OPERATIONS RESEARCH
Operations Research adalah suatu ilmu yang mempelajari tentang bagaimana menentukan suatu tindakan terbaik dalam suatu keterbatasan sumber daya.
Sumber daya
: uang, tenaga kerja, waktu dls.
Tindakan terbaik : kondisi optimal
Pendekatan: dalam pengambilan keputusan dapat berbentuk : - Kuantitatif - Art (seni) : - persepsi - pengalaman - kepandaian
Dalam O. R. pengambilan keputusan dengan memodelkan persoalan. Model yang dipakai bersifat kuantitatif / matematik
Model : merupakan representasi dari sistem nyata/transformasi dari dunia nyata
Sistem nyata S(referensi) Model
Asumsi
A
su
~-n!i
i
model
1
Model matematik dari 0. R. : variabel : sesuatu yang ingin dicari untuk dicapainya tujuan dalam keterbatasan (Xj)
sumber daya
Fungsi Tujuan : memaksimalkan / meminimalkan Z = f {X1, X2, ..........
, Xn}
Keterbatasan sumber . Kendala Kendala : gi = fi {X1, X2,…….Xn}
i = 1; 2; ……..
m
Xj > 0 j = 1; 2; ……..n Model fungsi dari variabel keputusan
Fungsi :
- linier - non linier : kuadratik; eksponensial; dls.
Tahapan-tahapan penyelesaian model O. R. :
1) Mendefinisikan masalah : - tujuan - alternatif tindakan - kendala 2) Membentuk model 3) Mencari solusi masalah 4) Validasi model 5) Implementasi
2
MODEL PROGRAMA LINIER
Programa linier adalah teknik pemodelan secara matematik yang dirancang untuk mengoptimalkan pemakaian sumber yang terbatas. Semua fungsi pada model merupakan fungsi yang linier.
Pembuatan model Programa Linier :
Contoh : PT X memproduksi cat luar dan cat dalam yang antara lain memerlukan dua macam bahan baku Ml dan M2 dengan data sebagai berikut :
ton bahan baku per ton
Ketersediaan
Cat luar
Cat dalam
per hari (ton)
Bahan baku M1
6
4
24
Bahan baku M2
1
2
6
Keuntungan /ton
$ 5000
$ 4000
Hasil survei pasar menunjukkan bahwa kebutuhan cat dalam tidak melebihi kebutuhan cat luar sebanyak 1 ton/hari, sedangkan kebutuhan cat dalam terbatas sampai 2 ton/hari.PT X ingin menentukan jumlah produksi yang optimum dari kedua jenis cat tersebut yang memberikan keuntungan total per hari terbesar.
Model Programa linier terdiri dari tiga elemen :
1. Variabel keputusan, yaitu apa yang ingin dicari oleh model. 2. Tujuan, yaitu apa yang ingin dioptimalkan 3. Kendala, yaitu apa yang harus dipenuhi
Langkah pertama adalah penentuan variabel keputusan, kemudian disusun kendala dan tujuan dari persoalan.
Untuk persoalan di atas ingin ditentukan jumlah produksi dari cat luar dan cat dalam yang memberikan keuntungan total terbesar.
3
Variabel : X1 = jumlah produksi cat luar per hari. X2 = jumlah produksi cat dalam per hari
Fungsi tujuan : Tujuan kita adalah memaksimalkan keuntungan total dari penjualan kedua jenis cat. f. t. maks. Z = 5X1 + 4X2 Kendala : - Tersedianya bahan baku : pemakaian bahan baku oleh kedua jenis cat
<
- Bahan baku M1 :
6X1 + 4X2 < 24
- Bahan baku M2 :
X1 + 2X2 < 6
jumlah bahan baku maks. yang tersedia
- Pembatasan permintaan : kelebihan jumlah cat dalam terhadap cat luar < 1 ton/hari X2 - X1 < 1 permintaan terhadap cat dalam < 2 ton/hari X2 < 2 - di samping kendala di atas tentu saja jumlah produksi kedua jenis cat tersebut tidak boleh negatif X1 > 0 X2 > 0 Dengan demikian model matematis dari persoalan di atas :
f. t. maks. Z = 5X1 + 4X2 d. k.
6X1 + 4X2 < 24 X1 + 2X2 < 6 - X1 + X2 < 1 X2 < 2 X1; X2 > 0
4
Semua penyelesaian yang memenuhi kendala adalah penyelesaian yang layak/mungkin. Misalnya X1 = 3 ton, X2 = l ton, maka pemakaian bahan baku M1 adalah 22 ton yang masih memenuhi kendala yaitu < 24 ton. Nilai fungsi tujuan adalah Z $ 19.000, demikian juga untuk kendala-kendala lainnya. Tujuan kita adalah mencari penyelesaian yang layak dan optimal. Kita ingin mencari kombinasi nilai X1 dan X2 sedemikian rupa yang memenuhi kendala/batasan yang ada dan memberikan nilai Z yang terbesar.
Model P.L. di atas merupakan fungsi yang linier, di mana memenuhi hal berikut: 1. Proporsional. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan dan kendala adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan. Jika PT X memberikan potongan harga jika pembelian barang melebihi suatu batas tertentu maka pendapatan/ keuntungan kita tidak linier, sehingga model harus dijadikan linier 2. Dapat ditambah. Kontribusi dari semua variabel pada fungsi tujuan dan kendala adalah jumlah langsung dari kontribusi dari setiap variabel. Sebagai contoh dua barang yang bersaing, di mana kenaikan tingkat penjualan dari satu produk memberikan pengaruh merugikan terhadap penjualan barang yang lain, tidak memuaskan sifat additivity
5
PENYELESAIAN PROGRAMA LINIER SECARA GRAFIS:
5) 1) 6X1 + 4X2 < 24 (1)
2) X1 + 2X2 < 6
X2 (3)
3) -Xl +
X2 < l
4)
X2 < 2
5) X1 6)
>0 X2 > 0
(4)
(2) (6) X1
Untuk menggambarkan bidang penyelesaian yang layak (yang memenuhi batasanbatasan) pertama kita jadikan kendala pertidak-samaan menjadi persamaan. garis persamaannya merupakan batas kendala, digambarkan seperti di atas.
Kita masukkan nilai koordinat titik A (0,0) ke dalam persamaan-persamaan tersebut. Daerah yang memenuhi syarat setiap kendala ditunjukkan oleh garis dan tanda panah. Sebagai contoh : Garis (1) adalah 6X1 + 4X2 = 24. Kita masukkan koordinat titik A (0,0) ke dalam persamaan (1), akan diperoleh 6.0 + 4.0 = 0 yang lebih kecil dari 24; dengan demikian titik-titik pada bidang dari garis (1) ke arah titik A (seperti yang ditunjukkan oleh anak panah) memberikan nilai yang lebih kecil dari 24.
Gabungan dari keenam kendala . tersebut memberikan bidang ABCDEFA yang merupakan bidang penyelesaian yang layak. Dengan demikian semua titik yang berada pada bidang tersebut memenuhi keenam kendala tersebut.
6
fungsi tujuan adalah Z
= 5X l + 4 X2
Pada saat garis Z melalui :
Z=10 Z=15 Z= 5
titik (0,0)
Z=0
titik (1,0)
Z=5
titik (2,0)
Z = 10
titik (3,0)
Z = 15
Z=0
(0,0) (1,0) (2,0) (3,0)
Terlihat bahwa jika kita geser garis Z tersebut ke arah kanan, nilai Z bertambah besar. Persoalan kita adalah mencari sebuah titik pada bidang ABCDEFA yang memberikan nilai Z terbesar. Dengan perkataan lain kita mencari kombinasi Xl dan X2 yang memberikan nilai Z terbesar yang masih berada pada bidang penyelesaian yang layak.
Secara grafis terlihat paling jauh garis Z dapat digeser sampai melalui titik C. Dengan demikian diperoleh titik optimum adalah titik C. Koordinat titik C diperoleh dengan memotongkan garis (l) dan garis (2). Diperoleh : X1 = 3 X2 = 3/2 Z = 21
Jika kita masukkan koordinat titik sudut bidang penyelesaian yang layak tersebut secara berturut-turut ke dalam persamaan garis Z akan diperoleh nilai Z yang semakin besar kemudian menurun kembali setelah titik optimal tercapai. Hal tersebut akan kita gunakan sebagai algoritma penyelesaian secara aljabar/simpleks pada pembahasan bab berikutnya.
7
Penyelesaian persoalan Model Programa Linier meminimumkan Contoh : Peternakan X memerlukan paling sedikit 800 lb. makanan untuk ayam yang diternakkan setiap hari. Makanan tersebut terdiri dari campuran jagung dan kacang kedelai, dengan komposisi sbb.
Lb. Per lb. Bahan baku Bahan baku
Harga
Protein
Serat
($/lb.)
Jagung
0,09
0,02
0,30
Kacang kedelai
0,60
0,06
0,90
Komposisi makanan tersebut paling sedikit mengandung 30 % protein dan paling banyak mengandung 5 % serat. Perusahaan tersebut ingin meminimalkan biaya total.
Penyelesaian :
Variabel : X l = jumlah jagung dalam makanan (lb.) X2 = jumlah kacang kedelai dalam makanan (lb.) Fungsi tujuan : Meminimalkan biaya total Min. Z = 0,30X l + 0,90X2 Kendala : - Jumlah makanan :
X1 +
X2 > 800
- Jumlah protein :
0,09X1+0,60X2 > 0,3 (X1+X2)
- Jumlahserat :
0,02X1+0,06X2 < 0,05(X1+X2)
- Jumlah bahan baku :
Xj > 0 j = 1; 2
8
Penyelesaian model secara grafis Dengan demikian model adalah : Min. Z = 0,30X1+ 0,90X2 d. k. : X1 + X2 > 800 0,21X1 - 0,30X2 < 0 0,03X1 – 0,01X2 > 0 X1;X2 > 0 Seperti halnya pada penyelesaian pada persoalan memaksimalkan dibuat bidang penyelesaian yang layak, dengan menentukan daerah-2 penyelesaian yang memenuhi syarat. Diperoleh bidang penyelesaian yang diarsir.
X2
optimum (470.6,329.4) Z=437.64
X1
Jika pada persoalan memaksimalkan kita geser garis z ke arah kanan untuk memperoleh sebuah titik yang memberikan nilai z yang terbesar, maka pada persoalan meminimalkan kita geser garis z tersebut sejauh mungkin kea rah kiri sampai diperoleh sebuah titik yang memberikan nilai z yang terkecil. Pada persoalan ini diperoleh titik optimal di titik P. Titik P adalah titik perpotongan garis 1 dan garis 2 dengan koordinat (470,6; 329,4) dan diperoleh z = 437,64
9
Contoh-contoh aplikasi Programa Linier
Contoh 1 Sebuah perusahaan memproduksi tiga macam barang. Pembuatan barangbarang tersebut dilakukan melalui tiga proses produksi seperti pada gambar di bawah ini. Waktu pengerjaan setiap barang dapat dilihat pada setiap kotak.
B a h a n
1’/unit
3’/unit
b a k u
1’/unit
2’/unit
Operasi 1
Operasi 2
2’/unit
1’/unit
Barang 1
4’/unit
Barang 2
Barang 3
Operasi 3
Oleh karena mesin tersebut juga dipakai untuk pembuatan barang lain, maka waktu produksi yang tersedia dari setiap proses terbatas sebesar 430, 460, dan 420 menit untuk setiap prosesnya. Studi pasar memperlihatkan keuntungan setiap macam barang berturut-turut sebesar $ 3, $ 2, dan $ 5 per unit. Tentukan tingkat produksi yang optimal. Penyelesesaian :
Model Programa Linier : Variabel Xj = jumlah produksi barang j; j = 1, 2,3 Fungsi tujuan Maks. Z = 3X1 + 2X2 + 5X3 Kendala : - Proses produksi l : 1X1 + 2X2 + 1X3 < 430 - Proses produksi 2 : 3X1 + 0X2 + 2X3 < 460 - Proses produksi 3 : 1X1 + 4X2 + 0X3 < 420 X1; X2; X3 > 0
10
Contoh 2 persoalan bis Perusahaan bis ingin meminimalkan jumlah bis yang beroperasi. Berdasarkan studi jumlah bis yang diperlukan beroperasi pada setiap waktu adalah seperti pada gambar berikut. Setiap bis dengan beberapa pertimbangan beroperasi 8 jam per hari. Pimpinan menetapkan akan memberangkatkan bis setiap 4 jam. Tentukan berapa banyak bis pada setiap jam pemberangkatan.
12 10 8
7
4
4
0.00
4.00
8.00
X1
12.00 16.00 20.00 24.00 4.00 X3
X5
X2
X1
X4
X6
Penyelesaian :
Variabel Xj = jumlah bis yang diberangkatkan pada setiap jam pemberangkatan j = 1, 2,….6 Fungsi tujuan Min. Z X1 + X2 + X3 + X4 X5 + X6 Kendala - Jam operasi 0.00 - 4.00
: X1 +
- Jam operasi 4.00 - 8.00
: X1 + X2
- Jam operasi 8.-00 - 12.00 :
X6 > 4 >8
X2 + X3
- Jam operasi 12.00 - 16.00 :
> 10
X3 + X4
- Jam operasi 16.00 - 20.00 :
>7
X4 + X5
- Jam operasi 20.00 - 24.00 :
> 12
X5 + X6 > 4 Xj > 0
j=1; 2; ….6
11
8.00
Contoh 3 : Persoalan pabrik kertas Sebuah pabrik kertas memproduksi kertas dengan lebar 20'. Pesanan pelanggan di luar ukuran standar, permintaannya dipenuhi dengan memotong lebar kertas ukuran standar. Perusahaan memperoleh pesanan dengan jumlah rol seperti di bawah ini : Lebar yang diminta (‘) 5
Pesanan 1
Jumlah rol yang diminta (rol) 150
2
7
200
3
9
300
Tujuan perusahaan adalah memotong kertas dengan jumlah kertas yang terbuang sesedikit mungkin. Penyelesaian : Untuk memperoleh lebar yang diminta, dapat dilakukan berbagai kombinasi pemotongan, di mana diperoleh lebar kertas terbuang berbeda di samping itu terdapat kelebihan rol yang tidak tersuplai/terpakai. Jadi persoalan kita adalah meminimalkan luas kertas yang tidak terpakai, baik yang lebarnya tidak memenuhi syarat maupun jumlah rol yang terlalu banyak. Penyelesaian :
Setelah dianalisa terdapat enam cara pemotongan kertas seperti di bawah ini : Pemotongan jenis :
Jumlah rol
Ukuran rol
1
2
3
4
5
6
yang diminta
5’
0
2
2
4
1
0
150
7’
1
1
0
0
2
0
200
9’
1
0
1
0
0
2
300
Lebar sisa
4’
3’
1’
0
1’
2’
Variabel : Xj adalah jumlah rol yang dipotong menurut tipe pemotongan j. Xj > 0 j = 1;2;…..6
12
Hasil / jumlah rol yang diperoleh dari setiap jenis pemotongan sbb. : - Ukuran 5': 0X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 + IX5 + 0X6 – 150 = Y1 - Ukuran 7': 1X1 + 1X2 + 0X3 + 0X4 + 2X5 + 0X6 – 200 = Y2 - Ukuran 9': 1Xl + 0X2 + lX3 + 0X4 + 0X5 + 2X6 – 300 = Y3 jumlah produksi
jumlah jumlah permintaan rol sisa
Variabel : Yi = jumlah rol sisa ukuran i i = 1; 2; 3 Jika panjang kertas pada setiap rol L :
- Luas kertas yang tidak terpakai karena terlalu pendek : [4X1 +3X2 + X3 + 0X4 + X5 + 2X6]L - Luas kertas yang tidak terpakai karena terlalu banyak : [5Y1 + 7Y2 + 9Y3]L
Dengan demikian luas kertas total yang terbuang : [4X1 +3X2 + X3 + 0X4 + X5 + 2X6]L + [5YI + 7Y2 + 9Y3]L
Tujuan kita adalah meminimalkan luas kertas yang terbuang :
f t. min. Z = [4X1 +3X2 + X3 + X5 + 2X6]L + [5Y1 + 7Y2 + 9Y3]L oleh karena L adalah konstanta dapat dihilangkan
model menjadi :
fungsi tujuan : min. Z = 4X1+3X2 + X3 + X5 + 2X6 + 5Y1 + 7Y2 + 9Y3 dengan kendala : 0X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 + IX5 + 0X6 – Y1 = 150 1X1 + 1X2 + 0X3 + 0X4 + 2X5 + 0X6 – Y2 = 200 lXl + 0X2 + lX3 + 0X4 + 0X5 + 2X6 – Y3 = 300 Xj > 0
j = 1; 2; …… 6
Yi > 0
i = 1; 2; 3
13
Contoh 4 : Persoalan penyeimbangan lini produksi Sebuah perusahaan membuat satu macam barang yang terdiri dari tiga buah komponen, yaitu 2 buah komponen 1, 1 buah komponen 2, dan 3 buah komponen 3. Semua komponen tersebut dapat dibuat pada dua departemen. Waktu pembuatan setiap komponen pada kedua departemen berbeda. Pada tabel berikut diberikan kecepatan produksi dan jumlah produksi yang dialokasikan per minggu pada kedua departemen tsb. Buatlah model Programa Linier yang memaksimalkan jumlah produksi yang dihasilkan.
Kapasitas yang
Kecepatan produksi (unit/jam)
Departemen
tersedia (jam/minggu)
Komponen 1
Komponen 2
Komponen 3
1
200
8
5
10
2
160
6
12
4
Penyelesaian : Variabel : Xij = jumlah jam produksi yang disediakan untuk membuat komponen i pada departemen j
i = 1,2,3
j = 1,2
Jumlah komponen yang dihasilkan : komponen l : 8X11 + 6X12 komponen 2 : 5X21 + 12X22 komponen 3 : 10X31 + 4X32 Tujuan : memaksimalkan barang sebanyak mungkin dari semua komponen yang ada.
Satu barang jadi terdiri dari 2 buah komponen 1, 1 buah komponen 2 dan 3 buah komponen 3, sehingga jumlah barang jadi yang diperoleh sebanyak jumlah barang jadi yang dapat dibuat dari komponen yang jumlahnya terkecil.
Maks. Z = min. {1/2(8X11 + 6X12); (5X21 + 12X22); 1/3(10X31 + 4X32)}
Fungsi di atas tidak linier, perlu dijadikan linier.
Jumlah barang yang diproduksi = Y = {1/2(8X11+6X12);(5X21+12X22);1/3(10X31+4X32)}
Dengan demikian fungsi tujuan menjadi :
14
Maks. Z = Y Jumlah barang jadi yang dapat dibuat > dari setiap jenis komponen
jumlah barang jadi. yang dibuat
1/2(8X11 + 6X12) > Y (5X21 + 12X22) > Y 1/3(10X31 + 4X32) > Y
Kendala : X 11 + X21 + X31 < 200 jam yang tersedia pada dept. 1 X12 + X22 + X32 < 160 jam yang tersedia pada dept. 2 Dengan demikian model menjadi :
Maks. Z = Y d.k.
X11 +
X21 + X31 < 200
X21 +
X22 + X32 < 160
8X11 + 6X12 – 2Y > 0 5X21 + 12X22 - Y
>0
10X31 + 4X32 – 3Y > 0 Xij > 0 i=1, 2, 3 j = 1, 2
Model tersebut dapat dibuat juga seperti berikut :
Variabel : Xij = jumlah komponen i yang dibuat pada departemen j
Jumlah komponen yang dihasilkan : komponen l : X11 + X12 komponen 2 : X21 + X22 komponen 3 : X31 + X32
15
i = 1,2,3
j = 1,2
Tujuan : memaksimalkan barang sebanyak mungkin dari semua komponen yang ada.
Satu barang jadi terdiri dari 2 buah komponen 1, 1 buah komponen 2 dan 3 buah komponen 3, sehingga jumlah barang jadi yang diperoleh sebanyak jumlah barang jadi yang dapat dibuat dari komponen yang jumlahnya terkecil.
Maks. Z = min. {1/2(X11 + X12); (X21 + X22); 1/3(X31 + X32)}
Fungsi di atas tidak linier, perlu dijadikan linier.
Jumlah barang yang diproduksi = Y = {1/2(X11+X12);(X21+X22);1/3(X31+X32)}
Dengan demikian fungsi tujuan menjadi : Maks. Z = Y Jumlah barang jadi yang dapat dibuat > dari setiap jenis komponen
jumlah barang jadi. yang dibuat
1/2(X11 + X12) > Y (X21 + X22) > Y 1/3(X31 + X32) > Y
Kendala : 1/8X 11 + 1/5X21 + 1/10X31 < 200 jam yang tersedia pada dept. 1 1/6X12 + 1/12X22 + 1/4X32 < 160 jam yang tersedia pada dept. 2 Dengan demikian model menjadi :
Maks. Z = Y d.k.
1/8X11 + 1/5X21 + 1/10X31 < 200 1/6X21 + 1/12X22 + 1/4X32 < 160 X11 + X12 – 2Y > 0 X21 + X22 - Y
>0
X31 + X32 – 3Y > 0 Xij; Y > 0
i = 1, 2, 3 j = 1, 2
16
Contoh 5 : Programa Tujuan Pada umumnya ruas kiri dan ruas kanan kendala mempunyai hubungan <; >; =, namun dapat menguntungkan dengan melanggar kendala yang ada, namun demikian dengan dilanggarnya kendala kita dikenakan penalti. Sebagai contoh kita dapat membeli bahan baku lebih besar dari dana yang tersedia, namun untuk itu kita dikenakan penalti yaitu harus membayar bunga bank atas pinjaman dan yang kita lakukan yang pada akhirnya mengurangi keuntungan yang akan diperoleh.
Persoalan Sebuah perusahaan memproduksi dua macam barang berturut-turut pada dua buah mesin yang berbeda. Waktu yang tersedia pada kedua mesin tersebut masing-masing 8 jam. Namun batas waktu tersebut dapat dilampaui dengan melakukan kerja lembur. Biaya lembur adalah $ 5/jam. Jam lembur yang diijinkan adalah 4 jam per hari. Kecepatan produksi kedua mesin dan keuntungan per unit dari kedua barang tsb. adalah seperti pada tabel berikut.
Mesin 1
Kec. Produksi (unit/jam) Barang 1 Barang 2 5 6
2
4
8
Keuntungan/unit
$6
$4
Model ini sama dengan contoh 1 kecuali di sini terdapat lembur, yang mengakibatkan adanya biaya tambahan / berkurangnya keuntungan. Variabel : Xj = jumlahproduksi barang j j=1;2 Jika tidak ada lembur kendala dapat ditulis : 1/5X1 + 1/6X2 < 8 (mesin 1) 1/4X2 + 1/8X2 < 8 (mesin 2) Dengan adanya lembur kendala menjadi : 1/5X1 + 1/6X2 - Y1 = 8 1/4X1 + 1/7X2 - Y2 = 8 di mana Y1 dan Y2 adalah variabel yang merupakan jam lembur atau kelebihan jam produksi. Yl dan Y2 tersebut adalah variabel yang tak terbatas pada tanda. Jika Yi positif Yi merupakan jam lembur Jika Yi negatif Yi merupakan kelebihan jam produksi dan berarti tidak ada lembur.
17
Jam lembur maks.(0,Yi) Biaya lembur = jam lembur x biaya lembur/jam = 5 x maks.(0,Yi)
Model: f.t. maks. Z = 6X1 + 4X2 – 5 {maks.(0,Yl) + maks(0,Y2)) keuntungan
biaya lembur
Dengan kendala: 1/5X1 + 1/6X2 - Yl 1/4Xl + 1/8X2 -
=8 Y2 = 8
Y1
<4
Y2 < 4 X1; X2 > 0 dan Y1; Y2 tidak terbatas pada tanda Model tersebut fungsi tujuannya tidak linier perlu dijadikan linier. Wi = maks. (0,,Yi) Wi = maks(0,Yi) dapat ditulis menjadi Wi > Yi Wi > 0 Model menjadi : f.t. maks. Z = 6X1 + 4X2 - 5WI - 5W2 d. k.
1/5X1 + 1/6X2 – Y1 1/4Xl + 1/8X2 –
=8 Y2
=8
Y1
<4
Y2
<4 Y1 -
W1
Y2 -
<0
W2 < 0
X1; X2; W1; W2 > 0 dan Y1; Y2 tidak terbatas pada tanda Persoalan tersebut juga dapat diselesaikan sbb. :
Variabel : Xj = jumlahproduksi barang j j=1;2 Jika tidak ada lembur kendala dapat ditulis : 1/5X1 + 1/6X2 < 8 (mesin 1) 1/4X2 + 1/8X2 < 8 (mesin 2)
18
Dengan adanya lembur kendala menjadi : 1/5X1 + 1/6X2 + Y1- - Y1+
=8 -
1/4X1 + 1/7X2 +
+
Y2 - Y2 = 8
di mana Y1- dan Y2- adalah variabel yang merupakan kelebihan jam produksi, dan Y1+ dan Y2+ adalah variabel yang merupakan jam lembur. Y1+; Y2+; Y1- ; Y2- > 0 Dengan demikian biaya lembur = 5 x (Y1+ + Y2+)
Model: f.t. maks. Z = 6X1 + 4X2 – 5 x (Y1+ + Y2+) keuntungan
biaya lembur
Dengan kendala: 1/5X1 + 1/6X2 + Y1- - Y1+
=8 Y2- - Y2+ = 8
1/4X1 + 1/7X2 + Y1+
<4 +
Y2 < 4 +
+
-
-
X1; X2; Y1 ; Y2 ; Y1 ; Y2 > 0
19
Contoh 6. Kebijaksanaan pinjaman bank Bank X mempertimbangkan kebijaksanaan pinjaman dana 12 juta pada berbagai jenis pinjaman. Tabel berikut adalah data dari berbagai jenis pinjaman tsb.
Jenis pinjaman Tingkat suku Kemungkinan pinjaman bunga tidak tertagih Pribadi 0.140 0.10 Kendaraan
0.130
0.07
Perumahan
0.120
0.03
Pertanian
0.125
0.05
Perdagangan
0.100
0.02
Pinjaman yang tak tertagih tidak menghasilkan bunga. Kompetisi dengan lembaga keuangan lain pada wilayah kerja bank tersebut menyebabkan bank X mengalokasikan paling sedikit 40 % dananya untuk pinjaman pertanian dan perdagangan. Untuk membantu industri perumahan, pinjaman untuk perumahan paling sedikit 50 % dari total pinjaman pribadi, kendaraan dan perumahan. Bank juga menetapkan rata-rata hutang tak tertagih tidak lebih dari 0,04. Buatlah model Programa Linier dari persoalan di atas.
Penyelesaian : Variabel : Xj = alokasi pinjaman untuk jenis pinjaman j j = 1, 2, …., 5
Fungsi tujuan : Memaksimalkan pendapatan total dari bunga bank yang diperoleh dikurang hutang yang tak tertagih.
f.t. maks. Z = 0.14(0.9X1)+ 0.13 (0.93X2) + 0.12(0.97X3) + 0.125(0.95X4) + 0.1(0.98X5) - 0.1X1 - 0.07X2 - 0.03X3 - 0.05X4 - 0.02X5
setelah disederhanakan diperoleh :
maks. Z = 0.026X1 + 0.0509X2 + 0.0864X3 + 0.06875X4 + 0.078X5
20
Kendala
1) Dana total :
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 12
2) Pinjaman pertanian dan perdagangan :
X4 + X5 > 0.4 x l2 X4 + X5 > 4.8
3) Pinjaman perumahan :
X3 > 0.5(X1 + X2 + X3) ½ X1 + ½ X2 – ½ X3 < 0
4)
Batasan pinjaman yang tak tertagih : 0.1X1 + 0.07X2 + 0.03X3 + 0.05X4 + 0.02X5 ----------------------------------------------------------- < 0.04 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 0.06X1 + 0.03X2 - 0.01X3 + 0.01X4 - 0.02X5 < 0
5) Kendala non negatif :
Xj > 0 j = 1, 2 , ……, 5
Model menjadi :
Fungsi Tujuan : Z = 0.026X1 + 0.0509X2 + 0.0864X3 + 0.06875X4 + 0.078X5
Dengan Kendala : X1 +
½ X1 +
X2 + ½ X2 –
X3 +
X4 +
X5 < 12
X4 +
X5 > 4.8
½ X3
<0
0.06X1 + 0.03X2 – 0.01X3 + 0.01X4 – 0.02X5 < 0 Xj > 0 j = 1, 2 , ……, 5
21
Contoh 7 : Perencanaan Produksi dan pengendalian Persediaan (Model Produksi Periode Tunggal) Dalam mempersiapkan produksi untuk periode yang akan datang, sebuah perusahaan yang memproduksi pakaian jenis 1, 2, 3, dan 4. semua produk diproduksi berturut-turut pada departemen 1, 2, 3, dan 4. Perusahaan telah menerima pesanan untuk keempat macam produk. Data waktu produksi, kapasitas produksi, jumlah pesanan, keuntungan per unit serta prnalti per unit dapat dilihat pada tabel. Buatlah model Programa Linier yang mengoptimalkan produksi. Waktu produksi per unit (jam) Produk 1 Produk 2 Produk 3 Produk 4 0,30 0,30 0,25 0,15
Departemen 1
Kapasitas (jam) 1000
2
0,25
0,35
0,30
0,10
1000
3
0,45
0,50
0,40
0,22
1000
4
0,15
0,15
0,10
0,05
1000
Permintaan (unit)
800
750
600
500
Keuntungan ($/unit)
30
40
20
10
Penalti ($/unit)
25
20
10
8
Penyelesaian : Variabel : xj = jumlah produk j yang dibuat, j = 1, 2, 3, 4 Perusahaan paling banyak memproduksi sebanyak permintaan : x1 < 800;
x2 < 750;
x3 < 600;
x4 < 500
Pendapatan bersih = Total keuntungan – total penalti
Terdapat variabel baru yaitu jumlah produk yang tidak tersuplai; sj = jumlah produk j yang tidak tersuplai, j = 1, 2, 3, 4 Dalam hal ini kendala permintaan di atas berubah menjadi : x1 + s1 = 800; x2 + s2 = 750; x3 + s3 = 600; x4 + s4 = 500 Fungsi tujuan : Maks. z = 30x1 + 40x2 + 20x3 + 10x4 – 15s1 – 20s2 – 10s3 – 8s4
22
Kendala produksi departemen : Departemen 1 : 0,30x1 + 0,30x2 + 0,25x3 + 0,15x4 < 1000 Departemen 1 : 0,25x1 + 0,35x2 + 0,30x3 + 0,10x4 < 1000 Departemen 1 : 0,45x1 + 0,50x2 + 0,40x3 + 0,22x4 < 1000 Departemen 1 : 0,15x1 + 0,15x2 + 0,10x3 + 0,05x4 < 1000 Dengan demikian model menjadi : f. t. maks. z =
30x1 + 40x2 + 20x3 + 10x4 – 15s1 – 20s2 – 10s3 – 8s4 0,30x1 + 0,30x2 + 0,25x3 + 0,15x4 < 1000 0,25x1 + 0,35x2 + 0,30x3 + 0,10x4 < 1000 0,45x1 + 0,50x2 + 0,40x3 + 0,22x4 < 1000 0,15x1 + 0,15x2 + 0,10x3 + 0,05x4 < 1000 x1 + s1 = 800 x2 + s2 = 750 x3 + s3 = 600 x4 + s4 = 500 xj; sj > 0
j = 1, 2, 3, 4
23
Contoh 8 : Model Produksi-Persediaan periode jamak Sebuah perusahaan mempunyai kontrak untuk mensuplai barang X untuk 6 bulan yang akan datang berturut-turut sebesar 100, 250, 190, 140, 220, dan 110 unit. Biaya produksi dari bulan ke bulan berbeda, tergantung pada biaya tenaga kerja, material dls. Biaya pada bulan-bulan tersebut diperkirakan sebesr $ 50, $ 45, $ 55, $ 48, $ 52, dan $ 50. Untuk memanfaatkan perbedaan tersebut perusahaan dapat memproduksi lebih pada saat biaya rendah untuk disimpan sebagai persediaan dan dipakai pada periode berikutnya pada saat biaya tinggi, namun timbul biaya persediaan sebesar $ 8 per unit per bulan. Buatlah model programa linier yang meminimalkan biaya total.
Penyelesaian : Variabel : Xj = jumlah produksi pada bulan j,
j = 1, 2, . . , 6
Ij = jumlah persediaan yang ada pada akhir bulan j Persediaan yang masuk pada awal bulan 1 = I0 = 0 Tujuan kita adalah meminimalkan biaya produksi dan biaya persediaan Biaya produksi total
= 50x1 + 45x2 + 55x3 + 48x4 + 52x5 + 50x6
Biaya persediaan total = 8(I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6) Jadi fungsi tujuan adalah : min. Z = 50x1 + 45x2 + 55x3 + 48x4 + 52x5 + 50x6 + 8(I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6) Aliran dari produksi – persediaan dan permintaan dapat digambarkan sbb.
x1 I=0
x2 I1 100
x3
x4
I2 250
I3
x5
x6
I4
190
140
I5 220
I6 110
Gambar : skema dari sistem produksi-persediaan
Dari gambar diperoleh keseimbangan antara produksi, persediaan dan permintaan : Persediaan awal + Jumlah produksi – Jumlah permintaan = Persediaan akhir Persediaan awal + Jumlah produksi – Persediaan akhir = Jumlah permintaan
24
Dengan demikian terdapat hubungan kendala : In-1+ xn – In = Dn Dn = Jumlah permintaan pada bulan n Diperoleh : Bulan 1 :
x1 – I1 = 100
2
I1 + x2 – I2 = 250
3
I2 + x3 – I3 = 190
4
I3 + x4 – I4 = 140
5
I4 + x5 – I5 = 20
6
I5 + x6 – I6 = 110
Dengan demikian model menjadi :
min. Z = 50x1 + 45x2 + 55x3 + 48x4 + 52x5 + 50x6 + 8(I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6) dengan kendala : x1 – I1 = 100 I1 + x2 – I2 = 250 I2 + x3 – I3 = 190 I3 + x4 – I4 = 140 I4 + x5 – I5 = 20 I5 + x6 – I6 = 110
25
Contoh 9 : Persoalan kilang minyak Sebuah perusahaan yang memproduksi bahan bakar mempunyai kilang di A yang kapasitas produksinya adalah 1.500.000 bbl. Minya mentah per hari. Produk akhir dari kilang tersebut adalah bensin jenis 1, 2 dan 3 yang masing-2 bensin biasa dengan angka oktan 87, bensin premium dengan angka oktan 89 dan bensin super dengan angka oktan 92. Kilang tersebut memproses minyak mentah dalam tiga tahap. Pertama pada unit distilasi yang menghasilkan bensin dengan angka oktan 82 pada tingkat 0,2 bbl. per bbl minyak mentah. Kedua pada unit pemecah yang menghasilkan bensin dengan angka oktan 98. dengan menggunkan sebagian bensin yang dihasilkan pada unit distilasi pada tingkat 0,5 bbl. Bensin angka oktan 98 untuk setiap bbl bensin angka oktan 82. Ketiga pada unit pencampur, dengan mencampur bensin dengan angka oktan 82 yang berasal dari unit distilasi dan bensin dengan angka oktan 98 yang berasal dari unit pemecah. Perusahaan memperkirakan keuntungan bensin biasa adalah $ 6,70 bensin premium adalah $ 7,20 dan bensin super adalah 8,10. kapasitas unit pemecah adalah 200.000 bbl bensin angka oktan 82 per hari. Batas permintaan bensin biasa adalah 50.000 bbl, bensin premium adalah 30.000 bbl, dan bensin super adalah 40.000 bbl per hari. Buatlah model Programa Linier yang memekasimalkan keuntungan total.
Penyelesaian : Variabel : xij = jumlah input tahap i yang di proses menjadi bensin j; j = 1, 2, 3 i = 1 adalah bensin yang keluar unit distilasi i = 2 adalah bensin yang keluar unit pemecah
dengan menggunakan definisi ini diperoleh :
Produksi per hari bensin biasa = x11 + x21 bbl per hari Produksi per hari bensin premium = x12 + x22 bbl per hari Produksi per hari bensin super = x13 + x23 bbl per hari Output unit pencampur
= produksi harian
dari bensin biasa
+ produksi harian
dari bensin premium
= (x11 + x21) + (x11 + x21) + (x13 + x23) bbl per hari
26
+
produksi harian dari bensin super
x11 + x12 + x13 5:1
Unit pencampur
2:1
x11+x21 bensin biasa angka oktan 87
x12+x22 bensin premium angka oktan 89
Unit distilasi
Unit pemecah
X21 + x22 + x23
Angka
angka
Oktan 82
oktan 98
x13+x23 bensin super
Jumlah hasil distilasi (AO=82) yang masuk ke unit pencampur
= x11 + x12 + x13 bbl per hari
Jumlah hasil pemecah (AO=98) yang masuk ke unit pencampur
= x21 + x22 + x23 bbl per hari
Jumlah hasil distilasi (AO=82) yang masuk ke unit pemecah
= 2(x21 + x22 + x23 ) bbl per hari
Jumlah minyak mentah yang diproses pada kilang
= 5(x11 + x12 + x13) + 10(x21 + x22 + x23 ) bbl per hari
angka oktan 92
Tujuan dari model adalah memaksimalkan keuntungan total yang dihasilkan dari penjualan ketiga jenis bensin :
Fungsi Tujuan : maks. Z = 6,7(x11 + x21) + 7,2(x12 + x22) + 8,1(x13 + x23) Kendala dari persoalan ini adalah :
1. jumlah suplai tidak lebih dari 1.500.000 bbl per hari : 5(x11 + x12 + x13) + 10(x21 + x22 + x23 ) < 1.500.000 2. input unit pemecah tidak lebih dari 200.000 bbl per hari 2(x21 + x22 + x23 ) < 200.000 3. permintaan bensin biasa paling banyak 50.000 bbl per hari x11 + x21 < 50.000 4. permintaan bensin premium paling banyak 30.000 bbl per hari x12 + x22 < 30.000 5. permintaan bensin super paling banyak 40.000 bbl per hari x13 + x23 < 40.000
27
6. angka oktan bensin biasa paling sedikit adalah 87 angka oktan rata-rata : 82x11 + 98x21 > 87 x11 + x21 7. angka oktan bensin premium paling sedikit adalah 89 angka oktan rata-rata : 82x12 + 98x22 > 89 x12 + x22 8. angka oktan bensin super paling rendah adalah 92 angka oktan rata-rata : 82x13 + 98x23 > 92 x13 + x23 Dengan demikian model menjadi : Fungsi Tujuan : maks. Z = 6,7(x11 + x21) + 7,2(x12 + x22) + 8,1(x13 + x23) 5(x11 + x12 + x13) + 10(x21 + x22 + x23 ) < 1.500.000 2(x21 + x22 + x23 ) < 200.000 x11 + x21 < 50.000 x12 + x22 < 30.000 x13 + x23 < 40.000 82x11 + 98x21 > 87(x11 + x21) 82x12 + 98x22 > 89(x12 + x22) 82x13 + 98x23 > 92x13 + x23) Xij > 0
i = 1, 2 J = 1, 2, 3
No, 10 Sebuah perusahaan pengembang perumahan akan menyewakan rumah dan tanah. Tedapat tiga macam rumah. Permintaan maksimum rumah tipe 1 adalah 500 unit, tipe 2, 300 unit dan tipe 3, 250 unit. Rumah tipe 2 paling sedikit 50% dari tipe yang lain. Setiap rumah tipe 1 memerlukan tanah seluas 10 sqft, tipe 2, 15 sqft dan tipe 3, 18 sqft. Tanah yang tersedia adalah 10,000 sqft. Pendapatan rumah tersebut masing-2 berturut-turut sebesar $ 600, $ 750 dan $ 1.200 per unit sedangkan pendapatan dari sewa tanah adalah $ 100/sqft. Buatlah model programa linier yang memaksimalkan pendapatan total. Penyelesaian : Variabel : X1 = Jumlah apartemen yang dibangun - unit X2 = jumlah dupleks yang dibangun - unit X3 = Jumlah rumah yang dibangun - unit X4 = jumlah Tanah yang disewakan - sqft
28
Fungsi tujuan adalah memaksimumkan pendapatan dari sewa rumah dan sewa tanah :
Maks. Z = 600X1 + 750X2 + 1200X3 + 100X4
Dengan kendala : Jumlah minimum rumah yang disewakan : X1 < 500; X2 < 300; X3 < 250 Luas tanah yang dipakai harus > luas tanah yang dipakai untuk membangun rumah : X4 > 10X1 + 15X2 + 18X3 Luas tanah yang dipakai harus < luas tanah yang tersedia : X4 < 10000 Rumah tipe dua paling sedikit 50% dari total tipe yang lainnya X2 > (X1 + X3)/2 X1 + X3 < 2X2 Rumah yang dibangun paling sedikit 0 unit (kendala non negative) : Xj > 0 j = 1, 2, 3, 4 Penyelesaian dengan Lingo diperoleh : Z = 1.595.714,29 X1= 207,14 X2 = 228,57 X3 = 250 X4 = 10.000 Hasil penyelesaiannya belum tentu memberikan penyelesaian yang bulat dilakukan pembulatan. Jika diselesaikan dengan Model Programa Integer akan diperoleh penyelesaian yang bulat (akan dibahas pada Model Programa Integer)
No. 11 Sebuah perusahaan pengembang perumahan akan menyewakan rumah dan tanah. Tedapat tiga macam rumah. Permintaan maksimum rumah tipe 1 adalah 500 unit, tipe 2, 300 unit dan tipe 3, 250 unit. Rumah tipe 2 paling sedikit 50% dari tipe yang lain. Setiap rumah tipe 1 memerlukan tanah seluas 10 sqft, tipe 2, 15 sqft dan tipe 3, 18 sqft. Tanah yang tersedia adalah 10,000 sqft. Pendapatan dari sewa rumah tersebut masing-2 berturut-turut sebesar $ 600, $ 750 dan $ 1.200 per unit sedangkan pendapatan dari sewa tanah adalah $ 100/sqft. Buatlah model programa linier yang memaksimalkan pendapatan total.
29
Lokasi 1
Lokasi 2
Tempat
Luas (1000 sqft)
Harga (1000 $)
Luas (1000 sqft)
Harga (1000 $)
1
20
1.000
80
2.800
2
50
2.100
60
1.900
3
50
2.350
50
2.800
4
30
1.850
70
2.500
5
60
2.950
Variabel : Xij = besar bagian proyek i yang selesai pada tahun j.
Fungsi tujuan : Memaksimumkan pendapatan setiap proyek pada setiap tahunnya
Maks. Z = 0,05(4X11 + 3X12 + 2X13) + 0,07(3X22 + 2X23 + X24) + 0,15(4X31 + 3X32 + 2X33 + X34) + 0,02(2X43 + X44)
Kendala : Proyek 1 dan 4 harus selesai pada waktunya : X11 + X12 + X13 = 1 X43 + X44 = 1 Proyek 2 dan 3 paling sedikit 25% selesai dan boleh belum selesai semuanya 0,25 < X22 + X23 + X24 + X25 < 1 0,25 < X31 +X32 + X33 + X34 + X35 < 1 Kendala dana tahun 1, 2, 3, 4, dan 5 Tahun 1 : 5X11 + 15X31 < 3 Tahun 2 : 5X12 + 8X22 + 15X32 < 7 Tahun 3 : 5X13 + 8X23 + 15X33 + 1,2X43 < 7 Tahun 4 : 8X24 + 15X34 + 1,2X44 < 7 Tahun 5 : 8X25 + 15X35 < 7
30
Penyelesaian : Z = $523.750 X11 = 0,6
X12 = 0,4
X24 = 0,225 X25 = 0,025 X32 = 0,267 X33 = 0,387 X34 = 0,346 X43 = 1 No. 12 Sebuah perusahaan real estat memiliki 800 acres lahan yang terletak di tepi danau pada sebuah pegunungan. Pada waktu yang lampau sangat sedikit atau tidak ada peraturan mengenai pembangunan di tepi danau. Pada saat ini terdapat sejumlah peraturan yang harus dipenuhi mengenai berbagai hal a.l. mengenai limbah. Saat ini rumah tipe 1, 2, dan 3 yang dapat dibangun. Rumah tipe 1 paling sedikit 50% dari jumlah rumah yang dibangun. Untuk membatasi jumlah septic tank ukuran tanah dari semua tipe rumah masing-2 memerlukan luas berturut-turut paling sedikit 2, 3, dan 4 acres. Area rekreasi harus dibangun 1 acres untuk setiap 200 keluarga. Untuk kepentingan ekologi dari danau air tanah tidak boleh dipompa untuk keperluan rumah dan kebun. Pimpinan dari real estat tsb. Sedang melakukan studi pengembangan tanah yang 800 acres tsb. Pengembangan meliputi pembangunan tipe 1, 2, dan 3 tsb. 15% dari lahan tersebut digunakan untuk jalan dan utilitas lainnya. Perusahaan tsb. Memperkirakan tingkat pengembalian dari setiap unit rumah adalah sbb.
Rumah tipe : Tingkat pengembalian per unit ($)
1
2
3
10.000
12.000
15.000
Biaya sambungan air proporsional dengan jumlah rumah yang dibangun, Pemda mengenakan biaya minimum $ 100.000 pada proyek tersebut. Di samping itu perluasan sistem air di luar kapasitas saat ini sebanyak 200.000 galon per hari pada beban puncak. Kebutuhan air tergantung dari ukuran keluarga. Pada table diberikan biaya koneksi air ($/unit), konsumsi air (gallon/hari/unit). Buatlah model PL dari persoalan di atas.
Rumah tipe
1
2
Biaya koneksi pelayanan air per unit ($)
1000
1200 1400 800
Konsumsi air per unit (gallon/hari)
400
600
31
3
840
Rekreasi
450
Penyelesaian : Variabel : Xj = jumlah rumah tipe j; j = 1, 2, 3 Fungsi tujuan memaksimumkan pendapatan : Maks. Z = 10000X1 + 12000X2 + 15000X3 Kendala : -
Luas lahan : 2X1 + 3X2 + 3X3 + X4 < 0,85 x 800
-
Luas tipe 1 : X1 < 0,5 (X1 + X2 + X3) X1 – X2 – X3 > 0
-
Lahan rekreasi : X4 > 1/200 (X1 + 2X2 + 3X3) 200X1 – X1 – X2 – X3 > 0
-
Koneksi air : 1000X1 + 1200X2 + 1400X3 + 800X4 > 100.000
-
Perluasan air : 400X1 + 600X2 + 840X3 + 450X4 < 200.000
-
Kendala non negatif : Xj > 0
No. 13 Proses produksi pada sebuah perusahaan adalah seperti gambar di bawah ini : Bahan Baku
Bahan antara
Barang jadi
< 50%
P 40%
U
A 50% 10%
30%
Q
55%
15 % V
45% R > 30% 55% B
W
S
Bahan antara P, Q, R, dan S dibuat dari bahan baku A dan B. 40%, 50% dan 10% dari bahan baku A dipakai untuk membuat P, R, dan S. Sedangkan 45% dan 55% bahan baku B dipakai untuk membuat Q dan S. Dengan mencampur P dan Q diperoleh barang jadi U. Untuk membuat barang U paling banyak 50% bahan antara P, sisanya adalah Q. Barang jadi U sebagian dapat dijual langsung. Gabungan dari barang jadi U, serta bahan antara Q, dan R dalam perbandingan 15 : 30 : 55 membentuk barang jadi V. Barang jadi W merupakan gabungan dari R dan S. Paling sedikit barang W mengandung 30% bahan antara S. Harga jual U, V, dan W dan harga beli bahan baku A dan B serta jumlah penjualan maksimum dari barang jadi U, V, dan W dan pembelian maksimum bahan baku A dan B dapat dilihat pada tabel.
32
Tidak terdapat pembatasan kapasitas serta tidak terdapat bahan antara P, Q, R, dan S dan barang jadi U, V, dan W yang disimpan sebagai persediaan. Biaya produksi P, Q, R, S adalah sebesar Rp. 10.000 per ton dan U, V, dan W adalah sebesar Rp. 20.000 per ton. Buatlah model Programa Linier yang memaksimalkan keuntungan total.
Bahan Baku A Bahan Baku B Barang jadi U Barang jadi V Barang jadi W
Harga beli/harga jual Rp. 200.000/ton Rp. 250.000/ton Rp. 355.000/ton Rp. 320.000/ton Rp. 365.000/ton
Jumlah maksimal 100.000 ton 160.000 ton 70.000 ton 80.000 ton 120.000 ton
Penyelesaian :
Bahan Baku
Bahan antara
Barang jadi
XP XU
P
XA
< 50% XU
40% XA A
XU1
U
XQ XQ1 50% XA
XB
Q
10% XA
XR
45% XB
R
B
55% XB
XQ2 = 30% XV
XU2
15 % V
XV
W
XW
55% XV
XS > 30%XW S
Variabel : XX = Bahan baku / bahan antara / barang jadi x Kendala bahan baku : Bahan baku A : XA < 100 Bahan baku B : XB < 160 Bahan antara P : XP = 0,40XA XP < 0,50XU Bahan antara Q : XQ = 0,45XB XQ1 = menjadi V XQ2 = menjadi V XQ = XQ1 + XQ2 Bahan antara R : XR = 0,50XA XR1 = menjadi V XR2 = menjadi V XR1 + XR2 = XR 33
Bahan antara S : XS = 0,10XA + 0,55XB Barang jadi U : XU = yang dibuat XU1 = yang dijual XU2 = yang diproses menjadi V XU = XU1 + XU2 XP + XQ1 = XU Barang jadi V : XU2 = 0,15XV XQ2 = 0,30XV XR1 = 0,55XV XU2 + XQ2 + XR1 = XV Barang jadi W : XR2 + XS = XW XS > 0,30XW Fungsi tujuan adalah memaksimumkan keuntungan bersih = Hasil penjualan – Biaya produksi bahan baku – Biaya produksi bahan antara – Biaya produksi barang jadi : F. T. Maks. Z = 355XU1 + 320XV + 365XW – (200XA + 250XB) – 10(XP + XQ + XR + XS) - 20(XU + XV + XW)
Dengan demikian model menjadi : F. T. Maks. Z = 355XU1 + 320XV + 365XW – (200XA + 250XB) – 10(XP + XQ + XR + XS) - 20(XU + XV + XW)
Dengan kendala : XA < 100 XB < 160 XP = 0,40XA XP < 0,50XU XQ = 0,45XB XQ = XQ1 + XQ2 XR = 0,50XA XR1 + XR2 = XR XS = 0,10XA + 0,55XB XU = XU1 + XU2 XP + XQ1 = XU XU2 = 0,15XV XQ2 = 0,30XV XR1 = 0,55XV XU2 + XQ2 + XR1 = XV XR2 + XS = XW XS > 0,30XW
XX > 0 untuk semua subscript x
34
ANALISA KEPEKAAN SECARA GRAFIS Analisa kepekaan merupakan suatu analisa terhadap penyelesaian optimal yang telah diperoleh sebelumnya.
Pada pembahasan di sini analisa kepekaan secara grafis ini ditinjau dari :
1) perubahan koefisien fungsi tujuan 2) perubahan ruas kanan kendala
PERUBAHAN KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN Berapa besar perubahan pada koefisien fungsi tujuan dapat terjadi tanpa mempengaruhi titik sudut optimal ?
C1 atau C2
C1 atau C2
Bentuk umum fungsi tujuan maks./min. Z = Cl X l + C2X2 Jika ditulis dalam bentuk y = aX + b X2 = - C1/C2X l + Z/C2 Garis Z koefisien arahnya adalah -
C1
/C2. Garis Z dapat makin datar atau makin tegak.
Garis tersebut makin datar jika nilai C1 turun atau nilai C2 naik. Sebaliknya garis tersebut makin tegak jika C1 naik atau C2 turun nilainya. Agar titik optimal tetap pada titik optimal C (X1 = 3 dan X2 = 1½ ) yang telah diperoleh sebelumnya, koefisien arah dari garis Z dapat berubah dalam batas-batas tertentu. Persoalannya adalah berapa besar perubahan nilai Cl dan C2 agar tetap optimal di titik C. Garis Z dari persoalan pabrik cat dapat bergerak pada daerah Z sejajar dengan garis (l) dan (2). Koefisien arah garis (1) adalah -3/2 dan garis (2) adalah -1/2. Dengan demikian nilai C1/C2 = 1/2 s/d 3/2 atau C2/C1 = 2/3 s/d 2 Berapa kisaran C1 jika C2 tetap = 4 C1 / 4 = 1/2 s/d 3/2 C1 = 2 s/d 6
35
Titik optimal tetap pada titik C pada keuntungan cat luar C1 berada sebesar antara $2.000 sampai dengan $ 6.000 dengan keuntungan cat dalam C2 tetap $ 4.000 Dengan cara yang sama diperoleh keuntungan cat luar C2 berada sebesar antara $ 3334 sampai dengan $10.000. dengan keuntungan cat luar Cl tetap $ 5.000 agar tetap optimal pada titik C
NILAI PER UNIT DARI SUMBER Pada kebanyakan model Programa Linier, kendala biasanya mewakili pemakaian sumber yang terbatas. Ruas kanan merupakan batas tersedianya sumber. Pada bagian ini dipelajari kepekaan dari penyelesaian optimal terhadap perubahan dari ketersediaan sumber. Nilai per unit dari sumber adalah tingkat perubahan dari nilai optimal dari fungsi tujuan sebagai perubahan dari tersedianya sumber. Dari persoalan pabrik cat kendala l dan 2 merupakan pembatasan pemakaian bahan baku M1 dan M2. Ingin ditentukan nilai per unit dari kedua sumber tersebut. Titik optimum dari persoalan pabrik cat adalah titik C. Titik C adalah perpotongan antara garis 1 dan garis 2. Jika ketersediaan M1 berubah, maka. titik optimum C akan bergerak sepanjang garis DG. Setiap perubahan M1 di luar garis tsb. tidak layak, karena titik optimal tidak lagi berada pada perpotongan antara garis 1 dan 2. (lihat gambar berikut). Dengan demikian titik D (2,2) dan titik G (6,0) merupakan daerah yang memenuhi syarat bagi pergerakan M1.
D M1=36 M1=20 G
36
Pada saat garis M1 melalui titik D diperoleh (dengan memasukkan koordinat titik D) nilai ruas kanan sebesar 20 dan melalui titik G nilai ruas kanan sebesar 36. Dengan demikian range nilai M1 20 < M1 < 36. Jika D1 adalah nilai perubahan bahan baku M1 , dengan M1 = 24 + D1 maka range nilai D1 : - 4 < D1 < 12. Dengan demikian agar menjamin titik C tersebut tetap merupakan perpotongan antara M1 dan M2 maka bahan baku M1 dapat turun paling banyak sebesar 4 ton dan dapat naik sebanyak 12 ton.
Nilai Z pada saat titik optimum berada pada titik D adalah 18 dan pada saat berada di titik G nilai Z = 30
NILAI PER UNIT DARI SUMBER ADALAH YI : Perubahan jumlah sumber i akan mempengaruhi nilai Z. Setiap unit perubahan nilai sumberi i memberikan perubahan nilai Z sebesar Yi, di mana :
Perubahan nilai Z dari titik D sampai titik G Y1 = ---------------------------------------------------------Perubahan nilai M l dari titik D smpai titik G
Dengan demikian nilai Y1 =
30 18 = 3/4 36 20
Dengan cara yang sama diperoleh :
(Uraikan !)
64 / 3 20 = 1/2 20 / 3 4 21 21 Y3 = = 0 1 3/ 2 Y2 =
Y4 =
21 21 = 0 2 3/ 2
37
