Bogdan Mendel Janusz Mendel Teresa Stolecka Elżbieta Wójtowicz ZAKRES ROZSZERZONY
zbiór zadań 1 FIZYKA
ZAKRES ROZSZERZONY
Zrozumieć fizykę Zbiór zadań dla szkół ponadgimnazjalnych zakres rozszerzony część 1
Nabyta przez Ciebie publikacja jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy o przestrzeganie praw, jakie im przysługują. Zawartość publikacji możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym, ale nie umieszczaj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, to nie zmieniaj ich treści i koniecznie zaznacz, czyje to dzieło. Możesz skopiować część publikacji jedynie na własny użytek. Szanujmy cudzą własność i prawo. Więcej na www.legalnakultura.pl
© Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. ISBN 978-83-267-0873-2 Warszawa 2013
Autorzy: Dorota Jeziorek-Knioła (s. 148 zad. 1, s. 149 zad. 2, s. 150 zad. 3–5, s. 152 zad. 7, s. 184 przykład, s. 186 zad. 2, s. 187 zad. 4, rozdział „Matura 2015” zad. 1–18), Artur Ludwikowski (s. 84 zad. 6, s. 111 przykład, s. 151 zad. 6, s. 188 zad. 7), Bogdan Mendel, Janusz Mendel (rozdziały „Klasyka fizyki” oraz s. 23, s. 29 (przykład 1), s. 39 i 40 (przykład 1 i 2), s 47 (przykład 1), s. 52 i 52 (przykład 1 i 2), s. 60 (przykład 1), s. 68 i 69 (przykład 1 i 2), s. 122 (przykład 1), s. 127 (przykład), s. 132 (przykład 2), s. 137 (przykład 1), s. 171 (przykład 1), s. 179 (przykład 2)), Krystyna Pilot (rozdział „Matura 2015” zad. 15–19), Teresa Stolecka, Elżbieta Wójtowicz (pozostałe zadania). Opracowanie redakcyjne i redakcja merytoryczna: Agnieszka Grzelińska, Marcin Minda. Współpraca redakcyjna: Dorota Brzozowiec-Dek, Miłosz Budzyński, Michał Matraszek, Sylwia Przywóska. Konsultacje merytoryczne: Lidia Sobczak, Grzegorz Wojciechowski. Redakcja językowa: Agnieszka Sieczak. Korekta językowa: Dorota Śrutowska. Korekta techniczna: Zofia Chyża. Projekt okładki: Dariusz Szachtsznajder. Projekt graficzny: Ewa Kaletyn, Dariusz Szachtsznajder, Aleksandra Szpunar, Paulina Tomaszewska, Wojtek Urbanek. Realizacja projektu graficznego: Katarzyna Bielejewska, Artur Polakowski. Fotoedycja: Beata Chromik, Ewa Szymańska. Nowa Era Sp. z o.o. Al. Jerozolimskie 146D, 02-305 Warszawa tel.: 22 570 25 80; faks: 22 570 25 81 infolinia: 801 88 10 10 (z telefonów stacjonarnych), 58 721 48 00 (z telefonów komórkowych) www.nowaera.pl, e-mail:
[email protected] Druk i oprawa: Drukarnia POZKAL, Inowrocław
Spis treści Część 1 Jak korzystać ze zbioru zadań . . . . . . . . . . . . 4
Rozdział 1. Kinematyka Najważniejsze wiadomości. . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Pomiary w fizyce i wzorce pomiarowe. . . . 13 1.2. Wstęp do analizy danych pomiarowych. . . 15 1.3. Jak opisać położenie ciała. . . . . . . . . . . . . 20 1.4. Ruch prostoliniowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5. Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6. Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.7. Ruch krzywoliniowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.8. Rzut poziomy i rzut ukośny . . . . . . . . . . . . 52 1.9. Prędkość w różnych układach odniesienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.10. Ruch po okręgu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Klasyka fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Zadania maturalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Rozdział 2. Ruch i siły Najważniejsze wiadomości. . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.1. Oddziaływania. Dodawanie i rozkładanie sił . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.2. Siła jako przyczyna zmian ruchu . . . . . . . . 92 2.3. Siła tarcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.4. Siła dośrodkowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.5. Siły bezwładności . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Klasyka fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Zadania maturalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Rozdział 3. Energia i pęd Najważniejsze wiadomości. . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Praca, moc, energia . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Zasada zachowania energii. . . . . . . . . . . 3.3. Zasada zachowania pędu. . . . . . . . . . . . 3.4. Zderzenia sprężyste i niesprężyste . . . . . Klasyka fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadania maturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117 122 127 131 137 143 145
Rozdział 4. Bryła sztywna Najważniejsze wiadomości. . . . . . . . . . . . . . . 153 4.1. Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej. Moment siły. . . . . . . . . . . . . . . 157 4.2. Środek ciężkości i energia potencjalna bryły sztywnej. . . . . . . . . . . . 162
4.3. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym 4.4. Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym bryły sztywnej. . . . . . . . . . . . 4.5. Moment pędu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klasyka fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadania maturalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165 171 178 182 184
Matura 2015. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Odpowiedzi i wskazówki do zadań. . . 208 Dodatek matematyczny Wektory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Miara łukowa kąta – radiany. . . . . . . . . . . . . . 235 Funkcje trygonometryczne kąta ostrego. . . . . 236
Tabele Tabela 1. Wielokrotności i podwielokrotności jednostek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela 2. Jednostki wielkości fizycznych . . . . Tabela 3. Współczynniki tarcia . . . . . . . . . . . . Tabela 4. Ruch postępowy i obrotowy – zestawienie porównawcze. . . . . . . . . . . . . . Tabela 5. Przykłady wybranych brył i ich momenty bezwładności. . . . . . . . . . . . . . Tabela 6. Wartości funkcji trygonometrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237 237 237 238 239 240
Karta wybranych wzorów . . . . . . . . . . . 241
Część 2
Rozdział 5. Ruch drgający Rozdział 6. Fale mechaniczne Rozdział 7. Termodynamika Rozdział 8. Grawitacja
Część 3
Rozdział 9. Pole elektryczne Rozdział 10. Prąd stały Rozdział 11. Pole magnetyczne Rozdział 12. Indukcja elektromagnetyczna i prąd przemienny Rozdział 13. Fale elektromagnetyczne i optyka Rozdział 14. Fizyka atomowa i kwanty promieniowania elektromagnetycznego
Jak korzystać ze zbioru zadań zadania z przykładowymi rozwiązaniami krok po kroku najważniejsze informacje ujęte w skrótowy sposób odsyłacze do odpowiednich treści w podręczniku „Zrozumieć fizykę” cz.1 najważniejsze wzory treści wykraczające poza podstawę programową
oznaczenie stopnia trudności zadań
oznaczenie zadań o charakterze doświadczalnym
karta wybranych wzorów i stałych fizycznych
Zadania Przykład – zadania z przykładowymi rozwiązaniami krok po kroku Pytania i zadania
– zadania problemowe i obliczeniowe
Zadania maturalne – zadania typu maturalnego po każdym dziale Matura 2015 – zadania zgodne z informatorem maturalnym 2015 KLASYKA FIZYKI B. Mendel i J. Mendel – zadania podsumowujące po każdym dziale
Uwaga. Kiedy w treści zadania operujemy jedynie wartościami wektorów, określenie wartość jest pomijane. Mówimy wówczas o prędkości, sile, a nie wartości prędkości i wartości siły. W wypadku, gdy rozwiązanie zadania wymaga określenia pozostałych cech wektora, jest to wyraźnie napisane, np. podaj kierunek wektora prędkości, określ zwrot wektora siły.
1
Kinematyka
Najważniejsze wiadomości yy Zjawisko
ruchu
Ruch to odbywająca się w czasie zmiana położenia ciała względem przyjętego układu odniesienia. Aby opisać położenie ciała względem wybranego układu odniesienia, wprowadzamy związany z nim układ współrzędnych. r"0 = r"^ t 0 h – wektor położenia początkowego r" = r"^ t h – wektor położenia końcowego D r" = r" – r"0 – wektor przemieszczenia Dt = t – t0 – przedział czasu, w którym nastąpiło przemieszczenie punktu materialnego Wektor wodzący to wektor łączący punkt materialny z początkiem układu współrzędnych.
y
droga
P
tor
� Dr P0
r0
Ds
r
0
x
Tor to linia, którą zakreśla punkt materialny będący w ruchu. Droga Ds to długość toru między położeniem początkowym P0 i końcowym P. yy Prędkość
Prędkość średnia v" srl to iloraz wektora przemieszczenia D r" i czasu Dt, w którym to przemieszczenie nastąpiło: " v"srl = D r . Dt
Wartość wektora prędkości średniej: v srl = v"srl . Średnia wartość prędkości v srw (zwana też szybkością średnią) to iloraz drogi Ds i czasu Dt, l w którym została ona pokonana: = Ds . v srw l Dt W ruchu krzywoliniowym przemieszczenie jest mniejsze od długości drogi. Oznacza to, że wartość prędkości średniej nie jest równa średniej wartości prędkości v"srl ! v srw l . W ruchu prostoliniowym bez zawracania obie te prędkości są równe.
6
Kinematyka
Prędkość chwilowa v"ch to iloraz przemieszczenia D r" i czasu Dt trwania ruchu, gdy czas trwania ruchu jest bliski zeru: " v"ch = D r , gdy Dt → 0. Dt Jeśli czas trwania ruchu jest bardzo krótki, to droga przebyta przez ciało jest równa wartości przemieszczenia. Wektor prędkości chwilowej w każdej chwili ruchu jest styczny do toru, a wektor prędkości średniej ma taki sam kierunek i zwrot jak wektor przemieszczenia. yy Ruch
prostoliniowy jednostajny
W ruchu tym wektor prędkości jest stały, co oznacza, że nie zmieniają się jego kierunek, zwrot i wartość: v" = const. " Prędkość średnia jest równa prędkości chwilowej: v"srl = v"ch = v" = D r . Dt Równanie ruchu prostoliniowego jednostajnego (równanie wektora położenia punktu materialnego):
r" = r"0 + v"t , gdzie: r" – wektor położenia końcowego (patrz rysunek), r"0 – wektor położenia początkowego, t – czas trwania ruchu.
r0 0
v
r
v
x
Jeżeli ruch ciała w przyjętym układzie współrzędnych odbywa się wzdłuż osi x, to równanie ruchu jednostajnego prostoliniowego przyjmuje postać równania współrzędnej: x = x0 + vxt. Jeżeli zwrot wektora prędkości v"x jest zgodny ze zwrotem osi x, to jego współrzędna jest dodatnia, jeżeli zwrot jest przeciwny, to jego współrzędna jest ujemna. yy Przyspieszenie
Przyspieszenie średnie a"srl to iloraz zmiany prędkości Dv" i czasu Dt, w którym ta zmiana nastąpiła: " a"srl = Dv , Dt " " " " gdzie: Dv = v – v 0 , v – wektor prędkości końcowej, v"0 – wektor prędkości początkowej.
Przyspieszenie chwilowe a"ch to iloraz zmiany prędkości Dv" i czasu trwania ruchu Dt, gdy czas trwania ruchu jest bliski zeru: " a"ch = Dv , gdy Dt → 0. Dt
7
Najważniejsze wiadomości yy Ruch
prostoliniowy jednostajnie zmienny
W ruchu tym wektor przyspieszenia jest stały, co oznacza, że nie zmienia się jego kierunek, zwrot i wartość: a" = const. " Przyspieszenie średnie jest równe przyspieszeniu chwilowemu: a"srl = a"ch = a" = Dv . Dt Równanie prędkości: " v" = v"0 + at ,
gdzie: v" – wektor prędkości końcowej, v"0 – wektor prędkości początkowej, t – czas trwania ruchu. Jeżeli ruch ciała w przyjętym układzie współrzędnych odbywa się wzdłuż osi x, to równanie prędkości przyjmuje postać równania współrzędnej: vx = v0x + at. Jeżeli zwrot wektora przyspieszenia a" jest zgodny ze zwrotem osi x, to jego współrzędna jest dodatnia, jeżeli zwrot jest przeciwny, to jego współrzędna jest ujemna. Równanie wektora położenia: " 2 . r" = r"0 + v"0 t + 12 at
Rozróżniamy ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony, kiedy wektory prędkości i przyspieszenia mają taki sam kierunek i zwrot, oraz jednostajnie opóźniony, kiedy wektory prędkości i przyspieszenia mają taki sam kierunek, ale przeciwne zwroty. Tabela 1. Zestawienie ruchów prostoliniowych Ruch prostoliniowy
jednostajny
Równania
Wykresy
Równania
1.
4.
prędkości v" = const.
współrzędnej położenia x = x0 + vxt
Wykresy x
x0 > 0, vx > 0
0
x0 > 0, vx < 0 x0 < 0, vx > 0 t x0 < 0, vx < 0
2. współrzędnej prędkości vx = const. 3. wektora położenia " " " r = r0 + v t
vx 0
5.
vx > 0 vx < 0
t
s
drogi s = s0 + vt
s0 0
t
8
Kinematyka
Ruch prostoliniowy Równania
Wykresy
Równania
1. prędkości " v" = v" 0 + at vx
współrzędnej prędkości vx = v0x + axt
4.
v0x > 0, ax > 0
współrzędnej położenia x = x 0x + v 0x t + 1 a x t 2 2
v0x > 0, ax < 0
0
v0x < 0, ax > 0 t v0x < 0, ax < 0
przyspieszony
jednostajnie zmienny
2.
Wykresy
3. wektora położenia " " " " r = r 0 + v 0 t + 1 at 2 2
5.
7.
wartości prędkości v = v0 + at
v0 0
drogi s = s 0 + v 0 t + 1 at 2 2
t
opóźniony
6.
8.
wartości prędkości v = v0 – at
yy Prędkość
s
v
v v0 0
t
s
drogi s = s 0 + v 0 t – 1 at 2 2
t
s0 0
s0 0
t
w różnych układach odniesienia
Jeżeli punkt materialny P przemieszcza się o Dr l w swoim układzie odniesienia 0′x′y′ i jednocześnie układ 0′x′y′ przemieszcza się o Dr"u względem układu 0xy, to przemieszczenie D"r " punktu P względem układu 0xy jest sumą wektorową przemieszczeń Dr"u i Dr l : "
D"r = Dr"u + Dr l. "
x'
r
r
x'
Dru = uDt
P
r
x
r
Dr
P
Dr'
r
r
u
Dru 0'
0
0'
y'
y
Prędkość v" punktu materialnego względem nieruchomego układu odniesienia 0xy jest sumą wektorową prędkości: u" – układu ruchomego względem nieruchomego, i v"l – punktu materialnego względem układu ruchomego 0′x′y′: v" = u" + v"l.
9
Najważniejsze wiadomości yy Ruch
po okręgu
B
Kąt wyrażony w mierze łukowej { to iloraz długości łuku l i jego promienia R: { = Rl .
l A
R
{ O
Jednostką kąta w mierze łukowej jest radian. R 360° Kąt pełny: { = 2r R = 2r , stąd 1 rad = 2r . 57,3° . Prędkość kątowa średnia ~śr to iloraz kąta D{ zakreślanego przez promień wodzący (wyrażonego w radianach) i czasu Dt, w którym ten kąt został zakreślony: ~ srl =
D{ . Dt
Chwilowa prędkość kątowa ~ch to iloraz kąta D{ zakreślanego przez promień wodzący (wyrażonego w radianach) i czasu Dt, w którym ten kąt został zakreślony, gdy czas trwania ruchu jest bliski zera: D{ ~ ch = , gdy Dt " 0 . Dt Przyspieszenie kątowe f to iloraz zmiany prędkości kątowej D~ i czasu Dt, w którym ta zmiana nastąpiła: f = D~ . Dt yy Ruch
jednostajny po okręgu
W ruchu tym prędkość kątowa jest stała: ~ = const. Średnia prędkość kątowa jest równa chwilowej prędkości kątowej: D{ ~ srl = ~ ch = ~ = . Dt Uwzględniając okres T trwania jednego pełnego obiegu ciała po okręgu lub częstotliwość f ruchu tego ciała (liczbę pełnych obiegów wykonanych w jednostce czasu, f = T1 ), prędkość kątową możemy wyrazić w następujący sposób: r vA ~ = 2Tr = 2rf . r –vA Wektor prędkości liniowej (wektory v" A i v" B na rysunku) w ruchu R r vB jednostajnym po okręgu jest styczny do tego okręgu w każdym r Dv punkcie, a wartość prędkości liniowej jest stała: O v = const.
10
Kinematyka
Związek między prędkością liniową i kątową: v = ~R, gdzie R jest promieniem okręgu, po którym porusza się ciało. Przyspieszenie dośrodkowe wynaczamy z zależności: 2 a d = vR = ~ 2 R = 4r 2 f 2 R . yy Ruch
jednostajnie zmienny po okręgu
W ruchu tym przyspieszenie kątowe ε jest stałe: f = D~ = const. Dt 2 Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego: a = a 0 + ~ 0 t + f2t , ~ = ~0 + ft, 2 dla ruchu jednostajnie opóźnionego: a = a 0 + ~ 0 t – f2t , ~ = ~0 – ft, gdzie: a – kąt, o jaki obróci się ciało, a0 – kąt początkowy, ~ – końcowa prędkość kątowa, ~0 – początkowa prędkość kątowa, t – czas ruchu. a s
Prędkość liniowa zmienia kierunek i wartość.
a
ad
Przyspieszenie całkowite: a" = a"d + a"s , a" =
2
2
a"d + a"s .
R O
yy Spadek
a
R
swobodny i rzuty przy powierzchni ziemi
Rzutem nazywamy ruch, który odbywa się pod wpływem siły grawitacji, z przyspieszeniem ziemskim g (skierowanym pionowo w dół). Ruch ten opisujemy za pomocą równania wektora położenia i równania wektora prędkości: r" = r"0 + v"0 t + 12 a"t 2 i v" = v"0 + a"t .
1. Ruchy w jednym kierunku ●●Spadek swobodny to ruch z przyspieszeniem g, bez prędkości początkowej. ●●Rzut pionowy w dół to ruch w kierunku pionowym zgodny ze zwrotem przyspieszenia g, z prędkością początkową różną od zera. ●●Rzut pionowy w górę to ruch w kierunku pionowym przeciwny do zwrotu przyspieszenia g, z prędkością początkową różną od zera. Charakterystykę ruchów w jednym kierunku przedstawiono w tabeli 2.
Najważniejsze wiadomości
11
Tabela 2. Charakterystyka rzutów w jednym kierunku Ruch
Schematyczne przedstawienie ruchu
spadek swobodny
oś skierowana do góry y g v = 0 H 0
Równanie położenia
Równanie prędkości
Droga przebyta przez ciało
Czas trwania ruchu
y = H – 1 gt 2 2
v = – gt
przyjmując y = 0, otrzymujemy H = 1 gt 2 2
t=
2H g
y = 1 gt 2 2
v = gt
przyjmując y = H, otrzymujemy H = 1 gt 2 2
t=
2H g
v = v0 + gt
przyjmując y = H, otrzymujemy v 2 – v 02 H= 2g
t=
v – v0
O
oś skierowana w dół v0 = 0 g
O
rzut pionowy w dół
oś skierowana w dół
rzut pionowy w górę
H y
oś skierowana do góry
v0 ≠ 0 g
O
y = v 0 t + 1 gt 2 2 H y
y
dla y = Hmax, v = 0, otrzymujemy
Hmax
g
g
y = v 0 t – 1 gt 2 2
v = v0 – gt
v0 O
H max = v 0 t – 1 gt 2 2 v 0 = gt
*
v
t = g0
stąd
v2 H max = 1 gt 2 = 0 2 2g
2. Ruchy w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach ●●Rzut poziomy to ruch ciała wyrzuconego poziomo z prędkością początkową o wartości v0. Jest to ruch złożony z ruchu jednostajnego w kierunku osi x z prędkością v0 i ruchu jednostajnie przyspieszonego bez prędkości początkowej, tzn. spadku swobodnego, w kierunku osi y. ●●Rzut ukośny to ruch ciała wyrzuconego pod pewnym kątem do poziomu z prędkością v0. Jest to ruch złożony z ruchu jednostajnego w kierunku osi x z prędkością v0x i ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku osi y z prędkością początkową v0y. Prędkości v0x i v0y są składowymi prędkości v0. Charakterystykę ruchów w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach przedstawiono w tabeli 3.
12
Kinematyka
Tabela 3. Charakterystyka rzutów poziomego i ukośnego Rzut
Schematyczne przedstawienie rzutu
Równanie położenia
Równanie prędkości
Czas trwania Zasięg rzutu rzutu
oś y skierowana do góry y
poziomy
H
v0
Z x
O
oś x x = v0t
oś x vx = v0
oś y
oś y vy = –gt
oś x x = v0t
oś x vx = v0
oś y
oś y vy = gt
y = H – 1 gt 2 2
dla y = 0 H = 1 gt 2 2 stąd t = 2gH
x=Z Z = v0t Z = v0
2H g
oś y skierowana w dół O
v0
H y
g
Z x
y = 1 gt 2 2
y
ukośny
g
g
v
oś x vx = v0x v0x = v0 cosa
oś x x = v0xt
0
v0y
a O v 0x
yy Niepewności
Zx
oś y
y = v 0y t – 1 gt 2 2
oś y vy = v0y – gt v0y = v0 sina
dla y = H H = 1 gt 2 2 stąd t = 2gH
przyjmując y = 0, otrzymujemy 2v 0y t= g 2v 0 sin a t= g
x=Z Z = v0t Z = v0
2H g
x=Z Z = v0xt 2v 0x v 0y Z= g Z=
v 02 sin 2a g
pomiarowe
Wynik każdego pomiaru jest obarczony niepewnością pomiarową, co zapisujemy: x ! Dx, gdzie: x – wartość zmierzona, Dx – niepewność pomiarowa. W przypadku serii pomiarów wynik doświadczenia zapisujemy: x = xśr ! Dx, gdzie xśr to średnia arytmetyczna uzyskanych wyników. Niepewność pomiarową Dx nazywamy niepewnością bezwzględną. Niepewność względna to iloraz niepewności bezwzględnej i wyznaczonej z pomiarów wielkości. Zazwyczaj podajemy ją w procentach. Różne sposoby wyznaczania niepewności pomiarowej przedstawione zostały w przykładzie na s. 16.
13
1.1. Pomiary w fizyce i wzorce pomiarowe Podręcznik rozdz. 1.1.
Przykład
Max Planck zaproponował układ jednostek oparty na czterech jednostkach podstawowych: G – stałej grawitacji, c – prędkości światła, h – stałej Plancka, k – stałej Boltzmanna, i nazwał go naturalnym układem jednostek. Napisał: „[...] z pewnością zachowają one znaczenie przez wszystkie czasy i dla wszystkich cywilizacji, nawet pozaziemskich lub nie stworzonych przez człowieka, tak więc można nazwać je jednostkami naturalnymi [...]”. Wykonując niezbędne obliczenia, ustal nazwę wielkości fizycznej, której jednostką w układzie naturalnym jest: hG . 2r $ c 3 Rozwiązanie
W tablicach fizycznych znajdujemy jednostki wielkości fizycznych w układzie SI występujące we wzorze: stała Plancka – h [J · s],
stała grawitacji – G 8 Nkg$ m B , 2
2
prędkość światła – c 6ms @ .
Jednostki te wstawiamy do wzoru: hG = >J $ s $ ; E m 2r $ c 3 s
N $ m2 kg 2 3
3
1 2
1 3 2
H =
kg $ m
Do otrzymanego wzoru podstawiamy jednostki J i N wyrażone w jednostkach podstawowych układu SI: [J] = kg ms , 2
2
[N] = kg ms . 2
Otrzymujemy: hG = = ; E 2r $ c 3
kg $
m2 s2
1
1
2 5 4 2 1 $ s $ kg $ ms $ m 2 $ s 3 2 G =
;
hG = m . E 2r $ c 3
Odpowiedź: Wielkością fizyczną wyrażoną w układzie naturalnym wzorem
długość.
hG jest 2r $ c 3
14
Kinematyka
Pytania i zadania
1.1.1. Wzór na pierwszą prędkość kosmiczną dla Ziemi ma postać: GM , R gdzie: G – stała grawitacji, M – masa Ziemi, R – promień Ziemi. Za pomocą odpowiednich zapisów wykaż, że prędkość kosmiczną wyraża się w takich samych jednostkach układu SI jak każdą inną prędkość. v1 =
1.1.2. Okres drgań wahadła matematycznego zależy od długości wahadła l i przyspieszenia grawitacyjnego g. Który z przedstawionych niżej wzorów opisuje okres drgań tego wahadła? Odpowiedź uzasadnij, wykonując przeliczenia jednostek w jednostkach układu SI. a) T = 2r lg
b) T = 2r
l g
c) T = 2rl 2g
1.1.3. Okres drgań wahadła sprężynowego zależy od masy ciężarka m i współczynnika sprężystości k (jednostka 6k@ = mN ). Który z przedstawionych wzorów opisuje okres drgań tego wahadła? Odpowiedź uzasadnij, wykonując przeliczenia jednostek w jednostkach układu SI. a) T = 2r mk b) T = 2rmk c) T = 2r m k 1.1.4. W wyniku promieniowania elektromagnetycznego Słońce traci masę. Jej ubytek można wyliczyć ze wzoru: 4r $ r 2zs $ S $ Dt DM s = , c2 gdzie: rZS – odległość Ziemi od Słońca, S – stała słoneczna 7mW A , 2
Dt – czas emisji promieniowania, c – prędkość światła. a) Wykaż, że jednostką ubytku masy w układzie SI jest kilogram. b) Oszacuj, ile masy traci Słońce w ciągu 1 s. Brakujące dane znajdź w dostępnych źródłach. 1.1.5. Z pierwszego postulatu Bohra wynika, że elektron w atomie wodoru może krążyć po orbitach o promieniach określonych wzorem: h2 f0 rn = n 2 , r $ me e2 gdzie: h – stała Plancka, f0 – przenikalność dielektryczna próżni, me – masa elektronu, e – wartość ładunku elementarnego, n – liczba naturalna 1, 2, 3... Wykaż, że promień orbity, po której krąży elektron w atomie wodoru, można wyrazić w metrach.
15
1.2. Wstęp do analizy danych pomiarowych Podręcznik rozdz. 1.2.
Przykład
Na lekcji fizyki do badania ruchu jednostajnego prostoliniowego użyto rurki wypełnionej cieczą z pęcherzykiem powietrza (patrz zdjęcie), którą przymocowano do drewnianej linijki wyskalowanej co 1 cm od 0 do 100 cm tak, że 0 znajdowało się przy pęcherzyku. Rurkę wraz z przymocowaną do niej linijką przechylono w taki sposób, aby pęcherzyk powietrza poruszał się w cieczy ruchem jednostajnym. Doświadczenie powtórzono jeszcze cztery razy, za każdym razem ustawiając rurkę pod takim samym kątem do poziomu. Czas ruchu mierzono za pomocą stopera w telefonie komórkowym (dokładność pomiaru Dt = 0,5 s), a położenie pęcherzyka odczytywano z linijki. W tabeli 1. podano wyniki pomiarów czasu, w którym pęcherzyk z powietrzem pokonywał określone odcinki drogi podczas każdej z pięciu przeprowadzonych prób. Tabela 1. t [s]
s [cm] 40
50
60
70
80
t1
9,34
11,84
14,52
16,66
18,52
t2
9,12
11,65
14,44
16,44
18,63
t3
9,43
11,76
14,58
16,87
18,76
t4
9,50
11,90
14,61
16,58
18,45
t5
9,28
11,81
14,65
16,54
18,66
Na podstawie danych doświadczalnych oblicz prędkość średnią pęcherzyka powietrza i zapisz wynik wraz z niepewnością pomiarową. Rozwiązanie
Obliczamy średni czas ruchu pęcherzyka powietrza odpowiednio dla drogi 40 cm, 50 cm, 60 cm, 70 cm i 80 cm: t +t +t +t +t t srl = 1 2 53 4 5 . Następnie obliczamy prędkość na poszczególnych odcinkach i prędkość średnią pęcherzyka powietrza. Wyniki tych obliczeń przedstawiono w tabeli 2. Tabela 2. s [cm]
40
50
60
70
80
tśr [s]
9,33
11,79
14,56
16,62
18,60
4,12
4,21
4,30
v = tsl 6cms @ sr v srl 6cms @
4,29
4,24
v srl =
4,29
cm s
+ 4,24
cm s
cm + 4,12 cm s + 4,21 s + 4,30 5
Niepewność pomiarową możemy obliczyć na kilka sposobów.
cm s
= 4,23
cm s
16
Kinematyka
Metoda 1. Uwzględnienie niepewności maksymalnej wartości średniej Dla mierzonej wartości x maksymalną niepewność pomiarową wyznaczamy z zależności: Dx = 12 ^x max – x minh , gdzie: xmin i xmax to odpowiednio najmniejsza i największa zmierzona wartość x. W naszym przypadku wartość x jest prędkością średnią, której wartości w poszczególnych próbach zapisaliśmy w tabeli 2. na s. 15. Odczytujemy szukane wartości: vmax = 4,30 cms , vmin = 4,12 cms , stąd: Dv = 12 ^4,30 cms – 4,12 cms h = 0,09 cms . Wynik pomiaru zapisujemy w postaci: v = vśr ! Dv. Prędkość pęcherzyka powietrza wraz z niepewnością maksymalną: v = (4,23 ! 0,09)
cm s
.
Uwaga. Niepewność tę stosuje się przy niewielkiej liczbie pomiarów. Metoda 2. Uwzględnienie błędu pomiaru pośredniego Wykonany przez nas pomiar prędkości jest pomiarem pośrednim, czyli takim, który został obliczony z wykorzystaniem wyników pomiarów bezpośrednich. Aby wyznaczyć prędkość, mierzyliśmy bezpośrednio drogę s i czas t, odpowiednio z dokładnościami Ds i Dt. Jeżeli uwzględnimy błędy względne poszczególnych pomiarów bezpośrednich, otrzymamy błąd względny pomiaru pośredniego. W przypadku prędkości, dla której wielkości mierzone bezpośrednio są zapisywane w liczniku i mianowniku, błąd względny wynosi: Dv = Ds + Dt . v s t Z tego wzoru można wyznaczyć błąd bezwzględny: Dv = v a Dss + Dt t k . Ze wzoru tego możemy skorzystać dla pomiarów czasu wykonywanych dla konkretnego odcinka, np. s = 80 cm. Szacujemy błędy pomiarów bezpośrednich. Za niepewność pomiaru drogi możemy przyjąć dokładność pomiaru równą najmniejszej podziałce na linijce, czyli Ds = 1 cm. W przypadku pomiaru czasu niepewność to Dt = 0,5 s (czas reakcji osoby przy włączaniu i wyłączaniu stopera: 2 · 0,2 s, pozostałe czynniki mogły spowodować niepewność: 0,1 s). Zatem niepewności pomiaru drogi i czasu wynoszą odpowiednio: Ds = 1 cm i Dt = 0,5 s. Znając niepewność pomiaru wielkości składowych, możemy skorzystać ze wzoru na błąd bezwzględny. Po podstawieniu z tabeli 2. na s. 15 czasu średniego i prędkości średniej dla s = 80 cm oraz oszacowanych niepewności pomiarowych otrzymujemy: 0,5 s k 1 cm cm Dv = 4,30 cm s a 80 cm + 18,60 s = 0,17 s . Wyznaczamy błąd względny dla średniej prędkości pęcherzyka: Dv = 1 cm + 0,5 s = 0,039 = 3,9% . v 80 cm 18,6 s
Wstęp do analizy danych pomiarowych
Dla drogi 80 cm otrzymaliśmy v = (4,30 ! 0,17)
cm s
17
i błąd względny pomiaru wyniósł 3,9%.
Ponieważ pęcherzyk porusza się ruchem jednostajnym, prędkość otrzymana przy pomiarze czasu ruchu pęcherzyka dla jednego odcinka drogi jest prędkością ruchu pęcherzyka w rurce. Uwaga. Niepewność tę obliczamy, jeżeli wielkości mierzone bezpośrednio mają jedną oczekiwaną wartość. Postać wzoru na niepewność wielkości mierzonej pośrednio zależy od jej związku z wielkościami mierzonymi bezpośrednio, inna jest dla v = st , a inna dla s = 12 at 2 . Metoda 3. Uwzględnienie niepewności standardowej wartości średniej Jeżeli wykonaliśmy co najmniej kilka pomiarów, możemy obliczyć niepewność pomiarową, korzystając ze wzoru: 1 6^x – x h2 + ... + ^x – x h2@ , v= l l sr n sr n ^n – 1h 1 gdzie: n – liczba pomiarów, x1, x2, …, xn – wyniki poszczególnych pomiarów (pośrednich lub bezpośrednich), xśr – średnia arytmetyczna pomiarów. W naszym zadaniu wykonaliśmy pięć niezależnych pomiarów prędkości średniej, stąd: v=
1 6^ h2 ^ h2 ^ h2 ^ h2 ^ h2@ 5 $ 4 4,29 – 4,23 + 4,24 – 4,23 + 4,12 – 4,23 + 4,21 – 4,23 + 4,30 – 4,23 v = 0,04 cms .
Wynik pomiaru prędkości ma postać: v = (4,23 ± 0,04)
cm s
cm s
.
Uwaga. Niepewność tę liczymy przy dużej serii pomiarów. Niepewność pomiarowa liczona tą metodą jest tym mniejsza, im więcej wykonamy pomiarów. Najlepiej stosować ją wtedy, gdy wykonano co najmniej 10 pomiarów. Wniosek. Ze względu na niewielką liczbę przeprowadzonych pomiarów w doświadczeniu najlepiej jest obliczyć maksymalną niepewność pomiarową. Odpowiedź: Prędkość pęcherzyka powietrza wraz z niepewnością maksymalną: v = (4,23 ! 0,09) cms . Pytania i zadania
1.2.1. Chłopiec chciał wyznaczyć czas jednego obrotu karuzeli łańcuchowej. Gdy karuzela D wirowała ze stałą prędkością, zmierzył kilkakrotnie czas, w jakim wybrane krzesełko karuzeli wykonało n = 10 okrążeń. Do pomiaru użył stopera w telefonie komórkowym, umożliwiającego pomiar z dokładnością 0,01 s. Wyniki pomiarów przedstawiono w tabeli. Pomiar
1
2
3
4
5
6
7
t [s]
52,76
48,90
51,03
50,48
49,64
60,21
50,59
a) Odrzuć pomiar, który jest obarczony błędem grubym. Jak mógł powstać ten błąd? b) Ustal niepewność pomiaru czasu. Dlaczego nie można przyjąć, że ∆t = 0,01 s? c) Oblicz średni czas jednego obrotu karuzeli i zapisz wynik wraz z niepewnością pomiarową.
18
Kinematyka
1.2.2. Uczniowie przygotowali siłor F D mierz i drewniany klocek o znanej masie. Następnie złożyli zestaw doświadczalny, taki jak na rysunku. Uczniowie sprawdzali doświadczalnie, jaka siła działa na klocek w momencie, gdy rusza on z miejsca. Wykonali kilka pomiarów. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeżeli zdanie jest prawdziwe lub F, jeżeli zdanie jest fałszywe. Wstaw znak × w odpowiednie miejsca. Prawda
Fałsz
Pomiar siły pozwoli wyznaczyć współczynnik tarcia statycznego. Wartość siły nie zależy od masy klocka. Zmierzona siła zależy od podłoża, na którym leży klocek. Pomiar siły pozwoli wyznaczyć współczynnik tarcia kinetycznego.
1.2.3. Mechaniczna waga kuchenna wskazuje masę z dokładnością do Dmk = 0,01 kg, a waga D elektroniczna – z dokładnością do Dme = 1 g. Gospodyni odważyła m = 15 dag cukru na obu wagach. Wyznacz błąd bezwzględny i błąd względny pomiaru masy przy użyciu wagi mechanicznej i elektronicznej. 1.2.4. Uczniowie wyznaczali przyspieszenie ziemskie na podstawie swobodnego D spadku ciała. Kilkakrotnie z wysokości h = 1,5 m puszczali metalową kulkę. Do pomiaru czasu użyli komputera ze specjalnym oprogramowaniem umożliwiającym pomiar z dokładnością do Dt = 0,01 s, sprzężonego z czujnikiem ruchu. Obliczyli średni czas spadku kulki tśr = 0,55 s. Wysokość h zmierzyli z dokładnością do Dh = 0,5 cm. a) Oblicz przyspieszenie kulki podczas spadku swobodnego, wiedząc, że: g = 22s , t gdzie s to pokonana droga. b) Oblicz błąd względny i błąd bezwzględny pomiaru przyspieszenia ziemskiego, korzystając ze wzoru: Dg Ds Dt g = s +2 t . c) Zapisz wynik doświadczenia wraz z jego niepewnością. Porównaj wynik z wartością przyspie szenia ziemskiego podaną w tablicach fizycznych. 1.2.5. Uczniowie doświadczalnie wyznaczali przyspieszenie ziemskie przy użyciu wahadła D matematycznego. Mierzyli jego długość linijką, a okres drgań – stoperem. Przy kolejnych pomiarach wydłużali wahadło o 10 cm. Wyniki doświadczenia oraz uzyskane tą metodą wartości przyspieszenia ziemskiego zanotowali w tabeli. l [m]
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
T [s]
0,89
1,05
1,27
1,41
1,56
1,72
1,83
1,89
2,02
g : m2 D s
9,96
10,73
9,78
9,92
9,72
9,33
9,42
9,94
9,67
a) Oblicz średnią wartość przyspieszenia grawitacyjnego i niepewność standardową wartości średniej, a następnie zapisz wynik doświadczenia wraz z niepewnością.
Wstęp do analizy danych pomiarowych
19
b) Przyspieszenie grawitacyjne uczniowie obliczali ze wzoru: 2 g = 4r 2 l . T Niepewność względną dla wahadła o długości l można obliczyć ze wzoru: Dg Dl DT g = l +2 T . Ustal, przy jakiej długości wahadła matematycznego wyznaczona wartość przyspieszenia grawitacyjnego obarczona jest najmniejszą względną niepewnością pomiarową. Oblicz jej wartość, przyjmując, że niepewność pomiaru długości wynosi Dl = !0,5 cm, a niepewność pomiaru okresu drgań DT = !0,01 s. c) Porównaj otrzymany wynik z wartością przyspieszenia grawitacyjnego podaną w tablicach fizycznych i oceń, czy uzyskana doświadczalnie wartość jest zgodna w granicach błędu z wartością z tablic. d) Wymień przyczyny niepewności pomiarowej, którą obarczona jest ta metoda wyznaczania przyspieszenia grawitacyjnego. A
1.2.6. Aby wyznaczyć opór R opornika, należy odczytać D z woltomierza napięcie U na tym oporniku i z amperomierza natężenie I płynącego przez niego prądu, a następnie skorzyR V stać z prawa Ohma: R= U I . Po zmontowaniu obwodu takiego jak na rysunku uczniowie ustawili zakres woltomierza na 0–25 V, a zakres amperomierza na 0–250 mA. Skala każdego z mierników jest podzielona na 100 części. Podczas doświadczenia nie zmieniano parametrów obwodu. Po wykonaniu kilku odczytów ustalono, że średni spadek napięcia na oporniku wynosi U = 7,75 V, a średnie natężenie płynącego przez niego prądu I = 142,5 mA. a) Ustal niepewność pomiaru napięcia i natężenia prądu wynikającą ze wskazań mierników. b) Oblicz opór i maksymalną niepewność pomiarową wyznaczanego oporu ze wzoru: R –R DR = max 2 min = 12 a U + DU – U – DU k , I – DI I + DI a następnie zapisz wynik wraz z jego niepewnością. c) Inny zespół uczniów wykonał serię pomiarów dla tego samego opornika, w trakcie których ustalał różne wartości napięcia U i odczytywał dla nich natężenie prądu I. Wyniki uczniowie zapisali w tabeli. Pomiar
1
2
3
4
5
6
U [ V ]
5,75
6,25
6,75
I [mA]
97,5
105
115
7
8
7,25
7,75
8,25
8,50
9,75
130
142,5
150
162,5
182,5
R [X]
Uzupełnij tabelę o wartości oporu uzyskane w poszczególnych pomiarach. Ustal Rmax i Rmin, a następnie oblicz maksymalną niepewność pomiarową. Oblicz średnią wartość oporu i zapisz wynik wraz z jego niepewnością. d) Przeanalizuj wyniki uzyskane przez oba zespoły i ustal, czy są one porównywalne w granicach błędu.
20
1.3. Jak opisać położenie ciała Przykład 1 Zawodnik podrzucił piłkę tenisową z wysokości h0 = 1 m nad podłożem. Piłka wzniosła się na wysokość h1 = 1,8 m ponad podłoże, następnie spadła i po odbiciu od podłoża wzniosła się na wysokość h3 = 0,9 m. Narysuj wektor położenia piłki i oblicz współrzędną położenia piłki w przyjętym układzie współrzędnych: a) gdy znajduje się ona w maksymalnym górnym położeniu, b) w chwili uderzenia o podłoże, c) gdy znajduje się ona na wysokości h3. Wprowadź jednowymiarowy układ współrzędnych tak, aby punkt zero na osi znajdował się w miejscu wyrzucenia piłki, a oś y była skierowana do góry.
Podręcznik rozdz. 1.3. y [m] h1
0,8
r
r1
0 –0,1
r
r3
h0 h3
Rozwiązanie
Rysujemy oś y skierowaną do góry. Zaznaczamy punkt zero odpowiadający odległości 1 m od podłoża. Zaznaczamy na osi pozostałe punkty odpowiadające położeniom piłki opisanym w treści zadania: h0 – położenie piłki w chwili wyrzucania w górę, h1 – maksymalne górne położenie piłki po podrzuceniu jej przez tenisistę, h2 – położenie piłki w chwili uderzenia o podłoże, h3 – maksymalne górne położenie piłki po odbiciu od podłoża. Rysujemy wektory położenia i odczytujemy z osi ich zwrot i wartość: r"1 – wektor położenia piłki w maksymalnym górnym położeniu; współrzędna położenia piłki na osi jest dodatnia i wynosi y1 = 0,8 m, r"2 – wektor położenia piłki w chwili uderzenia o podłoże; współrzędna położenia piłki na osi jest ujemna i wynosi y2 = –1,0 m, r"3 – wektor położenia piłki w maksymalnym położeniu po odbiciu; współrzędna położenia piłki na osi jest ujemna i wynosi y3 = –0,1 m.
r
r2
y [m]
r
r1 h0
1,0 0,9
h3
r
r3
Rozwiązanie
Rysujemy oś y skierowaną do góry i zaznaczamy na niej punkt zero, znajdujący się na podłożu. Zaznaczamy na osi pozostałe punkty wskazane w zadaniu: h0 – położenie piłki w chwili wyrzucania jej w górę, h1 – maksymalne górne położenie piłki po podrzuceniu jej przez tenisistę,
h1
1,8
Przykład 2 Narysuj wektory położenia piłki w sytuacji opisanej w poprzednim przykładzie w takim samym jednowymiarowym układzie współrzędnych. Tym razem jednak przyjmij punkt zero na osi w miejscu zetknięcia piłki z podłożem. Oceń, który z układów odniesienia, z przykładu 1. czy przykładu 2., jest wygodniejszy do opisu ruchu piłki (ułatwia wyznaczenie poszczególnych współrzędnych położenia).
h2
–1,0
r
0
r2 = 0 h2
Jak opisać położenie ciała
21
h2 – położenie piłki w chwili uderzenia o podłoże, h3 – maksymalne górne położenie piłki po odbiciu od podłoża. Rysujemy wektory położenia i odczytujemy z osi ich zwrot i wartość: r"1 – wektor położenia piłki w maksymalnym górnym położeniu; współrzędna położenia piłki na osi jest dodatnia i wynosi y1 = 1,8 m, r"2 – wektor położenia piłki; w chwili uderzenia o podłoże wynosi on zero, zatem współrzędna położenia piłki na osi to y2 = 0 m, r"3 – wektor położenia piłki w maksymalnym położeniu po odbiciu; współrzędna położenia piłki na osi jest dodatnia i wynosi y3 = 0,9 m. Opis ruchu ciała (w powyższych przykładach – piłki) zależy od wyboru układu odniesienia. Ciało w tych samych chwilach może mieć różne współrzędne położenia w zależności od układu odniesienia. W przypadku rzutu piłką łatwiej posługiwać się układem odniesienia związanym z podłożem, ponieważ współrzędne położenia piłki przyjmują w nim wyłącznie wartości dodatnie. Jest to także układ bardziej intuicyjny, bo to właśnie podłoże odruchowo przyjmujemy za punkt odniesienia. Pytania i zadania
1.3.1. Piłkę upuszczono na ziemię z wysokości h1 = 1,5 m. Po odbiciu od ziemi wzniosła się ona na wysokość h2 = 1,1 m. Narysuj wektor położenia piłki i oblicz współrzędną jej położenia w przyjętym układzie odniesienia w chwili, gdy piłka: a) znajduje się na wysokości h1, b) uderza o ziemię, c) znajduje się na wysokości h2. Wprowadź jednowymiarowy układ współrzędnych, w którym punkt zero znajduje się w miejscu, z którego piłka została upuszczona, a oś y jest skierowana do góry. 1.3.2. Rozwiąż zadanie 1.3.1., wprowadzając taki jednowymiarowy układ współrzędnych, dla którego punkt zero znajduje się w miejscu zetknięcia piłki z ziemią, a oś y jest skierowana do góry. Uwaga do zadań 1.3.3.–1.3.5. Wektory należy umieścić na osi liczbowej tak, aby początek pierwszego z nich znalazł się w punkcie zero tej osi. "
"
1.3.3. Dodawanie wektorów jest przemienne a" + b = b + a" , a odejmowanie wektorów nie " " " jest przemienne a" – b ! b – a" . Mając dane wektory a" i b (patrz rysunek poniżej), których " długości wynoszą odpowiednio a" = 3 cm i b = 7 cm , sprawdź graficznie słuszność tych twierdzeń. a"
"
b
22
Kinematyka
"
1.3.4. Dane są wektory a" i b (patrz rysunek poniżej), których długości wynoszą odpowied" nio a" = 3 cm i b ="5 cm . " a b "
"
"
"
a) Znajdź graficznie wektory: c" = a" + b , d = a" – b , e" = b – a" . " b) Podaj długości i współrzędne otrzymanych wektorów: c" , d , e" . "
1.3.5. Dane są wektory a" , b i c" (patrz rysunek poniżej), których długości wynoszą odpo" wiednio a" = 2 cm , b = 4 cm i c" = 6 cm . a"
"
c"
b "
"
"
"
"
"
a) Znajdź graficznie wektory: d = a" + b + c" , e" = a" – b + c" , f = a" + b – c" , g" = a" – b – c" . " " b) Podaj długości i współrzędne otrzymanych wektorów: d , e" , f , g" . 1.3.6. Samochód o długości ls = 480 cm pokonał prostoliniowy odcinek drogi ld = 30 m między dwoma skrzyżowaniami. Przyjmij jednowymiarowy układ współrzędnych, którego początek znajduje się w miejscu, z którego ruszył samochód (przód samochodu). Oś współrzędnych jest skierowana w kierunku, w którym samochód się poruszał. a) Wyznacz wektory położenia przodu, środka i tyłu samochodu w chwili, gdy przód samochodu dotarł do drugiego skrzyżowania. b) Podaj przykłady sytuacji, w których samochód można traktować jak punkt materialny. Zinterpretuj wyniki otrzymane w punkcie a, odnosząc się do pojęcia punktu materialnego. 1.3.7. Monika rozpoczęła treningi Back-Wards Running, czyli chodzenia i biegania tyłem. Pierwszy trening przebiegał w kilku etapach, a po każdym etapie Monika odpoczywała i wracała do miejsca, w którym rozpoczynała trening. Każdy z etapów polegał na kilku lub kilkunastu powtórzeniach określonej sekwencji kroków. Podstawowe sekwencje kroków w czasie kolejnych części treningu wyglądały następująco: część I – 5 kroków do przodu, 4 do tyłu, część II – 5 kroków do przodu, 5 do tyłu, część III – 5 kroków do przodu, 6 do tyłu, część IV – 4 kroki do przodu, 7 do tyłu. W jednowymiarowym układzie współrzędnych o początku w miejscu rozpoczęcia treningu narysuj wektory położenia Moniki i oblicz jego współrzędną w chwili, gdy Monika wykonała: a) pięć sekwencji kroków z I części treningu, b) dziesięć sekwencji kroków z II części treningu, c) piętnaście sekwencji kroków z IV części treningu, d) dziesięć sekwencji kroków z III części treningu i piętnaście z IV. Długość kroku Moniki wynosiła x1 = 60 cm, gdy poruszła się do przodu, i x2 = 40 cm przy krokach w tył. "
1.3.8. Dane są wektory współliniowe a" , b , c" , których długości wynoszą odpowiednio: " a" = 3 cm , b = 1 cm , c" = 4 cm . Znajdź graficznie: "
"
"
"
a) wektor d = a" + b + c" , którego wartość wynosi d = a" – b + c" , "
"
b) wektor e" = a" – b + c" , którego wartość wynosi e" = a" + b + c" .
23
1.4. Ruch prostoliniowy
Podręcznik rozdz. 1.4. i 1.5.
Przykład 1 Pasażer autobusu co 10 minut notował liczby, które widział z okna na mijanych słupkach kilometrowych. Zapisał następujące liczby: 72, 84, 96, 108, 120, 124, 128, 132, 136, 140. Narysuj wykres zależności położenia autobusu od czasu jazdy x(t). Oblicz prędkości średnie autobusu w pierwszych t1 = 40 min jazdy i w następnych t2 = 50 min. Pomiń niepewności pomiarowe. Rozwiązanie
Rysujemy układ współrzędnych x(t), dobierając odpowiednie jednostki na osiach. Następnie nanosimy punkty odpowiadające położeniom wymienionym w zadaniu (patrz wykres).
x [km]
Punkty łączymy liniami prostymi. Zauważmy, że wykres składa się z dwóch odcinków; każdy z nich odpowiada ruchowi z inną stałą prędkością. Aby wyznaczyć te prędkości, musimy znaleźć przemieszczenie Dx w czasie Dt dla obu prostych.
140 120 100
∆x1
80 60
Dla pierwszego odcinka mamy: 0 Dx1 = 120 km – 72 km = 48 km (patrz odcinek Dx1 na rysunku), Dt1 = 40 min – 0 min = 40 min (patrz odcinek Dt1 na rysunku).
∆t1 20
40
60
80
t [min]
Jeśli do wzoru na prędkość średnią:
vśr = Dx Dt podstawimy wyznaczone przed chwilą dane liczbowe Dx = Dx1 i Dt = Dt1, otrzymamy: km km v sr1 l = 1,2 min = 72 h . Podobnie obliczamy prędkość średnią dla drugiego odcinka: Dx2 = 140 km – 120 km = 20 km, Dt2 = 90 min – 40 min = 50 min. Po podstawieniu danych liczbowych do wzoru otrzymamy: v sr2 l = 24
km h
.
Odpowiedź: Średnia prędkość autobusu na pierwszym odcinku wynosiła 72
gim 24
km h
.
km h
, a na dru-
Uwaga. Po obliczeniu prędkości średnich widzimy, że vśr1 > vśr2. Informację tę można również odczytać z wykresu. Kąt między osią t a wykresem x(t) dla przedziału czasu Dt1 jest większy niż kąt między osią t a wykresem x(t) dla następnych 50 minut.
24
Kinematyka
Przykład 2 Łyżworolkarz doskonalił swoje umiejętności na prostoliniowym odcinku asfaltowej ścieżki. W chwili t = 0 znajdował się w odległości x0 = 0,8 km od początku ścieżki, który przyjęto za początek układu współrzędnych. Na wykresie zależności współrzędnej położenia od czasu x(t) zaznaczono początkowe położenie rolkarza. a) Narysuj kolejne fragmenty wykresu, wiedząc, x [km] 1,0 że w następujących po sobie przedziałach czasu: 0,8 ∆t1 = 3 min, ∆t2 = 2 min, ∆t3 = 2 min, ∆t4 = 2 min, współ 0,6 0,4 rzędne wektora przemieszczenia rolkarza miały warto 0,2 ści: ∆x1 = 1,2 km, ∆x2 = 0,4 km, ∆x3 = 0 km, ∆x4 = –0,6 km. 0 Załóż, że położenie rolkarza w poszczególnych prze –0,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t [min] –0,4 działach czasu jest funkcją liniową czasu. –0,6 x b) Wykaż, że przemieszczenie całkowite jest sumą prze –0,8 0 –1,0 mieszczeń cząstkowych: ∆x = ∆x1 + ∆x2 + ∆x3 + ∆x4. c) Odczytaj z wykresu współrzędną końcowego położenia rolkarza i wykaż rachunkowo, że można ją obliczyć ze wzoru: xk = x0 + ∆x, gdzie: x0 – współrzędna położenia początkowego, Dx – współrzędna przemieszczenia całko witego. d) Oblicz całkowitą drogę łyżworolkarza w ciągu 9 minut. Rozwiązanie
a) W chwili początkowej współrzędna położenia wyno si x0. Po upływie czasu ∆t współrzędna przemieszczenia wynosi ∆x. Współrzędną położenia końcowego znajdu jemy, korzystając z ogólnego wzoru: x k = x0 + Dx. Każdy przedział czasu Dti (i = 1, 2, 3, 4) traktujemy oddziel nie. Ponieważ przedziały czasu następują bezpośrednio po sobie, koniec jednego jest jednocześnie początkiem następnego: x1 = x02, x2 = x03 itd. Położenie początkowe w pierwszym przedziale czasu podano w treści zadania.
x [km] 1,0 x2 x3 0,8 0,6 x1 0,4 x4 0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t [min] –0,2 –0,4 –0,6 –0,8 x0 –1,0
Obliczamy współrzędne położenia końcowego dla kolejnych przedziałów czasu. 1. ∆t1 = 3 min, ∆x1 = 1,2 km, x01 = –0,8 km, 2. ∆t2 = 2 min, ∆x2 = 0,4 km, x02 = 0,4 km, 3. ∆t3 = 2 min, ∆x3 = 0 km, x03 = 0,8 km, 4. ∆t4 = 2 min, ∆x4= –0,6 km, x04 = 0,8 km,
x1 = –0,8 km + 1,2 km = 0,4 km. x2 = 0,4 km + 0,4 km = 0,8 km. x3 = 0,8 km + 0 km = 0,8 km. x4 = 0,8 km + (–0,6 km) = 0,2 km.
Punkty x1, x2, x3, x4 nanosimy na układ współrzędnych i łączymy odcinkami, ponieważ z tre ści zadania wiemy, że położenie rolkarza w poszczególnych przedziałach czasu jest liniową funkcją czasu. b) Sumę przemieszczeń cząstkowych wyznaczamy ze wzoru: ∆xs = ∆x1 + ∆x2 + ∆x3 + ∆x4. Rozpisujemy przemieszczenia cząstkowe: ∆xs = (x1 – x0) + (x2 – x1) + (x3 – x2) + (x4 – x3) = x4 – x0 = ∆x.
Ruch prostoliniowy
25
Odpowiedź: Wykazaliśmy, że sumując współrzędne przemieszczeń cząstkowych, otrzymu-
jemy współrzędną przemieszczenia całkowitego.
c) Odczytana z wykresu współrzędna położenia końcowego (dla t = 9 min) ma wartość x k = 0,2 km. Współrzędna położenia końcowego obliczona ze wzoru x k = x0 + ∆x, gdzie x0 to współrzędna położenia początkowego, a Dx to współrzędna przemieszczenia całkowitego, wynosi: x k = – 0,8 km + 1 km = 0,2 km. Odczytując współrzędną z wykresu i stosując wzór, otrzymaliśmy tę samą wartość x k = 0,2 km. Odpowiedź: Wykazaliśmy, że współrzędną położenia końcowego możemy odczytać z wy-
kresu i obliczyć przy użyciu podanego wzoru.
d) Drogę obliczamy, dodając wartości bezwzględne przemieszczeń cząstkowych: s = Dx 1 + Dx 2 + Dx 3 + Dx 4 , s = 1,2 km + 0,4 km + 0 km + 0,6 km = 2,2 km. Odpowiedź: Łyżworolkarz w ciągu 9 minut przebył drogę 2,2 km.
Przykład 3 Spychacz pracujący przy budowie drogi porusza się ruchem v [ ms ] 2 prostoliniowym. Na wykresie przedstawiono zależność współrzędnej prędkości spychacza od czasu v(t). 1 a) Korzystając z wykresu, wyznacz przemieszczenia spychacza w kolejnych fazach ruchu. 0 b) Oblicz całkowite przemieszczenie spychacza w ciągu 5 10 15 20 25 30 t [min] Dt = 30 min i wartość jego prędkości średniej. –1 c) Oblicz całkowitą drogę spychacza w ciągu Dt i średnią –2 wartość jego prędkości. Porównaj wartości prędkości obliczone w punktach b i c. Zinterpretuj wynik porównania. d) Sporządź wykres zależności położenia pojazdu od czasu x(t). Załóż, że w chwili t = 0 spychacz znajdował się w początku układu współrzędnych. Oś czasu wyskaluj jak na wykresie zależności v(t), a współrzędną położenia wyraź w metrach. Rozwiązanie
a) Przemieszczenia obliczamy ze wzoru: Dx = vxDt. Podstawiamy dane do wzoru dla poszczególnych faz ruchu. 1. Dt1 = 10 min = 600 s, vx1 = 0,5 ms , Dx1 = 0,5 ms · 600 s = 300 m. m 2. Dt2 = 5 min = 300 s, vx2 = 1 s , Dx2 = 1 ms · 300 s = 300 m. 3. Dt3 = 5 min = 300 s, vx3 = 0 ms , Dx3 = 0 ms · 300 s = 0 m. m 4. Dt4 = 5 min = 300 s, vx4 = –2 s , Dx4 = –2 ms · 300 s = –600 m. m 5. Dt5 = 5 min = 300 s, vx5 = –1 s , Dx5 = –1 ms · 300 s = –300 m. Odpowiedź: Przemieszczenia na poszczególnych odcinkach wynosiły: Dx1 = 300 m,
Dx2 = 300 m, Dx3 = 0 m, Dx4 = –600 m, Dx5 = –300 m.
26
Kinematyka
b) Przemieszczenie całkowite spychacza jest sumą przemieszczeń cząstkowych: Dx = Dx1 + Dx2 + Dx3 + Dx4 + Dx5 = –300 m. Wartość prędkości średniej to iloraz wartości przemieszczenia całkowitego i czasu, w którym to przemieszczenie nastąpiło: Dx . v = Dt Wstawiamy dane liczbowe i otrzymujemy: |v| = 0,167
m s
.
Odpowiedź: Całkowite przemieszczenie spychacza wynosi –300 m, a wartość jego prędkości
średniej 0,167
m s
.
c) Droga ma wartością dodatnią. Obliczamy ją, dodając wartości bezwzględne przemieszczeń: s = 300 m + 300 m + 0 m + 600 m + 300 m = 1500 m. Średnia wartość prędkości to iloraz drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta: s 1 + s 2 + ... + s n . v srw = l Dt 1 + Dt 2 + ... + Dt n . 0,833 Wstawiamy dane liczbowe: v srw l
m s
.
Z porównania wartości vśrw z wartością prędkości średniej v obliczoną w punkcie b wynika, że v < vśrw. Wiemy, że spychacz w poszczególnych fazach ruchu poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Z wykresu możemy jednak odczytać, że w poszczególnych fazach ruchu zmieniał się znak współrzędnej prędkości w funkcji czasu. Oznacza to, że spychacz zawracał, czyli Dx < s, a w konsekwencji v < vśrw. Odpowiedź: Spychacz przebył drogę o długości 1500 m, a średnia wartość jego prędkości
wyniosła około 0,833 ms i była większa od wartości prędkości średniej, co oznacza, że ruch nie był jednostajny prostoliniowy (bez zawracania). d) Rysując układ współrzędnych, oś czasu (poziomą) skalujemy tak samo jak na wykresie zależności v(t), a oś opisującą współrzędną położenia skalujemy tak, aby zmieściły się obliczone poniżej wartości. Obliczamy kolejne współrzędne położenia ze wzorów: x1 = x0 + Dx1, x2 = x1 + Dx2 itd. x1 = 0 m + 300 m = 300 m x2 = 300 m + 300 m = 600 m x3 = 600 m + 0 m = 600 m x4 = 600 m – 600 m = 0 m x5 = 0 m – 300 m = –300 m Nanosimy te punkty na układ współrzędnych (patrz rysunek).
x [m] 600 500 400 300 200 100 0 –100 –200 –300
5 10 15 20 25 30
t [min]
Ruch prostoliniowy
27
Pytania i zadania
1.4.1. Na wykresie przedstawiono zależność położenia ciała od czasu x(t). a) Odczytaj z wykresu, ile wynoszą współrzędna przemieszczenia i droga przebyta przez ciało w kolejnych, równych przedziałach czasu wynoszących 40 s oraz podaj współrzędną położenia ciała po czasie: 40 s, 80 s i 120 s. b) Odczytaj z wykresu współrzędną przemieszczenia oraz oblicz na podstawie wykresu drogę przebytą przez ciało w ciągu t = 120 s ruchu. c) Załóż, że ciało poruszało się dalej w taki sam sposób, jak w ciągu ostatnich 40 s przedstawionych na wykresie zależności x(t). Po jakim czasie całkowita droga przebyta przez ciało zwiększyłaby się dwukrotnie w stosunku do drogi obliczonej w punkcie b?
x [m] 100 80 60 40 20 0 –20 –40 –60 –80 –100
1.4.2. Koparka przewozi wykopaną ziemię do wywrotki po vx [km ] h prostoliniowym odcinku drogi długości sn = 600 m. Zależ3 ność współrzędnej prędkości koparki od czasu vx(t) ilustruje wykres na rysunku obok. Sporządź wykres zależności 2 współrzędnej położenia od czasu x(t) dla koparki. Przyj1 mij, że współrzędna położenia jest równa zeru w połowie odcinka drogi. Zachowaj skalę czasu z wykresu zależności 0 vx(t), a współrzędną położenia wyraź w metrach.
20 40 60 80 100
0,1
0,3
0,5
t [s]
0,7 t [h]
–1 1.4.3. Na stacji kolejowej znajduje się prostoliniowy, równoległy do peronu tor, na którym przepina się lokomoty–2 wy. Pasażer stojący na peronie przyjął, że znak kolejowy stojący przy torze będzie punktem odniesienia, względem –3 którego określi położenie lokomotywy, a kierunek w prawo jako zgodny z kierunkiem osi x. Lokomotywa stojąca 10 m na prawo od znaku kolejowego wykonała manewr. Kolejne współrzędne jej przemieszczeń wynosiły: ∆x1 = –40 m, ∆x2 = 25 m, ∆x3 = –5 m. Oblicz współrzędną całkowitego przemieszczenia lokomotywy, jej położenie po zakończeniu manewru i drogę, jaką w tym czasie pokonała. x [m] 1.4.4. Rowerzysta porusza się po prostym odcinku ścieżki 120 rowerowej. Na rysunku zaznaczono położenie rowerzysty 80 w chwili t = 5 s. 40 0 a) Narysuj kolejne fragmenty wykresu, wiedząc, że w na10 20 30 40 t [s] –40 stępujących po sobie przedziałach czasu: ∆t1 = 10 s, –80 –120 ∆t2 = 15 s, ∆t3 = 5 s, ∆t4 = 10 s, współrzędne przemieszczenia wynoszą odpowiednio: ∆x1 = 120 m, ∆x2 = 80 m, ∆x3 = 0 m, ∆x4 = –120 m. Załóż, że położenie rowerzysty w poszczególnych przedziałach czasu jest funkcją liniową czasu. b) Odczytaj z wykresu współrzędną położenia końcowego rowerzysty.
28
Kinematyka
1.4.5. Walec drogowy utwardzał nawierzchnię na prostoliniowym odcinku drogi długości x = 500 m. Zależność położenia walca od czasu x(t) ilustruje wykres, na którym punkt zero ustalono w połowie odcinka drogi. a) Odczytaj z wykresu współrzędną położenia i współrzędną przemieszczenia walca po upływie czasu: t1 = 2 min, t2 = 4 min, t3 = 6 min, licząc od początku trwania ruchu. b) Oblicz, ile wynoszą współrzędna przemieszczenia i droga przebyta przez walec drogowy po czasie t = 7 min trwania ruchu. c) Oblicz wartość prędkości średniej i średnią wartość prędkości walca po t = 7 min.
x [m] 200 100 0
1 2 3 4 5 6 7
t [min]
–100 –200
1.4.6. Wykres przedstawia zależność współrzędnej x [m] położenia od czasu x(t) dla kuracjusza spacerującego 1200 po ścieżce w parku zdrojowym, gdzie za punkt zero 800 na osi x przyjęto Pijalnię Wód Mineralnych „Celina”. 400 0 Kuracjusz wyruszył na spacer ścieżką, która na od5 10 15 20 25 30 35 40 45 t [min] –400 cinku ss = 2 km biegła prostoliniowo. W chwili początkowej t0 = 0 jego współrzędna położenia wynosiła –800 –1200 x0 = –800 m. Odczytaj z wykresu: a) po upływie jakiego czasu kuracjusz minął pijalnię „Celina” i ile wynosiła wtedy jego współrzędna położenia. b) w jakim przedziale czasu wartość przemieszczenia kuracjusza wynosiła zero. Oblicz: c) całkowite przemieszczenie i wartość prędkości średniej kuracjusza. d) całkowitą drogę, jaką przeszedł kuracjusz, i średnią wartość jego prędkości. Wartość prędkości średniej i średnią wartość prędkości podaj w podstawowych jednostkach układu SI. 1.4.7. Rowerzysta, który wyruszył z domu, po przejechaniu s1 = 6 km z prędkością v1 = 21 km h „złapał gumę” i wrócił do domu, prowadząc rower. Powrót zajął mu t2 = 1 h 15 min. a) Ile wyniosło jego przemieszczenie całkowite? b) Po jakim czasie od wyjechania z domu rowerzysta wrócił do niego z uszkodzonym rowerem? c) Ile wyniosła jego średnia wartość prędkości na całej trasie? d) Po naprawieniu roweru rowerzysta ponownie wyruszył w tę samą trasę. Do miejsca, w którym złapał gumę, dotarł po t3 = 1h 43 min od chwili przebicia opony. Oblicz średnią wartość prędkości rowerzysty od chwili pierwszego wyruszenia z domu do powrotu w miejsce, w którym uszkodził dętkę.
29
1.5. Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny Podręcznik rozdz. 1.6., 1.7. i 1.8.
Przykład 1
Kierowca przebył odcinek trasy o długości l1 = 90 km w czasie t1 = 45 min. W jakim czasie t2 i z jaką średnią prędkością v2śr kierowca samochodu przejechał następny odcinek trasy rajdu o długości l2 = 180 km, jeżeli pokonał całą trasę ze średnią prędkością vśr = 90 km h ? Rozwiązanie
Podstawowy wzór na prędkość średnią w ruchu prostoliniowym: v srl = st . l Prędkość średnią na drugiej części trasy obliczamy ze wzoru: v 2srl = t 2 . 2 Nie znamy czasu, w którym druga część trasy została pokonana, ale wiemy, że średnia prędkość na całej trasie powinna wynosić vśr = 90 km h , możemy więc zapisać: l +l v srl = t 1 + t 2 . 1 2 Wyznaczamy z tego wzoru t2 i otrzymujemy: l +l t 2 = 1v 2 – t 1 . l sr Podstawiamy dane liczbowe, otrzymując: t2 = 2,25 h = 2 h 15 min. Mając czas pokonania przez kierowcę drugiego odcinka trasy, możemy obliczyć prędkość średnią na tym odcinku: v 2srl = 180 km = 80 km h . 2,25 h Odpowiedź: Kierowca pokonał drugi odcinek trasy w 2 h 15 min ze średnią prędkością 80
km h
.
Przykład 2 Podczas treningu terenowego kolarz jedzie początkowo po płaskim odcinku drogi o długości s, a następnie wjeżdża na wzniesienie i ponownie jedzie po płaskim terenie. Dwa płaskie odcinki trasy o tej samej długości s kolarz pokonuje z taką samą prędkością v1 = 54 km h . Odcinek trasy pod górę, który jest dwa razy dłuższy niż odcinek płaski, kolarz pokonuje z prędkością v2 = 18 km h . Oblicz średnią wartość prędkości kolarza na całej trasie. Rozwiązanie
Korzystamy ze wzoru na średnią wartość prędkości: s +s +s v srl = t1 + t 2 + t 3 . 1 2 3 Droga całkowita wynosi: s1 + s2 + s3 = 4s.
(1)
Poszczególne czasy obliczamy ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnym: s = vt, skąd t = vs : t 1 = vs , t 2 = 2vs , t 3 = vs . 1 1 2
30
Kinematyka
Drogę i wyznaczone czasy wstawiamy do wzoru (1) i otrzymujemy: 4sv 1 v 2 2v v v srl = s 42ss = 2s 4s 2s = = v +1 v2 . s 2 s ( ) v + v 1 2 2 1 v1 + v2 + v1 v1 + v2 Podstawiamy wartości liczbowe: v srl =
km 2 $ 54 km h $ 18 h km = 27 54 km h + 18 h
km h
.
Odpowiedź: Średnia wartość prędkości kolarza na całej trasie wynosiła 27
km h
.
Uwaga. Zauważmy, że do wyliczenia średniej wartości prędkości nie była konieczna znajomość długości pokonanej drogi. Przykład 3 S K M Sportowiec trenuje bieg na dystansie 100 m. Na prostoliniowym odcinku bieżni zaznaczono start S, x punkt kontrolny K i metę M. Napisz równanie ru" chu sportowca, wiedząc, że biegnie on z prędkością v , a oś współrzędnych skierowana jest w prawo oraz: a) w chwili początkowej sportowiec znajdował się w punkcie S i biegł w kierunku mety, a początek układu współrzędnych też jest w punkcie S, b) w chwili początkowej sportowiec znajdował się w punkcie S i biegł w kierunku mety, a początek układu współrzędnych jest w punkcie M, c) w chwili początkowej sportowiec znajdował się w punkcie M i biegł w kierunku startu, a początek układu współrzędnych jest w punkcie K.
Rozwiązanie
Ponieważ oś układu współrzędnych jest skierowana wzdłuż toru ruchu sportowca, to równanie ruchu przyjmuje postać równania współrzędnej: x = x0 + vxt, gdzie v"x = v" i x"0 to wektor położenia początkowego. Dalej rozpatrujemy równanie dla wartości wskazanych w poszczególnych punktach zadania. S a) Przyjmujemy początek układu współrzędnych v w punkcie oznaczającym miejsce, gdzie sportowiec rozpoczął bieg (S), stąd długość wektora położenia 0 początkowego: x0 = 0. Zwrot wektora prędkości jest zgodny ze zwrotem osi x i równanie współrzędnej przyjmuje postać: x = vt.
K
M x
Odpowiedź: Równanie współrzędnej sportowca ma postać x = vt.
b) Przyjmujemy początek układu współrzędnych w punkcie M i rysujemy wektor położenia początkowego łączący punkty M i S (gdzie S jest miejscem, w którym sportowiec rozpoczął bieg). Z rysunku
S
K
M
v
x0
0
x
Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny
31
odczytujemy, że: x0 = 100 m, a zwrot wektora położenia początkowego jest przeciwny do zwrotu osi x, natomiast zwrot wektora prędkości jest zgodny z osią x. Stąd równanie współrzędnej przyjmuje postać: x = –100 + vt. Odpowiedź: Równanie współrzędnej sportowca ma postać x = –100 + vt. S K M c) Przyjmujemy początek układu współrzędnych v w punkcie K i rysujemy wektor położenia początkowego łączący punkty K i M (gdzie M jest miejscem, x 0 x0 w którym sportowiec rozpoczął bieg). Z rysunku odczytujemy, że: x0 = 50 m, a zwrot wektora położenia początkowego jest zgodny ze zwrotem osi x, natomiast zwrot wektora prędkości jest przeciwny do zwrotu osi x. Stąd równanie współrzędnej przyjmuje postać: x = 50 – vt.
Odpowiedź: Równanie współrzędnej sportowca ma postać x = 50 – vt.
Przykład 4 Przy prostoliniowym odcinku drogi znajdują się stacja benzynowa i Zajazd Leśny, odległe od siebie o d = 30 km. Po drodze poruszają się ruchem jednostajnym dwa samochody: ciękm żarowy z prędkością v1 = 90 km h i osobowy z prędkością v2 = 120 h . W pewnej chwili t0 = 0 samochód ciężarowy jadący w stronę stacji benzynowej mija Zajazd Leśny. Po upływie czasu t1 = 6 min samochód osobowy mija stację benzynową, jadąc w kierunku Zajazdu Leśnego. t0 = 0
t1 = 0,1 h
d = 30 km
a) Wybierz Zajazd Leśny jako układ odniesienia i wprowadź jednowymiarowy układ współrzędnych. b) Napisz równania współrzędnej położenia: samochodu ciężarowego oraz osobowego, tzw. równania ruchu. c) Po jakim czasie i w jakiej odległości od Zajazdu Leśnego samochody się wyminą? d) Sporządź wykres zależności współrzędnej położenia od czasu dla obu samochodów. Z otrzymanych wykresów wyznacz czas i miejsce ich wymijania. Porównaj wynik z odpowiedzią z punktu c. Rozwiązanie
a) Wprowadzamy jednowymiarowy układ współrzędnych. Przyjmiemy, że punkt zero osi znajduje się w miejscu Zajazdu Leśnego, a oś x jest skierowana od Zajazdu Leśnego do stacji benzynowej.
v1 t0 = 0
v2 d = 30 km
t1 = 0,1 h
x
32
Kinematyka
b) Pojazdy poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym, dlatego do zapisania ich równań ruchu posłużymy się równaniem współrzędnej położenia punktu poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym: x = x0 + vxt. Współrzędna położenia początkowego samochodu ciężarowego jest równa zeru x01 = 0, ponieważ w chwili t0 = 0 znajdował się on na początku układu współrzędnych. Wektor jego prędkości skierowany jest zgodnie z osią x, więc współrzędna prędkości ciężarówki jest dodatnia. Zapisujemy równanie współrzędnej położenia samochodu dla dowolnej chwili t: x1 = v1t. W chwili t0 = 0 samochód osobowy znajduje się w odległości x02 = d od Zajazdu Leśnego. Wektor położenia początkowego samochodu osobowego jest zgodny ze zwrotem osi x, więc jego współrzędna położenia początkowego jest dodatnia. Samochód jedzie w kierunku Zajazdu Leśnego, czyli jego wektor prędkości skierowany jest przeciwnie do zwrotu osi x, co oznacza, że jego współrzędna jest ujemna. Zapisujemy równanie współrzędnej położenia samochodu osobowego dla dowolnej chwili: x2 = x02 – v2(t – t1) = d – v2(t – t1). Odpowiedź: Równania współrzędnej położenia: samochodu ciężarowego oraz osobowego
mają postać odpowiednio: x1 = v1t i x2 = d – v2(t – t1).
c) W momencie mijania się samochodów ich współrzędne są równe, czyli: x1 = x2. Po podstawieniu do tej równości równań ruchu wyznaczonych w punkcie b, otrzymujemy: v1tm = d – v2(tm – t1), gdzie tm jest czasem, po jakim samochody się miną, licząc od t0. Wyznaczamy tm:
d+v t t m = v + 2v 1 1 2
i podstawiamy dane liczbowe: tm =
30 km + 120 km h $ 0,1 h = 0,2 h . km 90 km + 120 h h
Miejsce wyminięcia się pojazdów wyznaczamy z równania współrzędnej położenia dla jednego z pojazdów, np. samochodu ciężarowego, dla t = tm = 0,2 h. Po podstawieniu danych otrzymujemy: xm = 90 km h · 0,2 h = 18 km. Tę samą wartość otrzymamy, korzystając z równania ruchu drugiego pojazdu – dla samochodu osobowego: xm = 30 km – 120 km h (0,2 h – 0,1 h) = 18 km. Odpowiedź: Samochody wyminą się po 0,2 h, a współrzędna ich położenia będzie wów-
czas równa 18 km.
Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny
33
d) W celu sporządzenia wykresu x1(t) i x2(t) przygotowujemy tabelę. t [h]
0
0,1
0,2
0,3
0,4
x1 = v1t [km]
0
9
18
27
36
x2 = d – v2 (t – t1) [km]
42
30
18
6
– 6
x [km] 36
Zaznaczamy punkty odczytane na podstawie danych z tabeli w układzie współrzędnych i rysujemy wykresy x1(t) i x2(t).
27
Czas i miejsce spotkania się samochodów to punkt przecięcia tych wykresów. Jego współrzędne wynoszą [0,2 h; 18 km]. Taki sam wynik otrzymaliśmy w punkcie c.
9
18
0
samochód osobowy
samochód ciężarowy
M(tm, xm)
0,1 0,2 0,3 0,4
t [h]
–9
Odpowiedź: Wykresy przecinają się w punkcie o współrzędnych [0,2 h; 18 km].
Uwaga. W powyższym przykładzie zaprezentowano dwa sposoby wyznaczania miejsca i czasu spotkania dwóch pojazdów. Pierwszy sposób to ułożenie równań opisujących położenie samochodów względem układu odniesienia. Miejsce spotkania to równość współrzędnych: obydwa pojazdy są w tej samej odległości od początku osi, czyli Zajazdu Leśnego. Drugi sposób, graficzny, polega na sporządzeniu wykresów zależności współrzędnej położenia samochodów od czasu. Punkt przecięcia wykresów określa czas i miejsce ich wymijania. Przykład 5 Wskazówka sekundomierza zegarka ręcznego ma długość R = 2 cm. a) Narysuj wektor przemieszczenia końca tej wskazówki po czasie Dt1 = 15 s, Dt2 = 30 s, Dt3 = 45 s i Dt4 = 60 s od początku ruchu. Jako początkowe położenie wskazówki przyjmij wskazanie godziny 12. Oblicz w kolejnych przedziałach czasu: b) przemieszczenie końca wskazówki sekundomierza, c) wartość prędkości średniej końca wskazówki sekundomierza, d) średnią wartość prędkości końca wskazówki sekundomierza. Rozwiązanie
a) Koniec wskazówki sekundomierza porusza się po okręgu o promieniu R. Na kolejnych rysunkach zaznaczono wskazówkę oraz wektory przemieszczenia dla końca wskazówki. 1) Dt1 = 15 s 2) Dt2 = 30 s 3) Dt3 = 45 s 4) Dt4 = 60 s O
O
Dr1
O
Dr2
Dr3
O Dr4 = 0
34
Kinematyka
b) Obliczamy przemieszczenia końca wskazówki sekundomierza w pozycjach zaznaczonych na poszczególnych rysunkach. W przypadku pierwszym i trzecim przemieszczenie jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego o ramieniu R. 1) D r"1 = R 2 . 2,8 cm 2) D r"2 = 2R = 4 cm 3) D r"3 = R 2 . 2,8 cm 4) D r"4 = 0 Odpowiedź: Przemieszczenia końca wskazówki sekundomierza w kolejnych przedziałach czasu wynoszą odpowiednio: 2,8 cm, 4 cm, 2,8 cm, 0 cm.
c) Wartość prędkości średniej obliczamy, korzystając z podstawowego wzoru: v"srl =
D r" . Dt
Obliczamy dla kolejnych położeń końca wskazówki wartość prędkości średniej, podstawiając odpowiednie dane. 2,8 cm 1) v"1srl = 15 s . 0,187
cm s
2) v"2srl = 430cm s . 0,133
2,8 cm 3) v"3srl = 45 s . 0,062
cm s
4) v"4srl = 060cm s =0
cm s
cm s
Odpowiedź: Wartość prędkości średniej końca wskazówki sekundomierza w kolejnych przedziałach czasu wynosi: 0,187 cms , 0,133 cms , 0,062 cms , 0 cms .
d) Średnią wartość prędkości obliczamy, korzystając z podstawowego wzoru: = Ds . v srw l Dt Najpierw obliczamy długość okręgu (tor ruchu), po którym porusza się koniec wskazówki: 2πR ≈ 12,56 cm. Korzystamy z tej wielkości przy wyznaczaniu drogi Ds pokonanej w poszczególnych odcinkach czasu. 1) Ds 1 = 14 $ 12,56 cm = 3,14 cm 2) Ds 2 = 12 $ 12,56 cm = 6,28 cm 3) Ds 3 = 34 $ 12,56 cm = 9,42 cm 4) Ds4 = 12,56 cm Znając pokonaną drogę, obliczamy średnią wartość prędkości. 1) v 1srw . l
3,14 cm 15 s = 0,209
cm s
2) v 2srw . l
6,28 cm 30 s = 0,209
3) v 3srw . l
9,42 cm 45 s = 0,209
cm s
4) v 4srw . l
12,56 cm 60 s = 0,209
cm s cm s
Odpowiedź: Średnia wartość prędkości końca wskazówki sekundomierza w kolejnych przedziałach czasu wynosi 0,209 cms .
Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny
35
Pytania i zadania
1.5.1. Prędkość dźwięku w powietrzu to v = 340 ms . Z jaką prędkością (w km h ) powinien poruszać się samolot odrzutowy, aby przekroczyć barierę dźwięku? 1.5.2. Przez pierwsze t1 = 30 min sportowiec biegł z prędkością v1 = 2,5 ms , a przez następne t2 = 30 min z prędkością v2 = 3 ms . Oblicz średnią wartość jego prędkości na całej trasie. 1.5.3. Triatlon to wielobój składający się z pływania, kolarstwa i biegu. Czas końcowy obejmuje również zmianę stroju sportowego. Dystans x1 = 1,5 km w akwenie zawodnik pokonał w t1 = 28 min 56 s, trasę rowerową x2 = 40 km w t2 = 1 h 4 min 54 s, a ostatni etap, bieg na dystansie x3 = 10 km, w t3 = 45 min 10 s. Oblicz średnią wartość jego prędkości na całej trasie i porównaj ją ze średnią wartością prędkości mistrza olimpijskiego z Aten w 2004 r., który uzyskał czas tA = 1 h 51 min 4 s. Wyniki podaj w ms . 1.5.4. Na placu Zamkowym w Warszawie odbywa się koncert transmitowany przez rozgłośnię radiową. Kto usłyszy wcześniej głos piosenkarza: słuchacz radiowy mieszkający w odległości x1 = 500 km od Warszawy czy bezpośredni uczestnik koncertu stojący w odległości x2 = 50 m od estrady? Prędkość dźwięku w powietrzu to vdz = 340 ms , a prędkość fal radiowych vf = 3 · 105 km s . Pomiń opóźnienia powstające w urządzeniach elektronicznych. 1.5.5. Kanał La Manche można przebyć promem lub pociągiem. Ile czasu trwa pokonanie s = 34 km kanału pociągiem, który porusza się z prędkością v1 = 160 km h , a ile promem, który rozwija prędkość v2 = 9 węzłów? Wskazówka. Przelicz węzły na jednostki układu SI. 1.5.6. Mała modelarska rakieta ma zostać odpalona za pomocą lontu, który pali się powoli i równomiernie z prędkością v1 = 1 cms . Jaką co najmniej długość powinien mieć lont, by po zapaleniu go można było szybkim krokiem oddalić się na bezpieczną odległość s = 20 m? Załóż, że człowiek porusza się z prędkością v2 = 2,5 ms . 1.5.7. Z Kołobrzegu do portu Nexø na Bornholmie kursują statki pasażerskie. Statek wyruszył w rejs o godzinie 7.00, a przybył na miejsce o 12.00. Jednocześnie z Nexø do Kołobrzegu wypłynął jacht motorowy poruszający się ze stałą prędkością v2 = 30 km h . Wyspa Bornholm leży w odległości l = 100 km na północ od Kołobrzegu. a) Napisz równania ruchu dla statku pasażerskiego i jachtu motorowego w wybranym układzie odniesienia. b) Przedstaw graficznie w jednym układzie współrzędnych zależność x(t) dla obu pływających jednostek. c) W jakiej odległości od Kołobrzegu jednostki się miną? O której godzinie?
36
Kinematyka
1.5.8. Samochód osobowy poruszający się ze stałą prędkością v1 = 70 km h minął znak drogowy informujący, że do celu pozostało mu 210 km. Tę chwilę przyjęto za czas początkowy t0 = 0. Po upływie t1 = 0,5 h ten sam znak drogowy z prędkością v2 = 140 km h minął jadący w tę samą stronę motocyklista. a) W jakiej odległości od znaku drogowego motocyklista dogoni samochód? Po jakim czasie? b) Naszkicuj wykres położenia samochodu i motocyklisty w układzie współrzędnych x(t). Obierz punkt zero na osi w miejscu, w którym znajdował się znak drogowy. 1.5.9. Na wykresie przedstawiono zależność położenia od czasu x(t) dwóch samochodów poruszających się po przeciwległych pasach drogi szybkiego ruchu. a) Ułóż równania ruchu poruszających się samochodów. b) Zinterpretuj punkt przecięcia prostych na wykresie w odniesieniu do sytuacji na drodze. c) Potwierdź swoją interpretację wykresu obliczeniowo, korzystając z równań ruchu. Oblicz, kiedy samochody się miną. Podaj współrzędną położenia samochodów w chwili mijania. Potrzebne dane odczytaj z wykresu.
x [km] 200
samochód 1
160 120
S
80 40
samochód 2 0 20
60
100
140 t [min]
1.5.10. Podczas rajdu rowerowego na prostym odcinku drogi dwaj koledzy ustalili telefonicznie, że jadący przodem Maciek mija właśnie słupek kilometrowy z napisem 5 km, a pozostający w tyle Jacek mija słupek z napisem 3 km. Od tego momentu obaj koledzy jadą ze km stałą prędkością: Maciek v1 = 8 km h , a Jacek v2 = 16 h . Wykonaj polecenia opisane w punktach a–c, przyjmując dwa różne układy odniesienia: pierwszy związany z początkowym położeniem Jacka, a drugi – z początkowym położeniem Maćka. a) Zapisz równania ruchu rowerzystów. b) Ustal, gdzie i kiedy Jacek dogoni Maćka. c) Naszkicuj wykres x(t) dla rowerzystów. d) Porównaj wyniki otrzymane dla układów odniesienia związanych z Jackiem i Maćkiem i zapisz wnioski. Informacja do zadań 1.5.11.–1.5.13. Pani Kasia zaczęła uprawiać marszobieg. Podczas 30-minutowych treningów stopniowo wydłużała czas biegu, skracając czas marszu. Każdy z treningów był podzielony na trzy równe części. Pani Kasia zaczęła od treningów, podczas których 4 minuty biegła i 6 minut maszerowała. Podczas każdego następnego treningu wydłużała bieg o 1 minutę i o tę minutę zmniejszała czas chodu. W czasie ostatniego treningu pani Kasia biegła 9 minut i maszerowała 1 minutę. Sensor biegowy przymocowany do jej buta wskazuje przy chodzeniu prędkość vch = 1,25 ms , a przy bieganiu vb = 2,5 ms . 1.5.11. Po każdym z 10-minutowych odcinków treningu podczas realizacji pierwszego etapu planu treningowego kobieta zawracała. a) Sporządź wykres x(t) ilustrujący zależność współrzędnej położenia biegaczki od czasu. Przyjmij, że punkt zero współrzędnej położenia to chwila startu t0 = 0. b) Oblicz średnią wartość prędkości kobiety w czasie treningu.
Ruch prostoliniowy jednostajny i zmienny
1.5.12. Przebieg jednego z treningów przedstawiono na wykresie. Punkt zero współrzędnej położenia przyjęto w chwili startu biegaczki dla t0 = 0. a) Który z treningów przedstawiono na wykresie? b) Ile wynosi całkowite przemieszczenie biegaczki w czasie tego treningu? c) Ile wynoszą jej całkowita droga i średnia wartość prędkości?
37
x [m] 1200 1000 800 600 400 200 0
4
8
12
16
20
24
28 t [min]
1.5.13. Ostatni trening to 9 min biegu i 1 min chodu, wykonywane trzykrotnie. Oblicz średnią wartość prędkości biegaczki podczas realizacji tego treningu. Porównaj obliczoną prędkość ze średnią wartością prędkości kobiety podczas realizacji całego planu treningu. 1.5.14. Biegacz pokonał pierwszy odcinek zaplanowanej trasy z prędkością v1 = 2,5 ms , a drugi odcinek, tej samej długości, z prędkością v2 = 3 ms . Ile wyniosła jego średnia wartość prędkości na całej trasie? Porównaj otrzymany wynik z treścią zadania 1.5.2. i jego rozwiązaniem. Wyciągnij wnioski. 1.5.15. Uczniowie postanowili wykazać prawdziwość wzoru: Ds = const. dla Dt D ruchu jednostajnego prostoliniowego. Badali w tym celu ruch pęcherzyka powietrza w długiej rurce. Użyli plastikowej rurki o długości 1,2 m i średnicy wewnętrznej 8 mm. Długość pęcherzyka powietrza wynosiła 4 cm. Czas ruchu mierzyli stoperem w telefonie komórkowym. Na rurce zaznaczyli flamastrem jednakowe odcinki Ds = 10 cm. Rurkę ustawili pionowo tak, aby w chwili początkowej pęcherzyk powietrza znalazł się na dole. Mierzyli przedziały czasu Dt, w których pęcherzyk pokonywał kolejne jednakowe odcinki. Pomiary wykonali trzykrotnie dla tego samego odcinka. Wyniki pomiarów zebrali w tabeli. Odcinek
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ds [cm]
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
Dt1 [s]
2,31
2,52
2,45
2,76
2,44
2,57
2,76
2,50
2,57
2,54
Dt2 [s]
2,42
2,54
2,70
2,60
2,63
2,61
2,61
2,64
2,60
2,63
Dt3 [s]
2,45
2,48
2,57
2,52
2,70
2,62
2,57
2,58
2,59
2,76
Dtśr [s]
Ds 6cm@ Dt srl s
a) Oblicz średni czas pokonywania przez pęcherzyk powietrza kolejnych odcinków drogi oraz ilorazy Ds . Otrzymane wyniki wpisz do tabeli powyżej i wyciągnij wnioski. Dt srl b) Oblicz średnią wartość prędkości i maksymalną niepewność pomiarową. Zapisz wynik wraz z niepewnością pomiarową.
38
Kinematyka
1.5.16. Uczniowie wykonali doświadczenie mające na celu wykazanie prawdziwości wzoru D s = vt dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Badali ruch pęcherzyka powietrza w plastikowej rurce o długości 1,4 m i średnicy wewnętrznej 7 mm. Pęcherzyk powietrza miał długość 4 cm. Uczniowie ustawili rurkę pionowo i mierzyli stoperem czas pokonywania przez pęcherzyk powietrza odcinków drogi s1, s2, s3 itd., z których każdy miał długość większą o 10 cm od poprzedniego, zaznaczonego flamastrem na rurce. Każdy pomiar czasu wykonali trzykrotnie. W tabeli zamieścili czas średni z trzech pomiarów dla każdej drogi. Droga przebyta przez pęcherzyk powietrza s [cm]
10
20
30
40
50
60
70
80
Czas średni tśr [s]
2,39
4,9
7,47
10,1
12,69
15,29
17,94
20,51
a) Opierając się na wynikach uzyskanych przez uczniów, wykonaj wykres zależności drogi od czasu. W tym celu na papierze milimetrowym narysuj i opisz układ współrzędnych, zaznacz punkty pomiarowe wraz z niepewnościami (odpowiednio dla pomiaru drogi ∆s = 1 cm i dla pomiaru czasu ∆t = 0,5 s). b) Na otrzymanym wykresie zaznacz dwa punkty A i B w dużej odległości od siebie i odczytaj ich współrzędne A(tA, sA), B(t B, sB). Na tej podstawie oblicz średnią wartość prędkości pęcherzyka powietrza: s –s v dosl = tB – t A . B A c) Na podstawie wykresu wyznacz maksymalną niepewność pomiaru. Wskazówka. W celu wyznaczenia maksymalnej niepewności pomiaru prędkości narysuj dwie proste o skrajnych nachyleniach (patrz fragmenty wykresów na rysunku) tak, aby obejmowały wszystkie prostokąty niepewności pomiarowych. Wyznacz ich nachylenie, czyli prędkości vmin i vmax. Oblicz: Dv = vdoś – vmin i Dv = vmax – vdoś. Z dwóch obliczonych niepewności wybierz większą. Wynik pomiaru zapisz w postaci v = (vdoś ± Dv).
