Baca ini terlebih dahulu: 1. Modul ini dapat disebarluaskan secara gratis 2. Dilarang keras untuk memperjualbelikan modul ini 3. Dilarang keras mengubah sebagian atau seluruh modul ini
Dibuat oleh: Lingga Musroji, Ambisforia e-mail:
[email protected] Line: limuzzz Kaskus: musejakarta musejakarta
A. Induksi Matematika Lemah Induk matematika lemah umum digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan matematis yang domainnya adalah bilangan bulat atau disimbolkan perlu diperhatikan, yaitu: 1. Membuktikan kasus awal, yaitu
∀ ∈ ℕ. Ada beberapa langkah yang
2. Mengasumsikan pernyataan benar untuk suatu bilangan bulat , sehingga 3. Membuktikan jika 4. Kesimpulan
benar, maka 1 juga benar
benar
Perhatikan bahwa setiap langkah harus dituliskan dengan jelas.
1. Penjumlahan a.
: 1 2 3 ⋯ = + untuk ≥ 1 . Untuk = 1 : Sisi kiri: 1 = 1 + = 1 Sisi kanan:
Buktikan 1.
Terbukti benar.
benar untuk = , maka 12 3⋯ = + 3. Akan dibuktikan bahwa 1 juga benar 2 1 23… 1 = 2 1 1 = 12 1 = 1 2 = 1(2 1 1) Terbukti 1 benar + untuk setiap ≥ 1 benar. 4. Kesimpulan: pernyataan :12 3 ⋯ = Catatan: tanda = menandakan kita menggunakan rumus yang kita dapatkan di langkah kedua. + b. Buktikan : × × × ⋯ + = ++ untuk ≥ 1 1. Untuk = 1 : = Sisi kiri: × ×+ = = Sisi kanan: ++ 2. Asumsikan
Terbukti benar. 2. Asumsikan
benar untuk = , maka
3.
1 1 1 ⋯ 1 = 3 1 2 3 1×3 2×4 3×5 2 4 2 1 2 Akan dibuktikan 1 juga benar: 1 1 1 ⋯ 1 1 1×3 2×4 3×5 2 1( 1 2) = 34 1 1 (22 32) 1 1 1 3 2 3 = 34 1 1 1 3 2 2 2 2 3 3) = 34 1 1 (2 2 3 2 9 9 = 34 1 1 2 24 2 3 2 2 7 5 1 = 34 2 2 3 1 1 2 5 1 = 34 2 2 3 1 1 5 = 34 2( 121)( 1 2) 1 juga benar Terbukti benar untuk setiap ≥ 1 Terbukti
4.
2. Pertidaksamaan a.
: 2 > untuk setiap ≥ 5 Untuk kasus = 5 : Sisi kiri: 2 = 32 Sisi kanan: 5 = 25 Karena 32 > 25, maka terbukti benar untuk = 5. Asumsikan benar untuk = , maka 2 > Akan dibuktikan 1 juga benar 2+ = 2×2 > 2 = > 2 1 = 1 Terbukti 2+ > 1 Kesimpulan: terbukti bahwa 2 > untuk setiap ≥ 5 benar.
Buktikan bahwa 1.
2. 3.
4.
Catatan: tanda
> menandakan kita menggunakan pertidaksamaan dari langkah 2.
> perhatikan bahwa > 2 1 untuk setiap ≥ 5. Buktikan bahwa : 2 < ! untuk setiap ≥ 4 1. Untuk kasus = 4 : Sisi kiri: 2 = 16 Sisi kanan: 4! = 24 Karena 16 < 24, maka terbukti benar untuk = 4 2. Asumsikan benar untuk = , maka 2 > ! 3. Akan dibuktikan 1 juga benar 2+ = 2×2 < 2! < 1! = 1! Terbukti 1 benar 4. Kesimpulan: 2 < ! untuk setiap ≥ 4
Untuk memahami b.
3. Keterbagiaan
Teori: bilangan bulat dikatakan habis dibagi oleh bilangan bulat jika ada bilangan bulat
= ×. Contoh:
= 2 sehingga 6 = 2×3. Buktikan bahwa : habis dibagi 6 untuk setiap ≥ 1 1. Untuk kasus = 1 : 1 1 = 0, karena ada = 0 sehingga 0 = 0×3 maka benar untuk = 1 2. Asumsikan untuk = , benar, maka habis dibagi 3 atau ada sehingga = 3 3. Akan dibuktikan bahwa 1 juga benar 1 1 = 3 3 1 1 = 3 = 3 = 3 3 Terbukti ada = sehingga 1 1 = 3′. Jadi 1 juga benar. 4. Kesimpulan: habis dibagi 3 untuk setiap ≥ 1 Buktikan bahwa 4+ 5− habis dibagi 21 untuk setiap ≥ 1 1. Untuk kasus = 1 : 4+ 5×− = 4 5 = 21 = 1×21 Terbukti ada = 1 sehingga 4+ 5×− = ×21 2. Asumsikan untuk = , benar, maka ada sehingga 4+ 5− = 21 3. Akan dibuktikan bahwa 1 juga benar 4++ 5+−
6 habis dibagi oleh 3 karena ada a.
b.
sehingga
4.
= 4×4+ 5×5− = 4×4+ 25×(21 4+ ) = 21×25 4×4+ 25×4+ = 21×25 21×4+ = 2125 4+ Terbutki ada = 25 4+ sehingga 4++ 5+− = 21′. Jadi 1 juga benar Kesimpulan: 4+ 5− habis dibagi 21 untuk setiap ≥ 1