Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT) Mekanika Teknik: Statika Dalam Analisis Struktur Berbentuk Rangka/Binsar Hariandja: edi tor. Pumomo Wahyu Indarto. - Cet. 1. -Jakarta: Erlangga, 1996. 238 him. : ilus. Bibliografi ISBN 979-411-211-90 1.
Statika I. Judul. 11. Purnomo Wahyu Indarto
MEKANTKA fEKNlK: STAT1Kii D;-lL4J\1 /i.NAUSJS STR!lKTUf? !JEI.{ff!:,.iTL.:·g K..t!\,GKA Hak Cipta © 1996 pada Penerbit Erlangga Disusun oleh
:
k Bin:;.,;r H,w.tncja. M.Fng.
Ph.D
(Jttntsan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan, Institut Teknologi Bandung)
Editor
Ir. Purnomo Wahyu Indarto lr. Hobby Parhusip
Buku ini diset dan dilay-out oleh ·Bagian Produksi Penerbit Erlangga dengan Power Macintosh (Palatino 10 pt) '·
Diset oleh
Team MIPA-PE�11 Dept. Setting
Ilustrator
Team MIPA-PERTI Dept. Setting
Percetakan
PT. G�lora Aksara Pratama.
Cetalam pertama, 1996 Dilarang keras mengutip, menjiplak, atau memfotokopi sebagian atau seluruh isi buku ini serta memperjualbelikannya tanpa izin tertulis dari Penerbit Erlangga. © HAI< CIPTA DILINOUNGI OLEH UNDANG-UNDANG
:
21 cm
Statika adalah cara perhitungan dalarn analisis struktur, khususnya untuk sistem \·ang statis tentu, yang komponen reaksi perletakan dan gaya dalarn ditentukan dengan menggwcakan kriteria keseirnbangan. Sebagai salah satu metode perhitungan dalam analisis struktur. statika mendapatkan peranan sebagai pembuka dalarn memperkenalkan mekanika teknik bagi kalangan yang untuk pertarna kalinya dituntun ke dalarn disiplin ilrnu tersebut. Ini tidaklah mengherankan, karena dalam mekanika teknik, sistem yang statis tentu merupakan jenis struktur yang dapat dianalisis cukup dengan menerapkan cara statika saja. Penguasaan cara statika up.tuk selanjutnya dapat dijadikan sebagai bekal dasar untuk mempelajari metode-metode lanjut dalarn analisis sistem struktur yang lebih rumit dan kompleks. Tidak dapat dipungkiri bahwa dewasa ini cukup banyak buku-buku statika yang tersedia dalam kasanah bacaan di tanah air, baik yang merupakan buku impor dalam bahasa asing, terjemahan, maupun buku asli yang dituliskan dalarn bahasa Indonesia. Namun, ada beberapa hal yang mendorong pengarang dalam menuliskan buku ini. Pertama, sementara tingkat penguasaan bahasa asing dari kalangan perekayasa di Indonesia merupakan aspek yang masih memerlukan peningkatan, dirasakan perlunya usaha untuk menarnbah perbendaharaan buku buku bacaan dalam bahasa Indonesia. Kedua, perubahan program tahap sarjana dari rencana Iima tahun ke empat tahun, memerlukan reorganisasi penyajian bahan perkuliahan yang semakin padat. Mekanika teknik yang dulunya diberikan hingga delapan semester, dewasa ini dipadatkan dalarn hanya Iima atau enarn seme�ter saja. Aspek utama yang mendorong penulisan buku ini, adalah kenyataan bahwa dewasa ini, penggunaan komputer sebagai alat bantu hitung yang sangat cepat, akurat dan canggih telah merasuki hampir seluruh disiplin ilrnu, termasuk mekanika teknik dalam berbagai program studi. Dalam kaitan ini, diperlukan penuangan formulasi dan prosedur analisis mekanika teknik yang cocok dan dapat dieksekusi komputer secara efisien dan optimal. Kita melihat bahwa dewasa ini, penyajian analisis struktur dalarn formulasi matriks telah berkembang secara pesat. Cara-cara grafis, atau cara relaksasi seperti Cross dan Takabeya misalnya, kini telah semakin jarang digunakan.
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DAIAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
vi
Statika dalam buku ini telah diusahakan disajikan untuk dapat menampung berbagai kecenderungan yang telah dipaparkan di atas. Tentu saja, metode-metode yang ada dalam statika, tetap berlaku sebagai metode dasar. Hal yang relatif baru adalah aspek diskritisasi sistem struktur, yang nantinya akan digunakan secara luar dalam formulasi matriks. Konsep pemodelan sistem struktur atas elemen-elemen dan titik simpul, diperkenalkan dalam Bab 4. Dengan demikian, pembaca disuguhi pola penyajian yang konsisten serta berkesinambungan dengan pola penyajian dalam formulasi matriks yang akan dihadapi nantinya dalam analisis struktur lanjut. Dalam kesempatan ini, penulis mengucapklan terima kasih kepada semua pihak yang telah mengilhami, mendorong, serta membantu penulisan buku ini. Di samping pengalaman kerja mengajar selama kurang lebih dua dasawarsa, penulis telah mendapatkan dasar pengetahuan mekanika teknik dari para dosen pengajar di Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan, Institut Teknologi Bandung. Kenangan manis yang membekas secara mendalam, penulis telah peroleh dari para dosen pengajar. Dedikasi tinggi, serta sikap percaya diri dalam belajar, merupakan bekal yang penulis terima dari Prof. lr. R. Soemono (alm.). Daya tarik yang memikat dari mekanika teknik telah penulis peroleh dari Prof. Dr. Ir. K.P.H. Sosrowinarso Sosrodiningrat (alm.). Beliau selalu membuat segala sesuatu dalam aspek mekanika teknik, menjadi sangat menarik serta mudah dipahami. Kesabaran, keuletan dan ketetapan hati sebagai modal dalam ketekunan mempelajari mekanika teknik diberikan oleh Prof. Ir. Djuanda Suraatmadja. Beliau juga telah meluangkan waktu untuk memberikan saran berharga dalam proses penyempumaan naskah. Kebiasaan penyajian yang rapih dan elegan dari proses analisis mekanika teknik telah penulis peroleh dari lr. Kadarman Harsokusumo. Dukungan serta dorongan dari para dosen rekan penulis, khususnya Dr. Ir. Amrinsyah Nasution dan Dr. lr. Ananta Sofwan, sangat membantu proses berlangsungnya penulisan buku ini. Untuk semuanya itu, penulis hanya dapat menghaturkan banyak terima kasih. i
Ucapan terima kasih khususnya penulis haturkan kepada saudara Ir. Hobby Parhusip, serta Hadi Sukmawan Widjaja, Dody Brahmantyo, Farid Rosyidin, dan Dadang Rochman, mahasiswa tingkat akhir di jurusan Teknik Sipil ITB. yang telah membantu penulis mempersiapkan naskah asli dan gambar-gambamya. Pengaturan format dan setting, penerbitan serta pencetakan yang menarik telah dilaksanakan oleh Penerbit Erlangga, Jakarta. Ucapan terima kasih juga penulis berikan kepada isteri dan anak-anaknya, yang telah berkorban untuk merelakan banyak waktu yang berharga buat penulisan buku ini. Akhirnya, penulis mengharapkan saran, usul, serta kritik penyempurnaan dari para pembaca, yang dapat digunakan untuk perbaikan lanjut dalam isi dan format buku ini bagi edisi berikutnya, disertai harapan, semoga tulisan ini bermanfaat dalam menambah perbendaharaan ilmu di persada tanah air.
Bandung, November 1995
I
0 FTAR ISI
•
I
...
vtu
1.1
Sistem Struktur dan Pengaruh Luar ......... ............................. .... ................ ..... ... .... .. ... .
1
1.2
Tanggap Sistem Struktur .................................................................................................
2
1.3
Analisis Respons Sistem Struktur ........ .........................................................................
2
1.4
Lingkup Bahasan .......................................................... ....................................................
3
1.5
Sistematika Pembahasan ......................... .... ....... .......... ... ....... ... .... .
5
..
.
.
.
AP
.
.
.
.
..
.
...
............ .......... .
HU UM DA A ............... ...............
.
2.1
Umum
2.2
Hukum Kedua Newton....................................................................................................
7
2.3
Hukum Pertama Newton.................................................................................................
8
............ ........ .............. ............................................ . ..... ............. . . ......... . .... .. . ........ . . . ...
7
2.4
Hukum Ketiga Newton ....... ..................... ....... .... ....... ......................... ..........................
8
2.5
Konsep Badan Bebas ..... ............. .... .................................................................................
10
2.6
Hukum Superposisi... .. .....................................................................................................
10
2.7
Hukum Coulomb...............................................................................................................
11
2.8
Hukum Satu an ...... ....... . ......... ... ..................... .............. ................................................
12
2.9
Rangkuman ... .............. ... .... .. .... .................. ... ......... ........ ....... . ... ............ ..... ... ... .
14
3.1
Gaya Sebagai Besaran Vektor ........ ................. ................. .............................. ......... ..
15
3.2
Sistem Tata Sumbu . ..... .....................................................................................................
15
3.3
Gaya Translasi dan Kopel................................................................................................
16
3.4
Sistem Vektor Gaya...........................................................................................................
17
3.5
Op erasi
18
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gaya .......................................................................................................... ............
MEKANIKA fEKNIK. ST.\TIKA DALAM Al'iAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANCKA
3.6 3.7 3.8 3.9
Kese inlba nga n Gaya . . ............................................ ...... ... . .. . ... ............................. ............... Co nto h Pe nerapa n ....... ..................................... ..... .............................. ..............................
Ra ngkuma n . . .. . . . . . . . . .......................... ... . ... . . ........................... ............... . . . . . . . . . .......... ............. Soa l-soal ... . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .......... . . . . .. . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ . . .. ....... ..
BAB 4 PEMODELAN STRUKTUR .... . .
4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12
..... . . .. .
.
.. . .
33
Umum .... ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ . .... . . ..... . ...
33
Model Diskr it Struktur .... .......... ................................. . ....... ........... . . . . . . . . . . ..... . . . . . .... ........ ...
33 35 37 38 41 45 47 49 49 50 52
..
.
....
..
...
....
.
.
.
.
....
.....
.
.
. ..
Tata Sumbu Lokal da n Global ....... ......................................... . . . . . . . . ........ ... ................... . .
Deskr ips i Kompo ne n Gaya Dalam ............... . . . ................. . ..... . . . ...... . .......... . . . . . . . . . . . . ... . . . .
Bata ng, Pertemua n, T it ik S iinpul, dan Perletaka n . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. ... . .......... . ... . . . . .. ...... .. Pemodelan Gaya Luar ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . ... .. ... . .. . ... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............
Perjanj ia n Ta nda U ntuk Gaya .. .. . . ....... . .. .. .... . . . ............... ......................... . . ................ ..... .
Je nis Eleme n da n Gaya Uju ng . . . . . . . . . . . . . . .................. . . . . . . .. . . . . ........ . .... . . . . . . . . . . ................. . ... Beberapa Je nis Struktur Berbe ntuk Ra ngka .... . . . . . . . . . ..... .... . .. . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pe ne ntua n Derajat Ket idakte nt ua n Stat is ................. . . . .... . ...................... . .....................
Co nto h Pe nerapa n . . .................... . .................... . ........ . . . ................. . . . . . ...... . . . . . . . . . . . . . ........ .. ...
Ra ngkuma n . .......... . ........ . ..... . . . . 1..........................................................................................
BAB 5 ANALISIS PENDAHULUAN
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
..
.
.
4.1
... . .
24 26 29 30
. ..
.. ..
""............. ...........
55
Umum . . . . . . ...... . .... . ...... ... . . . .... . . . . .. . . .... . ............. .... ... . .. . . . . .... ............. . .. . .......... . . . . . . . ....... . . . . . . . . ...
55 55 56 57 58 59 59
...
..
.
...
.
..
.
.. . . .
..
...
.
. .. .
Bola pada La nta i Rata da n Lic in.. .. . ...... ............ ........... ...... . ... .... ........ . ........... .. ... . . . . . . . . . . .
Ta ngga Bers andar pada Dind in g Lic in da n Lanta i Kasar . . .. . . ..... ........... . . . . . . . . . . ........ Kabel Ga ntu nga n . . ...... . . . . . . . . . . . . .................... . . . ....... .. ...... . ................... . . . . . . . . . . ... ...... ........ . . . . . .
T it ia n Pe nyeberan ga n ...... . . . . . . ...... . ...................... ....................... . . . . ..... ...... . ....... . . . ........... . . Kabel T inlba Air ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......... . .... . . . ................ . .... . . . .. . . ...... ........ . . . . . . ...... ...... .. ......
Ra ngkuma n ........ ................................................................................ .................................
8AB 6 ANALISIS STRUKTUR BALOK
61
6.1
Umum . ......... . ...... ...... . .......... ................... . ...... . . .. . . .. .. . . .............. . ........... .. ............... ......... ..... .
61
6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 8.10
Ke tidakte ntua n Stat is S istem Struktur Balok .... . ........... ......... .... . . ......... . .. . ... . ..... . .........
61 63 70 72 75 80 82 95 96
Anal is is B alok Sederha na .. ... ........ .... .. ... .. .... .. .... . . . . ..... ... .. .. ... ... ... ... . . . .. ... .. .... ... ... . .. .... .. .... ..
Analis is Balok Ka nt ilever . . ... .. ... .. .... .. . . . . . . .. .. . .. ... ... ... ... ... .. .. ... .. . ..... . ... .. ...... . .. . ...... ...... .. .... .. Anal is is Balok Me nerus .. ... .. ... .. .. ............ ... .. ..... .... . .... . .... ... .. ... .. . . ... .. ... .. . ... .. .... . .. ...... .... .. ... B id ang Gaya D alam . ... . . . .. . ... . .... .... ... ... .. .. ...... ... .. .... .. ....... ... .. . .. . .. ... .. .. .. .. .. ... . .... .. .... .. .... .. .. ..
Hubu nga n Gaya Dalam dan Beban Balok Lurus . ... ... . .... .......................... .. ............. ..
Co nto h Pe nerapa n .. .... . . ... .. ... .. ..... . . ....... ..... ... .. .. .... .... ... . .... . ... . . .. ..... ... .. .. ... . .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .
Ran gkuman . ....................... . .. . . . .... . .......................................... . ....................... . .......... . . . . . . . . .
Soal -soal .... . . .. . . . . . .... . . .............. . ....................................... ......... . . ... ......... . ......... . .............. . . ....
BAB 7 ANALISIS STRUKTUR RANG
7.1 7.2 7.3
SEDERHANA ..............................
.
Umum ........... ....... . ... . . .... . . .... . ..... ............... ...... ................................................... ... . ... .... . .... .. Ko nfigurasi Rangka Sederhana ........................ ................... . . . . . . . . ... . . . . . . .. . . ... . . ... . . .. .... . . .... . Beberapa Je nis Ra ngka Sederhana ........... ................................................ ................ ..... .
1 01
101 101 104
DAFI'AR IS!
7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14
Ket idakte ntua n Stat is Siste rn Ra ngka Seder ha na . . . . . . . . . . ....... . . . . . . ... . . . . . . .................. ...... Metode Anal is is Ra ngka Seder hana ...... . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . .....
104
106
Ana lis is Ra ngka Seder ha na de nga n Cara Analit is . . . . ...... . . . . .. . . . ............. .... . . . . . . . . .. . . . . . . .
107
Analis is Ra ngka Seder ha na de ngan Cara Poto nga n ............. . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . .......... . . . .
109
Anal is is Ra ngka Seder ha na de nga n Cara Graf is . . . ... .................... . . ...... . . . . . . ... . . ........
110 113 115 117 117 128 128
.
. .
Anal is is Ra ngka Seder ha na de nga n Cara Tukar Bata ng . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . . . . .... . .... . . Ko nsep Bata ng Nol ...... . . ... ........ . . ... . . ................. . . . . ........... . ..... . . . . . . . . . . . . . ... ........ . . .... . . . . . . . .
. .
.
.
.
Daftar Gaya Batang da n Reaks i Perletaka n . . ... . . . . . . . . ... . . . . . ...... ..... ..... . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . .
.
Co nto h Pe nerapa n . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . .......... . . . . . . . .. .. ......... . . . . . . . . . . . . ....... .. .. . .... . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . .
.
.
.
.
Ra ngku rnan .............. . . . . . . ...... ........ ............. ........... . . . . . . . . . . . . . . ............... .................. . ..... ...... .
.
.
.
Soal-soal ............................ ............................................................................ . . ... . . . ..... ..........
BAB 8 ANALISIS STRUKTUR PELENGKUNG
.
· ···�············· ··· · ········ ·········...
Aks i Pele ngku ng . .... ............ ........................... . . . . ....... ..... ....... .... . . . . . . . . . .......... . . . . . . . . . . . . ...... . . . .
133
8.1 8.2 8.3
Gar is Tekan .... ....... ....................... . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . ...... .................... . . . . ........ . . .... . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
8.4
Struktur Balok Parabola . . . . . ........ . . . . . . . . . . . ......... . . . . .... . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134 138
8.5
Pele ngku ng Tiga Se nd i . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ . . .... ......... . ....... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
142
8.6 8.7
Co nto h Pe nerapa n .............. . . . . ............. . . . . ... ...... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . ................. . . . . . . . . . . .
144
Ra ngk urna n . . . . . . . . . . . . . . . . .... ............... ........................... . . . . . . . . . . . . . . .... . . . ... . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . ... . . . . . .
8.8
Soal-soal ..... ... . . . .... . ............. ........................... ..... ....... .......... .................................................
146 147
.
.
Struktur Pele ngkung L ingkaran ..... . . . . . . . . . . . . . . . .... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . .......... ..... . . . . . ..... .
.
.
.
.
.
BAB 9 GARIS PENGARUH ...... .... . ..
133 134
.......................... .... .........
151
9.1
U rnu rn ................. . . . . . . . . ....... . . . ..... . ..... . . . . . . . . . ........ ...... . . . . . . . . .. ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ........ . . . .... . . .
151
9.2 9.3
Ko nsep Gar is Pe ngar uh..... ............ . . . ..... .... . . . . . . . . . . ........ . . . . . ..... . . . ..... . . . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . ........
151
Pe nyusu na n Gar is Pe ngaru h ................... ............................. ... . . . . . . . ....... ... . . . . . . ...... . . . . . .. ..
153
9.4
S iste rn Struktur de nga n Beba n Terd istr ibus i . ... . . . . . . . . . .. ...... . . . . . . . ....... ....... . . . . . . . . . . ..........
155
..
.
.
.
. ..
.... ... .
..
.
.
.
.
.
.
.
9.5
Garis Pe ngaru h pada Struk tur Balok Me nerus . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . .... . . . . . ........ . . . . . .....
157
9.6
Gar is Pe ngaru h pada Struktur Rangka Seder ha na ... . ... ..... ....... ..... ................. ..... . ....
159
9.7
Co nto h Soal ...... ..... . . ....... . . . . ...... .... . . . . . . . . . . . ... .... ............ ......... ..... ............................... . ... . . ......
162
9.8
Ra ngku rna n ....... .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... .... ...................... . . . . . . ...... . . . . . . . . .......... ....... ............
169
9.9
Soal-soa l.................... . . . . ................... ...................... ..... ............... ............ .................... . ... . .....
169
.
.
.
.
BAB 10 STATIKA STRUKTUR RANGKA DALAM FORMULAS! MATRIKS
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8
. .
U rnu rn ...... . . ............... . . ..... ................. ............. ...................... . . ...... .... . ...... . . ..... .... .... . .. . . ... .
.
.
.
.
.
Pe nyusunan Persa rnaa n Kese irnb anga n dala rn Fo rrnulasi Matr iks . .... .... ............ ... .
Per ilaku Matr iks Koef is ie n ............. ............... ........................................................ ......... .
Pe nyelesa ia an S iste rn Persa rnaa n S irnultan ........................ ...... ...................... ... ... ..... .
.
.
Prosedur An alisis dal arn Fo rrnulasi Matr ik s ..... ........... .... ............... ...... ...... ......... ..... ..
Co nto h Pe nerapan .................. . . . .. ....................... ...................... ................... ............... ..... .
.
Rangk urnan .... ...... . . . . . ..... ..................... . ...... . ................. ............. ................. ... . . . . . . ... .. . .. .
.
.
.
.
.
.
.
Soal-soa l ................................................................................... .............. ........... .......... . . . . . ....
173
173 174 177 179 184 185 190 191
MEKANIK/\ TEKNIK ST/\TIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERflENTUK RANGKA
X
BAB 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11 1 1.12
11 PROGRAM ANALISIS STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI......
Umum
..................................................................................................................................
Diagra in Blok Program ................ ........................................................ ................... .......... Orga nisasi Program .................... ....................... ........... ..................................... ................
Notasi da n Simbol
........
.. . . ..... ... ... .............. ......... ...... .... ... .. ....... .. .... ... .. ....... .. . ...... .. . . .. .. ... . ..
Pemba caa n da n Masuka n . ............... .... ... .. ... .... .......... .. ..... ... ...... .... ... .. .... .. .. ..... ... ... ... ... .. . . Pe nyusu na n Matriks Koe fisie n . .
.
. ... .... ..............
Perakita n da n Modi fikasi Vektor Beba n
.. . ...... .. ...
.
.... ............
. . . ... .. . ... ... ..........
.... . . .
.
..
. .. . ...........
.. .
. ..... ..
.. .
. . . . . . ....
....... ... . . . .
.
........ ...
Solusi Persamaa n S imulta n . ..... .. .... .. .. . . ..... ....... ....... ... .. .. ... .. .... .. . . . . . . . .. .. .. .. .. .... ...... .. . ... .. . .. Pe ncetaka n Data Keluara n.................................................................... ........................... Progra in Analisis
. .. . . .
... .
Co ntoh Pe nerapa n Ra ngkuma n
. . ..
. . . .... . ...
.
.
. . . ... ..... .
...... . . ..
. .. .. . . . ..
........... .
.
. .. .. .
DAFTAR BUKU BACAAN
.
.
... ...... .........
. . .. .. .. .. . .
..... ........... .... . .
........
..
.
.
. .. . . .
. . ..... . ...
. . .. ..... . .
.
........... .
. ... .
.
.. . .......... ...........
..
.
.. . .. . . . .. .
.
.
..
....
.
.
.... ..... ....... . . . ..... ..
.
. ... ...... . . . . .
............ ......... ...
•
. . ...............
.
.. . ...
........ ...... .........
LAMPIRAN 1 PROGRAM SUMBER 11STATIKA11
. . . .. . .
. . . .... .
. . . ..
..
.
..... .
.
. .. ...
.. ......
......... ..................
PENERAPAN PROGRAM PAKET .. STATIKA". .
.
....
...
. . ..
195 196 196 199 200 202 205 206 206 208 210 211
213
. ..
215
........
225
.
. .... ...... . . . . .... . . ...
LAMPIRAN 2 DATA MASUKAN DAN KELUARAN CONTOH
195
Pendahuluan
1. 1 SISTE M ST R U KT U R DAN PENGARUH LUAR
Dalam menjalankan fungsinya, setiap sistem struktur akan menahan atau menerima pengaruh luar yang perlu dipikul. Di samping pengaruh atau beban luar, sistem yang terbuat dari material bermassa juga akan memikul bobot sendiri akibat pengaruh gravitasi. Sebagai contoh, suatu bangunan gedung yang berfungsi melindungi manusia serta barang/peralatan yang ada, perlu menahan desakan angin pada permukaan atau dinding, dan goncangan beban gempa yang mungkin terjadi. Struktur dam perlu direncanakan mampu memikul desakan air yang dihempangnya, dan kemungkinan beban gempa. Struktur jembatan perlu mampu memikul beban kendaraan dan getaran gempa, di samping menahan pengaruh getaran komponen yang bergerak atau berputar, dan lain-lain sebagainya. Pengaruh luar yang bekerja pada sistem struktur kebanyakan dapat dinyatakan sebagai besaran gaya dengan intensitas yang dapat diukur. Pengaruh tersebut dinamakan beban atau gaya luar. Contohnya antara lain adalah bobot mati struktur, beban manfaat berupa beban hidup, angin, gempa dan lain sebagainya. Besar/intensitas serta cara bekerja beban luar yang perlu ditinjau, diatur dalam standar pembebanan. Namun, ada pula pengaruh luar yang tidak dapat diukur sebagai gaya. Sebagai contoh, dapat disebutkan pengaruh amblasan perletakan atau pondasi gedung, desakan akibat pengembangan volume air yang membeku terhadap dinding basement di permukiman yang mengalami empat musim, dan lain sebagainya. Beban luar dapat dibagi atas beberapa kasus pembebanan, misalnya beban mati, beban hidup, beban gempa, beban angin dan sebagainya. Setiap kasus beban terdiri atas komponen gaya. Misalnya, beban mati terdiri atas gaya bobot mati elemen struktural, dan bobot mati tambahan (misalnya penutup langit-langit atau ubin lantai gedung). Kombinasi pembebanan terdiri dari superposisi dari beberapa kasus pembebanan yang ditinjau. Dengan demikian, harap dirnengerti bahwa suatu komponen gaya merupakan bagian dari kelompok atau kasus pembebanan tertentu.
2
MEKANIKA TEKNTK ST \ TIKA DALAM ANAUSh STRUKH ·p BFr
Ditinjau dari cara kontak dengan sistem, gaya luar dapat dibagi atas dua kelompok. Yang
pertama adalah gaya badan (bodyforces), yaitu gaya yang bekerja terdistribusi atas titik bermateri sistem, misalnya bobot sendiri, beban gempa dan lain sejenisnya. Yang kedua adalah gaya traksi permukaan (surface tractions) yang bekerja pada sisi batas luar sistem, misalnya beban lantai bangunan, tekanan air pada dinding dam, beban angin pada dinding luar bangunan, dan lain sejenisnya. Pembahasan lebih lanjut mengenai gaya luar disajikan lebih rinci dalam Pasal 4.5 mendatang.
1 .2 TA N G GA P SISTEM STRU KTU R
Sistem struktur direncanakan harus mampu memikul beban atau pengaruh luar apapun yang bekerja, dan akhirnya meneruskan pengaruhnya kepada bagian pendukung, misalnya tanah. Sebagai contoh, sistem struktur gedung akan memikul beban luar serta meneruskannya ke pondasi untuk selanjutnya ditransfer ke tanah. Untuk jelasnya, pandanglah suatu sistem struktur seperti dalam Gambar 1.1. Beban luar dipikul oleh sistem dan kemudian meneruskannya ke perletakan, berbarengan dengan munculnya gaya-gaya dalam pada struktur. Sistem yang terbuat dari bahan yang tidak kebal perubahan bentuk, umumnya akan berpindah dari kedudukan awal (sebelum terbebani) ke kedudukan akhir saat tercapai kedudukan yang mantap dan seimbang di bawah pengaruh gaya-gaya luar yang ada. Dengan demikian, respons sistem terhadap beban atau pengaruh luar, terdiri dari gaya-gaya (termasuk gaya dalam dan perletakan), dan perpindahan (peralihan dari konfigurasi awal ke konfigurasi akhir). Singkatnya, respons atau tanggap struktur mencakup timbulnya medan gaya (force field) dan medan perpindahan (displacementfield) dalam struktur. Pada hakekatnya, gaya-gaya dalam serta defonnasi (perubahan bentuk) terjadi secara berbarengan sebagai respons sistem terhadap beban atau pengaruh luar.
Konfigurasi akhir
,
--:::: ::::::� : : ::::::::: �#
- ---- -
:�-.:,.
,.,
/
GAMBAP 1.1 Beban Luar dan T.mggap Struktur
1.3 A N ALISIS RESPO NS S I STEM STR U KT U R Analisis respons sistem struktur terhadap beban atau pengaruh luar mencakup penentuan dari gaya-gaya atau reaksi, serta perpindahan yang akan timbul. Penentuan gaya reaksi diperlukan sebagai data untuk menentukan kekuatan sistem (strength aspect). Penentuan
·
3
R 1 PF.I"D.".HULUAN
deformasi atau perpindahan diperlukan sebagai data untuk menentukan kenyamanan atau daya layan (serviceability aspect) sistem.
GAMBAR l 2 Lingkup Analisl> Struktur
Analisis respons sistem struktur dapat dibagi atas dua kelas, yaitu desain/perencanaan dan pemeriksa an. Dalam perencanaan, gaya-gaya dalam dihitung untuk dijadikan data penentuan ukura."'\ komponen struktural (dimensionering), perpindahan untuk menentukan bahwa struktur yang cukup kuat, juga berperilaku andal/nyaman untuk difungsikan. Karena umumnya intensitas gaya reaksi serta perpindahan tergantung ukuran atau konfigurasi dari komponen sistem (yang justru perlu ditentukan), maka perencanaan perlu dimulai dari suatu penaksiran dimensi dan konfigurasi awal, lalu secara iteratif dianalisis untuk memperoleh desain akhir yang cukup kuatlaman, nyaman dan ekonomis. Lihat bagan Gambar 1.2 sebagai penjelasan dengan alur tindak proses seperti dalam Gambar 1.3 Dalam pemeriksaan, gaya reaksi dan perpindahan dihitung berdasarkan dimensi yang sudah ada. Kemudian reaksi yang timbul digunakan untuk memeriksa cukup tidaknya dimensi yang ada untuk mengerahkan kekuatan/keamanan. Perpindahan digunakan untuk memeriksa apakah stuktur akan berfungsi layak atau nyaman untuk beban luar yang mungkin bekerja. Sebagai gambaran, sering kasus dengan sistem cukup kuat tapi tidak berfungsi andal atau nyaman, misalnya lantai bangunan yang melendut atau bergetar secara berlebihan, tuas mesin yang macet berputar akibat deformasi yang berlebihan, dan sebagainya. Lihat bagan Gambar 1.4 sebagai penjelasan
1 .4 LI N G K U P BP,HASA�-J
Bahasan dalam buku ini dibatasi dengan lingkup sebagai berikut. Pertama, beban yang ditinjau hanyalah beban statis, yaitu beban yang tidak dicirikan sebagai fungsi waktu. Kedua,
4
MFKANIKA TEKNIK STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
� �
r-----
0
T
y
T
y
T
y
GAMBAR 1.3 Alur Tindak Perencanaan Struktur
sistem yang ditinjau adalah sistem yang berperilaku elasitis linier, dengan respons struktur yang terjadi sebanding (berbanding lurus, atau proporsional) dengan intensitas gaya luar. Dalam paparan sebelumnya telah diuraikan bahwa respons sistem mencakup timbulnya medan gaya dan medan perpindahan. Sekalipun umumnya kedua medan itu berkaitan satu sama lain, namun dapat dihadapi kasus yang intensitas medan gayanya tidak dipengaruhi oleh intensitas medan perpindahan. Dalam hal ini, dihadapi sistem struktur yang dinamakan statis tentu. Dengan demikian, penentuan gaya-gaya reaksi cukup dilakukan hanya dengan menerapkan kriteria keseimbangan seperti dibahas dalam Bab 3. Dikatakan bahwa penentuan gaya reaksi untuk sistem struktur yang statis tentu, cukup dilakukan dengan metode statika saja. Bahasan ini dibatasi hanya untuk analisis statika sistem struktur yang statis tentu saj a. B ahasan kemudian dib atasi hanya untuk struktur yang terdiri atas batang yang disambungkan secara kaku (rigid connections) atau sendi (hinged connections) saja. Pembatasan ini dimaksudkan agar dengan struktur yang sederhana, dapat diberikan kemahiran mekanika teknik bagi pembaca yang secara formal baru pertama kali diperkenalkan kepada dunia mekanika
1
5
l''\DAHULUAN
rekayasa. Jika sudah diberikan kemampuan yang andal, pembaca akan dengan cukup mudah dan siap untuk mengikuti aspek mekanika struktur yang lebih kompleks.
DATA STRUKTUR
PEMODELAN
ANALISIS TANGGAP STRUKTUR
PERIKSA: -KEKUATAN -KELAYANAN
-KUAT/TIDAK -LAYAN /TIDAK
SELF.SAI
GAMBAR l 4 Alur Tindak Pemerik'J�n Struklur
1 . 5 SISTE M ATIKA P E M BAHASAN Bahasan dalam buku ini dibagi atas beberapa bab sebagai berikut. Pertama, beberapa hukum
2. Kemudian, teori-teori 3. Jenis vektor gaya, operasi
dasar serta kriteria yang berkaitan dengan statika, disajikan dalam Bab dasar mengenai gaya sebagai besaran vektor, diberikan dalam Bab
vektor seperti uraian, perjumlahan, dan lain-lain, serta konsep keseimbangan gaya, dibahas secara umum dalam bab ini.
6
MFKANIKA TEKNIK STAT!KA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Pemodelan struktur, sebagai langkah awal yang perlu dilakukan sebelum pelaksanaan proses analisis struktur, disajikan dalam Bab 4. Bahan sajian ini, yang telah lazim dilakukan dalam analisis struktur lanjut, sengaja diberikan dalam buku ini, dengan maksud agar diperoleh sajian yang konsisten dengan yang akan dilakukan nantinya dalam proses analisis lanjut (formulasi matriks). Bahasan bab ini mencakup aspek diskritisasi sistem, identifikasi jenis elemen yang cocok digunakan, sifat-sifat sambungan dan perletakan, serta penentuan ketidaktentuan statis sistem struktur. Pemodelan gaya luar juga tidak lupa diberikan dalam bab ini. Sebagai uji coba, sekaligus pengantar kepada analisis struktur yang rinci, dalam Bab 5 diberikan beberapa contoh analisis sistem sederhana. Analisis formal dan rinci dari beberapa jenis sistem struktur diberikan dalam beberapa bab berikutnya: analisis struktur balok tunggal dan balok menerus dalam Bab 6, struktur rangka sederhana (sambungan sendi) dalam Bab 7, serta struktur pelengkung dalam Bab 8. Bahasan setiap jenis struktur dalam bab yang bersangkutan mencakup ulasan mengenai konfigurasi dan sifat struktur, pemodelan, penentuan ketidaktentuan statis, serta proses penentuan komponen gaya reaksi batang dan perletakan untuk beberapa kasus pembebanan yang sering dihadapi dalam terapan. Konsep dasar mengenai garis pengaruh untuk peninjauan kasus beban bergerak, disajikan dalam Bab 9. Penerapan dalam penentuan nilai ekstrim reaksi dalam batang atau reaksi perletakan terhadap beban luar yang bergerak atau variabel dalam intensitas ataupun lokasi bekerja, dibahas dalam bab ini. Penulisan dan penuangan algoritma statika dalam formulasi matriks diberikan dalam Bab 10. Ini dimaksudkan agar pembaca mendapatkan pengertian dan pemahaman dalam cara penulisan matriks, sekaligus mempersiapkan diri untuk terbiasa menghadapi formulasi serupa dengan yang lazim dilakukan dalam analisis struktur lanjut. Dalam bab ini, bahasan dibatasi hanya untuk sistem struktur rangka sederhana, sekalipun cara serupa juga dapat diterapkan kepada jenis struktur statis tentu lainnya. Akhimya, sebagai penutup disajikan suatu proses penyusunan analisis statika dalam pro gram komputer berdasarkan formulasi matriks yang telah dipaparkan dalam Bab 10. Pembahasan dalam Bab 11 penutup ini tidak dimaksudkan untuk menguji kemahiran cara berprogram dari pembaca. Cara-cara maupun strategi penyusunan program dapat diikuti dalam buku-buku lain yang khusus tersedia untuk keperluan semacam itu. Pembaca yang berminat dapat mengikuti proses penyusunan program, serta dapat pula menerapkan program yang tersedia untuk kasus analisis rangka sederhana yang relatif besar dan tidak praktis lagi dikerjakan dengan tangan. Pembaca yang belum menaruh minat, dapat saja mengesampingkan Bab 10 dan 11 ini, untuk mengkonsentrasikan diri pada bahasan yang lebih dipentingkan dalam bab-bab lainnya.
Beberapa Kriteria an Hukum Dasar
2.1 U M U M Dalam mekanika teknik sebagai suatu cabang disiplin ilmu, berlaku beberapa kriteria dan hukum dasar. Beberapa di antaranya yang terpenting dalam statika, disajikan dalam bab ini. Seusai mempelajari bahan bab ini, pembaca diharapkan mendapatkan pengertian yang lebih mendalam serta peningkatan kemampuan dalam menerapkan kriteria dan hukum dasar penting tersebut.
2.2 HUKUM KEDUA N E\NTON Pandanglah suatu sistem bermassa m yang dipengaruhi oleh suatu vektor gaya F dengan arah garis l seperti dalam Gambar 2.1. Hukum kedua Newton menyatakan bahwa sistem
bermassa akan mendapatkan percepatan serta berbanding terbalik dengan massa.
Hubungan F, dan
a
a
yang besarnya berbanding lurus dengan gaya,
dinyatakan dalam rumus
F =
ma
(2.1)
MEKANIKA TEKNIK STATIKA
8
Besaran F ,m, dan
a
DALAM
ANALISIS STRUKTUR BERBENrUK RANC.KA
dinyatakan dalam sistem satuan seperti dijelaskan dalam Pasal 2.7.
Perhatikan bahwa F dan a adalah vektor yang beketja pada garis ketja yang sama, dalam hal ini garis t. Kedua vektor tersebut juga memiliki arah (sense) yang sama.
2.3 H U K U M P E RTA M A N E\NTON
Hukum ini menyatakan bahwa sistem bermassa yang tidak menerima gaya luar, akan berada dalam keadaan diam, atau bergerak beraturan dengan kecepatan seragam. Hukum ini dapat diturunkan dari Persamaan (2.1) dengan memasukkan
'F=o
(2 2)
= 6
(2.3)
sehingga a
Dengan mengingat bahwa percepatan adalah turunan kecepatan terhadap waktu, a
= dv dt
(2.4)
maka Persamaan (2.3) dan (2.4) menghasilkan
dv = 6 dt
(2.5)
yang jika diintegrasikan, memberikan kecepatan
v =
(2.6)
c
dengan c adalah vektor konstan yang dalam keadaan khusus dapat bemilai nol. Jadi, jika F 0, massa akan berada dalam keadaan diam, atau bergerak dengan kecepatan konstan. Hukum ini adalah dasar dari kriteria keseimbangan yang sangat penting dalam mekanika teknik, seperti dibahas secara rinci dalam Bab 3. =
2.4 H U K U M KETIGA N EWTO N Hukum ini sering dikenal sebagai hukum "aksi-reaksi". Untuk jelasnya, pandanglah suatu sistem yang memikul beban luar seperti dalam Gambar 2.2. Sistem diberi tumpuan sedemikian hingga berada dalam keadaan diam di bawah pengaruh gaya luar yang ada.
(a) sistem
(b) aksi-reaksi GAMBAR 2 2
Konsep Aksi-Reaksi
9
BAB 2 BEBERAPA KRITERIA DAN HUKUM DASAR
Kemudian, kita membayangkan adanya suatu potongan fiktif yang membagi sistem atas dua bagian V1 dan V2. Kedua bagian tersebut secara imaginatif kita pisahkan. Hukum ketiga Newton menyatakan bahwa pada permukaan (tampang potongan) kedua bagian, bekerja gaya gaya berpasangan, dengan besar sama dan arah yang berlawanan, seperti terlihat dalam Gambar 2.2b. Untuk selanjutnya kita akan melakukan praktek yang konsisten sebagai berikut. (1) Gaya-gaya berpasangan (aksi-reaksi) hanya akan muncul, atau dapat kita gambarkan sementara pada kedua bagian yang secara imaginatif kita pisahkan pada potongan fiktif.
(2) Gaya yang berpadanan mempunyai besar (magnitude) yang sama serta arah yang
berpadanan, sedemikian hingga gaya yang berpasangan akan saling menghapuskan jika subsistem "dipadukan" kembali pada potongan fiktif. Dengan demikian, gaya-gaya aksi reaksi tidak "kelihatan" pada sistem total terpadu.
(3) Jadi, gambarkanlah gaya-gaya aksi-reaksi hanya pada keadaan sistem yang secara imaginatif sedang "terpisahkan" pada potongan fiktif dimana gaya-gaya tersebut akan muncul. Dengan demikian, hukum ketiga Newton dapat dituliskan dalam bentuk. aksi
atau
aksi
+
=
reaksi =
0
-reaksi
(a)
(2.7) (b )
Sebagai contoh, tinjaulah suatu bola berbobot W yang berada dalam keadaan diam di atas suatu permukaan licin dan datar seperti dalam Gambar 2.3 berikut. Kita ingin memeriksa gaya pada titik kontak antara bola dan lantai. Untuk keperluan ini, kita memisahkan bola dan lantai seperti dalam Gambar 2.3b, yang memunculkan gaya aksi-reaksi. Kriteria keseimbangan (baca Bab 3) yang diterapkan atas subsistem bola akan menghasilkan besar gaya berpasangan A dan R tersebut. Untuk selanjutnya, kita akan menuruti praktek seperti dalam Gambar 2.3b. Cara penggambaran aksi-reaksi secara bertumpuk dalam Gambar 2.3c kita pandang sebagai suatu prosedur yang rancu, dan tidak akan kita ikuti.
Q
(a)
A=-W � R =-A= W \'\\\'\\\\\'\\\\'\\\\\\\\'\\\ (b)
GAMBAR 2.3 Contoh Penerapan Konsep Aksi-Reaksi
(c)
10
2.5 KONSEP BADAN BEBAS Keseimbangan keseluruhan struktur dicapai jika titik demi titik bermateri sistem berada dalam keadaan seimbang. Dengan demikian, suatu bagian dari keseluruhan struktur juga berada dalam keadaan seimbang. Suatu bagian mandiri dan terpisah dari struktur yang diperoleh dengan melakukan suatu potongan fiktif, dinamakan badan bebas (free body). Suatu badan bebas sebagai suatU bagian struktur, tetap juga berada dalam keadaan seimbang. Keseimbangan tercapai karena pada kedua bidang potongan fiktif yang memisahkan struktur menjadi dua bagian, terjadi gaya-gaya dalam yang berpasangan sesuai kriteria aksi-reaksi. Gaya-gaya dalam yang bekerja pada potongan fiktif inilah yang bekerja dan mengimbangi gaya-gaya luar pada masing-masing bagian struktur yang ada. Dengan demikian, konsep keseimbangan badan bebas merupakan suatu cara yang cukup sederhana, namun sangat bermanfaat dalam menghitung reaksi perletakan maupun reaksi dalam. Proses peninjauan keseimbangan badan bebas dilakukan sebagai berikut.
(1) Pada suatu penampang dengan intensitas gaya dalam ingin ditentukan, dilakukan potongan fiktif.
(2) Kemudian, subbagian struktur dipisahkan sehingga muncul dua (sepasang bidang potong)
yang berpasangan. Pada kedua bidang potong digambarkan gaya-gaya yang berpasangan menurut kaidah aksi-reaksi.
(3) Salah satu bagian struktur, diisolir, dan atasnya diterapkan kriteria keseimbangan yang dapat menghitung gaya-gaya dalam sebagai fungsi gaya luar. Lihat Gambar 2.2b sebagai penjelasan. Perhatikan bahwa jika bagian sistem disatukan kembali pada potongan fiktif tadi, gaya gaya dalam yang berpasangan pada dua potong fiktif, akan saling menghapuskan, karena memang tidak akan muncul pada struktur keseluruhan. Artinya, tanpa melakukan potongan fiktif, gaya reaksi tidak akan muncul dan intensitasnya tidak akan dapat dihitung. Mulai sekarang, kita akan membiasakan diri untuk menghitung reaksi dengan terlebih dahulu melakukan potongan tempat reaksi akan muncul. Kita akan mengikuti praktek ini, termasuk dalam proses penentuan reaksi perletakan. Bahasan mengenai kriteria keseimbangan dan penentuan gaya dalam, tidak akan dirinci lanjut dalam bab ini. Sajian mendalam mengenai ini diberikan dalam bab-bab yang akan datang.
2.6 H U K U M S U P E R POSISI Hukum ini berlaku untuk sistem yang elastis linier serta konservatif, serta berbunyi sebagai berikut. Akibat (tanggap) yang terjadi pada sistem yang ditimbulkan oleh beberapa kasus/pola pembebanan, merupakan penjumlahan langsung (secara aljabar) dari akibat masin g
-
masing kasus/pola pembebanan.
Akibat yang dimaksudkan di sini dapat berupa perpindahan, ataupun reaksi (perletakan dan gaya dalam) dari sistem sebagai respons/tanggap terhadap beban/gaya luar, seperti dibahas dalam Bab 1. Ini juga berarti bahwa respons/tanggap total dari sistem terhadap gaya luar, tidak tergantung kepada urut-urutan bekerjanya komponen beban luar.
11
S;[l 2 BEBERP.J'A KRlTERIA DA\J HUKUM D\SAR
2.7 HUKUM COULOM B Hukum ini berkaitan dengan gaya interaksi antara sistem pada bidang kontak. Hukum Coulomb menyatakan bahwa besar gaya gesek antara dua bidang kontak berbanding lurus dengan gaya tekan normal yang bekerja pada permukaan kontak tersebut. Untuk menerangkan pandanglah suatu blok yang duduk pada suatu bidang datar ya.'lg k.asar. Gaya tekan p� permukaan kontak adalah N = W, sehingga kecenderungan balok untuk bergeser akibat gaya dorong horizontal H, dilawan oleh gaya gesekan F sebesar (2.81
f= f.lN
dengan J1 adalah koefisien gesek permukaan dengan nilai yang tergantung pada kekasaran permukaan (asperities). Lihat Gambar 2.4 untuk penjelasan.
H
-
w
///1/l!l!!ll/1/l/1 (b)
(a)
GAMBAR 2.4 Model Gesekan Coulomb
Sebagai contoh, pandanglah suatu balok yang duduk di atas lantai kasar dengan koefisien gesek f.1 dan kemiringan a, seperti dalam Gambar 2.5. Pertanyaan sekarang adalah berapa besar sudut kemiringan maksimum a sehingga balok masih tetap diam (tetap pada saat hendak meluncur) pada lantai miring. Menurut Persamaan (2.8), gaya gesek adalah sebesar f = J.1N = f.1 \V
cos
a
(2.9)
Pada saat balok hendak meluncur, diperoleh hubungan
(2.10)
(a} GAMBAR 2 5 Balok Pada Lantai Miring dan Kasar
(b)
MFKANIKA TEKN[]( STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERRF.NTUK RA"JCKA
12
Dengan demikian, dari Persamaan (2.9) dan (2.10) diperoleh kondisi bahwa tan atau a�
a�
p
(2.11)
arctan p
(2.12)
Dapat ditambahkan bahwa model Coulomb merupakan salah satu dari beberapa model gaya gesekan yang sering diterapkan. Sekalipun kebenaran model ini banyak dipertanyakan orang, model ini cukup sederhana dan kerap diterapkan orang sebagai model analitis mekanika.
2.8 SISTEM SATUAN Semua besaran dalam mekanika perlu dinyatakan dalam sistem satuan yang digunakan. Secara umum, ada dua kelompok sistem satuan yang lazim digunakan, yaitu (a) sistem gaya, dan (b) sistem massa. Dalam sistem gaya, besaran gaya ditetapkan terlebih dahulu. Kemudian, massa ditentukan sebagai satuan yang oleh gaya satuan, mendapatkan besar percepatan tertentu. Dengan demikian, massa menjadi besaran ikutan dari satuan gaya dan percepatan. Dalam sistem massa, besaran massa ditentukan terlebih dahulu. Kemudian, gaya ditentukan sebagai besaran yang bekerja sedemikian hingga sistem besaran satuan massa mendapatkan besar percepatan tertentu. Dengan demikian, gaya menjadi besaran ikutan dari satuan massa dan percepatan. Besaran dasar sendiri, dapat dinyatakan dalam sistem satuan tertentu yang dipilih untuk digunakan. Misalnya, detik (second) untuk waktu dan meter (metric system) atau kaki (foot, dalam Imperial system) untuk panjang atau jarak. Kedua sistem tersebut dibahas secara rinci dalam sajian berikut. 2.8.1 Sistem Satuan Gaya (FLS system) Untuk memulai, pilihlah satuan metrik (metric units) sebagai contoh. Gaya sebesar satu satuan, dinamakan 1 kgf, menimbulkan sistem bermassa mengalami percepatan sebesar percepatan gravitasi bumi, a = g = 9,80665 m/det2• Penggunaan Persamaan (2.1) memberikan 111=
_1_ X
kgf
1
------
m/det
2
kgf det2
g
rn
(2.13)
2.8.2 Sistem Satu a n Massa (MLS system) Menurut sistem ini, massa ditetapkan terlebih dahulu. Misalnya 1 kgm dalam satuan metrik. Gaya yang menimbulkan percepatan 1 m/de� suatu benda sebesar 1 kgm, dinamakan 1 N (satuan Newton). Menurut Persamaan (2.1), diperoleh sehingga
1 N= (1 kgm) Newton
=
x
2 (1 m/det )
kgm · m
------
det2
(2.14)
Belakangan ini, dunia intemasional menggunakan sistem satuan massa sebagai dasar untuk menetapkan sistem satuan intemasional yang dinamakan unit SI (singkatan dari bahasa Perancis
Systeme International).
13
2.8.3 Hubungan Antara Sistem Satuan
Kedua sistem yang telah dipaparkan di atas merupakan sistem satuan yang berdiri sendiri, namun mempunyai hubungan satu sama lain. Pemilihan, mana yang digunakan, lebih-lebih berlatar belakang tradisi negara atau bangsa pemakai. Sebagai contoh, ingin ditetapkan hubungan antara satuan gaya dalam kedua sistem satuan, yaitu hubungan antara kgf (sistem gaya) dengan Newton (sistem massa). Karena 1 Kg£ memberikan percepatan g m/ de� atas suatu sistem bermassa, sementara 1 Newton memberikan percepatan sebesar 1 m/ de�, maka diperoleh hubungan
1 kgf = g Newton
(2.15)
Untuk praktek rekayasa, agar mudah diambil nilai g = 10 m/ det2, sehingga sering diambil pendekatan bahwa 1 kg£ = 10 Newton. Untuk memperdalam pengertian sistem satuan, ada beberapa contoh perhitungan konversi antara sistem satuan sebagai berikut. CONTO H 2.1
Dalam sistem satuan Inggris, nyatakanlah besaran gravitasi den�an meng gunakan konversi dari sistem satuan metriks, yaitu g 9,80665 m/ det . Gunakan ketelitian hingga 6 digit. =
Penyelesaian Satuan waktu dalam hal ini detik, sama untuk kedua sistem satuan. Tinggal sekarang mengubah satuan meter menjadi satuan kaki (ft) dalam satuan Inggris, yaitu 1 m = 3,28083 ft. Dengan demikian diperoleh g = 9,80665 m/de� = (9,80665) =
x
(3,28083) ft/det2 (2.16)
32,1740 ft/det2
yang dalam praktek sering dibulatkan menjadi 32,2 ft/ de�. 2 CONTOH 2.2: Tentukan konversi besaran tekanan 1 kgf/crn dalam satuan metriks (sistem gaya) ke satuan MPa (rnega Pascal, 106 N/rn2) dalam satuan SI (sistem massa).
Penyelesaian Dari Persamaan (2.15) diketahui bahwa 1 kgf = g Newton. Dengan demikian, diperoleh (2.17) =
0,09807 MPa
yang dalam praktek sering dibulatkan menjadi 1 kgf/ crn2 = 0,10 MPa
(2.18)
1 Pa = 1 N/rn2
(2.19)
dengan
CO N TO H 2. 3 : Tekanan udara sering dinyatakan dalam satuan metriks sebesar 1 atm
kgf/ cm2• Nyatakanlah besaran tersebut dalarn satuan Pascal.
=
1,03323
r
MEKANlKA TEK'-JIK 5TATIKA OALAM ANALISIS STRUKTUR BFRBENTUK RANGKA
14
Penyelesaian Dari persamaan (2.15) diketahui bahwa 1 kgf == g Newton, sehingga diperoleh 1 atrn
2.9 RANGKUMAf\1
-=-
N
=
101325 Pa
(2.20)
st
m
G y
3. l GAY A SEB/\GAI BESARAN VEKTOR Besaran (quantity) dapat dibagi atas dua kelompok yaitu skalar (scalars) dan vektor (vec tors). Dibandingkan dengan besaran skalar yang hanya memiliki besar (magnitude), maka selain besar vektor juga harus dinyatakan dengan garis kerja (line of direction), arah (sense), dan titik tangkapnya (point of application) secara lengkap. Contoh besaran skalar adalah ukuran waktu (detik, jam, tahun, dan sebagainya), temperatur (°C, °F, °K), jumlah (orang, buah, ekor dan sebagainya), panjang (meter, kaki, hasta dan sebagainya), dan lain sejenisnya. Besarnya skalar dinyatakan sesuai dengan skala yang didefinisikan untuk pemyataan besar. Contoh besaran vektor antara lain dapat diketengahkan gaya, kecepatan, percepatan, lintasan, perpindahan dan lain sebagainya. Sebagai contoh, kecepatan V meter/detik (atau km/jam) perlu dinyatakan apakah ke depan atau mundur, ke utara atau ke selatan. Percepatan gravitasi g = 9,81 m/de� memiliki arah vertikal ke bawah menuju pusat bumi. Dalam Bab 1 telah dijelaskan bahwa dalam analisis statika, kita hanya membahas gaya luar dan reaksi yang ditimbulkannya secara ekstensif. Bab ini sepenuhnya diperuntukkan bagi pembahasan sistem gaya sebagai besaran vektor, untuk mendapatkan dasar yang mantap sebelum pembaca mengikuti bab-bab substansif mengenai analisis statika.
3.2 SISTEM TATA SUtv1BU Untuk dapat menyatakan kedudukan titik bermateri sistem struktur dalam tata ruang, kita menggunakan tata umbu yang dalam hal ini dipilih tata sumbu Kartesius. Tata sumbu Kartesius (X,Y,Z) dalam Gambar 3.1 mengikuti "aturan tangan kanan", yang identik dengan pularan sekrup, pemutaran dari sumbu X po itif ke umbu Y positif akan menghasilkan gerakan sekrup ke arah sumbu Z positif, putaran Y positif ke Z po itii menghasilkan gerakan sekrup ke sumbu X positif, dan seterusnya. Lihat diagram dalam Gambar 3.1.b untuk penjelasan. Titik awal (origin) 0 dapat dipilih secara sembarang. Dengan demik:ian, tempat kedudukan suatu titik dapat dinyatakan relatif terhadap titik awal ini. Suatu titik cirian P dalam ruang sekarang dapat dinyatakan dengan vektor posisi r yang dituliskan dalam
\ 1 1 K \ '. I K \ I I K '\c I f,
16
� I \ 1 1 f: \ LJ,\
I ·\M \ � .\ I !�IS
S I 1\ L Kl l . R
llJ Rll f
1\. T l
K RAN( ; r:, ,\
y Y• • • • • • • • . . . . . • • •, '
'
#> - - - ' .
GAM BAR 3 I
I '
z
'
- - - - - - - - - - - - - ---
(a)
!, #
,'
,•'
X
;r
Ta l,, " u m h u k. a r l t' ' ' ll '
(b) (l. l )
(x, y, z) adalah koordinat sumbu (X, Y, Z) .
dengan arah
titik
P,
dan
(i,
J, k ) adalah vektor satuan di masing-masing
.•
3.3
GAY A -:- r< A�JSLASI DAr\J KOPEL Pandanglah suatu vektor
bidang
XY. Titik
F
tangkap vektor
yang bekerja menurut garis kerja l dan yang terletak pada
F
adalah titik
P (XP' YP, 0) pada garis l.
Besaran
F
dinarnakan
gaya translasi sebagai vektor yang dilengkapi dengan atribut besar, garis kerja, arah dan titik
tangkap. Di sarnping itu, tinjaulah suatu garis m yang normal terhadap bidang
11 z. Terhadap garis
m, vektor
momen dengan besar
F
XY, sehingga m
memberikan sesuatu efek putar yang dinarnakan kopel atau
dengan d adalah jarak garis l terhadap m, yaitu segmen garis yang tegak lurus terhadap garis
i dan
m. Arah vektorial dari momen diatur sesuai dengan aturan tangan kanan (atau sekrup)
yang dinyatakan dengan panah berkepala rangkap. Lihat Garnbar
3.2b sebagai penjelasan.
Tinjaulah sekarang kasus garis l berpotongan dengan m; artinya garis kerja
dengan garis m. Dalarn hal ini d =
0,
sehingga
M
=
0.
F
berpotongan
Dengan perkataan lain, kopel atau
momen suatu gaya terhadap garis yang dilalui atau dipotong oleh gaya . tersebut adalah nol.
Atau, momen suatu gaya terhadap titik yang terletak pada garis kerja gaya adalah nol. y
z
l
m
y
(a)
X
(b)
ll,\Il 3 SIS1 1
17
M ( ,i\ Y i\
Gaya translasi sebagai vektor dapat digolongkan atas tiga kelas, yaitu: (a) vektor bebas ifree
vectors), (b) vektor luncur (sliding vectors), dan (c) vektor tetap lfixed vectors). Vektor bebas
merupakan vetor yang dapat direpresentasikan dalam garis kerja lain yang sejajar. Ini dapat divisualisir pada suatu sistem yang bergerak dengan arah dan besar pergerakan yang seragam. Dengan perkataan lain, garis kerja maupun titik tangkap dapat dipindahkan tanpa mengubah fenomena fisik. Vektor luncur adalah vektor dengan titik tangkap yang dapat dipindahkan di sepanjang garis kerja tanpa mengakibatkan perubahan fisik. Dalam wktor tetap, baik garis kerja maupun titik tangkap tidak dapat dipindahkan tanpa mengubah keadaan fisik. Lihat Gambar 3.3 seb�ai penjelasan. Dalam Gambar 3.3a, tidaklah mempengaruhi keadaan jika dianggap gaya F bekerja di fl' £2 atau £3 terhadap s�tem yang bergerak seragam. Dalam Gambar 3.3b dan 3.3c, keadaan sama saja jika dianggap F bekerja di titik tangkap A atau B jika sistem terbuat dari bahan yang tidak berdeformasi. Dalam hal ini, F menjadi gaya luncur. Untuk bahan yang berdeformasi, F yang menangkap di titik B akan memberikan efek tekanan, dan F yang menangkap di A akan menumbuhkan efek tarikan. Dalam hal ini, F adalah vektor tetap.
(b)
(a) GAM BAR 3 3
(c)
\ e· ktor 13eb,l'i, Luncur dan T etap
3.4 S I STE M V E KTOR GAYA
Umumnya, gaya-gaya dapat bekerja di arah dan garis kerja serta titik tangkap masing masing dalam ruangan sistem berada. Namun, seluruh vektor gaya yang bekerja pada suatu sistem yang sama satu sama lain dapat memiliki kaitan antara garis kerja dan titik tangkap. Beberapa kasus akan disajikan dalam paparan berikut. (a) Sistem Gaya Ko nkuren
Ini adalah kasus dengan semua garis kerja gaya melalui satu titik; dengan perkataan lain, semua garis kerja berpotongan pada satu titik dalam ruang. Kasus ini memiliki sifat khusus, yaitu bahwa semua vektor gaya memberikan kopel total bernilai nol terhadap titik potong semua garis kerja. Juga, dimungkinkan bahwa titik potong tersebut adalah titik tangkap semua vektor gaya. (b) Sistem Gaya Para lel
Dalam kasus ini semua garis kerja gaya saling sejajar dalam ruang. Dengan sudut pandang lain, semua garis kerja saling memotong di satu titik di tempat jauh tak hingga. Yang perlu diperhatikan dalam kasus ini, adalah bahwa sekalipun jumlah vektorial gaya di arah garis kerja yang sejajar itu kemungkinan bemilai nol, namun dapat terjadi kasus dengan keseluruhan gaya memberikan kopel total yang tidak nol terhadap suatu garis sembarang. Ini akan dibahas secara lebih rind dalam paparan mengenai kriteria keseimbangan. (c) Sistem Gaya Kop lanar
Dalam kasus ini, semua garis kerja terletak pada satu bidang. Sebagai contoh misalnya, jika semua garis kerja berada pada bidang XY, semua gaya akan memberikan kopel dengan arah vektorial sejajar dengan arah sumbu Z tata sumbu Kartesius seperti dalam Gambar 3.2.
18
MEKAMJ
STA llKA DALAM
AN!I I .lS!S STRU KTUR RFRRFNTUK R/\N( ,J
Selanjutnya, dapat dihadapi kasus sistem gaya yang koplanar dan konkuren, atau koplanar paralel. Kasus semacam ini dijumpai pada sistem struktur dua dimensi (sistem struktur bidang). Untuk sementara, demi kemudal-.an visualisasi, bahasan disajikan dalam kasus sistem gaya koplanar. Bidang XY diambil sebagai bidang tempat bekerjanya sistem gaya. Dengan demikian, arah vektorial kopel gaya sejajar dengan sumbu Z. 3.5 O P E RAS! GAY A
Karena gaya adalah besaran vektor, maka semua operasi matematika yang berlaku bagi vektor, juga berlaku bagi gaya. Namun, dalam pasal ini hanya disajikan beberapa operasi yang lazim dijumpai dalam statika. 3.5. 1 Kesamaan Gayo
Perihal kesamaan gaya antara dua gaya F1 dan F2 dapat dinyatakan sebagai berikut.
(a) Jika F1 dan J; adalah vektor tetap, maka kedua gaya hanya sama apabila keduanya memiliki garis kerja, titik tangkap, arah, dan besar yang sama. (b) Jika i; dan F2 adalah vektor luncur, maka kedua gaya hanya sama apabila keduanya memiliki garis kerja, arah, dan besar yang sama. (c) Jika i; dan F2 adalah vektor bebas, maka kedua gaya hanya sama jika keduanya memiliki arah dan besar yang sama, serta garis kerja yang sejajar. Untuk kesamaan dua gaya, dituliskan I ) . '1 \
3 . 5 . 2 Kebenawor o n G o v o Perihal keberlawanan antara dua gaya F1 dan f2 diatur sebagai berikut.
(a) Jika i; dan fz adalah vektor tetap, maka kedua gaya berlawanan jika keduanya memiliki garis kerja, titik tangkap, serta besar yang sama, namun arah yang berlawanan. (b) Jika i; dan fz adalah vektor luncur, maka kedua gaya berlawanan jika memiliki garis kerja dan besar yang sama, namun arah yang berlawanan. (c) Jika i; dan fz adalah vektor bebas, maka kedua gaya berlawanan jika memiliki garis kerja yang sejajar, besar yang sama, namun arah yang berlawanan. Dalam kasus gaya yang berlawanan, dituliskan I�
=
-
F-;:
a tr1 1 1 11
+
F2
==
Cl
(:1 4)
3.5.3 Perj u m l o h a n G aya
Perjumlahan dua gaya A dan B secara matematis dituliskan dalam bentuk
R = lf + B
(3.5 )
den&_an R �alah gaya hasil jumlah yang sering dinamakan resultanta. Dalam aljabar vektor, jika A dan !i dinyatakan sebagai kombinasi komponen-komponen pada sumbu i_X, Y, Z) maka komponen R pada (X, Y, Z) merupakan perjumlahan aljabar komponen A dan B pada sumbu yang sama. Dalam sajian ini, kita akan terlebih dahulu menentukan perjumlahan dengan cara grafis.
19 \ a)
:'vfetc.da Jafa.ran Genjang
Cara ini dapat diterapkan untuk gaya kelas vektor tetap dan luncur. Pandanglah dua vektor I) dan F2 yang bek rja pada garis l1 dan h Ked�a \ ektor membentuk si tem gaya yang konkuren dan koplanar. Pencarian vektor resultanf:a R mencakup penentuan ga r is kerja dan be ar erta arah, yang dengan cara jajaran genjang dilakukan ·ebagai berikut. Lihat Gambar 3.4 untuk penjelasan.
(1) Pertama-tama, pilihlah titik sembarang 0 yang melaluinya, digambarkan dua garis yang masing-masing sejajar dengan £1 dan £2.
(2) Diukurkan dari titik 0 dengan skala yang betul, pada kedua garis itu digambarkan \'ektor F1 dan F2 .
(3) Dengan kedua vektor dalam butir (2) sebagai sisi, digambarkan sebuah jajaran genjang.
(4) Garis diagonal panjang serta besamya (sesuai skala) memberikan besar R serta garis yang sejajar dengan garis kerja R yang sesungguhnya.
(5) Garis kerja R yang sesungguhnya diperoleh dengan menggambarkan garis yang sejajar dengan diagonal dalam Gambar 3.4b, pada Gambar 3.4a dan melalui titik potong £1 dan £ 2.
(6) Akhimya garis kerja R telah diperoleh dalam Gambar 3.4a, serta besar dan arah dari Gambar 3.4b.
0
,�1
\1 ;• c'hi'
(b)
_:tg: r ;gu
Metoda scgitiga hampir erupa dengan metoda jajaran genjan . Bedanya bila dibandingkan d ngan jajaran genjang adalah dalam metoda ini digambarkan segitiga (lihat Gambar 3.5) dengan urutan tindakan _ebagai berikut.
(1) Pertama-tama, pilihlah suatu titik embarang 0 pada bidang gambar. Melalui titik ini, gambarkan garis yang sejajar dengan £1 . Pada garis ini, pindahkanlah vektor I) dengan skala yang benar dan titik 0 seba ai awal/pangkal. (2) Melalui titik puncak gaya itu, gambarkanlah garis yang sejajar dengan £2, lalu pada garis ini, vektor F2 dipindahkan dengan skala yang benar, dan titik puncak vektor pertama sebagai awal.
(3) Tariklah garis dari titik 0 ke titik ujung yang akhir sehingga suatu segitiga terbentuk. Panjang garis ini memberikan besar gaya R .
m yang melalui ti t_Q< potong £1 dan £2, untuk memp eroleh garis kerja yang sebenarnya dari resultanta R .
(4) Sejajar garis yang diperoleh terakhir dalam butir (3), digambarkan garis sejajar
r
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
20
Hasil penggambaran disajikan dalam Gambar 3.5. Perhatikan bahwa segitiga yang diperoleh adalah setengah jajaran genjang seperti dalam proses hasil metoda jajaran genjang. Perhatikan pula bahwa sesuai dengan si fat komutatif penjumlahan vektor, proses dapat dilakukan dengan menggambarkan F2 terlebih dahulu.
0 0
(b) GAMBAR 3 . 5
Perjumlahan Gaya Dengan Metode Segitiga
Dalam metoda segitiga ini, ada beberapa hal yang penting dan perlu dicatat sebagai berikut. Pertama, kedua vektor dan vektor hasil membentuk segitiga yang tertutup (lihat Gambar 3.5b). Kedua, vektor hasil berpangkal dari pangkal vektor yang pertama (tit:_Q< 0), dan berujung pada ujung vektor yang kedua (titik B). Ketiga, dalam Gambar 3.5b, vektor R diapit oleh gar is vektor fl (OA) dan garis vektor Fz (AB). Dalam Gambar 3.5a, gari kerja vektor hasil R diapit oleh el (yang sejajar dengan OA) dan f.2 (yang sejajar dengan AB). Semua pengamatan ini merupakan hal yang penting untuk dicamkan dalam proses penentuan besar, arah dan garis kerja vektor hasil. Pengamatan ini juga akan dimanfaatkan sepenuhnya dalam metoda poligon berikut ini. (c) Metoda Po ligon
Untuk proses penentuan resultanta lebih dari dua gaya koplanar pada umumnya, semua garis kerja gaya tidak berpotongan pada satu titik potong. Metoda poligon yang merupakan pengembangan metoda segitiga, dapat digunakan sebagai berikut. Agar jelas, tanpa mengurangi keberlakukan umum metoda, disajikan proses penentuan resultanta tiga gaya 1) , F2 dan F3 yang koplanar non-konkuren.
(1) Pertama-tama, dalam Gambar 3.6b gambarkanlah poligon gaya tertutup ABCDA, sehingga didapatkan besar, arah dan garis yang sejajar dengan garis kerja yang sebenamya.
(2) Prosedur berikutnya tinggal untuk menentukan garis kerja R yang sebenamya dalam gambar a. Ini dilakukan dengan proses lanjutan sebagai berikut. (i) Tetapkanlah suatu titik sembarang 0 pada G ambar 3.6b, tempat ditarik garis penghubung OA, BO, CO, dan DO. (ii) Selanjutnya, tetapkanlah suatu titik sembarang E pada f. 1 , dan melalui titik E ini ditarik garis c1 yang sejajar AO. (iii) Melewati titik E ini ditarik pula garis c2 yang sejajar dengan BO serta memotong f.2 di titik G. (iv ) Kemudian, dari titik G ditarik garis c3 yang sejajar dengan CO serta memotong t3 di titik H. (v) Dari titik H ini, ditarik garis c4 yang sejajar dengan garis DO.
21
(vi)
Akhimya, tentukanlah titik perpotongan c1 dan c4, yaitu titik melalui mana garis se�jar dengan
R
pada Garnbar
garis kerja resultanta R yang sebenarnya.
3.6b
0'
dalarn Garnbar
3.6a,
ditarik untuk mendapatkan
Bukti hasil yang diperoleh ini adalah sebagai berikut. Perhatikanlah bahwa dapat dituliskan 3.6b, diperolE�h bahwa
hubungan berikut. Dari Gambar
·.
·.
··-
A
0
c (b)
D
otn
F1 Fz
R =
�
+ F2
F3
+
=
OA + OB
=
BO + OC
= =
=
CO + OD
= =
�
= AO + OD
dan
CO
ada dalam garis
c3
OB dan BO
" ,
- OB + OC -
OC + OD
------
Vektor AO berada pada garis c1, vektor
OC
o t(l 1
+
berada dalarn garis c2 dan saling meniadakan,
dan saling rneniadakan, dan
OD
ada dalarn garis c4. Akhimya,
r
MEKANIKA
22
fEKNIK ST ATIKA DAI
AM ANAUSL'i STRUK flJR BERBENTUK RANCKA
AO dan OD merupakan ve�or yang meEJ.punyai garis kerja c1 d� c4, serta berfungsi sebagai dua vektor pengganti bagi F 1, F 2 dan F 3 untuk mendapatkan R . Ini juga sekaligus betarti bahwa garis kerja dari R haru� melalui titik potong c1 dan c4, yaitu titik 0' dalam Ga!!_tbar 3.6a. Garis m sebagai garis kerja R dapat digambarkan dengan menarik garis sejajar R (dalam Gambar 3.6b) melalui titik 0 ' dalam Gambar 3.6a. Metoda poligon juga dapat digunakan untuk menentukan resultanta gaya-gaya koplanar yang paralel. Dengan metoda grafis, ketelitian hasil yang diperoleh tergantung kepada ketelitian penggambaran garis-garis paralel dan pengukuran secara berskala. Penentuan letak titik 0 seyogianya dipilih sedemikian hingga garis-garis penghubung AO, BO dan sebagainya, membentuk sudut apit yang tidak terlalu tumpul atau terlalu tajam dalam gambar a. 3.5.4 U raian Gaya
Proses uraian gaya dapat dipandang sebagai kebalikan dari proses perjumlahan. Uraian dari suatu vektor gaya atas beberapa vektor pada garis-garis kerja yang diketahui berupa vektor vektor yang apabila dijumlahkan, akan memberikan kembali vektor gaya tunggal tersebut. Untuk penjelasan, tinjaulah suatu vektor P yang bekerja menurut garis kerja m, dan yang ingin diuraikan atas dua vektor di arah garis £1 dan £2. Ketiga garis £1, £2 dan m adalah koplanar dan terletak pada bidang XY. Vektor urai i) dan I; pada masing-masing £1 dan £2 ditentukan sebagai berikut.
(a) Pertama-tama, tentukanlah titik potong 0' antara £1 dan £2. (b) Melalui titik potong tersebut, gambarkanlah suatu garis sejajar dengan m, dan dengan titik ' 0' sebagai pangkal, gambarkanlah P pada garis tersebut. (c)
Kemudian, dengan garis tersebut sebagai diagonal dan £1 dan £2 sebagai sisi, gambarkanlah jajaran genjang dengan P sebagai diagonal panjang.
(d) Sisi diagonal pada £1 dan £2 masing-masing memberikan i) dan F;_ . Vektor P yang sudah terurai kemudian dapat diberi tanda (dengan dua garis) yang berarti P sudah terurai dan digantikan oleh i) dan F2 • Lihat Gambar 3.7 sebagai penjelasan.
GAMBAR 3 . 7 Pengu ralan Gaya
23 Sekarang kita membahas uraian gaya pada tata sumbu Karte�us. Untuk kasus bidang (misalnya bidang
XY),
F
uraian suatu vektor gaya
adalah
Fx
dan
Fy
yang dapat dituliskan
(1.h) Jika selanjutnya sumbu maka Persamaan
(3.6)
X dan Y masing-masing dilengkapi dengan vektor satuan i
dapat dituliskan dalam
dan
J,
( 3 7) dcngan
}
=
f
dengan a sudut apit yang diukur dari sumbu
dalam Gambar
3.8.
X
positif ke garis kerja vektor gaya
Perhatikan bahwa dalam hal ini, diperoleh hubungan J (1
y
I 1
=
· r2
\ -'
+
arctan
;
f, r
F,
seperti
( .') ')' \
r" I
7- . y
)
Fx
Fy
X
0 GAN1BAR 3 8 l; raiJn C a \ J Puda [ J t,l Sumbu
Dengan demikian, juga terlihat bahwa
sumbu X dan
Y.
Fx dan fy
adalah proyeksi dari
F
masing-masing pada
3.5.5 Perj u r n lari a n G aya Secaro Anal itis Kita sengaja membahas perjumlahan analitis gaya, setelah terlebih dahulu menyajikan uraian gaya secara analitis. Untuk jelasnya, tinjaulah dua vektor dilengkapi dengan tata sumbu
(X, Y)
1;
seperti dalam Gambar
dan
3.8a.
F;
pada bidang datar yang
Resultanta
n l Ol
24
digambarkan secara grafis menurut aturan segitiga. Selanjutnya, kedua vektor dinyatakan dalam komponennya masing-masing pada sumbu X dan Y menurut Persamaan (3.7); jadi,
Dari gCJmbar terlihat bahw a CU 2) dcngm
('\
l\)
Dengan demikian, perj umlahan vektor secara analitis dapat dilakukan dengan menjumlahkan secara aljabar, komponen-komponen gaya pada tata sumbu ortogonal. Untuk perjumlahan lebih dari dua vektor, yaitu F1 , F2 , . . . , Fn , maka I\
==
I
11
�-�
�
.
+
1-,
ck ng.u;
-
1\ , /
1
)__ ! ,,
•
3.6 KES E I M BAf'JGA�� G/\ '/A
Keseimbangan adalah kriteria yang sangat penting dalam statika. Kriteria ini mengatur hubungan antar komponen yang bekerja pada suatu sistem yang berada dalam keadaan diam atau lebih sering dinamakan keadaan seimbang. Dalam bahasan Pasal 2.3 dipaparkan hukum yang pertama Newton yang merupakan konsep dasar keseimbangan. Kita akan mengembangkan konsep itu dalam Pasal 3.6 ini. ( a ) Kcs c mr b n llga u dengcw Cm1 G ra (i s
Tinjaulah kembali metoda poligon yang telah dibahas sebelumnya. Gaya-gaya i), J;, ... , F,, dapat dijumlahkan untuk mendapatkan resultanta R seperti dalam Gambar 3.9. Vektor R , i) , J;, . . . , F,, membentuk bentuk poligon, dengan pangkal R adalah pangkal vektor pertama,
dan berujung pada ujung vektor yang terakhir. Jadi f<.
...:
�.
+
/- .
+
(j 1 6 )
Sekarang, ambillah suatu vektor Q yang berimpit dengan garis kerja R , sama besar tetapi berlawanan arah, sehingga ()
=c
-R
(\
1 71
Penggabungan kedua Persamaan (3.16) dan (3.1 7) menghasilkan F1
+
12
+
.
. . + F, +
Q
=
0
( \ . 1 1-l j
ll A il J
SIST E M GAY 11
25
yang membentuk sistem gaya yang seimbang, sesuai dengan Persamaan (2.2). Dalam Gambar 3.9 disajikan sistem gaya yang seimbang ini. Menarik untuk dicatat bahwa keseluruhan vektor F1 , F2, ... , Fn , dan Q berangkat dari suatu titik, dan berakhir di titik tersebut (dari titik 0 kembali ke 0, dari titik A kembali ke A, dan seterusnya). Jadi, dapat dituliskan dalam bentuk T = F + F2 1
+ ... +
f,,
+
Q
=
0
dengan f dianggap perjumlahan semua gaya, namun dengan hasil mengetahui bahwa vektor memiliki komponen nol, sehingga
(3.19) T =
0 (vektor nol). Kita
( 3.20) untuk sistem bidang (dua dimensi). Syarat dalam Persamaan (3.20) perlu, tetapi belum cukup berdasarkan alasan ilustratif sebagai berikut. Tinjaulah dua gaya f; dan F2 dengan garis kerja sejajar, sama besar tetapi berlawanan arah. Kondisi dalam (3.20) jelas dipenuhi, namun terlihat bahwa sistem gaya f; dan F2 menghasilkan kopel sebesar
M = d x £; -" d x �
(3. 2 1 )
(n)
R = � + F; + . .. + F. .
F., (b)
/
/
F; + � - ---- + f. -'- Q = D
GAMBAR 3 9 Keseimbangan Secara Grafis
\ H - K.\ � lk.\
26
I
f· K '\. I K
� I -\ fiK.I I) ' I A�l
•\ '\, _-\ l !�IS -,[ R L f-. ! 1 I{
lll' l\1.11
'" rt K R \".t K '
dengan M adalah gaya kopel dengan sumbu Z sebagai arah vektorial. Untuk keseimbangan, maka nilai dari kopel M harus nol; karena jika tidak, sistem akan berputar. Dengan demikian (:> 27)
Gabungan dari (3.20) dan (3.22) dapat disusun dalam syarat keseimbangan yang perlu dan cukup untuk sistem bidang, ( i.2:l)
yang segera dapat dikernbangkan untuk sistern ruang itiga dimensi) dalam bentuk ' :
- ·
\
-
' ' .
I.\ 1 , = L
Pada hakekatnya keseimbangan kopel dapat diambil terhadap poros sernbarang; artinya, LMx = 0 dapat diambil terhadap suatu garis sembarang yang paralel dengan sumbu X, 2.My = 0 terhadap garis yang paralel sumbu Y, dan seterusnya. Kondisi LEx = 0 dan lf" = 0 dapat diambil terhadap dua arah lt dan f.2 pada bidang XY, dengan e, dan £2 saling te gak lurus. Kemudian, akan terlihat bahwa tiga kondisi dalam (3.16) dapat dituliskan dalam bentuk lain yang setara, rnisalnya keseimbangan gaya dan dua keseimbangan momen, Ir
=
o
dan sebagainya. Yang penting untuk diingat adalah ada 3 persamaan keseimbangan untuk sistem bidang, dan ada 6 persamaan keseimbangan untuk sistem ruang, dengan sernua persamaan yang ada bebas satu sarna lain (linearly independent). Selanjutnya, untuk kasus sistem gaya yang konkuren, keseimbangan gaya dalam persamaan 3.20 sudah merupakan syarat yang perlu dan cukup. Semua garis kerja berpotongan pada satu titik potong, akan mempunyai nilai momen nol terhadap titik potong tersebut sehingga syarat keseimbangan Per amaan 3.22 secara identik/ otomatis akan dipenuhi.
3 . 7 C O N TO H P E N E RAPAN
Berikut ini diberikan beberapa contoh yang rnenyangkut operasi gaya. Dengan mengikuti contoh penerapan berikut ini, diharapkan pernahaman dan pengertian operasi gaya dapat dimantapkan. CONTOH 3 . 1
Dua vektor gaya F1 dan F2 yang bertitik tangkap pada titik awal suatu tata sumbu Kartesius, rnasing-rnasing mernpunyai puncak (0, 4) dan (6,3). Tentukan vektor R sebagai hasil perjumlahan kedua vektor tadi, dengan cara analitis.
Pe nyelesaian
Karena vektor
1;
terletak pada surnbu Y, rnaka diperoleh f-xl
=
0; F111
=
4
(3.26)
B.>.B 3 SISTEM GAY A
27
Vektor F2 mempunyai garis kerja dengan koefisien arah cos
.
sm
a2
=
a2
=
sehingga
At ----r= � - �
I} Llx -
+
l1.1f
��,
=
-=
�AY2 t1.y 2 �
+
,
f;x2 =
n
=
6 -:;c � IJ 6 " + 3 -,
+ 32
=
=
0, 894 (3.27)
0,447
.
I
f F2 1 = 1} 6 2
Fv2
-:;=!1.y -
,)45
=
(3.28)
6, 71
3
o+n n 4+
Dengan menggunakan Persamaan (3.15) diperoleh R, f\ ,1
2
=
I r"
=
2 I F,1,
I
l
.
=
�
sehingga
=
3
=
(3.29)
7
(3.30) Koefisien arah garis kerja R yang melalui titik awal 0 diberikan oleh a,
Liha t
=
arctan
( /( j\ R
v
=
arc tan
( �) '
=
49,4°
(3. ::n )
Cambar 1 . 1 0 sebagai pcnjclasan.
y 8
2 GAMBAR 3. 1 0
4
6
8
X
Perjumlahan Vektor, Contoh Soal
3. 1
28
M � K A N I KA l T K N !K STAT!KA DALAM A N A LISJS STRUKTUR l3ERBEN fUK RAN< . K A
C O NTOH 3.2 Ulangi kembali Contoh 3.1, namun dengan menggunakan metoda grafis jajaran
genjang.
Pe nyelesa i a n :
Pertama-tama, gambarkan F1 dan f2 dengan masing-masing puncak A(O, 4) dan B(6, 3). Dari A dan B dibuat jajaran genjang yang digambarkan secara , skala yang betul dan teliti. Kedua garis sisi yang ditarik dari A dan B, bertemu pada titik C sebagai puncak dari resultanta R Besar dan arah vektor R lalu diukur secara tepat dari gambar. Lihat Gambar 3.11 sebagai penjelasan. Jika untuk satu satuan vektor misalnya _ d igunakan skala 1 cm, maka F1 digamb arkan sepanjang 4 cm, dan l1_ sepanjang 6,71 cm. Dari jajaran genjang, diukurkan R , diperoleh sepanjang 9,2 cm, cm maka besamya R = 9 2- = 9, 2 satuan gaya, yang 1 cm sedikit berbeda dari hasil eksak (analitis) dalam Persam aan (3.30). Kesalahan tergantung dari kecermatan penggambaran serta pengukuran. .
'
C O NTO H 3 . 3
Kerjakanlah kembali soal Contoh 3.1, namun dengan cara segitiga.
0
2
GAMBAR 3 l l
X
6
P e rj u m l a h a n G a y a S e c a r a Grafis, Contoh Soa l
3.2
Penye lesa i o n :
Untuk menyelesaikan seperti terlihat dari Gambar 3.12, solusi dilakukan dengan dua urutan,
pertama dengan f2 terlebih dahulu, kemudian dari puncaknya digambarkan 1) . Yang kedua adalah menggambarkan f1 terlebih dahulu, lalu dari puncaknya digambarkan fz. Hasil kedua urutan penggambaran sama, perbedaan hanya akibat ketelitian penggambaran. CO NTOH 3 . 4 Sebuah ungkit digunakan untuk mengangkat bobot seberat W. Lengan ungkit
memiliki panjang yang berbanding sebagai 1 : 2 seperti dalam Gambar 3.13. Hitung berapa gaya yang harus dikerjakan untuk dapat mengangkat bobot tersebut, dan berapa gaya total yang dipikul oleh dudukan. y
y
8 6 4 2
6
GAMBAR 3 . 1 2
X
Perjumlahan Vektor Den gan Cara Grafis
X
6 Segi tiga , Contoh Soal
33
29
Penyelesa ia n : J ika bobot W tepat pada aat tera ngka t, maka ini berarti s istem gaya berada dalam kese imbangan. Model struktur dan gaya-gaya yang ada d iperli hatka:n d ala m gambar b. K.ita dapat menggunakan kr iter ia ke eimbangan dalam Per amaan (3.23) untuk men g hi tung gaya F dan reaks i R. Keseimbangan gaya di ara h hori onta l otomatls terpenuhJ, dengan t idak adanya komponen gaya yang bekerja di arah in i. Kese imb angan gaya vertikal memberikan -W
+ R - F
=
( 1..32)
0
Kese imb angan momen yang d iamb il ter hadap t it ik 0 memberikan +( W) Kedua persamaan dalam has il:nya adala h
X
(/ )
+
(R )
X
1"--- L -+-----w
A
0
·-
u)
X.
('2L .1
=
'
(3.32) d an (3.33) dapat d ise lesaik an untuk menentukan f = 2 w
!i2t
(0)
(a) struktur
'' =
1 " w
F
dan R; '
t
1"--- L --,�<---- 2L
2L
'I •
A
B
0
r-�.-------- -l, ( b) model
3 8 r< P r'JC7 K" LJ\/I ,t. i'� Bahasan dalarn bab iru d apa t d1sarikan dalam b�b
{1) Gaya
rapa pokok <::atatan sebag� p�ku:t.
. .
�1!1\��
kaidah, jenis vektor. Dengan demikian, adalah besaran yang termas peraturan dan hukum serta operasi matematis yang berlaku untcik vektor/ juga berlaku ··· · · ., untuk gaya.
·
pe�umlahan• gaya, dapat dipilih dua macam metoda� yaitu analitis dan gr�is.. J�a dalam c;;ara analitis digunakan operasi matematis yang mern.berikan hasil (!k$ak; ll'laiq:t ketelitian hasil . cara grafis tergantu.ng s�penuhnya kepada ke(:ern'iatan penggambaran dan pengukuran.
(2) .. Untuk
·
(J) Untu.k perjw:n)ahan cara grafis gaya restlltanta bera>.val pada awal gaya pertama, dan berujung pada ujnng gaya terakhir, dengan catatanbahwa Utut-utl,ttan gaya yang diambil tidak n1empengaruhi hasil. Untuk cara analitis, gaya resulta.nta mcmiliki . komponen yang merupakM petjumlahan aljabar darl. semua kotnponen gaya yill'l g dijmn.hilikan, di beberapa arah yang satu sama. lain. sating ortogonal (de:rigan perkat(lan lain,. arahatah yang bebas atu sama lain): .
-:.::; ·:..;:
.
.
·
· -� .
\: . . .
<·-:--:• ':-
r
30 . ..�:_ .::::·
·�
· > ):cul
·
�
�
.
:.:- - .:::;:_ - ·�:-:-:
.
3 . 9 SOAL-SOAL
Dalam soal-soal berikut ini, gaya-gaya mengambil satuan gaya tertentu, demikian juga ukuran jarak pada tata sumbu. Misalnya, dapat dianggap bahwa gaya diberikan dalam satuan kN, jarak dalam meter, dan sebagainya. Dalam mengerjakan soal-soal berikut, pilihlah sistem satuan yang konsisten. Soal 3 . 1 :
Untuk sistem gaya planar dan konkuren seperti dalam Gambar 3.14, tentukanlah resultanta Gumlah) seluruh gaya dengan cara grafis dan analitis. Berikan data lengkap gaya resultanta tersebut (besar, garis kerja dan arah).
Soal 3.2:
Tentukanlah resultanta sistem empat gaya planar nonkonkuren seperti dalam Gambar 3.15. Periksalah apakah sistem gaya tersebut memberikan suatu sistem yang seimbang? Berikanlah penjelasan selengkapnya.
Soal 3.3 :
Periksalah apakah sistem tiga gaya planar nonkonkuren dalam Gambar 3.16 mem berikan suatu sistem yang berseimbang? Lakukanlah analisis selengkapnya.
( -1, GAMBAR 3 . 1 5 Sistem C a va Snal 1 2
\j
GAMBAR 3 . 1 6 Sistpm c.ava. So,1 1 1 1
31 'r
----- l i
S u a ! • 3 .-l:
Tentukanlah resultanta dari tiga gaya planar nonkonkuren seperti yang diperlihatkan dalam Gambar
3.17.
Lakukanlah perjumlahan gaya dengan cara grafis dan analitis,
serta bandingkan kedua hasil yang diperoleh.
Soal 3. 5: Untuk sistem gaya planar nonkonkuren dalam Gambar 3.18. Tentukanlah gaya
R
yang memberikan suatu sistem seimbang dengan tiga gaya lainnya. Lakukanlah proses penentuan keseimbangan dengan cara grafis dan cara analitis, serta bandingkan kedua hasil yang diperoleh. S o.1 l 3 . 6·
Dalam Gambar
3.19,
diinginkan agar gaya
R
) I'
mengimbangi dua gaya horizontal laihnya pada bidang
XY.
( 1 1,
Berapa besar dan dimana
garis kerja dari gaya
R
yang ditanyakan ?
\1 �1----�· � ·
d
Lakukanlah proses dengan cara analitis. Soal 3 . "' .
Gambar
3.20
\
•
memperlihatkan suatu papan
kaku serta lurus sempurna dengan berat sendiri yang dapat diabaikan. Di atasnya terletak suatu silinder berbobot W yang berada
dalam keadaan diam di tengah papan. Berapa besar gaya vertikal
R
yang diperlukan untuk
membuat papan tepat pada saat terangkat? Berikan ulasan seperlunya, menyertai analisis
11'1 l t .
yang saudara lakukan secara analitis.
1,1/
•
So.1l 3.8: Untuk sistem seperti dalam Gambar 3.21, tentukan besar gaya R yang membuat
sisitem berada di dalam keadaan seimbang. Berapa gaya tekan akibat papan kaku pada silinder? Lakukan analisis dengan cara analitis. Abaikan berat sendiri papan.
If
I
-.---: -
1
·.A M B1\R . l )0 "" l•·n 1
' . .1\,1 , ' " '" '
II
�!HAf.
, ..,1 1
m
-
•ol
4 I]
•I
, /
r
32
'
,__ 1'.
'
•
(vfEKANIKA. TEKNIK:
STATIKA UM.AM AI\AI .ISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Soal 3.9: Suatu batang kaku dengan berat sendiri
yang dapat diabaikan, memiliki hubungan sendi yang dapat berputar dengan mulus (tanpa gesekan) pada ujung kiri. Di atasnya terletak suatu silinder berbobot W yang berada dalam keadaan diam, akibat sokongan gaya F dengan arah 45° dengan kedudukan horizontal batang. Dengan cara analitis, tentukan besar gaya F , serta reaksi yang timbul pada ujung sendi kiri. Lihat Gambar 3.22 untuk penjelasan.
GAM B.A Q 3 22 Si'i t<'m Ca y a, Soal 3 9
S oal 3.10: Gambar 3.23 memperlihatkan suatu
sistem balok kaku dengan berat sendiri W yang dianggap bekerja pada tengah p anj ang, dengan ujung kiri yang ditahan dengan sendi yang mulus tanpa gesekan, sementara ujung lainnya ditahan dengan gaya F yang dikerjakan ortogonal dengan sumbu aksial batang. Dengan cara analitis, hitunglah besar gaya F serta reaksi dalam pada sendi ujung kiri.
. ..
GAMBAR 3 . 23 Sistem Gaya, Soal 3. 1 0
4
Pe m ode l a n Stru ktur
4. 1 U M U M Sistem struktur terdiri dari titik-titik bermateri yang saling menyamb�mg dan akhimya membentuk suatu kesatuan. Tentu saja, sistem struktur mengambil bentuk dalam tata ruang, sesuai dengan kesinambungan topologi dari antar titik bermateri yang membentuk sistem tersebut. Sistem struktur dapat merupakan sistem yang sederhana atau bahkan kompleks, baik dalam bentuk maupun dari sifat fisis, yang jika diikuti secara tepat, akan sulit dianalisis sebab tidak cukup sederhana. Sebagai contoh, hubungan antara balok, pelat dan kolom yang masing-masing memiliki ukuran sendiri-sendiri, tidak memiliki suatu titik tunggal sebagai titik pertemuan. Demikian juga halnya dengan ujung komponen (misalnya kolom) yang ditumpu sebagai perletakan. Hal yang sama juga kita hadapi dalam aspek kontak antara beban luar dan sistem, yang dapat merupakan bidang kontak yang cukup kompleks. Dengan alasan tersebut, kita akan cukup sulit untuk menentukan model yang cukup sederhana yang dapat mewakili struktur sebenamya, kecuali jika diambil beberapa pendekatan atau asumsi/pemisalan. Sebagai contoh, balok dan kolom dianggap sebagai garis pada garis berat, sehingga pertemuan kolom dan balok menjadi suatu titik tunggal perpotongan antara garis berat kedua komponen.
Bab ini bertujuan untuk membahas aspek pemodelan sistem struktur atas suatu model diskrit yang terdiri atas komponen batang-batang yang saling disambungkan pada titik pertemuan. Sifat titik pertemuan didiktekan oleh cara pembuatannya (sambungan mekanis) atau oleh tuntutan dari sifat gaya luar yang bekerja. Pemodelan mencakup bahasan diskritisasi sistem struktur dan pemodelan gaya-gaya luar. Dengan demikian, tingkat pemahaman dan kemahiran dalam modelisasi sistem struktur sangat bermanfaat untuk dapat merepresentasikan problem struktur yang dihadapi secara cukup teliti, namun masih sederhana.
4.2 M O D E L D I S K R IT STR U KT U R Pada hakekatnya, sistem struktur merupakan sistem yang terdiri dari titik bermateri yang tersusun secara menerus atau berkesinambungan. Dengan demikian, terdapat tak terhingga
Mf K A !\. I KA T F K N I K STATI Ki\ D-\1 /\ M A NAUSIS STRUKTL'R F[Rlllc:--. T U K RAN G K !\
34
tampang atau penampang sebagai lokasi dimana gaya-gaya reaksi perlu dihitung. Namun, demi kesederhanaan dan kehematan perhitungan, analisis d ap at digunakan dehgan menggunakan suatu model diskrit yang dipilih untuk merepresentasikan sistem yang sebenarnya. Model diskrit sistem struktur berbentuk rangka adalah suatu model yang diperoleh dengan membagi sistem atas beberapa bagian batang yang satu sama lain dihubungkan oleh titik simpul (node). Titik simpul ini dapat diambil pada titik pertemuan, pada lokasi loncatan geometri, pada lokasi bekerjanya beban terpusat, dan pada perletakan. Dengan cara ini, sistem menjadi terbagi atas bagian kecil yang dinamakan elemen atau batang, berupa segmen lurus atau lengkung yang dibatasi dua titik simpul sebagai ujung. Pada masing-masing tampang titik ujung batang bekerja gaya-gaya reaksi yang dapat dipandang berpasangan dengan gaya yang dikerjakan oleh batang pada titik simpul yang bersangkutan. Gaya-gaya yang dikerjakan oleh ujung-ujung batang yang bertemu pada suatu titik simpul, secara total bekerja pada titik simpul tersebut. Kriteria keseimbangan yang diterapkan atas semua batang dan semua titik simpul yang ada, menghasilkan persamaan yang dapat disusun sebagai sistem persamaan simultan dan lalu diselesaikan untuk menentukan besamya gaya-gaya reaksi. Ada suatu sifat khusus elemen batang, yaitu fakta bahwa sekali gaya-gaya reaksi ujung telah dihitung, gaya reaksi pada suatu penampang dalam batang dapat dihitung cukup dengan menerapkan statika saja. Dengan demikian, pengambilan jumlah titik simpul dapat diusahakan seminimum mungkin. Untuk jelasnya, tinjaulah suatu sistem struktur berupa balok menerus seperti dalam Gambar 4.1. Model diskrit dapat disusun dengan mengambil semua perletakan sebagai titik simpul. Sambungan sendi S dapat juga diambil sebagai titik simpul, sehingga digunakan tiga elemen, yaitu AB, BS, dan SC. Karena titik D sebagai lokasi bekerjanya gaya terpusat P1 tidak dimbil sebagai titik simpul, dikatakan bahwa pada elemen AB bekerja beban lokal (atau beban elemen), yaitu beban yang bekerja dalam elemen (antara dua ujung A dan B). Juga, elemen SC mempunyai gaya P2 yang bekerja sebagai beban elemen di titik E.
--- lJ
E --
E
-
- -
- - - ·
- -
ls-
13
-
- -- = ---=-=n -
__ · --
) .;
- --�
-
- -� 1 -�� - - - ·
elemen A R
r- - - --1_
� --' '--- ,
j
t=
�----::::3
-- -
elemen BS
- - :---1
(a) stru Uur
(b) ti tik simpul
(c) elemen dan titik simpul
elemen se
GAMBAR Ll . l D1skritisasi Sistem
Sebagai contoh berikutnya, tinjaulah suatu sistem struktur berupa portal seperti dalam Gambar 4.2. Dalam hal ini, titik perletakan A dan ujung bebas D harus diambil sebagai titik simpul sebagai batas dari sistem. Kemudian, titik B dan C sebagai lokasi loncatan geometri (patahan) diambil sebagai titik simpul. Dengan demikian, sistem struktur dimodel atas elemen batang segmen lurus AB, BC, dan CD. Gaya P menjadi beban lokal atau beban elemen di atas elemen BC, dan gaya V pada B dan H pada D menjadi gaya titik simpul.
35
•
(a) sistl'm
•
711(
J �. ci eme-n !lC
,\ F)
D
A
I
t> i t'f11c'l1
L-
I___:::
___
GAMBAR 4 2 Dtskntis.Jsi rort<�l
Sebagai rangkuman, pemodelan diskrit sistem struktur memberikan beberapa kemWlgkinan sebagai berikut.
a.
Dengan p engambilan sistem atas beberapa elemen, diperoleh kemungkinan untuk menghitWlg reaksi dalam pada potongan di titik simpul, termasuk reaksi perletakan.
b.
Pengambilan titik sambWlg sebagai titik simpul, diperoleh segmen/ elemen dengan bentuk yang lebih sederhana dan dapat diisolir dan ditinjau secara terpisah.
c.
Peninjauan elemen demi elemen, serta titik simpul demi titik simpul, dapat menghasilkan suatu analisis yang jauh lebih praktis dan sederhana, daripada analisis struktur keseluruhan.
4.3 TATA S U M B LJ LOKA L DAf'J G LO B .t� L Pemodelan sistem atas model diskrit yang terdiri atas elemen dan titik simpul, memWlgkinkan pengaturan proses analisis yang dilaksanakan secara bertahap, yaitu tahap elemen atau bagian sistem, dan tahap keseluruhan struktur. Dalam tahap elemen, proses analisis dilakukan dengan menyatakan besaran elemen, seperti perpindahan dan gaya, yang lebih mudah dan praktis jika menggunakan sistem tata sumbu yang khusus digunakan Wltuk elemen itu sendiri. Tata sumbu elemen yang bersifat lokal ini dinamakan tata sumbu lokal. Jadi, masing
masing elemen memiliki tata sumbu lokal sendiri. Tata sumbu lokal diambil dengan terlebih dahulu menetapkan ujWlg pertama dan kedua. Setelah itu, sumbu
X
lokal diambil berimpit
dengan poros aksial yang mengarah dari titik ujWlg pertama ke ujWlg yang kedua. Sumbu lainnya diatur berikutnya, sedemikian hingga menuruti aturan tangan kanan seperti dalam bahasan Pasal
3.2.
Dalam tahap struktur, diperlukan satu tata sumbu yang bersifat global, terhadap mana besaran komponen gaya dikaitkan. Sewaktu perjumlahan komponen gaya struktural dilakukan, gaya-gaya elemen yang d inyatakan dalam tata sumbu lokal, dirotasikan dahulu sesuai dengan orientasi tata sumbu lokal elemen terhadap tata sumbu global.
36
MEKANIKA TEKNIK- STI\TIKA [)1\L/\M ANI\ USIS STRUKTL R BERBEN fU K RI\!\JC K!\
y
B
-
- ,. � .
c
'Elemen
(a) -
X
D
� A
B
BC
B
c
CD
c
D
AB
--
z
l :_
.l
-
X
�
=vrz.
:,
z
(b) GAMBAR 4 . 3 Tata Sumbu Lokal d a n Globd l
Sebagai contoh, tinjaulah sistem struktur seperti dalam Gambar 4.2 yang kembali digambarkan dalam Gambar 4.3. Sistem rangka ini dibagi atas elemen AB, BC, dan CD dengan titik A, B, dan C sebagai titik ujung pertama untuk masing-masing elemen tersebut. Informasi ini dapat diberikan dengan menyajikan suatu daftar yang memuat elemen-elemen dengan masing-masing titik pertama dan titik kedua yang bersangkutan. Ini dinamakan insidens elemen (element incidences) seperti dalam Gambar 4.3a. Cara lain yang dapat digunakan untuk memberikan informasi ini adalah batang menurut urutan titik yang secara implisit menjabarkan mana titik pertama dan kedua. Sebagai contoh, sebut elemen "CD" secara implisit menyatakan bahwa titik C adalah titik pertama yang menjadi awal dari tata sumbu lokal elemen ini. Dengan demikian, sumbu lokal untuk ketiga elemen terlihat dalam Gambar 4.3b. Hubungan tata sumbu lokal elemen ke-i dengan tata sumbu global dikaitkan dengan sudut ai, yaitu sudut apit yang diukur dari sumbu X positif ke sumbu xi positif dengan arah putaran positif (yaitu dari X ke Y, putaran dengan arah vektorial pada sumbu Z positif). Kaitan tersebut dinyatakan dalam hubungan transformasional (rotasi) yang mengambil bentuk sebagai
lx; l rl y,
:,
J
=
eo:; -
sm
0
a,
a,
sin a,
cos
0
a1
O]jxlYJ 0 0
z
(4. 1 )
yang dalam notasi matriks dinyatakan dalam
l x, l = [R,] IX}
[((l
(4.2)
o l x,
Di lain pihak, dapat dituliskan hubungan sebaliknya dalam rumus
I
z
I
=
ft
"In '' ()
- s in a ; cos a ,
()
�
h: l r
(4.3 )
37
yang dinyatakan secara simbolis dalam bentuk matriks sebagai lXI
= [r)
(4 .4)
l-')
Matriks rotasional [R;] dan [r;] dalam Persamaan (4.2) dan (4.4) memiliki suatu hubungan khusus, yaitu bahwa (4.5)
[R,J r�r (�j = [Rf =
=
l,;J l
= [1\;l
( 4 .6)
I
yang dinamakan sifat kontragredien (contra-gredience) dari matriks transformasi.
4 . 4 D E S K R I PS I K O M PON E N GAYA DALAM Tinjaulah suatu batang sebagai bagian dari suatu sistem struktur yang menerima beban luar. Akibat beban luar, akan timbul gaya dalam yang bertugas untuk menyalurkan beban luar ke perletakan. Pada suatu potongan, muncul suatu gaya yang bekerja pada penampang seperti dalam Gambar 4.4. Gaya tersebut digambarkan sebagai gaya terpusat dengan arah yang membentuk sudut tertentu terhadap permukaan penampang, pada titik tangkap berjarak tertentu dari titik pusat/berat penampang. Sebelum melanjutkan pembahasan, sesuatu yang penting untuk diketahui adalah tentang apa yang sebenamya terjadi pada suatu penampang, yaitu bahwa deformasi akan menimbulkan gaya terdistribusi pada penampang. Hubungan antara deformasi dan gaya terdistribusi pada penampang, kelak akan dipelajari dalam bahasan lanjut (dalam mekanika bahan). Dalam statika, kita cukup bekerja dengan analisis, di mana gaya terpusat (lumpedforce) seperti yang digambarkan dalam Gambar 4.4 merupakan resultanta dari gaya terdistribusi pada penampang. G aya penampang ini dapat digantikan oleh beberapa gaya yang bekerja terhadap penampang, yang diatur sebagai berikut.
(a) Ambillah penampang yang tegak lurus terhadap sumbu aksial batang. Sumbu aksial batang ini dapat berupa garis lurus (dalam kasus batang lurus), atau lengkung (dalam kasus batang pelengkung), namun yang jelas bahwa penampang diambil tegak lurus sumbu aksial batang.
tltik berat penampan
;;::;:;:;:;:;:!1
- - - - - ----
�� e
----- - - - -
1
titik tangkap gaya
(a)
(b)
(c)
r
M I' KJ\.NlK.\ TEKNJK · STATIKA UM.AM AN1\ I !SIS Sl RU KT U R HI::R I:lENTCK R.\ NC�.A
38
(b)
Pengaruh gaya dalam penampang, secara identik dapat diwakili oleh tiga gaya, yaitu komponen gaya yang searah sumbu aksial dan melalui titik pusat penampang yang dinamakan gaya normal
N,
gaya yang bekerja pada penampang Gadi tegak lurus sumbu
aksial batang) yang dinamakan gaya lintang Q, dan momen akibat pemindahan gaya nor mal dari titik tangkap semula, ke titik berat penampang. Dalam ilustrasi Gambar 4.4, gaya F yang bekerja pada titik tangkap sejarak e dari titik berat tampang dan dengan sudut 1/J dari garis normal penampang, dapat diwakili oleh gaya normal
N,
lintang Q , dan momen M dalam hubungan
\.2
=
1\11 =
F sm o
(4.7)
(J c o s o ;(e J
Untuk seterusnya, kita akan bekerja dengan ketiga gaya dalam setiap penampang yang diminati.
N, Q ,
dan
M
ini pada
Dalam paparan sebelumnya, telah dijelaskan bahwa suatu sistem struktur dapat dimodel
atas beberapa segmen atau elemen batang (lurus satu lengkung) yang dibatasi oleh titik simpul.
Jika kita tinjau suatu batang, kedua titik ujung batang juga merupakan penampang yang umumnya akan bekerja gaya-gaya. Gaya yang bekerja dinamakan
gaya-gaya ujung.
4.5 BATAN G , P E RTE M U A N , TITI K S I M P U L, DAN P E R LETAKAN B ata ng adalah sebagian dari keseluruhan struktur yang dibatasi oleh dua titik ujung, yang disambungkan dengan batang-batang lainnya untuk membentuk sistem struktur keseluruhan. Secara umum, pada kedua titik ujung dapat bekerja masing-masing tiga gaya, yaitu normal, lintang dan momen.
Sambun g a n, atau sering dinamakan titik buhul, adalah lokasi dimana ujung-ujung batang bertemu dan disambungkan secara monolit, atau secara mekanis. Umumnya, sambungan dapat menyalurkan ketiga jenis gaya dalam.
P erlet ak an adalah lokasi pada mana struktur diletakkan, sebagai pendukung yang
menyalurkan akibat beban luar ke bagian pendukung lainnya, misalnya sistem struktur lain atau tanah. Yang jelas, sistem struktur hanya dapat stabil disebabkan oleh terletaknya struktur tersebut pada bagian pendukung yang stabil. Berikut ini, diberikan beberapa jenis batang, pertemuan, dan perletakan yang sangat penting diketahui dalam proses pemodelan struktur.
(a) Pcrletakan Tergantung dari kondisi bagian pendukung, dan konstruksi perletakan itu sendiri dalam desain, dibedakan beberapa macam perletakan. Tiga yang terpenting di antaranya adalah sebagai berikut.
(i)
]epitan Jenis perletakan ini dapat menyalurkan baik gaya lintang, normal, dan momen. Sebagai contoh, adalah tiang listrik yang ditancapkan mendalam pada tanah keras, pilar jembatan yang didudukkan pada sistem poer yang relatif sangat kaku, dan lain-lain.
(ii) Sendi Jenis perletakan ini dibuat hanya mampu melawan gaya lintang dan normal, dan bebas berputar pada porosnya, hingga tidak mampu menahan momen. Usaha untuk menimbulkan gaya momen pada ujung-ujung batang yang bertemu pada titik sendi, tidak akan dilawan karena sendi akan berputar untuk menetralisir usaha semacam itu.
lll\il 4
l'i MODEl
1\N
Sl
RUKl Ul\
Jepit
Sendi
Rol
39
Normal
Lintang
- - - -
3
Momen
Dua gaya
Satu gaya, arah
..l
rol
t
�
� :::l � - =4
(iiz) Rol
Je nis perletaka n ini d iatur se h ingga ha nya mampu me na ha n sat u kompo ne n gaya, ya itu gaya ya ng te gak lurus ter hadap ara h per geraka n rol. Gaya ya ng bekerja seara h rol t idak akan d ita ha n, sebab ada nya gaya sepert i itu aka n me nyebabka n rol berputar, da n t it ik perletaka n ber geser. I ni serin g d igu naka n dalam struktur jembata n, u ntuk membebaska n per geraka n ak ibat perpa nja nga n gela gar ak ib at ke na ika n s uhu atau de formas i elast is.
Ko nstruks i ya ng jelas da n ri nci dar i ket iga je nis perletakan t idak aka n d isaj ika n d i s ini, namu n, gambar s imbol dalam pemodela n struktur d iberika n dalam Tabel 4 . 1 . ( iJ ) S a m lnmgan Sambu nga n ya ng d ilakukan secara meka nis, atau d ibuat mo nol it, d iba gi menur ut kelompok berdasarka n kemampua nnya u nt uk me nya lurka n gaya a ntar bata ng ya ng bertemu.
(i)
Sambungan Kaku Je nis sambu nga n i ni dapat me nyalurka n keti ga kompone n gaya, normal, linta ng dan mome n.
(ii) Sambungan Sendi Je nis sambu ngan ini t idak dapat me nyalurka n mome n. Kem un gk ina n ada nya uju ng bata ng ya ng bem iat untuk me nyalurka n mome n, berakibat berputamya uju ng batan g pada se nd i, sedem ik ia n h ingga kemu ngk ina n m uncul nya mome n d ia nul ir.
(iii) Sambungan Rol
Je nis sambu nga n semacam i ni ha nya mampu me nyalurka n gaya ya ng te gak lurus b ida ng ko ntak a ntara kompo ne n.
Dapat d itamba hka n, bahwa sekal ipu n sambun ga n mampu untuk me nyalurka n mome n, aka n tetap'i dapat d ihadap i ko nd is i ba hwa beba n luar bekerja sedem ik ia n h ingga t idak me nga gitas i mu nculnya mome n pada sambu nga n. Jad i, dalam kasus i ni, sambur. ga n kaku berper ilaku m ir ip seb a ga i se nd i.
40 (c)
Ba tang
(i)
Batang Balok-Kolom Jenis batang ini dapat mengerahkan perlawanan ketiga reaksi, baik normal, lintang maupun momen.
Batang dapat dikelompokkan berdasarkan kemampuannya untuk mengerahkan gaya dahun, dalam menjalankan fungsinya. Beberapa jenis batang diberikan dalam sajian berikut.
(ii) Balok Jenis ini merupakan jenis balok kolom, namun dengan gaya aksial yang absen. Jadi, umum nya balok menahan momen dan lintang. (iii) Pendel Jenis ini merupakan elemen batang yang hanya berfungsi mengerahkan perlawanan terhadap gaya aksial tarik ataupun tekan. (iv) Batang Tarik Jenis ini, sering dikenal sebagai kabel, merupakan batang yang hanya mampu menahan gaya aksial tarik saja. Dapat ditambahkan, kondisi beban yang bekerja atau jenis sambungan pada ujung batang, akan menentukan apakah gaya yang dipikul menjadi lengkap atau tidak. Sekalipnn batang mampu untuk memikul ketiga jenis gaya dalam, akan tetapi jika kedua ujungnya merupakan sambungan sendi, dan tidak ada gaya lateral yang bekerja pada batang, maka batang akan berperilaku sebagai batang pendel. Dengan demikian, selain berdasarkan atas kemampuan batang dalam menyalurkan gaya dalam, maka kondisi pembebanan dan sistem sambungan juga dapat dijadikan dasar untuk menetapkan jenis dari batang tersebut. (d) Titik Simp u l
Titik simpul (node) adalah titik pertemuan yang diambil sebagai titik temu antara batang, dalam konsep pemodelan struktur. Titik simpul dapat merupakan penampang monolit, perletakan, sambungan, atau penampang monolit sebagai titik loncatan geometri struktur atau bahkan suatu penampang fiktif yang diambil pada lokasi tertentu di sepanjang sumbu aksial batang. Sebagai contoh, tinjaulah suatu sistem struktur yang terdiri atas balok tunggal yang ditumpu sedemikian hingga mempunyai bagian overhang, seperti dalam Gambar 4.5. Titik perletakan sendi A dan rol C diambil sebagai titik simpul karena A sebagai ujung balok merupakan batas struktur, dan pada titik C terjadi loncatan gaya dengan adanya reaksi rol. Titik D sebagai ujung batas struktur juga harus diambil sebagai titik simpul. p
�- - - - - - - - - --- - - - - -
! IB
I I I I '
E
_
c
a
p
D
'
'
'
GAMBAR 4.5 1 i tik Si mpul Dalam Modt-1 Disknt
BAll 4
!'EM OD FLAN
S rRU KTUR
41
Titik B sebagai patahan/loncatan geometri diambil sebagai titik simpul. Dengan pengambilan ini, ada 3 elemen batang lurus atau berbentuk sederhana, yaitu bagian AB, BC dan CD. Titik E sebagai titik tangkap beban terpusat, juga dapat diambil sebagai titik simpul. Dalam hal ini, tentu saja jumlah segmen bertambah menjadi empat, yaitu AB, B E . EC dan CD. Pengambilan titik tangkap gaya luar terpusat sebagai titik simpul tambahan �cialam oahasan di atas, titik E), mempunyai makna khusus yang taktis, sebab di tempat secamam ini, terjadi diskontinuitas gaya-gaya dalam, seperti bahasan Pasal 6.6 dalam Gambar 6.17. Singkatnya, titik simpul sebagai pertemuan antara segmen atau elemen, dapat berupa titik pertemuan nyata antara batang yang secara mekanis disambnngkan, ujnng perletakan, ujung bebas, titik tangkap gaya luar terpusat, atau bahkan penampang fiktif semb aran g yang diminati.
4.6 P E M O D E LA N GAYA LUAR Konsiderasi mengenai gaya-gaya luar merupakan hal yang tidak sederhana. Dalam terapan, kemungkinan dapat dihadapi problem pembebanan yang sederhana, hingga kasus yang cukup kompleks. Namun, untuk kelengkapan pembahasan, aspek konsiderasi gaya luar akan diberikan dalam uraian berikut ini, sekalipun hanya ditinjau dari sudut pandangan praktis. Ditinjau dari caranya mempengaruhi sistem struktur, dibedakan dua macam gaya luar, yaitu gaya yang bekerja pada permukaan sistem sebagai bidang kontak (gaya traksi permukaan, atau surface tractions), dan gaya yang menangkap secara tersebar pada titik-titik bermateri sistem (gaya badan, atau body forces). Ini telah dijelaskan dalam Pasal 1 . 1 . Sebagai contoh, desakan angin pada permukaan bangunan gedung, desakan air pada dinding struktur dam, termasuk kelompok gaya traksi permukaan. Gaya gempa, berat sendiri (bobot sendiri) sistem merupakan contoh dari gaya badan. Ditinjau dari segi letak bekerja (titik tangkap) dan besar (intensitas), dibedakan antara- gaya tetap dan berubah. Gaya luar dengan letak titik tangkap berbeda, dinamakan gaya bergerak. Sebagai contoh, beban keran yang berpindah sepanjang gelagar, beban kendaraan mobil di atas lantai jembatan, dan lain semacamnya termasuk beban bergerak. Beban dengan intensitas berubah termasuk gaya tidak tetap. Jika perubahan dari intensitas gaya bervariasi serta berkarakteristik menurut waktu, maka dihadapi gaya dinamis. Jika perubahan intensitas berjalan cukup perlahan sedemikian hingga pengaruh waktu tidak dominan, dihadapi gaya statis. Beban statis yang mempunyai intensitas maksimum yang berlawanan, dinamakan beban bertukar. Sekarang kita merinci gaya statis secara lebih mendalam. Gaya dengan intensitas tetap, termasuk kategori gaya statis. Sebagai contoh, balok yang dicor dan mengeras di tempat pembuatan, lalu diangkat ke posisi yang diinginkan, memikul berat sendiri yang setelah diangkat, merupakan gaya luar yang tetap serta yang bekerja secara segera (instant). Demikian juga misalnya dengan komponen baja profil yang dipasang di tempatnya, akan memikul berat sendiri secara segera. Namnn, ada komponen gaya luar yang dikerjakan meningkat dari nol ke nilai maksimumnya, secara perlahan. Gaya luar semacam ini dinamakan gaya monotonik. Jika terdapat beberapa komponen gaya yang dikerjakan secara monotonis atas suatu sistem, namun dengan rasio satu sama lain yang konstan, dihadapi kasus pembebanan proporsional. Dalam terapan, sering dilakukan suatu praktek yang memperlakukan beban bergerak sebagai gaya statis dengan titik tangkap yang bervariasi. Efek yang ditimbulkan oleh pergerakan gaya diperhitungkan dengan mengalikan intensitas gaya dengan suatu faktor perbesaran yang dinamakan faktor kejut. Dalam hal ini, analisis dilakukan sebagaimana lazimnya kasus statis, dengan hasil yang nantinya diperkalikan dengan faktor kejut. Dalam praktek, proses dilakukan lebih praktis dengan mengalikan intensitas gaya dengan faktor kejut.
r
42 4 . 6 . 1 Kl asifikasi Be b a n
Dalam Bab 1 telah dijelaskan bahwa suatu sistem struktur perlu direncanakan mampu memikul beban dan/ atau pengaruh luar yang mungkin bekerja, disamping bobot sendiri struktur itu sendiri. Besar (intensitas) serta cara bekerjanya beban luar yang harus ditinjau, diatur dalam peraturan yang khusus telah disusun untuk keperluan perencanaan. Sebagai contoh, untuk bangunan gedung, beban yang perlu ditinjau dibagi atas dua macam, yaitu beban tetap dan beban sementara. Beban tetap dibagi atas beban mati dan beban hidup. Beban mati mencakup bobot sendiri sistem struktur, serta bagian lain yang bekerja secara tetap, misalnya coran lantai/ubin di setiap lantai tingkat. Beban hidup mencakup beban manfaat yang bergerak/berpindah, misalnya beban/ bobot penghuni, perabotan dan lain-lain semacarnnya. Beban sementara mencakup desakan dan hisapan angin, gempa dan lain-lain. Selain itu perlu juga ditinjau beban-beban khusus yang mungkin timbul, misalnya pengaruh getaran mesin-mesin, hantaman barang lontaran angin puting beliung (tornado), dan lain-lain. Pola dan intensitas pembebanan untuk gedung-gedung diatur dalam peraturan khusus untuk muatan gedung. Jenis struktur lain-lainnya tentu saja memiliki peraturan pembebanan tersendiri, misalnya peraturan jembatan jalan raya, kereta api dan lain-lain. Sampai dengan tingkat intensitas gaya tertentu, serta batasan kondisi struktur bagunan tertentu, beban-beban dinamis dapat diwakili dengan beban statis ekivalen, yaitu beban pengganti yang bersifat statis, dengan pengaruh yang kira-kira dapat mewakili pengaruh dari beban dinamis yang sebenamya. Namun, untuk membatasi diri, dalam buku ini hanya dibahas beban yang bersifat statis saja. Kasus-kasus pembebanan yang lebih kompleks dapat dipelajari dalam buku-buku referensi yang ada. 4.6 . 2 Represenlasi G avo l_u a r Stotis Sebelumnya telah dijelaskan bahwa menurut caranya berhubungan/kontak dengan sistem struktur, gaya luar dapat dikelolll.pokkan atas gaya traksi permukaan, dan gaya badan. Gaya badan sendiri, sering dapat diwakili dengan gaya traksi permukaan ekivalen, dengan hasil analisis yang masih cukup teliti dan andal. Misalnya, bobot sendiri pelat atau balok dapat diwakili sebagai gaya traksi permukaan yang bekerja secara lateral di atas komponen tersebut. Menurut ekstensi bidang kontak antara gaya luar dengan struktur, gaya luar dapat dibagi atas gaya terpusat (concentrated loads) dan gaya terdistribusi (distributed loads). Sebagai contoh, beban tekanan ban mobil di atas aspal jalan, atau tekanan roda gerbong kereta di atas rel, dapat dipandang sebagai gaya terpusat terhadap lapisan perkerasan jalan atau balas rel kereta. Berat sendiri balok, pelat, atau tekanan air pada sisi dam, dapat dirnodel sebagai gaya luar terdistribusi. Gaya terdistribusi dapat berupa gaya merata penuh, merata sebagian, linier penuh atau sebagian, atau menurut suatu bentuk fungsi tertentu (kuadratis, kubis, dan lain-lain). 4.6.3 C o ntoh Pen1odela 1l Gaya Luar Sebagai contoh bagaimana suatu kasus pembebanan atas struktur tertentu, disederhanakan sebagai suatu model analitis, ditinjau beberapa kasus sebagai berikut. Pertama, tinjaulah suatu papan titian berukuran b x h yang menghubungkan tepi parit selebar L, atas mana seseorang berbobot W sedang berdiri di atas papan sejarak a dari tepi kiri. Papan memiliki bobot r per satuan volume. Untuk orang tersebut, jika telapak kaki atau sepatu dapat dianggap kecil dibandingkan dengan ukuran papan (lebar dan tinggi) dan bentang parit, bobot W dapat dirnodel sebagai beban terpusat sejarak a dari ujung balok. Untuk bobot sendiri papan, maka jika lebar papan b dianggap kecil dibattdingkan dengan bentang L, maka bobot tersebut dapat diwakili dengan beban merata sebesar q = y x b x h yang dihitung persatuan panjang titian. Lihat Gambar 4.6 sebagai penjelasan.
BAB 4
PEMODELAN
43
STRUKTUR
/'
if
(a) sistem
J•
.k
---
(b) model
-
1'----- a ------,1
m
xid n t
•.J\.t
l
1.tr
ll • •I
q = "f,/
Ill
yH (If 't ru kiu r
t
-.AMBAf
(b) model
l't•nwdi'lan G
\a
Ltur T I .t
,,
Atr
44
MEKANIKA TEKN!K: STAT!KA UAlAM ANAUS!S STRUKTUR BERBENTUK RANCKA
Contoh berikutnya adalah dinding penahan air setinggi H dari dasar. Dinding setebal t dengan panjang yang relatif sangat besar dibandingkan dengan ukuran H dan t, dimodel sebagai sistem yang terbuat dari dinding per satuan panjang. Untuk berat sendiri dinding, diperoleh q = yd x t x 1 per satuan tinggi dinding dan bekerja vertikal dan aksial terhadap dinding. Tekanan air pada permukaan dinding setinggi y dari dasar, menjadi Pz (y) = Yw x 1 x (H - y), yang jika digambarkan pada model struktur sebagai balok kantilever, memberikan suatu model diskrit seperti dalam Gambar 4.7b. 4.6.4 Ko nsep Gay a T erku m p u l
Dalam proses analisis struktur, sering dihadapi kasus dimana demi kesederhanaan, gaya luar yang terdistribusi dapat dikumpulkan (lumped) sebagai gaya terpusat ekivalen; dalam arti, gaya terdistribusi diwakili oleh gaya terpusat yang menangkap pada titik tertentu. Khususnya, konsep ini sering dimanfaatkan dalam proses peninjauan keseimbangan sistem struktur, misalnya dalam menentukan reaksi perletakan. Untuk menerangkan konsep ini, pandanglah suatu balok yang memikul gaya lateral terdistribusi dengan intensitas q(x) pada domain a � x � b seperti dalam Gambar 4.8. Gaya luar terdistribusi ini ingin digantikan dengan suatu gaya terpusat pengganti, yaitu gaya P yang memiliki besar yang sama dengan total gaya terdistribusi dalam domain tersebut; namun, dengan momen yang sama terhadap titik tertentu, misalnya ke titik 0.
p
0
x=n
x=b
�------ x
� dX
GAMBAR <1 . 8 Konsep Goyil Terkumpul
Besar gaya lateral pada segmen dx dalam hal ini menjadi
dP a �
Yang jika diintegrasikan untuk domain P
=
=
q(x) dx
x
�
I dP
=
(4.8)
b, memberikan l
I
q(x) dx
(4.9 )
Selanjutnya, momen akibat gaya dP terhadap suatu titik (dalam hal ini, diambil terhadap titik awal 0), adalah dM =
dP x ·
=
q (x)
x
·
dx
(4.10)
n \6 4
PI .'v\O l l lcl .:\1\. c; r
RU::Tl'l�
45
yang jika diintegrasikan, memberikan (4 . 1 1 )
Jika gaya terkumpul (lumped) P bekerja pada suatu titik sejarak x0 dari titik awal, maka untuk dapat menggantikan beban terdistribusi menjadi gaya terkumpul ekivalen, haruslah \1
sehingga x0
=
I'
(4.12)
M/P, yang oleh Persamaan (4.9) dan (4.1 1 ) menjadi
I\
Menurut matematika, Persamaan (4.13) menyatakan bahwa x0 adalah merupakan absis dari titik berat dari fungsi q(x) dalam domain yang bersangkutan. Berdasarkan uraian di atas, maka untuk peninjauan keseimbangan kita dapat mewakili gaya terdistribusi dengan suatu gaya terpusat ekivalen, dengan catatan bahwa:
(1) gaya terpusat mempunyai besar sama dengan total gaya terdistribusi yang digantikan, dan (2) gaya terpusat pengganti tersebut bertitik tangkap pada titik berat bidang fungsi gaya terdistribusi.
4 . 7 P E RJ A N J IAN TA N DA U N T U K GAYA
Untuk keseragaman, arah gaya yang bekerja dapat diketahui dari tanda yang dipunyai. Ini dapat diperoleh dengan menggunakan konvensi atau perjanjian tanda. ( a ) Perja11jiall Tamla w r tttk C a y a Ti tik. ':l l lllp T l l, fJcl i c ttl k. , l l l d t u z C a y a Luar
Besaran-besaran ini umumnya dinyatakan dalam tata sumbu global struktur. Gaya yang positif adalah arah vektorial sesuai dengan arah sumbu X, Y, dan Z positif. Lihat Gambar 4.9 untuk penjelasannya. Dalam gambar ini yang sebetulnya adalah struktur dalam Gambar 4.5, struktur dimodel atas tiga elemen AB, BC, dan CD yang dibatasi titik simpul A, B, C, dan D. Dengan demikian, gaya V menjadi beban elemen, dan M dan P menjadi gaya simpul. Gaya simpul M pada titik simpul B, bertanda positif, karena arah vektorialnya searah dengan sumbu z positif. Gaya simpul P pada titik simpul D perlu diuraikan atas komponen searah sumbu global. Komponen horisontal P cos a bernilai positif karena searah sumbu X positif, komponen vertikal P sin a bernilai positif karena searah sumbu Y positif. Dalam model diskrit, ujung-ujung batang akan memberikan gaya pada titik simpul. Dalam Gambar 4.9, diberikan gaya titik simpul pada titik simpul B, C, dan D akibat ujung batang AB, BC, dan CD. Pada Gambar 4.9 tersebut, digambarkan gaya reaksi perletakan A dan C yang positif, yaitu yang searah sumbu global positif . ( b ) Perfanjian Ta nda zm tuk Gaya Ujzmg, Gaya Da lam, da11 G a ya Luar Eleme11
Gaya-gaya yang berkaitan dengan elemen, yaitu gaya ujung, gaya dalam, dan beban luar yang bekerja pada elemen (bukan titik simpul), diberi tanda yang dikaitkan dengan tata sumbu
r
\lEI<. \ \J I KA HKNIK.
46
STAnK,\ DAL\\1 1\'-i ..\ : '�15 STRUKTUR llFRRFNTUK 1{/\''.; \ , K,\
r �m '
1
• ,/i • -�--"/rl '--"r-. " r
\1
�
/I
1 1
J------
t t u L tu r
----� I -
' n ,,
)
---,.
lb! model d isknl
�
11
L B,AR
(' I'J•' Jl
1
l a nda l J n t u k
G�\·,1 Tit 1 k S i m r u l , Pnlet,1 k .1 n . d.1n C .1 '. ,1 Luar T'dda S1mpul
V z
- -- - -- - -- - -- - -- - - - -- - -- - -- - -- - -- -
CI> c) �� x
GAM BAq Ll 1 0 Pe q<�nJtan f.mda L ntuk Caya Ujung dan Uebdn Elemen
lokal elemen bersangkutan. Untuk jelasnya, ambillah elemen BC dari Gambar 4.9 sebagai contoh. Dengan mengambil titik B sebagai titik pertama, sumbu
x, y,
z lokal menjadi seperti dalam
Gambar 4.10. Beban terpusat V bemilai negatif karena mengarah ke sumbu
y
negatif. Pada
ujung 1 (titik B) dan ujung 2 (titik C) digambarkan gaya-gaya ujung yang bernilai positif. Untuk gaya dalam, suatu perjanjian tanda yang bersifat khusus diberikan, yang berbeda dari perjanjian tanda untuk gaya-gaya ujung. Sebagai contoh, gaya aksial titik 1 dan gaya aksial titik 2 yang menurut perjanjian tanda yang khusus untuk gaya ujung, bemilai positif, tetapi
BAil 4
I 'F�10UEI i\1\:
ST RL'KTUR
47
GAMBAR 4 l l Perjanj i ,ln Cava Dalam
memberikan efek yang berbeda terhadap batang (yang di titik
1
menekan, di titik 2 menarik
batang). Untuk gaya dalam, pasangan gaya dalam yang memberikan efek sama terhadap elemen, diberi tanda yang sama. Untuk itu, kita mendefinisikan tarnpang yang positif dan negatif dari suatu batang. Tampang
positif adalah potongan yang mempunyai sumbu
x
positif sebagai normal, dan sebaliknya.
Untuk tampang positif, gaya dalam positif adalah normal yang memberikan tarikan pada elemen,
lintang yang memutarkan batang menurut putaran dengan arah vektorial pada sumbu z positif, dan momen yang memutarkan batang sesuai sumbu z positif.
Untuk tampang yang negatif, gaya dalam yang positif adalah gaya dalam dengan arah yang menuruti aturan aksi-reaksi pada potongan. Dengan mengatur seperti ini, dalam Gambar
4.11 ditemukan pasangan gaya dalam yang positif serta yang memberikan aksi/efek sama terhadap segmen batang (lihat segmen 1-11 dalam gambar). Dengan mengikuti konvensi gaya dalam seperti ini, terlihat bahwa pada ujung 2, gaya dalam positif dan gaya ujung positif, sama arah, sedangkan pada ujurig 1, saling berbalikan arah. Jelasnya, untuk gaya dalam elemen, kenalilah mana ujung 1 dan ujung 2 (sesuai dengan pilihan kita), sehingga kita dapat menggambarkan tata sumbu lokal, sesuai bahasan Pasal 4.3. Lalu, gaya normal
p ositif
j ika
cenderung
menarik batang. Lintang berusaha memutarkan batang sesuai putaran searah sumbu z lokal. momen adalah yang memberi efek menekan sumbu/
serat tepi atas batang. Lihat Gambar
4.12 untuk penjelasan. Perjanjian tanda yang digunakan lazimnya dengan menggunakan tata sumbu global, sering agak menyulit kan, karena mana serat atas-bawah, kiri-kanan,
untuk
menentukan
momen dalam yang positif, menjadi rancu; misalnya, jika dihadapi kasus balok miring. Dengan perj anjian tanda menurut tata sumbu lokal,
segmen balok
/
Q+ II �
M+
-�---
-----� \
- - -:-� 'i Q +
serat tebn
: )M + j C't=-·-'·:.· .:... ----:_-=-i ser�t
tarik
gaya lintang positif
momen lentur positif
GAMBAR 4 . 1 2 Caya-gaya Dalam Positit
akan lebih jelas, tentunya setelah tata sumbu lokal ditetapkan berdasarkan yang mana titik ujung pertama dan kedua, yang perlu ditetapkan terlebih dahulu. Konsep semacam ini sangat menolong khususnya dalam analisis dengan metoda matriks dalam Bab 10.
\1EKANIKA HKI" I K
48
STI\TIK \ U;\ L II M
A N II I I':ih
ST R u KT U R fJFRKF"JTUK K \ M . K A
4.8 J E N I S E LE M E N DAN GAYA U J U N G
Berdasarkan bahasan mengenai penggolongan jenis segmen batang dalam Pasal 4.5, dengan perjanjian tanda gaya-gaya ujung dalam Pasal 4.7, maka berikut ini diberikan daftar penggolongan jenis elemen lengkap dengan gaya-gaya ujung positif dan gaya-gaya luar yang mungkin bekerja pada elemen. Penyajian hanya diberikan untuk kasus struktur bidang (dua dimensi).
(a) Elemen B a lok·-Ko lo 111 Jenis elemen ini mempunyai 3 komponen gaya ujung untuk setiap titik ujung, yaitu momen, lintang, dan normal. Dengan demikian untuk setiap elemen jenis balok-kolom, dipunyai 6 komponen gaya ujung, dengan 3 persamaan keseimbangan. Gaya-gaya luar yang bekerja dapat merupakan gaya lateral maupun aksial. (b)
Eleme11 B a l o k Jenis elemen ini mempunyai 2 komponen gaya ujung untuk setiap titik ujung, yaitu momen dan lintang. Dengan demikian, untuk setiap elemen jenis balok, dipunyai 4 komponen gaya ujung, dengan 2 persamaan keseimbangan. Gaya-gaya luar yang bekerja hanya merupakan gaya lateral. (c)
Elemeu Pendel
Jenis elemen ini mempunyai 1 komponen gaya ujung untuk setiap titik ujung, yaitu aksial saja. Dengan demikian, untuk setiap elemen jenis pendel, dipunyai 2 komponen gaya ujung, dengan 1 persamaan keseimbangan. Gaya-gaya luar yang bekerja hanya merupakan gaya aksial.
(d) Uemen Tarik Jenis elemen ini hanya mempunyai 1 komponen gaya ujung, yaitu gaya ujung tarik normal. Untuk jenis elemen ini, tidak ada lagi persamaan keseimbangan yang dapat dituliskan, karena elemen secara individual sudah dalam keseimbangan. Elemen ini tidak mempunyai gaya luar elemen. Jenis elemen beserta gaya-gaya ujung positif serta kemungkinan gaya luar diberikan dalam Tabel 4.2.
lABEL 4.2
)em" Flemen, Ga y ,1 Li tM,
d <1 n
! umlah
Knmpurwn
)=JIIII j --,
7
)=-111ff� f-
Tarik
< ;ava Ujung Serta
l'ers a m a an
Kesei mbangil n
6
3
4
2
2
1
1
0
BAFl 4
l'I'MODELAN STRUKTUR
49
Berikut ini diberikan pernbahasan rnengenai penggolongan/jenis sistern struktur berbentuk rangka, lengkap dengan peninjauan ketidaktentuan statis untuk jenis sistem yang berkaitan.
4.9 B E B E RAPA J E N I S STR U KT U R B E R B E N T U K RANG KA Penggolongan jenis struktur berbentuk rangka dapat dilakukan atas sifat sarnbungan yang bersifat kaku, dinarnakan rangka kaku, sedangkan yang digabungkan dengan sarnbungan bersifat sendi, dinarnakan rangka sendi, atau rangka sederhana. Sistern rangka kaku yang diletakkan secara kolinier (segaris), dinarnakan sistern struktur balok. Struktur balok yang hanya terdiri atas satu batang yang diletakkan atas ujung sendi dan rol, dinarnakan balok sederhana.
4. 1 0 , P E N E NTUAN DE RAJ AT KETI DAKTE NTUAN STATIS Statika adalah konsep analisis yang bertujuan untuk rnenghitung gaya-gaya reaksi sistern struktur berdasarkan kriteria keseirnbangan saja. Dalarn proses ini, dapat dihadapi beberapa kernungkinan sebagai berikut.
(a )
Jurnlah kornponen gaya-gaya tidak diketahui, sarna dengan jurnlah persarnaan keseirnbangan yang bebas. Dikatakan, struktur adalah statis tentu. Statika cukup untuk digunakan dalarn analisis penentuan gaya-gaya.
(b)
Jurnlah kornponen gaya lebih besar dari jurnlah persarnaan keseimbangan yang tersedia. Dalarn hal ini, statika tidak cukup untuk rnenentukan sernua kornponen gaya. Persarnaan yang kurang dapat ditarnbah dengan rnenggunakan kriteria deforrnasi untuk rnendapatkan persarnaan tarnbahan.
(c)
Jurnlah kornponen gaya lebih kecil dari jurnlah persarnaan yang tersedia. Dalarn kasus ini, dihadapi sistern struktur yang labil, atau yang hanya stabil untuk kondisi pernbebanan tertentu. Untuk kasus struktur yang sederhana, penentuan ketidaktentuan statis dapat dilakukan
secara konsepsional sebagai berikut.
(a ) (b) (c)
Pertarna, tetapkan model diskrit struktur, dan atas dasar itu, tetapkan jurnlah titik simpul
j dan jurnlah elernen m, serta jurnlah kornponen gaya dan persarnaan yang ada.
Periksa jurnlah kornponen perletakan dengan gaya reaksi yang tidak diketahui, yaitu yang
rnernberikan reaksi yang tidak diketahui yang dinyatakan dengan r.
Periksa juga apa ada sendi dalarn yang rnengurangi satu kornponen gaya dalarn (yaitu rnornen); ini dinyatakan dengan h.
(d) Berdasarkan langkah di atas, tetapkan jurnlah persarnaan keseimbangan e dan jurnlah kornponen gaya f rnenurut rumus ,. = 1 1
f
=
11,
111 ·
111
+ 11
+
a_h
1
·
r -
;
(a)
!1
(4.14)
( b)
jurnlah persarnan keseimb �gan per titik sirnpul, dan n1 serta n rnasing dim� a nj adal e m asmg adalah JUrnlah kornponen gaya dan Jurnlah persarnaan kesirnbangan per elernen, seperti dalarn Tabel (e)
4.2.
Kernudian, hitung selisih dari f dan. e yang dinyatakan dalarn notasi s sebagai berikut s =
(f)
f-
e =
(n1 - n,.)
·
m
-
n1
·
j
+
r -
!1
Berdasarkan nilai dari s, rnaka dihadapi kernungkinan kasus sebagai berikut.
(1)
Jika
s < 0,
struktur adalah sistern labil
(4. 15)
M EKANIKA HXN!K: STAT I KA DAlAM ANAI .lSfS STRUKTUR 13ERilENTUK R,\ NCKA
50 (2) Jika s (i) (i)
2:
0, struktur adalah sistem stabil, dan
Jika Jika
s =
s >
\I
0, sistem adalah statis tentu 0, sistem adalah statis tidak tentu orde
s.
4. 1 1 CO NTO H PE N E RAPAN Untuk memberikan pengertian serta pemahaman yang lebih mendalam mengenai pokok pokok bahasan pemodelan struktur dalam bab ini, berikutnya disajikan beberapa contoh penerapan sebagai latihan. CONTOH 4. 1 : Seseorang dengan bobot W berjalan di atas titian yang melintasi parit selebar L. Tanah di sebelah kiri cukup kasar sementara tanah di seberang sangat licin. Buatlah suatu model diskrit untuk model ini, serta tentukan jenis elemen dan jenis perletakan yang dapat digunakan dalam proses analisis. Lihat Gambar 4.13 sebagai penjelasan.
�,.
(11) struktur
I\
(b) model struktur
(c) model elemen
GAMBAR 4 . 1 3 Struktur Con toh 4 . 1
Penyelesa i a n Bobot orang sebesar W bekerja tegak lurus sumbu aksial batang yang berkedudukan horisontal. Gaya W bersifat beban gravitasional serta bekerja secara lateral terhadap balok titian. Dengan demikian, umumnya akan terjadi reaksi dalam berupa gaya lintang dan momen lentur. Ujung A secara umum akan mendapatkan reaksi tanah berupa gaya vertikal dan gesekan horisontal sehingga ujung tersebut dapat dimodel sebagai perletakan sendi. Di lain pihak, ujung B hanya akan mendapatkan reaksi vertikal karena tanah di bawahnya cukup licin, sehingga ujung tersebut dapat dimodel sebagai perletakan rol. Struktur dengan demikian dapat dimodel sebagai balok sederhana.
BAB -4 PEMODELAN STRUKTUR
51
Jika kita memodel struktur atas satu elemen saja, maka dapat digunakan elemen balok kolom seperti dalam gambar (c). Dengan demikian kita memperoleh jumlah elemen m = 1, jumlah titik simpul j = 2, reaksi perletakan r = 3 (yaitu, reaksi horisontal dan vertikal di A, dan vertikal di B). Jumlah persamaan keseimbangan menurut Persamaan (4.14a) menjadi e = 3 x 1 + 3 x 2 = 9, sementara jumlah komponen reaksi diberikan oleh Persamaan (4.14b) sebesar f = 6 x 1 + 3 - 0 = 9 (tidak ada sendi dalam). Struktur adalah statis tentu dan dapat dianalisis dengan cara statika C O NTOH 4 . 2: Struktur tiang listrik yang dipancangkan vertikal dengan tinggi H seperti dalam Gambar 4.14, perlu dimodel untuk dapat dianalisis. Tetapkan jenis elemen yang digunakan, serta tentukan derajat ketidaktentuan statis sistem struktur .
•
,\
(n)
s t r u ktur
(b) <,rc.tem s trukl
I I
I
Q
__c;::=]====2� ::=l· -+11
(c) model eleml'n
GAMBAR 4 . 1 4 Struktur Contoh 4 2
Pe nye l esa ian Pada prakteknya, untuk merentangkan kabel diperlukan gaya tarik tertentu sedemikian hingga berat sendiri kabel juga dapat dipikul. Dengan demikian, tiang listrik AB sebagai suatu sistem cirian yang dapat mewakili semua tiang, pada umurnnya akan memikul gaya tarikan kabel, yang dalam gambar dinyatakan dengan ski dan ska yang dalam contoh ini dimisalkan diketahui. Gaya-gaya ini memiliki komponen horisontal dan vertikal yang masing-masing bersifat lateral dan aksial terhadap tiang. Kestabilan sistem struktur tergantung sepenuhnya kepada jepitan tanah pada ujung A. Jika ini terjamin, maka struktur sebagai kolom terjepit pada satu ujung seperti dalam gambar b dapat digunakan, dengan model elemen dari jenis balok-kolom seperti dalam gambar c. Dengan demikian, untuk struktur ini dipunyai Jumlah elemen m = 1, titik simpul j = 2, reaksi perletakan r = 3 (berupa momen, li.ntang dan aks1al di ujung A) dan h = 0 (tidak ada sendi dalam). Menurut Persamaan (4.14), e = 3 x 1 + 3 x 2 = 9, danf = 6 x 1 + 3 - 0 = 9, sehingga struktur adalah statis tentu serta dapat dianalisis dengan cara statika. C O N TOH 4 . 3 : Dalam Contoh 4.1 yang sudah dimodel dengan balok tunggal, andaikan ternyata bentang L cukup besar sehingga balok titian diperkuat dengan skoring yang ditambahkan di bawah balok titian. Hubungan dilakukan sederhana dengan baut. Modellah sistem struktur tersebut, dan tentukan jenis elemen yang digunakan.
Penye l esa ian Karena ujung-ujung A, B, C, dan D untuk segmen AD, CD, dan BD tidak dapat menahan momen, dan atas ketiga segmen ini tidak bekerja gaya luar yang langsung dan lateral terhadap sumbu aksial, maka segmen AD, CD, dan BD dapat dimodel dengan elemen pendel.
r
M L K A :'\J I K A T I, K N I K
52
STAl iKA
l!t\1 Nv1
,\ N AIJSI� S fl
"----- a .1
(a)
struktur
(b) model
-truktur
(c)
elemen
.!
l
N, "� r, N1 --o-----....c:-- N z
w n i s elemen u n tu k
segmen /\C, fl C
jenis
m o d el
elenwn un tuk A D , CU, d an llU
segmen
G.A M BAR 4 1 5 Struktur Contoh 4 3
Gaya aksial elemen pendel AD dan BD memiliki komponen horisontal yang memberikan gaya aksial untuk segmen AC dan CB, Gaya aksial pendel CD, serta komponen vertikal gaya pendel AD dan BD, serta gaya luar bekerja secara lateral terhadap balok Dengan demikian, segmen balok AC dan CB dapat dimodel dengan elemen balok-kolom, Dapat dilihat bahwa kita menggunakan campuran jenis elemen untuk sistem struktur ini, Ini hanya menimbulkan sedikit kerumitan dalam proses penentuan ketidaktentuan statis struktur, sepab masing-masing jenis elemen memiliki jumlah komponen reaksi dan jumlah persamaan keseimbangan tersendiri. Dengan memperhatikan hal di atas, diperoleh jumlah persamaan keseimbangan sebesar e 2 + 1 x 3 + 3 x 3 + 2 x 1 = 20, jumlah komponen reaksi sebesar f = 6 x 2 + 2 x 3 + 3 0 = 21, sehingga s = 21 - 20 = 1, yang menyatakan bahwa struktur adalah statis tidak tentu orde pertama. Dengan perkataan lain penerapan cara statika saja tidak cukup untuk dapat menentukan komponen-komponen reaksi yang ada. Dalam hal ini diperlukan satu persamaan tambahan yang dapat dikerahkan dari peninjauan kriteria perpindahan, yang berada di luar lingkup pembahasan buku ini, =
3
x
4. 1 2 RA N G K U M A N
53
�u i�t�:i:���?��;j�t��9iri�:.� . ;��;f:;f -��:�� ::��j��;��� . . . . �P,WJ 1� ��� ;
�Jl:
Bttfg���
{2}
.
...
.
\!
; .. (1) ···�u�ai Jirtgkah· (3), mhl<�. �ci;g�n, �efi\e�iks�k�p�sita��'titki ��it�\�ithpui dalam ..
···•·•
trtep.eruskah "reaksi dalamJ D:u:lkil segmen batahg yang dibatasi dua titik sim.bul dengan jenis elemen yang sesuai.
pei�l;i:�an dapat dimodel
��; fflliii����iii�
.• ·
)
(7) •
· . .
· · ·
.
·
TerttutJlruah derajaf ketrd�ktentliart statis siSt� struktur. Jika· sisteni adalah stAtiS ·. t�n�W
m�� p�C?se� peri�tt��·:gaya;,gaya �ehl
car� statika;
'
·
·
.,\��ittm������"i���t��r0�����::i�\.
··
GAMBAR 4.17
SEND! (Surnbangan Bp. Damos Sihombing)
5. 1 U M U M Beberapa bukum dasar dan kriteria yang penting dikuasai dalam statika, telah disajikan dalam Bab 2, yang diikuti oleh bahasan Bab 3 mengenai konsep-konsep dasar sistem gaya. Pemodelan struktur beserta hal-hal yang perlu diketahui dalam peninjauan dan analisis secara metodik dari sistem struktur, juga telah dipaparkan dalam Bab 4. Namun tidak bisa dipungkiri, untuk pembaca yang pertama kalinya dibawa ke dalam wahana mekanika teknik, diperlukan pendalaman penghayatan problem dunia nyata, sebelum nantinya mendapatkan pengertian yang cukup serta dasar yang kuat dalam memberikan kesiapan menghadapi masalah statika yang lebih sistematis. Bab ini sengaja disajikan untuk memberikan bekal kesiapan tersebut, di mana kita akan melakukan analisis beberapa sistem struktur yang sering dihadapi dalam kehidupan sehari hari.
5.2 BOLA PADA LANTAI RATA DAN LICIN Suatu bola bulat sempuma dengan berat W berada dalam keadaan diam di atas lantai datar dan licin. Ingin ditentukan besar gaya interaksi antara bola dan lantai. Anggaplah bahwa berat bola terkumpul atau terpusat, serta terletak pada titik pusatnya. Untuk ini, kita "memisahkan" lantai dan bola, sehingga gaya interaksi muncul, yang sementara digambarkan seperti dalam Gambar 5.lb. Kita belum dapat menentukan arah reaksi interaksi ini, tetapi yang jelas adalah menurut hukum aksi-reaksi Newton, kedua gaya mempunyai garis kerja yang sama, besar sama, tetapi arah berlawanan. Karena struktur dinyatakan berada dalam keadaan diam, ini berarti bahwa sistem berada dalam keadaan seimbang. Sekarang, isolirlah badan bebas bola, dan kriteria keseimbangan gaya di arah vertikal mengharuskan bahwa -W- N = 0
(5.1)
N =-W
(5.2)
yang menghasilkan
MEKANIKA TEKNIK STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
56
y
y
0
/#/J;,ffffl
X,
(b)
(a)
GAMBAR 5. 1 Sistern Bola dan Lantai Licin
Dari Persamaan (5.2) terlihat bahwa nilai mutlak (besar) dari N sama dengan W, tanda negatif di depan W menandakan bahwa arah gaya yang kita ambil sembarang semula terbalik dari arah sesungguhnya. Kita dapat mengoreksi arah N, atau tetap membiarkan demikian, namun dalam analisis lanjut (jika ada), tanda negatif tetap digunakan. Lantai yang licin tidak memberikan komponen gaya interaksi di arah garis singgung bola pada titik kontak dengan lantai. Dengan demikian, keseimbangan gaya diarah sumbu X otomatis terpenuhi.
5.3 TANGGA BERSANDAR PADA DINDING LICI N DAN LANTAI KASAR Suatu sistem tangga dengan berat W yang dianggap bekerja di titik tengah panjang L, disandarkan pada dinding dan berdiri di atas lantai kasar dengan koefisien gesek p. Ingin ditentukan berapa sudut kemiringan tangga pada saatnya akan tergelincir. Lihat Gambar 5.2a. Karena dinding licin, pada titik A hanya ada gaya interaksi dinding-tangga di arah tegak lurus dinding vertikal, jadi arah horisontal. Garis kerja N ini memotong garis kerja W yang vertikal di titik D. Dengan demikian, dapat dipastikan bahwa garis kerja interaksi tangga-lantai N
N
A
F
w
Fsiny
B kasar
(a) sistern
(b) badan bebas
(c) poligon gaya
GAMBAR 5.2 Sistern Tangga, Dinding Licin, dan Lantai Kasar
BABSANAUS5PENDAHULUAN
57
yaitu gaya F akan melalui titik D juga. Lihat badan bebas (b) dan poligon gaya (c). Dengan demikian, keseimbangan momen badan bebas otomatis terpenuhi. Tinggal sekarang menentukan hubungan a. dengan koefisien friksi J..llantai. Keseimbangan horizontal dan vertikal memberikan N- F coz r = 0
-W + F sin r = 0
(5.3)
Dari badan bebas terlihat bahwa tan r= sehingga, karena
2 tan a
(5.4)
.u =tan r
diperoleh
a= arctan
(5.5)
(i)
(5.6)
Gaya W dan N diperoleh dari Persamaan (5.3) dan (5.5) sebesar F = N
__;::L sm r
w =-
= w
.U
5.4 KABEL GANTUNGAN
.u
� .u2
+1
(5. 7)
Kabel lunak dengan berat yang dapat diabaikan, digunakan menahan massa seberat W dengan konfigurasi seperti Gambar 5.3. Kabel dalam keadaan terikat pada hubungan A. Ingin dihitung besar gaya tarik pada kabel AB dan AC. Keseimbangan badan bebas titik simpul A memberikan
-Sl
LF,
=
0�
cos
a.+
Lf y
=
0 � -51 sin
a+
52 cos {3 = 0
52 sin {3- W
=
0
B
w
w
(b) keseimbangan badan bebas
(a) sistem
w
(c) poligon gaya GAMBAR 5.3 Kabel Gantungan
(5.8)
58
MEKANIKA TEKNIK STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
yang jika diselesaikan memberikan
cos f3 w sin a cos f3 + sin f3 cos a cos a W sin a cos f3 + sin f3 cos a
(5.9)
Dari solusi dalam Persamaan (5.9) terlihat bahwa nilai adan f3 tidak dapat bemilai negatif, karena jika demikian, nilai 51 dan 52 menjadi negatif. Artinya, reaksi tali menjadi gaya aksial tekan yang tidak dapat dipikul oleh kabel lunak semacam ini. 5.5 TITI PENYE BERANGAN Seorang bemama Dadang dengan berat badan W berjalan di atas titian sebentang L dengan cukup lambat, karena lantai di kedua tumpuan titi cukup licin. Hitunglah reaksi interaksi antara titi dan masing-masing lantai, pada saat orang tersebut sudah berada sejarak dari ujung A. Lihat Gambar 5.4 untuk penjelasan.
a
Karena lantai licin, hanya timbul gaya interaksi vertikal, yaitu RA dan R8 pada A dan B . Keseimbangan gaya memberikan (lihat Gambar 5.4b)
LM8 = 0
�
-RA
L + W(L - a)
·
=
0 (5.10)
yang jika diselesaikan, menghasilkan
�_
f/IDO
__
!w
a
RA
RB
= L
= _.£!._ W L
(L-a)
c
lw
lA I
-
-
�a
l3
-- -- --
W (5. 11)
-�
(a) sistem
I
.!J..�":.·
G
-.
·
:-
I
-
l/IWD
·
-·
.
•• •
•
I
rr-----::-:-o....-� .- · -:.---� .. ...._______,....-.;._ . ._--I.B
.:::R:: G2:::=��:_ A
I
---
(b) badan bebas
I �
- - - - •• _.,.·
� garis kerja A
R
· ·
·
I
I
G;
I
h.... garis
D
I
kerja W
� garis kerja R8 0
GAJIBAR 5.4 Titian Penyeberangan
(c) poligon gaya
BAB
5
59
ANALISIS PENDAHULUAN
Gambar 5.4c memberikan peyelesaian grafis. Pertama, gambarkanlah W dengan garis kerja vertikat dan arah serta besar yang betul. Kemudian, pilihlah titik 0 sembarang dan tarik garis DO dan FO. Setelah itu, tentukanlah titik sembarang G1 pada garis kerja W. Melalui G1 ditarik garis !//DO yang memotong garis kerja RA di G2, dan garis l//WO yang memotong garis kerja R8 di G3• Tariklah garis !3 melalui G2, dan G3• Melalui titik 0 pada gambar (c), tarik garis sejajar dengan !3 dan memotong W di titik E. Segmen FE memberikan arah dan besar reaksi R8, dan segmen EO memberikan arah dan besar reaksi RA . 5.6 KAB E L T I M BA A R I
Parlin setiap pagi menimba air sumur, degan mengatur sistem timba air seperti dalam Gambar 5.5. Kabel cukup lunak dan berat sendiri diabaikan. Berat air dan timba adalah W. Ingin diketahui, berapa besar gaya pada gantungan roda yang harus dipikut dan berapa gaya tarik yang perlu dikerahkan Parlin setiap kali dia menimba. Roda cukup licin tanpa gesekan. Karena roda licin tanpa gesekan, maka gaya tarik dalam kabel di mana-mana sama, yaitu S, sebesar s
=
w
(5.1 2)
w
w
(b) badan bebas
(c) timba GAMBAR 5.5 Kabel Timba Air
Keseimbangan badan bebas roda atas mengharuskan dan pada roda bawah
R1 R2
=
=
2W
(5.13)
-JW2
(5.14)
sedangkan Parlin harus menarik tali sebesar gaya W. Dengan demikian, kabel timba harus direncanakan mampu menahan gaya tarik sebesar 1 W; tall gantungan atas harus mampu menahan gaya sebesar 2W. 5.7 RANGKUMAN
60
MEKANIKA TEKNIK STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
.............. . .... .
••••
··········
·•·········
r
················· · · •···•·······•·········· .
• :: "
...
··················•············
'"'•""
.......·.
} ..
/
Y
(
r
1� . 1 I > ::
••••.•.•.
•<<.c· ••••••••
6. 1
U M U M
Sistem struktur balok merupakan sistem yang diletakkan horisontal dan yang terutama diperuntukkan memikul beban lateral, yaitu beban yang bekerja tegak lurus sumbu aksial batang. Beban semacam ini khususnya muncul sebagai beban gravitasi, seperti misalnya bobot sendiri, beban hidup vertikal, beban keran (crane) dan lain lain. Contoh sistem balok dapat dikemukakan antara lain, balok lantai gedung, gelagar jembatan, balok penyangga keran, dan sebagainya. Dalam menjalankan fungsinya, balok meneruskan pengaruh beban gravitasi ke perletakan terutama dengan mengandalkan aksi lentur, yang berkaitan dengan gaya berupa momen lentur dan geser. Kalaupun timbul aksi normal, itu terutama ditimbulkan oleh beban luar yang relatif kecil, misalnya akibat gaya gesek rem kendaraan pada gelagar jembatan, atau misalnya akibat perletakan yang dibuat miring. Beberapa jenis struktur yang termasuk sistem balok, antara lain balok sederhana, balok kantilever, dan balok menerus atas beberapa perletakan, disajikan dalam bab ini. 6.2 KETIDAKTENTUAN STATIS SISTE M STRUKTUR BALOK
Tadi diterangkan bahwa struktur balok kemungkinan juga dapat menerima gaya aksial, akibat gaya traksi di arah aksial batang, akibat perletakan miring, atau akibat orientasi balok yang berkedudukan miring antara sesamanya. Dengan demikian, dalam memeriksa ketidaktentuan statis sistem struktur balok, kita terlebih dahulu menurunkan rumus perhitungan ketidaktentuan statis struktur rangka kaku. Setelah itu, ketidaktentuan statis sistem struktur balok kolinier (dengan semua batang terletak segaris) yang merupakan kasus khusus sistem rangka kaku, akan ditinjau tersendiri. Untuk itu tinjaulah suatu struktur rangka kaku bidang seperti dalam Gambar 6.1, yang diwakili oleh model diskrit dengan jumlah m elemen, j titik simpul, h sendi dalam, dan r
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
62
kekangan. Untuk setiap elernen, ada 6 kornponen gaya dan 3 persarnaan keseirnbangan. Untuk setiap titik sirnpul, ada 3 persarnaan keseirnbangan, sedangkan gaya-gaya dalarn yang bekerja padanya hanya rnerupakan gaya reaksi dari gaya-gaya ujung elernen yang berternu padanya. Untuk setiap sendi dalarn, berkurang satu kornponen gaya, yaitu rnornen yang bemilai nol. Ini sesuai dengan sifat sendi yang tidak rnerniliki kernarnpuan rnenyalurkan rnornen. Untuk setiap kekangan, rnuncul satu kornponen gaya reaksi. Dengan dernikian, jurnlah persarnaan keseirnbangan yang tersedia rnenjadi e=3 m + 3 j
(6.1 )
sedangkan jurnlah kornponen gaya yang ada adalah J=6 m + r - h
(6. 2)
Dengan dernikian, orde ketidaktentuan statis sistern struktur balok rnenjadi s =J - e=3 m - 3 j +r-h
(6.3)
Sebagai contoh, untuk sistern struktur Garnbar 6.1 yang dirnodel dengan 3 elernen (segrnen AC, BC, dan CD) dan 4 titik sirnpul (yaitu A, B, C, dan D) dan E sebagai titik sendi dalarn, diperoleh m =4, j =4, r =6 (dua kekangan di A, tiga di B, dan satu diD), h =1 (sendi dalarn C), rnaka s =3 x 3-3 x 4 +6 -1 =2. Sedangkan, sistern struktur adalah statis tak tentu orde dua. y
E
c
X
3
D
X
titik simpul
'0'
sendi
r. .c:'
perletakan sendi perleta kan ro I
7
(a) model struktur
t /
(b) elemen
•
ry� (c) titik simpul
GAMBAR 6 . 1 Ketidaktentuan Statis Struktur Rangka Kaku
Untuk sistern balok sederhana atau balok rnenerus tanpa gaya aksial atau perletakan rni ring, seperti rnisalnya struktur dalarn Garnbar 6. 2, untuk setiap elernen ada 4 kornponen gaya dengan 2 persarnaan keseirnbangan (keseirnbangan gaya di arah aksial batang otornatis dipenuhi). Untuk setiap titik sirnpul ada 2 persarnaan keseirnbangan, sernentara gaya-gaya yang belurn diketahui rnerupakan reaksi gaya-gaya ujung elernen yang berternu padanya. Dengan dernikian, untuk sistern struktur balok rnenerus yang kolinier (segaris) seperti ini, dipunyai jurnlah kornponen gaya = J 4 m + r-h
(6.4)
yang belurn diketahui dengan jurnlah persarnaan keseirnbangan e=2 m + 2 j
(6.5)
BAB 6 ANAUSIS STRUKTUR BALOK
63
yang tersedia. Orde ketidaktentuan statis struktur balok menerus kolinier menjadi s = f- e
2 m - 2 j +r -h
=
(6.6)
Sebagai contoh, sistem struktur Gambar 6.2 dimodel dengan 2 elemen (segmen AB dan BC) dan 3 titik simpul (A, B, dan C). Dengan 2 reaksi di A dan satu di masing-masing B dan C (reaksi vertikal), dan satu sendi dalam D, maka m = 2, j = 3, r = 4, dan h = 1, sehingga orde ketidaktentuan statis struktur tersebut menjadi s = 2 x 2 - 2 x 3 + 4 - 1 = 1. Dengan demikian, struktur adalah menjadi statis tidak tentu orde pertama. Perlu ditambahkan bahwa, dengan tidak hadimya gaya luar yang searah sumbu aksial batang, maka apakah perletakan B dan C sebagai sendi atau rol, menjadi tidak relevan. Untuk kasus semacam ini, baik sendi ataupun rol, akan berperan sama, yaitu hanya memikul reaksi lateral (tegak lurus terhadap sumbu aksial batang) saja. y
B
A
X
-------
D
1
z
L_ /
(b) elemen
2
(a) struktur
� j� (c) titik simpul
GAMBAR 6.2 Ketidaktentuan Statis Struktur Balok Kolinier Menerus
6.3 ANALISIS BALOK SE DERHANA
Balok sederhana (simple span) merupakan sistem struktur yang terdiri atas balok tunggal yang ditumpu sendi dan rol pada ujung-ujungnya. Tumpuan rol lazimnya dipasang sedemikian hingga arah gerakan rol berimpit dengan sumbu aksial balok; namun, rol dapat juga dipasang dengan kemiringan (skew-support) yang akhimya menimbulkan aksi normal pada sumbu aksial balok. Lihat Gambar 6.3 untuk penjelasan. Akibat beban luar yang bekerja di atas balok, umumnya timbul reaksi perletakan sendi dan rol, yang dalam Gambar 6.3e digambarkan di arah positif sesuai perjanjian tanda yang diuraikan dalam Bab 4. Pada ujung A, sendi mengerahkan dua reaksi, yaitu RAH dan RA V' dan satu reaksi vertikal R 8v di ujung B oleh rol. Sistem struktur dimodel dengan satu elemen, yaitu dengan menerapkan titik sampul 1 dan 2 masing-masing di dekat titik A dan B. Jenis gaya terpusat P yang bekerja di lokasi x = a sesudut a dengan sumbu X, menimbulkan gaya-gaya ujung N1, Q1 dan M1 di ujung 1, dan N2,
r
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
64
z
1-
- x..,_ (a) A B
--- --------� �---L (panjang bentang)
(b)
(e)
GAMBAR 6.3 Sistern Balok Sederhana
Q2, dan M2 di ujung 2. Sesuai Tabel 4.2, untuk jenis balok-kolom seperti ini mempunyai jumlah
komponen gaya elemen, ry = 6, Persamaan keseimbangan elemen ne = 3. Jumlah Persamaan keseimbangan titik sampul n1 = 3. Jumlah elemen m = 1, titik sampul j = 2, dan tidak ada sendi dalam (h = 0). Jumlah reaksi peletakan adalah r = 3. Dengan demikian, menurut Persamaan (4.14) diperoleh berturut-turut e = 3 x 1 + 3 x 2 = 9, dan f = 6 x 1 + 3 - 0 = 9, sehingga s = f - e = 9 - 9 =0, yang menyatakan bahwa struktur adalah statis tentu. Sekarang, kita melakukan analisis struktur dengan proses analisis yang lengkap, yaitu dengan menggunakan semua persamaan yang ada. Pertama, keseimbangan elemen memberikan
LFx = 0 � N1 +N2 + P cos a =0 LFy = 0 � Q1 + Q2 + P sin a =0 LM2 = 0 � M1 + M2 + (P sin a)(a) +(Q2)(L) = 0
(6. 7)
dengan keseimbangan momen dalam Persamaan (6.7c) diambil terhadap titik 1. Kemudian, keseimbangan badan bebas titik simpul 1 memberikan
LFx = 0 � R AH- N1 = 0 LFy = 0 � RA V - Ql = 0 =0 L M2 =0 � -M1
(6.8)
Keseimbangan badan titik simpul 2 memberikan =0 LFx = 0 � -N2 LFy = 0 � -Q2 + R Bv = 0 = 0 LM2 = 0 � -M2
(6.9)
65
BAB 6 ANAUSIS STRUKTUR BALOK
Sistem persamaan yang diperoleh dalam Persamaan (6.7) hingga (6.9) perlu diselesaikan untuk menentukan komponen reaksi gaya ujung elemen N1, Q1, M1, N2, Q2, dan M2 serta komponen perletakan R AH' RAv dan R8v· Solusi sistem persamaan simultan dalam Persamaan (6.8) memberikan Nl =RAH ; Ql = RAV; Ml =0 sementara solusi sistem persamaan simultan dalam Persamaan (6.9) menghasilkan
(6.10)
(6.11)
Hasil dalam Persamaan (6.10) dan (6.11) kemudian dimasukkan ke dalam Persamaan (6.7), sehingga diperoleh RAH + P cos a =0 (6.12) RAv + R8v + P sin a =0 (P sin a)(a) + (R8v)(L) = 0 Bentuk dalam Persamaan (6.12) identik dengan hasil peninjauan badan bebas elemen tunggal AB, seperti dalam Gambar 6.3b, yang diperoleh jika menggunakan kriteria keseimbangan
LFx =0 LFy =0 L M2 =0 (terhadap titik A)
(6.13)
Dengan demikian maka khusus struktur balok tunggal seperti ini, lebih praktis jika dalam statika digunakan badan bebas balok tunggal seperti dalam Gambar 6.3b, untuk mendapatkan besar reaksi perletakan. Sekali reaksi perletakan sudah dihitung, reaksi ujung-ujung elemen akan dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan (6.10) dan (6,11). Ini berarti bahwa perhitungan analisis formal yang menggunakan keseimbangan elemen dan titik simpul secara identik dapat digantikan dengan badan bebas balok tunggal seperti dalam Gambar 6.3b. Perhitungan menjadi lebih praktis dan sederhana. Sekali reaksi perletakan dapat ditetapkan, gaya-gaya ujung dapat dihitung, sekaligus dengan gaya-gaya reaksi dalam pada suatu penampang tertentu yang diminati pada lokasi tertentu pada sumbu aksial batang. Dengan demikian, analisis formal seperti dalam Persamaan (6.7), (6.8), dan (6.9), jarang dilakukan. Dapat ditambahkan, bahwa Persamaan (6.13) dapat digantikan secara identik dengan Persamaan keseimbangan altematif
LFx =0 LMA = 0 LMB = 0
(6.14)
Perhatikan bahwa yang dimaksudkan dengan notasi LMA = 0 adalah keseimbangan kopel/ momen yang diambil terhadap garis yang sejajar sumbu Z (dengan demikian, tegak lurus bidang XY) melalui titik A, disingkat momen terhadap titik A. Formulasi dalam (6.13) dan (6.14) akan memberikan hasil yang sama. Namun, Persamaan (6.13) akan memberikan 3 persamaan yang perlu diselesaikan secara simultan untuk menghitung ketiga reaksi, sementara penerapan (6.14) akan lebih taktis karena baris per baris akan otomatis memberikan RAH' RAV' dan R8v berturut-turut secara terpisah. Konsiderasi pemilihan langkah yang lebih sederhana seperti dalam Persamaan (6.14) ini, sangat memudahkan penyelesaian.
r MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
66 y
F----a ----,!P z
,I
c
B
(a) sistem struktur
------------- � -------
1
Rdti.....E--------------------r R�
-l
�V
1
(b) badan bebas
keseluruhan balok
(c) reaksi dalam pada potongan I - I
GAMBAR 6.4 Balok Sederhana dan Gaya Terpusat
(a) Balok Sederhana dengan Beban Terpusat Sekarang kita akan mulai melakukan analisis balok sederhana dengan beban yang sangat sederhana, berupa gaya terpusat P sejarak a dari ujung sendi seperti dalam Gambar 6.4a. Kita menggunakan badan bebas seperti dalam Gambar 6.4b, dengan keseluruhan balok dicopot dari perletakan, sehingga gaya perletakan muncul pada badan bebas. Penerapan kriteria keseimbangan (6.13) atas badan bebas balok dalam Gambar 6.4b, menghasilkan =0 RAH + + (6.15) p =0 RAV RBV R8v L + P · a =0 ·
yang jika diselesaikan, menghasilkan RAH =0
RAv =- L-a P
L
--
(6.16)
RBv = _ .E... Lp
Di lain pihak, penerapan (6.14) atas badan bebas balok menghasilkan persamaan
=0 =0 R8v · L + P a - P · (L - a) =0 -RAv · L ·
(6.1 7)
67
BAB 6 ANAUSIS STRUKTUR BALOK
yang jika diselesaikan, memberikan hasil sama dengan Bedanya adalah bahwa lebih mudah disolusikan daripada Tanda minus di depan ekspresi RAV' dan R8v dalam menunjukkan bahwa arah sebenarnya berbeda dengan yang kita asumsikan semula. Namun, jika gambar yang sudah ada hendak digunakan, arah reaksi yang sudah diambil semula tak perlu dikoreksi agar kemungkinan untuk melakukan kesalahan atau kekeliruan terhindarkan. secara konsisten dimasukkan dalam bentuk persamaan yang ada. Nilai minus dalam hasil
(6.16).
(6.15).
(6.16)
(6.17)
(6.16)
Perhatikan bahwa persamaan keseimbangan dalam ataupun diperoleh dengan menerapkan kriteria keseimbangan atas sistem atau subsistem struktur dengan geometri dan gaya-gaya yang tergambarkan. Artinya, kita tidak dapat menyusun dan menuliskan persamaan keseimbangan tanpa disertai dengan gambar situasi sistem. Untuk permulaan ini, lakukanlah praktek yang baik seperti ini, dengan sistem dan gaya kita gambarkan terlebih dahulu sebelum menuliskan persamaan keseimbangan.
(6.15)
(6.17)
Sekarang, kita ingin menghitung reaksi dalam pada penampang 1-1 sejauh b dari rol B. lni dapat dilakukan dengan urutan tindakan sebagai berikut. (i) Atas badan bebas balok dengan reaksi perletakan yang sudah dihitung, lakukanlah pemotongan fiktif melalui tampang 1-1 yang membagi dua balok. (ii) Pisahkanlah kedua bagian, lalu pada tiap ujung potongan (muka potongan), digambarkan gaya-gaya dalam momen MI, lintang QI, dan normal NI pada arah positif sesuai perjanjian tanda dalam Bab Perhatikan bahwa pasangan gaya-gaya dalam pada kedua ujung potongan berupa gaya aksi-reaksi. Lihat Gambar (iii) Salah satu dari kedua bagian dapat diisolir sebagai badan bebas dengan kriteria keseimbangan dapat diterapkan. Dalam hal ini, dipilih bagian yang paling sederhana dalam contoh ini, bagian kanan). Penerapan keseimbangan LFx LF dan LM2 yang y diambil terhadap titik tampang 1-1 menghasilkan
4.
6.4c.
= 0,
-QI + Rav -MI + R8v · b
( =0
= 0,
=0 =0 =0
(6.18)
yang jika diselesaikan, memberikan
=0
NI
= Eav Mr = Rav·b (b) Balok Sederhana dengan Beban Merata (Seragam) Qr
(6.19)
Beban seperti ini dapat digunakan untuk mewakili beban hidup lantai, atau bobot sendiri balok. Kasus ini diberikan dalam Gambar Badan bebas balok total ditunjukkan dalam Gambar berikut reaksi perletakan. Sebelum menyusun persamaan keseimbangan badan bebas balok, kita mengetahui bahwa beban terdistribusi dapat diwakili oleh beban terpusat sebesar luas bidang yang dicakup oleh ordinat beban, dan bekerja pada titik berat bidang. Beban merata di atas keseluruhan balok pada Gambar bemilai total dan bekerja di tengah bentang Penerapan Persamaan atas badan bebas ini memberikan
6.5a.
6.5b,
L.
(6.14)
6.5b
=0 =0 �RAH (q·L)( � ) +R8v ·L=O LMA =0 � =0 L,M8 =0 �-RAv ·L- (q·L)( �)
qL
LFx
(6.20)
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
68
l_l
R�
q� B f f f f f f f f f f f f f f f f f f -f fj X � _
_
_
_
_
�
_
_
_
_
�------L--------� qL
wt _
t RAv
f _ t t_ t f_ f f_ t � t t f t t ! t ! t I
t
_j
RBv t
(a) sistem struktur
(b) badan bebas balok
(c) potongan
�---- ·F·------,f---- fL------>�
GAMBAR 6.5 Balok Sederhana dan Beban Merata
yang jika disolusikan, menghasilkan
RAH RAv
RBv
= =- 21 qL =- t qL
(6.21)
Terlihat bahwa kedua perletakan membagi dua beban total balok, sama besar. Sekarang, ingin diketahui gaya dalam potongan tengah bentang. Dengan menerapkan kriteria keseimbangan dan LM2 (terhadap titik penampang 1-1) atas badan bebas sebelah kanan Lfx Lf y dalam Gambar 6.5c, berurutan memberikan
= 0,
= 0,
=0
= QI = MI = --81 qL Balok Sederhana dengan Beban Terdistribusi NI
2
(c)
(6.22)
Sebenamya, dalam praktek dapat dihadapi kasus beban terdistribusi dengan bentuk yang menuruti fungsi tertentu, misalnya polinomial orde n. Beban merata dan linier merupakan keadaan khusus yang sering dihadapi. Juga dapat dihadapi beban terdistribusi setempat, atau penuh di atas bentang balok. Begitu banyak variasi kasus yang dapat dihadapi, maka dalam ulasan ini hanya disajikan beban segitiga dengan intensitas
{.!._
q q(x) = aL-x0 -L---a q0
0$x$a untuk a $ x $ L untuk
(6.23)
- _, 69
BAB 6 ANAUSIS STRUKTUR BALOK
y
(b) badan bebas balok
(c) potongan
GAMBAR 6.6 Balok Sederhana dan Beban Segitiga
seperti dalam Gambar 6.6. Prosedur perhitungan dalam kasus ini serupa dengan kasus sebelumnya, namun berbeda dalam kerumitan saja akibat bentuk beban. Beban segitiga dapat diwakili oleh beban terpusat yang bekerja pada titik berat (dalam kasus segitiga, dalam rumus t- t bentang), yaitu (sesuai Pasal 4.6.4)
(6.24)
Penerapan Persamaan {6.13) atas badan bebas Gambar 6.6b memberikan
RAH
RAv + RBV
+ Qa
RBv·L + Qa
(�)
+ Qb + Qb a + L 3 a
(
)
= = =
0 0 0
{6.25)
yang jika diselesaikan, menghasilkan
� (2L- a) R8v = - � (L + a)
RAH
=
0
RAv = -
(6.26)
dengan bentuk dalam Persamaan {6.24) telah digunakan. Sekarang, ingin dihitung gaya dalam pada tarnpang sejarak b dari A. Jika b :5: a, penggunaan badan bebas sebelah kiri dalam Gambar
70
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
lebih mudah untuk diterapkan. Penerapan persamaan terhadap titik A memberikan
6.6c
+ QI +QC MI + QI ·b +Qc ( 2;)
RAV dengan solusi
I.Fx = 0, I.FY = 0, dan I.Mz = 0 =0 =0
(6.27)
(6.28) Keadaan khusus untuk
a = b = t L, diperoleh NI = 0 QI = 0 MI =- IT1 qo L
(6.29)
2
6.4 ANA LISIS BALOK KANTI LEVER
Kantilever merupakan sistem balok tunggal yang dijepit pada <>atu ujung, dan bebas pada ujung lainnya. Dengan demikian, struktur mengandalkan stabilitas sepenuhnya pada ujung jepitan. Struktur semacam ini dapat dijumpai pada penerapan sehari-hari, mulai dari tiang jemuran, tiang listrik, dinding penahan tanah yang terjepit tanpa penopang, dan lain sebagainya. Beberapa kasus beban luar disajikan dalam pasal ini. Sistem kantilever diberikan dalam Gambar Pada ujung terjepit bekerja tiga gaya, yaitu normal, lintang, dan momen, dengan persamaan keseimbangan
3 I.Fx = 0 2.Fy = 0 2.M2 = 0
6.7.
(6.30) (terhadap salah satu titik)
sehingga gaya reaksi perletakan dapat ditentukan secara unik. Untuk menghitung reaksi dalam, dapat dilakukan potongan fiktif, lalu ditinjau badan bebas sebelah kanan. Ini akan lebih
3
)l _f---- L z
A
X
" (a) sistern struktur
B
RAH�r-� -- ------------------------. - """3 �= GAMBAR 6.7 Sistern Balok Kantilever
(b) elernen
71
BAB 6 ANALISIS STRUKTUR BALOK
J�-
(- �·? p
1'-----
y:sina
(a) sistem struktur
a ------,1'- (L-a) --.1
A
R:E F� �==�-3B A t � Av-==������c��Pcos a R QI R�:� l-�-NI - ----iBt RAv M1
(b) badan bebas
(c) potongan 1'---b ---+- (a-b)+ (L-a)--.1 GAMBAR 6.8 Kantilever dan Beban Terpusat
seclerhana claripacla menggunakan baclan bebas sebelah kiri yang lebih rumit clengan aclanya reaksi perletakan jepit, meskipun ini clapat saja clilakukan clengan tetap memberikan hasil yang sama.
(a) Kantilever dengan Beban Terpusat
Suatu beban terpusat P yang bertitik tangkap cli titik x = a, clengan kemiringan a bekerja cli atas balok, seperti clalam Gambar 6.8. Baclan bebas balok clitunjukkan clalam Gambar 6.8b, beserta baclan bebas kiri clan kanan yang cliperoleh clengan meninjau suatu potongan 1-I sejarak b clariA. Penerapan kriteria clalam (6.30) atas baclan bebas clalam Gambar 6.8b, clengan titikA sebagai pengambilan momen, memberikan
RAH
RA v MA
+ P cos a + P sin a + (P sin a)(a)
= 0 = 0 = 0
(6.31)
Perhatikan bahwa RAH clan RA V' clan P cos aticlak muncul clalam Persamaan (6.31c), karena ketiga gaya ini ticlak melalui titik A. Dengan ini, cliperoleh persamaan keseimbangan momen yang lebih seclerhana clalam (6.31c). Solusi (6.31) aclalah
RAH = -P cos a RA v = -P sin a MA = -P · a sin a
(6.32)
·
Penentuan reaksi clalam pacla potongan I-1 clitentukan clengan menggunakan baclan bebas
kanan clalam Gambar 6.8c. Penerapan kriteria LFx = 0, L Fy = 0, LMz = 0 terhaclap titik potongan menghasilkan
N1 Q1
= P cos a = P sin a M1 = P(a - b) sin a
(6.33)
Keaclaan khusus ketika P bekerja vertikal ke atas cli ujung bebas B, clapat cliperoleh clengan memasukkan a = clan a = rt/2, sehingga
L
72
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISJS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
(6.34) clan
0
NI = QI =p MI =P(L- b)
(6.35) .
(b) Kantilever dengan Beban Merata
Kasus ini dapat memodel beban bobot sendiri balok, atau beban gravitasi lainnya. Cara' penyelesaian identik dengan kasus beban terpusat di atas. Lihat Gambar untuk penjelasan. Penerapan kriteria dalam dengan titik A sebagai referensi keseimbangan momen, menghasilkan
6.9
(6.30)
0
RAH = RAv =- qL MA = - fqL2
(6.36)
sedangkan peninjauan keseimbangan badan bebas sebelah kanan Gambar
6.9c, menghasilkan
0
NI= QI=q(L- b) MI=fq(L- b) 2
(6.37)
Dalam problem kantilever, terlihat bahwa reaksi dalam suatu potongan dapat dihitung tanpa menentukan reaksi perletakan terlebih dahulu.
l' �
RA MA
RAv
(a) sistem struktur
f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f
J
(b) badan bebas batang
(c) potongan
GAMBAR 6.9 Kantilever Dengan Beban Merata
6.5 ANALISIS BALOK M E NERUS
Pada sistem balok menerus di atas banyak perletakan sering diterapkan untuk menghindari panjang bentang yang terlalu besar. Dengan mengambil perletakan lebih banyak, bentang dapat
73
BAB 6 ANAUSIS STRUKTUR BALOK
dibatasi panjangnya. Akan tetapi, perletakan berjumlah banyak mengundang derajat ketidaktentuan yang tinggi. Ini dapat diatasi dengan memakai hubungan sendi antar ujung segmen batang. Sistem struktur statis tentu lebih disenangi bagi struktur dengan kemungkinan terjadinya penurunan perletakan cukup besar (misalnya struktur jembatan di daerah rawa, dataran rendah bertanah lunak). Kita telah membahas bahwa struktur yang statis tidak tentu, perpindahan dan kekakuan elemen sangat mempengaruhi distribusi gaya dalam. Sistem struktur untuk kasus semacam ini sengaja dibuat statis tentu, untuk mencegah gaya-gaya reaksi ekstra (sekunder) akibat deformasi penurunan. Hal ini akan dibahas dalam mekanika teknik lanjut yang khusus untuk sistem struktur yang statis tidak tentu. Sebagai contoh pertama, tinjaulah suatu sistem balok menerus seperti dalam Gambar Balok di.tumpu pada satu sendi (A) dan dua rol (B dan C). Dengan demikian ada 4 reaksi perletakan (RAw RA V' R 8v, dan Rev), namun hanya ada persamaan keseimbangan.
6.10.
3
Cara pertama untuk menyelesaikan analisis, adalah dengan mengambil badan bebas seperti dalam Gambar yaitu membuka sendi S. Karena kita mengetahui bahwa sendi tidak dapat mengerahkan perlawanan lentur, ujung S untuk badan bebas ABS dan Se hanya memberikan dua gaya tambahan sebagai besaran gaya yang tidak diketahui, yaitu lintang Q5 dan normal N5 dalam contoh ini. Sekarang diperoleh enam gaya reaksi, dengan dua badan bebas. Karena ada persamaan keseimbangan dalam badan bebas ABS, dan persamaan keseimbangan untuk badan bebas se, maka akhimya diperoleh persamaan dengan gaya reaksi yang dapat diselesaikan secara unik.
2
6.10b,
3
3
6
6
Cara kedua yang merupakan cara yang lebih sering diterapkan adalah dengan menggunakan badan bebas total seperti dalam Gambar Dengan cara ini, dihadapi 4 gaya sebagai besaran yang belum diketahui dan perlu dihitung, dengan persamaan keseimbangan. Satu persamaan tambahan adalah dengan meninjau kondisi bahwa momen pada sendi harus nol; ini dapat diterapkan dengan mengambil keseimbangan momen terhadap sendi ini, dengan cukup melihat ke satu bagian saja, yaitu ke kiri (ABS), atau ke kanan (SC) saja. Dengan demikian, ada empat kriteria keseimbangan, yaitu
6.10c.
}
Ilx Ih
�· l
RAH •I
RAv
A E-
l RAv
=0 =0 I,M2 =0 I,M5 = 0 }
PI
1
D
PI
I
D
B X
RBv
j
PI
I
D
-
B Rsv
l
N5
seluruh balok
(6.38) salah satu cabang
1-
p2
s
� :on-
-
C
E
:on-
Js -
3
N5
p2
I
1
2
E
X
�
-
,
(a) struktur
(b) badan bebas
c Rev
c
l Rev
-I
GAMBAR 6. 1 0 Sistem Struktur Balok Menerus
(c) badan bebas keseluruhan balok
...
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
74
z}r
B
Ll
RAH A i RAv
s -
:.15....
L2
" 11
:on" 11
B
-� -
p2
s
iRBv
-
:on-
P--
�
2
t
D " 11
p2
t
E
-
p2
1
E
c X
::Lt-'" 7� c -I
Revi c
�:!
(a) sistem struktur
(b) badan bebas penuh (c) badan bebas sebagian
GAMBAR 6.1 1 Balok Menerus Dengan Beban Pada Bagian Menumpang
Cara ini kita terapkan atas contoh dalam Gambar Penerapan tiga persamaan pertama dalam atas badan bebas dalam Gambar memberikan
(6.38)
6.llb,
6.11.
=0
(6.39) dengan keseimbangan momen diambil terhadap titik A. Penerapan Persamaan bebas dalam Gambar menghasilkan
6.1lc,
(6.38) atas badan (6.40)
Akhimya, penyelesaian Persamaan
(6.38a) dan (6.40) memberikan hasil (6.41)
Gaya reaksi dalam pada tampang dimana saja dapat dihitung setelah terhitungnya semua reaksi perletakan. Sebagai contoh kedua, tinjaulah sistem struktur yang sama dengan yang ada dalam Gambar
6.J 1; namun, sekarang hanya ada gaya P1 yang bekerja pada tengah bentang AB. Lihat Gambar 6.12. Penerapan Persamaan (6.38a) dan (6.38b) berturut-turut atas badan bebas Gambar 6.12b dan 6.12c menghasilkan =0
(6.42) yang jika diselesaikan, memberikan
75
BAB 6 ANAUSIS STRUKTUR BALOK
p2
t
E
L3
c -I
Rcvf c
�:r
(b) badan bebas penuh
(c) badan bebas sebagian
GAMBAR 6. 1 2 Balok Menerus Dengan Beban Pada Bagian Tumpangan
RAH = 0 p RAv = -2l
(6.43)
p RBV = -2l R ev = 0
Hal yang menarik dan patut dicatat, bahwa gaya yang bekerja pada segmen se, menimbulkan reaksi pada bagian ABS. Sebaliknya, gaya yang bekerja pada segmen ABS, tidak menimbulkan reaksi pada segmen SC. Bagian se lazim dinamakan segmen penumpang, dan bagian ABS lazim dinamakan segmen tumpangan. Terlihat bahwa gaya yang bekerja pada segmen tumpangan, hanya akan menimbulkan reaksi pada segmen tumpangan, tetapi tidak pada segmen penumpang. Gaya yang bekerja pada segmen penumpang, umumnya akan menimbulkan reaksi pada seluruh sistem. Segmen tumpangan dengan demikian dapat stabil dan berdiri sendiri, segmen penumpang tidak dapat berdiri sendiri tanpa tumpangan. 6.6 B I DANG GAYA DALAM
Dalam bahasan sebelumnya telah dipaparkan bahwa akibat beban luar, timbul reaksi perletakan. Namun, reaksi perletakan ini tidak muncul dengan sendirinya, tetapi timbul setelah adanya reaksi gaya dalam yang akhimya diteruskan ke perletakan. Khusus untuk sistem balok, reaksi dalam timbul pada setiap tampang atau potongan, dengan nilai yang bervariasi dari penampang yang satu ke penampang berdekatan. Dalam bahasan sebelumnya, secara singkat kita telah melakukan cara penentuan gaya normal, lintang, dan momen lentur sebagai komponen gaya dari balok. Kita telah mampu menghitung komponen gaya dalam pada suatu tampang tertentu yang diminati. Pada lokasi tampang tersebut, kita dapat menggambarkan ordinat nilai gaya-gaya dalam. Sebagai contoh, tinjaulah suatu sistem balok kantilever seperti dalam Gambar dengan beban ujung P yang bekerja dengan kemiringan a. Untuk tampang x= f L, kita dapat menghitung
6.13a
pada tarnpang x = f L, didapat
N1 = + P cos a Q1 = + P sin a PL . M1 = + 4 sm a
(6.44)
r MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
76
N2 = + P cos a Q2 = + P sin a PL M2= + 2 sin a
(6.45)
Selanjutnya, pada tampang x = t L, diperoleh
dan untuk x = 0
N3 = + P cos a Q3 = + P sin a 3 PL . M3 = + 4- sm a
(6.46)
N4 = + P cos a Q4 = + P sin a M4 = + PL sin a
(6.47)
Nilai N, Q, dan M dapat digambarkan sebagai ordinat, seperti dalam Gambar 6.13b.
Dengan cara ini, setiap kali kita menginginkan nilai gaya-gaya dalam untuk nilai x tertentu (letak penampang tertentu), kita harus menyusun persamaan keseimbangan untuk mendapatkan jawaban. Lagipula, terdapat tak hingga penampang yang dapat diminati, dengan nilai yang belum terdapat dalam gambar ordinat seperti dalam Gambar 6.13.
zlX=O
1 1
[
3
---
X=IL 4
I I
I
-
A: p
2
---
X=IL z
I I I
1
---
13L X=4
(a) sistem struktur
B
lN 10
I I
1
(b) ordinat nilai gaya dalam
M
GAMBAR 6. 1 3 Ordinat Gaya Dalam
Dengan perkataan lain, nilai x yang menetapkan letak penampang pada balok, bukanlah diskrit, namun menerus. Ini dapat diatasi dengan menggambarkan ordinat-ordinat nilai gaya gaya dalam sebagai fungsi yang menerus dalam x. Ini dinamakan bidang gaya dalam Qadi, bidang momen, bidang gaya lintang, dan bidang gaya normal). Penyusunan bidang gaya dalam adalah sebagai berikut. Pertama-tama, tetapkanlah suatu tampang variabel letaknya, misalnya sejarak x dari titik awal A. Pemotongan fiktif pada tarnpang ini, menghasilkan badan bebas yang dapat digunakan untuk menentukan nilai gaya dalam pada tampang ini. Lihat Gambar Penggunaan badan bebas sebelah kanan misalnya, menghasilkan
6.14.
Nx = + P cos a Qx = + P sin a Mx = + P(L x) sin -
(6.48) a
77
BAB 6 ANALISIS STRUKTUR BALOK
J--
X= :g, 4
X ------,1,'
1
---
X (a) sistem struktur
�-----x ------�--- L-x --------�
P cos
a
P cos
P sin a
P sina
ww�������������
P L sin
a
a
N
Q
(b) bidang gaya dalam
M GAMBAR 6. 1 4 Gambar Bidang Baya Dalam
Nilai gaya dalam pada lokasi x tertentu, dapat ditetapkan dengan memasukkan nilai x yang berkaitan, misalnya x = 0, x = t L, dan lain sebagainya. Lebih taktis jika Nx, Qx, dan Mx digambarkan saja sebagai fungsi x. Gambar tersebut, yang dinamakan bidang gaya dalam, dapat digunakan untuk menentukan nilai gaya-gaya dalam pada tarnpang yang berkaitan dengan lokasi nilai x, cukup dengan membaca nilai ordinat bidang gaya dalam. Karena nilai gaya-gaya dalam dinyatakan dalam fungsi yang menerus absis aksial batang, yang dalam contoh ini variabel x, maka nilai ekstrim serta letak penampang bersangkutan dapat ditentukan dengan menyamakan nilai turunan dengan nol,
dNx dx dQX dx
dMx dx
= 0 = =
0
(6.49)
0
Masing-masing nilai persamaan dalam (6.49) memberikan nilai x yang memberikan nilai ekstrim bagi gaya dalam yang bersangkutan, jika ada, dan dengan nilai x yang umumnya berbeda. Artinya, lokasi dengan nilai ekstrim untuk normal, berbeda dengan lokasi dengan nilai momen ekstrim, dan sebagainya. Sebagai contoh, tinjaulah balok sederhana dengan beban linier seperti pada Gambar 6.15. Dengan lokasi variabel penampang diambil sebagai x, prosedur yang kita telah lakukan sebelumnya memberikan
Nx = 0
:z1, (L -x)2 tqL (L-x) + 6� (L- x)3
Qx = iqL + -
Mx
=-
(6.50)
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
78
y
(a) struktur 1'------ X ----+---
(b) badan bebas
-------
N Q
tqL
(c) bidang gaya bebas
�M
GAMBAR 6.15 Penentuan Nilai Ekstrim Gaya- gaya Dalam
Dari Persamaan nilai ekstrim dari
(6.50) terlihat bahwa Qx, dan Mx kemungkinan bemilai ekstrim. Untuk
dQx = _!!._ (L - x) = 0 x = L � Qx = - qL dx L Untuk nilai ekstrim dari Mx, diperoleh dMx = qL - -q (L- x)2 = 0 dx 2L x = (1- {33 )L � Mx = - q27L2 {3 Qx,
�
__
MAx
.1. 6
�
1 6
(6.51) (6.52)
MAX
Untuk contoh selanjutnya, tinjaulah sekali lagi balok sederhana yang telah disajikan dalam Gambar Dalam contoh ini, munculnya gaya terpusat akan mempengaruhi rumus gaya dalam, jika variabel lokasi tetap kita jalankan secara konsisten dari titik A. Untuk � � a, diperoleh
6.4. 0 x
x
Nx = 0 L-a Qx =- -L P Mx =--XL (L- a)P
(6.53)
79
BAB 6 ANAUSIS STRUKTUR BALOK
sedangkan untuk a
:::;;
x
:::;;
L, menjadi
Nx
=
0
Qx = -!!.. P L Mx = - � (L - x)P
(6.54)
seperti dalam Gambar 6.16. Gambar bidang normal, lintang, dan momen disajikan dalam Gambar 6.16c.
Menarik untuk dilihat bahwa bidang gaya lintang tidak menerus pada lokasi = a di tempat bekerjanya (titik tangkapnya) gaya terpusat. Dalam Gambar 6.17, kita mengambil potongan sedikit di sebelah kiri, dan sedikit di sebelah kanan titik C = a). Pada potongan kiri dan kanan kita gambarkan lintang dan momen berdasarkan hasil dalam Gambar 6.16c. Tanda gaya dalam telah kita gunakan dengan menggambarkan arah sebenamya. Terlihat bahwa gaya geser di sebelah kiri dan kanan, berseimbang dengan gaya dan momen saling meniadakan.
x
(x
P,
a$;x$;L
E-
L-a P f - --yI
(b) badan bebas
N
Q
.!!. . . Lp
-
(c) bidang gaya dalam
M
GAMBAR 6. 1 6 Bidang Gaya Dalam Akibat Beban Terpusat
c
L-a -L- P -j;(L-<)P
p c
)
Jl.. Lp
-j;
GAMBAR 6. 1 7 Loncatan Gaya Lintang Pada Titik Tangkap Gaya Terpusat
r
80
MEI
Untuk penampang titik tangkap gaya terpusat, bidang gaya lintang tidak menerus. Gaya lintang tidak terdefinisi tepat pada titik tersebut. Titik diskontinuitas gaya lintang mencakup juga penampang di atas perletakan. 6.7
H U B U NGAN GAYA DALAM DAN BEBAN BALOK LURUS
Dalam bahasan sebelumnya, gaya dalam lintang dan momen berkaitan dengan ragam lentur akibat beban lateral yang bekerja tegak lurus terhadap sumbu aksial batang. Gaya dalam normal berkaitan dengan ragam aksial akibat gaya luar aksial, yaitu gaya terdistribusi yang searah dengan sumbu aksial batang. Untuk menyusun hubungan antara gaya dalam dan beban luar, tinjaulah suatu segmen batang sepanjang dx pada lokasi x pada sumbu aksial batang, yang dikenai beban aksial terdistribusi S(x) dan lateral terdistribusi q(x) seperti dalam Gambar 6.18a. Pada tampang x bekerja gaya normal Nx, lintang Qx, dan momen Mx. Pada tampang (x + dx), bekerja gaya aksial Nx + dNx, lintang Qx + dQx, dan momen lentur Mx + dMx. Keseimbangan segmen dx di arah horizontal mensyaratkan (6.55) yang diperlihatkan dalam Gambar 6.18b. Selanjutnya, keseimbangan gaya di arah vertikal mengharuskan (6.56) -Qx + (Qx + dQ) + q(x)dx = 0 Keseimbangan momen diambil terhadap titik tengah segmen dx, memberikan (6.57) Dengan mengabaikan suku berorde kuadratis dalam diferensial, Persamaan (6.55), (6.56), dan (6.57) memberikan hubungan antara beban luar dan gaya dalam, dan antara gaya dalam sesamanya dalam bentuk
dN x
dX
dQ x dx dMx dx
= -S(x) =
-q(x)
= -Qx
(a)
Nx
S(x)
.__
F��� d --,1 Nx dNx
I'-- x
(b)
+
GAMBAR 6. 1 8 Hubungan Gaya Dalarn dan Gaya Luar
(6.58)
81
BAB 6 ANALISIS STRUKTUR BALOK
Sebagai tambahan, Persamaan (6.58b) dan (6.58c) memberikan
d2M ---f- = +q(x) dx
(6.59)
Berikut ini disajikan beberapa kasus yang penting untuk diperhatikan, serta sangat bermanfaat dalam praktek, khususnya dalam mengkaji bentuk bidang gaya dalam.
(a) Batang Tanpa Beban Terdistribusi Dihadapi kasus dengan
=0
S(x)
q(x) = 0
(6.60)
Pertama, Persamaan (6.58a) dan (6.60a) memberikan
dN x = 0 dx
(6.61)
yang jika diintegrasikan, menurunkan
Nx = n
(konstan)
(6.62)
Selanjutnya, Persamaan (6.58b) dan (6.60b) memberikan
dQX dx
=0
(6.63)
yang jika diintegrasikan, menghasilkan
Qx
=q
(konstan)
(6.64)
Berikutnya, Persamaan (6.59) dan (6.60b) memberikan
d 2Mx d x2
=0
(6.65)
yang jika diintegrasikan, menghasilkan (6.66) Dengan demikian, untuk balok tanpa gaya luar terdistribusi Qadi misalnya yang ada hanyalah beban terpusat), bidang normal dan lintang berbentuk konstan (atau fungsi tangga), bidang momen berbentuk linier.
(b) Hubungan Antara Bidang Gaya Lintang dan Momen Dari Persamaan (6.58c), terlihat bahwa gaya geser timbul akibat, atau berkaitan dengan gradien bidang momen. Jika bidang momen konstan pada subbentang tertentu, maka gaya lintang bemilai nol pada daerah tersebut. Fungsi gaya lintang, setingkat lebih rendah dari fungsi momen. Kemudian, perhatikan lokasi terjadinya nilai momen ekstrim yang berkondisi
dM dx
=O
(6.67)
Menurut Persamaan (6.58c) dan (6.67) diperoleh keadaan
Qx
=0
(6.68)
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
82
Dengan perkataan lain, penampang tempat terjadinya nilai momen ekstrim, maka di penampang tersebut, nilai gaya lintang yang bersangkutan adalah nol. Perhatikan kasus beban sederhana dengan beban segitiga dalam Gambar 6.15 sebagai contoh. 6.8
CONTO H PE N E RAPAN
Dalam pasal ini disajikan beberapa contoh yang dilengkapi dengan beberapa penyelesaian. Dengan mengikuti contoh-contoh ini, diharapkan tercapai manfaat pendalaman materi yang sudah diberikan sebelumnya. CONTOH 6. 1 :
Sistem balok tunggal ditumpu dengan batang-batang pendel seperti dalam Gambar 6.19. Tentukan serta gambarkan bidang gaya dalam pada balok akibat beban horisontal P.
Penyelesaian:
Dengan reaksi pendel yang diambil dalam arah positif, R2 diuraikan dalam komponen arah X dan Y. Keseimbangan gaya memberikan
LM0 = 0 � P · L - R1 · ( 2L) = 0 LMB = 0 � -R l . L - R3 . L = 0 LFX = 0 � + p R2H = 0 -
(6.69)
-
Dengan Persamaan (6.69), diperoleh
p R1 = -.l 2 R2v = Rm = +P R3 = - t p
(6.70)
Keseimbangan badan bebas Gambar 6.19c memberikan
LFx = 0 � P + Nx = 0 LFy = 0 � R 1 + Qx = 0 LMz = 0 � Mx - R1 · x = 0 atau
Nx = -P Qx = + t P MX = - .l2 P·x
(6.71)
(6.72)
untuk 0 � x � L. Untuk L < x < 2L, munculnya gaya terpusat Rm dan R2v jangan lupa disertakan.
LFx = 0 � P + Nx - Rm = 0 LFy = 0 � R1 + Qx + R2v = 0 LM2 = 0 � Mx - R1 x - R2v (x - L) = 0 •
a tau
(6.73)
83
BAB 6 ANALISIS STRUKTUR BALOK
Nx Qx Mx
=0 =- f p = -P(L- �)
(6.74)
Perhatikan bahwa arah R1 dan R3 tidak dikoreksi; namun, nilai aljabar dalam (6.70) digunakan dalam menuliskan hasil dalam Persamaan (6.72) dan (6.74). Dengan memasukkan nilai yang sesuai untuk x (untuk domain yang ditentukan), bidang gaya dalam dapat digambarkan seperti dalam Gambar 6.19e. Perhatikan bahwa dalam gambar ditampilkan besaran tidak berdimensi Nx/P, QxfP, dan Mxi(PL).
y
�-----L------�---A
I
B
(a) sistem struktur
I
L
1
X
�
f-- x ------;oj Mx Nx -p---+E- -=-i Qx
l Rt
b-x-- ?R:fRzv
--p-+E-------------
+fJ•
1
OSxSL
Mx
Qx
Nx
(b) badan bebas
(c)
0SxS2L (d)
(e) bidang gaya dalam
t 4;#:11! I W! l \ii'Mt1
GAMBAR 6 . 1 9
Struktur
Contoh 6.1
Mx PL
84
MEKANIKA TEKNIK: STA TIKA DALAM ANA LIS IS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
CONTOH 6.2: Suat usiste mst rukt urba lok t ungga latas dua tu mpuan dengan o ve rhang panjang
a di dua ujung da ri bentang tota l L, dibebani ga ya te rpusat P di mas ing -mas ing ujung,sepe rtida la m Ga mba r 6.20. Tent ukan se rta ga mba rkan bidang ga ya dala m. Untuk pengga mba ran, masukkan a = t L
Penyelesaian : Reaksi ho ri zonta l sendi A ada lah no l, sehingga yang pe rlu dihit ung ada lah reaksi ve rtika l
RAv dan R8v· Kesei mbangan ba lok Ga mba r 6.20b me mbe rikan LMz (te rhadap B) = 0 � P(L - a) - RAv · (L - 2a) - P · a = 0 LMz (te rhadap A) = 0 � P · a - R8v (L - 2a) - P (L- a) = 0 ·
·
sehingga
y1
(F -
R Av = R B v =
A
B
:a:
;A;
fL-- a
,_ tRAv [ _ Qx Mx l= I::= _ 3'+r)t-· ::::=::: I"-- X ------71
(L - 2a)
P
a
r--_--------_3 --, ---p- F
t
1'---{x - a}----,t
f£. Qx M
Qx
12� �t
t RBv Nx
(6.75)
(a) sistem struktur
(b) badan bebas balok
Nx
(c) badan bebas potongan
fj.__-__-_P_.J
r---X --- -------�
Nx
Qx
r------ X --------�
F
jL-{L -x}---;,j
Nx p (d) bidang gaya dalam
Pa
Mx GAMBAR 6.20 Struktur Contoh 6.2
85
BAB 6 ANAUSIS STRUKTUR BALOK
Selanjutnya penerapan kriteria keseimbangan badan bebas potongan dalam Gambar menghasilkan $ x < a: Nx Qx = +P Mx = -P · x
0 a
6.20c
=0
$
=0 Qx = + P
x < (L - a): Nx
(6.76)
Mx = -P · a (L - a) < x $ L: Nx 0 Qx = -P Mx = -P(L - x) Perhatikan bahwa untuk (L - a) < x $ L, digunakan badan bebas sebelah kanan karena lebih =
sederhana. Gambar bidang gaya dalam tidak berdimensi disajikan dalam Gambar Menarik untuk mengamati bahwa untuk a < x < (L - a), bidang momen konstan sebesar -Pa, sedangkan lintang bernilai nol. Untuk daerah dengan bidang momen bernilai konstan, gaya lintang bernilai nol. Ini sesuai dengan yang dinyatakan oleh Persamaan dan
6.20d
(6.67)
CONTOH 6.3:
(6.68).
Suatu kolom yang berdiri miring bersudut a, dan panjang bentang L, dibebani gaya terpusat P di arah horisontal seperti dalam Gambar Tentukan bidang gaya dalam balok.
6.21.
Penyelesaian:
Yang penting diingat dalam hal ini, adalah bahwa gaya dalam normal diukur di arah sumbu aksial batang, sedangkan arah lintang, tegak lurus terhadap gaya normal (atau garis aksial batang). Untuk itu, gaya luar P diuraikan atas komponen di arah normal dan lintang seperti dalam gambar
(b).
P cos a
(a) sistem struktur
Qs p
{c) bidang gaya dalam
GAMBAR 6.21 Struktur Contoh 6.3
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
86
Setelah langkah ini, proses penyusunan gaya dalam dapat dilakukan menurut proses yang biasa. Dengan meninjau badan bebas ujung, diperOleh
LFs LF 1 LMz
0 � -Ns + p cos a = 0 0 � -Qs - P sin a = 0 = 0 � -Ms - P(L - s)sin a = 0 =
(6.77)
=
sehingga
Ns Qs Ms
= = =
+P cos a -P sin a -P(L s)sin a
(6.78)
-
Gambar tidak berdimensi gaya-gaya dalam, disajikan dalam Gambar 6.2lc. CONTOH 6.4:
Suatu kolom setinggi L dengan konsol sepanjang a, dibebani gaya ujung P. Ingin ditentukan dan digambarkan bidang momen, lintang, dan normal struktur akibat beban P.
Penyelesaian:
Tata sumbu lokal (x1, y1) dan (x2, y2) digunakan untuk segmen BA dan CB seperti dalam Gambar 6.22. Dalam contoh ini kita meninjau badan bebas potongan dengan selalu melihat ke ujung bebas A. Dengan demikian, bidang gaya dalam dapat digambarkan tanpa menghitung reaksi jepit di C terlebih dahulu. y
I
B
rr · - · - - - ,
I I
1 L
p
x,
A
a-----,.{
X (b) badan bebas potongan
(a) sistem struktur
p
N
p
M
Q (c) bidang gaya dalam
GAMBAR 6.22 Struktur Contoh 6.4
87
BAB 6 ANALISIS STRUI
.
'
Untuk badan bebas potongan 0 ::;; x1 ::;; a, diperoleh Persamaan
L fx1 = 0 � -Nx = 0 L fn = 0 � - Qx - P = 0 LM2 = 0 � -Mx - P(a - x1) = 0
sehingga
Nx = 0 Qx = -P Mx = -P(a - x1)
(6.79)
Untuk badan bebas potongan 0 ::;; x2 ::;; L, kita menuliskan
LFX2 = 0 � -NX - p = 0 LFY2 = 0 � -Qx = 0 LM2 = 0 � -Mx - P · a = 0
sehingga
Nx = -P Qx = 0 Mx = -P a
(6.80)
·
Fungsi dalam Persamaan (6.79) dan (6.80) dapat digambarkan seperti dalam Gambar 6.22. CONTOH 6.5:
L
Balok tunggal sepanjang ingin ditumpu sederhana atas 2 tumpuan simetris, sedemikian hingga diperoleh overhang yang sama di ujung kiri dan kanan. Dengan cara ini diperoleh momen lentur negatif di atas tumpuan, dan lentur positif di tengah bentang. Tentukan panjang overhang sehingga nilai mutlak momen lentur negatif dan momen tengah bentang sama.
Penyelesaian:
Kasus ini dikenal sebagai problem untuk mendapatkan letak tumpuan yang memberikan balok yang ekonomis. Untuk memulai, kita misalkan bahwa tumpuan ditempatkan sejarak a dari ujung seperti dalam Gambar 6.23. Reaksi RAv dan R8v dapat diperoleh sebesar (6.81) Untuk 0 ::;; x ::;; a, diperoleh keseimbangan
L fx = 0 � Nx = 0 L fy = 0 � -q x +Qx = 0 ·
LMz = 0 � (q x ·
sehingga
Nx = 0 Qx = +q . x MX - �2 qxZ
{ �) + Mx = 0 (6.82)
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
88 y
0.207 L-+---0 --- .586 L-------?!"-- 0.207 1----,j
f::-- a --+------ (L - 2a) ------,r-- a ---,.\
0 !> x !> a
(b) badan bebas
O !> x !> L - a
�
-------
�� .207
Nx q.L (c) b idang gaya dalam
0.207
GAMBAR 6.23 Struktur Contoh 6.5
untuk
x = a, diperoleh (6.83)
Jika
0 :5 x < (L - a), diperoleh Lfx = 0 � -Nx = 0 Lfy = 0 � -(q·x) + Qx + RAv 0 L Mz = 0 � + (q·x)f + Mx - RAv(x - a) = 0 =
sehingga
Nx = 0 Qx = -fqL + qx Mx fqL(x- a) -fq� =
(6.84)
Tempat momen maksimum diberikan oleh
dMx dX
=
fqL- (q·x)
=
0 � X = fL
(6.85)
89
BAB 6 ANALISIS STRUKTUR BALOK
sehingga Mmaks
lapangan
= fqL(L
-
2a)
-
t qL2
(6.86)
Syarat yang diminta adalah
yang memberikan persamaan kwadrat (6.87) Akar bermanfaat (6.87) adalah
a = 0,207 L
(6.88)
yang memberikan
Lap = -Mneg = + 0,215qL2
(6.89)
M
Gambar bidang gaya dalam diberikan sebagai besaran tidak berdimensi dalam Gambar 6.23. CONTOH 6.6:
Struktur balok seperti dalam Gambar 6.24 menerima beban gaya P di arah horizontal pada titik ujung bagian vertikal CD. Gambarkan bidang gaya dalam untuk seluruh struktur akibat beban terpusat tersebut.
Penyelesaian:
Sebenamya, untuk menentukan gaya-gaya dalam pada bagian balok BCD, tidak perlu ditetapkan reaksi perletakan terlebih dahulu. Namun, untuk bagian AB, gaya-gaya dalam hanya dapat dicari setelah reaksi perletakan RAV' RAH' dan R8v dalam gambar telah ditetapkan terlebih dahulu. Keseimbangan gaya di arah X, dan momen terhadap titik B dan A berturut memberikan
b,
+RAH + p = 0 � RAH = -P -(RAv)(a) P(h) = 0 � RAv = - !p a = = (R8v)(a) - P(h) 0 � R8v + !p a -
(6.90)
Untuk menyusun persamaan gaya dalam pada segmen AB, BC, dan CD, digunakan badan bebas seperti dalam gambar c. Untuk penampang I-I, keseimbangan gaya di arah X, di arah Y, dan momen terhadap titik potong I-I, berturut-turut memberikan
RAH + NI = 0 � NI = -RAH = +P RAV + VI = 0 � VI = -RAV - +-ha P = RAv · s = --ha P · s, 0 $ s $ a
(6.91)
Untuk potongan 11-11, keseimbangan gaya di arah X, arah Y, dan momen terhadap titik penampang 11-11, berturut-turut memberikan
90
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
T
y
p
h I
B
A
X
(a) sistem struktur ----� r---- a ------,¥-- b --
p
y
(b) reaksi perletakan
RAH
l
B
-
1 1
l RAv
RAH
1<-- t
_____. E:: -
l RAv
5
-!+f. NI
RB v
MI VI
l I I
u
u
m - - -m T u 1
T
(h - u)
l
p - Ill
T 1 u
(c) badan bebas
(d) bidang gaya dalam
GAMBAR 6.24 Struktur Contoh 6.6
91
BAB 6 ANAUSIS STRUKTUR BALOK
-NII +p - VII -MII ·
P h
= = =
0 � Nu = +P VII = 0 0 � Mu = -P 0�
·
/z,
(6.92)
0 :5 t :5 b
Prosedur serupa untuk badan bebas potongan III-III, rnenghasilkan -Nm -Mm -
P (h -
= u) =
0 � Nm
=
0 � Mu
=
0
-P(h
- u), 0 :5
11
(6.93)
:5 h
Dengan rnernasukkan nilai dari s, t, dan u dalarn rurnus-rurnus Persarnaan (6.91) hingga (6.93), bidang gaya dalarn dapat digarnbarkan untuk seluruh sistern struktur seperti dalarn Garnbar 6.24d. CONTOH 6. 7 :
Struktur balok yang diturnpu atas dua perletakan, dengan overhang BC dengan pada ujung bebas C bekerja rnornen langsung M seperti dalarn Garnbar 6.25, ingin dianalisis dan digarnbarkan bidang gaya dalarn akibat rnornen langsung pada C tersebut. y
(a) sistem struktur
c
A
�----- a --------�- b ------�
(b) reaksi perletakan
(c) badan bebas
B
-
c
�'- - - I � t ------>1
M
)
M
Nu .
V
(d) bidang gaya dalam
GAMBAR 6.25 Struktur Contoh 6.7
X
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
92
Penyelesaian:
Reaksi perletakan RAV' RAH' dan RB v dapat dihitung dengan menerapkan keseimbangan gaya di arah x, momen terhadap B dan A, yang berurutan menghasilkan -RAH
= 0 � RAH = 0
(RB v)(a) + M
= 0 � R BV =
M a M (RAv)(a ) + M = 0 � RAv = + a
(6.94)
-
Intensitas gaya dalam dapat ditentukan dengan meninjau potongan I-I dan 11-11 yang berturut turut diambil sejarak s dari A dan t dari C. Badan bebas yang dilengkapi dengan reaksi dalam positif diberikan dalam gambar c. Penerapan keseimbangan gaya di arah X, arah Y, dan momen terhadap titik potong 1-1 berturut-turut memberikan
(6.95)
dengan hasil dalam Persamaan (6.94) telah digunakan. Prosedur serupa yang diterapkan atas badan bebas sebelah kanan, menghasilkan Nn = 0 VII = 0 -Mn + M = 0 � Mn = M
Penggabungan M, V, dan N untuk 0 � s � a dan 0 � (6.96) disajikan dalam gambar d. CONTOH 6 . 8 :
t�b
dalam hasil Persamaan (6.95) dan
Struktur balok menerus dengan sendi seperti dalam Gambar 6.25, ingin dianalisis dan digambarkan bidang gaya dalam akibat gaya luar P 1 dan P2 masing-masing pada tengah bentang AC dan CB.
Penyelesaian:
Jika dalam kasus contoh sebelumnya, ketidaktentuan statis sistem struktur dapat diperiksa dengan melakukan pengamatan langsung, namun dalam contoh ini, harus diperiksa dengan melakukan prosedur seperti dalam Pasal 4.9. Andaikan kita memodel sistem struktur atas dua elemen AC dan BC, maka ada jumlah elemen m = 2, dan jumlah titik simpul j = 3 (A, C, dan B), jumlah reaksi r = 4, dan sendi h = 1 (di C). Dengan demikian, jumlah persamaan yang tersedia, e = 3 x m + 3 x j = 3 x 2 + 3 x 3 = 15, dan jumlah gaya f = 6 x m + r h = 6 x 2 + 4 1 = 15, sehingga s = f - e = 15 - 15 = 0. Jadi, sistem struktur adalah statis tentu. Reaksi perletakan dapat dihitung dengan meninjau keseimbangan badan bebas dalam gambar b. Secara taktis, R Bv langsung diperoleh dengan meninjau keseimbangan momen terhadap sendi C badan bebas CB, -
-
(6.96) Kemudian, kita berpindah ke badan bebas total ACB. Keseimbangan gaya di arah X, arah Y, dan momen terhadap titik A, memberikan
BAB 6 ANAUSIS STRUKTUR BALOK
93
(a) struktur
r- � -->1'---(b) reaksi perletakan
(c) badan bebas
2 �S�b
.1L
N
M
-BE:-��--::::=-�--==i V
GAMBAR 6.26 Struktur Contoh Soal 6.8
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
94
=0
RAH
RAV + RBV - pl - p2
(6.97)
��
Sekarang, penyusunan bidang gaya dalam dilakukan dengan meninjau badan bebas potong an sejarak s dari ujung B, seperti dalam gambar c. Untuk 0 � s � diperoleh N
=0 (6.98)
Untuk
� � s � b, gaya luar P2 muncul dalam badan bebas, sehingga keseimbangan mengharuskan N V
=0
p = RB v - p2 = -f
( �) = i (s - b)
(6.99)
M = RBV ·s - P2 s -
Perhatikan bahwa Persamaan (6.98) juga berlaku untuk domain b � s � b + 1 · Untuk b +
s � b + a, berlaku
N
=0 RBV - P2 - P1
=
p -Pl - z2
( �) - P{s - 1 - b) = -Pt (s - 1 - b) - i (s - b)
V=
M = RBV · s - P2 s -
��
(6.100)
Akhimya, dengan memasukkan nilai-nilai s untuk seluruh bentang, bidang gaya dalam dapat digambarkan seperti terlihat dalam gambar (untuk gaya dalam N tidak digambarkan sebab nilai nol untuk semua bentang).
d
CONTOH 6.9:
Suatu sistem struktur balok tunggal dengan bentang L, dan ujung A dijepit dan B ditumpu atas rol, dibebani dengan gaya luar P yang bekerja sejarak a dari A dan bekerja dengan arah sesudut a dari sumbu ak.;ial batang. Analisislah sistem struktur dengan cara statika. Berikan alasan secukupnya dalam analisis. Lihatlah Gambar 6.27 sebagai penjelasan.
Penyelesaian :
Dengan tumpuan jepit di A dan rol di B, ada reaksi perletakan RA V' RAH' dan MA di A serta 8v di B, sehingga jumlah reaksi perletakan menjadi r = 4. Adanya gaya aksial batang akibat R
munculnya komponen horizontal (di arah sumbu aksial batang) mengharuskan kita untuk menggunakan elemen balok-kolom yang memiliki reaksi aksial.
BAB
95
6 ANALJSIS STRUKTUR BALOK
Jika kita memodel struktur atas satu elemen seperti dalam gambar c, kita memperoleh 1, j = 2, dan h = 0 (tidak ada sendi dalam). Oengan demikian, jumlah persamaan keseimbangan menjadi e = 3 m + 3 j = 3 x 1 + 3 x 2 = 9, dan jumlah komponen reaksi f = 6 m 0 10, sehingga s = f - e = 10 9 = 1. Sistem struktur temyata statis tidak + r- h = 6 x 1 + 4 tentu orde pertama. m =
-
=
-
Dengan demikian, kita tidak dapat menentukan besar semua reaksi batang dan perletakan hanya dengan menggunakan cara statika saja. Dibutuhkan satu persamaan tambahan yang dapat diperoleh dengan meninjau kriteria perpindahan. Pembahasan masalah ini berada di luar lingkup bahasan buku ini.
B
- St
X
'
(a) sistern struktur
(b) badan bebas total
GAMBAR 6.27 Struktur Contoh 6.9
6. 9 RANGKUMAN
97
BAB 6 ANALISIS STRUKTUR BALOK
Soal 6.3:
Soal 6.4:
Soal 65:
Balok kantilever dengan bentang seperti dalam Gambar 6.30, memikul beban terdistribusi linier. Dengan model struktur atas elemen tunggal AB, susun serta gambarkan bidang mom�n Jentur � d�!l_ i'!Y�
L
A
r------ L --------� GAMBAR 6.30 Struktur Soal 6.3
Lakukanlah hal yang serupa dengan struktur dalam Soal 6,3, hanya sekarang, beban yang bekerja adalah gaya merata atas separuh ujung balok seperti dalam Gambar 6.31. Dengan memodel struktur Gambar
L
6.32, atas elemen lentur AB dan BC,
susun serta gambarkanlah bidang momen lentur dan gaya lintang akibat gaya terdistribusi linier di atas bagian BC, seperti dalam gambar. Selain itu, tentukan lokasi serta besar gaya-gaya dalam ekstrim. Berapa besar reaksi sendi B? Soal 6.6:
y
Balok AC sepanj ang L dalam Gambar 6.33, memikul beban merata q0 sepanjang bentang. Tumpuan B ingin digeserkan sedemikian hingga pada balok timbul momen lentur positif dan negatif dengan nilai absolut yang lebih kecil dari momen positif maksimum yang timbul sekiranya tumpuan B ditempatkan di ujung C . Keadaan optimal (ekonomis) diperoleh jika nilai mutlak momen negatif maksimum sama dengan nilai momen positif maksimum. Seberapa jauh B harus digeserkan dari C untuk mencapai kondisi optimal tersebut? Balok dimodel atas elemen lentur AB dan
r----- 2
------+--- 2 -------:;1 L
GAMBAR 6.31 Struktur Soal 6.4
y
A 1'-_____ L ___�r----- L ----� 2 2
GAMBAR 6.32 Struktur Soal 6.5
X r----- L ------� GAMBAR 6.33 Struktur Soal 6.6
B
BC. Soal 6.7:
Dengan memodel balok kantilever dalam Gambar 6.34 atas satu elemen balok-kolom AB, tentukan serta gambarkan bidang momen lentur, gaya lintang, serta gaya normal akibat berat sendiri balok sebagai beban merata yang diukur per panjang balok.
B
X
r--- 4L ------� GAMBAR 6.34 Struktur Soal 6.7
98
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
_J:. ;-------------B y
r
B
A
c
T 1 L
45°
X
'
I
t'--
p y
T
Dl L
X
t'-----
L
2
2
GAMBAR 6.37 Struktur Soal 6.10
Soal 6.8:
Soal 6.9: Soal 6.10: Soal 6.11:
Soal 6.12:
X
A
L ----,t'-- L ----,j
GAMBAR 6.36 Struktur Soal 6.9
GAMBAR 6.35 Struktur Soal 6.8
L -+- L
D
C
1
p
L ----,1
p
y
T
_J_ L 2
1
H = 2P
A I'--
L -+-- L -------,!
-
GAMBAR 6.38 Struktur Soal 6.11
Struktur dalam Gambar 6.35 mirip segmen struktur Gambar 6.32, kecuali beban, yang sekarang berupa gaya terpusat P di tengah segmen BC, dan perletakan C berupa rol yang dimiringkan 45° terhadap sumbu horizontal. Dengan mengambil keseluruhan balok sebagai satu elemen balok-kolom AC, gambarkan bidang gaya dalam yang timbul. Apa pengaruh pemiringan rol di C dibandingkan dengan keadaan jika rol dipasang mendatar. Dengan memodel struktur dalam Gambar 6.36 atas elemen balok-kolom AB, BC, dan CD, susun serta gambarkan bidang gaya dalam (momen lentur, lintang, dan normal) yang timbul akibat gaya terpusat P di ujung D. Struktur pelengkung dalam Gambar 6.37 dimodel atas tiga elemen balok-kolom AB, BC, dan CD. Susun serta gambarkanlah bidang gaya dalam dari bentang BC akibat gaya terpusat P di B dan P di titik tengah E. Portal dalam Gambar 6.38 dengan ujung A terjepit dan ujung D bebas, dibebani dengan gaya terpusat P di titik E dan gaya horizontal H = 2 P di ujung D. Dengan memodel struktur atas tiga elemen balok-kolom AB, BC, dan DC, susun serta gambarkan bidang gaya dalam yang timbul pada struktur akibat pembebanan tersebut. Struktur dalam Gambar 6.39 dimodel dengan tiga elemen balok-kolom AB, BD, dan DE. Gaya yang bekerja berupa beban terpusat horizontal P di B dan vertikal P di
99
BAB 6 ANAUSIS STRUKTUR BALOK
y
E y p -
p ---
' B
I
c
p
T
+ L
D
L
1
T L
1
X �L
GAMBAR 6.39 Struktur Soal 6.12
GAMBAR 6.40 Struktur Soal 6.13
sendi C sebagai tengah bentang BD. Susun serta gambarkan bidang gaya dalam yang timbul pada struktur akibat beban tersebut. Berapa reaksi pada sendi C? Soal 6.13:
Sistem dalam Gambar 6.40 merupakan model dari suatu struktur tangga dengan segmen AB dan CD sebagai bordes. Dengan memodel sistem atas tiga elemen balok kolom AB, BC, dan CD, susun serta gambarkan bidang gaya dalam yang timbul akibat gaya terpusat P di titik C.
Soal 6.14:
Sistem struktur dalam Gambar 6.41, juga merupakan model dari struktur tangga dengan bordes tunggal BC. Modellah sistem atas tiga elemen balok-kolom AB, BC, dan CD serta susun dan gambarkan bidang gaya dalam struktur.
Soal 6.15:
Bagilah struktur balok menerus dalam Gambar 6.42 atas segmen elemen balok lentur AB, BC, dan CE. Kemudian, analisislah struktur terhadap beban luar gaya terpusat P di atas sendi B dan beban merata q0 pada segmen CE. Gambarkan bidang gaya dalam yang terjadi. Berapa reaksi pada sendi B dan sendi D di tengah bentang CE?
TL
t
y y P = �oL
L
l
X X
f'---- L --+- L -?f-- L -----71
GAMBAR 6.41 Struktur Soal 6.14
A
B
E
\L-- L --t-- L --+ .1_ + .1_ ,! 2 2
GAMBAR 6.42 Struktur Soal 6.15
7. 1 U M U M
Sistem rangka sederhana adalah sistem struktur yang diperoleh dengan menyambungkan batang-batang lurus satu sama lain lewat sambungan yang bersifat sendi, yang lazim dikenal sebagai titik buhul. Gaya luar dapat diatur sedemikian hingga bekerja tepat pada titik buhul. Struktur semacam ini sangat populer diterapkan, misalnya dalam konstruksi atap (kuda-kuda), jembatan rangka, menara rangka baja, dan lain-lain sebagainya. Karena batang-batang umumnya akan memikul gaya aksial berupa gaya tarik, atau gaya tekan, ataupun tekan dan tarik secara bergantian (gaya bertukar), maka struktur rangka sederhana sering terbuat dari bahan baja/ logam, yang memiliki sifat ketahanan yang hampir setara terhadap tarik dan tekan. Struktur rangka sederhana yang terbuat dari baja bangunan, umumnya disambungkan sedemikian hingga garis berat batang sedapat mungkin bertemu pada titik buhul. Sambungan dilakukan dengan las, baut ataupun paku keling, yang kemungkinan akan memberikan pengaruh sekunder karena garis sistem (garis berat) alat sambung umumnya yang tidak selalu dapat berimpit secara tepat dengan garis berat batang. Eksentrisitas alat sambung ataupun tidak sem pumanya garis berat bertenu pada titik buhul, umumnya akan memberikan efek sekunder yang bersifat lokal, namun lazimnya cukup kecil dan dapat diabaikan dalam praktek. Bekerjanya berat sediri sebagai beban yang bersifat lateral terhadap balok juga umumnya diabaikan, karena geser dan momen yang ditimbulkannya relatif sangat kecil dibandingkan dengan intensitas dan pengaruh gaya aksial yang sangat dominan. Dengan demikian, dalam pemodelan struktur rangka seder-hana, semua gaya luar (termasuk berat sendiri), dapat dianggap bekerja sebagai gaya titik simpul. Berdasarkan uraian di atas, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa untuk sistem rangka sederhana, analisis mencakup penentuan reaksi perletakan dan reaksi dalam pada batang batang, yang timbul akibat beban luar yang bekerja pada titik simpul atau titik buhul. 7.2 KONF I G U RASI RANGKA SEDERHANA
Tadi telah dikatakan bahwa dalam sistem rangka sederhana, batang-batang disambungkan pada titik buhul yang bersifat sendi. Dengan demikian, pada kedua ujung suatu batang, hanya
102
MEKANIKA TEKNIK: ST ATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
ada 2 komponen gaya, seperti dalam Gambar 701. Pada ujung 1, ada gaya horizontal H1, dan vertikal V1, dan pada ujung 2, gaya H2 serta V2 o Dalam gambar, intensitas keempat gaya ini diambil sembarang; namun kita akan segera melihat bahwa terdapat hubungan khusus antar sesamanyao Dengan mengingat bahwa berat sendiri atau beban luar lainnya dapat dianggap atau diatur sehingga bekerja pada titik buhul, maka tidak ada gaya lateral yang bekerja pada batango Sebagai suatu badan bebas, keseimbangan batang tunggal ini mensyaratkan bahwa
IFH = 0 � H1 IFv =
o�
+
V1
IM1 = 0 � H2
IM2 =
+
-
°
0 � H1 o
T +
T
= 0
H2 v2
V1
V2
0 °
L = 0
o L
( 70 1 )
0
v
2
R2
H2
T
�t�v-1------------ L Hl
------�
GAMBAR 7 0 1 Hubungan Antar Komponen Gaya Ujung
yang memberikan hubungan
V
1
-
H1 V2
-
H 2
T
= - = tan a L T
= - = tan a L
(702)
Ini berarti bahwa garis kerja R1, sebagai resultanta H1 dan V1, serta garis kerja R2 sebagai resultanta H2 dan V2, berimpit dengan sumbu aksial batango
Selanjutnya, hubungan dalam Persamaan (7o1a) dan (7o1b) memberikan petunjuk bahwa H1, dan H2 harus sama besar tetapi berbalikan araho Juga hal yang sama dapat dinyatakan untuk V1 dan V20 Akibatnya, R1 dan R2 harus mempunyai besar sama, serta berbalikan araho Untuk batang lurus dengan kedua ujung sendi, gaya yang bekerja pada kedua ujung bemilai sama, serta bekerja pada garis aksial batang (sebagai garis penghubung antara dua titik ujung), dengan arah yang saling berbalikano Batang semacam ini dinamakan batang pendelo Lihat Gambar 702 untuk beberapa kasus, termasuk batang yang tidak luruso
103
BAB 7 ANALISIS STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
(b) batang tidak lurus
(a) batang lurus
GAMBAR 7.2 Batang Pendel
Selanjutnya, arnbillah ernpat batang yang dihubungkan secara sendi dan diletakkan secara sederhana, serta dibebani gaya horizontal seperti dalarn Garnbar 7.3. Terlihat bahwa akibat gaya horizontal tersebut, sistern akan rnengalarni perpindahan tidak terbatas. Kita dapat rnenerangkan hal ini sesuai dengan sifat batang pendel yang hanya dapat rnengerahkan gaya gaya aksial searah surnbu aksial batang. Batang CA tidak rnerniliki kornponen dari reaksi aksial yang berpartisipasi rnenahan gaya luar horisontal pada titik C. Artinya, gaya horisontal ini hanya ditahan oleh gaya aksial batang CD. Seterusnya, gaya aksial batang CD tidak dapat ditahan oleh gaya apapun, karena batang BD hanya rnerniliki kornponen reaksi di arah vertikal. Dengan dernikian, batang CD akan bergeser secara tidak terbatas ke arah kanan akibat tidak tertahannya gaya luar horisontal H di titik C. Dengan perkataan lain, struktur rnerupakan sistern yang labil. Penarnbahan satu batang diagonal BC (ataupun AD) seperti dalarn Garnbar 7.3b kelihatannya secara efektif rnernbuat sistern rnenjadi stabil, karena rnunculnya gaya aksial batang BC yang rnerniliki kornponen horisontal dan dapat rnengirnbangi gaya horisontal H. Urnurnnya, konstruksi rangka sederhana yang diatur sedernikian hingga batang rnernbagi bidang struktur rnenjadi berbentuk segi ernpat, tidak stabil. Bangunan seperti ini hanya akan stabil untuk beban yang sangat khusus; dalarn contoh ini, rnisalnya gaya pada C dan D yang bekerja vertikal dan langsung diterirna oleh batang CA dan DB yang kernudian rneneruskannya ke perletakan. Pengaturan batang yang rnernbagi bidang struktur dalarn bentuk-bentuk segitiga, rnernbentuk sistern yang stabil. H
----+
'
\
I
----+ ��------� H
o---�----0 ' D c
D
\
? - - - - - - - - - - - - - - -9
/
batang tambahan
I
I
I
I
I
�
l
I
B
A
I
I
I
A
(a)
(b) GAMBAR 7.3 Stabilitas Rangka Sederhana
104
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
7.3 BEBERAPA J E N IS RANGKA SEDERHANA Beberapa macam rangka sederhana, diberikan dalam Gambar 7.4. Dalam gambar (a), rangka mempunyai batang tepi atas dan batang tepi bawah yang sejajar, dan dihubungkan oleh batang vertikal dan diagonal. Dalam gambar (b), hanya digunakan diagonal saja untuk menyambungkan batang tepi atas dan bawah. Dalam gambar (c), digunakan batang vertikal dan batang semi diagonal yang berbentuk K sebagai penghubung batang tepi atas dan bawah. Gambar (d) adalah sistem dalam (a) dengan penambahan batang yang memperkaku diagonal dan memperpendek bentang batang tepi atas. Gambar (e) mempunyai batang tepi atas yang miring, khususnya digunakan untuk dudukan atap. Untuk beban luar tertentu, besar kecilnya gaya-gaya batang tergantung daripada ukuran tinggi konstruksi h dan spasi 'A, dibandingkan terhadap bentang total L, serta sudut kemiringan dari batang-batang tepi atas atau tepi bawah. Ada juga yang menggolongkan tipe rangka sederhana menurut orang pertama yang menemukan, akan tetapi penggolongan apapun yang digunakan, analisis struktur tidak berubah dari satu struktur ke jenis lainnya. Hanya saja, untuk suatu jenis sistem rangka batang tertentu, kemungkinan dapat dipilih metoda analisis yang iebih cocok serta lebih cepat memberikan hasil.
7.4 KETI DAKTE NTUAN STATIS SISTE M RANGKA SEDERHANA Untuk seterusnya, bahasan terutama ditujukan untuk sistem rangka sederhana dua dimensi, sekalipun secara hakiki, juga berlaku untuk rangka sederhana tiga dimensi. Sebelum meneruskan bahasan analisis, perlu kita hitung ketidaktentuan statis sistem balok sederhana bidang. Untuk sistem yang mempunyai jumlah batang m dan titik buhul j, serta sejumlah r reaksi perletakan, maka karena setiap titik buhul ada 2 persamaan keseimbangan gaya (keseimbangan momen otomatis dipenuhi karena tidak ada momen), dan satu persamaan untuk setiap elemen (yaitu keseimbangan gaya di arah sumbu aksial batang), maka jumlah persamaan keseimbangan yang tersedia adalah
e = 2j + m (7.3) Di lain pihak, dalam setiap elemen selalu ada 2 gaya (sebelum menerapkan keseimbangan
gaya di arah aksial), maka jumlah gaya yang tidak ' diketahui adalah
f= 2 m + r
(7.4)
Dengan demikian, orde ketidaktentuan statis sistem menurut bahasan Pasal 4.10 menjadi
s =f- e = m
-
2j
+r
(7.5)
Sebagai contoh, tinjauan sekarang sistem dengan 4 titik buhul, 4 batang, dan 3 kekangan seperti terlihat dalam Gambar 7.3a. Dengan demikian, j = 4, m = 4, dan r = 3, yang memberikan e = 2 x 4 + 4 = 12, dan f = 2 x 4 + 3 = 1 1, sehingga sistem labil, karena f < e. Struktur dalam Gambar 7.3b mempunyai j = 4, m = 5, dan r = 3, sehingga f = 2 x 5 + 3 = 13, dan e = 2 x 4 + 5 = 13, sehingga s = f - e = 13 - 13 = 0. Sistem struktur dalam Gambar 7.3b adalah statis tentu.
Perhatikan bahwa perhitungan ketidaktentuan statis menurut cara di atas adalah untuk memeriksa ketidaktentuan statis struktur keseluruhan, karena semua gaya, termasuk perletakan dan gaya dalam, dicantumkan sebagai komponen gaya total. Sering dihadapi kasus jika ditinjau dari segi gaya reaksi perletakan, struktur tidak statis tentu keluar; artinya, terdapat lebih dari
105
BAB 7 ANAL55 STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
�----- L
T 1
(a)
h
T 1
(b)
h
T 1 h
(c)
T 1
(d)
h
T l h
(e) GAMBAR 7.4 Beberapa Jenis Konfigurasi Rangka Sederhana
tiga komponen reaksi perletakan dengan hanya tiga persamaan keseimbangan yang independen (bebas). Reaksi perletakan ini belum dapat dihitung jika hanya menggunakan badan bebas keseluruh struktur, sehingga perlu diadakan peninjauan lanjut, misalnya dengan melakukan potongan untuk mendapatkan badan bebas sebagian struktur.
V
106
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Juga �apat dihadapi kasus dimana sebagian sistem struktur merupakan sub-sistem yang statis tidak tentu. Dalam hal ini, dapat dilakukan metoda penukaran posisi batang. Semuanya akan disajikan secara rinci dalam bahasan berikut.
7.5 M ETODA ANALISIS SI STEM STRU KTUR RANGKA SEDERHANA Sebagaimana lazimnya dengan sistem struktur yang statis tentu umumnya, sistem struktur rangka sederhana statis tentu dianalisis dengan menggunakan metoda keseimbangan. Dalam menerapkan kriteria keseimbangan, dapat digunakan cara grafis ataupun analitis, sebagaimana telah dipaparkan dalam bahasan Bab 3. Cara apapun yang digunakan, grafis ataupun analitis, pada hakekatnya tujuan yang ingin kita capai adalah menentukan besamya reaksi gaya batang dan reaksi perletakan struktur akibat beban luar yang bekerja. Dalam cara grafis, komponen gaya-gaya reaksi batang dan perletakan beserta komponen-komponen gaya luar, digambarkan secara grafis membentuk poligon gaya yang tertutup. Dalam cara analitis, penerapan kriteria keseimbangan akan menghasilkan persamaan-persamaan berjumlah sama dengan jumlah komponen reaksi yang tidak diketahui . Semua persamaan tersebut dapat disusun membentuk sistem persamaan simultan yang kemudian disolusikan untuk mencari nilai-nilai komponen reaksi. Jika kita untuk pertama kalinya menggunakan keseimbangan elemen individual seperti dalam Gambar 7.2 sesuai bahasan Pasal 7.2, maka kita hanya mempunyai satu komponen gaya reaksi dalam setiap elemen. Dengan demikian, jumlah persamaan keseimbangan dan jumlah komponen reaksi berkurang dengan m, sehingga dari Persamaan (7.3), (7.4), dan (7.5) diperoleh jumlah keseimbangan dan komponen yang teredusir sebagai
e' = e - m = 2j f = f- m = m + r s' = f - e' = (m + r) - 2j = s
(7.6)
Metoda formal yang dapat digunakan untuk menentukan nilai reaksi batang dan perletakan adalah dengan meninjau keseimbangan semua titik simpul yang ada. Untuk titik simpul k, keseimbangan gaya diarah sumbu X dan Y memberikan dua persamaan, yaitu
:Llxi + Rxk + PXk = 0
l,Fyi
(l,Fxi, l,Fy; \, (Rxk, Ryk) i
dengan
-l
+
RYk
dan
+
PYk
=
(Pxk , Pyk )
0
k
=
1, 2, . . ., j
(7.7)
berturut-turut adalah gaya sumbangan dari
ujung-ujun'g bat�g ang bertemu di titik k, reaksi perletakan Qika ada), dan komponen gaya luar di titik tersebut. Penulisan Persamaan (7.7) untuk semua titik simpul akan memberikan suatu sistem persamaan simultan berorde 2j yang dapat diselesaikan untuk nilai reaksi batang dan perletakan Dalam terapan sering dijumpai kasus pasangan dua persamaan dalam (7.7) pada titik simpul tertentu, dapat segera diselesaikan untuk menghitung nilai reaksi batang ataupun perletakan yang terlibat di dalamnya. Kasus ini dihadapi jika dalam dua persamaan tersebui: terlibat maksimum dua komponen reaksi yang tidak diketahui. Cara ini dinamakan metoda titik simpul (method of joint) karena menerapkan keseimbangan satu per satu titik simpul.
BAB 7 ANALffiffi STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
107 ..
Cara lain yang dapat digunakan adalah menggunakan gabungan dua badan bebas titik simpul atau lebih, yang merupakan badan bebas parsial yang diperoleh dengan melakukan potongan. Cara ini dinamakan metoda potongan (method of section). Sistem persamaan yang diperoleh dalam cara ini sebenamya merupakan gabungan dari sistem persamaan dalam (7.7) yang dituliskan untuk titik-titik simpul yang dipadukan sedemikian hingga yang muncul dalam persamaan gabungan hanyalah sebagian nilai reaksi yang ada. Berbeda dengan metoda titik simpul, cara ini hanya dapat digunakan jika muncul maksimum tiga reaksi yang belum diketahui. Sebelum kita membahas metoda-metoda tersebut di atas, kiranya perlu disimpulkan beberapa hal yang penting diketahui serta diperhatikan dalam proses peninjauan keseimbangan titik simpul ataupun keseimbangan badan bebas, sesuai dengan yang telah dipaparkan sebelumnya. (a) Pengambilan badan bebas seluruh struktur atau sebagian dengan jalan pemotongan, dengan semua gaya umumnya adalah planar tapi non-konkuren, hanya dapat ditinjau jika badan bebas mempunyai maksimum 3 (tiga) komponen gaya yang belum diketahui, karena hanya dipunyai 3 persamaan keseimbangan.
(b) Jika badan bebas berupa titik, maka pemotongan hanya dapat dianalisis jika akibat
pengambilan badan bebas tersebut, muncul maksimum dua komponen gaya yang belum diketahui. Kita hanya mempunyai dua persamaan keseimbangan, karena keseimbangan momen telah otomatis dipenuhi akibat konkurensi semua gaya yang bekerja pada titik tersebut.
(c) Jika badan bebas yang diambil berupa satu batang, maka kita hanya mempunyai satu persamaan keseimbangan gaya (diarah sumbu o.ksial batang). Inipun dapat otomatis dipenuhi, dengan mengambil 2 gaya aksial sama tetapi arah berlawanan. Jadi, keseimbangan gaya pada satu batang tidak perlu ditinjau (dan tidak lazim dilakukan), jika gaya batang yang diambil berupa pasangan gaya dengan intensitas sama namun dengan arah berlawanan. Tinggal besamya yang masih perlu ditentukan. (d) Apabila kita mengetahui bahwa keseluruhan sistem sudah seimbang, jika ditinjau badan bebas yang jurnlah persamaannya melebihi jumlah komponen gaya yang tidak diketahui, maka kelebihan persamaan dapat digunakan sebagai kontrol kebenaran perhitungan. Dalam pasal-pasal berikut ini, disajikan beberapa metoda analisis yang sering diterapkan dalam perhitungan gaya-gaya reaksi dalam sistem struktur rangka sederhana.
7.6 ANALISIS RANG KA SE DERHANA DENGAN M ETO DA TITIK SIMPUL Metoda titik simpul sebagai salah satu cara analitis merupakan penerapan langsung kriteria keseimbangan titik simpul, untuk komponen gaya di dua arah yang saling ortogonal. Keseimbangan momen otomatis terpenuhi, karena semua komponen gaya, termasuk gaya luar dan reaksi batang yang belum diketahui, saling bertemu di titik simpul yang ditinjau. Dengan perkataan lain, semua komponen gaya konkuren dengan titik simpul sebagai perpotongan semua garis kerja. Dengan demikian, titik simpul maksimal hanya mengandung dua komponen gaya yang belum diketahui. Jika terdapat kurang dari satu komponen gaya yang belum diketahui, maka salah satu persamaan keseimbangan digunakan untuk menghitung komponen gaya tersebut, sedangkan persamaan lainnya berfungsi sebagai kontrol kebenaran perhitungan. Sebagai contoh, tinjauan sistem struktur rangka sederhana (yang sangat sederhana) seperti dalam Gambar 7.5, dengan A ditumpu sendi dan B rol. Untuk sistem ini, jumlah elemen m = 3 (yaitu segmen AC, AB, dan BC berturut-turut sebagai elemen 1, 2 dan 3); jumlah titik simpul
108
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
y p
p
T 1
--
L
X �------ L--------� (a) struktur
GAMBAR 7.5 Metoda Analisis
= 3 (titik buhul A, B dan C); serta jumlah kekangan r = 3 (yaitu kekangan yang menimbulkan reaksi perletakan sendi A dan rol B). Dengan demikian, s = e - 2j + r = 3 - 2 x 3 + 3 = 0 sehingga struktur merupakan sistem statis tentu. Akibat beban P horizontal di titik C, muncul gaya reaksi RAw RAV' R8v, dan gaya dalam S l' 52, dan 53 pada masing-masing batang AC, AB, dan BC. Dengan pengambilan 5 1 dan 52 serta 53 seperti dalam Gambar 7.5b, semua batang berada dalam keadaan seimbang, namun dengan intensitas gaya dalam yang belum diketahui dan perlu ditentukan.
j
Keseimbangan titik A, B, dan C di arah horizontal dan vertikal, menurut Persamaan (7.7) berturut-turut memberikan
RAH + 52 = 0 RAV + SI = 0
-52 - 53 cos if> = 0 R8v + 53 sin if> = 0 p + 53 cos if> = 0 -51 - 53 sin if> = 0
} } } (c)
(a)
(b)
(7.8)
Jika kita memulai proses penentuan gaya reaksi keseimbangan titik simpul C yang memberikan Persamaan (7.8c), maka besar reaksi 51 dan 52 dapat ditentukan secara langsung. Dari hasil ini, nilai 51 dan 53 untuk masing-masing Persamaan (7.8a) dan (7.8b) telah tertentukan, sehingga dalam Persamaan (7.8a), masih ada tiga komponen gaya yang belum diketahui, Sementara itu, dalam Persamaan (7.8b) tinggal dua komponen yang belum diketahui. Dengan pengamatan ini, kita harus berpindah dari titik C ke titik B, yang menghasilkan nilai dari R8v dan 52• Dalam akhir dari langkah ini, nilai 52 dalam Persamaan (6.8a) telah tertetapkan. Akhirnya, kita dapat berpindah ke titik A, yang nilai RAH dan RA v dapat dihitung, karena nilai 5 1 telah dihitung dari keseimbangan titik C dan nilai 52 telah dihitung dari keseimbangan titik B. Dengan urutan langkah di atas, kita mendapatkan besar reaksi perletakan sebagai
RAH = -P RAV = -P RBV = +P
(7.9)
109
BAB 7 ANALISIS STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
dan gaya-gaya dalam sebesar
5 1 = +P tan cp = +P 52 = +P 5 = - p = -P..fi 3
(7.10)
cos cp
--
Yang penting diperhatikan dalam metoda ini adalah, bagaimana menentukan urutan-urutan titik simpul di dalam peninjauan keseimbangan, agar pada titik simpul yang sedang diproses terdapat tidak lebih dari dua komponen gaya yang belum diketahui. Dalam contoh di atas, urutan yang digunakan adalah dari titik simpul C, ke titik simpul B kemudian berakhir di titik simpul A.
7 . 7 ANALISIS RANGKA SEDE RHANA DENGAN CARA POTO NGAN Cara ini, yang lazim dinamakan cara Ritter, dilakukan khususnya jika diinginkan nilai reaksi dari satu atau beberapa batang tertentu secara cepat. Untuk itu, dilakukan potongan yang memunculkan gaya dalam pada batang yang diminati, dengan syarat bahwa jumlah besaran yang belum diketahui yang muncul, tidak melebihi jumlah persamaan yang tersedia. Setelah itu, atas badan bebas dapat diterapkan kriteria keseimbangan untuk menghitung gaya batang tersebut, dan gaya batang lainnya yang terlibat. Untuk badan bebas titik simpul, kita dapat menerapkan dua keseimbangan komponen gaya di dua arah saling ortogonal, mirip dengan cara dalam Pasal 7.6. Untuk badan bebas yang bukan titik simpul, selain penerapan dua persamaan keseimbangan komponen gaya di dua arah ortogonal, kita masih memiliki satu persamaan keseimbangan tambahan, yaitu keseimbangan momen yang dapat diambil terhadap suatu titik yang kita pilih. Sehingga, untuk badan bebas seperti ini, tersedia 3 persamaan keseimbangan, yang pada hakekatnya dapat disusun dalam bentuk altematif (misalnya tiga keseimbangan momen, atau satu keseimbangan gaya dan dua keseimbangan momen, dan sebagainya). Untuk jelasnya, tinjaulah kembali struktur dalam Gambar 7.5 yang digambarkan kembali dalam Gambar 7. 6 serta akan dianalisis dengan cara potongan. Potongan 1-1 dalam Gambar 7.6b, memunculkan gaya 51, 52, dan R8 v, yang dengan penerapan keseimbangan atas badan bebas BC menghasilkan
LMz (terhadap titik A) = 0 � -P . L + 51 . 0 + 52 0 + RBV . L = 0 LMz (terhadap titik C) = 0 � +P . 0 + 51 . 0 - 52 . L + RBV . L = 0 LMz (terhadap titik B) = 0 � -P . L + 5 1 . L + 52 . 0 + RBV 0 = 0 .
.
(a) (b) (c)
(7. 11)
Perhatikan bahwa badan bebas yang diperoleh dengan potongan 1-1 adalah gabungan badan bebas titik simpul C dan B di satu pihak dan badan bebas titik simpul A sebagai bagian sisa struktur. Persamaan (7.11a) menghasilkan nilai R 8 v yang kemudian dimasukkan ke Persamaan (7.11b) untuk menghitung nilai 52, dan akhimya dengan memasukkan nilai-nilai yang sudah didapat ke dalam Persamaan (7.11c), nilai 5 1 didapatkan. Jadi,
R BV = +P 52 = +P 51 = +P
(7. 12)
Kemudian, potongan 11-11 akan memunculkan gaya reaksi 51 dan 52 dalam badan bebas seperti dalam Gambar 7.6c. Perhatikan, karena ini adalah badan bebas titik, kita hanya mempunyai 2 persamaan keseimbangan, namun karena gaya 5 1 sudah terhitung dalam potongan
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
110
p
(c) badan bebas
(a! struktur
(b) badan bebas
Rsv
GAMBAR 7.6 Analisis Rangka Sederhana dengan Cara Potongan
1-1, hanya satu dari
2
persamaan itu yang perlu digunakan, satunya lagi dapat digunakan sebagai kontrol. Dengan menggunakan keseimbangan horizontal diperoleh
+P + 53
yang memberikan
cos
(7. 13)
P _ -P.fi 53 = - _ cos
(7.14)
Perhitungan kontrol berupa keseimbangan di arah vertikal adalah
L. Fv = - 51 - 53 =
- (+ P ) -
(
s}n
p sin
J
= 0
(OK)
(7.1 5)
Cara sama dapat dilakukan untuk menghitung RAv dan R AH lewat potongan 1-1 dengan melihat ke bawah (batang bebas titik simpul A).
7.8 ANALISIS RANGKA SE DE RHANA DENGAN CARA GRAFIS Cara ini menggunakan ketelitian penggambaran poligon gaya yang berkeseimbangan, seperti telah dibahas dalam Bab 3. Cara ini lazimnya dimulai dengan penentuan reaksi perletakan dengan cara grafis, dengan catatan bahwa gaya-gaya luar yang bekerja diresultantakan terlebih dahulu. Gaya resultanta ini diseimbangkan secara poligon dengan gaya reaksi perletakan. Kemudian, keseimbangan gaya pada titik demi titik dapat digambarkan, dengan mengingat bahwa untuk setiap titik yang diproses, paling banyak diperoleh (atau dihadapi) dua besaran yang belum diketahui. Untuk jelasnya, kita menggunakan lagi struktur dalam Gambar 7.5a sebagai contoh. Pertama, untuk mengetahui reaksi perletakan, kita melihat bahwa ada tiga gaya yang bekerja atas badan bebas keseluruhan struktur, yaitu P (dengan garis kerja mendatar), reaksi R8 v yang besarnya ditanyakan, namun dengan garis kerja yang diketahui yaitu vertikal dan berpotongan dengan garis kerja P di titik D. Agar tercapai keseimbangan, maka RA (sebagai resultanta atau gabungan dari R AH dan RA v ) yang belum diketahui besarnya, harus melalui titik D ini. Dengan menggambarkan poligon gaya secara teliti, baik arah maupun besar RA dan R8 v dapat ditentukan. RA ini kemudian dapat diuraikan atas RAH dan RA v seperti dalam Gambar 7.7b. Kemudian,
111
BAB 7 ANALISIS STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
p
-
p -
-
-
-
-
-
-
-
/
/
/
/
-
/
-
/
-
D/ /
:0 1
/ 2
!bi
(a)
p
(c)
(d)
(e)
GAMBAR 7 . 7 Analisis rangka sederhana dengan cara grafis
p
52 GAMBAR 7 . 8 Crernona Gaya
poligon keseimbangan dapat dimulai dari titik C, karena di titik ini hanya ada dua gaya reaksi yang belum diketahui. Dari sini, 5 1 dan 53 dapat ditetapkan, seperti dalam Gambar 7.7c. Dari titik C kita berpindah ke titik B, dengan memindahkan 53 dengan arah yang terbalik (karena 53 untuk keseimbangan di titik C dan keseimbangan titik B, mempunyai garis kerja dan besar sama, namun arah berlawanan). Poligon keseimbangan gaya di B terlihat pada Gambar 7-. 7d, untuk menetapkan besarnya 52, dan kontrol untuk R8v (yang sudah dihitung dalam poligon keseluruhan struktur). Demikian juga dapat digambarkan poligon di titik A, tetapi ini semua hanya sebagai kontrol, karena ketiga gaya 51, 52, dan RA sebenarnya telah ditetapkan. Poligon dalam Gambar 7.7e hanya bermanfaat sebagai kontrol ketelitian penggambaran. Agar lebih efisien, semua poligon gaya dalam Gambar 7.7 dapat ditumpukkan menjadi satu, yaitu dinamakan gambar Cremona gaya-gaya, seperti dalam Gambar 7.8. Cara ini cukup
112
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
b
p
a
c (b)
GAMBAR 7.9 Analisis Rangka Sederhana Dengan Cara Maxwell
rnenghernat pekerjaan dan rneningkatkan ketelitian, karena kita tidak perlu rnenggarnbarkan satu gaya beberapa kali dengan cara pernindahan vektor, rnisalnya, pernindahan vektor R 8 v dari garnbar b ke garnbar d. Proses pernindahan vektor seperti ini tentunya dapat rnengundang kesalahan. Kekurangan cara Crernona adalah bahwa kita tidak dapat rnenggarnbarkan arah gaya dalarn, sebab akan berlawanan untuk poligon gaya untuk dua titik bersebelahan yang dlsarnbungkan oleh batang yang rnerniliki gaya itu (rnisalnya 51 terhadap titik A dan C). Ini disernpumakan dengan cara Maxwell sebagai berikut. Pertarna-tarna, berilah sirnbol pengenal bagi subbidang struktur yang dibatasi oleh gaya gaya, yaitu sub-bidang a (dibatasi oleh P, 51, dan RA ), sub-bidang b (dibatasi oleh P, R 8 v, dan 53), sub-bidang c (dibatasi oleh R 8 v, 52, dan RA ), dan sub-bidang d (dibatasi oleh 51, 52, dan 53) seperti dalarn Garnbar 7.9a. Setelah itu, sesuai dengan perputaran positif (dari surnbu X positif ke Y positif, jadi putaran vektorial ke arah Z positif), rnulailah dilakukan penggarnbaran poligon, rnisalnya dari titik C. Dengan rnernulai dari bidang b, ke a lalu ke d, kita rnenggarnbarkan poligon gaya di titik C. Dirnulai dari titik b dalarn poligon Garnbar 7.9b, kita rnenggarnbarkan a di ujung gaya P, lalu ke d, dan berakhir di b. Jadi, subbidang pada Garnbar 7.9a diawali oleh titik pada poligon gaya Garnbar 7.9b. Sekarang kita pindah ke titik B dalarn Garnbar 7.9a. Gaya 53 (yang diwakili oleh segrnen bd dalarn Garnbar 7.9b), kita rnenggarnbarkan poligon gaya di titik B rnulai dari b, ke d, ke c lalu balik ke b. Segrnen cd rnewakili 52 dalarn Garnbar 7.9a. Akhimya, untuk titikA, kita rnulai dari d, ke a, lalu ke c dan balik ke d. Segrnen ac dalarn Garnbar 7.9b rnernberikan RA . Lihat Garnbar 7.9 untuk jelasnya. Lihat bahwa kecuali gaya luar P sebagai perrnulaan, kita tidak rnernbubuhkan arah (tanda panah) dalarn poligon gaya. Sekarang, kita ingin rnenerapkan garnbar poligon Maxwell untuk rnenentukan tanda (arah) gaya, rnisalnya 53. Dalarn keseirnbangan di titik C, kita bergerak dari d ke b, dalarn Garnbar 7.9b arah d � b rnengarah ke titik C. Dalarn keseirnbangan titik B, kita bergerak dari petak b ke d, yang dalarn Garnbar 7.9b, gerakan b � d rnengarah ke titik B. Ini digarnbarkan dalarn Garnbar 7.10. Dari pengarnatan ini, gaya 53 sebesar garis segrnen bd dalarn Garnbar 7.9b, berupa gaya tekan untuk batang 3 (BC). Cara serupa dapat digunakan untuk rnenentukan jenis gaya dalarn pada batang lainnya (apakah tekan atau tarik), dan arah reaksi perletakan.
113
BAB 7 ANALISIS STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
GAMBAR 7 . 1 0 Penentuan Tanda Gaya Menurut Cara Maxwell
;
Perhatikan bahwa cara grafis di atas menggunakan badan bebas titik simpul atau badan bebas parsial yang digunakan dalam cara-cara analitis (metoda titik simpul ataupun potongan). Namun, daripada menggunakan persamaan aljabar, cara grafis menggunakan cara penggambaran dalam meninjau keseimbangan badan-badan bebas tersebut.
7 . 9 ANALISIS RAN G KA SEDE RHANA DE NGAN CARA TU KAR BATANG Dalam terapan dapat dihadapi kasus dengan struktur rangka. merupakan sistem statis tentu; namun batang-batang tersusun sedemikian hingga cara titik simpul atau cara potongan tidak dapat segera diterapkan. Jika reaksi perletakan sudah dihittmg dan diperlakukan sebagai gaya luar pada struktur, namun tidak ada satupun titik buhul yang memiliki maksimum dua batang untuk diambil sebagai titik permulaan peninjauan keseimbangan. Cara potongan pun, tidak dapat segera dimulai, karena tidak ada potongan sebagian yang diperoleh mengandung maksimal tiga batang terpotong, atau titik dengan maksimum dua batang terpotong. Cara untuk dapat mengatasi kasus semacam ini adalah dengan cara pertukaran batang. Untuk jelasnya, penyajian cara ini diberikan langsung dengan memberikan contoh. Tinjaulah suatu rangka sederhana yang terdiri atas 6 titik simpul dan 9 batang seperti dalam Gambar 7.1la, dengan batang diagonal AF, BE, dan CD saling bersilangan (tidak berpotongan). Cara potongan tidak berhasil diterapkan terhadap sistem ini. Dengan memeriksa ketidaktentuan statis sistem, terlihat bahwa jumlah kekangan ada 3, sehingga j = 6, m = 9 dan r = 3, yang memberikan
s=9-2x6+3=0
(7.16)
Dengan demikian, sistem stabil dan statis tentu, sehingga seyogianya dapat dianalisis dengan statika. Dengan memperlakukan sistem struktur ini sebagaimana adanya, kita tidak akan berhasil untuk mengambil potongan yang dapat membuahkan hasil. Sekarang, pindahkanlah batang 5 ke garis DB, sehingga didapatkan sistem modifikasi yang stabil dan statis tentu seperti dalam Gambar 7.1lb. Dengan segera kita melihat bahwa gaya gaya dalam dan reaksi perletakan dapat dihitung dengan cara potongan,
Op
o _ Si - Cl.; ,
i
= 1,
dengan a. ? adalah gaya pada batang ke-i akibat batang 5 (segmen CD) telah dipindahkan.
2, . . . , 10
(7.17)
P sebesar satu satuan gaya, dan a.g = 0 karena
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
114
B
(a) sistem
2
(b) sistem modifikasi beban luar B
A
2
c
(c) sistem modifikasi dengan gaya dalam bentang terpindah GAMBAR 7. 1 1 Analisis Rangka Sederhana dengan Cara Tukar Batang
Kemudian, dalam garis kerja batang 5 yang dipindahkan, dikerjakan gaya X; yang merupakan gaya yang semestinya timbul pada batang 5 tersebut dalam sistem Gamba_r 7.lla, Akibat gaya X ini, diperoleh gaya batang
Sf = a. fX,
10 (7.18) = 1, 2, dengan af adalah gaya pada batang ke-i akibat X sebesar satu satuan gaya, dan a5 = 1.0. Gaya total batang akibat P dan X menjadi i
.
.
.
I
(7.19) Agar sistem dalam Gambar 7.11b dan 7.11c dapat mewakili sistem yang sebenamya dalam Gambar 7.l la, maka gaya total dalam batang tambahan, yaitu batang 10 (segmen BD) harus bemilai nol, karena batang 10 tidak ada dalam sistem struktur sebenamya. Jadi,
(7.20) yang memberikan
0 X = - . a. 10 p afo
(7.21)
Akhimya, gaya-gaya dalam seluruh batang diperoleh dengan melakukan superposisi dari kasus Gambar 7.l lb dan 7.11, sehingga sl.
_
-
[0 (1. . l
-
0 (1. 10 (1. . (1. 1 0
-
X
X l
]p = (1. .p -
l
(7.22)
115
BAB 7 ANALISIS STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
lABEL 7 . 1 Daftar Gaya Batang Cara Tukar Batang
5
0
7
0
6
8
+1
0
p
0
0
9'
0
10
Perhitungan dapat disajikan secara tabelaris seperti dalam Tabel 7.1 . Kolom pertama adalah nomor batangl sedangkan kolom kedual ketigal dan keempat masing-masing berisikan a? af 1 dan a;. Dari tabel didapat I
�
a 0 =
a�o sehingga
ai
=
+ im {.J?
-
(7.23)
dapat dihitung untuk seluruh batang sesuai dengan Persamaan (7.22).
Dalam menerapkan cara tukar batang, perlu diberikan beberapa hal yang perlu diperhatikan.
Pertama, pemindahan batang dilakukan dengan pengamatan, yaitu suatu langkah yang
berdasarkan uji-coba, sebab tidak akan segera tampak batang mana yang perlu dipindahkanl dan ke mana harus dipindahkan. Kedua, pemindahan batang dapat berakibat sebagian sistem menjadi labil, sementara bagian lainnya j ustru menjadi lebih kompleks.
7. 1 0
KONSEP BATANG NOL
Batang nol adalah batang dengan gay a dalam yang bemilai nol akibat beban luar yang ada. Dalam perhitungan analisis1 gaya batang bemilai nol ini akan diperoleh secara natural setelah mendapatkan hasil akhir. Namunl sangatlah memudahkan jika batang-batang nol langsung diketahui pada saat pertama sebelum analisis dimulai1 atau minimal sebagai kontrol terhadap hasil perhitungan yang dilakukan dengan sementara menganggap semua batang aktif. Untuk jelasnyal tinjaulah suatu titik buhul dengan beberapa ujung batang yang bertemul seperti dalam Gambar 7.12a. Keseimbangan dalam arah X dan Y memberikan n
H + }:,S; cos a; V+
i=l n
I,S;
i=l
sin a;
=0 =0
(7.24)
r
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
116
y
V
0
(a)
(ii)
(i)
(iv)
(iii)
(b) GAMBAR 7. 1 2 Konsep Batang Nol
dengan keseimbangan momen otomatis dipenuhi, karena semua gaya konkuren. Sekarang kita tinjau beberapa kasus sebagai berikut.
(a) Titik Simpul Pertemuan Tiga Batang Jika dua batang segaris, dan dengan absennya gaya luar pada titik simpul, maka batang lainnya menjadi batang nol, karena tidak ada gaya batang yang dapat mengimbanginya. Hadirnya gaya luar pada titik simpul di arah dua batang segaris, tetap menjadikan batang ketiga sebagai batang nol.
(b) Titik Simpul Pertemuan Dua Batang Tanpa beban luar, dua batang tidak segaris akan menjadi batang nol. Kehadiran beban luar di arah satu batang akan menjadikan batang lainnya sebagai batang nol. Sebagai konsekuensi, jika tiga batang tidak saling segaris dalam Gambar 7.12b (iii), tanpa kehadiran gaya luar pada titik simpul, maka jika salah satu gaya nol, dua gaya lainnya pun menjadi nol. Sekarang, kita akan mendemonstrasikan keampuhan konsep batang nol. Tinjaulah sistem struktur dalam Gambar 7.l la yang telah diselesaikan secara ekstensif dengan tukar batang. Pertama, tinjaulah titik B dengan batang 1 dan 2 segaris dan tegak lurus batang 3. Dengan
BAB 7 ANALffiffi STRUKTUR RANGKA SED�A
117
absennya gaya luar di titik B, kita segera melihat bahwa 53 = 0. Sebagai konsekuensi logis, titik E tanpa gaya luar dengan batang 3 sebagai batang nol bertemu tidak saling segaris dengan batang 8 dan 9, mendiktekan bahwa 58 = 59 = 0, sehingga batang 8 dan 9 adalah batang nol. Kita sekarang pindah ke titik
F, dengan reaksi RFv segaris dengan batang 7. Karena batang
9 adalah batang nol (dari konklusi titik E), maka batang 4 juga harus menjadi batang nol. Selanjutnya pada titik A yang tanpa gaya luar, batang 6 juga harus menjadi batang nol, demikian juga batang 1 . Pindah ke titik B, batang 2 juga menjadi batang nol. Akhimya, tinggal batang 5 · dan 7 yang aktif memikul gaya luar P, dan inilah yang kita peroleh dengan cara tukar batang.
7 . 1 1 DAFTAR GAYA BATANG DAN REAKSI PERLETAKAN Dalam kasus sistem struktur dengan komponen balok, gaya-gaya luar dipikul struktur dengan mengerahkan gaya dalam yang berkaitan dengan ragam lentur, yaitu momen lentur dan gaya lintang. Umumnya, besamya komponen gaya dalam (momen dan lintang) bervariasi dari penampang ke penampang lain. Untuk dapat menetapkan besamya komponen gaya dalam pada suatu penampang tertentu yang kita minati, kita memanfaatkan bidang gaya dalam sebagaimana telah dibahas dalam Pasal 6.6. Berbeda dengan kasus sistem struktur dengan balok, maka dalam kasus sistem struktur rangka sederhana (sendi), gaya dalam yang timbul pada masing-masing batang, mempunyai besar yang tetap (seragam). Dengan demikian, ketimbang bidang gaya dalam, kita menggunakan penyajian nilai gaya-gaya reaksi dalam, berupa suatu daftar nilai reaksi berbentuk tabel. Dalam tabel ini, disajikan nilai-nilai gaya reaksi dalam, yang dikelompokkan atas gaya reaksi yang positif (tarik) dan negatif (tekan), nilai reaksi perletakan juga dapat disertakan dalam daftar gaya batang tersebut.
7 . 1 2 CO NTOH PEN ERAPAN Berikut ini disajikan beberapa contoh penerapan analisis struktur rangka sederhana. Sajian diatur dalam urutan yang sistematis, sedemikian hingga pembaca mendapatkan pendalaman serta penguasaan teknik solusi yang baik. Secara garis besar, prosedur analisis perhitungan disajikan dalam urut-urutan langkah sebagai berikut.
(a)
Penggambaran data sistem struktur, lengkap dengan bentuk, ukuran, serta gaya luar dan reaksi perletakan yang ada.
(b)
Penentuan model diskrit struktur, yang mencakup jumlah elemen batang, dan titik simpul.
(c) Penentuan ketidaktentuan statis struktur, ke dalam maupun ke luar. Jika sistem struktur statis tentu, ke luar ataupun ke dalam, dapat digunakan cara yang biasa (analitis, potongan, atau grafis). Jika tidak, kemungkinan harus digunakan sistem tukar batang, atau cara lain yang dapat membantu berlangsungnya proses analisis. (d) Analisis dilakukan untuk menghitung besar gaya-gaya, termasuk reaksi gaya dalam dan perletakan.
(e)
Hasil akhir dapat disusun secara sistematis dalam daftar gaya batang.
CONTOH 7 . 1 : Sistem rangka sendi dalam Gambar 7.13 ingin dianalisis untuk menentukan
reaksi perletakan serta gaya dalam yang timbul akibat beban luar P = 1000 N pada titik ujung B. Buatlah daftar gaya dalam batang sebagai fungsi gaya P untuk H = 5 m, dan L = 12 m.
r
118
MEKANIKA TEKNIK STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
y
�----- L --------��
B p
(a) sistern struktur
(b) reaksi perletakan
(c) badan bebas potongan GAMBAR 7. 1 3 Struktur Contoh Soal 7.1
Penyelesaian Sistem struktur terlihat dalam Gambar 7. 13a, dengan model diskrit dan reaksi perletakan RAH' RA V' dan R CH seperti dalam gambar b. Titik simpul adalah titik A, B, dan C, dengan batang AB, BC, dan CA berturutan sebagai batang pendel 1, 2, dan 3. Ketidaktentuan statis sistem struktur dapat ditentukan sesuai bahasan Pasal 7.4, dengan jumlah elemen m = 3, jumlah titik simpul j = 3, jumlah kekangan r = 3 (horizontal dan vertikal di A, dan horizontal di C), sehingga jumlah persamaan keseimbangan e = 2 x j + m = 2 x 3 + 3 = 9. Dengan jumlah komponen gaya f= 2 x m + r = 2 x 3 + 3 = 9, maka sistem adalah statis tentu. Dengan ini, sistem struktur siap dianalisis, dengan berbagai cara yang tersedia. Cara potongan diperlihatkan dalam Gambar 7.13c. Analisis dimulai dengan atau tanpa menghitung gaya reaksi perletakan terlebih dahulu, karena jika kita teliti, penerapan keseimbangan gaya, yang dimulai dari titik B, lalu berpindah ke C, dan akhimya ke titik A, dapat menghitung 5 1, 52, Rcw dan 53, serta RAH dan RA v secara berturutan. Perhatikan juga, bahwa karena dalam hal ini kita meninjau keseimbangan badan bebas titik simpul, hanya tersedia dua persamaan keseimbangan yaitu keseimbangan gaya di arah X dan Y. Keseimbangan gaya-gaya di
Di titik
B pada masing-masing arah X dan Y memberikan -52 cos a - 51 = 0 -52 sin a - P = 0
C, cara yang sama memberikan hubungan RcH + 52 cos a = 0 52 sin a - 53 = 0
(7.25)
(7.26)
119
DAB 7 ANALISIS STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
dan untuk titik
A,
RAH + 5 1 = 0 RA V - 53 = 0
(7.27)
Sistem Persamaan (7.25) hingga (7.27) menghasilkan reaksi dalam batang sebesar
5 1 = +P cot a ; 52 = -P cosec a ; 53 = +P
(7.28)
dan reaksi perletakan sebesar
RAH = -P cot a ; RA v = +P ; RcH = +P cot a Untuk cot a =
(7.29)
L = 12 meter dan H 5 meter, kita peroleh besar sudut sedemikian Jt, dan cosec a = Jt, dan gaya-gaya dalam dan reaksi perletakan menjadi a
=
51 = + 1; RAH = - �2
p ; 52 = - V p 53 = +P RCH = + � P p ; RAv = + P
hingga
(7.30)
yang disajikan dalam Tabel 7.2 TABEL 7.2 Gaya Dalam clan Reaksi Perletakan, Contoh Soal 7 . 1
Batan g /Reaksi 1
2.400
3
1.000
RAV
1.000
RCIJ
2.400
2 RAH
� c
2.400
p
B
a
J·----
2.600
garis kerja 51
p
garis kerja S3 . ?> S 1.
· s'f.e�
'?:,?>1-'i
-
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
garis kerja
RcH
(a) garis kerja reaksi
=J
D (b) diagram Maxwell
GAMBAR 7. 1 4 Cara Solusi Grafis Maxwell, Contoh Soal 7.1
Penyelesaian dengan cara grafis diberikan dalam Gambar 7.14. Pertama-tama, pada sistem rangka bidang (dua dimensi) semacam ini, dengan garis kerja gaya P dan RcH yang diketahui berpotongan di titik D dalam gambar a, maka garis kerja reaksi sendi RA (sebagai gabungan RA H dan RA v), juga harus melalui titik D tersebut, demi persyaratan keseimbangan struktur secara keseluruhan.
1.20
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Selanjutnya, bidang gambar struktur yang dibatasi oleh garis-garis kerja RA, P, Rcw 51, 52, dan 53' dinyatakan dengan huruf a, b, e, dan d seperti dalam gambar (a). Kemudian, keseimbangan gaya RA, P, dan RcH digambarkan secara grafis dengan memulai dari titik b, ke a dengan gaya P yang diskalakan sebesar segmen ba dalam gambar (b), sebagai pembatas bidang b dan a dalam gambar (a). Dari titik a ke titik b dalam gambar (b), dilukiskan garis sejajar garis kerja RA, lalu dari b digariskan segmen be yang sejajar garis kerja Rcw Dengan tergambamya poligon bae dalam gambar (b), besar gaya RA dan RcH telah tertentukan. Perbandingan panjang garis be dan ba relatif terhadap garis ba, berturutan memberikan perbandingan besar RcH dan RA relatif terhadap gaya P, yaitu koefisien dalam Tabel 7.2 nantinya. Besamya gaya 51, dan 53 dapat ditentukan dengan cara penggambaran poligon gaya di titik dimulai dari titik a, ke e dan ke d kembali ke a, dengan segmen garis ed dan da masing masing digambarkan sejajar garis kerja 53 dan garis kerja 51• Dengan ditetapkannya titik a, b, e, dan d dalam gambar (b), ditemukan pula besar gaya-gaya 51, 52, 53' Rcw dan RA' dengan RAH dan RA v yang dapat diperoleh sebagai uraian RA di masing-masing arah horizontal dan vertikal (yaitu, sebesar segmen garis ed dan da).
A,
Tanda gaya dalam 51, 52, dan 53 dapat ditentukan dengan menggunakan diagram Maxwell dalam gambar (b). Sebagai contoh, untuk mendapatkan besar 51, di titik B kita harus beranjak dari bidang a ke bidang d dalam gambar (a), atau dari titik a ke titik d dalam gambar (b). Arah a ke d dalam gambar (b), mengarah ke titik B dalam gambar (a). Dengan demikian, 51 adalah gaya tekan, dan demikian seterusnya untuk gaya-gaya dalam lainnya. Tidak berlebihan jika ditekankan sekali lagi bahwa hasil sepenuhnya diandalkan atas ketelitian penggambaran garis-garis sejajar dengan garis-garis kerja gaya dari gambar (a) ke gambar (b). Besar gaya-gaya reaksi pun harus diandalkan atas ketelitian pengukuran segmen segmen garis dalam gambar (b), sekalipun untuk sudut yang mudah atau perbandingan segmen garis yang mudah (dalam hal contoh soal ini, perbandingan 5 : 12 : 13 yang mudah/khusus). Biasakanlah untuk memperoleh besar gaya-gaya dengan jalan pengukuran secara langsung besar segmen dalam gambar, bukan dengan jalan perbandingan geometri. Ini cukup dalam ketelitian penggambaran. CONTOH 7 . 2 : Sistem struktur rangka bidang sederhana dalam Gambar 7.15 ingin dianalisis
dengan cara potongan. Hitung dan susunlah gaya-gaya dalam dan reaksi perletakan dalam tabel, untuk kasus L = 3 meter, H = 4 meter dan V = P, sebagai kelipatan gaya horizontal P.
y
(b) badan bebas
(a) sistem struktur
GAMBAR 7 . 1 5 Struktur Contoh Soal 7.2
122
MEKANIKA TEKNII<: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
TABEL 7.3 Daftar Gava Batanl! dan Reaksi Perletakan, Contoh Soal 7.2
Gaya
p
1
(7.34) untuk menghitung 52 dan 56, dan dalam Persamaan (7.35) untuk menentukan 57• Dengan itu, salah satu dari Persamaan (7.35) dan kedua persamaan dalam (7.36) akhimya berfungsi sebagai kontrol/pemeriksaan kebenaran proses perhitungan. Akhimya, untuk L = 3 meter dan
H = 4 meter, berikut.
.!1, = t,
cos a
= -!, dan sin a = f ,
RAH = - P sl = _ 2... 24 p 54 = + .2.8 P
RAv Sz Ss
'
dan jika
= l..6 p = -t P = + tP
V = P,
Ro v
53 56 57
diperoleh hasil akhir sebagai
= .2.6 p = -�P = + i4 P
(7.37)
+� P
Pemasukan hasil dalam (7.37) dapat dilakukan atas Persamaan (7.36) sebagai langkah pemeriksaan.
-Ss - 56 cos a + 57 cos a + 54 = -(fP) - (�P)(!) + (1tPX!) + (tP) = 0
56 sin a + 57
sin a
- V = (-frP)(f) + (1tP)(f) - P = 0
(OK)
(OK)
(7.38)
Hasil akhir disusun secara tabelaris dalam Tabel 7.3. CONTOH 7 . 3 : Sistem struktur dalam Gambar 7.16 ingin dianalisis dengan cara potongan.
Susunlah gaya batang dan reaksi p�rletakan dalam suatu tabel, dan berikan komentar atas hasil yang diperoleh, dalam kaitan dengan konsep batang nol dalam Pasal 7.10.
Penyelesaian: Sistem struktur dan beban luar, serta pengambilan model diskrit yang membagi struktur atas 10 elemen batang dan 7 titik simpul diperlihatkan dalam Gambar 7.16a. Dengan 4 kekangan pada perletakan A dan E, kita memperoleh m = 10, j = 7, dan r = 4; sehingga, e = 2 x j + m =
123
BAB 7 ANALffiffi STRUKTUR RANGKA SEDEruKANA
B
Ri
A
(b) badan bebas total
(a) gambar struktur
Rev
E
BH RE v
(c) badan bebas parsial
GAMBAR 7 . 1 6 Contoh Soal 7.3
2 x 7 + 10 = 24, danf = 2 x m + r = 2 x 10 + 4 = 24 yang menunjukkan sistem adalah statis tentu. Selanjutnya, untuk sistem bidang (dua dimensi) semacam ini, ada 3 persamaan keseimbangan; dengan 4 reaksi perletakan, kita tidak dapat menghitung keempat reaksi tersebut hanya dengan menggunakan badan bebas total seperti dalam gambar (b). Satu persamaan tambahan lainnya, harus diperoleh dari keseimbangan badan bebas parsial; misalnya, dari badan bebas setengah belahan kiri seperti dalam gambar (c). Sekali kita mendapatkan nilai reaksi perletakan, perhitungan reaksi batang hanyalah merupakan langkah rutin saja. Pertama, keseimbangan momen terhadap titik E, momen terhadap titik A, dan keseimbangan gaya horizontal badan bebas total gambar (b), memberikan
-(RAV)(2L) + P(L) = 0 -(P)(L) + (RE v)(2L) = 0 R AH + REH = 0
(7.39)
Satu persamaan tambahan dapat diperoleh dari gambar (c), yaitu keseimbangan momen terhadap titik C. lni adalah pilihan paling taktis, yaitu agar besaran RcH dan Rev yang belum diketahui, tidak muncul dalam persamaan tambahan. Dengan demikian, diperoleh (7.40)
124
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Karena RAH
=
pf,:; dari Persamaan
(7.39) dan (7.40) diperoleh
2{3 REH = - {3
2-v 3
RAH =
2
tP
;
RAv =
;
REv = t P
(3.41)
Langkah berikutnya adalah penentuan gaya-gaya dalam semua batang. Demi efisiensi perhitungan, sifat simetri sistem struktur dan gaya luar dapat dimanfaatkan. Kita cukup menentukan gaya dalam pada batang-batang sebelah kiri sistem saja, karena kita melihat bahwa 5 1 = 54, 56 = 59' dan seterusnya. Dalam gambar (c), keseimbangan titik simpul dapat dimulai dari titik A karena dengan RA v dan RAH yang telah diketahui, tinggal 5 1 dan Ss yang perlu ditetapkan. Dari A, kita dapat berpindah ke titik B dan secara bersamaan. Setelah itu, barulah kita pindah ke titik C untuk menghitung nilai dari reaksi sendi ReH dan Rev di titik tersebut.
F
Keseimbangan gaya-gaya di arah
X dan RAH +
Ss sin 30°
Y titik
A mengharuskan bahwa
=0 RAv + 5 1 = 0
ss cos 60° +
Kriteria keseimbangan serupa yang diterapkan atas titik
(7.42)
B dan F berturut-turut memberikan
52 + 56 cos 60° = 0 -56 sin 60° - 51 = 0
(7.43)
dan
-56 cos 60° + 57 cos 60° - ss cos 60° = 56 sin 60° + 5 7 sin 60° - Ss sin 60° =
0 0
(7.44)
Dengan nilai RA v dan RAH yang telah dihitung, keenam persamaan dalam Persamaan (7.43) hingga (7.44) dapat digunakan untuk menetapkan 5 1. Ss, 56, 57, dan 52, dengan catatan bahwa salah satu dari enam persamaan berfungsi sebagai kontrol. Dengan demikian, diperoleh
51 = o
;
56
p = - -J3
52 =
0
Ss
=
0
p 57 = - -J3
(7.45)
Akhirnya, reaksi sendi C dapat dihitung dengan meninjau keseimbangan titik simpul pada badan bebas belahan kiri gambar (c) .
-52 - 57 cos -57 cos
60° 30°
+ +
ReH = Rev =
0 0
C
(7.46)
yang menghasilkan
p RCH = - -J3 2
p Rev = - 2 Hasil perhitungan disusun dalam Tabel 7.4.
(7.47)
125
BAB 7 ANALISIS STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
lABEL 7.4 Daftar Gaya, Contoh Soal 7.3
Gaya
I
51
0 0
53
0
54
0
56
0
55
p
57
SB 59
510
Proses perhitungan dapat disederhanakan dengan memanfaatkan konsep batang nol. Untuk memulai, kita memeriksa bahwa pada titik simpul F, keseimbangan gaya di arah garis yang tegak lurus sumbu batang 5 dan 7, hanya dipengaruhi oleh batang 6. Dengan demikian, 56 = 0. Kita berpindah ke titik B yang tanpa beban luar. Keseimbangan gaya di arah sumbu Y, menghasilkan 51 = 0, karena batang 6 adalah batang nol. Keseimbangan gaya di arah X memberikan 52 = 0. Dengan demikian, yang aktif hanyalah batang 5, 7, 8, dan 10 yang langsung menyalurkan gaya P ke perletakan A dan E, dengan 55 = 57 dan 58 = 510. CONTOH 7 .4 : Struktur rangka jembatan berlantai bawah (lantai berada pada level batang
batang tepi bawah) dalam Gambar 7. 1 7a, adalah rangka dengan batang vertikal dan diagonal berbentuk K. Dengan metoda potongan, diminta untuk menghitung gaya-gaya dalam dan reaksi perletakan akibat gaya terpusat P di tengah jembatan.
Penyelesaian : Dengan model diskrit seperti dalam Gambar 7.17a, dihadapi jumlah elemen m = 25, jumlah titik simpul j = 14, dan kekangan r = 3. Dengan demikian, e = 2 x j + m = 2 x 14 + 25 = 53, dan f = 2 x m + r = 2 x 25 + 3 = 53, struktur adalah statis tentu, sehingga penggunaan statika dimungkinkan dalam analisis penentuan gaya dalam dan reaksi perletakan. Struktur rangka dengan rusuk pengaku berbentuk K semacam ini memiliki sifat khas, berkaitan dengan menumpuknya jumlah elemen dengan ujung yang bertemu, khususnya pada titik simpul berbentuk K. Setelah penentuan reaksi perletakan dengan peninjauan keseimbangan badan bebas struktur total, penentuan gaya-gaya batang umumnya tidak dapat dilakukan hanya dengan peninjauan keseimbangan badan bebas titik simpul. Untuk ini, peninjauan badan bebas untuk beberapa potongan tertentu yang berbeda-beda, dapat dilakukan. Dalam kaitan ini, mengumpulnya banyak batang pada titik simpul tertentu, justru akan dimanfaatkan dalam proses peninjauan badan bebas parsial seperti akan dibahas berikut.
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
126 y
p (a) struktur
(b) badan bebas potongan I-I
(c) badan bebas potongan II-II
GAMBAR 7. 1 7 Struktur Contoh Soal 7.4
Pertama, peninjauan keseimbangan struktur total memberikan reaksi perletakan
RAH - O · RAV - ..l.2 P · REV -- ..l.p 2 I
I
(7.48)
Jika kita mencoba penentuan gaya batang dengan badan bebas titik simpul, mulai dari A dan atau E, maka kita dapat menentukan S1 dan S5, serta S 4 dan 513• Namun, titik simpul B, F, D, ataupun J tidak dapat diproses karena pada titik-titik simpul tersebut terdapat gaya batang dengan j umlah yang melebihi dua. Untuk mengatasi kebuntuan ini, dicoba cara lain, yaitu dengan menggunakan badan bebas persial dalam gambar (b) dan (c). Untuk gambar (b), bertumpuknya garis kerja gaya-gaya pada titik B dan L dapat dimanfaatkan kini. Keseimbangan momen terhadap titik B dan titik L berturut-turut memberikan
-(RAv)(L) - (S23)(2L) = 0 -(RAv)(L) + (S2)(2L) = 0 yang menghasilkan
(7.49)
BAB 7 ANA�ffi STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
127
52 = + f RAv = + t P
S23
(7.50)
= - f RAv = - t P
Hal yang menarik adalah bahwa sekalipun badan bebas gambar (b) mempunyai 4 besaran yang belum diketahui (yaitu 52, 57, dan 523), kita dapat menggunakan badan bebas ini untuk menentukan 52 dan 523, namun dengan 57 dan 516 yang tetap belum terpecahkan. Ini karena garis kerja 3 gaya bertemu di titik B atau titik L. Berikutnya, kita meninjau badan bebas dalam gambar (c). Keseimbangan momen terhadap titik A mengharuskan
Sw
(�) + ( �)
(7.51 )
dan keseimbangan gaya vertikal mengharuskan
RAv - ss
517
=
o
(7.52)
Kedua persamaan di atas memberikan
Ss = -Sz3 -fi = +tP-/2 517 = -fP..fi
(7.53)
Setelah gaya dalam batang 8 dan 17 terhitung, gaya dalam batang 7 dan 16 dapat ditentukan dengan meninj au keseimbangan badan bebas titik simpul G. Perhitungan gaya-gaya ini serta semua gaya batang lainnya, diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. CONTOH 7 . 5 : Struktur rangka sederhana dalam Gambar 7.18, mempunyai dua diagonal yang
f
bersilangan (tidak berpotongan) satu sama lain. Tentukanlah ketidaktentuan statis sistem tersebut. Dari penemuan ini pastikan apakah cara statika cukup digunakan untuk analisis struktur.
Penyelesaian: Sistem struktur dimodel atas 4 titik simpul, 1 hingga 4 yang memberikan 6 elemen yaitu segmen 12, 23, 34, 14, 13, dan 24. Dengan demikian j 4 dan m = 6. Selanjutnya dipunyai reaksi perletakan sebanyak 3 buah, dua di titik 1 dan satu pada titik 2, sehingga r = 3. Berdasarkan model ini dil?l:flyai jumlah persamaan sebanyak e = 2 j + m = 2 x 4 + 6 = 14, sementara jumlah komponen real
=
y
GAMBAR 7 . 1 8 Struktur Contoh 7.5
1.28
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Menarik untuk melihat bahwa jumlah reaksi perletakan adalah tiga buah, sementara untuk badan bebas keseluruhan kita memiliki 3 buah persamaan keseimbangan (misalnya, dengan meninjau Llx = 0, �/y = 0, dan L,Mz = 0 terhadap titik 1). Dikatakan bahwa struktur adalah statis tentu ke luar, tetapi statis tidak tentu ke dalam. Dengan bermodalkan cara statika, kita hanya dapat berpuas diri mampu menghitung reaksi perletakan, tapi tidak demikian halnya dengan gaya-gaya reaksi batang. Karena itu, untuk dapat meneruskan analisis struktur ini dibutuhkan metoda analisis yang lebih tinggi, yaitu yang menggunakan kriteria deformasi atau perpindahan dalam mendapatkan satu persamaan tambahan. Materi ini berada di luar lingkup metoda statika.
7. 1 3 RANGKUMAN
• ••••
• •••••• •
• • •·•• ·•·•·• •••·•·
• •· ·
E
• •••••••
[[
.
•••••••• . . •· ··.··•· ········ .
,, •••••• •••••••••••••• •••••••••••••
...........
..
:·.
.
·······
i? .
•
} .· .
7. 1 4 SOAL-SOAL Dimintakan agar pengerjaan soal-soal didahului dengan peninjauan ketidaktentuan statis struktur yang dihadapi. Dalam kaitan ini, analisis hanya dilakukan atas struktur yang stabil dan statis tentu saja. Selain itu, jika tidak ditetapkan sebelumnya, maka insidens elemen yang digunakan dapat dipilih sebelum melakukan proses analisis. Soal 7.1: Sistem struktur rangka sederhana bidang (dua dimensi) dalam Gambar 7. 19 ingin dianalisis untuk menetapkan reaksi perletakan dan gaya batang akibat gaya terL pusat P pada titik buhul E. Dengan cara titik simpul, analisislah struktur tersebut, serta susunlah suatu daftar yang memuat - .�,.::;;._----o--....::.-.;;:=-o P besar dan tanda dari reaksi perletakan dan gaya-gaya batang 1 hingga 7. GAMBAR 7 . 1 9 Struktur Soal 7.1
T
1
129
BAB 7 ANALffiffi STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
p
jL-- L -----,f--
GAMBAR 7.20 Struktur Soal 7.2
L ---.11'--- L ------,1
GAMBAR 7.21 Struktur Soal 7.3
GAMBAR 7.22 Struktur Soal 7.4
Soal 7.2:
Sistem struktur yang terdiri atas lima batang pendel AC, CB, BD, AD, dan CD dibebani dua gaya terpusat horizontal dengan besar sama namun arah berlawanari. seperti dalam Gambar 7.20. Dengan cara gratis Maxwell, tentukan besar serta tanda dari reaksi perletakan dan gaya-gaya batang yang timbul, serta susun dalam suatu daftar gaya.
Soal 7.3:
Suatu struktur rangka sederhana dua dimensi yang terdiri atas sembilan batang, diberikan dengan gaya-gaya luar seperti dalam Gambar 7.21. Dengan cara potongan menurut Ritter, analisislah struktur terhadap gaya luar yang b ekerja, untuk menghitung reaksi perletakan dan gaya batang yang kemudian susun dalam suatu daftar gaya.
Soal 7.4:
Suatu susunan sistem rangka sederhana yang menerus atas tiga perletakan, dibebani gaya terpusat P di titik hubung F seperti dalam Gambar 7.22. Hitung besar serta arah gaya reaksi yang timbul, serta susunlah suatu daftar gaya untuk itu. Lakukan analisis dengan cara potongan.
Soal 7.5: Suatu sistem pelengkung tiga sendi yang terbuat dari rangka sederhana dibebani dengan gaya luar seperti dalam Gambar 7.23. Dengan metoda keseimbangan, analisislah struktur tersebut dengan terlebih dahulu menghitung reaksi perletakan dan reaksi sendi F. Kemudian, hitunglah besar gaya-gaya batang dengan cara potongan dimana bagian ABCDEF dan FGHIJK masing-masing diisolir sebagai badan bebas. Susunlah daftar gaya batang untuk problem ini. Soal 7.6:
Struktur rangka sederhana bidang dalam Gambar 7.24 ingin dianalisis dengan cara potongan. Lakukanlah analisis lengkap untuk menentukan besar dan tanda reaksi perletakan dan gaya batang, serta kemudian disusun dalam suatu daftar gaya.
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
130
TL
t t' L
p
c
13
17
6 2
1 L
GAMBAR 7 . 23 Struktur Soal 7.5
T 1+ + L
B �-� G
L
L
p
I"---
L ----,!'--- L ---'7i
GAMBAR 7.24 Struktur Soal 7.6
1
+ 1 L
f--- L -t- L -f- L
+
L�
GAMBAR 7.25 Struktur Soal 7.7
Soal 7.7:
Struktur rangka sederhana bidang dalam Gambar 7.25 ingin dianalisis terhadap gaya terpusat P pada titik buhul G. Dengan mengamati kesinambungan topologi dan reaksi perletakan struktur, metoda analitis apa yang Saudara pilih untuk menyelesaikan problem ini? Jelaskan alasan Saudara. Susunlah daftar gaya untuk problem ini.
Soal 7.8:
Struktur rangka sederhana berbentuk rangka segi enam beraturan dengan batang batang diagonal yang saling bersilangan (tidak berpotongan) di pusat, dibebani gaya terpusat seperti dalam Gambar 7.26. Analisislah sistem struktur tersebut dengan salah satu metoda analitis. Susunlah daftar gaya untuk problem ini.
Soal 7.9: Struktur dalam Gambar 7.27 mirip dengan struktur yang telah dibahas dalam Soal 7.8, kecuali batang BD yang dihilangkan, dan perletakan menjadi sendi-sendi di titik B dan D. Analisislah sistem struktur tersebut untuk menyusun daftar gaya yang koresponden.
BAB 7 ANALffiffi STRUKTUR RANGKA SEDERHANA
131
p
�----- L ------�--- L----� GAMBAR 7.26 Struktur Soal 7.8
t'----- L -------+-- L --------,.1 GAMBAR 7.27 Struktur Soal 7.9
Soal 7.10: Struktur rangka sederhana bidang dalam Gambar 7.28 ingin dianalisis dengan metoda potongan. Lakukanlah analisis tersebut dan susunlah besar dan tanda gaya batang serta reaksi perletakan dalam suatu daftar gaya. Soal 7.11: Struktur rangka sederhana bidang yang dilengkapi dengan sistem rusuk dalam, seperti dalam Gambar 7.29, hendak dianalisis dengan metoda analitis. Cara apa yang Saudara pilih dan gunakan? Jelaskan alasan pemilihan tersebut. Kemudian, susun besar dan tanda gaya batang dan reaksi perletakan dalam satu daftar gaya.
GAMBAR 7.28 Struktur Soal 7.10
GAMBAR 7.29 Struktur Soal 7.11
..,
8. 1 AKSI PELENGKUNG Sistem pelengkrmg struktur terbuat dari segmen batang berbentuk lengkungan yang kontras jika dibandingkan dengan sistem struktur yang terbuat dari segmen batang lurus, misalnya balok sederhana ataupun balok menerus yang telah dibahas dalam Bab 6, atau dengan sistem rangka sederhana yang telah dibahas dalam Bab 7 terdahulu. Dalam struktur rangka sederhana, gaya-gaya aksial saja yang dimanfaatkan dalam memikul beban luar yang ditempatkan pada titik buhul. Dengan demikian, penampang batang-batang dirancang hanya rmtuk menahan gaya-gaya aksial (tarik ataupun tekan). Maka, kemampuan lentur batang-batang tidak dimanfaatkan rmtuk aktif memikul gaya luar pada struktur rangka sederhana. Dalam sistem balok trmggal mauprm balok menerus dengan batang lurus, struktur memikul beban luar lateral sepenuhnya dengan mengerahkan aksi lentur yang mencakup momen lentur dan gaya lintang. Aksi normal yang bekerja pada arah sumbu aksial batang yang ortogonal terhadap beban lateral, praktis tidak berperan serta dalam memikul beban luar semacam ini (kecuali misalnya dengan jalan mengatur perletakan rol menjadi miring). Dalam segmen batang lengkung, gaya aksial memiliki komponen yang membantu gaya lintang dan momen dalam memikul gaya lateral. Ini berbeda dengan kasus batang lurus, dimana gaya normal tidak memprmyai komponen yang dapat berperan serta memikul beban luar. Lihat Gambar 8.1 rmtuk penjelasan. Dalam kasus batang lengkrmg seperti terlihat dalam gambar
q
M N
! 1 11 11 11 1 1 11 1 1 l! 11 11 l
(a) batang melengkung GAMBAR 8. 1
q
(b) batang lurus Kombinasi Ragam Lentur dan Ragam Aksial
134
(a),
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
gaya
momen
(b) cfJ
N sin
M dan komponen veitikal V untuk memikul beban lateral q. Batang lurus dalam gambar
(a) dengan
dapat dipandang sebagai kasus khusus dari kasus gambar
=
gaya lateral. Sistem struktur pelengkung dengan demikian secara efisien dapat mengerahkan kemampuan aksial dan lentur untuk memikul beban lateral. Sistem struktur pelengkung peninggalan zaman keemasan peradaban dahulu, seperti Romawi, Byzantium, dan lain-lain yang masih bertahan hingga kini, merupakan bukti nyata ketangguhan sistem struktur pelengkung, yang akan dibahas
sepenuhnya dalam bab ini. Di antara sekian macam yang ada, hanya beberapa bentuk yang akan dibahas dalam kesempatan ini, namun dirasakan sebagai contoh yang cukup representatif.
8.2 GARIS TEKAN Sebelum melakukan analisis sistem struktur pelengkung secara rind, terlebih dahulu kita akan membahas suatu aspek penting dalam kaitan kerjasama lentur dan aksial seperti berikut ini.
berat
garis berat (a) segmen lengkung
(c) gaya dalam
(b) penampang
GAMBAR 8.2 Kombinasi Aksi Lentur dan Aksi Aksial
Pada setiap penampang, umumnya bekerja gaya dalam momen lentur, lintang dan normal. Terhadap garis berat penampang, efek normal tekan
N dan momen dapat dianggap sebagai
komponen suatu aksi normal N yang bekerja dengan eksentrisitas
e
terhitung dari garis berat
penampang, dan yang diberikan oleh
M e = -
(8.1)
N
Besar kecilnya eksentrisitas e ini tergantung nilai M dan N. Untuk e = 0, diberikan oleh M = 0, seperti kasus yang kita temukan pada batang lurus sistem struktur rangka sederhana. Untuk kasus balok sederhana dan balok menerus, kita hadapi keadaan dengan N = 0 yang memberikan
e
e
� oo. Garis menerus yang menghubungkan titik-titik yang diberikan oleh nilai
semua penampang, dinamakan garis tekan
(compression line)
untuk kasus
N sebagai gaya
tekan. Semakin kecil nilai e, semakin dekat garis tekan dari garis berat. Ini berarti bahwa batang
yang membentuk sistem struktur disusun secara efisien memikul beban luar yang ada dengan momen lentur yang relatif semakin kecil.
8.3 STRUKTUR PELENGKUNG LINGKARAN Sistem struktur pelengkung berbentuk lingkaran diperlihatkan dalam Gambar
berjari-jari R yang diambil berpusat pada titik 0, mempunyai persamaan
8.3. Lingkaran
(8.2)
BAB
8
ANALISIS STRUI
135
Dengan demikian, koefisien arah garis singgung menjadi
dy = X dx --y
(8.3)
R
sehingga X tan 8 = -
y sm () = - .
X
R
(8.4)
cos 8 = JL R
H ub ungan pelengkung
segmen d iferensial panj ang ds dan dx serta dy adalah
GAMBAR 8.3 Geometri pelengkung lingkaran
� = K� = - K � X y
�·�
ds = R d e
(8.6)
1 R y de = -dx X y = --d
(8.7)
Dalam kasus pelengkung lingkaran, kita akan menggunakan diferensial sudut pusat () yang diukur dari sumbu Y, dengan sehingga diperoleh
Setelah mendapatkan deskripsi geometri di atas, kita akan meninjau beberapa kasus pembebanan.
(a) Pelengkung Lingkaran dengan Beban Merata pada Proyeksi Horizontal
Dalam kasus ini, beban merata q0 diukur pada garis proyeksi horizontal seperti dalam Gambar 8.4. Untuk pelengkung setengah lingkaran berjari-jari R, keseimbangan badan bebas keseluruhan sistem menghasilkan (8.8)
R (1 - sin 9)
GAMBAR 8.4 Pelengkung lingkaran dengan beban merata pada proyeksi horisontal
136
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Pengambilan potongan fiktif untuk 8 dan meninjau keseimbangan badan bebas sebelah kanan, memberikan
Lfx =
0
� -Ne cos
8 - Q e sin 8 = 0
Lfx = 0 � Ne sin 8 - Q e cos 8 - q0R(l - sin 8) + R 8v = 0 LM2 = 0 � -Me + R8v R(l - sin 8) - f q0R2(1 - sin2 9) = ·
(8.9) 0
dengan keseimbangan momen diambil terhadap penampang potongan. Bentuk persamaan dalam (8.9) memberikan
N e = -qo R sin2 8 Qe = q0 R sin 8 cos
(8.10)
8
M e = J... qo R2 cos2 8 2
Bidang gaya dalam ini disajikan pada Gambar 8.5. Dapat ditambahkan bahwa garis tekan untuk kasus beban ini adalah (8. 1 1 )
1
1
GAMBAR 8.5 Bidang Gaya Dalam, Struktur Gambar 8.4
BAB
8
-·�
ANALISIS STRUKTUR PELENGKUNG
137
(b) Pelengkung Lingkaran dengan Bobot Sendiri Jika q0 adalah berat sendiri pelengkung per satuan panjang, maka diferensial beban vertikal segmen ds = R dO menjadi (8.12) dP = q0 ds = q0Rd9 •
Keseimbangan keseluruhan struktur mengharuskan bahwa
L, M2
(terhadap B)
=0 �
- RAv · (2R) +
L, M2
(terhadap A)
=0 �
- RBV · (2R) +
+f
f q0R2 (1 - sin 9)de = 0
+f
f q0R2(1 + sin O) de = 0
_.JL2
(8.13)
=0
sehingga, diperoleh (8.14) Untuk menetapkan gaya-gaya dalam, kita memotong pelengkung pada sudut 9, lalu kita meninjau suatu segmen panjang ds yang diberikan oleh ds
=
Rd�
(8.15)
dimana bekerja bobot sendiri berupa gaya vertikal dP serupa dengan Persamaan (8.9), menghasilkan -N 6 cos 9 + N (J sin e -
-M 6
Q (J
+ R 8v
sehingga diperoleh
Q6
·
N6
y
sin 9
=0
= Rq0d�.
+..!. 2 fq o
cos e + R BV - �
•
V
Rd�
Persamaan keseimbangan yang
=0
+f R(1 - sin 9) - fq0 R 2 (sin� - sin O)d�
=0
(8.16)
(J
=
-q0 RO sin 9 9
( -
Q 6 = + q 0 RO cos M e = q0 R 2 �
)
cos e - e cos e
(8.17)
Ne
i RBv
X
GAMBAR 8.6 Pelengkung Paruh Lingkaran dengan Bobot Sendiri
P"' ,
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
138
------ -- ---y
� A��
(- �, 0)
---+ 0
� x--�
��� x
GAMBAR 8.7 Geometri Pelengkung Parabola
8.4 STRUKTUR PELENGKUNG PARABOLA Analisis pelengkung parabola dapat dilakukan dengan cara serupa dengan analisis pelengkung lingkaran dalam paparan Pasal 8.3. Perbedaannya terletak dalam aspek geometri yang sedikit agak kompleks dalam kasus pelengkung berbentuk parabola. Untuk memulai, tinjaulah suatu pelengkung berbentuk parabola yang diberikan dalam Gambar 8.7, yang dinyatakan dalam fungsi
y=4
�� t)(� + t)
(8.18)
-
dengan f adalah tinggi titik puncak (crown ) terhitung dari garis penghubung kedua perletakan, dan L adalah panjang garis penghubung tersebut. Kita hanya akan membahas kasus dengan kedua perletakan berada pada keadaan datar pada sumbu X. Pada suatu potongan tampang (x, y), diperoleh koefisien arah garis singgung yang memiliki arah sesudut 4J, yang diberikan oleh tan 4J = sehingga, dapat diperoleh pula sin 4J
=
cos 4J =
Panjang segmen pelengkung
ds
:� = Y (�)
tan 4J
�1 + �1
(8.19)
-
tan2 4J
1
+ tan 2 4J
=
( ) ( )
- 4f � L 2L == ---r===== = 1==6� 2� x==2 f 1 + 2 2L L 1 �2 1 + 16l 2 L 2L
( )
(8.20)
ds yang diukur pada arah aksial balok, diberikan oleh
=
1+
( :�r
;
dx = �1 +
dan juga mempunyai hubungan dengan diferensial
ds = � cos 4J ds
=
_31!._ sin 4J
2 tan 4J
dx
(8.21)
dx dan dy dalam rumus (8.22)
BAB
8 ANAUSIS STRUKTUR
PELENGKUNG
139
Panjang pelengkung parabola dapat diperoleh dengan melakukan integrasi bentuk dalam Persamaan (8.21) untuk keseluruhan bentang L, yaitu �
-,- ---1 + tan 2 Jds = J2�r-
s =
� dx
L -z-
(8.23)
yang jika diselesaikan, memberikan
(8.24) Sekarang, tinjaulah suatu pelengkung parabola dengan suatu pola pembebanan sedemikian hingga muncul perletakan RAH' RAV' R8H dan R BV' seperti dalam Gambar 8.8a. Peninjauan keseimbangan badan bebas potongan seperti dalam Gambar 8.8b memberikan
Llx LlY
=
0
=0
�
Nx
-
CO S
� Nx sin (/J
cfJ -
Px0 = 0 0 Qx cos f/J + P = 0 y
-
Qx sin
tfJ +
(8.25)
dan � adalah berturut-turut komponen gaya di arah X, Y, dan momen terhadap dengan : titik potongah, dari bagian beban luar (termasuk reaksi perletakan) yang berada pada badan bebas potongan kanan, dengan nilai positif jika searah sumbu X, Y, dan Z positif. Solusi sistem persamaan dalam Persamaan (8.25) memberikan besar reaksi gaya dalam sebesar
P P 0, ,
M
P 0 cos tfJ Py0 sin f/J Q p 0 cos cp + py0 cos tfJ M =M0 NX
X
=
X
=
X
X
-
(8.26)
Z
px
y
(a) struktur dan beban
(b) badan bebas potongan
GAMBAR 8.8 Pelengkung Parabola dan Beban Luar
Persamaan (8.26) dapat digunakan untuk beberapa kasus pembebanan, khususnya beban yang memiliki bentuk analisis yang tetap sepanjang bentang. Berikut ini kita membahas kasus struktur pelengkung parabola dengan beban merata yang diukur pada proyeksi horizontal seperti terlihat dalam Gambar 8.9. Untuk kasus ini, reaksi perletakan dapat diperoleh dengan meninjau keseimbangan badan bebas total, sehingga diperoleh
r
140
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
(a) sistem struktur --
-l
-l
X
(b) badan bebas potongan
GAMBAR 8.9 Pelengkung Parabola dengan Beban Merata Proyeksi Horisontal
RAH RA
V
=0 =
R
BV
=
lq L 0
2
(8.27)
Karena beban luar mengambil bentuk analisis yang tetap untuk seluruh bentang L, maka Persamaan (8.26) dapat digunakan untuk menentukan nilai reaksi dalam untuk seluruh domain -
t
�x�t
·
Untuk hal ini
pO P: X
Mzo
-qo(� - x) + �qoL qox _ lqo(l:.. - x)z + l qoL(l:.. - x) �q0 (� - xX� + x)
= 0 = = =
=
2
2
2
(2.28)
2
Pemasukan hasil dalam Persamaan (8.28) ke dalam Persamaan (8.26) memberikan nilai gaya dalam sebesar
Nx Qx Mx
=
= =
-q0x + q0x �qo(� - x)(� + x) sin t/J
cos t/J
lq0L2
Untuk momen lentur maksimum, nilai ekstrim ini diberikan untuk maksimum
di
M = X
8
(8.29)
x
= 0, sebesar (8.30)
Sekarang, andaikanlah perletakan rol di titik B dimiringkan sedemikian hingga arah reaksi A dan B bersifat aksial pada ujung tersebut, seperti dalam Gambar 8.10. Untuk kasus ini,
BAB
8
141
ANAUSIS STRUKTUR PELENGKUNG
B
X
- RBH RBv t : Nx � RB x �Y� RBH RBVj ':::::3:::
(a) sistem struktur
..--, _
_
(b) badan bebas total
X
GAMBAR 8. 1 0 Pelengkung Parabola, Beban Merata Proyeksi Horisontal, Perletakan Rol Miring
(8.31) dan
RBH RBV cot cf>o = z1 qoL cot cf>o =
(8.32)
Untuk segmen badan bebas potongan, bekerja bagian beban luar dalam Persamaan (8.26) sebesar
P� = -R8H = p: = qo x
tq0L
cot
1/>o
M z0 = ..!.2 q0 (.b.2 - xX.b.2 + x) - ..!.2 q0L cot 1/>0 ·y Dengan mengingat bahwa tan 1/>0 = £, dan dengan memperhatikan Persamaan (8.18), terlihat bahwa Persamaan (8.33) menjadi O = - L2 qo p
X
(8.33)
4f 2
p: = qo x M0 = 0
(8.34)
z
Pemiringan rol di B seperti dalam Gambar 8.10, meredusir momen lentur dan menambah aksial. Jika rol di B dibuat tegak lurus sumbu batang di ujung tersebut, momen lentur di mana mana bemilai nol. Untuk kasus ini, diperoleh nilai gaya dalam menurut Persamaan (8.26) dan (8.34) sebesar
Nx = Qx
=
-� (��} - q� ( ��}
Mx 0 =
os
1/> - q0x sin 1/>
in
1/> + q0 x cos 1/>
(8.35)
142
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
p
0
(a) sistem struktur
GAMBAR 8 . 1 1
RB\
p
(b) poligon gaya
Pelengkung Tiga Sendi dengan Beban Terpusat
Dengan demik.ian, untuk struktur pelengkung parabola, dengan kasus perletakkan yang di miringkan tegak lurus surnbu aksial, tidak timbul momen lentur. Sistem semacam ini sangat cocok digunakan untuk pelengkung dari bahan yang memiliki sifat kuat dalam tekan, misalnya beton.
8.5 PELE NGKUNG TIGA SENDI Dalam bahasan terdahulu, telah disajikan sistem struktur pelengkung dengan sistem statis tentu didapat dengan memberikan perletakan sendi dan rol pada kedua ujung balok lengkung. Dalam terapan sering dijurnpai kasus yang kedua ujungnya diberi perletakan sendi. Penambahan satu sendi dalam pada balok lengkung menjadikan sistem menjadi statis tentu yang dinamakan pelengkung tiga sendi. Dalam pasal ini bahasan dibatasi hanya untuk pelengkung tiga sendi lingkaran.
(a) Pelengkung Lingkaran dengan Beban Terpusat, Sendi Pada Puncak
Pelengkung tiga sendi berbentuk setengah lingkaran simetris terhadap sumbu Y, seperti dalam Gambar 8.10, ditinjau sebagai contoh pertama. Perhatikan bahwa setiap sendi dapat memberikan 2 komponen gaya yang bebas, atau identik dengan gaya tunggal namun dengan -arah sembarang. Dengan demikian, segmen yang tidak mempunyai beban langsung di atasnya, akan mempunyai reaksi sendi yang bekerja pada garis penghubung kedua ujungnya. Dengan pengetahuan ini, reaksi sendi A akan menuju titik sendi S. Garis kerja RA ini, yaitu garis AS, memotong garis kerja P di titik D. Karena gaya reaksi RA' R 8, dan P harus seimbang, maka garis kerja R harus melalui titik D juga, karena ketiga gaya-gaya tersebut koplanar. Cara grafis ini dapat digunakan menentukan reaksi perletakan. Arah dan besar reaksi didapat dari poligon gaya, sedangkan garis kerja digambarkan dalam sistem struktur sebenamya. Dengan ditetapkannya gaya reaksi perletakan, gaya-gaya dalam dapat ditentukan.
BAB
8
RAH
143
ANAUSIS STRU1.1UR PELENGKUNG
[ R,
RBH (a) sistem struktur
X
Na
y
R dt;
0
I"
�s
x,
R (cos t; - cos O) GAMBAR 8 . 1 2 Pelengkung Tiga Sendi Lingkaran dengan Berat Sendiri
Mena rik untuk dil ihat ba hwa gamba r (a) juga dapat digunakan untuk menentukan bidang momen. Untuk itu, tin jaula h suatu tit ik E yang ditentukan momen dalam. Momen di E adalah RA dikalik an dengan momen da ri RA te rhadap E, yaitu ga ris yang dita rik da ri E tegak lu rus AD, dalam hal ini E F. Demikian pula untuk t it ik lainnya dalam segmen AS. Untuk segmen SC juga dapat d ilakuk an dengan ca ra sama. Untuk segmen BC, ca ra sama dengan memanfaatk an R 8 juga dapat d ilakukan untuk menentukan bidang momen .
(b)
Pelengkung Tiga Sendi Lingkaran dengan Berat Sendiri
Untuk kasus ini,umum nya sangat be rmanfaat jika kese imbangan momen diambil te rhadap sendi S, ke a ra h ki ri maupun kanan. Pertama, kese imbangan ho risontal membe rikan
(8.36) Kedua, kese imbang an momen te rhadap titik
S dengan mel ihat ke sebela h k anan membe rikan
144
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
+R8v · R + R8H
·
rcj 2 R - f q 0 R 2 cos S ds = 0 0
(8.37)
Kemudian, keseimbangan momen secara keseluruhan memberikan TC
R8v (2R ) - f q 0 R 2 ( 1 + cos s) ds = 0
(8.38)
·
0
dan
r:
R Av + R8v - fqc R d:; 0
= 0
(8.39)
(� ) ( � - 1)
Persamaan (8.36) hingga (8.39) akhimya memberikan reaksi peletakan sebesar -1
RAH = q 0 R RAv
=
+q 0 nR
(8.40)
R BH = -q 0 R
R av = +q 0 nR
Selanjutnya, keseimbangan badan bebas potongan sebelah kanan Gambar 8.12b memberikan L, Ex =
0
�
L,Fy
=
0
�
I, M2 =
0
�
R8H + Ne sin e - Qe cos f)
=
0
e
R8v + Ne cos e - Qe sin e - f q0R ds = 0 0 · -Me + R8H R sin f) + R8v R(1 - cos 8) ·
e
- f q0R2(cos s - cos e ) ds 0 yang jika diselesaikan, memberikan ekspresi untuk gaya dalam
[(1 - �) ( � e) e] [( �) ( � ) ] (� ) ] [�
Ne = -q0 R
Qe = -q0R 1 Me =
q0R2
-
(1 -
cos
sin f) +
-
cos f) -
- f) sin f)
sin 8) -
- 8
= o
(8.41)
(8.42)
cos 8
Perlu diperhatikan bahwa untuk batang lengkung, gaya momen dan lintang serta normal bekerja sama dalam memikul beban lateral, sehingga Persamaan (6.58 dan 6.59) tidak berlaku bagi batang lengkung.
8.6 CONTOH PENERAPAN Dalam pembahasan yang lalu, telah diutarakan bahwa sifat khas pelengkung adalah sifat kerja sama ragam lentur dan aksial dalam memikul beban luar lateral. Contoh berikut akan menunjukkan hal tersebut secara lebih jelas untuk beberapa contoh penerapan. CONTOH 8 . 1 :
Sistem struktur pelengkung seperempat lingkaran beradius R, dibebani gaya terpusat vertikal P di ujung bebas, seperti dalam Gambar 8.13. Tentukan gaya gaya reaksi dalam yang timbul pada pelengkung.
BAB
8
145
ANALJSIS STRUKTUR PELENGKUNG
y A
/
/
/
/
/
/
o• .
/
R
/
/
/
/
/
/
/ / / x __-+----'-t' B �____
B
p
p
GAMBAR 8. 1 3 Pelengkung Seperempat Lingkaran dengan Beban Ujung VertikaL Contoh Soal 8.1
Penyelesaian Untuk pelengkung lingkaran ini, rumus dalam Persamaan (8.26) juga dapat digunakan. Sehingga diperoleh 0 0 I· (8.43) x) X I Y = - F I MZ =
P0
=
Dengan demikian, hasil Persamaan
p0
- P(R -
·
(8.26) menjadi N� = +P sin Q� = -P cos M = �
1/>
1/>
(8.44)
-P(R - x)
3 sendi, seperti dalam Gambar 8.14, juga dapat diperlakukan sebagai pelengkung tiga sendi. Tentukan gaya-gaya dalam yang timbul pada struktur akibat gaya horisontal pada puncak kolom AC.
CONTOH 8 . 2 : Sistem struktur yang terbuat dari batang lurus dengan
P
Penyelesaian Karena pada segmen SCD tidak ada beban luar, maka garis kerja reaksi sendi S dan D harus melalui garis CD. Kemudian, gaya reaksi dan gaya melalui titik S, sehingga gaya reaksi di A juga harus melalui titik sendi S, seperti dalam Gambar 8.14b.
RA
R0
RAV sebesar -(RAV)(2L) (P)(L) = 0 � RAV = -� P
Keseimbangan momen terhadap titik
D,
menghasilkan gaya
-
sehingga
P
RAH = RAv - � P RA = RAv ..fi = _ l2 p..fi
(8.45)
=
(8.46)
Keseimbangan gaya di arah horizontal memberikan
+P + RAH R0H = 0 -
(8.47)
146
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
y L
p -
'
IB I
L
. '
p
A
dw
RAH -
r
I I
D
'
I I
(c)
RAv
Rov
1
l
'
RA
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/5'
aris � � a RA ,
'
'
'
'
'
'
'
(b) 1 2
M PL
RoH -
(d)
1 2
2
1
'
,a ;7;
(a)
��
I
'
X
aris
'
p
Cl
'
I
�erja R0
aris
s
'
�erja P ,;
L
"
2
Q
p
N
p
(j)
(e)
GAMBAR 8. 1 4 Pelengkung Tiga Sendi, Contoh Soal 8.2
sehingga
RoH
=
Dengan demikian, karena R v 0
P + RAH = P + (-!P) !p =
R DH' dan R 0 RD
=
=
R H 0
=
(8.48)
..fi, maka diperoleh
lp 2 l p ..fi
(8.49)
2
Dengan hasil-hasil di atas, dapat digambarkan bidang gaya dalam, seperti diberikan dalam Gambar 8.14 d, e, dan f.
1 1 1! !; 1 � �!: ' . . . .
8.7 RANGKUMAN ,., ,., ,,,,,,,,,,,,,,, ,., .·
Jj� ! ::
r'"
,., ,,,, .,, ''''''''''' '""''''''''''''''''''""'''''''''""'''' ·
>
,,.,
'•
··
Ul i;; lltHJiJ,j }
'''· · ·
•,•,, .,, ,, ,,,,,. ..,. ,., • ., ., , ,· '· '·· . ··•·, . ··.'.·•··•·, , · , .•'·. ' • .. .· < ' ,,•. ·'••• ·'·'· ·•••· ,••·• ' ••, ·•·• ,, . .. · . · , ·. · • ••· ··• •·· · ••\ ·• •· • • .••.. . •••· •'•·,·• •·.,....'.·•.·•''.·'.·.,''. ••'·.·. . .·,'· '.,·,',·•,.,,·.'.'., .··•.. ..·,.' ..,�·•,..·,·.',.,•.'.',.· '. , .,.•.•. .,,••· ,... . .... ····. ···· ···· ·'····· '•' •.•. • •. •...,..',.'•,. .., •. .,. ..'. . ·.· . · · BAB
8
ANAUSIS STRUKTUR PELENGKUNG
,,. ,,,. ,,, . ,,, ·''''
,,
,
••• •, • • •, I ••••
t,
.
,
, , ,,, ,,,, ,, ,,,, ,, , ,,, ,,, ,,,,· ,,,, ,, , ,,, :· , · . ... . . ... .
\\ , • • • ..•. .. ••'
,
'
.
•.•,.'•.., . . •.', ,· ,... ,.. · ,.... , ,. . . , . ., , ·. ·, .
.
·
.· ·
' ,• ,, .
,,
,, ,,, ,,,, :::: > ' {
. ta��·• .• ••••• •. ,.. .• . ..• . . , . . • • • • ••••• . .• • / ) •.,.
) ,,,, ,, , } ) <
147
:::
))
, , ,.. ,., •'. .,..,. •••, •,, } ,••• ,,, ,· .,.•. ,... . . '..,. m' ··•·• .• ,.•. . •. . . ,.•. ,··...•,,.•.•.'··, ··.•.... '· . • • •, • . • ' . · . . . · ,. , . •. , , , , ,. . .,,, · · \ • ••·, '•· � ·•.. •,ut · }.>,' '"· ·· ·· · • • .. . •,• •.• •. .•,• .•'• ..•·• .,• ••. •.•. •. . ,. / •... < ( , , . .• ) / ·. . ,.··.· .. . , ... . . , ·· .. , ... . L j . < , • · . . · .
',
,
· ..... . . . .' . .,,., ·. ·. . , .,., , . • .
•
�
,. ..,, .. L L ,�·· -"< . . . �. . .,
. ...
· '''' , , ,, ,, ' , .
/C
< ' ;
.•
•
•
.• , .• ,,· ·.· .. . . • : ,
.. . .. •'
}
i
.
.
.
.
•
,,, •
)
••...•
8.8 SOAL-SOAL
Dalam penyelesaian soal-soal ini, insidens elemen diberikan sedemikian hingga secara
konsisten memperlakukan sistem struktur sebagai pelengkung. Sebagai contoh, struktur dalam Gambar 8.21 perlu diberikan dengan insidens segmen elemen suatu pelengkung semi lurus
Soal 8.1:
ACDB.
Pelengkung setengah lingkaran beradius
P
di titik puncak
(crown) C.
AC, CD, dan DB, sehingga tercipta
R dalam Gambar 8.15 memikul gaya terpusat
Lakukanlah analisis struktur tersebut, serta susun
persamaan untuk bidang gaya dalam (momen lentur, gaya lintang dan normal) akibat beban yang bekerja. Tetapkan nilai serta lokasi terjadinya bidang momen ekstrim.
Soal 8.2:
Pelengkung dalam Gambar
8.16
'
identik dengan struktur Soal
8.1,
namun sekarang
beban yang ditinjau adalah beban merata yang berarah radial (menuju titik pusat lingkaran) sehingga tentu saja tegak lurus terhadap pelengkung. Tentukan reaksi perletakan di
A
dan
B, serta susun bidang gaya dalam serta besar dan lokasi gaya
ekstrim, akibat beban radial tersebut.
GAMBAR 8. 1 5 Struktur Soal 8.1
Soal 8.3:
GAMBAR 8 . 1 6 Struktur Soal 8.2
Pelengkung lingkaran dan beban luar
8 . 1 7 mirip dengan 8.1, namun sekarang adalah 90° seperti dalam
dalam G amb ar
pelengkung Soal sudut dalam
gambar. Perhatikan juga bahwa rol di
B
berarah ortogonal terhadap pelengkung.
Tentukan reaksi perletakan, serta susun persamaan gaya dalam yang timbul akibat beban.
R
/
/
�/
�
-4�{_' � �":j�s: /
'
0
GAMBAR 8. 1 7 Struktur Soal 8.3
r
148
MEI
�
1 ----,i'----
GAMBAR 8. 1 9 Struktur Soal 8.5
GAMBAR 8. 1 8 Struktur Soal 8.4
y y
-
p
!'----
fFc' I' I'
lA
L --.,j<---- L 2 2
m'll
X '
-�' I' I' B I
A
�--- L-----�
I 1 H
GAMBAR 8 . 2 1 Struktur Soal 8.7
GAMBAR 8.20 Struktur Soal 8.6
Soal 8.4:
Pelengkung paruh lingkaran dalam Gambar 8.18 memikul beban merata pada lantai mendatar di C dan D. Tetapkan reaksi perletakan, dan susun persarnaan bidang gaya dalarn akibat beban tersebut. Catatan: gaya merata pada lantai dapat digantikan menjadi gaya terpusat pada titik C dan D terhadap pelengkung.
Soal 8.5:
Pelengkung parabola dalam Gambar
puncak f = fL . Beban yang bekerja adalah beban merata q0 dengan arah ortogonal terhadap pelengkung. Tentukan rcaksi perletakan, serta susun persamaan bidang gaya dalam yang terjadi akibat beban. Manfaatkan sifat sirnetri sistem.
Soal 8.6:
Pelengkung parabola dalam Gambar 8.20 memiliki bentuk yang sama dengan pelengkung Soal 8.5. Hanya saja, ujung A sekarang dijepit sempuma dan ujung B bebas serta dibebani gaya terpusat vertikal P. Susun persamaan dan gambarkan bidang gaya dalam yang timbul akibat beban P tersebut. Bagaimana bentuk dari persarnaan tersebut jika diarnbil kasus f/L -+ 0? Jelaskan bentuk solusi yang diperoleh untuk limit kasus ini.
Soal 8.7:
Struktur portal kolom dan balok lurus yang disarnbungkan kaku dalam Gambar 8.21 juga dapat diperlakukan sebagai pelengkung. Dengan itu, lakukanlah analisis struktur yang kemudian menggarnbarkan bidang gaya dalarn yang timbul akibat gaya terpusat P pada sambungan kaku C.
Soal 8.8:
Struktur pelengkung tiga sendi dalam Gambar 8.22 memikul beban horizontal P di titik C, dan beban terpusat V = (2H/L)P di sendi E. Berapa reaksi perletakan yang muncul? Garnbarkan bidang gaya dalam yang terjadi.
8.19
memiliki bentang mendatar
L dan tinggi
BAB
8
ANAUSIS STRUKTUR PELENGKUNG
y
--p
1 V = Zf!P
IFc '
I' I
X
-�' I' I' B I
1 H
I
\ i
..L
� t ---,i<--- t � GAMBAR 8.22 Struktur Soal 8.8
I 1
y
H
rFc ' I' I' lA
1
-
E
X
qo 1 1 1 1 1 1 1 1 1
�
-
- ·
'
- -t F
I' I' B '
TL 1
!
11 'n � L --7!'--- L -----,.f-- � � GAMBAR 8.24 Struktur Soal 8.10
GAMBAR 8.23 Struktur Soal 8.9
Soal 8.9:
Sistem struktur dalam Gambar
8.23
dapat diperlakukan sebagai pelengkung tiga
sendi, dengan beban merata pada balok pertemuan
D.
DF
yang menimbulkan gaya titik di
Analisislah struktur secara lengkap, serta gambarkan bidang gaya
dalam yang timbul.
Soal 8.10: Analisislah struktur pelengkung tiga sendi dalam Gambar 8.24 terhadap gaya terpusat horizontal
P di titk C. Dapatkah Anda menemukan suatu cara analisis yang secara
cepat dapat digunakan untuk menentukan reaksi perletakan dan bentuk bidang momen lentur? Gambarkanlah bidang gaya dalam yang timbul akibat gaya luar tersebut.
9. 1 U M U M Sejauh ini, kita baru meninjau beban luar dengan intensitas dan lokasi kerja yang tetap di atas struktur. Dengan kondisi yang demikian, analisis struktur terhadap beban semacam itu dapat dilakukan dengan mudah, karena dengan intensitas dan letak gaya yang tetap, kriteria keseimbangan yang pada hakekatnya disusun berdasarkan geometri dapat diterapkan dengan mudah. Namun, dalam praktek sehari-hari sering dihadapi, kasus dimana gaya yang bekerja dapat memiliki intensitas serta lokasi bekerja yang berubah, sekalipun tidak dicirikan sebagai
fungsi dari waktu. Gaya semacam ini masih dapat dikategmkan sebagai gaya statis (bukan
dinamis). Efek tambahan kecepatan pembeb anan yang mungkin ada, dapat dikompensir dengan apa yang dinamakan faktor kejut, yang berfungsi sebagai peningkatan atau kalibrasi intensitas
gaya. Ambillah sebagai contoh, suatu struktur balok yang memikul beban keran
(crane),
yang
berfungsi untuk memindahkan bobot dari suatu titik lokasi ke titik lokasi lain. Intensitas gaya yang bekerja sebagai gaya terpusat atas balok, tergantung dari bobot barang yang diangkat. Titik tangkap gaya pada balok tergantung pada titik mana bobot tersebut diangkat dan ke mana akhirnya akan diletakkan. Contoh kedua adalah balok gelagar jembatan jalan raya atau kereta api. Kendaraan atau gerbong ataupun lok mempunyai ban atau gandar yang mempunyai tekanan sendiri, yang dengan pergerakan kendaraan, memberikan efek gaya yang berjalan di atas balok gelagar, serta intensitas yang berbeda. Pengaruh beban bergerak semacam ini dianalisis dengan menggunakan cara yang dinamakan garis pengaruh
(influence line concept),
seperti akan dibahas sepenuhnya dalam bab ini.
9.2 KONSEP GARIS PENGARUH Untuk lebih memudahkan penanaman pengertian, tinjaulah suatu sistem balok sederhana dengan beban dan intensitas yang bervariasi. Gaya terpusat P ini bergerak dengan lokasi variabel
152
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
di atas balok (besaran a berubah, dengan batas, 0 � a � L) seperti dalam Gambar 9.1 . Jika P bekerja sejarak a tersebut dari perletakan A, maka RA v =
L - aP L
(9.1)
- -
Jika P bekerja tepat di atas perletakan A, maka a = 0, dan RAv = -P. Beban luar P sepenuhnya dipikul oleh RAV' seperti dalam gambar (b). Untuk ini, intensitas RAv digambarkan pada gambar (g) dengan lokasi a
= 0.
Untuk
a =
t,
Rav =
-iP
seperti dalam gambar (c), dan ini
digambarkan dalam gambar (g). Dengan cara sama, proses dilakukan untuk a
0 sehingga P sepenuhnya dipikul oleh R8v·
a = L. Untuk a = L, RAv =
=
L 3L 2, 4, dan
Dalam Gambar 9.lg, intensitas reaksi RAv pada perletakan A, digambarkan sebagai ordinat pada gambar (g), di tempat bekerjanya gaya P. Perhatikan dengan seksama, gaya P bergerak di atas balok, pada lokasi/titik tangkap pada saat itu, digambarkan intensitas reaksi RAv sebagai ordinat. Reaksi RA v sendiri tentu saja tetap tempatnya, yaitu di titik A. Kemudian, intensitas
(a)
(b)
-
(e)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - '"'"3 a = 0
-P
(c)
(d)
�·dp r lp
r=------------------ - - - - - - - - -'"'"3 _ l
3 P 4
- �P -
r-
+P r
3 L a =-=3 4
-
pj
�
--------------------------------------� a = L
��� o F(g)
L a=4
1
-:·.
I -3P
-P
-4-
GAMBAR 9. 1
I
-P T
-P T
Pengaruh Gaya Bergerak Atas Reaksi Perletakan
•
0
153--,
BAB 9 GARIS PENGARUH
j,
1 Newton. Untuk gaya yang kita membaca ordinat RAv sebesar 0,75. Akibat
RAv dapat digambarkan akibat gaya sebesar satu satuan, misalnya bekerja sebesar gaya sebesar
5
5
Newton pada lokasi
a=
Newton, intensitas RAv diperoleh dengan mengalikan gaya dengan ordinat
tersebut. Jadi, RAv
= 5 x 0,75 = 3,75 Newton.
9.3 PENYUSUNAN GARIS PENGARUH Sesuai dengan sifat geometri balok, terdapat tak hingga lokasi pada mana beban '.uar dapat
a bukanlah besaran diskrit, tetapi menerus. Cara dalam Pasal 9.2 tidak cocok digunakan, karena dengan hanya memiliki ordinat untuk beberapa nilai diskrit tertentu dari a, kita tidak dapat menggunakannya untuk nilai a tertentu yang tidak ada atau tidak tersedia. Misalnya, dengan nilai ordinat untuk a = 0, t, ! , i dan 1, bagaimana kita menggunakannya untuk a = 0,384 misalnya?
bekerja. Dengan perkataan lain,
Untuk menjawab
ini, kita membuat a sebagai variabel yang menyatakan lokasi gaya terpusat
pada balok, misalnya x seperti dalam Gambar
P
=
1
9.2.
Pada lokasi
ton (atau satuan gaya lain) yang dalam bahasan Pasal
x tersebut, dikerjakan gaya
9.2
dikatakan dapat mewakili
semua gaya dengan intensitas berbeda. Kita dapatkan,
RAv
L -L-x (1) = --
=
L --x -L
satuan gaya
(9.2)
(a)
-3
(b)
(c) 1
GAMBAR 9.2 Garis Pengaruh Reaksi Perletakan
P = 5 Newton yang bekerja pada lokasi t L dari A, dapat ditentukan
yang dapat digambarkan secara menerus seperti dalam Gambar reaksi perletakan R A V untuk
9.2c.
Sebagai penggunaan,
dengan membaca ordinat garis pengaruh reaksi tersebut dari Gambar 9.2c (besamya jawaban adalah gambar
(c)
t ) sehingga
5 Newton x f = 3,75 Newton. Perhatikan bahwa ordinat garis pengaruh dalam P yang kita kerjakan
membawa/mengandung satuan gaya, menurut satuan gaya
(dalam contoh ini, satuan Newton).
! L,
Contoh berikutnya adalah penyusunan reaksi untuk penampang tengah bentang misalnya.
Untuk ini, kita melakukan pemotongan fiktif I di lokasi tengah bentang, melihat ke badan bebas kiri, seperti dalam Gambar
badan bebas ini menghasilkan
x =
lalu kita
9.3b. Penerapan kriteria keseimbangan atas
154
MEKANIKA TEI
Nr = 0
untuk x
Qr =
-RAv
Mr
RAv
L dan S 2,
=
0
- P = -r � + P(� - x) = - I X
Qr
L-x = - RAv = + "'L
Mr
= RAv
0
2L
(9o3)
L --x 2L = -2
(9.4)
untuk S x S L. Gambar dari garis pengaruh Qr dan M1 disajikan dalam Gambar 9o3co Perhatikan garis pengaruh gaya lintang yang memiliki diskontinuitas pada penampang 1-1 tersebut, yaitu pada kasus dimana gaya terpusat tepat bekerja pada lokasi tersebut. Sebagai rangkuman, langkah penyusunan garis pengaruh suatu gaya reaksi, disimpulkan sebagai berikut. (1) Lakukanlah potongan fiktif pada penampang sehingga gaya reaksi tersebut bekerja, untuk mendapatkan suatu badan bebas atas mana dapat diterapkan kriteria keseimbangan yang melibatkan gaya tersebut.
(2) Kerjakan suatu satuan gaya di atas balok pada lokasi yang diambil variabel sepanjang sumbu aksial batango
y
.1.
1<-----
2
I ' X
B -
®
NI
QI M - 3 : NI
NI � t-- MI QI
(a) sistem struktur
(b) badan bebas
t P = l ton -
�J
'
Ql (c) garis pengaruh
MI
GAMBAR 9o3 Garis Pengaruh Reaksi Dalam Balok Sederhana
155
BAB 9 GARIS PENGARUH
(3)
D enga n m emp erha tikan muncul -tidak nya gaya sa tua n ters ebu t pada bada n b ebas ya ng d itinjau (apakah variab el x mas uk k e dalam doma in bada n b ebas , a tau tidak), terapka n kr iteria k es eimba ngan untuk m endapa tkan ekspr esi r eaksi ya ng d ita nyak an s eba ga ifu ngsi dar i var iab el lokas i.
(4)
D enga n m emas ukkan n ilai va riab el pada b eb erapa titik p enolo ng s ecukup nya , garis p engar uh r eaks iy angd ip er tanyaka n, dapa tdi gamba rka ndan s ia p untuk d igunakan dalam terapan.
M enarik untuk m eliha t bahwa gar is p en garuh m er upakan b ent uk fungsi tini er (dalam var iab el l etak gaya luar P = 1 to n) dalam param eter s umb u aksia l ba tang. D enga n d em ik ia n, b idan g p engar uh r eaks i mom en pal ing tinggi adalah b erb entuk l ini er. In i m ema ng har us d emik ia n, kar ena gaya l uar ya ng ki ta k erjaka n b er upa gaya terp usa t. Ha l ini tel ah dibahas s ecara ri nci dalam Pasal 6.7.
9.4 SISTEM STRU KTUR DENGAN BE BAN TERDISTRIBUSI Dalam bahasa n pasal -pasal s eb el um nya , telah d isa jika n p eny us una n garis p engar uh s ua tu gaya r eaksi , y ang dapa t d igu naka n un tuk m en en tuka n b es arnya r eaksi ters eb ut akiba t gaya luar b er upa b eba n terpusa t ya ng b ek erja m eli ntas di a tas s truk tur. Pasal i ni ak an m en unjukka n bahwa gar is p engar uh ju ga dapa t di gunaka n un tuk m enentukan b esamya r eaksi ter ten tu, akiba t b eba n luar terdis trib us i ya ng b ek erja s ecara tetap ma up un yan g b ek erja d en gan l etak ya ng variab el (a tau , m eli ntas di a tas s tr uk tur).
;
Untuk i tu, ti n ja ul ah s ua tu sis tem s tr uk tur balok s ed erha na , d enga n b eba n terd is trib usi q b ek erja s epa njan g s ubdomain a $; x $; b, s ep er ti dalam Gambar 9.4. B eban la teral ters ebu t dapa t d ipanda ngs eba gai p erjuml aha ndari b eban dif er ensial s ejarak �dari ti tik A, s epa nja ngd if er ensial garis aks ia l d� s eb esar
(9.5)
dP = q(�)d �
X
(a) sistem strukur
(b) badan struktur
(c) garis pengaruh RAv
GAMBAR 9.4 Penerapan Garis Pengaruh Untuk Beban Terdistribusi
156
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Beban diferensial ini menimbulkan reaksi vertikal di
A sebesar
L-.; L- .; dRAv = - L-dP = - -L-q(.;)dg
(9.6)
yang dapat diperoleh dengan menggunakan garis pengaruh akibat beban
�- Reaksi total akibat beban terdistribusi yang bekerja pada domain a :s; dengan jalan integrasi Persamaan
(9.6), yaitu
x
b L-.; RAv = fdRAv = - fL- q(.;)d(g)
RAv dalam Gambar 9.4c dikalikan dengan intensitas q(S) i(�) Li.;
(9.8)
=
maka bentuk dalam
(9.7)
:s; b, dapat dihitung
(9.7)
a
Jika bentuk garis pengaruh reaksi dinyatakan dengan
dP = 1 ton di lokasi
dapat dituliskan dalam
b v RA = fi(.;)q(.;)d.;
(9.9)
a
Menurut matematika, bentuk semacam ini dapat diintegrasikan untuk beberapa bentuk garis pengaruh dan dalam domain a < < Dalam rumus,
q(�)
.; b. b I = f i(.; )q(.; )d.; q a
(9.10)
di bawah domain a :s; dengan I adalah luas fungsi Bentnk integrasi dalam Persamaan q dan disajikan dalam Tabel 9.1. Tentu saja, nilai (9.10) untuk beberapa kasus fungsi = untuk beban merata, konstan dimana-mana. Ini berarti bahwa, untuk beban merata yang bekerja pada domain a :s; .; :s; b, nilai gaya reaksi total adalah luas permukaan terarsir diui bidang garis pengarUh pada domain tersebut, dikalikan dengan
i@q(�)
i(�)
q(�
� :s; b.
q q@ q0
RAv
q0.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa tintuk semua gaya luar, baik terpusat maupun terdistribusi, tetap maupun bergerak, konsep garis pengaruh dimana dikerjakan gaya luar TABEL 9. 1 Bentuk dan Hasil Dari Integrasi
JJ(x)g(x)dx b
j(x) dan g(x) linier
j(x) linier, g(x) parabolis
j(x) tinier, g(x) parabolis
BAB 9 GARIS PENGARUH
157
y
X
(a)
sistem strukur
L L 1'----- 2 --------,1-'-- 2 ------,1 (b) garis pengaruh Q1
(c) garis pengaruh M1
GAMBAR 9.5 Garis Pengaruh Gaya Dalam Balok Sederhana Dengan Beban Merata
terpusat sebesar satu satuan gaya, di atas sistem struktur pada lokasi yang variabel, selalu dapat diterapkan. Itulah alasannya, mengapa dalam perkenalan konsep garis pengaruh dalam bab ini, secara apriori ditinjau gaya terpusat sebesar satu satuan gaya. Sebagai contoh, garis pengaruh diterapkan untuk menghitung reaksi gaya lintang dan momen pada tengah bentang balok sederhana akibat beban merata bentang penuh balok, seperti dalam Gambar M1 pada tampang tengah bentang
q @ q0 yang bekerja di atas =
9.5. Garis pengaruh reaksi lintang Q1 dan momen
(x = L / 2),
disusun dan digambarkan sebagaimana telah
9.5b dan 9.5c. Dengan Q1 dan M1 akibat beban merata penuh bentang diperoleh dengan mengalikan
dipaparkan dalam pasal terdahulu, yang disajikan dalam Gambar demikian, nilai total
q0
g
dengan luas bidan
0 :5: x :5: L,
yaitu
garis pengaruh kedua gaya dalam tersebut, untuk seluruh domain
QI = qO M1 = q0
[(t) X (-t) X (t) + t X (t)' X (t)] = 0 2 X [f X (--!) X (t)] = -tq0 L X
Hasil ini sama dengan nilai yang telah diperoleh dalam Persamaan Untuk beban merata dalam Gambar
(9.11)
_
(6.22)
dari Bab
6.
q0 sepanjang paroh bentang terhitung dari perletakan A, garis pengaruh
9.5 juga dapat digunakan untuk menghitung Q1 dan M1 sebesar =
Q1 M1 =
q0 X [t X (-t) X (!)] = -iq0L q0 X [f X (-t) X (!)] = - ft;q0L2
(9.12)
9.5 GARIS PENGARUH PADA STRUKTUR BALOK MENERUS Pada dasamya, penyusunan garis pengaruh reaksi struktur balok menerus secara prinsip tidak berbeda dengan kasus pada balok sederhana, kecuali munculnya sedikit kerumitan akibat interaksi antara segmen balok yang saling menyambung. Sekedar satu contoh, tinjaulah struktur balok menerus seperti terlihat dalam Gambar
9.6. Perhatikan bahwa segmen ABS adalah segmen
158
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
turnpangan, dan
se
reaksi pada segmen
segmen penumpang. Selama beban berjalan di atas
SC. Dengan demikian, untuk 0 � x � 2L, berlaku
ABS, tidak akan ada
L-x RAv = -yx R Bv = I Rev = 0
Untuk
2L � X � 3L,
diperoleh dari badan beban
(9.13) se
X - 2L
hubungan
Rev = --L3L - x Rsv = -L-
(9.14)
3L - x = - Rsv = L 2x 6L - 2R SV - L
(9.15)
sementara dari bagian kiri diperoleh
_
_
Berdasarkan
{9.13), (9.14), dan (9.15), dapat digambarkan garis pengaruh RAV' R 8 v, dan Rev 9.6d hingga 9.6f Untuk momen gaya dalam di atas tumpuan B,
yang disajikan dalam Gambar
t -
L X
1
f RBv X
I.
' - ....J.._ _
I:
r L �t s
B
f RBv
-
L P=1
-
3
Rsv El
-1 Rsv
c
-
!
A
X
� (a)
sistem strukur
(b) badan bebas
P=1 - --I
l Rcv (c) badan bebas potongan
1.0
1.0
(d) garis pengaruh
RAv
(e) garis pengaruh
R8 v
(f) garis pengaruh Rev {g) garis pengaruh M1
GAMBAR 9.6 Garis Pengaruh Pada Balok Menerus
BAB 9 GARIS PENGARUH
9o6c dapat digunakan untuk menyusun 0 :5 x :5 L, diperoleh M1 = RAv 0 L (L x) = 0
badan bebas dalam Gambar bersangkutano Untuk
garis pengaruh yang
-
(9o16)
RAV 0 L
(9 0 17)
-
dan
MI = untuk
9.6
x � L.
Gambar garis pengaruh
MI terlihat dalam Gambar
9o6go
GARIS PENGARUH PADA STRU KTUR RANGKA SEDERHANA Penyusunan garis pengaruh pada struktur rangka sederhana, perlu dilakukan dengan
memperhatikan letak kerja beban bergerak. Sebagai contoh, untuk kasus rangka jembatan, perlu diketahui apakah sistem jembatan berlantai di atas atau di bawah, seperti dalam Gambar ,
9 0 70
Untuk konstruksi kap atas, lazimnya dalam praktek, beban diletakkan pada titik buhul tepi atas, sekalipun beban plafon bekerja pada titik tepi bawah. Cara pendekatan seperti ini masih memberikan hasil yang cukup baik serta memuaskano Beban yang bekerja pada lantai jembatan disalurkan lewat gelagar memanjang ke gelagar melintang yang kemudian meneruskannya ke titik buhul. Beban atap disalu:rkan kaso ke gording yang kemudian meneruskannya ke titik buhul. Dengan demikian, dalam peninjauan beban bergerak, sebenamya hanya diperlukan adanya beban terpusat pada titik buhul; dalam perkataan lain, lokasi pada titik diskrit. Namun, orang sudah terbiasa menggambarkan garis pengaruh dalam sistem rangka sederhana, dengan gambar yang meneruso
- - - - - -
�
Jantai (atas)
- 0
T l it
lantai (bawah)
(a) jembatan
GAMBAR 9. 7 Lokasi Beban Bergerak Pada Rangka
r
'
160
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Sebagai contoh, tinjaulah sistem struktur rangka jembatan berlantai atas seperti dalam Gambar
9 08 0
P
Beban
sebesar satu satuan gaya dijalankan pada titik buhul tepi ataso Dengan
menggunakan badan bebas keseluruhan, diperoleh garis pengaruh
L-x RAv = LRav = IX
(90 18)
yang berlaku untuk seluruh bentang o Sekarang; misalnya diinginkan untuk menyusun garis pengaruh untuk gaya dalam
5 1, 52, dan 53 pada potongan-- 1-1. Untuk domain 0 � x � 2A, kita
menggunakan badan bebas kanan,
l:M0 = 0 --+ -$ 1 A + R8v o 4A = 0 --+ S1 = 4R8v l:Fy = o --+ s2 Co5 45° + Ra v = o --+ 52 = -R8v .fi l:Mc = 0 --+ s3 0 A + RBV 0 3A = 0 --+ $3 = -3 RBV domain 3A � x � 6A, P = 1 ton bekerja di sebelah kanan, sehingga °
Untuk
(9o19) supaya lebih
sederhana, kita pilih badan bebas sebelah kiri, untuk menurunkan persamaan keseimbangan
l:M0 = o --+ -RAv 0 2A + S1 A = o --+ l:Fy = 0 --+ +RAv - S2 cos 45° = 0 --+ l:Mc = 0 --+ -RAv 0 3A - S3 0 A = 0 --+ °
S1 = 2RAv S2 = RAv .fi S3 = -3RAv
(9 o20)
2A � x � 3A, pengaruh dari adanya P diwakili oleh gaya yang dihitung seperti dalam Gambar 9o8Co Dengan tetap melihat badan bebas sebelah kiri, namun dengan dimasukkan pengaruh langsung dari P, yaitu gaya sebesar 3A - X diperoleh A Untuk
P=1
yang bekerja pada potongan, yaitu
+RAv - S2 cos 45° - 3A; x = 0 --+ S2 = [RAv - 3A A- x ]-fi = 0 --+ -RAV 0 3A. - s3 0 A + 3A X 0 A - 0 --+ s3 = 3RA V + 3A - X A A
= 0 --+
-
(9 0 21)
-
-
(9o19), (9o20), dan (9o21) dapat digambarkan sesuai dengan domain masing-masing yang berlakuo Khusus unttik S2, dan S31 faktor koreksi akibat beradanya P = 1 3A i x dengan gambar terarsir langsung di atas bentang 2A. � x � 3A., diberikan oleh suku dalam Gambar 9o8o Hasil dalam Persamaan
Sekarang, seandainya diinginkan menyusun garis pengaruh untuk Gambar gambaro
S4 batang vertikal dalam
9o8ao Ini dilakukan dengan melakukan potongan melalui S4, yaitu potongan 11-11 dalam
Untuk
0 � x � A., digunakan badan bebas kanan untuk memberikan
l:Fy = 0 --+ -54 + R8v = 0 --+ 54 = RBV
(9o22)
...----..
Untuk
A � x � 2A., digunakan badan bebas kiri dengan gaya koreksi akibat adanya P langsung
di atas badan bebaso
,t.lY
� •
= 0 --+
+ RAv + S4 -
2A A
X
= 0 --+
S4 = - RAv +
2A A
X
(9 0 23)
BAB 9 GARIS PENGARUH
161
Sedangkan untuk 21.. ::;; x ::;; 61.., tetap digunakan badan bebas kiri, namun beban
2J.; x
P
sebesar
tidak lagi muncul di atas badan bebas, sehingga 54 ==
(9.24)
-RAV
Gambar garis pengaruh 54 disajikan dalam Gambar
9.9.
P=l
T
(a) struktur
l A
T l A
(b) potongan
B
3..1. -x ..1.
W =l
Ra v x - 2..1. ..1.
-
� (x - 2A.)
T l
3..1. -x ..1.
A
GAMBAR 9.8 Garis Pengaruh Pada Sistem Rangka Sederhana
(c) untuk P
pada potongan
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
162
garis pengaruh R8 v
I
1
I
20 .
l.j2 I
garis pengaruh 52
I
..{2 1
- - - - - - - - -
...
-
I -1
1
garis pengaruh 53
3.0 - -
(d) garis pengaruh GAMBAR 9.8 (Lanjutan)
9.7 CONTOH PENERAPAN
CONTOH 9. 1 : Suatu balok menerus dengan overhang sebesar sepertiga panjang dimaksudkan untuk memikul beban keran sebesar
20 ton
L = 6 meter,
(termasuk peralatan
tambahan), di atas bentang balok. Ingin diketahui besar geser dan momen maksimum pada tampang di atas rol, sebagai data yang diperlukan dalam perencanaan.
Penyelesaian Kita mengetahui bahwa nilai momen unik pada tampang tepat di atas rol, tetapi geser tidak. Untuk itu, khusus untuk geser, diambil dua potongan, satu di sebelah kiri, satu di sebelah kanan di dekat rol. Garis pengaruh disusun berdasarkan persamaan:
Ml' Ql' dan Qn terlihat dalam Gambar 9.10 yang
X Qr = - L' M1 = 0 Qu = 0
(9.25)
163
BAB 9 GARIS PENGARUH
(a) 2A :!> x :!> 6}. atau 2A :!> x :!> 6;.
(b) O :!> x :!> U
--
I
I t
I'
--
--
I -.
--
I
-- -1
GAMBAR 9.9 Garis Pengaruh Untuk Gaya Batang Vertikal
untuk selang
untuk selang
0 $; x $; iL, dan
iL <
x $;
Qr Mr
L, dengan L
= - L' L,-X -
-
= x-
Qn = - 1
·
=
L'
(9.26)
-!L
Dengan menggunakan gambar garis pengaruh, diketahui bahwa sedikit di sebelah kiri rol B, sehingga
Q1
Momen
max =
Mr maksimum jika P bekerja Mr
Akhimya, geser/lintang kanan B, dengan
max
=
(-1,0)(20t)
= -20 ton
di ujung balok
C,
(-�)p (-�m)2ot) =
dengan nilai =
-40 ton m
Qrr akan maksimum jika P bekerja Qrr
max
Q1 maksimum jika bekerja
di mana saja asalkan di sebelah
= (-1.0)(20 ton) = - 20 ton
CONTOH 9.2: Suatu jembatan berupa sistem balok menerus, ditumpu atas tiga perletakan
seperti dalam Gambar 9.11. Periksalah gaya yang ekstrim yang harus diterima oleh perletakan A, dan momen di penampang I, terhadap beban merata q 0 yang bergerak di atas balok.
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
164
(a) sistem struktur
3
2L ------7!'--- - - -
-
�
'
:
' ' '
1,5
=:::::::c 0,5
(b) garis pengaruh Q1
p
�
(c) garis pengaruh M1
1
1,0
1,0
(d) garis pengaruh QII
GAMBAR 9. 1 0 Struktur Contoh Soal 9.1
Penyelesaian Model struktur jembatan seperti dalam gambar (b), dan oleh karena tidak ada gaya horizontal, RAH = 0. Untuk garis pengaruh RAV' dapat dikerjakan P = 1 satuan gaya di atas balok. Untuk 0 :5 x :5 2L, diperoleh
RAv dan untuk
2L < x :5 3L, dipunyai RAv
-L
L- x
(9.27)
3L - x - -L-
(9.28)
=
=
MI
Garis pengaruh disusun dengan melihat ke sebelah kiri dari badan bebas potongan. Untuk 0 :5 x :5 L, diperoleh
t
MI dan untuk
t L :5 x :5 3L, diperoleh
=
RAv
· � - (� - X)
(9.29) (9.30)
M1
Garis pengaruh RAv dan ditunjukkan dalam Gambar 9.11. Sekarang dengan memperlihatkan garis pengaruh RAV' gaya ini akan bernilai positif untuk beban q0 yang bekerja sepanjang segmen AB, st:hingga R�v = (1XLX!)(q0) = !q0 L (9.31) dan akan bemilai negatif jika
q0 bekerja sepanjang segmen BC, RAv = {2L)(-1X!Xqo ) = - qoL
sehingga
(9.32)
165
BAB 9 GARIS PENGARUH
q
� r--_·-- -� ---�!ul�I�t�l= l j�-B�l=I�J=I�i� _--=-�-��·�-�----------=-c•t A
�-
-
I
+
c 2 �----------'
-n-
B
s
-
1'----- L -------,jL- L
- ""3
r_J
sistem struktur jembatan
(b) model
L
pt
t
r--------;
Rsv
E-
(a)
Rei·
(c) badan bebas
(d) garis pengaruh RAv
(e) garis pengaruh M1
GAMBAR 9. 1 1 Struktur Contoh 9.2
Perletakan di A harus mampu memikul gaya tekan sebesar dan tarik sebesar Seterusnya, momen akan bemilai positif jika bekerja pada AB, dan besamya adalah
-!q0L,
M1
q0 M7 = (L){+ tL){tXqo) = + tq0L2 Nilai negatif untuk M1 diperoleh jika q0 bekerja pada bentang BC, sebesar M] = {2L){--!L){t)(q0) = --!q0L2
Dengan demikian, penampang I harus mampu menahan momen bolak-balik sebesar sebagai momen negatif, selain gaya dalam lintang tentunya. dan
--!q0L2
q0L.
(9.33)
(9.34)
+t q0L2
CONTOH 9 . 3 : Dengan menggunakan garis pengaruh, hitunglah momen pada penampang
tengah bentang balok sederhana akibat beban segitiga pada separuh bentang dalam struktur Gambar 9.12.
Penyelesaian Dengan menggunakan gambar
(b), diperoleh garis pengaruh RAv sebagai RAv =
L --x L
(9.35)
166
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
c
B (a) sistern struktur
�
1
a;
RAv r-- -
t
!
RAv r-- -
t
-�M,
(b) badan bebas keseluruhan
- --I RBv
t
(c) badan bebas potongan I
QI
(d) garis pengaruh
M1
(e) penggunaan garis pengaruh untul< beban segitiga
M1
GAMBAR 9. 1 2 Struktur Contoh 9.3
Dari gambar
(c), dapat diperoleh M1 =
RAv
·
�
-
{� )
(1
-X =
�
L 0 < X <- 2
;
(9.36)
-
(9.34) telah digunakan. Garis pengaruh M1 dapat saja dilengkapi L, namun sebenamya dalam pertanyaan soal, ini tidak dibutuhkan karena beban hanya bekerja dalam domain 0 :5: x :5: L/2. Gambar 9.12e memperlihatkan penggunaan garis pengaruh M1 untuk kasus beban segitiga. dengan bentuk dalam Persamaan
untuk domain
L/2
:5: x :5:
Untuk ini diperoleh
(9.37)
ill[ r J ( 4io X � } J 4io ( � ) � }
Dengan demikian untuk seluruh beban segitiga dalam domain
MI
=
�
0
�
�+
-
L/4
�
0
<
�=
x :5:
�
1 32 qJ}
menjadi
(9.38)
L = 5 meter, dilintasi oleh P = 10 Newton. Tentukan letak beban P yang memberikan
CONTOH 9 . 4 : Sistem struktur balok kantilever dengan bentang gaya luar statis sebesar
nilai reaksi perletakan maksimum dari ujung jepit masing reaksi maksimum tersebut?
A.
Berapa besar masing
167 ,
BAB 9 GARIS PENGARUH
Penyelesaian Dengan
P
1
=
yang. bekerja sejarak
x
dari ujung A dari Gambar
9.13b
diperoleh
MA = p . X = X RA V = -P = -1
(9.39) 9.13c dan
MA dan RA v menurut Persamaan (9.39) diberikan dalam Gambar 9.13d. Untuk nilai MA yang maksimum, ordinat garis pengaruh MA maksimum di titik P = 10 Newton bekerja di B untuk MA maksimum senilai Garis pengaruh
maksimum
Garis pengaruh
MA =
(L)(P)
=
50 N m
=
(5 m)(lO Newton)
RA v bemilai konstan, yang berarti bahwa nilai RA v tetap untuk
B, jadi (9.40)
P bekerja
di
mana saja di atas balok kantilever, dengan nilai maksimum
RA v =
(-1)(P)
=
(-1)(10 l':e\••ton)
B
.JP��
z
X
=
(a)
1_�_=__1 ________ -_---=!-' RBv
-10
(9.41)
N
struktur
t'----- L = S m ---- ------,.! -
�
(b) badan bebas total
(c) garis pengaruh MA
L
1
(d) garis pengaruh RAv
GAMBAR 9. 1 3 Struktur, Contoh 9.4
CONTOH 9.5: Suatu balok seperti Gambar bentang
L
=
10
9.14a berukuran b
x
h
=
0,4 m x 0,6 m, dengan P 50 Newton yang
meter, dilintasi oleh beban luar sebesar
=
bergerak. Hitunglah nilai momen maksimum yang bekerja di tengah balok, dan di mana beban balok diambil
P bekerja untuk nilai momen maksimum tersebut? Bobot sendiri 25 Newton/m3 .
Penyelesaian Kita ingin menggunakan garis pengaruh untuk menentukan besar Mr pada tengah bentang akibat beban luar
P, termasuk akibat bobot sendiri.
Bobot sendiri balok berupa gaya merata
sebesar.
q0 =
0,4 m · 0,6 m x 25 N/m2
= 6 N/m
(9.42)
MEKANIKA TEKNII<: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
168
y P = 50 N D
c
t -t'--
jL- 2 m --,1"----- 6 m -----,1"-- 2 m x
------i 1 N
l Rev
X
(a) sistem struktur
--;;>j - ""3
(b) badan bebas total
(c) badan bebas potongan +1
r
!lllllllll
(d) garis pengaruh MT
l l l l lil l l l = 50 N
q0 = 6 N/m (e) peletakan beban
GAMBAR 9. 1 4 Struktur, Contoh 9.5
Dengan menggunakan badan bebas total dalam gambar
b,
diperoleh
1
RAv = -f<8 - x) Penggunaan badan bebas potongan dalam gambar X My = 2 - 1
e
(9.43)
memberikan garis pengaruh
My sebagai
0 :5 X :5 5
= _2 + 4
5 m :5 x :5 10 m
2
(9.44)
yang telah memanfaatkan Persamaan (9.43). Gambar garis pengaruh My diberikan dalam gambar d, yang siap digunakan untuk menghitung reaksi MT. Perhatikan bahwa bobot sendiri bekerja secara tetap untuk seluruh bentang. Jadi misalnya, bobot sendiri bagian AB dan CD meredusir momen My akibat bobot sendiri, yaitu
My = 2 X Akibat
[(% - 1) �] x
X
6 N m = 15 N m
(9.45)
P = 50 N momen maksimum My akan dihasilkan jika P bekerja di tengah balok, jadi 3 My = 2 x 50 N m = 75 N m (9.46) +
Momen total ma�imum menjadi maksimum
My = 15 N m
+
75 N m
=
90 N m
(9.46)
169
BAB 9 GARIS PENGARUH
Sebagai tambahan, momen MT minimum jika
M:y = (-1)
yang menghasilkan
x
P bekerja di titik A
50 N m = -50 N m
dan D, jadi (9.47)
minimum MT = 15 N m - 50 N m = -35 Nm
9.8 RANGKUMAN •
ii
""L ::
t r
> .. .
• Ls�:lli��
}} • •·•·
u
t
(9.48)
(:/.:::::•:::::::::::::::::::.
...•....::;:.;
· �tal :�
:·:
>
.·:
}}•.•..: :
· n: • •• • • • • · • i i
{ / · · · · · · · · · · ·· · ·····> · · · · ·
>>
:·:.:.: •:•:•: . . . . . . . . . .:;.:;:· · · · · · · ·•·•·•·. :· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · •·•· ·•· · :•:.: ::· · · · · · ·
}
.;.
······ · · · ·•
.
.i.
>
• ••
· · · · · · ·· · · · ···
....... · · · ·
·· · ·
•: :
·
· ? ·· · · · · •• • • • ..::·:
··· · · ·
·····
9.9 SOAL-SOAL Dalam soal-soal berikut ini, kita hanya akan menyusun garis pengaruh gaya atau reaksi, untuk sistem struktur yang statis tentu. Dengan demikian, dimintakan untuk melakukan peninjauan ketidaktentuan statis struktur terlebih dahulu. Penyusunan garis pengaruh dilanjutkan untuk sistem struktur yang stabil dan statis tentu. Besaran gaya maupun ukuran dalam soal-soal, tentunya menggunakan sistem satuan tertentu. Namun, untuk kesederhanaan, satuan tersebut tidak perlu dituliskan, asal diingat bahwa besaran tersebut dapat disertakan kemudian. Misalnya, penulisan P = 1, hendaknya tidak perlu dipandang sebagai suatu kejanggalan, karena kita tahu bahwa gaya P tersebut mengandung satuan gaya, apakah itu kN, kgf, dan lain-lain. Demikian juga untuk besaran lainnya Garak, momen, gaya lintang, normal, dan lain-lain). Soal 9.1:
Tetapkan serta susun garis pengaruh gaya dalam (momen lentur dan gaya lintang) potongan tengah bentang D, terhadap gaya yang bekerja di atas bentang AB C. Apakah lentur maksimum dan lintang maksimum di potongan D merupakan gaya reaksi yang harus koresponden (merupakan akibat dari beban dan lokasi pembebanan yang sama)? Jelaskan alasan Saudara. Lihat Gambar 9.15 untuk penjelasan.
D--1
1'------ X - -- -
p
,B
c
� - -- - -- - � - -- - -- - -- - -- - -- -
GAMBAR 9. 1 5 Struktur Soal 9.1
X
170
Soal 9.2:
Soal 9.3:
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK ·RANGKA
Gaya terpusat P = 1 kN bekerja di atas bentang ABCD struktur dalam Gambar 9.16. Gambarkan garis peng aruh reaksi perletakan A dan reaksi sendi B, serta gunakan garis peng aruh tersebut untuk menentukan nilai maksimum masing-masing reaksi untuk P = 10 kN dan L = 5 meter.
Soal 9.6:
X
GAMBAR 9. 1 6 Struktur Soal 9.2
Untuk gaya yang beke�a pada b entang BCDE struktur dalam Gambar 9.17, susun dan gambarkan garis pengaruh reaksi perletakan di B dan A serta momen lentur balok BD pada penampang di atas C. Tentukan nilai maksimum ketiga reaksi tersebut untuk P = 10 kN dan L = 6 m.
Soal 9.4: Untuk beban luar yang bekerja di atas bentang A hingga F struktur balok menerus dalam Gambar 9.18, susun dan gambarkan garis pengaruh reaksi di A dan momen lentur di atas perletakan B. Hitung nilai ekstrim (maksimum dan minimum) kedua reaksi tersebut untuk P = 10 kN dan L = 5 m.
Soal 9.5:
Y
Beban luar bekerja pada bentang EBCF dari struktur dalam Gambar 9.19. Tentukan garis pengaruh dari momen lentur ujung B dari bentang BC serta reaksi rol di D. Gunakan garis pengaruh tersebut untuk menghitung nilai ekstrim kedua reaksi yang dimintakan, akibat beban merata q0 = 1 kN/m yang bekerja dengan bentang variabel di sepanjang lintasan EBCF, dan L = 5 m.
T L
l
GAMBAR 9. 1 7 Struktur Soal 9.3
y
A
B
E
F
"------ L -f-.L +--- L -+-.L +- L ----71
2
2
GAMBAR 9. 1 8 Struktur Soal 9.4
T l L
!L-- L --¥--- L ----,f-- L �
GAMBAR 9. 1 9 Struktur Soal 9.5
Untuk struktur rangka sederhana dalam Gambar 9.20, gaya terpusat bekerja pada titik-titik simpul batang tepi bawah A, C, E, G, dan I. Susunlah garis pengaruh reaksi perletakan rol A, serta gaya reaksi batang CF. Gunakanlah garis pengaruh tersebut untuk menghitung reaksi rol dan gaya batang CF akibat gaya vertikal (ke bawah) sebesar 20 kN di E dan 30 kN di I, untuk L = 3 m.
BAB 9 GARIS PENGARUH
171
I l
y
2L
GAMBAR 9.20 Struktur Soal 9.6
���x E G t'- L --,f-- L --t- L --+--- L ----,!
Soal 9.7:
Gaya luar bekerja pada titik-titik buhul batang tepi bawah sistem struktur rangka sederhana menerus atas tiga perletakan seperti dalam Gambar 9.21. Gambarkanlah garis pengaruh untuk reaksi rol A, sendi B, dan batang BD, untuk digunakan menghitung reaksi tersebut akibat gaya vertikal ke bawah sebesar 100 kN di titik D, untuk H = L = 3 m.
Soal 9.8:
Pelengkung paruh lingkaran beradius R = 6 m dalam Gambar 9.22, mendapat beban luar yang bekerja sepanjang pelengkung. Gambarkanlah garis pengaruh dari reaksi rol di B dan momen lentur di puncak C, untuk digunakan menghitung besar kedua reaksi tersebut akibat berat sendiri pelengkung q0 = 1 kN per satuan panjang pelengkung,. Bandingkan bentuk garis pengaruh yang diperoleh dalam soal ini dengan garis pengaruh yang diperoleh untuk balok lurus dengan bentang yang sama. Berikan komentar Saudara mengenai ini. y
D JL-- L -T- L -+----- L ---,iL- L --,�<--- L ---,,IL-- L --,1 GAMBAR 9.21 Struktur Soal 9.7
GAMBAR 9.22 Struktur Soal 9.8
172
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
GAMBAR 9.23 Struktur Soal 9.9
Soal 9.9: Lakukanlah hal yang sama dengan Soal 9.8 untuk pelengkung parabola dalam Gambar 9.23, dengan f = t L, L = 10 m, dan q0 = 1 kN per satuan panjang pelengkung. Soal 9.10: Pelengkung tiga sendi berbentuk lingkaran dengan radius R = 6 m, memikul struktur jembatan dengan sistem yang diidealisasi seperti dalam Gambar 9.24. Gambarkanlah garis pengaruh untuk gaya reaksi sendi A dan engsel E, untuk digunakan menghitung besar reaksi tersebut akibat berat sendiri lantai jembatan FHJ sebesar q0 = 25 kN per satuan panjang (dalam meter), merata sepanjang lantai jembatan.
/P �X�
=
1 ton
GAMBAR 9.24 Struktur Soal 9.10
I
f
�·
1 0. 1 U M U M Dalam beberapa bab terdahulu, telah disajikan perhitungan gaya-gaya reaksi sistem struktur akibat gaya luar, yang dilakukan dengan cara statika. Sejauh ini, penentuan gaya reaksi batang dan reaksi perletakan dilakukan secara manual (dengan tangan) berdasarkan peninjauan kriteria keseimbangan badan bebas keseluruhan ataupun badan bebas parsial (sebagian) dari sistem struktur. Kita melihat bahwa reaksi perletakan ditentukan dengan meninjau keseimbangan badan bebas keseluruhan struktur. Gaya reaksi batang ditentukan dengan meninjau keseimbangan badan bebas parsial yang diperoleh dengan melakukan pemotongan fiktif yang memunculkan reaksi batang yang diminati dan yang ingin dihitung. Cara-cara perhitungan manual tersebut di atas boleh jadi masih cukup sederhana dan praktis dilakukan atas sistem struktur yang masih sederhana dan relatif kecil, misalnya yang terdiri dari jumlah batang dan titik simpul yang relatif sedikit, dengan sudut orientasi batang yang relatif mudah dihitung. Cara-cara di atas akan segera terbukti kurang praktis diterapkan untuk sistem struktur yang relatif besar dan rumit. Masalah yang muncul pertama adalah dalam aspek ketelitian perhitungan. Kesalahan penerapan kriteria keseimbangan dalam satu badan bebas, akan dapat merambat ke perhitungan keseimbangan badan bebas bersebelahan. Masalah yang kedua, adalah kenyataan bahwa perhitungan semacam itu akan sangat tergantung kepada geometri (bentuk) struktur; yang memang pada umumnya hanya akan cocok dilakukan secara manual (tangan). Pengambilan badan bebas yang taktis dan segera menghasilkan penentuan nilai beberapa komponen reaksi, dilakukan berdasarkan pengamatan. Masalah berikutnya adalah bahwa perhitungan dengan cara yang demikian akan memakan waktu yang relatif lama. Tersedianya komputer sebagai alat bantu hitung berkapasitas tinggi, cepat, teliti serta andal, dapat dimanfaatkan untuk mengatasi kendala-kendala yang telah dipaparkan di atas. Analisis statika dapat dituangkan dalam algoritma perhitungan yang lebih standar, dan kemudian
174
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
dituangkan dalam suatu program analisis yang dapat dieksekusi oleh komputer. Formulasi analisis perlu dituangkan dalam formulasi matriks, karena penyajian semacam ini sangat cocok untuk dieksekusi oleh komputer. Bab ini membahas perumusan matriks untuk analisis struktur, hanya dibatasi untuk kasus rangka sendi bidang saja.
1 0.2 PENYUSUNAN PERSAMAAN KESEIMBANGAN DALAM FORMULAS! MATRIKS Tinjaulah suatu sistem struktur rangka sendi bidang yang dimodel dengan sejumlah m elemen, j titik simpul, dan r kekangan. Jumlah persamaan keseimbangan e dan jumlah komponen gaya f adalah
= m + 2j f = 2m + r e
(10.1)
Dalam setiap elemen, ada 2 komponen gaya aksial, seperti dalam Gambar 10.1c. Keseimbangan gaya di arah sumbu aksial xi elemen i memberikan
(10.2) yang jika diselesaikan, dan dengan menyatakan
Nu = Si, menghasilkan (10.3)
Artinya, dengan telah digunakannya keseimbangan elemen individual, diperoleh keadaan untuk setiap elemen i, dimana hanya dipunyai satu komponen gaya yang belurn diketahui, yaitu gaya aksial Sr Dengan demikian, jumlah total persamaan keseimbangan e ' dan jumlah komponen gaya f ' yang baru dari struktur yang teredusir dengan telah digunakannya keseimbangan elemen-elemen, menjadi
e' = e - m = 2j
f' = J - m = m + r
(10.4)
dimana untuk sistem struktur yang statis tentu, berlaku
= f ' atau 2j = m + r (10.5) Jumlah persamaan keseimbangan yang baru e' = 2j akan digunakan untuk menghitung sejumlah f ' = m + r komponen gaya, yang mencakup sejumlah m reaksi batang dan r reaksi kekangan/ e'
perletakan.
a.i
Untuk memulai penyusunan persamaan keseimbangan titik simpul, tinjaulah elemen i dengan sudut orientasi terhadap sumbu X global, seperti dalam Gambar 10.1d. Komponen gaya reaksi Si diukur dalam tata sumbu global (X,Y) adalah
{(;ji1 I {��; � l Fx' F2
Y;
dengan
-cos a, .
=
a. ; {si } [Ri] {si } sm a. i =
(10.6)
F�i dan FA akan menyumbang kepada keseimbangan gaya di titik simpul I, dan F�;
175
BAB 1 0 STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI DALAM FORMULAS! MATRIKS
(b)
�
/tv2i
j
J
(c)
Y;
sI
NJ j
2 Fy;
cos
--
IX;
�
',
S;
, S;
'
J
S ; sin a;
(d)
GAMBAR 1 0. 1 Forrnulasi Matriks Struktur Rangka Sendi Bidang
dan Fi; menyumbang kepada keseimbangan gaya di titik simpul J, sebagai ujung pertama dan kedua elemen i. Sekarang, tinjaulah suatu titik simpul k dengan kemy/tgkinan bekerja gaya luar { Pxl! PYk) dan reaksi perletakan ( RXI! R Yk), yang tentunya berseimbang dengan gaya-gaya yang diberikan oleh ujung-ujung elemen yang bertemu di titik k tersebut. Keseimbangan titik simpul k di arah horizontal dan vertikal mensyaratkan bahwa
LF + RXk + p = 0 LF + R Yk + pYk = 0 Xi
Yi
Xk
k = 1,
2,
. . ,j .
(10 .7)
dengan Lfx; dan LFYi adalah perjumlahan gaya-gaya sumbangan ujung batang yang bertemu pada titik k masing-masing di arah X dan Y. Bentuk Persamaan (1 0.7) dapat dituliskan untuk
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
176
semua titik simpul, serta disusun membentuk suatu sistem persamaan simultan nonhomogen dalam bentuk matriks sebagai berikut.
[C]{S} = {P}
(10.8)
Dalam sistem persamaan keseimbangan berbentuk matriks dalam Persamaan (10.8), vektor {S} adalah matriks kolom yang berisikan gaya-gaya aksial batang dan reaksi perletakan, yaitu
Sm
{5 }= - - Rl R2
) '
�r
(1 0.9) ((m + r) x l)
Vektor {P} berisikan komponen gaya-gaya luar pada titik simpul 1, 2, dan seterusnya yang diurut menurut arah X dan Y untuk setiap titik simpul; jadi,
Pi Pf
p�
{ P } = P_{
(10.10)
pXj pYj (2j x l)
Matriks koefisien [C] berisikan koefisien-koefisien sumbangan gaya-gaya dalam terhadap keseimbangan gaya-gaya titik simpul, yang diperoleh dengan menggunakan matriks rotasi dalam Persamaan (10.6). Sebagai contoh, elemen i yang mempunyai titik I sebagai titik ujung pertama, dan titik J sebagai titik ujung kedua, akan menyumbang ke persamaan baris ke 2(J - 1 ) + 1, baris ke 2J, baris ke 2(! - 1) + 1, dan baris ke 2J pada kolom ke i sebesar yang tercantum dalam Tabel 10.1. Selanjutnya, reaksi perletakan Rxk dan Rn di titik k akan memberikan sumbangan sebesar -1,0 untuk baris 2(k - 1) + 1 dan 2k, dalam kolom sesuai pengaturan urutan penomoran gaya-gaya reaksi. Dengan demikian, matriks koefisien [C] mengambil bentuk sebagai dalam bagan Gambar 10.2.
TABEL 1 0. 1 Daftar Sumbangan Elemen ke-i atas Matriks Koefisien [C] Bans Ke-
Kolom
21 - 1
--cos a1
21
-
2] 2]
1
s in a1
cos a1
sin
a1
1
· BAB
10
177
STATIKA STRUI
(m + r)
51 1
5m
52
1 i
2 2
R2
R,
3
i
4
j
2j - I 2j GAMBAR 1 0.2 Profil Dari Matriks Koefisien [C]
1 0.3 PERILAKU MATRIKS KOEFISIEN Seusai penyusunan sistem persamaan keseimbangan dalam Persamaan (10.8), analisis struktur dapat dilanjutkan dengan penentuan vektor gaya reaksi {5} untuk vektor beban luar {P} yang diketahui. Namun, sebelum operasi perhitungan dilakukan, terlebih dahulu kita memeriksa sifat matriks koefisien [C] . Untuk sistem struktur yang elastis tinier, matriks koefisien [C] tetap untuk sistem tersebut, serta tidak tergantung kepada pembebanan. Dengan demikian, matriks tersebut dapat disusun sekali saja, dan kemudian menggunakannya berulang-ulang untuk semua kasus pembebanan yang ada. Untuk sistem struktur yang stabil dan statis tentu, maka berkaitan dengan suatu pola pembebanan tertentu yang diberikan, kita selalu dapat menentukan distribusi gaya reaksi yang unik. Dengan demikian, matriks [C] adalah nonsingular. Secara matematis, determinan matriks [C] tidak nol; jadi, det [C]
:F.
0
(10.11)
Sifat[C] berikutnya yang dapat kita amati adalah bahwa matriks tersebut pada umumnya tidak simetris; jadi (10.12)
-,
r
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS
178
STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Ini disebabkan kenyataan bahwa arah kita menyusun persamaan keseimbangan untuk mendapatkan baris demi baris sistem persamaan simultan dalam Persamaan (10.8), tidak berpasangan dengan arah dari komponen gaya reaksi yang tercakup dalam vektor gaya {S } . Sifat berikutnya matriks [C] adalah kenyataan bahwa matriks tersebut adalah "sparse", dalam arti bahwa kebanyakan unsurnya bernilai nol, namun unsur yang tidak nol mengambil tempat yang tersebar. Unsur-unsur diagonal utama juga temyata umumnya tidak dominan dibandingkan dengan unsur-unsur di luar diagonal utama. Bahkan dalam beberapa kasus, ada beberapa unsur diagonal yang bernilai nol. Ini tergantung dari hubungan antara urutan , 5,., R1, R2, , Rm dibandingkan dengan urutan baris persamaan komponen reaksi 51, 52, keseimbangan yang ditentukan oleh kesinambungan topologi sistem struktur, yang umumnya tidak mempunyai kaitan langsung. .
.
•
•
•
.
Sifat-sifat matriks [C] di atas akan mempengaruhi kita dalam proses pemilihan metoda penyelesaian sistem persamaan simultan dalam Persamaan (10.8). Sebagai contoh, jika kita menggunakan cara solusi yang didasarkan atas metoda eliminasi Gauss, kita kemungkinan dapat menghadapi masalah jika baris yang dipegang (di-pivot), memiliki unsur diagonal utama yang nol. Cara untuk mengatasi ini lazimnya dilakukan dengan cara pertukaran baris. Cara lain untuk mengatasi hal ini adalah dengan memperkalikan ruas kiri dan kanan Persamaan (10.8) dengan matriks transpos [C] dari depan, sehingga diperoleh
[C]T [C]
{S}
atau, dalam notasi baru,
= [C]r {P }
(10.13)
[C']
{ S } = {P '}
(10.14)
[C']
=
[C]T [C]
(10.15)
dengan {P '}
=
[C]T{P}
Sistem persamaan baru dalam Persamaan (10.14) setara dengan sistem persamaan awal dalam Persamaan (10.8), namun dengan matriks koefisien baru yang memiliki sifat-sifat yang sangat berbeda. Untuk meneliti hal ini, perhatikanlah bahwa nilai unsur-unsur matriks [C'] dalam Persamaan (10.15a) diberikan oleh (10.16) dengan unsur-unsur diagonal utama
c'u = cki · cki = I,k cfi
(10.17)
Pengamatan atas bentuk dari Persamaan (10.16) menyatakan bahwa (10.18) sehingga terlihat bahwa (10.19)
179...,
BAB 10 STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI DALAM FORMULAS! MATRIKS
Hasil Persamaan (10.17) membuktikan bahwa unsur-unsur diagonal utama matriks [C'] menjadi non zero dan definit positif. Hasil Persamaan (10.19) menunjukkan bahwa matriks tersebut simetris. Dengan demikian, bentuk persamaan dalam Persamaan (10.14) lebih cocok untuk disolusikan ketimbang Persamaan (10.8), karena sifat matriks [C'] yang simetris dan memiliki unsur-unsur diagonal utama yang definit positif. Cara penyelesaian yang didasarkan atas metoda eliminasi Gauss, atau cara-cara lainnya, dapat digunakan dengan tidak menemui kesulitan numerik yang mungkin akan dihadapi, jika prosedur yang sama digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan simultan dalam bentuk Persamaan (10.8). Cara yang dipilih dan digunakan dalam program komputer diberikan dalam uraian pasal berikut ini.
1 0.4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN SIMULTAN Pada tahap ini, matriks koefisien [C'] dan vektor gaya yang telah tersusun, dituliskan dalam bentuk tergabung (augmented) untuk sejumlah L kasus pembebanan sebagai berikut. Dalam bahasan sebelumnya telah dinyatakan bahwa matriks koefisien [C] sama untuk struktur yang sama, dan tidak tergantung pembebanan. Ini memperkenankan kita untuk menyusun [ C] cukup sekali saja, dan kemudian menggunakannya untuk setiap kasus pembebanan satu per satu. Dengan demikian, untuk mewakili semua kasus pembebanan, kita akan meninjau salah satu kasus pembebanan saja. Tentu saja tinjauan ini akan berlaku untuk semua kasus lainnya.
1
2
N
1
2
L
1
2 CNN
N [C']
r,
{ S}
{P}
GAMBAR 1 0.3 Bentuk Tergabung Dari Distem Persamaan Simultan
Dalam terapan, ditemukan beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan simultan linier nonhomogen. Setiap cara mempunyai kelebihan dan kekurangan, sehingga untuk setiap jenis problem yang dihadapi, sepatutnya perlu dipilih suatu cara penyelesaian yang lebih cocok digunakan. Secara garis besar, digolongkan dua macam teknik solusi, yaitu: (a) cara langsung, dan (b) cara tidak langsung. Cara langsung adalah teknik solusi yang beroperasi atas sistem persamaan, yang kemudian digunakan untuk menghitung solusi sekali saja. Cara tidak langsung merupakan cara iteratif yang melakukan operasi atas sistem persamaan. Siklus pertama yang menemukan solusi pendekatan pertama, digunakan untuk siklus berikutnya untuk mendapatkan solusi yang diperbaharui, demikian seterusnya hingga solusi konvergen ke solusi yang sebenarnya. Salah satu metoda penyelesaian adalah dengan cara inversi, yaitu menghitung inver'ii dari [C], lalu mengalikan sistem persamaan dalam Persamaan (10.8) dengan matriks invers yang diperoleh dari depan; jadi
180
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RA.c'lGKA
[C] -1 [C] {S} Karena
[C]-1 [C] = [I]
=
[C]-1 {P}
(10.20)
yaitu matrik identitas, maka dari Persamaan
(10.20) diperoleh
{S} = [C]-1 {P}
(10.21)
Dengan demikian, cara inversi merupakan teknik solusi langsung. Cara ini termasuk yang sangat jarang digunakan atas dasar beberapa hal. Pertama, untuk beberapa terapan rekayasa, matriks [C] kerap disimpan dalam memori secara tidak utuh (hanya sebagian), khususnya jika yang disimpan adalah matriks [C1 yang simetris. Kedua, kita hanya berminat untuk mendapatkan vektor {S} sebagai solusi, sehingga bentuk eksplisit matriks inversi [C]-1 tidak kita perlukan. Kecuali jika kita memang membutuhkan bentuk eksplisit inversi matriks koefisien, kita sebaiknya tidak menggunakan metoda inversi ini, sebab ditinjau dari segi praktisnya, tidak begitu menguntungkan serta membutuhkan perhitungan yang lebih panjang dan mahal. Dalam program STATIKA dalam Bab 11 nanti, kita akan menggunakan satu cara yang diterapkan atas persamaan modifikasi dalam Persamaan (10.14), yaitu untuk [C] yang simetris. Kita menuliskan persamaan itu kembali dengan diwakili oleh suatu sistem persamaan orde tiga sebagai berikut.
ells1 + e12sz + e13S3 = P1 e21s1 + e22s2 + e2353 = p2 e31s1 + e32s2 + e33 s3 = p3
atau
[C]{S}
=
{P}
(10.22)
Sekarang, kita "memegang" baris pertama, baris kedua dan ketiga masing-masing dikurangi dengan e2J ell dan e3J ell kali baris pertama sehingga diperoleh
(10.23) Jika dalam akhir proses pertama ini dinyatakan bahwa unsur-unsur baru adalah
(10.24)
maka Persamaan
(10.23) berubah menjadi
CnSI + c12S2 + cbs2 + c�2S2 +
C13S3 = fi c}3s3 -- pl2 nl d3S3 - '3 _
(10.25)
BAB
10
� 181
STATIKA STRVI
Sekarang, baris kedua "dipegang" pada baris kedua, sehingga diperoleh
d2 ,
lalu baris ketiga dikurangi dengan
PI - 2
=
-
_
-
pl
3
pl
_
1
c�2 / d 2
kali
(10.26)
C32 p'' �1
L- 22
Hasil akhir dalam Persamaan (10.26) mengandung matriks koefisien yang berbentuk segitiga atas, dengan baris terakhir yang hanya mengandung unsur 53 dari rnatrik {5},
c1 1 51
I
I
+
c1 2 52 + c1 353 ci2 S2 + c{3S3 d3s3
= = =
P1 P21 P32
(10.27)
Solusi dimulai dengan menghitung 53 dari baris ketiga, memasukkannya ke dalarn baris kedua untuk menghitung 52• Nilai 53 dan 52 yang sudah dihitung dari baris ketiga dan kedua, akhimya dimasukkan ke dalam baris pertama untuk menghitung 51. Sekarang, kita dapat menyusun proses solusi yang telah diuraikan di atas secara rnetodik sebagai berikut. Pertama, dalam langkah pertama yang "memegang" C11, kita menggunakan unsur ell' c12, c13 dan P1, yang kita catat dan sirnpan dalam formasi
(10.28) Dalam akhir proses ini, diperoleh unsur-unsur baru dalarn baris kedua dan ketiga yang dihitung menurut Persamaan Persamaan (10.26).
(10.24), dengan d1 = d 1 =
0, dan persamaan rnodifikasi seperti dalam
Berikutnya, dalam proses ··pemegangan dalam ·
d2 , ci3 ,
dan
Pl
c:: ,
kita menggunakan unsur-unsur baru
yang dicatat dalam formasi pi
(10.29)
2
Dalam akhir proses ini, diperoleh unsur-unsur baru dalam baris ketiga, dengan d2 = 0 dengan persamaan modifikasi baru seperti dalam Persamaan (10.27). Hasil akhir dalam baris ketiga, lalu dicatat dalam format p2
(10 30)
3
Kita mengamati suatu hal yang amat penting. Dalam mengoperasikan modifikasi unsur unsur seperti dalam Persamaan (10.24), kita dapat memodifikasi unsur c , dan P secara terpisahI I} I sebab bentuk dalam Persamaan (10.28), (10.29) dan (10.30) menunjukkan bahwa penyimpanan data-data seperti ini, memungkinkan kita untuk mengoperasikan unsur P;, setelah operasi atas cii selesai dilakukan. ..
·
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
182
Operasi penyelesaian sistem persamaan dalam Persamaan (10.14) disusun dalam algoritma solusi sebagai berikt.lt ini. (1) Pertama, kita melakukan proses modifikasi hanya atas matriks koefisien [C'] yang pada akhimya mendapatkan matriks koefisien berbentuk segitiga atas seperti terkandung dalam Persamaan (10.27). Ini dapat dilakukan dengan menggunakan rumus umum Persamaan (10.24a), yaitu c
=
c
(k-1) 1) ckl-1) kJ
SL_c
-
(10.31)
pada saat melakukan �pemegangan" dalam unsur ckl-1! Proses ini dinamakan proses triangulasi (triangulation process). Dalam proses ini, operasi perhitungan disertai dengan pencatatan unsur termodifikasi seperti dalam Persamaan (10.28), (10.29), dan (10.30), namun hanya untuk unsur Cij . (2) Kemudian, operasi klfiH1kukan atas matriks kolom {P}, yaitu dengan melakukan proses modifikasi seperti 'dlilam Persamaan (10.24b ), yang dalam bentuk yang lebih umum dituliskan sebagai
(k-1) 1) p.(k) = p.(k-1) - SL_p.(k (k-1) k l
l
ckk
(10.32)
Ini dinamakan proses reduksi (reduction process).
(3) Akhir proses langkah (l) dan (2) menghasilkan bentuk sistem persamaan seperti dalam Persamaan (10.24), yartg lalu dapat disolusikan untuk vektor {S} dengan proses substitusi balik (back substitution);' yaitu menghitung unsur terakhir dari {S} dari baris terakhir dan menenthkan unsur-unsur lainnya dengan bergerak ke baris di atasnya secara berurutan. Sebagai <.contoh penerjlpan, diinginkan untuk menentukan solusi sistem persamaan simultan lini£1'1 nonhomo�n untuk dua kasus seperti dalam bagan Gambar 10.4 berikut ini. 2 1 -1
1 -1 7 2 1 1 6 3 1 3 2 3 {B1} {B2} [A]
GAMBAR 1 0.4 Daftar Koefisien [A] dan {B)
Penyelesaian: Kita dapat memroses triangulasi matriks koefisien [A} terlebih dahulu. Pertama, kita mencatat baris pertama, yaitu (10.33) Berikutnya, dengan memegang a11, kita dapat menggunakan Persamaan (10.31) untuk menghitung koefisien dalam baris 2 dan 3, yaitu
'
BAB
10
�
STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI DALAM FORMULASI MATRIKS
1/2 , 3/2
yang dicatat dalarn daftar
Akhimya, dengan rnernegang
ab ,
183
(10.34)
operasi atas baris ketiga rnernberikan
1 - � a13 - � - (3/ 2) 2 - a33 a33 2 (1/ 2) aiz 2 -
l - _! -
-2 2 - 2 _
x
yang dicatat dalarn daftar -2
Matriks koefisien
[A] berbentuk segitiga
I
(10.35)
atas rnenjadi
2
0 0
1
1/2
0
Sekarang kita rnelakukan proses terhadap vektor kan
-
1
3/2 -2
(10.36)
{B 1 }. Penggunaan Persarnaan (10.32) rnernberi
clan
Dengan dernikian, untuk
{B1 }
diperoleh persarnaan terrnodifikasr \
2x1 + x2 - x3 = 7 txz + fx3 = 5/2 -2x3 = -2 \
Dari baris ketiga hingga ke baris pertarna diperoleh
(10.37)
BAB
10
�
STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI DALAM FORMULAS! MATRIKS
(d)
yang aktif, indeks 0 untuk derajat kebebasan yang terkekang oleh adanya reaksi perletakan. Penomoran urutan kolom matriks koefisien sekarang dapat dilengkapi, yaitu mengurutkan kolom 1, 2, . . . m untuk lokasi 51, 5 2, . , 5m. Dengan memeriksa indeks keaktifan titik simpul, mulai dari 1 hingga titik j, dapat ditemukan derajat kebebasan yang memiliki indeks 0 (nol). Berarti bahwa disitu ada reaksi perletakan, yang lalu diberi nomor mulai dari (m + 1), (m + 2), dan seterusnya hingga nomor (2j). Penomoran urutan baris persamaan dapat dilakukan dengan mudah sesuai urutan nomor titik simpul. Misalnya, arah X dan Y titik simpul bemomor k diberi masing masing nomor urut 2(k - 1) + 1 dan 2(k - 1) + 2 dalam urutan baris persamaan simultan. Matriks koefisien [C] sekarang dapat disusun dengan memroses elemen satu per satu, yaitu dengan menggunakan koefisien dalam Tabel 10.1. Sumbangan reaksi perletakan dapat dimasukkan dengan menuliskan -1,0 dalam baris dan kolom yang sesuai. Langkah berikutnya adalah penyusunan vektor gaya luar {P}, berdasarkan data masukan yang memberikan lokasi titik simpul dimana bekerja gaya-gaya luar terpusat di arah tata sumbu global. Sistem persamaan simultan dalam akhir langkah (g), yaitu Persamaan (10.8), lalu disolusikan untuk {S}. Sebagai altematif, sistem persamaan termodifikasi dalam Persamaan (10.14) juga dapat digunakan untuk menghitung gaya reaksi dan reaksi perletakan yang terkandung dalam {S}. I
(e) (f) (g)
185
.
.
,-
(h)
1 0.6 CONTOH PENERAPAN I
I
I'
i !
Untuk melatih dan memperdalam pemahaman penerapan formulasi matriks yang telah dibahas dalam pasal-pasal terdahulu, berikut ini disajikan beberapa contoh penerapan. CONTOH 1 0 . 1 :
Struktur yang telah dibahas dalam Contoh 7.1, kembali dibahas dalam contoh ini, namun dengan menggunakan formulasi matriks. Untuk soal ini digunakan L 12 m, H = 5 m. =
Penyelesaian p
Sistem struktur yang kembali digambarkan dalam Gambar 10.5a, dimodel atas tiga elemen pendel, dengan penomoran titik simpul dan elemen seperti dalam gambar (b). Dengan demikian, jumlah elemen m = 3, titik simpul j = 3, dan reaksi perletakan/kekangan r = 3. Data masukan berupa insidens elemen, dan keaktifan, koordinat dan gaya luar titik simpul, disusun dalam Tabel 10.2. Insidens elemen sekaligus akan menetapkan tata sumbu lokal (x1, y1 ), (x2, y2), dan (x3, y) elemen CD hingga elemen ® seperti terlihat dalam Gambar 10.3f Dengan demikian, sudut apit sumbu xi dengan sumbu X, yaitu O.v diperoleh untuk ketiga tata sumbu lokal sebesar a1 0°, o.2 arctan (5/12), dan o.3 = 270°. Penomoran gaya reaksi diberikan dalam Gambar 10.4d. Dalam contoh ini, reaksi gaya dalam pada elemen CD, ®, dan ® diberi indeks 1, 2, dan 3. Mulai dari titik 1 hingga 3, keaktifan titik simpul di arah 1 dan 2 diperiksa. Jika keaktifan bemilai nol, maka di sana ada gaya reaksi, seperti yang diberikan nomor urut 4, 5, dan 6 dalam gambar (d), yang masing-masing koresponden dengan RAW RAv' dan RcH dalam Gambar 7.13b. =
=
MEKANIKA TEKNIK STATIKA DALAM ANALISJS
186
A
T
STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
p
L = 12 m
(j) 2
H=5m
11
X
(b) penomoran elemen dan titik simpul
(a) sistem struktur
0
5
-
2
0
3
(c) keaktifan titik simpul
0
6
(d) penomoran gaya reaksi
(e) penomoran baris persamaan
(j) tata sumbu lokal elemen
GAMBAR 10.5 Struktur Contoh Soal 10.1
TABEL 1 0.2 Data Masukan Untuk Struktur Contoh 10.1
3
2
1
3
(a) insidens elemen
1
0
0
3
0
1
2
1
1
0.0
5.0
0.0
0.0
12.0
5.0
-P
(b) keaktifan, koordinat dan beban titik simpul
18�
BAB 10 STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI DALAM FORMULAS! MATRIKS
Penomoran urutan baris matriks dimulai dari titik 1 hingga 3, dalam masing-masing arah X dan Y titik simpul, seperti terlihat dalam Gambar 10.3e. Dengan ini, identifikasi baris dan kolom matriks koefisien [ C] telah tertetapkan. Sekarang, sumbangan elemen demi elemen terhadap [C'], dapat diproses. Untuk elemen CD, a1 = oo sehingga dengan ujung pertama adalah titik 1 dan ujung kedua adalah titik 2 menurut insidens elemen CD dalam daftar Tabel 10.2a, sumbangan elemen CD adalah c11 = -1.0, c21 = 0.0, c31 =1.0, dan c41 = 0.0. Untuk elemen @, a2 = arctan (5/12) sehingga cos a2 = 12/13 dan sin � = 5/ 13. Dengan ujung pertama dan kedua elemen @ adalah titik simpul 3 dan 2 menurut insidens elemen @ dalam Tabel 10.2a, sumbangan elemen ini adalah c52 = -12/13, c62 = -5/13, c32 = +12/13, dan c42 = +5/13. Untuk elemen ®, � = 270° sehingga cos a3 = 0 dan sin a3 = 1. Ujung pertama dan kedua elemen ® adalah titik simpul 1 dan 3, sehingga sumbangan elemen ini adalah c13 = 0.0, c23 = +1.0, c53 = 0.0, dan c63 = -1.0. Karena reaksi nomor 4 berada pada titik simpul 1 di arah derajat kebebasan pertama, reaksi nomor 5 pada titik simpul 1 di arah derajat kebebasan 2, reaksi nomor 6 pada titik simpul nomor 3 di arah derajat kebebasan pertama, maka sumbangan reaksi-reaksi perletakan untuk [C] adalah C14 = -1.0, C25 = -1.0, dan c56 = -1.0. Hasil akhir untuk matriks [C] dengan demikian adalah 51
[C] =
52
53
R1
R2
R3
-1.0 0 0 -1.0 0 0 1 0 0 +1.0 0 -1.0 0 2 0 +1.0 + # 0 0 0 3 0 + -tr 0 0 0 0 4 .ll. 0 0 0 0 -1.0 5 13 -1.0 0 0 - .2.. 0 0 6 13
(10.41)
-
Sekarang dapat dilakukan proses penyusunan vektor beban. Karena hanya ada satu gaya luar, yaitu -P pada titik simpul 2 di arah derajat kebebasan kedua, maka P4 = P. Dengan demikian, diperoleh vektor beban dalam bentuk
{P}
=
0 0 0 -P 0 0
1 2 3 4 5
(10.42)
6
Akhirnya, untuk contoh ini diperoleh sistem persamaan keseimbangan dalam Persamaan (10.8) sebagai -1.0 0 0 0 +1.0 + # 0 + -tr 0 -.ll. 13 0 -� 13
0 -1.0 0 0 +1.0 0 -1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0 -1.0 0 0 0
51 52 53 R1 R2 R3
=
0 0 0 -P
0 0
(10.43)
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
188
dengan solusi
SI 52 53 RI R2 R3
-+ -¥ll +1
=
.
_.ll. 5
p
(10.44)
+1 + ll 5
Hasil yang diperoleh dalam Persamaan (10.44) identik dengan hasil dalam Persamaan ( 7.30), dengan catatan bahwa R 1, R2, dan R3 dalam soal ini identik dengan RAH' RAV' dan R8H dalam Contoh 7.1.
10.6 ingin dianalisis untuk mendapatkan gaya reaksi batang dan perletakan di titik A dan C. Diminta untuk melakukan analisis dalam formulasi matriks.
CONTOH 1 0.2: Sistem struktur rangka sederhana dalam Gambar
Penyelesaian Struktur dimodel dengan 2 elemen AB dan CB, dengan tiga titik simpul A, B, dan C. Karena ada 4 kekangan perletakan di A dan C, maka untuk sistem ini, diperoleh jumlah elemen m = 2, jumlah titik simpul j = 3, dan kekangan r = 4. Penomoran elemen dan titik simpul terlihat dalam gambar (b). Dengan data insidens elemen serta daftar keaktifan, koordinat, dan gaya luar titik simpul seperti dalam Tabel 10.3, maka keaktifan titik simpul, tata sumbu lokal elemen, penomoran gaya reaksi, dan penomoran baris persamaan menjadi seperti terlihat dalam Gambar 10.6c hingga 10.6f L
1
y
I 1
2
1
L
(a) sistern struktur
1
0
(b) penornoran elernen dan titik sirnpul
(c) keaktifan
titik sirnpul 3
4
5
(d) tata surnbu lokal elernen
(e) penornoran gaya reaksi
6
GAMBAR 1 0.6 Struktur Contoh 10.2
5
if) penornoran baris persarnaan
6
BAB
10
STATIKA STRUI
TABEL 1 0.3 Data Masukan Untuk Struktur Contoh 10.2
Elemen
1
2
3
2
2
1
(a) insidens elemen
1
0
0
0
3
0
0
L
1
2
1
L
0
L
+P
0
(b) keaktifan, koordinat clan gaya luar titik simpul
Sekarang perhatikan Gambar 10.6e. Sistem penomoran gaya reaksi yang mendahulukan penomoran semua gaya batang lalu disusul dengan gaya-gaya reaksi perletakan, dalam contoh ini diubah seperti terlihat dalam gambar (e). Dalam sistem penomoran yang baru ini, gaya-gaya reaksi yang berdekatan diurut dengan penomoran yang sedapat mungkin berdekatan. Kita akan melihat nantinya, bagaimana pengaruh sistem penomoran ini terhadap profil matriks koefisien [C]. Sekarang, rnatriks [C] siap disusun. Untuk elernen CD, cosa1 = sina1 = sehingga dengan rnernbandingkan gambar (e) dan (f), dan dengan menggunakan koefisien dalarn Tabel 10.3,
f{2
c33 = + , dan C43 = c23 ·= adalah c13 = Untuk elernen CV, cos a2 = 0, sin a2 = 1, sehingga surnbangan elemen CV adalah c54 = 0.0, c64 = -1.0, C34 = 0.0, dan C44 = + 1 .1 . Surnbangan reaksi perletakan adalah c11 = -1.0, c22 = -1.0, C55 -1.1, dan C66 = -1.0. Dengan rnernperhatikan bahwa gaya P bekerja di arah mendatar pada titik sirnpul 2, rnaka kornponen beban hanya P3 = +P, dan sistem persamaan dalam {10.8) rnengambil bentuk
surnbangan elernen ini terhadap
+f.fi .
-f.J2,
[C]
-f.J2,
f.fi
=
-1.0 -1.0
-t.fi -t.fi + t.fi +t.fi
0
Rz
0
SI
0
5
1.0 0 -1.0
RI
-1.0 0
-1.0 -1.0
2 R3 R4
=
+P 0 0 0
(10.45)
190
MEKANIKA TEI
Unsur-unsur matriks [C] yang bemilai nol karena tidak disumbang oleh gaya reaksi, sengaja diberi tanda titik (.) untuk memperlihatkan dengan kontras, unsur mana saja yang disumbang oleh gaya reaksi. Cara penomoran yang mengusahakan agar gaya reaksi yang berdekatan sedapat mungkin mendapatkan nomor urut yang berdekatan, temyata memberikan unsur-unsur tersumbang gaya reaksi yang lebih mengelompok di sekitar diagonal utama. Unsur-unsur diagonal utama pun semuanya bernilai tidak nol. Dengan demikian, matriks [C] yang diperoleh dengan cara penomoran baru ini, lebih mudah ditangani. Solusi Persamaan (10.45) adalah
RI R2 SI
52 R3 R4
=
-1.0 -1.0 + {2 -1.0
(10.46)
0
+1.0
Pemeriksaan kebenaran dari solusi dalam Persamaan memeriksa kembali keseimbangan titik-titik simpul.
(10.38)
dapat dilakukan dengan
1 0.7 RANGKUMAN > ::/•\' :
: :
:
:
•••
•••• >
''• :
,' :L;: .
· : '''' ' '''''''/·
. ,, · .
.
.
.
i
.
.
>
H
>
> /':' � '. {:
t> . . . . ·. .,,,,,,,.
.: .
.
. . ... ':."'i<) : . . .''' ' ' ''''''':{
>
I•••.· · · ·, · u •·
;L;
/
. )�·· · · · · ·
BAB 10
1�
STATIKA STRUKTUR RANGKA SEND! DALAM FORMULAS! MATRIKS
1 0.8 SOAL-SOAL Sama dengan soal-soal dalam bab-bab seb�lumnya, analisis hendaknya didahului dengan peninjauan ketidaktentuan statis sistem yang dihadapi. Analisis yang dilakukan dengan metoda matriks hanya dilaksanakan untuk sistem struktur yang stabil dan statis tentu. Perhatikan bahwa titik-titik simpul dan batang-batang diberikan nomor urut angka dan bukan huruf (alfanumerik). Ini dimaksudkan agar ukuran persamaan keseimbangan yang akan dituliskan dalam formulasi matriks, serta jumlah gaya reaksi yang akan ditentukan (reaksi perletakan dan gaya batang), dapat diketahui dengan mudah pada saat awal analisis. Soal 10.1:
Struktur rangka bidang sederhana yang terdiri atas 2 elemen dan 3 titik simpul dalam Gambar 10.7, ingin dianalisis dengan cara statika dalam formulasi matriks. Lakukanlah analisis, dan susun hasilnya dalam suatu daftar gaya.
Soal 10.2:
Struktur rangka bidang sederhana dalam Gambar 10.8, ingin dianalasis dengan cara matriks. Susunlah hasil perhitungan gaya reaksi batang dan perletakan dalam suatu daftar gaya.
y
GAMBAR 1 0. 7 Struktur Soal 10.1
p y
GAMBAR 1 0.8 Struktur Soal 10.2
192 Soal 10.3:
Soal 10.4:
Soal 10.5:
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Struktur dalam Gambar 10.9 serupa dengan yang telah dianalisis dalam Soal 10.2, kecuali perletakan rol di titik 3 yang dimiringkan 45°. Lakukanlah analisis struktur dalam formulasi matriks, dan susun hasil yang diperoleh dalam satu daftar gaya. B andingkan hasil yang diperoleh dengan hasil dari Soal 1 0.2, dalam mengamati pengaruh pemiringan rol terhadap distribusi reaksi. Suatu rangka bidang sederhana d alam Gambar 1 0 . 1 0 memikul hanya satu gaya terpusat horizontal P pada titik simpul 2. Lakukanlah analisis struktur dengan cara statika dalam formulasi matriks. Susun gaya reaksi dalam s atu daftar batang. Berikan komentar atas hasil analisis, dengan cara pengamatan bahwa konsep batang nol sering dapat dimanfaatkan untuk menye derhanakan problem yang dihadapi, khususnya untuk kasus struktur yang relatif kecil dan sederhana seperti dalam soal ini.
1
p
y
p
L
1
!L -
'
�
GAMBAR 1 0.9 Struktur Soal 10.3
1y
3 ---+ �------�--------�� 2 ®
p
CD
I 1 L
L -----,i
GAMBAR 1 0. 1 0 Struktur Soal 10.4
Struktur rangka sendi bidang dalam Gambar 10.11 ingin dianalisis dengan cara statika dalam formulasi matriks. Lakukanlah analisis yang dimintakan tersebut, serta susun hasilnya dalam suatu daftar gaya. Melihat sifat reaksi batang pendel pada batang CD, ®, dan ®, dapatkah Anda mengusulkan suatu model yag dapat digunakan untuk menyederhanakan problem ini, khususnya meredusir orde bentuk matriks persamaan keseimbangan? Berikan ulasan secukupnya.
T
®
6
L
t l L
X
GAMBAR 1 0. 1 1 Struktur Soal 10.5
1�
BAB 10 STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI DALAM FORMULASI MATRIKS
Soal 10.6: Lakukanlah analisis struktur atas sistem
struktur dalam Gambar 10.12 dengan cara statika dalam formula matriks untuk menentukan gaya reaksi serta menyusun hasil perolehan dalam satu daftar gaya. Dapatkah Anda usulkan bentuk model yang lebih sederhana untuk sistem struktur ini, dalam kaitan penciutan orde persamaan keseimbangan simultan dalam bentuk matriks? Jelaskan langkah yang Anda tempuh.
I I
L
l
r-- L
------
Soal 10.7: Lakukanlah analisis statika atas sistem
p
struktur dalam Gambar 10.13. Susun hasil perolehan dalam satu daftar gaya. Dapatkah Anda lebih menyederhanakan problem ini? Jelaskan langkah yang dapat ditempuh.
Soal 10.9: Dengan cara statika dalam formulasi
matriks, analisislah struktur dalam Gambar 10.15 untuk mendapatkan reaksi perletakan dan gaya batang akibat gaya terpusat horizontal P di titik simpul 6. Susun perolehan dalam satu daftar gaya. Dapatkah Anda mengusulkan suatu model y ang lebih sederhana untuk merepresentasikan struktur tersebut? Jelaskan argumentasi Anda.
y
T
f L
Soal 10.8: Dengan cara statika dalam formulasi
matriks, lakukanlah analisis struktur menara sederhana dalam Gambar 10.14. Susunlah reaksi batang dalam perletakan dalam satu daftar gaya.
L -------;oi
GAMBAR 1 0. 1 2 Struktur Soa\ 10.6
l L
�
L
-+X-
GAMBAR 1 0. 1 3 Struktur Soal 10.7
y
1 L
+
p GAMBAR 1 0. 1 4 Struktur Soal 10.8
f--- L ------->'- L ----¥-'--- L ----,t--- L ----,.1
GAMBAR 1 0. 1 5 Struktur Soal 10.9
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
y
p
Soal 10.10: Analisislah sistem struktur rangka sederhana bidang dalam Gambar 10.16 dengan cara statika dalam formulasi matriks. Susun reaksi per letakan dan gaya batang dalam satu daftar gaya.
GAMBAR 1 0. 1 6 Struktur Soal 10.10
T L
4
+ L
l
f'-- L ---1''---
L -----i'--- L ------,1
r
1 1.1 U M U M Penemuan dan penggunaan komputer dewasa ini telah memberikan dampak akselerasi kemajuan di hampir semua disiplin ilmu. Dalam disiplin ilmu rekayasa, pemanfaatan komputer dalam proses operasi analisis, membuka tabir yang memberikan kemungkinan teknik-teknik penyelesaian yang sebelumnya secara praktis tidak dimungkinkan. Sebagai contoh nyata misalnya, analisis pancaran gas yang turbulen dari mesin turbo pesawat, dapat dianalisis dengan mekanika fluida yang dituangkan di dalam metoda elemen hingga yang melibatkan sejumlah besar derajat kebebasan. Analisis struktur padat (solid structure) yang memiliki sifat bahan yang rumit dan bentuk geometri yang kompleks, kini dapat dianalisis dengan relatif mudah dari yang sebelumnya. Analisis struktur portal dengan banyak tingkat dan banyak kolom (katakanlah dalam orde ratusan), yang memiliki ribuan atau bahkan puluh ribuan derajat kebebasan, dapat dilakukan dengan program komputer. Persamaan simultan berorde tinggi dapat disolusikan secara cepat dan teliti dengan bantuan program paket komputer yang khusus disediakan tmtuk keperluan itu, dan lain-lain contoh lagi yang dapat dikemukakan. Khusus untuk disiplin ilmu rekayasa, komputer dapat dimanfaatkan dalam beberapa kelompok tugas utama. Yang pertama, komputer difungsikan sebagai alat penyimpan data berukuran besar. Data dapat disimpan, dipanggil kembali, dimodifikasi, lalu disimpan kembali ke dalam memori (media penyimpanan). Yang kedua, komputer dapat difungsikan sebagai alat bantu hitung berkapasitas tinggi, cepat, teliti dan andal. Yang berikutnya, dan yang belakangan ini sedang giat dikembangkan, adalah sebagai alat yang diberi inteligensia buatan (artificial intelligence, disingkat AI) berupa kemampuan untuk membanding-bandingkan, serta mengambil keputusan terbaik atas beberapa altematif terbuka yang mungkin. Fungsi lain dari komputer juga dapat disebutkan sebagai plotter atau pembuat gambar (image) dalam aspek grafika. Bab ini ditujukan untuk membahas penyusunan program paket yang dapat dieksekusi oleh komputer (dalam hal ini, khususnya PC), untuk analisis statika struktur rangka sendi dua
196
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSJS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
dimensi. Program paket yang diberi nama "STATIKA" disusun dalam bahasa FORTRAN-77 versi khusus untuk komputer pribadi (personal computer, PC). Bahasan mencakup penyusunan diagram blok program, serta rincian algoritma analisis statika. Namun, penyusunan program itu sendiri (coding) tidak dirinci secara mendalam. Penekanan dilakukan terutama mengenai pengaturan secara umum dari program paket, berdasarkan algoritma analisis yang disusun, serta cara penggunaan dari program paket itu sendiri, dengan menyajikan beberapa contoh penerapan.
1 1 .2 DIAGRAM BLOK PROGRAM Secara garis besar, suatu program paket analisis struktur dapat dibagi atas beberapa blok proses, yaitu : (a) pembacaan data masukan, (b) penyusunan matriks koefisien persamaan simultan, (c) pembacaan dan penyusunan vektor beban, (d) proses solusi sistem persamaan simultan, dan (e) pencetakan data keluaran. Dalam bahasan sebelumnya telah ditunjukkan bahwa matriks koefisien tetap untuk model diskrit yang digunakan, dan tidak tergantung kepada beban luar yang bekerja. Maka penyusunan matriks koefisien dapat dilakukan dan dirampungkan, untuk siap digunakan berulang-ulang dalam beberapa pola pembebanan yang ada, seperti tersusun dalam diagram blok program analisis dalam Gambar 1 1 . 1 .
Pertama, sistem struktur yang ingin ditinjau, dimodel atas sistem diskrit untuk menentukan jumlah elemen, titik simpul, serta jumlah kekangan yang ada. Dalam tahap ini, ukuran matriks koefisien, serta ukuran vektor gaya reaksi dan vektor beban luar, dapat ditetapkan. Pembacaan kemudian dilanjutkan dengan informasi mengenai insidens elemen, serta keaktifan dan koordinat titik simpul. Pada akhir tahap ini, matriks koefisien dapat disusun.
Kedua, matriks koefisien disusun berdasarkan operasi penentuan sumbangan dari masing masing elemen dan reaksi perletakan. Jika diinginkan, matriks koefisien dapat dimodifikasi menjadi matriks simetris dengan unsur-unsur diagonal utama yang tidak nol, seperti dalam Persamaan (10.15). Pada akhir tahap ini, matriks koefisien sudah siap digunakan untuk masing masing kasus/pola pembebanan yang dihadapi. Ketiga, data masukan mengenai beban lalu dibaca, untuk kemudian digunakan menyusun vektor beban. Jika dalam langkah kedua di atas diterapkan modifikasi matriks koefisien, maka vektor beban juga harus dimodifikasi secara konsisten, seperti dalam Persamaan (10. 13) atau (10.15). Langkah keempat mencakup penentuan solusi dari sistem persamaan simultan, yaitu untuk menentukan vektor gaya reaksi yang koresponden dengan vektor beban luar. Pada akhir langkah ini, gaya reaksi batang dan reaksi perletakan diperoleh sebagai data terhitung. Akhimya, langkah kelima gaya reaksi batang dan perletakan sebagai hasil analisis, dapat dicetak sebagai data keluaran. Untuk analisis dengan lebih dari satu kasus pembebanan, langkah ketiga, keempat, dan kelima tersebut di atas dilakukan berulang berupa satu siklus solusi untuk masing-masing kasus pembebanan yang dihadapi. Hasil akhir berupa kombinasi antara hasil analisis pola pembebanan individual, menurut aturan tertentu, dapat dihitung dan dicetak sebagai keluaran yang diinginkan.
1 1 . 3 ORGAN ISASI PROGRAM Suatu algoritma perhitungan dari suatu proses analisis yang sederhana, dapat dihidangkan dalam satu program tunggal, khususnya jika temyata program berukuran kecil, katakanlah
BAB 11 PROGRAM ANALISIS STATIKA STRUKTUR RANGKA SEND!
BACA DATA STRUKTUR SUSUN MATRIKS KOEFfSIEN
T
(
SELESAI
)
GAMBAR l l . l Diagram Blok Program Analisis Struktur
dalam orde ratusan baris. Penyusunan, modifikasi, dan kompilasi program tunggal dengan demikian masih dapat dilakukan dengan praktis dan mudah. Namun, jika program sudah berukuran medium atau besar (katakanlah ribuan, puluh ribuan bahkan ratusan ribu baris), praktek penulisan algoritma dalam suatu program tunggal sebaiknya dihindarkan atas dasar beberapa alasan.
Pertama, semakin besar ukuran program, semakin lama waktu kompilasi yang dibutuhkan. Program yang berukuran dua kali lipat, membutuhkan waktu kompilasi yang lebih dari dua kali lipat. Hal ini perlu diperhatikan demi alasan penghematan biaya kompilasi, khususnya jika pemrogram menggunakan komputer atas dasar sewa, atau paling tidak untuk menghemat energi (arus listrik) jikapun pemrogram menggunakan perangkat komputer milik sendiri.
198
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
Kedua, yang menyangkut proses kompilasi. Modifikasi satu atau beberapa baris saja, membutuhkan kompilasi ulang program keseluruhan, yang jika terdiri atas ribuan baris, tentu akan menyita waktu dan biaya. Hal ini perlu diperhatikan demi alasan biaya kompilasi ulang. Ketiga, yang menyangkut proses penelusuran kesalahan (debugging). Kebutuhan akan menemukan kesalahan kecil (atau beberapa baris) saja, membutuhkan pemeriksaan kesalahan di antara semua baris yang ada. Sehingga sering dihadapi kasus dalam praktek, dimana baris yang sebenamya sudah betul, malah dimodifikasi Qadi menambah kesalahan), sementara kesa lahan yang dicari masih belum diketemukan dan tidak diperbaiki. Dengan demikian, penulisan program tunggal berukuran besar dapat menambah kerumitan dalam praktek debugging. Untuk mengatasi hal-hal tersebut di atas, dan untuk mengatasi hal-hal lain yang belum disebutkan disini, maka program akan dituliskan dalam satu program induk (main program) yang memiliki beberapa subprogram, yang dalam hal ini digunakan SUBROUTINE. Program induk hanya berfungsi untuk menugasi subroutine (memberi perintah kerja dengan perintah CALL). Suatu subroutine bertugas untuk melakukan satu macam proses operasi yang dalam keseluruhan analisis, dilakukan berulang (repetitif). Suatu hubungan antar program induk dengan beberapa rutin, diperlihatkan dalam Gambar 11.2. Hubungan tersebut adalah bersifat hierarkis, dalam arti bahwa terdapat hubungan yang tidak setara atau setara antara dua rutin (subprogram). Misalnya, program utama bemama MAIN lebih tinggi dari semua rutin, karena program utama ini memanggil semua rutin yang ada. Rutin, SUBA berkedudukan setara dengan rutin SUBC, namun rutin SUBB lebih rendah dari SUBA, karena rutin SUBB dipanggil oleh rutin SUBD yang nota bene berada di bawah SUBA, dan sebagainya. Perlu diingat bahwa suatu rutin terpanggil tidak diperkenankan memanggil (menugasi) program atau rutin lain yang memanggilnya. Program analisis statika sistem struktur rangka sendi bidang yang dinamakan STATIKA yang mempekerjakan subroutine READIN, PROSIZ, CONMAT, MA TMOD, LOADIN, SOLVER, dan PRIOUT, diperlihatkan dalam Gambar 11.3, dengan rangkuman fungsi seperti dalam Tabel 11.1.
GAMBAR 1 1 .2 Hubungan Hierarkis Antara Program dan Subprogram
I REAm� >1 1
BAB 11 PROGRAM ANALISIS STATIKA STRUKTUR RANGKA SEND!
..----.
1
199
I IJ IJ ...-----. 1 I 1 1 MATMODH �lml . ���•• mJJ I I SOLVER. I I • 1 J P�I�U� JJ
.....-----.
\
PROSIZ
CONMAT
�----+
.
.....____.
..
L-----
GAMBAR 1 1 .3 Program Utama dan Subroutine
TABEL 1 1 . 1
Fungsi Program Utama dan Subroutine
l'ROC R J\!'vi /SL B!'R( )(; RJ\M STATIKA READIN PROSIZ
koordinasi
l 'L' NCSI
membaca data
masukah
menetapkan ukuran problem
CONMAT
menyusun matriks koefisien
LOADIN
membaca
MATMOD
memodifikasi matriks koefisien data pembebanan
SOLVER
menyelesaikan persamaan simultan
PRIOUT
mencetak data
keluaran
1 1 .4 NOTASI DAN SI M BOL Sebelum membahas penyusunan program, terlebih dahulu diberikan simbol dan notasi yang digunakan. Dengan demikian, penyajian proses pemrograman dapat diikuti lebih mudah. Dalam tahap ini, perlu ditekankan manfaat pemilihan simbol dan notasi yang bersifat "mnemonic", yaitu simbol yang dipilih untuk suatu tetapan atau array (variabel berdimensi), sedemikian hingga dapat menerangkan sendiri fungsinya. Sebagai contoh, penggunaan nama COR untuk koordinat titik simpul, akan memperjelas dengan sendiri fungsinya, yaitu tersirat atau terlihat dari nama itu sendiri. Pemberian nama NNO (Number of NOdes) untuk jumlah total
r
I
!
200
MEKANIKA TEKNIK: ST ATIKA DALAM ANA LIS IS STRUKTUR BERBENTUK RANCKA
TABEL 1 1 .2
l\:otasi dan Simbol
Keteranga n / Fung�'
S1mbol
NCO
Ukuran
Jcms
NOO
jumlah simpul perletakan
integer
orde persamaan simultan
integer
NNO
jumlah elemen
integer
jumlah titik simpul
integer
NRC
jumlah reaksi perletakan
NIL
jumlah beban titik simpul
NEL
NOE
matriks
COE
COM INC
NJO
koefisien
matriks koefisien termodifikasi
COR lAC
integer
jumlah titik simpul elemen
koordinat titik simpul keaktifan titik simpul ·
insidens elemen
integer
NDO,NOO
real
NOO,NOO
real
2,NNO
real
NOE,NEL
integer
3,NCO
NPO
nama pekerjaan Gob)
50
nama struktur
50
PEL
vektor beban
NRE
PEM
PNA reo
daftar perletakan
vektor beban termodifikasi
nama beban transpos matriks koefisien
integer
3,NRC NOO
integer
cha racter
character integer real
NOO
real
NOO,NOO
real
50
character
titik sirnpul, akan memperlihatkan sendiri fungsinya lewat nama itu, dan lain sebagainya. Notasi dan simbol selengkapnya yang digunakan dalam program, untuk konstanta dan array, diberikan dalam Tabel 1 1 .2. Sekarang kita siap untuk menyusun masing-masing rutin yang diperlukan dalam program analisis, sesuai dengan pola organisasi seperti yang telah dipaparkan dalam Gambar 1 1 .3 sebel umnya.
1 1 .5 PEM BACAAN DATA MASUKAN Data masukan dapat disusun dalam file input, baris demi baris. Data masukan mencakup nama pekerjaan NJO, nama struktur NPO, jumlah elemen NEL, jumlah titik simpul NNO, jumlah perletakan :r-.;co, jumlah pola beban NLO, insidens elemen INC, koordinat titik simpul COR, dan keaktifan titik simpul perletakan lAC. Perhatikan bahwa kartu demi kartu dalam cara pemrograman lama, identik dengan baris demi baris dalam pemrograman cara baru. Dalam bahasan selanjutnya, kita sering akan menggunakan salah satu dari kedua istilah "kartu" atau "baris" ini. Kartu/baris pertama file masukan berisikan nama pekerjaan (job) NJO, disusul dengan baris kedua berisi nama struktur NPO. Kartu ketiga berisikan jumlah elemen NEL, titik simpul NNO, jumlah perletakan NCO, dan jumlah pola pembebanan NLO. Kartu berikutnya sebanyak
BAB
11
PROGRAM ANALISIS STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI
sUBROUTINE READIN (NJO, NPO, rnc , coR, IAc , NOE , NEL, NNO, NCO, m..o >
20�
CHARACTER NJO*SO , NPO* S O
DIMENSION
c
INC (NOE , * ) , COR { 2 , * ) I IAC {3 , * )
READ JOB AND
c
c
READ ( 2 , 1001)
READ ( 2 , 100 1 ) c
NODES NNO,
c
c
READ ( 2 , * )
c
READ
c
c
DO
10
10
c
DO
20
ELEMENT
c
READ
c
DO
I< , { INC (J , l<) , J=l , NOE)
30
1001
c
c
c
COORDINATES
I< , (COR (J , l<)
NODAL
, J=l , 2 )
SUPPORT CONDITIONS
I = l , NCO
READ ( 2 , * )
30
LOAD CASES NLO
INCIDENCES
I=1 , NNO
CONTINUE
c
AND
CONTINUE
READ ( 2 , * ) 20
ELEMENTS NEL ,
NEL , NNO , NCO, NLO
READ NODAL
c
c
OF
NODAL SUPPORTS NCO,
I=1 , NEL
REA0 { 2 , * )
c
NJO
NPO
READ TOTAL NUMBERS
c
NAME
STRUCTURE
( IAC (J , I ) , J= l , 3 )
CONl'INUE FORMAT (A5 0 )
RETURN END
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
GAMBAR 1 1 .4 Subroutine Pembacaan Data Masukan READIN
NEL baris, berisikan nomor elemen dan insidens. Kartu berikutnya sebanyak NNO baris, berisikan nomor titik simpul dengan koordinat (X,Y) dalam tata sumbu global. Kartu berikutnya adalah sebanyak NCO berisikan nomor titik simpul yang berisi perletakan dengan keaktifan derajat kebebasan. Subroutine READIN diberikan dalam Gambar 1 1 .4. Contoh data masukan untuk struktur Contoh 10.2 dalam Gambar 10.4 diberikan dalam Gambar 1 1 .5. Dalam hal ini, file masukan yang memuat data seperti dalam Gambar 1 1 .5, diberi nomor UNIT = 2. Untuk contoh ini, telah digunakan data ukuran panjang L 500.0 cm. Data masukan dibaca tanpa format, yaitu dengan tanda bintang dalam tulisan READ(2,*) dalam subroutine READIN, ini untuk tidak menjebak pemakai program ke dalam kesalahan format data masukan. Namun, data masukan tetap disusun secara rapi dan teratur, demi kemudahan pemeriksaan akan kebenaran data. =
202
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
CONTOH
PENERAPAN
STRUCTt1R
CONTOH
1
' 2
3
3
2
3
3
1
2
1
3
1
3
2
1
2
0.0
5 00 . 0 0 1
500 . 0
SOAL 1
10 . 2
3
0.0
5 00 . 0
0
0.0
0
BEBAN HORISONI'AL
1
2
1000 . 0
0.0
GAMBAR 1 1 . 5 Contoh Data Masukan, Struktur
Contoh Soal 10.2
1 1 .6 P ENYUSUNAN MATRIKS KOE FISIE N Penyusunan matriks koefisien mencakup tiga rutin, yaitu penentuan ukuran problem struktur dalam subroutine PROSIZ, penyusunan matriks koefisien dalam subroutine CONMAT, dan modifikasi matriks koefisien dalam ·subroutine MA1MOD. Ketiga proses ·ini diberikan dalam bahasan sebagai berikut.
1 1 .6. 1 Penentuan U ku ran Problem Struktur Untuk jenis struktur rangka sendi dua dimensi, penentuan ukuran matriks koefisien [C] dan vektor gaya reaksi {S} dan vektor beban {P} cukup mudah, yaitu sebanyak 2 kali jumlah titik simpul. Ukuran problem struktur diberi simbol NDO sehingga NDO = 2 x NNO, seperti dalam subroutine PROSIZ yang disajikan dalam Gambar 1 1 .6. Selain itu, identifikasi dari titik simpul dengan reaksi perletakan, serta penomoran dari semua komponen reaksi perletakan dalam sistem tata letak komponen gaya reaksi dalam vektor gaya {S}, juga dilakukan dalam rutin ini. ,
Perlu dicatat bahwa subroutine PROSIZ yang sederhana ini dapat juga digunakan sebagai kesempatan memeriksa apakah ukuran array yang disebutkan dalam pemyataan DIMENSION, cukup untuk menampung kebutuhan analisis struktur sebesar yang diperlukan.
1 1 .6.2 Perakitan Matriks Koefisien Proses ini dikerjakan oleh subroutine CONMAT. Perakitan dilakukan dengan memroses sumbangan elemen satu per satu, yang kemudian lalu dilanjutkan dengan memroses sumbangan dari masing-masing reaksi perletakan. Untuk setiap elemen, koefisien array dihitung dengan rumus
(11.1)
BAB
11
PROGRAM ANALISIS STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI
SUBROUTINE
PROSIZ ( IAC, NREI NNO I NOO I NCO I NSL, NRC)
20�
DIMBNSICJil IAC (3 1 *) �HRE(l,*l
COMPUTE
c
c
c
TOTAL STRUcl'URAL DmRBBS FREEDOM 'NDO I
OF
c
NOO
c
=
NN0*2
MODIFY
c
IAC TO
REACTION
c
c
DENOTE NUMBERINJ OF
FORCES
NRC=O 00
20 I=l , NCO
00
10
NtlM=NEIJ
c
J=2 , 3
IF ( IAC (J , I )
. LE .
0)
NRC=NRC+l NOM=NOM+l NRE { l , NRC ) =IAC ( l , I} NRE(2 , NRC) =J-1 NRE (3 NRC) =NUM
c
THEN -
I
ENDIF
c 10
c
20
CONTINUE
CONTINUE
c
c
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
GAMBAR 1 1 .6 Subroutine Penentuan Ukuran Problem Struktur PROSIZ
seperti dilakukan dalam subroutine CONMAT dalam Gambar 1 1 .7. Perhatikan bahwa subrou tine CONMAT rnenghasilkan rnatriks koefisien yang rnengurutkan gaya-gaya reaksi batang lebih dahulu, yang kernudian disusul dengan gaya-gaya reaksi perletakan.
1 1 .6.3 Mod ifikasi Matriks Koefisien Matriks koefisien yang diperoleh dari hasil perakitan dalarn subroutine CONMAT, dibuat rnenjadi rnatriks yang sirnetris oleh MATMOD seperti telah dipaparkan dalam Pasal 10.3 dengan rnenggunakan proses seperti dalarn Persarnaan (10. 15a). Routine MATMOD disajikan dalarn Garnbar 1 1 .8.
1 1 . 7 PE RAKITAN DAN MODIFIKASI VE KTOR B E BAN Dalam tahap ini, penyusunan dan rnodifikasi vektor beban dapat dilakukan untuk setiap kasus/pola pernbebanan. Yang pertarna dilakukan adalah pernbacaan narna kasus beban, dan jurnlah titik sirnpul yang rnendapat gaya luar. Kernudian, beban luar yang terdiri dari kornponen yang sudah dinyatakan dalarn arah tata surnbu global, dirakitkan ke vektor beban. Vektor
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
SUBROUTINE CONMAT (COE , INC , COR, NRE, NDO, NOE , NEL , NRC} DIMENSION COE ( NDO , c
*) ,
INC (NOE, * ) , COR ( 2 , * ) , NRE ( 3 , * } , X ( 2 }
INITIALIZE COEFFICIENT MATRIX
c
c
00
00
20
I = L NDO
10
J=1 , NDO
COE (J , I} =O . O c
10
CONTINUE
20
CONTINUE
c
CC!!PUTE CONTRIBUTION OF EACH ELEMEm'
c
TO COEFFICIENT MATRIX
c
c
00
c
I=1 NEL
40
I
COMPUTE ELEMENT LENGTH AND DIRECTION COSINES
c
c
c
SUM=O . O
c
00
3 0 J= 1 , 2
X {J) =COR {J, INC { 2 , I } } -COR ( J , INC ( l , I ) ) SUM=SUM+X (J} *X(J)
c
30
c
CONTINUE SOM=SQRT ( SUM)
CO=X ( l } /SUM SI=X ( 2 ) /SUM c
ADD CONTRIBUTION OF ELEMENT
c
I
TO
COEFFICIENT MATRIX
c
c
COE ( 2 * INC ( l , I ) - l , I ) =-CO COE ( 2 * INC ( l , I } , I ) =-SI COE ( 2 * INC ( 2 , I ) - l , I ) =CO COE ( 2 * INC {2 , I ) , I ) =SI 40
CONTINUE
c
ADD CONTRIBUTION
c
c
c
00
TO
OF REACTION FORCES COEFF ICIENT MATRIX
50
!=1 , NRC
COE ( 2*NRE ( l , I ) +NRE (2 , I ) -2 , NRE { 3 , I ) ) =- 1 . 0 50 c
c
CONTINUE RETURN
END
++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++
c
c
GAMBAR 1 1 .7 Subroutine Perakitan Matriks Koefisien, CONMAT
BAB 11 PROGRAM ANALISIS STATIKA STRUKTUR RANGKA SEND!
205
SUBROUTINE MA'IMOD ( COE, COM, TCO , NDO )
DIMENSION COE (NDO, * ) , COM(NDO, *) , TCO (NDO , * )
c c c c
COMPUTE TRANSPOSE COEFFICIENT MATRIX
CALLED COT DO 00
20
10
I=l , NDO J=l , NDO
TCO ( I , J ) =COE (J , I ) 10
20
CONTINUE CONTINUE
c c c c
COMPUTE MODIFIED COEFF ICIENT MATRIX
CALLED COM
00 40 J::l , NDO
00
50
I=l , NDO
COM ( I , J ) =O . O
00 3 0 K=l , NDO
COM ( I , J) =COM ( I , J) +TCO ( I , K ) *COE (K , J )
c
30 40
50
c
c c
CONTINUE CONTINUE
CONTINUE
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
GAMBAR l l .8 Subroutine Modifikasi Matriks Koefisien, MATMOD
beban yang sudah tersusun lalu dimodifikasi sesuai dengan Persamaan (10.15b). Ini dilakukan dalam subroutine LOADIN seperti terlihat dalam Gambar 1 1 .9.
1 1 .8 SOLUSI PE RSAMAAN SIM ULTAN Cara penyelesaian persamaan simultan menurut metoda Crout yang telah dibahas dalam Pasal 10.4 digunakan dalam subroutine solusi bernama SOLVER. Penyusunan subroutine ini sendiri tidak akan dibahas secara rind disini demi penghematan tempat. Program sumber SOLVER disajikan dalam Gambar 1 1. 10.
1 1 .9 P E N CETAKAN DATA KE LUARAN Data keluaran untuk program statika mencakup reaksi gaya dalam S I, 52, . . . , sm berikut , R ,. Ini dilakukan oleh subroutine PRIOUT seperti dalam Gambar reaksi perletakan R1, R2 , 11.11. Hal yang perlu diperhatikan dalam pencetakan hasil adalah bahwa file keluaran perlu diberi judul yang menyatakan nama pekerjaan (job) dan nama struktur yang dianalisis. Data keluaran diatur dalam format yang diberi judul yang menerangkan data itu sendiri. Kemudian, untuk data-data real, lebih baik digunakan format E daripada format F, sehingga data-data besar maupun kecil dapat tercetak dengan baik. Sebagai contoh bilangan sebesar 1.000.000.000 atau 0,000000001 dapat dicetak misalnya dengan format E10.3, tetapi tidak demikian halnya dengan format F10.3. •
•
•
�
MEKANIKA TEKNIK STATIKA DALAM ANA L!SIS STRUKTUR BFRBENTUK RANCKA
206
LOADIN ( PNA , PEL, PEM, TCO, NDO )
SUBROUTINE
CHARACTER* 5 0 PNA DIMENSION PEL ( * ) PEM ( * ) TCO ( NDO ' * ) I
c c c c
I
READ LOADING NAME AND TOTAL NUMBER OF NODES WHERE EXTERNAL LOAD SPECIFIED READ ( 2 , 1 0 0 1 ) READ ( 2 , * )
c c c
PNA
NTL
INITIALIZE DO
10
LOAD
VECTORS
PEL
I=l; NDO
PEL ( I) =O . O
c 10
CONTINUE
c C
READ LOAD
c
DO 2 0
I::;1 , NTL
READ ( 2 , * )
K , PX, PY
c ASSEMBLE LOAD TO LOAD VECTOR
c
PEL
c PEL { 2 *K-1 ) =PEL {2 *K- l ) +PX PEL ( 2 *K) =PEL ( 2 *K} +PY
c 20
CONTINUE
c c
MODIFY
LOAD VECTOR PEL TO
COMPUTE
PEM
c DO 40
I=1 , NDO
PEM ( I ) =O . O DO
30
J=l , NDO
PEM ( I } =PEM ( I ) +TCO ( I , J ) *PEL {J)
c 30
CONTINUE
40
CONTINUE
cc
c 1001
FORMAT (A50 )
c
c c c
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
c c c GAMBAR 1 1 .9 Subroutine Perakitan dan Modifikasi Vektor Beban, LOADIN
BAB
11
207�
PROGRAM ANALISIS STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI
SUBROUTINE
DIMENSION
c 00 TO
c
SOLVER { PEM, COM, COE , NDO NN) I
PEM ( *} ' COM (NDO * ) ' COE (NDO * ) I
I
( 10 , 50 , 1 0 ) , NN
TRIANGULATION OF COEFFICIENT MATRIX
C
c 10
40
DO
DO DO
30 20
I=2 NDO J=I , NDO K=I , J I
COM{J, K) =COM ( J , K) -COM { J , I-1 ) *COM (K , I - l ) /COM ( I-1 , I - 1 )
c 20
CONTINUE
30
CONTINUE
40
CONTINUE
c c c IF ( NN c C
. EQ. 1 ) 00 TO 100
REDUCTION OF LOAD VECTOR
c 50
DO 70 DO 60
I=2 NDO J=I , NDO I
PEM(J) =PEM ( J ) -COM (J , I-1 ) *PEM ( I- 1 ) /COM( I-1 , I - l )
c 60
CONTINUE
70
CONTINUE
c c c c
BACK SUBST!TUTION PEM(NDO) =PEM (NDO ) /COM ( NDO , NDO )
c
DO
90
I=2 , NDO
IR=NDO-I+l IC=NDO-I+2
DO
80 J=IC , NDO
PEM ( IR) =PEM ( IR ) -COM (J, IR} *PBM(J} c
80
CONTINUE
90
CONTINUE
c
PEM (IR) =PEM ( IR) /COM( IR , IR)
c c c c c
lOO
RETURN END ++++ +++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++t+++
c c
GAMBAR 1 1 . 1 0 Subroutin Penyelesaian Sistem Persamaan Simultan, SOLVER
,/
208
MEKANIKA TEKN!K: STAT!KA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
'
PRIOOT (NJO I NPOI PNA! PEMI NRE , INC ,NDO I
�ROUTINE
+ CH1t'RACTER* 50 DIMENSION
c
NJO I NPO, PNA
PEM( * ) , NRE ( 3 I * )
NOE I NNO I NEL , NRC)
I
INC (NOE, * )
PRINT HEADING
c
c
WRITE ( 3 1 l 0 0 l ) WRITE ( 3 , l002 ) WRITE ( 3 , 100 3 ) WRITE ( 3 , 1009 )
NJO NPO
PNA
WRITE ( 3 , 1010)
WRITE ( 3 1 1()04)
WRITE (3, 10l0)
c c c
PRINT
00
10
MEMBER
I=l , NEL
WRITE ( 3 , 1005} 10
FORCES
CONTINUE
I , (INC {K� I } , K=1 , NOE ) , PEM ( I )
c WRITE ( 3 , 10 10 )
c PRINT
C c
SUPPORT
REACTIONS
WRITE { 3 , 1006 ) WRITE { 3 , 1011 ) WRITE ( 3 , 100 7 )
I=l , NRC
WRITE ( 3 1 l O l l )
00
40
WRITE ( 3 , 1008 ) 40
c
CONTINUE
(NRE (K1 I ) , K=l , 2 } , PEM {NRE ( 3 , I) )
WRITE { 3 , l O ll )
:
c 1001
FORMAT U , SX , '
1002
FORMAT (SX, ' STRUCTURE NAME
1003 1009 1004 100 5
\ I /)
' , A501)
NODE_l
NODE_2
· -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - ·
FORMAT ( / , 5X1 ' SUPPORT REACTIONS
1007 1008
FORMAT ( SX I
I
NODE .
'
, I)
)
OOF
REACTION
')
FORMAT { 2 I1 5 , 8X , El 0 . 4) FORMAT ( SX , 1 -------------------- ---- --------------------------------- - ' )
c·
c c
'
')
FORMAT ( 3 I15 , 9X, E10 . 4) FORMAT { SX , ' -- ----- ----------------------------------------- --- - ' 1
1006
l Ol l
' , A50}
' ,A50 }
AXIAL FORCE
+
c
:
1 LOADING CASE : FOBMAT { SX I 'MEMBER FORCES : FORMAT ( SX, ' MEMBER
FORMAT { 5X,
+
1 0 10
JOB NAME
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++
GAMBAR 1 1 . 1 1 Subroutin PRIOUT, Program Mencetak Data Keluaran
209�
BAB 11 PROGRAM ANALISIS STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI
·C STATIKA
PROGRAM
NJO ' NPO I PNA
CHARACTER*SO
DIMENSION COR ( 100} 1 INC ( 10 0 ) 1 COE ( 5 0 0 ) ; COM ( 5 0 0 } , TC0 ( 500) , + IAC ( 2 0 ) , NRE ( 2 0 ) 1 PEM ( 50 ) 1 PEL ( 50 } DATA NOE/ 2/ , NDN/ 2 /
c
OPEN
C c
STRUCTURAL
DEFINE
DATA
SIZE OF
STRUCTURAL
PROBLEM
PROSIZ ( IAC 1 NRE1 NNO , NDO ,NCO ,NEL ,NRC}
CALL
c c c
CREATE COEFFICIENT MATRIX CALL CONMAT (CQE I INC ' COR, NRE I NDO I NOEl NEL ' NRC )
c c c
MODIFY COEFFICIENT MATRIX MA'!'MOD {COE, COM, TCO , NDO )
CALL
c c c
TRIANGULIZE COEFFICIENT MATRIX CALL
c c c
SOLVER ( PEM� COM , COE , N00 , 1 }
LOOP DO
c c c
10
OVER LOADING CASES
I=1 , NU
READ
LOADING
CASE
LOADIN.(PNA, PEL, PEM, TCO I NOO )
CALL
c c c
SOLUTION FOR MEMBER CALL
c c c
AND
SUPPORT REACTIONS
SOLVER ( PEM1 COM, COE, N00 , 2 ) PRINT OUTPUT
CALL 10
c
PRIOUT (NJO I NPO I PNA, PEM ,NRE, INC I NOO I NOE ' NNO I NEL, NRC)
CONTINUE 'MARK THE END
C
c 1001
c c
OUTPUT FILES
REAOIN (NJO I NPO, INC I COR, IAC I NOE l NEL, NNO, NCO, NLO)
CALL
c c c
c
AND
OPEN ( 2 , FILE= 1 STATIKA. DAT 1 1 STATUS= ' OLD ' ) OPEN ( 3 , F!LE= ' STATIKA . OUT ' , STATUS= 1 NEW1 l
c c c
c
INPUT
OF
EXECUTIONS
WRITE ( 3 , 1 00 1 ) FORMAT ( I 1 26XI ' - END OF
EXECUTION
-�
)
STOP END ++++++ +++++++++++++++++++++++++++++ +++++++++++++++++++++++
GAMBAR 1 1 . 1 2 Program Utama, STATIKA
210
MEKANIKA TEI
1 1 . 1 0 PROGRAM ANALISIS Pemrograman semua subroutine yang dibutuhkan telah disajikan dalam pasal-pasal sebelumnya. Dengan demikian, program utama sebagai koordinator pengaturan operasional perhitungan, cfengan mudah dapat disusun berdasarkan diagram blok Gambar 11.1. Program utama yang diberi nama STATIKA, disajikan dalam Gambar 11.2. Program tersebut disusun dalam bahasa FORTRAN-77 dan dikompilasi serta dirakitkan dengan sistem operasi MS-DOS, untuk mendapatkan program eksekusi (executable program, atau image) yang diberi nama STATIKA.EXE. Eksekusi dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menyiapkan file data masukan yang diberi nama STATIKA.DAT. Hasil perhitungan secara otomatis dicetak didalam file data keluaran/hasil bemama STATIKA.OUT.
1 1 . 1 1 CONTOH PENERAPAN Untuk melatih cara penggunaan program paket STATIKA, maka beberapa contoh struktur yang sudah dianalisis sebelumnya, akan dihitung kembali dengan memanfaatkan program paket ini. CONTOH 1 1 . 1 : Struktur rangka sederhana dalam Gambar 7.5, dianalisis dengan program paket
STATIKA. Bandingkan hasil yang dipe-roleh dengan cara analitis yang telah diperoleh sebelumnya.
Penyelesaian Dalam menggunakan program paket STATIKA, penomoran titik simpul dan elemen perlu dilakukan dengan angka Arab. Kita menggunakan model yang sama dengan model dalam Gambar 7.5. Maka, kita memperoleh jumlah titik simpul NNO = 3, elemen NEL = 3, titik perletakan NCO = 2 (titik 1 dan 2). Kasus pembebanan yang ditinjau hanya beban horisontal di titik 3. Untuk data numerik, digunakan P = 1000 Newton, dan L = 500 cm. Nama job (pekerjaan) diambil CONTOH PENERAPAN 1.1, dan nama struktur CONTOH SOAL 11.1. File data masukan diberikan dalam Lampiran 2.1 . Perhatikan bahwa data masukan elemen tidak perlu berurut, demikian juga dengan data titik simpul. Hasil keluaran diberikan dalam Lampiran 2.2. Terlihat bahwa hasil yang diperoleh identik dengan hasil yang telah diperoleh dalam Persamaan (7.9) dan (7.10), dengan P = 1000 Newton, L = 500 cm, dan tan lfJ = cot lfJ = 1, cos lfJ =
t.J2.
CONTOH 1 1 .2: Struktur dalam Gambar 7.15, dianalisis dengan menggunakan program paket
STATIKA. Ambil data
P=V
=
1000 Newton,
L = 300 cm dan H
=
400 cm.
Penyelesaian Dalam Gambar 7.15, titik A hingga E berturut-turut dinomori dengan urutan 1 hingga 5. Data masukan disajikan dalam Lampiran 2.3. Nama pekerjaan diberi CONTOH PENERAPAN 11, struktur dinamakan CONTOH SOAL 11.2, dan beban diberi nama BEBAN VERTIKAL DAN HORIZONTAL. Lihat data masukan dalam Lampiran 2.3. Hasil diberikan dalam Lampiran 2.4. Perhatikan bahwa hasil identik dengan yang telah diperoleh dalam Persamaan (7.37), yaitu dengan P = 1000 Newton. CONTOH 1 1 .3:
Struktur dalam Gambar 7.16, kembali dianalisis dengan program paket STATIKA. Gunakan data P = 1000 Newton, cm.
L = 400 cm, dan H = L.,f3 = 692.82
BAB
11
PROGRAM ANALISIS STATIKA STRUKTUR RANGKA SENDI
Penyelesaian
Penomoran titik simpul diatur kembali dengan menomori titik A hingga G menjadi titik nomor 1 hingga 7, sedangkan penomoran elemen tetap. Pekerjaan dinamakan CONTOH PENERAPAN Ill, struktur dinamakan CONTOH SOAL 11 .3, dan pembebanan diberi nama BEBAN SIMETRIS. Data masukan untuk struktur ini diberikan dalam Lampiran 2.5. Hasil keluaran disajikan dalam Lampiran 2.6. Lihat bahwa hasil yang diperoleh setara dengan yang telah diperoleh dalam Tabel 7.4, kecuali nilai .{3 yang telah digantikan dengan besaran desimal.
1 1 . 1 2 RANGKU MAN
,,
... ' :' i ;· io\{
., •'• -
-:o ::'{ ''::-' {:, ' '''''''', :/\:'':':: .·, . · . ':o:,::::::o::>:-'::: ·';:_ o ' :: - :. : · · · · · · ,. . · ,::· :::: :o' : / ·''· .:eo . . .
...
, ),
·
'
o-:,.
· ;' ; ,
,
o-.
'
, :, · · ·,)-_,::::_. :::>::,_. }:: : :::::;::';}\ '''': ,:( ,,-. �_',: :'_,,_dm� _@_,_ i•hi.l•_.'.', :·: ,., .': ••• .••• .•._' -_•,:,.,_',_, ,•,_':, ,,:•_•.., -· - :•..�_:,l'! _.• •• · • · ): /{ ' '}:: .,. ),•
: : \ · :' :0''\:'''·':'''''' ''''}'''{ '':','''''::(o'o{::':}::';: :,: ::
: � ! . H EH:;i;
::; : : ,
-,._
.-, .:o
·.
. , ;, 1 : r ' ; llt m : � ; � 1 ; ·: 1 r 1�., � i; .
'
''
:
-
·
-
·
.
"""m
: -·
,
.
�-
4
� :.. �
·:
·
:·
,., :
':::
\!i i i :
..
1.
Laible, J.P., Structural Analysis, CBS College Publishing, Holt, Rinehart and Winston, New York, edisi ke-8 (1985).
2.
Meriarn, J.L., dan Kraighe, L.G., Engineering Mechanics, Volume 1: Statics, John Wiley and Sons, New York, edisi kedua (SI version) 197S).
3.
Green, M.H., Metric Conversion Handbook, Chemical Publishing Co., Inc., New York (1978).
4.
Timoshenko, S., dan Young, D.H., Theory of Structures, Me. Graw-Hill Kogakusha, Ltd., Tokyo, edisi ke-2 (1965).
5.
Darkov, A., Structural Mechanics, MIR Publishers, Moscow, edisi ke-3 (1979).
6.
Weaver Jr., W., dan Gere, J.M., Matrix Analysis of Framed Structures, D. Van Nostrand Company, New York, edisi ke-10 (1980).
7.
Willems, N., dan Lucas Jr., W.M., Matrix Analysis for Structural Engineers; Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey (1968).
8.
Nasution, A, Fortran-77: Pengenalan, Program, dan Terapannya, Penerbit Erlangga, Jakarta, edisi ke-1 (1988).
9.
Ledgard, H.F., dan Chmura, L.J., Fortran with Style: Programming Proverbs, Hayden Book Company, Inc., New Jersey, edisi ke-9 (1986).
10.
Kerninghan, B.W., dan Plauger, P.J., The Elements of Programming Style, Me. Graw Hill Book Company, New York, edisi ke-2 (1978).
216
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
LAMPIRAN 1
CREATE
COEFFICIENl' MATRIX
. REACTIONS
�218
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANAUSIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
• • •••• > · >
•••
·· .
(
. .
..
'
.
, .. ,....
.,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,
'
< . ......
.
.
·
. .) }
·.
•, •••
,,.,..
LAMPIRAN 1
�1EKANTICA TEKNIK: ST ATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
LAMPIRAN
1
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
LAMPIRAN 1
LAM PIRAN 2 . 1 DATA MASUKAN, CONTOH SOAL 1 1 .1 '
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
LAM PIRAN 2.2
LAM PIRAN 2.3
·.
.
.
? I)
. .
·
?i
� \ •.
.
.
··
.
•
.
·
..
.
•
:720 rn }
.
• . · ·.
. .
..
.. • }
. .
.
.
} >
. >
..
nu
.
(
rH >
LAMPIRAN
2
LAM PIRAN 2.4
LAMPIRAN 2.5
DATA KELUARAN, CONTOH SOAL 1 1 .2
DATA MASUKAN, CONTOH SOAL 1 1 .3
r� 1 i
22s
MEKANIKA TEKNIK: STATIKA DALAM ANALISIS STRUKTUR BERBENTUK RANGKA
LAMPIRAN 2.6
DATA KELUARAN, CONTOH SOAL 1 1 .3
. · ·• ·• < . . . . . . · ·· · · ( ......... ·· · · · .\
·. '
•....... . . . .
.
•••••• •( . • • ••• • • .
t
· << < •
V
•
.
• .
•• ••• /) } ........ . . .... )}
\
·
•
· ..
.
<
?<
<<
.... ·
.
y
• • ••••
r
.. ...
•• ····•· ·• ••••• •
. • >r <
·
··
··
l
·· ··· · 2 · ·· ·· >
.
·
.
.
·
.
.
.·
/
·
· \ .. . . . . .
.
�. .
2
.
E
A
t
'
Arah (sense),
Elemen atau batang,
15
F
191
Array ,
B
34
41 151
Faktor kejut, kejut,
Badan bebas (free body), Balok,
Formulasi matriks,
10
40
menerus,
G
72 63
sederhana, Batang,
Gambar Cremona gaya-gaya, I l l
38
balok-Kolom,
Garis kerja (line of direction),
40
1 15 1 02 tarik, 40 no!,
tekan (Compresionline), Gaya luar,
tepi atas dan batang tepi bawah, vertikal dan diagonal,
gaya,
1 04
1
41
41 dinamis, 41 gesekan, 1 1 konkuren, 1 7 koplanar, 1 7 monotamik, 4 1 paralel, 1 7 statis, 4 1
41
stutis ekivalen,
42
42
tetap dan beban sementara, Bentuk tergabung (angmented), Besar (magnitude),
42
42
beban dinamis,
1 79
9
dan bidang gaya normal),
42 42
terdistribusi (distributed loads),
Bidang Gaya dalam (jadi bidang momen, bidang gaya lintang
76
terpusat (cencemtrated loads),
11
traksi permukaan atau (surface tractions), translasi, kopel,
c
2
badan atau (body farces), bergerak,
mati dan beban hidup,
Bidang kontak,
151
1 34
2
badan (body forces),
1 04
1
bertukar,
15
pengaruh (influence line concept),
pendel,
Beban,
174
41
16
ujung, Gaya dalam, dan Gaya luar Elemen,
Cara Maxwell, riffer,
H
1 12
109
tukar batang,
1 12
Hubungan antara gaya dalam dan beban luar, Hukum aksi-reaksi,
D
Coulomb,
Daftar gaya batang,
1 17
Daya layan (servise ability aspect, Deformasi,
2
Desain/perencanaan, Diagram blok,
3
1 96
Dikumpulkan (lumped),
44
3
11
8
kedua Newton,
7
ketiga Newton,
8
pertama Newton,
8
I Insidens elemen (element incidences),
6
45
80
INDEI
J
41
Proporsional,
Jepitan,
Proses reduksi (reduction proses),
38
1 82
substitusi balik (b�k substitution), triangulasi (triangulation process),
K Kaku (rigid connections) atau sendi (hinged connections), Kantilever,
70
Keberlawanan Gaya, Kedudukan akhir, awal,
4
R
Rol,
18
39 10 l
Rangka sederhana,
2
1 82 1 82
2
Kekasaran, l l Kekuatan sistem (strength aspect), Keseimbangan Gaya, Kompilasi, Komputer,
38 39
_Sambungan, kaku,
Ketidaktentuan statis, Komponen,
2
18
Kesamaan Gaya,
24 49
Segmen penumpang, Segmen tumpangan,
1 89 33 173
Sendi,
75 75
38
Sistem Struktur, l
12 12
gaya,
pribadi (personal computer),
1 96
massa,
pelengkung,
M
133
satuan, I
Matriks koefisien,
Skalar (Scalars), I S
1 76
Metoda Jajaran Genjang, poligon, segitiga,
20 19
Statis,
·
titik simpul (method of joint),
Subrouting,
1 07 106
T
titik simpul, I 07
191
Momen ekstrim, Momen,
4 1 90 1 90
Sub program,
potongan (method o f section),
Mnemonic,
178
Sparse,
19
Tanggap,
77
2
Tata sumbu lokal,
16
' Tentu,
35
4
Tidak statis tentu keluar, I 04
0
Ting�i titik puncak (Crown),
Operasi Gaya,
1 38
Titik awal (origin) 0, I S
18
101
buhul,
Simpul (mode),
p
34
tangkapnya (print o f application), I S
Pelengkung berbentuk lingkaran,
Traksi permukaan (surface tractions),
1 34
1 35 para Bala, 138 tiga sendi, 1 42 lingkaran,
u
Uraian Gaya,
Pemeriksaan, 3
Pendel,
V
40
Penelusuran kesalahan (debugging), Peijanjian tanda untuk Gaya, Peijurnlahan Gaya, Perletakan,
190
45
Vektor (Vectors),
18
15
196
beban,
38
Permukaan (asperities),
22
bebas (free vectors),
11
Program eksekusi (executable program atau image), induk (main program),
17 17
luncur,
190
202
tetap,
17
2
