2
ÍNDICE
Introducción
7
Mapa conceptual
8
Unidad 1 Lógica y conjuntos
9
1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
12
1.2 LÓGICA SIMBÓLICA
12
1.2.1 Proposiciones compuestas y operadores básicos
12
1.2.2 Negación u operador not
13
1.2.3 Conjunción u operador and
13
1.2.4 Disyunción u operador or
13
1.2.5 Disyunción exclusiva u operador or exclusivo (xor)
14
1.2.6 Proposición condicional
14
1.2.7 Proposición bicondicional
14
1.2.8 Tautología, Contradicción y Contingencia
15
1.3 TEORÍA ELEMENTAL DE CONJUNTOS
15
1.4 DIAGRAMAS DE VENN Y OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
16
1.4.1 Unión
16
1.4.2 Intersección
17
1.4.3 Diferencia y diferencia simétrica
17
1.4.4 Complemento
18
1.4.5 Propiedades generales
19
1.5 RELACIÓN ENTRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Y LA LÓGICA PROPOSICIONAL
20
1.6 APLICACIONES PRÁCTICAS
21
Autoevaluación
23
Unidad 2 Sistemas numéricos
24
3 2.1 DEFINICIÓN
27
2.1.1 SISTEMA DECIMAL
27
2.1.2 SISTEMA BINARIO
29
2.1.3 SISTEMA HEXADECIMAL
29
2.2 CONVERSIONES ENTRE DISTINTOS SISTEMAS
30
2.3 APLICACIONES PRÁCTICAS
32
Autoevaluación
34
Unidad 3 Álgebra
35
3.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
38
3.2 NÚMEROS REALES
38
3.3 EXPONENTES
39
3.4 RADICALES
40
3.5 LOGARITMOS
42
3.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
43
3.6.1 Definiciones Generales
43
3.6.2 Leyes del álgebra elemental
46
3.6.3 Factorización y productos notables
47
3.7 APLICACIONES PRÁCTICAS
48
Autoevaluación
54
Unidad 4 Trigonometría
55
4.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
58
4.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
59
4.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS ESPECIALES
61
4.4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
62
4.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO
65
4.6 SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
66
4.7 APLICACIONES PRÁCTICAS
69
4 Autoevaluación
73
Unidad 5 Geometría Analítica
75
5.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
78
5.2 ANTECEDENTES
78
5.3 LA LÍNEA RECTA
82
5.4 LAS SECCIONES CÓNICAS
84
5.4.1 Circunferencia
84
5.4.2 Parábola.
85
5.4.3 Elipse
88
5.4.4 Hipérbola
90
5.5 APLICACIONES PRÁCTICAS
91
Autoevaluación
93
Unidad 6 Calculo diferencial
94
6.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
97
6.2
100
LÍMITES
6.2.1 Definición y aritmética de los límites
103
6.2.2 Formas indeterminadas
105
6.2.3 Funciones continuas
107
6.3 DERIVADAS
108
6.3.1 Tangente a una curva
108
6.3.2 Definición de derivada
109
6.4 ARITMÉTICA DE LAS DERIVADAS Y REGLAS DE DERIVACIÓN
111
6.5 MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
113
6.6 APLICACIONES PRÁCTICAS
116
Autoevaluación
119
5
Unidad 7 Calculo Integral
120
7.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
123
7.1.1 Área bajo una curva
123
7.2
124
INTEGRAL DEFINIDA
7.3 INTEGRAL INDEFINIDA
126
7.4 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
127
7.4.1 Integración por sustitución o cambio de variable
129
7.4.2 Integración por partes
129
7.4.3 Integración de funciones trigonométricas
130
7.5
131
APLICACIONES
7.5.1 Calculo de áreas de figuras planas
131
7.5.2 Centros de gravedad de figuras planas
132
7.5.3 Momentos de inercia
132
7.5.4 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución
133
Autoevaluación
135
Unidad 8 Determinantes y matrices
136
8.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
139
8.2 MATRICES
140
8.2.1 Tipos de Matrices
140
8.2.2 Operaciones con Matrices
142
8.3 DETERMINANTES
144
8.3.1 Propiedades de los Determinantes
144
8.4 APLICACIONES PRÁCTICAS
145
Autoevaluación
146
Unidad 9 Cálculo de probabilidades
147
6 9.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES
150
9.2 TÉCNICAS DE CONTEO
150
9.2.1 Factorial
150
9.2.2 Permutaciones
151
9.2.3 Combinaciones
151
9.3 DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO
152
9.4 APLICACIONES PRÁCTICAS
153
Autoevaluación
156
Bibliografía Glosario
157 158
7
INTRODUCCIÓN En toda actividad, y particularmente en la arquitectura, las matemáticas son el instrumento indispensable para el razonamiento. En este libro se ofrece a los estudiantes las bases teórico y prácticas que constituyen el fundamento matemático que les dará el gusto por esta ciencia abstracta para su estudio y aplicación en la profesión. En la enseñanza de las matemáticas se debe cumplir en forma satisfactoria con el objetivo de la formación, enseñando a los alumnos a razonar encontrando las respuestas a las preguntas “¿Quién?”, “¿Qué?”, “¿Dónde?”, y “¿Cuándo?”, a través de los datos con la información suficiente y aplicando el conocimiento adquirido. Partiendo de la base que aprender matemáticas por medio del razonamiento, es comprender, valorar y asimilar los conocimientos, éstos son tratados de una forma clara y sencilla que permite comprender los principios que la llamada era de la información nos exige en la actualidad y que como tales son de uso común en la academia y en la industria. El contenido del presente libro proporciona las bases matemáticas necesarias para el buen desarrollo académico y profesional. Se empieza con la lógica simbólica y la teoría de conjuntos, pasando a los sistemas numéricos de gran aplicación en nuestra cibernética. Se continúa con el álgebra también denominada la “reina de las matemáticas” dado que en particular con sus expresiones algebraicas son el fundamento y leyes que regirán el resto de la matemática. Viene la trigonometría seguida de la geometría analítica de gran aplicación en la arquitectura. Llegamos al cálculo, diferencia e integral, que teniendo de base todos los capítulos previos permiten el análisis y soluciones de diversos problemas de cubicación y diseño. Terminamos con los capítulos de matrices y determinantes, así como de cálculo de probabilidades que serán base para la seriación de la materia, además de proporcionar herramientas para la solución de problemas especifico del curso.
8
MAPA CONCEPTUAL
9
UNIDAD 1 LÓGICA Y CONJUNTOS OBJETIVO
El estudiante identificará las bases de la teoría de conjuntos y la lógica para una mejor comprensión en lo general de las matemáticas y en particular de los capítulos subsecuentes, así como la simbiosis entre ambas teorías y el cómo han revolucionado los fundamentos del pensamiento y del análisis.
TEMARIO
1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1.2 LÓGICA SIMBÓLICA 1.2.1 Proposiciones compuestas y operadores básicos 1.2.2 Negación u operador not 1.2.3 Conjunción u operador and 1.2.4 Disyunción u operador or 1.2.5 Disyunción exclusiva u operador or exclusivo (xor) 1.2.6 Proposición condicional 1.2.7 Proposición bicondicional 1.2.8 Tautología, Contradicción y Contingencia 1.3 TEORÍA ELEMENTAL DE CONJUNTOS 1.4 DIAGRAMAS DE VENN Y OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1.4.1 Unión 1.4.2 Intersección 1.4.3 Diferencia y diferencia simétrica 1.4.4 Complemento 1.4.5 Propiedades generales 1.5 RELACIÓN ENTRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Y LA LÓGICA PROPOSICIONAL 1.6 APLICACIONES PRÁCTICAS
10
MAPA CONCEPTUAL
11
INTRODUCCIÓN En esta unidad se estudian los fundamentos de la lógica y los conjuntos como base fundamental para clasificar y formalizar los métodos del razonamiento, motivo del curso en las siguientes unidades, es decir, se da un enfoque de razonamiento a la naturaleza de las matemáticas.
12 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES La lógica simbólica y la teoría de conjuntos han revolucionado los fundamentos del pensamiento. Nos ocupamos en esta sección de conocer los conceptos básicos de estas teorías para un buen entender de las matemáticas. En el lenguaje cotidiano para comunicarnos se usan expresiones verbales o escritas como las siguientes:
i.
“La materia de matemáticas forma parte del plan de estudios de arquitectura.”
ii.
“¿Qué hora es?”
iii.
“Son las 11:30 de la mañana.”
iv.
“Las matemáticas son fáciles.”
v.
“Aprobaré el curso de matemáticas I.”
vi.
“1+2+3+4+5 = 16.”
A cada uno de estos enunciados, frases o expresiones le llamaremos una proposición, y por lo que vemos una proposición es una oración. Además, observemos que cada una de estas proposiciones puede adquirir un valor de verdad de falso o verdadero dependiendo del momento, pero nunca los dos valores de verdad al mismo tiempo. Pasemos a definir y realizar operaciones con las proposiciones.
1.2 LÓGICA SIMBÓLICA Una proposición es cualquier enunciado u oración a la que se le puede asignar un valor lógico: 1 Verdad y 0 Falsedad. En los ejemplos anteriores, todas las oraciones adquieren un valor de verdad falso o verdadero por lo tanto son proposiciones lógicas a excepción de la ii que no asume un valor lógico.
1.2.1 Proposiciones compuestas y operadores básicos Una proposición compuesta es la interacción entre dos o más proposiciones simples formada a través de conectores u operadores lógicos. Los conectores lógicos básicos son: operador and (y), operador or (o), operador not (no) y el operador or exclusivo (xor). Tomemos dos proposiciones cualesquiera denotas por p y q, las proposiciones compuestas anteriores se definen en los siguientes párrafos.
13 1.2.2 Negación u operador not Dada una proposición p, se define la negación de p como la proposición p' (que se lee no p) con el valor lógico contrario a p, es decir; p' que es verdadera cuando p es falsa y p' es falsa cuando p es verdadera. Lo anterior descrito en la notación de tablas de verdad queda como sigue:
p
p'
1
0
0
1
1.2.3 Conjunción u operador and Denotada por símbolo , es el conector que determinara un valor de verdad verdadero entre las proposiciones p y q (que se lee p y q) sólo cuando ambas proposiciones sean verdaderas, en cualquier otro caso su valor de verdad es falso. Su tabla de verdad es:
p
q
pq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1.2.4 Disyunción u operador or Denotado por el símbolo , es el conector que determina un valor de verdad verdadero entre las proposiciones p y q (que se lee p o q) cuando al menos una de las proposiciones simples p, q son verdaderas, en cualquier otro caso su valor de verdad es falso. Su tabla de verdad es:
p
q
pq
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
14 1.2.5 Disyunción exclusiva u operador or exclusivo (xor) Denotada por el símbolo , es el conector que determina un valor verdadero cuando p y q son contrarias y si p y q son iguales el resultado de la operación xor es falso. La operación xor se lee justamente así: xor y su tabla de verdad está dada por:
p
q
pq
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Adicional es conveniente definir la proposición condicional y la proposición bicondicional, además de Tautología, Contradicción y Contingencia.
1.2.6 Proposición condicional Denotada por el símbolo es aquella que está formada por dos proposiciones simples o compuestas p y q en este orden: p q (que se lee si p entonces q) y por definición es falsa cuando q es falsa y p es verdadera. En cualquier otro caso la condicional es verdadera. Así, la tabla de verdad está dada por:
p
q
p q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1.2.7 Proposición bicondicional Denotada por el símbolo es aquella que está formada por dos proposiciones simples o compuestas p y q: p q (que se lee p si y sólo si q) y por definición es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad (ambas son verdaderas o ambas son falsa) y en cualquier otro caso la proposición bicondicional es falsa. La tabla de verdad está dada por:
15 p
q
p q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1.2.8 Tautología, Contradicción y Contingencia Una proposición se dice una tautología si su valor de verdad resulta siempre verdadero. Se llama contradicción si su valor de verdad es siempre falso. Una contingencia o paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad.
1.3 TEORÍA ELEMENTAL DE CONJUNTOS Sin mayor preámbulo y de manera natural, un conjunto es cualquier colección de objetos perfectamente definidos. A los objetos de este conjunto se les llama elementos del conjunto. Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas y los elementos del conjunto se denotan por letras minúsculas, números o combinación de ambos. Los elementos de un conjunto se colocan entre llaves { } separados por comas. Se puede definir un conjunto por extensión que es enumerando o listando toda la colección de objetos, y por comprensión describiendo la propiedad que caracteriza al conjunto. En este último caso se utiliza, además, la notación abstracta: A = {
P ( ) } que se lee como “A es el
conjunto de los elementos x tales que cumplen la condición P(x)”. El símbolo “
se lee “tal
que”. Por último, para indicar la pertenencia de un elemento x en un conjunto X se hace uso del símbolo ∈ y la no pertenencia hace uso del símbolo ∉. Bajo estos términos, ejemplos de conjuntos son los siguientes:
1) La colección de materias de la carrera de arquitectura del primer semestre. 2) Las letras de la palabra manzana = {m, a, n, z, a, n, a } = {m, a, n, z, n }. 3) A = {1, 2, 3, a, b, c }. 4)
= el conjunto de los números naturales = {1, 2, 3, 4, 5, … }.
5)
= el conjunto de los números enteros = { … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
6)
= el conjunto de los números racionales = {
7)
= el conjunto de los números reales.
∈ ,
}.
16 8)
= el conjunto universal.
9)
= el conjunto vacio.
10) La colección de los números naturales e impares = {2, 4, 6, 8, 10, 12, … } ={
∈
}
Observemos las propiedades y operaciones entre los conjuntos. Tomemos A y B un par de conjuntos cualesquiera. Se dice que A está contenido en B o que A es un subconjunto de
B o que A es una parte de B, y se denota A B, si todo elemento de A lo es también de B. Dos conjuntos A y B son iguales, denotado A = B si tienen los mismos elementos, es decir; se cumple simultáneamente que A B y B A. Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo: A A. El conjunto vacio
es subconjunto de todos los conjuntos:
Todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto universo:
A, U,
U, U,
Si A es un conjunto, entonces el conjunto de todos los subconjuntos de A se llama conjunto potencia de A y se denota por ρ(A).
1.4 DIAGRAMAS DE VENN Y OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Los diagramas de Venn son la representación gráfica para mostrar la relación tanto entre los elementos como de los propios conjuntos. Cada conjunto se representa por medio de un círculo inscrito en un rectángulo que representa su conjunto universal. Así, todas las operaciones entre conjuntos se pueden representar gráficamente con el fin de obtener una idea más intuitiva. Procedamos a ver las operaciones entre conjuntos.
1.4.1 Unión Consideremos a los conjuntos A y B. La unión de los conjuntos A y B denotado A U B es el conjunto de los elementos que contiene a todos los elementos de A y a todos los elementos de B. La notación descriptiva del conjunto y su representación gráfica son:
A UB= {
∈
∈
}
17
Universo
A
B
1.4.2 Intersección Consideremos a los conjuntos A y B. La intersección de los conjuntos A y B denotado A ∩ B es el conjunto de los elementos comunes que contienen tanto A como B. La notación descriptiva del conjunto y su representación gráfica son:
A ∩B= {
∈
∈
}
Universo
A
B
1.4.3 Diferencia y diferencia simétrica Consideremos a los conjuntos A y B. La diferencia entre los conjuntos A y B denotado A - B es el conjunto de los elementos de A pero que no se encuentran en B:
18
A -B= {
∈
∉
}
Universo
A
B
La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B denotado A B es el conjunto de los elementos de A pero que no se encuentran en B:
A B = (A – B) U (B – A)
Universo
A
B
1.4.4 Complemento El complemento de un conjunto A se denota por A’, es el conjunto que contiene el conjunto universo y no contiene ningún elemento de A:
19
A’ = {
∈
∉
}
Universo
A
B
1.4.5 Propiedades generales A las operaciones anteriores de unión e intersección de conjuntos se les denomina genéricamente operaciones booleanas. Estas operaciones verifican las siguientes propiedades:
Propiedad
Unión
Intersección
Idempotencia
A UA = A
A ∩A = A
Conmutativa
A UB = B UA
A ∩ B=B ∩ A
Asociativa
(A U B) U C = A U (B U C)
(A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C)
Absorción
A U (A ∩ B) = A
A ∩ (A U B) = A
Distributiva
A U (B ∩ C) = (A UB) ∩( A UC)
A ∩ (B U C) = (A ∩B) U ( A ∩C)
Complementariedad
A UA’ = U
A ∩A’ =
Elemento Nulo
AU
A∩
Elemento Universal
A UU = U
A∩U=A
Leyes de Morgan
(A U B)’ = A’ ∩ B’
(A ∩ B)’ = A’ UB’
…
=A
…
=
…
Adicional y a título de ejemplo, se desarrolla el siguiente concepto llamado conjunto producto. Consideremos A y B dos conjuntos cualesquiera, el conjunto producto de A y B
20 denotado como A x B es el conjunto formado por todas las parejas ordenadas (
) tales
que a ∈ A y b ∈ B:
A x B = *( Por ejemplo si H = *
)
∈ +.
∈
+yM=*
+ el producto
cruz de H x M está formado por las duplas:
{( (
1.5
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)
)}
)(
RELACIÓN ENTRE LA TEORÍA DE CONJUNTOS Y LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Para terminar la presente unidad se presenta una relación base entre la lógica simbólica y la teoría de conjuntos. Consideremos A, B y C y las literales p, q y r sus propiedades características, es decir; la proposición lógica que describe a los elementos de cada conjunto respectivamente. La siguiente tabla describe a título de ejemplo la correspondencia entre ambos los conceptos de la teoría de conjuntos y la lógica proposicional:
Conjuntos
Proposiciones
AB A=B AB AB A' AB AB A(AB)=A A(BC)=(AB)(AC) ( A B )' = A' B'
pq p q pq pq p' p q' pq p(qr)p p ( q r) ( p q ) ( p r ) ( p q )' p' q'
…
…
La correspondencia para el conjunto vacio y el conjunto universal se corresponde con una contradicción y con una tautología respectivamente. Concluimos que mediante este tipo de correspondencias la teoría de conjuntos se puede escribir en términos de lógica proposicional y viceversa.
21 1.6 APLICACIONES PRÁCTICAS Las aplicaciones prácticas de la teoría de conjuntos y la lógica proposicional son tantas y tan variadas como se pueda imaginar, baste con mencionar a título de ejemplo que se utiliza en el diseño de redes telefónicas, redes eléctricas, circuitos en electrónica digital, redes de carreteras, redes de distribución de agua (fluidos en general), en cuestiones relacionadas con la probabilidad, es la base de la teoría de grafos y en general los conceptos de la teoría de conjuntos y la lógica proposicional están de manera implícita en la terminología utilizada en diseño de bases de datos, cuando se realizan las consultas y en general en
toda
aplicación de la computación. En fin, no se imaginarían los avances actuales en tecnología de información y comunicaciones (TIC) sin las bases teóricas de estas ramas de la matemática.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Observar que los tres primeros ejercicios están relacionados, en particular debe hacer los tres al mismo tiempo para cada proposición que se construya.
1. En grupo construya una serie de proposiciones u oraciones determinando su valor de verdad. Incluir casos donde no se trate de una proposición. 2. Exprese las proposiciones anteriores (cuando esto sea posible) en notación de conjuntos por extensión y por comprensión. 3. Exprese las proposiciones anteriores (cuando esto sea posible) en leguaje grafico de conjuntos. 4. De ser posible analíticamente verifique las siguientes identidades. En su caso es suficiente con visualizar gráficamente.
Propiedad
Unión
Intersección
Elemento Nulo
AU
Elemento Universal
A UU = U
A∩U=A
Leyes de Morgan
(A U B)’ = A’ ∩ B’
(A ∩ B)’ = A’ UB’
=A
A∩
=
5. Investigar el Método de inducción matemática. Recordemos que una proposición es cualquier enunciado u oración a la que se le puede asignar un valor lógico: 1 Verdad y
22 0 Falsedad pero no ambas a la vez. La inducción matemática se utiliza cuando se desea probar si una proposición escrita como una expresión matemática es falsa o verdadera. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento: 1) Paso Básico: el número entero 1 tiene la propiedad P. 2) Paso Inductivo: el hecho de que cualquier número entero n tenga la propiedad P implica que n + 1 también la tiene. 3) Conclusión: todos los números enteros a partir de i tienen la propiedad P. La actividad en este ejercicio constituye una investigación sobre este tema de la Inducción Matemática y demostrar por este método que la suma de los n primeros números naturales está dada por la formula: ( decir: = (
)
)
, es
23
AUTOEVALUACION 1. Formar la negación de la proposiciones: i.
“Carlos es Arquitecto”.
R. “Carlos no es Arquitecto”.
ii.
“2 es un numero par”.
R. “2 es un número impar”.
iii.
“Todos los profesores son malos”.
R. Algunos profesores no son malos”.
2. Como veremos en el capítulo de Geometría Analítica, en un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (0, 0) –origen- y radio 1 consta de todos los puntos ( , ) que satisfacen la ecuación: R. *(
circunferencia en términos de conjuntos. 3.
) ∈
= . Describa la = +.
1
Considere los conjuntos como sigue:
N = Naturales = Conjunto Universo.
A= {
∈
}
B = { 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 21, 23 } C = { 6, 7, 8, 9, 15, 17, 20, 21, 22, 23, 25 } D= {
∈
}
Calcular:
1
i.
[B C’ ∩ A )] – D’
R. { 15, 17, 19 }
ii.
[(B C )- D’ ] ∪ (A B’ )
R. {
iii.
[C’ ∪ B ) D ] – A’
R. { 23, 29 }
iv.
[B’ A’ ∩ C‘ )] – D
R. { 6, 7, 8, 12, 16, 20, 22, 25, 29 }
v.
[(A ∩ D’ ) – (C’ A’ )] – B
R. { 7 }
∈
Jiménez Murillo, J. A. Matemáticas para la computación, p. 109.
∉*
+}
24
UNIDAD 2 SISTEMAS NUMERICOS OBJETIVO
El estudiante identificará y representará cantidades en cualquier sistema numérico, de manera particular los sistemas decimal, binario y hexadecimal. Asimismo, el estudiante realizará la conversión de un número en un sistema a otro diferente.
TEMARIO 2.1 DEFINICIÓN 2.1.1 SISTEMA DECIMAL 2.1.2 SISTEMA BINARIO 2.1.3 SISTEMA HEXADECIMAL 2.2 CONVERSIONES ENTRE DISTINTOS SISTEMAS 2.3 APLICACIONES PRÁCTICAS
25
MAPA CONCEPTUAL
26
INTRODUCCIÓN En esta unidad se hace un análisis de los sistemas numéricos y la representación de los mismos como base fundamental de toda actividad humana.
27 2.1 DEFINICIÓN A medida que la actividad humana ha evolucionado, fue necesario usar cualquier referencia que funcionara como unidad para que, a partir de ella, y haciendo posteriores agrupaciones, se crearan los primeros sistemas numéricos. Así, un Sistema Numérico es un conjunto de símbolos y reglas que permiten construir todos los símbolos válidos en el sistema.
2.1.1 Sistema decimal Para denotar un sistema numérico es necesario definir ciertos conceptos primarios como lo es la base, el conjunto de símbolos, las operaciones que se pueden hacer entre ellos, la posición del símbolo, la notación del símbolo, entre otros. Para lograr esto, centremos nuestra atención en el sistema denominado sistema decimal, o base 10 que es el de uso común en toda nuestra actividad. Los símbolos de este sistema de numeración lo forma el siguiente conjunto:
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Identifiquemos que son 10 símbolos (en este caso son números que conocemos perfectamente) que definen la base, esto es base 10. Con estas cifras se pueden expresa cantidades hasta de 9 dígitos (un digito es un número o símbolo de nuestro sistema). Para expresar cantidades más grandes a los números que se pueden generar con todas las combinaciones de estos 9 dígitos, se introduce el concepto de representación posicional en el sistema numérico. Lo anterior consiste en asignar un valor posicional específico de acuerdo con el lugar que ocupa el dígito dentro del número. Con las definiciones anteriores, tomemos el número que representa la distancia de la tierra al sol: 149675000 kilómetros. Notemos que este número se puede representar con las operaciones de suma y producto que nos son familiares, como sigue:
(1 x 100000000) + (4 x 10000000) + (9 x 1000000) + (6 x 100000) + (7 x 10000) + (5 x 1000) + (0 x 100) + (0 x 10) + (0 x 1)
y en notación exponencial, tenemos que el mismo número se representa como: (1 x 108) + (4 x 107) + (9 x 106) + (6 x 105) + (7 x 104) + (5 x 103) + (0 x 102) + (0 x 101)+ (0 x 100)
28
La expresión anterior nos lleva a inducir la representación de un número en un sistema posicional de manera genérica como sigue: “La expresión general de un número N en un sistema de numeración posicional de base b es de la forma: N = dndn-1 … d1d0 . d-1d-2 … d-k = dnbn + dn-1bn-1 + … + d1b1 + d0b0 + d-1b-1 + … + d-kb-k = ∑ (1.1) donde di es uno de los símbolos definidos en el sistema de numeración, b es la base del sistema de numeración, n es el número de dígitos de la parte entera del número y k es el número de dígitos de su parte fraccionaria.”2
El número decimal 123.45 se compone en su parte entera (123) del digito 1 en con su valor posicional 100, el digito 2 con su valor posicional 10 y el digito 3 con valor posicional 1. El número en su parte fraccionaria (45) para el digito 4 tiene el valor posicional 0.1 y el digito 5 tiene el valor posicional 0.01, lo que nos lleva a escribir el número como:
123.45 = (1 x 100) + (2 x 10) + (3 x 1) +
+
en notación exponencial tenemos: 123.45 = (1 x 102) + (2 x 101) + (3 x 100) + (4 x 10-1) + (5 x 10-2)
Continuando con los sistemas numéricos y dependiendo del valor de b se tienen diversos sistemas posicionales, de los más conocidos además del base 10 (b = 10) tenemos: b = 2 Sistema Numérico Base 2, b = 16 Sistema Numérico Hexadecimal. Vemos con detalle estos últimos. 2
Jiménez Murillo, J. A., Matemáticas para la computación”, p. 4.
29 2.1.2 Sistema binario Como se ha definido en la sección anterior respecto al número de elementos del conjunto para su uso dentro de un sistema numérico, si tomamos sólo dos de ellos por ejemplo el 0 y el 1:
{0, 1}
nuestro sistema numérico se denomina Binario o de Base 2. Un número cualquiera en este sistema numérico es cualquier combinación de los dígitos 0 y 1 (ceros y unos) como puede ser: 10100101. Cuando se hace referencia a distintos sistemas numéricos se agrega la notación de subíndice para indicar en qué sistema numérico se encuentra la expresión o el número. Por ejemplo el número 12345 en base 10 se escribe (12345) 10. La expresión 101 en base 2 se escribe (101)2. 2.1.3 sistema hexadecimal Como su nombre lo indica el Sistema Hexadecimal ocupará 16 caracteres. Por costumbre el conjunto de símbolos para este sistema se forma tomando los dígitos del 0 al 9 del sistema decimal, agregándole las seis primeras letras en mayúsculas del alfabeto. Así, el conjunto de símbolos del sistema hexadecimal es:
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }
Para la completa comprensión de este sistema de numeración y los trabajos de conversión a otros sistemas numéricos, es necesario asignar o mapear la secuencia de caracteres A, B, C, D, E y F a los valores decimales: 10, 11, 12, 13,14 y 15 respectivamente. Veamos este mapeo y el resto de dígitos de ambos sistemas en la siguiente tabla:
Valor Decimal
Valor Hexadecimal
0
0
1
1
2
2
3
3
30 4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
11
B
12
C
13
D
14
E
15
F
Tabla 1.1 Mapeo de valores entre base 10 y base 16.
2.2 CONVERSIONES ENTRE DISTINTOS SISTEMAS Tomemos la sucesión alterna de 1 y 0 como sigue: 101010. De la expresión (1.1) de esta unidad, tenemos que el número 101010 en base b = 2 denotado por (101010)2 convertido a su correspondiente número en base 10 es (42)10: (101010)2 = ∑ = (1 x 25) + (0 x 24) + (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = (42)10 En el caso contrario, para convertir (42)10 a su correspondiente expresión en base 2, lo hacemos a través de divisiones sucesivas por el número base. Sigamos el ejemplo:
= =
31 = = = =
La lectura de los dígitos en base 2 se realiza en sentido de abajo hacia arriba (del último al primero), obteniendo así el valor (101010)2. Por lo tanto: (42)10 = (101010)2 como ya sabíamos. Desde luego, este procedimiento de conversión es aplicable para cualquier par de bases.
Ahora, procedamos a la conversión del número (1A2B3C)16 a decimal bajo la misma mecánica: (1A2B3C)16 = (1 x 165) + (A x 164) + (2 x 163) + (B x 162) + (3 x 161) + (C x 160) = (1 x 165) + (10 x 164) + (2 x 163) + (11 x 162) + (3 x 161) + (12 x 160) = 1048576 + 655360 + 8192 + 2816 + 48 + 12 = (1715004)10 Para el paso contrario, pasar (1715004)10 a base 16 hacemos divisiones sucesivas por las base 16:
=
(=
=
(=
= = = =
) )
(=
)
(= (= (=
) ) )
32 Recordemos que debemos leer de abajo hacia arriba el conjunto de valores obtenidos: 1A2B3C que es el valor buscado en el sistema hexadecimal. Dando una formalidad a los ejercicios anteriores, tenemos que dados X y W sistemas numéricos cualesquiera, para convertir un número del sistema X al sistema decimal se hace uso de la relación 1.1 que es la notación exponencial del número. Por otro lado, para pasar de un sistema decimal a un sistema W cualquiera se divide la parte entera del número entre la base a la que se desea convertir y la parte fraccionara del número a convertir se multiplica por el número base de la conversión. Observemos que para pasar de un sistema X a otro W se debe pasar primero por el sistema decimal. La siguiente
Notación Decimal
Sistema W
Representación Exponencial en Base X
Decimal
Sistema X
figura 1.1 nos representa esta serie de pasos para una mejor comprensión.
Para la parte Entera se divide entre la Base W. Para la parte fraccionaria se multiplica por la Base W.
Fig. 1.1 Reglas de conversión entre los sistemas numéricos.
2.3 APLICACIONES PRÁCTICAS Sencillamente diremos que la matemática es la columna vertebral de muchas ramas de la ciencia y en general en el entorno de las Tecnologías de Información y Comunicaciones (TIC) no podía ser la excepción. Es en la computación de manera contundente, donde se da una de las aplicaciones más importantes de los sistemas numéricos y en particular los sistemas binarios, octal y hexadecimal. El binario con sólo dos símbolos 0 y 1, es el lenguaje natural de las computadoras. Los sistemas octal y hexadecimal porque permiten compactar la información de las computadoras, es decir; compactan los número binarios de una forma muy sencilla y natural.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. En la afirmación de que las reglas aprendidas en particular para los sistemas decimal y binario, también son aplicables al sistema octal; desarrollar en grupo el sistema de
33 numeración octal llegando al punto de realizar conversiones de números con otros sistemas de numeración. 2. Sistema de Numeración Base 12. Realizar en grupo una disertación sobre el sistema de numeración base 12 llegando al punto de concluir qué relación tiene con nuestra familiar manera de medir el tiempo de cada día en dos partes de 12 horas cada una. 3. Operaciones Básicas. Las operaciones básicas de Suma, Resta, Multiplicación y División que comúnmente realizamos en nuestro sistema decimal, también se pueden llevar a cabo en cualquier sistema de numeración respetando las mismas reglas y considerando la base de numeración en la que se esté operando. La tarea de aprendizaje consiste en realizar una investigación del proceder para estas operaciones agregando ejercicios que ejemplifiquen las mismas operaciones.
34
AUTOEVALUACIÓN 1. Verificar usando el método propuesto que el valor decimal 1024 equivale a los números señalados en las bases indicadas:
i.
Base 10 a base 2: (1024)10
R : (10000000000)2
ii.
Base 10 a base 8: (1024)10
R : (2000)8
iii.
Base 10 a base 10: (1024)10
R : (1024)10
iv.
Base 10 a base 12: (1024)10
R : (714)12
v.
Base 10 abase 16: (1024)10
R : (400)16
2. Convertir/Verificar:
i.
Base 16 a base 2: (ABC.DE)16
R : (101010111100.11011110)2
ii.
Base 2 a base 10: (1010101010.10)2
iii.
Base 10 a base 16: (3.1416)10
R : (682.5)10
R : (3.243FE5C9)16
De serle necesario considere revisar la bibliografía en su capítulo 1 para el uso preciso del punto decimal
35
UNIDAD 3 ÁLGEBRA OBJETIVO El estudiante identificará y representará las estructuras abstractas, permitiéndole comprender las propiedades de los conjuntos de números y los distintos tipos de funciones. Además comprenderá que como rama de la matemática el algebra le permitirá el estudio de la cantidad en general, haciendo uso de un lenguaje de números y letras para representar simbólicamente las cantidades manejadas, aplicando estos conocimientos a la solución de problemas arquitectónicos y estructurales.
TEMARIO 3.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 3.2 NÚMEROS REALES 3.3 EXPONENTES 3.4 RADICALES 3.5 LOGARITMOS 3.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 3.6.1 Definiciones Generales 3.6.2 Leyes del álgebra elemental 3.6.3 Factorización y productos notables 3.7 APLICACIONES PRÁCTICAS
36
MAPA CONCEPTUAL
37
INTRODUCCIÓN Continuando con nuestro trabajo, toca el turno al álgebra que por propia definición nos lleva al estudio de la cantidad en general a través de las la teoría de conjuntos y los sistemas numéricos. Tomaremos las operaciones básicas, potenciación, radicación y logaritmos. De igual manera se abordará el tema de las leyes del algebra elemental, la descomposición factorial, productos notables. Lo anterior permitirá el conocimiento necesario para los capítulos sucesivos de la materia.
38 3.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Partiendo del hecho de que el algebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad en general, valiéndose de un lenguaje de números y letras para representar simbólicamente las entidades manejadas, llamamos a estas entidades expresiones algebraicas. Más precisamente, una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al aplicar a una colección de letras y números una secuencia finita de operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) además de los procesos de extracción de raíces y potenciación. Sólo para situar ideas, el primer encuentro natural que la mayoría tenemos con las matemáticas es a través de los números naturales, este conjunto infinito formado por los símbolos *
… +. Agreguemos ahora, el conjunto del los símbolos del
alfabeto en mayúsculas y minúsculas *
…
símbolos denominados signos y operadores *=
… + y además un conjunto de ()
+ que nos permitirán
operar los números y las letras anteriores, entonces tendremos los elementos o símbolos propios del algebra o más propiamente del lenguaje algebraico. Se han tomado estos conjuntos sólo para ejemplificar el concepto no implicando así que éstos son los únicos símbolos que componen el lenguaje algebraico, de hecho el estudio que haremos en este capítulo del lenguaje algebraico está comprendido dentro de los números reales. Una característica en el álgebra es el uso de los elementos señalados para obtener otro previamente considerado en el conjunto de símbolos, por ejemplo, a la pregunta ¿Cuánto es la mitad de 1? la respuesta conlleva el uso del símbolo 1 operarlo con el símbolo 2 a través de la división y obtener como resultado el símbolo . Antes de llegar al punto de las expresiones algebraicas es necesario detallar ciertas operaciones dentro del contexto de los números reales mismas que nos permitirán trabajar con las expresiones algebraicas, estas son las operaciones de los exponentes, las potencias y los logaritmos.
3.2 NÚMEROS REALES Hagamos en primer lugar una pseudo semblanza de la evolución por necesidad de los sistemas de numeración hasta llegar a los reales. En el párrafo anterior afirmamos que el primer encuentro natural que la mayoría tenemos con las matemáticas es a través de los números naturales, este conjunto infinito formado por los símbolos * contar.
… + y este conjunto surge de la propia necesidad de
39 Cuando se presenta la necesita además de restar surgen los números enteros { ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.Este conjunto de símbolos se obtiene a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación suma. El siguiente paso en esta evolución es la necesidad de particionar o dividir, surgen entonces los números racionales también llamados fraccionarios o quebrados. Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la operación de multiplicación. Ejemplos de este conjunto son: {... 1/2, 5/3, 8/10, 10/7, ….}. Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, pensemos en el número
. A este tipo de
números les llamamos irracionales. Por último, para nuestro objetivo, la unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los numeros reales. Para tener un contexto completo del algebra y en particular de las expresiones algebraicas, es necesario estudiemos ciertas operaciones asociadas en este caso al conjunto de los números reales, estas son: exponentes, radicales y logaritmos.
3.3 EXPONENTES Es necesario para nuestro estudio definir la operación de exponenciación. Consideremos n un número del conjunto de los naturales que llamaremos la potencia y llamaremos la base. La notación
un número real que
representa el producto del número real
veces y se llama la notación exponencial
por si mismo n
. La siguiente matriz representa la definición y
las propiedades o reglas inherentes a esta operación.
Definición o Propiedad
Descripción
Ejemplo
Definición: Multiplicar por una constante:
=
=
para
=
(
…
)
= ( =
)= (
)=
número real. Exponente cero.
= , (√
)0 = 1
Exponente unitario.
= , (√
)1 = 1
Exponente negativo. Sea un número entero
=1/
40 negativo. 91/3 = √
El exponente es una fracción irreducible: n/m. Multiplicación de
·
=
=
potencias de igual base, enteros positivos. (
Potencia de una potencia,
)3 =
enteros
positivos. (
Potencia de un producto
) =
·
o propiedad distributiva respecto al producto. Propiedad distributiva,
( )5 =
respecto a la división. División de potencias de
=
=
=
=
=
igual base. Teorema exponentes negativos.
= (
)-n = (
)n
Propiedades que no cumple la potenciación. En general no se cumple: Tampoco se cumple la propiedad asociativa:
3.4 RADICALES De manera análoga a la operación de potenciación debemos definir la operación de los radicales (cuyo símbolo es √ ) o raíces de un número. Consideremos n un número del conjunto de los naturales pero mayor que la unidad que llamaremos el orden o índice de la raíz y
un número real que llamaremos radicando. La notación √
enésima de i.
Si
y es el valor obtenido bajo las siguientes definiciones: = 0, entonces √ = 0.
representa la raíza
41 n
= .
ii.
Si
> 0, entonces √ es el número real y positivo
iii.
Si
< 0 y n es non, entonces √ es el número real y negativo
iv.
Si
< 0 y n es par, entonces √ no es un número real (no existe en los reales).
tal que
tal que
n
= .
Pasemos a ver las propiedades o reglas de esta nueva operación:
Definición o Propiedad Definición: √
Descripción
Ejemplo
=0, entonces √ = 0. >0, entonces √ ,
n
√ = 0, = .
<0 y n es non, entonces √ ,
√ n
= .
= 5 porque 52= 25,
√
= 3 porque (-3)3= -27,
√
no existe.
√
= (25)1/2 = 5
<0 y n es par, entonces √ no es un número real.
Radicación como operación inversa de la potenciación.
En particular:
(las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación). Propiedades
( √ )n = , Si √ es un real.
(√
( √ n) = , Si
( √ )2 = 8
( √ n) = , Si
. y n es non.
(√
)2 = -3
3
)=
Para todo n natural, a y b
53 = 125
reales positivos:
5= √
Raíz Cuadrada. Raíz Cubica Cálculo de la raíz mediante las funciones logaritmo y exponencial (solo números positivos). Raíz de un producto
√
o √
√ =2 √
√
= 10
= √
√
√
= exp (
)
= √ √ = 2√
42 √
Raíz de un cociente
√√
Raíz de una raíz Propiedades que no
= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ √ ≠
cumplen los radicales
√
≠√ +√
=(√ ) ( √ ) =1/2 = √
√̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = √ =√ √
=√ =5≠ ≠√ +√
3.5 LOGARITMOS La función exponencial tiene su función inversa y recibe el nombre de Logaritmo. Por tanto consideremos un número en notación exponencial: bn = x donde b es un numero positivo y distinto de la unidad, x un numero positivo y n puede ser cualquier número real. Para este número exponencial definimos el logaritmo de x como el exponente n a que hay que elevar la base b para obtener x, la notación se determina como sigue: logb x = n Como proposición lógica tenemos: Ejemplo, consideramos los números b=5, n=2 entonces bn = 52 = 25 = x; por lo tanto el logaritmo de 25 en la base 5 es 2. Las propiedades de los logaritmos como operación matemática son: i.
Casos particulares: logb b=1, logb 1 = 0.
ii.
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores, en símbolos:
iii.
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador, esto es:
iv.
El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia, en notación de logaritmos:
v.
El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el
logaritmo del radicando, es decir:
.
En general el log de todo número que no sea una potencia de 10 consta de una parte entera y una decimal. La parte entera se llama Característica y la parte decimal la Mantisa. Por último, la base de los logaritmos según su definición puede ser cualquier numero
43 positivo distinto de 1, pero los sistemas de logaritmos más comunes son el de base 10 y base natural es cuya base es el numero e = 2.718281824. Con este previo, pasemos al contexto de las expresiones algébricas.
3.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es un conjunto de símbolos y cantidades numéricas ligadas entre sí por los signos que señalan las diversas operaciones que se debe efectuar con las cantidades. Agreguemos a esta definición el hecho irrefutable de que las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual. Para continuar con nuestra exposición de ideas, es necesario convenir el uso en la notación de expresiones algebraica: i.
El conjunto de símbolos usados para denotar las expresiones algebraicas son los números y las letras.
ii.
Los números representaran cantidades conocidas y perfectamente determinadas.
iii.
Las letras nos permitirán la representación de toda clase de cantidades, ya sea conocidas o desconocidas en un contexto determinado. Así, las cantidades conocidas se representaran por las primeras letras del alfabeto: *
…+ y
se llaman genéricamente constantes y las cantidades desconocidas por las ultimas letras del alfabeto: * …
+ llamadas variables.
Las siguientes son ejemplos de expresiones algebraicas:
,
,
,
,
,
,
,
Con estas definiciones y ejemplos, es necesario dar nombre a cada una de las partes que componen una expresión algebraica genérica. Consideremos sin pérdida de generalidad la expresión algebraica: -7ax2 en la cual el símbolo “-” es el signo de la expresión, el valor “7” recibe el nombre de coeficiente, “a” constante, “x” variable y “2” es la potencia del coeficiente en la variable x.
3.6.1 Definiciones generales Dando continuidad a este nivel intuitivo de los conceptos algebraicos, el siguiente arreglo nos determina o define el resto de elementos necesarios en el uso del algebra.
44 Concepto
Definición o Característica
Termino
Varios símbolos no
Ejemplo
separados por signos + o -. Grado de un termino
Con relación a una constante o a una variable es el exponente de dicha literal. Con relación a toda la expresión es la suma total de los exponentes de todas sus literales.
Clases de Términos
Entero: no tiene denominador literal. Fraccionario: tiene denominador literal. Racional: el que no tiene radical o no contiene letras bajo el signo radical. Irracional: el que tiene radical.
Termino Semejante
Tienen las mismas literales
,
afectadas por los mismos exponentes e independiente del valor del signo y del coeficientes de los términos. Expresión Algebraica
Entera,
no
contiene
denominador y las
letras
aparecen solo en potencias de la unidad. Fraccionaria:
posee
denominador. Racional: no posee letras √ bajo el signo radical.
,
45 Irracional: hay letras dentro √ del signo de radical. Fraccionaria
e
√
Irracional:
combinación de fraccionaria e irracional. Monomio
Contiene un solo término.
Binomio
Contiene dos términos
Trinomio
Contiene tres términos
Polinomio
Dos
o
más
monomios
asociados por un símbolo de + o -. Valor Numérico
El valor numérico de una
= ;
expresión algebraica es el √ resultado obtenido al sustituir las
literales
numéricos
por
valores
efectuando
las
operaciones indicadas. Ecuación o Formula
Una
ecuación
aseveración
de
es
la
que
dos
expresiones algebraicas son iguales. Signos Algebraicos
Operación: Suma: + , Resta: - , Multiplicación: × o ·, o es implícito entre las variables, División: /, : o
, Potenciación: Es un pequeño
número o letra arriba y a la derecha de una cantidad, Radicación: Relación: Menor que: <, Mayor que: >, Igual a: =. Agrupación: El paréntesis: (), El corchete: [], La llave: {}.
46 3.6.2 Leyes del álgebra elemental Para las expresiones anteriores es necesario definir una serie de reglas básicas de operación que nos permitirán justamente “operar” con estos elementos, esto lo conseguimos mediante la aplicación de las leyes del algebra. El siguiente cuadro nos resumen las propiedades de las operaciones en el algebra elemental mismas que nos permitirán trabajar con las expresiones algebraicas.
Operador
Descripción
Operación de suma (+)
Notación: Propiedad conmutativa: Propiedad asociativa: Posee
un
inverso
aditivo
tal
que
. Posee un elemento neutro 0 que no altera la suma: . Regla de los signos: + y + da + + y· - da Signo del número mayor
Operación de Multiplicación (*)
-
y + da Signo del número mayor
-
y - da -
Notación
o
Propiedad conmutativa:
=
Propiedad asociativa: Posee un inverso multiplicativo. La operación inversa llamada división, para números diferentes a cero, o equivalentemente . Posee un elemento neutro 1,es decir que no altera la multiplicación: Es
distributiva
respecto .
Regla de los signos: + por + da +
la
adición:
47 + por - da -
Orden
de
ejecución
Operaciones
de
-
por + da -
-
por - da +
las En primer lugar se calculan los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis,
corchetes,
llaves),
seguidas
por
multiplicaciones y divisiones, y seguidas finalmente por las sumas y las restas. Igualdad (=)
Es reflexiva: Es simétrica: si
entonces
Es transitiva: si
y
si
y
si
entonces
entonces
entonces
y
Si dos símbolos son iguales, entonces, uno puede ser sustituido por el otro. Si entonces . Si y no es cero, entonces . Desigualdad (<,>)
Transitividad: si
y
si
y
entonces
si
y
entonces
si
y
entonces
entonces
3.6.3 Factorización y productos notables Para una expresión algebraica es indispensable que seamos hábiles en su manejo y operación en función del problema que se nos esté presentando. El aprender a identificar y reducir términos, factorizar, aplicar productos notables aplicando las reglas que hemos definido con anterioridad nos dará cierta soltura en su manejo. De esta manera conseguiremos nuestro objetivo de traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual a través del algebra. Como en todo este capítulo, comencemos con las definiciones básicas.
48 Dada una expresión algebraica se llaman factores o divisores a las expresiones que multiplicadas entre si dan como resultado la primera expresión, por lo tanto descomponer en factores o factorizar una expresión algebraica es convertirla en sus factores. Por ejemplo el numero 20 se factoriza en sus factores primos: 20 =10 · 2=5 ·2 · 2. Los productos notables son expresiones algebraicas cuyo resultado debe ser escrito por simple inspección. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Hecho el preámbulo anterior, procedamos a ver mediante la siguiente tabla varios de los casos que nos ocuparan.
Nombre Factor común
Binomio cuadrado perfecto
Factorización o Producto Notable :
;
Binomios conjugados Diferencia de cuadrados Polinomio al cuadrado Binomio al cubo
;
Adición de cubos Diferencia de cubos Suma de potencias enésimas Diferencia de potencias enésimas 3.7 APLICACIONES PRÁCTICAS Las aplicaciones prácticas del algebra y en particular de las expresiones algebraicas en cualquier área del conocimiento son tantas y tan variadas, que por señalar sólo algunas tomaremos como ejemplo las fórmulas para el cálculo de cantidades llamadas específicamente perímetros, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos de uso común. Recordemos que una fórmula es una consecuencia de la generalización que implican las
49 expresiones algebraicas y constituyen la representación de una regla o un principio general. Nombre/Figura
Elementos
Perímetro o Volumen (según se indique)
Cuadrado
a: lado.
Rectángulo
b: base. a: altura.
Paralelogramo
b: base. A: altura. C: lado
Rombo
a: lado. D: diagonal mayor. d: diagonal menor.
Triángulo
b: base. a: altura. c, d: lados.
Trapecio
B: base mayor. b: base menor. a: altura. c, d: lados.
Polígono Regular
b: lado. a: apotema. n: número de lados.
Área
50
Círculo
Corona Circular
c
r: radio.
r, R: radios respectivos.
Sector Circular
r: radio. l: arco. : ángulo (en grados sexagesimales). El perímetro es la longitud del arco más los dos radios.
Prisma
: Área de la base. : Área lateral. : Perímetro de la base. : altura.
Ortoedro
Cubo
: aristas.
: arista.
51
Pirámide
: Área de la base. : Área lateral.
Suma áreas triángulos
: altura.
Pirámide Truncada
: Área de la base superior. Suma áreas trapecios : Área de la base inferior. : Área lateral. : altura. : Volumen de la pirámide pequeña de base b. : Volumen de la pirámide completa de base B.
Cilindro
: Área de la base. : Área lateral. : altura. : generatriz. : radio.
Cono
: Área de la base. : Área lateral. : altura. : generatriz. : radio.
52
Cono Truncado
: Área lateral. : altura. : Volumen del cono completo. : Volumen del cono pequeño eliminado.
Esfera
: radio.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Desarrolle los siguientes temas.
1. Demostrar que:
, desarrollando el miembro
derecho de la igualdad 2. Asocie la figura siguiente con la fórmula del trinomio cuadrado perfecto para determinar el resultado del desarrollo del mismo por medio de las áreas generadas en el cuadrado.
53 3. Racionalización de radicales es un proceso algebraico donde se tiene que eliminar el radical o los radicales, que están en el denominador de la fracción. Racionalizar √̅̅̅̅̅. (Resultado: √ ̅ / 3).
54
AUTOEVALUACIÓN 1. Desarrolle las siguientes expresiones algebraicas: a. (
)(
b. (
)(
c. (
)(
). ) )(
R. (
). ).
.
R.
.
R.
.
2. Factorizar las siguientes expresiones algebraicas. i.
R. (
ii.
R.
iii.
R. (
)(
).
(
). )(
3. Simplifique las siguientes expresiones de radicales: )3/5
i.
(
ii.
√̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
iii.
√̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
5
R.
.
R. R.
√̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅.
5
).
55
UNIDAD 4 TRIGONOMETRÍA OBJETIVO
El objetivo de esta unidad es establecer las relaciones algebraicas y en general matemáticas entre las propiedades de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, con el objetivo de calcular las primeras mediante las segundas y viceversa. Mas precisamente, el objetivo de la trigonometría es el cálculo de los elementos de un triangulo donde explícitamente la palabra calculo significa la obtención de todos los elementos de un triangulo (tres lados y tres ángulos) a partir del concomiendo de al menos tres de los elementos del propio triangulo uno de los cuales deberá ser necesariamente un lado.
TEMARIO
4.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 4.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 4.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS ESPECIALES 4.4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 4.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO 4.6 SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 4.7 APLICACIONES PRÁCTICAS
56
MAPA CONCEPTUAL
57
INTRODUCCIÓN En la sección 2.1.1. de la unidad 2 del presente libro hablamos del número 149675000 que representa la distancia de la tierra al sol en kilómetros. La pregunta que viene al caso es el ¿cómo se determinó esta distancia? Definitivamente la forma de medición fue a través de un método analítico y es aquí donde la Trigonometría rinde sus frutos, ya que por medio de esta rama de las matemáticas es posible estimar distancias que no se pueden establecidas directamente. Tal estimación se realiza mediante seis razones que se denominan razones trigonométricas o más propiamente funciones trigonométricas que son la base de estudio de la presente unidad.
58 4.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Si nuestro objetivo de estudio es la interrelación existente entre los elementos de un triángulo, como son las medidas de los lados con las amplitudes de los ángulos, es necesario definir estos elementos. Un triángulo es aquella figura geométrica determinada por tres rectas que se cortan dos a dos entre puntos no alineados. Los puntos de intersección de las rectas son llamados Vértices, los segmentos de recta que se cortan son los Lados y la apertura formada por dos líneas que parten de un mismo punto se llama Ángulo. Precisemos aún más este último concepto de ángulo. En primera instancia un Círculo Trigonométrico o Unitario es aquel que toma como base un circulo de radio unitario con centro en el punto (0,0) del plano cartesiano. Es una herramienta para el manejo de los conceptos de trigonometría y al mismo tiempo un apoyo teórico para tener una idea precisa y formal de las funciones trigonométricas.
Con lo anterior, un ángulo es la cantidad de rotación por medio de la cual la línea recta cambia de una dirección a otra en un mismo plano. Si esta cantidad de rotación mantiene el sentido de las manecillas del reloj se denomina ángulo negativo y si por el contrario es en el sentido contrario a las manecillas del reloj se denomina positivo. Antes de precisar la manera de medir los ángulos, es necesario recordar la constante llamada pi que denotada por el símbolo para los ángulos. diámetro.
es base fundamental en las métricas establecidas
es la relación o cociente entre la longitud de una circunferencia y su
59
Además, es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes, un valor aproximado de
es:
Con lo anterior, la métrica para determinar el valor numérico de los ángulos puede ser en grados o en radianes. Para la medida en Grados, consideremos segmentar el círculo unitario en 360 partes iguales, a cada una le llamamos un grado sexagesimal; es decir, un grado es la trescientos sesentava (
) parte de un ángulo plano a partir de un punto (establecemos que una vuelta
completa o una revolución es aquella vuelta en sentido contrario a las manecillas del reloj que mide 360 unidades). Un radian es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del circulo que ha generado.
Si denotamos por
a los radianes y por º a los grados tenemos las siguientes fórmulas
unitarias para radianes y grados en función de : =
=
Cuando se usa la medida para ángulos expresados en radianes no deben indicarse unidades, es decir; los radianes son a dimensionales. Con estos conceptos fundamentales, estamos en posibilidad de dar nuestro siguiente paso hacia el entendimiento de las Funciones Trigonométricas.
4.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS La circunferencia trigonométrica o unitaria se utiliza con el fin analizar fácilmente las razones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.
60 Consideremos la dupla (b, a) como un punto de la circunferencia unidad dentro del primer cuadrante cartesiano, entonces b y a son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud c = 1. El triángulo ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto en C; que usaremos para definir las razones o funciones trigonométricas denominadas seno, coseno y tangente, del ángulo
, que correspondiente al vértice A del
triángulo y está situado en el centro de la circunferencia como se aprecia en la figura siguiente:
Aplicando el teorema de Pitágoras, b y a satisfacen la ecuación: a2 + b2 = 1. Las principales funciones trigonométricas del ángulo
se definen como valores de los
segmentos (catetos o hipotenusa) asociados al triángulo rectángulo de forma siguiente:
i.
Seno es el cociente entre el cateto opuesto a y la hipotenusa c, su notación es:
ii.
Coseno es el cociente entre el cateto adyacente b y la hipotenusa c, su notación es:
iii.
Tangente es el cociente entre el cateto opuesto a y el adyacente b, su notación es:
iv.
Cosecante es la función inversa del seno, su notación es:
61
v.
Secante es la función inversa del coseno, su notación es:
vi.
Cotangente es la función inversa de la tangente, su notación es:
De acuerdo con la definición anterior, para cada una de las funciones trigonométricas en el circulo unitario de la figura anterior del triangulo ABC, es posible determinar los valores de las funciones. Ejemplo. Considere el triangulo rectángulo de cateto 5, cateto adyacente 4 y cateto opuesto 3 (en base a la figura anterior c= 5, b= 4 y a = 3), calcular los valores de las seis funciones trigonométricas definidas para el ángulo Solución. Sen
= ; Cos
= ; tan
= ; Csc
. = ; Sec
= ; Cot
= .
4.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS ESPECIALES Para obtener ciertos valores de las funciones para 0º, 30º, 45º, 60º y 90º procedemos al llenado de la tabla siguiente tomando triángulos rectángulos con ciertas características. Radianes
Grados
seno
coseno
tangente
cosecante
No existe
secante
cotangente
No existe
62
No existe
No existe
Para 60º considerar un triangulo rectángulo similar al de la figura de la sección 4.2 con √
valores b=1, c=2 entonces a=√ y
= 60º. Por lo tanto: Sen = , Cos =1/2, Tan =√ ,
Csc = , Sec =2 y Cot =√ . √
Para 30º considerar los valores a=1, b= √ , c=2 y
= 30º. Nuevamente por propia
√
definición: Sen = , Cos = , Tan = , Csc =2, Sec = √
√
y Cot =√ .
Para 45º considerar un triangulo rectándolo con catetos unitarios por tanto la hipotenusa será √ . Así, a=b=1, c= √ y
=45º. Sen = , Cos = , Tan =1, Csc =√ , Sec =√ y √
√
Cot =1. Para 0º y 90º baste observar que alguno de los catetos vale cero y el otro al igual que la hipotenusa vale 1. Así, para
=0º: Sen = , Cos = , Tan =0, Csc =∞, Sec = y Cot
=∞. El símbolo ∞ es llamado infinito y no corresponde a un numero en sentido estricto, por conveniencia diremos que corresponde a un cociente de la forma a/0 para cualquier número real a. Para 90º el ejercicio es similar y se deja como actividad de aprendizaje.
4.4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS De acuerdo con la definición de la sección 4.2 para cada una de las funciones trigonométricas en el círculo unitario de la figura anterior del triangulo ABC, es posible determinar los valores de las funciones sen, cos y tan del ángulo
como sigue (recordemos
que la hipotenusa = 1): sen
= a, cos
= b y tan
=
Del teorema de Pitágoras (a2 + b2 = 1) obtenemos la identidad: Sen2
+ Cos2
=1
63 De la misma manera es posible obtener una serie de equivalencias o identidades trigonométricas, desarrollemos algunas. Partiendo de la identidad anterior Sen 2 +Cos2 =1: Sen2 +Cos2 =1 Sen2 +Cos2 =1; Sen2 /Cos2 Tan2
dividiendo por Cos2 :
+ Cos2 /Cos2 =1/ Cos2 ; como tan
+ 1=1/ Cos2 ;
=
:
Identidad que relaciona a la tangente con el
coseno de un mismo ángulo. Ahora, partiendo de esta nueva identidad y recordando la definición de secante: Tan2
+ 1=1/ Cos2 ;
Tan2
+ 1=1/ Cos2 ;
Sec
Tan2
+ 1=Sec2 .
Identidad que relaciona a la tangente con la
=
entonces cos
=
:
secante de un mismo ángulo. La siguiente tabla nos da una breve lista de algunas identidades trigonométricas. Grupo o Nombre.
Identidad(es)
Inversas
De cociente.
cot( ) = Por el teorema de Pitágoras.
Suma
y
diferencia
de
ángulos.
Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos.
64
Producto del seno y coseno de dos ángulos.
Ángulo doble.
Ángulo Mitad.
Otras.
65
Para una relación completa, favor de consultar la bibliografía del capítulo.
4.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER ÁNGULO El trabajo desarrollado hasta este momento ha supuesto un ángulo a lo más de 90º, no obstante todo lo relacionado y demostrado aplica para un ángulo en cualquier cuadrante del sistema cartesiano. Sea
un ángulo en un sistema de coordenadas cartesiano y sea P(x,y)
un punto distinto del origen en el lado terminal del segmento que une al origen con este punto P. Este segmento indica la magnitud o apertura del ángulo respecto al eje X. Si además r (radio vector) es la magnitud de este segmento, por el teorema de Pitágoras tenemos que r2 = x2 + y2 siendo x e y la abscisa y la ordenad al origen respectivamente. Bajo estas condiciones definimos:
i.
Sen
= .
ii.
Cos
= .
iii.
Tan
=
si
≠ 0.
iv.
Csc
=
si
≠ 0.
v.
Sec
=
si
≠ 0.
vi.
Cot
=
si
≠ 0.
Para estas definiciones conviene observar que los signos de las funciones en relación con el cuadrante cartesiano en que se encuentre el ángulo pueden ser positivos o negativos. Para el análisis o construcción de una tabla que determine los signos de las funciones en cada cuadrante se deben considerar los signos de las variables
"x", "y", "r" según el
cuadrante, y aplicar la definición de la función trigonométrica considerando precisamente los signos, vemos la siguiente tabla y el ejemplo que clarifican los conceptos. El valor de r por definición siempre es positivo.
66
Cuadrante
Valor x
Valor y
Valor r
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
Csc
I
Positivo
Positivo
Positivo
+
+
+
+
+
+
II
Negativo
Positivo
Positivo
+
-
-
-
-
+
III
Negativo
Negativo
Positivo
-
-
+
+
-
-
IV
Positivo
Negativo
Positivo
-
+
-
-
+
-
Ejemplo. Determine los signos de las seis funciones trigonométricas de los ángulos que se forman con relación al eje x positivo y cada uno de los puntos: P(2,3), Q(-3,1) y R(-1.5,2.5):
Solución. La siguiente tabla resume los resultados. El cálculo de los valores se deja al estudiante como un ejercicio de autoevaluación.
Punto (x,y), r
x
y
Sen =
Cos
Tan
Cot
Sec
=
=
=
=
Csc =
P(2,3), √
2
3
+
+
+
+
+
+
Q(-3,1), √
-3
1
+
-
-
-
-
+
-
-
+
+
-
-
R(- ,- ), √
4.6 SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Decimos que se soluciona un triangulo cuando de se conocen de manera determinista los seis elementos que lo integran. Para los triángulos rectángulos, es necesario y suficiente conocer dos de sus elementos (el tercero es el ángulo recto) y mediante el uso de las razones trigonométricas junto con el
67 teorema de Pitágoras, podremos resolver cualquier triángulo rectángulo. En relación con los elementos conocidos se distinguen dos casos:
1. Conocidos dos lados cualesquiera. i.
El tercer lado se calcula mediante el teorema de Pitágoras.
ii.
Se calcula uno de los ángulos agudos aplicando la razón trigonométrica que relacione los dos lados conocidos (los datos proporcionados).
iii.
Para calcular el otro ángulo agudo considerar que la suma de los ángulos interiores de todo triangulo suma 180º.
2. Conocidos un lado y un ángulo cualesquiera. i.
Se calcula el otro lado determinando la razón trigonométrica adecuada al ángulo y el lado conocido (los datos proporcionados).
ii.
Se calcula el tercer lado mediante el teorema de Pitágoras. También es posible por una razón trigonométrica.
iii.
El otro ángulo es la diferencia de 90º menos el ángulo conocido.
Ejemplo. Para la construcción de una carretera se presenta el preparar una rampa (pendiente) de 10º sobre una superficie horizontal de 150 metros de longitud. ¿A qué altura se sube al final de la rampa y cuál es la longitud de esta? Solución. Se conoce un3 ángulo y un lado. Analizando la figura siguiente:
L
h
10º 150 m Entonces, tan10º = h / 150; h = 150 · tan10º = 150 · (0.176) = 26.4 m. Por otra lado L2= 1502 + h2 = 1502 + 26.42 = 22500 + 696.96 = 23196.96, L= 152.30 m.
Para los triángulos no rectángulos, se propone una homologación al triangulo rectángulo ya que pueden resolverse triángulos no rectángulos aplicando correctamente las razones trigonométricas. 3
En lo sucesivo se presupone que se sabe halar los valores de las funciones trigonométricas y ángulos usando herramientas como una calculadora o tablas matemáticas. Es útil recordar la manera en que se obtienen los valores de los ángulos especiales o sus valores.
68 La idea es hacer una reconstrucción del triangulo no rectángulo ajustándolo a un triangulo rectángulo como se muestra en las siguiente figuras y entonces atacar el problema como triangulo rectángulo. Las figuras en rojo son el problema original y el complemento en azul la homologación a triangulo rectángulo. Los problemas más frecuentes son los que se presentan a continuación para calcular una altura h.
h
h
El caso general analítico de la solución de triángulos no rectángulo queda fuera de los alcances del presente curso. Ejemplo. Un topógrafo desea medir la altura del pico de la montaña sobre el nivel del Lago. Para esto toma las medidas que aparecen en la figura. ¿A qué altura está la cima con respecto al lago?
Solución. Llevemos nuestro modelo a una representación de triangulo rectángulo como se muestra la siguiente figura donde con los datos dados se trata de calcular la altura h.
69
h 35º 600 m
47º x
Observamos que la tangente es la función que involucra la altura con un ángulo y un lado conocido (a medias). La idea es aplicar esta para los dos triángulos rectángulos y como en ambos la distancia x es la misma, esta se calculara por igualación. Con este breve: tan 35º = h/600+x despejando h: h = (600+x)tan35º = 600tan35º + xtan35º tan 47º = h/x
despejando h: h = x tan47º
Igualando los segundos miembros de las h‟s: x tan47º = 600tan35º + xtan35º despejando x: x tan47º - xtan35º = 600tan35º ; x (tan47º - tan35º) = 600tan35º ; x = 600tan35º / (tan47º - tan35º) por lo tanto x = 1129.032 m Ahora, retomando la ecuación inicial: h = x tan47º obtenemos h = 1210.32 m.
4.7 APLICACIONES PRÁCTICAS Si partimos de la definición de la trigonometría como parte de la matemática que tiene por objeto calcular los elementos de un triangulo, tanto en el plano como en tres dimensiones; las aplicaciones prácticas de esta materia a la arquitectura son invaluables. Sencillamente dentro del campo de la topografía y la geodesia en general permite determinar distancias entre puntos geográficos para los cuales es imposible medir directamente. Se tiene registro de que las primeras aplicaciones de la trigonometría y por propia necesidad se hicieron en los áreas de la navegación y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la tierra y la luna o la distancia de la tierra al sol como planteamos al inicio de esta unidad. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en ramas de la ciencia como la física, la química y en casi todas las ramas de la ingeniería. La idea es simple y en general, siempre que se pueda triangular un problema, se podrá aplicar algún concepto de la trigonometría para su solución.
70
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. Tabla de conversión entre grados centesimal, sexagesimales y radianes. Use las formulas: =
=
Con el fin de obtener la siguiente tabla de conversión de medidas correspondientes a radianes y grados de ángulos especiales (siendo prácticos puede usar de manera equivalente:
= 180º). Para la columna de Grados
Centesimal es necesario acotar que un grado centesimal es la unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales. Su notación es una
g
(una g
con aspecto de notación exponencial como la “o” de grados º). La actividad de aprendizaje para este ejercicio consiste en comprobar las equivalencias y sobre todo completar la columna de grados centesimales analizando el método para establecer las equivalencias.
Radianes
Grados º
Grados Centesimales g
0
0º
0g
30º 45º 60º 90º
100g
120º 135º 150º 180º 210º 225º
200g
71 240º 270º
300g
300º 315º 330º 360º
400g
2. Si se requieren medidas menores de un grado se pueden usar decimas, centésimas o milésimas de grado. En particular usamos dividir el grado en 60 partes iguales llamados minutos y a su vez los minutos en 60 partes iguales llamados segundos. Los minutos se denotan por el símbolo „ y los segundos por dos veces el mismo símbolo „„. Por propia definición se tienen las equivalencias 1º = 60‟ y 1‟ = 60„„. Por ejemplo, la notación: 30º 45‟ 30„„ se lee: “30 grados, 45 minutos y 30 segundos”. El asunto en este punto es determinar un procedimiento (o formula(s)) para cambiar radianes a grados, minutos y segundos y viceversa. Una sugerencia es recordar los fundamentos del estudio hecho en la unidad II sobre sistemas de numeración en este caso es base 60. 3. A partir de las definiciones de las funciones iv, v y vi en la sección 4.2 demostrar las igualdades: cosecante
= c/a; secante
= c/b y cotangente
= b/a.
4. Determine que los valores de las seis funciones trigonométricas para
=90º en
base a la figura de sección 4.2 del circulo unitario son: Sen = , Cos = , Tan =∞, Csc =1, Sec =∞ y Cot =0. 5. Comente la siguiente grafica en grupo, permite visualizar la segmentación en radianes y en grados sexagesimales, además los signos de las funciones trigonométricas. ¿Qué hace falta en la grafica para comparar con el sistema centesimal? ¿Cómo se lee la conversión de grados sexagesimales a radianes y viceversa?
72
73
AUTOEVALUACION 1. Calcule los valores de las seis funciones trigonométricas de los ángulos que se forman con relación al eje x positivo y cada uno de los puntos:
P(2,3), Q(-3,1) y
R(-1.5,-2.5):
R. La siguiente tabla resume los resultados. Punto (x,y), r
x
y
Sen
Cos
Tan
Cot
Sec
=
=
=
=
= 2
3
+
+
+
+
+
Q(-3,1), √
-3
1
+
-
-
-
-
+
+
R(- ,- ), √
√
√
-
√
√
-
√
=
√
P(2,3), √
√
Csc
√
+
√
√
-
√
+ -
√
2. Calcule con la mayor precisión que le sea posible la equivalencia de 1radian a grados, 1 grado a radianes. Los grados deben ser expresados en grados, minutos y segundos. R. Al dividir 360° por 2π se puede ver que un radián es aproximadamente 57°17´44.8". Además: un radián = 57,3 grados y un grado = 0,01745 radianes. 3. Verificar la identidad siguiente por transformaciones del lado izquierdo de la ecuación: sec
- cos
= tan
sen
R. Sucesivamente aplicar la secuencia: Definición de secante / Desarrollar quebrado / Aplicar identidad 1-cos2 =sen2 de tangente.
/ Factorizar sen2
/ Aplicar definición
74 4. Altura de un papalote. Una persona hace volar un papalote a nivel de piso. La cuerda del papalote esta tensa, tiene una longitud de 500 m y hace un ángulo de 60º con el suelo. ¿Cuál es la altura del papalote sobre el nivel del suelo? R. 250√ . 5.
4
Altura de un globo de aire caliente. Los ángulos de elevación de un globo desde
los puntos A y B a nivel del suelo son 24º10‟ y 47º40‟, respectivamente. Según la figura, los puntos A y B están a 8.4 millas entre si y el globo se encuentra entre ambos puntos, en el mismo plano vertical. Calcula la altura del globo sobre el suelo. R. 2.7 millas.
h B
4
24º10’
47º40’ 8.4 millas
A
Earl W. Swokowski and Jeffery A. Cole, Álgebra y trigonometría con geometría analítica, problema propuesto, p. 680.
75
UNIDAD 5 GEOMETRÍA ANÁLITICA OBJETIVO
El estudiante identificará las bases de la geometría analítica como un método de estudio de la geometría por medio de un sistema de coordenadas y el algebra asociada a este sistema. De esta manera los problemas centrales que deberá resolver son dada una ecuación encontrar su grafica y por otro lado dada una grafica encontrar su ecuación algebraica.
TEMARIO
5.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 5.2 ANTECEDENTES 5.3 LA LÍNEA RECTA 5.4 LAS SECCIONES CÓNICAS 5.4.1 Circunferencia 5.4.2 Parábola. 5.4.3 Elipse 5.4.4 Hipérbola 5.5 APLICACIONES PRÁCTICAS
76
MAPA CONCEPTUAL
77
INTRODUCCIÓN La geometría analítica, también llamada geometría cartesiana, es el estudio de la geometría con los principios del álgebra. El sistema cartesiano se aplica generalmente para manipular las ecuaciones, es decir; definir formas geométricas de una manera numérica y extraer la información numérica de esa representación. A esto es lo que se llama los dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica. Al llegar a este tema es necesario tener las bases de los conceptos de números reales, operaciones con expresiones algebraicas, conocimientos básicos de geometría plana y trigonometría para un buen desempeño y habilidad en la asimilación del nuevo conocimiento. Establecidos los conceptos básicos y el plano euclidiano, se conocerá la ecuación de la recta en sus diversas formas, así como la distancia entre dos entidades básicas de la geometría. De manera particular se conocerá la ecuación de las cónicas identificando a cada una de ellas.
78 5.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Toca el punto de revisar los conceptos básicos de la geometría euclidiana, la cual estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. Se subdivide en plana y espacial. La geometría plana es la parte de la geometría que trata de los elementos o entidades que están contenidos en un plano. La geometría del espacio o de sólidos es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estos sólidos o cuerpos geométricos se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma por citar solo algunos. Esta geometría del espacio apuntala las proposiciones de la geometría plana, y es la base de la trigonometría esférica, la geometría descriptiva, la geometría analítica del espacio, entre otras de las matemáticas. Se usa en ingeniería, en ciencias naturales y, desde luego, en matemáticas. La geometría plana también denominada analítica es el estudio de la geometría mediante un sistema de coordenadas que lleva asociada un algebra. Esta materia es el motivo de estudio de la presente unidad. Los problemas fundamentales que resuelve la geometría analítica son los siguientes:
i.
Dada una ecuación representarla geométricamente como un conjunto de puntos en el plano.
ii.
Dado un conjunto de puntos en el plano geométricamente relacionados, determinar una ecuación cuya representación grafica corresponda.
Dentro de las bases de la geometría en el plano, que es el motivo de estudio de esta unidad es necesario precisar los conceptos de: ejes coordenados o plano cartesiano, la longitud de un segmento, segmentos dirigidos y división de un segmento en una razón dada entre otros. Veamos estos en la siguiente sección.
5.2 ANTECEDENTES En base al inciso i de la sección anterior donde se prevé la representación geométrica de un conjunto de puntos en el plano debemos ir invariablemente a la definición de lo que es el plano, concretamente el plano cartesiano que nos permitirá la representación grafica de ese conjunto de puntos. Llamamos Sistema de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas al sistema referente que se forma por la intersección de un par de rectas denominadas ejes (uno vertical
79 denotada por Y llamado eje de las ordenada y otro horizontal denotada por X llamada eje de las abscisas), que se cruzan de forma perpendicular formando cuatro cuadrantes que se enumeran en sentido retrogrado del I al IV romano. Al punto de intersección de las rectas le llamamos origen de coordenadas denotada por “O”. La siguiente figura nos ilustra la definición en el plano.
. Como se observa en la figura sobre los ejes se marcan divisiones (para efectos de visualización equidistantes), siendo el origen el punto cero que es la intersección de esos ejes. Para indicar la dirección de tales ejes, cada eje es una recta numérica que incluye todos los números reales en modo creciente de izquierda a derecha en el eje de las abscisas y de abajo a arriba en el eje de las ordenadas a partir del O, es decir todos los números positivos están a la derecha y arriba del origen, entanto que los negativos a la izquierda y abajo del mismo origen. Por último, para la localización de un punto en el plano se considera la distancia a los ejes que son sus coordenadas, es decir; que las coordenadas de un punto P son P(x, y), en este orden, las cuales se anotan como parejas ordenadas dentro de un paréntesis y separadas por una coma, tal es el caso del punto (0,0) u origen como bien se aprecia en la figura. Bajo este sistema de referencia, estamos en condiciones de graficar y determinar métricas cualitativas a los objetos del plano, en particular determinemos la distancia d entre dos puntos cualesquiera denotados por P1(x1, y1) y P2(x2, y2). En principio, la distancia entre dos puntos del plano equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. En la figura siguiente, es evidente que por el teorema de Pitágoras la distancia d está dada por la diferencia de las abscisas y la correspondiente de las ordenadas: d2 = (
)
(
)
80 d = √(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) ( )
Y y2
y1
M(Mx,My)
y
My=(y2+y1)/2
y2-y1
P2(x2,y2)
P1(x1,y1) x2-x1 x1
O
x2
Mx=(x2+x1)/2
X
Procediendo con un análisis similar las coordenadas del punto medio M del segmento (fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos) puede hallarse promediando las coordenadas x y y de los dos puntos extremos, respectivamente. Algebraicamente tenemos la fórmula del punto medio como se ilustra también en la figura anterior: M (Mx, My) = (
)
Las fórmulas que generalizan este concepto para hallar los valores de las coordenadas del punto P(x, y) que divide un segmento en una razón dada r = (P1M / MP2) son: (
)=(
)
donde M ya es cualquier punto entre P1 y P2 sobre el segmento que estos determinan, vea la figura anterior. Es conveniente aclarar que P1M y MP2 denotan los segmentos de recta entre los puntos que se indica. Ejemplo: dividir el segmento de recta formado por los puntos P(1,1) y T(5,5) en cuatro parte equidistantes. Solución. Sean P(1,1), Q, R, S y T(5,5) los puntos. Para el punto Q primer cuarto las coordenadas son la proporción 1:3 por lo tanto r = 1/3:
81 (
)=(
)=(
)=(
)=(
).
Para el punto R segundo cuarto las coordenadas son la proporción 2:2 por lo tanto r = 2/2 = 1 (ecuación del punto medio): (
)=(
)=(
)=(
)=(
).
Para el punto S tercer cuarto las coordenadas son la proporción 3:1 por lo tanto r=3/1= 3: (
)=(
)=(
)=(
)=(
).
El siguiente y último punto de esta sección de antecedentes o preliminares es el concepto de la pendiente de una recta, denotada por la letra m. Para esto remitámonos una vez más a la figura anterior, centrémonos en los puntos extremos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). Se trata de hallar el grado de inclinación que tiene el segmento P 1P2 con la horizontal paralela al eje X. De entrada si
= 0º o
= 180º la pendiente del segmento debe ser cero.
En este momento vale la pena recordar la definición dada en la unidad anterior en este curso de la función tangente dentro del triangulo rectángulo, entonces para la figura citada de manera más que natural tenemos a la tangente del ángulo cateto opuesto (
) sobre el cateto adyacente (
como el cociente entre el
), así:
. La cuestión es
simple, a esta expresión es lo que llamaremos la pendiente. Formalmente decimos que para un segmento P 1P2 formado por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), la pendiente m del segmento P1P2 está dado por: m = tan Si
=
=
,
se dice que el segmento no tiene pendiente.
Es conveniente observar que se define analíticamente como la diferencia de ordenadas entre la correspondiente diferencia de abscisas. Además, las rectas paralelas entre sí tienen la misma pendiente y las rectas perpendiculares entre sí tienen sus pendientes reciprocas y de signo contrario. Por último, la formulas anteriores no dependen del cuadrante donde se encuentren los puntos, y estos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) pueden ser tomados en cualquier orden. Del concepto de segmento, pasamos en la siguiente sección en forma simple al concepto de la recta en el plano, la idea es prolongar en forma indefinida los extremos del segmento, observando que el concepto de pendiente no varía y el ángulo ahora se mide con respecto al eje X.
82
5.3 LA LÍNEA RECTA Sin mayor preámbulo, pasemos a la definición formal de la recta. Se denomina línea recta, al lugar geométrico de los puntos P(x, y) del plano, tales que tomados dos puntos cualesquiera P1(x1, y1) y P2(x2, y2), el valor de las pendientes de los segmentos PP1, PP2 y P1P2 son el mismo. Esta condición se puede expresar algebraicamente con la siguiente secuencia de igualdades: =
=
=
Cabe aquí citar el hecho de que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente y dos rectas que se cortan perpendicularmente tienen sus pendientes reciprocas y de signo contrario. Una recta se representa analíticamente o algebraicamente como una ecuación lineal con dos variables y se determina si se conocen dos condiciones que la definen (dos puntos por donde pasa, la pendiente y uno que pertenece a ella, por citar un par de ejemplos). Así, existen varias maneras de representar la ecuación de una recta. Veamos los siguientes casos. Ecuación de la recta en forma punto pendiente. De la formula anterior tomemos solo a la =
primera identidad
; expresemos términos como se señala: (
)=
(
)
Llegamos así a la ecuación de la recta conocido un punto P1(x1, y1) y la pendiente
.
Ecuación de la recta dada su pendiente y su ordenada al origen. Si en el caso anterior, el punto que se conoce es de la forma (0, b) el problema se reduce aun más ya que P1(x1, y1) = P1(0, b) y la ecuación quedaría: (
)=
(
);
(
)=
Esta última ecuación es la recta de pendiente
(
);
=
y ordenada al origen .
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Ahora tomemos el segundo y cuarto termino de la identidad de la definición de la recta, obtenemos:
=
; expresemos
algebraicamente como sigue: =
(
)
Esta es la llamada ecuación de la recta dados dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). Forma general de la ecuación de la recta. Es una expresión de la forma:
83 = en la que
e
son las variables y
son constantes arbitrarias dentro de los números
reales. La pendiente de esta recta es
=
y la ordenada al origen es
=
.
Ejemplo: tomar el segmento de recta determinado por los puntos P1(x1, y1) = P1(1, 1) y P2(x2, y2) = P2(5, 5) hallar la ecuación su mediatriz. Recordar que la mediatriz de un segmento es una recta perpendicular a otra y que pasa por el punto medio de ella. Solución. La secuencia de pasos y su solución es: i.
En primera instancia se determina el punto medio del segmento P 1P2. Punto medio es M(x, y) =M(3, 3) resultado del ejemplo de la sección anterior.
ii.
Calcular la pendiente del segmento P1P2. =
iii.
= = 1.
=
La mediatriz es perpendicular a la del segmento P1P2, por lo tanto la pendiente de la mediatriz es numéricamente reciproca y de signo contrario. m M = - 1 / m P1P2 = - 1 / 1 = -1.
iv.
Conocidos un punto y la pendiente (punto i M(3, 3) y la pendiente iii m
M
= - 1)
calcular la ecuación de la mediatriz. (
El ángulo
)=
(
); (
)=
(
);
comprendido entre las rectas de pendientes
=
y
puede calcularse con
la siguiente formula: tan
=
Como aplicación inmediata, para calcular la distancia d de un punto P1(x1, y1) a una =
recta expresada esta última en su forma general
tenemos la formula:
/ √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
d=
Si la ecuación de la recta está representada en su forma reducida
=
/ √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
d=
Ejemplo: hallar la distancia del punto P1(x1, y1) = P1(-2, -4) a la recta: Solución. Por aplicación directa de la formula: / √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ; d =
d= d= (
)
/ √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ; d =
, d es:
(
)
(
)(
/ √̅̅̅̅̅ ; d =
)
/ √̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( )
=
84
5.4 LAS SECCIONES CÓNICAS Pasemos ahora a los conceptos básicos de las llamadas secciones cónicas en geometría analítica, por costumbre se dice que estas secciones cónicas son: la Circunferencia, la parábola, la Elipse y la Hipérbola. No obstante la recta y el punto ya vistos en esta unidad son también secciones cónicas. La siguiente imagen nos da un apoyo visual a la identificación de las secciones cónicas.
Como se aprecia en la imagen, las cónicas se refieren a la intersección de un plano determinado sobre un volumen denominado cono, de aquí el nombre genérico de cónicas.
5.4.1 Circunferencia La circunferencia es el punto geométrico del conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro. Se le denomina radio a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro. Y se le nombra diámetro al segmento de recta formado por dos radios alineados, y es la distancia mayor que puede darse entre dos puntos cualesquiera de la circunferencia. La ecuación de la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación: . De esta ecuación se deduce la ecuación general de la circunferencia:
donde se considera: D = -2h;
E = -2k;
F = h2 + k2 – r2
85 Particularmente, si se conoces los puntos extremos de un diámetro P1(x1, y1) y P2(x2, y2) la ecuación de la circunferencia es: El caso particular de centro el origen (h, k) = (0, 0), la ecuación en su forma reducida se simplifica a la expresión: . Ejemplo: la siguiente ecuación 2x2 + 2y2 - 6x + 10y + 7 = 0 representa una circunferencia en su forma general, hallar los valores del centro y su radio. Solución. Expresemos esta ecuación en su forma general x2+y2+Dx+Ey+F=0 con D=-2h; E = -2k y F = h2 + k2 – r2. Así: 2x2 + 2y2 - 6x + 10y + 7 = 0 dividiendo por 2 y homologando: x2 + y2 - 3x + 5y + = 0. D = -3 =-2h entonces h = E = 5 = -2k entonces k = F = = h2 + k2 – r2 entonces r2 = - h2 - k2 = – ( )2 – (- )2 = 5 por lo tanto r = √ .
5.4.2 Parábola Para el resto de las cónicas, vale la pena apoyarnos en las siguientes figuras, donde el corte de la figura A genera una Parábola, el corte B una Elipse y el corte C una Hipérbola.
86 La parábola. (Figura A) Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz, es decir, que se mueven de manera que las distancias desde un punto cualquiera de la curva a un punto fijo llamado foco y a una recta y fija llamada directriz son iguales. A la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, se llama eje de simetría de la parábola. La siguiente figura nos permite visualizar específicamente esto elementos de la parábola.
F
L
L’
V
Al segmento de recta LL‟ que pasa por el foco F y es paralelo a la directriz, se le denomina lado recto. La longitud del lado recto es cuatro veces la distancia focal, esta última corresponde al segmento FV de la figura. Partiendo de la definición, sean P(x, y) el punto genérico, M la línea directriz y F el foco de coordenadas (h, k). Sin pérdida de generalidad consideremos F(h, k) = F(0, p) y vértice V(0, 0) en el origen, esta será una parábola vertical hacia arriba. Analíticamente la definición de parábola indica que: ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ Desarrollando la distancia de ambos segmentos llegamos a la ecuación de la parábola con estas características: √(̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) ( ) =( (
)
(
) =(
) )2
=
Para estas condiciones, pero con apertura hacia la abajo la ecuación es:
87 De manera genérica la ecuación de una parábola vertical hacia arriba (como la que se aprecia en la siguiente figura) con vértice en (h, k) y foco en (h, k+p) es:
Si la parábola abre hacia abajo:
De manera análoga para las parábolas con apertura hacia la derecha e izquierda las ecuaciones respectivas son:
Hasta aquí hemos descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas, por lo cual las fórmulas son funciones de x o de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales lo que nos lleva a presentar la ecuación genérica de una parábola: =
88 donde se tienen condiciones especificas para los coeficiente. La homologando de esta ecuación a las anteriores nos lleva a determinar: D = -4p;
F = k2 + 4ph
E = -2k;
Para las parábolas que abren horizontalmente la ecuación general será: =
Y para las parábolas que abren verticalmente: = =
Ejemplo: expresar la ecuación general de la parábola
en su forma
ordinaria y especificar las coordenadas del vértice, foco, magnitud del lado recto y ecuación de directriz. Solución:
Se
debe
llevar
la
D
expresión:
E
F=
a
la
forma:
mediante tratamiento algebraico para completar el trinomio cuadrado perfecto para de esta ultima observar los valores requeridos. = ; (
)
= ; =
;(
= ) =
=
; ;(
) =
(
;
)
De esta última ecuación y su comparación a la formula reducida: (
) =
(
) vs
tenemos h = 2; k = -2; p= 1; 4p = 4.
Con estos valores: V(h, k) = V(2,-2), F(h, k+p) = F(2,-2+1) = F(2,-1, Lado Recto = 4p = 4. La ecuación de la directriz y=k-p = -2-1 = -3.
5.4.3 Elipse La Elipse. (figura B). La elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del mismo plano llamados focos es siempre la misma, constante positiva y equivalente al diámetro mayor o igual a la distancia entre los vértices. Gráficamente:
89
Los elementos de una elipse son: eje mayor segmento ̅̅̅̅, un eje menor segmento ̅̅̅̅ . Sobre el eje mayor existen dos puntos F1 y F2 que se llaman focos. El punto Q es un punto cualquiera que pertenezca a la elipse. Sea P1(x2, y1) el centro de la elipse, la ecuación de este conjunto de puntos esta dado por la formula:
para a > 0 y b > 0, y además a es la mitad del eje mayor y b es la mitad del eje menor ( estas mitades también se les llama semiejes y a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). El origen O es la mitad del segmento ̅̅̅̅̅̅̅. La distancia entre los focos ̅̅̅̅̅̅̅ se llama distancia focal y vale 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor. La excentricidad denotada por e de una elipse es la razón entre su distancia focal denominada por la letra c donde
y su semieje mayor a. Su valor se
encuentra entre cero y uno: , con (0 < e < 1) Por último, obsérvese que si a = b, el resultado es una circunferencia. Por otro lado, si el centro es el origen la ecuación se reduce:
5.4.4 Hipérbola.
90 La Hipérbola. (Figura C) es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es siempre igual, constante positiva y equivale a la distancia entre los vértices. Además de los focos, los elementos en la hipérbola son los siguientes: Centro, Vértices, Distancia entre los vértices, Distancia entre los focos y Las asíntotas. La ecuación de este conjunto de puntos y análogamente a la elipse las hipérbolas de centro en el origen (y en general) pueden abrirse a la derecha e izquierda, hacia arriba y abajo. Sus ecuaciones son:
Derecha e izquierda centro (0, 0): y2/a2 – x2/b2 = 1.
Arriba y abajo centro (0, 0):
Derecha e izquierda centro
Arriba y abajo centro
:
(x-h)2/a2 – (y-k)2/b2 = 1.
:
Las hipérbolas tienen dos rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito llamadas asíntotas. Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras. Como ejemplo las hipérbolas de este tipo tenemos las ecuaciones y2 – x2 = 1 y x2 – y2 = 1 que se visualizan en la siguiente grafica.
5.5 APLICACIONES PRÁCTICAS
91 Para la parábola en lo particular se tienen diversas aplicaciones. Por ejemplo las antenas satelitales y radiotelescopios se sirven del principio de concentración de señales recibidas desde un emisor en un receptor colocado en la posición del foco de la parábola. De igual manera la concentración de la radiación solar en un punto (foco), mediante un reflector parabólico tiene su aplicación para la capitación de energía solar. Por el contrario, una fuente emisora colocada en el foco de una parábola enviará un haz de rayos paralelos al eje. En el diseño arquitectura el uso de las cónicas es común, ya que las construcciones en general presentan este tipo de figuras.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. La intersección significa que dos líneas o cuerpos se cortan entre si. Particularmente para las rectas significa que ambas tienen un punto en común. Para hallar la intersección de un par de rectas expresadas de la forma general: Ax1 + By1 + C1 = 0 Ax2 + By2 + C2 = 0 Se dice que se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas de primer grado con dos incógnitas. Investigue por lo menos un método para esta solución: igualación, sustitución, suma y resta, grafico. 2. Analice los casos particulares de rectas: y= mx, y=constante, x=constante, rectas paralelas, rectas perpendiculares. Apóyese gráficamente y determine analíticamente. 3. Mediante procesos algebraicos pase de la expresión general de la recta Ax+By+C = 0 a la expresión reducida y = mx + b concluyendo que la pendiente de esta recta es =
y la ordenada al origen es
4. Deducir la ecuación
=
. a partir de la definición de parábola
siguiendo el desarrollo de la identidad: ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅. La siguiente figura le ayuda a visualizar y guíese por el desarrollo de la ecuación
de la sección 5.4.2.
92
5. Investigue las obras arquitectónicas de mayor renombre que presentan en su diseño aspectos de las cónicas como concepto general. Puede tomar de ejemplo las obras de Oscar Niemeyer, Vladímir Shújov, entre otros. Específicamente el Gran Teatro Nacional de China, en fin la lista sería innumerable. Las de México no deben faltar.
93
AUTOEVALUACIÓN 1.
5
Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los
puntos (-2 , 3) y (6 , -3). R. (2/3 , 1), (10/3 , -1), (2 , 0). 2. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento P1P2 dado por los puntos P1(x1, y1) = P1(-3, 2) y P2(x2, y2) = P2(1, 6)
=
R.
3. Determinar el punto de intersección de las rectas 4y – 2x = 8 ; 2y + 4x = 14. R. (2, 3). 4. La longitud
de una circunferencia está dada por la formula
donde r es el
radio. Calcular la longitud de la circunferencia cuya ecuación es: 25x2 + 25y2 + 30x - 20y - 62 = 0. R.
=
2√ .
5. Hallar las coordenadas del vértice, foco, ecuación de directriz y eje, magnitud del lado recto para la parábola:
=
x=-5. y= . Lado recto = 12.
5
Lehmann, CH. Geometría Analítica, pp. 15, 64, 109, 160.
R. (y- )2 = 12(x+2). V(-2, ). F(1, ).
94
UNIDAD 6 CÁLCULO DIFERENCIAL OBJETIVO
En esta unidad el estudiante tomará como punto de partida los problemas irresolubles de la geometría analítica, permitiéndole el estudio del cálculo de una manera natural. Identificará los límites como una herramienta para resolver problemas geométricos llegando así a la determinación de la derivada, de rectas tangentes y normales, calculo de máximos y mínimos. Concluyendo con la solución de problemas prácticos.
TEMARIO
6.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 6.2 LÍMITES 6.2.1 Definición y aritmética de los límites 6.2.2 Formas indeterminadas 6.2.3 Funciones continuas 6.3 DERIVADAS 6.3.1 Tangente a una curva 6.3.2 Definición de derivada 6.4 ARITMÉTICA DE LAS DERIVADAS Y REGLAS DE DERIVACIÓN 6.5 MÁXIMOS Y MÍNIMOS. 6.6 APLICACIONES PRÁCTICAS
95
MAPA CONCEPTUAL
96
INTRODUCCIÓN El valor que la Geometría Analítica aporta al análisis y la interpretación de las gráficas resulta insuficiente para dar respuesta a situaciones específicas como la continuidad de una función, existencia de valores máximos y mínimos y determinar si una función es creciente o decreciente. Con esta situación en puerta nuestro siguiente paso en el estudio de las matemáticas es el Cálculo entre otras razones para dar respuesta a estas interrogantes. Específicamente, los dos problemas irresolubles de la geometría analítica y que son atacados por el Cálculo son:
i.
Dada una función y un punto de su dominio, determinar la recta pendiente tangente a la grafica en ese punto.
ii.
Dada una función y dos puntos de su dominio, calcular el área de la región acotada por la función misma y esos puntos.
En la presente unidad mediante el estudio del Calculo Diferencial daremos respuesta entre otras muchas cosas al primer inciso. Por otro lado tocará a la unidad siguiente el dar respuesta en particular al segundo inciso en la unidad 7. Con lo anterior, esta unidad tiene como punto de partida los problemas irresolubles de la geometría analítica, permitiendo el estudio del cálculo de una menare natural. Se introducen los límites como una herramienta para resolver problemas geométricos llegando a la determinación de las derivadas, la recta tangente y normal a la curva, cerrando con el problema de máximos y mínimos. Además, en esta unidad se hace un mayor énfasis en el estudio de los límites, pues son base teórica de varias ramas de la matemática, en particular los cálculos diferencial e integral.
97 6.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES De nuestro primer capítulo retomemos el concepto de relación entre dos conjuntos. Lo que nos permitirá definir el de función como la relación entre dos conjuntos A y B tales que a cada elemento de A le haremos corresponde exactamente un elemento de B. No obstante que varios conceptos ya fueron definidos y usados en capítulos anteriores, convine en este momento hacer una recapitulación o definición de los conceptos fundaméntales del cálculo diferencial. Constante. Elementos de un conjunto cuyo valor no cambia. Variable. Junto con las contantes forman la totalidad de los elementos del conjunto. Dominio de una Variable. Es el conjunto de valores que puede tomar una variable. Normalmente se encuentra acotado por dos valores que se llaman extremos, pero puede no ser el caso. Variable Independiente. Son aquellas a las que se les asigna cualquier valor de su dominio escogido en forma arbitraria. Variable Dependiente. Son aquellas para las que su valor depende de otra variable. Notación. Denotamos por x los valores de una variable independiente, por y los valores de una variable dependiente. Si a cada valor de x le corresponde uno o más de y, diremos que y es función de x y lo denotamos de diversas maneras: y = f(x),
y=F(x),
f : x→y,
f : x→f(x),
f : X → Y.
Específicamente, al conjunto de valores de x le llamamos dominio y al conjunto de valores que puede tomar y le llamamos contradominio o rango del la función f. Esta notación por necesidad ya se utilizó en la Unidad anterior de Geometría Analítica, donde, entre otras cosas, se realizó la gráfica de la función f definida como el conjunto de pares ordenados que representan a la función en el plano. Formalmente, dados dos conjuntos X y Y, una regla que asigna a cada elemento de X exactamente un elemento de Y se llama una función de X en Y. Decimos que f envía x0 a f(x0) si f es una función de X en Y (f : X → Y) y para x0 ∈ X el elemento asignado a x0 mediante la función f y se representa por f(x0). Existen muy diversas tipos de funciones en relación con el contexto en que estemos situados, las cuales conforme avancemos serán descritas. Una clasificación general es:
98
{
Funciones {
{
Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante fórmulas o expresiones analíticas y su gráfica. Ejemplos: i.
La regla que asocia a cada número real su exponente cubico es una función cuyo dominio es R (números reales).
ii.
La función dada por los pares ordenados {(1,a), (2,d), (3,c)} y representada por la regla:
iii.
Explícitamente la función P: R → R llamada función polinomial dada por: .
Función uno a uno. Una función f es Uno a Uno si para cualesquiera dos elementos del dominio x0 y x1 (x0 ≠ x1 ) se cumple f(x0) ≠ f(x1). Función Monótona Creciente. Si f es una función real tal que para cualesquiera dos elementos del dominio x0 y x1 con x0 < x1 se cumple f(x0) < f(x1). Monótona Decreciente. Si f es una función real tal que para cualesquiera dos elementos del dominio x0 y x1 con x0 < x1 se cumple f(x0) > f(x1). Función Continua. Intuitivamente diremos que una función es continua dentro de ciertos límites si para valores del dominio X digamos x0 corresponde siempre un valor f(x0), y cualquier cambio en x0 digamos x0 + ∆x0, por pequeño que sea tendrá un correspondiente cambio en f(x0 + ∆x0). “∆x0 denota el pequeño cambio”. Función Discontinua. Esta fácil, porque es aquella que no es continúa. Ejemplo. De la clase de Geometría Analítica tenemos las siguientes rectas: y = 0.5x+2 (color rojo), y=2x-6 (color verde) y y=-x+5 (color azul).
99
Para las rectas y=0.5x+2 (color rojo) y y=2x-6 (color verde) son Continuas y Crecientes. Para la recta y=-x+5 (color azul) es Continua y Decreciente. Reforzando visualmente el concepto de discontinuidad de una función, la siguiente figura nos muestra la grafica de una función cualquiera primero continua y enseguida discontinua en el punto x1.
En general si la gráfica de una función (es decir la función) f(x) tiene una asíntota en x 0 entonces la función es discontinua en x0. Por ejemplo las función
presenta
asíntotas horizontal y vertical en los ejes X e Y respectivamente para x0 = 0, por lo tanto es discontinua en este punto.
100
Observemos que cuando
se hace muy grande,
se hace muy pequeña, más y más
cercano a cero. Sin el concepto de límite es muy difícil hablar de este hecho, porque
nunca
llega realmente a ser cero. El lenguaje de los límites nos permite hablar acerca del comportamiento de una función cuando ésta se aproxima a algo, concibiendo el hecho de que nunca llegará allí –ésta es la idea central de límite. Por lo tanto, pasemos al tema de los límites de funciones, base del cálculo diferencial.
6.2 LÍMITES Antes de definir formalmente el concepto de límite de una función, continuemos con el ejemplo de la sección anterior con la función:
Sin perder de vista la gráfica de esta función, tabulemos su comportamiento en cuatro vertientes: 1. Números positivos muy grandes de x. 2. Números negativos muy grandes de x. 3. Números positivos muy cercanos al cero y 4. Números negativos muy cercanos al cero. La siguiente tabla detalla una muestra de los valores propuestos:
101 para números positivos
de
muy grandes. 1
1
10
0.1
100
0.01
1000
0.001
10000
0.0001
…
…
→ +∞
→0
para números negativos
de
muy grandes.
-1
-1
-10
-0.1
-100
-0.01
-1000
-0.001
-10000
-0.0001
…
…
→ -∞
→0
para
números
positivos de
1
0.1
10
0.01
100
0.001
1000
0.0001
10000
…
…
→0
+∞
números
muy negativos de
cercanos a cero.
1
para
cercanos a cero.
-1
-1
-0.1
-10
-0.01
-100
-0.001
-1000
-0.0001
-10000
…
…
→0
-∞
muy
102
Empecemos diciendo que
tiende a
valores cada vez más próximos a
(denotado
) cuando a
se le dan
. Así, en el primer caso ( para números positivos de
muy grandes) se dice que la función tiende a 0, de igual manera en el segundo caso ( para números negativos de
muy grandes) la función tiende a cero. Estos hechos se denotan:
( ) =0y positivos de
( ) = 0, respectivamente. Para el tercer caso (
para números
muy cercanos a cero) se tiene que la sucesión o secuencia de valores de f(x)
llegara a ser un numero positivo tan grande como se quiera (símbolo +∞), ya con la notación ( )= +∞ y para el cuarto y último caso (
introducida se tiene: negativos de
para números
muy cercanos a cero) se tiene que la sucesión de valores de f(x) llegara a ser
un numero negativo tan grande como se quiera (símbolo -∞), resultando que
( )= - ∞.
Estrictamente, y usando los casos 3 y 4 conviene anotar el hecho de que la función tiende al símbolo predicho +∞ cuando x tiende a 0 por la derecha y tiende al símbolo -∞ cuando x tiende a 0 por la izquierda, respectivamente. Además debe quedar claro que en no tiene ningún límite pero se dice que tiende a ∞.
estas situaciones la función
Decimos que
tiende a
por la izquierda (denotado
dan valores cada vez más próximos a que
tiende a
, pero menores que
por la derecha (denotado
cada vez más próximos a
) cuando a
se le
. Análogamente decimos
) cuando a
se le dan valores
pero mayores que .
Concluimos este ejemplo reiterando la frase: El lenguaje de los límites nos permite hablar acerca del comportamiento de una función cuando ésta se aproxima a algo, concibiendo el hecho de que nunca llegará allí, este hecho nos permite expresar: ( ) = 0,
( ) = 0,
( )= +∞,
( )= - ∞.
Otro ejemplo ilustrativo del hecho de los límites de funciones que nos permitirá la comprensión del concepto es para la función: Veamos un ejemplo más. Consideremos el siguiente juego de parábolas:
103 Las funciones aquí representadas son continuas y decrecientes en el intervalo de menos infinito a cero, continuas y crecientes en el intervalo de cero al infinito. Situemos la función f(x) = x2 para el siguiente ejercicio de límites, tomemos x0=3 y vemos que f(x0) = 32 = 9. Además de nuestra intuición de límite: ( )=
x2 = 9
Este límite se entiende como el valor más próximo y debemos dejar en claro que si en ocasiones resulta ser el valor de la función en el punto prescrito no siempre pasa esto, podemos afirmar que este es el mejor de los casos en el cálculo de límites. Tomemos el siguiente replanteamiento: (
)
f(x) = x2 = x2 (
.
)
Algebraicamente esta nueva función es la misma pero ya no es continua en x 0= 3 pues en este valor se genera la indeterminación de dividir por cero. Ahora la función tiene un hueco en x0= 3 y en el resto de los valores del dominio es igual a la función original x2. ¿Pero, y que pasa con el límite en la nueva función cuando x→3? Nuevamente de nuestro planteamiento intuitivo de límite, obtenemos que cuando x se acerca más a 3, entonces f(x) se acerca más a 9. La expresión del límite es: ( )=
(
x2 (
) )
=9
No importa qué valor tome o no tome f(x) en x=3, la idea central del límite es que se puede determinar cómo se comporta una función cuando se hace más y más cercana a un valor dado, sin hablar de cómo se comporta en ese valor. Por fin, demos la definición formal de límite que no varía en la idea intuitiva que ya tenemos, solo precisa los conceptos.
6.2.1 Definición y aritmética de los límites Definición de Límite de una Función. El límite de una función f(x) cuando x tiende al valor x 0 (x → x0) es igual a una contante ℓ, si existe un valor ξ>0 tan pequeño como se quiera tal que el valor absoluto de la diferencia entre la función f(x) y el limite ℓ es igual a ξ para todo valor de x lo suficientemente próximo a x0 con excepción del propio valor x0. Las operaciones de los límites obedecen a teoremas fundaméntelas de la aritméticos por lo que para hacer operaciones con los límites es necesario detallar las siguientes reglas. Consideremos f y g un par de funciones cualesquiera para las cuales existe el límite en el valor c y k una constante, se cumplen las siguientes reglas:
i.
El límite de una constante es la misma constante.
104
ii.
El límite de x cuando x tiende al valor c es c.
iii.
El límite del producto de f por g es igual al producto de los límites.
iv.
Caso particular, el límite del producto de una constante por una función es igual producto de la constante por el límite de la función.
v.
El límite de una suma o diferencia entre f y g es igual a la suma de los límites.
vi.
El límite de un cociente entre f y g es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador g evaluado en el límite no sea cero.
, siempre y cuando vii.
Sea n un número entero. El límite de la potencia de una función f es igual a la potencia n-ésima del límite de la función.
viii.
Sea n un número entero. El límite de un radical n-ésimo de una función f es igual al radical n-ésimo del límite de la función.
Adicional, vale la pena tener en mente los siguientes resultados sobre límites:
105
Ejemplos. Como caso particular, el límite P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 cuando x → c es: ( )= ( ) Calcular el limite cuando x → 1 de la función f(x) = √ Aplicando la regla viii y el caso anterior;
√
. =√
=√
=√
6.2.2. Formas indeterminadas Es posible que al hacer operaciones con los límites, el resultado sea una forma indeterminada del tipo
, , o alguna otra por lo que es necesario visualizar la problemática
y su solución. Primero recordemos que expresiones de este tipo no son validas en los reales pero para efectos del algebra de límites se conviene en ser aceptadas. Consideremos k elemento de los reales. Limite cuando x →
.
±k= k·
=
k/
=0 /k=
para k ≠ 0.
0/k= 0
para k ≠ 0.
k/0= k
∞
={ ={
Para cuestiones como:
⁄
⁄
∞0 y 1∞ las recomendación para
funciones polinomiales y cocientes son: Las indeterminaciones que se presentan se resuelven teniendo en cuenta solamente los términos de mayor grado de cada polinomio (se divide numerador y denominador por la potencia más grande). Además, si el grado del numerador es menor que el del denominador la fracción tiende a infinito. Si el grado del
106 numerador es menor que el del denominador la fracción tiene limite cero. Si el grado del numerador y del denominador son iguales, la fracción tiene un límite distinto de cero. Para calcular el límite de la diferencia de dos fracciones que tienden a infinito se hace primero la resta. Si la expresión es entera, no tiene límite pero tiende a infinito. Limite cuando x → c. Caso Inmediato: Se aplica la definición sustituyendo la x por el valor c. Límites infinitos: Si al calcular el límite de una fracción por el procedimiento anterior, si el denominador es cero y el numerador es distinto de cero (tipo k/0), el límite es infinito. Límites indeterminados: Si al calcular el límite de un cociente de polinomios resulta que, tanto el numerador como el denominador tienden a cero (indeterminación del tipo 0/0), puede resolverse esta indeterminación dividiendo numerador y denominador por x – c, es decir, factorizando y eliminado el factor común. En caso de funciones trigonométricas se recomienda el uso de identidades trigonométricas. Ejemplo. Calcular el limite x → 0 de la función f(x) = senxcos2x. Solución.
( )=
Ejemplo. Calcular el limite x →
=
=
= 0.
del cociente de los polinomios: (x2 + x - 4) / (4x3 + 1).
Solución. En principio sería una forma indeterminada
⁄ , por lo tanto se sugiere dividir
por la potencia más grande que es x3, además recordar que para cualquier n positivo:
Así: (x2 + x - 4) / (4x3 + 1) =
(1/x + 1/x2 – 4/ x3) / (4 + 1/ x3) = 0 / 4 = 0.
Ejemplo. Calcular el limite x → 1del cociente de los polinomios: (x3 - 1) / (x - 1). Solución. Ahora tenemos una forma indeterminada 0/0. Después de analizar vemos que una forma de solución es seguir la recomendación de dividir los polinomios tácitamente:
107 3
x –1 3
2
-x +x
x–1 2
x +x+1
------------2
x –1
3
2
-x –x --------x–1 - x+1 --------0 Con lo que
(x3 - 1) / (x - 1) =
2
x /x=x 2
x /x=x x /x =1
(x - 1)(x2 + x +1) / (x - 1) =
x2 + x +1= 3.
A titulo de resumen y regla nemotécnica, una indeterminación del tipo ⁄ es la que se da en los tres casos siguientes, y en cada caso después de simplificar y hacer las operaciones algebraicas necesarias, se obtiene un límite distinto: (x / x2 ) =
simplificando
(1 / x ) =
(x / x ) =
simplificando
(1 ) = 1
(x2 / x ) =
simplificando
( x) = 0
Hecho lo anterior es necesario pasar a otro de los conceptos fundamentales del cálculo y base para cualquier estudio posterior, la continuidad de una función.
6.2.3. Funciones continuas Definición de continuidad de una función. Decimos que una función f(x) es continua en el punto x = x0 si existe f(x0) y además el límite de f(x) cuando x → x0 es justamente f(x0), es decir: lim f(x) = f(x0). x → x0. Si no se cumplen las condiciones anteriores, la función f(x) es discontinua en x0. Una función f(x) es continua en el interior de un intervalo I = [a, b] de x, si es continua para todos los valores de x dentro de I. En caso contrario es discontinua en I.
108 Como ya sabemos, la grafica de una función continua en un intervalo I se obtiene de un solo trazo para los valores de x dentro de I. Una función f(x) continua en un intervalo I = [a, b] toma todos los valores entre f(a) y f(b). Si además f(a) y f(b) son de signo contrario entonces f(x) tiene una solución o raíz en I. En general para f y g funciones continuas en los reales, las siguientes reglas se cumplen: (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) es continua en todos los reales. (f · g)(x) = f(x) · g(x) es continua en todos los reales. (f / g)(x) = f(x) / g(x) es continua en los reales, siempre que g(x) sea diferente de 0. (g ○ f)(x) = g(f(x)) ○ es la composición de funciones, es continua en los reales. Pasemos ya a los conceptos de Derivadas e integrales (estas últimas en la siguiente unidad).
6.3 DERIVADAS 6.3.1 Tangente a una curva En la sección 6.1 de esta unidad al enfrentar nuestra primer definición de función continua en un punto x0 hablamos del concepto de cambio o incremento denotado por ∆x0. En lo sucesivo para la notación de incrementos en un punto x0 se usara indistintamente ∆x0 o h. Veremos el asunto de la deriva de una función a la par de la interpretación geométrica como curva tangente en un punto de la misma en base a lo aprendido de la geometría analítica, esto con el apoyo del concepto de incrementos y sobre todo de los límites. Dado el punto x le aplicamos el incremento h llegando al punto x+h. Respectivamente los valores de la función y serán f(x) y f(x+h) y la longitud de este segmento es f(x+h)-f(x). Estos segmentos son los catetos de un triangulo rectángulo del ángulo de la curva y=f(x). De la geometría analítica (ver el detalle en pendiente de esta recta secante es la tangente del ángulo
para la recta secante S1 la siguiente figura) la
y además el incremento de y
entre el incremento de x (también denominado cociente diferencial) es: (
)
( )
Aplicamos esta misma idea a la recta secante S2 y así sucesivamente hasta llegar a la recta secante Sn que coincide con la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto x en la medida en que h tiende a cero. De esta forma aplicando el concepto de límites formalizamos la definición de Recta Tangente. Se llama recta tangente a una curva en un punto x al límite de las posiciones de una secante, cuando el segundo punto de intersección de la secante coincide con el primero.
109 Para nuestro caso, la recta secante Sn es la tangente en el punto x a la función y=f(x). La expresión algebraica es: m = tan
(
=
)
( )
Curva y=f(x)
Y f(x+h)
f(x)
Secante 2
f(x)
f(x+h)-f(x)
(x+h,f(x+h))
Secante n
Tangente
(x,f(x))
h x
O
x +h
Secante 1
6.3.2 Definición de derivada Con el desarrollo anterior llegamos a la definición de derivada de manera formal. Sea y=f(x) definida en un dominio real. La derivada de la función y=f(x) en el punto x es el número real dado por el límite: (
)
( )
X
110 del cociente de incrementos cuando este exista. En cuyo caso decimos que la función y=f(x) es derivable en el punto x. Si por el contrario este límite no existe, entonces la derivada de y=f(x) no existe en x. Definimos la función derivada de y=f(x) denotada por f ‟(x) como la función dada por la regla: (
f ’(x) =
)
( )
Si f(x) es derivable en todo punto de su dominio, entonces f(x) se llama función derivable y además el dominio de f(x) y el de mismo de la derivada f‟(x) es el mismo. Como acotamos, para la función cuyo valor en cada x es la derivada de f(x), se escribe f′(x). Existen muchas más formas de notación para la derivada, algunas son:
,
,
Se puede escribir la derivada de f en el punto x = a de la siguiente manera:
Ejemplo: Calcular la derivada de la función y=f(x) = x2 – 2x – 8, la ecuación de la recta tangente en el punto x=2 y la ecuación de la recta normal en el mismo punto. Solución. i.
Vámonos por la definición de derivada, esto es debemos calcular el limite (
)
( )
para y=f(x)=x2 – 2x – 8. La grafica de la función es:
f’(x)=2x-2 derivada
y=2x-12 tangente
y=(-x/2)-7 normal
f ’(x) =
(
)
( )
=
(
(2,-8)
)
( )
=
((x+h)2 – x2 – 2(x+h) + 2x – 8 + 8)/ h =
(x2 +2xh +h2 – x2 – 2x - 2h + 2x – 8 + 8) / h =
111 f ’(x) =
(2xh +h2 – 2h)/h =
(2x +h – 2)/h = 2x – 2.
Por otro lado, en el punto x=2; y= x2 – 2x – 8│x=2 = 4-4-8=-8; el punto de tangencia
ii.
es (2,-8). La pendiente en (2,-8) es m = f‟(x) │x=2 = 2x-2│x=2
= 2. Ahora
conociendo un punto (2,-8) y la pendiente m=2 podemos conocer la recta tangente (de las clases de geometría analítica): y - y1 = m ( x – x1 ); y – (–8) = 2(x - 2); y= 2x-4-8; y=2x-12. iii.
Finalmente la ecuación de la recta normal en el punto (2,-8) está dada por la expresión (igual de la clase de geometría analítica) y – y1 = -
(x – x1); y – (-8) =
- (x – 2); y + 8= - x +1; y = - x - 7 Para calcular las derivadas sería complicado aplicar el procedimiento de la definición a expresiones algebraicas complejas, por lo tanto aplicaremos la derivación mediante reglas prescritas.
6.4 ARITMÉTICA DE LAS DERIVADAS Y REGLAS DE DERIVACIÓN Ahora calcularemos las derivadas de sumas, productos y cocientes de funciones mediante reglas de derivación. En primera instancia dentro del algebra de las funciones derivadas tenemos que la derivada de la suma o resta algebraica de un número finito defunciones derivables es igual a la suma o resta algebraica de las derivadas:
La derivada que resulta del producto de una constante por una función, es igual al producto de la constante por la derivada de la función:
La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada función por la derivada de la otra:
La derivada del cociente de dos funciones es nuevamente un cociente donde el numerador es la diferencia de los productos del denominador original, multiplicada por la derivada del numerador original menos el numerador original por la derivada del denominador original, y el nuevo denominador es lo que resulte del cuadrado del denominador original. Desde luego el denominador debe ser distinto de la función 0.
112 La derivada de la función composición (o regla de la cadena): ; Otra forma de expresar la regla de la cadena es y=h(x), f=g(y) entonces f=g(h(x)) = (g○h):
=
.
Algunas reglas básicas para la derivación son las siguientes y para una relación completa consulte la bibliografía de la unidad: Función
Derivada
113
Ejemplo. En los puntos donde la función es válida, calcular la derivada de la función f(x)=(1-senx)(1+senx)-1. Solución. Apliquemos la fórmula del cociente expresando f(x) = (1-senx)/(1+senx), [(h/g)‟=(h‟g-hg‟)/g2] y al resultado aplicar la formula inmediata de derivación para sen(x) : f(x) = (1-senx)/(1+senx) = h/g f‟(x) = ((1-senx)‟(1+senx) – (1- senx)(1+ senx)‟) / (1+senx)2 = f‟(x) = ((-cosx)(1+senx) – (1+senx)(-cosx)‟) / (1+senx)2 = f‟(x) = ((-cosx - cosxsenx) – cosx + senxcosx) / (1+senx)2 = f‟(x) = -2cosx / (1+senx)2. Ejemplo: Como ejercicio de aplicación de la regla de la cadena, calcular la derivada de la función z=(2x+1)2 +3(2x+1) - 7. Solución. La regla de la cadena dice: y=f(x), z=g(y) entonces z=(g○f)(x);
=
.
Tomando: y=2x+1 tenemos z=y2+3y-7;
=
=[d(y2+3y-7)/dy•d(2x+1)/dx]=(2y+3)•(2)=4y+6=4(2x+1)+6=8x+4+6 =8x+10.
6.5 MÁXIMOS Y MÍNIMOS Pora finalizar la Unidad del cálculo diferencial, resta terminar dando respuesta concretas a las situaciones específicas como la continuidad de una función, existencia de valores máximos y mínimos y determinar si una función es creciente o decreciente. Sea f una función definida en un intervalo cerrado I. Acotaremos el hecho de que f es una función es creciente (respectivamente decreciente) en un intervalo I si es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de I.
114 En la sección 6.3.1. determinamos que m = tan
=
(
)
( )
Del simple concepto de
m, si este número es positivo (respectivamente negativo) la función f es creciente (respectivamente decreciente) en x0. Si se da el caso de m=0 no se puede afirmar que la función sea creciente o decreciente. Un punto x0 en I de la función f se dice Máximo (respectivamente Mínimo) si para todo punto x ∈ I se cumple f(x0) ≥ f(x) (respectivamente f(x0) ≤ f(x)). La determinación analítica de un máximo o mínimo con el uso de la derivada viene dada también por el concepto de la pendiente, esto es; para el punto x0 si la derivada de la función f es igual a cero y pasa de positiva a negativa en el intervalo I, entonces hablamos de un máximo. En un mínimo la función nuevamente la derivada de la función debe ser cero y pasar de negativa a positiva. Se debe aclarar que si derivada pasa de positiva a positiva o negativa a negativa no se puede afirmar nada respecto. Apoyemos visualmente los conceptos en la siguiente figura.
La concavidad (del gráfico de una función, es la condición geométrica de convexidad – hacia arriba o hacia abajo- de la región bajo una curva) de una función en un punto x0. Si una curva dirige su concavidad hacia la parte negativa del eje Y y la derivada decrece entonces la segunda derivada es negativa. Por el contrario, si la concavidad es hacia la parte positiva y la primera derivada decrece entonces su derivada segunda es positiva. El párrafo anterior nos da un criterio para determinar si un punto crítico es máximo o mínimo. En un máximo la concavidad es hacia abajo por lo que la segunda derivada será
115 negativa. En un mínimo la concavidad será hacia arriba por lo que la segunda derivada será positiva. Siendo desde luego la primera derivada cero en el punto de análisis. Por último, un punto de inflexión es aquel x0 del dominio de f en donde la curva que cambia de sentido de su concavidad. Ahora, el cómo determinar los puntos de inflexión es inherente a toda la teoría ya desarrollada. Para determinar las características de la grafica de una función f, se siguiere seguir los siguientes pasos. i.
Determinar el Dominio. Como ya sabemos el dominio de una función es el
conjunto de valores donde la función está definida. Sobre todo, si fuera el caso se deben determinar los valores de x donde la función no está definida. ii.
Continuidad de la Función. Determinar cómo se comporta la función en el
intervalo de los puntos donde no está definida. Calcular los límites laterales en los puntos de discontinuidad y en los extremos de los intervalos de discontinuidad. Si alguno de los límites laterales en un punto x=x 0 da infinito se dice que f tiene asíntota vertical de ecuación x=x0. iii.
Análisis de posibles asíntotas. Recordar el cálculo de los límites de la función cuando x tiende a +∞ y -∞, como se ha realizado en los primeros ejercicios de esta unidad.
iv.
Cálculo de Máximos y Mínimos. Para calcular los máximos y mínimos debemos que tener en cuenta los valores que anulan a la primera derivada.
v.
Hay un mínimo en el punto en punto
cuando:
Hay un máximo en el punto en punto
cuando:
Puntos de Inflexión. Considerar:
Esto es, se halla la segunda derivada y se calculan sus raíces. Enseguida se halla la tercera derivada y se sustituye en ella las raíces previas de la primera derivada.
116 Si las raíces no anulan la tercera derivada (f‟‟‟(
) ≠ 0 ) tenemos un punto de
inflexión. Ejemplo: Determine un análisis total del polinomio: y=f(x)=5x – x5. Solución. Detallemos la secuencia. i.
El polinomio tiene por dominio todos los reales.
ii.
El polinomio es continuo en todo punto.
iii.
No existen puntos de discontinuidad por ende no hay asíntotas.
iv.
Calculo de máximos y mínimos. a. Se obtiene la derivada de la función. f‟(x)=5 - 5x4 b. Se calculan las raíces del polinomio derivada. 5 - 5x4 = 0, entonces 5x4 = 5; x4 = 1 Las raíces son: x0=1 y x1= –1 Los puntos críticos son: f(1)= 5(1) – (1)5 = 4 y f(-1)= 5(-1) – (-1)5 = -5+1 = -4 P1(1,4) y P2(-1,-4). c. Cálculo y evaluación de la segunda derivada. f‟‟(x)= – 20x3. Entonces f‟‟(1) = -20 < 0; f‟‟(-1)= 20>0. Con todo lo anterior hay un máximo en P1(1,4) y P2(-1,-4) un mínimo.
v.
Puntos de inflexión. a. La segunda derivada se hace igual a cero. f‟‟(x) = -20x3 = 0 b. Resolver la ecuación. x=0. c. Calcular la tercera derivada. f‟‟‟(x) = -60x2 d. Evaluar las raíces de la segunda derivada en este tercera derivada: f‟‟‟(0) = -60(0)2 = 0. Conclusión, no tenemos puntos de inflexión.
6.6 APLICACIONES PRÁCTICAS De manera particular, el análisis para la determinación de los valores que optimizan (calcular el mínimo o máximo) a una o varias funciones tienen muy diversas aplicaciones prácticas. Por otro lado, de forma general, es factible que en los diseños y sobre todo en las
117 construcciones sea necesario el cálculo de ciertas figuras especiales, no necesariamente asequibles por métodos tradicionales, que se requiera entonces de cálculos especiales que no se pueden obtener por operaciones geométricas sencillas. En la arquitectura se es muy dado al diseño de figuras paraboloides o sencillamente superficies totalmente irregulares obtenidas de la imaginación o de la representación de algún fenómeno de cualquier ciencia de estudio. La cubicación de este tipo de figuras o volúmenes es realizada por las técnicas del cálculo diferencial e integral, visto aquí ya como la operación contraria al cálculo diferencial que hemos estudiado en esta unidad y en la próxima estudiaremos el cálculo integral.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. Recordemos que el límite de una función f(x) cuando x tiende al valor x 0 ( x → x0) es igual a una contante ℓ, si existe un valor ξ>0 tan pequeño como se quiera tal que el valor absoluto de la diferencia entre la función f(x) y el limite ℓ es igual a ξ para todo valor de x lo suficientemente próximo a x0 con excepción del propio valor x0. ¿Por qué es necesario excluir el valor x0 en la definición de limite? 2. Recordemos que para una función f(x) continua en un intervalo I = [a, b] que toma todos los valores entre f(a) y f(b). Si f(a) y f(b) son de signo contrario entonces f(x) tiene una solución o raíz en I. Considere la función f(x) = x2 - x – 2 cuya grafica se muestra:
Tomar los intervalos [-2,0] y [0,3], verificar que se cumple la condición de cambio de signo en los extremos y calcular las raíces. 3. Demostrar aplicando la definición de derivada la derivada de la función indicada:
118 i.
Lineal y=mx+b (recta de pendiente m y ordenada al origen b) es la función constante m.
(
)
=
. ( )
ii.
Derivada de una función constante y=c.
= .
iii.
Derivada de una monomio f(x)= xn. f‟(x)=nxn-1.
4. La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada función por la derivada de la otra:
.
Generalice esta derivada para el producto de un número finito de funciones y concluya que la derivada de un producto de un número finito de funciones es igual a la suma de los productos obtenidos multiplicando la derivada de cada función por las restantes funciones. Por ejemplo: (fgh)‟(x)=g(x)h(x)f‟(x) + g(x)h‟(x)f(x) + g‟(x)h(x)f(x). 5. Como se aclaró en la sección 6.6 aplicaciones prácticas las técnicas del cálculo de valores extremos (máximos o mínimos), se aplican a una gran variedad de problemas. Para resolver un problema de este tipo se recomienda (y es lo que puede resultar más difícil) construir y expresar matemáticamente la función que modele el problema identificando de manera precisa a la variable a la que se le aplicará el cálculo del valor extremo. Hecho lo anterior, para la solución del problema se siguen las recomendaciones de la sección 6.5 máximos y mínimos. Con base en lo expuesto, la actividad consiste en concluir que la figura plana de mayor área con un perímetro fijo es un cuadrado. En particular, verificar que las dimensiones de un rectángulo de perímetro 100m son 25m por lado para obtener un área máxima de 625m2.
119
AUTOEVALUACIÓN 1. Evaluar el limite
(x2 + x - 2 / x2 - 4).
2. Evaluar el limite
(4x3 - 2x2 - 1 / 6x3 + 5x + 2). R. 2/3.
R. 3/4.
3. Dada la función y=f(x) = 3x2 -5x + 6 hallar las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal en el valor de abscisa x=2. 4. Calcular la derivada del cociente f(x)= 5. Usar la regla de la cadena para calcular
R. y = -7x + 6, x = -7y + 58. .
R. f‟(x) = -19/(3x-2)2. para y=(u2 / u2 +1), u=2x+1. R. 6x(x2+1)2.
6. Para la función y =f(x)= (senx-xcosx)/cosx calcular f‟(x).
R. tan2x.
7. Calcular los máximo y mínimos y puntos de inflexión del polinomio p(x)=x3-9x2+24x-7. R. min (4,9) y max (2,13).
120
UNIDAD 7 CÁLCULO INTEGRAL OBJETIVO El alumno identificará los elementos y conceptos del cálculo integral desde un carácter intuitivo, trabajando con una visión geométrica basándonos en el concepto del área y dando continuidad a la unidad del cálculo diferencial y la serie de problemas irresolubles de la geometría analítica. Distinguirá y relacionará la integral definida e indefinida de una función. Sabrá integrar numéricamente conociendo las técnicas elementales del cálculo de primitivas. Comprenderá los elementos del cálculo integral aplicándolos a problemas propios de la ingeniería y la arquitectura resolviéndolos de manera analítica.
TEMARIO 7.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 7.1.1 Área bajo una curva 7.2
INTEGRAL DEFINIDA
7.3 INTEGRAL INDEFINIDA 7.4 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 7.4.1 Integración por sustitución o cambio de variable 7.4.2 Integración por partes 7.4.3 Integración de funciones trigonométricas 7.5
APLICACIONES
7.5.1 Calculo de áreas de figuras planas 7.5.2 Centros de gravedad de figuras planas 7.5.3 Momentos de inercia 7.5.4 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución
121
MAPA CONCEPTUAL
122
INTRODUCCIÓN En esta unidad se estudian los elementos y conceptos del cálculo integral como base fundamental para la resolución de problemas de ingeniería y arquitectura tales como el cálculo de áreas y volúmenes, cálculo de centros de gravedad de sólidos y cálculo de momentos de inercia entre otros muchos a partir de las teorías desarrolladas en los capítulos anteriores. El cálculo diferencial e integral constituye el segundo gran desarrollo en la historia de las matemáticas después de la geometría euclidiana y integran la matemática moderna, por ende no cabe duda de su usabilidad en la vida cotidiana de nuestro siglo aunado al gran avance tecnológico que hoy nos rodea.
123 7.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Del capítulo cinco de la Geometría Analítica se tiene la propuesta de resolver el problema denominado de la cuadratura que consiste en calcular el área comprendida entre dos puntos y bajo la curva definida por una función. Es en esta etapa de las matemáticas que se da solución a este tipo de problemas.
7.1.1 Área bajo una curva Sin pérdida de generalidad y sólo para efectos de presentación consideremos la función y = √ limitada por las rectas
=0y
= 1. La idea central es usar el concepto de área de una
figura regular como lo es el rectángulo y dividir el intervalo [0,1] sobre el eje X en n rectángulos no necesariamente iguales. La siguiente figura nos ha quedado ad hoc para visualizar el hecho.
Como se aprecia, una aproximación al área bajo la curva lo constituye la suma de las áreas de los rectángulos en color amarillo y una mejor aproximación es la suma de las áreas de los rectángulos en color verde. Por qué no proseguir con estas subdivisiones cada vez más pequeñas con las cuales se espera una mejor aproximación al área buscada. Demos cierto matiz de formalismo a la idea.
124 En general proponemos dividir el intervalo [a, b] en n rectángulos, no necesariamente iguales. Denotemos la longitud de la base del primer rectángulo por x1, la del segundo por x2, y así sucesivamente hasta el última, xn. En cada rectángulo elegimos los números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma de los n rectángulos como: Ecuación. 7.1 Donde el término Sn es igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura ya que el área de cada rectángulo está dada por el producto de la base (xi ) por la altura que es el valor de la función y=f(x) evaluada en el punto ξi es decir (ξi) que está contenido en el intervalo xi ≤ξi ≤xi+1. Ya hemos inducido que entre más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará la suma Sn al área S bajo la curva, consideremos entonces una sucesión de tales valores por división del intervalo [a,b] en partes cada vez más pequeñas donde la suma Sn tenderá a S. En otras palabras, suponemos no sólo que n (subdivisión de intervalos) crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor xi en la n-ésima subdivisión tiende a cero (lo más pequeña posible). Así:
Con esta última fórmula, tenemos que el cálculo del área buscada se reduce a calcular el límite S. Con estos fundamentos estamos listos para pasar a la definición formal de la integral definida.
7.2
INTEGRAL DEFINIDA
En el apartado anterior partimos del hecho de un concepto gráfico y no formal de lo que debiéramos entender como el área bajo una curva, de este hecho no formal pasamos a una definición formal del área bajo la curva obteniendo así una definición matemática. Consideremos una función f (x) en el intervalo [a, b], supongamos que f (x)
para todo
∈ [a, b]. Entonces la gráfica de la función f, las rectas verticales x = a y x = b y el eje X determinan una área llamada región bajo la grafica de f desde a hasta b. Además al límite S se le llama la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], así:
=
Ecuación. 7.2
125 El termino f(x)d(x) se le llama el integrando; a y b son los límites de integración siendo a el inferior y b el superior (en este orden). Con esto sabemos cómo calcular la integral definida, bosquejemos un ejemplo. Ejemplo. Calcular el área de la región limitada por la curva y = x2 y las rectas x = 0 y x = 3. Solución. Preparemos los parámetros para la suma, dividimos el intervalo en iguales por lo que la longitud de cada parte es x =
partes
y además, ξ1 = 0, ξ1 = x, ξ2 = 2x, … ,
ξn = x = 3. La suma de Sn en base a la ecuación 7.1 y aplicando operaciones algebraicas es: Sn = (xi )3 (1+22+32+42+…+n2) = (x)3 ( (
(
)
)(
(
)
(
)(
)
)=(
)
)
)(
)= (
)3 (
(
)(
)
)=
)
Ahora, apliquemos la ecuación 7.2 para calcular el límite: S=
Sn =
(
)
)(
)
) = 9.
Por lo tanto, el valor del área bajo la curva es de 9 u 2. Este método para calcular áreas a través de los límites resulta oneroso, por lo que es necesario recordar que el cálculo diferencial es la operación inversa del cálculo integral, lo que nos permite a través de las primitivas o diferenciales hallar la integral de una función de una manera más económica y no necesariamente con la definición de la integral. Antes de concluir esta sección es conveniente acotar una serie de propiedades de la integral definida. Sean Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b], entonces se cumplen las siguientes proposiciones siendo c una constante y a < c < b en caso de ser requerida:
i. ii. iii. iv. v.
126 7.3
INTEGRAL INDEFINIDA
En los apartados anteriores partimos del hecho de un concepto gráfico y no formal de lo que debiéramos entender como el área bajo una curva, de este punto pasamos a una definición formal del área bajo la curva obteniendo así una definición matemática de la integral definida. La palabra ”integral” también hace referencia a la noción de primitiva que es una función F, cuya derivada es la función dada f y en este caso se denomina la integral indefinida. Formalmente decimos que una primitiva arbitraria F(x) de una función dada f (x) es la integral indefinida de f (x) y se escribe de la forma:
f (x) dx Por otro lado, si F(x) es una primitiva de f (x), la integral indefinida de f(x) está dada por la formula:
f (x)dx F(x) C Donde C es una constante arbitraria llamada Constante de Integración. Con todo lo anterior, queda claro que el cálculo integral se relaciona con el cálculo diferencial y entonces la integral definida de una función se puede calcular una vez que se conoce una antiderivada. Retomando el caso de la integral definida y con el concepto de la función primitiva, tenemos que para el cálculo de la integral definida tenemos la fórmula:
para F(x) una primitiva de f (x). Esta fórmula también se acostumbra denotar con la fórmula de Newton y Leibnitz, como sigue:
Ecuación 7.3 Después de las definiciones y desarrollos anteriores, es necesario pasar a analizar y realizar las técnicas de integración, pero antes resolvamos el mismo ejemplo de la sección 7.2 anterior, ahora con las técnicas que ya conocemos. Ejemplo. Calcular el área de la región limitada por la curva y = x2 y las rectas x = 0 y x = 3 mediante la técnica de la primitiva de la función. Solución. La primitiva de la función y = f (x) = x2 es F(x) =( x3 / 3 ) ya que la derivada de F(x) es x2, así aplicando la fórmula de integración de Newton y Leibnitz:
127
Evaluando el valor de a = 3 obtenemos como resultado 9 u2 como ya sabíamos. Nótese la facilidad del cálculo en comparación del realizado en el ejemplo de la sección 7.2.
7.4
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Antes de entrar propiamente a las técnicas de integración, es necesario recordar la tabla fundamental de derivadas, pues de ésta puede obtenerse la tabla de integración correspondiente a partir de la función primitiva. Presentamos aquí sólo una docena de las fórmulas de integración inmediatas, para una colección completa, consultar la bibliografía de la unidad.
Reglas Básicas de Integración. Constante
adx a dx ax C. x n1 x dx C, n 1
Potencias
Exponenciales
e
Logarítmicas
x dx L | x | C
Constante elevada a función
n
x
si n 1.
dx e x C.
1
x a dx
ax C La
Coseno
cos xdx sen x C.
Seno
senxdx cos x C.
Secante cuadrada
sec
Secante por la tangente
sec xtgxdx sec x C.
Cosecante por la cotangente
cos ecx cot gxdx cos ecx C.
2
xdx tgx C.
128 Cosecante cuadrada
cos ec
Arco tangente
1 x
1
Arco seno
2
2
xdx cot gx C.
dx arctgx C
1 1 x2
dx arcsenx C
Ejemplo. Determinar la integral de la función y = f(x) = 12x3 + 3x2 + 6x + 3 en [0, 1]. Solución. Aplicando la regla de suma de funciones seguida de la regla de potencias, tenemos: ∫
( )
= ∫ (12x3 + 3x2 + 6x + 3)dx = ∫ (12x3 )dx + ∫ (3x2 )dx + ∫ (6x )dx + ∫ (3)dx = (12x4)/4+ (3x3)/3+ (6x2)/2+ 3x = F (b) – F (a) = F (1) – F (0) = 10.
Evaluando en [a, b] = [0, 1] aplicando la ecuación 7.3 tenemos el valor 10. Ejemplo. En la sección 7.1 se realizó el planteamiento de calcular el área bajo la curva de la función y = √ limitada por las rectas
=0y
= 1, calcular el área por integración.
Solución. Este problema se traduce a calcular la integral:
∫√ dx
para la cual
aplicando la regla de las potencias de la tabla anterior:
∫√ dx = ∫ ½ dx = (
3/2
/ 3⁄2) + C = 2⁄3x3/2= 2⁄3 √x3 + C
Ahora, el problema se circunscribe al intervalo dado por las rectas
=0y
= 1 por lo
que debemos calcular esta integral ahora definida desde 0 a 1: ∫
( )
=∫ √
= 2⁄3 √x3 = F (b) – F (a) = F (1) – F (0) = 2⁄3.
Es el momento de advertir que aunque se tenga una lista muy grande de integrales inmediatas, en general no existe un procedimiento concreto para la resolución de ciertas integrales o los problemas que las generaron; por lo tanto, se requiere de la habilidad, el análisis del alumno y desde luego de ciertos artificios matemáticos. Para soslayar en cierta situación, se tienen ciertas técnicas de integración que veremos enseguida, además se siguiere la realización diversos ejercicios.
7.4.1 Integración por sustitución o cambio de variable
129 En este método de integración la idea es equiparar la expresión algebraica del integrando por una expresión más cómoda o inmediata para integrar, al final se debe devolver a la variable original. En otras palabras, el problema trata de la solución de la integral de una función f(x) que pueda ser expresada como el producto de funciones tales que f(x)=g(h(x)h’(x)) de la cual sabemos integrar g(x) sustituyendo u=h(x) y du=h’(x)dx de tal manera que:
f (x) dx = g (u) du. Se calcula esta ultima integral y se restablece el valor de
h(x) = u en este ultimo valor para obtener el resultado de la integral original de
f (x) dx.
Como se espera, este modo permite transformar muchas integrales en otras prácticamente inmediatas. Una idea que suele funcionar bien para encontrar un posible cambio es buscar dentro de la integral una función que su derivada (salvo constantes que aparezcan multiplicando) esté multiplicando el diferencial dx, si a esa función la llamamos u normalmente la integral queda más sencilla. Ejemplo. Resolver la integral:
x (x+2)1/2 dx.
Solución. Tomemos u= x+2, du = dx; entonces x= u-2, du = dx; sustituyendo en la integral:
x (x+2)1/2 dx = (u-2) (u)1/2 du = (u3/2 -
2u1/2 )du = (u5/2 / 5/2) - (2 u3/2 / 3/2) + C =
= 2/5 u5/2 - 4/3 u3/2 = 2/5 (x+2)5/2 - 4/3(x+2)3/2 + C.
7.4.2 Integración por partes Consideremos las funciones u = f(x), v = g(x) de la fórmula de la diferencial de un producto de funciones, tendremos d(uv) = udv + vdu, despejando udv = d(uv) – vdu integrando en ambos miembros de esta última ecuación:
u·dv d(u·v) v·du
con lo que nos quedará
la fórmula de la integración por partes:
u·dv u·v v·du. Notar que para la función que escojamos como u hay que saber derivarla, pero la que escojamos como v hay que saber integrarla, en otras palabras; la integral
v·du debe ser
u·dv.
Bajo la premisa
mucho más sencilla de calcular que la integral original original anterior y sobre todo la práctica se recomienda:
130
i.
Una vez iniciado el método, si la nueva integral
v·du
es más complicada que la
original, intercambiar los valores de v y du, volver a iniciar el método. ii.
Puede ser necesario aplicar el método de integración por partes más de una vez en el mismo ejercicio, a esto le llamaremos integración sucesiva.
iii.
Es posible que al hacer integración sucesiva, se llegue como resultado una integral igual a la que origino el problema, se despeja la integral para obtener una primitiva.
iv.
El método de integración por partes es especialmente útil en el cálculo de las siguientes integrales prototipo, donde p(x) es un polinomio:
vii.
v.
p(x)·ax dx, p(x)·ex dx, p(x)·sen(x) dx, p(x)·cos(x) dx,
vi.
ax·sen(x) dx, ax·cos(x) dx, ex·sen(x) dx, ax·cos(x) dx.
Lo menos recomendable para la función u son las funciones exponenciales y trigonométricas. Ejemplo. Calcular la integral ∫3 x2 ln x dx.
Solución. Tomar u = ln x, dv= x2 dx de donde du =
, v= x3/3. El valor 3 se saca como una
constante y se aplica al final. Aplicando la formula de integración por partes:
u·dv u·v v·du = 3∫ln x x2 dx =3( (x3/3)( ln x) - x3/3
)=3(
x3-
x2 dx )
= x3 ln x - x3 + C.
7.4.3 Integración de funciones trigonométricas Ahora daremos ideas sobre la integración cuando se tienen funciones trigonométricas. En este caso se hará uso de identidades trigonométricas para llegar a expresiones con integrales inmediatas o por lo menos más simples para su solución. Las sugerencias pueden ser reducidas a:
i.
La forma directa para expresiones como: senax·cosbx, senax·senbx ocosax·cosbx es usar las identidades sen(ax)·cos(bx)= (sen(a-b)x + sen(a+b)x), sen(ax)·sen(bx) = (cos(a-b)x - cos(a+b)x), cos(ax)·cos(bx) = (cos(a-b)x + cos(a+b)x).
131 ii.
Integrar potencias impares de las funciones seno y coseno usando la identidad cos2x+sen2x=1,
iii.
Integrar potencias pares del seno y coseno usando las identidades sen 2x= (1-cos2x), cos2x= (1+cos2x),
iv.
Integrar potencias de tanx y secx mediante la identidad 1+tan2x=sec2x.
Ejemplo. Calcular ∫2sen2xdx. Solución. Usando la identidad: sen2x= (1-cos2x) y desarrollando las integrales:
∫2sen2xdx = 2∫sen2xdx = 2∫
(1-cos2x)dx =
∫1dx - ∫cos2xdx = x - ∫ cos2x2dx
= x - sen2x + C.
7.5
APLICACIONES
Las aplicaciones del Cálculo Integral, en particular dentro de la arquitectura, permite determinar el área y el volumen de concreto para la construcción de una obra, esto por mencionar sólo un ejemplo. En realidad, esta rama de la matemática es tan solicitada en todas las áreas como las Ciencias Sociales, en la Física, Economía, en la industria en general, Ingeniería; en fin, tratar de enumerar todas las áreas de posible aplicación del cálculo integral sería absurdo. En su lugar hagamos ejercicios con aplicaciones prototipo de en para el área que nos ocupa.
7.5.1 Calculo de áreas de figuras planas Ejemplo. Calcular el área limitada por las parábolas y=x2 y x=y2 dentro del cuadrante positivo unitario. Se trata de determinar el área comprendida entre las curvas, debemos visualizar que curva es mayor en todo punto del intervalo dado ( función que sea diferencia de ambas curvas (√ –
), para entonces determinar una 2
). Por otro lado, también se deben
calcular los puntos donde ambas curvas coinciden; en este caso son los puntos (0,1). Por consecuencia el valor del área esta dado por la integral: ∫
( )
= ∫ (√ –
2
)dx = ∫ ( √ )dx – ∫ (
2
)dx = ⅔ − ⅓ = ⅓ u3.
132 7.5.2 Centros de gravedad de figuras planas El centroide de una figura plana o de una área se refiere al punto que define el centro geométrico del área.
Denotadas por
( 1,
matemáticamente están dadas por las formulas:
2),
1
=
las
coordenadas de este punto
x dA / A y
2
=
y dA / A. El ejemplo
ahora consiste en calcular el centroide de un rectángulo de base b y altura h. Consideremos un rectángulo de base b y altura h, por lo tanto su Área A = bh, así dA = hdx, y en el otro sentido A = bh, así dA = bdy. Integrando ambos sentidos:
x dA =
y dA =
xh dx = ∫
= h∫ ( x dx) = h(x2)/2 = F(b) - F(a) = hb2/2.
yb dx = ∫
= b∫ ( y dy) = b(y2)/2 = F(b) - F(a) = h2b/2.
Por lo tanto, de la definición de
1
análoga ocurre en la otra dirección
=
2
x dA / A = (hb2/2) / bh = hb2/2bh = b/2. De manera
=
y dA / A = (h2b/2) / bh = h2b/2bh = h/2. Con los
resultados anteriores obtenemos que el centroide de la superficie esta dado por ( 1, 2)=(b/2,h/2).
7.5.3 Momentos de inercia La integral Ix =
y2 dA representa el momento de inercia respecto al eje x.
Ejemplo. Calcular el momento de inercia de un rectángulo con relación a su base. Situando el rectángulo de manera vertical denotemos por b la longitud de su base y por h la altura. Se toma una sección transversal del plano y en ella se define dA a partir del producto de b por dy, es decir: dA = bdy, entonces el momento de inercia está dado por: Ix =
y2 dA = ∫ (y2 bdy) = b∫ ( y2 dy) = b(y3)/3 = F(b) - F(a) = bh3/3.
7.5.4 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución Los sólidos de revolución son secciones espaciales que se obtienen al hacer rotar una superficie entorno a un eje. Veamos un ejemplo para calcular mediante integrales el volumen de un sólido generado de esta manera.
133 Ejemplo. Recordando como iniciamos nuestra exposición del cálculo integral en esta unidad con la aproximación de área bajo la curva de la función y = √ en el intervalo unitario del cuadrante positivo, ahora procedamos a calcular el volumen que se genera al hacer rotar esta la función y sobre el eje x. Las siguientes figuras ilustran el hecho.
Radio r r = √𝑥 Área = 𝜋r2 A(x)= 𝜋r2
Radio r r = √𝑥 Área = 𝜋r2 A(x)= 𝜋r2
Volumen = A(x)dx 0≤x≤1
Como se observa en las figuras, la distancia del centro del eje (eje X) a cada punto de la superficie del solido es la función y = √ o sea que r = √ . Los limites de integración son el
134 intervalo unitario 0 ≤ x ≤ 1. Entonces el volumen esta dado por la función de área A(x) multiplicada por el diferencial. Integrando: ∫
( )
=∫
( )
=∫
=∫
(√ )
=∫
=
(x2/2) = F(b) – F(a) = /2.
Por lo tanto, el volumen del solido es /2 u3.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Desarrolle las siguientes actividades: 1. Volúmenes de Sólidos de Revolución. Existen diversos métodos para determinar el volumen de sólidos de revolución mediante integración: Método del Disco, Método de la Arandela y el Método de los casquillos cilíndricos. La actividad consiste seleccionar uno de los métodos, investigar y desarrollar los conceptos de integración del método y desarrollar por lo menos un ejercicio o ejemplo de integración de volúmenes por ese método. 2. Momento de Inercia. En las propiedades de los materiales, derivado o asociado al momento de inercia se tiene el concepto de Momento Polar de Inercia. Determine que el momento polar de Inercia para un círculo con respecto a su centro es Iz = Ix + Iy = r4/2. Desde luego desarrolle el proceso de integración necesario. 3. En el mercado de software existen diversos productos capaces de calcular integrales. Haga un análisis de los mismos determinando si alguno de ellos es capaz de realizar cálculos de integrales como los problemas que se han planteado y en caso afirmativo conteste la pregunta: ¿es necesario que yo aprenda a realizar cálculo integral si existe tal o cual programa que lo hace más rápido? Detalle su respuesta aun en el caso de que no existan tales programas.
135
AUTOEVALUACIÓN Calcular la integral de las siguientes funciones: 1.
∫2 (2x + 3) 2 dx R.
2.
∫5 (cos x −
3.
∫3(sen23x cos3x)dx R.
4.
∫ex cos x dx
x3 + 12 x2 + 18 x + C.
sen x + 2sec2 x + ex − 10) dx R. 5 sen x + cos x + 10 tan x + 5 ex − 50x +C.
R.
sen3 3x + C.
Sugerencia tomar u = sen3x como sustitución.
ex (sen x + cos x ) + C. Sugerencia tomar u = ex, además las aplicar el
método de integración por partes dos veces con la misma función u y se llega como resultado a una integral igual a la que origino el problema, se despeja la integral para obtener una primitiva. 5.
∫3(sec43x)dx R. tan 3x + = sec2x.
tan3 3x + C.
Considerar la identidad trigonométrica 1+tan2x
136
UNIDAD 8 DETERMINANTES Y MATRICES OBJETIVO El estudiante identificará y aplicará los conceptos básicos de Matrices y Determinantes, sus propiedades y problemas que requieren de estas técnicas para su solución.
TEMARIO 8.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 8.2 MATRICES 8.2.1 Tipos de Matrices 8.2.2 Operaciones con Matrices 8.3 DETERMINANTES 8.3.1 Propiedades de los Determinantes 8.4 APLICACIONES PRÁCTICAS
137
MAPA CONCEPTUAL
138
INTRODUCCIÓN En esta unidad vamos a hacer una presentación básica de los conceptos fundamentales para el conocimiento y uso de las Matrices y los Determinantes de cara a fundamentar el empleo de las mismas. Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el uso y tratamiento de datos.
139 8.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Es común que en muchas actividades de la vida cotidiana nos encontremos con arreglos rectangulares de números, para analizar y resolver una situación dada. En matemáticas a este tipo de arreglos se les llama Matriz. Por lo tanto, una Matriz es una entidad matemática equivalente a una tabla de valores de cualquier naturaleza en particular números cuya estructura está organizada en renglones y columna perfectamente definidas. Más formalmente, se llama Matriz de tamaño
renglones y
columnas (matriz de orden o
× ) al conjunto rectangular de datos (llamados los elementos o entradas de la
matriz). Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila y la columna
- ésima (líneas horizontales)
- ésima (líneas verticales) se le llama elemento , o elemento ( , )-iésimo de
la matriz. Se resuelve poner primero las filas y después las columnas en la notación de la entrada. Reorganizando conceptos, se llama matriz A de orden de elementos
ij
dispuestos en
filas y
×
a todo conjunto rectangular
columnas de la forma:
Abreviadamente se denota esta matriz como: A=(
ij ),
con =1, 2, ...,
Dada una matriz cuadrada (aquella en que
,
=1, 2, ..., .
= ) se llama Determinante al conjunto de
elementos ordenados y limitadas entre dos líneas verticales. Denotado por |A| o det (A), su representado está dada por:
det(A) = |A| =
Una matriz cuadrada permite utilizar todas las entradas para obtener una suma de productos que la representa, a este número se le llama el Determinante. Veremos la manera de calcular este número a la vez de cómo operar con estas dos nuevas entidades.
140
8.2 MATRICES Como vimos en la secciona anterior, las matrices se denotan por las primeras letras mayúsculas del alfabeto: A, B, C. Recordemos la notación de una matriz:
A=(
ij ),
con , =1, 2, ...,
, , =1, 2, ...,
Identifiquemos los elementos de una matriz y sus tipos.
8.2.1 Tipos de matrices Matriz Nula. Posee entradas nulas
ij
= 0 para todo i,j, ejemplo: (
)
Matriz Fila. Sólo posee una fila, ejemplo: (
)
Matriz Columna. Sólo posee una columna, ejemplo:
( ) Matriz Cuadrada. Como ya se ha dicho, tiene (
= , ejemplo:
)
Diagonal Principal. La diagonal principal de una matriz de orden elementos:
11,
22,
33, … ,
nn.
×
son los
Ejemplo de la matriz anterior: 1, 5, 9.
Traza de una Matriz. Suma de los elementos de la diagonal principal:
11+ 22+ 33+ … + nn.
Ejemplo de la matriz anterior: 1+5+9 = 15. Diagonal Secundaria. Es la formada por los elementos: la matriz anterior: 3, 5, 3.
1n+ 2n-1+ 3n-2+ … + n1.
Ejemplo de
141 Matriz Triangular Superior. Si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos. Ejemplo: (
)
Matriz Triangular Inferior. Si todos los elementos por arriba de la diagonal principal son nulos. Ejemplo: (
)
Matriz Diagonal. Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal, es llamada Matriz Diagonal. Ejemplo: (
)
Matriz Identidad. Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por In donde n es el orden o tamaño de la matriz. Ejemplo: I4=(
)
Matriz Traspuesta. Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A. Notar que si A es una matriz de tamaño A=(
× , su traspuesta At tendrá tamaño ) entonces At = (
×
. Ejemplo:
)
Matriz Simétrica, Es una matriz cuadrada para la que se cumple que At = A. Los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal, es decir; es su eje de simetría. Ejemplo: (
)
Matriz Antisimétrica. Es aquella para la que se cumple que At = −A. Ejemplo: A=( ya que: At = −A.
)
142
At = (
) ; –A =(
)
8.2.2 Operaciones con matrices Suma y Diferencia. Para sumar o restar matrices entre sí, es necesario que tengan el mismo número de columnas y renglones. Dadas dos o más matrices podemos realizar su suma o diferencia sumando o restando los elementos que se encuentren en la misma posición, resultando otra matriz de igual tamaño. Sean A = ( ij), B = (
ij
)yC=(
mismo orden, entonces La suma C = A + B es en símbolos: (
ij
) = ( ij) - (
= A – B en símbolos: (
ij
) = ( ij) + (
ij
) tres matrices del ij
) y la diferencia C
ij ).
La operación de suma o diferencia de matrices obedece a las siguientes propiedades:
i.
Conmutatividad: A + B = B + A.
ii.
Asociatividad: A + (B + C) = (A + B) + C.
iii.
Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.
iv.
Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.
Ejemplo. A = (
), B = (
) la suma es:
C=A+B=(
)+(
)=(
) =(
)
Multiplicación de una Matriz por un escalar. Multiplicar el escalar por todas y cada una de las entradas. Sea A = ( ij) y
un numero real. Entonces
·A =(
ij
). Esta operación
obedece a las siguientes propiedades:
i.
Distributividad respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·B.
ii.
Distributividad respecto de la suma de números: (k + d)·A= k·A + d·A.
iii.
Asociatividad: k·(d · A)=(k · d)·A.
iv.
Elemento neutro, el número 1: 1·A=A.
Ejemplo. A = (
) k· = , entonces
·A=
(
)=(
(
)
) =(
)
)
143 Multiplicación de una Matriz por otra Matriz. Para efectuar esta operación algebraica se pide que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda. Sean A = ( ij) matriz de orden será el producto y es de orden
× ,B=(
ij
) matriz de orden
×
yC=(
ij
) esta
× , entonces el producto C = A · B en la entrada
ij
se
obtiene multiplicando uno a uno los elementos de la fila i de A por los elementos de la columna j de B y al final sumando los resultados. En fórmulas, la entrada producto C de orden
ij
de la matriz
× , queda definida por la expresión: Cmxp = Amxn · Bnxp ;
ij
= ∑k=1,n (
ij ·
ij
).
Ejemplo. Se pide realizar el producto de A ·B para: A = (
), B = (
).
Primero comprobamos el orden de las matrices: A2x3 · B3x3 = C2x3. A2x3 · B3x3 = (
)2X3 . (
)3X3 = C2x3 = (
)2X3
Ahora, realicemos los cálculos para obtener las entradas de la matriz producto C. (
).(
)=(
)= C=(
)
Las propiedades del producto de matrices son:
i.
Asociatividad: A·(B·C) = (A·B)·C.
ii.
Distributividad respecto de la suma: A ・ (B + C) = A ・ B + A ・ C. (B + C) ・ A = B ・ A + C ・ A
iii.
Elemento neutro, la matriz identidad correspondiente, si A es
× :
A ・ In = A Im ・ A = A iv.
En general el producto de matrices no es conmutativo A・B≠B・A
v.
El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula.
La Matriz Inversa. Sea A una matriz cuadrada de tamaño
× . Se dice que A es
invertible o que posee inversa si existe otra matriz del mismo orden denominada Matriz Inversa de A denotada por A-1 tal que:
144 A · A-1 = In y A · A-1 = In Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible. Si una matriz tiene inversa, dicha matriz posee la propiedad de la unicidad.
8.3 DETERMINANTES Dada una matriz cuadrada A de tamaño n, esta permite utilizar todos sus elementos o entradas para obtener una suma de productos, como ya hemos descrito en la sección 8.1. Para una matriz A = (
Para una matriz A = (
) el determinante de A que es orden 1 se define como:
) el determinante de A que es orden 2 se define como:
Para una matriz A = (
) el determinante de A que es orden 3 se define como:
Si un determinante de orden 3 se define a partir de uno de orden 2, entonces el determinante de orden 4 se define con respecto al determinante de orden 3, y así sucesivamente. Esto quiere decir que un determinante de orden n puede definirse con respecto a un determinante de orden n -1. Este valor no es fácil de calcular y queda fuera de los alcances del presente trabajo. Ejemplo. Calcular el determinante de la matriz A= (
).
Solución. |A| = det (A) = 2·8 - 6·(-4) = 16+24 = 40.
8.3.1 Propiedades de los determinantes Sean A y B un par de matrices cuadradas del mismo orden. Algunas propiedades de los determinantes son las siguientes:
i.
El determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden: det (A) = det (At ).
ii.
Si A posee un renglón o columna de ceros, entonces det (A) = 0.
145 iii.
Si A contiene dos o más renglones o dos o más columnas iguales, entonces det (A) = 0.
iv.
Si A es matriz no singular, entonces det (A) ≠ 0.
v.
En el producto de determinantes, det (AB) = det (A) · det (B).
vi.
En el producto del determinante por un escalar, det (kA) = kn det (A).
8.4 APLICACIONES PRÁCTICAS Las matrices y lo determinantes se emplean diversos campos. Mencionaremos sólo algunos que mantienen tal vez una relación directa con la arquitectura: Análisis de fenómenos de transporte,
Ingeniería
Térmica,
Análisis
de
esfuerzos
y
deformaciones,
fuerzas,
desplazamientos, análisis de estructuras, métodos aproximados de solución por como son diferencias finitas, métodos variacionales, funciones de ensayo y elementos finitos.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. Demostrar que en toda matriz traspuesta se cumplen las siguientes propiedades: i. ii. iii.
(A t ) t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial. (A + B) t = A t + B t (k · A ) t = k · At
2. nvestigue el método de solución de un sistema de ecuaciones simultaneas de primer grado mediante el método de determinantes y resuelva el sistema: 8x – 6y = 16; 2x +10y = 50. R. x=5, y=4. 3. El planteamiento de un problema a través de ecuaciones matriciales es de uso común en la industria. Analice el algebra necesaria ¿qué consideraciones debe tomar? y resuelva la ecuación matricial para X: A(XB+A)=C-3XB. R. X = (A+3I)-1(C-A2)B-1. 4. Desarrolle el binomio cuadrado en Matrices (A+B)2. R. (A+B)2=A2+AB+BA+B2.
146
AUTOEVALUACIÓN
1. Para la matriz A = (
) y k =2, calcular el determinante det (kA) y por otro
lado el producto kn det (A) donde n es el orden de la matriz. ¿Se cumple: det (kA) = kn det (A) ?. R. -1736. 2. Verifique la igualdad (kA)t = kAt para k=4 y A= ( 3. Si A = (
)yB=(
). R. (
) calcule A·B y B·A. ¿Es conmutativo, es decir A·B =
B·A? R.No. 4. Para la matrices A=(
).
) y B=(
) calcule (A+B)2. R. (
).
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UNIDAD 9 CÁLCULO DE PROBABILIDADES OBJETIVO El estudiante analizará los conceptos y técnicas de la teoría básica de la probabilidad, enfocándolos al manejo de la información aplicable al campo de la arquitectura.
TEMARIO 9.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 9.2 TÉCNICAS DE CONTEO 9.2.1 Factorial 9.2.2 Permutaciones 9.2.3 Combinaciones 9.3 DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO 9.4 APLICACIONES PRÁCTICAS
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MAPA CONCEPTUAL
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INTRODUCCIÓN En esta unidad el alumno determinará espacios muéstrales de fenómenos o experimentos aleatorios, enfocándose a las probabilidades de eventos determinados, aplicando los conceptos básicos de la probabilidad clásica. Para lo anterior, es necesario comprender las técnicas de contar, bases de la teoría de la probabilidad.
150 9.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES La expresión más simple de una ciencia, es aquella que establece las condiciones bajo las cuales un suceso se presenta. El caso es establecer para el resultado un valor de verdad falso verdadero, frio caliente, alto bajo, encendido apagado o tal vez el hecho de que el suceso ocurrirá o no ocurrirá, pero en cualquiera de estos casos con certeza. Si por el contario, un suceso que bajo un sistema de condiciones “a veces” sí ocurre y “a veces” no ocurre, es un sistema aleatorio y constituye el motivo de estudio del presente capitulo. Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda la probabilidad de águila debe ser igual que la de sol y, por tanto, ambas iguales a ½ (tiene sólo dos caras). De la misma manera, la probabilidad de cada uno de los seis sucesos elementales asociados al lanzamiento de un dado debe ser 1/6 (tiene 6 lados posibles). En las matemáticas antiguas se recoge esta idea y se formula la regla clásica del cociente entre casos favorables y casos posibles, supuestos éstos igualmente posibles. Este es el concepto fundamental de la probabilidad y de hecho constituye la definición clásica o denominada a priori de la probabilidad. En general, para el cálculo de probabilidad en un experimento es necesario conocer técnicas de conteo, motivo de estudio de la siguiente sección.
9.2 TÉCNICAS DE CONTEO Dado un experimento, si el número de posibles sucesos es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Por ejemplo, al tirar un dado, hay sólo seis posibles resultados. Sin embargo, si no fuera el caso y existiera un gran número de eventos a cuantificar, sería oneroso listar y contar todas las posibilidades. Para este problema nos apoyaremos en la técnica de factorial, las permutaciones y las combinaciones.
9.2.1 Factorial Consideremos n un número del conjunto de los naturales. El símbolo n! se lee “n factorial” y corresponde al producto consecutivo de los n primeros números naturales: n! = 1· 2 ·3 · 4 · ··· · (n-2) · (n-1) · n, Además se define 0! = 1. Por ejemplo, 3! = 1· 2 ·3 = 6, 5! = 1· 2 ·3 · 4 · 5 = 120. Es conveniente acercar ahora la notación de producto de n números en forma resumida y redefinir el n! con la siguiente nomenclatura:
151 Además como 0! = 1, aplicando el concepto de la recursividad (especificar un proceso basado en su propia definición) tenemos las siguiente representación de n!.
9.2.2 Permutaciones Consideremos el conjunto formado por los elementos *
+. La pregunta que nos hacemos
ahora es: ¿de cuantas maneras distintas puede ser ordenado este conjunto? Hagámoslo: “
, vemos que son 6 las ordenaciones posibles
de estos elementos, sin repetirlas. Bien, a cada una de estas ordenaciones le llamamos una Permutación. En general, sean n y r números naturales tales que r ≤ n, una ordenación de un numero r de dichos objetos se llama una Permutación r o más explícitamente, una Permutación de los n objetos tomados de r a la vez y se denota por P(n, r) y se calcula por la formula: P(n, r) = (
)
Ejemplo. En el ejercicio desarrollado antes: P(n, r) =
(
)
=
(
)
=
= 3! = 6 que es el
número de ordenaciones que obtuvimos. Notamos aquí que para n = r, P(n, r) = ( Ejemplo. En el conjunto *
)
= n!.
+ calcular el número de permutaciones tomando 3 a
la vez. Aplicando de manera directa la fórmula para n=6 y r =3, tenemos: P(n, r) = P(6, 3) = (
)
=(
)
=
=
= 120.
9.2.3 Combinaciones De manera directa y en el contexto que estamos trabajando, una Combinación r es una selección de n objetos en donde el orden no se considera. Así, a partir de la fórmula de las permutaciones, una combinación denotada por c(n, r) o ( ) se calcula por: c(n, r) = ( ) = Ejemplo. Dado el conjunto *
(
)
+. ¿Cuál es el número de grupos distintos o
combinaciones de tres elementos que pueden ser elegidos sin importar el orden? Apliquemos de manera directa la fórmula para n=4 y r = 3: c(n, r) =
(
)
=
(
Con estos elementos, retomemos el asunto del cálculo de probabilidades.
(
))
=
= 4.
152 9.3 DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO La teoría básica de la probabilidad trata con fenómenos que pueden ser modelados por experimentos cuyos resultados están gobernados por el azar, esto es por la casualidad, sin rumbo ni orden determinado. A este tipo de experimentos les llamaremos Aleatorios y aunque son totalmente casuísticos están caracterizados por ciertas reglas básicas:
i.
Contienen eventos o sucesos, que son los posibles resultados del experimento.
ii.
Son repetibles bajo idénticas condiciones.
iii.
El resultado de un experimento es impredecible.
iv.
Si el experimento se realiza un gran número de veces, el resultado muestra una cierta regularidad en su comportamiento.
Dado un experimento, el resultado de un suceso puede ser asertivo o erróneo. Denotemos por h los eventos asertivos (a favor) y por f los erróneos (en contra), entones es claro que el universo total de eventos es h+ f, sean estos n. Con esta notación, definimos la probabilidad p de de que un suceso asertivo ocurra como el cociente de los eventos asertivos h entre el total de eventos n: p =
=
y la probabilidad de que un suceso
erróneo ocurra como el cociente q de los sucesos erróneos f entre el total de eventos n: q = = . Notemos que:
p+q=
+
=1
Entonces:
p = 1- q o q = 1 – p Por lo que las posibilidades a favor de la ocurrencia de un evento son posibilidades en contra son
y las
.
Ejemplo. Calcular la probabilidad de que al lanzar al aire una moneda caiga águila y que caiga sol. Solución. Tenemos dos sucesos elementales que son el que caiga águila y el que caiga sol, ambos son igualmente probables. Entonces la probabilidad de que caiga águila o sol es:
p (águila) = p (sol) =
= . = .
153 Ahora, es necesario precisar algunas definiciones y conceptos de la Teoría de las Probabilidades. Eventos mutuamente excluyentes. Dos o más eventos son Mutuamente Excluyentes si la realización de uno de ellos implica la no realización de los otros. La probabilidad de que se produzca uno entre dos o más sucesos mutuamente excluyentes es la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. Eventos Independientes. Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no de uno no afecta la probabilidad en la ocurrencia del otro o de los otros. Eventos Dependientes. Dos o más eventos son Dependientes cuando la ocurrencia o no de uno afecta la probabilidad en la ocurrencia del otro o de los otros. Si P 1, P2, P3, P4, …, Pn son las probabilidades de una serie de eventos dependientes, entonces la probabilidad de que se produzcan estos sucesos en el orden 1, 2, 3, … , n es: P 1 · P2 · P3 · P4 · … · Pn. Ejemplo. En un contenedor se tienen 10 objetos de colores blanco y negro. 6 son blancos y 4 son negros. Se toman al azar sin reemplazo, es decir; una vez que sacamos un objeto, éste ya no regresa a la caja. Se inicia el experimento sacando un objeto negro. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segundo evento se extraiga un objeto negro? Solución. La probabilidad de que en el primer evento se extraiga un objeto negro es 4 de 10:
=
=
. En el segundo evento sólo quedan 3 negros de 9 objetos, la probabilidad
de que se obtenga un negro es 3 de 9:
=
= . Por lo tanto la probabilidad de que en un
segundo evento se extraiga un objeto negro es el producto de las probabilidades anteriores: ( )·( )=
.
9.4 APLICACIONES PRÁCTICAS Un par de aplicaciones actuales de la teoría de la probabilidad son el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas, pero en general las herramientas básicas de probabilidades son base para la toma de decisiones en toda actividad bajo condiciones de incertidumbre, por lo que las aplicaciones prácticas de la probabilidad a la arquitectura como profesión son enriquecedoras. La Probabilidad es útil para comprobar la “fiabilidad” en los procesos y para predecir el tipo y la cantidad de insumos necesarios en un determinado estudio. Además, es empleada para entender la variabilidad de los sistemas de medición, control de procesos y compilación de datos, en un entorno de incertidumbre.
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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. Un suceso determinista es un experimento que da lugar a un resultado cierto o verdadero, es decir, cuando partiendo de unas mismas condiciones iniciales tenemos la certeza de lo que va a suceder. Cuando un experimento no es determinista estamos ante un experimento aleatorio. La actividad consisten en realizar una lista de por lo menos 5 experimentos determinísticos y 5 no determinísticos. 2. En un entorno incluso básico de la matemática, se presentan tres (vertientes o formas) de la definición de probabilidad. En la sección 9.3 hemos hecho un desarrollo denominado “Probabilidad a Priori”. Investigue y exponga ante grupo “La Definición Empírica de la Probabilidad, Ley de los Grandes Números” y “La Definición Axiomática de la Probabilidad” que son las otras dos formas, desde luego comparándola con la expuesta en esta unidad “Probabilidad a Priori”. 3. Esperanza Matemática. Sea p la probabilidad de que una persona reciba un dinero m. La Esperanza Matemática o sencillamente la esperanza es el producto p· m. Se pide al alumno: Realizar y presentar al grupo una investigación sobre el concepto de juegos de azar respecto a la esperanza matemática, en particular que pasa en los juegos de la lotería. Por que se dice que “las loterías son un impuesto del gobierno al desconocimiento de las matemáticas”. 4. Con la teoría desarrollada en el Capitulo 3 de Algebra sobre binomios y los conceptos que ahora conocemos de cálculo de combinaciones estamos en condiciones de conocer el Teorema del Binomio (que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma o resta) en su expresión general:
Demuestre usando la formula de la combinatoria c(n, k) =( ) = también se puede representar como:
(
)
que
155 Además desarrolle la sumatoria para los valores de n= 2, 3 y 4 obteniendo las expresiones vistas en el capítulo de Algebra.
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AUTOEVALUACION 1. Demostrar que el número de Combinaciones c(n, r) también puede expresarse con la fórmula: c(n, r) =( ) =
(
)
.
2. Se tienen 20 comensales pero sólo 17 lugares libres. ¿De cuantas formas puede realizarse la asignación de lugares? R.
.
3. En una caja hay 2 objetos blancos y 3 objetos negros, ¿cuál es la probabilidad de sacar uno blanco y después uno negro? Bajo las siguientes condiciones: 1. Si hay reposición (después de sacar el primer objeto, éste se devuelve a la caja). R. 6/25. 2. Si no hay reposición (después de sacar el primer objeto, éste no se devuelve a la caja). R. 3/10. 4. Esperanza Matemática. Sea p la probabilidad de que una persona reciba un dinero m. La Esperanza Matemática o sencillamente la esperanza es el producto p· m. Se pide al alumno realizar los siguientes ejercicios siguientes. i.
Calcular la esperanza matemática si la probabilidad es 0.2 y el costo es de 100 pesos. R. 20.
ii.
Si una persona compra un boleto de en una rifa, en la que puede ganar de 500 pesos o un segundo premio de 200 pesos con probabilidades de: 1/100 y 3/100. Calcular la esperanza matemática o en el contexto debe decirse “¿Cuál es el precio justo a pagar por el boleto?“ Sugerencia debe sumar las EM. R. 11.
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BIBLIOGRAFÍA Carmona y Pardo, Mario de Jesús, Matemáticas para Arquitectura, México, Trillas, 2008. Swokowski, Earl Wiliam, Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, México, Cengage Learning, 2009. Aguilar Márquez, Arturo, Calculo Diferencial e Integral, México, Pearson, 2010. Nieves Hurtado, Antonio, Probabilidad y Estadística para Ingeniería, México, McGraw Hill, 2010. Kleiman, Ariel, Matrices, México, Editorial Limusa, 2010. Jiménez Murillo, José Alfredo, Matemáticas para la Computación, México, Alfaomega, 2009. Lehmann, Charles H, Geometría Analítica, México, Limusa Noriega Editores, Santalo Sors, Marcelo, Carbonell Chaure, Vicente, Cálculo Diferencial e Integral, México, Grupo Editorial Éxodo, 2007. Polya, George, Cómo Plantear y Resolver Problemas, México, Editorial Trillas, 2008. Kasner, Edward, Matemáticas e Imaginación, México, Consejo Nacional para la Cultura y las Artes, 2007. Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev, La matemática: su contenido, métodos y significado. Vol. 1, 2 y 3., España, Alianza Editorial, 2003. Nota: La mayoría de los gráficos utilizados tuvieron como base o fuente el sitio web Wikipedia, de uso libre.
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GLOSARIO Una vuelta completa: Es aquella vuelta en sentido contrario a las manecillas del reloj que mide 360 unidades. Concavidad: Cualidad de cóncavo Cóncavo: Que se asemeja al interior de una circunferencia o una esfera. Convexo: Que se asemeja al exterior de una circunferencia o de una esfera. Convexidad: Cualidad de convexo Cónicas: Ver secciones cónicas. Denotar: Indicar, anunciar, significar. Digito. Es un número o símbolo de nuestro sistema de numeracion. Dupla: Par ordenado de valores. Equidistantes. Que estan a la misma distancia. Indeterminancion: Que no es concreto ni definido Nomenclatura: Lista de nombres de personas o cosas. Notacion: Sistema de signos convencionales que se adopta para expresar conceptos matemáticos. Radio Vector: Segmento de línea recta que une un punto variable con el origen en un sistema de coordenadas. Regla de la Cadena: es una fórmula para la composición de dos funciones. Secciones Conicas: Las cónicas se refieren a la intersección de un plano determinado sobre un volumen denominado cono, de aquí el nombre genérico de cónicas. Segmento: Fragmento de recta que está perfectamente comprendido entre dos puntos. TIC: Tecnología de información y comunicaciones.
