Fundamentos de la mecánica de los medios continuos
Unidad 2: Aplicaciones de la Física en la Ingeniería Civil
Maestro: Ing. Castillo Díaz Jess Antonio
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Angulo $ui%onez &edro
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Cisneros +odríguez ,icolás +u-alca-a !scalante +igo-erto Anaa /rnelas Daniel 0%iga +odríguez Andr1s Al-erto F1li M1ndez Jos1 3um-erto
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Cantidad de movimiento lineal
La cantidad de movimiento, momento lineal, ímpetu o moméntum es una magnitud física fundamental de tipo vectorial que describe el movimiento de un cuerpo en cualquier teoría mecánica. En mecánica clásica la cantidad de movimiento se
define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado. Históricamente el concepto se remonta a Galileo Galilei en su iscursos sobre dos nuevas ciencias usa el término italiano impeto, mientras que !saac "e#ton usa en $rincipia %at&ematica el término latino motus' (movimiento) y vis (fuer*a). %oméntum es una palabra directamente tomada del latín m+mentum, derivado del verbo mv-re mover. La definición concreta de cantidad de movimiento difiere de una formulación mecánica a otra/ en mecánica ne#toniana se define para una partícula simplemente como el producto de su masa por la velocidad, en mecánica lagrangiana o &amiltoniana admite formas más complicadas en sistemas de coordenadas no cartesianas, en la teoría de la relatividad la definición es más comple0a a1n cuando se usen sistemas inerciales, y en mecánica cuántica su definición requiere el uso de operadores autoad0untos definidos sobre espacio vectorial de dimensión infinita. En mecánica ne#toniana, la forma más usual de introducir la cantidad de movimiento como el producto de la masa (2g) de un cuerpo material por su velocidad (m3s), para luego anali*ar su relación con las leyes de "e#ton. "o obstante, después del desarrollo de la física moderna, esta manera de &acerlo no resultó la más conveniente para abordar esta magnitud fundamental. El defecto principal es que esta definición ne#toniana esconde el concepto in&erente a la magnitud, que resulta ser una propiedad de cualquier ente físico con o sin masa, necesaria para describir las interacciones. Los modelos actuales consideran que no sólo los cuerpos másicos poseen cantidad de movimiento, también resulta ser un atributo de los campos y los fotones. La cantidad de movimiento obedece a una ley de conservación, lo cual significa que la cantidad de movimiento total de todo sistema cerrado (o sea uno que no es afectado por fuer*as e4teriores, y cuyas fuer*as internas no son disipadoras) no puede ser cambiada y permanece constante en el tiempo. En el enfoque geométrico de la mecánica relativista la definición es algo diferente. 5demás, el concepto de momento lineal puede definirse para entidades físicas como los fotones o los campos electromagnéticos, que carecen de masa en reposo.
%ecánica ne#toniana
Históricamente el concepto de cantidad de movimiento surgió en el conte4to de la mecánica ne#toniana en estrec&a relación con el concepto de velocidad y el de
masa. En mecánica ne#toniana se define la cantidad de movimiento lineal como el producto de la masa por la velocidad/
La idea intuitiva tras esta definición está en que la 6cantidad de movimiento6 dependía tanto de la masa como de la velocidad/ si se imagina una mosca y un camión, ambos moviéndose a 78 2m3&, la e4periencia cotidiana dice que la mosca es fácil de detener con la mano mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del ob0eto móvil como a su velocidad.
%ecánica lagrangiana y &amiltoniana En las formulaciones más abstractas de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica &amiltoniana, además del momento lineal y del momento angular se pueden definir otros momentos, llamados momentos generali*ados o momentos con0ugados, asociados a cualquier tipo de coordenada generali*ada. 9e generali*a así la noción de momento. 9i se tiene un sistema mecánico definido por su lagrangiano L definido en términos de las coordenadas generali*adas (q',q:,...,q") y las velocidades generali*adas, entonces el momento con0ugado de la coordenada qi viene dado por/ :
;uando la coordenada qi es una de las coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, el momento con0ugado coincide con una de las componentes del momento lineal, y, cuando la coordenada generali*ada representa una coordenada angular o la medida de un ángulo, el momento con0ugado correspondiente resulta ser una de las componentes del momento angular .
;antidad de movimiento de un medio continuo
9i estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por e0emplo, un fluido que se mueve seg1n un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal/
%ecánica ne#toniana
En un sistema mecánico de partículas aislado (cerrado) en el cual las fuer*as e4ternas son cero, el momento lineal total se conserva si las partículas materiales e0ercen fuer*as paralelas a la recta que las une, ya que en ese caso dentro de la dinámica ne#toniana del sistema de partículas puede probarse que e4iste una integral del movimiento dada por/
onde son respectivamente los vectores de posición y las velocidades para la partícula i<ésima medidas por un observador inercial.
%ecánica del medio continuo
9i estamos interesados en averiguar la cantidad de movimiento de, por e0emplo, un fluido que se mueve seg1n un campo de velocidades es necesario sumar la cantidad de movimiento de cada partícula del fluido, es decir, de cada diferencial de masa o elemento infinitesimal/
9i se introduce el tensor de tensiones que caracteri*a las fuer*as internas en el interior de un medio continuo la ecuación de balance de la cantidad de movimiento en términos de las fuer*as e4teriores se puede e4presar como/
donde/ es el tensor de tensiones de ;auc&y. es la densidad de materia. la densidad de fuer*a sobre el cuerpo. la velocidad en cada punto del medio continuo.
Cantidad de movimiento angular
El momento angular o momento cinético es una magnitud física importante en todas las teorías físicas de la mecánica, desde la mecánica clásica a la mecánica cuántica, pasando por la mecánica relativista. 9u importancia en todas ellas se debe a que está relacionada con las simetrías rotacionales de los sistemas físicos. =a0o ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas es una magnitud que se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación conocida como ley de conservación del momento angular. El momento angular para un cuerpo rígido que rota respecto a un e0e, es la resistencia que ofrece dic&o cuerpo a la variación de la velocidad angular . En el 9istema !nternacional de >nidades el momento angular se mide en 2g?m@3s. Esta magnitud desempeAa respecto a las rotaciones un papel análogo al momento lineal en las traslaciones. 9in embargo, eso no implica que sea una magnitud e4clusiva de las rotacionesB por e0emplo, el momento angular de una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (en módulo y dirección) también se conserva. El nombre tradicional en espaAol es momento cinético, ' pero por influencia del inglés angular momentum &oy son frecuentes momento angular y otras variantes como cantidad de movimiento angular o ímpetu angular.
%omento angular de una masa puntual
El momento angular de una partícula con respecto al punto vectorial de su momento lineal por el vector .
es el producto
En mecánica ne#toniana, el momento angular de una partícula o masa puntual con respecto a un punto C del espacio se define como el momento de su cantidad de movimiento con respecto a ese punto. "ormalmente se designa mediante el símbolo . 9iendo el vector que une el punto C con la posición de la masa puntual, será
El vector es perpendicular al plano que contiene y , en la dirección indicada por la regla del producto vectorial o regla de la mano derec&a y su módulo o intensidad es/
esto es, el producto del módulo del momento lineal por su bra*o ( en el dibu0o), definido éste como la distancia del punto respecto al que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de la partícula. %omento angular y momento dinámico erivemos el momento angular con respecto al tiempo/
El primero de los paréntesis es cero ya que la derivada de con respecto al tiempo no es otra cosa que la velocidad y, como el vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento , el producto vectorial es cero. En cuanto al segundo paréntesis, tenemos/
donde es la aceleración de la partícula, de modo que , es la fuer*a que act1a sobre ella. $uesto que el producto vectorial de por la fuer*a es el momento o momento dinámico aplicado a la masa, tenemos/
5sí, la derivada temporal del momento angular es igual al momento dinámico que act1a sobre la partícula. Hay que destacar que en esta e4presión ambos momentos, y deberán estar referidos al mismo punto C.
%omento angular de un con0unto de partículas puntuales El momento angular de un con0unto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una/
La variación temporal es/
El término de derec&a es la suma de todos los momentos producidos por todas las fuer*as que act1an sobre las partículas. >na parte de esas fuer*as puede ser de origen e4terno al con0unto de partículas. Ctra parte puede ser fuer*as entre partículas. $ero cada fuer*a entre partículas tiene su reacción que es igual pero de dirección opuesta y colineal. Eso quiere decir que los momentos producidos por cada una de las fuer*as de un par acción
El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos e4ternos. Esta afirmación es válida para cualquier con0unto de partículas/ desde n1cleos atómicos &asta grupos de gala4ias.
%omento angular de un sólido rígido Denemos que en un sistema inercial la ecuación de movimiento es/
onde/
es la velocidad angular del sólido.
es el tensor de inercia del cuerpo.
5&ora bien, normalmente para un sólido rígido el tensor de inercia , depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial generalmente no e4iste un análogo de la segunda ley de "e#ton, y a menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los e0es principales de inercia sucede que/
onde es la aceleración angular del cuerpo. $or eso resulta más 1til plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial formado por los e0es principales de inercia del sólido, así se logra que , aunque entonces es necesario contar con las fuer*as de inercia/
;onservación del momento angular clásico ;uando la suma de los momentos e4ternos es cero
Eso quiere decir que módulo como en dirección.
. como
, &emos visto que/
es un vector, es constante tanto en
;onsideremos un ob0eto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su %omento de inercia es y su velocidad angular . 9i el ob0eto cambia de forma (sin intervención de un momento e4terno) y que la nueva distribución de masas &ace que su nuevo %omento de inercia sea , su velocidad angular cambiará de manera tal que/
En algunos casos el momento de inercia se puede considerar un escalar . Entonces la dirección del vector velocidad angular no cambiará. 9olo cambiará la velocidad de rotación. Hay muc&os fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene muc&a importancia. $or e0emplo/
En todos las artes y los deportes en los cuales se &acen vueltas, piruetas, etc. $or e0emplo, para &acer una pirueta, una bailarina o una patinadora toman impulso con los bra*os y una pierna e4tendida para aumentar sus momentos de inercia alrededor de la vertical. espués, cerrando los bra*os y la pierna, disminuyen sus momentos de inercia, lo cual aumenta la velocidad de rotación. $ara terminar la pirueta, la e4tensión de los bra*os y una pierna, permite disminuir la velocidad de rotación. 9ucede lo mismo con el salto de plataforma o el trampolín. Dambién es importante en el ciclismo y motociclismo, ya que la conservación del momento angular es la responsable de la sencille* con que es posible mantener el equilibrio. $ara controlar la orientación angular de un satélite o sonda espacial. ;omo se puede considerar que los momentos e4ternos son cero, el momento angular y luego, la orientación del satélite no cambian. $ara cambiar esta orientación, un motor eléctrico &ace girar un volante de inercia. $ara conservar el momento angular, el satélite se pone a girar en el sentido opuesto. >na ve* en la buena orientación, basta parar el volante de inercia, lo cual para el satélite. Dambién se utili*a el volante de inercia para parar las pequeAas rotaciones provocadas por los pequeAos momentos inevitables, como el producido por el viento solar . 5lgunas estrellas se contraen convirtiéndose en p1lsar (estrella de neutrones). 9u diámetro disminuye &asta unos 2ilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente. ebido a las mareas, la luna e0erce un momento sobre la tierra. Este disminuye el momento angular de la tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la luna aumenta. En consecuencia, la luna aumenta su energía ale0ándose de la tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La luna se ale0a y los días y los meses lunares se alargan.
E0emplo
La masa gira tenida por un &ilo que puede desli*ar a través de un tubito delgado. Dirando del &ilo se cambia el radio de giro sin modificar el momento angular. En el dibu0o de la derec&a tenemos una masa que gira, tenida por un &ilo de masa despreciable que pasa por un tubito fino. 9uponemos el con0unto sin ro*amientos y no tenemos en cuenta la gravedad. La fuer*a que el &ilo e0erce sobre la masa es radial y no puede e0ercer un momento sobre la masa. 9i tiramos del &ilo, el radio de giro disminuirá. ;omo, en ausencia de momentos e4ternos, el momento angular se conserva, la velocidad de rotación de la masa debe aumentar.
>n tirón sobre el &ilo comunica una velocidad radial a la masa. La nueva velocidad es la suma vectorial de la velocidad precedente y En el dibu0o siguiente aparece la masa que gira con un radio en el momento en el cual se da un tirón del &ilo. El término correcto del 6tirón6 física es un impulso, es decir una fuer*a aplicada durante un instante de tiempo. Ese impulso comunica una velocidad radial a la masa. La nueva velocidad será la suma vectorial de la velocidad precedente con . La dirección de esa nueva velocidad no es tangencial, sino entrante. ;uando la masa pasa por el punto más pró4imo del centro, a una distancia , cobramos el &ilo suelto y la masa continuará a girar con el nuevo radio . En el dibu0o, el triángulo amarillo y el triángulo rosado son seme0antes. Lo cual nos permite escribir/
o sea/
, si multiplicamos por la masa , obtenemos que el momento angular se &a conservado, como lo esperábamos/
Femos como el momento angular se &a conservado/ $ara reducir el radio de giro &ay que comunicar una velocidad radial, la cual aumenta la velocidad total de la masa. Dambién se puede &acer el e4perimento en el otro sentido. 9i se suelta el &ilo, la masa sigue la tangente de la trayectoria y su momento angular no cambia. 5 un cierto momento frenamos el &ilo para que el radio sea constante de nuevo. El &ec&o de frenar el &ilo, comunica una velocidad radial (&acia el centro) a la masa. Esta ve* esta velocidad radial disminuye la velocidad total y solo queda la componente de la velocidad tangencial al &ilo en la posición en la cual se lo frenó. "o es necesario &acer la e4periencia dando un tirón. 9e puede &acer de manera continua, ya que la fuer*a que se &ace recobrando y soltando &ilo puede descomponerse en una sucesión de pequeAos impulsos. &rincipio de Conservaci5n de la masa
La ley de conservación de la masa o ley de conservación de la materia o ley de Lomonósovna salvedad que &ay que tener en cuenta es la e4istencia de las reacciones nucleares, en las que la masa sí se modifica de forma sutil, en estos casos en la suma de masas &ay que tener en cuenta la equivalencia entre masa y energía .: Esta ley es fundamental para una adecuada comprensión de la química. Está detrás de la descripción &abitual de las reacciones químicas mediante la ecuación química, y del análisis gravimétrico de la química analítica.
;uando se enunció la ley de la conservación de la materia no se conocía el átomo, pero con los conocimientos actuales es obvio/ puesto que en la reacción química no aparecen ni destruyen átomos, sino que sólo se forman o rompen enlaces, la masa no puede variar.
Historia Los ensayos preliminares &ec&os por Mobert =oyle en 'NO parecían indicar lo contrario/ pesada meticulosa de varios metales antes y después de su o4idación mostraba un notable aumento de peso. Estos e4perimentos, por supuesto, se llevaban a cabo en recipientes abiertos. : La combustión, uno de los grandes problemas que tuvo la química del siglo PF!!!, despertó el interés de 5ntoine Lavoisier porque éste traba0aba en un ensayo sobre la me0ora de las técnicas del alumbrado p1blico de $arís. ;omprobó que al calentar metales como el estaAo y el plomo en recipientes cerrados con una cantidad limitada de aire, estos se recubrían con una capa de calcinado &asta un momento determinado del calentamiento, el resultado era igual a la masa antes de comen*ar el proceso. 9i el metal &abía ganado masa al calcinarse, era evidente que algo del recipiente debía &aber perdido la misma cantidad de masa. Ese algo era el aire. $or tanto, Lavoisier demostró que la calcinación de un metal no era el resultado de la pérdida del misterioso flogisto, sino la ganancia de algo muy material/ una parte de aire.
&rincipio de Conservaci5n de la energía
La ley de la conservación de la energía constituye el primer principio de la termodinámica y afirma que la cantidad total de energía en cualquier sistema físico aislado (sin interacción con ning1n otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dic&a energía puede transformarse en otra forma de energía. En resumen, la ley de la conservación de la energía afirma que la energía no puede crearse ni destruirse, sólo se puede cambiar de una forma a otra, por e0emplo, cuando la energía eléctrica se transforma en energía calorífica en un calefactor . ic&o de otra forma/ la energía puede transformarse de una forma a otra o transferirse de un cuerpo a otro, pero en su con0unto permanece estable (o constante).
9istema mecánico en el cual se conserva la energía, para c&oque perfectamente elástico y ausencia de ro*amiento.
;onservación de la energía y termodinámica
entro de los sistemas termodinámicos, una consecuencia de la ley de conservación de la energía es la llamada primera ley de la termodinámica , la cual establece que, al suministrar una determinada cantidad de energía térmica (Q) a un sistema, esta cantidad de energía será igual a la diferencia del incremento de la energía interna del sistema (R>) menos el traba0o (S) efectuado por el sistema sobre sus alrededores/
(Fer ;riterio de signos termodinámico ) 5unque la energía no se pierde, se degrada de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica. En un proceso irreversible, la entropía de un sistema aislado aumenta y no es posible devolverlo al estado termodinámico físico anterior. 5sí un sistema físico aislado puede cambiar su estado a otro con la misma energía pero con dic&a energía en una forma menos aprovec&able. $or e0emplo, un movimiento con fricción es un proceso irreversible por el cual se convierte energía mecánica en energía térmica. Esa energía térmica no puede convertirse en su totalidad en energía mecánica de nuevo ya que, como el proceso opuesto no es espontáneo, es necesario aportar energía e4tra para que se produ*ca en el sentido contrario.
esde un punto de vista cotidiano, las máquinas y los procesos desarrollados por el &ombre funcionan con un rendimiento menor al '88T, lo que se traduce en pérdidas de energía y por lo tanto también de recursos económicos o materiales. ;omo se decía anteriormente, esto no debe interpretarse como un incumplimiento del principio enunciado sino como una transformación 6irremediable6 de la energía.
El principio en mecánica clásica
En mecánica lagrangiana la conservación de la energía es una consecuencia del teorema de "oet&er cuando el lagrangiano no depende e4plícitamente del tiempo. El teorema de "oet&er asegura que cuando se tiene un lagrangiano independiente del tiempo, y por tanto, e4iste un grupo uniparamétrico de traslaciones temporales o simetría, puede construirse una magnitud formada a partir del lagrangiano que permanece constante a lo largo de la evolución temporal del sistema, esa magnitud es conocida como &amiltoniano del sistema. 9i además, la energía cinética es una función sólo del cuadrado de las velocidades generali*adas (o lo que es equivalente a que los vínculos en el sistema sean esclerónomos, o sea, independientes del tiempo), puede demostrarse que el &amiltoniano en ese caso coincide con la energía mecánica del sistema, que en tal caso se conserva. En mecánica ne#toniana el principio de conservación de la energía, no puede derivarse de un principio tan elegante como el teorema de "oet&er, pero puede comprobarse directamente para ciertos sistemas simples de partículas en el caso de que todas las fuer*as deriven de un potencial , el caso más simple es el de un sistema de partículas puntuales que interact1an a distancia de modo instantáneo.
El principio en mecánica relativista >na primera dificultad para generali*ar la ley de conservación de la energía de la mecánica clásica a la teoría de la relatividad está en que en mecánica relativista no podemos distinguir adecuadamente entre masa y energía. 5sí de acuerdo con esta teoría, la sola presencia de un partícula material de masa m en reposo respecto observador implica que dic&o observador medirá una cantidad de energía asociadada a ella dada por E U m c:. Ctro &ec&o e4perimental contrastado es que en la teoría de la relatividad no es posible formular una ley de conservación de la masa análoga a la que e4iste en mecánica clásica, ya que esta no se conserva. 5sí aunque en mecánica relativista no e4istan leyes de conservación separadas para la energía no asociada a la masa y para la masa, sin embargo, sí es posible formular una ley de conservación 6masa
e4presa en relatividad especial, usando el convenio de sumación de Einstein , en la forma/
(')
5 partir de esta forma diferencial de la conservación de la energía, dadas las propiedades especiales del espacio
, y usando el teorema de la
(:)
9i la segunda integral que representa el flu0o de energía y momentum se anula, como sucede por e0emplo si e4tendemos la integral a todo el espacio
(O)
La componente 6temporal6 es precisamente la energía total del sistema, siendo las otras tres la componentes del momento lineal en las tres direcciones espaciales.
;onservación en presencia de campo electromagnético
En presencia de campos electromagnéticos la energía cinética total de las partículas cargadas no se conserva. $or otro lado a los campos eléctrico y magnético, por el &ec&o de ser entidades físicas que evolucionan en el tiempo seg1n la dinámica propia de un lagrangiano, puede asignárseles una magnitud llamada energía electromagnética dada por una suma de cuadrados del módulo de ambos campos que satisface/
(7)
El término encerrado en el primer paréntesis es precisamente la integral e4tendida a todo el espacio de la componente , que de acuerdo con la sección precedente debe ser una magnitud conservada para un campo electromagnético adecuadamente confinado.
;onservación en presencia de campo gravitatorio
El campo gravitatorio dentro de la mecánica relativista es tratado dentro de la teoría general de la relatividad . ebido a las peculiaridades del campo gravitatorio tal como es tratado dentro de esta teoría, no e4iste una manera de construir una magnitud que represente la energía total con0unta de la materia y el espacio
pero que sólo puede definirse en sistemas de coordenadas que cumplen ciertas propiedades específicas. $or otro lado, a1n en la teoría de la relatividad general para cierto tipo de sistemas muy especiales, puede construirse una magnitud asimilable a la energía total del sistema. >n e0emplo de estos sistemas son los espacio
En mecánica cuántica aparecen algunas dificultades al considerar la cantidad de energía de un sistema a lo largo del tiempo. 5sí la energía total en ciertos sistemas aislados no está fi0ada para algunos estados cuánticos sino que puede fluctuar a lo largo del tiempo. 9ólo los estados llamados estacionarios que son autovectores del operador &amiltoniano tienen una energía bien definida, cuando además el &amiltoniano no depende del tiempo. 9in embargo, en sistemas aislados a1n para estados no estacionarios, puede definirse una ley de conservación de la energía en términos de valores medios. e &ec&o para un sistema cuántico cualquiera el valor medio de la energía de un estado puro viene dado por/
(')
,
por tanto cuando el &amiltoniano no depende del tiempo, como sucede en un sistema aislado el valor esperado de la energía total se conserva. 5unque para algunos estados se observen fluctuaciones oscilantes de la energía cuya desviación estándar se relacionan con el principio de indeterminación de Heisenberg mediante/
(:)
,
onde/
Fuentes / es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento es.#i2ipedia.org3#i2i3%omentoWangular es.#i2ipedia.org3#i2i3LeyWdeWconservaciónWdeWlaWmateria es.#i2ipedia.org3#i2i3;onservaciónWdeWlaWenergía
