Matematicas i

II

Dirección y realización del proyecto L.C.C. Gabriel Barragán Casares Director General del Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán Planeación y coordinación Lic. Alejandro Salazar Ortega Director Académico

Matemáticas I

Metodología y estrategia didáctica Lic. Lorenzo Escalante Pérez Jefe del Departamento de Servicios Académicos Coordinador de la asignatura primera edición LEM. Miguel Alcocer Espadas Colaboradores de la primera edición Lic. Julio César Arguelles Ferrera Lic. Yalba Dzib Cahum Lic. Carlos Javier Kumul Hoil Lic. Ligia Manzanero Vázquez Coordinador de la asignatura segunda edición Lic. Álvaro Rudy Menchú Zea Colaboradores de la segunda edición L.E.M. Albert Jesús Herguera Loria I.M. Gabriel Antonio Irigoyen Galera I. S. C. José Raúl Hernández Villanueva L.E.M. Julio César Arguelles Ferrera Ing. Inds. Néstor Caamal Noh L.E.M. Víctor Javier Pech Pech Revisión de la tercera edición L.M. José Manuel Uc Kuk

3ª Edición Julio 2011

Impreso en México

DERECHOS RESERVADOS Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del texto de la presente obra, bajo cualquier forma electrónica o mecánica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperación de información o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Matemáticas I LA REFORMA INTEGRAL DE LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser

permita a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos propuestos. Es importante saber que la EMS en el país está compuesta por una serie de subsistemas que operan de manera independiente, sin correspondencia a un panorama

encontrar los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y de esta manera lograr entre todos reglas claras de operación. Es importante para el desarrollo de la EMS, que ustedes docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan, como opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir a partir de dicho conocimiento una actitud diferente que nos permita coadyuvar en este esfuerzo. Los diferentes subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus estruc

que la población a la que atiende ( jóvenes entre los 15 y 21 años aproximadamente) adquiriera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfactoria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera más general, en la vida. En esta misma línea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como ciudadanos, y como tales deben reunir, en adición a los conocimientos y ha

tengan un impacto positivo en su comunidad y en el país en su conjunto. Es en este contexto que las autoridades educativas del país, han propuesto la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos consisten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a través de mecanismos que permitan articular los diferentes actores de la misma en un Sistema Nacional de Bachillerato dentro del cual se pueda garantizar además de lo anterior,

de los mismos. Lo anterior será posible a partir del denominado Marco Curricular Común (MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y que incluye: Competencias Genéricas, Competencias Disciplinares (básicas y extendidas) y Competencias Profesionales (básicas y extendidas). Esta estructura permite observar de manera clara, los componentes comunes entre los diversos subsistemas, así como aquellos que son propios de cada uno y que por consiguiente, los hace distintos. Lo anterior muestra como la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo del país, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro país. Bachillerato Universitario

Bachillerato General

Bachilleratos Tecnológicos

Competencias Genéricas Competencias Disciplinares Básicas Competencias Disciplinares extendidas Competencias Profesionales Básicas Competencias Profesionales Extendidas

dfsfsd Competencias Profesionales Básicas Competencias Extendidas

Profesionales

III

IV Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y acti

programas de estudio existentes y se adapta a sus objetivos; no busca reemplazarlos, ! "

# $%

Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachillerato $&& '

en los estudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genéricas, competencias disciplinares básicas y extendidas, además de competencias profesionales básicas. Las competencias genéricas son las que todos los bachilleres deben estar *+ #

en él; les capacitan para continuar aprendiendo de forma autónoma a lo largo de sus vidas, y para desarrollar relaciones armónicas con quienes les rodean, así como par ' !

" /

% 0 3" 4

las once competencias genéricas, agrupadas en sus categorías correspondientes: Se autodetermina y cuida de sí 1)

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2)

Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3)

Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y comunica 4)

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

3LHQVDFUtWLFD\UHÁH[LYDPHQWH 5)

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6)

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia gene

#

Aprende de forma autónoma 7)

4 /

7UDEDMDHQIRUPDFRODERUDWLYD 8)

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

3DUWLFLSDFRQUHVSRQVDELOLGDGHQODVRFLHGDG 9)

Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.

10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

Matemáticas I Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimientos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo '

contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden ser básicas o extendidas. Las competencias disciplinares básicas procuran expresar las capacidades que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y programas de estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares básicas dan sustento a la ' /

de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educativos, contenidos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemáticas, Ciencias Experimentales (Física, Química, Biología y Ecología), Ciencias % 6 76 % 8 4

Lógica, Ética, Filsofía y Estética) y Comunicación (Lectura y Expresión oral y escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informática). Para la asignatura Introducción a las ciencias sociales se tienen las siguientes competencias disciplinares básicas:

PROPÓSITO La guía didáctica para Matemáticas I, permitirá al estudiante utilizar distintos procedimientos algebraicos para representar relaciones entre magnitudes constantes y variables, y resolver problemas, por ejemplo, de variación proporcional como la determinación de tiempos de trabajo en equipos de producción en línea, durabilidad de raciones alimenticias en una población, ventajas comparativas de ofertas de productos en almacenes; o bien, resolver problemas concernientes al uso óptimo de palancas para mover objetos pesados, mezclas de productos para obtener otro con un precio intermedio; obtención de costos unitarios de dos o tres mercancías; comparación del ritmo de producción de artículos; obtención de valores mínimos o máximos en relación con la producción, el costo o la ganancia por la venta de algún producto, etc.

ESTRATEGIA DIDÁCTICA Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableció una estrategia que permita integrar los elementos del programa de la asignatura, con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes. % # tende ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, si no que debe adaptarlo a las características propias del contexto en el que se desarrollan las sesiones de aprendizaje. La estrategia consta de siete pasos o etapas, mismas que deberán conocerse en las primeras sesiones, para un mejor desarrollo de las mismas. Los pasos se listan y describen a continuación:

V

VI

Evaluación diagnóstica o activación de conocimientos.

Contextualización.

Problematización.

Desarrollo de saberes: conocimientos, habilidades, actitudes y valores.

Síntesis de resultados de aprendizaje.

4

9

Evaluación de la competencia a través de un portafolio de evidencias de aprendizaje.

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA O ACTIVACIÓN DE CONOCIMIENTOS En el proceso de construcción del aprendizaje, es indispensable para el facilitador tener evidencia de los aprendizajes previos que el alumno ha adquirido y considerar que es a partir de los mismos que se desarrollarán los nuevos.

CONTEXTUALIZACIÓN En el desarrollo de competencias se hace necesario el aprendizaje contextual, es /

tudiantes. La contextualización deberá realizarse al inicio de cada bloque en los que se organizan los contenidos en los programas de estudio.

PROBLEMATIZACIÓN <=$% do primordial al acercarnos a él, a través, de su aplicación en la vida cotidiana, por tanto la problematización debe estar presente a lo largo de toda la estrategia en el aula.

DESARROLLO DE SABERES: CONOCIMIENTOS, HABILIDADES, ACTITUDES Y VALORES ' 3 > 4 73>4? 'lita el quehacer del estudiante en la adquisición de competencias. En esta etapa de la estrategia, estudiantes y docentes deben estar pendientes del proceso de asimilación. Galperin lo describe como un proceso de etapas y no como un fenómeno inmediato. Las distintas etapas del proceso de asimilación que el alumno experimenta para desarrollar el aprendizaje son: la etapa de motivación la cual debe fomentarse y mantenerse durante todo el curso, recordemos que si un alumno no esta motivado, difícilmente aprenderá. La segunda etapa de este proceso es la formación 3>4 ' ' rrolle una competencia. La RIEMS sugiere la creatividad como método o forma de *

Matemáticas I

@ 3>4

'

importantes, la orientación al alumno, que como ya dijimos debe estar precedida por una buena carga de motivación, dicha orientación puede ser de dos tipos, completa en la que el maestro le proporciona al alumno todos los aspectos de un contenido, e incompleta en la cual se dejan ciertos aspectos de un contenido para que el alumno pueda descubrir o investigar por sí mismo. La generalidad es otro aspecto impor 3>4

docente puede mostrar hechos concretos relativos a algún contenido o puede abarcar el mismo contenido pero por medio de hechos generales, que tengan alguna relación con el concepto que se expone al alumno.

A 3>4

Este se presenta de dos formas pre-elaborada e independiente. En el primero, el alumno llega a obtener el aprendizaje de manera conjunta con el facilitador y en la segunda los alumnos adquieren el conocimiento en forma independiente.

SÍNTESIS DE RESULTADOS DE APRENDIZAJE 4 /

de conocimiento, desempeño, producto y actitud de manera que el docente cuente con estrategias para la evaluación formativa logrando involucrar al estudiante en procesos de coevaluación.

ACTIVIDAD INTEGRADORA 4 /

en cada asignatura, el facilitador y los estudiantes ante la evidencia recopilada en la etapa anterior, pueden establecer estrategias que permitan mayor grado de claridad

los estudiantes.

TAREA SIGNIFICATIVA 4

la vida cotidiana del estudiante y se hace referencia a las situaciones en las cuales éstos resultarán útiles prácticamente al estudiante.

EVALUACIÓN DE LA COMPETENCIA Para llevar a cabo la evaluación sumativa de las competencias que se indican en los programas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte del proceso, es decir, no debe en ningún momento separarse de la formativa. La mejor forma de lograr esta unidad será integrando un portafolio de evidencias de aprendizaje.

VII

VIII

Índice Bloque I. Resuelves problemas aritméticos y algebraicos Sesión A. Los números positivos

2 6

Los números naturales (N)

6

Los números enteros no negativos Z+u{o}

7

Los números racionales o fraccionarios (Q+)

8

Sesión B. El orden de las operaciones Jerarquía de las operaciones

12 13

Sesión C. Los números reales

17

Sesión D. Valores numéricos en una expresión algebraica

22

Lenguaje algebraico

Bloque II. Utilizas magnitudes y números reales Sesión A. Comparación entre números reales Razón

Sesión B. Las proporciones y sus clases Proporciones

Sesión C. Proporcionalidad directa e inversa

24

30 33 34

37 37

41

Matemáticas I

Bloque III. Realizas sumas y sucesiones de números Sesión A. Series y sucesiones aritméticas

48 51

Progresión aritmética

52

Suma de una progresión aritmética

56

Sesión B. Sucesiones y series geométricas

59

Progresión geométrica

60

& /

\]

Suma de progresión geométrica

63

Bloque IV. Realizas transformaciones algebraicas I

68

Sesión A. Operaciones de polinomios con una variable

71

Introducción al Álgebra

72

&

_`

Operaciones con polinomios de una variable

75

Suma y resta de polinomios

76

Suma

77

Resta

78

Multiplicación

79

Ley de los exponentes

80

Multiplicación de monomios

81

Multiplicación de polinomios por monomios

81

Multiplicación de polinomios por polinomios

83

IX

X Sesión B. Productos notables

87

Binomio al cuadrado

87

Binomios conjugados

89

Producto de binomios con un término común

91

Sesión 3. Factorización de expresiones algebraicas Factor común por agrupación términos

92 de 94

Trinomio cuadrado perfecto

95

Diferencia de cuadrados perfectos

96

Bloque V. Realizas transformaciones algebraicas II

100

Sesión A. Factorización de trinomios

103

Trinomio de la forma x2 + bx + c

104

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

105

Sesión B. Fracciones algebraicas simples

111

Bloque VI. Resuelves ecuaciones lineales I 114 Sesión A. Ecuaciones lineales

117

!

]]_

Clases de ecuaciones

119

Resolución de una ecuación

119

Problemas de aplicación de ecuaciones lineales

123

Matemáticas I Sesión B. La relación entre la función y la ecuación lineal Despeje de variables

Sesión C. w '

w '

Bloque VII. Resuelves ecuaciones lineales II

126 129

]`| ]`]

140

Sesión A. Ecuación lineal de dos incógnitas

144

Sesión B. Resolución por determinante

154

Sesión C. =

ecuaciones lineales

154

Bloque VIII. Resuelves ecuaciones lineales III 158 Sesión A. Sistemas de ecuaciones de 3 X 3

161

Sesión B. Determinantes de orden tres

165

Sesión C. Regla de Cramer

166

Sesión D. 4 ` `

]_|

Bloque IX. Resuelves ecuaciones cuadráticas I Sesión A. Ecuaciones cuadráticas incompletas

176 179

Ecuación cuadrática con una incógnita

180

Ecuación cuadrática incompleta

180

XI

XII Raíces de una ecuación cuadrática

181

Formas de resolver una ecuación cuadrática

182

Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas

183

Sesión B. Ecuaciones cuadráticas completas

185

Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas completas

185

Resolución de problemas de aplicación

190

Sesión C. Raíces reales y complejas en las ecuaciones cuadráticas

192

Raíces real y compleja

192

Cantidades reales

193

Cantidades imaginarias

194

Bloque X. Resuelves ecuaciones cuadráticas II Sesión A. La función cuadrática

198 200

! '

|]

La función cuadrática de la forma estándar y = a(x-h)2 + k

205

Sesión B. =

ecuación cuadrática

208

Matemáticas I Simbología empleada en la guía

1. Dinamización y motivación

2. Contextualización

3. Problematización

4.1 Desarrollo de criterios

5. Síntesis

6. Realimentación

7. Evaluación de la competencia

XIII

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

BI

Desempeños del estudiante al concluir el bloque

= ' ' sentar números positivos, decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes), y de los demás números reales.

Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.

Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas.

Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones.

Emplea la calculadora como instrumento

Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.

Objetos de aprendizaje

Representación de relaciones entre magnitudes

Modelos aritméticos o algebraicos

Competencias a desarrollar

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4

estimar su comportamiento.

Establece la relación entre diversas magnitudes expresando ideas y conceptos mediante representa

=

Elabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas situaciones o fenómenos sociales, naturales económicos y administrativos asumiendo una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de su entorno social y/o natural.

4

#

Resuelve problemas aritméticos o algebraicos proponiendo la manera de solucionar dicho problema, utilizando las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

4 "

dentro de distintos equipos de trabajo.

BI


4

Dinamización y motivación Es importante determinar: ¿Qué tanto he aprendido a lo largo de mi formación como estudiante en mi paso por la primaria y la secundaria? 4

previos sobre conceptos numéricos y operaciones básicas. Resuelve correctamente lo que se indica.

Contextualización Resuelve los siguientes problemas matemáticos en tu cuaderno: 1)

A)

Un contratista ocupa 28 personas entre albañiles y electricistas para la construcción de: tres salones, un baño y un aula audiovisual en una escuela. De los cuales 9 ganan $150.00 por día, 12 de ellos $230.00 y los demás $285.00, en función al tipo de trabajo a realizar. ¿Qué cantidad requiere el contratista para pagarles 12 días de trabajo?

$71,525.00 2)

B)

$68,350.00

C)

$73,260.00

D)

$75,205.00

Cuál es el resultado de efectuar la operación

, no puedes utilizar calculadora.

A)

30

3)

A)

B)

B)

A)

D)

50

C)

D)

Luisa acude a una tienda departamental para comprar un pantalón de vestir, pero con una cantidad limitada de dinero, por lo que está decidida a comparar precios y posibles descuentos para optimizar al máximo la cantidad de dinero que tiene. Encuentra un pantalón cuyo precio de lista es de $485.00 pero tiene un descuento `| 4 " &

$140.00 y paga $345.00 5)

C)

De una lámina que mide 5 2/3 metros de longitud se han cortado dos pedazos, uno de 2 ¾ metros y otro de 2 1/3 metros ¿cuánto mide el pedazo que queda?

4)

51

$145.50 y paga $339.50

$135.00 y paga $350.00

$142.50 y paga $342.50

w / 4 ]|||| / |||| w 4 / !

cada uno de ellos.

Gerardo 500, / | 4 jandro 450

B)


C)

Gerardo 450, / || 4 jandro 250

D)


4 ciones de establecer los objetivos y metas a alcanzar, de acuerdo a la unidad de competencia establecida. Es muy importante trabajar en equipo cuando así sea requerido, socializando los resultados obtenidos en las actividades desarrolladas. Deberás entregar los productos solici 4

ante la participación de los compañeros y el tiempo establecido para las sesiones.

Proyecto Diseñando y cotizando la construcción de una habitación Objetivo: El alumno trabajando en equipo de tres, a partir de los saberes adquiridos en el presente bloque de Matemáticas I, diseñará, relacionando magnitudes, un modelo a escala de lo que sería una habitación. Esto lo llevará a investigar los costos que implicaría construir la habitación, los cuales son: material de construcción, cantidad requerida, mano de obra, precio por jornada de trabajo contra avance de obra o precio por obra realizada, metros de cimiento construido, castillos, trabes, bloqueadura, acabados en paredes por m2, etc. Cons / Instrucciones:

Elabora un modelo a escala con las características que la habitación debe poseer (altura, ancho y largo, puerta de acceso, ventana o ventanas y su ubicación). El diseño y material de la maqueta serán un indicador de la creatividad del estudiante, y su manejo de las dimensiones y las escalas.

Investiga acerca de los precios de los bloques para construcción (de 15x20x25 cm), calcula la cantidad requerida para construir las paredes y determina el costo total de este material.

Determina el área que ocupará el techo, para calcular el número de bovedillas y la longitud de las vigas que se requieren. Con base a lo anterior, cotiza el costo total de bovedillas y vigas.

Determina el área que ocupará el piso y cotiza mosaicos para el piso, tomando en cuenta los metros cuadrados.

Con ayuda de un adulto, investiga con un albañil lo siguiente: ¿Cuál es el Costo del metro lineal de cimiento con todo y plantilla, cuál por columna construida, cuál por metro lineal de trabes, cuál por metro cuadrado de bloqueadura, cuál por el "

drado de techada y cuál por metro cuadrado de colocación de pisos (mosaicos)?

Determina el costo de la mano de obra a partir de los datos investigados y las dimensiones de la habitación a construir.

Presentándole las dimensiones de la habitación al albañil preguntar: ¿cuántos sa 4 lar el costo de este material para la construcción de la habitación.

" tidad de material, precio por unidad y total por cada uno de ellos sin olvidar el costo de la mano de obra desglosado por tipo de trabajo a realizar (cimiento, " ? zando la calculadora.

Se recomienda dividirse el trabajo para luego integrar los resultados. Por ejemplo: Un miembro del equipo puede investigar todo lo concerniente a la construcción del techo, otro puede indagar respecto a las paredes, y el tercero lo necesario para el piso. No olvides tener en cuenta las dimensiones de la habitación.

El trabajo será presentado al terminar el bloque de estudio mediante una exposición.

Matemáticas I

BI

5

BI


6

Sesión A. Los números positivos Problematización En una distribuidora de productos para panadería el cliente calculó el total de la compra y ] =4+ " ]] 4

pareció correcta esta forma de cálculo y obtuvo el 15% de la venta y lo sumó al total. ¿Quién calculó correctamente lo que se tenía que pagar? ¿Por qué?

Criterios a desarrollar Del saber:

= ' A

= A ' 7 ' jes).

Del saber hacer:

Escribo números decimales en forma de enteros, fracciones y porcentajes.

Utilizo los sistemas, reglas y principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos relacionados con los números reales.

Utilizo la calculadora como herramienta de exploración de resultados.

Del saber ser:

4 A mas..

4

#

Día con día nos enfrentamos a situaciones donde intervienen invariablemente el uso de números. Por la mañana, escuchamos en los noticieros el reporte del clima donde nos informamos de la temperatura y las condiciones del tiempo, lo cual está asociado a una escala numérica. Tú mismo tienes que llevar un control del dinero que te dan tus padres para trasladarte a la escuela o para comer algo durante el descanso. Tal vez has deseado comprar algo, y para ello, " "

" "" "

las mejores ofertas. En todos los casos se encuentran presentes los números y las operaciones que con ellos se pueden realizar. Para hacer cálculos a través de operaciones aritméticas y algebraicas, primero de ' A @

números reales (R) se forman por diferentes clases de números. Comencemos primero por los A A

Los números naturales (N) Los números naturales son los que aprendimos de manera intuitiva desde niños. Con ellos, indicamos nuestra edad, cuántos dulces o juguetes teníamos, y a medida que fuimos creciendo, las asociaciones que hacemos se van haciendo más profundas, por ejemplo; cuántas materias tiene el primer semestre del bachillerato que cursas, de cuántas personas se integra tu grupo, cuántos aciertos y errores tienes en una evaluación o el número de tareas realizadas. Los números naturales surgen ante la necesidad natural de contar, de ahí proviene el nombre de esta A

Una característica de los números naturales es el orden que existe entre ellos; el A ' ]

(como resultado de sumar 1+1), después el 3 (1+1+1 o 2+1), y así sucesivamente. Con ello A

es menor que el sucesor. En este punto, se introducen nuevos símbolos (> mayor que) y (< menor que), los cuales sirven para representar esta diferencia, entre dos números naturales. Ejemplo: 1<2<3<4<5 El 2 mayor que 1, el 3 mayor que 2, el 4 mayor que 3 y el 5 mayor que 4. Si asociamos los números naturales con puntos indicados en una línea recta, tendríamos que todo número natural situado a la derecha de otro siempre será mayor que el número anterior.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Todo número natural situado a la izquierda de otro siempre será menor que el siguiente en el orden consecutivo. @ ' A N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, … }

Los números enteros no negativos Z+u{o} % A

también tendría que ser considerada. De esta manera surge el 0 (cero), y la cultura maya fue la primera en emplearlo.

Matemáticas I

BI

= A | A

negativos los cuales, se representan de la siguiente manera: Z+u{o} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…} Si se incorpora el cero a la recta numérica ésta se amplía y surge una observación que debes tomar muy en cuenta: Z +u{o}

N 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

@ A ' A

no negativos. Para cada número siempre habrá uno mayor a la derecha y en ambos casos se A A

7

BI


8

Los números racionales o fraccionarios (Q+) Cuando contamos personas u objetos los números enteros nos facilitan esta tarea, sin embargo, qué sucede cuando tenemos que dividir objetos en partes. Por ejemplo, al repartir un

o dividir un terreno en partes iguales para heredar o vender. Cuando esta situación se presenta aparecen en escena los números racionales también conocidos como fraccionarios. El nombre de número racional deriva de ración o parte de un todo. Los números fraccionarios son aquellos que se pueden representar como el cociente de dos números enteros y los elementos que lo integran reciben el nombre de:

a y b son números enteros y b es diferente de cero. Una fracción puede representar la parte de un total o conjunto de elementos, por ejemplo: Un terreno de forma rectangular tiene 10 metros de frente por 25 metros de fondo. Hay una construcción que ocupa todo el frente y 15 metros de fondo, el resto forma parte del %

10 m

25 m

15 3 o 25 5 Es decir 15 metros de 25 o 3 de 5 partes del terreno. La parte que ocupa la construcción sería

@ ' Nota: Si observas bien la tercera y cuarta fracción del ejemplo, te darás cuenta que al dividir estos números lo que se obtiene son números enteros. Los números enteros pertenecen al conjunto de los números racionales.

Fracción propia: Son las fracciones cuyo numerador es menor que el denominador. Ejemplo:

Fracción impropia: Es aquella fracción cuyo denominador es menor que el numerador. Ejemplo:

Fracción unitaria: Es aquella cuyo resultado es la unidad, por lo que, tanto el numerador como el denominador son iguales. Ejemplo:

Fracción equivalente: Son aquellos números fraccionarios que al dividirse tienen el mismo resultado, aunque los numeradores y denominadores sean distintos entre ellos. Ejemplo:

2 14 y 5 35

3 15 y 8 40 9 ' '

multiplicando o dividiendo sus términos por y entre el mismo número, respectivamente. Ejemplo:

Los números racionales o fraccionarios, que incluyen a los enteros y estos a los naturales, al dividirse generan otra forma de representarlos que se conoce como Números Decimales, los cuales, pueden ser números decimales exactos, números decimales periódicos puros o números decimales periódicos mixtos. Para convertir un número fraccionario a decimal sólo basta con dividir los números enteros que aparecen en el numerador y el denominador. Número decimal exacto A

cifras. Ejemplo de números decimales exactos:

2 = 0.4, 5

3 = 0 75 4

1 =05 2

Matemáticas I

BI

8 =1 6 5

Si deseamos convertir un número decimal exacto a fracción, basta con tomar la parte entera con su correspondiente parte decimal multiplicado por 100 como numerador y A ]||

.

.

.

.

.

.

.

.

9

BI


10

Número decimal periódico puro @ mente. Ejemplo de números decimales periódicos puros:

Para convertir este tipo de números a fracciones, siempre y cuando la parte entera sea igual a cero, se toma la parte decimal periódica como numerador y el denominador serán

.

En caso de que la parte entera sea diferente de cero, se suma la parte entera a la fracción que se forme siguiendo el procedimiento anterior. Ejemplo:

.... .

.... .

Número decimal periódico mixto. La parte decimal contiene dígitos al principio del número que no se repiten y otra parte decimal que sí se repite. Para hacer la conversión de este número a una fracción, la parte entera se suma a una fracción, cuyo numerador estará formado por la parte decimal periódica mixta menos la parte no periódica y, el denominador será una cifra que tendrá tantos nueves como dígitos tenga la parte periódica y ceros como dígitos tenga la parte no periódica. Ejemplo:

1

0

2 5 4

0.5

4 2

3

4 7 2

2.3

1

0 1 1 16 8

1 4

1 2

3 4

Los números positivos fraccionarios y decimales, al igual que los enteros, pueden ser representados en la recta numérica, sólo que entre enteros de la recta numérica pueden A

4 ] 4 Aros positivos en sus distintas formas. 1)

Escribe en su forma de número decimal las fracciones que se indican: Fracciones comunes

2)

a)

5/10

b)

7/3

c)

1/8

d)

5/6

e)

3/4

Números decimales 0.5

Escribe en forma de fracción común los siguientes números decimales: Fracciones comunes a)

Números decimales

2/10

0.2

b)

0.45

c)

0.03

d)

0.128

e)

0.009

Matemáticas I

BI

Síntesis Con la orientación del facilitador organízate por equipos para investigar y contestar correcta 4 / tados por equipos al resto del grupo: a)

¿Cuántos alumnos hay por cada grupo y semestre en tu escuela?

b)

¿Cuántos alumnos varones y mujeres hay en la escuela por grupo, semestre y en total?

c)

4 / A nos que hay en tú escuela?

d)

¿Qué tipo de operación se tiene que realizar para determinar el número total de alumnos, hombres y mujeres, por grupo, semestre y en total?

e)

¿Cómo se puede representar la relación numérica que existe entre hombres y mujeres en total?

f)

!

g)

¿Cómo interpretas esta relación numérica?

11

BI


12 h)

4 / A

entre los alumnos hombres y mujeres?

i)

De que otra manera se puede representar esta relación, ¿sabes el nombre de estas formas de representación numérica?

j)

¿Para qué puede servir este tipo de información a las autoridades educativas del 4

Seguramente has escuchado de los censos de población y vivienda, investiga en internet ¿qué es el INEGI?, ¿cuáles son sus principales funciones? y ¿por qué es tan importante para nuestro país contar con información de los censos? Redacta un documento con las respuestas.

Sesión B. El orden de las operaciones Problematización Un ingeniero contrata a un albañil ofreciéndole $250.00 por día que trabaje. Con el propósito de que permanezca hasta que acabe la obra, le dará $100.00 al día si por causa de la lluvia no puede trabajar. Después de 23 días el albañil recibe $4,550.00 ¿Cuántos días trabajó y cuántos días no trabajó?


Jerarquizo operaciones numéricas al ejecutarlas.

Del saber hacer:

Realizo operaciones aritméticas, siguiendo una jerarquía en el orden de ejecución.

Empleo expresiones numéricas para representar relaciones.


Del saber ser:

Muestro disposición para utilizar el cálculo numérico al resolver problemas cotidianos.

4

#

Nos estamos adentrando en el uso de los números para realizar operaciones que resultan muy prácticas en nuestra vida cotidiana, sin embargo, en ocasiones efectuamos cálculos de manera escrita e inclusive utilizando la calculadora y resulta que las operaciones no son correctas, te " / 4

'

4

libreta y las daremos a conocer al grupo uno por uno, mientras que el facilitador escribirá los '

dar la respuesta correcta.

4 1)

Efectúa las siguientes operaciones en tu libreta sin utilizar la calculadora y anota tus respuestas en el siguiente cuadro.

Operación

a)

b)

2)

Tu respuesta

Respuesta correcta

Efectúa las siguientes operaciones utilizando la calculadora, anota tus respuestas en la libreta. Operación

a)

b)

Tu respuesta

Respuesta correcta

Una vez que tu maestro anote los resultados y la frecuencia de los mismos en la pizarra, contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno: a)

¿Todos los resultados son iguales?

b)

¿Cuántos resultados se obtuvieron en la primera y segunda operación realizada?

c)

¿Por qué? Es correcto que hayan varios resultados para una misma operación.

El motivo por el cual, los resultados pueden ser diferentes, lo que cual no debe ser, es debido a que en las operaciones matemáticas se sigue un orden ( jerarquía) que en oca 4 '

operaciones.

Matemáticas I

BI

Jerarquía de las operaciones Cuando se realizan operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división, en los que no hay signos de agrupación, el procedimiento que se sigue es el siguiente: 1)

Se efectúan las operaciones de multiplicación y división. Cuando hay dos operadores , , , de la misma jerarquía, se procede de izquierda a derecha. Ejemplo:

2)

4 'A "

13

BI


14

Cuando en una operación intervienen signos de agrupación, el procedimiento se puede resumir en el siguiente: 1o

Se deben eliminar los signos de agrupación a través de las operaciones indicadas, comenzando por los que se ubican más hacia el interior de la expresión.

2o

Se efectúan las operaciones de multiplicación y división en el orden que aparezcan (de izquierda a derecha).

3o

Finalmente se llevan a cabo las sumas y las restas en el orden en el que se presenten (de izquierda a derecha). Como ejemplo te presentamos la siguiente operación:

4

cabo operaciones aritméticas siguiendo un orden jerárquico de ejecución.

4 ` Resuelve las siguientes expresiones: a) b) c) d) e) f)

__________________ _________________ _________________ _________________ _________________ __________

El orden de las operaciones están señaladas por los signos de agrupación, los cuales, ya conoces, pero vale la pena recordarlos:

Paréntesis (

)

Corchetes [

]

Llaves

}

{

Los signos de agrupación se usan de la siguiente manera:

Para indicar que una expresión funciona como número único. Ejemplo: , donde es un número único, toda vez que puede ser sustituido por el número 2, que es el valor de su operación.

Para sustituir el signo de multiplicación. Por ejemplo: 4(5) = (4)5 = (4)(5)= 4 x 5.

Para señalar cuál es el orden que debe seguirse para resolver una operación. Cuando una expresión se encuentra entre paréntesis, indica que las operaciones que están dentro de ellos deben realizarse primero. Si en una expresión se utilizan más de un paréntesis se deberá proceder primero con los que se encuentren más hacia el centro de la expresión.

Ejemplo:

4 1)

Con base en la jerarquía del orden de ejecución e incluyendo los signos de agrupación, resuelve las siguientes operaciones aritméticas en tu libreta: a.

b.

c.

d.

g.

h.

i.

e. f.

Matemáticas I

BI

4" ca? Como un ejemplo de ello, te presentamos la siguiente situación: Una cadena de restaurantes solicita el suministro de medio millón de folletos publicitarios. En el primer envío le fueron entregados 125,450 folletos; posteriormente, le llegaron 3,750 folletos menos que en el primero y, por último, en el tercer envío, recibió 10,350 folletos más que en el segundo: ¿Cuántos folletos le faltaron? Solución: Folletos solicitados: 500,000 1er envío: 125,450 2º envío: (125,450 - 3,750) 3er envío: [(125,450 - 3,750) + 10,350] Para poder determinar cuántos folletos faltan, debemos restar a la cantidad de folletos solicitados los que fueron enviados. De tal manera que, la expresión nos quede de la siguiente manera:

Realizando las operaciones indicadas y considerando la jerarquía de las operaciones, tenemos que:

15

BI


16

Por lo tanto, a la cadena de restaurantes le falta por recibir 120,800 folletos publicitarios.

4 1)

Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno: a.

Un hospital adquirió 60 sillas de ruedas a $360.00 cada una. Equivocadamente vendió 30 sillas a $280.00. Calcula en cuánto tienen que vender las 30 sillas restantes para recuperar su inversión.

b.

Los ahorros de David equivalen a $298,675.00. Con esa cantidad decide dar el enganche para un automóvil, por lo que le quedan $ 202,300.00 a favor. Posteriormente, juega a la lotería y gana $125,630.00, cantidad que incorpora a sus ahorros. Meses más tarde, planea casarse con su novia y, para ello, compra una casa. Si su saldo actual en el banco es de $799.00, ¿cuánto le costó la casa y cuánto dio de enganche para el automóvil?

c.

Isaac compró una propiedad en $450,370.00 y una moto en $26,380.00. Después de un tiempo, decide vender la propiedad en $480,900.00 y la motocicleta en $23,600.00. ¿Cuánto dinero obtuvo? o, en caso contrario ¿cuánto dinero perdió en dichas transacciones?

d.

Un artesano vende una guitarra en $3,690.00. Su hijo le explica que si la hubiera vendido en $200.00 más, habría ganado $1,500.00. ¿Qué cantidad invirtió en la realización de dicha guitarra?

Síntesis 1)

2)

4 " ' &

el resultado, colócaselos correctamente: a.

20 ÷ 2 + 3 = 4

b.

20 ÷ 2 + 3 = 13

c.

10 − 4 × 2 = 12

d.

10 − 4 × 2 = 2

e.

30 ÷ 3 + 8 × 2 = 36

f.

30 ÷ 3 + 8 × 2 = 26

g.

10 + 5 × 3 × 2 = 90

h.

10 + 5 × 3 × 2 = 40

i.

7 × 20 ÷ 2 + 3 = 28

j.

7 × 20 ÷ 2 + 3 = 91

La suma de tres números enteros positivos desconocidos es 12. Hallar el número más pequeño que se puede obtener multiplicando estos tres números.

Sesión C. Los números reales Problematización Todos los días realizamos operaciones donde intervienen diversos tipos de números. En alge A

que incluso se presentan en las operaciones aritméticas con números denominados naturales, ' 4 <

contenga las propiedades de los números reales y da un ejemplo de cada propiedad. Comparte el resultado de tu trabajo de investigación con tus compañeros y tu maestro. Con el intercambio de ideas y resultados se concretará un trabajo aún más completo para el grupo.

Criterios a desarrollar Del saber ser:

= A

= ' A

Del saber hacer:

'

números y variables algebraicas.

Utilizo los sistemas, reglas y/o principios medulares que subyacen, a una serie de fenómenos relacionados con los números reales.

Del saber ser:

Muestro disposición para utilizar el cálculo numérico al resolver problemas cotidianos.

4

#

Matemáticas I

BI

4 bloque te comentamos que todos los días surgen situaciones o problemas donde se hacen presentes los números y algunas operaciones con ellos. Comenzamos explicando algunos tipos de números ( los positivos) y cómo podemos hacer operaciones con ellos. También te indicamos que dichos números pertenecen al conjunto de los números reales (R), pero A

invitamos a analizar la siguiente situación. Cada día nuestros padres, e inclusive nosotros, enfrentamos situaciones imprevistas que ameritan realizar un gasto que en ocasiones no tenemos contemplado y, que éste, escapa de los ingresos económicos con los cuales contamos regularmente; una enfermedad, por ejemplo, amerita realizar dichos gastos. Cuando esto se presenta, lo primero que se hace es: recurrir al cálculo del ingreso y las deducciones que se hacen de él (suma y resta); ingreso menos los pagos del servicio de luz, agua, teléfono, renta o el pago de una casa a crédito, etc. Posteriormente del saldo se obtiene lo que puede destinarse para atender un imprevisto y, si no estamos preparados para ello, vemos con pesar que los recursos económicos pueden no A

lo necesario y tendríamos que recurrir al endeudamiento, que matemáticamente se traduce en un número negativo, ¿pero que es un número negativo? Si lo aplicamos a una situación que te sea más común, como el ser estudiante, tal

* '

organizas con tus compañeros para llevarla a cabo. Cada uno cooperará en partes iguales, se

17

BI


18

establecerá la cantidad reunida (suma) y se desglosarán los gastos a realizar (pastel, platos, refrescos, globos, etc.) para deducirlos de todo lo reunido (resta) y, cuando esto ocurre, a veces no alcanza y matemáticamente hablando el resultado es un número negativo, que para el presente ejercicio representa lo que hace falta. Puede ser una cantidad cerrada (entero) o con centavos (decimales). 4 A

en un gran conjunto conocido como los números reales. Pero veamos algunos de los números de este conjunto en distintas situaciones.

4 \ 1)

Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno:

En el norte del país, la temperatura promedio de las 7 de la mañana es de – 2º C, entre las 7 y las 10 a.m., la temperatura baja 3º C y, de las 10:00 de la mañana al medio día, la temperatura sube 4º C, ¿cuál es la temperatura qué marcará el termómetro a las 12:00 p.m.? 2)

Junto con tus compañeros, escribe en el pizarrón los números obtenidos en las actividades anteriores y contesten las siguientes preguntas: a.

Indica los tipos de números que aparecen en cada una de las situaciones planteadas

b.

¿Cuántos tipos de números diferentes encontraste?

c.

¿Sabes que es un número real?

& " A ciones, ya habían sido mencionadas, sólo que como números positivos, para completar la cla A

& A Números naturales: como seguramente recordarás, son aquellos que utilizamos de forma ordinaria para contar. Se les conoce también como números enteros positivos y se representan con la letra N, describiéndose de la siguiente forma: N = Números enteros: Estos números se componen de los números naturales, el cero y los números enteros negativos. Este conjunto se representa con la letra Z y se describe como: Z = Números racionales: Los números racionales se obtienen al dividir dos números enteros, siempre que el denominador sea diferente del cero. Son conocidos también como números fraccionarios y, pueden representarse como números decimales exactos o periódi 4" / El conjunto de los números enteros representa un subconjunto de los números racionales, es decir; los números enteros también forman parte de los racionales. Este conjunto se representa con la letra Q y se describe de la siguiente manera:

Q = {números de la forma

, donde a y b son enteros y b es distinto de cero}

Números irracionales @ A

conjunto surge de aquellos números que no se pueden expresar como división de dos enteros. 4 A /

periódicos, por ejemplo:

, ,, , etc., donde: 2 = 1.41421356

π = 3 14159265...

Como recordarás, el estudio de los números racionales se abordó en la primera sesión, abarcando temas como: los números decimales exactos y periódicos, las fracciones comunes y los decimales no periódicos que forman parte de los números irracionales. Números reales: Los números reales se obtienen al añadir al conjunto de números racionales, los números irracionales. El conjunto de los números reales se representa con la letra R. El esquema siguiente resume el sistema de los números reales:

Números enteros

Números naturales Cero Números enteros negativos

Números racionales Cocientes no enteros Números reales

Números irracionales

Positivos Negativos

Positivos Negativos

Otra forma de representarlo es a través de un diagrama:

Matemáticas I

BI

Números reales

N Q´ Z Q

Como podrás observar, el conjunto de los números reales contiene a los irracionales y a los racionales, estos últimos contienen a su vez a los enteros y los enteros a los naturales. & A

serie de ejercicios:

4 _ De acuerdo con la teoría de los números reales, resuelve correctamente los siguientes planteamientos: a)

= / A pacio la letra que corresponda: naturales (N), enteros (Z), racionales (Q) e irracio 7?

19

BI


20

El

El -0.5 es _____

es _____

4 es

El 5 es _____ El 14 es

_____

El -9 es

_____

El 3.75

______

b)

d)

Número

7 es 3 es

_____

_____

En la recta numérica, localiza los puntos asociados a los números siguientes:

5 3

c)

_____

El –125 es _____

7

1 4 2 0 3 2 5 3

En los paréntesis que aparecen a la derecha, de las siguientes oraciones, señala con una V si se trata de proposiciones verdaderas y F si son falsas. 1.

Todos los enteros son racionales

(

)

2.

Existen números menores que cero

(

)

3.

Todos los números reales son irracionales

(

)

4.

Cero es un número positivo

(

)

5.

Todos los racionales son enteros

(

)

6.

Todos los números irracionales son reales

(

)

' A 4 mismo, señala si la cantidad es periódica o no periódica. Decimal

Tipo

e)

Con base a la información proporcionada, completa la siguiente tabla:

Números

Natural

Entero

Racional

Irracional

Real

-5

X

X

2.7

2 0

4 9

5 -36

Síntesis 1)

Matemáticas I

BI

Ubica los siguientes números en sus conjuntos correspondientes:

2)

2 5

3)

12 3 0 4 3 4

2 3.14,

N={

}

Z= {

}

Q={

}

{

}

R= {

}

13 3

7 0.07

Un grupo de excursionistas realizará un viaje a un sitio que se encuentra aproximadamente a 400 kilómetros de distancia del lugar de partida. Luego de revisar mapas y analizar el recorrido, concluyen que harán 2/5 del total por una autopista de cuota, 3/8 por carreteras federales y el resto por caminos de terracería. ¿Cuántos kilómetros recorrerán en cada tipo de carretera?

21

BI


22

Sesión D. Valores numéricos en una expresión algebraica Problematización La sociedad de padres de familia, en coordinación con las autoridades educativas, desea construir un andador alrededor de un jardín de 10 por 10 metros que posee la escuela. Para ello, pretende acondicionar terreno alrededor del jardín, pero no más de 96 m2, ¿qué ancho deberá tener el andador para no rebasar los 96 m2 estipulados?


Calculo el valor numérico de una expresión algebraica.

Del saber hacer:


Empleo expresiones algebraicas, usando literales, para representar relaciones entre las magnitudes.

Describo expresiones verbales mediante formas algebraicas y viceversa.

Del saber ser:

Muestra disposición para utilizar el cálculo numérico al resolver problemas cotidianos.

4

#

4 #

conocimientos adquiridos con anterioridad. En la secundaria, con toda seguridad trabajaste algunas fórmulas en física, química y matemáticas, principalmente en geometría, por ejemplo: 8 "

círculo, así como la circunferencia, empleaste fórmulas como

4 2 4 7?7"? 4

4 r2 ,

,

o en el caso de la longitud de la circunferencia C =2 r, para ello, tenías que considerar datos que te pudieran ayudar a efectuar el cálculo respectivo; si se trata de un cuadrado necesitas el valor de un lado, en el caso del rectángulo el valor de la base y la altura, al igual que en un triángulo y, para el área del círculo y la circunferencia, bastaba con saber el valor del radio. 4"

* 4 ' "

llamado variables. ¿Te has preguntado el nombre que recibe la acción de cambiar letras por números en una fórmula? o ¿Cómo se llaman las expresiones matemáticas que se forman con números y letras, en las que intervienen operaciones de distinta índole, como son la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación?

4 A

letras, los operadores matemáticos (+, -, x, ), sirven para generalizar una regla, por ejemplo: para hallar el área de un rectángulo siempre se multiplicará la longitud de la base por la altura, aunque éstas cambien dependiendo del tamaño del rectángulo. Hasta aquí, no ahondaremos más sobre las expresiones algebraicas, ya que en otra sesión abarcaremos con mayor amplitud el tema. Pero ¿qué es el valor numérico de una expresión algebraica? Precisamente al proceso de sustituir los valores asignados para las letras (literales) de una expresión algebraica efectuando las operaciones indicadas y obteniendo un número correspondiente, se le denomina valor numérico de una expresión algebraica. Ejemplo: a)

Determina el área de un triángulo si la base es igual a 5 y la altura igual a 4. Sustituyendo los literales b y h por sus valores respectivos, tenemos que:

El valor numérico de la expresión es 10, si la b=5 y h=4. b)

¿cuánto vale la expresión 3a2bc3, cuando a=1, b=2 y c=4?

El valor numérico para 3a2bc3 es 384, si a=1, b=2 y c=4. Sin embargo, si los valores de a, b y c cambian, también cambiará el valor numérico de la expresión algebraica.

c)

Cuánto vale la expresión

d)

, cuando x=5.

Matemáticas I

BI

El valor numérico de la expresión algebraica e)

x es 13, si x=5.

Cuánto vale la expresión 5xy + 7y, cuando x=2 y y=3.

El valor numérico de la expresión algebraica 5xy + 7y es 51, si x=2 y y=3.

f)

Cuánto vale la expresión

, cuando w=4.2 y z=3.6.

El valor numérico de la expresión es 0.89, si y sólo si y=4.2 y z=3.6

23

BI


24

4 1)

4

valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. Resuélvelas en tu libreta y socializa los resultados obtenidos. a.

, cuando x=6 y a=4

b.

, cuando x=1

c.

, cuando x=3

d.

, cuando x=3 y y=2

e.

, cuando x=5

f.

g.

, cuando a=9 y b=1

h. 2)

, cuando x=4 y y=3

, cuando a=7 y b=2

! 8 tuye los valores de las literales dadas en las fórmulas correspondientes.

Figura

Fórmulas

Datos

Perímetro

Área

l = 3 cm P = 6l

A=

a

a = 2 cm l = 12 cm a = 8 cm a = 10 cm b = 7 cm

b

h = 3 cm P = 2a + 2b A = ah

a

a = 15 cm b = 9 cm h = 7 cm

Lenguaje algebraico 4 '

expresar un problema en el lenguaje algebraico. Comenzaremos con situaciones sencillas, y a medida que avancemos en los siguientes bloques, profundizaremos más en este tema. El perímetro de un rectángulo tiene por fórmula P = 2b + 2h, pero ¿cómo se llega a esta conclusión? Veamos el siguiente esquema:

b

h

h

b % 8 7 ? "

tenemos que: P = b + h + b + h, tomando en cuenta que tenemos dos veces b y dos veces h, la expresión en su forma abreviada sería P = 2b + 2h. Lo que en el lenguaje normal se traduce como: “el perímetro de un rectángulo es igual al doble de la base más el doble de su altura”. & /

destacando sus elementos, luego se procedió a formular algebraicamente cómo se representa

como: perímetro (P), es igual (=), suma (+), el doble de la base (2b), el doble de la altura (2h). Si queremos pasar del lenguaje común al lenguaje algebraico, tenemos que tomar en cuenta las palabras claves que te permitan formar una expresión algebraica, para ello, debes comprender cómo los valores desconocidos están representados por literales (letras) y los operadores matemáticos ( , , , ) se pueden enunciar de distinta manera. El siguiente cuadro te dará una idea de lo que estamos hablando. Concepto y operadores

Expresiones utilizadas

Valores conocidos

a, b, c, d, …….primeras letras del alfabeto

Valores desconocidos

u, v, w, x, y, z, últimas letras del alfabeto

=

“es”, “igual a”.

+

4

etc.

-

Sustrae, resta, diferencia, menos, disminuye, baja, pierde, decrece, etc.

x

Multiplica, producto, dos veces, el doble, duplo, triple, cuádruplo, etc.

Divide, dividido por, cociente, razón, mitad, entre, tercera parte, cuarta parte, etc.

Potencia

El cuadrado, el cubo, elevado a, etc.

Matemáticas I

BI

25

BI


26

Veamos un ejemplo: La suma de dos cantidades cualesquiera a + b también x + y El cociente de la suma de dos cantidades cualesquiera y su diferencia

también puede representarse como Un número aumentado en 4 a + 4 también x + 4 El doble de un número 2a

también 2x

El cuadrado de la diferencia de dos números

también No es tan complicado, con un poco de práctica podrás dominar todas las variantes 4

necesario que practiques, para ello, te proponemos la siguiente actividad.

4 ¢ 1)

2)

Escribe los siguientes enunciados en su expresión algebraica: a.

La diferencia de dos números

b.

El producto de dos números cualesquiera

c.

El cociente de la suma de dos números entre otro número

d.

El triple del cuadrado de un número

e.

El cubo de un número

f.

La raíz cuadrada del producto de dos números

g.

La tercera parte del cubo de un número

h.

El

i.

El cuadrado de la suma de dos números

producto

de

la

suma

por

la

diferencia

de

dos

números

Formen grupos de tres alumnos, para que juntos resuelvan los siguientes problemas en sus cuadernos: El ritmo que alcanza un corazón humano durante la práctica de algún deporte depende de la edad de la persona que se ejercita. Considerando que la tasa de pulsos mínima (T.P.M.) esté dada por el cociente obtenido al dividir 72 veces la diferencia de 220 y la edad de la persona entre 100, realiza lo siguiente: a.

Por medio de una expresión algebraica representa la tasa de pulsos mínima.

b.

Jaime tiene 18 años. Diariamente sale a correr por 40 minutos, ¿cuál es su tasa de pulsos mínima durante el ejercicio que realiza?

Síntesis 1)

Determina cuál es el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas:

a.

, cuando a=4, c=2

b.

, cuando x=3

c.

, cuando c=5, d=2

d.

, cuando a=1, b=2, c=3

e.

. , cuando r=3

2)

3)

Escribe los siguientes enunciados en su expresión algebraica: a.

El producto de tres números disminuido en cinco unidades:

b.

Cinco veces la suma de un número y cuatro unidades:

c.

La diferencia del triple de un número y una unidad:

d.

La suma de los cuadrados de dos números:

e.

La raíz cubica de la tercera parte de un número:

Matemáticas I

BI

Escribe las siguientes expresiones algebraicas en un lenguaje común. a.

b.

c. d.

4)

e. @ 4

pañía de su familia durante una semana. La renta tiene un costo de $9,500.00 por toda la semana. La aportación de Luis para el alquiler de la casa es de $2,500.00 4 &

27

BI


28

Realimentación Resuelve las siguientes situaciones planteadas. Un terreno de forma rectangular tiene 20 metros de frente por 50 metros de fondo y se va a bardear. La altura de la barda será de 2 metros. Un albañil cotiza la colocación de bloques o ladrillos a $20.00 el metro cuadrado. Si al frente tendrá un acceso de sólo 5 metros ¿cuánto costará bardear el resto del terreno? 1)

Dos vendedoras de verduras en el mercado, les restaba por vender 30 chayotes por cada una de ellas. La primera vende los chayotes a 2 por $5.00 y, la segunda a ` || 4 " _|| |||

]|| 4

forma que juntan sus 60 chayotes y los venden a 5 por $10.00 (una a 2 por $5.00 y, la otra, a 3 por $5.00). Por la noche, cuentan las ganancias para repartírselas, y se percatan de que no suman sino $120.00 entre las dos. Por más que hacen y rehacen las cuentas, y se registran una y otra vez los bolsillos en busca de los $5.00 que les hacen falta, no dan con ellos, por lo que terminan inculpándose de robo una a la otra. ¿Dónde quedaron los $5.00 extraviados?

2)

Una microempresa tiene ventas al mes por un monto de $25,200.00. De esa cantidad, el 64% se destina a diversos gastos. ¿Cuál ha sido la ganancia del mes?

3)

De los 620 alumnos de una escuela preparatoria, 403 son mujeres. Determina el porcentaje de varones que hay en la escuela.

4)

El encargado de pagar la nómina en una tienda, solicita al Banco efectivo en billetes de distintas denominaciones. El Banco le entrega tres sobres con el dinero. El primer y segundo sobre, juntos tienen $3,500.00; el segundo y tercer sobre contiene $3,000.00 y el primer y tercer sobre, juntos hacen la cantidad de $2,500.00. ¿Cuánto tiene cada sobre?

Matemáticas I

BI

29

Utilizas magnitudes y números reales


Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos.

Combina cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, ganancias, pérdidas, ingresos, amortizaciones, utilizando distintas representaciones, operaciones y propiedades de números reales.

Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación proporcional directa e inversa.

Construye modelos aritméticos, algebrai

de los números reales.

BII


Números reales: representación y operaciones

Tasas

Razones

Proporciones y variaciones





4

para determinar o estimar su comportamiento.

& des del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

=

4 "

con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

8 #

4 ' cia en los contextos local, nacional e internacional.

BII


32

Dinamización y motivación En el presente bloque se pretende que ingreses al campo de magnitudes y números reales, que trata sobre razones, proporciones y variación directa e inversa, a través de las unidades de competencia (las cuales se encuentran en la portadilla de este bloque y tal vez leíste). Para que empieces a poner en práctica estas unidades de competencia, te queremos plantear las siguientes situaciones, donde aplicarás los conceptos sobre razones y proporciones que aprendiste desde tu formación básica y con los que seguramente te habrás ya enfrentado en la escuela, en tu casa o en la calle. Nuestra intención es que no solamente puedas dar con la respuesta correcta (como seguramente consigues hacer en la vida cotidiana), sino también explicar la fundamentación de tu razonamiento.

Situación 1: Esteban trabaja en una ferretería. El otro día el encargado le pidió que pasara 45 litros de pintura roja en botes de ¾ de litro: ¿Cuántos botes de ¾ de litro tuvo que llenar Esteban?

Situación 2: Guadalupe terminó en 15 minutos el platillo que su mamá le sirvió, y durante su consumo comió 6 tortillas: ¿Cada cuánto tiempo consumió una tortilla?

Situación 3: La llave principal de la toma de agua de la casa de Juan se abre completamente para llenar una cubeta de 20 L, y ésta se llena en 5 minutos. ¿Cuál es la cantidad de litros de agua que salen de la llave por minuto?

Situación 4 $ = |+

] A ] /

&

ciales, es necesario comparar cantidades, ya a partir de esta comparación que adquieren el @ tas anteriormente está basada en la aplicación de números reales, así como operaciones de multiplicación y división, pero podría requerirse el uso de la resta.

Proyecto Formen seis equipos y cada uno redacte un ejemplo de proporción directa que tenga que ver con su entorno: las cuentas que hacen en sus casas, en sus trabajos o en la misma escuela. Planteen dichos problemas, y una vez halladas la soluciones, explíquenlas al resto de sus * 4 '

: Se planteó el problema como una proporción, ya sea inversa o directa. Equipo

Valor

Argumentación

I II III IV V VI

Sesión A. Comparación entre números reales Problematización Durante las vacaciones de verano, Flor viaja con sus padres y hermanos a Chetumal, y en el recorrido pasan por el municipio de Oxkutzcab, y se detienen en el mercado municipal a com ' 4 ] %

montón de tres naranjas cuesta $5 pesos, ¿cuántos montones puede comprar?

Criterios a desarrollar

Matemáticas I

BII

Del saber

= ' A

reales.

Comprendo el concepto de razón, tasa y proporción.

Del saber hacer

Realizo operaciones fundamentales.

con

números

reales,

utilizando

las

propiedades

Construyo hipótesis y diseño o aplico modelos aritméticos y/o algebraicos con números reales.

Empleo las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas en la resolución de problemas tipo.

Utilizo razones y tasas.

Del saber ser

4

#

8 #

33

BII


34

Razón En nuestra vida tenemos que hacer comparaciones con diferentes cosas y situaciones para "

' ' El concepto de razón es básico en matemáticas; por ejemplo, si alguien te pidiera descifrar cuántas veces es mayor tu papá o tu mamá que tú, tendrías que dividir la edad de tu papá o mamá entre tu edad. Si le damos valores numéricos, por ejemplo, 39 años a tu papá y 15 a ti, la comparación entre las cantidades (razón) sería de 39/15 = 2.6. ¿Pero sabes cuál es A % \ * *

como puedes ver, no resultó nada complicado de descifrar. Otro ejemplo sería el de un automóvil, el cual, recorre una distancia de 160 km en 2 horas: ¿Cuál es la velocidad del automóvil? ¿Cómo la calcularías? Sin duda, debido a tus cursos de física de la secundaria, ya sabes que la fórmula es v = d/t, y por lo tanto, para saber cuál es la velocidad sólo tienes que dividir 160 £ " | £" & %

de la respuesta? Para muchos no resulta sencillo comprenderlo, pero simple y sencillamente nos dice que, por cada hora de viaje, se recorren 80 km. Día con día nos enfrentamos a situaciones donde interviene el uso de números reales, por esta razón queremos que adquieras los conocimientos, actitudes y valores sobre este tema. En otras palabras: bases sólidas para una educación integral.

4 ] 4

pero ahora con la intención de que puedas resolverlos: 1)

En un juego de basquetbol Los Lakers de los Ángeles, acertaron 12 tiros libres de 20 intentos y el equipo Celtics de Boston acertó 17 tiros libres en 23 intentos. Determina qué equipo es más efectivo en los tiros libres.

2)

El Jamaiquino Usain Bolt es el hombre más rápido del mundo, ya que en el año ||¢ 3 4 ]|| ¢ &

su velocidad en m/s?

Para tener claro el sustento de la resolución de las situaciones planteadas al inicio del bloque, y de las actividades anteriores, es necesario tener las nociones básicas sobre razo Razón: Una razón es la comparación entre dos cantidades que tienen las mismas unidades, y que se puede representar mediante un cociente o división. Existen tres formas para representar una razón: a)

Como fracción

b)

Como dos números separados por la letra a

c)

Como dos números separados por dos puntos Por ejemplo: 23/4, 23 a 4 y 23:4.

Tasa: Cuando se comparan cantidades de distintas unidades o de distinto tipo, se le llama tasa y se puede escribir como fracción, por ejemplo; si un bote de pintura de 20 l 2, entenderíamos que por cada m2 que pintemos, necesitaríamos cinco litros de pintura.

Después de haber analizado estos conceptos, te proponemos las siguientes actividades para poner en práctica tus saberes. Sobre todo en las actividades a desarrollar en equipos, en las que te sugerimos que te solidarices con tus compañeros para llegar a la resolución correcta.

Síntesis 1)

Resuelvan de manera individual el siguiente problema: Una cisterna de agua está

a las partes de su capacidad, y le faltan 350 litros para llenarse. ¿Cuál es la & tuación?

350

350

350

Figura 1 2)

Figura 2

Figura 3

Trabajen en equipos para resolver el siguiente problema:

9.4, en el segundo 8.6, en el tercero 9.5, en el cuarto 7.4 y en el quinto 6.7; por otra parte, Carmen registró en el primer bimestre 8.5, en el segundo 6.1, en el tercero 7.9, en el cuarto 9.4 y en el quinto 8.3.

3)

a.

& ¤

&

b.

¿Quién de los dos obtuvo mayor puntaje durante el curso?

Matemáticas I

BII

4"

Catalina va al supermercado, sólo lleva $ 50.00 y tiene que comprar: tortillas ($ 4.85), huevos ($ 12.50), mantequilla ($ 5.15), harina ($ 10.90), frijoles ($ 7.65) y aceite ($ 13.75).¿Cuánto le sobró o le faltó?

4)

Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas:

a.

b.

de onza: ¿Cuál es el peso de de Una tableta de una medicina pesa tableta?

Una botella cuya capacidad es litros, contiene agua hasta sus par tes: ¿Qué cantidad de agua contiene?

35

BII


36 5)

Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas: a.

Un granjero colocó una cerca alrededor de su parcela para que no entraran los animales a comerse sus verduras. La parcela es de forma cuadrada, cada lado mide 10 m.

Si puso los postes cada

de metro: ¿Cuántos postes colocó?

b.

c.

6)

Un rectángulo tiene de área cm2 y sabemos que uno de sus lados mide

cm. ¿Cuánto medirá el otro lado? Un rectángulo tiene de área cm2 y sabemos que uno de sus lados mide cm: ¿Cuánto medirá el otro lado?

En parejas resuelvan los siguientes problemas: Una revista de ciencia publicó que uno de los primeros satélites que existieron tardaba 95.57 minutos en dar una vuelta a la Tierra. De acuerdo con esta información, contesta:

7)

a.

¿Cuántos minutos tardaba el satélite para dar 9.5 vueltas a la Tierra?

b.

¿Cuántos minutos tardaba para dar 100 vueltas?

c.

¿Cuántos días tardaba en dar 100 vueltas?

d.

¿Cuántas horas tardaba en dar 100 vueltas?

En parejas resuelvan los siguientes problemas: a.

La Tierra gira alrededor del Sol a 29.7 kilómetros por segundo. Marte lo hace a 0.81 veces la velocidad de la Tierra: ¿Cuál de los dos planetas gira 8 / 4 /

$

b.

La velocidad de Plutón es de 4.8 kilómetros por segundo. La de Venus es _

8 4 /

Sesión B. Las proporciones y sus clases Problematización 4 Actividad 1: Una caja contiene 50 focos de 60 W, de los cuales 10 están defectuosos: ¿Qué porcentaje de focos están defectuosos? Actividad 2: En el departamento de ropa para caballeros, de una tienda en un centro comercial, los pantalones marca Cimarrón tienen un costo de $150. Pero la tienda decide hacer una rebaja del 20% a estos pantalones: ¿Cuál es el descuento, en pesos, de estos pantalones?

Criterios a desarrollar Del saber

= ' A

reales.

Comprendo el concepto de proporción.

Interpreto las propiedades de las proporciones.

Del saber hacer

Realizo operaciones con números reales, utilizando las propiedades fundamentales.



Utilizo razones, tasas y proporciones

4 '

Matemáticas I

BII

Del saber ser

4

#

8 #

Proporciones 4 ración entre dos cantidades con las mismas unidades, o entre distintas unidades, respectiva 4"

4

Situación 4 $ =

| %

] A ] / 7 ?

37

BII


38

Situación 5: Durante las vacaciones de verano, Flor viaja con sus padres y hermanos a Chetumal, y durante el recorrido pasan por el municipio de Oxkutzcab, y se detienen en el mercado municipal a comprar frutas: a ella le gustan las naranjas dulces, pero nadie más quiere comer naranjas, y su papá le da $15 para que las compre. Si cada montón de naranjas (3 naranjas) cuesta $5 pesos: ¿Cuántos montones puede comprar?

¿Recuerdas cómo resolviste estos problemas? Como puedes notar, en este tipo de situaciones se conocen tres valores y uno es desconocido. ¿Recuerdas el nombre del procedimiento que usabas en la secundaria para resolverlas? Estamos seguros que la mayoría lo recuerda, pero para los que no lo recuerdan, el procedimiento se conoce como: La regla de tres. Esta regla es una aplicación del tema que analizaremos en breve, y que se llama proporciones. En esta sesión aprenderemos el concepto y las propiedades de las proporciones, para que tengas el sustento en las aplicaciones de la sesión 3, que trata de variación directa e inversa. Para tener una idea más clara sobre lo que es una proporción, tenemos la siguiente Proporción: Es la igualdad entre dos razones. Una proporción se escribe de la forma:

a c = o a:b = c:d, y se lee “a es a b como c es a d”. b d En cualquiera de las formas enunciadas, las literales a y d son los extremos, b y c los medios. Un ejemplo de proporción sería el siguiente:

Propiedades de las proporciones Las siguientes propiedades te ayudarán en la resolución de ejercicios y problemas sobre proporciones. 1)

En toda proporción, el producto de los medios, es igual al producto de los extremos.

si 2)

En toda proporción, un extremo cualquiera es igual al producto de los medios, entre el extremo conocido.

En

3)

a c = entonces ad = bc b d

a c bc bc = entonces a = o d= b d d a

En toda proporción, un medio es igual al producto de los extremos, entre el medio conocido.

En

a c ad ad entonces b = oc= = b d c b

9

entre dos cantidades que tienen las mismas unidades. Debe quedarte claro que una proporción es una aplicación del concepto de razón, pero para más de dos cantidades, donde normalmente hay una cantidad desconocida. Después de haber analizado este importante concepto, te proponemos las siguientes actividades para poner en práctica tus conocimientos, sobre todo en las actividades a desarrollar en equipos. Te sugerimos que te solidarices con tus compañeros para llegar a la resolución correcta de todas las actividades.

4 1)

Una antena proyecta una sombra de 50.4 metros ( ), y un poste de altura 2.54 metros ( ) proyecta una sombra de 4.21 metros ( ): ¿Cuánto mide la antena ( )?

C

E

D A

B

sombra del poste

sombra de la antena

En equipos resuelvan el siguiente problema: 2)

La tabla contiene diferentes cantidades de litros de gasolina y sus respectivos precios. Complétenla y realicen lo que se indica posteriormente. Litros de gasolina

1

3

Total a pagar 3)

21

9 42

Matemáticas I

BII

420

Formen parejas para resolver el siguiente problema:

Para pintar una barda, mezclé 8 litros de pintura amarilla con 18 litros de pintura ' % `

pintura azul debo mezclarla para obtener el mismo tono?

En equipo resuelvan los problemas 4, 5 y 6: 4)

Para preparar un tipo de chocolate hay que comprar 3 kg de azúcar por cada 6 kg de cacao: ¿Cuánto cacao hay que comprar para 2, 5, 10 y 25 kg de azúcar? Escriban sus respuestas en la siguiente tabla y respondan las preguntas posteriores. kg. de azúcar

kg de cacao

2 3

6

5 10 25

39

BII


40 a.

¿Existe un número que al multiplicarse por cualquier cantidad de kilogramos de azúcar dé como resultado los kilogramos de cacao correspondientes?¿Cuál es?

b.

¿Cuántos kilogramos de cacao se necesitan por cada kilogramo de azúcar?

c.

/ ' ?

y el número de kilogramos de cacao por cada kilogramo de azúcar?

d.

Utilicen el factor constante para calcular los kilogramos de cacao necesarios para 7, 18, 35, 42 y 64 kilogramos de azúcar.

5)

Tres amigos obtienen un premio de $1,000.00 en la lotería, ¿cómo deben repartirlo si uno de ellos aportó $12.00, el otro $8.00 y el tercero $15.00 para comprar el boleto?

6)

Cuatro amigos ganaron un premio de $15,000.00 en un sorteo y se lo repartieron proporcionalmente a lo que cada uno aportó para la compra del boleto, ]|||| 4 ]|||| _||||

$3,300.00 y al cuarto el resto de los $15,000.00 ¿Cuánto aportó cada amigo para la compra del boleto?

Síntesis 1)

En equipos resuelvan el siguiente problema: Se quiere hacer una reproducción a

] & ¦

tabla para anotar las medidas. 9 cm 5 cm 2 cm 11 cm

Medidas de los lados de

Medidas de los lados de la

5 cm

12 cm

2 cm 9 cm 11cm

2)

Consideren la misma situación de la consigna 1, con la diferencia de que el lado ¢ ` &

deben medir los demás lados? Medidas de los lados de


9 cm

3 cm

2 cm 5 cm 11cm 3)

Consideren la misma situación de la consigna 1, con la diferencia de que el lado &

deben medir los demás lados? Medidas de los lados de


2 cm

5 cm

5 cm 9 cm 11cm

Sesión C. Proporcionalidad directa e inversa

Matemáticas I

BII

Problematización Resuelve las siguientes situaciones en tu libreta: a)

Un chef de cocina requiere 7 litros de leche y 3 cucharadas de canela, ¿cuántas cucharadas de canela serán necesarias si la receta se incrementa a 28 litros de leche?

b)

Para la perforación de un pozo petrolero se han empleado 20 personas, las cuales han trabajado durante 30 días. ¿Cuántos días habrían empleado 120 personas?

c)

Se sabe que 1 obrero emplea 60 días para construir un pie de casa, ¿qué tiempo necesitarán dos obreros para realizar esta obra?

d)

Si Pedro gana $ 450 en 5 días de trabajo, ¿cuánto ganará en 20 días?

41

BII


42


= ' A

Reconozco variaciones directas e inversas, y aplico las propiedades de las proporciones a ejercicios y problemas asociados a la vida cotidiana.

Del saber hacer

Realizo operaciones fundamentales.

con

números

reales,

utilizando

las

propiedades



Utilizo variaciones.

Utilizo modelos de variación proporcional directa e inversa

Del saber ser

4

#

8 #

Valoro la importancia de los números reales para expresar todo tipo de magnitudes (variables, constantes, discretas o continuas).

4

las magnitudes mantienen relaciones de variación proporcional directa e inversa

¿Te h

resultado de algún problema en particular? Te pondré un ejemplo: vas a la tienda y compras 5 latas de algún refresco y todas te costaron 35 pesos; si posteriormente debes volver a ir a comprar 8 latas, ¿cuánto dinero tendrías que llevar? Por medio de simples multiplicaciones y divisiones puedes realizar el cálculo y hallar la respuesta. Es decir, si por 5 latas pagué 35 pesos, eso quiere decir que cada lata costó 7 pesos; ahora bien, si cada lata cuesta 7 pesos, < _§ \

\ 4" 7 "

?

Tomemos otro ejemplo: Si un señor se tarda 16 días en sembrar árboles en su patio trasero: ¿Cuántos días se tardarían el señor y su esposa en plantar la misma cantidad de arboles? Dado que una persona tarda 16 días, dos personas tardarían la mitad, es decir 8 días. 9

7 '

personas, días, etcétera) más aumenta también otra variable? Como en el primer caso: mientras más refrescos quieras comprar, más dinero costarán. En contraste, en algunas ocasiones, mientras más aumente una variable, más disminuye otra, como en el segundo caso: más personas invertirían menos días en realizar la siembra de árboles. 4"

en tu cuaderno de trabajo: Si de tu casa a la escuela hay 15 cuadras, y cada cuadra la recorres en tres minutos, ¿cuánto tiempo necesitarías, en horas y minutos, para recorrer el trayecto de tu casa a la escuela tres veces?

Proporcionalidad directa Una proporción es directa si cuando aumenta una variable, la otra aumenta también, o bien, si al disminuir una variable, la otra disminuye también. Ejemplo 1 Si 7 camisas cuestan 28 pesos, ¿cuánto costarán 10 camisas? Hay que hallar el costo en pesos de 10 camisas. Para abreviar la palabra “costo en pesos de 10 camisas” llamémosle a esta variable simplemente “x”; así en lo consecutivo, en los ejercicios, a las variables cuyo valor sea desconocido, les llamaremos “x”.

( 7 )( x ) = (10 )( 28 ) 7x = 280 7 camisas 10 camisas x = 280 = 7 28 pesos x pesos = 40 pesos 10 camisas costarían 40 pesos Ejemplo 2 Si 30 motocicletas en un taller representan 2/3 del total, ¿cuántas motocicletas representarían 1/3? Primero representamos la relación, para posteriormente hallar el valor del total de motocicletas.

Donde x es el total de motocicletas:

Matemáticas I

BII

( 30 )( 3 ) = ( 2 )( x ) 90 = 2x 90 =x 2 x = 45 4" ]`

representaría 15 motocicletas, ya que los 2/3 serían 30 y los 3/3, es decir, un entero, correspondería a las 45 motocicletas. En esta relación tenemos que si una variable aumenta la otra también, y que si una variable disminuye la otra lo hará de igual forma; ésta es la proporción directa ¿Qué otros ejemplos de relaciones directas puedes encontrar?

Proporcionalidad inversa Una proporción es inversa si cuando aumenta una variable, la otra disminuye; o bien, si al disminuir una variable, la otra aumenta. En otras palabras, podemos decir que el comportamiento de la segunda variable es inverso al de la primera. Caso contrario es el de las proporciones directas, en donde el comportamiento de las variables es igual. Ejemplo 1 5 muchachos arreglan un local para unos XV años en 4 horas: ¿Cuántos muchachos serían necesarios para poder arreglar el local en una hora, suponiendo que todos los muchachos trabajasen al mismo ritmo?

43

BII


44

Si tenemos que 5 muchachos arreglan el local en 4 horas, se nos pide que hallemos cuántos muchachos lo harían en una. (5 muchachos)(4 horas) = (x muchachos) (1 hora) 20 = x 20 muchachos arreglarían el local en una sola hora Dicha relación es inversa, ya que, mientras más muchachos ayuden, menos horas se requerirán para el arreglo del local.

Porcentaje Un número racional también puede ser exrpesado en forma de porcentaje, por `\ `\ ]||

Es decir, representa una cantidad que corresponde proporcionalidad a una parte de 100. Es posible convertir números fraccionarios en decimales y determinar el procentaje que representa de un entero. Ejemplo:

Ejemplo 1 Se tiene que en un cuartel militar hay víveres para 350 soldados, los cuales duran aproximadamente para 12 días. Si la cantidad de soldados aumenta en un 20%, ¿para cuántos días alcanzarían dichos víveres, en un supuesto caso de que nadie se quede sin comer? Primeramente debemos hallar el 20% de 350

Eso quiere decir que si se aumenta en un 20 % el número de soldados, serán

soldados. Habrá que hallar ahora cuantos días puede durar la misma cantidad de comida para 420 soldados

La comida duraría 10 días, eso quiere decir que, mientras más soldados haya, menos días durará la misma ración de comida; por lo tanto, se trata de una proporción inversa.

4 1)

La gasolina que consume un auto es de 13 kilómetros por litro, en el caso del Volkswagen. Si dicho auto ya recorrió 260 kilómetros: ¿Cuántos litros de gasolina ha consumido?

¿Esta proporcionalidad es directa o es inversa? ¿Podrían ser ambos casos según el '

¿Qué otros ejemplos de relaciones inversas puedes encontrar?

2)

Realiza los siguientes ejercicios sobre razones y proporciones:

a)

c)

b)

d)

3)

4)

5)

Calcula los siguientes porcentajes: a.

20% de 160 __________

b.

66% de 282 __________

c.

15.5% de 80 __________

d.

35% de 459 __________

e.

¿Qué tanto por ciento de 360 representa el número 86? __________

f.

¿Qué porcentaje de 146 representa el número 72? __________

< 4

la respuesta en el espacio proporcionado por la guía: a.

Determina el porcentaje de mujeres y hombres que hay en tu salón: ¿Qué fracción del total representa el número de mujeres?

b.

Una empleada de perfumería obtiene el 12% de cada venta que realiza. Si logra vender 9 perfumes de $750.00 cada uno ¿cuál es su comisión?

c.

En la clausura del torneo de futbol se premió al mejor goleador, el cual, anotó 17 goles en un total de 20 partidos. ¿Qué porcentaje de goles anotó? Si se esperaba que anotara cuando menos un gol por partido, ¿a qué porcentaje del total se quedó para cumplir su meta de 20 goles?

d.

José, el maestro de matemáticas, percibe un sueldo de $2,250.00, y le descuentan el 21% por concepto de impuestos. ¿Cuál es la cantidad que le es descontada?

e.

El examen de admisión a la universidad consta de 470 preguntas. Manuel contestó acertadamente 446 ¿a qué porcentaje equivalen sus aciertos y sus errores?

f.

Un Ipod en el supermercado tiene un precio de lista de $950.00 pesos, pero ha sido puesto en oferta con un descuento del 35% ¿Cuánto cuesta el Ipod con el descuento? y ¿cuál es el ahorro que se obtiene?

Matemáticas I

BII

¨ 'A 4

seguido, contesta las siguientes preguntas.

45

BII


46

16 años 13 años 40%

15 años 20% 14 años 20%

Si el grupo tiene 30 alumnos: a.

¿Qué cantidad de alumnos tienen 15 años? _________

b.

¿Cuántos alumnos tienen 13 años? _________

c.

¿Qué número de alumnos tienen 14 años? _________

d.

¿Cuál es el porcentaje de alumnos que tienen 16 años? _________________

e.

¿Cuál sería la fracción que representa a los alumnos de 15 años? ________________________

f.

¿Qué fracción representa los alumnos de 16 años? ________________________

g.

¿Qué edad tienen los alumnos que representan el 60% del grupo? _________________________

h.

Si entre los alumnos de 13 años hay 2 mujeres; entre los de 14 años hay 6; entre los de 15, 3; y entre los de 16, 4; ¿Cuál es el porcentaje de hombres en el grupo? _____________________

Síntesis ¤a sabes lo que es una razón, una proporción, una proporción directa y una proporción inver 4" ! &

y proporción o básicamente puedes hacer los cálculos con simples sumas y restas? Si es así: ¿Cuándo sería necesario el planteo de un problema mediante el uso de razón y proporción? Discute tus respuestas con el resto de la clase y con tus compañeros según te indique el profesor. 1)

Resuelve correctamente el siguiente ejercicio.

Para la elección de diputado federal de un distrito electoral, se tienen a los candidatos Juan Gómez de la planilla blanca y Pedro López de la planilla negra. Si se tiene que el total de votantes empadronados en dicho distrito es de 5,230 personas, que el candidato Juan Gómez obtuvo aproximadamente el 40.15 % del total de la votación, el candidato Pedro López obtuvo aproximadamente el 37.95 % y el resto de la población se abstuvo de votar: i.

¿Cuántos votos obtuvo el candidato Juan Gómez?

j.

¿Cuántos votos obtuvo el candidato Pedro López?

k.

¿Cuánta gente se abstuvo de votar?

l.

¿En el caso de las elecciones, la proporción es directa o inversa? Explica tu respuesta.

Realimentación ¦ #

bloque. 1.

¿En las situaciones utilizaste operaciones como la multiplicación, división y regla de tres?

2.

¿Empleaste conceptos en la solución de las situaciones planteadas que están asociados a una regla de tres a través de proporciones?

3.

¿Utilizaste números racionales en la resolución de las situaciones planteadas?

4.

¿Empleaste porcentajes como una representación de los números racionales?

5.

¿La forma de plantear la solución de las situaciones corresponde al campo de las expresiones algebraicas?

Falso

Verdadero

Argumentación

Matemáticas I

BII

47

Realizas sumas y sucesiones de números


= '

numéricas y así como sus propiedades.

& / méticas y geométricas.

Determina patrones de series y sucesiones aritméticas y geométricas.

& portamiento de sucesiones aritméticas y geométricas.

resultado en los cálculos de obtención de términos de las sucesiones.

Realiza cálculos obteniendo el enésimo término y el valor de cualquier término en una sucesión aritmética y geométrica tanto '

correspondientes.

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos usando series y sucesiones aritméticas y geométricas.

BIII







Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o

situaciones reales.

4

terminar o estimar su comportamiento.

=

4

#

4 "

que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

BIII


50

Dinamización y motivación Contextualización Es importante determinar qué tanto has aprendido a lo largo de tu formación como estu+

previos sobre conceptos aritméticos, algebraicos, operaciones básicas, patrones y secuencias numéricas. En esta sección se te presentan una serie de situaciones que involucran cinco posibles respuestas correctas. Lee con atención y analiza los datos, para que posteriormente elijas, encerrando la respuesta correcta. Juana desea saber el año en que su papá se jubiló. Revisando documentos, y con los datos que le dio su mamá, encontró lo siguiente: “El hombre nació en el año 1962, se casó cuando tenía 20 años, y 2 años después nació ella. Cuando Juana cumplió los 21 años, su papá se retiró”. ¿En qué año se jubiló? A)

2003

B)

2021

C)

1982

D)

2005

E)

2000

4 ` " A

para su reproducción y cultivo. Él hace una comparación de lo sucedido en el primer mes con el tercero, anotándolo en una tabla. Observa que existe cierta secuencia de ocurrencia entre los estanques y el número de peces del mes uno al mes tres: ¿Qué número le faltaría colocar 4

A)

4880

Estanque 1

Estanque 2

Estanque 3

Mes 1

20

120

2440

Mes 3

40

480

?

B)

7320

C)

9760

D)

19520

E)

14600

Don Raúl es un asiduo jugador del “Melate” y cree que para ganar el sorteo, sus números tienen que estar siempre en serie o que cumplan con un patrón numérico. Escogiendo la serie 1, 4, 9, 16, ____, ____ ¿Qué números le hacen falta? A)

26, 36

B)

10, 20

C)

16, 25

D)

25, 36

E)

18, 24

La mamá de Lucía desea premiarla por el buen desempeño que lleva en sus estudios, y en especial, por la materia de Matemáticas, ya que es su favorita. Para ir de acorde al gusto de su hija, le plantea un acertijo, para que sepa cuánto dinero recibirá: “Entregarle $20 pesos el primer día y los restantes 14 días entregarle $ 25 pesos más que el día anterior para cerrar la quincena”. ¿Cuánto dinero recibió el último día? A)

365

B)

280

C)

350

D)

300

E)

370

¿Cuál es el décimo quinto término de la serie: a - x, a, a + x, a + 2x,…? A)

15a + x

B)

a + 15x

C)

a + 13x

D)

14a + x

E)

15x

Sesión A. Series y sucesiones aritméticas Criterios a desarrollar en la presente sesión Del saber

= /

Reconozco términos de sucesiones aritméticas.

Ordeno información de acuerdo con relaciones en series y sucesiones aritméticas.

Reconozco la forma algebraica del término n-ésimo de sucesiones aritméticas particulares.

=

' ©/

término de sucesiones aritméticas particulares.

Del saber hacer

Determino regularidades y patrones de las sucesiones y series aritméticas.

Escribo términos de sucesiones aritméticas.

Diseño y aplico modelos sencillos de series y sucesiones aritméticas.

4 ' " ©/ /

que caracteriza a una sucesión aritmética particular.

4 ' "

/

Obtengo términos de sucesiones aritméticas utilizando la diferencia o aplicando las fórmulas.

& /

particulares.

Matemáticas I

BIII

Del saber ser

4

4

#

8 #

Desarrollo de criterios Te habrás dado cuenta de lo importantes que son las operaciones aritméticas para la re "

para conocer el resultado de otras. Una muestra de ello ocurre en la ganadería, ya que si un ganadero compra una res para su engorda con un peso inicial de 200 kg y mediante una alimentación balanceada éste aumenta 1.5 kg al día, ¿Cuánto pesará después de los primeros 60 días? Reconocemos entonces que: el ganado tiene un peso inicial de 200 kg el primer día, en el segundo 201.5 kg y en el tercero 203 kg, y así sucesivamente hasta el día 60, dando un peso total de 288.5 kg. Habrá otros compañeros que indiquen que se puede llegar al mismo

el número de días, sin contar el primero, ya que apenas se le alimentará quedando el peso del ganado de la siguiente manera: 1.5 kg x 59 días = 88.5 kg + 200 kg = 288.5 kg en total durante los primeros 60 días. Si el ganadero desea saber cuánto pesará después de todo un año los 4

más cortos sobre la solución del problema en cuestión; en este momento trabajamos con grupos de números que siguen ciertas regularidades.

51

BIII


52

ª

ordenado”. Un ejemplo de conjunto ordenado son los números naturales, ya que tienen un primer elemento y cada uno de los demás tiene un sucesor inmediato, donde al sumarle uno al anterior se tendrá cuanto número natural posterior se desee. En esta sección estudiaremos las sucesiones, que son conjuntos ordenados, y que parten de un elemento de inicio.

Progresión aritmética 4 ]

Cierta computadora se puede construir con una o más unidades de memoria. La primera unidad almacena 10,000 palabras, y cada unidad adicional almacena 5000 palabras. Completa el siguiente cuadro con los datos que ya se te proporcionaron, y responde cada una de las siguientes aseveraciones. Unidades de memoria Cantidad de palabras

1

2

3

4

…

10,000

…

a)

¿Qué cantidad de palabras contendrá la séptima unidad de memoria?

b)

¿Qué cantidad de palabras contendrá la décima unidad de memoria?

c)

! # cicio anterior.

d)

¿Existe alguna regla algebraica que exprese las acciones en la serie?

Los valores de cualquier relación de patrones numéricos que tenga un conjunto de números naturales consecutivos, forman una sucesión, y cada valor se llama término de la 0

]|||| ]||| ||||«

A ||| 4

sigue: Unidades de memoria (n)

1

2

3

4

…

Cantidad de palabras (a)

10000 + 0 (5000)

10000 + 1 (5000)

10000 + 2 (5000)

10000 + 3 (5000)

…

e)

¿Qué cantidad de palabras contendrá la vigésima unidad de memoria?

f)

¿Qué cantidad de palabras contendrá la unidad de memoria 50ª?

g)

¿Cuál es el término general, o el n-ésimo término que describe el comportamiento de esta sucesión?

Se puede ver que el término general de la sucesión está dado por:

4 4

la diferencia entre los términos consecutivos. Posición

Sucesión

d

n-ésimo término

1

4

2

7

4 + (2 - 1)(3)

3

10

4 + (3 - 1)(3)

Matemáticas I

BIII

4 5 6 15 20 50 100 n

Si en una sucesión la diferencia entre dos términos consecutivos (cualesquiera) es una constante, entonces a esa sucesión se le llama progresión aritmética.

53

BIII


54

Si al primer término de una progresión aritmética le llamamos a1, d la diferencia o cantidad común de términos consecutivos, n el orden del término considerado y an el término general de la progresión, tenemos que nuestra progresión quedaría del siguiente modo: Unidades de memoria (n)

1

2

3

4

…

n

Cantidad de palabras (an)

...

Por todo lo anterior podemos concluir que: el término n-ésimo de la sucesión aritmética está dado por

Ejemplo 1 En la progresión aritmética 2, 5, 8, 11, 14,…, encontrar el décimo séptimo término. Solución: a)

Encontrando la diferencia común d = 8 – 5= 3

b)

Reconociendo los datos a1 = 2, n = 17, y sustituyendo en la expresión general de la progresión aritmética tenemos a = 2 + (17 – 1)3 = 50 Ejemplo 2 ¿Cuál es la regla que rige el desarrollo de los términos de la sucesión 1, 4, 7, 10,…? Solución: Una regla que cumple con los primeros elementos es:

Veamos que sucede:

3(1) – 2 = 3 – 2 = 1 3(2) – 2 = 6 – 2 = 4 3(3) – 2 = 9 – 2 = 7 3(4) – 2 = 12 – 2 = 10

4 ` Escribir la regla general que permite determinar cualquier término de cada una de las siguientes sucesiones: a)

2, 4,6, 8, 10 Regla:

b)

5, 10,15, 20 Regla:

c)

3, 5, 7, 9, 11 Regla:

d)

6, 11, 16, 21, 26 Regla:

e)

Regla: f)

0, 3, 8, 15, 24 Regla:

4 Escribe los primeros cuatro términos de la sucesión cuyo término n-ésimo se da a continuación. 1) 2)

3)

4)

an= 6n an = 5n - 1

an =

an =

, ,

,

,

, ,

,

,

, 5)

an=

6)

an =

7)

an =

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

4 4 / ©/ /

pa la posición que se pide en la siguiente tabla.

Posición

Sucesión

Datos

Proceso an = a1 + (n – 1)(d)

Matemáticas I

BIII

n-ésimo término an

a1 = 25

2, 5, 8,…

n= d= a1 =

30

3, 8, 13,…

n= d= a1 =

59

12, 13, 14,…

n= d=

4 \ Resuelve los siguientes problemas utilizando los procesos de progresión aritmética: 1)

La biblioteca de la escuela tiene 25 libros en el primer anaquel, 24 en el segundo, 23 en el tercero y así sucesivamente: ¿Cuántos libros tendrá el anaquel número 12?

55

BIII


56 2)

&

en el primer examen obtuvo 64 puntos y estos fueron aumentado consecutivamente en un orden progresivo de 7 puntos por examen presentado.

3)

* ' ª& ! 4

un sueldo anual de $125,000. En un proceso de regulación salarial va a recibir un aumento de $3600 cada año: ¿De cuánto será su sueldo en el año sexto?

4)

] ` & " ]

5)

Una pelota que cae desde una terraza recorre 16 m en el primer segundo, 48 m en el siguiente segundo y 80 en el tercer segundo. Si continua cayendo de esta manera: ¿Cuánto habrá caído en el séptimo segundo?

Suma de una progresión aritmética Una serie es la suma indicada de los términos de una sucesión,es decir; la serie asociada a la sucesión 1, 4, 7, 10, 13,… es 1+4+7+10+13+... Podemos encontrar una expresión simple para la suma de los términos de una progresión aritmética. Veamos este resultado a partir de una anécdota histórica: “Se cuenta que cuando el matemático Carlos Federico Gauss era un niño de aproximadamente 10 años y estudiaba en 3 ®£ 4 '

en reposar y disfrutar de un día sin nada que hacer en vez de enseñar nuevos conocimientos, ]|| A 4

tiempo Gauss, con la astucia que lo caracterizaba, estaba frente a su profesor mostrándole el resultado correcto. El profesor incrédulo ante lo sucedido se preguntaba cómo había podido hacerlo en tan corto tiempo, ya que había que sumar de uno en uno los números”.

4 _ 1)

Calcula la suma del primer y último elemento de la sucesión.

2)

Calcula la suma del segundo y penúltimo elemento de la sucesión.

3)

Calcula la suma del tercero y antepenúltimo elemento de la sucesión.

4)

¿Cuántas sumas iguales existen al momento de la suma de los primeros 100 términos de la sucesión?

5)

¿Cómo realizó Gauss su suma de manera tan rápida?

6)

¿Qué método utilizó Gauss para determinar el resultado correcto?

Se cree que fueron dos ideas fundamentales, simples pero geniales, que llevaron al niño Gauss a obtener la suma indicada.

Se considera que el primer método es darse cuenta que la suma del primer número natural y el último, la del segundo con el penúltimo, la del tercero con la del antepenúltimo, y así sucesivamente, siempre era 101

1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 4 + 97 = 101 @ ' | ]|] 4

que la respuesta era: “Suma de cada pareja por número de parejas formadas es igual a suma total”. Esto quiere decir que para poder encontrar la suma realizamos la siguiente operación.

Suma total =

Se puede encontrar una expresión simple para la suma Snde los primeros n términos de una progresión aritmética. Si llamamos al primer elemento a1 y an al último elemento de la sucesión, conjeturamos la siguiente relación algebraica:

Si recordamos que nuestra fórmula del n-ésimo término es , tenemos que nuestra fórmula anterior se transforma:

Matemáticas I

BIII

Ejemplo 1 Calculemos la suma de los primeros 30 números naturales. Solución: a)

¦ A /no de la sucesión.

b)

Entonces a1 = 1 y an = 30. La suma de ambos es 31.

c)

= ]

Ejemplo 2 Dada la sucesión 2, 6, 10, 14,…, Calcula la suma de los primeros 40 términos de la sucesión. Solución: =

algebraica para el cálculo de la suma. Sea a1 = 2, d = 4 y n = 40.

57

BIII


58

Retomando la expresión algebraica para la suma de términos , tenemos que:

4 Utilizando los valores dados en cada uno de los siguientes ejercicios, encuentra la suma de los términos de la serie. Elementos de la serie 1.

Suma de la serie (Sn)

2.

3.

4.

4 ¢ Utilizando los valores dados en las fórmulas del n-ésimo término y de la suma de una sucesión aritmética, encuentra la cantidad que se solicita: Elementos de la serie

Encuentra

1.

an

2.

Sn

3.

4.

d

5.

Solución

4 ]| Trabajando en parejas, resuelve los siguientes problemas que se relacionan con suma de progresión aritmética. 1)

¿Cuánto ganó en 10 años el ingeniero Carlos si tuvo un sueldo inicial de $50,000 y recibió aumentos anuales de $2600?

2)

'

& "

|

3)

Un grupo de estudiantes del Colegio de Bachilleres deciden formar una pirámide humana enorme, de tal forma que cada etapa tiene un joven estudiante menos que la anterior: ¿Cuántos alumnos formarán la pirámide si la base comienza con 10 muchachos?

4)

4 ]| '

una, después de la primera, vale 2 puntos más que la anterior. Si la tercera tiene un valor de 5 puntos: ¿Cuál es la puntuación máxima que puede obtener al término de su examen?

5)

`| + ] + ]_

segunda; 19 en la tercera y así sucesivamente: ¿Cuántos asientos hay en todo el auditorio?

Síntesis Resuelve cada uno de los siguientes problemas: 1)

El niño Carlos estuvo ahorrando durante cierto número de semanas y logró juntar la cantidad de $ 12.15. Era tanta su emoción por ser la primera vez que realiza esta acción que se le olvidó exactamente cuantas semanas le llevó ahorrar dicha cantidad. Sólo recuerda que ahorró 25 centavos la primera semana y en cada una de las siguientes ahorró 5 centavos más que la anterior: ¿Durante cuántas semanas " 4 &

2)

4 "

novela que se llama “México y su historia” la cual consta de 1100 páginas en total. | 4 ]|

primer día, 20 el segundo, 30 el tercero, y así sucesivamente: ¿Después de cuántos días están en la misma página?

Matemáticas I

BIII

Sesión B. Sucesiones y series geométricas Criterios a desarrollar en la presente sesión Saber

= /

Reconozco términos de sucesiones geométricas.

Ordeno información de acuerdo con relaciones en series y sucesiones geométricas.

Reconozco la forma algebraica del término n-ésimo de sucesiones geométricas particulares.

59

BIII


60

=

' ©/

término de sucesiones geométricas particulares.

Saber hacer

Determino regularidades y patrones de las sucesiones y series geométricas.

Escribo términos de sucesiones geométricas.

Diseño y aplico modelos sencillos de series y sucesiones geométricas.

4 ' " ©/ /

que caracteriza a una sucesión geométrica particular.

4 ' "

/

Obtengo términos de sucesiones geométricas utilizando la diferencia o aplicando las fórmulas.

& /

particulares.

Del saber ser

4

4

#

8 #

Progresión geométrica 4 ]] Carlos quiere poner un negocio. Para hacerlo requiere de un socio que aporte el capital que falta. Para encontrarlo hizo una lista de 12 personas conocidas que tuvieron ahorros buenos. La primera persona de su lista tiene $1000; la segunda $2000; la tercera $4000 y así sucesivamente como se muestra en el siguiente cuadro. Número de personas

1

2

3

4

…

12

Cantidad de dinero

$1000

$2000

$4000

$8000

…

?

a)

¿Cuánto dinero tiene la séptima persona de la lista?

b)

¿Cuánto dinero tiene la décimo segunda persona?

c)

! #

ejercicio anterior?

d)

¿Existe alguna regla algebraica que exprese las acciones en la serie?

0 ]||| ||| ||| ||| A

4

de la siguiente manera: Número de personas (n)

1

2

3

4

…

12

Cantidad de dinero (a)

1000 (20)

1000 (21)

1000 (22)

1000 (23)

…

(211)

e)

¿Cuánto dinero tendría la vigésima persona?

f)

¿Cuánto dinero tendría la persona 35ª?

g)

¿Cuál es el término general, o el n-ésimo término, que describe el comportamiento de esta sucesión?

Se puede ver que el término general de la sucesión está dado por:

Esta sucesión es un ejemplo de progresión geométrica. Se dice que una sucesión se llama progresión geométrica si el cociente entre dos términos consecutivos cualesquiera es un número constante. Si es el primer término, el último término y r es la razón común de la progresión geométrica, entonces la tabla se transforma del siguiente modo: Número de personas (n)

1

2

3

Cantidad de dinero (an)

4

…

12

…

Matemáticas I

BIII

Por tanto el n-ésimo término de la sucesión esta dado por:

&

geométrica Una sucesión geométrica puede ser de dos maneras dependiendo de la razón:

Las sucesiones crecientes son aquellas cuya razón es mayor que la unidad.

Las sucesiones decrecientes son aquellas cuya razón es menor que la unidad. Ejemplo 1 ¿Cuál es el sexto término de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24, 48,…?

61

BIII


62

Solución:

a)

Encontrando la razón común

b)

Reconociendo los datos a1 = 3, n = 6, y sustituyendo en la expresión general de la progresión geométrica tenemos:

Ejemplo 2: Escribe los primeros 5 elementos de una progresión geométrica cuyo primer elemento es a1= -2 y su razón común Solución:

.

a)

Reconociendo que el primer elemento es a1= -2 y la r =

b)

Multiplicando para obtener los 5 elementos restantes.

.

-2, -3, -9/2, -27/4, -81/8

4 ] Demuestra que las sucesiones dadas son geométricas y calcula su razón común. 1)

2, -4, 8, -16

2)

300, -30, 3, -0.3

3)

4, -6, 9, -13.5

4)

8, 4, 2, 1

5)

5, 25, 125, 625

6)

4, 1.2, 0.36, 0.108

7)

1,

8)

162, -54, 18, -6

9)

1,

10) 2,

4 ]` Escribe los primeros cinco elementos de una sucesión geométrica cuyo primer elemento y razón común están dados a continuación: 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

4 ] Resuelve los siguientes problemas empleando las progresiones geométricas:

1)

Obtén el 7º término de la progresión geométrica 3, 6, 12,…

2)

Encuentra el 6º término de la progresión geométrica 1,

3)

Halla el séptimo término de la progresión geométrica 8, 4, 2,…

4)

Sabiendo que la razón es igual a 2, n = 87 y an= 1280. Hallar el primer término.

5)

¿Qué valores de k hacen que 2k, 5k+2 y 20k-4 sean términos consecutivos de una sucesión geométrica?

6)

4 ] *

duplicará el dinero en los años siguientes: ¿Cuánto dinero recibirá cuando cumpla 24 años?

7)

En un fraccionamiento hay sólo 8 casas y en cada casa hay 8 gatos. Cada gato mata 8 ratones. Cada ratón se comería 8 granos de maíz y cada grano de maíz ' * /

Suma de progresión geométrica Una serie geométrica es la suma indicada de los términos de una sucesión geométrica,es decir; si tenemos la sucesión geométrica 1, 2, 4, 8, 16… la serie geométrica asociada con la sucesión es 1 + 2 + 4 + 8 + 16+... Con lo anterior, podemos darnos cuenta que se puede encontrar una expresión simple para la suma de los términos de una progresión geométrica.

Matemáticas I

BIII

Veamos el siguiente problema para poder deducir la expresión algebraica de la suma de una serie geométrica, que da muestra de lo importante que es contar con una fór ª% ]

primero, 2 granos por el segundo, 4 granos por el tercero, 8 granos por el cuarto, y así duplicando el número de granos dados por cada cuadro inmediato anterior hasta llegar al último: ¿Cuántos granos de trigo se habrán acumulado al llegar al cuadro 64 del tablero de ajedrez?” Una serie geométrica puede expresarse como la suma Sn de los n primeros términos de una progresión geométrica, es decir:

con r 1

Ejemplo 1

Determine la suma de la progresión geométrica cuyo a1 = 3, r = Solución:

a)

Reconociendo que los elementos son:

yn=6

,

63

BIII


64

b)

Utilizando la fórmula

, sustituyendo:

= = =

Ejemplo 2 Mauricio desea casarse con su novia Ofelia, y para ello comienza a ahorrar, apartando $1 el primer día; $2 el segundo día; $4 el tercer día; $8 el cuarto día, y así sucesivamente. 1)

Si continua duplicando la cantidad que aparta cada día: ¿Cuánto debe apartar el decimoquinto día?

2)

Suponiendo que no se le acaba el dinero: ¿Cuál es la cantidad total que ahorra al terminar el día 30? Solución del inciso 1

a)

Reconociendo que los elementos que intervienen son: y

b)

La fórmula a utilizar es: , sustituyendo:

Solución del inciso 2 a)

Reconociendo que los elementos que intervienen son: y

b)

La fórmula a utilizar es

, sustituyendo:

=

4 ] Trabajando en equipos de tres, resuelvan los siguientes planteamientos que se relacionan con progresión y serie geométrica. 1)

En la progresión geométrica 1, 2, 4, 8,…, halla el octavo término y la suma de los primeros ocho términos.

2)

En la progresión geométrica 1, 10, 100, 1000, 10000,…, halla el término décimo y la suma de los primeros 10.

3)

Encuentre los primeros 5 términos de la progresión geométrica a1 = -9 y r = 1 / 2

4)

En la progresión geométrica se conoce a1 = 1, an = -32 / 243 y r = - 2 / 3. Hallar lo términos Sn y n.

5)

El tercer término de una progresión geométrica es 3 y el séptimo término es 3 / 16: ¿Cuál es la razón y el primer término?

Síntesis Resuelve en ternas los siguientes problemas, utilizando la metodología apropiada: 1) Un lado de un triángulo equi2) Un lado de un cuadrado mide 8 látero mide 12 cm; un segundo cm. Los puntos medios de sus triángulo equilátero se inscribe lados se unen para formar un uniendo los puntos medios de cuadrado inscrito y el proceso se los lados del primer triángulo. El continúa como se muestra en la proceso continúa como se indica

perímetros de los primeros seis el perímetro del sexto triángulo cuadrados. equilátero inscrito.

12 cm

8 cm

Realimentación La pirámide de ayuda

Matemáticas I

BIII

{

{

{

$QWHORVUHFLHQWHVKHFKRVRFXUULGRVFRQQXHVWURVKHUPDQRVGH+DLWt\&KLOH QXHVWURSDtVKDSXHVWRHQPDUFKDXQSODQSDUDSURSRUFLRQDUD\XGDGHPDQHUD LQPHGLDWDPHGLDQWHOD&UX]5RMD\RUJDQLVPRVFLYLOHVSLGLHQGRWRGRWLSRGH YtYHUHV SULQFLSDOPHQWH DJXD \ PHGLFLQD 7RGRV \ FDGD XQR GH ORV HVWDGRV KDQGDGRODVIDFLOLGDGHVSDUDTXHWDQORDEOHODERUVHOOHYHDFDER\QXHVWUR HVWDGRFRQODD\XGDGH6HUJLRQRVHKDTXHGDGRDWUiVeOHVXQYROXQWDULR TXHVHKDFDUDFWHUL]DGRSRUGDUVLHPSUHGHVtSDUDD\XGDUDORVGHPiV(VWi HQFDUJDGRGHODUHFHSFLyQGHORVSDTXHWHVGHERWHOODVGHDJXDTXHODJHQWH WUDHSDUDGRQDU6HOHKDSHGLGRTXHORVHVFRUHIRUPDQGRXQDSLUiPLGHFX\D EDVHWHQGUiFDMDVHQIRUPDGHKLOHUDODVLJXLHQWHODVLJXLHQWH\DVt VXFHVLYDPHQWHKDVWDOOHJDUDODSXQWDFRQXQDFDMD6HUJLRGLVSRQHSDUDGLFKR FRPHWLGRGHFDMDV

65

BIII


66

6HUJLR VH SRQH D SHQVDU FyPR UHVROYHUi HVWD VLWXDFLyQ \ UHFXHUGD YDJDPHQWHXQDKHUUDPLHQWDGHVXEDFKLOOHUDWRTXHOHVHUYLUi\KDFHXQGLEXMR SDUDDSR\DUVHSHUROHTXHGDQFLHUWDVLQTXLHWXGHV a)

¿Cuántas cajas con botellas de agua necesitará Sergio para formar su pirámide?

b)

¿Le alcanzará con las cajas que tiene disponibles hasta el momento?, ¿Le sobrará?, ¿Le faltará?

c)

¿Existe alguna expresión matemática que exprese este hecho?

¿Cómo ayudarías a Sergio a resolver ésta situación? En binas ayudemos a Sergio a responder sus preguntas. ¡Manos a la obra!

Evaluación de las competencias Autoevaluación Actividad: Construye e interpreta modelos aritméticos y algebraicos aplicando las propiedades de los números positivos y expresiones aritméticas y algebraicas al resolver problemas cotidianos.

Subraya el puntaje alcanzado.

indagar sobre los conocimientos y habilidades que desarrollaste de los contenidos del bloque III del programa.

Estratégico

100

=

propiedades de los números positivos, expresiones aritméticas y algebraicas en series o patrones numéricos.

4

80

=

procesos de manera elemental en patrones numéricos.

Básico

60

Tiene nociones sobre algunos conceptos y operaciones en patrones numéricos.

Inicial-receptivo

40

Tiene nociones débiles sobre algunos conceptos y operaciones en patrones numéricos.

Nivel pre-formal

20

0

conceptos en patrones numéricos.

4 diciones de establecer los objetivos y metas alcanzados, de acuerdo a las unidades de competencia establecidas, a lo largo del Bloque III y a través de las actividades propuestas en las sesiones que abarcan los contenidos del programa de Matemáticas I. Suma los puntos que alcanzaste y determina qué porcentaje representa del total de puntos que podías haber obtenido y ubícate en algunos de los siguientes niveles.

Matemáticas I

BIII 4 Nivel estratégico: Puedo resolver situaciones y problemas de la vida cotidiana y escolar, /

se relacionan con las series.

100%

Nivel autónomo: Puedo resolver algunas situaciones y problemas de la vida cotidiana y /

relacionan con las series.

80%

Nivel resolutivo: = A

expresiones aritméticas y algebraicas, efectuando operaciones de forma mecanizada.

60%

Nivel inicial-receptivo: Tengo una noción de las propiedades de los números y puedo efectuar operaciones básicas para encontrar series o sucesiones.

40%

Nivel pre-formal: Realizo operaciones aritméticas básicas de forma mecanizada, pero no comprendo las propiedades de los números y no entiendo las expresiones algebraicas para interpretar adecuadamente un patrón numérico o sucesiones.

20%

Realimentación e integración de indicadores de desempeño y evidencias Con base en el proceso de resolución de las actividades anteriores, marca con una X las actitudes que desarrollaste. SI

NO

¿Operas diferentes representaciones de números reales positivos y expresiones algebraicas? ¿Utilizaste expresiones algebraicas para representar relaciones y regularidades entre la cantidad de cajas que necesitas para realizar la pirámide? @ A

con las series y sucesiones? ¿Resuelves expresiones algebraicas correctamente, que tienen que ver con las fórmulas de series y sucesiones? 4 '

pirámide como se indica en el problema planteado? <#

presente bloque y cuál es el que tienes ahora. Escribe en tu cuaderno qué podrías hacer o qué requieres para mejorar el nivel alcanzado.

67

Realizas transformaciones algebraicas I

BIV


=

Ejecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios de una variable.

Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicaciones de binomios.

Comprende las diferentes técnicas de factorización, como de extracción de factor común y agrupación; de trinomios cuadrados perfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados perfectos.

Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización.

Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos.








4

determinar o estimar su comportamiento.

=

4

#

4 ' bitos local, nacional e internacional.

BIV


70

Dinamización y motivación 4 bre conceptos numéricos, operaciones matemáticas y un nivel inicial sobre el álgebra. Resuelve correctamente lo que se indica.

Contextualización Seguramente te has dado cuenta de que, en ocasiones, mediante un simple cálculo matemático puedes conocer el resultado de algún problema en particular; por ejemplo, si un niño para crecer sanamente debe de consumir 33 unidades de proteínas al día y el plátano le proporciona 3 unidades de proteínas, ¿cuántos plátanos debe de consumir al día? Por medio de una simple división puedes realizar el cálculo, es decir, solamente necesitas dividir el número de proteínas que requiere el niño al día entre el número de proteínas de cada plátano, o lo que es lo mismo 33/3 = 11, es decir, se requiere consumir 11 plátanos al día para crecer sanamente. Sin embargo, no todos los problemas los podemos resolver de una manera tan sencilla. Considera, por ejemplo, el siguiente:

Para crecer sanamente un niño debe de consumir, además de las 33 unidades de proteínas descritas en la situación anterior, 20 unidades de grasas. Si el plátano le proporciona 3 unidades de proteínas y 4 de grasas y la manzana 6 unidades de proteínas y 2 de grasas, ¿cuántos plátanos y cuántas manzanas debe de consumir al día?

Este problema para ser resuelto requiere de plantear correctamente algunas expresiones que involucren tanto números como algunas literales.


=

variable.

=

Comprende las técnicas de extracción del factor común simple y por agrupación.

Comprende las técnicas de factorización basadas en productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos

Del saber hacer

Ejecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios en una variable.



Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados, y de trinomios cuadrados perfectos.

Establece relaciones entre procesos inversos al multiplicar y factorizar.

Del saber ser

Valora la conveniencia de anticipar resultados al multiplicar binomios mediante patrones establecidos.

<#

'

Propón maneras creativas de solucionar un problema.

Reconoce tus errores en los procedimientos algebraicos y busca solución.

Problematización Continuando con el problema anterior si p representa el número de plátanos y m representa al número de manzanas que debe de consumir un niño al día responde las siguientes cuestiones: 1)

Una expresión que representa al número de proteínas por el número de plátanos es:

2)

b) 4p c) 3p d) 2p Una expresión que representa al número de grasas por el número de plátanos es:

3)

b) 4p c) 3p d) 2p Una expresión que representa al número de proteínas por el número de manzanas es:

4)

b) 4m c) 3m d) 2m Una expresión que representa al número de grasas por el número de manzanas es:

5)

b) 4m c) 3m d) 2m Una expresión que representa al total de proteínas por los plátanos y las manzanas es:

a) 6p a) 6p a) 6m a) 6m

a) 6p + 3p b) 4p + 2m c) 3p + 6m d) 2m + 6m 6) Una expresión que representa al total de proteínas por los plátanos y las manzanas es: a) 6p + 3p

b) 4p + 2m

c) 3p + 6m

d) 2m + 6m

2 puntos por cada respuesta correcta.


desarrollo de los contenidos del bloque I del programa.

Estratégico

9-10

=

de los números y expresiones algebraicas en operaciones básicas.

4

7-8

=

de manera elemental.

Básico

5-6

Crea o Formula o Construye nociones sobre algunos conceptos y operaciones básicas con expresiones algebraicas.

Inicial-receptivo

2-4

Crea o Formula o Construye nociones débiles sobre algunos conceptos y operaciones básicas con expresiones algebraicas.

Nivel pre-formal

0-1

0

básicos con expresiones algebraicas.

Matemáticas I

BIV

Sesión A. Operaciones de polinomios con una variable En nuestra vida cotidiana, por lo general, calculamos valores de cantidades desconocidas; por ejemplo, imagina que vas de paseo con unos compañeros a la “gran plaza” y llevas $200 pesos. Con ese dinero compras dos hamburguesas de $17 pesos cada una, un refresco con valor de $10 pesos, un helado que tiene un costo de $15 pesos y luego entras al cine a ver la película Avatar 4 \

¿Cómo plantearías el problema para buscar el costo de la entrada del cine?

71

BIV


72

Una manera de responder la primera pregunta sería que a los $200 le restamos $34 del costo de las hamburguesas, después le quitamos $25 del costo del refresco y el helado y por último le quitamos los $86 de lo que te quedó. Realizando estas operaciones, sabemos que el costo de la entrada al cine fue de $55 pesos. Para responder a la segunda pregunta sería de gran ayuda plantear el problema utilizando números, letras y signos, en donde las letras 4

Álgebra, la cual puede ser considerada como la aritmética generalizada. Si imaginamos que el costo de la entrada al cine es C, entonces la expresión que representa la solución del problema podría ser C = 200 – 34 – 10 – 15 – 86 o bien 200 = 34 + 10 + 15 + C + 86

Introducción al Álgebra 4 ]

1)

Imagina que en un salón de clases hay 48 alumnos entre hombres y mujeres. Considerando la información anterior, completa la siguiente tabla escribiendo el número faltante. Total de alumnos

Hombres

48

21

48 48

Mujeres

14 44

48

32

48

10

48

24

2)

Si Z es el número de alumnos que se encuentran en el salón, ¿Cuál es la expresión que representa la cantidad de alumnos con R hombres y Q mujeres?

3)

Si en el salón se integran dos hombres más, ¿cuál es la expresión que representa el número de alumnos en el salón, considerando los datos anteriores?

4)

Francisco tiene $120 y 3 hermanos, todos juntos van a desayunar en la fonda “El rey de las hamburguesas”, y a cada hermano le compra dos hamburguesas de $17 cada una y un refresco de $8. a.

Escribe las operaciones para calcular lo que gasta Francisco por las hamburguesas y el refresco de un hermano.

b.

Escribe las operaciones para calcular lo que gasta Francisco por las hamburguesas y los refrescos de sus tres hermanos.

c.

Escribe las operaciones para calcular lo que le sobró a Francisco después de pagar las hamburguesas y los refrescos de sus tres hermanos

Imagina que cada hamburguesa cuesta H pesos y el refresco R pesos, escribe lo que paga Francisco por las hamburguesas y los refrescos de sus tres hermanos, y la expresión que representa lo que le queda a Francisco después del pago. Gastos

Sobrante

4

y números se le conoce como término algebraico. Un término algebraico es una expresión compuesta por números concretos y letras que también representan números relacionados entre sí mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Los elementos que lo conforman son los siguientes: Grado del término

+ 3x7

Signo

Literal

Coeficiente

El grado de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. 4 / _3 es de cuarto grado

4 Para la siguiente tabla, completa los elementos que faltan en el espacio correspondiente. Término

Signo del

Parte

algebraico

término

numérico

literal

4x3

+

4

-5xy2

3 x, y

6a2b3c

Grado

Matemáticas I

BIV

6 -

7

&

algebraicas Una expresión algebraica se encuentra formada por las operaciones de suma o resta de diferentes términos.

La expresión algebraica

sión

contiene tres términos, en cambio la expre

contiene

términos.

73

BIV


74

Expresión algebraica

Monomio es la expresión algebraica que tiene un solo término

2 xy 3; 3abc ; 2a 5 3 r

Polinimio es la expresión algebraica que tiene dos o más términos

Los polinomios que tienen dos términos se conocen como binomios

3 a 3 -2 ; 3x 2+ 4 x 5 Los polinomios que tienen tres términos se conocen como trinomios

2

x + 5x - 2

4 ` Escribe sobre la línea una M si la expresión algebraica representa un monomio, una B si es binomio, una T si es trinomio, una P si es polinomio o N si no es ninguno de los anteriores. 1.- 2x2 +3x -3

4.- (5d – 3)(6d + 1)

7.-

3

2.- 9t -2

5.- a + b + c + d

3.- 5xy2z

6.- q-2 + q

8.-

9.- ab – cd

Utilizar términos algebraicos facilita representar los datos desconocidos de un problema. Para poder representar los datos es necesario traducir de lenguaje común a lenguaje algebraico. En ocasiones los magos utilizan las expresiones algebraicas para adivinar el número que pensaste.

4 Trabajando en parejas, completa la siguiente tabla escribiendo cómo se representan los siguientes enunciados en forma aritmética y forma algebraica. Enunciado

Forma aritmética

Forma algebraica

Piensa en un número Súmale 5 4 Súmale treinta Divide entre dos el resultado anterior Réstale el número que pensaste Tú resultado es Compara con otros compañeros tu resultado y analiza ¿por qué son iguales?

4 Reúnete en binas y escribe cómo se representan los siguientes enunciados en lenguaje algebraico. 1)

El número de alumnos del primer semestre

2)

Una cantidad aumentada en cuatro

3)

La diferencia de dos cantidades

4)

El producto de dos cantidades

5)

El triple del cubo de un número

Operaciones con polinomios de una variable 4 \ En una prueba de ciclismo contra reloj, los competidores que ocuparon los primeros tres lugares hicieron recorridos de 1000 metros a las siguientes velocidades: Velocidad

Lugar

Nombre

1°

Juan

10.20

2°

Pedro

10

3°

Luis

9.52

m/seg

1)

¿Cuál es la distancia1 que recorre Juan en 15 seg?

2)

¿Cuál es la distancia que recorre Luis en 30 seg?

3)

¿Cuál es la distancia recorrida por el ciclista Pedro en un tiempo de t seg?

4)

¿Cuál es la distancia recorrida por el ciclista Juan en un tiempo de t seg?

5)

¿Cuál es la distancia recorrida por el ciclista Luís en un tiempo de t seg?

6)

¿Cuál es la expresión algebraica que represente la distancia total que recorrieron los tres ciclistas en un tiempo de t seg?

Matemáticas I

BIV

Existen expresiones algebraicas que tienen términos con la misma par ferentes, estos términos se les conocen como términos semejantes, por ejemplo: son términos semejantes , no son términos semejantes ,

1

Nota: La distancia se calcula multiplicando la velocidad por el tiempo.

75

BIV


76

En la situación anterior la representación de la respuesta del inciso f se puede expresar como 10.20 t + 10 t + 9.52 t o de la forma sencilla 29.72 t

términos semejantes 10.20 t + 10 t + 9.52 t = 29.72 t 4 /

4 _ % / 1)

2c + 4a – 3b + 5a – 2c =

2)

4xy – 2x2 + 5yx – 3x2 =

3)

2.4y3 – 4x2 + 3.2y3 + 3.7x2 =

4)

10m2 – 3m + 4 + 5m – 8 – 10m2 =

5)

4ctividad de aprendizaje 8 & x

x

a

n

n

x

2x-1

3 x +2

x P=

3 a+5

5 x -2 a

x

m

m

a

2x

n

a P=

P=

P=

P=

Suma y resta de polinomios 4 ¢ Felipe y Gaspar son dos personas dedicadas en la siembra de maíz. En la primera semana ]+

x

x

x

2

2x

5

2

x

5x x

x

7

7x

2

3x

10 Figura 2 Figura 1

6

1)

Expresa algebraicamente el área total que sembró Felipe y Gaspar en la primera semana.

2)

Expresa algebraicamente el área total que sembró Felipe y Gaspar en la segunda semana.

3)

& 4 ¨ w

dos semanas?

4)

Si Felipe y Gaspar desean sembrar en tres semanas un área total de 4x2 + 20x + 13, ¿Cuál es la expresión algebraica que represente el área que deben sembrar en la tercera semana?

En la situación anterior se realizaron las operaciones de reducción de términos semejantes entre polinomios, es decir, la suma y resta de polinomios.

Suma Para efectuar la suma de dos o más polinomios se requiere reducir términos semejantes de los polinomios que se suman. Es importante que los polinomios que se suman se ordenen todos con respecto a una misma letra, ya sea en forma descendente o ascendente; es decir, que los exponentes de una letra elegida vayan aumentando o disminuyendo de uno en uno. Ejemplo 1: Efectúa la suma de los polinomios indicados: 4x3 – 8 + 6x2 – x4 – 9x; 2x – 4x2 – 5 + x3 – x4; -5x3 -2x4 + 19 + 3x – x2 Solución: Ordenando los polinomios en forma descendente con respecto a x y colocándolos en renglones tenemos:

Matemáticas I

BIV

− x 4 + 4x 3 + 6x 2 − 9x− 8 3

− x 4 + x − 4x 2 + 2x − 5 −2x 4 − 5x 3 − x 2 + 3x + 19 De donde al reducir términos semejantes resulta: -4x4 + x2 – 4x + 6 Ejemplo 2: Efectúa la suma de los polinomios indicados:

3m − 2n + 3 6n + 4p − 5 8n − 5 m − n − 4p 4m + 11n −7 Se recomienda al facilitador explicar más ejemplos si es necesario, antes de pasar a la actividad.

77

BIV


78

4 ]|

Efectúa las siguientes sumas con polinomios. Sumar: 1.

3x2 – 7x + 5; -4 + 3x – 5x2

2.

a3 + a; a2 + 5; 7a2 + 4a; -8a2 – 6

3.

-7m2n + 4n3; m3 + 6mn3 – n3; -m3 + 7m2n + 5n3

4.

3xy – 6a + b; 2a – 5b + xy; 4b – 7xy + a+5

5.

x4 – 2x3 + 7x2 – 5 + 8x; -x3 – 4x – 2x4 – 7x2 + 11

6.

9a2 – 2a -2a3 + 1; 5 – 7a + 3a3; a3 – a -7 – 5a2

7.

4x2 – 2xy + y2 – 5; -2xy – 3y2 + 2 – 5x2; 4xy + y2 – 5x2

8.

–am + 6mn – 4s; 6s – am – 5mn; -2s -5mn + 3am

Resta Toda resta puede expresarse como una suma aplicando la regla: x – y = x + (-y) Para realizar la operación, se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay. Ejemplo 1: Resta 4a2b de – 5a2b Solución: Se escribe el minuendo – 5a2b y a continuación el sustraendo 4a2b con el signo cambiado y tenemos: – 5a2b – 4a2b = - 9a2b Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiándoles el signo a todos sus términos Ejemplo 2: De 4x – 3y + z restar 2x + 5z - 6 Solución: La sustracción se indica incluyendo el sustraendo en un paréntesis precedido del signo menos (-), así: 4x – 3y + z – (2x + 5z – 6) Se deja el minuendo con sus propios signos y a continuación se escribe el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos y tendremos: 4x- 3y + z – 2x – 5z + 6 Reduciendo los términos semejantes, tendremos como resultado: 2x – 3y – 4z + 6

Ejemplo 3. De 10x2 – 6x4 + x – 10 – x3 restar -10x4 + 8x3 – 7x – 4 + 5x2 Ordenando los polinomios con respecto a x en forma descendente y aplicando la regla de la resta resulta:

− 6x 4 + 10 x 4 + 4x 4

− x4 − 8x3 − 9x3

+ 10 x 2 − 5x 2 + 5x 2

+ x + 7x + 8x

− 10 + 4 − 6

Se recomienda al facilitador explicar más ejemplos si es necesario, antes de pasar a la actividad.

4 ]] Efectúa las siguientes restas con polinomios De: 1.

6x2 + 3y2 – 7x + 4y – 2 restar 2x2 – y2 – 7x + 8

2.

x3 – x2 + 6 restar 5x2 – 4x + 6

3.

5m3 – 9n3 + 6m2n – 8mn2 restar 14mn2 – 21m2n + 5m3 - 18

4.

x2 + y2 – 3xy restar –y2 + 3x2 – 4xy

5.

ab + 2ac – 3cd – – 4ac + 8ab – 5cd + 5de

restar

6.

5a4 + 9a3b – 40ab3 + 6b4 restar 7a3b + 5ab3 – 8a2b2 + b4

7.

x3 – 6x4 + 8x2 – 9 +15x restar 25x + 25x3 – 18x2 – 11x5 - 46

8.

m6 + m4n2 – 9m2n4 + 19 restar -13m3n3 + 16mn5 – 30m2n4 – 61

5

Multiplicación

Matemáticas I

BIV

La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad. El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto. ' 4mética, se cumple también en Álgebra. 4 ab puede escribirse ba; el producto abc puede escribirse también bac o acb. Ésta es la Ley Conmutativa de la multiplicación. Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. 4 abcd = a x (bcd) = (ab) x (cd) = (abc) x d @ 4 Ley de los Signos Distinguiremos dos casos: 1)

Signo del producto de dos factores. En este caso la regla es: Signos iguales dan + y signos diferentes dan –

79

BIV


80

En efecto:

2)

a.

(+a) x (+b) = +ab

b.

(-a) x (+b) = -ab

c.

(+a) x (-b) = -ab

d.

(-a) x (-b) = +ab

El signo del producto de más de dos factores. En este caso la regla es: a.

El signo del producto de varios factores es + cuando tiene un número par de factores negativos o ninguno. 4 7©? 7©? 7©? 7©?

b.

El signo del producto de varios factores es – cuando tiene un número impar de factores negativos. 4 7©? 7©? 7©? ©

Ley de los exponentes 4 ] Imagina que tienes un negocio de cría de conejos y empiezas comprando una pareja de éstos, los cuales durante el primer semestre tienen tres parejas. Vendes la pareja original y te 4

Si los conejos se siguen reproduciendo de la misma forma y siempre vendes la pareja de los conejos adultos y te quedas con los recién nacidos, ¿cuántos parejas de conejos nacerán en el quinto semestre?

Recuerda: Una expresión de la forma 35 al número 3 se le llama base, y al número 5 se le llama exponente.

Si los conejos se reproducen de la misma forma se tiene que en el primer semestre nacen tres parejas, en el segundo semestre en cada pareja nacen tres es decir 3 x 3 = 32 = 9 parejas, en el tercer semestre nacerán 9 x 3 parejas o, dicho de otra forma 3 x 3 x 3 = 33 = 27 parejas, etc. La cantidad de parejas de conejos que nacen cada semestre en el criadero se pueden representar en la siguiente tabla: Semestre

Cantidad de parejas de conejos que nacen

1

3

2

3 x 3 = 32

3

3 x 3 x 3 = 33

4

3 x 3 x 3 x 3 = 34

5

3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 35

Reúnete en binas y completa la siguiente tabla imaginando ahora que nacen b parejas de conejos. Semestre

Cantidad de conejos que nacen

1

b

2

bxb=b2

Semestre

Cantidad de conejos que nacen 2

3

b x b x b = b x b = b3

4

b2 x b2 = ____

5

___ x ____ = b 5

6

___ x b2 = ____

7

b x b x ___ x b2 = b7

Observa que en la actividad anterior se realizó un producto de monomios, donde la base b se conserva y los exponentes se suman, es decir: Ley de los Exponentes Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores 4

4 x a3 x a2 = a4+3+2 = a9 En efecto: a4 x a3 x a2 = aaaa x aaa x aa = a9 La multiplicación de expresiones algebraicas se puede presentar de tres maneras:

Multiplicación de monomios %

factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.

Matemáticas I

BIV

Ejemplo 1: Multiplica: 3a2b por -4b2x Solución: (3a2b )(-4b2x) = (-3 x 4) (a2b1+2x) = -12a2b3x Ejemplo 2: Multiplicar: ax+1bx+2 por -3ax+2b3 (ax+1bx+2) (-3ax+2b3) = -3ax+1+x+2bx+2+3 = -3a2x+3bx+5

Multiplicación de polinomios por monomios La multiplicación de un polinomio por un monomio es una generalización de la multiplicación de los números enteros. Un concepto para asemejar este producto es el de áreas de rectángulos.

4 ]` 1)

²

de x. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del rectángulo?

81

BIV


82

=

x

x

2)

x

x

x

x

1

1

1

Si observas, el rectángulo está formado por tres piezas, un cuadrado y dos rectángulos. a.

&

, .

b.

¿Cuáles son sus áreas? .

,

,

,

Por lo tanto se puede mencionar que el área del rectángulo original es igual a la suma de las partes que lo forman, es decir: (x+2)(x) = x2+2x De lo anterior se puede decir que:

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos. Ésta es la Ley Distributiva de la multiplicación Ejemplo1: Multiplica: 3x2 – 6x + 7 por 4ax2 Solución: Imagina un rectángulo que tiene una base de 3x2 – 6x + 7 y una altura de 4ax2

4ax2

3x2

– 6x

7

(4ax2)( 3x2) =12ax4

(4ax2)(–6x) = -24ax3

(4ax2)( 7) = 28ax2

Si multiplicamos el monomio de la columna por cada término del polinomio se obtiene las áreas de las partes que lo forman.

Entonces: 4ax2 (3x2 – 6x + 7) = 12ax4 - 24ax3 + 28ax2 Ejemplo 2: Multiplica 6x2 +2x – 4 por 2x4 Solución: De manera similar al ejemplo anterior, imaginemos un rectángulo que tiene una base de 6x2 +2x – 4 y una altura de 2x4 y multiplicando el monomio por cada término del polinomio se obtiene: 6x2

2x

-4

2x4 Entonces: 2x4 (6x2 +2x – 4)=

,

Multiplicación de polinomios por polinomios Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la Ley de los Signos, y se reducen los términos semejantes. Ejemplo1: Multiplica: 2x – y + 3z por x – 3y – 4z Solución: De manera similar como en el caso del producto de un polinomio por un monomio, podemos considerar un rectángulo con base 2x – y + 3z y altura x – 3y – 4z y multiplicando cada término de la base por los términos de las columnas se tiene: 2x 2

-y

3z

x

2x

-xy

3xz

-3y

-6xy

3y2

-9yz

-4z

-8xz

4yz

-12z2

Ordenando y reduciendo los términos semejantes de los productos obtenidos se tiene:

Matemáticas I

BIV

Ejemplo 2: Multiplica: am+2 – 4am – 2am+1 por a2 – 2a Solución: considerar un rectángulo con base am+2 – 4am – 2am+1 y altura a2 – 2a, multiplicando cada término de la base por los términos de las columnas se obtiene: am+2 2

a

– 2a

a(m+2) +2 = am+4 -2a(m+2) +1 = - 2am+3

– 4am m+2

-4a

– 2am+1 -2a(m+1) +2 = - 2am+3

8am+1

Recuerda que en un producto se suman los exponentes, es decir: (am+2) ( a2)= a(m+2) +2 = am+4

4a(m+1) +1 = 4am+2

Ordenando y reduciendo los términos semejantes de los productos obtenidos se obtiene:

Se recomienda al facilitador explicar más ejemplos si es necesario, antes de pasar a la actividad.

83

BIV


84

4 ] De acuerdo a los tres casos ya vistos de la multiplicación, efectúa las siguientes multiplicaciones. Multiplica: 1.

x2y3 por – 4y3z4

2.

4xa+2ba+4 por -5xa+5ba+1

3.

m4 – 3m2n2 + 7n4 por -4m3x

4.

a4 – 6a3x + 9a2x2 – 8 por 3bx3

5.

m3 – 4m + m2 – 1 por m3 + 1

6.

x2 – 2xy + y2 por xy – x2 + 3y2

7.

3a5 – 6a3 +2a2 – 3a + 2 por a4 – 3a2 + 4a - 5

8.

xn+1 + 2xn+2 – xn+3 por x2 + x

Síntesis 1)

a.

La suma de tres números consecutivos

b.

La suma de cuatro números consecutivos

c.

La suma de cinco números consecutivos

2)

Pedro compró 8 cuadernos a n pesos cada uno, si al pagar le descontaron el precio de 2 cuadernos ¿Cuánto pagó?

3)

Rosa y Tere fueron al supermercado, Rosa compró 3 kg de manzanas y Tere compró 2 kg de manzanas y 3 kg de uvas. Cada una pagó con un billete de $100. Si el kilogramo de manzanas cuesta n pesos, y el de uvas m pesos, ¿Cuánto recibió de cambio cada una?

4)

En el siguiente cuadrado mágico la suma de las líneas horizontales, verticales y diagonales, es igual a 12a – 18b. '

efectivamente cada línea suma 12a – 18b. 2a – 3b

10a – 15b

12a -18b

4a – 6b

-2a + 3b

5)

6a – 9b

En equipos encuentren la expresión algebraica que representa el área de las si

m

m

n

n

m A=

n

A=

A=

6)

mando como base las anteriores:

a) m A=

m

m

n

b) n

m

n m

n

n

A=

n

c) m A=

m 7)

n

n

m

Una fábrica produce azulejos de tres tamaños diferentes. Las dimensiones de los azulejos son como las que se muestran enseguida:

Matemáticas I

BIV

a

a

1 a

a.

1

1

< '

con azulejos: Figura 2

Figura 1

4

4

a

a

+ 1

A=

Figura 4

Figura 3 2

2

2

2 a

A=

1

A=

a

+ 1

1

A=

85

BIV


86

Figura 4

Figura 3 2

2

2

2 a

a

+ 1

A=

8)

1

A=

b.

/

c.

%

algebraicas?

d.

4 ªa

7 ` ?

¿cómo son los resultados en cada caso?

+ ' / braicamente sus áreas. Figura 1

Figura 2

Figura 3

m

m

n m

9)

a.

b.

n

n

Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: 4 + 12

4

2x

a.

¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo verde claro?

b.

¿Cuál es el perímetro y el área del rectángulo verde claro?

c.

¿Cuál es el perímetro y el área de la parte verde oscuro?

4 10) Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: 4 ' x x

x

Plataforma

4

De acuerdo con las dimensiones que se indican en los modelos: a.

¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la plataforma?

b.

¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la plataforma?

c.

¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la plataforma?

d.

Si x es igual a 50 cm, ¿cuál es el perímetro y área de la plataforma?

Sesión B. Productos notables Desarrollo de criterios Del saber

=

Del saber hacer


Del saber ser

Valora la conveniencia de anticipar resultados al multiplicar binomios, mediante patrones establecidos.


Reconoce sus errores en los procedimientos algebraicos y busca solucionarlos.

En la sesión anterior se realizaron productos entre dos polinomios, en la cual se utilizo el concepto de áreas de rectángulos o cuadrados para facilitar este producto.

Matemáticas I

BIV

Existen algunos productos cuyo resultado se puede obtener de manera directa 4 productos notables. Entre este tipo de productos se encuentran: el binomio al cuadrado, binomios conjugados y binomios con un término común.

Binomio al cuadrado Ejemplo 1: Si consideramos un cuadrado que tiene una longitud de (x + 1) por lado se tiene que el área es: x

1

Área = L. L Área = L2

x

x2

x

1

x

1

Área = (x + 1)2 Área = x2 + 2x + 1

Es decir, (x + 1)2 = (x)2 + 2(x)(1) + (1)2 (x + 1)2 = x2 + 2x + 1

87

BIV


88 Ejemplo 2:

Si consideramos un cuadrado que tiene una longitud de (x + 2) por lado ¿de cuánto es su área? x 2

Área = L. L

2

Área = L2

x

x

2x

Área = (x + 2)2

2

2x

4

Área = x2 + 4x + 4

Es decir, (x + 2)2 = (x)2 + 2(x)(2) + (2)2 (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 De manera general, si consideramos un cuadrado que tiene una longitud de (a+b) por lado, calculamos que su área es de: a

b

a

(a)2

(a)(b)

b

(a)(b)

(b)2

(a + b)2 = (a)2 + 2(a)(b) + (b)2

De lo anterior se puede establecer que: El producto de un binomio al cuadrado es igual a: 1)

El cuadrado del primer término = (a)2 Más

2)

El doble producto del primer término por el segundo término = 2(a)(b) Más

3)

El cuadrado del segundo término = (b)2

Ejemplo 3: 4 'A a)

(4a + 5b2)2 Solución: Cuadrado del 1er término: Doble del 1º por el 2º término: Cuadrado del 2º término: Es decir:

b)

(4a)2 = 16a2 (2) (4a) (5b2) = 40ab2 (5b2)2 = 25b4 (4a + 5b2)2 = 16a2 + 40ab2 + 25b4

(4a2 – 3b3)2 Cuadrado del 1er término: Doble del 1º por el 2º término: Cuadrado del 2º término: Es decir:

(4a2)2 = 16a4 (2) (4a2) (- 3b3) = - 24a2b3 (3b3)2 = 9b6 (4a2 – 3b3)2 = 16a4 - 24a2b3 + 9b6

4 ] Efectúa los siguientes binomios al cuadrado en tu libreta: a)

(5a- 9b)2 =

b)

(12x2y + 8y2)2 =

c)

(15m3n4 – 2mn2)2 =

d)

(73a3b2c + 4abc5)2 =

e)

(1 – 32tz3)2 =

Binomios conjugados

en este caso vamos a deducir la regla de un producto de binomios de la forma (a + b) (a – b) conocidos como binomios conjugados, donde dos términos son iguales y los otros simétricos. Por ejemplo (-4x + 5) (-4x – 5)

4 ]\ Escribe cinco ejemplos de binomios conjugados. 1) 2) 3) 4) 5)

Matemáticas I

BIV

4 ]_ Reúnete en binas y realiza los siguientes productos de binomios conjugados y escribe la regla para realizar dichos productos. 1)

Calcula el producto de (x -2) por (x + 2) Solución: Si utilizamos el procedimiento de áreas de rectángulos, tenemos que la base es y la altura Realizando el producto y reduciendo los términos semejantes se obtiene que: (x – 2) (x + 2) =

2)

Calcula el producto de (3x -5) por (3x + 5) Solución: Utilizando el procedimiento similar al anterior ejemplo se obtiene Realizando el producto y reduciendo los términos semejantes se obtiene que: (3x + 5)(3x - 5) =

89

BIV


90 3)

Calcula el producto de (a - b) por (a + b) Solución: Utilizando el procedimiento similar al anterior ejemplo se obtiene Realizando el producto y reduciendo los términos semejantes se obtiene que: (a

4)

–

b)(a

+

b)

=

¿Cuál es la regla para calcular el producto de dos binomios conjugados?

7 ² ? 7 ³ ? 7?2 – (b)2 Ejemplo 1: 4 a)

(2a + 3b) (2a – 3b)

Solución: (2a + 3b) (2a – 3b) = (2a)2 – (3b)2 (2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 – 9b2

b)

El producto de un binomio por su conjugado es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo, es decir, (a + b) (a – b)= (a)2 – (b)2

(5m3 – 10n7) (5m3 + 10n7)

Solución: (5m3 – 10n7) (5m3 + 10n7) = (5m3)2 – (10n7) 2 (5m3 – 10n7) (5m3 + 10n7) = 25m6 – 100n14

Recuerda que cuando se eleva una potencia, la base se conserva y los exponentes se multiplican: (a5)2 = a(5)(2) = a10

4 ] Efectúa los siguientes binomios conjugados en tu libreta: a)

(5a + 10b) (5a - 10b) =

b)

(6x2y5z + 40tx3y) (6x2y5z - 40tx3y) =

c)

(12mn4 – 9m3n5) (12mn4 + 9m3n5) =

d)

(10x2y4z8 + 15xy5z3) (10x2y4z8 - 15xy5z3) =

e)

(13m2n8 – 1) (13m2n8 + 1) =

Producto de binomios con un término común Otro tipos de productos, donde se puede aplicar una regla para determinar su producto, es el de los binomios que tienen un término en común, por ejemplo (2x – 2) (2x + 8), que el término 2x se encuentra en ambos binomios.

4 ]¢ Escribe cinco ejemplos de binomios con término común. 1)

4)

2)

5)

3) 4 nomios conjugados se puede observar que: El producto de los binomios (x + a) (x + b) que tienen un término común es igual: 1)

El cuadrado del término común: (x)2 Más

2)

El producto del término común por la suma de los no comunes: (a+b) x Más

3)

El producto de los términos no comunes: (a)(b)

Matemáticas I

BIV

Es decir: (x + a) (x + b) = x2 + (a+b) x + (a)(b) Ejemplo 1: 4

/ A 'A ductos. a)

(x3 – 12) (x3 – 3) Solución: 4

1)

El cuadrado del término común: (x3)2 = x6 Más

2)

El producto del término común por la suma de los no comunes: = -15x3

(-12 - 3) x3

Más 3)

El producto de los términos no comunes: (-12)(-3) = 36 Se obtiene: (x3 – 12) (x3 – 3) = x6 – 15x3 + 36

91

BIV


92 b)

(2x +8)(2x – 10) Solución: 4 (2x +8)(2x – 10) = (2x)2 + (8 - 10) (2x) + (8)( -10 ) % (2x +8)(2x – 10) = 4x2 - 4x - 80

4 | Realiza los siguientes binomios con un término común en tu libreta: a)

(x – 10) (x + 8) =

d)

(5x2 + 12) (5x2 – 10) =

b)

(a + 20) (a – 6) =

e)

(7mn3 – 3) (7mn3 – 11) =

c)

(3m – 4) (3m + 9) =

Sesión 3. Factorización de expresiones algebraicas Criterios a desarrollar Del saber

Comprende las técnicas de extracción de factor común simple y por agrupación.

Comprende las técnicas de factorización basadas en productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos.

Del saber hacer


Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados, y de trinomios cuadrados perfectos.

Establece relaciones entre procesos inversos al multiplicar y factorizar.

Del saber ser

<#

'


Reconoce sus errores en los procedimientos algebraicos y busca solucionarlos.

Imagina que se te pide construir un rectángulo cuyas dimensiones sean números enteros y su área sea de 20 unidades cuadradas. > 4 ¨ rar iguales, así como los rectángulos B y D, C y E se consideran iguales, es decir: 44 | ]

4F = 1 x 20 4B

4D = 4 x 5 4C ]|

4E = 2 x 10

Recuerda que cuando dos números se multiplican para formar otro, a estos se les conoce como factores, es decir, los números 1, 2, 4, 5, 10 y 20 son los factores del número 20. A

C D B E

F

Ejemplo 1: Expresa el número 30 por medio de sus factores primos Solución: 30 = 2 x 3 x 5 Ejemplo 2: Expresa el número 50 por medio de sus factores primos Solución: 50 = 2 x 5 x 5 o 2 x 52 Ejemplo 3: Factoriza la expresión 10 x2 y3 Solución: 10 x2 y3 = (2) (5) x. x. x. y .y. y Ejemplo 4: Halla el máximo común divisor de 50 y 75

Matemáticas I

BIV

Recuerda: Los números primos son aquellos que solo pueden ser divididos por la unidad y ellos mismos. Ejemplo: 2, 3, 5, 7, etc.

Solución: Los factores primos de los números 50 y 75 son

50 = 2x 5 x 5

75 = 3x 5 x 5

Recuerda: El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números es el producto de los factores primos que se encuentran en ambos números.

De lo anterior se tiene que el M.C.D. = 5 x 5 = 52 = 25 Ejemplo 5: Halla el M.C.D. de los siguientes términos 15a3b4 y – 45a5b2 Solución: Expresando los factores de los términos se tiene 4

15 a3 b = 3. 5. a. a. a. b b. b. b. 5 2

-45a b = -3. 3. 5. a. a. a. a. a. b. b.

93

BIV


94

Por lo tanto el M.C.D. = 3. 5. a. a. a. b. b Es decir, M.C.D. = 15. a3 b2 Utilizando el lenguaje algebraico, al máximo común divisor de dos o más términos algebraicos se le conoce como factor común de los términos. Con base a esto se puede observar que el factor común de dos o más tér $&!

menor exponente Recuerda:

Ejemplo 6:

y ,

de manera general:

Descomponer en factores: a2 + 2a

Escribimos el factor común a / + tro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir cada término del polinomio entre el factor común y obtendremos: a2 + 2a = a(a + 2) Ejemplo 7: Descomponer en factores: 6xy3 – 9nx2y3 + 12nx3y3 – 3n2x4y3 Factor común 3xy3 6xy3 – 9nx2y3 + 12nx3y3 – 3n2x4y3 = 3xy3 (2 – 3nx + 4nx2 – n2x3)

4 ] En tu libreta, descomponer en factores lo siguiente: a)

15y3 + 20y2 – 5y =

b)

96 – 48mn2 + 144n3 =

c)

55m2n3x +110m2n3x2 – 220m2y3 =

d)

9a2 – 12ab + 15a3b2 – 24ab3 =

e)

3a2b + 6ab – 5a3b2 + 8a2bx + 4ab2m =

Factor común por agrupación de términos Ejemplo 1: Descomponer ax + bx + ay + by Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y 4 / / A

otro, precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y obtendremos: ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) = x (a + b) + y(a + b) = (a + b) (x + y)

Ejemplo 2: Descomponer 2x2 – 3xy – 4x + 6y Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común 2 4 / / A

otro, precedido del signo - porque el tercer término tiene el signo – para lo cual hay que cambiarles el signo y tendremos: 2x2 – 3xy – 4x + 6y = (2x2 – 3xy) – (4x – 6y) = x (2x – 3y) – 2 (2x – 3y) = (2x – 3y) (x – 2)

4 En tu libreta, descomponer en factores lo siguiente: a)

3m2 – 6mn + 4m – 8n =

d)

6ax + 3a+ 1 + 2x =

b)

am – bm + an – bn =

e)

2a2x – 5a2y + 15by – 6bx =

3

2

4a – 1 – a + 4a =

c)

Trinomio cuadrado perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales 4 2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2a Obsérvese que (-2a)2 = (-2a)(-2a) = 4a2; luego -2a es también la raíz cuadrada

Matemáticas I

BIV

de 4a2 Lo anterior nos dice que una cantidad positiva tiene dos raíces, las cuales sólo

Un trinomio ordenado en relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y el segundo es el doble producto de sus raíces cuadradas. Ejemplo 1: a2 – 4ab + 4b2 es cuadrado perfecto porque:

Raíz cuadrada de a2 es a

Raíz cuadrada de 4b2 es 2b

El doble producto de estas raíces: 2(a) (2b) = 4ab, que es el 2º término

Ejemplo 2: 36x2 – 18xy4 + 4y8 no es cuadrado perfecto porque: Raíz cuadrada de 36x2 es 6x

Raíz cuadrada de 4y8 es 2y4

El doble producto de estas raíces: 2(6x) (2y4) = 24xy4, que no es el 2º término

95

BIV


96

4 ` En tu libreta, descomponer en factores lo siguiente: x2 + 6x + 9 =

a)

2

b)

9x + 30x + 25 =

c)

49m6 – 70am3n2 + 25a2n4 =

d)

121 + 198x6 + 81x12 =

e)

a2 – 24am2x2 + 144m4x4

Diferencia de cuadrados perfectos En los productos notables se vio que la suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea (a + b) (a – b) = a2 – b2; luego recíprocamente, podemos enunciar la siguiente: a2 – b2 = (a + b) (a – b) Ejemplo: Descomponer: 16x2 – 25y4

Raíz cuadrada de 16x2

es 4x

Raíz cuadrada de 25y4

es 5y2

Multiplicamos la suma de estas raíces (4x + 5y2) por su diferencia (4x – 5y2) y obtendremos:

16x2 – 25y4 = (4x + 5y2) (4x – 5y2)

4 En el siguiente espacio, descomponer en factores lo siguiente: 1)

m2 – 9n2 =

2)

16x2 – 36y2 =

3)

49 – x2 =

4)

(y – 3)2 – 16x2 =

5)

4 x2 - 25 y2 = 9

16

Realimentación 4

sesiones del presente bloque: I.

Por parejas relacionen las columnas. Las respuestas están ordenas de mayor a menor exponente. Para todos los incisos:

4 3 – 3x + x2 + 6,

B = 3x3 + 18 – 5x2 + 7x

a.

4 ² 3

( ) 5x3 – 11x2 + 17x + 30

b.

4 ³ 3

( ) - x3 + 7x2 - 13x - 6

c.

3 ³ 4

( ) 2x3 – 6x2 + 10x + 12

d.

4 ² 3

( ) 8x3 – 8x2 + 8x + 48

e.

4 ² 3

( ) 4x3 – 12x2 + 20x + 24

f.

4 ³ 3

( ) -2x3 + 6x2 - 10x - 12

g.

3 ³ 4

( ) -8x3 + 8x2 - 8x – 48

h.

3 ³ 4

( ) 7x3 – 9x2 + 11x + 42

i.

4 ² 3

( ) 4x3 – 4x2 + 4x + 24

j.

©4 ³ 3

( ) 5x3 – 3x2 +

II.

x + 30

Individualmente, resuelve lo siguiente: 1)

Halla el perímetro del siguiente rectángulo

(3n) cm

Matemáticas I

BIV

P=

(2n + 14 ) cm 2)

Halla el área del siguiente rectángulo:

(3n - 2) pies

A=

(5n + 6 ) pies 3)

Halla el área y el perímetro del siguiente cuadrado: A= P=

(7x - 2 )

4)

Si a + b = 8 y a – b = 5; entonces a2 – b2 = R=

97

BIV


98 5)

Halla el perímetro y el área de rectángulo:

(2x - 3)

2

(3x - 9x + 6 ) 6)

Halla el valor de x2 + y2; si x+ y = 6, x – y = 48 R=

7)

Si 8x + 6y = 10, entonces 4x + 3y = R=

8)

Si x + y = b, y x – y = 1, entonces x2 – y2 = R=

9)

Resuelve lo siguiente, de acuerdo a productos notables y factorización:

III. ¿Estás de acuerdo? Marca con una X si los siguientes son o no binomios al cuadrado. SI 1)

(3r – 1)2 = 9r2 – 6r + 1

2)

(5s3 – s)2 = 25s6 + 10s4 + s2

3)

(-5 – p)2 = 25 – 5p + p2

4)

(4t2 + 3)2 = 16t2 + 24t + 9

5)

(x – 1)2 = x2 – x + 1 2

IV.

NO

2

¿Estás de acuerdo? Marca con una X si los siguientes trinomios son o no cuadrados perfectos. SI 2

1)

a + 6a + 3

2)

a2 – 6a + 9

3)

r2 - 25

4)

b16 + 2b8 + 1

5)

– x10 + 8x5 + 4

NO

Realimentación e integración de indicadores de desempeño y evidencias Con base en el proceso de resolución de las actividades anteriores, marca con una X las actitudes que desarrollaste. SI ¿Perseveraste en la resolución de las actividades? ¿Trabajaste de manera grupal? ¿Trabajaste de manera individual? ¿Comentaste con algunos de tus compañeros las posibles formas de llegar a la respuesta? ¿Tuviste la iniciativa de exponer con el facilitador tus estrategias para resolver alguna actividad? ¿Proporcionaste ayuda a tus compañeros para que entiendan la resolución de las actividades? ¿Te hubiera gustado pasar a la pizarra a exponer los procedimientos que te condujeron a algún resultado? ¿Tuviste problemas para resolver alguna actividad? ¿El facilitador te apoyó cuando le pediste ayuda?

NO

Matemáticas I

BIV

¿El ambiente que generaron tus compañeros te motivó a participar?

99

Realizas transformaciones algebraicas II

BV


Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma x² bx + c y ax² + bx + c con a µ | ] ' quieren combinar técnicas.

Expresa trinomios de la forma x² + bx + c y ax² + bx + c como un producto de factores lineales.

= '

Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores.

< ' ' nes y la división de polinomios.

Obtiene factores comunes, factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos.

' '

y la división de polinomios.

Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.





Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y el análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos contrastándolos con modelos establecidos o situaciones reales.

4


=

4

#

BV


10 102


Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos como producto de factores lineales. »

Trinomios de la forma x2 + bx + c.

»

Trinomios de la forma ax2 ² ² µ | ]

»

Polinomios que requieren combinar técnicas.

= '

< ' ' nes y la división de polinomios.

Del saber hacer

Expresa trinomios de la forma x2 + bx +c como producto de factores lineales.

Expresa trinomios de la forma ax2 + bx +c, con a µ 0, 1, como producto de factores lineales.

Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores.

Obtiene factores comunes mediante la factorización y reducción de las técnicas aprendidas.

Ejecuta divisiones entre polinomios.

' '

y la división de polinomios.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones en lenguaje común, sim

Utiliza las tecnologías para procesar e interpretar información.

Construye hipótesis y diseña o aplica modelos.

Del saber hacer

4

' car o interpretar resultados.

4 " des inherentes dentro de distintos equipos de trabajo.

4A

Sesión A. Factorización de trinomios Contextualización Hasta ahora, en esta asignatura, debes de tener en claro ciertas cuestiones algebraicas entre las que se encuentran: qué es una variable y una constante, qué es un monomio, qué es un polinomio y cuáles son sus subdivisiones (binomio, trinomio), las expresiones lineales y cuadráticas, así como los productos notables y algunas formas de factorización, como lo son: el monomio de factor común, el de agrupación de términos, el de diferencia de cuadrados y el Trinomio Cuadrado Perfecto. Sin embargo, todavía no terminamos, aún hay más para aprender acerca de la factorización.

Problematización

4"

a)

x2 + 3x + 2

b)

6x2 + 5x + 1 ¿Cómo las resolverías?

1.

4 ' '

resolver con monomio factor común? Una vez que lo hayas intentado, responde: ¿Cuál es la razón o razones que permiten o impiden que sean resueltas bajo esta técnica?

2.

¿Las podrías resolver con agrupación de términos? Una vez que lo hayas intentado, responde: ¿Cuál es la razón o razones que permiten o impiden que sean resueltas bajo esta técnica?

3.

¿Las podrías resolver como un Trinomio Cuadrado Perfecto? Una vez que lo hayas intentado, responde: ¿Cuál es la razón o razones que permiten o impiden que sean resueltas bajo esta técnica?

4.

¿Las podrías resolver por diferencia de cuadrados? Una vez que lo hayas intentado, responde: ¿Cuál es la razón o razones que permiten o impiden que sean resueltas bajo esta técnica?

Matemáticas I

BV

Como te habrás dado cuenta, aún existen expresiones que no puedes resolver mediante los métodos de factorización conocidos hasta ahora, pero no te preocupes, ahora es momento de aprenderlos.

103

BV


10 104

Trinomio de la forma x2 + bx + c Características de las expresiones de la forma x2 + bx + c a)

Son trinomios aquellos que constan de tres términos.

b)

El término de la izquierda consta de una variable, es decir, una letra elevada a la potencia cuadrada, o sea elevado a la 2, además de tener una constante o número igual a 1, razón por la cual no se pone en el término. Recuerda que cuando el A / /

no escribirse.

c)

El término de en medio consta de la misma variable de a elevada a la potencia 1, así como de una constante, que representa a cualquier número racional, entero, negativo o positivo.

d)

El término de la derecha es una constante, no contiene variable o letra, solo es un número que representa a cualquier racional, entero, negativo o positivo (no pueden ser números irracionales). ¿Cómo se resuelven?

Lo primero que debes hacer es descomponer el término cuadrático en una multiplicación de términos lineales. Recuerda que en una multiplicación de términos semejantes (mismas letras) los exponentes se suman, por lo tanto: Si tengo x2 se puede representar como (x)(x), si tengo y2 se puede representar como (y)(y), si tengo z2 se puede representar como (z )(z). Tomando en cuenta que no se trata de una multiplicación de monomios sino de polinomios, dicha expresión debe estar delimitada por paréntesis: (x

) (x

)

4" / A * " 2 + 3x + 2. Debemos de hallar dos números, éstos deben cumplir las siguientes condiciones: a)

La suma o resta aritmética de acuerdo al signo que los números contengan tendrá A

b)

La multiplicación (aplicando la ley de los signos) de acuerdo al signo que los números contengan tendrá que dar como resultado el término de más a la derecha, es decir, el término independiente o aquel que no contiene variable. ¿Cuáles serían los números en este caso?

Si lo analizamos, sabremos que si tomamos el número 2 positivo y el 1 positivo nos daremos cuenta que:

Para el inciso a) la condición se cumple, ya que 2 + 1 = 3

Para el inciso b) la condición también se cumple, ya que (+2) (+1) = 2

Luego entonces, el resultado de factorizar la expresión x2 + 3x + 2 dará como resultado (x +2) (x +1) Ejemplo 1 Factoriza la siguiente expresión: t2 + t – 12 1)

El primer paso es descomponer en factores mediante paréntesis el término cuadrático, esto es: (t

2)

) (t

)

El segundo paso es encontrar dos números cuya suma o resta según los signos

que tengan den como resultado el término de en medio, es decir 1 positivo y que además esos mismos números den como resultado de su multiplicación (aplicando la ley de signos de acuerdo a los signos de dichos números) el término de la derecha, el término lineal, es decir -12. Usando la aritmética elemental nos damos cuenta de que ambos números podrían ser – 3 y +4 4 Para el término de en medio -3 + 4 = + 1 (Sí lo cumple) Para el término de la derecha (-3) (+4) = - 12 (Sí lo cumple) Por lo tanto, la factorización de la expresión t2 + t – 12 sería (t-3) (t+4) ¿Qué sucedería si invertimos los números de la expresión, es decir, si en lugar de poner (t – 3) (t + 4) lo expresamos como (t+4) (t-3)? ¿Sería el mismo resultado? < ¨ 4 /

que se deba? ¿Qué conclusión podrías hallar? Ejemplo 2 Factoriza la siguiente expresión a2 – 8a + 12 1)

Lo primero es descomponer en factores mediante paréntesis el término cuadrático, esto es:

2)

4" A A

den como resultado el término de en medio: ocho negativo y que además esos mismos números den como resultado de su multiplicación (aplicando la ley de signos de acuerdo a los signos de dichos números el término de la derecha), el término lineal: doce positivo.

(a

) (a

)

Usando la aritmética elemental notamos que ambos números podrían ser – 2 y -6 Veamos si cumplen las condiciones

Matemáticas I

BV

Para el término de en medio -2 -6 = - 8 (Sí lo cumple) Nota: Recuerda que en sumas y en restas no se aplica la ley de signos, simplemente se suman o se restan en negativo o en positivo según corresponda, es decir, si tienes el número 2 con signo negativo y luego el número 6 con signo negativo, el resultado es ocho negativo. La ley de signos se aplica para la multiplicación, la división, las potencias y las raíces Para el término de la derecha (-2) (-6) = + 12 (Sí lo cumple) Nota: En este caso sí se aplica la ley de signos, ya que se trata de una multiplica ¤

igual a positivo. Por lo tanto, la factorización de la expresión a2 – 8a + 12 seria (a-2) (a-8) .

Trinomio de la forma ax2 + bx + c Características de las expresiones de la forma ax2 + bx + c a)

Son trinomios aquellos que constan de tres términos

b)

El término de la izquierda consta de una variable, es decir, una letra elevada al cuadrado, es decir, elevada a la 2, además de tener una constante o número diferente a 1 (si fuera igual a 1, sería de la forma x2 + bx + c).

c)

El término de en medio consta de la misma letra que en a) elevada a la potencia 1, así como de una constante, que representa cualquier número racional, entero, negativo o positivo (si tienes el número 2 con signo negativo y luego el número 6 con signo negativo, el resultado es 8 negativo).

105

BV


10 106 d)

El término de la derecha es una constante que no contiene variable o letra, sólo es un número que representa a cualquier racional, entero, negativo o positivo (no podrían ser números irracionales). ¿Cómo se resuelven?

Lo primero que debes hacer es descomponer el término cuadrático en una multiplicación de términos lineales, tanto en su exponente como en sus factores. Recuerda que en una multiplicación de términos semejantes (mismas letras) los exponentes se suman, por lo tanto: Supongamos que la expresión fuese 6x2 + 7x + 2 El primer paso es descomponer el termino cuadrático, si tenemos 6x2 este puede ser descompuesto como 2x positivo y 3x positivo ya que si multiplicamos (2x)(3x) = 6x2 4"

"

que coloques los factores de una forma escalonada, esto es: 2x 3x Hasta aquí estamos bien. Si al multiplicar ambos factores obtienes el término de la izquierda con su respectivo signo constante y variable al cuadrado, quiere decir que vas por buen camino. 4" / A

constante, que para nuestro caso es 2, para poder hallar dos números que al multiplicarlos incluyendo sus signos nos den como resultado dicho número. Utilizando la aritmética elemental determinamos que dichos números podrían ser el 1 positivo y el 2 positivo. Veamos (+1)(+2) = +2, se cumple la condición. Coloquemos, entonces, los números que hemos encontrado como factores del término independiente (el de la derecha) a un lado de los números que ya habíamos encontrado como factores del término cuadrático (el de la izquierda), esto es: 2x

+1

3x

+2

Recordemos que

(2x)(3x) = 6x2 y además que (1)(2) = 2

6

"

los factores encontrados o el orden de colocación de los números factores es el correcto, lo siguiente es multiplicar los números de forma cruzada, aplicando la ley de signos y posteriormente reduciendo términos semejantes. Si la multiplicación cruzada y posterior reducción de términos nos da como resultado el término de en medio, la factorización fue correcta. Veamos el ejemplo que nos concierne

4" / camos, es decir: 4x + 3x = 7x El término de en medio era 7x, recordemos que la expresión era 6x2 + 7x + 2, lo cual quiere decir que los factores encontrados así como la colocación de los mismos fue la correcta, entonces, tomemos de forma lineal los factores: (2x +1) (3x +2) (2x +1) (3x +2) es el resultado de la factorización de 6x2 + 7x + 2. 4 A < den en el que acomodemos los factores? Respondamos a dicha pregunta con un ejemplo:

Supongamos sea la misma expresión 6x2 + 7x + 2 y que sean los mismos factores, ya que, como se observo anteriormente, la multiplicación de los factores dan los resultados deseados tanto para el término de la izquierda, el cuadrático, así como para el término independiente, el de la derecha, pero si ponemos los factores en un orden distinto al que teníamos anteriormente, por ejemplo: 2x

+2

3x

+1

Obviamente sabemos que (+2x)(+3x) = +6x2 y que (+2)(+1) = +2. Hasta ahí vamos bien, pero, ¿qué pasará cuando multipliquemos de forma cruzada?

O bien, cuando reduzcamos términos semejantes +2x + 6x = + 8x. 8 ² _ ² _ µ

ello, que el orden aplicado fue el incorrecto y por lo tanto sí importa el orden de colocación de los factores. Ejemplo 1 8x2 – 6x – 5 1)

El primer paso es descomponer en factores mediante paréntesis el término cuadrático, esto es 8x2. 8x2 se puede descomponer como (8x)(1x), (1x)(8x), (2x)(4x) o bien como (4x)(2x) ¿Qué opción se debe elegir? ¿Cómo saber qué opción de factores escoger? No se tiene una respuesta en este aspecto, en realidad podría ser cualquier factor, lo importante para determinar si la elección fue la correcta o no, es cuando realizamos la multiplicación cruzada con la consiguiente reducción de términos semejantes, es ahí cuando nos daremos cuenta si los factores elegidos así como el orden de los mismos al acomodarlos fue el correcto.

Matemáticas I

BV

Para este caso, elijamos la última opción (4x)(2x) = 8x2. Escribiremos los factores de forma escalonada: 4x 2x 2)

4" A '

resultado el término de la derecha, esto es -5. Los factores podrían ser (+1)(-5) = -5 o bien (-5)(+1) = -5, trabajemos con la segunda descomposición de factores, es decir (-5)(+1), como hemos mencionado con anterioridad, ahora te repetimos que no hay una regla que nos diga cuál de los factores elegir, puede ser elegido cualquiera siempre y cuando cumpla con la regla de que al multiplicar de forma cruzada así como al reducir términos semejantes nos de como resultado el término de en medio. Escribiremos estos factores de forma escalonada: 4x

-5

2x

+1

Es momento de exponer la multiplicación de forma cruzada:

107

BV


10 108

4" /

² ³ ]| ©\ Recordemos que la expresión original era 8x2 – 6x – 5, el término de en medio es -6x, por lo tanto, la elección de los factores ya que la forma de acomodarlos fue la indicada, tomemos los factores que habíamos buscado en forma lineal, esto quiere decir que la factorización de 8x2 – 6x – 5 es (4x-5) (2x+1).

4x - 5 Tomamos los factores de forma lineal

2x + 1 Ejemplo 2 Factoriza la siguiente expresión: 6x2 – 17x + 5 1)

El primer paso es descomponer en factores mediante paréntesis el término cuadrático, esto es 6X2 8X2 se puede descomponer como (6x)(1x), (1x)(6x), (2x)(3x) o bien como (3x)(2x) ¿Qué opción se debe elegir? ¿Cómo saber que opción de factores escoger? No se tiene una respuesta en este aspecto, en realidad podría ser cualquier factor, lo importante para determinar si la elección fue la correcta o no, es cuando realizamos la multiplicación cruzada con la consiguiente reducción de términos semejantes, es ahí cuando nos damos cuenta si los factores elegidos, así como el orden de los mismos fue el correcto. Para este caso, elijamos la última opción (2x)(3x) = 6x2 Escribiremos los factores de forma escalonada: 2x 3x

2)

Encontremos dos números cuyos factores al multiplicarlos nos den como resultado el término de la derecha, esto es 5. Los factores podrían ser (+1)(+5) = +5, (-1)(-5) = +5, (-5)(-1) = +5 o bien (+5) (+1) = +5, tomemos la segunda descomposición de factores (-5)(-1), como hemos mencionado antes, te recordamos que no hay una regla que nos diga cuál de los factores elegir, puede ser elegido cualquiera siempre y cuando cumpla con la regla de que, al multiplicar de forma cruzada y reducir términos semejantes nos dé como resultado el término de en medio. Escribiremos estos factores de forma escalonada: 2x

-5

3x

-1

Es momento de exponer la multiplicación de forma cruzada:

4" /

© ³ ] ©]_ Recordemos que la expresión original era 6x2 – 17x + 5, el término de en medio es -17x, por lo tanto, la elección de los factores y su forma de acomodarlos fue la indicada, tomamos los factores en forma lineal que habíamos buscado, esto quiere decir que la factorización de 6x2 – 17x + 5 es (2x-5) (3x-1)

2x - 5 Tomamos los factores de forma lineal

3x - 1

4 ] 1)

& A 7 'to, x2 + bx + c, ax2 + bx + c).

Expresión

Tipo de trinomio

!"

2

1. a + 3a + 2 2. 2x2 + 13 x + 15 3. m2 + 6m + 9 4. 4x2 - 5x – 6 5. x2 + 2x – 3 6. x2 + 7x + 12 7. t2 + 12t + 36 8. 2a2 + 19a + 5

2)

3)

Resuelve en equipos de cuatro personas los siguientes ejercicios. Toma en cuenta que posteriormente los explicarás al resto de la clase. Recuerda que serás evaluado tanto por tus compañeros como por tu profesor en cuanto a tu forma de exponer, tu solución e interpretación de los resultados de tus ejercicios. a.

x2 + 14x + 49

b.

x2 + 10x + 16

c.

a2 – 7a + 10

d.

m2 + 2m – 15

e.

t2 + t – 56

Matemáticas I

BV

Resuelve en equipos de cuatro personas los siguientes ejercicios. Toma en cuenta que posteriormente los explicarás al resto de la clase. Recuerda que serás evaluado tanto por tus compañeros como por tu profesor con respecto a la forma en que expusiste, así como la solución e interpretación de los resultados de tus ejercicios. a.

25x2 + 25x + 6

b.

14x2 - x -4

c.

2a2 – 15a -8

d.

6m2 - 23m +7

e.

109

BV


11 110

Síntesis 4" ' '

a)

Monomio factor común

b)

4 /

c)

Diferencia de cuadrados

d)

Trinomio Cuadrado Perfecto 4 / '

e)

Trinomio de la forma x2 + bx + c

f)

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Como mencionamos anteriormente, ambas pueden ser similares y a a vez tener sus diferencias: las similitudes que podemos encontrar están en que ambos son trinomios, ambos tienen un término elevado al cuadrado, un término elevado a la potencia uno (término lineal) y un término independiente, número solo. Las diferencias subyacen en la forma de solucionarlos: mientras que, en primer lugar, en el trinomio de la forma x2 + bx + c hay que encontrar dos números que sumados o restados según sus signos nos den como resultado el término de en medio; los mismo números, al multiplicarse aplicando la ley de signos, nos tendrán que dar como resultado el término lineal; por un lado en el trinomio de la forma ax2 + bx + c hay que encontrar dos factores para el término de la izquierda, el término cuadrático y dos factores para el término de la derecha, el término lineal, así como acomodarlos de forma escalonada y posteriormente multiplicar de forma cruzada; por otro lado tenemos que atender la ley de signos, ya que una vez realizada la multiplicación hay que reducir términos semejantes, si dicha reducción da como resultado el término de en medio, el término lineal, entonces tomamos los factores de forma lineal y éstos serán el resultado de la expresión.

4 De las exposiciones que a continuación realizaran por equipo tus compañeros sobre factorizaciones de la forma x2 + bx + c y de la forma ax2 + bx + c (actividad 2 y 3), elige de entre todos : Se distinguió la diferencia entre las expresiones de la forma 2

x + bx + c y de la forma ax2 + bx + c. Equipo I II III IV V VI VII

Valor

Argumentación

Sesión B. Fracciones algebraicas simples Contextualización Después de haber estudiado los casos básicos sobre productos notables y factorización es 'nes algebraicas simples. A

de fracciones como la siguiente: 6/36. ¿Sabes cuál es el resultado equivalente? Es correcto responder que 1/6. Pero si se te proporciona una fracción algebraica como la siguiente:

&

fracción 6/36? Como podrás observar, se requiere de una técnica más avanzada para resolver este tipo de ejercicios. Dicho tema, desde nuestro punto de vista, es muy difícil de aplicar para resolver algún problema de tu casa, en la calle o en tu trabajo; seguramente te preguntarás, ¿si no lo aplico en la vida cotidiana, dónde lo puedo aplicar? ¿Para qué me va a servir? Nuestra respues

4

que la escuela no forma parte de la vida real, pero dicha noción es errónea, si bien es difícil

no se pueda aplicar a la realidad, de hecho, esa realidad son las actividades que realizas en tu salón de clases. En el caso de la fracción:

Matemáticas I

BV

se puede observar que el numerador es un trinomio de la forma x2+bx+c. ¿Recuerdas cómo se factoriza? Si no lo recuerdas, recurre a la sesión anterior de la guía para que

7²?7²`? $

denominador es una diferencia de cuadrados perfectos. ¿Recuerdas cómo se factoriza? Si no, " `

dimiento que te llevará al siguiente resultado: (x+2)(x-2). Por lo tanto, la fracción se reescribe

Problematización Te invitamos a poner en práctica todos tus conocimientos en los siguientes ejercicios.

111

BV


11 112

4 ` %

a.

b.

Una fracción algebraica es aquella que consta de un numerador y un denominador en forma de polinomio; a este tipo de fracciones se les aplica las mismas propiedades de los números racionales. @ ' ' dor y del denominador. Es importante que recuerdes que una expresión racional está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes. Después de haber analizado las bases de estudio de este tema, te proponemos las siguientes actividades para poner en práctica tus saberes. En las actividades a desarrollar en equipos, te sugerimos que te solidarices con tus compañeros para llegar a la solución correcta.

4 1)

2)

< ' 'ciones algebraicas. a.

b.

c.

< '

algebraicas. a. b. c. d. e.

Síntesis Hagan una retroalimentación y socialización de los ejercicios que fueron resueltos en equipos para puedan saber cuántos resolvieron de forma correcta (1 punto por cada ejercicio) así como argumentar las razones aquellos ejercicios en los cuales no hayan factorizado correctamente. Ejercicio

Valor

Argumentación

a b c d e

Realimentación las siguientes actividades que serán evaluadas mediante una lista de cotejo. 1)

Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos en términos de p y de u según sea el caso.

2

P + 9p+20

2)

2

2u + 5u+3

Matemáticas I

BV

Escribe sobre la línea la palabra correcto en las expresiones que están debida incorrecto realizando tam/ a.

b.

c.

d.

113

Resuelves ecuaciones lineales I


=

una variable y una función lineal, así como la relación entre ellas.

Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable.

Reconoce a y = mx + b como una ecuación de dos variables como la forma de una función lineal.

4 /

función lineal.

Modela situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función lineal.

Redacta y resuelve problemas relativos a situaciones que requieran el uso de ecuaciones lineales en una variable y/o funciones lineales.

Describe el comportamiento de las variables y/o resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o funciones lineales;

4 ' /

'

!

de una función lineal.

Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.

BVI



¦






4


=

4

#

BVI


11 116

Dinamización y motivación En el presente bloque, se pretende que comprendas las ecuaciones lineales y su representación, así como la importancia que tienen en tu vida cotidiana. Nuestra unidad de competencia nos indica lo que debemos adquirir a lo largo de este camino. Te planteamos las siguientes situaciones, donde aplicarás los conceptos que conoces desde tu educación básica. Sobre estos ejercicios o problemas tú conoces la respuesta, pero no tienes los elementos necesarios que te '

Contextualización 8 < / puesta explicando el razonamiento que te condujo a dicha solución. 1)

4 " ª/

este momento?”, a lo que su hermano contesta por maldad: “el doble de mi edad más los años que tienes ahora ]¢ * / 4

hermano? Lo podrías decir por simple deducción o inspección.

2)

Don José acaba de adquirir una parcela y lo único que sabe de ella es: El largo del terreno es igual al triple de su ancho | 4 ! /

el ancho de su parcela.

3)

43&

¶ · ¸ A X°

B

4)

Inicio ¿ ? 5)

50°

30°

C

¿Cuál es el número que pertenece al rectángulo del inicio en esta secuencia de instrucciones?

Multiplícale 2

Suma 30

Divide por 9

Número final 70

Martín tiene una soga de 60 metros de largo y decide dividirla en 4 tramos, uno es para él y los otros tres para el resto de sus hermanos. Él realizó la división de la soga de la siguiente manera: “El segundo tramo es dos veces la longitud del primer tramo, la longitud del tercer tramo es dos veces la longitud del segundo tramo y la longitud del cuarto tramo es de 4 metros”. Si Martín toma el tercer tramo, ¿Cuál es la longitud en metros del tramo de Martín? Tramo 3 Tramo 2 Tramo 1

Tramo 4

Sesión A. Ecuaciones lineales Criterios a desarrollar en la presente sesión Del saber

4

Describo técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable.

Del saber hacer

4 /

Formulo y soluciono problemas, con técnicas algebraicas, en situaciones que se representan mediante ecuaciones lineales.

Del saber ser

4 /

4 '

Propongo maneras creativas de solucionar un problema.

Desarrollo de criterios Es inevitable que día con día nos enfrentemos a situaciones donde el uso de números y canti 4

un descuento sobre el valor de una prenda, evidentemente tendrá que calcular su precio restando el descuento (el valor desconocido); o bien, con el cambio que deberá recibir (cantidad desconocida) al pagar con un billete después de haber realizado compras de diversos artículos. Como te habrás dado cuenta, es común utilizar aquellas cantidades que son desconocidas en nuestra vida cotidiana y de ahí viene la importancia de estudiarlas adecuadamente.

Matemáticas I

BVI

Una muestra de todo lo que comentamos le sucedió a un compañero tuyo llamado Luis. Él es un buen estudiante del Colegio de Bachilleres, lo que le ha valido ganarse una beca ¦ 4" |||| ra. Por otro lado, sus papás establecieron un ahorro de $35,500 que le entregarán justo en el momento que Luis iniciara sus estudios universitarios. Tu compañero sabe que el costo anual de la universidad es de $22,000. Si la carrera que escoge tiene una duración de 5 años, ¿cuánto dinero le faltará reunir para concluir sus estudios? Sin duda, hablamos de un problema donde se involucra una cantidad clave, la cual podemos llamar incógnita o valor desconocido. Veamos: para saber lo que se te pregunta necesitamos hacer uso de un razonamiento sencillo: “Dinero faltante más la beca más el ahorro es igual al costo total de la carrera”, y de unos cálculos operacionales básicos: “Dinero faltante + $40,000 + $35,500 = $22,000(5)”, lo que nos permite deducir que: “Dinero faltante = $110,000 – $75,500 = $34,500” donde Dinero faltante es un valor desconocido que llamaremos x, quedando las expresiones anteriores como sigue: “x + $40,000 + $35,500 = $22000(5)” y “x = $110,000 – $75500 = $34,500”.

! En la actividad anterior planteamos enunciados expresados en lenguaje común y los transformamos en lenguaje algebraico, para lo cual nos valemos de variables, signos y símbolos que nos ayudan a construir una expresión algebraica. Si en cualquiera de esas expresiones algebraicas usamos el símbolo = esa expresión se transforma en una ecuación. 4

gran utilidad en el manejo de las ecuaciones.

117

BVI


11 118

=

siones algebraicas. Esto es: a = d + c,

x = - 6, etc.

Ecuación: Es la igualdad entre dos expresiones algebraicas. Estas expresiones son denominados miembros y en ellas aparecen valores llamados incógnitas o valores desconocidos, así como valores conocidos. Los valores conocidos pueden ser tanto números enteros como fraccionarios. Esto es: Segundo miembro Primer miembro Ecuación con una incógnita

3x + 1 = 9 + x & `

y los números 1 y 9 representan las cantidades conocidas. También podemos tener ecuaciones con 2 o más variables. Esto es: Segundo miembro Primer miembro Ecuación con una incógnita

2x + 3y = 9y + x En este caso, las letras x e y ` ¢

son también cantidades conocidas. 1)

=

términos de su valor. Ejemplo:

2)

Grado de una ecuación: En las ecuaciones de una sola incógnita, el grado de una ecuación representa el máximo exponente que tiene la incógnita. Ejemplo:

La expresión algebraica es una ecuación de grado uno, en virtud de que el exponente mayor de la variable x es 1. El término ecuación lineal se aplica para referirse a las ecuaciones de grado primero o ecuaciones de primer grado. Raíz o solución: Se denomina así a los valores de las incógnitas que, al sustituirlas, convierten a la ecuación en identidad. Ejemplo: En la ecuación su raíz es x = 7 ya que se obtiene al sustituir

, o sea

Clases de ecuaciones 1)

Ecuación numérica: Es aquella que, salvo las incógnitas, carece por completo de letras. Ejemplo:

2)

Ecuación literal: En esta ecuación, además de las incógnitas, se encuentran otras letras, las cuales representan cantidades conocidas. Ejemplo:

3)

Ecuación entera: Es aquella en que ninguno de los términos de esta ecuación tiene un denominador diferente de uno. Ejemplo:

4)

Ecuación fraccionaria: Es aquella cuyos términos tiene un denominador diferente de uno. Ejemplo:

Resolución de una ecuación 4 de aprendizaje 1 4 /

adecuado y responde cada una de las preguntas realizadas. “Hay 31 piedras en tres cerritos. La primera tiene 5 menos que la tercera y la segunda tiene 15 más que la tercera. ¿Cuántas piedras hay en cada cerrito?”

1)

¿En la solución de su problema realizaron la operación suma?

2)

¿En la solución de su problema realizaron la operación resta?

3)

¿En la solución de su problema realizaron la operación división?

Matemáticas I

BVI

Decimos que una ecuación está resuelta cuando se encuentran los valores de las incógnitas. Sin embargo, no todas las ecuaciones tienen solución, pues en algunos casos, los

" 4

que existen varios valores que satisfacen la ecuación. Hemos aprendido que para resolver problemas requerimos de hacer varias operaciones con números, basándonos en ciertas reglas. Estas reglas, que son proposiciones acep 4 ples y lógicos se pueden usar para resolver problemas más elaborados.

119

BVI


12 120

Para trabajar en la solución de ecuaciones lineales se deben tener en cuenta algunas reglas o propiedades de igualdad. Las propiedades de la igualdad son: a)

Propiedad idéntica: % / #

se establece que el valor de toda cantidad equivale a sí misma. Ejemplo:

b)

Propiedad simétrica: Consiste en el cambio del orden de los miembros sin que ello altere la igualdad. Ejemplo:

6 + 12 = 6 + 12

3 + 4 = 7 entonces 7 = 4 + 3 c)

Propiedad transitiva: Cuando dos iguales comparten un mismo miembro, lo que lleva a la conclusión que los otros dos son los mismos en ambas igualdades. Ejemplo:

d)

Propiedad uniforme: En esta propiedad se establece que la igualdad se conserva aunque aumente o disminuya la misma cantidad en ambos miembros. Ejemplo:

e)

Propiedad cancelativa: Establece que cuando se suprime dos elementos iguales en ambos miembros, la igualdad permanece inalterada. Ejemplo:

f)

Propiedad distributiva: Determina que multiplicar una suma por un número arroja un resultado equivalente a multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos. Ejemplo:

Veamos algunos ejemplos resueltos para comprender los métodos que hay para solucionar una ecuación lineal. El primero aplica las propiedades de la igualdad de las operaciones de números reales y enseguida el segundo método que consiste en la transportación / ' 7/ ? 0 /do a escoger, las cantidades que tengan la incógnita van en el primer miembro de la ecuación y las cantidades conocidas van en el segundo miembro. Método 1: Ejemplo 1 7x + 8 = 2x - 7

Ecuación dada.

7x - 2x + 8 = 2x – 2x - 7

4 ' <

elemento en la igualdad.

5x + 8 = - 7

Cancelando términos iguales y reduciendo términos semejantes.

5x + 8 – 8 = -7 - 8

4 ' <


5x = - 15

Cancelando términos iguales y reduciendo términos semejantes.

4 ' !


x=-3

Cancelando términos iguales y dividiendo numéricos.

Método 2: Ejemplo 1 7x + 8 = 2x - 7

Ecuación dada.

7x - 2x + 8 = - 7

Se trasponen las variables desconocidas al primer miembro cambiándolas a la operación inversa.

5x + 8 = - 7

Reduciendo términos semejantes.

5x = -7 - 8

Se trasponen las cantidades conocidas en el segundo miembro cambiándolas de operación

5x = - 15


Se traslada el número 5 al segundo miembro de la igualdad con su operación contraria.

x=-3

Dividiendo términos numéricos.

Para nuestro siguiente ejemplo, emplearemos el método 2 dejando a tu criterio la utilización del método 1 en la solución de ecuaciones lineales. El segundo ejemplo propuesto hace referencia a las ecuaciones lineales con operaciones indicadas. Estas se les llama así, porque incluyen a los signo de agrupación: ( ) Paréntesis, [ ] Corchetes, { } Llaves o _ Guión mayor. Método 2: Ejemplo 2 Resolver la ecuación

Ecuación dada.

x + 3x – 3 = 6 – 8x – 12

Se realiza la multiplicación indicada para eliminar los paréntesis.

4x – 3 = - 8x – 6


4x + 8x – 3 = - 6

Se trasponen las cantidades desconocidas en el primer miembro cambiándolas a la operación inversa.

12x – 3 = - 6


12x = - 6 + 3

Se trasponen las cantidades conocidas en el segundo miembro cambiándolas a la operación inversa.

12x = - 3


Se traslada el número 12 al segundo miembro de la igualdad con su operación contraria.

% /

Matemáticas I

BVI

121

BVI


12 122

4 Resuelve las siguientes ecuaciones lineales encontrando el valor desconocido. Emplea el método que más te convenga. 1)

2)

3)

4)

12)

13)

2.7w+3.4w=1.6w+0.9

14)

5)

6)

15)

7)

16)

8)

9)

17)

10)

18)

2x – [2(x+2) – 4(x-1)]=3x

19)

3{x - 4[x + 3(x-2) + 8]}=2(x+3)+17

20)

x + 2{x + 3(x+1) – 2(2x+1) + 2[2(x+1)+x]} = x + 4

11)

4 ` Resuelve las siguientes ecuaciones lineales en tríos encontrando el valor desconocido. Emplea el método que más te convenga. 1) 2) 3)

4

1)

Si el perímetro del polígono es 48 cm, ¿cuánto mide cada lado? 4x - 3

3x

x

3x + 4 3x - 1

3x + 10

2)

¿Cuánto mide el valor desconocido que se muestra en el siguiente terreno rectangular? 35 m

x

15 m

3)

En una tira de papel de forma rectangular como la que se muestra en el dibujo se quieren hacer 5 agujeros del mismo diámetro a distancias iguales. Si cada agujero es un círculo de 3 cm de diámetro, ¿Cuánto deben medir las separaciones entre los agujeros señalados con la letra x, si se sabe que el largo del rectángulo es de 21 cm? x

Problemas de aplicación de ecuaciones lineales 4

con una incógnita. Pero antes conoceremos cómo plantear y resolver con modelos matemáticos. Un procedimiento general que se puede utilizar para plantear la ecuación de un problema expresado con palabras para resolverlo es el siguiente:

Razonamiento

Operaciones

Conclusión

Matemáticas I

BVI

El razonamiento es una parte vital del proceso para la resolución de un problema mo. Te sugerimos que en el razonamiento incluyas los siguientes pasos: 1. Lee cuidadosamente

4. Forma la ecuación

Razonamiento

2. Identifica y establece cantidades conocidas

3. Anota las cantidades desconocidas

1)

Lee cuidadosamente tu problema hasta que entiendas la situación que te plantean y si lo consideras conveniente realiza un bosquejo o dibujo de lo que el problema menciona. Cuando te sugiero que leas no te pido que encuentres la solución, simplemente te indico que entiendas la situación que se te presenta.

2)

# $% cantidades que conozcas del problema. Se te sugiere que subrayes o anotes aparte los datos que te da el problema.

3)

Anota las cantidades desconocidas con una variable. La variable que uses debe ser la letra que gustes.

4)

Forma la ecuación que exprese lo que el problema te indique y que relaciones los datos conocidos y desconocidos.

123

BVI


12 124 Ejemplo 3:

Halla dos números sabiendo que su suma es igual a 48 y que uno es igual a cinco veces el otro. Solución: Razonamiento 1)

Leemos el problema, es decir entiéndelo.

2)

=

La suma de los dos números es 48 y que uno de los números es cinco veces el otro número 3)

4

Un número = x El otro número es cinco veces el primero = 5x

4)

Formas ya tu ecuación que relacionará las cantidades conocidas y desconocidas. La suma de los 2 números es 48 es decir x + 5x = 48 Operaciones Resolviendo la ecuación planteada tenemos que: x + 5x = 48 6x = 48

x=8 Conclusión Un número = x = 8 El otro número es cinco veces el primero = 5x = 40 Ejemplo 4: Hace 10 años la edad de María era 3 veces la edad de su prima Rosalinda y, actualmente la edad de María es el doble de la edad de Rosalinda. ¿Qué edad tiene María y Rosalinda? Solución: Razonamiento 1)

Leemos el problema y entiéndelo.

2)

= En pasado = Hace 10 años la edad de María era 3 veces que la de Rosalinda. En presente = Actualmente la edad de María es el doble que la edad de Rosalinda.

3)

4

Edad de Rosalinda hoy = x Edad de María hoy = 2x Edad de Rosalinda en el pasado = x - 10 Edad de María en el pasado = 2x - 10

4)

Formas tu ecuación que relacionará las cantidades conocidas y desconocidas. Hace 10 años la edad de María era tres veces que la de Rosalinda. Esto quiere decir que la ecuación quedaría 2x – 10 = 3 (x – 20)

Operaciones Resolviendo la ecuación planteada tenemos que: 2x – 10 = 3 (x – 10) 2x – 10 = 3x – 30 2x – 3x = - 30 + 10

X = 20 Conclusión La edad de Rosalinda = 20 La edad de María = 40

4 En los siguientes problemas escribe en tu cuaderno la ecuación lineal y resuélvela. 1)

Samuel tiene el doble de edad que su hermano José. Si actualmente Samuel tiene 10 años más de los que tenía José el año pasado, ¿Qué edad tiene Samuel y su hermano?

2)

Una compañía tiene 4 autobuses grandes y 5 pequeños. Se sabe que cada autobús grande tiene 12 asientos más que cada pequeño. Si el total de asientos es 336, ¿Cuántos asientos tiene cada autobús grande?

3)

En la tienda el “Mercadito” se ofrece todo a precio de ganga por el cierre del año. Juan compró un cinturón, un traje y unos zapatos pagando en total $174. Los zapatos le costaron $5 más que el cinturón y el traje costó $20 más que los zapatos. ¿Cuánto pagó Juan por cada uno de los artículos?

4)

Doña María va a repartir $ 240 pesos entre sus tres hijos Pablo, Roberto y Darío. La repartición será de tal modo, que la parte correspondiente a Roberto será la mitad de la porción de Pablo y un cuarto de la de Darío.

5)

El asta de la bandera del colegio tiene una altura de 18.20 metros y por un fuerte viento se ha dividido en 2 partes. La parte que cayó al suelo tiene 160 cm menos que la parte que quedó de pie. Halla la longitud de ambas partes.

Matemáticas I

BVI

4 \ Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas en sus cuadernos escribiendo la ecuación lineal y resolviéndola. 1)

Durante el campamento de verano hicimos un viaje para conocer un centro ceremonial prehispánico. En 7 horas recorrimos 380 km. En ese trayecto viajamos 4 horas sobre una carretera pavimentada y el resto a través de un bosque. Si la velocidad en esta última parte del trayecto fue de 25 km/h menos que en la carretera, calcula la velocidad promedio y la distancia recorrida en cada tramo del viaje. Nota:

2)

Para su negocio, la señora Benítez ha comprado dos tipos de nuez. Una de ella le costó $2.50 por kilo; la otra $3.50. Su idea es mezclar ambas y venderlas a $3.20 por kilo. ¿Cuántos kilos de nuez del que cuesta $2.50 por kilo deberá mezclar con 140 kg del que vale $3.50 por kilo para conseguir la mezcla que pueda venderse al precio deseado?

3)

Esteban manejó su motocicleta durante 20 minutos hacia la casa de Hortensia. Después, en el carro del papá de ella, se dirigieron a la playa que quedaba a 35 minutos de la casa de Esteban. Si manejaron durante 30 minutos y la velocidad del | £" 4 /

4)

¿Cuánto café de $5.00 por libra se deberá mezclar con 60 libras de a $4.00 por libra para obtener una mezcla especial de navidad que se venda a $4.40 por libra?

125

BVI


12 126 5)

Del aeropuerto de la ciudad de México despegaron 2 aviones al mismo tiempo. El primero era avión comercial de gran capacidad y el segundo un pequeño jet privado. El avión comercial tenía una velocidad cinco veces superior que la del jet " " \|| 4 /

dad viajaban ambos aviones?

Síntesis 1)

José y Pablo juntan latas de aluminio para llevarlo a reciclar, José junta un paquete y Pablo lleva el doble y tres kilos más que José, al llevarlo al centro de acopio, les dicen que en total son 15 Kg. y se paga a $0 .80 el kg. ¿Cuánto ganó cada uno por las latas recicladas?

2)

&>34¤

después del descanso por los plásticos que tiran sus compañeros. Para ello se or

5 bolsas, el segundo día, el doble, en el tercer día recolectan 4 veces más que el ]_ » %

que las bolsas que utilizaron llevan la misma cantidad en Kg. ¿Cuántos kilogramos juntaron cada día en las bolsas?

Sesión B. La relación entre la función y la ecuación lineal Criterios a desarrollar en la presente sesión Del saber

= '

Reconozco la ecuación en dos variables y = mx + b como la forma de la función lineal, y las ecuaciones en una variable a = mx + b, como casos particulares de la anterior.

Del saber hacer

Transito de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas situaciones.

Del saber ser

Valoro la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones lineales, para examinar y solucionar situaciones.

4 '


En nuestra

entre sí: por ejemplo, en un directorio telefónico el nombre de una persona está asociado con su número telefónico, o en un salón de clases donde el número de alumnos está relacionado con el número de sillas. 4 ' ' 8

4 rendizaje 7 #" tos del conjunto “Equipos de futbol” con los elementos “Uniforme”, de acuerdo a lo que porta cada equipo al jugar en la cancha de futbol. 1)

2)

Equipos de fútbol

¿Todos los equipos de futbol se relacionaron con algún uniforme? 4 A ' cionó con más de un elemento del conjunto uniforme?

Uniforme

América

Verde

Chivas

Dorado

Cruz Azul

Rojo

Pumas

Amarillo

Santos

Azul

Cuando un elemento de algún conjunto corresponde con un elemento y sólo uno de otro conjunto, se establece una correspondencia denominada función. La relación establecida entre los Equipos de futbol y sus uniformes es un ejemplo claro de función. Las funciones son casos particulares de relaciones matemáticas, en donde podemos apreciar que existe una variable que depende de la otra, siempre y cuando exista algo " 4

variable dependiente o función, la que se representa de forma común con “y” o de modo más formal como “f(x)”; la otra variable se le llama independiente, ya que no depende de nadie para conocerla y se representa usualmente con x.

! ' Se denomina función al conjunto de pares ordenados de valores, en los que cada x del primer conjunto llamado dominio le corresponde una única y del segundo conjunto llamado contradominio. La regla de correspondencia permite la asociación entre ambos.

Matemáticas I

BVI

En el ejemplo anterior, los equipos de futbol constituyen el dominio; los uniformes, el contradominio y la regla de correspondencia se estableció por la frase “Color de los uniformes da cada uno”. Decimos que existe una función lineal cuando se establece la asociación entre los elementos de dos conjuntos de números reales por medio de una ecuación de primer grado que contenga dos incógnitas, la cual cumple con el papel de regla de correspondencia. Cualquier ecuación del tipo 4 3 & A

4 3 ' presemos, mediante un simple despeje en la forma de donde

o de modo más formal

y .

Ejemplo: Expresar la ecuación lineal en función lineal Solución: a)

Partiendo de la ecuación , despejemos la variable y

b)

4l despejar la variable y tenemos:

127

BVI


12 128 3)

Como tenemos que la función queda

En la vida cotidiana te enfrentas a situaciones en donde necesariamente tienes que utilizar la función y los elementos que en ella intervienen. Para que tengas una idea de ello, resuelve el siguiente problema con ayuda de tus compañeros y un facilitador.

4 Contesta correctamente lo que a continuación se solicita a partir de la situación planteada. Situación: un terreno cuesta actualmente $22,000.00, y el precio aumenta en promedio, a una razón estimada por especialistas en el ramo, de $880.00 por año. Los analistas % *

realizar una proyección del costo del terreno en distintos años para una venta futura, requiere de alguien o de algo para poder determinarlo. Contesta las siguientes preguntas y en tus respuestas sabrás si estás en condiciones de poder ayudarlo. 1)

¿Cuál es el problema que se debe resolver?

2)

Desde tu punto de vista, y los saberes adquiridos hasta ahora, ¿cuáles son las va ' &

a través de literales?

3)

¿Por qué consideras que éstas son las variables que se deben tomar en cuenta para resolver el problema planteado?

4)

Matemáticamente hablando, ¿cuál sería la mejor expresión que represente el cálculo a realizar?

5)

Si el dueño del terreno desea saber el costo del terreno en cinco años, ¿cuál sería el precio con base en la expresión que formulaste?

Compara tus resultados con los demás compañeros, argumenta tu procedimiento '

<

' "

4 ¢ Expresa como función lineal las siguientes ecuaciones de primer grado con dos variables. 1)

2)

3)

4)

5)

Despeje de variables Hasta lo visto al momento podrás observar que el despeje de una variable resulta necesario para la resolución de problemas cotidianos como el visto en la actividad 2, ya que si el dueño

un análisis la variable a encontrar. Pues bien, así como el dueño requiere de saber qué necesita buscar, en materias como Física y Química es indispensable encontrar el valor de ciertas variables para resolver cuestiones planteadas. Ello incluye el despeje de fórmulas conocidas con el objeto de buscar dicho valor como por ejemplo:

y de ella requerimos encontrar el valor de la

1)

¿Qué proceso seguirías para poder despejar ?

2)

¿Consideras que hay términos que se tienen que trasponer cambiándoles la operación?

3)

¿Qué variable es la que primero traspones? Revisemos ahora como podemos despejar la variable . Solución: a.

Como primer paso, para este caso en particular, es transponer la variable t a la izquierda de la igualdad cambiándo a la operación inversa, es decir pasa multiplicando.

b.

Recordemos que el valor que deseamos encontrar debe estar solo y del lado izquierdo de la igualdad, entonces nuestro despeje queda:

Nota: No olvides que cuando cambiamos de lugar los elementos, su operación cambia a la inversa..

Matemáticas I

BVI

4 ]| Despeje de estas fórmulas las variables indicadas. Fórmula

Variable a despejar

a

d

F

Q= m Ce(tf – ti)

Resultado del despeje

g

ti r

129

BVI


13 130

4 ]] = '

de cuál. 1)

El área de un triángulo a 70 unidades cuadradas. Escribe la expresión que relaciona la base y la altura con el área.

2)

Si el perímetro de una cancha de futbol es de 70 m. Obtén la función que nos de el área en función de la longitud de la base.

3)

Una cubeta de pintura vacía pesa 1,340 gramos. Si su capacidad es de 30 litros, /

4)

Si sabemos que 10°C equivalen a 50° F y que 60° C equivalen a 140° F, ¿Qué ecuación nos permitirá traducir las temperaturas de °C a °F?

5)

Si el litro de gasolina cuesta $ 7.50, ¿Qué función nos permitirá saber el precio a pagar según los litros que hayan despachado?

Síntesis Resuelve los siguientes ejercicios 1)

=

2)

Si la pendiente y la ordenada es . Establece la función que lo represente.

3)

El crecimiento en centímetros de una planta de maíz se muestra en la siguiente tabla:

Día

1

2

3

4

5

4 7?

4

7

10

13

16

Determina la representación funcional algebraica que muestra dicho crecimiento, donde “d” es el número de días “a” la altura en centímetros.

Sesión C. w '

lineal Criterios a desarrollar en la presente sesión Del saber

=

de una función lineal. < / '

Del saber hacer

¦

una función lineal.

4 / '

Del saber ser

4 '

visual de su comportamiento. 4 '


Para reali

una función lineal, quedando en segundo término escoger el método que consideres pertinente. En la presente sesión trataremos los 2 métodos más usados. I.

La tabulación

4

obtendrán dos puntos que ubicaremos en el sistema coordenado, mismo que uniremos

II.

Pendiente – ordenada: En este método sólo basta localizar la ordenada al origen y a partir de la pendiente localizamos un segundo punto de la recta.

w ' La tabulación Ejemplo 1: & ' determinando los a)

/ ' '

nuestro ejemplo, ya está simbolizada de esa manera.

b)

Escojamos los dos valores que necesitaremos para encontrar el par. En este ejemplo escogeremos los siguientes: x = -2 y x = 1

Evaluemos los valores escogidos en la expresión que representa la función y obtendremos el valor de la variable dependiente (y)

x

y

Par ordenado

-2

-4

(-2 , -4)

1

5

(1 , 5)

Matemáticas I

BVI

< y (1,00; 5,00)

1 1

(-2,00; -4,00)

131

BVI


13 132

Pendiente – Ordenada Ejemplo 2: & ' determinando la pendiente y la ordenada al origen. a) b)

Solución: / ' '

nuestro ejemplo, ya está simbolizada de esa manera. = ' Según la ecuación la pendiente es m = - 4 y la ordenada b= 1; donde nuestra pendiente tiene el siguiente comportamiento: Si

c)

< / y

Δx

1

1

Δy

(1,00; -3,00)

4 ] < ' / nente incluyendo algún otro método que tú conozcas.

1)

2)

y

y

1

1

1

1

3)

4) y

y

1

Matemáticas I

BVI

1 1

1

133

BVI


13 134

5)

y

1 1

4 ]` 4 4 ponde alguno de los elementos de la derecha. Relaciónalos escribiendo en cada paréntesis, el número de la respuesta correcta. Los números pueden ser utilizados una o ninguna vez. a)

y 1

1

7

? @ '

lineal

es:

b)

y

1

7

? @ '

lineal es:

1

c) y 1

7

? @ '

lineal

1

es:

d)

y 1

1

Síntesis Resuelve el siguiente problema: Una persona adquiere un auto en $ 80, 000, el cual se devalúa en $ 10, 000 cada * 80,000

10,000

Matemáticas I

BVI

y

1 1 2

3

4

5

6,

1)

¿Cuál es la regla de correspondencia de la función que indica el valor del auto P (t) en el año t?

2)

¿Cuál es el valor del auto en 6 años?

135

BVI


13 136

Realimentación Para la siguiente actividad requerimos de un material que nos será de gran utilidad en la comprensión de ecuaciones lineales. Necesitamos que consigas: 1)

15 tapitas de refresco del mismo tamaño de color rojo o que pintarás de dicho color.

2)

10 tapitas de refresco del mismo tamaño de color amarillo o que pintarás de dicho color.

3)

6 vasos de unicel de tamaño pequeño.

4)

Un rectángulo que se construirá cuya medida de base es de 60 cm y altura de 50 cm. El material de construcción puede ser de cartón, unicel o cascarón. El rectángulo deberá estar pintado de color verde o azul.

Con este material representaremos un modelo que resuelva ecuaciones lineales con una variable. Los vasos de unicel son los que representarán a la variable desconocida, las tapas rojas representarán las cantidades conocidas negativas y las amarillas representarán las cantidades conocidas positivas. Nuestro rectángulo que será dividido por una línea exactamente a la mitad fungirá como nuestra ecuación modelo. Las reglas del juego son las siguientes: Regla 1: Podrás quitar o añadir el mismo número de tapitas iguales a cada lado del rectángulo (ecuación) sin alterarla.

Regla 2: Puedes quitar o añadir pares nulos de tapas a cualquier lado del rectángulo (ecuación) sin alterar en ningún momento la ecuación planteada.

= Retiramos pareja de nulos ya que no altera la ecuación.

¤

4 te, no olvidando que el objetivo es encontrar lo que contiene el vaso de unicel. 1)

–2=x+6

2)

3t – 2 = 4

3)

w – 3 = 2w – 1

4)

n + (n + 2) + (n + 4) = -15

5)

(3y – 2) – y = y + (6 – y)

Evaluación de la competencia Autoevaluación 4 Construye e interpreta modelos aritméticos y algebraicos aplicando las propiedades de los números positivos, expresiones aritméticas y algebraicas al momentos de resolver ecuaciones lineales


%

habilidades y conocimientos desarrollados en el Bloque VI del programa.

Estratégico

100

=

propiedades de las expresiones aritméticas y algebraicas en ecuaciones lineales de una sola variable.

4

80

=

de manera elemental en ecuaciones lineales de una sola variable.

Básico

60

Tiene nociones sobre algunos conceptos y operaciones en ecuaciones lineales de una sola variable.

Inicial-receptivo

40

Tiene nociones débiles sobre algunos conceptos y operaciones en ecuaciones lineales de una sola variable.

Nivel pre-formal

20

0

en ecuaciones lineales de una sola variable.

Matemáticas I

BVI

4 ciones de establecer las metas que alcanzaste a lo largo del Bloque VI y a través de las actividades propuestas en las sesiones que abarcan los contenidos del programa de Matemáticas I. Suma los puntos que alcanzaste y determina qué porcentaje representa del total de puntos que podías haber obtenido y ubícate en algunos de los siguientes niveles.

137

BVI


13 138

4 Nivel estratégico: Puedo resolver situaciones y problemas de la vida escolar mediante /

relacionan con las ecuaciones lineales de una sola variable.

100%

Nivel autónomo: Puedo resolver algunas situaciones y problemas de la vida escolar /

relacionan con las ecuaciones lineales de una sola variable.

80%

Nivel resolutivo: =

de una sola variable efectuando operaciones de forma mecanizada.

60%

Nivel inicial-receptivo: Tengo una noción de las propiedades ecuaciones lineales de una sola variable y puedo efectuar operaciones básicas para encontrar la solución de las mismas.

40%

Nivel pre-formal: Realizo operaciones básicas de forma mecanizada, pero no comprendo las propiedades y no entiendo las expresiones algebraicas para interpretar adecuadamente ecuaciones lineales de una sola variable.

20%

Realimentación e integración de indicadores de desempeño y evidencias Con base en el proceso de resolución de la actividad anterior, marca con una x, las actitudes que desarrollaste.

SI

1)

¿Lograste plantear cada una de las ecuaciones que se te indicaron?

2)

¦ " ciones sin que tengas que recurrir a un material adicional al pedido?

3)

= verlas?

4)

¿Utilizaste algún proceso algebraico aparte, para poder encontrar la solución de alguna ecuación?

5)

4 "

solución de cada una de las ecuaciones planteadas?

NO

Matemáticas I

BVI

<#

presente bloque y cuál es el que tienes ahora. Escribe qué podrías hacer o qué requieres para mejorar el nivel alcanzado.

139

Resuelves ecuaciones lineales II

BVII


Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones dos incógnitas mediante métodos: Numérico: Determinantes

4 7 ?

w

Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

=

Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y grá

de ecuaciones con dos incógnitas.





Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos yn variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.



4


Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

=

4

#

BVII


14 142

Desarrollo de criterios Del saber

Reconozco la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2) '

= ¼ nes.

Reconozco la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2) mediante:

»

Métodos numéricos y analíticos.

»

Métodos de reducción algebraica (suma y resta, sustitución e igualación).

»

Método numérico por determinantes.

Ubico e interpreto situaciones diversas utilizando sistemas 2x2.

Del saber hacer

Resuelvo sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando métodos nu/

Resuelvo sistemas de ecuaciones 2x2 empleando métodos de reducción algebraica y numérica.

Construyo ideas y argumentos relativos a la solución y aplicación de sistemas de ecuaciones.

Del saber ser

4 ' /

ecuaciones 2x2.

Valoro la aplicabilidad de los sistemas 2x2 en la modelación y solución de diversas situaciones.

4 "

con los que cuento, al realizar actividades asignadas.

Dinamización y motivación Recuerda que al inicio del bloque IV se te presentó la siguiente situación: Un niño para crecer sanamente debe de consumir 33 unidades de proteínas y 20 unidades de grasas, si el plátano le proporciona 3 unidades de proteínas y 4 de grasas y la manzana 6 unidades de proteínas y 2 de grasas, ¿Cuántos plátanos y cuántas manzanas debe de consumir al día? Este problema para ser resuelto requiere de plantear correctamente algunas expresiones que involucren tanto números como algunas literales. 4

El plátano proporciona 3 unidades de proteína y 4 de grasas.

La manzana proporciona 6 unidades de proteína y 2 de grasas.

Necesita 33 unidades de proteína.

Necesita 20 unidades de grasas. Si un niño consume 2 plátanos y 3 manzanas al día observa lo que ocurre: Total de proteínas:

3(2)+6(3)=24

Total de grasas: 4(2)+2(3)=14

Observa que con 2 plátanos y 3 manzanas el niño no ha alcanzado las unidades de proteínas, ni las unidades de grasas. Si consume 4 plátanos y 5 manzanas: Total de proteínas:

3(4)+6(5)=42

Total de grasas: 4(4)+2(5)=26 Observa que con 4 plátanos y 5 manzanas el niño ha sobrepasado las unidades de proteínas y las unidades de grasas.

Contextualización Continuando con el problema anterior si p representa el número de plátanos y m representa al número de manzanas que debe de consumir un niño al día responde las siguientes cuestiones: 1)

Una expresión que representa al número de proteínas aportadas por el número de plátanos es: a) 6p

2)

c)3p

b) 4m

d) 2m

c) 3p + 6m=33

d) 2m + 6m=33

Una expresión que representa al total de grasas aportadas por el número de plátanos y por el número de manzanas es: a) 6p + 3p=20 b) 4p + 2m=20

5)

c) 3m

Una expresión que representa al total de proteínas aportadas por el número de plátanos y por el número de manzanas es: a) 6p + 3p=33 b) 4p + 2m=33

4)

d)2p

Una expresión que representa al número de grasas aportadas por el número de manzanas es: a) 6m

3)

b)4p

c) 3p + 6m=20

d) 2m + 6m=20

El número de plátanos y de manzanas que necesita un niño para alcanzar las proteínas y las grasas es: a) p=2 m=3

b) p=3 m=4

c) p=4 m=5

Matemáticas I

BVII

d) p=1 m=2

Análisis de la actividad & 2 puntos por cada respuesta correcta.


%

desarrollo de los contenidos del Bloque VII del programa.

Estratégico

9-10

=

un sistema de ecuaciones lineales 2x2.

Autónomo

7-8

=

manera elemental.

Básico

5-6

Tiene nociones sobre algunos conceptos y operaciones básicas con expresiones algebraicas y una vaga idea de la solución.

Inicial-receptivo

2-4

Tiene nociones débiles sobre algunos conceptos y operaciones básicas con expresiones algebraicas y con la solución de un sistema de 2x2.

Nivel pre-formal

0-1

de ecuaciones 2x2.

143

BVII


14 144

Sesión A. Ecuación lineal de dos incógnitas La expresión 3p + 6m=33 representa el total de proteínas que debe de consumir un niño al día para crecer sanamente. Esta expresión es un caso particular de una ecuación lineal de " Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma: ax+by=c Donde a, b y c son números cualesquiera y x y y representan las incógnitas 4 `p + 6m=33, 3, 6 y 33 son números, p y m son las incógnitas y en la ecuación 4r + 2s=50, 4, 2 y 50 son números y r y s son las incógnitas. Retomando nuevamente el problema de las proteínas y las grasas que debe de consumir un niño al día para crecer sanamente se plantean las siguientes ecuaciones: 3p + 6m=33

proteínas

4p + 2m=20

grasas

Donde:

3 y 6 son las proteínas que proporcionan los plátanos y las manzanas respectivamente.

4 y 2 son las grasas que proporcionan los plátanos y las manzanas respectivamente.

33 y 20 son el total de proteínas y el total de grasas respectivamente. p y m son el número de plátanos y el número de manzanas que debe de consumir

al día. Cuando en una situación o en un problema surjan dos ecuaciones con las mismas incógnitas pero con diferentes números, se dice que se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2x2). La solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, son aquellos valores de las incógnitas que cumplen con las condiciones dadas, es decir, satisfacen a cada ecuación, de esta manera un sistema puede tener: únicamente una solución, ó no tener solución. Ejemplos: p=2, m=3 no son solución del sistema 3p + 6m=33

proteínas

4p + 2m=20

grasas

ya que al sustituir los valores de p=2 y de m=3 se tiene: 3(2)+6(3)=24 y 4(2)+2(3)=14, lo cual nos muestra que no cumplen con ninguna condición. p=1, m=8 tampoco son solución del sistema ya que al sustituir los valores de p=1 y m=8 en las ecuaciones, se tiene:

3(1)+6(8)=51y 4(1)+2(8)=20, lo cual nos muestra que los valores sólo satisfacen la segunda ecuación y para que sea solución del sistema debe satisfacer ambas ecuaciones, por ello p=1 y m=8 no es solución del sistema. p=3 y m=4 sí son solución del sistema ya que al sustituir los valores de p=3 y m=4 en las ecuaciones, se tiene: 3(3)+6(4)=33 y 4(3)+2(4)=20, lo cual nos muestra que los valores satisfacen ambas ecuaciones del sistema. Existen varios métodos algebraicos para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Eliminar una incógnita de un sistema de ecuaciones es reducir el sistema propuesto a otro que tenga una ecuación y una incógnita menos. Los métodos de eliminación son: 1º. Por adición o sustracción (Reducción). 2º. Por igualación. 3º. Por sustitución. Cualquiera de los métodos anteriores te llevará a la misma solución. 1º. Eliminación por adición o sustracción: Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta seguiremos los siguientes pasos: 1)

Elegir la incógnita a eliminar.

2)

Eliminar la incógnita seleccionada.

3)

=

4)

=

5)

&

6)

$

7)

Sumar las ecuaciones.

8)

Resolver la ecuación resultante.

9)

Hallar el valor de la otra incógnita.

Matemáticas I

BVII

10) Sustituir el valor hallado en cualquiera de las dos ecuaciones. 11) Resolver la ecuación resultante. Ejemplo 1 Utilizando eliminación por adición o sustracción encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones: 3p + 6m=33

proteínas

4p + 2m=20

grasas

Paso 1: Seleccionar la incógnita a eliminar: Si queremos eliminar p

Si queremos eliminar m

Paso 2: Eliminar p

Paso 2: Eliminar m

Los números que acompañan a p en las Los números que acompañan a m en las ecuaciones son: ecuaciones son: Primera ecuación: 3

Primera ecuación: 6

Segunda ecuación: 4

Segunda ecuación: 2

145

BVII


14 146

Si intercambiamos los números tenemos:

Si intercambiamos los números tenemos:

2

3p + 6m = 33

6

4p + 2m = 20

Como ambos números tienen el mismo sig- Como ambos números tienen el mismo signo es necesario cambiárselo a uno de ellos, no es necesario cambiárselo a uno de ellos, cambiémoslo a 6, entonces tenemos: cambiémoslo a 4, entonces tenemos:

Multiplicando ambas ecuaciones tenemos: − 12p − 24m = 12p

+6m

=

-6

3p + 6m = 33 4p + 2m = 20

Multiplicando ambas ecuaciones tenemos:

−132 60

Sumando tenemos:

Sumando tenemos:

2

Paso 3: Resolver la ecuación: -18m =-72

Paso 3: Resolver la ecuación: -18p =-54

Resolviendo tenemos:

Resolviendo tenemos:

m=-72/-18

p=-54/-18

m=4

p=3

Paso 4: Hallar el valor de p

Paso 4: Hallar el valor de m

Para hallar el valor de p sustituyamos el va- Para hallar el valor de m sustituyamos el valor que hallamos m=4 en la ecuación 3p + lor que hallamos p=3 en la ecuación 3p + 6m=33 6m=33 3p + 6(4)=33

3p + 6m=33

Resolvamos la ecuación 3p + 6(4)=33

Resolvamos la ecuación 3(3) + 6m=33

3p + 24 =33

9 + 6m=33

3p =33 – 24

6m = 33 – 9

3p = 9

6m=24

p = 9/3

m= 24/6

p=3

m=4

Solución del sistema:

Solución del sistema:

m=4 y p=3

p=3 y m=4

Ejemplo 2 Utilizando eliminación por adición o sustracción encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

4r + 3w = 2 5r – 3w = 16 Paso 1: Seleccionar la incógnita a eliminar: Si queremos eliminar Paso 2: Eliminar Los números que acompañan a

en las ecuaciones son:

Primera ecuación: Segunda ecuación: Si intercambiamos los números tenemos:

Como ambos números tienen el mismo signo es necesario cambiárselo a uno de ellos, cambiémoslo a , entonces tenemos:

Multiplicando ambas ecuaciones tenemos:

Matemáticas I

BVII

Sumando o restando tenemos:

Paso 3: Resolver la ecuación: Resolviendo tenemos: Paso 4: Hallar el valor de Para hallar el valor de

sustituyamos el valor que hallamos en la ecuación

resolvamos la ecuación Solución del sistema: r=

yw=

147

BVII


14 148

Actividad: Encuentra la solución de los siguientes sistemas utilizando el método de eliminación por suma o resta.

2º Eliminación por igualación Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por igualación, seguiremos los siguientes pasos: 1)

Elegir la incógnita a despejar.

2)

Despejar la incógnita seleccionada en cada una de las ecuaciones.

3)

Igualar las expresiones resultantes.

4)


5)


6)

Sustituir el valor hallado en cualquiera de las dos ecuaciones.

7)

Resolver la ecuación resultante. Ejemplo 1

Utilizando eliminación por igualación encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones: x + 2y=22 4x - y =7 Paso 1: Seleccionar la incógnita a despejar Si queremos despejar x

Si queremos despejar y

Paso 2: Despejar x en cada ecuación

Paso 2: Despejar y en cada ecuación

x + 2y=22 despejando x=22-2y 4x - y=7 despejando x= (7+y)/4

x + 2y=22 despejando y=(22-x)/2 4x - y=7 despejando y= 4x-7

Paso 3: Igualar 22-2y con (7+y)/4

Paso 3: Igualar (22-x)/2 con 4x-7

De donde: 22-2y =(7+y)/4

De donde: (22-x)/2 = 4x-7

Paso 4: Resolver la ecuación: 22-2y =(7+y)/4 Paso 4: Resolver la ecuación: (22-x)/2 = 4x-7

4(22-2y)=7+y 88 – 8y=7+y

-8y – y =7 – 88 - 9y = - 81 y = - 81/- 9

22 – x = 2(4x -7) 22 – x =8x – 14 22 – x -8x = -14 -9x = -14 – 22 - 9x= - 36

y= 9

x = - 36/ - 9 Paso 5: Hallar el valor de x

x=4

Paso 5: Hallar el valor de y Para hallar el valor de x sustituyamos el valor Para hallar el valor de y sustituyamos el valor de y=9 en x + 2y=22 de x=4 en x + 2y=22 De donde: De donde: x + 2(9)=22 (4)+2y=22 x+18=22 2y=22 – 4 x=22- 18 2y=18 x=4 y=18/2 Solución del sistema: y=9 y x=4

y=9 Solución del sistema: x=4 y y=9

Ejemplo 2

Matemáticas I

BVII

Utilizando eliminación por igualación encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones: 3x + 7y= -14 2x - 3y = 6 Paso 1: Seleccionar la incógnita a despejar Si queremos despejar Paso 2: Despejar

en cada ecuación se tiene:

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Paso 3: Igualar

con

De donde:

149

BVII


15 150

Paso 4: Resolver la ecuación:

Paso 5: Hallar el valor de Para hallar el valor de

sustituyamos el valor de en

De donde:

Solución del sistema: x =

,y=

Ejemplo 2: Utilizando eliminación por sustitución encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones: 5x + 2y= 3 2x - 5y =7

Paso 1: Seleccionar una ecuación Si seleccionamos la ecuación: Paso 2: Seleccionar una incógnita Si seleccionamos Paso 3: Despejar

en la ecuación seleccionada se obtiene

Paso 4: Sustituyendo la ecuación despejada en la otra ecuación se tiene:

Paso 5: Resolver la ecuación

Paso 6: Hallar el valor de Sustituyendo

en la ecuación:

Solución del sistema X=

,y=

4 ] Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación de igualación. a)

b)

c)

d)

e)

3º. Eliminación por sustitución: Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por igualación, seguiremos los siguientes pasos: 1)

Elegir una ecuación.

2)

Elegir la incógnita a despejar.

3)

Despejar la incógnita seleccionada en la ecuación.

4)

Sustituir la incógnita despejada, en la otra ecuación.

5)


6)


7)

Sustituir el valor hallado en la incógnita despejada.

8)


Matemáticas I

BVII

Ejemplo: Utilizando eliminación por sustitución encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones: 2x + 5y= - 24 8x - 3y =19 Paso 1: Seleccionar una ecuación Si seleccionamos 2x + 5y= - 24 Paso 2: Seleccionar una incógnita

Paso 2: Seleccionar una incógnita

Si seleccionamos x

Si seleccionamos y

Paso 3: Despejar x

Paso 3: Despejar y

x= (- 24 – 5y)/2

y= (- 24 – 2x)/5 Paso 4: Sustituir x= (- 24 – 5y)/2 en 8x - 3y Paso 4: Sustituir y= (- 24 – 2x)/5 en 8x - 3y =19 =19 8[(- 24 – 5y)/2] – 3y = 19 8x – 3[(- 24 – 2x)/5] = 19

151

BVII


15 152 Paso 4: Resolver la ecuación


8[(- 24 – 5y)/2] – 3y = 19

8x – 3[(- 24 – 2x)/5] = 19

4(- 24 – 5y) – 3y = 19

[40x–3(- 24 –2x)]/5 = 19

- 96 -20y -3y = 19

[40x–3(- 24 –2x)] = 95

- 23y = 19 + 96

40x + 72 +6x=95

- 23y = 115

46x =95 – 72

y = 115/ -23

46x= 23

y=-5 Paso 5: Hallar el valor de x Sustituyendo y = - 5 en

x= 23/46 = 1/2 Paso 5: Hallar el valor de y Sustituyendo x = 1/2 en

x= (- 24 – 5y)/2

y= (- 24 – 2x)/5

x= [- 24 – 5(-5)]/2

y= [- 24 – 2(1/2)]/5

x =[-24+25]/2 x = 1/2

y= (- 24 – 1)/5

Solución del sistema

y = -25/5 = - 5

y = -5 y x = 1/2

Solución del sistema x = 1/2 y y = -5

Si seleccionamos 8x - 3y =19 Paso 2: Seleccionar una incógnita

Paso 2: Seleccionar una incógnita

Si seleccionamos x

Si seleccionamos y

Paso 3: Despejar x

Paso 3: Despejar y

x= (19 + 3y)/8

y= (8x -19)/3

Paso 4: Sustituir 2x + 5y= - 24

x= (19 + 3y)/8

en Paso 4: Sustituir 2x + 5y= - 24

y= (8x -19)/3

2[(19 + 3y)/8] + 5y = -24

2x+ 5[(8x -19)/3] = - 24



2[(19 + 3y)/8] + 5y = -24

2x+ 5[(8x -19)/3] = - 24

[2(19 + 3y)+ 40y]/8 = -24

[6x+ 5(8x -19)]/3 = - 24

[2(19 + 3y)+ 40y] =-192

[6x+ 5(8x -19)] = - 72

38+6y+40y = -192

6x+40x – 95 = -72

46y=-192-38

46x= - 72 + 95

46y= -230

46x = 23

y = - 230/46 = - 5

x =23/46 = 1/2 x= 23/46 = 1/2

Paso 6: Hallar el valor de x

Paso 6: Hallar el valor de y

Sustituyendo y = - 5 en

Sustituyendo x = 1/2 en

x= (19 + 3y)/8

y= (8x -19)/3

x= [19 + 3(-5)]/8

y= [8(1/2) -19]/3

x= (19 - 15)/8

y=(4-19)/3 =-15/3 = - 5

x= 4/8 = 1/2



x = 1/2 y y = -5

y = -5 y x = 1/2

en

Ejemplo 2 Utilizando eliminación por sustitución encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones: 5x + 2y= 3 2x - 5y =7 Paso 1: Seleccionar una ecuación Si seleccionamos la ecuación: Paso 2: Seleccionar una incógnita Si seleccionamos Paso 3: Despejar

en la ecuación seleccionada se obtiene

Paso 4: Sustituyendo la ecuación despejada en la otra ecuación se tiene:


Paso 6: Hallar el valor de Sustituyendo

en la ecuación:

Matemáticas I

BVII

Solución del sistema X=

,y=

4 Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación de igualación. 1)

2)

3)

4)

5)

153

BVII


15 154

Sesión B. Resolución por determinante 4 `

Encuentra la solución de los siguientes sistema utilizando determinantes

Sesión C. =

de un sistema de ecuaciones lineales 4 1)

Transforma a funciones cada una de las ecuaciones que forman al sistema. x + 2y=22 4x - y =7 De la primera ecuación: y = De la segunda ecuación: y=

2)

Completa las siguientes tablas: y = (22-x)/2 x 0 2 4 8 10

y

y = 4x - 7 x

y

0 2 4 8 10 y =

3)

Escribe los valores que tienen en común

4)

@

las funciones

16

x =

y= 4x 7

14

12

(4,9)

10

8

6

y=

4

Matemáticas I

BVII

22 x 2

2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

5)

El punto de intersección de las rectas es: x =

6)

La solución del sistema

8

8.5

9

9.5

y =

x + 2y=22 4x - y =7

es: x = 7)

y=

¿Qué relación encontraste entre el punto de intersección y la solución del sistema?

155

BVII


15 156

4

% x - 2y = 6 4x - 8y =24

2x + 4y =8 4x + 8y =24 &

Los de solución única 4

sistema. x + 2y=22 4x - y =7

16

y= 4x 7

14

12

(4,9)

10

8

6

y=

4

22 x 2

2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

& 4 tos, por ejemplo: x - 2y = 6 4x - 8y =24

y 4

3

2

1

x

0 -5

-4.5 -4

-3.5

-3

-2.5 -2

-1.5 -1

0

-0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-1

-2

x 6 y= 2

y= -3

4x 24 8

Los que no tienen solución: 4 A

2x + 4y =8 4x + 8y =24

y 4

y=

24 4x 8

Matemáticas I

BVII

3

2

1

x

0 -5

-4.5 -4

-3.5

-3

-2.5 -2

-1.5 -1

-0.5

0

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

-1

y= -2

8 2x 4

-3

157

Resuelves ecuaciones lineales III


Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas.

Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres incógnitas mediante métodos: Numérico: Determinantes 4 7

ta), sustitución

w

Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebrai /

para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

BVIII








4


Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia

=

4

#

BVIII


16 160


Comprende los métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3 x 3).

Método numérico por determinantes.

Método algebraico de sustitución.

Ubico e interpreto situaciones diversas utilizando sistemas 3 x 3.

Del saber hacer

Obtengo la solución de sistemas de ecuaciones lineales 3 x 3.

4 / / ` `

Utilizo el método de sustitución para resolver un sistema 3 x 3.

Represento y soluciono situaciones diversas utilizando sistemas 3 x 3.

Expreso ideas y conceptos de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas em A

#

cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de la solución de una ecuación de 3 x 3.

Del saber ser

4 / / ` `

Valoro la utilidad de los sistemas 3 x 3 para representar y solucionar diversas situaciones.

4 "

con los que cuenta, en las actividades que le son asignadas.

4 '

ámbitos.

8 #

Proyecto 1)

En equipos de 5 personas, diseñar un problema de planteo que sea solucionado mediante sistemas de ecuaciones de 3 X 3.

2)

Exponer en equipos y con recursos didácticos (cañón, rotafolios, pintarrón, etc.) el planteo, la solución y la comprobación del problema de planteo diseñado.

3)

De las exposiciones que a continuación realizarán tus compañeros responde con A A maciones que se te presentan. En caso dado de responder de forma negativa a /

4 ]

El problema que se diseño cumple con las características para su solución mediante un sistema de ecuaciones de 3 X 3.

Equipo 1

Razón o explicación (En caso de responder negativamente).

Equipo 2


Equipo 3


Equipo 4


Equipo 5


Equipo 6


Equipo 7


Equipo 8


4

2. Planteó adecuadamente cada ecuación del sistema de acuerdo a las características propias del problema en cuestión.

4

3. Resolvió correctamente y comprobó las soluciones a las incógnitas del sistema de 3 X 3.

Equipo 1


Equipo 2


Equipo 3


Equipo 4


Equipo 5


Equipo 6


Equipo 7


Equipo 8


Equipo 1


Equipo 2


Equipo 3


Equipo 4


Equipo 5


Equipo 6


Equipo 7


Equipo 8


Matemáticas I

BVIII

Sesión A. Sistemas de ecuaciones de 3 X 3 Dinamización y motivación Hasta ahora las ecuaciones con las que has trabajado han sido numéricas con dos variables de primer grado, y éstas te han servido para resolver ejercicios y problemas mediante los mé 4

donde encontrarás ecuaciones numéricas de primer grado, pero con tres incógnitas. Para ilustrarte dicha situación resuelve en tu libreta, por parejas, las siguientes actividades empleando algún método del bloque anterior.

Contextualización Problematización: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de suma y resta.

3x + 2y - 4z = 6 2x - 3y + 5z = 3 x + y + z = 5

161

BVIII


16 162

4 ] Juan, Pedro y Luis fueron al cine y cada uno compró diferente paquete que puede incluir palomitas, nachos y un refresco. El paquete que compró Juan incluye palomitas, nachos y un refresco, y pagó $50; el paquete que compró Pedro incluye dos palomitas y dos refrescos, y pagó $60; el paquete que compró Luis tiene nachos, dos palomitas y dos refrescos, y pagó $80: ¿Cuál es el costo de las palomitas, los nachos y cada refresco? Para resolver este tipo de ejercicios y problemas podemos utilizar algún método algebraico. De hecho existen varios al respecto. Te explicaremos el método de suma y resta, por medio del siguiente ejercicio:

4

Resolver el sistema:

2x − y - z = 4 3x + 3y + z = 8 x + 2y − 3z = 7 Paso 1: Se eligen dos de las tres ecuaciones y se elimina una de las variables, obteniendo así una ecuación de dos variables. Si tomamos las dos primeras ecuaciones y queremos eliminar entre ellas la incógnita x, entonces primero multiplicamos ambos miembros de la ecuación 2x - y - z = 4 por -3, así como ambos miembros de 3x + 3y + z = 8 por 2, se obtiene: Realizando las operaciones

Se obtiene

-3(2x - y - z) = -3(4)

2(3x + 3y + z) = 2(8)

De esta forma se obtiene la primera ecuación lineal con dos incógnitas. Paso 2: Repitiendo esta operación con la segunda y la tercera ecuación resolvemos el sistema eliminando x también. Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación 3x + 3y + z = 8 por -1, así como ambos miembros de x + 2y – 3z = 7 por 3, se obtiene: Realizando las operaciones

Se obtiene

-1(3x + 3y + z) = -1(8)

3(x + 2y – 3z) = 3(7)

3y – 10z = 13

De esta forma se obtiene la primera ecuación lineal con dos incógnitas.

Paso 3: Como resultado de seguir los pasos anteriores quedará un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, el cual puede resolverse por el método elegido y así hallar los valores de esas dos incógnitas.

9y + 5z = 4 3y - 1 z = 13 Recuerda que los métodos que conoces son: igualación, sustitución, suma y resta. Continuaremos con el método de suma y resta. Te dejamos de tarea que lo resuelvas por los otros dos métodos. Realizando las operaciones

Se obtiene

-3(9y + 5z = 4)

9(3y – 10z = 13)

-105z = 105

De esta forma podemos despejar el valor de z:

Este valor de z lo podemos sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, por ejemplo en 9y + 5z = 4. 9y + 5(-1) = 4 9y – 5 = 4

Matemáticas I

BVIII

9y = 5 +4 9y = 9

Paso 4: Por último se sustituyen los valores obtenidos de las dos incógnitas en una de las ecuaciones originales (puede ser cualquier ecuación siempre que contenga la incógnita faltante) y se obtendrá así el valor de la tercera incógnita. Por ejemplo en x + 2y – 3z = 7: x + 2(1) – 3(-1) = 7 x+2+3=7 x=7-2-3 x = 2. De lo anterior podemos decir que:

“De la misma manera que se puede resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por el método de suma y resta, se puede resolver un sistema de tres ecuaciones lineales”. Recuerda: Un sistema de ecuaciones puede ser consistente-determinado (tiene ? © 7 ? tente (no tiene solución).

163

BVIII


16 164

4 ` Existen problemas de aplicación sobre ecuaciones de primer grado con tres incógnitas, donde puedes poner en práctica lo aprendido en el método de suma y resta. Veamos un ejemplo. La mamá de Luis fue a comprar a la tiendita de la esquina “El chiquiti súper” 6 kg de frijol, 3 kg de azúcar y 2 kg de arroz. Pagó por ello $110. Más tarde en el supermercado “La mama luchadora” compró 2 kg de frijol, 4 kg de azúcar y 3 kg de arroz de la misma marca y pago por todo $77. Después, en la tienda “El Vaquero elegante”, compro 1 kg de arroz, 1 kg ' ] £ A _ 4 @

£ ' A 4 @

kilo de lo que compró suponiendo que los tres establecimientos tienen los mismos precios. Como puedes observar, existen tres cantidades involucradas en esta situación (va ? @

8

x = Es el costo de los kg de frijol

y = Es el costo de los kg de azúcar

z = Es el costo de los kg de arroz Por lo tanto, el sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma:

6x + 3y + 2z = 110 2x + 4y + 3z = 77 x + y + z = 27 Resuelve en tu libreta el sistema aplicando el método de suma y resta, y ayuda a la mamá de Luis a encontrar la solución.

Síntesis Resuelve en tu cuaderno los siguientes sistemas utilizando el método de suma y resta.

a)

b)

c)

e)

f)

g)

d)

h)

i)

j)

Sesión B. Determinantes de orden tres Contextualización En el bloque anterior aprendiste el concepto y el método para resolver determinantes de segundo orden. En esta sesión aprenderás a resolver determinantes de tercer orden, que en la sesión tres te permitirá resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, por el método de Cramer. Incluso te darás cuenta que el método para resolver un determinante de tercer orden es sencillo, ya que aprenderás a resolverlo por el método de Sarrus.

Problematización Halla el determinante de la siguiente matriz de datos

Matemáticas I

BVIII

4

Calcula en tu libreta los valores de los siguientes determinantes:

Síntesis Como parte de tu portafolio de evidencias, resuelve en hojas en blanco los siguientes determinantes y ponte de acuerdo con tu profesor para el día de la entrega.

a)

b)

165

BVIII


16 166

c)

d)

e)

Sesión C. Regla de Cramer Evaluación diagnóstica Resuelve correctamente los siguientes sistemas de ecuaciones de 3 x 3. a)

b)

2x - 5y + z = −10 3x + 8y + 4z = 34 x - y - 2z = −3

− x + 3y - z = 3 2x + 4y + 5z = 30 5x - 2y - 3z = 8 Resuelve correctamente los siguientes determinantes de 3 x3

a)

b)

Contextualización 6

` ` 4" `

aprenderemos a continuación lo que se conoce como regla de Cramer, la cual, se utiliza para hallar la solución de las variables o incógnitas en un sistema de ecuaciones de 3 x 3.

Problematización 1)

¿Cómo podrías resolver un sistema de ecuaciones de 3 x 3 utilizando el método de determinantes? ¡Inténtalo!

3x - 8y + z = −11

8x - 8y + 7z = 15 x - 3y − 2z = −7

¿Cómo aplicar la ley de Cramer? 1)

8 "" ` `

debido a que se tienen 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

2)

8 A

8 4"

7 ?

` \ ]+

` ` © `

`

serían el -4, 2 y 2. Por último, para la columna de los resultados tenemos los co ] | \

4"

"

nitas, las sustituyas en las ecuaciones originales, para que compruebes si efectivamente se cumple la igualdad. El sistema de ecuaciones original es: 2x + 3y – 4z = 1

en donde sabemos que x = 1, y = 1, z = 1

6x – 8y +2z =0 x +3y +2z =6 Sustituyendo los valores de las incógnitas tenemos: 2(1) + 3(1) – 4(1) = 1 6(1) – 8(1) +2(1) = 0 1 + 3(1) + 2(1) = 6 Resolviendo las operaciones tenemos: 2+3–4=1 6–8+2=0

Matemáticas I

BVIII

1+3+2=6 8 A /

1=1 0=0 6=6 Como vemos, se cumplen las igualdades, y los valores encontrados para las incógnitas son correctos, es decir x = 1, y = 1, z = 1. Realicemos ahora la comprobación de los valores de las incógnitas, para saber si son los correctos. Para ello, debes sustituir el valor obtenido de cada incógnita en el sistema de ecuaciones que se te presentó al principio y deben cumplirse las 3 igualdades. El sistema original era: 4x – 2y – 3z = 1 5x + 3y – 4z = -5 5x -4y – 5z = -1 ¤

©] ` %

estos valores en la ecuación original, de la siguiente manera: 4 (2) – 2 (-1) – 3 (3) = 1 5 (2) + 3 (-1) – 4 (3) = -5 5 (2) – 4 (-1) – 5 (3) = -1

167

BVIII


16 168

Resolviendo las multiplicaciones tenemos que: 8+2–9=1 10 – 3 – 12 = -5 10 + 4 – 15 = 3 ¤ A 1=1 -5 = -5 -1 = -1 Como se cumplieron las 3 igualdades, eso quiere decir que los valores hallados para las incógnitas es el correcto, debo mencionarte que, si por alguna razón una o más de las igualdades no se cumpliesen al sustituir tus valores de las incógnitas, quiere decir que re

'

error, hasta haber logrado la correcta comprobación. Síntesis de resultados de aprendizaje ¤ & `

3. Vamos a hacer un breve repaso de los pasos que debes seguir: 1)

Extraer los factores (números) incluyendo su signo de todo el sistema y escribirlo ' A · ¤ ½

resultados, es decir, escribirlos en forma de una matriz.

2)

Posteriormente debes dividir esa matriz general en 3 matrices, la matriz de re ! · ! ¤ ! ½

llamada Dz. a.

Para la matriz de resultados D copiamos todos los factores incluyendo sus signos, menos los del resultado.

b.

Para la matriz de X, es decir Dx, eliminamos los factores de X y escribimos los del resultado, y dejamos intactas las otras columnas.

c.

8 ¤ ! ' ¤

los del resultado, dejando intactas las demás columnas.

d.

Para la matriz de Z, es decir Dz, eliminamos los factores de Z, y escribimos los del resultado, dejando intactas las demás columnas.

3)

4" " meras columnas y desde el primer elemento, de izquierda a derecha multiplicar los factores de forma cruzada (aplicando ley de signos), posteriormente, de derecha a izquierda, pero antecedidos de un signo menos, se multiplican los demás factores ( aplicando aquí también ley de signos).

4)

Una vez que nos hayan dado los valores de D, Dx, Dy, Dz, procederemos de la 8

· ! !

¤ dimos Dy entre D y para el valor de Z dividimos Dz entre D.

5)

Debemos a continuación comprobar que los resultados fueron los correctos, esto

· ¤ ½ 7 ` ?

% "

"

de nuevo la solución.

4 1)

4" nes mediante el método de Cramer siguiendo los pasos que se te explicaron: a.

2x – 5y + 2z = 15 3x + 2y – 5z = -11 -8x + 3y – 11z = -52

b.

2x + 3y – z = 27 x + y – z = 12 - x+y+z=2

2)

De los sistemas de ecuaciones, el facilitador elegirá a 2 compañeros al azar para que resuelvan los sistemas propuestos al frente de la clase y expongan su procedimiento, resultados, comprobación y conclusiones.

3)

De las exposiciones que a continuación realizarán tus compañeros responde con A nes que se te presentan. En caso dado de responder de forma negativa a alguna /

4 ] %

acomodaron correctamente los factores del sistema de ecuaciones para lograr la matriz de datos. 4 4

correcta los factores para la matriz de los resultados.

4 ` 4

correcta los factores para la matriz de datos de X.

4 4

correcta los factores para la matriz ¤

4 4

correcta los factores para la matriz de datos de Z.

4 \

correctamente el determinante de los resultados (D).

4 _

correctamente el determinante de x (Dx).

Persona 1


Persona 2


Persona 1


Persona 2

Razón o explicación (En caso de responder negativamente)

Persona 1


Persona 2


Persona 1


Persona 2


Persona 1


Persona 2


Persona 1


Persona 2


Persona 1


Persona 2


Matemáticas I

BVIII

169

BVIII


17 170

4

correctamente el determinante de y (Dy).

4 ¢

correctamente el determinante de z (Dz). 4 ]| @

obtenidos de las incógnitas fueron declarados como correctos mediante la comprobación de los mismos en el sistema de ecuaciones.

Persona 1


Persona 2


Persona 1


Persona 2


Persona 1


Persona 2


Sesión D. 4

sistemas de 3 x 3 Evaluación diagnóstica 1)

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 3 x 3 aplicando el método de suma y resta. x + 4y + 4z = 5 2x + y + 3z = 13 2x + 5y – 5z = -43

2)

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de 3 x 3 aplicando el método de Cramer. 4x + 3y + z = 30 X - y - 2z = 0 2x – 2y + z = 5

3)

Resuelve correctamente los siguientes determinantes: a.

b.

c.

Contextualización `

3, resolver dicho sistema mediante el método de suma y resta, así como también resolver un determinante de 3 x 3. En el bloque anterior aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones de 3 x 3 aplicando el método de Cramer, el cual, como recordarás consiste en copiar las primeras dos columnas y multiplicar de forma cruzada los factores de la matriz (aplicando por supuesto la ley de signos). Primero dicho procedimiento se hace de izquierda a derecha del primer al último factor, luego de derecha a izquierda, del último al primero, de igual manera de forma cruzada pero siendo antecedidos por el signo menos. 4" " /

¿Dónde lo puedo aplicar? Pues bien, déjame decirte que (como bien habrás aprendido anteriormente) una ecuación puede ser utilizada para conocer una variable, la cual se desconoce A 4 blemas de planteo que se resuelven con ecuaciones de primer grado con una incógnita, con ecuaciones de segundo grado con una incógnita y con sistemas de ecuaciones de 2 X 2, así también existen problemas de planteo que pueden ser resueltos mediante sistemas de ecuaciones de 3 x 3.

Problematización Supón que se te proporciona el siguiente enunciado y se te pide resolverlo: En una compra, por un par de zapatos de vestir marca F, un par de sandalias marca T y un par de tenis marca N pagué 620 pesos; mi padre compró 2 pares de zapatos de vestir de la marca F y tres pares de sandalias de la marca T y pagó 1,020 pesos y a mi hermanita le compró 2 pares de tenis de la marca N y un par de sandalias de la marca T y pagó 420 pesos. $ \|

compra de calzado en general, él me devolvería el importe de mis tenis: ¿Cuál es el precio entonces de un par de tenis en la tienda en donde se realizó la compra? ¿Cómo podrías resolverlo? Inténtalo formando con tus compañeros grupos de tres personas. Resuélvanlo en su libreta.

Matemáticas I

BVIII

Supongamos el siguiente problema: La suma de tres números es igual a 18, se sabe que el triple del primero, menos el doble del segundo más el cuádruplo del tercero dan como resultado 31 y también se sabe que si le restamos el primer número al tercer número y le sumamos el segundo número nos da como resultado 8: ¿Cuáles serian esos tres números? 4" " blema de planteo matemático hay que convertir todos los datos a ecuaciones algebraicas, en donde las constantes serán los números o valores que son conocidos y las variables o incógnitas serán aquellos valores que habremos de buscar, los cuales se representan por medio de letras. Comencemos: a)

Nos piden la suma de tres números, dado que desconozco cuales son estos nú

A /

· A ¤ A A ½ 7&

señalar que no siempre tienen que ser esas letras las que se utilicen en los problemas de planteo, las variables pueden adoptar cualquier letra para trabajarse en las ecuaciones). 1er Número = x

b)

2do Número = y

3er Número = z

Nos dice que la suma de esos tres números es igual a 18, este dato convirtiéndolo a una ecuación algebraica nos quedaría de la siguiente forma: x + y + z = 18 ¤

c)

Más adelante en el problema se nos menciona lo siguiente: se sabe que el triple del primero menos el doble del segundo más el cuádruplo del tercero dan como resultado 31. Si estos datos los representamos como expresiones algebraicas tendríamos que:

171

BVIII


17 172 El triple del primero = 3x = 4z

El doble del segundo = 2y

El cuádruplo del tercero

4" El triple del primero menos el doble del segundo más el cuádruplo del tercero: 3x – 2y + 4z ¤ A

debemos asignarle una igualdad. En el problema se menciona que: el triple del primero menos el doble del segundo más el cuádruplo del tercero dan como resultado 31; esto quiere decir que la ecuación quedaría de la siguiente forma: `· ³ ¤ ² ½ `] ¤ d)

Si seguimos leyendo el problema nos encontramos con la siguiente frase: también se sabe que si le restamos el primer número al tercer número y le sumamos el segundo número nos da como resultado 8. Si esos datos los representamos como una expresión algebraica tendríamos que: -x

+z

+y

(le restamos el primer número

(al tercer número)

(le sumamos el segundo número)

¤ '

nos indica: Da como resultado 8, esto es: - x + z + y = 8 4"

' '/

orden establecido, la ecuación nos quedaría: -x + y + z = 8 ¤

e)

Una vez establecido el sistema de ecuaciones podemos proceder a su solución, la cual puede ser mediante la regla de Cramer o mediante el método de suma y resta, es decir, con cualquiera de los dos, siempre y cuando el método elegido sea desarrollado de manera correcta.

f)

Para comprobar que los resultados hallados sean correctos, sustituyamos cada una de las incógnitas en el sistema de ecuaciones, y comprobemos que se cumpla la igualdad para cada ecuación. El sistema de ecuaciones es: X + y + z = 18 3x – 2y + 4z = 31 -x + y + z = 8

¤

\ _ % " nitas tenemos: 5 + 6 + 7 = 18 3(5) – 2 (6) + 4 (7) = 31 -5 + 6 + 7 = 8 Reduciendo valores tenemos: 18 = 18 15 – 12 + 28 = 31 8=8

4" / ción hecha: 18 = 18 31 = 31 8=8 Como comprobamos que las tres ecuaciones cumplen con su igualdad, luego entonces, los valores hallados para las incógnitas son correctos. Posteriormente procedemos a responder e interpretar el problema planteado anteriormente: Los tres números serían el 5, el 6 y el 7. Ejemplo de resolución Realicemos una vez más, la solución de otro problema de planteo mediante ecuaciones de 3 X 3. Se tienen 3 bolsas con contenidos diferentes, la primera más la segunda pesan 5 kilos; la segunda más la tercera pesan 4 kilos y la primera con la tercera pesan 3 kilos: ¿Cuánto pesa cada bolsa? Como bien mencionamos anteriormente, primero procedemos a expresar algebraicamente el problema. Como desconozco el contenido de cada bolsa, al peso de la primera bolsa le llamaré x, al peso de la segunda bolsa le llamaré y, por último al peso de la tercera bolsa le llamaré z. Peso de la primera bolsa = x Peso de la segunda bolsa = y Peso de la tercera bolsa = z La primera más la segunda pesan 5 kilos, esto algebraicamente es: x + y = 5 La segunda más la tercera pesan 4 kilos, esto algebraicamente es: y + z = 4 La primera más la tercera pesan 3 kilos, esto algebraicamente es:

x+z=3

Matemáticas I

BVIII

Tenemos entonces el sistema de ecuaciones: x+y=5 y+z=4 x+z=3 4 ` · `

por la regla de Cramer o bien mediante el método de suma y resta; ya que el anterior fue resuelto por Cramer resolvamos ahora por suma y resta. Tomemos la primera y la segunda ecuación x+y=5 ²

¤ Para eliminar la y multiplicamos por -1 alguna de las ecuaciones

− x − y = -5 y + z = 4

173

BVIII


17 174

@ ' ³ ² ©] 4"

contiene a x y a la variable z, y la sumamos a la ecuación resultante anterior. -x + z = -1 x+z=3 Como los factores de las variables de X, en una ecuación es -1 y en la otra ecuación es 1, se cancelan automáticamente y reducimos términos semejantes de Z y de las constantes.

z = 2/2 = 1 ¤

] 4" "

alguna de las ecuaciones que contenga a z. Por ejemplo: x+z=3

pero z = 1, entonces

x+1=3

Despejamos x

x = 3 -1 x=2 Una vez que obtuvimos el valor de x = 2, lo sustituimos en alguna de las ecuaciones que contenga a la variable y, de la siguiente forma: x +y = 5

Pero x =2, entonces

2 +y = 5

Despejamos y

y = 5 -2 y=3 ¤ "

` 9

` tas, x =2, y =3, z= 1. Procedemos a sustituir dichos valores de las incógnitas en el sistema de `

resultados son los correctos. El sistema de ecuaciones es: x+y=5 y+z=4 x+z=3 Los valores de las incógnitas son x =2, y =3, z= 1, si sustituimos el valor de dichas incógnitas en la ecuación tenemos que: 2+3=5 3+1=4 2+1=3

Realizamos las operaciones correspondientes en el lado izquierdo de la igualdad y tenemos que: 5=5 4=4 3=3 Hemos comprobado que se cumple la igualdad en las 3 ecuaciones del sistema, por lo tanto, los valores de las incógnitas x =2, y =3, z= 1 son los correctos.

Realimentación Síntesis de los resultados de aprendizaje: ¤ ` `
Leer y comprender de manera correcta los enunciados del problema.

b)

Representar los enunciados en forma primero de expresión algebraica, es decir, donde los valores conocidos sean los números y los desconocidos sean las variables a las cuales les asignaremos alguna letra. Ejemplo a + 4b.

c)

Dichas expresiones algebraicas transformarlas a ecuaciones algebraicas, esto es, agregándoles alguna igualdad según el problema nos mencione. Ejemplo a + 4b = 6.

d)

Una vez extraídas todas las ecuaciones algebraicas del problema de planteo, acomodarlas en forma de sistema de ecuaciones, donde todas las columnas correspondan a la misma letra.

e)

Resolver dicho sistema de ecuaciones, ya sea por el método de Cramer o por el método de suma y resta.

f)

Una vez obtenidos los valores de las incógnitas o variables, se debe proceder a comprobar dichos resultados, esto se hace sustituyendo los valores de las incógnitas en el sistema de ecuaciones y comprobando que en todas las ecuaciones del sistema se cumpla la igualdad.

g)

Se deben comprobar los resultados, cabe señalar que si algún resultado de la igualdad no se cumple durante la comprobación quiere decir que hubo algún procedimiento incorrecto y que debemos volver sobre nuestros pasos y resolver nuevamente el sistema para encontrar donde estuvo nuestro error.

h)

Una vez comprobados los resultados, procedemos a responder las preguntas o cuestiones que se nos indican en el problema de planteo e interpretar las soluciones.

Matemáticas I

BVIII

175

Resuelves ecuaciones cuadráticas I


= ción cuadrática con una variable: Completa: ax² + bx + c | µ |] x² bx

+c=0 Incompleta: ax² + bx | µ |] x² bx + c = 0

Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta.

Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta por los métodos:

Por extracción por factor común y formula general para ecuaciones incompletas. Por factorización, completando trinomio cuadrado perfecto y fórmula general para ecuaciones cuadráticas con una variable completas.

Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales, complejas e imaginarias.

Interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas con una variable.

Resuelve problemas o formula problemas de su entorno por medio de la solución de ecuaciones cuadráticas.

Interpreta la solución de los problemas para cuando tiene soluciones inadmisibles.

BIX



Modelos aritméticos o alalgebraicos





4



=

4

#

BIX


17 178

Dinamización y motivación En el transcurso de este bloque, ampliaremos nuestra concepción de ecuaciones lineales a ecuaciones cuadráticas. Ello requiere que te adentres en el conocimiento de las maneras de portancia y aplicación que este tipo de ecuaciones tiene en la vida cotidiana. Para que todo esto ocurra, es necesario que le prestes mucha atención a lo que indican las unidades de competencia, ya que describen paso a paso todo lo que debes adquirir en este bloque. Te planteamos las siguientes situaciones, para que apliques los conceptos que aprendiste en los bloques anteriores y lo que estudiaste en tu educación básica. Te invitamos a que uses todas " " 4

lograremos que sepas las razones que te llevaron a tales conjeturas.

Contextualización Para empezar, te dejamos las siguientes situaciones. Re /

explicando el razonamiento que te condujo a ellas. 1)

La habitación de Raúl es de base cuadrada y mide 3.5 m de altura. Cierto día realizó cálculos y dedujo que su cuarto tiene un volumen de 14 m3. ¿Cuánto mide cada lado del piso?

2)

Pedro es una persona a la que le gustan los acertijos. Platicando con su amigo Rubén, lo desafía a que le adivine la edad: “El cuadrado de mi edad actual, restándole 25, es igual a 816”. ¿Qué edad tiene Pedro?

3)

La hoja de un programa de diseño por computadora tiene un área de . Si sabemos que la altura es , ¿qué base tiene la hoja?

5)

Encuentra la solución de la ecuación

4)

Una cancha de futbol rápido tiene un área de . ¿Cuáles son las dimensiones de la cancha?

Proyecto 1)

Olga quiere recuperar el brillo que tenía la pintura que le regaló su papá cuando cumplió 18 años. La sola pintura ocupa un área 160 cm2. El marco tiene medidas de 20 cm x 14 cm. Ella desea saber el ancho y el largo total que ocupa el cuadro.

14 cm

20 cm

&

que te presentamos a continuación, encuentra el valor de x para que el área del rectángulo sea la mitad de la del triángulo isósceles.

A

10cm

2)

X

C

B 8 cm

Sesión A. Ecuaciones cuadráticas incompletas Del saber

Comprendo los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: a.

Extracción de factor común

b.

Despeje de la variable cuadrática

=

Ubico e interpreto situaciones con ecuaciones cuadráticas incompletas.

Matemáticas I

BIX

Del saber hacer

Obtengo la solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.

4 / ' mún.

Resuelvo ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable.

Del saber ser

4 / dráticas incompletas.

Valoro la importancia de contar con un método algebraico para resolver todo tipo de ecuación cuadrática en una variable.

Valoro la aplicabilidad de las ecuaciones cuadráticas incompletas para representar y resolver diversas situaciones.

Como habrás observado en el bloque anterior, el uso de una variable es necesario en situaciones relacionadas con tu entorno, y para cuya resolución solo se manejan expresiones lineales. Pero existen otros problemas en los que requerimos expresiones que ya no son lineales, por lo " %

tan importante y común que requeriremos que amplíes tus conocimientos en planteamientos que requieran el uso de expresiones distintas a las vistas hasta este momento. Prueba de lo que te digo le sucedió a don Juan, quien se dedica a la cría de pollos. Para ampliar la cantidad de aves que tiene, adquirió un terreno cuya área es 1200 m2. El vendedor le indicó que el terreno, de forma rectangular, tiene el triple de largo que de ancho, lo que le pareció a don Juan muy adecuado de acuerdo con sus necesidades. ¿Qué dimensiones tiene el terreno?

179

BIX


18 180

&

' rán a solucionar la situación: las dimensiones del rectángulo y el área del mismo. Las dimensiones del terreno, de acuerdo con lo indicado por el vendedor, son de largo y x de ancho, siendo esta última la variable desconocida. Por otro lado, se sabe que el área del terreno, que es un rectángulo, es , cifra que se obtuvo de la multiplicación de la base por la altura, lo que nos lleva a plantear que el área del terreno rectangular se obtiene de . Resolviendo la ecuación, tenemos

.

Posteriormente, y sabiendo, por nuestra experiencia en despejes, que la operación

contraria de elevar al cuadrado es sacar raíz, obtenemos mos que el terreno tiene 60 m de largo y 20 m de ancho.

, con lo que conclui-

Como podrás observar, en este cálculo empleamos una ecuación en la cual el exponente de la variable es diferente a uno, es decir, una ecuación cuyo grado es dos. Por ser importante este tipo de ecuaciones en los cálculos de la vida cotidiana, se vuelve necesario '

" '

de tu entorno.

Ecuación cuadrática con una incógnita

4" racterística principal es que la incógnita tiene como exponente dos, es decir, que está elevada al cuadrado. Se le denomina ecuación cuadrática a aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita es dos. De manera general, se representa por , donde a, b y c son contantes y . Ejemplo:

Ecuación cuadrática incompleta 8

Las ecuaciones cuadráticas completas pertenecen a la forma general de la ecuación cuadrática, es decir, a la forma . Ejemplo de ecuaciones cuadráticas completas:

Pero si, por ejemplo, la constante es b=0, la ecuación queda como

, que se denomina incompleta pura. Ejemplo de ecuaciones cuadráticas puras:

Pero si c=0, la ecuación queda como , a la que se denomina ecuación cuadrática incompleta mixta. Ejemplos de ecuaciones cuadráticas mixtas:

Raíces de una ecuación cuadrática Se le denomina raíz de una ecuación a los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación;

facen la ecuación, es decir, hacen que la igualdad se cumpla. Ejemplo: Encuentra las raíces de la ecuación Solución:

Matemáticas I

BIX

© ' Existen situaciones en las que, al despejar la ecuación cuadrática, queda negativo el número dentro de la raíz, como en el siguiente caso:

Sabemos que no existen raíces cuadradas de números negativos si trabajamos con los números reales, pero si ampliamos nuestro campo de estudios a los números imaginarios, esta raíz será válida. En dicho s números, se considera la igualdad ta esto, nuestra raíz se transforma en:

. Teniendo en cuen-

181

BIX


18 182

Pero también nos enfrentamos a situaciones en donde la raíz no es exacta, como se muestra en el siguiente caso: Encuentra las raíces de la ecuación Solución:

4 ] En el siguiente cuadro, escribe junto a cada una de las ecuaciones cuadráticas una C si es completa, una M si es incompleta mixta y una P si es incompleta pura: No.

Ecuaciones cuadráticas

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

&

Formas de resolver una ecuación cuadrática @ /

las ecuaciones cuadráticas son las que se mencionan a continuación:

Puras: Despeje de la variable

Incompletas

Mixta: Factorización Métodos de Solución 1) Factorización

1) Completar el trinomio cuadrado perfecto

Completas

3) Formula general

Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas Ecuación cuadrática pura

Matemáticas I

BIX

Como se mencionó al principio, y tal cual lo hemos visto en algunos ejemplos anteriores,

x, es decir, dejarla sola y extraer la raíz, teniendo en cuenta que esta tiene dos valores: uno positivo y otro negativo, como se muestra a continuación: Encuentra las raíces de la ecuación Solución:

Es decir, las raíces de la ecuación cuadrática incompleta son:

y

Como bien observaste, este tipo de ecuación se puede resolver con un simple despeje de la variable x, es decir las raices de ax² + c = 0 son:

183

BIX


18 184

4 1)

2)

Organizados en parejas, resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas puras, empleando el despeje o la fórmula vista: a.

e.

b.

f.

c.

g.

d.

h.

Organizados en parejas, resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas: a.

b.

Ecuación cuadrática mixta Como se mencionó al principio, las ecuaciones cuadráticas incompletas mixtas se resuelven por factorización. Ejemplo: Resolver la ecuación x2+4x=0. Solución: Factorizando la variable x, obtenemos:

, luego, cada factor se iguala a cero y se resuelven las dos ecuaciones obtenidas, siendo estas soluciones:

4 ` Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas mixtas: 1)

x2=3x

6)

7x2+21x=0

2)

3x2+6x=0

7)

3)

4x2-12x=0

4)

(x-3)2-(2x+5)2=-16

8)

5)

5x2+20x=0

Síntesis Daniel y Carlos son dos hermanos que recibieron por herencia un terreno cada uno. Lo único que saben es que ambos terrenos son de diferente forma, pero de igual área. El terreno de Daniel es cuadrado y, el de Carlos, de forma rectangular. Por los documentos que les entregó el notario, se sabe que el terreno de Carlos tiene dimensiones de 90 m y 40 m. ¿Qué medidas tiene el terreno de Daniel?

Daniel

x

Carlos

Completa el siguiente cuadro, anotando lo que se te pide: Ecuación

1.

2.

3.

4.

5.

Ecuación igualada a cero

Ecuación factorizada

Raíces de la ecuación

Sesión B. Ecuaciones cuadráticas completas Del saber

Comprendo los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:

Factorización

Complementación de trinomios cuadrados perfectos

Fórmula general

Describo el procedimiento de complementación y factorización de trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable.

Matemáticas I

BIX

Del saber hacer

Utilizo la técnica de complementación y factorización de trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable.

Del saber ser


Valoro la aplicabilidad de las ecuaciones cuadráticas incompletas para representar y resolver diversas situaciones.

Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas completas Para resolver ecuaciones cuadráticas completas, pueden emplearse tres métodos, que a continuación describiremos:

185

BIX


18 186

Método de factorización Este método ya lo conoces, porque en bloques anteriores has aplicado la factorización del 4" drática. Para entender el proceso en la factorización de la ecuación cuadrática, describiremos los pasos a seguir: 1)

% '

ó 2)

Se factoriza el trinomio que se formó en el primer miembro de la ecuación.

3)

Se iguala a cero cada uno de los dos factores que se forman.

4)

Se resuelven las ecuaciones lineales resultantes, para encontrar los dos valores de x.

Ejemplo 1 Resolver la ecuación cuadrática , aplicando el método de factorización. Solución:

1.

Igualando a cero la ecuación

2.

Factorizando la ecuación

3.

Igualando a cero cada uno de los factores

4.

Resolviendo las ecuaciones lineales resultantes

Ejemplo 2 Resolver la ecuación cuadrática , aplicando el método de factorización. Solución:

1.

Igualando a cero la ecuación

2.

Factorizando la ecuación

3.

Igualando a cero cada uno de los factores

4.

Resolviendo las ecuaciones lineales resultantes

4 ] Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas, aplicando el método de factorización: 1)

2x2 + 5x + 2=0

6)

x2 – x - 6=0

2)

6x2 + 5x- 4=0

7)

x2 - 7x=18

3)

3x2 - x=10

8)

8x - 65= - x2

9)

x (x - 1) - 5 (x - 2) =2

4) 5)

2

10x – x - 21=0 2

4y + 4y + 1=0

4 Organizados en parejas, resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1)

2)

Matemáticas I

BIX

Complementación de trinomios cuadrados perfectos Hasta ahora hemos visto cómo resolver ecuaciones cuadráticas por factorización, pero no siempre es fácil encontrar los factores del polinomio cuadrático, por lo que se requieren métodos más generales que nos permitan resolver cualquier ecuación cuadrática. Uno de esos métodos se conoce con el nombre de complementación de trinomios cuadrados perfectos o, simplemente, cuadrados perfectos, y consiste en el siguiente proceso: 1)

/

momento.

2)

Pasamos al segundo miembro de la ecuación el término independiente.

3)

Completamos el trinomio cuadrado perfecto, agregando en ambos miem /

cuadrado.

4)

4" fecto formado.

5)

Se despeja la ecuación formada, para encontrar las dos raíces.

187

BIX


18 188

Ejemplo: Resuelve la ecuación cuadrática , empleando el método de complementación de trinomios cuadrados perfectos. Solución:

1.

0 /mino cuadrático.

2.

Pasamos el término independiente al segundo miembro.

3.

Completamos el trinomio cuadrado perfecto.

4.

Expresamos como un binomio el trinomio cuadrado perfecto.

5.

Despejamos la ecuación formada para encontrar las dos raíces.

4 1)

2)

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas, utilizando el método de complementación de trinomios cuadrados perfectos: a.

x2 + 6x = 40

b.

z2 – 24z = -144

c.

6x2 – 4x – 6 = 0

d.

4z2 – 16z = 36

e.

20z2 + 4z =0

Organizados en parejas, resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas, utilizando el método de complementación de trinomios cuadrados perfectos: a.

b.

Fórmula general Otra forma de resolver cualquier ecuación cuadrática es empleando la denominada fórmula general para ecuaciones de segundo grado, la cual fue deducida del método anterior, en la expresión que representan a las ecuaciones cuadráticas Fórmula general

Discriminante

La resolución de una ecuación de segundo grado requiere de los siguientes pasos: 1)

Igualamos a cero la ecuación cuadrática.

2)

= ción cuadrática.

3)

Sustituimos los valores a, b y c en la fórmula general.

4)

Realizamos las operaciones que resulten, para encontrar las raíces de la ecuación.

4 '

cuadrática Solución:

1.

Igualamos a cero.

2.

= lizarlos en la fórmula general.

3.

Sustituimos los valores en la fórmula general

4.

Encontramos las raíces.

Matemáticas I

BIX

189

BIX


19 190

4 \ 1)

2)

Resuelve las ecuaciones cuadráticas, aplicando la fórmula general: a.

3x2 – 5x + 2 = 0

b.

4x2 + 3x – 22 = 0

c.

x2 = 16x – 63

d.

32x2 + 18x – 17 = 0

e. x2-6x+9=0 Organizados en parejas, resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas, aplicando la fórmula general:

a.

b.

Resolución de problemas de aplicación La aplicación de ecuaciones cuadráticas a problemas de la vida cotidiana es muy común y, en la mayoría de los casos, se realiza con situaciones que comprenden cantidades conocidas (datos), cantidades desconocidas (incógnitas) y las relaciones que hay entre ellas. El éxito de su resolución consiste en saber traducir las expresiones verbales a expresiones matemáticas. Para resolver correctamente tus problemas, te sugerimos que cumplas los siguientes pasos: 1)

Razonamiento a.

Lee cuidadosamente tu problema, hasta que entiendas la situación que te plantean. Si lo consideras conveniente, realiza un bosquejo o dibujo de lo que el problema menciona.

b.

# $ % las cantidades que conozcas del problema. Se te sugiere que subrayes o anotes aparte los datos que te proporciona el problema.

c.

Anota las cantidades desconocidas con una variable, que puede ser cualquier letra que gustes.

d.

Forma la ecuación que exprese lo que el problema te indica, para que relaciones los datos conocidos con los desconocidos.

2)

Operaciones

3)

Conclusiones

Ejemplo: Resuelve el siguiente problema:

Altura

Las dimensiones de una parcela que tiene forma rectangular cumplen con la siguiente característica: “El cuadrado de su altura es igual a cinco veces la medida de su base, y la base es igual a cinco veces la altura”. Encuentra las dimensiones del terreno. Solución: 1)

Base

Razonamiento a.

Leemos cuidadosamente el problema, hasta entender lo que se nos pide.

b.

= El cuadrado de la altura es igual a cinco veces su base.

c.

4 Base = 5x 4

d.

Planteamos la ecuación: x 2= 25x

2)

Operaciones Tenemos que x 2= 25x. Entonces trasponemos: x2 - 25x =0 x (x-25)=0 x =0 y x =25

3)

Conclusión El valor cero se descarta, ya que no es posible que el terreno carezca de dimensiones, por lo que la solución es x=25. Base = 5(25) = 125 Altura = 25

4 _ 4

ciones cuadráticas: 1)

La diagonal de una mesa que tiene forma rectangular es 8 metros mayor que la longitud de la misma, y esta, a su vez, es un metro mayor que su anchura. Determina las dimensiones de la mesa rectangular.

2)

Una hoja de aluminio tiene como dimensiones 9 cm de ancho por 12 cm de largo. El área de los cuatro márgenes, los cuales son del mismo ancho, mide 38 cm2. Halla la anchura de los márgenes.

3)

Un automóvil cuya velocidad es 20 kilómetros por hora superior a la de un camión avanza 720 km en 6 horas menos que este. Halla la velocidad del automóvil y del camión.

4)

6 `||

m2, si el largo excede al ancho en 5 metros.

5)

Un campesino tiene labrada una parcela rectangular de 50 m por 100 m, y desea agregarle la misma cantidad de tierra labrada tanto al ancho como al largo de la || 2. ¿Cuánto tierra labrada debe agregar en cada una de ambas medidas?

Matemáticas I

BIX

Síntesis Los dos terrenos continuos de Doña Lucía fueron vendidos a una empresa comercializadora de artículos domésticos. Por la avanzada edad de la dueña, no supo dar datos precisos de los terrenos, por lo que lo único que se sabe de ellos es que uno es un cuadrado y, el otro, un rectángulo, y que el área de ambos es de 8400 m2

¿Cuál es la dimensión de cada uno de los dos terrenos?

50 m

x

191

BIX


19 192

Junto a cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas, escribe una C si es completa, una P si es incompleta pura y una M si es incompleta mixta. 1.

3.

5.

7.

9.

2.

4. 6. 8. 10.

Sesión C. Raíces reales y complejas en las ecuaciones cuadráticas Desarrollo de criterios Del saber

=

Ubico e interpreto situaciones con ecuaciones cuadráticas completas.

Del saber hacer

Interpreto y soluciono situaciones con ecuaciones cuadráticas.

Del saber ser


Valoro la aplicabilidad de las ecuaciones cuadráticas para representar y resolver diversas situaciones.

Raíces real y compleja El radicando de la fórmula general para resolver una ecuación cuadrática es de mucha importancia, ya que, al resolver una ecuación de segundo grado, se debe conocer la naturaleza de las raíces, y esta información nos la proporciona este radicando, que se llama discriminante de la fórmula general, y cumple una y solo una de las siguientes relaciones:

a)

Si <0 las raíces de la ecuación son imaginarias o complejas.

b)

Si =0 las raíces son reales e iguales.

c)

Si >0 las raíces son reales y diferentes.

Cantidades reales En la sesión 1 del curso de Matemáticas, se estudió el conjunto de los números reales, a los cuales se les llama cantidad real, como lo son cualesquiera números naturales, enteros, racionales o irracionales. Si un número no pertenece a este conjunto, se le llama imaginario, como es el caso de las raíces de números negativos. No olvidemos que toda cantidad real es aquella que puede ser colocada en la recta numérica. Ejemplo 1 Dada la ecuación , determina, por medio del discriminante, el tipo de raíces que se obtienen al resolver la ecuación. Solución: 8 ] ]

y c= - 2. Sustituyendo en el discriminante, tenemos:

Como el discriminante >0, entonces concluimos que las raíces que tendrá nuestra ecuación son reales y diferentes. Para encontrar dichas raíces, se puede emplear cualquiera de los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas vistas anteriormente:

Matemáticas I

BIX

Ejemplo 2 Si

Solución: = a= 1, b=- 4, c= 20

193

BIX


19 194

Utilizando el discriminante , tenemos que:

Como < 0, tenemos que las raíces son complejas. ¿Cómo resolvemos la ecuación cuadrática de este ejemplo?

Cantidades imaginarias Números complejos Como la raíz cuadrada de un número negativo no es real, es necesario formar un conjunto denominado campo de números complejos. La base de este campo parte de un número denominado unidad imaginaria, que

Partiendo de ello, podemos deducir lo siguiente:

Cuando se resuelve una ecuación cuadrática por la fórmula general, puede ocurrir que la raíz sea imaginaria y pertenezca, por tanto, al conjunto de los números complejos, cuya representación matemática es de la forma donde a y b son números reales. Le llamaremos cantidad imaginaria a todas las raíces pares (raíces cuadradas, en nuestro caso) de números negativos. Con todo ello, podemos concluir lo siguiente: Número imaginario

Parte real

Parte imaginaria

a

b

Respondiendo a la pregunta planteada en el ejemplo 2, tenemos:

4 1)

2)

Sin resolver la ecuación, determina la naturaleza de las raíces de cada una de las siguientes ecuaciones, utilizando el discriminante: a.

2x2-x+1=0

b.

x2+3x+8=0

c.

6z2-4z-6=0

d.

3z2-5z-8=0

e.

y2+6y+5=0

f.

5y2+3=0

g.

8x2-4=0

h.

3x2+7x-1=0

i.

5z-z2=0

j.

z2-81=0

Un ranchero compró cierto número de gallinas en $4800. Si el precio por cada gallina hubiera sido $10 menor, hubiera recibido 16 gallinas más por la misma cantidad. ¿Cuántas gallinas compró?

Realimentación 1)

Con el empleo del discriminante, determina el tipo de raíces que tiene cada una de las ecuaciones enlistadas en la siguiente tabla, y señálalo en la columna correspondiente: Ecuación

1.

2.

3.

4.

5.

Tipo de raíz

Primera raíz

Segunda raíz

Matemáticas I

BIX

195

BIX


19 196

Evaluación de las competencias Autoevaluación 4 Construyo e interpreto modelos aritméticos y algebraicos, aplicando las propiedades de los números positivos y expresiones aritméticas y algebraicas, al resolver problemas cotidianos relacionados con ecuaciones cuadráticas.


%

indagar sobre los conocimientos y habilidades que desarrollaste de los contenidos del bloque IX del programa.

100

=

propiedades de las expresiones aritméticas y algebraicas en ecuaciones cuadráticas de una sola variable.

80

=

procesos de manera elemental en ecuaciones cuadráticas de una sola variable.

Básico

60

Tiene nociones sobre algunos conceptos y operaciones en ecuaciones cuadráticas de una sola variable.

Inicial-receptivo

40

Tiene nociones débiles sobre algunos conceptos y operaciones en ecuaciones cuadráticas de una sola variable.

Nivel preformal

20

0

y conceptos en ecuaciones cuadráticas de una sola variable.

Problema 1 y 2

Estratégico

4

4

de establecer las metas que alcanzaste tanto a lo largo del bloque IX como a través de las actividades propuestas en las sesiones, que abarcan los contenidos del programa de Matemáticas I. Suma los puntos que alcanzaste y determina qué porcentaje representa del total de puntos que podías haber obtenido, y ubícate en algunos de los siguientes niveles:

Ponderación Nivel estratégico: Puedo resolver situaciones y problemas de la vida cotidiana y escolar, /

se relacionan con las ecuaciones cuadráticas de una sola variable.

100%

Nivel autónomo: Puedo resolver algunas situaciones y problemas de la vida cotidiana y /

relacionan con las ecuaciones cuadráticas de una sola variable.

80%

Nivel resolutivo: =

cuadráticas de una sola variable, efectuando operaciones de forma mecanizada.

60%

Nivel inicial-receptivo: Tengo alguna noción de las propiedades ecuaciones cuadráticas de una sola variable, y puedo efectuar operaciones básicas para encontrar la solución de las mismas.

40%

Nivel preformal: Realizo operaciones básicas de forma mecanizada, pero no comprendo las propiedades de las ecuaciones cuadráticas de una sola variable ni entiendo las expresiones algebraicas para interpretarlas adecuadamente.

20%

Realimentación e integración de indicadores de desempeño y evidencias Con base en el proceso de resolución de las actividades anteriores, marca con una x las actitudes que desarrollaste. Sí

Matemáticas I

BIX

No

= /

planteamiento y la solución de cada uno de los problemas? ¿Utilizaste expresiones algebraicas de segundo grado para representar relaciones entre cantidades conocidas y desconocidas, necesarias para la solución de los problemas indicados? @

segundo grado que se formaron en el planteamiento de los mismos? ¿Resuelves correctamente expresiones algebraicas de segundo grado, * 4

resolución de problemas de la vida cotidiana? ¿Utilizaste alguna otra herramienta diferente a las ecuaciones de segundo grado para encontrar las medidas solicitadas? <#

el presente bloque con el que tienes ahora. Escribe en tu cuaderno, qué podrías hacer o qué requieres para mejorar el nivel alcanzado.

197

Resuelves ecuaciones cuadráticas II


= 'nes cuadráticas.

Reconoce la ecuación cuadrática en dos variables y = ax² + bx + c como una función cuadrática.

= '

parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o abajo.

Transforma la función cuadrática y = ax² + bx + c a la forma estándar y = a(x - )² + k, así obteniendo las coordenadas del V(h, k) para trazar

Interpreta que las intersecciones de la parábola con el eje de las “x” son la solución de la ecuación cuadrática, y que dependen de la naturaleza del discriminante

tiene solucio-

nes reales, imaginarias o complejas.

Visualiza que al cambiar los parámetro de "a, b y c" en la función cuadrática cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola vertical.

situaciones diversas e interpretando sus soluciones para cuando son o no admisibles. C

=

tes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje algebraico.

BX




Competenciasa desarrollar




4

minar o estimar su comportamiento.


= cos.

4

#

BX


20 200

Sesión A. La función cuadrática Criterios a desarrollar Del saber

= '

Reconozco la ecuación en dos variables y = ax2 + bx + c, como la forma de la función cuadrática, y las ecuaciones en una variable d = ax2 + bx + c, como casos particulares de la anterior.

Describo la función cuadrática en la forma estándar y = a(x – h)2 + k para trazar

Comprendo el efecto del parámetro a en el ancho y concavidad de la parábola.

Del saber hacer

Represento situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas.

Transito de ecuaciones a funciones cuadráticas, y viceversa, al representar y solucionar diversas situaciones.

Ejecuto instrucciones y procedimientos propios de las ecuaciones cuadráticas de # cance de un objetivo.

Del saber ser

Valoro la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones cuadráticas, para examinar y solucionar situaciones.

4 '

de análisis visual de su comportamiento.

Dinamización y motivación Contextualización: En el bloque anterior se te mostró cómo resolver ecuaciones cuadráticas, en éste aprenderás cómo se relacionan dichas ecuaciones con las funciones y cuáles son las diferencias entre ambas. Sin embargo, antes de comenzar, nos interesa conocer tus conocimientos previos acerca '

Problematización: La siguiente expresión representa la ganancia de una mueblería, determina para qué valores de x la ganancia es cero. G(x) = x2 - 5x + 4

Desarrollo de saberes En el bloque 6 observaste cómo puedes transformar una expresión que representa ecuación lineal a una función lineal. Por ejemplo, si tenemos la ecuación , ésta se puede transformar a una función lineal despejando la variable y, es decir, es la función lineal. De manera similar, podemos transformar una ecuación cuadrática a una función. Por ejemplo: La expresión x 2 −2x − 8 , al igualarla a cero, representa una ecuación condicional y x representa una incógnita, la cual puede tomar uno o algunos valores, en cambio si la igualamos a y, esta expresión se transforma en una función y la letra x representa una variable, la

Ecuación cuadrática

Función cuadrática

4 ] 1)

2)

Escribe sobre la línea una E si la expresión representa una ecuación o una F si la expresión representa una función. a.

y = x2

b.

x2 – 3x – 4 = 0

c.

2x2 = 6x

d.

2x2 + 8x = y

e.

x2 – 9 = 0

f.

y = 4x2 – 4x +1

Matemáticas I

BX

Dadas las siguientes expresiones, transforma las funciones a ecuaciones o de ecuaciones a funciones según sea el caso . a.

y = x2 – 3x – 4

b.

x2 – 5x + 4 = 0

c.

x2 – 9 = 0

d.

3 + y = x2 – 2x

e.

x2 = 16

! ' Una función cuadrática es una expresión de la forma y = ax2 ² ² µ |

< '

cuadrática 8 ' A

consiste en asignarle valores a x y posteriormente sustituirlos en la función cuadrática para determinar su valor y correspondiente.

201

BX


20 202 Ejemplo 1

w ' 2 + 2x – 8 Solución: 4 x y sustituyendo dichos valores en la función se tiene: x

x2 + 2x – 8

y

(x, y)

-5

(-5)2 + 2(-5) - 8

-4

7

(-5, 7)

2

0

(-4, 0)

2

(-4) + 2(-4) - 8

-3

(-3) + 2(-3) - 8

-5

(-3,-5)

-2

(-2)2 + 2(-2) - 8

-8

(-2,-8)

-1

(-1)2 + 2(-1) - 8

-9

(-1,-9)

0

(0)2 + 2(0) - 8

1 2 3

-8

(0, -8)

2

-5

(1, -5)

2

0

(2 , 0)

2

7

( 3, 7)

(1) + 2(1) - 8 (2) + 2(2) - 8 (3) + 2(3) - 8

(-4,0)

(2,0))

(-1,-9)

Ejemplo 2 w ' ©2 -2 Solución: 4 x y sustituyendo dichos valores en la función se tiene: x

-x2 -2 2

y

(x,y)

-4

-(-4) - 2

-18

(-4,18)

-3

-(-3)2 - 2

-11

(-3,11)

-2

-(-2)2 - 2

-6

(-2,-6)

-1

-(-1)2 - 2

-3

(-1,-3)

0

-(0)2 - 2

-2

(0 ,-2)

1

2

-(1) - 2

-3

(1, -3)

2

-(2)2 - 2

-6

(2, -6)

3

-(3)2 - 2

-11

(3 ,11)

4

-(4)2 - 2

-18

(4,-18)

(0,-2) (1,-3)

(-1,-3)

@ ' 2 + bx + c recibe el nombre parábola. Una parábola es una curva en forma de U que se abre hacia arriba o hacia abajo, es decir, es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo en la cual el punto máximo o mínimo recibe el nombre de vértice de la parábola.

Parábola cóncava hacia abajo

Parábola cóncava hacia arriba

Vértice Puntos de intersección con el eje x

Puntos de intersección con el eje x

Vértice

4 < '

1) x

a.

Las coordenadas de los puntos de intersección con el eje x

b.

Las coordenadas de su vértice.

c.

Si la parábola es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo

y = 2x2 – 8 2x2 - 8

y

(x,y)

-3

Matemáticas I

BX

-2 -1 0 1 2 3 a.

Puntos de intersección:

b.

Vértice:

c.

La parábola es:

203

BX


20 204 y = -x2 +4x -4 -x2 +4x -4

x

y

(x,y)

-1 0 1 2 3 4 5 a.

Puntos de intersección:

b.

Vértice:

c.

La parábola es: 2

y = 2x + 4 2x2 + 4

x

y

(x,y)

-3 -2 -1 0 1 2 3 Puntos de intersección: Vértice: La parábola es:

4 `

4 1)

Si y = 4x2 – 8, la parábola es cóncava hacia

2)

Si y = -x2 +3, la parábola es cóncava hacia

3)

Si y = -2x2 -3, ¿el vértice representa un punto máximo o un punto mínimo?

4)

Si y = 5x2, ¿el vértice representa un punto máximo o un punto mínimo?

5)

Si y = ax2 + bx + c, es una parábola cóncava hacia abajo, entonces el signo de la constante a es

6)

Si y = ax2 + bx + c, es una parábola cóncava hacia arriba, entonces el signo de la constante a es

Basándose de la actividad anterior podemos decir que: a.

Si a tiene el signo negativo (a < 0) la parábola es cóncava hacia abajo y el vértice representa un punto máximo.

b.

Si a tiene signo positivo (a > 0) la parábola es cóncava hacia arriba y el vértice representa un punto mínimo. Vértice

Vértice

La función cuadrática de la forma estándar y = a(x-h)2 + k ` '

Matemáticas I

BX

, la cual representa la pendiente de la recta y el parámetro b representa la ordenada de la ntersección de la recta y el eje y.

' ca de una función cuadrática, donde esta se puede escribir de la forma y = a(x-h)2 + k y recibe el nombre de función cuadrática de la forma estándar, en la cual nos vamos a basar de una '

en común.

4 '

libreta y contesta las siguientes preguntas. 1)

y0 = x2

2)

y1 = x2+2

3)

y2 = x2- 4

4)

y3 = (x – 3)2

5)

y4 = (x+2)2 a.

¿Cómo afecta el número 2 de la función y1 la ubicación del vértice con respecto a la función y0?

b.

¿Cómo afecta el número -4 de la función y2 la ubicación del vértice con respecto a la función y0?

205

BX


20 206 c.

Si y = a(x-h)2 + k, ¿Cómo afecta el parámetro k la ubicación del vértice a '

d.

¿Cómo afecta el número -3 de la función y3 la ubicación del vértice con respecto a la función y0?

e.

¿Cómo afecta el número 2 de la función y4 la ubicación del vértice con respecto a la función y0?

f.

Si y = a(x-h)2 + k, ¿Cómo afecta el parámetro h la ubicación del vértice a '

g.

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la función y = 2(x-4)2 + 3?

h.

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la función y = -4(x+2)2 - 1.

& '

cuadrática expresada de la forma estándar y = a(x-h)2 + k que tiene como vértice el punto (h, k) y se puede decir que: a)

% £ Â | 2 se traslada k unidades hacia arriba y si k< | £ "

y= x2 + 3

y= x2

y= x2 - 4

b)

% " Â | 2 se traslada h unidades hacia la izquierda y si h < 0 se traslada h unidades a la derecha.

y= x2

y= (x + 5)2

y=(x - 3)2

4 1)

2)

'

indica. a.

y = x2- 2

b.

y = (x-3)2+ 1

a.

y = - (x+4)2- 5

b.

y = (x-1)2+ 4

Matemáticas I

BX

6 ' a.

b.

c.

d.

e.

207

BX


20 208

Sesión B. Interpretación

ecuación cuadrática Criterios a desarrollar Del saber

= '

Reconoce la ecuación en dos variables y = ax2 + bx + c, como la forma de la función cuadrática, y las ecuaciones en una variable d = ax2 + bx + c, como casos particulares de la anterior.

Del saber hacer

< / /

Representa y resuelve situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas.

Ejecuta instrucciones y procedimientos propios de las ecuaciones cuadráticas de # cance de un objetivo.

Interpreta la naturaleza real o compleja de las raíces, a partir del discriminante cuadrático.

Del saber ser

Valora la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones cuadráticas, para solucionar situaciones.

4 '

de análisis visual de su comportamiento.

4 ' leza de las raíces.

Problematización Halla las intersecciones de la función y = x2 ² ³ \

puntos. $/ En el bloque 9 utilizaste diferentes métodos algebraicos para resolver una ecuación de segundo grado. Otro método para resolver una ecuación cuadrática es por medio de su

Recuerda que una ecuación cuadrática es una ecuación en que el valor de la función cuadrática correspondiente es cero, es decir, la ecuación cuadrática de la función es . 8 '

ecuación cuadrática, vamos a realizar la siguiente actividad.

4 \ 4

función correspondiente. 1)

2x2 – 8 = 0

Solución de la ecuación

Función:

x

2)

y

x2 – 6x + 9 = 0

Solución de la ecuación

Función:

x

y

3)

¿Cuáles son las coordenadas de los puntos de intersección del eje x con la función y = 2x2 – 8?

4)

¿Qué relación observas en la solución de la ecuación 2x2 – 8 = 0 y su representa

5)

¿Cuáles son las coordenadas de los puntos de intersección del eje x con la función y = x2 – 6x +9?

6)

¿Qué relación observas en la solución de la ecuación x2 – 6x +9 = 0 y su repre

7)

w &

Como te pudiste dar cuenta la solución de una ecuación cuadrática representan las '

Matemáticas I

BX

209

BX


21 210 Ejemplo 1

Resuelve la ecuación x2 ² © \ | / Solución: Expresando la función correspondiente de la ecuación x2 + x - 6 = 0 se tiene que y = x2 + x – 6. 4 valores a la variable x y sustituyendo dichos valores en la función se tiene: x -5

x2 + x – 6

y

(x, y)

2

14

(-5, 14)

2

(-5) + (-5) - 6

-4

(-4) + (-4) - 6

6

(-4, 6)

-3

(-3)2 + (-3) - 6

0

(-3, 0)

-2

(-2)2 + (-2) - 6

-4

(-2,-4)

2

-1

(-1) + (-1) - 6

-6

(-1,-6)

0

(0)2 + (0) - 6

-6

(0, -6)

2

1

(1) + (1) - 6

-4

(1, -4)

2

(2)2 + (2) - 6

0

(2 , 0)

3

(3)2 + (3) - 6

6

( 3, 7)

4

(4)2 + (4) - 6

14

(5, 14)

(3,0)

(2,0)

3

x con la función y = x2 + x – 6 son (-3, 0) y (2, 0), por lo tanto se puede decir que la solución de la ecuación es x = -3 y x = 2 Ejemplo 2 Resuelve la ecuación x2 © ² ]\ | / Solución: Expresando la función correspondiente de la ecuación x2 - 8 x + 16 = 0 se tiene que y2 = x2 - 8x + 16. 4

ariable x y sustituyendo dichos valores en la función se tiene: x

x2 - 8x + 16 2

y

(x, y)

1

(1) - 8(1) + 16

9

(1, 9)

2

(2)2 - 8(2) + 16

4

(2, 4)

3

(3)2 - 8(3) + 16

4 5

1

(3, 1)

2

0

(4, 0)

2

1

(5, 1)

2

(4) - 8(4) + 16 (5) - 8(5) + 16

6

(6) - 8(6) + 16

4

(6, 4)

7

(7)2 - 8(7) + 16

9

(7, 9)

(4,0)

3

punto de intersección con el eje x, por lo tanto se puede decir que la solución de la ecuación es x = 4 Ejemplo 3 Resuelve la ecuación x2 ²] | / Solución: Expresando la función correspondiente de la ecuación x2 +1 = 0 se tiene que y = x2 +1. 4

x y sustituyendo dichos valores en la función se tiene: x

x2 + 1

y

(x, y)

-4

2

(-4) + 1

17

(-4,17)

-3

2

(-3) + 1

10

(-3,10)

-2

(-2)2 + 1

3

(-2, 3)

-1

(-1)2 + 1

0 1

2

(-1, 2)

2

1

( 0, 1)

2

2

( 1, 2)

2

(0) + 1 (1) + 1

2

(2) + 1

3

(2 , 3)

3

(3)2 + 1

10

( 3,10)

4

(4)2 + 1

17

(5,17)

3

lo tanto se puede decir que la ecuación no tiene soluciones reales.

Matemáticas I

BX

& ' 2 + bx + c solamente se puede representar de tres maneras y con ayuda del discriminante puedes '

La función intersecta en dos puntos 2 al eje x cuando: b - 4ac>0

La función intersecta en un punto al eje x cuando: b2-4ac=0

La función intersecta en un punto al eje x cuando: b2-4ac<0

211

BX


21 212

4 _ & P si el discrimínate es mayor que cero, una N si el discriminante es negativo o C si el discriminante es igual a cero. b)

a)

c)

d)

e)

Matematicas i

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