Maximos y Minimos de Funciones 2 Variables

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS FACULT FACULTAD DE CIENCIAS C IENCIAS ECONÓMICAS, ECONÓMICAS , ADMINISTRA ADMINIST RATIV TIVAS AS Y CONTABLES DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE MÉTODOS CUANTITATIVOS CUANTITATIVOS

Métodos Cuanttat!os IV

MA"IMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES I. MÁXIMOS Y MÍNIMOS MÍNIMOS SIN RESTRICCIONES: RESTRICCIONES: A# D$t$%&na% 'os $(t%$&os %$'at!os d$) +

3#

G ( x , y )= xy + x − y

+

.#

 H ( x , y )=* + x − y

+

*/#

U ( x , y )= +0 +( x − y ) +( y −* )

**#

V ( x , y )= x + y + + +  x  y

*+#

f  (  ( x , y )= xy − 'n ( x + y )

*#

g ( x , y )= x e + y e

+

*#

f  (  ( x , y )= x + xy + y −, x + +

+#

g ( x , y )= x −- xy + .  y +  x −*/

#

h ( x , y )= + x −+ xy + y + 0 x −, y

1#

u ( x , y )= + + x ++  y −+ x −+ xy − y

0#

v ( x , y )= x + xy + y − - x + +

-# 2#

+

+

+

+

,

+

+

+

w ( x , y )= x + x  y + x − y +

 F ( x , y )=1 x + + y − x + xy − y

+

+

+ 1

+

*

+

+

− x

1

+

−+ y

B# O4t$n$% 'as 5antdad$s 6 7%$5os 8u$ &a(&5$n 'a ut'dad, 6 $' &onto d$ 'a &a(&a ut'dad# (, 6 son 5antdad$s 6 7, 8 'os 7%$5os d$ 'os 4$n$s A 6 B, %$s7$5t!a&$nt$# C $s $' 5osto 5on9unto# *# ( : * ; 7 < +8

6 : ** < 7 ; 8

C : 1( < 6

+# ( : ** ; +7 ; +8

6 : *- ; +7 ; 8

C : ( < 6

# 7 : *- ; (+

8 : . ; 6+

C : (+ < 6+

1# 7 : +- ; (

8 : 1/ ; 16

C : (+ < +(6 <6+

0# 7 : 1/ ; 0(

8 : / ; 6

C : (+ < +(6 < 6+

-# 7 : +3 ; (+

8 : 0- ; 6+

C : +(+ < 6+

C# A7'5a5on$s) *# Una $&7%$sa 8u$ =a4%5a 7asta d$nta' 7%odu5$ 7%$s$nta5on$s d$ *// &' 6 *0/ &'# E' 5osto d$ $sas 7%$s$nta5on$s $s d$ -/ 5$nta!os 6 ./ 5$nta!os, %$s7$5t!a&$nt$# Las d$&andas s$&ana'$s, $n &'$s, 7a%a d5>as 7%$s$nta5on$s son) ( :  ?8 ; 7@ 6 6 : +/ < 7 ; 08 , dond$ (, 6 son 5antdad$s 6 7, 8 'os 7%$5os d$ !$nta# D$t$%&n$ 'os 7%$5os, 7 6 8, 8u$ &a(&an 'a ut'dad d$ 'a $&7%$sa#

+# S 'as =un5on$s d$ d$&anda 7a%a dos 7%odu5tos son 7 : - ; ( 6 8 : 1/ ; 06 , 6 'a =un5on d$ 5osto 5on9unto $s 5 : (+ < +(6 < 6+ , d$t$%&na% 'as 5antdad$s 6 7%$5os 8u$ &a(&5$n 'a ut'dad P d$' &ono7o'sta# E!a'ua% 'a ut'dad $&7%$sa%a' &a(&a# # Su7on$ndo 8u$ 'a =un5on d$ 7%odu55on d$ una $&7%$sa $s  : +/ ; (+ <*/( ; +6+ < 06 6 8u$ 'os 7%$5os unta%os d$ 'os nsu&os, ( $ 6, son + 6 *, %$s7$5t!a&$nt$, 6 8u$ $' 7%$5o unta%o d$' 4$n 7%odu5do $s 0, d$t$%&na% 'a ut'dad &a(&a# 1# Su7on$ndo 8u$ 'a =un5on d$ 7%odu55on d$ una $&7%$sa $s  : */ ; +(+ <(6 ; 6+ < 06 6 8u$ 'os 7%$5os unta%os d$ 'os nsu&os, ( $ 6, son  6 , %$s7$5t!a&$nt$, 6 8u$ $' 7%$5o unta%o d$' 4$n 7%odu5do $s  -, d$t$%&na% 'a ut'dad &a(&a# 0# Su7on$ndo 8u$ 'a =un5on d$ 7%odu55on d$ una $&7%$sa $s  : 1 ; *3 ?( ; 0 @+ ;  ?6 ; 1 @+ 6 8u$ 'os 7%$5os unta%os d$ 'os nsu&os, ( $ 6, son 3 6 1, %$s7$5t!a&$nt$, 6 8u$ $' 7%$5o unta%o d$' 4$n 7%odu5do $s  +, d$t$%&na% 'a ut'dad &a(&a# -# Una $&7%$sa 7%odu5$ un 4$n $n 5o&7$t$n5a 7$%=$5ta# La =un5n d$ 7%odu55n d$' 4$n $s) * +

q =f  ( L , K )=3 L  K 

* 1

su 7%$5o d$ !$nta $s 1 6 'os 7%$5os d$ 'os =a5to%$s 5a7ta' 6 t%a4a9o son 3 6 1, %$s7$5t !a&$nt$# Ca'5u'a% 'os n!$'$s d$ 5a7ta' 6 t%a4a9o, asG 5o&o 'a 5antdad 7%odu5da d$' 4$n, 8u$ &a(&an 'os 4$n$=5os d$ 'a $&7%$sa# 2# Un &ono7o'sta 7u$d$ 5'as=5a% a sus 5onsu&do%$s $n dos t7os d$ &$%5ados dstntos, 5on 'as su$nt$s =un5on$s d$ d$&anda) M$%5ado A) ( : *- ; /#* 7 M$%5ado B) 6 : . ; /#/08, dond$ 7, 8 son 'os 7%$5os d$ !$nta 6 (, 6 'as 5antdad$s !$nddas $n 5ada &$%5ado# Su7ona 8u$ 'a =un5n d$ 5osto tota' $s) C : +/ ( <+/ 6 < +/ D$t$%&n$ 5u' >a d$ s$% 7%$5o d$' 4$n $n 5ada &$%5ado 7a%a &a(&a% $' 4$n$=5o d$' &ono7o'sta 3# Un &ono7o'sta 7u$d$ 5'as=5a% a sus 5onsu&do%$s $n dos t7os d$ &$%5ados dstntos, 5on 'as su$nt$s =un5on$s d$ d$&anda) M$%5ado A) ( : *- ; /#* 7 M$%5ado B) 6 : *3/ ; +/8, dond$ 7, 8 son 'os 7%$5os d$ !$nta 6 (, 6 'as 5antdad$s !$nddas $n 5ada &$%5ado# Su7ona 8u$ 'a =un5n d$ 5osto tota' $s) C : +/?( < 6@ < +/ D$t$%&n$ 5u' >a d$ s$% 7%$5o d$' 4$n $n 5ada &$%5ado 7a%a &a(&a% $' 4$n$=5o d$' &ono7o'sta .# Una $&7%$sa 7%odu5$ dos t7os d$ 7%odu5tos, A 6 B# E' 5osto da%o tota' ?$n d'a%$s@ d$ 7%odu5% ( undad$s d$ A 6 6 undad$s d$ B $st dado 7o% C : +0/ ; 1( ; 26 < /#+(+ < /#*6+ # D$t$%&n$ $' nJ&$%o d$ undad$s d$ A 6 B 8u$ 'a $&7%$sa d$4$ 7%odu5% a' dGa 7a%a &n&a% $' 5osto tota'# */# Una $&7%$sa 7%odu5$ dos t7os d$ 7%odu5tos, A 6 B# E' 5osto da%o tota' ?$n d'a%$s@ d$ 7%odu5% ( undad$s d$ A 6 6 undad$s d$ B $st dado 7o% C : *0// ; 2#0( ; *06 ; /# (6 < /#( + 
**# S ( d$nota 'a 7%odu55n d$ 'a $&7%$sa ?$n 5$ntos@ 6 6 'a 5antdad astada ?$n &'$s d$ d'a%$s@ $n 'os $s=u$%os 7%o&o5ona'$s d$ !$nd$% $' 7%odu5to, $nton5$s 'a ut'dad d$ 'a $&7%$sa P ?$n &'$s d$ d'a%$s@ $st dada 7o% P : *-( < *+6 < +(6 ; (+ ; +6+ ; 2# Kué !a'o%$s d$ ( 6 6 7%odu5%n 'a ut'dad &(&a KCu' $s 'a ut'dad &(&a *+# Usando L undad$s d$ &ano d$ o4%a 6  undad$s d$ 5a7ta', 'a 7%odu55n s$&ana' tota' d$ una $&7%$sa $st dada 7o% P?L, @ :+/ < +L < L ; +L+ ; +#0 + Ha''$ $' nJ&$%o d$ undad$s d$ &ano d$ o4%a 6 d$ 5a7ta' 8u$ 'a $&7%$sa d$4$ ut'a% 7a%a &a(&a% su 7%odu55n# *# Una $&7%$sa ut'a dos t7os d$ &at$%as 7%&as, " 6 Y, $n su 7%odu5to# Usando ( unda d$s d$ " 6 6 undad$s d$ Y, 'a $&7%$sa 7u$d$ $'a4o%a% P undad$s d$' 7%odu5to, 5on P : /#0+( < /#136 < /#*+(6  /#/2(+  /#/-6+ S $' 5osto d$ 5ada undad d$ " $s d$ 0#*/ 6 $' d$ 5ada undad d$ Y $s d$ *#3/ 6 'a $&7%$sa 7u$d$ !$nd$% todas 'as undad$s 8u$ 7%odu5$ a *0 5ada una, K8ué 5antdad$s d$ " 6 Y d$4$%Ga ut'a% 5on $' 7%o7sto d$ &a(&a% sus ut'dad$s *1# A una 5o&7aGa '$ 5u$sta + 7o% undad $'a4o%a% su 7%odu5to# S s$ astan A d'a%$s &$n sua'$s $n 7u4'5dad, $nton5$s, $' nJ&$%o d$ undad$s 8u$ s$ !$nd$%a 7o% &$s $st dado 7o% x =,/ (* −e− /#//* A )( ++ − p ) $n dond$ 7 $s $' 7%$5o d$ !$nta# Ha''$ 'os !a'o%$s d$ A 6 7 8u$ &a(&a%n 'a ut'dad &$nsua' d$ 'a $&7%$sa 6 5a'5u'$ $' !a'o% d$ $sta ut'dad &(&a# *0# E' 5osto tota' C 7o% s$%$ d$ 7%odu55n ?$n &'$s d$ d'a%$s@ d$ 5$%ta ndust%a $st dado 7o% C : (+ < 16+ ; 0(6 < ( ; *16 < +/ , $n dond$ ( d$nota $' nJ&$%o d$ >o%as>o&4%$ ?$n 5$ntos@ 6 6 $' nJ&$%o d$ undad$s ?$n &'$s@ d$' 7%odu5to $'a4o%adas 7o% s$%$# Kué !a'o%$s d$ ( 6 6 da%n 5o&o %$su'tado $' 5osto tota' &Gn&o 7o% s$%$ d$ 7%odu55n

II. MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD: Multiplicador! d La"ra#" A# D$t$%&na% 'os &a(&os 6 &n&os d$ 5ada =un5on dada 'a %$st%55on) +

f  ( x , y )=, x + 1  y − xy  su9$to a

+#

f  ( x , y )= x −*/  y

#

f  ( x , y )=*+ xy −,  y − x

1#

f  ( x , y )=0 x + -  y − xy  su9$to a

0#

f  ( x . y )= x +  y   su9$to a

-#

f  ( x , y )= x + +1 xy + 3  y

2#

 F ( x , y )= , x − y −-  su9$to a

3#

f  ( x , y )=, xy + 1  y

.#

f  ( x , y )= x +  y −+ xy  su9$to a

+

+

+

 x − y =*3

 su9$to a +

+

+

+

+

 x + y =*-

 su9$to a

 x + + y =+1

+

+

+

+ x + y =+*

+

*#

+

+

 x +  y =* +

 su9$to a

 su9$to a

+

 x +  y =* +

+

 x + y =1 +

+

 x + y =*/  x

+

+

+ y =0/

*/#

+ /,

*/ ,

 P ( L , K )= -/ L  K 

 su9$to a

-1 K +*/3 L=+*-/

B# A7'5a5on$s) *# E&7'$ando L undad$s d$ &ano d$ o4%a 6  undad$s d$ 5a7ta', una $&7%$sa 7u$d$ $'a4o %a% P undad$s d$ su 7%odu5to, 5on P?L, @ : 0/L +   *  L$ 5u$sta a 'a $&7%$sa *// 7o% 5ada undad d$ &ano d$ o4%a 6 // 7o% 5ada undad d$ 5a7ta' $&7'$ado# La $&7%$sa ds7on$ d$ una su&a d$ 10,/// 7a%a 7%o7stos d$ 7%odu55n# D$t$%&n$ 'as undad$s d$ &ano d$ o4%a 6 d$ 5a7ta' 8u$ 'a $&7%$sa d$4$%Ga ut'a% 5on $' o49$t!o d$ &a(&a% su 7%odu55n# +# Una =a4%5a 7%odu5$ dos t7os d$ &a8una%a 7$sada $n 5antdad$s ( $ 6# La =un5on d$ 5osto $sta dada 7o% C : (+ < +6+ ; (6 S s$ d$4$n 7%odu5% 3 &a8unas, 5uantas d$4$ 7%odu5% d$ 5ada una 7a%a &n&a% $' 5osto # E' 5osto d$ 7%odu5% ( &od$'os %$u'a%$s 6 6 &od$'os d$ 'u9o d$' 7%odu5to d$ una $&7%$sa $st dado 7o% 'a =un5n 5on9unta d$ 5osto C?(, 6@ : (+ < *#06+ < //# KCuntas undad$s d$ 5ada t7o d$4$n 7%odu5%s$ 7a%a &n&a% 'os 5ostos tota'$s, s 'a $&7%$sa d$5d$ 7%odu5% un tota' d$ +// undad$s 1# Una $&7%$sa 7u$d$ $'a4o%a% su 7%odu5to $n dos d$ sus 7'antas# E' 5osto d$ 7%odu5% ( un dad$s $n su 7%&$%a 7'anta 6 6 undad$s $n 'a s$unda 7'anta $st dado 7o% 'a =un5n 5on9unta d$ 5osto C?(, 6@ : (+ < +6+ < 0(6 < 2//# S 'a $&7%$sa t$n$ una o%d$n d$ su& nst%a% 0// undad$s, K5untas undad$s d$4$ 7%odu5% $n 5ada 7'anta 5on $' o49$t!o d$ &n&a% $' 5osto tota' 0# La =un5n d$ 7%odu55n d$ una $&7%$sa $s P?L, @ : 3/L 1  * 1 , $n dond$ L 6  %$7%$ s$ntan $' nJ&$%o d$ undad$s d$ &ano d$ o4%a 6 d$ 5a7ta' ut'adas 6 P $s $' nJ&$%o d$ undad$s $'a4o%adas d$' 7%odu5to# Cada undad d$ &ano d$ o4%a t$n$ un 5osto d$ -/ 6 5ada undad d$ 5a7ta' 5u$sta +// 6 'a $&7%$sa ds7on$ d$ 1/,/// d$stnados a 7%odu5 5n# D$t$%&n$ $' nJ&$%o d$ undad$s d$ &ano d$ o4%a 6 d$ 5a7ta' 8u$ 'a $&7%$sa d$4$ $&7'$a% 7a%a o4t$n$% una 7%odu55n &(&a# -# La =un5n d$ 7%odu55n d$ una $&7%$sa $s  P ( L , K )= 3// √ , L + *#0 K  , $n dond$ L 6  %$7%$s$ntan $' nJ&$%o d$ undad$s d$ &ano d$ o4%a 6 d$ 5a7ta' ut'adas 6 P $s $' nJ&$%o d$ undad$s $'a4o%adas d$' 7%odu5to# Cada undad d$ &ano d$ o4%a t$n$ un 5osto d$ +0/ 6 5ada undad d$ 5a7ta' 5u$sta 0/ 6 'a $&7%$sa ds7on$ d$ -,20/ d$stnados a 7%odu55n# D$t$%&n$ $' nJ&$%o d$ undad$s d$ &ano d$ o4%a 6 d$ 5a7ta' 8u$ 'a $&7%$sa d$4$ $&7'$a% 7a%a o4t$n$% una 7%odu55n &(&a# +

+

2# La =un5n d$ 7%odu55n d$ una $&7%$sa $s  P ( L , K )=**, L + *0 K + , LK − L+−+ K + , $n dond$ L 6  %$7%$s$ntan $' nJ&$%o d$ undad$s d$ &ano d$ o4%a 6 d$ 5a7ta' ut'adas 6 P $s $' nJ&$%o d$ undad$s $'a4o%adas d$' 7%odu5to# Cada undad d$ &ano d$ o4%a t$n$ un 5osto d$ -/ 6 5ada undad d$ 5a7ta' 5u$sta *// 6 'a $&7%$sa ds7on$ d$  2,+// d$stnados a 7%odu55n# D$t$%&n$ $' nJ&$%o d$ undad$s d$ &ano d$ o4%a 6 d$ 5a7ta' 8u$ 'a $&7%$sa d$4$ $&7'$a% 7a%a o4t$n$% una 7%odu55n &(&a#

3# Usando L undad$s d$ &ano d$ o4%a 6  undad$s d$ 5a7ta', una $&7%$sa 7u$d$ $'a4o%a% P undad$s d$ su 7%odu5to, $n dond$ P?L, @ : -/L+  *  # Los 5ostos d$ 'a &ano d$ o4%a 6 d$' 5a7ta' son d$ -1 6 */3 7o% undad# La $&7%$sa d$5d$ $'a4o%a% +*-/ undad$s d$ su 7%odu5to# D$t$%&n$ $' nJ&$%o d$ nsu&os d$ &ano d$ o4%a 6 d$ 5a7ta' 8u$ d$4$n $&7'$a%s$ 5on $' o49$t!o d$ &n&a% $' 5osto tota'# .# Usando L undad$s d$ &ano d$ o4%a 6  undad$s d$ 5a7ta', una $&7%$sa 7u$d$ $'a4o%a% P undad$s d$ su 7%odu5to, $n dond$  P ( L , K )= -/ √ 0 ( L+ + K + ) # Los 5ostos d$ 'a &ano d$ o4%a 6 d$' 5a7ta' son d$ +// 6 *// 7o% undad# La $&7%$sa d$5d$ $'a4o%a% 10// unda d$s d$ su 7%odu5to# D$t$%&n$ $' nJ&$%o d$ nsu&os d$ &ano d$ o4%a 6 d$ 5a7ta' 8u$ d$4$n $&7'$a%s$ 5on $' o49$t!o d$ &n&a% $' 5osto tota'# */# S una $&7%$sa asta ( &'$s d$ d'a%$s $n 7u4'5dad $n 'a 5udad A, 6 6 &'$s d$ d'a%$s $n 'a 5udad B sus !$ntas 7ot$n5a'$s ?$n &'$s d$ d'a%$s@ $n d5>as 5udad$s $stn dadas 7o% S =

 ,// x

 x + */

6 S=

0//  y

 y + *,#0

, %$s7$5t!a&$nt$# S 'a ut'dad $s d$' +0 d$ 'as !$ntas

6 'a $&7%$sa ds7on$ d$ un 7%$su7u$sto d$ *-,0// d$stnados a 7u4'5dad $n 'as dos 5udad$s, K5unto d$4$% asta% $n 5ada 5udad 5on $' o49$t!o d$ &a(&a% 'a ut'dad n$ta d$ 'a $&7%$sa **# S una $&7%$sa asta ( $ 6 &'$s d$ d'a%$s $n dos &$dos d$ 7u4'5dad sus !$ntas +// x *//  y 7ot$n5a'$s ?$n &'$s d$ d'a%$s@ $stn dadas 7o% S =  La ut'dad $s d$' +  x + 0  y + */ +/ d$ 'as !$ntas &$nos $' 5osto d$ 7%o&o5on# E' 7%$su7u$sto d$ 7u4'5dad $s d$ +0,/// K5o&o d$4$ asna%s$ $' 7%$su7u$sto ds7on4'$ $nt%$ 'os dos &$dos 7a%a &a( &a% 'a ut'dad n$ta d$ 'a $&7%$sa *+# E' &7o%t$ d$ 'as !$ntas S, 5o&o =un5on d$ 'as su&as ( $ 6 astadas $n dos t7os d$ 7%o&o5on 5o&$%5a' $sta dado 7o% S +1/ x *0/  y  La ut'dad n$ta $s *  S − x − y 6 =

,  x + +0

+

 y + */

*/

$' 7%$su7u$sto $s d$ *0,///# K5o&o d$4$ asna%s$ $' dn$%o ds7on4'$ 7a%a &a(&a% 'a anan5a n$ta d$ 'a $&7%$sa *# Una 5o&7aGa 7u$d$ d$stna% su 7'anta a 'a $'a4o%a5n d$ dos t7os d$ 7%odu5t os, A 6 B# O4t$n$ una ut'dad d$ 1 7o% undad d$ A 6 d$ - 7o% undad d$ B# Los nJ&$%os d$ undad$s d$ 'os dos t7os 8u$ 7u$d$ 7%odu5% &$dant$ 'a 7'anta $stn %$st%ndos 7o% 'a $5ua5n d$ t%ans=o%&a5n d$' 7%odu5to, 8u$ $s (+ < 6+ < +( < 16 ; 1 : / 5on ( 6 6 'os nJ&$%os d$ undad$s ?$n &'$s@ d$ A 6 B, %$s7$5t!a&$nt$, 7%odu5das 7o% s$&ana# Ha''$ 'as 5antdad$s d$ 5ada t7o 8u$ d$4$n 7%odu5%s$ a =n d$ &a(&a% 'a ut'dad#

III. MÁXIMOS Y MÍNIMOS CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD: Co#dicio#! d $%u#&Tuc'r A# D$t$%&na% 'os &a(&os o &n&os d$ 5ada =un5on dada 'a %$st%55on) *#

+ + f  ( x , y )=0 x + -  y − xy su9$ta a  x + + y ≥+1

+#

f  ( x , y )=*+ xy −,  y − x

+

+

su9$ta a  x +  y ≤*-

B# A7'5a5on$s) *# Una =a4%5a 7%odu5$ dos t7os d$ &a8una%a 7$sada $n 5antdad$s ( $ 6# La =un5on d$ 5osto $sta dada 7o% C : (+ < +6+ ; (6 S s$ d$4$n 7%odu5% a' &$nos 3 &a8unas, 5uantas d$4$ 7%odu5% d$ 5ada una 7a%a &n&a% $' 5osto +# S una $&7%$sa asta ( $ 6 &'$s d$ d'a%$s $n dos &$dos d$ 7u4'5dad sus !$ntas +// x *//  y 7ot$n5a'$s ?$n &'$s d$ d'a%$s@ $stn dadas 7o% S =  La ut'dad $s d$' +  x + 0  y + */ +/ d$ 'as !$ntas &$nos $' 5osto d$ 7%o&o5on# E' 7%$su7u$sto d$ 7u4'5dad $s d$ +0,/// &a(&o# K5o&o d$4$ asna%s$ $' 7%$su7u$sto ds7on4'$ $nt%$ 'os dos &$dos 7a%a &a(&a% 'a ut'dad n$ta d$ 'a $&7%$sa