Modelo Lotka Volterra PDF

Pr áctica 5 MODELO LOTKA-VOLTERRA

5.1

Ob jetiv o

En la Pr áctica 4 est!ia"os al#nas técnicas $ara %acer el análisis calitativo !e na ecación !i&erencial !i&erencial no lineal. En esta $r áctica anali'are"os anali'are"os el "o!elo $resa $resa- !e$re!a!or( !on!e nos a$arecer á n siste"a !e ecaciones !i&erenciales )e no $e!e necesitare"os e"$lear e"$lear "éto!os $e!e resolverse e*acta"ente. Por tanto( necesitare"os n"éricos + calitativos. En concreto( encontrare"os los $ntos !e e)ilibrio( lineali'are"o lineali'are"oss el siste"a alre!e!or alre!e!or !e los los $ntos $ntos !e e)ilib e)ilibrio rio $ara %acer el an solciones son $erió!icas( + $or  álisis !e estabili!a!( !e"ostrare"os )e las solciones ´ lti"o lo a$licare"os a n caso concreto.

5.,

ntro!cci

ón n eje"$lo clásico !el "o!elo $resa !e$re!a!or es el )e re$resenta a la $oblaci ón !e linces + conejos !e n bos)e al norte !e /ana!á. La ra'ón !e la &recencia con )e a$arece !ic%o eje"$lo en !i&erentes te*tos( es $or)e la co"$an0 ´a 2!son 3a+ anotó ci!a!osa"ente las ca$tras !e estas !os es$ecies en el $er ´o !o 1 - 16( + se as"e )e estas ca$tras son re$resentativas !el ta"a n0 o !e las $oblaciones. La 7i#ra 5.1 re$resenta a las ca$tras !e linces + conejos entre los an0 os 165 + 16,5( a$recián!ose n co"$orta"iento oscilatorio con n $er a$ro*i"a!o "a!o !e 1, 1, an0 os. 8estro objetivo ser á el !e constri constrirr n "o!elo ´o !o a$ro*i )e e*$li)e !e &or"a "ate"ática el co"$orta"iento $erió!ico !e este siste"a. Dic%o "o!elo %a si!o elabora!o en teor ´a + básica"ente consiste en lo si#iente.

56

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5.; Análisis calitati calitativ vo !el "o!elo 9

Lot: : aaPr áctica 5 Mo!elo Lot

, y , y =t > las $oblaciones !e conejos =$resas> + linces linces =!e$re!a!ores> res$ ecti0 va"en va"ente te.. La ra'ón !e ca"bio !e las $resas x =t > es $ro$orc $ro$orcion ional al en ca!a ca!a contacto entre "o"ento al n´ "ero !e ellas( =a1 x=t >>( >>( "enos la $robabil $robabili!a! i!a! !e contacto >>. Es !ecir( los conejos + los linces( =a, x=t > y =t >>. dx=t > y=t > ? a1 x=t > − a, x=t > y dt . De "anera si"ilar( en asencia !e $resas la $oblación !e linces !is"in+e a >>( + al inclir los conejos s na tasa $ro$orcional al n´ "ero !e ellos( =−b1 y=t >>( $oblación a"enta $ro$orcional a la $osibili!a! !e contacto entre las $resas + los >>. /o"binan!o estos &actores !e$re!a!ores =b, x=t > y=t >>. dy=t > dt

? −b1 y=t > @ b, x=t > y =t >

.

7i#ra 5.1 /a$tras !e linces + conejos en 165 - 16,5 Es evi!ente )e $ara la reali'aci ón !e !ic%o "o!elo se %an e&ecta!o n eleva!o eje "$lo( no se %a teni!o en centa la n´ "ero !e si"$li&icaciones !e la reali!a!. Por eje"$lo( variacion !el cli"a( las relaciones con otras es$ecies( la $resencia !el ser %"ano( + otros &actores "+ i"$ortantes co"o son la e!a! !e los ani"ales + s !istribci ón es$acial.
5.;

"o!elo

Análisis

calitativo !el







e y =t > tienen )e ser cero. Tene"os )e resolver el siste"a B x=a1 − a, y> y > ?  x0 =t > ? x= 0 y ? y=−b1 @ b, x> ?  c+as solciones son

C

x=t > , , y =t >> P 1 ? = x , >> ? = , > ,

P ,

1

b

D a1

, a ,

?

b,

.

De los $ntos !e e)ilibrio e)ilibrio encontra!os no $o!e"os !e!cir el co"$orta"iento oscilatorio !el siste"a observa!o en la 7i#ra 5.1.

EER//O 5.;., Lineali'ar el siste"a !e ecaciones !i&erenciales en n entorno !e los $ntos !e e)ilibrio( $ara est!iar la estabili!a! !el siste"a. &nciones f f = x, x, y > ? a1 x − a, x ? −b1 y @ b, x y. y . /alcla"os las si#ientes !eriva!as $arciale $arciales( s( ∂ f

?

a1

−

∂x ∂ g ? b, y ∂x

a, y

F ∂ f ? −a x , ∂y F ∂g ? −b @ b x , 1 ∂y

+ sstiti"os sstiti"os en el $ri"ero !e los $ntos P 1 (

C

J = , >

?

a1 

D  −b1

.

si calcla"os los valores + vectores $ro$ios !e esta "atri'

J ? {{a1 , 0} , {0 , −b1}} EigenvaluesG J JH EigenvectorsG J JH {a1( -b1} {{1( }( {( 1}}







O bien( bien( t x=t > ? c1 ea1 ,

Para el se#n!o !e los $ntos P ,

?

y =t > ? c, e

.

=b1 /b, , a1 /a, >( la "atri' jacobiana es C a, b1 

J = , >

b1 t

−

?

−

D

b

a b

,

1 ,

.

a,

<s valores $ro$ios son(

J ? {{0 , −=a2b1> / b2 b2} , {=a1b2> / a2 a2 , 0}} EigenvaluesG J JH {- <)rtGa1H <)rtGb1H}

<)rtGb1H(



<)rtGa1H

√

Es !ecir λ ? ± a1b1 ≡ iw , lo )e "estra "estra )e P , es n centro + s#iere )e las solciones #irar án en en torno torno a él( !an!o !an!o l#ar( en este caso( a solciones $ eri ó!icas !e las $oblaciones. La solciones son a%ora D D C C C D x=t > ? c1 cos wt wt sen , @ c, − A cos wt A sen wt y=t >

con b A ? , b1

r

a1 . a,

EER//O 5.;.; Encontrar las ecaciones !e las "o!elo $resa-!e$re!a!or.

órbitas !el

dy −b1 y @ b, ? x= x=a1 − a, y> ? xy dx a x − 1

a, xy

Esta ecación es se$arable( +a )e $e!e e*$resarse !e la &or"a a1

−

y

a, y

dy

?

dx

−b1 @ b, x

x

Por consi#iente( a1 ln y − a, y @ b1 ln x − b, x

?

k 1 $ara na constante k 1 .







órbitas

$ara na constante K . As´ $es( las crvas !e&ini!as $or la ecación

x b1 eb, x =5.1> −

?

!el siste"a son la &a"ilia !e

−a, y a1

y

C e

.

Para $robar )e las solciones solciones son $erió!icas se$ara"os la &nción i"$l´cita anterior en las &nciones F = x> x>

? x

−b1 b, x

e

,

G= y> y >

?

−a, y a1

y

C e

,

+ las re$resenta"os #r á&ica"ente. =a> F = x> x> tiene na as´ntota vertical en x ? . =b> F = x> x> tien!e a in&inito can!o x tien!e a in&inito. =c> La !eriva!a !e F = x> x> es 0

F = x x> ?

−b1 x

−b1 −1 b, x

e

@ b, x

−b1 b, x

e

? x

−b1 −1 b, x

e

=b, x −

b1 > , )e se anla en x ´ni"o.

=!> G=>

?

? b1 /b, (

!on!e $resenta n "



=e> G= y> y > tien!e a cero can!o + tien!e %acia in&inito. > La !eriva!a !e G= y> y > es =& > 0

G = y>

?

C a1 y

a1 −1 −a, y

e

−

a

−a, y

y 1 a, e C y

?

y C y

)e vale cero en y ? a1 /a, !on!e tiene n "á*i"o.

a1 −1 −a, y

e

=a1

−

a, y> ,







Por =5.1> sabe"os )e las &nciones F = x> x> + G= y> y > !eben ser i#ales( + si observa"os la 7i#ra 5.,( esto sólo es $osible si el ran#o se encentra entre el valor "´ni"o !e F = x> x> + el "á*i"o !e G= y>. y >. /an!o F = x> x> alcan'a el "´ni"o( entonces G= y> y > valores( )e corres$on! corres$on!en en al valor valor "ás alto + "ás $e!e $e!e to"ar !os $osibles valores( bajo !e la $oblación !e linces =$ntos A + 3>. En el valor "á*i"o !e G= y>( y >( la &nción F = x x> to"a ta" bién !os $osibles valores( )e son los niveles !e $oblación baj o + "ás alto !e conejos conejos =$ntos =$ntos / + D>. La 7i#ra 7i#ra 5.; re$resenta re$resenta a la "ás bajo sitaci ón anterior.

7i#ra 5.; Re$resentación #r á&ica !el $lano

&ase

EER//O 5.;.4 En el "o!elo Lot:a-Volterra )e veni"os est!ian- !o( encontrar los niveles "e!ios !e las $resas + !e los !e$re!a!ores >>0 > y =t >

?

? x

1 =a1 a,

−

0

=t > /x /x=t > ? a1 − a, y =t > se tiene )e 0

>> > . =ln x=t >>

El valor $ro"e!io !e y =t > sobre el intervalo G , T H se !e&ine co"o I T 1 y=t >dt , T 

si sstiti"os 1 1 T a,

I

T

=a1 

−

0

>> >dt ? =ln x=t >>

a1 . a,

Ra'onan!o !e "anera "anera si"ilar se $reba )e el valor $ro"e!io !e y =t > es b1 /b, . En consecencia( no i"$orta co"o !e #ran!es sean las $oblaciones iniciales !e las !os









Lot: : aaPr áctica 5 Mo!elo Lot

5.4 Análisis n"érico !el "o!elo 95

5.4

"o!elo Análisis n"érico !el "o !elo

La si#iente tabla "estra el ´n!ice !e ca$tras !e linces + conejos elabora!a $or la co"$an0´a 2!son 3a+ entre los an0 os 16 + 16,.

An0 o /onejos 16 ; 161 4J., 16, J., 16; JJ.4 164 ;9.; 165 ,.9 169 1.1 16J ,1.4 16 ,, 166 ,5.4 161 ,J.1

Linces 4 9.1 6. ;5., 56.4 41.J 16 1; .; 6.1 J.4

An0 o /onejos 1611 4.; 161, 5J 161; J9.9 1614 5,.; 1615 16.5 1619 11., 161J J.9 161 14.9 16, 19., 16,1 ,4.J 16,, -

Tabla 5.1 /a$tras !e linces + conejos en

Linces  1,.; 16.5 45.J 51.1 ,6.J 15. 6 .J 1.1 .9 "iles

$resa-!e$re!a! e!a!or or a los !atos !e la Tabla 5.1( es necePara $o!er a$licar el "o!elo $resa-!e$r sario conocer a1 , a, , b1 , b, , x=> x=> , , y =>. E"$e'a"os to"an!o co"o valores iniciales x=> x=> ? ; e y=> y => ? 4. Para encontrar encontrar el resto !e !e los $ar á"etros !ebe"os tener en centa los valores "e!ios a1 b1 y =t > ?. a , x =t > ? , b , + %ace- "os s "e!ia( $o!e"os esti"ar x =t > e y K=t >. >. Por eje"$lo( en el caso !e los conejos consi!erare"os la $oblación co"$ren!i!a entre los an0 os 16; + 161; JJ. JJ.4 @ ;9. ;9.; @ ,. ,.9 @ 1. 1.1 @ ,1. ,1.4 @ ,, @ ,5. ,5.4 @ ,J. ,J.1 @ 4. 4.; @ 5J

;4 9







To !av´a necesita"os necesita"os otras !os ecaciones ecaciones $ara $o!er esti"ar esti"ar to!os los los coe&icientes. Para ello ra'ona"os !e la si#iente "anera can!o la $oblación !e es$erar )e las $resas $resas estén crecien!o !e !e$re!a !e$re!a!ore !oress sea "+ baja( es !e es$erar e*$onencial. A $artir !e esta %i$ótesis calclare"os a1 . En e&ecto( en la "anera e*$onencial. Tabla 5.1 observa"os )e na $oblación baja !e linces( + al "is"o tie"$o n creci"iento r á$i!o !e los conejos( corres$on!e al an0 o 161. Para estos an0 os los !atos son x=t > ? ,J. ,J.1 en 161 + x=t @ 1> ? 4. 4.; en 1611. 1611. ? x=>ea1 t ( se obtiene ór"la !el creci"iento e*$onencial D C ? .;6J . =5.;> 4 ; . a 4. 4.; ? ,J.1 e 1 a1 ? ⇒ ,J.1 ln En el otro caso( na $oblación "+ baja !e conejos )e i"$lica n rit"o eleva!o en el !escenso !e la $oblación !e linces( se !a en el an0 o 165. y => ? 41.J , y=1> y =1> −b1 t ? 16( si sstiti"os en y =t > ? y =>e ( D C ? .J9 . =5.4> 16 b ⇒ b1 ? − 16 ? 41.J e 1 41.J ln −

De las e*$resiones =5.,( 5.;( 5.4> !e!ci"os x=> x=> ? ; , y => ? 4 , a1 ? .4 , a, ? .1 , b1 ? . , )e nos $er"iten escribir nestro "o!elo $resa-!e$r $resa-!e$re!a!o e!a!or r  0  x =t >

y =t > ? .4 x=t > − .1 x=t > y

F x=> x=>

b,

?

.,; ,

?

; 

0

y =t > ?

−. y =t >

y=t > F y=> y => @ .,; x=t > y

?

4

EER//O 5.4.1 tili'ar el "éto !o !e Rn#e-Ktta !e carto or!en $ara la resolci ón n"érica !el siste"a !e ecaciones

=5.5>

=5.9>







constri"os los no!os

nodo ? Table TableGa @ ih.{i , , 0 , n}HF + encontra"os los valores !e L1 , L, , L; , L4 , K 1 , K , , K ; , K 4 .

ForGi ? 2 , i / 2 , colaGGi − 1HH @ =h∗!1> / 2HF !2 ? gGnodoGGi − 1HH @ h / 2 , valorGGi − 1HH @ =h ∗ 1> / 2 , colaGGi − 1HH @ =h∗!1> / 2HF 3 ? f GnodoGGi − 1HH @ h / 2 , valorGGi − 1HH @ =h ∗ 2> / 2 , colaGGi − 1HH @ =h ∗ !2> / 2HF !3 ? gGnodoGGi − 1HH @ h / 2 , valorGGi − 1HH @ =h ∗ 2> / 2 , colaGGi − 1HH @ =h ∗ !2> / 2HF 4 ? f GnodoGGi − 1HH @ h , valorGGi − 1HH @ h3 , colaGGi − 1HH @ h!3HF !4 ? gGnodoGGi − 1HH @ h , valorGGi − 1HH @ h3 , colaGGi − 1HH @ h!3HF "##endToGvalor , valorGGi − 1HH @ 1 / $ ∗ h ∗ =1 @ 22 @ 23 @ 4>HF "##endToGcola , colaGGi − 1HH @ 1 / $ ∗ h ∗ =!1 @ 2!2 @ 2!3 @ !4>HF HF /onstri"os la #r á&ica )e )e nos "estra la evolción !e las $resas $resas , valorGGiHH} , {i , , n gra%ca1 ? !ist&lotG Table TableG{nodoGGiHH ,

>

()*+olorG1 , 0 , 0H , , &lotJoined− > True TrueHF la #r á&ica )e nos "estra la evolcion !e los los !e$re!a!ores

@

1} , &lot'tyle−







linces ? !ist&lotG{{1 , 4} , {2 , $.1} , {3 , /.8} , {4 , 3..2} , {. , ./.4} , {$ , 41.-} , {- , 1/} , {8 , 13} , {/ , 8.3} , {10 , /.1} , {11 , -.4} , {12 , 8} , {13 , 12.3} , {14 , 1/..} , {1. , 4..-} , {1$ , .1.1} , {1- , 2/.-} , {18 , 1..8} , {1/ , /.-} , {20 , 10.1} , {21 , 8.$}} , &lot'tyle− > ()*+olorG0 , 0 , 1HH







7i#ra 5.4

Ajste !e los !atos

A continación !ibja"os las órbitas

gra%ca3 ? !ist&lotG Table TableG{valorGGiHH , , colaGGiHH} , { , i , n &lot'tyle− > ()*+olorG0 , 1 , 0H , , &lotJoined− > True TrueHF

@

1} ,

+ re$resenta"os la nbe nbe !e $ntos corres$on!ientes a las $oblaciones !e conejos conejos + 'orros !e la Tabla 5.1

gra%ca4 ? !ist&lot G{{30 , 4} , {4-.2 , $.1} , {-0.2 , /.8} , {--.4 , 3..2} , {3$.3 , ./.4} , {20.$ , 41.-} , {18.1 , 1/} , {21.4 , 13} , {22 , 8.3} , {2..4 , /.1} , {2-.1 , -.4} , {40.3 , 8} , {.- , 12.3} , {-$.$ , 1/..} , {.2.3 , 4..-} , {1/.. , .1.1} , {11.2 , 2/.-} , {-.$ , 1..8} , {14.$ , /.-} , {1$.2 , 10.1} , {24.- , 8.$}}H









8OTA< /OMPLEME8TARA<

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