vlerën maksimale (respektivisht minimale) të çdo intervali, atëherë shuma e Riemann-it më e lartë (respektivisht e ulët) se shuma e Darboux-it, duke sugjeruar lidhjen e afërt mes integralit të Riemann-it dhe integralit të Darboux-it.
2.2 Integrali i Lebesgut Integrali i Riemann-it nuk është i përkufizuar për përdorim në gamë të gjërë funksionesh dhe situatash të rëndësishme. Për shembull integrali i Riemann-it mund lehtë të integrojë dendësinë, të gjejë masën e binarit të hekurit, por nuk mund të shtojë dhe vlerat e gjylës së hekurit të vendosur mbi atë binarë. Ky problem nxitë përkufizime tjera, që sjell në pahë dhe përkufizues tjerë si Harv, Rudin etj. Integrali i Lebesgut pjesërisht arrinë fleksibilitet të lartë duke kthyer vëmendjen kah peshat në shumat e peshave. Përkufizimi i integralit të Lebesgut 5
këtu fillon me masën, μ. Në rastin më të thjeshtë pesha e Lebesgut μ(A) e një intervali A = [a,b] është gjerësia e sajë, b − a, pra në këtë rast integrali i Lebesgut përputhet me integralin e Riemann-it. Në raste më të komplikuara që maten mund të fagmentohen me një numër të lartë fragmentesh pa vazhdueshmëri dhe pa ngjashmëri me intervalet. Për të shfrytëzuar këtë fleksibilitet integrali i Lebesgut kthen prapa qasjen tek shuma e matur. Një qasje e përbashkët fillimisht përkufizon integralin e funksionit të indikatorit të mjetit të matur A si vijon:
2.3 Funksioni primitiv dhe integrali i pacaktuar Në njehsimin diferencial të mësuar më parë, zgjidhet : është dhënë funksioni. Të gjendet derivati i tij. Këtu do të studiojmë detyrën e anasjelltë : të gjendet funksioni në qoftë se dihet derivati i tij. Zgjidhja e kësaj detyre ka rëndësi të madhe për studimin e mëtejmë të analizës matematike dhe të zbatimeve të saj. Fillojmë me përkufizimin e funksionit primitiv: Përkufizimi 1. Funksion primitiv i funksionit f të përkufizuar në intervalin ... quhet funksioni F i përkufizuar dhe i derivueshëm në të njëjtin interval, derivati i të cilit është funksioni f, d.m.th. i tillë që: 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉
Shembulli 1. Funksioni 𝐹(𝑥) = 𝑥 5 + 2𝑥 3 + 4𝑥 + 4 është funksion primitiv i funksionit 𝐹(𝑥) = 5𝑥 4 + 6𝑥 2 + 4 në intervalin (−∞, +∞) = 𝑅 sepse 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑥 5 + 2𝑥 3 + 4𝑥 + 4 = 5𝑥 4 + 6𝑥 2 + 4 = 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑅
Përkufizimi 2. Integral i pacaktuar i funksionit f quhet bashkësia e të gjitha funksioneve primitive të funksionit f dhe shënohet me ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = {𝐹 + 𝐶 | 𝐶 ∈ 𝑅}, ku F është një funksion primitiv i funksionit f. Me marrëveshje do të shënojmë : ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 Shenja ∫ quhet integral, f quhet funksioni nën integral, kurse f(x)dx quhet shprehja nën integral. Gjetja e funksionit primitiv të funksionit të dhënë f quhet integrimi funksionit f. Shembulli 2. ′
𝑥5 𝑥5 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = + 𝑐 𝑠𝑒𝑝𝑠𝑒 ( ) = 𝑥 4 ; 5 5 4
6
3. Veti të integralit të pacaktuar Nga përkufizimi i integralit të pacaktuar atëherë rrjedh se: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ⟺ 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) nga kjo rrjedh se (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥)′ = 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑑. 𝑚. 𝑡ℎ. 𝑑 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 si dhe gjithashtu vlen ∫ 𝐹 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 𝑑. 𝑚. 𝑡ℎ. ∫ 𝑑𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶. Nga këto dy barazime shihet se veprimet e derivimit e të integrimit, si dhe ato të diferencimit e të integrimit janë ndërsjellazi të anasjellta. Duke pasur parasysh tabelën e derivateve të disa funksioneve dhe duke ditur se veprimi i integrimit është i anasjelltë me veprimin e derivimit marrim këtë tabelë të integraleve të pacaktuara të atyre funksioneve: 1
∫ 𝑥 𝑟 𝑑𝑥 =
2
𝑥 𝑟+1 +𝐶 𝑟+1
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶 𝑥 𝑎𝑥 ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = +𝐶 𝑙𝑛𝑎
7
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
9
∫
3 4 5
6
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶
8
10
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 cos2 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 2 = −𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 sin 𝑥 𝑑𝑥 ∫ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 ∫ ={ 2 −𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝐶 √1 − 𝑥 ∫
Barazimet 1-10 vlejnë për çdo x nga intervali në të cilin janë përkufizuar funksionet nënintegral. Që secili nga barazimet e mësipërme është i vërtete, provohet duke derivuar funksionin në anën e djathtë të barazimit dhe, në atë rast, si rezultat duhet të fitohet funksioni nën integral në anën e majtë të atij barazimi. Le të Vërtetojmë, p.sh, barazimin 2. Vërejmë se vlera absolute nën integral është e përkufizuar për çdo x element i numrave real, kurse funksioni 𝑙𝑛 është i përkufizuar vetëm për 𝑥 > 0. Në qoftë se 𝑥 > 0 atëherë kemi: (𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶)′ = (𝑙𝑛𝑥 + 𝐶)′ =
1 𝑥
kurse për 𝑥 < 0, vlenë: (ln|𝑥| + 𝐶)′ = (ln(−𝑥) + 𝐶)′ =
1 1 1 (−𝑥)′ = − (−1) = −𝑥 𝑥 𝑥
Në mbështetje të integraleve tabelore dhe vetive të mësipërme të integralit të pacaktuar mund të njehsohen integralet e pacaktuar dhe të shumë funksioneve të tjera. 1
3
Shembulli 3. Të njehsohet integrali ∫ 𝒙√𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2
3
𝑥2
5
+1
3 +1 2
+𝐶 =
𝑥2 5 2
+
5
𝐶 = 5 𝑥2 + 𝐶 7
4. Dy metoda të integrimit Për llogaritjen e integralit të pacaktuar nuk ekzistojnë rregulla të qarta si në rastin e derivimit të funksioneve. Madje, disa funksione elementare mjaft të thjeshta nuk mund të integrohen, sepse funksioni primitiv i tyre nuk është funksion elementar, që do të thotë nuk mund të paraqitet me anën e funksioneve. Të njohura. P.sh funksioni primitiv i asnjërit prej funksioneve të mëposhtme nuk është funksion elementar, prandaj ato nuk mund të integrohen : 1 1 2 , 𝑒 𝑥 , 𝑒 𝑥 , √1 + 𝑥 3 𝑙𝑛𝑥
Këta shembuj tregojnë se llogaritja e integraleve të pacaktuara është problem më i ndërlikuar se derivimi. Megjithatë, ekzistojnë këto dy metoda, të cilat e lehtësojnë veprimin e integrimit të disa funksioneve.
4.1 Metoda e zëvendësimit Sipas formulës së parë të tabelës së paraqitur të integraleve themi se vlen : ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 =
𝑥5 +𝐶 5
Prandaj shtrohet pyetja se a mund të llogaritet edhe integrali ∫(2𝑥 + 5)4 𝑑𝑥 në mënyrë të ngjashme? Që të thjeshtohet funksioni nën integral, bëjmë zëvendësimin e ndryshores x me një ndryshore të re të qfarëdoshme (në rastin tonë t) : 𝑡 = 2𝑥 + 5 1
Pastaj gjejmë diferencialin dx : 𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑡 tashmë në vend të ∫(2𝑥 + 5)4 𝑑𝑥 integrojmë: 1 1 1 𝑡 5 𝑡 5 2𝑥 + 5 4 ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = = = +𝐶 2 2 2 5 10 10 4
Metoda me të cilën u njehsua integrali në shembullin e mësipërm njihet me emrin metoda e zëvendësimit të ndryshores dhe ajo arsyetohet me anën e kësaj teoreme: Teorema 1. Le të jenë f funksion i integrueshëm në intervalin 〈𝑎, 𝑏〉 dhe g: 〈𝛼, 𝛽〉 → 〈𝑎, 𝑏〉 funksion që ka derivate të vazhdueshëm në 〈𝑎, 𝑏〉 atëherë vlen ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑡))𝑔′ (𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶
8
Siç u pa edhe në shembullin e mësipërm : Me metodën e zëvendësimit integrali i pacaktuar njehsohet kështu: 1) E zgjedhim në mënyrë të përshtatshme një funksion t të ndryshores x 2) E shprehim x si funksion të t-së 3) Diferencialin dx e shprehim me anë të diferencialit dt 4) Funksionin nën integral dhe dx i zëvendësojmë me shprehjet sipas ndryshores t dhe e njehsojmë integralin e fituar. Nëse kjo nuk është e mundur zgjedhim një zëvendësim tjetër. 5) Pas kryerjes së integrimit, duke e zëvendësuar t si funksion të x, rezultatin e fituar e shkruajmë si funksion të x-it. Nuk ekziston ndonjë rregull e veçantë për gjetjen e zëvendësimit të përshtatshëm, por ai gjendet në mënyrë logjike e cila fitohet me zgjidhjen e sa më shumë detyrave të tilla.
4.2 Metoda e integrimit me pjesë Le të jenë u dhe v dy funksione të ndryshores x të derivueshme. Duke integruar formulën e mirënjohur të derivatit të prodhimit të dy funksioneve, kemi : (𝑢𝑣)′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ gjejmë se: 𝑢𝑣 = ∫(𝑢𝑣)′ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢′ 𝑣 𝑑𝑥 + ∫ 𝑢𝑣 ′ 𝑑𝑥 prej nga rrjedh se: ∫ 𝑢𝑣 ′ 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑢′ 𝑑𝑥 𝑜𝑠𝑒 ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 Secila nga këto dy formula të paraqitura më lart quhet formula e integrimit me pjesë, prandaj rrjedh se: Me metodën e integrimit me pjesë njehsohet kështu: 1) Shprehja nën integral shkruhet si prodhim i një funksioni u dhe i diferencialit 𝑑𝑣 = 𝑣 ′ 𝑑𝑥 të një funksioni tjetër 2) Njehsohet integrali ndihmës 𝑣 = ∫ 𝑣 ′ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑣 3) Njehsohet derivati 𝑢′ (ose diferenciali 𝑑𝑢 = 𝑢′ 𝑑𝑥) 4) Shkruhet formula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 5) Llogaritet integrali ∫ 𝑣𝑢′ = ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Funksionet 𝑢 dhe 𝑣 duhet të zgjedhën të tilla që integrali ∫ 𝑣𝑢′ = ∫ 𝑣 𝑑𝑢 të llogaritet lehtë.
9
5. Integrali i caktuar Njëra ndër detyrat themelore të matematikës, që në fillet e saj është problemi i matjes, d.m.th. gjetja e gjatësive, syprinave të sipërfaqeve të ndryshme dhe vëllimeve të trupave të ndryshëm. Është mirë e njohur formula 𝑆 = 𝑎 ∙ 𝑏 për llogaritjen e sipërfaqes drejtkëndëshe me gjatësi brinjësh a dhe b. Duke e shndërruar drejtkëndëshin në paralelogram me syprinë të njëjte gjejmë se 𝑆 = 𝑎 ∙ ℎ është syprina e sip. Paralelograme me gjatësi brinje a dhe gjatësi lartësie h. Por si të llogaritet syprina e sipërfaqes së rrafshët të kufizuar me një vijë të lakuar? Kjo çështje i ka munduar të gjithë matematikanët të kohët e vjetra. Përkufizimi 3. Le të jetë 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 funksion pozitiv. Limiti i shumës integrale kur ⋌→ 0 (I cili është I barabartë me limitet e shumave të poshtme dhe të sipërme), nëse ekziston quhet integral i caktuar I funksionit f në segmentin [𝑎, 𝑏] dhe shënohet me ? 𝑏
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑. 𝑚. 𝑡ℎ
𝑎 𝑛
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim 𝜎(𝑓) = lim ∑ 𝑓(𝜉𝑖 )∆𝑥𝑖 ⋌→0
𝑎
𝑛→∞
𝑖=1
Ai është i barabartë me syprinën e sipërfaqes trapeze vijë-përkultë të kufizuar me segmentin
[𝑎, 𝑏] të boshtit Ox 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 dhe me grafikun e funksionit f mbi segmentin [𝑎, 𝑏]
Shenja ∫ quhet shenja e integralit, 𝑎 quhet kufiri i poshtëm i integralit, 𝑏 – kufiri i sipërm i integralit, 𝑓(𝑥) − funksioni nën integral dhe 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − shprehja nën integral. Funksioni f 𝑏 për të cilin ekziston ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 quhet funksion i integrueshëm në segmentin [𝑎, 𝑏]
5.1 Veti themelore të integralit të caktuar 1. Në qoftë se f është funksion i integrueshëm në segmentin [𝑎, 𝑏] dhe 𝑐𝜖𝑅 atëherë cf është i integrueshëm në [𝑎, 𝑏] dhe vlen : 𝑏
𝑏
∫ 𝑐𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎
𝑎
2. Në qoftë se f,g janë funksione të integrueshme në [𝑎, 𝑏] i tillë është edhe funksioni 𝑓 ± 𝑔 dhe vlen : 𝑏
𝑏
𝑏
∫ (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎
𝑎
𝑎
10
3. Le të jetë 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 . Funksioni f është i integrueshëm në [𝑎, 𝑏] atëherë dhe vetëm atëherë kur f është i integrueshëm në segmentet [𝑎, 𝑐] e [𝑐, 𝑏] dhe vlen: 𝑏
𝑐
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎
𝑎
𝑐
4. Integrali i caktuar ndërron shenjën, në qoftë se kufijtë e tij i ndërrojnë vendet : 𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎
𝑏 𝑎
dhe si rrjedhim i kësaj vetie del që: ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0 𝑎
5. Në qoftë se f është funksion i integrueshëm dhe jonegativ në segmentin [𝑎, 𝑏] atëherë : 𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≥ 0 𝑎
6. Në qoftë se f,g janë funksione të integrueshme në [𝑎, 𝑏] të tilla që 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], atëherë : 𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎
𝑎
7. Në qoftë se f është funksion i integrueshëm në [𝑎, 𝑏] dhe nëse 𝑚 = min{𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]} , 𝑀 = max{𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]} , atëherë: 𝑏
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) 𝑎
11
6. Zbatime të integraleve
Integralet kanë një zbatim jashtëzakonisht të madh, në inxhinieri dhe në shkenca të tjera të sakta , për llogaritje të syprinës së sipërfaqeve të rrafshta, gjatësi të harkut të lakores, si dhe në vëllimin dhe syprinën e trupave rrotullues. Aplikimi i integraleve të pacaktuara ka një zbatim më të gjerë n fizikë dhe inxhinieri pasi me të mund të gjejmë zhvendosjen nga shpejtësia si dhe shpejtësinë nga nxitimi. Gjithashtu mund të gjejmë edhe sipërfaqen nën një lakore, ndërmjet dy lakoreve. Përdorimi i integraleve ka gjetur zbatim edhe në fusha të tjera të jetës, p.sh gjetja e vëllimit të një objekti me anët e lakuara siç është rasti me një rezervuar uji apo nafte. Përmes integraleve mund të gjejmë edhe momentin inercial, komponentë që na tregon se si gjendet rezistenca e një trupi rrotullues, prandaj integrali zbatohet nëse kemi të bëjmë me trupa që kanë forma të lakuara.
12
7. Përmbledhje e detyrave Në këtë pjesë gjejmë detyra të ndryshme me integrale, disa prej tyre të drejtpërdrejta në forma tabelare, shembuj të zgjidhur me metodat e zëvendësimit dhe parciale si dhe integralet e caktuara. 7.1 Integrimi i formave të thjeshta tabelare Të njehsohen integralet: 𝑥 4+1 𝑥 1+1 1) ∫(𝑥 + 3𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = +3 4+1 1+1 𝑥 5 3𝑥 2 = + +𝐶 5 2 4
4
4
2) ∫(2𝑥 −2 + 4𝑥 3 + 3𝑥 −3 )𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 + 4 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥 =2
𝑥 −2+1 𝑥 3+1 𝑥 −3+1 4𝑥 4 3𝑥 −2 +4 +3 = −2𝑥 −1 + − +𝐶 −2 + 1 3+1 −3 + 1 4 2 2
3
3) ∫ √𝑥 2 𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
2 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥
𝑑𝑥
4) ∫ 3 = ∫ 2 = ∫𝑥 √𝑥 2 𝑥3
5) ∫
5
5
𝑥 3+1 𝑥3 𝑥3 = = =3 +𝐶 2 5 5 3+1 3 2
−
2 3 𝑑𝑥
1
𝑥 −3+1 𝑥3 3 = = = 3 √𝑥 + 𝐶 2 1 −3 + 1 3
8𝑥 2 − 2 𝑑𝑥 2𝑥 + 1 2(4𝑥 2 − 1) (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1) =∫ 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑑𝑥 2𝑥 + 1 2𝑥 + 1 𝑥2 = 2 ∫(2𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 4 − 2𝑥 = 2𝑥 2 − 2𝑥 + 𝐶 2
6) ∫
(1 + 𝑥)2 𝑑𝑥 𝑥(1 + 𝑥 2 ) 1 + 2𝑥 + 𝑥 2 =∫ 𝑑𝑥 𝑥(1 + 𝑥 2 ) 1 + 𝑥2 2𝑥 1 1 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 𝑥(1 + 𝑥 2 ) 𝑥(1 + 𝑥 2 ) 𝑥 1 + 𝑥2 = 𝑙𝑛𝑥 + 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
13
7) 𝑒 𝑥 (1 +
𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 𝑒 −𝑥 1 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑙𝑛𝑥 + 𝐶 𝑥 𝑥 𝑥
1 8) (1 − ) √𝑥√𝑥 𝑥
1 𝑥
3
4
= ∫ (1 − ) √𝑥3 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑥−1 )𝑥4 𝑑𝑥 3
=
3 ∫ 𝑥4 𝑑𝑥 −
4 3 − 𝑥4 + 𝐶 3 9) ∫
1 ∫ 𝑥−4 𝑑𝑥
1
7
3
𝑥4+1 𝑥−4+1 𝑥4 𝑥4 4 7 = − +𝐶= − + 𝐶 = 𝑥4 7 3 1 3 7 +1 − +1 4 4 4 4
(𝑒 𝑥 + 2)(𝑒 2𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 22 ) 𝑒 3𝑥 + 8 𝑒 3𝑥 + 23 ∫ ∫ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 ( 𝑒 𝑥 + 2) 𝑒𝑥 + 2 𝑒𝑥 + 2 = ∫(𝑒 2𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 22 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 2𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 4 𝑑𝑥 = ∫(𝑒 2 )𝑥 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑒 𝑥 + 4 ∫ 𝑑𝑥 =
𝑒 2𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 4𝑥 + 𝐶 2 ln 𝑒
2𝑥−1 − 3𝑥+1 10) ∫ 𝑑𝑥 6𝑥 2−1 ∙ 2𝑥 − 3𝑥 ∙ 3 =∫ 𝑑𝑥 6𝑥
1 𝑥 ( 1 2 3 1 1 1 1 3) = ∫ ( ) 𝑑𝑥 − 3 ∫ ( ) 𝑑𝑥 = ∫ ( ) 𝑑𝑥 − 3 ∫ ( ) 𝑑𝑥 = 2 6 6 2 3 2 2 ln 1 3 1 𝑥 ( ) − 3 2 − +𝐶 1 ln 2 𝑥
11) ∫
𝑥
𝑥
𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 − 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1 1 1 1 1 1 ∫ = ∫ 𝑑𝑥 − 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 4 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 4 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 4 4
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 1 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 2 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = −𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥 + 𝐶
12) ∫ 𝑐𝑡𝑔2 𝑥𝑑𝑥 = ∫
14
7.2 Integrimi me metodën e zëvendësimit
1 + 2𝑙𝑛𝑥 = 𝑡 2
1
13) ∫ 𝑥(1+2𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥 1 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
=∫
2𝑡
1
1
2
2
= ln 𝑡 + 𝐶 = ln (1 + 2𝑙𝑛𝑥) +𝐶
𝑑𝑡 2
1 − 𝑙𝑛𝑥 = 𝑡 𝑑𝑥 14) ∫ 𝑥√(1−𝑙𝑛𝑥)
1 − 𝑥 𝑑𝑥
=
1 𝑥
= 𝑑𝑡
=∫
−𝑑𝑡
= −∫𝑡
1
1 2
−
1
=−
− +1 𝑡 2 1 2
− +1
𝑡2 1
𝑑𝑥 = −𝑑𝑡
1
=−
𝑡2 1 2
+𝐶
= −2𝑡 2 + 𝐶 = −2√(1 − 𝑙𝑛𝑥) + 𝐶
1 + 𝑥3 = 𝑡 15) ∫ √1 +
𝑥3
2
2
𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡
𝑥 2 𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
1 2
1
𝑑𝑡
=
3
1 𝑡2
3 1+1 2
2
3
+1
+𝐶 =
1 𝑡2 3 3
+𝐶 =
2
3 2
12 3 33
𝑡2 +
= (1 + 𝑥 3 ) + 𝐶
3
9
𝑥4 + 1 = 𝑡 𝑥3
16) ∫ 𝑥 4 +1 𝑑𝑥 =
4𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 = ∫ 3
𝑥 𝑑𝑥 =
17) ∫
1+x √1 − x 2
=∫
1 √1 − x 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡 4𝑡
1
= ∫ 4
𝑑𝑡 𝑡
1
1
4
4
= ln 𝑡 + 𝐶 = ln(𝑥 4 + 1) + 𝐶
4
dx + ∫
x √1 − x 2
dx
1 − 𝑥2 = 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
𝐼1 : ∫ √1−𝑥 2 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 = ∫ −
𝑥𝑑𝑥 = − 𝑅𝑒𝑧: ∫
𝑑𝑡 2
2√𝑡
=−
1
1
1 2
1 𝑡2
= − ∫𝑡 = − 1 2 2 2
12 3
1
23
3
3
+1
+1
+𝐶 =−
1 𝑡2 2 3
+𝐶
2
𝑡 2 + 𝐶 = − √(1 − 𝑥 2 )3 + 𝐶
1+𝑥
1 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 − √(1 − 𝑥 2 )3 + 𝐶 3 √1 − 𝑥 2
15
ln 𝑥 = 𝑡 18) ∫
19) ∫
𝑑𝑥 𝑥𝑠𝑖𝑛2 (𝑙𝑛𝑥)
=
1
1
𝑑𝑡
𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 = ∫ 2 = −𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶 = −𝑐𝑡𝑔(𝑙𝑛𝑥) + 𝐶 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑡 ∗
√2𝑥 − 1 + √2𝑥 + 1
𝑑𝑥 √2𝑥 − 1 − √2𝑥 + 1 √2𝑥 − 1 + √2𝑥 + 1 (√2𝑥 − 1 + √2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 √2𝑥 − 1 + √2𝑥 + 1 √2𝑥 − 1 + √2𝑥 + 1 =∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 2 2 = ∫ 2𝑥 − 1 − 2𝑥 − 1 −2 (√2𝑥 − 1) − (√2𝑥 + 1) 1 1 1 = − ∫(√2𝑥 − 1 + √2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = − (∫ √2𝑥 − 1 + ∫ √2𝑥 + 1) = − (∫ 𝐼1 + ∫ 𝐼2 ) 2 2 2
2𝑥 − 1 = 𝑡 𝐼1 : ∫ √2𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
= ∫𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑥 =
1 2
1
𝑑𝑡 2
1 𝑡2
=21 2
3
+1
+1
1 𝑡2
+𝐶 =2
3 2
12 3
+ 𝐶 = 2 3 𝑡2 + 𝐶
1
= 3 √(2𝑥 − 1)3 + 𝐶
2
2𝑥 + 1 = 𝑡 𝐼2 : ∫ √2𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 =
= ∫𝑡
𝑑𝑡
1 2
1
𝑑𝑡 2
1 𝑡2
=21 2
3
+1
+1
1 𝑡2
+𝐶 =2
3 2
12 3
+ 𝐶 = 2 3 𝑡2 + 𝐶
1
= 3 √(2𝑥 + 1)3 + 𝐶
2
1 1 1 𝐼 = − ∙ (√(2𝑥 − 1)3 + √(2𝑥 + 1)3 ) + 𝐶 = − (√(2𝑥 − 1)3 + √(2𝑥 + 1)3 ) + 𝐶 2 3 6
2𝑥 2 = 𝑡 20) ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝑥 2 )𝑑𝑥 = 4𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑥𝑑𝑥 =
𝑑𝑡 4
1
1
= − 4 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝐶 = − 4 𝑐𝑜𝑠(2𝑥 2 ) + 𝐶
𝑑𝑡 4
−2𝑥 3 = 𝑡 3
21) ∫ 𝑥2 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 = −6𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 = ∫ −𝑒 𝑡 2
𝑥 𝑑𝑥 =
22) ∫
𝑠𝑖𝑛√𝑥 √𝒙
𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
𝑑𝑡 6
1
1
6
6
3
= − 𝑒 𝑡 + 𝐶 = − 𝑒 −2𝑥 + 𝐶
−6
√𝑥 = 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑥 = 𝑡 2 = ∫ 𝑡 2𝑡𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑑𝑡 = −𝑐𝑜𝑠√𝑥 + 𝐶 𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡
16
4
√𝑥 + 2 = 𝑡 𝑡4 = | 𝑥 + 2 = 𝑡 4 | = ∫ 𝑡 4𝑡 3 𝑑𝑡 = 4 ∫ 𝑡 2 (𝑡 4 − 2)𝑑𝑡 = 4 ∫(𝑡 6 − 2𝑡 2 )𝑑𝑡 = √𝑥+2 𝑑𝑥 = 4𝑡 3 𝑑𝑡 𝑥𝑑𝑥
23) ∫ 4
4 ∫ 𝑡 6 𝑑𝑡 + 8 ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 = 4
24) ∫
𝑡7 7
−8
𝑡3 3
4
=4
( √𝑥+2) 7
7
4
−8
( √𝑥+2) 3
3
+𝐶
√1 − 𝑥 = 𝑡 𝑑𝑥 = | 1 − 𝑥 = 𝑡 2 | √1 − 𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑡𝑑𝑡 (1 − 𝑡 2 )2 2 1 =∫ − 2𝑡𝑑𝑡 = −2 ∫(1 − 2𝑡 2 + 𝑡 4 )𝑑𝑡 = −2 (𝑡 − 𝑡 3 + 𝑡 5 ) 𝑡 3 5 2 1 3 5 = −2 [√1 − 𝑥 − (√1 − 𝑥) + (√1 − 𝑥) ] + 𝐶 3 5 𝑥2
𝑒𝑥 + 1 = 𝑡 𝑒 𝑒 𝑥 𝑑𝑡 1 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 25) ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = | |=∫ = ∫ 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛𝑡 = ln(𝑒 𝑥 + 1) + 𝐶 𝑥 𝑑𝑡 𝑒 +1 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑥
17
7.3 Integrimi me metodën parciale
(2𝑥 − 1) = 𝑢 26) ∫(2𝑥 − 1)𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = 2𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 1
1
𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 1 − 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑣 1
= − 2 (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + ∫ 2 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = − 2 (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 1
1
− 2 (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝐶 1 2 1 1 1 (𝑥 − 𝑥 − 1)𝑠𝑖𝑛2𝑥 − (− (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥) + 𝐶 2 2 2 2 1 2 1 1 = (𝑥 − 𝑥 − 1)𝑠𝑖𝑛2𝑥 + (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝐶 2 4 4 1 1 1 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 (𝑥 2 − 𝑥 − 1 − ) + (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 2 2 4 1 3 1 2 = 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 (𝑥 − 𝑥 − 2) + 4 (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝑰=
(𝑥 2 − 𝑥 − 1) = 𝑢 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 1 27) ∫(𝑥 2 − 𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = (2𝑥 − 1)𝑑𝑥 − 𝑑𝑢 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑣 1
1
1
1
= 2 (𝑥 2 − 𝑥 − 1)𝑠𝑖𝑛2𝑥 − ∫ 2 (2𝑥 − 1)𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = 2 (𝑥 2 − 𝑥 − 1)𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2 𝐼1
(2𝑥 − 1) = 𝑢 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 1 𝑰𝟏 : ∫(2𝑥 − 1)𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 = 2𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 − 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑣 1
1
1
= − 2 (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + ∫ 2 2 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = − 2 (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 1
1
− 2 (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝐶 1 2 1 1 1 (𝑥 − 𝑥 − 1)𝑠𝑖𝑛2𝑥 − (− (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥) + 𝐶 2 2 2 2 1 2 1 1 = (𝑥 − 𝑥 − 1)𝑠𝑖𝑛2𝑥 + (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝐶 2 4 4 1 1 1 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 (𝑥 2 − 𝑥 − 1 − ) + (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 2 2 4 1 3 1 2 = 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 (𝑥 − 𝑥 − 2) + 4 (2𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶 𝑰=
18
𝑥2 = 𝑢
3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 3𝑥
28) ∫ 𝑥 2 ∙ 3𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 = 𝑥2
ln 3
=𝑣
3𝑥 3𝑥 3𝑥 2 − ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 − ∫ 𝑥3𝑥 𝑑𝑥 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣
𝑥=𝑢
3𝑥
𝑰𝟏 : ∫ 𝑥3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
=𝑣
ln 3
3𝑥 3𝑥 3𝑥 1 3𝑥 1 3𝑥 3𝑥 1 𝑥 =𝑥 −∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 − ∫ 3 𝑑𝑥 = 𝑥 − +𝐶 = (𝑥 − )+𝐶 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 3𝑥 2 3𝑥 1 3𝑥 2 2 𝑰=𝑥 − (𝑥 − )+𝐶 = (𝑥 2 − 𝑥− 2 )+𝐶 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 2
1
ln2 𝑥 = 𝑢 2𝑙𝑛
29) ∫ √𝑥𝑙𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 3
2
𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
𝑥2 = 𝑣 3
3 1 2 3 2 3 2𝑙𝑛𝑥 2 3 4 2 3 4 = 𝑥 2 ln2 𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 2 ln2 𝑥 − ∫ 𝑥 2−1 𝑙𝑛𝑥 = 𝑥 2 ln2 𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑙𝑛𝑥 3 3 𝑥 3 3 3 3 1
ln 𝑥 = 𝑢 1
𝑰𝟏 : ∫ 𝑥 2 𝑙𝑛𝑥 = 3
2
𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣
1
2
𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑥 2
3
3
𝑥2 = 𝑣 3
1
2
3
2
3
2
3
2
1
2
3
= 3 𝑥 2 ln 𝑥 − ∫ 3 𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑥 2 ln 𝑥 − 3 ∫ 𝑥 2−1 𝑑𝑥 = 3 𝑥 2 ln 𝑥 − 3 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 𝑥 2 ln 𝑥 − 1
2 𝑥2 3
+1
1 +1 2
𝑰=
2
3
3 2
2 𝑥2
+ 𝐶 = 3 𝑥 ln 𝑥 − 3
3 2
2
3
4
3
+ 𝐶 = 3 𝑥 2 ln 𝑥 − 9 𝑥 2 + 𝐶
2 3 2 4 2 3 4 3 2 3 4 8 𝑥 2 ln 𝑥 − ( 𝑥 2 ln 𝑥 − 𝑥 2 ) + 𝐶 = 𝑥 2 (ln2 𝑥 − ln 𝑥 − ) + 𝐶 3 3 3 9 3 3 9 ln2 𝑥 = 𝑢
30) ∫ 𝑥 3 ln2 𝑥 𝑑𝑥 =
2𝑙𝑛 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 𝑥4 4
=𝑣
𝑥4 2 𝑥 4 2𝑙𝑛 𝑥4 2 1 = ln 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = ln 𝑥 − ∫ 𝑥 3 ln 𝑥 𝑑𝑥 4 4 𝑥 4 2
19
𝑰𝟏 : ∫ 𝑥 3 ln 𝑥 𝑑𝑥 = = 𝑥4 4
𝑥4 4
ln 𝑥 − ∫ 2
4
𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣
1
𝑥4
𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑥
𝑥4 1
1 𝑥4
ln 𝑥 − 2
ln 𝑥 = 𝑢
4
𝑑𝑥 = 𝑥
𝑥4 4
4
=𝑣
1
ln 𝑥 − 4 ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 =
1
(ln 𝑥 − 4) + 𝐶 =
𝑥4
𝑥2 = 𝑢 31) ∫ 𝑥 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
4
𝑥4 4
1
2
1 𝑥4
ln 𝑥 − 4
4
+𝐶 =
𝑥4 4
1
(ln 𝑥 − 4) + 𝐶 𝑰 =
1
(ln 𝑥 − 2 ln 𝑥 + 8) + 𝐶
𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 −𝑒 −𝑥 = 𝑣
= −𝑒 −𝑥 𝑥 2 + ∫ 𝑒 −𝑥 2𝑥𝑑𝑥 = − 𝑒 −𝑥 𝑥 2 − 2 ∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑥=𝑢 −𝑥 𝑰𝟏 : ∫ 𝑥𝑒 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 −𝑒 −𝑥 = 𝑣
= −𝑒 −𝑥 𝑥 + ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑒 −𝑥 𝑥 − 𝑒 −𝑥 + 𝐶 = 𝑒 −𝑥 (−𝑥 − 1) + 𝐶 𝑰 = −𝑒 −𝑥 𝑥 2 − 2𝑒 −𝑥 (−𝑥 − 1) + 𝐶 = 𝑒 −𝑥 (−𝑥 2 + 2𝑥 + 2) + 𝐶
32) ∫ 𝑒𝑥+3𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑥 𝑒3 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥=𝑢 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 𝑒𝑥 = 𝑣
= 𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝐶 = 𝑒 𝑥 (𝑥 − 1) + 𝐶 𝑒𝑥 = 𝑢 33) ∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 −𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑣
= −𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = − 𝑒𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐼1
𝑒𝑥 = 𝑢 𝑰𝟏 : ∫ 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑣
= 𝑒𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝐼
𝐼 = −𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝐼 2𝐼 = 𝑒 𝑥 (𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑒𝑥 𝑰 = (𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥) 2 20
7.4 Integralet e caktuara
𝑥2 + 4 = 𝑢 2 3𝑥 34) ∫1 𝑥 2 +4
8
= 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 =
2 3 2𝑥 ∫1 2 𝑥 2 +4 𝑑𝑥
=
8 𝑑𝑢 ∫ 2 5 𝑢 3
3
3
3
8
= 2 (ln 𝑢) = 2 (ln 8 − ln 5) = 2 ln 5 5
𝑥 = 1; 𝑢 = 12 + 4 = 1 + 4 = 5
𝑥=2 𝑢 = 22 + 4 = 4 + 4 = 8 𝜋 2
𝜋 2 𝜋 4
1
1
𝜋
𝜋
1
𝜋
1
1
35) ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2 (𝑠𝑖𝑛2 2 − 𝑠𝑖𝑛2 4 ) = 2 (𝑠𝑖𝑛𝜋 − 𝑠𝑖𝑛 2 ) = 2 (0 − 1) = − 2 𝜋 4 9
9 36) ∫2 3√𝑥𝑑𝑥
=
1 9 ∫2 3𝑥 2 𝑑𝑥
2
= 33𝑥
3 2
9
= 2𝑥 2
3 2
= 2√93 − 2√23 = 2√729 − 2√8 = 2
2 ∗ 27 − 2√2 = 2(27 − √2) 𝜋
𝜋 2
37) ∫0
𝜋 2
2
𝑑𝑥 = ∫0 𝑐𝑠𝑐𝑥
2 1 𝑠𝑖𝑛𝑥
2
𝜋 2
𝜋
𝑑𝑥 = ∫0 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = 2(−𝑐𝑜𝑠𝑥) = 2 (−𝑐𝑜𝑠 2 + 𝑐𝑜𝑠0) = 2 0 𝜋
𝜋 38) ∫0 2𝑠𝑖𝑛𝑥
+ 3𝑥𝑑𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3
𝑥2
= (−2𝑐𝑜𝑠𝜋 +
2
3𝜋 2 2
) − (−2𝑐𝑜𝑠0 + 0) =
0
−2 ∗ (−1) + 2 = 2 + 2 = 4 𝜋
𝜋 39) ∫0 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥
−
2𝜋 ∫𝜋 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥
2𝜋
= −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = (−𝑐𝑜𝑠𝜋 + 𝑐𝑜𝑠0) + (𝑐𝑜𝑠2𝜋 − 𝑐𝑜𝑠𝜋) = 0
𝜋
(1 + 1) + (1 + 1) = 4
1
1 𝑥𝑒 𝑥 +1 40) ∫2 𝑥 𝑑𝑥
=
1 𝑒 𝑥 +1 ∫2 ( 𝑥 ) 𝑑𝑥
𝑥
= 𝑒 + ln |𝑥| = (𝑒 + ln 1) − (𝑒 2 + ln 2) = 𝑒 − 𝑒 2 − ln 2 2
21
REFERENCA: UC Davis Mathematics https://www.math.ucdavis.edu/ THE UNIVERSITY OF IOWA-Mathematics http://uiowa.edu/
PUNOI: GRUDA, H. ARTAN Gjimnazi “Gjon Buzuku” Matematikë-Informatikë
Web: www.artangruda.com www.scribd.com/artan_gruda E-mail:
[email protected]
WIKIPEDIA- Enciklopedia e lirë http://sq.wikipedia.org
MATEMATIKA 12 Analizë me teori të gjasës Minir Efendija, Qamil Haxhibeqiri, Ramadan Limani Dukagjini, Pejë 2006
E gjeni falas në: http://artangruda.com/integralet.pdf
Prizren, 2015
22
