MATEMATIKA BANGSA BABYLONIA 1. Sumber dan Data Ahli archeologi yang bekerja di Mesotomia sejak sebelum abad ke-19 menemukan hamper setengah juta berupa tablet. Beberapa tablet yang menarik tersimpan di mesium besar di Paris, Berlin dan London. Juga terdapat di Columbia dan Universitas Pensilvania. Beberapa peninggalan bidang matematika berupa tabel perkalian, tabel pecahan, tabel kuadrat, tabel pangkat tiga dan tabel eksponen lainnya.
2. Bidang Geometri Geometri digunakan oleh bangsa Babylonia untuk pengukuran praktis sejak tahun 2000 s/d 1600 SM. Mereka sudah mengetahui rumus untuk menghitung luas persegi, luas segitiga sikusiku, dan sama kaki atau rumus umum luas segitiga, luas trapezium yang salah satu sisinya tegak lurus kedua sisi yang sejajar. Menghitung volume paralelpipidum siku-siku, volume prisma tegak yang alasnya berupa trapesium. Keliling suatu lingkaran digunakan tiga kali diameternya, luas lingkaran digunakan seperduabelas dari kuadrat kelilingnya dengan =3. Volume silinder tegak dihitung dengan perkalian luas alas dengan tinggi.
3. Bidang Aljabar Sekitar tahun 2000 SM perkembangan aljabarnya tidak hanya mampu menyelesaikan persamaan kuadrat, tetapi juga membahas tentang penyelesaian persamaan pangkat tiga dan empat. Hal ini terlihat adanya peninggalan berupa tablet yang isinya berupa tablet kuadrat dan pangkat tiga bilangan 1 s/d 30 dan kombinasi n 3 dan n 2 . Beberapa tablet Yale sekitar tahun 1600 SM. Terdapat 100 problem persamaan bikuadrat (pangkat empat) yang belum terpecahkan secara simultan, misalnya : xy = 600 ; 150 ( x – y ) – ( x + y ) 2 = -1000 Dan
bx 2 cy 2 XY = a ; + + d = 0 yang terbentuk persamaan pangkat enam diubah kebentuk kuadrat x y pangkat tiga. Neugebauer mendapatkan dua buah problem deret yang sangat menarik pada tablet Louvre sekitar tahun 300 SM, yakni : 1 + 2 + 22 + . . . + 29 = 29 29 - 1 Dan
1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + 10 2 = { 1 (
1 2 ) + 10 ( ) } 55 = 385 3 3
Disamping itu bangsa Babylonia sudah menggunakan rumus : n
r
= ( r n 1 - 1 ) / ( r – 1 )
i
i 0
Dan n
i2 = ( i 1
2n 1 ) 3
n(n 1)(2n 1) 6
n
i i 1
Hal lain yang menarik dari matematika bangsa babylonia adalah pendekatan nilai akar pangkat dua dari bilangan bukan bilangan kuadrat, misalnya 17/12 untuk
2
dan 17/24 untuk
1 2 . Mungkin secara umum menggunakan rumus : 2
(a +h) Dalam tabel Yale (
1 2
1600 SM ) pendekatan nilai
a + h/2a
2
adalah :
2
1 + 24/60 + 51/60 + 10/60 3 = 1,414213
4. Plimpton 322 Tablet peninggalan bangsa Babylonia yang memuat tabel analis yang dikenal dengan Plimpton 322, maksudnya tablet tersebut dikenal sebagai kumpulan dari G.A Plimpton di Universitas Columbia dengan katelog no.322. tablet ini ditulis oleh bangsa Babylonia Kuno sekitar tahun 1900 s/d 1600 SM dan pertama didiskusikan oleh Neugebauer dan Sachs pada tahun 1945.
a. Cara Membaca The Babylonian number system . Sistem bilangan Babilonia.. Babel `menulis 'di lapangan tanah liat basah dengan menekan stylus atau baji ke dalam salah satu dari sejumlah kecil cara.. Jumlah sistem Babel, sudah berasal dari zaman yang sangat awal, itu sangat canggih.. Nomor 1 adalah `tertulis 'dengan`
single stroke'
dan angka 2 hingga 9 ditulis dengan menggabungkan kelipatan stroke tunggal:
Nomor 10 ditulis dalam karakter tunggal kelipatan karakter ini:
dan jumlah 20 sampai 50 ditulis dengan
Jumlah sampai dengan 59 tersebut diperoleh dengan menggabungkan banyak seperti yang kita
lakukan. Misalnya, 11 ditulis sebagai .. Tapi sistem itu tidak benar-benar berdasarkan pada 10, melainkan pada 60 - dan itu adalah sistem floating point yang benar agar 1 dan 60 (juga, katakanlah, 3600) adalah indistiguishable. Semua nomor dapat diperoleh dengan menggabungkan ini dalam rangka, menulis dari kiri ke kanan seperti yang kita lakukan. Dengan demikian tujuh puluh ditulis sebagai . . Beberapa saat sebelum 300 SM, tapi setelah Plimpton 322 ditulis, simbol khusus dirancang sebagai nol, tetapi dalam Plimpton 322 ada potensi kebingungan karena masalah ini. Cara konvensional untuk menulis angka floating point sexagesimal adalah dengan pemisah menggunakan koma, sehingga 1,29 adalah 60 29 = 89 dalam notasi desimal, dan 1,1,1 adalah 3661. Dua kolom terakhir. Bagaimanapun, kita sekarang tahu hampir cukup untuk membaca kolom sebelah kanan tablet. Kolom terakhir (dengan interpolasi alami beberapa memperhitungkan hilang simbol account untuk 5, 6, dan 15,) hanya nomor baris data numerik. Dalam kolom keempat adalah mengucapkan kata ditulis ki yang dapat diterjemahkan secara longgar di sini sebagai nomor, sehingga kolom keempat dan kelima bersama (nomor 1, nomor 2, dll) hanya menyebutkan garis data yang berbeda.. Interpolasi di hijau.
. Selama sisa kolom, kami tunjukkan dalam urutan kolom awal, angka sexagesimal ditulis dalam notasi konvensional, dan kemudian setara desimal.. koreksi kesalahan adalah merah. Baik interpolasi dan koreksi akan dijelaskan nanti. Semua angka nol yang interpolasi, juga, karena Babilonia pada saat ini tidak memilikinya. Kolom dua. Judul kolom kedua mencakup kata untuk lebar.
Kolom tiga.. Judul kolom ketiga termasuk kata untuk diagonal.
Kolom satu. Judul kolom pertama belum diterjemahkan. Kita akan lihat sebentar lagi alasan untuk menempatkan titik desimal `'.
b. Pengertian Setelah mungkin petunjuk yang diberikan oleh kata-kata diagonal dan lebar, Neugebauer dan Sachs menemukan bahwa jika w adalah entri di kolom kedua dan d adalah entri dalam kolom ketiga, maka dalam semua tetapi beberapa kasus d 2-w 2 ternyata menjadi persegi bilangan bulat l yang sempurna 2 Dengan kata lain, dengan asumsi bahwa pengecualian disebabkan oleh kesalahan, tabel ini berisi bagian dari daftar Tripel Pythagoras , yaitu integer w, l, d dengan w2+l2=d2w2+l2=d2
yang membentuk sisi segitiga siku-siku. Berikut adalah tabel hasil perhitungan, dalam notasi modern (dengan perbedaan dalam tanda kurung siku):
sedikit kemudian, kami akan mengkonfirmasi teori ini dengan menjelaskan kesalahan. Adapun kolom pertama, mengandung nilai-nilai 2 / l d 2. Sebagai contoh, pada baris pertama d = 169, l = 120, dan d 2 / l 2 = 1,9834 ... = 1,59,0,15 . = 1,59,0,15. c. Identitas tabel Bagaimana Pythagoras tiga kali lipat dalam tabel ini dibedakan -? Jika (A, B, C) adalah triple Pythagoras, maka kita dapat menuliskannya sebagai (ma, mb, nc) di mana (, a, b, c) adalah primitif Pythagoras triple satu di mana angka-angka tersebut relatif prima berpasangan. Primitif Pythagoras tiga kali lipat yang parametrized oleh pasangan integers (p, q) yang memenuhi persyaratan ini:
p dan q keduanya positif; p lebih besar dari q; Salah satunya adalah aneh, yang lain bahkan; p dan q relatif prima.
Pasangan (p, q) memberikan menimbulkan) triple (p 2-q 2, 2pq, p 2 + q 2.. Pasangan (p, q) dapat mudah pulih dari (a, b, c) oleh formula p 2 = (a + c) / 2, q = b/2p.
Berikut adalah nilai-nilai dari p, q, dan m untuk tiga kali lipat dalam tabel:
Oleh karena itu rasio ini, persegi yang muncul dalam kolom pertama dari tablet, akan memiliki ekspresi yang terbatas dalam basis 60 jika 1 / p dan 1 / q lakukan. Babel hampir pasti mengerti perbedaan antara ekspansi sexagesimal terbatas dan yang berulang, dan khususnya kami telah menemukan tabel reciprocals 1 / p untuk nilai banyak p mana ekspansi terbatas. Seperti nomor p adalah biasa disebut oleh Neugebauer.. Hal ini tidak mungkin suatu kebetulan bahwa nilai dari kedua p dan q yang berhubungan dengan baris tablet adalah biasa, dan fakta bahwa dalam semua kecuali satu kasus ekspansi 1 / p dan 1 / q muncul di tabel reciprocals yang telah ditemukan. Ini tampaknya masuk akal, oleh karena itu, bahwa Babel tahu bagaimana untuk menghasilkan tiga kali lipat Pythagoras primitif. Kita tahu sesuatu, karena itu, tentang bagaimana tablet dibangun, tapi kita tidak tahu persis mengapa hal itu dibangun. Urutan baris yang sesuai dengan ukuran kolom pertama menunjukkan bahwa mungkin telah digunakan dalam bentuk awal dari trigonometri. Mungkin itu dibangun dari Tripel Pythagoras hanya untuk membuat aritmatika lebih mudah. Namun kami saat ini pengetahuan yang tidak lengkap matematika Babel mungkin, begitu banyak yang establshed tanpa keraguan: kita berurusan dengan tingkat perkembangan matematika yang
dapat di berbagai aspek dibandingkan dengan matematika, mengatakan, dari Renaissance awal. (O. Neugebauer dalam Ilmu-ilmu yang tepat di zaman kuno)
d. Keterangan
Sebagai konfirmasi dari kedua penafsiran meja dan ini tentang dugaan p dan q, empat kesalahan yang jelas dapat cukup dijelaskan:
Jumlah [9, 1] di baris 9 harus [8, 1] - kesalahan penyalinan sederhana. [7,12,1] di baris 13 merupakan kuadrat dari [2,41], yang akan menjadi nilai yang benar kesalahan sangat mudah untuk membuat sejak kuadrat juga muncul dalam perhitungan menduga. Nilai yang benar untuk mengganti [53] di baris 15 adalah [1,46], yang merupakan dua kali nilai yang salah. Adapun kesalahan keempat di baris 2, di mana [3,12,1] terjadi bukan [1,20,25], ada beberapa solusi yang diusulkan. Tidak ada sepenuhnya meyakinkan. Kemungkinan diusulkan oleh Gillings kuat menunjukkan bahwa mereka yang terdiri meja mempunyai nilai p dan q di tangan.
5. Angka Babilonia Angka Babilonia ditulis dalam huruf paku , menggunakan baji berujung buluh stylus untuk membuat tanda pada lembut tanah liat tablet yang akan terkena di sinar matahari mengeras untuk membuat catatan permanen. Para Babel , yang terkenal untuk pengamatan astronomi dan perhitungan (dibantu oleh penemuan mereka tentang sempoa ), menggunakan sexagesimal (basis-60) posisi sistem angka yang diwarisi dari Sumeria dan Akkadia peradaban. Baik dari pendahulu adalah sistem posisi (yang memiliki konvensi untuk 'akhir' yang mana dari angka yang mewakili unit). Sistem ini pertama kali muncul sekitar 3100 SM juga dikreditkan sebagai yang pertama dikenal sistem angka posisional , di mana nilai digit tertentu tergantung baik pada angka itu sendiri dan posisinya dalam nomor tersebut. Ini merupakan perkembangan yang sangat penting, karena nontempat-nilai sistem memerlukan simbol unik untuk masing-masing mewakili kekuatan dasar (sepuluh, seratus, seribu, dan sebagainya), membuat perhitungan sulit. ( Hanya dua simbol ( untuk menghitung unit dan menghitung puluhan) digunakan untuk notate 59 non-zero digit . Simbol-simbol ini dan nilai mereka digabungkan untuk membentuk sebuah digit dalam nilai notasi tanda- cara yang mirip dengan angka Romawi , misalnya, kombinasi mewakili digit selama 23 (lihat tabel angka di bawah ini). Sebuah ruang yang tersisa untuk menunjukkan tempat tanpa nilai, mirip dengan modern nol . Babel kemudian memikirkan suatu tanda untuk mewakili tempat ini kosong. Mereka tidak memiliki simbol untuk
melayani fungsi radix point , sehingga tempat unit harus disimpulkan dari konteks: mewakili 23 atau 23 × 60 atau 23 × 60 × 60 atau 23/60, dll
bisa
sistem mereka dengan jelas digunakan internal desimal untuk mewakili digit, tapi itu tidak benarbenar campuran-radix sistem basis 10 dan 6, sejak sepuluh sub-base digunakan hanya untuk memfasilitasi representasi dari himpunan besar angka yang dibutuhkan, sementara tempat -nilai dalam sebuah digit secara konsisten 60-berbasis dan aritmetika yang dibutuhkan untuk bekerja dengan string digit adalah Sejalan sexagesimal. Masih bertahan sampai hari ini, dalam bentuk derajat (360 ° dalam sebuah lingkaran atau 60 ° dalam suatu sudut dari sebuah segitiga sama sisi ), menit , dan detik di dalam trigonometri dan pengukuran waktu , walaupun kedua sistem ini sebenarnya radix dicampur. Sebuah teori yang umum adalah bahwa 60 , sebuah nomor yang sangat komposit unggul (yang sebelumnya dan berikutnya dalam seri menjadi 12 dan 120 ), dipilih karena pada faktorisasi prima : 2 × 2 × 3 × 5, yang membuatnya dibagi oleh 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 15 , 20 , dan 30 . Bahkan, itu adalah bilangan bulat terkecil dibagi oleh semua bilangan bulat dari 1 sampai 6. Integer dan fraksi diwakili identik - titik radix tidak ditulis tetapi lebih diperjelas oleh konteks.
Angka Babilonia
Babel tidak secara teknis memiliki angka untuk, ataupun konsep, jumlah nol . Meskipun mereka memahami ide kehampaan , tidak dilihat sebagai hanya-kurangnya jumlah angka. Apa Babel memiliki bukan adalah ruang (dan kemudian simbol dalam nilai tempat tertentu.
Untuk menandai tidak adanya digit
Nol sebagai suatu Placeholder
Beberapa saat sebelum tahun 2000 SM Babilonia mengembangkan sistem bilangan posisional.. Hal dikelompokkan angka kurang dari 60 dengan menggunakan dasar-sepuluh, dan jumlah 60 atau lebih menggunakan dasar-enam puluh. Untuk nomor-nomor sampai dengan 9, simbol ini hanyalah diulang. simbol lain yang digunakan untuk 10 dan diulang dan dikombinasikan dengan simbol unit untuk nomor Masing-masing ditampilkan pada tabel di sebelah kanan.. Angka-angka 60 dan di atas diwakili menggunakan simbol untuk angka 1 sampai dengan 59.. Untuk menunjukkan kelipatan 60 mereka menggunakan prinsip Unit Simbol Simbol untuk 10 posisi.. Berikut adalah contoh nomor 69.
ATAU
Perhatikan bagaimana nomor 60 yang tertulis di bagian kanan dengan menggunakan simbol unit untuk menunjukkan salah satu kekuatan 60, atau 1 × 60, bukan 6 simbol untuk 10. Mulai sekarang, untuk menunjukkan sistem Babilonia sexagesimal tempat-nilai, kita akan menggunakan nomor kami dipisahkan dengan titik koma untuk memisahkan perintah yang berbeda unit.. Jadi, 69 akan ditulis 1, 9. Pada milenium kedua SM sistem Babel mengalami kesulitan karena kurangnya nol (atau tanda khusus untuk menandai setiap kekuasaan hilang dari 60). Misalnya, 3610 ditulis sebagai 1; 10, tetapi ini bisa berarti 1 × 60 2 + 10 = 3610 atau 1 × 60 + 10 = 70. Untuk memperbaiki masalah ini ahli-ahli Taurat Babel kadang-kadang meninggalkan ruang kosong di mana kekuatan 60 yang hilang, tetapi ini bisa membingungkan.. Beberapa juru tulis terkadang lupa untuk meninggalkan ruang. Jika dua atau lebih kekuatan berturut-turut hilang, menunjukkan ini dengan spasi kosong berturut-turut kiri itu kepada pembaca untuk menentukan berapa banyak pesanan yang hilang. Metode lain yang dibutuhkan. Selama abad keempat untuk pertama SM (Seleukus era) Babel matematikawan dan astronom mengembangkan nol sejati untuk menunjukkan tidak adanya unit sexagesimal dari suatu tatanan tertentu. Alih-alih ruang kosong yang mereka gunakan salah satu dari dua tanda-tanda berikut:
Babylonian Zeros Babel Zero
Sekarang 3610 dapat ditulis seperti dalam baris 1 tabel di sebelah kanan, 1, 0, 10 = 1 × 60 2 + 0 × 60 + 10 bukan cara yang tertulis di dalam baris 2 dan 3, yang dengan mudah bisa bingung dengan 70 atau kiri penafsiran lebar ruang untuk pembaca. Matematikawan Babilonia tidak menggunakan tanda nol pada awal atau akhir dari nomor yang tertulis, yang berarti 60 = 1; 0 = 1 × 60 + 0 tidak digunakan. Mereka menggunakan angka nol di tengah, awal, dan akhir nomor. Dalam sebuah tablet Babel astronomi, tanggal dari era Seleukus, nomor 60 ditulis sebagai pada tabel di sebelah kiri: Tanda nol di sini menunjukkan tidak adanya unit urutan pertama. astronom Babilonia menggunakan nol di awal nomor (atau posisi awal) untuk dicatat pecahan 1;0 = 1 × 60 +0 1, 0 = 1 × 60 +0 sexagesimal, mereka yang penyebut adalah kekuatan 60. Misalnya, 1 / 60 dan 30/3600, tertulis sebagai astronom Babilonia itu, ditunjukkan dalam tabel di bawah.
DAFTAR ISI MATEMATIKA BANGSA BABYLONIA.............................................................................................................. 1 1.
Sumber dan Data .............................................................................................................................. 1
2.
Bidang Geometri ............................................................................................................................... 1
3.
Bidang Aljabar ................................................................................................................................... 1
4.
Plimpton 322 ..................................................................................................................................... 2 a.
Cara Membaca .............................................................................................................................. 3
b.
Pengertian ..................................................................................................................................... 6
c.
Identitas tabel ............................................................................................................................... 6
d.
Keterangan .................................................................................................................................... 8
5.
Angka Babilonia................................................................................................................................. 8
Nol sebagai suatu Placeholder .................................................................................................... 10
