MODUL INTEGRAL LIPAT DUA 4/28/12
Click to edit Master subtitle style
Pengertian Integral Lipat Dua Andaika Andaikan n f fungsi dua variabel yang terdefinisikan pada daerah R pada bidang xy.
Pada daerah R, bentuklah partisi P, ΔAi = Δxi Δyi. Bentuk jumlahan Reimann,
Fungsi f dikatakan terintegralkan pada R, didefinisikan oleh : n
f ( x , y )dA R
lim |P |
0
Jika limitnya 4/28/12 ada
f ( x i , y i ) Ai i 1
Integral Lipat Dua : R Empat Persegi Panjang Misalkan R adalah berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh, R = {(x,y) : a ≤ x ≤ b ; c ≤ y ≤ d} Penghitungan integral lipat dua dengan integral berulang diberikan oleh : f ( x , y ) dA dA=dxdy
R
d
b
c
a
b
d
a
c
f ( x , y ) dx dy
atau, f ( x , y ) dA R
4/28/12
f ( x , y ) dy dx
Contoh : ( 4 xy x 2
Hitunglah,
y 3 ) dA
Cara pertama, dA = dy dx
R
( 4 xy x 2
R = {(x,y) : 1 ≤ x ≤ 3;0 ≤ y ≤ 2}
y 3 ) dA
R
Sketsa daerah R adalah :
3 2 1 0
y
( 4 xy x 2
y 3 ) dydx
Cara kedua, dA = dx dy
2 ( 4 xy x 2
y 3 ) dA
R 2 3
1 3
0 1
( 4 xy x 2 4/28/12
y 3 ) dxdy
Contoh : volume Hitunglah volume benda dibawah permukaan bidang, 3x + 2y + z = 12, dan dibatasi bidang, x=2, y=3, dan ketiga bidang-bidang koordinat.
4/28/12
Contoh : volume V adalah volume benda pejal dibawah permukan, z=f(x,y)=12–3x –2y, maka, V
(12
3 x 2y ) dA
R
dimana R adalah empat persegi panjang yang dibatasi, R = {(x,y) : V 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 3}. V
(12
2 3
3 x 2y ) dA
0 0
R 2 0 2 0
3
12 y 3 xy
(27
2 2 y dx 2 0
(12 2 0
3 x 2y )dydx
(36
9 y 9) dx
2
9 x ) dx
9 2 27 x x 2 0
36 4/28/12
Integral Lipat Dua : Daerah Umum R, Y sederhana (1) Suatu himpunan R dikatakan berbentuk y sederhana, bilamana terdapat fungsi-fungsi kontinu g dan h, sedemikian rupa sehingga : R = {(x,y) : g(x) ≤ y ≤ h(x), a ≤ x ≤ b}
dA=dydx
4/28/12
Integral Lipat Dua : Daerah Umum R, Y sederhana (2) Dengan pendekatan volume benda pejal di bawah permukaan, z = f(x,y), dan diatas daerah S yang berbentuk empat persegi panjang, V
f ( x , y ) dA
Karena, A(x) adalah luas bidang datar untuk xi tetap dan perpotongan antara permukaan dengan xi tetap adalah kurva, maka luas daerah tersebut diberikan oleh, y 2
A( x )
y 1
R
Dengan mengambil lajur berbentuk empat persegi panjang, volume kepingan, ΔV secara hampiran diberikan oleh, ΔV = A(xi)Δx, dengan demikian, V
f ( x , y ) dy
Dengan mensubsitusikan A(x) pada volume V maka didapatkan hasil, V
f ( x , y ) dA
b
R b
y 2
a
a
y 1
A( x ) dx
f ( x , y ) dy dx 4/28/12
Contoh 1 x 2
0 x
3
( x
1 3 x
2 ( x 0 x 3
2
xy ) dydx
Jawab :
Jawab : 1 x 2
0 x 1 0
3
( x
x 3 y
1 4 4
2 ( x 0 x 3
xy ) dydx x
1 3 xy dx 3 x 2 5
x
4 5 x 15
1 6 x 6
1 6
1 3 x
2
x 0 3
4 15
y 2 ) dydx
1 24
1 7 x dx 3 1
1 8 x 24 0 7 120
1
y 2 ) dydx 3 x
1 3 x y y dx 3 3 0 x 1
2
x 7/3
1 x x 5 3
3 10 / 3 x 10
1 2 x 6
0
3 10
1 6
1 6
1 9 x dx 3 1 6 x 6
1 8 30 4/28/12 30
1
1 10 x 30 0
Contoh 2 xy 2dA
Hitunglah, R
bilamana R adalah daerah dikuadran pertama yang dibatasi oleh kurva, x2 + y = 2, x = y 3 dan sumbu y.
Jawa b 2 xy 2dA R
1 2 x 2
2 2 xy dy dx 1/ 3 0 x 2 x 2
1 2
xy 3 dx 1 / 3 0 3 x 2 1 [ x (2 x 2 )3 x 2 ] dx 3 0 2 3
1 ( 2 x 2 )4 8
2 3
1 8
1 3
2
4/28/12
1
1 3 x 3 0 37 36
Contoh : Volume Hitunglah volume benda pejal V, dibawah permukaan, z = 4 – y, dan dibatasi bidang-bidang, x + y = 2, x = y2, z = 0, dan x = 0.
Volume benda pejal V diberikan oleh, V
(4
y ) dA
R
Dengan R seperti gambar
4/28/12
37 12
Integral Lipat Dua : Daerah Umum R, x sederhana Suatu himpunan R dikatakan berbentuk x sederhana, bilamana terdapat fungsi-fungsi kontinu p dan q, sedemikian rupa sehingga : R = {(x,y) : x1=p(y) ≤ x ≤ x2=g(y), c ≤ y ≤ d} Dengan pendekatan volume benda pejal di bawah permukaan, z = f(x,y), dan diatas daerah S yang berbentuk empat persegi panjang, dA=dxdy
V
f ( x , y ) dA R d
x 2
c
x 1
f ( x , y ) dx dy
4/28/12
Contoh : x sederhana (1) Hitunglah, Jawab : 1
1
y
0 y
3
2
( x
xy ) dx dy
1 3 y
2 ( x 0 y 3
( x 3 xy 2 ) dx dy y
1 1 x4 0 4
1 2 2 x y dy 2 y
1 1 x 3 0 3
1 1 2
1 3 y 2
1 1
0 4
y
1 3 y 12 1 12
1 8
1 4 y 8 3 20
2 ( x 0 y 3
y 2 ) dxdy
Jawab :
y
0 y
Hitunglah,
1 3 y
3 4 y dy 4 1
3 5 y 20 0 7 120
0 3
xy 2
3 10
3 y 3
dy
y
y y 7/3
1 2 y 6 1 6
y 2 ) dxdy
1 9 y 3
3 10 / 3 y 10
y 5 dy
1 10 y 30
1 1 8 30 4/28/12 6 30
1
1 6 y 6 0
Contoh : x sederhana (2) 2 xy 2dA
Hitunglah, R
bilamana R adalah daerah dikuadran pertama yang dibatasi oleh kurva, x2 + y = 2, x = y 3 dan sumbu x.
Jawab : 1
2
2 xy dA
0 y 3
R 1 2 2 2
x y 0 2 1 0
[ y 2 ( 2
2 3 y 3 2 3
1 4
2 y
2 xy 2dx dy
2 y y 3
dy
y )
y 8 ] dy
1 4 y 4
1 9 y 9 0 11 36
1 9
4/28/12
1
Contoh volume Hitunglah volume benda pejal V yang terletak dibawah permukaan, z = 16 – x 2, dan dibatasi oleh bidang-bidang, y = x, x+y=4,y=0 dan z = 0.
Volume benda pejal V dibawah permukaan, z = 16 – x 2, dan diatas daerah R diberikan oleh, (16 x 2 ) dA
V R
dengan R seperti gambar
y x
x+y =4
y=x 4/28/12
136 3
Massa dan Pusat Massa Misalkan diberikan suatu pelat yang tipis (lamina) sehingga dapat dipandang sebagai benda berdimensi dua. Andaikan diberikan lamina yang dibatasi oleh daerah R pada bidang xy, dan kerapatannya (massa per satuan luas) di sembarang titik (x,y) dinyatakan dengan δ(x,y) x
M y m
, y
M x m
( x , y ) dA
m R
M y
x ( x , y ) dA R
y ( x , y ) dA
M x R
4/28/12
Contoh : massa dan pusat massa Lamina pada kuadran pertama dibatasi oleh, y = x 2 dan x = y2. Bilamana kerapatannya di setiap titiknya sebanding dengan kuadrat jarak terhadap titik pusat. Hitunglah massa dan pusat lamina. Jawab
y
Diketahui bahwa kerapatannya adalah δ(x,y) = k(x2 + y2), dan dari sketsa lamina simetris terhadap garis y=x, sehingga : x y 6 m k ( x 2 y 2 )dA k 35
x
R
y x 2
M y
k x ( x 2
y 2 )dA
R
( x 3 xy 2 )dA
k R
4/28/12
Fungsi Densitas Soal-soal Latihan Sebuah fungsi f(x,y) dikatakan sebagai fungsi densitas, jika : f(x,y)
(1)
( 2)
(a)
0
f ( x , y ) dA
1
(b)
R
(3)P ( x , y )
f ( x , y ) dA R
menyatakan probabilitas (c)
(4).E(x | y)
xf ( x , y ) dA R
E(y | x)
yf ( x , y ) dA
Suatu fungsi kepadatan dengan dua variable bebas didefinisikan oleh,f(x,y) = kxy3, x2), P(x+y<2), E( x | y),E( y | x) Diberikan fungsi densitas bersama, yaitu : f ( x ,y ) = k (a – x )2y dimana 0 y x dan 0 x a. Hitunglah : Nilai k , dan probabilitas dari x + y a yakni P ( x + y a). P(x+y>a) Suatu fungsi kepadatan dengan dua variable bebas didefinisikan oleh,f(x,y) = xay, y2) 4/28/12 E( x | y) dan E( y | x)
Soal-soal latihan (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Hitung masa lamina di kuadran pertama dibatasi oleh kurva, y = x 2 dan y = 2x, bilamana kerapatannya adalah δ (x,y) = k(x 2 + y2). Sebuah lamina (daerah R) dibatasi oleh, kurva-kurva : y=x, x+y =2a, dan sumbu x. Hitung massa lamina jika kerapatannya adalah, xy. Hitung volume benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh bidangbidang, 2x + 2y + z = 4, y = x, z = 0, dan x = 0. Hitung volume benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh silinder paraboloida, y = x2, bidang-bidang, 2x+ y + z = 3, z = 0, dan x = 0. Hitung volume benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh silinder paraboloida, x + z2 = 4, bidang-bidang y = x, z = 0, dan y = 0. Hitung volume benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh silinder paraboloida, x = y2, bidang-bidang, x + y + z = 6, z = 0, dan y = 0. Hitung volume benda pejal di oktan pertama dibatasi oleh, z = y 3, x+y=2, y=x2, z=0, dan x=0. Benda pejal dibatasi oleh permukaan, z = (b2 – y2), y = bx a , x = 0, dan z = 0. (a). Buatlah sketsa benda pejal tersebut (b). Dengan integral lipat dua hitunglah volume benda pejalnya. 4/28/12
Transformasi Koordinat Dalam proses penghitungan integral lipat dua, akan sering dijumpai daerah R mempunyai bentuk tertentu, misalnya lingkaran atau lengkungan kurva tertentu.
4/28/12
Transformasi koordinat Andaikan (u,v) titik pada bidang uv, hubungan antara (x,y) di R, dan titik (u,v) di R’, diberikan transformasi, x = x(u,v), dan y = y(u,v).
Bilamana f(x,y) terintegralkan pada daerah R, dibawah transformasi koordinat x= x(u,v), dan y = y(u,v), fungsi f(x,y) juga terintegralkan pada daerah R’. Sebagai hasilnya, penghitungan integral lipat dua dibawah transformasi koordinat diberikan oleh, f ( x , y ) dA R
f [ x (u,v ), y (u,v )] R
( x , y ) dudv (u,v )
F (u,v )J (u,v )dudv R
4/28/12
Trnasformasi Koordinat Kutub Kejadian khusus dari transformasi integral lipat dua adalah transformasi koordinat kutub, dimana daerah R berbentuk lingkaran,
J (r , )
Transformasi koordinat kutub diberikan oleh, x = r cos θ ; y = r sin θ ; x2 + y2 = r 2
x x ( x , y ) r y y (r , ) r cos r sin r sin r cos
Hasilnya adalah f ( x , y ) dxdy R
tan
y x
R
( x , y ) f ( r cos , r sin ) drd (r , ) F ( r , )rdrd
R
4/28/12
Contoh ( xy )3dxdy
Haitunglah, R
bilamana R adalah daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh, y = x3, 4y = x3, x = y3, dan 4x = y3. vx = y3,
uy = x3, 4/28/12
Contoh lanjutan Transformasi koordinat u
x 3 ;v y
y 3 ; uv ( xy )2 x
Hasil transformasi adalah : ( x , y ) (u,v )
(u,v ) ( x , y )
1 8 uv
Dengan demikian, R
x 3
y 3
3 y 2 x
2
y
1 1
8 xy
(uv )3 / 2 R
4 4
3 x 2 y
x
1 8 xy
( xy )3 dxdy
1 (u,v ) ( x , y )
2
( x , y ) (u,v )
(uv )3 / 2
( x , y ) dudv (u,v )
1 dudv 8 uv
1 4 4 uv dudv 8 1 1
4 1 4 1 2 u v dv 8 1 2 1
4 15 4 15 1 2 v dv v 16 1 16 2 1 4/28/12
225 32
Contoh Lamina pada kuadran pertama dan kedua yang dibatasi oleh, x 2 + y2 = 4, garis y = x, dan y = –x. Hitunglah massanya jika (x,y)= x2 + y2.
Dengan, (x,y)= x2 + y2, massa lamina diberikan oleh, ( x 2
m R
4/28/12
y 2 )dxdy
Contoh Dengan transformasi koordinat kutub diperoleh hasil : (1) x2 + y2 = r 2, (2) x2 + y2 = 4, menjadi, r = 2, (3) y = x, menjadi, r sin θ = r cos θ, tan θ = 1, atau θ = π/4 y = –x, menjadi, r sin θ =–rcos θ, (4) tan θ = –1, atau θ = 3π/4
Dengan koordinat kutub ( x 2
m
y 2 )dxdy
R 3 /3 2 /4
0
(r 2 )rdrd
2 3 /3 1 4
Dengan demikian batasan daerah R’ adalah R’ ={(r,θ):0≤r≤2, π/4 ≤ θ ≤ 3π/4}
/4
4
3 / 3 16 /4
4
r
d
0
d
2 4/28/12
16 4
3 /4 /4
Contoh volume Dengan menggunakan integral lipat dua, hitunglah volume benda pejal dibawah permukaan kerucut, z 2 = x2 + y2, di dalam silinder lingkaran tegak, x2 + y2 = 2y, dan diatas bidang xy. Jawab
4/28/12
Contoh volume Dengan, z f ( x , y ) x 2 y 2 Volume benda dibawah permukaan, z=f(x,y) diberikan oleh, x 2
V
Jadi , x 2
V
y 2 dxdy
R 2 sin
R
dimana R daerah berbentuk lingkaran, x2 + y2 = 2y. Dengan transformasi koordinat kutub, batasan daerah R berbentuk lingkaran, x2 + y2 = 2y, ditransformasikan menjadi, r 2 = 2r sin θ, atau r = 2 sin θ, dengan 0 ≤ θ ≤ π,
y 2 dxdy
0
0
( r 2 ) rdrd 2 sin
1 3 r 0 3 0 8 sin3 3 0 8 3
d d
1 cos (sin 2 3 4/28/12
2) 0
32 9
Soal-soal latihan (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Sebuah lamina berbentuk bidang segiempat dibatasi oleh, ax + by = a, ax + by = a+b, bx – ay = -b, bx – ay = a, Kerapatannya sebanding dengan jarak terhadap titik pusat. Hitunglah massa lamina tersebut. Sebuah lamina dibatasi oleh, bx + ay = a, bx + ay = a+b, bx – ay = b, bx – ay = a+b, Kerapatannya adalah kxy. Hitunglah massanya. Sebuah lamina dibatasi oleh lingkaran dengan pusat (a,0) dan jari-jari a, yang dipotong oleh garis y=x, dan y=–x. Jika kerapatanya sebanding dengan jarak terhadap titik pusat, hitunglah massa laminanya Hitunglah massa dari lamina yang dibatasi oleh lingkaran, x 2 + y2 = 4y, garis y = x , dan y = – x, kerapatanya sebanding dengan kuadrat jarak terhadap titik pusat. Lamina terletak di kuadran pertama dibatasi, x = y2, 4x = y2, y = x2 dan 4y = x2. Jika kerapatannya adalah, δ(x,y) = k(xy)3, hitunglah massanya. Hitunglah massa lamina yang dibatasi oleh lingkaran x 2+ y2 = 4x, garis y = x, dan y = – x. Jika kerapatannya sebanding dengan jarak terhadap titik pusat. Hitung volume benda dibawah permukaan paraboloida, z = x 2 + y2, didalam silinder lingkaran tegak, x2 + y2 = 2x, dan diatas bidang xy 4/28/12
