Cálculo de los Máximos y Mínimos de una Función de dos Variables Valor Máximo Relativo: es el punto en que la derivada de una función se anula y cambia su valor de positivo a negativo. Es decir la función pasa de creciente a decreciente.
De acuerdo a la gráfica, f tiene un valor máximo relativo (d) en el punto c, esto es si cierto si c pertenece a (a,b), tal que f(c) sea mayor o igual a f(x) y si y solo si x pertenezca a (a,b).
Valor Mínimo Relativo: es el punto en que la derivada de una función se anula y cambia su valor de negativo a positivo. Es decir la función pasa de decreciente a creciente.
De acuerdo a la gráfica, f tiene un valor máximo relativo (d) en el punto c, esto es si cierto si c pertenece a (a,b), tal que f(c) sea menor o igual a f(x) y si y solo si x pertenezca a (a,b).
Para calcular los valores máximo o mínimos de la función de dos variables: F(x,y) = 3x2 – 2xy + 3y2 + 8x – 8y + 5 debemos tener en cuenta los siguientes pasos:
1. Aplicamos la primera derivada a la función son respecto a X y Y. Fx = 6x – 2y + 8 Fy = -2x + 6y – 8
2. Igualamos ambas ecuaciones a 0. Fx = 6x – 2y + 8 = 0 Fy = -2x + 6y – 8 = 0 Si las organizamos separando los términos dependientes de los términos libres nos queda: 6x – 2y = -8 -2x + 6y = 8
(1) (2)
Podemos ver que es un sistema de ecuaciones lineales 2x2 el cual podemos resolver por cualquiera de los métodos más conocidos (igualación, sustitución, eliminación o determinante). 3. Resolvemos la ecuación para hallar los valores de X y Y. En este caso utilizaremos el método de eliminación. Éste método consiste en multiplicar alguna de las ecuaciones por un valor que nos permita eliminar alguna de las variables (X o Y) y así poder despejar la variable resultante. Eliminaremos Y, para ello multiplicamos la ecuación (1) por 3 y la sumamos con la (2). 3 (6x – 2y) = 3(-8) 15x – 6y = -24 (3) Nos queda la ecuación (3) a la que le sumamos la ecuación (2). 18x – 6y -2x + 6y 16x x
= -24 (3) = 8 (2) = -16 = 16/-16
=>
x = -1
Ahora reemplazamos el valor de X en cualquiera de las primeras ecuaciones, en este caso reemplazaremos en 2. -2x + 6y = 8 (1) -2(-1) + 6y = 8 -2 + 6y = 8 6y = 8 – 2 y = 6/6
=>
y=1
4. Reemplazamos los valores de X y Y en la función original para hallar el punto crítico en donde la función crece o decrece. F(x,y) = 3x2 – 2xy + 3y2 + 8x – 8y + 5
F(-1,1) = 3(-1)2 – 2(-1)(1) + 3(1)2 + 8(-1) – 8(1) + 5 F(-1,1) = 3 + 2 + 3 – 8 – 8 + 5
F(-1,1) = -3 El punto crítico de la función f(x,y) es (-1,1,-3) 5. Aplicamos la segunda derivada para hallar las cuatro derivadas parciales: Fxx Fyy Fxy Fyx
= derivada de x respecto a la derivada de x = derivada de y con respecto a la derivada de y = derivada de x con respecto a la derivada de y = derivada de y con respecto a la derivada de x
A partir de la primera derivada obtenida en el paso 1 realizaremos las segundas derivadas parciales: Fx = 6x – 2y + 8 Fy = -2x + 6y – 8 Fxx = Fyy = Fxy = Fyx =
6 6 -2 -2
6. Finalmente evaluamos D(x*, y*) con las derivadas parciales para determinar la naturaleza del punto crítico. Antes de realizar los cálculos definamos los criterios para determinar la naturaleza del punto crítico. a. Se tiene un máximo o un mínimo relativo si: D(x*,y*) > 0. El punto crítico es un máximo relativo si tanto Fxx (x*, y*) como Fyy (x*, y*) son negativas. El punto crítico es un mínimo relativo si tanto Fxx (x*, y*) como Fyy (x*, y*) son positivas.
b. Si D(x*,y*) < 0, el punto crítico es un punto de silla. c. Si D(x*,y*)=0, se necesitan otras técnicas para determinar la naturaleza del punto crítico. Habiendo definido lo anterior procedemos a evaluar utilizando las derivadas parciales. La formula es: Fxx = Fyy = Fxy = Fyx =
D(x*, y*) = Fxx x Fyy - (Fxy)2
6 6 -2 -2
D(-1,1) = 6 x 6 – (-2)2 D(-1,1) = 36 – 4 D(-1,1) = 32 Como resultado fue positivo y tanto Fxx como Fyy son mayores o iguales a 0 podemos concluir que el punto crítico en es un mínimo relativo en el punto (-1,1,-3).
NOTA: estos ejercicios fueron tomados textos en internet, solo tomamos estos datos para explicar este tema. Rodo sefines académicos. Atentamente, Cipa No 3: “Los Magníficos”
