[Mcgraw-hill] Resistencia de Materiales - Luis Ortiz Berrocal

Calcuiemos primeramente los'esfuerzos normales a los que están sometidas ;as barras l." A B y E. Por tratarse de un sistema isostático los valores de estos esfuerzos se determinan mediante las ecuaciones de equilibrio. y N, el de compresión en la Si N, es el esfuerzo normal de tracción en la barra las ecuaciones de equilibrio del nudo B, son (Fig. 11.2-b). viga K,

m

Si (6,6,) son las componentes del corrimiento del nudo al que se aplica la carga P, referidas al sistema de ejes indicados en la Figura 11.2-c. proyectando sobre ainbas barras, tenemos: Al, = 6, cos a Al, = S,

+ S,

sen a

TRACCION Y C O M P R E S I O N

RESISTENCIA DE MATERIALES

Sustituyendo valores:

113

por lo que 6,,será, en virtud del teorema de Castigliano

de donde:

Sustituyendo valores se obtiene:

[

6,

=

-0.2Omm

;

dy = 2.25 mm

I

El signo negativo de 6, nos dice que el nudo B se corre a la izquierda del eje vertical y, como se ha indicado en la Figura 11.2-c.

N,

=

P

S, = tg ct

F

=

1 N:

1

!

11.3.

P21

F A B = - -1 = --- --2 sen2 ct E, Q , 2 E,R, 1 N: b,,=---a=-2 EIRz

valor que. junto al de 6,. coinciden con los obtenidos anteriormente

i

b) Calculemos el potencial interno del sistema en función de P

1 P'a 2 tg' a E2Q,

La barra de la Figura 11.3 tiene forma de dos troncos de cono iguales de radios r = 20 cm 5 21 longitud 1 = 6m. unidos por sus bases mayores. La barra está sometida a fuerzas P = 600(! Li de tracción aplicadas en sus extremos. Conociendo el módulo de elasticidad E = 2 x 105 XIPa y el coeficiente de Poi-sr~c. p = 0.3, se pide: l." Calcular la variación unitaria del área de la sección recta. 2." Determinar la tariación de volumen de la barra.

1 Pzl 1 P'a E A B + FBC = --- - + -2 senZ ct E,O, 2 tg2 z E,R,

Por el teorema de Castigliano, el corrimiento vertical 6 , sera

Sustituyendo valores se tiene:

I

I

en la dirección y sentido de la carga P. Para calcular el corrimiento horizontal 6, supondremos aplicada endel nudo B una carga ficticia 4 horizontal (Fig. 11.2-4

1

l1

l."

Por ser el semiángulo cónico muy pequeño

a = are tg

I

l

T

Ahora, el potencia! interno en función de

Q tiene por expresión:

Figura. 113-0.

i

1

0.2

= arc tg -

6

-

z = 1.9"

admitiremos un r e p a ~ t ouniforme de tensiones en todas las secciones rectas de la bart.

l

i 1

Figura 113-6.

7

116

RESISTENCIA DE MATERIALES

TRACCION Y COMPRESION

Integrando a lo largo de toda la barra, la variación de volumen sera:

Considerando el area elemental d!2 = dy dz en una sección recta (Fig. 11.3-6) antes de la deformación, después de ella la nueva área se puede expresar de la siguiente forma

di2 + A d 2 Como X1

=

=

((br + &&!(di + Adi)

=

ú~di

11

-

~ , ) ( l+

-

E,)

& dz, restando se tiene: AdR

117

Sustituyendo valores, se obtiene:

= (E, +

E:)

& di

Ahora bien, por las leyes de Hooke es decir:

la expresión anterior toma la lorma 2~

11.4.

dAR = -- a,, aQ

E

Aunque la tension onIes variable y depende exclusivamente de .Y podemos hacer la integracion de esta ecuación, e.xtendida a una determinada sección recta AR

2p

- - -0 E

u,, =

2~1P = E np2 Er[r

+

2itP (1 - ri t_o r]'

Cn prisma mecánico de sección variable, longitud 1 = 30 m, y eje recto vertical tiene el extremo superior rígidamente fijo. En el extremo inferior está aplicada una carga P = 15 ton. Conociendo la tensión admisible a,,, = 1200 kp/cm2, el módulo de elasticidad E = 2 x 106 kp/cm2 y el peso específico del material y = 7.8 ton/m3, se pide calcular: l." 2." 3." 4"

El área de la sección recta del empotramiento, si el prima es un sólido de igual resistencia. E1 volumen del prisma mecánico. El alargamiento total. El potencial interno almacenado por el prisma.

Sustituyendo los valores dados, 1s variación unitaria del área de las secciones rectas situadas a distancia .r ue la sección media es

Figura 11.3-c.

2."

que, como se observa en la Figura 11.3-c. toma su valor minimo en la sección media y el valor máximo en las secciones extremas. La aplicación de la fórmula (2.2-6) de la deformación cúbica unitaria, a ia porción de barra comprendida entre dos secciones rectas indefinidamente próximas nos d a la variación de volumen d e esta parte d e la barra

+P

=

15 ton

1 l."

Figura. 11.4

El area de la sección recta del empotramiento, en virtud de la formula (2.3-10). es

p

nmax. = - :oadm adm

15000 e 7 . 8 x

=

-1200

10-3x3000 1200

=

12.75 cni2

-

-

118

RESISTENCIA DE MATERIALES

2."

103

e

izoo

Al ser u = constante, también lo es el alargamiento unitario, en virtud de la Iry de Hooke. El alargamiento total será

f P=

4."

1 19

La expresión del volumen de un solido de ieual resistencia, en general. serli

7.8

3."

TRACCION Y COMPRESION

6 ron Figura. 11.5.

es decir

De la ecuacion de Hooke

El potencial interno almacenado por el prisma. segun la fórmula (2.1-5) será

lntrgrando. se obtiene el alargamiento total

Para los valores dados:

b =

2

2

1200' x 15000 lo6 7.8 x l o - '

7 . 8 ~lo-'a3000

(-e

izoo

kg-cm

=

13632.5 kp.cm

o expresado en julios

11.5.

2."

Calcularemos la ensrgia de deformación aplicando la fórmula (2.4-5)

Una pieza prismática vertical de longitud 1 = 3 m y sección de Atea R = 4 cm' está empotrada por sd sección extrema superior. Eztá sometida a una fuerza de tracción P = 6 ton aplicada en si sección extrema inferior y a una fuerza antagonista que actúa de forma uniforme sobre su superficie, de valor p = 1 tonlm. Conociendo el valor del módulo de elasticidad E = 2 x l o 6 kp/cmz, calcular. l." E1 alargamiento total. 2." La energía de deformación acumulada en la pieza.

l." La ley d e tensiones normales en la pieza, tomando como origen de abscisas la sección inferior, es

11.6.

Las únicas fuerzas que actúan sobre la barra prismática escalonada de eje vertical indicada pn la Figura 11.6-0 son las debidas a su propio peso. Conociendo el peso especíiico y del materi-.l. el coeficiente de dilatación lineal a y el módulo de elasticidad E, se pide: 1." Calcular las reacciones en los empotrarnientos. 2." Dibujar el diagrama dc tensiones en las secciones rectas de la barra. 3." tCu$l sería la reacción en el empotramiento superior si se eleva la temperatura Ar

"(

'-

120

TRACCION Y COMPRESION

RESISTENCIA D E M A T E R I A L E S

f

121

RB

- 2.27;.a M

Diagrama de tensiones

Figura 11.6-0.

Figura 11.6-b. l." Se trata de un caso hiperestitico de primer grado. Si R., y RE son las reacciones de los empotramientos inferior y superior respectivamente, el valor de RE deberi ser e1 de un esfuerzo de traccion que acruando en la sección superior de la barra escalonada produzca en ella un alargamiento nulo. Aplicando. pues. la formula (?.M), tenemos

3."

de donde se obtiene:

de donde se obtiene la reacción en el empotramiento superior.

que será de compresión si se verifica

De la única ecuación de equilibrio

se obtiene el valor de la otra reacción R,

Con los valores que se han obtenido de las reacciones, la construcción del diagrama de tensiones en las secciones rectas es inmediato. Se representa en la Figura 11.6-6. Si se eleva la temperatura de la barra escalonada Ar "C, la expresión del alargamiento total de la barra sera

l

y de tracción en caso contrario. 11.7.

Se quiere construir una viga de hormigón pretensado sometiendo la armadura metálica a una fuerza de tracción F antes de proceder al hormigonado. Una vez fraguado el hormigón Y liberado el mecanismo de pretensado se somete la viga a un esfuerzo N de tracción. Si las áreas de las secciones de acero y hormigón son Q, y R2 respectivamente y sus módulos de elasticidad E, y E,, calcular las tensiones a que van a estar sometidos ambos materiales. Al aplicar la fuerza F a la armadura metálica de longitud 1, ésta experimenta un alargamiento

2."

El sistema que se considera es equivalente a una barra igual a la dada, empotrada en su extremo inferior y actuando en su extremo superior una fuerza de tracción igual a R, (Fig. 11.6-b).

FI Al = r, (Fig. 11.7-a). Una vez fraguado el hormigón y liberado el mecanismo de pretenc.tL,JiL,.

d o la armadura estara sometida a un esfuerzo N, de tracción y el homigón a un esfuerzo N, de compresión. La condición de equilibrio exige que estos esfuerzos sean iguales y opuestos.

122

RESISTENCIA DE IMATEKIALES

TRACCION Y COMPRESION

!

Simplificando. se tiene finalmente

11.8.

i

Figura 11.7.

123

Cna viga rígida e indeformable de peso P = 1000 kp está suspendida por cuatro hilos verticales de la misma longitud, de la misma sección, del mismo metal, situados en un mismo plano vertical, como se indica en la Figura 11.8-a. Determinar el esfuerzo de tracción en cada hilo calculando las incógnitas hiperestáticas: expresando la compatibilidad de las deformaciones; 6 ) aplicando el teorema de Wlenabrea. a)

---Ni - Ní = O

Igualando los acortamientos que se producen en ambos materiales

habiendo despreciado en el segundo miembro Al frente a l. De estas dos ecuaciones se obtiene:

P

= 1000

kp

Figura 11.8-a.

Se trata de un sistema hiperestático de grado 2, ya que tenemos cuatro incogitas: lo, esfuerzos en los cuatro hilos: y sólo dos ecuaciones de equilibrio: las que expresan nulidad dc Al aplicar ahora un esfucizo al conjunto formado solidariamente por los dos materiales, kste se reparte entre znibos: N',sobre la armadura y N; en el hcrmigón (Fig. 1!.7-c), que se superponen P los esfuerzos N, y h;, que existían anteriormente.

1

resultante y de momento

habiendo tomado momentos respecto del centro de gravedad de la viga. a) Las otras dos ecuaciones q u r necesitamos para la determinación de las incógnitas iaj podemos obtener expresando la compatibi!idad de las deformaciones (Fig. 11.8-b)

La armadura queda sometida a un esfuerzo d e tracción N, + h;; y el hormigón a un zsfuerzo d e N ; - N,, que es de traccion si es positivo o de compresión si es negativo. Por tanto, en virtud del principio de superposición, las tensiones respectivas serán:

I

'

= Im

kp

Figura 11.8-b.

124

RESISTENCIA D E MATERIALES

Simplificando, se obtienen las dos ecuaciones siguientes:

,4A" -

CC"

Como A1

=

-

/1D

-= CD

All-Al4 A13 - Al,

= 4

= A¡,

4-

3AIA

=

4A/,

que nos permiten obtener los valores de iV, y N2 y. a partir de éstos, los de :V, y N, mediante las ecuacicnes consideradas anteriormente.

'V

- 1. estas dos ecuaciones son equivalentes a: ER

En la Figura 11.9-a se indica un dispositivo hiperestático constituido por un cable de acero dulce. de módulo de elasticidad E, = 2 x lo6 kp/cm2, longitud 1, = 100 cm y área de la sección recta R, = 1 cm', y un tubo de duraluminio, de módulo de elasticidad El = 0.8 x 106 kplcm', longitud /? = 50 cm y área de la sección recta R, = 2 cm'. Las doi partes del sistema no están sometidas a tensión alguna cuando está descargado. A partir de este estado se aplica en su extremo inferior una carga P que vamos aumentando de forma lenta y progresiva. Conociendo los diagramas de tracción de ambos materiales indicados en la Figura 11.9-h, se pide:

que, junto a las dos ecuaciones de equilibrio, constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, cuyas soluciones son:

b)

También podiamos haber resuelto el problema de determinación de las incógnitas hiperestáticas aplicando el teorema de Menabrea. En efecto, las dos ecuaciones de equilibrio 0

~
n a de tracción le1 acero

1

nos permiten expresar N, y N, en función d e N, y N,, que podemos considerar como incógnitas superabundantes

3w1-7v/ón

, Diagramadelde , duraluminio

El potencial i n ~ e r n odel sistema constituido por los cuatro hilos de longitud 1 es:

) que e.cpresarzmos en función de N, y N, exclusivamente

Figura. 11.9-a.

Figura 11.9-b.

Estudiar el comportamiento del dispositivo al aumentar P desde 0 hasta el menor valor que hace que acero y dursluminio trabajen simultáneamente en régimen plástico, dibujando las curvas que indiquen los valores de los esfuerzos en el cable y en el tubo en función de la carga P. 2." Realizar un estudio análogo del proceso de descarga, es decir, cuando se alcanza el límite elástico de los dos materiales la carga P disminuye lenta y progresivamente hasta su valor inicial P = 0. 1."

Por el teorema de Menabrea se habrá d e verificar:

l." 1

Llamemos .N, y N, los esfuerzos normales en el acero y en el duraluminio respectivamente. La Estática nos propi>rciona una sola ecuación de equilibrio

126

RESlSTENClA D E MATERIALES

Por tanto. el dispositivo considerado es un sistema hiperestitico de primer grado. La ecuacibn necesaria para la determinación de 10s esfuerzos normales. mientras las dc.ormaciones sean elásticas, la podemos obtener expresando la iguafdad de alar,oamientos del ckible de acero y del tubo de duraluminio

Las ecuaciones que nos dan ahora los valores de !VI y I V ~son:

que serán válidas mientras se verifiquen las dos condiciones siguienres: o ) quc la tensión en el tubo sea menor que el limite elistico del dur:iIumiiilo Esta ecuación, junto con la de equilibrio, cocstituye un sistema dz dos ecuaciones con dos incógnitas. cuyas soluciones son:

6) que el alargamiento del cable esté comprendido en e1 escalón de plasticidad del 3CSTO.

De la primera condición se deduce:

A partir de los esfilerzos normales, la determinación de la tensión a, en el cable de acero y o, en el tubo de duraluminio es inmediata

Cuando P = Y500 k p el tubo alcanza su limite elástico (punto '1 en e1 dirigrarn,~ de tracción del duraluminio). En cuanto a la segunda condición, calculemos el alaroamiento unitario del cable

Sustituyendo \,alares, se tiene:

u,, =

P x 100 x 0.8 x lo6 0.8P -50 x 2 x lo6 x 1 100 x 0.8 x lo6 x 2 2.6

+

Para que se cumpla la hipótesis de deformaciones elásticas, se tendri que verificar:

es decir, las dos partes del dispositivo trabajan en regimen elisticc micntras la carga P se mantiene inferior a 6500 kp. Cuando P alcanza este valor, los esfuerzos N, y N, valen

que como vemos, al observar el diagrama de tracción del acero. se encuentra dentro de1 esca!ón de plasticidad (punto a , en la Figura 11.9-c).

k:-/ /

O

a,

/ 1 1a I

I

II I 1

i

A

0.125

6

372j

E

10- 2

Por tanto, las curvas N - P que expresan la variación de los esfuerzos en e! cable y en el tubo en función de P serán, en el proceso de carga, las indicadas en la Figura 11.9-4 es decir, segmentos rectilineos: y para el acero; m, y para el duraluminio. 2." Si la carga P se disminuye lenta y progresivamente a partir del valor de 8500 kp. la descarga del acero se realiza siguiendo el segmento rectilíneo G z . : p a r a l e l o a G (Figura 11.9-c).

m,

EII este instante el acero inicia la fluc,icia. manteniéndose hr, constante cciaridn P aunlenta.

Figura 11.9-c.

m

TRACCION Y COMPRESION

129

expresiones válidas mientras N, sea un valor positivo, ya que el cable no puede estar sometido a compresión, es decir, para valores de P menores de 8 5 0 0 k p y que verifiquen la inrcuacion: Plz P>-

ELRz Al,

=

-

E2QzAlo > O

0.8 x lo6

x

2

0.0625

=

2000 kp

50

'1

Para valores de P nienores de 2000 k p

___---

Las curvas :V - P del proceso de descarga, de acuerdo con los resultadosbtenidos. se representan en 13 Figura 11.94 mediante los segmentos rectilineos: ALA3 para el acero; y D,O para el duraluminio.

m,

Figura 11.9-b. 11.10.

El cable presentaria una deformación permanente unitaria dada por

que corresponde a un alargamiento Al,

Se prevé la sujeccion de una barra T B perfectamente rígida mediante tres barras del mismo material enlazadas por medio de articulaciones como se indica en la Figura 11.10-a. Por un error cometido al cortar las hartas. la prevista situarla en posición vertical de longitud 1 presenta un defecto A en su longitud. El área de las secciones de todas las barras tienen el mismo valor R y el modulo de elasticidad es E. Calcular las tensiones de montaje

Por tanto, a partir del momento en que se inicia la descarga, la relación entre esfuerzo y deformación en el cable de acero será

En el tubo la descarga se hace siguiendo la recta aü del diagrama de tracción, de forma reversible respecto del proceso de carga. E202 N, = -A12 12

G)

La determinación de los esfuerzos N, y N , en función de P se hará resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones

Al,

=

Al,

(Al

E2Rz - Al*) + Al

=

P

[Z

de donde

I

Figura 11.10.

130

TRACCION Y COh.1PRESION

RESISTENCIA DE 'V14TERIALES Al ser A pequeño en comparación con a podemos admitir que las dos barras inclinadas experimentan el mismo acortamiento Al-, por ]o qtle estarán sometidas a esfuerzos normales ieuales. Para calcuiar los esfuerzos .V, de la barra vertical y NI de las barras inclinadas disponeque expresa la nulidad de momento mos dc la ecuación de equilibrio de la barra rigida respecto de la arriculación B (Fig. 11.10-b).

=

iL', 2a - 2.Y' cos z

x

a

=

N,

0

=

N2 cos z

131

Por razoci de simetria los esíuerzos normales en las barras que forman los lados del ... cuadrado son iguales

De la ecuación de equilibrio en el nudo d o 5:

-

A

2 .V, cos 45

=

F. se deduce: .Vi

=

~ $ 2

-2

y la ecuación de compatibilidad de deformaciones que se deduce de la Figura 11.10-c es decir.

Al2 = 2 -

A -Al,

COS 3:

Expresando las deformaciones en función d e los esfuerzos, de esta ultima ecuación se obtiene otra equivalente A

-

1 2 N, 1 = --ER

cos z E R

que bon esiuerzos de tracción El s~fuerzo.V, en la quinta barra, que es de compresion. se obtiene de la ecudcion de equilibrio en el nudo C o D.

~ O z S

que junto con la ecuación de momentos permite calcular los valores de los esfuerzos normaies

Obtsriidos los esfuerzos a los que estin sometidas las barras el cilculo del potencial inierno del sistema es inmediato: =

!VI =

11.1 l.

EQA cos' a ((2 + c0s3 z) ;

ERA cos'z 'l ( 2 + cos3 a )

lVz

Se considera el sistema articulado plano indicado en la Figura 11.11 formado por cinco barras del mismo material e igual sección. Conociendo el módulo de elasticidad E, la longitud a de las cuatro barras iguales que forman un cuadrado y el i r e a R de la sección de las mismas, calcular la variación de la distancia entre los vértices A y B cuando se aplica en ellos una fuerza F en la dirección de la diagonal que los une, así como los alargamientos de las barras.

V I r--=

2ER

8EO

F'a

=-(2 SEQ

+ ,,h)

y expresado este en función de la luerza F, la variación 6 de la distancia entre los vkrtices A y B pedida. en virtud del teorema de Castigliano, será:

Las barras 1, 2, 3 y 4 están sonietidas a una fuerza de tracción del misnio módulo F :l /V = V. 2 El alargamiento de estas barras 2s: L/,

C

F'oJ 2M

F22a 4--+-

-

AÍ2

=

Al,

-

N a AFJ? Al - - = "-En 2ER

D

La barra diagonal está sometida a compresión. La iariacion de su longitud será:

Figura 11.11.

1

F

El signo menos indica que la barra 5 ha experimentado un acortamiento.

132 11.12.

i

RESISTENCIA DE MATERIALES

El cable de acero indicado en la Figura 11.12-a cuando está descargado tiene una longitud 21 = 40 m y su peso por unidad de longitud es q = 4 N/m. Los puntos de amarre A y H eitán situados al mismo nivel y distantes 21. Suponiendo que la línea funicular es una parábola. >e pide:

Por otra parte. podemos expresar el esfuerzo normal N en función de la flecha. cn virtud de la ecuación (2.7-7)

1." Determinar la flecha que corresponde a la sección media del hilo. 2." Calcular el valor del esfuerzo normal en dicha sección media. 3." Hallar e! valor del esfuerzo normai en los puntos de amarre.

Datos:

módulo de elasticidad E = 1.2 x 105 MPa area de la sección recta R = 0.5 cm2

Figura 11.1 2-a. l."

El alargamiento de un elemento de cable de longitud ds es

Integrando, obtenemos el alargamiento de la mitad del cable.

21

El cable esta sometido a tracción en todas sus secciones. Como consecuencia de ello se va a producir un alargamiento que vamos a calcular en función de la flecha, por dos caminos distintos:

Por lo tanto, la longitud L del cable después de la deformación sera:

a ) a partir de la longitud del arco de paribola entre los puntos de amarre A y B, y b) calculando el alargamiento producido por el esfuerzo normal a que está sometido el cable. La figura de equilibrio del cable tendido entre los puntos A y B es una catenaria, pero cuando la relación f/les pequeña, como es nuestro caso, sabemos que se puede considerar la pariboia como figura muy aproximada. Tomando el sistema de ejes indicado en la Figura 11.12-h. la ecuación de la parábola, segun se deduce de la ecuación (2.7-14). es

I_oualando las dou

expresiones

de L, tenemos

Despreciando f frente a 12, nos queda

de donde:

que nos permite obtener la relación entre los valcces de la flecha f y del esfuerzo oormal H en la sección más baja Sustituyendo valores en esta expresión, obtenemos la flecha

P a r a x = +l ; y = f - / = - 412 2H Si L e s la longitud de la mitad del cable después de la deformación, de la ecuación de la parábola se deduce: 2."

En la sección media el esfuerzo normal es precisamente H (Fig. 11.12-b). De la ecuación que da la flecha en función de H, se deduce 1' 412 f= 2H 9 4 = -

2f i

-.. . -.-.> -2

134

RESISTENCIA DE MATERIALES Sustituyendo valores:

3." C o m o se ha visto anteriormente, la Icy d e esluerzos normales es

1-

cuyos valores máximos corresponden a las seccioncs de los puntos dc amarre, y se obtienen haciendo .v = f 1 en esta expresion.

i < = i ~ c m

Obtenido sI valor de o,. de la ecuación 3 0 ,

-

'

Figura 11.13-h

o, = 900 se deduce

o, = 3o, - 900 = 150 kp/cml

11.13.

Un neumático de fornia tbrica, de las dimensiones indicadas en la Figura 11.13-a. está somctido a una presión in~eriorp = 10 kp/cm2. Sí su espesor es e = 1 mni calcular las tcrisiones de membrana en cualquiera de los puntos m i s cercanos al eje de revolución.

Por tanto. las tcnsiories de nicmbrana pedidas son:

Represcniai zriíicanientc la variación de la tensihn e q u i v a l e n ~a~lo largo de la gcneratriz dcl recipiriitc cilíndrico de p:trctics delgadas intlicado en la Figura 11.14~.lleno hasin una altura II dc un líquido de peso especiíico y, aplicando los criierios de Tresca ! de ton >lises. Se considerarán desprrcial~leslas tensiones de flexibn engendradas en las paredes dcl recipicnte. asi conio en cl peso propio del mismo.

Figura 11.13-a Aplicaremos la ecuación d e Laplace teniendo en cuenta qiie p , = 3 cni: p,

=

-9 crn

d e donde

La otra ecuación que necesitamos para determinar las tensiones de membrana en los puntos más cercanos al eje de revolución del toro, la obtenemos al plantear el equilibrio en el seccionamiento indicado en la Fisura 11.13-b.

t----l Figura 11.14-a.

Figura 11.14-h.

De las do4 tsnsiones princijl;ilss del estado biaxial eiistctitr cn el cir.phsito (Fig. 11.14-b). o, es const:inrc j I;i poderrios c;ilziilar in1:iginarido un cor-ie dcl recipicntc por un plano horizontal d e donde

TRACCION Y COMPRESION

137

1.:i dcrern1in;icii>n {Ic la tciisión circcinferencial la hacernos apl~c;~rido la ecuaci0n de Laplace. reniendo en ciienta que p,,, = %.

ya que la presión p sobre la pared interna del depósito e j la debidii dril liquido que. como sabernos es

~i I;i

acción hjdrosrática

siendo .t. la distancia a la superficie libre. Por tanto. las tensiones principales en el deposito cilindrico, sin prejuzgar el orden de mayor 3 rnenor, son: Figura 11.14-c. Como en los criterios interviene el orden, es necesario sstablecer Si u, 2 o,, que se verifica para

previamente

Para .v 2

If

Y: oequiv=

sión que para O para ú las tensiones principales son: o, = a,; o: = o,; o, = 0. H Si. por el contrario o, < o,, que se verilica para - < .v 2 princip3lts son: u , = o,;o, = o,; o, = 0. Calculemos ahora la tensión equivalente. U) Según el criterio de Tresca o,,,,, = o ,

- o,.

$

cuya representación grilica se hace en la Figura 11.14-c

Para O

$

2

-

<

If 2 ' es decir, la expresion de la tension equivalente.

ti,es:

cuya representación gráfica se'hace también en la Figura IL14-c. Se observa que la tensión equivalente según el criterio de von Mises es, en todas las secciones del recipiente, menor que la que resulta de aplicar el criterio de Tresca, salvo en los puntos del anillo correspondiente a x = H/2. Podemos, pues, decir que el coeficiente de seguridad del estado tensional en cualquier punto del depósito es mayor según el criterio de vor! Mises que según Tresca. Por consiguiente, el criterio de Tresca es más conservador que el de von Mises.

Por consiguiente

6) SI aplicamos el criterio de von Llises:

1 2 [(o,

se obtiene Ir misnia expre-

ti, eritonces las tensiones

11.15.

H .r ,< - ; oCqui,=

< .r <

.Y

/m,

u2l2 + (o2 - o,):

+ (o, - o ~ ) ~=]

d Una barra OA de sección constante pequeña angular uniforme o alrededor de un eje vertical mantiene perpendicular a l eje longitudinal de la de la barra, así como su módulo de elasticidad

tiene una longitud L y gira con una velocidad fijo que pasa por e! extremo O de la barra y se misma. Conociendo la densidad p del material 2, se pide:

l." Hallar la ley de distribución de tensi0ne.i normales en las secciones de la barra en función de Ir distancia r al eje de giro. 2." Calcular el alargamiento experimentado por la barra. l."

La fuerza centrífuga sobre el elemento de barra dx es (Fig. 11.15-a) dj; = dui 0 2 x = pf2 dx w'x

siendo dm = pR d.r la masa del elemento considerado y f2 el área de la sección recta de la barra.

138

RESISTENCIA DE MATERIALES

Cor tndurcr (4 Figura 11.15.

(b)

E1 esfuerzo normal en una sección a distancia r ael eje será

y, por tanto, la ley de distribución de tensiones normales en las secciones de la barra es

Se observa que la ley es parabdica tomando su valor maximo en la sección niis próxinia al eje de giro. Se representa gráficamente en la Figura 11.15-b. 2." Por la ley de Hooke, si u = 4.r) es el desplazamiento de la sección situada a distancia x del eje de giro, tenemos:

El alargamiento pedido es el desplazamiento de la sección extrema. Por tanto. integrando

es decir:

C o r t a d u r a pura. T e o r í a e l e m e n t a l de la c o r t a d u r a

3.1.

Cuando en iiria sección recta d e un prisma mecinico la resultante de las fuerzas situadas a un lado de I:i niisnia esta contenida en su plano y el momento resultante es nulo, diremos que esa seccióri dcl prisma tfabaja a corradiira pirra (Fig. 3.1-0). Pero si esto ocurre en una determinada secsi6n. en las secciones próximas existe también un momento flector M producido por esta resultante, es decir, no es posible quc en un tramo finito dc un prisrnn mecánico se de en todo él un estado de cortadura pura. En el próximo capitulo veremos que el esfuerzo cortante es la derivada del moniento flector. Quiere esto decir que si existc un esfuerzo cortante no nulo, existe un momento flector variable, y éste sólo se anulará en una o varias secciones determinadas del prisma. No obstante, en el cálculo de elementos de unión, como tornillos, remaches o cordones de soldadura, se suele admitir la presencia únicamente del esfuerzo cortante y la nulidad del momento flector en todas las secciones. Este es aceptable porque, en estos elementos, los electos (las tensiones y deíorrnaciones) debidos a! esluetzo cortante son mucho mayores que los debidos al momento flector. En los prisrnas mecánicos rectos que admiten plano medio de simetria y las cargas verticales están contenidas en este plano, adoptaremos para el esfuerzo cortante T el convenio dc signos indicado en la Figura 3.1-6. La tendencia a la rotura de la barra para T positivo se indica asimismo en la Figura 3.1-c. En la teoria elemental se admiten las siguientes hipótesis: Hipó~c.~i.r [fe B~~rltolilli, según la cual las secciones rectas permanecen planas dsspues de la deformación. 2. La tensión tangciicinl r que produce el csluerzo cortante tiene la misma dirección que Cstc. 1:s decir, para la rcfcrcricia dc 1;1 Figura 3.1 las coiiiponentes tangenciales de la matriz de tcnsioncs en los puntos dc la sección rccta soii: 1.

r,;

=

O

; r,,. =

T =

constante

(3.1-1,)

3.2. Tensión cortante pura

Figura 3.1.

cbl

LO dicho en el epigrafe anterior se refiere al esfuerzo de cortadura pura en la sección recta de un prisma niecanico. Pero puede ser de interés conocer en un determinado punto del solido elástico si existen planos para los cuales el vector tensión este contenido en el plano al que corresponde. Si existen. diremos que en ese punto el sólido elástico esta sometido segun esos planos a tr)~sióiicortante pura. La condición para que esto ocurra se deduce fácilmente de los círculos de Mohr: seri necesario que los puntos representativos de los planos sometidos a tensión cortante pura sstén situados sobre el eje de ordenadas, e>decir?si el área sombreada de la Figura 3.3 . . corta al eje de ordenadas.

es decir, el esfuerzo cortante T se reparte uriiformernente en la seccióri recta. Si 0 es el área de la misma:

y la tension tangencia1 es constante en toda la seccion y paralela a T. A esta teoria elemental se 12 puede hacer una seria observación que la Iiiice inadmisible,

ya que contraviene las condiciones de equilibrio interior del sólido elástico y, eri particular,

el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales. Eri efecto, la tensión en un elemento superlicial adyacente al contorno de la sección recta tiene la dirección del eje vertical y se puede descomponer en dirección normal y tangente al contorno. Por el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales deberá existir una tensión tangencial igual sobre la cara ortogonal al elemento, situada sobre la superficie lateral del prisma (Fig. 3.2), lo que no es posible al no existir fuerzas exteriores aplicadas a su superficie.

Figura 3.2.

Figura 33.

D e los circuios de Mohr se desprende, asimismo, que no existen planos de tensión cortante pura cuando las trps tensiones principales tienen el mismo signo. En el caso de que existan, la deterniinación del plano correspondiente a cada punto M se puede hacer, como sabemos, mediante los círculos de Evlohr. En efecto. los círculos c , y c, (concéntricos a los de M o h r C, y C, respectivamente) que pasan por un puiito M perteneciente al eje de ordenadas, cortan a C, en sendos puntos H y K, según se indica en la Figura 3.3. Uniendo estos puntos con los extremos F y D del círculo C2 se obtienen los ángulos ci = HFD y 7 = KDF, que forma la normal al plano, cuyo punto representativo es M, con las direcciones correspondientes a las tensiones principales o, y a, respectivamente. Por otra parte, tambikn sabemos que las normales de los planos sorxetidos a tensión cortante pura son coincidentes con las generr:;ices del cono asintótico de las cuádricas indicatrices. Es de particular interés el caso de un estado de elasticidad plana en el que las tensiones

Id2

RESISTENCIA DE MATERIALES

CORTADURA

principales contenidas en el plano director son iguales en valor absoluto, pero de signo contrario, o , = -o,. Los puntos Mi y M2 del círculo de Mohr (Fig. 3.44) indican que las caras del entorno ABCD (Fig. 3.4-6) paralelas a las bisectrices de las direcciones principales, están sometidas a tensión cortante pura.

Figura 3.4.

(6)

Inversamenic. si las cuatro caras del entorno de un punto están sometidas a tensión cortante pura en un estado d e elasticidad plana, las tensiones principales son una de traccion y otra d e conipresión, ambas del mismo valor absoluto.

3.3. Deformaciones producidas por cortadura pura Antes de estudiar la dcrormación de la rebanada del prisrna mecinico. es decir, 13 deíorriiación de la porcion de prisma con~prendidaentre dos secciones indefinidamente próxinias, veamos cómo se produce la deformación de un elemento sometido a tensión cortante pura. como puede ser el caso de un es:ado de elasticidad plana en el que o, = -o,, al que nos hemos referido en el epigrafe anterior.

X

Figura 35. 6

143

Eri la Figura 3.5-a se ha dibujado el p;~ralclepipcdoelemental ya oricntiido, es decir, a los planos coordcnaque 10s plancs quc trabajan a tensión cortante pura soii dos. Debido a la acciOn de las terisioncs tangenci;iles el paraIelepiprdo eleriicntal se dcforrria pero sin que las longitudes de sus lados vririen, o se: que el paralelepipedo inicialmenre rectangular cainbia de forma pasando a tener 1;i dc un paraleiepiped~oblicuo. El reclanculo ,JIBCD de 13 cara frontal se delorma en el romboide ,4'B'C'D1 (Fig. 3.54). El I:ido ,4B y la'cara qiic la contiene cxperinientiin el giro JC un ingulo q!7 respecto de sil plano xz inicial en sentido antihorario, asi como el lado / I D y e[ plano de la cara que la contiene sxperiiiicnta tanibién el giro de un ángulo ; / 2 respecto de su piano y; inicial. pero cstc giro en seritido horario. Los in_eulos entre caras en los puntos .1 y C, inicialmente rectos. pasan a ser de ni2 - 7. Ei ángulo y que nos mide la distorsión o cambio de forma del elemento se denomiria dt'/or~>~(icii>r~ angirlur y viene niedida en radianes. La rel~cióricnrre r y"? viene dada por la ley de Hooke

siendo G, corno sabemos. el niódulo de cl;isricidnd transversal dcl niaterial, que estj relacionado con el modulo de elasticidad E y con el coeficiente de Poissóii 11 mcdiaiite la rcliición (1.8-6). Uria observación convicric hacer rcspccio al signo dc las dcforrnaciorics ringuliircs. Para aclarar los convenios-de signos, [arito [>:ira las componc~itescart~sianasdc las tensiones tangcnciales como para las eorrcqwndicntes deformaciones angulares, conviene distinguir entre caras positivas y caras negativas del paralelepipedo elemental. Diremos que una cara es positiva si su nornial exterior tiene la direccion y sentido positivo de un eje coordenndo y negativa, en caso contrario. Pues bien. sentada esta distinción expresaremos de otra forma el convenio para las tensiones tangenciales que ya fuc cstnblecidu en el epigrafe 1.5: In tensión tangcnciril que actua sobre una cara positiva del elcniento es positiva si tiene la dircccióri y sentido positivo dc urio de los ejes coordenados, y es negativa si tiene el sentido negativo del eje. La tensicn tangencial que actua sobre una cara negativa del elemento es positiva si tiene la dirección y sentido negativo de uno de los ejes coordenados. y negativa si tiene el sentido positivo del eje. En cuanto al convenio de signos para las deformaciones angulares es necesario qdsc relacione con el de las tensionc:. Asi, diremos que la deformación angular de un elemento es positivn cuando disminuye rl Sngulo entre dos caras positivas, o entre dos caras negativas; 1;i tlcformación angular es negativa cuando el ángulo entre dos caras positivas. o eritre dos caras negitivas. aumenta. Pascmos atiora a estudiar la deformación de la rebanada en la quz existe un esfuerzo cortante I; tal corno la que existe en el pasador dsl mecanismo indicado en la Fisura 3.6. Si suponenios anulado el momento de la fuerza F. o consideranios despreciables las tensiones cluc engendra frente a las tcnsioncs tangencialcs producidris por el esfuerzo cortante T = E; es evidente que la jcccióri recta del pas~idorsituadri ciitrc los dos trozos del rnecanismo csti sometida a cortadura pura. Expcriiiiciitainiente se observa que dos secciones CD y A 8 indefinidamente próximas. pcrtenccicntes a la zona del pasador situada entrc las dos piez;is que une. desliza ur;;

CORTADURA

145

klientras la tensión tansencial se mantiene inferior a T,, T y ;. son proporcionales y la deformación desaparece cuando cesa la fuerza que la ha causado. La zona representada por el segmento es la ~ o n r ide deforniacioti rlú.sricu. La fuerza F para la cual la tensión ~:ingznciales r , deline la carga elástica límite. Para valores de T superiores a r , se entra en 21 campo de las deformaciones permanentes. Otra forma de obtener el valor del ángulo de deslizamiento ;. seria aplicando el teorema de Castigliano. En efecto, el potencial interno de la porcion de prisma entrz las secciones A B y CD (Fig. 3.6-c) es, particularizando la expresión (1.15-5) para u,, = o,, = o,, = 0; r,, = r; -.-Ti: = Ty, = O

El corrimiento 6 de la sección CD respecto de la A B sera:

Figura 3.6.

3.4. respecto a la otra. Esta deformacion viene dada por el átigirlo de ciorliic~n~iento7, cuyo valor. viene dado por la ley de Hooke. Admitida la teoría elemental de la cortadura, la expresión de y será:

siendo R el área de la sección recta del pasador. Se comprueba experimentalmente dicha ley, ya que si construimos el diagrama tensión cortante-Sngulo de deslizamiznto para un material dúctil tal corzo el acero de construcción obtenemos una gráfica como la representada en la Figura 3.7. A '

Figura 3.7.

Cilculo de uniones remachadas y atornilladas

Existen algunas estructuras e piezas de determinadas máquinas que están compuestas de partes que hay que unir de forma adecuada para que cumplan la función para la que han sido diseñadas. Si se trata de materiales metalicos, los medios de unión comúnmente enipleados son remaches, tornillos y soldadura. Las uniones con bulones tienen poca aplicación, y las uniones por medios adhesivos se encuentran aun en fase experimental. La distribución de tensiones en estos medios de unión es bastante compleja, dependiendo en gran parte de las deformaciones propias d e los elementos que la constituyen. Esto hace que el cálculo riguroso de las uniones sea siempre dificil y muchas veces imposible de realizar. Por esto. en el terreno práctico es necesario contrastar los resultados obtenidos aplicando los métodos simplificados de cálculo, con el comportamiento real de los materiales de las uniones. P o r ello, el cálculo de uniones remachadas o atcrnilladas que estudiarnos en este epígrafe y las uniones soldadas que estudiareinos en el siguiente, se basan en la teoria elemental d e la cortadura que se ha expuesto anteriormente, cuyos resultados estin sancionados por la experiencia. N o considerarenios las uniories mediante tornillos de alta resistencia. en cuyo clilculo habría que tener en ciient? el electo del par d e apriete (muy elevado) y la consiguiente compresión d e las chapas, que hace que 10s esfuerzos puedan transmitirse solamente por rozamiento. Las irt~iotiesrettiacliacks se llevan a cabo mediante piezas denominadas roblones O remaclies. Un remache es un elemento de unión que está formado por una espiga cilíndrica llanada caira, uno d e cuyos extremos tiene una cabeza esférica, bombeada o plana. llamada cahezu de asiento. El remache se introduce, calentandolo previamente entre 1050 "C (rojo naranja) y 950 "C (rojo cereza claro), en un agujero efectuado en las piezas a unir y se golpea bien con martillo neumático o máquina roblonadora de presión uniforme en el otro extremo, para formar una segunda cabeza (cabeza de cierre) que asegure la unión.

146

RESISTENCIA DE MATER1At.ES

La parte de la caña que sobresale, con la que se va a forwar la cabeza de cierre. ticnc una longitud de 413 del diámetro del taladro (Fig. 3.8).

Figura 3.8. El diámetro d, de la caña del roblón o remache se hace ligeramente inferior al diamctro d del agujero con objeto de facilitar la introducción del remache. No obstante, en el cálculo consideraremos el diámetro d del taladro, pues se supone que después del remachado y enfriamiento posterior la caña del remache llena completamente el agujero. Las uniot~esatornilladas se llevan a cabo mediante piezas denominadas rorrlillos. Un tornillo es un elemento de unión formado por una espiga cilíndrica llamada cufiu, uno de cuyos extremos tiene una cabeza de forma determinada, estando el otro extremo roscado. La union se forma introduciendo el tornillo en un agujero efectuado en las piezas a unir y colocando e n el extremo roscado una tuerca con su arandela correspondiente. Las dirnensiones de los tornillos vienen definidas por las distintas nornias que regulan su uso en los diferentes paises. En España esta norma es la MV-106-1968. La suma de los espesores dc las piezas a unir es función dc la longitud del vistago del tornillo y esta definida por las normas. El uso de uniones atornilladas resulta interesante en estructuras desmontables. Si la unión es permanente se suele fijar la tuerca bien con un ligero recalcado de la parte saliente de la espiga, matando el filete d e la rosca o con punto de soldadura. Los tornillos se clasifican en rornillos ordinarios y rornillos calibrados, segun sus características geomktricas y de colocación. En los tornillos ordinarios se permite un huelgo de hasta 1 mm entre el diámetro de la caña y el del agujero. En los tornillos calibrados ambos diámetros deben coincidir. La elección de¡ diimetro d de los elementos de unión es función del espeso, mínimo de las chapas a unir. C o m o orientación se recomienda tanto para roblones como para tornillos que:

expresando d y e en cm. La suma de los espesores de las piezas unidas será menor que 4.5d para roblones y tornillos ordinarios, y menor que 6.5d para tornillos calibrados. Las uniones remachadas y atornilladas se dice que trabajan a cortadura cuando las fuerzas se transmiten por contacto entre las chapas a unir y la caña de los remaches o Una interpretación dc csta fórmula se puede realizar en función del rallo de la uniOn por cortadura o analizaremos más adelante. Su inlenciOn es si:¿~arla unión en el óptimo. de forma que los tornillos o roblones necesarios por ambos conceptos, cortadura y aplastamiento, sean aproximadamente iguales aplas(amicnro. q u e (a,

= n<).

iorriillos. Ciitindo la trarisinisiGn sc re;ilir;i por coritncto erirre la c h ; l ~ ay la cabc.za dt.1 elc.mento de unión éste trabaja a tracción. El Caso m i s nornial es el de unioncs triibajando 2 cortadura. y es éste el que vamos a estudiar a continu:ición. Distin~uirenios dos tipos dc uniones reniacllndas o ritoriiilladns segun las car!?as nplic;idas cstcn centradas respecto al elcnienio de union o se trate de cargas cxcérltricls r e ~ p ~ ' c at 0estos. Dentro de los del primer grupo - . distinzutrcmo~a su vez si lo\ rctnaches o tornillos iriibajan a cor.roti1rr.u sir~iplt*(por U 1 1 3 s e c ~ i j t i j(I'ig. 3.9) o 3 ~orl(i(iirrndoble (por dos srcciones) lIrle. 3.1 1). Las posibles causas de fallo de una unión remachada o atornillada trabajando a cortadura se rcsuincn en las indicadas en la Fisura 3.9. y son las siguientes:

Figura 3.9.

a ) Fallo por corradura. Si la tensión de cortadura en los remaches o tornillos es superior a la tensión admisible r,,, del material de los remaches, la unión se reinpcria por la :ección del remache sometida a cortadura. Ze puede aumentar la resistencia d e la unión aumentando el diámetro de los remaches o poniendo mayor núinero de ellos. h) Fallo por aplasraniietito. La unión podría fallar si un remache aplastara el material de la placa en la zona dc contacto común, o bien, si el propio remache iuera aplastado por la acción de la placa. Como la distribución de tensiories en la zona de contacto es sumamente compleja, a efectos prácticos de cálculo se considera que el esfuerzo dc aplastamiento se reparte uniformemente en el irea pro>ectadri de la espiga del remache sobre la placa, es decir, sobre el área d x e(Fig. 3.10). Se puede aumentar la resistencia 2 compresión de la unión aumentando el área de compresión, o sea, aumentando el diámetro del remache o el espesor de la placa, o ambos.

CORTADURA

149

de donde:

siendo r l el diámetro del agujero para remaches y tornillos calibrados, o diámetro de la espiga para tornillos ordinarios. En el cilculo a aplastamiento de la chapa contra la espiga del remache o tornillo se adrnite que la presión se reparte uniformemente sobre la superficie de contacto entre chapa y espiga, tomándose ésta como la supsrfici&.q~eresulta de multiplicar el diimetro del agujero por el espesor de la chapa o chipüs que transmiten el esfuerzo 1' (Fig. 3.10-b). Si U,,,, es la tensión admisible a compresión en la chapa, el mínimo número 11, de remaches o tornillos que se precisarán verificará

Figura 3.10.

Fullo por rofltra ile lo placo o rracción..En una pieza sometida ii tracción, de una C) unión mediante remaches, se puede producir el fallo por rotura de la seccion debilitada por los agujeros para los remaches. Al cargar la placa, antes que se produzca la rotura, se producen concentraciones de tensiones en los bordes de los agujeros de los remaches, como se ha visto en el capitulo anterior. N o obstante. en el caso de mareriales ductiles, que son únicamente los empleados en uniones remachadas, la distribucióri de tensiones en la sección debilitada tendera a ser uniforme en el punto de fluencia cuando aumenta la fuerza de tracción sobre la placa. A efectos prácticos del cálculo se admite la hipótesis de ser uniforme la distribución de tensiones en la sección neta de la placa, esto es, descontando al area de la sección recta de la placa la correspondiente a los agujeros de los remaches o tornillos. Se puede elevar la resistencia de la unión aunientando el espesor o el ancho de la placa, o ambos. (1) Follopor cortodtrra de / i r plncn. Se produce este fallo por desgarro de la placa en la parte situada detrás del remache. Este fallo se evita aumentando la superficie de la placa sometida a cortadura, es decir, dando suficiente longitud a la placa detris del remache, como puede ser el de dos a tres veces el diámetro del remache. Las roturas por fallo de la chapa a tracción o cortante no se suelen considerar en el calculo de la unión, ya que se evitan al tener en cuenta las recomendaciones de las normas en cuanto a distancias mínimas entre agujeros, y entre éstos y los bordes de las chapas. No obstante, la comprobación de una determinada unión a estos dos posiblcs fallos no reviste ninguna dificultad. Se utilizará la tensión admisible a tracción en el primer caso y la tensión admisible a cortadura en el segundo, tenrriones en. ambos casos referentes al material de la pieza que puede presentar esos falbs. Nos centraremos, pues, en el clilculo dc las uniones remachadas o atornilladas atendiendo a su posible fallo por cortadura de los remaches o fallo por aplastamiento. Supongamos que deseamos unir dos chapus de espesores e, y e, mediante una fila de remaches O tornillos (Fig. 3.10-a) y propongámonos calcular el número de ellos necesarios para que la unión resista la f:ierza P. Admitiremos que el esfuerzo P se distribuye uniformemente entre los n elementos de unión. El cálculo a cortadura se hace considerando un reparto uniforme de tensiones cortantes sobre la sección recta. Si r,,, es la tensión admisible a cortadura, el número minimo n, de remaches O tornillos que se precisarían para no sobrepasarla verificaria la condición de equilibrio

de donde: 11,

=

P d . e . u,,,,

siendo e el espesor menor de las chapas a unir. De acuerdo con la norma española MV-103-1968, suponiendo P como carga ponderada, podemos considerar como valores admisibles para cortadura y compresión los siguientes:

siendo:

p

= Coeficiente que toma el valor 0.80 para roblones y tornillos calibrados, y 0.65

para tornillos ordinarios. a, = Resistencia de cálculo del acdro del elemento de unión. Normalmente igual a 2400 kp/cm2 para roblones, y a 2400 Ó 3iN0 kp/cm2 para tornillos según la clase de acero, 4 0 o 5 0

.

...

siendo:

a = Coeliciente que toma el valor 2 para uniones con tornillos ordinarios y 2.5 para uniones con remaches o tornillos calibrados. a, = Resistencia de cálculo del acero de la chapa. Nsrmalmente, 2400 kp/cm2 para aceros A-37; 2600 kp/cm2 para aceros, A-42; y 3600 kp/cm2 para aceros A-52. D e los valores obtenidos para el número d e remaches o tornillos dados por (3.4-3) y (3.4-S), se habrá de adoptar el mayor. Resulta fácil ver la condición que se ha d e verificar

150

RESISTENCIA DE hlATERlr\LES

entre el valor del espesor menor de las chapas y el diimctro del elemento de unión, para que el cálculo se haga de una u otra forma. En efecto, la condición para que 11: = n, seri: 4P

d 2 . x . radm

--

P

den,

,,,

Figura 3.11.

de dondc:

Estc efccto se puede evitar colocando las placas en alguna de las disposiciones indica das en la 1. iiriira 3.12.

siendo:

Los valores dc 7 para los distintos elementos de unión (remaches, tornillos ciilibrados o tornillos ordinarios) y las distintas clases de acero dc las chapas a unir (A-37, A-42 o A-52) pueden verse en la siguiente tabla. En estc caso los elcmcntos de unión trabajan a doble c o r ~ u c l ~ r r aPara . el c i l c u l t ~ cortadura dcl numero niciior ti, de tornillos o remaches se tcndria:

Tabla 3.1. Valores de y Elcmcnio de

Accro de las chapas

unión

Tipo

R

Acero A-37 b (n, = 2400)

A-37 o, = 2400

a, = 2600

o, = 3600

0.246

0.227

O. 164

0.235

No se recomienda su uso

0.290

0.109

14-42

A-51 -

mientras que para el cálculo por aplastamiento:

P P = n , r d ~ , , ~ , n, = --

adm

T.O. T.C.

4D

0.255

(a, = 2400)

5D

0.314

(o, = 3000)

.

Las iensioiies estin expresadas e n kp!cm2.

Por tanto, las uniones mediante una lila de remaches o tornillos, cuando estos trabajan a cortadura simple, se calcularan a cortadura cuando el menor espcsor de las chapas a unir verifique c > yd, y a compresión o aplastamiento dc la chapa contra la espira cuando e < yci. Una unión niedinnte costura simple tiene el inconvcnicntc dc que al efecto rlsl r \ r ~ i e r ~ o cortante en la sección recta se añade un momento debido a no tener !as íuerzas igualcs y opuestas aplicadas a las chapas la misma línea de acción. La existencia de este morncnto tenderá a provocar un3 deformación de la costura del tipo indicado en las Figuras 3.1 1-0 y 3.1 1-b, scgiin se trate de unión con una o dos filas dc remaches. E

Igualando las expresiones dc

11,

y

no se ticnc:

de donde:

mediante tornillos o remacties, cuando éstos trabajan a doble coi:es decir, las urici>:,c~ dura, se calcularan a cortante cuando el menor espesor de las piezas a unir vcrific e > 2-id y a aplastamiento de la chapa contra la espiga del elemento de uniCili. e < 2yd (vnlores de y dados en la Tabla 3.1). Hasta aqui Iicinos corisidcrado una o dos Cilas de rcmachcs Si el número dr .

152

RESISTENCIA D E MATí!RIALES

CORTADURA

153

aumenta, el problema es hiperestático. El reparto de tension~;de c»rt;idiira en 10s remaches pertenecientes a distint;is filas ya no es la misma. sino que los pertcnecicntes a las filas e'ctremas aparecen m i s cargados que los centrales. Puede ocurrir que los remaches de las filas extremas lleeuen a la fluencia. En esros casos, la plasticidad del niaierial actúa de reoulador alejando el peligro de rotura, y3 que si el diagrama tension-deformación de los remaches es del ripo indicado en la Figura 3.13-b. cuando las dos filas extremas llegan a la tensión de fluencia la tension taneencial se mantiene constanre en los correspÓndientes remaches. Mientras, la rensión tangencia1 en la fila central (Fig. 3.13-0) se mantiene inferior a la de las filas extremas, absorbiendo posibles aumzntos de la carga P.

Figura 3.14.

(a)

Por tanto, se tendrá que verificar

Despejando el valor de k de esta expresión y sustituyendo en F, esfuerzo cortante F, sobre cada remache debido al momento Pe.

=

kri, obtenemos el

Figura 3.13.

Como en una unión por remaches o tornillos, de las que hasta aquí hemos considerado, los agujeros reducen el área de la sección recta de la placa y es evidente que la resistencia de 13 unión es siempre menor que la resistencia de la placa sin agujerear, definiremos como ejiciericia de la ur~iótlal cociente carga admisible de la unión x 100 carga admisible en la placa sin remaches Todo lo expuesto anteriormente se refiere al cálculo de uniones remachadas en las que la carga está centrada respecto a la posición de los remaches. Se presen!:ir. con frecuencia casas de uniones reniachadas en las que la carga es excénrrica, como ocurre en la unión indicada en la Figura 3.14-0, y cuyo calculo simplificado se basa en la teoria elemental de la cortadura. La solicitación exterior (Fig. 3.14-a) es equivalente a una carga P y iin momento M = Pe, aplicados ambos vectores en.el centro de gravedad G de los taladros (Fig. 3.14-6). La cprga P se reparte entre los remaches de forma uniforme, es decir, sobre cada remache actuará en sentido vertical un esfuerzo cortante Pln, si n es el número de ellos (Fig. 3.14-e). Admitiremos quc el momento es absorbido por fuerzas cortantes I;; de dirección perpendicular a la recta que une el centro del taladro Ai ron el centro de gravedad G y d e módulo directamente proporcional a la distancia ri entre ambos puntos, siendo la constan. te de proporcionalidad la misma para todos los remaches, es decir, F, = kri.

Respecto de un sistema de referencia C.ry este esfuerzo cortante tiene las componentes:

F.LZ

=

- Pe -F. sen ai = -ri sen zi = -

f

r:

(.Y;

Yi

+ Y);

(3.4- 1 7 )

1

1

Ky = 6. cos ai

Pe

Pe

Pe

= ñ- r, cos a, =

C 't

Figura 3.15.

1 1

(.Y?

+

.Y

(3.4- 18)

154

RESISTENCIA DE hlATERlALES

Para calcular el esfuerzo cortante total sobre cada remache h a b r i que componer vectorialmente Pln en dirección de la carga P y cuyo modulo viene dado por (3.4-16), en dirección perpendicular a la recta que une el centro del taladro con el centro de gravedad G (Fig. 3.15).

c.,

3.5. Cálculo de uniones soldadas En los últimos años la soldadura ha tenido un gran desarrollo en su aplicación a las uniones en construcciones metálicas. Es un procedimiento mediante el cual los metales se unen por fusión. Se reblandece y se funde el metal en los bordes a soldar mediantc el calor producido por un arco eléctrico o un soplete de oxiacetileno. En la soldadura eléctrica se provoca el arco eléctrico entre las piezas que se van a soldar y un electrodo que constituye el nieral de aportación que queda depositado entre las piezas a unir formando lo que se llama el cordón de soldadura. Los tipos de soldadura más frecuentes son: soldadiira a [ope (Fig. 3.16-0) y sol(l<~tlitra en át~gr~lo (Fig. 3.164). Del primer tipo solamente indicaremos quc se trata de una unión de penetración completa y forma una transición casi perfecta entre los elementos soldados. de forma que evita el erecto de entalla en la unión. Las especificaciones de las normas al uso establecen, en el caso de soldaduras a tope sornctidas a cargas estáticas en estructuras metálicas de edificios, la misma tensión de cortadura admisible para la soldadura y para el metal base. En general este tipo de soldadura no requiere cálculo de comprobación y su capacidad de resistencia mecánica es igual a la de la chapa de menor espesor de las dos que forman parte de la unión.

Figura 3.17.

trabajan a cortadura y que la tensión cortante T se distribuye uniformemente sobrc ' sección longiiudirial de míriima anchura dcl cordón (sección de garganta). indepcndilde la dirección de la fuerza aplicada. El esfuerzo cortante por unid~idde longitud s c : ~

La tensiSn r será variable a lo largo del cordón. Veiimos cuál es la ley de variaciór: : esta tensi011 cortante T = r(.i), que supondrcriios es una furición continua y diferenci,!irespecto a la variable .T. abscisa en el sentido longitudinal del cordon.

Figura 3.16.

Centraremos nuestro interés en el estudio d e uniones mediante soldaduras del segundo tipo, ya que el calculo de éstas se basa en la teoría de la cortadura. y cordorles Iarera~c~s, segiin En las soldarlirrac en ángulo se distinguen co~donesfron~ales que su siiuación respecto a la dirección del esfuerzo sea perpendicular o paralcla respcctivamerite. La mínima anchura del cordón recibe el nombre de gargatila y se designa por a. Llamaremos, asimismo, al~urah del cordon a la distancia que hay en la sección recta de la 3.17). soldadura entre los centros de los dos bordes IFig. . Consideremos dos chapas unidas entre si mediante n cordones dc soldadur;~de la misma !ongitud, paralelos al esfuerzo longitudinal aplicado ( t l = 2 eii el Psqucnia indicado en la Fig. 3.!7). Supondremos que el plano que proyecta la línea de acción de la fuerza F de tracción aplicada sobre el plano de la superficie común de ambas piezas coniiene el centro de gravedad de los cordones. En el cálculo de las soldaduras en ángulo se admiten las hipótesis dc que los cordones

-

4.

Figura 3.18.

CORTADURA

Para ello rerilicemos un corte transvsrsal i)itr de 13s dos piezas iiiiiclas (Fig. 3.18). La condición de equilibrio, si ,V, y N? son los esfuerzos normales sobre las secciones rectas de las dos piezas superior e inferior respectivamente, es

157

j,r~E d el ~ modulo de elasticidad de las piezas a unir, que suponemos del mismo material. Con estas relaciones, las ecuaciones (3.5-2) y (3.5-4) se podrán poner de la siguiente [orina:

Considerando ahora la porción de piezn inferior comprendida entre dos p l a ~ o stransversales indefinidamente prhximos. el equilibrio nos proporciona I;i ecuación

o lo que es lo mismo

Además, de la ecuación (3.5-5) se desprende diV2 -

flor = O

ri.r

Las dos ecuaciones (3.5-2) y (3.5-3) son las Únicas ecuaciones de equilibrio. Como es tres el número de incógnitas: N,, iV2 y r, esto nos hace ver el caricter hiperestático del problema. Para resolverlo tenemos que Iiacer intervenir las deforniaciories. Por tanto, si A y 3 son dos puntos del cordón pertenecientes a las Iíntas medias de las superficies comiines del cordón y piezas superior c inferior respectivnnlsrite, y ambos están contenidos en el mismo plano transversal antes de aplicar la fuerza longitudinal F. después de la deformación habrán pasado a ocupar las posiciones respectivas A ' y B', tales que -AA A ' = ir,; Bó" = u 2 ; B' A ' , B.4 = ;. (Fig. 3.19). Supondremos que ir,, ir2, 7, son funciones continuas y diferenciables de .Y.

suponiendo la altura del cordón constante. Eliminando i r , entre las ecuaciones (3.5-8) y (3.5-10) se tiene

expresión que sustituida en (3.5-9) nos da

k , j"

Figura 3.19.

Si, como suele ocurrir, son constantes las ireas R, y 0, de las secciones rectas de las piezas a unir así como la garganta del cordón y su rfiódulo de elasticidad transversal, se tiene

La condición d e compatibilidad de las deformaciones, según se desprende de la Figura 3.19 será: U2

-

it,

- y11

=

o

(3.5-5) siendo k una constante positiva. Por tanto, llegamos a ob:cner una ecuación diferencial de segundo orden de coeficientes constantes

Ahora bien, admitiendo la verificación de la ley de Hooke: E,

di11

= ,

.

E2

=

hl,


; r=Gy

du 1 N, = o , R , = E&,R, = ER, -

dx

Nz

=

O

dr, o,R, = EE,R, = ER2 d.r

(3.5-6) (3.5-7)

cuya integración nos permite obtener la función y = y(x) a lo largo del cordón y, Por consiguiente, la función r = r(.r) = Gy.

La solución integral de esta ecuacibn diferericial, al scr reales las raices de su ecu;ición caracteristica, se podrá expresar mediante [unciones hiperbólicas de la forma siguiente:

La fuerz;i f d;i I i i y r a un;l tcilsión cortante r , . que adiiiitiirios sc disiribuyc ~iniforiiicmente sobre los planos de garganta dc los cordorics

siendo C , y C , constantes de integracion que tendremos que deierminar imponiendo las condiciones de contorno:

De lo anteriormente expuesto se deduce la dificultad de un estudio rio,uroso para el - ~ á l c u l ode soldaduras trabajando a esfuerzo cortante. Téngase presente que solamente hemos estudiado un caso particular de la innumerable casuistica que se puede prcscntar en la prictica. Quede. pues, lo expuesto como ejemplo del tratarnicnto que deberiamos hacer en cualquier caso particular dc uriiories soldadas, en las condiciones de trabajo señaladas. para conocer de una forma m i s aproximada la distribución dc las tensiones cortantes, respecto a las hipótesis simplificativas que se suelen hacer para el cálculo de las soldaduras en la práctica *. Consideremos, finalmente, el caso de que la fuerza a que va a estar sometida una dc Iris piezas está situada en el plano de las soldaduras pero su liriea de acci
siendo ni y 1, i ; i lori~itiidde garganta y longi[ud propiamente dicha de cada cordorl. T , ticric la dirccci¿)ri de P. En el c;iso que la fuerza P no se3 vertical sino inclinada y t e n P unas COmpOnentCS r',. P,. respecto dc una referencia G.Y.. 13s componentes CrirteSian:lS de tensión T , scrin

En cuanto al rnomcnto Pe. queda absorbido por un sistema de fuerzas engendrada\ ri lensiorics r?. ~ ; I I C S que en cada punto dcl cordbn 7 , c.< pcrpcndiculiir al scgmcnio que kir: dicho punto coi) el centro de gravcdiid G y su rn
-

estando extendida Ia integral a todos los cordones. De aquí:

(4

(0)

siendc, 1, el rnoniento de inercia de los planos de gareanta- de todos los cordoi:~-~ supuestos JiLlios planos coincidentes con el dc carga, respecto del centro de gravcdail ( Por tanto. la cxprcsion de la tension T , en un punto situado a distanci2 r de C es:

Figura 3.20. Reduciendo la acción exterior al centro de gravedad G de los cordones, el sistema equivalente está constituido por una carga P equipolentc a la dada y a un momento M = Pe.

En el AF"ridicc I se rccogcn las fArmul;is dc cilculo quc figuran cn la Norma di sic:^ MV-103. p:irn Ir>$ casos de uniones soldadas solicitadas a eslucrzo corianlc.

Tanto T , como r , son magnitudes vectorialcs. Toniniido un sistema de referencia I-i:c. . (Fig. 3.21) si los \.cctores TI y T, tiene11coniporientes TI (T,,, r,,); 7,(rzx, s,), la tcnsro cortante en cada punto del plano de garganta del cordon será

160

RESISTENCIA DE XIATEKIALES

CORTADURA

2."

El punzon deber5 tener una tensión de compresion admisible mínima tal que al aplicar el esfuerro de compresion F la tensión engendrada no supere el valor de ksta

-1 Figura 3.21.

161

, ;a

=

192 MPa

i

El a n c h o d e la base d e los cordones se determina a partir del rnásirno valor d e r d a d o por esta expresion.

111.2.

Las dos piezas A y B indicadas en la Figun 111.2 sometidas a tracción están unidas mediante la pieza en cuna C. Si la tensión de cortndura admisible tanto en las piezas como en la cuíia es de la unión está mhs cercana al fallo por cortadura. de 120 MPa, indicar qué

EJERCICIOS 1II.I.

Para troquelar un agujero en una placa de acero de espesor e = 8 mrii se utiliza un punzón de diimetro d = 5 cm (Fig. 111.1). Conociendo la tensión de rorura a cortadura del materiril de la chapa a, = 300 hlPa, se pide: l." Calcular Iri fuerza F que riene que aplicarse al punz6n para realizar el corte de la placa. 2." Determinar la tensión de compresión adniisible mínima que debe tener el material del punzón utilizado. I

Figura 111.2.

cs. Veamos en cada una de las partes consideradas que planos estan some.tidos a cortadura pura. Figura 111.1. 0)

l."

El punzón producirá en la chapa un esfuerzo de cortadura pura sobre la superficie lateral del agujero de área ndr. Corno en el proceso de troquelado hay que romper el material por esta superficie, la fuerza mínima que hay que aplicar al punzón será:

Pieza A

La cortadura se produce en los planos ab y cd. Se trata, por tanto, de una doble cortadura. Como el área es

F = ndeo, = xO.05 x 0.008 x 300 x lo6 N = 376992 N

O

bien en toneladas

a F = 38.5 ton

el esfuerzo cortante que puede scportar la pieza A es

162

R E S I S T E N C I A DE MATERIALES

Como

b) Pieza B La cortadura se produce en los planos e/ y gli. El área es

0 = 4

x

0.03

x

0.025 = 3 x 10.' rn2

por lo que el esfuerzo cortante que puede soporiar la pieza B es

F c)

= rR = 120 x lo6 x

3

x

lo-' N = 360

kN.

Piein C

La cortadura se produce en los planos mn y pq. Es una doble cortadura sobre una superficie de área total 111.4. El esfuerzo cortante máximo a que puede estar sometida la pieza C es

I;i

1113.

De los resultados obtenidos se deduce que la pieza más cercana al Fallo por cortadura es pieza C.

Dos placas nietálicas de espesor e = 1 cm y anchura b = 10 cm cada una se unen mediante cuatro reriiaches de diámetro d = 20 mm conlo se indica en la Figura 111.4. Si las ~ l a c a están s sometidas a una tracción centrada de ialor F = 10 000 kp calcular: 1." La tensión de chrtadura en los reniaches. 2." La te~isiúnde coinpresión conrra las paredes de los t:~ladros. 3." La tensiim normal niáxima en las placas.

El eje de un motor acciona el eje de una máquina mediante la brida de unión indicada en la Figura 111.3. La unidn se realiza mediante 6 tornillos de dihmetro d = 24 nini cuyos ejes pertenecen a uri cilindro de diámetro D = 30 cm. Conociendo 13 tensión de cortadura admisible en los tornillos r,,, = 60 M P a , deierminar la potencia que puede transmitir el eje girando a n = 250 rpm.

Figura 1113. Para transmitir el eje una potencia N a una velocidad angula! un par motor M, tal que

Figura 111.4. ci;

rad/seg lo hace aplicando l."

El par motor se transmite al eje de la máquina a travks de las seis secciones rectas de los tornillos pertenecientes al plano comun a las dos partes de la brida. que trabajan a cortadura pura. La potencia máxima del motor que puede transmitir su eje corresponde al par motor que produce en las secciones de 105 tornillos una tensión de cortadura igual a la adriiisible. Por tanto el par motor seria

Si el i r e a de cada remache es nd' 4

o=-=

3.14

x

4

20'

mii~' = 3.14 cm'

la terisión de cortadura en los remaches, sup\~cstddistribuida uniíormemente, seri

CORTADURA

2"

1.3 icris10ri t i c . coniprc>i611contra I;is paredes de los tala
3o

El i r r a neta de la seccion nin. si la hección. es

ti,

.

es el numero de agujero, que corta diametralmente

165

doble cortadura. La tensión cortante a ellos. si R es e1 árr: de

l."

Los tornillos trabajan su sección recta, es

2."

Para el cálculo de la tensión de compresión o,, sobre las paredes de los agujeros de las placas admitiremos que la presión se reparte uniformemente sobre la superlicie de contacto entre chapa y espiga del tornillo, que tomaremos como el producto del diánietro del tornillo por e1 espesor-de la chapa

; i

La tension normal máxima se presenta en las secciones qiie coritienen a los planos diametrales de los a;ujeros. Por tanto, la tensión normal m i a i m a en las placas sera

3." Análogamente. la tensión de compresión o,, sobre las paredes de los agujeros de los cubrejuntas será: 111.5.

Dos placas methlicas de anchura h = 12.5 crn y espesor e, = 15 rilni estAn unidas mediante dos cubrejuntas del niismo ancho y espesor e, = 10 mrn. La unión se Iiace mediante tornillos de dijnietro d = 21 rnm como se indica en la Figura 111.5-a. Sabiendo que los agujeros tienen un diímetro D = 27 mm y que las placas esthn sometidas a un esfuerro de tracción de F = 10 000 kp, se pide calcular: 1."

2." 3." 1." 5."

La La La I,a La

4."

tensión cortante en los tornillos. tensión de compresión sobre las paredes de los agujeros de las placas. tensión de conipresión sobre 13s paredes de los agujeros de los cubrejuntas tensibn normal en los puntos de la placa pertenecientes a la sección transversal m,n,. tensión norriial en los puntos de los cubrejuntas pertenecientes a la sección transversal

Para la determinación de la tensión normal o,,, en los puntos de la placa pertenecientes a la sección transversal nr,n, calculemos la seccion neta Q,

siendo n, el número de agujeros que comprende la sección considerada. Por tanto, el valor de o,,, será:

"',"l.

F]

F O,,

6." La tensibn normal en los puntos de la placa pertenecientes a la sección transversal m,n,. 7." La tensión normal en los puntos de los cubrejuntas perteriecientes a la sección transversal mZn2.

IOOOO 10.65

=_=-=

5:

Para el cálculo de la tensión normal o,, en los puntos de los cubrejuntas pertenecientes a la sscción transversal m,n, tendremos en cuenta que la fuerza de tracción es aquí

F

-.F

de 2 - = según se desprende ficilmente del esquema de fuerzas que actua sobre 5 10 cada tornillo indicado en la Fisura 111.5-b, y que la sección neta es:

I

I

F -f--

Figura 1115-a

Figura 111.5-6.

166

CORTADURA

RESISTENCIA DE MATERIALES

167

Por tanto

6."

En la sección transversal

nt,n,,

el area neta de la placa es:

0, = ( b - n l D ) e l = (12.5 - 3 x 1.7) x 1.5

=

Como la fuerza soportada por los tornillos de esta sección es

6.6 cm'

-.?5F

la tensión normal

o.,,, será

Figura 111.6-h.

Figura 111.6-0.

7."

Analogamente, el área neta del cubrejuntas en la sección

nt2n2 es

rensiones priricipiiles en cualquier punto del cuerpo del depósito scran:

0, = (6 - n Z D ) e , = (12.5 - 3 x 2.7)1 = 4.4 cm'

Teniendo en cuenta que el esfuerzo soportado por esta sección es F;'?, la tensión normal a,,, será

Aplic.indo el criterio de von Xlises 1

Se observa que ésta es la sección que va a estar sometida a la mayor tensión 111.6. Se desea proyectar el cuerpo cilíndrico de un recipiente a presión, de radio medio R = I m, para almacenamiento de gas a presi6n p = 15 atmósferas. Dicho cuerpo está formado por virolas de chapa unidas tal corno se indica en la Figura IIi.6-a. Se pide: l." Determinar el espesor e de la chapa aplicando el criterio de von Mises. 2." Si las costuras verticales y ho:izonta!es se efictúan mediante rubrejuntas de espcsor e/2 y una fila de remaches a s a d a lado, determinar en anibos casos el diiímetro d y la separación S entre !os remaches. Datos: tensión admisible a cortadura en los remaches: r,,, = 120 hlPa; tracción aáriiisible a tracción en 12s chapas r,,, = 100 RTPa; tracción admisible a aplastamiento en ¡as c i ~ a ~ a os,,,: = 226 MPa. 1." Calculemos previamente las tensiones o, y o,(Fig. 111.6-b) aplicando las form~ilasde la teoria de la membrana, teniendo en cuenta en la ecuación de Laplace que p _ = m ; Pt = R

[(oi - n,)' t in, - o,)'

+

(cj -

~ , ) <~ a.dm 1

el espcsor mininio c vcriíicari

sustituyendo valores en esta expresión, teniendo en cuenta que 1 atmósfera = 1.01: x 10' Pa z 0.1 MPa obtensmos el espesor e pedido

En t.1 calculo de este espesor no se ha tenido en iilciiia la reducción dcl área en 1:: chapa debida a los agujeros en la zoria de unión. 2.'" Si Ildrriari~osS la separación entre reniachss (S,. cn las costuras verticales y S,, en I:l:, costuras horizontales), la fuerza F que soportzi cada reniaclic cs:

F = o,eS,. F = o,eS,

, en las costuras verticiilcs (Fig. 111.6-c)

.

en las costuras horizontales (Fig. 111.6-d)

CORTADURA

169

Sustituyendo valores, se obtiene

En cuanto a la separación entre remaches tendremos:

a) En las costuras verricales:

que equivale a 32 remacheslm. b) En las costuras horizontales:

(c)

Figura 111.6-c.

Esta fuerza F la soporta cada remache trabajando a cortadura pura

que equivale a 16 remaches /m. 111.7.

Determinar la mayor fuerza de cortadura que actúa en los remaches de la Figura 111.7-0 para los siguientes valores de-los parimetros: P = 5000 kp; r = 40 cni; a = 7 cm; b = IZ cm. Se indicar3 a que rernaclie o remaches corresponde.

o bien, la placa a aplastamiento

o los cubrejuntas, también a aplastamiento

que. como vemos. es la misma ecuación anterior referente al aplast:imientu de la placa. En ambos casos hemos supuesto las tensiones admisibles por considerar que cada remache está simultáneamente al limite de su capacidad resistente en la zona admisible, tanto a cortaduia como a apiastamicnto. Para que el número de remaches para cada costura sea el iidisnio, ya se haga el cálculo a cortadura o a aplastamiento. se tiene que verificar Figura 111.7-a.

::

.

.--'

-

es decir, la expresión del diámerro de los remaches s e r a

fórmula válida tanto para los remaches de las costuras verricales como para las costoras horizontales. <

Reducid- el sistema d e fuerzas aplicadas al centro d e gravedad G de los remaches, la resultante P dará lugar a un esfuerzo^, vertical sobre cada remache en sentido ascendente de valor

170

CORTADURA

RESISTENCIA DE MATERIALES

171

Para el cálculo del esfuerzoj, que actúa sobre cada remache debido al momento Pe aplicaremos la formula (3.4-16) que podemos poner en la siguiente forma. .;eguri se d~sprende dc la figura 111.7-b

f,, fí COS

2

-

= f2

Como

r

=

Pe

-

z (.y2 + y2)

1

~

1

Cotas en m m

Figura 111.8.

Calcuiiciiios el ccntro de gravcdad G dc las ireas de los rigujcros rcspecto dcl sisrciiin dc c)<\ G.r',/ indicado en la Figura 111.8.

podemos resumir el cálculo de los esfuerzos que actúan sobre cada reniache en el siguiente cuadro.

P Remaches

iM

p,

f,, = n

f,,

p,

fb

=

--=- PCY

E (xl

+ yl)

F,=f,,+

f1,=

Pex E (xl + yl)

F

F,=f,,+ .

+fl~

Supondremos que la carga P se reparte proporcionalmente al arca de las secciones de lo\ remaches. En cuanto a la distribución de esfuerzos debida a1 momento ,L/ = Pc aplicaremos la formula (3.4- 16). Como las coordenadas expresadas en mm de los centros de _eravedad de los agujeros respecto a los ejes G.v con origen en el centro de gravedad G son:

+fl,

k~

y. por tanto

1

1

2 3 4

5 6

-

-

833.3 831.3 833.3 833.3 833.3 833.3

-2758.6 -2758.6 O O

2758.6 2758.6

- 1609.2 1609.2

- 1609.2 1609.2

- 1609.2 1609.2

'

-2758.6 2758.6 O O

2751 6 2758.6

1 1

-775.9 2442.5 -775 9 2442.5 -775.9 2442.5

I

13 (.r2 2865.6 '3684.5

+ $)

= 11.95'

+

13l

+

13.15'

+

1 3= ~ 804.5 mm'

podemos ordcnar los cálculos de las fuerzas sobrc cada tornillo en el siruiente cuadro:

775.9

2442.5 2865.6 3684.5

S1

P

Tornillo

/,,

p,

=n

f"

n

Se desprende que los remaches sometidos a mayor esfuerzo cortantc son los numeros 2 y

f2.

=

--=- Pry Z(r2+y2)

f

=

Pcx X(r'+y')

6. L a fuerza dc cortadura es, en ambos remaches, de 3684.5 kp. 111.8.

+

11.95~

L a unión que se indica en la Figu-a 111.8 utilizada en construcciones aeronáuticas se realiza con lornillos de dos tarnaiios distintos: los 1 y 3, de 6 mm de diámei.o, y el 2. de 8 rnm. Calctilar la fuerza de cortadura que actúa sobre cada tornillo.

1

2 3

..-

264.7 470.6 264.7

- 759.5

- 698. I

-

785 8 - 698. I

759.5

f, =/l. +

F, =fr, +

F

+f2z

f .

'ip

i

4

- 7 59.5 759.5

-433 4 1256.4 -4314

874.5

1

lZh4 8 7 4 5 jI

CORTADURA

Por tanto, la carga admisible la determina la resistencia a cortadura de los remaches

tls\prendr quc rl tornilio que va a rstar so~nrtitlo,i un mayor r5Cucrzo ~ 3 1 3labl;i d r cortadur:~es el 2 . L3 tensión corrrinic en 21 seri

es decir. In tensión tangencia1 admisible del material del tornillo tizne que ser superior a 2500 kp;cm2. 111.9.

2."

La unión de una placa de espesor r = 14 mm a otra fija se renliza niediante seis reniaches de diimetro d conio se indica en 13 Figura 111.9. Conociendo las tensiones adriiisibles: a cortadura = 105 iCIPa; a conipresión r, = 336 iv1Pa; y a traccihn de la placa T, = de los remaches T., 168 XlPa. se pide:

Compruebe el lector que la tensión normal que existe en las secciones 2-2' y 3-3' d e la placa es siempre menor que la que existe en la sección 1-1'. Igualando las expresiones de la carga.P, soportada a cortadura por los remaches y d e la carga P, a tracción de la plaea

n

1."

Calcular la carga admisible cuando el diimetro de los remaches es d = 20 rnm y el ancho de la placa es b = ?O cm. 2." Deterniinar el valor de la anchura 6 de la placa para que la resistenci:~ a cortante de los remaches sea igual a la de la placa a tracción, manteniendo el diinirtro d = 20 nim. 3." I'ara un ancho b = 20 cm. determinar el diiimetro d de los retriaclies para que la resistericia a traccioii de la placa sea igual a la de los remaches a cortante. 4.' Calcular la eficiencia de la unión en los tres apartados anteriores.

nri2 - T,,,

=

=

4

(b

-

3d)eu,

=.

nnd'~,,~ b = --- + 3rl neo,

sustituyendo valores obtznenios

3."

Utilizaremos la misrna ecuación pero ahora h zs dato y d e s la incbcnita

n'12 6 - 105 4

x

106 = (0.2

-

3d)

x

0.014 x 336

x

lo6

de donde:

4."

C o m o In eficienciii d e la unión se define como el cociente carga admisible de la unión x 100 carga admisible de la placa sin remaches para cada uno d e !3s apartados anteriores tendremos: a) Apartado l."

l."

Para calcular la carga admisible que se puede-aplicar a la placa determinarenios las cargas mliximas a cortadura, a aplastamiento y a tracción

173

fa,,

=

Pc = 197 920 N

P,, = beo, = 0.2 x 0.014 x 168 x lo6 = 470400 N

C I eficiencia

CORTADURA

RESISTENCIA DE hlATERlALES

175

b) Apartado 2."

fa,,,,= Pr

=

= 197 920

N

P,, = b c ~ =, 0.144 x 0.014

x

168

10"

x

338 658 N

m eficiencia

Apartado 3."

C)

P,,,

= P, =

P, = (0.2 - 3

x

0.0316) x 0.014

x

w w

168 x lo6 = 247430 N

P,, = 470400 N

E 3 eficiencia

Dos placas de espesor e = 1 2 mm y anchura 6 = 25 cm se unen mediante una soldadura a tope como indica la Figura I11.10. Si la tensión de trabajo para la soldadura es o, = 900 kp/cm2, calcular la íiierza de tracci6n F que podri ser aplicada a las placas.

Cotas en rnrn

Ahora bien, como las longitudes son directarncnte proporcionales a las f u e r z ~ sapl~cadas, s i L = L, + L, es la longitud total de los cordones. las expresiones de lai longi:udcs L , y L, s c r i n FI Jl - !. L , = L --- ; L : = L ! 11 11 F A

-7

7

F.

-t-L

Figura 111.10

Como la siiperricie resistente de la soldadura es La, se deberá verificar

Lo.r,,, De acuerdo con las prescripciones de la Norma h1V-103 referente a las soldaduras a tope, la fuerza máxima admisible a tracción será

=

F

Sustituyendo valores, se obtiene L , 1 x sen 45' x 800 = 25000 k p

dc donde Un angular 150 x 75 x 10 ha de estar unido a una pieza contigua dc una estructura methlica mediante dos cordones longitudinales de soldadura coma se indica en la Figura 111.'11-a. El angular esla sometido a una fuerza de tracción de F = 25 000 kp cuya línea de acción pasa por el centro de graredad de la sección. Sabiendo que la tensión tangencia1 admisible de la soldadura es r,,, = 800 kp/cm2, calcular las longitudes de los cordones.

Por tanto:

Calcu~emos10s esfuerzos que tienen que absorber cada cordon d e soldadura. P o r las condiciones de equilibrio podemos poner

Se tornarin

Figura 111.1 1-b.

CORTADURA

111.12.

unidas mediante dos cordories de soldadura, de igual tamaño y longitud, D~~ conlo se indica en la Figura 111.12. si la tensión adniisible de la solución es r,,, = 800 kp/cm2, determinar la fuerza F máxima que podrh ser aplicada a las placas.

177

Si u es la garganta de los cordones de soldadura. el esfuerzo que absorben los cordones longitudinales es. expresando u en cm

y el absorbido por los cordones frontales

~ , , , ~ . 2 b a= 1000 x 2

x

50 = IOOOOa k p

La suma de ambos tiene que serjguai á F Por tanto (11250

+

1 0 0 0 0 ) ~= 1Oo00Lp

de donde

Figura 111.12.

Cotas en mm El ancho r pedido será

Como la superficie rzsisrente de la soldadura es L . u = Zlu = Z x 1-0 x 10 x sen 15" = 1697 nim'

u = _ _ -

sen 45'

0.47 1 0.707

se deberá verificar

F < Lrir,,,

= 16.97 x

800 = 13 576 kp

111.11. Dos placas están unidas entre sí por medio de cuatro cordones de soldadura iguales, de 8 mm de ancho de base, como se indica en la Figura 111.14. Calcular la mixima tensibn de cortadura a que van a estar sometidas las soldaduras si se aplica un momento M = 600 m . kp.

Por tanto, la fuerza máxima que podrá ser aplicada a las placas será:

111.13.

Se han de unir dos piezas metdlicas mediante cuatro cordones de soldadura, dos longitudinales y dos transversales. como se indica en la Figura I!I.13. Sabiendo que las tensiones de cortadura admisibles para los cordones Id,lsitudinales es ,T = 750 kp/cm2 y para los cordones frontales T,, = 1000 kp/cm2. calcular el ancho de los cordones si las placas han de soportar un esfuerzo de traccibn de F = 10 000 kp.

,

Como la solicitación exterior es exclusivamente un momento. la máxima tensión d e cortadura se c re sentará simultáneamente en los cuatro vértices del cuadrado formado por 10s cordones. Calcularemos la tensión en estos puntos aplicando la formula (3.5-20)

Figura 111.13.

178

RESISTENCIA DE MATERIALES El momento de inercia de los cordones respccto de G es la suma de los momcntos de inercia respecto de los ejes .Y e y (Fig. II1.14). Como la longitud de garganta es

p o r S u parte, el niomento .Lf da lugar a una tensión rl. Cuyo valor niixiciio sc *. presentar en los puntos .4 y B (Fig. llI.15-6). de valor

vil .i

los momcntos de inercia áxicos son:

La tension máxima sera. pues

el moriicnto de inercia polar I, sera: 1, = 1,

Una placa en mfnsula es16 unida a la columna de una estructura metálica mediante tres cordones de soldadura del niisrno anclio de garganta a = 1 cm, conio se indica en la F;gura 111.15-o. Si la tensión de cortadura admisihle de la soldadura es r,,, = 750 kp/cm2 calcular el niásimo valor que puede tener la carga P.

111.15.

+

I, = (4904

+

800) cm' = 5704 cm'

El valor de r 2 en los momentos A y B es:

estando expresado P en k p . Las componentes de los vectorcs 7 , y i,. respecto de los cjes indicados en la figura son:

r2, = - r 2 sen

Figura 111.15-o.

Figura 111.15-h.

-r.l:')2

-

+

12 - 3) = 3 4 P

Ya que c1 cCntrO de gravedad G se encuentra a 3 cm del cordón vertical, como f'i CI-1 mente se ~ u c d cdeducir. fuerza P da lugar a u n a tención cortante planos d e garganta de los cordones.

i<,-; (aL4i.a

.

, 1 la'.

cuando

P

cxpresa en kp. E

l l .que

distribuye uniformemente sobre 10s

5 10 = -- 0.8 p

5704

=

7.152 x 1 0 - ' P kp/cm2

que d a n lugar a una tensión i que debcri ser menor eje la tension adinisible a cortadurr: Uc la soldadura

Reduciendo la acción exterior al centro d e gravedad G de los cordones. el sistema equivalentc cstf constiiuido por un3 carga P, equipolente a la dada, y por un momento A-I = P ( 2 5

2

de d o n J c se obtiene

Teorír~general de lcl flexión. Anblisis de rensiones

(a)

Flexion simple

(b) Flexión desviada

Figura 4.2. Finalmente. si en los casos de flexión pura o de flexión simple actúa sirnult'aiieamente el esfuerzo normal .V, a la Ilexión se le denominaJr.ri611 c.ot>rprrrsra(Fig. 4.3).

4. l .

Introducción

Cuando en toda sección recta de un prisma mecánico la resultante de /:ir fuerzas situadas a un lado de la misma es nula y el vector moniento resultrnte esli contenido en dicha sccción, diremos que el prisma está sometido a/b.ririi~piirci. Esta es Jlct-i{jii poro asit>~irrica ( F i g 4.1-0) cuando el momento flector tiene componentes .M, y .II; según los ejes principales de inercia de la sección; y /Irrion pitru siti~irricu( F i g 4.1-h). si el vector momento que aclua en esa sección tiene solamente componente según uno de los ejes principales de inercia.

Figura 4.3. En este capitulo analizaremos la distribución d e tensiones en la sección recta en los casos de flexión pura simétrica y de flexión simple. La flexión desviada y ;1 flexión compuesta serán estudiadas en el Capitulo 6. Para los casos de flexión pura o flexión simple adoptaremos el convenio usual de asignar el signo positivo al momento flector cuando el prisma flexa como se muestra en la Figura 4.4, es decir, cuando el momento flector hace que la libra inferior esté sometida a traccijn.

/ (U)

Flrxión pura asimitrica

(h) Flrxión pura sinietrica

Figura 4.1.

Si además del momento ílector M, actúan esliierzos cortantes T. se dice que el prisma trabaja a Jk>.~i
~

Figura 4.4.

4.2.

Flcxión pura. Lcy de Navicr

Como hemos indicado, consideraremos en lo que sicue el caso de flexión pura. sobrecntendieridose que se trata de flcxión pura simétrica. como ocurre en los tramos A B dc las vigas indicadas en la Figura 4.5.

Figura 45.

Cuando consideramos un prisma mecánico y lo sometemos a flexion pura observamos que varia la curvatura de su línea media, acortándose unas fibras mientras que otras se alargan. Las primeras estarán necesariamente sometidas a esfuerzos de compresibn y las segundas a esfuerzos de tracción. Es evidente (admitidas las hipótesis de honiogencidad, continuidad e isotropia), que una fibra no se acortará ni se alargará. por lo que no estará sometida a tensión alguna y de ahí su nombre de ((jihra tleutrnu. M i s adelante, \.eremos que dicha fibra contiene los centros de gravedad de las distintas secciones del prisma. En el estudio de la flexión admitiremos las siguientes hipótesis fundamentales: 1.

El sólido en flexión se mantiene dentro de los limites de elasticidad proporcional. 2. Las secciones planas antes de la deíormación siguen siendo planas despues de ella (hipbtesis de Bernoulli) . 3. Las deformaciones son suficientemente pequeñas para que la acción de las fuerzas exteriores no se vea modificada, en primera aproximación, por la deforniacióri.

Figura 4.6. -

Si unas fihr;is se alargan y otras se acortan. por la continuidad de las deformacioncr existiri una fibra ricutra q u e no experimente variacibn de longitud alguna. Sea /IB la traza de la superficie neutra, cuyo radio de curvatura es p. Es ficil dcrnostr;ir quc ,\lSU A B 0 , por lo que se podrá escribir:

-

Conio Una corisecuencia irimcdiata que se deduce de las hipótesis establecidas es que en la seccion no existen tensiones tangenciales. En efecto, en cualquier punto P del prisma. el ángulo inicialmente recto [armado por una fibra longitudlnal que pasa por él y la sección recta correspondiente, sigue siendo recto después de la deformación en virtud de la hipótesis de Bernoulli, por lo que según la ley de Hooke: 7 = Gy = O, al ser nula la distorsión y. En la sección recta existirán, pues, solamente tensiones normales. Es intuitivo que las fibras extremas, al ser las más deformadas, serán las sometidas a tensiones más elevadas. Pero. jcuánto valen dichas tensiones? i,Cómo varian al pasar de una fibra a otra? Vamos a deducir la ley de Nacier que nos expresa dicha variacibn. Demostraremos Id citada ley siguiendo dos métodos distintos: método geométrico y método analítico.

=

Adr; i l i

= d.v;

,\IB

=

r.; ,m

= p. se tienc:

A - .r --

cLr

p

?3

Ahora bien, en virtud d e la ley de Hooke Ad.r/d.r = a

?

E

=

a,'E, por lo que:

'

- -

-

E

P

o lo que es lo mismo:

a) Método geométrico

Sean D E y CF las trazas de los planos que contienen a dos secciones :cctas indefinidamente próximas de un prisma mecánico, sometido a ílexión pura (Fig. 4.6). 8

habiendo pucsto cl signo iic~aiivuy;, que para la ordenad3 > posiiiia compresión. y suponiendo positivo el radio de curvatura.

13

tcnsihn

U

cs

i c

TEORlA GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES

185

Corno el cociente E,'p es constante en cada sección podenios enunciar In /KVdc 1Vavier: ccEt1 iitiu sercldi~~oiilrridou /lr.ric>ti pirrci. los t>ió / ; t ~/ihrus f ~ l . ~ sori c/irrc~c~/~icti~e pr0~1orcior1~11e.s u .sus d i s r ~ t ~ c iua .11 ~1! i / ~ r utie~,tru.)) La represrntac~Ó~l ,orafic;i de diclias tensiones será lineal (Fig. 4.7) y, como era de esperar, las miiximas tensiones de compresión y de tracción correspunden a las libras extremas.

I

Figura 4.7.

Vamos a demostrar ahora que la libra neutra contiene el centro J e gravedad de la sección. En efecto, a1 tenerse que cumplir las condiciones del equilibric> elástico, la resultante de las fuerzas exteriores 2 interiores debe ser nula en cualquier sección. Por tratarse de ílexibn pura, la resultante de las fuerzas exteriores es nula, por lo qiie la resultante de fuerzas interiores debe ser igual a cero. Podemos escribir, pues, que:

Para que d R sea igual a cero, las distancias y deben contarse con relación a un eje qiie contenga el centro de gravedad, ya que j,v d R es el momento estático cit. una superficie plana respecto a un eje con:enido en sl iiiismo plano y solamente se anula en dicho caso. Para garantizar el equilibrio elástico en cualquier sección no es suficiente la nulidad de la resultante. Se tiene que verificar, además, que el momeiito resultante del sisama de fuerzas engendradas pc.r !as tensiones normales tiene que ser igual al m(;mento flectcr en' dicha sección. Teniendo en cuenta que para un moniento Rector M, pcisitivc (Fig. 4.8) las tensiones normales sori negativas para ordenadas .v positivas, tendremos

siendo Ir el momento de inercia de la sección respecto del eje z. Este resultado nos permite expresar la constante de la ley d e Nrivier en función del momento íiector que actúa en la sección y las caracteristicas geométricas de ésta, .

Figura 3.8.

6 ) hlétodo analítico

A este mismo resultado llegamos siguiendo un razonamiento puramente analitico. En erecto, si la flexión es pura, la única componente no nula de la matriz de tensiones será la tension normal u,, = u sobre las caras coincidentes con la sección recta. Admitida la hipótesis de Bernoulli sobre las secciones planas, la tensión normal a será, en virtud de la ley de Hooke, una función lineal de y, z

siendo n, 6, c, canstantes, estando esia ecuación referida al sistema usual de coordenadas. es decir, a los ejes principales de inercia de la sección en el centro de gravedad, que será el origen.

186

RESISTENCIA D E MATERIALES

T E O R I AGENERAL D E LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES

El sistema de fuerzas engendrado por las tensiones o tiene que ser tal que su resultante sea nula y su momento. respecto a G, igual y opuesto al niomento flector en la sección.

Sustituyamos el valor a, dado por (4.2-7). en estas integrales. En la primera, se tiene:

De aquí se obtiene directamente: a = O, ya que las dos últimas intezrales son los momentos estáticos de la sección respecto a los ejes coordenados, que se anulan, por pasar éstos por el centro de gravedad. De la segunda:

197

Si pretendcrrios Iiallar en una sección (en la que ,MF e 1: son constantes) el valor dc umx l , tendrcnios:

Al denominador de esta ultima expresión que, como se ve, depende exclusivamente dc las caractcris~icasecométricas de la seccióri se le suele Ilarnar niódulo re.\iri<~t1iericr b sección; lo vamos a representar por W:, tiene dimensiones de [L]' y se expresa normal mente en cm3. Como:

llamaremos a - ,LI,a ', i~i(jclir1oresisrenfe eii la secciórl y éste dependerá de las solici~:~. nes que engendran el momento flcctor y dc la tensión máxima que pucdc admilir r material. Dchrrci cirt,iplir.ie pitcfs, qire el t~ródirlo rc~si.srcn,e de la scccióti coloc(icl(~sc3(i ~giiiil sirpcrior al ,>i(;tlirl<) re.ii.if~n~2 e.risieriie e11 /o sccc~iuticonsirlerada.

ya que la segunda integral es el producto d e inercia respecto a unos ejes que son principales y, por tanto, se anula. Finalmente, de la ecuación (4.2-10) sc obtiene el valor del parámetro c: c = 0. Sustituyendo en (4.2-7) las constantes obtenidas, se llega a

que es, obtenida analíticamente, la ley de Navier. Esta expresión constituye la ecuación fundamental de la teoría de la ílexión y piiede adoptar diferentes formas: MF I z -= - o

o

Y

bien:

a = -MF

1: -

En perfiles I?minados, los fabricantes tienen tabulados los módulos resistentes i secciones cuyo Ii', no figure en las tablas se determina hallando (an.ilitica o gráficameiíi í= e y,,,. Asi, en una sección rectangular (Fig. 4.10), el módulo resistente :'M será:

Como caso particular, si se trata de una seccióri cuadrada (o = h) tendríamos:

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALlSlS DE TENSIONES

4.3. F l e x i ó n simple. Convenio dc s i g n o s p a r a e s f u e r z o s c o r t a n t e s y m o m e n t o s flectores Hasta aquí hemos considerado que el prisma mecinico trabaja a fleti6r1 pura, es decir, cuando no hay esfuerzos cortaiites, como ocurre en los tramos AL? dr las vigas indicadas en la Figura 4.5. Cabe preguntarnos si podemos aplicar la ley de Navier al cálculo dt: la distrib;ción de tensiones normales en la sección recta de un prisma mecánico sometido a jle-rión sitriple (momento flector acompañado de esfuerzo cortante), dado que la existencia del esfuerzo cortante produce cierto alabeo de las secciones rectas, como m i s adelante tendremos ocasión de estudiar con detenimiento. Para los casos de flexión simple admitiremos el prbicipio getirrrrliiurio (/e NaoierBernoulli. ((Dos secciones planas indefinidamente próximas experimentan un al;ibeo después de la deformación, pero cualquiera de ellas puede superponerse con la otra mediante una traslacion y un siron (Fig. 1 . 1 1 ) .

Figura 1.1 1.

Al aplicar este principio se admite alabeo de las secciones debido al esfuerzo cortante y lo que se.hace es despreciar el alabeo relativo de las dos secciones. Esto es admisible. pues, en general, las deformaciones producidas por el esfuerzo cortante son menores que las debidas al momento flector. Admitido el principio generalizado de Navier-Bernoulli, veamos c ó n ~ ose deforma una fibra, tal como la AoBo indicada en la Figura 4.1 1 Si las secciones se hubieran mantecido planas, esta fibra habría pasado 3 ocupar la posición A'B' pero al existir alabeo ha pasado a ser AB. Por cI citado principio, el desplazamiento relativo ha sido el mismo, es decir, A'B' = AB. Por tanto, si t n la ílexión simple las deformaciones son las mismas que en el caso de ílexión pura, las fórmulas deducidas para tales deformaciones serán válidas. aun cuando el momento ílector vaya acompañado de esfuerzo cortante. La pregunta que nos habiamos hecho de si seria válido aplicar la ley de Navier para el cálculo de la distribucion de tensiones normales en las secciones rectas de una viga sometida a flexión simple tiene, pues, contestación afirmativa. Es evidente que la resultante, así como el momento, de las fuerzas situadas a la derecha de una sección tiene igual módulo, igual dirección y distinto sentido que la resultante, o momento, de las que se encuentran a su izquierda, ya que el equilibrio estitico exige que se verifique:

189

En un prisma sometido a flexión simple la resultante de las fuerzas situadas en una de las partes en que el prisma queda dividido por la sección es el esfuerzo cortante. Supuesto que el prisma o viga admite plano de simetria y que las cargas verticales pertencceri a este plano, el esfuerzo cortante tendrá dirección vertical y la ílexión s e r i simétrica.

Figura 1.12.

En este caso, que es el que consideraremos en lo que sigue, será necesario adoptar un convenio para los signos de ambas magnitudes, con objeto de evitar ambigüedades. Para el esfuerzo cortante, el convenio se ha establecido ya en el capitulo anterior. Si 12 resultante de las fuerzas verticales situadas a la izquierda d e la sección está dirigida hacia arriba, diremos que el esfuerzo cortante es positivo, siendo negativo en caso contrario (Fig. 4.12). Para el momento flector la regla se basa en el tipo de deformación producida: diremos que el momento flector es positivo cuando las fibras comprimidas estén situadas por encima de la neutra y negativo cuando por debajo. Aplicaremos este criterio siempre, teniendo en cuenta que el momento engendrado por cada fuerza tendrá el signo que le corresponda según rl tipo de deformación que dicha fuerza produciría prescindiendo de las demás.

Figura 4.13.

190

RESISTENCIA DE MATERIALES

Asi, en una viga apoyada en sus extremos A y (Fig. 4.13) el momento en una sección mn a distancia .r de 4, considerando las fuerzas situadas a cu izquierda, será

TEORlA GENEKAL DE LA FLEXION. ASALISIS [IE TENSIONES

a)

191

Carga centrada y concentrada (Fig. 4.14)

Determinación de las reacciones: Condiciór ,'r cvniporicnte vcrtical nula: R.,

y el esfuerzo cortante

+

R,

-

P

= 0

Tomando rnc,,i.cnios respecto del punto mcdio: Si consideramos las fuerzas situadas a la derecha de la sección, se tendría

Evidentemente se habrá de cumplir

El esfuerzo cortante y el momento íiector serán funciones de la abscisa s de la sección

Diagrania de

La representación gráfica de estas funciones da lugar al (fiugnu~ra de esJrer-os rorranres y diagrur?ia de nronIentosj7ectores, respectivamente.

1-igura 4.14.

niomentos flectores

de donde:

4.4. Determinación de momentos flectores El problema d e dimensionado, atendiendo exclusivamente a la flexión, exige el conocimiento de los valores que adopta el momento flector en cada sección d e la viga. Vamos, por tanto, a determinar los momentos flectores insistiendo especialmente en su valor máximo, en diversos casos isostáticos de sustentación y carga. Como norma geceral, la determinacion de momentos implica el conocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre el prisma mecánico. En los casos que vamos a considerar se conocen directaaente las cargas exteriores y hay que calcular las equilibrantes. Estas últimas se hallarán imponiendo las condiciones de equilibrio ectiticc>. Tratxemos, a modo de ejemplo, los siguientes casos de susten;ación:

Leyes de momentcs neciores:

,\fx,

=

P

1

R,.r = - S-, valida en O ,< x ,< 2 2

A)

Viga simplemente apoyada. B) Viga en voladizo.

A)

Viga simplemente apoyada

En todos los casos que estudian a continuación se :upone el peso propio de la viga despreciable respecto a las cargas que actúan sobre la misma.

El momento fiector máximo se presentará en el punto medio de la viga (observese que se trata de un riiisinio absoluto y, por tanto, la primera derivada PO es nulz) Su valor se obtendrá haciendo s = 112 en (4.4-2) o (4.4-3)

192

6)

R E S I S T E N C I A BE M A T E R I A L E S

T E O R l A G E N E R A L D E LA F L E X I O N . A N A L I S I S DE TENSIONES

193

Carga desccntrada y concc*.itrada (Fig. 4.15)

Determinación de las reacciones: Coridición de componente verrical nula:

Tornando momentos respecto del extremo B: R , . / - Ph = O, dc donde

I

Diagrama de momentos flectores

1

En

estc

e

caso rige una sola ecuación de momentos para toda la viga:

C

.r pi iLf = R,.r - ps - = -.r Z 2

- -, para O

2

<

.r

<

1

(4.4- 1 1)

Diagrama de rnomrntos flectores

ecuación de una paribola, por lo que el diagrama de momentos flectores será un arco de este tipo de cónica. Para hallar el momento flector máximo igualaremos a cero la primera derivada, en virtud de la continuidad de la función en toda la viga:

Figura 4.15.

Leyes d e momentos flectores:

Mxi = RA-r

- P(x -

a) =

Pa

!l /

.Y),para o

< .y

Q

/

.

(4.4-8)

valor que sustituido en (4.4-1 1) nos da:

El momento flector máximo tendrá lugar en la sección en la que esta aplicada la carga y su valor se obtiene haciendo .r = u en cualquiera de las ecuaciones d e momentos:

rl)

c)

Carga uniformer

"te reF

l a (t. ;. 4.16)

Representaremos por ; ia carp- ; 2r uririad de longitud. Suele e~presarsmetro lineal (ton/rn). La determinacion de las : Y - . . .oncs es muy sin~ple,ya quc ;2r simt

rondadas por

Carga triangular (Fig. 4.17)

Supondremos variable la carga por unidad de longitud, aumentando linealmente desde O en el apoyo A hasta el valor p,,, en el B. Las cargas p d . ~sobre cada elemento diferencial de viga constituyen un sistema de vectores paralelos cuya resultante, la carga total P. es:

f

b

e$

CC

194

RESISTENCIA DE MATERIALES

y tiene por linea de acción la recta .r = proporcionan las ecuaciones.

7

3

1. Las condiciones generales del equilibrio nos

u)

Carga concenrrada en el extrerrio librc (Fig. 4.18)

La e c ~ i c i o nde momentos pucdc escribirse directamente: ;Ir = - P.Y. viilidri eri O

s

<

I

(4.4- 1 7)

de donde:

-Pl

Diagrama de rnornencos ílccrores

El momento flcctor mliximo se dará en cl empotraniiento y valdrá:

y segun se comprende fácilmente se trata de un mriximo absoluto. h)

Carga uniforniernente repartida (Fig. 4.19)

Sea p la carga por unidad dc longitud: La ecuación de momentos seri: I

4.b

I

I

momentos ílectores

.Y

M = -p.r - =

2

--+

pxZ 2

válida en

O

<

.Y $

1

Figura 4.17. La ecuación de monentos seri Única y tendrá validez en O

Derivando e igualando a cero, se obticne x =

I,'J?;,


Diagrama de

por lo que:

-$ momentos "eciores

El momento ílcctor máxinio se dará en el empotramierito y valdri: B)

Viga en voladizo

Vamos a suponerla perfectamente empotrada en un extrernc (iniposibilidad de giro en él), en todos los casos que se estudian a continuación.

y, como en el caso anterior, se trata de un máximo absoluto

(4.4-191

1%; C)

R E S I S T E N C I A I>E MctTI:IIIALES

T E O R I A G E N E R A L DE LA F L E X I O N . A N A L l S l S D E T E N S I O N E S

197

Carga ~riangular(Fig. -I.?U)

La ecuación de momentos scri:

p/2

Diagrama de esluerros cort.intes

b) Carga descentrada y coricentrada sobre viga simplemente apoyada (Fig. 4.22)

t

'

Conforme a lo establecido, tendremos en este caso: 1

-

I

Diagrama

T,,= R,

de momentos fleccores P . -1 = -Pl ---6 3

T

12

Pb

= -,

1

válida para O

Pa


= R , - p = - - = - RE, para

Figura 4.20.

1

O

< .r

,<

El momento flector máximo se d a r i s n el empotramiento y valdri

4..

Determinación de esfuerzos cortantes

Frescindamos por ahora de la po~iblerelación existente entre esfuerzo cortante ysmomento flector. Hallaremos el esfuerzo cortante como la proyección sobre la sección que se considere de la resultante de las fuerzas situadas a un lado d e la misma, adoptando el convenio de signos qüe se ha establecido anteriormente. a)

Carga centrada y concentrada sobre viga simplemente apoyada (Fig. 4.21)

Para una sección mn el valor del esfuerzo cortante será la suma geométrica de las fuerzas que actúan sobre la viga a uno de sus lados (consideraremos las fuerzas situadas a la izquierda). Asi tendremos:

... -

P

T,, = R " -- 2-, \lálida para O

T = > =R , - P =

P

- -7 = - R

c)

Carga uniforinemcnte repartida sobre viga siniplemente apoyada (Fig. 4.23)

La ley de esfuerzos cortantes será:

,

1

< .r

,< 2 1

E*

,'.

p a r a -2 ,<

Y .

I

(4.5-2)

ecuación vilida para cualquier sección de la viga. Si se hace T = O, resulta x = 112, es decir, el esfuerzo cortante se anula en el punto medio de una viga simplemente apoyada con carga uniforme.

198

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALlSlS DE TENSIONES

RESISTENCIA DE MATERIALES

199

e ) Viga en voladi7n con carga concentrada en el extremo libre (Fig. 4.25)

El esíuerzo es constante en todas las secciones dc la viga.

T

Pl 2 pl -

=

-

< ,X

P, para O

S 1

Diasrama de esfuerzos coriantes Diagrama de esruerzos constantes

A

2

Figura 4.23.

-P

P

4 Carga triangular sobre viga simplcmcnte apoyada (Fig. 4.24)

Figura 4.25.

También tenemos en este caso una íunción unica para la ley de esfuerzos cortantes. Viga en voladizo con carga uniformemente repartida (Fig. 4.26)

- pl- - P

--2 p 3

Figura 4.24.

Diagrama de esluerzos cortantes

Diagrama de csíuerzos cortantes

YVI II

La iey de rsf~.ierzoscortantes es:

T = -px, para0

ecuación válida para cualquier sección dc la viga. El esfuerzo cortante se anula en una sola sección: la dc abscisa

< .Y < 1

ecuación válida para cualquier sección de la viga. El valor máximo corresponde a la sccción de enipotramiento. Haciendo .x = 1 en la ecuación (4.5-9), se obtiene:

que como se ve, se trata de un máximo absoluto.

200

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALlSlS DE TENSIONES

RESISTENCIA DE S4ATERI.ALES

201

g) Viga en voladizo con carga triangular (Fig. 4.27)

En esre caso, como ficilmente se deducs de la Figura 4 27, si P

=

1 ?

p,,,,<

12s

la Carga total

se tiene:

Figura 1.28.

En el primer caso, tomand6 momentos respecto al centro de gravedad de la sección situada a la derecha, tendremos:

de donde. despreciando infinitésimos de segundo orden, se tiene:

El diagrama de esfuerzos cortantes es una parábola de tangente horizontal en el punto correspondiente al extremo libre. El valor máximo (mriximo absoluto) se presenta en la sección de empotramiento. Haciendo .r = 1 en la ecuación (4.5-1 1) se obtiene:

4.6.

En esta expresion, como se ve, no interviene la carga. Por tanto, esta expresion sera aplicable tanto al caso en que sobre el elemento de viga exista carga repartida como si no. Se puede afirmar pues: ((El esfuerzo cortante en wra seccibn de una oiga somericia a jTr.ribri sitriple coincide con la derivada de la fitnción montenio Jlector en dcha srcci6n.u

Ceornétricamente, el esfuerzo cortante en una determinada sección viene medido por el valor de 13 tangente trigonométrica del ángulo que forma con el eje .Y (eje de la viga) la tangente al diagrama d e momentos flectores en el punto de abscisa de esa sección.

Relaciones entre el esfuerzo cortante, el momento flector y la carga

Hasta aquí hemos estudiado independientemente momentos flectores y esfuerzos cortantes de una viga sometida a flexión siaple, sin tener en cuenta las relaciones que existen entre ambas magnitudes. Veamos cuáles son estas relaciones que nos serán de gran utilidad. Antes de seguir adelante conviene que quede clara la inexistencia d e fuerzas concentradas, ya que al actuar sobre una superficie de área nula engendrarían tensiones unitarias infinitas que sólo podrían resistir los sólidos rigidos que, como sabemos, no se d a n en la Naturaleza. En rigor, las llamadas fuerzas concentradas son fuerzas uniformemente repartidas que actúan en superficies muy pequeñas o, lo que es lo mismo, dan valores d e p (carga por unidad de longitud) muy grandes. Entre dos secciones indefinidamente próximas podemos considerar que actúa uiia carga uniformemente repartida p que será funcion d e la distancia x, incluso en el caso d e fuerzas concentradas, o, por el contrario, que no actúa carga alguna (Fig. 4.28). J

Diagrama de hf

Diagrama de T

202

RESlSTENClA DE MATERIALES

Basándonos en esta propiedad podriamos obtener el diagrama de esruerzos cortantes por derivación del de momentos flectores. inversamente, d a d o el diagrama de esfuerzos cortantes se obtendría. por integración, el de momcntos flectores. Veamos ahora que el esfuerzo cortante T y la función de carga p. funciones ambas dc .x, están re1aciori;idas entre sí. En efecto, del equilibrio de fuerzas (Fig. 4.28-a)

Consideremos la porción elemental de prisma mecánico sometido a flexión siniple comprendido entre dos secciones rectas indefinidamente ptoximas. separadas d.1 (Fig. 4.30). Sobre las secciones de abscisas .y y .y + d.1 10s momentos flectores difieren en dlCf.

se deduce

que podemos a su vez relacionar con M mediante (4.6-2) y poner:

es decir. 10 poi
Figura 4.30.

Cortemos este elemento por un plano a distancia y de la fibra neutra y consideremos el equilibrio de la parte superior: la resultbnte de las fuerzas normales tiene que ser equilibrada por las fuerzas engendradas por las tensiones r sobre la porción de fibra longiiudinai La resultante de las fuerzas norniales en la parte izquierda sobre el área sombreada R* es:

que se puede poner, en virtud de la ley de Navier, de la siguiente forma:

4.7. Tensiones producidas en la flexión sirnple por el esfuerzo cortante. Teorema de Colignon Al principio de este capitulo se ha estudiado la distribución d e tensiones debidas al momento flector. En los prismas mecánicos sometidos a íiexión pura, al ser el esfuerzo cortante nulo eri todas las secciones, la ley de Navier nos d a una información compieta, tanto cualitativa como cuantitativa, del estado tensional creado en el interior del medio elástico, ya que el conocimiento de la tensión principa5 Única n o nula, normal a la sección recta. lo determina plenamente. En el caso que el prisma mecánico o viga trsbaje a flexión simple hemos indicado que las secciones rectas de la viga, inicialmente planas, presentan después d e la deformación cierto alabeo producidct por el esfuerzo cortznte. Admitido el principio generalizado d e Navier-Bernoulli la distribución de tensiones normales sigue estando regida por la ley d e Navier, si bien la direccion del eje de la viga ahora no es dirección principal. Para completar el estudio del estado tensional en flexión simple necesitamos, pues, conocer cómo se distribuye el esfuerzo T ( s ) a lo largo y a lo ancho de la superficie de la sección recta. Para ello nos basaremos en el teorema d e reciprocidad d e las tensiones tangencialcs, es decir, la existencia de una tensión tangencial r en un punto d e la sccción recta exige la presencia de otra también tangencial, del mismo valor, sobre la superficie de la fibra longitudinal que pasa por ese punto.

siendo m el moniento estático respecto al eje ;(fibra neutra) del area de la seccion situada por encima de la sección longitudinal (area sombreada en la Figura 4.30). En la sección derecha, la resultante de las fuerzas normales será:

Su diferencia

tiene que ser equilibrada por la resultante de las fuerzas debidas a las tensiones r en la sección longitudinal. Admitiendo que las tensiones tangenciaies se reparten uniformemente a lo largo de! segmento de longitud h. se tiene:

204

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES

RESISTENCIA D E MATEKIALES

El diagrama de tensiones tangenr:~lessegún la altura de la sección es una parábola. LA tensión tangericial máxima se presenta en la fibra neutra ( y = 0)

de donde obtenemos: 5

=

Tt71 b i,

llamada f¿rt~iirlude Colignon, que nos permite calcular la disrribución de tensiones tangensiales en las secciones rectas. A [ ser las tensiones tangenciales en las secciones longitudinales (llamadas también tensiones rasantes) iguales a las correspondientes en las secciones rectas, la fórmula de Coligiion es válida para el cálculo de ambas. Una primera consecuencia que se deduce de esta fórmula es que las tensiones cortantes son nulas en los puntos superior e inferior de la sección, ya que para ambos se verifica ni = O; en el punto superior por ser nula el área sombreada, y en el inferior por ser ni el momento estático de toda la sección, que es nula al ser el eje z principal de inercia. A modo de ejemplo veamos cuál es la distribución de tensiones tangenciales en la sección recta de un prisma mecánico sometido a íiexión simple, aplicando a secciones de diferentes formas la fórmula de Colignon. a)

205

y representa un 50 por 100 más del que resultaria si T se repartiera uniformemente en toda la superficie. b)

Sección circular (Fig. 4.32)

.

-

El momento estático es:

Sección rectangular (Fig. 4.31)

El momento estitico del área rayada es:

y el momento de inercia de la sección: Figura

y el momento de inercia:

Sustituyendo en (4.7-6), se obtiene:

Sustituyeíido en

13

fórmula de Colignon, se obtiene:

1L

,A

siendo R = /lb el área de la sección.

El diagrama de tensiones tangenciales según la altura d e la sección es una parábola. La tensión tangencia1 máxima se presenta en la libra neutra (y = 0)

T,,,

3 T 2R

= --

Figura 431.

y resulta ser un 33 por 100 más del valor que resultaría si T se repartiera uniformemente en toda la superficie.

e

206 c)

R E S I S T E W C I A DE XlATERIALES

Sección iriangular (Fig. 4.33)

En este caso se tiene

b') en el alma

t

d

0

Figura 133.

La Icy de tensiones cortantes será: 2

El esfuerzo rniximo se presenta en la fibra media ( y = O) y vale:

El valor máximo se przsenta a distancia h/6 dc la fibra neutra: Q =

y resulta ser un 50 por 100 más del valor que resultaría si T se repartiera u n i f ~ ~ m c m e n t c en toda la superlicie. d)

área del alma

y consideramos pequeños los valores de e y e , frente a h y h tendremos:

í2 = 2(h

Sección doble te simetrica (Fig. 4.34)

La T varia según tres leyes parabólicas, de las que por simetria bastará estiidinr dos (en el ala y en el alma). a') en el ala

; C, = área del ala

- e , ) e = 21ie

R , = 264, 4bh3 3

I=--

-

2(2h - e ) ( / ] - e,)' 11' - (R - 3 3

+ 6Rl)

RESISTENC1.A DE M A T E R I A L E S

tendrá componentes según la tangente y según la normal al contorno de la sección (Fig. 4.36).

)'I Por tanto. la T , , ~ , es prácticamente la misma que resultaria si la r se repartiera uniformemente en la superficie del alma. La aproximación szri mayor cuanto menor sea 21 valor de j.. e ) Sección rómbica (Fig. 4.35)

Por el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales, de ser esta descomposición correcta, tendria que estar solicitada la superficie exterior del prisma mecánico por fuerzas tangenciales en sentido longitudinal, cosa que no es cierta. Para obtener con rigor la distribución de tensiones tanp:nciales habría que aplicar los métodos complejos que utiliza la teoría de la Elasticidad. El resultado que se obtiene, en la mayoría de los casos. pone de.manifiesto que las componentes de r sobre el eje z son de un grado de importancia muy pequefio respecto a las componentes respecto del eje y, lo que justifica que se admita la fórriiula de Colignon para obtener, con suficiente aproximación, los valores de las tensiones tangenciales producidas por el esfuerzo cortante. Por otra parte, si comparamos los valores de la tensión normal máxima a,, y la tensión tangencial máxima rmiXde un prisma mecánico trabajando a ílexión simple, por ejemplo, en la sección media de la viga recta de sección rectangular simplemente apoyada con carga concentrada P (Fig. 4.37), tenemos:

IEl esfuerzo en la fibra neutra (y = O) vale

-.

1 T

~ i g u r p4.35.

=

T pero el máximo se d a en y R -3

ti

= -

4

y

9 T vale r m I , = que representa un 12.5 por 100 más del que resultaría si se repartiera 8 fl uniformemente el esfuerzo cortante T e n toda la superficie. De los casos de sección circular. triangular o rómbica se deduce el carácter aproximado del razonamiento y, por ende, de la fórmula de Colignon obtenida. En efecto, al no ser los lados laterales d e la sección paralelos al eje vertical y haber obtenido la tensión tangencial r paralela a este eje, en los puntos próxirnos a los lados, T

El cocicntc d e ambas:

r,,, = 3 P .-3PI u,,,

4bli

'

2bli'

-- -I h2 1

es del orden de /1/1. Este resultado hace q w el cálculo de la resistencia en ílexión simple se haga, si n o se trata de perfiles delgados, teniendo en cuenta sol amen!^ las tensiones normales debidas al momento flector y no tomando en consideración las tangenciales debidas al esfuerzo cortante.

-

210

RESISTENCIA DE MATERIALES

En las secciones extremas la distribución de esfuerzos cortantes es de tipo parabólico. mientras que los csruerzos normales se anulan. Si vamos recorriendo las secciones, a ~ a r t i r de uno de 10s extremos. a medida que nos acercamos a la sección de momento flector máximo disniinuyen las tensioiics cortantes a la vez que aumentan las normales En la seccirjn del rnáximo momento flcctor se anulan las tensioiies tangencialcs y 13 tensión normal mixima se presenta en los puntos más alejados de la hbra neutra. Salvo en esta sección en la que [as tensiones normales son tensiones principales en todos 10s puntos de ella, en cucilqiiicr otro punto de la viga el cálculo de los valores de las tensiones principales no es tan inmediato. En una viga como la indicada en la Figura 4.38, que admita plano vertical de simetria. las coniponeritcs de la matriz de tcrisiones en los puntos de la misma son: Diagrama de hf

Figura 437.

4.8. Tensiones principales en flexión simple Hemos visto cómo cii Ins secciones rectas de una viga sometida a ílexión simple existen tensiones normales, dadas por la i c j
Se observa que las tensiones son constantes en los puntos pcrtenccientes al eje z. Sc trata, por tanto, de un estado tensional plano. En cada punto P existen dos tensionc. principales a , . 0:. contenidas en el plano paralelo al de simetría de la viga. Para un dctcrrninado pynto P la tensión máxima será la niayor de las tensiones priricipalcs, cuyos valores se pueden obtener fácilmente mediante la construcción gráfica de Mohr (Fig. 4.39-b).

Ahora bien. por medio de la ley de Navier y formula de Coiignon

I

~ o r n e n k ílectores s

'4

Esfuerzos cortantes

1'

!

I

(h) Figura 438.

Figura 139.

2 12

RESISTENCIA DE MATERIALES

siendo ,II y T el moniento Ilector y esfuerzo cortante. respectivamente, que actúan en la sección recta a la que pertenece el punto P. podemos expresar las tensiones principales en función de ,L/, T y de la distancia y del punto a la fibra neutra

1/ 1

En la Fisura 1.30-h se han dibujado, asimismo, las isostaticas de la misma viga anterior sometida al mismo estado de carga, pero obtenidas experimentalmente mediante 10s métodos propios de la fotoelasticidad, es decir, se obtienen las isoclinas en el banco íotoelistico y a partir de éstas, mediante integración gráfica, se llega a las isostáticas.

e,xpresión que nos permite calcular el valor de la tensión máxima en los puntos de la sccción que se considera. Del mismo circulo de klolir se deducen las direcciones principales definidas por el ángulo O, tal que

es decir, las direcciones principales en cualquier punto de la seccion están en un plano paralelo al de simetria vertical de la viga y la dirección principal 1 forma con el eje longitudinal de la misma un ángulo O, contado en sentido horario, como se indica en la Figura 4.39-c. Para estudiar cómo varian las direcciones principales se pueden utilizar las lineas isostáticas. Se denominan así a las curvas tales que en cada uno de sus puntos las tangentes son coincidentes con las direcciones principales. Existen dos familias de lineas isostáticas que son ortogonales entre si. De la ecuación (4.8-3) se deduce lo siguiente: a)

En las fibras extremas superior e inferior una familia de isostáticas es normal a la fibra, ya que en ellas r = O y, por tanto

es decir, las isostáticas en los bordes superior e inferior de la pieza los cortan ortogonal o asintóticamente. b) En la fibra r.eur3;i: a = O

es decir, en los puntos d e la línea neutra las isostiticas corta a ésta bajo ángulos de 45".

Figura 4.10.

De la observacióii de ambas figuras se desprende que las isostáticas determinadas por la Resistencia de Materiales coinciden con las obtenidas experimentalmente, salvo en las zonas próximas a la aplicación de las cargas, como, por otra parte, establece el principio de Saint-Venant.

4.9.

Vigas armadas

El diseño de una viga que va a estar sometida a nexión simple se suele reducir a la elección de su sección recta entre perfiles comerciales normalizados, d e tal forma que las tensiones máximas en la viga no superen los valores de las tensiones admisibles. Si las tensiones admisibles a tracción y a compresión son iguales en valor absoluto, se debera elegir una viga cuya sección recta tenga su centro de gravedad a mitad d e su altura. Si, por el contrario, no son iguales en valor absoluto, es aconsejable emplear vigas d e sección recta asimétrica tal que las distancias del centro de gravedad a las fibras extremas estin aproximadamente en la rnisma relación que la de los valores absolutos de las tensiones admisibles. De las fórmulas de Navier y Colignon se puede deducir la forma estimada de la sección recta ideal de un2 viga sometida a flexión simple, en el caso de ser iguales en valor absoluto las tensiones admisibles a tracción y a compresión, con la condición d e utilizar la menor cantidad posible de material. En electo, de la ley de Navier, aplicada a la fibra más alejada d e la neutra

+

En la Figura 4.40-a se han dibujado las isostáticas en el caso de una viga de sección rectangular con carga P en su extremo libre, obtenidas mediante la determinación en un cicrto número de puntos de las direcciones principales por el método grafito de Mohr, como se ha indicado anteriormente, y que es el método que se sigue en Resistencia de Ma [eriales.

se desprende que para soportar el momento flector M, la capacidad resistente será tanto mayor cuanto más pequeña sea la tensión máxima o, lo que es lo mismo. cuanto mayor sea el momento d e inercia I,, para un valor de y,,, constante.

214

RESISTENCIA D E MATERIALES

T E O R l A G E N E R A L D E L,\ FLEXION. ANALISIS D E T E Y S I O N E S

215

Esta condición se verifica cuando la superficie de la sección se encuentra lo más alejada posible del eje z, como seria el caso indicado P - I la Figura 4.41-a. Evidentemente. desde el punto de vista constructivo, seria imposible la utilizacijn de tal perfil, por lo que la continuidad de la superficie nos Ilevaria a la obtención de una sección ideal como la representada en la Figura 4.31-h. Por otra parte, de la fórmula de Colignon T = -

Tni bfz

se deduce que la tensión tangencia1 máxima originada por el esfuerzo cortante T, que se presenta, como vimos, en la fibra neutra, será tanto menor cuanto menor sea n i . y esto se verifica cuando sobre la fibra neutra se concentra la mayor superíicie posible del perfil. Aunque la anchura b e también tienen influencia, éstas son menores que la del momento estático ni. La sección ideal para soportar el esfuerzo cortante será tal como la indicada en la Figura 4.4 1-c.

l

'1 1 1

Figura 4.41.

Por taiito, la sección ideal de la viga para trabajar a flexión simple será la superposición de las dos secciones ideales para el momento M , y para el esfuerzo cortante T, que acabamos de ver (Fig. 4.41-d). Teniendo en cuenta que la tensión debida a i esfuerzo cortente suele ser menor que la debida al momento flector, este perfil se acercará bastante en su forma al perfil doble T (Fig. 4.41-e). De ahi la importa;icia de este tipo de vigas y de las llamadas uigns arniodns o oigas en clable T, d e cuyo estudie nos v a n o s u ocupar. Una viga armada está compuesta de diversos perfiles laminados unidos entre si mediante roblones, tornillos O cordones de soldadura, formando una sección cloble T. Las vigas armadas se construyen, generalmente, cuando es necesario obtener secciones con forma o dimensiones diferentes a las de los perfiles comerciales. En una viga armada se distinguen las siguientes partes fundamentales: hierro plano, de altura I I , , que constituye el alma de !n viga; hierros planos (dos o más), situados en las partes superior e inferior, que se llaman platabandas. Nos referiremos en primer lugar a las vigas armadas remachadas, en las que además de los elementos citados hay que considerar como parte fundamental cuatro hierros anguia-

Figura 4.42.

1

res que van a actuar timo elementos intermedios para la unión del alma y platabandas por medio de remaches. Se admite la hipótesis de que las partes que componen la viga armada se unirán d s forma tal que su comportamiento sea el mismo que si la viga fuera una pieza única El cilculo de una viga armada constará, pues, de dos partes. En la primera. se dimensiona 13 viga como si fuera maciza tenieiido en cuenta los valores miximos de las magnitudes ílectorns a que va a estar sometida. En la segunda, sc dimerisionan los elementos de unión. Es decir, una vez fijadas las dirnensiories del alma y de las platabandas, el diseño de una viga armada sc rcduce al cl;lculo de los remaches de unión entre alma y angulares, asi como de los rcniaches dc unión entre angulares y platahandas. deterniinando el diimetri dc los reniactics y el paso de ronciclicirlo, es dccir, la distancia entre los ejes dc dos remaches consecutivos. Generalmente, el diamctro dc los taladros está determinado por consideraciones constructivas y suele venir indicado en los catálogos de perfiles laminados. Consideremos la viga armada indicada en la Figura 4.43 trabajando a flexión simple. Para el dimensionamiento de la sección se considera que esta es neta, es decir, se descuenti111 los huccas de los elenientos de unión, aunque en la práctica se considere en la mayoria de los casos la sección !lena. sin descontarlos. Todos los remaches van a estar sonietidos a cortadura. En efecto, los remaches que 1 0

.

i

o+An

21 6

TEORLA GENERAL DE LA FLEXION. AN.ALlSlS DE TENSIONES

RESISTENCIA DE SIATERIALES

unen platabanrJ:is y angulares han de soportar los esfuerzos rasantcs que existen en la superlicie plana común de ;imbas partes de la viga armada. También, los remaches que unen angulares y alrna han de soportar los esfuerzos rasantes que se engendran entre alma v el conjunto formado por angulares y platabanda de la correspondientt cabeza de la viga armada. Para la determinación del paso de remachado consideraremos la porción de viga que comprende una pareja de remaches con sus ejes en un plano medio, lirnitadá por dos planos que cquidisian de esta pareja de remaches y las otras dos parejas de remaches coniiguas a un lado y a otro de ella (Fig. 4.43-c). Sobre la sección de la izquierda en la que actúa un momento ílector X f existe una distribución de tensiones normales a, y sobre la sección de la derecha, en la que el A o (Fig. 4.43-c). Esta momento flector es 2I.f + AM, las tensiones normales serán u diferencia de tensiones normales es causa de una fuerza rasante que tiende a hacer deslizar el ala de la viga, formada por la platabanda y los dos angulares, a lo largo del eje lonpitudinal del alma, deslizamiento que es impedido por Las fuerzas de rozamiento e.~isrentesentre las superlicies en contacto de ala y alma y por los remaches que unen angulares y alma. Suponiendo despreciable el efecto de rozamiento, la fuerza F que iictúa sobre cada pareja de remaches será:

217

Ahora bien, esta. f u e r a F es absorbida por la pareja de roblones a través de sus secciones rectas pertenecientes al plano de separación entre platabandas y angulares. Suponiendo un reparto uniforme de F en estas secciones, la tensión cortante r en ellas verilicari:

2s decir:

+

estando extendida la integral a la superficie R,, formada por la sección recta de las plata bandas. Por la ley de Navier, al ser constante la sección, podemos poner

y como de la ecuación de momentos en el equilibrio de la rebanada considerada (Figura 4.43-c)

(M

+ AiI.1) - hl

- Teb

=

dc dondc se obtiene la expresión'del valor máximo del paso de remachado en las platabandas el

<

n (/'IrTadm 2 Tni

Por otra parte, los roblones que unen angulares al alma están sometidos a doble cortadura como consecuencia de la existencia de una fuerza rasante. Razonando análogamente a cómo se ha hecho para el cálculo de la fuerza F que actiia sobre los roblones que unen los angulares a la platabanda. llegariamos a obtener como expresión de la f u e r a rasante

en docde e , es el paso de remachado en el alma, y m' el momento estático respecto del eje z de las secciones de la platabanda y d e la pareja d e angulares de una de las cabezas d e la viga armada (Fig. 4.4-a).

O*

se deduce:

AM = Te,

(4.9-5)

la ecuación (4.9-4) toma la forma

siendo

ni

el momento estático respecto al eje z de la sección recta de la platabanda.

En el caso que T sea variable en la porción de viga considerada, se tornara un valor medio T*.

Figura 4.44.

TEORIA G E N E R A L DE

1

+ U

b

Figura 4.45-d.

FLEXION. ANALISISDE TENSIONES

221

La hipótesis que se admite en este tipo de vigas es la de la conservación de las secciones planas, es decir, las secciones rectas que son planas antes de ]a deformación permanecen planas despuis de ella. Consideremos la viga formada por dos materiales, cuya sección es la indicada en la Figura 4 . 4 7 4 Suponiendo que esta sección esti sometida a un momento positivo M, la deformación que e.xperimenta la sección en sentido longitudinal será tal como la representada en la Figura 4.174.

b

b

Los vértices de la poligonal, que pertenecen al contorno del di&rama de momentos flectores. determinan, como Iácilrnente se deduce de la observación de la Figura 4.45-(1. las longitudes teóricas de las platabandas. En la prictica se prolongan una longitud b a ambos lados. Los espesores de las platabandas se fijarán de tal forma que se verifique en el tramo con n platabandas:

siendo IVzfl.el modulo resistenle de la seccibn con las n platabandas, y iI&mii el momento nector máximo en el tramo correspondiente.

4.10.

LA

(b) Figura 4.47.

Unas fibras se alargan y otras se acortan, existiendo. como en el caso de vigas de un solo material. una fibra que no se alargari ni acortará: es la íibra neutra, pero ahora esta fibra neutra no contzndri al baricentro de la sección. Las leyes de lar tensiones normales en cada una de las partes se pueden obtener aplicando la Isy de Navier en su forma (4.2-3)

Vigas compuestas

En todo lo ariterior hemos considerado que el material del que está fabricada una viga trabajando a nexión era homogéneo. Pero existen razones que pueden aconsejar utilizar en las estructuras vigas que estén construidas de más de vn material. A estas vigas se íds denomina vigas cotnpiiesras. Son ejemplos de secciones de vigas compuestas las indicadas en la Figura 4.46, aunque el ejemplo más generalizado de este tipo de vigas lo constituye las vigas de hormigón armado (Fig. 4.464).

siendo E, y E2 los módulos de elasticidad de los materiales 1 y 2. respectivamente; p, el radio de curvatura de la fibra neutra en la sección considerada; e y, la distancia de la fibra quz se trate a la fibra neutra. La distribución de tensiones en la sección se representa en la Figura 4.47-c. Ahora bien, la fuerza que se ejerce sobre un elemento d e i r e a dR del primer material es

mientras que la expresión d e la fuerza que se ejerce sobre un elemento de área I y a l a del segundo material es

., Figura 4.46.

(4

OQ

222

RESISTENCIA DE XlATERlALES

Si hacemos

se deduce que el eje neutro de la viga compuesta contiene el ccriiro de gravedad de 1;i sección transformada. Para la determinación de las leyes de tensiones normales en íuncion del momento flcctor rLf expres;ircmos la condición de ser éste igual. con si-no canibi:itI(>. al rnomcnto de las fuerzas engendradas por las tensiones normales en anibas partes de la seccion.

la expresión (4.10-3) toma la forma

De la observación de las expresiones (4.10-2) y (4.10-4) se dcdiice que la misma fuerza dl;, se podria ejercer sobre un elcriiciito de área n d R del primcr niateriril. es decir. la rcsisteiicia a la flexión de la viga compuesta sería la misma si toda la sección fuera del primer matenal, pero muitiplicando el ancho de la parte del segundo material por el factor t1. Se obtiene de esta forma la llamada sección ~rurtsforrirada. En la Fisura 4.48 se representan las secciones transformadas para los casos de viga binietálica (ri) y viga de madera reforzada con placas de acero (h). En ambos casos la seccion transformada la hemos referido al primer material, pcro es evidente que podianios haberla rcícrido al segundo sin mas que haber multiplicado el ancho de la parte del niaterial 1 por el factor

siendo 1, e I I los momentos de inercia de las secciones de los materiales 1 y 2. respectivamente, respecto del eje neutro. De aquí se obtiene^ 1 i\ 1 (4 10 Y ) - = P El¡, + E212 siendo el denominador E , 1, + El¡, la rigidez a la /le..íióti c/c, /o i.i.yci coriipir~,.ctn. Sustituyendo la expresibn de la curvatura en las ecuricioncs (4.10-1) se obticricn lsyes de disiribiición de las tensiones normales

135

Se observa que en el caso qiie las dos partes fueran del niismo material: E , = E, = E:

1,

+ 1, = Iz, ambas expresiones se reducen a la fórmula de Navier.

Como antes se ha dicho. quizás el ejemplo más extendido de vigas compuestas lo constituya las visas de hormigón armado. El hormigón es un material qiie tiene una gr..!; capacidad resistente a conipresión. pcro no asi a tracción. Por eso. en las vigas 8~ hormigón que van a es:ar rometidvs ~1 flexión se cc~lociiii unos redondos de acero. llamados arr,rad~rrns,que van a absorber los esfuerzos de tracción (Fit. 4.49-a)?

Figura 4.48.

Con la utilizacicn de la sección transformada es inmediata la obtención del eje neutro. es decir, la intersección de la fibra neutra con el plano d e la scccibn recta. En efecto, de la condición de ser nulo el esfuerzo normal en la sección

J,ali*+JzG2d*

= O

(4.1O- 5 )

que podemos ooner en la forma

r

r

r-

C

((1)

Figura 4.49.

TEORIA CENER.\L DE LA FLExION. ANALISIS DE TENSIONES

225

Estudio de las tensiones cortantes en el caso de perfiles delgados sometidos a flexión simple

En las vigas de hormigón armado se supone que la resistencia a tracción es nula, por lo que en la sección transformada (Fig. 1.19-b) se prescinde de Iri zona sometida a tracción. La sección trarijí~rm;idadel acero seri tiA, siendo .A el irea de la seccibn de las armaduras

4.1.

V 11

Llamaremos perfil (/e pared (/eIgu(/u o, simplemente, per/il &yado a un prisma mecánico cuya seccion recta esta limitada por dos curvas próximas, cuya distancia e entre ellas se denomina espesor de Iu pured. Anteriormente se ha indicado que en el cilculo de una pieza que trabaja a flexión simple, si no se trata de un perfil de pared delgada, juegan un papel importante las tensiones normales debidas al momento t,ector y tienen poca importancia las tangenciales debidas al esfuerzo cortante. Por el contrario, cuando consideramos perfiles delgados, el conocimiento de cómo se distribuyen las tensiones tangenciales en la sección recta del perfil tiene un extraordinario interés.

es la relación entre los niodiilus de elasticidad del acero y dcl hormig0n. El eje n u t r o . dado que contiene el centro de gravedad de la secciirl transformada, se puede determinar imponiendo la condicibn de ser nulo respecto de él el inomento estitico de dicha sección

.'

Se obtiene asi la ecuacion de segundo grado

c~iyaraiz valida dstennina la distancia del eje neutro a la fibra superior cit la sección de la viga compuesta

Figura 4.50.

Las expresiones de las tensiones en hormigón y acero, en virtud del (4.10-9), son a* = -

ME, EA[, + E,[,

M y = - ---fk

+ lzra-y

=

Con objeto de ir fijando las ideas, consideremos el perfil delgado representado en la Figura 4.50 sometido a una carga vertical situada en el plano principal Gxy. La distribución de tensiones norniales se resirá por la ley de Navier. P o r ello, al considerar un corte ideal i ~ i t i ,riormal a la línea media del contorno, si razonamiento para calcular el valor de la tcnsión cortante r, i g u a l 3 la tensión rasante en el plano paralelo al eje longitudinal del perfil, es idéntico al seguido para la obtención de la fórmula d e Colignon. Por tanto, la expresión d e la tensión tangencia1 en los puntos d e la traza del plano rnn de corte será

M

--1: -v

siendo: Ih e I,, los momentos de inercia respecto del eje neutro de la parte de hormigón sometida a compresión y del acero de las armaduras, respectivamente. 1,. el momento d e inercia de la sección transformada, referida al hormigón, respecto del eje neutro. Una vez determinada la situación de éste, la expresión de I 3

= - bu3

+ nA(h - a)'

= Ih

+

tila

seri (4.1 O- 14)

en donde T, es el esfuerzo cortante en la sección en la dirección del eje y; m,, el momento estático de la sección rayada en la figura respecto del eje z; e, el espesor del perfil, e I,, el momento d e inercia de toda la sección respecto del eje z. Hay, sin embargo, una diferencia importante respecto al estudio hecho anteriormente sobre la tensión cortante en perfiles no delgados. Allí suponíamos que la tensión cortante tenía la dirección del eje vertical, no obstante hacer la observación de que esta suposición estaba en contradicción con el teorema de reciprocidad d e las tensiones tangenciales. En

226

RESISTENCI..\ DE MATERIALES

TEORIA GENERAL DE L h FLEXION. ,ANALISIS DE TENSIONES

los perfiles delgados. por el contrario, supondremos que las tensiones tangenciales son paralelas al contorno y sensiblemente constantes según el espesor. Como la dirección de la tensión tangencia1 en un punto depende de la forma del prril y no de la carga aplicada, si las cargas son tales que el esfuerzo cortante T e n la scrción tiene componentes 7;. y T=respecto de los ejes principales de inercia, la fórmula (3.11-l) sc convertirá en: -

r,1?1; - .--

el:

en donde rti es el momento estitic0 de 13 superficie rayada 0' en la Figura 4.51 respccto al el";. en 11 y B. y r , y r,, las tcrlsiorlcs soii los cspcsorcs de la pared del Si e , y tanecnciaies rcspectivas. proyectando sobre el eje .\- las fucrrLis que iictúaii sobre ~1 elsmerito de perfil indicado en 13 Figura 4.51. se ticne r8 . e8 (/.Y

+ - el,

Kf?lv

expresión del valor modular de la tensión cortante en los puntos de la sección del perfil. La dirección ya hemos indicado que es paralela al contorno. En cuanto al sentido, la reciprocidad de las tensiones tangenciales permite determinarlo sin que exista ambigüedad. El producto re recibe el nombre dej711jo de cortadura y lo designaremos por r. Es evidente que en el caso de un perfil de sección abierta, corno es el iridicado en la Figura 4.50, la fórmula (4.1 1-1) determina el valor de la tensión tangcncial r. De esta fórmula se deduce que en los extremos del perfil r = 0, que tiene que ser así, pues, en caso contrario tendría que estar sometido en el borde a una tensión tangencia] que rio existe. Pero cuando se trata de uii perfil de sección cerrada, ya no se puede afirmar que esta fórmula nos d a el valor de la tensión tarigencial, porque, ¿qué significado tiene entonces cl momento estático ni?

1,

227

T171-

-

r., . e,, (t.\- - -,+

(/.Y

=

O

(4.l 1-41

de donde:

Esta expresiOn nos permite obtener el flujo de cortadura r en una seccióii transversal de la pared del perfil si es coriocida esta magnitud en otra. Es evidente que si la seccibn del perfil tiene un cje dc sinietria y el esfuerzo cortante tiene su dirección y esti contenido en el plano loiigitudinal que le contiene, los puntos dc intcrscccion del ejc con el contorno son puiitos de cizaliamisnto nulo. como fi~cilmcntese deduce. por rlizon dc sinietria. Tornando uno de estos puntos como punto .a, la fórinula (4.1 1-5) nos permite conocer el flujo de cortadura a lo largo de todo cl contorno. Pcro si la scccion es de forma cua1quier:i. la ccu;ición (4.1 1-5) es insuficiente para ciilcularlo. Consideremos en este caso un recting~iloclcmental. cn un plano tanccrite al prisnia, limitado por dos eencratrices /IB, CD, y dos arcos ,4C. BD. de dos secciones indefinidamente prbximas (Fig. 3.52). Al producirse la delormación del perfil, una vez cargado. las generatrices A B y CD del prisma no giran. Sin embargo. las aristas AC y BB del rectingulo giran un angulo 7. tal que E , = y lis, siendo ds la longitud del arco AC. Si llamarnos ir al desplazamiento de A en la dirección del eje .y, el desplazamiento de (111 C scri u - tis. lis

+

Figura 451.

Consideremos la porción de perfil delgado de sección cerrada conteriido entre dos planos indefinidamente próximos, separados entre si dx, y en ella la parte coniprendida entre las secciones longitudinales que contienen los puntos A y B (Fig. 4.51). C o m o consecuencia de actuar en la sección izquierda una tensión normal a y en la do, existirá una fuerza resultante, d e valor de la derecha a

+

Figura 4.52.

T E O R I A GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE TEUSIONES

El desplazaniiento rel;iiivo lor~gitudiiialdel plinto C respecto del /I seri:

Ili

229

tensión cortante en la sección mn es, en viriúd de la fórmula de Colignon T/?l:

=-r=

-3 2T c o s e

rrRr

y como la integral curvilíneli a lo largo del contorno cerrado c es

se tiene. finalmente

Si susiituimos ahora

T

por su expresión (1.1 1-S), tenemos

Podemos comprobar que la resultante de las fuerzas de cortadura engendradas por estas lensiones tangenciales en toda la sección es igual al esfuerzo cortante. Eii electo. proyectando las fuerzas de cortadura sobre el eje vertical y tomando sentido positivo el descendente, se tiene

de donde:

expresión que, como vemos. nos permite calcular 1,. Una vez conocido el flujo de cortadura t, en el punto A, origen de arcos, la ecuación (4. I 1-5) nos permitirá obtener el flujo de cortadura en cualquier otro punto del contorno.

4.12. Secciones de perfiles delgados con eje principal vertical que no lo es de simetría. Centro de esfuerzos cortantes Coiisideremos ahora un perfil de sección aoierta que presenta simetría respecto al eje principal horizontal, pero no respecto al eje principal vertical, como es el perfil cuya sección sernicircular se indica en la Figura 4.53. Supondremos constante el espesor e y que el esfuerzo cortante que actúa en la sección está contenido en el plano Gy. Como

Si calculamos ahora el momento de las fuerzas de cortadura respecto del centro O del arco, tenemos

Esto nos indica que ap!icando el esfuerzo cortante en el plano vertical, la reducción s cortadura d e la sección recta en el centro O del arco se compone del sistema de f u e r ~ a de 4R de una fuerza, igual al esfuerzo cortante T, y un momento M. = x T,, (Fig. 5.54-U) Si rediicimos el sistema de fuerzas al centro de gravedad G (Fig. 4.54-b), la resultante

1. = 2

rn, =

['

eR(R sen o)' do =

e R R sen CI dzi

=

aR3e

- R2e tos 0

T, es la misma y el momento

TEORIA G E S E R A L DE LA F L E S I O X . A N A L I S I S DE T E N S I O N E S

RESISTENCI:\ D E M A T E R I A L E S

(4

(6)

Figura 4.55.

Figura 454.

c=O

<

(4.12-5)

o, lo que es lo mismo, en escalares

1

en la secci8n actúa un esfuerzo cortante 7 dc coriiponcniei 7, y respecto de los q c s G i y Gz. respectivamcnie. El momento de las íuerzas de cortadura respccto de un punto C dcl plano de la scccicr~ es

Veamos que en el caso que nos ocupa existirá un punto C en el eje i la1 que el sistema de fuerzas de cortadura que actúan en la sección recta del perfil se reduzca exclusivamente a la resultante T;., anulándose el momento. Este punto C, que llamaremos cetlrro de esjirerios sor~anres,no es otro que el de interseccibn con el eje z del eje central del sistema de vectores constituido por las fuerzas de cortadura sobre I;i sección recta dcl perfil. La posición del cenlro de csfuer:os corronies C se determinará con la condición de pertenecer al eje z y d e que se verifique en el la nulidad del momento

hTc=.K+=x

231

1

= r (1s una magnitud que depcridt. exclusiramcn~ed e las caracteristicas georn.2siendo (ricas de la sección y de la posición del punto C, que dcnominaremos iirea secrorio/ elei?ietital, y estando extendida la i n t e ~ r a la toda la liriea nicdia de la sección recta del perfil. Sustituyendo T por su expresión (4.1 1-2). válida para este caso. tenemos

de donde: (J.12- 101

Integraremos por partes cada una de estas integrales P o r tanto, el sistema de fuerzas de cortadura que se engendran en la sección recta del perfil de pared delgada es equivalente a una fuerza igual al e s f u e r z ~ccrtante que ictiia en dicha sección y a un momento torsor alrededor del eje longitudinal del perfil. del valor

siendo C el cerlrro ue esfuerzos corlarzres. Quiere esto decir que a1 efecto de flexión producida por la carga aplicada en su plano principal vertical se superpone un efecto dc torsión que producirá un giro de la scccióri transversal d e la placa, como consecuencia de la no simetría del plano vertical. Veamos ahora cómo calcular el centro de esfuerzos cortantes en el caso gencrai dc que la sccción recta del perfil n o presente ningún eje de simetría. Sea un perfil d e seccion arbitraiin, como la indicada en la Figura 4.55. Suporicmoc que

cft u

/

1

ya

= t

] -

(4.12-11)

re anula en 10s puntos A y O, extremos de la linca media del contorno. Y

dril: do

igual a la coordennda del clcnicn~ode área c(* de la secciun. Anilogarncntc haríamos con la segunda ¡ntegr:rl (4.12-:o), Con 10 que Ilcgaríamos a (4.12-!2,1

232

1

RESISTENCIA D E M,\TERlALES

El punto C ssri el centro de esfiierzos cortantes si esta expresión se rtnlilri, independien-

tsrnents ds los valores qus tengi~n7,y

Y-, es decir, si

l

T E O R l A G E N E R A L D E L A FLEXION. A N A L l S l S D E T E N S I O N E S

...

Ccnsideremos ahora dos polos P, y PL, a los que correspondeii las áreas sectoriales wI(.s) y OJ?(S), respectivamente, y veamos cuál es la relación entre anibos valores. Toni:indo los sistemas de ejes indicados en la Figura 4.58 tcnemos

Estas serin, pues. las ecunciones que definen el centro de esfuerzos cortantes del perfil que. como vernos, no depende del esfuerzo cortante aplicado, sino solamente de las caracteristicas geometricas de la sección recta del mismo. Haremos. firialmente, algunas observaciones sobre la forma práctica de aplicar estas ecuaciones. La niaenitud

llamada área secrorrul, presupone la elección de un punto P, llamado polo, y la elección, tambikn, de un punto arbitrario pero fijo O sobre la línea media del contorno, como origen de la abscisa curvilinea s (Fig. 4.56). Vemos que el irea sectorial es el doble del área barrida por el radio vector con origen en el polo y extremo en la linea media del contorno. Convendremos en tomarla positiva si el radio vrclor gira en el sentido de 13s agujas del reloj. y negativa en caso contrario. El irea vectorial asi definida será una función del arco S y depeiideri del origen de arcos y de la posición del polo P. Tomando un sistema de ejes con origen en el polo P (Fig. 4.57), el área sectorial elemental se puede expresar de la forma siguiente:

y, por consiguiente, el área sectorial en un punto de abscisa curvilínen s sera, de acuerdo c0.n el convenio de signos adoptado

233

w2(s) =

SI:,

dy. - y , k 2= -S:(=,-=

w ~ ( s )- ~ ~ (1 yOi) ,

c,)dy, - ( y , - b , ) é , =

+ b2(z1 - zO1)

(4.12- 17)

sirnilo (jrOl,zOl)las coordenadas:del origen O de la abscisa curvilinea s. Como z, = z - c,; y , = y - b,, podemos expresar esta relación en funcion de las coordenadas del punto de la linea media del contorno, respecto de los ejes principales de inercia de la sección.

Supong;inios ahora que tomamos un polo arbitrario P, y hacemos coincidir P, con el centro dc esfuerzos cortantes C. Teniendo en cuenta la expresión (4.12- 18). las ecuaciones (3.17-1 3) se pueden poner de la forma sguiente:

J.

iwdR =

J.

z[o, + y,(:

-

z,, - c,)

-

:,(y

- y,, -

b,)]dO =

De estas ecuaciones se deducen las expresiones de las coordenadas (y,, z,) del centro de esfuerzos cortantes respecto del sistema de ejes con origen el polo arbitrario P,

Figura 4.56.

Figura 457.

Figura 458.

234

RESISTENCIA DE MATERIALES

Los momentos de inercia respecto de los
EJERCICIOS IV.1.

791

Hallar los módulos resistentes IV,, W: del perfil en ti indicado en la Figura 1v.l-a.

I,

1

I

Cotas cn cm Figura iV.1-a.

Figura IV.l-b.

1,.

= 86

- Q ;:

18

-

x

1= 39.77 cm' 18'

Por tanto. los módulos resistentes pedidos serin:

IV.2.

I

=

Una viga. cuya sección rectd es la indicada en la Figura 1V.Z-o. trahdja a fleuión simple, ds tal forma qiic en una determinada seccihn la fibra superior esti sometida a una tertsi0ii di compresión o,,,, = 1000 kp/cnl2. niientras que en la inferior l a tensión es de iraccibn ) \I talor es o,,,, = 500 kp/cni2. Se pide: 1P Situación de la fibra neutra. 2." Calculsr la anchura h del 313 de 13 riga. 3." Deierriiinar el riionutnto flccior que aciua en la seccihn considerada.

Respecto de los ejes Gyz, principales de inercia d e la sección. las expresiones de los momeritos resistentes Vi, y lVZ son:

Calculemos las coordenadas del centro d e gravedad G (y;, z;) del perfil respecto del sistema de ejes Oy'i'. Por razón d e simetria y; = 0. Para el cálculo d e ~2 supondremos descompuesta la sección recta del perfil cii tres superficies, cuyos centros d e gravedad y áreas, respec.'tivas son:

G, (4.5;2.5) G2 (3;0.5) G3(-4.5; 2.5) X Rizi - 2(5 x 2.5) f í G = - Z ni

18

;

n,

= 5

; R2 = 8 ; n3 = 5 8 x 0.5

29 18

=--

Figura IV.2-o.

-

Figura 1V.2-h.

1.61 cm

Respecto a los ejes d e este mismo sistema d e referencia, los momentos de iricrcia son:

1." Conocidos los valores de las tensiones normales en las fibras extremas se deduce inmcdiatarnente la situaciGn de la fibra neutra. En erecto, conlo la variación de la tensión normal es lineal. de la semejanza de 10s triángulos G A A ' y GB6 (Fig. 1V.2-b). se deduce: 1,

/l,

-

c

o,,,,

.

- -- = 2 500

RESISTENCIA DE MATERIALES

TEORIA C;ENER,\L DE LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES

y el del momento máximo positivo

6)

igualando los valores absolutos de ambos, se tiene:

.;

la t:il>!:i :!e pcrfilcs laniin:idos

al que corrcspocidc un r n d u i o rcsisteriic dc 214 c1iiJ. cl iiiis proxiriio por e.Tccs() al \.alar necesario. El perfil croquizado es el estrictamente necesario para resistir el niinimo momento ntixirno de la viga dibujada. En la sección sonieiida al niiximo momento flcctor la fuerza total que actúa en los rrcránguJos rayados es de F = 1400 kp. Sabiendo que el "úrnero qiic esprc\a 13 carxa lincal sobre CI trarno ilfl en kplrii cs iguzf al de Ia carga concéntrada en el extremo del voladizo expresada en kp, determinar los diagramas de monienros flectores y de esfuerzos cortantes.

IV.4.

Si d

t r a t a ,jc u n pcrhl norirl,ll(i,,blc T. Cqtr:irr.;, ron el talor del módulo resistente

y encontramos

de dondc se obtiene la relacibn pedida

2."

si ic

239

= 4 ni. la relación obtenida anteriormente nos da la longitud de la viga

1

a) Si la viga es de madera. el modulo resistente es:

C o m o el momento flector máximo es Afm,, = Fa, sc tiene

Fig ura IV.4-a. Al conocer la fuerza total S O L , cl ~ área r ~ y a d aqueda determinado el momento flector máximo. En efecto. sean o y u' las tensiones normales que corresponden a las libras extremas del área rnyadn (Fig. IV.4-b). En la expresión d e i o o' F = 2 --- Irle = (a + a')lr,e 2

+

Sustituyendo valores se obtiene la mínima longitud que deberi tener el canto d e la viga d e madera

podemos poner u y o' en íuncion dc o,,,

-- u' = u,,,

"Cr-R -

--

a

10

4

(Fig. IV.4-b)

g9=_n,,,

>

; -u- - -c=vn, GS

4

10

2 3

0

=

j Umb,

TEOKIA G E N E R A L DE LA FLEXION. A N A L I S I S DE TENSIONES

211

Lar leyes de momentos flectores y de esfuerros cortantes en el tramo A B serán

El momento flector positivo máximo en esre tramo se presenta en la sección para cual es nulo el esfuerzo cortante ,

-Figura IV.1-¿J. Sustituyendo valores, se tiene

Por tanto, el momento flector máximo positivo P (8 p(8 - a)' - -16 2 16

!\Im1,( +) =

Por otra parte, el momento de inercia de la sección respecto al eje horizontal z. cuyo valor es

-

P(8 32

u)'

teiidri que ser igual al valor absoluto del momento máxinio negati\o hl n>li( - ) = - P o

es decir

I

nos permite calcular el módulo resistente del perfil

)Vz =

1. - 3936

Y

-

-= 10

393.6 cm' de donde se obtiene la longitud a del voladizo:

Por tanto. el momento flecfor máximo será C ,,I

=

[\.O,,,

= 393.6 x 291.7cmAkg= 1148 m . k p

Este momento flector máximo. con signo negativo, se presenta en la sección del apoyo 5,según sc despreride de :a condición de ber el perfil croquizado el estrictamente necesario para resistir el mínimo momento máximo. Además, este momento flector es, en valor absoluto, igual al momento flector maximo que se presenta en la zona de momentos positivos. Calcularemos ahora las reacciones RA y R E en los apoyos tomando momentos respecto de B y A, respectivamente.

o = 1.37 m

El valor de la carga P se obtendrá a partir del momento flector máximo.

Con estos valores, las reacciones valdrán

RA =

P(8 - a) 4 -= P(12

Ra =

837.95(8 - 1.37) = ,388.9 k p 4

.+ a) -- 837.95(12 + 1.37)

f

4

=

2800.8 kp

Con estos resultados el dibujo de los diagramas pedidos es inmediato (Fig. IV.4-e).

13

k

232

R E S I S T E N C I A DE M A T E R l A L E S

243

T E O R I A G E N E R A L D E LA FLEXION. AXALISIS DE T E N S I O N E S

Si x es la distancia de la seccion que se considera al extremo .A. las IeY'es dc momentos flcctores son:

,M

= R r.;

,\f =

,Lf I

Diagrama de mO~lCniosflecrores

=

= 70r 700r - 1500(.r - 2) = -8Wr + - 8 0 0 . ~ + 3000 + 1800 = - 8 0 0 . ~ + 4800

para para para

Om 2 m < 4m S

.r

.r .r

< < <

2 m in 6m

J

Ol>tcnidas las lcyes de momentos flectores, el dibujo del diagrama correspoiidie~~te es inmediato (Fig. IV.5-b)

837.95 k p Diagrama de esfuerzos cortanres 1;igura 1V.5-h.

2"

\VJ 1962.9 k p

IVS.

Figura IV.4-c.

Sobre una viga recta A B de longitud i = 6 m y sección rectangular actúa la solicitación exterior indicada en la Figura IV.5-a. Se pide:

Diagrama de rnomenios flectores

La resistencia será máxima cuando para un momento flector dado. la tcnsion máxima cs min~ma.

es decir, cuando el modulo resistente es mixinio. Como o + b = ! i ( k = 30 cm), podemos expresar el módulo resistente en función de la altura b

l." Dibujar el diagrama de momentos flectores

Dimensionar la sección a x b, imponiendo la condición a + b = 30 cm para que sea mhxirna la resistencia a la flexión. 3." Calcular la tensión rnixirna provocada por la flexión, indicando la sección o secciona en que este valor m i x i m o se alcanza. 2."

E.1 valor de If':

máximo lo dará el valor de b, tal que

dlt',

1

cfb

6

-= -

(2kb - 3b2) = O

b = O (solución n o válida) 2k 60 {b = = = iOcm

Por tan?", la seccion más resistente a la flexion es la que tiene por dimensiones

3." La mayor tensión máxima se presentara en la sección situada a la derecha del apoyo L). Figura IV.5-a.

en la que el momento flector es maximo gml, =

l." Cálculo d e las reacciones

R.

+

R.

-

1500 = O

1

IL~,,,,,

= 1600 m - k p

f , = 1600 x 10' cm k p - 240 kp/cm2 ' 1 - x 10 x 20' cm' 6

244 IV.6.

-

RESISTENCIA DLI ,\IATEKIALfiS

TEOKIA GENERAL DE LA FLE.YION. Ap4ALISIS DE TENSIONES

S e considera una viga recta sometida al sistenia de cargas indicado eri la Figura IV.6-a. 1-a scyción es iubulvr-rectangular de espesor constante r = 10 rnni. Sabizrido que la tensión adriii\ible es o,,,, = IZO0 kp/crii2 y el niodulo dl' elasticidad E = 2.1 i 10" kp/cm2, se pide: 1." 2."

Su diagrama se representa en la Figura IV.6-c. 250 k p

Dibujar el diagrama de esberros cortantes. Dibujar el diagrama de momentos flectores.

3." Calcular las dimensiones de la sección sabiendo que se verifica la relación 4..

245

h

- = 2. b Calcular la fuerza nornial sobre la mitad superior del perlil. en la sección soriierida a niornento flector máximo.

l lml l

de e.sfuerzos cortanres Figura 1V.6-c.

y 4 5 0 kp

2."

Las leyes d e nioriientos flectores son: .YL

para Orn<.r<0.5 m para O . j m $ . r < l m ,M= - 125.r2-200(.r-0.5)= - 125.r'-200.r+ 100 IM= -350(.r-OS)+ 150 +(747.2 300)(.r- 1 ) = - 2.8.~-72.2 para 1 m <.r < 4 rn 500 (5 - ) 250 l \ { = --()-.K)~-= Z 3 - - ( 53- . ~ ) ~ para 4 m < . r < 5 m ,\/ = - 250 - = - 125.1'

-

Figura IV.6-o. l."

Calcularemos en primer lu-ar las reacciones en los apoyos, consldrrando en ;i solanirnre la componente verticcil V,, ya que 13 horizontal no influye en sl resto de la viga. Para ello utilizaremos el diagrama equival¿nte de cargas indicado cri la Figura 1V.6-b.

-

-

Su diasrama se representa en la Figura IV.6-d.

Diagrama de momentos flectores

Y

Figura IV.6-d.

225 m . kp

R,

"A

Figura 1V.ó-b.

+ R, - 450 - 300 - 250 150 - 450 x 0.5 - 3R, + 250

Proyecrando fuerzas sobre la vertical: Y, T o m a n d o momentos respecto d e A : se obtienen:

R, = 752.8 k p

;

Y,

3." El momento flector maximo se presenta en el apoyo A. Su valor absoluto es: = O

M,,. = 225 m . k p Para esta sección, la tensión normal máxima es:

= 747.2 k p

Obtenidos estos valores, las leyes d e esfuerzos cortantes son:

T = - 2.8 + 252.8 -

500 + 500(5 -.Y) 2

(.r - 4) = 250(.r - 5)'

0,~.

para para para

O m <.r
para

4 m < .K < 5 m

=

"adm

=-

w:

*

w=

M,,, - 225 x 10' c m . k p = 18.75 cm' -O.
Expresemos el módulo resistente en función d e las dimensiones, teniendb *n cuenta la relación d a d a /,lb = 2, y q u e e = 10 m m = 1 cm. &y- =

-

-

I. l/12[bli3-(b-2e)(lr-2e)'] = 1112 1112

-8b4-(b-2e)(b-e)'.8 126

= 18.75 c m 3

-

RESISTENCIA D E M A T E R I A L E S

247

T E O R I A G E N E R A L D E LA FLEXION. ANALISIS D E T E Y S I O N E S

Se obtiene la ecuacion

1v.7.

IOb3 - 186' - 42.256 - 4

=

conctruir los diagranias de esfuerzos cortantls, rnumentos flectorcs y esfuerzos nornlales del pórtico indicado en la Figura IV.7-a.

O

1 2 ion

cuya solución es b = 3.2 cm

El sistcrn;i es isost?ico. Cnlculcmos 1;is rcaccioncs: Descomponsmos la mitad superior del perfil en [res zonas. como indic~i1:i fisura 11 La fuerza normal sobre la zona l. teniendo en cuenta que - = h. es: 2 yhdy =

M",,. b [b' 2 1:

- (b - e)']

Proyeccion íucrzas sobrc la vertical:

RA

Tomando momentos respecto de A :

2

+

-

2

Ro - 2 x 1

+

=

O

JR, = O

se obtiene

R , = 2 ron

; R, = O

Sobre cada zona 2, analogamente: M,*, - e j e dy = -(b - e)' 2 1,

Este resultado indica que las barras BC y CB del portico d a d o no están soliciradas por ningun tipo de esfuerzo.

'3 La fuerza normal pedida. que es d e tr&ción por ser zi rnomenro flector n c f n t i \ r ~ . zerá

Esfuerzos normales

hlomentos flectores

Esfuerzos cortsntes

, N = N,

M,,, [(t' - b(b - e)' + 2e(b - e)'] = .e + 2N, = (4h2 - 5 h + ~ 2~9') 1\fm,,

21,

Sustituyendo valores. y teniendo en cuenta que:

24

barra /1B

N

= R,

6 cos z = ---

Jio

barra EB barra BC barra ClJ

Los diiigramas de esfiicrzoc cortantes. niorncntos flectorcs y e~fucrzos riormales indican cn la Figura IV.7-h.

T E O R I A GENERAL DE LA FLEXION. ,&NALlSlS DE TENSIONES

IV.8.

vilida par^ 10 > lyl 2 0. ~, . Obtenidas 13s leyes anali!icas de distribución de la tensión cortante, se hace la rrprrsrntación zriíica en la Figura IV.8-b.

1 ion

Figura IV.7-h.

249

J'10

Dada la riga 1 de la Figura lV.8-a se pide:

------

Calcular en la secci6n nn' la distribución de la tensión cortante, calculando el rriiixirno valor de ésta. 2." El porcentaje del esfuerzo cortante que absorbe el alma. 1."

-----Figura 1V.8-b.

La ~ s n s i ó ncortante máxima se presenta en la libra neuira. Su valor es:

Figura lV.8-a.

l."

Cotas en cm

2."

El esfuerzo cortante absorbido por el alma será

x 3 Como el valor de la reacción del apoyo A es R, = pl - = 1- 6 ton, el esfuerzo -

2

cortante T e n la seccijn

T

=

R,

ntr'

(600 - y') Jy = 2428.6 k p

2

drá

- pa

= 6

-4

por lo que el porcentaje pedido sera

x 0.75 = 3 ton = 3000 k p

Por otra parte, el momento de inercia de la sección respecto al eje

z es:

Con estos valores podernos calcular la distribución de las tensiones cortantes en la sección nn' d e la viga. aplicando la fórmula de Colignon.

IV.9.

La Figura IV.9-a representa la sección recta de una viga sometida a flexión simple:Conociendo el esfuerzo cortante T e n la misma, calcular la distribución de tensiones tangenciales.

a) En las alas

+

=

=

1s y 3000 x 20(15 - y) -Tnt 2 - 3(22S - y') k p/cm bl; = . 20 x 35+x 10' 70

La distribución de tensiones tangenciales, en cuanto a valores modulares se refiere, es simitrica respecto ai eje z, por lo que será suficiente estudiar las leyes correspondientes en puntos tales como:

1

-

2

y

"); (

>7 -

2 y =

:),

. y 3 ($,.

> y 2 O) (Fig. IV.9-b).

250

RESISTENCIA DE MATERIALES

IV.10.

llallar la Icy de distribución de tensioncc ~nngericialese11 las secciones rectas de 11 viga en voladizo, de anchura constante y espesor variable, indicada en 13 Figura lV.10-a. qite esti sometida en su extremo a una carga P uniformemente repartida sohre el borde transversal. Dibujar los diagrarrias correspondientes en las secciones e\-tremas en la secciíin rnedi~ide la viga.

/. -j 4-

-p

Figura IV.9-a.

Aplicareriios la fórmula de Colignon

1: =

12 los puiitos 1

- En los puntos 2

-En

Tm En esta fórmula son consrariies T e

T = -.

los puntos 3

!/

Figura I\'.lO-o

bl*

(/ir' - 0 ~ 1 1 ;

-En

Figura 1V.9-h.

(i

2

>

$)

en donde T es la tensión rasante en los puntos del pl;iiio longrtudinal de corte que, por el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales. es igual a las rensiones tangenciale% en los puntos de la sección recta de In viga. comunes 3 ambos planos. Coriio por la ley de Navier

( - ?) J

($

Si realizariios un corte por un pl;tno longitudinal paralslo 3 IJ fibi:i rieiiira. J. la pcircibn cit. prisnili cornprendidii cntre dos pl,inos transicrs:ilcs tridcíiriicl~riiente próiriios \ep.ircido\ entre si d r (Fig. IV.10-b). 13 condición de equilibrio nos d a

= -

> y 2 0)

El diagrama de tensiones tangenciales se ha dibujado en la niisma Figura IV.9-b. t

3"

Figura IV.10-h.

152

R E S I S T E N C I A DE LtATERI.+LES

T E O R I A G E N E R A L D E LA F L E X I O N . A N A L l S l S D E T E N S I O N E S

la ecuación de cqu~librioioma la lornia:

253

con el valor niiximo para la fibra neutra, es decir. para y = O Trmi

Para .r =

1 -

"

3 --P

-

2 611,

,e tiene:

de donde: que es constante en roda la sección Finalmenic. para r = l. Ahora bien. expresarido

I r y .1I

en función de .r

que iiene su valor rna.
rmi, =

3 P -4 bli,

El valor de la ienjiyn tangencia1 minima en esta sección se presenta en la fibra neutra

expresión que corresponde a la ley de distribución pedida de tensiones tangenciales en los puntos de la viga. Obsérvese que. salvo en la sección extrema, las tensiones tangenciales en los puntos de las fibras superior e inferior no se anulan.

IV.11.

Calcular los módulos y direcciones respectivas de las tensiones en los puntos situados a distancia d = 6 cm por debajo de la libra neutra en la sección mn de la viga en voladizo indicada en la Figura IV.11-a, solicitada en su extremo libre por una carga P = 1500 kp. La sección recta de la viga es rectangular, de anchura b = 1 2 cm y altura h = 24 cm.

1.. 1 O0 -

.. .:' .. Figura 1 V . l ~ - C . a

.

.

Figura IV.11-a.

.

. . . .. .

2

COTAS EN cm

x- 1

,

Pafliculancemos esta ecuación para las secciones extremas y sección mcdia d e la viga. Para = 0,la ley de teniunes tangenciales es parabolica

Calculemos el momento de inercia de la sección respecto al eje z, y el momento estático d e la sección rayada en la figura

254

RESISTENCIA DE MATERIALES Las tensiones normal y cortante, en virtud de la ley de Nacicr y dc 1:) íorniula de Colignon, son

Coii estos valores. la obtencion de las tensiones principales es inmediata

l-4

cotas en mni

I

Figura IV.12. Del prontuario dc perfiles laminados se obtienen para el U P N 700 los siguie~itcsc:ilore. A los mismos resultados llegariamos mediante los circulos de hlohr (Fig. 1V.I I-h)

El rnonicnto dc inercia rcsptcto dcl eje :de la sccción de 1;i vir:i cajón. aplicarido tcorern;i de Stciner para cl cilculo de los momentos de inercia de los pcrfilc.; cii U.
El momento estitico de uno de los perfiles respecto al eje ni

'

1

Figura iV.11-b.

=

32.2 x 17.99

=

(*'

i. es

579.27 cm3

Si F es la fuerza de deslizamiento que soporta cada reniriche de la c a k z a por unidad de longitud de viga. en virtud de la ecuación (4.9-6) aplicada a nuestro caso, se vcrificdia

Tc 2 F = -ni 1: Si D (-65.10; -5.86) es el punto representativo de la cara perpendicular al eje .r y D' (0; 5.86) el correspondiente al plano perpendicular al eje y, la construcción del circulo de M o h r es inmediata, ya que el centro C es el $ u n t o medio del segmento DD'. De la misma figura del circulo de tvlohr ce deduce que el ángulo I que forma el eje y con la dirección principal que corresponde a la tensión principal positiva. contado en sevtido antihorario, es tal que

Si fijamos el paso de remachado e = 25 cm,

M valor de la fuerza' F será

La fuerza F suponemos que se reparte uniformemente en la scrción recta del rernacht, F 4F = - = --

nclz

1V.12.

Se d a e a construir una viga cajón uniendo mediante remaches dos perfiles UI'N 200 y planchas de 25 riim de espsor, forniando la secci6n recia indicada en la 1:igtira 1V.12. Sabiendo que la tensi6n adniisihle a cortadura es T,,, = 900 kp/eni2 y que el esfuerzo cortante máximo a que va a estar soineiida la viga es de T = 3000 kp, calcul3r las uniones remachadas

nd'

De esta ecuación obtenemos el diámetro de los remaches

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE TENSIONES IV.13.

Se considera la viga corripu&ta indicada eri la Figura 1\'.13-u formada por una viga de acero eri forma de -1' que se ha reforzado con dos vigas r ~ ~ t a n g u l a r edes niadcra, fijadas convenienterner~teriiediante tornillos pasanfrs. Cuando la ,iga compuesta irlibaja a flexión pura simétrica de inoniirito .\f = 30 m . k ~ se pide: l." 2."

3."

257

El eje neutro pedido en la sección de !a viga compuesta considerada está a la misnia altura que el crntro de sravedad de la sección transformada. Para c;~IcuIaréste tOr13remos un eje I' coincidenrc con el borde inferior de la V I K ; L . 1-3 drstanci;l 11 del crnrro de gravedad será:

,

Determinar 13 posición del eje neutro. Calcular la tensión niiuima en la niadera. Calcular la di>tribuciún de fensiories normales en el acero.

&íódulos de elasticidad: de la m a d e r ~ : E, E, = 2 x 10' .lfPu. Duros:

=

1.25 x

Por tanto, el eje neutro será una recta paralela al borde inferior de la viga compuesta y a una distancia de 16.88 cm d i este. El momerito de inercia 1, de la jección respecto del eje I (eje neutro) será:

10' .\/Po; del acero:

La tensión máxima en la madera se presenta en los puntos de la fibra inferior

La distribuci6n de tensiones en el acero se regira por coinpuestas

Iü

ley de Navier para vigas

Cotas eii cni Figura 1\'. 13-u l."

Como 13 relacion entre los niódulos de elasticidad de los dos matsrialei de la viga compuesta es

cuando y se expresa en centimetros. Se representa en la Figura IV.13-c.

obtenemos la seccióii transrormada niultiplicando las dimensiones horizontales. de In - - .parte de acero de la sección por ti = 16, es decir. una sección tral~sforniadaexclusivamente de madera (Frs. IV.13-b).

Figura IV. 13-c. IV.1-l.

"1

4 4

32 Figura IV.13-h.

Cdlcular el centro de esfuerzos cortantes del perfil delgado en U representado en la Figura IV.14. Si reducimos el sistema de fuerzas engendradas por las tensiones tangenciales al punto medio A del alma, vemos que las tensiones tangenciales en el alma n o tienen influencia, para el cálculo del centro de esfuerzo cortante. sino solamente las de las alas.

258

RESISTENCIA D E MATERIALES

T E O R ~ AG E N E R A L D E LA F L E X I O N . A N A L I S I S DE T E N S I O N E S

259

Un prisnia recto de longitud 1 = 4 rn y sección rectangular, de aiicho b = 3 ni y altiira 6 = 1 11. e s t i sometido a la solicitación exterior indicada en la Figura 1\'.15-a. además dc una tracción uniforme de 2.5 kp/cm2 que actúa en las caras laterales ABFE y D C H J , Adniitiendo una distribución de tensiones de acuerdo con las tcorias de la Resistencia de Materiales y no teniendo en cuenta el peso propio, se pide: tlallnr In matriz de tensiones en un punto cualquiera del prisnia. referida a iin sisterrla de ejes paralelos a las aristas del niismo. 2." Dibujar en perspectiva las tensiones norrnalcs y tangenciales que actúan sohre el paralelepipcdo eleniental que rodea al centro jieoniétrico del prisma. t."

(0)

(6)

(c)

Figura IV.14.

La tensión r en un corte ntn d e la sección (Fig. IV.14-o) será, en virtud d c la formula de Colignon

Pero conio el monicnto estatico es Figura I\'.l5-o.

l."

y el momento d e inercia

Y

El problema propuesto es equivalente a la consideracion d e uri;i vigii rccta d e 1 m dt. aiicho. sonietida a las cargas representadas cn la Figura IV. 15-b.

1 e ton

I

sustituyendo. se obtiene

expresión válida para los puntos d e las alas del perfil. El momento d e las fuerzas engendradas p o r estas tensiones r, respecto al punto .4 del alma. sera Figura 1\'.15-h.

de d o n d e se deduce q u e el centro d e esíuerzos cortantes C se encuentra a una distancia

, -.

7i.oriiando el sistema de cjcs iridicn
13

tensión norrilal a.,

3b2

A7 =h 66

+

d e la línea media del alma, al otro lado del centro d e gravedad (Fig. IV.14-c).

Las otras d o s tensiones son inmediatas =

O : a,,

= 2.5 Ip,'cm2

=

25 ton,'m2

cs

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALlSlS DE TENSIONES

y en los puntos que verifiquen 3 m < .r < 4 ni

Conio p i r a e1 riioriicrito .\/ existen dos leyes:

,\,i = .II = 21- - 8(.r

-

1.r.

3)

=

O 6

vilida para

261

.r

6 3 m

6(4 - .r), vilida parri

3m

$ .r

<4m

las tensiones normales en los puntos del prisma son a) para O

.Y

<

3 m

a,, = - 24\->' ; o,, = O

.,

; a"; = lj 1on:m'

2." estando

q,,

expres~idaen tonini2 si las coordenadas .r e y se miden ambas en metros

h ) para 3 m 6

.Y

-

-

En el centro geometrico del prisGa, la matriz de tensiones es la primera. Particulariza~id o para sus coordenadas .r = 2, y = O. se tiene

< 4m

o,, =

- 72(4

- .r)?

Las ~ensionestari~encialesr,; y

;

a,, = O

; a,; = l j ton ni'

T,:

se anulan en iodos los puntos del prisma

7,:

= T,; =

O

Se representan las tensiones que actúan en las caras del paralelepipedo eleniental que rodea al centro geometrico del prisma en el croquis indicado en la Figura IV.15-c.

Para calcular r,, aplicaremos la formula de Colisnon, teniendo en cuenta que existrn tambtin dos leyes para el esFuer/o cortante

T 7'

=

< 3m

2 ton.

valida para

0 <

- 6 ton.

vál~diipara

3 m < s < 4 rn

=

.Y

y que la expresión del momento estitico es:

Figura IY.15-c. 4i b) para 3 m < .r < 4 m

Por tanto. la matriz de tensiones en los puntos tales que O <

.Y

< 3 m es

\X

TEORlr\ GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE DEFORMACIONES

263

, ? i k l ~ ( hde Molir, que más adclantc considcrarclrios corno el rnás gencral para cjlcuio dc deformaciones d- prismas mecánicos sonlctidos a solicitaciones arbitrarias. Finalmente, hemos de decir que 10s conocimientos que nos proporciona el estudio de I:i deformación de las vigas, los habremos dc lcncr presentes para obtcncr las ecuaciones dc deformación necesarias que. junto a 1;is ccuacioncs dc equilibrio estático. 110s permitan la rcsolucion dc 10s sistemas hipercstiticos quc estudiaremos cn rl Capitiilo 7 .

Teoría general de la j'lexión. Análisis de deformaciones

5.1. Introdiicción Asi como hemos dedicado el capitulo anterior al estudio de la distribución de tensioncs en una pieza prismática de linea media rectilínea, solicitada a flexión pura o a flexión simple, dedicaremos éste al análisis de las dcforrnaciones que se producen en la pieza cuando se la somete a estos tipos de solicitación. Es decir, nuestro objetivo es ahora el estudio de la rigidez de las vigas. Hay que hacer notar que el diseño de una pieza que va a constituir un elemento estructural, bien como órgano d e una máquina, tal como un t o m o o una fresadora, O bien formando parte de una estructura de edificación, viene con frecuencia determinada más por su rigidez que por su resistencia. Por eso, en las normas dc los diferentes países, tanto de construcciones de máquinas como de edificaciones, se fijan las deformaciones máximas o deforrnacioties od~nisiblesque pueden presentarsr en los elementos estructurales sometidos a flexióti. F.sto hace que, frecuentemente, determinadas piezas de las estructuras se diseñen haciendo que las deformaciones máximas sean iguales a las deformaciones admisibles. En tales casos, se realiza la coniprobación de que las tensioncs no superen los valores admisibles. En este capitulo se expondrán varios niétodos que nos permitan deterniinar la delormación d e las vigas solicitadas a flexión bajo ufi sistema de cargas externas dado y siendo conocidas las condiciones d e sustentación. En primer lugar, u: obtendrá la deformada de la línea media de la viga por el metodo clásico de la doble integración y basándonos eri este método estableceremos el procedimiento más moderno de la eruacibn uniclersal, que simplifica d e forma muy notable su aplicación. Otro método, el del área de rnoinetlfos, basado en los llamados teoremas de Mohr, Presenta notables ventajas en el caso que nos interese conocer la deformación de una determinada sección de la viga, asi como el tnérodo de la viga conjugada que es, c;i realidad, una variante del anteriormente citado. pero que se distingue en su aplicación práctica. N o odia faitar algún método que se fundamente en los teoremas energéticos. Tal cs el

5.2.

Método de la doble integracibn para la determinación de la deformación de vigas rectas soinetidas a flexión simple. Ecuacion de la línea elástica

Consideraremos un prisma mecinico de sección recta constante, inicialmente recto, que admite plano medio dc simetria tal qiic las cargas están contenidas en el. Este prisma esta sometido, pues. a flcxión simple simétrica sicndo para cada sección el cje ;el eje neutro, es decir, el lugar geomi~rico'de los puntos dc la scccion en los cuales se anula la tensión normal debida al momento flector. La superficie que está formada por los cjcs ncutros de todas las secciones rectas del prisrna es la llamada sirprrjicre tieirtrci. Esta superficie neutra contcndri las fibras longitudirialcs de la pieza qiic habrán variado dc forrnn (Icbido a I:i acción del sistcrna de fuerzas exteriores, pcro que no han variado dc longitud. La intcrsección de la siiperficie neutra con cl plano medio es la deformada de la linea media dcl prisma mecánico. A esta curva sc la denomina iinea elúsric~cro, sirnplenicntc, cliísticu. Para estudi;ir la delormacióii de la pieza considcrada obtendrcnios la ectiación dc la linea elistica rcfcrida a un sistenia cartesiano ortogonal cuyo eje .Y sea coincidente con la linea media del prisma mecinico antcs de producirse la deformación, eje positivo cl eJC vertical ascendente y el origeri de coordenadas el baricentro de la sección estrema A (Fig. 5.1). Toda sección C experimcntari un corrimiento que tendrá, en general, componentes horizontal y vertical. En el caso de carpas verticales, unico quc corisideraremos en este epígrafe, supcndremos despreciab!~e! valor de las componentes en la dirección del eje longitudirial frente a las componenies en la d~rrcciónpcrpcndicular al riiismo. Quiere esto dccir que la dcform:ición de cualquier sccción C estará dcfinida por las dos mrignitiides siguientes (Fig. 5.1): a) y,, desplazamiento perpendicular al cjc loneitudinal.

b) O,. ángulo de flexión o ángulo zirado por la seccion

264

R E S I S T E N C I A DE h I . A T E R I A L E S

El haber tomado el sisteni;i de referencia indicado implica el convenio de signos, tr.,to para 10s drsplaznmientos como para 10s áneulos ;irados por las secciones: el signo del desplazamiento será 21 que corresponda a su ordenada en la ecuación de la elástica, [nientras que 21 ingulo -irado, que es igual al ángulo que forma la tangente a la elástica con 21 eje .\-, seri positivo si el giro se realiza en sentido antihorario. Para determinar la ecuación de la linea elástica consideremos dos secciones rectas indefinidamente próximas separadas y sea d el ingulo que forman despúes de ]a deformación y p su mdio de curvatura (Fig. 5.1). Recordando la definición de curvatura C de una curva plana:

y sabiendo que:

se llega a la expresión de la curvatura en coordenadas cartesianas

Ahora bien, de (4.2-3) y (4.7-6) se deduce:

expresión en la que va implicito el convenio de signos para la curvatura (Fig. 5.2):

Figura 5.2.

Curvatura posirivu, cuaqdo la linea elástica presenta concavidad respecto del punto del infinito del semieje y positivo. Curvatura negativa, cuando la elástica es coniexa, también hacia arriba. . De esta ecuación se deduce que en el caso de ser el momento flector constante a lo largo del prisma mecánico, es decir, cuando la viga está sometida a flexión pura. el radio de curvatura p es constante y, por tanto, la elástica será un arco d e circunferencia.

Para el caso de ser variable el momento flector ,CfZ, es decir, cuando la viga está sometida a flexión simple, de las expresiones (5.2-2) y (5.2-3) se obtiene:

que representa la rciiuciót~ c/i/ereticial e.racra cle Iri litirn elas~icc~.El producto & que depende del material empleado y de las caracteristicas geométricas de la sección recibe el nonibre de t>ió(fit/o
cuya integración no presenta nin-una dificultad especial. En lo sucesivo, y mientras no se diga lo contrario, utilizaremos esta ecuación diferencial aproximada dada la simplificación que introduce en los cilculos. Una doble intqración nos permitirá hallar la ecucicion y = y(.\-).que nos indica para cada sección cuanto ha bajado (o subido) el centro de gravedad de la sección a causa de la deformación flectora. Será muy interesante hallar en qué sección se presenta y cuánto vale la mixima deformación vertical que denominaremos flecha, por lo que la expresión (utilizada por algunos autores)j7eclia nik.rinia, resultaría una redundancia. Al integrar las ecuaciones diferenciales de la linea elástica aparecerán, en cada ecuación integral, dos constantes arbitrarias que deberemos determinar imponiendo las condiciones de contorno. Las ecuaciones admiten, pues, infinitas soluciones desde un punto de vista matemático, pero físicamente cada problema tiene una solución que deberemos identificar. Una primera consecuencia que se deduce d e la ecuación (5.2-5) es que en las secciones de !a viga en las que se anula el moinento flector la curva elistica presenta puntos de inflexión en los puntos correspcmdientes a dichas secciones. Si la rigidez EI= es variable a lo largo de la viga. será necesario expresarla en función de la abscisa .Y antes de integrar la ecuación diferencial (5.2-5). A modo de ejemplo, calculemos la ecuación de la linea elástica de m:: viga simplemente apoyada en la que exista una o dos leyes de momentos flectores.

a)

Viga simplcmenie apoyada con carga uniformemente repartida

Vamos a determinar la ecuación finita de la linea elástica y la flecha de una viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente repartida (Fig. 5.3). Suponemos conocidos los valores de E y d e 1,. A partir del momento flector máximo, dividiendo por amix hallaremos el módulo resistente W , que nos permitirá escoger la escuadría o perfil más adecuado al que corresponderá un determinado valor del momento de inercia A de la sección recta respecto al eje z.

266

RESISTENCIA DE XIATERIALES l

por lo quc la cciircion de la linca cidstica es:

1

La flecha sc dnri donde ~ ' ( r=) O. Es Ocil ver que esta coiidici6i1 sc i:uiiipic Par:' .y

I1

Como la ley d e momcntos flectores es

'

1

en [o& la viga (O


,< I), la ecuación direrencial dc la elástica será:

1I

'

= 112. Sustituycrido en (5.2-8) tendremos:

de donde simplificando, se obtiene:

b)

Viga simplenlcnic apoyada con carga concentrada

Veamos como se rcruclrc el misnio problcma cuando no rigc una iinica cciiacion dc momentos flectores para todo el intervalo (O, 0. Sea una viga simplemente apoyada con una carga concentrada y descentrada ( F i g 5.4).

I

I

Integrando dos veces, se tiene

Para determinar las constantes de integración C, y K, que nos deíinirán la única solución d e la ecuación diferencial, que además de solución matemática se adapta al problema mecánico o íísico en cuestión. impondremos las condiciones de contorno

Por tanto, sustituyendo en (5.2-6) se obtiene:

Figura 5.3.

P

w

w 266

RESISTENC1.-\ DE .Ll.ATERIALES

C

P d, donde:

Las I s y e ~d s niorrisnio, 11eciorc.sson. en este caso f'h

para

= -~ .v

>L/-

-

1

=

Pb - K. - P(.Y -

1

0 6 .v

<

C

u

C

e

a<.r
U)

C

por lo que el valor de la flecha es:

e-

e

Su,tituyendo estos valores en la ecuación de la elástica, se tiene:

.uz= El:),; = -.YPh

Pb 1 Pb EIZv>= -.Y21

: J./, = El:?'

1

El,!,;

Ph 21

+ C,

PD

+ C,.r+K,

= -.Y'

El,!., =-.r3 61

= -.Y

-

.

P(.Y - t l )

B

P(.Y - 0)'

-,

-

Pb P(.Y - (1)' EIZv2= - r3 61 . 6

;

B

e==

+cz

+ Cz.r + Kz

En el caso de estar I;i carga centrada, la flecha se presentará en la seccion media de la viga, es decir, su valor vendri dado por la ecuación (5.2-14) particularizada para .r = 112.

(5.7-10) PI' 48 El,

= --

Sabemos. por la continuidad de la linea elástica, que la deformacion en todo punto de la misma tiene un solo valor y la tangente es única. Tambikn se cumplirá que en los apoyos la deformación es nula. De ahi, pues. imponiendo estas condiciones, se obtiene: .\",(o) = .!.>(o) 3

f'h

--

,

11-

21

Ph .i'[(u) = .1.:((1)=. -- o'

61

+

+ C,o + K,

.rl,(0)=O

-O=K,

y2([)=0

Pb =>O=-/'61

+

Pb a' C, = 21

C', de donde C ,

Pb 61

= - n3

P(1 - u)'

+

C2a

+

=

-

P(.Y - al3 61

Pl> +Czl,dcdondeC2=--(/,2-~2) 61

+

P5 (b2 - 1') x para 61

a

B

ac

Ecuación universal de la deformada de una viga de rigidez constante

e F

eK 2 , de donde K , = K2

Por lo tanto:

Pb El,-vz = - y' 61 .

cP P

Be-

3

Cr

Q

< .y

,< a + b

(5.2-12)

La flecha corresponde a un valor de .yf tal que y'(.r,) = O. P o r consiguiente, haremos ?",(.rf) = O e ~;(.r,) = O. De las dos soluciones que anulan dichas primeras derivadas se adaptará a nuestro problema aquella que corresponda al intervalo d e existencia real o fisica de la curva en cuestión. Compruebe el lector que esta circunstancia si n > 112 sólo se da para una solución de y; = 0.

El segundo caso que hemos considerado en el epígrafe anterior para ilustrar la obtención de la ecuación de la línea elástica de una viga recta nos hace ver la dificultad analitica que el método expuesto presenta, cuando existen varias leyes de momentos flectores a lo largo de su luz. Porque si existen n tramos sera necesario resolver 2n ecuaciones para la determinación de las 211 constantes de integración, ya que el número de constantes es el doble del númcro de tramos. Para disminuir esta dificultad se trata de buscar una ecuación universal que, independientemente del número de tramos que existari en la viga, sea preciso determinar solamente dos constrintes de integraci6n. Para la forrnulnci
F,(.K)=

(.Y

-

a)" =

-

cuando .r < a a)" cuando .x 2 a

para n = 0, 1, 2, ... número entero. En esta ecuación n es el valor a partir del cual la función de la variahle independiente .r tiene un valor no nulo, es decir, los paréntesis angulares, que son el símbolo matemático de una función de discontinuidad, nos indican que la función se anula cuando la expresión entre estos paréntesis es negativa y que toma el valor (.c - a)" para .Y mayor o igual que a. Indicado esto sobre las funciones de discontinuidad, consideremos una viga de sección transversal constante a la que estl aplicado un momento exterior ,/f, una fuerza concen-

@ C

-

e

4

eb

k

e e e bK

b

b

6C

* *-

270

R E S I S T E N C I A DE b4ATERlALES

trada P, una carga uniformemente repartida p y una carga triangular. que consideraremos d e signo positivo si tienen los sentidos indicados en la Figura 5.5, es decir, el momento ' será positivo si tiene sentido horario, y las cargas concentrada. uniformemente exterior A repartida y triarigular son positivas si tienen sentido ascendente.

tramo 3: b

$ Y.

<

c

El,!.: = A(..(- ajo

+

P(.i

+

P(x -

+

P(.i - h)

- b)

tramo 4: c S .u ,< d

el,!^^ = A(.Y- ojo

I

p(.r

6)

-

+ --2

c ) ~

4

J

Figura 55.

tramo 5: d 6 Si tomamos cl extremo izquierdo de la viga como origen de abscisas, sean n y b las correspondientes a las secciones en las que están aplicados el rnomento exterior ,// y la fuerza concentrada respectivamente. Sean, asimismo, c y d las abscisas del comienzo y final d e la carga uniformemente repartida, así como e y/las abscisas de comienzo y final de la carga triangular. Para llegar a obtener la ecuación universal que vamos buscando expresaremos el momento flector en cada uno de los siete tramos que se distinguen en la viga poniendo el rnomento exterior en la forma Jf(.r - a)'. Con este artificio, el momento flector y la ecuación d e la línea eiástica en cada uno de los tramos serán: tramo 1: O


tramo 2:

< .Y < b

a

EIzy; = df4(.r - a)' El,y; = ,/f(x - a )

$2 '

.K

S r

El,?;' = J/(i-

(1)'

+

p(.r

-

7

c)'

-

p(.i - d)' 2

En este tranio se ha supuesto que la carga uniformemente rzpartida se prolonga hasta la sección que se considera, descontando, naturalmente, la parte añadida (Fis. 5.6).

+ C, Figura 5.6.

274

RESISTENClr\ DE MATERIALES

T E O R I A C E S E K A L DE L A

FLEXION. .ANALISIS DE

DEFORSIACIONES

275

expresión constituye la ecuaciori utiioc~rsalde lu df/artrrcl~lc~de una viga dc rigidcz constante, y en la que los parametros J f , P, p y q son los momentos exteriores, cargas concentradas, cargas uniformemente repartidas y valor rniximo dc las cargas trian_eulares que hubiera, respectivamente, situadas entre el origen de coordcnadas y la sccción que se considere. Evidentemente, las reacciones de los apoyos están incluidos en estos parámetros. Derivando la ecuación (5.3-12) se obtiene la eciración rrnicersnl para los ángulos de giro

'CI, -El,

cn virtud del principio de pequeñez de las deíormacioncs, ya que entonces y' = O, siendo O el ángulo girado por la sección. Figura 5.8.

Eii los epiyrafes antcriorcs hemos calcul:ido el desplazamicrito !(.l) dc 12s scccioncs dc una viga sometida a íiexión siniplc. as¡ como los ángulos girados O(.v), rncdiantc uri procedimiento matemitico como es el de integrar una ecuación diferencial. El resultado es aplicable a cualquier sección de la viga. Existen, sin embargo, numerosos casos en los que no es necesario hacer el cilculo completo de la elristica. ya que sólo sc requiere conocer el dcsplazaniiento del centro de gravedad O el giro de determinada sección. Para estos casos. y fundamentalmente cuando la seccióri transversal es variable, son especialmente aplicables los llamados leorenias de Afolir, denominados por muchos astores reoretrins de las arcas de niorrieti~os,que vamos a exponer a continuación. Estos teoremas son dos, y en ambos se considera a lo largo de la viga el diagrama obtenido dividiend~en cada punto de la elástica el momento flector M: en la seccijn correspondiente por la rigidez a la flexión El,. a)

Prim" teorema de hIohr

De la expresión de la curvatura:

se obtiene la correspondiente al ángulo que forman dcspuEs dc indefinidamente próximas, separadas inicialrncntc dic.

Mhf . dO=Lcis=-fi++);;rd-rj,El, Elz d

hl,ds E Ir

I:i

flcxión dos scccioncs

ya que y' = O en virtud de la pequeñez dc las deformaciones. Esta cxprcsibn rios iridica quc cl iri_euloelcinciitiil ti0 ciitrc las norrnalcs o las tangentes en dos puntos iiidcfinidamcnte próximos de la clristica, es igual al irea clcmcnial itf:dr del diagrama dc nionicntos flcltores dividida por el módulo de rigidez a la flexión El, (Fig. 5.8). El angulo O,, que forman las tangentes a la elástica en los puntos de abscisas .Y, y .Y,. quc no cs otra cosa que el giro relativo de la sección D rcspccto dc la C. se obtcridri integrando (5.4-1).

expresión del primer ~ e o r e t rde~ ~~Molir,que podemos enunciar as¡: el a~~grrlo OC,joritrndo por 10s Iangetiles rrc:adas en dos pirnros G la linea elásrica de irna viga de rigidez E L es igiral a l nrea del dingratrln M,/EI, interceprada por las ~erricalestra:ad(is por aqrrellos pirritos. Se observa quc el ángulo O,, tiene el mismo signo que el diagrama de momentos flectores, es decir. que para un área positiva dcl diagrama de morneritos flcctores, el giro de la tangente en la sección D respecto a la tangente en la seccinn C se mide en sentido antihorario, corno es el caso representado en la Figura 5 8. Por el contrario, si el área dcl diagrama de nionicntos flectores es negativa entre las secciones C y D, el signo de 17 tangente en la sección D respecto de In tangente en la sección C se produciria en sentido horario. Si, como suclc ocurrir frecuentemente. el módulo de rigidez a la nexión es constante, csta ccuación sc puede poncr eri la forma:

En este caso la expresión admite una sencilla interpretación y el primer teorema de blohr se piiede enunciar asi: el ringit10 B m j ~ r m u ( l opor 11s lungenres rrcl:cl(las rti (los punlos lo /itrc,(l r/ci.yljco dc, irtic1 oj,yu (Ir ri,yidc: c.uti.srrairr 1,s igucll 01 Nreu rlrl rliayrclt~rc~ rle yottirnros /lrcrorrs r,r~er<.c~~rar/a por los vrrricairs lrniuc/us por a q ~ r r / / opirnro.s. s c ~ ' i ~ ~ i (por l ~ r le~ lrp r o d ~ ~ , - ~ ~

El,.

h)

Seguiido teorema de Molir

Las tangentes en los puntos 1V y N' de la linea elástica de una viga recta (Fig. 5.9), corrrjpondientes a las secciones de abscisas .Y y .y + (/.y respectivarnenrr, cortan a la vertical trazada por la sección C. de abscisa .y,, en dos puntos P y P'. La longitud del seemento que representamos por do en la Figura 5.9, en virtud de (5.4-1) valdrá:

m',

h~ibiendopuesto el signo menos consecuente con el convenio de asignar el signo positivo cii:iriclo el vector PP' es ascendente, y ncgativo en caso contriirio.

Veamos el significado de la expresión (5.4-5):

1LI-

E&

d.r representa el área infinitesimal

rayada en el diagrama de momentos flectores dividido por El:. S U multiplicación por - .Y,) nos da el momento estático de dicha área respecto a un eje vertical de abscisa x,. Podemos enunciar e1 se,oirncio reoretlicl (le ibfolir diciendo: el sryni<,ilto (ifiiiclo sobre irn

(.y

eje cerric-al de abscisa .y, por el pirtrro de la elasrica, coniún a l eje (putzro C) y el de itrrrrsrcción (pitnro D') coti la !ungenre u ku elásrica r n el putito D (Ir uhsri.su .y,, vale lo clirr el tno~>retiroesrárico c/c/ área del rliclgratno rW=/EI= conzprrnciicla enrrr las verricales de ubsciras .uc y .Y, respecro a l eje consitler~t~lo., .

En el caso de tratarse de vigas de rigidez poner en la forma

constante, la expresión (5.4-5) se puede

y el segiindo teorema de ~Llolirse puede enunciar así: la lotigiritil ScD (Ir1 seg~~retrro
5.5.

Teoremas de la viga conjugada

Además d e contar con los teoremas de Mohr para calcular el desplazamiento vertical o el giro de determinada sección de una viga sometida a ílexión simple, puede ser particularmente útil la aplicación de otro método constituido por los llamados reorenias de l a viga conj~rga(l(~.

Figura 5.9.

Si llamamos 6,, la distancia desde la sección C hasta la intersección D' de la tangente en la sección D a la elástica, con la vertical trazada por C. el valor de esta distancia se obtendr5 integrando la expresión (5.4-4) entre las abscisas de la viga correspondientes a las secciones C y D.

Dada una viga sometida a un sistema arbitrario de cargas, llamaremos viga conjugada de ésta a la misma viga sometida a una carga ficticia distribuida igual al diagrama de niomentos flectores dividido por E l z , con una sus:entaciÓn regida p o i las reglas que más adelante se verán, y de tal forma que cuando el momento ílector sea positivo la carga ficticia de la viga conjugada está dirigida hacia arriba y cuando el momento flector sea negativo la carga ficticia está dirigida hacia abajo. Considerenios un2 viga simplemecte apoyada sometida a un-sistema arbitrario de cargas (Fig. 5.10-a) y construyamos su viga conjugada (Fig. 5.10-b) En la viga dada, si se toma el sentido ascendente como sentido positivo para las cargas, las expresiones (4.6-5) que relacionan carga, esfuerzo cortante y momento flector son: dT

P = - =d.r-

d'hf dx'

Su liiiea elástica viene dada por la ecuación diferencial

(5.5- 1)

PP

278

R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S

T E O R l h G E N E R A L O E L,A F L E X I O N . ANALISIS D E D E F O R h l A C I O N E S

i)

#

d 4

H

(0)

$

Se ~ Coi1

279

teorema: los giros de 10s diversas secciones de la V ~ F ? d(ld(1 cofJl[i(lc'Jl ~ s f ~ e rcortantes ; ~ . ~ tic /(I viga conjrrgorh. A un valor dc 7 positivo corrcspondc "11 i n g ~ i l ogirado cn scritido :iiitili(lr~irio. Como Caso particular dc este tcorcnla, aplicado a la jcccion exlrcrna /I de 1;i vig~l(lada. se ticnc

= Viga dada

C ~ U CelCsigiiiente

10.7

es decir: e/ út1g~110 glrado por la seccion que corrrspo~~cie al upoyo articirlodo e.rtrciiio A de la cig(1 d ( ~ d u~ i e t i ct~icdidopor lu reocci(jt~R., cti ciiclro upoj30tle lo oigo cori/icgodu. Por otra parte, de la ecuación

d2y

(12

,v

- = -d.Y2 d.?

Elástica de la

vign

d;ida

(ci A'

Diagrama de T

Ahora bien, la visa conjugada, sometida a la carga

tendrá una ley de esfiicrzos cortantes T y de momentos íiectorcs niz que, cn viriiid dc las dos ecuacioncs antzriores, estarán relacionados entre si de la siguiente forma

se dcducc:

es dccir: los cl~~spl~~:ottiierrroz (ILJ 1 ~ iiistitr~us s seccivrlt~sdc 1010 oigo sorrie~icl~~ u jlexióri sri~iplc cic~ric~ri ilrztlos por los t~ivttic.rrro.\~jlccrorcs c/c. sir cigo corijr~gu(ia. /\ u11 valor dc U ' , posiiivo Ic corrcspondc un tizsplazrimicnto vcriical del centro de gravedad dc [a sección C en-scritido asccridcntc, y dsscendcnte si lii, es negativo. De los dos uliirnos teoremas sr deduce que la flcclia de la viga dada se prcscntari en una sección de esfuerzo cortante nulo de la viga conjugada y valdrií lo quc el momento flcctor M en clla. Los tcorcmas que acabamos de exponer reciben el nombre de teoret>tas (/e lo oigo c~o~~jrcgacla. Es cvidcnte que la viga conjugada dc una viga dada siniplcnientc apoyada es asirnisnio una viga simpleniciitc apoyada, coriio hcnios visto. Pcro ipodcnios afirmar que para una viga dada de varios tramos con cxtrenios libres o empotrados la viga conju-nda tiene la misma sustentaci8n? Evidentemente, la respuesta a nucstra pregunta es negativa. ya que las corrcspondencias entrr los enlaces y las condiciones en los extremos de las vigas dada y conjugada tienen que i~crilicarlos teoremas que he:nos obtenido. Así, podemos establcccr lr. correspondencia qi:: resumimos en el siguicntc cuadro: 4 Viga

Enlace De la ecuación

S

es decir

Apoyo articul;ido cntreiiio Apoyo articulado iiitcriiicdio Extrcrno librc en voladizo E.xtrenio einpotr;i
dada

Viga conjugada Características de la sccci611

0,fO

Tc = O

; ).,=O

O,, =Ocz # O ; J.,

=O

0, # 0

. .,

U, = O

; .l.,= O

#

O,., #O<-? ; J.^

Caractrricticas de la secciim

o

+o

;

,U, = O

fc,= Tcl 1 0 ; 10, = O

7,# O

; ,Uc# O

r, = 0 ; Me = O + Tc., : ,U,

#0

I

Enl;ice

Apoyo articulado Rotula intermedia Exireino empotrado Extrcino libre Apoyo intermedio

¡

280

RESISTENCIA DE SIATEKIALES

T E O K I AG E N E R A L D E LA FLEXION. .-\NALISISDE DEFORMACIONES

.,

tiabiendo indic;ido coi] los stibiridices y c 2 1;is secciones indelinidanicrite próximas a izquierda y dereclia. respc.ctivameritc. dc la sección C

Para obtener la expresión del potencial interno del prisma mecánico podemos aplicar fbrmula (1.15-5) que nos da éste en función de las componeiites de la matriz de iensioncs. en la que a,, = a, s,, = r siendo nulas las restantes componentes. El potencial interno del elemento considerado será:

I;i

(

n 1

n

1 I

1

1 1

I 1

I

I

I

4

1

<.

84

1

4 I

. 1

A mmz

1 I

, I

m

,

281

i

1 1 1 4

dZ

I

4 1

1

1

13

1I

w

1;igura 5.1 l.

.

= 1 a'

2E

dv

L(V

dz

1 + 2'T G

r1.v dy d-7

(5.6- 1)

Si el eleniento de prisma que se considera .es el comprendido entre dos secciones rectas indelinid;iniente próximas separadas d.\-, el potencial interno correspondiente se obtendria iriregrando esta ecuacibn y extendiendo la integral a la sección recta:

Este cuadro nos permite establecer las siguientes reglas para obtener la sustentacibn de la viga conjugada de una dada:

!

1 ) el apoyo articulado, extrznio libre o empotramiento, en un extrenio de la viga dada, permanece siendo apoyo arriculiido o pasa a ser empotramiento o extremo libre, respectivamente, en la viga conjugada; 2) el apoyo articulado de la vida dada que no esté situado en un extremo, pasa a ser una articulación o rótula en la viga conjugada; 3) la articulación o rótula de la viga dada pasa a ser apoyo articulrido de la viga conjugada;

i

que se representan en la Figura 5.1 1. Como normalmente el material utilizado es homogéneo y la sección recta no varia y, por tanto, el módulo de rigidez a la Ilexión es constante, resulta cómodo trabajar con una carga ficticia igual al diagrama de momentos y dividir luego los resultados por EI:.

1

Como

IJn

iiir es el momento de inercia respecto al eje de flexión, haciendo:

!

5.6. Expresión del potencial interno de un prisma mecánico

I

sonietido a flexión simple. Concepto de sección reducida Según hemos visto, sobre un elemento del prisma de aristas paralelas a los ejcs, las tensiones que se engendran sobre sus caras, cuando el prisma mecánico se somete a flexiór. simple, se reducen a las indicadas en la Figura 5.12.

Ahora bien, sustituyendo los valores de a y s dados por la ley de Navier y por la lbrmulr de Colignon respectivamente, tenemos:

la expresión (5.6-3) se puede poner en la forma: &=rJ

e

Mi

fi.

2 E;,

+ 2d r

EL potencial interno del prisma se obtendrá inregratiilo n 10 Iflrgo fiel eje del mismo I

-1M;

1

/"--

Figura 5.12.

(5.6-5)

2Gn1,

(

fis

+

J-:= Tj


siendo dr el elemento d e arco de linea media. Vemos que el potencial interno consta de dos términos: el primero representa el potencial debido al momento Fector; y el segundo, el debido al esfuerzo cortante. En este últii,~?aparece i r , , que, segun se ha definido, depende exclusivamente d e las características geometricas de la sección. Por comp:iración con la expresión que nos d a el potencial de un prisma debido al esfuerzo cortante, ya estudiado anteriormente, llamaremos a n,, sección reri~rcirln.

282

RESISTENCIA DE M A T E R I A L E S

Si comparamos la expresión (5.6-4) con la (3.3-3) que obtuvimos en cl Ciipitulo 3 a[ estudiar la teoría elemental de la cortadura, vemos que podemos considerar la sección reducida R,, como el área dc una sección ficticia de la viga tal que manteniéndose plana la sección recta y, por tanto, actuando sobre ella uria tensión tan-encial constante, el poiencial interno es el mismo que tiene la viga cori la sección relil y la tensión tcingericial variable. A modo de ejemplo calculemos las secciones reducidas en caso de secciorics rectas de forma rectangular, circular y rómbica.

Irt:

a)

Seccicin rectangular (Fig. 5.1 3)

1

Figura 5-14. Como R = nR" queda:

1 --

R,,

-

9 A h2(h2 - y')' -4 6 ' 1 1 ~ ~ ~46~

3 1 J y = - 5- hlr

C)

Sección rbmbica (Fig. 5.15)

Figura 5.13. Como 2 blr = R, q u e d a 5

R,, = - 0 ' 6

i

+

l, I b , J

Figura 5.15.

b) Sección circular (Fig. 5.14)

h

Como

-

-

ho

11-y -5

11

b = -60 (h 11 (11 -

2 R cos cpR scn cpR cos cp dcp

P@

E.

RI,

16 n2R'

=

2R3

cos2 cp scn cp drp

2

"12 4R6 cos6 O J0

9 . 2 R cos O

P. Puig A>.pág. 87.

~

3

= -cos3

c0s6 O do =

3

10 * 9rrR _i

-.l.)

bli3

cl!. = 6

O .

36 Ii2

(Ir -

!.)?

11 1 (I1' + Ii!. - 2!.?)2 ho (Ir -

d,. = J.)

.

6,1i5 31

1s

60

La expresión (5.7-1) nos permite calcular de forma inmediata, si la sección reducida de la viga es constante, la línea elástica de la deformación debida exclusivamente al esfuerzo cortante. (/M. En efecto, teniendo en cuenta que T. = -.z e integrando, se obtiene: d.x

Por tarito.

dz donde

5.7.

.:,

Deforniacioncs por esfuerzos cortantes

En el estudio de la deformación de una viga sometida a flexión simple hecho hasta aqui se ha considerado solarnente el momento flector, es decir, se ha supuesto despreciable el efecto producido por e1 esfuerzo cortante. En la mayoria de los casos se puede considerar, efectivaniente. despreciable la deformación debida a1 esfuerzo cortante, pero para vigas cortas el efecto del esfuerzo cortante frente al del momento flector puede ser apreciable, como veremos m i s adelante y, por tanto, habría que tenerlo en cuenta. Como la tensión tangencia1 T debida al esfiierzo cortante no se mantiene constante en todos los piintos de la sección, la distorsión angular que sufren las fibras de la viga es vdriable. Las secciones rectas, por tanto, no se manteridrin planas despuks de la deíormac15n sino que experimentaran cierro alabeo.

en donde :Cl,(.r) es e1 momento en una sección de abscisa .r y 1% el momento en el origen. En realidad esta deformación habria,que superponerla a la dada por la elástica que hemos visto en el episrafe 5.2, en la que solamente haciamos intervenir el momento flector, pero como ya se ha indicado la deformación debida al esfuerzo cortante se suele despreciar respecto a la producida por 61 momento flector. A modo de ejemplo, calculemos la relación entre las flechas debidas a una y otra causa en los casos de una viga simplemente apoyada sometida a carga uniformemente repartida y a carga concentrada aplicada en su punto medio, ambas de sección rectangular. En ambos casos las expresiones del momento de inercia de la sección respecto al eje z y de la sección reducida, son:

a)

-

-

-

-

-

Viga bajo carga uniíormemente repartida (Fig. 5.17-a)

La flecha debida al momento flector fue calculada anteriormente y su valor, según la ecuación (5.2-9), es: 5 plJ

(l.

No obstante, lo que vamos a determinar es el desplazamiento rclntivo civ = y dr (Fig. 5.16) entre dos seccioiies indefinidamente próximas a causa del esfuerzo cortante T,. Del segundo termino d¿l segundo miembro de la ecuación (5.6-S), que expresa el potencial interno del prisma elemental limitado por ambas secciones Jebido al esfuerzo cortante T,, se obtiecz, aplicando el teorema de Castigliano, el desplazamieiito relativo (/u. =

a([tq O?

=

354 EI,

5pI4 --32Ebli3

Para calcular 13 debida al esfuerzo cortante aplicaremos la ecuación (5.7-3). teniendo en cuenta que la ley de monientos es

Figura 5.16.

[/E

= ---=

y quc la flecha se presenta eri el punto medio d e la viga.

r,

-- clx Gflly

(5.7-1)

y como (/u = y r1.r. se deduce que el ángulo de d~slizamiento;l (en realidad se trata de un valor medio) tiene por expresion:

Figura 5.17.

(0)

(b)

-

286

RESISTENCIA DE MATERIALES

Por tanto. tomando el sentido positivo del eje y el vertical asccndentc. tcncriios:

3 8

Si el material de la viga es acero, G = - E, la relación entre fTy y Jwz

Aunque 10s c5lculos realizados 10 Iian sido para un viga dc scccioii rcctangul:ir pucclc el lector considerar distintas formas de la sección recta y diversos casos de carga Y comprobará que Ilcga a análogos resultados a 10s cn nuestros ejemplos, es decir. concluirá que en la niayoria dc los casos 1;)s dcforrnaciones debidas al esfucrzo cortailtc son despreciables frciite a las producidas por el monicr;iú flcctor.

ser;:

5.5. Método de Wlolir para el cilciilo de deforniaciories

b ) viga bajo carga concentrada y centrada La flecha debida al momento flector se puede calcular rncdiarite la expresión (5.2-15).

=

La flecha debida al esiucrzo cortante. dado que la ley de momcntos flcctores cs ,\I;(.t-) (P;?).r, válida para O ,< s $ 1/2, será:

Otro mEtodo para el c:ilculo de deformacioncs. basado en consideraciciries encrg&ticas, es el llamado nl>rotk) ti. ~Llolirque vamos a exponer a conti~iuacióii.Aunque el método es aplicable a cualquier sistema elistico somctido a una solicitación arbitraria, como veremos en el Capitulo 10, ahora lo aplicaremos a un prisma mccinico sometido a flexióri sirnplc Considcrcmos la viga dc.la Figura 5.18 quc adriiitc plario medio de simetría. somctid:i a un sistema de cargas vcrticalcs situadas cn su plaiio incdio y proporigimonos ca1cul:ir I:i deformación de la sección C. Para calcular el Jcsplazamicnto de esta sccción el nictodo consiste en suponcr situada uiia carga ficticia á> aplicada cri la scccibn ciiyc, corrii~iicnío qiicrcmos calcular. dc dircccióri aquella cii que querciiios niedir la proyecciciri dcl \.cctor corrimicnto. Se calciilii el potencial interno de la viga sonictida a la solicitiicion forrnada por 1;i carga real mris la c.Ir=a o. r . -. I L L I L I (D. ~ El corriiiii~'11t~) 2, di: la sección ('en I;i tiirccciSii de cD se calcril:i aplicarido el tcorcma dc Castisliano patticiilariziirido cl rcsulrndo para (ú = 0.

.

'

(j< =

La relación entre fT y f,,,en este caso, es:

(E) i.Q, , X,

Obtenidas las relaciones entre las flechas debidas al esfuerzo cortante y al momento íiector en los dos casos estudiados, podemos calcular el porcentaje que representa jTy respecto a /Mz para los valores niSs usuales de la relación Ir/!. Tabla 5.1.

Valores dcJr;//,=

en % (6)

Figura 5.18.

Iil[

116

i 18

ilia

1/12

Viga bajo carga uniformemente repartida

7.1 1

4.00

2.56

1.77

Viga bajo carpa concentrada y ccnfrada

8.88

5.00

3.20

2 22

Dei anterior cuadro de valores se deduce que la influencia de las deformaciones debidas al esfuerzo cortantc es muy pequeña respecto a las producidas por el momento ílcctor y que esta influencia disminuye a medida que lo hace la rel3cióri li/I. De a t i.i quc podamos considerar despreciables las primeras respecto a las segundas.

P o r el principio clc superposición. el moniento flcctor y csfiierzo cortante de la visa Con la carga dada nihs la car9;i ficticia (1) scrA la siiriia dc momentos flcctores y esfuerzos cortantes rcspcctivairicntc, corrcspoiidicrites a la ciirca r a l por iiria parte, y a la carg:! licticia actuando sola sobre la viga, por otra. Ahora bien, por la liiicalidad entre causa y cíccto. cl riiomcnto flcctor O esfucrr« cortantc en una sccción dcbidos a la carga
RESISTENCIA Dfi

2x8

\1AT1-KIALES

i

Por tanto, las leyes de momentos Ilcctores y esfuerzos cortantes en la viga con la carga real más la carga licticia (D serin:

clistico, tal como el indicado en la Figura 5.19, en el que no es posible suponer despreciable la componente horizontal, como se ha hecho en el caso de vigas rectas sometidas a cargas verticales, la apliciición del método exigiria la consideración de una carga licticia vertical U, (Fir. 5.19-0) para calcular la componente vertical j,, del desplazamiento, mientras que para calcular la componente horizontal 6,, sería necesario considerar una carga ficticia horizori.!al 0,(Fig. 5.19-b).

en donde: . l o 2s la ley de rnomenios flectores de la viga dada sonletida a la carga real.

T,, es la ley de esfuerzos cortantes de la viga dada sometida a la carga real.

l 1 es la ley de momentos flectores producidos por una carga unidad aplicada en la T,,

sección C. es la ley de esfuerzos cortantes producidos por una carga unidad aplicada en la seccion C.

El potencial interno de la viya, en virtud de (5.6-6), es: Figura 5.19.

Si se trata de ciilcular el ángulo de giro de la sección C aplicando este método suponemos aplicado en ella un momento ficticio cD (Fig. 5.30-u). Por el teorema de Castiglilino, el corrimiento vertical de la sección C será:

Como ya vimos anteriormente. el termino debido al esfuerzo cortante podemos despreciarlo respecto al debido al momento íiector, por lo que podemos poner como expresión del corrimiento de cualquier sección C la siguiente:

en donde 1MZ, es, como ya se ha dicho. 1i1 ley de momentos flectores debidos a una cerga unidad apiicada en dicha sección C. Puede ocurrir, como en el ejemplo que hemos puesto, que las leyes de momentos íiectores pueden ser distintas en los diversos tramos de la viga o del sistema elástico que se considere. En estos casos la expresión (5.8-5) seria de la forma:

1 --

(4

(4 t

1

I

Figura 5.20.

Se calcula el potencial interno de la viga sometida a la solicitación formada por 1, carga real más el momento ficticio O. El giro 8, de la sección C se calcula aplicando e teorema de Cas!igliano particularizando el resultado para O = O

f

Procediendo análogamente a como hemos hecho anteriormente para el cálculo del desplazamiento, las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes en la viga con la carga dada más el momento ficticio 0 serán: en donde las integrales estarían extendidas a las líneas nizdias de los tramos en cuyos intervalos de la abscisa S tuvieran validez simultánea las leyes de LIZOy A<,. Si se presentara el caso de calcular el desplazamiento d e uiia sección C de un sistemn

-

290

RESISTENCIr\ DE MATERIALES

en donde ,M,, y T,,, tieiien el mismo sigriificado que en las ecuacioncs (5.5-2), pero ahora:

1

T

es la ley de momentos ílectores producidos por un morncnto unidad aplicado en la sección C. es la ley dc esfuerzos cortantes producidos por un niorncnto unidad aplicado en la seccion C.

La expresión (5.5-3) del potencial interno sigue siendo valida. por lo que la aplicación del teorema de Castigliano nos dará: -

Lii scgundii iiiicgral es el arca del dia3r;ii;ici&(.Y). que Ilarniirernos n o , inicr1tr:is que la .;egurida es el iiiorncrito estiiico dc este arca respecto al eje y .Y&(

1.)

(5.9-4)


sicrido .u,- I;i nb5cis;i dcl ceiitro cic gravedad del d;:i~r;iriia caricsp~iidicnte:i F,)(.\.) (Fig. 5.2 1).

13

fuilci«n

El,

e igualniente que arites podemos considerar despreciable el ttrrnino debido al esfuerzo cortante, y si existen varias leyes d c niomcntos ílectores a lo largo de la viga, la expresión del ángulo girado por la seccion 1 será

Indicaremos, finalmente, que si el signo; tanto del desplazamiento 5, como del giro O,. es positivo quiere decir que el desplazamienio o el giro de la seccion que sc considera coincide con el de la solicitacibn unitaria aplicada. Siistituyciido cri In cxprcsióii (5.9-3). tericmos:

5.9.

filétodo de multiplicación de los gráficos

La aplicación del mitodo de M o h r nos lleva a calcular integrales del tipo (5.8-5) o (5.8-9), es decir, integrales en las que aparecen el producto de dos funciones de la misma variable .Y. Teniendo en cuenta que el diagrama d e momentos Rectores en la pieza de la íuerza o momento unidad van a ser rectilíneos, vamos a exponer el denominado método tic riiitltiplicación de los grirficos que permite encontrar los valores de las iritegrales de hlohr sin necesidad de calcularlas. Supongamos que queremos calcular la integral del producto Fo(.r)- Fl(.r) de dos funciones, una de las cuales al menos es lirieal en un intervalo de loiiyitud t'.

Si F, es una función lineal

es decir: 10 iiiregrul tielprori~rcroFo(.u). F,(.Y) r l ~ pdos/tr,icioiic.c, .riciidu lii~erilF, prrtlietrrh ser F,, de corifigitracióii arbitraria, es iguc~l01 protlircro del hrea del diagrai~iaiie F, por I(I or
no. Para el signo dc / s e tendrin en cuenta los sicrios que tcngrin los dos diri~r:iiii:is. segun la forma de trabajar que tenga la pieza somctidii a la solicitacióii exterior dada o a la acción unitaria (fuerza o momento). Si el signo de 1s multiplicacióri de los gráficos es positivo, el rcsulta(io nos indica que el sentido del corrimiento o giro de la sccciSn qiie se considcr:~ coiricidc con cl de la solicitación unirnriii aplicada. Conviene haccr la observación que el producto dc los dos gráficoc. si uno dc cllos es de conliguración arbitraria, no es coriinutativo. Sin embargo, si lo ser5 si Ics dos íunciones F,(s) y F,(.r) son ambas lineales.

5.10. la expresión (5.9-1) se convierte en:

Cálctilo (Ir desplazarniciitos en vigas sometidas flcsión siniplc riiediante uso de series de I;ouricr

3

Oiro niitodo quc sc piic(lc utilizar p;ir;i cl cilciilo tlcl dcsp1iir;imicnto tle sccciorics de vigas soiiictid¿is a ncxii)ii siniplc cs cl biis;ido eri I;i iiiili/;ición clc wrics clc Icoiiricr.

Consideremos en primer lugnr una viga simplemente apoyada de Ion-itud 1 y rigidez E / : corist:inte, sometidli 3 u n 2 Jistribiicióri de carga delinida por la ecuaciSn p = po sen

Imponiendo la condición de contorno de ser nulos 10s desplazamientos en los extremos, se deduce la nulidad de las dos constantes de integración.

11 71.T

-

1

siendo ri un numero entero y p,, una constante, que es el valor r n i ~ i m ode la carga aplicada a la viga. Tomaremos el semiqe positivo de ordenadas el vertical ascendente. Como la ecuación diferencial de la elástica es

La ecuación (5.10-8) se reduce a E-

y, como vimos en (4.6-j), la carga es la derivada segunda del momento Ilector, la ecuación (5.10-2) la podemos poner en la siguienre forma

E/.

d-' 1.

d .

=

(I'

.i,f

nr.r

=

= go -

'(nLy

sen

nT -

Si la carga que actúa sobre la viga tiene la forma niás general de un desarrollo en serie de Fourier. p = p l sen

po sen 1

ri.rL

-

n.~ -

1

2x.r

+ p 2 sen + p, 1

3 n.r sen 1

+

-

=

n.~ f p. se" n(5.10-10) 1

n=

l

se puede aplicar el principio de superposición para obtener la ecuación integral de la elistica

cuya integración nos da

.

siendo p,(n siendo C, y C, constantes de integración que podemos determinar imponiendo las condiciones de contorno de ser nula la curvatura de la elástica en los extremos de la viga.

y

=

' nn.r f p. (11ni) sen 1

"=,

2 , ...) los coeficientes de Fourier, cuyos valores se obtienen multiplicando nk.r los dos miembros de (5.10-10) por sen 1 dx e integrando a lo largo de la viga = 1,

Las integrales del segundo miembro se anulan todas salvo la correspondiente a p, que vale l / 2 * , por lo que los coeficiertcs de Fourier serán

De la ecuación resultante

E

d2v d.r -

=

p

)

-

nn.r sen 1

comparándola con la (5.10-2) se deduce que la ley de momentos flectores en la viga sometida a una carga senoidal es también senoidal. Integrando una y otra vez la ecuación diferencial anterior, tenemos

A modo de ejemplo veamos a qué resultado nos conduce la aplicación d e este método para obtener las flechas en dos de los casos que hemos visto anteriormente aplicando el método de integración. El primer caso a que nos referimos es al de una viga cargada con carga uniforme p por unidad de longitiid (Fig. 5.22-u)

Véssc ~
-

-

-.

294

RESISTENCIA DE hlATERIALES

viga simplemenie apoy;ida somcti
x -

nx scn -

Zn Zn.< scn - sen -

+

1

2

1

jz

3n.Y

L

1

+ scil ,crI , -+

..,)

(5.10-17)

y la ecuación de la clásticn, segun (5.10-1 l ) , scrá

t--

(0)

--A

(b)

Figura 5.22.

n 2

n"

2n

1

.Y

2 . -1

+Z -sen-scn S 2

EI;!, = - E ( s C n s e n -

1

I

3n

+pen-scn3"' 2

3x.y 1

+

Los cocficientcs de Fouricr para este caso, segun la ecuación (5.10-13). scran

p. =

-:j:sen

-1

I = -2p[--cos 1 nn

nnx -dr 1

dc dondc, particularizarido para

nnu'

=

O

- - -2p (( lln

.Y

=

Ii2:

- cos n r j

cuyo valor depende de que n sea par o inipar: para

11

cos iln = 1

par:

para n impar: cos tln

= -1

=.

p, = O

3

p,

=

Dcspreciandn 10s términos dc 1:i scric a partir del segundo, se obticnc conio valor aproximado de la flecha cri este caso "P

--

La ecuación (5.10-1 1) de la clástica tomará la lornia

Elz.v =

-2 n

I ) ! (

ns (scn 1

1 3n.y +7 sen 3

1

5nx

Por tarito. la ecuación de Ia íicclia se obtendrá particularizando csta ccii:icii'n par;i 112

.Y =

Desprcciando los términos a c aproxiniado de la flecha

serie a partir dcl segurido, se obticnc como valor

Si comparamos esta expresión con la (5.2-9) de la flecha obtcnida por doblc intcgración observamos que el error por exceso cometido al tomar el primcr térrnino de la cxprcsión (5.10-15), obtenida al aplicar el método que utiliza series de Fouricr, cs del ordcri dcl 0.3 por 100. El scgundo caso al que vamos a aplicar el método quc Iicmos expuesto cs cl dc una r,

f 2

nn

-

2~1'

zLEIz

=

PI' 48.7.Fr,

------

=

0.985 P13 45 El,

Comparando csta expresión con la (5.2-15 ) que nos d:i cl valor dc la flcclia de la vig;i que criarnos corisidcran
5.í1.

Deforriiaciones de una riga por efecto de la teniperatura

Ya vimos en el epigraíe 2.6 el cornportan~icntode un prisma mecánico cuando se producc una variación térmica. Alli se consideraba unifornic dicha \variación, es decir, todas lar p:irticulas dcl rnatcriai cxpcrirncntaban ci misnio increniento dc temperatura. En tales circunstancias, si la dilatación de un prisma mecánico recto de longitud 1 es librc. el incremento de lcnzitud del prisn~a,cuando se producc una variación d t temperatura Al, cq

siendo a el cocricientc dc dilatación lineal. que cs constantc para cada material. En una viga simplcriiciiic ;ipuya.la, sin carg:i y de j)cro dcsprcci;iblc, la linca nledia seguir5 sicnda recta. Ahora vamos a considerar una viga simplenicntc apoyada (Fig. 5.73) de sección recta rectangular, quc csti inicialniente toda clln :i tcrnpcratura r,, pcro se produce una varisción térmica que hncc quc cxistn i i r i gradieiitc tfrriiico coristantc dc a b i o a arrib:i,

TEOKlA GENEKAL DE LA FLEXION. ANAL[S[S DE DEFORb1ACIONES

11

decir. la teniperatura entre liis clirvs inferior y superior varia linealmente (l:ig. 5.73-c). Sea I , la temperatur:~de la cara iriferior y I , la correspo~~diente 3 la cara superior

Los giros de las secciones vendrian dados por la ecua-,bn obtenida al realizar la primera integracióri de la ecuación diferencial de la elistica (5.1 1-2).

5.12.

J-l-----i

(4

(b) Figura 5.23.

El comportamiento de la vira es ahora totalmente diferente. ya que los alargamientos d s las fibras longitudinales son distintos. Por esre motivo, la linea media se curvará. lntuitivamente vemos que el eircro producido por la temperatura es equivalente a un ai~irgamientouniforme AI

=

lr(r, - r,) siendo r,

í,

+, r z

= ---- la teniperatura media,

siendo g la aceleración de la gravedad, tiene que ser igual al potencial interno o energia de deformación almacenada por la viga.

-

seguido de una ílexi6n pura como la que genera un momento flector aplicado eri las secciones. extremas. I'arii obtener la ecuación diferencial d e la elistica veirnos cual seria I:i expresión de su curvcirura que podemos obtener expresando e1 sllirgamiento relativo de las fibras de la cara inferior, según se desprende de la Figura 5.23-b

Flexión sirnple de vigas producida por impacto

tlasta aqui siempre hemos considerado cargas estáticas actuando sobre un prisma mecánico. es decir, cargas que se aplican al prisma de forma lenta y progresiva y que quedan en estado de reposo relativo respecto del mismo: Pero ahora vamos a considerar que la flexión sobre una viga. que admite plano.midio de simetría vertical, tal como la representada en la Figura 5.24 es producida por, una carga de masa 1í4 que cae sobre la sección media desde una altura h. El impacto produce una flecha 6 que queremos calcular. La resolucion de problemas de este tipo se hace siempre por consideraciones energéticas. Supondremos que no hay páididas de energia por rozamieiito externo o interno, así como que la masa :I.I sigue unida a la viga hasta que ésta alcance la deformación máxinia d. En estas condiciones, la pSrdid3. de energía potencial de la masa M, cuyo valor es

11

(al

297

i

1I

I

De aquí se obtiene

Figura 5.24.

por lo que la ecuación diferencial de la elástica de la viga debida a la variación térmica i n d i d d a , en virtud de (5.2-2), será

Ahora bien, para calcular el potencial interno de la vigri tengamos presente el valor de la carga estatica P que produciría una flecha 6, que según (5.2-15) seria ta! que

6=La ecuación de la elástica se obtendría a partir de esta por doble integración. Se observa que desde un punto dc vista formal, y en lo que al cilculo de dcsplazarnientos verticales se refiere, la ecuación (5.1 1-2) se oblendria a partir de la (5.2-5) reemplazando 1LlL/EI: por a(¡, - f?)/li, por lo que E,ta seria la sustitución que tendríamos que hacer si aplicamos los teoremas de Mohr o de la vi;a conjugada. Si la temperatura media r, difiere en un valor notable de la inicial t , podría interesar tener en cuenta el desplazamiento horizontal. Para una sección de abscisa .Y sería

S,,

=

~ ( l ,-

í0).x

(5.1 1-3)

PI' 45EIz

dedonde

48EL 6

P = ---I3

y que el potencial interno se puede expresar en función d e las fuerzas exteriores mediante La ecuación (1.15-3) de Clapeyron

Igualando las expre~13nes(5.12-1) y (5.12-2), tenemos

298

RESISTENCIA DE MATERIALES

Esta condicib~ite podr:i cxprcsnr dc la siguieritc k~rirla:

ccuaci8ii dc scguiido grado, cuya solución válida cs

+

3- = ~ ~ l ~ k/'r,cfm+ i '

4S E L

96ElzJbfgl'/~- ,\lgI3 4SEL

,/v --

4SEI:

+

siendo

211 -48 El,

K una constante. es decir,

( 5 . 12-5)

(F. 1 3-2)

Si Ilariian~os a,., a la ilcclia que correspondcria ;I la c;irga i l l q coloc:ida ric í'orinri estática eii la seccióri inedia de la viga. la ecuación aiitcrior sc puedc poner eri la forma

De la observación de esta ecuación y del razonamiento seguido se dcducc:

el modulo resistente de la sección es proporcional al valor absoluto del mornento ilector en ella. En cuanto a 1:i deformación de la linea media de estas visas, si el eje z es de simetria, la ecuación difcrcncial de la linca elástica sera

l."

El desplazamiento vertical de la sccción media de la viga producida por una carga dinámica es siempre mayor que el corresporidicnte a la carga conlo cstitica. 2." Si 11 = O, es decir, si la carga se aplica subitarncnte sobre la viga y no de fornia lenta y progresiva, el desplazamiento vertical debido a la carga dinimica cs el doble del correspondiente a la carga como estática. 3." Si la altura 11 de caida es muy grande comparada con 5. se puede despreciar 61,, frente a 2/16,,, en la ecuación (5.12-6), y la expresión dcl desplazainicnro debido a la carga diriámica seria

4."

5.13.

El valor de d dado por (5.12-6) es cl máximo que puedc tener el dcsplazan~iento vertical de la sección media. toda vez que en sii obtención se ha supuesto qiie no había ptrdidas de energia durante el iinpacto, es decir, no se ha coiisiderado la eiiergia disipada cn la dcCormacicin local de las superficics de contacto, taiito de la masa como de la viga, ni la energia necesaria para el posible rebote hacia arriba de la masa que choca con la viga.

Vigas de sección variable sometidas a flexión sirnple

En la exposizión de la teoría general de la ilexión que se ha tiecho hasta aqui nos heinos referido fundamentalniente a prisnias mecánicos de sección recta constante. Pero hay innumerables casos cn la práctica en los que las piezas que trabajan a ílexión ticnen sección variable, ya sea porque ello va a significar una disminución del coste de la pieza o por necesidades de la construcción de la que la pieza forma parte. Admitiremos para estas vigas la validez de la ley de Navier y dc las fórmulas fundamentales de la teoria de la ilexión. Supondremos, asimismo, quc no es brusca la viiri;iciciri de las secciones, ya que si así fuera se prescntarian concentración de tensiones. Estudiaremos exclusivamente las vigas de igrral resistericia a la/Ie.rióri, enteridicndo por tales aquellas vigas en las que la tensión maxima, correspondiente a los puntos en cada sccción más alejados de la linea neutra, cs constante en todas ellas.

tomando como sisicrna de rcferencia el formado por el eje .r coincidcntc con la linca media no deformada y el cje y positivo ascendente. Como

siendo p el radio de curvatura de la linca clbstica, de la ecuacihn (5.13-3) se deduce que si la altura 11 de 13 viga es constante tanibicn lo es p y. por tanto, la linea elástica es un arco de circunferencia. A modo dc cjempio estudiaremos varios casos de interés en la práctica, de vigas en voladizo de seccion rectangular de igual resistencia a la flexión.

'a a)

Viga en \oladizo con altura constante y anchura variable. sometida a carga concentrada cn el estrcmo !ibre (Fig. 5.25)

A! ser la secciori transversal rectangular dc ancho b, y altura h. el módulo resistente es:

El momento flector en la sección dc abscisa

.Y

1\1: = -P.r

es:

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE D E F O K ~ ~ A C I O N E S 301

Como en la sección extrema libre del voladizo el momento flector es VIO, pero e1 esfuerzo cortante es igual a P, no se puede admitir anchura nula. La anchura bo de la sección c x ( r c ~ ~ Isea determina imponiendo la condición de resistencia a las tensiones

de donde (S.13-9) Podemos comprobar que la línea es un arco de circunferencia. En efecto, el radio de , curvatura tiene por expresión

que es constante. Una forma sencilla de calcular la flecha es la de aplicar el segundo teorema de Mohr que nos da la distancia desde el extremo libre A a la tangente horizontal en el empotramiento B. 12Pl

Figura 5.25.

6P13 xk=Ebli3

(S. 13- 1 1)

También se puede hallar el valor de la flecha calculando la ecuación de la línea elástica y particularizarla para x = 0.

Como en esta sección ger~éricala tensión máxima de tracción (5.13-5) ricne que ser igual a la a,,,, en el e m p o t r a r n i e n t o ~ (5.13-6) igualando a y b a s expresiones, se tiene (S. 13-7)

Determinaremos las constantes de integración mediante las condiciones d e contorno

de donde:

(5.13-8) es decir, el ancho de

13

viga ha de variar linealmente (Fig. 5-75).

6p13 12P13 y ( f ) = O ; -+ - j . + K = O = . K = - y E ~ / J ' Ebli

6 Pl' Ebli

302

RESISTENCIA DE MATERIALES

Por tanto, la ecuación de la linea elistica es:

tiene q u e ser igual a la tensión máxima en la seccion del empotramiento ama,

Se comprueh:~que el valor de la flecha que se deduce d e eita eciiación [ f coiricide con el obtenido aplicando el segundo tcorcnia de hlolir.

=

Igualando n:;ihns expresiones se deduce:

).(O)]

b ) Viga en voladi~ocon altura variable y ancho constante sometida a carga uniformemente repartida (Fig. 5.26) Considerando la linea media horizonral. si h es el ancho constante cn toda la viga y h la altura en la sección del empotramienro, el módulo resistente de una sección de abscisa x es:

3pI2 hll'

= --

es decir, la altura de la viga presenta una variación lineal. La flecha es el corrimiento vertical del extremo libre y se puede ca1cul;ir aplicando el segundo teorema de Molir. ps'

siendo 1, el momento de inercia de la sección recta en el empotrarniento. respecto del eje :

I,a deicrminaciciri dc la e c u a c ~ o nde la linea elástica se puede Ii:iccr licilrnentc por doble integracion. conlo se h'ri hecho eri el caso estudiado anteriorrricnte.

c)

Viga en voladizo con altura ~ a r i a b l ey ancho constante, sometida a carga concentrada en el extremo libre (Fig. 5.27)

Considerando tambiEn en este caso la linea media horizontal sea b el ancho de la viga y la altura en la sección del empotramiento. El niódulo resistente de uiia seccióri dc abscisa .Y es:

Figura 5.26.

y el momento flector y el momento flector Por consiguiente, d e la condición de igual resistencia a la flexión. la tensión máxirna en la sección de abscisa .r

,ir, = - PX

11

306

RESISTENCIA DE MATERIALES

Veamos ahora la variación del valor absoluto dc la curvatura de la elástica en ambos casos. En la viga de laminas, se tiene: I

l1W-I

12Pl

Plln

.

Para que la longitud y curvatura de [a b;illesta pucdan canibiar bajo carga es necesario que uno de sus exlrcrnos se hjc al bastidor m ~ d i a ~ i las t c getiir/
mientras que en la viga normal: 1 = -liM,I Pf =-=P EI: 1

E,

12Pf

bh3

Ebli

C o m o las flechas varian proporcionalmente a la variación de la curvatura, los resultados anteriores nos indican que la viga formada por n láminas es n Z veces más flcxible y solamente n veces menos resistente que la viga de una pieza de las mismas dimensiones. Precisamente en la particularidad de deformabilidad que presentan las vigas formadas por láminas reside el fundamento de los denoniinados resortes dej7e.rión o balfesius. La balles~aes una viga recta o de pequeña curvatura, compuesta de varias láminas superpuestas llamadas hojas, destinadas a absorber con su deformación el máxinio de energia. Se utilizan principalmcrite en los sistemas de suspensión de vehiculos cuya misión fundamental es amortiguar las percusiones debidas a las irregularidades de las carreteras y la inercia del propio vehiculo. Se fabri,can de acero de alto límite elástico, con objeto de que puedan acumular el máximo de energia interna. Suelen ser de acero al carbono aleado con manganeso y silicio o con manganeso, silicio y cromo. La lijación de la ballesta al bastidor o a la estructura portante del vehiculo se realiza por los extremos de la hoja más larga llamada Iioja i>iaes[ra.Las restantes hojas son de longitud decreciente a medida que se alejan de la hcja maestra. Se determirlan las longitudes de estas hojas de modo que la ballesta resuite una viga de igual resistencia a la flexión, que permita acumular el máximo de energia interna media. Generalmente, las hojas tienen una curva:ura' creciente a medida que las hojas se alejan d e la hoja maestra, aunque no se aprecien por su aspecto exterior. ya que para lorinnr el resorte se prensa el paquete de hojas manteniéndolas unidas mediante abrazadcras. En la Figura 5.29 se representan dos tipos de muelles de ballesta: (a) semieliptica; (0) Tecta.

Figura 5.29.

(4

Figura 5.30.

Suponiendo despreciable el rozamiento entre las diferentes hojas y que el momento PI en la sección del empotramiento es absorbido en partes iguales por las n hojas, la tensib:! normal máxima en la sección de cada una de las láminas será: LJ

M: 1;

= --

,Vmr,

=

Plin li1 bi1' 2

=

6Pl -nbli'

1 1

Se comprueba que esta tensihn máxima tiene el mismo valor que la que corresponderi3 a la .liga triangular de partida (Fig. 5.30-0). En cfecto. la tensibn n ~ i x i m aes:

que coincidc con la tcnsibn máxima en cada una de las hojas. Las ballcstrs ¿escritas son resorie.7 de hoj
308

RESISTENCIA D E MATERIALES

T E O R I A G E N E R A L DE LA FLEXION. ANALISIS DE D E F O R ~ ~ A C I O N E S

309

De aqui y de la rrlacion entre b y h se obtiene

1 .

I)ererliiinar las dimensiones de la viga de sección rectangular que puede obrenerse de un rollizo de niaderi de radio K para que pre3enre riiininia deforiiiación cuando e516 sometido a flexión siniple.

que son las soluciones que corresponden al máximo de &, ya que se comprueba que para d' l. estos valores < O. La solución ii = O de la ecuación que anula la derivada carece de dli sentido

-+

V.2.

Dimensionar la viga de la figura para un perfil IPN. sabiendo que la tensión admisible es o,,, = 1000 kp/cm2 y el módulo de elasticidad E = 2 x 10' kp/cm2. Una vez determinado el IPN a utilizar. calcular la deformación en el punto medio del vano y en los extremos de los voladi~os,así como el ingulo girado por las secciones extremas

I

P= 4 ton

P = 4 ton

1 I

L

b

4

E/>l." =

j-"' j(j-;7-) +

=

Figura V.2-a.

-

1

El cálculo de las reacciones en los apoyos es inmediato, ya que son iguales por razón de sirnttria

R,

+

R , = 12 ton

=S

R.,

=

R, = 6 ton

+

El;

"

A 2m

Figura Y.,.

Integrando la ecuacion direrenci3l aprox~rnadade la línea elistica. o b t c ~ i c r n o ~

,; =

i

1

'"Y

"+

"

Si dibujamos el diagrama de momentos ilectores (Fig. V.2-b) observamos q u e el valor absoluto máximo del momento flector es W ,,,,

= 4 m ton

siendo C y K constantes de inregración que dependen de las condiciones de sustentación. Si suponemos que el material del rollizo es honiogineo E = c:e, de esta expresión se deduce que para varias posibles vigas que obtuviéramos del rollizo. sometidas al mismo sisienia de cargas, la nccha f = y,,, será minirra para el mayor valor posible del momento de inercia 'A Comc

-.

1:

se puede expresar

=

1

-bhJ 12

y

b 2 = 4 R 2 - Il2

& en función exclusivaniente de h.

I

161

t Los extremos relativos de esta función 1, = I,(h) se obtendrán de la ecuación que >nula la derivada

I Linca deformada

I Diagrama de momentos fleciorcs

-

-

310

RESISTENCIA D E MATERIALES 1 - E O R [ A G E N E R A L D E LA F L E X J O N .ANALISIS D E DEI'OR'IlACIONiIS

31 1

El módulo resistente necesario será:

hf,,,,

4 x lo5 k p . cm

O2dm

loJ kp/cm2

-- -

IV,

=

El án-ulo que ha cirado la sección extrenia C se determina particularizando Iii ccuacii)ri que se ohiiene en la prinlcra integración de la ecuacion diferencial de la elástica para r = 0

4 0 cm'

El valor más próximo por exceso d a d o por 1:)s tnblris de perfiles larniriados es = 442 cm'. que corresponde a un I P N 2 6 0 y cuyo momento de iiiercia respecto al eje c es 1: = 5740 cmJ. Por tanto, el perfil necesario es 14:'

El signo positivo nos indica que el ciro del extremo C tiene sciitido nntihorar10 V.3.

Para calcular las cicformaciones pedidas determinaremos la ecuacion de la linea elistica

EIz',' = E =

- 4 .r -

4

+

6

- 1)

para O ,< para 1

< <

Y. .Y

1 3

habiendo considerado solamente la mitad d e la viga, ya que la deformada de la otra mirad se deduce por simetria. Integrando estas dos ecuaciones.

En las secciones C y B de una viga A B simpleinente apoyada. de I U L 1 = Su, estin alilic;lrlo\ monientos .// y -.//. rcspectivamente. La abscisa de la secci0n C es 20 y la de D. 4u. contarlas arnhas a partir del extremo A. Se pide:

l." Calciilar la ecuación de la elástica. 2." Dihiij:ir la deformada de la viga. a estima, indicando el valor de la flecha y que se presenta. 3." El 3ngiiIo que fornian los planos de las scccionri C y D. 1."

l
ya que

Iii

= El,jg

yI = 2

-

+

(X

-

1)'

+6 -

+

EI1O,

.t.

=

t'i,O,,

.r

p;rra

condición de contorno en el a p o j o .-1 nos da

=

La linca elástica de la mitad de la viga está, pues, de5nida por las ccuaciones

El,O, .r

+

2 .//u.\- - 6
<

O

.r

< ;

!,= O

4[i

<

<

.r

50

Para I ~ I deterniiriación de la constante O, aplicnrnos la condición de scr nulo desplazaiiiiento en el extrerno B. ['ara Q

para

O

< .r

para

1

< .y < 3

,< 1

Por tanto. las leyes que definen la linca elistica son: Las deformaciones pedidas las podemos obtener particularizando estas ecuaciories para x = O la primera, y para x = 3 m la segunda

n

seccihn

La v i y dada se coiiipone de tres tramos, en (,ida uno d s los cuales existir3 un.1 le> p.ir.: la dcforninda. I';ira su cilculo aplical-ernos In ecuación universal (j3 - 1 2 ) tenicndo en cuenta quc pnrinictros de la misma para nuestro caso jon exclusi\amente los indicados cri I;i l ~ , gura V 3 - 0 . El?

Las constantes de integración se determinan imponiendo las condiciones de contorno

12

r El-y = -

-0.464 cni

El,)'

4

5

4

- -.,/tu .r 5 6

para O

-J/u.r

+ -/((.x-

- 2(:!.. 2

para

2 1

<

.Y

,< 2a

S .r 6 41

para 40 i.r

<

50

ti

i I

31 2

R E S I S ~ . E N C I , \111: X I A T T - K I A I - E S

!

T E O R I A G E N E R A L DE L A F L E X I O N . ANALISIS DE DEFORMACIONES

I

2."

1 1 I

El iiigiilo girado por la seccibn extrernli .-les precisamenit. Uo, que figura eri la constante de iriic.graiibn que henios c:ilculado anieriormente

313

3." Aplicando el primer teorema de klohr, el ángulo que forman los planos de las secciones C y D será

V.4. Calcular el IPN rnhs adecuado de una viga simplemente apoyada. de lur 1 = 6 m, que ha de soportar las cargas iiidicadas en la Figura V.4-a, sabiendo que la tensión admisible es o,,, = IZO0 I;p/cni' y el metodo de elasticidad E = 2 x lo6 hp/cm2.

Una vez fijado el perfil, deterniinar la flecha e indicar la sección en la que se presenta.

8 .// u'

Las reacciones en los apoyos extremos son:

U,,

---. .

S El,

A'

Figura V.3.

Al misiiio valor Ilegarianios aplicando el segundo teorenia de hlohr. En efecto. la distancia de B i A'. intcrsecc~6iide la tangeiite en il con la vertical por U , es el momento c>iiiico de¡ área de momentos respecto de B. dividido por EI,(Fig. V . 3 - b )

I 1

1 1

C o n estos valores es rácil expresar la ley de momentos flectores. válida para toda la viga

Af; -

uA - - - BA' - AB

-4,//a2 Sa Elz

La flecha se presenta en el segundo tramo

--- 4 A a

-

5 EL

y su valor se obtiene particularizando la ecuación de la elástica del segundo tramo para X

=

=

--L/

+

RA.r -

px'

-=-

=

- 12

+ 8.r

2x2

- y=

- .r2 +

8.r - 12

y dibujar el correspondiente diagrama de mcmentcs flectores (Fig. V.4-b) De su observación se desprende que rl valor del momento íiectcr máximo es 0 [MmA,[= 12 m ton y se presenta en la sección extreiiia .f. El módulo resisterite minimo d e la sección tiene que ser

M,,,, 12 x loS cm k p [yz = -= 1000 cm3 a,, 1200 kp cm-'

Xo

Según la tabla de perfiles laminados, el módulo resistente más cercano por exceso a iste es d e 1090 cm', correspondiente a un perfil

- -

Con estos datos y observando que 10s tramos AC y DB son rectilineos, fácilmente se dibuja la elástica (Fig. V.3-c).

cuyo momento de inercia es 1: = 19 610 cm4.

T ~ - O R I ,C\ L N E K \ ~ -

RESISTENCIA DE MATERIALES

L,\ ~ L E ~ I OISALISIS N DE DLIORUACIONLS

315

elástica

Se obtienen dos valores: .Y, 1 0.62 111 . para cada una de estas secciones se ricne

. 1 ~5

3.8 ni

Por tanto. la flecha es

(J)

Figura V.4.

Calculemos ahora la elástica aplicando la ecuación universal (5.3-12), que se rcdiicc a

El,? = EI,.vo

+

EI:O0 .r

R,Y' + .-2- + + p\" -6 24

. .-.

-

la \iga de la Figura V.5-a. Ir fuerza rrsuliante dchida 3 12s ten
Sustituyendo valores, se tiene:

EIy = Ely,

y 4 ni.

12rZ 8.r' 2s' + EIOo.r - +-2 6 24

El

siendo E l z y o y EIzOo constantes de integración, q u e determinaremos a partir de las coiicliciones de contorno. Y.

= O

.r=6

; y = O=.

El,y, = O

; y=O=~O=6EI,00-6

4

x 36 f - 2 1 6

3

1296 ---=.El,Uo 12

=

6

Por tanto, la ecuación de la elistica es

El, y = 6.r - 6.r2

4

+ ;.Y' -I

1

- -.Y12'

C o m o E = 2 x lo7 ton;m2 e I, = 19 610 x lo-' m4. esta ecuación sc piiedc cxpresrir asi

en la que y viene dada en centímetros cuando la x se expresa en metros. 6

1.'

de elasticidad

S

E = 2

x 10' k ~ l c i l l ' .

Calculemos primeramente Ir posicion del centro de gravedad G del ~ h lr e.s p ~ c t oilc' indicados en la Figura V.5-a. sistenia de ejes

TEORIA GEYERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE DEFORtMAClONES

Esre momento ha de presentarse en la sección del apoyo B y en la sección C. media de AB, psra que se verifique la condición del enunciado. Tomando momentos respccto del apoyo B tenemos:

Descoriiponiendo el i r e a toi.11 d t l pcrlil en dos partes, se tiene: I.

G , ( o ; o . ~ ); R ,

2.

G,(o,

j

S)

;

=

n2 =

9cin2\ 9 cni'j

,,

_ LR,!,; -

r R,

=

9

--

x

0.5 i 9 9 + o

x

--

-- -

5.5-

317

=

3 cni

4 R., + u P Del dato de ser la fuerza que actúa sobre el irea rayada de valor 3857 kp, se deduce (Fig. V.5-bJ

Z P = O = = R., =

P aP - 2 3

-

Ig~ialandolos valores absolutos de los momentos flectores miximos en C y B.

Se obtiene la longitud a del'voladizo

de donde: Por otra parte, como :Iím,, = a P = 0.298 m ton. una vez conocido el valor de a. la determinación de la carga P es inmediata

m -0.447 ton

2."

Del primer teorema de blohr se deduce que el ingulo O,, formado por las tangentes a la elistica en los centros de las secciones C y B se anula por ser el área d e momentos, comprendida entre las dos abscisas correspondientes, igual a cero. c o m o fácilmente se desprende de la observación de la Figura V.5-c. Se comprueba analiticamcnte que, en efecto

Figura \'.5-h.

Como el momento de inercia respecto al eje

es

el momento resistente será Diagrama de monlentos flectores

De esta expresión de deduce el valor del niomento flector niixinio en la viga considerada M ,,

=

173 1: u m ~ i = - 1200 =

Ymix

7

29 828.5 cm . kp = 0.298 m ton

Y

Figura V . k .

318 V.6.

RESISTENCIA DE MATERIALES

Dado el sistema el5stico indicado en la Figura V.6-o, se pide:

l." Dibujar los diagramas de esfuerzos cortantes y niomentos flectores de la viga AF. 2." Dibujar la correspondiente liga conjugada con su sistema de cargas. 3." Calcular el desplazamiento vertical y giro de la sección C, así como el despla7arnicnto vertical de la rótula D. 4.' Suponiendo que la barra HC se comporta como sólido rígido. hallar el despla7;rmiento horizontal de la sección If. 5." Dibujar a estima la elástica de todo el sistema elástico seiialando claramente los rcsultados obtenidos y los puntos de inflexión, si los hubiere. Las barras AD y D F son de la misma seccidn, y su n~ódulode rigidez a la flexibn es El,

tramo EF : 4 1

.,

2 ton

< .r

S1

T(.t-)= 6 A ~ , ( . I - ) = 181 - 6.r

+

12(.i - 4,')

=

-

!o/

+ 6\-

6 ion

Figura V.6-a. l."

Calculemos las reaccioncs en el empocramiento A y en el apoyo E proyectando sobre la vertical, tomando momentos respectos de la sección A y poniendo la condición de que el momento flector se anula en la rotula D.

+ +

R, R E = 9 ton A{, 31 + 21 - 41 RE 6 x 2/ - R E /= O

+

6

x 51 =

6 ton

O

Diagrama de esíuerzos corranies

(c) 3 ton

N o hemos considerado la componente horizontal de la reacción en el enipotraniiento. porque iio interviene en la resolución del problema. De este sistema de ecuaciones se obtiene

RE = 12 ton

; R, =

Obtenidos estos valor;;,

-

3 ton

; M, = 131 m ton (1 en metros)

(4

las leyzs dc ecrccrzos cortantes y d e momentos flectores son:

131

Diagrama de momentos neciores 61 Figur:~V.6.

tramo BC

: 1 ,< .r

< 21

. 2."

T(.r) = - 6 M,(x)= 131 - 3.T e

-

3(.< - 1) = 161

- 6,r

Los valores de los momentos flectores vendrán d:idos en ni ton cuando 1 sc exprcsc en metros. Aplicnndo las reglas de sustcntacion quc sc lian vi510 cri cl epigrníc 5.5. la viga conjilgn d 3 ticric: un extremo libre cri la sección A , iin apoyo a::iculado cri L). una rótula en E ! un cnipotraniicnto cri la sccci<ín estrcrnn F [ s t i sornciid,? n un;c carga distribuida i ~ u i i l

al diagr:ir~~:ide 111o111ento~ ~lccrorcsdividido por Id rigi
I;i

~ j -

El signo neg;itivo nos indica, como ya se ha dicho antes para la seccion C. que el centro de gravedad de la sección D queda por encima de la tangente a la elistica en A. J." S I la barra CN se comporta como sólido rigido, de la Figura V.6-fíacilmente se deduce el cilculo dcl desplazamiento horizontal de la seccior; extrema W

Figura V.6-r. Figura V.6-J

3." Aplicando el segundo teorema de hfohr, el desplazamiento vertical de la seccion C sera:

Sustituyendo el valor de O, obtenido en el apartado anterior, se tiene:

5."

Con todos los resuliados obtenidos, se puede dibujar la elástica dcl sistema considerado (Fig. V.6-g)

El signo negativo nos indica qur el centro de gravedad de la sección C de la elástica queda por encima de la tangenre en .-l.es decir, la ordenada jt, es positiva. Para calcular el giro de la secci6n C aplicarenios el primer teorenia de M o h r

.

- -23 1' + -71'= Z El, El,

\F-

Figura V.6-g. El signo positivo nos inuica que el giro de la sección C se ha producido en sentido anrihorario. El desplazamiento vertical de la rótula D lo calcularemos aplicando el segundo , teorenia de Mohr.

Se observa que no existe ningún punto de inflexión. V.7.

Dado el sistema elistico de la Figura V.?-a, en el que las vigas AB y BE son de la misma sección y rigidez, se pide:

l." Dibujar los diagranias de esfuerzos cortantes y de momentos flectores. 2." Calcular el desplazamiento vertical de la rótula B y de la sección C. por aplicación del segundo teorenia de Mohr. 3." Determinar el giro y el desplazamiento vertical de la sección extrema libre E, por aplicación de los teoremas de la viga conjugada. Dibujar a estima la elistica, señalando los resultados obtenidos. 4..

-

291'

111'

213

El,

El,

El,

-

1."

Calculemos las reacciones en el empotramiento y en el apoyo D. Proyectando las cargas sobre la vertical:

322

RESISTENCIA DE MATERIALES

Figura V.7-a.

Tornando momentos respecto de la rótula, de la solicitaciori misma 'U, R, . 1 = O IM - R D . 2 1 + PI = O

:i

uno y oiro lado de la

+

De este sistema d e ecuaciones se obtiene

R

- -P

-'-3

; R , = -2p

.

' M,=-

PI j

Las leyes d e esfuerzos cortantes y de momentos flectores seran: tramo A C : O ,< x ,< 21 Figura V.7. En nnibos c:iso< cl ser pcisiiivos los dcsplnzaniicntns indic;~qiic los puntos (le 1.1 e l á s i i c ~corrcspcirid~cntcs:i 1;is sccciories B y C qiicd;iri por dehriju d e la i;in:erirc 3 l:i misma en cl extremo A . 3." A partir del diagram;~de nioiiienios flcctorcs y ienicndo en ciieriia Ins rcglnc correipondientes sobrc la sustentriciijii. podemos dibu~;irla viy:i conjuyadd de In viga d
tramo CD : 21 < x < 31

T(.r) = R,

2."

-

2P P = -3

Pl -

Los d i a g r a m a d e esfuerzos cortantes y de momentos nectores se representan en I?.s Figuras V.7-c y V.7-d. Ei desplazarniento vertical d? la rótiila B es igual a la distancia dc la scccion B a la tangente trazada a la elástica en el empotrami-nto A. Por el segundo tcorcrna d e Mohr:

Calciilcmos las rcacciones dc I;is ligadur:i( en la viga conjugad;^. Proycciarido la< cargas sobrc la vertical:

R,

Análogamente, p a r a la sección C

ioi 9 E?:

+

1 PI' R E = --

EL 3

Tomando momentos respecto de la rótula D. dc la solici[aciOn quc aclua a uno otro lado de la niisma:

)

324

RESISTENCIA DE M A T E R I A L E S

T E O R l A GENERAL DE LA FLEXION. ANALlSlS DE DEFORMACIONES

325

De este sistema de ecuscionzs se obtiene -

P12

PI' R -E - 4 El,

R,=-. 2 L/

;

PI ' ,e,= ---12 E/:

Por ianro. el giro y el de5plazamiento de la secciljn extrema E ssrin, en virtud de los teoremas de la viga conjugada

R

E

=

l

- -PI

'

4 El,

I

12 El, El signo negativo de 0 , indica que 13 sección extrema E tia experimentado en la deformación un giro de sentido horario, asi como el negativo de la expresión de y, indica que el desplazamiento de esla sección es hacia abajo. 4." Con todos estos resultados ficilmente se dibuja la elástica (Fig. V.7-j).

Sustiiuyendo estas expresiones en la de 6. teniendo en cuenta que 1: R,,

5 6

= - h11, se

=

1 --611' 12

y

tiene

$ =

$, J-; d..

---

.y.

J-;

+7 d.. 2

=

D \

.I'c rótula

V.8.

y!', E

r

punto de inflexión C Figura V.7--

Calcular el valor de la energía de deformacibn de una viga recta AB de longitud 1 = 5 m, sección rectangulir de ancho b = 1C cm y altura h = 20 crn, sometida a un niomeii!o exterior -K = 20 m ton, aplicado en su extremo derecho B. en sentido antihorario. Se conoce el m6dulo i e elasticidad E = 2 x 10t kplcm' y el valor del coeficiente de F o i s s d ~p = 0.25. La viga que se considera esta sometida a flexión simple. Según la ecuación (5.6-6) la expresión del potencial interno es

V.9. La: leyes de momentos flectores y esfuerros constantes, según se desprende de la Figura V.8 son:

Un anillo circular de fundición de sección recta rectangular h = 6 mm; b = 4 mm y radio medio R = 50 mm, como indica la Figura V.9-a esta cortado radialmente. En ausencia de fuerzas exteriores. la separación entre las secciones del corte es despreciable. Despreciando el efecto del esfuerzo normal calcular la separación de las secciones extremas cuando se aplican dos fuerzas iguales y opuestas F = 50 N, perpendicularmente a dichas secciones. Datos del niaterial del anillo: E = 12 x 10' MPa; G = 48 x 10' MPa.

326

I

RESISTENCIA DE MATERIALES

TEORIA G E N E R A LDE L A FLEXION. AS.IALISIS DE DEFORMACIONES

327

se obtiene

Determinar, aplicando el niétodo de hlohr, la infliieílcia rclativa del esriler7o cortanre en e ' ~ a l o de r la flecha de una viga simplcrnente apoyada de longitud f = 4 rii somciida a dos cargas concentradas como se indica en la Figura V.10-a, siendo la viga de sección constante rCccangular de din~ensionesb = 8 cm. h = 12 cm y de un material cuyo coeficiente de Poisson es ii = 0.35.

Figura V.9-a.

Figura V.9-b.

Calcularemos la separacion S de las secciones extremas igualando la expresibn del trabajo realizado por las fuerzas exteriores

Figura V.10-a.

1

al potencial interno d a d o por la expresion (5.6-6)

Las leyes de esfuerzos cortanies y de momentos flectores en el anillo son (Fis. V.9-b) = F sen

O ; M , = FR(1 - cos 0)

l! I

Segun hlohr, el desplazamiento vertical de la sección nicdia de la viga que consideramos debido al momento ílcctor, es

micntr~isque el debido al esfuerzo cortante vienc d a d o por

El potencial interno, despreciando el efecto del esfuerzo normal, es F'R2(I - cos 0)' R dO

1 +2G121y

jO2' -

F2 sen2 O R dO =

sen' O dO

3nFR3 -2EI,

nFR

+ -GR,,

teniendo los tCrrninos que figuran en ambas inte-rales el sigiiificndo indicado en el epigrafe 5.8. y situando la carga unidad en la sección media. quc es donde se presenta la flecha. Las leyes de niumentos ílectores y de esluerzos cortantes que figuran en las integrales anteriores. wgun se deduce de las Figuras V.10-b y V-10-c. son: Para la carga real

PI

21 113 < .r < -: 3 A!,

= 3 ;

2/31 <

=

.K

S 1: h i z o

T,, = O

f'[l - .c)

:

50 =

Sustituyendo los valores dados Para la carga unidad O

6 =

3n

x 50 x

n x 50 x 60

60'

120 O00 x 72

+

48 000 x 20

mm = 11.78

+ 0.008 mni

< .r

< 112: M,,

I

= - x

2

; T,, =

1

-5

-

328

RESISTENCIA DE XtATERIALES

TEORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALlSlS DE DEFORMACIONES

329

Dividiendo ambas expresiones

jT, -- PI 54 Eblr3 f . Ebh 2 3 P13 =

2.34

(g2

para los valores dados. se obtiene

El resultado nos dice que la influencia del esfuerzo cortante en el valor de la flech,~,rcbpccio de la produc~dapor el momento flector. es del orden del 0.2 por 100. por aplicación Compruebe el lector que obreniendo la flecha debida al momento íicctor . de la ecuacion universal de la elástica y la correspondiente al esfuerzo cortante mediante la ecuacion (5.7-3). se llega al mismo resultado.

V.ll.

Dado el sistema indicado en la Figura V.11-a, se pide: 1." 2."

Dibujar los diagramas de esfuerzos normales, esfuerzos cortantes y momentos flectores. Determinar el I P E necesario, sabiendo que: a,,,

=

1000 kp/cmZ ; E = 2 x ¡O6 kp/cm2

3." Calcular el giro del qudo F.

Figura V.10.

Por tanto, considerando la niitad de la viga y multiplicando por 2 por razón d e simetria. tenemos:

1 Como I, = - bh3 y R , 12

=

5 6

Figura V.11-o.

bh. susrituyendo, se tiene

l."

Las reacciones en los apoyos A y B del sistema considerado son ambas verticales. ya que el apoyo articulado A , aunque es fijo, n o existe ninguna otra fuerza hoiizontal. Proyectando sobre la vertical y tomando momentos respecto de B tenemos:

R, + R , = 7 ton 6 R A - 6 - 3 ~ 5 - 4 ~ 2 = 0 de donde:

R, = 4.83 ton ; R, = 2.16 ton

330

RESISTENCIA DE MATERIALES

1-EORIA GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE DEFORMACIONES

Ol>tcnitloc los valores Js las reacciones. las leyes de esruerios nornialcs. esíuerzos cortantes y iiionieritos ílcctores son inmediatas.

331

1.53 ton

Esfuerzos normales 7

AC:

,V = R , = 4 83 ton

CI):

N

-

cos 45'

= /<,

=

;4l

ton

-m: ,v = o m: iV = R,

cos 45: = 1.53 tori

m: rV

,=

= -R

-1.16 ton

Esfuerzos cortantes 7

AC:

7;

TU. 7; DE: 5

=

ffB:

Figura V.11-d.

= R, sen 45: = 3.41 ton =

n: 7; = m: T, =

-

2.16 ton

Figiira \..lI-c.

O

R, - 3 = 1.83 ton 1.83 - 2(x - 2) = 5.83 - 2 1 - 2 . 1 6 ~ 0 ~ 1 5= ' -1.53

?.=O

Morncntos flcciores

o

z: M, = O m.

-

+

M, = -6

f J E : M, = R,(x

m:

.v:,

3.4i.r

+

1 ) - 6 - 3.r = 1.83.r - 1.17

M= = 1 . 8 3 ~- 1.17

- (.r

- 2)2

Figura V. 11 -j:

i

Sm

r n : Ai', = R,0.707.r = 1.52.~

m: M: = o Los diagr:inins correspondientes se representan en las Figiiras V.1 1-c, V.1 1 - < / y V.1 1-e

2."

l

Del diagrama de momentos flectores se deduce el valor del momento flector miximo ilí,

,,,

6 m . ton = 6 x 10' c m . kp

El riiódulo rcsistcntc sera lb; =

R"

f . 6 x lo5 --= --- cm' uidrn

I

A

C

=

10'

= 600 cm'

Obser\.ando la tabla correspondiente a los perfiles IPE. el valor m i s prkximo. por exceso, corresponde al perfil 3 ron

3."

Figura V.11-6.

W/

Para el cálculo del giro de la scccion Fdesprcciarcmos el efecto de los esfuerzos normal y cortante. frente al momento flector. Siguiendo el mctodo de hlolir. aplicnmos un momento unidad en sentido horario. como se indica en la Figura V.1I1/i y dibujnnios el diagrama de morneiitos ílectores que tal aplicación produce en el sistema, una vez calculadas las reacciones 6R, - 1 R, - R,

= =

0 de dondc: ,:/ O

=

R,

-

0.16 ton

TEORIX GENERAL DE LA FLEXION. ANALlSlS DE DEFORMACIONES

333

El drsp1a;r;irliicnto vertical del extremo A es la flecha de \a barra A U . La ~ l i ! ~ ~ ¡ a r e t n o s igualando dos e.xpresiones del potencial interno del sistema. I'or una parte, hallaremos el poiencial interno en funcitjn del momento flecior. despreci:iiido e1 electo de los esfuerzos normal y cortante. Potencial iiitzrno de 1a barra .A 8:

P'

1 ,

El rin-u10 0 , ?irado por In sección F será:

I

ZEl,

P'l' 6EI,

Poiencial interno de la barra CB..'

i

El potriicial interno del sistema será: !

l

Por otra parie. el poiencial interno en funciún de las fuerzas cxreriorcs es

Sustituyendo cstos vrilores: Igualando ambas expresiones

El signo negativo indica que tiene sentido distinto al del momento unidad aplicsdo, es decir, la sección F gira rn sentido antihorario. l

.

-

se obtiene el valor de ia flecha

Calcular el dtsplazamiento vertical experinientado por el extremo .-l del sisteriia representado en la Figura V.12-a, al a p l i c ~ runa cirga P en diclio punto. Las rigideces a la ficxion en los tramos A S y B J son respectivairiente ¿1'1, El,. Al niismo resulradc se puede liegnr aplicando el ieorema de Castigliano

V.13.

Calcular el desplazamiento del punto A, extremo de una barra eliistica de sección constz-te, empotrada en un extremo, cuya ibea media es una semicircunferencia, cuando se aplica una - --y carga P en dirección diametral. como se indica en la Figuri V.13-a. por el mismq Calcular tanibién el ángulo de rotación de la sección transtersal que punto. j : Se despreciara el efecto producido tanto por el esfuerzo normal como por e1 -+cortante. - ' a-

Figura V.12-6.

3

334

RESISTENCIA DE !MATERIALES TEORlri GENERAL DE LA FLEXION. ANALISIS DE DEFORA,IACIONES V.14

A

335

Una barra curva de rigidez El. cuya línea media es una seniicircunferencia esta ernporrada por uno de sus estrenlos. Sobre la barra y en el plano de la misnia actúa una carga lineal uniforme P en dirección radial como indica la Figiira V.14-U. Calciilar riiedianic el mbtodo de hlohr el giro de la wcción B. así cnnio el corririiicriir~Iiori~ontnlqiic rlichn seccihri cxpcrirrienta.

Figura V. 13-n.

El corrimiento 3 del punto A tiene dos componentes: S,, y d,,, según los g c i indic;idos en la Fisura V.13-b. Para la determinación de ambas aplicareinos el método de bfolir coiisidcr~ndouna luerza unidad cii la direcciOn de P. para calciilar ia coniponcritc &,, cn In dircccibii r, y otra fiicrza, tnnibieri d e modulo unidad. eri dirección dcl ejc y p;ir;i el cilcirlo de 6 ,,. Figura V.14-o. En la secci0ri definida por el i n g u l o O, la resultanre F de la c;irga radial rituada a la dcrc, de la secciori cs (Fig. V.14-h):

X

Figura V.13-b.

Figura V.13-c.

Figura V. 134.

'2.:

i/ por lo que el rnornento flector .\lodebido a la carga aplic~idascr3

La ley de momentos flectores en una sección delinida por el i n g u l o O es :\Izo= PR sen O

P o r otra parte. las leyes d e momentos flectores debidos a la carga uriidad cn la diiccción de los ejes .Y e y respectivamente son:

AI,,,

=

R sen 0 ; M,,,= R(l

- coso)

P o r tanto. las coniponentes de¡ vector corrimiento son:

d.Y =

nPR'

-

2 El: Figura V.14.

W C o m o la ley de nicimentos flectores debidos a un momento unidad aplicado en la seccion B (Fig. V-14-c) es

A í l o ~ a m e n l e .Para el cilcuio del giro d e Ir a c c i ó n A aplicamos un momento unidad en dicha :cion extrema (Fig. V. 1

el método de hfohr nos pcrmite obtencr O,

hfzo = PR sen O ; M,, = 1 .. ,

m

= J;~f:~hf:, El,

=

&=-I EI,J:

J---El,

2 P R 1 s e n 20- . K < / U = 2

~ R x n o- Rr,o = valor del i n g u l o girado por la sección extrema B. en sentido horario.

TCORIA GENERAL DE L A FLEXION. ANALISIS DE DEFORMACIONES Para detrrmin;ir el corririiiento horizontal dc 13 misma scccion B apllcvremos una fuerza unidad en la dircccióri en que qusrzmos calcular 12 pr0ysCCion del vrctor ~ o r r i f i i i e r i [ ~ ( P I S .V.14-cl1 .L/:,

A,,

=

j

-

--L7:-

.Lí:*.If: El:

2pRJ-' Jo

=

R sen O

0

-?pRLsrn'

jsn'

11

U

U

2 rrn - cos - ini = 2 2

R scn U R (10

.

.

4pRJ 2

-

El: 3

El ciyno menos nos indica que el corriniisnto horizontal es hacia l

=

i~quierda.

Id

I

Calcular los desplaz~rnientostertical. horizontsl y angular de la sección eitrenia de una barra en L con la sustentación y carga indicadas en la Figura 1'-15-0. El trniiio horizontal vertical tiene rigidez E l , y el vertical El,. Se harii el cilculo apliciindo Iits integrales de hlolir y resoliierido éstas nicdiante el nictodo de niultiplicaci6n de gráficos. Sr prescindirá de los efectos producidos por los esfuerzos nornial j cortxnte.

1

Figura V.15.

es decir, resumiendo, los desplazamientos pedidos son:

En las Figuras V.15-b, c. (1. e dibujamos los dirigcimas d e inomenros flrtctores: d e I;i c:\rga P(it,ío);de una carga unidad vcrtical aplicada en A ( ~ t 1 , )dc ; una carga unidad horizontal aplicada tarnbirn en A(;L/,); y de un momento unidad aplicado en la misma seccion A ( M , )

6. =

1%

=

E&

I Pbn a El,

1

2

dy = - Pbab El1

El, M,&/,

dj' =

1

- Pab

E11

PU'~

= --

2E1,

1 1 2 +7 - Pb2 - b tl,2 3

I Pb +b -

El,

2

q u e tienen los sentidos indicados en la Figura V.15-j:

337

-

F L E X I O N DESVIADA Y FLEXION COXlPCT.S~I,\

Flexiórz desviada

En csios tipos dc flcxion. el convenio de signos para el momcnto llcctor cri I)risiii;is meciriicos somctidos a flexjón simple que sc ha establecido cri el Capitulo 4 carccc de scntido. Aunquc. si nos damos cuenta, el convenio de dccir que cl momcnto flcctor JCJ, positivo cuando I:i libra inferior esti sorne[ida a traccibn. cs equivalente a dccir que rriorncrito flector en la sección que considcranios tiene positiva su cornponcntc ~ c f rcspccio , dc la reícrcriciii J.: definida en el prisma, corno fácilmente se dcsprendc dc la observación dc la Figura 4.4. siempre y cuando el scmieje j 9 positivo se tome hacia arriba. Ahora. consideraremos que los sienos de los momentos Al, y M, son los que corresponden segun los ejcs y: adoptados que, como sabernos, son corncidcntcs con los ejes centrales de inercia de la sección. No perdamos de vista que M, y 11.I: son. en cada sección, las componcntcs del nioniento de las fuerzas que actúan sobre la parte eliniinada situada a la derecha de la seccibn o, lo que es lo riiismo, el mornento de las fuerzas que actuán sobre la parte que esla a la izquierda de la sección, cambiado de signo.

6.2.

6.1.

Introducción

En capitulos anteriores hemos considerado que el momento ílcctor cn una scccióri dcl prisma mecánico tcnia la dirección coincidente con uno de los cjes centrales dc inercia dc la misma* (Fig. 6.1-0). Estudiaremos ahora las particularidades que presenta un prisma mecánico en el que la solicitación exterior produce en una sección recta un momento contenido cn su plano, pero cuya dirección no coincide con ninguno de los dos ejes centrales de inercia. Si, además, el esfuerzo normal es nulo, diremos que el prisma niecánico está sometido aflexión desviada (Fig. 6.14). Cuando el esfuerzo normal no es nulo y existe, aderriis, uri mornento flector ,\T, diremos que el prisma trabaja a fle-~ibriconrpuesta.

Flesión desviada en el doniinio elástico. Análisis de tensiones

Consideremos tina viga, tiil como la rcprescntada en la Figura 6.2,cargada cri un pl:inc; quc no coniicric a riingurio dc los dos ejcs ccntralcs de inercia de las scccioncs rcctas. St. ,\TI. cl morncnto llcctor en una secciori y iLf,, ,Ct, sus cornponcritcs rcspccto dc los c!! ccritralcs Gj, y í;, rcspcctivameritc. Ciilculcmos el valor dc la icnsióri norriial a cn i i r i purito P (J.. :) CJC la sccciOn por aplic;icion dcl principio de supcrposición. suriiiindu los valores corrcsporidicntcs a cada una dc las componcntcs dcl nionicnto flcctor, calcul:idos mediante la Icy de Navier.

Figura 6.2. Así. la tcrisibri normal a' dcbida al momento Alz es Figura 6.1.

Se habrá obsemado que la existencia del esfueno cortante implica la existencia en gcncral dc u n momento flcctor. Por tanto. cuanr'o decimos que en la sccciSn existe u n esfuerzo cortante P entcrrdcrcmos qiie existe impliciiarnente u n momento flector ,Üp

338

a

339

rriicntrns quc 1;) cxprcsion dc la tcrisiori a" producida por Al, cs

3-10

RI:SIS~~ENC'IA011 X.1A.I fiRIAI.ES

1.3 que para ,\f, positivo corresponden tensiones de tracción en el con e1 signo seniiplano r > O, como fácilmente se desprende de la Figura 6.3. Por tanto, la ien,i
Identificarido se tizne:

y;, que

jj,,!: ,iQ

=

O, por tratarse de un producto de inercia respecto a ejes principales de

inercia. Luego, la expresión de la tensión normal será:

idSntica a la obtenida aplicando el principio de superposición. El eje treirrro de la sección se puede obtener como lugar geométrico de los puntos P cuya tensión normal es nula. Su ecuación será: Al mismo resultado hubiiramos llegado por via analitica. En efecro, adrniiiendo la hipótesis de Bernoulli de conservación de las secciones planas, la tensión normal a será una función !inea! de !as coordenadas de la forma

siendo u, b, c parámetros que determinaremos imponiendo las condiciones de ser nulo el e-fuerzc norma! y tener ¡as componentes del iriomento los valorc; y ,I/,.

Ya que

Iil IIn J'

=

2

d o = 0, por tratarse de momenios estáticos iespecto de ejes que

que corresponde a una recta que pasa por el centro de gravedad de la sección. De esta ecuación se desprende que el eje neutro no coincide con la línea de acción del monientc flector, ya que despejando y en ella, se tieie

Como

5 = lMT

tg O, la ecuación del eje neutro se puede poner en la forma

contienen al centro de gravedad de la sección. La condición de equilibrio exige que el momento flector en la sección sea igual al momento de las fuerzas engendradas por la distribucióri de tensiones noriiiales

-

de donde se deduce que el eje neutro forma con el eje z un ángulo tgd

=

1.

1,

tge

4 tal que

342

RESISTENCIA DE MATERIALES

FLEXION

Vemos, en efecto, que salvo el caso en que se verifique 1, = 1,. el eje neutro no coincidirá con la linea d e acción del momento flector. Por eso se denominajlexibn desviada a este tipo de íiexión. Ahora bien, como 6 e I, son magnitudes esencialmente positivas, los ángulos 4 y O tendrán el mismo signo. Si > I,., el ángulo 4 es mayor que el ángulo O: el eje neutro estará situado entre la linea de acción del momento flector y el eje y. Si, por el contrario, Iz < 1,. el ángulo q5 es menor que el ángulo O, y el eje neutro estará situadoentre la linea de acción del momento flector y el el eje z. Se desprende, pues, quc el eje neutro esti situado siempre entre el momento flector en la sección y el eje principal que corresporide al momento de inercia mínimo. El eje neutro divide a la seccibn en dos zonas. una traccionada y otra comprimida. Para distinguir cada una de ellas se puede tomar un punto cualquiera de la sección perteneciente a una de las zonas y sustituir sus coordenadas en la ecuación (6.2-3). Si el valor de
DESVIADA Y FLEXION C O M P U E S T A

343

o lo que es lo mismo a = kd

habiendo toinado como serniplano positivo el correspondiente a la zona traccionada. De esta expresion se deduce que la tensión norniai es uii,i función lineal dc la distanci~i al eje neutro, por lo que los puntos de la sección sometidos a la tensión normal máxima serán los m5s alejados del eje neutro. La determinación de estos puntos se hace fácilmente en el caso de secciones de fornin sencilla. Pero si la sección es de forma compleja. i;l ecuación (6.2-1 1 ) nos sugiere poder dctcrminar los puntos soriietitfos a tcnsicincs mrixirn:is a tracción y a coriipresibn. de forma gráfica como se indica en la Figura 6.5.

Figura 6.5.

.;

Se dibuja la sección y se trazan los ejes centrales de inercia y, asi como el eje neutro. Trazando las tangentes a la sección paralelas al eje neutro obtenemos los puntos A y R, que son los que van a estar sometidos a tensiones normales niásimas. En la Figura 6.5, en el punto A. la tensión norrnal es de compresióii y en cl B de traccion. De la ecuaci<>ii (6.2-1 1 ) tambien se deduce !a posibilidad de representar la distribucion de tensiones no;inales en el plano de la sccción (Fig.. 6.5). Para la distribución dc tensiones tancenciaies, debidas al esfuerzo cortante T (T,.. Ti. podenios admitir que cada una de sus coniponentes se rige por la fórmula de Colignon. 5i bien insistimos en el caracter aproximado de la niisma. En cada punto P (y, z ) de la sección existiri, pues, una tensión tangzncial 7 de componentes r,, y T,:, dadas por ¡as siguiectes expresiones: Figura 6.4.

Pero el numerador de esla expresión es ~recisamenteel valor de la tensicin u en el punto P, por 10 que podemos poner:

en las que Ias coinponciitcs T,. dcl esfuer70 cortante tienen el signo que les corresponda respecto de los ejes indic;idos en la figura*, y siendo: Tengasc prcscliic quc cl csfucrzo cortanie que acrúii en la scccibn cs igual y opuesto a la proyscci6n s o h e plano de la niisn1.1 dc la rcsulianrc dc 12 so1icii;iciSn q u c actúa sobrc 1.1 pxrtc dcl prisma ~on:~rc~idi
i i II

1

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA

345

Para obtener la expresión del potencial interno podemos aplicar la fórmula ,1.15-5) que nos da éste en función de las componentes de la matriz de tensiones, en la que o,, = o, teniendo en cuenta que

El potencial interno del elemento considerado será:

Figura 6.6.

in,.. tnl, los momentos estáticos de las áreas de la sección situadas por encima o a la izquierda de las libras de coordenadas y, z del punto considerado (arras rayadas en la Figura 6.6). O, c. la anchura y altura, respectivamente, de las fibras que pasan por cl punto P.

I

Si nos planteanios determinar el perfil idóneo de las secciones rectas de un prisma mecánico sornetido a flexión desviada, seguiriamos un razonamiento análogo al expuesto cuando tratábamos esta cuestión en el caso de flexión simple. Llegariamos a la conclusión que, en el caso de ser M, = M,, la forma óptima para la sección recta es la de una corona circular, capaz de resistir el mismo momento flector en cualquier dirección (Fig. 6.7-a). En los casos en los que M , Z' Mí sera aconsejable ulilizar uigus c t i ~ h tde ~ contorno rectangular (Fig. 6.7-6).

1 6

/ II

l

1

i (fl)

Figura 6.7.

I

Si el elemento de prisma que se considera es el comprendido entre dos secciones rectas indefinidamente próximas separadas entre si d.r, el potencial interno correspondiente se obtiene inregrando esta ecuación y extendiendo la integral a la seccion recta

Ahora bien. sustituyendo los valores de la tensión normal u y las tensiones tangenciales r,,, r,; por sus expresiones (6.2-1) y (6.2-9). se tiene:

Siniplificando, nos queda:

,e

(6)

d& = -rl.r

2EI,

6.3. Expresión del potencial interno de un prisma niecánico sometido a flesión desviada. Análisis de deformaciones Según hemos visto, sobre un elemento del prisma de aristas paralelas a los ejes, las tensiones que se engendran sobre sus caras, cuando el prisma mecinico se somete a flexión desviada, se reducen a las indicadas en la Figura 6.8.

Figura r 6.8.

MI T2 + -d.Y + --- d.^ + T: ([.Y 2 EIz 2CQly 2GQlz

I

siendo:

I

las secciones reducidas de la sección recta del prisma.

346

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COhlPUESTA

RESISTENCIA DE MATERIALES

347

El potencial interno del prisma se obtiene integrando la expresión (6.3-4) a lo largo del eje dcl mismo

El calculo de las deformaciones se puede hacer a partir de esta expresión del potencial interno, aplicando el método d e Mohr expuesto en el epígrafe 5.8, es decir, si queremos hallar la proyección del corrimiento del centro de gravedad de una sección C sobre una determinada dirección, aplicaremos en dicha seccion una fuerza unidad en esa dirección. Actuando únicamente esa fuerza unidad sobre el prisma dado, dará lugar en el niismo a unas leyes de momentos ílectores M,,, M-,,y de esfuerzos cortantcs T,,,, T;,. La proyección del corrimiento de la seccion C. en la dirección de la carga unidad aplicada, es:

Resulta más fácil, sin embargo, para calcular las deformaciones en los casos en los que sc puede considerar la ílexión desviada como superposici6n de dos flcxioncs simples, componer vectorialmente los desplazamientos 6,, 6,-, en las direcciones de los respectivos cjcs a que cada una de ellas daría lugar actuando independicntcmenic de la otra. Por tanto, el desplazamiento total de la seccion C será (Fig. 6.9)

/

Figura 6.10.

'

Existc ur.3 !~~[Cresante relacióri entre la traza del plano de carga. el ejc neutro y la elipsc central de iriercia de la sección. En efecto, consideremos la elipse central de inercia, cuya ecuación es: IyyZ o lo que es lo niismo:

+

1,z2 = K 2 = I J ,

(6.4-1)

-

sicndo t la coordenada hornogénca. El punto iriipropio de la recta. t r l m del plano dc carga, tiene de coordenadas (M,. -M,, 0). La direccijn conjugada de esta recta respecto de la elipse de inercia es la polar del puiiio impropio. Su ecuación es:

siendo/; y las semiderivadas de la funciÓn/(.r, y,i ) respecto de las coordenadas y rcspectivan~cntc Figura 6.9.

6.4. Relación entre la traza del plano de carga y el eje neutro

Sustituyendo en (6.4-3), se obtiene

Supondremos en lo que sigue un prisma mecánico de línea media rectilinea que admite plano de carga, es decir, que las fuerzas que actúan sobre él son perpendiculares a la línea

media y ambas, carga y linea media, están contenidas en un mismo plano. En estas condiciones, el momento flector y la traza del plano serán perpendiculares (Fig. 6.10). \

que es precisamente la ecuación del eje neutro.

Y 2-

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COtvlPUESTA I/jrPcc,&rf (/L./ r j r tr(,,/tro rrsrr//t~ser I(i
349

El eje tirurro, luear geométrico de los puntos de tensión normal nula. tendrá por ecu:ición:

que reprcsertta una recta que no pasa por el centro de gravedad. Se observa que cuando se superpone un esfuerzo normal a una ílexión desviada, el eje neutro que corresponde a la ílexión desviada experimenta una traslación en la dirección 1v-

del eje y, de valor -R .\f. Para hallar las deformaciones calcularemos el potencial interno de un elemento de prisma comprendido entre dos secciones Z y E' indefinidamente próximas, separadas d'c, aplicando la fórmula (1.15-5) en función de las componentes de la matriz de tensiones

1

\'lo

Figura 6.1 1.

En la Figura 6.1 1 se representa una construccióii grifica del eje neutro: basta trazar por el centro de gravedad G una paralela a las tangentes a la elipse de inercia en los puntos de intersección con la traza del plano de carga.

Simplificando, nos quedrt:

6.5. Flexión compuesta

El potencial interno del prisma se obtiene integrando esta expresión a lo largo del eje del niismo

Diremos que un prisma mecánico está sometido a j l r s i o i ~cor~ipuesrocuando el sistema de fuerzas que le solicitan, situadas a un lado de la sección, se reducen eri su centro de gravedad a un momento flector y a un esfuerzo normal. Si M, y &fz son las componentes del momento de las fuerzas sitiiadas a 1:i derecha de la sección r e ~ i ay si N es el esfuerzo nornilil, la teiisióii r.or.ii:il eii un punto /'(j.,z), e11 virtud del principio de superposición, será: El cilculo de las deformacionts se puedc hacer a partir d e esta expresión del potencial interno aplicando el método de Motir, análogamente a como se ha expuesto para la ílexión desviada en el epígrafe 6.3.

siendo fl el área de la sección recta. Cuando el esfuerzo normal es de compresióri, el valor de N será neg;itivo, y positivo cuando es d e tracción. Sin embargo, cuando N es de compresión, la fórmula (6.5-1) sólo es válid:~para prismas mecánicos de gran rigidez, ya que, como vcrcinos en el Clipitulo 8, la iiplicnción de esfuerzos de compresión en barras esbeltas puede poner en peligro su estabilidad.

! i i

!i i

6.6. Tracción o compresión excénirica. Centro de presiones Cuando sobre la stccibn recta de un prisma mechnico actúa solamente una carga N paralela a su eje pero aplicada en un punto C que n o coincide con el centro d e gravedad, diremos que el prisma está sometido a una tracción o compresi6n e.~cénfrica.El efecto producido por tal solicitación es equivalente a una flexión compuesta.

350

RESISTENCIA DE MATERIALES

FLEXION DESVIADA Y

En eíccto. si reducimos el sistema de fuerzas formado por la carga Ñ aplicada en el punto C ( e , e;), llamado centro de presiones. al centro d e gravedad de la sección (Fig. 6.12), el torsor equivalente está constituido por una fuerza normal Ñ, equipolente a la aplicada en C, y un momento contenido en el plano de la sección, de componentes:

FLEXION COMPUESTA

351

l

(6.6-1)

M, = N . e _ ; M; = - N . e,

magnitudes que caracterizan a la flexión compuesta.

' 1 El eje neutro se puedc obtener sustituyendo en la ecuacibn (6.5-2) los valores de los momentos flectores dados por las expresiones (6.6-1)

Ahora bien. los ejes ncutros correspondiciitcs a ambas tracciones o comprcsioncj excéntricas se ccirtaii en el punto C ' cuyas coordenadas son:

D e esta ecuación se deduce que la posición del eje neutro no depende de la magniiud de la carga normal N aplicada. Si el centro de presiones está situado sobre uno de los ejes centrales de incrcia de la sección, d e la misma ecuación (6.6-2) se desprende que el eje neutro correspondiente es perpenciicular a esc eje principai. En efeclo, si el ceiitro de prcsioncs C , está sobrc el c;e principal z : [Y = el eje neutro es := - -

e,R

Si C , está sobre el eje y: ex = O

3

-

el eje neutro es y = - J.

que son constantes e indepeiidicnies. por tanto. de la posición C sobre la r a t a cgnsidcrada. Quiere esto decir que cuando eri una iracción o coriipresión excentrica, el centro de presiones -, se dcii~ldzasobrc una recta, su correspondiente cjs neutro pasa por un punto fijo

(6.6-3)

L .

-

!

(6.6-4)

e,Q

Los signos negativos de las expresiones (6.6-3) y (6.6-4). al ser los momentos de inercia y cl área de la seccibn magnitudes esencialmente positivas, indican que los ejcs neutros cortan a los ejes principales en puntos cuya coordenada no nula tiene signo opuesto a la correspondiente del centro d e presiones.

Figura 6.13.

De lo ar?is:ior se deduce otra interesante propiedad de la tracción o compresión excentrica. Supongamos que el centro de prcsioncs se desplaza a lo largo de una recta qric corta a los ejes priiicipales en los puntos C , y C,(Fi9. 6.13). Por el principio de superposición. e1 efecto producido por el esfuerzo normal ,V aplicado en el centro de prcsioiics ( es equivalente a ln acción de dos csíiierzos noriiialcs ,V, 1. A', aplicados en C, y respectivamenic. tales que

Figura 6.12.

e, = O

e.n. 1

; ,

Hemos victo que una tracción o conipresi6n exckntrica es equivalente a una ~lesiori com'puesta. Recíprocamente, toda flexion compuesta es equivalente a un esfuerzo norrnii excéntrico, es decir, a iina fuerza de traccióii o compresion aplicada en un punto rio coincidente cnii el centro de gravedad. En efecr~i.sc;i f i el momento ¡lector y Ñ es el esfuerzo normal en una determinada sección (Fi?. 6.12). Fl ejc ccnir;ii (ici ,ibiciiia tic vcctores constituido por estc torsor es paralelo a I\' y perperidicular, por tanto, al plano de la sección. Corno el eje centra! único, y cl segurido invariante del sistema de vectores es cero por ser Hr perpendicul;jr 8 Ñ, existe un punio C (e,, e;), tal que el momento en El es nulo

352

FLEXION D E S V I A D A Y F L E X I O N C O M P U E S T A

RESISTENCIA D E XfATEKIALES

Del desarrollo de esta expresión vectorial

fl

vi

l\X

353

\

se obtiene:

El punto C (e,, e,) es el que liemos llamado cenrro c/c presiones. Existe una interesante relación entre el centro de presiones y el eje neutro. Para encontrarla consideraremos la elipse de inercia de la sección, cuya ecuacion pondremos en la forma:

Figura 6.14.

o lo que es lo mismo, en coordenadas homogéneas

epígrafe 6.2 que en la flexión desviada, la tensión normal es una función lineal de la distancia al eje neutro. Por lanto, considerando la flexión compuesta como la superposición de una flezióii desviada y una tracción o.compresión uniforme, seguiri siendo válida la foririii de I:i ecuación (6.2-1 1 ) 0 = ktl. Para determinar la constante k en nuestro caso, expresaremos la proporcionalidad entre las tensiones del punto P y del centro de gravedad G, y las distancias de ambos puntos al eje neutro (Fig. 6.15).

La polar del centro de presiones C

corno

r . = x ,. f.=: ,

-'Y

1.-

IY

; f' =

- -I R

siendo a la distancia dcl centro de gravedad al cje neutro.

sustituyendo estos valores, se tiene:

Si comparamos esta ecuacibn con la (6.5-2) del eje neutro, deducimos que esta recta es simétrica del eje neutro respecto del centro de gravedad. Podemos afirmar. por tanto. que el eje neutro es la antipolar del cetirro de presiot~esrespecto (le la elipse cenrral de inercia de la sección.

En la Figura 6.14 se indica una construcción gráfica para obtener el eje neutro a partir del centro de presiones C: a ) cuando C u exterior a la elipse de tensiones; h) cuando C es interior. La tensión normal a en un punto P (y, z) dada por la ecuación (6.5-1) se pucde expresar en función de la distancia d del punto al eje neutro. En efecto, hemos visto en el

1 1 / 1

! Figura 6.15.

354

RESISTENCIA DE MATERIALES

FLESIOIU' DESVIADA Y FLEXIOIU'COhlPUESTA

Como la expresión de la tensión normal en P será

De esta expresión se deduce la fórmula para obtener el valor de la terisióri normal máxima

355

se deduce que a medida que el centro de presiones C se aproxima al centro de gravedad de la sección, el eje neutro se aleja de El. Existirá en el plano de la sección una curva cerrada que rodea al centro de gravedad. tal que considerando cualquiera de s u ~ ~ ~ ü ~ - ~ ~ ~ ~ ~ ~._.i ~ ~ - d -_ , - _Q-"__ S r o ñ e s e Tese j c ñ e tangenre a la sec~iÓn_d+~isma mecáriico. p z o dicho en el párrafo anterior, SI tomamos i r e a encerrada ._ por la curva .) cslari como centro de presiones cualquicr punto interior ai-_._____. asegura(io que las tensiones normales eri toda la sección sean de tracción o de com_erg-ceilrrc~lcie ¡o sección. A la zona delimitada por esta curva 7 se la denomina .nljcleo Podemos dcfinir. pues. el tliiclro cetirral (/L.(a seccióti tomó ellugar yeoniétrico de l o ~ puntos tales que t o m a d o ~ - c ~ m a s c ~ 3 r a _ - ~ e - - p ~ ~ 1!no a n ~, t~~e i! ~ o~o$gmprcs!ón excéntrica, las tensiones normales en todos los puntos de ~ - s ~ c ~ ~ n l j e . n e n - ~ l ~ ~ m i s n ~

__

J,-

_

en donde (I,,, es la distancia al eje neutro del punto'de la sección más alejado del mismo (Fig. 6.15).

6.7. Núcleo central de la sección Una sección recta de un prisma mecánico sometido a tracción o compresión excéntrica puede ser cortada o no por el eje neutro. En caso afirmativo, el eje neutro divide a la sección en dos partes. una de las cuales está sometida a tracción y la otra a compresión. Si no la corta, toda la sección está sometida a tracción o a compresion. Hemos visto en el epigrafe anterior que el eje neutro depende de la situación del centro de presiones. De la expresión de la distancia a del centro de gravedad de la sccciGn al eje neutro, cuya ecuación es la (6.6-2)

u

Figura 6.17.

Veamos cómo determinamos cl núcleo central de la sección: considerenios uri punto C, tal que su antipol:ir c , respecto de la elipse central de inercia d c la sección sea tarigeriic LI la misma. Para las infinitas tangentes a la sección, los antipolos correspondientes dcci-i-iben una curva cerrada 7 (Fig. 6.17). Si el centro de presiones es uno de los puntos situadnr en el interior de dicha curva, el eje rieutro correspondiente no cortara a la sección. Por consiguiente, el núcleo central de una sección está formado por los puritos interiores a una curva cerrada, lugar geometrico de los antipolos d e las tangeritcs que envuelvci~ a ia sección. A modo de ejemplo calculemos ei núcleo central de algunas secciones particulares: a) Sección rcctangular

Si sustituimos los valores dc los momentos de inercia y e¡ área de la seccióii I==-

b/13 12

; I,=-

yZ

en la ecuación de la elipse de inercia 1:

Figura 6.16.

hh' 12

; n=bh 1

+= ly R --+

queda:

356

RESISTEXCIA D E M A T E R I A L E S

FLEXION DESVIADA Y FLEXION C O M P U E S T A

357

Sean A. B. .4'. B', los antipolos de las rectas PQ, Q N , .\i'\I y 'MP, respectivamente (Fig. 6.18). Los antipolos de las recta, tangentes en uno de los vertices del rectángulo. por ejemplo, e1 virtice ,L/, por las propiedades de la polaridad serán puntos ;ilineados comprendidos entre los antipolos de iI1iV y ,\{P. es decir, puntos del segmento A'B'. El núcleo crniral de la sección será el rombo .4BA1f3'(Fig. 6.18).

...

Figura 6.1 9.

es decir. el núcleo central de una sección en doble T es un rombo cuyo centro es coincidente con el centro de zravedad, tiene los vertices sobre los ejes principales, y las longitudes de las diagonales vienen dadas por las ecuaciones (6.7-4).

c ) Sección circular

k---

6

--A

La elipse de inercia es una circunferencia, ya que los momentos de inercia I, e iguales: 4. = = nRA/4.Como R = xR" la ecuación de la elipse de inercia es:

Figura 6.18.

Podemos calcular fácilmente las longitudes de las diagonales de este rombo, expresanclo la condición de que la antipolar del punto A (11, O) es la recta PQ, o lo que es lo mismo, por razones de simetria, que la polar d s A es la recta MN ( y = Ir/?). La ecuación de la polar de .4 es:

son

que corresponde a una circunferencia de radio R/2.

Por tanto, las longitudes de las diagonales del rombo resultan ser:

-

/l

AA' = 3

;

~3= b3

(6.7-3)

b) Sección en doble T La Familia de rectas tangente? a la sección en doble T (Fig. 6.19) es idéntica a la de sección rectangular. Por consiguiente, el núcleo central será también un rombo, si bien las longituaes d e las Siagonales se obtendrian en este caso de la siguiente forma: La polar A respecto de la elipse de inercia será:

Figura 6.20.

1

El núcleo central s e r i un círculo, cuyo radio r podemos calcular expresando la condición de que la polar del pünto A (r, O), perteneciente a la curva que limita el núcleo central, es la recta y = R(Fig. 6.20) luego 41AA' = 2 ;

/IR

~3=

3 bR

de donde

R

r = 4

(6.7-5)

358

FLEXION DESVIADA Y F L E X l O N COhlPUESTA

RESISTENCIA D E MATERIALES

es decir, el núcleo central de una sección circular es un circulo cuyo radio es la cuarta parte del correspondiente a la sección.

359

El momen:o respecto de esta recta / I B del sistema de fuerzas debidas a las tensioiies normales ha de ser igual al niomento de la fuerza ,V respecto de la misma recta:

6.8. Caso de materiales sin resistencia a la tracción Como se ha visto anteriormente, si el esfuerzo normal excéntrico aplicado tiene el punto de aplicación fuera del núcleo central, el eje neutro corta a la sección y l a divide en dos zonas: una comprimida y otra traccionada. Existen diversos iiiateriales, tales como la fábrica de ladrillo y el hormigón en masa. muy poco resistcntcs a la tracción. por lo que en el cálculo se s u p o n d r i nula la tensión en la zona sonielida a tracción. En estos casos, para la determinación del eje neutro no son válidas las formulas obtenidas en los epigrafes anteriores. La condición que tendremos que imponer para determinarlo será que el sistema de fuerzas engendrado por la distribución de tensiones en la zona de compresión exclusivamente sea equivalente al esfuerzo normal N y al momento flector M en la sección y admitiremos la hipótesis de que la tensión de compresión es proporcional a la distancia al eje neutro. Cuando se trate de una sección cualquiera, la determinación del eje neutro se puede hacer por aproximaciones sucesivas: en primer lugar se calcula el eje neutro apiicriiido la formula (6.5-2) y se suprirne la parte de la sección sometida a tracción; se vuelve a calcular el eje neutro para la parte de sección restante y se suprime la parte que estE sometida a tracción ..., y as¡ sucesivamente. Se llegará a obtener por este procedimiento una sección residual sometida exclusivamente a compresión. Consideremos el caso, muy frecuente en la práctica, d e sección simétrica y el punto C de paso de la fuerza exterior esté sobre el eje de simetría (Fig. 6.21).

siendo I, el momento de inercia de la zona comprimida rcspccto de la recta AB. Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones, se tiene:

expresión que permite determinar la posición de la recta .4B que limita la zona compri mida. En el caso de una seLción rectangular (Fig 6.22), caso que se da con mucha frecueriil;~ en la práctica, el momento de inercia de la zona comprimida respecto de la recta A B eq

El momento estático, anilogamente, tiene por expresión:

I'

--C

A

Figura 6.21.

La distancia q, del punto de paso de la fuerza exterior a la recta A B que limita la zona comprimida se puede obtener impcniendo las condiciones d e equilibrio. La resultante de las fuerzas de compresión engendradas por las tensiones normales ha de ser igual a N

siendo limita.

171,

el momento estático d e la Lana comprimida respecto d e la recta A B que la

b-

4

Figura 6.22.

Por tanto, la distancia del centro de presiones al eje neutro es:

ro(k

FLEXION DESVIADA Y FLEXION C O M P U E S T A

C

El valor dc la tcrlsi0i1 rnixiina se obtirne igualando Iii resultante de las fuerzas engendradas por las tensiones riormales y la fuerza N aplicada

f

-

o,,= . blr, = 3

A,, A ,

1!I ,

de donde

2 iv

om~z

361

= -

E*

bh,

6

B

es decir, la tensión m a ~ i m aes el doble de la que corresponderia si el esfuerzo normal iV se repartiera de forma uniforme sobre la sección eficaz.

6.9.

Flexibn de piezas curvas

A pesar de que iniciamos nuestro estudio considerando un prisma rnecinico en general, en toda la exposición que se ha hecho hasta aqui hemos particularizado para vigas cuya linea media o directriz era una recta. Hay, sin embargo, iririumer3bles ejemplos pricticos en los que las piezas presentan inicialmente cierta curvatura, como es el caso de los arcos, ganchos de grua y eslabones de cadena. En piezas de curvatura pequeña se obtienz una buena aproximación aplicando las fórmulas obtenidas para las vigas rectas. Solamente habría que tener en cuenta que la variación de curvatura, que en el caso de piezas rectas viene dada por la ecuación (5.2-3), habria que sustituirla por

siendo p,, el radio de curvatura de la linea media de la barra antes de la deformación, y p el radio de curvatura de la linea media deformada. Para estudiar las piezas de gran curvatura, es decir, piezas en las que ios valores del radio de curvatura po y las dimensiones de' la sección recta son del mismo orden de $4. magnitud, es necesario hacer una revisión de las hipótesis que se admitieron y del método seguido en el estudio de las piezas rectas. Corisideraremos en lo que sigue prismas mecánicos de directriz curva y plano medio, cs decir, prismas que posean un plano de simetría y se verifique que las fuerzas que les soliciten estén contenidas en dicho plano. Esto equivale a decir que la linea media es una curva plana, que la intersección de cualqliier sección recta con el plano medio es una dirección principal de inercia de dicha seccion, y que la curva elástica está contenida en el citado plano medio. Consideremos una pieza de curvatura constante como la indicada en la Figura 6.23-a Y apliquemos momentos M en las secciones extremas (Fig. 6.23-b), con lo que la pieza considerada estará sometida a ílexión pura. Seguiremos admitiendo la hipótesis de Bernoulli, es decir, las secciones rectas que son planas antes de la deformación, siguen siendo planas después de ella. El centro de curvatura C de la línea media de la pieza pasa a la

B'

Figura 6.23.

posicion C'. Observanios que la fibra superior se acorta y la inferior se alarga, por lo que txistiri una superficie neutra, es decir, formada por fibras que ni se alargan ni se acortan. Pero ahora la fibra neutra. es decir, la intersección de la superficie neutra con el plano medio de simetria, no coincide con la línea media, como demostraremos más adelante. Sea r , e1 radio de curvatura de la fibra de la pieza que va a ser neutra después de la deformación. Para estudiar la distribución de tensiones en la sección consideremos el eleniento de pieza comprendido entre dos secciones indefinidamente próximas (Fip. 6.23-c) que forninn un ángulo riO, y sea DD' la fibra neutra de este elemento. La deformación relativa de la sección .4'B1respecto de la A B sera un giro de ángulo AtiO alrededor de D'. punto perteiieciente a la fibra neutra. Fijémonos en la fibra EE' que dista y de la fibra neutra. El alargamiento longitudinal unitario que experimenta esta fibra es

pero corrio

ETEE;

=

yAr1f.I ; EE'

= (r,

- y)dB

la expresión (6.9-2) toma la Iorma

Ahora bien, de la expresión d e la longitud de la fibra neutra

siendo r el radio de curvatura de la superficie neutra, se deduce:

362

RESISTENCIA D E MATERIALES

FLEXlON DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA

Sustituycrido en la ecuación (6.9-3). se tiene:

363

Sustituyendo eri la primera de estas ecuaciones la expresión de o dada por (6.9-61, se tiene - E.,,

Por lanlo, la tensión normal en los puntos de la seccion recta sera. en virtud de la ley de Hooke

(;

-

6)Jc,+ - Y

',R

=

o

de donde se deduce:

Procediendo igualmente en la segunda ecuación (6.9-7), se tiene

Esta expresión nos dice que en piezas de gran curvatura las tensiones normales en una sección se distribuyen según una ley hiperbólica (Fig. 6.24-0). Se observa que las tensiones mBximas a tracción y a compresión se presentan en las fibras superior e inferior de la sección.

De esta últiriia expresión se deduce que el eje neutro no pasa por el centro de gravedad, ya que si pasara, la primera i n t e ~ r a lse anularia por ser nulo el momento cstatico de 1.1 sección respecto de un eje que pasa por el centro de gravedad. y como se anula la segundn en virtud de (6.9-8). tendria que ser ccro IM,. lo que no es posible. Por tanto, el valor dc la primera integral es Re, sieiido e la distancia del ejc neutro al centro dc gravedad, pues es el momento estitico de la.sección respecto del eje neutro, que tornarenios conio eje .: La expresión del momento ílector sc reduce a

que nos permite expresar la tensión normal en función de iLfF

d

Para determina: la posición del eje neutro haremos en t6.9-S) el cambio de variable

(4 Figura 6.24.

Se ha dicho antes que la fibra neutra no coincide en las piezas de gran curvatura con la línea media, es decir, el eje neutro de una sección recta n o pasa por el centro de gravedad de la misma. Calculemos la localización d e la fibra neutra imponiendo la condición de ser la resultante y momento resultante d e las fuerzas engendradas por las tensiones normales en toda la sección un sistema estaticamente equivalente al momento flector n;ÍF, es decir

Así, se obtiene:

R

expresión de la qiic sc dcducc que, al ser el dcnoniinador una iritegrril que es una caracteristica georiiétrica de la sección, In situacibn del eje neuiro en una pieza curva

FLEXION DESVIADA Y FLEXION C O M P U E S T A

365

sornetida a flexión pura depende ex,.:i,sivamente de la geometría de la sscción y es, por tanto. independiente del valor del momento íiector. Se demuestra que e1 eje neutro en una seccion transversal 2515 siempre localizado entre el cenrro de gravedad de la misma y el centro de curvatura. A modo de ejemplo, cslculsmos la posición del eje neutro en una sección rectangular de una pieza de gran curvatura sometida a flexión (Fig. 6.15).

Figura 6.26.

IJ-l

EJERCICIOS Figura 6.25.

El dcnorninador de la fhrrnula (6.9-1 1) en este caso tcndri por exprcsióii

V1.I.

La correa . 4 R de u n tejado de pendiente a = 30" esti solicitada por u n a carga vertical unifoririemente repartida p. = 600 kplm. Si la sección recta de la correa es rectniigular de dimenhiones h = 9 cm y h = 20 cm, se pide: Calcular las tensiones normales que se producen en la sección de miximo momento flecror. 2." Deterniinar analítica y grálicamente el eje neutro correspondiente a dicha solicitación. 1."

Por tanto, el radio de curvatura de la fibra que después de aplicar el momento ilector va a ser la fibra neutra srrá

(id l."

I'ara cualquier otra sección se procedería de aniloga forma. En In Figura 6.26 se indicrrn las expresiones de los radios de curvatura d e las superficies neutras que posicionan el eje neutro de diversas rpcciones que se utilizan con bastante frecuencia en piezas de eran curvatura. En el caso que la sección estuviera sometida, además de un momento flector, a una tracción o compresión, para calcular la distribución d e tensiones se apiicarí~i,obviamente, e1 principio de superposición.

Y

Figura VI.1.

(b)

El momento flector miximo se presenta en la sección media de la viya. S u valor es:

Sus componentes respecto a los ejes coordenadas son: hfI = hf sena = 1200

x

szn 30" = 600 m . kp

rCll = iL1 cosa = 1200 x cos 30" = 1039.2 m. kp

366

FLEXION DESVIADA Y F L E X I O N COkIPUESTA

RESISTENCIA DE hlATERlALES

367

La tensión m i x i m a . scgiin sc dcsprcndc dc la Figura VI.1-U se prcscnia en los puntos C ( - 10; 4.5) (tracción) y D (10: -4.5) ~ c o m p r c s i ~ ~ l l

L a construcción para l a determinación gráfica del eje neutro queda indicada en la Figura VI.l-d.

Figura VI.1-c.

L o s momentos de inercia respecto a los mismos ejes son:

1 1 1, = - hlr' = - 9 x 20' = 6000 cm' 12 12 Figura VI.1-d.

Se d i b u j a l a elipse central de inercia de la sección cuya ecuación analitica podernos poner en l a f o r m a

1

P o r tanto. la distribución de tensiones normales en los puntos de l a sección recta que se considera vendrá definida p o r l a ecuación:

/r"

j

;

W en l a que s i m p l i f i c a ~ d oy sustituyendo valores, se tiene: en l a que o viene expresada en kp/cm2 cuando las coordenadas se miden en cm. 2."

L a ecuación del eje neutro se obtendrá anulando l a tensión o

I

y se calcula l a dirección conjugada respecto de ella de l a dirección definida p o r el plano de carga, trazando tangentes a la elipse paralelas a l a traza de dicho plano de carpa. Si D y E son los puntos dc tangencia. ei c;c neutro es l a recia que une dichos puntos.

--1039.2 6000 y + - z600 = o 1215 Simplificando. sc obtiene

VI.2.

U n a vixa de madera de ceccihn rcctangtrlar y lur I = 3 rctá apoyada en sus extrcrnos y acfila sol>rc clla uria carga uiiiforrricrncriie repariid:~p = 300 kp/m. E l plano de carga es iertic.*l y contiene los centros de gravedad de las secciones, inclinadas un ángulo a = arc t~ 117 (Fis. V1.Z-a). El módulo de clastlcidad es E = lo5 kp/crn2. Deterrninar la tensión norni.! niáxima y el corrimiento vertical de la sección en que ésta se presenta.

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA

369

Figura VI.2-U. Al ser la seccion constante. la tensión normal máxima se presenta en los puntos más alejados del eje neutro en la seccion de máximo momento flector. Esta es la seccion media de la viga, en la que el momento flector vale

3'

\,

\

,w,,

=

1 1 1 pl' R - - p - - = - = 3375Ocm.k~ "2 24 Y

Figura VI.2-c.

Los momentos flectores respecto a los ejes principales de inercia de la sección son:

.ti, = ,L/,,

M:

=

.I.I,,

1 sen a = 3 3 750 -= = 10 6 7 1 cni . kp JIO 3 cos I = 33 750 -= 32 OIS c m . kp

Jio

La distribución de tensiones normales en la sección se obtiene aplicando la fórmula (6.2-3)

Figura VI.2-6.

Para calcular el debidos a ,\I_y ,U, pondienfes. es decir. El corrimiento

cbrrimiento vertical tendremos en cuenta los corrimientos 6 , y 6 , respectivamente (en este caso los corrimientos son las flechas corresIris deformaciones máximas) (Fig. VI.2-c). tiene de componentes. en valor absoluto

5 p cos z P . 6 = ---- , y 384 E. y como

'j

5 p sen z P

'

=----

384

Proyectando sobre la vertical se obtiene corrimiento pedido

6, = 6, c o s a .t 6 , sen a

La ecuación del eje czutro será:

Ely

Sustituyendo valores

La tensión normal máxima pedida se presenta en los vértices A y B más alejados del eje neutro (Fig. VI.2-b): en A será de tracción y en B de compresión. Su valor modular es: se obtiene:

370 V13.

RESISTENCIA DE MATERIALES I

La seccion recia de una viga en voladizo de longitud 1 = 1.5 m es la indicada en la Figura V1.3-a. La viga esta sometida a una carga uniformemente repartida p = 350 kplm, contenida en el plano vertical que contiene la línea media del perfil. P a r a la sección del empotramiento, se pide:

1

\'e;inios aliora la situ:ición dr los ejes princip;ilcs de irisrci;~ 1.. : p;ir;i. unti \L. 10s nlomenloj de inrrcia 1,. 1,. Para cll0 c l i l ~ u i ~ l n 010s S liiO~iClli~~ de inercia áxicos Ir,, I,, y producto dc inercia P,.,,., respecto de los ejes c., ti.,. ~ L I paj;lri por el centro de eravedad y son paralelos a los c. ti.. C O I I O C ~ ~ O c3IcuI;lr S.

1." l.lall:tr analítica y gráficamente el eje neutro. 2." Calcular las tensiones rnaximas de tracci6n y de compresión.

I

1 1 1, = 3- ( 1 x 7' - 1 x 1') + 3 (8 x 5' - S x 2')

+ -3 I

x 4'

=

186 cni'

Aplicando el teorema d e Steiner, tenemos:

I,, = 1, -

,I. cotas Figura VI.3-a.

1 l."

Para la determinación del plano d e c a r g a calculemos previainerite la situación del centro de gravedad d e la sección. T o m a n d o el sistema d c ejes u, ii- indicado en la Figura V1.3-b y descomponiendo la seccion en tres áreas parciales. se tiene

Zv,R, 0.5 x 6 + 5 x S + 9.5 x 4 oG=-1 Ri 6 + 8 + 4

=

1,

P,,..,= I,, -

R1t.i

-

=

=

36.7 cm'

606 - 18 x 4.5' = 241.5 cm'

~= 188 . - ~1 8 ~4.5 x ~2.88 ~=

- 4 5 . 2 8 cm'

Con estos valores podemos calcular las direcciones principales dc incrcid seccion en el centro de gravedad G *

dr

)

1

i

=.

de d o n d e 22 = 23.854" 1 = 11.927" = 11' 55' 38" Los monientos d e inercia principales serán: 1, = I,, sen' r

=

RrG

n

= 186 - 18 x 2.88'

81 -- 4.5 cni 1S

1, = l.., cos2 2

+ 1, cos2 a + PYOCOsen 22 = 27.13 cm' + 1, sen2 2 - P,. scn 22 = 251.06 cm'

La distribución d e tensiones normales. en virtud de la ibrmula (6.2-3). será:

C o m o las componentes del momento flector en la sección del e m p o t r a m i e n t ~ respecto d e los ejes principalrs, son:

3.-j

.'-2

wo

1

vi " r..

o

Wc

GL.

1

7 Figura V1.3-h.

All = - IU cos 3 =

-p12 COS a 2

- Xf

sen I 2

Af, =

sen z =

-j7I2

=

=

-350 -350

x 1.5' 0.970 = -385.24 2 x 1.5'

2

111.

kp

0.206 = -81.37 m . k p

-

372

373

I'LEXION DESVIAI>A Y FLEXION COMPUESTA

RESISTENCIA DE ~ ~ A T E K I A L E S la Icy de distribución dc la teiisii>~inormal vendrá dada por:

Veanios cu;ilr
,

I' =

u0

cos z -

- := u0

en kp,crn: cuando las coordenadas y. :se cxpres;in en cm. La ecuación del eje neutro se obtiene haciendo o = O en la anterior expresión

Para el vértice 2:

uO2 = 5.5

cm;

ser1 z

)voz

-5.5

1.3s

-

sen z

+

ti.,

cos z

= 4 - 2.88 = 1.12 cm

y, = 5.5 x 0.978 - 1.12 x 0.206

:, =

I.

y 0.206 - 1.12

x

=

5.14cm

0.978 = -2.22 cm

que forma un ángulo O = 27" 5'23" con e1 eje .v. Para e1 vértice 6:

\'l.4.

=

-4.5 cm;

lvo6

= - 1.88

cni

En la Figura VI.4-a ;e representan las secciones de los perfiles I P N 80 y tubular, de dimensiones 10 x 80 mm y espesor e = 2 nim. que se pueden utilizar como correas en un tejado de pendiente a = 20". Si ambas vigas van a estar sometidas a carga vertical, se pide:

l." Indicar cual de las dos secciones es mas resistente. 2." Valor que tendría que tener el hngulo z para que ambas secciones presenten igual resistencia.

0

Figura VI.3-c.

\

IPN SO

Gráficamente, para encontrar la posición del eje neutro, procedemos como se indica en la Figura VI.3-c. Dibujada la elipse central de inercia buscarenios el diámetro conjugado d e la traza del plano de carga. para lo cual por el punto Q de intersección de la traza JcI plano de cargii con la elipse trazamos la t~itigcriirQ R a la misma. y por G una pariilcla a QR, que será rl eje neutro buscado. 2.0 Para determin;ir las tensiones niáximas de compresibn y tracción es necesario encontrar en qué puntos se dan estos extremos. Una vez deterniinado el eje neutro se comprueba que los p u n t ~ hmás alejados de él y, por tanto, sometidos a las tensiones máximas son los vértices 2 y 6 (Fig. VL3-c): el vSrtice 2 a traccion y el vértice 6 a compresión.

Figura V1.4-a. l."

Q

Cotas en m m

Del Prontuario de perfiles laminados (véase Apéndice) se obtienen las caractcristicas mecánico-geométricas del perfil IPN 80 1, = 6.29 cni4 ; I, = 77.8 cm4

-

374

RESISTENCIA DE MATERIALES

FLEXION DESVIADA Y F L E X I O N C O M P U E S T A

375

Las correspondientes a la sección tubular son: 1 1, =

(SO x 403 - 76 x 36') x

= 13.12 cm4

Como: IM, = M sen I = 0.342,M

; I\II = M c o s a = 0.9401Cf

para un mismo momento íiector A I actuando sobre ambas secciones, las normales que se producen en cada una de ellas serán:

y en el punto B (-4, 2): a,,, = 14.86i\l que son de compresión en A y de tracción en R. De los valores de las tensiones maximas obtenidas a que van a estar sometidas ambas secciones se deduce que la sección rirbular es c.as; irti 10 por 100 t>ii;.~ resklenre que el IP,V.

tensiones

a ) En la sección IPN: La formula a aplicar para el cálculo de la tensión normal es:

2."

De la expresión de la tecsión normal 0

ilt cos

':

x

= - --- 1'

Las tensiones máximas se producen en los vertices A y 8 (Fig. VI.4-h).

-

,M sen z + ----:

1,

se deduce que el valor máxiirio de esta depende del ingulo 3. El valor de este ingiilo para el que ambos perfiles presenten igual resistencia. vendri d a d o por la ecuacibrt o,,, = o',,,. es decir. igualanios las tensiones niiximiis en ambos casos. cos I sen z 4 + -2.1

77.8

6.29

COS 2

sen 3 13.12

= -- 4 + - - -

38.97

,

Simplificando: 0.051230 c o s z = 0.181424 s e n z

de donde se obtiene el valor del ángulo z para que los dos perfiles considerados presenten igual resistencia

Para el punto A (4; -2.1)

que viene dada en kp/cmz cuando el momento llector se expresa en m - kp. Para el punto B (-4; 2.1) se obtiene la misma terisión en valor absoluto, pero de tracción.

b) En la sección tubular: Análogamente. para el punto A (4, -2). obtenemos:

Una viga en voladizo de sccción rectangular constante, ancho b = 30 cm, altura h = 40 crri p longitiid 1 = 2 rii, ~ 5 t hsometida en su sección extrenia a una fi~crzaF = 500 kp y coja linca de acción contiene a 13 diagonal AC de dicha sección, como se indica en la Figura V1.5-c Se pide: IInllar las leyes de variacihn del vecior tensihn en los puntos de la línea mcdia de la vi;;^ sohre los planos diagoiialei de la niisriia. 2." Calcular. en el piano qiic coniicrrc a la scccibn recta riiedia. el tecfor trrisihn en los puniír. medios de los lados del recthngulo que la lirnita. l."

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COhlPUESTA

377 -

El vector unitiirio del plano diagonal determinado por la linea media y la línea de acción d r la fuerza T' 25: ú(0, sen z,

cos Z)

=

(O; 0.6;

0.8)

El vector tensión correspondiente será:

[ü] = [TI[.]

[-u7, : -(yi][""] 0.5

=

o

'

+

b

L 1

=

0.8

[;j

es decir. la rension es nulrr a lo largo de roda l a litreu niedia en el plutio defitri~lopor la litieu ttie(1iu y Iu dirigoriul AC de la sección e-rrrema libre. Consiiferando ahora el otro plano diagonal, de vector unitario ri (0, sen 2, -cosz) = = (O; U 6; - 0.Y). se tiene:

Figura Vi.5-a.

1." La visa que se considera está sometida a flexión desviada. Como en la linea media se anulan las tensiones normales debidas al momento flector, s6lo habrá tensiones tangenciales producidas por el esfuerzo cortante

Este resultado nos indica que sobre el pluno dinyonol dr/inido por Irr litrra nir
2."

Las coniponentes del moniento fiector en la sección media de la viga (.r = 100 cm) son: rbf,

Las restantes tensiones son nulas. por lo que la matriz de tensiones en los puntos de la linea media d e la viga. referida a la terna de ejes indicados en la Figura VI.5-b, sera

=

hf s e n z = F.Y s e n z = - 5 0 0

x

3 100 x 5

= -3

10' c m . kp

En los puntos P y Q, puiitos medios de las aristas superior e inferior, respectivaminte, la tcnsión normal debida a M, se anula, así como la tangencia1 debida a T,

4 x 10'

hl: a,, = -- Y 1:

20 = 5 kp/cm2,

que es d e tracción

- 30 x 40' 12

aax =

hf * -y = -5 kp/cm2, que es de compresión [=

A

Figura VI.5-6.

dirigida en la dirección del eje z negativo.

F L E X l O N DESVIADA Y F L E X I O N C O M P U E S T A

R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S

379

Los vcctores tensión tienen igu;il valor absoluto en ;iriibos puntos

y se representan en la Figura V1.5-c. En los puntos R y S. puntos medios de las ;irist;is vert~c:iies. se anulan. 1;) rcnsion normal debida a itl, y la tangencia1 producida por E

Figura VI.6-a. l."

El pilar d a d o trabaja a flexion compuesta, superposición de una compresión unir:)rmt

Figura i'1.5-c.

y d e una ílexión simple, cuya tensión maxima o, ,,. vale: 'V, L- -- un= = 1,

y en Q:

3

lo4

b/,b 1, 2

= -- =

15 = - 5 kp/cm2, que es de compresion

'

I 40 x 30' 12

bf, un= = -1,

-

- 5 kp/cm2.

que es de !?acción

Pe b 6Pe 6 - = --

x

abz

1 2 ab' * m

lOo00 x 25 20 x 30'

=

La posición del eje neutro viene determinada por su distancia inercia d e la sección (Fig. V1.6-b) u , = .Y-tgz tgz =

02 "71,

a,

= --

bl2

b

83.7 kp/cm2

.Y

? I ejc principal

16.6

= - x 15 = 3 c m

G ~ ~ 2, .

83.3

dirigida en la dirección del eje y positivo. Los módulos de los vectores tensión correspondientes son:

2." La tensión máxima (de compresión) será: Sobre un pilar de sección rectangular 20 x 30 cm actúa una carga esquematizada en la Figura V1.6-o. 1."

P

= 10 ton en la íorriia

Determinar la posición del eje neutro. si es de tracción o de compresión.

1" G k u l a r el valor de o,,,,indicando 0

umIZ= u ,

+ U,,,,

=

16.6

+

83.3 = 100 kp/cm2

i'.

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA

381 -

La antipolar del punto C (ey,e x ) tiene la ecuación

Susrituyendo valores. se tiene

de donde la ecuacion del

Y

Figura V1.6-d. V1.7.

Un pilar de 3 m de altura esta formado por dos perfiles normales U P N 180 yuxtapuestos. Sobre esre pilar actúa una carga vertical P = 10 ton en el punto C indicado en la Figura V1.7-U. l." Indicar razonadamente si el punto de aplicación pertenece al níicleo central de la sección. 2." Calcular el punto o puntos sometidos a mayor tensión indicando el valor de esta. 3." ~ C u l lseria la posición más desfavorable del plano de carga si esta sección estuviera solicitada por flesión desviada?

45 neutro y

es:

=

4.86.1 - 10.71

que corra a los ejes en los puntos: A(-10.71;O)

; B(0;2.20)

cuyas c o o r d s n a d ~ sestin expresadas en centimetros. En Iri Figura V1.7-h se observa que el eje neutro corta a la seccion, por lo que el ptrnro C zs e.rrerror nl niiclro cetrlral.

U P N 180

Figura VI.7-a.

1 l."

Cotas en cm

Del Prontuario de perFiles laminados (véase ~ p k n d i c e )se recogen los siguientes daros para un perfil U P N 180

R = 28 cm'

; 1: = 1350 cm.'

; 1, = 114 cn14

\

Figura \'1.7-b.

; c = 1.92 cm

de donde se deducen las caracteristicas mecánico-geométricas de los dos perfiles yuxtapuestos. referidas a los ejes indicados en la Figura V1.7-a.

2." El punto sometido a la tensión normal máxima es el más alejado del eje neutro, es decir, e1 D. La e x p r e s i h de dicha tensión máxima será:

(ID=

Para contestar a la primera pregunta calcularemos el eje neutro para la carga aplicada en C como antipolar de este punto respec!3 de la elipse de inercia d e la sección

P

M,

n

1:

M Y YD+-ZD=

Sustituyendo valores, se tiene

1,

P ----YD

Pe, 1,

Pe fLZD

1,

382

RESISTENCIA DE MATERIALES La máxima terision normal de tracción se presenta en el verrice E ( - 9 . 7)

V1.8.

La Figilra V1.8-a represcrita la seccióri de una p i l ~ s i r aairavesada por una bajanre de diinictro 2r = 15 cm. Se pide:

1." Calciilar el nócleo ceniral de la scccihn. 2." Siil>i~esraen B una carga de P = 30 corl cIctvrriiiri:ir cl estado de icriioiies clc la scccii~il. 3." Si la sccciOn estuviera solicitada a íiexion desviada. la traza del plano de carga pasnria por el centro de gravedad. Si llamamos a al ángulo que forma la traza del pl;?r?o de carga con el eje i. (Fig. VI.7-e). la tensión máxima se presentará en los vertices D o E. una a traccion y otra a compresión. Su expresióri será:

Figura 1." Las caractcristicas mecánico-gcomeiricns de la sección son:

R

=

hlr

- nr'

=

100

x

JO - n

x

7.5' = 3823.3 cm2

A partir de estos valores se tiene la ccuaciori de la elipse central de inercia

..

Figura VI.7-c.

\

Se obtiene as¡ una expresión que nos d a u,,, en función del in_eulo 3. La posición más dcsíavorable del plano de carga correspondera al valor de z que haga que la función u,,, sea un máximo relativo, es decir, se tiene que anular su derivada respecto de a 'A

de donde, sustituyendo las cocrdenadas del punto D (9, -7). o E ( - 9 . 7)

Por tanto. Iñ posición más desfavorable del plano tle carga si la sección cstuvicra solicitada a íiexibii desviada, vendría d a d a por el ángulo a

habiendo puesto el doble signo por razón de simetría.

o lo que es lo mismo:

-1 1'+ - - = 1 138.8 8i1.2 El núcleo central es el paralelogramo .1BA'B' [Fig. V1.S-b). Calcularemos las p o ~ i ciones d e los vértices .4 y B imponiendo la condición de que la polar d e A ( t i . 0; respecto de la elipse de inercia es la recta :if.:'(y = 20)

y que la polar de B (O. i)es la recra .\/P (:

=

1."

=

50)

El núcleo centra! es un rombo cuyas lor._:itudes de las diagonales so?: AT= 7 x 6.94 = 13 88 cm, y BB = 2 x 17.42 = 34.Y-l cm.

La carga P = 30 ton aplicad~ten D origina un ebiado de tensioiies equivalente a !a superposición de una conipresion uniforme

! !

Cotas Figura

y la tensión origin3da por un momento :Cf, = P x 30 = 30000 x 30 = 9 x lo5 c m . kp. Esre momento d3 lugar s una disrribución lirieal, cuyo valor miximo (de traccion en .LfP y de compresión en IVQ) e3

l."

Las criracteristicas mecánico-geométricas de la sección. respecto de los ejes vii) indicados en la figura, tienen los siguientes valores:

80 x lo3

+ 2 -3I 10(45'

- 5') = 613 333.3 cm'

Las direcciones principales vienen dadas por:

Figura VI.8-c.

De la Figura VI.;;]^ se deduce ficilmenie la situación del eje neutro .Y a2mix

b

=- oi 2n>,ix

=

.Y

=

(13.5

-

7.81)lOO

2 x 13.5

= 71 crn

En la misma Figura V1.8-c se indica la distribucion de tensiones pedida

V1.9.

Un pilar cuya sección recta se representa en la Figura V1.9-a está sometido, a travks de una placa suficientemente rígida situada en su parte superior, a una carga de compresión IV = 15 ton aplicada en el punto A. Se pide: l." Determinar analítica y grAficamente la situación del eje neutro. 2." El estado de tensiones que la carga N origina, indicando los valores rii;ísimos de las tensiones a tracción y a compresión.

de donde 2a = 60.255" = a = 30.1275". Los momentos de inercia principalcs serán: 1, = 1, sen2 a i 1, cos2 a 1 = I , COS' a

+

Py, sen 22

+ I, sen2 a - P,, sen 22

=

207 107 cm'

= 1 819 559 cm'

El momento flector M en la sección tiene de módulo

M =

N.d

= 15 000,/=

= 903 119.6 c m . k p

y forma un ángulo /lcon el eje w (Fig. VL9-b), tal que

386

FLEglON DESVIADA Y F L E X I O N COblPliESTA

RESISTENCIA DE bIATERIALES

Figura V1.9-b.

Las componentes del momento flector

fi respecto

de los ejes principales de inercia

de la seccion son:

M, = M sen (T iM, = M cos (a

+ 0) = 903 1 19.6. sen 78.49; + /l)= 903 119.6. cos 78.49"

= Y84 969 c m . k p = 180 208 c m . k p

La tensión normal eri la seccion tiene por expresiun:

por lo quc la ecuación del eje neutro sera: o = O

5

-9.375 - 0 . 0 9 9 ~+ 4.273:

=

O

Figura Vi.9-c.

Como las formulas de transformación son: Para calcular gráficamente el eje neutro dibujamos la elipse central d e inercia

-

-

ti

sen z

+

w

cos z

'.J

tenemos: que ticne de longitudes de semiejes 33.73 cm y 11.38 cm. El eje neutro es la an:ipolar del punto A respecto de ests elipse (Fig. V1.9-c). 2."

La distribución de tensiones viene dada por la ley

Sustituyendo estos valores en la ecuación d e a, se obtiene: que nos indica que por encima del eje neutro las tensiones son de compresión y por debajo de tracción. Los puntos sometidos a las tensiones maximas son los m i s alejados dcl eje neutro. es decir. el punto B a compresión y el D a tracción (Fig. V1.9-c.). Calculsmos las coorderiadas y, i de ambos puntos. Referidos a los ejes v. i t . las coordcnauas d e B son ( - 30.45) y las de D (30, -45).

387

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA

~1.10.

se corihidera 1."

pri,rili<

!+ pide:

ra V1.10-a.

niechnico rccto cuya hecciúri trarihversal es la iridicxia en la Figu-

389

La cc .sción d r la elipse de inercia es:

Determinar grlficamenre el núcleo central.

1o C;
( - 4 , -2), referido al sistema de ejes y, principales de inercia de la sección. 3." Valor de las tensiones normales máximas a tracción y a compresión cuando iV = 5 ton. ,,, = IZO0 kp/cm2 y E = 2 x ] O 6 kp/cni2, h3llar el nláximo J." Si la tensión admisible es o valor que puede tomar la carga (V.

:.

Dibujada la elipse central d e inercia (Fig. VI.10-6). los vértices IWIVPQ del núcleo central son los aiitipolos de las tangentes al perfil ni, n. p. y, respectivamente.

Se supondrá el prisnia lo suficienteniente corto para no tener en cuenta el efecto de pindeo.

Figura V1.10-6. Figura VI.10-a.

l."

Determinemos primeramente la posicion del centro d e gravedad G. P o r razon de simetria G c s t i en el eje y. Para su cilculo descompondremos la secciori en !res i r e a s parciales

Calculemos ahora los valores d e los niomeiitos d e inercia áxicos. q u e necesitamos conocer para dibujar la elipse de inercia.

1. =

-

I

-

3

(7 x 5.4' - 6 x 3.4))

+ -31 (3

x

8.6' - 2 x 6.6')

= 733.2 cm'

Figura VI.10-c.

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA

RESISTENCIA D E MATERIALES

2."

El momento flcctor ,I.I forma con el eje

i

un ángulo

ir

391

cuya tangentc valc:

Sus componentes son: ,\f,

=

itf sen a = Nd sen

114: = - lI!

COS

2

a = - ,V
--

siendo d = J 2 ' + 4' = 4.472 cm la distancia de P al ceritro de gravedad G Sustituyendo valores, se tiene: I

La distrihlici6n de tensiones normales en la sección vicnc regida por la ecuación

en la que o vendrá dada en kplcrnZ cuando N se expresa en k p y las coordenadas cn cm. La obieiicibn de la ecuaciori del eje neutro es inmeciint;~

Figura VI.10.-d.

4." Corno la máxiriia tensibn se presenta en el punto R. podemos poner de donde. simplificando, se obtiene

=

21v,,, Nmir- a%",,, -3.5 = -0.1741V,,, --5.4 - 62.5 30 733.2

de doride se obtiene el niáximo valor que puede tener la carga IV Podcmos ohtcner el eje neutro gráficaniente calculando la aiitipolar dcl punto P respecto dc la eiipsc central de inercia. El procediniiento griifico queda indicado en la Figura V1.lO-d

3." Los puntos sonietidos a mayor tensión son los más alejados del eje neutro, es decir, los ,>u-tos R y S indicados en la misma Figura VI.lO-d. Para cl punto R d e coordenadas (-5.4; - 3 3 , se tiene

(cnniprcsión)

Calcular la anchura h del muro de tina presa de altura ii = 5 m (Fig. V1.11-o) para que e n ¡os punto5 de la sección de su base no se p r o d ~ z c a nienjioncs de i:acción. El l u r o ec d.' horrnigóii, de peso específico 7, = 2.4 ton/niJ. Considerenins la porción de muro de longitud unidad (1 m) en la dirección del ejt r (Fic. VI.1 1-h). Sobre la base de este prisniii actua: -la

Para S (8.6; 1.5)

(tracción)

compresiijri dcl psso propio del muro

estando expresado el ancho h en nietros; y

FLEYION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA

393

dc d o i ~ d e,e deduce la correspondien!,- al eje neutro

Para que no se produzcan tensiones de tracción en la seccicjn de la base, el eje neutro tiene que ser exterior a la base, es decir,

Figura VI.ll-u. de donde se obtiene la anchura minima del muro para que no se produzcan tensiones de tracción en los puntos de la sección de la base.

-un monierito flector debido a la fuerza F resultante de la acción hidrostitica sobre la cara e11 Contacto con el 32u3. Coriio el valor de F es:

1

y su linea de acción rstj. a 113 de

13 altura.

sobre la base, el valor del rnoniento flsctor seri:

VI.12.

Ilallar el núcleo central de una corona circular. Sean R , y R , los radios interior y exterior, respectivamente, de la corona circular. Por razón de jimetria, el núcleo Eentral s e r i un circulo de radio, r , que determinaremos imponiendo la condición de que la polar del punto A ( r , O) respecto de la elipse de inercia

es la recta y = R.

/ Z

Figura VI.11-b.

Se trata, pucc, de un caso de flexión compuesta. La ecuación que nos da la tensibn normiil en los puiitos dc la base es:

394

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COhlPL'ESTA

RESISTENCIA DE MATERIALES

395

Calciilarenios la posicibn dc /I' (v. 0) imponiendo la coiidicion de quc este punto es el antipolu OC respecto de la elipse de inercia

de donde:

, I*

Ahora bien, como R = n(Rt - R:) y los momentos de inercia de la sección respecto a los ejes son:

I

z2

+~,=ñ

Ii es decir, que la polar dcl punto de coordenadas ( - 1 . O) cs Y = - 3

Sustituyendo las expresiones de R e I:, en luncion de los radios exterior R2 e interior R,, se ticne: dc donde:

I El núcleo central de la sección de una corona circular es, pues, un circulo dc radio r.

V1.13. Hallar el núcleo central de un triángulo equilátero de altura h. El nuclco central será. pues, el triángulo equilátero A'B'C' indicado en la Figura V1.13-h Por razón de simetria, el núcleo central s e r i un triángulo, equilatero también, que tiene el mismo centro de gravedad que el triángulo dado. Bastará, pues, determinar la posicion de algunos d e los vértices. por ejemplo. la posición de A'

I

/

!

i

I !

i

VI.14.

La sección recta de un prisma mec5nico sometido a comprsión e x d n t r t a es un triángulo cquil5iero. de lado a = 3 ni. Sabiendo que el material del prisma no resiste a tracción calcular la sección parcialmente eficaz y el valor de la tensión maxima, si la carga de compresión es N = 80 tori y está aplic'ada en un punto a distancia d = 0.5 m de uno de los vertices y sobre el eje de siiiietria de la sección que pasa por el mismo.

I

I

Sea C el punto de aplicación de la carga ,V. La carga da lugar a una distribución lineal de tensiones dc compresión o(.r). No existen tensiones de traccion Calcularemos la longitud D que determina la sección parcialmente eficaz imponiendo la condición que la resultante de las fuerzas engendradas por la distribución d e tensiones es un vector igual a la carga N ) con su misma linea de acción (Fig. V1.14).

I

N = Nd =

I-

Figura VI.13-a.

1

Figura VI.13-b.

1

Calculemos el momento de inercia respecto del eje z' (Fig. VI.13-a)

.(.Y) . b(.Y) dY .

a(.r) .b(.v).r d.^

y b(r) tienen por expresiones b(r) =

I I Respecto al eje z. paralelo al z', en virtud del teorema d e Steiner, cl momento de incrcia 1, es:

C o m o a(.')

joD joD

h

x

;

U(.')

=

U,;,

qm1,

- --

D

como Gcilmente se desprende observando la Figura VI.14, sustituyendo, se tiene:

396

FLEXION DESVIADA Y FLEXION COMPUESTA

RESISTENCIA DE M A T E R I A L E S

3." Sabiendo que la tensión admisible a comprensión de material es a,,,, determinar el m i r i m o valor de P que puede aplicarse a la viga.

l."

=

397

65 hlPa.

Figura V1.15-a. Según se desprende de la Figura VI.15-u el radio de curvatura de la linea media en la sección considerada es po = 55 mm. Para calcular el radio ro de la superficie neutra aplicaremos la íorniula dada por la ecuación (6.9-1 1)

A

Figura VI.14. Dividiendo estas dos expresiones obtenenios: La distancia e entre el centro de gravedad G de la sección y e! eje neutro que produce exclusivamente el momento flector será: es decir, la sección parcialmente eficaz es un triángulo eqiiilátero de altura B = I m, situado como se indica en la Figura V1.14. Sustituyendo en la primera ecuación el valor de D. se obtiene el va!x dc la tensión máxiina pedida.

(

o,,,

= 41.57 kp/cm2

2." La distribiición de t e n s i c s s normales debidas al momento flector viene dada por la ecuacion (6.9- 10)

1 mientras que la debida al esfuerzo normal es

V1.15.

bledianie la soldadura de tres plarís con la forma y dimensiones adecuadas se construye la viga curva de sección en doble te indicada en la ligura V1.15-u. Se pide: l." 2."

Calcular la distancia e entre el centro de gravedad de la sección y el eje neutro que produce exclusivamente el monienio flector. l~lallarla distribución de tensiones normales en la seccibn m-n, ilidicarido los valores correspondientes a los puntqs que estan sometidos a tensión normal máxima a tracción y a compresión.

,;endo: M, = P(40

+ 55) = 9 5 P m m - N. expresando P en newtons

Ci

&

398

RESISTENCIA DE MATERIALES Aplicando el principio de superposición y sustituyendo valores se obtiene

estando expresada la coordenada g en rnrn.

Flexión hipevestatica

7.1.

Introducción

'

Figura V1.15-6.

Las tensiones maximas a tracción y a compresión se presentan en los puntos A y B, respectivamente (Fig. VI.15-b). Sus valores se obtendran sin mis que sustituir y = -31 mm para A. e y = 19 mm, para B, en la ecuacion anterior

En todos los casos de flexion de vigas estudiadas hasta ahora hemos supuesto que Cstas eran isostáticas, cs decir, que la sola aplicacion de las ecuaciones de la Estatica perniitc determinar las rcncciones de las ligaduras y, por consiguiente, son suficientes para calcular la distribución dc tensiones en el interior de las vigas. Sin embargo, hay infinidad de casos en los que las ecuaciones de equilibrio son insuficientes para determinar las rcacciones dc las ligaduras, como ocurre, por ejemplo, en las visas rectas xcpresentadas en la Figura 7.1.

3." El rniximo valor de P que se puede aplicar a la viga curva considerada seri aquel que haga que la tensión en B sea igual a u,,,

de donde

(4 Figura 7.1. En todos los casos indicados supondremos qiie las visas admiten plano medio de simetría y las cargas estin contenidas en dicho plano. En todos los casos, son tres las ecuaciones de equilibrio de las que se dispone para calcular las reacciones dz las ligaduras, dos que expresan la nulidad d e la resultaritc de las fuerzas exteriores y las reaccionci de las ligaduras, y otra que traduce la condición de scr nulo el vomcnto resultante d c todas estas fucrzas respccto tfc cualquier punto.

-100

FLEXION HIPERESTATICA

RESISTENCIA DE MATEKIALES

de incógnitas que determinan la totalidad de las reacciones sobre la viga Si el es superior a tres, es evidente que la viga esta indeterminada desde el punto de vista estático. si, en la vigii empotrado-apoyada con el apoyo móvil indicada en I;i Figura 7.1-0, el número de incógnitas es de cuatro: tres, que definen la reacción R., y el momento ,M, Y otra, la reacción en Otro extremo B que sólo tiene componenen la te vertical por tratarse de un apoyo móvil. Si en vez de ser el apoyo móvil es fijo (Fig. 7.14). exrste una incógnita m i s respecto del caso anterior. que es la componente horizontal H, de la reacción en la sección extrema B, es decir, existirian cinco incógnitas. La indeterminación aumenta en la viga biempotrada (Fig. 7.1-c), ya que son seis las incógnitas, tres por cada empotramiento. Obsérvese que eii este caso existirisn componentes horizontales de las reacciones en las secciones extremas, aun cuando todas las cargas fueran verticales. Para obviar esta circunstancia. las vigas biempotradas que consideraremos en lo que sigue serán en realidad empotradas en un extremo y con una corredera longitudinal en el otro (Fig. 7.1-d). Finalmente, en la Figura 7.1 se han representado vigas de dos tramos: la primera, con tres apoyos (Fig. 7.1-e). tiene cuatro incógnitas; la segunda, con un extremo empotrado y dos apoyos (Fig. 7.1-/), el número de incógnitas para la determinación de las reacciones es de cinco. Para vigas de más trarnos, cada apoyo móvil introduce una incógnita más en el problema. Las vigas que tienen m i s de un tramo reciben el nombre de -u;,qos conrinuas. En todos los casos indicados es posible eliminar ligaduras sin que la viga deje de estar en equilibrio. Podenios decir, por consiguiente, que existen ligaduras que son superfluas para mantener el equilibrio. Estas vigas reciben el nombre de vigas hipcresráricas o esrhricatnenre iticlrren~iitiad~~s. Llamaremos pudo de (.iiperrstcitici~/nd a1 numero de incógnitas superfluas, es decir, a la diferencia entre el numero de incógnitas y el número de ecuaciones de equilibrio que tenemos al aplicar las leyes de la Estática. En el caso de que alguno d e los extremos d e la viga esté empotrado, distinguiremos entre empotrarniento elástico y empotramiento perfecto. Diremos que el rni orraniiento elusrico se presenta cuando el ángulo girado por la sección extrema es -----m proporciona a n i m o que en ella actúa:

Cuando la constante de proporcionalidad se anula, k, = O, tenemos et~ipotratiiieriro -- .perfecto. Se deduce entonces: 9, = O, es decir, cuando el empotramiento es perfecto el án-gijgigi;ado por la sección extrema es nulo. Así pues, los grados de hiperestaticidad d e las vigas representadas en la Figura 7.1 son: a) uno; b) dos; c) tres; d ) dos; e) u n o ; n dos. Es evidente que las ecuaciones de equilibrio son necesarias para la resolución de los problemas hiperestáticos, pero no son suficientes. Habrá que completarlas haciendo intera su grado de venir las características de deíormación de la viga, - en niimero' igual hiperestaticidad. Tales ecuaciones se denominan eciraciones de cor~tpatibili~latl (le las M o r t?iaciones. En este capitulo estudiaremos la flexión hiperestática de vigas - de un solo tramo, y de varios, como es el caso de las vigas continuas. Extenderemos el estudio de las vigas al caso de sistemas hiperestáticos y se expondrán algunos métodos entre los que se utilizan para hacer su cálculo.

401

7.2. Métodos de cálculo de vigas hiperesthticas de un solo tramo Como ya se ha indicado, cuando nos encontramos con una viga hiperestática es necesario considerar junto a las ecuaciones de equilibrio otras que hemos llamado ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. Existen varios métodos para el cálculo de vigas hiperestáticas de un solo tramo, únicas que consideraremos en este epígrafe. Veamos en qué consisten los métodos, que están basados en: a) la ecuación diferencial de la linea elástica, 6 ) 10s teoremas -----de Mohr. c) el principio de superposición,

-

viendo cómo se aplica cada uno de ellos en casos concretos, a modo de ejemplo. a)

klétodo basado en la ecuación diferencial de la elhstica

El procedimiento a seguir es esencialmente el mismo que el descrito en el Capítulo 5 para la determinación de la deformada de la viga, mediante doble integración. Se formula la ecuación diferencial de la elástica considerando las incógnitas como si fueran valores conocidos. Se determinan éstos, más los valores de las dos constantes de integración que este método introduce como nuevas incógnitas, mediante el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de equilibrio y las que se obtienen al imponer las condiciones de contorno en la ecuación de )a elástica. Veamos cómo se aplica el método al caso de una viga empotrado-apoyada sometida a una carga uniforme p (Fig. 7.2).

Figun 7.2.

c3

Existen tres incógnitas: las reacciones R, y R, cr, las secciones extremas y el momento de empotramiento A{,. Como en este case las ecuaciones d e equilibrio son dos, ya que n o existen fuerzas oblicuas, tenemos:

ZM=O:

M , + - p12 2

R,I=O

(7.2-2)

' grado. La ecuación de la linea elástica será El sistema es, pues, iiirerestáticode1 primer _<'.

-

402

RESISTENCIA DE MATERIALES

Integrando, se tiene

niisnios diagranias para cada una de las incógnitas superfluas, por otra. y se aplican los teoremas de Mohr que proporcionan las ecuaciones necesarias para el cálculo de las incógnitas superfluas. Veamos cómo se aplica el método considerando el' ejemplo de una viga ernpotradoapoyada sonictida a una carga concentrada P, comn !a indicada en la Figura 7.3-a.

Las condiciones de contorno son:

Para determinar las reacciones de las ligaduras tenemos, pues, el sistema de ecuaciones formado por las (7.2-l), (7.2-2) y (7.2-6) Figura 7.3.

que nos da las siguientes soluciones

Cuando sea necesario calctilar un gran numero de constantes, la resolución de: sistema de .ecuacioncs puede resultar excesivamente laborioso, por lo que es rcconsejable aplicar es$ método solamente en casos de' carga relativamente sencilia. 6)

Como se trata de una viga hipercstática de prinier grado podemos tomar como ligadura superflua el apoyo en el extremo B. Lo suprimimos sustituyéndolo por la reacción R , que tal ligadura pioduce (Fig. 7.3-6). El diagrama de momentos flcctores de esta viga es la superposición del correspondiente a la carga P (Fig. 7.3-c) y a la carga R , (Fig. 7.3-4. Como la tangente a la elástica en el extremo A pasa por el otro extremo B. es nula la distancia de éste a aquélla. Si aplicamos el segundo teorema de blohr. esta circunstancia se expresa anulando el momento estático del diagrama M,/EL respecto del extremo B.

De esta expresijn se obtiene directamente el valor de R,

Método basado en los teoremas dc klohr

Los teoremas de Mohr se pueden aplicar a vigas hiperestáticas proporcionándonos las ecuaciones complementarias a las de equilibrio que son nectsarias para la resolución de un problema estáticamente indeterminado. Estas ecuaciones complementarias expresan condiciones sobre las pendientes y deformaciones de la viga, en número igual al de incógnitas superfluas. El método consiste en elegir la incbgnita o incógnitas superfluas, eliminando O modificando convenientemente la ligadura o ligaduras correspondientes. Cada incógnita superflua se considera como una carga desconocida que, junto con las otras cargas, conocidas o desconocidas, ha de producir deformaciones compatibles con las ligaduras reales. En la práctica, se dibuja el diagrama IM,/EI, de las cargas conocidas, por una parte, ssí como los

Esta ecuación, junto a las dos de equilibrio

permite calcular las otras dos reacciones

R A

Ph - -(312 - 2iJ

-

Pub h2) ; AfA = - - ~ ( 1 21

+ 6)

FLEXION HIPEKESTATICA

403

delormaciones conipatibles con las ligaduras reales. Lii pendiente o desplazamiento de la seccion. en la que se ha eliminado o modificado la ligadura, se obtiene superponiendo los valores obtenidos de las dsíormaciones que producen las cargas conocidas y las incógnitas superflu:is, actuando cada una de ellas separadamente. Veamos con un ejemplo cómo se aplica el método. Consideremos la viga biempotrada sobre la que actúa una carga concentrada P, indicada en la Figura 7.5. Supondremos, como ya se ha indicado, que uno de los empotramientos es una corredera horizontal para evitar la apariciSn de coniponentes horizontales de las reacciones en las secciones extremas.

que se elige una incógnita superfl1i:i. eliminando o Hemos indicado modificando convenientemente la ligadura correspondiente. En la resoluci0ri que acabar , , ~de~ e,-poner se ha elegido la reacción del apoyo B y, consecuentemente. se ha suprimido dicho apoyo. Pero podiamos haber elegido e1 momento de empotramiento M , como incógnita superflua. En este caso habria que modificar la ligadura del enipotramiento convirtit.nd~laen un apoyo simple fijo, ya que lo que hay que liberar es la posibilidad de giro de la seccióri A, pero no dejar libre el desplazamiento pues se considerariun dos incógnitas superfluas - e l momento i\.l,, y la reacción R,- cuando en realidad sólo existe una incógnita superflua ya que si así se hiciera, la viga se convertiria en un mecanismo inestable. Si se hubiera elegido e1 momento M, como incógnita superflua (Fig. 7.4) dibujariamos y~. aplicaríamos el segundo teorema de los diamamas ICI-/EJ. -. - indicados en la misma figura Mohr.

-

(7.2- 14) Figura 7.5. Al tratarse de una viga hiperestática de segundo grado tenemos que elegir dos incógnitas superfluas. Consideremos como ligadura superflua el empotramiento de la sección B. Esta ligadura comprende dos incógnitas superfluas, la reacción R, y el momento M,, por lo que podemos eliminar el smpotramiento. De esta forma obtenemos la viga en voladizo indicada en la Figura 7.6..

P

B

(1

I

----,

Figura 7.4.

I !

¡

Se obtiene, evidentemente, el mismo resultado anterior

kfA =

Pub 21-

-7(1

i

+ b)

1!

-Una - vez determinadas . . . . . . . . . . todas las reacciones a e las lignauras, las tensiones y oeiormaclos

.

.

nes se calcu!arian como se ha expuesto en e1 Capitulo 5. Ur?a forma de calcular el giro de cualquier seccion o, lo que es lo mismo, la pendieiite a la elástica, asi como la deformación de cualquier sección d e la viga es, precisamente, aplicar los teoremas de Mohr. c)

i

P

Metodo basado en el principio de superposición

En algunas ocasiones puede ser de utilidad la aplicación del nr>rodo de sirperposicidn que está basado en el principio del mismo nombre. El método consiste, igiialnierite al basado en los teoremas de Mohr, en elegir la incógnita o incógnitas superfluas, eliminando o modificando convenientemente la ligadura o ligaduras correspondientes. Cada incógnita superflua se considera como una carga desconocida que, junto con las otras cargas, conocidas o desconocidas, ha de producir

Figura 7.6. Calculemos las deformaciones que producen la carga P. la reacción R,, y el momento de empotramiento M,, actuando separadamente. La carga P produce una deformación angular que se puede obtener Gcilmente aplicand o el primer teorema de Mohr, teniendo en cuenta que la elástica es rectilinea en la porción d e viga CB

FLEXION JiIPERESTATICA

7.3.

El desplazamiento vertical de B debido a P se puede obtener asi: (!>,)P

= ()>c)P

+

=

(O,)pb

--1

Paz 2

-- a

EI: 2 3

Paz

- -b 2EI,

Paz

= - -- (2a

6EI:

+

3h)

(7.2-16)

habiendo calculado (jr,)p mediante el segundo teorema de ~Mohr. Análogamente, se calculan las deformaciones debidas a la reacción R,

(O,),

1

R,/

2

= - ; (J,),

2EL

=

R , I ~ 21 ZEI, 3

--

R,I' 3EI=

= -

y al momento M,

Las ecuaciones de compatibilidad de las deforniaciones son en nuestro caso

O,=O

; y,=O

(7.2-19)

407

Viga empotrada en sus extremos

En el epigrafe anterior hemos expuesto diversos métodos para el cálculo de vigas hiperestáticas de un solo tramo, y 10s hemos aplicado a casos sencillos de carga. Podcmos observar cómo en los dos ultimas lo que hemos hcclio en realidad, al clirninar las . ligaduras superfluas, es convertir la viga hipcrestática dada en una viga isostática con S U carga real. y superponerla con otra igual sometida exclusivamente a las incógnitas superfluas. Esto es lo que haremos ahora para calcular las iricósnitas ~uperfluasde una viga biempotrada. sometida a una carga p í x ) por unidad de longitud (Fig. 7.7-u). Tomando como incógnitas hiperestáticas los momentos de empotramiento. esta viga biempotrada se puede considerar como la superposición de una viga isostática simplemente apoyada en sus extremos sometida a la carga p(.\-) (Fig. 7.7-b), y otra, que podemos llamar viga hiperestatica. en cuyos extremos actúan exclusivamente las incógnitas hiperestáticas. es decir, los momentos b1: y M, (Fig. 7.7-c). El diagrama de momentos isostáticos podrá hallarse facilrnente (Fig. 7.7-d). Sea su ecuación ,/¿(.Y). El diagrama correspondiente a la segunda viga sometida en sus extremos a los momentos hiperestáticos scra lineal. tal como el representado en la Figura 7.7-e.

El principio de superposición nos permite poner:

o, =

= (O,),

(,~.'B)P

+ (O,), + (O,).,,

+ (F,)R + (YB).\~

=

= -

Paz

--2EI: Paz

R,lZ M,¡ = O + -2EI, + El,

6 EI, (2a

R I'

(7.2-20)

~\f,,¡~ (7.2-2 1)

+ 3b) + 2 3 EL + ZEI,

lli¡¡¡c

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (7.2-20) y (7.2-21) se obtienen los valores de las dos incógnitas que hemos elegido como superfluas

Las otras incógnitas se determinan mediante 15s ecuaciones dC3equilibrio

F, = O:

LM

=

O:

R., M,

+ R, - P = O + R,I - Pb - hfB = O

De aquí se obtienen:

con lo quc se d a por resuelta la viga considerada, ya que conociendo todas las reacciones de las ligaduras se obticncn con toda facilidad las lcyes de esíucrzos y morncntos en la viaa.

El diagrama de momentos flectores de la viga biemrotrada que se considera será. en virtud del principio de superposición, el resultado de sumar algebraicamente las lcyes dc ambos.

Para la dctcrminación analítica dc los irlomenios de empotr:imienio A I , y M,, i.1 condición de eriipotramientos perfectos exige la nulidad dc glro dc ambas seccioncC

FLEXlON HIPERESTATICA

409

sxtremas. Por tanto, aplicando e1 primero Y segundo teoremas de Mohr. supuesto que el material es homogkneo ( E = cte) y la seccibn recta se mantiene constante, ienemos:

J; Af=(.r).rd.Y

=

J:

",lz(.y,.Y

'/-Y

i-

1;

(l..,

'M, - M, 1 +

.Y

)

.rd.r =

o

(7.3-3)

sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución nos resuelve el problema. De las-ecuaciones (7.3-7) y (7.3-3) se deduce: El área del diagrama de momentos flectores isostáticos es igual. en valor absoluto, al área del diagrama de momentos hiperestáticos. b ) Los momentos estiticos de los citados diagramas, respecto al eje vertical que pase por uno de los extremos, tienen igual valor absoluto. a)

De aqui se desprende que los centros de gravedad de los diagramas de momentos isostáticos e hiperestáticos estan a la misma distancia de las verticales que pasan por los extremos. En algunos casos en que se presente simetria de cargas y se verifique IM, = M,, la viga biempotrada que es hiperestática de segundo grado pasaría a ser hiperestitica de primer erado, por lo que seria suficiente aplicar solamente el primer teorema de Mohr para calcular los momentos hiperestáticos. Determinemos ahora las reacciones verticales en los empotramientos, que nos perrnitirán representar los diagramas ds esfuerzos cortantes. Nos limitaremos a derivar la ecuación de momentos flectores (7.3-1) haciendo .Y = O y x = 1 respectivamente. Asi, pues:

pnmer grado. Podemos elegir como incógnita hiperestática el momento de empotramiento

*\14. La ley de momentos flectores se obtiene de forma inmediata particularizando la ecuación (7 3-1) al hacer M, = O

El valor del momento hiperestáiico M, se puede obtener aplicando el segundo teorema de blohr. tomando c o p o referencia el extremo B.

Sustitiiyendo la expresión de M;(.Y), dada por (7.4-l), queda: =

- R,,

+ M,

- M, 1

(7.3-5)

es decir: (3

suendo RAi y R,, las reacciones en los apoyos de la viga isostática. Vemos que los momentos de empotramiento hacen variar los valores de las reacciones (excepto si 1% = M,) y, como es lógico, el aumento en una presupone una disminución idéntica en la otra.

7.4.

Viga empotrada por un extremo y apoyada en el otro

Consideremos ahora una viga empotrada por un extremo y apoyada en el otro, que está sometida a una carga p(x) por unidad de longitud (Fig. 7.8). Esta viga es hiperestática de

ecuación que nos permite obtener M,

Las reacciones en el empotramiento y en la sección extrema B serin

110

RESISTENCIA DE MATERIALES

es decir:

R., = R,/ -

,

- ,. AfA

R, = R,i

+1

siendo RAi y RBi las reacciones en los apoyos de la viga isostática.

De la simple observación de [a Figura 7.9 se deduce la principal ventaja de las vigas continuas: la disminución de 10s momentos flectores niiximos en 10s tramos. Como consecuencia. resultarán más económicas que una serie de vigas de longitudes iguales a la de cada tramo, y sometidas a las mismas cargas, apoyadas independientemente. LOS diíereiites tipos de vigas contiiiuris que sc pueden presentar se esquematizan c n la Figura 7.9. Estudiemos el grado de hiperestaticidad de una visa continua. Para ello tendremos en cuenta que el apoyo articulado fijo equivale a dos incógnitas, el apoyo móvil a una y el empotramiento a tres, como ya hemos visto en repetidas ocasiones.

7.5. Vigas continuas Con frecuencia se encuentran en las estructuras de edificios, en las cubiertas de naves industriales y en otras clases de estructuras, vigas de varios tramos o vigas co~iril~tras que son estáticamente indeterminadas. Podemos definir la ciga conriiiita como un prisma mecinico recto sometido a flexión, apoyado simplemente en una o varias secciones intermedias y cuyos extremos son apoyos siriiples o empotramientos. La Figura 7.9 representa la viga continua más sencilla, o sea, uiia viga recta sobre tres apoyos, uno articulado fijo y dos móviles. Con objeto de evitar componentes horizontales de las reacciones en los apoyos intermedios, no dcscables, consideraremos que todos los apoyos intermedios son articulados móviles. Asi, un extremo es siempre apoyo fijo o empotramiento perfecto y el resto de ligaduras son apoyos articulados móviles. Figura 7.10. Supuesto CI sistema de cargas contenidas en un plano vertical, el numero de ecuaciones de equilibrio es de tres. I'or tanto, el grado de hipcrestaticidad de los tres tipos señalados será: tipo (a): (u.+ 2) incógnitas - 3 ecuaciones = n - 1 tipo (6): (n + 3) incógnitas - 3 ecuaciones = n tipo (c): (n - 1) + 3 + 2 incógnitas - 3 ecuaciones = n + 1 En una viga continua la rigidez de un tramo dificulta la deformación del tramo contiguo por lo que cadz apoyo actúa como un empotramiento elástica. La acción del d traxpo i-esirno de longitud li sobre el i+ 1-ésimo de longitud I,,, equivale, pues, a la aplicacion de un n o m e n t o El cálculo de una viga continua se simplifica de forma muy notable eligiendo como incogni!as superfluas los momentos ílectores Mi que actúan en las secciones rectas correspondientes a los apoyos intermedios. Tomaremos como incOgnitaz hiperestáticas estos momentos Mi en los apoyos. Una vcz conocidos dichos momentos quedan perfectamente determinadas las leyes de los momentos ílectores en los diversos tramos de la viga. Las leyes de esftierzos cortantes se podrán obtener por derivacibn. Aunque uii;i viga continua se ~iucderesolver ayiic;tndo cualquiera d e los métodos descritos en el epigrale 7.2 es particularmente aconscjable aplic;ir el método de superposición y elegir como iricógnitas superfluas los momentos ílectorcs en las secciünes de los apoyos intermedios, como ya se ha indicado. De esta forma cada tramo se convierte cri una viga simplemente apoyada solicitada por la carga real y los momentos hiperestático: en los extremos (Fig. 7.1 1).

rw.

Diagrama de momentos ilectorcc

Figura 7.9.

112

FLEXION HlPERESTATlCA

*

R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S

413

Si la línea elástica presentara un punto anguloso en alguno de los apoyos significaría que en ese apoyo habriamos sobrepasado las deformaciones elásticas. C o m o nos movemos en el campo de elasticidad, la derivada de la linea elástica ha de ser una función continua. Esto signilica que la tangente a dicha linea, en cualquier apoyo, es unica. Esta condición nos permite escribir (Fig. 7.13)

Figura 7.1 1

Tomando como incógnitas superfluas los momentos [lectores en las secciones correspondientes a los apoyos, veamos como se resuelve una viga continua. Comenzaremos considerando una viga continua, uno de cuyos extremos está empotrado. Basándonos en la horizontalidad de la tangente a la línea elastica en un empotramiento perfecto vamos a establecer una relación analítica entre el valor del momento M, en el empotramiento y M, en el apoyo inmediato (Fig. 7.12).

Figura 7.12. Figura 7.13.

Si 0, es el Arca del diagrama de momentos isostáticos y G,el centro de gravedad de dicha área, por aplicación del segundo teorema de Mohr respecto del apoyo móvil, tenemos

de donde:

expresión analítica del llamado

reorenia

de la;r dos momentos.

Supondremos la viga homogénea y d e sección constante ( E l , constante). Por el segund o teorema de Mohr, tenemos:

414

RESISTENCIA DE MATERIALES

Despejando de estas expresiones a,, a,,

Be P,,y sustituyendo en (7.5-2), se obtiene Figura 7.14.

de donde:

expresión analítica del denominado feorenia de los [res t~ronrenros.Este teorema es dcnomiiiado también de Clripe.vroil, ya que es Clapeyron (1799-1864) quien estableció que debido a la continuidad de la elástica y de su derivada en los apoyos intcrmcdios de una viga continua, las pendientes en los extremos de dos tramos contiguos en el apoyo común deben ser iguales. Ahora se compreride muy bien porqué la elcccion como monlentos hipcrestliticos de los momentos flectores en las secciones correspondientes a los apoyos inierniedios simplifica d e forma notable los cálculos. ya que mediante la aplicación del teorema dc los tres momentos tenemos un sistema de ecuaciones en el que en cada una de ellas aparecen como máximo tres incógnitas, independientemente del número de incógnitas que existan. La aplicación de este teorema a cada terna de apoyos consecutivos nos proporciona en casos de vigas continuas del tipo (o) n - 1 ecuaciones, que resuelven la hiperestaticidad del problema. Si las vigas son del tipo (h) o (c) aplicaremos tambitn el teorema de los dos momentos obteniendo una o dos ecuaciones más, segiin el tipo de que se trate. Una vez que se conocen los momentos hiperestáticos, se obtienen, de forma inniediata sin dificultad aiguna, los diagramas d e momentos fiectores y de esfuerzos cortantes, lo que permite determinar las tensiones en los puntos de cualquier seccicn d e la viga continua.

7.6. Sistemas hiperestáticos. Grado de hiperestaticidad de un sistema . Cuzndo se nos presenta la necesidad d e estudiar un sistema hiperestático. esto es, cuando tenemos que calcillar las leyes d e momentos fiectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales, lo primero que hay que hacer es analizar su esquema para determinar el grado rle l~iperes~aricidad, que ya hemos definido en 7.2 en el caso de vigas. En lo que sigue consideraremos sistemas hiperestáticos planos en los que las cargas estén contenidas en su plano. Fijémonos en el sistema representado en la Figura 7.14-a formado por un doble pórtico cuyos nudos supondremos perfectamente rígidos y sus tres soportes perfectamente empotrados en terreno firme.

Segun vimos en el epigrafe 1.1 1 un empotramiento equivale a tres incógnitas: dos componentes de la reacción y 13 tercera que corresponde al momento. Por tanto, par3 conocer las acciones de las ligaduras externas sobre el sistema de la Figura 7.14-0 sr necesita determiniir nueve incógnitas. Como el numero dc ecuaciones de equilibrio es trcs. por tratarse de un sistema plano. tenemos scis incógnitas estáticamentc indetcrriiinada: (1 hiperestiticas. Es evidente que conocidas las reacciones y los momentos en las scccioiics dc los crnpoirarnientos de los soportes del sistenia considerado están perfectamente dcterminadas 13s leyes de momentos flectores. esfuerzos cortantes y esfuerzos norniales en lodas y cada una de las partes del sistema. Pero si consideramos el pórtico de la Figura 7.14-h, q u ~ tiene las mismas ligaduras externas que el anterior. vemos que el conocimiento de las se¡\ cien de nioiiiciiincógnitas estáticariicnte iiidetcrminadas es insuficiente para la deterrniii,~ -. tos y esfuerzos en todas las barras del sistema. Esto es debido a que se han iiitrodiicido contornos cerrados. Pero antes de seguir adelante y ver a cuantos grados de hiperestaticidad equivale u n contorno cerrado, nos damos cuenta que existcii dos causas que hacen que el sistema scii hipcrestático: I;is incógnitas en exceso de los enl:iccs provenientes de las ligaduras extern:i\ al sistema, y las que se derivan de la forma que esttn conectadas entre si las diversas partcs del propio sistema. En el primer caso tenemos los sisren~ase.rreriorn:etire Iriperesróticos. como es el caso de la viga continua representada en la Figura 7.15-a; y en el segundo, los sistet~rasit:!criorr~ictrrc lriperes~áricos,como es el pórtico de la Figura 7.154 con un apoyo Iijo en A y otro móvil en B. Si llamamos li3adtrns sirpcrj71tas a aquéllas cuya eliminación se puede realizar sin perjudicar la invariabilidad del sistema, d i r e n i 9 que el grado de hiperesrariciriades igual al

.

'

116

FLEXION H I P E R E S T A T I C A

RESISTENCIA D E XfATERlALES

número de ligaduras superfluas, tanto e-~rcanirt~io. Si llamamos n al grado de hiperestaticidad del sistema y 11,. ti, los correspondientes a las ligaduras superfluas exteriores e interiores respectivamente. se verificará:

Calcularemos el grado de hiperestaticidad aplicando esta relación, es decir, hallaremos el número de incógnitas superfluas que corresponden a las ligaduras externas, por una parte,'y a las internas, por otra. y después sumaremos ambos números. El cálculo de n, es muy simple, pues se obtendrá como diferencia entre la suma de las incógnitas que corresponden a todas las ligaduras externas y tres, ya que este número es el de ecuaciones que tenemos al plantear las ecuaciones de equilibrio del sistema, que suponemos plano, según hemos indicado antes. Asi, en el sistema representado en la Figura 7.16 el número d e incógnitas debidas a las ligaduras externas en A, B. C.D es 3, 3.1, 3, respectivamente. Por tanto. el valor de t t , sera

417

Si en vez de hacer un corte introducimos una articulación (Fig. 7.17-c) se mantienen los esfuerzos normal y cortante, pero se elimina el momento flector. Por tanto. la introducción de una articulación, que calificaremos de ordinaria, en uno de los elementos de un sistema hipzresiático equivale a eliminar una incógnita y rebaja en una unidad el grado de hiperestaticidad del sistema. Cuando estudiamos un sistema tendremos en cuenta el número C de contornos cerrados y el número de barras que concurren en cada articulación existente. ya que una articulacion en el que concurran b barras equivale a ( b - 1) articulaciones ordinarias, szgiin se desprende fácilmente de la Figura 7.15, al ser equivalentes los dos esquemas indicados. Podriamos resumir lo dicho proGoniendo como fórmula para calcular el grado de hiperestaticidad interior 12 siguiente:

-

-

-

-

FF

Figura 7.18.

en donde C es el número de contornos cerrados y A el número de articulaciones, tomando cada una de ellas el valor del número de barras menos una que concurran en la misma. Hay que hacer la observación que el terreno no cierra contornos, es decir, que el pórtico simple de la Figura 7.19 es de grado de hiperestaticidad tres, siendo las tres ligaduras superfluas ligaduras externas, ya que ligaduras interiores no tiene ninguna.

Figura 7.16.

Para calcular ni veamos primeramente que un contorno cerrado (Fig. 7.17-a) equivale a trer, grados de hiperestaticidad. En efecto, si realizamos un corte en uno de los lados del contorno (Fig. 7.17-b) Este se convierte en isostlitico. Este seccionamiento equivale a eliminar tres ligaduias internas, cuyas reacciones senan el esfuerzo norn?d, el esfuerzo cortante y el rnomcnto flector.

Así, el número de contornos cerrados en el sistema de la Figura 7.16 es C = 9; la articulación a rebaja una unidad el grado d e hiperestaticidad; la articulación b, dos; y tres, la articulación c. El grado d e hiperestaticidad interior es ni=3x9-(1+2+3)=21 Por tanto, el grado de hiperestaticidad del sistema será: n=n,+n,=7+21

Figura 7.17.

(0)

es decir, el sistema dado tiene 28 ligaduras superfluas.

=28

-

418

FLEXION HIPERESTATICA

RESISTENCIA DE MATERIALES

419

Convertido un sistema hiperestático en isostático eliminando las ligaduras superfluas, la eliminación de una ligadura más cualquiera de este sisterna isostático lo transforma en mecanismo y, por consiguiente, un sistema i,ustático tiene el número de ligaduras estrictamente mínimo necesario para asegurar su invariabilidad. Por el contrario, si introducimos en un sistema isostático cualquier ligadura por encima de este número mínimo, la ligadura es superflua y transforma cl sisterna dado en sistema hiperestático. Al eliminar las ligaduras superiluas hay que tener buen cuidado, de no eliminar aquéllas que puedan convertir el sistema en mecanismo.

Figura 7.21.

caso plano, dos son sirnftricos (N y M:) y el tercero ( T ) es antisimttrico. Si la carga no lucra simétrica. cl grado de tiipcrcstaiicidad del sistema seria 3. Sin cmbargo. como ci esíucrzo cortante es nulo en la sccción pcrtenccicrite al plano de sinietria, el grado dc Iiiperestaticidad es realmente 2. Figura 7.20.

Por ejemplo, en el pórtico de la Figura 7.20-0. de grado de hiperestaticidad tres, no podriamos eliminar el apoyo móvil e introducir la articulación a (Fig. 7.20-6). ya que se convertiria en un sistema variable, es decir, en un mecanismo. Si podríamos, por el contrario, realizar un corte en cualquiera de los lados del contorno cerrado (Fig. 7.20-c). El grado de hiperestaticidad de un sistema puede disminuir cuando la estructura admite un plano de simetria y la carga aplicada presenta simetria o antisimetría respecto a él. Decirnos que la carga es sin~itrica,cuando la carga sobrc la parte del sistema que queda a un lado del plano de simetría es imagen especular, respecto de dicho plano. de la carga que actiia sobre la otra parte. Y entendemos que la carga cs atlrisir~~érrica cuando la carga sobre la parte del sistema que quedv a un lado del plano de simetría es iniagen especular, resFecto de dicho plano, de la carga que actúa sobre la otia parte, pero de scntido contrario. De la misma lorma se definen los esfuerzos interiores simétricos y antisimhtricos, según presenten esta particularidad respecto del plano de corte. De la Figura 7.21 se deduce que existen tres esfuerzos simétricos r e s l c t o del plano de corte: los momentos flectores M,, 12.1, y el esfuerzo normal N. Los otros tres esfuerzos: momento torsor M , y esfuerzos cortantes T, y T,, son antisimétricos. Por razón de simetría podemos afirmar que en los cortes que el piano de sirnetria determina en el sistema, los esfuerzos interiores siniétricos son nulos cuando la carga es antisimétrica. En el caso de ser la carga simétrica los que se anulan son los esfuerzos antisimétricos. Es evidente que cualquiera de estas circunstancias hace disminuir el grado de hiperestatici¿z.rl del sistema. Por ejemplo, en el pórtico indicado en la Figura 7.22-0 la carga que actúa en su plano es simétrica. De !os tres esfuerzos interiores que existen, pues, es un

Figura 7.22.

Análogamente, en el pórtico simhtrico con carga antisimétrica indicado en la Figura 7.22-0, son nulos los esfuerzos interiores siniétricos LV y iw,,por lo que e! grado de hiperestaticidad real es l .

7.7.

Método de las fuerzas para el cálculo de sistemas Iiipercstáticos

En epígrafes anteriores se han considerado exclusivamcnic vigas rectas hipcrestaticas y se han resuelto los casos niuy frecuentes cn la práctica de vigas biempotradas o empotrado-apoyadas aplicando los teoremas de Mohr. No es Este el único método para la resolución de tales vigas. Ya hcmos visto que existen otros. como puede ser el que se basa en la utilización de la ccuacióri de la línea elistica o ;iqufl!os quc tienen su

420

RESISTENCIA DE M A T E R I A L E S

FLEXION HIPERESTATICA

fundamentn en los teoremas energéticos. Por un canlino O por otro Ilsgariamos, evidentemente, a los mismos resultados. Pero en la practica nos encontramos con sistemas ciertamente m i s complejos, como pueden ser los compuestos por barras unidas rigidiimente. Su resoluci6n pertenece al campo de rcrroriu ríe los rsrrucrurus)). Sin embargo, vamos a exponer aqui un método de cálculo de sistemas hiperestáticos reticulados, denominado niéroclo de las .reneral . jirrrzas, que nos permitirá resolver sistemas de relativa complejidad. Consiste el nzérodo de Iasfiterzas en liberar el sistema hiperestático de las ligaduras superfluas sustituyendolas por las fuerzas y momentos correspondienies. una vez determinado el grado de hiperestaticidad del sistema que, como hemos visto anteriormente, es igual al número de ligaduras superfluas. El sistema estiticamente determinado así obtenido se denomina sisfenza base. Hay que hacer notar que se pueden elegir arbitraria3 incógnitas del sistema, pudiendo mente las n reacciones hiperestáticas entre las ti obtenerse a

+

Este despl:tzamiento siempre será nulo, pues la .Y, es una reaccióri que existe debido a que el movimiento de la correspondiente sección esta impedido en esa direccihn. Ahorii bien. corno

-

justituyendo. se obtiene:

t n donde j i j es el desplazamiento en el sistema base del punto de aplicación de la fuerza .Y,.en la dirección de ella misma, al aplicar la fuerza .Yj = 1, y siendo A,, el desplaza-

miento en el sistenis base del punto d e aplicación de la fuerza Xi, en su dirección. debido la carza que actú3. sobre el sistema. Conio je tienen rr incógnitas .Y,, se obtendrán 11 ecuaciones (7.7-3)

-

3.

b,,X1 b2,.Y,

+ +

S I I X 1 + -.. + S l n X n + A l , = O ... + b z n X . + A Z P = O bzlXz

+

.......................................

sistemas base a partir del mismo sistema hiperestitico. Es evidente que el resultado a que se llega es el mismo independientemente del sistema base que se haya ele-ido, pero una elección afortunada del mismo puede simplificar los cilculos de lorni;~notable. Asi, por ejemplo, dado el pórtico de la Figura 7.23-u es ficil ver que el grado de hiperestaticidad es dos. Eliminando, pues, dos incógnitas superfluas conio pueden ser las correspondientes al apoyo fijo. sustituyendo éste por las fuerzas .Y, y S,, obtenemos el .si.rret?ia busr indicado en la Figura 7.23-b.

421

-

(7.7-4)

....................................... b,,.Y,

+

bn2X2+

... +

6,,.Y,

+

A,, = O

Las ecu:iciones de este sistema reciben el nombre de eciraciones cntr~jrricasdel nititodo de las fuerzas. Se pueden expresar matricialmente de la siguiente forma:

siendo [ D I la matriz de los coeficientes de las ecuaciones canónicas; [ X ] el vector cuyas componentes son las incógnitas hiperestáticas, y [ D p ] el vector de los desplazamientos debidos a las cargas

Los coeficientes aij d e las incógnitas se pueden calcular, en caso de barras rectas barras curvas d e pequeña curvatura, mediante el método d e M o h r expuesto en 5.8 Figura 7.23.

x2

Volvamos al caso general de un sistema de grado de hiperestaticidad 11. En virtud del principio d e superposición de efectos si A, es el desplazamiento del punto d e aplicación dc la fuerza X,. la condición de compatibilidad de este desplazamiento del sistema base respecto del sistema hiperestático dado se puede expresar d e la siguiente forma:

A i ( X l , X2.

.-..Xm,P )

= Aix,

+ Air2 +

ú

.m.

+ Aix, + Aip = O

(7.7-1)

-

siendo:

M , , N,, T,,, las leyes de momentos flectores, esfuerzos normales y esfuerzos cortantes, respectivamente. del sistema base sometido a la fuerza X, = 1. M,,. N,. Ty,.lai leyes de momentos flectorcs, esfuerzos normales y esfuerzos cortantes, respectivamente, producidos por la fuerza X, = 1.

-

322

RESISTENCIA DE MATERIALES

Por otra parte. los dcsplazan~ientosA,,. términos independientes d e las ecuaciones se calculan de igual forma aplicando el método de Mohr.

que constituyen un sistema de ecuacioncs que nos permite obtcrier todas las incógnitas hiperestaticas. Una vez obtenidas Estas. el cálculo de las reacciones isostáticas se puede hacer mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio de la Estatica. Ilustramos la aplicación del método expuesto resolviendo el pórtico de rigidez constante E L indicado en la Figura 7.24-u

siendo: ,W,,,

,V,,

T.,. las

leyes de momentos ileciores, esfuerzos normales y esfuerzos cortantes, respectivamente, en el sistema base sometido a la carga aplicada al sistema.

En el caso d e sistemas de barras de sección constante cada una de las integrales que aparecen en las expresiones (7.7-7) y (7.7-8) se pueden calcular por el método de multiplicación de los grificos expuesto en 5.9. Como ya se ha indicado. la influencia d e los esfuerzos normal y cortante se pucde considerar despreciable frente al inoniento flector, por lo que las citadas expresiones se reducen a

El cálculo de estas integrales se pucde simplificar adoptando iin sistema basc iidecuado. de entre los sisternas base posibles.

7.8.

Aplicación del teorema de Castigliano para la resolución de sistemas hiperestáticos

Uno d e los métodos que se pueden utilizar para el cilculo d e las incógnitas superfluas de un sistema hiperestático consiste en aplicar el teorenia de Castigliano. Se empieza procediendo de la misma forma a como se hace aplicando el método d e las fuerzas. esto es, se eligen las incógnitas superfluas Xi que sustituyen a las correspondientes ligaduras. Tales incógnitas superfluas se consideran como cargas desconocidas que, junto a las cargas que actUan sobre el sistema considerado, deben d e d a r lugar a deformaciones compatibies con las condiciones que imponen las. ligaduras reales. Como el movimiento d e una determinada incógnita hiperzstática, que será un desplazamiento en su dirección si es una fuerza, o un giro si se trata d e un momento, viene dado por la derivada parcial del potencial interno respecto d e ella, calcu!aremos previaineiite la expresión del potencial interno del sistema debido a la accibn conjunta de las cargas dadas y d e las reacciones superfluas. Se obtiene así una expresión

Figura 7.24.

Se trata de un pórtico de extremos empotrados, de tercer grado de hipercstaticidad. Elegimos como incógnitas superfluas las tres debidas al enipotramiento en la sección ,4 (Fig. 7.24-b). Liberado el portico del empotramiento en A, las lcyes de momentos ilectores, esfuerzos normales, y esfuerzos cortantes en el soporte A B y en el diniel BC son: Soporre A B: M: = X )

-

?jl.y

7;. = -,Y, Dfrirel BC:

El potencial interno dcl pórtico que se considera, es Si las ligaduras n o permiten el desplazamiento de la reacción d e I:i ligadura X,en la dirección d e la misma, o el giro alrededor del eje definido por el momento, en su caso, las condiciones d e compatihilidad d e los desplazamientos serán

,+

Joh

x;

-d.. ZGR,,.

+

d.^

Como ya se ha indicado,.>\. pueden despreciar 10s terminos debidos a los esfuerzos normal y cortante frente a los debidos al momento flector, por 10 que e1 potencial interno reduciri a los dos primeros sumandos de la expresión anterior. Tenierido en cuenta esta circunstancia y aplicarido las condiciones de compatibilidad de las deformaciones, se tiene:

7.9.

Construcción de los diagramas de momentos flectores, esfuerzos cortantes y normales en sistemas hiperestáticos

Una vez obtenidas las incógnitas hiperestáticas ,Y,(; = 1, 2, ..., n) mediante la aplicación de alguno de los mitodos expuestos para la resolución de sistemas hiperestáticos, las leyes de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales, en virtud del principio de superposición de efectos, se pueden hallar mediante la expresión

Ec 2.Y2

El,

siendo: S, la magnitud a determinar. S,, la magnitud a determinar que se produce en el sistema básico al aplicar Xi= 1. S,, la magnitud a determinar producida en el sistema básico al actuar la carga aplicada al sistema.

o bien

En el caso de sisteinas hiperestáticos de barras rectas podemos construir los diagramas de momentos Rectores representando gráficamente las leyes que en cada una de dichas barras vienen dadas por la aplicación de la ecuación (7.9-1)

Sustituyendo los valores numiricos indicados en la Figura 7.24-0 y simplificando, este sistema se reduce a 3 X 3 - 16X1 + 6,Y, = 32

X; 2.Y3 --

-

1 ton

+ 4.Y2 = 24 9x1 + 3x2 16 6Xl

; X, = 7 ton

;

X,

las cargas exteriores que están airectamente aplicadas al sistema hiperestático dado, b) los momentos flectores M,, y M,, que el resto del sistema ejerce sobre el prisma aislado y cuyos valores pueden ser obtenidos del diagrama d e momentos correspondientes, cj los esfuerzos cortantes T,, y TE, y los esfiierzos normales N,, y N,, que ejerse también el resto del sistema sobre el prisma. Análogam-nte a como hemos hecdo en 7.3 la acccion general descrita sobie la pieza se puede descomponer en la acción cobre una viga isostática con la misma carga (Fig. 7.25-b) y sobre otra no cargada en cuyos extremos actúan los momentos M,,, y M,, respectivamente (Fig. 7.25-c). a)

cuyas soluciones son: .íl

Los diagramas de esfuerzos cortantes se pueden construir a partir de los correspondientes a los momentos flectores, simplificando de este modo la aplicación de la formula (7.9-1). En electo, consideraremos un prisma mecánico (Fig. 7.25-0) obtenido al realizar dos cortes en las secciones A y B. Aislando el prisma indicado del sistema hiperestatico, éste estará sometido, en el caso más general, a:

=

2 m - ton

La obtención ahora de la reacción, así como el mom-nto d e empotramiento en la sección C, es inmediata aplicando las ecuaciones d e equilibrio (Fig. 7.24-c) H, = l ton =5

VC

=

El momento flector en una sección de abscisa x, en virtud del principio d e superposición, será:

9 ton

siendo .A'L(.r) la ley de momentos sobre la viga isostática.

-

426

RESISTENCIA DE MATERIALES

7.10.

Cálculo de deformaciones y desplazaniientos en los sistemas hiperestáticos

El razonamiento seguido en 5.8 cuando se expuso el método de Motir para el calculo d~ desplazamientos en un sistema elástico es válido tanto para sistemas isostáticos cornt hiperestáticos. Por ejemplo, si se quiere hallar el desplazamiento de I:i sección D de pórtico reprcscntado en la Figura 7.27-a aplicamos en clla una carga ficticia unidad. E. desplazamiento en 1;i tlirección de esa carga es, segun el citado método de Molir

Figura 7.25.

'E

l

Por la relación existente entre esfuerzo cortante y momento flector, tenemos: d*I.I) d./(=(.r) Ty(.<)= -= --d.~ ci'r

siendo

+

M B A- M A 8 I

d- /fL(1) la ley d e esfuerzos cortantes sobre la viga dx

l !

(7.9-4)

1

isostática (Fig. 7.25-b).

La ecuación nos muestra que es posible determinar los esfuerzos cortantes en las secciones d e un sistema hiperestático conociendo el diagrama de momentos flectores y las cargas directamente aplicadas al mismo, Figura 7.27.

en donde: M,,, No, T,,, son las leyes de momentos flectores, esfuerzos normales y csruerr~s

cortantes del sistema hiperestitico sometido a la carga real, Af,,, N,, T,,, son las leyes d e momentos flectores, esfuerzos normalcs y esfuerzr.r cortantes producidas en el sistema hipercstático descargado cuando se rplica una carga unidad en D. Figura 7.26.

p

C

~ A C

A partir del dizgrama d e esfuerzos cortantes se puede obtener el correspondiente a 10s esfuerzos normales aislando los nudos del sistema y aplicando a los mismos las cargas exteriores que les crtuvieriri direct-.nenlc aplicadas los cslucrms cortantes y los momentos flectores anteriormente determinados. Los esfiicrzos normalcs se calcularrin expresando la condición de equilibrio de los nudos (Fig. 7.26).

Si son despreciables los efectos producidos por los esfuerzos normal y cortarlle, suposición que haremos en lo que sigue, la anterior expresión se reduce a:

Pcro cstc niétodo prcscntn el gran inconvcnicritc (Ic tener que c;ilcular dos sisiema hipcrcstático, por lo que no es útil su aplicación.

~ C C C ?( '

128

RESISTENCIA D E XtATERI.4L.ES

La utilización del referido mitodo de M3hr se puede simplificar notablemente teniendo en cuenta la equivalencia del sistema hiperestitico dado y cualquiera de los sistemas isostiiicos que se obtienen al eliminar las ligaduras superfluas, sustituyéndolas por las reacciones correspondientes. Asi, por ejemplo, si en el pórtico considerado en el epígrafe 7.8 (Fig. 7.24-0) eliminamos las ligaduras superfluas del empotramiento A, y las sustituirnos por las fuerzas X,, .Y,y momento .Y, (Fig. 7.28-0). el desplazamiento 6, buscado seri:

siendo: .LIZO, la ley de momentos flectores en el sistema base cuando está solicitado por la carga aplicada al sistema y por las reacciones que sustituyen a las ligaduras superfluas (Fis. 7.28-6) (equivalente al sistema hiperestitico dado). i L l z , , la ley de momentos fleciores en el sistema base debidos a la carga unidad aplicada en el punto D cuyo desplazamiento, en la dirección de dicha carga unidad, queremos calcular (Fig. 7.28-c).

l

En este caso la expresióri del desplazamiento del punto D es:

1 I

Las leyes d s momentos Tlectores son, respectivamente en el soporte: lLl,, =

-

1

43 +x ; O < .Y < 2 ni 54

11 .Y+ l;2m < x < 6 m 54 2 1 lMz, = -- + - .Y ; O < x < 6 m 9 18

--

M,, =

lCIZ, en el dintel:

en el soporte: M,, = O iLfZp en el dintel:

(4

MxP = -74 xZ

Figura 7.28.

Por tanto, el valor d e 6, será: Para los valores numéricos del'citado ejemplo y para el de un tercio de la longitud del soporte AB, se tiene:

unto D situado a la altura

Este cúlculo podriamos hacerlo también considerando el diagrama M:, de momentos flectores en el sistema base isostático, debido a la carga. y el diagrama d e momentos flectores en el sistema hiperestático debido a la carga unidad aplicada en el punto D.

w,

6

6,

=

-&Io6(-i + E 1

.Y)(-;

12)

dx =

8

--3 EI,

A la vista de este ejemplo y pudiendo aplicar este proceder a cualquier caso, podemos d a r la siguiente regla para calcular el desplazamiento de un punto d e un sistema hiperestático: Integraremos a lo largo de todas las barras del sistema el producto d e d o s leyes d e momentos flectores divididas por El,, de las cuales una de ellas puede ser la engendrada por las cargas reales, o bien la debida a la carga unitaria en el sistema hiperestático dado; la o t r a puede ser obtenida pira el sistema auxiliar derivado del d a d o por eliminación de las ligaduras superfluas.

430

RESISTENCIA DE KtATERIALES

Ademis de los desplazamientos que los distintos puntos de un sistema hiperestático experimentan cuando se carga éste, pueden existir otras causas que modifican el estado de deformaciones sin variar la carga. Nos referimos a las deformaciones producidas por la acción de variaciones térmicas a que pueda estar sometido el sistema, asi como a los asientos que puedan experimentar los apoyos. El cálculo de los efectos producidos por la variación de temperatura se puede hacer mediante ecuaciones canónicas del tipo

+! : b F

A

-

l G ton

,

2m

l:

2m

= 5

ton&;

2m

en las que A;, es el desplazamiento en el sistema base del punto de aplicación de la fuerza Xien su dirección, debido a la variación térmica. En cuanto al calculo de los efectos a que d a n lugar los asientos en los apoyos, si se obtiene el sistema base seccionando e introduciendo articulaciorics, las ecuaciones canónicas se pueden poner en la forma

en donde A:, es el dssplazamierito en el sistema base del punto de aplicación de la fuerza ,Y, en su dirección, debido al asiento de los apoyos. Figura VII.l-a.

1%:

El momento de empotramiento A l A lo calculamos aplicando el segundo tcorcnin dc Mohr

EJ EKCICIOS VII.1.

Una viga recta horizontal, de longitud I = 6 m y sección constante, esta perfectamente enipotrada en uno de sus extremos y apoyada en el otro. En las secciones situadas a distancias 2 ni y 4 n~del empotramiento actuan cargas concentradas de 10 y 5 ton. respectivaniente. Se pide: l." Dibujar los diagíamns de momentos flectores y esfuerzos cortantes 2." Calcular la distancia ai ernpotramiento del punto, o puntos de inflexión de la elistica. 3." Determinar el perfil IPN necesario para o,,, = 1200 kp/crn2. 4." La situación y valor de la flecha, conociendo W = 2 x lo6 kp/cm2. 5." Calcular el ángulo que forma con la horizoatal la tangente a la elástica en el extremo apoyado. l." La soiicitación que actúa sobrz la viga s i descompone en las tres accioncs parciales indicadas en la Figura VII.1-a. Las reacciones en los extremos A y B que origina cada una de estas acciones es:

RA =

Ru A

-

20 3 5 ton 3

- ton

; Ri = ;

R;

10 3

- ton

1o ton =-

3

I i

dc donde obtenemos: Al, =

-

15.55 m - ton

Las reacciones tendrán los siguientes .valores RA = R;

+ RA + R;"

RB = R;

+

20

=

10 R; + R; = 3

Las leyes de momentos flectores son:

5

15.55

3 +3+6 =

10.93 ton

10 15.55 +- - = 4.07 ton 3

6

432

RESISTENCIA D E MATERIALES Para resistirlo, es necesario que la seccion tenga como minimo un modulo resistente W, de valor

y las corrrsporidiente~de c s f u e ~ o scortantes: ; O < . v < l m 7 = R , = 10.93 ton ; 2 m <.r < Jrn 7 = R., - P, = 0.93 ton 7 = R , - P, - P2 = -4.07 ton ; 4 n~ < .Y < 6 m

u',

L f = O.dm

=

15.55 x 10' c m . kp

--

- 1296.25 crn3

1200 k p . c m - '

que corresponde a un

P, = 10 ton

I

cuyo momento de inercia es: I z = 29 210 cm'.

10 ton

IS

ton

10.93 ton

I

Diagrama de esfuerzos constantes 4.07 ton

t-

¡

-

Los diaeramas pedidos de momentos flectores y de esfuerzos cortantes se representan en la Figura V1I.I-b. 2." Los puntos de inflexión de la elástica se presentan en las secciones en las que se acula el momento flector. Por tanto. en la viga que consideramos solamente existe un punto da inflexión. segIn se deduce de la observación del diagrama de momentos flectora. Si x, es la distancia de dicho punto al empotramiento. se hdbrá de veriLcai

4..

.

I

1

.Y

,

Figura VII.1-C.

Para determinar la situación de la flecha se intuye que deberá presentarse en una sección del tramo comprendido entre las dos cargas P, y P, aplicadas. Por el primer teorema de Mohr, si x, es la abscisa de la sección que buscamos, se tiene (Fig. VII.l-c):

de donde:

ecuación de segundo grado cuya solución válida es: 3."

De la simple observación del diagrama de momentos flectores de la viga se deduce que el valor absoluto del momento flector máximo es -

M,,,

= 15.55 meton = 15.55 x lo5 c m - kp

4r e

I

Figura VII.1-b.

t

434

F L E X l O N HJPERESTATICA

R E S I S T E N C I A DE MATERIALES

Para c:ilcular el valor dc la flecha aplicarcriios cl scgirndo tcorcina dc Molir

d:i cii los extrcnios. D e s ~ o t n ~ o i i i e n dlao solicitacion dada sobre la viga hipcrcsiitic:~. en I;is acciones indicadas sobre la viga isostiiica. sc ticnc:

Ri

+ 0 . 9 3 . ~ )dx ~

(4.45

5."

1

=

24.09 m'. ton El, k p . c m 2

- 1500

=

= 5

-300kp

R"A - -rl.1 A

; R i = 300 kp

. R ; ; = -.tí,

>

5

Con las reacciones isostiticas el diagrama de momentos flectorcs e s t i perfectariicriie dcicrriiinado (Fig. VII.2-a).

Aplicando el primer teorema d e Mohr; el ángulo 0, que forma con la horizontal el extremo apoyado sera igual al área del diagrama de momentos flectores. dividida por

El,. Area de momentos positivos: 1

- 0.58 x 6.31 2

+

I - (6.31 2

+ 8.17)2 + -21 2

x 8.1 7 = 24.48 m' - ton

Area de momentos negativos:

I

- 1.42 x 15.55 = 11.04 m 2 -ton 2 Area total: 24.48

-

11.04 = 13.44 m*.ton = 13.44 x l o 7 c m 2 . kp

Por tanto 1 3 . 4 x 107 = 2 x 10' x 29210

'1.2.

= 2.3 x lo-' rad =

Una viga recta A R de longitud 1 = 5 m esta empotrada en uno de sus extremos y apoyada en el otro. La sección es constante, de forma rectangular. de anchura b y altura h. En urt punto, a 3 m de distancia del er~i~otramiento A, se aplica un mometito ilf, = 1500 ni - kp de eje perpendicular al plano vertical de sinietria de la viga. Se pide: 1." 2P

135

Diagrama de momentos flectores

756 m - kp

Diaerama de

Dibujar los diagramas de momentos flectores y de esfuerzos cortanles. Deterniinar las dimensiones de la sección sabiendo que Ia relaci6n entre los lados de la misma es blh = 113 que la tensión mhxima admisible es u,,, = 1200 kp/cm2.

1 " Considerarnos la solicitación equivalente formada por el momento M , y por el momento de cmpotramienio, actuando sobre una viga igual pero simplemente apoya-

375 kp Figura VII.2-a.

136

FLEXION HIPERESTATICA

RESISTENCIA DE hlATERlALES

437

Suponiendo que el momento hipzrestático tiene el sentido indicado en la figura, aplicando cl segundo teorema de blohr se tiene: 1 --3

2

x

900(2

+

1 ' 5 2 1 ) ~ - x2 6 0 0 - ? + ? M , - 5 = O 2 3 3

de donde: Figura i'ii.2-b. Las reacciones hiperestáticas son: Se tomaran, pues:

Las reacciones definitivas serán: RA.= Ri

+

R., = Ri

V113.

R: = -300 - 78 = -378 kp

+

R,

=

300

+ 78 = 378 kp

l."

,\[ =

390 - 378.r

vilida para

+

O < x < 3 m

1500 = -1890 - 378; 3 m


5m

y la de esfuerzos cortantes:

T = -378 k p constante en todas las secciones de la viga. Los diagramas correspondientes se representan en la misma Figura VII.2-a. 2." El módulo resisten!e necesario es:

M,

q - --= o,,,

Como

Calcular la reacción en el apoyo móvil por los teoremas de Mohr, por el metodo de las fuerzas, c ) por el metodo de iMohr 2." Dibujar el diagt'ama de momentos íiectores indicando los valores de los momentos positivos y negativos miximos, así como las secciones en las que se presentan. 3." Calcular el angulo que forman las tangentes en los extremos de la viga. 4." Deterniinrr la situación de la flecha y el valor de esta. a) b)

Las leyes de momentos ilectores son:

h! = 390 - 378x

Una viga A B de longitud 1 que tiene su extremo A perfectamente empotrado y el extremo B sobre apoyo móvil, esti sometida a una carga uniformemente repartida p. Se pide:

l."

a) Por los reorenias de ibíohr Análogamente a como se ha procedido en ejercicios anteriores dibujamos los diagramas de momentos ilectores isostáticos y de momentos flectores hiperestáticos, obteniendo el diagrama definitivo de momentos por superposición (Fig. VII.3-a). Para calcular el valor del momento de empotramiento M, aplicando el segundo teorema dc Mohr, se tiene:

75 600 cm. kp = 63 cm' 1200 kp.cm-' de donde:

M,,=

--pl'8

Las reacciones isostáticas e hiperestáticas son: se deduce:

138

R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S

FLEXION HIPERESTATICA

439

D

I 1

Sistema base

1x1

1

Diasrama de momentos nectores

Por tanto, las reacciones definitivas scrin:

R, = R,,

+ R,,

R, = RBi + R,,

5pl S

==

3/71 -

314 1

Figura V11.3.

8

La reacción pedida es R,

~ a l c ú d r e m o slos valores de los coeficientes S , , y A , , aplicando el mitodo de multiplicacion de los grificos (Fig. VII.3-c y d)

d.^ =

b)

Por el mélodo de las fuerzas

Se !rata de un sistema hipcrestático de primcr grado. Obtenemos el sistcmn base eliminando el apoyo móvil y sustituyéndolo por una fuerza X, (Fig. VIJ.3-b). En este caso tendremos solamente una ecuación canónica d,,X,

+ A,,

=

o

-8 El,

Por tanto. el valor de la reacción X , cn el apoyo móvil es:

-110

RESISTENCIA D E \IATERI.ALES

CJ

Por

'4

,tl>l,t'/O

l'c,

qiie coincide con el niornento flrcior negativo iniximo. El niomcnto flcctor positivo miximo es

.I/~I/I~

Susrituiniosr.1 apoyo móvil por

13

reacción .Y1. El corrimiento del extrenio B es nulo .\f.\/l

"B

=

El,

'Ir = O

3.'

Como en el empotramiento es horizontal la tangente a la viga. el ángulo que forman las iangentes en los exiremos es igual al ángulo que forma la iringente a la elásiica en el exirenio B. Calcularenios éste aplicando el primer teorema de ~Mohr

4."

Tomando como origen de abscisas el empotramiento A. la ley de momentos flectores es:

de donde:

La flecha se presenta en una sección tal que la tangente a la elástica es horizontal. es decir, el ángulo que forman las tangentes a la elástica, en el empotramiento y en la sección de la flecha, es nulo. Por el primer teorema de Mohr, la abscisa .y, d e la sección que experimenta el mayor corrimiento vertical verificará

Figura 1'11.3-/.

t l

a de donde

2."

La ley de momentos flectores seri

cuya represent:ición gráfica sc iiidic;~en I:i Figura V11.3-e. En este diagrama se señala el valor del momento de empotramiento

Para calcular el valor de la íiecha tendremos en cuenta que ésta es la distancia del extremo A a la tangente en la sección correspondiente. Aplicando el segundo teorema de Mohr. se tiene:

RESISTENCIA D E hlATERlALES

1

de donde:

5 ton

El,

La viga recta de la Figura VII.4-a esti empotrada por sus extremos y se encuentra sometida a la carga indicada. Se pide: 1." Calcular los momentos en los empotraniientos. 2." Determinar las reacciones verticales en ambos estremos. 3." Dibujar los diagramas de momentos flectores y de esfuerzos cortantes. 4." Calcular la situaci6n de los puntos de inflexión de la elhsrica.

R,

C

Figura VII.4-a. 1."

1 1-

3m

..

=

=

0.4 ton

0"ton

2m.ton

.%*

Zm

I

Del sistema d a d o pasamos al sistema equivalente indicado en la Figura V11.4-h. que descornponemos en forma aiiáloga a como hemos hecho en ejercicios anteriores. El calculo de los momentos de empotramiento lo haremos por aplicricion de los teoremas d e Mohr. P o r el primer teorema: -

Figura VII.4. y aplicando el scgundo: B

y las hiperestaticas:

t RA*

se obtiene el sistema de ecuaciones

2."

+ 2h1,

M, =

= -9.44

- 1 , - -3.84 + 1.76 = -0.416 ton 1 5

R,, = -

cuyas soluciones son: M,

=

- 1.76 m . ton;

M, =

,tf,

/

- 3.84 m . tori por lo que las reacciones definitivas serin:

Las reacciones isostaticas son:

R,, = RÁ Rai = RB b

+ R; + Ri

= 2 - 0.4 = = 3

+ 0.4

1.6 ton

= 3.4 ton

JLf,

= 0.416 ton

FLEXION HIPERESTATICA

447

La construcción de los diagramas de momentos flectores (Fig. VII.5-d) y de esfuerzos cortantes (Fig. Vll.5-e) es inmediata.

n

m/ la

3a

1

Figura VIL&.

2u 1-

Sobre la viga continua dada actúan la carga y las reacciones indicadas en la Figura V11.6-b. Se trata de una viga hiperestática de primer grado. ya que tenemos cuatro incógnitas: M,. R,, R,. R,, y dos ecuaciones de la Estática m i s una articulación.

43 ton csluerzos curi.inte5

Figura VlI.5.

2."

m

D13yrarna rls

I<.)

De la observación del diagrama de momentos flsctores se deduce sl momento flector 17

miximo ,If,., = - m . ton. 3

2a

I

1

Figura V11.6-6.

Para la resolución de esta viga continua llamemos M , y M2 a los momentos flsctores en los apoyos 1 y 2, respectivamente. y I L ~ , al momento en el cmpotramisnto. La aplicación de los teorenias de los dos y tres momentos nos da:

2M0 Mo3a

+ M, = O + 2M,(3a + 3a) + M,3a

=

O

Como el módulo resistente de la seccióii es: Como M, = - R a , de este sistema de ecuaciones se obtiene:

ya que 11 = 26, de la condición

Por otra parte, las ccuaciones de la Estitica y la condición de ser nulo el momento 2ector en la articulación A, nos propcrcionan las ecuaciones:

De aquí se obtienen las reacciones R,, R , y R, V11.6.

Dada la viga continua dc la Figura Y11.6-a con las dimensiones y cargas indicadas, y siendo A una articulaci611, se pide: 1." Dibujar los diagranias de momentos flectores y de esfuerzos cortantes, acotando sus valores. 2." Dibujar la deformada a estima. 3." Calcular e1 desplazamiento vertical del extremo del voladizo. La rigidez a la flexión E[, es constante en toda la viga.

Tomando como origen de abscisas el extremo empotrado, las leyes de momentos flectores en los diversos tramos serán:

448

F L E S I O N HII'ERESTATICA

RESISTENCIA D E XlATERlALES

44'

Las Iebes de esfuerzos cortantes se obtienen facilmente por derivacion de estas ultimas 6P

2P

r ; = - . r z -I -- T ; T 2 = p 7

p

Los diagramas pcdidos se dibujan en las Figuras V11.6-c y d.

Z Pa 7

- .. 7

Diaerania de mornentos flectores

Figura V11.6.

(4

kf)

Diagr;in~adc esíurrzos cortantes

es decir, el desplazaniisnto de B es 6.09 Pa'

I

)SB

= -

i l

Elisiica

'l.7

1 i

l." Dibujar los diagramas de momentos íiectores y de esfuerzos cortantes. 2." Calcular el I P N iiecesario si la tensión admisible del material de la viga es a,,, bl Pa.

l

(e)

Punto de inllexibn

B

Figura V11.6.

2." Obtenido el diagrama de momentos flectores se puede dibujar, sin ninguna dificultad. la elástica de la viga continua considerada. Es lo que se hace en la Figura VII.6-e, en la que se ha señalado el punto de inflexión que existe. En la articulación A la elástica presenta un punto anguloso. 3." Para el cálculo del desplazamiento de la sección extrema B podemos aplicar cualquiera de los mttodos que se han expuesto en el Capitulo 5. Sin cmbargo, en nucstro caso. es particularmente aconsejable aplicar el método d e Mohr y calcular las integrales correspondientes mediante la aplicacibn del método d e multiplicación de gráficos, ya que el d i a ~ r a m ade momentos flectores M , de la carga real ya lo hemos calculado (Fig. V11.6Y). y el correspondiente a la carga unidad aplicada en B es partici~larizad~ el anterior para P = 1 (Fie. VII.6-g).

Dada la viga continua indicada en la Figura V11.7-a. se pide:

1 1

= 11

!

I

i

i

i

C

4 ni

I

2 ni

3 rn

3m I

l

.

?m__-

1

Figura V11.7-a. l."

Dibujemos los diagramas de momentos isostiticos de cada tramo de la viga con¡::: considerada, indicando las distancias de los ccntros de gravedad de I;is áreas de uno de estos diagramas a los apoyos extremos (Fig. V11.7-6).

450

RESISTENCIA DE hfATERIALES

IP

, o , = 2 tonim

=

3 ton

.,.f

,p, = 2 toii/m

1 14 = - 2 m . ton. este sistema nos da: Como se conoce M, = ,-pl, 2 3

C~lculemosahora las reacciones defiriitivcis (Fi-. V11.7-c)

Figura VII.7-6. Si ,Mo es el momento en el empotramiento y Al,, M,. Al, son los momentos tlectores en las secciones de los apoyos 1. 2 y 3, respectivaniente, aplicando los teoremas de los dos y tres rnomentos tenemos:

Figura VII.7-c.

Ro - -p+l2l ,

Como:

RI

- pil,2

lbl,

i2,

=?-

1,

R,=-+ 1, = 9 m'. ton

R, = p31: - = 4.5 m 2 . ton II

lWo

= 4 +

M,-M , --

1

1 Pa2b2

11

2

R3 - ~313 2

11

Pb

+ >1,+

~,- M, + -Paz I3 Iz M, - M1 13

-2.4

+ 2.8

= 4.1 ton

M2-M, = 5.97 ton 12 111,

-

M,

l2

= 3.75 ton

+ -21 p14 = 6.23 ton

Una vez obtenidas las reacciones definitivas. calcularemos las leyes de momentos flectores tomando como origen de abscisas en cada tramo el apoyo izquierdo, salvo en el voladizo que tomaremos como origen la sección extrema sustituyendo valores, se tiene:

-.

RESISTENCIA DE MATERIALES

FLESION tHIPERESTATICA '

8

453

En el pbrtico de nudos rigidos de la Iigura V1I.X se pide: Construir los divgramas de momentos ílectores, esfuerros cortantes y esfuerzos normales. I P N , de tensión adniisible 2.' Diiiicnsionnr el ~ " r t i c o con un iinico a,<,, = 1400 hp/crii2. 3." Calcular el desplazamiento del apoyo nió\il. conociendu e! valor del módiilo de elasticidad E = 2 x 10' kp/cm:. 1."

Se representan en In Fisura VII.7-d. Las leyes de esfuerros cc'rtanres son:

- p i s = 4.1 - 2.r ton R, - p,l, + R , = 2.02 ton 2.02 - 3 = -0.98 ton -0.98 + R, - p , . ~ = 2.77 - 2.r

Td = R,

T; =

7,'

=

Ti

=

ton

Se representan en la Figura VII.7-e 2.8 m . ton

1.4 m . ton

I

l."

1

2.05 m

4

(1.4 m . ton

I

Figura V11.8.

2 m . ton

A

El sisteina considqrado es isostitico. Del sistema de ecuacionzs que traducen las ~oiidicionesde equilibrio íFi_o.VI1.S-11)

11.64 m . ton se obtienen los siguientes valores de las inc6gniras

4.1 ton HA

=

4 ton

;

8

IÁ = -- ton 9

;

R,

=

8 ton 9 -

Conocidas estas reacciones quedan drterniinadas las leyes de momeiitos flectorcs y el diagrama correspondienic ( F i g . V11.8-c) Figura V11.7. 2."

El mixirno momentc flector se presenta e q el e ~ p a t r a r n i e n t o :hl,,,,, = 2.8 m . ton. El modulo resistente mínimo necesario sera M,,, W,=-= O.dm

2.8 x l o 3 x 9.8 N . m

100 x lo6 N/m2

que corresponde a un

eii AB:

M,

eriüC

M,=

= 4.r -

.\--

; O < . r < 4 m

-

2

8 8 - -9 s + J x 4 - 4 x 2 = S - - . r 9

= 274.4 crn'

a*.¡ coiiiq I:i !?y de: csfiierzos cortaritcs (dingrnnin en Fig. VI1.X-
T, = 4 - x 8 eri BC: T, = - - = en AB:

9

con un momento d e inercia O

= 3060 cm4.

; 0 < . r < 6 m

en DC:

T, =

- 0.89

ton

4JZ = 00.3 ton 9 =

FLEXION tílPERESTATICA

455

que corresponde a un perfil

8 rn.ton

de momento de inercia 1, = 9800 cni'. 3." Calcularemos el desplazamiento del apoyo móvil D aplicando el método de blohr. Para ello dibujarnos el diasrama de momentos flectores que produce en el sistema sin carga la aplicación en D de una íuerza horizonial unidad (Fig. V11.8-1).

1 ton

Figura V11.8-d.

y de esfuerzos normales (diagrama en Figura VI1.8-e) en A B: en BC:

iV =

en DC:

N =

- VA =

0.89 ton (tracción)

N =O J 3 --8 = 9 2

-0.63 ton (compresión)

0.89 to

Figura V11.8-f

1 1 32 2 + --4fi--4 El; 2 9 3

0.63 ton

Figura VI1.8-e.

=

195.65 ---

El,

Sustituyendo valores

2." Para el dimensionado tendremos en cuenta que la secci6n más desíavorable es la del extremo B del soporte AB que trabaja a flexión compuesta en la que los valores del momento y esfuerzos son:

M,= 8 m ton ; N

= 0.89 ton ; T, = O

La tensión normal máxima en la sección es:

Los valores de un perfil I P N que verifican esta inecuación (véase Apéndice 2) son:

W z= 653 cm3 ; fl = 69.1 cm2

V11.9.

En el pórtico representado en la Figura Vil.9-o forniado por tres barras de las rigideces indicadas, se pide: cI l." Calcular, por aplicación del teorema de Menabrea, las reacciones en las articulaciones de los apoyos fijos 2." Dibujar los diagramas de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos auiales. 3." Calcular el desplazamiento del punto B en el que esta aplicada la fuerza F. 4." Dibujar a estinia la deformada del pórtico señalando la situación de los puntos de inilexi6n, si los hubiere. l." El sistema tiene cuatro incógnitas: las componentes verticales VI,V,, y las horizontales ti,. I/, de las reacciones e: las articu!aciones de los apoyos Iijos (Fig. VII.9-b). Por tanto, se trata de un sistema hiperestático de primer grado. Para resolverlo por el mttodo de Menabrea. las tres ecuaciones de equilibrio

FLEXION HIPEKESTATICA

357

El potencial iriterrio del sistema es:

Por e1 teorema de Menabrea:

de donde se obtiene:

pcrmitcn c\prcs;ir tres incbgnitas en funcihn de la otrJ La otra coniponente horizontal se obtiene de la ecuación de equilibrio

F

L B

C

I

7

.Y

€1,

-

El3

Los signos menos nos indican que las componentes horizontales calculadas tienen seniido conirlirio al supuesto en la Figura V11.9-b. Las componentes verticales ya se obtuvieron directamente

El,

-

Los sentidos de las reacciones se indican en la Figura VII.9-c. 2." Una vez obtenidas las reacciones en las articulaciones, la construcción de los diagrarnas de momeritos flectores, esfuerzos cortan:es y esfuerzos norniales es inmediata (Fig. V11.9-d).

Calcularemos el potencial interno del sistema como suma de las energías de deformación de cada una de las barras que lo constituyen, despreciando 'los efectos produc;dos por esfuerzos normales y cortantes.

Figura V11.9-c.

458

1

RESISTENCIA DE MATERIALES

FLEXION HIPERESTATICA

V11.10.

459

Un cuadro rectangular que tiene la forma y dimensiones indicadas en la Figura VII.10-a esta solicitado por dos fuerzas F, iguales y opuestas, aplicadas en los puntos medios de dos lados OpUeStM Si la sección de las barras es constante y los vertices del cuadro son nudos perfectamente rígidos, se pide: l."

Calcular la energía de deformación del cuadro.

Lo Construir los diagramas de mornentos ílectores en las barras del mismo. 3." Dibujar la deformada a estima, indicando la situación de los puntos de inflexión. Calcular la variación de la distancia entre los puntos de aplicacibn de las fuerzas F. 4.' 5." Calcular la variación de la distancia entre los puntos medios de las barras AD y BC. En el c4lculo de los incógnitas hiperest4ticas se despreciar6 el efecto producido por los esfuerzos cortantes y axiales.

Figura VIL9-d.

3." Para el cálculo del desplazamiento horizontal 6, del punto B igualaremos el trabajo exterior realizado por la fuerza F y el potencial interno del sistema 1 2

b=-F.6,

-

25

6,=7

4l."

Figura Y11.9-e. 4."

La deformada del sistema presenta un solo punto d e inflexión y éste se encuentra en la elástica del dintel, en el punto en el que se anula el momento flector

Figura VII.10-a.

Un contorno cerrado es un sistema hiperestático de terccr grado. Sin embargo. el sistema que se considera es de primer grado, debido a la simetria geomitrica del cuadro respecto de la solicitacion aplicada. En efecto. si realizamos un corte por el plano de simetria perpendicular a la línea de acci6n de las fuerzas F se tiene como incógnita solamente el momento M,, ya que M, es igual y opuesto a M,; los esfuerzos F normales son conocidos: N, = iV, = -. y los esfuerzos cortantes son nulos, por razon 2' de simetría: TE = T, = 0. Consideremos una cuarta parte del cuadro, por ejemplo EAP. Las leyes de momer.!os flectores son: en el tramo EA:

A l = M,

en el tramo AP: A l = ilí,

Para el dibujo d e la deformada del pórtico hay q u e tener en cuenta que las tangentes en los nudos B y C forman ángulos de 90" en cada uno d e ellos. por tratarse d e nudos rígidos. El punto de inflexión E se corresponde con el punto d e momcnto flector nulo.

-

F

Ner = ME - -.r 2

O


b 2

G -

El potencial interno del cuadro sera cuatro veces el de la parte considerada

FLEXION HIPERESTATICA

RESISTENCIA DC \IATEKI;\LES

461

3." DcI diagraniii de rnornentos flecrores Gciliiieiiie se deduce la forma dc la dcformad;~ (Fiz. Vll.10-(1). LOSpuntos de inflexión se presentan en los tramos AB y DC a una distancia .V de 10s v~rticestal que verifica:

de donde:

f~

Figura VII.lO-b.

Por el teorema de blenabrea

6F

-- = O iní,

2

2,1í,(o

4."

+ b)

-

Fb' -

1

=

O

Fb2

3

, t í E = ---8(a

+ bl

La variacion hqu de la distancia entre los puntos P y Q de aplicación de las fuerzas se puede obtener igualando el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas y el potencial interno

Sustiiuysndo en la expresion del potencial iiiterno, se tiene:

I -F.&,, 2

=

H

F'b' 4a + b 192EL u + b

=--

de donde:

y simplificando:

2." Se represeniri el diagrania de momentos fleciores en la Figura VII.lO-c. 5."

El cálculo de la variación S,, de la distancia entre los puntos E y L lo haremos teniendo en cuenta que las barras AD y BC trabajan a flexión pura y. por consiguiente. la elistica de cualquiera de estas barras es un erco de circ~nferenciade radio

De la relación

siendo f la mitad de

Figura VII.10. o

12

variación

A,

pedida, se deduce:

462

RESISTENCIA DE MATERIALES

ecuación de segundo grado. cuya raíz valida es:

1 E&

S,,

=

6,,

5,,

=

--

= --

1 2

<12-"

a' 2E1,

= ---

1 I ,2 (1' a--o= El: 2 3 3E1, 2

AIP =

VII.11.

1 I EI,2 a

,

PO'

8EI:

pul

T =--4 El1

En el sistema plano indicado en la Figura VI1.II-a se pide: 1." 2"

Construir el diagrama de momentos flectores. Dibujar a estima la deformada del sistema seiialando la situación de los puntos de inflexión.

C

B

P

-

P t l

Figura VIL1 1-c. 5

Por consiguiente, el sistema de ecuacioncs canónicas es:

--C

Xl

(b)

Figura VII.ll. 1."

Calcularemos las incógnitas hiperestáticas del pórtico por aplicación del mktodo de las fuerzas. Como el grado de hiper~taticidaddcl sistema es dos, eliminamos las dos ligaduras superfluas correspondientes 21 apoyo fijo y las sustituimos por las fuerzas X , y X,, obteniendo de esta forma el sistema base (Fig. VIT.11-b). Las ecuaciones canónicas son:

6,,X, 6,,X,

+ 6,,X, + A,, + 6,,X2 + A,,

e

3ap cuyas soluciones son: X i = --;3 0 ~A', = 7

4

8

=O =

O

Los valores de los coeficientes y términos independientes los podemos obtener multiplicando los correspondientes d i z ~ r a m a sde momentos M , , . M,,, hí,,, reprcsentados en la Figura VII.11-c.

inflexión

(4

Figura VII.11.

16-4

RESISTENCIA DE XtATEKlALLiS

2."

FLEXION HIPERESTATICA

465

Conocidos los valores de .Y, y .Y2. la construcción del diagrama d e momentos ílectores es inmediata. Se representa en la Figura VII.11-d, en la que se han indicado los valorcs del niorneriro (1s crnpotramienro. del momento ílector po>itivo miximo asi corno su siiii:ición y I;i :tbscisl sobre cl dintel Jel punto dc momento nulo. Teniendo en cuenta cl d i a ~ r a n i ade morneritos Ilsctorss. cori toda Iii iriforrnnci6n que del mibmo ,e deduce, se representa la deformada del pbrtico en 13 Fisura VII.l 1-r, en la que se indica la situación de los puntos de inílesion.

1'11.12. Sobre el sistern.i plncio de la Figura VII.12-u actúa la carga indicada. Se pide: l." Calcular las reacciones en los extremos articulados r( y B. 2." Dibujar los diagramas de esfuerzos normales. esfuerzos cortantes y momentos flectores pnra la siguiente aplic3ciÓn numérica: q = 5 kN/rn; u = 16 in; h = 6 m. 3." Dibujar u estirna la elistica.

Figura VI1.12. Por tanlo, las leyes de ,LI, seran: Borro

r( C:

M, = (Y; cos I - H; sen z).r

qx2 sen' --

2

z =

Figura VII.12-u. Burro BC:

l."

El sistcnia considerado cs d e prinler gr:ido d e hipsroi;iricidad. Tomaremos coino incógnita hiperestitica la componente horizontal del apoyo B, por lo que el sistema base se obtendra modificando el apoyo fijo B en apoyo movil (Fig. V11.12-b). Los coelicientes de la ecuación canónica son:

L J; Y(-;.:)(!'

1 di, = - J,,fibf#i.~= El* El: Figura VII.12-b. W

Calcularemos esta incógnita aplicando el mttodo de las fuerzas S,,X,

+ S,,

=

o

Para la determinación de los coeficientes S,, y S,, dibujemos los diagramas de moinentos ílectores ,\1, y ill, La obtención del primero es inmediata (Fig. V11.12-c). Para la determinación de las leyes de monientos ílectores en el sistema base calculemos previamente las reacciones en los apoyos i H; = O Z F , = O: q ~ + .YF,=O: v; + v ; = o

= wA= -y11

El, 21'

o

1 qh3f El, 12

21

-

5-

- --1

1 2q1i2 /,I - - = EIz2 3 4

5 qh'f 24 El,

Una vez deterininados los coeficientes, la ecuacien canónica nos permite obtener e! valor d e la incógnita hiperestitica

El resto de las reacciones se obtienen aplicando las ecuaciones d e equilibrio

466

RESISTENCIA DE MATERIALES

Por tanto, las reacciones pedidas en los extremos articulados A y B seran:

Las leyes de esfuerzos cortantes son:

Burra AC:

7' = 20 625 sen z - 5625 cos z - q.r sen'

a-

zt =

Barra BC: T = 9375 sen z - 5625 cos a = 9375 x 0.6 - 5625 x 0.8 = 1125 N

El diagrama de esfuerzos cortantes se representa en la Figura V11.12-g.

B 4

h

Figura VIL12-e.

Figura V11.12-)7.

Para la aplicaciOn numérica, tenemos

VA =

- 5000 x 32

36

= -5625 N

; HA=

-

11 ~ 5 0 0 0 x 6 = -20625 N 16

Las leyes de momentos flectores son:

Barra AC: .r2 sen2 z M = (20 625 sen a - 5625 cos a).\- - q ---- = 2

Las leyes de esfuerzos normales son:

Borra AC: N = 5625 sen a

+ 20625 cos a - q.r sen a w s a = + 20 625 x 0.8 - 5000 x 0.8 x 0.61 =

=S625 x 0.6 19 875 - 2400x

Barra BC:

=

hl = (5625 cos a

Barra BC: N = -5625 sen a

- 9375 cos a

= -5625

x 0.6

- 9375

x 0.8 =

- 10 875 N

- 9375 sen a).\- = (5625 x

B Figura VII.12-/.

- 9375 x

0 . 6 ) ~= - 1125.r

El diagrama de momentos flectores se representa en la Figura YII.12-h.

El diagrama de esfuerzos normales se representa en la Figura VII.12-J

A

0.8

Figura VII.12-h.

6 L

b

R E S I S T E S C I A [>E \!A-l tHI.ALES

3."

En los rrsuliiidos ohtsiiidos. rcllrjados cn sl diiigrarna dc P nioriirritos flectorcs. $e d11>11jii 5111 ningui1~1 dificultiid 1. dcformad:~(l:ig. Vll.12-1).

Dada la estructurd indicada en la Figura V11.13-a. constituida por barras de la misma rigidez El, se pide: l." Calcular el grado de hiperestaticidad del sistema. 2." Ilisgramas de esfuerzos normales, de ~ f u e r z o scortantes y de momentos flectores. 3." I>ibujar a esiinia la deforni;i
Figura VII.13-6.

No se considerarjn las deformscionrs debidas a los esfuerzos normal y cortante. Las reacciones de las ligaduras externas se obtienen aplicando las ecoaciones de equilibrio

2."

Tomaremos como incógnitas hiperestáticas los esfuerzos normal y cortante transmiti. dos a través de la rótula C. Al realizar el corte por esta rótula podemos descomponer el sistema dado. en virtud del principio d e superposición. como se indica en la Figura V11.13-c.

Figura \'11.13-a. l."

La estructura dada es un sistenia que es exteriormente isostitico. ya que sólo hay tres incógnitas debidas a las ligaduras externas: dos en el apoyo fijo A y una en el apoyo móvil E. Interiorriienie existe un contorno cerrado, por lo qiie el grado de hiperestaticidad scría de tres, pcro al existir una rótuia en C disniinuye en una unidad. Asi pues. el grado de hiperestaticrdad es

I ?P Figura V11.13-c.

470

FLEXION HIPERESTATICA

RESISTENCIA D E MATERIALES

Las ecuaciones canónicas del método de las fuerzas son:

471

Con estos resultados, la obtenciGii de los diagramas de esfuerzos normales, esruer- zos cortantes y momentos flectores es inmediata (Fig. VII.13-c,J g )

Para el cálculo de los coeficientes Sij consideraremos los diagramas de momentos flectores M,. M , y M, (Fig. V11.13-d).

Figura VII.13-d.

S,,

=

(l r + 51) (' pIII + pI 1 -5 P!' EI j P12 -) 1 L EI

2

11

3

A,, = - EI I 2

A,, =

-'(I

El sistema de ecuaciones será:

cuyas soluciones son:

=

121)

ra Puntos de inflexión

1 - 2 .28

= --

3.51

Y

e)

6% . Figura VII.13.

(11)

3." Con el diagrama de momentos obtenidos se dibuja sin ninguna dificultad la deformada a estima de la ehiructura dada (Fig. V11.13-11).

V11.14. El sistema elástico plano indicado en la Figura VII.14-a es16 formado por las pletinas verticales de acero AC y BD y por el tablero horizontal AB, que tiene rigidez prácticamente infinita. Ambas pletinas estan empotradas por sus extremos inferiores, e igualmente resultan empotradas al tablero por sus extremos superiores. En el nudo superior izquierdo actúa una fuerza' horizontal F = 200 kp. Se pide: l." Dibujar los diagramas de esfuerzos normales, esfuerzos cortantes y momentos !lectores, en todas las partes dc la estructura. 2." Calcular el desplazaniiento horizontal del punto de aplicación de la fuerza F.

El mhdalo de elasticidad de las pletinas es E = 2 x lo6 kp/cm2.

472

RESISTENCIA DE SlATERIALES

:.

Sea 1 el momento de inercia de la sección de las pletinas respecto al eje perpendicular al plano de flexijn. Teniendo en cuenta que la rigidez del tablero IIB es infinita, los valores de los coeficientes bij serin:

cni

i

Figura VI1.I-í-u. l." La estructu~iidiida es un sistema hiperestitico de tercer grado. Tomaremos como inc9gnitas hiperestiticas las componentes vertical y horizontal de la reaccion en el empotraniiento D, asi como el momento en dicho empotramiento (Fig. VII.IJ-6). El sistema base es la estructura dada. liberada del empotrarniento D (Fig. VI1 14-c). F

1

Figura VII.1-í. Por tiinto, para C I ..rlculo de los coclicientes del sistema de ecuaciories c a n o n i c ~ s del metodo de las luerzas hli.YI &,,.Yl 6,,.Y,

+ d12.Y2 + d13X, + Al, + d;,.Y, + b2,,Y, + A,, + 6,?.Y2 + 6,,S3 + A,,

I

1

= O

=

o

= O

aplicnreiiins el mitodo de niultiplicacion de los grilicos. para lo cual consideraremos los diagramas de niomentos flectores Af,, Af,, 111, y h.[, (Fio. VII.14-(o*.

Con estos valores, tenemos el sistema

cuyiis soluciones son:

Las restantes incógnitas. debidas al empotramiento en la sección extrema C, obtienen aplicando las ecuaciones de eq~iilibrio

......

Figura V11.14-d.

ni ' k p

En el dibujo de las leyss de nionientos Rectores adoptaremos el convenio de dibujar el diagrama en la parte que corresponde a 11 libra traccionadd. E

.SI

474

RESISTENCIA DE MATERIALES F

A

Como

V

se tiene: Figura VIl.14-e.

Obtenidas todas las reacciones. fhcilmente se dibujan los diagramas de esfuerzos normales (Fig. VII.14-f), de esfuerzos cortantes (Fig. V11.14-g) y de momentos ilectores (Fig. VII.14-h).

Figura VII.14-i.

b) Aplicando el mirodo de Mohr El desplazamiento A sera

siendo M el momento flector en el sistema dado, representado en la Figura VII.14-h. A f , el momento flector que se obtiene en el sistema base al aplicar la carga unidad en el punto de aplicación de la fuerza F y en la direccibn de tsta (Fig. V11.14;i)

Figura VII.14.

2.'

Considerando despreciable el efecto producido por los esfverzos normal y cortante, ca!cularemos el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza F siguiendo dos métodos distintos: a) Aplicando el segundo teorema de M o h r Dado que la rigidez del tablero horizontal es infinita, el desplazamiento vertical se puede calcular aplicando el segundo teorema de Mohr, ya que el momento ilector M en los extremos de la pletina CA es el momento Mc calculado anteriormente. Asi pues, del diagrama de momentos flectores de la Figura V11.14-i se deduce

Figura V1I.IJ-j.

476

RESISTENCIA D E XtATFRI.4LES

~11.15. Se considera un anillo cuya linea riiedia es una circunferencia de rndio K

= 2 m, de sección recta constante y sometido 3 las fuerzas conienidas en el plano de su directrir que se indicjn el1 13 Figura V11.15-u. ~ ' ~ l c u l i Iiir t r leyes de monientos flectores y de ebfuerzos normala y cortantes, dibujiiridu y 3c.oc:iriilo I ( r \ ccirrespontlicnres di3griiriiiir. Eii el cilculo de las incbgniiab Iiiperrstáiici~be dcspreciarin los efectos producidos por los esfuerzos nornili y cortante.

aplicando el teorema de Menabrea Calcularemos las incógnitas hiperestáticas N y Para ello. crilculemos el potencial interno d e medio anillo

:j

[ H n ( i - cos 0) - A l ,VR[O

-

sen 018

-

R sen O] 110

+.

n,\f

+ + 6R

3 f i ~ [ c o s 01:

[ (

cos O - -

=

:)]:.r

O

Teniendo en cuenta R = 2 m, d e aqui se obtiene la ecuación

:j

Figura VI1.15-a.

El anillo que se considera, por ser cerrado, es interiormente hiperestiiico de tercer grado. Sin embargo. por tratarse de uri sistema simétrico y con carga simi'trica respecto del diimetro AD coincidente con la linea de acción de la fuerza de 6& ton, el grado de hiperesiaticidad se reduce a segundo grado. Tomaremos como incógnitas hiperestaticas el esfuerzo normal y el moinento íiector en la sección A (Fig. VII.15-b). 6 tori

[NRII - cos O)'

- IM(I - cos O) - 3

- M[O

+ 3,/?R[e]1

+ 6R[cos

(0

4 sen ~O(1 - cos

+ 3&~[cos

- sen O]:

+ 6R

- $)]:x14

(B ): -

sen

N 4:{,

o)] do -

O]:

O do = O

COS

Como

13:. =

t3

[-n

-

1

(28

-

F)+ (-F)]

3: sen 4[O];,,

sen

=

3-14

dO =

--4 16

sustituyendo valores y simplificando se obtiene la ecuación Figura VII.IS-b. Las leyes d e momentos flectores son:

M, = NR(I - cos 0) - rL1

que junio con

-3

4 R sen O ; O < O

( )

M, = NR(1 - c o s 0) - dl - 3 4 R sen O - 6 R s e n O 6

--

+

--

3n

<4 ;

3rr 4

-<

forman un sistema d e dos ecuaciones con dos incógnitas, cuyas soluciones son: O


1\1= -4.4 m . ton

; N = 1.06 ton

478

RESISTENCIA DE MATERIALES

FLEXION tlIPERESTATICA

Conocidos los valores de las incógnitas hiperestaticas. la obtención de las leyes dc momentos flectores, esfuerzos normales y esruerzos cortantes en la mitad del anillo es inmediata. En la otra mitad se obtendrán por simetria

M, = 2.12(1

3n ;OSO<-

- cos 0) + 4.4 - 8.48 seno

M, = 2.12(1 - c o s o )

+ 4.4 - 8.48senB -

Las leyes de esfuerzos cortantes son:

T,

=

1.06 sen 9 - 3.24 cos O

4

12sen Se dibuja el diagrama acotado de esfuerzos cortantes en la Fisura VlI.15-e.

Se dibuja el diagrama acotado de momentos nectores en la Figura VII.15-c.

4.24 ton

4.4 m ton

0.15 m .ton

Figura VI1.15-c.

1

Las leyes de esfuerzos normales son

N, =

- 1.06 cos O - 4.24 sen O - 6 sen

8

--

-< 0

<

Se dibuja e l diagrama acotado de esfuerzos normales en la Figura V11.15-d (3

1.06 ton

3.18

Figura VII.15-d.

1

Figura V11.15-c.

479

~

FLEXION LATEK.4L. PANDEO

481

En este capítulo analizaremos las causas y efectos del pandeo en las piezas rectas, que llamaremos colrrr>uc~i.s,sometidas a compresión, asi como la influencia que tienen los posibles tipos de ligaduras a que se puede ver sometida la pieza. Y puesto que, como hemos dicho, el fenómeno de pandeo es un problema de estabilidad, comenzaremos nuestro estudio con el anilisis de ésta.

Flexión lclternl. Pandeo

8.2.

Estabilidad del equilibrio elástico. Noción de carga crítica

Para entender con claridad este nuevo concepto d e pandeo recordemos el ejemplo que se suele poner en Mecanica. Sea la barra rígida OA, articulada en el extremo fijo O. Por medio de un resorte de constante k se mantiene la barra en posición vertical (Fig. 8.1-a) Supongamos que el extremo ' 4 , contado a partir de su posición de equilibrio, sufre un pequeño desplazamiento = ,Y. Sobre el extremo A' actúa una fuerza horizontal de módulo k x que ejerce el resorte y que, en caso de desaparecer la fuerza causante de! desplazamiento, hace que la barra vuelva a ocupar su posición vertical de equilibrio. El equilibrio en este caso es estable. Suponganios que en el extremo de la barra actúa una fuerza F dirigida hacia abajo (Fig. 8.1-b).

m

8.1.

Introducción

El coniportamiento de los materiales cuando se les somete a tracción ya ha sido descrito y estudiado en los primeros capitulas. Sin embargo, cuando la fuerza axial que se ejerce sobre un prisma mecinico recio es de compresión, el comportamiento es tanto más distante del qiic corresponde a un esfuerzo de tracción cuanto mriyor es la relación eiiire la longitud y la climeiisi6ri de la sección recta. es decir, cuanto m i s esbelta sea la ~ieza. Si estudiamos e1 comportamiento de materiales tan distintos como son el acero, hormigón y madera, cuando se someten a compresión prismas de estos materiales cuya altura sea de 5 a 10 veces la dimensión de la sección transversal, experimentalmente se obtiene que el agotamiento se produce para tensiones de rotura que son: superiores a la tensión de fluencia por tracción en los aceros; de 7 a 12 veces las tensiones de rotura por trlicción en los hormigones y piedras naturales; y sólo el 40 por 100 d e la resistencia por tracción en el sentido longitudinal de las fibras, en el caso de maderas. A medida que atimenra !a relación entre la altura y la longitud de la sección recta, experimenta una variación más marcada el comportamiento. P o r ejemplo, para piezas prismáticas en las que esta relación es superior a 100. cuando la carga toma un cierto valor crítice, el eje de la pieza abandona su forma ricta y adopta forma curva. Este fenómeno, pcr el cüai la pieza sometida n compresión flexa lateralmente, recibe el fiambre de parrrieo o Jesibn lareral. También observamos que si sometemos a compresión axial piezas de la misma 5-cción recta, del mismo m;iteriril, pero de diferentes longitudes, la carga qiie produce el cambio de forma de la línea media es menor cuanto más esbelta es la pieza, y que tina vez producido el cambio de forma, si la carga de compresión sigue aumentando lentamente, las deformaciones que se producen en la pieza crecen muy ripidamente y la pieza se rompe para un valor de la carga ligeramente superior a la carga critica. De lo dicho se deduce que al llegar la carga exterior a alcanzar el valor de la carga crítica, la pieza prismática considerada deja de estar en equilibrio estable, por lo que el fenómeno de pandeo es un problema de estabilidad elástica.

Para estudiar la estabilidad del sistema en este caso consideraremos el momento respecto del extremo O de las fuerzas que actúan sobre la barra: por una parte, el momento 15de la fuerza F que tiende a separar la barra de su posicióii de equilibrio y, por otra, el momento ks-1, antagonista del anterior, producido por la fuerza horizontal k.r del resorte que tiende a recuperar el equilibrio. El equilibrio de la barra será estable si se verifica: kxl > Fx

F < kl es decir, el equilibrio es cstable solamente si la fuerza F aplicada es inferior a un cierto valor critico FC, = kl. Superado este valor el equilibrio ya es inestable.

482

RESISTENCIA D E MATERIALES

FLEXION LATERAL. P A N D E O

Veamos cómo aplicamos estos conceptos al estudio del comportamiento de una columna de sección constante con extremos articulados, sometida a una carga de compresión P (Fig. 8.2-a). Supondremos que la fuerza P está aplicada en el baricentro de la sección extrema, es decir, que la línea de acción d e la fuerza F es coincidente con el eje longitudinal de la columna, asi como que el plano .ry indicado es un plano de simetria, en el que se lleva a cabo cualquier flexión a que se puede someter la columna.

Para que la columna se quedara flexada como estaba antes de ser retirada la carga transversal. es decir. para que la columna se encuentre en una posición de equilibrio indiferente, tendna que ser M, = O, para lo cual se tendria que verificar Py = M,. Si no se cumple esta igualdad, la columna no e s t i en equilibrio y se moverá a partir del instante en que retiremos la carga transversal. Si P y < :MT. entonces /M,, > O y el movimiento hará que la columna recupere su forma rectilinea de equilibrio: el equilibrio es estable. Si, por el contrario, Py > M;, entonces M, < O y la columna sigue curvándose progresivamente hasta la rotura: el equilibrio es inestable. El valor de la carga que hace que el equilibrio de la columna sea indiferente se denomina carga crítica. Dicho de otra forma, podemos definir la carga cririca como la fuerza de compresión para la cual son formas igualmente de equilibrio tanto la forma rectilinea como la curvilínea próxima a ella. La experiencia demuestra que mientras la carga de compresión se mantenga inferior al valor de la carga crítica, las deformaciones de la columna son pequeñas, pero cuando el valor de la carga alcanza el valor critico, la columna pierde la estabilidad y las deformaciones aumentan de forma rápida produciendo su rotura. La columna que hemos considerado en nuestro razonamiento es una columna ideal. es decir, de material homogéneo, de sección recta constante, inicialmente recta y sometida a una carga axial de compresión que se aplica en el baricentro de la sección extrema. Sin embargo. las columnas suelen presentar pequeñas imperfecciones en la composición del material, defectos de fabricación, asi como una inevitable excentricidad cn la aplicación de la carga, que hzce que la columna flexe incluso para pequeños valores de la carga. Aun tratándose de una columna ideal, cuando la carga de compresión alcanza el valor P,, la columna pierde la estabilidad, ya que cualquier perturbación, entre las que se encuentran las imperfecciones inevitables aludidas. hará que se produzcan bruscamente grandes deformaciones que provocaran su rotura. Queda, pues. patente el peligro que corre la coiiimna cuando la carga de compresión alcanza el valor de P,,. Para evitarlo, se considera una carga de pandeo admisible PP.,,.

lb) Figura

Para valores pequeños de la carga P la columna permanece recta. La tensión de compresión axial es, como sabemos

siendo R el área de la sección recta. Para analizar la estabilidad del equilibrio se aplica una carga transversal F (Fig. 8.2-b) que da lugar a que la columna flexe en el &no y, seguidamente, se retira la carga F. En este instante, la solicitación que existe en una sección cualquiera C (Fig. 8 . 2 - 4 está compuesta por un esfuerzo normal igual a la carga d e compresión P y por un momento flector M,, que no depende de la carga P sino solamente de 1:: curvatura de la elástica, en virtud de la relación que se vio en el Capitulo 4 al obtener la ley d e Navier ,

Analicemos el comportamiento de la columna a partir del momento en que retiramos la carga transversal F, estudiando el equilibrio de la porción AC de columna. El riionicnro de la solicitación que actúa sobre AC respecto del extremo A es

483

siendo n el coeficíenre de seguridad por pandeo, que se suele tomar mayor que el correspondiente coeficiente de seguridad por resistencia, ya que hay que tener en cuenta factores de riesgo desfavorables como son las imperfecciones d e la columna. a que antes hemos hecho referencia, así como a posibles d e f e c t ~ sde fabricación, excentricidad de la carga, etc. I

8.3. Pandeo de barras rectas de sección constante sometidas a compresión. Fórmula de Euler Consideremos una barra rccta AB de sección constante R articulada en sus extremos y sometida a comprcsión mediante una fuerza P. Si pul un dcíccto de siill:tria. o por falta de homogeneidad, la barra se dcfornia lateralmente, aparece en cada sección un momento flector.

181

RESISTENCIA DE X 1 A l E K I A L F S

FLEXION LATERAL. PANDEO

-' I

-185

La primera condición nos conduce a la nulidad de la segunda constante, C, = 0, con lo que la ecuacion (8.3-2) se reduce a: = C,

Para .r

=

ren

6

r

112 la ordenada y toma su valor máximo y = y,,,,

por lo que

fuego la ecuación finita de la línea elástica será:

Figura 8.3.

que deberi cumplir la segunda condición de contorno: Asi, en una sección de la viga. de iibscisa .r (Fig. S.?), existiri uri moriiento flector -Py. producto de la fuerza de compresibn por la ordenada de la elástica, suponiendo que la flexión se produce eii el plano .ry.(nias adelante justificnremos cual es el plano en que se verifica esta, que dependerá dc 1:i forrna de la sección recta). La ecuación diferencial aproximada de la linea elistica será:

.y=/:

y = o

=.

C, sen

J-& I = O

De esta ecuación se deducen las dos soluciones siguientes:

Solución trivial. Nos indica que la barra permanece recta, es decir, existe la posibilidad de que la barra conserve su forma recta aun cuando esta posición no sea de equilibrio estable, y

o lo que es lo mismo

ecuación diferencial dc szgiindo orden cuya ecuacion caracteristica es:

Por ser siempre P/EIz > O, las raices de esta ecuacion característica son ixaginari2~ conjugadas, por lo que la solución general de la ecuación (8.3-1) es:

siendo C, y C,con5iantes de iniegracibn que determinaremos iinponiéndo las condiciones de contorno r=O

; )*= d

O ;

. Y = [

; y=O

siendo ti un númelo eniero. La e!istica toma la'i'orida de infinitas sinusoides de amplitudes C, infinitésimas. las cunlcs representan infinitas posiciones de equilibrio próximas a la recta. El menor valor de P (para n = 1) que verifica esta ecuación se denomina cargo criricu dc. pnn(!eo.

Cuando la carga P adquiere el valor critico. el equilibrio estable de la pieza recta se convierte en equilibrio inestable o indiferente, ya que la ecuación de la elástica sería

FLEXlON LATERAL. PANDEO

La expresión (8.3-5) es Ilamadafbrnzula de Euler NOSdice que si la fuerza de compresión que actiia sobre la viga de sección recta constante aicanza la carga critica de pandeo, la constante C, de la ecuación de la elástica (que representa la máxima deformación) se puede hacer arbitrariamente grande, lo que produciria inexorablemente la ruina o rotura de la viga. Es notable que esta fórmula, expuesta por Euler en 1744 en la memoria ((De curvis elasticis», hace aproximadamente doscientos cincuenta años, fue obtenida en una época en la que los materiales empleados comúnmente en la construccion eran la madera y la piedra, y para los que no tenia especial interés el problema de la estabilidad elástica. Hemos supuesto que la viga recta de sección constante y sometida a compresión íiexaba en el plano determinado por la fibra media y los ejes Gy de las secciones rectas Pero podemos preguntarnos ¿por qué la flexión no se realiza en otro plano distinto?, o aún dicho de otra forma ;qué condiciones deben cumplirse para que la flexion se produzca, en efecto, en el plano supuesto? Esta condición la deducimos directamente por simple inspección de la fórmula (8.3-5). El plano de pandeo vendrá determinado por el menor valor de la carga critica de pandeo, pues corresponderá al menor valor del momento de inercia (ya que todos los restantes factores que aparecen en la fórmula son constantes). Pero como G,v y Gz son ejes principales de inercia de la sección, uno de ellos es el máximo y otro el mínimo. Suponiendo que I, < 1, la íiexión lateral se produce en efecto en el plano supuesto. Dt: una forma general se podrá decir que el pandeo se producirá en el plano perpendicular al eje mayor de la elipse de inercia de la sección. La fórmula de Euler, que nos da la carga crítica de una columna con sus extremos articulados

se puede poner en función de la relación 1. =

A llamada

e.ykl
'mln

siendo i,,

el radio de giro mínimo de la sección de área R.

Figura 8.4.

La barra se deformará presentando la flecha en la sección extrema libre. Aplicando el segundo teorema de Mohr se puede calcular la flecha como la distaiicia de la sección B a la tangente trazada por A a ra línea elastica

Este resultado nos dice que para valores pequeños de P la íiecha crece proporcionalmente a ia carga. Sin embargo, a medida que vamos aumentando la carga P, no es posible despreciar la deformación. La ecuación diferencial de 12 elástica de la barra, considcrando la posición de equilibrio final, sera d2y

EIz d.^ = M, = P(/

P,, vendrá expresada en kp, si E lo está

+e

- y)

en kp/cm2.y fl er. cm2.

P

8.4. Compresión excéntrica de barras esbeltas Consideremos una barra empotrada en uno de sus extremos. y con una carga que la comprime excéntricamente en el otro. Para valores pequeños de la carga P (Fig. 8.4-a), el momento en cualquier sección de la barra, despreciando la deformación quc se produce, es Pe, por lo que i~ tcuación diferencial de la línea elástica será:

487

Haciendo - = k2, queda: ElZ dZy

- + kZ,v ds2

=

kZ(/

+ e)

cuya solución es: y = C,sen k.x

+

C2 cos !íx

+/+ e

-192

FLEXION LATERAL. P A N D E O

RESISTENCIA D E S I A ~ I ~ t l < l . A L E S

493

Ahora bien, como en dicho punto de momento íiector es nulo, se verilic:iri: 1 - 1

-

p

(il) A

El,

lis

y de la ecuación (S.5-lo), se deduce el valor de Zbtr

cos I), = O

=

-

tos

=

o

4, $0

= O

a

$0

=

2X

por lo que la integral anterior se puede poner en la forma siguiente:

Figura 8.6.

Pero también adopta la elástica de la viga la forma de dos semiondas (Fig. 8 . 6 4 ) . Er' este caso 3 = O y, por tanto, $ = O, para s = 1/4, por lo que la condición para que estit; dos semiond:is sea forma de equilibrio será: en la que las integrales vienen tabiiladas en función del Sngulo $ y del valor del parámetro 111. Hagamos la discusión cualitativa de los resultados analíticos obtenidos. Si integramos (5.5-14) entre el origcn y el punto medio de la viga. piinto en el que O = O y, por tanto, C1/ = O en virtiid de (8.5-8). la scgund~iintegral de (8.5-14) se anula, por lo que dicha ecuación se reduce a

de donde:

es decir, la carga aplicada tiene que ser mayor que la segunda carga crítica de pandeo De 12 circunstancia de ser niinima esta integral para I>I = O se deduce la condición para que la forma de semionda sea una forma d e equilibrio Podíamos seguir considerando como posibles formas de equilibrio elásticas de tres semiondas, cuatro semiondas, ... y asi sucesivamente hasta n semiondas. En este caso genérico, 3 = O para s = //2n, por lo que la condición correspondiente será ahcra: y por tanto:

de donde: El menor valor de esta expresión es precisamente el valor de la primera carga crítica de pandeo que fue obtenida en (8.5-5).

a

es decir, la condición para que, además de la elástica rectilínea como forma de equilibrio. tenga la viga una efdjtica en forma de semionda, In carga aplicada tiene que ser mayor qilt: la primera carga critica.

es decir, la carga d e compresión tendría que ser superior a la n-ésima carga critica d e 'pandeo

FLEXlON LATERAL. PANDEO

Haciendo

P EIz --

=

Hagamos ahora el cambio de la función 3 por orra

k2, esta ecuación diferencial se puede poner en la forma:

3 sen 2

= tn

t+b,

491

quc verifique:

sen iI/

Susrituyerido en (8.5-7). sc tienc: y como dr = p d3, queda:

en donde: Derivando esta ecuación respecto al arco s y teniendo en cuenta que

dv - sen 3 ak

=

d3 - = 2km cos J, ds

3 2 sen - cos 2 2 9

(8.5- 10)

Eliminando 3 entre esta ecuación y la que se obtiene derivando la (8.5-8) respccto del arco s

tenemos:

$ ($)

=

dv = -k 2 d;

1 3 d,? - cos - - = 2 2 ds

3 cos 3 -2k2 sen 2 2

9

ds

t+b dJ, -3 ds cos 2

d3 -= ds

o bien:

&

cos J, -

-tt1

COS

9

d ( g ) = - 2 k 2 sen 2 cos 2 ds

y teniendo en cuenta, en virtud de (8.5-8), que Multiplicando los dos miembros de esta ecuación por d9/& e integrando, se tiene:

3 2

tos - =

JI

-

ni'

sen' J,

se tiene: 2km cos 1(1 = -2m

Haciendo

ya que el primer miembro siempre será positivo, la ecuación anterior se puede expresar así:

COS

JI

J,

dJ, - rn2 sen2 Ijl d-'

(8.5- 12)

ecuación diferencial de variables separadas, cuya integración nos conduce a una integral elíptica de primera especie*

:.

siendo $, el valor de J, para J = O, es decir, el valor de 1(1 en el origen de la abscisa curvilínca s quc es el extremo dc la viga en el que sc aplica la carga dc compresión P.

en donde m s e puede considerar aquí como una constante arbitraria d e integración.

' Esto cs asi porque r: puede demostrar que m e, cstrictanicr.tc menor que la unidad y, por tanto. es igual al seno dc un cierto ángulo x, que a la condición para que csta inlcgral sea cliprica.

F L E X I O N LATERAL. P A N D E O

Ahora bien, como en dicho punto de momento flector es nulo, se veriíic:irii: 1

- -

p

y de

13

'W: El,

cos l,b, = O

=>

PI

- - (/:>= o lis

ccuaclón (S 5-10), se deduce el valor de

Zktll

493

COS

*, *,

=

o

=.

*

O

=

E 2

por lo que la integral anterior se puede poner en la forma siguiente:

Figura 8.6.

Pero también adopta la elástica de la viga la forma de dos semiondas (Fig. 8 . 6 4 ) . En este caso 3 = O y, por tanto, i1/ = O, para s = 114, por lo que la condición para que estas dos semiondas sea forma de equilibrio sera: en la que las integrales vienen tabuladas en función del iingulo $ y del valor del parámetro 111. Hagamos la discujióri cunlitntiva de los resultados analíticos obtenidos. Si integrarnos (3.5-14) entre el origcn y el punto medio de la viga, punto en el que O = O y, por tanto, i1, = O r n \.irtiid dc (8.5-3). la s c ~ u n d aintegral de (8.5-14) se anula, por lo que dicha ecuación se reduce a

de donde:

es decir, la carga aplicada tiene que ser mayor que la segunda carga critica de pandeo De la circunstancia de ser mínima esta integral para 111 = O se deduce la condición para que la fornia de seriiionda sea una forma de equilibrio Podíamos seguir considerando como posibles formas de equilibrio elásticas de tres semiondas, cuatro semiondas, ... y asi sucesivamente hasta n serniondas. En este caso genérico, 3 = O para s = 1/2n, por lo que la condición correspondiente será ahora: y por tanto:

de donde: El menor valor de esta expresión es precisamente el valor de la primera carga crítica de pandeo que fue obtenida en (8.5-5).

a

es decir, la condición para que, además l e la elástica reciilinea como forma de equilib;io, tenga la viga una elástica en forma de semionda, la carga aplicada tiene que ser mayor que .. la primera carga critica. 8

I

._'

+.

es decir, la carga de compresión tendría que ser superior a la n-ésima carga crítica d e pandeo n2n2E& Pcr = --l2

494

>N LA-:?AL

F

RESISTENCIA DE MATERIALES

Pero no todas estas formas son de equilibrio estable. Se demuestra que cuando la carga de compresión P es inferior a la piimera carga critica de pandeo, la Única forma de equilibrio estable es la rectilínea. Para valores de P supeflores a esta primera carga critica la única forma de equilibrio estable es la semionda, siendo inestables todas las demás. Calculemos ahora la elástica de la viga por medio de sus ecuaciones paramétricas

En erecto, +:a un d¿-,:;minado especie nos permite calcular k

v

_ sr de

!-

PANDEO

495

~ b l ltegra~cs ~ elipticas de primera

,

y, por tanto. la y,,, dada por (8.5-23). Ahora bicn, dividiendo miembro a miembro las expresiones de la carga de compresión en función de k y la que nos da la carga critica de pandeo. tenemos: P

Teniendo en cuenta (8.5-8) y la que se deduce de (8.5-13) en su forma diferencial, se tiene:

.'m

P

]

= --

i2

=

k'12

T

k12

4

(

T

)

- 2m d* -sen $ d+ k J1 -m2 sen2 tj k

dy = - 2 ni sen i ) * J -

e integrando:

eliminando k1/2 entre estas dos últimas ecuaciones, se tiene:

ecuaciones paramétricas de la elástica que, al ser foma: x =

k2El,

y como:

JI- m2 sen i)

sen2 JI)

1

P,,

=

5 [/y

JI

- m2 wn2 JI dtj - '0J

2/11

y = - COS tj

iI/,

JI

ecuación que nos relaciona la carga de compresión y la flecha que dicha carga produce en la viga. Utilizando una tabla de integrales elipticas de primera especie* podemos confeccionar la siguiente tabla:

= z/2, se pueden expresar en la

- m2 sen2 tj ci*

1

-s (8.5-22)

Tabla 8.1.

O

k

n~

es decir, la primera ecuación viene dada en función de integrales elípticas de segunda especie, cuyos valores vienen tabuládús en función $t y de m. Varias consecuencias importantes se deducen del análisis que acabamos de hacer. La primera, que la expresión de la flecha de la viga, que se presentará rn la sección media de la misma, se obtiene particularizando la segunda ecuación (8.5-22) para iI/ = O

K

Veamos también que esta ectlación, junto a la (8.5-15), nos permite calcular y,,, función de la carga de compresión P.

..

kl 2

)>mrl

=

1 P

4

P,

nl

a

0.0872 0.1736 0.2588 0.3420 0.4226 0.5000 0.5736 0.6428 0.7071 0.7660

1.5708 1.5?38 1.5828 1.5981 1.6200 1.6190 1.6858 1.7313 1.7868 1.8541 1.9356 m kl/2

- = -(kl/2)' ' I

O

O

0.0554 0.1097 0.1619 0.21 1 1 0.2563 0.2966 0.3313 0.3597 0.3814 0.3957

1

1.0038 1.0153 1.0351 1.0636 1.1021 1.151F 1.2148 1.2939 1.3933 1.5184

en Véase Puig Adnni. acálculo integral», pig. 77.

496

FLEXION LATERAL. PANDEO

R E S I S T E N C I A DE 1 I A T E K I A L E S

X p;irtir de esta t:ibla podcriios construir la griilíc;~iiidic:id;i en la ITigura 8.7..

oY

.A,"!

--

1

Figura 8.7.

La gráfica obtenida nos hace ver que las flechas crecen niiiy deprisa cii:indo la carga de compresión supera e1 valor de Iii c:irga critica. Asi, para una c a r g P que sobrepase en un 15 por 100 el valor critico. la Ileclia se hace aproximadamerite un 30 por 100 del valor de la longitud de la viga. De lo dicho se deduce que cuando la carga P tom:i un valor superior al valor de la carga critica no es vilida 1:i siiposicii7n de peqiieñas deformaciones. pero es suficiente la utilización de la fórmula de Euler para la determinación de las cargas criticas, con las limitaciones que se verán m i s adelante. Si hacemos un estudio tensional en la barra cuando la carga P es mayor que la carga critica, es decir, cuando la forma de equilibrio es la seniiond:~, vemos que la tensión en la barra se puede corisi
.

497

El valor ml.xinio de U, sc presenta en la seccibn media de la barra en la que y = y,,,, y dentro de esta sección en las fibras periféricas.

'es decir. a2 aumenta muy rlipidamente, igual a como lo hace y,,,. De ello se deduce que en el caso de piezas muy esbeltas, como son los íiejes, varillas. etcétera, la carga P,, tiene un valor muy pequeño y, por consiguiente a , , así como es pequeiio el valor jt*. lo que hace posible que P supere notablemente el valor de P,, y que la pieza adquiera prandes deformaci~nessin roniperse. Por el contrario. en las estructuras normales no se suelen emplear barras de esbelteces exageradas, por lo que la carga crítica toma valores de consideración, así como a , , sin que quede apenas margen para a,. En estos casos, un pequeño incremento d e y,,, en la el5stic:i de la columna haró que a2 aumente muy rópidamente y en seguida se alcance el valor de la tensión de rotura del material. Por tanto, con las esbelteces y materiales que normalniente se emplean en las estructuras no se puede aceptar la forma curva de equilibrio. De ahi que consideremos iguales, a efectos prácticos, la carga critica y la carga de rotura.

8.6. Valor de la fuerza crítica según el tipo de sustentación de la barra. Longitud de pandeo Tanto la fórmula (8.3-5) como su equivalente (8.3-5) en función de la esbeltez se han obtenido considerando articulados los dos extremos de la barra comprimida. Ahora bien, en el caso de modificar las condiciones de articulación en los extremos de la barra podenios utilizar ta fórmula citada para calcular la carga critica de pandeo sustituyendo la longitud 1 por la que llamaremos longitud de pandeo lp, que es la que existe entre dos puntos consecutivos de inflexión de la línea elástica. Así, si consideramos, por ejemplo, la barra empotrada en un extremo y libre en el otro (Fig. 8.9-a) este sistema elástico es equivalente a una barra biarticulada de longitud 1, = 21. P o r tanto, la carga crítica de pandeo en este caso sería:

y la debida a la flexión

Asimismo, para los casos d e s~tjeciónindicados en la Figura 8.9-b y c la longituü de pandeo es 1, = 112 y, por tanto, la carga crítica de pandeo será:

.

siendo J* la distancia de la fibra que consideremos al eje z de la sección (Fig. 8.8).

La consideración de la longitud de pandeo 1, = al nos permite generalizar la fórmula de Euler para calcular la carga crítica d e pandeo de una barra comprimida

498

1

RESISTENCIA D E MATERIALES

FLEXION LATERAL. PANDEO

499

1 Y

/ t .Y

1

Figura 8.9.

\\\\\\hV

donde a es el coeficiente de red~rcciónde la longitud de la barra, que depende del tipo de sujeción de sus extremos. El calculo de la longitud de pandeo de un prisma mecánico recto sometido a compresión, sujeto en los extremos de una forma arbitraria, se hará integrando la ecuación diferencial de la linea elástica. Imponiendo las condiciones de contorno se determinará el valor de la constante k = y a partir de ella la carga de pandeo, igualando k al menor valor que verifique la ecuación que resulte. Finalmente, identificando con la fórmula de Euler, se obtiene la longitud de pandeo 1, o, si se quiere, el coeficiente de reducción de la longitud. A modo de ejemplo, apliquemos lo dicho al cálculo de la longitud de pandeo de una barra empotrada en Un extremo y articulada en el otro (Fig. 8.10) En este cazo. en la expresión del momento habrá que tener en cuenta ia reacción R de la articulación causada por el moniento de empotramiento en el otro extremo. En una sección dc abscisa .r. el momento flector es:

m

La solucion de esta ecua'ción diferencial es: y = C, sen k x

+

C , cos k x

R +7 (i - .Y) El*k

(8.6-6)

siendo'c, y C, constantes de integración que determinaremos imponiendo las condiciones de contorno:

x = l

; y=O

=S

C , sen kl

+ C , cos kl

= 0'

Estas tres ecuaciones constituyen un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas. La condición para que el sistema tenga solución distinta de 13 trivial, que carece de interés, es:

por lo que la ecuación diferencial de la línea elástica sera

o bien, dividiendo por EI, y haciendo PIE4 = k2

'

Figura

S

9

' sen k1

cos kl

O

'

500

RESISTENCIA DE MATIIRI-\LES

FLEXION LATERAL. PANDEO

Desarrollando el determinante, se llega a la ecuación trascendente:

Est:~expresión demuestra que la carga critica que puede producir el pandeo para una determin:tda sujeción no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y del módulo de elasticidad. De esta forma, dos barras de dimensiones iguales e igualmente sujetas. una de acero ordinario y otra de acero de alta resistencia, pandearán bajo cargas criticas pricticamente iguales, ya que si bien sus capacidades resistentes son bien distintas, son casi iguales sus módulos de elasticidad. Por tanto, para optimizar la resistencia al pandeo de una barra, cuya sección tiene un área dada, habremos de conseguir que el momento de inercia de la sección, respecto a cualquiera de los ejes principales, tenga el valor minirno posible, es decir, tendremos que alejar el material lo más posible del baricentro de la sección, de tal manera que los momentos de inercia respecto de los ejes principales sean iguales, como ocurre en'las barras de sección tubular (Fig. 5.12).

que se puede resolvcr ~r.ilicanicrirrcoirio se indica en la Figura 3.1 1. El menor valor de kI que verilica esta ecuación es k l = 4.49. Por tanto: =

J-El: 1

301

= 4.49

de donde:

es decir. la longitud dc. pandeo es 1, = 0.71 y el coeliciente de reducción de la longitud r = 0.7. Tanto en el caso expuesto de barra empotrado-articulad en rl que ;r = 0.7, como en cl de barra biempotrada en el que 1 = 0.5 se han supuesto los empotraniientos perfectamente rígidos. En el caso de que los empotramientos no presenten rigidez perfecta, el coeficiente de reducción de la loiilitud r se acercari tanto más a la unidad cuanto más elásticos sean éstos.

I Figura 8.12.

I

1

i I

Cuando se llega al valor d e la carga critica, el estado tensional simple de la barra viene dado por una tension critica a,,, cuyo valor es: P,, n2E a<, = - - -

n

j.2

o lo que es lo mismo:

Si representamos la función a,, = /O.) (Fig. 8.13) para valores de a,,menores o iguales al limite elástico, la curva correspandiente es. la llamada h;pérhola de Euler.

8.7. Límites de aplicacióri de la fórmula de Euler

.L

Por lo expuesto anteriormente, la carga crítica de pandeo de cualquier barra de sección constante sometida a compresi6n, dada por la fórmula de Euler. se puede expresar de la siguiente forma:

1 Figura 8.1 3.

r!

502

De] estudio d e e r t l curva se deduce que para piezas de esbeltez elevada, la tensión critica es muy pequeña, es decir. que una pieza muy esbelta pandea para una tension de compresión muy pequeña. ir disminuyendo la esbeltez, la tensión critica aumenta, pero la hipérbola de Euler sólo es válida hasta un valor A,,, de la esbeltez a la que corresponde una tension critica igual al limite elastico a, (pues para valores supenores no tiene sentido hablar de la ley de Hooke). A partir de este valor, el módulo de elasticidad E, disminuye con lo quc la Iórmula de Euler se convierte en:

llamada fórmula del nlódulo rangencial o de Engesser para pandeo inelástico, cuya representación se ha indicado en la misma Figura 8.13. La fórmula de Euler es válida solamente para piezas de esbeltez superior a aquélla para el la cual la tensión critica coincida con el límite elástico u,. Para esbelteces 1 < i,,,, problema de estabilidad de la barra exige un planteamiento consecuente con el estado de plastificación a que va a estar sometida la misma, por lo que n o vanios a entrar en él. Para el acero de construcción de bajo contenido en carbono, cuyo módulo de elasticidad vale E = 2 000 000 kp/cm2 y u, = 2000 kp/cm2. la esbeltcz mínima que deberá tener la pieza para que sea aplicable la fórmula de Euler es:

En construcciones metálicas, las piezas que generalmente se emplean tienen esbelteces inferiores a este valor. No es aplicable, por tanto, la fórmula de Euler para el cálculo de la carga critica. Tenemos que tener en cuenta que la fórmula de Euler nos d a la carga critica y no In carga de trabajo. Para calcular la carga admisible P,,,, habrá que dividir la carga critica por un coeliciente d e seguridad a pandeo.

503

FLEXiON LATERAL. PANDEO

RESISTENCIA D E MATERIALES

critica la tensión de fluencia u, del material y su ~ á l c u l ose hace, por tanto. a compresión yno a pandeo. Las columnas que tienen esbelteces comprendidas entre los valores limite superior de las columnas cortas y el limite inferior de las columnas esbeltas, se denominan colunlnasinrerrnedias. Se han propuesto diversas fórmulas para el cálculo de la carga critica de pandeo en este tipo de columnas, aunque ninguna de ellas ha sido generalmente aceptada. Este problema, como ya se ha indicado, exige, en rigor, la consideración del comportamiento inelistico del material. A pesar de ello. se han intentado establecer fórmulasobtenidas experimentalmente ensayando gran numero dc piezas de distinta esbeltez, siempre de valor inferior al mínimo para la que es aplicable la fórmula de Euler. Una de ellas es la del módulo tangencia1 o de Engesser, a la que ya nos hemos referido. que tiene en cuenta la variación del módulo de elasticidad al superar la tension limite de proporcionali- dad. En la Figura 5.14 se ha representado la forma tipica de la curva que nos d a la carga critica en función de la esbeltez aplicando para el limite de la estabilidad elástica la fórmula de Engesser.

Tertnajer propuso, para la zona inelástica, la Iórmula:

-

'J

8.8. Fórmula empírica de Tetmajer para :a determinación de las tensiones criticas en columnas intermedias Cuando decimos que la fórmula de Euler es aplicable a columnas esbeltas estamos El valor de admitiendo que colui?~naseshetras son aquellas cuya esbeltez es superior a .Á,,, A,,, depende, como hemos visto, del módulo d e elasticidad y del límite eliístico, por lo que cada material tendrá su esbcltez A,,, a partir d e la cual la barra se considera esbelta. P o r otra parre, se dice que una coltintna es corta cuando su longitud n o excede de diez veces su menor dimensión transversal. Para estas columnas se considera como tensión

siendo a, la resistencia a la compresión simple, I. la esbeltez mecánica, y a y b dos coeficientes a determinar experimentalmente para cad; material. En la Tabla 8.2 figuran los valores correspondientes para fundición gris, acero dulce, maderá de pino y hormigón. '

Tabla 8.2.

MATERIAL

Fundición gris Acero dulce Madera de pino tlormigón

E

1OOOOOO 2100000 100oOO 210000

1620 1900 99 29

- al +

bl'

1

a, = o.

SO

77ó0 - 1202 0.54;' 3100 - 11.41. 293 - 1.941. SOa,(l - 0.00321.)

1 OS 100

SS

+

FLEXION LATERAL. PANDEO Tanto 211 la obteiición de la fórmula teórica de Euler como en las empíricas de Tzimajer se admitiii qiic la picza compriinida era inicialinente prrfectamcnte recta y que la carga actuaba totaliiientz crnrr~ida.En realidlid, ni las cargas estin gcncr;ilmentc centradas ni las pirz'is son perfectanienle rrctds, sino que pueden presentar :ilguria curvatura inicial. Por [arito, con objeto de cubrir estas imperfecciones es necesario considerar un coeficiente de seguridad que aumente con la esbeltez. En la Figura 8.15 se representan, para una columna de acero A 37, la función del coeficiente de seciiridnd n = t i ( ; . ) . asi como la curva dc Euler-Tetm3~c.rG,, = a,,(j.) adoptadas por las normas dc diversos paises. A partir dc ellas, por división, se obtiene la curva de la tensión critica adniisible a,,,,,

Figura 8.15.

8.9. Nlétodo de los coeficientes o para el cAlculo de barras comprimidas En los casos en los qiJe pueden resolt,erse los problemas de pandeo mediaiite la introducción de la longitud de pandeo, es decir, en el supuesto de que se mantengan constantes la, sección transversal y la fuerza de compresión, se puede exigir que se verifique simplemente

P

6

G

ndni

(8.9-1)

en donde u,,.,, es la tensión adniisible a compresión, que depende de la esbeltez l.. Ahora' bien, para no tener que establecer tablas especiales de los valores d e a,,,,, para diferentes hipótesis de carga, para facilitar el cálculo numérico y, finalmente, para poder establecer fórmulas aproximadas sencillas para el cálculo de barras rectas sometidis a compresión axial. se escribe I;i condición (8.9-1) en la for::i?

Tabla 8.3. Coeficientes w para aceros A 33 y A 37

505

506

RESISTENCIA D E MATERIALES

Tabla 8.4. Coeficientes w para aceros A 42

I

FLEXlON LATERAL. P A N D E O

Tabla 85. Coeficientes w para aceros A 52

507

508

509

FLEXION LA1.EKAL. PANDEO

RESISTENCIA DE \ { . A 7 E R I A I - E S

en dondc nA,,, es I;i tcnsi;)n de conipresión ;idmisiblc dcl material e ~ ~ i p l c a dque o coincide con la tensibn critica de uria Liarr~ide esbeltez riul;~,y

el coe>1;cietrre rlr pci~lrlro. Los coeiicienres de pandeo dependen del tipo de material y del grado de esbeltez de la barra. Eri las Tablas S.3, S.4 y 3.5 figuran los vrilores de los coeficientes u, de pandco para los aceros de los tipos A 33 o A 37, A 42 y A 57, respectivamente. Se observa que la esbeltez menor que figura en las tablas de los coeficientes o es 20. La causa de es10 es que, según las diversas nornias, para barras con esbelteces menores a 20 no hay que hacer la comprobacibn al pandeo. En estos casos se tomará w = 1. La esbeltez mayor que figura en las tablas es de 250 ya que las normas no permiten utilizar columnas de esbeltez mayor de este valor. Con estas tablas podemos resolver el problema directo de calcular la carga admisible de pandeo dada la sección de la pieza comprimida, o bien el problema inverso de dada la carga que va a comprimir la pieza. calcular la seccion minima necesaria para soportarla.

La ecuación diferencial de

Iri

eliistica sera:

EI,yU = - Py

+ M,,

en donde .W,, es el rnorncnto flector debido a las cnrzas transversales. Como :Lf,, es independiente de P y de .v, depeiidiendo exclusivamc.rite de .u, la ecuación diferencial (8.10-1) se puede poner en la forma

"" + k ? '

siendo k 2 =

Jf,, = ---

El,

P

-.EI.

.

La solución integral de esta ecuación diferencial es: y = A sen kx

+

B cos k.x

+ y*

(8.10-3)

siendo j l * una solución particular de la ecuación diferencial (8.10-2). Ya se comprende la dificultad que existirá cuando el momento nector M,, debido a las cargas transversales venga dado por diferentes leyes en los diversos tramos de la viga. par^ subsanar esta dificultad existen métodos aproximados, entre los cuales quizás el mi,, utilizado sea el que consiste en suponer que la deformada de la visa sea una sinusoide

de donde: así como también la deformada de la viga sometida exclusivamente a las cargas transversales El problema se resuelve como si se tratara de una compresión simple considerando no la carga real sino una carga ficticia igual a wP.

En este supuesto, la ecuación (8.10-l), se puede expresar de la forma siguiente:

8.10, Flexión compuesta en vigas esbeltas ?3

Consideremos ahora una viga esbelta que además de la fuerza P d e compresión que actúa sobre ella, está sometida a cargas tran:versales, es decir, la viga trabaja a ílexión compuesta (Fig. 8.16).

Si susti!uimos en esta ecuación diferencial las soluciones (8.10-4) y (8.10-5) supuestas, se tiene

\

n2EII

Si suponemos los extremos articulados, la carga critica de pandeo es P,, = la ecuación anterior se deduce: Figura 8.16.

--.:

-

l2

Re

510

FLESlON LATERAL. PANDEO

RESISTENCIA D E MATERIALES

51 1

Se trata. pues, de una barra con sus extremos cmpotrridos clisticamente sin desplazamiento transversal. Tomando la referencia indicada en la Figura 8.17, la ley de momentos flectores en la barra es

de donde:

Finalmente, si se admite que los momentos ílectores son proporcionales a las flechas, se puede poner por lo que la ecuación de

13

elistica será:

8.11. Pandeo de columnas con empotramientos elásticos en los extremos sin desplazamiento transversal La teoría de ílexion lateral expuesta hasta aquí para barras rectas puede ser aplicada a estructuras aporticadas compuestas de piezas de línea media rectilinea, ya que cualquier soporte de la estructura se puede considerar aislada sometida a unos momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales en sus extremos, que no son sino la acción que sobre esa pieza ejerce el resto de la estructura. Nos referimos a los soportes y no a los dinteles porque no es frecuente encontrarnos con piezas horizontales sometidas a fuertes cargas de compresión, aunque el razonamiento que vamos a seguir es válido tanto para unos como para otros. Supondremos que sobre la barra A B (Fig. 8.17) no actúa mas solicitación que la formada por la fuerza de compresión P. unos momentos M, y M, en los extremos, asi como los esfuerzos cortantes que equilibran a éstos.

-.P

Dividiendo por El: y haciendo k 2 = El, se tiene

ecuación diferencial cuya solución cs

y = A scn k.r

+

+

B cos k s

P

siendo A y B constantes de integración que determinaremos imponiendo las condiciones de contorno

.y=¡

; y = o

O

= A

sen kl

+

B cos kl

M, +P

de donde:

ní,

M M, B = -2 ,. A = -

P

P sen kl

I P sen kl

Sustituyendo cn (8.1 1-4) las expresiones de A y U obtcriidas. sc tienc

Figura 8.17. f

sen k x - cos k.r

+

1

-

Se pueden obtener los i n ~ u l o sU , y O,, en I;i> szccic,ries extremas de I:i pieza considerada dcribrindo la expresión (8.1 1-61 y particulariz:iiido I;i ecuación resultante para .r = n y = 1, respectivarneiire. +

X

1 k.r X( 20s ~ - cos

+

sen X-I srn k.r -

=-i PI

.Ll,

. -

= 1'1

cos k.r\

k.\-

r(-.r

-

-

%(

--

1 - k / -cos -

X-.Y

sen kl

)

-

Si ahurii hacemos

cos k.r

r)

--

.- -

+

1,

serl kI

k / cos k ( /

[

jeii

c, decir:

se,,,/ las expresiones (S. 1 1-13) y (8.1 1-14) toman la forma M,

=

--

El1 (zlO,

+ a,O,)

y si expresamos los ángulos girados en [unción de las constantes de empotramiento e13stico. según (7.1- 1) cenemos:

o, Haciendo:

K

=

0, = El. 1

m,=

= :

;

1

- k l cotg kl (kl)2

1;1 cosec k l

; Oi =

(kl).

- 1

(8.1 1-10)

-

O MA - A k ,4 O k B M , => M , = ?k!- ,

k,M,

El-

= --(

El-

=

1

~ I O A+ z 2 0 ~ )

1 (a,O,

+

a,O,)

(8.11-18) (8.1 1-19)

En la barra se tendrán que verificar simultáneamente estas dos últimas expresiones que constituyen un sistema de ecuaciones homogéneo.

en las ecuaciones (8.1 1-8) y (8.1 1-9), ss tiene:

'

Las expresiones (8.1 1-1 1) y (8.1 1-12) permiten despejar los monientos h.I, y MB en función de los ángiilos O , y 9,

Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial se habrá de verificar 1s condición de compatibilidad, que se traduce en la anuiacibn del determinante d e lo.: coeficientes

514

FLEXION LATERAL. PANDEO

RESISTENCIA DE MATERIALES

515

Por ser el ángulo dO un infinitésirno podemos considerar el coseno igual a la unidad y

Teniendo en cuenta las expresiones (8.-;1-15).se llega a

el serio igual al iingulo.

Dcsprcciiiiidu irifinitcsinios dc ordcn supcrior, esta cc~i;iciorisc rcducc a: en la que los valores de 4, y 4, vienen dados por (8.1 1-10) y que nos permite calcular el menor valor de kl que corresponde a la carga critica.

8.12.

pcls

+

d T - (N,

+

N)clU = O

o bien

Estabilidad de anillos sometidos a presión exterior unifornie

Cuando aplicamos a un anillo una presión exterior p. es decir, lo sometemos a una compresión radial y vamos aumentando el valor de p observamos que para un determinad o valor de p la forma circular se hace inestable. Nos proponemos hacer un anilisis de este fenómeno y obtener una expresión que nos permita calcular el valor crítico de la compresión radial p, que supondremos uniforme. Para ello consideramos una porción elemental del anillo de longitud dr (Fig. 8.18-6). Llamaremos R al radio inicial del anillo y p al radio de curvatura del elemento considerado.

Dividiendo por R ds y tcnicndo en cuenta (8.12-1). se tiene:

(S. 12-4)

1 R = - - - la variacibn dc la curvatura que experimenta el anillo, P R supuesto que el valor de p difiere poco del valor de R(p 2 R). la ecuación (8.12-4) toma la

Si llamamos

forma:

Obtenemos otras ecuaciorics de equilibrio proyectando sobre la tangente al elemenio:

no + d1V cos do = O 2

2T sen 2

(4

Figura 8.18.

Sobre este elemento actúan los esfccrzbs normales, cortantes y momentos flectores indicados en la Figura 8.18-6, habiendo considerado el esfuerzo normal compuesto de dos términos: N,, que es el esfuerzo normal antes de que el anillo pierda la estabilidad, N. ei esfuerzo normal debido a la fiexión del aiiiiio. La condición de equilibrio de medio anillo antes de la deformaci6n (Fig. 8.18-c) nos . .< permite obtener la expresión de No

Por otra parte, la condicitn de equilibrio del elemento del anillo deformado nos perliii!e obtener, proyectando sobre un eje radial, la siguiente ecuación: de de p h + dTcos 2 - (NO + N ) sen 2 - (No

de

+ N + d N ) sen 2 = O (8.12-2)

y tomando momentos:

Eliminando T y N entre las tres ecuaciones (8.12-5). (8.12-6) y (5.12-7). derivando la dN diLI despejadas dc las otras dos, sc frene primera y sustituyendo -- y (1.7 dr

F L E X I O N LATERAL. PANDEO

517

de donde:

(S. 12-9) '

siendo C una consranrs. Ahora bien, tri iin;i pieza cori fuerte curvatur:i inicial el niomerito flector ,2/ esti reliicionado con la variación de curvatura mediante la ecuiicihn

P:~ra un anillo libre de ligaduras fijas la carga critica vendri dada por el riienor viilor de est3. ecua~ión.es decir, para n = 2

El :inillo se dsforrna adoptando una configuración como la indicada en la Figura 8.19. de la que se deduce

Estas dos ecuaciones nos perniiten eliminar en (8.1 2-9) el riiomento .M, obteniendo una ecuación exclusivamenre en

Figura 8.19.

o bien

d 2 % + kZy = -, CR
siendo

k2 = R El

1 +R'

La soliición integral de esta ecuación diferencial es:

EJERCICIOS = A sen ks

+

B cos ks

+

CR -kZEl

(8.12-14) VI1I.I. (3

Ahora bien, esta soliición en la que la variable S es el arco de circunferencia, línea media del anillo, tiene que ser periódica, es decir, tiene que verificar:

Calcular la carga de un soporte sometiio a compresi6n. formado por dos perfiles UPN 160 soldados por sus alas, de longitud 1 = 8 m y cuyos extremos estin articulados. El rnbdulo de elasticidad es E = 2 x lo6 kp/cm2. C c la t:ibla de perliles laminados (véase Apéndice 2) se obtienen los siguicniss datos para un perfil U P N 160

siendo

n

un número entero.

La carga critica se obteridri elirniriando

(8.1-13)

111

variablc aiixili:ir k entre esta relación Y la

Par:i los dos perfiles soldados por sus alas tendremos:

i

= 2 x 925 = 1850 cm4 1, = 2(85.3

R

+ 24

=

x 4.66')

= 1213 cm4

2 x 24 = 45 cm'

F L E X I O N LATERAL. P A N D E O

519

@

Para determinar las posibilidades de resistencia de una pieza a flexion lateral es necesario y conocer el plano de pandeo que, segun se sabe está relacionado con el eje que pasa por el a centro de gravedad respecto del cual el momento de inercia de la seccion es minimo. Situaremos los perfiles de tal forma que la tenclcncia a f l e ~ a cn r los planos definidos por 5 los ejes principales de inercia sca la misma. es decir. tcndran que ser iguales los morncnros principales de inercia 1: e 1,.

e'

e

1-

*cm

4

Figura VIlI.1.

Al momento de inercia mínimo, que es I,, le corresponde un radio de giro

Como los extremos están articulados. la longitud d e pandeo es I,=I=Sm Figura VIII.2.

Por tanto. la esbeltez es:

Por ser I. > 105 calcularemos la carga crítica pedida p o r aplicación de la fórmula dc Euler

( 1

(h)

Cotas en cm

S

( ):

I- = 4 - -

-

-

= 492 cm'

Pero por otra parte, llamando s a la distancia entre el eje y 5 la cara exterior del perfil, aplicando el teorema de Síeiner, se tiene:

VIII.2.

Calcular la carga critica de un sopor:e formádo por dos perfiles de U, camo el icdicado en la Figura VIII.2-u. q u ~ d i e n euna longitud 1 = 5 m y esta articulado en ambos extremos ,, = 120 M P a y el mbdulo de elasticidad E = 2 x 10' RIPa. La tensión admisible es o

C"

b

r

Desarrollando y simplificando se tiene:

ecuación de segundo grado, c u y ~ soluciones s son:

1

Figura VIILZ-a.

Existen. por tanto. dos soluciones de idintica resistencia a la flexión Iatcral. represcntadas en las Figuras VIII.2-b y c.

C5

F L E X I O N LATERAL. P . I N D E O

521

cuyas ecuaciones iniegr;iles son:

Las caracrsrísticas geonllrricas y meciriicas son:

"-

Is,

=

3-56 cm : 1, = I2 = 197 cm'

C , sen k ,/& + C 2 cos k&.r C , ser) k.v + C2co, k.r

ir, =

=

Condiciories de coniorno: Por r\i&irel soporie ariiculiido cn sus eniremos. la Ion-iiud de pandco coincide con loneirud rral:

1 !>Al)

13

C, sen x./

=0

+ C,

cos ICI= O

lp=I=5n1 Corno la esbeltez mscinicd

(;)-

es riplicsbls 1ii forniula de Eulcr. Por tanto. 13 carga c r i i i c ~del

S O P O ~ I Ses

C,

c;f i cos kJ'

=

= y;(;)

-

1 1 = C, cos k - - C, sen k -

I

2

Sisie~nrihoriioglneo que para que tenga soluciOn distinta de la trivial C, = C, = = O, se tiene que verilicar:

,

O

-

sen k l kl -sen 2

kfil

kl

sen k f i V111.3.

1

-

Determinar la fuerza crítica de una barra sonielida a compresión, forniada por dos partes de igual longitud, teniendo una de ellas doble rigidez a la íiexión que Ir otra, y estando ariiculada en ambos extremos.

1

f i cos 7 -

-tos

2

cos kl kl -cos 2 srn

=o

kl -

-

Poniendo: sen k l = 2 sen

kl

- cos k-l 2

2

kl ; cos k l = cos2 -

y simplificando, 53 obtiene la ccuacihn Figura 1'111.3. fitg-

Las ecuaciones de In elásiica son: El!,'

+

Py, = O

O

1

< .y < -2

Haciendo

kl

2

= -tg-

kfil

2

. kl

-2 - O = J 2 t g O = -tg&o P Haciendo - = k' queda: 2E l

- sen' kl 2

522

FLEXION LATERAL. P A N D E O

523

RESISTENCIA D E MATERIALES

De este sistema se deduce:

de donde

La carga critica será siendo d el valor arbitrario del desplazamiento lateral de la seccion C en la posicion critica. ya que planteamos el equilibrio indiferente. Los momentos flectores son:

VIII.4.

Calcular el valor critico de la carga vertical P aplicada en la seccibn media de una barra esbelta de longitud I y sección constante, que se encuentra en posici0n vertical unida en sus. extremos a dos articulaciones fijas Sobre la barra deformada actuan las fuerzas indicadas en la Figura V111.4. Las ecuaciones de equilibrio son:

Con estas expresiones podemos obtener las ecuaciones diferenciales de la elástica

l; - k z y l

=

d

-ZZ 1 .r, siendo k 2

y, = C sen k x

+

d

D cos k.r - 2 -1 x

P

= 2EI

+ 2d

Determinemos las constantes de integracion imponiendo las condiciones de contorno -y

1

Figura V111.4.

El qlt-. la fuerza P estS aplicada en la seccibn media C implica que el a c o r t a m i ~ ~ i l * longitudinal del tramo AC es igual al alargamiento del tramo BC, por lo quc las rcacciones verticales VA y V, serán iguales.

x = o

; y , = o

. = - 21 ; y , = d

= /

; y, = O

-

e .

B=O kl , 4 5 121 - + d = d

C sen Xl

A = O

+ B cos k1 = O

1..i ; I I I ~ I ~ ~ C Idc O I ~133 corl>t;inics A y B nos indicaii que el tramo BC es rectilinco, rr>iilt.i
1

CX- coi

k1

( C ssn k l

- D i sen

+

X-1 Z

-

I
D cos k l = O

LJ condicion para que esie sistema tenga solución distinta de la trivial es que se anule c.1 drterminliritr de los coelicientes de C. D y J

1

sen

'

sen kl

kl

-

-

COI

o

I71

-

1

O I

cos kl

Des;irrullindolo par los elementos de la ultima columna, se tiene:

1

Figura VI11.5.

se deducen los valores de las reacciones en las ligaduras A y C El menor valor de

kl

-

que verifica esta ecuación es n.

kl -- = n Z

In' kZ=-=P!L 1'

2EI

V , = P ;

R , = R

C -

qr

-7

Las leyes de momentos flectores en el soporte someiido a carea son:

de donde:

8n2EI

P,, = -

V111.5.

Un soporte AB de longitud I = 10 m y sección constante está articulado en su extremo inferior A y con un arriostramiento en su punto medio C que impide los desplazamientos horizontales de esa sección. Se sort~eteel soporte a un esfuerzo de conipresión mediante la aplicación en su esiremo superior B de una carga P. Sr pide: 1."

Calcular la carga critica de pandeo.

2." Si P = 7 ton deterniiiiar el valor critico del momento de inercia minimo del soporte. El valor del m6dulo de elasticidad es E = 2 x 10' hlPa. 1." De las condiciones de equilibrio en la posición de equilibrio indilerente (Fig. VIII.5)

por lo que las ecuaciones de la elástica serán:

P ); + k'y, = k2f siendo k 2 = El y, = A sen kx EIyY = Pf

+

B cos k.r

2P/

- P y 2 - -.r1

y;' + k'y, = 2k2f y , = C sen k.r

+

+f + Pf

1 ; -

+ 2f

-1 .r

2

< .Y < 1

2kzf

- -.y1

D cos k.r

2f

526

RESISTENCIA D E MATERIALES

F L E X I O N LATERAL. P A N D E O

--

Determinación de las constantes de integracion

x=O .r =

=- f = B + f

; y, = O

3

1 = ; ~y 2 = 0

x

.r = .y

1

; y,=/

1

;

kl

= 1 ; y, =

B=O

+/=

+

Haciendo kl = O, tenemos la ecuación transcendente

O

cuya solución menor no nula es O = kl = 2.331. Por tanto, la carga critica pedida para 1 = 10 m sera

kl Dcos2

+

2f

-/= O

kl kl = Ck cos 2 2

-

kl Dk sen 2

= Csen2

* Ak cos -

= y;

J',

kl Asen2

=- C sen k l

O

527

+ D cos k l + 2f

- 2f

=

2/ 1

-que viene dada en newtons cuando E se expresa en pascales e I en m'.

O

-

2." Si P,, = 7 ton, el momento de inercia mínimo del soporte será:

Estas condiciones de contorno constituyen un sistema homogkneo de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas: A, C, D y j: La condición para que este sistema tenga solución distinta de la trivial, que no interesa. es que el determinante de los coeficientes sea igual a cero kl

3-

VII1.6.

o

o

1

kl sen -

o

kl cos - 1 2 kl kl 2 -kcosksen2 2 7 sen k l cos k l O

=o

2

kl kcos-

2

O

Hallar la carga critica de pandeo de un puntal de longitud 1, de sección variable, constituido por u n tramo de longitud 112 de secci6n cuadrada de lado a y otro de la misma longitud y sección cuadrada de lado 012. Ambos tramos, unidos rígidamente entre sf. admiten los mismos planos de sitnetria. El puntal esta empotrarlo en el extremo de mayor sección y soporta una carga axial en el de seccibn menor. El niódulo de elasticidad es E. Al ser distintas las rigidcces en los tramos OA y A B existirán dos cxpresiones analiticas de la ecuacion de la elástica 1

El,)",' = P ( / - y , ) ; 0 ,< x ,< -

2

Desarrollándolo por los elementos de la primera fila, se tiene:

kl sen -

2

'

kl kl sen cos - i 2 2 kl kl 2 -kcosksen2 2 1 sen k l cos k l , 0

+ k cos 1-

1

sen

kl

o s

1

y','

=

o

El2,';

(se.

k l cos

'

kl 2 - cos k l sen

2

y;

kl 2

cos kI kl 2

- sen - - 2k cos - = 0 = 1

=

= k:/.

siendo

P(/ - y,)

P

k: = El1

1 ; 2 ,< x

<1

sen kl cos k l

Simplificando:

.1

+ kiy,

+ son

kl

2

kl tg - = lk

2

1P

Figura VIll.6-a.

+ kiy2 = k:J

P

siendo k: = -

El*

-

525

RESISTEYCIA DE ~ I A T E R I A L E S L35

ecuiic~onesintegrrilcs de estas ecuiiciones difercriciales son:

.vi

+ +

= A sen k,.r

1': =

('WII

k'r

B cos kl.r

+f

B cos k,r

+f

I

FLEXION LATERAL. PANDEO

529

la ecuación anterior torna la forma k,l k,l tg- tg 4 - - = 4 2 2

Determinernos las constantes de inierración imponiendo Iris coridiciones de contorno:

k,l o bien haciendo O = -

-

1 .Y

=

.Y

=

1

:

y; =

;

=

6 /

-

k 1 j k , sen 2

-

=

f = C sen k,l

Ck, cos

+

k,l 2

-

B cos k,l

k,l - Dk, sen 2

+/

La condición para que este sistema homo~Ciieode tres ecuaciones con las incógnitas C. B. /tenga solución distinta de la trivial es

-k,

1 sen k , l

k,l sen - -A-, 2

cos k21

Desiirrollando por los elementos d s

I;i

sen

O

-

2

l

Ultima colunina se tienc: Figura

ecuación trascendente. cuya solución es O = 0.368 rad

Simplilicando:

k 1 k,l k,l k,l k , cos 2 cos 2 - k , sen - sen - = O 2 2 2 2

de donde se obtiene la carga l e pandeo pedida

de donde:

A hora bien, como

V111.7.

Un soporte de longitud 1 = 3 m, que tiene articulados sus extremos, tiene forma tubular de diimctro exterior 2R = 80 mm y diimetro interior 2r = 64 mm. El soporte esta sometido a u11 esfuerzo de compresión niediante una fuerza P paralela al eje pero excéntrica. Calcular la excentricidad maxima para una carga de pandeo igual a 0.75 del valor de la carga critica de Euler. La tensión de fluencia es o, = 320 h l P a y el ni6dulo de elasticidad E = 2.1 x 105 MPa.

530

FLESION LATERAL. PANDEO

RESISTENCIA DE MATERIALES

531

La solución iciteprnl es:

El momento de inercia de la sección tubular respecto de un eje diametral es:

J. =

A sen k.r

+

8 cos k.r

L

/+

e

cuyas constantes de integración obtendremos aplicando las condiciones de cocitorno Por tener articulados los extremos, la carga critica de Euler para carga centrada es:

La carga excéntrica aplicada, segun el enunciado, es: P = 0.75P,, = 205016 N

+ e) cos k.7 + / + e

y = -(/

= (/

+ e)(l - cos k.r)

Esta ecuación nos permite obtenerfen función de e

y expresar así el momento flector máximo en furicióri de e M,,, = P(e

Pe + f) = --kl COS

2

Sustituyendo valores, se tiene

lv,,,

Figura VIII.7.

=

205 O16e 9.069 x 10cos 2

'x

300

= 9815 e m . N

estando expresada la excentricidad e en metros. De la expresión de la tensión máxima

Ip

Veamos cuál es la ecuación de la defrrmada del soporte para, a partir de ella, obtener la expresión del momento flector máximo que se presenta en la sección media del sopurtc. Respecto de los ejes indicados en la Figura VIII.7. la ecuación diferencial de la el& t i a es: se obtiene:

siendo V111.8.

Sobre el soporte biempotrado representado en la Figura \'lII.R actúa una fuerza de compresión P. Si la longitud del soporte es I = 150 m y el material es fundición determinar el valor critico de la carga P.

FLEXION L A T E R A L . PANDEO

VIII.'l.

533

Una barra cuya aren R de la sección recta es constante se calienta. de 131 riianera que un extremo esta a doble temperatura que el otro, sierido lineal la variación de temperatura a 10 largo de la longitud 1 de ella. ti1 e\treiiio superior cst5 unido a unn articulición fija mientras que el inferior esti articulado. pero no esti impedido el desplazanliento de la articulacióli en la direcrcioii de la barra. Se coloca un resorte de constante de rigidez k, conio se indica en la '¡gura V111.9-u, para contrarrestar la dilatación termica. El resorte no está sometido a nirigúci esfuerzo para la temperitura i = O. Se pide: l."

Calcular el esfuerzo normal en la barra cuando se calien~a,conociendo el valor del coeficiente de dilatación lineal a del niaterial de la barra. 2." Si la rigidez a la flexión es El, determinar la temperatura I,para la cual paridea la barra.

en cni

Figura V111.8.

Las cariicteristiclis de la seccion recta son: 1 nionierito de inerci~i:Ir = - I x 5' 12

área: R

=

+

I

2-2 I2

x

1'

=

129 -- cm' = 10.75 cm" 12

5' - 4 x 4 = 9 cm'

Con estos datos obtenemos el valor del radio de giro Figura VI11.9. Al estar los extremos empotrados, la longitud de pandeo es

l."

Si la teniperatura en un extremo es t y en el otro 21, la dilatación que experimentaría la barra, si no existiera el resorte. seria:

Como la esbeltez del soporte Ahcra bien, si N es el esfuerzo que el resorte ejerce sobre la barra, éste provúca un acortamiento sobre la misma. de valor es menor del valor Iiniite para una pieza de fundición, según la Tabla 5.2. calcularemos la tensión critica aplicando la fórmula empirica de Tetmajer o,, = 7760 - 130.1. + 0.541.2 = 7760 - 120 x 68.68 + 0.54 x 68.68' = 2065.54 kp/cm2

Por tanto, igualaremos el alargamiento real de la barra al acortamiento

N

resorte Al = Por tanto, la carga critica pedida será

Ai del

534

FLEXJON LATERAL. P A N D E O

RESISTENCIA D E MATERIALES

de donde:

Procederemos por tanteo: consideremos un IPN 200 R I,,,,

2.O

535

=

33.5 cm'

=

1.87 cm

Se excluye este pcrfil por darnos una esbeltez superior a 250. Ensayamos el IPN 300

Por tener ambos extremos articulados la barra pandeará cuando

de donde se obtiene: de donde: o = 555 kp/cm2 < o,,,

luego es válido este perfil VIII.10.

Las barras A B y BC de la Figura VI1l.lO-a tienen la misma longitud y estan situadas en un plano vertical. La barra A B esta empotrada en B y la barra B C es biarticulada. Calcular las citadas barras. sabiendo que AB es un periil IPN y BC esta formado por dos angulares en L de lados desiguales.

(Compruebe el lector si existe otro perfil más pequeño comprendido entre este y el IPN 200 ensayado anteriormente, que sea asimismo válido.) Cálculo de la barra BC

r.

Se pueden considerar dos disposiciones 1L o 7 Para la disposición primera y considerando el angular de mayores dimensiones que se fabrica 75 x 150, teniendo en cuenta que en este caso la longitud de pandeo es

Figura VIII.10.

el valor de la esbeltez seria

Por la disposición de la figura, la fueza horma1 que actúa en las barras A B y BC es precisamente N = P. Al ser la esbeltez de valor srtperior a 250, coz la disposición adoptada no tiene solución el proLlema. Para la disposición segunda y para el mismo perlil de dimensiones máxima

,

Calculo de lo barra AB La longitud de esta barra es: h ¡=-cos 60"

R

- 8m

= 43.2 cm2

i,,, = 2.10 cm

la esbeltez seria

pero la longitud que nos interesa para el cálculo es la de pandeo, que por tratarse de una barra empotrado-articulada es: es decir, tampoco tiene solución con esta disposición, por lo que habri que recurrir a otro tipo de perfil más robusto.

F L E X I O N LATERAL. P A N D E O 11.

1.3 Figura VI1I.I 1-d rel~resentauii soporte de longitud 1 = 1 m. sornetido a uria carga P = 1 0 0 0 0 kp zii su e\rrenio hiiperiur (que es19 libre parli dc5plazsrse trinsversaimeriie) v

Como

eiripotrado eii sil extremo inferior. Se quiere dimensionar con una sección anular de di6nietro r\terior D = ?O cm. Se pide: l."

.

7

0

Espe~oriiiininio e de la wcción para que no exista riesgo de pandeo. (;\cero A 42; u,,, = 1500 Ll>/crii'; E = 2 x 10' kp/cni2). .-\cortarriiento total del soporte en estas condiciones.

20 000 x 2.86 = 505.79 kplcm' < o,,, 1 13.09 vemos que podemos disminuir el e s p s o r notablemente. - Para r = I cm 0 = ~ ( 1 0 ' - 9') cm' = j9.69 cm' 1: =

410' - 9')

cm' = 2700 cm'

4

Como Figuri VI1I.I 1-0. 1." Aplicando el mitodo de los coeficientes o,se iirne que verilicar

podemos seguir disminuyendo cl espesor. - par;^ L. = 0.6 cm

R = n(102 es decir I: =

Procederemos por ianreo - Para e = 2 cm

-

9.4') cm' = 36.56 cm'

n(104 - 9.4')

cm' = 1722 cm'

4

800 A = - = 116.56 6.86

U

= 2.53

20000 x 2.53 = 1384 kp/cm2 < a,,, 36.56

- Para r = 0.5 cni El soporte tiene una longitud de pandeo 1, = 2 1 = 8 m = 8 0 0 c m

por lo que la esbeltez es

correspoiidiendole un coeficiente o.o = 2.86, según la Tabla 8.4 para aceros A 42. 8

- 9.5') n(104 - 9.5')

R = n(102 I, =

4

cm2 = 30.63 cm' cm4 = 1456.86 cm4

537

-

538

F L E X I O K LATERAL. P A N D E O

RESISTENCIA D E M A T E R I A L E S

539

Como 20 000 x 2.53 = 1651 > u,,, 30.63 este espesor n o es válido. Por consiguiente, el menor valor d e e pedido es

2."

El desplazamiento vertical de una sección recta situada a distancia x de la base (Fig. VII1.11-b) viene d a d o por la expresión

Figura VII1.12.

l."

En el plano .r: el soporte es articulado-empotrado. por lo que la longitud de pandeo para que el soporte flexe en ese plano es

La esbeltez correspondiente será: l x ;=

Figura VilI.11-b.

riendo

i,

=

/;

De las tablas de perfiles laminados se obtienen los datos de los perliles I P N 120 y U P N 300

El acortamiento total del soporte será el desplezamiento de la base siiperior del soporte. P o r tanto:

V111.12.

-.1;:5

est.ando expresada la distancia d e n cm. Como R = 2(ZiupN + n,,,) = 2(58.8

Un soporte de acero A 37, cuya sección recta viene representada en la Figura VIII.12-a, se encuentra articulado-empotrado según el plano xz y biempotrado segbn el xy, tal como indica la Figura VIII.12-b. Se pide: Calcular el valor de b para el cual la estabilidad según los planos xy y xz es la misma. Para el valor de b hallado, deteminar la longitud maxima del soporte sabiendo que , la carga de compresión es P = 365 ton. 3." Manteniendo la condición de igualdad de estabilidad, rato,,-r si el valor de b debe aumentar o disminuir cuando la rótula cilíndrica se sustituye por una esfera.

+

-

14.2) cm2 = 146 cm2 la esbeltez es:

l." 2."

'

La tensión admisible del acero A 37 es o,,,

= 1000 kp/cm2.

En el plano xy el soporte es bicmpotrado, por lo que la longitud dc pandco es: 1;. = 0.51

-.

FLEXION L X í E R A L . PANDEO

541

3." Si la rótula cilindrica se sustituye por una &!..la eslerica. la sustentación del soporte en el plano . r ~ pasa a ser del tipo articulado-empotrado por 10 que la esbeltez i"' aumsrita un 40 por 100 (pasa de 0.51 a 0.71). Para que sisa cumpliendosr la igualdad de estabilidad sn arnbos pldnos, es decir. la igualdad de las esbelteces correspondientes, la esbeltez en el plano .r: debe aunienlar, lo que se conseguiria disr~iúiuyenclola
\'111.13. =

2 x 328

I[l95

+

58.3(2 7

+

6 ) ' ] cm' = 10547.14 cm

l:n pilar de una instalación industrial de 9.80 m de altura está empotrado en su base inferior. y la disposición constructiva de la estructura hace que el eytremo superior pueda moverbe libremente en la dirección de un eje, pero no puede hacerlo en la dirección perpendicular (el giro no está impedido en ninguna dirección). El pilar deberá soportar una carga en punta de 145 k N y estará constituido por 2 UPN de acero A 42. Se pide:

l." Calcular los perfiles U P N a emplear para la construcción del pilar. 2." Dibujar un croquis acotado de la sección del pilar. 3." Hallar el coeficiente de seguridad. Para que la estabilidad en los planos ,ry y .r: sea la misma, se tiene que verificar la igualdad de las esbelteces. Por tanto, igualando i." a :'A

Los datos del acero A 42 son:

E = 2 l."

x 10' M P a ;

a,,,

= 170 MPa;

a, =

260 hIPa

Supongamos la disposición indicada en la Figura VII1.13-a y que el extremo superior del pi1:ir puede moverse libremente en la dirección del eje pero no puede hacerlo c n la dirección del eje y.

:.

de donde se obtiene

2.'

Considerando la carga P como la carga de pandeo admisible, al soporte le correspond e r i un coeficiente w que tendrá que verificar

Para la longitud maxima del soporte, de esta ecuación se deduce Figura VIILI3-a. Según lo indicado en el enunciado, las longitudes de pandeo son: En la Tabla 9.3 a w = 4 le corresponde una esbeltez 1 = 157. Por tanto, igualandc a 157 una de las expresiones de las esbelteces obtenidas anteriormente. se tiene: Aplicaremos el mitodo d e los coeficientes o determinando cl mayor coeficiente w que verifique

oP de donde:

< a,,, .R

para lo cual procederemos p o r túateo. <;.nsideremos dos perfiles U P N 100. En la tabla correspondiente de perfiles laminados U P N se tiene:

542

RESISTENCIA DE MATERIALES

por lo que la esbelleq si el pilar ílexa en el plano .ry, es

Su~tituyendovalores: 13.1'

a la que corresponde un coeficiente w = 5.39. La tensión normal en los pilares es o =

343

FLEXION LATERAL. P A N D E O

5.39 x 145 x loJ Pa 27 x 10-4

=

1 . 5 9 ~+

d1 4

se obtiene d = 26 cni

= 290 MPa

>

o,,,

El croquis acotado de la seccion del pilar se indica en la Figura V111.13-h. en el que se ha tenido en cuenta el valor e = 1.60 cm obtenido de las tablas de perfiles laminados.

Por tanto, al ser este perfil insuficiente. ensayaremos el inmediato superior, es decir. el UPN 120. La esbeltez, en este caso, en el que

seria

a la que corresponde un coeficiente w = 3.96. Por tanto. la tensión en los perfiles que componen el pilar es 6 =

3.96 x 145 x lo3 P a = 169 MPa < a,,, 34 x 1 0 - ~

Los perfiles a emplear son. pues

u UPN 120

Figura VIII.13-b.

2." Estos perfiles sí son válidos. pero para asegurar que la estabilidad del pilar respecto a los planos xy y xz sea la misma es necesario separar los dos perfiles una distancia d entre centros de gravtdad (Fig. VIII.13-a). Esta estabilidad se asegura cuando el plano de pandeo es indeterminado, y esto ocurre cuando las esbelteces son iguales

3." Para calcular el coeficiente de seguridad calcularemos la tensión critica aplicando la fórmula de Euler por ser la esbeltez mayor que l.,,, = 105 o,, =

z2E n2 x 2 x 10' MPa = 87.73 MPa l.l 150'

--

Como ia tensión real a que esti sometida este soporte es

9

de donde se obtiene

el coeficiente de seguridad sera Por la definición de radio de giro y por el teorema de Steiner tenemos

V111.14.

Calcular el soporte BC de la F i p r a V111.14-a formado por dos perfiles UI'N soldados por los extrenios de sus alas. Lus perfiles son de acero A 37 de tensión adniisihle u,.,,,, = 1200 kp/cni2.

FLEXION LATERAL. PANDEO

545

La fuerza norrii:il que aciiia sobre el soporte es igual y contraria a la reacción que corresponde a la viga horizontal A B , apoyada eri la articulacii>ri B. Esta rraccion la obtenemos pur superposici8n: o)

dzbid;i a la c;irga unilorme de p = 1 ton/m actuando a lo largo de toda Is viga

R',, = &, = 5 ton

Aplicarido el segundo teorema de Moh:

se obtiene el momento M, en el empotramiento rCf,

= -6.15 m - ton

La reacción en B es, pues:

de donde: ñ , = 1.15 ton GI

b) debido n la carga P

=

;

R',, = - 1.25 ton

+ R'é

=

RUI + Rek+ Gi + K;,= 5 - 1.25 + 6.4 - 0.768 = 9.382 ton

Este es el esfuerzo normal que actúa sobre el soporte BC, cuya longitud de pandeo, por tratarse de barra empotrado-articulada, es

8 ton

RA, = 1.6 ton

RB =

;

KL, = 6.4 ton

Aplicando el segundo teorenia de Mohr: Ensayemos el pefil más pequeño UPN 80. Las caracteristicas de los dos perfiles son:

R

=

22 cm'

de donde: por lo que la esbeltez del soporte será M, = - 3.84 m . ion R:, =

5> f

= 0.768 ton

; X,, = -0.768 'lon

; i,,

= 3.10 cm

546

F L E X I O N LATERAL. P A N D E O

RESISTENCIA D E MATERIALES

Se deduce la solucioc .iitegral

a la que corresponde un coeficiente w = 2.30 WN= o 0

=.

5.17

2.30 x 9 3 8 2 = a . 22

r = A sen k y

de donde:

+

,

ltf 6 cos ky - --

!ilEI

/

o = 981 kp/cm2 < o,,,

cuyas constantes de integración determinaremos imponiendo las condicioiies de contorno

El soporte BC considerado se construirá, pues, con dos perfiles U P N 8 0 soldados los extremos de sus alas formando una viga cajón. V111.15. Un marco rectangular de nudos rigidos está formado por dos soportei verticales .4B y CD de longitud 2a unidos por dos dinteles AD y BC de longitud a, sustentado y cargado como indica la Figura V111.15-a. Sabiendo que las secciones de soportes y dinteles son iguales. calcular el valor critico de la carga P.

y = O .r =

IM

Al

O = B - 2

.y=O

;

5

P

; x'=O

=.

O=rlk

1Lf

2 (COS rC.2, - 1 ) P

O

3

y

B = c P A = O


a

Figura VIII.15-a. Supondremos que las barras del marco flexan en el plano d e la iigura (plano xy), por lo que el momento de inercia rninimo es I, .= 1. Considerando la cuarta parte del rnatco (Fig. VIII.15-6) los esfuerzos cortantes en las secciones E y F son nulos, por razón de simetría. Por la misma razón es nulo el esfurrzo normal en la sección F. La ley de momentos flectores en EB en la posici8n de equilibrio indiferente es:

I

Figura VIII.15-h.

Se puede expresar rii, en f u ~ c i ó nde la flechafdel sopo;te y de la carga P igualando en B los giros del soporte y del dintel, por tratarse de nudos rigidos. En el soporte: seii ka

La ecuación diferencial de la línea elástica es:

Efx" = -(ME + Px) ; O


,< a

En el dintel, la ley de momentos es i\I = -M,. Tomando momentos respecto de E tenemos

o bien: A"

+ k'x

= --,M,

El

P siendo kr = El

M=

nr,

- Pf

F L E S I O N LATERAL. P A N D E O

Por el pr1rnr.r teorema de h4olir

Finalmeriie. de

I;i

condición ,v = a -J- =

; .r =

-/

--kfi ---(&S ka - 1) 2 sen PCI + ku

se obtiene:

ya que OF = I) Igualiindo ~ n i b a sexpresiones de O,, se tiene:

2 tg k a

Lf,k Pf - i\fE Pf - M, -- sen kri = --- 0 = k'a P 7E1 ZP

+ ka

=

ka = 0.2888 ,\f

-

E -

k Pfa Z se11 ku + ku

O

ecuación trascendente, cuya menor solución de k (Fig. VlIl.15-c) nos determina la carga critica de pandeo

de donde:

'

549

Como

Por tanto. la deformada de E 5 es: se obtiene:

TEORIA DE LA TORSION

551

Diremos que un prisma mecánico está sometido a rorsion sir?ipie cuando el momento en cualquier sección del mismo tiene solamente componente en la direccion del eje .Y. es decir, es nulo el momento flcctor además de anularse los esfuerzos normal y cortante. Si el momento torsor es constante diremos que el prisma mecánico está sonictido a torsiori pura.

Teoría de la torsión

Para la representación d e momentos torsores emplearemos indistintamente flechas curvas, que indican el sentido de giro, en representaciones axonomktricas (Fig. 9.2-b), o una línea perpendicular al eje de la barra con dos círculos en representaciones planas. En uno de ellos se coloca un punto que indica la salida de la flecha curva hacia cl lector, y en el otro un aspa que significa que la flecha curva entra en el plano alejándose del lector (Fig. 9.2-c) n

9.1. Introducción Ya vimos que al realizar un seccionamiento en un prisma mecanico y eliminada una de sus partes (por ejemplo, la parte de la derecha en la Figura 9.1). hemos de considerar en el centro de grabedaci de la sección, para que le parte aislada siga en equilibrio. una fuerza y un par equivalentes a la acción externa que se ejerce sobre la parte eliminada. Fuerza y par que no son otra cosa que la resultante y el momento resultante respecto del centro de gravedad de la sección, de las fuerzas que solicitan a dicha parte eliminada.

Figura 9.2.

El convenio de signos que adoptaremos para el momento torsor es el indicado en la Figura 9.3, en la que se. ha representado una rebanada del prisma mecánico, es decir, la porción de barra comprendida entre dos secciones rectas indelinidamente próximas.

Descompuesta la resultante según los ejes del triedro trirrectángulo definido por la tangente a la línea media y las direcciones principales d e inercia de la sección, obtencrnos una cornponente normal segun el primer eje (que origina e r el prisma un trabajo de r r ~ c c i ó no can~presión)y otra componente en el plano de la sección (que origina el ícnómec:, d e cor~adura).Ambos efectos ya han sido tratados. Por otra parte, descompuesto el momento resultante en estas tres mismas direcciones d a origen a tres componentes: la primera, tangente a la línea media, es llamada r~lo~nenlo forsor; las otras dos, en las direcciones de los ejes principales de inercia de la sección, son los nlornenlosf7ectores, que y a hemos estudiado.

O

O Figura 9.3.

En este c;tpítuio se hará un estudio de la distribución de tensiones y deformaciones que sc producen cn barras rectilincas d c scccibn recta circular sometidas a torsión, que tiene aplicación inmediata ai c5lculo de ejes de transniisión de potencia. Se expondrá la teoría de Saint-Venant para el estudio d e la torsión en barras de sección recta no circular desde

TEORIA DE LA TORSION

el purito de vist;i de 1;i teoria de I:i Elasticidad, y se estudiarin, asiniisrno, las tensiones y dcí'ormaciones que el rnoincnto torsor produce en perliles de sección recta de pequeño cLpcsor, 1:11ito abier~oscomo cerrados.

9.2.

TL'oI.~.! !<.111enta1 de la torsióo en prisriias de seccióii circular :

En la teoria elen1ent:il de la torsión se admite que en un prisnia mecánico sometido a torsiciii pura Iiis jrcsione, ia.;ras permanecen planas y Is deformacibn se reduce, para dos secciones intlrlllnidarnentc prbxinias distantas entre si dv, a una rotación de eje perpendic~iliira las mismas y ingulo d d . Con estas hipótesis de la teoria elemental se consiguen resultados exactos en barras prisrniiticas cuya sección recta sea un circulo o una corona circular.

Considersmoj. pues, iin prisma recto de sección circular constante sometido a un rnoniento torsor A!, conseguido aplicando pares iguales M, y -,\,f, a las secciones extremas, tal como se indica en la Figura 9.4. Sean 2: y 2:' dos secciones rectas muy próximas distantes entre si d , ~ .Si es la porción de una fibra del prisma comprendida entre estas dos secciones, el punto A' pasará - después de la deformación a ocupar la posición A', , tal que /~'C'A',= d b y G'A' = G'A',, en virtud de la segunda hipótesis admitida. El útrgitlo (Ic ~orsioti,4, es el de giro relativo total de los extremos de la barra cilíndrica. El ángulo de torsión por unidad de longitud serael cociente U = rlg/tl.r. Fácilmente se comprende que el giro relativo de una sección respecto de otra indefirj damrnte próxima es constante en el prisma considerado por lo que
Las hélices cilindricas, según sabemos, tiencn la propiedad de que las tangentes trazad3s en cualquiera de sus puntos forman ángulo constante con el eje del cilindro al que pertenecen. Lliimarcmos átr~irloríe hélice de [or.y;ón, al desplazamiento angular de un elemento longitudinal, inicialmente recto en la superficie de una barra cilindrica circular en eLtado tensional neutro. que se vuelve helicoidai después de la torsión. - Para deformaciones pequefías, el arco se confunde con la cuerda CC,, y BC, se puede considerar como un segmento recto. Igualando el valor de CC, en los triángulos CG,C, y CBC,, se obtiene la expresión

c?,

que relaciona el ángulo de torsión con el helicoidal. Lo indicado hasta ahora se refiere al estudio cualitativo de la deformación. El estudio cuantitativo entraña el conocimiento del estado tensional que se crea en el interior dei prisrna al aplicarle el momento M,. En virtud de las hipótesis admitidas, la deformación consiste en un desplazamiento relativo de dos secciones próximas, por lo que las unicas tensiones que actuan sobre una sección recta son terisiones de cortadura, de dirección, para cada punto, perpendicular al segmento que le une con 21 centro del circulo.

(4

Figura 95.

(b)

Consideremos el elemento de barra comprendida entre las secciones E y 1'(Fig. 9.5). El punto A' perteneciente a la sección E' pasa, después de la deformación, a la posición A ; . La fibra AA' ha sufrido una distorsión angular

Y en dondc C es una constante de integración. Este resultado indica que la distancia de cualquier punto del prisnia a un plano lijo arbitrario perpendicular al eje del mismo, es directamente proporcional al ángulo total girado en la deformrición. Como, por otra parte, en la deformación se conservan las distancias al ejc del prisnia, de ambas condiciones Se deduce que la deformada de cualquier fibra del prisma es una hélice cilíndrica. Así, si BC (Fig. 9.4) es una generatriz (fibra periférica) de la barra considerada, después de la deformación producida por el moniento torsor, ésta pasará a ocupar la posición BC,, [al quz BC, es un arco de hélice. , b

553

T

=

AZ?~ rd4

AA'

= d.,.

Si C es el módulo d e elasticidad transversal del material de la barra, la tensión cortante será:

Al ser d~$/d*xde valor constante en toda la barra, resulta que la tensión cortante r e: una funcibn lineal de la distancia al centro de la sección por lo que el espectro tensional para los puntos de un radio G'D', es el representado en la Figura 9.5.

-

554

T E O R I A DE LA TORSION

RESISTENCIA D E MATERIALES

55:

La tensión cortante mixima se presenta en los puntos periféricos de la barra y su valor será:

Si hacemos R = r,,, tratando de buscar una analogia con la teoria de la flexión, es_ expresión se puede poner en la forma:

La distribución de tensiones en la sección del prisma engendra un sistema de fuerzas, de resultante nula, cuyo momento resultante es el momento torsor. Esto nos permite obtener la relación entre la tensión cortante T y el momento M,.

Al segundo miembro, que depende exclusivamente de las características geométricas ( la sección, se le suele llamar módulo resistente a la torsión de la sección. Lo represeritarmos por LV, y sus dimensiones son [ L J 3 . Al primer miembro le llamaremos n~ódirloresistente a la rorsió~ren la sección y ésil dependerá de las solicitaciones que engendran el momento torsor y de la tensión maxima cortadura que puede admitir el material. Deberá cunlplirse pues, que el modulo resistente a la torsión de la sección colocnda se. igual o superior al módulo resistente existente en la sección considerada. Por otra parte, la expresión (9.2-7) nos permite calcular el ángulo de torsión 4:

Figura 9.6.

En la superficie sombreada en la Figura 9.6 la distribución de fuerzas es circunferencial. Si dR es el área de esta superficie, el momento de las fuerzas sobre ellas es:

Considerando toda la superficie, el momento total es, en valor absoluto, igual al momento torsor. P o r tanto:

Una vez realizado el estudio del estado tcnsional en el interior de la barra prismátic, de sección circular, se puede deducir la forma de rotura que se puede presentar en 1. misma, si el material de q c e está hecha no resistiese por igual a tracción y a compresi6 En efecto, según sabemos, las tensiones cortantes correspondientes a dos planos Fer pendiculares entre si son iguales en valor absoluto. Por tanto, las tensiones tangenciales er las secciones transversal y longitudinal a lo largo del radio G'D' presentan un espectro t i como se indica en la Figura 9.7.

siendo Io el momento d e inercia polar de 12 sección circular respecto de su centro. E1 producto GIo recibe el nombre d e rigidezia la torsión. Sustituyendo el valor de G

d4 dado por esta expresión, en la fórmula (9.2-4) de la d~

Figura 9:l.

tensión cortante, se obtiene:

ecuación que relaciona la tensión cortante con el momento torsor. El valor de la tensión cortante máxima es:

Y

Ahora bien, consideremos un elemento de superficie cilíndrica de la barra torsionada limitado por dos generatrices muy próximas y por dos secciones rectas también muy próximas entre si (Fig. 9.8-a). Por lo dicho anteriormente, sobre los lados de esta superfici elemental solamente actúan tensiones tangenciales. El circulo de Mohr ccrrespondiente a este caso (Fig. 9.8-h) indica que las dos direcr ciones principales son las bisectrices d e los ejes de la superficie elementa: considerada Cornp5rcsc con la, igualdad que se obtenía cn la flcxiitn

-1

-3

.

,

1,

=

--. Y".,,

-

556

RESISTENCIA DE I I A T L ' R I A L E S

~ la Figura 9.10. Otros casos turbin;~dc vapor / i a un generador rli.ctrico r e p r e s e r ~ t a den muy corrientes que se presentan en prictica son los irboles que transmiten la potencia del moior de un aiitomóvil al eje de transmisión, o de] árbol que transmite el movimiento dc un iiiotor a uria rnliquina-lierramienta.

(Fig. 9.8-c). Las tensiones principiiles son una de tracción y otra de compresión. Si el material es nienos rssistrrite a la tr;tcc'iAri que a la conipresión y el momento torsor es lo suficientemerite graridr para que la tensión cortante mixiina supere el vzilor de la tensión de rotura a tracción, se producirán grieras norm:iles a I:i dirección de la tracción c,. Las grietas se rnanifes~arán,pues, segun h~liccssobre la superficie de la barra torsionada, formando un ángulo de 45" con el eje de la misma. Este fenómeno ocurriri tanibikn en los puntos interiores del prisnia. pero como los valores riiisinios de la tensión cortante se tienen en la siiperficie exterior del mismo, sera en esta superficie donde primero se manifiesten las grietas (Fig. 9.9).

L.

Figura 9.10.

Si el giro del eje d e la turbina de la Figura 9.10 es el indicado, este ejerce sobre el árbol uri rriorncnto torsor ,CI, que transniite el eje del generador, que a su vez. por el principio de

iicción y reacción, ejerce sobre el extremo del árbol un momento torsor igual y opuesto -,M,. El árbol estari sometido a torsión pura. Nos interesa conocer, en el caso que un irbol o eje esté sometido a torsión simple, la ley de momentos torsores que actuan eri rl eje. con t>i
Figura 9.9.

9.3. Determinación de momentos torsores. Cálculo de ejes dc transmisión de potencia

.

j

Entre las aplicaciones prácticas de la ingeniería es muy frecuente encontrarnos con piezas sonietidas a torsión. Quizis la m i s usual sea la de los arboles de transmisión de potencia. conlo puede ser e[ caso del árbol o eje que transniite el niovirniento de rotación de una

M4

Figura 9.1 1.

TEORIA DE LA TORSION

559

b I

Una sección recta Z divide al prisma en dos partes. ES evidente que el momento torsor sobre la sección Z como perteneciente a la parte de la izquierda es igual a la suma de los momentos de los pares que actúan sobre la parte de la derecha. Podemos, por tanto, obtener analíticamente el momento torsor M, a 10 largo de lodo el prisma en función de la distancia .r desde la sección recta al extremo de la izquierda

Esta función se puede representar gráficamente obteniendose el llamado diagratna de 9.1 1-b). En el prisma indicado en la Figura 9.1 1-a las leyes de momentos torsores serán:

momenros rorsores (Fig.

MT1 = - M , M,, = - M ,

M,,

= -M1

+ M, + M,

-

M,

=

-,M,

; a<.r
Cuando se presenta la necesidad de diseñar un eje, suelen ser datos la potencia N que tiene que transmitir y el numero de revoluciones. Como sabemos, la potencia y el par aplicado al eje (momento torsor) cstán rc!3cien::dc: por la ecuación

o

Figura 9.12.

; O < . r < o

B Si r,,, es la tensiói~máxima admisible a cortadura que admite el material y M,,,, el momento torsor maximo obtenido del diagrania, el módulo resistente lV de la sección sera tal que: MT~J,

(9.3-5)

w.radrn

Ahora bien, el módulo resistente W ticne. para las secciones circular y tubular (Fig. 9.13), los siguientes valores:

eP

e e 6-

Para la sección circular:. siendo w la velocidad angular del eje. En esta ecuación, la potencia N viene dada en k p . m/seg cuando M, se expresa en k p - ni y w en radianes por segundo (rad/seg). C o m o la potencia N suele venir dada en CV y la velocidad de rotación en revoluciones por minuto, la expresión (9.3-2) tomara la forma

de donde podemos despejar el momento torsor M, =

60 x 75 Nm-kp 2nn

=

225 O0ON nn

--- c m . kp

Esta fórmula nos da, por tanto, el momento torsor Al, en función de la potencia N expresada en C V y la velocidad de rotación n expresada en revoluciones por minuto. Por su notable importancia en la práctica, a modo de ejemplo, consideraremos algunos casos particulares de barras de sección circular constante o tubular sometidas a torsión cuando se utilizan como ejes de transmisión de potencia, obteniendo en cada caso el radio o radios correspondientes a partir del diagrama de momentos torsores. Eje sometido a pares aislados (Fig. 9.12) Si se trata d e una barra cilíndrica sometida a pares aislados a lo largo de la longitud de la misma, el diagrama d e momentos torsores seria el indicado en la Figura 9.1?. A partir del diagrama obtendríamos la sección sometida a mayor momento torsor. . . . -.

Figura 9.13.

I

l

Para la seccion anular:

Por tanto, se verificara para la primera sección:

Y

-51.6 einS!g el ua opes!pu! la sa saiosiol s o i u a u o u ap eurci8e!p [a anb 01 ~ o d

:sa 'aiq![ ouraiixa lap r e!suels!p e uo!ssas eun ua J O S ~ O Ioluauiou [a 'pn1!5uo[ ns epoi ap o S ~ e o[ [ e pni!9uol ap pap!un ~ o oruauiour d ap atuJoj!iin ~ c un d e souralauios o[ 'aluauuo!ialue OpEJap!SUO3 gp. a. le opels!e i ~ un d ies!ldc a p zaA ua !S

.p1'6 E ' J ~ ~r?uis!tu A el ua opeJ -!pu! la vias s a i o s ~ o isoluauioui ap s u c ~ 5 c ! pla anb 01 ~ o .di u ~ c qi i ~vpoi iia aiuelsuos sa JOSJO] oiuauiour 13 jy ~ e un d 8 aiqg ouaJixa [a ua opcs!ldc y s a !S .I:~!S!J s o ~ u a ~ p u o d n s anb crg eza!d eun u2 o p ~ ~ l o d u iya o u a ~ l x ans >U?!] anb 1 pni!Ziiol ap g y ala la e a s

( ~ 1 . .S! 6 J) o ~ ) ola ua ~ a dun e op!iauios 1C ouial~xaun ~ o dope~ioduia$3

' I ! ~ U O ~ S J J J anb O ~ JT:[od c!sJ2U! ap O l U ~ l i i O u i [ap i o l c ~la solla ap oun cpcs ua J!ni!isns anb syui u!s sosc3 Soquie c ~ c dCP![I;AU O ! S S J ~ X ~

'so!pr?i sol ap uo!3cu!uiiaiap el e ~ c doiep "p.1

(;A

OJIO

.¿' - f.)

: p p l c ~u y s i o i . ~ polnSriy 13 ~ c oses p oui~ilvaisa u;, o!icsasau n p u a ~ s ll

=

:sci!uSo~u!sop u03 u013en3;i B ~ O SCun S O W ~ U sand ~ I " J - ' J = J ~ o s 3 d ; i1 2 01dru;il;i J0d 'so~pclsol ap uo!scu!iu~a]apel e ~ c doicp oJio JI!!~ O!Ji:Sa~U 5m0":3OLUIII?ali'3 U 3

562

R E S I S T E N C I A DE M A T E R I A L E S

CI-'ICLI [Ll

Para la de~erminacionde los momentos en 10s empotrarnientos es necesario hacer intervenir la deíorrnacion. Fácilmenle se ve que la condicion necesaria la obtencrnos considcrando los ernpotramicntos fijos. ser esto así. cl ingulo de torsibn total dcl eje es riulo. Por t:irito. se vcrificriri:

Las diiiíensiones de 111 scrin ---- = [ F ] , es decir. las mismas que una íucrza. En el sistema técnico vendri expresado en kp. El diagrama nos indica que la sección sornctida al momento torsor rnixirno (rnriximo absoluto) es la correspondien[e al extremo empotrado. El radio mínimo necesario para resistir este momento se obtendria de:

siendo iCt,, y

Para una secciori circula::

.\/,!,

los rnornentos torsores en los intervalos [O. l , ] y [l,. l] respectivamente /L/

,, = ,L/.,

M,,

=

,M, - iLf = -lb/,

para para

O < . i < l ,

1, <

.Y

< 1

es decir,

y para una sección anular

El ángulo de torsión sera:

El sistema formado por las ecuaciones (9.3-21) y (9.3-23) resuelve el problema:

que como se ve es igual al valor del área del diagrama d e momentos torsores dividido por la rigidez a la torsión. Eje empotrado en sus extremos sometido a un par aislado (Fig. 9.16) Es este un caso de torsion hiperestática En efecto, sea el eje AB d e longitud /. Si en la sección d e centro C situada a distancia 1, del extremo A se aplica un par de momento M aparecerán en los extremos empotrados unos momentos que l!amaremos /M,y Al,. Por tratarse de pares, la resultante es nula, con lo que las ecuaciones de la Estática se reducen a una sola: =O

M = MA + M,

-

El resultado nos indica que el máximo momento torsor se presenta en la seccion del empotramiento más próxima al par A4. Este momento máximo es el que interviene para el cálculo del eje, que se haria de forma exactamente igual a como se ha indicado en los casos anteriores.

1

Eje empotrado en sus extremos sometido a un par de torribn uniforme (Fig. 9.17)

(9.3-71)

2-

-

f" -

Figura 9.16

'

. . -- ,

-2

Figura 9.17.

TEOKIA [)E LA TORSION

EII el caso d s Joblc. erii[>oir:iiiiicnro.\i III es el niorncriio torsor por unidad de lorigitiid largo del eje. e1 nionieriro torsor eii un:i seccibri :I distaiiciri .( ddcl extrerno A es:

.u,.=

,\l.,

:i

565

lo

(9.3-25)

- !Ir.\-

jicrido .\l.,cl inornc.rito rorsor crl Iii ~ccci0n~lclcxircrilo .-I dcbido a1 ernpotramiento. En este c;i';o. 31 3c.r los rnoiiicntos cii los c,xtrcnios igu:ilcs, por razóii de simetria. el problzrnri es i ~ o j t i t i c o .

'\f

=

Al,

+

Al8 = ?.\f.,

=

ltll

dr donde:

1

Figura 9.18.

Sustituyendo

(111

T

(N

por su expresión (9.2-8). se tiene:

El di:i_rramn de niomriitos torsores seri lineal. Según se ve, para .r = (í2 el momento torsor es nulo. Por t;iiito. el ánsulo 2ir;ido por la seccion media respecto a una de las seccicines extremas szrii: El puteiicial interno del prisma se obtendrá inregrando a lo largo del eje del mismo:

El momento torsor iiiiixiiiio se prsjenta en las seccioiies extremas:

I 9.5. Torsión en prismas mccinicos rectos de sección no circular

y ;sic es el valor quc nos permitirá diniensionar el eje.

9.4.

Expresión del potencial interrio de un prisma mecánico sonietido a torsión pura

Ds ;a expuesto en el epigrafe 9.7 se deduce que sobre las caras del entorno aemental dc un punto interior de un prisma mecánico de sección circular sometido a torsion pura, ac:Úan las tensiones indicadas en la Figura 9.18-c. Par.\ obtener la expresión del potencial interno podemos aplicar la fór-ala (1.15-5) que nos d a este en función de las coniponentes de la matriz de tensiones, en la que a,, = any= a,,: = T y : = 0. El ~ o t e n c i a linterno de la porción de prisma comprendido entre dos secciones rectas indefinidamente próximas, separadas A, será:

estando extendida la integral a la sección recta del prisma.

!

i

Si sometemos una barra cilíndrica de sección no circular a unos pares en los extremos de !a misma, que producen un momento torsor constante en todas sus secciones, se comprueba experimentalmente que las secciones rectas (planas antes de la torsión) no se mantienen planas despuis de la deformación, sino que se alabean. Soitrr Vrriniir demostró en 1853 que este alabeo es provocado por el aumento de las tensiones tangenciales en unas partes de la sección y por la disminución en otras, comparadas con 1:is que le corresponderían si se cozservaran las secciones planas, como ocurre eri el caso de piezas prismáticas de sección circular. Que las secciones planas no se conservan en caso de sección no circular se puedr comprobar experimentalmente de una forma fácil, sometiendo a torsión una pieza prisniitica de goma de sección cuadrada en la que previamente se ha dibujado una reticula (Fic. 9.19-0) coincidiendo con lados d e secciones rectab y líneas paralelas al eje de la pieza. Se coniprueba que después de la deforniación las secciones rectas, inicialmente planas, sufren uri cierto alabeo (Fic. 9.19-6). Consideremos el elemento de esquina de una sección recta d e la barra de sección rectangiilar sometida a torsión indicada en la Figura 9.20-a. Si sobre la cara d e este elemento, perteneciente a la sección recta, existiera la tensión tangencia1 r, esta tensión se podría dcscomponer en dos componentes paraleles a los bordes de la barra. P o r ci teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales, a estas componentes les corresponderian tensiones cortantes que actuarían en los planos de las superficies exteriores. Como

la teoria de la Elasticidad, considerando que la distorsión de un ángulo recto. uno de e cuyos lados coincide con una fibra del prisma. es debida no solamente a la rotación 6relativa de dos scccioncs muy próximas, sino t;imbii.n al alabeo de las misnias. Expondrcnios a continuaci0ri la rroriu de s ~ r i ~ i lk'c'rr<~~~( referente a la torsiori, en la que se admiten las siguientes hipótesis: W-

*

l."

lE".?

Figura 9.19.

esto no es posible, ya que estas superficies están libres de todo esfuerzo, se deduce que T debe ser nula. También se obtiene experimentalmente que para una pieza prismática de seccion no circular, por ejemplo elíptica, la tensión de cortadura toma sus valores máxirnos en los extremos del eje menor, o sea, en los puntos del contorno más cercanos al eje de la pieza. Para una seccion rectangular, mediante un estudio teórico, siguiendo los métodos de la teoria de la Elasticidad. se llega a obtener la distribución de tensiones tangenciales indicadas en la Figura 9.20-b. Estos resultados, comprobados experimentalmente. nos indican que las tensiones máximas r,,, se presentan en los puntos del contorno más cercanos al centro de la sección, mientras que las tensiones se anulan en los vértices del rectángulo, que son los puntos más alejados del centro.

-

T .

1

b

-

I Figura 9.20.

a

-1 (4

Esto está en contradicción con las hipótesis admitidas en la teoria elemental que, de ser generalizable a secciones cualesquiera, seria condición necesaria aunque no suficiente, que la tensión máxima d e cortadura se presentara en los puntos más alejados dcl eje y nunca en los más cercanos. ES por ello nccesaric abandonar la teoria elemental cuando las secciones de las picws prismáticas no son circulares. En estos casos calcular la distribución tensional cn el interior del prisma es un problema que solamente se resuelve d e forma rigurosa aplicando r

e

En virtud de la primera hipótesis de ser el alabeo el mismo para todas las secciones, la componente u del vector corrimiento b de un punto de una sección de abscisa .Y (Fig. 9.21-a) será independiente de .Y. Por tanto, si llamamos iI, a la /icricióri de uluheo, Cpodemos poner: CI

(b)

(0)

e e=

La delormación de cualquier sección recta es un giro alrededor de un punto O aconipañado de un alabeo que es igual para todas las secciones. ingulo 3 girado por unidad de longitud es constante.

Id

Figura 9.21.

=

e

(9.5- 1)

3$(?., ):

P-

k-4

P o r otra parte, las otras dos componentes ángulo girado por unidad de longitud, serin:

11

y

11..

teniendo en cuenta la constancia del

ti

b

-

v = - p 3 x cos a = - 3.r: ti. = p3s sen a = 3s.r

Conocidas las componentes del vector corrimiento. la obtención de las componentes dc la matriz de de1orrnacii.n es inniediata

'

/\ partir de k i a ,

ob[ic~icla nl;l[riL ~ 1 ct c r ~ ~ i o r ~;ipIic;i~~do cs las ccu;i~ionesde Larné.

Podemos cornprob:ir que la solución obtenida verifica todas las condiciones que requiere la solución del problcrn~elistico. Eri cfccto. las ecuiiciones de equilibrio interno se reducen a las siguientes: Figura 9.22.

es decir: Las dos úItini:is se vrrihc~nidéritic:imentc. yii que tanto r,, como r,, no dependen de En cuarito a la primera ecuación, también se cumple si se considera una función de tensiones (DI?., 1) t:11 que: Trv

=

¿ID

---

;

Txz

0':

=

,T

sen a

+

r,= cos a = O

Como

511) 2.v

Podeiiios ver I t i condicibn que time que cuniplir esta función de tensiones eliminando la función de alabeo I) entre las rcuaciones que resultan de sustituir en (9.56) las expresionss de r, y T,: d;id:~s por 12 matriz de tensioiles

teniendo en cuenta (9.5-6), resulta:

Este resultado nos dice que la función de tensiones U) es independiente de 13 absrisn curvilinea S en el contorno de la sección. por lo que liii de tener un valor conhtante +:i todos los puntos del mismo. Derivando la priniera ecuación respecto a niiembro a niiembro, se tiene:

2,

la segunda respecto a y. y sumando

d

es decir, la función de tensiones es tal que su laplaciana es constante e igual a -2G9. Que la matriz de deformación, cuyas coniponentes vienen dadas por las ecuaciones (9.5-3), verifican las condiciones de compatibilidad es evidente, ya que hemos partido de la solución de corrimientos. En ciiarito a las condiciones de contorno, por ser éste libre (Fig. 9.22), se habrá de verificrir:

O

T,, d

O

cos n

Figura 9.23.

1

Finalmente. comprobemos que en cualquier sección recta la resultante de las fueii.:. engendradas por las tensiones tangenciales T,, y T, es nula, así como que el rnornerl:~. resultante respecto de O de dichas luerzias es igual al momento torsor M,.

Ci

TEORIA DE LA TORSION

En efecto, las componentes de la resultante son:

571

Veamos otra rclación de intercs entre la tcr15ión taii-cnci;il F y la funcióii de tensiones d). La tensión F se puede expresar asi: A

=

T

J

+ /

-

¿cD i

T-

Por otra parte. el momento ha de verificar:

¿Q> .

¿y

L.:

/i =

- . ;.Y

grad (D

(9.5-1 1 )

Ahora bicn, la función (D rcprcsenta una superficie o. mejor diclio, un casqucte de superficie quc sc apoya en el contorno de la sección, ya que <1, se anula en el citado contorno. Si cortamos el casquete por planos paralelos al plano de la sección se obtienen una serie de curvas que no son otra cosa que las lineas de nivel del campo escalar O = O(!., ): (Fig. 9.25).

Tntegremos por partes estas dos ultimas integrales teniendo en cuenta que si se trata de secciones que sean recintos simplernente conexos la función
Sustituyendo en (9.5-9). se obtiene:

1

Figura 9.25.

C o m o el gradiente de la función O es, en cualquier punto P de la sección, perpendicular a la linca de nivel que pasa por él, y la tensión tangencia1 viene dada por (9.5-1 l), F resulta ser tangente a dicha curva de nivel. En cuanto al módulo de T, de la misma ecuación (9.5-1 1) se desprende:

r

Los resultados anteriorec nos indican que es necesario que la laplaciana de la función de tensiones O, que nos resuelve el problema elástico de la torsión, sea constante en todos IVS puntos d e la sección recta, y que el valor que toma dicha función en los puntos del contorno es también igual a una constante, que puede ser elegida arbitrariamente.

=

1i.r grad


=

Iprsd O/ =

duJ rir 1

es decir, el módulo de la tensión !angcncial en un puntc cualquiera de la sección es igual a la derivada de la funciin 0 en la dirección normal a la linea de nivel que pasa por él. De lo anterior :e deduce que dibujadas en el plano de la sección las curvas de nivel de la [unción dc tensiones. la tensión tanrencial creada en un determinado punto P por un momento torsor es tangente a la curva de nivel que pasa por t.1 y su módulo será tanto mayor cuanto más próximas se encuentren enire si las lineas de nivel. Veamos, corno aplicación de lo expticsto. c0mo podriamos resolver el cálculo de la distribución dc tensiones en ci ca,o dc sección recta cuja ecuación arialitica de la curva de su contorno fuera d e la forma:

4

TEOKIA DE 1.A TOKSION

TIIIII 9.1. Valores 13 tensi j n mixinla de cortadura y anplos de torsión en prismas niccinicos de srcción no circular

y tal quc su I~placi~iri;~ íucr;i c
E n tal C:ISO. c011iproh~111i<>i 1 1 1 1 ~cu;ilqu~crfurición del iipo

Angulo de torsión por unidad de longitud

Tensión rnhxima de cortadura

SecciSn

TRIANCULO EQUILATERO

1

CUADRADO

I

bicrido C' una constanre. puede ser tornada como furición de tcnsiones que nos resuelve el problema eli5tico de I,i torciOri. En efecto, la I'unci6n (D sc ,iiiul:i en los puntos del contorno. en virtud de (9.5-13)

La constante C se determina teniendo en cuenta la ecuación (9.5-10) que relaciona @ y el moniento torsor .l/,

I

1 Obtenida esta constante, el valor 3 del angulo girado por unidad d e longitud, en virtud de (9.5-7), será:

1

FLEJE

,

1

I

Para los valores de

y j3 véase Tabla 9.2

31i1

de donde:

Al punto O, Jrededor del cual gira una sección respecto a la indefi:iid,imente prAxirr.a se denomina cetrrro cle rorsióti. Es evidente que si la seccion admite dos ejes de simetría, el centro d e torsión coincide con el centro de gravedad. En la Tabla 9.1 figuran las tensiones máximas de cortadura y ángulos de torsión por unidad de longitud, correspondientes a las secciones más usuales dc prismas mecánicos sometidos a un momento torsor constante M,. En el caso de sección rectangular la tensiirn máxima d e cortadura y el ángulo de torsión se expresan en función de los parámetros 2 y fi que varían con la rel~ciónalh Y cuyos valores se recogen en la Tabla 9.2.

573

1

ELIPSE

I

T U 8 0 RECTANGULAR

1

16MT nab2

O = 16(a1 + b l ) M T Gnu'b'

574

RESISTENCIA DE MATERIALES

Tabla 9.2.

Valores de r y /J para secciones rectangulares

De la Tabla 9.2 se deduce que cuando la relación a / b es muy grande, alh > 10, como es el caso de los flejes, ambos coeficientes son iguales y su valor común es 1/3.

9.6. Estudio esperirnental de la torsión por la analogía de la membrana

Veamos ahora cuál es la ecuación de la superficie de equilibrio de una membrana dclgada. por ejemplo una pelicula de jabón. colocada en cl contorno plano dc la scccion de un tubo de pnrcdcs indcíinidamcnte delgadas de la misrlia forma que la scccion quc se estudiii. cuando se provoca cn el interior dc cstc tubo lirnitado por la rncnibrana una preiión unirorrne p. La superíicie de equilibrio de esta será de la forma

La perfecta flexibilidad de la membrana nos permite asegurar que ésta no puede estar sometida a esfuerzos de flexión, por lo que las tensiones que actúan en los lados que limitan un elcmcnto dc superficie de la deformada de la membrana han dc estar contenidas en el plano tarigerite (Fig. 9.27-b).

La resolución matemática del problema elástico en un prisma mecánico sometido a torsión puede presentar cierta dificultad, especialmente si la sección carece de simetria. Para estos casos. el análisis de las tensiones cortantes en la sección se realiza expcrimentalnicnte. El método empírico que más se aplica es el conocido con el nombre de nrrulogía de Fue presentado por el ingeniero y cientirico alemán L. Pra~idtlen el año la rne~~ibruna. 1903, y se basa en la semejanza de la ecuación de la superficie de equilibrio de una membrana sometida a presión en una cara. con la ecuación diferencial de la función de tensiones en problemas de torsión. En efecto. consideremos un prisma mecánico sometido a torsión pura (Fig. 9.26). En el epígrafe anterior hemos visto que la función d e tensiones ú> en torsión iiene que verificar las siguientes condiciones:

en los puntos d e la sección, y

Figura 9.27.

Y

en los puntos del contorno. Si la membrana no soporta momentos flectores, tampoco podrá resistir esfuerzos cortantes. Del circulo de hlohr se deduce que las tensiones normales a en los lados del elemento que rodee a un punto O iian de ser iguales en cualquier dirección. Si en el punto O tomamos una terna de vectores unitarios trirrectangulares (Ti, 11); los dos primeros en el plano tangente a la superficie deformada de la membrana en el punto O y de direcciones las de los Iridos de la superficie clcmental; el !Trcero en dirección d e la normal exterior. las tensiones por u ~ i d a dde longitud dcl contorrio* serán las indicadas en la Figura 9.274.

Se supone la rncnibrana muy liria. de espesor constante.

Sobre (1 slcnieriiu coiisidcr~ido;iccu:irrin l;is fiic.rz:is dc.bid;ib a est:is icnsioiies iideniiis de la producid~ipor la presibn uniforme p, de valor

i

1

Vemos que esta ecuación diferencial de la superficie deformada de la nieinbrlina tiene IapiAciana constante A.r =

Pl;inic.ciiiclo, piic\. el equilibl.i~)d r fuerz;is sobre e1 rleint.nto superticiiil, se tirne:

P = constante

--

u

y, ridernlis, se verifica en el contorno

Ahor;i

I,itri.

conio

o es

soiistante y por las f6rniulas de Frenet

sierido p , . 1): los radios de curvatura de 105 arcos (/', y (/.s2, respectivamente, sustituyendo en (9.6-4) y dividiendo por G (/S, 1 1 . ~ ~SL' . tiene:

ya quc la función .r se anula en todos los puntos del mismo. La ecuación diferencial de la superficie de la membrana s = f ( y , 1) presenta, pues, analogia íormnl con la función de tensiones @ en torsión. La relación entre ariibiis se puede obtener dividiendo las expresiones (9.6-1) y (9.6-8)

2GU

Como -- es constante, de esta expresión se deduce P~U

Como las expresiorics de las curvaturas de los arcos que limitan el elemento superficial coiisider:ido son:

D e todo lo expuesto se desprende que la simple observación de la forma de la membrana permite deducir importantes relaciones cualitativas acerca de la distribución de tensiones tangenciales en una sección debidas a la acción de un moniento torsor. Puesto que

si suponemos que Iii presión 1, es 1i1 suficiente para no pravocar tina gran deforniación de Iii membrana. podenios despreciar los valores de las derivadas d e .r respecto de y, y de -' frente a la ~ i n i d ~ icn d los denomin:idorcs de las ¿interiores expresiones, quedando

las tt.risiones tangenci:iles rXy y r,, son proporcionales a las pendientes de las curvas que se obtierien al cortar la membrana por planos paralelos a los coordenados .Y? y .ry respeciivamente. Vimos también que el vector tangencial T en un punto de la sección es tangente a Iü línea d e nivel del campo escalar O = O(): ): que pasa por dicho punto. Por consiguiente, la tensi6n tangencia1 T sera tangente a la línea d e nivel del campo escalar .r = f(y, z ) que define la configuración de equilibrio de la membrana. Además, el módulo d e la tensión tangencial total en un punto también resulta ser proporcional a la pendiente máxima de la membrana en el punto considerado

Siistiiiiyendo en (9.6-6), se tiene:

Por tanto, la tensión tangencial será tanto mayor cuanto m i s Ce--arias estén las lineas de nivel del campo escalar .Y = /(y. 1)que define la superficie de la membrana. Según esto. en una elipse, en la que las curvas de nivel son del tipo indicado en la Figura 9.28, la tensión tangencia1 máxima se presentari en los extremos de los serniejes menores, que son los puntos del contorno más cercanos al ccntro. 1'

es el cociente entre el momento torsor :\f, y el módulo de torsión GI,, segun se deduce de (9.2-l 1)

en una barra de seccion no circular. o en un perfil delgado, el anyulo de torsión por unidad dc longitud se suele expresar en la forma ,Cí GJ

H = T

Figura

Resumiendo. cuando sea necesario estudiar la distribución de tensiones en una barra rectilinea de sección no circular, independientemente de la forma de la sección. el problema de la torsión de la barra se puede resolver mediante la analogia dc la membrana. Dicho método consiste en obtener experimentalmente la superficie de equilibrio de una membrana estirada sobre un contorno de la misma configuración que la sección recta de la barra y solicitada por una presión uniforme. La simple observación de la membrana deformada nos da la siguiente información: 1."

La tensión cortante en un punto de la barra en estudio es proporcional a la pendiente en el punto correspondiente de la membrana estirada. 2." La dirección d e la tensión cortante en un punto es perpendicular a la linea de máxima pendiente de la membrana en ese punto. 3." El volumen encerrado por la membrana es proporcional al momento torsor que resiste la sección.

ca

9.7. Torsión de perfiles delgados

;

En construcciones mecánicas se presenta con frecucncia la n~cesidadde micular barras de paredes delgadas sometidas a torsión. Diremos que un prisma m ~ c i z i c oo barri es un perfil delgado cuando el espesor que presenta su sección recta es muy pequeño en comparación con las otras dimensiones lineales de la misma. En epígrafes anteriores hemos visto cómo para dcterminar la distribución de tensiones tangenciales en barras de sección recta no circular ha sido necesario utilizar los métodos matemáticos de la teoria d e la Elasticidad, y ya se comprende la complejidad del problcma cuando la sección carezca d e simetrías. Sin embargo, n o es este el caso d e pcrfilcs dc pared delgada, en los que mediante ciertas hipótesis simplificativas es posible dcterminar de forma bastante sencilla la distribución de tensiones con suEciente aproximación para nuestros propósitos. Así como en una barra d e sección circular el ángulo de torsión por unidad dc longitud

en donde J es el tnódiilo de ~ o r s i á ny el producto G J se denomina rigidez a lo lorsiótl. Los perfiles delgados admiten una clasificacion, seguri la forma de la sección recta, que podemos resumir en el siguiente cuadro. (sin ramificar

Cperliies cerr En todos ellos Il:imarcmos Iitlca tlrc
Per3Ics abiertos sin raniijicar

(Fig. 9.29-0)

Figura 9.29.

1

TEORIA DE LA TORSION

Coiisidcreriios el pcrlil delp;ido cuy:i sección es I:i indicada en la Figura 9.29-u sometido a torsión. Si eri la scccii)ri recta dc iin tubo de paredes iridcliriitl:iniente dclg;idas, de la forma de este perfil, coloc:imos uii:i menibrann y aplic:inios una presión uniforme p. como henios iridiccido sn el spisrarc .inicrior, I;i intersecci0ii de la membrana deformada con un plano perpendicular a la línea iiieiiiii es una paribola (Fig. 9.30-0). Esto nos indica que la tensión tnnfencial. que es proporciorisl a la pendiente a la curva deformada, es una función lineal cuyos valores mixinios se presentan en los puntos psriféricos de la sección recta del perfil y se anula en la linc:i mcdia (Fig. 9.30-6).

581

generatrices paralelas a la línea media. Existen, [lo obstante, puntos en 10s cuales no Se da esta circunstancia. cc,.:io son 10s puntos de ramificación y los extremos libres de cada uno de 10s tramos que forman la sección. Prescindiendo de las perturbaciones que esos puntos produce11 en la deformación de la membrana, podemos considerar la sección del perfil como formada por 11 tramos rectangulares de espesores ri y loiigitudes si. Como suponeS.

mos que se verifica la condición de fleje, 2 > 10, es aplicable a cada una de sus partes las e; Iormulas dadas por la Tabla 9.1 de la tensión tangencial mixima y del ángulo de torsión por unidad de longitud

en donde ,M;., es el momento torsor que absorbe la parte de sección rectangular. Conio 21 momento torsor 'L/, en la sección es igual a la suma de todos los lb./;, y el ingulo de torsión es el niismo para todas las porciones rectangulares del perfil conipuesto, de esta expresión se deduce:

La aplicrición de la analogia de la membrana nos hace ver también que la deformación del perfil delgado y. por consizuienre. las tensiories cortantes en todo 21, apenas dependen de la curvatura del contorno de la seccion rect:i. Quiere esto decir que los resultados, para iin perfil como el representado en la Figura 9.29-0, son los mismos si consideramos recto el contorno de su sección recta, es decir, que a erectos de calciilar los valores de la tensión tiinzencial máxima r,,,, y el ángulo de torsión por unidad de longitud O es equivalente considerar un perfil cuya sección sea rectangular de espesor e y longitud s. Por tanto, podemos aplicar las fórmulas de la Tabla 9.1 para sección rectangular S

cuando se verifica - > 10, en la que los coeficientes u y P

p toman ambos el valor de 1/3.

La tension tangeiicial niixiiiia en el perfil delgado, cuya sección recta tiene espesor e comtante y cuya línea media tieiie una longitud s es

y de aqui:

expresión que nos d a el valor del ángulo de torsión por unidad de longitud en función del momento torsor y de las características geométricas de la sección. Veamos ahora cuál es la expresión de la tensión tangencial máxima en el tramo i en entre las dos ecuaciones (9.7-3). y teniendo en función del espesor e,. Eliminando cuenta (9.7-5). se tiene:

En este caso, el ángulo de torsión por unidad de longitud del perfil será Se deduce que el máximo valor absoluto de la tensión tangencial en la sección del perfil se presenta en PI tramo de espesor inhximo, por :o que es cspernble que cuando numentamos el valor del momento torsor M, el perfil rcmpa por el tramo m i s grueso y n o por el más delgado. como podría dictarnos la intuición.

b)

Per/iI~,sabiertos ratriijícados

(Fig. 9.294)

Consideremos ahora un perfil de pequeño espesor abierto ramificado conio el indicado en la Figura 9.29-h. El que sea ramiricrido impide que el perfil pueda ser enderezado par que la sección se transforme en un rectángulo. Si aplicamos la analogía de la membrana, obscrvrimos que I:i deforniadii de 13 membrana está formada por superficies cilíndricas de

c)

PerJIes delgados ccrrahs de una sola célula

Consideremos ahora un perfil delgado cuya sección recta sea cerrada de una sola célula (Fig. 9.31-0). En este tipo de secciones es necesario hacer una observación respecto a la aplicación de la analogía de la membrana.

b

ti

t 1

La condicióri de equilibrio dc este prisma elemental cxigc que la proyección dc las fuerzas que actúan sobre el mismo en la dirección del eje del perfil, ha de ser nula

t C: 6 '

t_' de donde se dcduce, al hzibcr tomado los puntos 1 y 2 de forma totalmente arbitraria, que (

(b) Figura 931.

Si aplicamos la membrana como se indica en la Figura 9.31-0. la aplicación de la analogía de esta manera presenta la dificultad de no verificar la deformada la condición

= re = constante

(9.7-7)

Esto indica que el flujo de cortadura / = re se m;intiene consianic a lo 1;irgo de todo el contorno cerrado, presentandose la tensión tangencia1 máxima en los puntos de espesor mínimo. Para calcular el valor de la tensión tangencial r veamos cual es la expresión del momento torsor en función de ésta. Como el momento es independiente del punto (por tratarse de torsión pura) tomarcrnos un punto O arbitrario (Fig. 9.33)

6 ' O-'

F

*

eP" 9

P

F en todos los puntos del contorno interior c,, aunque se verifique en el contorno exterior r , , y se verifique también la otra condición

siendo

;' la

línea media del contorno del perfil.

F

e-

Ax = constante

siendo x = .u(): ): la ecuación de la deformada de la membrana. Por eso la analogía de la membrana descrita para perfiles abiertos se modifica en el caso de perliles cerrados mediante el artificio indicado en la Figura 9.31b. Se cubre el hueco limitado por el contorno c, con una placa plana perfectamente rigida unida a la membrana, de superficie igual a la limitada por c , y c,, de tal forma que al aplicar la presión p la placa se mueve paralelamente a sí misma. De la observación de la deformada, utilizando el artificio descrito, se deduce que en los perfiles delgados de una sola célula sometidos a torsión, la distribución de tensiones tangencio!es a lo largo del segmento perpendicular a la línea media del perfil, es aproximadamente uniforme {Fig. 9.3 1-c). Según esto, sean r, y s, las tensiones tangentiales en los puntos 1 y 2 (Fig. 9.32), en 10s que el perfil presenta espesores e, y e, respectivamente. Sobre las caras de un prisma elemental (representado en la misma figura) paralelas al eje dei perfil, ectúan tensiones rasantes, iguales a las tangenciales que actúan sobre las caras contenidas en pianos normales al eje del perfil, en virtud de la propiedad de reciprocidad de las tensiones tangenciales. .. -,

F '

€ O

4

t 4

C. 6. Ahora bien:

C L 4b 4 *

es el doble del árca R* delimitada por la línea media y. Por tanto, el valor de la tensión deducida en (9.7-8) es:

6%

e 4

c. t expresión que sc denomina for~irulacle Bred! y que nos da la tensibn tangencia1 en los puntos de la sección recta dc un perfil delgado cerrado. de una sola cElula, sometido a torsión.

4

* t

Si 21 e s p e ~ o res variable. I:I tensibn tangencia1 mixima se presentriri en los pun!os del >cglnsnto corrrspondicn~eal minimo espesor.

Para el ciilculo tltl ingulo ds torsión por unidad de longitud 0, consideremos la t ~ p r c s i o ndel potr.nci:il interno de una rebanada de perlil liniitada por dos secciones rectas jeparadas unii distancia (/.Y

1

Il,.,

1,I

(a)

Figura 934.

Para el perfil de longitud l. el potencial interno seri

v

como r e

=

\1

32'

se obtiene

Iri

ecunción de continuidad del flujo

esta expresión toma la fornin

El valor de la integral que aquí aparece depende de cónio varie el espesor a lo largo del contorno ;l, es decir. es una caracteristica geomitrica de la sección. Por otra piirte, podemos expresar el potencial interno en función del momento torsor ,\I, y del á n ~ i i l ode torsión 4 = 81, ya que O es el i n g ~ i l ode torsión por unidad de longitud

Ig~ialandolas expresiones (9.7-13) y (9.7-14). se obtiene finalmente:

d)

comtin a las celdillas i y j. Realizando el corte alrededor del nudo indicado en la Figurri 9.34 y planteando el equilibrio en la dirección longitudinal del perfil

que nos permite obtener los flujos de cortadura en las paredes entre celdillas. En una sección cerrada como la indicada, son incógnitas los flujos de cortadura t , , r z , ..., r, en las paredes superior e inferior, pues los flujos d e cortadura en las paredes intercelulares están determinados en función de éstos, en virtud d e (9.7-17). C o m o la unica ecuación de la Estática es la que expresa la quivalencia entre el momento torsor M, y los flujos cortantes de la sección

siendo R: e1 irea encerrada por la línea media de la celdilla i, el problema es d e grado de hiperestaticidad 11 - 1. P o r tanto, para pcder calcular los flujos d e cortadura se necesitan ti - 1 ecuaciones complementarias, que se tienen que obtener considerando la deformación d e la sección r e c t ~ . Se obtiener! estas n - 1 ecuaciones expresando la condición d e girar todas las celdillas el mismo angulo de torsión pvr unidad del longitud.

Perji;Lr d~,lgadoscerrados de 11arias células

Consideremos ahora un perfi! cerrado cuya sección es multicelular, como el indicado en la Figura 9.34-0. Cada célula es un perfil cerrado, por lo que el flujo de cortadura r = re es constante en cualquier segniento perpendicular a la linea media de la sección recta. Llamemos t i al flujo de cortadura eri las paredes que rodeap a In celdilla i, y t i j el flujo de cortadura en la pared

En un perfil cerrado. el ángulo d e torsión dado por (9.7-15) se puede expresar en función del flujo de cortadura

586

RESISTENCIADE MATERIALES

Aplicando esta expresión a la celdilla i (Fig. 9.35) d e línea media 7, se ticne

de dondc:

Ahora bien, el momento torsor ,\í, estj relacionado con la r,,, resistente

por r n c d ~ odel módulo

Si T,~,,, viene expresada en kp/cm2, R vendrá dado en cm. Igualando las dos ultimas expresiones

' i - l.,

El sistema d e ecuaciones f o r m a d o p o r la ecuacion (9.7-18) y las n - 1 (9.7-19) permite o b t e n e r los flujos d e c o r t a d u r a t , , r,, ..., t,. U n a vez obtenidos estos, se determina el valor del á n g u l o d e torsión p o r unidad d e longitudinal aplicando (9.7-21).

de donde

Apliquemos este resultado al arbol de la Figura 1X.I-a. De la relacion:

EJERCICIOS IX.1.

Dirnensionar un eje cuyo esquema es el indicado en la Figura IX.l-a, sabiendo que las poleas A y C son matrices, de potencias N, = 3 CV y N, = 6 CV respectivamente y que las B y D, mediante correas accionan una fresadora y un torno, de potencias N? = 4 C V y N, = 5 CV respectivamente. La velocidad angular del eje es n = 200 rpm y la tinsi6n mhxima admisible T., = 700 kp/cm2. Se supondrh que existe el número de apoyos, de rozamiento despreciable, necesarios para no considerar el efecto del momento ílector.

resulta que la potencia que transmite el eje es proporcional a1 momento torsor Haciendo n = 200 rpm. queda:

M -

22S0 Nrn.kp=358.25Ncm.kp - 3.14 x 2000

de donde se deduce el diagrama de momentos torsores en la Figura 1X.I.-b.

Figura IX.l-a.

.

1

La potencia transmitida por una polea es igual al producto del momento ,Mr por la velocidad angular o

cn donde N es la potencia en CV, M, viene expresada cn m . k p y o en radianeslseg. .:: . Si la velocidad angular se expresa en rpm Figura 1S.I-h.

358.25 c m . kp

[II riioni~r~iii iOr\or rii;i~rriiocn v.ilor absoliiro ,\/, .,,, = 1791.25 ciii - kp correspond~3 la purcion de eje C'D qiic tiene qiic ir;~nsniiiiruiia poteiicia :V = 5 CV. Sustituyerido este valor sri la formula que <,r 113oblcriido anleriormenie. se tiene:

i( =

35.72

Ji 200

j x 700

cm = l.? cni

es dtcir. el diinietro riiiriirno qiie tiene que tener el eje para transmitir las poterisias indic~idases

IS.2.

Cn eje debe trinsniitir una potencia de ,Y = 700 C\' a n = 180 rprn. Sabiendo que las condicionec de t r ~ b a j ode uri eje que transmite potencia son que el hiigulo de torsión no debe ser wpcrior a un ~ r a d oeri un^ longiiud de 15 seces el diimetro. y que la tensión admisible es rrdm = 600 Lplcrn', se pide: 1." Determinar la tensión cortante máxinia. 2." Calcular el diánietro mininio del eje.

El módulo de elasticidad transrersal es G = 800 000 kp/cm2. l."

IX.3.

Vt.arno.s cuil es el niomento tursor m á i m o 3 que puede estar sometido el eje para qiie verifique simuli3iic:iri~cntr las condiciones de trabnjo indicadas. De la ecuación (9.2-1 1) se deduce para la primera condicion: 1 Mr=-& 1

800000 x n D 4 n - = 91.38D3 cm ISD x 32 180

Un eje que debe transniitir una potencia de 300 kW estii formado por dos tramos de distinto material. rigidaniente uilidos entre sí: el primero. macizo, es de una aleación que ticiie de diinietro D = 6 cni; el segundo, tubular de acero, tiene el inismo diimetro exterior que el primer trdmo. Sabiendo que las tensiones de cortadura admisibles en la aleación y en el acero son T.,, = 600 kp/cni2. y T,,, = 800 kp/cm2. respectivamente, y que el ingulo de torsión por unidad de longitud del eje de acero es un 75 por IUU del correspondiente al eje de alI?dc¡Ón, se pide

,

. kp

si el diimetro D viene expresado en cm. Por otra parte, de Id ecu~tci6n(9.2-9) se desprende par3 la segunda condición

,

l." Calcular el diimetro interior del eje de acero. 2." Hallar la velocidad angular a que debe girar el eje. Se conoce la relación de los módulos de elasticidad transversal del acero G2y de la aleación G ,

Tomaremos el valor niás pequeño de las inscuaciones obtenidas, que nos asegura que la tensión de t r a b ~ j oes menor que la adniisible.

1."

2."

De la ecuación (9.2-1 1) y d e la rrlación dada entre los ángulos d e t o ~ s i o nde anibos materiales. se tiene:

L3 expresión de la potencia N en runción del momento torsor es: expresión en la que el indice 1 se refiere a la aleación y el indice 2 al acero. siendo w I i i velocidad angular en rad/seg. Si A, se expreza en m - b p la potencia vicne dada en k p . rn/seg.

TEORIA DE L A TORSION

IX.4.

Sustituyendo valores, se tiene: n.6' n(6' - d")

=

0.75 x 2.2

591

.'. un eje de acero de longitud 1 = 2 m se han fijado 6 poleas de rndios r , = 10 cm, r , = 15 cm, r , = 8 cm, r, = 20 cm, r , = j cm, r , = 10 cm, y si~uadascomo indica la Figura IX.4-a. El eje gira a velocidad angular constante alrededor de dos gorrones fijos .l y B de rozamiento despreciable. Si el módulo de elasticidad transversal es G = 850 000 kp/cm' la tensión rn5xinia admisible a cortadura es r,,, = 720 kp/crn2, calcular:

1." Diámetro del eje. 2." Angulo niáximo de torsión, expresado en grados. de donde:

2."

(Se considera despreciable el peso propio).

Como la expresión de la tensión de cortadura máxima es:

la relación entre las tensiones máximas en el acero y en la aleación será:

De esta relación se desprende que en el acero la tensión dc cortadura es la admisible = 800 kp/cm2, mientras que en la aleación la tensión cortante máxima es rm4.2 r, = - = 484.85 kp/cm2, inferior a su tensión de cortadura admisible. 1.65 Se puede obtener fácilmente el valor del momento tonor. En efecto, de la expresión de la tensión tangencia1 en el tramo macizo, se tiene: T,,.~

,,,

Figura IX.4-u.

l." de donde: D -3 M, = 16

'Ocd

El eje que se considera está sometido a torsión pura. Los momentos de los pares actúan sobre cada una de las poleas son:

O R x

6'

x 484.85

16

= 20 563 c m . k p = 205.63 m . kp

Como la expresión de la potencia es

despejando el niimero n de revoluciones por minutos y sustituyendo valores, se tiene:

I 1422 rpm

Con estos valores se dibuja el diagrama de momentos torsores (Fig. IX.4-b) del que se obtiene el valor del momento torsor riiiximo Al,,,, M,,,,

= -9400cm.kp

ináxirrio i i i g ~ i l ode torsii~nseri el ángulo relativo girado por la polea C, respecto de la C',. S U valor es. en rridianes:

0

=

1

'

Gfo

r

--

1 .blr,/, = - [zL/l/l G/,

+ ()L/,

i-

1bf2)/>

+ ( M i + 1+11 +

.lf>)/J]

Sustiruyendo valores y operando en el sistema técnico

o=

1

[40 x 0.4 + (40 + 30)0.4 + (30 + 30 + 14) .0.3] rad

n2.l' A l o - " Y S x 1 OM -----

-

de donde

O = 0.0278 rad .1f ,_,,= -91M cm. kp

Si R es el ridio dr.1 eje, como éste es de seccion circular, el modiilu resistente es: II'=

l

lI

n R'

7

cuyo valor pedido en erados es:

1X.5.

Cri eje horizontal de longitud I = 6 m tiene los extremos perfectamente empotrados. A partir de uno de sus extremos actúan dos niomentos torsores aislados de IW,, = 10 m . ton y ~\l,.= , 15 rn . ton en las secciones situadas s distancias a , = 2 m y a, = J m, respectivamente, de dicho extremo. Los momentos torsores tienen el sentido indic~doen la Figura 1x5-a. Se pide: Determinar los monientos de empotramiento. Calcular el miniriio d i á m e t r o del eje s i la tensión de cortadura admisible es T , = ~ 800 ~ kp/crn2. 3." Hallar la expresión O = O(x) del lngulo girado por las secciones, representándola grlficamente e indicando el valor máximo y sección en la que se alcanza. Se tomará C = 8 x 10S kplcni'. 4.. Si el material se fisura por tra'cción. determinar las líneas de rotura. l." 2."

por lo que.

de donde:

Sustituyendo valores:

l." El diámetro pedido será:

I 2." Según se deduce de la observación del diagrama de momentos torsorcs. al ser el área de momentos negativos mayor, en valor absoluto, que el de positivos. resulta que el e.

Scrin 'M, y ILI, los momentos d e empotramiento (Fig. IX.5-a). La condición d e equilibrio M,

- M,,

+ M,, + M,

=O

junto a la condición de ser nulo el giro relati.,o d e las secciones empotradas:

Tomaremos

nos permiten obtener los valores de M , y X I ,

3." La ecuación (9.3-1 1) nos permite expresar el ángulo de torsión 4 en la función de la abscisa x

de donde

C

6 6

5 m - ton , - 3

,U

2."

-

-

20 ; M, = -- m . ton

3

El signo menos de M, significa que este momento torsor tiene sentido contrario al supuesto en la Figura IX.15-a. Del diagrama de momentos torsores (Fig. IX.5-b) se deduce que el momento torsor máximo se presenta en el tramo comprendido entre los dos momentos torsores aplicados. Su valor es: M,

para O G x G a ,

r

6

Sustituyendo valores. se tiene:

25 ,,, = m . ton 3

De la expresión de la tensión cortarite

:a

se deduce:

Figura 1X5-c.

3 GIo

e 6 6

Sustituyendo valores:

Del diagrama del ángulo de torsion (Fig. IX.5-c) se deduce que la sección que más ha girado es aquClla en la que esta aplicado el par torsor Alr2. El valor del ángulo girado por esta sección es:

'-

6

e

4.'

Si considtramos dos planos del haz de virtice un riidio: uno coincidente con la sección recia: el otro. un pl.1110 longirudinril (Fig. lX.5-:ii t;iiigeiirss fornl;iii 45 coi1 21 eje. ya q u c I:is ;risr.is s t iorrn:iriri cii ciirrcociri psrpei~drciil.ir :i Id tensioti priiicip:il de iraccion O , I P I ~ .iX.j-/.).

De la T;ibla 9.1 se obtienen los valores de Iri tensión mixima de cortridiiri y del ringulo de torsión. a m b o s en función del momento torsor 111,

Tmi.

'M, = -

0.208
7.1 l l , i f ,

= -G(I' --

r

i

Diagrania de niomentos torsores

1

i l

1

l

(6')

Figura 1.Y.5. IS.6.

Figura IX.6-6.

Cna barra de latón de seccibn cuadrada de lado u = 10 cni. que está ernporrada en sus extrenlo>, $e torsigina riicdiariie iin par de fuerras Fcciyas lirieas dc accióii ~ $ f a separadas n una di3rancia J = 50 crii. eciuarido dicho par en uiia scrcicin a disiaricia 1 , = I m de uno de sus exrrcriios. Si la longitcid dr la barra es 1 = 3 m, c ~ l c u l a rel valor niáxinio de Fcon la condición de que el Iiigulo mi\iino de torsión sea de 114'. Sr tomará cumo nibdulo de ela,ricidad transrersal G = 3.51 x l o 5 kp/ciri2 y conio tensión m i s i n i a adniisible el valor r,,,, = 600 kp/cii12.

De la primera ecuación se obtiene:

I

de donde

i I

F < 6.24 x 600 = 3744 k p decir, 13 primera ecuación acota el valor d e F para que e1 valor d e la tensión máxima de cori;iclurli n o sobrepase el valor d e la tensión admisible. La segunda nos darla o t r a acotación al establecer q u e el ángulo de torsión entre 1s sección en la q u e se aplica el par y cualquiera de las extremas es menor o igual a 0.25". P o r tanto es

t

Figura lS.6-a.

I

de doiide Se trata de un caso de torsión hipercstática. Si ,VI es el momeiito torsor producido por el par d e fuenris F

1

El valor máximo d e F q u e c u n ~ p l ea m b a s acotaciones es. por consiguiente

Los moriieiitos d e einpotrnmienro son: Al, = A{-

estando expres:ida 1s fiisrza F en k p 6

1, 1 = F1 2

y

'

F

3

3

i = -m.kp

I1

f

IX.7.

En un eje hueco de transmisibn de potencia, que tiene diámetro exterior D e interior d. soiiietido a iorsibn pura s e alcanza una tensión cortante máxirn:: T,. 1."

Sabiendo qiie el potencial interno por unidad de rolunien es de los dihnietros del eje.

-.16C sr:i*

determinar la relacibil

598

RESISTENCIA DE MATER~ALES

2." Si es conocido el potencial interno por unidad de volumen 6, = 2200 m . kp/rnJ y el módulo de elasticidad transversal G = 8 x 10' kp/cm2, calcular los diámetros del eje si ha de transmitir una potencia de N = 500 kW a n = 180 rpm. l."

Despejando y sustituyendo valorec. se tiene:

De la expresion (9.4-1) que nos d a el potencial interno de donde: 1 n ( D 2- d') (D' 16. 4

d.x ,U:

=---

G1:

+dZ)

se deduce la correspondiente al potencial interno por unidad de volumen

IX.8.

Una barra recta tiene como sección una elipse cuyas longitudes de los semiejes son a y b (a > b). Se somete la barra a torsión pura. Determinar la función de tensiones. 2." Hallar las tensiones tangcncisles en la sección, deduciendo el valor de la tensión másima y punto. o puntos, donde se produce 3." Hallar la función de alabeo y deducir la solución de corrimientos.

e -7.

1."

Igualando esta expresión a la dada en el enunciado, se tiene:

l."

8

; :

+ -b' -

f(g,:) = -

d e donde:

u2

1

=o

Esta ecuación. evidentemente, se anula en su contorno. Además, su laplaciana es constante

Sustituyendo valcres. se tiene:

,

En estas condiciones, según sabemos, la función de tensiones es d e la forma

siendo C una constante que determinaremos aplicando la Fórmula (9.5-16)

t9

P o r otra parte, el momentor torsor M , a que está somctido el eje, en función Oe la potencia N a transmitir. es:

La tensiór cortante máxima s e presenta en los puntos perifericos. Por tanto:

9-

La ccuación analitica d y la curva del contorno de la sección es ,'l

2." El valor d e la Y, se puede obtener a partir de la expresión del potencial interno por unidad de volumen

e-

sustituyendo. tenemos: C=

.-' I

u' b' 2g(2+bi-4)

noh

=

-noh

3 'e d'

4

4

Por i:lnro.

l;i

Tiinciáii de trnsio~iespedida es

de donde se obtiene la expresión del ángulo de torsión por unidad de longitud

Allora bien. de (9.5-4) y de la solución de tensiones obrenida en el apartado rinterioi se deduce:

de donde:

La, isnsiones t:ingsncislcs resiilran ser funciones lineales de las coordenadas. Como ' 1 > h. 1.1 irnsion niisiina de cortadura es r X i para (.v = 0; := h). En esir punro r,, = O

Integrando, se obtiene la expresión de la runcion de alabeo $

En la Fi-urn 1X.S ss representan I:ts tensiones tangenciales en los punlos de los sjes de la elipse sección. Se obscrva qiir Ir: ten,ijn mixima se presenta en los cxtrenios del semieje menor, es decir. cn los puntos del coiiioriio m l s ccrcanos iiI ccniro. Con la teoria elemental la máxinia ~ r n s i ó nse presenr3ria en los plintos m i s alejados.

siendo 4, una constante de integración que h a b r i que determinar imponiendo condiciones de contorno. Si el centro d e la sección es fijo $, = O. En este caso la función de alabeo es

La solución de corrimientos s e r a LJ

3." Aplicando la expresión (9.5-7) se tiene:

IX.9.

0'4

a2d

,3.2

6-1

AQ= -~Go=-+-=

21~1 -2

nub

Se tiene un rollizo de madera de roble de radio R = 10 cm, empotrado en uno de sus extrer+.:i' y muy corto para poder despreciar los efectos de flexión. En el otro extremo y perpendicuiri aeje del mismo se tiene, perfectamente empotrado, un perrii laminado de aluminio de secoc... cuadrada y de longitud tal que la distancia de su extremo libre al eje de rollizo es 6 = 0.5 t í .

TEORIA DE LA TORSION

Se ejerce una cierta fuerza f en el extremo libre de la barra de aluminio, de dirección la perpendicular común a los ejes de ambas piezas, alcandndose simultineamente los límites admisibles de tensiones de cortadura en el rollizo y de tracción en la barra de aliiminio. Calcular el valor de la fuerza P y la dimensión del lado del cuadrado de la sección de perfil. Datos: Tensión admisible a cortadura del roble r,,, = 70 kp/cm2. Tensión admisible a tracción del aluminio a,,, = 450 kp/cm2.

Sustituyendo valores se obtiene la longitud del lado del cuadrar'; de la seccion

a

I

i

a = 10.6 cm

l

1

1

b Figura IX.9.

603

11

IX.10.

Se considera una viga cilíndrica de sección elíptica de longitudes de semiejes o y h (o > h ) sometida a tonibn pura. Determinar los puntos de la sección en los cuales el módulo de la tensión tangencia1 tiene por valor la semisuma de los valores modulares que ésta toma en los extremos de los serniejes.

El rollizo trabaja a torsión y la barra de aluminio a flexion. El momento torsor sobre el rollizo es:

1'

que provoca una tensión maxima de cortadura

igual a T., cuando alcanza el valor limite. De esta ecuación se obtiene el valor de P para que esto ocurra 3.14 x lo' x 70 2 x 50 Figura IS.10. Consideremos ahora el perfil cuadrado d e aluminio. El momento !lector máximo se presenta en la seccion de empotramiento con el rollizo y su valor es:

1

Las tensiones tarigenciales en los puntos de la seccion elíptica son (véase ejercicio 1x3) Q

que se puede expresar en función de las carac:tr~sticas geométricas de la sección.

P.I, =

w*.o,

=

a'

- a,, 6

El modulo de

T

es:

Igiialando ambas expresiones: a'

- u*,, 6

=

P(b - R ) En A(y = a ; ; = 0):

de donde:

En B(y = 0; = = b);

i 1

La ,einisumli de estos valores es:

I_iualando esta expresión a la obtenida anteriorniente, las coordenadas de loi puntos en los cuales la tensión tan~enciales T, verifican:

1

P ( ! , :),

-(!+;j=-J; ,M,

nub

.-

1

:;

Si el cocliciente de seguridad es n = 2.5, la tensión limite de traccion es:

Con estos datos veamos cual es el momento torsor máximo que puede transmitir el tubo: a)

/'vi. el

rr/rrio

tic.

TI-rrc[i:

--

+b

U

En este caso

13

condición sera

de doiide:

,,-' + :' (a + b)' = ----

-

b1

114

-111'b2

es decir:

o bien

-

-

=

de donde

' (7 ( ) T ) h(a

+

h)

Esta ecuación representa una elipse, cuyas longitudes de los semiejes son: ,

o =

+

b) -----2h u(n

> a

b((i

: h'=---

+ b)

b)

Por el c r i r c ~ i oI/C lo errrrgiu (Ir ~lefirnrución ~~lií.rir>tri:

La expresión de la energia d e deformación por unidad de volumen es < b

211

ya que a > b. Por tanto, los puntos en los cuales el módulo de la tension tangencial es r son los de los arcos de elipse CD y FT indicados en la Figura IX.10.

C o m o en el ensayo a tracción esta magnitud tiene por expresión

Un tubo de acero de diirnetro exterior D = 50 rnrn e interior d = 46 mrn está solicitado a torsión pura. Sabiendo que la Tension de fluencia drl acero es u, = 25UU kpjcrn2 y el coeficiente de Poisson 11 = 03. calcular el rn9xirno ntomento torsor que puede transmitir el tubo si el coeficiente de segeridad es n = 2.5, aplicando:

se tendrá que verificar

L.) el criterio de Tresca, 6) el criterio de la energia de deformación rnisima, c ) el criterio de von Mises.

El momento de inercia polar de la sccción tubular respecto de un diámetro es:

n(D4 - d 4 ) - n(504 - 46") Io = 32 37

= 174 019 m m "

La tensión tangencial máxima en kp/cm2. si el momento ibf, se expresa en m . kp, es: T~~~

=

;M,D

A1,.25

I

-- = -10' = 14.36 A l , kp/cm2 1, 2 174019

de donde:

TEORIA DE LA TORSlON

607

Sustituyendo valores. se tiene:

c) P o r e l crirerio de uotr Mises:

+

+

Según este criterio (o, - a,)' (a, - 0,)' (o3 Pero los valores de las tensiones principales son:

- u,)' < 2nl,,. M, =

810000(100 x d' 3

+

? x 60 r 5'). ! O - ' 6 n

x

100

--

- 605 c m . kp

140

Tomaremos el menor de los valores obtenidos: como fácilmente se deduce del circulo de Mohr. Por tanto:

IS.13.

de donde:

Se consideran dos tubos de pared delgada, de las mismas dimensiones y material. El radio medio es R y espesor e. Uno de ellos es de sección cerrada y el otro será abierto longitudinalmente. Si a ambos se les somete a torsión pura, se pide: flallar las relacionés entre las tensiones tangenciales máximas. y entre las rigideces a torsión cuando ambos tubos están sometidos al mismo momento torsor M,. 2." Calcular la relación entre los momentos torsores qiie se pueden aplicar a los tubos. 3." Determinar la relación de los ángulos de torsion de ambos tubos.

l."

15.12. Un perfil delgado, cuya sección es una 1 de las dimensiones indicadas en la Figura IX.12, esti sometido a torsión pura. Si el módulo de elasticidad transversal es G = 810 000 kp/cm2, calcular el máximo valor del momento torsor si la tensión tangencial admisible es r,,, = 450 kp/cm2, no debiendo de superar el ángulo de torsión por metro de longitud el valor de 6'.

Figura 1S.13. 1."

1

& ir5

c o t a s en mm Figura IX.12.

((1)

E I I el tubo cerrado, en virtud de la ecuación (9.7-10). tenemos:

siendo R* = n R 2 el área delimitada por la linea media p de la sección. La rigidez torsional es. scgun sabemos:

r3 De la expresión (9.7-6) que nos d a la tensi& tangencial máxima en función del momento torsor, se deduce

1 L s,e; M , = -3 emrx

(100 x 4' rm4.

=

+2

x 60 x S3)10-'

3 x 5 x 10-i

450 = 642 c m . k p

Este seria el valor del momento torsor aplicado al perfil que produciria en el miscio una tensión tangencial máxima igual a la tensión admisible. Para ver si cumple la otra condición referente al ángulo de torsión veamos qué momento torsor tendríamos que aplicar al perfil para que el ángulo gira50 por dos secciones separadas entre sí 1 m sea d e 6". Para ello expresamos el momcnto tnrsor en función d~ O despejándolo de la ecuación (9.7-5)

y tcnicndo en cuenta la ecuación (9.7-15) que relaciona ángulo de torbion po: unidad de longitud y momento torsor, se tiene

Eii el tubo abierto. dc (9.7-1) se deduce

1

1

1

IX.14.

[.a varilla del agitador representado en la Figura IX.14-a tiene una longitud 1, siendo su sección iranwersal la indicada en la Figura IX.14-h. 1.3s ciratro aletas de la varilla tienen idtnticas dimensiones, pudiéndose considerar la sección como de pared delgada. Se pide: I." 2."

D i ~ i d i t i ~ dentre o si IJ, ecii:iciories correspondientes, tenemos:

Determinar el mhxirno momento torsor que es capaz de resistir la sección. Suponiendo que la acción del fluido agitado es un momento por unidad de longitud m, tal como se indica en la Figurn IX.14-a, determinar el giro relatiio entre las secciones estrenias de la varilla.

Datos: a,,,, G. Nota: El ángulo de torsión por unidad de longitud es único para el conjunto de la sección.

2."

Se ob,crva que el cociente de las tensioriss es un valor grande. Por el contrario, la reliición snrre 1.1, rigidece, s j un valor pequeño. Aplicarsmos a anibos tubos, cerrado y abierto, sendos momentos torsores M , y ,Lí./,,, respectivamente, para que en ambos se alcance la tensibn tangtricial adniisible. En el tubo cerrrido, en birtud de (9.7-1 1). se tiene: .tíT,

=

?i?*r~,,

=

7nR2rr,,,

En el tubo ablerto. por (9.7-1). podemos poner

(h) Figura IX.11.

Di\idierido ambas sspresiones: 1."

3." Ahora el moniento iorsor aplicado a cada perfil es el mismo. pues se trata de coriiparar los ángulos de torsión para una misma solicitación de torsión. Di- la ecuación (9.7-1 5) se deduce:

El momento torsor sección del tubo.

M, es absorbido por las secciones de las cuatro aletas y por la

Veamos cuáles son las expresiones del ángulo de torsión de cada una de las aletas, por una parte, y del tubo por otra. El de la aleta, en virtud de (9.7-2). será

y el del tubn, segiin (9.7-15)

y de (9.7-2). análogamente Igualando ambas expresiones, se obtiene la ecuacion

Dividiendo, se tiene que junto con M, = obtener M, y I M ,

4M,, + M, constituye un sistema d e ecuaciones que nos permite

610

TEORIA DE LA TORSION

RESISTENCIA DE MATERIALES

Calcu!emos las tensiones tangenciales máximas en aletas y cilindro. r~spectivamcnt~

61 1

]

I Trnli.

~ M T, 3rMT se' 6 n R J + 4se'

= --

C o m o R » e, se deduce que r,,,, verificar será

>

Figura IX.15-a.

por lo que la condición que se tiene que

T,,,.

l."

Figura IX.15-b.

Aplicando la ecuación (9.7-21) obtenemos los ángulos de torsión por unidad de longitud, correspondiente a cada una de las células que forman la sección, en Función de 10s flujos de cortadura (Fig. IX.15-h).

de donde se obtiene el momenio torsor máximo que es capaz de resistir la sección

Corno los angulós de torsión por unidad de longitud de ambas células tienen que ser i_~usles 2."

La variación del momento torsor en la varilla es lineal desde un valor nulo en el extremo libre hasta el valor 1111 en el otro extremo d e donde Para el cálculo del angulo de torsión por unidad de longitud es indistinto hacerlo en una aleta o en el tubo. Considerando una aleta, tenemos:

o,=-=31\fra

GseJ

3M, Ge(6nR'

+ 4se2)

do d.r

= -

Por otra parte, de la expresión (9.7-18) que expresa la equivalencia entre el momento torsor y los flujos cortantes de la seccion se obtiene la ecuaciljn

por lo que el giro relativo pedido entfe las secciones extremas de la varilla sera que junto con la anterior relación entre r , y t 2 forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuyas soluciones son:

IX.15. Las paredes del perfil delgado cuya seccibn es la indicada en la Figura 1X.15-a tiene espesor constante e = 1 cm. El perfil esta sometido a un momento torsor hf, = 8 m . ton en sentido antihorario. Conociendo el módulo de elasticidad transversal del material C = 41 GPa, se pide:

l." Hallar la distribución de tensiones tangenciales en la sección del perfil. 2." Calcular la rigidez a torsión del perfil.

Sustituyendo el valor de Af,, obtenemos

El flujo de cortadura en la pared coiriún, según (9.7-17). es

El ,i:no negativo indica que el flujo de cortadura tiene sentido contrario al supucst o y, p o r tanto. la [ensión tangcnciril T.

Solicitaciones combir~adas

10.1.

Expresióri del potencial intcrno de un prisma rnecánico s o m e t i d o a una solicitación exterior arbitraria

En los capitulas precedentes hemos estudiado separadamente las tensiones y deformacio2."

L a rigidez a la torsion. p o r definicion, es

Como

41, = 8 m - ron = 8 x 10' x 9.8 m . N = 78 400 n i . N

Sustituyendo valores, se tiene

nes producidas en un prisma mecánico por las cuatro solicitaciones simples: esfuerzo

nornl;il, csruerzo cortante. momento flector y momento torsor. Se trata ahora de encontrar un metodo que nos permita obtener los estados icnsional y dc deforniaciones que se producen en el prisma mecinico cuando, en el caso mi5 general, esti sometido simultáneamente a los cuatro tipos de solicitaciones citadas. En cuanto al estado tensional, el problema queda resuelto al admitir el principio de superposición: la tensión normal a, en un punto de la sección es la suma algebraica d e las tensiones normales debidas al esfuerzo normal N y a los momentos flectores M, y M-, actuando cada uno de ellos separadamente. Por la misma razón, la tensión tangencia1 7 es la suma vectorial de las tensiones tangenciales engendradas por T, T, y M,. El conocimiento del estado de deformaciones ya no es tan simple. Se trata, pues, de encontrar una forma sistemática de resolver este problema. Iniciaremos nuestro análisis obteniendo la expresión del potencial interno de un prisma mecánico sometido a una solicitación exterior arbitraria. Si realizamos un corte ideal del prisma por una sección recta de centro de gravedad G y elimiiiamos Ir parte d e la derecha (Fi,o. 10.1). la reducción en G del sistema de fuerzas que equivale a la solicitación sobre la parte elimiiiada consta de iini r e d t a n t e R y d e un momento resultante hi, cuyas componentes respecto de la terna G . y , siendo el eje x tangente a la línea media y los ejes J., :los principales ¿e inercia de la sección, son:

La resultante y e! .>omento resultante fl serán, en general, funciones de la abscisa curvilinea s de linea media, por lo que al considerai el tramo elemental de prisma mecinico limitado por dos secciones rectas 2: y I' que interceptan un elemento d e línea

Dcsprcciando inrinitksirnos de orden superior, es:

13

Veamos ahora cuáles son las expresiones de los vectores (17 y dg referidos a la terna de ejes G-Y!.: definidos por los vectores iinitarios i . J . k . El ingulo (ig es la sunia vectorial de los efecios de giro debidos n la flcxión y a la torsion. El ángulo (/OF debido al momento flector se puede obtener aplicando el tcorema de Castigliano a la expresión (6.3-4) -

: I

1

i

do, =

'/

l

Figura 10.1.

I i

media de longitud ds (Fig. 10.2). la reducción de la acción que ejerce el resto del prisma sobre este elemento consta:

'

,!l

l

expresibn de la energia de deformación

?(di;)

a M,

t(tfF)

+ mk

=

-

A

-

1 - + ,tl_ (1s k2 &;

El:

Ely

En cuanto al ángulo (lp, debido al momento torsor , \ i r tenemos:

siendo / el módulo de torsión, pero hay que tener en cuenta que iG se compone del momento bZx, de rnódulo la componente del momento resultante en la dirección del cjc .Y, y del momento debido al esfuerzo cortante aplicado en el centro de esfuerzos cortantes C. según se vio en el epigrale 4.12 M,

=

izTx + CG' x I

(10.1-4)

Por tanto, d g se obtendrá sumando las expresiones (10.1-2) y (10.1-3)

-

11/ +2 dsj +

M,

dO = - dsi

GJ

+

y momento resultante - M ;en G' (abscisa s ds), dR dfl resultante R + - ds y momento resultante M + -ds. (/S ds Al aplicar la solicitación externa al prisma mecanice, en el elemcnto considerado se ha S),

resultante

-R

El,

iif.

Elz

tlsz

Análogamente emontraremos Iz expresión correspandiente a dT que determina el dcspiazamiento de G' respecto de Z debido al esfuerzo n ~ m a l al , esfuerzo cortante y a la rotación alrededor del centro C de esfuerzos cortantes

Figura 10.2.

en G (abscisa

,

producido una deformación, de forma que la variación relativa de la sección X' respccto de la sección Z sc puedc considerar como la composición de una traslación d z , quc hacc pasar el centro de gravedad G' a la posición G", y de un giro d j . En virtud del teorema de Clapeyron podemos expresar el potencial interno dcl elemento considerado en función de las deformaciones relativas de la sección Z' respecto de C.

1

De las expresiones (10.1-5) y (10.1-6) se deduce:

616

u ~ s i s - r t s c i .DE \ .LIATEKIALES

SOLlClTAClONES COMBINADAS

r\t10r3 bien, como:

y;i

normales, esfuerzos cortantes, momentos torsores y momentos flectores respectivos, debidos a la carga real, por una parte, y a la carga ficticia actuando sola sobre el prisma, por otra. Por la linealidad entre causa y efecto, cualquiera de estas magnitudes dcbidris a la carga 6 es igual al efecto producido por una carga unidad aplicada en el mismo punto o sección. de la misma dirección y sentido que 6, multiplicado por el módulo de la carga (F. Ssgun esto. las leyes de esfuerzos y momentos en las secciones del prisma serin:

qus .V es colineiil con ;\iry el producto mixto es nulo. Adcmij, en virtud de (10.1-1) --

.\f.,

.\l.r GJ

. -(1.5

- (.\IT+ GT

x

!\TT f).-11s

GJ

'U+ GJ

= -(/S

617

-x

+ (GC

-

!uT

T).-(~s GJ

+

4Ni

7;. = T,O +

47,

iV =

=

z M,

Tenicndo en cuenta estos resultados, si sumsnios (10.1-7) y (10.1-SI y sustituimos en (10.1-1) se tiene

N,

=

T0 + 4c,

=

M,,

1LI, =

+ dM,, Myo + ~ I M , ,

M, = Mzo

+

41Mz1

en donde: Esra expresión nos indica q. el potencial interno por unidad de longitud de linea media del prisnia no es sino la supsrposición de los potenciales internos debidos a cada uns de 1'1s solicitaciones actuando independientemente unas de otras. El potencial iritsrno de todo el prisma se obtendrá integrando la expresión anterior

en donde S, y S, son las abscis¿s curvilineas de los centros de gravedad de las dos sscciones extremas del prisma mecánico. Esta expresión del potencial interno es la que utilizaremos para aplicar los teoremas J e Castisliano, blenabrea y Maxwell-Betti.

i i

son las leyes de esfuerzos normales y cortantes en el prisma mecánico sometido a la solicitación real dada. 1i4T0,iMY0,MI, son las leyes de momentos torsores y flectores en el prisma mecinico sometido a la solicitación real dada. N , son las leyes de esfuerzos normales y cortantes producidos en el prisma por una solicitación formada exclusivamente por una carga unidad, o un momento unidad aplicada al punto, o sección. en el que se quiera medir el corrimiento. o giro, respectivamente. M,,, IM,,, M,, son las leyes d e momentos torsores y flectores producidos en el prisma por una solicitación formada exclusivamente por una carga unidad. o un momento unidad aplicada al punto, o sección, en el que se quiera medir el corrimiento, o giro, respectivamente. I

T

.

,

El potencial interno de la viga, en virtud de (10.1-12) y teniendo en cuenta (10.2-I), es: (3

10.1. hlétodo de Mohr para el c5lculo de desplazamientos en el caso general de una solicitación arbitrarin En el epígrafe 5.8 se expuso el método de Mohr para el cilculo de desplazamientos de los puntos de un prisma mecánico sometido a ílexión simple. Ahora veremos que el método es ocneralizable al calculo de desplazamientos, tanto para corrimientos de puiitos como para siros de las secciones, en el caso general de una solicitación arbitraria. En efecto, siguiendo la metodología allí expuesta supondremos aplicada una carga ficticia 6, que sera una fuerza en e: caso que queramos calcular el corrimiento del punto en el que se aplica, o bien un momento si se trata de hallar el giro de la sección s o b l ~la quc se hace actuar. Por el principio de superposición, e! esfuerzo n o m a l , los esfuerzos cortantes, el morncnto torsor y los momentos flectores del prisma mecánico seran la s i m a de los esfuerzos

+ MTO +GJ4h,fTl)2 6

+

(Myo

1

+El,4iVy1)2 + (Mzo +El,4j4z,)2

ds

(10.2-2)

Si es una fuerza y se trata de calcular la proyección sobre dicha fuerza del corrimiento del punto C en el que se aplica, por el teorema de Castigliano, se tiene:

618

SOLICITACIOi.;ES COMBINADAS

RESISTENCIA DE MATERIALES

Análogamente, si & es un momento y s e quiere calcular la proyección del vcctor dcl giro de una sección Z sobre el monlento 4 aplicado a la misma tendremos:

"1

10.3. F l e x i ó n y torsión c o m b i n a d a s Es poco frecuente que en los problemas que se le pueden plantear a un técnico se presente la torsión en su forma simple. Por el contrario. son abundantes los casos en que aparece combinada con flexión, como ocurre en el caso de ejes motrices utilizados para transmitir potencia, en los que el peso propio, reacciones en cojinetes, etc. producen un momento fiector que hay que considerar; o en el caso de una viga curva plana horizontal (llamada viga-balcón) sometida a la acción de cargas verticales.

Figura 10.3.

..

Consideremos un eje sometido a torsión y en el cual se considera su propio peso. Suponemos que actúan sobre el mismo fuerzas verticales (cargas directamente aplicadas o reacciones). Al ser la sección circular, las direcciones principales de inercia están indeterminadas. por lo que tomaremos como eje Gy el radio vertical. En estas condiciones el momento torsor MT tiene la d i r e ~ i 6 ndel eje x, el fiector M , la del eje z, y el esherzo c g t a n t e T, la del $e y (Fig. 10.3). Veamos qué estado tensional produce en la sección cada uno de ellos: M, sólo produce cortadura, según sabemos. En la Figura !0.4-a se representa el espectro de tensiones en una sección para :os puntos d e su diámetro vertical. El valor máximo es:

619

Tensiones debidas a la iorsian (0)

.

Normales Tangencialcs Terisioncs debidas a la íiexion

(4

Figura 10.4.

(4

Finalmente, la distribución dc tensioncs verticales de cortadura debidas al esfuerzo cortante T, sigue una ley parabólica. que se anula en los extremos del diámetro vertical y toma su valor maximo en los puntos del diámetro horizontal (Figs. 10.4-c y 10.4-4

Este valor es, generalmente, muy pequeño frente a r,,. y a,,,. por lo que no se suclc tener en cuenta. Por el contrario, se considera que en todos los puntos de la sección, a electos del cilcuio del elemento resistente, actúan las tensiones; o,,, en dirección normal a la sección (de sentido positivo si se trata de tracción, y negativo si están sometidos a compresión), y rmaX, de dirección perpendicular al radio que le corresponda. Ahora bien. a,, y r,,, son las componentes normal y tangencia1 del vector tensión en una superficie elemental contenida en la sección recta. Considerando otra sección elemental. ortogonalmente a la anterior (Fig. 10.5-a), los valores de las tensiones principales se obtienen inmediatamente a partir del circulo de Mohr correspondiente (Fig. 10.5-b):

M,, por su parte, causa una distribución d e tensiones normales a la sección, dada por una funcióti lineal de la distancia de cada punto al plano Gxz, y cuyo valor máximo corresponde a los extremos del diámetro vertical (Fig. 10.4-6): Figura 10.5.

620

SOLICITACIONES C O M t i l N A D A S

RESISTENCIA DE XtATER1,ALES

Asimismo, se obtienr el valor de In tensión de cortadura mixima:

y. en virtud dc (10.3-6). resulta:

Sustituyendo los valores de r,,,, y o,,,

10.4.

dados por (10.3-1) y (10.3-2). se tiene:

i

621

Torsióri y cortadura. R e s o r t e s de torsión

Otro ejernplo tipico de torsion combinada es el de los muelles o resortes de torsión. Consideremos un alambre de seccion transversal constante, que supondremos circular, cuya fibra media adopte la configuración geornétrica de una hélice y esté sometido a un esfuerzo de tracción k- en la direccibn de su eje. Realizando un corte en una sección recta, en el centro de gravedad de la misma existirá una fuerza igual y coniraria a F y un momento M opuesto al de la fuerza F respecto de G (Fig. 10.7).

Las miximas tensiones principales se produciriii. en gerieral. donde las tensiones debidas a la Ilesion son mayores. es decir. en la parte supcrior o inferior de la sección del prisma que esiii soinetida al momento flector máximo. No obstante, esto puede no ser cierto y hay que considerar otras posibilidades, y calcul;ir, por ejemplo, las tensiones principales sn los puntos de la seccion que son extremos del eje neutro, aunque, como ya sean pequeños frente a ,,T y o,,,. liemos dictio, por lo general, los valores de T,

Figura 10.6.

u

Si la sirstentación de la viga no es el apoyo simple, o si 13 sección del prisma no es circular, se puedcn calcular los valores de las tensiones principales en diversos puntos del prisma, en los que bien la tensión normal o bien la tcnsión cortante tomen valores máximos, y compararlos. Se tendrá de esta forma una razonable seguridad de haber obtenido los niriximos valores absolutos de Iás tensiones. Si se trata de calcular el diámetro de un eje. éste se determinará a partir de estos máximos valores absolutos que, en general, serán los dados por las ecuaciones (10.3-61, aplicando alguno de los criterios de resistencia que ya conocemos. Dentro de éstos es quizás el de Tresca el que nos resulte de más comodidad a la par que nos aporta la mayor seguridad. Según este criterio. si el limite elástico es a, se tendrá que vcrificnr:

Tomaremos como eje Gy la intersección del plano de la sección con el plano que contiene a F y es tangente a la fibra media cn G (plano que, para la sección que se ha tornado en ! 3 !ígara, 2s pardelo al plano del papel, por lo que los vectores F y M, así como sus componentes según los ejes Gx y Gy pertenecientes a este plano, aparecen representados en verdadera magnitud). La fuerza F admite dos componentes:

siendo U) el ángulo helicoidal que es constante para todas las secciones del muelle.

SOLICIT,ZCIONES COMBINADAS La primera componente N produce un efecto de tracción la segunda T, lo produce de cortadura. También el momento M tiene dos componentes: M,

=

,Cf cos O

=

FD

- cos 2

O

compresión. mientras que

estando extendida la iniegral a lo largo de toda la linca media del rcsortc. y siendo !MT= F . R

; hd,, = R

Sustituyendo en (10.4-4) y suponiendo que el mucllc tiene

O

623

t~

espiras. se tiene

( 10.4-2)

FD M, = M sen O = - sen O

2 siendo D el diámetro medio del resorte. La primera componente M, es un momento flector que causará un efecto de tracción en media sección (en > 0. por ejemplo) y compresión en la otra media (en r < O). La segunda componente, de dirección tangente a la fibra media en G, es un momento torsor. Para muelles que tengan las espiras muy próximas, el ángulo helicoidal 0 tiende a n/2, por lo que tanto N como M, se pueden considerar despreciables. En este caso las tensiones en la sección recta son exclusivamente de cortadura.

Esta expresión de S se puede poner en función de los diameiros D de la espira y [í del alambre. 6

FD' 32 8 FD3n - 2nn = --8G nd4 G
= --

Si de esta ecuacion se despeja F

se deduce la expresión de la rigidez del resorte

Tensiones debidas

Tensiones debidas

al momento torsor

al esfuerzo cortante

Figura 10.8

En la Figura 10.8 se han indicado los espectros de las tensiones debidas al momento torsor y al esfuerzo cortante para los puntos del diámetro A B (coincidente con el eje Gz dc la Figura 10.7). Se observa que la tensión máxima aparece en el punto A, es decir, en el lado interior de la espira. Para estudiar la deformación del resorte podemos considerar, caso dc ser las espiras muy próximas, que el radio de curvatura de la línea media es, con gran aproximación, igual al radio medio del muelle. Sea el resorte de la Figura 10.7. La expresión del potencial interno, despreciando los' términos debidos al esfuerzo normal. al esfuerzo cortante y al momenio flertor, por :caer valores muy pequeños respecto al correspondiente al momento torsor, es

Por el método dc Mohr, el desplazamiento total 6 de los extremos del rcsortc scrá:

Además de esta deformación. el alambre ha experimentado un giro debido al momento torsor cuyo valor para un tramo comprendido entre dos sccciones rectas, de longitud As medida sobre la línea media, es, en virtud de (9.2-1 1):

10.5.

Fórmulas de Bresse

Por considerarlas de gran interés con vistas a las aplicaciones al cálculo de las deformaciones de !as piezas curias, obtendrenios aqui las fórmulas generales de Bresse que nos permitirán calcular los corrimientos de los puntos dc la Iínea media asi como los giros experimentados por cualquier sección recta de un prisma rnccár,ico. Admitiremos que se verifica la ley de Navier referente a ;a conservación de las secciones planas. Aiin en el caso d e sufrir las secciones un cierto alabeo producido por el esfuerzo cortante o por el momento torsor, sustituiremos la ley de Navier por cl principio e Navier-Bernoiilli getieralizarlo que sc ciiuncia así: ((Dos secciones rectas 1 y X, dc un prisrna niccrinico. indcfinidamcnte próximas, sc convierten despuks dc la deformación en dos secciones 1'y Y,indcfinidamcnic próximas superponibles medianic un movimiento quc, en el caso general, estari compuesto dc una traslación y una rotación indefinidamente pequeñas ambas.))

624

RESISTESCIA D E LIATCRIALLS

SOLICITACIONES COhlBINADAS

625

Consideremos. pues, dos secciones rectas Z y 'rl correspondientes a las absciscis curvilineas s y s ;tls, medid:is sobre la linea media. Antes de la deformiicitin. sl rnobiniiento par:i superponer 1 y E , consta de una rraslnción 7.-ds y de uri3 rot:ician ('7 (1) iFig. 10.9-0). si .; y c7 son I i i tr;isl:icibn y giro, respc.c[ivamenre, por unitlad de longitud de linea media entre las sc.cciones rectas del prisma mecinico. Después de la deformación, la traslación tiene por valor (7 + 6 7 ) (1s y la rotación (W + So)ds (Fic. 10.9-h).

Figura 10.10.

, !

La tr:islación de IR sección Z, debida al giro de todas las secciones intermedias, considerando el efecto de todas estas secciones intermedias, es:

Figura 10.9.

Por tanto. dejpurs de Iri deforrnlisibn 13 sección 1':sufre un despl:izainiento relativo respecto de la misma sección Z, antes de la deformación. compuesto de una traslación

Por consiguiente, la traslación total seri:

-

i. =

1

l ( s +~ao

4

y de una rotación:

I

(W

+ 6W)ds - Wtis = 6WrI.7

/ (10.5-2)

Obsérvese que se ha despreciado la traslacihn debida al ángiilo d e giro. Esto es válido por tratarse de un infinitésimo de orden superior respecto a 67-ds. En 62ct0, el módulo de la traslación de El debida al ángulo de giro de 1será:

Considcrrmos ahora dos secciones rectas Zo y 1, de abscisas curvilineas so y S , respectivamente. En este raso no seri válido despreciar la traslación debida al ángulo de giro, pues el radio rio será, en general, un diferencial, y al girar cualqiiier sección intermedia ., un cierto ángulo arrastrará en su giro a todo el resto de la pieza (Fig. 10.10). Debido a! giro de la sección S la sección 1,de centro de gravedad G, experimenta una traslación:

D e d.s

x GT,

i1

y la rotación:

. S u's Si 13 sección 1, pasa a la posición Yomediante la trasi'ación ccuaciones (10.5-4) y (10.5-5) se convierten en:

(10.5-5)

&, y

el giro 6,.las

Veamos cómo están relacionados 6T y 60' con los esfuerzos que se derivan en el prisma mecánico antp una solicitación externa general. Del razonamiento hecho anteriormente se deduce que 62 y 6 6 son la trailación y el giro de una sección debidni a la deformación. La causa de la traslación definida por 61 en la sección X (Fig. 10.1 1) es la resultante R de las fuerzas que actúan sobre la parte situada

626

SOLICITACIONES COMBINADAS

RESISTENCIA DE MATERIALES

627

Proyectando estas ecuaciones vectorialcs sobre los ejes de un sistema de referencia fijo 0-z (Fig. 10.1 1) se obtienen seis ecuaciones escalares denominadas jornrirlas de Bressc, que permiten conocer los desplazamientos (corrimiento y giro) de una sección cualquiera del prisma conociendo los desplazamientos (zo, 6 , ) de una determinada sección Lo. Estas fórmulas son completamente generales, es decir, se pueden aplicar a cualq~iier prisma mecinico, independientemente de la forma que pueda tener éste. La aparente dificultad que presentan se deben precisamente al carácter de generalidad que las mismas tienen, aunque aplicadas a casos particulares se simplilican de forma muy considerable. Una característica que presentan las f
EJERCICIOS a la derecha de la misma. Es decir, como las componentes de R son (N, T,, T,) referidas a la terna G.ryz con origen en el centro de gravedad de la sección considerada, de la ecuación (10.1-1 1) que nos expresa el potencial interno y aplicando el teorema de Castigliano, se deduce:

siendo R , , y R,, las secciones reducidas. respecto Por otra parte, la causa del giro definido por 6 0 es el momento resultante E. Como de G de las fuerzas que actúan sobre la parte situada a la derecha de la sección las componentes de M respecto de la terna G.ryr son (M,.M,, M,), se tiene:

Teniendo en cuenta las componentes de 6 1 y 6 0 dadas por (10.5-8) y (10.5-9). poderilos expresar la traslación %tal X d e la sección X, & la siguiente forma:

Un t u h de acero forma un codo de 90" y tiene la sustentación y dirnenrioncs indicada en la Figura X.I. 1.0s diametros exterior e inrerior del tubo son D = 11 cni y d = 9 cm, respectivamente, y su línea media se encuentra situada en u n plano horizontal. Conociendo los m6dulos de elasticidad E = 21 x lo6 kp/cm2 y G = 8.2 x 10' kp/crn2, calcular el descenso vertical y el giro de la sección extrema libre ,4 cuando se aplica en la misma una carga P = 500 kp.

1

:

1

I

(c)

Las leyes de esfuerzos y de momentos en los tramos AB y BC del codo son:

- siendo C el centro de torsión e (i, j , k ) los vectores unitarios en las direcciones de los ejes x, y, z, respectivamente.

Análogamente, el ángulo girac!o por la sección 2, sería:

.

u)

-en

Debidos a la carga P

=

500 kp

el tramo AB: 7, = -500 kp hI, = -5OO.rcm.kp; hf, = O

- En el tramo

BC T, = -500 kp h f I = -5OO.rcm.kp; M, = 50000 cm. kp

O

< .r <

1OOcm

O á . r á 150crn

Fi~uraS.1.

SOLICITACIONES COMBINADAS

Debidos

h)

ii

629

y.?. Un irbol de acero de alta rebistencia, de longitud 1 = 1.80 m, traiismite una potencia rV = 800 CV girando a n = 300 rpm. El árbol lleva fiin un volante que equidisti de las poleas y pe3a

iin;i c:irr;i uriidad :iplic:ida eii la ~ c c i ó nextrem;i A (Fig. 8.1-h)

P = 1500 kp. Se supone que los cojinetes estin situados en los centros de las poleas. Calcular el radio niiniino del irbol si la tensióii adniisible a traccihri e, o,,, = 1600 kp/cni2.

en cl tranio BC: T,, .\f:, .1/,, c)

-en

= =

-1

=

100

Volante . O

.Y

<

m P =

150 cnl

1.5 ton

I>ebidos a un moiiierito unidad aplic:ido a la seccibri etirema .-í (Fiz. X.l-c) sl rrcinio A í l : 7;, = O .\f:, = l =

-en

+ .v

o

el tramo BC: T,, = O ,2-I,, = o .\ll, = -1

Par3 c~lculnrel descenso vertical de la sección A aplicnreinos e1 niitodo de Mohr. Despreciando el efecto producido por el esfuerzo cortants. isnenios: El árbol esti solicit:ido a torsión y a flexión. Secun se ve en la Figura X.2 la sección del eje sometida a m;iyor momento flector es la situada en la mitad del eje.

El niomento flector M, origina una distribución lineal de tensiones norm;iles, cuyo valor niriximo se presenta en los puntos de 13s fibras superior e inferior:

Por su piirte. el niomento torsor produce una distribución de tensiones d e cortadura cuyo valor máximo, para los puntos perifericos, es: El sigilo positivo nos indica que el desplazamiento de la sección extrema A tiene el mismo sentido que el de la carga ficticia aplicada. es decir, que tiene seniido descendente. Anilogamente. para calcular el giro de la seccióii A aplicarenios tambien el método de Mohr

.

De las condiciones dadas en el enunciado se deduce el valor d e A{,. Si N se expresa eri

CV. se tiene M, =

2250 x 800

Zntr

3.14 x 300

= 1910 m - k p

En los ptintos que presentan simultáneamente los valores de,,a y r,,, se pueden calcular los valores d e las tensiones principales y la tensión de cortadura mixima r,,,, mediante el circulo de Mohr.

EII 0, = -0.00186 rad

El signo negativo nos indica que el giro de la sección extrenia A tiene el sentido opuesto al del momento licticio :iplic:ido, es decir. el giro experinientado por la sección tiene sentido antihorario.

60 x 75

-N =

I 4

i

SOLIC!TACIONES COMBINADAS

1

631

Figura X.2-h. Figura X.3-b.

Sustituyendo los valores d e o,,, y ,,T t...

= 2

en función de los momentos Af, y M, queda: =

R10

=

\

'

,

4

..,

.-

nR

-

Figura

Aplicando el criterio de Trcsca. se habra de verilicar y que el niomento fiector máximo tiene también este valor.

hf,,,

de donde R3 2

4

.,/m m +

-

=

4 x 10-

J675'

= 3750 c m . kp =

nr'

WZ.o,,,

= - ozdm

de donde:

1910' cm3 = 161.20 cm'

no.dm

r3 =

4 x 3750 3.14 x 1200

= 4 cm'

el diámetro del redondo sera: X3.

Un redondo de acero al carbono que tiene la forma y dimensiones indicadas en la Figura X.3-a esta perfectamente empotrado en un paramento vertical. Calcular el radio necesario para resistir una carga P = 250 kp aplicada en el punto medio del lado paralelo al paramento, si las tensiones mhximas admisibles a tracción y cortadura son O o,, = 1200 kp/cm2 y r,,, = 720 kp/cm2 respeciivarnente. Supondremos la dimensión b pequcíia en relación a a. Esto nos permite considerar la ?arte A B empotrada en sus extremos. Esta parte trabaja a flexión, mientras que las BC y AD a torsión principalmeiate. Los momentos de empotramiento en A y B son precisamente los momentos torsores que actúan sobre AD y BC. Supongamos, pues, una viga recta de longitud a = 1.20 m empotrada en sus extremos: y cargada en su punto medio con P = 250 kp. Los momentos d e empotramiento en B y A son iguales, por razón d e simetría. De la observación del diagrama de momentos flectores en esta viga (Fig. X.3-b),se deduce que los momentos d e empotramiento son, en valor absoluto:

! I

Este resultado sera valido si no se supera en AD y B C la tensión admisible a cortadura. Se comprueba, en efecto, que la tensión de cortadura niasima en estos tramos es:

X.4. Un prisma mechnico de línea media rectilinea y seccibn recta constante esti sometido a íiesión y torsión combinadas. En un punto P del prisma, se pide: 1." Determinar la matriz de tensioner 2." Calcular las tensiones principales. 3." [lallar las relaciones que tienen que verificar las componentes dc la matriz de tensiones si se tonia como criterio: para que el material del prisma en el punto P no se ~~lastifiquc a) el criterio de la tensión principal rnhxitiia. b) el criterio de I'rnca. b) el criterio de von Mises.

SOLICITACIONES CO~.I»INADAS

l." Toiii.iiido uri ,iitcin:i CIC rcfcrciici:i de eje .r coincidcriic con Id línea iiic
633

Sustituyendo las expresiones de las tensiones principales antsriornientc obtenidas y simplificando se obtiene:

X.5.

Uo prisma cilíndrico de sección recta circular de radio R = 5 cm y loi~gitudI = I ni e s i i eiripotrado en un extremo y libre en el otro, de lornia que su linea niedia esta coiiienida en un plano Iiorizontal. Mediante una pieza de rigidez infinita, unida a la sección del extrenio libre, se aplica una carga P = 500 kp cuya línea de acción se encuentra a distancia d = 30 cm drl rje verticsl que contiene el centro de la :sección. Se pide: l."

2"

De la nisirir J e i~.nsione';se dcdiicr la ecuación caracteristica

de

3."

I:i

Determinar la ley de variación del módulo del vector tensión en los puntos de l a generatriz superior del prisma para planos perpendiculares a la Iínea media. 2." Conocierido los ralores de los módulos de elasticidad E = 2.1 x 106 kp/crn2 y C = 8.4 x l o 5 kplcm', calcular el corrimiento vertical del punto de la linea de accióri de 1 i carga que antes de ser aplicada pctrrnece al plano hurirontal que contiene a la línea media del prisnia.

que se obricncn las tensiones princip;iles:

U ) Segun el criterio de In tensión principal mixima el valor de ésta tiene que ser menor que el lim::e elistico u,

U,,

+ JCix + J(T;, +

T;;)

<

1."

Una sección a distancia .r del extremo libre se encuentra sometida a un momento flector ICI, = P.r y a un momento t o n u r M, = Pd. En el punto de la generatriz superior @ y en el plano d e la sección el vector tension correspondiente tiene de componentes intrínsecrts la o,,, debida 21 momento íiector y la debida al momento torsor.

-

b ) Si se aplica el criterio de Tresca se tiene que verificar

Por tanto, la ley de variación del módulo del vector tensiQn (.)

Segun el criterio de von hlises: (CI

- o')?

+ (U2 - o,)? + (o, - U,)' 6

< 20:

o =

\ki'+ di; =

SOLICITACIONES COMBINADAS

635

Sustituyendo valores. se obtiene:

m=7."

El descenso del punto C consta de dos términos: uno. el correspondiente al descenso del centro O de la sección extrema debido a la flexión que, como sabemos, tiene por expresión

'

y otro, debido a la torsión del prisma. El giro de la sección extrema. segun (9.2-11 ) es:

D

C Figura X.6-a.

b

3"

/-

C i i~11raX.6-b.

El corrimiento debido al giro sera

Figura X.6-c.

Por tanto, el corrimiento vertical del punto C s e r a

Figura X.6-d.

Figura X.6-e.

da lugar a una tensión tangencia1 r,, (Fig. X.6-d) Por su parte, el momento torsor cuyo valor se deduce dé las Tablas 9.1 y 9.2, teniendo en cuenta que es en el punto L de la sección rectangular en cl quc se presenta la tensi6n mixima

Sustituyendo valores:

'O2

6, =

)

cm = 0.216 cm

se obtiene:

b

ya que para - = 2: cr = 0.246. C

Análogamente. el momento torsor Att da lugar a otra tensión r,, (Fig. X.6-e), de valor

X.6. Sobie una pieza de forma paralelepipédica, cuyas :ongitudes i e las aristas son: a = 40 cm; b 20 cin; c = 10 cm, actúa la solicitaci6qjndicada en la Figura X . 6 6 y compuesta por:

=

-

a ) un momento flector M, = 200 m kp, que se supondra uniformemente repartido en planos perpendicalares a las curas de aristas de longitudes a y c. b ) un momento !r>rsor M; = 80 m . kp, de eje paralelo a la arista de longitud a. c) un momento torsor Mf = 210 m , kp de eje paralelo a la arista de longitud b. Calcular el vector tensión en el punto L, centro de la cara superior, para la orientación definida por el plano que pasa por L y por 10s vertices E y J. Veamos qué tensiones existen en las caras del elemento que rodea al punto L, referida al sistema O.ryr indicado en la Figura X.6-b.. El momento flector M, produce una tensibn normal u,, (Fig. X.6-c), de valor

M;

1 ya que para

= C

l

210 x 10' = 18.67 kp/cm2 40 x 10'

= nac' = 0.232 x

4: a

-

0.282.

La cuprposicibn de los tres erectos d a lugar r un estado ten&onal, cuya matriz de tensiories en L es .

Veamos ahora cuál es el vector unitario normal al plano BEJ

636

RESISTENCIA DE rMATERlALES

SOLlClTACIONES COMBINADAS

De elte producio vcct~~rial, noriiial al plano. sr dscliice el vcctor unit;irio N a1 mismo

La tensión tarigenciiil r es drbidzi

31

637

momento iorsor. Su valor. si R., es el radio medio. es:

Podrnios considerar que el elcnicnto ,,ti soniciido a deformación plana. Teniendo en cuent:i que la terisióii principal máxima no puede superar el valor o,,,, = 12(H kp!cni2, del circulo de Xlohr (Fig. X.7-e) se deduce:

El vrctor irii~ióripedido e,, pus,

es decir, el vector tension en L, para la orieniacion definida por el vector unitario C. es paralelo al plano de la cara superior de la pieza. S u modulo es:

S.7.

Cn tubo de acero de radio exterior R = 10 cm y espesor e = 1 cm y de longitud prácticamente indefinida e>ta ~orritrtidoa un nioniento torsor d.1, = 600 m . kp y a una pre3ión interna p. Conociendo el valor de la ierisión adniisible en el materi~l.tanto a tracción coirio a compresi6n, o,,, .- 110 kp/crii' y admitiendo que las tensiones tangenciales debidas al inoincnto torsor son uniforines eri el espesor. dcierrninar el rniximo valor que puede tornar la presión interna p.

((1)

Aislando un elemento limii3do por dos planos diameirales y por dos planos transversales. indefiriidamente pró.rimos entre si ambos (Fig. X.7-o).se tienen sobre sus caras las tensiones indicadas en la Figura X.7-h.

Figura X.7. (1200

-

I

(4

4 . 5 ~ ) ' = ( 4 . 5 ~ ) ' + 105.52'

de donde:

Un eje vertical de acero dulce del tipo A 37, que está empotrado por su extremo inferior. tiene un radio R = 5 cm. En la sección extrema superior se splica un momento torsor M , = 1000 i i i .i.p y sobre ella dscanba una carga P = 10 ton. . Estudiar el estado tensional exisgnte en el interior del eje calculando en particular las tensiones principales en magnitud y dirección para un punto a distancia r = R / 2 del eje geométrico de la pieza. Comprobrr si es superada en algún punto la tensión máxima admisible. Datos del acero A 37: u,,, = 1200 kp/cm2; T,,, = 800 kp/cm2.

S.8.

, ,

Figura IX.7.

.,

El valor d e la tensión normal o se puede obtener planteando el equilibrio en medio tubo (Fig. X.7-c) de longitud unidad

El eje considerado está solicitado pc; una acción combinada de compresión y torsión. Sea P un punto interior a distancia r del centro de la sección recta que la contiene. El primer efecto de compresión se traduce, para una superficie elemental que rodea a P y está contenida en la sección recta, en una tensión normal o, a la superlicie, de valor:

siendo R , el radio interior.

que es constante cn toda la pieza.

SOLICITACIONES COMBINADAS

639

de donde:

direcciones contenidas en el plano n indicado en la Fisura X.8-o. Las tensiones tansenciales rnixirnas se dan en los puritos periícricos en los que

1

Figura X.8-a.

Figura A.8-b.

Por otra parte el momento torsor M, causa una tensión d e cortadura plano de la sección recta. perpendicular al radio G P y de valor:

Las tensiones principales en estos puntos son: T

contenida en el

Sea n el plano que contiene a ambas tensiones. Este plano resulta paralelo al eje de la pieza y perpendicular por tanto a la sección recta. Considerando un haz de planos que contienen el radio G P se pueden obtener para estas orientaciones las componentes normal y tangencia1 del vector tensión utilizando cl circulo d e Mohr (Fig. X.8-b). Fácilmente se deducen los valores de las tensiones principales:

que no supera el valor de la tensiRn adniisible

X.9.

Un eje hucco de acero, de diámetro exterior D = 12 cm e interior d = 6 cm, ha de transmitir una potencia de N = 800 CV girando a n = 500 rpm. El eje esta sometido a una compresión de r" = 5 ton y es lo suficientemente corto pJra que no haya que considerar fenbmenos de pandeo. También lleva un volante quc produce en el eje uii niomcnto ilector mi\imo Af,. Calcular el niayor valor que puede tcner ,VI, para que el ~ a l o rde la nihsinia tensión principal no supere el valor a,,, = 1000 Lp/cm2. El eje que se considera esta sometido a una solicitación combinada de compresión, ilexión y torsión.

Sustituyendo valores se obtiene: Los valores miximos de la tensión tangencia1 debida al momento torsor y la normal d:bida al momento fleclor se presentan en los puntos dc las secciones rectas que pertenecen a las generatrices superior e inferior del eje. Sus correspondicatec expresiones son:

Las tensiones principales están contenidas en el plano n y valen: o, = 198.8 kp/cm2 (tracción) o, = -326.1 kp/cm2 (compresión) del mismo circulo de Mohr se qbtienen las direcciones principales:

Conio la tcnsión priricip;il mixima es:

642

SOLICIT4CIONES COMBINADAS

RESISTENCIA DE MATERIALES

l."

2." Si o = bfi. a, es también una función creciente. Su máximo se presenta también en el vértice A . Su valor es:

643

Segun se ha visto (Fig. 10.8). la tensión mixjinn d e corradura en la seccihn de un mucllc se presenta en el punto i n ~ e r i o rde la espira. Esta tensión rnrixima consta de dos términos: T,. debida al momento torsor

y r,. debida al esfuerzo cortante

3.0 si o > bfi. Estudiemos la función o, = /(!). q u e verificar: -

do,

Veamos si tiene máximos relativos. Si los tiene se tiene

-

2M

-=y .nab

Se tendrá que verilicar,

de donde Sus~iiuyendovalores: solución válida si y X.11.

< a.

Un resorte helicoidal de una balanza para carga máxima P = 10 kp tiene un diámetro de espira de 2 R = 4 cm. Se pide calcular:

l." El diametro del alambre, si la tensibn maxima admisible a cortadura es 2."

T.,

en donde r viene expresado en milimetros. Esta inecu:icion sc piicdc rcsolver por tanteo viendo el menor valor entero de r q u e la satislace. Resulta:

= 1000

kp/cm2. El alargamiento del muelle cuando esta aplicada la carga máxima, si n = 12 es el número de espiras.

Se tomara como módulo de elasticidad transversal G

=

85 x l o s kp/cm2. 2." Aplicando ;! eciiición (10.4-5) tenemos:

X.12.

Un resorte helicoidal compuesto esta formado por dos resortes, coloc-do uno en el interior del otro. Las caracterlsticas del resorte interior son las siguientes: tiene n , = 10 espiras de diámetro d, = 5 ,nm, el dilrnetro medio es D I = 60 mni y su longitud cuando no esta sometido a esfuerlo alguno es 1, = 80 mrn. El resorte exterior tiene n 2 = 8 espiras de diáinctro d , = 7 mm, su diimetro medio es D, = 75 nlrn y su longitud cuando no está comprimido 1, = 70 mm. Se comprimen ambos resortes entre dos placas paralelas hasta que la distancia entre las dos placas es de 60 mrn. Si cl módulo de elasticidad transversal c i G = 8.4 x 10* kp/cm2, se pide: 1."

Calcular la rigidez de cada uno de los resortes.

La Hallar la carga aplicada a las placas. Figura X.ll.

3." Determinar el valor dc la terisión maxirna de cortadura en cada resorte.

1."

1-a rigidcr de cada rchorte ch. bcgiin la exprrsibn (10.4-Y)

1-a condicit,n de lorigitud del resorte c!s;i~ido las espiras se tocan nos proporciona la eciiación ,ir/

= 1 = 60

mni

y d ~ .la coritlicion dc ser la tensión tangencia] niixiina i-u~il a cortadura. se tiene:

2."

I;i

terisión ;idiiii>iblc

3

L3 c3rp.1 que j o p o r t ; ~cada uno de los resortes es:

Sustituyendo en la primera ecuación. teniendo en cuenta la segunda:

L.I carga

10131

aplicada

3

1.1s pIac9s s e r i d c doiide:

Lo Despreciando e1 efecto del esfuerzo cortante la tensiOn tangencial en un resorte será la dcbida al momento torsor. Su valor minirno cs: Finalmcnie. el numero

Particularizando esta ecuacion para los resortes interior y exterior. respectivamente. tenemos

S.14.

ti

d e espiras es:

Cuando se comprime un resorte helicoidal de n = 10 espiras cerradas, produciéiidose un acortamiento 6 = 5 cm, se absorbe una enerbía F = 2 5 m - kp. Si el diúmetro medio de la espira es nueve veces el del alambre, calcular los diámetros de la espira y del alambre, asi como el valor de la tensión tangencial niixima. El rnódulo de elasticidad transversal es G = 8 4 x 105 kp/cm2. De la expresión de la energía d e deformación. expresada c o m o trabajo d e las fuerzas exteriores,

X.13. Se quiere construir un resorre helicoidal de rigidez X- = 1 kplcm, tal que su longitud con las espiras tocandose entre si sce I = 60 mm, para una carga nihsima de P = 5 kp. Sabiendo que

se deduce el valor d e In fuerza que coriiprime el resorte

la tensión tangencial admisible del material es r,,, = 800 kp/cm2 y que su módulo de elasticidad rransversdl es G = 6 x 105 kp/crn2 se pide calcular el diiritctro del alambre, el diimetru medio del resorte y el número de espiras. De la expresión (10.4-8) quz nos da la rigidez se deduce una relación entre las incógnitas

C o m o B = 9íi y

ti =

10. cn virtud de (10.4-6), se tiene:

SOLICITACIONES COLIBINADAS

647

L a ecuación (10.5-10) que nos da el vector corrimiento de una dcterniiriada seccion.

de donde:

aplicad;^ a la sección C de la viga que corisideramos. se reduce a

-

= <;ix, rt

/.

d = 13.88 mrn

D = 125 rnm

La tensión tangencia1 rnixima, despreciando el efecto del esfuerzo cortante, es:

EIIIl r,,,

= 1190 kp/crn2

sientloi.

7.

c

m

4

E/,

1-

.Y. J..

x

E)/~(/o

r. rop~ctivnrneritc

C;ilciilcrnos previ:inicrite el r i r o de I:is scccioiies cxtrernns. L a proyección de la ccu;icibn (10.5-1 1). sobre el eje :. tcriiendo s n citt.rir,t que de l a seccibn C es nula p o r razón de sinietria. nos perniite obtener estos sirus

I:i

rotacibri

de doride: F R ~

=

J El:

X.15. Una viga de seccion circular constante, que admite un plano vertical como plano de simetría,

(7l

- 2).

FR?

(lJ8

= --

(X

JEI,

- 2)

Para calct113r el corrimiento vertical c , del punto C proyectaremos los térrninos de esta ecuación vectorial sobre el eje vertical Y.

+

joEI n/z

Aí,

+

90-0 Z R sen-sen

2

$ jin"

COS

o([ -

Por t;into. el corrimiento vertical del punto C es:

Consideraremos el t r a m o AC, es decir. las secciones para valores de O comprendidos entre O y 4 2 . Los csfuerzos y momentos en l a sección de ccntro de gravedad G son:

1"' (?-5

L ,O

los vectores unitarios en las direcciones de los ejes

O),,

tiene por linea media una semicircunferencia de radio R. E l extremo A esta sujeto a una articulación lija, mientras que el extremo B l o está a una articulación móvil, ambas en el mismo plano horizontal. L a viga está sometida a una carga vertical F aplicada en su punto medio C. Calcular, mediante la aplicacibn de las fórmulas de Bresse, el corrimiento vertical del punto Cy el giro de las secciones extremas A y B.

-J-y)Rl/u

+ GQ,,

9 0 + 0

-R 110 2

, ,o

COS

=

Apéndice

FOvlnt~lasgelzerales de ln Norma Básica M V-103 para el cúlculo

1

RESISTENCIA DE U N C O N J U N T O D E C O R D O N E S D E SOLDADURA

Caso

1

hlkitacibn

.

F6rmulas generales de la Norma B4sica MV-103 Soldaduras Ironialcs y laicralcs. combinadas

La distribución de los esfuerzos en cada cordón se hace segun los procedimientos de la Rcsistcncia de Materiales. La Norma Básica MV-103, en su anejo 6. recoge los casos estudiados en la UNE-14035, debidamente adaptados al cálculo en agotamiento, quc reproducimos en las piginiis 651 y 652.

<

Para O.5h < L, 1.511 Esfucrro mirlmo a p n z dc iransmiiir la unión.

F,,, = AF ' , + F, F, =/iL,n,a. Fl =O.75Zo,L1n. En estas erprcsiones:

Caso

Solicitaci6n

UniOn

Expresión practica

I + 2 scn' O

Sólo soldaduras laicrala

e

K

0 10 20 10

1.m

--

Tracción

0.95 Los valorcs dc 8 0.81 vgUn cl caro 3 0.66 0.9 Dcbc curnpllrsc 0.46 0.40 F. < Fma, fl.36

U) (O M)

70 S0 YO

/

1

'

Sólo ioldaduras f r o n i a b

I

K= Tracción

1

Soldaduras Ironialcs y laicralcs. combinddas

0.34

0.33

Para 0.5h < L, < 1.5h. Fxfucno ni;irimo capaz dc transmitir la univn.

F.*

F

.

4

Tracción

1

"1

,":

Sólo soldrduras oblicuas

.

1.0s valorcs de @segunel caso 3. Dsbc cuniplirw:

1

F. Tracción Soldaduras frontales y laicrala, combinadas

Para L,

a

O.5h.

Esfuerzo mjrirno rapaz dc Iransmitir la unión

Soldaduras frontales y latcralcs, combinadas

F,,, = f , + 113 F, F, =/?L,u,a. Fl =0.7SZLlala.

Para L, 2 1.5h. S610 sc consideran los cordoncs latcralcs.

7

F.

Tracción

Los valores dc B según cl caso 3. U c k cumplirse:

F.

0,75Z,iL Sc dcbe evitar cl cordón L, dc! caso 6. i

<

Fmj,

'T,"

- ¡.Y(;:>+


4

r:?~

<

O"

-

C S ~ U C ~ ~ O

3

m.=-.

F.? -

-

I

1

»L F'r

o,.=3.ji

<

l o-=

G 06: i )

.

o ~=. v F.r, -

-

,T' i

u

!Y

/i

-

, G 2 m

=

F'r '1,lY < o. I

1' Sicndo 11' cl niodulo rcsisicnrc dc las sold.iduras. F'ar~ 11

4

c

F.t.

-

o<. 2 1.18

Saldaduras fronr3lcs. lonpitudinalcs

Lhu

r-

.

. d

1

2 1.18

o"

M,= 0.750.Lza,(h + a,)

F.P

-q IY

1:'

/,,+u,

IV

a<. =

ii'

1


h,+a,

b

+ I , *1L,u, ( L ) =< a.

c

Sicndo Jk' cI mGdulo rcsistenic dc las soldaduras. Puede tambiin considerarw absorbido el rnonicnto por las soldaduras u, y a> y el esfuerzo

@

3

cortanre por 12s soldaduras u,.

r-4

f

@9@ e

Tonikn y esfuerzo

l3

A,-a, F*c --

Soldaduras u,

19 iJ

Máximo esfuerzo cortante admisible para las soldaduras 1:

F-e

- < 0.

Soldaduras a,

o,, 2

FlcriOn sirnple

Para 0,511 < L , < ?h. blarimo momciito torsor admisible para las soldaduras 1:

Máximo niomento t o m r admisible para las soldaduras 2:

o,. = J 1.4

1:

Dos soldaduras laterales y do, fronralcs

Soldadura o,

4

'P

11'

1 F'e = -- \

- ---

Torsibn y csfucrzo cortante coinbinad«s

12

-7

v

9

F'r

I

Sblo soldaduras front3les

..O.

"12

Sol4 mld.iJurlii irontalcs t r j n b \ c r s ~ l c s

t-lcxi;>n >irnplc

,dX

- . .-.

?dL

T.

F.

=-

F.

r-

,+e

h

3 t-.< -. Ti oL'

v

t.

F'r 1 +l.$ - -

COr13nIe cornbinridos

7- oL2

V

r.---

Para

+

a'. = Ju,lj(::)' Torsibn y

Eri cstas ciprclioncs:

1

cortante con1binados

h l i s i m o nfucrzo cortante admisible para las soldaduras 2:

I I (

!

El momento t o n o r M: P P e Y dcscdmpone proporcionalmente a A l , y hf,. E l csfucrzo cortante I.'* x descompone proporcionalmcnre a

&Y&. Las soldaduras 1 se calculan como el caso iZ Las soldaduras 2 'se calculan como el caso I l .

6Caso

Solicitaci6n

Uni6n Dos soldaduras laterales y una frontal

l

I

Expresi6n prlctica

G 4r

Para O.5h < L, < 2h. Maximo morncnto admisible pan la soldadura 1:

Apéndice

M, =0.14a,L:a, M i x i m o momento ionor admisible para las soldaduras 2:

we=

hf, =0.75a,L1a,(h+o,) Tonion y afucrzo cortante combinados

El momento ,M' = F'e se descompone proporcionalmcntc a Af, y M2. El csfucrzo cortante F. (si ssti contenido en el plano de la junta. o su excentricidad es pequeña) se considera absorbido por las soldaduras 2. L a soldadura 1 se calcula a IicxiSn pura. L a soldadura 2 se calcula como en el caso I1.

Para 0.5h < L

i .?h.

Tablas de pe~fileslanzinados

Caso a:

M; = F*c* ; M: = F * r , Los valores de o. r. y ,T debidos a A!, y F*. se obtienen como cn el caso 13. Los valores dc a y r.. debidos a hf;. se obtienen como en el caso 10 (r.'=01. Caso b: debido a M .: obtcncmor unas tensioncs:

M: ; a w ' = 0 ; r,Y'=O rr=2Ao Donde: A. área encerrada por la linea mcdia de la sección de garganta de las soldaduras. abatida sobre et plano de la uniiin; o, dimension de garganta de la soldadura en el punto q ~ x z considera. E l resto de las tcnsioncs y la wmprobación de las soldadutdz como en el caso a. Debe cumplirse en todos los casos: un=~u"

16

wrtantc comb;.,*dos

+ 1.8(r:1+~:')

< u,

En general. se pueden omitir en atas uniones los cilculm de las tensiones dcbidas a la torsión.

,

@=

APENDICE

S

Z

657

DOBLE T I'ERFIL N O R h l A L (IPN)

A = Area de la s c c i ó n I = Momento de inercia W = Módulo resistente I i = = Radio de giro

J;

S,

=

blomento estático de media sección

S,

=

-

fx

S,

= Distancia entre los centros de compresión y tracción

q = Rendimiento u = Superficie lateral por metro lineal

658

RESISTENCIA DE MATERIALES

DOBLE T PERFIL EUROPEO (IPE)

ri = Area de la sección I = hfomento de inercia IV = Modulo resistente

/;

-

i =

=

Radio de giro

S. = hloniento estático de media seccion

= I ' =istancia D . entre los centros de compresión y iracción

5

S. q = Rendimiento u = Perimetro =

Dimensiones (mm)

-

IPE h

-

b

e

el

r~

h,

Sección Peso A P cm2 kg/m

Referido al eje x-x

. 1, cm'

W, cm'

i, cm

80

80

46

3.8

5.2

5

59

6.00

80.1

20.0

3.24

100 120 140 160 180

100 120 140 160 180

55 64 73 82 91

4.1 4.4 4.7 5.0 5.3

5.7 6,3 6.9 7.4 8.0

7 7 7 9 9

74 93 112 127 146

10.3 13.2 16,4 20.1 23.9

8,lO 10,4 12.9 15,8 18.8

171 318 541 869 ;.32@

34,2 53,O 77,3 109 146

4.07 4.90 5.74 6.58 7.42

200 220 240 270

200 220 240 270

100 110 120 135

5.6 5.9 6.2 6.6

8.5 9.2 9.8 10,2

12 12 15 15

159 177 190 219

28,5 33.4 39.1 45.9

22,4 26.2 347 36.1

1.94C 2.770 3.890 5.?9(!

194 252 324 429

826 9,11 9,97 112

300 330 360

300 330 360

150 160 170

7.1 7.5 8,O

10,7 11.5 12.7

15 18 18

248 271 298

53,8 62,6 72,7

422 49,l 57.1

8360 11.770 16 270

557 713 904

12s 13,7 15,O

400 450

400 450

180 190

8,6 9,4

13.5 14.6

21 21

331 378

84,5 98,8

66.3 77.6

23.130 1.160 33.740 1.500

16.5 18.5

500 550

500 550

200 210

10.2 11.1

16,O 17.2

21 24

426 467

116 134

947 48.200 1.930 67.120 2.440 106

600

600

220

12.0

19,O

24

514

156

122

92.080 3.070

'

I

7,64

Referido al eje y-y

1

l

i

W,

1, cm4 I

W1

mm

IY

S, cm3

mm

Jr

cm

'1=

IVx/P

m2/rn

IPE

cm

3.69

1.05

25

10.5

6.4

11.6

6.90

3.34

0,328

80

5.79 8,65 12.3 16.7 2í2

1,24 1.45 1,65 1.84 2,05

30 35 40

8.4 8.4 11 13 13

19.7 30.4 44,2 61.9 83.2

8,68 10.5 12.3 14.0 15.8

4.22 5,ll 6,00 6.89 7.78

0,400 0,475 0.551 0.623 0,698

100

45

12.5 14.5 16,s 19 21.5

120 140 160 180

142 205 284 420

28.5 37.3 47.3 62.2

2.24 2.48 2.69 3.02

52 58 65 72

24 26 27.5 31.5

13 17 17 21

1 10 143 183 242

17,6 19.4 2i.2 23.9

8-69 9,62 10.6 11.9

0,768 0,848 0,922 1,041

2u0 220 240 270

604 788 O

80.5 98,s 123

3.35 3.55 3.79

80 85 90

35 37,s 40

23 25 25

374 402 510

26.6 29,3 31.9

13.2 14.5 15.8

1.159 1,254 1,353

300 330 360

1.320 1.680

146 176

3.95 4,12

95 100

42.5 45

28 28

654 851

35.4 39.7

17.4 19.3

1.467 1,605

400 450

20.4 22.3

2.140 2.670

214 254

4,31 4.45

110 115

45 47,s

28 28

1 100 1390

43.9 48.2

21.3 23.1

1.744 1,877

500 550

24.3

3.390

308

4.66

120

50

28

1760

52.4

25.1

2315

600

1

8.49

cm'

I

)I

mm

15.9 27.7 44.9 68.3 Io1

1

44

1

q

;

*

DOBLE T ALA ANCHA. SERIE bIED1.A (HEB)

A = Area d e la sección LV = Módulo resistente

Radio de giro

compresión y tracción q

=

Rendimiento

1

Dimensiones (rnm)

1-IEB h

b

e

6' 1

r

11,

Rcferido al cjc

Scccion I'rso A P cm' kgjm

f, cm'

V cm3

i,

450 864 1.510 2.490 3.830

89,9 144 216 311 426

4.16 $04 593 6,78 7.66

100 120 140 160 130

6 6.5 7 8 8,5

700 220 240 260 210

200 220 240 260 280

200 220 240 260 280

9 9.5 10 10 10.5

15 16

300 320 340 360

300 320 340 360

300 300 300 300

11

11.5 12 12,5

19 20,5 21.5 22.5

27 27 27 27

208 225 243 261

149 161 171 181

117 127 134 142

400 456

400 450

300 300

13,5 14

24 26

27 27

298 344

198 218

155 171

500 550

500 550

300 300

14.5 15

28 29

27 27

390 435

239 254

187 199

57.680 2.880 17.1 79.890 3.550 19.1 : 107.200 4.290 212 1 136.700 4.970 232;

600

600

300

15.5

30

27

486

270

212

171.000 5.700 25.2 .

1

61.3 5.700 71.5 8.090 83.2 :1.260 93,O 149201 103 19:270

1

G

25.170 30.820 36.660 43.190

570 8.51 736 9.43 938 10.3 1.150 112 1.380 12.1 . 1.680 1.930 2.160 2.400

1,

1% cm3

1

1

13,0, 13.8 14.6 15.5

.

y-

S,

cm -~ -

r,=

W/P

(

U

m2/m

HEB

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

27.5 32.5 37,5 40

52.1 82.5 123 177 241

8,63 !U,5 12,3 14,l 15.9

35 40 45

45 50 40 40 40

25 25 25 25 25

321 4!4 527 641 767

17.7 19.6 21.4 23,3 25,l

0,567 0,686 0,805 0.918 1.04 9,30 1.1 5 1.27 10.3 11.3 1.38 1.50 12.4 1.62 13.4

1?0 . 120 120 120

50 50 50 50

40 40 40 40

25 25 25 25

934 1.070 1.200 1.340

26,9 28,7 30,4 32.2

14.4 15,2 16,l 16.9

1.73 1.77 1.81 1.85

300 320 340 360

7,40 7,33

120 120

50 50

40 40

25 25

1.620 1.990

35,7 40,l

18,6 20.8

1.93 2.03

400 450

7.27 7.17

120 120

45 45

45 45

28 28

2.410 2.800

44,5 48.9

22,9 25,O

2.12 2,22

500 550

7.05

120

45

45

28

3.210

53.2

26,9

2,32

600

53 65 75 85 100

2.000 2.840 3.920 5.130 6.590

200 258 327 395 471

110 120 90 100 110

8.560 9.24U 9.690 10.140

571 616 646 676

5,07 559 6.08 6,58 7.09 7.58 7.57 .7,53 7,39

10.820 721 11.720 781 1

-

S, cm3

13 ii 21 23 25

2,53 3,06 3,58 4,05 4.57

13.530 902

tv2

rnm

167 33.5 318 52,9 550 78.5 889 1 1 1 1.360 151

12.620 842 13.080 872

)vl

i,

cm4 cm I----

--

100 120 140 160 180

20.4 26.7 33.7 42.6 51.2

i

cm

-. -

100 120 140 160 180

11 12 13 14

)Y

!

-

----

Referido al eje y-*v

x-.ic

,

4.41 5.39 6,41 7,30 8.32

662

RESISTENCIA DE MATERIALES

DOBLE T ALA ANCHA. SERIE LIGERA (HEA)

p , w ,

dw

,u.

rl = Area de la sección 1 = hlomento de inercia ii' = h.lódulo resistente ;=

x ---

=

Radio de giro

\ A

S,

=

h$omento estático de media sección =

Distancia entre los centros de compresión y tracción

= Rendimiento u = Perimctro 11

Dimensiones (mm)

Sección

Peso

Referido al eje x - x

@

-

666

KESISTEYCI.I Dt- .\lr\Tii',l,4LES

APENDICE 1

667

PERFIL I
d = Area de la seccion 1 = Momento de inercia W = Modulo resistente

i

=

&

=

Radio de oiro

S, = Momento estirico de media sección S,

4JL4M--

7

1,

= - = Distancia entre los centros de compresión y tracción

m =

S, Distancia del baricentro G al centro de esfuerzos cortantes iL1

q = Rendimiento u = Superficie lateral por metro lineal

riNGULAR D E LADOS IGUALES (L)

,

-

4 = Area de In seccion 1 = h~lonientode inerci,i Lt' = iCtodulo r ~ s i r t e n r e i =

jI

t4.1

>]

1

1

Dimensiones

1

Perlilcs recomcndad;~ en la norma UNE 36-531-72.

1

1

Posicion de los ejes

** Perfiles recomend3dos en la n o m a NBE 102. .

-

'

Ii;

/~
l -

ii

\'

E .4

= Rsdio de i i r o

= Superiicie lateral por nieiro lineal

670 P

*

RESIS 1 E.wCIA DT. L I A T C K I , \ L E S

ANGULAR D E LADOS IGUALES

(L)

A = Area d e la sección I = M o m e n t o d e inercia PY = M o d u l o resistente Radio de giro u = Superficie lateral por metro lineal ',--

,

- Perlilss recomendados en la nonna

U N E 36-531-72

" Perfiles recomendados c n la riorrna NBE 102

-

672

RESISTENCIA DE MATERIALES

PENUICE 2

673

ANGULAR DE LADOS IGUALES (L)

A I W

= Area de la sección = Momento de inercia = Módulo resistente =

u

=

&

= Radio de y r o

Superficie lateral poi metro lineal

7

Dimensiones (mm)

Sección A cm3

L b

e

r

1C3x8** 100x lo** 100 x 12 100x15

100 100 100 100

8 10 12 15

12 12 12 12

130x lo** 1iOx 12** 120x 15

120 120 120

10 12 15

15Ox 12** 150x 15** 1!10x 18

150 150 150

180x 15* 180x 18 180x20 200x 16* 200x 18* 200 x20 200 x 24

0

"1

Posición de los ejes (cm)

Peso P kg/m

Reterido a los ejes x-x

w'

u'

d1

6,O 6,O 6,O 6,Q

15,5 19,2 22,7 27,9

12,2 15,O 17,8 21,9

2,74 2,82 2,90 3,02

7,07 7,07 7,07 7,07

3,87 3,99 4,11 4,27

3,52 334 3,57 3,61

13 13 13

6,5 6,5 6,5

23,2 27,5 33,9

18,2 21,6 26,6

3,31 3,4O 3,51

8,49 8,49 8,49

4,69 4,80 4,97

4,23 4,28 4,31

12 15 18

16 16 16

8,O 8,O 8,O

34,8 43,O 51,O

27,3 33,8 40,l

4,12 4,25 4,37

10,6 10,6 10,6

5,83 6,Ol 6,17

5,29 5,33 5,38

180 180 180

15 18 20

18 18 18

9,O 9,O 9,0

52,l 61,9 68,3

40,9 48,6 53,7

4,98 5,10 5,18

12,7 12,7 12,7

7,05 7,22 7,33

6,36 6,41 6,44

200 200 200 200

16 18 20 24

18 18 18 18

9,O 9,O 9,O 9,O

61,8 69,l 76,3 90.6

48,5 542 59,9 71,l

5,52 5,60 5,68 5,84

14,l 14,l 14,l 14,1

7,81 7,93 8,04 8,26

7,09 7,12 7,15 7,21

* Perfiles recomendados en la norma UNE

36-531-72.

**

Perfiles recomendados en la norma NBE 102.

=

5-e

y-y

1,

w x

1,

cm4

cm3

cm

145 177 207 249

19,9 24.6 29,l 25,6

3,06 3,04 3,02 2,89

313 368 445

l

737 898 1050

t

1 590 122 1870 145 2 040 159

5,52 2 520 6,96 5,49 2960 6,92 5,47 3 240 6,89

2540 2 600 2850 3 330

6,16 3720 6,13 4 130 6,11 4530 6,06 5280

l

1j , l

1

1, cm4

u d b~ "3 W3 Wi I,, mm mm mm mm cm4 mm m2/m

7-7 1,

1,

w,

L

cm

cm

cm4

cm3

3,85 3,83 3,80 3,75

59,8 723 85,7 104

15,5 1,96 18,3 1795 20,9 1,94 24,4 1,93

45

60

40

25

36,O 3,67 42,7 3,65 52,4 3,62

497 4,63 584 4,60 705 4,56

129 152 185

27,5 2,36 31,5 2,35 37,l 2,33

50

80

40

25

120x lo** 184 90,5 216 88,s 0,469 120 x 12** 120 x 15 260 85,5

67,7 4,60 83,5 4,57 98,7 4,54

1 170 5,80 1430 5,76 1 670 5,71

303 370 435

52,O 2,95 61,6 2,93 70.4 2,92

50

105

45

28

150 x 12** 434 114 530 131 0,586 150 x 15" 150 x 18 612 128

653 92,6 3,54 3,52 768 106 3,51 843 115

60

135

45

28

180 x 15* 933 138 1096 135 0,705 180 x 18 180 x 20 1198 133

3,94 3,93 332 3.90

60

150

50

28

1380 1530 1680 1950

162 181 199 235

230 280 328 393.

7,76 7,73 7,70 7,64

960 1070 1170 1 380

123 135 146 167

85,1 104 121 145

100 x 8** 74,O 100 x lo* 72,O 0,390 100 x 12 70,0 100x 15 67,O

157 155 153 149

200 x 16* 200 x 18* 200 x 20 200 x 24

674

RESISTENCIA DE MATERIALES

ANGULAR DE LADOS DESIGUALES (LD)

A = Area de la sección I = Momento de inercia W = Modulo resistente i

1

Dimensiones

/

/

1

&

= Radio de giro

Referldo a los ejes

Posición de los ejes X-x

* Perfiles recomendados en la norma lJNE 36-532-72

=

i\

Y -Y

t-t

V-7

LD

676

RESISTENCIA DE MATERIALES

ANGULAR DE LADOS DESIGUALES (LD)

A = Area de la sección I = Momento de inercia W = Módulo resistente

d;

-

i =

Dimensiones (mm)

1

LD l

a

a

b

e

r

r

,

I cm

cm

u' cm

cm

u"' cm

w' cm

c,

c,

u"

Ig a

l

*

i75 50 x 5* 75 x 50 x 6 175 x 50 x 7"

x-x

i

cm3

cm

1, cin4

cm-m

w,

1,

34,4 40,5 46,4 52,O

6,74 8,01 9,24 10,4

2,38 2,37 2,36 2,35

12,3 14,4 16,5 18,4

3,21 3,81 4,39 4,95

38,2 44,9 51,4 57,6

735 8,73 10,1 11,4

2,56 2,55 2,54 2,53

51,4 59,O 66,3

9,29 10,7 12,2

1

89,7 103 116 141

50 50 50 50

5 6 7 8

7 7 7 7

3,5 3,5 3,5 3,5

6,05 7,19 8,31 9,41

4,75 5,65 6,53 7,39

2,39 2,44 2,48 2,52

1,17 1,21 1,25 1,29

2,03 2,08 2,13 2,18

2,65 2,63 2,63 2,62

1,32 1,35 1,38 1,42

5,15 0,436 5,12 0,435 5,lO 0,433 5,08 0,430

180x40~7 80 x 40 x 8*

80 80 80 80

40 40 40 40

5 6 7 8

7 7 7 7

3,5 3,5 3,5 3,s

5,80 6,89 7,96 9,01

4,56 5,41 6,25 7,07

2,81 2,85 2,90 2,94

0,84 0,88 0,92 0,96

1,51 1,55 1,61 1,65

2,40 2,38 2,36 2,34

0,91 0,89 0,97 1,04

5,24 0,260 5.20 0,258 5,17 0,256 5,14 0,253

80x60~6 8 0 x 60 x 7* 180 x 60 x 8

80 80 80

60 60 60

6 7 8

8 8 8

4,O 4,O 4,O

8,11 9,38 10,6

6,37 7,56 8,34

2,47 2,51 2,55

1,48 1,52 1,56

2,50 2,53 2,58

2,92 2,92 2,92

1,72 1,77 1,80

5,57 5,55 5,53

0,548 0,546 0,544

'100 x 5Ox 6* 1100 x 50 x 7 1100 x 5 0 x 8*

100 100 100 100

50 50 50 50

6 7 8 10

9 9 9 9

4,5 4,5 4,5 4

8,73 10,l 11,4 4 ,

6,85 7,93 8,99 111

3,49 3,54 339 3,67

1,04 1,08 1,12 1,20

1,91 1,93 2,OO 2,08

3,OO 2,98 2,96 2,93

1,15 1,15 1,18 1,22

6,56 6,52 6,49 6,43

0,260 0,259 0,257 0,253

65 65 65

7 8 10

10 10 10

5,0 5,O 5,O

11,2 12,7 15,6

8,77 9,94 12,3

323 3,27 3,36

1,51 1,55 1,63

2,66 2,68 2,78

3,48 3,47 3,45

l,73 1,73 1,78

6,83 0,415 6,81 0,414 6.76 0,410

1

100 x 65 x 8* 100x65x10*

100 100 100

100 x 75 x 8** 100 x 75 x l o * * 100x75x12**

100 100 100

75 75 75

8 10 12

10 10 10

5,O 5,O 5,O

13,s 16,6 19,7

10,6 13,O 15,4

3,lO 3,19 3,27

1,87 1,95 2,03

3,12 3,23 3,34

3,65 3,65 3,65

2,19 2,24 2,29

6,95 6,92 6,89

1

* Perfiles recomendados en la norma

UNE 36-532-72

0,547 0,544 0,540

** Perfiles recomendados en la norma NBE

w,

5-5

Y -Y

1, cm4

75 75 75 75

:; : 1 ::* i*

giro

Referido a los ejes

Posición de los ejes Sec Peso A P cm2 kg/m

= Radio de

1 I

11

l 1

l

1

!1

102

J.

1,

- 2,52

6,49 759 8,63 9,61

It

LD

0-rl Iv

't

I*

cm4

cm

cm4

cm

1,43 1,42 1,41 1,40

39,6 46,6 53,3 59,7

2,56 2,55 2,53 2,52

7,tl 8,36 9,57 10,8

1,08 1,08 1,07 1,07

75 x 50 x 5* 75 x 50 x 6 75 x 50 x 7 * 75 x 50 x 8

2,06 2,44 2,81 3,16

1,06 1,05 1,04 1,03

40,5 47,6 54,4 60,9

2,64 2,63 2,61 2,60

4,19 4,92 5,64 6,33

0,85 0,85 0,84 0,84

80 x 4 0 x 5 80 x 40 x G* 80 x 40 x 7 8Ox 40 x 8*

.

2,51 2,50

24,8 28,4 31,8

5,49 6,34 7,16

1,75 1,74 1,73

62,8 72,O 80,8

2,78 2,77 2,76

13,4 15,4 17,3

1,29 1,28 1,27

80 x 60 x 6 80 x 60 x 7* 80 x 60 x 8

13,8 16,O I8,l 22,2

3,21 3,20 3,18 3,16

15,3 17,4 19.5 23,4

3,85 4,46 5.04 6,17

1,32 1,31 1.31 1,29

95,1 109 123 149

3,30 3,29 328 3,25

9,85 11,3 12,7 15,4

1,06 1,06 1,05 1,05

100 x 50 x 100 x 50 x 100 x 50 x 100 x 50 x

113 127 154

16,6 18,9 23,2

3,17 3,16 3,14

57,6 42,2 51,O

733 8,54 10,5

1,83 1,83 1,81

128 144 175

3,39 3,37 3,35

22,O 24,8 30,1

1,40 l,40 1,39

100 x 6 5 x 7 100 x 65 x 8* 100x 65 x lo*

133 162 189

19,3 23,8 28,O

3,14 3,12 3,lO

64,l 77,6 90,2

11,4 14,0 16,s

2,18 2,16 2,14

163 197 230

3,47 3,45 3,42

34,6' 42,2 49,5

1,60 1,59 1,59

100 x 7 5 x 8** 100 x 75 x l o * * 100 x 75 x 12"

6' 7 8* 10

678

RESISTENCIA DE MA7 ERIALES

ANGULAR DE LADOS DESIGUALES (LD)

A = Area de la sección I = Momento de inercia W = Módulo resistente

i.

=

4

= Radio de giro

i

--r

/

1

Dimensiones (mm)

Posicion de los ejes

LD a'

b

e

r

r,

Sec Peso P A cm2 kg/m

c,

cm

c,

cm

u'

u"

cm

cm

u"'

cm

w' cm

80 80 80

8 10 12

11 11 11

5,5 5,5 5,5

15,5 19,l 22,7

12,2 15,O 17,8

3,83 3,92 4,OO

1,87 195 203

3,27 3.37 3,46

4,23 4,21 4,20

2,16 2,19 2.25

8,23 0,437 8,19 0,435 8,15 0,431

130 x 65 x 8 130x 65 x 10* 130 x 65 x 12*

130 130 130

65 65 65

8 10 12

11 11 11

5,5 5,5 5,5

15,l 18,6 22,l

11,8 14,6 17,3

456 4,65 4,74

1,37 1,45 1,53

249 2,58 2,66

330 336 3,83

1,47 1,54 1,60

6 5 1 0,261 8,44 0,258 8,38 0,255

150 x 75 x 9 150 x 75 x lo* 150 x 75 x 12* 150 x 75 x 15

150 150 150 150

75 75 75 75

9 10 12 15

11 11 11 11

5,5 5,5 5.5. 5,5

19,6 21,6 25,7 31,6

15,4 17,O 20,2 24,8

5,27 5,32 5,41 5,53

1,57 1,61 1,69 1,81

290 2,90 2,99 3,11

4 9 4,48 4,45 4,41

1,72 1,73 1,81 1,91

931 9,77 9,71 9,62

150 x 90 x lo* 150 x 90 x 12 150 x 90 x 15*

150 150 150

90 90 90

10 12 15

12 12 12

6,O 6,O 6,O

23,2 27,5 33,9

18,2 21,6 26.6

5,OO 5,OX 5,21

2,04 2,12 2,23

3,60 3,70 3,84

5,03 5,OO 4,9F

2,24 10,l 0,361 2,30 10,l 0,358 2,46 9,98 0,354

200 x 100 x 10 200 200 x 100 x 12 200 2 0 0 x 1 0 0 ~ 1 5 200

100 100 100

10 12 1s

15 15 1s

7,5 7,5 7,5

29,2 34,8 43,O

23,O 27,3 33,7

6,93 7,03 7,16

2,01 2,lO 2,22

3,75 3,84 3,94

6,05 6,00 5,95

2,22 13,2 2,26 13,l 2 3 7 13,O

200 200 200 200

150 150 150 150

10 12 15 18

15 15 15 15

'1,s 7,j 7,5 7,5

34,2 40,8 50,5 60,O

26,9 32,O 39,6 47,l

599 6,08 6,21 6,33

3,53 3,61 3,73 335

5,98 6,09 6,26 6,41

7,35 7,34 7,33 7,33

455 4,17 3,99 3,69

200 x 150 x 200 x 150 x 200x 150 x 200 x 150 x

10 12 15 18

1 i

1

1

i

0,262 0,261 0,259 0,254

0,265 0,262 0,260

14,O 0,553 13,9 0,552 13,9 0,551 13,8 0,548

x-x

1

tg a -

120 x 80 x 8** 120 120 x 80 x lo** 120 120 x 80 x 12** 120

Referido a los ejes

1

I

z

11 1

-

1

\ II

4

W,

4

LD

V-V

4

11 cm4

cm3

cm

cm4

cm3

cm

cm4

cm

cm4

cm

226 276 323

27,6 34,l 40,4

382 330 3,77

80,8 98,l 114

13,2 16,2 19.1

2,28 2,26 2,24

260 317 371

4,lO 4,07 4,04

46,6 56,8 76,6

1,73 1,72 1,71

120 x 80 x 8** 120 x 80 x lo** 120 x 80 x 12**

263 320 375

31,l 38,4 45,4

4,17 4,15 4,12

44,8 54,2 63,O

8,2 10,7 12,7

1,72 1,71 1,69

278 339 397

4,30 4,27 4,24

28,9 35,2 41,2

1,38 1,37 1,37

1 3 0 x 65 x 8 130 x 65 x lo* 130 x 65 x 12*

456 501 589 713

46,9 51,8 61,4 75,3

433 4,81 4,79 4,75

78,3 85,s - 99,9 120

13,2 14,6 17,2 21,O

2,OO 1,99 1,97 1,94

484 532 624 754

4,97 4,96 4,93 4,88

50,4 55,3 64,9 78,8

1,60 1,60 1,59 1,58

150 x 75 x 9 150 x 75 x lo* 150 x 75 x 12* 1 5 0 x 7 5 x 15

533 627 761

53,3 63,3 77,7

4,80 4,77 4,74

146 171 205

21,O 24,8 30,4

2,51 2,49 2,46

591 695 841

5,05 5,02 4,98

88 104 126

1,95 1,94 1,93

150 x 9 0 x lo* 150 x 90 x 12 150 x 90 x 15*

1220 1440 1760

93,2 111 137

6,46 643 6,40

210 247 299

26,3 31,3 38,4

2,68 2,67 2,64

1290 1530 1860

6,65 6,63 6,58

135 159 194

2,15 2,14 2,12

200 x 100 x 10 200 x 100 x 12 2 0 0 x 100 x 15

1400 1650 2020 2380

99,6 119 147 174

6,38 6,36 6,33 6,29

680 803 979 1150

59,2 70,5 86,9 103

4,46

1710 2030 2480 2900

7,07

364 430 526' 618

3,26

200 x 150 x 10 200 x 150 x 12 200x 150 x 15 200x 150x 18

l

¡

Wz

e;-(

Y -Y 1,

1,

4,44 4,40 4,37

*<

7,05 7,OO 6,96

IV

3,25 3,23 3,21

-1

* Perfiles recomendados en la norma UNE

36-532-72

** Perfiles recomendddos en la norma NBE

1

102,

j l

Bibliografia

BEEK, F. P., y JOHNSTON, E. R. Jr.: Mecánica de materiales. McGraw-Hill, Inc. Bogotá,, 1982. . RELLUZZI, O.: Ciencia de la ~onstrucción'(4 tomos). Aguilar. Madrid, 1967. PORESI, A. P., y LYNN, P. P.: Elasticity in Engineering Mechanics. Prentice-Hall. N e w : Jersey, 1974. ~ O U R B O N ,J.: Tratado de Resistencia de Materiales (2 tomos). Aguilar. Madrid, 1968. PAVRE,H.: Cours de Mécanique (Tomos l." y 3."). Leemann. Zurich, 1953. , . . Y.: Résisraiice des Matériaux Mir. Moscú, 1971. ~ERE-TIMOSHENKO: Mecánica de materiales. G r u p o Editorial Iberoamérica. México, 1986. MERGUIGNAS, M., y CAIGNAERT,G.: Résistence des Matériaux. D u n o d Université. París, 1 1977. ISELIOV,V. A.: Mecánica de Construcción '(2 tomos). Mir. Moscú, 1976. [V~ASSONNET,CH: Uésistance des Matériaux. Sciences et Lettres. Lieja, 1960. SEELY,F. B., y SMITH,J. O.: Curso Superior de Resistencia de Materiales. Nigar. Buenos 'Aires, 1967. TIMOSHENKO, S., y YOUNG, D. H.: Elementos de Resistencia de Materiales. M o n t a n e r y Simón. Barcelona, 1979. '

PDOSSIEV,

Índice analítico

Analogia de la menibrana, 574 Angulo de deslizan~iento,144 de hélice de torsión, 553 de torsión, 552 Anillo de pequeño espesor giratorio alrededor de su eje, 106 sometido a presión uniforme, 104 Apoyos articulado fijo, 30 articulado móvil, 30 empotrado, 3 1 Arco funicular, 99 Area sectorial, 212 elemental, 23 1 Armadas, vigas, 212 Barra, 6 Barras esbeltas: compresión excéntrica de, 486 grandes desplazamientos en, 489 pandeo de, 483 Berrioulli, liipótesis de, 70 Betti, teorema de reciprocidad de, 40 Rredt, fórmula de, 583 Carga critica de pandeo, 485 Cargas, tipos de, 28 Cáscara, 7 Castigliano, teorema de, 40 Catenaria, 96

Centro de esfuerzos cortantes, 229 /ntro de torsión, 572 Círculos de Mohr: de deformaciones, 16 de torsiones, 12 Clapeyron, fórmula de, 39 Coeficiente: de concentración de tensiones, 75 de dilatación lineal, 90 de ponderación, 35 de Poisson, 23 de reducción de la longitud, 498 de seguridad, 34 Colignon, fórmula de, 204 Columnas cortas, 502 Columnas esbeltas, 502 pandeo con empotramientos elásticos en los extremos, de 510 Columnas intermedias, 503 fórmula empírica de Tetmajer para la determinación de tensiones~críticas,502 Contpatibilidad de las deformaciones, ecuaciones, de 400 Componentes intrínsecas: del vector deformación unitaria, 15 del vector tensión, 9 Compresión monoaxial: estado de aeformaciones en, 76 estado tensional en, 69 Compuestas, vigas, 220 Continuas, vigas, 410

682

. INDICE ANALITICO

Continuidad de los solidos elásticos, 4

. Convenio de signos

para deformaciones angulares, 143 para esfuerzos cortantes, 139 para esfuerzos normales, 69 para momentos flectores, 188 Cortadura doble, 147 simple, 147 Criterios de resistencia, 37 de la deformación longitudinal máxima, 38 de la energía de distorsión, 38 de la tension principal máxima, 37 de la tension tangencial máxima, 38 de los estados limites de Mohr, 38 Deformaciones principales, 15 Depósito cilindrico sometido a presión uniforme, 102 conico abierto conteniendo líquido, 103 esférico sometido a presion uniforme, 103 Diagrama de desplazamiento de las secciones rectas, 76 de esfuerzos cortantes, 190 de esfuerzos normales, 69 de momentos flectores, 190 de momentos torsores, 558 tensión-deformacion, 21 Direcciones principales de la matriz de deformación, 14 de la matriz de tensiones, 11 Ecuación: diferencial aproximada de la línea elástica, 265 diferencial exacta de la línea elástica, 265 universal de la deformada de iina viga'de rigidez constante, 274 universal de los ángulos girados por las secciones de una viga, 274 Ecuación de Laplace, 101 Ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones, 81, 400 Ecuaciones de equilibrio, 4 interno, 11 Eficiencia de la unión, 152 Eje neutro, 341 Ejes de transmisión de potencia, 556

Elipsoide: de deformaciones, 16 de tensiones de Lamé, 12

Endurecimieiito por deformación, 22 Energía de deformación (vease Potencial interno) Ensayo de tracción, 20 Equilibrio elástico, 8 Esbeltez, 486 Esfuerzo cortante, 26 Esfuerzo normal, 26 Estabilidad, 2 Estado tensional hidrostático, 110 Estáticamente indeterminadas ( u é a ~ eHiperestáticas) Estricción, 22 Euler, fórmula de, 483 Flexión compuesta, 348 de piezas curvas, 360 desviada, 339 pura, 182 resortes de, 305 simple, 188 Fluencia, limite de, 21 Flujo de cortadura, 226, 583 Formula de Colignon, 204 Formula de Euler, 483 Funcion de alabeo, 567 Funciones de discontinuidad, 269 Garganta de un cordón de soldadura, 154 Grado de hiperestaticidad, 81, 414 Hilos, equilibrio de, 94 Hipótesis de Bernoulli, 70 Hbmogeneiddd de los sólidos elásticos, 4 Hooke, ley de, 23 leyes generalizadas de, 24 Isotropía de los sólidos elásticos, 4 Lamé, elipsoide de, 12 Laplace, ecuación de, 101 Ligadura, reacciones de, 29 Limite aparente de elasticidad, 22 Límite de elasticidad, 21 Límite de fluencia, 21 Límite de proporcionalidad, 21 Línea elástica, 263 Línea media de un perfil delgado, 579 Línea media de un prisrna mecánico, 5 Longitud de pandeo, 497. Lüders, líneas de, 21

hlatrir de tensiones, 11 Metodo de los coeficientes w, 504 Metodo de las fuerzas para el calculo de sistemas hiperestaticos, 419 Metodo de Mohr para el cálculo de desplazatodo de multiplicacion de los graficos, 290 odulo de elasticidad

primer teorema de, 274 segundo teorema de, 276 Momento flector, 27 Momento torsor, 28 Navier, ley de, 182 Níicleo central, 354 Pandeo de barras rectas, 483 Paso de remachado, 215 Perfiles delgados sometidos a flexión, 225 Perfiles delgados sometidos a torsión abiertos ramificados, 580 abiertos sin ramificar, 579 - cerrados de una sola celula, 581 cerrados de varias células, 584 Placa, 6

n compuesta, 344

de Saint-Venant, 19 de superposición de efectos, 18 generalizado de Navier-Rernoulli, 188 Pilsrna mecánico, 5 Rankine, criterio de la tensión principal máxima o de, 37

Relaciones entre el esfuerzo cor mento flector y la carga, 200 Resistencia característica, 36 Resistencia mecánica, 1 Resortes:. de flexión, 305 de torsion, 621 Rigidez, 1 a flexión, 265 a flexión de una viga compuesta, 223 a torsión, 554, 519 Saint-Venant: criterio de, 38 principio de, 19 teoría de torsión de, 567 Sección reducida, 281 Sección transformada, 222 Sistemas: hiperestáticos, 31, 414 isostáticos, 31 Soldadura: a tope, 154 en ángulo, 154 Sólido: elástico, 4 rígido, 3 verdadero, 5 Sólido de igual resistencia: a esfuerzos normales, 79 a flexión, 298 Superficie media, 8 Tensión: admisible, 34 equivalente, 37 normal, 9 principal, 12 tangencia], 9 Tensíones de origen térmico, 91 Tensiones por defectos de montaje, 92 Teorema: de Castigliano, 40 de los dos momentos, 412 de los tres momentos, 414 de Maxwell-Betti, 40 de Menabrea, 40 de reciprocidad de las tensiones tangenciales, 11 Teoremas de Mohr, 274

vo-i

i i Y V I L t

ANALI 1 ICU

Teoremas de la viga conjugada, 277 Teoria de la membrana, 100 Torsión, 550 nrlgulo de. 552 de perfiles delgados, 578 eii prismas de sección circular, 552 en prismas de sección no circular, 565 pura. 551 . simple. 551 y cortadura, 621 y nexión combinadas, 618 Tracción o compresión nionoaxial, 69 hiperestática, 81

Uriiones: atornilladas, 146 remachadas, 145 Vector: deíormacióri unitaria, 15 tensión, 9 Vigas: armadas. 213 compuestas, 220 coritinuas, 410 Von Mises, criterio de, 38 Young, niódulo de, 23