Matematika za Ekonomiste

Matematika za ekonomiste 1 Vedad Pašić Prirodno-matematiˇcki fakultet Univerzitet u Tuzli

1 Sva prava zadržana. Svako objavljivanje, štampanje ili umnožavanje zahtjeva odobrenje autora

2

Predmet:

Matematika za ekonomiste

Predavacˇ :

Vedad Pašic´

Semestar:

Zimski

Kabinet: PMF 313 Email: Web:

[email protected]

http://www.frontslobode.org/vedad/ekon/

Organizacija

• 4h predavanja (ponedjeljak 12-14, utorak 14-16) i 3h vježbi • Kabinetski sati: utorak 13-14, cˇ etvrtak 13-14

2 Literatura

• L. Smajlović: Matematika za ekonomiste; Ekonomski fakultet (2010) • A. C. Chiang: Osnovne metode matematiˇcke ekonomije, MATE d.o.o. Zagreb (1994)

• L.D. Hoffman and G.L. Bradley: CALCULUS for bussines, economics, and social and life sciences, McGRAW-HILL, INC., New York etc., (1992).

• K. Šori c´: Zbirka zadataka iz matematike s primjenom u ekonomiji, Element, Zagreb (2006)

• S. Drpljanin: Matematika, Univerzitet u Tuzli, Tuzla (1997) • M. Nurkanović: Diferentne jednadžbe – teorija i primjene, Denfas, Tuzla (2008)

Sadržaj 1

Uvod u matemati cˇ kuekonomiju

5

1.1 Matematika i kalkulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Aritmetika i osnovne operacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Pravila aritmetiˇckih operacija . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Procentni raˇcun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Odnosi me du ¯ skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Operacije na skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Zakoni operacija na skupovima . . . . . . . . . . . . . . M 2 atrice

5 6 6 9 9 10

11

2.1 Uvod u matrice i vektore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Operacije na matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1 Oduzimanje i sabiranje matric . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2 Množenje skalarom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.3 Množenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.4 Problem dijeljenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 Osobine determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.1 Osobine inverznih matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2 Primjena u rješavanju matriˇcnih jednaˇcina . . . . . . . . . 24 2.5 Linearna (ne)zavisnost matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6.1 Izraˇcunavanje ranga matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3

Sistemi linearnih algebarskih jedna cˇ ina

3.1 Saglasni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Slu cˇ aj r = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Matriˇcni metod rješavanja . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Slu cˇ aj r < n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

29

31 31 . . 32 33

SADRŽAJ

4

3.1.4 Slu cˇ aj m < n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Cramerov metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Homogeni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Primjena sistema linearnih algebarskih jedna cˇ ina u ekonomiji . . . 36 3.4.1 Ekvilibrijum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4.2 Linearni model parcijalnog 3.4.3 Op c´ i model tržišne ravnotežetržišnog . . . . ekvilibrijuma . . . . . . . . .. .. .. .. . 3837 3.4.4 Model nacionalnog dohotka . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4.5 Input-output analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 Realnfeunkcije

47

4.1 Neke klase realnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2 Osobine funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.1 Elementarne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.2 Inverzna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 Primjena funkcija u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3.1 Funkcija troškova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.2 Prosjeˇcni trošak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3.3 Funkcije prihoda i dobiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5 Realnniizovi

57

5.1 Definicija i osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.1.1 Definicija i osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.1.2 Predstavljanje nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2 Aritmetiˇcki niz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3 Geometrijski niz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4 Konvergencija nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.4.1 Osobine konvergentnih nizova . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.4.2 Beskonaˇcne graniˇcne vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . 68 5.4.3 Monotoni nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.4.4 Kriteriji konvergencije mon. nizova . . . . . . . . . . . . 69 5.4.5 Alati za izra cˇ unavanje limesa . . . . . . . . . . . . . . . 71 6 Grani cˇ nevrijednosti

73

6.1 Intuitivni uvod u graniˇcne vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.1.1 Iza cˇ unavanje limesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2 Grani cˇ na vrijednost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.3 Neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3.1 Primjena limesa u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . 85

SADRŽAJ 7

Diferencijalni ra cˇ un

5 87

7.1 Intuitivni uvod u izvode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.2 Izvod funkcije jedne promjenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2.1 Pravila diferenciranja funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2.2 Geometrijsko i fizikalno tumaˇcenje derivacije funkcije . . 92 7.2.3 Tablica izvoda derivacija . . . . . . i. diferenciranje . . . . . . . . implicitne . . . . . . .funkcije . 93 94 7.2.4 Logaritamska 7.3 Diferencijal funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.4 Derivacije i diferencijali višega reda . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.5 Derivacija i izra cˇ unavanje limesa funkcije . . . . . . . . . . . . . 97 7.5.1 L’Hospitalova pravila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.6 Osnovni teoremi diferencijalnog raˇcuna . . . . . . . . . . . . . . 98 7.6.1 Konveksnost i konkavnost . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.6.2 Ispitivanje funkcije i crtanje grafika . . . . . . . . . . . . 103 7.7 Primjena izvoda u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.7.1 Elasti cˇ nost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 05 8 Funkcije dvije i višepromjenljivih

109

8.1 Parcijalni izvodi funkcija više promjenljivih . . . . . . . . . . . . 110 8.1.1 Parcijalni diferencijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.1.2 Parcijalni izvodi drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.2 Primjena diferencijalnog raˇcuna više promjenljivih . . . . . . . . 112 8.2.1 Homogene funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 8.3 Ekstremi funkcija više promjenljivih . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.3.1 Silvesterov kriterij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.3.2 Optimum - vezani (uvjetni) ekstrem . . . . . . . . . . . . 116 9

Integralni ra cˇ un

119

9.1 Neodre deni ¯ integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9.1.1 Površinski problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9.1.2 Neke osobine neodre denog integrala . . . . . . . . . . . . 122 ¯ 9.1.3 Tablica osnovnih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 9.1.4 Integracija metodom smjene . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9.1.5 Metoda parcijalne integracije . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.1.6 Integracija racionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . 128 9.2 Odre deni ¯ integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.2.1 Osobine odre denog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . 130 ¯ 9.2.2 Primjene odre denog integrala . . . . . . . . . . . . . . . 131 ¯ 9.3 Nesvojstveni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.4 Primjena integrala u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

SADRŽAJ

6 10 Diferencijalne jednacˇ ine

135

10.1 Obi cˇ ne diferencijalne jednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 36 10.1.1 Jednaˇcina sa razdvojenim promjenljivim . . . . . . . . . . 137 10.1.2 Primjena u ekonomiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 10.2 Linearna diferencijalna jednaˇcina prvog reda . . . . . . . . . . . . 139 10.3 Diferentne jednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 41 10.3.1 Primjena diferentnih jednaˇcina u ekonomiji . . . . . . . . 143 10.3.2 Diferentne jednaˇcine višeg reda sa konstantnim koeficijentima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.3.3 Nehomogena linearna diferentna jednaˇcina višeg reda . . 147

Poglavlje 1 ˇ Uvod u matemati cku ekonomiju Matematiˇcka ekonomija nije odvojena grana ekonomije kao što su to npr. javne finansije ili internacinalna trgovina. Ona je pristup ekonomskoj analizi. Najveća razlika izmedu ¯ ‘matematiˇcke ekonomije’ i ‘eksplicitne ekonomije’ je u tome što se u prethodnoj pretpostavke i zakljuˇcci iznose u obliku matematiˇckih simbola, a ne rijeˇci; k tomu još se koristi matematiˇckim teoremama u procesu rezonovanja. Prednost matematiˇckog modela je u slijedećem:

• Jezik koji koristimo je precizniji i koncizniji; • Cijelo bogatstvo matematiˇckih teorema nam je na raspolaganju; • Tjera nas da navedemo sve naše pretpostavke eksplicitno; • Možemo se posvetiti opštem sluˇcaju sa n-promjenljivih.

Matematiˇcki jezik je postao domina ntan u mnogim sferama ekonomije : re cˇ enice tipa ‘ 10-postotno povišenje cijena sirove nafte dovodi do 5-postotnog pada prodaje benzina’ su nam (nažalost) i više nego dobro znane! Iako je ekonomija društvena nauka, razlika izmedju društvenog i nauˇcnog aspekta ove nauke je sve manja i manja. Izraz matematiˇcka ekonomija se ˇcesto miješa sa ekonometrijom. Ovo nije taˇcna pretpostavka. Ekonometrija se pretežno bavi mjerenjem ekonomskih podataka, dok matematiˇcka ekonomija daje alate za manipulaciju istim. Trudit c´ emo se da vam u ovom semestru pokažemo što više matematike kojac´ e vam doista koristiti kao ekonomistima!

1.1

Matematika i kalkulator

Postoji uvriježeno mišljenje da je matematika ekonomistima nepotrebna, jer svejedno kalkulatori i raˇcunari mogu sve da urade za nas. Ovo nije istina. I ra cˇ unarski programeri moraju znati šta rade i alat bez pozadinskog znanja ne vrijedi 7

ˇ POGLAVLJE 1. UVOD U MATEMATI CKU EKONOMIJU

8

ništa. Pokušajte uraditi nešto konkretno u nekom programskom paketu a da ne koristite svoje već steˇceno srednjoškolsko matematiˇcko znanje.Cilj ovog kursa je da vas osposobi da sve alate možete dobro i korisno da iskoristite! Kao vrlo jednostavan test gore navedenog pokušajte sa svojim ‘digitronom’ izraˇcunati slijedeće: 16

3 4

1 =?

Koji ste rezultat dobili? 3? 7? 51− ? 39· ? − Kalkulator ne misli za vas i nikada ga

nemojte koristiti na taj naˇcin! Usput budi reˇceno, taˇcan odgovor je 3 . Naravno da su kalkulatori vrlo korisni u mnogim sluˇcajevima, no oprez. Primjer.

Posmatrajmo relaciju: q = 1.200

− 10p.

Šta treba biti kvantitet q ako je cijena p jednaka 150? Raˇcunar bi dao odgovor niˇcega! Kako je za p = 120 , q = 0, onda to znaˇci da za svaku cijenu iznad 120 , p = 130 na primjer, opet moramo imati q = 0! Ovaj primjer ilustruje kako ne smijemo automatski uzimati svaki raˇcunarski odgovor zdravo za gotovo!

−300, što je dakako glupost, jer ne možemo imati negativan kvantitet

1.2

Aritmetika i osnovne operacije

Naravno da pretpostavljamo da ste upoznati sa operacijama sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, pa stoga vam nećemo vrijedati ¯ inteligenciju dajući primjere iz tih osnovnih aritmetiˇckih operacija! Ili možda ipak hoćemo? :) 24 + 204 9089 393 12 24 4448 : 16

−

·

= = = =

228 8696 288 278

Napomena: Koristite digitron!!! 1.2.1

ˇ Pravila aritmeti ckih operacija

• PRVO : množenje i dijeljenje, pa onda sabiranje i oduzimanje! • DRUGO: pravilo s lijeva na desno! 60 : 6 · 2 = 10 · 2 = 20 a ne

·

60 : 6 2 = 60 : 12 = 5

ˇ 1.3. PROCENTNI RACUN

9

Naravno uvijek možete koristiti zagrade! Primjer. Ako neka firma proizvede 220

komada svog proizvoda po proizvodnoj cijeni od 8, 25KM i proda ih po cijeni od 9, 95KM , koliki je profit? profit po komadu = 9, 95 ukupni profit = 220

8, 25

·− ·

(9, 95KM = 220 1, 70KM = 374 KM

1.3

− 8, 25KM )

ˇ Procentni ra cun

Decimalni prikaz je samo drugaˇciji naˇcin prikazivanja razlomaka 1 10 1 0, 01 = 100 234 0, 234 = 1000 0, 1 =

U matematici se decimalni format pretežno koristi za stvari koje se u svakodnevnom životu izražavaju kao procenti. Na primjer, kamatne stope se pretežno prikazuju u procentima! Format procenata je samo drugaˇciji naˇcin prikazivanja decimalnog razlomka: 62% =

62 = 0, 62. 100

Dakle, ako državi moramo dati43% poreza na svoju platu koja (kad završite fax!) iznosi 2345 KM, kolika nam je neto plata? Samo izvedemo slijedeću operaciju: porez =

 

43 = 0, 43 2345 = 1008 , 35. 100

plata neto = 2345

·

− 1008, 35 = 1336 , 65.

Vidimo da je ra cˇ unanje procenata doista samo cˇ isti razlomaˇcki ra cˇ un iz petog razreda osnovnejoš škole! Pogledajmo neke primjere 24% = 0 , 24 0, 24% = 0 , 0024 24, 56% = 0 , 2456 2 , 4% = 0 , 024itd...


10

Pretvaranje procenata u decimale c´ e te morati na primjer raditi sa kamatnim stopama kada budete uˇcili o metodama ocjene investicija i o drugim aspektima finansijske matematike. Ukratko, NON-STOP! Stoga, oprezno, koristite se svojim kalkulatorima dakako! Dakako, jedna važna stvar koju c´ e te morati raditi je zaokr uživanje. Uobicˇ ajeno je zaokruživanje na najmanje dva decimalna mjesta. Npr, ako trebate da izraˇcunate 1/7 neke vrijednosti, onda raˇcunate 14, 29% te vrijednosti. 1. Koliko iznosi milimetar kao decimalni oblik: centimetra, metra i kilometra?

Vjezba.

2. Prikažite slijedeće procente u decimalnom obliku: 45, 2%;

243 , 15%; 7 , 5%; 0 , 2%.

3. Kada je vlada Velike Britanije privatizovala vodovod 1989. godine, odlucˇ ila je da c´ e godišnje procentualno povećanje cijene vode biti ograniˇceno razinom inflacije plus z , gdje je z cifra koju c´ e odrediti vlada. Napišite algebarski izraz za maksimalno godišnje povišenje cijene vode i izraˇcunajte povišenje kada je rata inflacije 6% a faktor z jednak 3 . Ako je cijena vode po litru 1990. godine bila 4, 3 penija, kolika c´ e biti 1991. po gornjim parametrima? 4. Ako su voda, hljeb, mlijeko, šećer i kafa 2000. godine koštali respektivno 0, 80; 1; 1 , 45; 2 , 15; 4 , 20 a 2001. godine 0, 95; 1 , 20; 1 , 55; 2 , 55; 5 , 05, kolika je prosjeˇcna stopa inflacije (u procentima) za 2000-tu godinu za te osnovne proizvode?

1.4

S k up o v i

Skup je jednostavno kolekcija razliˇcitih objekata. Ovi objekti mogu biti brojevi ili nešto sasvim drugo. Npr. svi studenti prve godine ekonomije se mogu smatrati jednim skupom, isto kao što parni brojevi 2, 4, 6, 8, 10,... formiraju skup. Postoje dva naˇcina prikazivanja skupova: enumeracijom i deskripcijom. Skup

{

}

pozitivnih cijelih brojeva možemo prikazati kao Z+ := 1, 2, 3, 4, 5,...

{

},

ili kao Z+ := x

{ ∈ Z | x > 0 }.

1.4. SKUPOVI

11

Kao drugi primjer, skup A svih cijelih brojeva većih od 2 , a manjih od 6 se može predstaviti kao

{

}

A = 3, 4, 5 ,

ili kao A= x

Z 2< x<6 .

{ ∈ |

}

Skup sa ograniˇcenim brojem elemenata se zove konaˇcan skup, inaˇce je beskonacan ˇ . Pripadnost skupu se oznaˇcava sa simbolom . Dakle 3 2, 3, 4 . Nepri-

∈ padnost skupu se oznaˇcava sa ∈/ , npr. 3 ∈/ {4, 5, 6}. 1.4.1

∈{

}

Odnosi me du ¯ skupovima

Odnosi medu ¯ skupovima se predstavljaju simbolima

⊂⊆⊃⊇

=, , , ,

Primjetite da dok se prikazuje odnos elementa i skupa, npr. prikazuje odnos izmedu ¯ dva skupa! Dok je npr.3 N, N R. Koliko podskupova skupa {1,2,3} možemo formirati? To su

∈

∈

⊂

⊂

{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.

Da li nešto zaboravljamo? Prazan skup je podskup svakog skupa! Generalno, ako skup ima n elemenata, onda on ima 2 n podskupova. Jako je bitno razlikovati slijedeće: i 0 . Još bitnija je razlika izmedu !!! Ako dva skupa nemaju ¯ i zajedniˇckih elemenata, onda se oni zovu disjunktni.

∅ {}

1.4.2

∅ {∅}

Operacije na skupovima

Unija dva skupa je skup koji sadrži sve elemente ta dva skupa, dakako bez ponav-

ljanja!

{

}

{

} ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

A = 1, 3, 5, 6 , B = 2, 4, 6 , A

Presjek dva skupa je skup koji sadrži sve zajednicˇ ke elemente ta dva skupa.

{

}

{

} ∩ B = { 6} .

A = 1, 3, 5, 6 , B = 2, 4, 6 , A

Razlika dva skupa je skup koji sadrži sve elemente skupa A koji nisu u skupu B

{

}

{

} \

{

}

A = 1, 3, 5, 6 , B = 2, 4, 6 , A B = 1, 3, 5 .


12

Primjetite da je B A = 2, 4 ! Uvedimo sada pojam univerzalnog skupa. Ako posmatramo realne brojeve, onda o tome skupu možemo razmišljati kao o skupu svih realnih brojevaR. Onda možemo definisati komplement Ac nekog skupa A, kao skup svih elemenata uinverzalnog skupa koji nisu u skupuA.

\

{ }

A = N = 1, 2, 3, 4,... , U = Z, Ac = 0, 1, 2, 3, 4,... .

{

1.4.3

}

{ − − − −

Zakoni operacija na skupovima

Komutativni zakoni: A

∪ B = B ∪ A,

A

∩ B = B ∩ A.

Zakoni asocijacije:

∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C. A

Zakoni distribucije:

∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ), A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ). A

Vjezba.

Provjerite zakone asocijacije i distribucije na skupovima:

{ }

{

}

{ }

A = 4, 5 , B = 3, 6, 7 , C = 2, 3 .

}

Poglavlje 2 Matrice 2.1

Uvod u matrice i vektore

Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme. Sedmiˇcni najmovi za razliˇcite veliˇcine automobila su: kompaktni 139KM, srednji 160KM, veliki 205KM, minivan 340KM i luksuzna limuzina 430KM. Za slijedeću sedmicu znate da c´ e vam potrebe po veli cˇ inama biti: 4 kompaktna, 3 srednja, 12 velikih, 2 minivana i 1 luksuzna limuzina. Kako biste izra cˇ unali ukupnu cijenu iznajmljivanja automobila? Ako biste izaˇcunali

·

·

·

·

·

4 139KM + 3 160KM + 12 205KM + 2 340KM + 1 430KM = 4606KM

bili biste u pravu. No upravo ste uradili problem množenja matrica a da niste toga bili svjesni! Potrebno auta Sedmica 1 Sedmica 2 Sedmica 3 Kompakt Srednji Veliki Minivan Limuzina

4 3 12

9 2 1

7 5 5 1 1

2 5 3 2

Ukupna cijena iznajmljivanja za svaku sedmicu bi se izraˇcunala tako što pomnožimo ove koliˇcine sa odgovarajućim cijenama. Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Stoga potrebe iznajmljivanja automobila za tri sedmice se može napisati kao 13

POGLAVLJE 2. MATRICE

14 matrica: A=

  

4 3 12 2 1

7 5 9 1 1

2 5 5 3 2

  

Svaki red odgovara veliˇcini auta, a svaka kolona odgovara sedmici koju posmatramo. Uobiˇcajeno je da se matrice oznaˇcavaju velikim slovima, npr. A , B,C , M,N i sl. a da su cˇ lanovi matrice uokvireni zagradama ( ) ili [ ]. Svaki cˇ lan matrice se zove element matrice. Elementi matrice moraju formirati kompletan pravougaonik, bez praznih mjesta. U gornjem primjeru imamo 5 redova i 3 kolone. Velicˇ ina matrice se nazivared matrice. Ako matrica ima m redova i n kolona, kažemo da je matrica reda m n. Matrica A je reda 5 3. Matrice sa samo jednom kolonom ili samo jednim redom se nazivaju vektori. Na primjer, skup cijena iznajmljivanja automobila sa poˇcetka je vektor reda 1 5

×

·

·

×

×

(139 160 205 340 430) ,

dok su potrebe iznajmljivanja za prvu sedmicu 5

× 1 vektor:

4

  2.2

3 12 2 1

 

.

Operacije na matricama

U ovoj sekciji bavit c´ emo se standardnim operacijama na matricama. 2.2.1

Oduzimanje i sabiranje matric

Matrice koje imaju isti red , tj. isti broj redova i kolona se mogu od uzimati i sabirati. Sabiranje, odnosno, oduzimanje se radi na odgovarajućim elementima. Primjer. Trgovac

prodaje dva proizvoda,Q i R i ima dvije prodavnice, A i B .

Broj proizvoda koji su prodani u zadnje 4 sedmice su pokazane u matricama

A i B ispod, gdje kolone predstavljaju sedmice a redovi odgovaraju proizvodima Q i R respektivno. A=



5 4 12 7 10 1 2 9 14



,

B=



89 34 8 18 21 5



2.2. OPERACIJE NA MATRICAMA

15

Kako prikazati ukupnu prodaju proizvoda po sedmicama u obje prodavnice? Jednostavno, saberemo matrice! T =A+B =



5 4 12 7 10 1 2 9 14

  +

5 + 8 4 + 9 12 + 3 7 + 4 10 + 8 12 + 18 9 + 21 14 + 5



=



13 13 15 11 18 30 30 19

Oduzimanje matrica radi na sliˇcan naˇcin, tj. Primjer. Ako



12 30 8 15

A

−B = 12 − 7 8−4

je A =

=

2.2.2

89 34 8 18 21 5

 

,aB =



12 30 8 15

− −

30 35 15 8





.

=

  −    − 7 35 4 8



, koliko je A

− B?

7 35 4 8

=

5 4

5 7

Množenje skalarom

Postoje dvije vrste množenja koja se mogu izvršiti nad matricama. Matricu možemo pomnožiti specifiˇcnom vrijednošću, kao što je broj (množenje skalarom) ili drugom matricom (matriˇcno množenje). Skalarno množenje je vrlo jednostavno i predstavlja množenje svakog elementa matrice datim skalarom! Matriˇcno množenje je dosta komplikovanije, ali o tome malo poslije. Primjer.Data je matrica dva prodana proizvoda za dvije sedmice A =



12 30 8 15



gdje redovi predstavljaju proizvode, a kolone sedmice. Ako svaki proizvod košta 4KM, izraˇcunajte pazar po proizvodima po sedmicama. P = 4A = 4



12 30 8 15

  =

48 120 32 60



Dijeljenje skalarom radi na apsolutno isti naˇcin (sve dok taj skalar nije nula!) Ako skup cijena iznajmljivanja automobila p = (139 160 205 340 430) ukljuˇcuje PDV od 17% , a vaša kompanija može dobiti povrat poreza, dajte vektor v cijena bez poreza. Primjer.

v=

1 p= 1, 17





118, 80 136, 75 175, 21 290, 60 367, 52 .

,


16 2.2.3

Množenje matrica

Ako množimo jednu matricu s drugom matricom, osnovno pravilo je da množimo elemente duž redova prve matrice sa odgovarajuc´ im elementima niz kolonu druge matrice. Najjednostavniji naˇcin da se ovo razumije je da prvo pogledamo nekoliko primjera sa vektorima. Vratimo se našem primjeru s poˇcetka i posmatrajmo vektore: p = (139 160 205 340 430) ,

q=

  

4 3 12 2 1

  

Dakle kao što smo uradili na poˇcetku, prvi element redovnog vektora množimo sa prvim elementom kolonskog vektora, te to saberemo sa proizvodom drugog elementa sa drugim, itd.

·

·

·

·

·

139 4 + 160 3 + 205 12 + 340 2 + 430 1 = 4606 .

Posmatrajmo sada sluˇcaj kada trebamo izraˇcunati sve cijene po sedmicama, tj. 4 A=

 

7 2

3 95 55 12 2 1 3 1 1 2

 

.

Kako bismo izraˇcunali sve cijene po sedmicama, trebamo naći vektor

·

t = p A = (139 160 205 340 430)

Rezultat je

  

4 3 12 2 1

7 5 9 1 1

2 5 5 3 2

  

t = (4606 4388 3983) .

Ako prva matrica pri množenju ima više od jednog reda, onda se postupak ponavlja dok ne iskoristimo sve redove. Primjer.

Pomnožimo matrice A=

   4 7 8 1

,B=

7 5 2 4 8 1



2.2. OPERACIJE NA MATRICAMA

  4 7 8 1

·

A B= =



· ·

· ·

17

· ·

· ·

  

7 5 2 4 8 1

· ·

· ·

4 7+7 4 4 5+7 8 4 2+7 1 8 7+1 4 8 5+1 8 8 2+1 1

=

56 76 15 60 48 17



Sad se možete zapitati šta se dogodi kada pokušamo pomnožiti matrice gdje se broj elemenata duž redova prve matrice ne poklapa sa brojem elemenata duž kolona druge matrice. Odgovor je da se tada te matrice ne mogu množiti! Dakle, ako matrica A ima red m n, a druga matrica B ima red r s, množenje tih matrica je moguće ako i samo ako jen = r i tada matrica AB ima red m s. Opću m n matricu možemo napisati kao

×

×

×

×

A=

  

a11 a21

a12 .. . a a22 .. . a

.. .

.. .

.. .

am1 am2 .. . a

1n 2n

.. .

mn

  

U ovom opštem sluˇcaju kada množimo dvije matrice, A reda m n i B reda n r a11 a21 A B=

·



a12 .. . a a22 .. . a

.

.

.

am1 am2 .. . a

=

  

c11 c21

.. .

2n

mn

 

c12 .. . c c22 .. . c

.. .

×

b11 b12 .. . b b21 b22 .. . b

1n

.

×

.. .

cm1 cm2 .. . c

Ovdje su elementi matrice C dati sa

1r 2r

.. .

mr

.

.

.

2r

.

bn1 bn2 .. . b

  

1r

nr

=C

c11 = a11 b11 + a12 b21 + . . . + a1n bn1 c12 = a11 b12 + a12 b22 + . . . + a1n bn2

.. .. .. . . .

cmr = am1 b1r + am2 b2r + . . . + amn bnr Vjezba.

Nadite ¯ proizvod matrica A=

 

4 2 12 6 0 20 1 8 5

 

,

B=

 

10 0, 5 1 6 3 82 4 4 2 0

7 ,5

 




18 Vjezba.

Nadite ¯ proizvod matrica

 

A=

3 1 4

−1 0 0

2 3 2

 

,

B=

 −

−

0 1 0

1 5 2 5

1 5

3 10 7 10 1 10

−

 

Jedinicna ˇ matrica

Zadnja matrica iz vježbe AB predstavlja primjer specifiˇcne matrice. Matrica sa jednicama na svojoj principalnoj dijagonali i nulama svugdje drugo se zove jediniˇcna matrica. Ozna cˇ ava se sa I . Jedini cˇ na matrica mora uvijek biti kvadratna, tj. reda n n. Bilo koja matrica reda m n pomnožena sa jediniˇcnom matricom reda n n ostaje nepromjenjena, tj.

×

×

×

·

A I = A.

Isto tako, bilo koja matrica reda m n pomnožena sa jediniˇcnom matricom reda m (s lijeve strane) ostaje nepromjenjena, tj.

m

×

×

·

I A = A.

Matrica koja na svim elementima ima nulu se zove nula matrica. 2.2.4

Problem dijeljenja

Problemu ‘dijeljenja’ matrica se pristupa preko derivacije inverzne matrice. Jedna od motivacija za traženje inverzne matrice je rješavanje sistema jedna cˇ ina. Npr. 3x1 + 8x2 + x3 + 2x4 20x1 2x2 + 4x3 + 0.5x4 11x1 + 3x2 + 3x3 5x4 x1 + 12x2 + x3 + 8x4

−

−

= = = =

96 69 75 134

Rješenje gornjeg sistema je x1 =

3005 7405 35 758 , x2 = , x3 = , x4 = , 741 741 19 741

no to za sada nije najvažnije. Ove jednaˇcine možemo da predstavimo u matriˇcnoj formi Ax = b , naime Ax =

 

3 8 1 2 20 2 4 0.5 11 3 3 5 1 12 1 8

−

−

  

x1 x2 x3 x4

 

=

 

96 69 75 134

 

=b

2.3. DETERMINANTE

19

Kako riješiti ovaj sistem jednaˇcina koristeći se gornjim matriˇcnim oblikom? Sjetite se jediniˇcne matrice - ukoliko bismo na neki naˇcin mogli pomnožiti obje strane jednaˇcine odgovarajućom matricom B tako da sa lijeve strane jednakosti dobijemo BA = I , tada bi na desnoj strani jednakosti dobili rješenje sistema jednaˇcina Bb! No nalaženje te matrice B nije trivijalna stvar. Inverzna matrica je pojam koji nam je neophodan kako bismo rješili gornji problem. Kako bismo pronašli inverznu matricu, moramo posmatrati slijedeće koncepte u matriˇcnoj teoriji:

• Determinate; • Minori; • Kofaktori; • Adjungirana matrica. 2.3

Determinante

Svakoj kvadratnoj matrici A možemo pripisati jedinstven broj koji se naziva determinanta matrice – det A.

Determinanta (kvadratne) matrice 1 1 je sam jedini element matrice! Determinanta (kvadratne) matrice 2 2 je broj koji dobijemo kada pomnožimo elemente na suprotnim ‘ćoškovima’ matrice i oduzmemo proizvode, tj.

××

Primjer.

 

a11 a12 a21 a22

 −    = a11 a22

a12 a21 .

Naći determinantu matrice

5 7 4 9

Sarusovo pravilo

 

 

.

5 7 =5 9 4 9

· − 7 · 4 = 45 − 28 = 17 .

Sarusovo pravilo je jednostavan nacˇ in za izraˇcunati determinantu trećeg reda.

 

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

 

−a

a11 a12 a21 a22 = a 11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a31 a32 31 a22 a13

−a

32 a23 a11

−a

33 a21 a12


20 Primjer.

Izraˇcunati determinantu pomoću Sarusovog pravila:

 

 − · ·

1 2 3 4 5 6 7 8 10

1 2 4 5 = 1 5 10 + 2 6 7 + 3 4 8 7 8

· ·

3 5 7

· ·

· ·

− 1 · 6 · 8 − 2 · 4 · 10 = −3.

Definicija 2.3.1 (Minor). Minor M ij

elementa a ij matrice A je subdeterminanta koja se dobije iz det A brisanjem i-te vrste i j -te kolone. Primjer.

A=

 

1 2 3 0 1 4 2 0 3

   

M13 = Definicija 2.3.2

, M23 =

 

 

0 1 = 2 0

 

1 2 = 2 0

−2

−4,

(Kofaktor). Kofaktor ili algebarski komplement Aij elementa aij

matrice A

Aij := ( 1)i+j Mij

−

Primjer.

A23 = ( 1)2+3 M23 = 4, A13 = ( 1)1+3 M23 =

−

−

−2

Teorema 2.3.3 (Laplaceov teorem). Laplaceov teorem nam daje naˇcin raˇcunanja determinante proizvoljne kvadratne matrice, po formuli n

det A =

 j =1

n

aij Aij =



aij Aij

i=1

Oˇcito imamo dva naˇcina za raˇcun, no oba daju isti rezultat. Prvo se zove razvoj po i-toj vrsti, a drugo razvoj po j -toj koloni. Drukˇcije reˇceno, imamo: det A = a 11 A11 + a12 A12 + . . . + a1n A1n = a 11 A11 + a21 A21 + . . . + an1 An1

Laplaceov razvoj je najbolje raditi po onom redu (ili koloni) u kojoj ima najviše nula! Moguće je, ne mijenjaju c´ i vrijednost determinante postići da u nekom redu (koloni) imamo što veći broj nula. To se postiže korištenjem osobina determinanti, no o tomu malo poslije. Primjedba 2.3.4.

2.3. DETERMINANTE

21

´ reda Determinanta matrice treceg

Za opću matricu trećeg reda, determinanta se može, na primjer, izraˇcunati po formuli:

  − 

a11 a12 a13 a21 a22 a23

  

=

a31 a32 a33 a22 a23 a a a a a11 a12 21 23 + a13 21 22 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a11 a22 a33 a11 a23 a32 a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a22 a31 .

−

 

−

 

 

−

 

Iako smo determinantu matrice 3 3 našli posmatrajući duž prvog reda, mogli smo to uraditi duž bilo kojeg drugog reda ili kolone. No u tom sluˇcaju treba obratiti pažnju! Primjedba 2.3.5.

Primjer.

×

Naći determinantu matrice

 

4 6 1 2 5 2 9 0 4

 

.

4 6 1 2 5 2 = a 31 A31 + a32 A32 + a33 A33 9 0 4

      · − · 

=9

6 1 5 2

0

4 1 +4 2 2

·



4 6 2 5



· · − 1 · 5) + 4 · (4 · 5 − 6 · 2) = 9 · 7 + 4 · 8 = 95 .

= 9 (6 2

Prije nego sto predemo na osobine determinanti, treba nam jedan koncept u ¯ matricama koji do sada nismo koristili, a to je pojam transponovane matrice. Neka je data proizvoljna pravougaona matrica A reda m n. Njena transponovana matrica AT je matrica reda n m koja se dobie iz matrice A obrtanjem pojmova redova i kolona, tj. ako je A = (aij ), i = 1,...m,j = 1,...n ,

×

Definicija 2.3.6.

×

AT = (aji ), j = 1,...,n,i

= 1,...,m.

Primjer.

A=

 

10 0, 5 1 6 3 82 4 4 2 0

7 ,5

 ⇒

AT =

 

10 6 3 0, 5 3 4 1 8 2 7 2, 5 0

 


22 2.3.1

Osobine determinanti

P1 det AT = det A Primjer.

2 0 3 1

A=

.

 

P2 Zamjenom dva reda (ili dviju kolona) unutar determinante mijenja se znak determinante, no ne i numeriˇcka vrijednost. Primjer.

 −

 

2 1 . 1 4

P3 Determinantu množimo nekim brojem tako da joj sve elemente jednog reda (ili kolone) pomnožimo tim brojem. Drukˇcije, zajedniˇcki faktor nekog reda (ili kolone) se može izvući ispred determinante. Primjer.

A=

  2 2 3 6

.

P4 Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jednog reda (ili kolone) jednaki nuli. P5 Determinanta je jednaka nuli ako su elementi jednog reda (ili kolone) proporcionalni odgovarajućim elementima nekog drugog reda (odnosno kolone) Primjer.

  

1 0 2 1

  

2 3 4 1 5 8 = 0. 4 6 8 0 3 4

− −

P6 Vrijednost determinante se neće promijeniti ako elementima jednog reda (ili kolone) dodamo odgovarajuće elemente nekog drugog reda (kolone) pomnožene jednim istim brojem. Primjer.

 

1 2 1

2 1 0

−

 

0 4 . 1

−

2.4. INVERZNA MATRICA

23

P7 det(A B) = det A det B

·

·

Primjer.

A=

P8 det(A−1 ) = Primjer.

1

1 2 3 4

,B =

0 2

−1 3



.

det A

A=

2.4

  



1 2

−

−2 6



, A−1 =

  3 1 1 12

.

Inverzna matrica

Neka je A kvadratna matrica n matrica Xn×n takva da je Definicija 2.4.1.

× n.

Ako postoji kvadratna

AX = X A = I ,

tada se ona naziva inverznom matricom matrice A. Obicˇ no se oznaˇcava sa A−1 . Dakle imamo da je AA−1 = A −1 A = I .

2.4.1 Osobine inverznih matrica 1. Nema svaka matrica svoju inverznu matricu. Prije svega, mora biti kvadratna matrica. Ako kvadratna matrica ima inverznu matricu, onda se ona naziva regularnom, a inaˇce se zove singularnom.

2. Ako postoji A−1, onda je i A inverzna matrica matriceA−1, tj. (A−1 )−1 = A.

3. Ako inverzna matrica postoji, ona je jedinstvena. 4. (AB)−1 = B −1A−1 . (Dokaz.) 5. (AT )−1 = (A−1 )T (Primjer.) Dokaz

Neka su matrice A , B,A B i B A inverzibilne. 1

·

·

1

1

1

− =I (A B) (A B) A−−1 A B (A −1B)− = A− I B (A B)−1 = A −1 B B (A B) = B −1 A−1 I (A B)−1 = B −1 A−1 .

·· · · · ·

⇐⇒ ⇐⇒ · ·

· · · ·· ·


24 Uslovi za postojanje inverzne matrice

• Inverznu matricuA− možemo samo pronaći za kvadratnu matricu A. • U nekim sluˇcajevima matrica A− neće postojati! 1

1

Ako matrica ima inverznu matricu, ona se nazivaregularnom. Inaˇce naziva se singularnom.

• Matrica A je inverzibilna ako i samo ako postoji matrica A− − AA

1

1

za koju vrijedi

= I.

• Nula matrica nije inverzibilna. • Linearna zavisnost dva ili više redova (ili kolona) unutar matrice tako der ¯ onemogućava inverziju.

Teorema 2.4.2. Matrica A je singularna ako i samo ako je det A = 0, tj. Matrica A je regularna ako i samo ako det A = 0. Dokaz

 det A · det(A− ) = det( A · A− ) = det 1

1

I = 1. Odavdje slijedi da je

det A = 0!



Dakle, kriterij regularnosti matrice A je da imamo det A = 0.



Kofaktorska matrica

Kofaktorska matrica matrice A je matrica koja sadrži kofaktore elemenata matrice A na odgovarajućim mjestima Definicija 2.4.3.

cof(A) =

  

A11 A12 .. . A A21 A22 .. . A

.. .

.. .

.. .

An1 An2 .. . A

1n 2n

.. .

nn

  

.

Adjungirana matrica Definicija 2.4.4.

Adjungirana matrica matrice A je matrica definisana sa adj(A) =

T

(cof(A)) , tj.

adj(A) =

  

A11 A21 .. . A A12 A22 .. . A

.. .

.. .

.. .

A1n A2n .. . A

n1 n2

.. .

nn

  

.

2.4. INVERZNA MATRICA

25

ˇ Izracunavanje inverzne matrice Teorema 2.4.5. Neka je kvadratna matrica A regularna. Tada postoji njen a inverzna matrica A −1 i imamo da je

1

A−1 =

adj(A).

det A Primjer.

Naći inverznu matricu matriceA =





−3

1 2

.

4 det A = 10 = 0, stoga postoji inverzna matrica! Nadimo sada sve minore: ¯



M11 = 4, M12 = 2, M21 =

−3, M

= 1.

22

Stoga su kofaktorska matrica i adjungirana matrica: cof (A) =



Konaˇcno A −1 =

4 3

1 10

−2 1





, adj(A) =

4 3 2 1

−

  =

 2 5

−

1 5

4 3 2 1

−

3 10 1 10



.



ˇ Algoritam izracunavanja inverzne matrice

1. Izra cˇ unati determinantu det A! Ako je det A = 0, zakljuˇciti regularnost matrice A i nastaviti na korak 2. U protivnom, zakljuˇcujemo da A−1 ne postoji.



2. Izra cˇ unajte sve minore matrice A. 3. Izra cˇ unajte sve kofaktore matrice A i napišite cof(A). 4. Izra cˇ unajte adj(A) = [cof(A)]T . 5. Podijelite adj(A) sa determinantom!!! 6. Dobivena matrica je A−1 . PROVJERITE REZULTAT!!

Primjer.

Naći inverznu matricu matriceA =

1. det A = 1

·



0 1

 − − − 3 4

( 2)



· −21

1 1 2

 −  − 3 4

=

−02 1

0 3 4

 −

.

−7 = 0! ⇒ ∃A−

1


26 2. M11 =

−3, M

−

= 2, M13

12

−

 −



1 0 = 2 1

M21 = 8, M22 = 4, M23 = 5, M31 = 6, M32 = 3, M33 = 2.

−

11 = 3. A A22 =

−

−1

−4,3, AA == −2,5,AA ==−−1,6,A A= =−8,−3, A −3 2 −1 −3 4. cof (A) = −8 −4 −5 , adj (A) = 2 −6 − 3 −2 −1 12 23

13

21

31

 

5. A−1 =

1 adj (A) = det(a)

6. A A−1 = A−1 A = I

·

2.4.2

32

  3 7

 −

1 7

8 7 4 7 5 7

2 7

33

 

6 7 3 7 2 7

 

−2 . −8 −6 −4 −3 −5 −2

=

 

.

.

·

ˇ ˇ Primjena u rješavanju matri cnih jedna cina

Matriˇcna jednaˇcina je jednaˇcina u kojoj su nepoznate i koeficijenti matrice. Primjer. A X = B . Tada ovo rješavamo tako što pomnožimo cijelu jednakosts lijeve strane sa A −1 .

·

·

A X =B

1

1

1

⇒ A− · A · X = A− · B ⇒ I · X = A− · B,

dakle X = A −1 B . Primjer. A =

·    2 1 0 3

,B =

1 2 0 4

. Riješiti X A = B .

·

Ako matriˇcnu jednaˇcinu pomnožimo sa A −1 sa desne strane, dobijemo X = B A−1 , pod uslovom da postoji. det A = 6 A −1 .

·

⇒∃



0

−1

1 2

1 6

⇒  −   · −    3

adj A =

A−1 =

2

1 3

0

Stoga je nepoznata matrica X=

1 2 0 4

1 2

0

1 3

1 6

=

1 2

0

1 2 4 3

2.5. LINEARNA (NE)ZAVISNOST MATRICA

2.5

27

Linearna (ne)zavisnost matrica

Mi c´ emo razmatrati samo linearnu (ne)zavisnost kolonskih i redovnih matrica (vektora). Za dvije matrice v1 , v2 kažemo da su linearno nezavisne ukoliko

•

α1 v1 + α2 v2 = 0

• Za porodicu matrica v , v ,...,v 1

2

n

⇒α

1

= α 2 = 0.

kažemo da su linearno nezavisni ukoliko

α1 v1 + α2 v2 + . . . + αn vn = 0

⇒α

1

= α 2 = . . . = α n = 0.

• U suprotnom, kažemo da su linearno zavisni. Linearna zavisnost slijedi ako barem jedan od α =  0. i

Primjer.

Provjerite linearnu (ne)zavisnost vektora v1 , v2 , v3: v1 = (1, 2, 0), v2 = (1, 0, 3), v3 = (2, 2, 3) αv1 + βv2 + γv3 = (α, 2α, 0) + (β, 0, 3β ) + (2γ, 2γ, 3γ ) = (α + β + 2γ, 2α + 2γ, 3β + 3γ ).

Ovaj zbir je jednak nula matrici ako i samo ako je zadovoljen α + β + 2γ = 0 2α + 2γ = 0 3β + 3γ = 0.

Budući da je ovo kvadratni sistem, on c´ e imati netrivijalnih rješenja ako i samo ako je determinanta sistem D = 0 (o tomu više brzo!). D=

  

  

1 1 2 2 0 2 = 0. 0 3 3

1 2 3 Stoga primjermožemo α = 1, βna´ =ci1,αγ, β=,γ = 1. 0 tako da je αv + βv + γv = 0. Takvi su na

−

Vjezba.

Provjerite linearnu (ne)zavisnost vektora v1 , v2 , v3 i vektora v1 , v2 , v3, v4:

−

−

v1 = (0, 0, 1), v2 = (0, 2, 2), v3 = (1, 2, 1), v4 = (4, 2, 3)


28

2.6

Rang matrice

Koncept linearne zavisnosti vektora (tj. matrica) nam omogućava uvodenje jednog ¯ važnog pojma i osobine matrica, naime rang matrice. Važno je napomenuti da, za razliku od determinanti, rang matrice A možemo pronaći za bilo koju matricu A , tj. dimenzija m n.

×

Ako je maksimalni broj linearno nezavisnih redova koji možemo naći u matrici A jednak broju r , tada taj broj nazivamo rang matrice A i oznaˇcavamo ga sa r(A). Definicija 2.6.1.

Rang matrice r(A) takoder ¯ u isto vrijeme oznaˇcava maksimalni broj linearno nezavisnih kolona! Primjedba 2.6.2.

Primjedba 2.6.3.

Rang matrice može biti maksimalno m ili n, tj. r(A)

≤ min(m, n).

Po definiciji, n n regularna matrica ima n linearno nezavisnih redova (tj. kolona) pa ima rang r(A) = n .

×

Primjedba 2.6.4.

S obzirom na vezu linearne zavisnosti i determinanti, rang matrice možemo drugaˇcije definisati: Rang matrice r(A) je maksimalni red determinante razliˇcite od nule koja se može formirati od redova i kolona te matrice! Definicija 2.6.5.

2.6.1

ˇ Izra cunavanje ranga matrice

Pri odredivanju ranga matrice koristit c´ emo tzv. elementarne transformacije ma¯ trice:

1. zamjena mjesta dva reda ili dvije kolone; 2. množenje reda ili kolone nekim brojem razliˇcitim od nule; 3. elementima jednog reda (kolone) možemo dodati odgovarajuće elemente drugog reda (kolone). Primjenom ovih transformacija, dobit c´ e se matrica koja ima isti rang kao i poˇcetna matrica (kažemo A B ako r(A) = r(B)). Ovaj postupak ide na naˇcin

≡

da svaki naredni red ima jednu nulu više od prethodnog, što se kod naziva Gaussove eliminacije . Ovaj postupak je sliˇ can onome vi¯denom izraˇicpostupak unavanja determinanti (svodenje kolone ili reda na što više nula). Rang ove dvije matrice ¯ c´ e biti isti zato što c´ e se vrijednost maksimalne determinante možda promjeniti, no nikada ne može postati jednaka nuli! Po završenoj Gaussovoj eliminaciji, rang je u stvari broj redova (tj. kolona) koji imaju barem jedan element razliˇcit od nule!

2.6. RANG MATRICE

29

Primjer.

  

×

−4

1 2 3 2101 3 1 2 5024

−

3

×

  

×

Oduzevši 2 prvi red od drugog reda, 3 prvi red od trećeg reda i 5 prvi red od cˇ etvrtog reda, dobivamo

A

 ∼ 

1 0 0 0

2 3 7 10

−

3 4 6 9 7 15 13 24

− − − − − −

   ∼ 

1 0 0 0

2 1 7 10

− −

3 4 2 3 7 15 13 24

− − − −

 

Dodavši 7x drugi red trećem redu i 10x drugi red cˇ etvrtom redu, dobivamo

A

 ∼ 

1 0 0 0

2 1 0 0

3 2 7 7

−4 −3 −6 −6

 

Konaˇcno, oduzimanjem trećeg reda od cˇ etvrtog reda, dobivamo A

 ∼ 

1 0 0 0

2 3 1 2 0 7 0 0 0

−4 −3 −6

 

Ova matrica ima rang 3 , jer se iz nje može napraviti 3 od nule, tj.

a ne i 4

 

 

× 3 determinanta razliˇcita

1 2 3 0 1 2 = 7, 0 0 7

× 4 determinanta razliˇcita od nule, pa je rang poˇcetne matrice 3!

Primjer.

Naći rang matrice A=

  −

2 41 3 1 2 1 0 0 02 2 3 62 5

−

 


30

Koristeći se Gaussovom eliminacijom, kao i prije, dobijemo

 ∼   ∼ 

A

1 2 0 3

−

   ∼    −   −  ∼ 

2 1 0 4 1 3 0 2 2 6 2 5 1 0 0 0

2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

II

−2I,IV −3I

1 0 0 0

−

    

2 1 0 0 3 3 0 2 2 0 5 5

1 1 2 0 0 1 01 0 0 00 0 0 00

Budući da je broj redova sa elementima razliˇcitim od nule 2, stog je i r(A)

Poglavlje 3 Sistemi linearnih algebarskih ˇ jednacina Jednostavnih sistema linearnih algebarskih jednaˇcina se prisjećamo još iz osnovne škole : Primjer.

Neka je dat sistem od dvije jednaˇcine sa dvije nepoznate: x y = 0 2x + y = 3

−

Saberemo li ove dvije jednaˇcine, dobijemo

⇒ x = 1. Stoga, na osnovu prve jednaˇcine, dobijamo 1 − y = 0 ⇒ y = 1. Stoga je rješenje 3x = 3

ovog sistema ure¯deni par (1, 1). Primjer.

Posmatrajmo sistem sa tri jednaˇcine i tri nepoznate

−

x y+z = 1 2x + y z = 2 x + 2y z = 1

− −

Iz prve jednaˇcine imamo da je x = 1 + y jednaˇcinu, dobijamo 2 + 2y 1+y

− z. Ubacimo li ovo u drugu i tre cú

− 2z + y − z − z + 2y − z 31

= 2 = 1

32

ˇ POGLAVLJE 3. SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNA CINA

odnosno 3y 3y

− 3z − 2z

= 0 = 0

Iz prve jednaˇcine imamo da je y = z . Ubacimo li ovo u zadnju jednakost, imamo 3z

− 2z = 0 ⇒ z = 0 ⇒ y = 0 ⇒ x = 1.

Tako imamo da je rješenje ovog sistema uredena ¯ trojka (1, 0, 0). U oba gornja primjera, rješenje je uredena ¯ dvojka i trojka respektivno i jedinstveno je.

Sada želimo da stvari posmatramo uopšteno, tj. da imamo prozvoljan broj jednaˇcina i nepoznatih Promatramo stoga sistem linearnih algebarskih jedna cˇ ina oblika: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2

.. .

(3.1)

am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm x 1 , x.2 ,...,x Ovo sistemmod sa n naziva nepoznatih kada je imamo =m tada cseinasistem kvadratni n ijednaˇ

n

. Posebni slu cˇ aj je

Pod rješenjem sistema LAJ (3.6) podrazumjevamo odredenu n¯ torku brojeva (α1 , α2, ...,α n) sa osobinom da sistem (3.6) bude zadovoljen ako x1 zamjenimo sa α 1 , x2 sa α2 , itd. Definicija 3.0.6.

Ukoliko postoji barem jedno rješenje sistema (3.6), za sistem (3.6) kažemo da je saglasan. Definicija 3.0.7.

Kao što smo već vidjeli, sistem (3.6) možemo prikazati u matriˇcnom obliku Ax = b,

(3.2)

gdje je A matrica koeficijenata a ij , x vektor nepoznatih a b vektor slobodnih cˇ lanova. Najvažnija stvar koja nas u ovom momentu interesuje je da li i kad možemo za sistem (3.6) reći da je saglasan, a da ga eksplicitno ne riješimo? Odgovor na to pitanje daje nam Teorema 3.0.8 (Kronecker-Capellijev stav). Sistem linearnih algebarskih jednacina ˇ (3.6) je saglasan ako i samo ako je r(A) = r(Ap ), gdje je A p = (A b), dakle matrica A ’proširena’ (kolonski) matricom b.

|

Ukoliko je dakle r(A) = r(Ap), sistem (3.6) je nesaglasan, tj. nema rješenja.



3.1. SAGLASNI SISTEMI

3.1

33

Saglasni sistemi

Pretpostavimo da je sistem saglasan, tj. r(A) = r(Ap ) = r , dakle da je sistem saglasan. Za sada tokode ¯ pretpostavimo da je m n. Postavlja se drugo pitanje: koliko rješenja ima sistem i kako se ta rješenja pronalaze? Posmatrat c´ emo dva sluˇcaja, naime: 1. r=n

≥

2. r
Slu caj ˇ r =n

Posmatrat c´ emo prvo sluˇcaj kada je rang r jednak broju promjenljivih n.

Ap =

  

a11 a21

.. .

a12 .. . a a22 .. . a

.. .

am1 am2 .. . a

1n 2n

.. .

mn

U posljednjoj matrici imamo m (3.6) sada prelazi u sistem:

  

b1 b2

.. .

bm

   ∼   

a′11 a′12 .. . a ′1n 0 a′22 .. . a ′2n

.. .

.. .

0 0

0 .. . a ′nn 0 ... 0

.. .

    

b′1 b′2

.. .

b′n 0

   

.. .. .. .. . . . . n redova koji se sastoje samo od nula. Sistem

−

a′11 x1 + a′12 x2 + . . . + a′1n xn = b′1 a′22 x2 + . . . + a′2n xn = b′2

.. .

.. .

(3.3) Sistem (3.3) je kvadratni sistem. Odavdje vidimo da se nepoznanica xn može izraˇcunati iz posljednje jednaˇcine sistema (3.3). Zatim tu vrijednost uvrstimo u predzadnju jednaˇcinu i na demo xn−1 , . . ., nepoznatu x2 iz druge, a x1 iz prve ¯ jednaˇcine. Kažemo da sistem rješavamo unatrag i vidimo da sistem ima jedinstveno rješenje (x1 , x2 ,...,x n ) ako je r = n . Ova metoda rješavanja sistema (3.6) se naziva Gaussovom metodom. Primjer. (a) Ispitati saglasnost sistema; a′nn xn = b′n

−

x1 + 2x2 x3 2x1 x2 + 2x3 3x1 2x2 x3 3x1 + x2 + x3

− −

−

= = = =

2 3 4 5

34


(b) Ako je sistem saglasan, riješiti Gaussovom metodom. Kako bi sistem bio saglasan, potrebno je da rang matrice A bude jednak rangu proširene matrice. Ap =

 ∼ 

1 0 0 0

 

1 2 3 3 2 40 40 0

−

 − − −  −  −   − 2 1

−1 2

2 3

2 1

1 1

4 5

1 32 10 0

2 8 10 0

   ∼     ∼ 

1 0

2 5

− −−85

0 0

1 2 0 40 0 0 0 0

   −−−  −   −   − −  

−1 4

2 1

2 4

2 1

1 32 22 0

2 8 2 0

Budući da je oˇcito rang matrice A jednak rangu proširene matrice, tj. 3 , sistem je saglasan i ekvivalentan sistemu

− − −

x1 + 2x2 x3 = 2 5x2 4x3 = 1 22x3 = 2.

Iz zadnje jednaˇcine imam da je x3 = 5x2

1 11

−

. Iz druge jednaˇcine onda imamo

− 114 = 1 ⇒ 5x

2

= 15 11

⇒x

2

= 3. 11

Konaˇcno, iz prve jednaˇcine slijedi x1 +

6 11

− 111 = 2 ⇒ x

1

Stoga imamo jedinstveno rješenje, tj. 3.1.2



=

17 . 11



17 3 1 , , . 11 11 11

ˇ metod rješavanja Matri cni

U sluˇcaju da je r = n , sistem (3.3) se može napisati u matri cˇ nom obliku A′x = b ′ , gdje su A′ =

 

a′11 a′12 .. . a ′1n 0 a′22 .. . a ′2n

.

0

.

0 .. . a

′.

nn

      , b′ =

b′1 b′2

. b′n

Po pretpostavci, rang matrice A′ je onda r(A′ ) = n i sigurno imamo da je det A′ = 0, tj. A ′ je regularna matrica. Iz ovoga vidimo da se u sluˇcaju regularnosti matrice koeficijenata sistema, rješavanje svodi na rješavanje matri cˇ ne jednaˇcine.



3.1. SAGLASNI SISTEMI

35

Teorema 3.1.1. Kvadratni sistem linearnih algebarskih jednaˇ cina ima jedinstveno rješenje ako je matrica A koeficijenata sistema regularna, tj. det A = 0.



Posmatrajmo matriˇcni oblik sistema, dakle Ax = b. Kako je A kvadratna i regularna matrica, to znaˇci da postoji jedinstvena inverzna matrica A −1. Pomnožimo gornju jednaˇcinu s lijeve strane sa 1 . Dokaz

A− (A−1 ) Ax = b (A−1 A)x = A−1 b x = A −1 b

Dakle, x je jedinstveno rješenje. Primjer.

Riješiti sistem algebarskih jednaˇcina matriˇcnom metodom:

−

x y = 0 2x + y = 3 1 2

Ap =

−1

0 3

1

Sistem je saglasan. Matrica A je matrica A−1 =



1 1/3 0 1/3



−1 3

0 3

1 0

1 3

, a njena inverzna matrica je

. Dobivamo x=

3.1.3

1 0

 ∼ −   





1 1/3 0 1/3

·    0 3

=

1 1

.

ˇ r
U sluˇcaju kada imamo situaciju da je rang manji od broja nepoznatih, imamo više redova sa svim nulama u matrici ekvivalentnoj matriciAp , tj.

Ap

 ∼  

a′11 a′12 . .. a ′1r a′1 r+1 . . . a ′1n 0. a′2. 2 . .. a .′2r a′2 .r+1 . . . a ′2. n .. .. .. .. .. 0 0 .. . a ′r r a′r r+1 .. . a ′r n 0 0 ... 0

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

  

b′1 b′2

.. .

b′r 0

.. .

  


36

Ovdje ima m

− r redova sa nulama. Sistem (3.6) postaje

a′11 x1 + a′12 x2 + . . . + a′1r xr + a′1 r +1 xr+1 + . . . + a′1n xn = b′1 a′22 x2 + . . . + a′2r xr + a′2 r +1 xr+1 + . . . + a′2n xn = b′2

.. .

.. .

a′r r xr + a′r r+1 xr+1 + . . . + a′r n xn = b′r

(3.4)

Ovaj sistem (3.4) nije kvadratni i imamo s = n r nepoznanica "viška" : xr+1, n . Ovih s viška nepoznanica tretiramo tako da im dodijelimo proizvoljnu vrijednost (što možemo uˇciniti na beskonaˇcno mnogo naˇcina). Zatim ih ’prebacimo’ s druge strane znaka jednakosti sistema (3.4). Na taj naˇcin dobivamo kvadratni sistem odr jednaˇcina sa r nepoznatih i rješavamo ga na isti naˇcin koji je opisan ranije (Gaussovom ili matri cˇ nom metodom). Dakle, vidimo da u ovom sluˇcaju sistem (3.4), odnosno sistem (3.6) ima beskonaˇcno mnogo rješenja.

−

xr+2 , ..., x

Zakljuˇcujemo da sistem linearnih algebarskih jednaˇcina, kada je saglasan, može imati iskljuˇcivo: Primjedba 3.1.2.

1. jedinstveno rješenje; ili 2. beskona cˇ no mnogo rješenja. Vjezba. Ispitati saglasnost sistema:

−

−

x+y z = 2 2x 3y + 2z = 1 3x 2y + z = 1

− −

−

U slauˇcaju saglasnosti, riješiti ga proizvoljnom metodom. 3 .1 .4

ˇ m
U sluˇcaju kad je m < n, sistem se na isti na cˇ in kao u prethodnoj sekciji treba napraviti kvadratnim, te onda riješimo proizvoljnom metodom. Vjezba.

Ispitati saglasnost sistema:

−

x1 + 2x2 x3 = 4 2x1 3x2 + 2x3 = 6

−

U slauˇcaju saglasnosti, riješiti ga proizvoljnom metodom.

3.2. CRAMEROV METOD

3.2

37

Cramerov metod

Cramerov metod je naˇcin rješavanja sistema algebarskih jednaˇcina pomoću determinanti. Stoga se samo može primjeniti na kvadratne sisteme, ili sisteme koji su svedeni na kvadratne. Neka datsistem kvadratni linearnih algebarskih jednaˇcina T eorema 3.2.1. Ax = b . Ako je det A nam = 0,jetada imasistem jedinstveno rješenje i vrijedi:



D1 D Dn , x2 = 2,...,x n = , D D D gdje su D = det A, a Dk , k = 1, 2, 3,...,n su determinante koje se dobiju iz det A zamjenom njene k -te kolone vektorom slobodnih clanova ˇ (b1 , b2 ,...,b n ). x1 =

Primjer.

Riješiti sistem Cramerovim pravilom: x1 + 2x2 + x3 = 4 2x1 x2 x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 3.

− −

Budući da lako dobijemo, npr. Sarusovim pravilom, da je D=

−3, D = −3, D = −3, D = −3, 1

2

3

po Cramerovom pravilu imamo jedinstveno rješenje (1, 1, 1). Primjedba 3.2.2. 1. Ako je D = 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje D1 x1 = , D



x2 =

D2 ,...,x D

n

=

Dn , D

2. Ako je D = 0, a barem jedna od determinanti D 1 , D2,...,D od nule, tada sistem nema rješenja.

n

je razliˇcita

3. Ako je D = D1 = D2 = . . . = Dn , tada je sistem neodre den, ¯ tj. ili nema rješenja ili ima beskonaˇcno mnogo rješenja. Tada se moramo koristiti nekom drugom metodom.

3.3

Homogeni sistemi

Definicija 3.3.1.

Sistem linearnih algebarskih jednaˇcina oblika a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = 0

.. .

an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = 0

(3.5)


38

naziva se homogenim sistemom linearnih algebarskih jednaˇcina. Oˇcito je da ovaj sistem ima jedno rješenje oblika (x1 , x2 ,...,x

n

) = (0 , 0,..., 0).

D = je dabiimamo da je D =pravilu .Ovo . . =rješenje Dn = 0naziva . Ako se bi trivijalno imali i da rješenje je det A. Oˇ =cito 0, onda po Cramerovom



1

2

imali jedinstveno rješenje. Koje? Sistem ima samo trivijalno rješenje ako je dakle det A = 0. Homogeni sistem ima i netrivijalnih rješenja ako i samo ako je determinanta sistema det A = 0, što direktno slijedi iz Cramerovog pravila (tada c´ e ih biti beskonaˇcno mnogo naravno!



Vjezba.

Da li sistem:

−

x+y z = 0 2x 3y + 2z = 0 3x 2y + z = 0

− −

ima drugih rješenja sem trivijalnog i ako ima, koja?

3.4

Primjena sistema line arnih algebarskih jedn aˇ cina u ekonomiji

Analitiˇcki proces opisan u prethodnoj sekciji c´ e biti primjenjen na nešto što zovemo statiˇcka analiza ili analiza ekvilibrijuma. Stoga prvo moramo shvatiti što to uopće predstavlja ekvilibrijum. 3.4.1

Ekvilibrijum

Kao bilo koji ekonomski termin, ekvilibrijum možemo definisati na više razliˇcitih naˇcina. Po jednoj definiciji, ekvilibrijum je konstelacija odabranih medusobno ¯ povezanih promjenljivih, podešenih tako u odnosu jedne na drugu da ne postoji tendencija ka promjeni unutar sistema koji saˇcinjavaju.

Dakle, esencijalno ekvilibrijum za specificirani model predstavlja situaciju koju manjak tendencije Zbog toga se analiza ekvilibrijuma karakteriše (odnosno prouˇ cavanje kakvo jeka to promjeni. stanje ekvilibrijuma) cˇ esto naziva statika. ˇ Cinjenica da ekvilibrijum nema tendencije ka promjeni bi nekoga naveo na pomisao da ekvilibrijum obavezno predstavlja najpoželjnije i idealno stanje stvari, zasnovano na ideji da u savršenom stanju nema potrebe niti motivacije za promjenom. Ovakvo razmišljanje je bez osnova. Iako odre deni ¯ ekvilibrijum može

ˇ A U EKONOMIJI39 3.4. PRIMJENA SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNACIN predstavljati poželjno stanje (kao što je stanje maksimalne dobiti u okviru neke kompanije), neki drugi ekvilibrijum je nešto što je negativno i što treba izbjeći – kao što je recimo permanentno visoka stopa nezaposlenosti u Bosni i Hercegovini! 3.4.2

Linearni model parcijalnog tržišnog ekvilibrijuma

U statiˇcnom – ekvilibrijum modelu, standardni problem je pronalaženje skupa vrijednosti endrogenih promjenljivih koji bi zadovoljavao uslov ekvilibrijuma našeg modela. Ovo c´ emo ilustrovati na parcijalnom ekvilibrijum – tržišnom modelu, tj. modelu odredivanje cijene na izolovanom tržištu. ¯ Konstrukcija modela

Kako c´ emo posmatrati samo jednu vrstu robe, dovoljno je da imamo samo tri promjenljive, naime:

• cijenu robe P ; • koliˇcina potražnje, tj. prodane robe Q • koliˇcina ponude Q .

d

s

Sada moramo postaviti naš uslov ekvilibrijuma : standardna pretpostavka je da se ekvilibrijum na tržištu uspostavlja ako i samo ako nema viška potražnje, tj. Qd

−Q

s

=0

⇒Q

d

= Qs.

No ovo odmah postavlja pitanje kako odredujemo samo Qd i Qs ?. Za Qd pretpos¯ tavljamo da je linearna opadajuća funkcija cijene P (tj. što je ve c´ a cijena, to je manja potražnja). Za Qs pretpostavljamo da je linearna rastuća funkcija cijene P (tj. što je veća cijena, to je veća ponuda). Tako¯der pretpostavljamo da nema ponude ukoliko cijena ne dosegne odre deni ¯ minimalni nivo. Sve u svemu, model će sadržati jedan uslov ekvilibrijuma plus dva uslova ponašanja koji upravljaju potražnjom i ponudom respektivno. ˇ model Matematicki

Prevedeno u matematiˇcki jezik, model izgleda ovako Qd = Qs Qd = a bP (a, b > 0) Qs = c + dP (c, d > 0).

− −

(3.6)

40


6 y = - 3x + 6 y = 5x - 3

4

(P*, Q*) 2

0.5

1.0

1.5

2.0

2

Slika 3.1: Funkcije ponude i potražnje za konkretne a = 6, b = 3, c = 3, d = 5 Naša 4 parametra a,b,c,d su pozitivni. Ve c´ primjetimo da funkcija potražnje ima negativan nagib b < 0, dok funkcija ponude ima pozitivan nagib d > 0. Medutim, vertikalni presjek funkcije ponude je negativan. Zašto? Sada, iz našeg ¯ sistema (3.6), lako rješavanjem vidimo da je

−

P =

a+c b+d

(jer je b + d > 0.

P i da je vrijednost poPrimjetite da sada ovu cijenubiti. ekvilibrijuma oznaˇ cavamo zitivna, kako cijena i treba Sada trebamo izraˇ cunatisavrijednost ekvilibrijuma Q = Qd = Q s Q=a

− bP = a − b ab ++ dc = adb +− dbc .

Budući da je brojilac pozitivan i imenilac mora biti pozitivan. Stoga vidimo da imamo još jedan uslov kako bi naš model bio smislen, odnosno ad > bc . Vrlo je već dobro znano da se P i Q tržnog modela mogu odrediti grafiˇcki kao presjek krivih potražnje i ponude. Dakle tržišni ekvilibrijum se ostvaruje u (P , Q) =



−

a + c ad bc , b+d b+d



što je rješenje sistema (3.6) i o cˇ ito, ekvilibrijum je jedinstven, kao što bismo i oˇcekivali. 3 .4 .3

´ model tržišne ravnoteže Op ci

Maloprije smo se bavili izolovanim tržištem, gdje su Qd i Qs nekog proizvoda funkcije cijene samo og proizvoda. U stvarnom svijetu me dutim, nijedan proizvod ¯ se ne ponaša na takav hermetiˇckina cˇ in. Realistiˇcniji opis funkcije potražnje nekog

ˇ A U EKONOMIJI41 3.4. PRIMJENA SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNACIN proizvoda bi trebao uzeti u obzir i cijene povezan proizvoda. Sada pretpostavimo da imamo n razliˇcitih roba. Dakle promjenljive su

Uslovi ekvilibrijuma su

Qd1 , Qd2 ,...,Q

dn

Qs1 , Qs2 ,...,Q

sn

Qd1 = Q s1 , Qd2 = Q s2 ,...

Na primjer, model s dvije robe: Qd 1 Qd 1 Qs 1 Qd 2 Qd 2 Qs 1

Qs 1 a1 + b1 P1 + c1 P2 a2 + b2 P1 + c2 P2 Qs 2 α1 + β1 P1 + γ1 P2 α2 + β2 P1 + γ2 P2

= = = = = =

O predznacima koeficijenata nec´ emo diskutovati! Sistem se svede na

−

− c )P

−a

−

−

−

(b1 b2 )P1 + (c1 (β1 β2 )P1 + (γ1

2 2 = a2 γ2 )P2 = α2

1

α1

Koristimo na primjer Cramerov metod, te izraˇcunamo D, D1 , D2 . Kako znamo da je taˇcka ravnoteže jedinstvena, slijedi da sistem mora imati jedinstveno rješenje, tj. D = 0, odnosno



(b1

− b )(γ − γ ) = (c − c )(β − β ). − a )(γ − γ ) − (c − c )(α − α ) − b )(γ − γ ) − (c − c )(β − β ) − b )(α − α ) − (a − a )(β − β ) − b )(γ − γ ) − (c − c )(β − β ) 2

1

(a2 P1 = (b1 (b1 P2 = (b1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

Treba voditi raˇcuna o tome da treba biti P 1 > 0, P2 > 0, Q1 > 0, Q2 > 0 i o vezi koeficijenata koji se pri tome dobiju! Primjer.

Qd 1 Qs 1 Qd 2 Qs 2

Rješenje je P 1 =

26 , 7

P2 =

46 7

.

= 10 2P1 + P2 = 2 + 3P1 = 15 + P1 P2 = 1 + 2P2

−−

−

−

42 3.4.4

ˇ POGLAVLJE 3. SISTEMI LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNA CINA Model nacionalnog dohotka

Iako je diskusija o ekvilibrijumu bila do sada ograni cˇ ena na tržišne modele, naravno da ekvilibrijum ima primjene i u drugim oblastima ekonomije. Kao jednostavan primjer, možemo promatrati Keynesov model nacionalnog dohotka: Y = C + I 0 + G0 C = a + bY (a > 0, 0 < b < 1).

Ovdje Y i C predstavljaju endrogene promjenljive nacionalnog dohotka i potrošnje respektivno, dok I 0 i G 0 predstavljaju investiciju i potršnju vlade. Tako¯der su nam unaprijed poznater veliˇcine a i b . a predstavlja autonomnu potrošnju, dok je b graniˇcna sklonost potrošnji. Prva jednaˇcina je uslov ekvilibrijuma (nacionalni dohodak je jednak nacionalnoj potrošnji). Druga jednaˇcina je jednaˇcina ponašanja. Cramerovo pravilo nas odmah dovodi do rješenja Y∗ =

3.4.5

I0 + G 0 + a , 1 b

−

C∗ =

a + b(I0 + G0 ) . 1 b

−

Input-output analiza

U svojoj statiˇckoj verziji, input-output analiza Prof. Leontiefa se bavi slijedećim pitanjem: Koji nivo outputa bi svaka od n razliˇcitih industrija trebala proizvoditi, tako da bi to bilo dovoljno da se zadovolji ukupna potražnja za tim proizvodom?

Racionalitet input-output analize je oˇcit. Output mnogih industrija (kao što je na primjer cˇ elik) je input mnogih drugih industrija, ili cˇ ak same poˇcetne industrije! Stoga bi “korektan” nivo proizvodnje cˇ elika zavisio od input potreba svih industrija gdje se cˇ elik koristi, a s druge strane outputi raznih drugih industrija c´ e se koristiti kao inputi u industriji cˇ elika i konzekventno c´ e “korektni” nivoi outputa drugih proizvoda zavisiti barem djelimiˇcno od potreba industrije cˇ elika. Oˇcito je stoga da je input-output analiza od velikog znaˇcaja prilikom planiranja proizvodnje, kao na primjer prilikom planiranja ekonomskog razvoja neke zemlje ili programa narodne odbrane. Stoga c´ emo sada u input-output analizi posmatrati n-sektora industrije, I = 1, 2, 3,...,n . Sa oznaˇcavamo ukupnu koliˇcinu outputa -tog sektora ( ). i sektora neophodnog i I Sa Q Qiij oznaˇcavamo koliˇcinu outputa iz i-tog za proces proizvodnje u j -tom sektoru (i, j I ). qi je finalna potražnja outputa i-tog sektora. Pretpostavka. Qi treba potrošiti ili na medusektorsku potražnju Q ij ili na fi¯ nalnu potražnju qi .

∈

∈

ˇ A U EKONOMIJI43 3.4. PRIMJENA SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNACIN Qi Q1 Q2

Q11 Q21

Qij Q13 . . . Q Q23 . . . Q

1n 2n

qi q1 q2

Qn

Qn 1 Qn 2 Qn 3 . . . Q

nn

qn

.. .

Q12 Q22

.. .

.. .

Tablica 3.1: Input-output tabela Uslov ekvilibrijuma

Pretpostavit c´ emo da je potrošnja jednaka potražnji, dakle Q1 = Q11 + Q12 + . . . + Q1n + q1 Q2 = Q21 + Q22 + . . . + Q2n + q2 ... Qn = Qn1 + Qn2 + . . . + Qnn + qn

(3.7)

Ovaj sistem (3.7) sada možemo napisati obliku koji nazivamo input-output tabela: Sistem (3.7) je sistem jednaˇcina ekvilibrijuma. Sistem (3.7) sadrži n jednaˇcina sa n 2 + 2n nepoznatih. U našem razmatranju pretpostavit c´ emo da se tehnološki uvjeti ne mijenjaju. Ovo znaˇci da imamo konstantnu koliˇcinu proizvoda iz i-tog sektora neophodnih za proizvodnju jedne jedinice u j -tom sektoru. Oznaˇcimo tu koliˇcinu sa a ij . Kako je izraˇcunati? Prosto: aij =

Qij Qj

⇒

Qij = a ij Qj

Pretpostavimo stoga da imamo tehniˇcke norme:

A=

 

a11 a12 .. . a 1n a21 a22 .. . a 2n ... an1 an2 .. . a nn

 

Ako ove koeficijente zamijenimo u sistem (3.7), dobijemo Q1 = a11 Q1 + a12 Q2 + . . . + a1n Qn + q1 Q2 = a21 Q1 + a22 Q2 + . . . + a2n Qn + q2 ... Qn = an1 Q1 + an2 Q2 + . . . + ann Qn + qn

44


Ovaj sistem možemo napisati u matriˇcnoj formi: (3.8)

Q = AQ + q,

gdje su Q1 Q=

 

Q2

.. .

Qn

q1

 

,

q=

 

q2

.. .

qn

 

Prilikom planiranja proizvodnje, gdje c´ emo se služiti ovim modelom, moguće su slijedeće situacije: 1. Poznat nam je vektor outputa svih sektora Q (novi plan proizvodnje). 2. Poznat nam je vektor finalne potražnje q . 3. Za neke sektore ekonomije poznata nam je koli cˇ ina njihovih outputa, a za preostale njihova finalna potražnja. ˇ 1. Slucaj

q i Qij (meduPretpostavimo da namIskoristimo je poznat vektor trebamo ¯ sektorska potrošnja). matriˇcQ nu- jednaˇ cinustoga (3.8) odrediti : Q = AQ + q

⇒ q = Q − AQ ⇒ q = (I − A)Q

Matricu T = (I A) nazivamo matricom tehnologije. Stoga nova matrica ukupnih outputa je

−

·

q=T Q

Novu medusektorsku potrošnju raˇcunamo pomoću ranije formule Q ij = aij Qj , ¯ zbog pretpostavke da se tehnološki uvjeti ne mijenjaju. Primjer. Pretpostavimo da je ekonomija jedne zemlje podijeljena na 3

da I-O tablica izgleda: Qi

Qij

qi

300 30 40 100 130 400 60 120 100 120 500 60 160 150 130 Sastaviti novu I-O tablicu koja odgovara novom planu proizvodnje: Q1 = 360, Q2 = 480 , Q3 = 600 ,

sektora i

ˇ A U EKONOMIJI45 3.4. PRIMJENA SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNACIN ako je poznato da se tehnološki uvjeti nisu promjenili. Prvo izraˇcunamo matricu A, tj. A=

Izraˇcunamo matricu tehnologije T =I

    −−

−A=

0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2 0.2 0.4 0.3

0.9 0.2 0.2

 

−0.1 −0.2 0.7 −0.2 −0.4 0.7

 

Izraˇcunamo q = T (360, 480, 600) = (156 , 144, 156). Upišimo ovo u novu IO tabelu:

·

Qi

Qij

360 480 600

qi

156 144 156

Ostalo je samo još da izra cˇ unamo medusektorsku proizvodnju, što raˇcunamo iz ¯ ij j matrice A i formule Q = aij Q .

·

Qi

Qij

qi

360 36 48 120 156 480 72 144 120 144 600 72 192 180 156 ˇ 2. Slucaj

Sada nam je poznata q , a trebamo odrediti Q i medusektorsku potražnju Qij . ¯ 1

· Q \ T − (s lijeva) ·q = T− T · Q ⇒ Q = T− ·q q =T

T −1

1

1

Medusektorsku proizvodnju raˇcunamo kao i prije. ¯ Primjer.

Zadana je I-O tablica dvosektorske ekonomije Qi

Qij

600 1200

qi

1200 600 1200 1200

46


Najprije popuniti tablicu, a zatim odrediti novu I-O tablicu ako se finalna potražnja prvog sektora poveća za 10% , a drugog smanji za 10% . IO tabela je Qi

Qij

qi

2400 600 3600 1200

1200 600 1200 1200

Novi vektor finalne potražnje je stoga q = (660, 1080). Izraˇcunamo metricu A, tj. A=

1 4 1 2

1 3 1 3

 ⇒  T=

3 4

−

1 2

−

2 3

1 3



Inverzna matrica matrice tehnologije je T −1 =

  2 1 3 2

9 4

Pomnožimo ovu matricu sa novim vektorom finalne potražnje kako bismo dobili novi vektor ukupne proizvodnje Q = (2400, 3420). Popunimo novu IO tablicu Qi

Qij

2400 3420

qi

Qi

660 1080

Qij

qi

2400 600 1140 660 3420 1200 1140 1080

ˇ 3. Slucaj

U ovom sluˇcaju su nam poznati neki podaci jedne skupine i drugi podaci druge skupine. U ovom, trećem sluˇcaju, nema kratica, već moramo istinski riješiti sistem jednaˇcina. Pretpostavimo da je ekonomija neke zemlje podijeljena na 3 sektora. I-O tablica izgleda Primjer.

Qi

Qij

qi

300 30 40 100 130 400 60 120 100 120 500 60 160 150 130 Sastaviti novu I-O tablicu ako se pretpostavlja da c´ e ukupna proizvodnja biti Q1 = 330, q2 = 132 , q3 = 143 . Tehnološki uvjeti se neće promijeniti. Opet, kao i prije, prvo izraˇcunamo matricu A: A=

 

0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.2 0.2 0.4 0.3

   ⇒  −− T=

0.9 0.2 0.2

−0.1 −0.2 0.7 −0.2 −0.4 0.7

 

ˇ A U EKONOMIJI47 3.4. PRIMJENA SISTEMA LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNACIN Vratimo se jednaˇcini (3.8), tj. jednaˇcini q = T Q, odnosno

      −−    q1 132 143

· −0.2 −0.2 ·

=

q1 132 143

=

    

−0.1 330 0.7 Q −0.4 0.7 Q − 0, 2Q −29766 −+ 0,0,1Q 7Q − 0, 2Q −66 − 0, 4Q + 0, 7Q

0.9 0.2 0.2

2

2

2

2 3

3

3 3

Tako dobijamo sistem od 3 jednacˇ ine sa 3 nepoznate:

q1 + 0, 1Q2 + 0, 2Q3 = 297 0, 7Q2 0, 2Q3 = 198 0, 4Q2 + 0, 7Q3 = 209

−

−

ili vjerovatno jednaostavnije 10q1 + Q2 + 2Q3 = 2970 7Q2 2Q3 = 1980 4Q2 + 7Q3 = 2090

−

−

Iz zadnje dvije jednaˇcine dobijemo Q2 = 440 , Q3 = 550 . Stoga, iz prve jednaˇcine dobijamo q1 = 143 . Stoga je nova IO-tabela: Qi

Qij

330 440 550 Qi

qi

143 132 143 Qij

qi

330 33 44 110 143 440 66 132 110 132 550 66 176 165 143

48


Poglavlje 4 Realne funkcije Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematiˇckoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja. Neka je dat skup D R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu) pridružen jedan i samo jedan y R, tada kažemo da je na skupu D definirana realna funkcija f realne promjenljive x . Pravilo po kojem se vrši pridruživanje oznaˇcavamo sa f , odnosno

⊆

Definicija 4.0.1.

y = f (x),

∈

∈

x

D.

∈ Ovdje je x argument ili nezavisno promjenljiva, a skup D (ˇcesto se i D ) f

je definiciono podruˇcje ili domen funkcije f . Broj y0 , pridružen vrijednosti x 0 argumenta x, zove se vrijednost funkcije u taˇcki x = x0 i oznaˇcava se f (x0). Skup svih vrijednosti funkcije f oznaˇcava se Rf i zove se kodomen funkcije f . Ako nije unaprijed dato definiciono podruˇcje funkcije f , onda se podrazumijeva da je to maksimalan skup za cˇ ije elemente x funkcija f (x) ima smisla. Neka je f R R binarna relacija i neka D f oznaˇcava skup svih prvih komponenti uredenih parova (x, y) f . ¯ Ako relacija f zadovoljava uslov da se svakix Df pojavljuje samo jednom kao prva komponenta svih ure¯denih parova iz f , tj. ako

⊆ ×

Definicija 4.0.2.

∀ ∈D ) :

∈

∈

∈ f ∧ (x, y ) ∈ f ⇒ y = y , onda skup f nazivamo realnom funkcijom na skupu D ⊆ R. ( x

f

(x, y1 )

2

1

2

f

Funkcija se može zadati na razne naˇcine, ali je najzanimljiviji sluˇcaj kad se funkcija zadaje putem nekoganalitickog ˇ izraza f (x)– kojim se propisuju pravila pridruživanja elementima skupa Df – elemenata kodomenaRf . Funkcija f (x) =

 3

49

3x2 + 2 7x

(4.1)

POGLAVLJE 4. REALNE FUNKCIJE

50

je primjer gdje je f (x) eksplicitno dato u funkciji od argumenta x. Inaˇce, analitiˇcki funkcija može biti zadana, osim ovog tzv. eksplicitnog nacˇ ina i parametarski. Naime, nekad se promjenljiva x i promjenljiva y mogu zadati u funkciji nekog realnog parametra t. Neka je x = φ(t) ;

y = ψ(t), t

A

R,

∈ ⊆

gdje su φ i ψ realne funkcije definirane na istome podskupu A R. Relacijom Φ(x, y) = 0, cˇ esto, može implicitno biti zadata funkcija

⊆

y = f (x),

ili funkcija x = g(y). Naprimjer, izrazom 7xy 3 3x2 2 = 0 je takode ¯ zadata i realna funkcija (4.1). ˇ Cesto se funkcija zadaje bez ikakve formule. Takav je primjer funkcijeE (x)– "cijeli dio broja x" (ili cjelobrojno x). Nije teško uoˇciti da za cijelobrojno x vrijedi

−

−

√

E (2) = 2 , E (3, 5) = 3 , E ( 13) = 3 , E (

−

π

2)

=

−2, ....

y 3

2

1 -3

-2

-1 1

0

2

3

4

x

-1

-2

y = E(x)

-3

Osim analitiˇckog, zadavanje funkcijef može biti tabelarno i graficko ˇ . Tabelarno se funkcija zadaje u prilikama kad je moguće vrijednosti nezavisno promjenljive x i zavisno promjenljive (tj. funkcije) y ispisati u jednoj tabeli, tako da se može uoˇciti funkcionalna zavisnost y = y(x). Prisjetimo se ovdje linearne funkcije y = ax + b. Ona se, uz napomenu da se radi o linearnoj funkciji, može tabelarno predstaviti sa samo dva para vrijednosti (xi , yi ). x y

x0 ax0 + b

x1 ax1 + b

4.1. NEKE KLASE REALNIH FUNKCIJA

51

Definicija 4.0.3. Grafik funkcije y = f (x) je skup

{

Gf = (x, y)

2

∈ R |x ∈ D ∧ y = f (x)}. f

Svaki podskup u R = R R, ne može biti grafik funkcije. Da bi neki skup A R2 , bio grafik jedne funkcije, potrebno je i dovoljno, da svaka prava paralelna sa y - osom, sijeˇce skup A najviše u jednoj taˇcki. 2

⊂

×

y 2

y =x

0

1

x

x

Naime, u definiciji funkcije f iz skupa X u skup Y , zahtjeva se da svakome x

∈ X pridružimo jedan i samo jedan element y ∈ Y . Drugim rije cˇ ima, svaka

funkcija je po konvenciji jednoznacˇ no preslikavanje, tj.,



f (x1 ) = f (x2 )

⇒ x = x . 1

2

(4.2)

U nizu slu cˇ ajeva može se odrediti grafik funkcije y = F (x), transformacijom već poznatog grafika druge funkcije y = f (x). Neke od jednostavnijih primjera takvih transformacija dajemo u sljedećoj tabeli. Funkcija

y = F (x) y = f (x) + α y = f (x + α)

−

y = f ( x) y = f (x) y = αf (x) y = f (αx)

−

4.1

Transformacija grafika funkcije

y = f (x)

Pomak (shift) duž Oy ose za α Pomak duž apscisne ose za α udesno ako je α < 0 , ulijevo ako je α > 0 Simetrija u odnosu na osu ordinata Simetrija u odnosu na apscisnu osu Homotetija ta cˇ aka f (x)na ordinati Homotetija ta cˇ aka x na apscisi

Neke klase realnih funkcija

Sve osobine koje posjeduju funkcije mogli bi podijeliti na lokalne i globalne, pa prema tim svojstvima se i izdvajaju klase realnih funkcija. Preciznije, re c´ i c´ emo


52

da je neko svojstvo globalno za funkciju f : Df R ako ono vrijedi (po definiciji) na cˇ itavome skupu A Df , nasuprot lokalnog svojstva koje vrijedi ( takode, ¯ po definiciji) samo u okolini taˇcke skupa A Df . Za neki skup D kažemo da je simetriˇcan skup, ako vrijedi

→

⊆

⊆

x

∈ D ⇒ −x ∈ D.

Oˇcigledno da se ovdje radi o simetriji skupa D u odnosu na taˇcku 0 . Definicija 4.1.1. Funkcija f : Df R, definirana na simetriˇcnom skupu D f R, je parna na skupu Df , ako vrijedi

→

⊆

∀ ∈ D )f (x) = f (−x);

( x a neparna na Df ako je

f

∀ ∈ D )f (−x) = −f (x).

( x

f

y

y

Gf

Gf 1 f(x0 ) -x0

f(-x )

1

Primjer.

1

x

-1

f(x0 ) -1

x0

0

f(-x0 ) -x0

-1

0

1

x0

x

Polinom parnih stepena p(x) = a 0 + a1 x2 + a2 x4 +

2n

··· + a x n

,

je primjer parne funkcije koja je definirana na simetriˇcnom skupu Dp = R. Primjer. f (x) = sin x,

koja je definirana na R , primjer je neparne funkcije.

Većina funkcija nema svojstvo parnosti niti neparnosti. Sa druge strane, lako se pokazuje da se svaka funkcija f definirana na simetriˇcnom skupu X R, može predstaviti u obliku sume

⊆

f (x) = h(x) + s(x)

jedne parne i jedne neparne funkcije. To se postiže sabiranjem funkcija h i s, koje su zadate pomoću h(x) = 12 (f (x) + f ( x)), s(x) = 12 (f (x)

−

− f (−x)),

od kojih je oˇcigledno prva parna, a druga neparna funkcija.

4.1. NEKE KLASE REALNIH FUNKCIJA

Funkcija f : D → R je ograniˇcena sa donje strane na skupu ⊆ D , ako postoji m ∈ R, tako da je za svakox ∈ X, f (x) ≥ m. Simboliˇcki ˇ f : X → R je ogranicena na X sa donje strane ako (∃m ∈ R)(∀x ∈ X )(f (x) ≥ m)

Definicija 4.1.2.

X

53

f

f

Funkcija f : X R je ograniˇcena sa gornje strane na skupu X Df ako postoji M R, tako da je za svakox X, f (x) M . Drugim rijeˇcima, funkcija f : Df R je ogranicena ˇ na X sa gornje strane ako

→

∈

→

∈

≤

⊆

∃ ∈ R)(∀x ∈ X )(f (x) ≤ M ). ˇ Definicija 4.1.3. Za funkciju f : D → R, kažemo da je perodicna, ako postoji ( M

f

broj ω (perioda) takav da vrijedi

∀ ∈ D )(x + ω ∈ D )(f (x + ω) = f (x)). (4.3) Klasu tih funkcija (ako je D = (a, b)) oznaˇcićemo sa P . Ina cˇ e periodiˇcnost ( x

f

f

(a,b)

f

je prisutna i u prirodi u mnogim njenim pojavama; primjeri su: godišnja doba, noć-dan, plima-oseka, mjeseˇceva svjetlost i sl. Definicija 4.1.4. Realna funkcija f : D ´ na razmaku A D, ako rastucom

⊆

( x1 , x2

→ R naziva se:

A)(x1 < x2

f (x1 )

f (x2 ));

∈ A, ako ⇒ ≤ strogo rastucom ´ na∀razmaku (∀x , x ∈ A)(x < x ⇒ f (x ) < f (x )); ´ opadajucom na razmaku A ⊆ D , ako (∀x , x ∈ A)(x < x ⇒ f (x ) ≥ f (x )); 1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

´ strogo opadajucom na razmaku A, ako

∀

( x1 , x2

∈ A)(x

1

< x2

⇒ f (x ) > f (x )). 1

2

Za svaku od ovih funkcija f re c´ i c´ emo da je monotona funkcija na razmaku definiranosti ako je A = D f ; pišemo f A. Dakako, osobina monotonosti je globalno svojstvo funkcije.

∈M

Primjer. Funkcija f (x) =

√x 3

nije monotona na D = [ 1, +1]. Realna funkcija f : D f R je ogranicena ˇ na skupu A ako je f (x) x A ograniˇcen skup. Drugim rijeˇcima, ako 2

Definicija 4.1.5.

{

−

Df ,

| ∈ } → ⊆ (∃M ∈ R )(∀x ∈ A)(|f (x)| ≤ M ). (∗) Ako je funkcija f ograniˇcena na skupu A , pišemo f ∈ B . Dakle, ograniˇcenost +

A

funkcije na Df je globalno svojstvo te funkcije.


54

4.2

Osobine funkcija

1. Ako funkcija f : A B ima osobinu da su svi elementi skupa B slike elemenata skupa A , onda kažemo da funkcija f ima osobinu sirjektivnosti ili da je preslikavanje "na".

→

2. Ako funkcija f : A B ima osobinu da razliˇcitim srcinalima odgovaraju razliˇcite slike, (tj. x = y f (x) = f (y)), kažemo da funkcija f ima osobinu injektivnosti, ili da je f preslikavanje jedan-na-jedan.

→

 ⇒

Ako funkcija f : A kažemo da je funkcija f bijekcija. Definicija 4.2.1.



→ B jeste i injekcija i sirjekcija, onda

Graf funkcije f odredujemo tako da ¯ 1. Odredimo

D; 2. Za svako x ∈ D f

f

odredimo y = f (x);

3. u koordinatni sistem xOy unesemo sve taˇcke (x, f (y)). 4.2.1

Elementarne funkcije

Primjer. Linearna funkcija y = kx + l . Primjer.

Kvadratna funkcijay = ax2 + bx + c.

Primjer.

Racionalna funkcija y = x1 .

Primjer.

Korjenska funkcija y = x.

Primjer.

Eksponencijalna funkcija y = a x

Primjer.

Logaritamske funkcije y = log a x.

√

a > 0 i a = 1.



Definiciono podrucje ˇ Primjer. Odrediti definiciono podruˇcje funkcije

y=

−

x 1 + log(1 x+1

− x).

4.3. PRIMJENA FUNKCIJA U EKONOMIJI

55

Kompozicija funkcija

Neka su date dvije funkcije f : A definisanu sa

→  B i g : B → C . Onda funkciju h : A →  C h(x) = g(f (x)) = ( g ◦ f )(x)

nazivamo kompozicijom funkcija f i g . Primjer. Neka

su date funkcije f : R g(x) = 3x + 6 . Odrediti g f i f g .

◦

4.2.2

◦

→ R, f (x) =

1 3 (2x

− 1) i g : R → R,

Inverzna funkcija

Neka je data funkcija f : A B koja je bijekcija. Onda postoji njena inverzna funkcija koja se oznaˇcava sa f −1 i f −1 : B A, za koju vrijedi da

→

→ 

f (f −1(x)) = f −1 (f (x)) = x.

Kako odrediti inverznu funkciju? Kod polinomskih i racionalnih funkcija je to dosta jednostavno - slika i srcinal samo zamjene mjesta! Primjer.

f :R

R,

→ − 4.

f (x) = y = 2x Primjer.

Naći inverzne funkcije:

1. y =

2x−1 ; x+2

2. Qd (P ) = a + bP ;

−

3. y = a ; x

4. y = x2 .

4.3

Primjena funkcija u ekonomiji

Već smo vidjeli neke primjere funkcija u ekonomiji : Qd (P ) = a

− bP,

Q s (P ) =

−c + dP

Odnos cijena i ponude neke robe dat je tabelom: Odrediti i grafi cˇ ki prikazati funkciju ponude oblika Primjer.

s(p) = ap 2 + bp + c,

(a,b,c

∈ R).


56

p 1 2 3 s 10 8 4 Primjer. Zadana je cijena p kao funkcija ponude s.

Izraziti ponudu s kao funkciju

cijene p ako je

√s

p(s) = 1 s2 + 2s + 5 + 2 2

√

2

2

2

− 4/ ⇒ s + 2s + 5 = (2 p − 4) ⇒ s + 2s + 1 = (2 p − 4) − 4 ⇒ (s + 1) = (2p − 6)(2p − 2)/√ ⇒ s + 1 = 2(p − 3)(p − 1) ⇒ s(p) = 2(p − 3)(p − 1) − 1 pod uslovom da je p ≥ 3. 2

+ 2s + 5 = 2 p

2

2



4.3.1

2



Funkcija troškova

Ekonometrijski model koji se koristi kako bi se analizirali troškovi je model u kojem glavna promjenljiva predstavlja ukupne troškove, a endrogene promjenljive predstavljaju faktore koji utiˇcu na njihov nivo. Kvantitet proizvodnje je najvažniji faktor koji utiˇce na ukupni nivo troška! Funkcija može imati razliˇcite forme, može npr. biti linearna ili polinomska - ali je u najvećem broju praktiˇcnih sluˇcajeva polinomska funkcija trećeg reda. Ukupni troškovi se sastoje od dva sastavna dijela, naime 1. fiksni troškovi - koji ne zavise od procesa proizvodnje (amortizacija, plate, režije, itd.) 2. varijabilni troškovi - zavise o koliˇcini proizvodnje i mijenjaju se s porastom ili padom proizvodnje! Funkciju ukupnih troškova oznacˇ avamo sa T (Q), gdje Q predstavlja potražnju, tj. ponudu. T (Q) = F T + V T (Q).

Budući da vidimo da su fiksni troškovi fiksni i ne zavise od proizvodnje, lako se vidi da je: Q= 0

⇒ V T (0) = 0 ⇒ T (0) = F T !

Posmatrajmo funkciju ukupnih troškova T (Q) = 3 + 5 Q. Ako posmatramo T (0) = 3 , lako vidimo da je fiksni trošak 3, dok je varijabilni trošak 5Q. Primjer.

4.3. PRIMJENA FUNKCIJA U EKONOMIJI

57

5 4 3 2 1

4

2

2

4

1

4.3.2

ˇ trošak Prosje cni

Prosjeˇcni (ili unitarni) trošak treba da predstavlja trošak proizvodnje jednog proizvoda i oznaˇcava se sa T (Q). Stoga je o cˇ ito da će prosjeˇcni trošak biti ukupni trošak podijeljen sa brojem proizvedenih artikala, tj. T (Q) =

T (Q) . Q

Primjer. Ako

je ukupni trošak neke proizvodnje 10000KM, a proizvede se 385 10.000KM artikala, koliki je prosjeˇcni trošak? Prosjeˇcni trošak je = 25, 97KM . 385

Primjer. Zadana je funkcija troškova nekog preduzeća T (Q) = 2Q + 3, gdje je Q

koliˇcina proizvodnje. Izvedite graf funkcije prosjeˇcnih troškova. Za koje kolicˇ ine proizvodnje Q funkcija troškova i prosjeˇcnog troška imaju ekonomskog smisla? 4.3.3

Funkcije prihoda i dobiti

Koliki je prihod neke kompanije? Pa naravno da c´ e (optimalno) biti jednak kolicˇ ini proizvodnje/potražnje pomnožene sa cijenom proizvoda!

·

P = Q p.

Postavlja se pitanje, cˇ ega je dobit funkcija? Pa oˇcito, cijene!

·

P (p) = Q(p) p.

Medutim, kako je uobi cˇ ajeno u analizi troškova, funkcije trebaju ovisiti o pro¯ izvodnji, ne o cijeni! Stoga, prvo nademo inverznu fukcijup(Q) iz Q(p)! Stoga ¯ P (Q) = Q p(Q).

·

Kako izraziti ono najvažnije, tj. funkciju dobiti? O cˇ ito - dobit je prihod minus trošak! D(Q) = P (Q)

− T (Q).

Primjetite - za razliku od troškova i prihoda, dobit može biti negativna!


58 30 20 10

2

4

6

8

10

12

10 20 30 40

Primjer.

Date su funkcije potražnje Q(p) = . Odrediti: 8 + 80 Q

T (Q) = Q

−

−p + 20 i prosje cˇnih troškova

• funkciju dobiti D(Q) i grafik funkcije dobiti; • potražnju za koju je dobit jednaka nuli; • interval renatbilne proizvodnje; • maksimalnu moguću dobit i nivo potražnje na kojoj se ostvaruje.

Poglavlje 5 Realni nizovi 5.1

Definicija i osnovni pojmovi

Nizove smo već vidjeli u dosadašnjem školovanju i to mnogo puta, cˇ ak i kada toga možda nismo bili svjesni. Npr.

− −12,

2, 3, 8, 15, 9, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,

.. .

a6 ,

Ukratko i jednostavno, niz je uredena lista objekata ili dogadaja. ¯ ¯ Kao i skup, niz ima cˇ lanove, ali za razliku od skupa, redoslijed je bitan i identiˇcni elementi se mogu pojavljivati više puta na razliˇcitim pozicijama unutar niza! 5.1.1

Definicija i osnovni pojmovi

Svako preslikavanjea : N R, skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Broj koji se ovim preslikavanjem dodjeljuje prirodnom broju n oznaˇcavamo sa a(n), ili cˇ ešće sa an (xn , fn ) i nazivamo ga n-ti cˇ lan niza. Pri tome broj n u oznaci a n nazivamo indeksom cˇ lana niza. Ako je specificirana zavisnost an od n , onda se an naziva opštim cˇ lanom niza. Za niz cˇ iji su cˇ lanovi koristit c´ emo kraću oznaku , ili (an )n∈N kratkoće radi samo (an ). a 1 , a2,...,a n ,...

→

Definicija 5.1.1.

Na isti naˇcin možemo definisati nizove kompleksnih brojeva, nizove funkcija ili uopšteno nizove elemenata proizvoljnog skupa. Mi c´ emo se ograniˇciti na posmatranje samo realnih numeriˇckih nizova. 59

POGLAVLJE 5. REALNI NIZOVI

60 Primjer.

Niz 1, 2, 3,...,n,n + 1,...

je niz prirodnih brojeva. Niz 1, 3, 5, ..., 2n + 1,...

je niz neparnih prirodnih brojeva, a 1, 4, 9, 16, 25,...

je niz kvadrata prirodnih brojeva. Niz je potpuno odredjen svojim opštim cˇ lanom. Na primjer, ako je opšti cˇ lan n niza dat sa xn = n+1 , niz je u potpunosti odredjen i njegovi cˇ lanovi su 12 , 23 , 34 ,... , ili ako želimo odrediti stoti cˇ lan ovog niza, x100 = 100 . 101 Za odredjivanje niza nije neophodno da postoji formula kojom se eksplicitno odredjuje opšti cˇ lan xn u zavisnosti od n . Npr., ako je xn n -ti po redu prost broj, niz (xn ) je korektno definisan, iako ne znamo formulu za odredjivanjen-tog cˇ lana tog niza. Isto tako možemo govoriti da je niz (an ) zadat tako da je a n n-ta cifra u decimalnom razvoju broja 2, mada formulu za n-tu cifru tog razvoja ne znamo

√

eksplicitno. Znati konaˇcno mnogo prvih cˇ lanova niza nije dovoljno za jednoznaˇcno odredjivanje niza. Npr., ako je dato prvih pet cˇ lanova niza 0, 7, 26, 63, 124,

pravilo po kome su konstruisani ovi cˇ lanovi može ali i ne mora da važi za šesti, sedmi i dalje cˇ lanove ovog niza. 5.1.2

Predstavljanje nizova

Predstavljati nizove možemo na dva nacˇ ina. Iz samog opisa niza kao liste brojeva dobijamo prvi naˇcin, predstavljajući ˇclanove niza na realnoj pravoj. Tako bi niz (2, 4, 6, ..., 14), naznaˇcavajući taˇckama cˇ lanove niza, bio predstavljen x1

−1

0

1

2

3

x2 4

5

x3 6

7

8

x4 9

x5

x6

x7

10 11 12 13 14

Predstavljati beskonaˇcne nizove na ovaj naˇcin bio bi problem jer bi se ˇcesto gubila predstava o nizu. Naprimjer za niz ( 1, 1, 1, 1,... ) slika bi predstavljala samo dvije taˇcke

−

−

5.1. DEFINICIJA I OSNOVNI POJMOVI a2n−1

−3 −2 −1

61 a2n

0

1

2

Slika 5.1: Grafiˇcko predstavljanje niza(( 1)n )∞ n=1 a4 a3

a2

0

−

a1 1

Slika 5.2: Grafiˇcko predstavljanje niza

1

∞



n n=1

a oznakama a 2n i a2n−1 bi sugerisali parne i neparne pozicije ˇclanova našeg ∞ niza. Još teže bi bilo predstaviti niz n1 n=1. Ozna cˇ ili bi prvih nekoliko cˇ lanova niza, a dalje cˇ lanove bi smo samo naznaˇcili taˇckama. Bolja, preglednija varijanta predstavljanja niza proizilazi iz cˇ injenice da niz možemo shvatiti i kao preslikavanje. Pod preslikavanjem shvatamo cˇ injenicu da cˇ lanove niza numerišemo po njihovim pozi cijama. Tako niz (xn )∞ n=1 možemo predstaviti tabelom



n 1 2 3 ... k ... xn x1 x2 x3 ... xk

...

Ovo znaˇci da niz možemo posmatrati kao preslikavanje x : N R. Domen ovog preslikavanja je skup prirodnih brojeva i kad god je domen preslikavanja skup N, takvo preslikavanje nazivamo niz. Sve ovo znaˇci da sada možemo koristiti sve osobine funkcija, ali takodje i pojmove uvedene sa njima. Ovo prije svega znaˇci da niz možemo predstaviti u obliku grafa. Tako bi niz (2, 4, 6, ..., 14), predstavljen grafom izgledao kao na sljedećoj slici

−→

15 10 5 0 01234567


62

Ovo je sada puno pogodniji naˇcin za predstavljanje beskonacˇ nih nizova. Sada grafiˇcki možemo predstaviti malopredašnje “problematiˇcne” nizove: ¯

1 0 1234567

−1 −2

89

Slika 5.3: Niz xn = ( 1)n .

−

1

0 0123456

789

Slika 5.4: Niz xn = n1 .

5.2

ˇ niz Aritmeti cki

Aritmetiˇcki niz je posebna podklasa nizova koji izgledaju kao 2, 4, 6, 8, 10,... 1, 5, 9, 13,...

− −

8, 5, 2, 1, 4,...

tj. nizovi kod kojih je razlika izmedu ¯ susjednih cˇ lanova konstantna. Formalno, Definicija 5.2.1. Niz (an )∞ 1 gdje za svako n R), naziva se aritmetiˇcki niz.

an+1 = d , (d

∈

∈ N vrijedi a − a n+1

n

= an+2

−

ˇ NIZ 5.2. ARITMETICKI

63

Iz posljednje dvostruke jednakosti slijedi da je a n+1 = 12 (an + a n+2), dakle, svaki cˇ lan niza je aritmeti cˇ ka sredina svoga prethodnika i svoga sljedbenika u nizu. a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a 1 + 2d a4 = a3 + d = a 1 + 3d

Stoga dobivamo da je opći cˇ lan aritmetiˇckog niza dat sa an = a n−1 + d = a 1 + (n

− 1) · d.

Sada nas interesuje zbir prvih n cˇ lanova aritmetiˇckog niza, tj. Sn = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + an .

Posmatrajmo za primjer aritmetiˇcki niz 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

Zbir njegovih prvih 100 cˇ lanova je S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 .

Grupišimo prvi sa zadnjim, drugi sa predzadnjim itd, tj.

1 + 100 = 101 , 2 + 99 = 101 , 3 + 98 = 101 ,...

Na ovaj naˇcin dobijemo koliko parova? Naravno, dobijemo 50 parova brojevacˇ iji je zbir 101! Dakle odgovor je

·

S100 = 50 101 = 5050 .

u općem sluˇcaju, za Sn = a 1 + a2 + . . . + an−1 + an

− 1) · d) = 2a + (n − 1) · d + (n − 2) · d) = 2a + (n − 1) · d...

a1 + an = a 1 + (a1 + (n a2 + an−1 = a 1 + d + (a1

1

1

A ovih parova ima koliko? Pa n/2! Stoga dobijemo da je suma prvih n cˇ lanova aritmetiˇckog niza Sn =

ili drugaˇcije Dakle zbir prvih n brojeva je

n (2a1 + (n 2

− 1) · d),

Sn = n (a1 + an ). 2

1+2+3+4+ ...+n =

n n(n + 1) (1 + n) = . 2 2


64 Primjer. Ako

na poˇcetku godine u jastuˇcnicu stavimo 1000KM i svaki slijedeći mjesec stavimo po 50KM više nego u prethodnom mjesecu, izra cˇ unati iznos uštedevine nakon 7 godina. ¯ Dakle, ulažemo 1000, 1050, 1100, 1150,....

·

12 = 84 , dakle interesuje nas ukupni zbir 84 ovakvih Broj uloženih je 7ci formulu, ulaganja, tj. S 84iznosa . Koriste´ imamo S84 =

5.3

84 (2 1000 + (84 2

· ·

− 1) · 50) = 42 · (2000 + 4150) = 258300 .

Geometrijski niz

Već smo vidjeli i dosta geometrijskih nizova, kao što su 1, 2, 4, 8, 16,... 1 1 1 1, , , ,..., 2 4 8

tj. nizova kod kojih je medusobni odnos susjednih cˇ lanova konstantan! Formal¯ nije, Definicija 5.3.1.

Ako je

an+1 an+2 = = q, an an+1 gdje je q realan broj, onda se (an )∞ 1 naziva geometrijski niz.

√

Naziv niza dolazi iz osobine da je an+1 = an an+2, dakle svaki cˇ lan niza an+1 je geometrijska sredina cˇ lana a n , koji mu neposredno prethodi i cˇ lana an+2 , koji ga slijedi u nizu. Dakle a2 a3 a4 an = = = ... = = . . . = q. a1 a2 a3 an−1

Odatle imamo da je

· ·· qq == aa ·· qq ,

a2 = a1 q

2

a3 = a2 a4 = a3

1 1

3

pa odatle dobijamo formulu za opći cˇ lan geometrijskog niza an = a 1 q n−1 .

·

5.3. GEOMETRIJSKI NIZ

65

No ako posmatramo obratno, tj.

· ⇒ q = aa ,

·

a2 = a 1 q,

dobijamo a2

=

a1

3

a3 = a 2 q

2

a3 a2

2 2

· ⇒a

= a 1 a3

· ⇒ a = √a · a , 2

1

3

tj. a 2 je geometrijska sredina svojih susjednih cˇ lanova! U općem sluˇcaju an =

√a − · a n 1

n+1

.

Sada nas, kao i kod aritmetiˇckog niza zanima zbir prvih n cˇ lanova, tj. S n . Sn = a 1 + a1 q + a1 q 2 + . . . + a1 q n−3 + a1 q n−2 + a1 q n−1 / (1

· − q)

(1

− q)S

+a1 q −

2

2

3

− a q + a q − a q +a q −a q +... −a q − +a q − −a q − +a q − −a q . (1 − q )S = a − a q = a (1 − q )

n

n 3

= a1 1

1

n 2

n

1

1

1

n 2

1

1

1

1

n 1

n

1

1

1

n 1

1

n

n

odakle dobijamo da je suma prvih n cˇ lanova

n

Sn = a 1 1 q ! 1 q

−−

1 1 1 1

Posmatrajno geometrijski red , , , ,... dakle a1 = 1, q = 12 . 2 4 8 16 Posmatrajmo zbir prvih 10 cˇ lanova Primjer.

S10 =

1 1 1 1 + + + . . . + 10 2 4 8 2

Ova suma je jednaka 1 10 2 1 2



210 1 210 1 2

− − 1 − == S =a · · − 2 − 2 − 1 1024 − 1 S = = = 0, 9990234375 10

1

1 q 10 1 1 = 1 q 2 1

10

10

Primjer (Kamata

10

2

na kamatu).

u banku.

• Na1024poˇcetku godine uložimo iznos novca I

0

• Nakon odredenog perioda obraˇcunava se kamata od p% na iznos po principu ¯ kamata na kamatu.


66

• Na kraju prvog obraˇcunskog perioda imamo p p I + I · p% = I + I · = I (1 + ) = I · k. 100 100 • Na kraju drugog obraˇcunskog perioda osnovica je I · k, tj. I · k + (I · k) · p = I · k(1 + p ) = I · k . 100 100 • Ako stanja nakon svakog obraˇcunskog perioda posmatramo kao niz, dobi0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

2

jamo geometrijski niz!

Primjer. Ako

u banku uložimo1000KM i obraˇcunava nam se kamata na kamatu po stopi od 5%, koje c´ e biti stanje na kraju dvadesetog obraˇcunskog perioda? Dakle I0 iznosi 1000KM . Šta u stvari mi trebamo izraˇcunati? Pa samo n-ti cˇ lan geometrijskog niza! Dakle, In = k n I0 = (1 +

·

5 20 p n ) I0 = (1 + ) 1000KM 100 100

·

·

Dakle poslije 20-tog obraˇcunskog perioda, u bancic´ e biti I20 = 1, 0520 1000KM = 2653, 30KM

·

5.4

Konvergencija nizova

U matematiˇckoj analizi prouˇcava se ponašanje cˇ lanova niza kada njihov indeks neograniˇceno raste, tj. kada indeks “teži u beskonaˇcnost”. Ideja je da se prouˇcava "gomilanje" cˇ lanova niza oko neke konkretne vrijedn nosti. Tako na primjer, cˇ lanovi nizova ( n1 ) i (−n1)2 "gomilaju se" oko nule, tj. sve su bliže nuli kako indeks n postaje veći, što vidimo ako izraˇcunamo po nekoliko cˇ lanova ovih nizova,

 

1 1 1 1 1, , , , ,... 2 3 4 5

− 1, 14 , − 19 , 161 , ... . n

Za cˇ lanove niza cˇ iji je opšti cˇ lan dat sa x n = 2+(−n 1) ne bismo mogli tvrditi da su sve bliže nuli kada se n povećava jer je na primjer 0 < x2n−1 =

2n

1

3

− 1 < 2n = x

2n

,

iz cˇ ega vidimo da je x2n na većoj udaljenosti od nule nego njemu prethodeći cˇ lan. Medjutim, i ovde se može uoˇciti neko gomilanje oko nule, što se vidi ako se izraˇcuna nekoliko prvih cˇ lanova niza, 1, 32 , 13 , 34 , 15 ,... .

5.4. KONVERGENCIJA NIZOVA

67

Definicija 5.4.1. Kažemo da je realan broj a graniˇcna vrijednost ili limes niza (xn ) ako za svako ε > 0, postoji prirodan broj n0 , takav da za svaki prirodan broj n n0 vrijedi xn a < ε, što jednostavnije zapisujemo matematiˇckom

≥

| − |

simbolikom sa

∀

(5.1)

∃ ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n ⇒ |x − a| < ε) .

( ε > 0)( n0

0

n

Gornju cˇ injenicu zapisujemo sa n

lim x = a ili xn → +∞ n

→ a (n → +∞) .

Ako je lim xn = a , kažemo da niz (xn ) konvergira ka a ili da teži ka a, kada n n → +∞ teži u beskonaˇcnost. Ako postoji a R, takav da lim xn = a, kažemo da je niz konvergentan.

∈

n

→ +∞

2 + ( 1)n = n → +∞ n 1 n 0. Na sliˇcan naˇcin se pokazuje da je lim = 0 ili lim = 1. Pokažimo n → +∞ n n → +∞ n + 1

−

Primjer. U primjeru ispred Definicije 5.4.1 smo pokazali da je lim

prvu relaciju.

1 →∞ lim n = 0

n

Primjer. Neka

1

je xn = 2 n . Posmatramo li nekoliko prvih cˇ lanova ovog niza 1

1

x1 = 21 = 2 , x2 = 2 2 = 1, 41... , x 3 = 2 3 = 1, 26... , 1

1

x4 = 2 4 = 1, 19... , ... , x 10 = 2 10 = 1, 07... ,

vidimo da se vrijednosti umanjuju i da se "kre c´ u" ka 1, tj. "osje c´ amo" da je lim xn = 1. Ali ovakvo razmišljanje ni u kom sluˇcaju ne predstavlja dokaz ove n → +∞ tvrdnje. Na isti naˇcin se pokazuje sljedeći važan limes n

lim → +∞

√a = 1 , n

(a > 0)

Niz cˇ iji je opšti cˇ lan x n = ( 1)n nije konvergentan. Zaista, pretpostan lim vimo suprotno, tj. da je za neko a R, n→ +∞ x = a . Kako su svi cˇ lanovi datog niza jednaki ili 1 ili 1, to znaˇci da se oba ta broja moraju nalaziti u proizvoljnoj ε-okolini taˇcke a. Medjutim, to oˇcigledno nije moguće, npr. izaberemo li ε < 12 tada nije moguće da oba broja i 1 i 1 budu u intervalu (a ε, a + ε) cˇ ija je dužina manja od 1. Primjer.

∈ −

−

−

−


68 5.4.1

Osobine konvergentnih nizova

Teorema 5.4.2. Ako niz ima graniˇcnu vrijednost onda je ona jedinstvena. Definicija 5.4.3.

Za niz (xn ) kažemo da je ograniˇcen odozgo ako vrijedi: ( M

R)( n

N) x n

M.

∃ ∈ ∀ ∈ ≤ (∃m ∈ R)(∀n ∈ N) x ≥ m .

Niz je ograniˇcen odozdo ako vrijedi:

n

Za niz (xn ) kažemo da je ograniˇcen ako je skup svih elemenata tog niza ograniˇcen, tj. ako postoji realan broj M 0 takav da je xn M za svako n N. Ovo zapisujemo sa Definicija 5.4.4.

≥

∈

| |≤

∃ ≥ 0)(∀n ∈ N) |x | ≤ M .

( M

n

Teorema 5.4.5. Svaki konvergentan niz je ograniˇcen. Teorema 5.4.6. Neka su dati nizovi (xn ) i (yn).

1. Ako je xn = c

∈ R za skoro svako n ∈ N, tada je

2. Neka je lim xn = x i lim yn = y ( x, y n

+

lim x = c . → +∞ n

R) i neka su a, b i c proizvoljni

+

n

n

∈

→ ∞ Tada važi:→ ∞ realni brojevi.

lim (ax + byn ) = ax + by . → +∞ n (b) lim (xn + c) = x + c. n → +∞ (c) lim (xn yn ) = x y . n → +∞ xn x (d) lim = , ako je y = 0 i y n = 0 za n n → +∞ y n y



∈ N.

·



√

(a)

n

·

·



1

1

Izraˇcunati: lim 3 2 n + 2 3 n . n → +∞ Koristeći pravilo 2.(a) i ranije pokazani limes niza ( n a) imamo da je

Primjer.

· ·      1

n

·

1

·

·

lim 3 2 n + 2 3 n = 3 1 + 2 1 = 5 . → +∞

lim 1 +6 . Izraˇcunati: n→ +∞ n Koristeći pravilo 2.(b) imamo

Primjer.

n

1 lim +6 =0+6=6 . → +∞ n

5.4. KONVERGENCIJA NIZOVA Definicija 5.4.7.

69

Niz (xn ) za koga važi lim xn = 0, nazivamo nula-niz. n

→ +∞

Zapravo, ispitivanje proizvoljnog konvergentnog niza se može svesti na ispitivanje nula-niza, naime važi Teorema 5.4.8. Niz (xn ) konvergira ka a

∈ R ako i samo ako niz (x − a) kon

nvergira ka 0. Teorema 5.4.9. Zbir, razlika i proizvod dva nula-niza je ponovo nula-niz. Teorema 5.4.10. Neka je (xn ) proizvoljan nula-niz i neka je (yn ) proizvoljan ograniˇcen niz ( ne obavezno konvergentan ). Tada je niz (zn ), gdje je zn = x n yn (n N), nula-niz.

·

∈

cos n . →+ ∞ n cos n 1 Oznaˇcimo sa zn = = cos n. Kako je niz xn = n1 nula-niz, a niz n n yn = cos n je ograniˇcen ( cos x 1 ), to je na osnovu gornje teoreme niz (zn ) Primjer. Izraˇcunati: lim n

≤

nula-niz, tj. n

cos n lim =0. → +∞ n

Teorema 5.4.11 (Veza limesa i relacija poretka). Neka je (xn ) proizvoljan niz. n n 1. Ako je n→ lim +∞ x = x > p (< p), tada je x > p (< p) za skoro svako n

2. Ako je niz (xn ) konveregentan i ako jexn onda je lim xn p ( p). n

→ +∞

≥ ≤

∈ N. > p (< p), za skoro svako n ∈ N,

Dokaz

1. Neka je lim xn = a i neka je a > p. Stavimo li da je ε = a−2 p, svi brojevi n → +∞ koji pripadaju intervalu (a ε, a + ε) su veći od p ali skoro svi cˇ lanovi niza (xn ) su u toj ε -okolini i time je tvrdjenje dokazano. Sluˇcaj kada je a < p dokazuje se analogno.

−

2. Neka je lim xn = a i neka je xn > p za skoro svako n. Ako bi bilo a < p, n → +∞ to bi na osnovu dokazanog pod 1) znaˇcilo da je x n < p za skoro svako n , što je oˇcigledna kontradikcija. Dakle mora biti a p.

≥

Posljedica 5.4.12. Ako svi ˇclanovi niza (xn ) pripadaju segmentu [a, b], tada i lim xn [a, b]. n

→ +∞

∈


70

ˇ grani cne ˇ vrijednosti Beskona cne

5.4.2

Kažemo da niz (xn ) divergira ka plus beskonaˇcnosti, što oznacˇ avamo sa lim xn = + , ako vrijedi Definicija 5.4.13. n

∞

→ +∞

( K > 0)( n0

N)( n

n0 )xn > K .

∀

∃ ∈ ∀ ≥

∀

∃ ∈ N)(∀n ≥ n )x < −K .

Kažemo da niz (xn ) divergira ka minus beskonaˇcnosti, što oznaˇcavamo sa lim xn = n → +∞ , ako vrijedi

−∞

( K > 0)( n0

0

n

U oba sluˇcaja kažemo da niz odredeno divergira. ¯

K

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11

Slika 5.5: Odredeno divergentni nizovi. ¯ Sada možemo izvršiti selekciju svih nizova u odnosu na konvergenciju. Svaki realni niz spada u jednu od klasa:

• Niz je konvergentan ( granicˇ na vrijednost mu je neki realan broj ). • Niz je odredjeno divergentan ( granicˇ na vrijednost mu je ili +∞ ili −∞ ). • Niz je neodredjeno divergentan ( nema ni konaˇcnu ni beskonaˇcnu graniˇcnu vrijednost ).

Primjer. Posmatrajmo geometrijski niz x n = q n (n

niz konvergentan? Teorema 5.4.14. Neka je lim x = x n

vrijedi: 1. 2.

→ +∞

n

R i neka je

∈

∞

n

lim (x + yn ) = + . → +∞ n

n

lim (x y ) = sgnx → +∞ n n

·

∈ N). Za koje q ∈ R je dati

· ∞ (x = 0).

n

lim y = + . Tada → +∞ n

∞

5.4. KONVERGENCIJA NIZOVA 3.

n

71

xn lim = 0. → +∞ y n

4. Ako je lim xn = 0 i ako su skoro svi ˇclanovi niza (xn ) pozitivni, tada je n → +∞ 1 lim =+ . n→+∞ xn

∞

Postoje kombinacije dva niza kada se rezultat ne može direktno odrediti kao u sluˇcajevima opisanim u ovim teoremama. Tada kažemo da je granicˇ na vrijednost neodredjena ili da je neodredjenog tipa. To medjutim ne znaˇci da grani cˇ na vrijednost ne postoji, već samo da se ne može unaprijed odrediti primjenom pravila datih u ovim teoremama. Primjer. Za niz sa opštim cˇ lanom xn =

∞ ∞

n2 + 3n 2 imamo neodredjenost tipa 2n2 + 5n + 4

−

Postoji sedam tipova neodredjenosti i oni su:

∞ , 0 , 0 · ∞ , ∞ − ∞ , 1∞ , ∞ ∞ 0 5.4.3

0

, 00 .

Monotoni nizovi

Definicija 5.4.15.

Za niz (xn ) kažemo da je

• strogo monotono rastući ako vrijedi (∀n ∈ N) x > x . • monotono rastući (neopadajući) ako vrijedi (∀n ∈ N) x ≥ x . • strogo monotono opadajući ako vrijedi (∀n ∈ N) x < x . • monotono opadajući (nerastući) ako vrijedi (∀n ∈ N) x ≤ x . n+1

n

n+1

n+1

n

n

n+1

n

Za niz koji posjeduje bilo koju od navedenih osobina kažemo da je monoton niz. 5.4.4

Kriteriji konvergencije mon. nizova

Teorema 5.4.16. Svaki monoton niz je ili konvergentan ili odredjeno divergentan ( ima konaˇcnu ili beskonaˇcnu graniˇcnu vrijednost ). Teorema 5.4.17. Svaki monoton i ograniˇcen niz je konvergentan.

U ovoj teoremi treba razlikovati dva slucˇ aja: 1. Ako je niz monotono rastući, zahtijevamo ogranicˇ enost odozgo.


72

2. Ako je niz monotono opadajući, zahtijevamo da je niz ogranicˇ en odozdo. 1 n

Pokažimo da je niz xn = 1 + Jednostavnim raˇcunom se ima

 

Primjer.

n

xn+1 n + 2 = 1 xn n+1



rastući i ograniˇcen odozgo.

− (n +1 1)

n



Na osnovu Bernoullijeve nejednakosti je

− 1

pa imamo

1 (n + 1) 2

−

xn+1 n + 2 > 1 xn n+1



n

>1

n (n + 1) 2

− (n +n 1)



=

.

2

2

, n

≥2,

n3 + 3n2 + 3n + 2 >1. n3 + 3n2 + 3n + 1

Dakle niz je strogo monotono rastući. n+1 Ako sada posmatramo i niz y n = 1 + n1 , oˇcigledna je nejednakost x n yn za proizvoljno n N. Pokazati da je niz (yn ) strogo monotono opadajući, ostavljeno je za vježbu. Iz ovoga onda zakljuˇcujemo da je bilo koji cˇ lan niza (yn ) gornje ograniˇcenje niza (xn ), pa možemo reći da je xn y1 = 4 za proizvoljno n N.

 

∈

≤

≤

∈

Iz monotonosti i ograniˇcenosti niza (xn ) zakljuˇcujemo njegovu konvergenciju. Graniˇcnoj vrijednosti ovog niza dajemo posebno ime ( prema Euleru ), a istiˇcemo i njegovu važnost za raˇcunanje mnogih drugih limesa. Definicija 5.4.18.

 

1 e = lim 1+ n → +∞ n

n

.

Broj e nazivamo Eulerovim brojem i on je jedna od najvažnijih matematiˇckih konstanti. Prvih nekoliko decimala tog broja su e = 2, 718281828...

Koristeći se algebrom limesa, lako se vidi da takoder ¯ imamo an

=e

lim 1 + 1 n→∞ an

te direktno slijedi da

  1

lim (1 + an ) an = e →∞

n

(ako nlim →∞ an =

∞)

(ako lim an = 0) n→∞

5.4. KONVERGENCIJA NIZOVA

73

Primjer. Izraˇcunati

1. lim n

2.

→∞

3 n

2n−1

n+1

2n+1

  1+

→∞ n lim

n

; ;

− 1

→∞ n(ln(n + 1) lim

n

;

− ln n)

ˇ Alati za izra cunavanje limesa

5.4.5

Teorema 5.4.19 (Teorem o lopovu i dva policajca). Neka su (xn ) i (yn) nizovi za koje vrijedi

1.

n

lim x = lim y = A. → +∞ n n → +∞ n

2. Za skoro svako n

∈ N je x ≤ z ≤ y . n

n

n

Tada i niz (zn ) ima graniˇcnu vrijednost i važi lim zn = A . n

Primjer. Izraˇcunati: lim

Kako važi

n

√2 n

→+ ∞

n

+ 3n .

n

tada je

n

n

n

≤ 2 +3 ≤ 2·3 , √ √ 3 ≤ 2 +3 ≤ 3 2. √ = 3 i sa y = 3 2, tada oˇcigledno važi 3

n

Ako oznaˇcimo sa xn

→ +∞

n

n

n

n

n

n

lim x = lim y = 3 , → +∞ n n → +∞ n

pa na osnovu teoreme o lopovu i dva policajca vrijedi n

lim z = lim → +∞ n n → +∞

√2 n

n

+ 3n = 3 .

74


Poglavlje 6 ˇ vrijednosti Granicne 6.1

ˇ vrijednosti Intuitivni uvod u grani cne

Razvoj diferencijalnog raˇcuna stimulisan je od strane dva geometrijska problema:

• nalaženjem površina ravnih površi; • nalaženjem tangenti na krive. Oba ove problema zahtjevaju ‘granicˇ ne procese’ za svoja opća rješenja. Medutim koncept limesa ili graniˇcne vrijednosti je fundamentalni graditelj¯ ski blok na kojem se zasniva cijeli diferencijalni i integralni raˇcun! Na po cˇ etku ovog poglavlja c´ emo promatrati graniˇcne procese informalno. Mnogi problemi diferencijalnog i integralnog raˇcuna se izvode iz slijedeca tri problema: Tangentni problem. Ako nam je data funkcija f i taˇcka P (x0 , y0 ) na grafu funkcije, naći jednaˇcinu linije koja je tangentna na graf f u taˇcki p. Površinski problem. Ukoliko nam je data funkcija f , naći površinu ispod grafa funkcije f i intervala [a, b] na x-osi. Problem trenutne brzine Ukoliko nam je data kriva pozicije u odnosu na vrijeme za cˇ esticu koja se kreće duž koordinatne linije, naći brzinu te cˇ estice u datom vremenu. Promatranje ovih problema ima dugu historiju. Površinske formule za osnovne geometrijske figure, kao što su pravougaonici, poligoni i krugovi idu nazad do najranijih matematiˇckih zapisa. Prvi pravi napredak od najprimitivnih pokušaja je napravio starogrˇcki matematiˇcar Arhimed (‘Aρχιµηδης ), koji je razvio genijalnu, ali napornu tehniku, koja se zove tehnika iscrpljenja, kako bi našao površine regija koje su ograniˇcene parabolama, spiralama i raznim drugim krivim. Do 17. stoljeća mnogi su matematiˇcari otkrili naˇcine kako izraˇcunati ove površine koristeći limese. Medutim, svim ovim metodama je nedostajala generalnost. ¯ 75

76

POGLAVLJE 6. GRANI

ˇ VRIJEDNOSTI CNE

Veliki napredak su napravili nezavisno jedan od drugoga Newton i Leibniz, koji su otkrili da se površine mogu dobiti obrćući proces diferencijacije. Newtonov rad De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas izdat 1711 se smatra poˇcetkom više matematike.

Slika 6.1: Sir Isaac Newton Tradicionalno se smatra da matematika koja proizilazi iz tangentnog problema cˇ ini diferencijalni raˇcun, dok matematika koja proizilazi iz površinskog problema predstavlja integralni raˇcun. Medutim, vidjet c´ emo da su ova dva problema toliko ¯ vezani jedan za drugi da je cˇ esto teško napraviti razliku izmedu ¯ diferencijalnog i integralnog raˇcuna!

ˇ VRIJEDNOSTI 6.1. INTUITIVNI UVOD U GRANICNE

77

Slika 6.2: Gottfried Wilhelm Leibniz

Slika 6.3: De Analysi per Aequationes ... Kako bismo bolje razumjeli gornje probleme, potrebno je da damo precizniju definiciju onoga što smatramo tangentnom linijom, površinom i brzinom. Sada kada imamo motivaciju, vrijeme je se pozabavimo samim pojmom graniˇcne vrijednosti. Najosnovnija upotreba limesa je da opišemo kako se funkcija

78

POGLAVLJE 6. GRANI

Slika 6.4: Sekanta i problem tangente

Slika 6.5: Površinski problem

ˇ VRIJEDNOSTI CNE


79

ponaša kada se nezavisna promjenljiva približava odredenoj vrijednosti! ¯ Posmatrajmo stoga npr. funkciju y = 3x + 1 i razli cˇ ite vrijednosti funkcije za razliˇcite argumente x 0,5 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999 y 2,5 3,1 3,4 3,7 3,85 3,97 3,997 3,9997 Oˇcito, kako se argument funkcije približava vrijednosti 1 sa lijeve strane, vrijednost funkcije se približava vrijednosti 4. Kažemo da funkcija teži vrijednosti 4 kako vrijednost x teži ka 1 (ovaj put s lijeve strane). x 1,5 1,3 1,2 1,1 1,05 1,01 1,001 1,0001 y 5,5 4,9 4,3 4,6 4,15 4,03 4,003 4,0003 Kažemo da funkcija teži vrijednosti 4 kako vrijednost x teži ka 1 (ovaj put s desne strane). Primjer.

Ako su desna i lijeva graniˇcna vrijednost funkcije jednake, onda kažemo da funkcija ima graniˇcnu vrijenost u toj taˇcki! Intuitivna i veoma neformalna definicija limesa: Ako se vrijednosti funkcije f (x) mogu napraviti onoliko blizu vrijenosti L koliko želimo, tako što c´ emo napraviti x dovoljno blizu vrijednosti a Definicija 6.1.1.

(ali ne jednako vrijednosti a!), onda pišemo lim f (x) = L, →a

x

što cˇ itamo ’limes funkcije f (x) kada x teži ka a’. Primjer.

Napravite konjekturu o vrijednosti limesa lim →0

x

Primjer.

√x +x1 − 1 .

Napravite konjekturu o vrijednosti limesa sin x lim . →0 x

x

Primjer.

Napravite konjekturu o vrijednosti limesa π lim →0 sin x .

x

Definicija 6.1.2.

Vrijednost

lim f (x) oznaˇcavamo sa lim f (x) ili kra c´ e x→a+0 ∩ ∋ →a

R+ a D x

f (a + 0), kad god ta vrijednost postoji i zovemo desnom granicnom ˇ vrijednosti funkcije f u taˇcki a.

ˇ VRIJEDNOSTI CNE

POGLAVLJE 6. GRANI

80

Po analogiji se definira i lijeva granicna ˇ vrijednost x

lim f (x) = f (a →a − 0

− 0).

Nije teško zakljuˇciti da vrijedi lim →a f (x) = b

x

⇔

x

lim f (x) = xlim → a− 0 →a+0 f (x) = b.

Ako se vrijednosti funkcije f (x) konstantno povećavaju kako se x približava vrijednosti a sa desne ili lijeve strane, onda pišemo lim f (x) = + →a +

x

∞ ili

lim f (x) = + → a−

x

∞

kako je odgovarajuće i kažemo da se funkcija f neograniˇceno povećava kako x teži ka a sa desne, odnosno lijeve strane. Ako se vrijednosti funkcije f (x) konstantno smanjuju kako se x približava vrijednosti a sa desne ili lijeve strane, onda pišemo lim f (x) = →a +

x

−∞ ili

lim f (x) = → a−

x

−∞

kakokajeaodgovaraju´ ce i kažemo dastrane. se funkcija f neograniˇceno smanjuje kako x teži sa desne, odnosno lijeve Definicija 6.1.3 (Vertikalna asimptota). Linija x = a se naziva vertikalna asimptota grafa funkcije f , ukoliko se f (x) približava + ili kako se x približava

∞ −∞

a sa lijeve ili desne strane.

Do sada smo samo posmatrali graniˇcne vrijednosti funkcija kada se x približavalo nekoj konkretnoj vrijednostia. Me dutim, veoma cˇ esto nas interesuje kako ¯ se funkcija ponaša kada vrijednost argumenta neograniˇceno raste ili opada. Definicija 6.1.4 (Graniˇcne vrijednosti u beskonaˇcnosti - informalno).

Ako se vrijednosti funkcije f (x) sve više i više približavaju nekom brojuL kako se argument x neograniˇceno povećava, onda pišemo x

lim f (x) = L. + → ∞

Ako se vrijednosti funkcije f (x) sve više i više približavaju nekom broju L kako se argument x neograniˇceno smanjuje, onda pišemo x

lim f (x) = L. →−∞


81

Geometrijski, ako se f (x) L kako x + , onda se graf funkcije eventualno sve više i više približava horizontalnoj liniji y = L (kada graf pomatramo u pozitivnom smjeru). Sliˇcno, ako se f (x) L kako x , onda se graf funkcije eventualno sve više i više približava horizontalnoj liniji y = L (kada graf pomatramo u negativnom smjeru).

→

→ ∞

→

→ −∞

Definicija 6.1.5 (Horizontalna asimptota). Linija y = L naziva se horizontalna asimptota grafa funkcije f ako f (x) L kako x + ili x .

→

→ ∞

→ −∞

Ako se vrijednosti funkcije f (x) sve više i više povećavaju kako se argument x neograniˇceno povećava ili smanjuje, onda pišemo Definicija 6.1.6.

x

lim f (x) = + → +∞

∞

ili

x

lim f (x) = + →−∞

∞

Ako se vrijednosti funkcije f (x) sve više i više smanjuju kako se argument x neograniˇceno povećava ili smanjuje, onda pišemo x

lim f (x) = → +∞

−∞

ili

x

lim f (x) = →−∞

−∞

Tako¯der graniˇcna vrijednost u beskonaˇcnosti može da uopće ne postoji ukoliko funkcija beskonaˇcno oscilira na takav naˇcin da se vrijednost funkcije ne približava nijednoj vrijednosti, niti se neograniˇceno povećavaju niti smanjuju. Takve su na prijer trigonometrijske funkcije sin i cos. U tom slu cˇ aju kažemo da graniˇcnna vrijednost ne postoji zbog oscilacije. 6.1.1

ˇ Iza cunavanje limesa

Deset standardnih graniˇcnih vrijednosti c´ e formirati osnovu za izraˇcunavanje graniˇcnih vrijednosti. Tri ukljuˇcuju konstantnu funkciju, tri ukljuˇcuju linearnu funkciju, dok cˇ etiri ukljuˇcuju racionalnu funkciju. lim k = k, →a

x

lim x = a, →a

x

lim k = k, → +∞

x

lim k = k, →−∞

∞

−∞

lim x = + , lim x = , → +∞ x→−∞ 1 1 1 1 lim = + , lim = , lim = 0, lim = 0. x→0+ x x→ 0 x x → +∞ x x→−∞ x Neka lim oznaˇcava jednu od graniˇcnih vrijednosti limx→a , limx→a , limx→a+ , limx→+∞ , ili limx→−∞ . Pretpostavimo da postoje graniˇcne vrijednost funkcije L1 = lim f (x) i L2 = lim g(x). Tada x

x

−

∞

1. lim[f (x)

−∞

± g(x)] = lim f (x) ± lim(x) = L

−

1

+ L2

ˇ VRIJEDNOSTI CNE

POGLAVLJE 6. GRANI

82 20

10

3

2

1

1

2

3

 10

Slika 6.6: Grafici funkcija x,x2 ,x3 ,x4 ,x5 2. lim k f (x) = k lim f (x) = k L1 (k

·

·

·

∈ R)

3. lim(f (x) g(x)) = lim f (x) lim g(x) = L 1 dotL2

·

4. lim fg((xx)) =

lim f (x) lim g (x)

=

k

L1 L2

, (L2

· =  0)

k

k

5. lim[f (x)] = (lim f (x)) = L 1 , (k Primjer. Izraˇcunati:

∈ R).

1. lim (2x2 →1

x

− 5x + 10)

2. lim →1 x

x

3. lim →2

x

Za svaki polinom

x2

x2

−1

− 5x + 6 x−2 + cn xn

p(x) = c 0 + c1 x +

i za bilo koji realan broj a,

···

lim p(x) = p(a) = c 0 + c1 a + →a

x

n

··· + c a n

A šta je s polinomima oblika xn u beskonaˇcnosti? Pogledajmo sliku!

ˇ 6.2. GRANICNA VRIJEDNOST FUNKCIJE

83

Množenje sa pozitivnom brojem ništa ne mijenja, dok množenje sa negativnim brojem mijenja znak beskonaˇcnosti. Takoder ¯ možemo posmatrati graniˇcne vrijednosti funkcija definisanih dio po dio x2 5, x 3 x + 13, x > 3

√−

f (x) =

6. 2

≤



ˇ vrijednost funkcije Grani cna

Do sada se sva diskusija zasnivala na intuitivnoj predodžbi šta to znaˇci da se vrijednost funkcije sve više i više približava nekoj graniˇcnoj vrijednosti. Sada se konaˇcno možemo i trebamo, pozabaviti problemom graniˇcne vrijednosti formalnije. Stoga posmatrajmo funkciju za koju f (x) L kako x a. Ako f (x) L kako x a, onda za bilo koji pozitivan broj ε , možemo naći otvoreni interval na x -osi koji sadrži taˇcku x = a i ima osobinu da za svako x u tom intervalu, osim možda u x = a vrijednost funkcije f (x) je izmedu ¯ L εi L + ε.

→

→

→

→

−

Definicija 6.2.1 (Formalna definicija limesa).

Neka je funkcija f (x) definisana za svako x u nekom otvorenom intervalu koji sadrži broj a , sa mogućim izuzetkom u samom a. Onda c´ emo pisati lim f (x) = L →a

x

ako za bilo koji dati broj ε > 0 možemo naći broj δ > 0 takav da

|f (x) − L| < ε ako 0 < |x − a| < δ. Definicija 6.2.2. +∞ je grani cˇ na vrijednost funkcije y = f (x) u taˇcki a ako vrijedi da za svakoM > 0 postoji δ koje zavisi od M takvo da cˇ im je x iz Oδ (a), imao da je f (x) > M , tj.

∀

∃

( M > 0)( δ = δ (M ) > 0)

Za

−∞, imamo (∀M < 0)( ∃δ = δ (M ) > 0)

x

∈ O (a) ⇒ f (x) > M.

x

∈ O (a) ⇒ f (x) < M.

δ

δ

L je graniˇcna vrijednost funkcije y = f (x) kada x

∀

∃

( ε > 0)( M = M (ε) > 0)

L je graniˇcna vrijednost funkcije y = f (x) kada x

∀

∃

( ε > 0)( M = M (ε) < 0)

+

ako

→ ∞ x > M ⇒ |f (x) − L| < ε. → −∞ ako x < M ⇒ |f (x) − L| < ε.

POGLAVLJE 6. GRANI

84

6.3

ˇ VRIJEDNOSTI CNE

Neprekidnost

Objekt koji se kreće ne može (ma koliko mi to možda željeli u stilu sci-fi filmova) tek tako samo nestati i pojaviti se na drugom mjestu. Stoga ukoliko put objekta u kretanju posmatramo kao krivu, on aje neprekidna, bez rupa, skokova ili prekida. Ranije smo razmatrali neprekidnost informalno. Me dutim, taj pogled je i više ¯ nego dobar, kao što vidimo iz definicije Definicija 6.3.1.

Funkcija f je neprekidna u taˇcki c ukoliko su zadovoljeni slije-

deći uslovi: 1. f (c) je definisana. 2. limx→c f (x) postoji. 3. limx→c f (x) = f (c). Ukoliko je jedan ili više od navedenih uslova nezadovoljen, kažemo da funkcija f ima prekid u taˇcki c. Ako je f neprekidna u svakoj taˇcki intervala (a, b) onda kažemo da je funkcija neprekidna na intervalu (a, b). Ukoliko je funkcija neprekidna na intervalu ( , ) onda kažemo da je svuda neprekidna. Primjetite da su prva dva uslova

−∞ ∞

suvišni! Primjer.

Odrediti da li su slijedeće funkcije neprekidne u taˇcki x = 2:

f (x) =

x2 x

−4 −2,

g(x) =



x2 4 x 2



− − , x=2 3, x= 2

h(x) =



x2 4 x 2



− − , x=2 4, x= 2

U primjenama, prekidi obiˇcno signaliziraju pojave važnih fizikalnih fenomena. S obzirom da prekidi imaju znaˇcajne fizikalne interpretacije, važno je da smo u mogućnosti identificirati ta cˇ ke prekida specifiˇcnih funkcija i da smo u mogućnosti napraviti opća tvrdenja o osobinama neprekidnosti cijelih familija funkcija. ¯ Uobiˇcajeni pristup da pokažemo da je funkcija neprekidna je da pokažemo da je neprekidna u nekoj proizvoljnoj taˇcki. Na primjer, kao što smo vijeli ranije, ako je p(x) polinom i ako je a proizvoljan realni broj da lim p(x) = p(a). a →

x

Stoga, imamo slijedeći rezultat:

Teorema 6.3.2. Polinomi su svugdje neprekidni. Primjer.

Pokazati da je funkcija x svuda neprekidna.

||

6.3. NEPREKIDNOST

85

Teorema 6.3.3. Ukoliko su funkcije f i g neprekidne u taˇcki c, onda

• f + g je neprekidna u c; • f − g je neprekidna u c; f g je neprekidna u c;

•• je· neprekidna u c ako je g(c) = 0, a ima prekid u c ako je g(c) = 0. f g

Teorema 6.3.4. Racionalna funkcija je neprekidna svuda osim u taˇckama gdje je imenioc jednak nuli. Primjer.

2

Za koje vrijednosti x imamo rupu u grafu funkcije x2x−5−x9+6 ?

Ako lim oznaˇcava jednu od graniˇcnih vrijednosti limx→c , limx→c , limx→c+ , limx→+∞ ili limx→−∞ . Ako je lim g(x) = L a funkcija f je neprekidna u taˇcki L, onda je −

lim f (g(x)) = f (L).

To jest, lim(f (g(x))) = f (lim g(x)).

Drugim rijeˇcima, znak graniˇcne vrijednosti može zamijeniti mjesto sa znakom funkcije, ukoliko je funkcija neprekidna i ukoliko postoji grani cˇ na vrijednost izraza unutar funkcije. Primjer.

Ispitati neprekidnost funkcije 5

| − x |. 2

Teorema 6.3.5. 1. Ako je funkcija g neprekidna u taˇcki c i ako je funkcija f neprekidna u taˇcki g(c), onda je u kompozicija funkcija f g neprekidna u taˇcki c.

◦

2. Ako je funkcija g neprekidna svuda i ako je funkcija f neprekidna svuda, onda je u kompozicija funkcija f g neprekidna svuda.

◦

Stoga na osnovu prethodnog primjera zakljuˇcujemo na primjer da je apsolutna vrijednost neprekidne funkcije neprekidna funkcija! Teorema 6.3.6 (Teorem

srednje vrijednosti). Ako je f neprekidna funkcija na za-

tvorenom intervalu e kxbilo koji broj [a, izme ¯takav (inkluzivno), [a, jedan b] i akobroj f (a)dai je f (b) onda postoji najmanje na intervalu = k. b] du f (x)

Ako je f neprekidna na [a, b] i ako su f (a) i f (b) razliˇciti od nule i suprotnog znaka, ona postoji najmanje jedno rješenje jednaˇcine f (x) = 0 u intervalu (a, b). Primjedba 6.3.7.

Primjer.

ˇ VRIJEDNOSTI CNE

POGLAVLJE 6. GRANI

86

Naći rješenje (približno) realno jednaˇcine x3

Teorema 6.3.8. Ako je c trijske funkcije, onda

− x − 1 = 0.

∈ R proizvoljan broj u domeni specificirane trigonome-

lim sin x = sin c, lim cos x = cos c, lim tg x = tg c, →c x→ c x →c lim csc x = csc c, lim sec x = sec c, lim ctg x = ctg c. x→ c x→ c x →c x

Teorema 6.3.9 (Teorem stezanja/sendvicˇ /lopovi i policajci). Ako su f, g i h funkcije koje zadovoljavaju nejednakosti

g(x)

≤ f (x) ≤ h(x)),

za sva x u nekom otvorenom intervalu koji sadrži taˇcku c , sa mogućim izuzetkom u samoj taˇcki c . Ako g i h imaju istu graniˇcnu vrijednost kako se x približava c , recimo

lim g(x) = lim = h(x) = L, x →c →c onda i f mora imati istu graniˇcnu vrijednsot kako se x priližava c, tj. x

lim f (x) = L. →c

x

Primjedba 6.3.10.

nosti.

Primjer.

Ova teorema tako¯der vrijedi i za beskonaˇcne graniˇcne vrijed-

Dokazati da je sin x lim = 1, →0 x

x

lim →0

x

1

− cos x = 1. x

6.3. NEPREKIDNOST

6.3.1

87

Primjena limesa u ekonomiji

Zadana je cijena p kao funkcija potražnje d: p(d) =

d+1 d 2

−

Izrazite potražnju kao funkciju cijene i izraˇcunajte limp→+∞ d(p). 1 lim 1 + x + x → ∞

x

= e,

 

odakle smjenom x1 = t dobijamo

1

lim (1 + x) x = e. →0

x

Primjer. Izraˇcunati

lim x →0 e

x

x

−1

sin x lim = 1. →0 x

x

Primjer.

lim →0

x

sin2 x x

88

POGLAVLJE 6. GRANI

ˇ VRIJEDNOSTI CNE

Poglavlje 7 ˇ Diferencijalni racun 7.1

Intuitivni uvod u izvode

Mnogi fizikalni fenomeni ukljuˇcuju mijenjajuće kvantitete - brzina rakete, monetarna inflacija, broj bakterija u kulturi, intenzitet udara u zemljotresu, napon elektriˇcnog signala i tako dalje. U ovom poglavlju razvit c´ emo pojam izvoda ili derivacije, što je matematiˇcki alat pomoću kojeg se prouˇcavaju stope po kojima se mijenjaju fizikalne vrijednosti.

N

M P

MN se naziva sekanta ili sjeˇcica krive y = f (x). Posmatrajmo tg α =

je nagib sjeˇcice M N . Kako ∆x prema taˇcki M .

∆y NP = MP ∆x

M NP .

△

→ 0, taˇcka N ‘klizi’ po grafiku krive y = f (x) 89

POGLAVLJE 7. DIFERENCIJALNI RA

90

ˇ CUN

Kako ∆x 0 u stvari sjeˇcica M N teži da zauzme graniˇcni položaj, tj. položaj tangente t na krivu y = f (x) u taˇcki M . Tangens ugla β je stoga nagib tangente t na krivu u taˇcki M . Kako ∆x 0 onda α β , tj. tg α tg β .

→

→

→

→

∆y tg β = lim tg α = lim = y ′(x) ∆ x→ 0 ∆x→0 ∆x

Ako se cˇ estica kreće u pozitivnom smjeru duž neke s -ose i ako je kriva pozicije u odnosu na vrijeme s = f (t), onda je prosjeˇcna brzina cˇ estice izmedu ¯ vremena t0 i t1 predstavljena geometrijski pomoću nagiba sekante koja povezuje tacˇ ke (t0 , f (t0)) i (t1 , f (t1 )). Geometrijska interpretacija trenutne brzineAko se cˇ estica kreće u pozitivnom smjeru duž neke s -ose i ako je kriva pozicije u odnosu na vrijeme s = f (t), onda je trenutna brzina cˇ estice u vremenu t0 predstavljena geometrijski pomoću nagiba tangente na krivu f (t) u taˇcki (t0, f (t0 )). Brzina se može promatrati kao mjera promjene - mjera promjene pozicije u odnosu na vrijeme ili mjera promjene s u odnosu na t . Mjere promjene se mogu pojaviti u mnogim primjerima: Geometrijska interpretacija prosjecne ˇ brzine

• Mikrobiolog je zainteresiran za razinu promjene broja bakterija u koloniji tokom vremena;

• Inžinjer može biti zainteresiran za mjeru promjene dužine metalne šipke u odnosu na promjenu temperature;

• Ekonomista je zainteresiran kako se mijenja cijena proizvodnje u ondosu na kvantitet proizvodnje;

• Medicinski istražitelj je zainteresiran za promjenu radijusa arterije kada se poveća koncentracija alkohola u krvi...

Ako je y = f (x), onda je prosje cˇ na mjera promjene y u odnosu na x na intervalu [x0 , x1] nagib msek sekantne linije koja povezuje taˇcke (x0 , f (x0 )) i (x1 , f (x1 )) na grafu funkcije f , tj. Definicija 7.1.1.

msek =

f (x1 ) x1

− f (x ) . −x 0

0

Ako je y = f (x), onda je trenutna mjera promjene y u odnosu na x na intervalu [x0 , x1 ] nagib mtan tangente na krivu f u taˇcki (x0, f (x0 )), tj. Definicija 7.1.2.

mtan = lim x 1 → x0

f (x1 ) x1

− f (x ) . −x 0

0

7.2. IZVOD FUNKCIJE JEDNE PROMJENLJIVE

91

Primjer. Ako

je data funkcija y = x2 + 1, naći prosjeˇcnu mjeru promjene y u odnosu na x preko intervala [3, 5], trenutnu mjeru promjene y u odnosu na x u taˇcki x = 4 te trenutnu mjeru promjene y u odnosu na x u nekoj proizvoljnoj taˇcki x = x0 .

−

Prethodno smo promatrali nagib tangente na jedan naˇcin. Sada, zbog kalkulacij= xh1 x00 ,. skih potreba izbjegavanja promjenljivih, novu promjenljivu odakle jasnoislijedi da je x"viška" x0 hako 1 = x0 + h , pa konzekventno x 1 Stoga, nagib tangente na krivu f u taˇcki x0 sada možemo izraziti kao

→−

→

−

f (x0 + h) f (x0 ) mtan = lim . h →0 h Definicija 7.1.3. Ako je P (x0 , y0 ) taˇcka na grafu funkcije f , onda je tangentna linija na graf funkcije f u taˇcki P ili tangentna linija na graf funkcije f u x 0 se definiše kao linija kroz taˇcku P sa nagibom mtan = lim h →0

f (x0 + h) h

− f (x ) . 0

pod uslovom da ovaj limes postoji, dakako. Ako limes ne postoji, kažemo da kriva nema tangentne linije u P . Iz ove definicije slijedi da je jednaˇcina tangentne linije data sa y

= m tan (x x0 ). Primjer. Naći tangentu na krivuy = x 2 + 1 u taˇcki x 0 = 1. Primjer.

−y

−

0

Naći tangentu na krivuy = x u taˇcki x0 = 0.

||

Definicija 7.1.4 (Izvod informalno).

Funkcija f ′ definisana formulom

−

f (x + h) f (x) h naziva se izvodom ili derivacijom funkcijef u odnosu na x. f ′(x) = lim h→ 0

7.2

Izvod funkcije jedne promjenljive

Neka je x proizvoljno izabrana unutrašnja taˇcka razmaka Df , dakle x (a, b). Ako argument x promijenimo za neko malo h , tada c´ e se promijeniti i vrijednost

∈

funkcije f (x) u novu vrijednost f (x + h). Mi c´ emo razliku def

∆f = f (x + h)

− f (x)

def

zvati prirastom (priraštajem) funkcije f u taˇcki x, a veli cˇ inu h = ∆x prirastom argumenta.


92

ˇ CUN

4

2

2

1

1

2

2

4

Slika 7.1: Tangenta na krivux2 + 1 u taˇcki x0 = 1. 2.0

1.5

1.0

0.5

2

1

1

2

 0.5

 1.0

Slika 7.2: Moguće ‘tangente’ na krivu x u taˇcki x0 = 0.

||

Definicija 7.2.1.

Derivacija ili izvod funkcije f u taˇcki x

niˇcna vrijednost lim →0

h

f (x + h) h

∈ (a, b) naziva se gra-

− f (x) ,

(7.1)

ukoliko postoji konaˇcna ili beskonaˇcna. f ufunkcije f ′ (x). Za derivaciju taˇcki x,ykoristi se oznaka Jednako tako funkcije derivacija = f (x) po promjenljivoj x, ozna cˇ ava se df , ali one oznaˇcavaju da je u pitanju derivacija pox , a nije naglašeno dx na koju taˇcku se to odnosi. Ako funkcija f (x) ima derivaciju u svim ta cˇ kama skupa D (a, b), onda derivacija predstavlja novu funkciju od x, koja je definirana na tome skupu, u

fx′ , y ′, yx′ i

⊆

7.2. IZVOD FUNKCIJE JEDNE PROMJENLJIVE

93

opštem sluˇcaju razliˇcitom od (a, b). U ta cˇ kama toga skupa, dakle ta funkcija f ′ , ima konaˇcnu ili pak beskonaˇcnu vrijednost. Prema tome f′ : D

→ R ∪{−∞ , +∞} .

Treba zapaziti da razmak može imati ta cˇ aka koje nisu unutrašnje ta cˇ ke, pa se cderivacije ˇ ini da ostaje ne definirana derivacijaaueksplicitno takvim taˇcc´kama. Implicitno takve uvedene datom definicijom, emo o tome govoritisuuiokviru jednostranih derivacija. Postupak nalaženja funkcije f ′ naziva se diferenciranje ili deriviranje funkcije f . Definicija 7.2.2.

Za funkciju y = f (x) kažemo da je diferencijabilna u ta cˇ ki

∈ (a, b) ako ima konaˇcnu derivaciju u toj taˇcki. Stav. Ako je f diferencijabilna funkcija u taˇcki x ∈ (a, b), tada je ona i neprekidna

x

u istoj taˇcki. Ako je f neprekidna funkcija u nekoj taˇcki ona ne mora biti diferencijabilna u toj taˇcki, kao što pokazuje slijedeći primjer. Primjer.

√x

Primjer. Funkcija diferencijabilna u taˇfckizadana x = 0.pomoću f (x) =

√x je neprekidna na R, ali nije

Funkcija f zadana pomoću f (x) = diferencijabilna u taˇcki x = 0.

3

2

je neprekidna na R, ali nije

3

Slika 5.1 7.2.1

Pravila diferenciranja funkcije

Teorema 7.2.3. Neka su f, g : (a, b)

f

f g

± g,fg, ∈ D

1 (a,b) , (g(x)

= 0 ).

→

R. Tada ako f, g

∈D

1 (a,b)

onda je


94 Još više, za svako x

∈

ˇ CUN

(a, b) vrijedi: (i) (f g)′ (x) = f ′ (x) g ′(x); ′ (ii) (f g) (x) = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x); f ′ f ′ (x)g(x) f (x)g ′(x) (iii) (x) = . g g 2 (x)

±

±

−



7.2.2

ˇ Geometrijsko i fizikalno tuma cenje derivacije funkcije

Neka se materijalna ta cˇ ka kre c´ e po pravoj tako da funkcija s = s(t) izražava predeni ¯ put, od neke poˇcetne taˇcke O(0, 0), u funkciji od vremena t. Prema tome, u trenutku t materijalna taˇcka se nalazi u taˇcki M (t, 0), a u trenutku t + ∆t u taˇcki N (t + ∆t, 0). Pre deni ¯ put do trenutka t je s(t), a do t + ∆t je s(t + ∆t). Nas zanima kako odrediti brzinu te taˇcke kada je ona u taˇcki M (t, 0). Oznaˇcimo sa vsr srednju brzinu taˇcke na putu M N , tada je vsr =

s(t + ∆t) ∆t

− s(t) .

Prirodna definicija trenutne brzine ta cˇ ke u momentu M je grani cˇ na vrijednost srednje brzine kada N teži prema M (a to c´ e se dogoditi ako ∆t 0). Dakle, brzina v(t) u taˇcki M se definira kao

→

s(t + ∆t) s(t) v(t) = lim = s ′ (t), ∆t→0 ∆t tj. prvom derivacijom funkcije s(t) po argumentu t. Geometrijski, prva derivacija (konaˇcna ili beskona cˇ na) funkcije f , u ta cˇ ki x0 , predstavlja koeficijent pravca tangente (t) na krivu Gf u taˇcki x0 .

−

Da bismo se u to uvjerili, najprije trebamo definirati tangentu krive. Tangenta na neku krivuG f , u zadatoj taˇcki (x0 , f (x0 )) te krive, definira se kao prava koja sadrži taˇcku (x0 , f (x0)) Gf , a predstavlja graniˇcni položaj snopa sjeˇcica (tetiva) krive, koje spajaju taˇcku (x0 , f (x0)) kao stalnu i bilo koju drugu taˇcku (x, f (x)) na krivoj. Pri tome snop sjeˇcica nastaje pomijeranjem taˇcke (x, f (x)) po krivoj prema stalnoj taˇcki (x0 , f (x0)). Definicija 7.2.4.

∈

Ako fiksiramo taˇcku M (x0 , f (x0))

M imaju jednaˇcinu

y

∈ G , tada snop pravih koje prolaze kroz taˇcku f

f (x0 ) = k(x

−

x0 ),

−

gdje sve prave snopa imaju koeficijent pravca k . Prava koja ima koeficijent k = tgα 2 = f ′ (x), jasno, predstavlja tangentu krive Gf . Naime, koeficijent pravca sjeˇcice (s) je tgα 1 =

M1 M ′ f (x0 + h) = h h

− f (x ) . 0


96

ˇ CUN

Ovaj proces možemo onda nastaviti, tj. na primjer z = z(w), w = w(y), y = y(x) Primjer.

Naći izvod funkcije z = 3(3x2

Primjer.

Naći izvod funkcije y = e−2x .

dz dz dw dy ⇒ dx = dw dy dx

− 2)2. Primjer. Naći izvod funkcije y = 6√2x − 3. 2

Teorema 7.2.6 (Derivacija inverzne funkcije). Neka funkcija y = y(x) ima derivaciju u taˇcki x. Neka dalje, postoji inverzna funkcija x = x(y), koja je neprekidna u taˇcki y. Ako je y ′ (x) = 0 tada je funkcija x(y) diferencijabilna i vrijedi



yx′ x′y = 1.

· Primjer. Funkcija y = arcsin x za x ∈ ( −1, +1) predstavlja inverznu funkciju funkcije x = sin y . Koristeći gornju formulu, možemo odrediti derivaciju funkcijey(x).

7.2.4

Logaritamska derivacija i diferenciranje implicitne funkcije

Neke funkcije mogu biti zadane analiticˇ kim izrazom koji nije pogodan za odredivanje ¯ derivacije po definiciji, buduc´ i da se komplikuje izraˇcunavanje odgovarajućih limesa. Takav je primjer funkcije F (x) = [f (x)]φ(x) , (7.2) gdje su f i φ diferencijabilne funkcije naE = (a, b), na kome je i f (x) > 0 . Sa druge strane ako se logaritmira (7.2), onda dobijamo funkciju (7.3)

Λ(x) = ln F (x) = φ(x)ln[ f (x)] .

Prema tome, funkcija F (x) je implicitno zadata pomoću ln F (x)

− φ(x)ln[ f (x)] = 0 .

Potražimo derivaciju funkcije (7.3) kao superpozicije dvije funkcijeF i ln. Dakle Λ′ (x) =

1 F (x)

dobijamo izraz na desnoj strani

F′ F

(7.4)

F ′ (x),

·

, koji se naziva logaritamska derivacija funkcijeF .



F ′ (x) = [f (x)]φ(x) φ′ (x)ln[ f (x)] + φ(x)

f ′ (x) . f (x)



7.3. DIFERENCIJAL FUNKCIJE Primjer.

97

Naći izvode funkcija y = x sin x

i y = (x + 1)2x−1) .

Ako je izrazom F (x, y) = 0 implicitno zadata diferencijabilna funkcija y (x), njena se derivacija može odrediti iz relacije Fx′ + Fy′ yx′ = 0, koja diferenciranjem (po promjenljivojx) slijedi iz F (x, y) = 0. Prema tome za derivaciju diferencijabilne funkcijey(x), zadate implicitno F (x, y) = 0, koristićemo formulu Fx (P8) y′ = . ′

− Primjer. Naći izvod funkcije x 2 + y 2 − 5 = 0. x

Primjer.

7.3

Fy′

Naći izvod funkcije x ln y + y2 ln x + 3y .

Diferencijal funkcije

(Diferencijal funkcije). Diferencijal funkcijef u taˇcki x u kojoj je funkcija diferencijabilna, u oznaci df (x) ili df , je proizvod derivacije funkcije i priraštaja nezavisno promjenljive u toj tacˇ ki, tj. df (x) = f ′ (x)h. (7.5) Definicija 7.3.1

Ako uzmemo i(x) = x , onda je prvi diferencijal di(x) = dx = (x)′ h = h;

vidimo da je diferencijal funkcije, koja je identiˇcki x , jednak h zbog toga, po dogovoru, pišemo h = dx . Prema tome, diferencijal funkcije f , je df = f ′dx. Sad ovu jednakost možemo podf dijeliti sa dx ; odakle dobijamo dx = f ′ (x), što smo ve c´ uveli u uznakama za prvu derivaciju funkcije. Geometrijski, diferencijal funkcije u taˇcki x predstavlja priraštaj tangente, koji se definira kao dužina M ′ N na slici geometrijske interpretacije. Teorema 7.3.2. Neka su funkcije f i g diferencijabilne na skupu (a, b). Tada, u taˇckama intervala (a, b) gdje je g = 0, vrijedi

(i)

±

 ±

d(f g) = df dg; (ii) d(f g) = (df )g + f (dg); (df )g −f (dg) (iii) d fg = . g2



ˇ CUN


98

7.4

Derivacije i diferencijali višega reda

Pretpostavimo sada da postoji derivacijaf ′ (x) neke funkcije f u okolini taˇcke x0 (a, b). ˇ Cesto deriviranjem funkcije f dobijamo funkciju koja, zapravo, i sama ima derivaciju u nekoj okolini te ili druge tacˇ ke, tj. postoji

∈

hlim0

→

f (x + h) ′ 0 h

f (x )

−

0

′

.

Posljednju graniˇcnu vrijednost oznaˇcavamo sa f ′′ (x0 ) (koristimo i oznake y x′′ (x0 ), yx′′0 , d2 f (x0 )) i zovemo druga derivacija funkcije (ili drugim izvodom funkcije) f u taˇcki dx2 x0 (a, b). Indukcijom možemo uvesti iderivaciju n toga reda funkcije (n ti izvod funkcije) f u taˇcki x 0 V (x0 ) Df (n 1) , kao

∈

∈

⊆

f (n) (x0 ) = lim h

→0

−

−

f (n−1) (x0 +h) f (n−1) (x0 ) h

−

−

′

= f (n−1) (x0 ) ,

def.





(*)

gdje je n N. Jasno, f (0) (x0 ) = f (x0 ). Dakle, n ta derivacija funkcije f je prva derivacija funkcije f (n−1) u svakoj unutrašnjoj taˇcki x 0 Df (n 1) , za koju postoji limes (*). Ako se pretpostavi da su funkcijef ′ i f ′′ diferencijabilne u svakoj tacˇ ki x (a, b) = d Df , tada za linearno preslikavanje dx , vrijedi

∈

−

∈

−

∈

′

d dx

f (n ) , n

1

:

1

D( ) → D( a,b

a,b) ;

a pretpostavka da postoji > 1, za svako x (a, b) znaˇci da funkcija f ima sve derivacije do n toga reda u svim taˇckama intervala (a, b). Klasu funkcija koje imaju sve n) derivacije do n toga reda u svim taˇckama skupa E = (a, b), oznaˇcićemo ((a,b ) , a ako funkcija ima derivaciju bilo kojeg reda u ta cˇ kama skupa E = (a, b) onda pripada klasi beskonaˇcno puta diferencijabilnih funkcija (∞a,b) . ∞ ∞ Dakle, ex R = (−∞,+∞) .

− −

∈

D

∈D

D

D

Pokazati da funkcija ϕ(x) = ln(1 + x) ima n tu (n taˇcki skupa E = ( 1, + ).

−

Primjer.

− ∞

Definicija 7.4.1.

(n

∈ N) derivaciju u svakoj

Diferencijal n–toga reda funkcijef , u oznaci dn f , jeste prvi diferencijal

− 1 )–og diferencijala funkcijef , odnosno dn f (x) = d dn−1 f (x) .

−1) (x)dxn−1 , to je d n f (x) = f (n) (x)dxn . Ako podijelimo Budući da je d n−1 f = f (ndef. n poslednju jednakost sadxn = (dx)n , dobićemo da je f (n) = ddxnf , što predstavlja tako¯de oznaku za n tu derivaciju funkcijef .

−





Principom potpune matematicˇ ke indukcije, dokazuje se Leibnizova formula zan tu derivaciju proizvoda dvije funkcije

−

ˇ 7.5. DERIVACIJA I IZRACUNA VANJE LIMESA FUNKCIJE

99

(u v)(n) = (n) (0)

u

v

+

  n 1

u

(n−1)

v′ +

  n 2

·

u

(n−2)

v ′′ +

··· +



n n

−1



u′ v (n−1) + v (n) u(0) ,

gdje je u (0) = u(x); v (0) = v(x).

7.5

ˇ Derivacija i izra cunavanje limesa funkcije

Funkcija F (x) za neku ta cˇ ku x = a (koja je ta cˇ ka nagomilavanja skupa DF ), može predstavljati izraz koji nije definiran, te se ne može odmah reći kolika bi bila vrijednost F (a), niti pak, koliko je lim F (x), ako uopšte taj limes postoji. x→ a Dakle F (a) prividno nema smisla, ali kadax a (x teži prema a) funkcija F može imati graniˇcnu vrijednost pa cˇ ak i beskonaˇcnu. Tada A = lim F (x) ima smisla i funkcija x→ a F se može dodefinirati u taˇcki x = a , naprimjer tako da jeF (a) = A . Naravno taˇcka x = a kao i A, može pripadati i skupu , + . Neodredeni ¯ oblici funkcija predstavljaju oblike neodre¯denosti koji se cˇ esto susreću, pa c´ emo ovdje, dakle za

→

{−∞ ∞}

  ∞ 0 , 0

∞

,

(0

00 ,

· ∞) , (∞ − ∞) ,

∞0

(7.6)

, (1∞ )

  

pokazati kako se mogu pogodnim transformacijama svesti na oblike koji pri raˇcunanju limesa ne predstavljaju osobito tešku prepreku. Ako je lim f (x) = lim g(x) = , tada x→ a x→ a 1 f g transformacijom funkcijeF = g u F = 1 oˇcito neodre¯denost oblika ∞ ∞ može se svesti f

na oblik 00 . Isto tako, funkcijaF = f g neodredenog oblika (0 ¯ naˇcin prelazi u F = f1 , tj. u neodredenost oblika 00 . ¯



·

g

Transformacijom f



∞



· ∞) u taˇcki x = a, na oˇcigledan

1 1 − g = −1 funkcija F = f − g, koja u taˇcki x = a ima oblik g

f

fg

∞ − ∞), dobija neodre¯deni oblik

0 0

. Ako funkciju F = f logaritmiramo, dobijamo novu funkcijuln F = g ln(f ). Desna strana u poslednjoj jednakosti pokazuje da nova funkcija može imati samo oblik (0 ), pri svim pretpostavkama kada funkcijaF = f g ima neki od poslednja tri oblika neodrede¯ (

g



·∞

ln F = g ln(f ) nog izraza,dopobrojanih u (7.6). Još više, elementarnom transformacijom iz dolazimo ln(f )

F = e g ln(f ) = e

Sada, ako je naprimjer,f (a) = 1 i lim g(x) = x →a

1 g

.

∞, ponovo se dobija oblik

0 0



.


100 7.5.1

ˇ CUN

L’Hospitalova pravila

Teorema 7.5.1 (Prvo L’Hospitalovo pravilo). Ako f, g neprekidne na nekom segmentu [a, b] i diferencijabilne na (a, b) sa istom domenom i neka je x0 (a, b). f ′ (x ) , ′ x0 g (x)

Ako je f (x0 ) = g(x0 ) = 0 i postoji lim x

f (x ) . g (x )

i lim x

Još više, tada vrijedi

→

∈

konaˇcan ili beskonaˇcan, tada postoji

→ x0 lim

x

Primjer.

f (x)

→x0 g(x)

f ′ (x) . →x0 g′ (x)

= lim x

Izraˇcunati lim cosxx2−1 . x →0

∞

Teorema 7.5.2. Neka su funkcije f i g diferencijabilne u [a, + ) , a > 0 i pri tome je g ′ (x) = 0 za x [a, + ) i neka je lim f (x) = lim g(x) = 0. Tada, ako postoji



lim

x

→∞

f ′ (x) , onda g ′ (x )

∈

∞

x

postoji i lim x

→∞

f (x) g (x)

x

→∞

i vrijedi

→∞

f ′ (x) f (x) = lim . →∞ g′ (x) x→∞ g(x)

(7.7)

lim

x

Teorema 7.5.3 (Drugo L’Hospitaleovo pravilo). Neka su funkcije f i g diferencijabilne u intervalu (a, b), na kome je g ′ = 0 i neka je



x lim a+0 f (x) = xlim a+0 g(x)

→

Tada, ako

f ′ (x ) postoji lim g′ (x) , x a+0

onda postoji i

→

x

Primjer.

=

→

f (x)

lim

→a+0 g(x)

lim f (x) . x a+0 g (x)

→

∞. Još više, vrijedi

f ′ (x) . →a+0 g′ (x)

= lim x

Naći limese: lim

x

→0

ex

− 1,

x

x

lim

ex + 2x

→+∞ x2 − 3x + 1

,

lim x ln x.

x

→0

eh

Izraˇcunati L = lim −hh2 −1 . h→ 0 x−sin x Primjer. Limes lim x+sin x , primjenom L’Hospitalova pravila, se ne može odrediti. x→∞ Primjer.

7.6

Osnovni teoremi diferencijalnog ra cuna ˇ

Kažemo da funkcija f ima u taˇcki c Df lokalni maksimum f (c), ako postoji okolina V (c) Df taˇcke c, sa svojstvom da je

∈

Definicija 7.6.1.

⊆

f (x)

− f (c) ≤ 0, ( ∀x ∈ V (c)) ;

(7.8)

ˇ 7.6. OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RACUNA vidi sliku a. Funkcija f ima u taˇcki d V (d) Df taˇcke d, tako da vrijedi

⊆

f (x)

∈D

f

101

lokalni minimum f (d), ako postoji okolina (7.9)

− f (d) ≥ 0, ( ∀x ∈ V (d)) ;

vidi sliku b. Vrijednosti f (c) i f (d) su lokalni ekstremumi funkcije f.

Slika a

Slika b

Teorema 7.6.2. Neka je funkcija f definirana na D f = (a, b) i ima derivaciju u okolini V (x0 ) (a, b) taˇcke x 0 . Ako je f ′ (x) > 0 za svako x V (x0 ), tada funkcija f strogo raste na skupu V = V (x0 ).

⊆

∈

Teorema 7.6.3. Neka je funkcija f definirana na D f = (a, b) i ima derivaciju u okolini V (x0 ) (a, b) ta cke V (x0 ), tada funkcija f strogo ˇ x 0 . Ako je f ′ (x) < 0 za svako x opada na skupu V = V (x0 ).

⊆

∈

Teorema 7.6.4 (Fermat). Neka je funkcija f definirana na Df = (a, b) i ima lokalni ekstremum f (c) u taˇcki c (a, b). Tada, ako funkcija f ima derivaciju u taˇcki c , onda je

∈

f ′ (c) = 0. Definicija 7.6.5.

0.

Taˇcku a

∈D

f

zovemo stacionarnom taˇckom funkcije f , ako je f ′(a) =

Primjer. Pokazati da ni funkcija može ekstremuma ne mora postojati.

imati lokalni ekstremum, a da derivacija u cˇtaki toga Posmatrajmo sljedeću funkciju kao primjer:f (x) = 3 x2 , Df = [ 1, +1]. Budući da je funkcija parna, onda jeGf simetriˇcan u odnosu na y osu.

√

− −


102

ˇ CUN

∈ V (0), vrijednost funkcije jef (0+h) = √h2 > 0 ; f (0) = 0 . √ f (0 + h) − f (0) = h2 > 0, (∀h ∈ V (0)) , 3

Prema tome za bilo koje h Dakle,

3

pa funkcija f ima lokalni minimum u nuli. Sa druge strane, f (0 + h) h R+ h → 0 lim

√h2 3

− f (0)=

lim

− f (0)=

lim

R+ h

→0 h

= lim R+ h

√1

→0 3 h

=+

∞.

Medutim, pošto je ¯ lim R− h

f (0 + h)

→0

√h2 3

R− h

h

= lim R− h

→0 h

f ′ (0) ne postoji, što je trebalo i pokazati.

1

=

3 →0 √ h

,

−∞

Nalaženje ekstrema funkcije

Vidjeli smo da, diferencijabilna funkcija u nekoj ta cˇ ki, negativne derivacije u okolini (koja je dio domena funkcije) te taˇcke, je opadajuća na tome skupu. Analogno, funkcija cˇ ija je derivacija pozitivna je rastuc´ a. Ovdje c´ emo pokazati da vrijedi i obrat. Teorema 7.6.6. Ako je diferencijabilna funkcija f (x) rastuća (opadajuća) na intervalu (a, b), tada je f ′ (x) 0 (f ′ (x) 0) za x (a, b).

≥

≤

∈

√

Prije toga, razmotrimo ponovo funkciju f (x) = 3 x2 iz primjera 12, na skupu D = [ 1, 1]. Pokazali smo da je f (0) lokalni minimum funkcije, ali da je u isto vrijeme f ′ (0) ne postoji. Osim toga, uoˇcavamo da je f ′ (x) < 0, zax [ 1, 0) i f ′ (x) > 0, zax (0, 1], tj., prva derivacija mijenja znak u taˇcki a = 0 u kojoj funkcija f ima lokalni ekstremum. Da to nije sluˇcajno, pokazuje

−

∈−

∈

Teorema 7.6.7 (Prvo pravilo). Pretpostavimo da je U (a) okolina taˇcke a i f U (a) . Ako je f (x) diferencijabilna na skupu U (a) a , tada je u taˇcki a lokalni ekstremum funkcije f (x) ako funkcija f ′ (x) mijenja znak u taˇcki a . Pri tome , a) if ′ (x) > 0, x U (a, ) , (i) ako je f ′ (x) < 0, x U (

∈C

\{ }

∈ ∩ −∞

∈ ∩ ∞

ˇ 7.6. OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RACUNA tada je u taˇcki a lokalni minimum; , a) if ′ (x) < 0, x (ii) ako je f ′ (x) > 0, x U ( u taˇcki a je lokalni maksimum.

∈ ∩ −∞

Primjer.

103

∈ U ∩ (a, ∞) ,

Funkcija ϕ(t) = 2t

| − 1| ima derivaciju ϕ′ (t) =

pa je jasno da u taˇcki t =

1 2

2,2, za za tt > <

−

1 2 1 2

,

postoji lokalni minimum, koji iznosi ϕ( 12 ) = 0.

Teorema 7.6.8 (Drugo pravilo). Neka je f ′′ (x) definirana u stacionarnoj taˇcki c funkcije f (x). Tada ako je f ′′ (c) > 0 (f ′′ (c) < 0), funkcija f (x) u stacionarnoj taˇcki c ima lokalni minimum (maksimum).

Funkcija f (x) = x ln x ima u taˇcki x = e−1 lokalni minimum f ( 1e ) = 1e . Zaista, jednaˇcina f ′ (x) = ln x + 1 = 0 , anulira se u taˇcki x = e−1 . Dakle funkcija f ima stacionarnu taˇcku e−1 . Osim toga, druga derivacija f ′′ (x) = x1 , u stacionarnoj taˇcki, ima vrijednost f ′′ (e−1 ) = e > 0 .

−

Primjer.

Razmotrićemo opšti sluˇcaj, tj. slu cˇ aj kada u stacionarnoj taˇcki c , n prvih derivacija funkcije f imaju svojstvo f ′ (c) = f ′′ (c) =

··· = f ( −1)(c) = 0, f ( )(c) = 0. n

n

(7.10)

Ako je n = 2k 1, tj. ako je n neparan broj, funkcija nema lokalnog ekstremuma u stacionarnoj taˇcki c. Sa druge strane, ako je n = 2k , tj. n je parno i ako je f (n) (c) > 0 funkcija f ima lokalni minimum u c. Jednako tako, ako jef (n) (c) < 0 funkcija f ima lokalni maksimum u c.

−

7.6.1

Konveksnost i konkavnost

Za funkciju f : D f R kažemo da je konveksna na(a, b) za proizvoljno izabranex, y (a, b) iα, β R+ , α + β = 1, vrijedi Definicija 7.6.9.

∈

→

∈ f (αx + βy) ≤ αf (x) + βf (y).

Funkcija je konkavna na(a, b) obrnuta nejednakost.

⊆D

f

ako

(7.11)

D f ,tj. ima drugi tip konveksnosti, ako u (7.11) vrijedi

⊆ ∈ D((1) ) .

Teorema 7.6.10. Neka je f Da bi f bila konveksna na (a, b) potrebno je i a,b dovoljno da funkcija f ′ raste na (a, b) .

Neposredna posljedica prethodnog teorema je


104

→

ˇ CUN

Teorema 7.6.11. Neka funkcija f : D f R ima drugu derivaciju u svakoj taˇcki (a, b) Df . Da bi f bila konveksna (konkavna) na(a, b), potrebno je i dovoljno da bude f ′′ (x) 0 (f ′′ (x) 0), za svako x (a, b) .

≤

∈

⊆ ≥

Neka je funkcija f (x) definirana u nekoj okolini U (x0 ) taˇcke x0 i diferencijabilna naU (x0 ) x0 . Taˇcka P (x0 , f (x0 )) naziva se prevojna taˇcka krive Gf , x0 ) U (x0 )iU (x0 ) (x0 , + ) ima razliˇcit tip ako funkcija f (x) na skupovima ( konveksnosti Definicija 7.6.12.

\{ } −∞

∩

∩

∞

Potreban uslov da kriva Gf funkcije y = f (x), f ′′ CU (x0 ) ima prevojnu taˇcku (x0 , f (x0 )) u x 0 , ˇcija je U (x0 ) dovoljno mala okolina, jeste anuliranje druge derivacije, tj. f ′′ (x0 ) = 0.

∈

Teorema 7.6.13. Neka je f

∈ D(1)(

i ima konaˇcnu drugu derivaciju u svim taˇckama U x0 ) okoline U (x0 )taˇcke x 0 , osim možda same taˇcke x 0 . Ako funkcija f ′′ (x) mijenja znak pri prolazu argumenta kroz taˇcku x 0 , tada je (x0 , f (x0 )) prevojna taˇcka krive y = f (x).



Teorema 7.6.14. Neka je f ′′ (x0 ) = 0, af ′′′ (x0 ) = 0. Tada je (x0 , f (x0 )) prevojna taˇcka krive y = f (x).

Funkcija ϕ(t) = t 2 ln t, Dϕ = (0, ) mijenja konveksnost naDϕ . 3 Budući da je ϕ′ (t) = 2t ln t + t; ϕ′′ (t) = 2ln t + 3, to je ϕ′′ (t) = 0 za t = e− 2 . Osim

∞

Primjer.

3

 ∈

toga, ϕ′′ (t) > 0 za svako t 3 zbog ϕ′′ (t) < 0 na 0, e− 2

e− 2 ,

∞



, pa je na tome intervalu funkcijaϕ konveksna, a

ona je konkavna na tome dijelu skupaD ϕ . Prevoj funkcije

ϕ je, dakle, na osnovu teorema 22, tacˇ ka P



3

e− 2 ,

− 32 e−3



.

7.7. PRIMJENA IZVODA U EKONOMIJI 7.6.2

105

Ispitivanje funkcije i crtanje grafika

Ovdje c´ emo, na izvjestan naˇcin, sumirati glavne rezultate koje smo u ovoj glavi dokazali i iste iskoristiti u procesu ispitivanja elementarne funkcije f i skiciranja njenog grafika Gf . U dosadašnjoj analizi funkcija, pokazala se veoma korisnom skica grafika funkcije, zbogUoˇcilju ciglednosti osobina te poslužiti funkcije. u mnogim prilikama), eleodredivanja slikesagledavanja skupa G f ( koja može ¯ prilikom mentarne funkcije y = f (x) koja je zadata analitiˇckim izrazom, uobiˇcajeno je koristi sljedeću shemu: I korak. Odrediti oblast definiranosti D f funkcije f . II korak. Ispitati specijalna svojstva funkcije (parnost, periodiˇcnost i sl.). III korak. Ispitati kako se funkcija ponaša na rubovima domena; odrediti asimptote. IV korak. Odrediti nule (ta cˇ no ili približno) i znak funkcije. V korak. Odrediti prvu i drugu derivaciju funkcije. VI korak. Odrediti intervale monotonosti funkcije i njene ekstremne vrijednosti. VII korak. Odrediti tip konveksnosti funkcije i njene prevojne taˇcke. VIII korak. Ispitati i sve ostale specifi cˇ nosti grafika G f date funkcije f (položaj grafika prema asimptotama, presjek sa njima ako postoji i sl.).

7.7

Primjena izvoda u ekonomiji

Sada nas interesuje da gore isneseno primjenimo na ekonomskim funkcijama, posebno u smislu posmatranja monotonosti i ekstrema funkcije. Primjer. T (Q) =

koje opadaju?

−Q2 + 5Q − 6. Za koje vrijednosti proizvodnje troškovi rastu, a za

Lokalni ektremi su taˇcke od posebne važnosti za odredjivanje neke funkcije. Treba razlikovati lokalne ekstreme od apsolutnih ili globalnih ektrema. Relativni minimum npr. se postiže u onoj ta cˇ ki u kojoj dolazi do promjene znaka prvog izvoda iz negativnog u pozitivni, dok se relativni maksimum postiže u onoj ta cˇ ki u kojoj dolazi do promjene znaka prvog izvoda iz pozitivnog u negativni. Graniˇcne funkcije u ekonomiji su funkcije koje dobijemo iz već znanih pomoću izvoda, tj. graniˇcna funkcija je izvod poˇcetne funkcije. Dakle

• GT (Q) - funkcija graniˇcnog troška : dT (Q) GT (Q) = T ′ (Q) =

dQ ;

• GP (Q) - funkcija graniˇcnog prihoda : GP (Q) = P ′ (Q) =

dP (Q) ; dQ


106

ˇ CUN

• GD(Q) - funkcija graniˇcne dobiti : GD(Q) = D ′ (Q) =

dT (Q) . dQ

Sjetite se da je izvod u stvari graniˇcna vrijednost - stopa promjene za veoma malu pro∆D ). mjenu argumenta (D ′ (Q) = ∆lim Q→0 ∆Q Teorema 7.7.1. Prosjeˇcni troškovi su jednaki graniˇcnim troškovima ako su ti prosjeˇcni troškovi minimalni. Dokaz

Dakle posmatramo T¯(Q), gdje je T¯ ′ (Q) = 0. Odnosno : T (Q) T¯(Q) = Q

⇒ T¯′(Q) =

T (Q) ′ Q T ′ (Q) = Q Q2

 

·

− T (Q = 0.

Odavdje slijedi Q T ′ (Q)

·

− T (Q) = 0 ⇒ QT ′(Q) = T (Q) ⇒ T ′(Q) = T (Q) . Q

Ali po definiciji graniˇcnog troška, imamo GT (Q) =

T (Q) . Q

Sa Q∗ oznaˇcavamo vrijednost za koju jeT¯(Q∗ ) = T¯min . Dakle T¯(Q∗ ) = 0

⇒ GT (Q∗) = T¯(Q∗).

Naći lokalne ekstreme funkcije T¯ (Q) = Q 2 Da li je ovo i globalni ekstrem? Primjer.

Primjer.

− 6Q + 16 koristeći se izvodima.

Poznata je funkcija ukupnih troškovaT (Q) = Q 3

− 6Q2 + 16Q.

(a) Odrediti minimalni prosjeˇcni trošak; (b) Odrediti minimalni prosjeˇcni trošak koristeći se gornjim teoremom. Teorema 7.7.2. Dobit je maksimalna na nivou proizvedenih i prodatih proizvoda Q 0 na kojem je graniˇcni prihod jednak graniˇcnom trošku.

7.7. PRIMJENA IZVODA U EKONOMIJI

107

16 14 12 10 8

6 1234

Slika 7.3: Prosjeˇcni trošak i graniˇcni trošak jednaki za Q∗ = 3 3000

2000

1000

15

20

25

30

Slika 7.4: Graniˇcni trošak, graniˇcni prihod jednaki za Q ∗ = 23, 5, dobit Dokaz

D(Q) = P (Q)

− T (Q) ⇒ D′(Q) = P ′ (Q) − T ′(Q) = 0

⇒ P ′(Q∗) = T ′(Q∗) ⇒ GP (Q∗) = GT (Q∗) Primjer.

Neka je data funkcija T (Q) = Q 3 + 40, 25Q2 + 191Q + 1200, P (Q) = 50 Q

− 2Q2.

(a) Odrediti funkcije ukupne dobiti i nacrtati grafove funkcije T,P,D . (b) Odrediti za koje vrijednosti Q se ne ostvaruje gubitak. (c) Verificirajte rezultat iz teorema.

7.7.1

ˇ Elasti cnost

Elastiˇcnost je sposobnost ekonomske veliˇcine y da reaira manjim ili većim intenzitetom na promjene u nekoj drugoj veliˇcini x s kojom je ona u funkcionalnoj meduzavisnosti ¯


108

ˇ CUN

y = y(x). Raˇcuna se tako da se u omjer stave relativna promjena ekonomske veliˇcine y (tj. ∆yy i relativna promjena ekonomskeveliˇcine x (tj. ∆xx ).

Tu mjeru oznaˇcavamo sa

∆y y

Ey,x =

∆x

(7.12)

,

x

ali samo pod uvjetom da su promjene∆x i ∆y beskonaˇcno male veliˇcine, tj.

→ 0, ∆y → 0. Pretpostavimo da jey neprekidna funkcija i kada∆x → 0 : lim ∆y = lim [y(x + ∆y) − y(x)] = lim y(x + ∆y) − lim y(x) = ∆ →0 ∆ →0 ∆ →0 ∆ →0 = y( lim (x + ∆x)) − y(x) = y(x) − y(x) = 0. ∆ →0 Stoga ako je y neprekidna tada imamo ∆x → 0 ⇒ ∆y → 0. Budu c´ i da su u formuli ∆x

x

x

x

x

x

(7.12) veliˇcine ∆x i ∆y beskonaˇcno male, imamo ∆y

Ey,x = lim

y

∆x→0 ∆x x

= lim

∆ x→ 0

x ∆y x ∆y = lim y ∆x y ∆x→0 ∆x

·

odnosno Ey,x = x dy y dx

(7.13)

·

je mjera ili koeficijent elastiˇcnosti funkcije y u ta cˇ ki x (Marshallova formula). VAŽNO: Ovo je sve uz pretpostavku da jey neprekidna funkcija. ˇ Interpretacija koeficijenta elasticnosti

Pretpostavimo da jex promjenjena za 1%, tj. ∆x 1 = 1% = . x 100 ∆y

Ey,x

y x x

≈∆

=

∆y 100 y

·

dakle E y,x u tom sluˇcaju predstavlja promjenu ekonomske veliˇcine y u procentima koja 1% . nastaje neovisne velicˇ ine xy za E promjenom >0 pove´ canje promjene . y,x

⇒ ⇒ | |

Ey,x < 0 smanjenje promjene y . Ako je Ey,x < 1 , tada kažemo da je funkcijay neelastiˇcna (to znaˇci da 1% promjene veliˇcine x izaziva promjenu velicˇ ine y manju od 1% i to smanjenjem ako je 1 < Ey,x < 0, odnosno povećanjem ako je 0 < Ey,x < 1).

−

7.7. PRIMJENA IZVODA U EKONOMIJI

109

Ako Ey,x > 1, tada kažemo da je funkcija elastiˇcna (to znaˇci da 1% promjene x izaziva promjene y veću od 1%. Ako je Ey,x = 0 tada je funkcija perfektno neelastiˇcna. Ako Ey,x = , tada je funkcija perfektno elasticˇ na. Ako je Ey,x = 1, tada funkcija y ima jediniˇcnu elastiˇcnost.

|

|

|

|

| ∞ |

Definicija 7.7.3.

Podruˇcje elastiˇcnosti funkcije y je skup

{ | ∈ D(y) i |E | > 1}.

PEL (y) = x x Definicija 7.7.4.

y,x

Podruˇcje neelastiˇcnosti funkcije y je skup

{ | ∈ D(y) i |E | < 1}.

PNEEL (y) = x x Primjer.

y,x

Odrediti koeficijent elastiˇcnosti Paretove funkcije y(x) =

0.4567 . x2,3

Interpretacija: Vidimo da ovaj koeficijent uopće ne zavisi o veliˇcini x , tj. on je svim nivoima. Ako sex poveća za 1% to prouzrokuje smanjenjey za 2.3%. Generalno govoreći, ako je y(x) =

A xα

,

Ey,x = Primjer.

−α.

Odrediti koeficijent elastiˇcnosti funkcije y=

2x 2x 3

−

i interpretirati rezultat. Primjer.

−2, 3 na

Izraˇcunati koeficijent elastiˇcnosti funkcije log y =

−0, 23 + 0, 32 log x.

Generalno Ey,x =

x dy = y dx

dy y dx x

=

d(ln y) d(log x) = . d(ln x) d(log x)

d(ln y) Ey,x = d(ln x)

ako je funkcija u logaritamskom obliku. Primjer. Odrediti

podruˇcje elastiˇcnosti i podruˇcje neelastiˇcnosti funkcije potražnjeQ(p) =

−200p + 1000 kao funkcije cijene p.

110 Primjer.


ˇ CUN

Funkcija izdataka za hranu ima oblik y(x) =

19x x + 96

gdje je x dohodak. Izraˇcunati elastiˇcnost izdatka za hranu prema promjeni dohotka domaćinstva i interpretirati rezultat. Primjer.

Zadana je cijena p kao funkcija proizvodnjeQ p(Q) =

1

− 10Q . 20Q

Odrediti koeficijent elasticˇ nosti potražnje u odnosu na razinup = 4 i interpretirati rezultat.

Poglavlje 8 Funkcije dvije i više promjenljivih Zamislimo situaciju u kojoj dva proizvodaA i B i njihove potražnje zavise o cijenamapA i pB . Q A je potražnja za proizvodomA , dok je QB potražnja za proizvodomB . Onda bi bilo realno oˇcekivati da su potražnje ovisne o obje cijene, tj. QA (pA , pB ) i QB (pA , pB ). Naprimjer QA (pA , pB ) = 100

− 5p

A

+ 2 pB ,

QB (pA , pB ) = 3pA

− 2p12

B

Neka su recimo ukupni troškovi tada T (QA , QB ) = 100 + 21QA + 3QB ,

a prosjeˇcni troškovi proizvodnje proizvodaA i B zajedno su T (QA , QB ) T¯(QA , QB ) = QA + Q B

Općenito, ako imamon proizvoda sa cijenamap1 , p2 ,...,p cije potražnje biti Q1 = Q1 (p1 , p2 ,...p

n)

Q2 = Q2 (p1 , p2 ,...p

n)

n

onda c´ e odgovarajuće funk-

.. . Qn = Qn (p1 , p2 ,...p

n)

Ovdje su Q i funkcije ili zavisno promjenljive, dok su cijene nezavisno promjenljive. Opc´ enito: y = f (x1 , x2 ,...,x

se naziva funkcija sa n promjenljivih x 1 , x2 ,...x vraće jedan broj, tj. f : Rn

n

→ R.

111

n)

. Ovakava funkcija uzima n brojeva i

POGLAVLJE 8. FUNKCIJE DVIJE I VIŠE PROMJENLJIVIH

112

Specijalno, ako je n = 2, imamo funkcije dvije promjenljive, f (x1 , x2 ) ili f (x, y). Na primjer f (x1 , x2 ) = x 21

− 3x1 x2 + 2x22 − 10, f (x, y) = x 2 − 3xy + 2y 2 − 10,

Primjer. Neka

je data funkcija proizvodnjeP u nekoj fabrici koja zavisi o uloženom radu

L i kapacitetu C :

1. P (L, C ) = α La−1 C a - Doublasova funkcija

·

2. P (L, C ) =

·

L 2 ln L C

+ C 2 . Ako je L = 10, a C = 5, tada je

P (10, 5) = 10 2 ln

8.1

10 + 52 = 100 ln 2 + 25 5

Parcijalni izvodi funkcija više promjenljivih

Ako nam je data funkcija više promjenljivihf (x1 , x2 ,...,x n ), izvod ove funkcije po promjenljivoj x1 dobivamo na uobiˇcajen naˇcin, dok sve ostale promjenljivex2 , x3 ,... držimo fiksnim! Općenito, izvod funkcije poxk nalazimo tako štox1 , x2 ,...,x k−1 , xk+1 ,...,x n držimo fiksnim. Posmatrajmo sada izvod po promjenljivojx 1 . Sli cˇ no kao kod standarnih izvoda, ako postoji limes lim

∆x1

∆f f (x1 + ∆x1 , x2 ,...,x n ) = ∆x1 ∆x1

− f (x1, x2,...,x

n)

onda se vrijednost tog limesa nazivaprvi parcijalni izvod funkcije f po promjenljivoj x 1 . Pišemo ∂f , f′ , f . ∂x 1

x1

x1

Prilikom izraˇcunavanja ovog izvoda, sve ostale promjenljive su fiksne. Obratno, izraˇcunava kada se smatra da sux1 , x3 ,...,x n fiksne, itd.

∂f ∂x 2

se

− 2x1x22 + x22 − 10x1 + 5 2. f (x, y) = (2 x − 3y)(6xy − 1) 3. f (x1 , x2 ) = (x21 − 2x2 ) · e− .

Primjer.

1. f (x1 , x2 ) = 3x21

x1 x 2

8.1.1

Parcijalni diferencijali

Ako je kod funkcija jedne promjenljive diferencijal bio definisan kao dy = y′ dx, za funkciju n promjenljivih definišemon parcijalnih diferencijala: d1 f =

∂f dx1 ∂x 1

8.1. PARCIJALNI IZVODI FUNKCIJA VIŠE PROMJENLJIVIH

113

∂f dx2 ∂x 2 ∂f dn f = dxn ∂x n d2 f =

Imamo da je totalni diferencijal df = d 1 f + d2 f + . . . + dn f df =

∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 + . . . + dxn ∂x 1 ∂x 2 ∂x n

Specijalno, za n = 2, df =

8.1.2

∂f ∂f dx1 + dx2 ∂x 1 ∂x 2

Parcijalni izvodi drugog reda

∂f ∂f ∂f Generalno govoreći, a kako smo vidjeli iz primjera, ∂x su tako¯der funkcije , ∂ ,..., ∂x n 1 više nezavisnih promjenljivih x1 , x2 ,...x n . Od svake od njih možemo tražiti izvod po bilo kojoj promjenljivoj, te dobiti parcijalni izvod drugog reda!

∂f ∂ = f (x1 , x2 ,...,x ∂x 1 ∂x 1 ∂ ∂x 1

  ∂f ∂x 1

=

n)

∂2f = ∂2f . ∂x 1 ∂x 1 ∂x 21

Ukoliko tražimo drugi parcijalni izvod prvog izvoda, dobijemo mješoviti drugi parcijalni izvod ∂ ∂x 2

∂ ∂x n

∂f ∂x 1

=

∂2f . ∂x 2 ∂x 1

∂f ∂x 1

=

∂2f . ∂x n ∂x 1

   

Na isti naˇcin dobijemo za parcijalni izvod pox2 : ∂ ∂x 1

  ∂f ∂x 2

=

∂2f . ∂x 1 ∂x 2

Važna cˇ injenica : ovi mješoviti izvodi nisu obavezno isti! Ovaj proces onda možemo nastaviti unedogled kako bismo dobili treći, ˇcetvrti, peti, itd. mješoviti parcijalni izvod, npr. za funkciju dvije promjenljive ∂2f ∂ 2f ∂3f ∂3f , 2, , ... 2 ∂x∂y ∂y ∂y∂x ∂x∂y∂x

Primjenjujemo taˇcno isti pristup kao prije, dakle ako izvodimo po x1 , onda ostale promjenljive držimo fiksnim!


114 Primjer.

Naći sve druge parcijalne izvode funkcije f (x, y) = xe −xy .

Teorema 8.1.1 (Schwartz). Ako su f (x, y) i parcijalni izvodi f x , fy , fxy , fyx definirane i neprekidne u taˇcki n(x, y) i nekoj njenoj okolini, tada su mješoviti parcijalni izvodi medusobno jednaki, tj. ¯

∂2f ∂2f = ∂x∂y ∂y∂x

Napomena, Iz prethodnog primjera se vidi da ovaj teorem vrijedi op c´ enito za bilo koje parcijalne izvode. Važno je koliko se puta derivira po odredenoj promjenljivoj a da ¯ pri tome uopće nije bitan poredak deriviranja. Primjer. z(x, y) = x 2 log[y

8.2

− sin y + ye − ln(2y3 − 13)] + 31 y

ˇ Primjena diferencijalnog ra cuna više promjenljivih

Neka je sada dozvoljeno da i naše ekonomske funkcije imaju više promjenljivih, npr. Q1 (p1 , p2 ,...,p

n ,k,t

),

k t vrijeme. Onda možemo definisati gdje su pi parcijalne cijene razliˇ citih cnosti proizvoda, keoficijent elastiˇ funkcijedohodak, Q1 p1 ∂Q 1 Q1 ∂p 1

EQ1 ,p1 =

No možemo posmatrati kako promjene cijena drugih proizvoda uti cˇ u na Q1 . To nazivamo koeficijent ukrštene elastiˇcnosti

EQ1 ,pi =

pi ∂Q 1 , Q1 ∂p i

i = 2, 3,...,n.

S druge strane imamo i koeficijent dohodovne elastiˇcnosti EQ1,k =

k ∂Q 1 , Q1 ∂k

te koeficijent elastiˇcnosti u odnosu na vrijeme t ∂Q 1 EQ1 ,t = Q1 ∂t . Primjer.

Izraˇcunati koeficijente parcijalne i ukrštene elastiˇcnosti funkcije QA (pA , pB ) = 50

− 3p

A

+ 5 pB

na nivou cijene pA = 10 i pB = 4. Interpretirati rezultat.

ˇ 8.2. PRIMJENA DIFERENCIJALNOG RACUNA VIŠE PROMJENLJIVIH115 Primjer.

Q2 (p1 , p2 ) = 100 + 2 p1

je funkcija potražnje sa cijenama p1 , p2

− 4p2

1. Za koje cijene p1 i p2 ova funkcija imaju ekonomskog smisla. 2. Skicirati graf u koordinatnoj ravni p1 i p2 . 3. Izra cˇ unati stopu promjene prethodne funkcije u odnosu na cijenep1 = 5, p2 = 1. Funkcija potražnje (ponude) Qi (p1 , p2 ,...,p ∂Q i ∂p k

n ).

je stopa promjene funkcije potražnje Q i u odnosu na cijenu pk , (i, k = 1, 2,...,n ). Ako je ovaj parcijalni izvod veći od nule, Q i je rastuća funkcija u odnosu na cijenu

pk .

Ako je ovaj parcijalni izvod manji od nule, Qi je opadajuća funkcija u odnosu na cijenu pk . Funkcija ukupnih troškova 1 2 Ako pretpostavimo ukupnih troškova jeda imamo proizvodnju dva dobra sa potražnjama Q i Q , funkcija

T (Q1 , Q2 ) = V T (Q1 , Q2 ) + F T.

Oˇcito, kao i prije, F T = T (0, 0). Sada je funkcija prosjeˇcnih troškova me¯dutim T (Q1 , Q2 ) T¯ (Q1 , Q2 ) = . Q 1 + Q2 ∂T ∂Q i

je marginalni (graniˇcni) trošak u odnosu na potražnjuQ i , i = 1, 2,...n .

Ako je T¯ (Q1 , Q2 ) = 1 + 10( Q1 + Q 2 )−1 , odrediti koji su fiksni troškovi te naći funkcije graniˇcnih troškova u odnosu na Q 1 , a onda u odnosu na Q 2 . Interpretirati rezultat. Primjer.

Funkcija ukupnih prihoda i dobiti

Posmatrajmo proizvodnju dva dobracˇ ije su potražnje Q 1 i Q2 , a cijene p1 i p2 . Tada je P (p1 , p2 ) = Q 1 p1 + Q2 p2 = Q 1 (p1 , p2 )p1 + Q2 (p1 , p2 )p2

funkcija ukupnog prihoda kao funkcija cijena, dok je P (Q1 , Q2 ) = Q 1 p1 (Q1 , Q2 ) + Q2 p2 (Q1 , Q2 )


116

∂P ∂Q i

funkcija ukupnog prihoda kao funkcija potražnji. potražnju Q i , i = 1, 2,...,n . D(Q1 , Q2 ) = P (Q1 , Q2 )

je graniˇcni prihod u odnosu na

− T (Q1, Q2)

je onda funkcija dobiti, dok je P (Q1 , Q2 ) P¯ (Q1 , Q2 ) = . Q1 + Q2

prosjeˇcni prihod. Date su cijene dva dobrap1 i p2 kao funkcije proizvodnjeQ1 i Q2 , kao i funkcija ukupnih troškova T (Q1 , Q2 ) Primjer.

p1 = 10

− Q1, p2 = 20 − Q2 , T (Q1, Q2) = 4Q21 + Q22 + 10.

Izvesti funkciju dobiti u ovisnosti oQ1 , Q2 .

8.2.1

Homogene funkcije

Za funkciju f = f (x1 , x2 ,...,x homogenosti α ako vrijedi Definicija 8.2.1.

f (λx1 , λx2 ,...,λx

n)

n)

kažemo da je homogena stepena

= λ α f (x1 , x2 ,...,x

n ).

Primjer.

f (x1 , x2 , x3 ) = x 21 + 2x22 + 3x1 x3 . Primjer.

Proizvodnja P zavisi o uloženom raduL i uloženom kapitaluC : P (L, C ) = L 2 ln

C + C 2. L

Ako se oba proizvoda faktora(L, C ) istovremeno povećaju za 10% , za koliko procenata se promjeni proizvodnja. Općenito, za proizvoljnu funkcijuf (x1 , x2 ,...,x genosti α ∆f = (λα f

n)

koja je homogena stepena homo-

− 1) · 100%,

tj. procenat promjene funkcije f kada se svaka promjenljiva uvec´ a za λ = 1 + procenat promjene svake promjenljive.

p

100 .

p je

8.3. EKSTREMI FUNKCIJA VIŠE PROMJENLJIVIH

117

Eulerov teorem Teorema 8.2.2. Neka je funkcija f homogena funkcija stepena homogenosti α. Tada vrijedi

x1

∂f ∂f ∂f + x2 + . . . + xn =α f ∂x 1 ∂x 2 ∂x n

·

Ako cijelu jednakost podijelimo saf , dobijemo ekvivalent:

Teorema 8.2.3. Neka je funkcija f homogena funkcija stepena homogenosti α. Tada je zbir svih koeficijenata elastiˇcnosti te funkcije jednak stepenu homogenosti funkcije α i vrijedi

x1 ∂f x2 ∂f x n ∂f + + ... + =α f ∂x 1 f ∂x 2 f ∂x n Primjer. EP,L + EP,C = 2, gdje je P (L, C ) = L 2 ln

stepena homogenosti α = 2.

8.3

C L

+ C 2 , tj. P je homogena funkcija

Ekstremi funkcija više promjenljivih

Na sliˇcan naˇcin kao što je to bio sluˇcaj kod funkcija jedne promjenljive, sada posmatramo lokalne ekstreme funkcija više promjenljivih.

Za funkciju f = f (X ) = f (x1 , x2 ,...,x n ) kažemo da ima lokalni minimum u taˇcki A(a1 , a2 ,...,a n ) ako je ona definisana u nekoj okolini U A taˇcke A i Definicija 8.3.1.

∈

ako vrijedi da je f (X ) > f (A) za svako x UA . Definicija 8.3.2. Za funkciju f = f (X ) = f (x1 , x2 ,...,x n ) kažemo da ima lokalni maksimum u taˇcki A(a1 , a2 ,...,a n ) ako je ona definisana u nekoj okolini U A taˇcke A i ako vrijedi da je f (X ) < f (A) za svako x UA . Stacionarna taˇcka je taˇcka u kojoj su svi parcijalni izvodi funkcije jednaki nuli, tj.

∈

∂f ∂f ∂f = = . .. = = 0. ∂x 1 ∂x 2 ∂x n

Stacionarna taˇcka ne mora biti taˇcka lokalnog ekstrema. Da li je stacionarna taˇcka uopće taˇcka lokalnog ekstrema i ako jeste, da li je maksimum ili minimum, ispituje se po tzv.Silvestrovom kriteriju. Definicija 8.3.4 (Hessian). Neka je f = f (x1 , x2 ,...,x n ). Za ovu funkciju definiramo Hesseovu matricu ili Hessian funkcije: Primjedba 8.3.3.

H=

gdje su fij =

 

f11 f21

.

f12 .. . f f22 .. . f

.

2n

.

fn1 fn2 .. . f

∂ 2f ,i,j ∂x i ∂x j

1n

nn

 

,

∈ {1, 2,...,n }.


118 8.3.1

Silvesterov kriterij

1. Ako za Hessian raˇcunat u stacionarnoj taˇcki funkcije f = f (x1 , x2 ,...,x f11 f12 f21 f22

D1 = f 11 > 0, D2 =



> 0, D3 =



 

f11 f12 f13 f21 f22 f23 f f f 31

32

33

Dn = H > 0 tada je stacionarna taˇcka taˇcka lokalnog minimuma.

| |

 

n)

vrijedi

> 0,...,

2. Ako za Hessian raˇcunat u stacionarnoj taˇcki vrijedi D1 = f 11 < 0, D2 =



f11 f12 f21 f22



> 0, D3 =

 

f11 f12 f13 f21 f22 f23 f31 f32 f33

 

< 0,...,

tj. Hessian naizmjeniˇcno mijenja znak glavnih minora Hessiana, tada je stacionarna taˇcka taˇcka lokalnog maksimuma. Primjer.

Naći lokalne ekstreme funkcijef (x, y) = x 2 + y2

− 16.

Naći optimalnu kombinaciju proizvodnje u cilju maksimiziranja dobiti iz primjera funkcija prihoda i dobiti: Primjer.

D(Q1 , Q2 ) =

8.3.2

−5Q21 − 2Q22 + 10Q1 + 20Q2 − 10

Optimum - vezani (uvjetni) ekstrem

Imamo funkciju cilja f (x, y) i tražimo ili maksimum ili minimum te funkcije nezavisnih promjenljivih x, y pod uslovom g(x, y) = 0. Metod supstitucije. Ovaj metod primjenjujemo kada iz uslova g(x, y) = 0 možemo jednu od promjenljivih izraziti pomoću one druge, npr. y = ϕ(x), a zatim to zamjenimo (supstituišemo) u jednaˇcinu funkcije f (x, y). Na taj naˇcin funkcija postaje funkcija jedne promjenljive za koju znamo kako se odreduje ¯ minimum i maksimum - f (x, y) = f (x, ϕ(x)) = F (x). Zadana je funkcija korisnosti za potrošaˇca u(Q1 , Q2 ) = Q1 Q2 , gdje je Q1 koliˇcina proizvoda A a Q2 koliˇcina proizvoda B . Jediniˇcna cijena proizvodaA je 1KM a cijena proizvoda B je 4KM . Ukoliko potršaˇc ima na raspolaganju 1200KM koje želi u Primjer.

potpunosti potrošiti, pronadite ¯ koliˇcine proizvoda A i B uz koje se ostvaruje maksimalna korisnost. Kolika je maksimalna korisnost? Ovaj se metod koristi u sluˇcaju kad iz dodatnog uvjeta ne možemo izraziti jednu nepoznanicu preko druge, ako je u pitanju funkcija cilja sa dvije promjenljive. Metod Lagrangeovih multiplikatora

8.3. EKSTREMI FUNKCIJA VIŠE PROMJENLJIVIH

119

Dakle ako je funkcija cilja f (x, y) a dodatni uvjet g(x, y) = 0, umjesto funkcije f (x, y) uvodimo novu funkciju F (x,y,λ ) = f (x, y)

− λg(x, y)

i sada se problem svodi na odredivanje ekstrema funckije F (x,y,λ ). Stacionarne ta cˇ ke ¯ odredujemo iz ¯ Fx = f x Fy = f y Fλ =

− λg − λg

x

=0

y

=0

−g(x, y) = 0.

Dalji postupak je isti kao u sluˇcaju ekstrema sa više promjenljivih kada koristimo Silvesterov kriterij. Primjer.

Maksimizirati funkciju f (x, y) = x + y na jediniˇcnoj kružnici.

Primjer.

Riješiti problem f (x, y) = x 2 + y 2

−→ ext

x+y= 1.

Kao što smo rekli, formiramo prvo lagranžijan Λ(x,y,λ ) = f (x, y)

− λg(x, y) = x2 + y2 − λ(x + y − 1) ,

gdje je sa g(x, y) = x + y 1 zadata uslovna funkcija. U drugom koraku raˇcunamo gradijent lagranžijana

−

∇Λ(x,y,λ ) =



∂Λ ∂ Λ ∂ Λ , , ∂x ∂y ∂λ



= (2x

− λ, 2y − λ, x + y − 1) .

Sada rješavamo sistem

−λ −λ x+y−1 2x

= 0

2y

= 0 = 0.

Iz prve dvije jednaˇcine sistema imamo 2x = 2y, tj. x = y, pa uvrštavajući to u tre c´ u jednaˇcinu, dobijamo x = y = 12 i za ove vrijednosti je λ = 1. Dakle, imamo jednu stacioarnu taˇcku X0 12 , 12 , 1 . Posljedni korak je utvrdjivanje karaktera taˇcke X 0 . Raˇcunajući druge parcijalne izvode, imamo

   

d2 f (X0 ) = 2dx2 + 2dy 2 ,

i vidimo da je d 2 f (X0 ) > 0 (kao suma kvadrata), te dakle imamo minimum funkcije f , pri uslovu g , u taˇcki 12 , 12 , i on iznosi f min = 12 .

120


Poglavlje 9 ˇ Integralni ra cun 9. 1 9.1.1

Neodre deni integral ¯ Površinski problem

Iako većina razmišlja o integralu iskljuˇcivo kao o obratu izvoda, osnove integralnog racˇ una sežu mnogo dalje u prošlost od modernih vremena. Jedan od velikih problema više matematike je: Definicija f koja Akopovršinu je data realna je neprekidna tervalu [a, b]9.1.1. , nadjite koja sefunkcija nalazi izme du funkcije fi nenegativna i intervala [a,nab] inna ¯ grafa x-osi.

Slika 9.1: Površinski problem Površinske formule za osnovne geometrijske figure, kao što su pravougaonici, poligoni i krugovi idu nazad do najranijih matemati cˇ kih zapisa. Prvi pravi napredak od najprimitivnih pokušaja je napravio starogrcˇ ki matematiˇcar Arhimed (‘Aρχιµηδης ), koji

121

POGLAVLJE 9. INTEGRALNI RA

122

ˇ CUN

je razvio genijalnu, ali napornu tehniku, koja se zove tehnika iscrpljenja, kako bi našao površine regija koje su ogranicˇ ene parabolama, spiralama i raznim drugim krivim. Do 17-og stoljeća mnogi su matematiˇcari otkrili naˇcine kako izraˇcunati ove površine koristeći limese. Me dutim, svim ovim metodama je nedostajala generalnost. Veliki na¯ predak su napravili nezavisno jedan od drugoga Newton i Leibnitz, koji su otkrili da se površine mogu dobiti obrćući proces diferencijacije. Newtonov radDe Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas izdat 1711 se smatra poˇcetkom više matematike.

Slika 9.2: Sir Isaac Newton

Slika 9.3: Gottfried Wilhelm Leibniz Posmatrajmo funkciju y = cos 2 x. Onda znamo da je izvod ove funkcije y ′ = 2cos x sin x = sin2 x. No šta ako moramo raditi unatrag, odnosno da nam je data funkcija y ′ = sin2 x i iz nje trebamo pronaći srcinalnu funkciju? Oˇcito, u ovom sluˇcaju je y = cos 2 x, ali smo to već unaprijed znali. U općem sluˇcaju, to nije tako jednostavno i zahtjeva poseban pristup. Primjer.

−

−

−

9.1. NEODREÐENI INTEGRAL

123

Slika 9.4: De Analysi per Aequationes ... Definicija 9.1.2. Funkciju F definisanu na intervaluI , nazivamo primitivom ili primitivnom funkcijom ili prim funkcijom ili anti-izvodom ili integralom funkcije f (x), ako je na

tom intervalu f (x) izvod funkcije F (x), tj. ako vrijedi relacija F ′ (x) = f (x),

(9.1)

∀x ∈ I.

Definicija 9.1.2 se može formulisati tako da umjesto termina “izvod” koristimo termin “diferencijal” i tada vrijedi d F (x) = F ′ (x)dx = f (x)dx,

∀x ∈ I.

Funkcija 13 x3 je primitiv funkcije f (x) = x 2 na intervalu ( za svako x ( , ) Primjer.

∈ −∞ ∞

F ′ (x) =

(9.2)

−∞, ∞), zato što je

 

d 1 3 x = x 2 = f (x). dx 3

Primjetite da ovo nije jedini primitiv funkcijef na ovom intervalu. Ako dodamo bilo koju konstantu C na 13 x3 , onda je funkcija F (x) = 13 x3 + C takoder ¯ primitiv funkcije f (x) = x 2 , jer je x ( , )

∀ ∈ −∞ ∞

1 1 F ′ (x) = ( x3 + C )′ = (x3 )′ + C ′ = x 2 . 3 3 Teorema 9.1.3. Neka je F (x), na intervalu I , primitiv funkcije f (x). Tada je i funkcija F (x) + C , gdje je C proizvoljna konstanta, tako¯ der primitiv funkcije f (x). Teorema 9.1.4. Neka su F (x) i Φ(x) razliˇciti primitivi funkcije f (x) na intervalu I . Tada je Φ(x) = F (x) + C, C R. (9.3)

∈


124 Dokaz

ˇ CUN

Na osnovu pretpostavke teoreme je F ′ (x) = f (x),

Φ′ (x) = f (x),

odakle slijedi da je Φ′ (x)

−

odnosno, vrijedi Φ(x)

F ′ (x) = [Φ(x)

F [x]]′ = 0,

−

− F (x) = C ⇒ Φ(x) = F (x) + C.

Proces nalaženja primitiva nazivamo anti-izvo¯denjem ili, poznatije, integracijom. Funkciju F (x) + C nazivamo neodre¯deni integral funkcije f (x) i oznaˇcavamo je sa



f (x)dx = F (x) + C,

gdje je C proizvoljna konstanta. Produženo S koje se pojavljuje s lijeve strane definicije neodredenog integrala se zove ¯ znak integracije, što je notacija koju je izumio Leibnitz 1675 godine. Funkcija f (x) se zove integrand ili podintegralni izraz. C se naziva konstanta integracije. Pridjev “neodreden” ¯ se odnosi na cˇ injenicu da integracija ne daje jednu, odre denu ¯ funkciju, već cˇ itav snop funkcija (zbog konstante integracije). Primjer.

Provjeriti da je



ln x x

d dx



dx =

ln2 x 2

ln2 x +C 2

+ C . Kako je



=2

ln x 1 ln x = , 2 x x

·

2

to je prema definiciji neodredenog integrala funkcija ln2 x +C neodre¯deni integral funkcije ¯ ln x . x

9.1.2

Neke osobine neodre denog integrala ¯

Iz definicije neodredenog integrala direktno slijedi ¯



f (x)dx

 

d



′

= [F (x) + C ]′ = F ′ (x) = f (x),

f (x)dx = d[F (x) + C ] = F ′ (x)dx = f (x)dx, dF (x) =

F ′ (x)dx =

 

F ′ (x)dx =



f (x)dx = F (x) + C,

f (x)dx = F (x) + C.

(9.4) (9.5) (9.6) (9.7)

9.1. NEODREÐENI INTEGRAL Pravilo 1 Neka je a

125

∈ R konstanta. Tada vrijedi



af (x)dx = a



(9.8)

f (x)dx

Pravilo 2 Ako postoje fi (x)dx, i = 1, 2,...,n , tada vrijedi







(f1 + f2 + . . . + fn)(x)dx =

f1 (x)dx +



f2 (x)dx + . . .



fn (x)dx. (9.9)

Pravilo 3 Neka je f (t)dt = F (t) + C . Tada je





f (ax + b)dx =

1 F (ax + b) + C. a

(9.10)

Dokaz. Kako je

dF (t) = F ′ (t) = f (t), dt d F (ax + b) = a F ′ (ax + b) = a f (ax + b), dt

·

·

imamo da je d 1 1 dt a F (ax + b) = a a F ′ (ax + b) = F ′ (ax + b) = f (ax + b).

9.1.3



·



Tablica osnovnih integrala

Integracija je u osnovi pogadanje - no inteligentno pogadanje! Mi u osnovi pokušavamo ¯ ¯ da pogodimo šta je funkcija iz njenog izvoda. Veliki broj integrala možemo riješiti koristeći se nekim, osnovnim integralima standardnih funkcija. Ovdje ćemo navesti neke od njih. 1.



2.



3. 4.

xa dx =

·

0 dx = C ;

dx = x + C,

1 xa+1 + C, a+1

 



 − ∈ R,

a = 0, 1, a

1 dx = ln x + C, x

1 dx = arctg x + C ; 1 + x2

||



−

1 dx = arc ctg x + C, 1 + x2


126 5.

√

6.

1 1

− x2

ax dx =

   √

7.

sin xdx =

8.

cos x dx = sin2 x



cos xdx = sin x + C,

1 dx = sin2 x

  

1 dx = ln x + x 2 a2

±

1 cos x dx = sin x sin x



1

− x2 dx = arccos x + C,

ex dx = e x + C,

− cos x + C ;

Primjer.



1

ax + C, ln a

1 dx = tg x + C ; cos2 x

9.

 √−

dx = arcsin x + C ;



x2

− ctg x + C,

± a2



+ C.

csc x ctg xdx =

− csc x + C

Primjer.

t2

 Vjezba.

1.

2t4

−t4

dt = =

t−1

1 t2

 −  =

t−2 dt +

1

−1 − 2t + C = − t − 2t + C.

Izraˇcunati slijedeće neodre¯dene integrale:



2.

(x3 + 2x

√

3.

 

4. 5.

2



− 5)dx.

xdx.

sin(3x)dx. 1 dx. x+3

2x + 5 dx. x2 + 5x + 1

−

( 2)dt

ˇ CUN

9.1. NEODREÐENI INTEGRAL

127

6.



tg2 xdx.

7. x ex

·

8.

dx.



dx . x ln x



2dx . sin2 x

9.

9.1.4

2 +1

Integracija metodom smjene

U dosadašnjim primjerima smo se samo koristili osnovnim pravilima i tablicama integrala. Takvi sluˇcajevi su rijetki i u nekim slucˇ ajevima uvo¯denjem smjene nezavisne promjenljive podintegralne funkcije možemo svesti integral na tabli cˇ ni sluˇcaj. Neka trebamo izraˇcunati



(9.11)

f (x)dx.

Umjesto nezavisne promjenljivex uvedimo novu promjenljivut , i neka je x = g(t),

(9.12)

dx = g ′ (t)dt.

Tada integral (9.11) glasi



(9.13)

f [g(t)]g ′ (t)dt.

→  ∀ ∈

Teorema 9.1.5. Neka su J1 i J2 otvoreni integrali u skupuR. Neka je f : J 2 R, x J2 , neprekidna funkcija na J 2 i neka funkcija g : J 1 J 2 ima neprekidne izvode na J1 . Tada za svako t J1 i svako x = g(t) J2 vrijedi

∈

→

∈



f (x)dx =



f [g(t)]g ′ (t)dt.

(9.14)

Taˇcnost tvrdnje prati na osnovu definicije izvoda posredne funkcije i definicije neodredenog integrala. ¯ Primjer.

 

sin3 x cos xdx.

Uvodimo smjenu sin x = t , cos xdx = dt. Tada posmatrani integral glasi



sin3 x cos xdx =

t3 dt =

1 4 1 t + C = sin4 x + C. 4 4


128 Vjezba.

ˇ CUN

Izraˇcunati slijedeće neodre¯dene integrale:

1.



2

xex dx.

2.

 √

dx dx. 1 + 4x

3.

4.



5.

9.1.5

dx dx. 1+x

cos x dx. 1 + sin 2 x



sin3 xdx.

Metoda parcijalne integracije

Neka su u = f (x) i v = g(x) funkcije promjenljivex i neka imaju izvode u ′ = f ′ (x) i v ′ = g ′ (x). Tada je po pravilu diferenciranja proizvoda

·

d(u v) = u dv + v du,

odakle slijedi

· − v du

u dv = d(u v)

odnosno

· − u dv.

v du = d(u v)

Iz prethodnih jednakosti integracijom dobivamo



u dv = u v

−



v du

(9.15)



v du = u v

−



u dv.

(9.16)

odnosno

Gornje relacije daju pravila parcijalne integracije.

9.1. NEODREÐENI INTEGRAL Primjer.

129

Neka treba naći xe2x dx. Uzmimo da je



u = x, du = dx, dv = e 2x



⇒v=

Tada je prema relaciji (9.15) x

2x



Primjer.

1

2x

−2

xe dx = 2 e

 =

x3 ln x 3

− 13

1

2x

1 2x e . 2

2x

− 4e

e dx = 2 e

dx x

+ C.

 

⇒ du = 1 3 ⇒ v = 3x 3 dx x ln x 1 − 3 x2 · dx x3 · = x 3

x2 ln x =

 =

Primjer.

 

x

2x



e2x dx =

u = ln x dv = x 2 dx



x3 ln x 3

9

− x9

+ C.

Izraˇcunati



eax cos(bx)dx.

Oznaˇcimo dati integral sa J i neka je

u = e ax , dv = cos(bx)dx.

Tada je

J=



eax cos(bx)dx =

u = e ax du = aeax dx dv = cos(bx)dx v = 1b sin(bx)

   −

⇒

⇒

1 a = eax sin(bx) eax sin(bx)dx. b b Ako se za izraˇcunavanje eax sin(bx)dx uzme



u = e ax (du = aeax dx), dv = sin(bx)dx

tada slijedi 1 J = eax sin(bx) b



− ab − 1b e

ax

cos(bx) +



v=

a b



1 ax a e sin(bx) + 2 eax cos(bx) b b Rješavanjem prethodne jednacˇ ine po J dobijamo J=

J=

ili



− 1b cos(bx)

 

,

eax cos(bx)dx , 2

− ab2 J.

b sin(bx) + a cos(bx) ax e , a2 + b2

eax cos(bx)dx =

 

·

b sin(bx) + a cos(bx) ax e + C. a2 + b2

·


130 9.1.6

ˇ CUN

Integracija racionalnih funkcija

Racionalna funkcija je funkcija oblika: R(x) =

Ako je 1. n

Pn (x) an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = Qn (x) bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0

≥ m tada je funkcija R(x) neprava racionalna funkcija;

2. n < m tada je funkcija R(x) prava racionalna funkcija. U prvom sluˇcaju, prvo polinomePn (x) i Qm (x) podijelimo, tj. R(x) =

Pn (x) R1 (x) = Λn−m (x) + . Qn (x) Qm (x)

Drugi dio desne strane ove jednakosti je onda prava racionalna funkcija. Primjer.

2x3 x2 + x + 5 27x 2 = 2x + 7 + 2 . x2 4x + 1 x 4x + 1

− −

−

−

Izraˇcunavanje integrala racionalne funkcije svodi se na izraˇcunavanje prave racionalne funkcije. No, prije toga moramo pravu racionalnu funkciju razložiti na prostije racionalne funkcije, tzv. parcijalne razlomke, a zatim raˇcunati integrale za svaki od tih parcijalnih razlomaka. Prostim racionalnim funkcijama zovemo racionalne funkcije oblika A (x

gdje su A ia realni brojevi, odnosno

− α)

Mx + N

∈ k

(x2 + px + q )k

(k

k

(9.17)

∈ N)

N ; p2

− 4q < 0



(2.26∗ )

,

gdje su M , N , p i q realni brojevi. Svaku pravu racionalnu funkciju možemo predstaviti u obliku (prema fundamentalnoj teoremi algebre): Pn (x) = Qm (x) (x

− a1) ··· (x − a k1

M)

kM (x2

Pn (x) + p1 x + q1 )l1

··· (x2 + p

Nx

+ qN )lN

,

gdje su k i , li N, M + N = m. Pri tome je p 2 4q < 0, tj. x2 + px + q se ne može dalje rastaviti na proste realne faktore (nema nula uR). Posmatrajmo konkretan slucˇ aj. Racionalnu funkciju možemo izraziti kao:

∈

−

Pn (x)

(x

A1 A2 Ak + + ... + + x a (x a)2 (x a)k M1 x + N1 M2 x + N2 Mm x + Nm + 2 + +... + 2 x + px + q (x2 + px + q )2 (x + px + q )m .

− a) (x2 + px + q) k

m

=

−

−

−

9.2. ODREÐENI INTEGRAL A1 , A2 ,...,A

n , M1 , M2 ,...,M

131

l , N1 , N2 ,...,N

su nepoznati koeficijenti koje treba odre-

l

diti. Onda integral Pn (x) Qn (x)



se u stvari pretvara uk + m integrala koje već možemo riješiti standardnim putem! Primjer.

=2 =



1 (x

−

3x2 x + 2 (x 1)2 (x2 + 1)



−

1 dx + 1)2 2

−



1 x

−1

dx +

1 2



−

1 x dx 1 + x2

− x −2 1 + 12 ln(x − 1) + 12 arctan x − 14 ln(x2 + 1) + C.

Napomena: U opštem sluˇcaju, integral oblika



Mx + N dx = x2 + px + q p

rješavamo pomoću smjene x +

9. 2



Mx + N (x + p/2)2 + a2

= at.

2

Odre deni ¯ integral

Neka je funkcija nam je data funkcija f (x) i neka procesom izraˇcunavanja neodre¯denog integrala možemo naći njen primitiv F (x). U ovoj sekciji c´ emo se baviti pojmom tzv. odredenog integrala, ali ne teoretskim, ve c´ samo primjenjenim putem. Dakle, ne c´ emo ¯ formalno definisati odredeni ¯ integral, već samo pomo c´ u njegove veze sa neodredenim ¯ integralom. Odredeni integral funkcije f integrabilne na segmentu[a, b] oznaˇcavamo sa ¯



b

f (x)dx a

Ispostavlja se da je



b

f (x)dx = F (b)

a

− F (a)!

Ova formula se po dogovoru zapisuje kao



b a

f (x)dx = F (x) ba .

|

Ova formula se naziva Newton-Leibnitzova formula! Vidimo da nam odredeni ¯ integral vraća konkretnu vrijednost, pa stoga i njegovo ime! Osobinu da postoji odredeni ¯ integral funkije na segmentu[a, b] c´ emo oznaˇcavati sa f [a, b].

∈I

ˇ CUN


132 9.2.1

Osobine odre denog integrala ¯

Neka je f

∈ I[

a,b]

. Tada je, po definiciji a



b

−

f (x)dx =

b

Lema 9.2.1. Ako je f

[α, β ] .

∈ I[



λ

a

f (x)dx =0, λ

λ

∈ [a, b].

≤ α < β ≤ b, tada je f integrabilna na segmentu

ia

a,b]



f (x)dxi

Lema 9.2.2. Neka je a < c < b i neka je funkcija f integrabilna na [a, b]. Tada vrijedi



b

c



f (x)dx =

a

f (x)dx +

a



b

∈I

Teorema 9.2.3. Neka f , g [a,b] . Tada su funkcije f + g, f segmentu [a, b], gdje je λ R ; pri tome vrijedi

∈

b

(a)

 

(f (x)

a b

(b)

b

± g(x))dx = b

(λf (x)) dx = λ

a



(9.18)

f (x)dx.

c

− g, λ · g integrabilne na

b



f (x)dx

a

±

f (x)dx.



g(x)dx,

a

a

Teorema 9.2.4. Neka su f , g

[a,b]

takve da je f (x)

∈I

vrijedi



b

f (x)dx

a

≤



g(x) za svako x

≤

b

[a, b] , tada

∈ (9.19)

g(x)dx.

a

Teorema 9.2.5. Ako je f integrabilna funkcija na segmentu [a, b], tada su integrabilne i funkcije f + i f ; osim toga, vrijedi nejednakost

||

 

b

b

f (x)dx

a

Teorema 9.2.6. Ako je f

∈ C[

Primjer.

Izraˇcunati integral



3

√3



−1

dx

1+x2

= arctgx

−

a,b] .

dx

√

1

∈ I[

1+x2 .

−1 ⊲

je f

(9.20)

|

f (x) dx.

a

a,b] , tada

√

  ≤ |

3

√ − arctg(−1) = − (− ) = 7 .⊳ 3 4 12

= arctg( 3)

π

π

π

Glavni metodi izraˇcunavanja neodre¯denog integrala, metod smjene promjenljive i metod parcijalne integracije, mogu se primijeniti i kod izraˇcunavanja odre¯denog integrala.

9.2. ODREÐENI INTEGRAL

133

Teorema 9.2.7. Neka su funkcije u(x) i v(x) glatke na segmentu [a, b]. Tada vrijedi jednakost



b

u(x)dv(x) = u(x)v(x)

a

Primjer.

 − 

b

b a

(9.21)

v(x)du(x).

a

Izraˇcunati odre¯deni integral



e

x2 ln xdx.

1

→ R neprekidna, a funkcija φ : [α0 , β0 ] → [A, B]

Teorema 9.2.8. Neka je f : [A, B]

ima neprekidnu derivaciju φ ′ (t). Ako je

α, β

∈ [α0 , β0 ] , a = φ(α), b = φ(β ),

tada vrijedi jednakost



β

b



f (x)dx =

a

Primjer.

Izraˇcunati

α

1

 −

x2 dx.

1

0

9.2.2

(9.22)

f (φ(t)) φ′ (t)dt.

π 4

  =

Primjene odre denog integrala ¯

∈

Teorema 9.2.9. Neka je za y = f (x), x [a, b] prva derivacija f ′ (x) neprekidna funkcija na [a, b] i Γ = (x, f (x)) , x [a, b]. Tada se otvorena kriva y = f (x), x [a, b] može rektificirati i dužina krive Γ , L(f ; a, b), izražava se formulom

∈

∈

b

L(f ; a, b) =



1 + (f ′ (x))2 dx.

(9.23)

a

≤ ≤

Teorema 9.2.10. Neka su ϕ(t)iψ(t), α t β , funkcije cije ˇ su prve derivacije neprekidne funkcije na [α, β ]. Tada se kriva Γ, odredena jednaˇcinama x = ϕ(t), y = ¯

rektificirati. Još više, ako je ϕ(α) = ai ϕ(β ) = b, tj. ϕ ([α, β ]) = ⊂ ≤ ∪≤{β0}može , njena dužina s(Γ) iznosi

ψ(t), [a, b] α R+t

β

s(Γ) =

 α

ϕ′2 (t) + ψ ′2 (t)dt.

134 Primjer.


ˇ CUN

Naći obim jediniˇcnog kruga centriranog u nuli.

Sada se konaˇcno možemo vratiti i našem antiˇckom problemu površine ispod krive! Naime površina ispod neke nenegativne krive (do x-ose) na intervalu [a, b] je jednaka odredenom integralu : ¯ b

P =



f (x)dx!

a

Ukoliko se kriva nalazi ispod x ose, onda je površina iznad te krive na intervalu [a, b] jednaka P =

Primjer.

−



b

f (x)dx. a

Izraˇcunati površinu lika ome¯denog krivim y =

−x2 + 4x + 5 i y = x − 5.

9.3. NESVOJSTVENI INTEGRAL

9.3

135

Nesvojstveni integral

Nesvojstveni (ili nepravi) integral je graniˇcna vrijednost odredenog integrala, kada se ¯ jedna graniˇcna ta cˇ ka (ili obje graniˇcne ta cˇ ke) intervala integracije približava/ju bilo nekom odre¯denom realnom broju ili + ili . Prvi sluˇcaj je kada je desni kraj intervala integracije jednak + (sliˇcno i kada je lijevi kraj intervala jednak : b +∞

∞ −∞

∞

 

f (x)dx = lim b

a

→ +∞

a

f (x)dx = lim b

−∞

 

→−∞

f (x)dx =

a

−∞ lim [F (b) − F (a)] → +∞

b

a

f (x)dx = lim [F (a) b

b

→−∞

− F (b)]

Druga mogućnost je kada funkcija ima prekid u tacˇ ki x = c. Tada posmatramo



b

f (x)dx = a



c

f (x)dx +

a



b

f (x)dx. c

No kako posmatrati te individualne integrale? U sluˇcaju prvog integrala:



b

= lim ε

c

→0



b

f (x)dx, c +ε

a u sluˇcaju drugog

Primjer.



c a

= lim ε

→0



 1

c ε

−

a

dx

−1 x 2

f (x)dx


136

9.4

ˇ CUN

Primjena integrala u ekonomiji

Sjetimo se graniˇcnih funkcija (prihoda, troškova, dobiti, itd). One su bile definisane kao izvodi srcinalnih funkcija. Koriste c´ i se integralima, možemo naći ukupnu funkciju iz graniˇcne funkcije! ukupna funkcija =



graniˇcna funkcija

Zadana je funkcija graniˇcnih troškova GT (Q) = Q(2 Q)e−Q+10 i fiksni ukupni troškovi su nulaF T = 0. ODrediti funkciju prosjeˇcnih troškova. Primjer.

−

Primjer. Zadana je funkcija granicˇ nih troškova GT (Q) = 8( Q 2), fiksni troškovi su10,

dok je funkcija potražnje data kao funkcija cijene Q = dobiti.

− −p + 2. Izvesti funkciju ukupne

Poglavlje 10 ˇ Diferencijalne jednacine ˇ Citav problem izvoda kao takvih je naravno izrastao iz potreba fizikalne prirode - u 17. stoljeću, Europski matematiˇcari kao što su Isaac Barrow, René Descartes, Pierre de Fermat, Blaise Pascal, John Wallis i drugi su diskutovali ideju izvoda. Kokretno, u djelima “Methodus ad disquirendam maximam et minima” i “De tangentibus linearum curvarum”, Fermat je razvio metodu pomo c´ u koje su se mogli odrediti maksimumi, minimumi i tangente razliˇcitih krivih, koja je u stvari bila ekvivalentna diferenciranju. Naravno, tek djelo De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas Isaaca Newtona se smatra pravim pocˇ etkom analize, iako je ostalo neobjavljeno za njegovog života. Naravno, kalkulus kao takav je izrastao pod paskom Newtona i Leibniza. Newton je to kalkulusa došao tokom istraživanja fizike i geometrije, te je kalkulus smatrao nauˇcnim opisom stvaranja kretanja i velicˇ ina. U suprotnosti, Leibniz se fokusirao na problem tangenti i smatrao je da je kalkulus metafiziˇcno objašnjenje promjene. Sve ove metode koje su nezavisno jedan od drugoga razvili Newton i Leibniz su naravno proistekle iz potrebe modernih nauˇcnika za novim alatima kojima mogu riješiti probleme iz fizike, pogotovu u oblastima mehanike i optike. Diferencijalne jednaˇcine su po cˇ ele sa Lebnizom, bra c´ om Bernoulli i drugima od 1680tih godina, ne zadugo od Newtonovih ‘fluksionalnih jedna cˇ ina’ iz 1670tih. 1676 god. Isaac Newton je riješio svoju prvu diferencijalnu jednaˇcinu, dok je 1693. god. Gottfried Leibniz rijšio svoju prvu diferencijalnu jednacˇ inu i te iste godine Newton objavljuje svoje prethodne rezultate metoda riješavanja diferencijalnih jednaˇcina i ta godina se op c´ enito uzima kao poˇcetak teorije diferencijalnih jednaˇcina kao zasebne matematiˇcke grane. Švicarski matematiˇcari, braća Jacob i Johann Bernoulli su bili me du ¯ prvim interpretatorima Leibnizove diferencijalnog raˇcuna,rada. koji se nisu slagali sa Newtonovim rezultatima i smatraliverzije su ih plagijatima Leibnizovog Navodno je prva knjiga o diferencijalnim jedna cˇ inama bila knjiga talijanskog matematiˇcara Gabrielea Mafredia iz 1707. god. pod naslovom ‘O konstrukciji diferencijalnih jednaˇcina prvog reda’ (De constructionae aequationum differentialium primi gradus). Vec´ ina radova o obiˇcnim i parcijalnim diferencijalnim jednaˇcinama objavljenih tokom 18.

137

ˇ POGLAVLJE 10. DIFERENCIJALNE JEDNA CINE

138

stoljeća su razvijali Leibnizov pristup, te je teorija znaˇcajno uzapredovala zahvaljujući Leonhardu Euleru, Danielu Bernoulliu, Josephu Lagrangeu i Pierreu Laplaceu.

1 0. 1

ˇ diferencijalne jednacine ˇ Obi cne

Naše izuˇcavanje ove problematike zapocˇ et c´ emo pregledom metoda za nalaženje rješenja obiˇcnih diferencijalnih jednaˇcina u zatvorenoj formi, zatim c´ emo posmatrati rješenja u formi stepenih redova, te neke aproksimativne metoda. Diferencijalne jednaˇcine su, najjednostavnijim rijeˇcnikom reˇceno, jednaˇcine koje sadrže izvode! Obiˇcne diferencijalne jednaˇcine (ODE) kao što samo ime kaže sadrže samo obiˇcne izvode, a ne parcijalne i opisuju odnose izmedu ¯ ovih izvoda zavisne promjenljive, koju obiˇcno oznaˇcavamo sa x. Rješenje ODE je stoga funkcija od x i obiˇcno se oznaˇcava sa y(x). Definicija 10.1.1.

Obilna diferencijalna jednacˇ ina (n-tog reda) je jednacˇ ina oblika f (x,y,y ′ , y ′′ ,...,y

(n )

) = 0,

gdje je x nezavisna promjenljiva,y nepoznata funkcija, a y ′ , y ′′ ,... su izvodi nepoznate funkcije. Kako bi ODE imala rješenje zatvorenog oblika, moramo moći izraziti y(x) koristeći se elemetarnim funkcijama od x . Rješenja nekih jednaˇcina se ne mogu napisati u takvoj formi, no tada se možda mogu zapisati na neki druga cˇ iji naˇcin. Oˇcito, obiˇcne diferencijalne jednaˇcine mogu se podijeliti na zgodan naˇcina u razlicˇ ite kategorije, prema njihovim karakteristikama. Primarno grupiranje koje koristimo je prema redu jednaˇcine. Red jednaˇcine je jednostavno najveći red izvoda koji se pojavljuje u jednaˇcini. Tako¯der, možemo podijeliti ODE prema stepenu - tj. prema stepenu na koji je izvod najvećeg reda dignut nakon racionalizacije jednacˇ ine. d3 y +x dx3



dy + x2 + y = 0 dx

je trećeg reda i drugog stepena, jer se nakon racionalizacije pojavljuje

d3 y

2

. Prvo

3 c´ emo se prisjetiti nekih metoda za rješavanje ODE prvog reda. tj. rješavat c´dx emo problem

y ′ = f (x, y) ,

sa poˇcetnim (inicijalnim) uslovomy(x0 ) = y0 .

 

(10.1)

ˇ ˇ 10.1. OBICNE DIFERENCIJALNE JEDNACINE 10.1.1

139

ˇ Jedna cina sa razdvojenim promjenlji vim

Jednaˇcina sa razdvojenim promjenljivim je jednaˇcina kod koje se u (10.1) desna strana

može napisati kao proizvod dviju funkcija od kojih jedna zavisi samo odx, a druga samo od y , tj. jednaˇcina koja ima formu y ′ = f (x)g(y) . (10.2) Sljedećim teoremom dati su uslovi za postojanje i jedinstvenost rješenja jedna cˇ ine (10.2). Teorema 10.1.2. Neka je funkcija f (x) neprekidna na intervalu (a, b) i neka je funkcija g(y) neprekidna i razliˇcita od nule na intervalu (c, d). Tada postoji jedinstveno rješenje jednaˇcine (10.2) koje zadovoljava polazni uslov y(x0 ) = y 0 (x0 (a, b) , y0 (c, d)) i definisano je u nekoj okolini taˇcke x 0 .

∈

Primjer. Riješiti

jednaˇcinu: xy′ =

∈

y . Jednaˇcinu dovodimo u oblik y+1 y y′ = , x(y + 1)

iz koga uoˇcavamo da je data jednaˇcina sa razdvojenim promenljivima f( (x) = y dy c´ i jednakost y ′ = dx , y+1 ). Razdvajamo promjenljive koriste

1 x

, g(y) =

(y + 1)dy dx = . y x

Sada integralimo posljednju jednaˇcinu i rješavanjem integrala na lijevoj i desnoj strani dobijamo rješenje diferencijalne jednacˇ ine, y + ln y = ln x + C . Primjer. Odrediti ono rješenje diferencijalne jedna cˇ ine y ′ = 6y 2 x koje zadovoljava uslov 1 . Data diferencijalna jednaˇcina je jednaˇcina sa razdvojenim promjenljivima. y(1) = 25 Zato prvo razdvojimo promjenljive y′ =

dy = 6y 2 x dx

⇐⇒

dy = 6xdx . y2

Nakon integriranja posljednje jednakosti

dobijamo



y −2 dy = 6



xdx ,

− y1 = 3x2 + C , 1

odnosno, rješenje diferencijalne jednaˇcine je y(x) = , gdje je C proizvoljna 2+C 3x realna konstanta. Za razne C imamo razliˇcite funkcije rješenja, što je prikazano na sli1 kama 10.1 i 10.2. Naći ono rješenje koje zadovoljava uslov y(1) = 25 , znaˇci od svih

−

1

funkcija izabrati onu za koju je C odredjen ovim uslovom, tj. = 25 nakon kraćeg raˇcuna dobijamo C = 28, cˇ iji je graf dat na Slici 10.3.

−

− 3 +1 C , odakle

140


3 C= C= C= C=

−2 — −3 — −4 — −5 —

2 1

−2 −1 −

1

2

Slika 10.1: Grafovi rješenja za C < 0

3 C= C= C= C=

2

2— 3— 4— 5—

1

−2 −1 −

1

2

Slika 10.2: Grafovi rješenja za C > 0

3 2 1

−4 −3 −2 −1 −

1234

Slika 10.3: Graf funkcije y(x) = 10.1.2

−

1 3x2 −28

Primjena u ekonomiji

Koristeći se ovim, možemo naći funkciju iz njenog koeficijenta elastiˇcnosti.

ˇ 10.2. LINEARNA DIFERENCIJALNA JEDNACINA PRVOG REDA Primjer.

141

Odrediti funkciju ukupnih prihodaP (Q) ako je EP,Q =

2Q + 1 , Q+1

a uz jediniˇcnu potražnju ukupni prihod jednak10. Primjer.

Odrediti funkciju prosjeˇcnih troškova T (Q) ako je ET, Q =

Q

(2

− Q)(Q − 1) ,

a uz proizvodnju Q = 3 ukupni troškovi iznose4.

10.2

ˇ Linearna diferencijalna jedna cina prvog reda

Diferencijalnu jednaˇcina oblika y ′ + f (x)y = g(x) ,

(10.3)

gdje su f i g proizvoljne neprekidne funkcije, nazivamolinearna diferencijalna jednaˇcina. Posmatrajmo sljedeću tehniku nalaženja rješenja jednaˇcine (10.3), neoˇcekivana ali jako korisna. Pomnožimo nekom funkcijom µ(x) jednaˇcinu (10.3) dakle, (10.4) µ(x)y ′ + µ(x)f (x)y = µ(x)g(x) . Neoˇcekivanu ulogu ove funkcijeµ(x), kakva god ona bila, pojacˇ ajmo i zahtjevom µ(x)f (x) = µ ′ (x) .

(10.5)

Stavljajući (10.5) u (10.4), dobijamo µ(x)y ′ + µ′ (x)y = µ(x)g(x) ,

(10.6)

i primjećujemo da je tada izraz na lijevoj strani izvod proizvoda, tj. µ(x)y ′ + µ′ (x)y = (µ(x)y)′ ,

(10.7)

te stavljajući (10.7) u (10.6), dobijamo (µ(x)y)′ = µ(x)g(x) .

(10.8)

Integrirajmo sada jednaˇcinu (10.8), imamo



(µ(x)y)′ dx =



µ(x)g(x)dx ,

odnosno, primjenjujući poznato pravilo za neodredjeni integral, slijedi µ(x)y + C =



µ(x)g(x)dx .

(10.9)


142

Kako nam je cilj naći funkciju y(x), onda iz (10.9) lagano raˇcunamo



y(x) =

µ(x)g(x)dx + C , µ(x)

(10.10)

pri ˇcemu smo iskoristili cˇ injenicu da je konstanta integracije C nepoznata, pa smo njen zapis na desnoj strani, jednostavnosti radi, zapisali sa+C , a ne kako bi raˇcun dao sa C .

−

Posljednom jednaˇcinom mi smo dobili rješenje jednaˇcine (10.3). Ostaje "samo" da se odgonetne, a šta je ona neocˇ ekivana funkcija µ(x). Iz jednaˇcine (10.5) imamo µ′ (x) = f (x) (ln µ(x))′ = f (x) .

⇐⇒

µ(x)

Opet, integrirajući posljednju jednakost, dobijamo ln µ(x) + D =



f (x)dx ,

pa po istom principu kao malo prije, možemo pisati



ln µ(x) =

f (x)dx + D .

Eksponencirajući obje strane posljednje jednakosti, i koristeći pravila stepenovanja, imamo µ(x) = e



f (x)dx+D



= eD e

f (x)dx

.

D

Kako je i e konstanta, ne gubeći na opštosti, konaˇcno imamo µ(x) = De

f (x)dx

(10.11)

,

i uobiˇcejeno se ovakve funkcije sa ovakvom ulogom nazivaju integracioni faktor. Stavljajući (10.11) u (10.10), slijedi y(x) =



De

= e−





f (x)dx

eD



f (x)dx

g(x) + C

f (x)dx





e

f (x)dx

g(x) +

C D



,

C pa konaˇcno uzimajući da je D nova konstanta C , dobijamo krajnji oblik rješenja jednacˇ ine (10.3)   y(x) = e − f (x)dx e f (x)dx g(x) + C .





Sve ovo gore reˇceno iskazujemo tvrdjenjem

Teorema 10.2.1. Neka su f (x) i g(x) neprekidne funkcije na intervalu (a, b). Tada postoji jedinstveno rješenje jednaˇcine (10.3) koje zadovoljava polazni uslov y (x0 ) = y0 (x0 (a, b) , y0 R) i definisano je u (a, b). Rješenje jednaˇcine je dato sa

∈

∈

y(x) = e −



f (x)dx

  C+



g(x)e

f (x)dx

dx



ˇ 10.3. DIFERENTNE JEDNACINE

143

Riješiti diferencijalnu jednaˇcinu: y ′ + xy x3 = 0 i odrediti ono rješenje koje zadovoljava uslov y(0) = 1 . Dovedimo jednaˇcinu na zahtijevani oblik

−

Primjer.

y ′ + xy = x 3 .

To je linearna jednaˇcina kod koje je f (x) = x i g(x) = x 3 . Sada je rješenje dato sa y(x) = e− = e− = e−



x2

2

x2 2



       − 

xdx

x3 e

C+

x3 e

C+

C + (x2

x2

2

2 1

−2 −1−1 −2 −

1

dx

dx

2)e

C C C C C C C

3

xdx

x2

2

−

= 1 =0 =1 =2 =3 =4 =5

2

x2



Slika 10.4: Grafik funkcije y(x) = e − 2 C + (x2 Postavljeni uslov daje nam jednacˇ inu po C

·

1 = 1 (C + (0

− 2)e

x2

2



− 2) · 1) ,

iz koje dobijamo C = 3, a to je graf obojen crvenom bojom na Slici 10.4.

10.3

ˇ Diferentne jedna cine

Definicija 10.3.1.

Jednaˇcina oblika

xn+1 = f (xn ),

gdje je f : I

(n = 0, 1, 2,... )

(10.12)

→ I neka funkcija a I je interval, naziva sediferentna jdnaˇcina prvog reda.


144 Definicija 10.3.2.

Jednaˇcina oblika xn+1 = a n xn + bn ,

(n = 0, 1, 2,... )

(10.13)

se naziva linearnom diferentnom jednaˇcinom prvog reda, pricˇ emu su (an ) i (bn ) unaprijed znani nizovi.

− n2 = 0, ∀n ∈ {0, 1, 2,... }, tj.

Primjer. xn+1 = 2nxn

Ako je bn

(10.14)

xn+1 = a n xn ,

onda se to naziva homogenom linearnom diferentnom jednacˇ inom prvog reda. Kako je xn+1 = a n xn = a n (an−1 xn−1 ) = a n an−1 (an−2 xn−2 ) = ...,

imamo da je n 1

xn = a n−1 an−2 ...a 1 a0 x0 =

Ovo x n =

n 1 i=0

−



ai x 0

i=0

− a x predstavlja opće rješenje homogene diferentne jednaˇcine (10.14). i 0

Umjesto x 0 možemo pisati i c - konstanta. Primjer. 1. xn+1 = 3xn ;



2. xn

− 33 +1 +7 x n n

n

= 0.

Ako sada posmatramo jednaˇcinu x n+1 = a n xn + bn , možemo to promatranje razdijeliti na sluˇcajeve u zavisnosti od toga da li su(an ) i bn konstante: xn+1 = a n xn + b

(10.15)

xn+1 = axn + bn

(10.16)

xn+1 = ax n + b

(10.17)

Opće rješenje diferentne jednaˇcine (10.13) je n 1

xn =

−

ai x 0 +

i=0

n 1

−

n 1

r =0

i=r +1

−

ai

br

           

Opće rješenje jednaˇcine (10.15) je

n 1

xn =

−

i=0

ai

x0 + b

n 1

−

n 1

r =0

i=r +1

−

ai


145

Opće rješenje jednaˇcine (10.16) je n 1

xn = a n x0 +

−



a n−k −1 b r

r =0

opće rješenje jednaˇcine (10.17) je xn =



·

x0 + n b x0

b

− 1−

a

za a

an + 1−b a

=1



za a = 1

ˇ Primjena diferentnih jedna cina u ekonomiji

10.3.1

ˇ kamate Obracun

Ako je sa A 0 oznaˇcen ulog novca (zajam), a sa r% oznaˇcena kamatna stopa po principu složenog ukamaćivanja. An oznaˇcava iznos novca nakonn -tog obraˇcunskog perioda. Kako odreditiA n ? A0 A1

=

A0 + rA 0 = A 0 (1 + r)

A2

=

A1 + rA 1 = A 1 (1 + r) = A 0 (1 + r)(1 + r) = A0 (1 + r)2

···

An =

(1 + r)n A0

Ako se kamata izražava u procentima, onda de facto imamo An = (1 +

p n ) A0 100

Pretpostavimo da se konstantna suma novca R deponuje na kraju svakog obracˇ unskog perioda u nekoj banci, pri cˇ emu se na taj novac primjenjuje složeni kamatni raˇcun sa stopom r po svakom obraˇcunskom periodu. Izvesti formulu koliˇcine novca na kraju n -tog obraˇcunskog perioda. Poseban sluˇcaj R = 1000KM , r = 5%. Primjer.

Odrediti broj godina potrebnih da se odredena suma novca uloženog u banku ¯ udvostruˇci ako se na nju primjenjuje složeno ukamaćivanje sa r = 2%. Primjer.

Amortizacija

Amortizacija u osnovi otplate zajma. Ona omogu´ cava zajmovno opterećenje tokomjeodre¯ denogplan fiksnog perioda vremena tako što se uklanjanje naprave mjeseˇ cne ili periodiˇcne isplate. Ove isplate koje se cˇ ine u regularnim periodicˇ nim ratama su saˇcinjene od mjeseˇcne kamatne stope i dijela principalnog balansa, tj. dijela koji smanjuje ukupni dio stvarnog duga. Visina mjeseˇcnih (periodiˇcnih) isplata ostaje ista tokom cijelog trajanja zajma.

146


U ranom periodu života zajma otplaćivanje stvarnog duga je mali, dok je kamata veoma visoka. U kasnijem dijelu zajma, situacija se obrće. Neka je stoga p 0 iznos zajma, dok je r kamatna stopa u procentima. Onda se amortizacioni plan zasniva na diferentnog jednacˇ ini prvog reda pn+1 = p n + rp n

−g , n

gdje je gn iznos rate otplate. Sjetimo se da je rješenje ovog tipa diferentne jednaˇcine n −1 pn = (1 + r)n p0 (1 + r)n−k −1g

  − −

k

k =0

n 1

= (1 + r)n p0

− (1 + r)n

k =0

= (1 + r)n p0

gk

(1 + r)k+1 n 1

− (1 + r)

n

−



1 gk (1 + r)k+1



1 (1 + r)k+1

k =0

No po konstrukciji znamo da je gk odnosno iznos rate otplate fiksan, odnosno konstantan! Dakle g k = G. Stoga n−1 pn = (1 + r)n p0

n

− (1 + r) G

Po klasiˇcnom geometrijskom nizu, imamo da je n−1 1 1



k =0

Stoga je

(1 +

r)k +1

=

− (1+1 ) r

n

r

1− 1) − (1 + r) G (1+ r G = (1 + r) p0 − [1 − (1 + r) ] · r

pn = (1 + r)n p0 pn

k =0

r

n

n

n

,

n

Sada, znamo da ako je n broj perioda otplate zajma, pn = 0, jer više otplata neće biti! Dakle

− [1 − (1 + r) ] · Gr G [1 − (1 + r) ] · = (1 + r) p0 r G = (1 + r) p0 · r (1 + r) − 1

0 = (1 + r)n p0

n

n

n

n

n

Tako da imamo da je mjeseˇcna (periodiˇcna) otplata G=

p0 r 1

− (1+1 ) r

(10.18) n


147

Napraviti amortizacioni plan ako je pocˇ etni zajam 100$, broj obraˇcunskih perioda n = 5 a kamatna stopa iznosi 5%. Primjer.

Mjesec 1 32 4 5 ukupno

Neplaćeni dug Anuitet Kamata Otplata glavnice 100$ 23,10$ 5,00$ 18,10$ 81,90 $ 62,90 42,95 $ 22,00 $

23,10 $ 23,10 $ 23,10 $ 115,50 $

4,10$ 3,15 2,15$ 1,10$ 15,50 $

19,00 $ 19,95 20,95 $ 22,00 $ 100,00 $

Model nacionalnog dohotka

Model nacionalnog dohotka je model koji se koristi slijedećim promjenljivim: Yt

− nacionalni dohodak − potrošnja − investicije

Ct It

Nacionalni dohodat je zbir potrošnje i investicija, tj. Yt = C t + It

Sa druge strane, potrošnja je i funkcija nacionalnog dohotka na slijedeći naˇcin Ct = c + mYt

(c > 0, 0 < m < 1).

Promjena nacionalnog dohotka se može mjeriti investicijom: ∆Yt = rIt ∆Y = Y t+1

−Y

= rIt = r(Yt

t

− C ) = r(Y − c − mY ). t

t

t

Dakle, Yt+1 = Y t + rY t

rc

rmY t = [1 + r(1

m)]Yt

rc

Iz ovoga onda možemo izvestiY − , pa Y−−1 pa sve do Y 0 , tj-−u pitanju−je diferentna jednat

t

cˇ ina. Ravnotežno stanje nastupa kada je zadovoljen uslov Y∗=

1

−rc b c − a = 1 − 1 − r(1 − m) = 1 − m


148 10.3.2

ˇ Diferentne jedna cine višeg reda sa konstantnim koeficijentima

Diferentna jednaˇcina k -tog reda ima oblik: (10.19)

xn + k + p 1 x n + k − 1 + p 2 xn + k − 2 + . . . + p k xn = r n

gdje je r n neki zadani niz brojeva. Ako je r n = 0, n onda se jednaˇcina (10.19) naziva homogenom. Ukoliko jern = 0 za bilo koje n, (10.19) se naziva nehomogenom.

∀



(10.20)

xn + k + p 1 xn + k − 1 + p 2 x n + k − 2 + . . . + p k xn = 0

Pretpostavimo da je rješenje oblika x n = λ n . Dakle λn+k + p1 λn+k−1 + p2 λn+k−2 + . . . + pk λn = 0/ : λ n

(10.21)

λk + p1 λk−1 + p2 λk−2 + . . . + pk −1 λ + pk = 0.

Jednaˇcina (10.21) je karakteristicˇ na jednaˇcina diferentne jednaˇcine (10.20). Imamo slijedeće sluˇcajeve: 1) λ1 , λ2 ,...,λ k su rješenja (10.21) i sva su medusobno razliˇcita i realni brojevi. Tada ¯ je fundamentalni skup (FS) rješenja (10.20)

{λ1 , λ2 ,...,λ }. n

n

n k

Opće rješenje diferentne jednaˇcine (10.20) je k

xn = c1 λn1 + c2 λn2 + . . . + ck λnk =



ci λni,

i=1

gdje su c1 , c2 ,...,c

k

su proizvoljne konstante.

− 5x +1 + 6x1 = 0. Primjer. x +2 − 5x +1 + 4x = 0 (n = 0, 1,... ) uz poˇcetni uvjet x 0 = 1x1 = 0. 2) drugi sluˇcaj je ukoliko imamo rješenja karakteristicˇ ne jednaˇcine λ ∈ R sa višestuPrimjer. xn+2 n

n n

n

i

košću mi > 1. Tada dio fundamentalnog skupa koji se odnosi naλi ima oblik

{λ , nλ ,...,n Primjer. x +3 − 5x +2 + 8x +1 − 4x = 0. n i

n

n

n

n i

m 1 1 λn i

−

}.

n

3) Ukoliko λ nije realan broj, tada slucˇ aj ne promatramo, jer smo samo zainteresovani za realni sluˇcaj.

ˇ 10.3. DIFERENTNE JEDNACINE 10.3.3

149

ˇ Nehomogena linearna diferentna jedna cina višeg reda

Posmatramo ponovno jednacˇ inu (10.19), tj. xn+k + p1 xn+k−1 + p2 xn+k −2 + . . . + pk xn = r n .

Neka je rn = P( n)an , gdje je Pm (n) polinom po n stepena m. xn+k + p1 xn+k−1 + p2 xn+k−2 + . . . + pk xn = P ( n)an .

Opće rješenje ovoga je xn = xk + x p , gdje je xk rješenje koje odgovara homogenom dijelu jednaˇcine, a xp neko konkretno (partikularno) rješenje diferentne jedna cˇ ine (10.19). Postoje dvije situacije kako se odreduje ¯ xp : 1. Ako a nije rješenje odgovarajuće karakteristiˇcne jednaˇcine, tada se partikularno rješenje traži kao x p = Qm (n)an , gdje je Q m (n) polinom s nepoznatim koeficijentima koje treba odrediti a odreduje ¯ se tako što se to rješenje xp uvrsti u jednaˇcinu (10.19). 2. Ako je a rješenje odgovarajuće karakteristiˇcne jednaˇcine s višestukošću mi , tada se partikularno rješenje traži u obliku xp = n mi Qm (n)an ,

gdje za odredivanje ¯ slucˇ aju. nepoznatih koeficijenata u polinomu Q m (n) potpunojeistipostupak kao u prethodnom Primjer.

xn+2 + 3xn+1

− 4x

n

= n3n .

Matematika za Ekonomiste

Recommend Documents