Metodo de Fluxiones de Newton

EL DESCUBRIMIENTO DEL CALCULO 1

Introducci´ on.

Isaac Newton (1642-1727) en 1664-1666 y G. W. Leibniz (1646-1716) en 1675 descubrieron independientemente el cálculo diferencial e integral. Sus enfoques y conceptos son distintos, pero llegan básicamente a los mismos resultados, llegando a un c´ alculo también algo distinto del que usamos ahora. Hasta entonces, en el periodo 1615-1660, se hab´ıa usado el cálculo infinitesimal por matemáticos de gran talla como Kepler, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Fermat, Wallis, Gregory, Barrow, etc. Pero los métodos para hallar cuadraturas, y tangentes a curvas o problemas relacionados eran como una especie de matemática artesanal donde cada ejemplo resolv´ıa un problema concreto, bien adaptado a la forma particular de cada objeto en cuesti´ on. El gran mérito de lo que llamamos cálculo diferencial e integral es el de ser un algoritmo general que vale para todas expresiones anal´ıticas a la vez y que se basa en que los procesos de cálculo de tangentes (derivaci´ on) y cuadraturas (integración) son procesos inversos el uno del otro. Isaac Newton (1642-1727) nació el 25 de Diciembre de 1642 seg´ un el calendario Juliano, todav´ıa usado por entonces en Inglaterra, o el 4 de Enero de 1643 con respecto a nuestro calendario Gregoriano. Fue profesor de matemáticas en Cambridge y luego jefe de la casa de la moneda en Londres. Sus principales ideas fueron desarrolladas en 1664-1666 cuando estaba recluido en su casa natal de la aldea de Woolsthorpe, ya que el Trinity College de Cambridge, donde Newton era estudiante, estuvo cerrado por la epidemia de la peste. Alli desarrolló sus ideas de la gravitaci´ on universal, de la teor´ıa de los colores y sobre la serie del binomio y el c´ alculo de fluxiones. De naturaleza entonces t´ımida era reacio a publicar sus resultados, para asi evitar las posibles cr´ıticas y controversias de sus contemporáneos. En Octubre de 1666 escribi´ o un tratado sobre fluxiones y en 1669 De analysi, un tratado sobre series infinitas que circul´ o en forma de manuscrito entre los miembros de la Royal Society. Hay otro tratado sobre fluxiones y series infinitas de 1671 y otro sobre la cuadratura de curvas de 1693. Sin embargo estos fueron publicados hasta bien tarde y algunos s´ olo lo fueron después de su muerte. De analysi fue publicado en 1711 y el tratado sobre cuadratura de curvas, De Quadratura 1

2

EL DESCUBRIMIENTO DEL CALCULO

Curvarum de 1693 apareció como un apéndice de su Opticks en 1704. Su obra m´ as famosa, donde expone su teor´ıa de la gravitación universal, los Principia, fue publicada en 1687, pero sus argumentos son muy geométricos y sólo dan una idea de sus métodos del cálculo infinitesimal. De entre el trabajo matemático de Newton, profundo y poderoso, se pueden distinguir algunos temas centrales. Estos son los desarrollos en serie de potencias, en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar ra´ıces de ecuaciones y de inversión de series, relación inversa entre diferenciación e integraci´ on y el concepto de fluentes y fluxiones como variables que cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronolog´ıa de la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras. Gotfried Wilhem Leibniz (1646-1716) era hijo del vice-presidente de la facultad de filosof´ıa de la universidad de Leipzig. De joven, estudió filosof´ıa, derecho y lenguas cl´ asicas. Su principal interés estuvo centrado en desarrollar una especie de lenguaje simbólico para representar los conceptos fundamentales del pensamiento humano y las maneras de combinar estos s´ımbolos para llegar a conceptos m´ as elaborados. Esta idea filosófica, que tiene relación con la combinatoria, fue ya algo en parte elaborada por franciscano mallorqu´ın Ramón Llull (1235-1316) en su Arte Luliano. Poco después de acabar sus estudios, Leibniz empezó en 1672 una misión diplom´ atica en Paris donde permanecer´ıa unos cuatro a˜ nos hasta 1676. All´ı conoci´ o a numerosos filósofos y miembros de la alta sociedad, en particular al holandés C. Huygens (1629-1695), entonces miembro de la recién creada Académie Royale des Sciences. Como curiosidad Huygens le planteó a Leibniz que hallara la suma de los inversos de los n´ umeros triangulares. Mediante sumas y diferencias Leibniz fue capaz de hallar la suma de esta serie y entonces creci´ o su interés en estudiar matemáticas, cuya formación hasta entonces hab´ıa sido muy escasa. Huygens le recomendó que leyera la renovada edición en lat´ın de van Schooten de la Géometrie de Descartes y los trabajos de Pascal. La entrada matem´ atica de Leibniz fue entonces impresionante, ya que le llevó al descubrimiento del c´ alculo en 1675 y su elaboración y publicación en dos cortos art´ıculos del Acta Eruditorum después en 1684 y 1686, el primero sobre cálculo diferencial y el segundo sobre cálculo integral. El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos art´ıculos que public´ o en Acta y por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover. Entre estos documentos están los manuscritos fechados el 25, 26 y 29 de Octubre y el 1 y 11 de Noviembre de 1675 donde Leibniz estudia la cuadratura de curvas y desarrolla su cálculo diferencial e integral. Uno de los ingredientes fundamentales R del cálculo de Leibniz son las reglas para la manipulaci´ on de los s´ımbolos “ ” y “d” de la integral y la diferencial. Esto refleja sus ideas filosóficas de buscar un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del pensamiento de tal manera que los razonamientos y argumentos se puedan escribir por s´ımbolos y fórmulas. En matem´ aticas su c´ alculo es en parte esto, un algoritmo para escribir los métodos geométricos de cuadraturas y tangentes por medio de s´ımbolos y fórmulas. Las otras dos ideas fundamentales del cálculo de Leibniz son la relación entre la

´ 1. INTRODUCCION.

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sumas de sucesiones con las diferencias de sus términos consecutivos y el llamado triángulo caracter´ıstico.

Leibniz pas´ o la mayor parte del resto de su vida en Alemania, como consejero del duque de Hannover. Aparte de la invención y del desarrollo de su cálculo y en la soluci´ on de problemas geométricos y de ecuaciones diferenciales, Leibniz tiene otros trabajos en solvabilidad de ecuaciones y determinantes y escribió y contribuy´ o enormemente en pr´ acticamente todos los campos del conocimiento humano, religi´ on, pol´ıtica, historia, f´ısica, mecánica, tecnolog´ıa, lógica, geolog´ıa, lingu´ıstica e historia natural.

Aunque oscuros y dif´ıciles de leer, los dos art´ıculos de Acta de Leibniz de 1684 y 1686 fueron leidos por los hermanos Jakob y Johann Bernoulli. Jakob Bernoulli era profesor de matem´ aticas en Basilea y su hermano Johann, unos trece a˜ nos m´ as joven, le sucedi´ o después en 1705. Ambos entendieron notablemente el simbolismo y los conceptos de Leibniz y publicaron varios art´ıculos en Acta a partir de 1690. Después iniciaron una intensa y productiva correspondencia con Leibniz, resolviendo en unos pocos a˜ nos numerosos problemas en los que el nuevo c´ alculo demostr´ o toda su fuerza, tales como el la isocrona, la catenaria, la tractriz, la isocrona paracéntrica o la braquistocrona.

Jakob Bernoulli lanz´ o el desaf´ıo, en 1690, de hallar la curva que formar´ıa una cadena suspendida por sus dos extremos. Galileo, en 1638, ya hab´ıa concluido erroneamente que la curva era un arco de circunferencia. Arriba aparece el grabado original de la publicaci´ on de Leibniz de Junio de 1691. Encontrar esta curva, la catenaria, fue uno de los primeros grandes ´ exitos del nuevo c´ alculo.

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2

Isaac Newton (1642-1727).

2.1

La serie del binomio.

La serie del binomio fue descubierta por Newton el invierno de 1664. Aparece expuesta en dos cartas, la Epistola prior de Junio de 1676 y la Epistola posterior de Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que se las transmitiera a Leibniz. Newton observa que el entonces conocido desarrollo

(a + x)n = an +

n n−1 n(n − 1) n−2 2 a x+ a x + · · · + xn 1 1·2

p se puede generalizar para exponentes fraccionarios α = q como una suma infinita (a + x)α = aα +

α α−1 α(α − 1) α−2 2 a x+ a x + ··· 1 1·2

Newton hall´ o este resultado cuando estaba intentando estudiar la cuadratura del c´ırculo y = (1−x2 )1/2 . Comparó las fórmulas para y = (1−x2 )0 , y = (1−x2 )1/2 , y = (1 − x2 )2/2 , y = (1 − x2 )3/2 , y = (1 − x2 )4/2 , . . .. De la primera, tercera, quinta, etc. se pueden hallar sus cuadraturas entre 0 y x ya que son sumas de cuadraturas de términos en xn ya conocidas. De esta forma la

2. ISAAC NEWTON (1642-1727).

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cuadratura de

y = (1 − x2 )0

cuadratura de

y = (1 − x2 )2/2

es

x − 13 x3

cuadratura de

y = (1 − x2 )4/2

es

x − 23 x3 + 15 x5

cuadratura de

y = (1 − x2 )6/2

es

x − 33 x3 + 35 x5 − 17 x7

cuadratura de

y = (1 − x2 )8/2

es

x − 43 x3 + 65 x5 − 47 x7 + 19 x9

es

x

etc. Examinando los coeficientes de estas expresiones, Newton observa que los denominadores que aparecen son los impares 1, 3, 5, 7, . . ., mientras que los numeradores son sucesivamente {1}, {1, 1}, {1, 2, 1}, {1, 3, 3, 1}, {1, 4, 6, 4, 1}, etc. que son los n´ umeros combinatorios que aparecen en el triángulo aritmético de Pascal, cuya fila n est´ a formada por n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) , ,... 1·2 1·2·3

1, n,

Por analog´ıa, supone que las mismas expresiones deben de ser válidas para exponentes fraccionarios, esto es, que para n que sea n = pq , los numeradores sigan la sucesi´ on anterior (ahora infinita) poniendo este valor de n. Por ejemplo para n = 12 , la cuadratura de y = (1 − x2 )1/2 ser´ıa x− ya que

1/2 0

1 2

3

=1

1/2 3

x3 −

1/2 1

=

1 8

5

x5 −

1 = 2

1 16

7

x7 −

5 128

9

1/2 2

x9 − · · ·

=

1/2(1/2 − 1) −1 = 2 8

1/2(1/2 − 1)(1/2 − 2) 1 = , 6 16

...

De donde deduce que, para que aparezca esta cuadratura integrando término a término, y = (1 − x2 )1/2 debe de tener el desarrollo infinito 1 1 1 5 8 (1 − x2 )1/2 = 1 − x2 − x4 − x6 − x − ··· 2 8 16 128 Para asegurarse de que esta analog´ıa da resultados correctos, Newton supone que estas series infinitas se comportan como polinomios con un n´ umero infinito de términos y a los que se les puede aplicar las reglas aritméticas usuales de suma, producto, divisi´ on, extracción de ra´ıces, etc. Comprueba por ejemplo que

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la anterior suma infinita del desarrollo de (1 − x2 )1/2 multiplicada por si misma, da después de simplificar efectivamente 1 − x. De manera análoga comprueba también por un algoritmo aritmético de extracción de ra´ıces cuadradas, que aplicado a 1 − x le da formalmente el mismo resultado. La misma f´ ormula del binomio vale también para exponentes negativos. Asi por ejemplo (1 + x)−1 = 1 + (−1)x +

(−1)(−2) (−1)(−2)(−3) + + · · · = 1 − x + x2 − x3 + · · · 1·2 1·2·3

Expresi´ on que Newton comprueba también al aplicar el algoritmo de la división 1 . de polinomios a 1 + x El uso de estas series infinitas da dos ventajas importantes. Por un lado permite extender muchos algoritmos del cálculo, tales como cuadraturas, de una manera sistem´ atica a todo tipo de curvas, incluso tracendentes, simplemente integrando término a término. Por otro lado simplifica y aproxima las fórmulas si no se tienen en cuenta términos de orden superior. Por ejemplo Newton observa que s 1 √ 2 2 2 7= 9 1− =3 1− = 9 9 1 1 5 7 1 =3 1− − 2 − − − − · · · ' 2.64576 9 16 1458 52488 472392 y obteniene una gran precisión con sólo unos pocos términos. También, utilizando el desarrollo 1 = (1 + x)−1 = 1 − x + x2 − x3 + · · · 1+x e integrando término a término Newton encuentra de esta manera tan sencilla la serie de Mercator de log(1+x), esto es, la cuadratura de la hipérbola. Utilizando esta serie y las propiedades del logaritmo Newton se recrea y va calculando después los logaritmos de 1 ± 0.1, 1 ± 0.2, de 2 = 1.2×1.2 0.8×0.9 , etc. con hasta unos 50 decimales.

2.2

De Analysi.

Esta monograf´ıa circular de 1669 que mandó Newton a sus amigos y que fue publicado mucho después en lat´ın en 1711 contiene ya las ideas esenciales del c´ alculo de Newton. Empieza dando unas reglas para calcular cuadraturas, cuya primera dice asi:

REGULA I.

m

Si ax n = y;

Erit

m+n an x n = Areae ABD. m+n

2. ISAAC NEWTON (1642-1727).

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De Analysi, traducci´ on inglesa (1745). M´ as tarde en este mismo tratado da un procedimiento para hallar la ordenada de una curva cuya cuadratura ABD está dada. El proceso es interesante ya que es de alguna forma el comienzo del cálculo diferencial e integral y donde se ve el papel inverso que juegan la diferenciación y la integración. Lo explica con un ejemplo, aunque es claramente generalizable. De acuerdo con la figura sean z =área(ABD), y = BD, x = AB, Bβ = o. Elijamos ahora v = BK de tal manera que área (BDδβ) = área( BKHβ) = ov.

Consideremos por ejemplo la curva para la cual z=

2 3 x2 3

para facilitar los c´ alculos, elevamos al cuadrado la realción anterior para obtener on que hemos hecho de v también se tiene z 2 = 49 x3 . Por la elecci´ (z + ov)2 =

4 (x + o)3 9

8


esto es z 2 + 2zov + o2 v 2 =

4 3 (x + 3x2 o + 3xo2 + o3 ) 9

Simplificando z 2 = 49 x3 en cada lado de esta expresión y dividiendo por o queda 2zv + ov 2 =

4 (3x2 + 3xo + o2 ) 9

Newton toma ahora Bβ infinitamente peque˜ no. De la figura se observa entonces que v = y y que los términos que contienen o se anulan, de donde 2zy =

4 2 x 3

Sustituyendo ahora el valor de z, resulta finalmente y = x1/2 . Newton introduce después un método iterativo para resolver ecuaciones que ahora lleva su nombre. Pone como ejemplo el resolver la ecuación y 3 − 2y − 5 = 0 Observa primero que y = 2 es una aproximación de la solución. Escribe luego y = 2 + p y lo sustituye en la ecuación para encontrar p3 + 6p2 + 10p − 1 = 0 Como p es peque˜ no, elimina los términos p3 , 6p2 , para obtener 10p − 1 = 0, de donde p = 0.1. De este modo y = 2.1 es la segunda aproximación de la ra´ız buscada. Toma ahora p = 0.1 + q, que sustitu´ıdo en la ecuación para p da q 3 + 6.3q 2 + 11.23q + 0.061 = 0 Tomando otra vez su parte lineal 11.23q + 0.061 = 0, obtiene q = −0.0054, lo que da el nuevo valor aproximado de la soluci´ on y = 2.0946. Newton da un paso m´ as en este ejemplo escribiendo −0.0054 + r = q, y después sustituir en la ecuaci´ on para q y seguir el mismo proceso llega de este modo a la nueva aproximaci´ on y = 2.09455147. Newton aplica luego este método para resolver ecuaciones f (x, y) = 0 más generales. Toma como ejemplo y 3 + a2 y + axy − 2a3 − x3 = 0 y observa que si x = 0, entonces y = a es la solución. Esta es la primera aproximaci´ on. Escribe como antes a + p = y, que sustitu´ıdo en la ecuación da la c´ ubica en p p3 + 3ap2 + (4a2 + ax)p + a2 x − x3 = 0

2. ISAAC NEWTON (1642-1727).

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cuya parte lineal es (4a2 + ax)p + a2 x − x3 = 0, de solución p=

−a2 x + x3 x = − + ··· 2 4a + ax 4

De donde toma y = a − x4 como la segunda aproximación. Escribe ahora q = − x4 + p, etc., y continuando de esta forma va obteniendo la serie y =a−

x2 131x3 509x4 x + + + + ··· 2 4 64a 512a 16384a3

M´ as adelante utiliza un proceso parecido para invertir series. Considera el 1 ejemplo de tomar como z el ´ area debajo de la hipérbola y = 1+x , esto es 1 1 1 1 z = x − x2 + x3 − x4 + x5 + · · · 2 3 4 5 Para invertir esta serie, toma primero sus cinco primeros términos, esto es la ecuaci´ on 1 5 1 4 1 3 1 2 x − x + x − x +x−z =0 5 4 3 2 la va resolviendo y considerando más términos de la serie a invertir. De esta forma va obteniendo 1 1 1 1 5 x = z + z2 + z3 + z4 + z + ··· 2 6 24 120 que es la serie de la funci´ on exponencial ez . Aunque sin utilizar el n´ umero e, esta es la primera vez que aparece esta serie en matemáticas. A partir de su binomio, Newton encuentra también series trigonométricas. Si consideramos la circunferencia de radio 1, de acuerdo con la figura

es x = AQ = sin θ, θ = arcsin x, de manera que θ =2·´ area(OQR) = 2 · [área(ORQB) − área(OQB)] = Z xp 1 p = 2[ 1 − x2 dx − x 1 − x2 ] 2 0

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√ 2 4 6 Por el desarrollo del binomio 1 − x2 = 1 − x2 − x8 − x16 − · · ·, de donde integrando término a término Z xp 1 1 1 7 1 − x2 dx = x − x3 − x5 − x − ··· 6 40 112 0 mientra que p x2 x4 x16 x 1 − x2 = x(1 − − − − · · ·) 2 8 16 sustituyendo y después de simplificar queda 3 5 7 1 x + ··· θ = x + x3 + x5 + 6 40 112 Inviertiendo ahora la serie Newton obtiene 1 1 5 1 7 x = sin θ = θ − θ3 + θ − θ + ··· 6 120 5040 p Encuentra luego la serie de cos θ como cos θ = 1 − sin2 θ y calcula las cuadraturas de la cicloide y luego de la cuadratriz, de ecuación x = y cot y primero invirtiendo esta ecuación para encontrar la serie de y = y(x) y luego integrando término a término.

2.3

El m´ etodo de Fluxiones.

Newton da luego otra versión de su cálculo en “Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum” que fue escrito en 1671 y publicado en 1736. Wallis, con permiso de Newton, incluy´ o el método de fluxiones en la páginas 390–396 de su Algebra. Newton concibe las cantidades matemáticas como el movimiento continuo de un punto que traza una curva. Cada una de estas cantidades variables que aparecen x, y, . . ., son “fluentes” y sus velocidades, designadas por x, ˙ y, ˙ ... son sus “fluxiones”. La parte infinitesimal peque˜ na en la que un fluente se incrementa por unidad infinitesimal de tiempo o, es xo, ˙ el momento del fluente. El problema fundamental es, dada una relación entre fluentes hallar la relación entre sus fluxiones, y rec´ıprocamente, dada una relación entre fluxiones hallar la correspondiente relación entre fluentes. La relaci´ on entre fluxiones a partir de los fluentes es fácil de hallar, ya que si la relaci´ on entre fluentes es, digamos, y = f (x), en un peque˜ no intervalo o de tiempo x se incrementa a x + ox, ˙ y se incrementa a y + oy, ˙ y al ser y + oy˙ = f (x + ox) ˙ será f (x + ox) ˙ − f (x) y˙ = o

2. ISAAC NEWTON (1642-1727).

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Al ser o infinitamente peque˜ no se cancelan los términos que contienen o y aparece la relaci´ on entre fluxiones buscada. Por ejemplo para y = x3 obtenemos y˙ =

(x + ox) ˙ 3 − x3 3x2 xo ˙ − 3xx˙ 2 o2 + o3 = = 3x2 x˙ + 3xx˙ 2 o + o2 o o

Luego elimina los términos que contienen o ya que “se le supone infinitamente peque˜ no” , quedando y˙ = 3x2 x˙ y por tanto, la relaci´ on entre fluxiones es y˙ = 3x2 x˙ La misma técnica funciona cuando y(x) es un √ polinomio en x. En los demás casos utiliza su binomio, por ejemplo para y = 1 + x p √ 1 + (x + xo) ˙ − 1+x y˙ = o √ 2 desarrollando por el binomio 1 + x = 1 − x2 − x8 − · · ·, después de sustituir, y˙ simplificar y dividir por o aparece x˙ como una serie infinita. Aplica también su método al caso de tener dada una curva en la forma f (x, y) = 0. Da de hecho el caso de la c´ ubica x3 − ax2 + axy − y 3 = 0 Para hallar la relaci´ on entre fluxiones, sustituye x por x + xo ˙ e y por y + yo. ˙ Resulta (x + xo) ˙ 3 − a(x + xo) ˙ 2 + a(x + xo)(y ˙ + yo) ˙ − (y + yo) ˙ 3=0 Después de operar y simplificar restando la relación x3 − ax2 + axy − y 3 = 0, cancela los términos con o2 y o3 por ser despreciables frente a o, y divide ahora por o para obtener 3x2 x˙ − 2axx˙ + ay x˙ + axy˙ − 3y 2 y˙ = 0 de donde obtiene la relaci´ on de fluxiones y˙ 3x2 − 2ax + ay = x˙ 3y 2 − ax Newton es consciente de las dificultades de rigor que tienen estos conceptos y posteriormente refina su interpretación en “De Quadratura Curvarum” , escrito en 1676 y publicado en 1704. Aqu´ı habla de “´ ultimas proporciones” (“ultimate ratios” ). Dice: “Por u ´ltima proporci´ on de cantidades evanescentes debemos entender el cociente de estas cantidades, no antes de que desvanezcan, ni después, pero tal como van desvaneciendo.”

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Intuitivamente, esto viene a ser nuestro concepto de derivada interpretada como l´ımite f (x + h) − f (x) f 0 (x) = lim h→0 h El proceso inverso, esto es, de hallar la relación entre fluentes a partir de sus fluxiones, o resolver ecuaciones diferenciales, es más complicado y no siempre funciona. Newton da como primer ejemplo 3x2 x˙ − 2axx˙ + ay x˙ + axy˙ − 3y 2 y˙ = 0 que es el rec´ıproco del caso anterior, donde obtiene x3 − ax2 + axy − y 3 = 0 invirtiendo el proceso. Luego da ejemplos más complicados.

2.4

C´ alculo de Newton del n´ umero π

Aparece en su “Methodus Fluxiorum et Serierum Infinitorum”, de 1671. Newton considera la circunferencia de centro (1/2, 0) y radio 1/2 1 1 (x − )2 + y 2 = 2 4 Despejando y en función de x de la ecuación de la circunferencia y usando el desarrollo del binomio x x2 x3 5 4 7 5 1/2 1/2 1/2 y = x (1 − x) =x 1− − − − x − x − ··· = 2 8 16 128 256 1 1 1 5 9/2 7 11/2 = x1/2 − x3/2 − x5/2 − x7/2 − x − x − ··· 2 8 16 128 256

Calcula entonces el área debajo de la curva integrando término a término A(x) =

2 3/2 1 5/2 1 1 5 11/2 x − x − x7/2 − x9/2 − x − ··· 3 5 28 72 704

Luego para x = 1/4, el área de la región ADB es igual a area (ADB) = ´

1 1 1 1 5 − − − − − · · · = 0.0767737208 . . . 12 160 3584 36864 1441792

2. ISAAC NEWTON (1642-1727).

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Calcula luego la misma ´ area por geometr´ıa, ya que area (ADB) = ´ ´ area (sector ACD) − área (triángulo DBC) Para evaluar esta u ´ltima relaci´ on calcula primero s √ 2 2 1 3 1 BD = − = 2 4 4 Luego se observa de los lados del triángulo BCD que el ángulo en C es de 60o . De donde 2 ! 1 1 1 1 π área (sector ACD) = ´ area (semicircunferencia) = π = 3 3 2 2 24 Mientras que 1 1 area (tri´ ´ angulo DBC) = BC × BD = 2 2 Por tanto

1 4

√ ! √ 3 3 = 32 4

√ π 3 area (ADB) = ´ − 24 32

Igualando los dos valores encontrados anteriormente para esta área resulta √ 3 π = 0.0767737208 . . . − 32 24 y por consiguiente √ ! 3 π ≡ 24 0.0767737 + = 3.141607404 . . . 32 valor que aqu´ı hemos calculado sumando sólo cinco términos de la serie, siendo correcto hasta cuatro decimales (el error es 1.47 × 10−5 ). Newton de hecho usa 20 términos del binomio para llegar a calcular π con 16 decimales correctos. Luego dice “I am ashamed to tell you how many figures I carried these calculations, having no other business at the time” (Me averg¨ uenzo de decirle cuantas cifras he calculado, no teniendo nada más que hacer en aquél momento). A pesar de sus afirmaciones, este es un nuevo paso de gigante en el cálculo del n´ umero π.

14


3

W.G. Leibniz (1646-1716).

3.1

Sumas y diferencias.

Cuando a sus 26 a˜ nos conoció en 1672 a Huygens en Paris, éste le planteó el problema de sumar los inversos de los n´ umeros triangulares 1 1 1 1 1 2 + + + + + ··· + + ··· 1 3 6 10 15 n(n + 1) Leibniz observ´ o que cada término se puede descomponer como 2 1 1 =2 − n(n + 1) n n+1 de donde 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + ··· = 2 1 − +2 − +2 − + ··· = 2 1 3 6 10 15 2 2 3 3 4 Leibniz, tal como hizo en la suma de la serie de los inversos de los n´ umeros triangulares, consideraba sumas y diferencias de sucesiones de n´ umeros. Observ´ o por ejemplo que dada la sucesión a0 , a1 , a2 , · · · , an , si consideramos la sucesi´ on de diferencias d1 , d2 , · · · , dn , donde di = ai − ai−1 . Entonces d1 + d2 + · · · + dn = (a1 − a0 ) + (a2 − a1 ) + · · · + (an − an−1 ) = an − a0 es decir, la suma de diferencias consecutivas es igual a la diferencia entre el u ´ltimo y el primer término de la sucesión original.

3. W.G. LEIBNIZ (1646-1716).

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Por ejemplo, dada la sucesi´ on de cuadrados 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, · · · , n2 sus primeras diferencias son 1, 3, 5, 7, 9, 11, · · · , 2n − 1 ya que i2 − (i − 1)2 = 2i − 1. Luego se sigue que la suma de los n primeros n´ umeros impares es n2 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 Leibniz utiliza este método en otros casos. Por ejemplo en relación a la serie geométrica 1, q, q 2 , . . . , q n , . . . obtiene

∞ X

qn =

n=0

3.2

1 1−q

El c´ alculo de Leibniz.

Leibniz no tard´ o en aplicar a la geometr´ıa sus observaciones de que las sumas de sucesiones y sus diferencias consecutivas son procesos inversos el uno del otro. Consideremos una curva como la de la figura donde aparece una sucesión de ordenadas equidistantes y1 , y2 , y3 , . . . , yn

Si suponemos que la distancia entre estas ordenadas es 1, entonces su suma y1 +y2 +y3 +· · ·+yn es una aproximación de la cuadratura de la curva, mientras que la diferencia entre dos sucesivas yi0 s da aproximadamente la pendiente de su tangente. Adem´ as, cuanto m´ as peque˜ na sea la unidad 1 elegida, mejor será la aproximaci´ on. Si la unidad se pudiera elegir infinitamente peque˜ na, entonces las aproximaciones ser´ıan exactas, la cuadratura ser´ıa igual a la suma de ordenadas y la pendiente de la tangente ser´ıa igual a la diferencia de ordenadas. De esta forma y por su analog´ıa con las sucesiones numéricas, Leibniz observa que la determinación de cuadraturas y el cálculo de tangentes son operaciones inversas la una de la otra. Leibniz considera una curva como una poligonal de infinitos lados donde dy es la diferencia infinitesimal de dos ordenadas consecutivas, dx la diferencia de

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R dos abscisas consecutivas e ydx representa la suma de los peque˜ nos rectángulos infinitesimales ydx. De esta forma el teorema fundamental del cálculo aparece como obvio. Esto es, para hallar el ´ area debajo de una curva con ordenadas y, debemos hallar dz una curva de ordenadas z de tal manera que dx = y, en cuyo caso es también R ydx = z. En la primera notación de sus manuscritos Leibniz escribe omn · ` = y donde omn es omnia, que en lat´ın significa suma, y donde ` son diferencias. Con ello empieza a desarrollar su cálculo y la expresión simplemente significa que la suma de las primeras diferencias de una sucesión que empieza por 0 es igual al u ´ltimo Rtérmino. Después irá cambiando su notación y escribe la anterior R relaci´ on como dy = y que es la que usamos actualmente. El signo integral no es m´ as que una S elongada que significa suma. La idea de su c´ alculo es que las fórmulas y relaciones geométricas se realicen de manera casi automática por medio de las reglas del cálculo de diferencias d(x + y) = dx + dy d(xy) = x dy + y dx d( x y) =

y dx − x dy y2

d(xn ) = nxn−1 dx

etc.

Para demostrar por ejemplo la regla d(xy) = xdy + ydx, calcula la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión producto xy d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy y luego omite la cantidad dxdy por ser infinitamente más peque˜ na en comparaci´ on con los otros términos. De esta regla Leibniz deduce la integración por partes Z Z xdy = xy − ydx Aunque las demuestra como teoremas, siempre que puede intenta relacionar sus operaciones anal´ıticas con resultados geométricos familiares. Por ejemplo para esta u ´ltima integración por partes, observa que es también la adición de areas ´ Z Z xdy + de acuerdo con la figura

ydx = xy

3. W.G. LEIBNIZ (1646-1716).

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Para probar d escribe d

y x

=

xdy − ydx x2

y y + dy y xdy − ydx = − = 2 x x + dx x x + xdx

y otra vez cancela xdx del denominador por ser peque˜ no frente a x2 . Otra relaci´ on es por ejemplo Z ydy =

y2 2

Para su prueba, piensa en términos de la función y = x. Tal como se observa en la figura el ´ area del tri´ angulo ABC es la suma de los ydy, para peque˜ nos dy, y2 pero esta ´ area es 2 .

En sus aplicaciones geométricas, dado un punto P = (x, y) sobre una curva, tal como se observa de la figura

aparecen las llamadas subtangente s = T A, tangente t = T P , normal n = P B y subnormal ν = AB. Todas estas variables tienen entitad propia y están

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relacionadas unas con otras. Por ejemplo se tiene por la semejanza y ν = s y Para cada una de estas variables se pueden considerar también sus diferencias. Si consideramos las diferencias dx y dy, el peque˜ no triángulo P QR se llama el tri´ angulo caracter´ıstico y se tiene por ejemplo la relación dy y = dx s Todo este c´ alculo y en especial su notación resultó ser muy manejable y de gran utilidad, lo que contribuyó decisivamente a su éxito. Notación y concepto son virtualmente inseparables. Por ejemplo la regla de la cadena para z = f (y) e y = g(x) que nosotros escribimos como primero la composición h(x) = f (g(x) y luego h0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x) en su notaci´ on diferencial es simplemente dz dy dz = · dx dy dx Aunque desde el punto de vista lógico le falta rigor a esta fórmula simbólica, ya que cancela dy 0 s como si fueran n´ umeros reales, no sólo halla correctamente al resultado sino que sugiere además la manera de demostrarla, reemplazando las diferenciales dx, dy, dz por incrementos finitos ∆x, ∆y, ∆z y pasando luego al l´ımite. Leibniz tard´ o unos a˜ nos en presentar estas ideas en p´ ublico ya que era una formulaci´ on intuitiva, pero que ten´ıa el problema de trabajar con cantidades infinitamente peque˜ nas y esto no estaba rigurosamente definido ni era muy aceptable en matem´ aticas. Su primera publicación fue un corto art´ıculo titulado Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus, (Un nuevo método para máximos y m´ınimos y tangentes, no impedido por cantidades racionales o irracionalesy un singular nuevo tipo de cálculo para ellas), que apareci´ o en 1684 en Acta eruditorum. En este trabajo original, después de introducir su cálculo, Leibniz da tres ejemplos de la aplicaciones, el primero prueba el principio ya conocido por Descartes y Fermat de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de refracci´ on, el segundo es un problema geométrico. Luego, dice Leibniz: “Y esto es s´ olo el comienzo de una mucho m´ as sublime Geometr´ıa, de problemas incluso mucho m´ as dif´ıciles y de los m´ as bonitos de matem´ aticas aplicadas, los cuales sin nuestro c´ alculo diferencial o algo similar nadie podr´ıa atacar con tanta facilidad. A˜ nadiremos como apéndice la soluci´ on del problema que De Beaune propuso a Descartes, quién lo intent´ o resolver el el Vol. 3 de sus Lettres, pero sin éxito”

3. W.G. LEIBNIZ (1646-1716).

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En realidad Descartes hab´ıa encontrado prácticamente la naturaleza de esta curva, pero carec´ıa de instrumentos adecuados para su solución. Este problema y otros que fueron apareciendo después pusieron de manifiesto la potencia del nuevo c´ alculo. Exponemos este problema en la sección siguiente.

3.3

El problema de De Beaune.

El problema que Florimont De Beaune hab´ıa propuesto originalmente a Descartes en 1639 es: Hallar una curva cuya subtangente sea una constante dada a.

De la relaci´ on

s dx = dy y

obtenemos tomando s = a a dy = y dx Leibniz considera dx = b constante, lo que equivale a tener las abscisas en progresi´ on aritmética. Tomando k = b/a, la relación anterior da dy = k y Esto es, los incrementos dy son proporcionales a sus las ordenadas y. M´ as concretamente, si tomamos la sucesión de abscisas x0 = x, x1 = x + b, x2 = x + 2b, x3 = x + 3b, . . . que est´ an en progresi´ on aritmética, al ser dy1 = y1 − y0 = ky1 , será y1 = k1 y0 1 . Luego las correspondientes ordenadas para la constante k1 = k+1 y0 , y1 = k1 y0 , y2 = k12 y0 , y3 = k13 y0 , . . . están en progresi´ on geométrica. Leibniz concluye diciendo que la curva es una “logar´ıtmica”. En nuestro c´ alculo actual de la relación diferencial que define la curva ady = ydx, obtenemos dy = dx a y

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de donde integrando a log y = x + C. (Obsérvese que la notación que usamos ahora para este proceso es la original). Leibniz viene a describir una poligonal soluci´ on de una ecuación en diferencias que aproxima a la exponencial y su ecuaci´ on diferencial correspondiente, siendo la aproximación cada vez mejor a medida que dx se va haciendo infinitésimo.

3.4

Desarrollo del seno a partir de su ecuaci´ on diferencial.

Leibniz utiliza series de potencias para resolver muchas de us ecuaciones diferenciales. Por ejemplo consideremos la figura donde aparece el primer cuadrante de la circunferencia de radio 1, donde P = (x, y) y θ es el ángulo que forma P OB.

Por semejanza de triángulos dx y =p dy 1 − y2 Adem´ as por el teorema de Pitágoras dx2 + dy 2 = dθ2 . Elevando al cuadrado la primera relaci´ on, despejando dx2 y sustituyendo en la segunda obtenemos después de simplificar dy 2 + y 2 dθ2 = dθ2 que es la ecuaci´ on diferencial que verifica y = sin θ. Para resolver esta ecuación Leibniz considera dθ como constante y aplica el operador d a la ecuación. Se obtiene d[dy 2 + y 2 dθ2 ] = 0, de donde por la regla del producto d[dy · dy + y 2 dθ2 ] = 2(dy)(d dy) + 2y dy dθ2 = 0 esto es d2 y = −y dθ2 que es la ecuaci´ on diferencial de segundo orden de y = sin θ. Ahora Leibniz supone que podemos escribir la serie de potencias con coeficientes indeterminados y = sin θ = bθ + cθ3 + eθ5 + f θ7 + gθ9 + · · ·

4. RESUMEN Y DESARROLLO POSTERIOR.

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donde ha tomado el término constante igual a cero al ser sin 0 = 0 y sólo toma potencias impares al ser sin θ impar. Diferenciando dos veces esta expresión se obtiene d2 y = 2 · 3cθ + 4 · 5eθ3 + 8 · 9gθ7 + · · · dθ2 que debe ser igual a −y = −bθ−cθ3 −eθ5 −f θ7 −gθ9 −· · ·. Igualando coeficientes se obtiene 2 · 3c = −b 4 · 5e = −c 8 · 9g = −f ... De donde tomando b = 1 como condición inicial obtenemos sucesivamente c = 1 1 1 1 − 3! , e = 5! , f = − 7! , g = 9! , . . ., esto es sin θ = θ −

1 3 1 1 1 θ + θ5 − θ7 + θ9 − · · · 3! 5! 7! 9!

Obtiene por tanto con su método de diferencias la relación que ya hab´ıa obtenido Newton en 1676 con su serie del binomio.

4

Resumen y desarrollo posterior.

Una vez que hemos descrito con detalle separadamente las ideas de Newton y Leibniz en el desarrollo del c´ alculo como una nueva y coherente disciplina matem´ atica vamos a comparar y contrastar ambos procedimientos. Tal como hemos visto Newton concibe la derivada de y = f (x) como el cociente entre fluxiones y/ ˙ x˙ donde considera las fluxiones x, ˙ y˙ como las velocidades en que cambian los fluentes x, y. Su concepción es cinemática. En cambio Leibniz considera el cociente anterior dy/dx como cociente entre diferencias. La integral para Newton es una integral definida, es el fluente a determinar para una fluxi´ on dada. Para Leibniz la integral es, en cambio, una suma infinita de diferenciales. A pesar de estas diferencias de concepto luego ambos la calculan de la misma forma, como un proceso inverso de derivadas. Ambos desarrollan el mismo c´ alculo desde puntos de vista distintos y observan como inversos los procesos de diferenciaci´ on e integración. Antes se hab´ıan calculado áreas, vol´ umes y tangentes, pero eran razonamientos particulares para cada caso concreto sin que se observara con claridad que el cálculo de áreas y el de tangentes son inversos uno del otro. El nuevo c´ alculo es universal, en el sentido en que se aplica del mismo modo a todo tipo de funciones. Newton y Leibniz lo aplicaron con éxito para calcular ´ areas como la cisoide o la cicloide, tangentes, longitudes de arco, problemas de m´ aximos y m´ınimos, geométricos, etc. Para ilustrar con un ejemplo sencillo los conceptos del cálculo de Newton y de Leibniz, veamos como calcular´ıan ambos la tangente a la parábola y 2 = ax en un punto M = (x, y) de la figura

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Dada la relaci´ on entre fluentes y 2 = ax Newton calcular´ıa primero la relación entre sus fluxiones: de (y + oy) ˙ 2 = a(x + ox) ˙ elevando al cuadrado y 2 + 2yoy˙ + o2 y˙ 2 = ax + oax˙ Simplificando y dividiendo por o resulta 2y y˙ + oy˙ 2 = ax˙ de donde cancelando luego los términos que contienen o se obtiene 2y y˙ = ax, ˙ esto es y˙ a = x˙ 2y que nos dar´ıa la pendiente de la tangente. En el primer libro de texto de cálculo diferencial, Analyse des Infinitement Petits, de l’Hospital de 1696, aparece exactamente el ejemplo que estamos calculando. De hecho la figura geométrica anterior está tomada del este libro, sección 2, pag. 12. Su soluci´ on, siguiendo de diferencias de Leibniz dice asi: “Si se quiere que ax = yy exprese la relación de AP a P M , la curva AM ser´ a una par´ abola que tendrá por parámetro la recta dada a y tendrá, tomando diferencias en cada miembro a dx = 2y dy por tanto dx = 2ydy/a y PT =

ydx 2yy = = 2x dy a

donde hemos sustitu´ıdo yy por su valor ax. De donde se deduce que si se toma como P T el doble de AP y se considera la recta M T , ella será tangente en el punto M . Ce qui était proposé”. Para Newton la derivada como cociente entre fluxiones, o como “razón u ´ltima de cantidades evanescentes” presentaba problemas de rigor lógico. Para Leibniz sin embargo, el cociente dy/dx era “simplemente” un cociente con interpretación geométrica clara. Los problemas de interpretación se volv´ıan más agudos al considerar derivadas de mayor orden. Debido a su facilidad y al genial tratamiento que tuvo por parte de los hermanos Bernoulli y por Euler el cálculo de Leibniz

5. REFERENCIAS

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empez´ o a cosechar grandes éxitos. Sus seguidores se preocupaban menos de sus aspectos l´ ogicos y m´ as de sus aplicaciones ya que era un cálculo que funcionaba. Permiti´ o resolver problemas tales como el de la braquistocrona o de la catenaria que hab´ıan sido intratables hasta entonces. En cambio en Inglaterra los matem´ aticos se preocuparon mucho más por los problemas de rigor lógico, paralizando con ello su aplicaci´ on. Una vigorosa y malintencionada exposición de las inconsistencias del nuevo c´ alculo fue la que escribió el obispo anglicano de la diócesis de Cloyne (Irlanda) George Berkeley(1685-1753). Berkeley escribió en 1734 un ensayo titulado The Analyst, or A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. El “matemático infiel” era Edmund Halley (1656-1742), el famoso astr´ onomo y amigo de Newton, quién parece ser que convenció a un conocido sobre la inutilidad de la doctrina cristiana y éste rehusó el consuelo espiritual de Berkeley cuando estaba en su lecho de muerte. Este es un p´ arrafo del argumento de Berkeley: “Y ¿Qué son las fluxiones? Las velocidades de incrementos evanescentes. Y ¿Qué son estos mismos incrementos evanescentes? Ellos no son ni cantidades fimnitas, ni cantidades infinitamente peque˜ nas, ni nada. ¿No las podr´ıamos llamar fantasmas de cantidades que han desaparecido?” A finales de 1690 Leibniz fue duramente atacado por los seguidores de Newton, quienes le acusaban de plagio. Su principal argumento fueron las cartas que Newton le hab´ıa mandado via Oldenburg. Al irse incrementando los ataques Leibniz pidi´ o en 1711 a la Royal Society of London, de la que era miembro, para que interviniera en el asunto. La Royal Society nombró una comisión para que estudiara el caso y en 1712, movida más que nada por motivos de nacionalismo y maniobrada por Newton, decidi´ o que Leibniz hab´ıa en efecto plagiado a Newton. Hoy sabemos que tanto Newton como Leibniz desarrollaron independientemente su cálculo. Este desafortunado incidente separó en dos bandos los matemáticos de Inglaterra y del Continente por mucho tiempo. La iron´ıa del destino, fue que la victoria inglesa hizo que sus matem´ aticos rehusaran sistemáticamente el uso de los métodos de Leibniz, cerrando para si con ello el tremendo desarrollo que la matemática tuvo en el siglo XVIII.

5

Referencias 1. http://www.geocities.com/grandesmatematicos/ 2. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/index.html 3. Ch.C. Gillispie, “Dictionary of Scientific Biography”, es una excelente enciclopedia de biograf´ıas de cient´ıficos. 4. Antonio J. Dur´ an, “Historia, con personajes de los conceptos del c´ alculo” Alianza Universidad AU 861, un ameno y completo librito de bolsillo que trata sobre estos temas.

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Analyse des Infiniments Petits de Guillaume Fran¸cois l’ Hospital, primer libro de texto de c´ alculo, 1696

Instituzioni Analitiche , de Mar´ıa Gaetana Agnesi, 1748, otro de los primeros textos de c´ alculo, aqu´ı aparece la versiera, conocida despu´ es como la bruja de Agnesi. Obs´ ervese el magn´ıfico frontispicio de la obra.

Metodo de Fluxiones de Newton

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