UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departam Depa rtamento ento de Mate Matem´ m´ atic as aticas
TALLER I Profesor: H. Fabian Ramirez Repaso de Algebra Lineal y Superficies en el Espacio
n R
1. Las fuerzas fuerzas F F 1 , F 2 , , F 6 act´ uan sobre un objeto P uan objeto P ,, como se ilustra en la figura 1. Calcule la fuerza que se necesita para impedir que P P se se mueva.
·
2. Dados los vector vectores es A, B y C en la figura 2, construya el vector A
− B + 2C
3. Use suma de vectores vectores y propi propiedade edadess del producto cruz para demuestrar demuestrar la ley de los senos para el triangulo de la figura, es decir, demuestre que sen A sen B sen C = = a b c 4. Mues Muestre tre que u u
olo si u = 0. · ≥ 0 para todo vector u , que u · u = 0 si y s´olo 5. Sean x y y dos vectores. Demuestre x − y ≤ x − y 6. Dem Demuestr uestree que |A × B|2 + |A · B|2 = |A|2 |B|2 .
Figura 1
7. Use el producto cruz entre vectores vectores para hallar el ´area area del tri´angulo angulo de v´ertices ertices (2 (2,, 3, 1), (1,, 1, 2) y ( 1, 2, 3) (1
−
−
−
8. Sin usar el produc producto to cruz, determine un vector vector unitario perpendicular perpendicular al plano generado generado por A = 2i 6 j 3k y B = 4i + 3 j k.
− −
−
9. Cu´al al es el volumen del paralelep´ıpedo ıpedo con lados 2i + j
− k, 5i − 3k e i − 2 j + k? 10. Halla Hallarr los puntos de intersecci´ intersecci´ on de la recta x on recta x = = 3 + 2t 2t, y = = z z + 8t, z = −2 + t con los planos
Figura 2
coordenados.
11. Encuentre la proyecci´ proyecci´ on del vector A = i on
− 2 j + 3k sobre el vector B = i + 2 j + 2k. 12. Calcule el trabajo realizado al mover un objeto a lo largo del vector r = 3i + j − 5k si se aplica la fuerza F=2i- j-k.
13. Dem Demuestr uestree la ley de los cosenos cosenos para los tri´angulos angulos planos. 14. Encuentre un vector unitari o u paralelo a la suma de los vectores r1 = 2i + 4 j r2 = 2i 2 j + 3k.
− −
15. Suponga que que r r 1 = 2i j + k, r2 = i 3 j 2k, r3 = como una combinaci´on on lineal de r 1 , r2 y r 3 .
−
− −
−2i + j − 3k. Escriba r4 = −i + 3 j + 2k
1 3 16. Halla Hallarr el punt puntoo de inte intersec rsecci´ ci´ on de la recta x− on = y− = z z,, con el plano 2x 2x + y 2 3
17. Sea L la intersecci´on on de los planos 3x 3x + + y y x 2y + 3z 3 z = 1 encuentre L Π.
−
∩
− 5 k y figura 3
− z = 1.
− 4 4zz = 5 y 2x 2x + 3y − z = 4. Si Π es el plano
18. Determine los ´angulos angulos α, β y θ que el vector r = xi + + y y j + + z z k forma con las direcciones 2 positivas de los ejes coordenados, y demuestre que cos α + cos2 β + + cos2 θ = 1. 19. Considere un tetraedro tetraedro como el de la figura 4. Sean V Sean V 1 , V 2 , V 3 y y V V 4 , vectores cuyas magnitudes sean iguales a las ´areas areas de las caras del tetraedro, respectivamente, y cuyas direcciones sean perpendiculares a dichas caras en la direcci´on hacia fuera. Demuestre que V 1 + V 2 + V 3 + V 4 = 0 20. Los vectore vectoress b´asicos asicos a 1 , a2 y a 3 est´ an dados en t´erminos an erminos de los vectores b´asicos asicos b1 , b 2
1
Figura 4
y b3 por las relaciones a1 = 2b1 + 3 b2
− b3, a2 = b1 − 2b2 + 2b3, a3 = −2b1 + b2 − 2b3 Suponga que F que F = 3 b1 − b2 + 2 b3 . Exprese F Exprese F e en n t´erminos ermi nos de a1 , a2 y a3 .
21. Una lancha lancha de 600 600 libras se libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30 ◦ , como se muestra en la figura 6. ¿Qu ¿Qu´´e fuerz fuerzaa se requi requiere ere para impedir que la lanc lancha ha resba resbale le cuest cuestaa abajo por la rampa? 22. Para Para cerrar una puerta corrediza, corrediza, una persona tira de una cuer cuerda da con una fuerza constante constante ◦ de 50 libras 50 libras y y un angulo a´ngulo constante de 60 , como se muestra en la figura 7. Hallar el trabajo realizado al mover la puerta 12 pies pies hacia hacia la posici´on on en que queda cerrada. optero Dos helic´ optero 23. Rescate de un helic´ opteros, H 1 y H 2 vuelan juntos. En el instante t opteros, H instante t = = 0 se separan y siguen distintas trayectorias rectas dadas por
H 1 : x x = = 6 + 40t, 40 t,
y =
H 2 : x x = = 6 + 110t, 110t,
−3 + 10t, 10t, y = −3 + 4t, 4 t,
z =
−3 + 2t 2t z = −3 + t.
El tiempo t se mide en horas y todas las coordenadas se miden en millas. Debido a fallas mec´ anicas, H 2 detiene su vuelo en (446, anicas, (446, 13 13,, 1) y, en un intervalo de tiempo despreciable, aterriza en (446, (446, 13 13,, 0). Dos horas despu´es, es, H 1 recibe un aviso del aterrizaje forzoso de H 1 y se dirige hacia H 2 a 150 mi/h 150 mi/h.. ¿Cu´anto anto tiempo tardar´ a H 1 en alcanzar a H a H 2 .? 24. Caza de submarinos Dos barcos maniobran tratando de determinar el curso de un submarino para preparar un ataque a´ereo. ereo. Como se muestra, el barco A est´ a en (4, (4, 0, 0), mientras que el barco B barco B est´ a en (0, (0, 5, 0). Todas las coordenadas est´an an dadas en miles de pies. El barco A localiza al submarino en la direcci´on on del vector 2 i + 3 j (1 (1//3)k y el barco B lo localiza en la direcci´on on del vector 18i 6 j k Cuatro minutos antes, el submarino se encontraba en (2,, 1, (1 (2 (1//3) El ataque estar´a preparado en 20 minutos. Si el submarino se mueve en l´ınea recta con velocidad constante, ¿hacia qu´ e posici´on o n de debe ben n dir irig igir ir lo loss ba barrco coss el at ataq aque ue??
−
− −
− −
figur fig uraa 5
25. Mues Muestre tre que las rectas x = = b b 1 + ta1 ,
y = = b b 2 + ta2 ,
x = = d d 1 + sc1 ,
se cortan o son paralelas si y s´olo olo si
y = = d d 2 + sc2 ,
a1
c1
a2
c2
a3
c3
b1
− d1 b2 − d2 b3 − d3
z = = b b 3 + ta3 , z = = d d 3 + sc3 ,
=0
26. ¿Qu´ e conjunto de puntos en el espacio describe la ecuaci´ on on
x
y
z
1
x1
y1
z1
1
x2
y2
z2
1
x3
y3
z3
1
= 0?
27. Una c´amara amara de televisi´on on de 120 libras est´a colocada en un tr tr´´ıpode, como se muestra en la figura 6. Representar la fuerza ejercida en cada pata del tr´ıpode ıpode como un vector. 28. Use vectores vectores para mostrar mostrar que la distancia distancia de Q(x0 , y0 , z0 ) al plano ax plano ax + by by + + cz cz + + d es: D =
|ax0√ + by0 + cz0 + d| a2 + b2 + c2
29. Use el ejerc ejercico ico anterior anterior para demos demostrar trar que la distancia entre los planos paralelos paralelos ax +
2
figura 6
by + by + cz cz + + d1 y ax + by by + + cz cz + + d2 es: D =
|d2 − d1|
|ai + b j + ck|
30. Encuentre Encuentre una ecuac ecuaci´ i´on on de la esfera que es tangente a los planos x + y + z = 3 y x + y + z = 9 si los planos 2x 2 x y = 0 y 3x 3x z pasan por el centro de la esfera.
−
−
31. Determine Determine una ecuaci´ on para el plano paralelo al plano 2x on 2x (3,, 2 1) equidista de ambos planos. (3
−
− y + 2z = −4 si el punto
32. Hallar Hallar una ecuaci´ ecuaci´ on para la superficie generada por todos los puntos ( x,y,z on x,y,z)) que est´ an an a cuatro unidades del plano 4x 4 x 3y + z = 1
−
33. Hallar Hallar la ecuac ecuaci´ i´on on est´ andar de la esfera con el centro en ( 3, 2, 4) que es tangente al andar plano dado por 2x 2x + 4y 4y 3z = 8
−
−
34. Determinar Determinar si la declaraci´ declaraci´on on es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qu´e o dar un ejemplo que pruebe que es falsa. = a a 1 i+b1 j+c1 k es cualquier vector en el plano dado por a2 x+b2 y +c2 z +d2 = 0, a ) Si v = entonces a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 = 0 b ) Todo par de rectas en el espacio o se cortan o son paralelas. c ) Dos planos en el espacio o se cortan o son paralelos. d ) Si dos rectas L1 y L 2 son paralelas a un plano
entonces L 1 y L 2 son paralelas. P entonces L
e ) Dos planos perpendicular perpendiculares es a un tercer plano en el espacio son paralelos. paralelos.
) Un plano y una recta en el espacio se intersecan o son paralelos. f ) 35. Dem Demuestr uestree que la distan distancia cia D de un punto Q punto Q a una recta en el espacio est´a dada por D =
P Q × u u
donde u es un vector de direcci´on on para la recta y P y P es es un punto sobre la recta. Funciones vectoriales
36. Halle el domin dominio io de las siguientes siguientes funciones vectorial vectoriales es
√ 2),, 4 − t) R/ (2, (2, 4) − 2) 1 , √ 9e−t , ln(1 − t) R/ (−3, −2) ∪ (−2, 1) g(t) = ( t+2 ln(tt f (t) = (t2 , ln(
t
2
37. Trace la imagen de las siguientes siguientes funciones funciones a ) f f ((t) = (1 + t3 , t2 ) b ) g (t) = (4cos t, 5sen t) c ) r(t) = (cos t, sen t, t), con t
≥ 0.
38. Halle una una funci´ on vectorial que represente a las siguientes curvas on 4y 2 = 36 a ) 9x2 + 4y b ) y = = x x 2
− 4x + 7
39. Halle una funci´ funci´ on vectorial que represente a la curva de intersecci´on on on de las siguientes superficies. y z = = xy xy a ) x2 + y 2 = 16 y z b ) z = 16 16x x2 + 9y 9y2 y y = = x x 2 ,
R/ : : f (t) = (4cos t, 4sen t, 16cos t sen t), R/ R/ : : g (t) = (t, t2 , 16 R/ 16tt2 + 9t 9 t4 ), 3
t
∈ R
t
∈ R
40. Analizar Analizar la con continui tinuidad dad de las siguientes siguientes funciones vectoriale vectorialess en los inte interv rvalos alos que se indican
√ − t2, ln(3 − t), et−3), con t con t ∈ [ −2, 3)
a ) f (t) = ( 4 b ) f (t) =
c ) f (t) =
− − − − −
2arcsen t π cos(2 cos(2πt πt)) , t sen( ) ),, , 3t t t π , t 1, ln t + 1 , 3 t sen t, , 2t , si t si t [0 [0,, 1) 1 t
e ) f (t) =
∈ (0 (0,, 1) si t si t ∈ [1 [1,, 2]
∈ si t si t ∈ [1 [1,, 2]
1, 0, 3 ,
d ) f (t) =
si t si t
arcc sen t ar 1 4t2 + 5, 5, , sen t sen( ) , t t
si t = 0
5, 0, 0 ,
si t = 0
t2
4
|t − 3 | −
e t−2 1 t ,
1
,
si t = 2
41. La imagen de la funci´ funci´ on vectorial r (t) = (et−1 , e−2(t−1) ) describe la trayectoria de una on part´ıcula ıcula que se s e mueve en el plano xy xy.. a ) Trace la gr´ gr´afica afica de la trayec trayectoria toria de la part part´´ıcula. (R: y =
1 x2 , x
b ) Dibuje los vectores vectores velocidad velocidad y acel aceleraci eraci´´on on para t para t = = 1.
≥ 0 0))
on vectorial de la recta tangente a la curva imagen de r en el punto on c ) Halle la ecuaci´ A(e, e−2 ).
−
2t, t2 ; 2e2(t 1)
−
42. Dada la funci´ funci´ on vectorial r (t) = 1 on . Halle la ecuaci´on on vectorial de la recta tangente a la curva descrita por r en el punto en que el vector r ′ (t) es paralelo al vector r(t). ). R/: R/: l l((x,y,z x,y,z)) = ( 1, 1, 2) s( 2, 2, 4) 4)..
−
− −
43. Sean las curvas curvas C C 1 y C 2 dadas por las funciones vectoriales C 1 : f (t) =
1
−
t2
, 2t + 1, 1, 1 + e2−t
C 2 : g (t) =
2t
− 1 , 4 − t, 3 − et+1
2 2 punto de intersecci´ intersecci´ on de las curvas C on curvas C 1 y C 2 R/: f (2) = g ( 1) = ( 32 , 5, 2) a ) Halle el punto angulo que forma curvas C 1 y C 2 en su punto de b ) Calcule la medida del ´angulo √ 3 formann las curvas intersecci´ on. R/: on. R/: θ θ = arccos 3
−
−
−
44. La fuerza fuerza que act´ act´ ua sobre ua s obre una part´ıcula ıcula de masa m asa m m = = 2 en el plano est´a dada en funci´on on del tiempo t tiempo t por la ecuaci´on on
F(t) = 2(cos t
− t sen t), 2(sen t + t cos t)
Cuando t = Cuando t = 0 la posici´on on y la velocidad velo cidad de la part´ıcula ıcula son f (0) = (2, (2, 0) y v (0) = (1, (1, 0). Halle la velocidad y la posici´on on de la part part´´ıcula como funciones de t. Ayuda: Ley de Newton, F(t) = ma(t). R: f (t) = (t ( t sen t + cos t + t + 1, 1, t cos t + sent sent))
−
45. Una part´ıcula ıcula inicia su movimiento en f (0) = (2, (2, 0, 0) con velocidad inicial v (0) = i j + k. Su aceleraci´on o n es a(t) = (2t, (2t, 3t2 , 6t). Determine la funci´on on velocidad y la posici´on o n de la 3 4 part´ıcula ıcula en cualqui cualquier er instante t 2, t4 t, t3 + t t.. R: f (t) = t3 + t + 2,
−
46. Halle una parametrizaci parametrizaci´´on on para la curva C curva C :
4
−
x2 + y 2 + z 2 = R 2 z = = a a
R > 0 0 < a < R
47. Halle la longitud longitud de arco de las siguientes siguientes curvas curvas
− √ ˆ √ ˆ √
√ t2 t 2 2 + t, t, ln t , (t > 0), desde t desde t = = 1 hasta t hasta t = = 2. 2. R/ R/ 22 (3+ ln ln(2 (2)) )) 2 2 2 t t cos u sen u du, du, 4t1/2 , desde t desde t = = 1 hasta t = 4. R/ 3 2 b ) α(t) = 2u 2u 1 1
a ) α(t) =
√
48. Halle la longitud longitud de la curv curvaa α α((t) = (t, 1 + t2 ) , desde el punto en que los vectores α α((t) ′ y α (t) son paralelos√ de sentidos opuestos hasta el punto en que los mismos vectores son ortogonales. R/ 25 14 ln( 5 2)
√ −
−
49. Una part´ part´ıcula se mueve en el espacio de modo que en cualquier instante t su posici´on on es α es α((t) = (2t (2t cos t, 2t sen t, t2 + 2t 2 t)
−
√
a ) Determine la rapidez de la part´ıcula ıcula en el instante t = 1 R/ 2 2 b ) Si la part part´´ıcula toca to ca al plano xy xy en en el instante t instante t = 0, halle otro instante t1 en que
la part´ıcula ıcula toca nuevamente el plano plano xy xy.. R/ t t = = 2 c ) Halle el espacio recorrido por p or la part part´´ıcula desde t t = = 0 hasta t hasta t = = t t 1 . 50. En los siguientes siguientes ejerc ejercicios icios,, repre represent sentee la curv curvaa dada mediante la inte intersec rsecci´ ci´on on de dos superficies. Halle ecuaciones param´ etricas para cada curv etricas curva. a. a ) x2 + z 2 = 4, y 2 + z 2 = 4 (primer octante)
√ − √ −
R/ x = R/ x = t, t, y = = t, t, z = 4 t2 R/ x = = t, t, y = 4t , z = 1t t4 + 16t 16t2
b ) x2 +y2 +z 2 = 16, xy xy = = 4 (primer octante) t
51. Sea C una una curva en el espacio dada por α(t) =
ˆ
− 16
β (u)du donde β (u) = (u cos( cos(u u), u sen( sen(u u), 1).
0
Calcule la longitud de arco de la curva C C desde desde el punto α punto α(0) (0) hasta el punto α punto α(1). (1). 52. Halle las ecuaciones ecuaciones de los planos normal principal, principal, rectificante rectificante y osculador de la curv curvaa intersecci´ on de las superfices on x2 + y 2 + z 2 = 6 en el punto A(1 (1,, 1, 2). osculador: y osculador: y = 1
x2
R/: P 0 : y = 1. P N N : 2x
− y2 + z2 = 4
+ 2z 2 z − 5 = 0 Plano − z = 0, P R : x x +
53. Relacione Relacione la ecuaci´ ecuaci´on on con la superficie definida por ella. Adem´as, identifique el tipo de cada superficie (paraboloide, elipsoide, etc´etera). etera). 4z 2 = 10 a ) x2 + y 2 + 4z
d ) y 2 + z 2 = x 2
2z 2 = 8 g ) x2 + 2z
j ) z =
4y 2 b ) z 2 + 4y
= y y 2 e ) x =
h ) z 2 + x2
4z 2 = y 2 k ) x2 + 4z
− 4x2 = 4
c ) 9y 2 + z 2 = 16
− z2 ) x = −y 2 − z 2 f )
5
− y2 = 1 = z z 2 − y 2 i ) x =
−4x2 − y2
4y 2 + 2z 2z 2 = 36 l ) 9x2 + 4y
54. Trace las superficies de: a ) x2 + 4z 2 = 16
f ) x2
b ) 36z 2 + 9x2 + 4y2 = 36
g ) z = y 2
c ) z = 18
− x2 − 9y2
h ) z
d ) 4x2 + 9z 2 = 9y 2
− y2 = z
k ) x2 + 2y 2 + z 2
− 4x + 4y − 2z + 3 = 0. l ) x2 + y 2 + z 2 + 9x − 2y + 10z +19 = 0 m ) 5x2 + (y − 5)2 + 5z 2 = 25
− ey = 0
≤ θ ≤ 2π n ) y + x2 + 4z 2 = 4 e ) z 2 − x2 − y2 = 1 j ) 9x2 + 9y 2 + 9z 2 − 6x + 18y + 1 = 0n ˜ ) yz = 1 55. Hallar la ecuaci´on cartesiana de la esfera que tiene los puntos (5, −2, 3) y (0, 4, −3) i ) z = sin θ,
0
como extremos de un di´ametro.
56. Exprese el a´rea A de la secci´on transversal del elipsoide x2 +
y 2 z 2 + =1 4 9
determinada por el plano z = c como funci´on de c. (El a´rea de una elipse con semiejes a y b es π ab). 57. Use rebanadas perpendiculares al eje z para calcular el volumen del elipsoide del ejercicio anterior. 58. Determine las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos dados en el sistema de coordenadas esf´ericas: P = (1, 0, 0), Q = (2, π/2, π/2) M = (1, π/3, 3π/4), N = (4, 7π/4, arccos(l/4)). 59. Escriba la ecuaci´ on de la esfera (x
− 1)2 + y2 + z2 = 1 en coordenadas esf´ericas.
60. Sean P y Q dos puntos en R 3 , cuyas coordenadas en el sistema cil´ındrico son (rl , θ1 , z1 ) y (r2 , θ2 , z2 ), respectivamente. Demuestre que la distancia d entre estos dos puntos es d =
r12 + r22
− 2r1r2 cos(θ1 − θ2) + (z2 − z1)2
61. Sean P y Q dos puntos en R3 , cuyas coordenadas en el sistema esf´erico son (r1 , θ1 , φ1 ) y (r2 , θ2 , φ2 ) , respectivamente. Demuestre que la distancia d entre estos dos puntos es d =
r12 + r22
− 2r1r2[sin φ sin φ cos(θ1 − θ2) + cos φ1 cos φ2
62. Las cuatro figuras son gr´aficas de la superficie cu´adrica z = x 2 + y 2 . Asociar cada una de las cuatro gr´aficas con el punto en el espacio desde el cual se ve el paraboloide. Los cuatro puntos son (0, 0, 20), (0, 20, 0), (20, 0, 0) y (10, 10, 20).
63. Dibujar la regi´ on limitada por las gr´aficas de las ecuaciones.
2
a ) z = 2
2
x + y , z = 2 √ √ b ) z = 4 − x2 , y = 4 − x2 , c ) x2 + y 2 = 1,
d ) z =
− 4
x2
x + z = 2,
− y2,
x = 0,
z = 0
y = 2z,
z = 0 6
y = 0,
z = 0
64. Hallar una ecuaci´on para la superficie de revoluci´on generada al girar la curva sobre el eje dado
65. Hallar una ecuaci´on de una directriz dada la ecuaci´on de su superficie de revoluci´on. a ) x2 + y 2 b)
x2
+ z2
e ) y 2 + z 2
− 2z = 0, cos2
= y c ) 2x + 3z = 1 d ) x2 + 2y 2 + z 2 = 3y
f ) y = e x g ) x2
2
− 4x = 0 +z 2
− y2 = en2z
2 6 66. Determine los puntos donde la recta x− = y−+2 = z3− /2 interseca al elipsoide 2 3 z2 =1 81
x2 9
2
+ y36 +
67. Usar el m´ etodo de las capas para encontrar el volumen del s´olido que se encuentra debajo de la superficie de revoluci´on y sobre el plano xy.
− x2 en el plano xz se gira en torno al eje z . b ) La curva z = sin y, (0 ≤ y ≤ π en el plano y z se gira en torno al eje z.
a ) La curva z = 4x
68. Dise˜ nado para absorber no de m´ aquinas La parte superior de un buje de caucho, dise˜ las vibraciones en un autom´ovil, es la superficie de revoluci´on generada al girar la curva y = 12 y 2 + 1 (0 y 2) en el plano y z en torno al eje z.
≤ ≤
on de la superficie de revoluci´on. a ) Hallar una ecuaci´ an en cent´ımetros y el buje es fijo en el plano xy. Usar el b ) Todas las medidas est´ m´etodo de capas para encontrar su volumen. c ) El buje tiene un orificio de 1 cent´ımetro de di´ ametro que pasa por su centro y en
paralelo al eje de revoluci´on. Hallar el volumen del buje de caucho. e la curva de intersecci´on de las superficies x 2 + 3y2 d ) Explicar por qu´ y 2x2 + 6y 2
− 4z2 − 3x = 2 se encuentra en un plano.
− 2z2 + 2y = 4
69. Determinar si la declaraci´ on es Verdadera o Falsa. Si es falsa, explicar por qu´ e o dar un ejemplo que pruebe su falsedad. a ) Una esfera es un elipsoide.
´ nica. b ) La directriz de una superficie de revoluci´on es u c ) Todas las trazas de un elipsoide son elipses. d ) Todas las trazas de un hiperboloide de una hoja son hiperboloides. e ) La gr´ afica de cualquier ecuaci´on de la forma F (x,y,z) = 0 es siempre una superficie
de dos dimensiones en el espacio. afica en el espacio de una ecuaci´on de la forma f (x, y) = 0 es un “cilindro” f ) La gr´ consistente en rectas verticales que pasan por la curva f (x, y) = 0 en el plano xy. g ) Si a > 0, entonces la gr´afica en el espacio de la ecuaci´on x2 +y 2 = a 2 es un cilindro. h ) La gr´ afica en el espacio de 4y 2 + 9z 2 = 36 es un cilindro el´ıptico.
7
i ) La gr´ afica de 4x2 + 4y 2 + z 2 = 4 es un elipsoide. j ) La gr´ afica de z 2 = x 2 + y2 es un cono. x2 a2
y2 b2
2
− zc = 1 es un hiperboloide de una hoja. afica de la ecuaci´on zc − xa − yb = 1 es un hiperboloide de una hoja. l ) La gr´ olico. m ) Si c > 0, entonces la gr´afica de yb − xa = zc es un paraboloide hiperb´ k ) La gr´ afica de la ecuaci´on
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n ) La gr´ afica en el espacio de la ecuaci´on z = ax 2 + by 2 es un paraboloide el´ıptico si a
y b son ambos positivos, pero es un paraboloide hiperb´olico si esos dos coeficientes son ambos negativos. n ˜ ) El punto P con coordenadas esf´ ericas (8, 56 π, 13 π) tiene coordenadas rectangulares
√ −
(2, 2 3, 12). o ) El paraboloide con ecuaci´ on en coordenadas rectangulares z = x 2 + y 2 tiene ecua-
ci´ on en coordenadas esf´ericas ρ = csc φ cot φ. afica de la ecuaci´on en coordenadas esf´ericas ρ = 2cos φ es una esfera de p ) La gr´ radio 1. 70. Pregunta Las siguientes preguntas se relacionan con las gr´aficas posibles de la ecuaci´on de segundo grado Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dx + Ey + F z + H = 0
(1)
afica a) un elipsoide; b) a ) ¿En qu´e condiciones de los coeficientes A, B y C es la gr´ un paraboloide; c) un hiperboloide? e condiciones de los coeficientes es la gr´afica un cono o un cilindro? b ) ¿En qu´ c ) Adem´ as de elipsoides, paraboloides, hiperboloides, conos y cilindros, ¿cu´ales son
las otras posibilidades para la gr´afica de la ecuaci´on en (1)? D´e un ejemplo que ilustre cada posibilidad. 71. Pensar Abajo se muestran tres tipos de superficies “ topol´ogicas” cl´asicas. La esfera y el toro tienen “interior” y “exterior”. ¿Tiene la botella de Klein interior y exterior? Explicar.
72. Asociar la ecuaci´on dada en terminos de coordenadas cilindricas o esfericas con su grafica a ) r = 5
c ) r2 = z
b ) ρ = 5
d ) θ =
e ) φ =
π 4
π 4
f ) ρ = 4 sec φ
73. Dibujar el s´olido que tiene la descripci´on dada en coordenadas cil´ındricas 8
a ) 0
≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ z ≤ r cos θ b ) −π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ a, r ≤ z ≤ a c ) 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 4, z 2 ≤ −r2 + 6r − 8 d ) 0 ≤ θ ≤ 2π, 74. Convertir la ecuaci´on rectangular a una ecuaci´on a) en coordenadas cil´ındricas y b) en coordenadas esf´ericas. a ) x2 + y 2 + z 2
− 2z = 0
b ) x2 + y 2 = z
c ) y = 4
e ) 4(x2 + y 2 ) = z 2
d ) x2
f ) x2 + y 2 = 4y
− y2 = 9
75. Dibujar el s´olido que tiene la descripci´on dada en coordenadas esfericas a ) 0
≤ θ ≤ 2π, b ) 0 ≤ θ ≤ 2π, c ) 0 ≤ θ ≤ π/2, d ) 0 ≤ θ ≤ π,
0
≤ φ ≤ π/6, 0 ≤ ρ ≤ a sec φ π/4 ≤ φ ≤ π/2, 0 ≤ ρ ≤ 1 0 ≤ φ ≤ π/2, 0 ≤ ρ ≤ 2 0 ≤ φ ≤ π/2, 1 ≤ ρ ≤ 3
76. Determinar si la declaraci´on es Verdadera o Falsa. Si es falsa, explicar por qu´ e o dar un ejemplo que pruebe que es falsa a ) Las coordenadas esf´ericas la gr´ afica de θ = c es un semiplano y no un plano entero b ) En coordenadas cil´ ındricas, la ecuaci´on r = z es un cilindro. c ) Las ecuaciones ρ = 2 y x 2 + y 2 + z 2 = 4 representan la misma superficie. d ) Las coordenadas cil´ındricas de un punto (x,y,z) son u ´nicas. e ) Las coordenadas esf´ ericas de un punto (x,y,z) son u ´nicas.
77. Identificar la curva de intersecci´ on de las superficies (en coordenadas cil´ındricas) z = sin θ y r = 1. 78. Identificar la curva de intersecci´ on de las superficies (en coordenadas esf´ericas ρ = 2 sec φ y ρ = 4. 79. Pruebe que la proyecci´ on en el plano yz de la curva de intersecci´on de las superficies x = 1 y 2 y x = y 2 + z 2 es una elipse
−
80. Demuestre que la proyecci´ on en el plano xy de la intersecci´on del plano z = y y el paraboloide 2 2 z = x + y es una circunferencia. 81. Una esfera de radio 2 est´a centrada en el origen. Se perfora un agujero de diametro 2 a trav´ es de la esfera, donde el eje del agujero coincide con el eje z. Describa la regi´on s´olida que queda en a) coordenadas cil´ındricas; b) coordenadas esf´ericas.
9
Funciones en varias variables 1. Relacione las figuras con el dominio de una de las funciones a ) f (x, y) =
− y
x2
− y2) √ √ c ) f (x, y) = x + y − x √ d ) f (x, y) = xy
e ) f (x, y) =
x4 + y 4 xy
f ) f (x, y) =
−
b ) f (x, y) = ln (x
x y
1
g ) f (x, y) = sin−1 (xy)
h ) f (x, y) =
2. Relacione las curvas de nivel con su respectiva funci´on grafica.
10
x2 + y 2 y x
−
−1
3. Determine el dominio y rango de la funci´ on f (x, y) = 4. Dado f (x, y) = 6 +
1 3
− 36
9x2
− 4y2
− 36
x2
− y2
on. a ) Encuentre el dominio y rango de la funci´ b ) Trace la gr´ afica de f .
5. Determine anal´ıtica y gr´aficamente el dominio de las siguientes funciones a ) f (x, y) = ln(y 2
x2 ) + arcsin(y − 2) − − √ 16−x −y √ y −1 b ) g(x, y) = ln(x +y −4) + √ x −y √ c ) f (x, y) = y sen x 2
2
d ) g(x, y) = e ) f (x, y) =
6. Si f (x + y, x
2
2
2
2
− 9
x2
− y2
2
sen(x2 + y 2 ) + arc sen( yx )
y 3 +ln(x) x 4)3 +y 6
−
− y) = xy + y2, halle f (x, y)
7. Para el paraboloide el´ıptico z = f (x, y) = (x 1)2 + (y grafica utilizando curvas de nivel para c = 1, 2, 3, 4.
−
8. Sea f (x, y) = 8
− 1)2 haga un bosquejo de la
− x2 − 2y haga un bosquejo de la grafica utilizando curvas de nivel.
9. Bosqueje las superficies de nivel de la funci´ on f (x,y,z) =
x2 +
y2 + z2 4
10. Encuentre una ecuaci´ on para la curva de nivel de la funci´on f (x, y) que pasa por el punto dado. a ) f (x, y) = y 2 arctan(x2 ), punto P (1, 4) y
b ) f (x, y) =
−√ 2, √ 2)
dt , punto P ( 1 + t2
ˆ
x
c ) f (x, y) =
∞
x y
n
n=0
, punto P (1, 2)
11. Encuentre una ecuaci´on para la superficie de nivel de la funci´on f (x,y,z) que pasa por el punto dado.
√ x − y − ln(z), punto P (3, −1, 1)
a ) f (x,y,z) =
y
b ) f (x,y,z) =
ˆ
x
c ) f (x,y,z) =
dt + 1 + t2
√
∞ (x + y)n
n=0
n!z n
z
ˆ
du
√ √ u2 − 1 , punto P (0, 1/2, 2) 2 2
, punto P (ln2, ln 4, 3)
12. Una compa˜ n´ıa fabrica una caja rectangular cerrada de modo que su volumen sea de 3 36 m . El material para la base y la tapa cuesta $12 el metro cuadrado; para los lados de enfrente y de atr´as. $10 el metro cuadrado; y los otros dos lados $8 el metro cuadrado. 11
a ) Si C denota el costo total de la caja, determine C en funci´ on de las dimensiones
de la base de la caja. b ) Calcule el costo total de construir una caja cuyas dimensiones de la base son: largo
2 metros y ancho 3 metros. 13. Trace la gr´ afica de las siguientes funciones: a ) f (x, y) = 3
−
b ) g(x, y) = 4 +
x2 + y 2
− 4y + 4
−
9 + x2 + y2
x3 + yz 2 (x,y,z )→(0,0) x4 + y 2 + z 2 x2 + y 2 z 2 b) l´ım (x,y,z )→(0,0) x2 + y 2 + z 2 x4 + yx 3 + z 2 x2 l´ım c ) (x,y,z )→(0,0) x4 + y 4 + z 4 l´ım
d )
−
− 4x − 6y + 12 16x + 4y − 4x2 − y 2 − 4
3 4
d ) j(x, y) = 5
14. Demostrar que los siguientes limites NO existe a )
x2 + y 2
c ) h(x, y) = 3 +
x2 y 2 z 2 (x,y,z)→(0,0) x6 + y 6 + z 6 l´ım
x2 z 3 y l´ım e ) (x,y,z)→(0,0) x6 + z 6
15. Demostrar que los siguientes limites SI existe y 3 + xz 2 a ) l´ım (x,y,z )→(0,0) x2 + y 2 + z 2
b)
xy + xz + yz
l´ım
(x,y,z)
→(0,0)
16. Determine los siguientes Limites a ) b) c ) d ) e ) f ) g )
xy 2 (x,y)→(0,0) x3 + y 3 2xy 2 3 l´ım (x,y)→(−2,3) x2 + y 2 x3 y 3 1 l´ım 1 (x,y)→(−1,−1) x2 y 2 2 2x y l´ım (x,y)→(0,0) x4 + y 2 cos x 1 x2 /2 l´ım x4 + y 4 (x,y)→(0,0) x2 xy l´ım x y (x,y)→(0,0) l´ım
j )
−
(x,y)
l )
m ) n )
n ˜ )
2
→(−1,2) sin2 (2x + y)
ln(43 + 7xy)) h ) l´ım (x,y)→(−3,2) arctan(3xy + 18) 4xy l´ım i ) (x,y)→(0,0) x2 + y 2
17. Demuestre usando la definici´ on ǫ a ) b)
l´ım
(x,y)
→(1,2)
l´ım
(x,y)
9y2 (x + 1) + 3x2 3y 2 + x2 (x,y )→(0,0) l´ım
−
− −
l´ım
x2 + y2 + z 2
x2 y 2 k ) l´ım (x,y )→(0,0) x2 + y 2
− −
√ −− √ 1 − e(2x+y )
o) p)
xy + yz + xz (x,y,z)→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2 l´ım
1
l´ım
(x,y )
→(0,0)
− cos(x2 + y2) x2 + y 2
l´ım
(x2 + y 2 )ln(x2 + y 2 )
l´ım
tan−1
(x,y )
(x,y )
→(0,0) →(0,1)
l´ım
(x,y )
→(0,0)
x2
−
x (x,y )→(1,1) x3 l´ım
x2 + 1 x2 + (y 1)2
y2
x2 + y2
−y −y
− δ que
x + y2 = 5
→(3,−1)
x2 + 2xy = 3
18. Usando la definici´ on ǫ
− δ determine si existen los siguientes limites 12
−
4xy 3 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x2 b) l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2
a )
l´ım
c )
3x2 y (x,y )→(0,0) x2 + y 2
d )
x4 y (x,y )→(0,0) x4 + y 4
l´ım l´ım
19. Determine la continuidad de las siguientes funciones
a ) f (x, y) =
b ) f (x, y) =
c ) f (x, y) =
2xy x2 + y 2 0
(x, y) = (0, 0)
d ) f (x, y) =
(x, y) = (0, 0)
sin(xy) xy 1
(x, y) = (0, 0)
e ) f (x, y) =
(x, y) = (0, 0)
xy 2 x2 + y 2 0
(x, y) = (0, 0)
f ) f (x, y) =
(x, y) = (0, 0)
x4 + y 4 arctan 2 x + y2 20. Dada la funci´on f (x, y) = A para que la funci´on f sea continua en (0, 0).
x3 y 3 x2 y + (y x)2 0
(x, y) = (0, 0)
−
2
x2 +y 2 ln 2
x2
+
−1 +
y2
(x, y) = (0, 0)
cos x 1 + x2
2 x3 y x2 + y 2 0
(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
Calcule el valor de A
(x, y) = (0, 0)
y(x 3) (x, y) = (3, 0) 4y2 + (x 3)2 21. Sea f (x, y) = a) Determine los puntos donde la 2 (x, y) = (3, 0) funci´ on no es continua. b) Indique el tipo de discontinuidad que presenta f .
−
−
22. Determine si la funci´on dada es continua en el punto (0, 0).
f (x, y) =
15x2 + 15y2 + 16 x2 + y 2 2
23. Dada la funci´ on f (x, y) = ln(4x2 + 9y2
−
− 16
x2
− y2
(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
− 36). Halle el conjunto donde f es continua.
24. Determinar si la declaraci´on es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qu´e o dar un ejemplo que demuestre que es falsa
−
25 x2 y2 es el conjunto de todos los puntos (x, y) cuya distancia al origen (0, 0) es menor que 5.
a ) El dominio de la funci´ on f definido por la f´ormula f (x, y) =
−
afica de la funci´on f de dos variables es el conjunto de todos los puntos en b ) La gr´ el espacio con coordenadas de la forma ( x,y,f (x, y)).
− 12 x − 13 y es un plano. d ) La gr´ afica de la funci´on g(x, y) = 14 4 − 4x2 − y 2 es un elipsoide. c ) La gr´ afica de la funci´on f (x, y) = 2
e ) Una curva de nivel de una funci´on f de dos variables es precisamente lo mismo
que una curva de contorno de f .
f ) Si k es una constante, entonces la gr´afica de la funci´ on x2 + y 2
− z 2 = k es un
hiperboloide de una hoja, debido a que s´olo hay un signo menos en el lado izquierdo de la ecuaci´on. g ) Si
l´ım
(x,y)
→(0,0)
f (x, y) = 0, entonces
l´ım
(x,0)
→(0,0)
13
f (x, 0) = 0
h ) Si
l´ım
(x,y)
→(0,0)
f (0, y) = 0, entonces
l´ım
(x,y)
→(0,0)
f (x, y) = 0
i ) Si f es continua para todo x y para todo y distintos de cero, y f (0, 0) = 0 entonces
l´ım
(x,y)
j ) Si k ) Si l ) Si m ) Si
0.
→(0,0)
f (x, y) = 0
l´ım
f (x, y) = 4, entonces
l´ım
f (x, 3) = 4, entonces
l´ım
f (x, 3) =
l´ım
f (x, y) = 0, entonces para cualquier n´umero real k,
(x,y)
→(2,3)
(x,3)
→(2,3)
(x,3)
→(2,3)
(x,y )
→(0,0)
l´ım
(2,y )
→(2,3)
25. Determine si la funci´ on f (x, y) = en el plano xy. (a) x2 + y 2 < 1,
l´ım
f (x, 3) = 4
l´ım
f (x, y) = 4
(x,3)
→(2,3)
(x,y)
→(2,3)
f (2, y) = 4, entonces
x+y 0
x
≥ 2
x < 2
(b) x
≥ 0
l´ım
(x,y )
→(2,3)
f (x, y) = 4 l´ım
(x,y )
→(0,0)
f (kx,y) =
es continua en los conjuntos dados (c) y > x
√ x +xyy −25 es continua en los conjuntos dados en el plano xy. (a) y ≥ 3, (b) |x| + |y | < 1 (c) (x − 2)2 + y 2 < 1 1 27. Demuestre que l´ım sin(xy) = 0 (Ayuda: |sen(w)| ≤ |w| para valores peque˜nos) (x,y)→(0,0) x 26. Determine si la funci´ on f (x, y) =
2
2
14
UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ aticas
TALLER II Profesor: H. Fabian Ramirez Derivadas parciales 1. Encuentra la derivada direccional del campo escalar f (x,y,z) = e x cos y + ey sin z en el punto P (2, 1, 0) en direcci´on al punto Q( 1, 2, 2). b) ¿En qu´e direcci´o n es m´axima la derivada direccional? c) ¿Cu´ al es el valor de ese m´aximo?
−
2. Suponga que ψ(x,y,z)
= xy 2 z y F
P (1, 2, 2).
∂ 3 = x i + j + xy k. Encuentre (ψ F ) en el punto ∂x 2 ∂z
◦
−x2yz 2 + 2xy2z = 1 en el punto
3. Encuentre un vector normal unitario a la superificie P (1, 1, 1).
4. Encuentre una ecuaci´ on para el plano tangente a la superificie x2 yz punto P (1, 2, 1). 5. Encuentre el ´angulo entre las superificies z = x2 + y 2 y z = (x punto
√ 6 √ 6 6
,
12
,
1 12
.
−
− 4xyz 2 = −6 en el
√ 6 6
)2 + (y
−
√ 6 6
)2 en el
6. Sea R la distancia desde un punto fijo A(a,b,c) a cualquier punto P (x,y,z). Demuestre que R es un vector unitario en la direcci´on AP .
∇
7. Sea P cualquier punto sobre una elipse cuyos focos son los puntos A y B, como se ilustra en la figura. Demuestre que las rectas AP y BP forman ´angulos iguales con la tangente a la elipse en P . 8. Obtenga todas las derivadas parciales de las funciones indicadas a ) f (x, y) = arcsen yx + arc cos xy b ) f (x, y) = (2x + 3y)x + (2x + 3y)y x
y
c ) f (x, y) = x y + y x + (xy )x (yx )y d ) f (x,y,z,u) = x y+z +u z x+y+u n
9. Sea f (x1 , x2 , . . . xn ) = ln(x1 x2 . . . xn ). Calcule
i=1
10. Sea g : f : R 2
R
∂f ∂x i
→ R una funci´on continua y positiva definida en R. Considere la funci´on
→ R dada por
y
f (x, y) =
ˆ
g(t)dt
x
∈ R 2 se tiene que f (x, y) > 0? ¿Para qu´e puntos (x, y) ∈ R 2 se tiene que f (x, y) < 0? ¿Para qu´e puntos (x, y)
¿Cu´ al es el nivel cero de f (x, y)?
Calcule las derivadas parciales de la funci´on f . 11. Calcule las derivadas parciales de cada una de las funciones, donde g : funci´ on continua.
15
R
→ R una
y
a ) f (x, y) =
ˆ
2
x+y+z
2
(x + y )g(t)dt
c ) f (x,y,z) =
xy
ˆ
g(t)dt
xyz y
y
ˆ ˆ b ) f (x, y) =
x
g(t)dt
x
g(g)dt
ˆ ˆ ˆ g(t)dt g(t)dt
d ) f (x,y,z) =
x+y+z
g(t)dt
x+y +z
1
12. Para cada una de las siguientes funciones, en las que g, h : R R son funciones definidas en R, diferenciables (es decir, tal que g ′ (t) y h′ (t) existen para todo t R), calcule sus derivadas parciales.
→
a ) f (x, y) = ln(1 + x2 )
∈
2 (y)
(ln(1+ g2 (x)))h
b ) f (x,y,z) = g(g(x)g(g(y)g(h(z)))) c ) f (x,y,z) = (g(x))(h(y))
g(z) 2
d ) f (x,y,Z ) = yz(sen(1 + h2 (x)))(x
+1)
13. Sea ψ una funci´ on real de variable real, diferenciable en dada satisface la expresi´ on indicada. a ) f (x, y) = x 2 ψ(3x + y 2 ), b ) f (x, y) = e x+y ψ(xey ), c ) f (x, y) =
x+y x2 + y 2
d ) z = sin(x2 + y 2 ),
R Demuestre
que la funci´on
2xy ∂f ∂x
− 3x ∂f ∂y = 4yz ∂f x ∂f ∂x − ∂y = z(x − 1)
∂ 2 f ∂ 2 f + 2 =0 ∂x 2 ∂y ∂ 2 z ∂ 2 f y 2 x ∂x ∂y∂x
∂z =0 − ∂y
−
x2 y (x, y) = (0, 0) x4 + y 2 14. Sea f : R2 on f (x, y) = Demuestre que R la funci´ 0 (x, y) = (0, 0) esta funci´on no es continua en (0, 0) y Demuestre que esta funci´on posee derivadas direccionales en (0, 0) en todas direcciones, es decir, calcule D f donde v = (a, b) R 2 un vector unitario dado. Ahora conteste la siguiente pregunta ¿una funci´on f : U ∂f n U si las derivadas direccionales ∂x (x0 ) R R es diferenciable en el punto x0 i n existen para todo vector v R ?
→
→
v
∈
⊂
∈
∈
15. Identifique las expresiones dadas como derivadas direccionales de funciones de varias variables en la direcci´on de un vector unitario v. Obtenga la derivada direccional que se indica. a ) l´ım
x2 (y
− √ 3t/2)(z − t/2) − x2yz
t (y + t)2 cos3 (xy + xt) b ) l´ım t→0 t t
→0
− y2 cos3(xy)
16. Sea f : U R n R una funci´ on diferenciable definida en el conjunto abierto U de R n . Sea u Rn un vector no nulo de Rn , no necesariamente de norma 1 y sea v = . Demuestre que ∂f 1 ∂f = u ∂ u ∂ v
∈
⊂
→
u
u
Verifique este resultado con la funci´on f (x, y) = x 2 + y 2 , y el vector u = (1, 1). 17. Calcule la derivada direccional de la funci´on dada en la direcci´on del vector indicado. a ) f (x, y) = x 3
1 + 3 tan6 (x2 + x102 ), 16
v = (0, 1).
b ) f (x, y) = 3x + 2y + 7z en la direcci´on del vector u = (3, 2,
−5).
on del c ) f (x,y,z) = x ln y + y ln z + z ln x, en el punto p = (1, 1, 1), en la direcci´ vector v = (a,a,a) (a > 0) 18. Calcule la derivada direccional de la funci´on f (x, y) = 5x2 y 3 en el punto p = (1, 1) a ) en la direcci´ on del vector que va de p al punto (3, b ) en la direcci´ on del vector que va de p al origen,
−2),
c ) en la direcci´ on del vector tangente al c´ırculo x 2 + y 2 = 2 en p,
on del vector p. d ) en la direcci´ 19. Calcule la derivada direccional de la funci´ on f (x, y) = x sen y en el punto (3, O), en la direcci´ on del vector tangente a la par´abola y = x 2 en el punto (1, 1). x2 + y 2 en los puntos x 2y = 0, en la direcci´on de la normal a este c´ırculo, es igual a cero.
20. Demuestre que la derivada direccional de la funci´on f (x, y) = del c´ırculo x 2 + y 2
−
21. Sea f (x, y) = x 2 + y 2 . ¿En qu´e direcci´on es igual a cero la derivada de esta funci´on en el punto (1, 1)?, ¿En qu´e direcci´on es igual a cero la derivada de esta funci´on en los puntos del c´ırculo unitario x 2 + y2 = 1? 22. En cada uno de los siguientes ejercicios, se da una funci´ on f : U R 2 R y un punto p U . Compruebe que la derivada direccional de f en p, en la direcci´on de (la tangente a) la curva de nivel que pasa por p (es decir, la curva f (x, y) = f ( p)) es igual a cero.
⊂
∈
a ) f (x, y) = 5x2 + 6y 2 , b ) f (x, y) = sin xy, x y
c ) f (x, y) = e e ,
→
p = ( 1, 0)
−
p = (2, 3) p = (0, 0)
⊂ R2 → R una funci´on diferenciable definida en el conjunto abierto U de ∂f ∂f ( p) = 3. ( p) = 4. ¿En qu´ e direcci´ on se tiene R2 y sea p ∈ U . Suponga que ∂x ∂y
23. Sea f : U
∂f ∂f que ( p) = 2?, ¿en qu´e direcci´on se tiene ( p) = 0?, ¿en qu´ e direcci´ on se tiene ∂ v ∂ v ∂f ∂f ( p) = 5? ¿Hay alguna direcci´on en la que ( p) = 6? ∂ v ∂ v
− 24. Seaf : U ⊂ R3 → R una funci´ on diferenciable definida en el conjunto abierto U de R3 ∂f ∂f ∂f ∂f y sea p ∈ U . Suponga que ( p) = 6, ( p) = 0, ( p) = 8. Demuestre que = 10 ∂x ∂y ∂z ∂ v es el m´aximo valor que puede tomar la derivada direccional de f en p, y que este se logra en la direcci´on del vector unitario u = (3/5, O, 4/5). ¿Cu´al es el m´ınimo valor ∂f (absoluto) que puede tomar ?, ¿en qu´e direcci´on se tiene este valor? ∂ v
⊂ R2 → R una funci´on diferenciable definida en el conjunto abierto U de √ √ ∂f ∂f ( p) = 3. ( p) = 2, donde u = (1/ 2, −1/ 2), R2 y sea p ∈ U . Suponga que ∂ u ∂ v √
25. Sea f : U
v = ( 3/2, 1/2). Calcule las derivadas parciales de f en p.
26. Sea f : R 3
→ R la funci´on f (x,y,z) = z − x2 − y. on forma un a ) Determine los puntos (x,y,z) ∈ R3 en que el gradiente de esta funci´ ´angulo de π /3 con el vector u = (2, 1, 1).
b ) Determine los puntos (x,y,z) R3 donde el gradiente de esta funci´on est´e en la direcci´ on del vector u = (1, 1, 1).
∈
c ) Detemine los puntos (x,y,z) R3 en que el gradiente de esta funci´on es perpendicular al vector u = (2, 1, 1).
−
∈
17
√
27. Considere las funciones f (x, y) = 3x2 + 2y2 , g(x, y) = 7 ln x + 3y. Demuestre que la derivada de la funci´on f en el punto p = (1, 1) en la direcci´on del gradiente de la funci´on g en p es igual a la derivada de la funci´on g en p en la direcci´on del gradiente de la funci´ on f en p. ¿Ocurre lo mismo con las funciones f (x, y) = x 2 + y 2 , g(x, y) = 2x + y, en el punto p = (2, 1)? 28. Para cada una de las siguientes funciones z = f (x, y) o w = F (x,y,z), determine un vector normal a su gr´afica en el punto indicado.
−128π2 en un punto cualquiera p = (x0, y0)
a ) f (x, y) =
b ) f (x, y) = e y cos x en el punto p = (0, 1)
c ) f (x, y) = sen(sen x cos y) en el punto p = (π, π) d ) x2 y 2 + x2 z 2 + y2 z 2 + xyz e ) xy + xz + z x
− 4 = 0 en el punto p = (1, 1, 1)
− 3xyz = 0 en el punto p = (1, 1, 1)
29. En los siguientes ejercicios se da una funci´ on z = f (x, y) o una ecuaci´on de una superficie S y un vector n R3 . Determine el (los) punto(s) de la gr´afica de la funci´on (si los hay) para los que el vector n es un vector normal
∈
a ) f (x, y) = 2x2 + 3xy + 5y2 , b ) f (x, y) = ln(l + x + 2y), c ) f (x, y) = sen
x2 + y2 ,
d ) x2 + y 2 + z 2 = 4, e )
x2
+ 2y 2
f ) x2 + 4y 2
+ 3z 2
n = (3, 2,
n = ( 1,
−3)
− −3, 4) n = (0, 0, −3)
n = (2, 2, 2)
= 1, n = ( 2, 3, 6)
−
− z2 = 1, n = (0, 3, 4) 2
30. hallar la ecuaci´ on del plano tangente y de la recta normal a la superficie z = x 2 y+ex en el punto en que x = 1, y = 1.
+y 2
31. En los siguientes ejercicios se da la ecuaci´on de una superficie en el espacio tridimensional y un punto p de ella. Determine la ecuaci´on del plano tangente a la superficie en el punto p. a ) z 2 + 3z
− x2 − y2 − 2 = 0, p = (l, 1, 1) p = (0.0, 0) b ) x − y 2 − z2 = 0, c ) x2 + y 2 + z 2 − 4x − 8y − 16z + 54 = 0,
p = (1, 2, 3)
32. Determine la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = x 2 + y 2 que sea paralelo al plano 3x + 8y 5z = 10.
−
33. Determine la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = x 2 + xy que sea perpendicular a los planos x + y z = 3 y 2x y + z = 4.
−
−
34. Determine la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = 3x2 8xy + 5y 2 en el punto en que la recta normal tenga por vector paralelo a v = ( 1, 0, 2).
−
−
35. Halle la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = x 2 +y 2 4x que sea perpendicular a la recta x = 3 + 4t, y = 2t, z = 1 + t, t R .
−
∈
−
36. Determine las ecuaciones de los planos tangentes al elipsoide x2 + 3y 2 + 5z 2 = 1 que sean paralelos al plano tangente a la superficie z = xy en el punto p = (l.l.1), 37. Hallar los puntos del elipsoide x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 6 en los que la recta normal que pasa por ellos es perpendicular al plano 4x 6y + 3z = 7.
−
38. Determine las ecuaciones de Jos planos tangentes al elipsoide x 2 + y 2 + 2z 2 = 2 en los puntos de intersecci´on de ´este con la recta x = 3t, y = 2t, z = t, t R
∈
18
39. Demostrar que el plano 2x 6y + 3z 49 = 0 es tangente a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 49. ¿En qu´e punto? Hallar el otro plano tangente a la esfera que sea paralelo al dado.
−
−
40. Los puntos A = (2, 5, 3) y B = ( 1, 2, 3) son los extremos de un di´ametro de una esfera. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a esta esfera en los puntos A y B.
− − −
41. Obtenga la diferencial de la funci´ on dada a ) f (x) = sen3 x2 b ) f (x,y,z,u,w) = xyz + xzw + yuw + zuw 2
c ) w = e −z cos(x2 + y 4 ) d ) g(r, θ) = r 2 cos θ
x2 y 2 42. Calcule aproximadamente el incremento de la funci´ on f (x, y) = cuando el 3x + 2y punto (x, y) de su dominio pasa de (2, 1) a (2.05, 1.1).
−
43. Sea f : R 2
→ R , f (x, y) =
x3 y 2 xy 3 x2 + y 2 0
−
(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
a ) Calcule las derivadas parciales b)
∂ 2 f ∂ 2 f (0, 0) y (0, 0) usando directamente la delinici´on de derivadas parciales ∂x∂y ∂y∂x
44. Sea f : R 2
→ R , f (x, y) =
xy x2 + y 2 0
(x, y) = (0, 0)
Demuestre
(x, y) = (0, 0)
a ) f es discontinua en (0, 0) b ) Calcule las derivadas parciales, existen? c ) ¿Explique en pocas palabras porque f NO es diferencable en (0, 0)? d ) *Demuestre matematicamente porque f no es direnciable
45. Demuestre matematicamente que las siguientes funciones f : R 2 en el punto dado
→ R son diferenciables
a ) f (x, y) = x 2 + y 2 en un punto arbitrario (x0 , y0 ). b ) f (x, y) = xy 2 en el origen (0, 0).
46. Demuestre que la funci´ on f : R2 R, dada por f (x, y) = (0, 0), pero NO es diferenciable en el (0, 0).
→
2
47. Justifique brevemente porque las funciones f (x, y) = e −(x z 3 ) son diferenciables.
+y 2 )
x2 + y 2 ES continua en y g(x, y) = cos(x + y 2 +
48. Para cada una de las siguientes funciones, escriba la expresi´on del residuo de la definici´ on de diferenciabilidad en el punto en cuesti´on, Pruebe que la funci´on es diferenciable. a ) f (x, y) = 4x
− 10y, p = (x0, y0)
c ) f (x, y) = x sen y, p = (0, 0) d ) f (x,y,z) = e x+y+z , p = (0, 0, 0)
b ) f (x, y) = 4x2 y3 , p = (1, 1)
49. Considere la funci´on f : R 2 e aspecto tiene la gr´afica de R , f (x, y) = x + y . ¿Qu´ f ? Demuestre que esta funci´on NO es diferenciable en el origen. ¿En qu´e otros puntos no es diferenciable?
→→
| | | |
19
50. (A manera de recapitulaci´ on: ¿qu´e implica qu´e?). Sea f : U R2 on R una funci´ 2 definida en el conjunto abierto U de R , y sea p un punto de U . A continuaci´on se dan 8 afirmaciones sobre la funci´on f .
⊂
→
a ) f es diferenciable en p. b ) f es continua respecto de su primera variable en p. c ) f es continua respecto de su segunda variable en p.
∈ R2. e ) f es continua en p en la direcci´ on de todo vector v ∈ R 2 .
d ) f es continua en p en la direcci´ on de alg´ un vector v f ) f tiene derivadas parciales en p.
on de cualquier vector v g ) f tiene derivadas direccionales en p en la direcci´
∈ R 2.
h ) f tiene derivadas parciales continuas en alguna bola B contenida en U con centro
en p. Llene el siguiente cuadro, indicando con una V en la l´ınea i y columna j, cuando la afirmaci´ on de la l´ınea i implique la afirmaci´on de la columna j , y con una F cuando no la implique. Por ejemplo, la afirmaci´on (a) implica laafirmaci´on (f ), pero la afirmaci´on (f ) no implica la (a). Estas respuestas ya aparecen en la tabla.
51. Considere la funci´ on f : R 2 f (x, y) =
→ R.
(x2 + y 2 )sin
√ x 1+y 2
2
0
(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
a ) Demuestre que las derivadas parciales de esta funci´ on est´ an dadas por
∂f = ∂x ∂f = ∂x
(2x)sin
√ x 1+y − √ xx+y 2
2
2
2
cos
√ x 1+y 2
2
0 (2y)sin
2
(x, y) = (0, 0)
√ x 1+y − √ xy+y 2
(x, y) = (0, 0)
2
2
cos
√ x 1+y 2
2
0
(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
b ) Demuestre que las derivadas parciales de f son discontinuas en el origen, probando
que el l´ımite de ellas cuando (x, y) tiende a (0, 0) no existe. c ) Constate que el residuo de la definci´ on de diferenciabilidad aplicada a f en el
origen se ve como r(h1 , h2 ) = (h21 + h22 )sen
20
1
h21 +
h22
d ) Demuestre que
r(h1 , h2
l´ım
(h1 ,h2 )
→(0,0) (h1 , h2 )
=0
y concluya entonces que la funci´on es diferenciable en el origen. e ) Responda VERDADERO o FALSO: ¿Si una funcion f : U R2 R es diferenciable en el punto (x0 , y0 ) U , entonces implica que las derivadas parciales de f sean continuas en (x0 , y0 ).?
⊂
∈
→
52. Considere la superficie en R3 definida impl´ıcitamente por F (x,y,z) = xyz + ln(xyz) z = O Hallar la ecuaci´on del plano tangente en p = (1, 1, 1).
−
53. Hallar la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie dada impl´ıcitamente por F (x,y,z) = 36x2 + 9y 2 + 4z 2
− 72x − 36y − 24z + 72 = O
en el punto p = (1, 4, 3). 54. Suponga que la expresi´ on
z2
y +z
ˆ
g(t)dt +
ˆ
(t)dt
3x+y
xz
donde g, h : R R son funciones continuas, define impl´ıcitamente una funci´on diferenciable z = f (x, y). Halle sus derivadas parciales.
→
55. Para pensar Utilizar la gr´afica de la superficie para determinar el signo de la derivada parcial indicada.
a ) f x (4, 1) b ) f y (4, 1) c ) f x ( 1,
− −1) d ) f y (−1, −2) 56. Dada la funci´ on f (x, y) = 3x2 y + x + y. Usando la definici´on de derivada parcial calcule f x (1, 1) y f y ( 1, 1).
−
57. Halle las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones a ) f (x, y) = x 3 2
b ) g(x, y) = e x
− 2x2y2 + 3
−y2 + ln(x2 + y 2 − 4)
c ) h(x,y,z) = 2 cos(xy 2 ) + tan(yz) z
ˆ e d ) f (x,y,z) = ˆ
t2
x
z
e ) f (x,y,z) = x
x2
2
x
dt +
ˆ
− ln(x2 − 4y) + √ xyz
cos(t2 )dt + arctan(xyz) + 8
−y
1 dt + yz 3 2 1 + cos t
58. Considere una recta tangente a la superficie f (x, y) = e x sen(6πy)
− 2x3 + arctan(xy) − 1 +xyx2
la cual se encuentra en un plano paralelo al plano yz, pasa por un punto donde y = 1 y tiene pendiente 12π. Encuentre la ecuaci´on del plano .
−
P
P
21
59. Encuentre los puntos de la superficie f (x, y) = xy(1 es paralelo al plano coordenado xy. 60. Considere el hiperboloide de una hoja z =
− x2
y2
− x − y) donde el plano tangente −4
a ) Encuentre el plano tangente al hiperboloide en el punto A( 6, 2,
−
√ 28)
b ) Halle la ecuaci´ on vectorial de la recta normal al hiperboloide en ei punto A( 6, 2,
−
√ 28).
c ) Determine los puntos sobre el hiperboloide en donde los planos tangentes son
paralelos al plano Q : 2x + y + z = 0. x2 y 2 z 2 61. Demuestre que el plano tangente al elipsoide 2 + 2 + 2 = 1 en un punto (x0 , y0 , z0 ) a b c x0 x y 0 y z 0 z tiene por ecuaci´on Q = 2 + 2 + 2 = 1 a b c 62. Se construye una caja rectangular cerrada de manera que su volum en sea 36 pies c´ ubicos. El costo del material de la tapa y de la base es de $10 el pie cuadrado, el del material para las partes de enfrente y de atr´as es de $9 el pie cuadrado y el material para los otros lados es de $7 el pie cuadrado. a ) Determine la funci´ on de costo C (x, y) , donde x y y son las medidas del largo y el
ancho de la base de la caja respectivamente. b ) Calcule C x (3, 4) y C y (3, 4) e interprete los resultados.
63. Sea C la curva de intersecci´on del paraboloide z = 12
− x2 − y2 con el plano x = 2.
on vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto (2, 2, 4) a ) Halle la ecuaci´ b ) Halle la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = f (x, y) =
perpendicular a la recta tangente obtenida en a). 64. Dada la funci´ on f : R 2
x2 6
+
y2 8 que
es
→ R. f (x, y) =
x2 (y 4) x+y 0
−
si x + y = 0
si x + y = 0
a ) Analice la continuidad de f en el punto ( 4, 4) b ) Halle
∂f ∂f ( 4, 4) y ( 4, 4), si existen ∂x ∂y
−
−
−
65. (Muy interesante ) Dada la funci´on f (x, y) = x2 en los cuales f y (x, y) no existe.
| − 4x + y2 − 6y + 4|, halle los puntos
66. En los siguientes ejercicios, determine las derivadas parciales indicadas en caso de que existan. a ) f x (1,
b ) f x (0,
−1) y f y (1, 0) donde f (x, y) = −1) y f y (0, 1) donde f (x, y) =
c ) f x (0, 0) y f y (0, 0) donde f (x, y) =
1 + cos(πxy) x+y 0 x2 y 2 y + ex 0
x3 y 3 x2 + y 2 0
22
−
si x + y = 0
si x + y = 0
−ex si y = −ex si y =
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
d ) f x ( 1, 1) y f y ( 1, 1) donde f (x, y) =
−
−
x3 + y 2 y2 + x 0
si y 2 + x = 0
si y 2 + x = 0
67. Considere una esfera con centro en el origen y radio 13. Una recta tangente trazada a esta esfera en un punto en el primer octante donde x = 3 est´a en el plano paralelo al plano xz y tiene pendiente 1/4. Encuentre la ecuaci´on del plano.
−
68. En cada uno de los siguientes ejercicios, halle la ecuaci´on del plano tangente y de la recta normal a cada una de las superficies en el punto indicado. a ) z = e 2x cos(3y), b ) z = ln(
P (1, π/3, e2 )
x2 + y 2 ),
c ) z = x ln y,
−
P ( 3, 4, ln5)
−
(1, 1, 0)
69. Halle los puntos de la superficie donde el plano tangente es paralelo al plano coordenado xy. a ) z = x 3
− 12xy + 8y3
b ) f (x, y) = x 3 ye y−3x
c ) Halle la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = 4xy
paralelo al plano Q : 8x
− x4 − y 4 que es
− 8y + z + 28 = 0 angulo entre la recta L = { (−2, 5, 12) + t(4, 1, −3) : t ∈ R} y la d ) Encuentre el ´ 2 2 2 normal a la esfera x + y + z = 121 en el punto de intersecci´on de ia recta y la esfera.
70. ¿En qu´e puntos del gr´ afico de la ecuaci´on x2 + 4y 2 + 16z 2 tangentes paralelos al plano xz?
− 2xy = 12, son los planos
71. Halle un vector tangente a la curva de intersecci´ on de las superficies x 2 y 3xy + 2yz + 6 = 0 en el punto (1, 2, 0).
−
− 3xz + y2z = 1
72. Demuestre que el plano tangente a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 en un punto (x0 , y0 , z0 ) de la esfera (z0 > 0) tiene por ecuaci´on xx0 + yy 0 + zz 0 = 1 73. Halle sobre el cilindro (x + y)2 + (y z)2 = 4 el lugar geom´ etrico de los puntos en los cuales la normal es paralela al plano xy.
−
74. Determine el valor de m para que el plano x 2y superficie de ecuaci´on x 2 + 4y 2 + 16z 2 144 = 0
−
− − 2z + m = 0 sea tangente a la
75. Verifique en cada caso que D 12 f (x, y) = D21 f (x, y). a ) f (x, y) = x 4 + 4x3 y
− 3x2y2 + 6xy3 + 9y4
b ) f (x, y) = e xy sen x cos y 2
c ) f (x, y) = xe −y + x sec y d ) f (x,y,z) = ln
− 1+x 1+z
exy
76. Si f (x, y) = (y + ax)2 ey+ax . Pruebe que f xx = a 2 f yy 77. Dada la funci´ on z = 15 x5
− 2x3 + 25x + ax3y2 + bxy4 + cxy2
a ) Determine los valores de a, b y c de modo que
opuestos.
∂ 2 z ∂ 2 z y sean iguales y de signos ∂x 2 ∂y 2
on en los que el plano b ) Halle los puntos de la superficie representativa de dicha funci´ tangente es horizontal. 23
78. Sea la funci´on f (x, y) = eax+by g(x, y). Si gx (x, y) = gy (x, y) = 1. Halle los valores de las constantes a y b, tales que f x (x, y) = f y (x, y) y 1 + f xy (x, y) = a + f yx (x, y) x 79. Para k una constante positiva y g(x, t) = , sea f (x, y) = 2 kt ∂ 2 f ∂f que k 2 = ∂x ∂t xy ex + ey + 2 si (x, y) = (0, 0) y + x2 80. Dada la funci´ on f (x, y) = 2 si (x, y) = (0, 0)
√
Halle
g (x,y )
ˆ
2
e−u . Pruebe
0
∂ 2 f ∂ 2 f (0, 0) y (0, 0) si es que existen ∂x 2 ∂x∂y
81. La distribuci´ on de la temperatura sobre una placa met´alica viene dada por la funci´on 2
2
T (x, y) = 10(xe−y + e−(x−2) ) Si una mosca se sit´ ua en el punto P 0 (2, 0). se pide: on de cambio de la temperatura al desplazarse hacia el punto a ) Determinar la raz´ Q(2, 2). b ) ¿En qu´ e direcci´on desde el punto P 0 debe m overse la m osca para que la tem
peratura dism inuya lo m´as r´apidam ente posible?. Si sigue esta direcci´on, ¿cu´al es la rapidez de cam bio de la tem peratura? e direcci´on desde el punto P 0 debe moverse la mosca para que la tempec ) ¿En qu´ ratura aumente lo m´ as r´apidamente posible?. Si sigue esta direcci´on, ¿cu´a l es la rapidez de cambio de la temperatura? e direcci´ on d ) Si la mosca no quisiera apreciar ning´un cambio de temperatura, ¿qu´ debe tomar? 82. La altura de una monta˜ na sobre el nivel del mar es dada por la ecuaci´on z = 900 2 2 2x 2y , donde x e y medidas en metros son las coordenadas este-oeste y sur-norte respectivamente. Un hombre se encuentra en el punto A(6, 5, z0 ).
−
−
a ) ¿A qu´e altura se encuentra el hombre?
e direcci´on desde ei punto A debe cam inar el hombre para escalar la b ) ¿En qu´ monta˜ n a lo m´ a s r´apido posible?. Si sigue esta direcci´on, ¿cu´al es la rapidez de cambio del hombre? (considere la unidad de tiempo en segundo). al es la direcci´on que apunta a la cima de la monta˜ na desde el punto A? Si c ) ¿Cu´ sigue esta direcci´on, ¿cu´al es el valor de la pendiente de la m onta˜na? a ascendiendo o descendiendo?, d ) S´ı el hombre se mueve en la direcci´on sur-oeste, ¿est´ ¿cu´ al es su rapidez? 83. Calcule el valor de la derivada direccional de la funci´on z = f (x, y) = x 5 + xy + y 3 en el punto A(1, 6), en la direcci´on de la curva y = g(x) = 4x2 + 2. 84. Considere una funci´on f (x, y), tal que
∇f (x, y) =
4x3 + 2xy 4 + ye xy , 3y 2 + 4x2 y3 + xexy
−
y f (0, 0) = 21 La temperatura en un punto (x, y) de una placa rectangular con centro en el origen est´a dada por T (x, y) = f (x, y) + y3
− exy
a ) Determine la direcci´ on en que una ara˜na debe ir, partiendo dej punto B(1, 1) de
la placa, para que se enfr´ıe lo m´as r´apidamente posible. 24
b ) ¿Cu´ al es la rapidez de la ara˜na en esta direcci´on?
85. * Sea f ((x,y,z) = x 2 y 2 (2z+1)2 . Halle la derivada direccional de f en el punto (1, 1, 1), en la direcci´on de la recta tangente a la curva de intersecci´on de las superficies
−
S 1 :
x2 + y 2 + 2(y
− x) − 2 = 0
S 2 :
x
− y − 2z − 2 = 0
de modo que al mirar la curva, desde el origen, el sentido es horario. 86. Una part´ıcula rastreadora de calor est´a situada en el punto (5, 4) de una placa met´alica cuya tem peratura en (x, y) es T (x, y) = 100 x 2 3y 2 . Halle la trayectoria de la part´ıcula al moverse de forma continua en la direcci´ on de m´ as r´apido crecimiento de la temperatura.
− −
87. Dada la funci´on f (x, y) = (2by x)3 . Calcule el valor de b para que el valor de la derivada direccional m´axima de f , en el punto ( 1, 0) sea igual a 3 17 .
−
√
−
88. Sea f (x, y) = x 2 y. ¿Qu´e ´angulo form a el vector direcci´on con la parte positiva del eje x, si la derivada direccional en el punto (1, 1) es 2?
−
x2 z 2 89. Halle los puntos de la superficie S : + y 2 + = 11, en los cuales el plano tangente 4 4 a S es paralelo al plano Q : x + 2y + 3z = 3. Para cada uno de los puntos obtenidos, escriba la ecuaci´on general del piano tangente. 90. Sea C la curva de intersecci´on del paraboloide z = 9
− x2 − y2 con el plano x = 1.
a ) Halle la ecuaci´ on vectorial de la recta tangente a la curva C en el punto (1, 2, 4).
on del plano tangente a la superficie S : 4x2 + 3y 2 b ) Halle la ecuaci´ es perpendicular a la recta tangente obtenida en (a).
− 24z = 0, que
91. Demuestre que la suma de los cuadrados de las intersecciones con los ejes coordenados de cualquier plano tangente a la superficie x 2/3 + y 2/3 + z 2/3 = b 2/3 es constante e igual a b 2 . x2 y 2 si (x, y) = (0, 0) (y 2 + x2 )2 92. Dada la funci´on f (x, y) = Demuestre que f x (0, 0) y 0 si (x, y) = (0, 0) f y (0, 0) existen, pero que f NO es diferenciable en (0, 0).
93. Halle el valor aproximado de las siguientes cantidades utilizando diferenciales a )
3
6(1, 98)3 + (4, 1)2
b ) ln (1, 1)3 + (2, 3)3 c ) sen(32◦ ) cos(59◦ )
− − √ ln 9
R/ = 0, 43
R/ = 0, 273
94. Sea f (x, y) = (x3 + y 3 x2 y 2 , ¿es f diferenciable en (0, 0)? (Ayuda:Demuestre que las derivadas parciales son continuas) 3
95. Dada la funci´ on f (x, y) =
xy
xy 2 y 2 + x2 0
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
¿Es f diferenciable en los puntos (0, 0), (0, 1), (1, 1)? Justifique. 96. Dada la funci´ on f (x, y) =
¿Es diferenciable en (0, 0)?
xy y2 + x2
ex + ey + 2
R/. NO 25
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
R/ NO,NO,SI.
97. Sea la funci´on f (x, y) = renciable.
| |
xy . Determine el conjunto de puntos donde f no es dife-
98. Sea u = f (x, y) donde x = e s , y = e t Demuestre que 2 2 ∂ 2 u ∂ 2 u ∂u ∂u 2 ∂u 2 ∂ u + = x + y +x +y =0 2 2 2 2 ∂s ∂t ∂x ∂y ∂x ∂y
99. Una piscina tiene 22 pies de ancho, 56 pies de largo, 5 pies de profundidad en un extremo y 12 pies en el otro extremo, siendo el fondo un plano inclinado. Si la piscina est´a llen´andose con un caudal de 20 pies3 /seg , ¿a que velocidad se esta elevando el nivel de agua cuando dicho nivel es de 7 pies en el extremo m´as profundo? 100. En un instante dado, la longitud de un cateto de un tri´angulo es 20 pies y est´a aumentando a raz´o n de 2 pies/seg. y la longitud del otro cateto es 24 pies y est´a disminuyendo a raz´o n de 4 pies/seg. Encuentre la rapidez de cambio de la medida del ´angulo agudo opuesto al cateto de longitud de 24 pies en el instante dado. 101. Un filtro c´o nico de 18 cm de profundidad y 6 cm de radio en la parte superior, se encuentra llena de una soluci´on. La soluci´on va pasando a un vaso cilindrico de 3 cm de radio. Cuando la profundidad de la soluci´on en el filtro es 12 cm y el radio 4 cm, su nivel est´a bajando a raz´on de 2cm/seg y el radio va decreciendo a raz´on de 2/3 cm/seg. Halle la rapidez con que est´a subiendo la soluci´on en el vaso, para dichas medidas. 102. Sea f : D on diferenciable, tal que f (18, 0) = 4 y f x (18, 0) = R2 R una funci´ Dy (18, 0) = 3 Si H (x,y,z) = f (x2 y2 + z 2 , y 2 z 2 + x2 ), halle la ecuaci´on del plano tangente a la superficie S : H (x,y,z) = 0 en el punto P 0 (3, 4, 5)
⊂
→
−
−
−
103. Sea f una funci´on diferenciable, tal que f (2, 2) = 2, f x (2, 2) = g(x) = f (x, f (x, f (x, x))), halle g(2) y g ′ (2).
−2 y f y (2, 2) = 4. Si
104. Determinar si existe o no una funci´ on f (x, y) con las derivadas parciales dadas. f x (x, y) = 2x + y y f y (x, y) = x 4y
−
105. Encontrar el ´angulo de inclinaci´on θ del plano tangente a la superficie en el punto dado. a ) 3x2 + 2y 2 b ) 2xy
− z = 15,
− z3 = 0,
(2, 2, 5)
(2, 2, 2)
106. Encontrar el (los) punto(s) sobre la superficie en la cual el plano tangente es horizontal a ) z = 4x2 + 4xy b ) z = xy +
− 2y2 + 8x − 5y − 4
1 1 + x y
∂u ∂u ∂u , y si u es una funci´on diferenciable de x, y y z definida impl´ıci∂x ∂y ∂z tamente por xyz + x2 yu + 2xy 3 u u4 = 8.
107. Encontrar
−
−
108. Determine la linealizaci´ on L(x, y) de la funci´on en cada punto. a ) f (x, y) = e 2y −x en (0, 0) y en (1, 2) b ) f (x, y) = x 3 y 4 en (1, 1) y en (0, 0) c ) f (x,y,z) = tan−1 xyz en (1, 0, 0) y en (1, 1, 1)
109. S´olo hay un punto en el que el plano tangente a la superficie z = x 2 + 2xy + 2y 2 es horizontal. Encu´entrelo. 26
− 6x + 8y
110. Encuentre una funci´ on z = f (x, y) tal que ∂z 1 = 2xy 3 + 2y + ∂x x
111. Dada la funci´ on f (x, y) =
∂z = 3x2 y 2 + 2x + 1 ∂y
xy(y2 x2 ) x2 + y2 2
−
si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
a ) Demuestre que f x y f y son continuas excepto tal vez en el origen.
en en b ) Utilice coordenadas polares para demostrar que f x y f y son continuas tambi´ (0, 0). c ) Demuestre que todas las derivadas parciales de segundo orden de f est´ an definidas
y son continuas excepto quiz´as en el origen. d ) Demuestre que las cuatro derivadas parciales de segundo orden de f existen en el
origen, pero que f xy (0, 0) = f yx (0, 0).
e ) Considere el comportamiento sobre l´ıneas rectas para demostrar que ninguna de
las cuatro derivadas parciales de segundo orden de f es continua en el origen.
27
UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ aticas
TALLER III Profesor: H. Fabian Ramirez Maximos- M´ınimos y Integrales Multiples
−
x2 y 1, y > 0 no tiene m´aximo ni m´ınimo?,
1. ¿Porque la funci´ on f (x, y) =
}
x 1
− y2 con dominio D = {(x, y) ∈ R 2 : x2 + y2 ≤
2. Bas´andose en la gr´afica de la funci´on f (x, y) = alcanza el valor m´aximo y m´ınimo.
− 1
x2 4
− y2, indique en que punto(s)
3. La empresa Vectorial S.A. produce un solo producto en dos plantas ubicadas en Bogota y Medellin. Los costos mensuales totales de producci´on en cada planta son C B (x) = 50x2 + 1000
C M (y) = 8y 3
y
− 400y + 2000
donde x e y son las cantidades producidas en cada planta. El precio del mercado para el producto es de 2000 pesos la unidad. ¿Cu´antas unidades deber´ıa producir mensualmente la empresa en cada planta para generar la mayor utilidad posible?. R/: 20B, 10M Ayuda: La funci´ on utilidad (a maximizar) viene dada por U (x, y) = I (x, y)
− C (x, y)
4. Un fabricante que posee derechos exclusivos sobre una nueva y completa maquinaria industrial planea vender una cantidad limitada de las m´ aquinas tanto a empresas nacionales como extranjeras. El precio que el fabricante espera fijar a las m´aquinas depender´a del n´ umero de m´aquinas disponibles. (Por ejemplo, si s´olo unas cuantas m´ aquinas se ponen en el mercado, las ofertas de los compradores potenciales que compiten entre s´ı tender´an a subir el precio). Se calcula que si el fabricante suministra x m´ aquinas al mercado nacional e y m´ aquinas al mercado extranjero, ´estas se vender´ an y y x x a 60 10 + 20 miles de d´olares cada una en el mercado local y a 70 + 20 miles 5 de d´olares en el exterior. Si el fabricante puede producir las m´aquinas a un costo de US$ 20000 cada una, ¿cu´antas m´ aquinas deber´ıa enviar a cada mercado para generar la mayor utilidad posible?
−
−
Ayuda: U (x, y) = I (x, y)
− C (x, y) R/: 300N, 200I 5. Analice para qu´e valores de a ∈ R la funci´on f (x, y) = a(x − 1)(y − 2) − (x − 1)2 − (y − 2)2 R/. m´ınimo para a ∈ ( −2, 2). Silla a ∈ ( −∞, −2) ∪ (2, ∞) 6. Sea f : R3 → R una funci´ on de dos variables, tal que su matriz hessiana en el punto P 0 (m, n) es
m+3
Hess(f (m, n))
m
−
−1
1
5
0
−2
0
2
1
¿Para que valores de m, f (P 0 ) es un valor minimo relativo? R/ m = 2 7. Sea f : R2 on de dos variables, tal que su matriz hessiana en un punto R una funci´ gen´erico (x, y) es
→
Hess(f (x, y))
− 4
x 3x
1
1
.
Si (a, a) es un punto cr´ıtico de f ¿para qu´e valores de a el punto (a,a,f (a, a)) es un punto de silla? R/. a > 1. 28
8. Sea f : R2 on con derivadas parciales de primer y segundo orden contiR una funci´ 2 nuas en R tal que A(2, 1) es un punto cr´ıtico de f . En cada caso, indique si el punto cr´ıtico corresponde a un extremo relativo o a un punto de silla.
→
−
a ) f xx (2,
−1) = −3, b ) f xx (2, −1) = 25, c ) f xx (2, −1) = −4,
f xy (2, 1) = 2 f yy (2, 1) =
− −8 f yy (2, −1) = 8 f yy (2, −1) = 9
− f xy (2, −1) = 10 f xy (2, −1) = 6
9. En los siguientes ejercicios, halle los extremos absolutos de la funci´ on en la regi´on D indicada a ) f (x, y) = x 2 + xy b ) f (x, y) = 4x3
recta y = 9.
− y2 − 6x, D es la placa rectangular 0 ≤ x ≤ 5, −3 ≤ y ≤ 3
− 2x2y + y 2, D es la regi´on limitada por la par´abola y = x2 y la
c ) f (x, y) = 4x2 y
x+y
−6 = 0
− x3y − x2y2 D es la regi´on triangular limitada por x = 0, y = 0,
d ) * f (x, y) = (x2 + y2 )e−(x
2
+y2 )
Ayuda: llame r = x 2 + y2
10. * Consideremos la funci´on z = f (x, y) dada impl´ıcitamente en la expresi´on F (x,y,z) = x 3 + y 3 + z 3
− 3x − 3y + z + 4 = 0 halle los extremos locales. R/: P 1 (1, 1), P 2 (1, −1), P 3 (−1, 1), P 4 (−1, −1) √ 11. Halle la m´ınima distancia del origen al cono z 2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 . R/ = 210 12. Halle los extremos de la funci´ on f (x,y,z) = xyz. sujeta a las condiciones x+y −z −3 = 0 y x − y − z − 8 = 0. R/ M´aximo P (11/4, −5/2, −11/4) 13. El cono z 2 = x 2 + y 2 es cortado por el plano z = 1 + x + y en una curva C . Halle los puntos de C que est´an m´ as pr´oximos y m´as alejados del origen. R/: P ( 1 + 2/2, 1 + 2/2, 1 + 2) cerca y Q( 1 2/2, 1 2/2, 1 2) lejos
−
√ −
√ −
√
− − √ − − √ − − √
14. Un disco circular tiene la forma de una regi´on acotada por el c´ırculo x 2 + y 2 = 1. Si T es la temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y) del disco y T (x, y) = 2x2 + y 2 y, encuentre los puntos m´as calientes y mas fr´ıos del disco. R/: P 1 ( 3/2, 1/2) y P 2 ( 3/2, 1/2) caliente y Q(0, 1) frio.
√ − −
−√ −
15. * Sea P 0 (x0 , y0 , z0 ) (x0 > 0, y0 > 0 , z0 > 0) un punto sobre la superficie
2
x2 + y8 4
2
+ z16 = 1
a ) Calcule el volumen del s´ olido limitado por los planos cartesianos y el plano tan-
gente al elipsoide en el punto P 0 . a sobre el elipsoide de modo tal que el volumen del s´olido sea b ) Halle P 0 que est´ m´ınimo. 16. Una organizaci´on internacional debe decidir c´o mo gastar los US 4000 que se le han asignado para aliviar la extrema pobreza en el departamento de Cundinamarca. Esperan dividir el dinero entre comprar trigo a US 5 el saco y arroz a US 10 el saco. Para el n´ umero P de personas que se alimentar´an se comprar´an x sacos de trigo y y sacos de arroz. P est´ a dado por x2 y2 P (x, y) = x + 2y + 2(108 ) ¿Cu´ al es el numero m´aximo de personas que pueden alimentarse, y c´omo la organizaci´on debe asignar su dinero? R/ 832 personas, 400 sacos de trigo y 200 sacos de arroz
29
17. Un cilindro circular recto cerrado con un volumen de 8000 pies c´ubicos se construye con dos clases de material. La tapa y la base del cilindro se hacen de un metal que cuesta $16 el pie cuadrado. La cara lateral se cubre con un metal que cuesta $ S 20 el pie cuadrado. Calcule las dimensiones del cilindro para que el costo de construcci´on sea 80 50 m´ınimo. R/ altura = √ y radio = √ Costo = 9600 3 25π 3 3 25π 25π
√
18. Utilice multiplicadores de Lagrange para hallar los valores m´ aximo y m´ınimo de la funci´ on, sujeto a la restricci´on dada. on a ) f (x,y,z) = xyz, restricci´ b ) f (x, y) = 25
1 1 x + y
+
1 z
= 1. R/. (3, 3, 3) es punto cr´ıtico.
− x2 − y2, restricci´on x 2 + y2 − 4y = 0 R/. Valor m´ınimo f (0, 4) = 9
Valor m´aximo f (0, 0) = 25
19. Sea C la curva de intersecci´on de las superficies S 1 : x 2 + z 2 = 2y, S 2 : x y + z +3 = 0. Encuentre los puntos de la curva C que est´an m´ as alejados y m´as cercanos al plano xz. R/. P 1 (3, 9, 3) es el punto m´as alejado y P 2 ( 1, 1, 1) el m´ as cercano.
−
−
−
20. La empresa Ramirez S.A vende dos productos: Vifer y Difer. Su utilidad en soles al vender x unidades de Vifer y y de Difer es U (x, y) = 20x + 40y
− 0.1(x2 + y2)
Si la empresa puede vender un m´aximo de 400 unidades de los dos productos, ¿qu´e combinaci´ on le producir´a la m´ axima utilidad? R. Vender 150 unidades de Vifer y 250 unidades de Difer. 21. Una sonda espacial de forma del elipsoide 4x2 + y 2 + 4z 2 = 16 entra en la atm´osfera de la tierra y su superficie comienza a calentarse. Pasada una hora, la temperatura en el punto (x,y,z) sobre la superficie de la sonda es T (x,y,z) = 8x2 + 4yz
− 16z + 600. Determ´ınese el punto m´as caliente de la sonda. R/ :P 1 (4/3, −4/3, −4/3) y P 2 (−4/3, −4/3, −4/3) 22. Si T (x,y,z) = x + 2y + 3z representa la temperatura en cada punto del cilindro x2 + y 2 2 = 0, halle las temperaturas extremas en la curva formada por la intersecci´on del plano y + z = 1 y el cilindro. R/: Temperatura m´ınima en A( 1, 1, 0) y m´ax. en B(1, 1, 2)
−
−
−
23. Una empresa planea gastar 10000 d´olares en publicidad en radio y televisi´on. Se sabe que el minuto de publicidad en la televisi´on cuesta 3000 d´olares, mientras que en la radio cuesta 1000 d´olares. Si x es el n´ umero de minutos de publicidad que contrata en la televisi´on y y el n´ umero de minutos que contrata en la radio, su ingreso por ventas es G(x, y) = 2x2 y2 xy + 4x + 6y + 10
− − −
¿Cu´ antos minutos debe contratar en radio y cu´anto en televisi´on para maximizar su ingreso por ventas? R/:. 2 en TV y 4 en radio. 24. Sea g : R R una funci´ on diferenciable. Suponga que g tiene solamente una ra´ız en el ′ punto x 0 y que g (x0 ) > 0. Estudie la naturaleza de los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones f : R 2 R
→
→ y
y
ˆ − c ) f (x, y) = g(t)dt ˆ −
ˆ a ) f (x, y) = g(t)dt ˆ x
x
y
b ) f (x, y) =
y
g(t)dt
d ) f (x, y) =
−x
g(t)dt
−x
30
25. Sea g : R on diferenciable. Suponga que la gr´afica de g cruza al eje x R una funci´ solamente en el origen de coordenadas. Estudie la naturaleza de los puntos criticos de la funci´on f : R 2 R
→
→
x 1
ˆ −
f (x, y) =
y 1
g(t)dt +
0
ˆ −
g(t)dt
0
en cada uno de los siguientes casos: a). g ′ (0) > 0, b). g ′ (0) < 0. 26. Sea g : R on diferenciable. Suponga que esta funci´on no tiene ra´ıces. R una funci´ Determine la naturaleza de los puntos cr´ıticos de la funci´on f : R 2 R
→
(x 1)2
f (x, y) =
ˆ
−
→
(y 1)2
g(t)dt +
0
ˆ
−
g(t)dt
0
en cada uno de los siguientes casos: a). g (0) > 0, b). g(0) < 0. 27. Sea g : f : R 2
R
→ R una funci´on diferenciab1e tal que g(1) = g(2). Considere la funci´on
→ R
x+y
f (x, y) =
ˆ
g(t)dt.
xy
Demuestre que f tiene un punto critico en (1, 1). Estudie la naturaleza de este punto cr´ıtico en cada uno de los siguientes casos: a).
g(1) = 0, g ′ (1) = 1, g ′ (2) = 2
b).
g(1) = 3, g ′ (1) = 3, g ′ (2) = 4
28. Sea g : R R una funci´on diferenciable. Suponga que la gr´afica de g pasa por el origen Demuestre que la funci´on f : R 3 R
→
→
2
f (x,y,z) = z +
y
ˆ
g(t)dt
−x
tiene un punto cr´ıtico en (0, 0, 0). Determine la naturaleza de este punto cr´ıtico suponiendo que g ′ (0) = 0.
29. Determinar los extremos absolutos de la funci´on f (x, y) = x 2 + 3y 2 , en la regi´on K = (x, y) : x 2 2x + y 2 3 0 .
{
−
− ≤ }
30. Determinar los extremos absolutos de la funci´on f (x, y) = x 2 y 3 (1 K = (x, y) : x + y 1
{
| | | | ≤ }
− x − y), en la regi´on
INTEGRALES DOBLES
1. Utilizar una integral doble para hallar el volumen del s´olido indicado.
2. Establecer una integral doble para encontrar el Volumnen de una regi´on solida limitada por las graficas de las ecuaciones. NO EVALUAR. 31
a )
b)
c ) z = x 2 + y 2 , z = 18
− x2 − y2. d ) z = sin2 x, z = 0, 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 5 ¨ 2y − 1 3. Calcule dA , donde D es la regi´on limitada por las rectas x = 0, y = 0 y D x+1 2x − y = 4 R/=36 − 42ln3 ¨ 4. Calcule (⌊x⌋ + ⌊y⌋)dA, donde R = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 }. R/=4 ¨ R √ πy 3 5. Calcule sin πy − dA, en la regi´on limitada por las gr´aficas de y = 0, y = 1 + x 3 D √ 3 − y y = 1 x. R/=
6. Calcule
¨ xe
π
y
D
y
1
1
dA, en la regi´on limitada por las gr´aficas de x =
y = 3. R/=− 12 (e3 − e) 7. Calcule
ˆ ˆ 0
y
tan(x2 )dxdyR/= 12 ln(sec(1))
8. Calcule
ˆ ˆ −√
9. Calcule
ˆ ˆ
x
1
0
−1
2
4
2
3
ey dydx R/= e3−e1
√ 3 x
y2
0
√ y, x = −y y y = 1
dxdy. R/= 170 ln 2
10. Halle el valor de la integral 0
ˆ ˆ
1 2
−1/4
√ x+ √ − x+
1 2+
1 4
y
2
2
e dydx+
1 4
ˆ ˆ 0
√ x+
1 2+
1 4
8
y2
e dydx+ −1+√ x+1
2
ˆ ˆ 2
2
ey dydx, √ −1+ x+1
R/ =
3 4 (e 1) 2
−
11. Dada la suma de integrales dobles 3
I =
ˆ ˆ 2
y 2
3
cos((x + y) )dxdy +
1
4
ˆ ˆ 3
y 3
y 2
6
3
cos((x + y) )dxdy +
2
ˆ ˆ 4
y 3
cos((x + y)3 )dxdy
on y exprese I en una sola integral a ) Cambie el orden de integraci´ area de la regi´on de integraci´on D. R/= 32 b ) Calcule el ´ 12. Trazar la regi´ on de integraci´on y evaluar la integral 2
a )
2
ˆ ˆ 0
x
x 1+
2
y3 dydx
b)
4
ˆ ˆ √
x sin xdxdy
0
y2
4 cos(4)
32
R/=sin(4)
−
13. Evaluar la integral iterada impropia 3
a )
ˆ ˆ ∞ 0
x2 dydx 1 + y2
0
ˆ ∞ ˆ ∞ 1
b)
1
xy
1
dxdy
c )
ˆ ∞ ˆ ∞ 0
2
xye−(x
+y2 )
dxdy
0
14. La figura I muestra las curvas de nivel de una funci´ on f en una regi´on cuadrada R. Aproximar la integral empleando los 12 cuatro cuadrados y tomando un punto de cada cuadrado como (xi , yi ). 2
2
ˆ ˆ 0
dydx =
Fig 1
0
15. Utilizar una integral doble para calcular el ´area de la regi´on sombreada
16. Eval´ ue
¨
(x + y)dA sobre la regi´on que se muestra en la figura 4
R
17. Halle el volumen del s´olido limitado por el plano xy, el plano x + y + z = 2 y el cilindro parab´ olico y = x 2 R/= 81 20 18. Encuentre el volumen del s´olido que se encuentra debajo del plano x + z = 0, por encima del plano z = 0 e interior al cilindro x 2 + y 2 = 9 R/=18 19. Halle el volumen del s´olido comprendido entre los cilindros x2 + y 2 = 16 y x2 + z 2 = 16 R/= 1024 3 20. Halle el volumen del s´ olido limitado por las superficies y = 128 R/= 15
√ x, y = 2√ x, x + z = 6, z = 2. fig 4
21. Determine el volumen dei s´ olido limitado por las superficies y = 0, y = 4, x = 0 , x = y, 65 z = y, z = 2 y. R/= 5
√
√
22. * Calcule el ´area de la regi´on R limitada por las gr´aficas de y = y = 1 x2 , y = x 2 1 y y 0. R/= 902 96
−
ˆ ˆ √ −
8 x2
2
23. Halle
0
x
−
≥
2
− 32x , y = 4 − x4 ,
1 dydx 5 + x2 + y 2
−
24. Encuentre el volumen del s´olido que est´a bajo el hemisferio z = 1 la regi´on acotada por la gr´afica de la circunferencia x 2 + y 2 y = 0
−
x2
− y2 y sobre
2
25. Calcule el volumen del cuerpo limitado por la superficie cilindrica z = e −x y los planos y = 0, y = x, y x = 1. R/= e2−e1 26. Grafique el dominio de integraci´ on de la expresi´on y luego calcule su ´area R/= 56 1
I =
ˆ ˆ 0
y 2 +3 4
y2
3/4
f (x, y)dxdy +
0
ˆ ˆ 0
−x
ˆ ˆ √ −
4x 3
1
f (x, y)dydx +
3/4
f (x, y)dydx
−x
−
27. Calcule el volumen del s´ olido limitado superiormente por la superficie z = 4 x2 y 2 e inferiormente por la regi´on limitada por la gr´afica de la circunferencia r = 2cos θ. R/= 83π 32 9
−
33
−
28. Calcule el volumen del s´ olido S que est´a limitado inferiormente por el plano xy, superiormente por la superficie x 2 +y 2 +4z 2 = 16 y lateralmente por el cilindro x2 +y 2 4y = 0. R/= 32 (3π 4) 9
−
− 29. Sea ψ : R4 → R4 una transformaci´on definida por ψ(y1 , y2 , y3 , y4 ) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) , donde x1 = 3y1 − y2 x2 = 2y2 , x3 = y 3 − y4 , x4 = y 4 Calcule el Jacobiano de ψ. 30. Calcule
¨
y−x
e y+x dxdy, donde R es el tri´angulo limitado por la recta x + y = 2 y los ejes
R
coordenados. R/=e
− e−1
31. Halle el a´rea de la regi´on limitada por las curvas xy = 1, xy = 3, x xy = 1, x xy = 3. R/=6 ln(6) 14ln2
−
−
32. * Calcule
−
¨ x
dxdy, donde R es la regi´on limitada por las hip´erbolas xy = 1, xy = 2 y y por las rectas y = x, y = 4x. R/= 34 R
33. *Halle la integral de la funci´on f (x, y) = x2 y 2 sobre la regi´on R limitada por las hip´erbolas equil´ateras xy = 1, xy = 2 y las rectas y = x, y = 3x (la regi´on situada en el primer cuadrante). R/= 76 ln 6 34. * Halle la integral de la funci´ on f (x, y) = x −3 sobre la regi´on limitada por las par´ abolas 2 2 2 2 y = x , y = 2x , y = x, y = 2x. R/= 13 ln 2 35. * Calcule R/= π8
¨ 4
− 329
36. Calcule
R
¨ 1
R
x2
− − 2
y 2 +x
∈ R 2 : x2 +y2 ≤ 2y}.
dA, donde la regi´on R = (x, y)
{
2
− xa2 − yb2 dA donde R =
(x, y)
∈ R 2 : xa
2 2
+
y2 b2
≤ 1
R/= 2abπ 3
37. * Halle el volumen del s´ olido S limitado por el cono z 2 = x 2 + y 2 y el cilindro x 2 + y2 64 2y = 0. R/= 9
−
38. * Halle el volumen del s´olido S que est´a limitado por el cilindro x2 + y 2 = 4 y el hiperboloide x 2 + y 2 z 2 = 1 R/=4 3π
−
√
39. Halle el volumen del s´ olido limitado superiormente por la superficie esf´ erica x 2 + y2 + z 2 = 4, inferiormente por el plano xy y lateralmente por el cilindro x2 + y 2 = 1 R/= 23 (8 3 3)π
− √
40. Encuentre el centro de masa de una l´amina homog´ enea (de densidad constante) que tiene la forma de la regi´on limitada por la par´abola y = 2 3x2 y la recta 3x+2y 1 = 0. R/=( 14 , 45 )
−
−
41. En los siguientes ejercicios encuentre el centro de masa de una l´amina que tiene la funci´ on de densidad ρ y la forma de la regi´on limitada por las curvas dadas. a ) x2
− y2 = 1, x = 3, ρ(x, y) = x √ b ) y = x 3 , y = x, ρ = 2x c ) y 2 = x, x = y + 2, ρ = x 2 y 2
34
42. Encuentre I x y I y para la l´amina homog´enea que tiene la forma de la regi´ on D acotada por 64 256 la curva y = x y por las rectas y = 0, x = 4. R/=I x = 15 , I y = 7
√
43. Halle el momento polar de inercia de la regi´ on F en el plano xy limitado por x2 y2 = 1, x2 y 2 = 9, xy = 2, xy = 4, la densidad ρ = 1. Sugerencia: hacer u = x 2 y 2 , v = 2xy R/=8
−
−
−
44. * Halle el ´area de la parte de la esfera x2 +y2 +z 2 = 4 que se encuentra arriba del paraboloide x2 + y 2 = 3z. R/=4π 45. Determine el a´rea de la parte de la esfera x2 + y2 + z 2 = 2ay que es cortada por un manto del cono y 2 = x 2 + z 2 Sugerencia: A(S ) en xz R/=2πa 2 .
Fig 1
46. Encuentre el a´rea de la parte del paraboloide x2 + y 2 = 8 z que est´a comprendida entre 2 los conos x2 + y 2 = 7z 2 , x 2 + y2 = z4 y z > 0. Ver figura 1 R/= π6 (29 29 17 17)
−
√ − √
47. * Halle el ´area de la parte del cono y2 + z 2 = 3x2 que se encuentra arriba del plano yz e interior al cilindro y 2 + z 2 = 4y Ver figura 2 R/= 8√ π3 48. * Calcule el ´area de la parte del cilindro x2 + y 2 = 16 que se encuentra entre los planos z = x, z = 2x, en el primer octante. Sugerencia: A(S ) en xz R/=16. 49. Encuentre el ´area de la superficie de las porciones del cono z 2 = 14 (x2 + y 2 ) que est´ an dentro 2 2 del cilindro (x 1) + y = 1. Fig 5.
ˆ ∞ e−− − e− 50. * Hallar ˆ − x 5x
10x
Fig 2
dx R/=ln(2)
0
2
51. * Hallar
tan
0
1
(πx)
− tan−1(x)
dx.
¨ 52. ¿Que regi´ on R en el plano xy maximiza el valor de (9 − x − y )dA? ¨ 2
2
(x2 + y2
53. ¿Que la regi´ on R en el plano xy minimiza el valor de
− 4)dA? Fig 5
54. VERDADERO O FALSO. Si es falsa, explicar por qu´e o dar un ejemplo que demuestre que es falsa 1
a ) El volumen de una esfera
x2
+
y2
+
z2
= 1 es V = 8
1
0
b
d
d
b
ˆ ˆ ˆ ˆ b) f (x, y)dydx = f (x, y)dxdy ˆ ˆ ˆ ˆ f (x, y)dydx = f (x, y)dxdy c ) ¨ a 1
c
0
0
c
x
d ) Si
0
− x2 − y2dxdy
a
y
1
0
1
ˆ ˆ
0
f (r, θ)dA > 0 entonces f (r, θ) > 0 para todo (r, θ) en R.
R
e ) Dada una partici´ on interior de la regi´on plana R que consiste en rect´ angulos
R1 , R2 , . . . , Rn que est´an dentro de R, el valor de la integral doble
¨
f (x, y)dA
R
se aproxima con la suma de Riemann que tiene un t´ ermino f (x∗i , yi∗ )∆Ai para cada rect´angulo de la partici´on interior. k
f ) Si f es integrable, entonces la suma de Riemann
f (x∗i , yi∗ )∆Ai puede hacerse
i=1
arbitrariamente cercana al valor de la integral doble
¨
R
f (x, y)dA escogiendo una
partici´ on interna de R con una norma suficientemente peque˜na. 35
g ) La descripci´ on a
¨ ≤ x ≤ b, g (x) ≤ y ≤ g (x) de la regi´on R lleva a evaluar la
integral doble
1
2
f (x, y)dA integrando primero respecto de x y despu´es respecto
R
de y.
on h1 (y) h ) La descripci´
¨
integral doble
≤ x ≤ h2(y), c ≤ y ≤ d de la regi´on R lleva a evaluar la
f (x, y)dA integrando primero respecto de y y despu´es respecto
R
de x.
on R en el plano xy, el problema de calcular el ´area A de R es i ) Dada una regi´ equivalente al problema de calcular el volumen de cierto s´olido que se encuentre arriba de R. on tal que satisfacen las desigualdades r 1 (θ) j ) Si R es la regi´
¨
entonces
≤ r ≤ r2(θ), α ≤ θ ≤ β .
f (x, y)dA se transforma en otra iterada en coordenadas polares que
R
se integra primero respecto de θ y despu´es respecto de r. 55. Demuestre que
ˆ ∞
2 e−x dx =
√ π
2 Ayuda: Calcule V = l´ım V b pero usando dos formas diferentes para V b , primero 0
b
→∞
¨ − V = e ¨ − b
x2 y 2
R = (x, y) :
x2 y2
S = (x, y) : x 2 + y 2
− dA,
{
R
V b =
e
− dA,
{
S
−b ≤ x ≤ b, −b ≤ y ≤ b} ≤ b}
56. Elija y eval´ ue la integral correcta que represente al volumen V del s´olido.
ˆ ˆ √ −
a ) 4
(4
ˆ ˆ √ −
(4
0
− y)dydx
4 x2
−2
0
√ 4−x2
2
c ) 2
ˆ ˆ −2
− y)dydx
(4
0
0
− y)dxdy
tan−1 x
1
(r −r −√ r2 −x2 √ r2 −y2 r
0
R/= π4
c ) 8
ˆ ˆ √ − 0
2
r 2 x2
0
− y2)1/2dydx
(r2
− y2)1/2dxdy
(r2
− x2)1/2dydx
0
r
ˆ ˆ 57. Halle xdydx ˆ ∞ ˆ ∞ e− 0
b) 8
ˆ ˆ
r 2 x2
r
0
2
b) 2
a ) 4
ˆ ˆ √ −
4 x2
2
− 12
y
58. Halle
y
x
0
dydx
ˆ ˆ √ 59. Halle cos(x )dxdy ¨ 3
1
0
y
2
y
60. Eval´ ue
sen(x + 2y)cos(x
R
x + 2y = 2π. R/: 61. Calcule y = x
−
π 2
− 2y)dA sobre la regi´on R dado por x
1 2
¨ cos( (x − y))
= 0 y = 0 y
dA donde R es la regi´on acotada por las gr´aficas de y = x, 3x + y π, y = 3x + 3, y = 3x + 6. R
−
−
36
62. Calcule 1, x 2
¨
(x2 +y 2 )sen(xy)dA donde R es la regi´on acotada por las gr´aficas de x2 y2 =
−
R
− y2 = 9, xy = 2, xy = −2.
63. Calcular el a´rea en la regi´on del primer cuadrante acotada por las curvas xy = 2, xy = 4 y xy 3 = 3, xy 3 = 6. 64. Sea R la regi´on en el primer cuadrante acotada por las circunferencias x2 +y 2 = 2x, x2 + 1 y 2 = 6x, y las circunferencias x 2 + y 2 = 2y, x 2 + y 2 = 8y. Calcule dxdy 2 2 2 R (x + y )
¨
65. La regi´on R se encuentra en el semiplano superior del plano xy y est´a limitada por las par´ abolas y 2
= 4(1
−
x), y 2
cambio de variable x = u 2
= 4(1 + x) y el eje x. Calcule
− v2, y = 2uv
66. Conteste
37
¨
x2 + y 2 dA, al hacer el
R
38
UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ aticas
TALLER IV Profesor: H. Fabian Ramirez C´alculo Vectorial INTEGRALES TRIPLES
1. Calcule
˚
3dV , donde D est´ a limitado por las superficies z = 0, y = 0, y = x,
D
x + y = 2, x + y + z = 3 2. Calcule
˚
R/=5
z 2 dV , donde D est´ a limitado por las superficies z = 0, x2 + z = 1,
D
y 2 + z = 1. R/= 13 3. Calcule
˚
x2 dV , donde D est´ a limitado por las superficies y2 + z 2 = 4ax, y 2 = ax,
D
x = 3a
R/=27a5
4. Calcule la integral
√
3 3+2π 2
(tomar parte interna del solido)
ˆ √ ˆ √ ˆ π/ 4
0
π/ 4
4
cos(6y 2 )dzdydx. R/=
− 16
2
x
5. * Encuentre el volumen del s´ olido limitado, por arriba, por el paraboloide z = 4 x2 y 2 y, por abajo, por el plano z = 4 2x. R/= π2
− −
−
6. * Encuentre el volumen del s´olido en el primer octante acotado inferiormente por el plano xy, superiormente por el plano z = y, lateralmente por el cilindro y 2 = x, y el plano x = 1. R/= 14 7. (Interesante) Calcule el volumen del s´ olido limitado por los planos z = 2 2 2 el hiperboloide x + y z = 1. R/= 83π
−
−1, z = 1 y por
8. * Calcule el volumen del s´olido interior a los cilindros y 2 = 2x, x2 + y 2 = 4x (parte mayor) debajo del plano x + z = 5 y por encima del plano z = 0. R /=6π + 224 15 9. ** Si se sabe que el volumen de una bola de radio 3 es 36π, calcule el volumen del s´olido D 2 2 2 encerrado por el elipsoide x36 + y16 + z25 = 1 Ayuda: transforme el elipsoide en una esfera de coordenada uvw de radio 3. Rs/=160π. 10. (Poderoso). Halle el volumen del s´ olido limitado por las superficies x2 +y 2 = 9, z = 9 x2 y 2 , x2 + y 2 + (z 16)2 = 9 en la regi´on y x > 0. Rc/= 171 4 π.
−
− −
−
11. Halle el volumen del s´ olido sobre el cono z 2 = x 2 +y 2 e interior a la esfera x 2 +y 2 +z 2 = 2az. Re/=πa 3 12. Halle el volumen del cono de helado seccionado en una esfera de radio 6 por un cono con un semi-´ angulo de 30◦ . ver Figura. Re/=72π(2 3). 13. (Interesante) Calcule
˚
x2 + y 2 + z 2 dV donde D es el s´olido limitado a la derecha
D x2 + y 2 + z 2
por la esfera √ Re/=a4 π 8−5 2
− √
= 2ay (a > 0) y a la izquierda por el cono y =
√ x2 + z2.
14. (Interesante) Utilice coordenadas esf´ ericas para calcular el volumen del s´olido limitado y2 + z2 2 2 por las superficies x = y + z , x = y el plano x = 4. R/= 128 3 π 3
39
15. (Poderoso) Sea S un s´ olido interior del cilindro y 2 +z 2 = 4 y limitado por las superficies cil´ındricas x = z 2 y x 6 = (z 2)2 . Halle el volumen de S . Rc=40π
−
16. Calcule I =
˚
1
D 2
elipsoide
−
x2 a2
y2 b2
− − −
z2 dxdydz donde D es el s´olido encerrado por el c2
2 x2 y z 2 + + = 1. Rse/= 8π15abc 2 2 2 a b c
17. Halle el volumen del s´olido interior a las superficies x2 + z 2 = 4y, x2 + z 2 = 5 exterior al cilindro x 2 + z 2 = 1. Rc/= 458π
˚
−y y
− y2 − 4x2dV sobre el s´olido D limitado superiormente por el para√ 7 boloide z = 16 − y 2 − 4x2 e inferiormente por el plano z = 7. Rc/= 1664+197 π 30
18. Calcule
16
D
19. Halle el volumen de la regi´on limitado por los cilindros hiperb´olicos xy = 1, xy = 9, xz = 4, xz = 36, y z = 25, y z = 49 R/=64 20. ** Calcule
˚
x2 + y 2 + z 2 dV , donde D es el s´olido limitado por las superficies
D
z =
√ − 27
x2 + y 2 , z = 3. Rcyci/= 27 2
2
π
21. Encuentre el centro de masa de un objeto material homog´eneo limitado por los planos coordenados, el plano x + y = 1 y el paraboloide z = 4 x 2 4y 2 . R/=m = 19 33 27 5 ,( , , ) 12 95 95 3
− −
22. Un cuerpo est´a limitado por dos superficies esf´ericas conc´ entricas cuyos radios son iguales a r y R (R > r). Teniendo en cuenta que la densidad del material es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de las esferas, halle la masa total del cuerpo. R/=2π(R2 r2 )
−
23. Halle el momento est´a tico de la parte com´ un de las esferas x2 + y 2 + z 2 R2 y 2 2 2 x +y +z 2Rz respecto al plano xy. La densidad en cualquier punto del cuerpo es 59 igual a la distancia entre este punto y el plano xy. R/= 419 R5 π Camilo= 480 R5 π 180
≤
≤
24. Si D es la regi´on limitada por los planos x = 1, x = 2 y por los cilindros y 2 + z 2 = 4, y2
+
z2
˚ = 9, calcule e y + z dxdydz ˆ ∞ ˆ ∞ ˆ ∞ x
2
2
D
π
R/= 563e (e 2
x2 + y 2 + z 2 e−(x
25. Demuestre que
+y2 +z 2 )
− 1), 383π (e2 − e)
dxdydz = 2π
−∞ −∞ −∞
26. Halle el volumen de la regi´ on R que est´a entre los paraboloides z = x 2 +y2 , z = 4(x2 +y 2 ) y los planos z = 1, z = 4. dani 458π y oscar 9π 27. Encuentre el volumen del s´olido T que est´a bajo el paraboloide z = x 2 + y 2 y sobre el tri´angulo R en el plano xy con v´ertices en (0, 0, 0), (1, 1, 0) y (2, 0, 0). dani 43 28. Encontrar el volumen y centroide de la regi´ on s´olida que se halla dentro de la esfera 9 ρ = 3, bajo el cono φ = π/3 y arriba del plano (cono) φ = π/2. dani V = 9π, (0, 0, 16 ) 29. considere los siguientes s´olidos y plantee, pero NOOO eval´ue, las integrales que producen el volumen V del s´olido utilizando los ´ordenes de integraci´on indicados.
40
30. Calcule
˚
(4z + 2x
− 2y)dV donde D es el paralelep´ıpedo 1 ≤ y + z ≤ 3, −1 ≤ −y + z ≤ 1, 0 ≤ x − y ≤ 3. daniela 84 √ 31. Determine el volumen del s´olido que se muestra en la Figura 3. daniela 17π (1 − 3) D
3
32. Encuentre el a´rea de la superficie de la porci´on de la gr´afica de x = y z dentro del cilindro y2 + z2 = 1 33. Encuentre los l´ımites de integraci´on para evaluar la integral triple de una funci´on f (x,y,z) sobre el tetraedro D con v´ertices (0, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) y (0, 1, 1). 34. Halle el volumen de la regi´on del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y + z = 2 y el cilindro x = 4 y 2 . (Fig 4) 2
4 x
2
35. Halle
x
ˆ ˆ − ˆ 0
0
0
36. Encuentre a tal que
Fig 3
−
sin(2z) dydzdx 4 z
−
4 a x2
1
4 x2 y
ˆ ˆ − − ˆ − 0
0
−
dzdydx =
a
4 15
37. ¿Para qu´e valor de c ocurre que el volumen del elipsoide x 2 +
y2 4
+
z2 c2 =
1 es igual a 8π?
Fig 4. 38. Calcule los vol´ umenes de los siguientes s´olidos
39. Sea C el cuarto de c´ırculo C definido por x = 4 cos t, y = 4 sin t, 0
≤ t ≤ π/2. Calcule
a )
ˆ
2
xy dx
C
40. Calcule
b)
ˆ
2
xy dy
c )
C
ˆ
ˆ
xy 2 ds
C
(x + y)ds a lo largo de los caminos indicados
C
a ) El tri´ angulo con v´ertices (0, 0), (4, 0) y (0, 3) recorrido en sentido antihorario.
R/=30 b ) El c´ırculo x 2 + y 2 = 2x desde (0, 0) a (2, 0) recorrido en sentido horario. R/=π + 2 c ) El c´ırculo x2 + y 2 = 16 desde (4, 0) a ( 4, 0) recorrido en sentido antihorario.
−
R/=32
41. * Jaimito piensa pintar una cerca de un parque por ambos lados. La cerca tiene como base la curva C : x2/3 + y 2/3 = (40)2/3 (x > 0 , y > 0) y altura para cada punto (x, y) C est´ a dada por la funci´on f (x, y) = 4 + y2 . Si le proporcionan la pintura y le van a pagar US 100 por pintar 20m2 , ¿cu´al es su ganancia de Jaimito para salir de fiesta? (plc)R/=US 7200
∈
41
42. Dibuje una muestra representativa de vectores del campo vectorial F(x, y) = 13 ( y, x)
−
43. Calcule
ˆ 1 − x
2
x
x2 + z 2
C
1/2
1 y2 1 z2 dx + y 2 dy + z dz y + z2 2x2 + z 2
−
−
donde C es la curva de intersecci´on de las superficies x = y y 2x2 + z 2 = 1 en el primer octante, recorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj. (plc) R/= 14 44. Calcule
−
ˆ
(x2 , y 2 , z 2 ) dr, donde C es la curva intersecci´on de las superficies x2 +y 2 +z 2 = 16
C 2
·
y x 2 + y = 4y, z 45. Calcule
ˆ
C
≥ 0 recorrida en sentido horario. (plc) R/= 0 F · dr , donde F (x,y,z) = (−yx,x2 + z, exy +tan(z)) y C es la curva intersecci´on
x2 y2 de las + = 1 y 9x2 + 4y 2 + z 2 = 49 en el primer octante, recorrida en el sentido 4 9 contrario al de las agujas del reloj. R/=(12 + 3 13))
√
46. Calcule
ˆ
(x + z , y
− − z, x − y ) · dr , siendo C la curva de intersecci´on entre la esfera
C
x2 + y 2 + z 2 = 16 y el cilindro x 2 + y2 = 4x (Fc) R/=0 47. * Calcule I =
ˆ
C 1
(y z)dx+(x z)dy +(y x)dz +
−
−
−
ˆ
C 2
y y y 3+2x sen( ) y cos( ) dx+x cos( )dy x x x
−
siendo C 1 el segmento de recta que va de (1, 2, 2) a ( 1, 0, 2) y C 2 el arco de la semielipse superior 4x2 + y 2 16x + 12 = 0 que va de (1, 0) a (3, 0). R/=6 + 6 = 12
−
−
ˆ
48. Calcule F dr siendo F (x, y) = (ey + yex , xey + ex ) y C es la curva descrita en cada C caso. a ) C es el segmento de recta que va de ( a, 0) a ( a, 0) sobre el eje x. R/= 2a
·
− − b ) C es la trayectoria que va de (a, 0) al punto (−a, 0) sobre la mitad superior de la elipse b2 x2 + a2 y 2 = a 2 b2 . R/=−2a c ) C es la circunferencia x 2 + y2 = a 2 recorrida en sentido horario. R/=0
49. Calcule
ˆ xdx + ydy + zdz x2
C
+ y2
+ z2
donde C es el arco de la curva x = 2t, y = 2t + 1, z = t 2 + t
que une los puntos P 1 (0, 1, 0) y P 2 (2, 3, 2). R/= 12 ln(17) 2
50. Calcule
2
ˆ x dy − y dx x5/3
y 5/3
donde α es la cuarta parte de la astroide x = R cos3 t, y = R sen3 t
+ 4/3 desde el punto (R; 0) hasta el punto (0, R) (Fig 2). R/= 3πR 16 α
(4,4,4)
51. Calcule
ˆ
xdx + ydy + zdz
x2 + y2 + z 2 (1, 1, 1) y (4, 4, 4). R/=3 3 (1,1,1)
√
− x − y + 2z
Fig. 2
a lo largo de la recta que une los puntos
52. Determine la masa y la coordenada z del centro de masa de un alambre en forma de h´elice descrita por la curva r (t) = (cost, sen t; t) entre t = 0 y t = 2π , si la densidad es ρ(x,y,z) = 3 π +2π 3 ) x2 + y 2 + z 2 R/m = 2 2(π + 4π3 ), z = 3(3+4 π2
√
53. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerza F(x, y) = (y 2 , x) al mover una part´ıcula desde (0, 0) hasta (2, 0) a lo largo de la curva C descrita por el conjunto S = (x, y) R 2 : y = 1 1 x Fig 3. R/= 13
− | − |}
−
42
∈
Fig. 3
54. Halle la masa del arco de la curva C : x = e t cos t, y = e t sen t, z = e t desde el punto correspondiente a t = 0 hasta un punto cualquiera t = t0 , si la densidad del arco es inversamente proporcional al cuadrado del radio polar, y en el punto (1, 0, 1) la densidad es igual a 1. R/= k p = 2 m = 3(1 e−t0
√ −
55. Halle el momento de inercia sobre el eje y de un alambre semicircular que tiene la forma x2 + y 2 = 1 , y 0, si su densidad es ρ(x, y) = x + y . Determine tambi´en la masa y el centro de masa del alambre. R/ (plc) I y = 2, m = 4, (x, y) = (0, 2+8 π )
≥
| | | |
1 1 xy 56. Sea F(x, y) = ye xy x2 y , xe xy 2 un campo de fuerzas Halle el trabajo que realiza F al mover una part´ıcula desde el punto (1, 1) hasta el punto (2, 2) siguiendo la trayectoria compuesta por C 1 C 2 C 3 , donde
−
−
∪ ∪ C 1 : es la semicircunferencia (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1, y ≥ 1 C 2 : es la recta que une (3, 1) con (4, 4) C 3 : es la recta que une (4, 4) con (2, 2)
(Fc) R/=e4
− e − 34
57. Halle el trabajo realizado por la fuerza F(x,y,z) = (y , z , x) al desplazar una part´ıcula a lo largo de la curva C , intersecci´on de las superficies z = xy y x 2 + y 2 = 1, recorrida en el sentido que vista desde encima del plano xy, es el contrario al de las agujas del reloj. (plc) R/= π
−
58. Halle el trabajo realizado por la fuerza F (x,y,z) = (2x y + z, x + y z 2 , 3x 2y + 4z) (x 2)2 (y 3)2 al desplazar una part´ıcula alrededor de la elipse + = 1, recorrida en 4 9 el sentido que, vista desde encima del plano, es el contrario al de las agujas del reloj. (plc3) R/=12π
−
−
−
−
−
Rotacional y Divergencia
y x i j. a) Calcule F b) Eval´ 59. (muy interesante) Sea F = + ue F dr x2 + y 2 x2 + y2 alrededor de cualquier trayectoria cerrada, que encierre el origen y que no encierre el
−
origen.
∇ × F = 0 y
˛
∇×
˛
·
F dr = 2π, 0
·
60. Dada φ = 6x3 y2 z. Encuentre
∇ · ∇φ o bien ∇2φ o div (∇φ).
∇2( 1r ) = 0 y despues demuestre que div( rr3 ) = 0 62. Determine la constante a de modo que div( F) = 0 donde F = (−4x − 6y +3z)i +(−2x+ y − 5z) j + (5x + 6y + az)k. R/=a = 3 63. Suponga que A = x 2 z 2 i−2y 2 z 2 j+xy 2 z k. Encuentre divA, rot A, en el punto P (1, −1, 1) y halle rot (rot A ). R/=divA(1, −1, 1) = 7, rot A (1, −1, 1) = 2i + j y rot (rot A) = (y 2 − 2x2 )i + (2xy + 4y2 ) j + (2xz − 8yz)k. , 64. Sea F = P i + Q j + Rk y r = x i + y j + z k Suponga que ∇ × F = 0. Eval´ue ∇ · (F × r). R=∇ · (F × r) = r · rot F = 0 65. Supongamos que ψ tiene segundas derivadas parciales. Demuestre que rot ∇ψ = 0. 61. Demuestre que
66. Sea F es un campo vectorial con segundas derivadas parciales continuas Demuestre: a ) Si F es conservativo, entonces rot F = 0 . b ) div(rot F) = 0
67. Encuentre rot ( rf (r)), donde f (r) es diferenciable. 68. Suponga que v = w
× r. Demuestre que rot v = 2w, donde w es un vector constante 43
69. a) Encuentre constantes a, b y c, de modo que F = ( 4x
− − 3y + az)i + (bx + 3y + 5z) j + (4x + cy + 3z)k sea irrotacional. a = 4, b = −3 y c = 5. b) Demuestre que F es conservativo y halle la funci´ on potencial de F .
70. Demuestre que si ψ(x,y,z) es cualquier soluci´on de la ecuaci´on de Laplace , entonces ψ es un vector que es tanto solenoidal (div ψ = 0) como irrotacional (rot ψ = 0)
∇
∇
71. Suponga que ψ = 2xyz 2 , F = xy i
− z j + x2k y C es ˆ la curva ˆ x = t2, y =82t y 4z = t3, F × dr. R: 11 i + 5 j + k, de t = 0 a t = 1. Eval´ ue las integrales de l´ınea ψdr y C C − 109 i − 23 j + 75 k EJERCICIOS DE CURVAS (APENDICE) Funciones vectoriales
72. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales
− 2), √ 4 − t) R/ (2, 4) 1 , √ 9e−t , ln(1 − t) R/ (−3, −2) ∪ (−2, 1) g(t) = ( t+2 f (t) = (t2 , ln(t
t
2
73. Trace la imagen de las siguientes funciones a ) f (t) = (1 + t3 , t2 ) b ) g(t) = (4cos t, 5sen t) c ) r(t) = (cos t, sen t, t), con t
≥ 0.
74. Halle una funci´ on vectorial que represente a las siguientes curvas a ) 9x2 + 4y 2 = 36 b ) y = x 2
− 4x + 7
75. Halle una funci´ on vectorial que represente a la curva de intersecci´on de las siguientes superficies. a ) x2 + y 2 = 16 y z = xy
R/ : f (t) = (4cos t, 4sen t, 16cos t sen t),
b ) z = 16x2 + 9y2 y y = x 2 ,
R/ : g (t) = (t, t2 , 16t2 + 9t4 ),
t
∈ R
t
∈ R
76. Analizar la continuidad de las siguientes funciones vectoriales en los intervalos que se indican
√ − t2, ln(3 − t), et−3), con t ∈ [−2, 3)
a ) f (t) = ( 4
b ) f (t) =
c ) f (t) =
− − − − −
2arcsen t π cos(2πt) , t sen( ), , 3t t t π , t 1, ln t + 1 , 3 sen t,
t
1
t
, 2t ,
e ) f (t) =
∈ (0, 1) si t ∈ [1, 2]
si t
∈ [0, 1) si t ∈ [1, 2]
1, 0, 3 ,
d ) f (t) =
si t
arc sen t 1 4t2 + 5, , sen t sen( ) , t t
si t = 0
5, 0, 0 ,
si t = 0
t2
4
|t − 3 | −
e t−2 1 t ,
1
,
si t = 2
44
77. La imagen de la funci´ on vectorial r (t) = (et−1 , e−2(t−1) ) describe la trayectoria de una part´ıcula que se mueve en el plano xy. afica de la trayectoria de la part´ıcula. (R: y = a ) Trace la gr´
1 x2 , x
b ) Dibuje los vectores velocidad y aceleraci´ on para t = 1.
≥ 0)
c ) Halle la ecuaci´ on vectorial de la recta tangente a la curva imagen de r en el punto
A(e, e−2 ).
−
78. Dada la funci´ on vectorial r (t) = 1
2t, t2 ; 2e2(t−1) . Halle la ecuaci´on vectorial de la
recta tangente a la curva descrita por r en el punto en que el vector r ′ (t) es paralelo al vector r(t). R/: l(x,y,z) = ( 1, 1, 2) s( 2, 2, 4).
−
− −
79. Sean las curvas C 1 y C 2 dadas por las funciones vectoriales C 1 : f (t) =
1
−
2
t2
, 2t + 1, 1 + e2−t
C 2 : g (t) =
2t
− 1 , 4 − t, 3 − et+1
2
− 32 , 5, 2)
on de las curvas C 1 y C 2 R/: f (2) = g ( 1) = ( a ) Halle el punto de intersecci´
−
b ) Calcule la medida del ´angulo que forman las curvas C 1 y C 2 en su punto de
intersecci´ on. R/: θ = arccos
√ 3
− 3
80. La fuerza que act´ ua sobre una part´ıcula de masa m = 2 en el plano est´a dada en funci´on del tiempo t por la ecuaci´on
F(t) = 2(cos t
− t sen t), 2(sen t + t cos t)
Cuando t = 0 la posici´on y la velocidad de la part´ıcula son f (0) = (2, 0) y v (0) = (1, 0). Halle la velocidad y la posici´on de la part´ıcula como funciones de t. Ayuda: Ley de Newton, F(t) = ma(t). R: f (t) = (t sen t + cos t + t + 1, t cos t + sent)
−
81. Una part´ıcula inicia su movimiento en f (0) = (2, 0, 0) con velocidad inicial v (0) = i j + k. Su aceleraci´o n es a(t) = (2t, 3t2 , 6t). Determine la funci´on velocidad y la posici´o n de la 3 4 part´ıcula en cualquier instante t. R: f (t) = t3 + t + 2, t4 t, t3 + t
−
82. Halle una parametrizaci´on para la curva C :
−
x2 + y 2 + z 2 = R 2
R > 0 0 < a < R
z = a
83. Halle la longitud de arco de las siguientes curvas
− √ ˆ √ ˆ √
√ t2 t 2 2 a ) α(t) = + t, t, ln t , (t > 0), desde t = 1 hasta t = 2. R/ 22 (3+ ln(2)) 2 2 2 t t cos u sen u b ) α(t) = du, du, 4t1/2 , desde t = 1 hasta t = 4. R/ 3 2 2u 2u 1 1
√
84. Halle la longitud de la curva α(t) = (t, 1 + t2 ) , desde el punto en que los vectores α(t) y α′ (t) son paralelos√ de sentidos opuestos hasta el punto en que los mismos vectores son ortogonales. R/ 25 14 ln( 5 2)
√ −
−
85. Una part´ıcula se mueve en el espacio de modo que en cualquier instante t su posici´on es α(t) = (2t cos t, 2t sen t, t2 + 2t)
−
√
a ) Determine la rapidez de la part´ıcula en el instante t = 1 R/ 2 2 b ) Si la part´ıcula toca al plano xy en el instante t = 0, halle otro instante t1 en que
la part´ıcula toca nuevamente el plano xy. R/ t = 2 45
c ) Halle el espacio recorrido por la part´ıcula desde t = 0 hasta t = t 1 .
86. En los siguientes ejercicios, represente la curva dada mediante la intersecci´on de dos superficies. Halle ecuaciones param´ etricas para cada curva.
√ 4 − t2 √ R/ x = t, y = 4t , z = 1t −t4 + 16t2 − 16
a ) x2 + z 2 = 4, y 2 + z 2 = 4 (primer octante)
R/ x = t, y = t, z =
b ) x2 +y2 +z 2 = 16, xy = 4 (primer octante) t
87. Sea C una curva en el espacio dada por α(t) =
ˆ
β (u)du donde β (u) = (u cos(u), u sen(u), 1).
0
Calcule la longitud de arco de la curva C desde el punto α(0) hasta el punto α(1). 88. Halle las ecuaciones de los planos normal principal, rectificante y osculador de la curva intersecci´ on de las superfices x2 + y 2 + z 2 = 6 en el punto A(1, 1, 2). osculador: y = 1
x2
R/: P 0 : y = 1. P N : 2x
46
− y2 + z2 = 4
− z = 0, P R : x + 2z − 5 = 0 Plano
UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matem´ aticas
TALLER V Profesor: H. Fabian Ramirez C´alculo Vectorial TEOREMAS FUNDAMENTALES
1 1 xy 1. * Sea F(x, y) = ye xy x2 y , xe xy 2 un campo de fuerzas Halle el trabajo que realiza F al mover una part´ıcula desde el punto (1, 1) hasta el punto (2, 2) siguiendo la trayectoria compuesta por C 1 C 2 C 3 , donde
−
−
∪ ∪ C 1 : es la semicircunferencia (x − 2)2 + (y − 1)2 = 1, y ≥ 1 C 2 : es la recta que une (3, 1) con (4, 4) C 3 : es la recta que une (4, 4) con (2, 2)
2. Calcule caso.
ˆ
(Fc) R/=e4
− e − 34
F dr siendo F (x, y) = (ey + yex , xey + ex ) y C es la curva descrita en cada
·
C
a ) C es el segmento de recta que va de (a, 0) a ( a, 0) sobre el eje x. R/= 2a
− − b ) C es la trayectoria que va de (a, 0) al punto (−a, 0) sobre la mitad superior de la elipse b 2 x2 + a2 y 2 = a 2 b2 . R/= −2a c ) C es la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 recorrida en sentido horario. R/=0
3. * Calcule I =
ˆ
(y z)dx+(x z)dy +(y x)dz +
C 1
−
−
−
ˆ
C 2
y y y 3+2x sen( ) y cos( ) dx+x cos( )dy x x x
−
siendo C 1 el segmento de recta que va de (1, 2, 2) a ( 1, 0, 2) y C 2 el arco de la semielipse superior 4x2 + y 2 16x + 12 = 0 que va de (1, 0) a (3, 0). R/=6 + 6 = 12 4. * Calcule
ˆ
−
− (x + z, −y − z, x − y) · dr , siendo C la curva de intersecci´on entre la esfera
C
x2 + y 2 + z 2 = 16 y el cilindro x 2 + y2 = 4x (Fc) R/=0
5. Sea D la regi´on interior al rect´angulo de v´ertices (7, 4), ( 7, 4), ( 7, 4) y (7, 4) y exterior al cuadrado de v´ertices (2, 2), ( 2, 2), ( 2, 2) y (2, 2). Al denotar con C a
−
− −ˆ
la frontera de esta regi´on, calcule la integral de l´ınea
−
−
− −
−
4xydx + (2x2 + 4x)dy R/=384π
C
alculo del area ´ de una regi´ on ) Si D 6. (Integral de l´ınea para el c´ R2 es una regi´ on limitada por un camino cerrado C , entonces el ´area de la regi´on D est´ a dada por
⊂
1 A(D) = 2
˛
C
xdy
− ydx
7. Usando el ejercicio anterior, calcule el ´area de la regi´on limitada por y = 4 R/= 64 π 3
− x2 e y = x2 − 4
8. ** Sea S la regi´on exterior al c´ırculo unitario C 2 que est´a limitada por la izquierda por la par´ abola y 2 = 4(x + 4) y por la derecha por la recta x = 4. (Fig. 3). Utilizando el teorema de Green. calcule y x dx + dy x2 + y 2 x2 + y 2 C 1
ˆ
−
donde C 1 es la frontera exterior de S orientada como se muestra en la figura. R/=2π 47
9. Calcule la integral
ˆ
(xy + x + y)dx + (xy + x
C
− y)dy, donde C es la curva de
x2 y 2 + 2 = 1 R/=0 a2 b
a ) la elipse
b ) la circunferencia x 2 + y2 = ax R/=
3
− a8π
10. Si Ω es la regi´on del primer cuadrante del plano xy limitado por las curvas 4y = x, y = 4x, xy = 4, halle el ´area de Ω. R/=4ln4 11. Halle el a´rea de la regi´on interior a la circunferencia x2 +y2 = 4 y exterior a las circunferencias (x 1)2 + y 2 = 14 , (x + 1)2 + y 2 = 14 , x 2 + (y 1)2 = 14 , x 2 + (y + 1) 2 = 14 . R/=3π
−
12. Diremos que una funci´ on ψ : D 3 propia de R , si
−
⊂ R2 → R3 (D conjunto abierto) es una parametrizaci´ on
a ) ψ es uno a uno (inyectiva) b ) ψ es diferenciable de clase al menos C 2 y ψu y ψv son vectores linealmente indepen-
dientes (necesarios para la existencia de los planos tangentes) Pruebe si las siguientes funciones son parametriaciones propias i) Sea D = (u, v) R 2 : u 2 +v 2 < 1 . La funci´ on ψ : D R 2 R 3 una funci´ on definida por ψ(u, v) = (u,v, 1 u2 v 2 ). ¿ψ es parametrizaci´on propia de R3 ?
{
∈ √ } ⊂ → − − ii) Sea D = {(u, v) ∈ R2 : 0 < u < 2π, 0 < v < π2 }. La funci´ on ψ : D ⊂ R2 → R3 una funci´ on definida por ψ(u, v) = (cos u sin v, sin u sin v, cos v) es una parametrizaci´on propia de R3 .
13. Determine el ´area de la parte del paraboloide hiperb´olico z = y 2 √ dentro del cilindro x2 + y 2 = 1 . R/= (5 56−1)π 14. Encuentre el a´rea de la parte del plano√ x + y 2 circular x 2 + y 2 ax = 0 (a > 0). R/= 34πa
−
− x2 que se encuentra
− z = 0 que se encuentra dentro del cilindro
15. Considere la superficie z = 2 x 2 y, donde su dominio de definici´o n es el tri´angulo D 1 limitado √ por las rectas x = 0, y = 1, y = x. Halle el ´area de la superficie. R/= 2 ln( 2 + 3) + 62
− −
√
√
16. Determine el a´rea de una superficie esf´erica de radio a R/=4πa 2 17. * Calcule el ´area del pedazo de cilindro x2 + y 2 = 8y que se encuentra dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 64. R/=256 Integral de Superficie
¨ 18. Calcule x zdS donde S es la superficie dada por S : z = 1 − x − y ¨ 2
2
S
2
R/= π4
(x2 + y 2 )dS donde S es la superficie del cono S : z 2 = 3(x2 + y 2 ) entre z = 0 y
19. Calcule
S
z = 3 R/=9π 20. Calcule
¨
(xz)dS donde S es la parte del cilindro S : x 2 + y2 = 1 entre los planos z = 0 y
S
z = x + 2 R/=2π Teorema divergencia
21. Verifique que el teorema de divergencia para F = 4xi 2y 2 j + z 2 k tomada sobre la regi´ on limitada por x 2 + y 2 = 4, z = 0 y z = 3. R/=84π
−
22. Eval´ ue
¨
S
r ndS , donde S es una superficie cerrada. R/=3V ol(S )
·
48
23. Usando el teorema de divergencia calcular I =
¨
xdydz + ydzdx + 2zdxdy,
S
donde S es una superficie que consiste en la superficie del paraboloide x 2 + y2 = 1 0 < z < 1, y el disco x 2 + y2 < 1, z = 0. R/=2π
− z,
24. Usando el teorema de divergencia calcular I =
¨
x3 dydz + x2 ydzdx + x2 zdxdy,
S
donde S es la superficie cerrada que consiste en el cilindro x2 + y 2 = a2 , 0 < z < b, y los discos circulares x 2 + y2 < a2 , z = 0 y x 2 + y 2 < a2 , z = b. R/= 54 πa 4 b 25. Sea D la regi´on s´olida limitada o acotada por los planos coordenados y el plano 2x+2y+z = 6 y sea F = x i +
y 2 j
+ z k. Hallar
¨
S
F nds donde S es la superficie de D. R/= 63 2
·
26. Sea D el s´olido limitado o acotado por el cilindro x 2 + y2 = 4 el plano x + z = 6 y el plano xy. Hallar
¨
F n donde S es la superficie de D y F = (x2 + sin z)i + (xy + cos z) j + ey k
·
S
R/= 12π
−
27. Demuestre que
˚
∇
28. Demuestre que
˚
constante )
V
2
∇ g − g∇ f )dV =
V
a f g y g f )
∇
(f
2
∇f dV =
¨
¨
(f g
S
∇ − g∇f ) · ndS . (ayuda: Aplique T. Div
f n dS (ayuda: Aplique T. Div a f C donde C un vector
S
29. (GUAUUU) Sea S una superificie cerrada, y sea que r denote al vector de posici´o n de cualquier punto (x,y,z) medido desde un origen O. Demuestre que
¨ n · r S
r3
dS =
0 4π
si O / S
∈ si O ∈ S
30. Sea D la regi´on limitada o acotada por la esfera ρ = 2 Hallar el flujo dirigido hacia afuera del campo vectorial F = 2x3 i + 2y 3 j + 2z 3 k a trav´es de la esfera. R/= 768 π 5 31. Sea S la superficie de la regi´on T limitada por los planos z = 0, y = 0, y = 2, y el cilindro parab´ olico z = 1 R/=8
−
x2 .
Calcule
¨
S
F ndS donde F = (x +cos y)i + (y + sen z) j + (z + ex )k.
·
32. () Sea S la superficie del cilindro s´olido D limitado por los planos z = 0 y z = 3, y el cilindro x2 + y 2 = 4. Sea F = (x2 + y2 + z 2 )(xi + y j + z k), Calcule el flujo hacia el exterior. R/=300π 33. Suponga que la regi´ on D en el espacio est´a limitada por la superficie S suave y cerrada, con una parametrizaci´on que proporciona el vector exterior unitario normal a S. Demuestre que 1 V ol(D) = xdydz + ydxdz + zdxdy 3 S
¨
49
