MODELO BINOMIAL
1.- Si X ~ B(n, p) tal que E(X) = 3 y V(X) 2.4 , calcular: P[X
3].
SOLUCIÓN: E(x) = np V(x) = npq E(x) = np = 3 ............... ...............
(1)
V(x) = npq = 2.4 ............ (2) Reemplazando 1 en 2 3q = 2.4 q
2 .4
1 – p = 0.8
p = 1 – 0.8
3
q = 0.8
p = 0.2
np = 3 n(0.2) = 3
n
3
0.2
n = 15
p(x 3) = 1 – p (x < 3) = 0.602 P(x
tabla.
3) = 1 [p(x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2)] = 1 - C150 (0.2) 0 (0.8)15 C115 (0.2)1 (0.8)14 C152 (0.2) 2 (0.8)13 = 1 – [1(0.035184) + 15 (0.008796) + 105 (0.002748)] = 1 – 0.3980232 = 0.6019797907
b)
Solución: Valor más probable. n (p) = 1 5 (c/s2) = 1 1=1
1
2.- Un estudiante contesta al azar (o sea sin saber nada) a 9 preguntas, siendo cada una de 4 respuestas de las cuales sólo una es la correcta. a) Determinar la distribución de probabilidades del número de preguntas contestadas correctamente. b) Si para aprobar tal examen debe contestar correctamente al menos 6 preguntas, ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?. SOLUCIÓN:
n = 9 preguntas con 40 opciones: = ¼ = 0.25 = p p = probabilidad de contratar correctamente. a)
X : N° de preguntas contestados correctamente. X
Binomial (9, 0.25)
Es decir de 4 opciones una correcta b)
p = 1/4
Para aprobar debe contestar correctamente al menos 6 preguntas es la probabilidad de contestar correctamente. x
P (x
B(9, 0.25)
6) = P(x = 6) + p(x=7) + p(x = 8) + p(x = 9) =
9
C6
(0.25)6 (0.75)3 +
9
C9
9
C7
(0.25)7 (0.75)2 +
9
C8
(0.25)8 (0.75) +
(0.25)9 (0.75)
= 84 (0.25)6 (0.75)3 + 36 (0.25) 7 (0.75)2 + 9(0.25)8 (0.75) + (0.25)9 (0.75) = 0.009945068 = 0.011
Redondeando.
3.- En una producción, la probabilidad de que un objeto sea defectuoso es 0.2. Si en una muestra de n de tales objetos escogidos al azar uno por uno, se espera que haya un defectuoso, a) calcular la probabilidad de que haya un objeto defectuoso. b) ¿Cuántos objetos defectuosos es más probable que ocurra? SOLUCIÓN:
X: N° de objetos defectuosos P(x = 1) = 0.2 N
E = (x) = np = 1 n(0.2) = 1 n = 1/0.2 p(x = 1) =
n = 5
C1 (0.2) 5
(0.8)4
= 0.4096 4.- El 75% de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 80% de la mercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional, El 60% del total de la mercadería lo adquiere de A y el resto de B. Si se seleccionan 4 unidades de la mercadería, ¿qué probabilidad hay de que se encuentren 2 unidades que sean de calidad excepcional?. SOLUCIÓN
A – 75% Excepcional
60% adq. A
B – 80% Excepcional
40% adq. B
X : N° de objetos de calidad excepcional. P A = 0.60 (0.75) = 0.45 pB = 0.40 (0.80) = 0.32 0.77 p = p A + pB = 0.77 p = 0.77
x
p (x =2) =
Binomial (4, p) C2 (0.77)2 (0.23)2 4
= 6(0.77)2 (0.23)2 = 0.1881864 5.- En una empresa
de construcción civil donde los empleados son 80%
hombres y 20% mujeres están aptos para jubilarse el 10% de las mujeres y el 10% de los hombres.
De cinco solicitudes para jubilarse, ¿cuál es la
probabilidad de que al menos dos estén aptos para jubilarse?. .-
SOLUCIÓN:
80% - Hombres 20% - Mujeres
Jubilación 10% H.
Jubilación 10% M.
n=5 X : N° de trabajadores aptos para jubilarse P (x 2) P = 0.80 x 0.1 + 0.20 x 0.1 = 0.1
X Binomial (5; 0.1)
P(x
2) = 1 – p (x < 2) = 1 – [p(x = 0) + p(x = 1)] =1-
5
0.9
C0 0.1
0
5
5
C
1
0.10.9
4
= 1 – [(0.9)5 + 5(0.1) (0.9) 4] = 1 – 0.91854 = 0.08146 6.- La producción de cuatro máquinas es recogida en cajas de 5 unidades. La experiencia permitió establecer la siguiente distribución de las cajas, según el número de unidades defectuosas que contienen; # de unidades defectuosas Porcentaje de cajas
0
1
2
3
4
5
0.70 0.15 0.08 0.05 0.02 0.00
La inspección diaria consiste en examinar las 5 unidades de cada caja. Se acepta una caja, cuando contiene menos de dos unidades defectuosas. En caso contrario se rechaza. a)
¿Cuál es la probabilidad de rechazar una caja que no contenga unidades defectuosas?
b)
¿Cuál es la probabilidad de aceptar una caja que contenga tres unidades defectuosas?
SOLUCIÓN:
4 máquinas n = 5 unidades.
# de unidades defectuosas
0
Porcentaje de cajas
1
2
3
4
5
0.70 0.15 0.08 0.05 0.02 0.00
Acepta la caja si hay menos de 2 unidades defectuosas. En caso contrario se rechaza. a) X : N° de unidades defectuosas. P(x 2) X ------- Binomial (5, 0.70) P(x 2) = 1 – p(x 2) = 1 – [P(x = 0) + p(x = 1)] = 1 - C 0.7 0.3 5
0
5
0
5
+ C1 0.7
0.3 1
4
= 1 – [(0.5)5 + 5 (0.7) (0.3) 4] = 1 – 0.03078 = 0.96922 b)
P(x 2) X ------ Binomial (5, 0.05) P(x 2) = 1 – p(x < 2) = 1 – [p(x = 0) + p(x = 1)] = 1 - C 0.05 0.95 C 0.05 0.95 5
0
0
5
5
1
4
1
= 1 – [(0.95)5 + 5(0.05) (0.95)4 ] = 1 – 0.9774075 = 0.0225925 7.- Un vendedor a domicilio compra diariamente 10 unidades de un producto eléctrico para viviendas básicas a $2 cada una. Por cada uno, gana 13$ si vende o pierde 1$ si no vende en el día . Si la probabilidad de venta de cada unidad es 0.2 y si las ventas son independientes. a) hallar la distribución de probabilidad de las unidades vendidas. b) calcular la utilidad esperada de( vendedor. SOLUCIÓN:
n = 10
S/. 2.00
Por cada vendido gana S/. 3 Por cada no vendido pierde S/. 1 P (venta de c/unidad) = 0.2, y la ventas son independientes. a)
X : N° de unidades vendidas: X
b)
Binomial (10, 0.2)
E(x) = n p = 10 (0.2) = S/. 2.
8.- Una computadora utilizada por un sistema bancario de 24 horas asigna cada transacción al azar y con igual probabilidad, a una de cinco posiciones de memoria: 1, 2, 3, 4, 5. Si al terminar el periodo nocturno de un día se han registrado 15 transacciones, ¿cuál es la probabilidad de que el número de transacciones efectuadas a las posiciones de memoria par sea mayor que 3? SOLUCIÓN:
1, 2, 3, 4, 5 n = 15
p(x) = 1/5
transacciones
p((número par) = 2/5 = p(éxito)
X
X : Nº de transacciones a Nº par
Binomial (15, 2/5)
p(x > 3) = 1 – p(x 3) = 1 – [p(x = 0) + p(x= 1 ) + p(x = 2) + p(x = 3)] =1-
15
C0 0.4
0.6 0
15
5
C
1
0.4 0.6 1
14
0.4 0.6
15
C
2
2
13
0.4 0.6
15
C
3
3
12
= 0.9094980976 9.- Una secretaria que debe llegar a la oficina a las 8 de la mañana, se retrasa 15 minutos en el 20% de las veces. El gerente de la compañía que no llega si no hasta las 10 de la mañana llama ocasionalmente a la oficina entre las 8 y 8.15 de la mañana para dictar una carta. Calcular la probabilidad de que en 5 mañanas por lo menos una no encuentre a la secretaria. SOLUCIÓN:
debe llegar a las 8:00
20% de las veces se retraza 15’
8.15
El gerente llama a la oficina entre los 8 y 8.15 X : Nº de días que llega tarde n=5 éxito, no esta en la oficina de 8 a 8.15
p(x > 3) = 1 – p(x 3)
x Binomial (5, 0.2)
p(éxito) = 1/5 p(x 1) = 1 – p(x < 1) = 1 – p(x = 0) =1-
5
0.8
C0 0.2
0
5
= 1 – 0.32768 = 0.67232 10.- Al realizar un experimento, la probabilidad de lograr el objetivo es 0.4. Si se realiza el experimento 20 veces bajo las mismas condiciones y asumiendo resultados independientes a) Calcular la probabilidad de lograr el objetivo por lo menos en tres de las 20 veces b) El costo de realizar el 'experimento es de S/.1500, si se logra el objetivo; y de S/. 3000 si no se logra. Calcular el costo esperado para realizar el experimento. . SOLUCIÓN:
p(ÉXITO) = 0.4 n = 20 a)
X : N° de veces que se logra el objetivo.
x
Binomial (20, 0.4)
p(x 3) = 1 – p(x < 3) = 1 – [p(x = 0) + p(x = 1) + p(x = 2)]
=1-
20
C0 0.4
0.6 0
20
C
20
1
0.4 0.6 1
= 1 – 0.0036114721 = 0.9963885279 b)
E(x) = np = 20(0.4) = 8 Costo = 1500x + 3000 (20 – x) E(costo) = E(1500x + 3000 (20 – x) = 1500 E(x) + 6000 – 3000 E(x) = 1500 (8) + 6000 – 3000 (8) E(costo) = 48000.
19
C
20 2
0.4 0.6 2
18
