Mecánica Vectorial (Estatica) Problemas Resueltos.pdf

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

R ÍGIDOS. DOS. CAPÍTULO 2: CUERPOS RÍGI SISTEMAS EQUIVALENTES DE FUERZAS. MOM M OME E N T O D E UN A F UE R ZA CON R E SP SPE E CTO A UN PUN PU N T O E N E L PL P L A N O.

Ing. Willians Medina.

Maturín, octubre de 2017.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerzas.

Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.

CONTENIDO. CONTENIDO................................................................................................................... 2 PRESENTACIÓN. ........................................................................................................... 4 ACERCA DEL AUTOR. ................................................................................................. 6 2.1.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL PLANO. 8 Ejemplo 2.1. Problema 4.16 del Hibbeler. Décima Edición. Página 130. .................... 10 Ejercicios Ejercicios propuestos. propuestos. ................................................................................................ 10 Ejemplo 2.2. Problema 4.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 129. .................... 12 Ejemplo 2.3. Problema 4.9 del Hibbeler. Décima Edición. Página 129. ...................... 12 Ejemplo 2.4. Problema 4.21 del Hibbeler. Décima Edición. Página 132. .................... 13 Ejercicios Ejercicios propuestos. propuestos. ................................................................................................ 13 Ejemplo 2.5. Ejemplo 4.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página128. ........................ 16 Ejemplo 2.6. Problema resuelto 3.2 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 86. Problema resuelto 3.2 del Beer – Johnston. Johnston. Décima Edición. Página 72. .................... 16 Ejemplo 2.7. Ejemplo 4.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página127. ........................ 17 Ejercicios Ejercicios propuestos. propuestos. ................................................................................................ 17 Ejemplo 2.8. Problema 4.23 del Hibbeler. Décima Edición. Página 132. .................... 18 Ejemplo 2.9. Problema 4.17 del Hibbeler. Décima Edición. Página 131. .................... 19 Ejemplo 2.10. Problema 3.3 del Beer – Johnston. Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 20 Ejemplo 2.11. Problema 3.4 del Beer – Johnston. Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 20 Ejemplo 2.12. Problema 3.5 del Beer – Johnston. Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 21 Ejemplo 2.13. Problema 3.5 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 21 Ejemplo 2.14. Problema 3.6 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 22 Ejemplo 2.15. Problema 3.7 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 22 Ejemplo 2.16. Problema resuelto 3.3 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 86. Problema resuelto 3.3 del Beer – Johnston. Johnston. Décima Edición. Página 73. .................... 23 Ejemplo 2.17. Problema resuelto 3.1 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 85. Problema resuelto 3.1 del Beer – Johnston. Johnston. Décima Edición. Página 71. .................... 23 Ejemplo 2.18. Problema 3.1 del Beer – Johnston. Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 24 Ejemplo 2.19. Problema 3.2 del Beer – Johnston. Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 24 Ejemplo 2.20. Problema 3.2 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 25 Ejemplo 2.21. Problema 3.1 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 25 Ejemplo 2.22. Problema 3.149 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 151. ..... 26 Ejemplo 2.23. Problema 3.12 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 90. Problema 3.148 del Beer – Johnston. Johnston. Décima Edición. Página 124. ........................... 26 Ejemplo 2.24. Problema 3.13 del Beer – Johnston. Johnston. Décima Edición. Página 90.......... 27 Ejemplo 2.25. Problema 3.9 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 90. .......... 28 Ejemplo 2.26. Problema 3.10 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 90. ........ 28 Ejemplo 2.27. Problema 3.11 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 90. ........ 29 Ejemplo 2.28. Problema 3.10 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 90. ........ 29 Ejemplo 2.29. Problema 3.14 del Beer – Johnston. Johnston. Octava Edición. Página 91........... 30 Ejemplo Ejemplo 2.30. Problema Problema 4.41 del Bedford. ................................................................. 30 Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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Ejercicios Ejercicios propuestos. propuestos. ................................................................................................ 31 Ejemplo 2.31. Problema 3.147 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 151. Problema 3.4 del Beer – Johnston. Johnston. Décima Décima Edición. Edición. Página Página 76. ................................. 32 Ejemplo 2.32. Problema 3.3 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 89. Problema 3.147 del Beer – Johnston. Johnston. Décima Edición. Página 124. ........................... 32 Ejemplo 2.33. Problema 3.4 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 89. .......... 33 Ejemplo 2.34. Problema 3.6 del Beer – Johnston. Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 33 Ejemplo 2.35. Problema 3.7 del Beer – Johnston. Johnston. Octava Edición. Página 89. ........... 34 Ejemplo 2.36. Problema 3.8 del Beer – Johnston. Johnston. Novena Edición. Página 89. Problema 3.8 del Beer – Jhonston. Jhonston. Décima Décima Edición. Página 76. ................................. 34 Ejemplo 2.37. Problema 3.8 del Beer – Johnston. Johnston. Octava Edición. Página 90. ........... 35 Ejemplo 2.38. Problema 4.31 del Hibbeler. Décima Edición. Página 133. .................. 36 Ejercicios Ejercicios propuestos. propuestos. ................................................................................................ 36 Ejemplo Ejemplo 2.39. Problema Problema 4.11 del Bedford. ................................................................. 40 Ejemplo Ejemplo 2.40. Problema Problema 4.50 del Bedford. ................................................................. 40 Ejemplo Ejemplo 2.41. Problema Problema 4.27 del Bedford. ................................................................. 41 BIBLIOGRAFÍA. .......................................................................................................... 41 TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA). .................................................................. 42 OBRAS DEL MISMO AUTOR..................................................................................... 43

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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PRESENTACIÓN. El presente es un Manual de Ejercicios de Mecánica Vectorial para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería, Civil, Industrial, Mecánica y de Petróleo de reconocidas Universidades en Venezuela y Latinoamérica. El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de algunos ejemplos con una metodología que ofrece mejor comprensión por parte del estudiante así como la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos. Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura. Este manual, cuyo contenido se limita al estudio del momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano, contiene los fundamentos teóricos, 41 ejercicios resueltos paso a paso y 18 ejercicios propuestos para su resolución, y es ideal para ser utilizada por po r estudiantes autodidactas y/o de libre escolaridad (Universidad Abierta) y por estudiantes que están tomando un curso universitario de Mecánica Vectorial, así como por profesores que estén impartiendo clases en el área de enseñanza de Mecánica Vectorial para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología. Los conocimientos previos requeridos para abordar los temas incluidos en este manual son: dimensiones y unidades relativas a fuerza, conversión de unidades, prefijos para potencias de diez (mili, kilo, etc), teorema de Pitágoras, fórmulas básicas de trigonometría (definición de las funciones seno, coseno, tangente y sus recíprocas), valor de las funciones trigonométricas en ángulos notables (0°, 30°, 45°, 60°, etc) y fuerzas en el plano.


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El concepto de momento de una fuerza es fundamental en el estudio de la Mecánica Vectorial, pues es la base de algunas definiciones involucradas en el estudio de esta materia (reducción de un sistema de fuerzas, equilibrio de cuerpos rígidos, cargas distribuidas en vigas y análisis de estructuras), y en este manual el autor presenta de manera clara y rigurosa el espectro de situaciones involucradas en el manejo de momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano mediante el enfoque tanto escalar como vectorial. Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente a momento de una fuerza con respecto a un punto en el espacio. Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Mecánica Vectorial, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente

a

través

del

teléfono:

+58-424-9744352,

correo

electrónico:

[email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.


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ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Es autor de video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda, siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017) ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa) mediante

la

corporación

http://www.amazon.com/

y

su

página

académica

http://www.tutoruniversitario.com. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.


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2.1.- MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO EN EL PLANO. El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F . M 0  r  F (Enfoque

vectorial) (1)

donde r es el vector de posición que une al punto de referencia fijo O con cualquier punto sobre la línea de acción de F . M O



i

j

k

r x

r y

0

F x

F y

0

(Enfoque vectorial) (2)

r x ,r y: Componentes x, y del vector posición trazado desde el punto B hasta cualquier punto

sobre la línea de acción de la fuerza. F x, F y: Componentes x, y, del vector fuerza F .

Si 

es el ángulo entre las líneas de acción del vector de posición r y la fuerza F , la

magnitud del momento de F con respecto a O está dada por M 0  r F sen  (Enfoque

escalar) (3)

donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F . En la práctica, el momento es igual al producto de la fuerza por la distancia perpendicular entre el punto de referencia para el cálculo del momento y la línea de acción de la fuerza. Físicamente la magnitud de M O mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de M O. Una forma de definir el sentido de M O se logra por medio de la regla de la mano derecha: cierre su mano derecha y manténgala de manera que sus dedos estén doblados en el mismo sentido de la rotación que F le impartiría al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de la línea de acción de M O; su dedo pulgar indicará el sentido del momento M O.


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Convención de signos para el momento. Se considera positivo el momento cuando la fuerza tiende a hacer rotar al cuerpo rígido en sentido antihorario, y el momento se considera negativo cuando la fuerza tiende a hacer rotar al cuerpo rígido en sentido horario.

Para un momento positivo, su sentido es saliendo del papel, mientras que un momento negativo tiene sentido entrando al papel.


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Ejemplo 2.1. Problema 4.16 del Hibbeler. Décima Edición. Página 130. El poste soporta las tres líneas, cada línea ejerciendo una fuerza vertical sobre el poste debido a su peso, como se muestra. Determine el momento resultante en la base D debido a todas esas fuerzas. Si es posible que el viento o el hielo rompan las líneas, determine qué línea (o líneas) al ser removida genera una condición de momento máximo con respecto a la base. ¿Cuál es el momento resultante?

VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos. 1. El cubo de la rueda puede ser unido al eje con excentricidad negativa (izquierda) o positiva (derecha). Si el neumático está sometido a una carga normal y radial como se muestra, determine el momento resultante de esas cargas con respecto al punto O en ambos casos.


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Respuesta: – M O =120 N.m, M O =520 N.m.


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Ejemplo 2.2. Problema 4.10 del Hibbeler. Décima Edición. Página 129. La llave se usa para aflojar el perno. Determine el momento de cada fuerza con respecto al eje del perno que pasa por el punto O.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.3. Problema 4.9 del Hibbeler. Décima Edición. Página 129. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento resultante de las fuerzas con respecto al punto P .

VER SOLUCIÓN.


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Ejemplo 2.4. Problema 4.21 del Hibbeler. Décima Edición. Página 132. La herramienta localizada en A se usa para mantener estacionaria la hoja de una podadora de césped de potencia mientras se afloja la tuerca con la llave. Si se aplica una fuerza de 50 N a la llave situada en B en la dirección mostrada, determine el momento que produce dicha fuerza con respecto a la tuerca localizada en C . ¿Cuál es la magnitud de la fuerza F en A que produce el momento opuesto con respecto a C?

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos. 2. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento de la fuerza presente en A a) con respecto al punto O, b) con respecto al punto P .


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Respuesta: b) 2.37 kN.m.

3. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento de la fuerza presente en A a) con respecto al punto O, b) con respecto al punto P.

Respuesta: a) 2.88 kN.m; b) 3.15 kN.m

4. Determine la magnitud y el sentido direccional del momento resultante de las fuerzas con respecto al punto O.


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Respuesta: 2.42 kip.pie

5. Los dos jóvenes empujan la reja con fuerzas F A = 30 lb y F B = 50 lb como se muestra. Determine el momento de cada fuerza con respecto a C. ¿En qué sentido rotará la reja, en el de las manecillas del reloj o al contrario? Ignore el espesor de la reja.

Figura Problemas 5 y 6.

6. Dos jóvenes empujan la reja como se muestra. Si el joven situado en B ejerce una fuerza de F B = 30 lb, determine la magnitud de la fuerza F A que el joven ubicado en A debe ejercer para impedir que la reja gire. Ignore el espesor de la reja.


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Ejemplo 2.5. Ejemplo 4.7 del Hibbeler. Décima Edición. Página128. La fuerza F = 400 N actúa en el extremo de la ménsula mostrada en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto O.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.6. Problema resuelto 3.2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 86. Problema resuelto 3.2 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 72. Una fuerza de 800 N actúa sobre la ménsula como se muestra en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto a B.

VER SOLUCIÓN.


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Ejemplo 2.7. Ejemplo 4.6 del Hibbeler. Décima Edición. Página127. Una fuerza de 200 N actúa sobre la ménsula mostrada en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto A.

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos. 7. Determine el momento de cada una de las tres fuerzas que actúan sobre la viga a) respecto al punto A y b) respecto al punto B.

Respuesta: ( M ) F 1

B



4.125 kip.pie, ( M F 2 ) B



2 kip.pie, ( M F 3 ) B



40 kip.pie

8. Determine el momento de cada una de las tres fuerzas con respecto al punto A. Resuelva el problema usando primero cada fuerza como un todo, y luego aplicando el principio de momentos.


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Respuesta: ( M ) F 1

A

 433 N.m

, ( M ) F 2

A


 1300 N.m

, ( M ) F 3

B

 800 N.m

Ejemplo 2.8. Problema 4.23 del Hibbeler. Décima Edición. Página 132. Como parte de un acto acrobático, un hombre soporta una muchacha que pesa 120 lb y está sentada en una silla situada en la parte superior de un poste. Si el centro de gravedad de la chica está en G, y el máximo momento en sentido contrario al de las manecillas del reloj que el hombre puede ejercer sobre el poste en el punto A es de 250 lb.pie, determine el ángulo máximo de inclinación,

 ,

que no permitirá que la muchacha caiga, esto es, que su

momento en el sentido de las manecillas del reloj con respecto a A no exceda de 250 lb. pie.


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VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.9. Problema 4.17 del Hibbeler. Décima Edición. Página 131. Una fuerza de 80 N actúa sobre el mango del cortador de papel en el punto A. a) Determine el momento producido por esta fuerza con respecto a la articulación en O, si   60º . b) ¿A qué ángulo

 debe

aplicarse la fuerza para que el momento que produce con respecto al

punto O sea máximo (en el sentido de las manecillas del reloj? ¿Cuál es ese momento máximo?

VER SOLUCIÓN.


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Ejemplo 2.10. Problema 3.3 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando  es igual a 30º.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.11. Problema 3.4 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. La fuerza P se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza P mínima que tiene un momento de 19.5 lb.in en sentido contrario de las manecillas del reloj respecto a A.

VER SOLUCIÓN. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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Ejemplo 2.12. Problema 3.5 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. Una fuerza P de 2.9 lb se aplica a la palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine el valor de

 si

el momento de P respecto a A es en sentido contrario al

de las manecillas del reloj y tiene una magnitud de 17 lb.in.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.13. Problema 3.5 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. Una fuerza P de 8 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el momento de P alrededor de B cuando   25º .


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Ejemplo 2.14. Problema 3.6 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. Para la palanca de cambios que se muestra en la figura, determine la magnitud y la dirección de la fuerza mínima P, que debe tener un momento de 210 lb.in en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de B.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.15. Problema 3.7 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. Una fuerza P de 11 lb se aplica a una palanca de cambios. Determine el valor de

 .

Si se

sabe que el momento de P alrededor de B es en el sentido de las manecillas del reloj y que tiene una magnitud de 250 lb.in.


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Ejemplo 2.16. Problema resuelto 3.3 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 86. Problema resuelto 3.3 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 73. Una fuerza de 30 lb actúa sobre el extremo de una palanca de 3 ft, como se muestra en la figura. Determine el momento de la fuerza con respecto a O.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.17. Problema resuelto 3.1 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 85. Problema resuelto 3.1 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 71. Una fuerza vertical de 100 lb se aplica en el extremo de una palanca que está unida a una flecha en el punto O. Determine: a) el momento de la fuerza de 100 lb con respecto a O; b) la fuerza horizontal aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O; c) la fuerza mínima aplicada en A que origina el mismo momento con respecto a O; d) qué tan lejos de la flecha debe actuar una fuerza vertical de 240 lb para originar el mismo momento con respecto a O, y e) si alguna de las fuerzas obtenidas en los incisos b), c) y d) es equivalente a la fuerza original.


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VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 2.18. Problema 3.1 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. Una fuerza de 90 N se aplica a la varilla de control AB como indica la figura. Si la longitud de la varilla es de 225 mm, determine el momento de la fuerza respecto al punto B descomponiendo la fuerza en sus componentes a lo largo de AB y en una dirección perpendicular a AB.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.19. Problema 3.2 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. Una fuerza de 90 N se aplica a la varilla de control AB como indica la figura. Si la longitud de la varilla es de 225 mm, determine el momento de la fuerza respecto al punto B descomponiendo la fuerza en sus componentes horizontal y vertical.


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VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.20. Problema 3.2 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. El pedal para un sistema neumático se articula en B. Si se sabe que

  28º ,

determine el

momento de la fuerza de 16 N alrededor del punto B descomponiendo la fuerza en sus componentes a lo largo de ABC y en la dirección perpendicular a ABC .

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.21. Problema 3.1 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. El pedal para un sistema neumático se articula en B. Si se sabe que

  28º ,

determine el

momento de la fuerza de 16 N alrededor del punto B descomponiendo la fuerza en sus componentes horizontal y vertical.

VER SOLUCIÓN.


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Ejemplo 2.22. Problema 3.149 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 151. Se sabe que la biela AB ejerce sobre la manivela BC una fuerza de 1.5 kN dirigida hacia abajo y hacia la izquierda a lo largo de la línea central de AB. Determine el momento de esa fuerza alrededor de C .

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.23. Problema 3.12 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90. Problema 3.148 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 124. La ventanilla trasera de un automóvil se sostiene mediante el amortiguador BC que se muestra en la figura. Si para levantar la ventanilla se ejerce una fuerza de 125 lb cuya línea de acción pasa por el soporte de rótula en B, determine el momento de la fuerza alrededor de A.


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VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.24. Problema 3.13 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 90. La ventanilla trasera de un automóvil se sostiene mediante el amortiguador BC que se muestra en la figura. Si para levantar la ventanilla se ejerce una fuerza de 125 lb cuya línea de acción pasa por el soporte de rótula en B, determine el momento de la fuerza alrededor de A.

VER SOLUCIÓN.


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Ejemplo 2.25. Problema 3.9 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90. Un malacate AB se usa para tensar cables a un poste. Si se sabe que la tensión en el cable BC es de 1040 N y que la longitud d es de 1.90 m, determine el momento respecto de D de

la fuerza ejercida por el cable C . Para ello descomponga en sus componentes horizontal y vertical la fuerza aplicada en a) el punto C y b) el punto E .

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.26. Problema 3.10 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90. Un malacate AB se usa para tensar cables a un poste. Se sabe que es necesario aplicar una fuerza que produzca un momento de 960 N.m alrededor de D para tensar el cable al poste CD. Si d = 2.80 m, determine la tensión que debe desarrollarse en el cable del malacate AB

para crear el momento requerido alrededor de D.

VER SOLUCIÓN.


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Ejemplo 2.27. Problema 3.11 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90. Un malacate AB se usa para tensar cables a un poste. Se sabe que es necesario aplicar una fuerza que produzca un momento de 960 N. m alrededor de D para tensar el cable al poste CD. Si la capacidad del malacate AB es de 2400 N, determine el valor mínimo de la

distancia d para generar el momento especificado respecto de D.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.28. Problema 3.10 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 90. El pescante tiene longitud de 30 pies, peso de 800 lb, y centro de masa en G. Si el momento máximo que puede ser desarrollado por el motor en A es M = 20000 lb.pie, determine la carga máxima W , con centro de masa en G´, que puede ser levantada. Considere   30º .

VER SOLUCIÓN.


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Ejemplo 2.29. Problema 3.14 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 91. Un seguidor B circular con diámetro de 64 mm se sostiene contra la leva A como se muestra en la figura. Si la leva ejerce una fuerza con magnitud de 80 N sobre el seguidor a lo largo de la normal común BC , determine el momento de la fuerza respecto a la articulación colocada en D.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.30. Problema 4.41 del Bedford. El cilindro hidráulico BC ejerce una fuerza de 2200 lb en la pluma de la grúa en C . La fuerza es paralela al cilindro. El ángulo es

 

40º . ¿Cuál es el momento de la fuerza sobre

A?


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Ejercicios propuestos. 9. Determine el momento de cada fuerza con respecto al perno localizado en A. Considere: a) F B = 40 lb y F C = 50 lb, b) F B = 30 lb y F C = 45 lb.

Respuesta: a) ( M ) F B

( M F ) A C

A

 90.63 lb.pie

, ( M ) F C

A

 140.73 lb.pie

; b) ( M ) F B

A



67.97 lb.pie ,

 126.66 lb.pie

10. Un mecánico automotriz usa un tramo de tubo AB como palanca para tensar la banda de la polea de un alternador. Cuando el técnico presiona hacia abajo en A, se ejerce una fuerza de 485 N sobre el alternador en B. Determine el momento de la fuerza respecto del perno C si su línea de acción debe pasar por O.


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Ejemplo 2.31. Problema 3.147 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 151. Problema 3.4 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 76. Una caja de madera de 80 kg de masa se sostiene en la posición mostrada en la figura. determine a) el momento alrededor de E generado por el peso W de la caja de madera y b) la fuerza mínima aplicada en B que produce un momento alrededor de E de igual magnitud pero con sentido opuesto.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.32. Problema 3.3 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. Problema 3.147 del Beer – Johnston. Décima Edición. Página 124. Una fuerza de 300 N se aplica en A como se muestra en la figura. Determine a) el momento de la fuerza de 300 N alrededor de D y b) la fuerza mínima aplicada en B que produce el mismo momento alrededor de D.


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VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.33. Problema 3.4 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. Una fuerza de 300 N se aplica en A como se muestra en la figura. Determine a) el momento de la fuerza de 300 N alrededor de D y b) la magnitud y el sentido de la fuerza horizontal en C que produce el mismo momento alrededor de D, c) la fuerza mínima aplicada en C que produce el mismo momento alrededor de D.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.34. Problema 3.6 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. Un rótulo está suspendido de dos cadenas AE y BF . Si la tensión en BF es 200 N, determine a) el momento de la fuerza ejercida por la cadena en B respecto a A, b) la fuerza mínima aplicada en C que produce el mismo momento respecto a A. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.35. Problema 3.7 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 89. Un rótulo está suspendido de dos cadenas AE y BF . Si la tensión en BF es 200 N, determine a) el momento de la fuerza ejercida por la cadena en B respecto a A, b) la magnitud y el sentido de la fuerza vertical aplicada en C que produce el mismo momento respecto de A, c) la fuerza mínima aplicada en B que produce el mismo momento respecto a A.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.36. Problema 3.8 del Beer – Johnston. Novena Edición. Página 89. Problema 3.8 del Beer – Jhonston. Décima Edición. Página 76. Se sabe que es necesaria una fuerza vertical de 200 lb para remover, de la tabla mostrada, el clavo que está en C . Un instante antes de que el clavo comience a moverse, determine a) el momento respecto de B de la fuerza ejercida sobre el clavo, b) la magnitud de la fuerza P


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que genera el mismo momento respecto de B si

Momento de una fuerza con respecto a un punto en el plano.   10º

y c) la fuerza P mínima que genera

el mismo momento respecto de B.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.37. Problema 3.8 del Beer – Johnston. Octava Edición. Página 90. Un atleta se está ejercitando mientras carga en el tobillo, A, un peso de 5 lb, como indica la figura. Determine a) el momento del peso respecto a la flexión de la rodilla en el punto B, b) la magnitud de la fuerza P muscular que forma un momento de igual magnitud respecto a B, c) la fuerza mínima aplicada en C que crea el mismo momento que el peso respecto a B.


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Ejemplo 2.38. Problema 4.31 del Hibbeler. Décima Edición. Página 133. La grúa puede ser ajustada a cualquier ángulo 0    90º y a cualquier extensión 0  x  5 m . Para una masa suspendida de 120 kg, determine el momento desarrollado en A

como una función de x y  . ¿Qué valores de x y



desarrollan el máximo momento posible

en A? Ignore el tamaño de la polea ubicada en B.

VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos. 11. Una caja de madera con masa de 80 kg se sostiene en la posición mostrada en la figura. Determine a) El momento respecto de E generado por el peso W de la caja de madera, b) la fuerza mínima aplicada en A que produce un momento alrededor de E de igual magnitud pero con sentido opuesto, y c) la magnitud, sentido y punto de aplicación sobre la base de la caja de madera de la fuerza vertical mínima que produce un momento respecto de E de igual magnitud pero con sentido opuesto.


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12. Determine la dirección  para 0    180º de la fuerza F de manera que produzca a) el momento máximo con respecto al punto A, y b) el momento mínimo con respecto al punto A. Calcule el momento en cada caso.


13. Determine el momento de la fuerza F con respecto al punto A como función de

 .

Grafique los resultados de M (ordenada) vesus  (abcisa) para 0    180º . Respuesta: M

A

 1200 cos   800 sen 

14. Determine la dirección

 ,

0º    180º de la fuerza F = 40 lb para que produzca a) el

máximo momento con respecto al punto A, y b) el mínimo momento con respecto al punto A. calcule el momento en cada caso.


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Respuesta: a) ( M ) A

máx

 330 lb.pie


,   76.0º ; b) ( M ) A

mín

0

,   166º

15. Determine el ángulo  a que la fuerza de 500 N debe actuar en A para que el momento de esta fuerza con respecto al punto B sea igual a cero.

16. El cable de remolque ejerce una fuerza de P = 4 kN en el extremo del aguilón de 20 m de longitud de la grúa. Si

  30º ,

determine la posición x del gancho localizado en A de

modo que esta fuerza produzca un momento máximo con respecto al punto O. ¿Qué valor tiene este momento? Respuesta: x = 24.0 m ; ( M ) max  80.0 kN.m O


17. El cable de remolque ejerce una fuerza de P = 4 kN en el extremo del aguilón de 20 m de longitud de la grúa. Si

x  25 m ,

determine la posición

 del

aguilón de modo que esta

fuerza produzca un momento máximo con respecto al punto O. ¿Qué valor tiene este momento? Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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Respuesta:   33.6º ; ( M ) max  80.0 kN.m O

18. Los segmentos de tubo D para un pozo petrolero son apretados una cantidad prescrita usando un juego de tenazas T , que agarran el tubo, y un cilindro hidráulico (no se muestra) para regular la fuerza F aplicada a las tenazas. Esta fuerza actúa a lo largo del cable que pasa alrededor de la pequeña polea situada en P . Si originalmente el cable es perpendicular a las tenazas como se muestra, determine la magnitud de la fuerza F que debe ser aplicada de manera que el momento alrededor del tubo sea de M = 2000 lb.pie. Para mantener este mismo momento, ¿qué magnitud de F se requiere cuando las tenazas giran 30º hacia la posición punteada? Nota: El ángulo DAP no es de 90º en esta posición. Respuesta: F = 1.33 kip; F´ = 1.63 kip


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Ejemplo 2.39. Problema 4.11 del Bedford. La longitud de la barra AB es 350 mm. Los momentos ejercidos sobre los puntos B y C por la fuerza vertical F son M B = – 1.75 kN.m y M C = – 4.20 kN.m. Determinar la fuerza F y la longitud de la barra AC.

VER SOLUCIÓN. Ejemplo 2.40. Problema 4.50 del Bedford. La línea de acción de F está contenida en el plano x y. El momento de F sobre O es 140 N.m, y el momento de F sobre A es 280 N.m. ¿Cuáles son las componentes de F ?

VER SOLUCIÓN.


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Ejemplo 2.41. Problema 4.27 del Bedford. La fuerza F ejerce un momento anti horario de 2000 lb.ft alrededor de A y un momento en sentido horario de 1000 lb.ft alrededor de B. ¿Cuáles son F y  ?

VER SOLUCIÓN.

BIBLIOGRAFÍA. Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 8a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,

2007. Beer, F., E. R. Johnston, D. F. Mazurek y E. R. Eisenberg, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 9a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,

2010. Beer, F., E. R. Johnston y D. F. Mazurek, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, 2013. Hibbeler, R. C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10 ed., Pearson Education de México, S.A de C.V. México, 2004. Hibbeler, R.C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 11 ed., Pearson Education de México, S.A de C.V. México, 2010. Meriam, J. L y L. G. Kraige. Statics. Seventh Edition. John Wiley & Sons, Inc. Estados Unidos. 2012. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

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TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE MECÁNICA VECTORIAL (ESTÁTICA).


42



OBRAS DEL MISMO AUTOR. Serie Problemas Resueltos y Propuestos de: - Electricidad (Física II).

- Química. Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina.

43



- Cálculo Diferencial. - Cálculo Integral. - Cálculo Vectorial.

- Ecuaciones Diferenciales. - Métodos Numéricos. - Estadística. - Termodinámica Básica.

- Termodinámica Aplicada.


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Mecánica Vectorial (Estatica) Problemas Resueltos.pdf

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