STATIKA DAN MEKANIKA BAHAN I.pdf

STATIKA DAN MEKANIKA BAHAN I HENCE MICHAEL WUATEN, S.T., M.Eng

EDISI 2

JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS 17 AGUSTUS 1945 SAMARINDA 2009

KATA PENGANTAR

KATA KA TA PENGANTAR PENGANTAR Thanks for Al migh mi ghty ty God, God , atas hikmat dan berkat yang begitu melimpah sehingga buku ini dapat diselesaikan. Buku ini dibuat, bertujuan untuk memberikan gambaran secara umum mengenai dasar-dasar Statika dan Mekanika Bahan I bagi mahasiswa di lingkungan Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas 17 Agustus 1945 Samarinda. Sebagian besar dari bahan ajar ini disusun berdasarkan bahan kuliah Analisis Struktur Lanjut dan Mekanika Bahan Lanjut yang penulis dapatkan selama melanjutkan studi di Program Structural Engineering, Civil Engineering Departement, Graduate School Gadjah Mada University Yogyakarta dan beberapa studi literatur yang penulis lakukan. Ucapan terima kasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya ingin penulis sampaikan kepada : 1. My Beloved Parents and Family, Family, terima kasih untuk semua semua yang telah diberikan selama ini. 2. Dr. Ir. Suprapto Siswosukarto, Dr.-Ing. Ir. Djoko Sulistyo dan Dr. Ir. Muslich, M.Phill. M.Phill. M.Sc, selaku Pembimbing tesis yang telah meluangkan banyak waktu dan kesempatan, memberikan banyak masukan dan bekal ilmu bagi penulis dalam penulisan tesis. 3. Prof. Dr. Ir. Morisco, Dr. Ir. Soekrisno, MSME dan Dr.-Ing. Ir. Andreas Triwiyono, selaku Dosen pengajar mata kuliah Mekanika Bahan Lanjut, di Program Teknik Struktur, Sekolah Pasca Sarjana Universitas Gadjah Mada Yogyakarta. 4. Prof. Dr. Ir. Bambang Suhendro, M.Sc, selaku Dosen pengajar Metode Elemen Hingga, Teori Model Struktur dan Teknik Eksperimental yang telah memberikan pencerahan, banyak bekal ilmu, dan memotivasi penulis dalam penulisan Tesis dan menulis. 5. Ir. Joko Suryono, MT dan Ir. Benny Mochtar E.A., MT yang telah membimbing penulis selama menjadi asisten dosen dan memberikan banyak masukan, kritik dan dorongan menulis. 6. Ir. Tumingan, M.T., Ir. Ibayasid Bintoro. M.Sc dan Ir. Hadi Siswoyo yang telah membimbing dalam penulisan Skripsi, memberikan banyak bekal ilmu serta pencerahan terhadap minat ilmu-ilmu struktur. 7. Dekan Fakultas Teknik dan Ketua Jurusan Teknik Sipil Universitas 17 Agustus 1945 Samarinda. 8. Rekan-rekan pengajar di Jurusan Teknik Sipil dan Para sahabat dan Alumni Teknik Sipil 98’ Universitas 17 Agustus 1945 Samarinda serta Alumni Structural Engineering ‘04 Universitas Gadjah Mada Yogyakarta. 9. My brother at home yang setia menemani dalam penulisan buku ini dan semua yang telah membantu sehingga buku ini dapat selesai. Sangat disadari bahwa dalam buku ini terdapat banyak sekali kekurangan sehingga sangat jauh untuk dikatakan sempurna, sehingga penulis sangat mengharapkan kritikan yang bersifat membangun. Kiranya buku ini dapat memberikan tambahan pengetahuan bagi mahasiswa di Jurusan Teknik Sipil di Fakultas Teknik, Universitas 17 Agustus 1945 Samarinda. Samarinda, 14 Januari 2009 Hence Michael Wuaten HENCE MICHAEL WUATEN

STATIKA DAN MEKANIKA BAHAN I

iii

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

iii

DAFTAR ISI

iv

DAFTAR TABEL

vii

DAFTAR GAMBAR

viii

DAFTAR NOTASI

xi

BA B 1

DEFINISI DEFINISI STRUKTUR STRUKTUR

1.1

Struktur

1

1.1.1 Definisi Struktur

1

1.1.2 Sistem Struktur

1

Elemen Struktur

2

1.2.1 Elemen Balok dan Kolom

2

1.2.2 Elemen Portal

2

1.2.3 Elemen Rangka Batang

2

1.2.4 Elemen Rangka Pelengkung

3

1.2.5 Elemen Dinding dan Pelat

3

1.2.6 Elemen Cangkang dan Kubah

3

1.2.7 Elemen Membran

4

1.2.8 Elemen Kabel

4

Jenis-jenis Struktur

5

1.3.1 Struktur Gedung

5

1.3.2 Struktur Kubah

5

1.3.3 Struktur Jembatan

6

1.3.4 Struktur Bendungan

7

1.3.1 Struktur Terowongan

7

1.4

Kriteria Perencanaan Struktur

7

1.5

Proses Desain Struktur

8

1.6

Kondisi Batas Struktur

8

1.7

Keamanan Struktur

10

1.8

Kerusakan Struktur

10

1.2

1.3

BA B 2

PRINSIP PRINSIP DASAR DAN MEKANIKA

2.1

2.2

Satuan

12

2.1.1 Besaran

12

2.1.2 Dimensi dan Analisis Dimensi

12

2.1.3 Sistem Satuan

13

2.1.4 Sistem Satuan

14

Mekanika dan Statika

17

HENCE MICHAEL WUATEN


iv

DAFTAR ISI

2.2.1 Definisi Mekanika

17

2.2.2 Konsep Dasar Mekanika

17

2.2.3 Jenis Mekanika Benda Tegar

17

2.2.4 Mekanika Dalam Konstruksi

17

Teori Awal Statika

18

2.3.1 Hukum Jajaran Genjang

18

2.3.2 Prinsip Transmisibilitas

18

2.3.3 Hukum Dasar Newton

19

2.3.4 Hukum Gravitasi Newton

20

Vektor Resultan dan Gaya

21

2.4.1 Vektor Resultan

21

2.4 .2 Gaya

24

2.5

Momen

26

2.6

Persamaan Statika

26

2.7

Idealisasi Struktur

27

2.7.1 Idealisasi Balok Sederhana

27

2.7.2 Idealisasi Balok Menerus

27

2.7.3 Idealisasi Struktur Gantung

28

2.7.4 Idealisasi Struktur Rangka

28

2.7.5 Idealisasi Struktur Portal

28

Beban dan Perletakan Pada Struktur

29

2.9.1 Jenis Beban Pada Struktur

29

2.9.2 Bentuk Beban

30

2.9.3 Perletakan

32

2.3

2.4

2.8

BA B 3

SIFAT PENAMPANG DATAR

3.1

Pendahuluan

34

3.2

Momen Statis dan Titik Berat Penampang

34

3.2.1 Momen Statis dan Titik Berat Penampang Sembarang

34

3.2.2 Momen Statis dan Titik Berat Penampang Beraturan

36

Momen Inersia

37

3.3.1 Definisi Inersia

37

3.3.2 Momen Inersia Penampang

38

3.3.3 Pergeseran Sumbu

39

3.3.4 Perputaran Sumbu

40

3.3.5 Momen Inersia Ekstrim

41

3.3.6 Jari-jari Girasi

44

Momen Plastis Tampang dan Faktor Bentuk

47

3.4 .1 Penampang Segi Empat

48

3.4.2 Penampang I

49

3.3

3.4



v

DAFTAR ISI

BA B 4

TEORI DASAR TEGANGAN DAN REGANGAN

4.1

Pendahuluan

56

4.2

Sifat Mekanis Bahan

57

4.3

Tegangan dan Regangan Normal

58

4.3.1 Tegangan Normal

58

4.3.2 Regangan Normal

59

4.3.3 Diagram Tegangan dan Regangan

61

Elastisitas dan Plastisitas

65

4.4.1 Hukum Hooke

67

4.4.2 Modulus Young

67

4.4.3 Deformasi Akibat Beban Aksial

67

4.4.4 Angka Poisson

70

4.4.5 General Hooke’s Law

71

Tegangan dan Regangan Geser

72

4.5.1 Tegangan Geser

72

4.5.2 Regangan Geser

73

4.5.3 Hubungan Antara E, ν dan G

74

4.6

Pengaruh Panas

74

4.7

Material Komposit

76

4.8

Prinsip Saint Venant’s

77

4.9

Faktor Keamanan dan Tegangan Ijin

78

4.9.1 Faktor Keamanan

78

4.9.2 Tegangan Ijin

78

4.4

4.5

BA B 5

BAB 6

PUNTIRAN

5.1

Definisi

79

5.2

Aplikasi Torsi Dalam Dunia Konstruksi

80

5.3

Tegangan Torsi

81

5.3.1 Tegangan Torsi Pada Penampang Bulat

81

5.3.2 Tegangan Torsi Pada Penampang Solid Non Lingkaran

83

5.3.3 Tegangan Torsi Pada Penampang Gabungan Persegi Tipis

84

BALOK SEDERHANA

6.1

Definisi Balok Sederhana

86

6.2

Momen Lentur dan Gaya Geser Pada Balok Sederhana

86

6.3

Aplikasi Beban Pada Struktur

87

6.3.1 Aplikasi Beban Terpusat

87

6.3.2 Aplikasi Beban Terbagi Rata

96

6.2.3 Aplikasi Beban Segitiga Pada Struktur

113

DAFTAR PUSTAKA

163

BIODATA PENULIS



vi

DAFTAR TABEL

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1

Satuan ukuran Inggris

13

Tabel 2.2

Satuan mks dalam satuan SI

14

Tabel 2.3

Satuan cgs dalam satuan SI

14

Tabel 2.4

Kelipatan metric dalam satuan SI

14

Tabel 2.5

Nilai konversi satuan

15

Tabel 2.6

Faktor konversi satuan massa

16

Tabel 2.7

Faktor konversi satuan panjang

16

Tabel 3.1

Modulus plastis dan faktor bentuk berbagai penampang

55

Tabel 4.1

Hasil pengujian tarik baja D-13 mm

65

Tabel 4.2

Nilai angka Poisson

71

Tabel 5.1

Koefisien α dan β untuk penampang persegi

84

Tabel 6.1

Rumus menghitung reaksi dan momen maksimum pada balok sederhana

116



viii

DAFTAR GAMBAR

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1

Elemen portal

2

Gambar 1.2

Elemen pelengkung

3

Gambar 1.3

Elemen pelat datar

3

Gambar 1.4

Elemen jaring dan tenda

4

Gambar 1.5

Elemen kabel pada jembatan

4

Gambar 1.6

Berbagai jenis bangunan gedung

5

Gambar 1.7

Struktur kubah pada bangunan monumental

6

Gambar 1.8

Berbagai jenis struktur jembatan

6

Gambar 1.9

Three Gorges Dam di China

7

Gambar 1.10

Jenis struktur terowongan

7

Gambar 1.11

Kerusakan struktur akibat gempa Mexico

11

Gambar 1.12

Kerusakan struktur akibat gempa Kobe Jepang

11

Gambar 2.1

Aplikasi hukum jajaran genjang untuk penjumlahan gaya

19

Gambar 2.2

Aplikasi hukum pertama Newton

19

Gambar 2.4

Aplikasi hukum ketiga Newton

20

Gambar 2.5

Aplikasi hukum Newton tiga

20

Gambar 2.6

Metode penjumlahan dan pengurangan vektor gaya

22

Gambar 2.7

Resultan dua vektor gaya yang tidak segaris

22

Gambar 2.8

Resultan dari beberapa vektor gaya yang tidak searah

22

Gambar 2.9

Proyeksi sumbu

23

Gambar 2.10

Gaya resultan yang bekerja pada titik bongkahan batu

23

Gambar 2.11

Penguraian gaya

24

Gambar 2.12

Statika partikel pada bidang datar

25

Gambar 2.13

Momen terhadap sumbu z dan x

26

Gambar 2.14

Idealisasi balok sederhana

27

Gambar 2.15

Idealisasi balok menerus

27

Gambar 2.16

Idealisasi kantilever

28

Gambar 2.17

Idealisasi struktur rangka

28

Gambar 2.18

Idealisasi struktur portal

29

Gambar 2.19

Jenis portal

29

Gambar 2.20

Bentuk-bentuk beban

31

Gambar 2.21

Perletakan sendi dan aplikasi pada struktur

32

Gambar 2.22

Perletakan roll dan aplikasi pada struktur

33

Gambar 2.23

Aplikasi perletakan jepit pada struktur

33

Gambar 3.1

Penampang datar

34

Gambar 3.2

Titik berat penampang persegi

35



viii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.3

Penampang datar yang dibagi menjadi elemen-elemen

36

Gambar 3.4

Momen inersia pada penampang datar

38

Gambar 3.5

Pergeseran sumbu

40

Gambar 3.6

Perputaran sumbu

40

Gambar 3.7

Lingkaran Mohr untuk menentukan arah sumbu dan momen inersia utama

44

Gambar 3.8

Contoh kasus penampang I

45

Gambar 3.9

Contoh kasus penampang persegi panjang

46

Gambar 3.10

Soal latihan kasus penampang beserta sumbu-sumbunya

47

Gambar 3.11

Momen plastis pada penampang persegi

48

Gambar 3.12

Penampang I

49

Gambar 3.13

Contoh kasus profil I

50

Gambar 3.14

Contoh kasus profil I panjang sayap berbeda

52

Gambar 3.15

Daerah yang diarsir dikurangi dengan daerah yang tidak diarsir

53

Gambar 3.16

Daerah yang diarsir dikurangi dengan daerah yang tidak diarsir

53

Gambar 4.1

Batang prismatik yang mengalami tarik

58

Gambar 4.2

Regangan normal pada batang BC

59

Gambar 4.3

Regangan pada batang BC akibat penambahan beban

60

Gambar 4.4

Regangan pada batang BC dengan panjang 2L

60

Gambar 4.5

Contoh spesimen uji kuat tarik baja tulangan

62

Gambar 4.6

Contoh alat uji kuat tarik baja tulangan

62

Gambar 4.7

Diagram tegangan regangan tipikal material liat dan getas

63

Gambar 4.8

Contoh diagram tegangan regangan beton dalam berbagai kondisi

63

Gambar 4.9

Diagram tegangan regangan hasil pengujian kuat tarik baja tulangan

65

Gambar 4.10

Hubungan tegangan-regangan penampang baja

66

Gambar 4.11

Diagram hubungan tegangan-regangan pada baja dan aluminium

66

Gambar 4.12

Deformasi akibat beban aksial

68

Gambar 4.13

Deformasi akibat beban aksial

68

Gambar 4.14

Reaksi pada batang BDE

69

Gambar 4.15

Displacement pada titik B dan D

69

Gambar 4.16

Perubahan bentuk pada struktur

70

Gambar 4.17

General Hooke’s Law pada struktur tiga dimensi

71

Gambar 4.18

Gaya geser pada baut

72

Gambar 4.19

Tegangan pada struktur tiga dimensi

73

Gambar 4.20

Gaya aksial pada benda tegar

74

Gambar 4.21

Tegangan pada struktur akibat pengaruh temperature

75

Gambar 4.22

Gaya aksial dan angka Poisson pada material komposit

76

Gambar 4.23

Penampang pelat yang mengalami gaya luar

77

Gambar 4.24

Distribusi tegangan pada pelat yang akibat gaya luar

78

Gambar 5.1

Torsi pada mesin

79

Gambar 5.2

Torsi dalam balok sprandel

80



ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 5.3

Beban eksentris yang menyebabkan torsi pada balok utama

80

Gambar 5.4

Puntiran pada material penampang lingkaran

81

Gambar 5.5

Persamaan torsi

81

Gambar 5.6

Momen inersia polar

83

Gambar 5.6

Torsi pada balok dan distribusi tegangan puntir

83

Gambar 5.7

Penampang persegi tipis dan gabungan

85

Gambar 6.1

Balok sederhana

86

Gambar 6.2

Aplikasi balok sederhana

87

Gambar 6.3

Penggambaran bidang lintang dan momen

88

Gambar 6.4

Contoh balok sederhana dengan dua beban titik

89

Gambar 6.5


90

Gambar 6.6

Balok dengan kantiliver

90

Gambar 6.7


92

Gambar 6.8

Balok kantilever dengan beban terpusat

92

Gambar 6.9

Diagram gaya lintang dan momen kantilever

94

Gambar 6.10

Balok sederhana dengan kombinasi beban miring

94

Gambar 6.11

Diagram gaya lintang dan momen

96

Gambar 6.12

Balok dengan kombinasi beban titik dan terbagi rata

97

Gambar 6.13

Penggambaran SFD dan BMD

99

Gambar 6.14

Balok contoh 2.7

100

Gambar 6.15


102

Gambar 6.16

Balok contoh 2.8

103

Gambar 6.17


106

Gambar 6.18

Balok dengan kombinasi beban terbagi rata dan beban terpusat

107

Gambar 6.19


109

Gambar 6.20

Balok dengan kombinasi beban terbagi rata dua rangkap

110

Gambar 6.21


113

Gambar 6.22

Balok dengan beban segitiga

114

Gambar 6.23


115



x

DAFTAR NOTASI

DAFTAR NOTASI

a

= percepatan masing-masing partikel yang dinyatakan dalam satuan yang konsisten ; sisi panjang.

A

= luas penampang ; luas penampang batang.

b

= sisi pendek.

C

= resultan gaya tekan di atas garis netral.

d

= tinggi efektif balok.

D

= gaya lintang.

e

= eksentrisitas.

E

= konstanta pembanding yang disebut dengan modulus elastisitas.

Ex

= modulus elastisitas arah x.

Ey

= modulus elastisitas arah y.

Ez

= modulus elastisitas arah z.

f c’

= tegangan tekan beton.

f y

= tegangan leleh baja.

F

= gaya resultan yang bereaksi pada partikel.

g

= gravitasi bumi.

G

= konstanta universal yang disebut sebagai gravitasi bumi ; modulus elastisitas geser ; modulus kekakuan material.

h

= sisi pendek pada penampang persegi ; tinggi balok.

I

= momen inersia.

Ip

= momen inersia polar.

Iss

= momen inersia terhadap sumbu baru s setelah mengalami pergeseran sumbu.

Itt

= momen inersia terhadap sumbu baru t setelah mengalami pergeseran sumbu.

Ist

= momen inersia terhadap sumbu baru st setelah mengalami pergeseran sumbu.

Ixx

= inersia terhadap sumbu x.

Iyy

= momen inersia terhadap sumbu y.

J

= momen inersia polar.

K

= konsentrasi tegangan yang terjadi berdasarkan prinsip Saint Venant’s.

L

= panjang batang sebelum mengalami regangan ; panjang poros solid.

m

= massa partikel ; massa benda.

M

= momen ; momen lentur.

Mp

= momen plastis.

n

= faktor keamanan.

N

= gaya normal.

P

= gaya tarik atau tekan yang bekerja pada penampang batang.

r

= merupakan jarak antara dua variabel ; jari-jari girasi.



xiii

DAFTAR NOTASI

Sx

= momen statis terhadap sumbu x.

Sy

= momen statis terhadap sumbu y.

T

= resultan gaya taik di bawah garis netral ; torsi tahanan yang merupakan jumlah torsi tahanan akibat beban diferensial dF ; gaya torsi yang bekerja pada penampang ; gaya tarik pada kabel.

Tmaks = tegangan torsi maksimum. x0

= Letak titik pusat berat penampang terhadap sumbu y.

y0

= Letak titik pusat berat penampang terhadap sumbu x.

z

= modulus plastis tampang.

zx

= modulus plastis penampang.

α

= koefisien ekspansi termal (1/ C) ; koefisien untuk penampang persegi.

β

= koefisien untuk penampang persegi.

δ

= pertambahan atau pengurangan panjang.

δ P

= panjang semula pada kondisi semula akibat perubahan temperatur.

δ T

= perubahan total panjang.

ΔT

= perubahan temperatur ( C).

ε

= regangan.

ε x

= regangan arah sumbu x.

ε y

= regangan arah sumbu y.

ε z

= regangan arah sumbu z.

γ

= ukuran distorsi atau perubahan bentuk dari elemen (regangan geser).

θ

= sudut putar ; sudut puntir.

ρ

= jari-jari kelengkungan.

σ

= tegangan yang terjadi pada penampang batang.

o

o

σ maks = tegangan maksimum yang terjadi pada penampang batang. σ s

= tegangan termal akibat variasi temperatur (MPa) ; tegangan leleh.

σ u

= tegangan ultimit.

τ

= tegangan geser.

τ maks = tegangan geser maksimum. ν

= angka Poisson.

υ

= faktor bentuk.



xiv

CHAPTER 01

1.1

Struktur

1.1.1 Defin isi Strukt ur Struktur adalah himpunan atau kumpulan dari berbagai elemen-elemen bahan yang berfungsi meneruskan beban-beban dengan aman ke tanah. Secara umum kita mengenal, banyak bentuk dan sistim struktur yang ada, seperti struktur jembatan, gedung, bendungan dan lain sebagainya. Pada dasarnya penamaan dari struktur tersebut, didasarkan kepada bagaimana fungsi sistem ini dalam menerima beban luar yang bekerja.

1.1.2 Sistem Strukt ur Dalam kajian mengenai analisis struktur, sistem struktur dibedakan menjadi dua kategori dasar yaitu, sistem struktur kerangka atau portal dan sistem struktur kontinum. Sistem struktur kerangka adalah sistem struktur yang terdiri atas rakitan elemen struktur, yang di dalamnya terdiri dari sistem struktur beton bertulang atau baja, balok, kolom, juga dinding dan juga hubungan dari elemen pembentuk sistem portal biasanya bersifat kaku sempurna dengan ukuran penampang elemen baik lebar dan tinggi adalah lebih kecil apabila dibandingkan dengan ukuran bentang yang ada. Sedangkan sistem struktur kontinum adalah sistem struktur yang tidak dapat dibedakan dimensi unsur elemennya seperti pelat, atau cangkang dan lain sebagainya. Selain berdasarkan sistem, struktur dapat diklasifikasikan berdasarkan beberapa pendekatan diantaranya berdasarkan tipe geometri struktur dan kekakuan struktur. Berdasarkan geometri dasar, bentuk struktur dapat diklasifikasikan sebagai salasatu bentuk elemen garis atau disusun dari gabungan elemen-elemen garis sebagai pembentuk elemen permukaan. Bentuk elemen garis dapat dibedakan sebagai garis lurus atau garis lengkung. Sedangkan bentuk elemen permukaan dapat berbentuk datar atau lengkung. Elemen permukaan lengkung dapat berupa lengkung tunggal atau lengkung ganda. Dalam kenyataannya tidak ada yang dapat disebut sebagai elemen garis atau elemen permukaan, karena elemen-elemen struktur memiliki tebal. Istilah garis dan permukaan ini hanya untuk memudahkan saja dalam pemahaman berdasarkan geometri struktur. Elemen tersebut tergantung pada bahan atau metode konstruksinya, sebagai contoh bahan dari kayu, beton atau baja. Berdasarkan kekakuan, tipe struktur dapat diklasifikasikan sebagai struktur kaku dan fleksibel. Elemen struktur kaku biasanya sebagai batang dan tidak mengalami perubahan bentuk yang cukup besar di bawah pengaruh gaya atau pada perubahan gaya yang diakibatkan oleh beban. Namun demikian, struktur ini selalu bengkok meskipun sangat kecil, apabila dibebani. Sebagai contoh elemen struktur kaku adalah kayu dan baja. Sedangkan elemen struktur fleksibel atau tidak kaku, misalnya kabel baja, cenderung mempunyai bentuk tertentu pada suatu kondisi pembebanan. Bentuk tersebut dapat berubah apabila pembebanan berubah, namun struktur fleksibel dapat mempertahankan keutuhan fisiknya meskipun bentuknya berubah-ubah. HENCE MICHAEL WUATEN


1

CHAPTER 01

1.2

Elemen Strukt ur Elemen struktur adalah bagian-bagian dari struktur yang mempunyai fungsinya masing-masing,

elemen struktur dapat dibedakan dari fungsi beban yang dipikul oleh elemen struktur tersebut. Sebagai contoh elemen kolom adalah komponen struktur dengan rasio paling tinggi terhadap dimensi lateral terkecil yang digunakan untuk mendukung beban aksial tekan, sedangkan balok dan pelat merupakan elemen struktur lentur.

1.2.1 Elemen Balok dan Kolo m Struktur yang dibentuk dengan cara meletakkan elemen kaku horisontal di atas elemen kaku vertikal adalah struktur yang umum dijumpai. Elemen horisontal atau balok sering disebut sebagai elemen lentur, karena memikul beban yang bekerja secara transversal dari panjangnya dan menyalurkan beban tersebut ke kolom vertikal yang menumpunya. Kolom dibebani beban secara aksial oleh balok, kemudian mentransfer beban tersebut ke tanah. Kolom yang memikul balok tidak melentur ataupun melendut karena kolom pada umumnya mengalami gaya aksial tekan saja.

1.2.2 Elemen Portal Elemen portal mempunyai aksi struktural yang berbeda dengan jenis balok-tiang, karena terdapat titik hubung kaku antara elemen vertikal dan elemen horizontal tersebut. Kekakuan titik hubung ini memberikan banyak kestabilan terhadap gaya lateral. Kekakuan titik hubung adalah salah satu dari berbagai jenis hubungan yang ada di antara berbagai elemen struktur. Pada sistem portal, baik balok maupun kolom akan melentur sebagai akibat adanya aksi beban pada struktur.

Gambar 1.1 Elemen portal

1.2.3 Rang ka Batang Elemen struktur rangka batang adalah elemen struktur yang terdiri dari kumpulan elemenelemen batang yang disambung untuk membentuk suatu geometri tertentu, sehingga apabila diberi beban pada titik buhul atau titik pertemuan antar batang, maka struktur tersebut akan menyalurkan beban ke tumpuan melalui gaya aksial yang dapat berupa tarik atau tekan pada batang-batangnya. Titik buhul dimodelkan berperilaku sebagai sambungan engsel (pin) sehingga tidak dapat menahan atau menyalurkan momen ke batang yang lain.



2

CHAPTER 01

1.2.4 Elemen Pelengk ung Elemen pelengkung adalah elemen struktur yang dibentuk oleh elemen garis yang melengkung dan membentang di antara dua titik. Pada umumnya pelengkung terdiri atas potongan-potongan kecil yang mempertahankan posisinya akibat adanya tekanan dari beban. Aplikasi pelengkung biasanya pada struktur jembatan atau pada bangunan-bangunan modern, atau dinamakan pelengkung kaku (rigid arch).

Gambar 1.2 Elemen pelengkung

1.2.5 Elemen Dinding dan Pelat Dinding dan pelat datar adalah struktur kaku pembentuk permukaan. Dinding pemikul beban biasanya dapat memikul baik beban arah vertikal maupun beban lateral seperti beban gempa, angin dan lain-lain. Pelat datar biasanya digunakan secara horisontal dan memikul beban sebagai lentur dan meneruskannya ke tumpuan. Struktur pelat biasanya terbuat dari beton bertulang atau baja.

Gambar 1.3 Elemen pelat datar

1.2.6 Elemen Cangkang dan Kub ah Elemen cangkang contohnya adalah struktur pelat satu kelengkungan, dimana elemen ini mempunyai bentang longitudinal dan lengkungan yang tegak lurus terhadap diameter bentang. Elemen cangkang pada umumnya dibuat dari material yang kaku misalnya beton bertulang atau baja. Sedangkan elemen kubah merupakan elemen struktur yang sangat efisien untuk digunakan pada suatu bangunan dengan bentang besar, namun mempunyai tingkat kesulitan perhitungan lebih rumit. HENCE MICHAEL WUATEN


3

CHAPTER 01

1.2.7 Elemen Membran Selain cangkang dan kubah juga terdapat elemen membran yang merupakan lembaran tipis dan fleksibel, dimana elemen ini dapat membentuk struktur yang sederhana maupun yang kompleks. Struktur membran dapat terbuat dari bahan tenda atau jaring. Jaring adalah permukaan 3D yang terbuat dari sekumpulan kabel lengkung yang melintang dan mempunyai analogi dengan kulit membran. Dengan memungkinkan adanya lubang saringan untuk variasi sesuai keperluan, maka sangat banyak bentuk permukaan yang dapat diperoleh. Salah satu keuntungan penggunaannya yaitu penempatan kabel dapat mencegah atap dari getaran akibat tekanan dan isapan angin. Selain itu, gaya tarik umumnya dapat diberikan pada kabel dengan alat jacking sehingga seluruh permukaan dapat mempunyai tahanan terhadap getaran pada atap.

Gambar 1.4 Elemen jaring dan tenda (sumber : www.GreatBuldings.com)

1.2.8 Elemen Kabel Elemen kabel adalah elemen struktur fleksibel yang bentuknya sangat tergantung pada besar dan perilaku dari beban yang bekerja pada struktur tersebut. Kabel dapat digunakan pada bentang yang panjang dan biasanya digunakan pada jembatan yang memikul dek jalan raya beserta lalu lintas di atasnya.

Gambar 1.5 Elemen kabel pada jembatan



4

CHAPTER 01

1.3

Jenis-jenis Strukt ur Berdasarkan penyelesaian persamaan keseimbangan gaya, jenis struktur dapat dibedakan

menjadi dua yaitu, struktur statis tertentu (determinate structures) dimana keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada struktur dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan keseimbangan statis. Jenis yang kedua adalah struktur statis tak tentu (indeterminate structures) atau strukturstruktur yang keseimbangan gayanya tidak dapat diselesaikan hanya dengan berdasarkan pada persamaan keseimbangan statis. Selain berdasarkan persamaan keseimbangan gaya, jenis-jenis struktur dapat diklasifikasikan berdasarkan fungsi dan bentuk dari struktur tersebut seperti, gedung, jembatan, bendung, kubah dan lain sebagainya.

1.3.1 Strukt ur Gedung Struktur gedung (building) merupakan kesatuan dari beberapa elemen struktur seperti, pondasi, kolom, balok, pelat atau cangkang yang biasanya digunakan untuk keperluan kantor, hunian, pertokoan, gudang dan lain sebagainya.

Gambar 1.6 Berbagai jenis bangunan gedung (sumber : www.vigoenfotos.com)

1.3.2 Strukt ur Kubah Kubah (dome) sering dijumpai pada atap bangunan monumental seperti, kubah masjid, kubah gereja, kubah stadion dan lain sebagainya. Struktur kubah dapat dibentuk dari pelat atau tenda, struktur lengkung atau sistim kabel dari berbagai jenis bahan seperti, bahan baja, beton, jaring dan tenda. HENCE MICHAEL WUATEN


5

CHAPTER 01

Gambar 1.7 Struktur kubah pada bangunan monumental (sumber : www.vigoenfotos.com)

1.3.3 Strukt ur Jembatan Struktur jembatan (bridge) merupakan sarana penghubung transportasi dari satu tempat ke tempat yang lain yang disebabkan oleh adanya perbedaan kondisi topografi. Pada umumnya struktur jembatan terbuat dari beton bertulang, beton prategang, pracetak dan baja dalam berbagai bentuk seperti jembatan kabel (cable stayed bridge), jembatan gantung (suspension bridge), jembatan rangka baja, jembatan kayu, jembatan komposit dan lain sebagainya.

Gambar 1.8 Berbagai jenis struktur jembatan



6

CHAPTER 01

1.3.4 Strukt ur Bendung an Struktur bendungan atau dam pada umumnya merupakan struktur gabungan dari timbunan tanah dan struktur beton bertulang yang berfungsi untuk membendung air sehingga muka air naik sampai level tertentu. Selain itu, terdapat juga bendungan yang difungsikan sebagai instalasi pembangkit tenaga listrik.

Gambar 1.9 Three Gorges Dam di China (sumber : wikipedia)

1.3.5 Strukt ur Terowongan Struktur terowongan (tunnel) merupakan struktur bawah tanah, yang pada awal mulanya digunakan untuk sistim drainase kota. Pada saat ini, terowongan juga dijadikan sebagai sarana transportasi yang dibangun di pegunungan atau penghubung antar pulau sepertiEuro Tunnel yang menghubungkan daratan Eropa dengan Inggris. Pada umumnya, struktur terowongan dapat terbuat dari struktur baja atau struktur beton bertulang dengan bentuk lingkaran atau setengah lingkaran.

Gambar 1.10 Jenis struktur terowongan (sumber : Siswosukarto S)

1.4

Kri teria Perencanaan Strukt ur Dalam analisis dan desain struktur terdapat masalah-masalah yang dijumpai, sebagai contoh

untuk struktur dengan bentuk-bentuk tertentu dapat terguling atau runtuh, apabila mengalami pembebanan tertentu. Hal ini menuntut kemampuan dari para engineer untuk memahami masalah dan jenis struktur yang didesain.



7

CHAPTER 01

Dalam perencanaan suatu struktur, banyak hal yang harus diperhatikan sebagai bahan masukan, pertimbangan dan kriteria-kriteria yang harus dipenuhi agar dapat mencapai suatu hasil yang maksimal serta memenuhi faktor keamanan struktur. Berikut di bawah ini adalah kriteria-kriteria yang harus diperhatikan dan dipenuhi dalam perencanaan suatu struktur, antara lain : 1. Pengaturan ruang dan bentang struktur, harus memenuhi kebutuhan pemakaian sehingga struktur tersebut dapat selaras dan sesuai dengan nilai estetika dan lingkungan. 2. Dalam perencanaan, biaya total struktur tidak boleh melampaui anggaran dari owner sebagai pemilik. 3. Struktur harus kuat dan dapat menerima semua kombinasi beban yang bekerja dengan aman. Selain itu, pada struktur tidak boleh terjadi lendutan, terangkatnya struktur sebagian atau keseluruhan, struktur bergetar dan retak yang berlebihan yang dapat mengganggu fungsi dari struktur tersebut. 4. Desain struktur diusahakan tidak terlalu rumit, sehingga memudahkan dalam proses pemeliharaannya (maintenance).

1.5

Proses Desain Strukt ur Dalam perencanaan suatu struktur, proses desain adalah proses terjadinya pengambilan

keputusan yang sifatnya berurutan berulang dan terpola yang sangat berpengaruh kepada hasil yang akan dicapai. Adapun tahap-tahap dalam proses desain struktur adalah sebagai berikut : 1. Semua struktur ataupun bangunan yang dibangun harus sesuai dengan kebutuhan pemilik, fungsi, estetika, anggaran dan waktu penyelesaian. 2. Pengembangan konsep proyek didasarkan kepada kebutuhan dan prioritas pemilik dalam anggaran pembangunan, sehingga pemilihan elemen struktur dapat disesuaikan dengan keadaan tersebut. 3. Konsep struktur yang dipilih dan direncanakan, haruslah didasarkan kepada analisis struktur dalam menghitung dan menentukan harga momen, gaya geser, gaya aksial dalam struktur, berdasarkan analisa dengan ilmu mekanika untuk bangunan, sehingga dalam proses merancang elemen struktur dapat disesuaikan dengan hasil perhitungan mekanika dan kebutuhan elemen struktur tersebut, sehingga mengarah kepada perencanaan yang berkualiatas, efisien, dan ekonomis sesuai dengan spesifikasi yang dipakai.

1.6

Kondisi Batas Struktur Kondisi batas struktur atau elemen struktur adalah kondisi dimana struktur atau elemen struktur

telah mencapai kondisi batas tertinggi untuk memenuhi kebutuhan yang ada. Kondisi batas struktur dalam struktur beton bertulang, dibagi menjadi tiga hal mendasar dan sangat penting yang berpengaruh sangat besar terhadap kekuatan dan kemampuan struktur, yaitu : 1. Kondisi batas ultimit Adalah kondisi batas yang menyebabkan terjadinya keruntuhan sebagian atau keseluruhan dari struktur atau collapse, di mana dalam hal ini kondisi ultimit utama yang terjadi, yang dapat disebabkan oleh :



8

CHAPTER 01

a. Hilangnya keseimbangan dari sebagian atau seluruh struktur di mana keruntuhan disebabkan dengan terangkat atau tergesernya seluruh struktur yang diakibatkan oleh tidak terjadinya gaya reaksi yang berfungsi sebagai gaya penyeimbang dalam struktur atau elemen struktur. b. Retaknya bagian kritis dari struktur atau elemen struktur sehingga menyebabkan keruntuhan sebagian atau keruntuhan total dari struktur. c. Terjadinya keruntuhan progresif, di mana pada batas tertentu, keruntuhan lokal yang sangat kecil sekalipun, dapat menyebabkan elemen struktur didekatnya menerima beban yang berlebihan sehingga seluruh struktur mengalami keruntuhan, keruntuhan progresif sendiri dapat dicegah, dengan detail struktur yang benar sehingga seluruh struktur terikat dan tidak terjadi kegagalan lokal, kegagalan lokal sendiri dapat terjadi pada masa pelaksanaan

konstruksi

dibangun,

sehingga

beban

selama

masa

pelaksanaan

pembangunan konstruksi harus diperhitungkan dan diwaspadai, baik dalam perhitungan perencanaan dan pelaksanaannya. d. Terjadinya pembentukan mekanisme plastis dimana mekanisme ini terjadi apabila tulangan meleleh dan membentuk sendi plastis pada beberapa penampang, yang menjadikan struktur labil. e. Terjadinya instabilitas yang cukup tinggi, akibat deformasi struktur yang biasanya disebabkan oleh tekuk yang cukup tinggi. f. Terjadinya retak atau patahan pada elemen struktur yang menyebabkan terjadinya keruntuhan. 2. Kondisi batas kelayanan Adalah kondisi yang meliputi terganggunya fungsi struktur, tetapi tidak menyebabkan terjadinya keruntuhan struktur, adapun kondisi kelayanan struktur ini meliputi : a. Lendutan besar pada kondisi ini, yang menyebabkan tidak bekerjanya fungsi dari masing-masing elemen struktur. b. Terjadinya lebar retak yang cukup besar melebihi dari nilai yang diijinkan sehingga dapat menyebabkan terjadinya proses korosi yang sangat cepat pada tulangan akibat adanya udara yang masuk melalui Lubang-lubang retak yang cukup lebar dan juga dapat menyebabkan kerusakan beton secara perlahan. c. Banyaknya getaran-getaran yang tidak diinginkan terjadi, yang dapat mengganggu pemakaian bangunan tersebut. 3. Kondisi batas khusus Adalah kondisi akibat kerusakan atau kegagalan pembebanan yang sifatnya abnormal atau diluar dari prediksi dan jangkauan kemampuan manusia yang dapat disebabkan oleh alam, seperti kerusakan akibat gempa, banjir, tanah longsor, lahar, efek struktural akibat kebakaran, ledakan, korosi, kemunduran kualitas serta instabilitas fisik dan kimia dalam kurun waktu jangka panjang.



9

CHAPTER 01

1.7

Keamanan Strukt ur Dalam perencanaan struktur, selain hal-hal yang sudah disebutkan di atas ada beberapa faktor

yang juga perlu diperhatikan seperti faktor beban, faktor keamanan, dan faktor kekuatan bahan. Adapun faktor-faktor lain yang seringkali luput dari perhatian oleh pihak pelaksana di lapangan dikarenakan situasi dan kondisi yang ada di lapangan, serta faktor-faktor lain yang terjadi dan dilakukan baik secara sengaja ataupun tidak sengaja, adalah sebagai berikut : 1. Ketidakpastian kekuatan bahan Kekuatan bahan yang tepat dari balok, kolom dan elemen struktur lainnya dari hasil perhitungan perencanaan selalu berbeda, hal ini disebabkan oleh : a. Ketidakpastian dari kekuatan baja, beton, dan material pendukung lainnya dalam realisasi di lapangan dengan perencanaan sebelumnya. b. Perbedaan yang terjadi antara ukuran gambar kerja dengan ukuran dalam pelaksanaan dilapangan atau terjadinya penyimpangan dan perubahan desain dari pelaksanaan pekerjaan, tanpa adanya perhitungan ulang yang sesuai dengan prosedur. c. Pengaruh akibat adanya penggunaan asumsi dalam perhitungan kekuatan struktur dan elemen struktur dalam perencanaan. 2. Ketidakpastian akibat Beban-beban Beban-beban yang bekerja di dalam struktur, mudah dipengaruhi oleh letak atau lokasi, jenis beban yang bekerja, dan beban akibat berat sendiri dari elemen struktur yang tidak mungkin untuk dapat ditimbang di lapangan. Hal ini tentu saja menyebabkan terjadinya perbedaan antara beban-beban dalam perhitungan perencanaan dan beban-beban yang ada di lapangan, yang berhubungan dengan ketidakpastian dari kekuatan bahan dan efek dari beban. Untuk mendapatkan keamanan struktur yang dikehendaki, sangat perlu untuk memperhitungkan faktor yang dapat memperbesar ataupun memperkecil kemungkinan terjadinya keruntuhan struktur. 3. Tingkat keruntuhan Ada beberapa faktor yang harus diperhatikan dalam memperhitungkan tingkat keamanan yang memadai untuk jenis dan fungsi struktur, antara lain : a. Kerugian yang terjadi akibat keruntuhan dan biaya dalam membangun kembali struktur tersebut serta bahaya kehilangan nyawa manusia yang sangat beresiko tinggi apabila terjadinya keruntuhan struktur. b. Jenis keruntuhan dan tanda-tanda keruntuhan dapat terjadi apabila meningkatnya pembebanan.

1.8

Kerusakan Strukt ur Kerusakan pada suatu struktur dapat disebabkan oleh banyak faktor diantaranya adalah

kesalahan akibat perancangan, kesalahan akibat metode pelaksanaan pembangunan struktur ataupun akibat bencana alam. Kerusakan struktur yang diakibatkan oleh kesalahan dalam perancangan merupakan sebuah kesalahan dan kekeliruan yang besar sehingga perlu diminimalisasi dengan pemahaman yang cukup baik terhadap fungsi, bentuk dan tujuan dari struktur yang dibuat.



10

CHAPTER 01

Sedangkan kerusakan pada suatu struktur akibat bencana alam memang tidak dapat dicegah namun dapat diminimalisasi dengan mengaplikasikan semua komponen beban yang disebabkan oleh alam sehingga dapat mengurangi resiko kerusakan struktur dalam kondisi yang parah.

Gambar 1.11 Kerusakan struktur akibat gempa Mexico

Kerusakan struktur tidak hanya menyebabkan kerugian secara material, tetapi dapat menyebabkan bahaya bagi pengguna struktur, sehingga para engineer dituntut untuk merencanakan dan melaksanakan pembangunan struktur sesuai dengan kriteria desain dan spesifikasi teknis yang berlaku.

Gambar 1.12 Kerusakan struktur akibat gempa Kobe Jepang



11

CHAPTER 02

2.1

Satuan

2.1.1 Besaran Besaran dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu definisi besaran secara umum dan secara fisika. Definisi besaran secara umum adalah segala sesuatu yang dapat diukur, misalnya warna, indah, cantik, panjang, luas, volume dan lain-lain. Definisi besaran secara fisika adalah segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka eksak, misalnya panjang, luas, volume, dan kecepatan sedangkan warna, indah, cantik bukan termasuk besaran secara fisika karena ketiganya tidak dapat dinyatakan dengan angka eksak. Dalam ilmu fisika besaran terbagi atas besaran dasar atau besaran pokok, besaran turunan dan besaran pelengkap. Besaran dasar adalah besaran yang tidak tergantung pada besar-besaran lain, dimana berdasarkan konferensi International Bureu of Weights and Measures di Paris pada tahun 1960 disepakati tujuh besaran dasar atau besaran pokok dalam sistem Satuan Internasioanal yaitu, panjang, massa, waktu, arus listrik, temperatur, intensitas penyinaran dan jumlah zat. Besaran turunan adalah besaran yang diturunkan dari besaran-besaran dasar yang merupakan kombinasi dari besaran dasar. Sebagai contoh besaran turunan adalah kecepatan, gaya, kerja, kecepatan putar, frekuensi, luas, volume, kecepatan linier, kerapatan, gaya, momen, tekanan, tegangan, kerja, energi, daya dan lain sebagainya. Sedangkan besaran pelengkap adalah besaran yang diperlukan untuk membentuk besaran turunan. Dari bermacam-macam besaran ini, terdapat besaran yang harganya tidak tergantung pada sistem koordinat dan ada juga besaran yang harganya sangat tergantung pada sistem koordinat. Sebagai contoh besaran yang harganya tidak tergantung pada sistem koordinat adalah skalar, sedangkan contoh besaran yang harganya tergantung pada sistem koordinat adalah vektor. Dengan demikian macam besaran dibagi menjadi tiga yaitu, skalar, vektor dan tensor.

2.1.2 Dimensi dan Analis is Dimensi Dimensi adalah cara penulisan dari besaran-besaran dengan menggunakan simbol-simbol atau lambang-Iambang dari besaran dasar. Sebagai contoh penulisan atau notasi dari dimensi adalah, panjang [L], massa [F] dan waktu [T]. Secara umum dimensi berfungsi untuk menurunkan satuan dari suatu besaran dan untuk meneliti kebenaran suatu rumus atau persamaan. Dalam dunia konstruksi dimensi merupakan variabel yang sering dijumpai dan menentukan, karena dimensi kemudian membentuk persamaanpersamaan untuk mendapatkan sebuah nilai yang akan dicari. Pada umumnya, dimensi yang ada dapat dianalisis dengan cara menyamakan ruas kiri dengan dimensi ruas kiri dan setiap suku harus berdimensi yang sama. Sebagai contoh, dimensi dari gaya adalah F, dimana gaya merupakan hasil perkalian antara massa (m) dengan percepatan (a). HENCE MICHAEL WUATEN


12

CHAPTER 02

Dengan melakukan analisis dimensi, maka akan dapat diketahui jenis persamaan atau rumus yang sedang digunakan atau akan dicari, apakah termasuk persamaan homogen atau persamaan non homogen. Persamaan homogen adalah persamaan yang memenuhi persyaratan ruas kiri sama dengan ruas kanan. Sedangkan persamaan non homogen adalah persamaan yang tidak memenuhi persyaratan tersebut atau ruas kiri tidak sama dengan ruas kanan. Dalam dunia konstruksi, persamaan non homogen biasanya didapat berdasarkan hasil penelitian dan eksperimen di laboraturium yang kemudian disepakati sebagai sebuah persamaan untuk mendapatkan nilai pendekatan dari sebuah masalah yang dicari, sehingga persamaan non homogen pada umumnya mengandung kaidah-kaidah numeris dan statistik.

Contoh 2.1 : Buktikan bahwa persamaan untuk tegangan normal akibat beban aksial yang merupakan hasil pembagian antara gaya yang bekerja dengan luas penampang, apakah termasuk persamaan homogen atau persamaan tidak homogen ! Penyelesaian :

σ

= -2

FL

-2

FL

=

P A F L2 -2

= FL

 persamaan

homogen

2.1.3 Si stem Satuan Secara umum bentuk satuan terdiri dari bentuk metrik dan non metrik. Sedangkan sistem satuan yang berlaku di dunia adalah sistem satuan Inggris (British Unit) dan sistem satuan Internasional (International Unit). Sistem satuan Inggris pada umumnya digunakan di Amerika Serikat dan beberapa negara Eropa lainnya, sedangkan di Indonesia mengadopsi sistem satuan internasional.

Tabel 2.1 Satuan ukuran Inggris (Classical Physics, 1992) Panjang

Massa

Waktu Detik (sec)

Inchi (in) Foot (ft) Yard (yd) Mile (mil)

Ounce Pound (lbs) Ton (t)

Menit (min) Jam (hr) Hari (day) Bulan Tahun

Dalam sistem satuan internasional terbagi menjadi dua sistem yaitu, mks (meter-kilo-second) dan cgs (centi-gram-second). Untuk selengkapnya dapat melihat dalam tabel-tabel di bawah ini.



13

CHAPTER 02

Tabel 2.2 Satuan mks dalam satuan SI (Classical Physics, 1992) Panjang

Massa

Waktu Detik (sec)

Milimeter (mm)

Miligram (mg)

Meter (m)

Gram (g)

Kilometer (km)

Kilogram (kg)


Tabel 2.3 Satuan cgs dalam satuan SI (Classical Physics, 1992) Panjang

Massa

Waktu Detik (sec)

Centimeter (cm)

Miligram (mg)

Meter (m)

Gram (g)

Kilometer (km)

Kilogram (kg)


Tabel 2.4 Kelipatan metric dalam satuan SI (Classical Physics, 1992) Besar

Prefix

Simbol

-

Atto

a

-

Fento

f

-

Pico

p

-9

Nano

n

-6

Micro

μ

-

Milli

m

-

Centi

c

10

-

Deci

d

10

Satuan dasar

-

-

Deca

D

2

Hecto

H

3

Kilo

K

6

Mega

M

10

9

Giga

G

10

Tera

T

10 10 10

10

10 10 10

10 10 10 10

2.1.4 Konv ersi Satuan Konversi satuan pada umumnya dilakukan untuk mendapatkan keseragaman dalam proses perhitungan. Untuk berbagai notasi dan nilai konversi satuan dapat dilihat dalam tabel di bawah ini.



14

CHAPTER 02

Tabel 2.5 Nilai konversi satuan (Classical Physics, 1992) Besaran

Panjang

Waktu

Massa

Nilai Konv ersi 1 yard (yd)

=

0,9144 m

1 yard (yd)

=

3 ft

1 feet (ft)

=

12 in

1 mile (mil)

=

5280 ft

1 mile (mil)

=

1609 m

1 meter (m)

=

3,281 ft

1 inchi (in)

=

0,0254 m

1 hari (day)

=

3600 sec

1 menit (min)

=

60 sec

1 pound mass (lbm)

=

0,4535 kg

1 pound forces (lbf)

=

4,4480 N

1 slug

=

14,59 kg

1 kilogram (kg)

=

2,2050 lbm

1 kilogram (kg)

=

1000 g

1 kilogram forces (kgf)

=

9,807 N

1 dyne (dyn)

=

10 N

2

=

144 in

1 meter (m )

2

=

10,764 ft

1 yard (yd )

2

2

=

9 ft

1 mile (mil )

2

2

=

3,098 × 10 yd

1 feet (ft )

3

=

7,48 gal

1 galon (gal) US

=

3,785 lt

1 galon (gal) UK

=

4,546 lt

1 barrel (bar) US

=

42 gal

1 barrel (bar) UK

=

31,50 gal

1 liter (lt)

=

1000 cm

1 mile/jam

=

1,609 km/jam

1 knot

=

1,852 km/jam

1 feet/second (ft/s)

=

0,3048 m/s

2

1 feet (ft ) 2

Luas

Volume

Kecepatan

3

-5

2 2

2 6

2

3

Untuk melakukan proses konversi dari suatu satuan ke satuan yang lain, maka perlu diketahui hubungan ekivalen antara nilai konversi satuan yang akan dikonversi tersebut. Sebagai contoh, akan dilakukan konversi dari feet ke inchi, maka perlu diketahui hubungan ekivalen dari keduanya. Misalnya berapa nilai konversi dari 5 feet ke dalam satuan inchi, apabila diketahui 1 feet sama dengan 12 inchi. 1 ft 1 ft

=

12 in 1 ft

1

=

12 in 1 ft



15

CHAPTER 02

Selanjutnya dengan mengalikan nilai yang akan dikonversikan dengan nilai di atas sehingga menjadi : 12 in 1 ft

5 × 1 = 5 ft ×

12 in = 60 inchi 1 ft

Sehingga dari hasil perhitungan di atas didapat bahwa apabila 1 ft sama dengan 12 inchi, maka 5 feet sama dengan 60 inchi.

Contoh 2.2 : Berapa nilai konversi dari 795 meter ke satuan feet ! 2

2

Berapa nilai konversi dari 2,91 mil ke satuan m ! Penyelesaian : Konversi 795 m ke ft : 1m

= 3,281 ft

1m

=

⎛ 3,281 ft ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1m ⎠

795 m ×

⎛ 3,281 ft ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 1m ⎠

⎛ 795 m ⎞ ⎛ 3,281 ft ⎞ ⎜ ⎟ ×⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1m ⎠

=

2

= 795 m × 3,281 ft

= 2608, 395 ft

2

Konversi 2,91 mil ke m : 2

6

2

1 mil = 3,098 × 10 yd 2

1 yd = 9 ft 2

1m

2

= 10,764 ft

2

⎛ 3,098 × 10 6 yd2 ⎞ ⎛ 9 ft 2 ⎞ ⎛ 1 m2 ⎟ ×⎜ ⎟ ⎜ 2,91 mil × ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 1 yd2 ⎟ × ⎜ 10,764 ft 2 1 mil ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(2,91) × (3,098 × 10 6 ) × (9) × 1 m2 10,764 8,114 × 107 m2 6 2 = 7,538 × 10 m 10,764

Untuk nilai-nilai konversi satuan massa dan panjang selengkapnya disajikan dalam tabel-tabel di bawah ini

Tabel 2.6 Faktor konversi satuan massa (Classical Physics, 1992) gram (g)

kilogram (kg)

ton (t)

1

0,001

10

1 kilogram (kg)

1000

1

0,001

2,2046

1 metric ton (t)

10

1000

1

2204,6

1 pound mass (lbm)

453,59

0,45359

4,5359 × 10

1

1 slug

14,594

14,594

0,014594

32,174

1 gram (g)



pound mass (lbm)

-6

-3

2,2046 × 10

-4

16

CHAPTER 02

Tabel 2.7 Faktor konversi satuan panjang (Classical Physics, 1992) centimeter

meter

kilometer

inchi

foot

mile

(cm)

(m)

(km)

(in)

(ft)

(mil)

1

0,01

10

0,39370

0,032808

6,2137 × 10

1 meter (m)

100

1

0,001

39,370

3,2808

6,2137 × 10

1 kilometer (km)

10

1000

1

39,370

3280,8

0,62137

-5

1

0,083333

1,5783 × 10

-4

1 centimeter (cm)

5

-5

-6 -4

-5

1 inchi (in)

2,5400

0,025400

2,5400 × 10

1 foot (ft)

30,4800

0,30480

3,0480 × 10

12

1

1,8939 × 10

1609,3

1,6093

63,360

5280

1

1 mile (mil)

2.2

5

1,6093 × 10

-4

Mekanika dan Statika

2.2.1 Definisi Mekanika Mekanika dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mengambarkan kondisi benda dalam keadaan diam atau bergerak karena pengaruh gaya yang beraksi pada benda tersebut. Mekanika sendiri dibagi menjadi tiga bagian yaitu, mekanika benda tegar (mechanics of rigid bodies), mekanika benda berubah bentuk (mechanics of deformable bodies) dan mekanika fluida (mechanics of fluids). Dalam ilmu sipil, kecenderungan jenis mekanika yang banyak digunakan adalah mekanika benda tegar dan mekanika fluida. Pada umumnya benda dianggap tegar sempurna walaupun sesungguhnya benda atau struktur tidak pernah benar-benar tegar tetapi tetap mengalami deformasi atau perubahan bentuk. Mekanika adalah cabang dari ilmu fisika karena berhubungan dengan studi mengenai gejala fisis dari suatu benda, walaupun sebagian orang menghubungkan mekanika dengan matematika. Kedua pandangan mengenai ilmu mekanika tersebut adalah benar dan mekanika merupakan dasar bagi banyak ilmu-ilmu teknik yang merupakan prasyarat dasar yang tidak dapat dihilangkan. Sedangkan tujuan ilmu mekanika sendiri adalah untuk menerangkan atau meramalkan gejala fisis yang terjadi pada suatu benda atau partikel.

2.2.2 Kon sep Dasar Mekanik a Konsep dasar dari ilmu mekanika sudah sejak lama diketahui, hal ini terbukti dengan adanya studi mengenai ilmu mekanika sejak jaman Aristoteles (384 SM – 322 SM) dan jaman Archimedes (287 SM – 212 SM) tetapi baru sesudah Newton (1642 – 1727) muncul perumusan yang memuaskan tentang prinsip dasar mekanika. Prinsip dasar ini kemudian dinyatakan dalam bentuk yang telah dimodifikasi oleh D’Alembert, Langrange dan Hamilton. Validitas tentang prinsip dasar di atas tidak ada yang menyanggah sampai Einstein (1905) muncul dengan teori relativitasnya. Sedangkan keterbatasan mekanika Newton tetap menjadi dasar dari ilmu teknik. Adapun beberapa studi mekanika pendahuluan yang bertolak dari prinsip dasar mekanika diperoleh dari hasil percobaan oleh para penemu yang akan diuraikan secara singkat dalam bab selanjutnya.



17

CHAPTER 02

2.2.3 Jeni s Mekanik Mekanik a Bend a Tegar Mekanika benda tegar dibagi menjadi dua yaitu, statika dan dinamika. Statika adalah bagian ilmu mekanika yang mempelajari tentang semua benda yang tetap, diam dan statis. Dalam beberapa referensi lain, statika didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari tentang semua yang tidak bergerak atau akan bergerak dengan ketentuan khusus. Dalam ilmu statika, pergerakan yang terjadi dalam bentuk pergerakan v = 0. Hal ini berarti bahwa dalam ilmu statika, hanya bekerja dengan gaya-gaya yang tidak bergerak atau dengan pergerakan sama dengan nol dan kondisi ini dapat terjadi, apabila semua gaya yang membebani suatu benda dengan jarak antara gaya dan benda, sama dengan momen yang saling menutupi, sehingga semua gaya dapat seimbang. Oleh sebab itu ilmu statika sering disebut dengan ilmu keseimbangan gaya. Sedangkan dinamika adalah ilmu yang mempelajari tentang gerak dengan cara menganalisis penyebab gerak tersebut. Secara umum dinamika meliputi, hubungan antara massa dengan gaya berdasarkan Hukum Newton tentang gerak, momentum, Impuls, hukum kekekalan momentum, kerja, energi dan hukum kekekalan energi.

2.2.4 2.2.4 Mekanika Mekanika Dalam Dalam Kons truk si Pada

dasarnya

untuk

mengetahui

suatu

proses

keseimbangan

yang

pada

awalnya

keseimbangan tersebut tidak ada, sehingga apabila jika terjadi suatu keseimbangan, maka akan terjadi perubahan bentuk keseimbangan yang dapat disebabkan oleh gravitasi bumi. Dalam ilmu keseimbangan, beban akibat gravitasi lebih dikenal dengan berat sendiri yang dapat berasal dari berat sendiri konstruksi ataupun oleh faktor alam seperti berat air hujan, tekanan angin, tekanan tanah, perubahan suhu dan lain sebagainya. Adanya gaya dari luar yang bekerja pada bagian dari suatu benda, dapat menyebabkan pada benda tersebut timbul kekuatan atau kekakuan yang berfungsi untuk melawan adanya gaya-gaya yang bekerja dari luar yang disebut dengan tegangan. Benda yang diam atau tidak bergerak sekalipun tidak dapat dikatakan bahwa benda tersebut dalam keadaan yang diam dan kaku, karena hal tersebut hanya menjadi ketentuan yang tidak dapat selalu cocok dengan keadaan ataupun kondisi dimana benda itu berada. Dengan demikian efek dari adanya gaya luar tersebut, menimbulkan perubahan bentuk yang dapat berupa pertambahan ukuran, pengurangan ukuran, perputaran sudut dan pelengkungan dari benda tersebut dengan nilai toleransi yang diperbolehkan melalui hasil perhitungan dengan cara statika dan mekanika yang tepat.

2.3

Teori Awal Statika

2.3.1 2.3.1 Hukum Jajaran Genjang Genjang Hukum jajaran genjang untuk penjumlahan gaya menyatakan bahwa dua gaya yang beraksi pada suatu partikel dapat diganti dengan sebuah gaya yang disebut resultan (R) dan dapat diperoleh dengan cara mengambarkan diagonal jajaran genjang dengan sisi kedua gaya tersebut.

Gambar 2.1 Aplikasi hukum jajaran genjang untuk penjumlahan gaya



18

CHAPTER 02

2.3.2 2.3.2 Prins ip Transmisi bil itas Prinsip ini menyatakan bahwa, kondisi seimbang atau gerak suatu benda tegar tidak akan berubah apabila gaya yang beraksi pada suatu titik diganti dengan gaya yang lain yang sama besar dan sama arahnya, tetapi beraksi pada titik yang berbeda asalkan kedua gaya tersebut terletak pada garis aksi yang sama.

2.3.3 2.3.3 Hukum Dasar Dasar Newto Newto n Tiga hukum dasar Newton dirumuskan oleh Sir Issac Newton, seorang ilmuwan asal Inggris, pada akhir abad ke tujuh belas. Adapun ketiga hukum dasar Newton berbunyi sebagai berikut :

Hukum pertama Newton : Apabila resultan gaya yang beraksi pada suatu partikel sama dengan nol, maka partikel tersebut akan tetap diam apabila mula-mula diam atau akan bergerak pada kecepatan yang sama pada suatu garis lurus apabila mula-mula bergerak. Pengertian yang sama dari hukum ini adalah sebuah benda akan berada dalam keadaan diam atau bergerak lurus beraturan apabila resultan gaya yang bekerja pada benda sama dengan nol. Dimana pernyataan ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan : n

→

∑F = 0

(2.1)

i =1

Gambar 2.2 Aplikasi hukum pertama Newton

Hukum kedua Newton : Apabila gaya yang beraksi pada suatu partikel tidak sama dengan nol, partikel tersebut t ersebut akan memperoleh kecepatan sebanding dengan besarnya gaya resultan dan dalam arah yang sama dengan arah gaya resultan tersebut. Dengan perngertian lain bahwa benda akan mengalami percepatan jika ada gaya yang bekerja pada benda tersebut, dimana gaya ini sebanding dengan suatu konstanta massa dan percepatan benda. Hukum ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan gaya sebagai berikut : F = m.a

(2.2)

Dimana : F = gaya resultan yang bereaksi pada partikel. HENCE MICHAEL WUATEN


19

CHAPTER 02

m = massa partikel. a = percepatan masing-masing partikel yang dinyatakan dalam satuan yang konsisten.

Gambar 2.3 Aplikasi hukum kedua Newton Hukum ketiga Newton : Gaya aksi dan reaksi antara benda yang berhubungan mempunyai besar dan garis aksi yang sama dan berlawanan arah. Dengan pengertian lain bahwa apabila terdapat dua benda yang berinteraksi, maka akan timbul gaya pada masing-masing benda yang arahnya berlawanan arah dan besarnya sama.

Gambar 2.4 Aplikasi hukum ketiga Newton

2.3.4 2.3.4 Hukum Gravit Gravit asi Newton Newton Hukum ini menyatakan bahwa dua partikel dengan massa M dan m akan saling tarik menarik yang sama dan berlawanan dengan gaya F dan F’, yang besarnya F dinyatakan dalam bentuk : F = G =

M.m r 2

(2.3)

Dimana : r

= merupakan jarak antara dua variabel.

G = konstanta universal yang disebut sebagai gravitasi bumi. Hukum gravitasi Newton memperkenalkan suatu ide aksi yang timbul pada suatu jarak tertentu (action at distance) distance) yang merupakan perluasan dari penerapan hukum Newton yang ketiga, seperti yang terlihat dalam gambar di bawah ini. Dalam gambar tersebut terlihat bahwa, gaya aksi F dan reaksi F’ mempunyai besar yang sama, namun berlawanan arah dan terletak ada garis aksi yang sama.



20

CHAPTER 02

m

r F

F' M

Gambar 2.5 Aplikasi hukum Newton tiga

Sebagai contoh adalah gaya tarik bumi pada suatu partikel yang terletak pada permukaan bumi. Gaya F yang dilakukan oleh bumi pada partikel tersebut kemudian didefinisikan sebagai berat partikel W. Apabila, dengan mengambil M sebagai massa partikel dan r sama dengan R sebagai jari jari bumi, maka gravitasi bumi dapat dituliskan dalam bentuk persamaan : g =

G.M R2

(2.4)

Dimana nilai R dalam persamaan di atas, tergantung pada titik ketinggian yang ditinjau dan tergantung pada kedudukan garis lintang mengingat bentuk bumi yang tidak bulat seperti bola, sehingga nilai g berubah pada setiap titik yang ditinjau. Apabila letak titik yang ditinjau berada pada permukaan bumi, maka nilai gravitasi yang dipakai secara universal adalah sebesar 9,81 m/detik

2

2

atau 32,2 ft/sec . Dengan demikian besarnya W yang merupakan berat partikel dengan massa M dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut ini : W = m.g

(2.5)

Dimana : m = massa benda. g = gravitasi bumi.

2.4

Vektor Resultan dan Gaya

2.4.1 Vektor Resultan Vektor dapat didefinisikan sebagai pernyataan matematis yang mempunyai besar (magnitude) dan arah (direction) yang penjumlahannya mengikuti Hukum jajaran genjang gaya. Vektor pada umumnya menggunakan simbol panah di atas huruf atau dengan garis di bawah huruf. Vektor dapat dibagi menjadi tiga jenis secara garis besar yaitu vektor terikat, vektor bebas dan vektor geser. Apabila terdapat suatu vektor yang menyatakan suatu gaya yang bekerja pada sebuah partikel dan mempunyai titik tangkap yang pasti yaitu partikel itu sendiri, maka disebut sebagai vektor tertentu atau terikat. Sedangkan vektor yang dapat diubah dengan bebas dalam ruang seperti kopel gaya disebut dengan vektor bebas. Apabila terdapat gaya yang bekerja pada sebuah benda tegar yang kemudian dinyatakan dalam bentuk vektor dan vektor tersebut dapat dipindahkan atau bergerak sepanjang garis aksi dari vektor tersebut, maka vektor demikian disebut dengan vektor geser.



21

CHAPTER 02

Sejumlah gaya yang bekerja pada suatu struktur dapat direduksi menjadi satu resultan gaya, sehingga konsep ini dapat membantu di dalam menyederhanakan permasalahan. Dalam proses menghitung resultan gaya yang bekerja tergantung dari jumlah dan arah dari gaya-gaya tersebut. Adapun beberapa beberapa cara atau metode yang dapat digunakan untuk menghitung atau mencari besarnya besarnya resultan gaya antara lain : 1. Metode penjumlahan dan pengurangan vektor gaya. Metode ini menggunakan konsep bahwa dua gaya atau lebih yang terdapat pada garis kerja gaya yang sama atau segaris dapat langsung dijumlahkan apabila mempunyai arah sama atau searah dan dapat dikurangkan apabila mempunyai arah yang berlawanan.

Gambar 2.6 Metode penjumlahan dan pengurangan vektor gaya

2. Metode segitiga dan segi banyak vektor gaya Metode ini menggunakan konsep apabila gaya-gaya yang bekerja tidak segaris, maka dapat digunakan cara Paralellogram dan Segitiga Gaya. Metode ini cocok, apabila gaya-gayanya tidak banyak.

Gambar 2.7 Resultan dua vektor gaya yang tidak segaris

Apabila terdapat terdapat lebih dari dua gaya, maka harus disusun suatu suatu segi banyak (poligon) (poligon) gaya. Gaya-gaya kemudian disusun secara berturutan, mengikuti arah jarum jam. Apabila telah terbentuk poligon tertutup, maka penyelesaiannya adalah tidak ada resultan gaya atau resultan gaya sama dengan nol. Namun jika terbentuk poligon tidak tertutup, maka garis penutupnya adalah resultan gaya (R).

Gambar 2.8 Resultan dari beberapa vektor gaya yang tidak searah HENCE MICHAEL WUATEN


22

CHAPTER 02

3. Metode proyeksi vektor gaya Metode proyeksi menggunakan konsep bahwa proyeksi resultan dari dua buah vektor gaya pada setiap sumbu adalah sama dengan jumlah aljabar proyeksi masing-masing komponennya pada sumbu yang sama dan sebagai contoh dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Gambar 2.9 Proyeksi sumbu

Xi dan X adalah masing-masing proyeksi gaya F i dan R terhadap sumbu x. Sedangkan Y i dan Y adalah masing-masing proyeksi gaya F i dan R terhadap sumbu y. Dimana : Xi = Fi cos α



X = R cos α



X =

ΣXi

Yi = Fi sin α



Y = R sin α



Y =

ΣYi

Dengan demikian metode tersebut sebenarnya tidak terbatas untuk dua buah vektor gaya, tetapi dapat lebih. Jika hanya diketahui vektor-vektor gaya dan akan dicari resultan gaya, maka dengan mengetahui jumlah kumulatif dari komponen proyeksi sumbu, yaitu X dan Y, maka dengan rumus pitagoras dapat dicari nilai resultan gaya (R) . Dimana : R =

X2

+ Y 2 atau α = arc tan

X Y

Contoh 2.3 : Diketahui dua orang seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini, sedang berusaha memindahkan bongkahan batu besar dengan cara tarik dan ungkit. Hitunglah besar dan arah gaya resultan yang bekerja pada titik bongkahan batu akibat kerja dua orang tersebut !

Gambar 2.10 Gaya resultan yang bekerja pada titik bongkahan batu



(sumber : Pranata J.A)

23

CHAPTER 02

2.4.2 Gaya Gaya adalah sesuatu yang menyebabkan terjadinya perubahan gerak pada suatu benda. Pada umumnya gaya menimbulkan dua buah pengaruh yaitu, pengaruh dari luar (external effect) effect) yang menyebabkan benda akan bergerak apabila benda tersebut dalam keadaan diam atau perubahan gerak apabila benda telah bergerak. Pengaruh kedua, adalah pengaruh dari dalam (internal effect) yang menyebabkan terjadinya perubahan bentuk pada benda atau deformasi. Gaya merupakan besaran yang memiliki besar (magnitude) dan (magnitude) dan arah (direction), sehingga (direction), sehingga gaya merupakan merupakan sebuah vektor. Oleh karena itu, sifat-sifat dari gaya mengikuti sifat sebuah vektor, dimana gaya dapat dijumlahkan dan dapat dikurangi. Selain itu, gaya dapat dipindah sepanjang garis kerjanya dengan tidak merubah besar gaya tersebut. Tetapi apabila terjadi pergeseran gaya yang tidak searah atau sepanjang garis kerjanya akan menimbulkan momen (M) yang besarnya sebanding dengan gaya dikalikan dengan jarak pergeseran atau jarak yang tegak lurus terhadap garis kerjanya.

Gambar 2.11 Penguraian gaya

Garis di sepanjang gaya tersebut bekerja dinamakan garis kerja gaya. Sedangkan, titik tangkap gaya yang bekerja pada suatu benda yang sempurna padatnya, dapat dipindahkan di sepanjang garis kerja gaya tersebut tanpa mempengaruhi kinerja dari gaya tersebut. Apabila terdapat beberapa beberapa gaya yang bekerja pada suatu benda, maka gaya-gaya tersebut dapat dinyatakan sebagai suatu sistem gaya (force system). system). Sistem gaya yang kemudian bekerja pada suatu benda tetapi, tidak menimbulkan pengaruh luar pada benda tersebut, maka gaya-gaya yang terjadi berada dalam kondisi setimbang (balance), (balance) , sehingga benda tersebut berada dalam kondisi kesetimbangan (equilibrium) . Apabila terdapat bermacam-macam bermacam-macam gaya bekerja pada suatu benda, maka gaya-gaya tersebut tersebut dapat digantikan oleh satu gaya yang memberi pengaruh sama seperti yang dihasilkan dari bermacam-macam gaya tersebut, yang disebut sebagai resultan gaya. Sebagai contoh adalah penjumlahan gaya yang tidak searah dan membentuk sudut

α satu sama lain. Sehingga dalam kasus

ini, dua gaya F 1 dan F2 membentuk sudut α dan besarnya resultante (R) gaya tersebut adalah: R =

2

F1

+ F2 2 + 2F1F2 . cos α

(2.6)

Gaya dapat didefinisikan sebagai aksi sebuah benda yang bekerja atau beraksi pada benda lainnya dengan besaran berupa titik kerja gaya, arah gaya dan besar gaya. Gaya yang bekerja pada setiap partikel mempunyai titik kerja gaya yang sama dan besarnya suatu gaya yang bekerja dapat ditentukan oleh suatu satuan. Satuan yang dipakai dalam menentukan besarnya gaya, dapat berupa sistem Satuan Internasional (SI) atau Satuan Inggris.



24

CHAPTER 02

Arah kerja gaya yang bekerja pada sebuah partikel ditentukan oleh garis aksi dan arah gaya tersebut, dimana garis aksi adalah suatu garis tidak berhingga yang menunjukan kerja gaya tersebut yang ditentukan oleh sudut yang dibentuk oleh garis kerja gaya terhadap suatu sumbu tertentu. Apabila terdapat dua buah gaya yang bekerja dengan arah dan besar yang berbeda, maka kedua gaya tersebut dapat digabungkan menjadi satu buah gaya yang menggambarkan komposisi dari kedua gaya awal sebelum digabungkan. Gaya baru yang dihasilkan dari proses penggabungan kedua gaya awal disebut dengan resultan gaya (R). Gaya yang bekerja pada bidang datar, dapat diuraikan dalam komponen vertikal dan horizontal untuk mempermudah proses penguraiannya. Sebagai contoh apabila terdapat gaya F yang bekerja seperti dalam gambar di bawah ini, maka gaya tersebut dapat diuraikan dalam sumbu x dan y. Dengan menuliskan F sebagai suatu harga gaya F,

θ sudut antara F dan sumbu x dan F x serta Fy

menyatakan harga komponen F x dan Fy diperoleh : Fx = F.cos θ Fy = F.sin θ Harga Fx dan Fy dan komponen F disebut sebagai komponen skalar F, sedangkan F x dan Fy disebut komponen vektor F. Reaksi yang timbul pada struktur agar tetap dalam kondisi stabil dalam mendukung beban-beban yang bekerja dapat dibedakan menjadi dua yaitu, reaksi tumpuan dan gayagaya dalam. Reaksi tumpuan adalah reaksi-reaksi yang timbul pada tumpuan, tergantung dari tipe tumpuannya yang dapat berupa gaya-gaya atau momen. Sedangkan gaya-gaya dalam pada elemen struktur akan dapat berupa gaya (normal forces), gaya geser (shear forces) dan momen (moment). Dalam proses perancangan struktur, perlu diketahui besarnya gaya-gaya dalam yang terjadi pada setiap elemen struktur yang diakibatkan oleh sistim pembebanan maksimum. Gaya-gaya dalam tersebut dipergunakan untuk merancang ukuran dan stabilitas setiap elemen struktur.

Gambar 2.12 Statika partikel pada bidang datar

Contoh 2.3 : Sebuah gaya F sebesar 800 N beraksi pada suatu titik A, apabila sudut yang terbentuk antara F 0

dan sumbu x sebesar 35 , maka tentukanlah komponen F x dan Fy. Penyelesaian : Fx = F.cos θ

Fy = F.sin θ

= 800. cos 35

= 800. sin 35

= 665 N

= 459 N



25

CHAPTER 02

2.5

Momen Gaya yang beraksi pada suatu massa kaku, secara umum selain menyebabkan terjadinya

deformasi, ternyata juga menyebabkan adanya rotasi atau massa tersebut akan berputar terhadap suatu titik sumbu tertentu. Posisi vektor gaya yang menyebabkan perputaran terhadap suatu titik sumbu tertentu tersebut, disebut sebagai momen. Dengan pengertian lain bahwa momen merupakan produk yang dihasilkan dari hasil perkalian antara gaya dengan jarak lengan gaya pada suatu titik tinjauan tertentu. Dalam suatu kasus tertentu, akibat adanya momen untuk suatu beban yang memiliki eksentrisitas, maka akan menimbulkan suatu putaran yang disebut dengan torsi atau puntir. Ilustrasi mengenai torsi adalah seperti yang terjadi pada sebuah pipa dalam gambar di bawah ini, dimana apabila momen tersebut berputar pada sumbu aksial dari suatu batang pipa tersebut, maka akan disebut sebagai proses torsi atau puntir. Seperti ilustrasi yang terlihat dalam gambar di bawah ini, dapat dilihat bahwa torsi terhadap sumbu z akan menyebabkan puntir pada pipa. Besarnya momen ditentukan oleh besarnya gaya F dan lengan momen atau jarak tegak lurus gaya terhadap titik putar yang ditinjau. Sedangkan momen terhadap sumbu z akan menyebabkan momen lentur (bending) pada pipa.

Gambar 2.13 Momen terhadap sumbu z dan x

2.6

(sumber : Pranata J.A)

Persamaan Stati ka Sebuah struktur dikatakan berada pada kondisi statis atau diam apabila jumlah gaya-gaya yang

bekerja pada struktur tersebut adalah sama dengan nol. Dimana, gaya-gaya yang bekerja pada struktur tersebut, dapat berupa gaya-gaya vertikal, gaya horisontal dan momen. Dalam proses untuk menentukan persamaan keseimbangan gaya-gaya pada struktur, persamaan statika didasarkan pada hukum Newton tiga yaitu, aksi sama dengan reaksi. Aksi yang bekerja di dalam struktur disebabkan oleh adanya beban yang bekerja dari luar, sedangkan reaksi yang terjadi pada struktur, berfungsi untuk melawan aksi yang bekerja dengan dukungan dari tumpuan yang menyebabkan pada setiap titik dalam sebuah struktur berlaku ketentuan bahwa, jumlah gaya arah vertikal, horisontal dan momen harus sama dengan nol. Gaya-gaya (F) yang bekerja pada struktur merupakan bentuk perlawanan terhadap terjadinya translasi dan rotasi, sehingga struktur tetap pada kondisi statis. Gaya-gaya (F) yang terjadi untuk melawan translasi dapat diuraikan menjadi gaya-gaya arah vertikal (F V) dan gaya-gaya arah horisontal (FH). Sedangkan gaya-gaya yang terjadi untuk melawan rotasi adalah berupa momen (M). HENCE MICHAEL WUATEN


26

CHAPTER 02

Kondisi statis berarti bahwa jumlah gaya-gaya tersebut adalah nol, dan dapat dituliskan dalam bentuk persamaan keseimbangan statis (equations of statical equilibrium) : ∑FV = 0

∑FH = 0

∑M

=0

Sebuah struktur dikatakan stabil, apabila mampu menjaga keseimbangannya sehingga struktur tidak bergerak (statis) karena struktur mampu mendukung beban-beban yang bekerja. Struktur yang stabil akan tetap pada kondisi statis atau diam dalam mendukung beban-beban yang bekerja. Selain itu, di dalam struktur akan timbul gaya-gaya perlawanan yang besarnya sebanding dengan bebanbeban yang bekerja.

2.7

Idealis asi Strukt ur

2.7.1 Id ealisas i Balok Sederhana Struktur balok sederhana banyak dijumpai pada struktur jembatan dimana, gelagar jembatan yang berfungsi untuk mendukung beban dari pelat jembatan yang selanjutnya dialihkan ke perletakan jembatan untuk diteruskan ke tanah.

Idealisasi

Gambar 2.14 Idealisasi balok sederhana

(sumber : Siswosukarto S, 2007)

2.7.2 Idealis asi Balok Menerus Struktur balok menerus merupakan struktur yang mempunyai beberapa perletakan sekaligus, dan mempunyai perilaku mekanika yang berbeda dengan balok sederhana. Struktur balok menerus banyak juga dijumpai dan diaplikasikan pada struktur jembatan.

Idealisasi

Gambar 2.15 Idealisasi balok menerus HENCE MICHAEL WUATEN



27

CHAPTER 02

2.7.3 Idealis asi Strukt ur Gantun g Struktur gantung (cantilever) dapat berupa struktur balok yang dijepit salah satu ujungnya dan salah satu ujung lainnya menggantung yang dapat mendukung beban titik, beban merata atau kombinasi beban seperti yang tergambar di bawah ini.

Gambar 2.16 Idealisasi kantilever (sumber : Siswosukarto S, 2007)

2.7.4 Idealis asi Stru ktur Rangka Struktur rangka (frame) merupakan struktur yang terdiri dari kumpulan elemen-elemen batang yang dapat berupa batang tarik atau batang tekan yang dihubungkan dengan sendi atau jepit dimana beban dianggap bekerja pada setiap sambungan (joint).

Gambar 2.17 Idealisasi struktur rangka


2.7.5 Idealis asi Strukt ur Portal Struktur portal merupakan struktur yang terdiri dari kumpulan elemen-elemen batang horisontal dan vertikal yang berhubungan secara kaku, dimana pada umumnya terdapat pelat untuk kepentingan fungsional yang melimpahkan beban ke elemen horisontal selanjutnya dari elemen horisontal dilimpahkan ke elemen vertikal untuk diteruskan ke tanah melalui pondasi.



28

CHAPTER 02

Gambar 2.18 Idealisasi struktur portal


Di dalam struktur portal dikenal dua jenis portal yaitu, portal tidak bergoyang dan portal bergoyang. Disebut sebagai portal tidak bergoyang apabila bentuk portal adalah simetris dan beban yang bekerja juga simetris, selain itu portal dapat dikatakan tidak bergoyang apabila portal mempunyai kaitan dengan struktur lainnya. Sedangkan dikatakan sebagai portal bergoyang apabila beban yang tidak simetris bekerja pada portal yang tidak simetris dan portal simetris atau beban simetris bekerja pada portal yang tidak simetris.

Gambar 2.19 Jenis portal

2.8

Beban dan Perletakan Pada Strukt ur

2.8.1 Jenis Beban Pada Strukt ur Faktor beban merupakan salah satu faktor yang sangat penting dalam perhitungan analisis ataupun perancangan sebuah struktur. Dalam Standar Nasional Indonesia (SNI) untuk struktur baja, beton bertulang, kayu dan jembatan, pada umumnya telah menggunakan metode ultimit (plastis) untuk analisis dan perancangan, sedangkan analisis dan perancangan dengan metode elastis hanya sebagai pilihan saja. Pada dasarnya agar suatu struktur dan komponennya dapat memenuhi syarat-syarat keamanan dan kelayakan pakai terhadap bermacam-macam kombinasi beban yang ada, maka harus diperhitungkan faktor-faktor beban tersebut, sesuai dengan sifat dan kebutuhan dari setiap faktor.



29

CHAPTER 02

Secara umum, struktur disebut sebagai himpunan dari elemen-elemen bahan yang berfungsi menyalurkan beban dan gaya dengan aman, sehingga dalam proses perencanaan suatu struktur, perhitungan akan kombinasi beban dan gaya yang bekerja dalam suatu struktur menjadi hal yang sangat penting. Adapun jenis-jenis beban yang bekerja pada struktur sesuai dengan jenis dan fungsi struktur, antara lain : 1. Beban mati (dead loads) Adalah berat sendiri dari suatu struktur atau elemen-elemen struktur yang sifatnya tetap dan merupakan bagian yang tidak terpisahkan dari struktur tersebut, termasuk segala unsurunsur tambahan yang ada di dalamnya. 2. Beban hidup (live loads) Adalah beban yang sifatnya tidak tetap dan dapat bergerak yang terjadi akibat kegiatan penghunian atau pengunaan suatu struktur atau bangunan yang di dalamnya termasuk beban-beban yang disebabkan oleh barang-barang yang dapat berpindah-pindah atau dapat bergerak seperti beban kendaraan pada struktur jembatan. 3. Beban angin (wind loads) Adalah beban yang bekerja pada suatu struktur atau gedung yang diakibatkan oleh tekanan ataupun pergerakan udara atau angin. 4. Beban gempa (earthquake loads) Beban gempa adalah beban yang terjadi akibat adanya pergerakan tanah yang disebabkan oleh gempa yang bersifat lateral. Selain itu beban gempa menghasilkan goyangan terhadap struktur arah lateral dan merupakan fungsi dari berat, tinggi dan bentuk struktur. 5. Beban tekanan (preassure loads) Beban tekanan adalah beban yang dapat dihasilkan oleh adanya tekanan dari udara, gas, air dan tanah. Pada umumnya penggunaan perhitungan terhadap beban tekanan hanya pada struktur-struktur tertentu disesuaikan dengan letak, fungsi dan kondisi struktur tersebut, seperti pada struktur dinding penahan tanah (retaining wall) dan pondasi yang mengalami tekanan tanah, pada struktur pelat lengkung dan cangkang yang mengalami tekanan udara, pada reaktor nuklir yang mengalami tekanan gas, pada struktur dam atau bendungan yang mengalami tekanan air dan lain sebagainya. 6. Beban khusus (special loads) Beban khusus adalah beban yang terjadi akibat perbedaan suhu, pengangkatan dan pemasangan, penurunan pondasi (settlement), susut, gaya-gaya tambahan yang berasal dari beban hidup seperti gaya rem, gaya sentrifugal, gaya dinamis akibat mesin-mesin dan pengaruh-pengaruh khusus lainnya.

2.8.2 Bentuk Beban Dalam idelisasi struktur, terdapat bermacam-macam bentuk beban yang merupakan idealisasi dari faktor beban yang ada di sekitar kita. Komponen beban tersebut, kemudian diformulasikan dalam bentuk-bentuk beban untuk mempermudah proses perhitungan dan distribusinya dalam analisis struktur. Adapun bentuk- bentuk beban, antara lain :



30

CHAPTER 02

1. Beban Titik Beban titik atau beban terpusat adalah beban yang terkosentrasi pada satu titik atau satu area. Sebagai contoh adalah beban roda, beban manusia dan lain sebagainya. 2. Beban terbagi merata Beban terbagi merata adalah beban yang terdistribusi secara merata sepanjang batang. Sebagai contoh adalah berat sendiri struktur dan lain sebagainya. 3. Beban segitiga Beban segitiga adalah beban berbentuk segitiga, biasanya dapat berupa beban tekanan tanah atau tekanan air. 4. Beban trapesium Beban trapesium biasanya penyebaran beban pada lantai beton bertulang dan sebagainya. 5. Beban merata yang besarnya berubah-ubah pada setiap titik. Beban merata yang besarnya berubah-ubah pada setiap titik, dinyatakan dalam fungsi jarak Q = Q(x).

Gambar 2.20 Bentuk-bentuk beban



31

CHAPTER 02

2.8.3 Perletakan Sifat gaya-gaya dan reaksi yang timbul pada suatu benda yang dibebani sangat bergantung pada bagaimana benda tersebut ditumpu atau dihubungkan dengan benda lain. Struktur merupakan suatu benda atau massa yang terkekang sebagian atau seluruhnya sehingga tidak dapat bergerak secara bebas dalam suatu ruang. Salah satu pengekangan adalah berupa perletakan (support), dimana setiap perletakan mempunyai batasan dan kondisi tertentu, sehingga jenis perletakan juga mempengaruhi reaksi yang dihasilkan oleh struktur. Perletakan pada struktur dapat berupa sendi, rol, jepit serta pendel. Adapun penjelasan secara singkat mengenai jenis-jenis perletakan adalah sebagai berikut : 1. Perletakan sendi Perletakan sendi merupakan perletakan yang bentuknya seperti as dari suatu roda, dimana pada perletakan ini batang tidak dapat mengalami translasi ke segala arah, tetapi batang struktur dapat berotasi terhadap as sendi. Pada perletakan ini akan timbul dua reaksi yang tidak diketahui, yaitu reaksi vertikal (R V) dan reaksi horisontal (R H) namun sendi tidak dapat menahan momen yang bekerja.

Gambar 2.21 Perletakan sendi dan aplikasi pada struktur

(sumber : Sulistyo D)

2. Perletakan Rol Rol adalah jenis perletakan berbentuk silinder, pada perletakan ini struktur dianggap dapat bergerak searah dengan bidang perletakan. Dimana pada perletakan ini akan timbul satu reaksi yang tegak lurus terhadap bidang perletakan atau bidang gelincir rol dan reaksinya merupakan bilangan yang tidak diketahui yang dapat dicari melalui konsep keseimbangan gaya.



32

CHAPTER 02

Gambar 2.22 Perletakan roll dan aplikasi pada struktur


2. Perletakan Jepit Perletakan jepit adalah jenis perletakan yang dapat menahan gaya vertikal, horisontal dan dapat menahan momen.

Gambar 2.23 Aplikasi perletakan jepit pada struktur




33

CHAPTER 03

3.1

Pendahuluan Dalam ilmu mekanika bahan, diperlukan operasi-operasi yang melibatkan sifat-sifat geometrik

dari penampang batang yang berupa permukaan datar. Sebagai contoh, untuk mengetahui besarnya tegangan yang terjadi pada sebuah penampang balok persegi, maka melibatkan gaya tiap satuan luas dari penampang tersebut. Luas atau penampang bidang datar termasuk dalam besaran geometrik yang perlu untuk diketahui. Besaran-besaran dalam bidang datar meliputi titik berat penampang, momen inersia, momen statis dan lain sebagainya.

3.2

Momen Statis dan Titik Berat Penampang

3.2.1 Momen Statis dan Titik B erat Penampang Sembarang Pada dasarnya besaran-besaran geometrik penampang datar yang diperlukan dalam analisis mekanika bahan, bertujuan untuk mendapatkan besaran-besaran fisika seperti gaya, momen, tegangan, regangan lendutan dan lain sebagainya. Untuk menggambarkan besaran-besaran tersebut, maka pada gambar di bawah ini ditinjau suatu bagian kecil seluas dA yang berjarak x dan y dalam sumbu koordinat Kartesius.

Gambar 3.1 Penampang datar

Dalam gambar tersebut, titik O merupakan titik sembarang yang digunakan untuk menentukan koordinat suatu titik pada penampang dan TB merupakan titik berat penampang datar. Berdasarkan kondisi tesebut, maka luas penampang total dari bidang datar di atas, dapat dirumuskan dalam bentuk persamaan : HENCE MICHAEL WUATEN


34

CHAPTER 03

A =

∫ dA

A

A =

∫ dx.dy

(3.1)

A

Sedangkan momen statis penampang A terhadap suatu sumbu dapat didefiniskan sebagai hasil perkalian antara luas penampang dengan jarak dari titik berat penampang luasan ke sumbu yang ditinjau. Dengan demikian, momen statis penampang terhadap sumbu x dan y dapat dituliskan dalam bentuk persamaan berikut ini : Sx =

∫ y.dA

(3.2)

∫ x.dA

(3.3)

A

Sy =

A

Setiap benda dapat dianggap sebagai susunan dari partikel-partikel kecil (kontinum) yang masing-masing bereaksi terhadap gaya gravitasi. Gaya-gaya yang bekerja pada partikel-partikel dari benda menunjukan berat benda. Gaya-gaya tersebut dapat dianggap sejajar dan bereaksi terhadap gaya vertikal ke arah bawah atau mengikuti gaya tarik gravitasi bumi. Resultan dari masing-masing gaya gravitasi yang bekerja pada tiap partikel benda selalu melalui titik tertentu yang disebut dengan titik berat (center of gravity). Berat adalah gaya dan dapat dianggap sebagai vektor, sehingga berat memilki besar, arah dan titik awal. Dengan mengetahui arah gaya gravitasi, maka besar dan titik awal dari pusat berat dapat diketahui baik secara eksprimen maupun analisis. Berdasarkan Hukum Gravitasi Newton, berat dapat didefinisikan dalam bentuk persamaan : W = m.g

(3.4)

Dimana : m = massa benda. g = gravitasi bumi. Titik berat penampang adalah suatu titik yang apabila seluruh penampang dipusatkan pada titik tesebut akan menghasilkan momen statis yang sama terhadap sumbu manapun juga. Pada gambar di bawah ini terdapat sebuah benda persegi panjang, dimana titik berat w berada tepat di tengah (center) dari bangun persegi tersebut baik terhadap sumbu x dan y.

w Gambar 3.2 Titik berat penampang persegi HENCE MICHAEL WUATEN


35

CHAPTER 03

Berdasarkan kondisi tersebut, maka letak titik berat penampang dapat dihitung dengan cara membagi momen statis dengan luas bagian yang ditinjau atau dapat ditulis dalam bentuk persamaan : x0 = y0 =

Sy A Sx A

Sehingga apabila diuraikan menjadi :

∫ x.dA

x0 =

A

(3.5)

(3.6)

∫ dA

A

∫ y.dA

y0 =

A

∫ dA

A

3.2.2 Momen Statis d an Titi k Berat Penampang Beraturan Secara umum, tidak semua bidang penampang dapat dinyatakan dengan muda berdasarkan persamaan matematika, sehingga untuk memudahkan aplikasi dan pemakaian dari persamaanpersamaan di atas, maka pada kondisi sembarang luasan dibagi menjadi elemen-elemen kecil beraturan seperti dalam gambar di bawah ini.

Gambar 3.3 Penampang datar yang dibagi menjadi elemen-elemen

Dengan membagi penampang di atas menjadi elemen-elemen kecil, maka besaran-besaran geometri di atas, dapat dituliskan dalam bentuk persamaan untuk luas penampang sebagai berikut :



36

CHAPTER 03

A = A1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5

+ ... A n

Atau dalam bentuk yang lebih sederhana : n

A =

∑ A

(3.7)

i

i =1

Sedangkan momen statis pada penampang dalam arah sumbu x dan y dapat dituliskan dalam bentuk : Sx = A1.y1 + A 2 .y 2 + A 3 .y 3 + A 4 .y 4 + A 5 .y 5

+ ... A n .y n

Sy = A1.x1 + A 2 .x 2 + A 3 .x 3 + A 4 .x 4 + A 5 .x 5

+ ... A n .x n

Atau dalam bentuk yang lebih sederhana : n

Sx =

∑ A .y i

(3.8)

i

i =1 n

Sy =

∑ A .x i

(3.9)

i

i =1

Dengan demikian letak titik berat untuk kondisi penampang di atas menjadi : n

∑ A .y i

x0 =

i

i =1 n

∑ A

(3.10)

(3.11)

i

i =1

n

∑ A .x i

y0 =

i =1 n

∑ A

i

i

i =1

3.3

Momen Inersia

3.3.1 Definisi Inersia Apabila terdapat sebuah benda berada dalam keadaan diam, maka untuk menggerakannya dibutuhkan pengaruh luar. Sebagai contoh sebuah struktur gedung yang dalam keadaan diam, kemudian dipengaruhi oleh gaya gempa, sehingga struktur tersebut mengalami getaran atau bergetar. Apabila gaya gempa yang bekerja pada struktur tersebut berhenti, maka getaran yang terjadi pada gedung tersebut, secara perlahan-lahan akan berkurang kecepatannya dan akhirnya diam. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa, struktur yang mengalami pengaruh gaya luar akan tetap diam, apabila pada mulanya dalam keadaan diam dan struktur akan bergerak dalam kecepatan konstan apabila pada mulanya dalam keadaan bergerak. Kesimpulan ini pertama kali disimpulkan oleh Galileo Galilei yang dikenal dengan prinsip inersia atau kelembaman. Pada umumnya, benda akan cenderung untuk mempertahankan kondisi geraknya, apabila diam sehingga akan tetap diam dan apabila bergerak akan tetap bergerak dengan kecepatan konstan selama tidak ada pengaruh luar.



37

CHAPTER 03

3.3.2 Momen Inersi a Penampang Momen inersia dapat didefinisikan sebagai momen yang dihasilkan dari jumlah luasan dikalikan dengan lengan momen atau kuadrat jarak dari sumbu yang ditinjau. Pada gambar di bawah ini, terdapat luasan bidang datar yang tidak beraturan, dimana momen inersia terhadap sumbu x dinyatakan dengan Ixx dan momen inersia terhadap sumbu y dinyatakan dengan Iyy.

Gambar 3.4 Momen inersia pada penampang datar

Secara umum momen inersia pada penampang datar di atas, dapat dituliskan dalam bentuk persamaan : Ixx =

∫ y .dA

(3.12)

∫ x .dA

(3.13)

2

A

Iyy =

2

A

Sedangkan momen sehtrifugal dan momen inersia polar yang terjadi terhadap titik sembarang O, dapat dituliskan dalam bentuk persamaan : Ixy =

∫ xy.dA

(3.14)

A

Ip =

∫ r .dA 2

A

=

∫ (x

2

+ y 2 ).dA

A

= Ixx + Iyy



(3.15)

38

CHAPTER 03

3.3.3 Perges eran Sumbu Apabila terjadi pergeseran atau translasi pada sumbu, maka akan mempengaruhi momen inersia yang ada. Sebagai contoh pada gambar di bawah ini, terdapat sebuah bidang datar tidak beraturan. Apabila sumbu ξ dan η (nu) adalah sumbu sembarang dan sejajar dengan sumbu x dan y dengan jarak antara keduanya adalah a dan b, maka momen inersia dasar dapat dirumuskan dalam bentuk : Ixx =

∫ y .dA 2

A

=

∫ (η + b) .dA 2

A

=

∫ η .dA + 2.b∫ η.dA + b ∫ dA 2

2

A

A

(3.16)

A

2

Ixx = Iξξ + 2.b.Sξ + b .A Iyy =

(3.17)

∫ x .dA 2

A

=

∫ (ξ + a) .dA 2

A

=

∫ ξ .dA + 2.a∫ ξ.dA + a ∫ dA 2

2

A

A

(3.18)

A

2

Iyy = Iξξ + 2.a.Sη + a .A Ixy =

(3.19)

∫ xy.dA

A

=

∫ (ξ + a).(η + b).dA

A

=

∫ ξ.η.dA + b∫ ξ.dA + a∫ η.dA + ab∫ dA

A

A

A

Ixy = Iξη + b.Sξ + a.Sη + a.b.A Jika sumbu ξ dan

(3.20)

A

(3.21)

η melalui titik O‘ yang merupakan titik berat penampang, maka besarnya

momen statis Sξ = Sη = 0, sehingga persamaan-persamaan di atas, dapat disederhanakan menjadi : 2

(3.22)

Iyy = Iηη + a .A

2

(3.23)

Ixy = Iξη + a.b.A

(3.24)

Ixx = Iξξ + b .A



39

CHAPTER 03

Gambar 3.5 Pergeseran sumbu

3.3.4 Perputaran Sumbu Momen inersia penampang juga sangat tergantung dari perputaran sumbu. Sebagai contoh, apabila suatu sumbu st yang diperoleh dengan memutar (rotasi) sumbu xy dengan pusat O dan sudut putar θ arah positif atau berlawanan arah jarum jam. Berdasarkan gambar di bawah ini, maka akibat rotasi ini akan diperoleh koordinat s dan t dalam x dan y sebagai berikut : s = x.cos θ + y.sin θ t

(3.25)

= -x.sin θ + y.cos θ

(3.26)

Gambar 3.6 Perputaran sumbu

Momen inersia terhadap sumbu baru st setelah mengalami perputaran sumbu, dapat dituliskan dalam bentuk : Iss =

∫ t .dA 2

A



40

CHAPTER 03

=

∫ (−x sin θ + y cos θ) .dA 2

A

2

2

θ

2

θ

= Ixx.cos .θ – 2.Ixy.sin θ.cos θ + Iyy.sin Itt =

∫ s .dA 2

A

=

∫ (x cos θ + y sin θ) .dA 2

A

2

= Ixx.sin .θ – 2.Ixy.sin θ.cos θ + Iyy.cos Ist =

∫ st.dA

A

=

∫ (x cos θ + y sin θ).(−x sin θ + y cos θ).dA

A

= Ixx.sin θ.cos θ – Ixy.(cos

2

θ – sin2 θ) – Iyy. sin θ.cos θ

(3.27)

Dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri yaitu : 2

cos θ = ½ [1 + cos 2θ) 2

sin

θ = ½ [1 – cos 2θ)

2 sin θ. cos θ = sin 2θ Maka persamaan di atas menjadi : Iss = Itt = Ist =

Ixx

+ Iyy 2

Ixx

+ Iyy 2

Ixx

− Iyy 2

+ −

Ixx

− Iyy 2

Ixx

− Iyy 2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

(3.28)

cos 2θ + Ixy sin 2θ

(3.29)

cos 2θ + Ixy sin 2θ

(3.30)

Dengan menjumlahkan Iss dan Itt dalam persamaa di atas, maka akan didapatkan : Iss + Itt

= Ixx + Iyy

(3.31)

Berdasarkan kondisi ini, dapat disimpulkan bahwa momen inersia tidak mengalami perubahan terhadap suatu tata sumbu, walaupun sumbu tersebut mengalami perubahan.

3.3.5 Momen Inersia Ekstr im Apabila ditinjau pada titik O sebagai titik berat potongan dan momen inersia dihitung berdasarkan sumbu-sumbu yang melalui titik ini, maka persamaan (3.28) sampai persamaan (3.29) memperlihatkan ketergantungan momen inersia terhadap sudut rotasi. Pada sudut rotasi tertentu akan didapat pasangan Iss, I tt dan Ist. Oleh karena momen inersia merupakan fungsi dari sudut rotasi θ dan menyamakannya dengan nol atau : dl dθ

= 0



(3.32)

41

CHAPTER 03

Turunan dari persamaan (3.28) sampai persamaan (3.30), masing-masing terhadap θ, akan didapat : dlss dθ

= 0

 (Ixx – Iyy)sin

2θ + 2Ixy.cos 2θ = 0

 tan

2θ =

−

Ixy Ixx

− Iyy

(3.33)

(3.34)

2 dltt dθ

= 0

2θ + 2Ixy.cos 2θ = 0

 -(Ixx – Iyy)sin

 tan

2θ =

−

Ixy Ixx

− Iyy 2

dlst dθ

= 0

 (Ixx – Iyy)cos

Dimana masing-masing

2θ + 2Ixy.sin 2θ = 0

 tan

2θ =

−

Ixy 2Ixy

(3.35)

θ dari persamaan di atas, menyatakan besarnya sudut rotasi yang

kemudian menghasilkan momen inersia ekstrim. Sumbu yang menghasilkan nilai ekstrim ini disebut dengan sumbu utama dan momen inersia ekstrim ini, disebut momen inersia utama yang dapat berupa nilai maksimum dan minimum. Dari persamaan yang didapat di atas, dapat disimpulkan tiga hal, yaitu sudut rotasi θ sumbu-sumbu yang memberikan nilai ekstrim Iss dan Itt adalah sama, jika yang satu memberikan nilai maksimum, maka yang lain akan memberikan nilai minimum. Kedua, terdapat dua buah sudut yang saling tegak lurus θ1 dan θ2 = θ1 + π/2, dimana nilai Ist = 0, dimana berlaku :

⎛ ⎝

tan 2θ1

= tan2 ⎜ θ1 +

=

−

2Ixy Ixx

− Iyy

π ⎞ ⎟ 2 ⎠

(3.36)

Sudut rotasi ini menghasilkan sumbu utama yang mempunyai nilai momen inersia ekstrim atau disebut momen inersia utama yang terdiri dari nilai maksimum (I1) dan nilai minimum (I2) masingmasing : I1 =

I2 =

Ixx

+ Iyy 2

Ixx

+ Iyy 2

2

⎛ I − I ⎞ + ⎜⎜ xx yy ⎟⎟ + Ixy 2 ⎝ 2 ⎠

(3.37)

2

⎛ I − I ⎞ + ⎜⎜ xx yy ⎟⎟ + Ixy 2 ⎝ 2 ⎠

(3.38)

Ketiga, terdapat dua buah sudut yang saling tegak lurus, dimana momen inersia sentrifugal Ixy o

mencapai nilai ekstrim. Arah sumbunya membentuk sudut 45 dari sumbu utama dan nilai-nilai ekstrim dari Ixy dapat dihitung dengan : Ixy =

1 2

± (Ixx − Iyy )

(3.39)

Sedangkan besarnya momen inersia pada sudut ini adalah : Iss = Itt =

Ixx + Iyy 2

(3.40)

Untuk mendapatkan arah sumbu dan momen inersia utama, dapat dicari dengan cara grafis menggunakan lingkaran Mohr. HENCE MICHAEL WUATEN


42

CHAPTER 03

Dari persamaan dasar momen inersia yang mengacu pada sumbu st atau persamaan (3.28) sampai persamaan (3.29) didapatkan : Iss = =

Ist = =

Ixx − Iyy 2 Ixx

− Iyy 2

cos 2θ − Ixy sin 2θ

(3.41)

sin 2θ + Ixy cos 2θ

(3.42)

Ixx − Iyy 2 Ixx

− Iyy 2

Selanjutnya

dengan

mengkuadratkan

kedua

persamaan

di

atas,

kemudian

dengan

menjumlahkan keduanya, maka akan diperoleh persamaan : 2

2

I − I ⎞ ⎛ I − I ⎞ ⎛ ⎜⎜ Iss − xx yy ⎟⎟ + Ist 2 = ⎜⎜ xx yy ⎟⎟ + Ixy 2 2 ⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠

(3.43)

Dalam persamaan di atas nilai Ixx, Iyy dan Ixy merupakan besaran yang telah diketahui, sedangkan Iss dan Ist dalam bentuk variabel. Selain itu, persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan lingkaran sebagai berikut : 2

2

2

(Iss +a) + Ist = b

(3.44)

Dimana : a =

Ixx + Iyy

(3.45)

2 2

⎛ Ixx − Iyy ⎞ ⎟⎟ + Ixy 2 b = ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ 2

(3.46)

Persamaan ini adalah persamaan sebuah lingkaran dengan sumbu Iss dan Ist yang mempunyai koordinat titik pusat lingkaran (a, 0) dan jari-jari b. Sembarang titik pada lingkaran mempunyai ordinat momen inersia sentrifugal Ist dan absis lingkaran Iss seperti dalam gambar di bawah ini. Adapun langkah-langkah penggambaran lingkaran Mohr adalah sebagi berikut : 1. Membuat sumbu vertikal Ixx dan horisontal Iyy. 2. Menentukan titik C dengan koordinat (a, 0) sebagai pusat lingkaran. 3. Menentukan titik C sebagai titik pusat dan membuat lingkaran dengan jari-jari b. 4. Perpotongan lingkaran dengan absis memberikan nilai momen inersia ekstrim I1 atau nilai maksimum yang berada di sebelah kanan dan nilai momen inersia ekstrim I2 atau nilai minimum yang berada di sebelah kiri. 5. Membuat titik A dan B pada lingkaran dengan koordinat masing-masing Ixx, Ixy dan Iyy, -Ixy. o

Titik A menunjukan besaran momen inersia dengan sudut rotasi θ = 0 dan pada titik ini nilai Iss = Ixx dan Ist = Ixy. Jika AA’/CA’ = I xy.[( Ixx – Iyy)/2], maka sudut ACA’ sama dengan 2θ1. Untuk lebih jelasnya mengenai langkah-langkah lingkaran Mohr, dapat melihat gambar di bawah ini.



43

CHAPTER 03

I xy ,I st Ist,maks

A(I xx ,I xy )

2θ1

θ1

I2

I1

I xx ,I yy ,I ss , I tt

B(I yy ,−I xy ) Ist,min

Ixx

− I yy

2

Ixx

− Iyy

2

Gambar 3.7 Lingkaran Mohr untuk menentukan arah sumbu dan momen inersia utama

3.3.6 Jari-jari Girasi Jari-jari girasi (radius of giration) adalah akar kuadrat dari momen inersia dibagi dengan luar bidang atau dapat dituliskan dalam bentuk persamaan terhadap sumbu x dan y sebagai berikut : r x =

r y =

Ixx A Iyy A

(3.47)

(3.48)

Jari-jari girasi menunjukan letak suatu titik terhadap sumbu yang melalui titik erat, dimana seluruh luas dapat dipusatkan dan akan memberikan nilai momen inersia yang sama terhadap sumbu.

Contoh 3.1 : Diketahui sebuah balok dengan penampang berbentuk I seperti tergambar di bawah ini. Apabila diketahui dimensi penampang dengan lebar (bf ) = 15 cm, tinggi badan (hw) = 40 cm, tebal sayap atas (t1) = 3 cm, tebal badan (t2) = 2 cm dan tebal sayap bawah (t3) = 5 cm. Hitunglah luas penampang dan titik berat pada penampang tersebut ! Penyelesaian : Untuk memudahkan maka penampang dibagi menjadi tiga bagian yaitu, sayap atas, badan dan sayap bawah.



44

CHAPTER 03

y bf

t1

hw

yo t3 x

t2

Gambar 3.8 Contoh kasus penampang I

Luas penampang (A) : 3

A =

∑ A

i

i =1

= (bf × t1) + (hw × t2) + (bf × t3) = (15 × 3) + (40 × 2) + (15 × 5) = 45 + 80 + 75 2

= 200 cm

Momen statis terhadap sumbu x : 3

Sx =

∑ A .y i

i

i =1

= [(bf × t1).(1/2.t1 + hw + t3)] + [(hw × t2).(1/2.hw + t3)] + [(bf × t3).(1/2.t3)] = [(15 × 3).(1/2.3 + 40 + 5)] + [(40 × 2).(1/2.40 + 5)] + [(15 × 5).(1/2.5)] = (45 × 46,5) + (80 × 25) + (75 × 2,5) = 2092,5 + 2000 + 187,5 3

= 4280 cm

Momen statis terhadap sumbu y : 3

Sy =

∑ A .x i

i

i =1

= [(bf × t1).(1/2.bf )] + [(hw × t2).(1/2.bf )] + [(bf × t3).(1/2.bf )] = [(15 × 3).(1/2.15)] + [(40 × 2).(1/2.15)] + [(15 × 5).(1/2.15)] = (45 × 7,5) + (80 × 7,5) + (75 × 7,5) = 337,5 + 600 + 562,5 3

= 1500 cm



45

CHAPTER 03

Letak titik pusat berat penampang terhadap sumbu x : 3

y0 =

Sx A

∑ A .x i

=

i

i =1 3

∑ A

i

i =1

=

4280 200

= 21,40 cm Letak titik pusat berat penampang terhadap sumbu y : 3

x0 =

Sy A

∑ A .y i

=

i

i =1 3

∑ A

i

i =1

=

1500 200

= 7,50 cm

Contoh 3.2 : Diketahui sebuah balok dengan penampang berbentuk persegi seperti tergambar di bawah ini. Apabila diketahui dimensi penampang lebar b dan tinggi h, maka hitunglah momen inersia sebuah potongan berbentuk bujur sangkar terhadap sumbu xy dengan titik pangkal pada salah satu sudutnya. Tentukan juga momen inersia terhadap sumbu ξη yang melalui titik berat potongan tersebut !

Gambar 3.9 Contoh kasus penampang persegi panjang

Penyelesaian : Karena potongan simetris, maka letak titik berat adalah ½.h dari sisi bawah dan ½.b dari sisi kiri. HENCE MICHAEL WUATEN


46

CHAPTER 03

Momen inersia terhadap sumbu xy : Ixx =

∫ y .dA 2

b h

=

A

Iyy =

∫ ∫

=

1 .b.h3 3

x 2 .dx.dy =

1 3 .x .y 3

=

1 3 .b .h 3

xy.dx.dy =

1 2 2 .x .y = 4

2

0 0 b h

2

x .dA =

A

Ixy =

1 3 .y .x 3

∫∫ y .dx.dy = ∫∫ 0 0 b h

xy.dA

=

A

∫∫ 0 0

1 2 2 .b .h 4

Momen inersia terhadap sumbu ηξ melalui titik berat penampang : =

1 .b.h3 3

2

=

1 3 ⎛ 1 ⎞ .b .h − ⎜ .b ⎟ .b.h 3 ⎝ 2 ⎠

=

1 2 2 .b .h 4

→ Iξξ = Ixx – b .A

Iyy = Iηη + a .A

2

→

Ixy = Iξη + a.b.A

→ Iξη = Ixy – a.b.A

Ixx = Iξξ + b .A

2

⎛ 1 ⎞ − ⎜ .h ⎟ .b.h ⎝ 2 ⎠

2

2

=

1 .b.h3 12

=

1 3 .b .h 12

2

Iηη = Iyy – a .A

1 2

1 2

− .a. b.b.h = 0

Soal Latihan : Hitunglah besarnya momen inersia Ixx, I yy, I xy terhadap sumbu yang melalui titik berat potongan seperti tergambar di bawah ini. Tentukanlah orentasi sumbu-sumbu serta besarnya momen inersia utama dari potongan tersebut !

Gambar 3.10 Soal latihan kasus penampang beserta sumbu-sumbunya

3.4

Momen Plastis Tampang dan Fakto r Bentuk Hubungan momen dan kelengkungan (moment curvature relationship) juga merupakan hal

yang penting dalam teori plastis. Dimana, pada saat terjadi sendi plastis maka struktur akan berotasi dengan tidak tentu, sehingga dengan mengetahui besarnya hubungan momen kelengkungan, maka momen plastis pada penampang dapat dihitung. HENCE MICHAEL WUATEN


47

CHAPTER 03

Selain itu, besarnya momen plastis suatu tampang baja dapat diperhitungkan secara langsung pada setiap penampang dan tergantung dari bentuk penampang tersebut. Secara umum perhitungan momen platis (Mp) pada penampang dihitung berdasarkan persamaan sebagai berikut : Mp

= z.f y

(3.49)

Dimana : z

= modulus plastis tampang

f y

= tegangan leleh baja

Besarnya nilai z dapat dihitung dengan memperhatikan letak garis netral yang membagi suatu tampang menjadi dua bagian dengan luasan yang sama besar, selanjutnya dihitung jarak dari luasan daerah yang dibagi tersebut.

3.4.1 Penampang Segi Emp at Pada sebuah penampang persegi, momen plastis yang terjadi dapat dihitung berdasarkan kondisi seperti pada gambar di bawah ini.

Gambar 3.11 Momen plastis pada penampang persegi

Dari gambar di atas terlihat, bahwa sumbu netral untuk penampang berjarak d adalah sebesar d/2, baik di tinjau dari serat atas atau serat bahwa penampang tersebut. Selanjutnya, berdasarkan pada distribusi tegangan akibat lentur dengan mengabaikan pengaruh aksial dan lintang maka keseimbangan secara horisontal dapat ditulis dengan persamaan : C = T

(3.50)

Dimana : C = resultan gaya tekan di atas garis netral. T = resultan gaya taik di bawah garis netral. Sehingga, untuk penampang segi empat diperoleh : C = T = b.d

σy 2

(3.51)

Dimana besarnya momen dalam sama dengan hasil kali antara resultan gaya tekan (C) terhadap jarak dari titik tangkap gaya tekan ke titik tangkap gaya tarik (T), sehingga besarnya sama



48

CHAPTER 03

dengan C.d/2. Selanjutnya berdasarkan persamaan keseimbangan yang menetapkan bahwa besarnya momen luar (Mp) sama dengan momen dalam, diperoleh : Mp = C. =

d 2

b.d

σy 4

(3.52)

Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi : Mp = z.σy

(3.53)

Sedangkan untuk nilai faktor bentuk adalah :

υ = z/S = 1,5

(3.54)

3.4.2 Penampang I Penampang berbentuk I pada umumnya banyak digunakan sebagai salah satu dari komponen struktur dan penampang ini sendiri mempunyai dua sumbu yaitu x dan y. Untuk mempermudah dalam proses perhitungan biasanya dibagi menjadi empat buah persegi panjang yang selanjutnya dianalisis secara terpisah dan kemudian hasilnya digabungkan untuk memperoleh hasil total penampang I. y tw tf

tf

hw

x

d

hw

tf

d

tf

bf

bf Gambar 3.12 Penampang I

Untuk bagian sayap 1 dan 2 pada gambar di atas, luas bidang tekan dan tarik adalah sebesar 2.bf .tf , sehingga modulus plastisnya adalah bf.tf (d – tf ). Sedangkan untuk bagian badan 3 dan 4 luas 2

bidang tarik dan tekan sebesar tw.(d – 2.tf ) dan modulus plastisnya tw(d – 2.tf ) /4. Sehingga, penjumlahan dari kedua hasil tersebut akan memperoleh modulus plastis untuk seluruh penampang. Dengan demikian persamaan momen inersia penampang I dapat ditulis dalam bentuk : Ix =

1 (b f .d3 ) − (b f − t w )(d − 2.t f )3 12

[

(

)]

(3.55)

Atau persamaan di atas, dapat ditulis dalam bentuk lain :



49

CHAPTER 03

Ix =

1 (b f .d3 ) − (b f − t w )(h w )3 12

[

)]

(

(3.56)

Modulus plastis penampang I : zx =

b f .t f (d − t f ) + t w

zy =

2 t b f . f

(d − 2.t f )2 4

(3.57)

2

t + (d − 2.t f ). w 2 4

(3.58)

Contoh 3.3 : Diketahui sebuah profil I dengan dimensi lebar sayap (bf ) = 20 cm, tebal sayap (tf ) = 2 cm, tebal badan (tw) = 1,5 cm dan tinggi badan (hw) = 20 cm. Hitunglah nilai momen plastis yang mampu dipikul oleh sebuah profil I tersebut, apabila mutu baja profil adalah BJ. 55 !

y tw tf

2

hw

x

d

tf

20

24

2

bf

20

Gambar 3.13 Contoh kasus profil I

Penyelesaian: Kondisi elastis untuk penampang persegi : Ix =

1 b.d3 12

Ix =

1 (b f .d3 ) − (b f − t w )(d − 2t f )3 12

=

=

=

[

(

)]

[(20.24 ) − ((20 − 1,5).20 )] 12 1

1 12 1 12

3

3

[(20.13824) − (18,5.8000)] [276480 − 148000] 4

= 10707 cm



50

CHAPTER 03

Sx =

= =

Ix y max 10707 12 3

892,25 cm

Kondisi plastis : Modulus plastis penampang I : zx =

b f t f (d − t f ) + t w

(d − 2t f )2 4

=

20.2( 24 − 2) + 1,5

=

20.2.22 + 1,5

=

880 + 1,5

=

880 + 150

(24 − 2.2)2 4

( 24 − 4)2 4

(20)2 4

3

= 1030 cm Faktor bentuk :

υ = =

zx Sx 1030 892,25

= 1,154 Mutu baja BJ 55 = 410 MPa My = S x .σl = 892,25 . 41 = 36582,25 KN.cm Mp = z x .σl = 1030.41 = 42230 KN.cm

Contoh 3.4 : Diketahui sebuah profil I dengan dimensi lebar sayap atas (b fa) = 20 cm, lebar sayap bawah (bfb) = 10 cm tebal sayap (tf ) = 2 cm, tebal badan (tw) = 1,5 cm dan tinggi badan (h w) = 20 cm. Hitunglah nilai momen plastis yang mampu dipikul oleh sebuah profil I tersebut, apabila mutu baja profil adalah BJ 37 !



51

CHAPTER 03

Gambar 3.14 Contoh kasus profil I panjang sayap berbeda

Penyelesaian: Profil dibagi menjadi tiga bagian persegi panjang, yaitu bagian sayap atas, sayap bawah dan badan profil. Keadaan elastis : Luas penampang masing-masing bagian : A1 = 2 x 20

2

= 40 cm

2

A2 = 1,5 x 20 = 30 cm A3 = 2 x 10

2

= 20 cm

Luas penampang total (AT) : AT = A1 + A2 + A3 = 40 + 30 + 20 2

= 90 cm

Letak garis netral terhadap sumbu x : y1 = 1/2.tfa = 1/2.2 = 1 cm y2 = tfa + 1/2.hw = 2 + 1/2.20 = 12 cm y3 = tfa + hw + 1/2.tfb = 2 + 20 + 1/2.2 = 23 cm Karena dimensi profil tidak simetris maka harus dicari letak garis netral elastis terhadap sumbu x.



52

CHAPTER 03

Letak garis netral elastis terhadap sumbu x : Yne=

= =

A 1.y1 + A 2 .y 2 + A 3 .y 3 A T 40.1 + 30.12 + 20.23 90

860 90

= 9,55 cm

Gambar 3.15 Daerah yang diarsir dikurangi dengan daerah yang tidak diarsir

Gambar 3.16 Daerah yang diarsir dikurangi dengan daerah yang tidak diarsir

3

Ix =

=

(b fa .yne ) + [b fb .( d − y ne )3 ] − [(b fa

− t w ).( y ne − t fa )3 ] − [(b fb − t w ).(d − t fb − y ne )3 ] 3

(20.9,55 3 ) + [10.( 24 − 9,55)3 ] − [( 20 − 1,5).(9,55 − 2)3 ] − [(10 − 1,5).( 24 − 2 − 9,55)3 ]



3

53

CHAPTER 03

= = = SX =

=

17419,6 + 30172 − 7961,83 − 16403,14 3 23226,63 3 4

7742,21 cm Ix D − yne 7742,21 24 − 9,55 3

= 535,79 cm

Keadaan plastis : Letak garis netral plastis :

⎡ A T ⎤ ⎢ 2 − b fa .t fa ⎥ ⎦ Ynp= 2 + ⎣ tw

Zx =

⎡ 90 ⎤ ⎢ 2 − 20.2⎥ ⎦ = 2+ ⎣ 1,5

= 5,33 cm

1 1 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡ ⎤ 2 2 ⎢⎣b fa .t fa .( y np − 2 t fa )⎥⎦ + 2 [t w ( y np − t fa ) ] + 2 [t w (d − y np − t fa ) ] + ⎢⎣b fb .t fb ( d − y np − 2 t fb )⎦⎥

=

⎡ ⎡ 1 ⎤ 1 1 1 ⎤ 2 2 ⎢20.2.(5,33 − 2 2)⎥ + 2 [1,5(5,33 − 2) ]+ 2 [1,5( 24 − 5,33 − 2) ]+ ⎢10.2(24 − 5,33 − 2 2)⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

[40.(5,33 − 1)] + 1 [1,5(3,33)2 ]+ 1 [1,5(16,67)2 ]+ [20(24 − 5,33 − 1)]

=

[40.4,33] + 1 [1,5.11,09] + 1 [1,5.277,89] + [20.17,67]

2

2

2

2

= 173,2 + 8,32 + 208,42 + 353,4 =

3

743,34 cm

Faktor bentuk :

υ = =

Zx Sx 743,34 535,79

= 1,387

Momen plastis penampang : Mutu baja BJ 37 = 240 MPa Mp =

Z x .σl

= 743,34.24 = 17840,16 KN.cm Selanjutnya untuk nilai modulus plastis dan faktor bentuk dari berbagai jenis bentuk penampang dapat dilihat dalam tabel di bawah ini.



54

CHAPTER 03

Tabel 3.1 Modulus plastis dan faktor bentuk berbagai penampang Penampang

Modulus Plastis

Faktor Bentuk

Segi Empat 2

b.d /4

d

1,5

b Segi Empat Berlubang T d

1,18 2

b.T(d – T) + ½ T(d – 2T)

Untuk b=d T = 0,05.d

b Segi Empat Diagonal d

b.d /12

2

2,0

3

16/3 π = 1,7

b Lingkaran d /6

Lingkaran Berlubang T

1,34 3

3

1/6.d (1 – (1 – 2T/d) )

Untuk T = 0,005 d

T << d

4/π = 1,27 Untuk T << d

Penampang I



Sumbu xx ada rumus

Berkisar 1,14

Sumbu yy ada rumus

Berkisar 1,60

55

CHAPTER 04

4.1

Pendahuluan Mekanika bahan merupakan bagian dari ilmu mekanika terapan yang membahas tentang

kekakuan dari benda-benda padat ataupun pejal akibat beban luar atau pembebanan yang bekerja pada benda tersebut. Dalam beberapa buku teks lain, mekanika bahan dikenal dengan nama kekuatan bahan (strength of materials) dan mekanika benda terdeformasi (mechanics of deformable bodies). Tujuan dari mempelajari Mekanika bahan adalah agar dapat mengetahui sifat-sifat dari bahan yang akan digunakan dalam mendesain konstruksi, baik dari segi keamanan dan kekuatan bahan itu sendiri. Sejarah mengenai mekanika bahan dan pengembangannya merupakan suatu perpaduan yang sangat menarik antara teori dan eksperimen yang telah dilakukan lama sebelumnya oleh para ilmuwan beberapa abad yang lalu. Penelitian dalam mekanika bahan dimulai sejak era Leonardo Da Vinci (1452 – 1519) dan Galileo Galilei (1564 – 1642) yang berhasil menentukan kekuatan kawat, batang dan balok melalui eksperimen, walaupun mereka tidak berhasil mengembangkan teori-teori yang memadai menurut ukuran sekarang yang dapat menjelaskan hasil pengamatan dan eksperimen dari mereka. Robert Hooke (1635 – 1703) adalah ilmuwan ternama dari Inggris yang berhasil sebagai orang pertama yang menyelidiki sifat-sifat elastis dari bahan, dengan cara menguji beraneka ragam bahan yang memiliki sifat demikian dengan mengukur regangan dari kawat-kawat panjang yang menyangga beban-beban tersebut dan memperhatikan pemanjangannya. Dimana menurut Hooke bahwa, pemanjangan yang terjadi selalu memperlihatkan perbandingan (proportion) terhadap berat beban yang bersangkutan yang menyebabkan pemanjangan-pemanjangan tersebut, sehingga dapat dikatakan bahwa Hooke berhasil membuktikan adanya hubungan linear antara beban-beban yang bekerja pada kawat dan pemanjangan yang dihasilkan. Leonhard Euler (1707 – 1783) yang berhasil menggunakan teori matematika pada kolom yang dalam hal ini adalah perhitungan beban kritis teoritis kolom yang kemudian menjadi dasar dari teori kolom (Column Theory) saat ini, walaupun sebelumnya banyak yang tidak menggunakan hasil penemuan dari Euler ini. Thomas Young (1773 – 1829) adalah ilmuwan asal Inggris yang memperkenalkan ide modulus elastisitas dalam penyelidikan terhadap tarik dan tekan pada batang prismatis. Walaupun modulus elastisitasnya tidak sama dengan yang digunakan pada saat ini karena hal tersebut menyangkut sifatsifat dari batang dan juga bahan baku yang digunakan. Simeon Denis Poisson (1781 – 1840) adalah seorang ilmuwan matematika dari Perancis yang mencoba menghitung angka ini dengan suatu teori molukuler dari bahan-bahan.



56

CHAPTER 04

4.2

Sifat Mekanis Bahan Setiap material atau bahan memiliki sifat-sifat mekanis yang berbeda-beda antara satu dengan

yang lainnya. Sifat-sifat mekanis dari bahan-bahan tersebut, dapat diketahui dengan melakukan pengujian terhadap sifat mekanis dari material tersebut. Ada beberapa sifat mekanis dari bahan yang dapat menjelaskan bagaimana reaksi dari bahan apabila dibebani dengan beban tertentu. Sifat-sifat mekanis bahan antara lain : 1. Kekakuan (stiffness) Kekakuan adalah sifat bahan yang mampu renggang pada tegangan yang tinggi tanpa diikuti adanya regangan yang besar atau merupakan ketahanan bahan terhadap deformasi. Kekakuan merupakan fungsi dari modulus elastisitas bahan (E), sehingga material dengan nilai modulus elastisitas yang tinggi akan mengalami deformasi yang lebih kecil terhadap beban atau mempunyai nilai kekakuan yang tinggi dibandingkan dengan bahan dengan nilai modulus elastisitas yang lebih rendah. 2. Kekuatan (strength) Kekuatan adalah sifat bahan yang ditentukan oleh tegangan yang paling besar dari bahan yang mampu renggang sebelum mengalami kerusakan. Kekuatan bahan dapat didefinisikan oleh batas proporsional sampai tegangan maksimum dari sebuah bahan. Namun tidak ada satu nilai yang dapat mendefinisikannya, karena perilaku bahan sangat tergantung pada beban dan sifat pembebanan yang bekerja. 3. Elastisitas (elasticity) Elastisitas adalah sifat bahan yang dapat kembali ke bentuk semula setelah mengalami pembebanan. Nilai elastisitas bahan sangat sulit untuk ditentukan secara tepat, sehingga nilai ini hanya dapat ditentukan berdasarkan batas elastisitasnya. 4. Keuletan (ductility) Keuletan atau keliatan adalah sifat bahan yang mampu mengalami deformasi akibat adanya beban yang bekerja, sebelum mengalami kerusakan. Dalam perencanaan struktur, elemen atau komponen struktur diharapkan direncanakan dengan sebuah tingkat daktalitas tertentu dengan tujuan untuk menjamin struktur tidak langsung mengalami gagal struktur (collapse) apabila menerima beban yang bekerja di luar kombinasi beban yang direncanakan. Struktur yang berperilaku liat pada umumnya apabila mengalami pembebanan pada batas-batas tertentu, akan menunjukan adanya tanda-tanda kerusakan yang dapat dijadikan sebagai peringatan untuk pembatasan beban yang bekerja pada suatu struktur tertentu. 5. Kegetasan (brittleness) Kegetasan merupakan sifat bahan yang menunjukan tidak terjadinya proses deformasi mekanisme plastis pada bahan tersebut, sehingga tidak terdapat tanda-tanda kerusakan melainkan bahan langsung mengalami kerusakan total atau patah. Dalam perencanaan elemen struktur, sifat getas bahan harus dibatasi sehingga elemen struktur tidak berperilaku getas. Pada umumnya, elemen struktur yang direncanakan getas apabila mengalami peningkatan beban dalam jumlah tertentu, akan langsung mengalami kerusakan total tanpa didahului dengan adanya tanda-tanda kerusakan seperti pada struktur daktail.



57

CHAPTER 04

6. Kelunakan (malleability) Kelunakan adalah sifat bahan yang mengalami deformasi plastis terhadap beban tekan yang bekerja sebelum mengalami kerusakan atau patah. 7. Ketangguhan (toughness) Ketangguhan adalah sifat bahan yang dapat menahan beban kejut dalam tingkat tinggi. Apabila sebuah bahan menerima beban kejut, maka sebagian beban akan diserap dan sebagian lagi akan dipindahkan. 8. Kelenturan (resilience) Kelenturan adalah sifat bahan yang mampu menerima beban kejut tingkat tinggi tanpa menimbulkan tegangan yang berlebih pada kondisi batas elastis. Hal ini menunjukan bahwa energi yang diserap selama proses pembebanan berlangsung disimpan dan dikeluarkan, apabila bahan tidak dibebani.

4.3

Tegangan dan Regangan Normal

4.3.1 Tegang an Normal Apabila terdapat sebuah batang prismatik yang dibebani oleh gaya-gaya aksial P pada ujungujung batang seperti dalam gambar di bawah ini, maka gaya-gaya aksial tersebut akan menimbulkan gaya tarik yang sama rata pada penampang batang, sehingga batang tersebut akan mengalami kondisi tarik (tension). Untuk kondisi sebaliknya, dimana gaya P yang bekerja menekan batang, maka batang tersebut akan mengalami kondisi tekan (compressive) .

Gambar 4.1 Batang prismatik yang mengalami tarik

Intesitas gaya yang bekerja pada batang prismatis di atas disebut dengan tegangan (stress) yang pada umumnya dinyatakan dengan notasi huruf Yunani σ (sigma). Dengan menganggap bahwa tegangan yang bekerja pada struktur atau elemen struktur, terdistribusi secara merata pada seluruh penampang batang, maka resultan yang terjadi sama dengan hasil perkalian anatara intensitas tegangan dengan luas penampang batang (A). Dengan demikian, secara umum persamaan untuk tegangan yang terjadi pada struktur atau elemen struktur tersebut, dapat dituliskan dalam bentuk :

σ =

P A

(4.1)

Dimana :

σ = tegangan yang terjadi pada penampang batang. P = gaya tarik atau tekan yang bekerja pada penampang batang. A = luas penampang batang. Apabila tegangan yang terjadi disebabkan oleh gaya tarik P, maka tegangan tersebut adalah tegangan tarik (tensile stress) tetapi, apabila arah gaya P dibalik dan menyebabkan batang mengalami tekan, maka tegangan yang terjadi adalah tegangan tekan(compresive stress).



58

CHAPTER 04

Karena tegangan yang bekerja dalam arah tegak lurus terpotong, maka tegangan yang terjadi berbentuk tegangan normal. Dengan demikian tegangan normal yang terjadi pada struktur atau elemen struktur dapat berupa tegangan tarik atau tegangan tekan.

4.3.2 Regang an Normal Apabila sebuah batang mengalami perubahan bentuk yang dalam hal ini berupa pertambahan ataupun pengurangan panjang, akibat beban tarik atau beban tekan yang bekerja pada batang tersebut, maka batang tersebut mengalami regangan (strain). Pada umumnya regangan dinyatakan dalam notasi huruf Yunani ε (epsilon). Pada gambar di bawah ini, terlihat sebuah batang BC yang mengalami beban aksial P pada luasan penampang batang (A). Akibat adanya beban aksial yang bekerja tersebut, maka batang BC mengalami pertambahan panjang sebesar (δ), sehingga regangan yang terjadi dapat dituliskan dalam bentuk persamaan :

ε =

δ L

(4.2)

Dimana :

δ = pertambahan atau pengurangan panjang. L = panjang batang sebelum mengalami regangan.

Gambar 4.2 Regangan normal pada batang BC (Beer et.al, 2002)

Apabila pada batang BC, terjadi peningkatan beban aksial sebesar 2P, maka regangan yang terjadi seperti dalam gambar di bawah ini, dapat dituliskan dalam bentuk persamaan :

σ = =

ε =

2P 2 A P A

δ L



59

CHAPTER 04

Gambar 4.3 Regangan pada batang BC akibat penambahan beban (Beer et.al, 2002)

Dengan perilaku yang sama, apabila beban aksial bekerja pada batang BC dengan panjang yang berbeda yaitu 2L, maka perpanjangan batang yang terjadi akibat beban P sebesar 2δ. Dengan demikian nilai regangan yang terjadi pada batang BC, dapat diekspresikan seperti dalam gambar dan persamaan di bawah ini :

σ = ε =

P A 2δ 2L

=

δ L

Gambar 4.4 Regangan pada batang BC dengan panjang 2L (Beer et.al, 2002)



60

CHAPTER 04

Berdasarkan kondisi-kondisi di atas, dapat disimpulkan bahwa bentuk regangan dan deformasi menunjukan adanya pengaruh perubahan panjang pada suatu material. Dimana material yang mengalami gaya tekan maupun tarik, akan mengalami perubahan panjang (δ). Pada beberapa material tertentu seperti karet misalnya, yang digunakan sebagai elastomer pada struktur jembatan atau gedung tahan gempa, apabila dibebani dengan beban yang kecil, maka deformasi yang terjadi akan cukup besar, berbeda dengan material lain seperti baja yang bersifat kaku, apabila menerima beban yang bernilai sama namun deformasi yang terjadi relatif lebih kecil. Selain itu, seperti halnya dengan tegangan, maka dalam regangan mengenal adanya konsep regangan tarik, apabila batang mengalami pertambahan panjang akibat gaya tarik P dan regangan tekan, apabila batang mengalami pengurangan panjang akibat gaya tekan P. Regangan (ε) disebut dengan regangan normal (normal strain) apabila berhubungan dengan tegangan normal (normal stress). Regangan normal merupakan perbandingan antara dua ukuran panjang, sehingga regangan merupakan besaran yang tidak berdimensi(dimension less quantity) dan dinyatakan sebagai bilangan murni yang tidak bergantung pada suatu sistem satuan apapun.

Contoh 4.1 : 2

Sebuah batang baja berdiameter 25 mm dengan panjang 3 meter, mengalami gaya tarik sebesar 40 kN. Apabila akibat gaya tarik tersebut, batang baja tersebut mengalami pertambahan panjang sebesar 1,2 mm maka hitunglah tegangan dan regangan tarik yang terjadi pada batang baja tersebut ! Penyelesaiaan : Tegangan pada batang :

σ = =

P A 40 × 103 0,25 × π × 252

= 81,4873 MPa Regangan pada batang :

ε = =

δ L 1,2 3000

= 0,0004

4.3.3 Diagram Tegangan dan Regangan Sifat-sifat mekanik dari material yang digunakan dalam bidang konstruksi, pada umumnya didapatkan berdasarkan hasil pengujian di laboraturium yang dilakukan pada spesimen contoh bahan tertentu yang mempunyai ukuran lebih kecil dari ukuran sebenarnya. Spesimen yang dibuat sebagai bahan contoh pengujian, biasanya menggunakan skala model atau berdasarkan standar yang berlaku.



61

CHAPTER 04

Pengujian material di laboraturium (materials testing) dilakukan dengan peralatan uji tertentu, yang mampu memberikan pembebanan pada spesimen contoh mewakili kondisi pembebanan yang sebenarnya. Agar hasil-hasil pengujian dapat dibandingkan dengan mudah, maka dimensi dari spesimen contoh dan metode pengujian yang digunakan, harus mengikuti standarisasi yang berlaku. Sebagai contoh standarisasi metode pengujian spesimen dalam dunia konstruksi telah diatur dalam Standar Nasional Indonesia (SNI) diantaranya, SNI 07-2529-1991 tentang metode pengujian kuat tarik baja beton, SNI 03-3399-1994 tentang metode pengujian kuat tarik kayu di laboratorium dan lain sebagainya.

Gambar 4.5 Contoh spesimen uji kuat tarik baja tulangan (Wuaten, 2007)

Gambar 4.6 Contoh alat uji kuat tarik baja tulangan (Wuaten, 2007)

Hasil pengujian dari material tertentu, pada umumnya akan dapat menggambarkan sifat-sifat mekanik dari material tersebut, yang diberikan dalam bentuk gambar diagram hubungan antara tegangan dan regangan. Selain itu, diagram tegangan dan regangan dapat memberikan informasi yang cukup lengkap mengenai perilaku material terhadap pembebanan, dimana akan dapat diketahui kapan material akan mencapai berbagai kondisi seperti leleh, putus, hancur dan lain sebagainya. Diagram tegangan dan regangan, dapat menunjukan sifat mekanik dari material yang sedang diuji, baik getas ataupun liat. Dalam bidang teknik sipil, perencanaan yang mengacu kepada penggunaan terhadap material yang bersifat getas harus dihindari, sehingga di beberapa metode perancangan



62

CHAPTER 04

selalu membatasi kemampuan material yang digunakan. Sebagai contoh, dalam perencanaan struktur beton bertulang, terjadi pembatasan luasan tulangan terpasang dengan hanya menggunakan 75% dari kondisi berimbangnya.

Gambar 4.7 Diagram tegangan regangan tipikal material liat dan getas (Beer et.al, 2002)

σ' c

σ' c

σ' c

σ' c

σ' c

f ' c

f 'c

f 'c

f ' c

f ' c

ε'

c

ε'cu

ε'

c

ε'cu

ε'

c

ε' cu

ε'c

ε'

ε'

cu

c

ε' cu

a = βc c

Gambar 4.8 Contoh diagram tegangan regangan beton dalam berbagai kondisi (Kusuma, 1993)

Pada gambar diagram hubungan tegangan regangan baja tulangan di bawah ini, dapat terlihat dengan jelas perilaku dari baja tulangan berdiameter D13 mm yang diuji tarik dan mengalami pembebanan. Dimana akibat adanya pembebanan, pada awalnya kemampuan baja menunjukan peningkatan tegangan yang bernilai linier elastis sampai pada suatu kondisi pembebanan tertentu. Akibat pertambahan beban, maka kemampuan baja akan mencapai kondisi leleh tetapi terus mengalami pertambahan tegangan seiring dengan terjadinya penambahan beban, sampai baja mencapai nilai tegangan maksimumnya. Setelah mencapai nilai tegangan maksimum, tegangan baja akan terus mengalami penurunan sampai baja mengalami kondisi putus akibat penambahan beban. Dalam tabel di bawah ini terdapat hasil pengujian kuat tarik baja tulangan diameter 13 mm. Pengujian dilakukan dengan menggunakan alat Universal Testing Machine dan dari hasil pengujian didapat data-data berupa beban tarik yang dibebankan dan pertambahan panjang batang yang terjadi pada spesimen. Data tersebut, kemudian diolah untuk mendapatkan nilai tegangan, regangan dan elastisitas, yang digambarkan dalam bentuk diagram tegangan regangan. HENCE MICHAEL WUATEN


63

CHAPTER 04

Tabel 4.1 Hasil pengujian tarik baja D-13 mm (Wuaten, 2007) Beban Tarik Lbs

Perpanjangan

Tegangan

Regangan

(mm)

(MPa)

(10 )

Newton

-3

Elastisitas

0

0,00

0

0,0000

0,000000

0,000

28

127,12

10

77,8241

0,198020

393011,507

45

204,30

20

125,0744

0.396040

315812,818

60

272.40

30

166,7658

0,594059

280722,505

75

340,50

40

208,4573

0.792079

263177,348

90

408,60

50

250,1488

0,990099

252650,255

106

481,24

60

294,6197

1,188119

247971.546

120

544,80

70

333,5317

1,386139

240619,290

134

608,36

80

372,4437

1,584158

235105,098

134

608,36

90

372,4437

1,782178

208982,309

145

658,30

100

403,0175

1,980198

203523,816

145

658,30

200

403,0175

3,960396

101761,908

145

658,30

300

403,0175

5,940594

67841,272

145

658,30

400

403,0175

7,920792

50880,954

146

662.84

500

405,7969

9,900990

40985,486

148

671,92

1000

411.3557

19,801980

20773,465

170

771,80

1500

472,5032

29,702970

15907,609

188

853,52

2000

522,5330

39,603960

13193,958

208

944,32

2500

578,1216

49,504950

11678,056

215

976,10

3000

597,5776

59,405941

10059,223

221

1003,34

3500

614,2542

69,306931

8862,811

225

1021,50

4000

625,3719

79,207921

7895,320

230

1044,20

4500

639,2691

89,108911

7174,020

231

1048,74

5000

642,0485

99,009901

6484,690

232

1053,28

5500

644,8279

108,910891

5920,693

232

1053,28

6000

644,8279

118,811881

5427,302

232

1053,28

6500

644.8279

128,712871

5009,817

232

1053,28

7000

644,8279

138,613861

4651,973

232

1053,28

7500

644,8279

148,514851

4341,841

232

1053,28

8000

644,8279

158,415842

4070,476

232

1053.28

8500

644,8279

168,316832

3831,037

231.5

1051,01

9000

643,4382

178,217822

3610,403

230.5

1046,47

9500

640,6588

188,118812

3405.607

229

1039,66

10000

636,4896

198,019802

3214,273

227

1030,58

10500

630,9308

207,920792

3034,477

217

985,18

11000

603,1365

217,821782

2768,945



Ket

Leleh

Maksimum

64

CHAPTER 04

Tabel 4.1 Lanjutan Beban Tarik

Perpanjangan

Tegangan

Regangan

Newton

(mm)

(MPa)

(10 )

215

976,10

11500

597,5776

227,722772

2624,145

212

962,48

12000

589,2393

237,623762

2479,715

203

921,62

12500

564,2244

247,524752

2279,467

197

894,38

13000

547,5479

257,425743

2127,013

188

853,52

13500

522,5330

267,326733

1954,660

176

799,04

14000

489,1798

277,227723

1764,541

Lbs

Elastisitas

-3

Ket

Putus

Diagram Tegangan-Rega ngan Baja Tulangan 700

600

500

) 2 m m / 400 N ( n a g n a 300 g e T

UT01 - D13

200

100

0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

Regangan ( )

Gambar 4.9 Diagram tegangan regangan hasil pengujian kuat tarik baja tulangan (Wuaten, 2007)

4.4

Elastis itas dan Plastis itas Dalam diagram tegangan-regangan yang telah dijelaskan sebelumnya, memperlihatkan sifat-

sifat mekanik dari material apabila dibebani secara statis dalam keadaan tarik maupun tekan. Apabila beban yang bekerja dihilangkan secara perlahan-lahan dan materialnya tidak dibebani, maka sifat bahan akan kembali ke bentuk aslinya seperti sebelum dibebani. Sifat material seperti ini, disebut dengan elastisitas (elasticity) dan materialnya sendiri disebut elastis (elastic). Sedangkan plastisitas (plasticity) adalah kondisi dimana sebuah material mengalami regangan yang tidak elastis di atas nilai batas regangan elastis. Perlakuan terhadap material yang berperilaku elastis dan plastis sangat berbeda, sehingga perlu bagi para engineer untuk memahami sifat material dan metode perancangan yang sesuai dengan sifat materal tersebut. Pada umumnya, hampir sebagian besar material konstruksi mempunyai kondisi awal (initial condition) berada pada daerah diagram tegangan-regangan yang berperilaku elastis dan linier. Sebagai contoh pada gambar diagram hubungan tegangan-regangan baja, daerah yang bersifat elastis dan linier dinyatakan dengan garis lurus seperti dalam gambar bawah ini. HENCE MICHAEL WUATEN


65

CHAPTER 04

σ σ' f

σu σ f

σy σpl 1

2

3

4

ε

Gambar 4.10 Hubungan tegangan-regangan penampang baja

Gambar 4.11 Diagram hubungan tegangan-regangan pada baja dan aluminium (Beer et.al, 2002)

Dari gambar di atas terlihat bahwa pada bagian satu merupakan garis lurus dan menyatakan daerah linier elastis (elastic region). Pada daerah ini, kemiringan garis menyatakan besarnya nilai modulus elastisitas (Young modulus). Pada bagian dua yang berupa garis mendatar menyatakan daerah leleh (yield), dimana tegangan yang terjadi dapat dianggap konstan. Pada bagian tiga adalah daerah strain hardening, dimana terjadi kenaikan tegangan sampai mencapai nilai tegangan maksimum. Sedangkan pada bagian empat adalah daerah dimana tegangan yang telah mencapai tegangan maksimum mengalami penurunan sampai putus (neckling). Besarnya regangan dan tegangan pada setiap daerah tersebut sangat dipengaruhi oleh mutu baja yang ditentukan oleh besarnya kandungan karbon (C). Apabila kandungan karbon dalam baja tersebut rendah, maka besarnya tegangan leleh juga akan rendah, tetapi panjang daerah leleh dan strain hardening akan lebih panjang. Sebaliknya apabila kandungan karbon cukup tinggi maka panjangnya daerah leleh dan strain hardening akan semakin pendek.



66

CHAPTER 04

4.4.1 Huk um Hooke Pada umumnya hampir sebagian besar material konstruksi, menunjukan adanya hubungan antara tegangan dan regangan. Dimana untuk setiap terjadinya peningkatan nilai tegangan, akan diikuti dengan naiknya nilai regangan yang sebanding, sebelum material tersebut mencapai nilai tegangan maksimum. Apabila nilai tegangan, pada suatu material tertentu telah mencapai nilai tegangan maksimum, maka hubungan yang terjadi antara tegangan dan regangan tidak lagi proporsional antara satu dengan yang lainnya. Pada suatu material yang berperilaku elastis dan memperlihatkan suatu hubungan yang linier antara tegangan dan regangan, maka kondisi ini disebut dengan elastis linier. Pada umumnya hampir semua material konstruksi padat berperilaku elastis linier seperti logam, kayu, beton, plastik dan keramik. Hubungan linier antara tegangan dan regangan untuk suatu batang yang mengalami tekan atau tarik yang sederhana, dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan :

σ = E . ε ε =

σ E

(4.3) (4.4)

Dimana : E = adalah suatu konstanta pembanding yang disebut dengan modulus elastisitas.

ε = regangan. Persamaan di atas ditemukan oleh Robert Hooke (1635 – 1703) pada tahun 1687, seorang ilmuwan dari Inggris yang pertama kali menyelidiki sifat-sifat elastis dari beraneka ragam bahan seperti, logam, kayu dan tulang. Dengan demikian persamaan hubungan linier antara tegangan dan regangan untuk suatu batang yang mengalami tekan atau tarik tersebut, dikenal dengan nama Hukum Hooke (Hooke Law).

4.4.2 Modulus Young Modulus elastistas (modulus of elasticity) adalah kemiringan dari diagram tegangan-regangan dalam daerah elastis linier dan harganya bergantung pada material tertentu yang digunakan dan dapat dituliskan dalam bentuk persamaan : E =

σ ε

(4.5)

Modulus elastisitas sering disebut juga dengan nama modulus Young (Young’s Modulus). Hal ini dilakukan untuk menghargai jasa-jasa ilmuwan asal Inggris Thomas Young (1773 – 1829) yang dalam penelitiannya terhadap kondisi batang-batang prismatis akibat bekerjanya beban tarik dan tekan, memperkenalkan ide modulus elastisitas.

4.4.3 Deformasi Akibat Beban Aks ial Akibat bekerjanya beban aksial, maka penampang material akan mengalami tegangan dan regangan yang menyebabkan terjadinya pertambahan atau pengurangan panjang sebesar δ atau disebut dengan deformasi.



67

CHAPTER 04

Dalam kondisi seperti gambar di bawah ini, deformasi yang terjadi merupakan kombinasi dari hubungan antara tegangan dan regangan berdasarkan hukum Hooke’s dimana :

σ = E.ε



ε =

σ E



δ =

PL AE

Untuk berbagai variasi kombinasi pembebanan aksial, nilai deformasi yang terjadi pada sebuah penampang dapat dituliskan dalam bentuk :

δ =

∑ AP ..LE i

i

i

i

(4.6)

i

Gambar 4.12 Deformasi akibat beban aksial (Beer et.al, 2002)

Contoh 4.2 : Diketahui sebuah batang kaku BDE seperti tergambar di bawah ini, didukung oleh dua buah batang lainnya AB dan CD. Apabila diketahui batang AB terbuat dari aluminium dengan modulus 2

elastasistas bahan (E) sebesar 70 GPa dan luas penampang batang (A) sebesar 500 mm . Sedangkan batang BC terbuat dari baja dengan modulus elastasistas bahan (E) sebesar 200 GPa 2

dan luas penampang batang (A) sebesar 600 mm . Apabila gaya yang bekerja sebesar 30 kN, maka tentukanlah defleksi yang terjadi di titik B dan D !

Gambar 4.13 Deformasi akibat beban aksial (Beer et.al, 2002)



68

CHAPTER 04

Penyelesaian : Perhitungan freebody batang BDE :

ΣMB = 0

ΣMD = 0

30 × 0,60 – FCD × 0,20 = 0

30 × 0,40 + F AB × 0,20 = 0

18 – FCD × 0,20 = 0

12 + F AB × 0,20 = 0

FCD

=

−18 − 0,20

F AB

= 90 kN

=

−12 0,20

= - 60 kN

Gambar 4.14 Reaksi pada batang BDE (Beer et.al, 2002)

Perhitungan displacement di titik B dan D :

δB = =

F AB .L A.E ( −60 × 103 ).0,30 (500 × 10 − 6 ).(70 × 109 ) -6

= - 514.10 m = 0,514 mm ↑

δD = =

FCD .L A.E (90 × 103 ).0,40 (600 × 10− 6 ).(200 × 109 ) -6

= 300.10 m = 0,300 mm ↓

Gambar 4.15 Displacement pada titik B dan D (Beer et.al, 2002) HENCE MICHAEL WUATEN


69

CHAPTER 04

4.4.4 Angk a Poisso n Apabila sebuah batang prismatik dibebani dalam keadaaan tarik, maka pemanjangan aksial yang terjadi pada batang tersebut, diikuti dengan kontraksi lateral (lateral contraction) yang bekerja tegak lurus terhadap arah bekerjanya beban. Apabila terdapat material yang homogen dan isotropik, maka regangan lateral yang terjadi akan sebanding tegangan aksial yang bekerja. Material homogen adalah material yang memiliki komposisi yang sama di seluruh penampang badan, sehingga sifat-sifat elastisnya sama pada semua titik-titik di penampang badan. Sedangkan material disebut dengan isotropik, apabila mempunyai sifat-sifat elastik yang sama dalam semua arah. Dengan demikian bahan yang homogen dan isotropik menghasilkan regangan-regangan pada suatu penampang batang dalam kondisi tarik yang sama di semua titik pada penampang batang tersebut. Perbandingan antara regangan dan tegangan dalam arah lateral dan arah sumbu disebut dengan angka Poisson(Poisson ratio’s) dan nyatakan dengan notasi dalam huruf Yunani ν (nu), serta dapat dituliskan dalam bentuk :

ν =

regangan − lateral regangan − aksial

(4.7)

Untuk batang dalam keadaan tarik, regangan lateral yang terjadi menyatakan suatu penurunan lebar dalam ukuran lebar (regangan negatif) dan regangan aksial menyatakan perpanjangan (regangan positif). Sedangkan untuk kondisi batang dalam keadaan tekan, kondisi yang terjadi adalah sebaliknya. Angka Poisson diberikan untuk menghargai jasa-jasa seorang ilmuwan matematika asal Perancis, Simeon Denis Poisson (1781 – 1840) yang mencoba menghitung angka ini dengan sebuah teori molekular dari beberapa bahan.

Gambar 4.16 Perubahan bentuk pada struktur (Beer et.al, 2002) Untuk bahan yang bersifat isotropik Poisson mendapat nilai ν sebesar 0,25 dan 0,33. Untuk beberapa harga nilai pembanding Poisson dari material dalam keadaan elastis linier dapat dilihat dalam tabel di bawah ini.



70

CHAPTER 04

Tabel 4.2 Nilai angka Poisson Bahan

Angka Poiss on ( )

Aluminium murni

0,33

Kuningan

0,34

Perunggu

0,34

Besi Tuang

0,20 – 0,30

Beton

0,10 – 0,20

Baja

0,27 – 0,30

Kaca

0,20 – 0,27

4.4.5 General Hooke’s Law Pada struktur tiga dimensi atau struktur yang mengalami kombinasi beban dari tiga arah, komponen regangan normal dihasilkan dari nilai komponen tegangan berdasarkan prinsip superposisi. Dimana dalam prinsip ini berlaku ketentuan bahwa, nilai regangan yang terjadi bersifat linier terhadap nilai tegangan yang terjadi dan deformasi yang terjadi bernilai kecil. Pada gambar di bawah ini, terdapat sebuah struktur tiga dimensi yang kemudian dibebani beban aksial dari tiga arah. Akibat pola pembebanan tersebut maka, pada struktur tersebut akan timbul regangan dalam arah x, y dan z yang dapat ditulis dalam bentuk :

εx = +

σx

εy = −

νσ x

εz = −

νσ x

E

−

E

E

νσ y

+ −

E

σy E

−

νσ z

−

νσ z

νσ y E

E

+

E

σz E

Gambar 4.17 General Hooke’s Law pada struktur tiga dimensi (Beer et.al, 2002)



71

CHAPTER 04

4.5

Tegangan dan Regangan Geser

4.5.1 Tegangan Geser Tegangan geser adalah tegangan yang bekerja sejajar atau menyinggung

permukaan dan

diberi notasi dengan huruf Yunani τ (tau). Tegangan geser dapat terjadi apabila terdapat gaya geser yang bekerja pada sebuah penampang batang. Pada gambar di bawah ini terlihat sebuah struktur sambungan baut tunggal yang mengalami gaya geser sebesar F.

Gambar 4.18 Gaya geser pada baut (Beer et.al, 2002)

Akibat gaya geser sebesar F yang bekerja pada baut, maka tegangan geser rata-rata yang terjadi dapat diperoleh dengan cara membagi gaya geser total (F) yang bekerja dengan luas penampang (A) baut yang menerima geser atau dapat dituliskan dalam bentuk persamaan :

τrata

=

F A

(4.8)

Geser yang terjadi dapat berupa geser langsung (direct shear) dan geser murni (pure shear). Geser langsung dapat terjadi apabila tegangan geser diciptakan oleh suatu aksi langsung dari gayagaya yang bekerja dengan memotong batang atau penampang. Pada struktur, geser langsung dapat terjadi pada detail sambungan paku, baut, paku keling las dan lain sebagainya. Geser murni dapat terjadi pada struktur atau elemen struktur yang hanya menerima gaya geser saja. Akibat adanya aksi tegangan-tegangan

geser

menyebabkan

terjadinya

perubahan

bentuk

material

sehingga

menghasilkan regangan-regangan geser (shear strain) pada struktur atau elemen struktur. Untuk material yang berperilaku elastis linier, tegangan geser yang terjadi berbanding lurus dengan regangan gesernya, sehingga Hukum Hooke untuk kondisi geser dapat digambarkan dalam bentuk :

τ = G.γ

(4.9)

Dimana : G = modulus elastisitas geser (shear modulus elasticity).

γ = ukuran distorsi atau perubahan bentuk dari elemen (regangan geser). Pada kondisi struktur atau komponen struktur tiga dimensi tegangan geser yang terjadi dapat dituliskan dalam bentuk persamaan :

τxy = G.γxy

(4.10)

τyz = G.γyz

(4.11)

τzx = G.γzx

(4.12)



72

CHAPTER 04

Gambar 4.19 Tegangan pada struktur tiga dimensi (Beer et.al, 2002)

Hubungan antara modulus elastistas dalam keadan tarik dan geser dapat digambarkan dalam bentuk persamaan : G =

E 2(1 + ν )

(4.13)

Dimana : E = modulus elastisitas bahan.

ν = angka Poisson. 4.5.2 Regangan Geser Apabila sebuah beban tarik aksial bekerja pada sebuah benda, maka benda tersebut akan mengalami deformasi arah longitudinal atau terjadi perpanjangan. Demikian halnya apabila yang bekerja berupa beban tekan aksial, maka akan menyebabkan deformasi tekan dalam arah longitudinal sehingga terjadi pemendekan. Apabila yang bekerja pada suatu benda berupa gaya geser, maka akan mengakibatkan deformasi geser yang sama dengan arah gaya geser terebut bekerja. Deformasi ini, disebut dengan distorsi sudut (angular distortion). Dengan demikian regangan geser total adalah deformasi geser total dibagi dengan panjang batang L dan dapat dituliskan dalam bentuk persamaan :

εs

=

δs L

(4.14)

Sedangkan hubungan antara distorsi sudut dengan regangan geser, dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan : tan φ =

δs L

=

εs

(4.15)

Untuk sudut yang kecil, sudut tangensial pada umumnya sama dengan sudut yang dinyatakan dalam radian. Dimana satu radian adalah sudut yang dibentuk sedemikian sehingga panjang busur lingkaran, sama dengan panjang jari-jari lingkaran. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa sudut dalam radian adalah panjang busur dibagi dengan jari-jari lingkaran, sehingga sudut tangensial adalah sama dengan sudut dalam radian yang sangat mendekati regangan geser.



73

CHAPTER 04

4.5.3 Hubun gan Ant ara E,

dan G

Dalam ilustrasi di bawah ini, terdapat sebuah sebuah material persegi yang mengalami gaya aksial sebesar P dan P’. Akibat gaya aksial tersebut, pada benda mengalami perpanjangan searah dengan gaya aksial tersebut bekerja dan pada arah transversal bekerjanya gaya.

Gambar 4.20 Gaya aksial pada benda tegar (Beer et.al, 2002)

Akibat adanya gaya aksial yang menyebabkan terjadinya perubahan panjang pada material, maka terjadi regangan normal dan regangan geser normal pada material tersebut. Hubungan antara regangan normal dan regangan geser normal yang terjadi pada di atas, akibat adanya perubahan volume dan bentuk dapat digambarkan dalam persamaan : E = (1+ν) 2G

4.6

(4.20)

Pengaruh Panas Pada umumnya material konstruksi menunjukan adanya perubahan dimensional, apabila

dipengaruhi oleh temperatur. Untuk beberapa material tertentu, besaran perubahan dimensional tiap satuan perubahan temperatur adalah konstan pada rentang temperatur sedang dan kebanyakan material konstruksi berekspansi akibat adanya kenaikan temperatur dan berkontraksi akibat adanya penurunan temperatur. Pada umumnya, nilai standar perubahan dimensional tiap derajat perubahan temperatur untuk material konstruksi tertentu, diperoleh berdasarkan hasil pengujian di laboraturium. Nilai yang didapat ini, disebut dengan koefisien ekspansi termal linier (liniear coefficient of thermal expansion) yang dilambangkan dengan huruf Yunani kuno

α (alfa). Nilai α digunakan untuk mengukur perubahan

panjang per satuan panjang tiap derajat perubahan temperatur dan nilai ini, pada umumnya mengandung nilai numerik, tanpa mempermasalahkan satuan panjang yang digunakan. Satuan untuk nilai

α, pada umumnya dalam bentuk mm/mm/oC, dimana nilai C menunjukan derajat Celcius dalam

satuan SI. Apabila suatu material bebas untuk berekspansi atau berkontraksi akibat terjadinya variasi temperatur, maka kondisi ini pada umumnya akan diikuti dengan terjadinya tegangan pada material tersebut. Besar perubahan dimensional (δT) yang terjadi pada material akibat pengaruh termal dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan :

δT = α.L.(ΔT)

(4.16)

Dimana :

δT = perubahan total panjang (mm). HENCE MICHAEL WUATEN


74

CHAPTER 04

L = panjang awal benda uji (mm).

ΔT = perubahan temperatur (oC). Pada material yang direncanakan pada kondisi tertentu, untuk tahan terhadap terjadinya variasi temperatur, maka pada material tersebut akan timbul tegangan internal yang disebut dengan tegangan termal (thermal stress). Pada dasarnya, proses terjadinya tegangan termal dapat dilakukan dengan cara menganggap bahwa perubahan dimensional

δT yang terjadi karena perubahan

temperatur dihitung dengan persamaan di atas. Sedangkan apabila benda direncanakan agar gaya aksial P berfungsi untuk mengembalikan panjang semula pada kondisi semula akibat perubahan temperatur (δP), maka perubahan dimensional dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan :

δP =

PL AE

=

⎛ L ⎞ σs ⎜ ⎟ ⎝ E ⎠

(4.17)

Gambar 4.21 Tegangan pada struktur akibat pengaruh temperatur (Beer et.al, 2002) Apabila perubahan panjang total merupakan jumlah dari δP + δP = 0 maka :

⎛ L ⎞ α.L.(ΔT) + σ s ⎜ ⎟ = 0 ⎝ E ⎠ Apabila nilai gaya aksial P direncanakan berfungsi untuk mengembalikan panjang batang ke kondisi semula akibat perubahan temperatur, maka P dapat dituliskan dalam bentuk : P = –A.E. α.(ΔT)

(4.18)

Tegangan termal dapat ditulis dalam bentuk :

σs = E.α.(ΔT)

(4.19)

Dimana :

σs = tegangan termal akibat variasi temperatur (MPa). E = modulus elastisitas (MPa). HENCE MICHAEL WUATEN


75

CHAPTER 04

α = koefisien ekspansi termal (1/oC). ΔT = perubahan temperatur (oC). Contoh 4.3 : Diketahui sebuah batang baja ASTM A36 dengan panjang 2540 mm dan luas penampang 50 2

9

mm dengan modulus elastisitas (E) sebesar 207 × 10 Pa yang ditempatkan di antara dudukan kaku. o

Apabila pada temperatur 21 C baja tidak mengalami tegangan, maka hitunglah tegangan yang terjadi o

pada baja tulangan, apabila temperatur mengalami perubahan hingga -18 C dan batas proporsional baja sebesar 234 MPa ! Penyelesaian :

σs = E.α.(ΔT) 9

-6

o

o

= (207 × 10 Pa) . (11,7 × 10 m/m/ C). 39 C = 96,07 MPa Kontrol : 96,07 MPa > 234 MPa

4.7

 oke

Material Kompo sit Material komposit adalah material yang terdiri dari dua atau lebih kombinasi jenis material

dalam satu penampang. Pada umumnya material komposit digunakan untuk tujuan tertentu, dalam mengantisipasi kelemahan salasatu material terhadap sifat-sifat mekanik yang terjadi akibat gaya luar yang bekerja. Karena terdiri dari dua material yang berbeda, maka material komposit tidak bersifat homogen isotropic, melainkan non homogen anisotropic. Dalam dunia konstruksi, material komposit merupakan salasatu material yang sangat familiar dan sering digunakan sebagai pilihan desain. Sebagai contoh adalah kombinasi gelagar baja dan pelat lantai beton bertulang pada struktur jembatan ataupun struktur gedung. Selain itu, material komposit dapat terbuat dari bahan fiber, grafit, kaca maupun polimer. Akibat kondisi ini, maka perilaku mekanik yang terjadi pada material komposit merupakan kombinasi dari sifat mekanik masing-masing material-material tersebut, yang bekerja dalam satu penampang.

Beban

Lapisan material Beban

Gambar 4.22 Gaya aksial dan angka Poisson pada material komposit (Beer et.al, 2002) Tegangan dan regangan normal yang terjadi pada penampang komposit berdasarkan Hukum Hooke dan hubungannya dengan modulus elastisitas (E) material, dapat dituliskan dalam bentuk persamaan : HENCE MICHAEL WUATEN


76

CHAPTER 04

Ex =

σx εx

;

Ey =

σy εy

;

Ez =

σz εz

(4.21)

Sedangkan nilai kontraksi arah transvesal dalam hubungannya dengan angka Poisson, dapat dituliskan dalam bentuk :

νxy = −

4.8

εy ε ; νxz = − z εx εx

(4.22)

Prinsi p Saint Venant’s Apabila pada sebuah material pelat bekerja gaya-gaya dari luar, maka tegangan dan regangan

yang terjadi pada pelat tersebut, akan terdistribusi secara merata di semua bagian dari penampang pelat kecuali, pada titik penampang pelat dimana beban tersebut bekerja. Pada titik tersebut, tegangan yang dihasilkan lebih besar dibandingkan dengan tegangan yang terjadi di titik-titik lain pada penampang pelat.

Gambar 4.23 Penampang pelat yang mengalami gaya luar (Beer et.al, 2002)

Prinsip Saint Venant’s berbunyi bahwa tegangan yang terjadi dapat diasumsikan secara terpisah dalam analisa bentuk beban, termasuk aplikasinya untuk beban titik. Dari kondisi ini, maka konsentrasi tegangan yang terjadi berdasarkan prinsip Saint Venant’s, dapat dituliskan dalam bentuk persamaan : K =

σmax σave



(4.23)

77

CHAPTER 04

Gambar 4.24 Distribusi tegangan pada pelat yang akibat gaya luar (Beer et.al, 2002)

4.9

Faktor Keamanan dan Tegangan Ijin

4.9.1 Fakt or Keamanan Dalam proses desain terhadap suatu struktur, salasatu hal yang perlu untuk diperhatikan adalah kapasitas struktur atau elemen struktur dalam menerima ataupun menyalurkan beban-beban yang bekerja. Struktur dan elemen struktur sangat diharapkan untuk dapat menerima semua kombinasi beban yang bekerja sesuai dengan perencanaan, sehingga terhindar dari proses gagal struktur. Kemampuan suatu struktur dalam menerima beban yang bekerja disebut sebagai kekuatan struktur. Dimana kriteria mendesain kekuatan struktur adalah dengan memberikan kekuatan ekstra terhadap struktur yang dirancang terhadap beban sebenarnya yang bekerja pada struktur tersebut. Perbandingan antara kekuatan sebenarnya terhadap kekuatan yang dibutuhkan disebut dengan faktor keamanan (safety factor) dan diberi notasi n.

4.9.2 Tegang an Ijin Dalam praktek di lapangan banyak cara dan peraturan yang mengatur menganai faktor keamanan dari suatu struktur atau elemen struktur. Terdapat hal-hal lain yang juga harus diperhatikan dalam proses desain struktur dan elemen struktur yaitu, memperhatikan kondisi material agar tetap berada dalam kondisi elastis sehingga dapat mencegah terjadinya deformasi-deformasi yang bersifat permanen. Kondisi untuk membatasi tegangan yang bekerja pada struktur atau elemen struktur untuk tidak melewati nilai batas tertentu dari material tertentu, disebut dengan tegangan ijin (allowable stress) atau tegangan kerja (working stress) dan dapat dituliskan dalam bentuk :

σ =

σs n

(4.24)

Metode desain lain yang dapat digunakan untuk pembatasan nilai tegangan ijin adalah dengan menggunakan nilai tegangan ultimit (ultimate stress) dari material yang dapat digambarkan dalam bentuk persamaan :

σ =

σu n

(4.25)

Dimana :

σs = tegangan leleh. σu = tegangan ultimit. HENCE MICHAEL WUATEN


78

CHAPTER 05

5.1

Definisi Torsi atau puntir adalah aksi putar yang bekerja pada bidang tegak lurus sumbu material, yang

disebabkan oleh kopel atau momen putar pada material tersebut. Pada gambar di bawah ini, terlihat sebuah generator yang di putar oleh turbin sebuah mesin. Akibat adanya putaran mesin, maka menghasilkan rotasi yang menyebabkan mesin berputar. Pada bagian lain yang merupakan bagian sambungan di titik A dan B, timbul gaya torsi (torque) yang mempunyai arah gaya yang berlawanan dengan rotasi akibat putaran mesin.

Gambar 5.1 Torsi pada mesin (Beer et.al, 2002)

Untuk mendapatkan persamaan akibat torsi yang terjadi pada benda solid dan benda pejal, digunakan beberapa anggapan dasar yang berlaku di antaranya bahwa, penampang bulat akan tetap bulat, penampang bidang datar akan tetap dan tidak melengkung, proyeksi dari garis radial lurus terhadap penampang melintang di dalam penampang tetap lurus, poros dibebani dengan kopel puntir pada bidang yang tegak lurus sumbu poros dan tegangan yang terjadi tidak melebihi batas proporsional.



79

CHAPTER 05

5.2

Aplikasi Torsi Dalam Dunia Konstruk si Pada umumnya dalam proses perencanaan sebuah komponen struktur beton bertulang, pihak

perencana biasanya tidak terlalu merisaukan pengaruh torsi. Perhitungan struktur hanya dihitung terhadap beban momen lentur, gaya aksial dan geser. Namun permasalahannya adalah desain penampang ramping yang berkembang dan menjadi trend saat ini untuk memenuhi unsur estetika, sering menjadi sumber masalah pada komponen struktur beton bertulang, yaitu munculnya momen torsi yang cukup besar dan sangat berbahaya apabila hal ini diabaikan. Masalah torsi sering terjadi pada struktur balok gelagar yang mengalami puntir oleh balok transvesal dan pelat. Sedangkan pada struktur gedung, torsi dapat terjadi pada sisi pelat dan baloknya yang ditumpu oleh balok spandel yang membentang antara kolom-kolom eksterior. Pada struktur gedung yang mengalami gaya gempa atau lateral, gaya-gaya tersebut dapat menimbulkan beban torsi yang sangat riskan bagi strukturnya apabila tidak direncanakan terhadap beban torsi. Kasus seperti ini sering terjadi pada struktur gedung tidak beraturan (asimetris) dimana pusat massa gedung dan kekakuannya tidak berimpit. Dalam kasus lain, torsi dapat terjadi pada balok induk jembatan lengkung, tangga spiral, gelagar balkon atau pada titik dimana bekerja beban yang cukup besar, tetapi beban tidak bekerja pada pusat massa balok.

Gambar 5.2 Torsi dalam balok sprandel

Gambar 5.3 Beban eksentris yang menyebabkan torsi pada balok utama



80

CHAPTER 05

5.3

Tegangan Torsi

5.3.1 Tegangan Tors i Pada Penampang Bulat Pada gambar di bawah ini terlihat sebuah material dengan penampang lingkaran, dimana pada salasatu ujung mengalami putaran dan pada ujung lain mengalami beban torsi. Akibat kondisi tersebut, maka kopel yang ada tidak menyebabkan lentur, tarik ataupun tekan secara langsung, melainkan kondisi pembebanan ini menyebabkan terjadinya gaya geser murni pada setiap bidang luas penampang yang terletak antara kopel dan ujung tetap.

Gambar 5.4 Puntiran pada material penampang lingkaran (Beer et.al, 2002)

Pada material poros bulat solid gambar di bawah ini, apabila gaya torsi T bekerja pada ujung A dan B, maka gaya torsi yang bekerja dapat diekspresikan dalam bentuk : T = T =

∫ ρ.dF ∫ ρ.(τ.dF)

(5.1)

Dimana : T = adalah torsi tahanan yang merupakan jumlah torsi tahanan akibat beban diferensial dF.

ρ = jari-jari kelengkungan. Sedangkan tegangan geser yang terjadi berdasarkan hukum Hooke’s dapat digambarkan dalam bentuk persamaan :

τ = G.γ ⎛ Gθ ⎞ τ = ⎜ ⎟ρ ⎝ L ⎠

(5.2)

Gambar 5.5 Persamaan torsi (Beer et.al, 2002) Dengan memasukan nilai tegangan geser τ yang terjadi dari persamaan (5.2) ke dalam persamaan torsi dalam persamaan (5.1), maka selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk :



81

CHAPTER 05

T =

⎛ Gθ ⎞ ⎜ ⎟ ρ.dF ⎝ L ⎠

∫

(5.3)

Atau persamaan di atas, dapat ditulis dalam bentuk lain yang lebih sederhana, mengingat

∫ ρ.dF merupakan persamaan inersia polar dengan notasi J, sehingga menjadi : T =

⎛ Gθ ⎞ ⎜ ⎟J ⎝ L ⎠

(5.4)

Dimana nilai θ merupakan sudut puntir total yang terjadi pada penampang dan dapat ditulis dalam bentuk persamaan :

θ =

TL JG

(5.5)

dimana : T = gaya torsi yang bekerja pada penampang (N.m). 4

L = panjang poros solid (m ). J = momen inersia polar. G = modulus kekakuan material. Dengan mengganti perkalian Gθ/L dalam persamaan tegangan geser yang terjadi berdasarkan hukum Hooke’s, dengan harga-harga ekivalen T/J, maka akan diperoleh :

τ =

Tρ J

(5.6)

Rumus di atas disebut dengan rumus torsi. Sedangkan untuk menetapkan tegangan geser maksimum yang merupakan bentuk rumus torsi yang umum, dapat diperoleh dengan cara mengganti nilai ρ dengan r yang merupakan jari-jari poros, sehingga persamaannya menjadi :

τmaks =

Tr

J

(5.7)

Sebagai catatan bahwa persamaan di atas, hanya berlaku untuk kondisi penampang poros bulat atau pejal. Sedangkan rumus torsi yang telah memperhatikan bentuk penampang bulat padat dan pejal berdasarkan nilai momen inersia polar dapat dituliskan dalam bentuk :

τmaks = =

τmaks = =

2T

πr 3 16T

πd3

(5.8)

2TR

π(r 2 4 − r 14 ) 16T.c 2

π(c 2 4 − c14 )

(5.9)

Dalam persamaan di atas, nilai J yang merupakan momen inersia polar untuk penampang lingkaran solid dan penampang lingkaran berongga, dapat digambarkan dalam bentuk persamaan sebagai berikut :



82

CHAPTER 05

J = J =

πc 4 2

π 2

(c 2

(5.10)

4

− c14 )

(5.11)

Gambar 5.6 Momen inersia polar (Beer et.al, 2002)

5.3.2 Tegangan Torsi Pada Penampang Solid Non Lingk aran Pada penampang solid yang bukan lingkaran seperti persegi, penurunan secara analitis untuk kondisi ini cukup rumit, karena asumsi-asumsi yang digunakan dan yang berlaku pada penampang lingkaran tidak berlaku lagi. Sebagai contoh pada penampang persegi yang mengalami beban puntir, maka pada sudut-sudut penampang, akan mengalami distorsi. Dimana distribusi tegangan geser terjadi di sepanjang garis yang arahnya radial dari titik pusat berat. Tegangan geser maksimum akan terjadi pada serat terluar sisi panjang, sedangkan pada bagian sudut tegangan geser menjadi nol.

τmax Ts

Distribusi tegangan puntir

Gambar 5.6 Torsi pada balok dan distribusi tegangan puntir

Walaupun cukup rumit, namun secara umum persamaan untuk mendapatkan besarnya tegangan geser maksimum

τmaks yang nilainya tergantung perbandingan antara sisi panjang dan

pendek, yaitu :

τmaks =

T

α.b.a2

(5.10)

Dimana : a = sisi panjang. HENCE MICHAEL WUATEN


83

CHAPTER 05

b = sisi pendek.

α = koefisien untuk penampang persegi. β = koefisien untuk penampang persegi. Nilai θ yang merupakan sudut puntir total yang terjadi pada penampang dan dapat ditulis dalam bentuk persamaan :

θ =

dφ dx

T

=

β.b.a3 .G

(5.11)

Untuk penampang yang tersusun dari beberapa gabungan penampang persegi, maka persamaannya menjadi dalam bentuk : T

τmaks =

n

∑ α .b .a i

(5.12)

2

i

i =1

θ =

dφ dx

=

T n

∑ β .b .a .G

(5.13)

3

i

i

i =1

Untuk penampang yang tipis nilai α dan β sama mendekati hampir 1/3.

Tabel 5.1 Koefisien α dan β untuk penampang persegi b/a

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

4,00

6,00

10,00

α

0,208

0,231

0,246

0,256

0,267

0,282

0,299

0,312

0,333

β

0,141

0,196

0,229

0,249

0,263

0,281

0,299

0,312

0,333

5.3.3 Tegangan Torsi Pada Penampang Gabung an Persegi Tipi s Untuk batang dengan berpenampang persegi tipis dengan b dan h seperti tergambar di bawah ini, maka nilai J didekati dengan persamaan : 3

J = 1/3.b.h

(5.14)

T.h J

(5.15)

τmaks = Dimana :

h = sisi pendek. b = sisi panjang. Sedangkan nilai J untuk penampang gabungan dari beberapa penampang persegi, dapat dihitung berdasarkan penjumlahan dari masing-masing penampang : n

J =

∑J

i

(5.16)

i =1



84

CHAPTER 05

Gambar 5.7 Penampang persegi tipis dan gabungan

Contoh : Sebuah batang pejal mempunyai penampang lingkaran dengan diameter 120 mm. Apabila 5

tegangan geser ijin 50 MPa dan G = 1.10 MPa, maka hitunglah momen puntir maksimum yang o

diperkenankan apabila sudut puntir per satuan panjang dibatasi hanya θ = 1 . Penyelesaian : Momen puntir maksimal akan dibatasi oleh dua hal yaitu, berdasarkan tegangan ijin dan berdasarkan sudut puntir maksimum. Apabila berdasarkan tegangan ijin besarnya Tmaks adalah : Tmaks =

=

=

Tijin .Ip R Tijin π . .d3 16 50.π.0,123 16

= 0,0196 MNm Berdasarkan sudut puntir maksimum besarnya Tmaks adalah : Tmaks = G.Ip.θ 5

= 1.10 . 5

= 1.10 . 5

= 1.10 .

π.d4 32

π.d4 32

.1 radian

.1 radian

π.0,12 4 32

.1 radian

= 0,03553 MN Digunakan nilai Tmaks yang terkecil, yaitu Tmaks = 0,0196 MNm = 16,96 KNm.



85

CHAPTER 06

6.1

Definisi Balok Sederhana Balok merupakan batang struktural yang didesain untuk menahan gaya-gaya yang bekerja

dalam arah transversal terhadap sumbunya. Pada umumnya beban-beban yang bekerja pada balok, diarahkan bekerja tegak lurus terhadap sumbunya. Secara umum balok dapat diidealisasikan sebagai balok sederhana (simple beam) dan balok menerus (continous beam). Balok sederhana banyak diidealisasikan pada struktur statis tertentu, dimana pada sebuah balok sederhana dapat dibebani dengan beban titik, beban terbagi rata atau kombinasi dari kedua beban ini.

6.2

Momen Lentu r dan Gaya Geser Pada Balok Sederhana Dalam gambar di bawah ini, mendefinisikan sebuah balok sederhana yang memikul sebuah

beban titik P yang bekerja tepat di tengah bentang balok. Akibat adanya beban yang bekerja pada balok tersebut, maka sesuai dengan prinsip hukum Newton ketiga, dimana aksi sama dengan reaksi sehingga pada perletakan balok mengalami reaksi tumpuan R AV dan RBV yang nilainya sama besar dengan beban yang bekerja. Selain itu, pada balok juga timbul gaya-gaya dalam berupa gaya geser dan momen pada setiap titik yang mengalami pembebanan yang berfungsi untuk mencapai proses dan prinsip-prinsip kesetimbangan dalam struktur tersebut. Dari gambar tersebut, terlihat bahwa pada perletakan A dan B terjadi reaksi perletakan untuk melawan besarnya beban P sehingga sesuai dengan syarat kesetimbangan, dimana jumlah gaya pada bidang vertikal harus sama dengan nol, demikian juga dengan besarnya gaya lintang dan momen yang terjadi harus sama dengan nol. Untuk lebih jelasnya mengenai idealisasi struktur pada balok sederhana, akan diberikan dalam bentuk contoh-contoh soal di bawah ini. P

A

B R AV

RBV L

R AV

+

P –

RBV

Shear Force Diagram (SFD) ¼.PL

Bending Moment Diagram (BMD)

Gambar 6.1 Balok sederhana



86

CHAPTER 06

6.3

Apli kasi Beban Pada Strukt ur

6.3.1 Apli kasi Beban Terpusat Beban terpusat atau beban titik adalah beban yang bekerja pada suatu titik tertentu atau terpusat pada suatu titik tertentu. Pada struktur, beban terpusat dapat terjadi pada kolom dalam bentuk beban aksial kolom, pada struktur balok yang menerima kolom atau kolom terputus atau menumpu pada balok, pada struktur balok kantiliver, beban roda pada lantai kendaraan jembatan dan lain sebagainya. Dalam bab ini, hanya akan dibahas beban titik yang bekerja pada struktur balok sederhana dan untuk mempermudah pemahaman dapat melihat contoh-contoh di bawah ini.

Contoh 6.1 : Diketahui sebuah struktur balok sederhana yang ditumpu di atas dua perletakan sendi dan roll dibebani dengan dua beban titik seperti tergambar. Diminta menghitung besarnya reaksi perletakan dan besarnya gaya dalam yang terjadi serta digambarkan !

Gambar 6.2 Aplikasi balok sederhana

Penyelesaian : Hitung reaksi perletakan : ΣMB = 0

ΣM A = 0

R AV . 8 – P1 . 6 – P2 . 2 = 0

RBV . 8 + P1 . 2 + P2 . 6 = 0

R AV . 8 = P1 . 6 + P2 . 2

-RBV . 8 = -P1 . 2 – P2 . 6

R AV . 8 = 2 . 6 + 3 . 2

-RBV . 8 = -2 . 2 – 3 . 6

R AV . 8 = 12 + 6

-RBV . 8 = -4 – 18

R AV . 8 = 18

-RBV . 8 = -22

18 8

R AV

=

R AV

= 2,25 ton

−22

RBV

=

RBV

= 2,75 ton

−8

Kontrol : ΣV = 0 R AV + RBV – P1 + P2 = 0 2,25 + 2,75 – 2 + 3 = 0 5 – 5 = 0 ...oke



87

CHAPTER 06

Hitung gaya lintang dan momen : D A

= R AV

→

M A

= 0

→

MC

= R A . 2

= 2,25 ton DC Kiri

= 2,25 ton

DC Kanan

= 2,25 – P1

= 2,25 . 2

= 2,25 – 2

= 4,5 ton.m

= 0,25 ton DD Kiri

= 0,25 ton

MD

DD Kanan

= 0,25 – P2

= 2,25 . 6 – 2 . 4

= 0,25 – 3

= 13,5 – 8

= -2,75 ton

= 5,5 ton.m

→

MB

= R AV . 6 – P1 . 4

DB Kiri

= -2,75 ton

DB Kanan

= -2,75 + RBV

= 2,25 . 8 – 2 . 6 – 3 . 2

= -2,75 + 2,75

= 18 – 12 – 6

= 0 ...oke

= 0 ...oke

→

= R AV . 8 – P1 . 6 – P2 . 2

P1 = 4 ton

P2 = 2 ton

C

D

A

B 2.00 m

2,25

4.00 m

2.00 m

2,25

+

0,25

0,25

0

– 2,75

2,75

SFD 0

0

+ 4,50 5,50 BMD

Gambar 6.3 Penggambaran bidang lintang dan momen



88

CHAPTER 06

Contoh 6.2 : Diketahui sebuah konstruksi balok tunggal dengan beban terpusat dengan P1 sebesar 5 ton dan P2 sebesar 10 ton, diminta hitunglah besarnya reaksi perletakan yang terjadi pada masing-masing tumpuan, besarnya gaya lintang dan besarnya gaya momen yang terjadi pada balok tersebut.

Gambar 6.4 Contoh balok sederhana dengan dua beban titik

Penyelesaian : Hitung reaksi perletakan : ΣMB = 0

ΣM A = 0

R AV . 10 – P1. 7 – P2 . 4 = 0

- RBV . 10 + P1. 3 + P2 . 6 = 0

R AV . 10 – 5. 7 – 10 . 4 = 0

- RBV . 10 + 5. 3 + 10 . 6 = 0

R AV . 10 – 35 – 40 = 0

- RBV . 10 + 15 + 60 = 0

R AV . 10 – 75 = 0

- RBV . 10 + 75 = 0

R AV

=

75 10

RBV

=

75 10

R AV

= 7,5 ton

RBV

= 7,5 ton

Kontrol : ∑V = 0

R AV + RBV – P1 + P2 = 0 7,5 + 7,5 – 5 + 10 = 0 Perhitungan gaya lintang dan momen : D A

= R A

→

M A

= 0

→

MC

= R A . 3

= 7,5 ton DC Left

= 7,5 ton

DC Right

= 7,5 – P1

= 7,5 . 3

= 7,5 – 5

= 22,5 ton.m

= 2,5 ton →

DD Left

= 2,5 ton

DD Right

= 2,5 – P2

= 7,5 . 6 – 5 . 3

= 2,5 – 10

= 45 – 15

= - 7,5 ton

= 30 ton.m



MD

= R A . 6 – P1 . 3

89

CHAPTER 06

DB Left

= - 7,5 ton

MB

DB Right

= - 7,5 + RB

= 7,5 . 10 – 5 . 7 – 10 . 4

= - 7,5 + 7,5

= 75 – 25 – 40

= 0 … oke

= 0 … oke

→

A

P1

P2

C

D

3.00 7,5

= R A . 10 – P1 . 7 – P2 . 4

3.00

B

4.00

7,5 +

2,5

2,5

0

0 –

7,5

7,5

+ 22,5 30


Contoh 6.3 Diketahui sebuah konstruksi balok dengan P1 sebesar 4 ton, P2 sebesar 6 ton dan P3 sebesar 10 ton yang terletak pada ujung batang E. Diminta hitunglah besarnya reaksi perletakan yang terjadi pada masing-masing tumpuan, besarnya gaya lintang yang bekerja dan besarnya gaya momen yang terjadi pada balok tersebut

A

3.00

P1

P2

C

D

3.00

P3

B

4.00

E

8.00

Gambar 6.6 Balok dengan kantiliver



90

CHAPTER 06

Reaksi perletakan ∑MB = 0

∑MA = 0

R AV . 10 – P1. 7 – P2 . 4 + P3 . 8 = 0

- RBV . 10 + P1. 3 + P2 . 6 + P3 . 18 = 0

R AV . 10 – 4 . 7 – 6 . 4 + 5 . 8 = 0

- RBV . 10 + 4 . 3 + 6 . 6 + 5 . 18 = 0

R AV . 10 – 28 – 24 + 40 = 0

- RBV . 10 + 12 + 36 + 90 = 0

R AV . 10 – 52 + 40 = 0

- RBV . 10 + 138 −138

R AV

=

12 10

RBV

=

R AV

= 1,2 ton

RBV

= 13,8 ton

− 10

Kontrol : ∑V = 0

R AV + RBV – P1 + P2 + P3 = 0 1,2 + 13,8 – 4 + 6 + 5 15 – 15 = 0 …oke Perhitungan gaya lintang dan momen : D A

= R AV

→

M A = 0

→

MC = R AV . 3

= 1,2 ton DC Left

= 1,2 ton

DC Right

= 1,2 – P1

= 1,2 . 3

= 1,2 – 4 ton

= 3,6 ton.m

= - 2,8 ton →

DD Left

= - 2,8 ton

DD Right

= - 2,8 – P2

= 1,2 . 6 – 4 . 3

= - 2,8 – 6 ton

= 7,2 – 12

= - 8,8 ton

= - 4,8 ton.m →

MD = R AV . 6 – P1 . 3

DB Left

= - 8,8 ton

DB Right

= - 8,8 + RBV

= 1,2 . 10 – 4 . 7 – 6 . 4

= - 8,8 + 13,8 ton

= 12 – 28 – 24

= 5 ton

= - 40 ton.m →

MB = R AV . 10 – P1 . 7 – P2 . 4

DE Left

= 5 ton

DE Right

= 5 ton – P3

= 1,2 . 18 – 4 . 15 – 6 . 12 + 13,8 . 8

= 5–5

= 21,6 – 60 – 72 + 110,4

= 0 …oke

= 0 … oke



ME = R AV . 18 – P1 . 15 – P2 . 12 + RBV . 8

91

CHAPTER 06


Contoh 6.4 : Diketahui sebuah struktur balok sederhana yang ditumpu di atas dua perletakan sendi dan roll dan salah satu ujung berupa kantilever seperti tergambar. Diminta hitunglah besarnya reaksi perletakan dan besarnya gaya dalam yang terjadi serta digambarkan !

P1 = 4 ton

P2 = 2 ton

P3 = 3 ton

P4 = 2 ton

C

D

E

F

A

B 2.00 m

2.00 m

2.00 m

2.00 m

2.00 m

Gambar 6.8 Balok kantilever dengan beban terpusat

Penyelesaian : Perhitungan reaksi perletakan : ΣMB = 0

R AV . 6 – P1 . 4 – P2 . 2 + P3 . 2 + P4 . 4 = 0 R AV . 6 – 4 . 4 – 2 . 2 + 3 . 2 + 2 . 4 = 0 R AV . 6 – 16 – 4 + 6 + 8 = 0 R AV . 6 – 6 = 0



92

CHAPTER 06

R AV =

6 6

R AV = 1 ton ΣM A = 0

-RB . 6 + P1 . 2 + P2 . 4 + P3 . 8 + P4 . 10 = 0 -RB . 6 + 4 . 2 + 2 . 4 + 3 . 8 + 2 . 10 = 0 -RB . 6 + 8 + 8 + 24 + 20 = 0 -RB . 6 + 60 = 0 RBV =

−60 −6

RBV = 10 ton Kontrol : ΣV = 0 R AV + RBV – P1 + P2 + P3 + P4 = 0 1 + 10 – 4 + 2 + 3 + 2 = 0 11 – 11 = 0 ...oke

Perhitungan gaya lintang dan momen : D A

= R AV

→

M A = 0

→

MC = R AV . 2

= 1 ton DC Kiri

= 1 ton

DC Kanan

= 1 – P1

= 1.2

= 1–4

= 2 ton.m

= -3 ton →

DD Kiri

= -3 ton

DD Kanan

= -3 – P2

= 1.4–4.2

= -3 – 2

= 4–8

= -5 ton

= -4 ton.m →

MD = R AV . 4 – P1 . 2

DB Kiri

= -5 ton

MB = R AV . 6 – P1 . 4 – P2 . 2

DB Kanan

= -5 + RBV

= 1 .6 –4 .4 –2 .2

= -5 + 10

= 6 – 16 – 4

= 5 ton

= -14 ton.m

DE Kiri

= 5 ton

DE Kanan

= 5 – P3

= 1 . 8 – 4 . 6 – 2 . 4 + 10 . 2

= 5–3

= 8 – 24 – 8 + 20

= 2 ton

= -4 ton.m

→

→

ME = R AV . 8 – P1 . 6 – P2 . 4 + RB . 2

DF Kiri

= 2 ton

DF Kanan

= 2 – P4

= 1 . 10 – 4 . 8 – 2 . 6 + 10 . 4 – 3 . 2

= 2–2

= 10 – 32 – 12 + 40 – 6

= 0 ...oke

= 0 ...oke



MF = R AV . 10 – P1 . 8 – P2 . 6 + RBV . 4 – P3 . 2

93

CHAPTER 06

Gambar 6.9 Diagram gaya lintang dan momen kantilever

Contoh 6.5 : Diketahui konstruksi balok tunggal dengan console yang dibebani beban terpusat masingmasing P1 dan P4 yang bekerja tegak lurus terhadap batang sebesar 2 ton, sedangkan P2 dan P3 sebesar 4 ton yang bekerja miring membentuk sudut terhadap batang, dengan sudut kemiringan α1 0

dan α2 adalah sebesar 30 . Diminta hitunglah besarnya reaksi perletakan yang terjadi pada masingmasing tumpuan, besarnya gaya lintang, besarnya momen dan gaya normal yang terjadi pada balok tersebut. P1

P2

P3

A

B

C

D

2.00

P4

2.00

E

4.00

F

2.00

2.00

Gambar 6.10 Balok sederhana dengan kombinasi beban miring HENCE MICHAEL WUATEN


94

CHAPTER 06

Perhitungan reaksi perletakan : ΣMB = 0

R AV . 8 – P1 . 10 – P2 . sin α . 6 – P3 . sin α . 2 + P4 . 2 = 0 R AV . 8 – 2 . 10 – 4 . sin 30 . 6 – 4 . sin 30 . 2 + 2 . 2 = 0 R AV . 8 – 20 – 12 – 4 + 4 = 0 R AV . 8 – 32 = 0 R AV =

32 8

R AV = 4 ton ΣM A = 0

-RBV . 8 – P1 . 2 + P2 . sin α . 2 + P3 . sin α . 6 + P4 . 10 = 0 -RBV . 8 – 2 . 2 + 4 . sin 30 . 2 + 4 . sin 30 . 6 + 2 . 10 = 0 -RBV . 8 – 4 + 4 + 12 + 20 = 0 -RBV . 8 + 32 = 0 RBV =

−32 −8

RBV = 4 ton Kontrol : ∑V = 0

R AV + RBV – P1 + P2 . sin α + P3 . sin α + P4 = 0 4 + 4 – 2 + 4 . sin 30 + 4 . sin 30 + 2 = 0 8–2+2+2+2=0 8 – 8 = 0 …oke Perhitungan gaya lintang dan momen : DC

= -P1

→

MC = 0

→

M A = -P1 . 2

= -2 ton D A Left

= -2 ton

D A Right

= -2 + R AV

= -2 . 2

= -2 + 4

= -4 ton.m

= 2 ton →

DD Left

= 2 ton

MD = -P1 . 4 + R AV . 2

DD Right

= 2 – P2 . sin α

= -2 . 4 + 4 . 2

= 2 – 4 . sin 30

= -8 + 8

= 2–2

= 0

= 0 DE Left

= 0

DE Right

= -P3 . sin α

= -2 . 8 + 4 . 6 – 4 . sin 30 . 4

= -4 . sin 30

= -16 + 24 – 8

= -2 ton

= 0

→

ME = -P1 . 8 + R AV . 6 – P2 . sin α . 4



95

CHAPTER 06

DB Left

= -2 ton

DB Right

= -2 + RBV

= -2 . 10 + 4 . 8 – 4 . sin 30 . 6 – 4 . sin 30 . 2

= -2 + 4

= -20 + 32 – 12 – 4

= 2 ton

= 4 ton.m

→

MB = -P1 . 10 + R AV . 8 – P2 . sin α . 6 – P3 . sin α . 2

DF Left

= 2 ton

DF Right

= 2 – P4

= -2 . 12 + 4 . 10 – 4 . sin 30 . 8 – 4 . sin 30 . 4 + 4 . 2

= 2–2

= -24 + 40 – 16 – 8 + 8

= 0 …oke

= 0 ...oke

→

ME = -P1 . 12 + R AV . 10 – P2 . sin α . 8 – P3 . sin α . 4 + RBV . 2

Gaya normal : R AH – P2 . cos α + P3 . cos α = 0 R AH

= 4 . cos 30 – 4 . cos 30

R AH

= RBH

= 0

Gambar 6.11 Diagram gaya lintang dan momen

6.3.2 Apli kasi Beban Terbagi Rata Beban terbagi rata adalah beban yang bekerja terbagi rata sepanjang bentang struktur. Pada umumnya beban terbagi rata dapat berupa beban mati struktur atau beban akibat berat sendiri struktur, maupun beban hidup atau beban yang terjadi akibat penggunaan struktur tersebut. Dalam perhitungan dan analisis struktur beban mati dan beban hidup perlu diperhatikan sehingga dapat menghindari terjadinya kesalahan akibat perancangan.

Contoh 6.6 : Diketahui sebuah struktur balok sederhana yang ditumpu di atas dua perletakan sendi dan roll dibebani dengan kombinasi beban titik dan terbagi rata seperti tergambar. Diminta menghitung besarnya reaksi perletakan dan besarnya gaya dalam yang terjadi serta digambarkan !



96

CHAPTER 06

Gambar 6.12 Balok dengan kombinasi beban titik dan terbagi rata

Penyelesaian : Perhitungan reaksi perletakan : ΣMB = 0

R AV . 8 – P1 . 6 – P2 . 2 – q . 4 . (½ . 4 + 2) = 0 R AV . 8 – 4 . 6 – 2 . 2 – 2 . 4 . (2 + 2) = 0 R AV . 8 – 24 – 4 – 8 . 4 = 0 R AV . 8 – 24 – 4 – 32 = 0 R AV . 8 – 60 = 0 60 8

R AV

=

R AV

= 7,5 ton

ΣM A = 0

-RBV . 8 + P1 . 2 + P2 . 6 + q . 4 . (½ . 4 + 2) = 0 -RBV . 8 + 4 . 2 + 2 . 6 + 2 . 4 . (2 + 2) = 0 -RBV . 8 + 8 + 12 + 8 . 4 = 0 -RBV . 8 + 8 + 12 + 32 = 0 -RBV . 8 + 52 = 0 −52

RBV

=

RBV

= 6,5 ton

−8

Kontrol : ΣV = 0 R AV + RBV – P1 + P2 + q . 4 = 0 7,5 + 6,5 – 4 + 2 + 2 . 4 = 0 7,5 + 6,5 – 4 + 2 + 8 = 0 14 – 14 = 0 ...oke



97

CHAPTER 06

Perhitungan gaya lintang dan momen : D A

= R AV

→

M A = 0

→

MC = R AV . 2

= 7,5 ton DC Kiri

= 7,5 ton

DC Kanan

= 7,5 – P1

= 7,5 . 2

= 7,5 – 4

= 15 ton.m

= 3,5 ton DD Kiri

= 3,5 – q . 4

DD Kanan

→

MD = R AV . 6 – P1 . 4 – q . 4 . (½ . 4)

= 3,5 – 2 . 4

= 7,5 . 6 – 4 . 4 – 2 . 4 . (2)

= 3,5 – 8

= 45 – 16 – 8 . 2

= -4,5 ton

= 45 – 16 – 16

= -4,5 – P2

= 13 ton.m

= -4,5 – 2 = -6,5 ton →

DB Kiri

= -6,5 ton

MB = R AV . 8 – P1 . 6 – q . 4 . (½ . 4 + 2) – P1 . 2

DD Kanan

= -6,5 + RBV

= 7,5 . 8 – 4 . 6 – 2. 4 . (2 + 2) – 2 . 2

= -6,5 + 6,5

= 60 – 24 – 24 – 4

= 0 ...oke

= 0 ...oke

Perhitungan jarak x : R A . (2 + x) – P1 . x – q . x . (1/2 . x) = 0 7,5 . (2 + x) – 4 . x – 2 . x . (1/2 . x) = 0 2

15 + 7,5x – 4x – 1 – 2x – ½ x – x = 0 2

14 + 1x – x = 0 Syarat ekstrim : dm dx

= 0

f (x)

= 14 + 1x – x

f’(x)

= 1 – 2x

x

=

2

1 2

= 0,5 m Momen di titik x : Mx = R A . (2 + x) – P1 . x – q . x (1/2 . x) = 7,5 . (2 + 0,5) – 4 . 0,5 – 2 . 0,5 . (1/2 . 0,5) = 0 = 7,5 . (2,5) – 2 – 1 . (0,25) = 18,75 – 2 – 0,25 = 16,50 ton.m



98

CHAPTER 06

P1 = 4 ton

P2 = 2 ton q = 2 ton/m

1

A

B C

7,5

D

7,5

+

3,5

0

0 x –

2+x 4,5 6,5

6,5

0

0

+

13 15 16,50

Gambar 6.13 Penggambaran SFD dan BMD

Contoh 6.7 : Diketahui sebuah gelagar seperti tergambar di bawah ini, dengan kombinasi pembebanan merata dan terpusat. Apabila diketahui P1 sebesar 4 ton, P2 dan P3 sebesar 2 ton dan q sebesar 2 1

ton/m , maka hitunglah gaya lintang dan momen yang terjadi pada gelagar tersebut, serta gambarkan diagram gaya lintang dan momennya ?



99

CHAPTER 06

q = 2 t/m

1

P1

P2

P3 B

A

C

4.00

D

2.00

E

1.00

F

1.00

2.00

Gambar 6.14 Balok contoh 2.7

Penyelesaian : Perhitungan reaksi perletakan : ∑MB = 0

R AV . 8 – q . 4 (½ . 4 + 4) – P1 . 2 – P2 . 1 + P3 . 2 = 0 R AV . 8 – 2 . 4 (½ . 4 + 4) – 4 . 2 – 2 . 1 + 2 . 2 = 0 R AV . 8 – 48 – 8 – 2 + 4 = 0 54 8

R AV

=

R AV

= 6,75 ton

∑MA = 0

-RBV . 8 + q . 4 ( ½ . 4 ) + P1 . 6 + P2 . 7 + P3 . 10 = 0 -RBV . 8 + 2 . 4 ( ½ . 4 ) + 4 . 6 + 2 . 7 + 2 . 10 = 0 -RBV . 8 + 16 + 24 + 14 + 20 = 0 −74

RBV

=

RBV

= 9,25 ton

−8

Kontrol : ∑V = 0

R AV + RBV – q . 4 + P1 + P2 + P3 = 0 6,75 + 9,25 – 2 . 4 + 4 + 42 + 2 = 0 16 – 16 = 0 … oke Perhitungan gaya lintang dan momen : D A

= R AV

→

M A = 0

→

MC = R AV . 4 – q . 4 . (½ . 4)

= 6,75 ton DC Left

= 6,75 – q . 4 = 6,75 – 2. 4

= 6,75 . 4 – 2 . 4 . 2

= - 1,25 ton

= 11 ton.m →

DC Right

= - 1,25 ton

DD Left

= - 1,25 ton

= 6,75 . 6 – 2 . 4 . 4

DD Right

= - 1,25 – P1

= 40,5 – 32

= - 5,25 ton

= 8,5 ton.m



MD = R AV . 6 – 2 . 4 . (½ . 4 + 2)

100

CHAPTER 06

DE Left

= - 5,25 ton

DE Right

= - 5,25 – P2

= 6,75 . 7 – 2 . 4 . 5 – 4 . 1

= - 5,25 – 2 ton

= 47,25 – 40 – 4

= - 7,25 ton

= 3,25 ton.m

→

ME = R AV . 7 – q . 4 . (½ . 4 + 3) – P1 . 1

DB Left

= - 7,25 ton

DB Right

= - 7,25 + RBV

= 6,75 . 8 – 2 . 4 . 6 – 4 . 2 – 2 . 1

= - 7,25 + 9,25

= 54 – 48 – 8 – 2

= 2 ton

= -4 ton.m

→

→

MB = R AV . 8 – q . 4 . (½ . 4 + 4) – P1 . 2 – P2 . 1

DF Left

= 2 ton

MF = R AV . 10 – q . 4 . (½ . 4 + 6) – P1 . 4 – P2 . 3 + RBV . 2

DF Right

= 2 – P2

= 6,75 . 10 – 2 . 4 . 8 – 4 . 4 – 2 . 3 + 9,25 . 2

= 2–2

= 67,5 – 64 – 16 – 6 + 18,5

= 0 … oke

= 0 … oke

Perhitungan jarak x : R AV . x – q . x . (½ . x) = 0 6,75 . x – 2 . x . (½ . x) = 0 2

6,75 . x – x = 0 Syarat ekstrim : dm dx

= 0 2

f (x) = 6,75 . x – x f’ (x) = 6,75 – 2x x =

6,75 2

= 3,375 m Momen ekstrim di titik x : Mx = R AV . x – q . x . (½ . x) = 6,75 . 3,375 – 2 . 3,375 . (½ . 3,375) = 22,78125 – 11,39063 = 11,390 ton.m



101

CHAPTER 06

q = 2 t/m1

P1

P2

P3 B

A

C

D

4.00

2.00

E

1.00

F

1.00

2.00

6,75

2

+

2

+ 0

0 1,25

1,25 –

x 5,25

5,25 7,25

7,25 4

–

0

0

3,25

+

8,50

11 11,39


Contoh 6.8 : Suatu balok dengan kantilever pada kedua ujungnya, dibebani beban terpusat pada salah satu ujungnya dan beban merata pada ujung yang lain, diminta hitunglah besarnya reaksi perletakan yang bekerja, serta gaya lintang dan momen yang terjadi pada balok tersebut ?



102

CHAPTER 06

Gambar 6.16 Balok contoh 2.8


R AV . 8 – P1 . 10 – P2 . 7 – P3 . 5 – P4 . 1 – q1 . 6 . (½ . 6 + 1) + q2 . 2 . (½ . 2) = 0 R AV . 8 – 3 . 10 – 2 . 7 – 5 . 5 – 4 . 1 – 2 . 6 . 4 + 1 . 2 . 1 = 0 R AV . 8 – 30 – 14 – 25 – 4 – 48 + 2 = 0 R AV . 8 – 119 = 0 119 8

R AV

=

R AV

= 14,875 ton

∑MA = 0

-RBV . 8 – P1 . 2 + P2 . 1 + P3 . 3 + P4 . 7 + q1 . 6 (½ . 6 + 1) + q2 . 2 (½ . 2 + 8) = 0 -RBV . 8 – 3 . 2 + 2 . 1 + 5 . 3 + 4 . 7 + 2 . 6 . 4 + 1 . 2 . 9 = 0 -RBV . 8 – 6 + 2 + 15 + 28 + 48 + 18 = 0 -RBV . 8 + 105 = 0 −105

RBV

=

RBV

= 13,125 ton

−8

Kontrol ∑V = 0

R AV + RBV – P1 + P2 + P3 + P4 + q1 . 6 + q2 . 2 = 0 14,875 + 13,125 – 3 + 2 + 5 + 4 + 2 . 6 + 1 . 2 = 0 28 – 3 + 2 + 5 + 4 + 12 + 2 = 0 28 – 28 = 0 … oke Perhitungan gaya lintang : DC

= -P1 = -3 ton

D A Left

= -3 ton

D A Right

= -3 + R AV = -3 + 14,875 = 11,875 ton



103

CHAPTER 06

DD Left

= 11,875 ton

DD Right

= 11,875 – P2 = 11,875 – 2 = 9,875 ton

DE Left

= 9,875 – q1 . 2 = 9,875 – 2 . 2 = 9,875 – 4 = 5,875 ton

DE Right

= 5,875 – P3 = 5,875 – 5 ton = 0,875 ton

DF Left

= 0,875 – q1 . 4 = 0,875 – 2 . 4 = 0,875 – 8 = -7,125 ton

DF Right

= -7,125 – P4 = -7,125 – 4 = -11,125 ton

DB Left

= -11,125 ton

DB Right

= -11,125 + RBV = -11,125 + 13,125 = 2 ton

DG

= 2 – q2 . 1 = 2–2.1 = 2–2 = 0 … oke

Perhitungan momen : MC

= 0

M A

= -P1 . 2 = -3 . 2 = -6 ton.m

MD

= -P1 . 3 + R AV . 1 = -3 . 3 + 14,875 . 1 = -9 + 14,875 = 5,875 ton.m

ME

= R AV . 3 – P1 . 5 – P2 . 2 – q1 . 2 . (½ . 2) = 14,875 . 3 – 3 . 5 – 2 . 2 – 2 . 2 . 1 = 44,625 – 15 – 4 – 4 = 21,625 ton.m



104

CHAPTER 06

MF

= R AV . 7 – P1 . 9 – P2 . 6 – P3 . 4 – q1 . 6 . (½ . 6) = 14,875 . 7 – 3 . 9 – 2 . 6 – 5 . 4 – 2 . 6 . 3 = 104,125 – 27 – 12 – 20 – 36 = 9,125 ton.m

MB

= R AV . 8 – P1 . 10 – P2 . 7 – P3 . 5 – q1 . 6 . (½ . 6 + 1) = 14,875 . 8 – 3 . 10 – 2 . 7 – 5 . 5 – 2 . 6 . 4 = 119 – 30 – 14 – 25 – 48 = 2 ton.m

MG

= R AV . 10 + RBV . 2 – P1 . 12 – P2 . 9 – P3 . 7 – P4 . 3 – q1 . 6 . (½ . 6 + 3) – q2 . 2 . (½ .2) = 14,875 . 10 + 13,125 . 2 – 3 . 12 – 2 . 9 – 5 . 7 – 4 . 3 – 2 . 6 . 6 – 1 . 2 . 1 = 148,75 + 26,25 – 36 – 18 – 35 – 12 – 72 – 2 = 175 – 175 = 0 … oke

Perhitungan jarak x : R AV . (3 + x) – P1. (5 + x) – P2 . (2 + x) – P3 . x – q1 . (2 + x) . (½ . 2 + x) = 0 14,875 . (3 + x) – 3. (5 + x) – 2 . (2 + x) – 5 . x – 2 . (2 + x) . (½ . 2 + x) = 0 44,625 + 14,875x – 15 – 3x – 4 – 2x – 5x – 4 – 2x . (1 + x) = 0 2

44,625 + 14,875x – 15 – 3x – 4 – 2x – 5x – 4 – 2x – 2x = 0 2

44,625 – 15 – 4 – 4 + 14,875x – 3x – 2x – 5x – 2x – 2x = 0 2

21,625 + 2,8750x – 2x = 0 Syarat ekstrim : dm dx

= 0 2

f (x) = 21,625 + 2,8750x – 2x f’ (x) = 2,875 – 4x x

=

2,875 4

= 0,72 m Momen di titik x : Mx

= R AV . (3 + x) – P1. (5 + x) – P2 . (2 + x) – P3 . x – q1 . (2 + x) . (½ . 2 + x) = 14,875 . 3,72 – 3. 5,72 – 2 . 2,72 – 5 . 0,72 – 2 . 2,72 . (½ . 2,72) = 55,34 – 17,16 – 5,44 – 3,60 – 7,40 = 21,74 ton.m



105

CHAPTER 06


Contoh 6.9 Diketahui sebuah struktur dengan kombinasi beban terpusat dan terbagi rata dengan besaran 1

masing-masing adalah, P1 dan P3 sebesar 2 ton, P2 sebesar 4 ton, q1 sebesar 2 ton/m , q2 dan q3 1

sebesar 1 ton/m . Diminta, hitunglah reaksi perletakan, gaya lintang dan momen yang bekerja pada struktur tersebut serta gambarkanlah ?



106

CHAPTER 06

Gambar 6.18 Balok dengan kombinasi beban terbagi rata dan beban terpusat


R AV . 10 – P1 . 6 – P2 . 5 – P3 . 4 – q1 . 10 . (½ . 10) – q2 . 4 . (½ . 4 + 6) – q3 . 4 . (½ . 4) = 0 R AV . 10 – 2 . 6 – 4 . 5 – 2 . 4 – 2 . 10 . 5 – 1 . 4 . 8 – 1 . 4 . 2 = 0 R AV . 10 – 12 – 20 – 8 – 100 – 32 – 8 = 0 R AV . 10 – 180 = 0 180 10

R AV

=

R AV

= 18 ton

∑MA = 0

-RBV . 10 + P1 . 4 + P2 . 5 + P3 . 6 + q1 . 10 . (½ . 10) + q2 . 4 . (½ . 4) + q3 . 4 . (½ . 4 + 6) = 0 -RBV . 10 + 2 . 4 + 4 . 5 + 2 . 6 + 2 . 10 . 5 + 1 . 4 . 2 + 1 . 4 . 8 = 0 -RBV . 10 + 8 + 20 + 12 + 100 + 8 + 32 = 0 -RBV . 10 + 180 = 0 −180

RBV

=

RBV

= 18 ton

− 10

Kontrol : ∑V = 0

R AV + RBV – P1 + P2 + P3 + q1 . 10 + q2 . 4 + q3 . 4 = 0 18 + 18 – 2 + 4 + 2 + 2 . 10 + 1 . 4 + 1 . 4 = 0 36 – 36 = 0 …oke Perhitungan gaya lintang : D A

= R AV = 18 ton

DC Left

= 18 – q1 . 4 – q2 . 4 = 18 – 2 . 4 – 1 . 4 = 6 ton



107

CHAPTER 06

DC Right

= 6 – P1 = 6–2 = 4 ton

DD Left

= 4 – q1 . 1 = 4–2.1 = 2

DD Right

= 2 – P2 = 2–4 = -2 ton

DE Left

= -2 – q1 . 1 = -2 – 2 . 1 = -4 ton

DE Right

= -4 – P3 = -4 – 2 = -6 ton

DB Left

= -6 – q1 . 4 – q3 . 4 = -6 – 2 . 4 – 1 . 4 = -6 – 8 – 4 = -18 ton

DB Right

= -18 + RBV = -18 + 18 = 0 … oke

Perhitungan momen : M A = 0 MC = R AV . 4 – q1 . 4 . (½ . 4) – q2 . 4 . (½ . 4) = 18 . 4 – 2 . 4 . 2 – 1 . 4 . 2 = 72 – 32 – 8 = 32 ton.m MD = R AV . 5 – q1 . 5 . (½ . 5) – q2 . 4 . (½ . 4 + 1) – P1 . 1 = 18 . 5 – 2 . 5 . 2,5 – 1 . 4 . 3 – 2 . 1 = 90 – 25 – 12 – 2 = 51 ton.m ME = R AV . 6 – q1 . 6 . (½ . 6) – q2 . 4 . (½ . 4 + 2) – P1 . 2 – P2 . 1 = 18 . 6 – 2 . 6 . 3 – 1 . 4 . 4 – 2 . 2 – 4 . 1 = 108 – 36 – 16 – 4 – 4 = 48 ton.m MB = R AV . 10 – q1 . 10 . (½ . 10) – q2 . 4 . (½ . 4 + 6) – q3 . 4 . (½ . 4) – P1 . 6 – P2 . 5 – P3 . 4 = 18 . 10 – 2 . 10 . 5 – 1 . 4 . 8 – 1 . 4 . 2 – 2 . 6 – 4 . 5 – 2 . 4 = 180 – 100 – 32 – 8 – 12 – 20 – 8 = 0 … oke



108

CHAPTER 06


Contoh 6.10 : Diketahui sebuah struktur balok sederhana yang ditumpu di atas dua perletakan sendi dan roll dibebani dengan kombinasi beban titik dan terbagi rata seperti tergambar. Diminta menghitung besarnya reaksi perletakan dan besarnya gaya dalam yang terjadi serta digambarkan ! HENCE MICHAEL WUATEN


109

CHAPTER 06

Gambar 6.20 Balok dengan kombinasi beban terbagi rata dua rangkap


R AV . 8 – q1 . 2 . (½ . 2 + 8) – q2 . 8 . (½ . 8) – q3 . 4 . (½ . 4 + 2) – P1 . 6 + P2 . 2 = 0 R AV . 8 – 1 . 2 . 9 – 2 . 8 . 4 – 1 . 4 . 4 – 2 . 6 + 4 . 2 = 0 R AV . 8 – 18 – 64 – 16 – 12 + 8 = 0 R AV . 8 – 102 = 0 102 8

R AV

=

R AV

= 12,75 ton

∑MA = 0

-RBV . 8 – q1 . 2 . (½ . 2) + q2 . 8 . (½ . 8) + q3 . 4 . (½ . 4 + 2) + P1 . 2 + P2 . 10 = 0 -RBV . 8 – 1 . 2 . 1 + 2 . 8 . 4 + 1 . 4 . 4 + 2 . 2 + 4 . 10 = 0 -RBV . 8 – 2 + 64 + 16 + 4 + 40 = 0 -RBV . 8 + 122 = 0 −122

RBV

=

RBV

= 15,25 ton

8

Kontrol : ∑V = 0

R AV + RBV – P1 + P2 + q1 . 2 + q2 . 8 + q3 . 4 = 0 12,75 + 15,25 – 2 + 4 + 1 . 2 + 2 . 8 + 1 . 4 = 0 28 – 2 + 4 + 2 + 16 + 4 = 0 28 – 28 = 0 ... oke



110

CHAPTER 06

Perhitungan gaya lintang : DC

= 0

D A Left

= -q1 . 2 = -1 . 2 = -2 ton

D A Right

= -2 + R AV = -2 + 12,75 = 10,75 ton

DD Left

= 10,75 – q2 . 2 = 10,75 – 2 . 2 = 6,75 ton

DD Right

= 6,75 – P1 = 6,75 – 2 = 4,75 ton

DE Left

= 4,75 – q2 . 4 – q3 . 4 = 4,75 – 1 . 4 – 2 . 4 = 4,75 – 4 – 8 = -7,25 ton

DE Right

= -7,25 ton

DB Left

= -7,25 – q2 . 2 = -7,25 – 2 . 2 = -7,25 – 4 = -11,25 ton

DB Right

= -11,25 + RBV = -11,25 + 15,25 = 4 ton

DF Left

= 4 ton

DF Right

= 4 – P2 = 4–4 = 0 …oke

Perhitungan momen : MC = 0 M A = -q1 . 2 . (½ . 2) = -1 . 2 . 1 = -2 ton.m MD = -q1 . 2 . (½ . 2 + 2) – q2 . 2 . (½ . 2) + R AV . 2 = -1 . 2 . 3 – 2 . 2 . 1 + 12,75 . 2 = -6 – 4 + 25,50 = 15,50 ton.m



111

CHAPTER 06

ME = -q1 . 2 . (½ . 2 + 6) – q2 . 6 . (½ . 6) – q3 . 4 . (½ . 4) – P1 . 4 + R AV . 6 = -1 . 2 . 7 – 2 . 6 . 3 – 1 . 4 . 2 – 2 . 4 + 12,75 . 6 = -14 – 36 – 8 – 8 + 76,5 = 10,50 ton MB = -q1 . 2 . (½ . 2 + 8) – q2 . 8 . (½ . 8) – q3 . 4 . (½ . 4 + 2) – P1 . 6 + R AV . 8 = -1 . 2 . 9 – 2 . 8 . 4 – 1 . 4 . 4 – 2 . 6 + 12,75 . 8 = -18 – 64 – 16 – 12 + 102 = -8 ton.m MF = -q1 . 2 . (½ . 2 + 10) – q2 . 8 . (½ . 8 + 2) – q3 . 4 . (½ . 4 + 4) – P1 . 8 + R AV . 10 + RBV . 2 = -1 . 2 . 11 – 2 . 8 . 6 – 1 . 4 . 6 – 2 . 8 + 12,75 . 10 + 15,25 . 2 = -22 – 96 – 24 – 16 + 127,5 + 30,50 = -158 + 158 = 0 …oke Perhitungan jarak x : R AV . (2 + x) – q1 . 2 . (½ . 2 + 2 + x) – q2 . (2 + x) . (½ . 2 + x) – q3 . x . (½ . x) – P1 . x = 0 12,75 . (2 + x) – 1 . 2 . (3 + x) – 2 . (2 + x) . (1 + x) – 1 . x . (½ . x) – 2 . x = 0 2

25,50 + 12,75x – 6 – 2x – 4 – 4x – 2x – 2x – ½ . x – 2x = 0 2

15,50 + 2,25x – 2x = 0 dm dx

= 0 2

f (x) = 5,50 + 2,25x – 2x f‘ (x) = 2,25 – 4x x

=

2,25 4

= 0,5625 m Momen di titik x : Mx = R AV . (2 + x) – q1 . 2 . (½ . 2 + 2 + x) – q2 . (2 + x) . (½ . 2 + x) – q3 . x . (½ . x) – P1 . x = 12,75 . 2,5625 – 1 . 2 . 3,5625 – 2 . 2,5625 . 1,5625 – 1 . 0,5625 . 0,28125 – 2 . 0,5625 = 32,67 – 7,125 – 8,0078 – 0,15820 – 1,125 = 16,254 ton.m



112

CHAPTER 06


6.2.3 Apli kasi Beban Segitiga Pada Strukt ur Pada struktur beban segitiga dapat berupa tekanan tanah pada struktur dinding penahan tanah, beban distribusi pelat lantai pada balok dan lain sebagainya. Dalam beberapa kasus beban segitiga harus melalui proses pemerataan beban menjadi beban terbagi rata sebelum dilakukan proses analisis. HENCE MICHAEL WUATEN


113

CHAPTER 06

Contoh 6.11 : Diketahui sebuah konstruksi balok yang dibebani dengan beban segitiga seperti tergambar. Diminta hitunglah reaksi perletakan, gaya lintang dan momen yang bekerja pada balok tersebut ?

4.00

A

B

12.00 Gambar 6.22 Balok dengan beban segitiga


∑MA = 0

R AV . L – ½ . 4 . L . (1/3 . L) = 0

-RBV . L + ½ . 4 . L . (2/3 . L) = 0

R AV . 12 – ½ . 4 . 12 . (1/3 . 12) = 0

-RBV . 12 + ½ . 4 . 12 . (2/3 . 12) = 0

R AV . 12 – 24 . 4 = 0

-RBV . 12 + 48 . 8 = 0

R AV . 12 – 96 = 0

-RBV . 12 + 196 = 0

96 12

R AV

=

R AV

= 8 ton

−196

RBV

=

RBV

= 16 ton

→

M A

= 0

→

MB

= R AV . L – ½ . 4 . L . (1/3 . L)

− 12

Kontrol ∑V = 0

R AV + RBV – ½ . 4 . L = 0 8 + 16 – ½ . 4 . 12 = 0 24 – 24 = 0 … oke Perhitungan gaya lintang dan momen : D A

= R AV = 8 ton

DB Left

DB Right

= 8 ton – ½ . 4 . L = 8 ton – ½ . 4 . 12

= 8 . 12 – ½ . 4 . 12 . (1/3 . 12)

= 8 ton – 24 ton

= 96 – 24 . 4

= -16 ton

= 96 – 96

= -16 ton + RBV

= 0 …oke

= -16 ton + 16 = 0 … oke



114

CHAPTER 06

Perhitungan jarak x : R AV . x – ½ . q . x . (1/3 . x) = 0 24 . x – ½ . 4 . x . (1/3 . x) = 0 2

24x – 0,67x – 2x = 0 dm dx

= 0 2

f (x) = 24x – 0,67x – 2x f’ (x) = 23,33 – 4x = 0 x

=

23,33 4

= 5,8325 m Momen di titik x : Mx

= R AV . x – ½ . 4 . x . (1/3 . x) = 8 . 5,8325 – ½ . 4 . 5,8325 . (1/3 . 5,8325) = 46,66 – 11,665 . 1,95 = 46,66 – 22,74675 = 23, 92 ton.m

4.00

A

B

12.00 8 +

–

x

16

23,92




115

CHAPTER 06

Tabel 6.1 Rumus menghitung reaksi dan momen maksimum pada balok sederhana Jenis Beban



R A

RB

Mmaximum

½.q.L

½.q.L

1/8.q.L

½.P

½.P

1/4.P.L

P.b L

P.a L

P.a.b L

q.L(0,5.b + c ) L

q.L(0,5.b + a ) L

q.L x 2 + a 2 2b

2

(

)

116

CHAPTER 06

Jenis Beban

R A

RB

Mmaximum

W 2

W 2

W.L 6

2 / 3.W

1/ 3.W

0,128.W.L

Untuk perhitungan rumus-rumus dalam tabel di atas, nilai jarak x dihitung dari posisi perletakan A atau dari kiri ke kanan terhadap panjang bentang balok L. Selain itu, dalam rumus perhitungan untuk balok yang dibebani dengan beban segitiga nilai W merupakan berat total atau W = ½.q.L.



117

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR PUSTAKA

Anonim, 2008., Structural Analysis Lectures Notes, Structural Engineering Course, India Institute Technology, Kharagpur, India. rd

Beer P.F., Johnston E.R. Jr., Dewolf J.T., 2002. Mechanics of Materials 3 Edition, McGraw Hill Companies, New York, USA. Budynas R.G. 1999., Advanced Strength and Applied Stress Analysis, McGraw-Hill Company, United States of America. Chen W.F., 1995., The Civil Engineering Handbook, Edition, CRC Press LLC, United States of America. DOE Fundamental Handbook, 1992. Classical Physics, Department of Energy United States of America, Washington D.C, USA. Huajian G, 2006., Advanced Mechanics Solid Lectures Notes, Mechanics Course, Brown Academic. Popov E.V., 1979. Introduction to Mechanics Solid, Prentice Hall Englewood Cliff, New Jersey, USA. Singer F.L., Pytel A., 1995., Ilmu Kekuatan Bahan Strength of Materials, Penerbit Erlangga, Jakarta. Siswosukarto S., 2005., Analisis Struktur , Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Gadjah Mada Yogyakarta. Sulistyo D., 2005., Analisis Struktur , Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Gadjah Mada Yogyakarta. Timoshenko S., Young D.H., 1982. Theory of Structure, McGraw Hill Companies, New York, USA. Todd J.D., 1984. Teori dan Analisis Struktur , Penerbit Erlangga, Jakarta. Triwiyono A., 2003. Mekanika Bahan, Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Universitas Gadjah Mada Yogyakarta. Vable M., 2002., Mechanics of Materials, Oxford University Press, United Kingdom. Vazirani V.N., Ratwani, 1980. Analysis of Structure, Khana Publishers, India. Williams A., 2009., Structural Analysis In Theory and Practice, Butterworth-Heinemann, Oxford, United Kingdom. Wuaten H.M., 2008., Analisis Struktur , Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas 17 Agustus 1945 Samarinda. Zainuri A.M., 2008., Kekuatan Bahan, Penerbit Andi, Yogyakarta.



118

STATIKA DAN MEKANIKA BAHAN I.pdf

Recommend Documents