Matematicas I - Allen R. Angel.pdf

SEGUNDA FORROS MATE 1

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Números reales Fracciones Suma

Resta

a b a + b + = b c c

b a - b a = c c c

Multiplicación a c ac = b d bd

División a c a d ad , = = b d b c bc

Números naturales {1, 2, 3, 4, p} Números completos {0, 1, 2, 3, p} Enteros {p , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, p} Números racionales {cociente de dos enteros, denominador distinto de 0} La suma de dos números positivos será un número positivo. La suma de dos números negativos será un número negativo. La suma de un número positivo y uno negativo puede resultar en un número positivo o negativo. El producto (o cociente) de dos números con signos iguales será un número positivo.

El producto (o cociente) de dos números con signos diferentes será un número negativo. a –a a a - b significa a + (–b) = = – –b b b bn = b b b p b ¯˚˘˚˙ n factores de b

Orden de las operaciones 1. Evaluar las expresiones dentro de los paréntesis. 2. Evaluar las expresiones con exponentes. 3. Evaluar todas las multiplicaciones o divisiones en el orden en que suceden de izquierda a derecha. 4. Evaluar todas las adiciones o sustracciones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

Propiedades de los números reales Conmutativa: a+b=b+a, a b = b a Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c), (a b) c = a (b c) Distributiva: a(b+c)=a b + a c Identidad: a+0=0+a=a, 1 a = a 1 = a 1 1 Inverso: a+(–a)=–a+a=0, a = a = 1 a a

Solución de ecuaciones y desigualdades lineales Propiedad de igualdad de la suma: Si a = b, entonces a + c = b + c, para cualesquiera números reales a, b y c. Propiedad de igualdad de la multiplicación: Si a = b, entonces a c = b c, para cualesquiera números reales a, b y c. Ecuación lineal: ax+b=c, para números reales a, b y c.

Para resolver ecuaciones lineales con la variable en ambos lados del signo de igualdad 1. Si la ecuación contiene fracciones, se multiplican ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador (mcd). 2. Aplicar la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. 3. Reducir los términos semejantes en el mismo lado del signo de igualdad. 4. Utilizar la propiedad de la suma para reescribir la ecuación con todos los términos que contienen a la variable en un lado del signo de igualdad, y todos los que no la contienen en el otro lado de dicho signo. El uso repetido de la propiedad de la suma

eventualmente dará como resultado una ecuación de la forma ax=b. 5. Emplear la propiedad de la multiplicación para despejar la variable. Esto dará una solución de la forma x = algún número. 6. Comprobar la solución, en la ecuación original. Multiplicación cruzada: Si

a c = entonces ad = bc b d

Desigualdades Si a>b entonces a+c>b+c. Si a>b entonces a-c>b-c. Si a>b y c>0 entonces ac>bc. a b 7 . c c Si a>b y c<0 entonces ac
Si a>b y c>0 entonces

Si a>b y c<0 entonces

a b 6 . c c

Fórmulas y aplicaciones del álgebra Procedimiento para resolver problemas de aplicación 1. Entender el problema. Identificar la cantidad o cantidades que se pide encontrar. 2. Traducir el problema a lenguaje matemático (expresar el problema como una ecuación). a) Escoger una variable que represente una cantidad, y escribir lo que representa. Representar cualquier otra cantidad por calcular en términos de esta variable. b) Utilizar la información del inciso a) para escribir una ecuación que represente la aplicación.

3. Efectuar los cálculos matemáticos (resolver la ecuación). 4. Comprobar la respuesta (con el empleo de la ecuación original). 5. Responder la pregunta que se planteó. Fórmula del interés simple: i=prt Fórmula de la distancia: d=rt Fórmulas geométricas: véase la sección 3.1 y el apéndice C.

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Exponentes y polinomios Reglas de los exponentes 1. x x = x m

n

m±n

Método PIES (Primeros, Internos, Externos, Segundos) para multiplicar binomios:(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd

regla del producto

S

P

m

x 2. n = xm–n, x Z 0 x

regla del cociente

3. (xm)n = xmn

regla de las potencias

4. x0 = 1, x Z 0

regla del exponente cero

5. x–m = 6. a

(a+b)(c+d)

1 ,x Z 0 xm

ax m a mx m b = m m , b Z 0, y Z 0 by b y

a –m b m 7. a b = a b , a Z 0, b Z 0 b a

I E

regla del exponente negativo

Producto de la suma y resta de dos términos iguales: (a+b)(a-b)=a2-b2

regla de la potencia expandida

Cuadrado de un binomio: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2

regla de una fracción elevada a un exponente negativo

Factorización Si a b=c, entonces a y b son factores de c. 2

2

Diferencia de cuadrados: a -b =(a+b)(a-b) Suma de dos cubos: a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) Diferencia de dos cubos: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Procedimiento general para factorizar un polinomio 1. Si todos los términos del polinomio tienen un máximo común denominador distinto de 1, factorícelo. 2. Si el polinomio tiene dos términos (o es un binomio), determine si se trata de una diferencia de cuadrados o una suma o resta de dos cubos. En cada caso, factorícelo por medio de la fórmula apropiada. 3. Si el polinomio tiene tres términos, factorice el trinomio con los métodos que estudió en las secciones 5.3 y 5.4. 4. Si el polinomio tiene más de tres términos, intente factorizarlo por agrupamiento.

5. Como paso final, estudie el polinomio que factorizó para determinar si los términos de cualesquiera factores tienen algún factor común. Si encuentra alguno, factorícelo en este punto. Ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0, a Z 0. Propiedad del factor cero: Si ab=0, entonces a=0 o b=0.

Para resolver una ecuación cuadrática por factorización 1. Escribimos la ecuación en forma estándar con el término cuadrático con coeficiente positivo. Esto dará como resultado que un lado de la ecuación sea 0. 2. Factorizamos el lado de la ecuación que no es igual a 0. 3. Igualamos a 0 cada uno de los factores que contiene la variable y resolvemos cada ecuación. 4. Comprobamos cada solución encontrada en el paso 3 en la ecuación original. Teorema de Pitágoras a2+b2=c2

Expresiones y ecuaciones racionales Para simplificar expresiones racionales 1. Factorice el numerador y el denominador tanto como sea posible. 2. Divida el denominador y el numerador entre los factores comunes.

Para multiplicar expresiones racionales 1. Factorice por completo todos los numeradores y los denominadores. 2. Divida entre los factores comunes. 3. Multiplique los numeradores por los numeradores y los denominadores por los denominadores.

Para sumar o restar dos expresiones racionales 1. Determine el mínimo común denominador (mcd). 2. Reescriba cada fracción como una fracción equivalente con el mcd. 3. Sume o reste los numeradores y conserve el mcd.

4. Cuando sea posible, factorice el numerador que queda y simplifique la fracción.

Para resolver ecuaciones racionales 1. Determine el mcd de todas las fracciones en la ecuación. 2. Multiplique ambos lados de la ecuación por el mcd. Esto hará que cada término en la ecuación se multiplique por el mcd. 3. Elimine los paréntesis y reduzca términos semejantes en cada lado de la ecuación. 4. Resuelva la ecuación. 5. Compruebe su solución en la ecuación original.

Variación Variación directa: y=kx k Variación inversa: y = x

MATEMÁTICAS I

MATEMÁTICAS I Allen R. Angel René Jiménez

Pearson desea expresar su reconocimiento a cada uno de los siguientes profesores de COBAES, quienes participaron en el diseño de actividades didácticas y selección de contenidos que permitieron orientar el enfoque pedagógico para el desarrollo de competencias de esta obra:

Federico Leonel Varela Valenzuela José Raúl Hernández Duarte Ricardo Alonso Vargas Francisco Javier Montoya García

Pearson Custom Publishing

Datos de catalogación bibliográfica ANGEL, ALLEN R. y JIMÉNEZ, RENÉ

Matemáticas I Primera edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2010 ISBN: 978-607-442-384-6 Área: Matemáticas Formato: 21 ⫻ 27 cm

Páginas: 480

Adapted from the authorized translation of the English Language Edition, entitled: Elementary Algebra for College Students by Allen R. Angel with assistance from Donna R. Petrie and Richard Semmler, ISBN 0131400231 Copyright © 2004, and Intermediate Algebra form College Students by Allen R. Angel ISBN 0131400592 Copyright © 2004. And adapted from the title Álgebra by René Jiménez ISBN 978-970-2607-083 Copyright © 2008. Published by Pearson Education Inc., publishing as PRENTICE HALL INC. All right reserved. Adaptación autorizada del idioma inglés titulada: Elementary Algebra for College Students de Allen R. Angel con la asesoría de Donna R. Petrie y Richard Semmler, ISBN 0131400231 Copyright © 2004 e Intermediate Algebra form College Students de Allen R. Angel ISBN 0131400592 Copyright © 2004. Y adapación del título Álgebra de René Jiménez ISBN 978-970-2607-083 Copyright © 2008. Publicados por Pearson Education Inc., bajo el sello de PRENTICE HALL INC. Todos los derechos reservados Editor: Carlos Mario Ramírez Torres [email protected] Editor de desarrollo: Alejandro Gómez Ruiz Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos PRIMERA EDICIÓN, 2010. D.R.© 2010 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500 – 5o piso Industrial Atoto, 53519 Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Custom Publishing es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 978-607-442-384-6 Impreso en México. Printed in Mexico 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09

Pearson Custom Publishing es una división de

www.pearsoneducacion.net

ISBN: 978-607-442-384-6

Lic. Jesús Alberto Aguilar Padilla

Lic. Florentino Castro López

Lic. Policarpo Infante Fierro

A los estudiantes de COBAES: Hablar de educación siempre es hablar del futuro de un país, de un estado o de una región. Un proyecto educativo ha sido siempre un proyecto de vida. Lo es sobre todo en esta época de grandes transformaciones en el mundo, que han hecho de éste una aldea global, interdependiente y competitiva, donde las posibilidades de crecimiento, desarrollo y bienestar dependen cada vez más de la sociedad, así como del conocimiento y la tecnología. Por eso, la palabra educación es la palabra del orden que todos estamos obligados a escuchar y acatar, para emprender los cambios que urgen a la sociedad, de cara al mundo moderno. Esta consideración cobra especial significado cuando nos referimos a la educación media superior. Esta etapa académica, como ustedes saben, es crucial en la vida de los individuos. Durante el bachillerato, los jóvenes definen tanto sus vocaciones profesionales como gran parte de su personalidad. Por eso, si queremos formar personas íntegras y útiles a sus familias y a la sociedad, debemos darle especial atención a este nivel educativo. Hoy damos inicio al Ciclo Escolar 2009–2010 y con esta misma fecha, iniciamos el Año de la consolidación de la Reforma Integral de COBAES a través de su incorporación al Sistema Nacional de Bachillerato. Es decir, a partir de este día, empezamos el proceso de transformaciones innovadoras en COBAES con un nuevo enfoque nacional, lo cual implica una revisión pormenorizada de sus haberes educativos y procesos administrativos orientados a la reforma integral propuesta por la SEP. De esta manera compartimos el interés de docentes, estudiantes, personal directivo, padres de familia, y de la propia dirigencia sindical para colocar a COBAES en planos superiores de calidad y pertinencia, en un marco de deliberación académica respetuoso, creativo e incluyente. Esto es un imperativo porque no obstante los logros sustantivos que esta institución ha alcanzado durante sus 28 años de existencia, se mantienen debilidades que urge superar para fortalecer la calidad de la educación. Con todo, elevar la calidad de COBAES representa un reto fundamental que nosotros asumimos con mucha responsabilidad. Con este propósito ponemos en tus manos este libro de texto de bachillerato que unifican contenidos académicos; mismos que se establecen en planes y programas de estudios diseñados para la formación integral con el propósito de dotar a nuestros bachilleres de una cultural general sólida que los habilite para su ingreso a la educación profesional, insertos en una visión nacional.

Jóvenes bachilleres: Los esfuerzos que habremos de multiplicar para superar nuestro sistema educativo, se verán truncados si no los acompañamos de una intensa actividad compartida para arraigar los valores que les son consustanciales a la juventud y a las comunidades educativas en general. A este respecto seguiremos siendo muy enérgicos para cuidar y salvaguardar su integridad física, intelectual y moral. Con acciones preventivas y educativas, los COBAES serán recintos seguros, refractarios a las influencias negativas que pretendan socavar la formación sana e integral de los estudiantes. La reforma servirá fundamentalmente para superar la calidad de la educación que se imparte en el COBAES; pero también abrirá los caminos para mejorar las condiciones profesionales y laborales de nuestros docentes y personal administrativo. Sean ustedes bienvenidos al Colegio de Bachilleres, la fuerza joven de Sinaloa. Lic. Jesús Alberto Aguilar Padilla Gobernador constitucional del Estado de Sinaloa Lic. Florentino Castro López Secretario de Educación del Estado de Sinaloa Lic. Policarpo Infante Fierro Director General de COBAES

CONTENIDO

Bloque I

Bloque II

Bloque III

Bloque IV

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

1

1.1 Solución de problemas

7

1.2 Fracciones

16

1.3 El sistema de números reales

24

Utiliza magnitudes y números reales

35

2.1 El sistema de números reales

43

2.2 Desigualdades

44

2.3 Propiedades del sistema de números reales

47

2.4 Suma de números reales

52

2.5 Resta de números reales

58

2.6 Multiplicación y división de números reales

65

2.7 Exponentes, paréntesis y orden de las operaciones

71

2.8 Razones y proporciones

73

2.9 Porcentajes

77

2.10 Variación

81

Realiza sumas y sucesiones de números

89

3.1 Sucesiones y series

95

3.2 Notación sumatoria

103

3.3 Sucesiones aritméticas

106

3.4 Sucesiones geométricas

114

Realiza transformaciones algebraicas I

125

4.1 Reducción de términos semejantes

131

4.2 Exponentes

136

4.3 Exponentes negativos

143

4.4 Suma y resta de polinomios

150

4.5 Multiplicación de polinomios

155

vii

viii • Matemáticas I

4.6 División de polinomios

162

4.7 Factorización de un monomio a partir de un polinomio

167

4.8 Factorización por agrupamiento

173

4.9 Factorización de trinomios de la forma ax ⫹ bx ⫹ c, a ⫽ 1

178

4.10 Factorización de trinomios de la forma ax ⫹ bx ⫹ c, a ⫽ 1

185

4.11 Fórmulas de factorización especial y repaso general de la factorización

197

4.12 Productos notables

203

4.13 Triángulo de Pascal y binomio de Newton

211

Realiza transformaciones algebraicas II

219

5.1 Factorización de trinomios

221

5.2 Simplificación de expresiones racionales

229

5.3 Multiplicación y división de expresiones racionales

234

5.4 Suma y resta de expresiones racionales con denominador común y determinación del mínimo común denominador

240

5.5 Suma y resta de expresiones racionales

245

Realiza ecuaciones lineales I

255

6.1 Problemas adicionales de aplicación

263

6.2 La propiedad de igualdad de la suma

268

6.3 La propiedad de igualdad de la multiplicación

275

6.4 Solución de ecuaciones lineales con una variable en un solo lado de la ecuación

281

6.5 Solución de ecuaciones lineales con la variable en ambos lados de la ecuación

289

6.6 Razones y proporciones

297

6.7 Funciones lineales: gráficas y aplicaciones

307

6.8 Sistema de coordenadas cartesianas y ecuaciones lineales con dos variables

314

6.9 Graficación de ecuaciones lineales

321

6.10 Pendiente de una recta

328

6.11 Formas pendiente-ordenada al origen y punto-pendiente de una ecuación lineal

337

6.12 Funciones

346

Resuelve ecuaciones lineales II

355

7.1 Resolución de sistemas de ecuaciones con dos variables

357

2 2

Bloque V

Bloque VI

Bloque VII

Contenido • ix

Bloque VIII

Bloque IX

Bloque X

Anexo

7.2 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de determinantes y la regla de Cramer

364

7.3 Resolución de sistemas de ecuaciones por medio de matrices

367

Resuelve ecuaciones lineales III

373

8.1 Resolución de sistemas de ecuaciones con tres variables

375

8.2 Sistemas de ecuaciones lineales: aplicaciones y resolución de problemas

381

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

399

9.1 Resolución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado

405

9.2 Solución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización

413

9.3 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

417

9.4 Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula cuadrática

420

Resuelve ecuaciones cuadráticas II

431

10.1 Ecuaciones cuadráticas: Aplicaciones y resolución de problemas

433

10.2 Planteamiento de ecuaciones en forma cuadrática

440

10.3 Graficación de funciones cuadráticas

445

Estrategias de enseñanza-aprendizaje

463

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BLOQUE I

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos • Identifica formas distintas de representación de números positivos. • Identifica números decimales en distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes). • Jerarquiza operaciones numéricas al ejecutarlas. • Identifica y reconoce números reales y variables algebraicas. • Identifica formas distintas de representación de números reales. • Calcula el valor numérico de una expresión algebraica.

L

a cobertura que brindan las pólizas de seguros médicos difieren según el tipo de póliza que tenga un individuo. Además de los pagos anuales, ciertos planes para el cuidado de la salud requieren el pago de un deducible por cada visita al consultorio médico. Otros tipos de póliza requieren que el individuo pague anualmente cierta cantidad de dinero en gastos médicos, y la compañía aseguradora cubre un gran porcentaje de los costos restantes. En las página 6 emplearemos las técnicas desarrolladas por el famoso matemático George Polya para determinar la proporción de una cuenta de gastos médicos que una persona tiene la responsabilidad de pagar, y la parte que cubrirá la compañía aseguradora.

1

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BLOQUE I • Resuelve problemas aritméticos y algebraicos • 3

Bloque I: Resuelve problemas aritméticos y algebraicos Unidades de competencia • Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números positivos y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales, para la representación y resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad. • Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

Atributos de las competencias genéricas 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

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4 • Matemáticas I

Actividades de inicio Problema 1 Te presentamos un problema titulado “Receta de un pastel”. Doña María va al súper a comprar los ingredientes necesarios para la elaboración de un pastel de frutas naturales, los ingredientes y precios de cada ingrediente los enlistamos a continuación: Un kilo y medio de manzanas

$40.00

Tres cuartos de uvas

$15.00

Kilo y medio de papaya

$25.00

Dos kilos un cuarto de azúcar

$29.00

Tres cuartos de mantequilla

$28.00

Dos kilos un cuarto de harina

$27.50

¿Cómo representarías el peso de cada fruta en fracción simple, fracción decimal, fracción porcentual? Si la señora María solo cuenta con $150.00 en efectivo. ¿Cuánto pagó con su tarjeta de crédito? ¿Cómo representarías el peso de cada ingrediente en la recta numérica?

Responde los siguientes cuestionamientos 1. ¿Cuál crees que fue el objetivo de presentarte las cantidades de cada ingrediente en el lenguaje común? 2. ¿Cuál fue la intención de que realizaras la conversión del lenguaje común de las cantidades de los ingredientes a fracción simple, fracción decimal y en forma porcentual? 3. ¿Podrías identificar cuáles competencias fueron las que han contribuido a desarrollar las actividades realizadas? 4. Escribe dos ejemplos de la vida cotidiana donde se demuestra la utilización de los números en sus diferentes manifestaciones.

Problema 2 En un salón de clases, la cantidad de damas es la tercera parte de la cantidad de varones. Si el profesor retira a 10 varones e incluye a 20 damas la cantidad de damas se incrementa a 6 más que los varones. Responde los siguientes cuestionamientos: a)

La expresión algebraica que representa la situación planteada es

b) Si la cantidad de damas es de 12 ¿Cuál será la cantidad de varones?

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Responde los siguientes cuestionamientos ¿Cuál consideras que fue el objetivo de que representaras algebraicamente la situación planteada?

¿Te fue fácil determinar el número de varones dada la cantidad de damas? ¿Por qué?

Escribe dos ejemplos de situaciones de la vida cotidiana donde pueda ser necesario representar algebraicamente la situación planteada.

Actividades extra clase 1. Identifica en la recta numérica las siguientes cantidades. 3 1 a) –3 ; b) –1.33; c) 1 ; d) 5.2; 4 2 2. Representa las cantidades siguientes en fracción simple, decimal y porcentual.

– e) √ 5

a) Dos tercios. b) Dos enteros un quinto. c) Menos ocho enteros cuatro novenos. d) Menos raíz cuadrada de dos entre tres. 3. Resuelve: a) –42 + 6 ÷ 3 = b) 6 + 3 [(32 ÷ 42) + 5] = 3 5 1 c) – · = 8 2 2 1 4. Una receta para carne asada requiere un cuarto de taza de cebollas cortadas por cada libra de carne. Para 5 2 libras de filetes. ¿Cuantas tazas de cebolla cortada se necesita? 1 5. Una ventana aislada de una casa está construida con dos piezas de vidrio, cada una con de pulgada de espesor, 4 con un espacio de una pulgada entre ellas. ¿Cuál es el espesor total de esta ventana? 6. Evalúa 5x – 4, para x = 3. 7. Evalúa las expresiones x2 y –x2; para x = 5. 8. Evalúa – Y 2 + 3(x + 2)–5, cuando x = –3 y Y = –2

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1.1 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1 2 3

1

Aprender los cinco pasos del procedimiento de solución de problemas. Solucionar problemas que involucran gráficas de barras, líneas o círculos. Solucionar problemas que implican estadísticas.

Aprender los cinco pasos del procedimiento de solución de problemas

Una de las principales razones para estudiar matemáticas es que son útiles en la solución de problemas de la vida cotidiana.A lo largo de este libro de texto, se resolverán problemas. Para solucionar en forma matemática la mayoría de los problemas de la vida cotidiana es necesario tener la capacidad de expresarlos con símbolos matemáticos. Ésta es una parte importante del procedimiento para la solución de los problemas que se presentarán a continuación.También presentaremos el procedimiento general, de cinco pasos, para la solución de problemas, desarrollado por George Polya y presentado en su libro How to Solve It. Con este procedimiento general es posible enfocar cualquier problema. George Polya

Lineamientos para resolver problemas 1. Entender el problema.

•

Lea el problema cuidadosamente al menos dos veces. En la primera lectura, obtenga un panorama general. En la segunda, determine (a) qué es exactamente lo que tiene que hallar, y (b) qué información proporciona el problema.

•

Haga una lista de los hechos conocidos. Determine cuáles de ellos son pertinentes para la solución del problema.

•

Determine si es posible sustituir los números por otros más pequeños o sencillos, a fin de hacer más comprensible el problema.

• •

Si organizar la información lo ayuda, enlístela en una tabla. De ser posible, elabore un diagrama para ilustrar el problema. Rotule la información que se da.

2. Traducir el problema a lenguaje matemático.

•

Por lo general, esto incluye expresar el problema en términos de una expresión o ecuación algebraica.

•

Determine si existe una fórmula que pueda utilizarse para resolver el problema.

3. Realizar los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema. 4. Comprobar la respuesta obtenida en el paso 3.

•

Pregúntese, ¿tiene sentido la respuesta?, ¿es razonable? Si la respuesta no es razonable, revise su método para solucionar el problema, así como sus cálculos.

•

Si es posible, compruebe la solución en el problema original.

5. Asegurarse de haber respondido la pregunta.

•

Enuncie la respuesta con claridad.

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En el paso 2 se emplean las palabras expresión algebraica. Una expresión algebraica, que en ocasiones sólo recibe el nombre de expresión, es un término general para cualquier conjunto de números, letras (llamadas variables), símbolos de agrupación como paréntesis 1 2 o corchetes 3 4, y operaciones (como suma, resta, multiplicación y división). En esta sección no se emplearán variables; su uso se estudiará más adelante. Ejemplos de expresiones 3 + 4,

6112 , 32,

122172

Los siguientes ejemplos muestran la manera de aplicar los lineamientos para la solución de problemas. En ocasiones, se proporcionarán, en los ejemplos, los cinco pasos para ilustrar el procedimiento general. Sin embargo, en ciertos problemas no es posible o necesario enlistar cada uno de los pasos. En ciertos ejemplos se emplean números decimales y porcentajes.

EJEMPLO 1 Transporte El aeropuerto O’Hara, de Chicago, es el más saturado del mundo, con alrededor de 65 millones de pasajeros que llegan y salen anualmente. El autobús express recorre, entre el aeropuerto y el centro de la ciudad, una distancia de 19 millas. Un autobús en particular hace 8 viajes redondos por día entre dichos puntos, y lleva en promedio 12 pasajeros por viaje (en cada sentido). La tarifa en cada sentido es de $17.50. a) ¿Cuáles son los ingresos del autobús por un día de operación? b) Si la tarifa en un solo sentido se incrementara un 10%, determine cuál sería la nueva tarifa.

Solución a) Entender el problema La lectura cuidadosa del problema indica que la tarea consiste en encontrar los ingresos totales por un día de operación. Es necesario hacer una lista de toda la información que se da y determinar cuál es necesaria para encontrar el total de los ingresos.

Información disponible

Pertinente para resolver el problema

65 millones de pasajeros que llegan o salen anualmente 19 millas del aeropuerto al centro 8 viajes redondos al día 12 pasajeros por viaje (en cada sentido) Tarifa de $17.50 (en cada sentido)

no no sí sí sí

Para calcular los ingresos totales no es necesario conocer el número de pasajeros que utilizan el aeropuerto, ni la distancia entre éste y el centro. Para solucionar este problema es necesario que se dé cuenta de que los ingresos totales dependen del número de viajes en cada sentido, del número promedio de pasajeros por viaje, y del costo por pasajero; todo esto en un día. El producto de estos tres números arrojará los ingresos totales diarios. Tenemos 8 viajes redondos por día, por lo tanto, 2 8, o 16 viajes en un sentido cada día.

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Traducir el problema a lenguaje matemático

ingresos número de número de costo por £ en un ≥ = £ viajes en un ≥ * £ pasajeros ≥ * £ pasajeros en ≥ día sentido por día por viaje cada sentido Efectuar los cálculos

= 16 * 12 * $17.50 = $3360.00 También podrían haberse utilizado 8 viajes redondos y una tarifa de $35.00 por persona para obtener la respuesta. ¿Podría explicar por qué? Revisar la respuesta

La respuesta de $3,360.00 es razonable, con base en la infor-

mación que se da. Responder la pregunta que se hace

Los ingresos por un día de operación son de

$3,360.00. b) Entender Si la tarifa se incrementa un 10%, la nueva será 10% más alta que $17.50. Por lo tanto, es necesario agregar el 10% de $17.50 a esta cifra para obtener la respuesta. Al realizar los cálculos, los números que expresan porcentajes en general cambian a cifras con decimales. Traducir

Tarifa nueva tarifa original 10% de la tarifa original

Calcular

Tarifa nueva $17.50 0.10($17.50) = $17.50 + $1.75 = $19.25

Revisar

La respuesta de $19.25, es un poco mayor que $17.50, parece razonable.

Responder

Al incrementarse un 10%, la tarifa nueva es de $19.25.

✺

EJEMPLO 2 Velocidad de un procesador En febrero de 2001, el procesador más veloz de Intel, el Pentium 4, podía realizar alrededor de 1.5 mil millones de operaciones por segundo (1.5 gigahertzios, que se representa como 1.5 GHz). ¿Cuántas operaciones podrían efectuarse en 0.3 segundos?

Solución

Se da el nombre del procesador, la velocidad de alrededor de 1.5 mil millones (1,500,000,000) de operaciones por segundo, y 0.3 segundos. Para determinar la respuesta de este problema no es necesario el nombre del procesador, Pentium 4. A fin de obtener la respuesta, ¿se requiere multiplicar o dividir? Es frecuente que un problema muy sencillo parezca más difícil debido a los números que involucra. Cuando números muy grandes o muy pequeños hagan parecer confuso un problema, hay que tratar de sustituirlos por otros de uso más común para determinar la manera de resolverlo. Supongamos que el procesador puede ejecutar 6 operaciones por segundo. ¿Cuántas operaciones realizaría en dos segundos? La respuesta a esta pregunta debería ser obvia. Es 6 2 o 12. Para obtener este resultado tuvimos que multiplicar; por lo tanto, también debemos multiplicar para obtener la respuesta al problema que se plantea.

Entender

Traducir

Número de operaciones en 0.3 segundos 0.3 (número de operaciones por segundo) Calcular

= 0.311,500,000,0002 = 450,000,000 Con una calculadora

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Revisar La respuesta, 450,000,000 de operaciones, es menor que las 1,500,000,000 de operaciones por segundo, lo que tiene sentido debido a que el procesador opera durante menos de un segundo. Responder

En 0.3 segundos, el procesador realiza 450,000,000 de operaciones.

✺ EJEMPLO 3 Seguros médicos La póliza de seguro médico de Beth Rechsteiner es similar a la de muchos trabajadores. La póliza de Beth requiere que pague los primeros $100 de gastos médicos de cada año calendario (que se llama deducible). Después de pagar el deducible, ella cubre el 20% de los gastos médicos (que se denomina copago) y la compañía aseguradora paga el 80%. (Hay un copago máximo de $600 que debe pagar al año. Después de eso, la empresa aseguradora cubre el 100% del costo de atención.) El 1 de enero, Beth se torció su tobillo mientras jugaba tenis. Fue al consultorio del doctor para que la revisara y obtuviera una placa de rayos X. La cuenta total que se envió a la compañía aseguradora fue de $325. a) ¿Qué monto de la cuenta será responsabilidad de Beth? b) ¿De cuánto es responsable la compañía de seguros?

Solución a) Entender En primer lugar enlistamos la información relevante. Información disponible

Deducible de $100 20% de copago después del deducible 80% que paga la compañía de seguros después del deducible $325 de la cuenta del médico El resto de la información no es necesaria para la solución del problema. Beth será responsable de los primeros $100 y del 20% del saldo restante. La compañía aseguradora tiene la responsabilidad del 80% del saldo después del deducible.Antes de calcular lo que adeuda Beth es necesario determinar el saldo de la cuenta después de pagar el deducible. El saldo de la cuenta después del deducible es de $325 $100 $225. Responsabilidad de Beth deducible 20% de la cuenta después del deducible.

Traducir

Calcular

Responsabilidad de Beth 100 20%(225) = 100 + 0.2012252 = 100 + 45 = 145

Revisar la respuesta

La respuesta parece razonable. Beth le deberá al doctor $145.

b) La compañía aseguradora será responsable del 80% del saldo después del deducible. Responsabilidad de la compañía de seguros 80% del saldo después del deducible = 0.8012252 = 180 Por lo tanto, la compañía aseguradora es responsable de $180. Esto tiene sentido ya que la suma de esta cantidad y la que debe pagar Beth es igual a la cuenta que pasó el doctor. $145 + $180 = $325 También podríamos haber respondido el inciso b) si restábamos lo que debe Beth del total de la factura; pero para que usted pudiese practicar más con los porcentajes decidimos obtener la solución de esta forma. ✺

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Solucionar problemas que involucran gráficas de barras, líneas o círculos Con frecuencia, la solución de problemas implica comprender y leer gráficas y conjuntos de datos (o números). En todo el libro se emplearán gráficas de barras, de líneas (poligonales) y circulares (o de tipo pastel), así como conjuntos de datos. En esta sección emplearemos algunas de estas gráficas y explicaremos cómo interpretarlas. Para resolver el ejemplo 4, usted debe interpretar gráficas de barras y circulares, y trabajar con datos.

EJEMPLO 4 Comercio electrónico global Forrester Research Inc. (forrester.com) proporcionó la siguiente información. Las gráficas nos dan información sobre las ventas en el comercio electrónico (ventas que se realizan por Internet) e incluyen dos tipos de ventas: de negocio a negocio y de negocio a consumidor. Se estima que en 2007, esta clase de ventas podrían llegar a ser por un total de $6.8 billones (estos datos sólo son representativos). La gráfica de barras de la figura 1.1 muestra las ventas mundiales en el comercio electrónico. La gráfica circular de la figura 1.2 ilustra el desglose de ventas electrónicas por regiones seleccionadas. a) Por medio de la gráfica de la figura 1.1, estime las ventas en el comercio electrónico para 2007. b) Si las ventas mundiales en el comercio electrónico en 2007 son de $6.8 billones, utilice la figura 1.2 para estimar las ventas en el comercio electrónico para Norteamérica, Asia/Pacífico, Europa Occidental y el resto del mundo.

Solución a) Con el empleo de la figura 1.1, se estima que en 2007 las ventas en el comercio electrónico serán de alrededor de $6.8 billones. Observe que se utiliza la parte frontal de la barra para obtener la estimación. Siempre que se trabaje con una gráfica de barras tridimensional, como en este caso, se usará la cara del frente para determinar la lectura. c) Entender La gráfica circular de la figura 1.2 indica que alrededor del 50.9% de las ventas mundiales en el comercio electrónico en 2007 corresponde a Norteamérica, el 24.3% a Asia/Pacífico, 22.6% a Europa Occidental, y 2.2% al resto del mundo. La suma de estos porcentajes es de 100%. (Observe que el 50.9% del área del círculo la ocupa Norteamérica, 24.3% es para Asia/Pacífico, 22.6% para Europa Occidental, y 2.2% para el resto del mundo.) Para determinar la cantidad aproxi-

Comercio electrónico global 8

Dólares (billones)

2

6

Desglose estimado de comercio electrónico global (Ventas por región en 2007) 4

Resto del mundo 2.2%

2

0

Norteamérica 50.9% Europa Asia/Pacífico 24.3% Occidental

2003

2004

2005

Año

FIGURA 1.1

2006

2007

22.6%

FIGURA 1.2

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mada de ventas en el comercio electrónico en Norteamérica, es necesario calcular el 50.9% del total de ventas electrónicas. Para hacer esto, multiplicamos del siguiente modo. Traducir

a

cantidad de ventas en el comercio porcentaje del total de ventas ventas electrónicas b = a ba b electrónico en Norteamérica electrónicas en Norteamérica totales Calcular

Cantidad de ventas en el comercio electrónico en Norteamérica 0.509($6.8 billones) = $3.4612 billones Por lo tanto, se espera que, en 2007, alrededor de $3.4612 billones de ventas en el comercio electrónico ocurran en Norteamérica. Para obtener las ventas electrónicas en las demás áreas del mundo, efectuamos cálculos similares. ventas electrónicas en Asia/Pacífico 0.243($6.8 billones) $1.6524 billones ventas electrónicas en Europa Occidental 0.226($6.8 billones) $1.5368 billones ventas electrónicas en el resto del mundo 0.022($6.8 billones) $0.1496 billones Si sumamos las cuatro cifras, obtendremos un total de $6.8 billones. Por tanto, nuestra respuesta es correcta.

Revisar

$3.4612 billones $1.6524 billones $1.5368 billones $0.1496 billones $6.8 billones Las ventas electrónica estimadas en 2007 fueron: Norteamérica: $3.4612 billones; Asia/Pacífico: $1.6524 billones; Europa Occidental: $1.5368 billones; el resto del mundo: $0.1496 billones. ✺

Responder

En el ejemplo 5 se usará el símbolo L, que se lee es aproximadamente igual a. Por ejemplo, si la respuesta de un problema fuera 34.12432, se escribiría como L34.1.

EJEMPLO 5 El Supertazón La gráfica de líneas (poligonal) de la figura 1.3 muestra el costo de un comercial de 30 segundos durante los Supertazones de 1967 a 2002. Los precios de la publicidad los establece la red de televisión. a) Estime el costo de los comerciales de 30 segundos en 1975 y 2001. b) ¿Qué diferencia hubo en el costo por un comercial de 30 segundos en 2001 y uno en 1975? c) ¿Cuántas veces fue mayor el costo de un comercial de 30 segundos en 2001 sobre el de 1975?

Solución a) Al leer una gráfica de línea (poligonal) en la que ésta tiene cierto espesor, como la de la figura 1.3, usaremos el centro de la línea para marcar la estimación. Al observar la línea punteada en la gráfica, se estima que el costo de un comercial de 30 segundos fue de alrededor de $375,000 en 1975, y de cerca de $2.3 millones (o $2,300,000) en 2001. b) Se usa el procedimiento de solución de problemas para responder la pregunta. Para determinar la diferencia en el costo de un comercial de 30 segundos, entre los años 2001 y 1975, es necesario realizar una resta.

Entender

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Dólares (millones)

Costo de los comerciales en los Supertazones

Traducir

diferencia en el costo costo en 2001 costo en 1975 = $2,300,000 - $375,000 = $1,925,000

Calcular

2.5

Responder y revisar

2.0

La respuesta parece razonable. El costo fue de $1,925,000 más

en 2001.

1.5 1.0 0.5 0 ’70 ’75 ’80 ’85 ’90 ’95 ’00

Año Fuente: Investigación de la NFL Nota: Los precios están en dólares de 2001.

c) Entender Si examinamos los incisos b) y c), podríamos pensar que son iguales, pero no es así. Al inicio de la sección se indica que es importante leer un libro de matemáticas con cuidado, palabra por palabra. Los dos incisos difieren en que el b) pregunta “cuál es la diferencia en el costo”, mientras que el c) pregunta “cuántas veces más”. Para determinar el número de veces que el costo en 2001 ha sido mayor que el de 1975, es necesario dividir el costo en 2001 entre el de 1975, como se observa a continuación.

FIGURA 1.3 Traducir Calcular

costo en 2001 costo en 1975 2,300,000 L 6.13 calcular número de veces más = 375,000

número de veces más =

Revisar y responder Al observar la gráfica, vemos que la respuesta es razonable. El costo de un comercial de 30 segundos durante el Supertazón de 2001 fue alrededor de 6.13 veces el costo del de 1975. ✺

3

Solucionar problemas que implican estadísticas Debido a que la comprensión de la estadística es tan importante en nuestra sociedad, a continuación se estudiarán ciertos temas estadísticos que emplearemos para resolver problemas. La media y la mediana son dos medidas de tendencia central, conocidas también como promedios. Un promedio es un valor que representa un conjunto de datos (o números). Si usted toma un curso de estadística, estudiará estos promedios con más detalle, y conocerá otros promedios. Para obtener la media de un conjunto de datos primero sumamos todos los valores y luego dividimos el resultado entre el número de valores. Por ejemplo, para calcular la media de 6, 9, 3, 12, 12, hacemos lo siguiente. media =

6 + 9 + 3 + 12 + 12 42 = = 8.4 5 5

Se dividió la suma entre 5 porque hay cinco valores. La media es el promedio que se usa con mayor frecuencia, y por lo general es el valor en el que pensamos al utilizar la palabra promedio. La mediana es el valor de en medio (valor central) de un conjunto de datos ordenados. Ordenamos los datos de menor a mayor o viceversa. Para encontrar la mediana de 6, 9, 3, 12, 12, ordenamos los datos del más pequeño al más grande, como sigue. 3, 6, 9, 12, 12 q Valor central

El valor central del conjunto de datos ordenados es 9. Por lo tanto, la mediana es 9. Observe que la cantidad de datos examinados es un número impar (non) y que la mitad de los valores está por encima de la mediana y la otra mitad está por debajo de ella.

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Si tenemos un número par de datos por examinar, la mediana está entre los dos valores centrales. Por ejemplo, para calcular la mediana de 3, 12, 5, 12, 17, 9, ordenamos los datos de mayor a menor o viceversa. 3, 5, 9, 12, 12, 17 q Valores centrales

Como hay seis datos (número par), buscamos el valor que está a la mitad entre los dos valores centrales, que son 9 y 12. Para encontrar la mediana, sumamos dichos valores y dividimos el resultado entre 2. 9 + 12 21 = = 10.5 2 2 Así, la mediana es 10.5. Observe que la mitad de los valores se encuentran arriba de ella, y la mitad por debajo. media =

EJEMPLO 6 La calificación media. Las seis primeras calificaciones de Alfonso Ramírez son 90, 87, 76, 84, 78 y 62. a) Encuentre la media de las seis calificaciones de Alfonso. b) Si hubiera un examen más, ¿cuál sería la calificación mínima que Alfonso necesita para obtener cuando menos una B como promedio (es decir, un promedio de 80 o más)? c) ¿Es posible que Alfonso obtenga un promedio de A (90 o más)? Explique su respuesta.

Solución a) Para obtener la media, sumamos las seis calificaciones y el resultado lo dividimos entre 6. 90 + 87 + 76 + 84 + 78 + 62 477 = = 79.5 6 6 b) Mostraremos los pasos para resolver el problema para esta parte del ejemplo. media =

Entender La respuesta a esta parte se encuentra de diversas maneras. Para que la media de siete exámenes sea 80, los puntos totales de ellos debe ser de 7(80) o 560. ¿Podría explicar por qué? La calificación mínima necesaria se encuentra si se resta de 560 la suma de las seis calificaciones. Traducir

calificación mínima que se necesita obtener en el séptimo examen 560 suma de las primeras seis calificaciones Calcular

= 560 - 190 + 87 + 76 + 84 + 78 + 622 = 560 - 477 = 83

Se verifica que una séptima calificación, 83, nos dé una media de 80, de la siguiente manera. 560 90 + 87 + 76 + 84 + 78 + 62 + 83 = = 80 media = 7 7 Respuesta Una séptima calificación de 83 o más, al menos, dará como resultado un promedio de B. c) Se utiliza el mismo razonamiento que en el inciso b). Para un promedio de 90, el total de puntos que Alfonso necesita obtener es de 90(7) 630. Como su total Revisar

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de puntos es de 477, necesitará 630 477 o 153 puntos para obtener un promedio de A. Como el número máximo de puntos de que se dispone la mayoría de los exámenes es de 100, Alfonso no podría obtener una A en el curso. ✺

Solución de problemas 1. Comisiones Barbara Riedell gana el 5% de comisión por los aparatos que vende. La última semana, sus ventas fueron por un total de $9400. Encuentre sus ingresos de esa semana. 2. Edificio Empire State El 1 de mayo de 1931 fue la inauguración del Empire State. Mide 1,454 pies, o 443 metros, de altura. Utilice esta información para determinar el número aproximado de pies que hay en un metro. 3. Impuestos sobre ventas a) El impuesto sobre las ventas en Jefferson County es de 7%. ¿Cuál es el impuesto que pagó Jack Mayleben por un carro usado que costó $16,700 antes de impuestos? b) ¿Cuál es el costo total del carro, incluyendo impuestos? 4. Cuenta de cheques El saldo de la cuenta de cheques de Lois Heater es de $312.60. Ella adquirió cinco discos compactos a $17.11 cada uno, ya con IVA. Si paga con un cheque, ¿cuál es el nuevo saldo en su cuenta? 5. Compra de una computadora Scott Borden quiere comprar una computadora que se vende en $950. Puede pagar al contado o dar a la tienda un enganche de $200 y 24 mensualidades de $33. a) Si da el enganche y los pagos mensuales, ¿cuánto pagará por la computadora? b) ¿Cuánto dinero ahorraría si pagara el total del costo al contado? 6. Estacionamiento El Midtown Parking Lot cobra $1.50 por cada hora, o fracción, de estacionamiento. Alfredo Irizarri estaciona su auto de las 9:00 a.m. a las 5:00 p.m., cinco días a la semana. a) ¿Cuál es su costo semanal por el estacionamiento? b) ¿Cuánto dinero ahorraría si pagara una tarifa semanal de $35.00? 7. Militares La siguiente gráfica muestra el área de la defensa en que las mujeres se enlistaron al mes de enero de 2001. Si el número total de mujeres que se dio de alta es aproximadamente de 91,600, determine cuántas mujeres más se enlistaron en el ejército que en la marina.

Consulte el ejercicio 8. b) 8. Valores de la energía La siguiente tabla proporciona los valores aproximados de la energía de ciertos alimentos, y el consumo de energía aproximado de algunas actividades, en kilojoules (kJ). Determine cuánto tiempo le tomaría utilizar la energía de los siguientes alimentos. a) una hamburguesa, si corriera b) una malteada de chocolate, si caminara c) un vaso de leche descremada, con ciclismo

(kJ)

Consumo de energía, actividad

(kJ/ min)

2,200

Caminata

25

460

Ciclismo

35

Hamburguesa

1,550

Natación

50

Pastel de fresa

1,440

Carrera

80

Valor energético, alimento Malteada de chocolate Huevo frito

Vaso de leche descremada

Área en que se enlistaron las mujeres Cuerpo de infantería de marina 5%

Ejército 45% Marina 24%

Fuerza Aérea 26%

Fuente: Departamento de Defensa de los E.U.

350

9. Gasolina por distancia Cuando el odómetro del auto de Tribet LaPierre da una lectura de 16,741.3, él llena el tanque de gasolina. La siguiente vez que lo llena, caben 10.5 galones y su odómetro indica 16,935.4. Determine el número de millas por galón que rinde su carro. 10. Jet Ski El costo de la renta de un jet ski en Don’s Ski Rental, es de $10.00 por 15 minutos, y en Carol’s Ski Rental es de $25 por media hora. Suponga que planea rentar un jet ski por 3 horas. a) ¿Cuál es el mejor trato? b) ¿Cuánto ahorraría?’

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1.2 FRACCIONES 1 2 3 4 5 6

Conocer los símbolos de la multiplicación e identificar los factores. Reducir fracciones. Multiplicar fracciones. Dividir fracciones. Sumar y restar fracciones. Convertir números mixtos a fracciones, y viceversa.

Con frecuencia, los estudiantes que cursan álgebra por primera vez preguntan “¿cuál es la diferencia entre la aritmética y el álgebra?”.Al hacer aritmética, se conocen todas las cantidades que se usan en los cálculos. Sin embargo, en álgebra hay una o más cantidades que se desconocen y deben calcularse.

EJEMPLO 1 Harina necesaria para una receta Una receta requiere 3 tazas, la señora Clark tiene dos. ¿Cuántas tazas más necesita?

✺

Solución La respuesta es 1 taza.

Aunque es muy elemental, éste es un ejemplo de problema algebraico. La cantidad desconocida es el número de tazas adicionales de harina necesarias. Para tener éxito en álgebra es esencial entender los números decimales y las fracciones. Usted debe saber cómo simplificar una fracción y sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

1

Conocer los símbolos de la multiplicación e identificar los factores Con frecuencia, en álgebra utilizamos letras llamadas variables para representar a los números. Las letras que más se utilizan como variables son x, y y z, pero también pueden emplearse otras letras. Por lo general, las variables se escriben con cursivas. Por ello no hay confusión entre la variable x y el signo de multiplicación, aunque por lo general se emplea notación diferente para indicar una multiplicación. Símbolos de multiplicación Si a y b representan dos cantidades matemáticas cualesquiera, entonces podemos utilizar cada una de las siguientes expresiones para indicar el producto de a y b (“a por b”). ab a # b

a1b2 1a2b 1a21b2

Ejemplos 3 por 4 se escribe: 3142 1324 132142

3 por x se escribe: 3x 31x2 132x 1321x2

x por y se escribe: xy x1y2 1x2y 1x21y2

Ahora introduciremos el término factores, que emplearemos en todo el libro. A continuación se define factores.

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DEFINICIÓN

Los números o variables multiplicados en un problema de multiplicación se llaman factores. Si a # b c, entonces a y b son factores de c.

Por ejemplo, en 3 # 5 15, los números 3 y 5 son factores del producto 15. En 2 # 15 30, los números 2 y 15 son factores del producto 30. Observe que 30 tiene otros muchos factores. Como 5 # 6 30, los números 5 y 6 también son factores de 30. Debido a que 3x significa 3 por x, tanto 3 como x son factores de 3x.

2

Reducir fracciones Ahora tenemos la información necesaria para analizar las fracciones. El número que está en la parte superior de una fracción se llama numerador, y el que está en la parte inferior recibe el nombre de denominador. En la fracción 35 , 3 es el numerador y 5 el denominador.

SUGERENCIA

Considere la fracción 35 . Hay métodos equivalentes para expresarla, como se ilustra a continuación. 3 = 3 , 5 = 5 3 5 En general, ba = a , b = b a

Ahora se estudiará cómo simplificar una fracción. Una fracción se simplifica (o reduce a su mínima expresión) cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes distintos de 1. Para simplificar una fracción, siga estos pasos.

Para simplificar una fracción 1. Determine el número mayor que dividida (sin residuo) tanto al numerador como al denominador. Este número se llama máximo común divisor (MCD). 2. Después, divida tanto el numerador como el denominador entre el máximo común divisor.

EJEMPLO 2 Simplifique a)

10 25

b)

6 . 18

Solución a) El número más grande que divide tanto a 10 como a 25 es 5. Por tanto, 5 es el máximo común divisor. Dividamos tanto el numerador como el denominador entre 5 para simplificar la fracción en su mínima expresión. 10 10 , 5 2 = = 25 25 , 5 5

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b) Tanto 6 como 18 se dividen entre 1, 2, 3 y 6. El mayor de estos números es 6, por tanto es el máximo común divisor. Divida tanto el numerador como el denominador entre 6. 6 6 , 6 1 = = 18 18 , 6 3

✺

Observe en el ejemplo 2b) que tanto el numerador como el denominador podrían haberse escrito como un producto con un factor común (6). Entonces, el factor común 6 podría eliminarse. 6 1# 6 1 = # = 18 3 6 3 Al trabajar con fracciones debe reducir las respuestas a su mínima expresión.

3

Multiplicar fracciones Para multiplicar dos o más fracciones, multiplique sus numeradores y después sus denominadores. Multiplicación de fracciones a#c ac = b d bd

EJEMPLO 3 Multiplique Solución

3 5 por . 13 11

3 # 5 3#5 15 = = 13 11 13 # 11 143

✺

Para evitar tener que simplificar respuestas, es necesario que antes de multiplicar fracciones divida tanto el numerador como el denominador entre el máximo común divisor.

EJEMPLO 4 Multiplique a)

8 # 5 17 16

b)

27 # 16 . 40 9

Solución a) Debido a que el numerador 8 y el denominador 16 son divisibles entre el máximo común divisor 8, primero se divide entre 8 y después se multiplica. 1

8 # 5 8 # 5 1#5 5 = = = # 17 16 17 16 17 2 34 2 3

b)

27 # 16 27 # 16 = 40 9 40 9

Se divide tanto 27 como 9 entre 9.

1 3

27 = 40 5

=

2

# 16 9

Se divide tanto 40 como 16 entre 8.

1

3#2 6 = # 5 1 5

✺

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Los números 0, 1, 2, 3, 4, p son llamados enteros no negativos. Los tres puntos después del 4, que se denominan elipsis, indican que los enteros no negativos continúan en forma indefinida de la misma manera. Por tanto, los números 468 y 5043 también son enteros no negativos. Para multiplicar un entero no negativo por una fracción, se escribe el entero no negativo con el denominador de 1 y realice la multiplicación.

EJEMPLO 5 Motor de una podadora Ciertos motores operan con una mezcla de gasolina y aceite. El motor de una podadora en particular requiere de una mezcla de 645 de galón de aceite por cada galón de gasolina que utiliza. Una compañía de jardinería quiere elaborar una mezcla para este motor empleando 12 galones de gasolina. ¿Cuánto aceite debe utilizar?

Solución Para determinar la cantidad de aceite por usar debe multiplicarse 12 por 645 . En

primer lugar, se escribe 12 como 121 , y después se divide tanto 12 como 64 entre su máximo común divisor, 4, como sigue. 3

5 12 # 5 12 12 # = = 64 1 64 1

#

5 3#5 15 = # = 64 1 16 16 16

Así, para elaborar la mezcla apropiada hay que agregar 15 16 de galón de aceite a los ✺ 12 galones de gasolina.

4

Dividir fracciones Para dividir una fracción entre otra, invierta el divisor (la segunda fracción, si es que está escrita con el signo , ) y proceda como en la multiplicación. Para dividir fracciones a c a d ad , = # = b d b c bc

En ocasiones, en lugar de pedir la respuesta de un problema sumando, restando, multiplicando o dividiendo, se puede solicitar la evaluación de una expresión. Evaluar una expresión significa obtener la respuesta al problema por medio de las operaciones dadas.

EJEMPLO 6 Evaluar a) Solución a)

3 5 , 5 6

b)

3 , 12. 8

3 5 3 6 3#6 18 , = # = # = 5 6 5 5 5 5 25

b) Escribir 12 como

12 . Después, invertir el divisor y multiplicar. 1 1

3 3 12 3 , 12 = , = 8 8 1 8

#

1 1 = 12 32 4

✺

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5

Sumar y restar fracciones Sólo se pueden sumar o restar las fracciones que tienen el mismo denominador (un denominador común). Para sumar (o restar) fracciones con el mismo denominador, sume (o reste) los numeradores y conserve dicho denominador. Suma y resta de fracciones a b a + b + = c c c

EJEMPLO 7 Evaluemos a) Solución a)

6 2 + 15 15

b)

6 2 6 + 2 8 + = = 15 15 15 15

o bien

a b a - b = c c c

8 5 13 13

b)

8 5 8 - 5 3 = = 13 13 13 13

✺

Para sumar (o restar) fracciones con denominadores diferentes, primero debemos reescribir dichas fracciones con el mismo, o común, denominador. El número más pequeño que es divisible entre dos o más denominadores se llama mínimo común denominador o mcd [que es el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores diferentes].

EJEMPLO 8 Sumar

1 1 + . 2 5

Solución No podemos sumar estas fracciones hasta escribirlas con un denominador común. Como el menor número divisible entre 2 como entre 5 (sin que haya residuo) es 10, primero reescribamos ambas fracciones con el mínimo común denominador, que es 10. 1 5 5 1 = # = 2 2 5 10

y

1 1 2 2 = # = 5 5 2 10

Ahora se suma. 1 1 5 2 7 + = + = 2 5 10 10 10

✺

Observe que al multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número es lo mismo que multiplicar por 1. Por ello, el valor de la fracción no cambia. 3 4

2 3

EJEMPLO 9 ¿Qué tanto es más grande de pulgada que de pulgada? Solución Para saber qué tanto más grande, se necesita restar 32 de pulgada de 34 de pulgada. 3 2 4 3 El mínimo común denominador es 12. Por tanto, reescribamos ambas fracciones con un denominador igual a 12. 3 3 9 3 = # = 4 4 3 12

y

2 4 8 2 = # = 3 3 4 12

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Ahora, se resta. 3 2 9 8 1 - = = 4 3 12 12 12 2

Por tanto, 34 de pulgada es 121 de pulgada mayor que 3 de pulgada. CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

Es importante darse cuenta de que la cancelación de un factor común en el numerador de una fracción y en el denominador de otra fracción diferente, sólo puede llevarse a cabo cuando se multiplican fracciones. No es posible realizar dicho proceso cuando se suman o restan fracciones. PROBLEMAS

CORRECTOS DE MULTIPLICACIÓN

PROBLEMAS

INCORRECTOS DE SUMA

1

3 5

1

#

1 3

3 1 + 5 3

1 2

8 #3

6

✺

1 2

4

8 + 3 4

1

1

Convertir números mixtos a fracciones, y viceversa Considere el número 5 23 . Éste es un ejemplo de número mixto. Un número mixto consta de un entero no negativo seguido de una fracción. El número mixto 5 23 significa 5 + 23 . El número mixto 5 23 puede cambiarse a una fracción de la siguiente manera: 5

2 2 15 2 15 + 2 17 = 5 + = + = = 3 3 3 3 3 3

Note que expresamos el entero no negativo, 5, como una fracción con denominador 3, y entonces sumamos las fracciones. 3 8

EJEMPLO 10 Cambiar 7 a fracción. Solución

7

3 3 56 3 56 + 3 59 = 7 + = + = = 8 8 8 8 8 8

✺

Ahora, considere la fracción 173 . Esta fracción se convierte a un número mixto, como sigue: 2 2 17 15 2 = + = 5 + = 5 3 3 3 3 3 Observe que se escribió 173 como la suma de dos fracciones, cada una con el denominador de 3. La primera fracción que se suma es el equivalente del entero más grande que es menor de 173 .

EJEMPLO 11 Cambiar Solución

43 a un número mixto. 6 1 43 42 1 1 = + = 7 + = 7 6 6 6 6 6

✺

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SUGERENCIA

Observe que en el ejemplo 11, la fracción 436 es una fracción simplificada debido a que el máximo común divisor del numerador y del denominador es 1. No hay que confundir la simplificación de una fracción con el cambio de una fracción con valor mayor que 1 a un número mixto. La fracción 436 puede convertirse al número mixto 7 16 . Sin embargo, 436 es una fracción simplificada.

Ahora, se resolverán ejemplos que contienen números mixtos.

EJEMPLO 12 Plomería Para reparar una fuga en un tubo, se pega un acoplamiento de 12 pul-

gada de largo a un tubo de plástico que mide 2 169 pulgadas de largo. ¿Cuál es el largo de la combinación? Vea la figura 1.4.

Solución 9

q

2 16

Es necesario sumar 2 169 pulgadas más 12 pulgada para obtener las longitudes combinadas. Se colocarán los dos números uno sobre el otro. Después de que se escriban las dos fracciones con un denominador común, se sumará.

Entender y traducir

Calcular

9 16 1 + 2 2

:

FIGURA 1.4 17 Como 2 16 = 2 +

17 16

Revisar y responder

9 16 8 + 16 17 2 16 2

= 2 + 1 161 = 3 161 , la suma es 3 161 . La respuesta parece razonable. Así, la longitud total es de

3 161 pulgadas.

✺

EJEMPLO 13 Crecer más La gráfica de la figura 1.5 muestra la altura de Kelly el 1 de enero de 2002 y el 1 de enero de 2003. ¿Cuánto creció Kelly durante ese lapso? Crecimiento de Kelly 38 √

1 de enero de 2002

41 q

1 de enero de 2003 0

10

20

30

40

Altura (pulgadas)

FIGURA 1.5

Solución

Para encontrar el crecimiento, es necesario restar la altura del 1 de enero de 2002 de la del 1 de enero de 2003; la resta se hará en forma vertical.

Entender y traducir

Calcular

1 2 7 -38 8 41

4 8 7 -38 8 41

:

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Como deseamos restar 87 de 84, y 78 es mayor que 48 , escribimos 41 48 como 40 128 . Para obtener 40 128 , tomamos 1 unidad del número 41 y la escribimos como 88 . Esto da 40 + 1 + 48 = 40 + 88 + 48 = 40 + 128 = 40 128 . Ahora se resta como sigue. 1 2 7 -38 8 41

4 8 7 -38 8

12 8 7 -38 8 5 2 8

41

:

40

:

Revisar y responder Al examinar la gráfica, observamos que la respuesta es razonable. Por lo tanto, Kelly creció 2 58 pulgadas en ese tiempo. ✺

Aunque no es necesario cambiar números mixtos a fracciones cuando se suman o restan éstos, es necesario cambiarlos a fracciones si se multiplican o dividen. Este procedimiento se ilustra con el ejemplo 14.

EJEMPLO 14 Cortar tiras Una pieza rectangular de material de 3 pies de ancho por 12 12 pies de largo, se corta en cinco tiras iguales, como se ilustra en la figura 1.6. Encuentre las dimensiones de cada tira.

Solución

Entender y traducir Por el diagrama sabemos que un lado tendrá un ancho de 3 pies. Para encontrar el largo de las tiras, necesitamos dividir 12 12 entre 5.

3 pies

5

12 q pies

Calcular

1 25 5 25 12 , 5 = , = 2 2 1 2

#1 5

=

5 1 = 2 2 2

1

FIGURA 1.6

Si multiplicamos 2 12 por 5, obtenemos la longitud original de Por lo tanto, el cálculo fue correcto. Las dimensiones de cada tira serán de 3 pies por 2 12 pies. ✺ Revisar y responder

12 12 .

Solución de problemas 1. Aumento de estatura La siguiente gráfica muestra la estatura de Kim Brugger, en pulgadas, en su octavo y decimosegundo cumpleaños. ¿Cuánto creció Kim en los 4 años? 70

Pulgadas

60 50

3

46 ~

55 16

40 30 20 10

Octavo cumpleaños

Duodécimo cumpleaños

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En muchos problemas se necesitará restar una fracción de 1, en donde 1 representa “el todo” o la “cantidad total”. Los ejercicios 2 a 4 se responden al restar la fracción dada de 1. 25

2. Empleados en línea En 2001, aproximadamente 36 de todos los empleados de los E.U. estaban en línea. ¿Qué fracción de todos ellos no estaban en línea en 2001? 3. Calentamiento global La probabilidad de que un evento no ocurra se encuentra al restar a 1 la probabilidad de que sí ocurra. Si la probabilidad de que esté ocurriendo un ca7 lentamiento global es de 9 , encuentre la probabilidad de que no esté sucediendo. 4. Venta de camiones Utilice la siguiente gráfica para determinar la fracción aproximada del mercado, de las ventas de camionetas, minivanes y SUV, que se importaron en 2001.

Ventas en E.U. en 2001 para camionetas, minivanes y SUV.

9. Hornear el pavo Las instrucciones en un pavo indican que uno que pese entre 12 a 16 libras debe hornearse a 325ºF durante 22 minutos por libra. Donna Draus planea hornear un pavo de 13 12 libras. ¿Aproximadamente cuánto tiempo debe hornear el pavo? 10. Cebollas cortadas Una receta para carne asada requiere 1 1 4 tasa de cebollas cortadas por cada libra de carne. Para 5 2 libras de filete, ¿cuántas tasas de cebolla cortada se necesitan? 11. Cerca Rick O’Shea quiere cercar su patio, según se ilus2 2 tra. Los tres lados por cercar miden 16 3 yardas, 22 3 yardas 1 y 14 8 yardas.

16 s yardas

Nacionales 39 50

Importados 14Ω yardas

22 s yardas

a) ¿Qué longitud de cerca necesitará Rick? Fuente: J.D. Power and Associates

b) Si Rick comprara 60 yardas de cerca, ¿cuánta sobraría?

3 161

5. Corte de madera De una pieza de madera de pulga3 das de longitud, se corta un trozo de16 4 pulgadas. ¿Cuál es la longitud del trozo sobrante? 6. Crecimiento de la albina Una serpiente pitón albina de 1 Cypress Gardens, Florida, al nacer medía 3 pies 3 4 pulga1 das. Su longitud actual es de 15 pies 2 2 pulgadas. ¿Cuánto ha crecido desde que nació? 7. Largo de los pantalones El largo de un par de pantalones 3 nuevos es 30 pulgadas. Si la talla de Sean Leland es de 28 8 pulgadas, ¿cuánto necesita cortarse a la prenda?

8. Corte de madera Dawn Foster cortó una pieza de made1 ra que medía 3 8 pulgadas en dos piezas iguales. ¿Cuánto mide cada pieza?

12. Champú Una botella de champú contiene 15 onzas de 3 fluido. Si Tierra Bentley utiliza 8 de onza cada vez que lava su cabello, ¿cuántas veces lo lavará Tierra con una botella? 1

13. Dosis de medicamento Una enfermera debe dar 16 de miligramo de cierta medicina por cada kilogramo que pese el paciente. Si el Sr. Duncan pesa 80 kilogramos, calcule la cantidad de medicina que debe dársele. 14. Ventanas Una ventana aislada para una casa está cons1 truida con dos piezas de vidrio, cada una de 4 de pulgada de espesor, con un espacio de 1 pulg entre ellas. ¿Cuál es el espesor total de esta ventana? 5

15. Pie de crema Un pie de crema de Boston pesa 1 16 libras. Si el pie se divide en partes iguales para 6 personas, ¿cuánto corresponderá a cada una?

1.3 EL SISTEMA DE NÚMEROS REALES 1 2 3 4

Identificar conjuntos de números. Aprender el orden de las operaciones. Conocer el uso de los paréntesis. Evaluar expresiones que contengan variables.

En este libro de texto hablaremos y utilizaremos diversos tipos de números. Esta sección, que presenta algunos de esos números y la estructura del sistema de números reales, es un rápido vistazo.

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1

Identificar conjuntos de números Un conjunto es una colección de elementos enumerados entre llaves { }. El conjunto {a, b, c, d, e} consta de cinco elementos, que son a, b, c, d y e. Un conjunto que no contiene elementos se denomina conjunto vacío (o conjunto nulo). Los símbolos { } o Ø se utilizan para representar al conjunto vacío. Existen muchos conjuntos diferentes de números. Dos conjuntos importantes son los números naturales y los enteros no negativos, estos últimos ya presentados. Números naturales: {1, 2, 3, 4, 5, p } Enteros no negativos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, p } Para comprender los conjuntos de los números, se puede recurrir a la recta de los números reales (vea la figura 1.7). 6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

FIGURA 1.7

La recta de los números reales continúa en forma indefinida en ambas direcciones. Los números a la derecha del 0 son positivos, y los que están a la izquierda del 0 son negativos. El cero no es positivo ni negativo (vea la figura 1.8). Números negativos 6

5

4

3

2

Números positivos 1

0

1

2

3

4

5

6

FIGURA 1.8

En la figura 1.9 se indican los números naturales en una recta numérica. Los naturales también se llaman enteros positivos o números para conteo. 6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

FIGURA 1.9

Otro conjunto importante de números es el de los enteros.

Enteros: 5Á , -5, -4, -3, -2, -1, 0, ('')''* 1, 2, 3, 4, 5, Á 6 ('''')''''* Enteros negativos

Enteros positivos

Los enteros constan de los enteros negativos, 0, y los enteros positivos. Los enteros están señalados en la recta numérica (figura 1.10). 6

FIGURA 1.10

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

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¿Puede pensar en algún número que no sea entero? Probablemente piense en fracciones o números decimales. Estos números pertenecen al conjunto de números racionales. El conjunto de números racionales consta de todos los números que se expresan como cociente de dos enteros, con el denominador distinto de 0. Números racionales {cociente de dos enteros, denominador distinto de 0} Todos los enteros son racionales puesto que es posible expresarlos con un denominador de 1. Por ejemplo, 3 = 31 , -12 = -112 , y 0 = 01 . Todas las fracciones que contienen enteros en el numerador y en el denominador (diferente de 0), son números racionales. Por ejemplo, la fracción 35 es el cociente de dos enteros y por ello es un número racional. Cuando una fracción que es razón de dos enteros se convierte a número decimal con la división del numerador entre el denominador, el cociente siempre será un número decimal terminal, como 0.3 y 3.25, o un número decimal repetitivo como 0.3333 p , y 5.2727p . Los tres puntos al final de un número como 0.333p indican que el número se repite en forma indefinida. Todos los números decimales terminales y los repetitivos son números racionales que es posible expresar como 1 cociente de dos enteros. Por ejemplo, 0.3 = 103 , 3.25 = 325 100 , 0.3333 Á = 3 y 5.2727p 522 99 . En la figura 1.11 se ilustran algunos números racionales sobre la recta numérica. 3! 6

5

4

1.33 3

2

1

1q

0 0

1

2

3

4

5.2

4

5

6

FIGURA 1.11

La mayoría de los números que utilizamos son racionales. Sin embargo, algunos no lo son. Números como la raíz cuadrada de 2, que se escribe 12, no son racionales. Cualquier número que pueda representarse en la recta numérica y que no sea racional, se denomina número irracional. Los números irracionales son números no terminales, no repetitivos. Así, por ejemplo, 12 no puede expresarse con exactitud como un número decimal. Los números irracionales sólo se aproximan con números decimales. La 12 es aproximadamente 1.41. Por ello, se escribe 12 L 1.41. La figura 1.12 ilustra algunos números irracionales en la recta numérica. 10 4

3

3 2

2 5 1

0

1

2

3

4

FIGURA 1.12

2

Aprender el orden de las operaciones Ahora que se introdujeron los exponentes, es posible presentar el orden de las operaciones. ¿Puede evaluar 2 + 3 # 4? ¿Es 20 o 14? Para responder esta pregunta debemos conocer el orden de las operaciones por seguir cuando evaluemos una expresión matemática. Con frecuencia tenemos que evaluar expresiones que contienen operaciones múltiples.

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Orden de las operaciones Para evaluar expresiones matemáticas, se usa el siguiente orden 1. Primero evalúe la información dentro de los paréntesis 1 2, corchetes 3 4, o llaves 5 6. Estos se llaman símbolos de agrupación, porque agrupan información. Una barra de fracción, -, también sirve como símbolo de agrupación. Si la expresión contiene paréntesis anidados (un par de paréntesis dentro de otro), primero evalúe la información en los paréntesis internos. 2. A continuación, evalúe todos los exponentes. 3. Luego, evalúe todas las multiplicaciones o divisiones en el orden en que suceden de izquierda a derecha. 4. Por último, evalúe todas las adiciones o sustracciones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.

Algunos estudiantes recuerdan la palabra PEMDAS o la frase “Pedro Escucha Mientras Dos Alumnos Sonríen” para ayudarse a recordar el orden: Paréntesis, Exponentes, Multiplicación, División, Adición, Sustracción. Recuerde que esto no implica hacer la multiplicación antes que la división o la suma antes que la sustracción. Ahora se puede evaluar 2 + 3 # 4. Como las multiplicaciones se llevan a cabo antes que las adiciones, 2 + 3#4

3

significa 2 + 13 # 42 = 2 + 12 = 14

Conocer el uso de los paréntesis Los paréntesis o corchetes se emplean para (1) cambiar el orden que debe seguirse en las operaciones para evaluar una expresión algebraica, o (2) ayudar a aclarar la comprensión de una expresión. Para evaluar la expresión 2 + 3 # 4, lo normal sería realizar primero la multiplicación, 3 # 4. Si quisiéramos ejecutar la suma antes de la multiplicación, eso se indicaría con la colocación de paréntesis alrededor de 23, así: 12 + 32 # 4 = 5 # 4 = 20 Considere la expresión 1 # 3 + 2 # 4. De acuerdo con el orden de las operaciones, se realizan las multiplicaciones antes de las adiciones. Esta expresión puede reescribirse como 11 # 32 + 12 # 42. Observe que el orden de las operaciones no cambió. Sólo se utilizaron los paréntesis para ayudar a aclarar el orden a seguir. En ocasiones es necesario utilizar más de un conjunto de paréntesis para indicar el orden que se debe seguir en una expresión. Como se indica en el paso 1 del recuadro de Orden de las operaciones, cuando un conjunto de paréntesis se encuentra dentro de otro reciben el nombre de paréntesis anidados. Por ejemplo, la expresión 612 + 314 + 122 tiene paréntesis anidados. Con frecuencia, para hacer que una expresión con paréntesis anidados sea más fácil de seguir, se emplean corchetes, 3 4, o llaves, 5 6, en lugar de paréntesis múltiples. Así, la expresión 612 + 314 + 122 podría escribirse como 632 + 314 + 124. Siempre que se da una expresión con paréntesis anidados, se evalúan primero los números en el parénte-

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sis más interior. En los siguientes ejemplos se emplea sombra de color para indicar el orden en que se evalúa la expresión. 632 + 31 4 + 1 24 = 632 + 3152 4 = 63 2 + 15 4 = 63174 = 102

4331 6 - 4 2 , 64 = 43 3122 , 64 = 43 6 , 6 4 = 4314 = 4

52 + 31 8 , 4 22 - 146 = 32 + 1 2 2 - 124 = 32 + 1 4 - 1 242 = 1 2 + 3 22 = 52 = 25 2

2

Ahora se resolverán algunos ejemplos, pero antes de hacerlo lea la siguiente sugerencia.

SUGERENCIA

Si no se usan paréntesis para cambiar el orden de las operaciones, siempre se hacen primero las multiplicaciones y divisiones, antes de las sumas y restas. Si un problema sólo tiene multiplicaciones y divisiones, se trabaja de izquierda a derecha. De manera similar, si un problema sólo tiene sumas y restas, se resuelve de izquierda a derecha.

EJEMPLO 4 Evaluar 6 + 3 # 52 - 4. Solución Se emplea sombra gris para indicar el orden en que se evaluará la expresión. 6 + 3 # 52 - 4

Exponente.

3 # 25

Multiplicar.

= 6 +

- 4

= 6 + 75 - 4

Sumar y restar, de izquierda a derecha.

= 81 - 4

✺

= 77

EJEMPLO 5 Evaluar 6 + 33132 , 422 + 54. 6 + 33132 , 4 2 2 + 5] Solución = = = = =

6 + 6 + 6 + 6 + 27

331 32 , 16 2 + 54 332 + 54 3374 21

Dividir. Sumar. Multiplicar.

✺

EJEMPLO 6 Evaluar 18 , 22 + 715 - 222. 18 , 22 + 715 - 222 Solución = = = =

Exponente.

4 + 7 132 4 + 7#9 4 + 63 67

2

Paréntesis. Exponente. Multiplicar.

✺

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EJEMPLO 7 Evaluar -8 - 81 , 9 # 22 + 7. -8 - 81 , 9 # 2 2 + 7 Solución = = = = =

- 8 - 81 , 9 # 4 + 7 -8 - 9 # 4 + 7 -8 - 36 + 7 - 44 + 7 - 37

Exponente. Multiplicar y dividir, de izquierda a derecha. Multiplicar. Sumar y restar, de izquierda a derecha.

✺

EJEMPLO 8 Evaluar a) -42 + 6 , 3 b) 1-422 + 6 , 3 - 4 2 + 6 , 3 Exponente. 1-422 + 6 , 3 b) Solución a) = 16 + 6 , 3 = 16 + 2 = 18

= - 16 + 6 , 3 Dividir. = - 16 + 2 = - 14

EJEMPLO 9 Evaluar

Exponente. Dividir.

✺

3 2 1 - # . 8 5 12

Solución Primero se ejecuta la multiplicación. 1

3 2 1 - a # b 8 5 12

Multiplicar.

6

3 1 8 30 45 4 = 120 120 41 = 120

=

Restar.

✺

EJEMPLO 10 Escriba los siguientes enunciados como expresiones matemáticas con el uso de paréntesis y corchetes, y después evalúelos: restar 3 de 15, dividir esta diferencia entre 2 y multiplicar dicho cociente por 4.

Solución

15 - 3 115 - 32 , 2 43115 - 32 , 24 Ahora se evalúa.

43115 - 32 , 24 = 43 12 , 2 4 = 4162 = 24

Restar 3 de 15. Dividir entre 2. Multiplicar el cociente por 4.

✺

Como se vio en el ejemplo 10, en ocasiones se emplean corchetes en lugar de paréntesis para ayudar a evitar que haya confusión. Si sólo se emplearan paréntesis, la expresión precedente aparecería como 41115 - 32 , 22.

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4

Evaluar expresiones que contengan variables Ahora se evaluarán algunas expresiones para valores dados de las variables.

EJEMPLO 11 Evalúe 5x 4, para x 3. Solución En la expresión se sustituye 3 en lugar de x. 5x - 4 = 5132 - 4 = 15 - 4 = 11

✺

EJEMPLO 12 Evalúe a) x2 y b) -x2 para x = 3. Solución Se sustituye 3 en lugar de x. a) x2 = 32 = 3132 = 9

b) -x2 = - 32 = - 132132 = - 9

✺

EJEMPLO 13 Evalúe a) y2 y b) -y2 para y = - 4. Solución Se sustituye 4 en lugar de y.

a) y2 = 1-422 = 1- 421 - 42 = 16

b) -y2 = - 1-422 = - 1- 421 - 42 = - 16

✺

Observe que x2 siempre será un número negativo para cualquier valor de x distinto de cero, y que (x)2 siempre será positivo para cualquier valor de x diferente de cero. ¿Es capaz de explicar por qué? CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

La expresión x2 significa (x2). Cuando se pide evaluar x2 para cualquier número real como valor de x, muchos estudiantes intentan calcular x2 como (x)2. Por ejemplo, para evaluar x2 cuando x 5, CORRECTO INCORRECTO - 52 = - 1522 = - 152152 = - 25

-52 = 1-521 - 52 = 25

EJEMPLO 14 Evalúe 14x + 12 + 2x2 cuando x = . 1 4

Solución Se sustituye 14 en lugar de cada x que haya en la expresión; después se evalúa en el orden de las operaciones. 1 2 1 14x + 12 + 2x2 = c4a b + 1 d + 2a b 4 4 1 2 = 31 + 14 + 2a b 4 1 = 2 + 2a b 16 1 = 2 + 8 1 = 2 8

Sustituir. Multiplicar. Sumar, exponente. Multiplicar.

✺

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EJEMPLO 15 Evaluar -y2 + 31x + 22 - 5 cuando x = - 3 y y = - 2. Solución Se sustituye 3 en lugar de cada x y 2 en cada y; después se evalúa en el orden de las operaciones.

-y2 + 31x + 22 - 5 = - 1-222 + 31- 3 + 22 - 5 Sustituir. = - 1- 222 + 31- 12 - 5

= - 142 + 31- 12 - 5

Paréntesis. Exponente.

= -4 - 3 - 5

Multiplicar.

= -7 - 5 = - 12

Sustraer, de izquierda a derecha.

✺

Solución de problemas Escriba los siguientes enunciados como expresiones matemáticas con el empleo de paréntesis y corchetes, y después evalúelas. 1. Multiplicar 6 por 3. De dicho producto sustraer 4. De la diferencia, restar 2. 2. Sumar 4 más 9. Dividir esta suma entre 2. Sumar 10 al cociente. 3. Dividir 18 entre 3. Sumar 9 a dicho cociente. Restar 8 de la suma. Multiplicar la diferencia por 9. 4. Multiplicar 6 por 3. A este producto sumar 27. Dividir esta suma entre 8. Multiplicar el cociente por 10. 3

4

2

5. Sumar 5 más 7. Multiplicar esta suma por 3 . 3

4

7

6. Multiplicar 8 por 5 . Sumar 120 a este producto. De la suma, 1 restar 60 . 7. ¿Para qué valor o valores de x se cumple que (x2) x2? 8. ¿Para qué valor o valores de x se satisface que x x2? 9. Impuesto sobre las ventas Si el impuesto sobre la venta de un artículo es de 7%, el que corresponde a uno que cuesta d dólares se encuentra con la expresión 0.07d. Determine el impuesto sobre la venta de un disco compacto que cuesta $15.99.

10. Viaje por carretera Si un carro viaja a 60 millas por hora, la distancia que recorre en t horas es igual a 60t. Determine qué tan lejos viaja un auto que se mueve durante 2.5 horas a 60 millas por hora.

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Actividades de cierre Es momento de reflexionar acerca de lo que hemos hecho.

Pensando en el problema 1: 1. ¿Es fácil transformar el lenguaje común al lenguaje matemático? ¿Por qué? 2. ¿Pudiste interpretar diversos tipos de textos (continuos y discontinuos)? Justifica tu respuesta. 3. ¿Existen diversas formas de representación de los números reales? Justifica. 4. ¿Cómo fue tu desempeño en el trabajo individual? 5. ¿Dónde se te presentó la mayor dificultad? 6. Describe brevemente el procedimiento que seguiste para encontrar la solución de los problemas. A continuación te presentamos una escala estimativa, para que te autoevalúes; pero también es posible que la intercambies con alguno de tus compañeros para que él te evalúe a ti y tú lo evalúes a él, a este proceso es posible llamarlo coevaluación. Toma en cuenta que el 1 es el mínimo grado de acuerdo con la frase planteada y el 5 es el máximo grado de acuerdo. Afirmaciones

1

2

3

4

1. He logrado convertir las cantidades planteadas en el lenguaje común a las formas fraccional, decimal y porcentual. 2. Siento que puedo utilizar la calculadora exitosamente, pero la utilizo como herramienta para explorar mis resultados. 3. He realizado con facilidad transformaciones de números, por ejemplo: de decimal a fraccionarios, de decimal a mixto, de fraccionario a porcentual. 4. Identifico y puedo explicar qué significa un número como por ejemplo: 3.1414141414. 5. He podido resolver algunos problemas donde se ha puesto de manifesto el trabajo con los números. 6. Puedo observar y determinar la posición de números fraccionarios, decimales y porcentuales en la recta numérica. 7. He aportado puntos de vista y he podido escuchar con atención los de otros compañeros. Es momento de reflexionar acerca de lo que hemos hecho

Acerca del problema 2: 1. ¿Encontraste fácilmente el modelo matemático que representa la situación planteada? 2. ¿La situación planteada es un texto continuo o discontinuo? Justifica tu respuesta. 3. ¿Fácilmente reconociste la presencia de variables algebraicas en el planteamiento del problema? ¿Por qué? 4. ¿Qué ventajas tiene el trabajo individual?

5

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A continuación te presentamos, igualmente, una escala estimativa, para que te autoevalúes. Ahora, es posible que consideres la posibilidad de realizar coevaluación con un compañero diferente al que trabajaste en el problema 1.

Afirmaciones 1. He logrado plantear fácilmente el modelo matemático de la situación planteada. 2. Aunque he empleado la calculadora, solo la he utilizado para explorar mis resultados. 3. Me ha sido posible plantear un modelo matemático resultante del problema planteado anteriormente. 4. Logro transferir de un modelo matemático una representación de la realidad, expresable en lenguaje común. 5. He podido resolver algunos problemas donde se ha puesto de manifiesto la construcción de modelos algebraicos. 6. He aportado puntos de vista y he podido escuchar con atención los de otros compañeros.

1

2

3

4

5

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BLOQUE II

Utiliza magnitudes y números reales • Identifica formas distintas de representación y operaciones con números reales. • Identifica los elementos de los subconjuntos de números reales. • Ubica en la recta numérica: números reales y sus simétricos, su valor absoluto y relaciones de orden. • Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas. • Identifica formas distintas de comparación y relación entre números reales, tales como: razones, tasas, proporciones y variaciones. • Comprende el significado de razón, tasa y proporción. • Interpreta la propiedad fundamental de las proporciones. • Reconoce variaciones directas e inversas, así como modelos de variación proporcional directa e inversa.

A

lguna vez se ha preguntado: “¿cuándo voy a usar las matemáticas?”. En este bloque veremos muchas áreas en las que se puede utilizar el álgebra para analizar y resolver situaciones de la vida diaria. Estas situaciones van desde el uso de remedios de medicina alternativa hasta el cálculo del aumento de las emisiones de dióxido de carbono. Gracias a éstos y otros ejemplos, descubriremos que las matemáticas pueden usarse en prácticamente todas las áreas de nuestras vidas.

35

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BLOQUE II • Utiliza magnitudes y números reales • 37

Bloque II Utiliza magnitudes y números reales Unidades de competencia • Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables; empleando las literales para la representación, la resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar que le ayuden a explicar y describir la realidad. • Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

Atributos de competencias genéricas 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera a otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

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Actividades de inicio Problema 1 En el ingenio azucarero de El Dorado en Sinaloa, se evalúa la eficiencia de la producción y se contrasta con los gastos operativos del mismo para identificar la pertinencia de su operatividad y se llega a la conclusión de que es necesario producir 40 toneladas diarias; siendo la duración de la zafra de 2 meses y medio (75 días), la producción promedio por zafra es de 3 000 toneladas. Observa la siguiente gráfica.

Producción en toneladas en el ingenio de El dorado 4000

3500

3400

3500

Toneladas

3000

2900

3600

3480

3675

3625

3700

3200

2700

2500

2500 2000 1500 1000 500 0 A 1999 A 2000 A 2001 A 2002 A 2003 A 2004 A 2005 A 2006 A 2007 A 2008 A 2009 Año

Si se estima que la producción requerida para una buena operación del ingenio es de 3 000 toneladas, representa todas las zafras en la siguiente recta numérica.

2500

2600

2700

2800

2900

3000

3100

3200

3300

3400

1. ¿Cuáles están a la izquierda de las 3 000 ton y cuáles a la derecha? 2. ¿Qué significa esto? 3. ¿Cuál es la producción promedio en estas 11 zafras y el promedio en las ultimas 5 zafras? 4. ¿Qué porcentaje del total se produjo en la zafra de 1999 y cuál en la zafra de 2005? 5. ¿Qué significa lo anterior? 2700 6. ¿Cuál es el porcentaje de =? 3000 7. ¿Qué porcentaje de 3 000 es 2 900 y 3 000 de 3 200?

3500

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8. Si una tonelada de azúcar cuesta en el 2005 la cantidad de $8 500.00 y hay una deflación del 11%. ¿Cuál es el nuevo valor de la tonelada de azúcar? Y en el 2008 la tonelada de azúcar cuesta $11 000.00 y hay una inflación del 4.5%. ¿Cuál es el nuevo valor de la tonelada de azúcar en el 2008?

Responde los siguientes cuestionamientos 1. ¿Cuál crees que fue el propósito de presentarte la producción mediante un gráfico?

2. ¿En la recta numérica, cómo interpretas las producciones por debajo de la media (3 000 ton) y aquellas que se encuentran por encima de ésta?

3. ¿Podrías identificar cuáles competencias hemos contribuido a desarrollar mediante las actividades realizadas?

4. ¿Consideras importante encontrar y resolver modelos matemáticos a partir de situaciones de la vida cotidiana? ¿Por qué? Clarifica el concepto modelo matemático.

Es momento de reflexionar acerca de lo que hemos hecho con el problema 1. 1. ¿Te fue fácil interpretar el gráfico? ¿Por qué?

2. ¿Crees importante saber interpretar gráficos? Justifica tu respuesta.

3. ¿Crees necesario saber interpretar bien los porcentajes? ¿Por qué?

4. ¿En qué aplicarías el porcentaje? Describe una situación cotidiana donde se ponga de manifiesto la importancia de este concepto matemático.

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5. Describe brevemente el procedimiento que empleaste para encontrar la solución del problema.

Problema 2 En la ciudad de Culiacán, tres familias decidieron salir a pasar el fin de semana al puerto de Mazatlán. El tiempo para realizar el trayecto se especifica como a continuación se describe: 1. Familia Salsipuedes

2 horas

2. Familia Calzada

1.8 horas

3. Familia Puentes

2.3 horas

Recuerda que la distancia de Culiacán a Mazatlán es de 198 km por la carretera de cuota. Al reunirse las tres familias y entablar una conversación se generan los siguientes cuestionamientos. 1. ¿Cómo se escribe la razón de distancia y tiempo que la familia Calzada generó? ¿Qué nombre recibe esta razón en Física? 2. ¿Cuál es el valor de tasa que existe entre distancia y tiempo de la familia Puentes? 3. Si comparas la razón entre la distancia y tiempo de las familias Calzada y Puentes. ¿Cuánto debe valer la distancia para que la magnitud de ambas tasas sea la misma? 4. Las razones de distancia y tiempo de las tres familias expresadas en porcentajes son:

Responde los siguientes cuestionamientos • ¿Te fue fácil escribir la razón de distancia y tiempo?

• ¿Cómo encontraste el valor de tasa?

• ¿Qué relación debe existir entre la distancia y el tiempo para que el valor de las tasas sea el mismo?

• ¿Para qué sirve conocer las razones de distancia y tiempo para realizar un viaje?

• ¿Podrías identificar cuáles competencias contribuyeron a desarrollar las actividades realizadas?

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Actividades extra clase 1. La compañía de limpieza de interiores de autos El Coculeño ubicada en El Dorado, Sinaloa tuvo una pérdida de $4 000 durante los primeros 6 meses del año y una utilidad de $29 500 durante los siguientes 6 meses. Encuentra la utilidad o pérdida neta del año.

2. En la tienda de autoservicio Elsy ubicada en el fraccionamiento Villa del Río en Culiacán, Sinaloa, hay una barata y todo se ofrece con el 15% de descuento. La señora Lupita compró mandado por la cantidad de $500; Lucy compró $750 y el señor Arnulfo $1 200. Si sumamos las compras de los tres clientes y le aplicamos el descuento, ¿a cuánto equivale el descuento?

3. La cantidad de droga (d), dada a una persona es directamente proporcional con el peso de la persona, w. Si una persona pesa 88 kg y se le suministra 15 mg de morfina, determina cuántos miligramos de morfina se le debe aplicar a una persona que pesa 96 kilogramos. Morfina f. Alcaloide sólido, muy amargo y venenoso que se cristaliza en prismas rectos e incoloros. Se extrae del opio y sus sales en dosis pequeñas, se emplean como medicamento soporífero y anestésico.

Es momento de reflexionar acerca de lo que hemos realizado con respecto al problema 2. • ¿Te es fácil trabajar con las razones? ¿Por qué?

• ¿Qué utilidad le encuentras en la vida cotidiana? Explica tu respuesta.

• ¿En la vida cotidiana, le encuentras utilidad al valor de la tasa? ¿Dónde? Justifica tu respuesta.

• ¿Dónde se te presentó la mayor dificultad?

• Describe brevemente el procedimiento que seguiste para encontrar la solución del problema. Al comparar este procedimiento con los anteriores, ¿encuentras algo diferente?

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2.1 EL SISTEMA DE NÚMEROS REALES 1

1

Conocer la estructura de los números reales.

Conocer la estructura de los números reales Observe que es posible ilustrar diversos tipos de números sobre la recta numérica. Cualquier número susceptible de representarse en la recta numérica es un número real. Números reales: {todos los números que pueden representarse en una recta numérica} El símbolo se utiliza para representar el conjunto de números reales. Todos los números mencionados hasta ahora son números reales. Los números naturales, enteros no negativos, enteros, racionales e irracionales, son todos números reales. Existen ciertos tipos de números que no son reales, pero van más allá del alcance de este bloque. La figura 2.1 ilustra las relaciones entre los distintos conjuntos de números dentro del conjunto de números reales. En la figura 2.1b se observa que al combinar los números racionales con los irracionales, obtenemos los números reales. Al combinar los enteros con los racionales no enteros (como 12 y 0.42), obtenemos los números racionales. Al reunir los enteros no negativos y los enteros negativos, obtenemos el conjunto de enteros. Considere el número natural 5. Si seguimos las ramas de la figura 2.1a hacia arriba, vemos que el número 5 también es un entero no negativo, entero, racional y real. Ahora consideremos el número 21 .. Pertenece a los números racionales no enteros. Si seguimos las ramas hacia arriba, podremos ver que 12 también es un número racional y real.

Números reales Números reales Números racionales

Enteros

Números irracionales

Números racionales no enteros

(Ciertas* (Enteros y números racionales raíces cuadradas) no enteros) 12 4 ≈

Enteros negativos

Enteros no negativos

0

Números naturales (a)

FIGURA 2.1

Números irracionales

Números racionales

1E

0

a 1.24

2

5

p

12

2.463

*Otras raíces de orden superior, como 3 4 2 y 5 también son números irracionales. (b)

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EJEMPLO 1 Considere el siguiente conjunto de números: 1 4 e - 2, -0.8, 4 , -59, 13, 0, 9, - , -2.9, 17, - 15 f 2 7 Enliste los elementos del conjunto que son a) números naturales. b) enteros no negativos. d) números racionales. e) números irracionales.

c) enteros. f) números reales.

Solución Se enlistarán los elementos de izquierda a derecha según aparezcan en el conjunto. Sin embargo, pueden enlistarse en cualquier orden. a) 9

1 4 d) -2, -0.8, 4 , -59, 0, 9, - , -2.9 2 7 1 4 f) -2, -0.8, 4 , -59, 13, 0, 9, - , -2.9, 17, - 15 2 7

c) - 2, -59, 0, 9

b) 0, 9

e) 13, 17, - 15

✺

Solución de problemas Dé tres ejemplos de números que satisfagan las condiciones que se dan. 1. 2. 3. 4.

5. Uno racional pero no entero. 6. Uno entero y además racional. 7. Un entero negativo que sea racional.

Un entero, pero que no sea negativo. Un número real, pero no entero. Un irracional y positivo. Un real e irracional.

Los tres puntos dentro de un conjunto indican que éste continúa de la misma forma. Por ejemplo 51, 2, 3, Á , 846 es el conjunto de números naturales que va de 1 a 9, inclusive. En los ejercicios 8 y 9, determine el número de elementos en cada conjunto. 8. 58, 9, 10, 11, Á , 946 87

9. 5- 4, -3, -2, -1, 0, 1, Á , 646

2.2 DESIGUALDADES 1 2

1

Determinar cuál es el mayor de dos números. Encontrar el valor absoluto de un número.

Determinar cuál es el mayor de dos números Para explicar las desigualdades se utilizará la recta numérica, que muestra números que crecen de izquierda a derecha (vea la figura 2.2). Al comparar dos números, el número a la derecha de la recta numérica es el mayor, y el que está a la izquierda es el menor. El símbolo se emplea para representar las palabras “es mayor que”. El símbolo se utiliza para representar las palabras “es menor que”. Menor 5

FIGURA 2.2

Mayor 4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

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La afirmación de que el número 3 es mayor que el 2 se escribe 3 2. Observe que en la recta numérica, 3 está a la derecha del 2. La proposición de que 0 es mayor que 1 se escribe 0 1. Observe que el 0 está a la derecha del 1 en la recta numérica. En vez de afirmar que 3 es mayor que 2, podríamos decir que 2 es menor que 3, lo que escribimos como 2 3. Observe que en la recta numérica el 2 está a la izquierda del 3. La afirmación de que el 1 es menor que el 0 se escribe como 1 0. Observe que el 1 está a la izquierda del 0 en la recta numérica.

EJEMPLO 1 Inserte cualquiera de los símbolos o en el área sombreada entre los pares de números, para hacer la proposición verdadera. 3 1 1 . a) -4 . -2 b) - . 2.5 c) 2 2 4

d) - 2 . 4

Solución Los puntos dados se muestran en la recta numérica (vea la figura 2.3). w 5

4

3

2

~ q 1

0

2.5 1

2

3

4

5

FIGURA 2.3

a) 4 2; observe que el 4 queda a la izquierda del 2. 3 3 6 2.5; observe que - está a la izquierda del 2.5. 2 2 1 1 1 1 c) 7 ; observe que está a la derecha de . 2 4 2 4 d) 2 4; observe que 2 está a la izquierda de 4. b) -

✺

EJEMPLO 2 Inserte cualquiera de los símbolos o en el área sombreada entre cada par de números, de modo que la proposición sea verdadera. a) -1 . -2 b) -1 . 0 c) -2 . 2 d) -4.09 . -4.9

Solución En la recta numérica se aprecian los números dados (vea la figura 2.4). 4.9 5

4.09 4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

FIGURA 2.4

a) 1 2; observe que 1 está a la derecha de 2. b) 1 0; observe que el 1 se localiza a la izquierda del 0. c) 2 2; observe que el 2 se encuentra a la izquierda del 2. d) 4.09 4.9; observe que 4.09 queda a la derecha de 4.9.

2

✺

Encontrar el valor absoluto de un número El concepto de valor absoluto se explicará con ayuda de la recta numérica que se aprecia en la figura 2.5. El valor absoluto de un número se considera como la

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distancia que hay entre el número en cuestión y el 0, sobre la recta numérica. Así, el valor absoluto de 3, que se escribe como ƒ 3 ƒ, es 3, ya que se localiza a 3 unidades de distancia sobre la recta numérica. De modo similar, el valor absoluto de 3, que se denota con ƒ3 ƒ , también es 3, puesto que está a 3 unidades del 0.

ƒ 3 ƒ = 3 y ƒ -3 ƒ = 3 3 unidades 5

4

3

2

1

3 unidades 0

1

2

3

4

5

FIGURA 2.5

Como el valor absoluto de un número mide la distancia (sin importar la dirección) que hay del número al 0, sobre la recta numérica, el valor absoluto de cualquier número será positivo o cero. Número

Valor absoluto del número

6 ƒ6ƒ = 6 -6 ƒ -6 ƒ = 6 0 ƒ0ƒ = 0 1 1 1 `- ` = 2 2 2 El negativo del valor absoluto de un número distinto de cero siempre será un número negativo. Por ejemplo, - ƒ 2 ƒ = - 122 = - 2 y

- ƒ -3 ƒ = - 132 = - 3

EJEMPLO 3 Inserte cualquiera de los símbolos , o , en cada área sombreada, de manera que el enunciado sea verdadero. a) ƒ 3 ƒ . 3

b) ƒ -2 ƒ . ƒ 2 ƒ

c) -2 . ƒ -4 ƒ

d) ƒ -5 ƒ . 0

e) ` -

4 ` . ƒ -18 ƒ 9

Solución a) ƒ 3 ƒ = 3. b) ƒ -2 ƒ = ƒ 2 ƒ , ya que tanto ƒ -2 ƒ como ƒ 2 ƒ es igual a 2. c) -2 6 ƒ -4 ƒ , puesto que ƒ -4 ƒ = 4. d) ƒ -5 ƒ 7 0, puesto que ƒ -5 ƒ = 5. e) ` -

4 4 4 ` 6 ƒ -18 ƒ , ya que ` - ` = y ƒ -18 ƒ = 18. 9 9 9

✺

En las secciones 2.4 y 2.5 se usará el valor absoluto para sumar y restar números reales. El concepto de valor absoluto es muy importante en cursos de matemáticas de nivel superior. Si usted sigue un curso de álgebra intermedia, aprenderá una definición más formal del valor absoluto.

Solución de problemas 1. ¿Cuáles números están a 4 unidades del 0, sobre la recta numérica?

2. ¿Sobre la recta numérica, qué números están a 5 unidades del 0?

En los ejercicios 3 a 8, dé tres números reales que satisfagan todos los criterios que se enuncian. Si ningún número real los satisface, dígalo y explique por qué. 3. Mayor que 4 y menor que 6 4. Menor que 2

5. Mayor que 3 y mayor que 3 6. Menor que 3 y menor que 3

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7. Mayor que ƒ2 ƒ y menor que ƒ6 ƒ

c) El número 4, ¿está entre 4 y 6? Explique.

8. Mayor que ƒ3 ƒ y menor que ƒ 3 ƒble

d) El número 5, ¿está entre 4 y 6? Explique.

9. a) Considere la palabra entre. ¿Qué significa dicho término?

e) ¿Es verdadero o falso que los números reales entre 4 y 6 son los reales que son tanto mayores que 4 y menores que 6? Explique.

b) Enliste tres números reales entre 4 y 6.

2.3 PROPIEDADES DEL SISTEMA DE NÚMEROS REALES 1 2 3 4 5

Aprender Aprender Aprender Aprender Aprender

la propiedad conmutativa. la propiedad asociativa. la propiedad distributiva. las propiedades de identidad. las propiedades del inverso.

En este punto se introducen varias propiedades del sistema de números reales. Las cuales se utilizarán en todo el libro.

1

Aprender la propiedad conmutativa La propiedad conmutativa de la suma establece que no importa el orden en que se sumen dos números reales cualesquiera. Propiedad conmutativa de la suma Si a y b representan dos números reales cualesquiera, entonces a + b = b + a

Observe que la propiedad conmutativa involucra un cambio en el orden. Por ejemplo, 4 + 3 = 3 + 4 7 = 7 La propiedad conmutativa de la multiplicación afirma que no importa el orden en que se multiplican dos números reales cualesquiera. Propiedad conmutativa de la multiplicación Si a y b representan dos números reales cualesquiera, entonces a#b = b#a

Por ejemplo, 6#3 = 3#6 18 = 18 La propiedad conmutativa no se cumple para la resta o la división. Por ejemplo, 4 - 6 Z 6 - 4 y 6 , 3 Z 3 , 6.

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2

Aprender la propiedad asociativa La propiedad asociativa de la suma dice que al sumar tres números o más, es posible colocar paréntesis alrededor de dos números adyacentes cualesquiera sin que el resultado cambie. Propiedad asociativa de la suma Si a, b y c representan tres números reales cualesquiera, entonces 1a + b2 + c = a + 1b + c2

Observe que la propiedad asociativa involucra un cambio en la agrupación. Por ejemplo, 13 + 42 + 5 = 3 + 14 + 52 7 + 5 = 3 + 9 12 = 12 En este ejemplo, se agrupa al 3 y 4 en la izquierda, y al 4 y 5 en la derecha. La propiedad asociativa de la multiplicación establece que al multiplicar tres o más números, se puede colocar paréntesis alrededor de dos números adyacentes cualesquiera sin que el resultado se modifique. Propiedad asociativa de la multiplicación Si a, b y c representan tres números reales cualesquiera, entonces 1a # b2 # c = a # 1b # c2

Por ejemplo,

16 # 22 # 4 = 6 # 12 # 42 12 # 4 = 6 # 8 48 = 48

Como la propiedad asociativa involucra un cambio en la agrupación, cuando se emplea la propiedad asociativa el contenido dentro del paréntesis cambia. La propiedad asociativa no se cumple para la resta o la división. Por ejemplo, 14 - 12 - 3 Z 4 - 11 - 32 y 18 , 42 , 2 Z 8 , 14 , 22. Es frecuente que al sumar números se agrupen algunos de modo que se sumen con facilidad. Por ejemplo, cuando se suma 70 50 30, quizá se sume primero 70 30 para obtener 100. Es posible hacer esto gracias a las propiedades conmutativa y asociativa. Observe que 170 + 502 + 30 = 70 + 150 + 302 = 70 + 130 + 502

= 170 + 302 + 50 = 100 + 50

Propiedad asociativa de la suma. Propiedad conmutativa de la suma. Propiedad asociativa de la suma. Resultados de la suma.

= 150 Observe en el segundo paso que los mismos números quedan entre paréntesis, pero el orden de los números cambia, de 50 30 a 30 50. Como este paso involucra un cambio en el orden (y no en la agrupación), se trata de la propiedad conmutativa de la suma.

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3

Aprender la propiedad distributiva Una propiedad muy importante de los números reales es la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma. Es frecuente que se abrevie el nombre a propiedad distributiva. Propiedad distributiva Si a, b y c representan tres números reales cualesquiera, entonces a1b + c2 = ab + ac

Por ejemplo, si se hace que a 2, b 3 y c 4, entonces, 213 + 42 = 12 # 32 + 12 # 42 2#7 = 6 + 8 14 = 14 Por lo tanto, es posible primero sumar y luego multiplicar, o primero multiplicar y después sumar. Otro ejemplo de la propiedad distributiva es el siguiente. 21x + 32 = 2 # x + 2 # 3 = 2x + 6 La propiedad distributiva se expande de la siguiente forma: a 1b + c + d + p + n2 = a b + a c + a d + p + a n Por ejemplo, 31x + y + 52 = 3x + 3y + 15.

SUGERENCIA

La propiedad conmutativa cambia el orden. La propiedad asociativa cambia el agrupamiento. La propiedad distributiva involucra dos operaciones, por lo general la multiplicación y la suma.

EJEMPLO 1 Diga cuál propiedad es la que se ilustra. a) 4 + 1-22 = - 2 + 4 c) x # y = y # x

b) 51r + s2 = 5 # r + 5 # s = 5r + 5s d) 1-12 + 32 + 4 = - 12 + 13 + 42

Solución a) Propiedad conmutativa de la suma b) Propiedad distributiva c) Propiedad conmutativa de la multiplicación d) Propiedad asociativa de la suma

SUGERENCIA

✺

No hay que confundir la propiedad distributiva con la asociativa de la multiplicación. Asegúrese de comprender la diferencia. Propiedad distributiva 314 + x2 = 3 # 4 + 3 # x = 12 + 3x

Propiedad asociativa de la multiplicación 314 # x2 = 13 # 42x = 12x

Para utilizar la propiedad distributiva, dentro de los paréntesis, debe haber dos términos separados por un signo más () o un signo menos (), como en 314 + x2.

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4

Aprender las propiedades de identidad Ahora estudiaremos las propiedades de identidad. Cuando se suma el número 0 a cualquier número real, éste no cambia. Por ejemplo, 5 0 5, y 0 5 5. Por esta razón, el 0 se llama elemento de identidad de la suma. Cuando cualquier número real se multiplica por 1 no sufre ningún cambio. Por ejemplo 7 1 7, y 1 7 7. Por esta razón, el 1 recibe el nombre de elemento de identidad de la multiplicación. La propiedad de identidad para la suma establece que cuando se suma 0 a cualquier número real, el resultado es el mismo número real. La propiedad de identidad para la multiplicación dice que cuando se multiplica cualquier número real por 1, el resultado es el mismo número real. A continuación se resumen estas propiedades.

Propiedades de identidad Si a representa cualquier número real, entonces a + 0 = a y

0 + a = a

Propiedad de identidad de la suma.

y a#1 = a y

1#a = a

Propiedad de identidad de la multiplicación.

Es frecuente emplear las propiedades de identidad sin darse cuenta de que se está haciendo. Por ejemplo, al reducir 15 50 , se hace lo siguiente: 15 3#5 3 #5 3 # 3 = = = 1 = 50 10 # 5 10 5 10 10 Cuando se hace 103 # 1 =

5

3 10 ,

se utiliza la propiedad de identidad de la multiplicación.

Aprender las propiedades del inverso Las últimas propiedades que se estudiarán en este bloque son las propiedades del inverso. Números como 3 y 3 son opuestos o inversos aditivos porque 3 (3) 0 y 3 3 0. Dos números cualesquiera cuya suma sea igual a 0 reciben el nombre de inversos aditivos uno del otro. En general, para cualquier número real a, su inverso aditivo es a. También se tienen inversos multiplicativos. Dos números cualesquiera cuyo producto sea 1 se denominan inversos multiplicativos uno del otro. Por ejemplo, debido a que 4 # 14 = 1 y 14 # 4 = 1, los números 4 y 14 son inversos multiplicativos (o recíprocos) uno del otro. En general, para cualquier número real a, su inverso multiplicativo es a1 . A continuación se resumen las propiedades del inverso. Propiedades del inverso Si a representa cualquier número real, entonces y

a + 1-a2 = 0 y a#

1 = 1 a

y

-a + a = 0

Propiedad inversa de la suma.

1# a = 1 1a Z 02 a

Propiedad inversa de la multiplicación.

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Es frecuente que se empleen las propiedades del inverso sin percibir que se está haciendo. Por ejemplo, para evaluar la expresión 6x 2, si x = 16 se hace lo siguiente: 1 6x + 2 = 6 a b + 2 = 1 + 2 = 3 6 Cuando se multiplica 6 A 16 B y se reemplaza con 1, se utilizó la propiedad inversa de la multiplicación. En todo el libro se usará tanto la propiedad del idéntico como del inverso, aunque no se haga referencia explícita a ellas por su nombre.

EJEMPLO 2 Mencione cada propiedad que se ilustra.

a) 21x + 62 = 12 # x2 + 12 # 62 = 2x + 12 c) 13 # 62 # 5 = 3 # 16 # 52 e) 2a + 1 -2a2 = 0

b) 3x # 1 = 3x 1 d) y # = 1 y f) 3y + 0 = 3y

Solución a) Propiedad distributiva b) Propiedad de identidad de la multiplicación c) Propiedad asociativa de la multiplicación d) Propiedad inversa de la multiplicación e) Propiedad inversa de la suma f) Propiedad de identidad de la suma

✺

Solución de problemas Indique si los procesos que se dan son conmutativos. Es decir, ¿si se cambia el orden en que se hacen las acciones se modifica el resultado final? Explique cada respuesta. 1. Poner azúcar y después crema en el café; poner crema y después azúcar en el café.

3. Aplicar loción de protección solar y después asolearse; asolearse y después aplicar loción de protección solar.

2. Cepillar los dientes y luego lavar la cara; lavar la cara y luego cepillar los dientes.

En los ejercicios 4 a 6, indique si los procesos dados son asociativos. Para que un proceso sea asociativo, el resultado final debe ser el mismo cuando las dos acciones primeras se ejecutan en primer lugar o cuando las dos últimas se llevan a cabo primero. Explique cada respuesta. 4. Cepillar los dientes, lavar la cara y peinar el pelo. 5. En una tienda, comprar cereal, jabón y comida para el perro. 6. Ponerse una camiseta, una corbata y un suéter.

7. La propiedad conmutativa de la suma es a + b = b + a. Explique por qué 13 + 42 + x = x + 13 + 42 también muestra la propiedad conmutativa de la suma.

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2.4 SUMA DE NÚMEROS REALES 1 2 3 4

Sumar números reales mediante la recta numérica. Sumar fracciones. Identificar los opuestos. Sumar utilizando el valor absoluto.

Existen muchos usos prácticos para los números negativos. Un submarino que desciende bajo el nivel del mar, una cuenta bancaria sobregirada, un negocio que gasta más de lo que gana, y una temperatura bajo cero son algunos ejemplos. Las cuatro operaciones básicas de la aritmética son suma, resta, multiplicación y división. En las siguientes secciones explicaremos cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números. Consideraremos tanto números positivos como negativos. En esta sección estudiaremos la suma.

1

Sumar números reales mediante la recta numérica Para sumar números haremos uso de una recta numérica. Representaremos el primer número que se va a sumar (el primer sumando) con una flecha que comience en 0. Se dibuja la flecha hacia la derecha si el número es positivo; y hacia la izquierda si es negativo. Desde la punta de la primera flecha se dibuja una segunda para representar al segundo sumando. Se dibuja esta segunda flecha hacia la derecha o izquierda, según se explicó. La suma de los dos números se encuentra en la punta de la segunda flecha. Observe que con excepción del 0, cualquier número sin un signo frente a sí es positivo. Por ejemplo, 3 significa 3 y 5 significa 5.

EJEMPLO 1 Evalúe 3 (4), con una recta numérica. Solución Siempre se comienza en el 0. Como el primer sumando, 3, es positivo, la primera flecha comienza en el 0 y se prolonga 3 unidades a la derecha (vea la figura 2.6). 4

3

3 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6 5 4 3 2 1

6

FIGURA 2.6

0

1

2

3

4

5

6

FIGURA 2.7

La segunda flecha comienza en 3 y se traza 4 unidades a la izquierda, ya que el segundo sumando es negativo (consulte la figura 2.7). El extremo de la segunda flecha está en 1. Entonces, 3 + 1-42 = - 1 ✺

EJEMPLO 2 Evalúe 4 2, por medio de una recta numérica. Solución Se comienza en 0. Como el primer sumando es negativo, 4, la primera flecha se traza 4 unidades hacia la izquierda. Desde ahí, como el 2 es positivo, la segunda flecha se dibuja 2 unidades hacia la derecha. La segunda flecha termina en 2 (vea la figura 2.8). 4 2 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

FIGURA 2.8

-4 + 2 = - 2

✺

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EJEMPLO 3 Evalúe 3 (2), por medio de una recta numérica. Solución Se comienza en 0. Como ambos números por sumar son negativos, se dibujan las dos flechas hacia la izquierda. (Vea la figura 2.9). 2

3

6 5 4 3 2 1

FIGURA 2.9

0

1

2

3

4

5

6

- 3 + 1- 22 = - 5

✺

En el ejemplo 3, podemos pensar en la expresión - 3 + 1 -22 como una combinación de perder 3 y luego perder 2 para en total perder 5, o sea - 5.

EJEMPLO 4 Evalúe 5 (5), por medio de una recta numérica. Solución La primera flecha comienza en el 0 y se traza 5 unidades hacia la derecha. La segunda flecha comienza en 5 y se traza 5 unidades hacia la izquierda. El extremo de la segunda flecha está en el 0. Entonces, 5 (5) 0 (vea la figura 2.10). 5 5 6 5 4 3 2 1

FIGURA 2.10

459 pies

2

3

4

5

6

5 + 1- 52 = 0

✺

Profundidad de un submarino Un submarino desciende 272 pies. Más tarde baja otros 187 pies. Encuentre la profundidad a la que está el submarino (suponga que se indican las profundidades bajo el nivel del mar con números negativos).

Solución

Una recta numérica vertical ayudará a visualizar este problema.

272 pies 272 pies

1

EJEMPLO 5 0 Nivel del mar

187 pies

0

- 272 + 1-1872 = - 459 pies

✺

FIGURA 2.11

2

Sumar fracciones En el bloque I estudiamos las fracciones y explicamos la manera de sumar fracciones positivas. Para sumar fracciones, en las que una o más de ellas son negativas, utilizamos el mismo procedimiento general que se estudió en dicha sección. Cuando los denominadores no sean los mismos, debe obtenerse un común denominador. Una vez que lo obtenemos, conseguimos la respuesta sumando los numeradores que ya tienen el común denominador. Por ejemplo, suponga que después de ob13 tener el común denominador tiene - 19 29 + 29 . Para obtener el numerador de la respuesta sumamos 19 13 arriba de la recta numérica para obtener 6. El denominador de la respuesta es el común denominador, 29. Así, la respuesta es - 296 . Estos cálculos se indican de la siguiente manera. -

19 6 13 -19 + 13 -6 + = = = 29 29 29 29 29

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Se ilustrará con otro ejemplo. Suponga que después de obtener un común denominador tenemos - 407 + A - 405 B . Para obtener el numerador de la respuesta sumamos 7 (5) sobre la recta numérica, para obtener 12. El denominador de la respuesta es 40. Por lo tanto, la respuesta antes de simplificar es - 12 40 . La respuesta final ya simplificada sería - 103 . A continuación se muestran estos cálculos: 5

- 7 + 1-52 7 5 -12 3 + a- b = = = 40 40 40 40 10

4

EJEMPLO 6 Sumar - + . 12 5 Solución En primer lugar, determinamos el mínimo común denominador, que resulta ser 60. Al cambiar cada fracción a otra con dicho denominador, obtenemos 5 # 5 4 12 + # 12 5 5 12 48 25 + o bien 60 60 -

Ahora, las fracciones por sumar tienen un común denominador. Para sumarlas, se conserva éste y se suman los numeradores, para obtener, 5 4 25 48 -25 + 48 + = + = 12 5 60 60 60 48 25 25

0

FIGURA 2.12

23

Ahora, se suma 25 48 en la recta numérica y obtenemos el numerador de la fracción, 23; vea la figura 2.12. -25 + 48 23 5 4 23 = + = . Entonces, y60 60 12 5 60 ✺

EJEMPLO 7 Sumar -

7 3 + a- b. 8 40

Solución El mínimo común denominador (o mcd) es 40. Al reescribir cada fracción con el mcd se llega a lo siguiente. -

7 3 7 + a- b = 8 40 8 = -

#

5 3 + a- b 5 40

- 35 + 1-32 35 3 + a- b = 40 40 40

Ahora, sumamos 35 (3) para obtener el numerador de la fracción, 38; vea la figura 2.13. 3

38 35

35

0

FIGURA 2.13

Entonces, -

- 35 + 1-32 7 3 38 19 + a- b = = - . = 8 40 40 40 20

✺

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SUGERENCIA

3

En el ejemplo 6, de la figura 2.12, se ilustró que al comenzar en 0 y moverse 25 unidades a la izquierda, y después 48 unidades a la derecha, se termina en el número positivo 23. Así, 25 48 23. Cuando los números son grandes, no es de esperarse que en realidad marque y cuente las unidades. Por ejemplo, no es necesario contar 48 unidades a la derecha de 25 para obtener la respuesta de 23. En el objetivo 3 se mostrará cómo obtener 25 48 sin tener que dibujar rectas numéricas.Aquí se presentó la suma sobre la recta numérica para ayudarlo a determinarla sin hacer cálculos, sea que la suma de los dos números fuera un número positivo, negativo o cero.

Identificar los opuestos Ahora, consideraremos a los opuestos, o inversos aditivos.

DEFINICIÓN

Se dice que dos números cualesquiera cuya suma sea cero son opuestos (o inversos aditivos) uno del otro. En general, si se representa con a cualquier número real, entonces su opuesto es a y a (a) 0. En el ejemplo 4, la suma de 5 más 5 dio 0. Así, 5 es el opuesto de 5, y 5 es el opuesto de 5. 7

EJEMPLO 8 Encuentre los opuestos de cada número. a) 3 b) -4 c) 8 Solución a) El opuesto de 3 es 3, ya que 3 (3) 0. b) El opuesto de 4 es 4, puesto que 4 4 0. c) El opuesto de - 78 es 78 , toda vez que - 78 + 78 = 0.

4

✺

Sumar utilizando el valor absoluto Ahora que tenemos cierta práctica sumando números con signo sobre una recta numérica, daremos una regla (en dos partes) para utilizar el valor absoluto en la suma de números con signo. Recuerde que el valor absoluto de un número distinto de cero siempre es positivo. A continuación se enuncia la primera parte de la regla: Para sumar números reales con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), sume sus valores absolutos. El resultado tiene el mismo signo que los números sumados.

EJEMPLO 9 Sumar 4 + 8. Solución Como ambos números tienen el mismo signo (ambos positivos), se suman sus valores absolutos: ƒ 4 ƒ ƒ 8ƒ 4 8 12. Como los dos números que se suman son positivos, la suma es positiva. Así, 4 8 12. ✺

EJEMPLO 10 Sumar -6 + 1-92. Solución Ya que ambos números tienen el mismo signo (ambos negativos), se suman sus valores absolutos: ƒ6 ƒ ƒ9 ƒ 15. Como los números que se suman son negativos, la suma será negativa. Entonces, 6 (9) 15. ✺

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La suma de dos números positivos siempre será positiva, y la de dos números negativos siempre será negativa. Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo), se resta el valor absoluto más pequeño del valor absoluto más grande. La respuesta tiene el signo del número con valor absoluto más grande.

EJEMPLO 11 Sumar 10 + 1-62. Solución Los dos números por sumar tienen signos diferentes, por lo que se resta el valor absoluto más pequeño del más grande: ƒ 10 ƒ - ƒ -6 ƒ = 10 - 6 = 4. Como ƒ 10ƒ es mayor que ƒ6 ƒ y el signo de 10 es positivo, la suma es positiva. Entonces, 10 (6) 4. ✺

EJEMPLO 12 Sumar 12 (18). Solución Los dos números por sumar tienen signos diferentes, por lo que se resta el valor más pequeño del más grande: ƒ -18 ƒ - ƒ 12 ƒ = 18 - 12 = 6. Como ƒ18 ƒ es mayor que ƒ 12 ƒ , y el signo de 18 es negativo, la suma es negativa. Así, 12 (18) 6.

✺

EJEMPLO 13 Sumar 21 20. Solución Los dos números por sumar tienen signos diferentes, por lo que se resta el valor absoluto más pequeño del más grande: ƒ -21 ƒ - ƒ 20 ƒ = 21 - 20 = 1. Como ƒ -21 ƒ es mayor que ƒ 20 ƒ , la suma es negativa. Por tanto, 21 20 1. ✺ Ahora veremos algunos ejemplos que contienen fracciones y números decimales.

EJEMPLO 14 Sumar -

3 4 + . 5 7

Solución Cada fracción se escribe con el mínimo común denominador, 35. -

3 4 3 + = 5 7 5

7 4 5 + # 7 7 5 20 - 21 + 20 -21 + = = 35 35 35

#

Como ƒ21 ƒ es mayor que ƒ 20 ƒ , la respuesta final será negativa. En el ejemplo 13 se halló que 21 20 1. Por lo tanto, escribimos

1 20 - 21 + 20 -1 -21 + = = = 35 35 35 35 35 3 Entonces, - 5 +

4 7

= - 351 .

✺

EJEMPLO 15 Sumar -24.23 + 1-17.962. Solución Como ambos números tienen el mismo signo, negativo, sumamos sus valores absolutos: ƒ -24.23 ƒ + ƒ -17.96 ƒ = 24.23 + 17.96. 24.23 + 17.96 42.19

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Como se suman dos números negativos, el resultado es negativo. Por lo tanto, -24.23 + 1-17.962 = - 42.19. ✺ La suma de dos números con signos diferentes puede ser positiva o negativa. El signo de la suma será igual al signo del número con mayor valor absoluto.

SUGERENCIA

Los arquitectos hacen un modelo a escala de un edificio antes de iniciar su construcción. Este “modelo” los ayuda a visualizar el proyecto y con frecuencia a evitar problemas. Los matemáticos también construyen modelos. Un modelo matemático es una representación física de un concepto matemático. Puede ser tan simple como usar rayas o bolas que representen números específicos. Por ejemplo, a continuación se utiliza un modelo para explicar la suma de números reales. Esto tal vez le ayude a entender mejor los conceptos. Se decide que una bolita negra representa 1 y una gris 1. = +1

= -1

Si sumamos 1 y 1, o una bolita negra con una gris, obtenemos 0. Ahora consideremos el problema de sumar 3 (5). Esto se representa así, + ('')''* (')'* 3 -5 Si eliminamos 3 bolitas negras y 3 grises, o tres ceros, quedan 2 grises, lo que representa el resultado de 2. Así, 3 (5) 2. + Ahora, consideremos el problema de sumar 4 (2). Esto se representa con ')' '* + (' ()* -4 -2 Como se termina con 6 bolitas grises y cada una representa 1, el resultado es 6.

Por tanto, -4 + 1- 22 = - 6.

EJEMPLO 16 Ganancia o pérdida netas La compañía B.J. Donaldson Printing tuvo una pérdida de $4,000 durante los 6 primeros meses del año, y una utilidad de $29,500 durante los siguiente 6 meses. Encuentre la utilidad o pérdida neta del año.

Solución

Entender y traducir Este problema se representa como 4,000 29,500. Como los dos números por sumar tienen signos diferentes, restamos el valor absoluto más pequeño del más grande. Calcular

ƒ 29,500 ƒ - ƒ -4,000 ƒ = 29,500 - 4,000 = 25,500

Así, -4,000 + 29,500 = 25,500. Revisar y responder

fue de $25,500.

La respuesta es razonable. Por tanto, la utilidad neta del año

✺

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Solución de problemas Escriba una expresión que pueda utilizarse para resolver cada problema y después soluciónelo. 1. Tarjeta de crédito El Sr. Peter debía $94 a su tarjeta de

8. Barra de café Los French abrieron una cafetería. Su ingre-

crédito. Compró un artículo que costaba $183. Encuentre la cantidad que el Sr. Peter debe al banco. Tarjeta de débito La Sra. Chu compró artículos por $142 con su tarjeta de débito. Encuentre su saldo después de realizar un pago de $87. Fútbol Un equipo de fútbol americano perdió 18 yardas en un juego y en el siguiente otras 3. ¿Cuál fue su pérdida total de yardas? Impuesto al ingreso La Sra. Poweski pagó $1,823 en impuestos federales. Cuando fue auditada, tuvo que pagar $471 adicionales. ¿Cuál fue su impuesto total? Perforación en busca de agua Una compañía perforadora excava un pozo. Durante la primera semana perforó 27 pies, y durante la segunda avanzó 34 pies antes de encontrar agua. ¿Qué tan profundo es el pozo? Valle de la muerte Los Duncan se encuentran en un punto a 267 pies por debajo del nivel del mar, en el Valle de la Muerte, en California. Proceden a escalar una distancia vertical de 198 pies en una montaña. ¿Cuál es su posición vertical en términos del nivel del mar? Alta montaña La edición 2002 de The Guinness Book of World Records, menciona que el Mauna Kea, en Hawai, es la montaña más alta del mundo si se mide de su base a la cumbre. La base del Mauna Kea se encuentra a 19,684 pies bajo el nivel del mar. La altura total de la montaña de la base a la cumbre es de 33,480 pies. ¿A qué altitud está el pico del Mauna Kea, sobre el nivel del mar?

so y gastos durante sus primeros tres meses de operación aparecen en la siguiente gráfica. a) Encuentre la utilidad o pérdida neta (la suma del ingreso y los gastos) durante el primer mes. b) Determine la utilidad o pérdida neta durante el segundo mes. c) Calcule la utilidad o pérdida neta en el tercer mes.

6.

7.

17,980

20,000

19,420

11,250 10,000

–10,000

–20,000

–12,750

Tercer mes

5.

Ingresos

Segundo mes

4.

Primer mes

3.

Pesos

2.

–16,980

–18,560

Gastos

2.5 RESTA DE NÚMEROS REALES 1 2 3

1

Restar números. Restar números en forma mental. Evaluar expresiones que contienen más de dos números.

Restar números Cualquier problema de resta puede ser escrito de nuevo como un problema de suma mediante el inverso aditivo. Resta de números reales En general, si a y b representan dos números reales cualesquiera, entonces a - b = a + 1- b2

Esta regla afirma que para restar b de a, hay que sumar el opuesto o inverso aditivo de b a a.

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EJEMPLO 1 Evalúe 9 - 1+ 42. Solución Estamos restando un 4 positivo de 9. Para hacer esto, sumamos el opuesto de 4, que es 4, a 9.

9 - 1+ 42 = 9 + 1- 42 = 5 Resta

4 positivo

Suma

4 negativo

Evaluamos 9 (4) con los procedimientos para sumar números reales, que presentamos en la sección 2.4. ✺ Con frecuencia, en un problema de sustracción, cuando el número por restar es positivo, el signo que lo precede no se escribe. Por ejemplo, en la resta 9 4, 9 - 4 significa 9 - 1+42

Así, para evaluar 9 4, se suma el opuesto de 4, que es 4, a 9. 9 - 4 = 9 + 1-42 = 5 Resta 4 positivo Suma 4 negativo

Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 2.

EJEMPLO 2 Evalúe 5 3. Solución Debe restarse un 3 positivo de 5. Para cambiar este problema a otro de suma, se suma el opuesto de 3, que es 3, a 5. Problema de resta

Problema de suma

5 - 3 = 5 + 1-32 = 2

Resta 3 positivo Suma 3 negativo

✺

EJEMPLO 3 Evalúe a) 4 - 9

b) -4 - 2

Solución a) Sumar el opuesto de 9, que es 9, a 4.

4 - 9 = 4 + 1-92 = - 5 b) Sumar el opuesto de 2, que es 2, a 4.

-4 - 2 = - 4 + 1- 22 = - 6

✺

EJEMPLO 4 Evalúe 4 - 1- 22. Solución Se pide restar de 4 un 2 negativo. Para hacer esto, se suma el opuesto de 2, que es 2, a 4. 4 - 1- 22 = 4 + 2 = 6 Restar

2 negativo Sumar 2 positivo

✺

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SUGERENCIA

Al examinar el ejemplo 4 se observa que 4 - 1- 22 = 4 + 2 Dos signos Más negativos juntos

Siempre que restamos un número negativo, se remplazan los dos signos negativos por uno positivo.

EJEMPLO 5 Evalúe

a) 7 - 1-52

b) - 15 - 1-122

Solución a) Como se está restando de 7 un número negativo, sumando el opuesto de 5, que es 5, quedan dos signos negativos juntos que se sustituyen por uno positivo. 7 - 1-52 = 7 + 5 = 12

b) -15 - 1-122 = - 15 + 12 = - 3

SUGERENCIA

✺

Ahora se indicará cómo se ilustra la resta por medio de bolitas. Recuerde que en la sección anterior una bolita negra representaba 1 y una gris 1. = +1

= -1

Consideremos el problema de restar 2 5. Si cambiamos éste a un problema de suma, queda 2 (5). Entonces, podemos sumar como se hizo en la sección anterior. La siguiente figura muestra que 2 (5) 3. + Ahora consideremos 2 5. Esto significa 2 (5), que se puede representar como sigue: + Así, - 2 - 5 = - 7. Ahora considere el problema de hacer 3 (5). Esto se reescribe como 3 5, que se representa de la siguiente manera: +

Así, -3 - 1 -52 = 2. Algunos estudiantes tienen problemas para comprender por qué cuando se resta un número negativo se obtiene uno positivo. Se estudiará el problema 3 (2). En esta ocasión lo analizaremos desde un punto de vista un poco diferente. Se comienza con 3: De esto se desea restar un 2 negativo. Al 3 que se muestra arriba se sumarán dos ceros con combinaciones de sumas de 1 1. Recuerde que 1 y 1 suman 0. + + (')'* ()* ()* +3 0 0 Ahora es posible restar o eliminar los dos 1, como se muestra: + + De esto, se observa que queda 3 2 o 5. Entonces, 3 (2) 5.

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EJEMPLO 6 Restar 12 de 3. 3 - 12 = 3 + 1- 122 = - 9

Solución SUGERENCIA

✺

En el ejemplo 6 se pidió “restar 12 de 3”. Probablemente usted esperaba que esto se escribiera como 12 3, debido a la costumbre de obtener un número positivo. Sin embargo, la forma correcta de escribir lo anterior es 3 12. Observe que el número que sigue a la palabra “de” es el punto de arranque. Ahí es donde el cálculo comienza. Por ejemplo: Restar 2 de 7 significa 7 2. Restar 5 de 1 es 1 5. Restar 4 de 2 quiere decir 2 (4). Sustraer 3 de 6 quiere decir 6 (3). Restar a de b significa b a.

De 7 restar 2, quiere decir 7 – 2. De 1 restar 5, significa 1 5. De 2 restar 4, quiere decir 2 (4). De 6 sustraer 3, significa 6 (3). De a restar b, quiere decir a b.

EJEMPLO 7 Restar 5 de 5. 5 - 5 = 5 + 1- 52 = 0

✺

4.25 - 1- 6.482 = 4.25 + 6.48 = 10.73

✺

Solución EJEMPLO 8 Restar 6.48 de 4.25. Solución

Ahora se llevarán a cabo problemas que contienen fracciones.

EJEMPLO 9 Restar

5 13 9 15

Solución Se comienza con el cambio de un problema de sustracción a otro de suma. 5 13 5 13 = + a- b 9 15 9 15 Ahora reescribimos las fracciones con mcd, 45, y sumamos como se hizo en la última sección. 5 13 5 5 13 + a- b = # + a- b 9 15 9 5 15 =

Así,

#

3 3

25 + 1- 392 39 - 14 14 25 + a- b = = = 45 45 45 45 45

5 13 14 = - . 9 15 45

EJEMPLO 10 Reste -

7 9 de - . 18 15

Solución Este problema se escribe como - 159 - A - 187 B .

✺

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Esto se simplifica como sigue. -

9 7 9 7 - a- b = + . 15 18 15 18

El mcd de 15 y 18 es 90. Al reescribir las fracciones con el común denominador, queda -

9 # 6 7 # 5 54 35 - 54 + 35 + = + = 15 6 18 5 90 90 90 =

19 -19 = - . 90 90

✺

Se verán algunas aplicaciones que involucran la sustracción.

EJEMPLO 11 Saldo del libro contable El libro de contabilidad de Duncan indica un saldo de $237 antes de hacer un cheque de $364. Encuentre el nuevo saldo en su libro contable.

Solución

Entender y traducir

Se obtiene el nuevo saldo al restar 364 de 237.

Calcular

237 - 364 = 237 + 1-3642 = - 127

El signo negativo indica un déficit, que era lo que esperábamos. Por tanto, hay un sobregiro de $127. ✺

Revisar y resolver

EJEMPLO 12 Diferencia de temperatura El 1 de febrero de 2002, la temperatura mínima del día en Honolulu, Hawai, fue de 72 ºF. En el mismo día, la temperatura mínima en Delta Junction, Alaska (al final de la Autopista de Alaska, alrededor de 80 millas al sureste de Fairbanks), fue de 23 ºF. Encuentre la diferencia de temperaturas.

Solución

Entender y traducir La palabra “diferencia” en el título del ejemplo indica una resta. La diferencia de temperaturas se obtiene con la siguiente sustracción.

72 - 1- 232 = 72 + 23 = 95

Calcular

Por tanto, la temperatura en Honolulu fue 95 ºF mayor que

Revisar y responder

la de Delta Junction.

✺

EJEMPLO 13 Medición de la precipitación pluvial Se colocó un pluviómetro en el patio de una casa en Beverly Broomell, y no se toca durante 2 días. Suponga que en el primer día cayeron 2 14 pulgadas de lluvia. En el segundo día no cayó lluvia, pero se evaporó 83 de pulgada de la lluvia del primer día. ¿Cuánta agua queda en el pluviómetro después del segundo día?

Solución

Entender y traducir

De la primera cantidad, 2 14 pulgadas, se debe restar 38 de pulgada.

Comenzamos con el cambio de un problema de sustracción a otro de suma. Después cambiamos el número mixto a una fracción, y reescribimos cada fracción con su mcd, 8.

Calcular

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2

1 3 1 3 - = 2 + a- b 4 8 4 8 =

3 9 + a- b 4 8

=

9 4

#

2 3 + a- b 2 8

18 3 + a- b 8 8 18 + 1-32 15 = = 8 8 =

o bien

1

7 8

Así, después del segundo día quedó 1 78 pulgadas de agua en el pluviómetro. Con base en los números dados en el problema, la respuesta parece razonable. ✺

Revisar y responder

EJEMPLO 14 Evalúe

a) 15 + 1-42 d) 7 - 1- 92

b) -16 - 3

e) - 9 - 1- 32

c) 19 + 1-142 f) 8 - 13

Solución Los incisos a) y b) son problemas de suma, mientras que los demás incisos son restas. Podemos reescribir cada problema de sustracción como uno de suma para evaluarlo. a) 15 + 1- 42 = 11

b) - 16 - 3 = - 16 + 1 -32 = - 19

e) -9 - 1-32 = - 9 + 3 = - 6

f) 8 - 13 = 8 + 1- 132 = - 5

c) 19 + 1- 142 = 5

2

d) 7 - 1- 92 = 7 + 9 = 16

✺

Restar números en forma mental En los ejercicios anteriores cambiamos los problemas de resta por problemas de suma. Hicimos esto debido a que sabíamos sumar números reales. Después de este bloque, cuando resolvamos un problema de resta, no mostraremos este paso. Usted necesita practicar y comprender la forma de sumar y restar números reales. Debe comprender este material tal que, al pedírsele que evalúe una expresión como 4 6, pueda calcular la respuesta mentalmente. Debe comprender que 4 6 significa lo mismo que 4 (6), pero no necesita escribir los cálculos para encontrar el valor de la expresión, 10. Evaluaremos algunos problemas de resta sin mostrar el proceso de cambio, de resta a suma.

EJEMPLO 15 Evalúe. a) - 7 - 5

Solución a) - 7 - 5 = - 12 c) 18 - 25 = - 7

b) 4 - 12

c) 18 - 25

d) -20 - 12

b) 4 - 12 = - 8 d) -20 - 12 = - 32

✺

En el ejemplo 15 a), podríamos haber razonado que 7 5 significa 7 (5), que es 12, pero no necesitamos mostrar todo el proceso.

EJEMPLO 16 Evalúe -

3 7 - . 5 8

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Solución El mínimo común denominador es 40. Escriba cada fracción con el mcd, 40. -

3# 8 7 5 24 35 - 24 - 35 59 19 - # = = = = -1 5 8 8 5 40 40 40 40 40

✺

24 35 - , pudimos haber escrito 40 40 - 24 + 1-352 - 24 - 35 , pero en este momento decidimos escribir porque -24 - 35 40 40 59 19 es 59, la respuesta es o bien - 1 . 40 40 Observe que en el ejemplo 16, cuando sumamos -

3

Evaluar expresiones que contienen más de dos números Al evaluar expresiones que involucran más de una suma o resta, se trabaja de izquierda a derecha, a menos que haya paréntesis u otros símbolos de agrupación.

EJEMPLO 17 Evaluar a) -5 - 13 - 4

b) - 3 + 1 - 7

c) 8 - 10 + 2

Solución Se trabaja de izquierda a derecha. a)

-5 - 13 - 4 (')'* = - 18 - 4 = - 22

b)

- 3)' + 1* - 7 (' = -2 - 7 = -9

c)

8) -' 10* + 2 (' = -2 + 2 = 0

✺

A partir de esta sección, por lo general no escribiremos expresiones como 3 (4) sino 3 4. Recuerde que 3 4 significa 3 (4), de acuerdo con nuestra definición de resta. Siempre que veamos una expresión del tipo a (b), podremos escribirla como a b. Por ejemplo, 12 (15) se escribe 12 15, y 6 ( 9) se escribe 6 9. Como ya dijimos, siempre que veamos una expresión de la forma a (b), podemos reescribir como a b. Por ejemplo, 6 (13) se reescribe 6 13, y 12 (9) se escribe 12 9. Con el uso de ambos conceptos, la expresión 9 (12) (8) se simplifica como 9 12 8.

EJEMPLO 18 a) Evaluar -5 - 1- 92 + 1- 122 + 1-32. b) Simplificar la expresión del inciso a). c) Evaluar la expresión simplificada en el inciso b).

Solución a) Se trabaja de izquierda a derecha. Las áreas sombreadas indican las sumas que se realizan para obtener el siguiente paso. - 5 - 1-92 + 1- 122 + 1-32 = - 5 + 9 + 1-122 + 1- 32 = 4 + 1- 122 + 1- 32

= - 8 + 1 -32 = - 11

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b) La expresión se simplifica como sigue: -5 - 1-92 + 1-122 + 1- 32 = - 5 + 9 - 12 - 3 c) Evaluar la expresión simplificada de izquierda a derecha. Comenzamos por sumar 5 9 para obtener 4. -5 + 9 - 12 - 3 = 4 - 12 - 3 = -8 - 3 = - 11

✺

Al llegar a una expresión como la del ejemplo 18 a) debemos simplificarla como se hizo en el inciso b), y después evaluar la expresión simplificada.

Solución de problemas 1. El fin de la tierra El catálogo del departamento de El fin de la tierra tenía 300 suéteres tejidos azules en inventario, al 1 de diciembre. El 9 de diciembre, había recibido 343 órdenes de suéteres. a) ¿Cuántos suéteres extra fueron pedidos para surtir las órdenes? b) Si se requieren 100 suéteres adicionales a los que se habían ordenado, ¿cuántos suéteres extra se necesitaría pedir? 2. Leadville, Co. De acuerdo con el Guiness Book of World Records, la ciudad a mayor altitud en los Estados Unidos es Leadville, Colorado, a 10,152 pies. La ciudad a menor altitud en el mismo país está a 184 pies bajo el nivel del mar, y es Calipatria, California. ¿Cuál es la diferencia de elevación entre dichas ciudades? 3. Perforación Los Jackson, que viven cerca de Myrtle Beach, Carolina del Sur, tienen una casa que está a una altitud de 42 pies sobre el nivel del mar. Contratan a RL Schlicter Drilling Company para que perfore un pozo. Después de encontrar agua, la compañía informa a los Jackson que perforaron 58 pies hasta el líquido. ¿Qué tan profundo es el pozo respecto del nivel del mar?

Leadville, Colorado

2.6 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES 1 2 3 4

1

Multiplicar números. Dividir números. Eliminar signos negativos de los denominadores. Evaluar divisiones que involucran al 0.

Multiplicar números Al multiplicar dos números, se utilizan las siguientes reglas para determinar el signo del producto.

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Signo del producto de dos números reales 1. El producto de dos números con signos iguales es un número positivo. 2. El producto de dos números con signos diferentes es un número negativo.

Según esta regla, el producto de dos números positivos o de dos número negativos será positivo. El producto de un número positivo y uno negativo será un número negativo.

EJEMPLO 1 Evalúe lo siguiente. a) 41 -52

b) 1-62172

c) 1-921 -32

Solución a) Como los números tienen signos diferentes, el producto es negativo. 41-52 = - 20 b) Como los números tienen signos diferentes, el producto es negativo. 1-62172 = - 42 c) Como los números tienen signos iguales, ambos son negativos, el producto es positivo. 1- 921 - 32 = 27

✺

EJEMPLO 2 Evalúe lo siguiente. a) 1 -82152

b) 1-421 - 82

Solución a) 1 -82152 = - 40 d) 0162 = 0

c) 41- 92

d) 0(6)

e) 01-22

b) 1- 421 - 82 = 32

c) 41-92 = - 36

e) 01-22 = 0

f) -31- 62 = 18

f) - 31-62

Observe que el cero multiplicado por cualquier número real, es cero.

SUGERENCIA

✺

En este momento, ciertos estudiantes comienzan a confundir problemas como 2 3 con (2)(3) y como 2 3 con 2(3). Si no comprende la diferencia entre 2 3 y (2)(3), haga una cita con su profesor tan pronto como sea posible. Problemas de resta

Problemas de multiplicación

-2 - 3 = -5

1 -221 - 32 = 6

1221 -32 = - 6

2 - 3 = -1

EJEMPLO 3 Evalúe lo siguiente a) a

Solución a) a

-1 -3 ba b 8 5

b) a

-3 3 ba b. 20 10

1-121 -32 -1 -3 3 ba b = = 8 5 8152 40

b) a

31-32 -3 9 3 ba b = = 20 10 201102 200

✺

En ciertos problemas se le pedirá que realice más de una multiplicación. Cuando esto ocurra, puede determinar el signo del producto final contando la cantidad

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de números negativos por multiplicar. El producto de una cantidad par de números negativos siempre será positivo. El producto de una cantidad impar de números negativos siempre será negativo. ¿Puede explicar por qué?

EJEMPLO 4 Evalúe lo siguiente.

a) 1-421321 - 221 - 12

b) 1-321221 -121 -221 -42

Solución a) Como hay tres números negativos (número impar), el producto será negativo, según se ilustra. 1- 421321 - 221 -12 = 1- 1221 - 221 - 12 = 12421 -12 = - 24 b) Como hay cuatro números negativos (número par), el producto será positivo. 1-321221 -121 -221 -42 = 1 -621 -121 -221 -42 = 1621 - 221 - 42

= 1 -1221 -42 = 48

2

✺

Dividir números Las reglas para dividir números son muy similares a las que se utilizan para multiplicarlos. El signo del cociente de dos números reales 1. El cociente de dos números con signos iguales es un número positivo. 2. El cociente de dos números con signos diferentes es un número negativo.

Por lo tanto, el cociente de dos números positivos o dos negativos siempre será un número positivo. El cociente de un número positivo y uno negativo, será negativo.

EJEMPLO 5 Evalúe lo siguiente. a)

10 -5

b)

-45 5

c)

-36 -6

Solución a) Como los números tienen signos distintos, el cociente es negativo. 10 = -2 -5 b) Como los números tienen signos diferentes, el cociente es negativo. - 45 = -9 5

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c) Los signos de los números son iguales, por tanto, el cociente es positivo. -36 = 6 -6

EJEMPLO 6 Evalúe lo siguiente a) -16 , 1- 22 Solución

✺

-2 -5 , 3 7 a) Como los números tienen signos iguales, ambos negativos, el cociente es positivo. b)

-16 = 8 -2 b) El divisor

-5 , se invierte, y después se multiplica. 7 -2 -5 -2 7 -14 14 , = a ba b = = 3 7 3 -5 -15 15

SUGERENCIA

Para multiplicar y dividir dos números reales: 1+ 21 +2 = + 1-21 - 2 = + 1+ 21 -2 = 1-21 + 2 = -

3

✺

1 +2

t

1+ 2 1- 2 1- 2

= +

1- 2 1- 2

= -

1 +2

t

= +

1+ 2

t

Signos iguales dan productos y cocientes positivos.

t

Signos diferentes dan productos y cocientes negativos.

= -

Eliminar signos negativos de los denominadores Ahora sabemos que el cociente de un número positivo y uno negativo es un número negativo. Las fracciones - 34 , -43 y -34 representan el mismo número negativo, que es tres cuartos negativos. Si a y b representan cualesquiera números reales, b Z 0, entonces a -a a = = -b b b

En matemáticas, por lo general no escribimos una fracción con el signo negativo en el denominador. Cuando en el denominador aparece un signo negativo, se puede trasladar al numerador o colocarlo frente a la fracción. Por ejemplo, la fracción -57 debe escribirse como - 57 o -75 . Las fracciones también pueden escribirse con una diagonal, . Por ejemplo, la fracción - 57 puede escribirse como - 5>7 o -15>72.

EJEMPLO 7 Evalúe lo siguiente Solución

2 -8 , a b. 5 15 1

3

1

4

1132 -8 2 15 3 2 3 , a b = #a b = = = 5 15 5 -8 11-42 -4 4

✺

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La tabla 2.1 resume las operaciones con los números reales. TABLA 2.1 Resumen de las operaciones con los números reales Signos de los números

Suma

Multiplicación

La diferencia puede ser positiva El producto siemo negativa pre es positivo

División

Ambos números son positivos Ejemplos

La suma siempre es positiva

6y2

6 + 2 = 8

6 - 2 = 4

6 # 2 = 12

6 , 2 = 3

2y6

2 + 6 = 8

2 - 6 = -4

2 # 6 = 12

2 , 6 =

Un número es positivo y el otro es negativo Ejemplos

La suma puede ser positiva o negativa

6 y 2

6 - 1- 22 = 8

-6 + 2 = -4

Ambos números son negativos Ejemplos -6 y -2 -2 y -6

La diferencia puede ser positiva El producto siemo negativa pre es negativo

6 + 1 -22 = 4

6 y 2

4

Resta

-6 - 2 = - 8

61 -22 = - 12 -6122 = - 12

La diferencia puede ser positiva El producto siemo negativa pre es positivo

La suma siempre es negativa - 6 + 1 -22 = - 8

-6 - 1-22 = - 4

-2 + 1-62 = - 8

- 2 - 1- 62 = 4

-61 -22 = 12 -21 -62 = 12

El cociente siempre es positivo

1 3

El cociente siempre es negativo 6 , 1- 22 = - 3 -6 , 2 = -3

El cociente siempre es positivo - 6 , 1 -22 = 3 -2 , 1- 62 =

1 3

Evaluar divisiones que involucran al 0 Ahora analizaremos las divisiones que involucran al número 0. ¿A qué es igual 01 ? Observe que 63 = 2 porque 3 # 2 = 6. Podemos seguir el mismo procedimiento para determinar el valor de 01 . Supongamos que 01 es igual a cierto número, que se designará con ? . 0 Si = ? entonces 1 # ? = 0 1 Como sólo 1 0 0 el signo ? debe ser 0. Por tanto, 01 = 0. Con la misma técnica se demuestra que cero dividido entre cualquier número distinto de 0 es igual a cero. Si a representa cualquier número real excepto 0, entonces 0 , a =

0 = 0 a

Ahora, ¿a que es igual 10 ? Si

1 = ? 0

entonces 0 # ? = 1

Como 0 multiplicado por cualquier número será 0, no hay un valor que pueda reemplazar a ? . Se dice que 10 es indefinido. Con la misma técnica, se demuestra que cualquier número real, excepto 0, dividido entre 0, es indefinido.

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Si a representa cualquier número real excepto 0, entonces a , 0

o

a 0

es indefinido

¿A qué es igual 00 ? Si

0 = ? 0

entonces 0 # ? = 0

Pero como el producto de cualquier número y 0 es igual a 0, el signo ? se reemplaza por cualquier número real. Por tanto, el cociente 00 no puede determinarse, por lo que no existe respuesta. Entonces, no se le usará en este curso.* Resumen de la división que involucra a 0 Si a representa cualquier número real excepto 0, entonces 0 = 0 a

a es indefinido 0

EJEMPLO 8 Indique si cada cociente es 0 o indefinido. a)

0 2

b)

5 0

c)

0 -4

d)

-2 0

Solución La respuesta de los incisos a) y c) es 0. La respuesta a los incisos b) y d) es indefi-

✺

nida.

Solución de problemas 1. Futbol A un equipo escolar de futbol americano lo castigan cuatro veces, cada una con una pérdida de 15 yardas, o 15 yardas. Encuentre la pérdida total debido a los castigos. 2. Descenso submarino Un submarino se encuentra a una profundidad de 160 pies (160 pies por debajo del nivel del mar). Desciende a 3 veces dicha profundidad. Encuentre la profundidad nueva a que se encuentra. 3. Tarjeta de crédito El saldo de la tarjeta de crédito de Leo1 na De Vito es de $450 (debe $450). Paga 3 de dicha cifra. a) ¿Cuánto pagó? b) ¿Cuál es su saldo nuevo? 4. Dinero que se adeuda Dominike Jason debe $300 a un amigo. Después de que hace cuatro pagos de $30 cada uno, ¿cuánto debe todavía? 1 5. Pérdida accionaria Si una acción pierde 1 2 puntos en cada uno de tres días sucesivos, ¿cuánto habrá perdido en total? 6. Factor de enfriamiento por el viento El lunes, el factor de enfriamiento por el viento en Minneapolis fue de 30 1 ºF. El martes, fue de sólo 3 de lo que fue el lunes. ¿Cuál fue el factor de enfriamiento por el viento el día martes? 7. Empleo La gráfica siguiente muestra el cambio del salario en la base de trabajadores que no trabajan en el cam-

po (ajustada por estaciones) para los Estados Unidos, de noviembre de 2000 (N) a octubre de 2001 (O). a) ¿Cuántas veces más grande fue el cambio en octubre que en septiembre? b) ¿Cuántas veces más grande fue el cambio en octubre que en julio?

Cambio en la base de trabajadores que no laboran en el campo 200,000 100,000 0 –100,000 –200,000 –300,000 –400,000

ⴚ415,000

–500,000

N D E F M A M J 2000 2001

J A S O

Fuente: Departamento del Trabajo

0

*En este nivel, algunos profesores prefieren llamar a 0 indeterminado mientras que otros prefieren llamarlo indefinido. En cursos de matemáticas de nivel superior, en ocasiones se llama a 00 forma indeterminada.

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2.7 EXPONENTES, PARÉNTESIS Y ORDEN DE LAS OPERACIONES 1 2 3

1

Aprender el significado de los exponentes. Evaluar expresiones que contengan exponentes. Aprender la diferencia entre -x 2 y 1-x22.

Aprender el significado de los exponentes Para comprender ciertos temas de álgebra, deben entenderse los exponentes. En esta sección se introducen los exponentes. En la expresión 42, el 4 se llama base, y el 2 es el exponente. El número 42 se lee “cuatro al cuadrado” o “4 elevado a la segunda potencia”, y significa

4 # 4 = 42 ()*

base exponente

2 factores de 4

El número 43 se lee “cuatro al cubo”, o “4 a la tercera potencia”, y significa 4 # 4 # 4 = 43 (')'* 3 factores de 4

En general, el número b elevado a la n-ésima potencia, se escribe bn, y significa

# b # b # Á # b = bn b('')''* n factores de b

Así, b4 = b # b # b # b, o bien bbbb, y x3 = x # x # x o bien xxx.

2

Evaluar expresiones que contengan exponentes Ahora evaluaremos algunas expresiones que contienen exponentes.

EJEMPLO 1 Evaluar a) 32

b) 25

c) 15

d) 1-622

e) 1-223

2 2 f) a b 3

Solución a) 32 = 3 # 3 = 9 b) 25 = 2 # 2 # 2 # 2 # 2 = 32 c) 15 = 1 # 1 # 1 # 1 # 1 = 1 (1 elevado a cualquier potencia da 1; ¿por qué?) d) 1- 622 = 1- 621 -62 = 36

e) 1-223 = 1- 221 -221 -22 = - 8 2 2 2 2 4 f) a b = a b a b = 3 3 3 9

✺

No es necesario escribir exponentes que sean 1. Por lo tanto, xxy, se escribe x2y y no x2y1. Siempre que se vea una letra o número sin exponente, asumiremos que su exponente es 1.

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Ejemplos de notación exponencial a) xyxx = x 3y

b) xyzzy = xy2z2

c) 3aabbb = 3a2b3

d) 5xyyyy = 5xy 4

e) 4 # 4rrs = 42r2s

f) 5 # 5 # 5mmn = 53m2n

Observe en los incisos a) y b) que el orden de los factores no importa.

SUGERENCIA

3

Observe que x + x + x + x + x + x = 6x y que x # x # x # x # x # x = x6. Tenga cuidado de no confundir la suma con la multiplicación.

Aprender la diferencia entre x2 y (x)2 Un exponente se refiere sólo al número o letra que lo precede en forma directa, a menos que utilicemos paréntesis para indicar otra cosa. Por ejemplo, en la expresión 3x2, sólo la x está elevada al cuadrado. En la expresión x2 sólo la x está al cuadrado. Podría escribirse x2 como 1 x2 porque es posible multiplicar cualquier número real por 1 sin que se afecte su valor. -x2 = - 1x2 Al considerar la expresión 1 x2 observamos que sólo la x está al cuadrado, no el 1. Si toda la expresión de x fuera a elevarse al cuadrado, sería necesario emplear paréntesis y escribir (x)2. Observe la diferencia en los dos ejemplos siguientes: -x2 = - 1x21x2 1-x22 = 1- x21 -x2 Considere las expresiones 32 y (3)2. ¿En qué difieren? -32 = - 132132 = - 9 1-322 = 1- 321 -32 = 9

SUGERENCIA

La expresión x2 se lee “menos x cuadrada”, o “el opuesto de x al cuadrado”. La expresión (x)2 se lee “menos x al cuadrado”.

EJEMPLO 2 Evalúe. a) -52

b) 1-522

Solución a) - 52 = - 152152 = - 25

c) -23 = - 122122122 = - 8

EJEMPLO 3 Evalúe. a) -24 b) 1- 224 Solución a) -24 = - 122122122122 = - 16

c) -23

d) 1-223

b) 1-522 = 1- 521 -52 = 25

d) 1-223 = 1- 221 -221 -22 = - 8 b) 1-224 = 1- 221 - 221 - 221 -22 = 16

✺ ✺

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2.8 RAZONES Y PROPORCIONES 1 2

1

Razones. Proporciones.

Razones

a−b a = a ÷ b = a :b b

Una cantidad a es igual a 5 y otra b es igual a 7. Si compara estas dos cantidades, ¿qué podría decir?

La palabra racional se toma del concepto matemático de razón, que significa comparar dos cantidades o dos números. Esta comparación se puede realizar de dos maneras, una por diferencia y otra por división. De manera que para la pregunta anterior puede responderse diciendo que a a 5 5 < 0.7143 < 71.43%, decimos b 7 que a es aproximadamente el 71.43% del valor de b. Esto se resume en el cuadro siguiente: es menor en dos unidades que b, o bien, si

Razón aritmética

Razón geométrica

a2b

a 5a4b5a:b b Cuando la comparación es por medio de una división.

Ésta se da cuando la comparación se realiza por medio de una diferencia.

En una razón, sus términos reciben el nombre de antecedente “a”, el primero y consecuente, “b”, el segundo. En la vida cotidiana las razones como modelos matemáticos son de uso muy frecuente e importante. Veámoslo con los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1 ¿Qué parte de 50 es 23.5? Solución Solución Dividiendo 23.5 entre 50 23.5 5 0.47 5 47% 50

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EJEMPLO 2 ¿Entre qué número debemos dividir 30 para que nos dé 60?

Solución

Llamemos x al número que deseamos conocer, de manera que 30 5 60 x Luego, si consideramos los recíprocos x 1 5 , 30 60

por lo tanto,

x5

30 1 5 5 0.5 60 2

EJEMPLO 3 ¿En qué precio debe venderse un artículo que cuesta 5 de su valor original de 140 7

pesos?

Solución Esto significa que debemos multiplicar 5 por 140, 7

( 5 )(140 ) 5 5 140 (140) 5 3 5 5 ( 7 )(1) 7 7 1

100 pesos

EJEMPLO 4 ¿Cuál es la razón de $0.60 a $2?

Solución $2 es igual que 200 centavos, por lo tanto, la razón es 60 3 5 200 10

EJERCICIOS 1. ¿Qué parte de 69 es

2 ? 3

2. ¿Cuánto pierde de su valor un automóvil que se vende a

nal, que fue de $100,000?

3. Un vendedor tiene que recorrer el primer día las

segundo día

4 de su valor origi5

4 partes de 105 km y el 7

2 de lo que le resta. ¿Cuánto le falta por recorrer? 3

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4. ¿Cuál es el valor de cada ángulo interior de un triángulo cuya razón es de 5:4:3?

5. Tres socios se van a repartir $900,000; el primero y el segundo recibirán

1 del total, respectivamente. ¿Cuánto recibirá el tercero? 3

6. Luego de cortar

5 y 9

3 2 y de una tabla de madera, la longitud de ésta ha dis11 7

minuido en 78 centímetros. ¿Cuál era su longitud original?

7. En una escuela preparatoria el número de alumnos respecto del número de

3 . Si el total de estudiantes es de 2,000, ¿cuántos estudiantes 4 mujeres y hombres hay? alumnas es de

8. Las ventas de un combustible A respecto a un combustible B están en la ra-

5 . Si mensualmente se venden 9,000 litros, ¿cuántos se venden de A y 3 cuántos de B?

zón

9. El largo y el ancho de un rectángulo están en la razón 5:4. Si su perímetro es

de 100 cm, determine las longitudes del largo y del ancho.

10. Un estudiante contestó correctamente 25 de 30 preguntas en un examen. ¿Cuál

es la razón de respuestas incorrectas al número de respuestas correctas?

2

Proporciones A la igualdad de dos razones en matemáticas se le llama proporción; por ejemplo, 3 12 5 o, escrito de otra forma, 3:4 5 12:16, y se lee “3 es a 4 como 12 es a 16’’. 4 16

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a c 5 , que puede escribirse también b d a : b 5 c : d, los términos a y d se llaman extremos, mientras que b y c son los medios. En general, si tenemos la proporción

extremos

64748 a:b5c:d 678 medios

Una propiedad de las proporciones dice que el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios, es decir: ad 5 bc

EJEMPLO 1 Encuentre el valor de x en la proporción 4 5 16 3

Solución

x

Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones, tenemos que 4x 5 (16)(3); por lo tanto, x5

(16 )( 3) 5 12 4

4 x EJEMPLO 2 Encuentre el valor de x en la proporción 5 7

14

Solución Utilizando la propiedad fundamental de las proporciones, tenemos que (4)(14) 5 7x; por lo tanto, x5

( 4 )(14 ) 58 7

EJERCICIOS 1. Resuelva la proporción

7 58 5 14 x

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2. Resuelva la proporción

x 58 5 14 100

3. Un automóvil recorre 100 km con 8 litros de gasolina. ¿Cuántos litros necesi-

ta para recorrer 270 km, que es la distancia de la ciudad de Chihuahua a Ciudad Juárez?

4. Un reloj se atrasa 3 minutos por semana, ¿cuánto se atrasará en un año?

5. Una superficie rectangular tiene 2.5 m de ancho por 5 m de largo. ¿Cuánto de-

be variar el largo para que el ancho sea de 2 m sin que la superficie cambie?

6. Si 20 libras de manzanas cuestan 1.80 dólares, ¿cuánto cuestan 28 libras de

manzanas?

7. Encuentre el valor de x en la figura. 4 2 4

x

2.9 PORCENTAJES Una de las comparaciones de cantidades más usada en la vida cotidiana es la de los porcentajes. La razón de un número respecto al cien se llama porcentaje, es decir que siempre dividimos por cien. El porcentaje se representa mediante el símbolo %. Ejemplos: a)

40 5 0.40 5 40% 100

se lee cuarenta por ciento.

b)

70 5 0.70 5 70% 100

se lee setenta por ciento.

c)

100 5 1 5 100% 100

se dice cien por ciento.

d)

120 5 1.20 5 120% 100

significa ciento veinte por ciento.

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A veces es conveniente expresar los porcentajes como un modelo de proporciones.

EJEMPLO 1 Determine el 20% de 32. Solución Planteamos la situación así: ( 32 )( 20 ) 32 x 640 5 entonces x 5 5 5 6.4 100 20 100 100 Entonces el 20% de 32 es 6.4.

EJEMPLO 2 ¿De qué número es 45 el 5%? Solución La proporción será entonces x 45 5 100 5 ( 45 )(100 ) 4500 5 5 900 5 5

x5 El 5% de 900 es 45.

EJEMPLO 3

Solución

Determine qué porcentaje de 500 es 75.

Si x es el porcentaje buscado, entonces 500 75 5 100 x x5

( 75 )(100 ) 7500 5 5 15% 500 500

75 representa el 15% de 500.

EJEMPLO 4

Solución

Si 168 es el 120% de una cantidad, ¿de que número estamos hablando?

Planteamos la situación como x 168 5 100 120 x5 140 es la cantidad buscada.

(168 )(100 ) 16800 5 5 140 120 120

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EJEMPLO 5

Solución

¿En cuánto se venderá un artículo que normalmente cuesta $160 y se ofrece en oferta con un 25% de descuento?

Si x es el precio de la oferta, entonces es el 75% de $160. Es decir, 160 x 5 100 75 x5

(160 )( 75 ) 12000 5 5 120 dólares 100 100

EJERCICIOS 1. ¿Qué porcentaje de 235 es 47?

2. Escriba 12/5 como porcentaje.

3. ¿378 es el 70% de qué número?

4. ¿352 es el 25% menos de qué número?

5. Escriba 25.5% como decimal.

6. ¿Qué porcentaje es 135 de 450?

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7. ¿Qué porcentaje de 235 es 470?

8. Escriba el 70% de 25.

9. Una persona gana $12,000 mensuales. Si logra un aumento del 4.5%, ¿a cuán-

to ascenderá su salario?

10. Un jugador de beisbol bateó 320 veces de 500 que estuvo en su turno al bat.

¿Qué porcentaje de bateo logró?

11. Un automóvil nuevo cuesta 13,000 dólares. Si se devalúa 11% anualmente,

¿cuánto vale después de 3 años?

12. El agua tiene una propiedad anormal, cuando se congela aumenta de volu-

men en un 9%. Un cubo de hielo contiene 16 cm3, ¿cuál será el volumen de agua cuando se derrita?

13. Un estudiante de bachillerato contestó correctamente 42 preguntas en un exa-

men de 50. ¿Qué porcentaje de preguntas no contestó o lo hizo incorrectamente?

14. Un terreno tiene un valor inicial de $300,000 y por la plusvalía de su ubicación

su precio se incrementa en un 7% anual. ¿Cuánto vale al término del segundo año de su venta?

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2.10 VARIACIÓN 1 2

Plantear y resolver problemas de variación directa. Plantear y resolver problemas de variación inversa.

Muchas fórmulas científicas se expresan como variaciones. Muchas de nuestras actividades diarias también incluyen variación. Una variación es una ecuación que relacione una variable con una o más variables usando las operaciones de multiplicación o división (o ambas). En este libro analizaremos dos tipos de variación: variación directa y variación inversa. Primero estudiaremos la variación directa.

1

Plantear y resolver problemas de variación directa En la variación directa, las dos variables crecen al mismo tiempo o las dos decrecen al mismo tiempo; esto es, cuando una variable crece, también lo hace la otra, y cuando una variable disminuye, también lo hace la otra. Suponga que durante un tiempo específico sale agua de una manguera de jardín y llena una cubeta. Entre mayor sea el flujo del agua que sale de la manguera mayor será el volumen del agua en la cubeta, y entre menor sea el flujo de agua que sale de la manguera, menor será el volumen de agua en la cubeta. Éste es un ejemplo de variación directa. El volumen del agua en la cubeta varía de forma directa con la tasa de flujo de la manguera. Considere un automóvil que viaja a 50 millas por hora. El automóvil recorre 50 millas en 1 hora, 100 millas en 2 horas, 150 millas en 3 horas. Conforme aumenta el tiempo, también se incrementa la distancia recorrida. Éste también es un ejemplo de variación directa. Podemos ver que para una velocidad constante, cuando el tiempo aumenta, también lo hace la distancia recorrida, y si el tiempo disminuye también disminuye la distancia recorrida. La fórmula usada para calcular la distancia es distancia = velocidad # tiempo Como la velocidad es constante, 50 millas por hora, la fórmula puede escribirse como d = 50t Decimos que la distancia, d, varía directamente con el tiempo, t, o que la distancia es directamente proporcional al tiempo t. En la ecuación, el 50 es una constante que se conoce como constante de proporcionalidad.Ahora definiremos la variación directa. Variación directa Si una variable y varía de forma directa con una variable x, entonces y = kx en donde k es la constante de proporcionalidad (o la constante de variación).

Cuando nos dicen que una cantidad que varía de forma directa como otra, por lo general iniciamos con una ecuación en la forma y kx; sin embargo, para las variables, se pueden utilizar otras letras en lugar de x y y.

EJEMPLO 1 Calentamiento de un jacuzzi Cuando se enciende el calentador para calentar el agua en un jacuzzi, la temperatura del agua, w, aumenta de forma directa con el tiempo, t, que el calentador está encendido

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a) Escriba la variación como una ecuación. b) Si la constante de proporcionalidad, k, es 0.5, determine el aumento en la temperatura del agua al cabo de 30 minutos.

Solución a) Nos dijeron que la temperatura del agua varía de forma directa con el tiempo. Por tanto, planteamos la proporción directa como sigue: w = kt b) Para determinar el aumento en la temperatura del agua, sustituimos 0.5 por k, y 30 por t. w = kt w = 0.51302 = 15 Así que, después de 30 minutos, la temperatura del agua ha aumentado 15°.

✺

En muchos problemas de variación primero tendrá que determinar la constante de proporcionalidad antes de poder determinar la variable que se le ha pedido encontrar. Para determinar la constante de proporcionalidad, sustituya los valores dados para las variables y despeje k. Ilustramos este procedimiento en el ejemplo 2.

EJEMPLO 2 Problema de variación directa s varía de forma directa con el cuadrado de m. Si s 100 cuando m 5, determine s cuando m 12.

Solución a)

Entender y traducir Iniciamos planteando la ecuación. Observe que se nos dijo que s varía de forma directa con el cuadrado de m. El cuadrado de m se escribe m2. Por tanto, la ecuación es s km2. Como no se nos dio la constante de proporcionalidad, la determinamos sustituyendo los valores que nos dieron para las variables.

s = km2

100 = k1522

Sustituir valores.

100 = k1252 100 = 25k 4 = k Ahora que hemos determinado k, podemos responder la pregunta sustituyendo 4 por k, y 12 por m. Realizar los cálculos

s = km2 s = 411222 s = 411442 s = 576

Respuesta

Así, cuando m 12, s 576.

✺

EJEMPLO 3 Dosis de droga La cantidad de la droga, d, dada a una persona es directamente proporcional al peso de la persona, w. Si una persona pesa 75 kilogramos se le suministran 150 miligramos (mg) de alopurinol; determine cuántos miligramos de alopurinol se le suministrarán a una persona que pesa 96 kg.

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Solución

Entender y traducir Nos dijeron que la cantidad de la droga es directamente proporcional al peso de la persona. Así que planteamos la ecuación

d = kw Ahora determinamos k, sustituyendo los valores dados para d y w. d 150 150 75 2

Realizar los cálculos

= kw = k1752 = k = k

Ahora determinaremos el número de miligramos de la droga que se suministrará, sustituyendo 2 por k y 96 por w. d = kw d = 21962 = 192 Como esperamos, la cantidad de la droga será mayor que 150 miligramos, nuestra respuesta es razonable. A una persona de 96 kg se le debe administrar 192 miligramos. ✺

Comprobar y responder

El ejemplo 3 también podría resolverse mediante una proporción.

2

Plantear y resolver problemas de variación inversa Ahora analizaremos la variación inversa. Cuando dos cantidades varían de forma inversa, significa que cuando una cantidad aumenta, la otra disminuye, y viceversa. Suponga que está haciendo un guisado en la estufa. De forma general, entre más alta sea la temperatura del horno, menor será el tiempo que se necesita para cocinar el guisado. Esto es, cuando la temperatura aumenta, el tiempo disminuye, y viceversa. Así, el tiempo y la temperatura son inversamente proporcionales uno del otro, o varía inversamente con el otro. Para explicar la variación inversa, nuevamente utilizamos la fórmula de la distancia, distancia = velocidad # tiempo Si despejamos el tiempo, obtenemos tiempo =

distancia . Suponga que la distanvelocidad

cia se fija en 100 millas, entonces tiempo =

100 velocidad

A una velocidad de 100 millas por hora, tomaría 1 hora en cubrir las 100 millas de distancia. A 50 millas por hora, tomaría 2 horas en cubrir la distancia. A 25 mph tomaría 4 horas. Observe que cuando la velocidad (o rapidez) disminuye, el tiempo aumenta, y viceversa. La ecuación anterior puede escribirse 100 r Éste es un ejemplo de variación inversa en la que el tiempo y la velocidad son inversamente proporcionales y la constante de proporcionalidad es 100. Ahora definimos la variación inversa. t =

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Variación inversa Si una variable y varía de forma inversa con una variable x, entonces k 1o xy = k2 x en donde k es la constante de proporcionalidad. y =

Ahora resolveremos dos ejemplos.

EJEMPLO 4 Renta de un velero Un grupo de amigos van a rentar un velero para un viaje de placer. El costo por persona de la renta del velero, c, es inversamente proporcional con el número de personas que rentan el velero, n. Si 8 amigos deciden rentar el velero, el costo por persona es $40. Determine el costo por persona, si 14 amigos deciden rentar el velero.

Solución

Entender y traducir Nos dicen que ésta es una variación inversa. Por tanto, plantearemos una ecuación para representar la proporción inversa.

c =

k n

Como no se nos da la constante de proporcionalidad, determinamos k mediante la sustitución de los valores dados para c y n. k 8 320 = k 40 =

Ahora podemos determinar la respuesta a la pregunta utilizando k 320 y n 14 Realizar los cálculos

c =

k n

c =

320 14

c = 22.86 Si 14 amigos deciden rentar el velero, el costo para cada persona es de alrededor de $22.86. Si usted multiplica 22.86(14) obtiene 320.04, esto es un poco más que la constante de proporcionalidad. Se debe al redondeo de 320 ✺ 14 a $22.86. Comprobar y responder

EJEMPLO 5 Volumen de un altavoz El volumen, l, de un altavoz de un estéreo, medido en decibeles (dB), varía de forma inversa con el cuadrado de la distancia, d, del oyente al altavoz. Suponiendo que para un altavoz particular la intensidad es de 20 dB, cuando el oyente se encuentra a 6 pies del altavoz. a) Determine una ecuación que exprese la relación entre el volumen y la distancia. b) Por medio de la ecuación que obtuvo en la parte a), determine el volumen cuando una persona está a tres pies del altavoz.

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Solución Este problema se divide en dos partes. La primera nos pide determinar una fórmula general, mientras que la segunda parte nos pide utilizar la fórmula. a) Entender y traducir Nos dicen que el volumen varía de forma inversa con el cuadrado de la distancia. Por tanto, escribimos la siguiente ecuación y despejamos k. Realizar los cálculos

l =

k d2

20 =

k 62

20 =

k 36

720 = k La constante de proporcionalidad, k, es 720. Como para este altavoz k 720, la ecuación que estamos buscando es


l =

720 d2

b) Entender y traducir En la parte a) determinamos la ecuación para encontrar el volumen. En la fórmula, sustituimos 3 por d y despejamos l.

Realizar los cálculos

l =

720 d2

l =

720 32

l =

720 9

l = 80 Comprobar y responder Por tanto, a 3 pies, el volumen es de 80 decibeles. Esto es razonable ya que a una distancia más corta (3 pies contra 6 pies) el sonido será más alto. ✺

Solución de problemas 1. Suponga que a varía directamente con b. Si b se duplica, ¿cómo se afectará a? Explique.

2. Suponga que a varía directamente con b2. Si b se duplica, ¿cómo se afectará a? Explique.

En los ejercicios 3 a 13, determine la cantidad que se le pide. 3. Distancia y velocidad La distancia, d, que un automóvil recorre es directamente proporcional a la velocidad, s, a la que el automóvil está viajando. Determine la distancia recorrida, si la constante de proporcionalidad, k, es 2 y la velocidad es de 40 millas por hora.

4. Llegada a un destino El tiempo, t, que toma llegar a cierto destino es inversamente proporcional a la velocidad, s, a la que un automóvil se desplaza. Determine el tiempo que tarda en llegar al destino si la constante de proporcionalidad es 100 y la velocidad, s, es 50 millas por hora.

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5. Luz a través del agua El porcentaje de luz, l, que se filtra a través del agua es inversamente proporcional a la profundidad, d, del agua. Determine el porcentaje de luz que se filtra a una profundidad de 10 pies si la constante de proporcionalidad es 300.

8. Colocación de una cerca El tiempo, t, que toma cercar un

6. Velocidad de un automóvil La distancia recorrida, d, en

9. Cocimiento de un pavo El tiempo, t, que tarda en cocinarse un pavo es inversamente proporcional a la temperatura del horno, T. Si tarda 3 horas en cocinarse un pavo a 300 °F, ¿cuánto tiempo tardará en cocinarse un pavo a 250 °F?

un automóvil es directamente proporcional a la velocidad, s, del automóvil. Si la distancia recorrida es 300 pies cuando la velocidad es 120 pies/minuto, determine la distancia recorrida cuando la velocidad es 150 pies/minuto.

gran campo es inversamente proporcional al número de personas, n, que trabajan en la cerca. Cuando 10 personas están trabajando en la cerca, toma 200 horas colocarla. ¿Cuánto tiempo les tomará a 15 personas colocar la cerca?

10. Juego de baloncesto La recaudación, r, en un juego de baloncesto es directamente proporcional al número de personas, n, que asisten al juego. Si la recaudación para un juego es de $12,000 cuando asisten 800 personas, determine cuántas personas asisten, si la recaudación para un juego es de $15,000. 11. Periódico El tiempo, t, que tarda en imprimirse un número específico de copias de un periódico es inversamente proporcional al número de prensas, n, que está trabajando. Cuando están trabajando 6 prensas, los periódicos se imprimen en 8 horas. Determine el número de prensas que están trabajando, si los periódicos se imprimen en 3 horas. 12. Determinación del interés La cantidad de interés generado en una inversión, I, varía directamente con la tasa de interés, r. Si el interés generado es $40 cuando la tasa de interés es 4%, determine la cantidad de interés generada cuando la tasa de interés es 6%.

7. Corte del césped El tiempo, t, que tarda Don en cortar el césped, es directamente proporcional al área del césped, A. Si Don tarda 0.4 horas en cortar un área de 1200 pies cuadrados, ¿cuánto tardará en cortar un área de 2200 pies cuadrados?

13. Pared de ladrillos El tiempo, t, requerido para construir una pared de ladrillos varía de manera inversa al número de personas, n, que trabajan en la pared. Si toma 8 horas a 5 albañiles en construir una pared, ¿cuánto tardarán 8 albañiles en construir la misma pared?

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Actividad de cierre La siguiente escala te permitirá autoevaluarte. Contesta con sinceridad para que verdaderamente puedas reflexionar sobre las metas logradas.

Afirmaciones 1. He logrado interpretar la gráfica de barras para entender el problema 2. He podido entender y aplicar los conceptos de razón y tasa. 3. Siento que puedo utilizar la calculadora exitosamente, pero la utilizo solamente como herramienta para explorar mis resultados. 4. Identifico y puedo explicar correctamente el porcentaje en una serie de datos, para lograr un objetivo específico. 5. He logrado plantear fácilmente el modelo matemático en ambas situaciones. 6. He podido resolver algunos problemas donde se ha puesto de manifiesto la construcción de modelos algebraicos. 7. He aportado puntos de vista y escuchado con atención a otros compañeros.

1

2

3

4

5

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BLOQUE III

Realiza sumas y sucesiones de números • Identifica e interpreta sucesiones y series aritméticas. • Reconoce términos de sucesiones aritméticas. • Ordena información de acuerdo con aritméticas. • Reconoce la forma algebraica del término n-ésimo de sucesiones aritméticas particulares. • Identifica gráficamente el tipo de relación variacional en la fórmula del n-ésimo término de sucesiones aritméticas particulares. • Identifica e interpreta sucesiones y series geométricas. • Reconoce términos de sucesiones geométricas. • Ordena información de acuerdo con relaciones en series y sucesiones geométricas • Reconoce la forma algebraica del término n-ésimo de sucesiones geométricas particulares. • Identifica gráficamente el tipo de relación variacional en la fórmula del n-ésimo término de sucesiones geométricas particulares.

C

uando una pelota rebota, con frecuencia lo hace en un porcentaje de la altura desde la cual se dejó caer. Si la pelota rebota 4 pies cuando se deja caer desde una altura de 6 pies, ha rebotado 66 23 % de la altura original. En teoría, un rebote provocará otro rebote, y así sucesivamente. ¿Será posible calcular la distancia total que “recorre” una pelota que nunca para de rebotar? En este bloque aprenderá cómo realizar ese cálculo; esto es, aprenderá cómo sumar una sucesión geométrica infinita

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BLOQUE III • Realiza sumas y sucesiones de números • 91

Bloque III Realiza sumas y sucesiones de números Unidades de competencia • Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números reales, expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables; empleando las literales para la representación, resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes con su vida cotidiana y escolar que le ayuden a explicar y describir su realidad. • Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

Atributos de las competencias genéricas 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

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Actividades de inicio Reúnete con tres compañeros para resolver las siguientes situaciones.

Problema 1

70 000

Ingresos anuales

60 000 50 000 39 000

40 000 30 000 20 000 10 000 0 1er. año

2o. año

3er. año

4o. año

5o. año

6o. año

7o. año

8o. año

9o. año

10o. año

Periodo

Antonio actualmente trabaja para una empresa en la que ha obtenido un promedio de $ 40 000 anuales durante los últimos 5 años. Un amigo le informa de una nueva oportunidad de empleo en la que ofrecen un salario inicial de $39 000 anuales con la promesa de un incremento anual de $2 300, representados en la gráfica anterior. Antonio realiza una proyección a 10 años de sus ingresos anuales para que la decisión que tome sea la más acertada. 1. La información presentada en la gráfica, ¿representa una sucesión?, ¿A cuál de ellas corresponde? 2. ¿Aplicaste alguna fórmula para encontrar el modelo matemático que representa al n-ésimo término?, ¿Crees que exista un modelo matemático que atienda esta situación?, ¿Cuál será? 3. Escribe los resultados de los términos de las sucesiones correspondientes del 2o. al 10o. año.

Problema 2 Un objeto elástico se deja caer desde el cuarto piso de un edificio a 12 m de altura. Su elasticidad es tal que al rebotar alcanza una tercera parte de la altura total de la cual cayó, como se muestra en el siguiente diagrama. Ahora bien, cada punto representa la altura alcanzada por cada uno de los cuatro rebotes.

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14 Altura alcanzada/rebote

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12 10 8 6 4 2 0 0

1

2

3

4

Rebotes

1. La información presentada en la gráfica, ¿representa una sucesión?, ¿A cuál de ellas corresponde? 2. De acuerdo con la información que presenta la gráfica, ¿aplicaste alguna fórmula para encontrar el modelo matemático que representa la altura en cada uno de los rebotes?, ¿consideras que exista alguna regularidad o patrón en esta sucesión?, ¿por qué lo consideras así? 3. Escribe los resultados de las alturas de los rebotes que se te proporcionan en la gráfica.

Actividades extra clase 1. Determina el número de términos de una suma aritmética y el último, sabiendo que primero es 3, la diferencia es 2 y la suma 120. 2. Calcula la fórmula que nos proporcione el n-ésimo término de la sucesión cuyos términos son:

2, 4, 8, 16,...

an =

1, 4, 7, 10,...

an =

1, 34, 59,

an =

7 9 16 , 25 ,…

3 4 5 6 4, 5, 6, 7,…

an =

0, 2, 0, 2, 0, 2

an =

Responde los siguientes cuestionamientos • ¿Te facilitó el entendimiento del problema la tabla presentada? ¿Por qué? • ¿Entendiste los conceptos tratados en la situación? Justifica tu respuesta. • ¿Las fórmulas que aplicaste, te permitieron entender y resolver la situación planteada?

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3. Calcula el octavo término de la sucesión: 5, 15, 45. 4. Determina la razón, el quinto y el n-ésimo término de las sucesiones dadas.

Sucesión

Razón

a5

an

4, 12, 36,... 16, 8, 4,... 4, -8, 16,-32,... 49, 7, 1,...

Responde los siguientes cuestionamientos • ¿Se te facilitó el entendimiento del problema de la gráfica presentada? • ¿La información de la gráfica representa una sucesión? ¿Por qué? • Atendiendo a la información que te presenta la gráfica, ¿es posible determinar el modelo matemático?, ¿por qué? Es momento de reflexionar acerca de lo que hemos aprendido trabajando en los problemas. Para ello, forma un equipo de cuatro integrantes y contesta. • ¿Encontraron fácilmente qué tipo de sucesiones correspondía a cada uno de los ejercicios planteados?

• El texto que se les presenta en la redacción de las situaciones planteadas, ¿es continuo o discontinuo? ¿Por qué?

• Las gráficas mostradas, ¿fueron de utilidad para resolver los ejercicios?

• ¿Cómo fue tu desempeño en el trabajo individual?, ¿y en el grupal?

• ¿Dónde se les presentó mayor dificultad?

• Describan brevemente los procedimientos que siguieron para encontrar la solución de los ejercicios.

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3.1 SUCESIONES Y SERIES 1 2 3

Cálculo de los términos de una sucesión. Cálculo de los términos de una sucesión recursiva. Determinación del n-ésimo término de una sucesión.

1 Cálculo de los términos de una sucesión

Fn = Fn −1 + Fn − 2

an = 5 an −1 8

En matemáticas la palabra sucesión tiene prácticamente el mismo significado que en el lenguaje cotidiano. Cuando disponemos de una lista de números escritos en un orden específico lo que estamos obteniendo es una sucesión o progresión numérica. De tal suerte que si llamamos a1 al primer término, a2 al segundo término, a3 al tercer término y en general an al n-ésimo término de la lista, entonces la sucesión la podemos escribir de la siguiente manera a1, a2, a3, …, an. Y como a cada término an le corresponde un número natural n, una sucesión o progresión se define como una regla de dependencia entre los términos de la sucesión y los números naturales.

Sucesión. Es una lista de términos dispuestos en un orden específico de forma que quedan determinados por una regla de dependencia definida por el conjunto de los números naturales.

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Un ejemplo sencillo de una sucesión son los números impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … los puntos significan que la sucesión es indefinida y se llama precisamente sucesión infinita. El ejemplo nos muestra que efectivamente se trata de los números impares, pero para mayor exactitud es conveniente especificar un procedimiento para calcular todos y cada uno de los términos de la sucesión. En este caso, an 5 2n 2 1 porque cualquier número natural n multiplicado por 2 al que se resta 1 nos produce un número impar. La sucesión se escribe como sigue:

1,

3,

5,

7,

a1

a2

a3

a4

…,

2n 2 1,

…

an

Observe cómo la fórmula an 5 2n 2 1 nos permite obtener todos los términos de la sucesión. Por ejemplo, los primeros cuatro términos de la sucesión se obtienen así: Si n 5 1, entonces a1 5 2(1) 2 1 5 1 Otra forma de escribir las sucesiones es con la notación funcional:

Si n 5 2, entonces a2 5 2(2) 2 1 5 3

a(n) 5 2n 2 1 De manera que

Si n 5 3, entonces a3 5 2(3) 2 1 5 5

a(1) 5 2(1) 2 1 5 1, a(2) 5 2(2) 2 1 5 3, etcétera.

Si n 5 4, entonces a4 5 2(4) 2 1 5 7 Para calcular el centésimo término de esta sucesión se sustituye n por 100 en la expresión an 5 2n 2 1 a100 5 2(100) 2 1 5 199

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EJEMPLOS Calcule los 4 primeros términos y el centésimo término de cada una de las sucesiones siguientes. 1. an 5 2n 2. an 5 n2 2 1 3. an 5

n +1 n

4. an 5 (21)n

n-ésimo término

a1

a2

a3

a4

a100

1. an 5 2n

2

4

6

8

200

2

0

3

8

15

9999

n +1 n

2

3 2

4 3

5 4

101 100

21

1

21

1

1

2. an 5 n 2 1 3. an 5

4. an 5 (21)n

Solución En el ejemplo 4 observe cómo se alternan los signos producto de las potencias pares e impares. 5. Calcule y grafique los primeros seis términos de la sucesión an 5

1 n

Solución Como los términos de una sucesión dependen de los números naturales, su gráfica se puede trazar a partir de un plano cartesiano.

an 5 1,

1 1 1 1 1 1 , , , , , …, , … 2 3 4 5 6 n

an 1

1

Observe que los puntos de la sucesión no están conectados.

2

3

4

5

6

n

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EJERCICIOS Calcule los primeros 4 términos y el milésimo término de cada sucesión. n-ésimo término

a1

a2

a3

a4

a1000

1. an 5 n 1 1 2. an 5

1 n +1

3. an 5

( −1)n n2

4. an 5 1 1 (21)n 5. an 5 2n 1 3 6. an 5 n2 1 1 7. an 5

1 n2

8. an 5 (21)n11

n n +1

Ahora calcule y grafique los primeros seis términos de la sucesión an 5

( −1)n +1 n

an 1

1

2

3

4

5

6

n

21

2 Cálculo de los términos de una sucesión recursiva Una sucesión recursiva ocurre cuando tenemos definido un primer término de ésta y queremos conocer el siguiente término de la sucesión como consecuencia del término anterior.

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EJEMPLO

1. Calculemos los 5 primeros términos de la sucesión recursiva

an 5 an21 1 2 y a1 5 1.

Solución Observe que calcularemos el segundo término a partir del primero, el tercero a partir del segundo, el cuarto a partir del tercero, y así sucesivamente. Como a1 5 1 podemos calcular los demás términos a partir de éste como sigue: a2 5 a1 1 2 5 1 1 2 5 3 a3 5 a2 1 2 5 3 1 2 5 5 a4 5 a3 1 2 5 5 1 2 5 7 a5 5 a4 1 2 5 7 1 2 5 9 a6 5 a5 1 2 5 9 1 2 5 11 Los primeros cinco términos de la sucesión son 1, 3, 5, 7, 9, … Observe que si quisiéramos calcular el vigésimo término tendríamos que conocer el décimonoveno. 2. Sucesión de Fibonacci. Esta sucesión toma su nombre de su descubridor, un mate-

mático italiano del siglo XIII, Fibonacci (1175-1250), que la utilizó para resolver un problema acerca de la cría de conejos. Es importante mencionar que este comportamiento también se presenta en muchas otras aplicaciones de la naturaleza. La sucesión en mención se comporta recursivamente de la siguiente manera: Fn 5 Fn21 1 Fn22 siendo F1 5 1 y F2 5 1, de forma que F3 5 F2 1 F1 5 1 1 1 5 2 F4 5 F3 1 F2 5 2 1 1 5 3 F5 5 F4 1 F3 5 3 1 2 5 5 Es claro que cada término es tan sólo la suma de los dos que le preceden. Por lo tanto, los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … A continuación le mostramos dos ejemplos de la naturaleza donde se manifiesta la sucesión de Fibonacci.

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EJERCICIOS 21

13

8

3 5

2 5

11 3

8

2

1 34 1

Sucesión de Fibonacci en las ramas de un árbol Espiral de Fibonacci

Calcule los primeros 5 términos de cada sucesión definida en forma recursiva.

n-ésimo término 1. an 5 7 2 an21

si a1 5 5

2. an 5

an−1 2

3. an 5

1 an21 si a1 5 128 4

si a1 5 28

4. an 5 2an21 1 1 5. an 5 (an21)n21

6. an 5

1 1 + an −1

si a1 5 1 si a1 5 2

si a1 5 1

a1

a2

a3

a4

a5

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7. Sucesión de Bode. La sucesión de Bode, definida por

a1 5 0.4,

ak 5 0.1(3 ? 2k22 1 4) para valores de k $ 2

es útil en el cálculo de las distancias entre los planetas y el Sol. Estas distancias se miden en unidades astronómicas (UA), con 1 UA 5 93 000 000 millas. Por cierto, el tercer término corresponde a la Tierra. Calcule los primeros cinco términos de la sucesión.

8. Interés compuesto. Se depositan $1,000 en una cuenta que gana 8% de intere-

ses compuestos trimestralmente. El saldo en la cuenta, después de n trimestres, está dado por n ⎡ 0.08 ⎤ An 5 1000, ⎢1 + donde n 5 1, 2, 3, … 4 ⎥⎦ ⎣ Calcule los cinco primeros términos de la sucesión y encuentre el saldo después de cinco años.

9. Costo de hospitalización. El costo promedio de un día en un hospital, de 1980 a

1987, está dado por el modelo an 5 242.67 1 42.67n

donde

n 5 0, 1, 2, …,7

en donde an es el costo promedio en dólares y n es el año, n 5 0 correspondiente a 1980. Encuentre los siete términos de esta sucesión finita.

3 Determinación del n-ésimo término de una sucesión Determinar patrones de comportamiento es muy importante en matemáticas y a veces no resulta fácil.Vamos ahora a tratar la situación inversa, dada una sucesión de números, intentaremos encontrar una expresión que represente el n-ésimo término de ésta.

EJEMPLO 1 Calcule el n-ésimo término de una sucesión cuyos primeros términos son los siguientes: a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, … b) 22, 4, 28, 16, 232, 64, …

Solución a) Se observa que los números de esta sucesión son potencias de 2, por lo tanto, la expresión que coincide con este patrón es an 5 2n 5 21, 22, 23, 24, …

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b) Se observa que los números de esta sucesión son potencias de 2, pero tienen los signos alternados, por lo tanto, la expresión que coincide con este patrón es an 5 (21)n2n Recordemos que para alternar signos es necesario utilizar como factor el término (21)n.

EJEMPLO 2 Crecimiento de bacterias. La cantidad de bacterias en cierto cultivo es inicialmente de 500 y el cultivo se duplica todos los días. Encuentre una fórmula para calcular la población bacteriana después de n días y la cantidad de bacterias luego de 1, 2 y 3 días.

Solución Llamemos a0 la cantidad de bacterias al iniciar el cultivo, es decir a0 5 500. Por consiguiente, la población de bacterias después de n días es an 5 2an21, luego, el número de bacterias después del primer día será de a1 5 2a0 5 2(500) 5 1000 el segundo día a2 5 2a1 5 2(1000) 5 2000 y el tercero a3 5 2a2 5 2(2000) 5 4000

EJERCICIOS Calcule una fórmula que nos dé el n-ésimo término de la sucesión cuyos primeros términos son los siguientes.

1. 2, 4, 8, 16, …

an 5

2. 1, 4, 7, 10, …

an 5

3. 1,

4.

3 , 5 , 7 , 9 ,… 4 9 16 25

3 , 4 , 5 , 6 ,… 4 5 6 7

5. 0, 2, 0, 2, 0, 2, …

an 5

an 5 an 5

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6. Niveles de cloro. Cuando se agrega cloro al agua de las piscinas, el nivel de éste

no debe ser mayor a 3 ppm (partes por millón). Si esto ocurre, los nadadores sentirán que les arden los ojos e incomodidad en la piel; si el nivel baja a menos de 1 ppm, hay posibilidades de que el agua tome un tono verdoso por la gran cantidad de algas. El cloro debe agregarse al agua a intervalos regulares. Si no se aplica a una piscina en un periodo de 24 horas, alrededor del 20% del cloro se disipará en la atmósfera y el 80% permanecerá en el agua. a) Demuestre que la sucesión recursiva an 5 (0.20)na0 expresa la cantidad de cloro presente después de n días si la alberca tiene a0 ppm de cloro al principio y no vuelve a agregarse más. b) Si al principio la piscina tiene 7 ppm de cloro, elabore una tabla para hallar el primer día en que el nivel del cloro bajará de las 3 ppm.

Día ppm

3.2 NOTACIÓN SUMATORIA 1

Propiedades de la sumatoria.

En esta sección veremos que dada una sucesión a1, a2, a3, …, an, la suma de sus términos se puede representar con una notación muy útil y cotidiana en matemáticas que se conoce como notación sigma o sumatoria. El nombre tiene su origen en la letra mayúscula sigma del alfabeto griego ∑ y que corresponde a nuestra letra “s”.

Definición de la notación sigma La suma de n términos a1, a2, a3, …, an se denota por n

∑ ak k =1

5 a1 1 a2 1 a3 1 … 1 an

donde k se llama índice de la suma, ak es el k-ésimo término y los límites inferior y superior de la suma son 1 y n, respectivamente, es decir, el primero y último término de la sumatoria.

EJEMPLO 1 Observe las sumas en la parte izquierda de la tabla y analice cómo es su representación simbólica con sumatoria en la parte de la derecha.

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Suma

Notación sumatoria 10

∑k

1. 1 1 2 1 3 1 … 1 10

k =1

10

∑ k2

2. 12 1 22 1 32 1 … 1 102

k =1

10

∑i

3. 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10

i= 5

n

∑ Ak

4. A1 1 A2 1 A3 1 … 1 An

k =1

5.

n

∑ 1n ( j 2 + a )

1 (12 + a ) + 1 ( 2 2 + a ) + 1 ( 32 + a ) +…+ 1 ( n 2 + a ) n n n n

j =1

6

∑2

6. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

i=1

EJEMPLO 2 Calcule las siguientes sumas: 4

a)

5

∑ k2

b)

k =1

10

∑ 1k

c)

k=3

i=5

4

Solución a)

∑ k 2 = 12 + 2 2 + 32 + 4 2 = 30

∑i =

5

b)

k =1

47 ∑ 1k = 13 + 41 + 15 = 60

k=3

10

c)

∑ i = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45 i=5

1 Propiedades de las sumatorias n

1.

n

∑ cak = c ∑ ak k =1

donde c es una constante.

k =1

EJERCICIOS 1. Determine la suma indicada.

2.

n

n

n

k =1

k =1

k =1

∑ ( a k ± bk ) = ∑ a k ± ∑ bk

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Notación sumatoria

Suma

3

a)

∑ (2 k − 1) k =1 4

b)

∑ k2 k =1 3

c)

∑ 1k k =1 8

d)

∑ ⎡⎣1 + (−1) j ⎤⎦ j =1 5

e)

∑ 2 k −1 k =1

100

f)

∑ (−1)k k =1

2. Use la notación sigma para indicar la suma dada en la siguiente tabla:

Suma a) 1 1 2 1 3 1 … 1 n

b) 2 1 4 1 6 1 … 1 20

c)

a + a + a +…+ a 1+1 1+ 2 1+ 3 1 + 10

d) A1 1 A2 1 A3 1 … 1 An

e) 12 1 22 1 32 1 … 1 102

Notación sumatoria

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3.3 SUCESIONES ARITMÉTICAS 1 2

Suma de una sucesión aritmética. Media aritmética.

Probablemente la forma más sencilla de generar una sucesión es comenzar con un número a y sumarle una constante d a cada término consecutivo.

Sucesión aritmética. Es una sucesión de la forma

a,

a 1 d,

a 1 2d,

a 1 3d,

a 1 4d, …

donde a es el primer término y d es la diferencia común de la sucesión entre dos términos consecutivos. Por lo tanto, el n-ésimo término de una sucesión aritmética se calcula con la expresión an 5 a 1 (n 2 1)d

EJEMPLO 1 Si a 5 2 y d 5 3 calcule los 4 primeros términos y el n-ésimo término de la sucesión aritmética.

Solución a1 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (1 2 1)(3) 5 2 a2 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (2 2 1)(3) 5 5 a3 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 (3 2 1)(3) 5 8 an 5 a 1 (n 2 1)d 5 2 1 3(n 2 1)

EJEMPLO 2 Encuentre el n-ésimo término de la sucesión aritmética. 5, 2, 21, 24, 27, …

Solución La diferencia común se obtiene restando dos términos consecutivos, por lo tanto, d 5 23 y el n-ésimo término de la sucesión es an 5 5 2 3(n 2 1)

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EJEMPLO 3 Encuentre los cinco primeros términos y el 100-ésimo término de la sucesión. 17, 12, …

Solución El primer término es 17, por lo tanto, a 5 17 y la diferencia entre dos términos consecutivos es d 5 12 2 17 5 25, luego an 5 17 2 5(n 2 1) a1 5 17 2 5(1 2 1) 5 17 a2 5 17 2 5(2 2 1) 5 12 a3 5 17 2 5(3 2 1) 5 7 a4 5 17 2 5(4 2 1) 5 2 a5 5 17 2 5(5 2 1) 5 23 a100 5 17 2 5(100 2 1) 5 2478 Los primeros seis términos de la sucesión son 17, 12, 7, 2, 23, 28 y el 100-ésimo es 2478.

EJEMPLO 4 El undécimo término de una sucesión aritmética es 52 y el decimonoveno es 92. Calcule el 300-ésimo término.

Solución Para calcular el n-ésimo término de la sucesión necesitamos conocer a y d de la expresión an 5 a 1 (n 2 1)d. Al sustituir, obtenemos que a11 5 a 1 (11 2 1)d 5 52 entonces

a 1 10d 5 52

a19 5 a 1 (19 2 1)d 5 92 entonces

a 1 18d 5 92

Resolviendo el sistema de ecuaciones que aparecen en gris tendremos los valores de a y d. − a − 10 d = −52 multiplicando por − 1 a + 18 d = 92 8 d = 40 suumando las dos ecuaciones despejando tenemos que d 5

40 5 5 y a 5 52 2 10d 5 2. 8

El 300-ésimo término es a300 5 2 1 5(300 2 1) 5 1497. Es pertinente mencionar que es muy probable que el estudiante aún no esté familiarizado con la resolución de ecuaciones como las del ejemplo anterior, por eso la importancia de la mediación que el docente debe asumir.

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EJERCICIOS Determine la diferencia común, el cuarto término, el 100-ésimo y el n-ésimo de cada sucesión aritmética.

Sucesión aritmética

d

a4

a100

an

1. 2, 5, 8, 11, … 2. 1, 5, 9, 13, … 3. 212, 28, 24, 0, … 4. 25, 26.5, 28, 29.5, … 5. 2, 2 1 s, 2 1 2s, 2 1 3s, …

6. El duodécimo término de una sucesión aritmética es 32 y el quinto término

es 18. Calcule el 20-ésimo término.

7. El 100-ésimo término de una sucesión aritmética es 98 y la diferencia común

es 2. Calcule los tres primeros términos.

8. El vigésimo término de una sucesión aritmética es 101, y la diferencia común

es 3. Calcule los dos primeros términos.

1 Suma de una sucesión aritmética Reflexione esta pregunta: ¿cuál es la suma de los números 1, 2, 3,…, 100? Anécdota de Gauss. Cuenta la historia que cuando el célebre matemático C. F. Gauss estaba en la escuela, su profesor planteó esta suma a la clase para mantenerlos ocupados. Gauss dio la respuesta correcta casi de inmediato. Se fijó que los números guardan un patrón de comportamiento y supuso que la suma también, así que hizo el procedimiento siguiente: Dispuso la suma de los números en orden ascendente y después en orden descendente y sumó de la siguiente manera: S = 1 + 2 + 3 +…+ 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 +…+ 3 + 2 + 1 2 S = 1011 + 101 + 101 +…+ 101 + 101 + 101

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Es evidente que 10100 5 5050. 2 Naturalmente que este procedimiento puede generalizarse para hallar la suma de los n primeros términos de cualquier sucesión aritmética; así 2S 5 (1 1 100)100 5 (101)100 5 10, 100, por lo tanto, S 5

Sn 5 a 1 (a 1 d) 1 (a 1 2d) 1 (a 1 3d) 1 … 1 an y Sn 5 an 1 (an 2 d) 1 (an 2 2d) 1 (an 2 3d) 1 … 1 a Sumando ambas expresiones tenemos que 2Sn 5 (a 1 an) 1 (a 1 an) 1 (a 1 an) 1 … 1 (a 1 an) Hay n términos idénticos en el lado derecho de esta ecuación, por eso 2Sn 5 n(a 1 an) Sn 5

n (a 1 an) 2

Pero recuerde que an 5 a 1 (n 2 1)d es el n-ésimo término de la sucesión, así que la suma la podemos escribir como Sn 5

n n [a 1 a 1 (n 2 1)d] 5 [2a 1 (n 2 1)d] 2 2

Suma de los n términos de una sucesión aritmética

La suma Sn 5 a 1 (a 1 d) 1 (a 1 2d) 1 (a 1 3d) 1 … 1 an de los n primeros términos de una sucesión aritmética los podemos calcular con cualquiera de las siguientes fórmulas. n n 1. Sn 5 (a 1 an) 2. Sn 5 [2a 1 (n 2 1)d] 2 2

EJEMPLO 1 Calcule la suma de los primeros 50 números pares.

Solución En este caso a 5 2 y d 5 2. El n-ésimo término de esta sucesión es an 5 2n, por lo que a50 5 2(50) 5 100. Por tanto la suma buscada es S50 5

n 50 (a 1 a50) 5 (2 1 100) 5 2550 2 2

EJEMPLO 2 Calcule la suma de los 40 primeros términos de la sucesión aritmética 3, 7, 11, 15, …

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Solución Para esta sucesión a 5 3 y d 5 4, entonces a40 5 3 1 4(40 2 1) 5 159, luego la suma de los 40 términos de la sucesión es

S40 5

n 40 (a 1 a40) 5 (3 1 159) 5 3240 2 2

EJEMPLO 3 Un teatro tiene 50 filas de asientos, y en la primera fila hay 20 butacas, 22 en la segunda, 24 en la tercera y así sucesivamente. Calcule la cantidad total de butacas.

Solución La cantidad de asientos forman una sucesión aritmética con a 5 20 y d 5 2. Entonces, utilizando la segunda fórmula, la suma de butacas es

S50 5

n 50 [2a 1 (n 2 1)d] 5 [2 ? 20 1 2(50 2 1)] 5 3450 asientos 2 2

EJEMPLO 4 El valor inicial de un auto es de 12,500 dólares. Su depreciación anual es de 1,875 dólares. Calcule el valor del auto después de 5 años.

Solución El valor de d 5 21875 y el de a 5 12500 2 1875 5 10625, por lo tanto, estamos buscando a5 y éste es a5 5 10625 1 (5 2 1)(21875) 5 3125 dólares. Observe la siguiente tabla para una mejor comprensión.

Tiempo Valor

Primer año Segundo año Tercer año $10,625

$8,750

$6,875

Cuarto año

Quinto año

$5,000

$3,125

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EJERCICIOS Determine las sumas indicadas en la siguiente tabla.

Suma parcial

Sn = n ( a1 + an ) 2

1. 1 1 5 1 9 1 … 1 401

2. 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11

⎛ ⎝

3. −3 + −

3 ⎞ + 0 + 3 + 2 +…+ 30 2⎠ 2

4. 2 1 4 1 6 1 8 1 … 1 150

5. 0.7 1 2.7 1 4.7 1 … 1 56.7

6. Se almacenan postes de teléfonos en una pila con 25 postes en la primera fila,

24 en la segunda, y así sucesivamente. Si hay 12 capas, ¿cuántos postes hay en la pila?

7. Una persona recibe una oferta de trabajo con un salario de $30,000 anuales,

y le prometen aumentos anuales de $2,300. Calcule sus ingresos totales en 10 años de trabajo.

$403,500 8. En un cine al aire libre hay lugares para estacionar 20 automóviles en la primera

fila, 22 en la segunda, 24 en la tercera, y así sucesivamente. Si hay 21 filas en ese cine, calcule la cantidad de autos que se pueden estacionar.

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9. Un concursante obtendrá 5 premios en efectivo por un total de $5,000 y habrá

una diferencia de $100 entre premios sucesivos. Encuentre el primer premio.

$800 10. Un arquitecto diseña un teatro con 15 butacas en la primera fila, 18 en la se-

gunda, 21 en la tercera, etcétera. Si el teatro debe tener 870 lugares, ¿cuántas filas debe haber en el diseño?

11. Cuando un objeto se deja caer libremente desde un globo de aire caliente, cae

16 pies en el primer segundo, 48 pies en el siguiente segundo, 80 en el siguiente y así sucesivamente. Calcule la distancia total que cae el objeto en 6 segundos.

576 pies

2 Media aritmética La media aritmética (promedio) entre dos cantidades a y b es m5

a+b 2

a

m

b

y es evidente que está a la misma distancia de a que de b, por lo que a, m y b forman una sucesión aritmética. En general, si m1, m2, …, mk están espaciadas a intervalos iguales entre a y b de tal manera que a, m1, m2, …, mk, b forman una sucesión aritmética, se dice entonces que m1, m2, …, mk son las medias aritméticas entre a y b.

EJEMPLO Intercale 3 medias aritméticas entre 10 y 18.

Solución Podemos considerar una sucesión aritmética con los términos a 5 10 y a5 5 18. Por lo tanto, la diferencia común se calcula de la siguiente manera 18 5 10 1 (5 2 1)d despejando tenemos que d 5

18 − 10 52 4

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De esta forma, las medias aritméticas son m1 5

a 1 d 5 10 1 2 5 12

m2 5 m1 1 d 5 12 1 2 5 14 m3 5 m2 1 d 5 14 1 2 5 16

EJERCICIOS 1. Intercale 2 medias aritméticas entre 10 y 18.

2. Un doctor desea aumentar la dosis de medicina de 100 mg a 300 mg por día

a un paciente en 5 etapas iguales. ¿Cuántas medias aritméticas debe insertar entre 100 y 300 para administrar la sucesión de dosis diarias y cuánto valen esas medias?

3. Las ganancias de 3 años de un negocio están en progresión aritmética. El pri-

mer año ganó 12,500 dólares y el tercero 20,500. ¿Cuál fue la ganancia en el segundo año?

16,500 dólares 4. Se desea construir una escalera con nueve peldaños espaciados igualmente de

forma que la distancia entre ellos disminuya de manera uniforme, de 24 pulgadas en la base a 18 pulgadas en la parte superior. Determine las distancias de los siete peldaños intermedios.

a1 5 18

a9 5 24

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3.4 SUCESIONES GEOMÉTRICAS 1

Suma de una sucesión geométrica.

Otra técnica muy sencilla para generar una sucesión es iniciar con un número a y multiplicarlo en forma repetida por una constante r que no sea cero. Observe cómo se comportaría la sucesión y cómo se obtiene el n-ésimo término de tal sucesión. a1 5 a a2 5 ar a3 5 (ar)r 5 ar2 a4 5 (ar2)r 5 ar3 O an 5 arn21 Por consiguiente, la sucesión es de la forma a, ar, ar2, ar3, ar4, …, arn21 y se llama sucesión geométrica.

Sucesión geométrica. Es una sucesión de la forma

a, ar, ar2, ar3, ar4, …, arn21 donde a es el primer término y r es el factor común de la sucesión entre dos términos consecutivos. Por tanto el n-ésimo término de una sucesión aritmética se calcula con la expresión an 5 arn21

EJEMPLO 1 Si a 5 2 y r 5 3, se forma la sucesión geométrica 2, 2 ? 3, 2 ? 32, 2 ? 33, 2 ? 34, …, an 5 2(3)n21 o bien, 2, 6, 18, 54, 162, …, an 5 2(3)n21

EJEMPLO 2 La sucesión 2, 210, 50, 2250, 1,250, …, an 5 2(25)n21 es geométrica con a 5 2 y r 5 25. Note que el factor común r se obtiene dividiendo un término consecuente entre el antecedente, r 5

−10 50 5 5 25. 2 −10

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EJEMPLO 3 La sucesión 1, 1, 1, ⎛ 1⎞ …, 1 ⎝ 2⎠ 2 4 8

1,

es geométrica con a 5 1 y r 5

n −1

1 . 2

EJEMPLO 4 Las sucesiones geométricas también se encuentran en la naturaleza. Si una pelota se deja caer desde 2 metros de altura, rebota sólo 2

2 ⎛ 1⎞ 5 de su posición inicial. El ⎝ 3⎠ 3

2⋅1 = 2 , y así sucesivamente. Por consiguiente, 3 3 9

segundo rebote llega a una altura de

la altura hn es la n-ésima altura en el n-ésimo rebote y viene dada por hn = 2 ⎛ 1 ⎞ 3 ⎝ 3⎠

n −1

= 2 ⋅ n1−1 = 2 ⋅ 1n = 2 ⎛ 1 ⎞ ⎝ 3⎠ 3 3 3

n

h 2

1 2 3 2 9

1

2

3

t

EJEMPLO 5 Calcule el octavo término de la sucesión 5, 15, 45.

Solución Es claro que a 5 5 y que r 5 15 5 3, de manera que el octavo término de la suce5

sión es a8 5 arn21 5 5(3)7 5 10,935.

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EJERCICIOS Determine si la sucesión es geométrica. Si lo es, calcule la razón. Sucesión

Razón

1. 2, 4, 8, 16, … 2. 2, 6, 8, 36, …

3. 3,

3 , 3 , 3 ,… 2 4 8

4. 27, 29, 3, 21, …

Determine la razón, el quinto y el n-ésimo término de las sucesiones dadas. Sucesión

Razón

a5

an

5. 4, 12, 36, … 6. 16, 8, 4, … 7. 4, 28, 16, 232, … 8. 49, 7, 1, …

9. 1,

2 , 2, 2 2 , …

10. El primer término de una sucesión geométrica es 3 y el tercero es 4. Calcule el

quinto término.

11. El primer término de una sucesión geométrica es 8 y el segundo término es 4.

Calcule el quinto término.

R.

1 2

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12. La razón de una sucesión geométrica es

2 5 y el cuarto término es . 5 2

Calcule el tercer término.

13. Si el valor de un automóvil es de $120,000 y se deprecia un 10% anualmen-

te, ¿cuál será el valor del auto después de 5 años? Calcule el valor utilizando la fórmula y compruebe su resultado completando la siguiente tabla.

Año

1

2

3

4

5

Valor del automóvil

R. 70,858.8

14. En cierto cultivo, el número de bacterias se duplica cada día. Si hay 1,000 bacte-

rias al final del primer día, ¿cuántas habrá después de 6 días? Calcule el valor utilizando la fórmula y compruebe su resultado completando la siguiente tabla.

Día

1

2

3

4

5

6

Núm. de bacterias

15. Una población tiene 200,000 habitantes y crece a razón del 1.2% cada año.

Estime la población en 30 años.

R. 282,660

1 Suma de una sucesión geométrica Supongamos que se propone ahorrar guardando 1 centavo el primer día, 2 centavos el segundo, 4 el tercero y así sucesivamente. Si continúa duplicando la cantidad guardada durante 30 días, ¿cuánto tendrá al final del mes? Cuando trate de encontrar la respuesta, se dará cuenta que sería útil tener una fórmula que nos permita obtener la suma de todas esas cantidades de una manera más fácil. Para deducir una fórmula que nos permita calcular la suma Sn de los n términos de una sucesión geométrica Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 … 1 arn21

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multiplicamos a Sn por r y luego lo restamos de Sn, obteniendo así Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 … 1 arn21 2ar 2 ar2 2 ar3 2 … 2 arn21 2 arn

2rSn 5

2 arn

Sn 2 rSn 5 a 1 Así, Sn(1 2 r) 5 a(1 2 rn) Sn 5

a (1 − r n ) ; 1− r

r?1

Este resultado se resume como sigue:

La suma Sn 5 a 1 ar 1 ar2 1 ar3 1 … 1 arn21 de los n primeros términos de una sucesión geométrica es igual a Sn 5

a (1 − r n ) ; 1− r

r?1

EJEMPLO 1 Ahora ya podemos calcular de manera muy rápida la cantidad de dinero total guardada al cabo de 30 días si guarda 1 centavo el primer día, 2 el segundo, 4 el tercero y así sucesivamente, usando la fórmula anterior con a 5 1 y n 5 30 se obtiene

S30 5

1(1 − 2 30 ) 5 1 073 741 823 centavos 1− 2

por tanto la cantidad total ahorrada es 10,737,418.23 pesos.

EJEMPLO 2 Determine la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica 1, 0.5, 0.25, 0.125, …

Solución La suma requerida de esta sucesión con a 5 1 y r 5 0.5 5 0.5 es 1

Sn 5 1

1 − ( 0.5 )10 5 1.998047 1 − 0.5

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5

EJEMPLO 3 Calcule la suma

∑ 7(−2 )k k =1

Solución Si desarrollamos los primeros términos de la sumatoria tenemos que 5

∑ 7 (22)k 5 7(22)1 1 7(22)2 1 … 1 7(22)5 k =1

por lo tanto, a 5 7(22)1 5 214 y r 5

Sn 5 214

7 ( −2 )2 5 22, luego la suma pedida es 7 ( −2 )1

1 − ( −2 )5 1 − 32 33 5 214 5 214 ? 5 2154 1 + 2 1 − ( −2 ) 3

EJEMPLO 4 Un péndulo recorre una distancia de 20 cm en su primera oscilación. Después recorre el 80% de cada una de las oscilaciones anteriores. ¿Cuál es la distancia total recorrida después de 4 oscilaciones?

Solución Tenemos que encontrar S4 con a 5 20 y r 5 0.8. S4 5 20

1 − ( 0.8 ) 4 5 59.04 cm 1 − 0.8

EJERCICIOS Calcule la suma de la sucesión geométrica con las condiciones dadas. 1. a 5 5, r 5 2, n 5 6

S6 5 315 2. a 5

2 1 ,r5 ,n54 3 3

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3. a3 5 28, a6 5 224, n 5 6

S6 5 441 4. a2 5 0.12, a5 5 0.00096, n 5 4

10

5.

∑ 3 ⎛⎝ 12 ⎞⎠

k

k =1

Sn 5 2.997070

5

6.

∑ 7 ⎛⎝ 23 ⎞⎠

i

i=0

7. Un péndulo recorre una distancia de 20 cm en su primera oscilación. Después

recorre el 80% de cada una de las oscilaciones anteriores, ¿cuál es la distancia total recorrida después de 7 oscilaciones?

d 5 79.02 cm 8. Una pelota se deja caer desde una altura de 9 pies. Su elasticidad es tal que

siempre rebota y alcanza la tercera parte de la altura desde la que se le dejó caer. ¿Cuál es la distancia total recorrida por la pelota en el instante en que llega al suelo la quinta vez?

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9. La figura mostrada representa un árbol genealógico con la generación actual

(usted) y tres generaciones anteriores, con un total de 12 abuelos. Si buscara su historia familiar hasta 10 generaciones, ¿cuántos antepasados encontraría sin contar a sus padres y a usted?

Padre Usted Madre

1020

2 Media geométrica Si a y b son dos números reales positivos, un número positivo m se llama media geométrica de a y b si a, m, b forman una sucesión geométrica. Si la razón común es r, entonces r5

m b 5 , o sea m2 5 ab y m 5 a m

ab

vemos que la media geométrica de los números positivos a y b es

EJEMPLO Determine la media geométrica de los números 20 y 45.

Solución

m5

20 ⋅ 45 5

900 5 30

EJERCICIO Determine la media geométrica de los números 3 y 5.

ab .

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Actividades de cierre A continuación te presentamos un listado de productos que debes enviar al portafolio de evidencias. Cualquier duda que tengas para los envíos, consulta a tu profesor de informática. 1. El texto de los problemas. 2. La relación de temas que consultaste en tu libro. 3. Los modelos matemáticos que construiste de cada una de las áreas incluyendo las condiciones de cambio de dimensiones. 4. La solución de cada uno de los problemas que consideras relevantes. 5. Escribe brevemente los pasos que has seguido en la resolución de los problemas. 6. Escribe una opinión personal que pueda participar en un foro de discusión electrónico.

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BLOQUE IV

Realiza transformaciones algebraicas I • Identifica las operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios en una variable. • Identifica el producto de binomios, aplicando patrones de productos notables. • Comprende las técnicas de extracción de factor común simple y por agrupación. • Comprende las técnicas de factorización basadas en productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos.

A

l tratar de predecir si un atleta impondrá un récord nuevo, es frecuente que los periodistas y entrenadores comparen su ritmo y desempeño actual con el ritmo que mantuvo el poseedor del récord en épocas diferentes durante la estación en que lo rompió. Por ejemplo, se emplean proporciones para determinar cuántos jonrones necesitaría anotar un jugador durante los primeros 50 juegos de una temporada de béisbol, para estar en posibilidad de romper el récord de 73 jonrones que estableció Barry Bond en la temporada de 2001 de béisbol.

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BLOQUE IV • Realiza transformaciones algebraicas I • 127

Bloques IV y V Realiza transformaciones algebraicas I y II Unidades de competencia • Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números reales, expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables; empleando las literales para la representación, resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes con su vida cotidiana y escolar que le ayuden a explicar y describir su realidad. • Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje algebraico.

Atributos de las competencias genéricas 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Ante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Nota: Estas actividades de inicio se desarrollarán durante los bloques IV y V.

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Actividades de inicio Resuelve los problemas que te presentamos a continuación.

Problema 1 Observa los siguientes mapas:

(4x + 8)

(3x + 2)

(3x – 2)

(3x + 2) Fuente: usuarios.lycos.es/lizzyortiz/index.html

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Con base en lo observado contesta los siguientes cuestionamientos. 1. El área de la República Mexicana se expresa por:

2. El área del estado de Sinaloa se expresa por:

3. Si el área de la República Mexicana se expresa por: 9x2 – 9 y la magnitud del largo es el mismo que se muestra en el mapa. El ancho se expresará por:

4. Si el área del estado de Sinaloa se expresa por: 15x2 + 11x - 14 y uno de los lados se expresa por 3x – 2 como lo muestra el mapa; el otro lado se expresará por:

5. La razón de áreas de la República Mexicana y del estado de Sinaloa de manera simplificada como lo muestran los mapas es:

Actividades extra clase Efectúa las siguientes operaciones con polinomios de una variable: x + 5x2 – 2x + 3x2 = (8x2 – 5x3 – 4x) + (2x3 – 9x + 3x) + (4x2 – 3x3 + 2x) = (4y – 3y2 – 4y) – (8y2 – 3y3 –9y) = (11m2 – 13m3 – 15m) – (7m3 – 2m2 + 4m) – (–3m2 – 4m + 2m) = (4m + 2m2)(5m2 + 3m) = (3x2 – 5x)(2x + 4x3 – 3x3) = x3 + 5x2 – x = (x + 2) x2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 3) = (x + 3)(x – 3) = (3x2 – 5)(3x2 + 5) = (x + 5)2 = (3m2 – 5n3)2 = 4x2 + 2x2 + 10x + 12x5 = 8x5 + 12m2 – 16m3 + 20m7 =

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Factoriza las expresiones algebraicas siguientes. x2 – 9 = 16m4 – 36n2 = 9x2 + 30x + 25 = x2 – 12x + 36 = x2 – 5x – 14 = 3x2 + 8x + 5 = 5x2 – 2x – 7 = x2 + 3x + 2x + 6 = 4b2 – 10b + 10b – 25 = x2 + bx + ax + ab = Efectúa las operaciones de las fracciones algebraicas. 5x x2 · = 4y 10 3x – 2 4x – 1 · = 3x + 2 1 – 4x b2 + 7b + 12 b2 – 4b · 2 = 2b b – b – 12 9x3 3x ÷ 3 = y2 y x2 – 12x + 32 x2 – x – 12 ÷ = x2 – 6x – 16 x2 – 5x – 24

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4.1 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES 1 2 3 4 5

1

Identificar términos. Identificar términos semejantes. Reducir términos semejantes. Eliminar los paréntesis cuando están precedidos de un signo más o menos. Simplificar expresiones.

Identificar términos Las letras llamadas variables se emplean para representar números. Una variable puede representar diversos números. Como ya señalamos anteriormente, una expresión (o expresión algebraica) es un conjunto de números, variables, símbolos de agrupación y símbolos de operación. Ejemplos de expresiones x2 - 6,

5,

4x - 3,

21x + 52 + 6,

x + 3 4

Cuando una expresión algebraica consta de varias partes, a las partes que se suman se les denomina términos. La expresión 2x 3y 5 puede escribirse como 2x + (3y) + (5), por lo que podemos decir que la expresión 2x 3y 5 tiene tres términos: 2x, 3y, y 5. La expresión 3x2 2xy 5(x y) también tiene tres términos: 3x2, 2xy, y 5(x y). Al enumerar los términos de una expresión no es necesario indicar el signo al comienzo. Expresión

Términos

-2x + 3y - 8 1 3y2 - 2x + 2 7 + x + 4 - 5x

-2x, 3y, -8 1 3y2, -2x, 2 7, x, 4, -5x

31x - 12 - 4x + 2

31x - 12, -4x, 2

x + 4 x + 4 - 5x + 3 , -5x, 3 3 3 La parte numérica de un término se denomina coeficiente numérico, o simplemente coeficiente. En el término 6x, el 6 es el coeficiente numérico. Observe que 6x significa que la variable x se multiplica por 6. Término

Coeficiente numérico

3x 1 - x 2 41x - 32

3

2x 3

2 2x 2 , ya que significa x 3 3 3

x + 4 3

1 x + 4 1 , porque significa 1x + 42 3 3 3

-

1 2

4

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Siempre que un término aparezca sin coeficiente numérico, supondremos que es 1. Ejemplos x significa 1x 2

-x significa -1x 2

-x2 significa - 1x2

xy significa 1xy

-xy significa -1xy

x significa 1x

1x + 22 significa 11x + 22

-1x + 22 significa - 11x + 22

Si una expresión tiene un término que es un número (sin variable), nos referimos a éste como término constante, o simplemente constante. En la expresión x2 3x 4, el 4 es un término constante o una costante.

2

Identificar términos semejantes Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes. Los siguientes son ejemplos de términos semejantes y términos no semejantes. Observe que si dos términos son semejantes, sólo difieren en sus coeficientes numéricos. Términos semejantes 3x,

Términos no semejantes 3x, 2

-4x

4y, 6y

3x,

5,

x, 3

-6

31x + 12, 2

3x ,

4x

-21x + 12

2

4y

(Las variables difieren.) (Un término tiene una variable, el otro es una constante.)

2x, 3xy 3x, 4x

5ab, 2ab

(Un término tiene una variable, el otro es una constante.)

2

4a, 2ab

(Las variables difieren.) (Los exponentes difieren.) (Las variables difieren.)

EJEMPLO 1 Identifique los términos semejantes a) 2x + 3x + 4

b) 2x + 3y + 2

c) x + 3 + y -

1 2

d) x + 3x2 - 4x2

Solución a) 2x y 3x son términos semejantes. b) No hay términos semejantes. c) 3 y -

1 son términos semejantes. 2

✺

d) 3x2 y -4x2 son términos semejantes.

EJEMPLO 2 Identifique los términos semejantes. a) 5x - x + 6

b) 3 - 2x + 4x - 6

c) 12 + x2 - x + 7

Solución a) 5x y - x (o -1x) son términos semejantes. b) 3 y 6 son términos semejantes; 2x y 4x son términos semejantes. c) 12 y 7 son términos semejantes.

✺

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3

Reducir términos semejantes Con frecuencia, necesitamos simplificar expresiones mediante la reducción de términos semejantes. Reducir términos semejantes significa sumar o restar aquellos que en una expresión sean términos semejantes. Para hacerlo, empleamos el siguiente procedimiento. Reduzca términos semejantes 1. Determine cuáles términos son semejantes. 2. Sume o reste los coeficientes de los términos semejantes. 3. Multiplique el número que se haya encontrado en el paso 2 por la(s) variable(s) en común.

Los ejemplos 3 a 8 ilustran este procedimiento.

EJEMPLO 3 Reducir los términos semejantes: 5x 4x. Solución 5x y 4x son términos semejantes con x como la variable en común. Como 5 4 9, entonces 5x 4x 9x.

✺

3 5

2 3

EJEMPLO 4 Reducir los términos semejantes: x - x. Solución Como

3 3 2 9 10 1 2 1 - = = - , entonces x - x = - x. 5 3 15 15 15 5 3 15

EJEMPLO 5 Reducir los términos semejantes: 5.23a 7.45a. Solución Como 5.23 - 7.45 = - 2.22, entonces 5.23a - 7.45a = - 2.22a.

✺ ✺

EJEMPLO 6 Reducir los términos semejantes: 3x + x + 5. Solución 3x y x son términos semejantes. 3x + x + 5 = 3x + 1x + 5 = 4x + 5

✺

Debido a la propiedad conmutativa de la suma, el orden de los términos en la respuesta no tiene mucha importancia. Por ello, 5 4x también es una respuesta aceptable para el ejemplo 6. Generalmente, al escribir las respuestas enlistamos los términos que contienen variables en orden alfabético de izquierda a derecha, y dejamos el término constante en el extremo derecho. Al reacomodar los términos de los ejemplos 7 y 8, emplearemos las propiedades conmutativa y asociativa de la suma.

EJEMPLO 7 Reduzca los términos semejantes: 3b + 6a - 5 - 2a. Solución Los únicos términos semejantes son 6a y 2a. 3b + 6a - 5 - 2a = 6a - 2a + 3b - 5 = 4a + 3b - 5

Se ordenan los términos. Se reducen los términos semejantes.

EJEMPLO 8 Reduzca los términos semejantes: - 2x2 + 3y - 4x2 + 3 - y + 5. Solución 2 x2 y 4 x2 son términos semejantes. 3y 3

y y y 5

son semejantes. también son semejantes.

✺

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Al agrupar los términos que son semejantes, queda - 2x2 + 3y - 4x2 + 3 - y + 5 = - 2x2 - 4x2 + 3y - y + 3 + 5 -6x2 + 2y + 8 =

4

✺

Eliminar los paréntesis cuando están precedidos de un signo más o menos ¿Cómo eliminar los paréntesis en la expresión (4x 3)? Recordemos que cuando no se observa ningún coeficiente junto a la expresión, éste será igual a 1. Por tanto, se escribe 14x + 32 = 114x + 32

= 114x2 + 112132 = 4x + 3

Observe que (4x 3) 4x 3. Si a un paréntesis no lo precede ningún signo o lo hace un signo positivo, es posible eliminarlo sin tener que cambiar la expresión dentro de él. Ejemplos

1x + 32 = x + 3

12x - 32 = 2x - 3 +12x - 52 = 2x - 5 +1x + 2y - 62 = x + 2y - 6 Ahora, considere la expresión (4x 3). ¿Cómo eliminamos los paréntesis de esta expresión? En este caso, el coeficiente frente al paréntesis es 1, por lo que multiplicamos cada término de la expresión. -14x + 32 = - 114x + 32 = - 114x2 + 1- 12132

= - 4x + 1- 32 = - 4x - 3

Así, (4x 3) 4x 3. Si un signo negativo precede al paréntesis, cuando se elimina éste cambian los signos de todos los términos de adentro. Ejemplos - 1x + 42 = - x - 4

- 1-2x + 32 = 2x - 3

- 15x - y + 32 = - 5x + y - 3 -1- 4c - 3d - 52 = 4c + 3d + 5

6

Simplificar expresiones Al combinar lo que se aprendió en los análisis anteriores, obtenemos el siguiente procedimiento para simplificar una expresión.

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Para simplificar una expresión 1. Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. 2. Reduzca términos semejantes.

EJEMPLO 13 Simplifique 6 - 12x + 32. Solución

6 - 12x + 32 = 6 - 2x - 3

Emplee la propiedad distributiva.

= - 2x + 3

Reduzca términos semejantes.

Nota: 3 2x es lo mismo que 2x 3; sin embargo, generalmente escribimos primero el término que contiene la variable. ✺

EJEMPLO 14 Simplifique - a x - b + 3x 2 3

Solución

1 4

1 1 2 2 - a x - b + 3x = - x + + 3x Propiedad distributiva. 3 4 3 4 2 1 = - x + 3x + 3 4

Ordenar términos.

2 9 1 Escribir los términos de x con el MCD, que es 3. = - x + x + 3 3 4 =

7 1 x + 3 4

Reducir términos semejantes.

✺

En el ejemplo 14, observe que 73 x y 14 no pueden combinarse debido a que no son términos semejantes.

EJEMPLO 15 Simplificar la expresión x + 13x - 52 3 4

Solución

1 2

1 3 1 1 3 x + 13x - 52 = x + 13x2 + 1-52 Propiedad distributiva. 4 2 4 2 2 =

3 5 3 x + x 4 2 2

=

6 5 3 x + x 4 4 2

Escribir los términos de x con el MCD, que es 4.

=

5 9 x 4 2

Reducir los términos semejantes.

✺

EJEMPLO 16 Simplifique 312a - 52 - 31b - 62 - 4a Solución

312a - 52 - 31b - 62 - 4a = 6a - 15 - 3b + 18 - 4a Propiedad distributiva. = 6a - 4a - 3b - 15 + 18 Ordenar términos. = 2a - 3b + 3


✺

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SUGERENCIA

Es importante que distinga los conceptos término y factor. Al multiplicar dos o más expresiones, cada expresión es un factor del producto; por ejemplo, como 4 · 3 12, el 4 y el 3 son factores de 12. Como 3 · x 3x, el 3 y la x son factores de 3x. De manera similar, en la expresión 5xyz, los factores son 5, x, y y z. En una expresión, las partes que se suman son los términos de la expresión. Por ejemplo, la expresión 2x2 3x 4, tiene tres términos, 2x2, 3x y 4. Observe que los términos de una expresión pueden tener factores; por ejemplo, en el término 2x2, el 2 y la x2 son factores porque están multiplicados.

Solución de problemas Si n + n + n + } + } se representa como 3n + 2}, escriba una expresión para representar cada una de las siguientes. 1. 2. 3. 4.

n + | + | + n + | z + + z + + + x + y + ^ + ^ + x + y + y 2 + x + 2 + | + | + 2 + y

5. Enliste todos los factores positivos de 12. 6. Diga todos los factores positivos de 16. Reduzca los términos semejantes. 7. 3^ + 5n - ^ - 3n

En los ejercicios 5 y 6, considere lo siguiente. Los factores positivos de 6 son 1, 2, 3 y 6, ya que

8. 8 - 4 - 2 - 3

1#6 = 6 2#3 = 6 qq factores

4.2 EXPONENTES 1 2 3

1

Repasar los conceptos básicos de los exponentes. Aprender las reglas de los exponentes. Simplificar una expresión antes de utilizar la regla de la potencia expandida.

Repasar los conceptos básicos de los exponentes Para utilizar los polinomios necesitamos ampliar nuestro conocimiento de los exponentes . Revisemos los conceptos fundamentales en la expresión xn, denominamos base a la x, y a la n, exponente. xn se lee “x elevada a la n-ésima potencia”. x2 = ()* x#x 2 factores de x

#x#x#x x4 = x (')'* 4 factores de x

xm = ('')''* x#x#x#Á#x m factores de x

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EJEMPLO 1 Escribir xxxxyyy utilizando exponentes. Solución

x x)' x x* ('

y y y = x4y3 ()*

4 factores 3 factores de x de y

✺

Recuerde que cuando un término contiene una variable sin coeficiente numérico, suponemos que éste es igual a 1. Por ejemplo x = 1x y x2y = 1x2y. También recuerde que cuando una variable o un valor numérico no tienen exponente, suponemos que dicho exponente es 1. Por ejemplo, x = x1, xy = x1y1, x2y x2y 1 y 2xy2 = 21x1y2.

2

Aprender las reglas de los exponentes Ahora aprenderemos las reglas de los exponentes.

EJEMPLO 2 Multiplicar x4 # x3.

# $'%' x4 x3 & $'%'& x # x # x # x # x # x # x = x7

Solución

✺

En el ejemplo 2 mostramos que al multiplicar expresiones que tienen la misma base, ésta se conserva y sumamos los exponentes. Veamos la regla del producto para los exponentes. Regla del producto para los exponentes xm # xn = xm + n

En el ejemplo 2, demostramos que x 4 # x3 = x7. Este problema también hubiera podido resolverse mediante la regla del producto: x4 # x3 = x4 + 3 = x7.

EJEMPLO 3 Multiplique cada expresión usando la regla del producto. a) 32 # 3

b) 24 # 22

c) x # x4

Solución a) 32 # 3 = 32 # 31 = 32 + 1 = 33 o 27 c) x # x4 = x1 # x4 = x1 + 4 = x5

d) x3 # x6

b) 24 # 22 = 24 + 2 = 26 o 64 d) x3 # x6 = x3 + 6 = x9

✺

e) y4 # y7 = y4 + 7 = y11

CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

e) y4 # y7

Observe que en el ejemplo 3a) tenemos que 32 # 31 es igual a 33 y no 93.Al multiplicar potencias de la misma base, no multiplicamos las bases. CORRECTO

INCORRECTO

3 #3 = 3

32 # 31 = 93

2

1

3

El ejemplo 4 le ayudará a comprender la regla del cociente para exponentes.

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EJEMPLO 4 Dividir x5 , x3. x5 x # x # x #x#x 1x2 = = = x2 3 # # x x x 1 x

Solución

✺

Al dividir expresiones con la misma base, conservamos ésta y restamos el exponente del denominador del exponente del numerador. Regla del cociente para exponentes xm = x m - n, xn

x Z 0

En el ejemplo 4 demostramos que x 5>x3 = x2. Este problema también hubiera podido resolverse mediante la regla del cociente: x5>x3 = x5 - 3 = x2.

EJEMPLO 5 Dividir cada expresión de acuerdo con la regla del cociente. a)

Solución a)

35 32

b)

64 6

c)

x12 x5

35 = 35 - 2 = 33 o 27 32

x12 = x12 - 5 = x7 x5 z8 z8 = 1 = z8 - 1 = z7 e) z z c)


d)

y10

e)

y8

z8 z

64 64 = 1 = 64 - 1 = 63 o 216 6 6 10 y d) 8 = y10 - 8 = y2 y b)

✺

Observe que en el ejemplo 5a) tenemos que 35>32 es 33 y no 13. Al dividir potencias con la misma base, no se dividen las bases. CORRECTO

INCORRECTO

33 = 32 o 9 31

33 = 12 31

La respuesta al ejemplo 5c), x12x5 es x7. Obtuvimos esta respuesta mediante la regla del cociente. También puede resolverse dividiendo los factores comunes del numerador entre los del denominador, así: 1x # x # x # x # x2 # x # x # x # x # x # x # x x 12 = = x7 1x # x # x # x # x2 x5 Dividimos entre el producto de las cinco x, que es x5. Indicamos este proceso en forma abreviada del siguiente modo. x 12 x5 # x7 = = x7 x5 x5 En esta sección, para simplificar una expresión cuando el numerador y el denominador tienen la misma base y el exponente del denominador es mayor que el del

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numerador, dividimos los factores comunes. Por ejemplo, simplificamos x5x12 con la división del factor común, x5, como sigue. x5 x5 1 = 5 7 = 7 12 x x x #x Ahora simplificaremos algunas expresiones dividiendo los factores comunes.

EJEMPLO 6 Simplificar dividiendo un factor común tanto del numerador como del denominador. a)

x9 x12

b)

y4 y9

Solución a) Como el numerador es x9, el denominador se escribe como factor de x9. Como x9 # x3 = x12, se rescribe x12 como x9 # x3. x9 x9 1 = = 3 9 # 3 12 x x x x b)

y4 y9

y4 =

y4 # y5

=

1 y5

✺

En la siguiente sección mostraremos otra forma de evaluar expresiones cox9 mo 12 mediante la regla del exponente negativo. x El ejemplo 7 nos conduce a otra regla, la regla del exponente cero.

EJEMPLO 7 Dividir

x3 . x3

Solución Según la regla del cociente, x3 = x3 - 3 = x0 x3 Sin embargo, x3 1x3 1# x # x # x 1 = = # # # = = 1 3 3 1 x x x 1 x 1x Como x 3>x3 = x0 y x3>x3 = 1, entonces x0 debe ser igual a 1.

✺

Regla del exponente cero x0 = 1,

x Z 0

Según la regla del exponente cero, cualquier número real, excepto 0, elevado a la potencia cero es igual a 1. Obsérvese que 00 no está definida.

EJEMPLO 8 Simplifique cada expresión. Suponga que x Z 0. a) 30

Solución a) 30 = 1 b) x0 = 1

b) x0

c) 3x0

d) 13x20

e) 4x2y3z0

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c) 3x0 = 31x02 = 3#1 = 3

Recuerde que el exponente afecta sólo al símbolo que lo precede inmediatamente, a menos que emplee paréntesis.

d) 13x20 = 1

✺

e) 4x2y3z0 = 4x2y3 # 1 = 4x2y 3


Una expresión elevada a la potencia cero no es igual a 0; es igual a 1. INCORRECTO

CORRECTO 0

x = 1

x0 = 0

50 = 1

50 = 0

Explicaremos la regla de la potencia con ayuda del ejemplo 9.

EJEMPLO 9 Simplifique (x3)2. 3# 3 1x32 = x()* x = x3 + 3 = x6 2

Solución

✺

2 factores de x3

Regla de la potencia para los exponentes n # 1xm2 = xm n

La regla de la potencia indica que cuando una expresión que ya está elevada a una potencia es elevada a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes. El ejemplo 9 también hubiera podido simplificarse con el empleo de la # regla de la potencia: 1x322 = x3 2 = x6.

EJEMPLO 10 Simplificar. a) 1x325 Solución a) 1x325 = x3 # 5 = x15 SUGERENCIA

b) 1342

2

c) 1y52

7

2 # b) 1342 = 34 2 = 38

7 # c) 1y52 = y5 7 = y35

✺

Con frecuencia los estudiantes confunden las reglas del producto y de la potencia. Observe con cuidado la diferencia. Regla del producto xm # xn = xm + n 3# 5 2 2 = 23 + 5 = 28

Regla de la potencia n # 1xm2 = xm n 3 5 3#5 12 2 = 2 = 2 15

El ejemplo 11 será útil para explicar la regla de la potencia expandida. Como el nombre sugiere, ésta es una expansión de la regla de la potencia.

EJEMPLO 11 Simplificar a Solución

ax 4 b . by a

ax 4 ax # ax # ax # ax b = by by by by by a#a#a#a#x#x#x#x a4 # x4 a4x4 = # # # # # # # = 4# 4 = 4 4 b b b b y y y y b y by

✺

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Regla de la potencia expandida para exponentes a

ax m amxm b = m m, by b y

b Z 0, y Z 0

La regla de la potencia expandida indica que elevamos cada factor dentro del paréntesis a la potencia indicada fuera de éste cuando simplificamos la expresión.

EJEMPLO 12 Simplifique cada expresión. a) 14x22

b) 1-x23

c) 15xy23

Solución a) 14x22 = 42x2 = 16x2

-3y 2 b 2z

b) 1-x23 = 1- 1x23 = 1- 123x3 = - 1x3 = - x3 d) a

c) 15xy23 = 53x3y3 = 125x3y3

3

d) a

1- 322y2 - 3y 2 9y2 b = = 2z 22z2 4z2

✺

Simplificar una expresión antes de utilizar la regla de la potencia expandida Siempre que tengamos una expresión elevada a una potencia, es útil simplificar lo que esté dentro del paréntesis antes de emplear la regla de la potencia expandida. Ilustramos este procedimiento en los ejemplos 13 y 14.

EJEMPLO 13 Simplificar ¢

9x3y2 3xy2

3

≤.

Solución En primer lugar simplificamos la expresión dentro del paréntesis, dividiendo los factores comunes.

¢

9x3y2 3xy2

3

3

≤ = ¢

9 # x3 # y2 3 ≤ = 13x22 3 x y2

Ahora utilizamos la regla de la potencia expandida para terminar. 13x22 = 331x22 = 27x6 3

Por tanto, ¢

SUGERENCIA CONSEJO PARA ESTUDIAR

9x3y2 3xy2

3

3

≤ = 27x6.

✺

Sea muy cuidadoso al escribir los exponentes. Por lo general son más pequeños que el resto del texto; tómese su tiempo, escríbalos con claridad y colóquelos en forma apropiada. Si no los escribimos con claridad es muy fácil confundir algunos de ellos, como 2 con 3, 1 con 4, o 0 con 6. Si escribimos o llevamos un exponente de un paso a otro de manera incorrecta, obtendremos una respuesta equivocada.

EJEMPLO 14 Simplificar ¢

25x4y3 5x2y7

4

≤.

Solución Comenzamos por simplificar la expresión dentro del paréntesis. ¢

25x4y3 5x2y7

4

≤ = ¢

4

25 # x4 # y3 5x2 = ≤ ¢ ≤ 5 x2 y7 y4

4

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Ahora utilizamos la regla de la potencia expandida para terminar. 541x22 5x2 625x8 = = ≤ 4 4 y y 16 1y42 4

¢

Por tanto, ¢


25x4y3 5x2y7

4

≤ =

4

625x8 . y16

✺

En ocasiones los estudiantes comenten errores al simplificar expresiones que contienen exponentes. Uno de los más comunes es el siguiente. Estúdielo con cuidado para asegurarse de no cometerlo. CORRECTO

INCORRECTO

2

2

4 4 2 = = 2x 2x x

4 2 4 = = x + 2 x + 2 x + 1

1

1

1

1

x x 1 = = xy xy y

x x 1 = = x + y x + y 1 + y

1

5x3y 2 y2

1 1 3 2

5x y =

y2

= 5x

1

5x3 + y2

3

y2

5x3 + y2 =

1

y2

= 5x3 + 1

1

Las simplificaciones del lado derecho no son correctas porque sólo los factores comunes se pueden dividir (recuerde que los factores se multiplican entre sí). En el primer denominador de la derecha, x 2, la x y el 2 son términos, no factores, puesto que se están sumando En forma similar, en el segundo denominador, x y, la x y la y son términos y no factores, ya que se están sumando. Asimismo, en el numerador 5x3 y2, el 5x3 y la y2 son términos, no factores. No es posible dividir ningún factor común en las fracciones del lado derecho.

EJEMPLO 15 Simplificar 13y3z22412y4z2

Solución En primer lugar simplificamos 13y3z224 por medio de la regla de la potencia expandida.

# # 4 13y3z22 = 34y3 4z2 4 = 81y12z8

Ahora empleamos la regla del producto para simplificar aún más. 13y3z22 12y4z2 = 181y12z8212y4z12 4

= 81 # 2 # y12 # y4 # z8 # z1 = 162y12 + 4z8 + 1 = 162y16z9 Por tanto, 13y3z22 12y4z2 = 162y16z9. 4

✺

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Resumen de las reglas de los exponentes que presentamos en esta sección 1. xm # xn = xm + n

Regla del producto

m

2.

x = x m - n, xn

Regla del cociente

x Z 0

3. x0 = 1,

Regla del exponente cero

x Z 0 n # 4. 1xm2 = xm n 5. a

ax b by

m

Regla de la potencia

m m

=

a x , bm y m

b Z 0, y Z 0 Regla de la potencia expandida

Solución de problemas 1. ¿Cuál es el valor de x2y, si x 4 y y 2?

5. Considere la expresión (x5y7)9. Si utilizamos la regla de la potencia expandida para simplificar esta expresión, ¿el signo de la expresión simplificada será positivo o negativo? Explique cómo determinó su respuesta.

2. ¿Cuál es el valor de xy2, si x 3 y y 4? 3. ¿Cuál es el valor de (xy)0, si x 2 y y 4? 4. ¿Cuál es el valor de (xy)0, si x 5 y y 3?

Escriba una expresión para calcular el área total de la figura o figuras que se muestran. 6.

7x2

7.

x

x y

x

x

y x

4.3 EXPONENTES NEGATIVOS 1 2

1

Entender la regla del exponente negativo. Simplificar expresiones que contienen exponentes negativos.

Entender la regla del exponente negativo Una regla adicional que involucra a los exponentes, es la del exponente negativo. Necesitamos entender los exponentes negativos para tener éxito con la notación científica que estudiaremos en la siguiente sección. Desarrollaremos la regla del exponente negativo por medio de la regla del cociente, que ilustramos en el ejemplo 1.

EJEMPLO 1 Simplifique la expresión x3x5, a) con la regla del cociente, y b) con la división de los factores comunes.

Solución a) Con la regla del cociente, x3 = x3 - 5 = x -2 x5 b) Con la división de los factores comunes, 1 x3 x#x#x = 2 = 5 # # # # x x x x x x x

✺

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En el ejemplo 1, vemos que x3x5 es igual tanto a x2 como a 1x2. Por tanto, x debe ser igual a 1x2; es decir, x2 1x2. Éste es un ejemplo de la regla del exponente negativo. 2

Regla del exponente negativo x -m =

1 , xm

x Z 0

Cuando elevamos una variable o número a un exponente negativo, podemos reescribir como 1 dividido entre la variable o número elevados al mismo exponente, pero con signo positivo. Ejemplos


1 x6 1 = 7 y

1 1 = 16 42 1 1 = 3 = 125 5

x -6 =

4-2 =

y -7

5-3

En ocasiones los estudiantes creen que un exponente negativo hace automáticamente que el valor de la expresión sea negativo. Eso no es verdad. EXPRESIÓN 3-2 x -3

CORRECTO 1 1 = 9 32 1 x3

INCORRECTO -32 -x3

TAMBIÉN

INCORRECTO

1 32 1 - 3 x -

Para ayudarlo apreciar que la regla del exponente negativo tiene sentido, considere la siguiente secuencia de expresiones exponenciales y sus valores correspondientes. 2 3 = 8, 2 2 = 4, 2 1 = 2, 2 0 = 1, 2 -1 =

1 1 1 1 1 1 o bien , 2 -2 = 2 o bien , 2 -3 = 3 o bien 2 4 8 2 2 21

Observe que cada vez que el exponente disminuye una unidad, el valor de la expresión se reduce a la mitad. Por ejemplo, si pasamos de 23 a 22, el valor de la expresión disminuye de 8 a 4. Si continuamos con la disminución de los exponentes más allá de 20 1, entonces el exponente que sigue en el patrón es 1. Y obtenemos la 1 mitad de 1 que es 12 . Este patrón ilustra que x -m = m . x

2

Simplificar expresiones que contienen exponentes negativos Por lo general, cuando simplifique una expresión exponencial, la respuesta final no debe contener exponentes negativos. Podemos simplificar expresiones exponenciales utilizando la regla del exponente negativo y las reglas presentadas en la sección anterior. Los siguientes ejemplos indican la manera de simplificar expresiones exponenciales que contienen exponentes negativos.

EJEMPLO 2 Utilice la regla del exponente negativo para escribir cada expresión con un exponente positivo. Simplifique las expresiones siempre que sea posible. a) x -3 b) y -4 c) 3-2 d) 5-1 e) -5-3 f) 1 -52-3

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1 x3 1 1 c) 3-2 = 2 = 9 3 1 1 -3 e) - 5 = - 3 = 125 5

Solución a) x -3 =

1 y4 1 = 5

b) y -4 = d) 5-1

f) 1-52-3 =

1 1 1 = = 3 -125 125 1-52

✺

EJEMPLO 3 Utilice la regla del exponente negativo para escribir cada expresión con un exponente positivo. 1 1 a) -2 b) -1 x 4

Solución En primer lugar, utilizamos la regla del exponente negativo en el denominador. Después, termine la operación. a)

SUGERENCIA

1 1 1 x2 = = # = x2 -2 2 1 1 x 1>x

b)

1 1 1 4 = = # = 4 1>4 1 1 4-1

✺

De los ejemplos 2 y 3, observamos que cuando un factor pasa del denominador al numerador o del numerador al denominador, el signo del exponente cambia. x -4 =

1 x4

1 = x4 x -4

3 -5 =

1 35

1 = 35 3 -5

Ahora resolveremos ejemplos adicionales en los que combinamos dos o más de las reglas que hemos presentado hasta este momento.

EJEMPLO 4 Simplifique las expresiones. Solución a) 1z-524 = z1-52142 = z = b) 1422

-3

a) 1z-52

4

b) 1422

-3

Por la regla de la potencia.

-20

1 z20

Por la regla del exponente negativo.

= 41221-32 Por la regla de la potencia. = 4-6 =

1 46


EJEMPLO 5 Simplifique las expresiones. Solución a) x3 # x -5 = x3 + 1-52 = x =

a) x3 # x -5

b) 3-4 # 3-7

Por la regla del producto.

-2

1 x2


✺

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b) 3-4 # 3-7 = 3-4 + 1-72 Por la regla del producto. = 3-11 =


1 311


✺

¿Cuánto vale la suma de 32 32? Estudie con cuidado la solución correcta. CORRECTO 32 + 3-2 = 9 + = 9

INCORRECTO 1 9

32 + 3 -2 = 0

1 9

Observe que 32 # 3-2 = 32 + 1-22 = 30 = 1.

EJEMPLO 6 Simplifique las expresiones. a) z-6 = z-6 - 12 z12

Solución a)

z-6 z12

b)

5-7 5-4

Por la regla del cociente.

= z-18 =

b)

1 z18

5-7 = 5-7 - 1-42 5-4


Por la regla del cociente.

= 5-7 + 4 = 5-3 =

1 1 o bien 125 53


✺

Debe leer cuidadosamente la siguiente Sugerencia

SUGERENCIA

Consideremos un problema de división en el que una variable tenga un exponente negativo ya sea en el numerador o en el denominador, como en el ejemplo 6a). Otra manera de simplificarla sería pasar la variable con el exponente negativo del numerador al denominador, o viceversa, y cambiamos el signo de ese exponente. Por ejemplo, x -4 1 1 1 = 5 4 = 5+4 = 9 x x5 x #x x y3 = y3 # y7 = y3 + 7 = y10 y -7 Ahora consideremos un problema de división en el que un número o variable tenga exponente negativo en ambos, tanto en el numerador o como en el denominador,

(continúa en la página siguiente)

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como en el ejemplo 6b). Otra manera de simplificar una expresión como ésa sería pasar la variable con el exponente negativo mayor del numerador al denominador, o del denominador al numerador, y cambiamos de negativo a positivo el signo del exponente. Por ejemplo, x -8 1 1 1 = 8 -3 = 8 - 3 = 5 -3 # x x x x x y -4 = y7 # y -4 = y7 - 4 = y3 y -7

EJEMPLO 7 Simplifique las expresiones. a) 7x416x -92 Solución a) 7x416x -92 = 7 # 6 # x4 # x -9 = 42x -5 = b)

c)

b)

Observe que 8 3. Note que 7 4.

16r3s -3 8rs2

c)

2x2y5 8x7y -3

42 x5

16r3s -3 16 # r3 # s -3 = 8 r s2 8rs2 1 2r2 = 2 # r2 # 5 = 5 s s 2x2y5 8x7y -3

=

2 # x2 # y5 8 x7 y -3

=

y8 1# 1 # 8 y = 4 x5 4x5

✺

En el ejemplo 7b), pasamos la variable con el exponente negativo, s3, del numerador al denominador. En el ejemplo 7c), pasamos del denominador al numerador la variable con el exponente negativo, y3. En cada caso, al mover al factor variable cambiamos el signo del exponente de negativo a positivo.

EJEMPLO 8 Simplifique 15x -32-2. Solución Empleando la regla de la potencia expandida. 15x -32


-2

= 5-2x1-321-22 = 5-2x6 1 = 2 x6 5 x6 = 25

✺

¿Puede explicar por qué es incorrecta la simplificación que se muestra en el lado derecho? CORRECTO 3 -2

xy w

=

x3 wy2

INCORRECTO 3

x + y -2 x3 = w w + y2

La simplificación del lado derecho es incorrecta porque en el numerador x3 y2, la y2 no es un factor, sino un término.

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EJEMPLO 9 Simplificar a b 2 3

-2

Solución De acuerdo con la regla de la potencia expandida, escribimos 2 a b 3

-2

1 1 32 32 9 22 = = 2# = 2 = 1 1 4 2 2 32

2 3-2 -2

=

✺

Si examinamos los resultados del ejemplo 7 vemos que 2 -2 32 3 2 a b = 2 = a b . 3 2 2 a -m b m = a b si a Z 0 y b Z 0. Así, por ejemplo, Este ejemplo ilustra que a b a b 3 -5 4 5 5 -3 9 3 a b = a b y a b = a b . Resumimos esta información como sigue: 4 3 9 5 Regla de una fracción elevada a un exponente negativo Para una fracción de la forma

EJEMPLO 10 Simplificar a) a b 3 4

a a -m b m , a Z 0 y b Z 0, a b = a b . b b a

-3

b) ¢

x2 -4 ≤ y3

Solución Utilizamos la regla anterior para simplificar. 4 # y3 4 y12 y3 x2 -4 b) ¢ 3 ≤ = ¢ 2 ≤ = 2 # 4 = 8 y x x x

3 -3 4 3 43 64 a) a b = a b = 3 = 4 3 27 3

EJEMPLO 11 Simplificar a) ¢

x2y -3 z4

-5

≤

b) ¢

2x -3y2z x2

✺

2

≤

Solución a) Resolveremos el inciso a) con dos métodos diferentes. En el primero, emplearemos la regla de la potencia expandida. En el segundo, utilizaremos la regla de una fracción elevada a un exponente negativo antes de utilizar la regla de la potencia expandida. Usted puede usar cualquier método.

Método 1

¢

x2y -3 z4

x21-52y1-321-52

-5

≤

=

z41-52 x -10y15

=

z-20 y15z20

=

x10

Regla del potencia expandida.

Multiplicar los exponentes.

Regla del exponente negativo.

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¢

Método 2

x2y -3 z

4

-5

≤

= ¢ = ¢

=

z4 2 -3 ≤ xy y 3 z4 x2

5

5

≤

# # y 3 5 z4 5 # x2 5 y15z20

=

a -m b m a b = a b a b

x10

Simplificar la expresión entre paréntesis. Regla de la potencia expandida. Multiplicar los exponentes.

b) Primero simplificamos la expresión entre paréntesis, después elevamos al cuax -3 1 drado los resultados. Para simplificar, observamos que 2 se convierte en 5 . x x # # 2 2 y 2 2 z1 2 4y4z2 2x -3y2z 2 2y2z 2 = ¢ ≤ = ¢ 5 ≤ = 2 5#2 x x10 x x ✺ Resumen de reglas de los exponentes 1. xm # xn = xm + n

regla del producto

m

2.

x = x m - n, xn

3. x0 = 1,

4. 1x 2 = x m n

regla del exponente cero

x Z 0 m#n

regla de las potencias

ax m amxm 5. a b = m m , by b y 6. x -m =

regla del cociente

x Z 0

1 , xm

b Z 0, y Z 0

regla del exponente negativo

x Z 0

b m a -m = a b , 7. a b b a

regla de la potencia expandida

a Z 0, b Z 0

regla de una fracción elevada a un exponente negativo

Solución de problemas 1 ? Explique su respuesta. ab 1 + b-1 = ? Explique su resa + b

1. a) ¿Se cumple que a -1b -1 = b) ¿Se cumple que a -1

x -1y2 y2 = ? Explique su respuesta. z xz x -1 + y2 y2 = ? Explique su resb) ¿Se cumple que z x + z

2. a) ¿Se cumple que

puesta.

puesta.

Evalúe lo siguiente. 4. 32 + 3-2

3. 42 + 4-2

Evalúe lo siguiente. 5. 50 - 3 -1

6. 4-1 - 3-1

7. 2 # 4-1 - 3-1

1 6

Determine el número que, al colocarse en el área sombreada, hace que el enunciado sea verdadero. 9. 3. =

1 9

10.

1 = 16 4.

8. 2 # 4-1 - 4 # 3-1

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4.4 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS 1 2 3 4

1

Identificar polinomios. Sumar polinomios. Restar polinomios. Restar polinomios en columnas.

Identificar polinomios Un polinomio en x es una expresión que contiene la suma de un número finito de términos de la forma axn, para cualquier número real a y cualquier número entero positivo n. Ejemplos de polinomios 2x 1 x - 4 3 x2 - 2x + 1

No son polinomios 4x1>2

(Exponente fraccionario.)

3x2 + 4x -1 + 5

(Exponente negativo.)

4 +

1 x

a

1 = x -1, exponente negativo.b x

Escribimos un polinomio en orden descendente (o en potencias descendentes) de la variable, con los exponentes de ésta en disminución de izquierda a derecha. Ejemplo de polinomio en orden descendente 2x4 + 4x2 - 6x + 3 Observe en este ejemplo que el término constante, 3, está al final porque podemos escribirlo como 3x0. Recuerde que x0 1. Un polinomio puede tener más de una variable. Por ejemplo, 3xy + 2 es un polinomio con dos variables, x y y. Un polinomio con un término se denomina monomio; con dos términos, binomio; y con tres términos, trinomio. Los polinomios que contienen más de tres términos no tienen nombres especiales. El prefijo “poli” significa “muchos”. La siguiente tabla resume esta información. Tipo de polinomio

Número de términos

Ejemplos

Monomio

Uno

8, 4x, -6x2

Binomio

Dos

x + 5, x2 - 6, 4y2 - 5y

Trinomio

Tres

x2 - 2x + 3, 3z2 - 6z + 7

El grado de un término de un polinomio con una variable es el exponente que tiene la variable en dicho término. Término

Grado del término

4x2

Segundo

2y5

Quinto

-5x

Primero

(5x puede escribirse como 5x1.)

Cero

(es posible escribir 3 como 3x0.)

3

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Para un polinomio con dos o más variables, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo, el grado del término 4x2y3 es 5 porque 2 3 5. El grado del término 5a4bc3 es 8 porque 4 1 3 8. El grado de un polinomio es el mismo que el de su término de grado mayor. Grado del polinomio

Polinomio 8x3 + 2x2 - 3x + 4 x2 - 4 2x - 1 4 x 2y4 + 2x + 3

2

Tercero Segundo Primero Cero Sexto

(8x3 es el término de mayor grado.) (x2 es el término de mayor grado.) (2x o 2x1 es el término de mayor grado.) (4 o 4x0 es el término de mayor grado.) (x2y4 es el término de mayor grado.)

Sumar polinomios En la sección 4.1 dijimos que los términos semejantes son los que tienen las mismas variables y los mismos exponentes. Es decir, los términos semejantes sólo difieren en sus coeficientes numéricos. Ejemplos de términos semejantes -5 3, 2x, x -2x2, 4x2 2 3y , 5y 2 3xy 2, 5xy2 Suma de polinomios Para sumar polinomios, reducimos los términos semejantes de los polinomios.

EJEMPLO 1 Simplificar 14x2 + 6x + 32 + 12x2 + 5x - 12. Solución Recuerde que 14x2 + 6x + 32 = 114x2 + 6x + 32 y que 12x2 + 5x - 12 = 112x2 5x - 12. Utilizamos la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis, como observamos a continuación. 14x2 + 6x + 32 + 12x2 + 5x - 12 = 114x2 + 6x + 32 + 112x2 + 5x - 12 = 4x2 + 6x + 3 + 2x2 + 5x - 1 Utilizar la propiedad distributiva. 2 2 = 4x + 2x + (')'* 6x + 5x + 3()* - 1 Reacomodar los términos. (')'* =

6x2

+

11x

+

2


✺

En los siguientes ejemplos no mostraremos la multiplicación por 1, como sí se hizo en el ejemplo 1.

EJEMPLO 2 Simplificar 15a2 + 3a + b2 + 1a2 - 7a + 32. 15a2 + 3a + b2 + 1a2 - 7a + 32 Solución = 5a2 + 3a + b + a2 - 7a + 3 = (')'* 5a2 + a2 (')'* + 3a - 7a + b + 3 = 6a2 - 4a + b + 3

Eliminar paréntesis. Reacomodar términos. Reducir términos semejantes.

✺

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EJEMPLO 3 Simplificar 13x2y - 4xy + y2 + 1x2y + 2xy + 3y2. Solución 13x2y - 4xy + y2 + 1x2y + 2xy + 3y2 = 3x2y - 4xy 2 2 = (' 3x')' y + x'* y = 4x2y

+ y + x2y + 2xy + 3y -('' 4xy)' + '* 2xy (')'* + y + 3y -

2xy

+ 4y

Eliminar paréntesis. Reacomodar términos. Reducir términos semejantes.

✺

Por lo general, cuando sumemos polinomios haremos como en los ejemplos 1 a 3. Es decir, en primer lugar arreglamos el polinomio en forma horizontal. Sin embargo, en la sección 4.6, en la división de polinomios, habrá pasos en los que los sumemos en columnas. Para sumar polinomios en columnas 1. Arreglar los polinomios en orden descendente, uno bajo el otro con los términos semejantes en las mismas columnas. 2. Sumar los términos de cada columna.

EJEMPLO 4 Sumar 6x2 - 2x + 2 y - 2x2 - x + 7 con el uso de columnas. 6x2 - 2x + 2 - 2x2 - x + 7 4x2 - 3x + 9

Solución

✺

EJEMPLO 5 Sumar 15w3 + 2w - 42 y 12w2 - 6w - 32 por medio de columnas. Solución Como el polinomio 5w3 + 2w - 4 no tiene un término w2, sumaremos el término 0w2 al polinomio. Este procedimiento ayuda en la alineación de los términos semejantes. 5w3 + 0w2 + 2w - 4 2w2 - 6w - 3 5w3 + 2w2 - 4w - 7 ✺

3

Restar polinomios Ahora aprenderá a restar polinomios. Para restar polinomios 1. Usamos la propiedad distributiva para eliminar paréntesis. (Esto tendrá el efecto de cambiar el signo de cada término dentro de los paréntesis del polinomio que se resta.) 2. Reducir términos semejantes.

EJEMPLO 6 Simplificar 13x2 - 2x + 52 - 1x2 - 3x + 42. Solución 13x2 - 2x + 52 significa 113x2 - 2x + 52 y 1x2 - 3x + 42 significa 11x2 - 3x + 42. Utilizamos esta información en la solución, como mostramos a continuación.

13x - 2x + 52 - 1x - 3x + 42 = 113x2 - 2x + 52 - 11x2 - 3x + 42 2

2

= 3x2 - 2x + 5 - x2 + 3x - 4 2

2

= (')'* 3x - x 2x + 3x (')'* + 5 - 4 (')'* = 2x2 + x + 1

Eliminar paréntesis. Reacomodar términos. Reducir términos semejantes. ✺

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En la sección 4.1 vimos que cuando un signo negativo precede al paréntesis, al eliminar éste cambia el signo de cada término de adentro. Mostramos esto en el ejemplo 6. En el ejemplo 7 no mostraremos la multiplicación por 1, como sí se hizo en el 6.

EJEMPLO 7 Restar 1-3x2 - 5x + 32 de 1x3 + 2x + 62. Solución

1x3 + 2x + 62 - 1- 3x2 - 5x + 32 = x3 + 2x + 6 + 3x2 + 5x - 3 Eliminar paréntesis. 3 2 = x + 3x + 2x + 5x (')'* + 6 - 3 Reacomodar términos. (')'*

= x3 + 3x2 + 7x


+ 3


✺

Uno de los errores más comunes ocurre al restar polinomios. Al restar un polinomio de otro, debe cambiar el signo de cada término del polinomio sustraído, y no sólo el del primer término. CORRECTO

INCORRECTO

6x2 - 4x + 3 - 12x2 - 3x + 42 2

2

6x 2 - 4x + 3 - 12x2 - 3x + 42

= 6x - 4x + 3 - 2x + 3x - 4

= 6x2 - 4x + 3 - 2x2 - 3x + 4

= 4x2 - x - 1

= 4x2 - 7x + 7 ¡No cometa este error!

4

Restar polinomios en columnas Podemos restar, o sumar, polinomios en columnas. Para restar polinomios en columnas 1. Escriba el polinomio que va a restar debajo del polinomio del que se restará. Escriba los términos semejantes en la misma columna. 2. Cambie el signo de cada término en el polinomio que va a restar. (Si lo desea, puede realizar este paso mentalmente.) 3. Sumar los términos en cada columna.

EJEMPLO 8 Restar 1x2 - 4x + 62 de 14x2 + 5x + 72 utilizando columnas. Solución Alineamos los términos semejantes en columnas (paso 1). 4x2 + 5x + 7 -1x2 - 4x + 62

Alinear términos semejantes.

Cambiar todos los signos del segundo renglón (paso 2); después, sumamos (paso 3). 4x2 + 5x + 7 - x2 + 4x - 6 3x2 + 9x + 1

Cambiar todos los signos. Sumar.

✺

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EJEMPLO 9 Restar 12x2 - 62 de 1- 3x3 + 4x - 32 usando columnas. Solución Para ayudar a alinear los términos semejantes, escribimos cada expresión en orden descendente. Si alguna potencia de x no aparece, escribimos dicho término con un coeficiente numérico de 0. -3x3 + 4x - 3 = - 3x3 + 0x2 + 4x - 3 2x2 - 6 = 2x2 + 0x - 6 Alineamos los términos semejantes. -3x3 + 0x2 + 4x - 3 -12x2 + 0x - 62 Cambiamos todos los signos del segundo renglón; después, sumamos los términos en cada columna. - 3x3 + 0x2 + 4x - 3 - 2x2 - 0x + 6 -3x3 - 2x2 + 4x + 3

✺

Nota: Veremos que podemos cambiar los signos en forma mental, y por ello hacer la alineación y cambio de signos en un solo paso.

Solución de problemas 1. Plantee un problema propio, si el resultado de sumar dos binomios es - 2x + 4. 2. Construya un problema propio, en el que el resultado de sumar dos trinomios sea 2x2 + 5x - 6. 3. Elabore un problema propio, en el que la diferencia de dos trinomios sea 3x + 5

5. Cuando sumamos dos binomios, ¿la suma será un binomio siempre, a veces o nunca? Explique su respuesta y proporcione ejemplos que la sustenten. 6. Al restar un binomio de otro, ¿la diferencia será un binomio siempre, a veces o nunca? Explique la respuesta y proporcione ejemplos que la sustenten.

4. Plantee un problema propio, si la diferencia de dos trinomios es - x 2 + 4x - 5.

Escriba un polinomio que represente el área de cada una de las figuras mostradas. 7.

a

8.

b

y

a z b

b z a

b

x x x

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4.5 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS 1 2 3 4 5 6

1

Multiplicar Multiplicar Multiplicar Multiplicar Multiplicar Multiplicar

un monomio por otro monomio. un polinomio por un monomio. binomios por medio de la propiedad distributiva. binomios por medio del método PIES. binomios con el uso de productos notables. un polinomio por otro polinomio.

Multiplicar un monomio por otro monomio Comenzaremos nuestro análisis de la multiplicación de polinomios multiplicando un monomio por otro monomio. Para multiplicar dos monomios, multiplicamos sus coeficientes y empleamos la regla del producto de los exponentes para determinar los exponentes de las variables. En la sección 4.1 resolvimos problemas de este tipo.

EJEMPLO 1 Multiplicar a) 14x2215x52 b) 1-6y4218y 72 Solución a) 14x2215x52 = 4 # 5 # x2 # x5 = 20x2 + 5 = 20x7

b) 1- 6y 4218y72 = 1-62182 # y4 # y7 = - 48y4 + 7 = - 48y11

✺

EJEMPLO 2 Multiplicar 16x2y217x5y42. Solución Recuerde que cuando una variable no tiene exponentes, suponemos que el exponente es 1.

16x 2y217x5y42 = 42x2 + 5y1 + 4 = 42x7y5

EJEMPLO 3 Multiplicar a) 6xy2z51-3x4y7z2 Solución a) 6xy2z51-3x4y7z2 = - 18x5y9z6 2

b) 1-4x4z921 - 3xy7z32

b) 1-4x4z921 - 3xy7z32 = 12x5y7z12

✺ ✺

Multiplicar un polinomio por un monomio Para multiplicar un polinomio por un monomio, empleamos la propiedad distributiva presentada anteriormente. a1b + c2 = ab + ac Podemos extender la propiedad distributiva como sigue: a1b + c + d + Á + n2 = ab + ac + ad + Á + an

EJEMPLO 4 Multiplicar 3x12x2 + 42. 3x12x2 + 42 = 13x212x22 + 13x2142 Solución = 6x3 + 12x

✺

Observe que el uso de la propiedad distributiva da como resultado monomios multiplicados por monomios. Si estudiamos el ejemplo 4 veremos que tanto 3x como 2x2 son monomios, al igual que 3x y 4.

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EJEMPLO 5 Multiplicar -3n14n2 - 2n - 12. Solución -3n14n2 - 2n - 12 = 1- 3n214n22 + 1-3n21 - 2n2 + 1-3n21 - 12 = - 12n3 + 6n2 + 3n

EJEMPLO 6 Multiplicar 5x214x3 - 2x + 72. Solución 5x214x3 - 2x + 72 = 15x2214x32 + 15x221 - 2x2 + 15x22172 = 20x5 - 10x3 + 35x2

EJEMPLO 7 Multiplicar 2x13x2y - 6xy + 52. Solución 2x13x2y - 6xy + 52 = 12x213x2y2 + 12x21 -6xy2 + 12x2152 = 6x3y - 12x2y + 10x

✺

✺

✺

En el ejemplo 8 realizamos una multiplicación en la que colocamos el monomio a la derecha del polinomio. Multiplicamos cada término del polinomio por el monomio, como observamos en el ejemplo.

EJEMPLO 8 Multiplicar 13x3 - 2xy + 324x. Solución 13x3 - 2xy + 324x = 13x3214x2 + 1-2xy214x2 + 13214x2 = 12x4 - 8x2y + 12x

✺

Pudimos escribir el problema del ejemplo 8 como 4x13x2 - 2xy + 32, según la propiedad conmutativa de la multiplicación, y después simplificarlo como en los ejemplos 4 a 7.

3

Multiplicar binomios por medio de la propiedad distributiva A continuación estudiaremos la multiplicación de un binomio por otro. Antes de explicarla, considere el problema de multiplicar 43 # 12. 43 12 2142 ¡ 86 1142 ¡ 43 516

— Multiplicando. — Multiplicador. — 2132. — 1132. — Producto.

Observe que el 2 multiplica tanto al 3 como al 4, y el 1 también multiplica tanto al 3 como al 4. Es decir, cada dígito del multiplicador multiplica a cada dígito en el multiplicando. El proceso de la multiplicación también se ilustra como sigue. 14321122 = 140 + 32110 + 22

= 140 + 32 1102 + 140 + 32 122

= 1402 1102 + 132 1102 + 1402 122 + 132 122 = 400 + 30 + 80 + 6 = 516 Siempre que multiplique dos polinomios debe seguir el mismo proceso. Es decir, cada término de un polinomio debe multiplicar a cada término del otro polinomio.

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Considere la multiplicación de (ab)(cd). Si se trata a (ab) como un solo término y se emplea la propiedad distributiva, se obtiene 1a + b21c + d2 = 1a + b2c + 1a + b2d Al emplear la propiedad distributiva por segunda vez, queda = ac + bc + ad + bd Observe que multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término del segundo, y que para obtener la respuesta sumamos todos los productos.

EJEMPLO 9 Multiplicar 13x + 221x - 52. 13x + 221x - 52 = 13x + 22x + 13x + 221 -52 Solución

= 3x1x2 + 21x2 + 3x1-52 + 21-52 + ')' 2x - 15x = 3x2(' '* - 10 = 3x2 - 13x

- 10

✺

Observe que después realizar la multiplicación redujimos los términos semejantes.

EJEMPLO 10 Multiplicar 1x - 421y + 32. 1x - 421y + 32 = 1x - 42y + 1x - 423 Solución = xy - 4y + 3x - 12

4

✺

Multiplicar binomios por medio del método PIES Un método común empleado para multiplicar dos binomios es el método PIES. Este procedimiento también hace que cada término de un binomio se multiplique por cada término del otro. Con frecuencia los estudiantes prefieren utilizar este método para multiplicar dos binomios. El método PIES Considere la multiplicación (ab)(cd). P

Se refiere a los primeros (multiplicar los primeros términos de cada binomio): P 1a + b21c + d2

I

Denota los internos (multiplicar los dos términos internos): I 1a + b21c + d2

E

producto bc

Son los externos (multiplicar los dos términos externos): E 1a + b21c + d2

S

producto ac

producto ad

Los segundos (multiplicar los segundos términos de cada binomio): S 1a + b21c + d2

producto bd

El producto de los dos binomios es la suma de estos cuatro productos. 1a + b21c + d2 = ac + bc + ad + bd

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En sí, el método PIES no es un sistema diferente para multiplicar binomios, sino un acrónimo para ayudar a los estudiantes a recordar la aplicación correcta de la propiedad distributiva. Hubiera podido usarse EPIS o cualquier otro arreglo de las cuatro letras. Sin embargo, PIES es más sencillo de recordar.

EJEMPLO 11 Utilice el método PIES para multiplicar 12x - 321x + 42. Solución

S P

12x - 321x + 42 I E

P

I

E

S

= 12x21x2 + 1-321x2 + 12x2142 + 1- 32142 2x2

=

3x

-

8x

+

12

-

2

= 2x + 5x - 12 Así, 12x - 321x + 42 = 2x2 + 5x - 12.

✺

EJEMPLO 12 Multiplicar 14 - 2x216 - 5x2. Solución

S P

14 - 2x216 - 5x2 I E

P

I

E

= 24 -

12x

S

= 4162 + 1-2x2162 + 41-5x2 + 1 -2x21 - 5x2 20x

-

10x2

+

= 10x2 - 32x + 24 Así, 14 - 2x216 - 5x2 = 10x2 - 32x + 24.

✺

EJEMPLO 13 Multiplicar 12r + 3212r - 32. Solución

P

I

E

S

12r + 3212r - 32 = 12r212r2 + 13212r2 + 12r21 -32 + 1321 -32 =

4r2

-

6r

+

6r

-

9

2

= 4r - 9 Así, 12r + 3212r - 32 = 4r2 - 9.


✺

Asegúrese de entender por completo la multiplicación de polinomios. En las siguientes secciones estudiaremos la factorización, que es el proceso inverso de la multiplicación de polinomios. Para entender la factorización, primero debe entender la multiplicación de polinomios.

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5

Multiplicar binomios con el uso de productos notables El ejemplo 13 ilustra un producto notable, el producto de la suma y diferencia de dos términos iguales (binomios conjugados). Producto de la suma y resta de dos términos iguales (binomios conjugados) 1a + b21a - b2 = a2 - b2

En este producto notable, a representa un término y b el otro. Entonces, (ab) es la suma de los términos, y (a b) es la diferencia de ellos. Este producto notable también se conoce como la fórmula para la diferencia de cuadrados ya que la expresión en el lado derecho del signo igual es la diferencia de dos cuadrados.

EJEMPLO 14 Utilice la regla para encontrar el producto de dos binomios conjugados (la suma y diferencia de dos cantidades) para cada expresión. a) 1x + 521x - 52 b) 12x + 4212x - 42 c) 13x + 2y213x - 2y2

Solución a) Sea x a y 5 b, entonces

1a + b21a - b2 = a2 - b2 p

p p

p

p

p

1x + 521x - 52 = 1x2 - 1522 2

= x2 - 25

1a + b2 1a - b2 =

b)

p

p p

p

a2

- b2

p

p

12x + 4212x - 42 = 12x22 - 1422 = 4x2 - 16

c)

1a + b2 p

p

1a - b2 = p

p

a2

-

p

b2 p

13x + 2y213x - 2y2 = 13x22 - 12y22 = 9x2 - 4y2

✺

El ejemplo 14 también hubiera podido resolverse mediante el método PIES.

EJEMPLO 15 Con el método PIES, encuentre 1x + 322. Solución 1x + 322 = 1x + 321x + 32 P I E S = x1x2 + 31x2 + x132 + 132132 = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9

✺

El ejemplo 15 ilustra el cuadrado de un binomio, que es otro producto notable.

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Fórmulas del cuadrado de un binomio 1a + b22 = 1a + b21a + b2 = a2 + 2ab + b2 1a - b22 = 1a - b21a - b2 = a2 - 2ab + b2 Para elevar un binomio al cuadrado, sumamos el cuadrado del primer término más el doble producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo término.

EJEMPLO 16 Utilice la fórmula del cuadrado de un binomio para multiplicar cada expresión. a) 1x + 522

b) 12x - 422

c) 13r + 2s22

Solución a) Sea x a y 5 b, entonces

d) 1x - 321x - 32

1a + b21a + b2 = a2 + 2 a b + b2 p

p p

p

p

p p

p

1x + 52 = 1x + 521x + 52 = 1x2 + 21x2152 + 1522 = x2 + 10x + 25 2

2

1a - b2 1a - b2 =

b)

p

p p

p

a2

b + b2

2a

-

p

p p

p

12x - 42 = 12x - 4212x - 42 = 12x2 - 212x2142 + 1422 = 4x2 - 16x + 16 2

2

1a + b2 1a + b2 = a2

c)

p

p

p

+

p

p

b

+ b2

p p

p

2a

13r + 2s2 = 13r + 2s213r + 2s2 = 13r2 + 213r212s2 + 12s22 = 9r2 + 12rs + 4s2 2

2

1a - b21a - b2 =

d)

p

p p

p

a2 - 2a p

b + b2

p p

p

1x - 321x - 32 = 1x - 321x - 32 = 1x22 - 21x2132 + 1322 = x2 - 6x + 9

✺

El ejemplo 16 también hubiera podido resolverse con el método PIES. CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

CORRECTO 1a + b2 = a + 2ab + b 2

2

INCORRECTO 2

1a - b22 = a2 - 2ab + b2

1a + b22 = a2 + b2

1a - b22 = a2 - b2

Al elevar al cuadrado un binomio, no hay que olvidar el término medio. 1x + 222 Z x2 + 4

1x + 222 = 1x + 221x + 22 = x2 + 4x + 4

6

Multiplicar un polinomio por otro polinomio Al multiplicar un binomio por otro, vimos que cada término del primero se multiplica por cada término del segundo. Cuando se trata de dos polinomios, debemos multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro. En la multiplicación 13x + 2214x2 - 5x - 32, utilizamos la propiedad distributiva del siguiente modo:

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1 3x + 2214x2 - 5x - 32 = 3x 14x2 - 5x - 32 + 2 14x2 - 5x - 32 = 12x3 - 15x2 - 9x + 8x2 - 10x - 6 = 12x3 - 7x2 - 19x - 6 Por tanto, 13x + 2214x2 - 5x - 32 = 12x3 - 7x2 - 19x - 6. Podemos resolver los problemas de multiplicación utilizando la propiedad distributiva, como acabamos de mostrar; sin embargo, muchos estudiantes prefieren multiplicar un polinomio por otro en forma vertical. En la página 156 mostramos que para multiplicar 43 por 12, multiplicamos cada dígito del número 43 por cada dígito del número 12.Ahora lo invitamos a revisar ese ejemplo. Cuando multipliquemos un polinomio por otro es posible seguir un procedimiento similar, como en los siguientes ejemplos; no obstante, al ejecutar las multiplicaciones individuales debemos tener cuidado para alinear los términos semejante en sus columnas correspondientes.

EJEMPLO 17 Multiplicar 13x + 4212x + 52. Solución En primer lugar escribimos los polinomios uno sobre el otro. 3x + 4 2x + 5 A continuación, multiplicamos cada término de (3x 4) por 5. 3x + 4 2x + 5 513x + 42 ¡ 15x + 20 En seguida, multiplicamos cada término de (3x 4) por 2x, y alineamos los términos semejantes. 3x + 4 2x + 5 15x + 20 2x13x + 42 ¡ 6x2 + 8x 6x 2 + 23x + 20 Sumar términos semejantes por columnas. ✺ Con el método PIES, hubiéramos obtenido la misma respuesta para el ejemplo 17.

EJEMPLO 18 Multiplicar 13x - 2215x2 + 6x - 42. Solución Por conveniencia, colocamos la expresión más corta en la parte inferior 5x2 + 6x 3x - 10x2 - 12x 15x3 + 18x2 - 12x 15x3 + 8x2 - 24x

- 4 - 2 + 8 Multiplicar el polinomio de arriba por -2. Multiplicar el polinomio de arriba por 3x, y alineamos los términos semejantes.

+ 8 Sumamos términos semejantes por columnas.

EJEMPLO 19 Multiplicar x2 - 3x + 2 por 2x2 - 3. x2 - 3x + 2 Solución 2x2 - 3 -3x2 + 9x - 6 4 3 2x - 6x + 4x2 2x4 - 6x3 + x2 + 9x - 6

✺

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EJEMPLO 20 Multiplicar 13x3 - 2x2 + 4x + 621x2 - 5x2. Solución 3x3 - 2x2 + 4x + 6 x2 - 5x 4 3 -15x + 10x - 20x2 - 30x Multiplicar el polinomio de arriba por -5x. 3x 5 - 2x4 + 4x3 + 6x2 Multiplicar el polinomio de arriba por x2; alinear términos semejantes. 5 4 3 2 3x - 17x + 14x - 14x - 30x Sumar términos semejantes por columnas.

✺

Solución de problemas 1. El producto de un monomio por un binomio, ¿será siempre un trinomio? Explique su respuesta.

2. El producto de un monomio por otro, ¿será siempre un monomio? Explique su respuesta.

Considere las multiplicaciones de los ejercicios 3 y 4. Determine los exponentes por colocar en las áreas sombreadas. 3. 3x 212x . - 5x . + 3x . 2 = 6x 8 - 15x 5 + 9x 3. 4. 4x 31x . + 2x . - 5x . 2 = 4x 7 + 8x 5 - 20x 4.

5. Suponga que un lado de un rectángulo se representa como x 2, y el otro lado como 2x 1. a) Exprese el área del rectángulo en términos de x. b) Encuentre el área si x 4 pies. c) ¿Qué valor tendría x, en pies, si el rectángulo fuera un cuadrado? Explique cómo determinó su respuesta. 6. Suponga que un sólido rectangular tiene una longitud de x 5, ancho de 3x 4, y altura de 2x 2 (vea la figura).

a) Escriba un polinomio que represente el área de la base, con la multiplicación de la longitud por el ancho. b) El volumen de la figura se encuentra con la multiplicación del área de la base por la altura. Escriba un polinomio que represente el volumen de la figura. c) Utilice el polinomio del inciso b), calcule el volumen de la figura si x es igual a 4 pies. d) Con el uso de los binomios dados para la longitud, ancho y altura, calcule el volumen si x es igual a 4 pies. e) ¿Las respuestas para los incisos c) y d) son las mismas? Si no lo son, explique por qué.

2x 2 x5

3x 4

4.6 DIVISIÓN DE POLINOMIOS 1 2 3 4

1

Dividir un polinomio entre un monomio. Dividir un polinomio entre un binomio. Comprobación de problemas de división de polinomios. Escribir polinomios en orden descendente al dividir.

Dividir un polinomio entre un monomio A continuación veremos cómo dividir polinomios. Comenzaremos con la división de un polinomio entre un monomio.

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Para dividir un polinomio entre un monomio Dividimos cada término del polinomio entre el monomio.

EJEMPLO 1 Dividir a)

2x + 16 2

b)

10x2 - 4x 2x

2x + 16 2x 16 = + = x + 8 2 2 2 10x2 - 4x 10x2 4x = = 5x - 2 b) 2x 2x 2x

Solución a)


✺

CORRECTO

INCORRECTO 1

x + 2 x 2 x = + = + 1 2 2 2 2

x + 2 x + 1 = = x + 1 2 1 1 1

x + 2 x 2 2 = + = 1 + x x x x

x + 2 1 + 2 = = 3 x 1 1

¿Puede explicar por qué los procedimientos de la derecha no son correctos?

EJEMPLO 2 Dividir:

4t5 - 6t4 + 8t - 3 . 2t2 4t5 - 6t4 + 8t - 3 4t5 6t4 8t 3 = + 2 - 2 2 2 2 2t 2t 2t 2t 2t 4 3 = 2t3 - 3t2 + - 2 t 2t

Solución

EJEMPLO 3 Dividir:

✺

3x3 - 6x2 + 4x - 1 . -3x

Solución Aparece un signo negativo en el denominador. Por lo general, es más fácil dividir si el divisor es positivo. A fin de obtener un denominador positivo, es posible multiplicar tanto el numerador como el denominador entre 1. 1- 1213x3 - 6x2 + 4x - 12 -3x3 + 6x2 - 4x + 1 = 1-121 -3x2 3x 6x2 4x 1 - 3x3 + + = 3x 3x 3x 3x = - x2 + 2x -

2

4 1 + 3 3x

✺

Dividir un polinomio entre un binomio Dividimos un polinomio entre un binomio de manera muy parecida a como realizamos una división larga. Explicaremos este procedimiento en el ejemplo 4.

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EJEMPLO 4 Dividir:

x2 + 6x + 8 — Dividendo. . x + 2 — Divisor.

Solución Reescribimos el problema de la división de la siguiente manera: x + 2 x2 + 6x + 8 Dividimos x2 (el primer término del dividendo) entre x (el primer término del divisor). x2 = x x Colocamos el cociente, x, sobre el término semejante que contiene a x en el dividendo. x x + 2 x + 6x + 8 2

A continuación, multiplicamos la x por x 2, como haríamos en una división larga, y colocamos los términos del producto debajo de sus términos semejantes. Por

x x + 2 x2 + 6x + 8 Es igual a x 2 + 2x

x1x + 22

Ahora, restamos x2 + 2x de x 2 + 6x. Al restar, recuerde cambiar el signo de los términos restados y después sumar los términos semejantes. x x + 2 x 2 + 6x + 8 - 2 x + 2x 4x Posteriormente, bajamos el 8, que es el segundo término del dividendo. x x + 2 x + 6x + 8 x2 + 2x 4x + 8 2

Ahora, dividimos 4x, primer término de la parte inferior, entre x, primer término del divisor. 4x = +4 x Escribimos el 4 en el cociente, sobre la constante del dividendo. x + 4 x + 2 x2 + 6x + 8 x2 + 2x 4x + 8

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Multiplicamos x 2 por 4 y colocamos los términos del producto debajo de sus términos semejantes. Por

x+ x + 2 x2 + 6x + x2 + 2x 4x + Es igual a 4x +

4 8 8 8

41x + 22

Ahora, restamos. x x + 2 x + 6x x 2 + 2x 4x 4x 2

+ 4 — Cociente. + 8 + 8 + 8 0 — Residuo.

Por tanto, x2 + 6x + 8 = x + 4 x + 2

✺

No hay residuo.

EJEMPLO 5 Dividir:

6x2 - 5x + 5 . 2x + 3 6x2 2x

Solución

3x 2x + 3 6x - 5x - 2 6x + 9x - 14x + - 14x 2

-14x 2x - 7 + 5 3x12x + 32.

+ 5 + - 21 26

-712x + 32. Residuo.

Cuando existe un residuo, como en este ejemplo, colocamos el cociente, agregando el residuo sobre el divisor. Por tanto, 6x2 - 5x + 5 26 = 3x - 7 + 2x + 3 2x + 3

✺

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3

Comprobación de problemas de división de polinomios Podemos comprobar la respuesta de un problema de división. Consideremos el problema de dividir 13 , 5. 2 5 13 10 3 Observe que el divisor por el cociente, más el residuo, es igual al dividendo: (divisor * cociente) + residuo = dividendo 15 # 22 + 3 = 13 ? ?

10 + 3 = 13 13 = 13

Verdadero.

Utilizamos este mismo procedimiento para verificar todos los problemas de división.

Para verificar la división de polinomios (divisor * cociente) + residuo = dividendo

Comprobaremos la respuesta del ejemplo 5. El divisor es 2x 3, el cociente es 3x 7, el residuo es 26, y el dividendo es 6x2 - 5x + 5. Comprobación

(divisor * cociente) + residuo = dividendo 12x + 3213x - 72 + 26 = 6x2 - 5x + 5 ?

16x2 - 5x - 212 + 26 = 6x2 - 5x + 5 ?

6x2 - 5x + 5 = 6x2 - 5x + 5 Verdadero.

4

Escribir polinomios en orden descendente al dividir Al dividir un polinomio entre un binomio, escribimos tanto el polinomio como el binomio en orden descendente. Si no existe un término elevado a una potencia dada, a menudo es útil incluirlo con un coeficiente de 0, para conservar el lugar. Esto ayudará a mantener los términos semejantes alineados. Por ejemplo, para dividir 16x2 + x3 - 42>1x - 22, comenzamos por escribir 1x3 + 6x2 + 0x - 42>1x - 22.

EJEMPLO 6 Dividir 1-x + 9x3 - 282 entre 13x - 42. Solución En primer lugar, reescribimos el dividendo en orden descendente a fin de obtener 19x 3 - x - 282 , 13x - 42. Como en el dividendo no existe un término con x2, sumaremos 0x2 para alinear los términos semejantes.

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9x3 3x 3x2 3x - 4 9x + 0x2 9x3 - 12x2 12x2 12x2 3

12x 2 3x

15x 3x

+ 4x + 5 - x - 28 - x - 16x 15x - 28 15x - 20 -8

3x 213x - 42. 4x13x - 42. 513x - 42. Residuo.

-x + 9x3 - 28 8 = 3x2 + 4x + 5 . Lo invitamos a compro3x - 4 3x - 4 bar esta división por sí mismo empleando el procedimiento que acabamos de estudiar. ✺ Por tanto,

Solución de problemas 1. Al dividir un binomio entre un monomio, ¿el cociente debe ser un binomio? Explique y dé un ejemplo que apoye su respuesta. 2. Al dividir un trinomio entre un monomio, ¿el cociente debe ser un trinomio? Explique y proporcione un ejemplo que apoye su respuesta.

3. Si el divisor es x 4, el cociente es 2x 3, y el residuo es 4, encuentre el dividendo (o el polinomio que fue dividido). 4. Si el divisor es 2x 3, el cociente es 3x 1, y el residuo es 2, encuentre el dividendo.

Determine las expresiones que deben colocarse en las áreas sombreadas, de modo que el enunciado sea verdadero. Explique cómo determinó su respuesta. 5.

16x4 + 20x3 - 4x2 + 12x = 4x3 + 5x2 - x + 3 4x ...

6.

9x5 - 6x4 + 3x2 + 12 4 = 3x3 - 2x2 + 1 + 2 ... x

Determine los exponentes que deben colocarse en las áreas sombreadas, de manera que el enunciado sea verdadero. Explique la forma en que determinó su respuesta. 7.

8x. + 4x. - 20x. - 5x. 5 = 4x3 + 2x - 10 2 2x 2x

8.

15x. + 25x. + 5x. + 10x. = 3x5 + 5x4 + x2 + 2 5x2

4.7 FACTORIZACIÓN DE UN MONOMIO A PARTIR DE UN POLINOMIO 1 2 3 4

Identificación de factores. Determinación del máximo común divisor de dos o más números. Determinación del máximo común divisor de dos o más términos. Factorizar un monomio a partir de un polinomio.

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1

Identificación de factores Ya aprendimos a multiplicar polinomios; aquí nos enfocaremos en la factorización, que es el proceso inverso de la multiplicación. En la sección 4.5 mostramos que 2x13x 2 + 42 = 6x3 + 8x. En este capítulo comenzamos con una expresión como 6x3 + 8x y determinamos que sus factores son 2x y 3x2 + 4, y escribimos que 6x 3 + 8x = 2x13x2 + 42. Factorizar una expresión significa escribirla como el producto de sus factores. La factorización es importante porque la utilizamos para resolver ecuaciones.

#

Si a b c, entonces a y b son los factores de c. 3 # 5 = 15; por lo que 3 y 5 son factores de 15. x3 # x4 = x7; entonces, x3 y x4 son factores de x7. x1x + 22 = x2 + 2x; entonces, x y x 2 son factores de x2 + 2x. 1x - 121x + 32 = x2 + 2x - 3; entonces, x 1 y x 3 son factores de x 2 + 2x 3. Un número o expresión puede tener muchos factores. Considere el número 30. 1 # 30 = 30, 2 # 15 = 30, 3 # 10 = 30, 5 # 6 = 30 Por tanto, los factores positivos de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. Los factores también pueden ser negativos, como (1)(30) 30, 1 y 30 también son factores de 30. De hecho, por cada factor a de una expresión también debe haber otro igual a a. Por tanto, otros factores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 15 y 30. Por lo general, cuando haya que numerar los factores de una expresión que contiene un coeficiente numérico positivo con una variable, mencionamos sólo los factores positivos.

EJEMPLO 1 Mencione cuáles son los factores de 6x3. Solución factores $%& $%& 1 2 3 6

# 6x3 # 3x3 # 2x3 # x3

= = = =

6x3 6x3 6x3 6x3

factores

$%& $%& x # 6x2 2x # 3x2 3x # 2x2 6x # x2

= = = =

6x3 6x3 6x3 6x3

Los factores de 6x3 son 1, 2, 3, 6, x, 2x, 3x, 6x, x2, 2x2, 3x2, 6x2, x3, 2x3, 3x3 y 6x3. El opuesto (o negativo) de cada uno de estos factores también es un factor, pero por lo general no se mencionan a menos que indiquemos lo contrario. ✺ A continuación presentamos algunos ejemplos de multiplicación y factorización. Observe que la factorización es el proceso inverso de la multiplicación. Multiplicación 312x + 52 = 6x + 15 5x1x + 42 = 5x2 + 20x 1x + 121x + 32 = x2 + 4x + 3

2

Factorización 6x + 15 = 312x + 52 5x2 + 20x = 5x1x + 42 x2 + 4x + 3 = 1x + 121x + 32

Determinación del máximo común divisor de dos o más números Para factorizar un monomio de un polinomio utilizamos el máximo común divisor (MCD).

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El máximo común divisor de dos o más números es el número más grande que divide a todos los números de manera exacta. El máximo común divisor de los números 6 y 8 es 2, ya que es el número más grande que divide tanto a 6 como a 8. ¿Cuál es el MCD de 48 y 60? Si no es sencillo encontrar el MCD de dos o más números, escribimos cada número como el producto de factores primos. Un número primo es un entero mayor que 1 que tiene exactamente dos factores, el mismo número y uno. Los 15 primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 Un entero positivo (distinto de 1) que no sea primo recibe el nombre de compuesto. El número 1 no es primo ni compuesto, y recibe el nombre de unidad. Los 15 primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25 Cada número par mayor que 2 es compuesto porque tiene más de dos factores: él mismo, 1 y 2. Para escribir un número como el producto de números primos, seguiremos el procedimiento indicado en los ejemplos 2 y 3.

EJEMPLO 2 Escribir 48 como el producto de números primos. 48 Solución Elegimos dos números cualesquiera cuyo producto sea 48. Dos posibilidades son

2

6

8

3

2

6 # 8 y 4 # 12, pero existen alternativas. Continuamos separando los factores hasta que todos sean primos, como se ilustra en la figura 4.1. Obsérvese que no importa cómo elijamos los factores iniciales,

4

48 = 2 # 2 # 2 # 2 # 3 = 2 4 # 3 2

3

2

2

2

✺

En el ejemplo 2 se halló que 48 = 2 # 2 # 2 # 2 # 3 = 2 4 # 3. También conocemos a estos números, 2 # 2 # 2 # 2 # 3 o bien 2 4 # 3, como factores primos de 48.

FIGURA 4.1

EJEMPLO 3 Escriba 60 como el producto de sus factores primos. Solución La figura 4.2 muestra una forma de determinar los factores primos. Por tanto,

2

6

10

3

2

FIGURA 4.2

✺

60 = 2 # 2 # 3 # 5 = 22 # 3 # 5.

60

En el siguiente recuadro presentamos el procedimiento para determinar el máximo común divisor de dos o más números. 5 Para determinar el MCD de dos o más números 1. Escribir cada número como el producto de factores primos. 2. Determinar los factores primos comunes a todos los números. 3. Multiplicar los factores comunes que encontró en el paso 2. El producto de estos factores es el MCD.

EJEMPLO 4 Determine el máximo común divisor de 48 y 60. Solución De los ejemplos 2 y 3 sabemos que Paso 1

48 = 2 # 2 # 2 # 2 # 3 = 2 4 # 3 60 = 2 # 2 # 3 # 5 = 2 2 # 3 # 5

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Dos factores de 2 y un factor de 3 son comunes a los dos números. El producto de estos factores es el MCD de 48 y 60:

Paso 2

Paso 3

MCD = 2 # 2 # 3 = 12

El MCD de 48 y 60 es 12. Doce es el número más grande que divide tanto a 48 como a 60. ✺

EJEMPLO 5 Determine el MCD de 18 y 24. 18 = 2 # 3 # 3 = 2 # 32

Solución

24 = 2 # 2 # 2 # 3 = 2 3 # 3 Un factor de 2 y un factor de 3 son comunes tanto a 18 como a 24.

✺

MCD = 2 # 3 = 6

3

Determinación del máximo común divisor de dos o más términos Es fácil determinar el MCD de varios términos que contengan variables. Considere los términos x3, x4, x5 y x6. El MCD de estos términos es x3, puesto que x3 es la máxima potencia de x que divide a los cuatro términos. Para ilustrar esto escribimos los términos en forma factorizada. x3 = x3 # 1 x4 = x3 # x x5 = x3 # x2 x6 = x3 # x3 $'''''%'''''& El MCD de los cuatro términos es x3.

Observe que x3 divide a los cuatro términos. x4 x5 x3 = 1, y = x, y = x2, x3 x3 x3

y

x6 = x3. x3

EJEMPLO 6 Determine el MCD de los términos n8, n4, n6 y n7. Solución El MCD es n4 ya que es el número mayor de las n que es común a todos los términos.

✺

EJEMPLO 7 Determine el MCD de los términos x2y3, x3y2 y xy4. Solución El número mayor de las x que es común a los tres términos es x1 o x. El número mayor de las y que es común a todos los términos es y2. Por el MCD de los tres términos es xy2. ✺ Para determinar el máximo común divisor de dos o más términos Se toma cada factor el número más grande de veces que aparezca en todos los términos. 1. 2. 3. 4.

Calcular el MCD de los coeficientes de cada término. Tomar las variables comunes de cada término. De estas variables, escoger las elevadas al menor exponente. Multiplicar el MCD de los coeficientes por las variables elevadas al menor exponente.

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EJEMPLO 8 Determine el MCD de los términos xy, x2y2, y x3. Solución El MCD es x. La potencia más grande de x que es común a los tres términos es x1, o x. Como el término x3 no contiene una potencia de y, el MCD no contiene a y.✺

EJEMPLO 9 Determine el MCD de cada grupo de términos. a) 18y2, 15y 3, 27y5

b) -20x2, 12x, 40x3

c) 5s4, s7, s3

Solución a) El MCD de 18, 15 y 27 es 3. El MCD de y2, y3, y y5 es y2. Por tanto, el MCD de los tres términos es 3y2. b) El MCD de 20, 12 y 40 es 4. El MCD de x2, x, y x3 es x. Por tanto, el MCD de los tres términos es 4x. c) El MCD de 5, 1 y 1 es 1. El MCD de s4, s7, y s3 es s3. Por tanto, el MCD de los tres términos es 1s3, que se escribe como s3. ✺

EJEMPLO 10 Determine el MCD de cada pareja de términos. a) x1x + 32 y 21x + 32 c) 21x + y2 y 3x1x + y2

b) x1x - 22 y x - 2

Solución a) El MCD es (x 3). b) x 2 se puede escribir como 1(x 2). Por tanto, el MCD de x(x 2) y 1(x 2) es x 2. c) El MCD es (x y) ✺

4

Factorizar un monomio a partir de un polinomio Ya hemos multiplicado factores. La factorización es el proceso inverso de la multiplicación de factores. Como dijimos antes, factorizar una expresión significa escribirla como el producto de sus factores.

Para factorizar un monomio de un polinomio 1. Determinar el MCD de todos los términos del polinomio. 2. Escribir cada término como el producto del MCD y sus otros factores. 3. Utilizar la propiedad distributiva para factorizar el MCD.

En el paso 3 del proceso usamos la propiedad distributiva. En realidad, ésta se emplea a la inversa. Por ejemplo, si tenemos 4 # x + 4 # 2, utilizamos la propiedad distributiva en sentido inverso a fin de escribir 41x + 22.

EJEMPLO 11 Factorizar 6x + 18. Solución El MCD es 6. 6x + 18 = 6 # x + 6 # 3 = 6 1x + 32

Escribir cada término como un producto del MCD y algún otro factor. Propiedad distributiva. ✺

Para comprobar el proceso de factorización, multiplicamos los factores mediante la propiedad distributiva. Si la factorización es correcta, el producto será el

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polinomio con que comenzamos. A continuación presentamos la comprobación de la factorización del ejemplo 11. 61x + 32 = 6x + 18

Comprobación

EJEMPLO 12 Factorizar 15x 20. Solución El MCD es 5. 15x - 20 = 5 # 3x - 5 # 4 = 5 13x - 42 Compruebe que la factorización es correcta.

✺

EJEMPLO 13 Factorizar 6y2 + 9y5. Solución El MCD es 3y2. 6y2 + 9y5 = 3y2 # 2 + 3y2 # 3y3 = 3y2 12 + 3y32 Compruebe que la factorización es correcta.

✺

EJEMPLO 14 Factorizar 12p3 - 24p2 + 8p Solución El MCD es 4p. 12p3 - 24p2 + 8p = 4p # 3p2 - 4p # 6p + 4p # 2 = 4p 13p2 - 6p + 22 Comprobación

4p13p2 - 6p + 22 = 12p3 - 24p2 + 8p

✺

EJEMPLO 15 Factorizar 35x2 - 25x + 5. Solución El MCD es 5. 35x2 - 25x + 5 = 5 # 7x2 - 5 # 5x + 5 # 1 = 5 17x2 - 5x + 12

✺

EJEMPLO 16 Factorizar 4x3 + x2 + 8x2y. Solución El MCD es x2. 4x3 + x2 + 8x2y = x2 # 4x + x2 # 1 + x2 # 8y = x2 14x + 1 + 8y2

✺

En los ejemplos 15 y 16, observe que cuando uno de los términos es en sí mismo el MCD, lo expresamos en forma factorizada como el producto de dicho término por 1.

EJEMPLO 17 Factorizar x15x - 22 + 715x - 22. Solución El MCD de x15x - 22 y 715x - 22 es 15x - 22. Al factorizar, el MCD queda x 15x - 22 + 7 15x - 22 = 15x - 221x + 72

Compruebe multiplicando que la factorización es correcta.

✺

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EJEMPLO 18 Factorizar 4x13x - 52 - 713x - 52 Solución El MCD de 4x13x - 52 y - 713x - 52 es 13x - 52. Al factorizar, el MCD queda 4x13x - 52 - 7 13x - 52 = 13x - 5214x - 72

Vimos anteriormente que la propiedad conmutativa de la multiplicación establece que el orden con que multipliquemos dos números reales no importa. Por tanto, (3x 5)(4x 7) también puede reescribirse como (4x 7) (3x 5). En este libro colocaremos el factor común a la izquierda. ✺

EJEMPLO 19 Factorizar 2x1x + 32 - 51x + 32 Solución El MCD de 2x1x + 32 y -51x + 32 es 1x + 32. Al factorizar, el MCD queda 2x 1x + 32 - 5 1x + 32 = 1x + 3212x - 52

✺

Importante: cuando factoricemos un polinomio por cualquier método de los que presentamos en este bloque, el primer paso siempre consistirá en ver si existe un factor común (diferente de 1) para todos los términos del polinomio. Si así fuera, factorice el máximo común denominador de cada término mediante la propiedad distributiva.

SUGERENCIA

Comprobación de un problema de factorización Comprobaremos todo problema de factorización multiplicando los factores; el producto de éstos debe ser idéntico a la expresión que factorizamos originalmente. Usted debe comprobar todos los problemas de factorización.

Solución de problemas Si es posible, factorice cada expresión. Trate al símbolo desconocido como si fuera una variable. 1. 3✯ + 6

3. 12§ - 6§2

2. 35¢ 3 - 7¢ 2 + 14¢

4. © + 11¢

4.8 FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO 1

1

Factorizar por agrupamiento un polinomio que contiene cuatro términos.

Factorizar por agrupamiento un polinomio que contiene cuatro términos Es posible factorizar un polinomio que contiene cuatro o más términos eliminando los factores comunes de los grupos de términos. Este proceso se denomina factorización por agrupamiento. En las secciones 4.9 y 4.10 estudiaremos la factorización de trinomios. Uno de los métodos que emplearemos en la sección 4.10 requiere que dominemos la factorización por agrupamiento. El ejemplo 1 ilustra el procedimiento para factorizar por agrupamiento.

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EJEMPLO 1 Factorizar ax + ay + bx + by. Solución No hay un factor (distinto de 1) común a los cuatro términos. Sin embargo, a es común a los dos primeros y b lo es a los dos últimos. Factorizamos a de los primeros dos términos y b de los dos últimos. a x + a y + b x + b y = a 1x + y2 + b 1x + y2 Esta factorización produce dos términos y (x y) es común a ambos. Ahora factorizamos (x y) de cada uno, como observamos a continuación. a1x + y2 + b1x + y2 = 1x + y21a + b2 Observe que si factorizamos (x y) queda a b, que se convierte en el otro factor. Así, ax + ay + bx + by = 1x + y21a + b2. ✺ Para factorizar un polinomio de cuatro términos por medio de agrupamiento 1. Determinar si existe cualesquiera factores comunes a los cuatro términos. Si así fuera, factorizamos el MCD de cada uno de los cuatro términos. 2. Si es necesario, reacomodar los cuatro términos de modo que los primeros dos tengan un factor común, y los últimos dos tengan otro. 3. Utilizar la propiedad distributiva para factorizar cada grupo de dos términos. 4. Factorizar el máximo común denominador de los resultados del paso 3.

EJEMPLO 2 Factorizar x2 + 3x + 4x + 12 por agrupamiento. Solución No existe un factor común a los cuatro términos; sin embargo, la x se puede factorizar de los primeros dos y el 4 de los dos últimos. x2 + 3x + 4x + 12 = x1x + 32 + 41x + 32 Observe que la expresión a la derecha del signo igual tiene dos términos, y que el factor (x 3) es común a ambos. Factorizar (x 3) por medio de la propiedad distributiva. x 1x + 32 + 4 1x + 32 = 1x + 321x + 42

Por tanto, x2 + 3x + 4x + 12 = 1x + 321x + 42.

✺

En el ejemplo anterior, 3x y 4x son términos semejantes y se reducen, pero no lo haremos, pues estamos explicando cómo factorizar cuatro términos por agrupamiento. Algunos polinomios de cuatro términos, como el del ejemplo 9, no tienen términos semejantes que podamos reducir. Al estudiar la factorización de trinomios en la sección 4.10, en ocasiones comenzaremos con un trinomio y lo reescribiremos utilizando cuatro términos; por ejemplo, comenzamos con un trinomio como 2x2 + 11x + 12 y lo reescribimos como 2x2 + 8x + 3x + 12, y después factorizamos los cuatro términos resultantes por agrupamiento. Éste es un método útil para factorizar trinomios, como explicaremos más adelante.

EJEMPLO 3 Factorizar 15x2 + 10x + 12x + 8, por agrupamiento. 5x de los dos primeros Solución 15x2 + 10x + 12x + 8 = 5x13x + 22 + 413x + 22 Factoriza términos, y 4 de los dos últimos. = 13x + 2215x + 42

✺

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Podemos comprobar un problema de factorización por agrupamiento multiplicando los factores con el método PIES. Si no cometemos un error, el resultado será el polinomio original. A continuación comprobaremos el ejemplo 3. Comprobación

P

I

E

S

13x + 2215x + 42 = 13x215x2 + 12215x2 + 13x2142 + 122142 = 15x2 + 10x + 12x + 8

= 15x2 + 12x + 10x + 8 Es posible escribir 12x 10x como 10x 12x gracias a la propiedad conmutativa de la adición. Como este polinomio es con el que comenzamos, la factorización es correcta.

SUGERENCIA

En el ejemplo 3, al factorizar 15x2 + 10x + 12x + 8 obtuvimos 5x13x + 22 + 4 13x + 22 Al factorizar (3x 2), colocamos el factor común (3x 2) a la izquierda para ser consistentes con la forma como obtuvimos los factores comunes en la sección 4.1. Eso da 13x + 2215x + 42. Hubiéramos podido colocar el factor común a la derecha para obtener 15x + 4213x + 22. Ambas respuestas son correctas puesto que 13x + 2215x + 42 = 15x + 42 13x + 22, de acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

EJEMPLO 4 Factorizar 15x2 + 12x + 10x + 8 por agrupamiento. Solución 15x2 + 12x + 10x + 8 = 3x15x + 42 + 215x + 42 = 15x + 4213x + 22

✺

Observe que el ejemplo 4 es igual al ejemplo 3, pero con los dos términos medios intercambiados. Las respuestas de los ejemplos 3 y 4 son equivalentes, ya que sólo cambia el orden de los factores. Al factorizar por agrupamiento, si los dos términos medios son semejantes, se cambian y la respuesta será la misma.

EJEMPLO 5 Factorizar por agrupamiento la expresión x2 + 4x + x + 4. Solución En los primeros dos términos, x es el factor común. ¿Existe un factor común en los últimos dos términos? Sí; recuerde que 1 es un factor de cada término. Factorizamos 1 de los dos últimos términos. x2 + 4x + x + 4 = x2 + 4x + 1 # x + 1 # 4 = x 1x + 42 + 1 1x + 42

= 1x + 421x + 12

Observe que x 4 se expresó como 1 # x + 1 # 4 = 11x + 42.

EJEMPLO 6 Factorizar por agrupamiento: 6x2 - 3x - 2x + 1. Solución Al factorizar 3x de los primeros dos términos, obtenemos 6x 2 - 3x - 2x + 1 = 3x12x - 12 - 2x + 1

✺

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¿Qué debemos factorizar de los dos últimos términos? Queremos factorizar 2x 1 de manera que terminemos con una expresión que sea múltiplo de (2x 1). Cuando deseamos cambiar el signo de cada término de una expresión, se factoriza un número negativo de cada término. En este caso, factorizamos 1. - 2x + 1 = - 112x - 12 Ahora, reescribimos -2x + 1 como -112x - 12. 3x12x - 12 - 2x + 1 = 3x12x - 12 - 112x - 12 A continuación obtenemos el factor común (2x 1). 3x12x - 12 - 112x - 12 = 12x - 1213x - 12

EJEMPLO 7 Factorizar x2 + 5x - x - 5 por agrupamiento. x2 + 5x - x - 5 = x1x + 52 - x - 5 Solución

✺

Factorizar x.

= x1x + 52 - 11x + 52 Factorizar 1. = 1x + 521x - 12 Factorizar (x 5).

Observe que factorizamos 1 de x 5 para obtener 1(x 5).

✺

EJEMPLO 8 Factorizar 3x2 - 6x - 4x + 8 por agrupación. Solución

3x2 - 6x - 4x + 8 = 3x1x - 22 - 41x - 22 = 1x - 2213x - 42 Observe que -4x + 8 = - 41x - 22.

SUGERENCIA

✺

Generalmente, al factorizar cuatro términos por agrupación, si el coeficiente del tercero es positivo, como en los ejemplos 2 a 5, factorizamos un coeficiente positivo de los últimos dos términos. Si el coeficiente del tercer término es negativo, como en los ejemplos 6 a 8, por lo general factorizamos un coeficiente negativo de los últimos dos términos. Debemos incluir el signo del coeficiente del tercer término en la expresión, de modo que la factorización produzca dos términos. Por ejemplo, 2x2 + 8x + 3x + 12 = 2x1x + 42 + 31x + 42 = 1x + 4212x + 32

3x2 - 15x - 2x + 10 = 3x1x - 52 - 21x - 52 = 1x - 5213x - 22

En los ejemplos que hemos ilustrado hasta este momento, los dos términos del medio han sido semejantes. Esto no siempre es cierto, como se aprecia en el ejemplo 9.

EJEMPLO 9 Factorizar xy + 3x - 2y - 6 por agrupamiento. Solución Este problema contiene dos variables, x y y. En este caso, el procedimiento para factorizar es en esencia el mismo que el de antes. Factorizamos x de los dos primeros términos y 2 de los dos últimos. xy + 3x - 2y - 6 = x1y + 32 - 21y + 32 = 1y + 321x - 22 Factorizar 1y + 32.

✺

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EJEMPLO 10 Factorizar 2x2 + 4xy + 3xy + 6y2. Solución Factorizamos 2x de los dos primeros términos, y 3y de los dos últimos. 2x2 + 4xy + 3xy + 6y2 = 2x1x + 2y2 + 3y1x + 2y2 Ahora, sacamos el factor común (x 2y) de cada término en el lado derecho. 2x1x + 2y2 + 3y1x + 2y2 = 1x + 2y212x + 3y2 P I E S (x 2y)(2x 3y) (x)(2x) (2y)(2x) (x)(3y) (2y)(3y) 2x2 4xy 3xy 6y2 2x2 3xy 4xy 6y2

Comprobación

✺

Si el ejemplo 10 se diera como 2x2 + 4xy + 3xy + 6y2, ¿los resultados serían los mismos? Pruebe y vea.

EJEMPLO 11 Factorizar 6r2 - 9rs + 8rs - 12s2. Solución Factorizar 3r de los dos primeros términos y 4s de los últimos dos términos. 6r2 - 9rs + 8rs - 12s 2 = 3r12r - 3s2 + 4s12r - 3s2 = 12r - 3s213r + 4s2

✺

EJEMPLO 12 Factorizar 3x2 - 15x + 6x - 30. Solución En cualquier problema de factorización, el primer paso es determinar si todos los términos tienen un factor común. En caso de ser así, sacamos dicho factor común. En este polinomio, el 3 es común a todos los términos. Por tanto, comenzamos por factorizar el 3. 3x2 - 15x + 6x - 30 = 31x2 - 5x + 2x - 102 Ahora, factorizamos la expresión entre paréntesis por agrupación. Factorizamos la x de los primeros dos términos y el 2 de los últimos dos. 31x2 - 5x + 2x - 102 = 33x1x - 52 + 21x - 524 = 331x - 521x + 224 = 31x - 521x + 22 Por tanto, 3x2 - 15x + 6x - 30 = 31x - 521x + 22.

✺

Solución de problemas 1. Si sabemos que un polinomio con cuatro términos puede ser factorizado con un arreglo específico de términos, entonces, ¿cualquier arreglo de los términos podrá ser fac-

torizado por agrupamiento? Explique y fundamente su respuesta con un ejemplo.

Si es posible, factorice cada una de las siguientes expresiones. Considere el símbolo desconocido como una variable. Y 2 + 3O Y + 4O Y + 12 2. O 3. }2 + 3} + 2} + 7

4. }2 + 3} - 5} - 15

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4.9 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA ax 2 + bx + c, a = 1 1 2

Factorizar trinomios de la forma ax 2 + bx + c, donde a = 1. Eliminar un factor común de un trinomio.

Nota importante respecto a factorización de trinomios Factorizar trinomios es un tema importante del álgebra, matemáticas avanzadas, física y otros cursos de ciencias. Debido a que es importante, debe estudiar muy bien las secciones 4.9 y 4.10. En esta sección aprenderemos a factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, donde a, el coeficiente numérico del término elevado al cuadrado, es igual a 1. Es decir, factorizaremos trinomios de la forma x2 + bx + c. Un ejemplo de este tipo de trinomio es x2 + 5x + 6. Recuerde que x2 significa 1x2. En la sección 4.10 aprenderemos a factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, donde a Z 1. Un ejemplo de este tipo de trinomio es 2x2 + 7x + 3.

1

Factorizar trinomios de la forma ax 2 + bx + c, donde a = 1 A continuación estudiaremos cómo factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, donde a, el coeficiente numérico del término elevado al cuadrado es igual a 1. Algunos ejemplos de estos trinomios son: x2 + 7x + 12 a = 1, b = 7, c = 12

x2 - 2x - 24 a = 1, b = - 2, c = - 24

Recuerde que la factorización es el proceso inverso de la multiplicación. Es posible demostrar con el método PIES que 1x + 321x + 42 = x2 + 7x + 12 y

1x - 621x + 42 = x2 - 2x - 24

Por tanto, factorizamos x2 + 7x + 12 y x2 - 2x - 24 como sigue: x2 + 7x + 12 = 1x + 321x + 42 y

x 2 - 2x - 24 = 1x - 621x + 42

Observe que al factorizar cada uno de estos trinomios, obtenemos el producto de dos binomios en los que el primer término es x y el segundo un número (incluido su signo). En general, al factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c obtenemos dos factores en forma de binomio, como sigue: x 2 + bx + c = 1x + .21x + .2 Aquí van números.

Por ejemplo, si determinamos que los números que van en las áreas sombreadas de los factores son 4 y 6, escribiríamos los factores como (x 4) y (x 6). Observe que en lugar de escribir el segundo factor como (x (6)), queda como (x 6). Para determinar los números por colocar en las áreas sombreadas cuando factorizamos un trinomio de la forma x2 + bx + c, escribimos factores de la forma 1x + .21x + .2 y después probamos conjuntos diferentes de factores de la constante, c, para colocar en las áreas sombreadas en los paréntesis. Multiplicamos ca-

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Factores de 12

Factores posibles del trinomio

1121122

1x + 121x + 122

132142

1x + 321x + 42

1- 221 -62

1x - 221x - 62

122162

1- 121 -122 1- 321 -42

Producto de los factores x2 + 13x + 12

1x + 221x + 62

x2 + 8x + 12

1x - 121x - 122

x2 - 13x + 12

x2 + 7x + 12 x2 - 8x + 12

1x - 321x - 42

x2 - 7x + 12

da pareja de factores con el método PIES, y continuamos hasta hallar la pareja cuya suma de los productos de los términos exterior e interior sea el mismo que el término en x del trinomio. Por ejemplo, para factorizar el trinomio x2 + 7x + 12 determinamos los factores posibles de 12. Después probamos con el método PIES cada pareja de factores hasta obtener aquella cuyo producto contenga a 7x, el mismo término que aparece en el trinomio. Denominamos este método de factorización como ensayo y error. En el ejemplo 1 factorizamos x2 + 7x + 12 por ensayo y error.

EJEMPLO 1 Factorizar x2 + 7x + 12 por ensayo y error. Solución Comenzamos por enlistar los factores de 12 (vea la columna de la izquierda de la tabla de arriba). Después hacemos una lista de los factores posibles del trinomio y el producto de estos. Por último, determinamos cuáles de ellos, si los hubiera, generan el término medio correcto, 7x. En la última columna, encontramos el trinomio que se busca en el tercer renglón. Por tanto, x2 + 7x + 12 = 1x + 321x + 42

✺

A continuación veremos la forma en que determinamos con más facilidad los factores correctos de 12 que van en las áreas sombreadas cuando factorizamos el trinomio del ejemplo 1. En la sección 4.5 ilustramos cómo utilizar el método PIES para multiplicar dos binomios. Con dicho método, multiplicaremos (x 3)(x 4). S P

P I E S 2 1x + 321x + 42 = x + 3x + 4x + 12 I E

= x2 +

7x

+ 12

Observe que 1x + 321x + 42 = x2 + 7x + 12. Note que la suma de los términos exterior e interior es 7x, y el producto de los últimos términos es 12. Para factorizar x2 + 7 x + 12 , buscamos dos números cuyo producto sea 12 y su suma sea 7. Primero listamos de los factores de 12 y después la suma de ellos.

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Factores de 12 1121122 122162 132142 1- 121-122 1- 221- 62 1- 321-42

= = = = = =

12 12 12 12 12 12

Suma de los factores 1 + 12 2 + 6 3 + 4 - 1 + 1-122 - 2 + 1-62 -3 + 1- 42

= = = = = =

13 8 7 - 13 -8 -7

Los únicos factores de 12 cuya suma es 7 positivo son 3 y 4. Por tanto, los factores de x2 + 7x + 12 son (x 3) y (x 4). x2 + 7x + 12 = 1x + 321x + 42

En el ejemplo anterior, hicimos una lista de todos los factores posibles de 12 de modo que pudiera verlos. Sin embargo, al resolver un problema, una vez que encontramos los factores específicos que buscamos, ya no es necesario continuar. Para factorizar trinomios de la forma ax 2 + bx + c, donde a = 1 1. Encontrar dos números cuyo producto sea igual a la constante, c, y cuya suma sea igual al coeficiente del término con x, que es b. 2. Utilizar los dos números que encontramos en el paso 1, incluidos sus signos, para escribir el trinomio en su forma factorizada. Dicho trinomio será (x un número)(x segundo número)

¿Cómo encontramos los dos números mencionados en los pasos 1 y 2? El signo de la constante, c, es una de las claves para hallarlos. El recuadro de Sugerencia que se presenta a continuación es muy importante y útil. Estúdielo con cuidado.

SUGERENCIA

Cuando necesitemos factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, primero hay que observar el signo de la constante. a) Si la constante, c, es positiva, ambos números en los factores tendrán el mismo signo, los dos positivos o los dos negativos. Además, dicho signo en común será el mismo que el signo del coeficiente del término con x que aparece en el trinomio que deseamos factorizar. Es decir, si b es positiva, los dos factores tendrán números positivos, y si b es negativa, ambos factores tendrán números negativos. Ejemplo:

x2 + 7x + 12 = 1x + 321x + 42 El coeficiente, b, es positivo.

La constante, c, es positiva.

Ambos factores contienen números positivos.

Positivo. Positivo.

Ejemplo:

x2 - 5x + 6 = 1x - 221x - 32 El coeficiente, b, es positivo.

Ambos factores contienen números negativos.

La constante, c, Negativo. Negativo. es positiva.


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b) Si la constante es negativa, los dos números de los factores tendrán signos opuestos. Es decir, un número será positivo y el otro negativo. Ejemplo: Un factor tiene un número positivo y el otro un número negativo.

x2 + x - 6 = 1x + 321x - 22 El coeficiente, b, es positivo.

La constante, c, Positivo. Negativo. es negativa.

Ejemplo:

x2 - 3x - 10 = 1x + 221x - 52 El coeficiente, b, es negativo.

La constante, c, es negativa.

Positivo.

Un factor tiene un número positivo y el otro un número negativo.

Negativo.

Al factorizar trinomios, esta información se utilizará como punto de arranque.

EJEMPLO 2 Considere un trinomio de la forma x2 + bx + c. Con el empleo de los signos de b y c que damos a continuación, determine los signos de los números en los factores. a) b es negativo y c es positivo. b) b es negativo y c es negativo. c) b es positivo y c es negativo. d) b es positivo y c es positivo.

Solución En cada caso, primero estudiamos el signo de la constante, c. a) Como la constante, c, es positiva, ambos números tienen el mismo signo. Como el coeficiente del término con x, b, es negativo, los dos factores tienen números negativos. b) Dado que la constante, c, es negativa, un factor tiene un número positivo y el otro un número negativo. c) Ya que la constante, c, es negativa, un factor tiene un número positivo y el otro uno negativo. d) Toda vez que la constante, c, es positiva, los dos números tienen el mismo signo. Como el coeficiente del término con x, b, es positivo, ambos factores tienen números positivos. ✺

EJEMPLO 3 Factorizar x2 + x - 6. Solución Debemos encontrar dos números cuyo producto sea la constante, 6, y cuya suma sea el término en x, 1. Recuerde que x significa 1x. Como la constante es negativa, un número debe ser positivo y el otro negativo. Recuerde que el producto de dos números con signos diferentes es negativo. A continuación damos los factores de 6, en busca de aquellos cuya suma sea 1. Factores de -6 11 -62 21- 32 31- 22 61- 12

= = = =

-6 -6 -6 -6

Suma de factores 1 2 3 6

+ + + +

1- 62 1-32 1- 22 1- 12

= = = =

-5 -1 1 5

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Observe que los factores 1 y 6 del renglón superior son diferentes de los factores 1 y 6 del renglón inferior, y su suma es diferente. Los números 3 y 2 tienen un producto de 6 y suman 1. Entonces, los factores son (x 3) y (x 2). x2 + x - 6 = 1x + 321x - 22

El orden de los factores no es importante. Por ello, x2 + x - 6 = 1x - 221x + 32 también es una respuesta aceptable. ✺ Como dijimos antes, comprobamos los problemas de factorización con la multiplicación de los factores, de acuerdo con el método PIES. Si la factorización es correcta, el producto obtenido con este método será idéntico al trinomio original. A continuación comprobamos los factores que obtuvimos en el ejemplo 3. Comprobación

1x + 321x - 22 = x2 + 3x - 2x - 6 = x2 + x - 6

Como el producto de los factores es idéntico al trinomio original, la factorización es correcta.

EJEMPLO 4 Factorizar x2 - x - 6. Solución En el ejemplo 3 mostramos los factores de 6. Los factores cuyo producto es 6 y cuya suma es 1, son 2 y 3.

Factores de 6 21- 32 = - 6

Suma de factores 2 + 1- 32 = -1

x2 - x - 6 = 1x + 221x - 32

Por tanto,

✺

EJEMPLO 5 Factorizar x2 - 5x + 6. Solución Debemos encontrar dos números cuyo producto sea 6 y sumen 5. Como la constante, 6, es positiva, ambos factores deben tener el mismo signo. Ya que el coeficiente del término con x, 5, es negativo, los dos números deben ser negativos. Recuerde que el producto de un número negativo por otro también negativo, es positivo. A continuación mostramos los factores negativos de 6, en busca de la pareja cuya suma sea 5. Factores de 6

Suma de factores

1-121-62 1- 221- 32

- 1 + 1-62 = - 7 -2 + 1-32 = -5

Los factores de 6 cuya suma es 5, son 2 y 3. x2 - 5x + 6 = 1x - 221x - 32

✺

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EJEMPLO 6 Factorizar r2 + 2r - 24. Solución En este ejemplo, la variable es r, pero el procedimiento de factorización es el mismo. Debemos hallar dos factores de 24 cuya suma sea 2. Como la constante es negativa, uno de ellos será positivo y el otro negativo. Factores de 24 1121- 242 1221-122 1321-82 1421-62 1621- 42

Suma de factores 1 + 1-242 2 + 1-122 3 + 1-82 4 + 1- 62 6 + 1- 42

= = = = =

- 23 - 10 -5 -2 2

Como encontramos los dos números, 6 y 4, cuyo producto es 24 y su suma 2, no es necesario continuar. r2 + 2r - 24 = 1r + 621r - 42

✺

EJEMPLO 7 Factorizar x2 - 10x + 25. Solución Debemos hallar 2 factores de 25 cuya suma sea 10. Los dos factores deben ser negativos (¿puede explicar por qué?) Los dos factores cuyo producto es 25 y cuya suma es 10, son 5 y 5. x2 - 10x + 25 = 1x - 521x - 52 = 1x - 522

✺

EJEMPLO 8 Factorizar x2 - 5x - 66. Solución Debemos encontrar dos números que multiplicados den 66 y sumados 5. Como la constante es negativa, un factor debe ser positivo y el otro negativo. Los factores que buscamos son 11 y 6, porque (11)(6) 66, y 11 6 5. x2 - 5x - 66 = 1x - 1121x + 62

✺

EJEMPLO 9 Factorizar x2 + 7x + 18. Solución En primer lugar busquemos dos números cuyo producto sea 18 y sumen 7. Debido a que tanto la constante como el coeficiente del término con x son positivos, los dos números también son positivos. Factores de 18

Suma de factores

(1)(18) (2)(9) (3)(6)

1 + 18 = 19 2 + 9 = 11 3 + 6 = 9

Observe que no existen dos enteros cuyo producto sea 18 y sumen 7. Si no es posible hallar dos enteros que satisfagan las condiciones dadas, el trinomio no

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puede factorizarse empleando exclusivamente factores enteros. Un polinomio que no admite factorización con el solo empleo de coeficientes enteros, se denomina polinomio primo. Si nos encontramos con un polinomio de este tipo, como el del ejemplo 9, no debemos dejar el problema sin respuesta. En vez de ello, debemos escribir “es primo”. Sin embargo, antes de declararlo “primo”, revisemos nuestro trabajo y asegurémonos de que probamos todas las combinaciones posibles. ✺ Al factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, existe al menos una pareja de números cuyo producto sea c y cuya suma sea b. Por ejemplo, al factorizar x2 - 12x + 32, los dos números que multiplicados dan 32 y sumados dan 12, son 4 y 8. No existe otra pareja de números que satisfaga estas condiciones específicas. Así, los únicos factores de x2 - 12x + 32 son (x 4) y (x 8). En el ejemplo 10 ilustramos un tipo de problema un poco diferente.

EJEMPLO 10 Factorizar x2 + 2xy + y2. Solución En este problema, el segundo término contiene dos variables, x y y, y el último término no es una constante. El procedimiento que empleamos para factorizar este trinomio es similar al que ya describimos. Sin embargo, debe darse cuenta de que el producto de los primeros términos de los factores que buscamos debe ser x2, y el producto de los dos últimos términos de los factores debe ser y2. Debemos encontrar dos números cuyo producto sea 1 (por 1y2) y cuya suma sea 2 (por 2xy). Los dos números son 1 y 1. Por tanto, x 2 + 2xy + y2 = 1x + 1y21x + 1y2 = 1x + y21x + y2 = 1x + y22

✺

EJEMPLO 11 Factorizar x2 - xy - 6y2. Solución Encontrar dos números cuyo producto sea 6 y sumen 1. Los números son 3 y 2. Los dos últimos términos deben ser 3y y 2y a fin de obtener 6y2. x2 - xy - 6y2 = 1x - 3y21x + 2y2

2

✺

Eliminar un factor común de un trinomio En ocasiones cada término de un trinomio tiene un factor común. Cuando esto ocurre, primero factorizamos el factor común, como explicamos en la sección 4.1. El primer paso en cualquier problema de factorización es factorizar cualesquiera factores comunes a todos los términos del polinomio. Cuando el coeficiente numérico del término de mayor grado no sea 1, debe buscarse algún factor común. Después de factorizar cualquier factor común que haya, si es posible debe factorizarse aún más el trinomio que resulte.

EJEMPLO 12 Factorizar 2x2 + 2x - 12. Solución Como el coeficiente numérico del término al cuadrado no es 1, buscamos algún factor común. Como 2 es común a todos los términos del polinomio, lo factorizamos. 2x2 + 2x - 12 = 21x2 + x - 62 Encontrar el factor común.

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A continuación factorizamos el trinomio obtenido, x2 + x - 6, en 1x + 321x - 22. Donde, 2x2 + 2x - 12 = 21x + 321x - 22. Observe que el trinomio 2x2 + 2x - 12 ya está completamente factorizado en tres factores: dos binomios, x 3 y x 2, y un monomio, 2. Una vez que factorizamos el 2, éste no jugó ningún papel en la factorización del trinomio obtenido. ✺

EJEMPLO 13 Factorizar 3n3 + 24n2 - 60n. Solución Observamos que 3n divide a cada término del polinomio, y por tanto es un factor común. Una vez que sacamos 3n, se factoriza el trinomio resultante. 3n3 + 24n2 - 60n = 3n1n2 + 8n - 202 Encontrar el factor común. = 3n1n + 1021n - 22 Factorizar el trinomio resultante.

✺

Solución de problemas 1. Las dos primeras columnas de la siguiente tabla describen los signos del término con x y el término constante de un trinomio de la forma x 2 + bx + c. Determine si la tercera columna debe contener “los dos positivos, los dos negativos” o “uno positivo y otro negativo”. Explique cómo llegó a la respuesta.

Signo del coeficiente del término con x

Signo de la constante del trinomio

-

+ -

+

-

+

+

Signo de los términos constantes en los factores del binomio both negative one positive and one negative one positive and one negative both positive

2. Suponga que un trinomio de la forma x 2 + bx + c es factorizable. Determine si los términos constantes en los factores son “los dos positivos”, los dos negativos”, o “uno positivo y otro negativo” para los signos dados de b y c. Explique su respuesta. a) b 7 0, c 7 0

b) b 6 0, c 7 0

c) b 7 0, c 6 0

d) b 6 0, c 6 0

3. Escriba un trinomio cuyos factores binomiales contengan dos términos constantes que sumen 5 y tengan un producto de 4. Demuestre la factorización del trinomio. 4. x2 6x 8 5. x2 16xy 17y2 6. r2s 7rs2 12s3 7. 2z5 16z4 30z3

4.10 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS DE LA FORMA ax 2 + bx + c, a Z 1 1 2

Factorización de trinomios de la forma ax 2 + bx + c, con a Z 1, por ensayo y error. Factorización de trinomios de la forma ax 2 + bx + c, con a Z 1, por agrupamiento.

Nota importante En esta sección estudiamos dos métodos para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, con a Z 1. Es decir, factorizaremos trinomios cuyo término cuadrático tiene un coeficiente numérico diferente de 1, una vez que extraemos los factores comunes. Algunos ejemplos de trinomios con a Z 1 son 2x2 + 11x + 12 1a = 22

4x2 - 3x + 1 1a = 42


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Los métodos que estudiamos son (1) factorización por ensayo y error, y (2) factorización por agrupamiento. Presentamos dos métodos diferentes para factorizar estos trinomios debido a que algunos estudiantes, y ciertos profesores, prefieren uno de ellos en tanto que otros se inclinan por el otro. Usted puede utilizar cualquier método a menos que su maestro pida que utilice uno en particular. Emplearemos los mismos ejemplos para ilustrar los dos métodos para que usted pueda comprobarlos. Cada método se trata en forma independiente, de modo que si su profesor le pide que utilice uno —ya sea el método por ensayo y error o por agrupamiento—, sólo tenga que leer el material específico. En la sección 4.9 introdujimos la factorización por ensayo y error, y en la 4.8 estudiamos la técnica por agrupamiento.

1 Factorización de trinomios de la forma ax 2 + bx + c, con a Z 1, por ensayo y error A continuación estudiaremos la factorización de trinomios de la forma ax2 + bx + c, con a Z 1, por el método de ensayo y error, el cual se introdujo en la sección 4.9. Quizá sea de utilidad que consulte dicho material antes de seguir adelante. Recuerde que la factorización es el proceso inverso de la multiplicación. Considere el producto de los siguientes dos binomios: P

I

E

S

1 2x + 3 21 x + 5 2 = 2x1x2 + 31x2 + 12x2152 + 3152 = 2x2 + 3x + 10x + 15 = 2x2 + 13x + 15 Observe que el producto de los primeros términos del binomio da el término cuadrático de x del trinomio, 2x2. Asimismo, note que el producto de los últimos términos de los binomios produce el último término, o constante, del trinomio, 15. Por último, observe que la suma de los productos de los términos exteriores e interiores de los binomios da el término medio del trinomio, 13x. Cuando factorizamos un trinomio por ensayo y error, hacemos uso de estos hechos importantes. Observe que 2x2 + 13x + 15 en forma factorizada es 12x + 321x + 52. 2x2 + 13x + 15 = 12x + 321x + 52

Al factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c por ensayo y error, el producto de los primeros términos en los factores del binomio debe ser igual al primer término del trinomio, ax2. Asimismo, el producto de las constantes en los factores del binomio, incluidos sus signos, debe ser igual a la constante, c, del trinomio. El producto de las constantes en los factores debe ser igual a c.

ax2 + bx +c = ( término con x ( 1 primera constante )( término con x + segunda constante ) El producto de los términos con x en los factores debe ser igual a ax2.

Por ejemplo, al factorizar el trinomio 2x2 + 7x + 6, cada uno de los siguientes pares de factores tiene un producto de los primeros términos igual a 2x2, y un producto de los últimos términos que es igual a 6.

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Producto de los primeros términos

Factores posibles

Trinomio

12x 12x d 12x 12x

2

2x + 7x + 6

+ + + +

121x 221x 321x 621x

+ + + +

62 32 22 12

2x1x2 2x1x2 2x1x2 2x1x2

= = = =

2x2 2x2 2x2 2x2

Producto de los últimos términos 1162 2132 3122 6112

= = = =

6 6 6 6

Cada una de estas parejas de factores es una respuesta posible, pero sólo una tiene los factores correctos. ¿Cómo determinamos cuál es la factorización correcta del trinomio 2x2 + 7x + 6? La clave está en el término con x. Sabemos que cuando multiplicamos dos binomios por medio del método PIES, la suma de los productos de los términos exteriores e interiores da el término con x del trinomio. Utilizamos este concepto a la inversa para determinar la pareja correcta de factores. Necesitamos encontrar la pareja de factores cuya suma de los productos de los términos exteriores e interiores sea igual al término con x del trinomio. ax2 + bx + c = ( término con x ( 1 primera constante )( término con x + segunda constante ) Producto de los términos interiores. Producto de los términos exteriores. La suma de los productos de los términos interiores y exteriores debe ser igual a bx.

Ahora busquemos las posibles parejas de factores que obtuvimos para 2x2 + 7x + 6, para ver si alguna conduce al término correcto con x, 7x.

Trinomio

2

2x + 7x + 6

Producto de Producto de Suma de los productos los primeros los últimos de los términos términos términos exteriores e interiores

Factores posibles 12x 12x d 12x 12x

+ + + +

121x 221x 321x 621x

+ + + +

62 32 22 12

2x2 2x2 2x2 2x2

6 6 6 6

2x162 2x132 2x122 2x112

+ + + +

11x2 21x2 31x2 61x2

= = = =

13x 8x 7x 8x

Como 12x + 321x + 22 lleva al término correcto con x, 7x, los factores del trinomio 2x2 + 7x + 6 son 12x + 32 y 1x + 22. 2x2 + 7x + 6 = 12x + 321x + 22

Comprobamos esta factorización con el método PIES. P I E S Comprobación 12x + 321x + 22 = 2x1x2 + 31x2 + 2x122 + 3122

= 2x2 + 3x + 4x + 6

= 2x2 + 7x + 6 Como obtuvimos el trinomio original, la factorización es correcta.

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En el ejemplo anterior observamos que 12x + 121x + 62 son factores diferentes de 12x + 621x + 12, porque en un caso el 1 forma pareja con 2x, y en el segundo caso lo hace con la x. Sin embargo, los factores 12x + 121x + 62 y 1x + 6212x + 12 son el mismo conjunto de factores en orden inverso.

SUGERENCIA

Al factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c, recuerde que el signo de la constante, c, y el signo del término con x, bx, ofrecen información valiosa. Al factorizar un trinomio por ensayo y error, primero debe verificar el signo de la constante. Si es positivo, el signo de los dos factores debe ser el mismo que el del término con x. Si la constante es negativa, un factor tendrá un signo positivo y el otro negativo.

Ahora delinearemos el procedimiento para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, con a Z 1, por ensayo y error. Recuerde que entre más practique, tendrá mejor desempeño al factorizar. Para factorizar trinomios de la forma ax 2 + bx + c, con a Z 1, por ensayo y error 1. Determine si existe algún factor común a los tres términos. En tal caso, factorícelo. 2. Escriba todas las parejas de factores del coeficiente del término cuadrado, a. 3. Escriba todas las parejas de factores del término constante, c. 4. Pruebe varias combinaciones de estos factores hasta encontrar el término medio correcto, bx.

Generalmente, al factorizar con este procedimiento, si hay más de una pareja de números cuyo producto sea a, comenzamos con la pareja de tamaño medio. Ilustraremos este procedimiento con los ejemplos 1 a 8.

EJEMPLO 1 Factorizar 3x2 + 20x + 12. Solución Primero determinamos que los términos no tengan factores comunes distintos de 1. Como el primer término es 3x2, un factor debe contener a 3x y el otro una x. Por tanto, los factores serán de la forma 13x + .21x + .2. Ahora debemos encontrar los números que colocaremos en las áreas sombreadas. El producto de los últimos términos de los factores debe ser 12. Como la constante y el coeficiente del término con x son positivos, sólo necesitamos considerar los factores positivos de 12. Haremos una lista de los factores positivos de 12, de los factores posibles del trinomio y la suma de los productos de los términos exteriores e interiores. Una vez que encontremos los factores de 12 que conducen a la suma apropiada de los productos de los términos exteriores e interiores, 20x, escribimos la respuesta.

Factores de 12 11122 2162 3142 4132 6122 12112

Factores posibles del trinomio 13x + 121x + 122

Suma de los productos de los términos exteriores e interiores 37x

13x + 221x + 62

20x

13x + 421x + 32

13x

13x + 321x + 42

13x + 621x + 22

13x + 1221x + 12

15x 12x 15x

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Como el producto de (3x 2) y (x 6) lleva al término correcto con x, estos son los factores correctos. 3x2 + 20x + 12 = 13x + 221x + 62 ✺

En el ejemplo 1 podríamos escribir nuestro primer factor con una x y el segundo con 3x. De haber hecho esto, también hubiéramos obtenido la respuesta correcta: 1x + 6213x + 22. Además, podríamos detenernos una vez determinado el par de factores que nos dan 20x. En lugar de ello, hicimos una lista de todos los factores para estudiarlos.

EJEMPLO 2 Factorizar 5x2 - 7x - 6. Solución Un factor debe tener a 5x y el otro una x. Ahora haremos una lista de los factores de 6 y buscaremos la pareja de factores que nos conduzcan a 7x.

Factores de 6 - 1162 -2132 -3122 - 6112

Factores posibles

Suma de los productos de los términos exteriores e interiores

15x - 121x + 62

29x

15x - 321x + 22

7x

15x - 221x + 32

15x - 621x + 12

13x -x

Como al escribir el factor negativo con el 5x no obtenemos la cantidad deseada, 7x, ahora probaremos haciendo una lista del factor negativo con la x.

Factores de 6 11 - 62 21- 32 31 -22 61 -12

Factores posibles 15x + 121x - 62

15x + 221x - 32

15x + 321x - 22

15x + 621x - 12

Suma de los productos de los términos exteriores e interiores - 29x -13x -7x x

Observamos que 15x + 321x - 22 produce el término 7x que buscamos. Por tanto, 5x2 - 7x - 6 = 15x + 321x - 22 De nuevo hicimos una lista de todas las combinaciones posibles para que las estudie. ✺

SUGERENCIA

En el ejemplo 2 nos pidieron factorizar 5x2 - 7x - 6. Al considerar el producto de 3(2) en el primer conjunto de factores posibles, obtuvimos

Factores de 6

- 3122

Factores posibles

15x - 321x + 22


7x

Más adelante, en la solución probamos 3(2) y obtuvimos la respuesta correcta. 31- 22

15x + 321x - 22

-7x

Al factorizar un trinomio con una constante negativa, si obtenemos el término con x cuyo signo es el opuesto del que buscamos, hay que invertir los signos de las constantes en los factores. Esto debe dar el conjunto de factores que buscamos.

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EJEMPLO 3 Factorizar 8x2 + 33x + 4. Solución No hay factores comunes a todos los términos. Como el primer término es 8x2, existen varias combinaciones posibles para los primeros términos en los factores. Como 8 = 8 # 1 y 8 = 4 # 2, los posibles factores son de la forma 18x 21x 2 o bien 14x 212x 2. Por lo general, cuando esta situación ocurre comenzamos con la pareja de factores de tamaño medio.Así, comenzamos con 14x 212x 2. Si esta pareja no conduce a la solución, entonces probamos con 18x 21x 2. Ahora hacemos una lista de los factores de la constante, 4. Como todos los signos son positivos, sólo incluimos los factores positivos de 4.


Factores de 4

Factores posibles

1142

14x + 1212x + 42

18x

14x + 4212x + 12

12x

2122 4112

14x + 2212x + 22

Como no obtuvimos los factores con 14x 18x 21x 2.

12x

212x

2, intentamos ahora con


Factores de 4

Factores posibles

1142

18x + 121x + 42

33x

18x + 421x + 12

12x

2122 4112

18x + 221x + 22

18x

Como el producto de 18x + 12 y 1x + 42 conduce al término con x correcto, 33x, estos son los factores correctos. 8x2 + 33x + 4 = 18x + 121x + 42

✺

EJEMPLO 4 Factorice 25t2 - 10t + 1. Solución Los factores deben tener la forma 125t

21t 2 o 15t 215t 2. Comenzaremos con los de tamaño medio 15t 215t 2. Como la constante es positiva y el coeficiente del término con x es negativo, ambos factores deben ser negativos.

Factores de 1

Factores posibles

1 - 121 -12

15t - 1215t - 12

Suma de los productos de los términos exteriores e interiores -10t

Como encontramos los factores correctos, el proceso se detiene. 25t2 - 10t + 1 = 15t - 1215t - 12 = 15t - 122

EJEMPLO 5 Factorizar 2x2 + 3x + 7. Solución Los factores serán de la forma 12x

✺

21x 2. Sólo se necesita considerar los factores positivos de 7. ¿Puede explicar por qué?

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Factores de 7

Factores posibles

1172

12x + 121x + 72

Suma de los productos de los términos exteriores e interiores 15x

12x + 721x + 12

7112

9x

Como ya probamos todas las combinaciones posibles y no obtuvimos el término en x, 3x, este trinomio no puede factorizarse utilizando solamente factores enteros. Como explicamos antes, el trinomio 2x2 3x 7 es un polinomio primo. ✺

EJEMPLO 6 Factorizar 4x2 + 7xy + 3y2. Solución Este trinomio es diferente de los otros en que el último término no es constante, sino que contiene y2. No tiene nada que temer. El proceso de factorización es el mismo, excepto que el segundo término de ambos factores tendrán a y. Comenza212x 2. Si no los encuentra, enmos por considerar factores de la forma 12x 21x 2. tonces probaremos otros de la forma 14x

Factores de 3 1132

Factores posibles


12x + y212x + 3y2

8xy

14x + y21x + 3y2

13xy

12x + 3y212x + y2

3112 1132

8xy

14x + 3y21x + y2

3112

7xy

4x2 + 7xy + 3y2 = 14x + 3y21x + y2

Comprobación 14x + 3y21x + y2 = 4x 2 + 4xy + 3xy + 3y 2 = 4x 2 + 7xy + 3y 2

✺

EJEMPLO 7 Factorizar 6x2 - 13xy - 8y2. Solución Comenzamos con factores de la forma 13x

212x 2. Si no encontramos la so21x 2. Como el último término, lución a partir de estos, probaremos con 16x 8y2, es negativo, un factor contendrá un signo positivo y el otro un signo negativo.

Factores de 8 11 - 82 21 -42 41- 22 81- 12

Factores posibles


13x + y212x - 8y2

- 22xy

13x + 4y212x - 2y2

2xy

13x + 2y212x - 4y2 13x + 8y212x - y2

- 8xy 13xy ;

Buscamos 13xy.Al considerar 8(1), obtuvimos 13xy. Como en la Sugerencia anterior, si cambiamos el signo de los números en los factores, se obtendrá lo que buscamos. 13x + 8y212x - y2 Da 13xy 13x - 8y212x + y2 Da -13xy Por tanto, 6x2 - 13xy - 8y2 = 13x - 8y212x + y2.

✺

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A continuación presentaremos un ejemplo en el que todos los términos del trinomio tienen un factor común.

EJEMPLO 8 Factorizar 6x3 + 15x2 - 36x. Solución El primer paso en cualquier problema de factorización consiste en determinar si todos los términos contienen un factor común. Si así fuera, primero sacamos dicho factor común. En este ejemplo, 3x es común a los tres términos. Comenzamos por factorizar 3x. Después, continuamos con la factorización por ensayo y error. 6x3 + 15x2 - 36x = 3x12x2 + 5x - 122 = 3x12x - 321x + 42

2

✺

Factorización de trinomios de la forma ax 2 + bx + c, con a Z 1, por agrupamiento A continuación estudiaremos el uso del agrupamiento. Los pasos en el recuadro que sigue dan el procedimiento para factorizar trinomios por agrupamiento. Para factorizar trinomios de la forma ax 2 bx c, a 1, por agrupamiento 1. Determinar si existe un factor común a los tres términos. Si así fuera, factorizarlo. 2. Encontrar dos números cuyo producto sea igual al producto de a por c, y cuya suma sea igual a b. 3. Reescribimos el término medio, bx, como la suma o resta de dos términos que utilicen los números que encontramos en el paso 2. 4. Factorizamos por agrupación, según explicamos en la sección 4.8.

Este proceso quedará claro en el ejemplo 9. Volveremos a resolver los ejemplos 1 a 8 por el método de factorización por agrupamiento. El ejemplo 9 es el mismo trinomio que dimos en el ejemplo 1. Después de estudiar este método e intentar resolver algunos ejercicios, estaremos en posición de decidir cuál método prefiere utilizar.

EJEMPLO 9 Factorizar 3x2 + 20x + 12. Solución En primer lugar, determinamos si existe un factor común a todos los términos del polinomio. No existen factores comunes (distintos de 1) para los tres términos. a = 3 b = 20 c = 12 1. Debemos encontrar dos números cuyo producto sea a · c, y cuya suma sea igual a b. Por tanto, debemos encontrar dos números cuyo producto sea igual a 3 # 12 = 36 y cuya suma sea igual a 20. Sólo es necesario considerar los factores positivos de 36, ya que todos los signos del trinomio son positivos. Factores de 36 1121362 1221182 1321122 142192 162162 Los factores que buscamos son 2 y 18.

Suma de factores 1 + 36 2 + 18 3 + 12 4 + 9 6 + 6

= = = = =

37 20 15 13 12

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2. Reescribimos 20x como la suma o diferencia de dos términos que utilizan los valores que encontramos en el paso 1. Por tanto, reescribimos 20x como 2x 18x. 2 3x + 20x + 12 $''%''& 2 = 3x + 2x + 18x + 12 3. Ahora factorizamos por agrupamiento. Comenzamos por sacar el factor común de los dos primeros términos y el factor común de los últimos dos. x es un factor común.

6 es un factor común.

$''%''& $''%''& 3x2 + 2x + 8x + 12 = x13x + 22 + 613x + 22 = 13x + 221x + 62

✺

Ahora que en el paso 2 del ejemplo 9 reescribimos 20x como 2x 18x. ¿Habría habido alguna diferencia si hubiéramos escrito 20x como 18x 2x? Lo resolveremos para observar qué pasa. 2 + 20x + 12 3x $''%''& 2 = 3x + 18x + 2x + 12 3x es un factor común.

2 es un factor común.

$''%''& $''%''& 3x2 + 18x + 2x + 12 = 3x1x + 62 + 21x + 62 = 1x + 6213x + 22

Como 1x + 6213x + 22 = 13x + 221x + 62, los factores son los mismos. Obtenemos la misma respuesta si escribimos 20x ya sea como 2x 18x o como 18x 2x. En general, al reescribir el término medio del trinomio con el empleo de los factores específicos que encontramos, podemos hacer una lista de los términos en cualquier orden. Sin embargo, debemos comprobar los dos términos para estar seguros de que la suma de ellos es igual al término medio.

EJEMPLO 10 Factorizar 5x2 - 7x - 6. Solución No hay factores comunes distintos de 1. a = 5, b = - 7, c = - 6 El producto de a por c es 5(6) 30. Debemos encontrar dos números cuyo producto sea 30 y cuya suma sea 7. Factores de 30 1- 121302 1- 221152 1- 321102 1- 52162 1- 62152 1-102132 1- 152122 1-302112

Suma de factores - 1 + 30 - 2 + 15 - 3 + 10 -5 + 6 -6 + 5 -10 + 3 -15 + 2 -30 + 1

= = = = = = = =

29 13 7 1 -1 -7 -13 -29

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Reescribimos el término medio del trinomio, 7x, como - 10x + 3x. 5x2 - 7x - 6 $''%''& = 5x2 - 10x + 3x - 6

Ahora factorizamos por agrupación.

= 5x1x - 22 + 31x - 22

= 1x - 2215x + 32

✺

En el ejemplo 10 pudimos expresar a 7x como 3x 10x y hubiéramos obtenido la misma respuesta. Trate de resolver el ejemplo 10 escribiendo 7x como 3x 10x.

SUGERENCIA

Observe en el ejemplo 10 que buscábamos dos factores de 30 cuya suma fuera 7. Al considerar los factores 3 y 10, obtuvimos una suma de 7. Entonces los factores que dan una suma de 7 son 3 y 10. Observe que cuando la constante del trinomio es negativa, si cambiamos los signos de las constantes de los factores, cambia el signo de la suma de los factores. Así, al probar parejas de factores para obtener el término medio, si obtenemos el opuesto del coeficiente que buscamos, hay que invertir los signos de los factores. Esto debe dar el coeficiente buscado.

EJEMPLO 11 Factorizar 8x2 + 33x + 4. Solución No existen factores comunes distintos de 1. Debemos encontrar dos números cuyo producto sea 8 # 4, o 32, y cuya suma sea 33. Dichos números son 1 y 32. Factores de 32

Suma de factores

1121322

1 + 32 = 33

Reescribimos 33x como 32x x. Después factorizamos por agrupamiento. 2 8x + 33x'& + 4 $''%' 2 = 8x + 32x + x + 4 = 8x1x + 42 + 11x + 42 = 1x + 4218x + 12

✺

Observe en el ejemplo 11 que reescribimos 33x como 32x x, en lugar de x 32x. Hicimos esto para reforzar la factorización de 1 a partir de los dos últimos términos de una expresión. Debe obtenerse la misma respuesta si reescribe 33x como x 32x. Le proponemos comprobarlo ahora.

EJEMPLO 12 Factorizar 25t2 - 10t + 1. Solución

No hay factores comunes distintos de 1. Debemos encontrar dos números cuyo producto sea 25 # 1, o 25, y cuya suma sea 10. Como el producto de a por c es positivo, y el término con t es negativo, ambos factores numéricos deben ser negativos. Factores de 9 1- 121- 252 1 -521-52

Suma de factores - 1 + 1-252 = - 26 -5 + 1 -5 2 = -10

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Los factores que buscamos son 5 y 5. 25t2$' -'%' 10t +'& 1

= 25t2 - 5t - 5t + 1

Reescribir 10t como 5t 5t.

= 5t15t - 12 - 5t + 1 Reescribir 5t 1 como 1(5t 1).

= 5t15t - 12 - 115t - 12

= 15t - 1215t - 12 o bien 15t - 122

SUGERENCIA

✺

Al tratar de factorizar un trinomio, si no hay dos enteros cuyo producto sea igual a a # c, y cuya suma sea igual a b, el trinomio no puede factorizarse.

EJEMPLO 13 Factorizar 2x2 + 3x + 7. Solución No hay factores comunes distintos de 1. Debemos encontrar dos números cuyo producto sea 14 y su cuya suma sea 3. Sólo necesitamos considerar los factores positivos de 14. ¿Por qué? Factores de 14 1121142 122172

Suma de factores 1 + 14 = 15 2 + 7 = 9

Como no existen factores de 14 que sumen 3, se concluye que no es posible factorizar este trinomio. Éste es un ejemplo de polinomio primo. ✺

EJEMPLO 14 Factorizar 4x2 + 7xy + 3y2. Solución No existen factores comunes distintos de 1. Este trinomio contiene dos variables. Factorizamos básicamente de la misma manera que en los ejemplos anteriores. Hay que encontrar dos números cuyo producto sea 4 · 3, o 12, y cuya suma sea 7. Los dos números son 4 y 3. 4x2 + 7xy + 3y2 $'''%'' '& = 4x2 + 4xy + 3xy + 3y2 = 4x1x + y2 + 3y1x + y2

= 1x + y214x + 3y2

✺

EJEMPLO 15 Factorizar 6x2 - 13xy - 8y2. Solución No hay factores comunes distintos de 1. Encontrar dos números cuyo producto sea 6(8), o 48, y cuya suma sea 13. Como el producto es negativo, un factor debe ser positivo y el otro negativo. A continuación damos algunos factores. Producto de factores

Suma de factores

1121-482 1221-242 1321-162

1 + 1-482 = - 47 2 + 1-242 = - 22 3 + 1 -16 2 = -13

Existen muchos otros factores, pero encontramos la pareja que se buscaba. Los dos números cuyo producto es 48 y cuya suma es 13, son 3 y 16.

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6x2 - 13xy - 8y2 $'''%'' '& = 6x2 + 3xy - 16xy - 8y2 = 3x12x + y2 - 8y12x + y2 = 12x + y213x - 8y2

12x + y213x - 8y2 P I E S = 12x213x2 + 1y213x2 + 12x21 -8y2 + 1y21 -8y22 = 6x2 + 3xy - 16xy - 8y 2 = 6x2 - 13xy - 8y2

Comprobación

✺

Si reescribiéramos 13xy como 16xy 3xy, y volviéramos a resolver el ejemplo 15, ¿qué respuesta obtendríamos? Inténtelo y observe. Recuerde que en cualquier problema de factorización, el primer paso consiste en determinar si todos los términos del polinomio tienen un factor común distinto de 1. Si así fuera, utilizamos la propiedad distributiva para factorizar el MCD de cada término. Después proseguimos con la factorización del trinomio, si esto fuera posible.

EJEMPLO 16 Factorizar 6x3 + 15x2 - 36x. Solución El factor 3x es común a los tres términos. Factorizamos 3x de cada término del polinomio. 6x3 + 15x2 - 36x = 3x12x2 + 5x - 122 Ahora continuamos con la factorización de 2x2 + 5x - 12. Los dos números cuyo producto es 2(12), o 24, y cuya suma es 5, son 8 y 3. 2x12x2 + 5x - 122 $' '%' '& = 2x12x2 + 8x - 3x - 122 = 2x32x1x + 42 - 31x + 424 = 2x1x + 4212x - 32

SUGERENCIA

✺

¿Cuál método usar para factorizar un trinomio? Si el instructor pide que utilice un método específico, debe hacerlo. Si no, debe usar el método con el que se sienta más cómodo. Quizá desee comenzar con el método de ensayo y error, si sólo hay unos cuantos factores por probar. Si estos no pudieran encontrarse por ensayo y error o existieran muchos factores posibles por considerar, tal vez quiera utilizar el procedimiento por agrupación. Con tiempo y práctica aprenderá con cuál método se siente más cómodo y con cuál resuelve mejor los problemas.

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Solución de problemas Escriba el polinomio para los factores dados. Explique la manera en que determina cada respuesta. 1. 3x + 1, x - 7

6. 4x - 3, 5x - 7

2. 5, x + 3, 2x + 1

7. 3, 2x + 3, x - 4

3. x 2, x + 1, 2x - 3

8. 5x 2, 3x - 7, 2x + 3

4. 2x 11x 5

9. 6a2 7a 10

2

5. 15x2 xy 6y2

10. 24r2s 30rs2 9s3

4.11 FÓRMULAS DE FACTORIZACIÓN ESPECIAL Y REPASO GENERAL DE LA FACTORIZACIÓN 1 2 3

Factorizar una diferencia de dos cuadrados. Factorizar la suma y resta de dos cubos. Aprender el procedimiento general para factorizar un polinomio.

Existen fórmulas especiales de uso frecuente para ciertos problemas de factorización. Las fórmulas especiales en que centramos esta sección, son la diferencia de dos cuadrados, la suma de dos cubos y la diferencia de dos cubos. No existe fórmula especial para la suma de dos cuadrados; esto se debe a que no es posible factorizar la suma de dos cuadrados por medio del conjunto de números reales. Deberá memorizar las tres fórmulas que resaltamos en esta sección, para usarlas siempre que las necesite.

1

Factorizar una diferencia de dos cuadrados Comenzaremos con la diferencia de dos cuadrados. Considere el binomio x2 - 9. Observe que cada término del binomio puede expresarse como el cuadrado de alguna expresión. x2 - 9 = x2 - 32 Éste es un ejemplo de una diferencia de dos cuadrados. Para factorizar la diferencia de dos cuadrados, es conveniente usar la fórmula para la diferencia de dos cuadrados (que estudiamos en la sección 4.5). Diferencia de dos cuadrados a2 - b2 = 1a + b21a - b2

EJEMPLO 1 Factorizar x2 - 9. Solución Si escribimos x2 - 9 como la diferencia de dos cuadrados, tenemos x2 - 32. Con el empleo de la fórmula de la diferencia de dos cuadrados, donde reemplazamos la a por x y la b por 3, obtenemos lo siguiente: a 2 - b 2 = 1 a + b 21 a - b 2 p p p p p p 2 2 x - 3 = 1 x + 3 21 x - 3 2 Por tanto, x2 - 9 = 1x + 321x - 32.

✺

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EJEMPLO 2 Factorizar con el empleo de la fórmula de la diferencia de dos cuadrados. a) x 2 - 16

b) 25x2 - 4

c) 36x2 - 49y2

Solución a) x2 - 16 = 1x22 - 1422

= 1x + 421x - 42 b) 25x - 4 = 15x22 - 1222 = 15x + 2215x - 22 c) 36x2 - 49y2 = 16x22 - 17y22 2

= 16x + 7y216x - 7y2

✺

EJEMPLO 3 Factorizar cada diferencia de dos cuadrados. a) 16x4 - 9y4

b) x6 - y4

Solución a) Reescribimos 16x4 como 14x222, y 9y4 como 13y222, y después empleamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados.

16x4 - 9y4 = 14x22 - 13y22 = 14x2 + 3y2214x2 - 3y22 2

2

b) Se reescribe x6 como 1x32 y y 4 como 1y22 , luego utilizamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados. 2

2

x6 - y4 = 1x32 - 1y22 = 1x3 + y221x3 - y22 2

2

✺

EJEMPLO 4 Factorizar 4x2 - 16y2 con el uso de la fórmula de la diferencia de dos cuadrados. Solución En primer lugar, se saca el factor común, 4.

4x2 - 16y2 = 41x2 - 4y22 Ahora se utiliza la fórmula para la diferencia de dos cuadrados. 41x2 - 4y22 = 431x22 - 12y224

= 41x + 2y21x - 2y2

✺

En el ejemplo 4, observe que 4 y 4x2 - 16y2 es la diferencia de dos cuadrados, 12x22 - 14y22. Si ésta se factorizara sin sacar primero el factor común, 4, la factorización sería más difícil. Una vez que factorizamos esta diferencia de cuadrados, necesitamos sacar el factor común 2 de cada binomio, como mostramos a continuación. 4x2 - 16y2 = = = =

12x22 - 14y22 12x + 4y212x - 4y2 21x + 2y221x - 2y2 41x + 2y21x - 2y2

Obtenemos la misma respuesta que en el ejemplo 4. Sin embargo, como no factorizamos primero el 4, tuvimos que trabajar un poco más para obtener la respuesta.

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EJEMPLO 5 Factorizar z4 - 16 con la fórmula de la diferencia dos de cuadrados. Solución Reescribimos z4 como 1z222 y 16 como 42, y después empleamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados.

z4 - 16 = 1z22 - 4 2 = 1z2 + 421z2 - 42 2

Observe que el segundo factor, z2 - 4, también es la diferencia de dos cuadrados. Para completar la factorización, empleamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados otra vez para factorizar z2 - 4. = 1z2 + 421z2 - 42 = 1z2 + 421z + 221z - 22


Es posible factorizar la diferencia de dos cuadrados. Sin embargo, una suma de dos cuadrados, donde no haya factor común de los dos términos, no puede factorizarse por medio de números reales. CORRECTO INCORRECTO a2 - b2 = 1a + b21a - b2

2

✺

a 2 + b2 = 1a + b21a + b2

Factorizar la suma y resta de dos cubos Comenzaremos el estudio de la suma y resta de dos cubos con un problema de multiplicación de polinomios. Considere el producto de 1a + b21a2 - ab + b22. a2

- ab + b2 a + b a2b - ab2 + b3 a3 - a2b + ab2 a3 + b3

; b1a 2 - ab + b22.

; a1a 2 - ab + b22.

; Suma de términos.

Así, 1a + b21a2 - ab + b22 = a3 + b3. Como factorizar es lo opuesto de multiplicar, la expresión a3 + b3 se factoriza como sigue: a3 + b3 = 1a + b21a2 - ab + b22 Con el uso del mismo procedimiento vemos que a3 - b3 = 1a - b21a 2 + ab b22. La expresión a 3 + b3 es la suma de dos cubos, y la expresión a3 - b3 es la resta de dos cubos. A continuación presentamos las fórmulas para factorizar la suma y resta de dos cubos. Suma de dos cubos a3 + b3 = 1a + b21a2 - ab + b22

Resta de dos cubos a3 - b3 = 1a - b21a2 + ab + b22

Observe que no es posible factorizar más a los trinomios a 2 - ab + b2 y a 2 + ab + b2. Ahora resolveremos algunos problemas de factorización por medio de la suma y resta de dos cubos.

EJEMPLO 6 Factorizar x3 + 8. Solución Reescribimos x3 + 8 como la suma de dos cubos, x3 + 8 = 1x23 + 1223. Con la fórmula de la suma de dos cubos, si hacemos que a corresponda a x y que b corresponda a 2, obtenemos lo siguiente:

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a 3 + b 3 = 1 a + b 21 a 2 - a # b + b 22 p p p p p p p p 3 3 3 3 2 x + 2 = x + 2 = 1 x + 2 23 x - x # 2 + 2 24 = 1x + 221x2 - 2x + 42

Puede comprobar la factorización con la multiplicación de 1x + 221x2 - 2x 4). Si factorizó en forma correcta, el producto de los factores será igual a la expresión original x3 8. Inténtelo y observe. ✺

SUGERENCIA

Al factorizar la suma o resta de dos cubos, recuerde que el signo entre los términos en el factor binomial será el mismo que el signo entre los términos de la expresión que factorizamos. Además, el signo del término ab será el opuesto del signo entre los términos del factor binomial. El último término del factor trinomial siempre será positivo. Considere lo siguiente: a3 + b3 = 1a + b21a2 - ab + b22 Mismo signo. Signo opuesto.

Siempre positivo.

a3 - b3 = 1a - b21a2 + ab + b22 Mismo signo. Signo opuesto.

Siempre positivo.

EJEMPLO 7 Factorizar y3 - 125. Solución Reescribimos y3 - 125 como la diferencia de dos cubos: 1y23 - 1523. Con la fórmula de la diferencia de dos cubos, si hacemos que la a corresponda a y y que la b corresponda a 5, obtenemos a3 - b3 = p p 3 3 y - 125 = y - 5 3 = =

1 a - b 21 a 2 + a # b + b 22 p p p p p p 2 # 1 y - 5 23 y + y 5 + 5 24 1y - 521y2 + 5y + 252

✺

EJEMPLO 8 Factorizar 8p3 - k3. Solución Reescribimos 8p3 - k3 como una diferencia de dos cubos. Como 12p23 = 8p3, escribimos:

8p3 - k3 = 12p23 - 1k23 = 12p - k2312p22 + 12p21k2 + k24 = 12p - k214p2 + 2pk + k22

✺

EJEMPLO 9 Factorizar 8r3 + 27s3. Solución Reescribimos 8r3 + 27s3 como la suma de dos cubos. Como 8r3 = 12r23 y 27s3 = 13s23, escribimos:

8r3 + 27s3 = 12r23 + 13s23 = 12r + 3s2312r22 - 12r213s2 + 13s224 = 12r + 3s214r2 - 6rs + 9s22

✺

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Recuerde que a2 + b2 Z 1a + b22, y que a 2 - b2 Z 1a - b22. Aplicamos el mismo principio a la suma y diferencia de dos cubos. CORRECTO

INCORRECTO

a3 + b3 = 1a + b21a2 - ab + b22 a - b = 1a - b21a + ab + b 2 3

3

2

2

a3 + b3 = 1a + b23 a3 - b3 = 1a - b23

Como 1a + b23 = 1a + b21a + b21a + b2, no es posible igualar con a3 + b3. Asimismo, como 1a - b23 = 1a - b21a - b21a - b2, no es posible igualar con a3 - b3. En este punto, sugerimos que determine los productos de 1a + b21a + b21a + b2 y 1a - b2 1a - b21a - b2. Tal vez sea más fácil ver que, por ejemplo, a3 + b3 = 1a + b21a2 - ab + b22 y no 1a + b23, con la sustitución de números para a y b. Suponga que a 3 y b 4, entonces 33 + 4 3 = 13 + 42332 - 3142 + 4 24 27 + 64 = 71132 91 = 91

pero

3

33 + 4 3 Z 13 + 423 91 Z 343

Aprender el procedimiento general para factorizar un polinomio En este bloque hemos presentado diversos métodos de factorización. Ahora combinaremos las técnicas de esta sección y las anteriores para darle el panorama de un procedimiento general de la factorización; a continuación presentamos dicho procedimiento: Procedimiento general para factorizar un polinomio 1. Si todos los términos del polinomio tienen un máximo común denominador distinto de 1, factorícelo. 2. Si el polinomio tiene dos términos (o es un binomio), determine si se trata de una diferencia de dos cuadrados o una suma o resta de dos cubos. En cada caso, factorícelo por medio de la fórmula apropiada. 3. Si el polinomio tiene tres términos, factorice el trinomio con los métodos que estudió en las secciones 4.9 y 4.10. 4. Si el polinomio tiene más de tres términos, intente factorizarlo por agrupamiento. 5. Como paso final, estudie el polinomio que factorizó para determinar si los términos de cualesquiera factores tienen algún factor común. Si encuentra alguno, factorícelo en este punto.

EJEMPLO 10 Factorizar 3x4 - 27x2. Solución En primer lugar, veamos si los términos tienen un máximo común divisor distinto de 1. Como 3x2 es común a los dos términos, lo factorizamos. 3x4 - 27x2 = 3x21x2 - 92

= 3x21x + 321x - 32

Observe que x2 - 9 es una diferencia de dos cuadrados.

✺

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EJEMPLO 11 Factorizar 2m2n2 + 6m2n - 36m2. Solución Comenzamos por factorizar el MCD, 2m2, de cada término. Después, el trinomio restante. 2m2n2 + 6m2n - 36m2 = 2m21n2 + 3n - 182 = 2m21n + 621n - 32

✺

EJEMPLO 12 Factorizar 10a2b - 15ab + 20b. 10a2b - 15ab + 20b = 5b12a2 - 3a + 42 Solución Como 2a2 - 3a + 4 no puede factorizarse, el proceso se detiene en este punto.

✺

EJEMPLO 13 Factorizar 3xy + 6x + 3y + 6. Solución Siempre comenzamos por determinar si todos los términos del polinomio tienen un factor común. En este ejemplo, el MCD es 3. Factorizamos 3 de cada término. 3xy + 6x + 3y + 6 = 31xy + 2x + y + 22 Ahora, factorizamos por agrupación. = 33x1y + 22 + 11y + 224 = 31y + 221x + 12

✺

En el ejemplo 13, qué pasaría si olvidáramos sacar el factor común de 3. Se volverá a resolver el problema sin factorizar el 3 al principio, y veremos lo que pasa. Factorizamos 3x de los dos primeros términos, y el 3 de los dos últimos. 3xy + 6x + 3y + 6 = 3x1y + 22 + 31y + 22 = 1y + 2213x + 32 El paso 5 del procedimiento general de la factorización, que presentamos en la página 201, indica que hay que analizar el polinomio factorizado para ver si los términos tienen un factor común. Si estudiamos los factores, vemos que el factor 3x 3 tiene el factor común de 3. Si factorizamos 3 de 3x 3 obtendremos la misma respuesta que obtuvimos en el ejemplo 13. 1y + 2213x + 32 = 31y + 221x + 12

EJEMPLO 14 Factorizar 12x2 + 12x - 9. Solución Primero sacamos 3 como factor común. Después, factorizamos el trinomio que queda por medio de alguno de los métodos que estudiamos en la sección 4.10 (ya sea por agrupamiento o por ensayo y error). 12x2 + 12x - 9 = 314x2 + 4x - 32 = 312x + 3212x - 12

✺

EJEMPLO 15 Factorizar 2x4y + 54xy. Solución En primer lugar, sacamos 2xy como factor común. 2x4y + 54xy = 2xy1x3 + 272 = 2xy1x + 321x2 - 3x + 92 Observe quex3 + 27 es la suma de dos cubos.

✺

BLOQUE IV • Realiza transformaciones algebraicas I

• 203

4.12 PRODUCTOS NOTABLES 1 2 3 4

Cuadrado de un binomio. Producto de dos binomios conjugados. Cubo de un binomio. Producto de dos binomios con un término común.

a a

b

a b

a

a 1 de éstos

a

a

a

b b 3 de éstos

b a 3 de éstos

b b b 1 de éstos

b

( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Los productos notables son fórmulas para obtener productos de multiplicaciones de una manera más rápida y eficiente, esto se logra al abreviar la aplicación del algoritmo normal estudiado en apartados anteriores. Estas fórmulas son transformaciones algebraicas que con la utilización adecuada de las propiedades de los números reales nos permiten obtener las relaciones que generan los productos correctos para la operación que definen. En esta parte del curso veremos algunas expresiones algebraicas cuyos productos pueden obtenerse a partir de una regla general, sin tener que realizar la multiplicación directa. Estos procesos generales se conocen como productos notables.

Cuadrado de un binomio

Cubo de un binomio

Productos notables

Producto de dos binomios con un término común

Producto de dos binomios conjugados

Binomio de Newton


1

Cuadrado de un binomio Observe la figura de la derecha y note que el área es

(a + b)

2

= a + 2 ab + b 2

Esta interpretación geométrica de elevar un binomio al cuadrado se puede enunciar algebraicamente de la siguiente manera:

( a + b )2

=

a + b al cuadrado

+

a2 cuadrado del primer término

b

ab

b2

a

aa2

ab

a

b

2

2 ab

+

b2 Cuadrado del segundo término

Doble del primer término por el segundo

(a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2

EJEMPLOS Utilización de la regla para elevar un binomio al cuadrado.

( x + 3 ) 2 = ( x ) 2 + 2 ( x )( 3 ) + ( 3 ) 2

a)

= x2 + 6x + 9 b)

( 2 a − 3b ) 2 = ( 2 a ) 2 + 2 ( 2 a ) ( −3b ) + ( −3b ) 2 = 4 a 2 − 12 ab + 9 b 2 2

( )

 ax − 2  = ax  3

c)

2

( )

+ 2 ax  − 2  +  − 2   3  3

2

= a2 x − 4 a x + 4 3 9 d)

( x + 2 y − z ) 2 =  ( x + 2 y ) − z 

2

= ( x + 2y) + 2( x + 2y)(−z) + (−z) 2

2

= x 2 + 4 xy + 4 y 2 − 2 xz − 2 yz + z 2 La regla anterior facilita el cálculo de cuadrados numéricos cuando no tenemos una calculadora. Veamos dos ejemplos.

( 23 ) 2 = ( 20 + 3 ) 2 = ( 20 ) 2 + 2 ( 20 )( 3 ) + ( 3 ) 2 = 400 + 120 + 9 = 529 ( 28 ) 2 = ( 30 − 2 ) 2 = ( 30 ) 2 + 2 ( 30 ) ( −2 ) + ( −2 ) 2 = 900 − 120 + 4 = 784 Los ejemplos nos enseñan que el producto que obtenemos al elevar un binomio al cuadrado está formado por tres términos; el primero y el tercero son el cuadrado de cada uno de los términos del binomio y el segundo es el doble producto de éstos. Un trinomio con estas características se llama trinomio cuadrado perfecto.

EJERCICIOS Desarrolle las siguientes expresiones. 1.

( x − 3)2 =


2.

( u + 5 )2 =

3.

( 2 x + 1) 2 =

4.

( 2 a − 3)2 =

5.

( x + 2 y )2 =

6.

( 3x − 2 y ) 2 =

7.

 3a − 3  =  2

8.

(4x

9.

( x + 2 y − 3)2 =

10.

( m + 2 r − 3)2 =

2

2

− 3x

)

2

=

• 205


2

Producto de dos binomios conjugados Encuentre el área de la región sombreada en la siguiente figura realizando la operación indicada.

a2b

a(a 2 b)

b(a 2 b)

a

A = a(a − b) + b(a − b) =

b

Note en la figura que la multiplicación anterior es equivalente a multiplicar (a 1 b)(a 2 b),

(a + b)(a − b) = a

2

− ab + ab + b = a − b 2

2

a

b

2

Los binomios como los anteriores se llaman conjugados porque tienen dos términos que son exactamente iguales y los otros dos difieren sólo en el signo; como vio en las multiplicaciones anteriores, su producto es la diferencia de sus cuadrados. Regla El producto de dos binomios conjugados da como resultado la diferencia de los cuadrados de sus términos. (a 1 b)(a 2 b) 5 a2 2 b2

EJEMPLOS Productos de binomios conjugados.

( a + 3 ) ( a − 3 ) = a 2 − 32 = a 2 − 9

a) b) c)

( 2 a + 3b ) ( 2 a − 3b ) = ( 2 a ) 2 − ( 3b ) 2 = 4 a 2 − 9b 2 ( 3x − 5 y ) ( 3x + 5 y ) = ( 3x ) 2 − ( 5 y ) 2 = 9 x 2 − 25 y 2 2

2

d)

 1 a x + 2 b y   1 a x − 2 b y  =  1 a x  −  2 b y  = 1 a2 x − 4 b2 y 2 3  3  2 3  2  4 9

e)

( 2 a + 3b − c ) ( 2 a + 3b − c ) = ( 2 a + 3b ) 2 − ( c ) 2 = 4 a 2 + 12 ab + 9b 2 − c 2

EJERCICIOS Desarrolle las siguientes expresiones. 1.

( x − 7)( x + 7) =

2.

( x + 11) ( x − 11) =


3.

( u − 5 )( x + 5 ) =

4.

( 3x − 7 ) ( 3x + 7 ) =

5.

( 5 x − 4 ) ( −5 x − 4 ) =

6.

(2x

7.

 3a − 3   3a + 3  =  2 2

8.

 1 x − 3  1 x + 3 = 2  2 

9.

( x + 2 y − 3) ( x + 2 y + 3) =

10.

n

)(

)

− 7 2xn + 7 =

( 5 m + 2r − 3) ( 5 m + 2r + 3) =

• 207


3

Cubo de un binomio Otro producto notable muy útil es el cubo de un binomio, cuya regla se obtiene a partir del desarrollo del algoritmo normal de la multiplicación.

( a + b )3 = ( a + b )2 ( a + b )

(

= a 2 + 2 ab + b 2

)( a + b )

= a 3 + a 2 b + 2 a 2 b + 2 ab 2 + ab 2 + b 3

a

= a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Este producto recibe el nombre de cubo perfecto y su regla es la siguiente.

b

a a

b

b

Cubo de un binomio El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo término, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3

Uso de la regla para elevar un binomio al cubo.

EJEMPLOS a) ( 2 a + 3b ) 3 = ( 2 a ) 3 + 3 ( 2 a ) 2 ( 3b ) + 3 ( 2 a )( 3b ) 2 + ( 3b ) 3 = 8 a 3 + 36 a 2 b + 54 ab 2 + 27 b 3 b)

( x − 2 y ) 3 = x 3 + 3x 2 ( −2 y ) + 3x ( −2 y ) 2 + ( −2 y ) 3 = x 3 − 6 x 2 y + 12 xy 2 − 8 y 3 3

c)

( )

 2a2 + 1 b  = 2a2  2 

3

( )

+ 3 2a2

2

( )

2

 1 b  + 3 2a2  1 b  +  1 b  2  2  2 

= 8 a 6 + 6 a 4 b + 3 a 2b 2 + 1 b 3 2 8

EJERCICIOS Desarrolle las siguientes expresiones. 3 1. ( x + 7 ) =

3


2.

( 2u − 5 v ) 3 =

3.

(5x

4.

 3a + 3  =  2

5.

( 0.25 x

2

− 4 y4

)

3

• 209

=

3

4

2

− 0.05 x

)

3

=

Producto de dos binomios con un término común Calcule el área de cada uno de los siguientes rectángulos.

mn

nx

n

mx

x2

a

n

a

a2

an

m

am

mn

m

x

x

A1 =

A2 =

En ambos casos habrá observado que hay un elemento común al sumar las áreas en que están divididos los rectángulos. Es decir, A1 = x 2 + mx + nx + mn = x 2 + ( m + n ) x + mn A2 = a 2 + am + an + mn = a 2 + ( m + n ) a + mn El cálculo de este tipo de productos recibe el nombre de binomios con un término común y su regla es la siguiente.


Producto de dos binomios con un término común Cuadrado del común, más la suma de los no comunes por el común más el producto de los no comunes.

( x + m)( x + n) =

x2 Cuadrado del común

+

(m + n) x Suma de los no comunes por el común

+

mn Producto de los no comunes

EJEMPLOS Aplicación de la regla del producto de dos binomios con un término común. a)

( x + 7 ) ( x − 5 ) = x 2 + ( 7 − 5 ) x + ( 7 ) ( −5 ) = x 2 + 2 x − 35

b)

( 2 a + 3 ) ( 2 a − 5 ) = ( 2 a ) 2 + ( 3 − 5 )( 2 a ) + ( 3 ) ( −5 ) = 4 a 2 − 4 a − 15

( )

c)  2 x 3 − 1   2 x 3 + 2  = 2 x 3  2 3

2

EJERCICIOS Desarrolle los siguientes productos. 1.

( x − 3) ( x + 5 ) =

2.

(u + 5)(u − 9) =

3.

( 2u + 3) ( x + 2 ) =

4.

( 3x − 7 ) ( 3x + 2 ) =

5.

( 5 x − 4 ) ( 5 x + 3) =

( )

+  − 1 + 2  2x3 +  − 1   2  = 4 x6 + 1 x3 − 1  2 3  2  3 3 3


6.

(2x

7.

 3a − 3   3a + 1  =  2 2

8.

 1 x − 3  1 x − 2  = 2  2 

9.

(x

10.

n

m

)(

• 211

)

− 7 2xn + 3 =

)(

)

+ 2 y x m + 3y =

( 5 m + 2r ) ( 5 m + r ) =

4.13 TRIÁNGULO DE PASCAL Y BINOMIO DE NEWTON 1 2

Triángulo de Pascal. Binomio de Newton.

En este apartado estudiaremos los métodos de Pascal y de Newton como elementos auxiliares para desarrollar diferentes potencias de binomios. Para ello tomaremos las potencias sucesivas del binomio (a 1 b)n, utilizando el algoritmo natural de la multiplicación y los productos notables estudiados hasta aquí.

1

Triángulo de Pascal

Observe que la cuarta potencia de (a 1 b) se obtiene así: (a 1 b)4 5 (a 1 b)3(a 1 b)

(a 1 b)0 5 1 (a 1 b)1 5 a 1 b (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2 (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 (a 1 b)4 5 a4 1 4a3b 1 6a2b2 1 4ab3 1 b4 (a 1 b)5 5 a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b3 1 5ab4 1 b5 (a 1 b)6 5 a6 1 6a5b 1 15a4b2 1 20a3b3 1 15a2b4 1 6ab5 1 b6


Si analizamos con cuidado el desarrollo de los binomios anteriores encontraremos las siguientes características:

• El desarrollo de (a 1 b)n tiene n 1 1 términos. • La suma de los exponentes de a y b en cada término del desarrollo de (a 1 b)n es n. • Los exponentes de a en el desarrollo de (a 1 b)n decrecen término a término de n hasta 0, mientras que los de b crecen en la misma dirección.

El triángulo que llamamos de Pascal se forma a partir de los coeficientes que resultan al desarrollar las potencias de (a 1 b)n. • •

El primero y el último número de cada fila son iguales a 1. Todo número de un triángulo que esté situado en medio y debajo de otros dos resulta de la suma de éstos. 1 1 1 1 1 1 1

3 4

5 6

1 2 6

10 15

1 3

1 4

10 20

1 5

15

1 6

1

EJEMPLOS Utilización del triángulo de Pascal para el desarrollo de (a 1 b)n. a) Desarrolle (x 1 2y)5 1 1 1 1 1

2 3

1

4

5

10

Solución

1 1 3 6

Para encontrar los coeficientes del binomio, desarrollamos el triángulo de Pascal hasta la fila 6, una más que la indicada por el exponente 5.

1 4

10

1 5

( x + 2 y ) 5 = 1x 5 + 5 x 4 ( 2 y ) + 10 x 3 ( 2 y ) 2 + 10 x 2 ( 2 y ) 3 + 5 x ( 2 y ) 4 + 1( 2 y ) 5

1

Coeficientes de la sexta fila

= x 5 + 10 x 4 y + 40 x 3 y 2 + 80 x 2 y 3 + 80 xy 4 + 32 y 5 a) Desarrolle (3x 2 2)4

1 1 1 1 1

2 3

4

Solución 1 3

6

Para encontrar los coeficientes del binomio, desarrollamos el triángulo de Pascal hasta la fila 5 una más allá que la indicada por el exponente 4.

1 1 4

Coeficientes de la quinta fila

1

( 3x − 2 ) 4 = 1( 3x ) 4 + 4 ( 3x ) 3 ( −2 ) + 6 ( 3x ) 2 ( −2 ) 2 + 4 ( 3x ) ( −2 ) 3 + ( −2 ) 4 = 81x 4 − 216 x 3 + 216 x 2 + −96 x + 16


• 213

EJERCICIOS Utilizando el triángulo de Pascal desarrolle las siguientes expresiones. 1.

(x

2.

( 2u − 5 v )6 =

3.

(5x

4.

 3a + 3  =  2

5.

(x

2

+3

2

)

4

− 4y

=

)

5

=

7

2

n

−h

)

5

=

Binomio de Newton Un método más general para desarrollar binomios elevados a una potencia n es el binomio de Newton, o teorema del binomio, que fue demostrado por Isaac Newton en el siglo XVIII y que permite encontrar, además, cualquier término del desarrollo de una potencia. Puesto que no es el propósito de este material demostrar tal teorema, sólo se usará el algoritmo correspondiente. Para poder utilizar la fórmula que describe el comportamiento de los coeficientes al desarrollar el binomio de Newton es necesario explicar la notación factorial.

Notación factorial El producto de los n primeros números naturales se representa por n! y se llama n factorial: n! 5 1 ? 2 ? 3 … (n 2 1)n También lo definimos como 0! 5 1.


EJEMPLOS Factorial de un número a) 4! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 24 b) 7! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 5, 040 Coeficiente binomial Sean n y r enteros no negativos, con r # n. El coeficiente binomial se escribe  n  r  y se define como sigue:  n n!  r  = r !( n − r )!

EJEMPLOS Cálculos de coeficientes binomiales.  9 9! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 = 126  4  = 4 !( 9 − 4 )! ( 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ) ( 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 )

a)

b)

 40  40! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅⋅⋅ 37 ⋅ 38 ⋅ 39 ⋅ 40 = 9, 880  3  = 3!( 40 − 3 )! (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ) (1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅⋅⋅ 37 )

EJERCICIOS Evalúe las siguientes expresiones. 1.

 6  4  =

R. 15 2.

 8  3  =

3.

 100   98  =

R. 4,950


4.

• 215

 10   5  =

 3  4 

5.     = 1  2

R. 18

Ahora ya podemos enunciar el teorema del binomio. Teorema del binomio

( a + b ) n =  n0  a n +  1n  a n −1b +  2n  a n − 2 b 2 +…+  nn− 1 ab n −1 +  nn  b n

EJEMPLOS Aplicación del teorema del binomio. a)

( x + y ) 4 =  04  x 4 +  14  x 4 −1 y +  24  x 4 − 2 y 2 +  43  xy 4 −1 +  44  y 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4

 5  5  5  5  5  5 b) ( 3a + 2 )5 =   ( 3a )5 +   ( 3a )5 −1 ( 2 ) +   ( 3a )5 − 2 ( 2 )2 +   ( 3a )5 − 3 ( 2 ) 3 +   ( 3a )5 − 4 ( 2 ) 4 +   ( 2 )5  2  3  4  0 1   5

(

= 243a 5 + 5 81a 4

) ( 2 ) + 10 ( 27 a ) ( 4 ) + 10 ( 9 a ) ( 8 ) + 5 ( 3a )(16 ) + 32 3

2

= 243a 5 + 810 a 4 + 1080 a 3 + 720 a 2 + 240 a + 32

EJERCICIOS Desarrolle las siguientes expresiones utilizando el binomio de Newton. 1.

( x + 3y ) 4 =


2.

( a − 2b ) 7 =

3.

( 2k

4.

( a − b )10 =

5.

(a

6.

( 4 a − b )4 =

7.

( 3x − y ) 6 =

2

3

+ 3h

− 2b 2

)

6

)

3

=

=

Cuando queremos encontrar cualquier término del desarrollo de un binomio, sin determinarlo por completo, utilizamos la siguiente expresión. Determinación de término del desarrollo de un binomio. Término general del desarrollo de un binomio El término que contiene a ar en el desarrollo de (a 1 b)n es  n  r n−r  n − r  a b


EJEMPLO Determine el término que contiene a a5 en el desarrollo de (2a 1 b)20. Solución El término que contiene a a5 resulta al desarrollar (2a 1 b)20. Este término es

(

)

5 20 − 5  20  = 20! 32 a 5 b15 = 496,128 a 5 b15  20 − 5  ( 2 a ) b 5!15!

EJERCICIOS Determine el término que se te pide en cada uno de los siguientes binomios. 1. El quinto término de

(a

2

+ y3

)

12

2. Determine el cuarto término de

(x

2

− 3y

3. Determine el sexto término de ( 3a − 2 b )

)

8

7

• 217

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Realiza transformaciones algebraicas II • Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos, como producto de factores lineales. - Trinomios de la forma x2 + bx + c. - Trinomios de la forma ax2 + bx + c, con a ≠ 0, 1. - Polinomios que requieren combinar técnicas. • Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser simplificadas. • Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la división de polinomios.

L

os avances tecnológicos en la transportación durante los últimos 50 años han cambiado la forma de viajar de las personas, y han reducido de manera significativa la duración de los viajes. En Japón, por ejemplo, los usuarios del tren se han beneficiado del comité para trenes de alta velocidad del país. Mediante ecuaciones racionales, es posible determinar la distancia entre dos ciudades y comparar el tiempo que hace un viajero en los nuevos trenes bala de Japón, con el que habría hecho en uno de los viejos trenes.

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BLOQUE V • Realiza transformaciones algebraicas II • 221

5.1 FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

1

1

Factorizar trinomios con la forma x2 bx c.

2

Factorizar un factor común.

3

Factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a 1, mediante prueba y error.

4

Factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a 1 mediante agrupación.

5

Factorizar trinomios mediante sustitución.

Factorizar trinomios con la forma x2 bx c En esta sección aprenderemos a factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a 0. Trinomios

Coeficientes

2

3x + 2x - 5 1 - x2 - 4x + 3 2

a = 3, b = 2, c = - 5 1 a = - , b = - 4, c = 3 2

Para factorizar trinomios con la forma x2 bx c (nota: a 1) 1. Determine dos números (o factores) cuyo producto sea c y cuya suma sea b. 2. Los factores del trinomio tendrán la forma 1x + . 21x + . 2 q q Un factor Otro factor determinado determinado en el paso 1 en el paso 1

Si los números determinados en el paso 1 son, por ejemplo, 3 y 5, los factores se escribirían (x 3)(x 5). Este procedimiento se ilustra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1 Solución

Factorice x2 x 12. a 1, b 1, c 12. Debemos determinar dos números cuyo producto sea c, que es –12, y cuya suma es b, que es 1. Iniciamos listando los factores de 12 para encontrar un par cuya suma sea 1.

Factores de 12 1121 -122 1221 - 62 1321 - 42 1421 -32 1621 -22 11221 -12

Suma de factores 1 + 1- 122 = - 11 2 3 4 6 12

+ + + + +

1- 62 1- 42 1- 32 1- 22 1- 12

= = = = =

-4 -1 1 4 11

Los números que estamos buscando son 3 y –4, ya que su producto es 12 y su suma es 1. Ahora factorizamos el trinomio utilizando estos números.

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x2 - x - 12 = 1x (+)*321x (-)*42 æ Un factor de 12

æ Otro factor de 12

✺

Observe que, en el ejemplo 1, listamos todos los factores de –12. Sin embargo, después de que se han encontrado dos factores cuyo producto es c y cuya suma es b, no hay necesidad de listar los demás factores. Los factores se listaron para mostrar, por ejemplo, que (2)(6) es un conjunto de factores diferente que (2)(6). Observe que conforme el factor positivo aumenta, también lo hace la suma de los factores.

SUGERENCIA

Considere los factores (2)(6) y (2)(6) y sus sumas.

Factores

Suma de factores

21-62

2 + 1- 62 = - 4

- 2162

-2 + 6 = 4

Observe que si se cambia el signo de cada número del producto, el signo de la suma de los factores se modifica. Podemos utilizar este hecho para determinar con más rapidez los factores que estamos buscando. Si al buscar una suma específica obtiene el opuesto de esa suma, cambie el signo de cada factor para obtener la suma que está buscando.

EJEMPLO 2 Solución

Factorice p2 7p 6. Debemos determinar dos números cuyo producto sea 6 y cuya suma sea 7. Puesto que la suma de dos números negativos es un número negativo, y el producto de dos números negativos es un número positivo, ambos números deben ser negativos. Los factores negativos de 6 son (1)(6) y (2)(3). Como se muestra a continuación, los números que estamos buscando son 1 y 6.

Factores de 6 1-121 -62 1- 221 -32 Por lo tanto,

Suma de factores -1 + 1-62 = - 7 -2 + 1-32 = - 5

p2 - 7p + 6 = 1p - 121p - 62

Como los factores pueden colocarse en cualquier orden, (p 6)(p 1) también es una respuesta aceptable. ✺

SUGERENCIA

Comprobación de la factorización Las respuestas a problemas de factorización pueden verificarse multiplicando los factores que se obtuvieron. Si la factorización es correcta, usted obtendrá el polinomio con el que inició. Para comprobar el ejemplo 2, multiplicaremos los factores utilizando el método PIES.

1p - 121p - 62 = p2 - 6p - p + 6 = p2 - 7p + 6 Como el producto de los factores es el trinomio con el que empezamos, nuestra factorización es correcta. No olvide verificar siempre su factorización.

El procedimiento utilizado para factorizar trinomios con la forma x2 bx c puede utilizarse con otros trinomios, como en el siguiente ejemplo.

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EJEMPLO 3 Solución

Factorice x2 2xy 15y2. Debemos determinar dos números cuyo producto sea 15 y cuya suma sea 2. Los dos números son 5 y 3.

Factores de 15

Suma de los factores 5 + 1-32 = 2

51-32 2

Como el último término del trinomio contiene a y , el segundo término de cada factor debe contener a y. Comprobación

2

x2 + 2xy - 15y2 = 1x + 5y21x - 3y2 1x + 5y21x - 3y2 = x2 - 3xy + 5xy - 15y2 = x2 + 2xy - 15y2

✺

Factorizar un factor común El primer paso para factorizar cualquier trinomio consiste en determinar si los tres términos tienen un factor común. Si es así, factorice ese factor común y luego el polinomio restante.

EJEMPLO 4 Solución

Factorice 3x4 6x3 72x2. El factor 3x2 es común a los tres términos del trinomio. Primero factorícelo.

3x4 - 6x3 - 72x2 = 3x21x2 - 2x - 242 Factorizar 3x2.

El término 3x2 que se factorizó es parte de la respuesta, pero ya no desempeña papel alguno en el procedimiento de factorización. Ahora continúe factorizando x2 2x 24. Determine dos números cuyo producto sea 24 y cuya suma sea 2. Los números son 6 y 4.

3x21x2 - 2x - 242 = 3x21x - 621x + 42

Por lo tanto, 3x4 6x3 72x2 3x2(x 6)(x 4).

3

✺

Factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a 1, mediante prueba y error A continuación analizaremos algunos ejemplos de factorización de trinomios con la forma

ax2 + bx + c, a Z 1 Se ilustrarán dos métodos para factorizar este tipo de trinomios. El primer método, llamado de prueba y error, implica ensayar diferentes combinaciones hasta encontrar la correcta. El segundo método hace uso de la factorización por agrupación. Analicemos primero el método de prueba y error para factorizar trinomios. En ocasiones, a este procedimiento se le denomina el método PIES (o PIES inverso). Para facilitar nuestra explicación, multiplicaremos (2x 3)(x 1) mediante el método PIES. Producto de primeros términos Producto de segundos

P I E S 12x + 321x + 12 = 2x1x2 + 31x2 + 2x112 + 3112 = 2x2 + 5x + 3 Suma de los productos de los términos externos e internos

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Por lo tanto, si usted factoriza el trinomio 2x2 5x 3, se dará cuenta de que el producto de los primeros términos de los factores debe ser 2x2, el producto de los segundos términos debe ser 3, y la suma de los productos de los términos externos e internos debe ser 5x. Para factorizar 2x2 5x 3, empezamos como se muestra aquí.

2x2 + 5x + 3 = 12x

21x

2El producto de los primeros términos es 2x2.

Ahora completamos los segundos términos utilizando enteros positivos cuyo producto sea 3. Sólo tomaremos en cuenta enteros positivos, ya que el producto de los últimos términos es positivo y la suma de los productos de los términos externos e internos también lo es. Las dos posibilidades son

12x + 121x + 32 El producto del r 12x + 321x + 12 último término es 3. Para determinar cuál factorización es correcta, determinamos la suma de los productos de los términos externos e internos. Si alguna de las sumas da por resultado 5x, el término central del trinomio, la factorización es correcta.

12x + 121x + 32 = 2x2 + 6x + x + 3 = 2x2 + 7x + 3 Término central incorrecto. 12x + 321x + 12 = 2x2 + 2x + 3x + 3 = 2x2 + 5x + 3 Término central correcto.

Por consiguiente, los factores de 2x2 5x 3 son 2x 3 y x 1. Así,

2x2 + 5x + 3 = 12x + 321x + 12

Observe que si hubiésemos empezado la factorización escribiendo

2x2 + 5x + 3 = 1x

212x

2

también habríamos obtenido los factores correctos. A continuación se indican algunas directrices para utilizar el método de prueba y error de factorización de un trinomio, en donde a 1 y los tres términos carecen de factores comunes. Para factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a 1, mediante prueba y error 1. Escriba todos los pares de factores del coeficiente del término cuadrático, a. 2. Escriba todos los pares de factores de la constante, c. 3. Intente diferentes combinaciones con estos factores hasta encontrar el término central correcto, bx.

EJEMPLO 5 Solución

Factorice 3t2 13t 10. Primero comprobamos si los tres términos carecen de factor común. Luego, determinamos que a es 3 y que los únicos factores de 3 son 1 y 3. Por consiguiente, escribimos

3t2 - 13t + 10 = 13t

21t

2

El número 10 tiene factores positivos y negativos. Sin embargo, ya que el producto de los segundos términos debe ser positivo (10) y la suma de los productos de los términos exterior e interior debe ser negativa (13), los dos factores del 10 deben ser negativos. (¿Por qué?) Los factores negativos de 10 son (1)(10) y (2)(5). A continuación se ofrece una lista de los factores posibles. Buscamos los factores que nos proporcionen el término central correcto, 13t.

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Factores posibles

Suma de productos de términos externos e internos

13t - 121t - 102

- 31t

13t - 1021t - 12

-13t — Término central

13t - 221t - 52 13t - 521t - 22

-17t -11t

correcto.

Por lo tanto, 3t2 13t 10 (3t 10)(t 1).

✺

La siguiente sugerencia es muy importante. Estúdiela cuidadosamente.

SUGERENCIA

Factorización por prueba y error Al factorizar un trinomio con la forma ax2 bx c, el signo del término constante, c, es muy útil para determinar la solución. Si a 0, entonces: 1. Cuando el término constante, c, es positivo y el coeficiente numérico del término x, b, es positivo, ambos factores numéricos serán positivos.

x2 + 7x + 12 = 1x + 321x + 42 q q q q Positivo Positivo Positivo Positivo

Ejemplo

2. Cuando c es positivo y b es negativo, ambos factores numéricos serán negativos.

x2 - 5x + 6 = 1x - 221x - 32 q q q q Negativo Positivo Negativo Negativo

Ejemplo

Siempre que la constante c sea positiva (como en los dos ejemplos anteriores) el signo en ambos factores será igual que el signo del término x del trinomio. 3. Cuando c es negativo, uno de los factores numéricos será positivo y el otro será negativo.

x2 + x - 6 = 1x + 321x - 22 q q q Negativo Positivo Negativo

Ejemplo

EJEMPLO 6 Solución

Factorice 8x2 8x 30. Primero verificamos si los tres términos tienen un factor común. Observe que 2 puede factorizarse como tal.

8x2 + 8x - 30 = 214x2 + 4x - 152 Los factores de 4, el coeficiente principal, son 4 1 y 2 2. Por lo tanto, la factorización será de la forma (4x )(x ) o (2x )(2x ). No importa si inicia con el primer conjunto de factores o con el segundo. Por lo general, iniciamos primero con factores de tamaño medio, por lo que comenzaremos con (2x )(2x ). Si al emplear estos factores no se obtiene la respuesta, trabajaremos con el otro conjunto. Los factores de 15 son (1)(15), (3)(5), (5)(3) y (15)(1). Necesitamos que el término central sea 4x.

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Factores posibles

Suma de productos de los términos externos e internos

12x + 1212x - 152

- 28x

12x + 3212x - 52

- 4x

12x + 5212x - 32

4x

Como encontramos el conjunto de factores que proporcionan el término correcto para x, podemos detenernos. Así,

✺

8x2 + 8x - 30 = 212x + 5212x - 32

En el ejemplo 6, si comparamos el segundo y tercer conjuntos de factores, vemos que están constituidos por los mismos números, excepto por los signos de los segundos términos. Observe que cuando los signos del segundo término de cada factor se intercambian, la suma de los productos de los términos externos e internos también cambia de signo.

EJEMPLO 7 Solución

Factorice 6x2 11xy 10y2. Los factores de 6 son 6 1 o 2 3. Por lo tanto, los factores del trinomio pueden ser de 21x 2 o 12x 213x 2. Comenzaremos con los factores de la forma 16x tamaño medio; escribimos

6x2 - 11xy - 10y2 = 12x

213x

2

Los factores de 10 son (1)(10), (1)(10), (2)(5) y (2)(5). Como hay ocho factores de 10, habrá ocho parejas de posibles factores por probar. ¿Puede enumerarlos? La factorización correcta es

6x2 - 11xy - 10y2 = 12x - 5y213x + 2y2

✺

En el ejemplo 7 fuimos afortunados de encontrar los factores correctos usando la forma (2x )(3x ). Si no hubiésemos encontrado los factores correctos empleando esa forma, tendríamos que haber probado (6x )(x ). Al factorizar un trinomio cuyo coeficiente principal es negativo, empezamos factorizando un número negativo. Por ejemplo,

-24x3 - 60x2 + 36x = - 12x12x2 + 5x - 32

Factorizar 12x.

= - 12x12x - 121x + 32 y

-3x2 + 8x + 16 = - 113x2 - 8x - 162 = - 13x + 421x - 42

Factorizar 1.

EJEMPLO 8

Área de una región sombreada Determine una expresión, en forma factorizada, para calcular el área de la región sombreada en la figura 5.1.

Solución

Para calcular el área de la región sombreada, necesitamos restar el área del rectángulo pequeño del área del rectángulo grande. Recuerde que el área del rectángulo es largo ancho.

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1

x2

2

Área del rectángulo grande = 1x + 321x + 22 = x2 + 2x + 3x + 6 = x2 + 5x + 6

Área del rectángulo pequeño = 122112 = 2

x3

Área de la región sombreada = = = =

FIGURA 5.1

área grande - área pequeña x2 + 5x + 6 - 2 Simplificar. x2 + 5x + 4 Factorizar. 1x + 421x + 12

El área de la región sombreada es (x 4)(x 1).

4

✺

Factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a 1 mediante agrupación Ahora estudiaremos el método por agrupación para factorizar trinomios con la forma ax2 bx c, a 1. Para factorizar trinomios con la forma ax2 bx c a 1 mediante agrupación 1. Determine dos números cuyo producto sea a c, y cuya suma sea b. 2. Rescriba el término central, bx, mediante los números determinados en el paso 1. 3. Factorice por agrupación.

EJEMPLO 9 Solución

Factorice 2x2 5x 12. Vemos que a 2, b 5 y c 12. Debemos encontrar dos números cuyo producto sea a c o 2(12) 24, y cuya suma sea b, 5. Los dos números son 8 y 3, ya que (8)(3) 24, y 8 3 5. Ahora reescriba el término central, 5x, utilizando 8x y 3x.

-5x '& $' '%' 2x - 5x - 12 = 2x - 8x + 3x - 12 2

2

Factorice por agrupación 2x de los primeros dos términos, y 3 de los últimos dos.

2x2 - 5x - 12 = 2x1x - 42 + 31x - 42 Factorizar (x 4). = 1x - 4212x + 32

✺

Observe que en el ejemplo 9 escribimos 5x como 8x 3x. Como se demuestra en seguida, se tendrían los mismos factores si escribiéramos 5x como 3x 8x. Por lo tanto, cuando se factoriza por agrupación no importa cuál factor se liste primero. A continuación factorizamos x de los primeros dos términos y 4 de los últimos dos.

-5x '& $' '%' 2x - 5x - 12 = 2x + 3x - 8x - 12 = x12x + 32 - 412x + 32 = 12x + 321x - 42 2

2

Factorizar (2x 3).

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EJEMPLO 10 Solución

Factorice 12a2 19ab 5b2. Debemos encontrar dos números cuyo producto sea (12)(5) 60, y cuya suma sea 19. Como el producto de los números es positivo y su suma es negativa, los dos números deben ser negativos. (¿Por qué?) Los dos números son 15 y 4 ya que (15)(4) 60 y 15 (4) 19. Ahora reescribimos el término central, 19ab, utilizando 15ab y 4ab. Luego factorizamos por agrupación.

-19ab $''%''& 12a - 19ab + 5b = 12a - 15ab - 4ab + 5b2 = 3a14a - 5b2 - b14a - 5b2 = 14a - 5b213a - b2 2

2

2

✺

Resuelva nuevamente el ejemplo 10, pero esta vez escribiendo 19ab como 4ab 15ab. Si lo hace de manera correcta, obtendrá los mismos factores. Es importante que sepa que no todos los trinomios pueden factorizarse por los métodos que se presentaron en esta sección. Un polinomio que no puede factorizarse (sobre un conjunto específico de números) se denomina polinomio primo.


5

Factorice 2x2 6x 5. Cuando intente factorizar este polinomio, verá que no es posible hacerlo por los métodos de prueba y error o agrupación. Éste es un polinomio primo sobre el conjunto de enteros. ✺

Factorizar trinomios mediante sustitución En ocasiones un trinomio más complicado puede factorizarse sustituyendo una variable por otra. Los siguientes tres ejemplos ilustran la factorización mediante sustitución.


Factorice y4 y2 6. Si podemos reescribir esta expresión en la forma ax2 bx c, será más fácil factorizarla. Como (y2)2 y4, si sustituimos y2 por x, el trinomio se convierte en

y4 - y2 - 6 = 1y22 - y2 - 6 = x2 - x - 6 2

Ahora factorice x2 x 6.

Sustituir x por y2.

= 1x + 221x - 32

Finalmente, sustituya x con y2 para obtener

= 1y2 + 221y2 - 32

Sustituir y2 por x.

Así, y4 y2 6 (y2 2)(y2 3). Observe que y2 se sustituyó por x, y después x se sustituyó nuevamente por y2. ✺


Factorice 3z4 17z2 28. Sea x z2. Entonces el trinomio puede escribirse

3z4 - 17z2 - 28 = 31z22 - 17z2 - 28 = 3x2 - 17x - 28 = 13x + 421x - 72 2

Sustituir z2 por x. Factorizar.

2

Ahora sustituya x por z .

= 13z2 + 421z2 - 72

Así, 3z4 17z2 28 (3z2 4)(z2 7).

Sustituir x por z2.

✺

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Factorice 2(x 5)2 5(x 5) 12. Nuevamente usaremos una sustitución, como en los ejemplos 12 y 13. Al sustituir a x 5 en la ecuación, obtenemos

21x + 522 - 51x + 52 - 12 = 2a2 - 5a - 12 Ahora factorice 2a 5a 12.

Sustituir (x 5) por a.

2

= 12a + 321a - 42

Por último, reemplace a con x 5 para obtener

= 321x + 52 + 3431x + 52 - 44 = 32x + 10 + 343x + 14

Sustituir a por (x 5).

= 12x + 1321x + 12

Así, 2(x 5) 5(x 5) 12 (2x 13)(x 1). Observe que x 5 se sustituyó por a, y luego a por x 5. ✺ 2

En los ejemplos 12 y 13 usamos x en nuestra sustitución, mientras que en el ejemplo 14 utilizamos a. La letra seleccionada no afecta la respuesta final.

5.2 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES 1 2 3 4

1

Determinar los valores para los que está definida una expresión racional. Entender los tres signos de una fracción. Simplificar expresiones racionales. Factorizar un 1 negativo en un polinomio.

Determinar los valores para los que está definida una expresión racional Iniciamos este capítulo definiendo una expresión racional. Una expresión racional es una expresión de la forma p>q, donde p y q son polinomios y q Z 0.

Ejemplos de expresiones racionales 4 x - 6 x2 + 2x a , , , 2 x 5 x - 3 a - 4 El denominador de una expresión racional no puede ser igual a 0, ya que la x + 3 división entre 0 no está definida. En la expresión , el valor de x no puede ser x x + 3 0, ya que el denominador tendría un valor 0. Decimos que la expresión está x definida para todos los números reales excepto 0. No está definida cuando x es 0. x2 + 4x En , el valor de x no puede ser 3, ya que el denominador tendría un valor x - 3 x 0. ¿Qué valores de x no pueden utilizarse en la expresión 2 ? Si respondió 2 x - 4 y 2, contestó correctamente. Siempre que tengamos una expresión racional con una variable en el denominador, supondremos hemos excluido el valor o valores de la variable que hacen al denominador igual a cero.

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Un método para determinar el valor o los valores de la variable que se excluyen consiste en igualar el denominador y después despejar a la variable de la ecuación resultante.

EJEMPLO 1 Determinemos el valor o los valores de la variable para los que está definida la 1 x + 3 x + 1 b) c) 2 x - 4 2x - 7 x + 6x - 7 a) Necesitamos determinar el valor o los valores de x que hacen a x 4 igual a 0 y excluirlos. Analizando el denominador podemos ver que cuando x 4, el denominador es 4 4 o 0. Así, no tomamos en cuenta a x 4 cuando consideremos la 1 . Esta expresión está definida para todos los números expresión racional x - 4 reales, excepto 4. En ocasiones simplificamos nuestra respuesta y escribimos x Z 4. b) Necesitamos determinar el valor o los valores de x que hacen a 2x 7 igual a 0 y excluir estos valores. Podemos hacer esto, haciendo 2x 7 igual a 0 y despejar a x en esta ecuación. 2x - 7 = 0 2x = 7 7 x = 2 expresión racional.

Solución

a)

7 Por tanto, no tomamos en cuenta x = cuando consideremos a la expresión ra2 x + 1 cional . Esta expresión está definida para todos los números reales excepto 2x - 7 7 7 x = . En ocasiones abreviamos nuestra respuesta y escribimos x Z . 2 2 c) Para determinar el valor o los valores que se excluyen, hacemos al denominador igual a cero y resolvemos la ecuación. x2 + 6x - 7 = 0 1x + 721x - 12 = 0 x + 7 = 0 o bien x - 1 = 0 x = 1 x = -7 Por tanto, no tomamos en cuenta los valores x 7 o x 1 cuando consideremos x + 3 la expresión racional 2 . Tanto x 7 como x 1 hacen que el denox + 6x + 7 minador sea igual a cero. Esta expresión está definida para todos los números reales, excepto x 7 y x 1. Por tanto, x Z - 7 y x Z 1. ✺

2

Entender los tres signos de una fracción Toda fracción tiene asociados tres signos: el del numerador, el del denominador y el de la propia fracción. Signo del numerador Signo de la fracción

+

-a +b Signo del denominador

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Siempre que omita cualquiera de los signos, supondremos que es positivo. Por ejemplo, a +a significa + b +b -a -a significa + b +b a +a significa b +b Al cambiar dos de los tres signos de una fracción no se cambia el valor de la fracción. Así, -a a a = - = b b -b

Por lo general, no escribimos una fracción con un denominador negativo. 2 -2 2 Por ejemplo, la expresión se escribiría como o como - . La expresión -5 5 5 x x puede escribirse ya que (4 x) 4 x o x 4. -14 - x2 x - 4

3

Simplificar expresiones racionales Una expresión racional está simplificada o reducida a su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen factores comunes distintos de 1. La fracción 129 no está simplificada, ya que 9 y 12 tienen como factor común el número 3. Cuando se factoriza el número 3, la fracción simplificada es 34 . 1

3 #3 3 9 = # = 12 3 4 4 1 2

ab - b no está simplificada, ya que el numerador y 2b el denominador tienen el factor común b. Para simplificar esta expresión, factorice b en cada término del numerador; luego divida entre b. La expresión racional

b 1a - b2 ab - b2 a - b = = 2b 2b 2 Así,

ab - b2 a - b se convierte en cuando se simplifica. 2b 2

Para simplificar expresiones racionales 1. Factorice el numerador y el denominador tanto como sea posible. 2. Divida el denominador y el numerador entre los factores comunes.

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EJEMPLO 2 Simplifique

5x3 + 10x2 - 25x . 10x2

Solución Factorice el máximo factor común, 5x, de cada término en el numerador. Como 5x es un factor común tanto del numerador como del denominador, divida entre él. 5x 1x2 + 2x - 52 5x3 + 10x2 - 25x x2 + 2x - 5 = = 5x # 2x 2x 10x2

SUGERENCIA

✺

En el ejemplo 2, estamos simplificando un polinomio dividido entre un monomio usando factorización. En el boque 4.7 dividimos polinomios entre monomios escribiendo cada término en el numerador entre la expresión en el denominador. Por ejemplo, 5x3 + 10x2 - 25x 5x3 10x2 25x = + 2 2 10x 10x 10x2 10x2 =

5 x + 1 2 2x

5 x + 1 , es equivalente a la obtenida al factorizar en 2 2x 2 x + 2x - 5 el ejemplo 2, , como se muestra a continuación. 2x x 5 + 1 2 2x La respuesta anterior,

=

x #x 2x 5 Escriba cada término con el mcd 2x. + x 2 2x 2x

=

x2 2x 5 + 2x 2x 2x

=

x2 + 2x - 5 2x

Cuando se pidió simplificar una expresión factorizamos los numeradores y los denominadores, tanto como sea posible, luego dividimos entre los factores comunes. Este proceso se ilustró en el ejemplo 2 y se mostrará en los ejemplos 3 a 5.


x2 + 2x - 3 . x + 3

Solución Factorice el numerador; luego divida entre el factor común.

1x + 32 1x - 12 x2 + 2x - 3 = = x - 1 x + 3 x + 3


✺

r2 - 25 . r - 5

Solución Factorice el numerador; luego divida entre los factores comunes. 1r + 52 1r - 52 r2 - 25 = r + 5 = r - 5 r - 5

✺

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3x2 - 10x - 8 . x2 + 3x - 28

Solución Factorice el numerador; y el denominador; luego divida entre los factores comunes. 13x + 22 1x - 42 3x + 2 3x2 - 10x - 8 = = . 2 1x + 72 1x - 42 x + 7 x + 3x - 28 Observe que


3x + 2 no puede simplificarse más. x + 7

✺

Recuerde: al dividir expresiones sólo se pueden eliminar factores comunes. CORRECTO 5

x 2

INCORRECTO x

20 x = 5x 4x 1 1

5

x2 - 20 x - 4 1

1

En el denominador del ejemplo a la izquierda, 4x, el 4 y la x son factores, ya que están multiplicándose. El 4 y la x también son factores del numerador 20x2, que puede escribirse como 4 # x # 5x. Algunos estudiantes dividen términos de manera incorrecta. En la expresión x2 - 20 , la x y 4 son términos del denominador, no son factores, y por tanto no puex - 4 den dividirse.

4

Factorizar un 1 negativo en un polinomio Recuerde que al factorizar 1 de un polinomio, cambia el signo de cada término de éste. Ejemplos - 3x + 7 = - 113x - 72 = - 13x - 72 5 - 2x = - 11-5 + 2x2 = - 12x - 52 2 -2x + 3x - 4 = - 112x2 - 3x + 42 = - 12x2 - 3x + 42 Siempre que los términos del numerador y del denominador difieran sólo por sus signos (uno es el opuesto o inverso aditivo del otro), podemos factorizar 1 en el numerador o en el denominador (no en ambos) y luego dividir entre el factor común. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 6.


3x - 7 . 7 - 3x

Solución Como cada término en el numerador sólo difiere en el signo de su término semejante en el denominador, factorizaremos 1 en cada término del denominador. 3x - 7 3x - 7 = 7 - 3x -11- 7 + 3x2 3x - 7 = - 13x - 72 = -1

✺

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SUGERENCIA

3x - 7 = - 1. Observe que el numerador, 3x 7, 7 - 3x y el denominador, 7 3x, son opuestos ya que sólo difieren en el signo. Esto es,

En el ejemplo 6 determinamos que

3x - 7 3x - 7 = = -1 7 - 3x -13x - 72 Siempre que tengamos el cociente de dos expresiones que son opuestas, como a - b , a Z b, el cociente puede remplazarse por 1. b - a

En el ejemplo 7 utilizaremos la Sugerencia dada en la página anterior.


4n2 - 23n - 6 . 6 - n 14n + 121n - 62 4n2 - 23n - 6 = 6 - n 6 - n

Solución

= 14n + 12 1-12 = - 14n + 12

Los términos en n 6 sólo difieren en el signo de los términos en 6 n. Remplace

n - 6 con 1. 6 - n

Observe que -4n - 1 también es una respuesta aceptable.

✺

Solución de problemas Simplifique, si es posible, las siguientes expresiones. Trate el símbolo desconocido como si fuese una variable. 1.

3 12 4

2.

4.

¢ 2 + 2¢ ¢ ¢ + 4¢ + 4 ¢ + 2

5.

2

1

+ 72 1 + 7 3¢ - 2 -1 2 - 3¢

3. 6.

7¢ ¢ 14¢ + 21 2¢ + 3 1¢ - 322 ¢ 2 - 6¢ + 9

5.3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES 1 2

1

Multiplicación de expresiones racionales. División de expresiones racionales.

Multiplicación de expresiones racionales En el bloque 1.1 revisamos la multiplicación de fracciones numéricas. Recuerde que para multiplicar dos fracciones debemos multiplicar tanto sus numeradores como sus denominadores. Para multiplicar dos fracciones a#c a#c = # , b Z 0 y b d b d

d Z 0

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EJEMPLO 1 Multiplique a b a 3 5

-2 b. 9

Solución Primero divida entre los factores comunes; luego multiplique. 1 # 1-22 3 # -2 2 = = # 5 9 5 3 15 1

3

✺

El mismo principio se aplica cuando multiplicamos expresiones racionales que tienen variables. Antes de multiplicar, primero debemos dividir entre los factores comunes del numerador y el denominador. Para multiplicar expresiones racionales 1. Factorice por completo todos los numeradores y los denominadores. 2. Divida entre los factores comunes. 3. Multiplique los numeradores por los numeradores y los denominadores por los denominadores.

EJEMPLO 2 Multiplique

3x 2 # 4y3 . 2y 3x

Solución Este problema puede representarse como 3xx # 4yyy 2y 3x 1 1

3 x x # 4yyy 2y 3x

Divida entre los 3 y entre las x.

1 1 2 1

1 1

3 x x # 4 y yy 2y 3x 1 1

Divida el 4 y el 2 entre 2 y divida las y.

1 1

Ahora multiplique entre sí los numeradores que quedan; haga lo mismo con los denominadores. 2xy 2 o bien 2xy 2 1 ✺ En lugar de ilustrar completamente este proceso cuando se multiplican expresiones racionales, con frecuencia procedemos como sigue: 3x2 # 4y3 2y 3x 2 y2

1 x

3 x2 = 2y 1 1


3y

2

2x

3

#

4 y3 = 2xy2 3x 1 1

2

# 5x2 . 7y

-

3 y2 5 x2 15 # = 14x 2 x3 7 y2 x

✺

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En el ejemplo 3, cuando se dividió y2 en el numerador y el denominador no colocamos un 1 arriba y abajo de los factores de y2. Cuando se factoriza en el denominador y en el numerador un factor, por lo común no se muestran los “unos”.

EJEMPLO 4 Multiplique 1x - 62 #

5 . x - 6x2 5 x - 6 # 5 5 1x - 62 # 3 = = 2 2 2 1 x - 6x x 1x - 62 x

Solución EJEMPLO 5 Multiplique 1x + 22

1x + 222 6x

2

Solución

6x

#

2

3

#

2

✺

3x . x - 4 2

1x + 221x + 22 3x 3x # = 2 1x + 221x - 22 x - 4 6x 2

=

1x + 22 1x + 22

1 1

#

6 x2 2 x

3x x + 2 = 1x + 22 1x - 22 2x1x - 22

✺

En el ejemplo 5 podríamos haber multiplicado los factores en el denominador para obtener

x + 2 . Ésta es también una respuesta correcta. En esta sección 2x2 - 4x

dejaremos las respuestas racionales con el numerador como un polinomio (en forma no factorizada) y los denominadores en forma factorizada, como se dio en el ejemplo 5. Esto es consistente con la forma como dejaremos respuestas racionales cuando sumemos y restemos expresiones racionales en secciones posteriores.


a - 4 # 6a . 3a 4 - a

2

21a - 42 a - 4# 6a = . 3a 4 - a 4 - a

Solución

1

Este problema aún no está completo. En la sección 5.2 mostramos que 4 a es 1(4 a) o bien 1(a 4). Por tanto, 2 1a - 42 21a - 42 = = -2 4 - a -1 1a - 42

SUGERENCIA

Cuando en un problema de multiplicación, un numerador y un denominador sólo difieren en el signo, factorice 1 de cualquiera de ellos, y luego divida entre el factor común. a - b# y a - b = x x b - a


✺

#

y

-1 1a - b2

= -

y x

3x + 2 # 4 - 8x . 2x - 1 3x + 2

3x + 2 # 4 - 8x 3x = 2x - 1 3x + 2 2x 3x = 2x

+ + -

2 # 411 - 2x2 Factorizar. 1 3x + 2 2 # 411 - 2x2 . Dividir entre los factores comunes. 1 3x + 2

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Observe que el factor (1 2x) en el numerador de la segunda fracción sólo difiere en signo de 2x 1, el denominador de la primera fracción. Por tanto; factorizamos 1 de cada término de (1 2x) en el numerador de la segunda fracción. 3x + 2 # 41-1212x - 12 Factorizar 1 del segundo numerador. 2x - 1 3x + 2 3x + 2 # -4 12x - 12 = Dividir entre los factores comunes. 2x - 1 3x + 2 -4 = = -4 1 ✺

=


2x2 + 5x - 12 # 3x2 + 2x - 1 . 6x2 - 11x + 3 x2 + 5x + 4

Solución Factorizamos completamente los numeradores y denominadores, y luego dividimos entre los factores comunes.

12x - 321x + 42 13x - 121x + 12 2x 2 + 5x - 12 # 3x2 + 2x - 1 # = 2 2 12x - 3213x - 12 1x + 121x + 42 6x - 11x + 3 x + 5x + 4 =

✺ EJEMPLO 9 Multiplique Solución

12x - 32 1x + 42 12x - 32 13x - 12

# 13x

- 12 1x + 12 = 1 1x + 12 1x + 42

2x3 - 14x2 + 12x # -2y . 6y2 3x2 - 3x

2x1x2 - 7x + 62 2x3 - 14x2 + 12x # -2y # -2y = 2 2 2 3x1x - 12 6y 3x - 3x 6y 2x1x - 621x - 12

# -2y 3x1x - 12 6y 2 2 x 1x - 62 1x - 12 # -2 y = 3 x 1x - 12 6 y2

=

3 y

=


-21x - 62 -2x + 12 = 9y 9y

✺

x2 - y2 # x + 2y . x + y 2x2 - xy - y2

x2 - y2 x + 2y # 2 x + 2y 2 = 1x + y21x - y2 # x + y 2x - xy - y x + y 12x + y21x - y2 =

1x + y2 1x - y2 x + 2y # x + y 12x + y2 1x - y2

=

x + 2y 2x + y

✺

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2

División de expresiones racionales En el bloque I aprendimos que para dividir una fracción entre otra, invertimos el divisor y multiplicamos. Para dividir dos fracciones c a d ad a , = # = , b d b c bc

EJEMPLO 11 Divida a)

2 5 , 7 7

b)

b Z 0, d Z 0, y

3 5 , 4 6

1

Solución

2 5 2 a) , = 7 7 7

#

c Z 0

3

7 2#1 2 = # = 5 1 5 5

5 3 3 , = b) 4 6 4

1

#

6 3#3 9 = # = 5 2 5 10

2

✺

Para dividir expresiones racionales se utilizan los mismos principios. Para dividir expresiones racionales Obtenga el inverso del divisor (la segunda fracción) y multiplique.

EJEMPLO 12 Divida

5z3 8x3 , . z 3

Solución Obtenemos el inverso del divisor (la segunda fracción), y luego multiplicamos. 5z3 8x3 8x3 # 3 24x3 , = = z z 5z3 3 5z4

EJEMPLO 13 Divida Solución

Solución

x - 3 x2 - 9 , . x + 4 x + 4

x2 - 9 x - 3 x2 - 9 # x + 4 , = x + 4 x + 4 x + 4 x - 3 1x + 32 1x - 32 = x + 4

EJEMPLO 14 Divida

✺

Obtener el inverso del divisor y multiplicar.

#x

+ 4 = x + 3 x - 3

Factorizar y dividir entre los factores comunes.

✺

-1 3 , . 2x - 3 3 - 2x -1 3 - 1 # 3 - 2x , = 2x - 3 3 - 2x 2x - 3 3 =

=

-1 # -1 12x - 32 2x - 3 3

1- 121 - 12 1 = 112132 3

Obtener el inverso del divisor y multiplicar. Factorizar 1, luego dividir entre los factores comunes.

✺

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EJEMPLO 15 Divida

w2 - 11w + 30 , 1w - 522. w2

1w - 522 . Factorizamos el numerador de la primera fracción; lue1 go obtenemos el inverso del divisor y multiplicamos.

Solución (w 5)2 significa

w2 - 11w + 30 w2 - 11w + 30 # 1 2 , 1w 52 = 2 2 w w 1w - 522 1w - 62 1w - 52

=

2

w

Solución

1 1w - 52 1w - 52

w - 6 w 1w - 52

=

EJEMPLO 16 Divida

#

✺

2

12x2 - 22x + 8 3x2 + 2x - 8 , . 3x 2x2 + 4x

12x2 - 22x + 8 3x2 + 2x - 8 12x2 - 22x + 8 # 2x2 + 4x , = 3x 3x 2x2 + 4x 3x2 + 2x - 8 =

216x2 - 11x + 42 # 2x1x + 22 3x 13x - 421x + 22

=

2 13x - 42 12x - 12 # 2 x 1x + 22 3x 13x - 42 1x + 22

=

412x - 12 8x - 4 = 3 3

Solución de problemas Realice cada operación que se indica. Trate a ¢ y como si fuesen variables. 1.

6¢ 2 # 12 1 12 36¢ 5 6¢ 3

2.

¢ - ¢ 2 - 2 , 2 9¢ - 9 ¢ + 2¢ + 2

Para cada ecuación, escriba un binomio o trinomio en el área sombreada para hacer verdadera la proposición. Explique cómo determinó su respuesta. 3.

6.

9.

12.

x + 2

= x + 1 x2 + 3x + 2

=

2

x - 7x + 10

1 x - 2 x - 5

x - 3 x2 - 9 , 2 2xy 4y x2 - y2 2

x - 2xy + y

2

,

4.

7.

10.

x + y y - x

x + 3 =

1 x - 3

#x +

2 = 1 x - 4 x - 1 2

x2 - 12x + 32 x2 - x - 12 , 2 2 x - 6x - 16 x - 5x - 24

5.

t2 - 36 # t - 5 3t t2 + t - 30

8.

x3 + 8 # x + 3 x - x - 6 x2 - 2x + 4

11.

2

x2 - 5x + 4 5x2 - 4x - 1 , 2 2 5x + 6x + 1 x + 2x + 1

✺

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5.4 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES CON DENOMINADOR COMÚN Y DETERMINACIÓN DEL MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR 1 2

1

Sumar y restar expresiones racionales con un denominador común. Determinar el mínimo común denominador (mcd).

Sumar y restar expresiones racionales con un denominador común Recuerde que cuando sumamos (o restamos) dos fracciones aritméticas con un denominador común, sumamos (o restamos) los numeradores y conservamos el denominador común. Para sumar o restar dos fracciones a b a + b + = ,c Z 0 c c c

EJEMPLO 1 a) Sume Solución a)

5 8 + . 16 16

a b a - b = ,c Z 0 c c c

b) Reste

5 8 5 + 8 13 + = = 16 16 16 16

b)

5 1 - . 9 9

5 1 5 - 1 4 - = = 9 9 9 9

✺

En el ejemplo 1a) observe que no simplificamos 168 a 21 . Las fracciones se dan con un denominador común, 16. Si 168 se simplificase a 12 , perderíamos el denominador común que se necesita para sumar o restar fracciones. Cuando sumamos o restamos expresiones racionales que tienen variables, se aplican los mismos principios. Para sumar o restar expresiones racionales con un denominador común 1. Sume o reste los denominadores. 2. Coloque la suma o diferencia de los numeradores que determinó en el paso 1 sobre el denominador común. 3. Si es posible, simplifique la fracción.

EJEMPLO 2 Sume Solución

EJEMPLO 3 Sume

3 x + 2 + . x - 4 x - 4 3 + 1x + 22 3 x + 2 x + 5 + = = x - 4 x - 4 x - 4 x - 4 6x - 5 2x2 + 5 + . x + 3 x + 3

✺

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12x2 + 52 + 16x - 52 2x2 + 5 6x - 5 + = x + 3 x + 3 x + 3

Solución

=

2x2 + 5 + 6x - 5 x + 3

=

2x2 + 6x . x + 3

Ahora, de cada término en el numerador, factorice 2x y simplifique. =

EJEMPLO 4 Sume

2x 1x + 32 = 2x x + 3

x2 + 3x - 2 4x + 12 + . 1x + 521x - 22 1x + 521x - 22

1x + 3x - 22 + 14x + 122 x + 3x - 2 4x + 12 + = 1x + 521x - 22 1x + 521x - 22 1x + 521x - 22 2

2

Solución

✺

Escribir como una sola fracción.

=

x2 + 3x - 2 + 4x + 12 1x + 521x - 22

Quitar paréntesis en el numerador.

=

x 2 + 7x + 10 1x + 521x - 22


=

1x + 52 1x + 22 1x + 52 1x - 22

=

x + 2 x - 2

Factorizar, dividir entre el factor común.

✺

Cuando reste expresiones racionales, asegúrese de restar el numerador completo de la fracción que será restada. Estudie detenidamente el siguiente recuadro de Cómo evitar errores comunes. CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

Considere la sustracción

2x + 1 4x x - 2 x - 2 Muchas personas resuelven de forma incorrecta problemas de este tipo. Aquí están las formas correcta e incorrecta de resolver este problema. CORRECTA 4x 2x + 1 = x - 2 x - 2

4x - 12x + 12

x - 2 4x - 2x - 1 = x - 2 2x - 1 = x - 2

INCORRECTA 4x 2x + 1 4x - 2x + 1 = x - 2 x - 2 x - 2

Observe que todo el numerador de la segunda fracción (y no sólo el primer término) debe restarse. También note que cambiará el signo de cada término del numerador que se restará cuando se eliminan los paréntesis.

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EJEMPLO 5 Reste

Solución

x2 - 2x + 3 x2 - 4x - 5 . x2 + 7x + 12 x2 + 7x + 12

1x2 - 2x + 32 - 1x2 - 4x - 52 x2 - 2x + 3 x2 - 4x - 5 = x2 + 7x + 12 x2 + 7x + 12 x2 + 7x + 12


x2 - 2x + 3 - x2 + 4x + 5 x2 + 7x + 12 2x + 8 = 2 x + 7x + 12

Eliminar paréntesis. Reducir términos semejantes.

=

Factorizar, dividir entre el factor común.

=

2 1x + 42 1x + 32 1x + 42 2 = x + 3

✺

La variable que se utiliza cuando se trabaja con expresiones racionales es irrelevante. En el ejemplo 6, trabajamos con expresiones racionales con la variable r.

EJEMPLO 6 Reste

Solución

6r 4r2 - 17r + 15 . r - 5 r - 5

6r - 14r2 - 17r + 152 6r 4r2 - 17r + 15 = r - 5 r - 5 r - 5 6r - 4r2 + 17r - 15 r - 5 -4r2 + 23r - 15 = r - 5 =

- 14r2 - 23r + 152 r - 5 - 14r - 32 1r - 52 = r - 5 = - 14r - 32 o bien -4r + =

2

Escribir como una sola fracción. Eliminar paréntesis. Reducir términos semejantes. Factorizar un 1. Factorizar, dividir entre el factor común.

3

✺

Determinar el mínimo común denominador (mcd) Para sumar dos fracciones con denominadores diferentes, primero debemos obtener un denominador común.Ahora explicamos cómo determinar el mínimo común denominador (mcd) para expresiones racionales. Utilizaremos esta información en la sección 5.5, cuando sumemos y restemos expresiones racionales.

EJEMPLO 7 Sume

2 5 + . 7 3

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Solución El mínimo común denominador (mcd) de las fracciones 57 y 23 es 21. Veintiuno es el número más pequeño que es divisible entre ambos denominadores, 7 y 3. Escribimos nuevamente cada fracción de modo que su denominador sea 21. 5 2 3 #5 2 7 + = + # 7 3 3 7 3 7 15 14 29 = + = 21 21 21

o bien 1

8 21

✺

Para sumar o restar expresiones racionales, debemos escribir cada expresión con un denominador común.

Para determinar el mínimo común denominador de expresiones racionales 1. Factorice completamente cada denominador. Cualesquiera factores que aparezcan más de una vez deben expresarse como potencias. Por ejemplo, (x 3)(x 3) debe expresarse como (x 3)2. 2. Liste todos los factores diferentes (distintos de 1) que aparezcan en cada uno de los denominadores. Cuando aparezca el mismo factor en más de un denominador, escriba ese factor con la potencia más alta con que aparezca. 3. El mínimo común denominador es el producto de todos los factores que se listaron en el paso 2.

EJEMPLO 8 Determine el mínimo común denominador. 1 1 + y 3

Solución El único factor (distinto de 1) del primer denominador es 3. El único factor (distinto de 1) del segundo denominador es y. Por tanto el mcd es 3 # y = 3y.

✺

EJEMPLO 9 Determine el mcd. 5 3 7x x2

Solución Los factores que aparecen en los denominadores son 7 y x. Liste cada factor con su exponente más grande. El mcd es el producto de estos factores Mayor potencia de x.

mcd = 7 # x = 7x2 2

EJEMPLO 10 Determine el mcd. 5 1 + 3 18x y 27x2y3

✺

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Solución Escriba 18 y 27 como productos de factores primos: 18 = 2 # 32 y 27 33. Si olvidó cómo escribir un número como un producto de factores primos. 1 5 1 5 + = # 2 3 + 3 2 3 3 2 3 18x y 27x y 2 3xy 3xy Los factores que aparecen son 2, 3, x y y. Liste las potencias más grandes de estos factores. mcd = 2 # 33 # x3 # y3 = 54x3y3

✺

EJEMPLO 11 Determine el mcd. 7y 5 x x + 3

Solución Los factores en el denominador son x y x 3. Observe que x en el segundo denominador, x 3, es un término, no un factor.

mcd = x1x + 32

✺

EJEMPLO 12 Determine el mcd. 7 x2 + 2 3x - 6x x - 4x + 4 2

Solución Factorice ambos denominadores. 7 x2 x2 7 + + = 3x1x - 22 1x - 221x - 22 3x2 - 6x x2 - 4x + 4 =

x2 7 + 3x1x - 22 1x - 222

Los factores en los denominadores son 3, x y x 2. Liste la potencia más grande de cada uno de estos factores. mcd = 3 # x # 1x - 222 = 3x1x - 222.

✺

EJEMPLO 13 Determine el mcd. 5x 6x2 - 2 x - x - 12 x - 7x + 12 2

Solución Factorice ambos denominadores. 5x 6x2 5x 6x2 = 1x + 321x - 42 1x - 321x - 42 x2 - x - 12 x2 - 7x + 12 Los factores en los denominadores son x 3, x 4 y x 3. mcd = 1x + 321x - 421x - 32

Aunque x 4 es un factor común de cada denominador, la potencia más grande con que aparece ese factor en cada denominador es 1. ✺

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EJEMPLO 14 Determine el mcd. 6w + w + 5 w2 - 14w + 45

Solución Factorice el denominador del primer término. 6w 6w2 + w + 5 = + w + 5 1w - 521w - 92 w2 - 14w + 45 Como el denominador de w + 5 es 1, la expresión puede volverse a escribir como w + 5 6w + 1w - 521w - 92 1 Por tanto, el mcd es 11w - 521w - 92 o simplemente 1w - 521w - 92.

✺

Solución de problemas Liste los polinomios que deben colocarse en cada área sombreada para hacer que la proposición sea verdadera. Explique cómo determinó su respuesta. 1.

... 2x2 - 5x - 6 x2 - 6x + 3 + = x + 3 x + 3 x + 3

3.

x2 + x - 9, sum of numerators must be 2x2 - 5x - 6.

2x2 - 7x - 4, difference of numerators must be 2x2 + x - 3

2

2.

- x - 4x + 3 .... 5x - 7 + = 2x + 5 2x + 5 2x + 5

.... 2x2 + x - 3 4x2 - 6x - 7 - 2 = 2 x - 4 x - 4 x2 - 4

4.

x2 + 9x - 10, sum of numerators must be 5x - 7

-3x2 - 9 x2 + 3x = 1x + 421x - 22 1x + 421x - 22 1x + 421x - 22

-4x2 - 3x - 9, difference of numerators must be x2 + 3x

Determine el mínimo común denominador de cada expresión. 5.

4 3 + 5 5

6.

5 6 + 40¢4 5 8¢2 2 5¢4 5

7.

2 8 1¢ + 321¢ - 32 ¢ + 3 ¢2 - 9

8.

6 ¢ + 5 - 2 \ ¢ + 3 ¢ - 4¢ + 3

5.5 SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES 1

Suma y resta de expresiones racionales.

En la sección 5.4 analizamos cómo sumar y restar expresiones racionales con un denominador común. Ahora estudiamos la suma y resta de expresiones racionales que no tienen un denominador común.

1

Suma y resta de expresiones racionales El método utilizado para sumar y restar expresiones racionales con denominadores no comunes se bosqueja en el ejemplo 1.

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EJEMPLO 1 Sume

7 3 + . x y

Solución Primero determinamos el mcd como se expuso en la sección 5.4. mcd xy Escribimos cada fracción con el mcd. Hacemos esto, multiplicando ambos, numerador y denominador de cada fracción, por los factores necesarios para obtener el mcd. En este problema, la fracción de la izquierda debe multiplicarse por y>y y la fracción de la derecha debe multiplicarse por x>x. y 7 7 3 # + 3 # x = 7y + 3x + = x y y x y x xy xy Al multiplicar el numerador y el denominador por el mismo factor, en realidad estamos multiplicando por 1, lo cual no cambia el valor de la fracción, sólo su apariencia. Así, la nueva fracción es equivalente a la fracción original. Ahora sumamos los numeradores, y dejamos el mcd solo en el denominador. 7y + 3x 7y 3x + = xy xy xy

o bien

3x + 7y xy

✺

Para sumar o restar dos expresiones racionales con denominadores no comunes 1. Determine el mcd. 2. Reescriba cada fracción como una fracción equivalente con el mcd. Esto se hace multiplicando el numerador y el denominador por los factores necesarios para obtener el mcd. 3. Sume o reste los numeradores y conserve el mcd. 4. Cuando sea posible, factorice el numerador que queda y simplifique la fracción.

EJEMPLO 2 Sume

5 3 . + 4x2y 14xy3

Solución El mcd es 28x2y3; debemos escribir cada fracción con el denominador 28x2y3. Para hacer esto, multiplicamos la fracción de la izquierda por 7y2>7y2 y la fracción de la derecha por 2x>2x. 7y2 5 3 # 52 + 3 3 # 2x = + 2 3 2 4x y 14xy 7y 4x y 14xy 2x 2 35y 6x = + 28x2y3 28x2y3 35y2 + 6x 6x + 35y2 = o bien 28x 2y 3 28x2y 3

SUGERENCIA

✺

7y2

2x y la segunda fracción por 2x 7y2 para obtener dos fracciones con un denominador común. ¿Cómo sabemos por cuál fracción multiplicar? Muchos de ustedes pueden determinar esto observando el mcd y luego determinando por qué factor es necesario multiplicar cada denominador para obtener el mcd. Si esto no es obvio, puede dividir el mcd por el denominador dado para determinar el factor por el que debe multiplicarse el numerador y el denominador En el ejemplo 2 multiplicamos la primera fracción por


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de cada fracción. En el ejemplo 2, el mcd es 28x2y3. Si dividimos 28x2y3 entre cada denominador dado, 4x2y y 14xy3, podemos determinar cuál es el factor por el que debe multiplicarse el numerador y el denominador de cada fracción, 28x 2y3 2

4x y

= 7y2

28x2y 3 14xy3

= 2x

7y2 5 3 2x debe multiplicarse por 2 y debe multiplicarse por para obtener 2 2x 4x y 7y 14xy3 2 3 el mcd, 28x y . Así,

EJEMPLO 3 Sume

5 3 + . x x + 2

Solución Debemos escribir cada fracción con el mcd, que es x(x 2). Para hacer esto, multiplicamos la fracción de la izquierda por x>x y la fracción de la derecha por 1x + 22>1x + 22. 3 5 x# 3 5 x + 2 = + + # x x x x + 2 x + 2 x + 2 =

51x + 22 3x + x1x + 22 x1x + 22

Reescribir cada fracción como una fracción equivalente con el mcd.

=

3x 5x + 10 + x1x + 22 x1x + 22

Propiedad distributiva.

3x + 15x + 102 x1x + 22


=

3x + 5x + 10 x1x + 22

Eliminar paréntesis en el numerador.

=

8x + 10 x1x + 22

Reducir términos semejantes en el numerador.

=

SUGERENCIA

Mire la respuesta al ejercicio 3,

✺

8x + 10 . Observe que el numerador podría factorizarse x1x + 22

214x + 52

. También note que el denominador podría multiplicarse para x1x + 22 8x + 10 . Las tres respuestas son equivalentes y cada una de ellas es correcta. obtener 2 x + 2x En esta sección, cuando escribamos las respuestas, a menos que exista un factor común en el numerador y el denominador, dejaremos el numerador sin factorizar y el denominador en forma factorizada. Si tanto el numerador como el denominador tiene un factor común, factorizaremos el numerador y simplificaremos la fracción. para obtener

EJEMPLO 4 Reste

3 w . w - 7 w - 4

Solución El mcd es (w 7)(w 4). La fracción de la izquierda debe multiplicarse por

1w - 42>1w - 42 para obtener el mcd. La fracción de la derecha debe multiplicarse por 1w - 72>1w - 72 para obtener el mcd.

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w 3 w - 4# w 3 # w - 7 = w - 7 w - 4 w - 4 w - 7 w - 4 w - 7 w1w - 42 31w - 72 = 1w - 421w - 72 1w - 421w - 72 w2 - 4w 3w - 21 = 1w - 421w - 72 1w - 421w - 72 1w2 - 4w2 - 13w - 212 = 1w - 421w - 72 2 w - 4w - 3w + 21 = 1w - 421w - 72 w 2 - 7w + 21 = 1w - 421w - 72

EJEMPLO 5 Reste

Reescribir cada fracción como una fracción equivalente con el mcd. Propiedad distributiva. Escribir como una sola fracción. Eliminar paréntesis en el numerador. Reducir términos semejantes en el numerador.

✺

x + 3 x + 2 . x - 4 x + 4

Solución El mcd es (x 4)(x 4). x + 2 x + 3 x + 4#x + 2 x + 3# x = x - 4 x + 4 x + 4 x - 4 x + 4 x 1x + 421x + 22 1x + 321x = 1x + 421x - 42 1x + 421x

4 4 - 42 - 42

Reescribir cada fracción como una fracción equivalente con el mcd.

Utilice el método PIES para multiplicar cada numerador. x2 + 6x + 8 x2 - x - 12 1x + 421x - 42 1x + 421x - 42 2 1x + 6x + 82 - 1x2 - x - 122 = 1x + 421x - 42 x2 + 6x + 8 - x2 + x + 12 = 1x + 421x - 42 7x + 20 = 1x + 421x - 42 =

Escribir como una sola fracción. Eliminar paréntesis en el numerador. Reducir términos semejantes en el numerador.

✺

Considere el problema 6 x + 3 + x - 2 2 - x ¿Cómo sumamos estas expresiones racionales? Podríamos escribir cada fracción con el denominador (x 2)(2 x). Sin embargo, hay una forma más sencilla. Estudie la siguiente Sugerencia.

SUGERENCIA

Cuando sumamos o restamos fracciones cuyos denominadores son opuestos (y por tanto sólo difieren en signos), multiplique el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones por 1. De esta forma, ambas fracciones tendrán el mismo denominador. y y x x # -1 + = + a - b b - a a - b b - a -1 -y x = + a - b a - b x - y = a - b

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EJEMPLO 6 Sume

6 x + 3 + . x - 2 2 - x

Solución Como los denominadores sólo difieren en signo, podemos multiplicar por 1 el numerador y el denominador de cualquiera de las fracciones. Aquí multiplicaremos el numerador y el denominador de la segunda fracción por 1 para obtener el denominador común x 2. 6 x + 3 6 x + 3 # -1 + = + x - 2 2 - x x - 2 2 - x -1 1- x - 32 6 + x - 2 x - 2 6 + 1- x - 32 = x - 2

Multiplicar por 1 el numerador y el denominador.

=


=

6 - x - 3 x - 2

Eliminar paréntesis en el numerador.

=

-x + 3 x - 2


✺

Resolvamos otro ejemplo en donde los denominadores sólo difieren en el signo.

EJEMPLO 7 Reste

a - 5 2a - 5 . 3a - 4 4 - 3a

Solución Los denominadores de las dos fracciones sólo difieren en el signo. Resolveremos este problema de una manera análoga a como resolvimos el ejemplo 6. Multiplicaremos por 1 el numerador y el denominador de la segunda fracción para obtener el denominador común 3a 4. a - 5 2a - 5 a - 5 2a - 5 # -1 = 3a - 4 4 - 3a 3a - 4 4 - 3a -1 =

=

=

EJEMPLO 8 Sume Solución

1-2a + 52 a - 5 3a - 4 3a - 4

Multiplicar el numerador y el denominador por 1.

1a - 52 - 1- 2a + 52 3a - 4


a - 5 + 2a - 5 3a - 4

Eliminar los paréntesis en el numerador.

3a - 10 3a - 4


3 1 + . x2 + 5x + 6 3x2 + 8x - 3

1 3 1 3 + = + 2 1x + 221x + 32 13x - 121x + 32 x + 5x + 6 3x + 8x - 3 2

El mcd es (x 2)(x 3)(3x 1).

✺

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EJEMPLO 9 Reste Solución

=

3x - 1 # 3 1 #x+2 + 3x - 1 1x + 221x + 32 13x - 121x + 32 x + 2

=

x + 2 9x - 3 + 13x - 121x + 221x + 32 13x - 121x + 221x + 32

=

19x - 32 + 1x + 22 13x - 121x + 221x + 32

=

9x - 3 + x + 2 13x - 121x + 221x + 32

=

10x - 1 13x - 121x + 221x + 32

✺

x 5 . 5x - 25 x - 5x 2

x 5 x 5 = 5x - 25 x1x - 52 51x - 52 x - 5x 2

El mcd es 5x(x 5). =

5# 5 x #x 5 x1x - 52 51x - 52 x

=

x2 25 5x1x - 52 5x1x - 52

=

25 - x2 5x1x - 52

=

=

=

=


15 - x215 + x2 5x1x - 52

Factorizar el numerador.

-11x - 521x + 52 5x1x - 52

5 - x = - 11x - 52

-1 1x - 52 1x + 52 5x 1x - 52

- 11x + 52 5x

o bien

Simplificar.

-

x + 5 5x

✺

Un error común en un problema de suma o resta es sumar o restar los numeradores y los denominadores. Aquí está un ejemplo de ello. CORRECTO

INCORRECTO

1 x 1 x x + = + # x 1 x 1 x 1 x2 = + x x

1 x 1 + x + = x 1 x + 1

=

1 + x2 x2 + 1 o bien x x

1 x 1 - x = x 1 x - 1 (continúa en la página siguiente)

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Recuerde que para sumar o restar fracciones primero debe tener un denominador común. Después sume o reste los numeradores conservando el denominador común. Otro error común es tratar un problema de suma o resta como un problema de multiplicación. Puede dividir entre los factores comunes cuando se multipliquen fracciones, no cuando se sumen o resten. CORRECTO

INCORRECTO 1

1#x 1 # x = x 1 x 1 1 = 1#1 = 1

1

x 1 x 1 + + = x 1 x 1 1 = 1 + 1 = 2

Solución de problemas ¿Para qué valor(es) de x está definida cada expresión? 2 + 6 all real numbers except x = 0 x 5 7 + 3. all real numbers except x = 4, x = - 6 x - 4 x + 6 1.

2 3 all real numbers except x = 1, x = 0 x - 1 x 1 4 4. 2 all real numbers except x = 3, x = - 3 x + 3 x - 9 2.

Sume o reste. Trate cada símbolo desconocido como si fuesen las variables. 3 1 ¢ - 2 2 x2 - 8x + 2 + 7. x + 7 4 9. 2 x - 4 3x2 5.

4

¢ ¢ -2 2x2 - 5x 3x2 + 7x + 6 x + 7 x + 7 11 5 + + 5x - 2 3x2 - 7x + 2

2 ¢ + 2 2¢ 2 + 7¢ - 4 ¢ - ¢ - 20 3 5 4 + 2 + 2 8. 2 x - x - 12 x - 6x + 8 x + x - 6 6.

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Actividades de cierre A continuación te presentamos un listado de productos que debes enviar al portafolio de evidencias. Cualquier duda que tengas para los envíos, consulta a tu profesor de informática. 1. El texto de los problemas. 2. La relación de temas que consultaste en tu libro. 3. El o los modelos matemáticos que construiste de cada una d las áreas incluyendo las condiciones de cambio de dimensiones. 4. La solución de cada uno de los problemas que consideras relevantes. 5. Escribe brevemente los pasos que has seguido en la resolución de los problemas. 6. Escribe una opinión personal que pueda participar en un foro de discusión electrónico.

Nota: Estas actividades de cierre se desarrollarán durante los bloques IV y V.

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BLOQUE VI

Realiza ecuaciones lineales I • Analiza y modela situaciones empleando ecuaciones lineales. • Describe técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. • Identifica la relación entre funciones y ecuaciones lineales • Reconoce la ecuación en dos variables y = mx + b como la forma de la función lineal, y las ecuaciones en una variable a = mx + b, como casos particulares de la anterior. • Identifica los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una función lineal. • Reconoce diversas técnicas para graficar la función lineal.

E

xisten muchas situaciones en las que una cantidad se compone de una cantidad fija y una cantidad variable. En las páginas 340 y 341, ejemplo 6, analizamos a un alfarero que fabrica y vende jarrones de cerámica en mercados de arte. Ciertos costos incluidos con la fabricación de los jarrones son fijos y otros dependen de la cantidad de bienes hechos. También consideramos la renta de un camión cuando usted paga un monto fijo más un cobro por cada milla recorrida. Las gráficas de ecuaciones lineales pueden usarse para estimar cantidades como el costo total de la fabricación de jarrones o la renta de un camión. Las gráficas se utilizan para mostrar diferentes tipos de información y se utilizan mucho en la industria.

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BLOQUE VI • Realiza ecuaciones lineales I • 257

Bloques VI, VII y VIII Resuelve ecuaciones lineales I, II y III Unidades de competencia • Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números reales y expresiones algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables; empleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar que le ayuden a explicar y describir su realidad. • Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos provenientes de situaciones cotidianas y tradúcelos a un lenguaje algebraico.

Atributos de las competencias genéricas 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Nota: Estas actividades de inicio se desarrollarán durante los bloques VI,VII y VIII.

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Actividades de inicio Problema 1 La utilidad anual P, de una tienda de neumáticos puede calcularse por medio de la función P(n) = 20n - 30 000, en donde n es el número de neumáticos vendidos por año. Observa la grafica que representa dicha situación.

La expresión P(n) = 20n-30 000 nos representa gráficamente una función lineal y si igualamos P(n) a cero: • ¿Qué nos representa? • ¿Cómo se relacionan las funciones y ecuaciones lineales? • ¿Qué significado tiene que el vender 1500 neumáticos, presente el punto de equilibrio de la función? • ¿Qué significa la línea recta de -30 000 en el eje vertical? Al observar la función nos damos cuenta que la línea recta tiene cierta inclinación con respecto a la horizontal. ¿Qué te indica esto?, si la recta fuera paralela al eje horizontal, ¿qué significado le encuentras? Si se logran vender 4 000 neumáticos ¿Cuál es la utilidad recabada?, si la utilidad recabada es de $40 000, ¿cuántos neumáticos se deben de vender?

Responde los siguientes cuestionamientos 1. ¿Te fue fácil relacionar el concepto de utilidad y la función p(n) = 20n - 30 000? 2. ¿El gráfico te ayudó a comprender el problema? 3. ¿Comprendes las funciones y ecuaciones lineales? 4. Gráficamente, ¿qué nos representan? 5. ¿Podrías identificar cuáles competencias fueron las que han contribuido a desarrollar las actividades realizadas?

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Problema 2 Analiza la información que se te presenta en la siguiente tabla. Concentración de solución

Número de litros

Cantidad de fosfato trisódico

Solución de 12%

0.12

X

0.12x

Solución de 60%

0.60

Y

0.6y

Mezcla

0.30

8

0.30 (8)

Solución

La mezcla de soluciones representadas en la tabla anterior, se utilizará para elaborar un nuevo desinfectante industrial. Según esta tabla, se utilizará una solución con concentración de 12% de fosfato trisódico con otra sustancia cuya concentración será del 60%. Si se requiere obtener 8 litros de dicho desinfectante con una concentración al 30%. 1. Encuentra el modelo matemático para resolver esta situación. 2. ¿Cuántos litros de cada una de las soluciones se necesitan mezclar? Realiza una reflexión acerca de los pasos que has seguido para resolver los cuestionamientos.

Problema 3 Una empresa ubicada en el ejido San Rafael, municipio de Guasave en el estado de Sinaloa tiene una pequeña planta que fabrica tres tipos de botes inflables para una, dos y cuatros personas. La fabricación de cada bote requiere de tres departamentos: corte, ensamble y empaque. Los departamentos de corte, ensamble y empaque pueden utilizar un total de 380, 330 y 120 horas por persona en una semana de trabajo, respectivamente. El tiempo que cada departamento requiere para fabricar un bote aparece en la siguiente tabla. Tiempo (persona-hora) Bote para una persona

Bote para dos personas

Bote para cuatro personas

Corte

0.6

1.0

1.5

Ensamblaje

0.6

0.9

1.2

Empaque

0.2

0.3

0.5

Departamento

1. Determina cuántos botes de cada tipo deben producirse por persona para que la planta opere a toda su capacidad. 2. Se dice que se fabrican tres tipos de botes diferentes, y nos piden determinar la cantidad que se produce de cada uno, ¿cuántas cantidades hay que determinar? Si llamamos x, al número de botes para una persona, ¿cómo llamaremos a y y z? 3. Para cortar los tres botes necesitamos 380 horas por persona; y nos queda la ecuación 0.6x + 1.0y + 1.5z = 380, ¿cómo quedaría para ensamblar en 330 horas y empacar en 120 horas? 4. Al determinar esto, ¿cómo queda expresado el sistema de ecuaciones para esta situación dada? 5. Al conocer el planteamiento del sistema de ecuaciones, ¿Cuál método de los aprendidos en el bloque anterior, crees que te facilita mas el trabajo para resolver este sistema?

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Reflexiona sobre las actividades realizadas y contesta las siguientes preguntas. • ¿Qué piensas acerca de la tabla presentada atendiendo su la relación con el problema planteado? • ¿Te fue fácil identificar las cantidades que deberías de producir? • La aparición del modelo matemático que representa la realidad de los problemas, ¿es una actividad que puedes realizar con facilidad?, ¿por qué? • ¿Podrías identificar cuáles competencias hemos contribuido a desarrollar con las actividades planteadas?

Actividades extra clase 1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales. a) 2x = x – 11 b) 3y - 25 = y – 5 c) 3x + 9 = 12x + 6 d) x – 2 + 5x = 3x + x + 14 e) 7x – 34x – 40x – 65x = 35x + 11x – 274 2. Resuelve las siguientes situaciones. a) En tres taquerías se venden en total 897 tacos diarios. La primera taquería vende 50 tacos más que la segunda y 150 más que la tercera, ¿cuántos tacos vende cada taquería? b) La edad de Federico es el doble de la que tiene Ricardo, ambas edades suman 48 años. Halla la edad de cada uno. c) La suma de las edades de Francisco, Ramón y Raúl, es 93 años. La edad de Francisco es doble que la de Ramón y 3 años mayor que Raúl. Encuentra las edades. 3. Grafica las funciones lineales e identifica los parámetros de m y b. a) y = x + 9 b) y = 4x + 4 c) y = 6x – 18 d) y = 2x + 21 4. Resolver gráficamente el sistema de ecuaciones de 2 x 2. x+y=3 x – y = –1 2x + 3y = 6 4x + 6y = 2 x = 8 – 2y x + 2y = 4 2x + y = 1 3x + 4y = 14

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5. Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales de 2x2 por el procedimiento de reducción, sustitución e igualación. x – 2y = 9 2x + y = 3 2x + 2y = –6 x–y=9 2x – 3y – –4 3x + y = 5 6. Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2, por determinantes. 3x + y = 2 x – 3y = 14 2x + 2y = –6 x–y=9 2x – y = 5 x – 2y = 10 7. Resuelve los siguientes problemas a) La compañía telefónica A tiene un plan que cuesta $200 al mes más $1 por cada minuto de tiempo aire; mientras que la compañía B hace un cargo de $500 mensuales más 40 centavos por cada minuto x de tiempo aire. ¿En qué momento el costo y es igual en ambas compañías? b) Una compañía de cable hace un cargo de $350 por la instalación inicial más $200 al mes. Otra cobra $200 por la instalación inicial más $350 al mes. ¿Al final de qué mes el costo será el mismo en las dos compañías? c) La oferta de y sobre cierto producto está dada por la ecuación y = 3x + 8, donde x es el número de días transcurridos. Si la demanda está dada por y = 4x, ¿en cuántos días la oferta igualará a la demanda? d) Una compañía tiene 12 de sus productos en existencia. Además, fabrica 3 más cada día. Si la demanda del producto es de 7 por día, ¿en cuántos días la oferta igualará a la demanda? 8. Resuelve el siguiente conjunto de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas por los métodos: algebraico y determinantes. x + y + 6z = 3 x + y + 3z = 3 x + 2y + 4z = 7 x+y+z=2 2x – 3y + 2z = 4 4x + y – 3z = 1 x+y+z=4 –x – 2y + 3z = 17 2x – y = 7 x + 2y – z = –2 x+z=0 2x – y – z = –3

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9. Resuelve los siguientes problemas. a) Tres amigos han gastado cierta cantidad de dinero en un restaurante. La suma del gasto del primero con el segundo es de $20 más que el gasto del tercero. La suma del gasto del primero y del tercero es de $60 más que el del segundo, por último, el segundo y el tercero gastaron juntos $100 más que el primero. ¿Cuánto gastó cada uno? b) Rosa, Martha y María compiten en un torneo en el que deben correr, nadar y andar en bicicleta determinadas distancias. La rapidez promedio de cada una aparece en la siguiente tabla. c) Rapidez promedio (mi/h) Carrera

Natación

Ciclismo

Rosa

10

4

20

Martha

7.5

6

15

María

15

3

40

d) María llega primero con un tiempo total de 1.75 horas; Rosa llega en segundo lugar, con un tiempo de 2.5 horas y Martha llega al último con un tiempo de 3 horas. Calcula la distancia de cada parte de la competencia. e) En una fábrica hay tres máquinas m1, m2 y m3, para pulir lentes; cuándo las tres máquinas están en operación, se pueden pulir 5 850 lentes en una semana. Cuándo están en operación m1 y m2 únicamente se pueden pulir 4 200 lentes a la semana. En cambio, cuándo solo trabajan m1 y m3, se pulen 3 450 lentes a la semana. ¿Cuántos lentes puede pulir cada máquina en una semana? Es el momento de reflexionar acerca de lo que hemos logrado en el problema 3. • ¿Te fue fácil entender el problema y encontrar el modelo matemático? • ¿En qué aspecto tuviste mayor dificultad al resolver el modelo matemático? • ¿Crees que es común encontrar situaciones de la vida cotidiana para desarrollar un modelo matemático?, ¿por qué? • ¿Cómo fue tu desempeño en el trabajo individual? • Describe brevemente el procedimiento que seguiste para encontrar la solución del problema.

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6.1 PROBLEMAS ADICIONALES DE APLICACIÓN 1

Resolver problemas de movimiento.

2

Resolver problemas de mezclas.

En esta sección analizaremos dos tipos adicionales de problemas de aplicación: problemas de movimiento y de mezcla. Los hemos colocado en la misma sección porque se resuelven utilizando procedimientos similares.

1

Resolver problemas de movimiento Una fórmula con muchas aplicaciones útiles es cantidad velocidad tiempo

La “cantidad” en esta fórmula puede ser una medida de muchas cantidades diferentes, dependiendo de la tasa de cambio (o velocidad). Por ejemplo, si la tasa se mide en distancia por unidad de tiempo, la cantidad será la distancia. Si la tasa se mide en volumen por unidad de tiempo, la cantidad será volumen, etcétera. Cuando aplique esta fórmula, asegúrese de que las unidades son consistentes. Por ejemplo, cuando hablamos acerca de una copiadora, si la velocidad está dada en copias por minuto, el tiempo debe estar dado en minutos. Los problemas que pueden resolverse con esta fórmula se denominan problemas de movimiento, ya que incluyen movimiento, a una tasa constante, durante cierto periodo. Una enfermera que aplica a su paciente un suero vía intravenosa puede utilizar esta fórmula para determinar la tasa de goteo del fluido que está siendo inyectado. Una compañía de perforación de pozos petroleros o de agua puede emplear esta fórmula para determinar la cantidad de tiempo necesaria para alcanzar su meta. Cuando la fórmula de movimiento se utiliza para calcular distancia, la palabra cantidad se reemplaza con el término distancia, y la fórmula se denomina fórmula de distancia. La fórmula de distancia es distancia velocidad · tiempo o d = rt

Cuando un problema de movimiento tiene dos velocidades diferentes, con frecuencia es útil poner la información en una tabla para analizar mejor la situación.

EJEMPLO 1 34.5 mph 20.2 mph 100 millas

FIGURA 6.1

Barcos en el mar El portaviones USS John F Kennedy y el submarino nuclear USS Memphis partieron al mismo tiempo de la estación naval Puget Sound, y se dirigieron al mismo destino en el océano Índico. El portaviones viaja a su velocidad máxima, 34.5 millas por hora, y el submarino se mueve sumergido a su velocidad máxima, 20.2 millas por hora. Estos vehículos mantienen la velocidad durante cierto tiempo, hasta que se encuentran a 100 millas de distancia uno del otro; en ese momento, reciben nuevas instrucciones de la base naval. ¿Cuánto tiempo pasará para que el portaviones y el submarino estén separados 100 millas? (Vea la figura 6.1)

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Solución

Entienda el problema Deseamos determinar cuánto tiempo pasa hasta que ambos vehículos están separados por una distancia de 100 millas. Para resolver este problema, usaremos la fórmula de distancia, d vt. Cuando presentamos el procedimiento para resolver problemas, indicamos que, a veces, colocar la información en una tabla puede ayudarnos a comprender el problema, y eso es lo que haremos a continuación. Sea t tiempo.

Velocidad

Traduzca

Tiempo

Distancia

Portaviones

34.5

t

34.5t

Submarino

20.2

t

20.2t

Los vehículos están separados por una distancia de 100 millas. Por lo

tanto,

distancia del portaviones distancia del submarino 100 34.5t - 20.2t = 100 14.3t = 100

Realice los cálculos

t L 6.99 Escuela

Casa

Pedro 4 mph

Juan 6 mph

Juan llega a casa 1/2 hora antes que Pedro

El portaviones y el submarino estarán separados entre sí por una distancia de 100 millas cuando hayan transcurrido alrededor de 7 horas. ✺

Responda

EJEMPLO 2

Corriendo a casa Para estar en forma para la próxima carrera de la temporada, Juan y Pedro Santiago corren a casa después de la escuela. Juan corre a una velocidad de 6 mph y Pedro corre a 4 mph. Cuando salen de la misma es1 cuela al mismo tiempo, Juan llega a casa 2 hora antes que Pedro. Vea la figura 6.2. a) ¿Cuánto tiempo le toma a Pedro llegar a casa?

FIGURA 6.2

b) ¿A qué distancia viven Juan y Pedro de la escuela?

Solución

a) Entienda el problema Ambos niños correrán la misma distancia; sin embargo, como Juan corre más rápido que Pedro, el tiempo de Juan será menor que el de Pedro 1 por 2 hora.

sea t tiempo de Pedro para llegar a casa entonces t -

1 = Tiempo de Juan para llegar a casa 2

Corredor Pedro Juan

Velocidad

Tiempo

Distancia

4

t

4t

6

t -

1 2

6At -

1 2

B

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Cuando los niños llegan a casa, ambos han corrido la misma distancia desde la escuela. De modo que

Traduzca

distancia de Pedro = distancia de Juan 1 4t = 6at - b 2 4t = 6t - 3 -2t = - 3 3 t = 2


Pedro llegará a casa en 1.5 horas. b) La distancia puede determinarse usando la velocidad y el tiempo de Pedro o de Juan. Multiplicaremos la velocidad de Pedro por el tiempo de Pedro para determinar la distancia.

Responda

3 12 d = rt = 4a b = = 6 millas 2 2

✺

Por lo tanto, Juan y Pedro viven a 6 millas de su escuela.

En el ejemplo 2, ¿cambiaría la respuesta si representáramos con t el tiempo que corre Juan, en lugar del tiempo que corre Pedro? Inténtelo y determine la respuesta.

EJEMPLO 3

Producción de jugo Una máquina llena botellas con jugo y las sella. La máquina puede trabajar a dos velocidades diferentes; a la velocidad más rápida, la máquina llena y sella 600 botellas más por hora que a la velocidad más lenta. La máquina trabaja a la velocidad más lenta durante 4.8 horas, y luego a la velocidad más rápida durante 3.2 horas. Durante estas 8 horas se llenó y selló un total de 25,920 botellas. Determine la tasa de ambas velocidades.

Solución Entienda el problema Este problema menciona un número de botellas, es decir, una cantidad, en lugar de una distancia; sin embargo, utilizaremos un método similar al que ya conocemos para resolverlo: la fórmula cantidad velocidad tiempo. Se nos ha dicho que la máquina puede trabajar a dos velocidades diferentes, y se nos pidió que determináramos esas dos velocidades. Usaremos el dato de que la cantidad de botellas llenadas a la velocidad más lenta más la cantidad de botellas llenadas a la velocidad más rápida es igual a la cantidad total de botellas llenadas. sea r = velocidad más lenta entonces r + 600 = velocidad más rápida

Velocidad más lenta Velocidad más rápida

Velocidad

Tiempo

Cantidad

r

4.8

4.8r

r + 600

3.2

3.21r + 6002

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Traduzca cantidad de botellas llenadas a la velocidad másamount lenta filled cantidad de botellas a la velocidad más rápida at slower ratellenadas + amount filled at faster rate = 25,920

4.8r

4.8r

+

Carry Out Realice los cálculos

3.21r + 6002 = 4.8r + 3.2r + 1920 = 8r + 1920 = 8r = r =

25,920 25,920 25,920 24,000 3000

Responda A la velocidad más lenta se llenan 3000 botellas por hora. La velocidad más rápida es r 600 o 3000 600 3600 botellas por hora. ✺

2

Resolver problemas de mezclas Cualquier problema en donde dos o más cantidades se combinan para producir una cantidad diferente, o en donde una cantidad simple se divide en dos o más cantidades diferentes, puede considerarse un problema de mezcla. Igual que cuando trabajamos con problemas de movimiento, usaremos tablas para ayudar a organizar la información. Los ejemplos 4 y 5 son problemas de mezcla que incluyen dinero.

EJEMPLO 4

Dos inversiones Bernardo Sepúlveda vendió su bote en $15,000, y le prestó una parte de ese dinero a su amiga Elena Cárdenas. El préstamo fue por 1 año, con una tasa de interés simple de 4.5%. Bernardo invirtió el resto del dinero en una cuenta de ahorro que producía 3.75% de interés simple. Un año más tarde, mientras calculaba sus impuestos, Bernardo determinó que había ganado un total de $637.50 por las dos inversiones, pero no podía recordar cuánto dinero le había prestado a Elena. Determine la cantidad que Bernardo le prestó a Elena.

Solución

Entienda el problema y traduzca Para resolver este problema usaremos la fórmula para calcular el interés simple: interés capital tasa tiempo. Sabemos que parte de la inversión produjo 4.5% y el resto 3.75% de interés simple; se nos pide determinar la cantidad que Bernardo prestó a Elena.

sea p cantidad prestada a Elena a 4.5% entonces 15,000 p cantidad invertida a 3.75% Observe que la suma de las dos cantidades es igual a la cantidad total invertida, $15,000. Determinaremos cuánto se le prestó a Elena con la ayuda de una tabla.

Inversión

Capital

Tasa

Tiempo

Interés

Préstamo a Elena

p

0.045

1

0.045p

Cuenta de ahorro

15,000 - p

0.0375

1

0.0375115,000 - p2

Como el interés total producido es igual a $637.50, escribimos:

interés del préstamo a 4.5% + interés de la cuenta a 3.75% = 0.0375115,000 - p2 0.045p + =

interés total 637.50

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0.045p + 0.0375115,000 - p2 0.045p + 562.50 - 0.0375p 0.0075p + 562.50 0.0075p p

= = = = =

637.50 637.50 637.50 75 10,000

Responda Por lo tanto, el préstamo fue de $10,000, y $15,000 p o $15,000 $10,000 $5000 fue lo que Bernardo invirtió en la cuenta de ahorro. ✺

EJEMPLO 5

Solución

Comida rápida Mateo tiene un puesto de comida rápida; en él, vende cada hamburguesa a $2.00, y cada salchicha a $2.25. Si la venta total del día fue de $585.50 y se vendieron 278 productos, ¿cuántos de cada uno se vendieron? Entienda el problema y traduzca

Se nos pide determinar el número de ham-

burguesas y de salchichas vendidas.

sea x número de hamburguesas vendidas entonces 278 x número de salchichas vendidas

Producto

Costo del producto Número de productos

Venta total

Hamburguesas

2.00

x

2.00x

Salchichas

2.25

278 - x

2.251278 - x2

venta total de hamburguesas venta total de salchichas venta total 2.00x + 2.251278 - x2 = 585.50 Realice los cálculos

Responda

2.00x + 625.50 - 2.25x = 585.50 -0.25x + 625.50 = 585.50 -0.25x = - 40 - 40 x = = 160 -0.25

Por lo tanto, se vendieron 160 hamburguesas y 278 160 118 sal-

✺

chichas.

En el ejemplo 5 podríamos haber multiplicado ambos lados de la ecuación por 100 para eliminar los números decimales, y luego resolver la ecuación. El ejemplo 6 es un problema de mezcla que incluye la mezcla de dos soluciones.

EJEMPLO 6

Solución

Mezcla de medicamentos Javier Reynosa, un químico, tiene dos soluciones de citrato de litio, con concentraciones de 6% y 15%, y desea obtener 0.5 litros de una solución de citrato de litio con concentración de 8%. ¿Qué cantidad de cada solución debe utilizar en la mezcla? Entienda el problema y traduzca

Se nos pide determinar la cantidad de cada so-

lución necesaria para la mezcla.

sea x número de litros de solución al 6% entonces 0.5 x número de litros de solución al 15% La cantidad de citrato de litio en una solución se determina multiplicando el porcentaje de citrato de litio en la solución por el volumen de la misma. Haremos un bosquejo gráfico del problema (vea la figura 6.3), y luego organizaremos los datos en una tabla.

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Solución 1

Número de litros

FIGURA 6.3

x

Porcentaje de concentración

Solución 2

0.5 x

6%

Mezcla

0.5

15%

8%

Solución

Concentración de la solución

Número de litros

Cantidad de citrato de litio

1

0.06

x

0.06x

2

0.15

0.5 - x

0.1510.5 - x2

Mezcla

0.08

0.5

0.0810.52

cantidad de £ citrato de litio en ≥ + la solución al 6% 0.06x Realice los cálculos

+

cantidad de cantidad de citrato de litio £ citrato de litio en ≥ = ¢ ≤ en la mezcla la solución al 15% 0.1510.5 - x2

=

0.06x + 0.1510.5 - x2 0.06x + 0.075 - 0.15x 0.075 - 0.09x -0.09x

= = = =

0.0810.52

0.0810.52 0.04 0.04 - 0.035 redondeo

x =

- 0.035 = 0.39 £ al centésimo ≥ -0.09 más cercano

Jaime debe mezclar 0.39 litros de la solución con concentración de 6% y 0.5 x o 0.5 0.39 0.11 litros de la solución con concentración de 15% para obtener 0.5 litros de una solución con concentración de 8%. ✺

6.2 LA PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA SUMA 1 2 3 4 5

1

Identificar ecuaciones lineales. Comprobar las soluciones de las ecuaciones. Identificar ecuaciones equivalentes. Utilizar la propiedad de la suma para resolver ecuaciones. Resolver ecuaciones siguiendo algunos pasos mentalmente.

Identificar ecuaciones lineales Una proposición que muestra la igualdad de dos expresiones algebraicas se denomina ecuación. Por ejemplo, 4x + 3 = 2x - 4 es una ecuación. En este bloque aprenderemos a resolver ecuaciones lineales con una variable.

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DEFINICIÓN

Una ecuación lineal con una variable es una ecuación que se escribe de la siguiente manera: ax + b = c donde a, b y c son números reales, y a Z 0. Ejemplos de ecuaciones lineales x + 4 = 7 2x - 4 = 6

2

Comprobar las soluciones de las ecuaciones La solución de una ecuación es el número o números que hacen que ésta sea una proposición verdadera al sustituir la variable o variables; por ejemplo, la solución de x + 4 = 7 es 3. En breve aprenderemos a encontrar la solución de una ecuación, es decir, a resolver una ecuación; pero antes, aprenderemos a comprobar la solución de una ecuación. La solución de una ecuación se comprueba sustituyendo en la ecuación original lo que pensamos es la solución. Si la sustitución genera una proposición verdadera, la solución es correcta; si da lugar a una proposición falsa, entonces la solución o la comprobación son incorrectas, y es necesario regresar para encontrar el error. Trate de comprobar todas sus soluciones, esto mejorará su habilidad con la aritmética y el álgebra. Cuando se demuestre la comprobación de una solución, debe usar la nota? ción =. Ésta se emplea al preguntar si una proposición es verdadera. Por ejemplo, si se usa ?

2 + 3 = 2132 - 1 ¿2 + 3 = 2132 - 1 es verdadero? Para comprobar si 3 es la solución de x 4 7, sustituimos con 3 cada x de la ecuación. Comprobación:

x = 3 x + 4 = 7 ? 3 + 4 = 7 7 = 7

Verdadero.

Como la comprobación da lugar a una proposición verdadera, 3 sí es la solución.

EJEMPLO 1 Considere la ecuación 2x - 4 = 6. Determine si su solución es 3. Solución Para determinar si 3 es la solución de la ecuación, sustituimos con 3 cada x. Comprobación:

x = 3 2x - 4 = ? 2132 - 4 = ? 6 - 4 = 2 =

6 6 6 6

Falso.

Como obtuvimos una proposición que es falsa, 3 no es la solución de la ecuación. ✺

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Ahora veremos si 5 es la solución de la ecuación del ejemplo 1. La comprobación debe demostrar que 5 sí es la solución. Como veremos en los ejemplos 2 y 3, para comprobar ecuaciones más complejas utilizamos los mismos procedimientos.

EJEMPLO 2 Determine si 18 es la solución de la siguiente ecuación. 3x - 21x + 32 = 12

Solución Para determinar si 18 es la solución, sustituimos con 18 cada x de la ecuación. Si la sustitución genera una proposición correcta, entonces 18 es la solución. Comprobación:

x = 18 3x - 21x + 32 = 12 ?

31182 - 2118 + 32 = 12 ?

31182 - 21212 = 12 ?

54 - 42 = 12 12 = 12

Verdadero.

Como se obtuvo una proposición verdadera, 18 sí es la solución.

✺

3 2

EJEMPLO 3 Determine si - es la solución de la siguiente ecuación. 31n + 32 = 6 + n 3 2

Solución En esta ecuación la variable es n. Sustituimos con - cada n de la ecuación. Comprobación:

n = -

3 2 31n + 32 = 6 + n 3a -

3 3 ? + 3b = 6 + a - b 2 2

3a -

3 6 ? 12 3 + b = 2 2 2 2 3 ? 9 3a b = 2 2 9 9 = 2 2

Por lo tanto, -

3 es la solución. 2

Verdadero.

✺

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3

Identificar ecuaciones equivalentes

Lado izquierdo de la ecuación

FIGURA 6.4

Lado derecho de la ecuación

Ahora que se sabemos cómo comprobar la solución de una ecuación, estudiaremos cómo resolverlas. En breve presentaremos los procedimientos completos para solucionarlas, pero por ahora debemos comprender que para resolver una ecuación, es necesario aislar la variable de un lado del signo de igualdad. Esto se conoce como despejar la variable. Para despejar la variable hacemos uso de dos propiedades: la de igualdad de la suma y para la multiplicación. Observe la figura 6.4. Piense en una ecuación como una proposición balanceada cuyo lado izquierdo se equilibra con el derecho. Es decir, ambos lados siempre deben permanecer iguales. Se garantiza que una ecuación siempre permanezca igual si se hace lo mismo en sus dos lados. Por ejemplo, si sumamos un número en el lado izquierdo de la ecuación, debemos sumar exactamente el mismo número en el lado derecho. Si multiplicamos el lado derecho de la ecuación por cierto número, debemos multiplicar el lado izquierdo por el mismo número. Al sumar el mismo número en ambos lados de una ecuación, o multiplicar por el mismo número distinto de cero, no cambia la solución de la ecuación, sólo la forma. A dos o más ecuaciones con la misma solución se les denomina ecuaciones equivalentes. Las ecuaciones 2x - 4 = 2, 2x = 6 y x = 3, son equivalentes, ya que la solución de cada una es 3.

Comprobación:

x = 3

2x - 4 = 2 ? 2132 - 4 = 2 ? 6 - 4 = 2 2 = 2

x = 3 3 = 3

2x = 6 ? 2132 = 6 6 = 6

Verdadero.

Verdadero.

Verdadero.

Al resolver una ecuación, empleamos las propiedades de la suma y la multiplicación para expresar una ecuación dada como ecuaciones equivalentes más sencillas, hasta obtener la solución.

4

Utilizar la propiedad de la suma para resolver ecuaciones Ahora, estamos listos para definir la propiedad de igualdad de la suma. Propiedad de igualdad de la suma Si a b, entonces a c b c, para cualesquiera números reales a, b y c.

Esta propiedad nos permite sumar el mismo número en ambos lados de una ecuación sin cambiar la solución. La propiedad de la suma se utiliza para resolver ecuaciones de la forma x a b. Para despejar la variable x en estas ecuaciones, sumamos el opuesto o inverso aditivo de a, a, en ambos lados de la ecuación. Para despejar la variable cuando resolvemos ecuaciones de la forma x a b, usamos la propiedad de la suma para eliminar el número en el mismo lado del signo de igualdad en el que está la variable. Estudie con cuidado los ejemplos que se muestran a continuación.

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Para resolver, se usa la propiedad de la suma para eliminar el número

Ecuación x + 8 x - 7 5 -4

= = = =

10 12 x - 12 x + 9

8 -7 -12 9

Ahora, resolveremos algunos ejemplos.

EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación x - 4 = - 3. Solución Para despejar la variable, x, debe eliminarse el 4 del lado izquierdo de la ecua-

ción. Para hacer esto, sumamos 4, que es el opuesto de 4, en ambos lados de la ecuación. x - 4 = -3 x - 4 + 4 = - 3 + 4 Sumar 4 en ambos lados. x + 0 = 1 x = 1 Observe cómo ayuda el proceso a despejar x. x - 4 = -3 Comprobación: ? 1 - 4 = -3 - 3 = - 3 Verdadero.

✺

En el ejemplo 5, no se hará la comprobación. Limitaciones de espacio impiden que se hagan todas las comprobaciones. Sin embargo, usted debe comprobar todas sus respuestas.

EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación x + 5 = 9. Solución Para resolver esta ecuación, debemos despejarse la variable x. Por tanto, es necesario eliminar el 5 del lado izquierdo de la ecuación. Para hacerlo, sumamos 5, opuesto de 5, en ambos lados. x + 5 = 9

x + 5 + 1-52 = 9 + 1-52

Sumar 5 en ambos lados.

x + 0 = 4

✺

x = 4

En el ejemplo 5, sumamos 5 en ambos lados de la ecuación. Sabemos que 5 (5) 5 5. Por lo tanto, observamos que sumar un 5 negativo en ambos lados de la ecuación equivale a restar 5 de ambos lados. De acuerdo con la propiedad de la suma, es posible sumar el mismo número en ambos lados de una ecuación. Como la resta se define en términos de la suma, la propiedad de la suma también permite restar el mismo número en ambos lados de la ecuación. Así, el ejemplo 5 hubiera podido resolverse como sigue: x + 5 = 9 x + 5 - 5 = 9 - 5 x + 0 = 4 x = 4

Restar 5 en ambos lados.

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En este texto, a menos que haya una razón específica para hacer lo contrario, restaremos un número en ambos lados de la ecuación en vez de sumar uno negativo.

EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación k + 7 = - 3. Solución Debe despejarse la variable k. k + 7 = -3 k + 7 - 7 = -3 - 7


k + 0 = - 10 k = - 10 k + 7 = -3

Comprobación:

?

-10 + 7 = -3 -3 = - 3

SUGERENCIA

ECUACIÓN

DEBE ELIMINARSE

✺

Verdadero.

Recuerde que la meta al resolver una ecuación es dejar a la variable sola en un lado de la ecuación. Para ello, sumamos o restamos en ambos lados de la ecuación el número que se encuentra del mismo lado de la variable. NÚMERO POR SUMAR (O RESTAR) EN (O DE) AMBOS LADOS

RESULTADOS

DE LA ECUACIÓN

CORRECTOS

SOLUCIÓN

-5

Sumar 5

x - 5 + 5 = 8 + 5

x = 13

x - 3 = - 12

-3

Sumar 3

x - 3 + 3 = - 12 + 3

x = -9

2 = x - 7

-7

Sumar 7

x - 5 = 8

x + 12 = - 5

2 + 7 = x - 7 + 7 x + 12 - 12 = - 5 - 12

9 = xox = 9 x = - 17

+ 12

Restar 12

6 = x + 4

+4

Restar 4

6 - 4 = x + 4 - 4

2 = xox = 2

13 = x + 9

+9

Restar 9

13 - 9 = x + 9 - 9

4 = xox = 4

Observe la columna de Resultados correctos; cuando la ecuación se simplifica con la reducción de términos, la x quedará despejada debido a que la suma de un número con su opuesto es igual a 0, y x 0 es igual a x.

EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación 6 = x - 9. Solución La variable x está en el lado derecho de la ecuación. Para despejarla debe eliminarse el 9 del mismo lado. Esto se lleva a cabo sumando 9 en ambos lados. 6 6 + 9 15 15

= = = =

x - 9 x - 9 + 9 x + 0 x

Por tanto, la solución es 15.


✺

EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación -6.25 = y + 12.78. Solución La variable se encuentra en el lado derecho de la ecuación. Para despejarla, restamos 12.78 de ambos lados.

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-6.25 -6.25 - 12.78 -19.03 -19.03

= = = =

y + 12.78 y + 12.78 - 12.78 y + 0 y

Restar 12.78 en ambos lados.

✺

La solución es -19.03. CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

Al resolver una ecuación, la meta es dejar a la variable sola en un lado del signo de igualdad. Considere la ecuación x + 3 = - 4. ¿Cómo se resuelve? CORRECTO Se elimina el 3 del lado derecho de la ecuación.

INCORRECTO Se elimina el 4 del lado derecho de la ecuación.

x + 3 = -4 x + 3 - 3 = -4 - 3 x = -7

x + 3 = -4 x + 3 + 4 = -4 + 4 x()* + 7 = 0

La variable ya está despejada.

La variable no está despejada.

No olvide utilizar la propiedad de la suma para eliminar el número que está en el mismo lado de la ecuación en el que se encuentra la variable.

5

Resolver ecuaciones siguiendo algunos pasos mentalmente Considere los siguientes problemas. x - 5 = 12 15 = x + 3 b) x - 5 + 5 = 12 + 5 15 - 3 = x + 3 - 3 x + 0 = 12 + 5 15 - 3 = x + 0 x = 17 12 = x Observe que el número que está en el mismo lado del signo de igualdad que la variable se transfiere al lado opuesto cuando se aplica la propiedad de la suma. Asimismo, note que el signo del número cambia cuando éste pasa de un lado al otro. Una vez que sienta confianza al emplear la propiedad de igualdad de la suma, tal vez querrá efectuar algunos de los pasos mentalmente a fin de disminuir el trabajo escrito; por ejemplo, los dos problemas anteriores pueden abreviarse como sigue: a)

FORMA

a)

x - 5 x - 5 + 5 x x

= = = =

12 12 + 5 12 + 5 17

Hacer esto en forma mental

x - 5 = 12 x = 12 + 5 x = 17 FORMA

b)

15 15 - 3 15 - 3 12

= = = =

x + 3 x + 3 - 3 x x

Hacer esto en forma mental

ABREVIADA

ABREVIADA

15 = x + 3 15 - 3 = x 12 = x

Solución de problemas 1. ¿Piensa que la ecuación x + 1 = x + 2 tiene un número real como solución? Explique su respuesta.

2. ¿Piensa que la ecuación x + 4 = x + 4 tiene más de un número real como solución? Si así fuera, ¿cuántos tiene? Explique su respuesta.

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6.3 LA PROPIEDAD DE IGUALDAD DE LA MULTIPLICACIÓN 1 2 3 4

1

Identificar los recíprocos. Utilizar la propiedad de la multiplicación para resolver ecuaciones. Resolver ecuaciones de la forma - x = a. Ejecutar mentalmente algunos pasos para resolver ecuaciones.

Identificar los recíprocos El recíproco (o inverso multiplicativo) de un número. Recuerde que dos números son recíprocos uno del otro si su producto es igual a 1. A continuación presentamos algunos ejemplos de números y sus recíprocos. Número 2 3 5 -1

-

Recíproco

Producto

1 2 5 3 -1

1 122a b = 1 2 3 5 a- ba- b = 1 5 3 1-121 -12 = 1

El recíproco de un número positivo es otro número positivo, y el recíproco de uno negativo es otro negativo. Observe que el 0 no tiene recíproco, ¿por qué? 1 En general, si a representa un número distinto de cero, su recíproco es . a 1 1 1 3 Por ejemplo, el recíproco de 3 es , y el de 2 es o - . El recíproco de - es 3 -2 2 5 1 3 1 5 5 , que se escribe como 1 , a - b. Se simplifica y queda a b a - b = - . 5 1 3 3 3 5 3 5 Por tanto, el recíproco de - es - . 5 3

2

Utilizar la propiedad de la multiplicación para resolver ecuaciones Empleamos la propiedad de igualdad de la suma para resolver ecuaciones de la forma x + a = b, donde a y b representan números reales. En esta sección utilizaremos la propiedad de igualdad de la multiplicación para solucionar ecuaciones de la forma ax = b, donde a y b representan números reales. Es importante que advierta la diferencia que existe entre ecuaciones como x + 2 = 8 y 2x = 8. En x + 2 = 8, el 2 es un término que se suma a la x, por lo que se usa la propiedad de la suma para resolver la ecuación. En 2x = 8, el 2 es un factor de 2x. El 2 es el coeficiente que multiplica a la x, por lo que para solucionar la ecuación se emplea la propiedad de la multiplicación. La propiedad de igualdad de la multiplicación se utiliza para resolver ecuaciones lineales en las que el coeficiente del término en x es un número diferente de 1. A continuación se enuncia la propiedad de igualdad de la multiplicación. Propiedad de igualdad de la multiplicación Si a b, entonces a # c = b # c, para cualesquiera números reales a, b y c.

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La propiedad de la multiplicación significa que es posible multiplicar ambos lados de una ecuación por un mismo número distinto de cero sin cambiar la solución. La propiedad de la multiplicación puede utilizarse para resolver ecuaciones de la forma ax b. Es posible despejar la variable de ecuaciones que tengan esa forma multiplicando ambos lados por el recíproco de a, que es a1 . Con ello, el coeficiente numérico de la variable, x, es 1, que podemos omitir al escribir la variable. Con este proceso decimos que eliminamos el coeficiente de la variable. Para resolver, utilice la propiedad de la multiplicación para eliminar el coeficiente

Ecuación 4x = 9 -5 x = 20 1 15 = x 2 7 = -9 x

4 -5 1 2 -9

A continuación se resolverán algunos ejemplos.

EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación 3x = 6. Solución Para despejar la variable, x, debe eliminarse el 3 del lado izquierdo de la ecuación; por lo que multiplicamos ambos lados por el recíproco de 3, que es 13 . 3x = 6 1# 1# 3x = 6 3 3 1 # 2 1 # 1 3x = 6 3 3 1

Multiplicar ambos lados por

1 . 3

Dividir los factores comunes.

1

1x = 2 x = 2

✺

En el ejemplo 1, observe que 1x se reemplaza por x en el siguiente paso. Por lo general esto se hace mentalmente.

EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación Solución

x = 4. 2

Como dividir entre 2 es lo mismo que multiplicar por 12 , la ecuación misma que 12x = 4. Por tanto, se multiplican ambos lados por el recíproco de 12 , que es 2.

x 2

= 4 es la

x = 4 2 2a 1

x b = 2 #4 2

Multiplicar ambos lados por 2.

1

x = 2#4 x = 8

✺

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2 3

EJEMPLO 3 Resuelva la ecuación x = 6. Solución El recíproco de 23 es 32 . Se multiplican ambos lados de la ecuación por 32 . 2 x 3 3#2 x 2 3 1x x

= 6 3# 6 2 = 9 = 9

Multiplicar ambos lados de la ecuación por

=

3 . 2

Se comprobará esta solución. 2 x = 6 3

Comprobación:

2 ? 192 = 6 3 6 = 6

✺

Verdadero. 1 3

En el ejemplo 1, multiplicamos ambos lados de la ecuación 3x = 6 por para despejar la variable. También podríamos haber despejado la variable dividiendo ambos lados entre 3, como sigue: 3x = 6 1

2

3x

6 =

3

3

1

1

Dividir ambos lados entre 3.

x = 2 Podemos hacerlo ya que dividir entre 3 es equivalente a multiplicar por 13 . Como la división puede definirse en términos de la multiplicación A ba significa a # b1 B , la propiedad de la multiplicación también nos permite dividir ambos lados de la ecuación entre un mismo número distinto de cero. Este procedimiento se ilustra en los ejemplos 4 a 6.

EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación 8w = 3. Solución En esta ecuación la variable es w. Para resolverla, es necesario dividir ambos lados entre 8. 8w = 3 8w 3 = 8 8 3 w = 8


✺

EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación -15 = - 3z. Solución En esta ecuación la variable, z, se encuentra en el lado derecho del signo de igualdad. Para despejar z se dividen ambos lados de la ecuación entre 3. - 15 = - 3z -15 -3z = -3 -3 5 = z


✺

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EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación 0.24x = 1.20. Solución Comenzamos por dividir ambos lados de la ecuación entre 0.24 a fin de despejar la variable x. 0.24x = 1.20 0.24x 1.20 = 0.24 0.24 x = 5

Dividir ambos lados entre 0.24.

✺

Puede ahorrar algo de tiempo si utiliza su calculadora para resolver los problemas que impliquen números decimales.

SUGERENCIA

Al resolver una ecuación de la forma ax = b, la variable puede despejarse con los siguientes pasos: 1 1. Multiplique ambos lados de la ecuación por el recíproco de a, que es , como se a hizo en los ejemplos 1, 2 y 3, o 2. Divida ambos lados de la ecuación entre a, como se efectuó en los ejemplos 4, 5 y 6. Puede utilizar cualquiera de estos métodos para despejar la variable; sin embargo, si la ecuación contiene una o varias fracciones, llegará con mayor rapidez a la solución multiplicando por el recíproco de a. Esto se ilustra en los ejemplos 7 y 8.

3 5

EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación -2x = . Solución Como esta ecuación contiene una fracción, despejaremos la variable multiplicando ambos lados por - 12 , que es el recíproco de 2. - 2x =

3 5

1 1 3 a - b 1-2x2 = a - b a b 2 2 5 1 3 1x = a - b a b 2 5 3 x = 10

1 Multiplicar ambos lados por - . 2

✺

En el ejemplo 7, si quisiera resolver la ecuación dividiendo ambos lados entre 2, tendría que dividir la fracción 35 entre -2. 3 5

EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación - 6 = - x. Solución Como esta ecuación contiene una fracción, despejemos la variable multiplicando ambos lados por el recíproco de - 35 , que es - 53 . 3 -6 = - x 5 5 5 3 a - b 1-62 = a - b a - xb 3 3 5 10 = x

Multiplicar ambos lados por -

5 . 3

✺

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En el ejemplo 8 escribimos la ecuación como -6 = - 35 x. Esta ecuación es equivalente a las ecuaciones - 6 = -53 x y -6 = -35 x. ¿Podría explicar por qué? Las tres ecuaciones tienen la misma solución, 10.

3

Resolver ecuaciones de la forma x a Al resolver una ecuación podríamos obtener una ecuación como x = 7. Ésta no es la solución, puesto que x = 7 significa 1x 7. La solución de una ecuación es de la forma x cierto número. Si una ecuación es de la forma x = 7, se resuelve para x multiplicando ambos lados por 1, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 9 Resuelva la ecuación - x = 7. Solución x = 7 significa que 1x = 7. Pero debe resolverse para x, no para x. Se multi-

plican ambos lados de la ecuación por 1 a fin de despejar x en el lado izquierdo de la ecuación. -x - 1x 1 -1 21 -1x2 1x x

= = = = =

7 7 1 -1 2172 -7 -7


-x = 7

Comprobación:

?

-1-72 = 7 7 = 7

Verdadero.


✺

También podemos resolver el ejemplo 9 dividiendo ambos lados de la ecuación entre 1. Intente hacerlo para ver que obtiene la misma solución. Siempre que tengamos al opuesto (o negativo) de una variable igual a una cantidad, como en el ejemplo 9, podemos despejar la variable multiplicando (o dividiendo) ambos lados de la ecuación por 1.

EJEMPLO 10 Resuelva la ecuación - x = - 5. Solución

SUGERENCIA

-x -1x 1-12 1-1x2 1x x

= = = = =

-5 -5 1-12 1-52 5 5


✺

Para cualquier número real a, si x a, entonces x a. Ejemplos -x = 7 x = -7

-x = - 2

x = - 1- 22 x = 2

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4

Ejecutar mentalmente algunos pasos para resolver ecuaciones Cuando se sienta seguro al utilizar la propiedad de la multiplicación, tal vez quiera hacer algunos de estos pasos mentalmente a fin de reducir el trabajo por escrito. A continuación se presentan dos ejemplos resueltos detalladamente, junto con la forma abreviada.

EJEMPLO 11 Resuelva la ecuación -3x = - 21. Solución

- 3x = - 21 -3x -21 = -3 -3 -21 x = -3 x = 7

FORMA ABREVIADA Hacer esto en forma mental

-3x = - 21 -21 -3 x = 7 x =

✺

1 3

EJEMPLO 12 Resuelva la ecuación x = 9. Solución

1 x = 9 3

FORMA ABREVIADA

1 3a xb = 3192 3 x = 3192 x = 27

1 x = 9 3 x = 3192 x = 27

Hacer esto en Do this forma mental

✺

La propiedad de la suma, y en esta sección la de la multiplicación. Es importante comprender la diferencia entre ambas. Estudie cuidadosamente el siguiente recuadro de Sugerencia.

SUGERENCIA

La propiedad de la suma se utiliza para resolver ecuaciones de la forma x a b. La propiedad de la suma se emplea si un número se suma o resta de una variable. x + 3 = -6

x - 5 = -2

x + 3 - 3 = -6 - 3

x - 5 + 5 = -2 + 5

x = -9

x = 3

La propiedad de la multiplicación se usa para resolver ecuaciones de la forma ax b. Se utiliza cuando una variable se multiplica por o divide entre un número. 3x = 6 3x

6 =

3

3

x = 2

x = 4 2

2 x = 12 5

x 2 a b = 2 142 2

5 2 5 a b a xb = a b 1122 2 5 2

x = 8

x = 30

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Solución de problemas 1. a) Explique la diferencia entre 5 + x = 10 y 5x = 10. b) Resuelva 5 + x = 10. c) Solucione 5x = 10.

2. a) Explique la diferencia entre 3 + x = 6 y 3x = 6. b) Resuelva 3 + x = 6. c) Solucione 3x = 6.

6.4 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE EN UN SOLO LADO DE LA ECUACIÓN 1 2

Solucionar ecuaciones lineales con una variable en un solo lado del signo de igualdad. Resolver ecuaciones que contienen números decimales o fracciones.

1 Solucionar ecuaciones lineales con una variable en un solo lado del signo de igualdad En esta sección estudiaremos cómo resolver ecuaciones lineales empleando las propiedades de igualdad tanto de la suma como de la multiplicación, cuando una variable se encuentra en un solo lado del signo de igualdad. En el bloque 6.5 estudiaremos cómo resolver ecuaciones lineales empleando las dos propiedades cuando una variable aparece en ambos lados del signo de igualdad. El procedimiento general para resolver ecuaciones consiste en despejar la variable. Es decir, dejar a la variable, x, sola de un lado del signo de igualdad. No hay ningún método que sea el mejor para resolver todas las ecuaciones lineales. A continuación damos un procedimiento que puede utilizarse para resolver ecuaciones lineales cuando la variable aparece sólo de un lado de la ecuación. Para resolver ecuaciones lineales con la variable en un lado del signo de igualdad 1. Si la ecuación contiene fracciones, se multiplican ambos lados por el mínimo común denominador (mcd). Esto eliminará las fracciones de la ecuación. 2. Aproveche la propiedad distributiva para eliminar paréntesis. 3. Reduzca los términos semejantes que estén en el mismo lado del signo de igualdad. 4. Emplee la propiedad de la suma para obtener una ecuación con todos los términos que contienen a la variable de un lado del signo de igualdad, y una constante en el otro lado. Esto producirá una ecuación de la forma ax = b. 5. Utilice la propiedad de la multiplicación para despejar la variable. Esto dará una b b solución de la forma x = ao 1x = b . a a 6. Compruebe la solución en la ecuación original.

Al resolver una ecuación siempre debe comprobarse su solución, como se indica en el paso 6. No mostraremos todas las comprobaciones por falta de espacio. Al resolver una ecuación, recuerde que el objetivo es dejar la variable sola de un lado de la ecuación.

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Considere la ecuación 2x 4 10, que no contiene fracciones ni paréntesis, y no existen términos semejantes en el mismo lado del signo de igualdad; por tanto, comenzamos en el paso 4, con el empleo de la propiedad de la suma. Recordemos que ésta permite sumar (o restar) la misma cantidad en (o de) ambos lados de una ecuación sin cambiar la solución. En este caso, restamos 4 de ambos lados para despejar el término que contiene a la variable. Ecuación 2x + 4 = 10 2x + 4 - 4 = 10 - 4 Propiedad de la suma. o bien 2x = 6

Ahora hay que despejar el término con x.

Observe que el término con la variable, 2x, queda solo en un lado del signo de igualdad.Ahora empleamos la propiedad de la multiplicación, paso 5, para despejar la variable x. Recuerde que la propiedad de la multiplicación permite multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número diferente de cero sin cambiar la solución. En este caso dividimos ambos lados entre 2, que es el coeficiente del término con la variable, para obtener la solución, 3. 2x = 6 1

3

2x

6 =

2

2

1

1

x = 3

Propiedad de la multiplicación. x ya está despejada.

La solución a la ecuación 2x 4 10 es 3. A continuación resolveremos algunos ejemplos.

EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación 3x - 6 = 15. Solución Seguiremos el procedimiento que se enunció para resolver ecuaciones. Como la ecuación no contiene fracciones ni paréntesis, y tampoco hay términos semejantes que reducir, comenzaremos en el paso 4. 3x - 6 = 15

Paso 4

3x - 6 + 6 = 15 + 6


3x = 21 3x 21 = 3 3 x = 7

Paso 5

Paso 6

Comprobación:


3x - 6 = 15 ?

3172 - 6 = 15 ?

21 - 6 = 15 15 = 15

Verdadero.

Como la comprobación es verdadera, la solución es 7. Observe que después de realizar el paso 4 obtuvimos 3x 21, que es una ecuación de la forma ax = b. Una vez que concluimos el paso 5, obtenemos la respuesta en la forma x cierto número real. ✺

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SUGERENCIA

Al resolver una ecuación que no contenga fracciones, debe utilizar la propiedad de la suma (paso 4) antes de la de la multiplicación (paso 5). Si utiliza la propiedad de la multiplicación antes de la propiedad de la suma, puede obtener la respuesta correcta; pero por lo general tendrá que trabajar más y podría encontrarse con fracciones. ¿Qué habría pasado si hubiésemos intentado resolver el ejemplo 1 utilizando la propiedad de la multiplicación antes que la de la suma?

EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación -2r - 6 = - 3. Solución

- 2r - 6 = - 3 -2r - 6 + 6 = - 3 + 6

Paso 4


-2r = 3 -2r 3 = -2 -2 3 r = 2

Paso 5

Paso 6 Comprobación:


-2r - 6 = - 3 3 ? - 2a - b - 6 = -3 2 ?

3 - 6 = -3 -3 = -3

Verdadero.

3 La solución es - . 2

✺

Observe que las comprobaciones se realizan siempre con la ecuación original. En algunos de los ejemplos siguientes omitiremos la prueba para ahorrar espacio. Usted debe comprobar todas sus respuestas.

EJEMPLO 3 Resuelva la ecuación 16 = 4x + 6 - 2x. Solución De nuevo debemos despejar la variable x. Como el lado derecho de la ecuación tiene dos términos semejantes que contienen a la variable x, primero se reducirán. 16 = 4x + 6 - 2x Paso 3 Paso 4

Paso 5

16 = 2x + 6 16 - 6 = 2x + 6 - 6 10 = 2x 10 2x = 2 2 5 = x

Reducir términos semejantes. Restar 6 en ambos lados.


La solución anterior se resume como sigue. 16 16 10 5

= = = =

4x + 6 - 2x Se redujeron los términos semejantes. 2x + 6 2x Se restó 6 en ambos lados. x Se dividieron ambos lados entre 2.

✺

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EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación 21x + 42 - 5x = - 3. Solución Paso 2 Paso 3 Paso 4

Paso 5

21x + 42 - 5x 2x + 8 - 5x -3x + 8 - 3x + 8 - 8 -3x

= = = = =

- 3x

-3 -3 -3 -3 - 8 - 11 -11

=

Emplear la propiedad distributiva. Reducir los términos semejantes. Restar 8 en ambos lados.


-3

-3 11 x = 3

✺

La solución del ejemplo 4 se resume como sigue: 21x + 42 - 5x 2x + 8 - 5x - 3x + 8 -3x

-3 -3 -3 - 11 11 x = 3 = = = =

Se utilizó la propiedad distributiva. Se redujeron los términos semejantes. Se restó 8 en ambos lados. Se dividieron ambos lados entre –3.

EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación 2t - 1t + 22 = 6. 2t - 1t + 22 2t - t - 2 t - 2 t

Solución

2

= = = =

6 6 6 8

Se aplicó la propiedad distributiva. Reducción de términos semejantes. Se dividieron ambos lados entre 2.

✺

Resolver ecuaciones que contienen números decimales o fracciones Para hacerlo, seguiremos el mismo procedimiento descrito. El ejemplo 6 ilustra dos métodos para solucionar una ecuación con números decimales.

EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación x + 1.24 - 0.07x = 4.96. Solución Este ejemplo se resolverá empleando dos métodos. En el primero trabajaremos con números decimales durante el proceso de solución. En el segundo, multiplicaremos los dos lados de la ecuación por una potencia de 10 para cambiar los decimales por enteros. Método 1

x + 1.24 - 0.07x = 4.96 0.93x + 1.24 = 4.96 0.93x + 1.24 - 1.24 0.93x 0.93x 0.93 x

Se redujeron los términos semejantes, 1x - 0.07x = 0.93x.

= 4.96 - 1.24 Se resta 1.24 en ambos lados. = 3.72 3.72 Se dividen ambos lados entre 0.93. = 0.93 = 4

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Algunos estudiantes prefieren eliminar los números decimales de la ecuación multiplicando ambos lados por 10 si los decimales están en décimas; por 100, si están en centésimas, y así sucesivamente. Como en el ejemplo 6 los decimales se hallan en centésimas, los eliminaremos multiplicando ambos lados de la ecuación por 100. Este método alterno da como resultado lo siguiente. Método 2

x + 1.24 - 0.07x 1001x + 1.24 - 0.07x2 1001x2 + 10011.242 - 10010.07x2 100x + 124 - 7x 93x + 124 93x x

= = = = = = =

4.96 10014.962 496 496 496 372 4

Multiplicar ambos lados por 100. Propiedad distributiva. Reducir términos semejantes. Se restó 124 en ambos lados. Se dividieron ambos lados entre 93.

Estudie los dos métodos que se dan para que decida cuál prefiere.

✺

A continuación analizaremos la solución de ecuaciones que contienen fracciones. Habrá distintos momentos durante el curso en los que sea necesario resolver ecuaciones que incluyan fracciones. El primer paso para solucionarlas es multiplicar los dos lados por el mcd para eliminar las fracciones. Los ejemplos 7 a 9 ilustran el procedimiento.

EJEMPLO 7 Resolver

x - 3 = 7. 5

Solución El mcd de la fracción en este ejercicio es 5. El paso 1 del procedimiento dice que hay que multiplicar los dos lados de la ecuación por el mcd. Esto eliminará las fracciones de la ecuación. x - 3 = 7 5 Paso 1

5a

x - 3 b = 5 #7 5

Multiplicar ambos lados por el mcd, que es 5.

x - 3 = 35 x = 38

Paso 4

Paso 6

Comprobación:

Se sumó tres en ambos lados.

x - 3 = 7 5 38 - 3 ? = 7 5 35 ? = 7 5 7 = 7


Verdadero.

✺

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x - 3 = 7 también hubiera podido expresarse En el ejemplo 7, la ecuación 5 1 como 1x - 32 = 7. Si la ecuación se hubiera dado de esta forma, habríamos co5 menzado la solución del mismo modo, con la multiplicación de ambos lados por el mcd, que es 5.

EJEMPLO 8 Resolver

d + 3d = 14. 2

Solución El paso 1 dice que es necesario multiplicar los dos lados de la ecuación por el mcd, 2. Esto eliminará las fracciones. 2a

Paso 1

2a

Paso 2

d + 3db = 14 # 2 Multiplicar ambos lados por el mcd, 2. 2

d b + 2 # 3d = 14 # 2 Propiedad distributiva. 2 d + 6d = 28

Paso 3

7d = 28

Se redujeron términos semejantes

Paso 5

d = 4

Se dividieron ambos lados entre 7.

d + 3d = 14 2


4 ? + 3142 = 14 2 ?

2 + 12 = 14 14 = 14 1 5

3 8

EJEMPLO 9 Resolver la ecuación x - x =

Verdadero.

✺

1 10

Solución El mcd de 5, 8 y 10 es 40. Se multiplican ambos lados de la ecuación por 40 para eliminar las fracciones.

Paso 1

Paso 2

Paso 3 Paso 5

1 3 x - x 5 8 1 3 40 a x - xb 5 8 1 3 40a xb - 40a xb 5 8 8x - 15x - 7x

=

1 10

= 40 a

1 b 10 1 = 40a b 10 = 4 = 4

x = -

4 7

Multiplicar los dos lados por el mcd, 40. Propiedad distributiva.

Se redujeron términos semejantes. Se dividieron ambos lados entre 7.

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Sustituir con -

1 3 x - x 5 8 1 4 3 4 a- b - a- b 5 7 8 7 4 3 + 35 14 8 15 + 70 70 7 70

SUGERENCIA

= ?

= ?

= ?

= =

1 10 1 10 1 10 7 70 7 70

4 cada x de la ecuación. 7

4 cada x de la ecuación. 7 Dividir los factores comunes y después multiplicar las fracciones.

Sustituir con -

Escribir cada fracción con el mcd, 70. Verdadero.

✺

En el ejemplo 9, multiplicamos los dos lados de la ecuación por el mcd, que era 40. Al resolver ecuaciones que contienen fracciones, multiplicando ambos lados por cualquier denominador común, eventualmente se llegará a la respuesta correcta (si no se comete ningún error), pero tal vez se tenga que trabajar con números más grandes. En el ejemplo 9, si se hubieran multiplicado ambos lados por 80, 120 o 160, por ejemplo, se habría obtenido la respuesta - 47 eventualmente. Al resolver ecuaciones en las que hay fracciones, deben multiplicarse ambos lados por el mcd. Pero si por error se multiplicaran ambos lados por un denominador común diferente con objeto de eliminar las fracciones, todavía sería posible obtener la respuesta correcta. Para demostrar que pueden emplearse otros denominadores comunes, ahora resuelva el ejemplo 9 con la multiplicación de ambos lados de la ecuación por el denominador común 80, en lugar del mcd 40.

Tal vez quiera comprobar las soluciones de las ecuaciones en las que hay fracciones mediante una calculadora; de ser así, trabaje por separado con cada lado de la ecuación. A continuación se muestran los pasos necesarios para evaluar, empleando una calculadora científica, el lado izquierdo de la ecuación del ejemplo 9, para x = - 47.* 3 1 1 x - x = 5 8 10 1 4 3 4 1 a- b - a- b = 5 7 8 7 10 Evaluar el lado izquierdo de la ecuación 1 , 5 * 4 +> -

, 7 - 3 , 8 * 4 +> - , 7 = 0.1.

Como el lado derecho de la ecuación es 101 = 0.1, la respuesta sí coincide.

SUGERENCIA

Algunos de los términos de uso más común en álgebra son evaluar, simplificar, resolver y comprobar. Asegúrese de entender el significado de cada uno y la situación en que se utilizan. (continúa en la página siguiente)

*Tal vez difiera la secuencia de teclas para diversas calculadoras científicas. Le recomendamos que lea el manual de instrucciones de su calculadora.

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Evaluar:

Evaluar una expresión significa determinar su equivalencia numérica. Evaluar

16 , 2 2 + 36 , 4 = 16 , 4 + 36 , 4 = 4 + 36 , 4 = 4 + 9 = 13

Evaluar

-x2 + 3x - 2 cuando x = 4 = - 4 2 + 3142 - 2 = - 16 + 12 - 2 = -4 - 2 = -6

Simplificar: Simplificar una expresión significa realizar las operaciones y reducir los términos semejantes. Simplificar

31x - 22 - 412x + 32 31x - 22 - 412x + 32 = 3x - 6 - 8x - 12 = - 5x - 18

Observe que al simplificar una expresión que contiene variables, por lo general no se llega a un valor numérico aislado, a menos que todos los términos de la variable sumen cero. Resolver:

Resolver una ecuación significa encontrar el valor o valores de la variable que hacen de la ecuación una proposición verdadera. Resolver

2x + 31x + 12 = 18 2x + 3x + 3 = 18 5x + 3 = 18 5x = 15 x = 3

Comprobación:

Comprobar la solución propuesta de una ecuación consiste en sustituir su valor en la ecuación original. Si esta sustitución da lugar a una proposición verdadera, entonces la respuesta es correcta. Por ejemplo, para comprobar la solución de la ecuación anterior, utilizamos el 3 para sustituir cada x.

Comprobación

2x + 31x + 12 = 18 ?

2132 + 313 + 12 = 18 ?

6 + 3142 = 18 ?

6 + 12 = 18 18 = 18 Verdadero. Como se obtuvo una proposición verdadera, la respuesta es correcta. Es importante darse cuenta que las expresiones se pueden evaluar o simplificar (según el problema) y las ecuaciones se resuelven y después se comprueban.

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Solución de problemas 1. a) Explique por qué es más fácil resolver la ecuación 3x + 2 = 11 si primero se resta 2 en ambos lados, en lugar de dividirlos primero entre 3. b) Resuelva la ecuación.

2. a) Diga por qué es más fácil resolver la ecuación 5x - 3 = 12 si primero se suma 3 en ambos lados, en vez de primero dividirlos entre 5. b) Resuelva la ecuación. 3

6.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES CON LA VARIABLE EN AMBOS LADOS DE LA ECUACIÓN 1 2 3

1

Solucionar ecuaciones con la variable en ambos lados. Solucionar ecuaciones que contienen números decimales o fracciones. Identificar identidades y contradicciones.

Solucionar ecuaciones con la variable en ambos lados La ecuación 4x + 6 = 2x + 4 contiene a la variable x en ambos lados del signo de igualdad. Para resolver ecuaciones de este tipo, deben emplearse las propiedades adecuadas para reescribir la ecuación con todos los términos que contienen a la variable en un solo lado del signo de igualdad, y en el otro lado todos los términos que no contengan a la variable. Esto permitirá despejar la variable, que es el objetivo. A continuación se presenta un procedimiento general, similar al que se dio en la sección 6.4, para resolver ecuaciones lineales en las que aparezca la variable en ambos lados del signo de igualdad. Para resolver ecuaciones lineales con la variable en ambos lados del signo de igualdad 1. Si la ecuación contiene fracciones, multiplique ambos lados por el mínimo común denominador. Esto eliminará las fracciones de la ecuación. 2. Aplique la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. 3. Reduzca los términos semejantes en el mismo lado del signo de igualdad. 4. Utilice la propiedad de la suma para reescribir la ecuación con todos los términos que contienen a la variable en un lado del signo de igualdad, y todos los que no la contengan en el otro. Tal vez sea necesario usar la propiedad de la suma dos veces para lograr lo anterior. En algún momento obtendrá la ecuación de la forma ax = b. 5. Utilice la propiedad de la multiplicación para despejar la variable. Esto dará una solución de la forma x cierto número. 6. Compruebe la solución en la ecuación original.

Los pasos que se enlistan aquí son en esencia los mismos del procedimiento que está en el recuadro de la página 281, excepto porque en el paso 4 quizá sea necesario emplear más de una vez la propiedad de la suma con objeto de obtener una ecuación de la forma ax = b. Recuerde que nuestro objetivo al resolver ecuaciones es despejar la variable, es decir, dejarla sola en un lado de la ecuación. Considere la ecuación 3x + 4 = x + 12, que no contiene fracciones ni paréntesis, y no tiene términos semejantes en el mismo lado del signo de igualdad;

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por tanto, comenzamos con el paso 4, la propiedad de la suma, que aplicaremos dos veces a fin de obtener una ecuación en la que la variable aparezca en un solo lado del signo de igualdad. Comenzamos restando x en ambos lados para que todos los términos que contienen la variable queden en el lado izquierdo. Esto dará lo siguiente: Ecuación 3x + 4 = x + 12 3x - x + 4 = x - x + 12 2x + 4 = 12 o

Propiedad de la suma. La variable aparece sólo en el lado izquierdo del signo de igualdad.

Observe que la variable, x, aparece sólo de un lado de la ecuación. Sin embargo, el 4 todavía está en el mismo lado del signo de igualdad en que está 2x. Emplearemos nuevamente la propiedad de la suma para hacer que el término con la variable quede sólo en un lado de la ecuación. Restando 4 de ambos lados obtenemos 2x 8, que es una ecuación de la forma ax b. Ecuación 2x + 4 = 12 2x + 4 - 4 = 12 - 4 2x = 8

Propiedad de la suma. Ahora, el término con x está despejado.

Ahora que el 2x quedó aislado en un lado de la ecuación, empleamos la propiedad de la multiplicación, paso 5, para despejar la variable x, para lo cual dividimos ambos lados entre 2 y así resolvemos la ecuación. 2x = 8 1

4

2x

8 =

2

2

1

1

x = 4

Propiedad de la multiplicación. La x está despejada.

La solución de la ecuación es 4.

EJEMPLO 1 Resolver la ecuación 4x + 6 = 2x + 4. Solución Recuerde que nuestro objetivo es que todos los términos que contienen la variable queden en un lado del signo de igualdad, y todos los términos que no la contienen se queden del otro lado. Los términos con la variable pueden agruparse en cualquiera de los dos lados del signo de igualdad, así como también podemos utilizar muchos métodos para despejar la variable; aquí ilustraremos dos de estos métodos. En el método 1 dejaremos la variable del lado izquierdo de la ecuación, en el método 2, del lado derecho. En ambos métodos seguiremos los pasos del recuadro de la página 289. Como esta ecuación no contiene fracciones o paréntesis, y no hay términos semejantes en el mismo lado del signo de igualdad, comenzamos con el paso 4. Método 1:

Paso 4

Paso 4

Despejar la variable en el lado izquierdo 4x + 6 = 2x + 4 4x - 2x + 6 = 2x - 2x + 4 Restar 6 en ambos lados. 2x + 6 = 4 2x + 6 - 6 = 4 - 6 2x = - 2


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2x -2 = 2 2

Paso 5


x = -1 Método 2:

Despejar la variable en el lado derecho 4x + 6 = 2x + 4

Paso 4

4x - 4x + 6 = 2x - 4x + 4

Restar 4x en ambos lados.

6 = - 2x + 4 Paso 4

6 - 4 = - 2x + 4 - 4


2 = - 2x 2 -2x = -2 -2

Paso 5

Dividir ambos lados entre –2.

-1 = x Obtenemos la misma respuesta si despejamos la variable del lado izquierdo o del derecho. Sin embargo, con el método 2 es necesario dividir ambos lados de la ecuación entre un número negativo. Paso 6

Comprobación:

4x + 6 = 2x + 4 ?

41- 12 + 6 = 21-12 + 4 ?

-4 + 6 = -2 + 4 2 = 2

✺

Verdadero.

EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación 2x - 3 - 5x = 13 + 4x - 2. Solución Agrupamos los términos que contienen la variable en el lado derecho de la ecuación a fin de producir un coeficiente positivo para x. Como hay términos semejantes en el mismo lado del signo de igualdad, comenzaremos por reducirlos. Paso 3

2x - 3 - 5x = 13 + 4x - 2 - 3x - 3 = 4x + 11

Paso 4

Se reducen los términos semejantes.

- 3x + 3x - 3 = 4x + 3x + 11

Sumar 3x en ambos lados.

- 3 = 7x + 11 Paso 4

- 3 - 11 = 7x + 11 - 11


-14 = 7x Paso 5

-14 7x = 7 7


-2 = x Paso 6

Comprobación:

2x - 3 - 5x = 13 + 4x - 2 21- 22 - 3 - 51-22 13 + 41-22 - 2 ?

-4 - 3 + 10 = 13 - 8 - 2 ?

- 7 + 10 = 5 - 2 3 = 3 Como la comprobación se cumple, la solución es 2.

Verdadero.

✺

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La solución al ejemplo 2 se resume como sigue: 2x - 3 - 5x = 13 + 4x - 2 Se redujeron términos semejantes. - 3x - 3 = 4x + 11 Se sumó 3x en ambos lados. - 3 = 7x + 11 - 14 = 7x Se restó 11 en ambos lados. -2 = x Se dividieron ambos lados entre 7. Resolvimos el ejemplo 2 moviendo los términos con la variable al lado derecho de la ecuación. Ahora, hay que resolver nuevamente el problema, esta vez moviendo los términos con la variable al lado izquierdo. Debe obtener la misma respuesta.

EJEMPLO 3 Resuelva la ecuación 21p + 32 = - 3p + 10. Solución 21p + 32 = - 3p + 10 Paso 2 Paso 4

Paso 4

Paso 5

2p 2p + 3p 5p 5p + 6

+ 6 + 6 + 6 - 6 5p 5p

- 3p + 10 - 3p + 3p + 10 10 10 - 6 4 4 = 5 5 4 p = 5 = = = = =

Se usó la propiedad distributiva. Sumar 3p en ambos lados. Restar 6 en ambos lados.


La solución del ejemplo 4 se resume como sigue: 21p + 32 2p + 6 5p + 6 5p

- 3p + 10 - 3p + 10 Se usó la propiedad distributiva. Se sumó 3p en ambos lados. 10 Se restó 6 en ambos lados. 4 4 p = Se dividieron ambos lados entre 5. 5

SUGERENCIA

= = = =

✺

Después de aplicar la propiedad distributiva en el ejemplo 3, obtuvimos la ecuación 2p + 6 = - 3p + 10. Luego había que decidir si agrupar los términos con la variable en el lado izquierdo o en el derecho del signo de igualdad. Si queremos que la suma de los términos que contienen a la variable sea positiva, usamos la propiedad de la suma para eliminar la variable que tenga el coeficiente numérico más pequeño de un lado de la ecuación. Como 3 es más pequeño que 2, sumamos 3p en ambos lados, lo que eliminó 3p del lado derecho e hizo que la suma de los términos que contienen a la variable quedasen del izquierdo con signo positivo (5p).

EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación 21x - 52 + 3 = 3x + 9. Solución 21x - 52 + 3 = 3x + 9 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 4

2x - 10 + 3 2x - 7 -7 -16

= = = =

3x + 9 3x + 9 x + 9 x

Se empleó la propiedad distributiva. Se redujeron los términos semejantes. Se restó 2x en ambos lados. Se restó 9 en ambos lados.

✺

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EJEMPLO 5 Resolver la ecuación 7 - 2x + 5x = - 21- 3x + 42. Solución 7 - 2x + 5x = - 21-3x + 42 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 4 Paso 5

7 - 2x + 5x 7 + 3x 7 15 5

= = = = =

6x - 8 6x - 8 3x - 8 3x x

Se usó la propiedad distributiva. Se redujeron los términos semejantes. Se restó 3x en ambos lados. Se sumó 8 en ambos lados. Se dividieron ambos lados entre 3.

✺

La solución es 5.

2

Solucionar ecuaciones que contienen números decimales o fracciones Ahora resolveremos una ecuación que contiene números decimales. Como explicamos en la sección anterior, esa clase de ecuaciones se resuelven mediante diversos procedimientos. En la solución del ejemplo 6 se ilustrarán dos de ellos.

EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación 5.74x + 5.42 = 2.24x - 9.28. Solución Método 1 En primer lugar, observe que no hay términos semejantes en el mismo lado del signo de igualdad que pudieran reducirse. Agrupamos en el lado izquierdo los términos que contienen la variable. 5.74x + 5.42 = 2.24x - 9.28 Paso 4

5.74x - 2.24x + 5.42 = 2.24x - 2.24x - 9.28

Restar 2.24x en ambos lados.

3.50x + 5.42 = - 9.28 Paso 4

Paso 5

3.50x + 5.42 - 5.42 = - 9.28 - 5.42 3.50x = - 14.7 3.50x - 14.7 = 3.50 3.50

Restar 5.42 en ambos lados.

Dividir ambos lados entre 3.5.

x = - 4.20 Método 2 En la sección anterior introdujimos un procedimiento para eliminar, de las ecuaciones, números decimales; si están dados en décimas, multiplicamos ambos lados de la ecuación por 10. Si están en centésimas, multiplicamos ambos lados por 100, y así sucesivamente. Como la ecuación de que se trata tiene números en centésimas, multiplicaremos por 100.

5.74x + 5.42 = 2.24x - 9.28 10015.74x + 5.422 = 10012.24x - 9.282

Multiplicar los dos lados por 100.

10015.74x2 + 10015.422 = 10012.24x2 - 10019.282 Propiedad distributiva. 574x + 542 = 224x - 928 Paso 4

574x + 542 - 542 = 224x - 928 - 542


574x = 224x - 1470 Paso 4

574x - 224x = 224x - 224x - 1470 Restar 224x en ambos lados. 350x = - 1470

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- 1470

350x

Paso 5

Dividir los dos lados entre 350.

= 350 350 x = - 4.20

Observe que obtenemos la misma respuesta con cualquier método. Usted puede utilizar el que más le agrade para resolver ecuaciones de este tipo. ✺ Ahora veremos algunas ecuaciones que contienen fracciones en ambos lados del signo de igualdad. 3 4

1 2

1 5

EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación a = a + . Solución

Paso 1 En esta ecuación la variable es a. El mínimo común denominador es 20. Comenzamos multiplicando ambos lados de la ecuación por el mcd.

3 1 1 a = a + 2 4 5 Paso 1

1 3 1 20 a ab = 20 a a + b 2 4 5 10a = 20 a 5

Paso 2

Multiplicar ambos lados por el mcd, 20.

4 3 1 ab + 20 a b 4 5 1


1

10a = 15a + 4 Paso 4

- 5a = 4

Paso 5

a = -

Paso 6

Se restó 15a en ambos lados.

4 5

Comprobación:

Se dividieron ambos lados entre –5.

1 3 1 a = a + 2 4 5 4 ? 3 4 1 1 a- b = a- b + 2 5 4 5 5 -

2 ? 3 1 = - + 5 5 5

-

2 2 = 5 5

4 La solución de la ecuación es - . 5

SUGERENCIA

Verdadero.

✺

a 3a 1 3 1 1 + debiLa ecuación del ejemplo 7, a = a + , hubiera podido darse como = 2 4 5 2 4 5 3a a 3 1 do a que a es lo mismo que , y a lo mismo que . Usted habría resuelto la ecua2 2 4 4 3a 1 a + de la misma forma que la del ejemplo 7. Comenzaría por multiplicar ción = 2 4 5 ambos lados de la ecuación por el mcd, 20.

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EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación

x + 3 = 21x - 22. 4

Solución Comience por multiplicar ambos lados de la ecuación por el mcd, 4. x + 3 = 21x - 22 4 4a

x + 3b = 4 321x - 224 Multiplicar ambos lados por el mcd, 4. 4

x 4a b + 4132 4 x + 12 x + 12 12 28 4

= 4321x - 224 = = = = =

81x - 22 8x - 16 7x - 16 7x x

Propiedad distributiva (se usó en el lado izquierdo).

Propiedad distributiva (se usó en el lado derecho). Se restó x en ambos lados. Se sumó 16 en ambos lados. Se dividieron ambos lados entre 7.

La comprobación mostrará que la solución es 4.

SUGERENCIA

✺

Observe que la ecuación del ejemplo 8 tenía dos términos en el lado izquierdo del sigx no de igualdad, y 3; y sólo un término del lado derecho, 2(x 2). Por tanto, des4 pués de multiplicar los dos lados de la ecuación por 4, el siguiente paso fue utilizar la propiedad distributiva en el lado izquierdo

EJEMPLO 9 Resuelva la ecuación 12x + 32 = 1x - 62 + 4.

1 2 2 3 Observe que esta ecuación contiene un término en el lado izquierdo del signo de igualdad y dos en el derecho.

Solución Se multiplican ambos lados de la ecuación por el mcd, 6. 1 2 12x + 32 = 1x - 62 + 4 2 3 3 1 2 Multiplicar los dos lados por el mcd, 6. 6 # 12x + 32 = 6 c 1x - 62 + 4 d 2 3 2 2 312x + 32 = 6 # 1x - 62 + 6 # 4 Propiedad distributiva (se usó en el lado derecho). 3 6x + 9 = 41x - 62 + 24 Propiedad distributiva (se usó en el lado izquierdo). 6x + 9 = 4x - 24 + 24 Propiedad distributiva (se usó en el lado derecho). 6x + 9 = 4x Se redujeron términos semejantes. 9 = - 2x Se restó 6x en ambos lados. 9 - = x Se dividieron ambos lados entre –2. 2 9 Comprobación: En la ecuación, se sustituye con - cada x. 2 1 2 12x + 32 = 1x - 62 + 4 2 3

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1 9 9 ? 2 c2a - b + 3 d = a - - 6b + 4 2 2 3 2 1 9 12 ? 2 1-9 + 32 = a - b + 4 2 3 2 2 1 21 ? 2 1-62 = a - b + 4 2 3 2 ?

- 3 = -7 + 4 -3 = -3

Verdadero.

9 Por tanto, la solución es - . 2

✺

En el ejemplo 9, la ecuación dada podría haberse representado como 21x - 62 2x + 3 = + 4. Si la ecuación se hubiera dado en esta forma, el primer 2 3 paso para encontrar la solución habría sido multiplicar sus dos lados por el mcd, 6. Debido a que ésta sólo es otra manera de escribir la ecuación del ejemplo 9, la respuesta sería - 92 .

3

Identificar identidades y contradicciones Hasta este momento, todas las ecuaciones que hemos resuelto han tenido una solución única. Este tipo de ecuaciones se conoce como ecuaciones condicionales, ya que son verdaderas sólo en condiciones específicas. Algunas ecuaciones, como las del ejemplo 10, son verdaderas para todas las instancias de x; a estas ecuaciones se les denomina identidades. Las de la tercera clase, como las del ejemplo 11, no tienen solución y reciben el nombre de contradicción.

EJEMPLO 10 Resuelva la ecuación 2x + 6 = 21x + 32. Solución

2x + 6 = 21x + 32 2x + 6 = 2x + 6 Como la misma expresión aparece en ambos lados del signo de igualdad, la proposición es verdadera para todas las instancias de x. Si continuamos resolviendo esta ecuación obtendremos 2x = 2x 0 = 0

Se restó 6 en ambos lados. Se restó 2x en ambos lados.

Nota: el proceso de solución puede terminar en 2x + 6 = 2x + 6. Como un lado es idéntico al otro, la ecuación es verdadera para todas las instancias de x. Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son todos los números reales. Al resolver una ecuación, como la del ejemplo 10, que siempre es verdadera, la respuesta se escribe como “todos los números reales”. ✺

EJEMPLO 11 Resuelva la ecuación -3x + 4 + 5x = 4x - 2x + 5. Solución

-3x + 4 + 5x 2x + 4 2x - 2x + 4 4

= = = =

4x - 2x + 5 Se redujeron los términos semejantes. 2x + 5 2x - 2x + 5 Se resta 2x en ambos lados. 5 Falso.

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Al resolver una ecuación, si se obtiene una proposición que es obviamente falsa, como en este ejemplo, la ecuación no tiene solución. Ninguna sustitución de x hará que sea una proposición verdadera. Al resolver una ecuación como la del ejemplo 11, que nunca es verdad, la respuesta se escribe como “sin solución”. Una respuesta que se deje en blanco tal vez se tomará como errónea. ✺

SUGERENCIA

Algunos estudiantes comienzan a resolver ecuaciones en forma correcta, pero no llegan a la solución. En ocasiones no están seguros de si lo que hacen es correcto y se rinden por falta de confianza. Usted debe tener confianza en sí mismo. Mientras siga el procedimiento de la página 289, llegará a la solución correcta aunque tenga que realizar varios pasos. Recuerde dos aspectos importantes: (1) nuestro objetivo es despejar la variable, y (2) cualquier cosa que haga en un lado de la ecuación también debe hacerla en el otro. Es decir, debe tratar ambos lados de la ecuación por igual.

Solución de problemas 1. a) Construya una ecuación condicional que contenga tres términos en el lado izquierdo del signo de igualdad y dos en el derecho.

2. a) Construya una identidad que contenga tres términos en el lado izquierdo del signo de igualdad y dos en el derecho.

b) Explique cómo se sabe que la respuesta del inciso a) es una ecuación condicional.

b) ¿Cómo se sabría que la respuesta del inciso a) es una identidad?

c) Resuelva la ecuación.

c) ¿Cuál es la solución de la ecuación?

3. a) Construya una ecuación condicional que contenga dos términos en el lado izquierdo del signo de igualdad y tres en el derecho.

4. a) Construya una identidad en la que haya dos términos en el lado izquierdo del signo de igualdad y tres en el derecho.

b) Diga cómo se sabe que la respuesta del inciso a) es una ecuación condicional.

b) Explique cómo se sabría que la respuesta del inciso a) es una identidad.

c) Resuelva la ecuación.

c) ¿Cuál es la solución de la ecuación?

5. 2 +

3 11 = x 4

6. x +

20 = -9 x

81. b) and 82. b) when simplified, both sides are the same

7.

3 3 + 4 = x x

8. 5 +

3 11 = z 2

9.

2x + 3 3 = x + 2 2

81. c) and 82. c) all real numbers

6.6 RAZONES Y PROPORCIONES 1 2 3 4 5

1

Entender las razones. Resolver proporciones mediante productos cruzados. Resolver aplicaciones. Usar proporciones para convertir unidades. Emplear proporciones para solucionar problemas que involucran figuras semejantes.

Entender las razones Una razón es un cociente de dos cantidades. Las razones proporcionan una manera de comparar dos números o cantidades. La razón del número a al número b se escribe así: a a : b, o bien a es a b, b donde a y b reciben el nombre de términos de la razón.

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EJEMPLO 1 Prueba de degustación En diversos centros comerciales, una empresa de bebidas

Bebida

A

40

B

55

C

5 0

llevó a cabo una prueba de tres bebidas,A, B y C, respectivamente. El propósito de la prueba era determinar cuál de las tres nuevas bebidas se lanzaría al mercado. Se pidió a los participantes en la Plaza de América que probaran las tres e indicaran cuál había sido su favorita. En la figura 6.5 se muestran los resultados de la prueba. a) Encuentre la razón del número de personas que seleccionó B, a aquellos que seleccionaron A. b) Halle la razón del número de personas que seleccionó C al número total que participó en el sondeo.

Solución Se empleará nuestro procedimiento de cinco pasos para resolver

10

20

30

40

50

60

Número de personas que prefirió la bebida

FIGURA 6.5

problemas. a) Entender y traducir La razón que se busca es Número que seleccionó B : Número que seleccionó A Sustituimos los valores apropiados en la razón; esto da 55 : 40 Ahora, simplificamos dividiendo cada número entre 5, el número mayor que divide ambos términos de la razón. El resultado es 11 : 8 Calcular

La división es correcta. La razón es 11:8. b) Usamos el mismo procedimiento que en el inciso a). Cinco personas seleccionaron la bebida C. Se sondeó a 40 55 5, es decir 100, personas. Así, la razón es 5:100, que se simplifica como 1 : 20 ✺ Revisar y responder

La respuesta al inciso a) del ejemplo 1 también hubiera podido escribirse como 118, o bien 11 es a 8. La respuesta al inciso b) también hubiera podido escribirse como 201 , o 1 es a 20.

EJEMPLO 2 Nivel de colesterol Hay dos tipos de colesterol: las lipoproteínas de densidad baja (LDL, que se considera el tipo perjudicial de colesterol) y las lipoproteínas de densidad alta (HDL, que se considera el tipo de colesterol saludable). Algunos médicos recomiendan que la razón de colesterol de baja densidad al de alta densidad, sea menor o igual a 4:1. La prueba del Sr. Suárez mostró que su nivel de colesterol de densidad baja fue de 167 miligramos por decilitro, y el de densidad alta fue de 40 miligramos por decilitro. ¿La razón del Sr. Suárez, de colesterol de densidad baja al de densidad alta es menor o igual que la razón recomendable de 4:1?

Solución

Entender Necesitamos determinar si la razón de colesterol de densidad baja del señor Suárez, al de densidad alta es menor o igual de 4:1.

La razón del Sr. Suárez de colesterol de baja densidad al de alta, es de 167:40. Para hacer que el segundo término sea igual a 1, dividimos ambos términos de la razón entre el segundo, que es 40.

Traducir

Calcular

167 40 : 40 40 o bien 4.175 : 1

La división es correcta. Por tanto, la razón del Sr. Suárez no es menor ni igual a la deseable de 4:1. ✺

Revisar y responder

EJEMPLO 3 Mezcla de aceite y gasolina Ciertos equipos de potencia, como sierras de cadena y calentadores, utilizan una mezcla de gasolina y aceite para el funcionamiento de

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Solución

su motor. Las instrucciones para una sierra en particular indican que debe mezclarse 5 galones de gasolina con 40 onzas de aceite especial, para obtener la mezcla adecuada. Encuentre la razón de gasolina a aceite de la mezcla apropiada. Entender Para expresar estas cantidades como una razón, ambas deben estar en las mismas unidades. Podemos convertir 5 galones a onzas o bien 40 onzas a galones. Traducir Cambiaremos los 5 galones a onzas. Como en un galón hay 128 onzas, 5 galones de gasolina son iguales a 5(128), o 640 onzas. La razón que se busca es onzas de gasolina : onzas de aceite Calcular

640 : 40 o bien 16 : 1 Dividir ambos términos entre 40, para simplificar.

Revisar y contestar La simplificación es correcta. La razón apropiada de gasolina a aceite para esta sierra es de 16:1. ✺

EJEMPLO 4 Razón de engranes La razón de engranes, para dos de ellos, se define como Engrane impulsor

razón de engranes =

número de dientes en el engrane impulsor número de dientes en el engrane impulsado

Determine la razón de los engranes que se ilustran en la figura 6.6.

60 dientes

Solución 8 dientes

Entender y traducir Para encontrar la razón de engranes es necesario sustituir los valores apropiados.

Calcular Engrane impulsado

FIGURA 6.6

razón de engranes =

número de dientes en el engrane impulsor 60 15 = = número de dientes en el engrane impulsado 8 2

Por tanto, la razón de engranes es de 15:2. Por lo general, las razones de engranes se expresan como alguna cantidad a 1. Si dividimos ambos términos de la razón entre el segundo número, obtendremos una razón de cierto número a 1. Dividimos tanto 15 como 2 entre 2 y obtenemos una razón de engranes de 7.5:1. Revisar y responder La razón de engranes es de 7.5:1. Esto significa que mientras el engrane impulsor gira una vez, el engrane impulsado lo hace 7.5 veces (una razón de engranes que es común en un auto de pasajeros en primera velocidad es de 3.545:1). ✺

2

Resolver proporciones mediante productos cruzados Una proporción es un tipo especial de ecuación. Es una proposición de igualdad entre dos razones. Una forma de denotar una proporción es a : b = c : d, que se lee “a es a b como c es a d”. En este texto escribimos las proporciones como a c = b d a y d son los extremos de la proporción, mientras que b y c son los medios. En las secciones 6.1 y 6.2 se resolvieron ecuaciones que contenían fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mcd para eliminar las fracciones. Por ejemplo, para la proporción x 35 = 3 15 x 35 Multiplicar ambos lados 15 a b = 15 a b por el mcd, que es 15. 3 15 5x = 35 x = 7

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Otro método que se utiliza para resolver las proporciones es el de los productos cruzados. Este proceso arroja los mismos resultados que multiplicar ambos lados de la ecuación por el mcd. Sin embargo, muchos estudiantes prefieren usar los productos cruzados porque de ese modo no tienen que determinar el mcd de las fracciones, y luego multiplicar ambos lados de la ecuación por el mcd.

Productos cruzados Si

a c = , entonces ad = bc. b d

Observe que el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Si se conocen tres de las cuatro cantidades de una proporción, es posible encontrar la cuarta con facilidad.

EJEMPLO 5 Resuelva Solución

35 x = mediante los productos cruzados. 3 15

x 35 = 3 15 x # 15 = 3 # 35 15x = 105 105 x = = 7 15

Comprobación:

x 35 = 3 15 7 ? 35 = 3 15 7 7 = 3 3

Verdadero.

✺

Antes de que se introdujeran los productos cruzados, se resolvió la proporción x 35 = multiplicando ambos lados de la ecuación por 15. Observe que en cada 3 15 caso se obtuvo la misma solución, 7. Cuando se resuelve una ecuación con productos cruzados, en realidad se está multiplicando ambos lados por el producto de los dos denominadores, y luego se dividen los factores comunes. Sin embargo, este proceso no se demuestra.

EJEMPLO 6 Resuelva

Solución

-8 3 # -8 x -8x -8x -8 x

64 -8 = para x, mediante productos cruzados. x 3

=

64 x

= 3 # 64 = 192 192 = -8 = - 24

Comprobación:

-8 3 -8 3 -8 3 -8 3

=

64 x

64 -24 8 ? = -3 -8 = 3 ?

=

Verdadero.

✺

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3

Resolver aplicaciones Es frecuente que se resuelvan ciertos problemas prácticos empleando proporciones. Para solucionarlos, se utiliza el procedimiento de cinco pasos que se ha estado empleando a lo largo del texto.A continuación se presenta el procedimiento con instrucciones más específicas para traducir problemas a proporciones. Para resolver problemas utilizando proporciones 1. Entienda el problema. 2. Traduzca el problema a lenguaje matemático. a) En primer lugar, represente la cantidad desconocida con una variable (una letra). b) En segundo lugar, plantee la proporción escribiendo la razón dada del lado izquierdo del signo de igualdad, y la incógnita y la otra cantidad dada del lado derecho. Al plantear el lado derecho de la proporción, las cantidades respectivas deben ocupar las mismas posiciones en ambos lados; por ejemplo, una proporción aceptable es Razón dada e

millas millas = hora hora

3. Efectuar los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema. a) Una vez que ha escrito la proporción en forma correcta, elimine las unidades y multiplique en forma cruzada. b) Resuelva la ecuación resultante. 4. Comprueba la respuesta que se obtuvo en el paso 3. 5. Asegurarse de responder la pregunta original.

Observe que las dos razones* deben tener las mismas unidades. Por ejemplo, si una razón se da en millas/hora, y la segunda en pies/hora, debemos cambiar una de las razones antes de plantear la proporción.

EJEMPLO 7 Aplicación de fertilizante Un saco de fertilizante de 30 libras cubrirá un área de 2500 pies cuadrados. a) ¿Cuántas libras se requieren para cubrir una superficie de 16,000 pies cuadrados? b) ¿Cuántos sacos de fertilizante se necesitan?

Solución a)

Entender La razón dada es 30 libras para 2500 pies cuadrados. La cantidad desconocida es el número de libras necesario para cubrir 16,000 pies cuadrados.

Traducir

Sea x número de libras.

Razón dada e

30 libras x libras = 2500 pies cuadrados 16,000 pies cuadrados

Incógnita. Cantidad dada.

Observe que el peso y el área están dados en las mismas posiciones relativas. *Si se habla con propiedad, un cociente de dos cantidades con unidades diferentes, como

6 millas , se 1 hora

llama tasa. Sin embargo, en el estudio de las proporciones, pocos libros hacen la distinción entre razones y tasas.

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30 x = 2500 16,000

Calcular

30116,0002 = 2500x 480,000 = 2500x 480,000 = x 2500 192 = x

Productos cruzados. Resolver.

Revisar Con una calculadora, se determina que ambas razones en la proporción, 302500 y 19216,000, tienen un valor de 0.012. Así, la respuesta de 192 libras es correcta.

La cantidad de fertilizante que se necesita para cubrir un área de 16,000 pies cuadrados es 192 libras.

Respuesta

b) Como cada saco pesa 30 libras, determinamos el número de sacos con una división. 192 , 30 = 6.4 sacos Entonces, el número de sacos necesario es de 7, ya que sólo pueden comprarse sacos completos. ✺

EJEMPLO 8 Almuerzo de caridad Cada año, en Tampa, Florida, el equipo de Los Yanquis de Nueva York ofrece un almuerzo de caridad cuyos ingresos están destinados para apoyar a los clubes de niños y niñas de Tampa. En la reunión, los participantes abordan a los miembros del equipo y obtienen sus autógrafos. Si un jugador en particular firma, en promedio, 33 autógrafos en 4 minutos, ¿cuánto tiempo tardará en firmar 350 autógrafos?

Solución La cantidad desconocida es el tiempo que necesita un jugador para firmar 350 autógrafos. Se sabe que, en promedio, firma 33 autógrafos en 4 minutos. Se empleará esta razón para plantear la proporción. Traducir

Se representará con x el tiempo para firmar 350 autógrafos. Razón dada e

Calcular

350 autógrafos 33 autógrafos = 4 minutos x minutos 33 350 = x 4 33x = 413502 33x = 1400 1400 L 42.4 x = 33

Con una calculadora, determine que ambas razones de la 33 350 proporción, y tengan el mismo valor aproximado de 8.25. Por tanto, se ne4 42.4 cesita alrededor de 42.4 minutos para que el jugador firme 350 autógrafos. ✺ Revisar y responder

EJEMPLO 9

Dosis de medicina Un doctor pide a una enfermera que administre a un paciente 250 miligramos de simeticona. El medicamento sólo está disponible en una solución cuya concentración es de 40 miligramos de sustancia por cada 0.6 mililitros de solución. ¿Cuántos mililitros de solución debe administrar la enfermera al paciente?

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Solución

Establezcamos la proporción utilizando el medicamento disponible como la razón dada, y la cantidad de mililitros necesarios como la incógnita.

Entender y traducir

40 miligramos 250 miligramos Razón dada (prescripción) e 0.6 mililitros = x mililitros

Prescripción que se desea. Incógnita.

40 250 = x 0.6 40x = 0.612502 Productos cruzados. 40x = 150 Resolver. 150 x = = 3.75 40

Calcular

Revisar y responder

La enfermera debe administrar 3.75 mililitros de la solución

✺

de simeticona.

SUGERENCIA

Al plantear una proporción, no importa cuál unidad de la razón dada esté en el numerador y cuál en el denominador, siempre que las unidades en el otro lado ocupen la misma posición relativa. Por ejemplo, los planteamientos x millas 60 millas = 1.5 horas 4.2 horas

y

1.5 horas 4.2 horas = 60 millas x millas

darán el mismo resultado de 168 (inténtelo y compruebe que así es). Al plantear la proporción, hágalo de modo que tenga el máximo sentido para usted. Observe que cuando se establece una proporción que contiene unidades diferentes, no debe multiplicarse éstas por sí mismas durante los productos cruzados.

4

Correcto

Incorrecto

millas millas = horas horas

millas horas = horas millas

Usar proporciones para convertir unidades También podemos utilizar las proporciones para transformar una cantidad en otra; por ejemplo, para convertir una medida en pies a otra en metros, o de libras a kilogramos. Los siguientes ejemplos ilustran la conversión de unidades.

EJEMPLO 10 Pies a millas En una milla hay 5280 pies. ¿A qué distancia equivalen, en millas, 18,362 pies?

Solución

Entender y traducir Sabemos que 1 milla equivale a 5280 pies. Se usa este hecho en una de las razones de la proporción. En la segunda razón se plantea las cantidades con las mismas unidades en las posiciones respectivas. La cantidad desconocida es el número de millas, que se denotará con x.

Razón conocida e

1 milla x millas = 5280 pies 18,362 pies

Observe que ambos numeradores contienen las mismas unidades, así como los dos denominadores.

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Calcular

Ahora eliminemos las unidades y despejemos x mediante productos

cruzados. 1 5280 1118,3622 18,362 18362 5280 3.48 Revisar y responder

= = = = L

x 18,362 5280x 5280x 5280x 5280 x

Productos cruzados. Resolver.

Así, 18,362 pies son alrededor de 3.48 millas.

✺

EJEMPLO 11 Cambio de moneda Cuando la gente viaja a un país extranjero, con frecuencia necesita cambiar su dinero. Donna Boccio visitó Cancún, México. Entró en un banco local y le dijeron que 1 dólar equivalía a 9.696 pesos. a) ¿Cuántos pesos obtendría si cambiara 150 dólares? b) Más tarde, ese mismo día, Donna fue al mercado de la ciudad y compró una figura de cerámica. Negoció por ésta un precio de 245 pesos. Con el tipo de cambio que se dio, determine el costo en dólares que tuvo la figura.

Solución a) CASA DE CAMBIO Dólar Peso

Entender Dijimos que 1 dólar equivalía a 9.696 pesos mexicanos. Utilizamos esto para establecer una razón de la proporción. En la segunda razón, planteamos las cantidades con las mismas unidades en las mismas posiciones respectivas. Traducir

La cantidad desconocida es el número de pesos, que se denota con x. Razón dada e

150 dólares 1 dólar = x pesos 9.696 pesos

Observe que ambos numeradores contienen dólares, y los dos denominadores pesos. Calcular

1 150 = x 9.696 1x = 9.69611502 x = 1454.4

Así, 150 dólares podrían cambiarse por 1454.4 pesos mexicanos. b) Entender y traducir Se emplea la misma razón dada que en el inciso a). Ahora debe encontrarse el equivalente en dólares de 245 pesos mexicanos. Se denotará con x la cantidad equivalente en dólares. Revisar y responder

Razón dada e Calcular

Revisar y responder

1 dólar x dólares = 9.696 pesos 245 pesos

1 9.696 112452 245 25.27

x 245 = 9.696x = 9.696x L x =

El costo en dólares de la figura es de 25.27.

✺

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SUGERENCIA

5

Algunos de los problemas que hemos resuelto con proporciones, hubieran podido solucionarse sin éstas. Sin embargo, al trabajar con problemas de este tipo, es frecuente que los estudiantes tengan dificultad para decidir si multiplicar o dividir para obtener la respuesta correcta. Si plantea una proporción, entenderá mejor el problema y será más fácil obtener la respuesta correcta.

Emplear proporciones para solucionar problemas que involucran figuras semejantes También es posible utilizar las proporciones para resolver problemas de geometría y trigonometría. Los siguientes ejemplos muestran la forma de emplear las proporciones para resolver problemas con figuras semejantes. Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales, y sus lados correspondientes son proporcionales. Dos figuras semejantes tienen la misma forma.

EJEMPLO 12 Las figuras que se muestran a la izquierda son semejantes. Encuentre la longitud del lado que se denota con x.

Solución Se plantea una proporción de los lados correspondientes con el fin de hallar la

5 pulg.

longitud del lado x.

2 pulg.

Longitudes de la figura más chica

12 pulg.

5 pulgadas y 12 pulgadas son correspondientes. 2 pulgadas y x son lados correspondientes de figuras semejantes.

x

Longitudes de la figura más grande

5 12 = x 2 5x = 24 24 = 4.8 x = 5

Así, el lado que se denota con x mide 14.8 pulgadas de longitud.

✺

En el ejemplo 12, observe que la proporción también hubiera podido plantearse como 5 2 = x 12 debido a que un par de lados correspondientes se encuentra en los numeradores y otro par en los denominadores.

EJEMPLO 13 Los triángulos ABC y AB¿ C¿ son triángulos semejantes. Utilice una proporción paA

ra encontrar la longitud del lado AB¿.

Solución Se plantea una proporción de los lados correspondientes a fin de encontrar la longitud del lado AB¿. Se hará que x denote la longitud del lado AB¿. La proporción que se debe usar es longitud de AB longitud de AB¿ = longitud de BC longitud de B¿ C¿

x 15 pulg.

7.2 pulg. B B

9 pulg.

C

C

Ahora, se insertan los valores apropiados y se resuelve para la variable x. 15 x = 9 7.2 115217.22 = 9x 108 = 9x 12 = x Así, la longitud del lado AB¿ es de 12 pulgadas.

✺

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Solución de problemas 57. 361.1 mi

En los ejercicios 1 a 10, escriba una proporción que se utilice para resolver el problema. Después, resuelva la ecuación con objeto de obtener la respuesta.. 1. Lavado de ropa Una botella de líquido Tide para lavar, contiene 100 onzas de fluido. Si una carga de ropa requiere 4 onzas del detergente, ¿cuántas cargas de ropa se pueden lavar con una botella?

9. Garza azul En la fotografía se aprecia una garza azul. Si el ejemplar que en la foto mide 3.5 pulgadas en la realidad tiene 3.75 pies de altura, ¿cuánto mide aproximadamente su pico, que en la foto mide 0.4 pulgadas?

2. Tendido de cable Una brigada de teléfonos tiende cable a razón de 42 pies por hora. ¿Cuánto tiempo les tomará tender 252 pies de cable? 3. Distancia recorrida en auto Un auto Ford Mustang 2002, con motor de 4.6 litros, está diseñado para rendir 23 millas por galón (manejo en autopista). ¿Qué tan lejos llegará con un tanque lleno con 15.7 galones de gasolina? 4. Pintar la casa Un galón de pintura cubre 825 pies cuadrados. ¿Cuánta pintura se necesita para cubrir una casa cuya superficie por pintar es de 5775 pies cuadrados? 5. Modelo de tren Un modelo de tren está a escala de 1:20. Es decir, un pie del modelo representa 20 pies del tren original. Si un cabús mide 30 pies de largo, ¿cuánto medirá su modelo? 6. Distribuir fertilizante Si un saco de 40 libras de fertilizante cubre 5000 pies cuadrados, ¿cuántas libras de fertilizante se necesitan para cubrir un área de 26,000 pies cuadrados? 7. Aplicación de insecticida Las instrucciones de una botella de insecticida líquido dicen “use 3 cucharaditas de insecticida por cada galón de agua”. Si el rociador tiene capacidad para 8 galones, ¿cuánto insecticida debe emplearse para llenar el rociador? 8. Impuestos a la propiedad El impuesto a la propiedad en la ciudad de Hendersonville, Carolina del Norte, es de $9.475 por cada $1000 de valor catastral. Si la casa de Estever está valuada en $145,000, ¿cuál será el impuesto que debe pagarse por esa propiedad?

10. Inundación. Cuando los Duncan regresaron a su casa de vacaciones, el sótano estaba inundado (1 pie de agua). Se pusieron en contacto con el departamento de bomberos, que envió equipo para extraer el agua. Después de que la bomba había funcionado durante 30 minutos, se había retirado 3 pulgadas de agua, ¿cuánto tiempo, desde que comenzaron a bombear, se requeriría para retirar toda el agua del sótano?

En los ejercicios 11 a 16, utilice una proporción para hacer la conversión. Redondee las respuestas a dos cifras decimales. 11. Convierta 78 pulgadas a pies. 12. Transforme 22,704 pies a millas (5280 pies 1 milla). 13. Convierta 26.1 pies cuadrados a yardas cuadradas (9 pies cuadrados 1 yarda cuadrada). 14. Transforme 146.4 onzas a libras. 15. Recién nacido Una pulgada es igual a 2.54 centímetros. Encuentre la estatura de un recién nacido, en pulgadas, si mide 50.8 centímetros. 16. Distancia Una milla es aproximadamente igual a 1.6 kilómetros. Calcule la distancia, en kilómetros, que hay

de San Diego, California, a San Francisco, California, cuya distancia es de 520 millas.

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6.7 FUNCIONES LINEALES: GRÁFICAS Y APLICACIONES

1

1

Graficar funciones lineales.

2

Graficar funciones lineales usando las intersecciones.

3

Graficar ecuaciones con la forma x = a y y = b.

4

Analizar aplicaciones de funciones.

5

Resolver de manera gráfica ecuaciones lineales con una variable.

Graficar funciones lineales Para graficar la ecuación lineal y 2x 4, podemos construir una tabla de valores, determinar los puntos y trazar la gráfica, como se muestra en la figura 6.7. Observe que está gráfica representa una función, ya que pasa la prueba de la recta vertical.

y

x

y

-2

0

5

0

4

4

1

6

6

y 2x 4

2 1 6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

x

2 3 4 5

FIGURA 6.7

6

Utilizando la notación de funciones, podemos escribir la ecuación que se graficó en la figura 6.7 como f(x) 2x 4. Éste es un ejemplo de una función lineal, es decir, una función con la forma f(x) ax b. Al graficar cualquier función lineal, se obtiene una línea recta. El dominio de todas las funciones lineales es el conjunto de números reales para los que la función es un número real; por lo tanto, el dominio de cualquier función lineal es el conjunto de todos los números reales, : al sustituir x con cualquier número real en una función lineal, resultará que f(x) es un número real. Para graficar una función lineal, tratamos a f(x) como si fuera y y seguimos el mismo procedimiento utilizado para graficar ecuaciones lineales.

EJEMPLO 1 Solución

Grafique f1x2 =

1 x - 1. 2

Construimos una tabla de valores sustituyendo valores para x y determinando los valores correspondientes de f(x) (o y). Luego determinamos los puntos y trazamos la gráfica, como se ilustra en la figura 6.8.

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y

x

f(x)

5

-2

-2

4

0

-1

2

2

0

1

3

5 4 3 2 1 1

f (x) qx 1

1

2

3

4

5

x

2 3 4 5

FIGURA 6.8

✺

Observe que el eje vertical de la figura 6.8 también puede denominarse f(x), en lugar de y, aunque en este libro continuaremos llamándolo y.

2

Graficar funciones lineales usando las intersecciones Las ecuaciones lineales no siempre tienen la forma y ax b. La ecuación 2x 3y 6 es un ejemplo de un ecuación lineal con una forma general.

DEFINICIÓN

La forma general de una ecuación lineal es

ax + by = c en donde a, b y c son números reales, y a y b son distintos de cero. Ejemplos de ecuaciones lineales en la forma general

2x + 3y = 4

-x + 5y = - 2

Algunas veces, cuando una ecuación está dada en la forma general, puede ser más fácil trazar la gráfica usando las intersecciones con el eje x y con el eje y. Examine los dos puntos en la gráfica que se muestra en la figura 6.7. Observe que la gráfica cruza el eje x en el punto (2, 0). Por lo tanto, (2, 0) se denomina intercepción x o intersección con el eje x. En ocasiones decimos que la intersección con el eje x está en 2, la coordenada x del par ordenado. La gráfica cruza el eje y en el punto (0, 4). Por consiguiente, (0, 4) se denomina intercepción y o intersección con el eje y. En ocasiones decimos que la intersección con el eje y está en 4, la coordenada y del par ordenado. A continuación se explica cómo las intersecciones con el eje x y con el eje y pueden determinarse de manera algebraica. Para determinar las intersecciones con el eje x y con el eje y Para determinar la intersección con el eje y, determine x 0 y despeje y. Para determinar la intersección con el eje x, determine y 0 y despeje x.

Para graficar una ecuación lineal utilizando las intersecciones del eje x y el eje y, primero encontramos las intercepciones y trazamos los puntos, para después dibujar una línea recta que pase por ellos. Debe ser muy cuidadoso cuando grafique ecuaciones lineales por medio de las intersecciones. Si traza erróneamente alguno de sus puntos, su gráfica será incorrecta.

EJEMPLO 2 Solución

Grafique la ecuación 5x 10y 20 trazando las intersecciones del eje x y del eje y. Para localizar la intersección del eje y (el punto en donde la gráfica cruza el eje y), determine x 0 y despeje y.

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5x 5102 0 20 2

= = = = =

10y - 20 10y - 20 10y - 20 10y y

La gráfica cruza el eje y en y 2. El par ordenado que representa la intersección y es (0, 2). Para localizar la intersección del eje x (el punto en donde la gráfica cruza el eje x), determine y 0 y despeje x.

5x 5x 5x x

= = = =

10y - 20 10102 - 20 - 20 -4

La gráfica cruza el eje x en x 4. El par ordenado que representa la intersección del eje x es (4, 0). Ahora trace las intercepciones y dibuje la gráfica (vea la figura 6.9). y 5

5x 10y 20

4 3 2

(4, 0)

(0, 2)

1

4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

x

2 3 4 5

✺

FIGURA 6.9

EJEMPLO 3 Solución

Grafique f1x2 = -

1 x - 1 por medio de las intersecciones del eje x y del eje y. 3

Trate a f(x) como si fuera y. Para localizar la intersección del eje y, determine x 0 y despeje f(x).

1 f1x2 = - x - 1 3 f1x2 = -

1 102 - 1 = - 1 3

La intersección del eje y es (0, 1). Para determinar la intersección del eje x, determine f(x) 0 y despeje x.

1 f1x2 = - x - 1 3 1 0 = - x - 1 3 1 3102 = 3a - x - 1b 3

Multiplique ambos lados por 3.

0 = -x - 3


x = -3

Sume x en ambos lados.

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La intersección del eje x es (3, 0). La gráfica se muestra en la figura 6.10.

y 5 4 3 2 1

(3, 0) 5 4 3 2 1

1

(0, 1)

2

3

4

5

x

2 3 4

f (x) ax 1

5

✺

FIGURA 6.10

Las gráficas de la forma ax by 0 pasan por el origen y tienen la misma intersección en los ejes x y y, (0, 0). Para graficar tales ecuaciones podemos usar la intersección como un punto, sustituir valores para x y determinar los valores correspondientes de y para obtener otros puntos en la gráfica.

EJEMPLO 4 Solución

Grafique 6x 4y 0. Si sustituimos x 0, encontramos que y 0. Por lo tanto, la gráfica pasa a través del origen. Seleccionaremos x 2 y x 2, y sustituimos estos valores en la ecuación, uno a la vez, para determinar otros dos puntos en la gráfica.

Sea x = - 2.

Sea x = 2.

- 6x + 4y = 0

- 6x + 4y = 0

- 61- 22 + 4y = 0

-6122 + 4y = 0

12 + 4y = 0

-12 + 4y = 0

4y = - 12

4y = 12

y = -3

y = 3

pares ordenados: 1-2, -32

12, 32

Hemos encontrado otros dos puntos en la gráfica: (2, 3) y (2, 3). La gráfica de 6x 4y 0 se muestra en la figura 6.11. y

6x 4y 0

5 4 3

(2, 3)

2 1 5 4 3 2 1 1

(2, 3)

1

2

3

4

5

x

2 3 4 5

FIGURA 6.11

✺

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3

Graficar ecuaciones con la forma x = a y y = b Los ejemplos 5 y 6 ilustran cómo se grafican las ecuaciones con la forma x a y y b, en donde a y b son constantes.

EJEMPLO 5 Solución y 5 4

1 2 3 4 5

x

2 3 4 5

Cualquier ecuación con la forma y b o f(x) b, en donde b representa una constante, es una función constante.

y

5 4 3

EJEMPLO 6 Grafique la ecuación x 2. Solución Esta ecuación puede escribirse como x 2 0y. Por lo tanto, para

5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5

cada valor seleccionado de y, x tendrá un valor de 2 (figura 6.13). 1 2 3 4 5

x

✺

La graficación de cualquier ecuación con la forma x a dará siempre por resultado una recta vertical para cualquier número real a.

Observe que la gráfica de x 2 no representa una función, ya que no pasa la prueba de la recta vertical. Para x 2 hay más de un valor de y. De hecho, cuando x 2, hay un número infinito de valores para y.

FIGURA 6.13

4

Observe que la gráfica de y 3 es una función, ya que pasa la prueba de la recta vertical. Para cada valor seleccionado de x, el valor de y, o valor de la función, es 3. Éste es un ejemplo de una función constante. Podemos escribir

f1x2 = 3

FIGURA 6.12

x 2

Esta ecuación puede escribirse como y 3 0x. Así, para cualquier valor seleccionado de x, y es 3. La gráfica de y 3 se ilustra en la figura 6.12. ✺ La graficación de cualquier ecuación con la forma y b siempre dará por resultado una línea horizontal para cualquier número real b.

y3

2 1 5 4 3 2 1 1

Grafique la ecuación y 3.

Analizar aplicaciones de funciones Con frecuencia las gráficas se utilizan para mostrar la relación entre variables. No es indispensable que los ejes de una gráfica se etiqueten siempre como x y y; puede designárseles con cualquier variable, como en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 7

Utilidades La utilidad anual, p, de una tienda de neumáticos puede calcularse por medio de la función p(n) 20n 30,000, en donde n es el número de neumáticos vendidos por año. a) Trace una gráfica de la utilidad en relación con la venta de hasta 6000 neumáticos. b) Calcule el número de neumáticos que deben venderse para que la compañía no pierda ni gane (punto de equilibrio). c) Calcule el número de neumáticos vendidos si la compañía tiene un utilidad de $40,000.

Solución

a) Entienda el problema La utilidad, p, es una función del número de neumáticos vendidos, n. Por lo tanto, el eje horizontal será Número de neumáticos vendidos (la variable independiente), y el eje vertical será Utilidad (la variable dependiente). Como el número mínimo de neumáticos que pueden venderse es 0, no es necesario listar valores negativos en el eje horizontal. Por consiguiente, el eje horizontal irá de 0 a 6000 neumáticos.

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Graficaremos esta ecuación determinando y trazando las intersecciones. Para localizar la intersección p, determinaremos n 0 y despejaremos p(n). Traduzca y realice los cálculos

p1n2 = 20n - 30,000 p1n2 = 20102 - 30,000 = - 30,000 p

p(n) 20n 30,000

Utilidad (miles de dólares)

90

Por lo tanto, la intersección p es (0, 30,000). Para localizar la intersección n, determinamos p(n) 0 y despejamos n.

80

p1n2 0 30,000 1500

70 60 50 40

Utilidad $40,000

30 20

= = = =

20n - 30,000 20n - 30,000 20n n

Por lo tanto, la intersección n es (1500, 0).

10 0 1

10 20

2

3

4

5

6

n

Punto de equilibrio

30 40

Número de neumáticos vendidos (miles)

Responda

Ahora utilizaremos las intersecciones p y n para trazar la gráfica (vea

la figura 6.14). b) El punto de equilibrio es el número de neumáticos que la empresa debe vender para no tener ganancias ni pérdidas. En la gráfica, este punto se da en donde la gráfica intersecta al eje n, en este caso, en donde la utilidad, p, es 0. Para alcanzar el punto de equilibrio deben venderse aproximadamente 1500 neumáticos. c) Para tener una utilidad de $40,000, deben venderse aproximadamente 3500 neumáticos, tal como ilustra la línea punteada en la gráfica de la figura 6.14. ✺

FIGURA 6.14

Algunas veces es difícil obtener una respuesta exacta a partir de una gráfica. En el ejemplo 7, para determinar el número exacto de neumáticos que se debe vender para alcanzar el punto de equilibrio, sustituya p(n) por 0 en la función p(n) 20n 30,000 y despeje n. Para determinar el número exacto de neumáticos que se debe vender para obtener una utilidad de $40,000, sustituya p(n) por 40,000 y despeje n.

EJEMPLO 8

a) Escriba una función que exprese su salario mensual, m, en relación con las ventas de la tienda, s.

s

m

0

200

b) Trace una gráfica de su salario mensual para ventas de $20,000 y superiores.

10,000

1200

20,000

2200

c) Si en abril las ventas de la tienda fueron de $15,000, ¿cuál será el salario de Andrés en ese mes?

Solución m

Salario mensual

Ventas en una juguetería Andrés Fernández es propietario de una juguetería, y se ha fijado un salario mensual de $200 más 10% de las ventas.

m(s) 200 0.10s

$2500 $2000 $1500 $1000 $500 0

s 0 5 10 15 20 Ventas (miles de dólares)

FIGURA 6.15

a) El salario mensual de Andrés es una función de las ventas. Su salario mensual, m, es de $200 más 10% de las ventas, s. En decimales, 10% de s es 0.10s. Así que la función para determinar el salario de Andrés es

m1s2 = 200 + 0.10s b) Como el salario mensual es una función de las ventas, Ventas estará representado en el eje horizontal y Salario mensual estará representado en el eje vertical. Dado que las ventas no pueden ser negativas, el salario mensual tampoco. Por lo tanto, ambos ejes tomarán en cuenta sólo números positivos. Para trazar esta gráfica comenzaremos por determinar los puntos. Seleccionaremos valores para s, determinaremos los valores correspondientes de m, y luego trazaremos la gráfica. Para s podemos seleccionar valores entre $0 y $20,000 (vea la figura 6.15). c) Al interpretar cuidadosamente nuestra gráfica, podemos calcular que, cuando las ventas de la tienda son de $15,000, el salario mensual de Andrés es de más o menos $1700. ✺

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5

Resolver de manera gráfica ecuaciones lineales con una variable En una sección anterior analizamos la graficación de f(x) 2x 4. En la figura 6.16 se ilustran las gráficas de f(x) y de g(x) 0. Observe que, en las dos gráficas, la recta intersecta el punto (2, 0). Podemos obtener la coordenada x del par ordenado resolviendo la ecuación f(x) g(x). Recuerde que tanto f(x) como g(x) representan a y, y despejando x de esta ecuación obtendremos el valor de x en donde las y son iguales.

f1x2 $'%'& 2x + 4 2x x

= g1x2 $%& = 0 = -4 = -2

Observe que obtenemos 2, la coordenada x del par ordenado en el punto de intersección. Ahora localicemos la coordenada x del punto en donde las gráficas de f(x) 2x 4 y g(x) 2 se intersectan. Primero resolvemos la ecuación f(x) g(x).

f1x2 $'%'& 2x + 4 2x x

= g1x2 $%& = 2 = -2 = -1

y

y

6

6

5

f(x) 2x 4

5

4

g(x) 2

2

g(x) 0

1

6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

x

6 5 4 3 2 1 1 2

3

3

1

2

3

4

5

6

x

FIGURA 6.17

La coordenada x del punto de intersección de las dos gráficas es 1, como se muestra en la figura 6.17. Observe que f(1) 2(1) 4 2. En general, si se nos da una ecuación en una variable, podemos considerar cada lado de la ecuación como una función separada. Para obtener la solución, podemos graficar las dos funciones. La coordenada x del punto de intersección será la solución de la ecuación.

y 24 20 16 12 8

f (x) 3x 2 4 4 2 4

1

2

FIGURA 6.16

f (x) 2x 4

4

2

4

6

8 10

g(x) 4x 4

x

EJEMPLO 9

Determine gráficamente la solución de la ecuación 3x 2 4x 4.

FIGURA 6.18

Sea f(x) 3x 2 y g(x) 4x 4. La gráfica de estas funciones se ilustra en la figura 6.18. La coordenada x del punto de intersección es 6. Por lo tanto, la solución de la ecuación es 6. Compruébela. ✺

Solución

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6.8 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Y ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES Trazar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas. Determinar si un par ordenado es una solución de una ecuación lineal.

1 2

Trazar puntos en el sistema de coordenadas cartesianas Muchas relaciones algebraicas son más fáciles de entender, si podemos ver una ilustración de ellas. Una gráfica muestra la relación entre dos variables en una ecuación. En este bloque analizamos varios procedimientos que pueden usarse para dibujar gráficas por medio del sistema de coordenadas cartesianas (o rectangulares). Este sistema se llama así por su desarrollador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650). Así como las coordenadas en un mapa nos ayudan a encontrar ciudades y otras localidades, el sistema de coordenadas cartesianas proporciona un medio para localizar e identificar puntos. Considere el mapa de Great Smoky Mountains (figura 6.19). ¿Puede localizar Cades Cove en el mapa? Si le decimos que se encuentra en el cuadro A3, probablemente lo encontrará mucho más rápido y con mayor facilidad. El sistema de coordenadas cartesianas es un sistema de cuadrícula, como el de un mapa, excepto que está formado por dos ejes (o rectas numéricas) dibujadas de forma perpendicular entre ellas. Los dos ejes que se intersecan forman cuatro cuadrantes, numerados I a IV en la figura 6.20.

René Descartes

To Morristown

To Johnson City

40

321

275

Cosby

TENN

321

KW Y. LS P FO O TH IL

Townsend

R

WF

CR

NEWFOUND GAP EL5,048 FT. Oconaluftee Visitor Center

.

RD

CLINGMANS DOME EL 6,643 FT.

Cades Cove

P AR

H

.

e

C AN BR . N RD

19 Cherokee

A

28

0

23

0

5 5

10 mi

10 km

441 To Atlanta

B

4

GREAT SMOKY MTNS. NATIONAL PARK

l

FIGURA 6.19

E

Dillsboro

ai Tr

To Chattanooga

G

19

A p palachia n

74

Robbinsville

N

RICHLAND BALSAM EL 6,410 FT. Y. W PK

74

Lauada

Stecoah

23

ID

129

R

Santeethlah Lake

276 Waynesville

19

Bryson City

28

Maggie Valley

441

R.

Fontana Village

3

Dellwood

CHEROKEE INDIAN RES.

Fotana Lake

ssee

Tapoco

Cherokee’s Magic Waters Park

Ela

Fotana Dam

Tenne

276 40 Ghost Town in the Sky

UE BL

ttl

Cove Creek Oconaluftee Pioneer Farmland

D

Li

HEINTOOGA ROUND BOTTOM RD.

ND

To Asherville

LAUREL

MT. LECONTE EL 6,593 FT.

OU

EE K

RD.

R

Cades Cove Visitor Center

Roaring Fork Loop NE

P A G

RICH

RIVE

2

n

LITTLE

411

N.C.

Gatlinburg

Park H.Q. Visitor Center Sugarlands Visitor Center

Tuckaleechee Caverns

hi a

Maryville

Cosby

ac

321

Trail

321

pp al

Alcoa

Hartford

Pigeon Forge

er

Riv

411

A

129

SO

To Asherville

32 40 321

441

tle

129

1

70

Sevierville

Lit

25

Newport

411

n H wy.

To Chattanooga

Chestnut Hill

66

Knoxville 441 Chapma

TE N N.C N .

1

C

To Atlanta

D

E

5

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eje y

II

I Origen eje x

III

IV

FIGURA 6.20

El eje horizontal se denomina eje x y el vertical, eje y. El punto de intersección de los dos ejes se denomina origen. En el origen tanto el valor de x como el de y es 0. Comenzando en el origen y moviéndose hacia la derecha, a lo largo del eje x, los números aumentan (figura 6.21). Iniciando en el origen y moviéndose hacia la izquierda, los números disminuyen. Iniciando en el origen y moviéndose hacia arriba en el eje y, los números aumentan. Comenzando en el origen y moviéndose hacia abajo, los números disminuyen. Para ubicar un punto, es necesario conocer el tanto el valor de x como el de y, o las coordenadas, del punto. Cuando las coordenadas x y y de un punto se colocan entre paréntesis, con la coordenada x listada primero, tenemos un par ordenado. En el par ordenado (3, 5), la coordenada x es 3 y la coordenada y es 5. El punto correspondiente al par ordenado (3, 5) se trazó en la figura 6.22. La frase “el punto correspondiente al par ordenado (3, 5)” con frecuencia se abrevia como “el punto (3, 5)”. Por ejemplo, si escribimos “el punto (1, 2)”, significa “el punto correspondiente al par ordenado (1, 2)”.

y

y

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 1

x

1 2 3 4 5

5 4 3 2 1 1

2 3 4 5

(3, 5)

1 2 3 4 5

x

2 3 4 5

FIGURA 6.21

FIGURA 6.22

EJEMPLO 1 Trace (o marque) cada punto en los mismos ejes. a) A15, 32

b) B12, 42

d) D14, 02

e) E1- 2, -52

g) G10, 22

h) H A 6, -

c) C1- 3, 12 9 2

f) F10, - 32

B

i) I1- 32 , - 522

Solución El primer número de cada par ordenado es la coordenada x y el segundo es la coordenada y. Los puntos se trazaron en la figura 6.23. y 6 5

B (2, 4)

4 3 2

C (3, 1)

6 5 4 3 2 1 1

(

)

I w, e E (2, 5)

FIGURA 6.23

G (0, 2)

A (5, 3)

1

2 3 4 5 6

D (4, 0) 1

2

3

4

5

6

x

F (0, 3)

(

H 6, t

) ✺

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Observe que si la coordenada x es 0, como en los ejemplos 1 f) y 1 g), el punto está en el eje y. Cuando la coordenada y es 0, como en el ejemplo 1 d), el punto está en el eje x.

EJEMPLO 2 Liste los pares ordenados para cada punto que se muestra en la figura 6.24. y 4

B

3 2 1

E

C G

6 5 4 3 2 1 1

A

FIGURA 6.24

F 1

2

3

4

5

6

x

D

2

Solución Recuerde dar primero el valor de x en el par ordenado. Punto

Par ordenado

A

1-6, - 12 1-2, 32

B

10, 22

C

14, -12

D

1-4, 02

E

16, 12

F

10, 02

G

2

✺

Determinar si un par ordenado es una solución de una ecuación lineal En la sección 6.9 aprenderemos a graficar ecuaciones lineales con dos variables. A continuación explicamos cómo identificar una ecuación lineal con dos variables. Una ecuación lineal con dos variables es una ecuación que puede ponerse en la forma ax + by = c donde a, b y c son números reales.

Las gráficas de las ecuaciones de la forma ax by c son líneas rectas. Por esta razón, tales ecuaciones se denominan lineales. Las ecuaciones lineales pueden escribirse de varias formas, como mostraremos más adelante. Una ecuación lineal en la forma ax by c se dice que está en la forma estándar. Ejemplos de ecuaciones lineales 4x - 3y = 12 y = 5x + 3 x - 3y + 4 = 0

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En los ejemplos, observe que sólo la ecuación 4x – 3y 12 está en forma estándar. Sin embargo, las dos últimas ecuaciones pueden escribirse en forma estándar, como sigue: y = 5x + 3

x - 3y + 4 = 0 x - 3y = - 4

- 5x + y = 3

La mayoría de las ecuaciones que hemos analizado hasta ahora sólo contenían una variable, con excepción de las fórmulas utilizadas en las secciones de aplicación. Considere la ecuación lineal con una variable, 2x 3 5. ¿Cuál es su solución? 2x + 3 = 5 2x = 2 x = 1 Esta ecuación sólo tiene una solución: 1. 2x + 3 = 5

Comprobación

?

2112 + 3 = 5 5 = 5

Verdadero.

Ahora consideremos la ecuación lineal con dos variables, y x 1. ¿Cuál es la solución? Ya que la ecuación tiene dos variables, su solución debe tener dos números, uno para cada variable. Un par de números que satisface esta ecuación es x 1 y y 2; para confirmar que esto es verdadero, sustituimos ambos valores en la ecuación. y = x + 1

Comprobación

?

2 = 1 + 1 2 = 2

Verdadero.

Escribimos esta respuesta como un par ordenado con los valores de x y y dentro de un paréntesis y separados por una coma. Recuerde que el valor de x siempre se anota primero, ya que la forma de un par ordenado es (x, y). Por tanto, una posible solución para esta ecuación es el par ordenado (1, 2). La ecuación y x 1 tiene otras posibles soluciones. A continuación mostramos otras tres soluciones y sus comprobaciones. Solución

Comprobación

Solución

x = 2, y = 3

x = - 3, y = - 2

y = x + 1

y = x + 1

?

?

3 = 2 + 1

-2 = -3 + 1

3 = 3

-2 = - 2

Verdadero.

Verdadero.

Solución 1 2 x = - ,y = 3 3 y = x + 1 2 ? 1 = - + 1 3 3 2 2 = Verdadero. 3 3

Solución escrita como un par ordenado 1 2 1-3, - 22 a- , b 12, 32 3 3

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¿Cuántas soluciones posibles tiene la ecuación y x 1? La ecuación y x 1 tiene un número ilimitado o infinito de soluciones posibles. Como no es posible anotarlas todas, las ilustramos como una gráfica.

DEFINICIÓN

Una gráfica de una ecuación es una ilustración de un conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

La figura 6.25a muestra los puntos (2, 3), (3, 2) y A - 13 , 23 B trazados en un sistema de coordenadas cartesianas. La figura 6.25b muestra una recta dibujada que pasa por los tres puntos. Se colocaron puntas de flecha en los extremos de la recta para mostrar que la recta continúa en ambas direcciones. Todo punto en esta recta satisface la ecuación y x 1, así que esta gráfica ilustra todas las soluciones de y x 1. El par ordenado (1, 2), que está en la recta, también satisface la ecuación. ¿Qué observó con respecto a los puntos 12, 32, 11, 22, A - 13 , 23 B y (3, 2) en la figura 6.25b? Quizá notó que están en una línea recta. Un conjunto de puntos que están en una recta se dice que son colineales. En la sección 6.9, cuando grafique ecuaciones lineales trazando puntos, los puntos que grafique deben ser colineales. y

y

5 4 3 2

5 4 3 2

5 4 3 2 1 1

x

1 2 3 4 5

5 4 3 2 1 1

2 3 4 5

1 2 3 4 5

x

2 3 4 5

(a)

FIGURA 6.25

yx1

(b)

EJEMPLO 3 Determine si los tres puntos dados son colineales. a) 12, 72, 10, 32 y 1- 2, -12 5 b) 10, 52, a , 0b y 15, - 52 2 c) 1 -2, -52, 10, 12 y 15, 82

Solución Trazamos los puntos para determinar si son colineales. La solución se muestra en la figura 6.26. y

y

y

8 6 4 2

8 6 4 2

8 6 4 2

8 6 4 2 4 6 8

FIGURA 6.26

2 4 6 8

Colineales (a)

x

8 6 4 2 2

2 4 6 8

4 6 8

Colineales (b)

x

8 6 4 2

(5, 8) No está en la recta 2 4 6 8

x

6 8

No colineales (c)

✺

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Para graficar una ecuación, necesitará determinar pares ordenados que satisfacen la ecuación y luego trazar los puntos. ¿Cuántos puntos se necesitan para graficar una ecuación lineal? Como se mencionó antes, la gráfica de toda ecuación lineal de la forma ax by c será una línea recta. Como sólo se necesitan dos puntos para dibujar una recta, sólo dos puntos son necesarios para graficar una ecuación lineal. Sin embargo, siempre es buena idea trazar al menos tres puntos. Vea la siguiente Sugerencia.

SUGERENCIA

Sólo se necesitan dos puntos para graficar una ecuación lineal, ya que la gráfica de toda ecuación lineal es una línea recta. Sin embargo, si usted grafica una ecuación lineal utilizando sólo dos puntos y comete un error al determinar o trazar uno de esos puntos, su gráfica será errónea y no lo sabrá. En las figura 6.27a y b, sólo trazamos dos puntos para mostrar que si uno de los dos puntos trazados es incorrecto, la gráfica será incorrecta. En ambas figuras 6.27a y b, utilizamos el par ordenado (2, 2). Sin embargo, en la figura 6.27a el segundo punto es (1, 2), mientras que en la figura 6.27b el segundo punto es (2, 1). Observe cómo difieren las dos gráficas. Si utiliza al menos tres puntos para trazar su gráfica, como en la figura 6.25b en la página 444 y son colineales, probablemente no haya cometido un error. y

y

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 (2, 2) 2 3 4 5

(1, 2) 1 2 3 4 5

x

5 4 3 2 1 (2, 2) 2 3 4 5

(a)

FIGURA 6.27

(2, 1) 1 2 3 4 5

x

(b)

EJEMPLO 4 a) Determine cuál de los siguientes pares ordenados satisfacen la ecuación 2x y 4.

12, 02, 10, 42, 13, 32, 1-1, 62

b) Trace todos los puntos que satisfacen la ecuación, en los mismos ejes, y dibuje una recta que pase por los puntos. c) ¿Qué representa esta recta?

Solución a) Sustituimos los valores para x y y en la ecuación 2x y 4 y determinamos si satisfacen la ecuación. Comprobación

12, 02 2x + y 2122 + 0 4 13, 32 2x + y 2132 + 3 9

= 4 ? = 4 = 4 Verdadero. = 4 ? = 4 = 4 Falso.

10, 42 2x + y = ? 2102 + 4 = 4 = 1-1, 62 2x + y = ? 21-12 + 6 = 4 =

4 4 4 Verdadero. 4 4 4 Verdadero.

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y

(1, 6)

Los pares ordenados (2, 0), (0, 4) y (1, 6) satisfacen la ecuación. El par ordenado (3, 3) no satisface la ecuación.

7 6 4 3 2 1

b) La figura 6.28 muestra los tres puntos que satisfacen la ecuación. Una recta dibujada por los tres puntos muestra que son colineales.

(0, 4)

5 4 3 2 1 1

c) La recta representa todas las soluciones de 2x y 4. Las coordenadas de todo punto en esta recta satisfacen la ecuación 2x y 4. ✺

(2, 0) 1 2 3 4 5

x

2 3

FIGURA 6.28

Solución de problemas Considere la ecuación lineal y 3x 4. En los ejercicios 1 a 4, determine el valor de y que hace al par ordenado una solución para la ecuación. 1. 12, y2

2. 1 - 1, y2

3. 10, y2

4. 13, y2

Considere la ecuación lineal 2x + 3y = 12. En los ejercicios 5 a 8, determine el valor de y que hace al par ordenado una so1 lución para la ecuación. a , yb 5. 13, y2 6. 10, y2 7. 8. 1- 5, y2 2 queo, o de izquierda a derecha en un mapa del mundo. La localización del huracán George y de la tormenta tropical Hermine se indican en el mapa de la derecha.

9. ¿Cuál es el valor de y en el punto en donde una recta corta al eje x? Explique. 10. ¿Cuál es el valor de x en el punto en donde una recta corta al eje y? Explique.

a) Estime la latitud y la longitud del huracán George. b) Determine la latitud y la longitud de la tormenta tropical Hermine.

11. Longitud y latitud Otro tipo de sistema de coordenadas que se utiliza para identificar una posición en la superficie de la Tierra incluye la latitud y la longitud. En un globo terráqueo, las rectas longitudinales son rectas que van de arriba hacia abajo; en un mapa del mundo van arriba y abajo. Las rectas de latitud van alrededor del globo terrá-

c) Calcule la latitud y la longitud de la ciudad de Miami. d) Utilice un mapa o un globo terráqueo para estimar la latitud y longitud de su escuela.

35N New Orleans

SEGUIMIENTO DE LAS TORMENTAS Pensacola

30N

Fort Lauderdale Miami

Tormenta tropical Hermine

20N Guadeloupe

15N 10N 5N 95W 90W 85W 80W 75W 70W 65W 60W 55W 50W 45W

Longitud Fuente: Servicio Metereológico Nacional.

Latitud

25N

Huracán Georges

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6.9 GRAFICACIÓN DE ECUACIONES LINEALES 1 2 3 4 5

Graficar ecuaciones lineales por medio del trazo de puntos. Graficar ecuaciones lineales de la forma ax + by = 0. Graficar ecuaciones lineales utilizando las intersecciones x y y . Graficar rectas horizontales y verticales. Estudiar aplicaciones de gráficas.

En la sección 6.8 explicamos el sistema de coordenadas cartesianas, cómo trazar puntos y cómo reconocer ecuaciones lineales con dos variables.Ahora estamos preparados para graficar ecuaciones lineales. En esta sección analizaremos dos métodos para graficar ecuaciones lineales: (1) graficación mediante el trazo de puntos, y (2) graficación por medio de las intersecciones con los ejes x y y. En la sección 6.11 analizamos la graficación por medio de la pendiente y la intersección con el eje y.

1

Graficar ecuaciones lineales por medio del trazo de puntos La graficación por medio del trazo de puntos es el método más popular y versátil de graficación, ya que también podemos usarlo para graficar ecuaciones de segundo grado y de grados superiores. En el bloque X graficaremos ecuaciones cuadráticas, que son ecuaciones de segundo grado, trazando puntos.

Para graficar ecuaciones lineales mediante el trazo de puntos 1. Despeje la variable y en la ecuación lineal. Esto es, deje sola la variable y en el lado izquierdo del signo de igual. 2. Seleccione un valor para la variable x. Sustituya este valor en la ecuación para x y determine el correspondiente valor de y. Registre el par ordenado (x, y). 3. Repita el paso 2 con dos valores diferentes de x. Esto dará dos pares ordenados adicionales. 4. Trace los tres pares ordenados. Los tres puntos deben ser colineales. Si no, revise su trabajo en busca de errores. 5. Con una regla, dibuje una recta que pase por los tres puntos. Dibuje puntas de flecha en cada extremo de la línea, para mostrar que la recta continúa de forma indefinida en ambas direcciones.

En el paso 1 debe despejar y. Aunque no es necesario hacer esto para graficar la ecuación, puede darse una idea de qué valores seleccionar para la variable en el paso 2. Si ha olvidado cómo despejar y en la ecuación. Al seleccionar los valores en el paso 2, debe seleccionar valores enteros de x, de forma que, si es posible, el resultado sean valores enteros para y. Además, debe seleccionar valores de x que sean pequeños, de forma que el par ordenado obtenido puede graficarse en los ejes. Ya que con frecuencia es fácil determinar y cuando x 0, 0 siempre es un buen valor para x.

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EJEMPLO 1 Grafique la ecuación y 3x 6. Solución Primero determinamos que ésta es una ecuación lineal; por tanto, su gráfica debe ser una línea recta. La y ya está despejada. Seleccionamos tres valores para x, los sustituimos en la ecuación y determinamos los valores correspondientes para y. De forma arbitraria, seleccionamos para x los valores 2, 0 y 1. Los siguientes cálculos muestran que cuando x 2, y 0, cuando x 0, y 6, y cuando x 1, y 9.

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

(2, 0)

(1, 9) (0, 6)

5 4 3 2 1 1

1 2 3 4 5

x

(3, 3)

9 8 7 6 5 4 3 2 1

2 3

FIGURA 6.30

-2

y = 31- 22 + 6 = 0 y = 3102 + 6 = 6 y = 3112 + 6 = 9

0 1

Par ordenado 1- 2, 02 10, 62 11, 92

x

y

-2

0

0

6

1

9

Para graficar la ecuación y 3x 6, de manera arbitraria utilizamos los tres valores x 2, x 0 y x 1. Podríamos haber seleccionado tres valores completamente diferentes y obtener exactamente la misma gráfica.Al seleccionar valores para sustituirlos por x, utilizamos valores que faciliten la evaluación de la ecuación. La gráfica del ejemplo 1 representa a todos los pares ordenados que satisfacen la ecuación y 3x 6. Si seleccionamos cualquier punto en esta recta, el par ordenado representado por ese punto será una solución de la ecuación y 3x 6. De forma similar, cualquier solución de la ecuación será representada por un punto en la recta. Seleccionamos algunos puntos en la recta, digamos, (1, 3) y (3, 3), y verificamos que son soluciones de la ecuación (figura 6.30).

y

5 4 3 2 1 1

y = 3x + 6

Es conveniente listar en una tabla los valores de x y de y. Luego trazamos los tres pares ordenados en los mismos ejes (figura 6.29). Como los tres puntos son colineales, la gráfica es correcta. Conectamos los tres puntos con una recta y colocamos puntas de flecha en los extremos de la línea para mostrar que la línea continúa de forma infinita en ambas direcciones. ✺

FIGURA 6.29

(1, 3)

x

Comprobación 1 2 3 4 5

x

1-1, 32

Comprobación

y = 3x + 6 ? 3 = 31-12 + 6 ? 3 = -3 + 6 3 = 3 Verdadero.

1- 3, -32

y = 3x + 6 ? - 3 = 31-32 + 6 ? -3 = -9 + 6 -3 = - 3 Verdadero.

Recuerde, una gráfica de una ecuación ilustra el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

EJEMPLO 2 Grafique 3y = 5x - 6. Solución Comenzamos por despejar y en la ecuación. Esto nos ayudará a seleccionar valores para x. Para despejar y, dividimos ambos lados de la ecuación entre 3. 3y = 5x - 6 5x - 6 y = 3 5x 6 y = 3 3 5 y = x - 2 3

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Ahora podemos ver si seleccionamos valores para x que sean múltiplos de 3, los valores que se obtengan para y serán enteros. Seleccionemos los valores 3, 0 y 3 para x,

y 3 2 1

(3, 3)

y =

5 4 3 2 1 1

(3, 7)

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6 7

x

Sea x = - 3

(0, 2)

Sea x = 0 Sea x = 3

FIGURA 6.31

5 x - 2 3

5 1-32 - 2 = - 5 - 2 = - 7 3 5 y = 102 - 2 = - 2 3 5 y = 132 - 2 = 5 - 2 = 3 3 y =

x

y

-3

-7

0

-2

3

3

Por último, trazamos los puntos y dibujamos la línea recta (figura 6.31).

2

✺

Graficar ecuaciones lineales de la forma ax + by = 0 En el ejemplo 3 graficamos una ecuación de la forma ax by 0, que es una ecuación lineal cuya constante es 0.

EJEMPLO 3 Grafique la ecuación 2x 5y 0. Solución Empezamos por despejar y en la ecuación. 2x + 5y = 0 5y = - 2x y = -

2x 5

2 o bien y = - x 5

Ahora seleccionamos valores para x y determinamos los valores correspondientes de y. ¿Qué valores para x deberíamos seleccionar? Observe que el coeficiente del término en x es una fracción, con denominador 5. Si seleccionamos valores para x que sean múltiplos del denominador, como p, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15, p, el 5 en el denominador se cancelará. Esto nos dará valores enteros para y. De forma arbitraria seleccionamos los valores x 5, x 0 y x 5. y

(5, 2)

5 4 3 2 1

y = Sea x = - 5

(0, 0)

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

1

3 4 5

(5, 2)

x

Sea x = 0 Sea x = 5

2 x 5

2 y = a- b1- 52 = 2 5 2 y = a- b102 = 0 5 2 y = - 152 = - 2 5

x

y

-5

2

0

0

5

-2

FIGURA 6.32

Ahora trazamos los puntos y dibujamos la gráfica (figura 6.32).

✺

La gráfica en el ejemplo 3 pasa por el origen. La gráfica de toda ecuación lineal con constante de 0 (ecuaciones de la forma ax by 0) pasarán por el origen.

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3

Graficar ecuaciones lineales utilizando las intersecciones x y y

y

(2, 0)

9 8 7 6 5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 1

(1, 9) intersección y (0, 6)

intersección x 1 2 3 4 5

Ahora analizamos la graficación de ecuaciones lineales por medio de las intersecciones con los ejes x y y. La intersección x es el punto en que la gráfica cruza al eje x, y la intersección y, es el punto en que la gráfica cruza al eje y. Considere la gráfica en la figura 6.33, que es la gráfica que dibujamos en el ejemplo 1. Observe que la gráfica cruza al eje x en 2. Por tanto, (2, 0) es la intersección x. Como la gráfica cruza al eje x en 2, podríamos decir que la intersección x está en 2 (en el eje x). En general, la intersección x es (x, 0), y la intersección x está en x (en el eje x). Observe que la gráfica en la figura 6.33 cruza al eje y en 6. Por tanto, (0, 6) es la intersección y. Como la gráfica cruza al eje y en 6, podríamos decir que la intersección y está en 6 (en el eje y). En general, la intersección y está en y (en el eje y). Observe que la gráfica en la figura 6.32 cruza ambos ejes en el origen. Por tanto, lo mismo la intersección x como la intersección y son (0, 0). Con frecuencia es conveniente graficar ecuaciones lineales determinando sus intersecciones x y y. Para graficar una ecuación por medio de las intersecciones x y y utilice el siguiente procedimiento.

x

Para graficar ecuaciones lineales por medio de las intersecciones x y y

2 3

FIGURA 6.33

1. Determine la intersección y, haciendo x igual a cero en la ecuación dada y encontrando el valor correspondiente de y. 2. Determine la intersección x, haciendo y igual a cero en la ecuación dada y encontrando el valor correspondiente de x. 3. Determine un punto de prueba, seleccionando un valor diferente de cero para x y encontrando el valor correspondiente de y. 4. Trace la intersección y (en donde la gráfica cruza el eje y), la intersección x (en donde la gráfica cruza al eje x) y el punto de prueba. Los tres puntos deben ser colineales. Si no es así, compruebe su trabajo. 5. Con una regla, dibuje una línea recta que pase por los tres puntos. Dibuje puntas de flecha en ambos extremos de la línea para mostrar que la recta se prolonga de manera indefinida en ambas direcciones.

SUGERENCIA

Como sólo se necesitan dos puntos para determinar una recta, no es absolutamente necesario determinar y trazar el punto de prueba en el paso 3. Sin embargo, si sólo utiliza las intersecciones x y y para dibujar su gráfica y uno de esos puntos está equivocado, su gráfica será incorrecta y no se dará cuenta. Siempre es buena idea utilizar tres puntos al graficar una ecuación lineal.

EJEMPLO 4 Grafique la ecuación 3y 6x 12 por medio del trazo de las intersecciones x y y. Solución Para determinar la intersección y (en donde la gráfica cruza al eje y), haga x 0 y determine el valor correspondiente de y. 3y = 6x + 12 3y = 6102 + 12 3y = 0 + 12

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3y = 12 y =

12 = 4 3

La gráfica cruza el eje y en 4. El par ordenado que representa la intersección y es (0, 4). Para determinar la intersección x (donde la gráfica cruza al eje x), haga y 0 y determine el valor correspondiente de x. 3y = 6x + 12

y 9 8 7 6 5 4

0 = 6x + 12

Punto de prueba (2, 8)

-12 = 6x - 12 = x 6

(0, 4)

2 1

(2, 0) 5 4 3

3102 = 6x + 12

1 1

-2 = x x

1 2 3 4 5

La gráfica cruza al eje x en 2. El par ordenado que representa la intersección x es (2, 0), Ahora trace las intersecciones (figura 6.34). Antes de graficar la ecuación, seleccione un valor diferente de cero para x, determine el valor correspondiente de y y asegúrese que es colineal con las intersecciones x y y. Este tercer punto es el de prueba.

FIGURA 6.34

Sea x = 2 3y = 6x + 12 3y = 6122 + 12 3y = 12 + 12 3y = 24 y =

24 = 8 3

Trace el punto de prueba (2, 8). Como los tres puntos son colineales, dibuje la línea recta que pasa por los tres puntos. ✺

EJEMPLO 5 Grafique la ecuación 2x 5y 12 determinando las intersecciones x y y. Solución

Sea x = 0

y 5 4 3

(0, P)

(1, 2)

1

3 2 1 1

Determinación de la Determinación de la intersección y intersección x

(6, 0) 1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5

FIGURA 6.35

x

Sea y = 0

Punto de prueba Sea x = 1

2x + 5y = 12

2x + 5y = 12

2x + 5y = 12

2102 + 5y = 12

2x + 5102 = 12

2112 + 5y = 12

0 + 5y = 12

2x + 0 = 12

2 + 5y = 12

5y = 12 12 y = 5

2x = 12

5y = 10

x = 6

y = 2

Los tres pares ordenados son A 0, 125 B , (6, 0) y (1, 2). Los tres puntos son colineales. Dibuje una línea recta que pase por los tres puntos (figura 6.35). ✺

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EJEMPLO 6 Grafique la ecuación y 20x 60. Solución

120

(3, 120) Punto de prueba

90

Sea x = 3

y = 20x + 60

y = 20x + 60

y = 20x + 60

y = 20102 + 60

0 = 20x + 60

y = 20132 + 60

y = 60

y = 60 + 60

-60 = 20x -3 = x

30

1 2 3 4 5

x

30

y = 120

Los tres pares ordenados son (0, 60), (3, 0) y (3, 120). Como los valores de y son grandes, hacemos que cada intervalo en el eje y sea de 15 unidades en lugar de 1 (figura 6.36). En ocasiones tendrá que utilizar escalas diferentes en los ejes x y y, como se ilustró, para ajustar la gráfica. Ahora trazamos los puntos y dibujamos la gráfica. ✺ Al seleccionar las escalas en sus ejes, debe darse cuenta que diferentes escalas tendrán como resultado que la misma ecuación tenga diferente apariencia. Considere las gráficas que se muestran en la figura 6.37; ambas representan la misma ecuación, y x. En la figura 6.37a ambos ejes, x y y, tienen la misma escala. En la figura 6.37b, los ejes no tienen la misma escala. Ambas gráficas son correctas en el sentido que representan la gráfica y x. La diferencia de apariencia es debida a las escalas diferentes en el eje x. Cuando sea posible, conserve la misma escala en ambos ejes, como en la figura 6.37a.

FIGURA 6.36

y

y yx

4 3 2 1 4 3 2 1 1

1 2 3 4

FIGURA 6.37

yx

4 3 2 1

x

4

3

2

2 3 4

4

Punto de prueba

Sea y = 0

(0, 60)

(3, 0) 5 4 3 2 1

Determinación de la intersección x

Sea x = 0

y

60

Determinación de la intersección y

1 1 2 3 4

(a)

1

2

3

4

x

(b)

Graficar rectas horizontales y verticales Cuando una ecuación lineal sólo tiene una variable, su gráfica será una recta horizontal o bien una vertical, como se explica en los ejemplos 7 y 8.

EJEMPLO 7 Grafique la ecuación y 3. Solución Esta ecuación puede escribirse como y 3 0x. Por tanto, para cualquier valor seleccionado de x, y será igual a 3. La gráfica de y 3 se muestra en la figura 6.38. y 5 4

y3

2 1 5 4 3 2 1 1

FIGURA 6.38

2 3 4 5

1 2 3 4 5

x

✺

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La gráfica de una ecuación de la forma y b es una recta horizontal cuya intersección y es (0, b).

EJEMPLO 8 Grafique la ecuación x 2. Solución Esta ecuación puede escribirse como x 2 0y. Así que, para cualquier valor seleccionado de y, x tendrá un valor de 2. La gráfica de x 2 se ilustra en la figura 6.39. y

x 2 5 4 3

FIGURA 6.39

5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

x

✺

La gráfica de una ecuación de la forma x a es una recta vertical cuya intersección x es (a, 0).

5

Estudiar aplicaciones de gráficas Antes de terminar esta sección, veamos una aplicación de la graficación. Veremos más aplicaciones de graficación de ecuaciones lineales en las secciones 6.11 y 6.12.

EJEMPLO 9

Salario semanal Carol Smith se graduó recientemente. Ella aceptó un puesto como gerente en formación del departamento de ventas en un almacén de muebles, en donde le pagan un salario semanal más una comisión por las ventas. Ella recibirá un salario de $300 a la semana más una comisión de 7% sobre todas las ventas, s. a) Determine una ecuación para el salario, R, que recibirá Carol en términos de las ventas, s. b) Grafique el salario para ventas de $0 hasta e incluyendo $20,000. c) Con base en la gráfica, estime el salario de Carol si sus ventas de la semana son $15,000. d) Con base en la gráfica, estime las ventas que necesita hacer Carol para ganar un salario semanal de $900.

Solución a) Como s es el monto de las ventas, una comisión de 7% sobre s dólares en ventas es 0.07s. salario recibido = $300 + comisión R = 300 + 0.07s b) Seleccionamos tres valores para s y determinamos los valores correspondientes de R. R = 300 + 0.07s Sea s = 0 Sea s = 10,000 Sea s = 20,000

R = 300 + 0.07102 = 300 R = 300 + 0.07110,0002 = 1000 R = 300 + 0.07120,0002 = 1700

s

R

0 300 10,000 1000 20,000 1700

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La gráfica se ilustra en la figura 6.40. Observe que como sólo graficamos la ecuación para valores de s de 0 a 20,000, no colocamos puntas de flecha en los extremos de la gráfica. R Salario recibido ($100)

18

R 300 0.07s

16 14 12 10 8 6 4 2 2

FIGURA 6.40

4

6

8 10 12 14 16 18 20

s

Ventas ($1000)

c) Para determinar el salario semanal de Carol sobre ventas de $15,000, ubicamos $15,000 en el eje de las ventas. Luego dibujamos una recta vertical hacia arriba hasta intersecar la gráfica, la línea roja discontinua en la figura 6.40. Ahora dibujamos una línea horizontal que corte el eje del salario. Como la línea horizontal corta al eje del salario en alrededor de $1350, las ventas semanales de $15,000 resultarían en un salario semanal de alrededor de $1350. Podemos determinar el salario exacto sustituyendo 15,000 por s en la ecuación R 300 0.07s y determinando el valor de R. Hágalo ahora. d) Para determinar las ventas necesarias para que Carol gane un salario semanal de $900, encontramos $900 en el eje del salario. Luego dibujamos una línea horizontal desde el punto a la gráfica, como se muestra con la línea gris punteada en la figura 6.40. Luego dibujamos una línea vertical desde el punto de intersección de la gráfica hacia el eje de las ventas. Este valor en el eje de las ventas representa las ventas necesarias para que Carol gane $900. Por tanto, las ventas de alrededor de $8,600 a la semana resultarían en un salario de $900. Podemos determinar una respuesta exacta sustituyendo 900 por R en la ecuación R 300 0.07s y despejando s en la ecuación. Hágalo ahora. ✺

6.10 PENDIENTE DE UNA RECTA 1 2 3 4

1

Determinar la pendiente de una recta. Reconocer pendientes positivas y negativas. Examinar las pendientes de rectas horizontales y verticales. Examinar las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares.

Determinar la pendiente de una recta En esta sección analizamos la pendiente de una recta. En el siguiente recuadro de Sugerencia analizamos las similitudes entre pendiente como se utiliza comúnmente y la pendiente de una recta.

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SUGERENCIA

Pendiente Con frecuencia nos enfrentamos con pendientes en la vida diaria. Una autopista (o una rampa) puede tener una inclinación (o pendiente) de 8%. Un te6 cho puede tener una inclinación (o pendiente) de . La pendiente es una medida de 15 la inclinación que puede determinarse dividiendo el cambio vertical, denominado elevación, entre el cambio horizontal, denominado desplazamiento. 8 , esto sigSuponga que un camino tiene una inclinación de 8%. Como 8% = 100 nifica que el camino desciende (o asciende) 8 pies por cada 100 pies de longitud hori6 zontal. Una inclinación de de un techo significa que el techo desciende 6 pies por 15 cada 15 pies de longitud horizontal.

6 pies 15 pies 8 pies (elevación) 100 pies (desplazamiento)

Cuando determinamos la pendiente de una recta, también estamos calculando una razón del cambio vertical al cambio horizontal. La diferencia principal es que cuando determinamos la pendiente de una recta que no sea horizontal ni vertical, la pendiente puede ser un número positivo o un número negativo, como se explicará dentro de poco.

La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la recta. La pendiente de una recta es un concepto importante en muchas áreas de matemáticas. Un conocimiento de la pendiente es útil en la comprensión de ecuaciones lineales. Ahora definimos la pendiente de una recta.

DEFINICIÓN

La pendiente de una recta es una razón del cambio vertical al cambio horizontal entre cualesquiera dos puntos seleccionados de la recta. Como ejemplo, considere la recta que pasa por los puntos (3, 6) y (1, 2) (figura 6.41a). Si dibujamos una recta paralela al eje x que pase por el punto (1, 2) y una recta paralela al eje y que pase por el punto (3, 6), las dos rectas se intersecan en (3, 2), figura 6.41b. Con base en la figura, podemos determinar la pendiente de la recta. El cambio vertical (a lo largo del eje y) es 6 2 o 4 unidades. El cambio horizontal (a lo largo del eje x) es 3 1 o 2 unidades. cambio vertical 4 pendiente = = = 2 cambio horizontal 2 y

TEACHING TIP Draw 3 lines, one with a steep slope, one with a shallow slope, and one with a slope of zero. Have students label the lines as steep, shallow, or horizontal and explain their answer. Then point out that mathematics allows us to quantify the steepness of a line.

7 6

7

(3, 6)

6

5

5

4

4

3

3

2

2

(1, 2)

1 2 1

FIGURA 6.41

y

1

2

(a)

3

1 4

5

6

x

2 1

(3, 6) (1, 2) Cambio vertical, 624 (3, 2) Cambio horizontal, 3 1 2 x 1 2 3 4 5 6

(b)

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Por lo que la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos es 2. Al examinar la recta que conecta estos dos puntos, podemos ver que cuando la gráfica se mueve hacia arriba dos unidades en el eje y, se mueve 1 unidad a la derecha en el eje x (figura 6.42). Ahora presentamos un procedimiento para determinar la pendiente de una recta entre cualesquiera dos puntos (x1, y1) y (x2, y2). Considere la figura 6.43. El cambio vertical puede determinarse restando y1 de y2 y el cambio horizontal puede determinarse restando x1 de x2.

y 7 6

1 más

5 4 3

2 arriba

2 1 2 1

1

2

3

4

5

6

y

x

Punto 2 (x2, y2)

y2

FIGURA 6.42

Cambio vertical, y2 y1

Punto 1 (x1, y1)

y1

(x2, y1)

x1

FIGURA 6.43

x2

x

Cambio horizontal, x2 x1

Pendiente de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) cambio en y (cambio vertical)

pendiente =

cambio en x (cambio horizontal)

=

y2 - y1 x2 - x1

No importa cuáles dos puntos elija para determinar la pendiente de una recta. Tampoco importa cuál punto señale como (x1, y1) o (x2, y2). Con frecuencia se utiliza la letra griega delta mayúscula, , para representar las palabras “el cambio en”. Así, y se lee, el cambio en y, y x se lee, el cambio en x. Por tanto, la pendiente, que se simboliza con la letra m, se indica como m =

¢y y2 - y1 = x2 - x1 ¢x

EJEMPLO 1 Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (6, 1) y (3, 5). Solución Designaremos a (6, 1) como (x1, y1) y a (3, 5) como (x2, y2). y2 - y1 x2 - x1 5 - 1- 12 = 3 - 1- 62 6 2 5 + 1 = = = 3 + 6 9 3

m =

2

Por tanto, la pendiente es 3 . Si designamos (3, 5) como (x1, y1) y a (6, 1) como (x2, y2), obtendríamos los mismos resultados, y2 - y1 m = x2 - x1 =

-1 - 5 -6 2 = = -6 - 3 -9 3

✺

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En ocasiones los estudiantes restan las x y las y en la fórmula de la pendiente en un orden erróneo. Por ejemplo, con el problema del ejemplo 1: m =

5 - 1-12 y2 - y1 5 + 1 6 2 = = = = x1 - x2 -6 - 3 -6 - 3 -9 3

Observe que al restar en este orden erróneo resulta una pendiente negativa, cuando la pendiente real de la recta es positiva. El mismo error del signo ocurrirá cada vez que la resta se haga de forma incorrecta.

2

Reconocer pendientes positivas y negativas Una recta para la que el valor de y aumenta cuando x aumenta tiene una pendiente positiva (figura 6.44a). Una recta con pendiente positiva asciende cuando se mueve de izquierda a derecha. Una recta para la que el valor de y disminuye cuando x aumenta tiene una pendiente negativa (figura 6.44b). Una recta con pendiente negativa desciende cuando se mueve de izquierda a derecha. Pendiente positiva

Pendiente negativa y

y

x

x

FIGURA 6.44

La recta asciende de izquierda a derecha (a)

La recta desciende de izquierda a derecha (b)

EJEMPLO 2 Considere la recta en la figura 6.45. a) Determine la pendiente de la recta observando el cambio vertical y el cambio horizontal entre los puntos (1, 5) y (0, 2). b) Calcule la pendiente de la recta utilizando los dos puntos dados.

Solución a) Lo primero que debe observar es que la pendiente es positiva, ya que la recta Aumenta 1 unidad y 7 6

(1, 5)

5

Aumenta 3 unidades

4 3 2

(0, 2)

1 7 6 5 4 3 2

1 2 3

FIGURA 6.45

1

2

3

x

asciende de izquierda a derecha. Ahora determine el cambio vertical entre los dos puntos. El cambio vertical es de 3 unidades.Ahora determine el cambio horizontal entre los dos puntos. El cambio horizontal es 1 unidad. Como la pendiente es la razón del cambio vertical al cambio horizontal, entre cualesquiera dos puntos, y como la pendiente es positiva, la pendiente de la recta es 31 o 3. b) Podemos utilizar cualesquiera dos puntos de la recta para determinar su pendiente. Como nos dieron los pares ordenados (1, 5) y (0, 2), los utilizaremos. Sea 1x2 , y22 el punto 11, 52. Sea 1x1 , y12 el punto 10, 22. y2 - y1 5 - 2 3 m = = = = 3 x2 - x1 1 - 0 1 Observe que la pendiente obtenida en el inciso b) coincide con la pendiente obtenida en la parte a). Si designamos (1, 5) como (x1, y1) y (0, 2) como (x2, y2), la pendiente no deberá cambiar. Inténtelo y vea que aún obtendrá una pendiente de 3. ✺

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EJEMPLO 3 Determine la pendiente de la recta en la figura 6.46, observando el cambio vertical y horizontal entre los dos puntos mostrados. y 7 5 4

Disminuye 3 unidades

3 2 1

2 1 1 2 3

FIGURA 6.46

1

2

3

4

5

6

7

8

x

Aumenta 4 unidades

Solución Como la gráfica desciende de izquierda a derecha, debe tener en cuenta que la pendiente de la recta es negativa. El cambio vertical entre los dos puntos dados es 3 unidades, ya que está disminuyendo. El cambio horizontal entre los dos puntos dados es 4 unidades, ya que está aumentando. Como la razón del cambio vertical al cambio horizontal es 3 unidades a 4 unidades, la pendiente de la recta es -3 3 ✺ 4 o - 4. Con los dos puntos que se muestran en la figura 6.46 y la definición de pendiente, calcule la pendiente de la recta del ejemplo 3. Debe obtener la misma respuesta.

EJEMPLO 4 Pelotas de golf Con los avances tecnológicos en la industria de equipo de golf, las pelotas de golf vuelan más lejos. La gráfica en la figura 6.47 muestra la distancia promedio (a la yarda más cercana) de los 10 drives más largos en los años seleccionados de los últimos diez años. Los 10 drives más largos (distancia promedio) 305

Distancia (yardas)

300

299

295 290

288

285

283

280 275 0

290

279 275 1992

1994

1996

1998

2000

2002

Año

FIGURA 6.47

Fuente: Asociación de Golfistas Profesionales.

El aumento de 1992 a 2000 es casi lineal. La línea en rojo puede utilizarse para estimar la distancia promedio de los drives de 1992 a 2000. a) Utilice los puntos (1992, 275) y (2000, 290), que están en la línea roja, para determinar la pendiente de esta línea. b) Determine la pendiente de la línea negra que va de 2000 a 2002.

Solución a) Para determinar la pendiente, divida el cambio en la distancia, en el eje vertical, entre el cambio en años, en el eje horizontal. Utilizaremos (2000, 290) como (x2, y2) y (1992, 275) como (x1, y1).

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m =

y2 - y1 distancia en 2000 - distancia en 1992 290 - 275 15 = = = x2 - x1 2000 - 1992 8 8

15 . 8 b) Dos puntos en la línea negra son (2002, 299) y (2000, 290).

Por tanto, la pendiente de la línea roja es

m =

distancia en 2002 - distancia en 2000 299 - 290 9 = = 2002 - 2000 2 2

9 Por tanto, la pendiente de la línea negra es . 2

3

✺

Examinar las pendientes de rectas horizontales y verticales y 6 4 3 2 1

3 2 1 1

Ahora consideramos la pendiente de rectas horizontales y verticales. Considere la gráfica de y 5 (figura 6.48). ¿Cuál es su pendiente? La gráfica es paralela al eje x y pasa por los puntos (2, 5) y (6, 5). De forma arbitraria seleccionamos (6, 5) como (x2, y2) y (2, 5) como (x1, y1). Entonces la pendiente de la recta es

y5 (2, 5) (6, 5)

1 2 3 4 5 6 7

x

2 3 4

m =

y2 - y1 5 - 5 0 = = = 0 x2 - x1 6 - 2 4

Como no hay cambio en y, la recta tiene pendiente de 0. Observe que cualesquiera dos puntos de la recta darían la misma pendiente, 0.

FIGURA 6.48

Toda recta horizontal tiene pendiente de 0.

Ahora analizamos las rectas verticales. Considere la gráfica de x 2 (figura 6.49). ¿Cuál es su pendiente? La gráfica es paralela al eje y y pasa por los puntos (2, 1) y (2, 4). De forma arbitraria seleccionamos (2, 4) como (x2, y2) y (2, 1) como (x1, y1). Entonces la pendiente de la recta es

y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

FIGURA 6.49

4

(2, 4) x2 (2, 1) 1

3 4 5

x

m =

y2 - y1 4 - 1 3 = = x2 - x1 2 - 2 0

Como 30 está indefinido, decimos que la pendiente de esta recta está indefinida. La pendiente de cualquier recta vertical está indefinida.

Examinar las pendientes de rectas paralelas y perpendiculares Dos rectas son paralelas cuando no se intersecan, sin importar lo que se extiendan. La figura 6.50, en la página 334, ilustra dos rectas paralelas. Si calculamos la pendiente de la recta 1 utilizando los puntos dados, obtenemos una pendiente de 3. Si calculamos la pendiente de la recta 2, obtenemos una pendiente de 3. (Para verificar esto, ahora debe calcular las pendientes de ambas rectas.) Observe que ambas rectas tienen la misma pendiente. Cualesquiera dos rectas no verticales que tienen la misma pendiente son rectas paralelas.

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y 7 6 5

Recta 1

(0, 6)

4

Recta 2

3 2 1

(2, 0)

6 5 4 3 2 1 1

(1, 0) 1

2

3

4

5

6

x

2 3 4

(0, 3)

5

FIGURA 6.50

Rectas paralelas Dos rectas no verticales con la misma pendiente y diferentes intersecciones y son paralelas. Cualesquiera dos rectas verticales son paralelas entre ellas.

EJEMPLO 5 a) Dibuje una recta con pendiente 12 que pase por el punto (2, 3). b) En el mismo sistema de ejes, dibuje una recta con pendiente de 12 que pase por el punto (1, 3). c) ¿Las rectas de los incisos a) y b) son paralelas? Explique.

Solución a) Coloque un punto en (2, 3). Como la pendiente es 12 , positivo, a partir del punto (2, 3) muévase hacia arriba 1 unidad y hacia la derecha 2 unidades para obtener un segundo punto. Dibuje una recta que pase por los dos puntos; vea la línea gris en la figura 6.51. y 6 5

2

4

(4, 4)

1

3

(2, 3)

2 1 6 5 4 3 2 1 1

2

1

3 4 5

FIGURA 6.51

1

2

3

4

5

6

x

(1, 2) (1, 3)

6

b) Coloque un punto en (1, 3). A partir del punto (1, 3) muévase 1 unidad hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha para obtener un segundo punto. Dibuje una recta que pase por los dos puntos; vea la línea roja en la figura 6.51. c) Las rectas en la gráfica parecen paralelas. Como ambas rectas tienen la misma pendiente, 12 , son rectas paralelas. ✺ Ahora consideraremos rectas perpendiculares. Dos rectas son perpendiculares cuando forman un ángulo recto (90°). La figura 6.52 de la página siguiente ilustra dos rectas perpendiculares. Si calculamos la pendiente de la recta 1 utilizando el punto dado, obtenemos una pendiente de 12 . Si calculamos la pendiente de la recta 2 utilizando los puntos

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y 6

Recta 2

5 4 3 2 1

(2, 1) (5, 0)

6 5 4 3 2 1 1

Recta 1

1

2

3

4

5

6

x

(4, 2)

2 3 4 5 6

FIGURA 6.52

dados, obtenemos una pendiente de 2. (Para verificar esto, ahora debe calcular las pendientes de ambas rectas.) Observe el producto de sus pendientes, 21 1- 22, es 1. Cualesquiera dos números cuyo producto es 1 se dice que son recíprocos negativos uno del otro. En general, si m representa un número, su recíproco negativo será - m1 , ya que m A - m1 B = - 1. Cualesquiera dos rectas con pendientes que son recíprocas negativas una de la otra, son rectas perpendiculares. Rectas perpendiculares Dos rectas cuyas pendientes son recíprocas negativas una de la otra, son rectas perpendiculares. Cualquier recta vertical es perpendicular a cualquier recta horizontal.

EJEMPLO 6 a) Dibuje una recta con pendiente de 3 que pase por el punto (2, 3). b) En el mismo sistema de ejes, dibuje una recta con pendiente de 13 que pase por el punto (1, 3). c) ¿Son perpendiculares las dos rectas de los incisos a) y b)? Explique.

Solución a) Coloque un punto en (2, 3). Una pendiente de 3 significa

-3 1 .

Ya que la pendiente es negativa, a partir del punto (2, 3) muévase hacia abajo 3 unidades y hacia la derecha 1 unidad para obtener un segundo punto. Dibuje una recta que pase por los dos puntos; vea la recta gris en la figura 6.53. y 7 6 5 4

(2, 3)

3 2

3

1 3 2 1 1

1

3 4

(1, 3)

FIGURA 6.53

5

(3, 0) 1

2

1

3 (2, 2)

4

5

6

7

8

9

x

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b) Coloque un punto en (1, 3). Ya que la pendiente es 13 positivo, a partir de este punto muévase hacia arriba 1 unidad y hacia la derecha 3 unidades. Dibuje una recta que pase por los dos puntos; vea la recta en rojo de la figura 6.53. c) Las rectas en la gráfica parecen ser perpendiculares. Para determinar si son perpendiculares, multiplique las pendientes de las dos rectas. Si su producto es 1, entonces las pendientes son recíprocas negativas y, por lo tanto, son perpendiculares. Pendiente de la recta 1 (o m1) = - 3, pendiente de la recta 2 (o m2) =

1 3

1 1m121m22 = 1-32a b = - 1 3 Como las pendientes son recíprocas negativas, las dos rectas son perpendiculares. ✺

EJEMPLO 7 Si m1 representa la pendiente de la recta 1 y m2 representa la pendiente de la recta 2, determine si las rectas 1 y 2 son paralelas, perpendiculares o nada de esto. a) m1 = 56 , m2 =

5 6

b) m1 = 25 , m2 = 4

c) m1 = 35 , m2 = - 53

Solución a) Como las pendientes son iguales, ambas 65 , las rectas son paralelas. b) Como las pendientes no son iguales, las rectas no son paralelas. Ya que m1 # m2 = A 25 B 142 Z - 1, las pendientes no son recíprocas negativas y, por tanto no son perpendiculares. Así, la respuesta es ni paralelas, ni perpendiculares. c) Como las pendientes no son iguales, las rectas no son paralelas. Como m1 # m2 = 35 A - 53 B = - 1, las pendientes son recíprocas negativas y las rectas son perpendiculares. ✺

Solución de problemas En los ejercicios 1 y 2, determine cuál recta (la primera o la segunda) tiene mayor pendiente. Explique su respuesta. Observe que las escalas en los ejes x y y son diferentes. 1.

y

y

8 6 4 2

8 6

1.5 1.0 0.5 2 4 6 8

first

2.

2 0.5

x

8 6 4 2 2

2 4 6 8

x

y

y

8 6 4 2

8 6 4 2

4 3 2 1 2

4 6 8

4 8

second

1 2 3 4

x

8 6 4 2 2 4 6

2 4 6 8

x

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3. Una recta dada pasa por los puntos (1, 6) y (3, 2). Si se dibuja una recta paralela a la recta dada, ¿cuál será su pendiente?

4. Una recta dada pasa por los puntos (2, 3) y (4, 5). Si se dibuja una recta paralela a la recta dada, ¿cuál será su pendiente?

6.11 FORMAS PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN Y PUNTO-PENDIENTE DE UNA ECUACIÓN LINEAL 1 2 3 4 5

Escribir una ecuación lineal en la forma pendiente-ordenada al origen. Graficar una ecuación lineal por medio de la pendiente y la intersección y. Utilizar la forma pendiente-ordenada al origen para determinar la ecuación de una recta. Utilizar la forma punto-pendiente para determinar la ecuación de una recta. Comparar los tres métodos para graficar ecuaciones lineales.

En la sección 6.8 introdujimos la forma estándar de una ecuación lineal, ax by c. En esta sección presentamos otras dos formas, la pendiente-ordenada al origen y la forma punto-pendiente. Iniciamos nuestro estudio con la forma pendiente-ordenada al origen.

1

Escribir una ecuación lineal en la forma pendiente-ordenada al origen Una forma muy importante de una ecuación lineal es la forma pendiente-ordenada al origen y mx b. La gráfica de una ecuación de la forma y mx b siempre será una línea recta con una pendiente de m y una intersección y (0, b). Por ejemplo, la gráfica de la ecuación y 3x 4 será una línea recta con pendiente de 3 y una intersección y (0, 4). La gráfica de y 2x 5 será una recta con pendiente de 2 e intersección y en (0, 5). Forma pendiente-ordenada al origen de una ecuación lineal y = mx + b donde m es la pendiente, y (0, b) es la intersección y (ordenada al origen) de la recta. Pendiente

Intersección y

Ω Ω y = mx + b Ecuaciones en la forma pendiente ordenada al origen

Pendiente

Intersección y

y = 4x - 5 1 3 y = x + 2 2 y = - 5x + 3 2 3 y = - x 3 5

4 1 2 -5 2 3

10, -52 3 a 0, b 2 10, 32 3 a0, - b 5

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Para escribir una ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen, en la ecuación despeje y.

Una vez que en la ecuación se despeja y, el coeficiente numérico del término x será la pendiente y el término constante dará la intersección y.

EJEMPLO 1 Escriba la ecuación 3x 4y 8 en la forma pendiente-ordenada al origen. Indique la pendiente y la intersección y.

Solución Para escribir la ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen, en la ecuación despejamos y. - 3x + 4y = 8 4y = 3x + 8 3x + 8 y = 4 3 8 y = x + 4 4 3 y = x + 2 4 3 La pendiente es 4 , y la intersección y es (0, 2).

✺

EJEMPLO 2 Determine si las dos ecuaciones representan rectas que son paralelas, perpendiculares o nada de esto. a. 2x + y = 10 2y = - 4x + 12

b. 3x - 2y = 4 6y + 4x = - 6

Solución En la sección 6.10 aprendimos que dos rectas que tienen la misma pendiente son rectas paralelas, y dos rectas cuyas pendientes son recíprocas negativas son perpendiculares. Podemos determinar la pendiente de cada recta despejando y en cada ecuación. El coeficiente del término en x será la pendiente. a. 2x + y = 10 y = -2 x + 10

2y = - 4x + 12 - 4x + 12 y = 2 y = -2 x + 6

Como ambas ecuaciones tienen la misma pendiente, 2, las ecuaciones representan rectas que son paralelas. Observe que las ecuaciones representan dos rectas diferentes ya que sus intersecciones y son diferentes. b. 3x - 2y = 4 -2y = - 3x + 4 - 3x + 4 y = -2 3 y = x - 2 2

6y + 4x = - 6 6y = - 4x - 6 -4x - 6 y = 6 2 y = - x - 1 3

2 3 La pendiente de una recta es 2 y la pendiente de la otra recta es - 3 . Al multiplicar 3 2 las pendientes obtenemos A 2 B A - 3 B = - 1. Como el producto es 1, las pendientes son recíprocas negativas. Por tanto, las ecuaciones representan rectas que son perpendiculares. ✺

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2

Graficar una ecuación lineal por medio de la pendiente y la intersección y En la sección 6.9 analizamos dos métodos para graficar una ecuación lineal. Fueron (1) por medio del trazo de puntos, y (2) por medio de las intersecciones x y y. Ahora presentamos un tercer método. Éste hace uso de la pendiente y la intersección y. Recuerde que cuando despejamos y ponemos la ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen. Una vez en esta forma, podemos determinar la pendiente y la intersección y de la gráfica de la ecuación. Graficamos ecuaciones por medio de la pendiente y la intersección y de una forma muy similar a la forma en que trabajamos los ejemplos 5 y 6 de la sección 6.10. Sin embargo, al graficar por medio de la forma pendiente-ordenada al origen, nuestro punto de inicio siempre es la intersección y. Después de determinar la intersección y, puede obtenerse un segundo punto moviéndose hacia arriba y a la derecha, si la pendiente es positiva, o bien hacia abajo y a la derecha, si la pendiente es negativa.

EJEMPLO 3 Escriba la ecuación 3x 4y 8 en la forma pendiente-ordenada al origen; luego utilice la pendiente y la intersección y para graficar 3x 4y 8.

Solución En el ejemplo 1 despejamos y en 3x 4y 8. Determinamos que 3 x + 2 4

y = 3

La pendiente de la recta es 4 y la intersección y es (0, 2). Marcamos el primer punto, 3 la intersección y en 2 en el eje y (figura 6.54). Ahora utilizamos la pendiente 4 , para y 9

4

8

(8, 8)

7

3

6

4

5 4 3

(4, 5) 3

3x 4y 8

2 1 2 1 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

2

FIGURA 6.54

3

determinar un segundo punto. Como la pendiente es positiva, nos movemos 3 unidades hacia arriba y 4 unidades hacia la derecha para determinar el segundo punto. Un segundo punto estará en (4, 5). Podemos continuar este proceso para obtener un tercer punto en (8, 8). Ahora dibujamos una recta que pase por los tres puntos. Observe que la recta tiene pendiente positiva, que es lo que esperamos. ✺

EJEMPLO 4 Grafique la ecuación 5x 3y 12 por medio de la pendiente y la intersección y. Solución En la ecuación, despeje y 5x + 3y = 12 3y = - 5x + 12 -5x + 12 y = 3 5 = - x + 4 3

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y

4 3 2 1 2 1 1

FIGURA 6.55

2 3 4 5 6 7

5x 3y 12 5

(3, 1) 1 2

4 5 6 7 8

x

3 5 (6, 6) 3

5 Por tanto, la pendiente es - 3 y la intersección y es (0, 4). Comenzamos marcando un punto en 4 en el eje y (figura 6.55). Luego nos movemos 5 unidades hacia abajo y 3 hacia la derecha para determinar el siguiente punto. Nos movemos hacia abajo y a la derecha ya que la pendiente es negativa, y una recta con pendiente negativa debe descender de izquierda a derecha. Por último, dibujamos la recta entre los puntos trazados. ✺

3 Utilizar la forma pendiente-ordenada al origen para determinar la ecuación de una recta Ahora que sabemos cómo utilizar la forma pendiente-ordenada al origen de una recta, podemos utilizarla para escribir la ecuación de una recta dada. Para hacerlo, necesitamos determinar la pendiente, m, y la intersección y de la recta. Una vez hecho esto, podemos escribir la ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen, y mx b. Por ejemplo, si determinamos que la pendiente de una recta es 4 y la intersección está en 6, la ecuación de la recta es y 4x 6.

EJEMPLO 5 Determine la ecuación de la recta que se muestra en la figura 6.56. Solución La gráfica muestra que la intersección y está en 5. Ahora necesitamos determiy 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1

1 2 3 4 5

x

2 3 4 5

FIGURA 6.56

nar la pendiente de la recta. Como la gráfica desciende de izquierda a derecha, tiene pendiente negativa. Podemos ver que el cambio vertical es de 3 unidades por cada cambio horizontal de 1 unidad. Por tanto, la pendiente de la recta es 3. La pendiente también puede determinarse seleccionando cualesquiera dos puntos en la recta y calculando la pendiente. Utilizamos el punto (2, 1) para representar a (x2, y2) y al punto (0, 5) para representar a (x1, y1). y2 - y1 ¢y = m = x2 - x1 ¢x 1 - 1-52 = -2 - 0 1 + 5 6 = = = -3 -2 -2 Nuevamente obtenemos una pendiente de 3. Al sustituir 3 por m y 5 por b en la forma pendiente-ordenada al origen de una recta obtenemos la ecuación de la recta en la figura 6.56, que es y 3x 5. ✺ Ahora veamos una aplicación de la graficación.

EJEMPLO 6

Jarrones artísticos Kris, un artista alfarero, fabrica jarrones de cerámica que vende en ferias de arte. Su negocio tiene un costo fijo mensual (renta del stand, publicidad, teléfono celular, etcétera) y un costo variable por cada jarrón fabricado (costo de materiales, costo de mano de obra, costo por el uso del horno, etcétera). El costo mensual total por la fabricación de x se ilustra en la gráfica de la figura 6.57.

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Costo mensual total C 1400

Costo (dólares)

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(50, 1450)

1200 1000 800 600 400 200 0 0

FIGURA 6.57

10

20

30

40

50

60

x

Jarrones fabricados

a) Determine la ecuación del costo mensual total cuando se fabrican x jarrones. b) Utilice la ecuación determinada en el inciso a) para encontrar el costo mensual total si se fabricaron 30 jarrones. c) Utilice la gráfica de la figura 6.57 para ver si su respuesta en el inciso b) es correcta.

Solución a)

Entender y traducir Observe que el eje vertical es el costo, C, y no y. Las letras o nombre utilizados en los ejes no cambian la forma en que resolvemos el problema. Utilizaremos la forma pendiente-ordenada al origen para escribir la ecuación de la recta. Sin embargo, como y es reemplazada por C, utilizaremos C mx b, en la que b es en donde la gráfica cruza el eje vertical o eje C. Primero observamos que la gráfica cruza al eje vertical en 200. Por tanto, b es 200. Ahora necesitamos determinar la pendiente de la recta. Utilizaremos el punto (0, 200) como (x1, y1) y (50, 1450) como (x2, y2). y2 - y1 m = Calcular x2 - x1 1250 1450 - 200 = = 25 = 50 - 0 50 Respuesta La pendiente es 25. La ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen es C = mx + b = 25x + 200 b) Para determinar el costo mensual cuando se venden 30 jarrones, sustituimos 30 por x. C = 25x + 200 = 251302 + 200 = 750 + 200 = 950

El costo mensual cuando se fabrican 30 jarrones es $950. c) Si dibujamos una recta vertical desde 30 en el eje x (la línea roja), vemos que el costo correspondiente es alrededor de $950. Por tanto, nuestra respuesta en el inciso b) es correcta. ✺

4

Utilizar la forma punto-pendiente para determinar la ecuación de una recta Hasta ahora hemos estudiado la forma estándar de una ecuación lineal, ax by c, y la forma pendiente-ordenada al origen de una ecuación lineal, y mx b. Ahora analizaremos otra forma, denominada forma punto-pendiente. Cuando se conocen la pendiente de una recta y un punto de la recta, podemos utilizar la forma punto-pendiente para determinar la ecuación de la recta. La forma punto-pendiente puede obtenerse comenzando con la pendiente entre cualquier punto seleccionado (x, y) y un punto fijo (x1, y1) en la recta.

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m =

y - y1 x - x1

o bien

y - y1 m = x - x1 1

Ahora multiplicamos en forma cruzada para obtener m1x - x12 = y - y1 o bien y - y1 = m1x - x12 Forma punto-pendiente de una ecuación lineal

y - y1 = m1x - x12 donde m es la pendiente de la recta y (x1, y1) es un punto de la recta.

EJEMPLO 7 Escriba una ecuación, en la forma pendiente-ordenada al origen, de la recta que pasa por el punto (3, 2) y tiene pendiente de 5.

Solución Como se nos da un punto y la pendiente de la recta, empezamos escribiendo la ecuación en la forma punto-pendiente. La pendiente m es 5. El punto en la recta es (3, 2); lo utilizaremos para (x1, y1) en la fórmula. Sustituimos 5 por m, 3 por x1 y 2 por y1 en la forma punto-pendiente de una ecuación lineal y - y1 = m1x - x12 y - 2 = 51x - 32 Ecuación en la forma punto-pendiente. y - 2 = 5x - 15 Propiedad distributiva. y = 5x - 13 Ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen. La gráfica de y 5x 13 tiene pendiente 5 y pasa por el punto (3, 2).

✺

La respuesta del ejemplo 7 se dio en la forma pendiente-ordenada al origen. Si nos hubiesen pedido dar la respuesta en la forma estándar, se tendrían dos respuesta aceptables: 5x y 13 y 5x y 13. Su profesor puede especificar la forma en que debe darse la ecuación. En el ejemplo 8 resolveremos un ejemplo muy similar al ejemplo 7. Sin embargo, en la solución del ejemplo 8 la ecuación tendrá una fracción. Recuerde que para simplificar una ecuación que tiene una fracción, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador de la fracción.

EJEMPLO 8 Escriba una ecuación, en la forma pendiente-ordenada al origen, de la recta que pase por el punto (6, 2) y tenga pendiente 23 .

Solución Comenzaremos con la forma punto-pendiente de la recta, donde m es 32 , 6 es x1 y -2 es y1 .

y - y1 = m1x - x12 2 y - 1- 22 = 1x - 62 3 2 y + 2 = 1x - 62 3 2 3 1y + 22 = 3 # 1x - 62 3 3y + 6 = 2 1x - 62 3y + 6 = 2x - 12 3y = 2x - 18 2x - 18 y = 3 2 y = x - 6 3

Ecuación en la forma punto-pendiente.

Multiplicar ambos lados por 3. Propiedad distributiva. Propiedad distributiva. Resta 6 de ambos lados. Dividir ambos lados entre 3. Ecuación en la forma pendienteordenada al origen.

✺

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SUGERENCIA

Hemos analizado tres formas de una ecuación lineal.A continuación, resumimos las tres formas. Es importante que memorice estas formas. FORMA

EJEMPLOS

ESTÁNDAR

ax + by = c

2x - 3y = 8 -5x + y = - 2

FORMA

PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN

EJEMPLOS

y = mx + b

y = 2x - 5 3 y = - x + 2 2

m es la pendiente, (0, b) es la intersección y FORMA

PUNTO-PENDIENTE

EJEMPLOS

y - y1 = m1x - x12

y - 3 = 2 1x + 42

m es la pendiente, (x1, y1) es un punto en la recta

y + 5 = - 41x - 12

Ahora analizamos cómo utilizar la forma punto-pendiente para determinar la ecuación de una recta cuando se conocen dos puntos de la recta.

EJEMPLO 9 Determine una ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 3) y (3, 2). Escriba la ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen.

Solución Para utilizar la forma punto-pendiente, primero debemos determinar la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos. Para esto, designamos a (1, 3) como (x1, y1) y a (3, 2) como (x2, y2). m =

y2 - y1 2 - 3 2 - 3 -1 1 = = = = x2 - x1 -3 - 1-12 -3 + 1 -2 2

La pendiente es 12 . Podemos utilizar cualquiera de los puntos (uno a la vez) para determinar la ecuación de la recta. Este ejemplo se resolverá por medio de ambos puntos para mostrar que las soluciones obtenidas son idénticas. Al utilizar el punto (1, 3) como (x1, y1), y - y1 = m1x - x12 y - 3 =

1 3x - 1-124 2

y - 3 =

1 1x + 12 2

2 # 1y - 32 = 2

# 1 1x + 2

12 Multiplicar ambos lados por el mcd, 2.

2y - 6 = x + 1 2y = x + 7 y =

x + 7 2

o bien y =

1 7 x + 2 2

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Al utilizar el punto 1- 3, 22 como 1x1 , y12, y - y1 = m1x - x2 1 y - 2 = 3x - 1-324 2 1 y - 2 = 1x + 32 2 1 2 # 1y - 22 = 2 # 1x + 32 Multiplicar ambos lados por el mcd, 2. 2 2y - 4 = x + 3 2y = x + 7 x + 7 1 7 y = o bien y = x + 2 2 2 Observe que las ecuaciones para la recta son idénticas.

SUGERENCIA

✺

En el conjunto de ejercicios al final de esta sección, se le pedirá escribir una ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen.Aunque en algún momento escribirá la ecuación en esta forma, podría ser necesario primero trabajar con la forma punto-pendiente.A continuación indicamos la forma inicial que se sugiere utilizar para resolver el problema. Inicie con la forma pendiente-ordenada al origen si conoce: La pendiente de la recta y la intersección y. Inicie con la forma punto-pendiente si conoce: a) La pendiente de la recta y un punto en la recta, o bien b) Dos puntos en la recta (primero determine la pendiente, luego utilice la forma punto-pendiente).

5

Comparar los tres métodos para graficar ecuaciones lineales Hemos analizado tres métodos para graficar una ecuación lineal: (1) trazando puntos; (2) por medio de las intersecciones x y y, y (3) por medio de la pendiente y la intersección y. En el ejemplo 10 graficamos una ecuación utilizando los tres métodos. Un solo método no es siempre el más sencillo de utilizar. Si la ecuación está dada en la forma pendiente-ordenada al origen, y mx b, entonces podría ser más sencilla la graficación por medio del trazo de puntos o por medio de la pendiente y la intersección y. Si la ecuación está dada en la forma estándar, ax by c, entonces podría ser más fácil graficar por medio de las intersecciones. A menos que su maestro especifique qué método debe utilizar, podría utilizar el método con el que se sienta más cómodo. La graficación por medio del trazo de puntos es el más versátil, ya que también puede utilizarse para graficar ecuaciones que no son líneas rectas.

EJEMPLO 10 Grafique 3x 2y 8 a) por medio del trazo de puntos; b) por medio de las intersecciones x y y, y c) utilizando la pendiente y la intersección y.

Solución Para los incisos a) y c) escribiremos la ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen. 3x - 2y = 8 - 2y = - 3x + 8 3 - 3x + 8 = x - 4 y = -2 2

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a) Trazo de puntos Para determinar los pares ordenados que se trazarán, sustituimos valores para x y encontramos los valores correspondientes de y. En la siguiente tabla se indican tres pares ordenados. Luego trazamos los pares ordenados y dibujamos la gráfica (figura 6.58). 3 y = x - 4 2 y 5 4 3 2 1

x

y

0

-4

3 2 1 1

2

-1

4

2

2 3 4

(4, 2) 1

x

3 4 5 6 7

(2, 1)

(0, 4)

FIGURA 6.58

b) Intersecciones Determinamos las intersecciones x y y, además de un punto de prueba. Luego trazamos los puntos y dibujamos la gráfica (figura 6.59). 3x - 2y = 8 Intersección x Sea y = 0 3x - 2y = 8 3x - 2102 = 8 3x = 8 8 x = 3 Los tres pares ordenados son

Intersección y Sea x = 0 3x - 2y = 8 3102 - 2y = 8 -2y = 8

Punto de prueba Sea x = 2 3x - 2y = 8 3122 - 2y = 8 6 - 2y = 8

y = -4

- 2y = 2 y = -1

A 0 B , 10, -42 y 12, - 12. 8 3,

c) Pendiente ordenada al origen La intersección y es (0, 4); por tanto, colocamos un punto en 4 en el eje y. Como la pendiente es 32 , obtenemos un segundo punto moviéndonos hacia arriba 3 unidades y 2 unidades hacia la derecha. La gráfica se ilustra en la figura 6.60. y

y

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

3 2 1 1 2 3 4

(h, 0) 1

3 4 5 6 7

(2, 1)

(0, 4)

FIGURA 6.59

x

3 2 1 1 2 3 4

(4, 2) 1

3 4 5 6 7

(2, 1)

x

(0, 4)

FIGURA 6.60

Observe que obtenemos la misma recta con los tres métodos.

✺

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Solución de problemas Escriba la ecuación para cada recta, con las propiedades dadas, en la forma pendiente-ordenada al origen. 1. Pendiente 3, pasa por (0, 2).

a) Determine la ecuación que representa el costo para el cliente que pierde x libras. b) Utilice la ecuación que encontró en el inciso a) para determinar el costo para el cliente que pierde 30 libras.

2. Pendiente 3, pasa por (4, 5). 1 3. Pendiente , pasa por (1, 5). 2 2 4. Pendiente , la intersección y es (0, 6). 5 5. Pasa por (4, 2) y (2, 4)

10. Inmersión de un submarino Un submarino se sumerge bajo el mar. Tom Johnson, el capitán, ordena que se sumerja la nave lentamente. La siguiente gráfica ilustra la profundidad del submarino en el instante t minutos después que el submarino inició la inmersión.

6. Pasa por (6, 9) y (6, 9). 7. Pasa por (10, 3) y (0, 2).

Profundidad del submarino Tiempo (minutos)

8. Pendiente 6.3, la intersección y es (0, 4.5).

0

9. Clínica de reducción de peso Stacy Best es propietaria Profundidad (pies)

de una clínica de reducción de peso. Ella cobra a sus clientes una cuota fija única por membresía.También cobra por cada libra de peso reducida. Por tanto, entre más éxito tenga en ayudar a sus clientes a perder peso mayor ingreso recibirá. La siguiente gráfica muestra el costo para un cliente por la reducción de peso. Costo por la reducción de peso y Costo (dólares)

10

20

30

40

0 200

300

50

t

400 600 800 1000

d

350

a) Determine la ecuación que representa la profundidad en el instante t. b) Utilice la ecuación que determinó en el inciso a) para encontrar la profundidad del submarino después de 20 minutos.

300 250 200

60

150 100 50 0 0

10

20

30

40

50

x

Libras

6.12 FUNCIONES 1 2 3 4

Determinar el dominio y rango de una relación. Reconocer funciones. Evaluar funciones. Graficar funciones lineales.

En esta sección introducimos relaciones y funciones. Como lo aprenderá dentro de poco, una función es un tipo especial de relación. Las funciones son un tema común en cursos de matemáticas desde álgebra hasta cálculo. En esta sección damos una introducción informal a relaciones y funciones.

1

Determinar el dominio y rango de una relación Primero analizaremos relaciones.

DEFINICIÓN

Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados. Como una relación es cualquier conjunto de puntos, toda gráfica representará una relación.

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Ejemplos de relaciones

513, 52, 14, 62, 15, 92, 17, 1226 511, 22, 12, 22, 13, 22, 14, 226

513, 22, 13, 32, 13, 42, 13, 52, 13, 626 En el par ordenado (x, y), x y y se denominan componentes del par ordenado. El dominio de una relación es el conjunto de primeros componentes en el conjunto de pares ordenados. Por ejemplo, Relación

Dominio

513, 52, 14, 62, 15, 92, 17, 1226

53, 4, 5, 76

513, 22, 13, 32, 13, 42, 13, 52, 13, 626

536

511, 22, 12, 22, 13, 22, 14, 226

51, 2, 3, 46

El rango de una relación es el conjunto de segundos componentes en el conjunto de pares ordenados. Por ejemplo, Relación

Rango

513, 52, 14, 62, 15, 92, 17, 1226

55, 6, 9, 126

513, 22, 13, 32, 13, 42, 13, 52, 13, 626

52, 3, 4, 5, 66

511, 22, 12, 22, 13, 22, 14, 226

526

En las relaciones, los conjuntos pueden tener elementos que no sean números. Por ejemplo, Relación

51Carol, Asiento 12, 1Mary, Asiento 22, 1John, Asiento 32, 1Olonso, Asiento 426 Dominio

Rango

Carol Mary John Olonso

Asiento 1 Asiento 2 Asiento 3 Asiento 4

Dominio

5Carol, Mary, John, Olonso6 Rango

5Asiento 1, Asiento 2, Asiento 3, Asiento 46 La figura 6.65 ilustra la relación entre la persona y el número de asiento.

FIGURA 6.65

2

Reconocer funciones Ahora estamos preparados para analizar funciones. Considere la relación que se muestra en la figura 6.65. Observe que cada elemento en el dominio corresponde con exactamente un elemento del rango. Esto es, cada persona es asignada con exactamente un asiento. Este es un ejemplo de una función.

DEFINICIÓN

Una función es un conjunto de pares ordenados en los que cada primer componente corresponde con exactamente un segundo componente. Como una función es un tipo especial de relación, nuestro análisis de dominio y rango se aplica a funciones. En la definición de una función, el conjunto de primeros componentes representa el dominio de la función y el conjunto de segundas componentes representa el rango de la función.

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EJEMPLO 1 Número de naranjas

Costo $0.20 $0.40 $0.60 $0.80

1 2 3 4

Considere las relaciones en las figuras 6.66a) a d). ¿Cuáles relaciones son funciones? Persona

Auto(s) de su propiedad

Persona

Allison Rachael Todd Jacob

Ford Chevrolet Dodge Toyota Honda

Phil José María Gwen

(a)

(b)

FIGURA 6.66

1 2 3

(c)

Dominio

Rango

1 2

a b c

3 4

Mesa

(d)

Solución a) Si deseamos, podríamos representar la información dada en la figura como el siguiente conjunto de pares ordenados: {(1, $0.20), (2, $0.40), (3, $0.60), (4, $0.80)}. Observe que cada primer componente corresponde con exactamente un segundo componente. Por tanto, esta relación es una función. b) Si vemos la figura 6.66b, podemos ver que Todd no corresponde a exactamente un automóvil. Si listásemos el conjunto de pares ordenados para representar esta relación, el conjunto tendría los pares ordenados (Todd, Dodge) y (Todd, Toyota). Por tanto, a cada primer componente no corresponde exactamente un segundo componente y esta relación no es una función. c) Aunque tanto María como Gwen comparten una mesa, cada persona corresponde a exactamente una mesa. Si listamos los pares ordenados tendríamos (Phil, 1), (José, 2), (María, 3), (Gwen, 3). Observe que cada primer componente corresponde con exactamente un segundo componente. Por tanto, esta relación es una función. d) Como el número 4 en el dominio no corresponde a ningún componente en el rango, esta relación no es una función. Todo componente en el dominio debe corresponder a exactamente un componente en el rango para que la relación sea una función. ✺ Las funciones dadas en el ejemplo 1a) y 1c) se determinaron por inspección en correspondencia en las figuras. La mayor parte de las funciones tienen un número infinito de pares ordenados y por lo común son definidas con una ecuación (o regla) que dice cómo obtener el segundo componente cuando se le da el primer componente. En el ejemplo 2, determinamos una función de la información proporcionada.

EJEMPLO 2 Costo de manzanas Suponga que cada manzana cuesta $0.30. Escriba una función para determinar el costo, c, cuando se compran n manzanas.

vos enta 30 c a una cad

Solución Cuando se compra una manzana, el costo es $0.30. Cuando se compran dos manzanas, el costo es 2($0.30) y cuando se compran n manzanas, el costo es n($0.30) o $0.30n. La función c 0.30n dará el costo, en dólares, cuando se compran n manzanas. Observe que para cualquier valor de n hay exactamente un valor de c. ✺

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EJEMPLO 3 Determine si los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones. a) 514, 52, 13, 22, 1-2, -32, 12, 52, 11, 626

b) 514, 52, 13, 22, 1- 2, -32, 14, 12, 15, -226

Solución a) Como a cada primer componente le corresponde exactamente un segundo componente, este conjunto de pares ordenados es una función. b) Los pares ordenados (4, 5) y (4, 1) tienen el mismo primer componente. Por tanto, cada primer componente no corresponde con exactamente un segundo componente, y este conjunto de pares ordenados no es una función. ✺ En las figuras 6.67a y 6.67b trazamos los pares ordenados del ejemplo 3a) y 3b), respectivamente. y

y

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

3 2 1 1

1 2 3 4 5 6 7

x

2 3 4

FIGURA 6.67

3 2 1 1

(4, 5)

(4, 1) 1 2 3

5 6 7

x

2 3 4

(a)

(b)

Primer conjunto de pares ordenados Función

Segundo conjunto de pares ordenados No es una función

Considere la figura 6.67a. Si se traza una recta vertical que pase por cada punto, ninguna recta vertical interseca a más de un punto. Esto indica que no existen dos pares ordenados que tengan la misma primer coordenada (o x) y que cada valor de x en el dominio corresponde a exactamente a un valor de y en el rango. Por tanto, este conjunto de puntos representa una función. Ahora vea la figura 6.67b. Si se traza una recta vertical por cada punto, una recta vertical pasa por dos puntos. La línea discontinua en rojo interseca a (4, 5) y (4, 1). Cada elemento en el dominio no corresponde a exactamente un elemento en el rango. El número 4 en el dominio corresponde a dos números, 5 y 1, en el rango. Por tanto, este conjunto de pares ordenados no representa una función. Para determinar si una gráfica representa una función, podemos utilizar la prueba de la recta vertical como se describió. Prueba de la recta vertical Si se puede trazar una recta vertical en alguna parte de una gráfica y la recta vertical interseca otra parte de la gráfica, entonces a cada valor de x no corresponde exactamente un valor de y y la gráfica no representa una función. Si no se puede trazar una recta vertical que interseque a la gráfica en más de un punto, a cada valor de x le corresponde exactamente un valor de y y la gráfica representa una función.

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EJEMPLO 4 Por medio de la prueba de la recta vertical determine cuáles gráficas representan funciones. a)

b)

y

c)

y

y

x

x x

Solución a)

b)

y

c)

y

x

y

x x

Las gráficas en los incisos a) y b) representan funciones, ya que no es posible dibujar una recta vertical que interseque a la gráfica en más de un punto. La gráfica en la parte c no representa una función, ya que se puede trazar una recta vertical que interseque a la gráfica en más de un punto. ✺ Vemos funciones en todo lo que nos rodea. Considere la información que se proporciona en la tabla 6.1, que podría aplicarse a algunos vendedores. Esta tabla de valores es una función, ya que cada monto de ventas corresponde a exactamente un ingreso. TABLA 6.1 Ingreso mensual Ventas (dólares)

Ingreso (dólares)

0

$1,500

$5,000

$1,800

$10,000

$2,100

$15,000

$2,400

$20,000

$2,700

$25,000

$3,000

Considere la gráfica que se muestra en la figura 6.68. Esta gráfica representa una función. Observe que a cada año le corresponde un único porcentaje de escuelas. Las dos gráficas en la figura 6.69 representan funciones. Cada gráfica pasa la prueba de la recta vertical.

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Escuelas públicas en los Estados Unidos que tienen conexión a Internet

Esperanza de vida al nacer 85

89

95

98

Esperanza de vida (años)

100

Porcentaje

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78

80

65 60 40

50 35

20 0

Mujer 65

Hombre 55 45 1900

1994

1995

1996

1997

1998

1999

1920

1940

1960

1980

2000

2020* 2040

Año

2000

Fuente: Oficina de censo de Estados Unidos

Año

FIGURA 6.68

3

75

* Proyección

FIGURA 6.69

Evaluar funciones Cuando una función está representada mediante una ecuación, con frecuencia es conveniente utilizar la notación funcional, f1x2. Si fuésemos a graficar y x 2, veríamos que es una función, ya que su gráfica pasa la prueba de la recta vertical. El valor de y en la ecuación o función depende del valor de x. Por tanto, decimos que y es una función de x, y podemos escribir y = f1x2. La notación y = f1x2 se utiliza para mostrar que y es una función de la variable x. Si queremos, podemos escribir y = f1x2 = x + 2 o sólo f1x2 = x + 2 La notación f(x) se lee “f de x” y no significa f por x. Para evaluar una función para un valor específico de x, sustituimos ese valor por x en donde aparezca x en la función. Por ejemplo, para evaluar la función f(x) x 2, en x 1, hacemos lo siguiente: f1x2 = x + 2 f112 = 1 + 2 = 3 Así, cuando x es 1, f(x) o y es 3. Cuando x 4, f(x) o y 6, como se ilustra a continuación. y = f1x2 = x + 2 y = f142 = 4 + 2 = 6 La notación f(1) se lee “f de 1”, y f(4) se lee “f de 4”.

EJEMPLO 5 Para la función f(x) x2 4x 5, determine a) f(3) y b) f(6). c) Si x 1, determine el valor de y.

Solución a) Sustituimos 3 por cada x en la función, y luego evaluamos. f1x2 = x2 + 4x - 5 f132 = 32 + 4132 - 5 = 9 + 12 - 5 = 16

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f1x2 = x2 + 4x - 5 f1-62 = 1-622 + 41- 62 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7

b)

c) Como y f(x), evaluamos f(x) en x 1. f1x2 = x2 + 4x - 5 f1-12 = 1- 122 + 41- 12 - 5 = 1 - 4 - 5 = -8 Por tanto, cuando x 1, y 8.

4

✺

Graficar funciones lineales Las gráficas de todas las ecuaciones de la forma y ax b serán rectas que son funciones. Por tanto, podemos hacer referencia a ecuaciones de la forma y ax b como funciones lineales. Las ecuaciones de la forma f(x) ax b, también son funciones lineales, ya que f(x) es lo mismo que y. Podemos graficar funciones lineales como se muestra en el ejemplo 6.

EJEMPLO 6 Grafique f(x) 2x 4. y

7 6 5 4

Solución Como f(x) es lo mismo que y, escribimos y f(x) 2x 4. Seleccione valores para x y determine los valores correspondientes para y o f(x). y = f1x2 = 2x + 4

f(x) 2x 4

2 1 5 4 3

1 1 2 3

1 2 3 4 5

x

Sea x = - 3 Sea x = 0 Sea x = 1

y = f1-32 = 21- 32 + 4 = - 2 y = f102 = 2102 + 4 = 4 y = f112 = 2112 + 4 = 6

x

y

-3

-2

0

4

1

6

Ahora trace los puntos y dibuje la gráfica de la función (figura 6.70)

✺

FIGURA 6.70

EJEMPLO 7 Pista de patinaje sobre hielo La utilidad semanal, p, de una pista de patinaje sobre hielo es una función del número de patinadores por semana, n. La función que aproxima la utilidad es p f(n) 8n 600, en donde 0 n 400. a) Elabore una gráfica que muestre la relación entre el número de patinadores y la utilidad semanal. b) Estime la utilidad, si en una semana dada hay 200 patinadores.

Rockefeller Plaza, New York

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Solución a) Seleccione valores para n y determine los valores correspondientes para p. Luep 2500

go dibuje la gráfica (figura 6.71). Observe que no hay puntas de flecha en la línea, ya que la función sólo está definida para valores de n entre 0 y 400 inclusive.

p f (n) 8n 600

2000

p = f1n2 = 8n - 600

1500 1000 0 500

100

200

300

n

400

FIGURA 6.71

p = f102 = 8102 - 600 = - 600 p = f11002 = 811002 - 600 = 200 p = f14002 = 814002 - 600 = 2600

Sea n = 0 Sea n = 100 Sea n = 400

500

n

p 0

-600

100

200

400

2600

b) Por medio de la línea roja punteada en la gráfica, podemos ver que si hay 200 patinadores la utilidad semanal es de $1000. ✺

Solución de problemas 1. Si una relación consiste de seis pares ordenados y el dominio de la relación consiste de cinco valores de x; ¿la relación puede ser una función? Explique.

En el ejercicio 2, ¿la gráfica es una función? Explique. 2. Promedio Nacional de millaje en automóviles nuevos en Estados Unidos 23

Millas por galón

BLOQUE 06-F

22 21 20 19 18 1980

1985

1990

1995

2000

Año

3. Niñera Jacci Cavanaugh obtiene $8 por hora por trabajar de niñera. Su ingreso semanal, I, de este trabajo puede representarse por medio de la función I 8h, en donde h es el número de horas que cuida niños. a) Dibuje una gráfica de la función para tiempos hasta e incluyendo 60 horas. b) Estime su ingreso semanal por cuidar niños, si ella lo hizo durante 40 horas por semana. 4. Paseo en bicicleta Rachel Falk y Tony Mathias pasean juntos en bicicleta. Si ellos conducen a una velocidad constante de 8 millas por hora, la distancia que recorren, d, puede determinarse por medio de la función d 8t, en donde t es el tiempo en horas. a) Dibuje una gráfica de la función para tiempos hasta e incluyendo 6 horas. b) Estime la distancia que recorrerán si conducen durante 2 horas.

5. Reparación de autopista El costo, c, en pesos por la reparación de una autopista puede estimarse mediante la función c 2000 6000m, donde m es el número de millas reparadas. a) Dibuje una gráfica de la función hasta e incluyendo 6 millas. b) Estime el costo de la reparación de 2 millas de camino. 6. Registro de automóviles El pago, f, por el registro estatal de un automóvil es de $20 más $15 por cada 1,000 libras del peso bruto del vehículo. El pago por registro es una función del peso del vehículo, f 20 0.015w, donde w es el peso del vehículo en libras. a) Dibuje una gráfica de la función para pesos de vehículo hasta e incluyendo 10,000 libras. b) Estime el pago por registro de un vehículo cuyo peso bruto es de 4,000 libras. 7. Éxito musical Un nuevo grupo de canto,Three Forks and a Spoon, firman un contrato de grabación con la marca Discos Smash. Su contrato les proporciona un bono de $10,000, más un 8% de regalías sobre las ventas, s, de su nuevo disco, There’s Mud in Your Eye! Su ingreso, i, es una función de sus ventas, i 10,000 0.08s. a) Dibuje una gráfica de la función para ventas hasta e incluyendo $100,000. b) Estime su ingreso si sus ventas son $20,000. 8. Factura de la luz Una factura mensual de la luz, m, en pesos, consiste en un pago fijo de $20 más $0.07 por kilowatt-hora, k, de electricidad utilizado. La cantidad de la factura es una función de los kilowatts-hora consumidos, m 20 0.07k. a) Dibuje una gráfica hasta e incluyendo 3,000 kilowattshora de electricidad consumidos en un mes. b) Estime la factura si se utilizaron 1,500 kilowatts-hora de electricidad.

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Considere las gráficas siguientes. Recuerde que un círculo vacío en el extremo de un segmento de línea significa que el extremo no está incluido en la respuesta. Un círculo lleno al final de un segmento de línea, indica que el extremo está incluido en la respuesta. Determine si las gráficas siguientes son funciones. Explique su respuesta. 9.

10.

y

11.

y

12.

y

y

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

1

yes

2

3

x

1

no

2

3

x

1

no

2

3

x

1

yes

1

2

x

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BLOQUE VII

Resuelve ecuaciones lineales II • Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 × 2) mediante las gráficas de funciones lineales. • Identifica gráficamente si un sistema 2 × 2 posee una, ninguna o infinitas soluciones. • Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 × 2) mediante: - Métodos numéricos y analíticos. - Métodos de reducción algebraica (suma y resta, sustitución e igualación). - Método numérico por determinantes. • Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas 2 × 2.

L

os empresarios se esfuerzan para que sus compañías funcionen a toda su capacidad, maximizando la utilidad de sus recursos. Las matemáticas pueden usarse para determinar la forma más efectiva de distribuir esos recursos. El campo de las matemáticas que analiza este tipo de problemas se denomina investigación de operaciones.

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BLOQUE VII • Resuelve ecuaciones lineales II • 357

7.1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS VARIABLES 1

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante graficación.

2

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante sustitución.

3

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de la suma.

Con frecuencia es necesario determinar una solución común a dos o más ecuaciones lineales. A este conjunto de ecuaciones se le denomina sistema de ecuaciones lineales (o ecuaciones lineales simultáneas). Por ejemplo,

112 y = x + 5 r 122 y = 2x + 4

Sistema de ecuaciones lineales.

La solución de un sistema de ecuaciones es un par ordenado (o pares ordenados) que satisface todas las ecuaciones del sistema. La única solución del sistema del ejemplo anterior es (1, 6). Verificación en la ecuación (1)

Verificación en la ecuación (2)

11, 62

11, 62

y = x + 5

y = 2x + 4

?

= + 5 6 = 6

= 21 2 + 4 6 = 6 ?

Verdadero

Verdadero

El par ordenado (1, 6) satisface ambas ecuaciones y es, por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones puede estar conformado por más de dos ecuaciones. Si un sistema consta de tres ecuaciones con tres variables, como x, y y z, la solución será una terna ordenada de la forma (x, y, z). Para que la terna ordenada (x, y, z) sea una solución del sistema, debe satisfacer las tres ecuaciones que lo constituyen. Los sistemas de ecuaciones pueden tener más de tres variables, pero en este libro no analizaremos este tipo de sistemas.

1

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante graficación Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables mediante la graficación, debemos graficar ambas ecuaciones del sistema en los mismos ejes. La solución del sistema será el par o pares ordenados comunes a ambas rectas, o el punto de intersección de las rectas del sistema. Cuando graficamos dos rectas pueden presentarse tres posibilidades, como se ilustra en la figura 7.1. En la figura 7.1a, las rectas 1 y 2 se intersecan exactamente en un punto; por lo tanto, este sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución. Éste es un ejemplo de un sistema de ecuaciones consistente. Un sistema de ecuaciones consistente es aquel que tiene solución. Las rectas 1 y 2 de la figura 7.1b son diferentes pero paralelas. Las rectas no se intersecan, así que este sistema de ecuaciones no tiene solución. Éste es un ejemplo de un sistema de ecuaciones inconsistente. Un sistema de ecuaciones inconsistente es aquel que no tiene solución. En la figura 7.1c, las rectas 1 y 2 son, en realidad, la misma. En este caso, todo punto de la recta satisface ambas ecuaciones y es una solución del sistema de ecuaciones. Este sistema tiene un número infinito de soluciones. Éste es un ejemplo de un sistema de ecuaciones dependiente. En un sistema de ecuaciones lineales dependiente, ambas ecuaciones representan la misma recta. Un sistema de ecuaciones dependiente es aquel que tiene un número infinito de soluciones. Observe que un sistema dependiente también es un sistema consistente, ya que tiene solución.

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Exactamente 1 solución (las rectas se intersecan)

Número infinito de soluciones (la misma recta)

Sin solución (rectas paralelas)

y

y

y

Recta 2 Recta 1

Recta 1

Solución x

Recta 2

Recta 1

x

x

Recta 2

FIGURA 7.1

Consistente

Inconsistente

(a)

(b)

Dependiente (c)

Podemos determinar si un sistema de ecuaciones lineales es consistente, inconsistente o dependiente escribiendo cada ecuación en forma pendiente intersección (o forma ordenada al origen) y comparando las pendientes y las intersecciones del eje y de sus rectas; si las pendientes de las rectas son diferentes (figura 7.1a), el sistema es consistente. Si las pendientes son las mismas pero sus intersecciones del eje y son diferentes (figura 7.1b), el sistema es inconsistente; si las dos pendientes y las intersecciones del eje y son las mismas (figura 7.1c), el sistema es dependiente.

EJEMPLO 1

Sin graficar las ecuaciones, determine si el siguiente sistema de ecuaciones es consistente, inconsistente o dependiente.

3x - 4y = 8 -6x + 8y = - 16

Solución

Escriba cada ecuación en la forma pendiente intersección.

3x - 4y = 8 -4y = - 3x + 8 3 y = x - 2 4

-6x + 8y = - 16 8y = 6x - 16 3 y = x - 2 4

Como ambas ecuaciones tienen la misma pendiente, 34 , y la misma intersección y (0, 2), las ecuaciones representan a la misma recta. Por lo tanto, el sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones. ✺

EJEMPLO 2 y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

FIGURA 7.2

yx2 (1, 3)

Resuelva gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones.

y = x + 2 y = -x + 4

Solución Grafique ambas ecuaciones en los mismos ejes (figura 7.2). La solución es el punto en que se intersecan las dos rectas (1, 3).

✺

1 2 3 4 5

y x 4

x

El sistema de ecuaciones del ejemplo 2 podría representarse en notación de funciones como

f1x2 = x + 2 g1x2 = - x + 4

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2

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante sustitución Con frecuencia resulta difícil determinar una solución exacta para un sistema de ecuaciones mediante graficación. Incluso puede ocurrir que una calculadora graficadora no proporcione una respuesta exacta. Cuando se requiere una respuesta exacta, el sistema debe resolverse de manera algebraica, ya sea por el método de sustitución o por el de suma (o de eliminación) de ecuaciones. Analizaremos primero el método de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución 1. Despeje una variable en cualquier ecuación. (De ser posible, despeje una variable con un coeficiente numérico igual a 1 para no trabajar con fracciones). 2. Sustituya la variable en la otra ecuación, con la expresión determinada en el paso 1. Con esto obtendrá una ecuación con una sola variable. 3. Resuelva la ecuación obtenida en el paso 2 para determinar el valor de esta variable. 4. Sustituya la variable en la ecuación del paso 1, con el valor determinado en el paso 3. Resuelva la ecuación para determinar la variable restante. 5. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.

EJEMPLO 3

Resuelva el sistema de ecuaciones mediante sustitución.

y = 3x - 13 y = - 4x + 1

Solución

Como en ambas ecuaciones y ya está despejada, podemos sustituir esa variable por 3x 13 en la segunda ecuación, para después despejar la variable restante, x.

3x - 13 7x - 13 7x x

= = = =

- 4x + 1 1 14 2

Ahora determinamos y sustituyendo x 2 en cualquiera de las ecuaciones originales. Utilicemos la primera ecuación.

y = 3x - 13 y = 3122 - 13 y = 6 - 13 = - 7 Si verifica, comprobará que la solución del sistema de ecuaciones es (2, 7).

EJEMPLO 4

✺

Resuelva por sustitución el siguiente sistema de ecuaciones.

2x + y = 11 x + 3y = 18

Solución

Comience por despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones. Puede elegir cualquiera de ellas; sin embargo, si despeja una variable con coeficiente numérico 1, puede evitar trabajar con fracciones. En este sistema, el término y en 2x y 11 y el término x en x 3y 18 tienen coeficiente numérico 1. Despejemos y en 2x y 11.

2x + y = 11 y = - 2x + 11

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Ahora sustituyamos y por 2x 11 en la otra ecuación, x 3y 18, y despejemos la variable restante, x.

x + 3y = 18 $'%'& x + 31-2x + 112 x - 6x + 33 -5x + 33 -5x x

= = = = =

18 18 18 - 15 3

Sustituya -2x + 11 por y.

Por último, sustituimos x 3 en la ecuación y 2x 11 y despejamos y.

y = - 2x + 11 y = -2132 + 11 = 5 La solución es el par ordenado (3, 5). Compruébelo.

✺

Si al resolver un sistema de ecuaciones ya sea por sustitución o por el método de la suma se llega a una ecuación falsa como 5 6 o 0 3, significa que el sistema es inconsistente y no tiene solución. Si se obtiene una ecuación que siempre es verdadera, como 6 6 o 0 0, significa que el sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones.

SUGERENCIA

3

Es frecuente que los estudiantes obtengan bien el valor de una de las variables y se olviden de obtener el valor de la otra. Recuerde que una solución debe contener un valor numérico para cada variable del sistema.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de la suma Un tercer método para resolver un sistema de ecuaciones, y con frecuencia el más sencillo, es el método de la suma (o de eliminación). El objetivo de este procedimiento consiste en obtener dos ecuaciones cuya suma dé por resultado una ecuación con una sola variable. Tenga en mente que su meta inmediata es obtener una ecuación con una sola incógnita.

EJEMPLO 5

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones con el método de la suma.

2x + 5y = - 1 3x - 5y = 11

Solución

Observe que una ecuación incluye 5y y la otra 5y. Sumando las ecuaciones, podemos eliminar la variable y y obtener una ecuación con una sola incógnita, x.

2x + 5y = - 1 3x - 5y = 11 5x = 10 Ahora despejamos la variable que queda, x.

5x 10 = 5 5 x = 2

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Por último, despejamos y sustituyendo x por 2 en cualquiera de las ecuaciones originales.

2x + 5y = 2122 + 5y = 4 + 5y = 5y = y =

-1 -1 -1 -5 -1

✺

Si verifica, comprobará que la solución es (2, 1). Para resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de la suma (o eliminación) 1. En caso necesario, reescriba cada ecuación en la forma general, es decir, de modo que los términos con variables queden al lado izquierdo del signo igual y la constante al lado derecho. 2. Si es necesario, multiplique una o ambas ecuaciones por una constante (o constantes) para que, al sumarlas, el resultado contenga sólo una variable.

3. Sume los lados respectivos de las ecuaciones. Con esto obtendrá una sola ecuación con una variable. 4. Despeje la variable en la ecuación obtenida en el paso 3. 5. Sustituya la variable en cualquiera de las ecuaciones originales con el valor determinado en el paso 4. Resuelva esa ecuación para determinar el valor de la variable restante. 6. Compruebe su solución en todas las ecuaciones del sistema.

En el paso 2 del procedimiento, se indica que puede ser necesario multiplicar ambos lados de una ecuación por una constante. Para evitar confusión, numeraremos nuestras ecuaciones mediante paréntesis, como (ec. 1) o (ec. 2). En el ejemplo 6, resolveremos el mismo sistema resuelto en el ejemplo 4, pero esta vez usaremos el método de la suma.

EJEMPLO 6

Solución

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma.

2x + y = 11

(ec. 1)

x + 3y = 18

(ec. 2)

El objetivo del proceso de suma es obtener dos ecuaciones cuya suma dé por resultado una ecuación con una sola variable. Para eliminar la variable x, multiplicaremos la (ec. 2) por 2 y sumaremos las dos ecuaciones.

2x + y =

11 (ec. 1)

- 2x - 6y = - 36 (ec. 2)

Multiplicada por 2.

Ahora sumamos,

2x + y -2x - 6y -5y y

= 11 = - 36 = - 25 = 5

Ahora despejamos x, sustituyendo y por 5 en cualquiera de las ecuaciones originales.

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2x + y 2x + 5 2x x

11 11 6 3

= = = =

Sustituir y por 5.

La solución es (3, 5). Observe que podríamos haber eliminado la variable y multiplicando la (ec. 1) por 3 y después sumando. ✺ A veces cada ecuación debe multiplicarse por números diferentes para eliminar una de las variables. El ejemplo 7 ilustra este procedimiento.

EJEMPLO 7


4x + 3y =

Solución

7

(ec. 1)

3x - 7y = - 3

(ec. 2)

La variable x puede eliminarse multiplicando la (ec. 1) por 3, y la (ec. 2) por 4.

-12x - 9y = - 21

(ec. 1)

Multiplicada por 3.

12x - 28y = - 12

(ec. 2)

Multiplicada por 4.

-37y = - 33 y =

Suma de las ecuaciones.

33 37

Ahora podemos determinar x sustituyendo y por 33 37 en una de las ecuaciones originales, y despejando x. Si usted lo intenta verá que, aunque es posible hacerlo, esto no es fácil. Un método más sencillo para obtener el valor de x consiste en regresar a las ecuaciones originales y eliminar la variable y.

28x + 21y = 49

(ec. 1)

Multiplicada por 7.

9x - 21y = - 9

(ec. 2)

Multiplicada por 3.

37x

La solución es A 37 , 37 B .

= 40

Suma de las ecuaciones.

40 x = 37

40 33

✺

En el ejemplo 7 podría obtenerse la misma solución multiplicando la (ec. 1) por 3 y la (ec. 2) por –4, para después sumarlas. Inténtelo para comprobarlo.

EJEMPLO 8


0.2x + 0.1y = 1.1 (ec. 1) y x + = 1 18 6

Solución

(ec. 2)

Cuando un sistema de ecuaciones incluye fracciones o números decimales, en general es mejor eliminarlos. En la (ec. 1), si multiplicamos por 10 ambos lados de la ecuación, obtenemos

10 10.2x2 + 10 10.1y2 = 10 11.12 2x + y = 11

(ec. 3)

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En la (ec. 2), si multiplicamos ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador, 18, obtenemos

18 a

y x b + 18 a b = 18 112 18 6 x + 3y = 18

(ec. 4)

Ahora, el sistema de ecuaciones se ha simplificado a

2x + y = 11 x + 3y = 18

(ec. 3) (ec. 4)

Éste es el mismo sistema de ecuaciones que se resolvió en el ejemplo 6. Por lo tanto, la solución es (3, 5), la mismo que se obtuvo en el ejemplo 6. ✺

EJEMPLO 9

Solución

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método de la suma.

x - 3y = 4 -2x + 6y = 1

(ec. 1)

2x - 6y = 8

(ec. 1)

- 2x + 6y = 1

(ec. 2)

(ec. 2)

0 = 9

Multiplicada por 2.

Falso

Como 0 9 es una proposición falsa, este sistema no tiene solución. El sistema es inconsistente y las gráficas de estas ecuaciones son rectas paralelas. ✺

EJEMPLO 10


1 y = 2 2 y = 2x - 4 x -

Solución

Primero alineamos los términos x y y del lado izquierdo de la ecuación.

1 y = 2 (ec. 1) 2 2x - y = 4 (ec. 2)

x -

Ahora procedemos como en los ejemplos anteriores.

-2x + y = - 4 2x - y = 4 0 = 0

(ec. 1)

Multiplicada por 2.

(ec. 2) Verdadero

Como 0 0 es una proposición verdadera, el sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones. Ambas ecuaciones representan la misma recta. Observe que si multiplica ambos lados de la (ec. 1) por 2, obtendrá la (ec. 2). ✺ Hemos ilustrado tres métodos que pueden utilizarse para resolver un sistema de ecuaciones lineales: graficación, sustitución y suma. ¿Qué método debe utilizar cuando le pidan resolver un sistema de ecuaciones? Cuando necesite una solución exacta, la graficación no es el método apropiado. De los dos métodos algebraicos, el de la suma puede ser el más sencillo de utilizar si no hay coeficientes numéricos 1 en el sistema. Si al menos una de las ecuaciones tiene un coeficiente igual a 1, puede utilizar cualquier método.

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Solución de problemas W(t) 0.12t 20.3, y la edad promedio a la que los hombres lo hacen puede calcularse por medio de la función M(t) 0.1t 22.8, en donde t es años desde 1960. Si esta tendencia continúa, determine el año en que la edad promedio a la que hombres y mujeres contraerán matrimonio por primera vez será la misma.

1. a) Escriba un sistema de ecuaciones que sea más fácil de resolver por sustitución. b) Explique por qué la sustitución sería el método más fácil de usar. c) Resuelva el sistema por sustitución. 2. a) Escriba un sistema de ecuaciones que sea más fácil de resolver por el método de la suma. b) Explique por qué el método de suma sería el más fácil de usar. c) Resuelva el sistema por el método de suma.

4. Periódicos La siguiente gráfica muestra que el número de periódicos vespertinos editados en Estados Unidos ha disminuido de forma casi lineal desde 1980, mientras que el número de periódicos matutinos ha aumentado casi linealmente.

3. Edad de los recién casados De acuerdo con información censal, los hombres y las mujeres esperan cada vez más para casarse. La siguiente gráfica muestra la edad promedio a la que hombres y mujeres contraen matrimonio por primera vez.

Número de periódicos

Periódicos

Edad promedio en el primer matrimonio 30

Hombres

Edad

25 20 15

1400

Vespertinos

1200 1000 800 600

Matutinos

400 200 0 1980

Mujeres

1990

10

El número de periódicos vespertinos, E(t), puede calcularse mediante la función E(t) 33.05t 1388, y el número de periódicos matutinos por medio de la función M(t) 18.95t 387, en donde t representa el número de años desde 1980. Con base en estas funciones, determine en qué año el número de periódicos vespertinos era igual al número de periódicos matutinos.

5 0 1960

2000

Año

1970

1980

1990

2000

Año

La edad promedio a la que las mujeres contraen matrimonio por primera vez, puede calcularse mediante la función

7.2 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR MEDIO DE DETERMINANTES Y LA REGLA DE CRAMER

1

1

Evaluar un determinante de una matriz 2 2.

2

Utilizar la regla de Cramer.

Evaluar un determinante de una matriz 2 2 Hemos estudiado varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: graficación, sustitución, el método de la suma (o eliminación) y matrices. Los sistemas de ecuaciones lineales también pueden resolverse mediante determinantes. Todas las matrices cuadradas tienen un número asociado que se conoce como su determinante. En el caso de una matriz de 2 2, el determinante se define como sigue.

DEFINICIÓN

El determinante de una matriz de 2 2 B

a1 a2

a b1 R se denota por ` 1 a2 b2

evalúa como

`

a1 b1 ` = a1 b2 - a2 b1 a2 b2

b1 ` y se b2

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EJEMPLO 1

Evalúe cada determinante.

`

a)

Solución

-1 ` 5

b)

`

3 ` 4

-2 -1

a) a 1 = 2, a 2 = 3, b1 = - 1, b2 = 5

b)

2

2 3

`

2 3

`

-2 -1

-1 ` = 2152 - 1321- 12 = 10 + 3 = 13 5 3 ` = 1- 22142 - 1-12132 = - 8 + 3 = - 5 4

✺

Utilizar la regla de Cramer Si comenzamos con las ecuaciones

a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 podemos utilizar el método de la suma para mostrar que

x =

c1 b2 - c2 b1 a1 b2 - a2 b1

y

y =

a1 c2 - a2 c1 a1 b2 - a2 b1

Observe que los denominadores de x y y son ambos a1b2 a2b1. A continuación está el determinante, D, que produce este denominador.

D = `

b1 ` = a1 b2 - a2 b1 b2

a1 a2

Los numeradores de x y y son diferentes. A continuación se encuentran dos determinantes, Dx y Dy con los que se obtienen los numeradores de x y y.

Dx = `

c1 c2

b1 ` = c1 b2 - c2 b1 b2

Dy = `

a1 a2

c1 ` = a1 c2 - a2 c1 c2

Los determinantes D, Dx y Dy se utilizan en la regla de Cramer, que se puede emplear para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Regla de Cramer para sistemas de ecuaciones lineales Para un sistema de ecuaciones lineales con la forma

a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2

x =

`

c1 c2

b1 ` b2

a b ` 1 1` a2 b2

Dx = D

y

y =

`

a1 a2

a ` 1 a2

c1 ` c2 b1 ` b2

Dy =

D

, D Z 0

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SUGERENCIA

EJEMPLO 2

Los elementos del determinante D son los coeficientes numéricos de los términos x y y en las dos ecuaciones dadas, listados en el mismo orden en que aparecen dentro de las ecuaciones. Para obtener el determinante Dx a partir del determinante D, reemplace los coeficientes de los términos de x (los valores de la primera columna) con las constantes de las dos ecuaciones dadas. Para obtener el determinante Dy a partir del determinante D, reemplace los coeficientes de los términos de y (los valores de la segunda columna) con las constantes de las dos ecuaciones dadas.

Utilice la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema.

3x + 5y = 7 4x - y = - 6

Solución

Ambas ecuaciones están en la forma deseada, ax by c. Con a, b y c nos referimos a 3x 5y 7 como la ecuación 1, y 4x y 6 como la ecuación 2 (en los subíndices). a1 p

b1 p

c1 p

3x + 5y = 7 4x - 1y = - 6 q a2

q b2

q c2

Ahora determinamos D, Dx y Dy.

D = `

a1 a2

b1 3 ` = ` b2 4

Dx = `

c1 c2

b1 7 ` = ` -6 b2

Dy = `

a1 a2

c1 3 ` = ` c2 4

5 ` = 31- 12 - 4152 = - 3 - 20 = - 23 -1 5 ` = 71- 12 - 1- 62152 = - 7 + 30 = 23 -1 7 ` = 31- 62 - 4172 = - 18 - 28 = - 46 -6

Ahora encontramos los valores de x y de y.

Dx 23 = = -1 D -23 Dy -46 y = = = 2 D -23

x =

Así, la solución es x 1, y 2, o el par ordenado (1, 2). Compruebe que este par ordenado satisface ambas ecuaciones. ✺ Cuando el determinante D 0, la regla de Cramer no se puede aplicar, ya que la división entre cero es indefinida. Entonces deberá utilizar un método diferente para resolver el sistema, o evaluar Dx y Dy para determinar si el sistema es dependiente o inconsistente. Si D 0, Dx 0, Dy 0, entonces el sistema es dependiente. Si D 0, y Dx 0 o Dy 0, entonces el sistema es inconsistente.

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Solución de problemas b1 ` , ¿cómo camb2

3. Si las dos filas de un determinante de 2 2 son iguales, ¿cuál es el valor del determinante?

biará el valor del determinante si se intercambian entre sí

4. Si todos los elementos de una fila o de una columna de un determinante de 2 2 son 0, ¿cuál es el valor del determinante?

1. Dado un determinante de la forma `

a1 a2

las a y se intercambian entre sí las b, `

a2 a1

b2 ` ? Explique b1

su respuesta. 2. Dado un determinante de la forma `

a1 b1 ` , ¿cómo cama2 b2 biará el valor del determinante si las a son intercambiab a1 das con las b, ` 1 ` ? Explique su respuesta. b2 a2

Determine el valor de la letra dada. 5.

`

4 -2

6 ` = 32 y

6.

`

b - 2 b + 3

-4 ` = 14 -6

7.3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR MEDIO DE MATRICES

1

1

Escribir una matriz aumentada.

2

Resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Escribir una matriz aumentada Una matriz es un arreglo rectangular de números dentro de corchetes. Ejemplos de matrices son

B

4 9

6 R -2

B

5 -1

7 3

2 R 4

Los números dentro de los corchetes se denominan elementos de la matriz. La matriz de la izquierda contiene 2 filas y 2 columnas; por lo tanto, se le llama matriz de 2 por 2 (2 2). La matriz de la derecha contiene 2 filas y 3 columnas; por lo tanto, es una matriz de 2 por 3 (2 3). Al escribir las dimensiones de una matriz, siempre se indican primero las filas y luego las columnas de que consta. Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.Así, la matriz de la izquierda es una matriz cuadrada. En esta sección utilizaremos matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, primero hay que escribir cada ecuación en la forma ax by c. El siguiente paso consiste en escribir la matriz aumentada, es decir, una matriz conformada por dos matrices pequeñas separadas por una barra vertical. Los núme-

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ros a la izquierda de la línea vertical son los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones, y los números a la derecha son las constantes. Para el sistema de ecuaciones

a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 la matriz aumentada se escribe

B

a1 a2

b1 c ` 1R b2 c2

A continuación tenemos un sistema de ecuaciones y su matriz aumentada.

Sistema de ecuaciones

Matriz aumentada

1 y = 4 2 1 - 3x - 5y = 2 -x +

-1

D -3

1 2 4 -5

4 1 2

T

Observe que la barra vertical de la matriz aumentada separa los coeficientes numéricos de las constantes. Como la matriz es sólo una forma abreviada de escribir el sistema de ecuaciones, podemos resolver un sistema lineal utilizando matrices de una manera similar a como lo hacemos mediante el método de la suma.

2

Resolver sistemas de ecuaciones lineales Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales mediante matrices, reescribimos la matriz aumentada en forma triangular,

B

1 0

a p ` R 1 q

en donde a, p y q son constantes. A partir de este tipo de matriz aumentada podemos escribir un sistema de ecuaciones equivalente. Esta matriz representa al sistema lineal

1x + ay = p 0x + 1y = q

o

x + ay = p y = q

Por ejemplo,

B

1 0

3 4 ` R 1 2

representa

x + 3y = 4 y = 2

Observe que el sistema del lado derecho puede resolverse fácilmente por sustitución. Su solución es (2, 2). Para reescribir la matriz aumentada en forma triangular, utilizamos transformaciones de fila, mismas que pueden realizarse mediante tres procedimientos.

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Procedimientos para la transformación de filas 1. Todos los números de una fila pueden multiplicarse por (o dividirse entre) cualquier número real distinto de cero. (Esto es lo mismo que multiplicar ambos lados de una ecuación por un número real distinto de cero). 2. Todos los números de una fila pueden multiplicarse por cualquier número real distinto de cero. Los productos resultantes pueden sumarse a los números correspondientes en cualquier otra fila. (Esto es equivalente a eliminar una variable del sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma). 3. Dos filas de una matriz pueden intercambiarse. (Esto es lo mismo que intercambiar dos ecuaciones en el sistema de ecuaciones).

Por lo general, al cambiar un elemento de la matriz aumentada por 1 se utiliza el primero de los procedimientos descritos, y al cambiar uno de los elementos por 0 utilizamos el segundo procedimiento. Se trabaja por columnas, comenzando por la de la izquierda; en otras palabras, inicie con la primera fila de la primera columna.

EJEMPLO 1

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando matrices.

2x - 3y = 10 2x + 2y = 5

Solución

Primero escribimos la matriz aumentada.

B

2 2

-3 10 R ` 2 5

Nuestro objetivo es obtener una matriz de la forma B

1 0

a p ` R . Para ello, comenza1 q

mos por utilizar el procedimiento 1 de las transformaciones de fila para cambiar el 2 en la primera fila de la primera columna por 1. Para hacerlo, multiplicamos la primera fila de números por 21 . (Abreviamos esta multiplicación como 12 R 1 y colocamos la expresión a la derecha de la matriz, en la misma fila en donde se realizó la operación. Esto puede ayudarle a seguir el procedimiento con más claridad).

B

2 A 12 B 2

- 3 A 12 B 10 A 12 B R ` 2 5

1 2 R1

Con esto se obtiene

1 B 2

- 32 5 ` R 2 5

El paso siguiente es obtener 0 en la segunda fila de la primera columna, donde por el momento se encuentra un 2. Lo haremos multiplicando por –2 los números de la primera fila, y sumamos los productos a los números de la segunda fila. (Esto se abrevia -2R1 + R2). Los números de la primera fila, multiplicados por 2 son

11-22

3 - 1-22 51-22 2

Ahora sumamos estos productos a sus números respectivos de la segunda fila. Con esto obtenemos

- 32

1 C

2 + 11- 22

2 +

A - 32 B 1-22

3

5 5 + 51- 22

S

- 2R1 + R2

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Ahora tenemos

B

- 32 5 R ` 5 -5

1 0

Para obtener 1 en la segunda fila de la segunda columna, multiplicamos la segunda fi1 la de números por5 .

B

- 32 5 R ` 5 A 15 B -5 A 15 B

1 0 A 15 B

B

1 5 R2

5 - 32 R ` 1 -1

1 0

La matriz se encuentra ahora en la forma que buscábamos. El sistema de ecuaciones triangular equivalente es

x -

3 y = 5 2 y = -1

Ahora podemos despejar x mediante sustitución.

x -

3 y = 5 2

3 x - 1-12 = 5 2 3 x + = 5 2 7 x = 2

Compruebe que la solución del sistema es

Solución de problemas 1. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices, si se intercambian dos filas de la matriz, ¿cambiará la solución del sistema? Explique.

A 72 , -1 B .

✺

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Resuelva los ejercicios 2 a 53 mediante matrices. 2. Ángulos de un tejado En una sección triangular de un tejado, el ángulo más grande es 55° mayor que el ángulo más pequeño que es 20° mayor que el ángulo restante. Determine la medida de cada ángulo.

3. Ángulo recto Un ángulo recto se divide en tres ángulos más pequeños. El más grande de los tres ángulos mide el doble del más pequeño. El tercer ángulo mide 10° más que el ángulo más pequeño. Determine la medida de cada ángulo.

z y

z x

x

y

4. x + 3y = 1 - 2x - 3y = 4

5. 2x - 5y = - 3

6. 3r = - 4s - 6

7. - 1.1x + 8.3y = 36.5

3s = - 5r + 1

-4x + 10y = 1

3.5x + 1.6y = - 4.1

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BLOQUE VIII

Resuelve ecuaciones lineales III • Comprende los métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3 × 3). - Método numérico por determinantes. - Método algebraico de sustitución. • Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas 3 × 3.

E

n el caso de casi todas las personas, la compra de una casa es la transacción comercial más importante que realizan en sus vidas. Después de negociar el precio de la casa, por lo general, es preciso elegir un plan de crédito hipotecario. ¿Cómo hacerlo? Cuando de escoger un plan de crédito se trata, ¿se busca el que no incluye un costo por la solicitud, el que exige menos requisitos, el que ofrece la tasa de interés más baja, o el que regala boletos de avión gratis? ¿Hay que pensar en algo más?

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BLOQUE VIII • Resuelve ecuaciones lineales III • 375

8.1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES VARIABLES

1

1

Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables.

2

Aprender a interpretar geométricamente un sistema de ecuaciones con tres variables.

3

Reconocer sistemas inconsistentes y dependientes.

Resolver sistemas de ecuaciones con tres variables La ecuación 2x 3y 4z 8 es un ejemplo de una ecuación lineal con tres variables. La solución de este tipo de ecuaciones lineales es una terna ordenada de la forma (x, y, z). Una solución para la ecuación dada es (1, 2, 3). Compruébelo. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables, podemos usar los métodos de sustitución o de la suma que analizamos en la sección 7.1.

EJEMPLO 1

Resuelva el siguiente sistema por sustitución.

x = -3 3x + 4y = 7 -2x - 3y + 5z = 19

Solución

Como sabemos que x 3, sustituimos x por –3 en la ecuación 3x 4y 7, y despejamos y.

3x + 4y = 7 31-32 + 4y = 7 - 9 + 4y = 7 4y = 16 y = 4 Ahora sustituimos x 3 y y 4 en la última ecuación, y despejamos z.

- 2x - 3y -21-32 - 3142 6 - 12 -6

Comprobación

+ + + +

5z 5z 5z 5z 5z z

= = = = = =

19 19 19 19 25 5

x 3, y 4, z 5. La solución debe verificarse en las tres ecua-

ciones originales.

x = -3 -3 = -3 Verdadero

3x + 4y = 7 ? 31 -32 + 4142 = 7 7 = 7 Verdadero

-2x - 3y + 5z = 19 ? -21-32 - 3142 + 5152 = 19 19 = 19 Verdadero

La solución es la terna ordenada (3, 4, 5). Recuerde que la terna ordenada lista primero el valor x, después el valor y y por último el valor z. ✺ No todos los sistemas lineales con tres variables pueden resolverse por sustitución de forma tan directa como en el ejemplo 1. Cuando un sistema de tercer orden no puede resolverse fácilmente por sustitución, podemos encontrar la solución utilizando el método de la suma, como se ilustra en el ejemplo 2.

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EJEMPLO 2

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de la suma.

3x + 2y + z =

Solución

4

(ec. 1)

2x - 3y + 2z = -7 x + 4y - z = 10

(ec. 2) (ec. 3)

Para resolver este sistema de ecuaciones, debemos obtener primero dos ecuaciones con las mismas dos variables. Esto se hace eligiendo dos ecuaciones y utilizando el método de la suma para eliminar una de las variables. Por ejemplo, sumando la (ec. 1) y la (ec. 3) eliminamos la variable z. Después utilizamos un par diferente de ecuaciones [ya sea (ec. 1) y (ec. 2) o (ec. 2) y (ec. 3)] y empleamos el método de la suma para eliminar la misma variable que fue eliminada con anterioridad. Si multiplicamos (ec. 1) por 2 y la sumamos a (ec. 2), la variable z será eliminada nuevamente. Entonces tendremos dos ecuaciones con sólo dos incógnitas. Comencemos por sumar (ec. 1) y (ec. 3).

3x + 2y + z = 4 x + 4y - z = 10 4x + 6y = 14

(ec. 1) (ec. 3) Suma de las ecuaciones, (ec. 4).

Utilicemos ahora un conjunto diferente de ecuaciones y eliminemos de nuevo la variable z.

-6x - 4y - 2z = - 8 (ec. 1) Multiplicada por 2. 2x - 3y + 2z = - 7 (ec. 2) - 4x - 7y = - 15 Suma de las ecuaciones, (ec. 5). Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, (ec. 4) y (ec. 5). Si sumamos estas dos ecuaciones, eliminaremos la variable x.

4x + 6y -4x - 7y -y y

= 14 = - 15 = -1 = 1

(ec. 4) (ec. 5) Suma de las ecuaciones.

Luego sustituimos y 1 en cualquiera de las dos ecuaciones con sólo dos variables [(ec. 4) o (ec. 5)] y despejamos x.

4x + 6y 4x + 6112 4x + 6 4x x

= = = = =

14 14 14 8 2

(ec. 4) Sustituya y por 1 en la (ec. 4).

Por último, sustituimos x 2 y y 1 en cualquiera de las ecuaciones originales, y despejamos z.

3x + 2y + z =

4

(ec. 1)

3122 + 2112 + z =

4

Sustituya x por 2 y y por 1 en (ec. 1).

6 + 2 + z =

4

8 + z =

4

z = -4 La solución es la terna ordenada (2, 1, 4). Compruebe esta solución en las tres ecuaciones originales. ✺

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En el ejemplo 2 elegimos eliminar primero la variable z utilizando las ecuaciones (ec. 1) y (ec. 3), y después las ecuaciones (ec. 1) y (ec. 2). Podríamos haber optado por eliminar primero la variable x o la variable y. Por ejemplo, podríamos haber eliminado la variable x multiplicando (ec. 3) por 2 y después sumándola a (ec. 2). También podríamos eliminar la variable x multiplicando (ec. 3) por 3 y después sumándola a (ec. 1). Resuelva el sistema del ejemplo 2 eliminando primero la variable x.

EJEMPLO 3

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

2x - 3y + 2z = -1 (ec. 1) x + 2y x

Solución

= 14 (ec. 2) - 3z = -5 (ec. 3)

La tercera ecuación no incluye la variable y. Por lo tanto, trabajaremos para obtener otra ecuación que tampoco la contenga. Para hacerlo, utilizaremos (ec. 1) y (ec. 2).

4x - 6y + 4z = -2 (ec. 1) Multiplicada por 2. 3x + 6y 7x

= 42 (ec. 2) Multiplicada por 3. + 4z = 40 Suma de las ecuaciones (ec. 4).

Ahora tenemos dos ecuaciones que incluyen sólo las variables x y z.

7x + 4z = 40

(ec. 4)

x - 3z = - 5

(ec. 3)

Eliminemos la variable x.

7x + 4z = 40 (ec. 4) -7x + 21z = 35 (ec. 3) Multiplicada por 7. 25z = 75 Suma de las ecuaciones. z = 3 Ahora despejemos x utilizando una de las ecuaciones que incluyen sólo las variables x y z. Sustituimos z por 3 en (ec. 3).

x - 3z = - 5 x - 3132 = -5

(ec. 3) Sustituya z por 3 en (ec. 3).

x - 9 = -5 x =

4

Por último, despejamos y utilizando cualquiera de las ecuaciones originales que incluyen la variable y.

x + 2y = 14 4 + 2y = 14 2y = 10 y = 5 La solución es la terna ordenada (4, 5, 3).

(ec. 2) Sustituya x por 4 en la (ec. 2).

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Comprobación

(ec. 1)

(ec. 2)

2x - 3y + 2z = - 1 ?

2142 - 3152 + 2132 = -1 ?

SUGERENCIA

(ec. 3)

x + 2y = 14 ?

4 + 2152 = 14

x - 3z = - 5 ?

4 - 3132 = -5

?

?

8 - 15 + 6 = -1

4 + 10 = 14

4 - 9 = -5

-1 = -1

14 = 14

-5 = - 5

Verdadero

Verdadero

Verdadero

✺

Si una de las ecuaciones de un sistema contiene fracciones, elimínelas multiplicando cada término de la ecuación por el mínimo común denominador. Después continúe resolviendo el sistema. Por ejemplo, si una ecuación del sistema es 34 x - 58 y + z = 12 , multiplique ambos lados de la ecuación por 8 para obtener la ecuación equivalente, 6x 5y 8z 4.

2 Aprender a interpretar geométricamente un sistema de ecuaciones con tres variables z

3

(4, 5, 3) 5

4

y

x

FIGURA 8.1

3

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos variables, podemos determinar gráficamente su solución utilizando el sistema de coordenadas cartesianas. Una ecuación lineal con tres variables, x, y y z, puede graficarse en un sistema de coordenadas con tres ejes perpendiculares entre sí (vea la figura 8.1). Un punto trazado en este sistema de tres dimensiones aparecería como un punto en el espacio. Si graficáramos una ecuación como x 2y 3z 4, encontraríamos que su gráfica sería un plano, y no una recta. En el ejemplo 3 indicamos que la solución era la terna ordenada (4, 5, 3). Esto significa que los tres planos, uno por cada una de las ecuaciones dadas, se intersecan en el punto (4, 5, 3). La figura 8.1 muestra la localización de este punto de intersección de los tres planos. La gráfica del ejercicio 6 ilustra tres planos que se intersecan en un punto.

Reconocer sistemas inconsistentes y dependientes Los sistemas de ecuaciones lineales con tres variables también pueden ser inconsistentes o dependientes.Al resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, si se obtiene una proposición falsa como 3 0, significa que el sistema es inconsistente y no tiene solución. Esto significa que los planos no son concurrentes, es decir, no existe punto en que coincidan los tres planos, por lo que no se pueden intersecar. Al resolver un sistema lineal con tres variables, si se obtiene una proposición verdadera, 0 0, significa que el sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones. Esto puede suceder cuando las tres ecuaciones representan al mismo plano o cuando la intersección de los planos es una recta, como en la gráfica del ejercicio 2. Los ejemplos 4 y 5 ilustran un sistema inconsistente y uno dependiente, respectivamente.

EJEMPLO 4


- 3x + 5y + z = - 3 (ec. 1) 6x - 10y - 2z =

1 (ec. 2)

7x - 4y + 11z = - 6 (ec. 3)

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Solución

Comenzaremos por eliminar la variable x de (ec. 1) y de (ec. 2).

-6x + 10y + 2z = - 6 (ec. 1) Multiplicada por 2. 6x - 10y - 2z =

1 (ec. 2)

0 = -5

Falso

Como hemos obtenido la proposición falsa 0 5, este sistema es inconsistente y no tiene solución. ✺

EJEMPLO 5


x - y + z = 1 (ec. 1) x + 2y - z = 1 (ec. 2) x - 4y + 3z = 1 (ec. 3)

Solución

Comenzaremos eliminando la variable x de (ec. 1) y de (ec. 2), para después hacerlo de (ec. 1) y de (ec. 3).

-x + y - z = - 1 (ec. 1) Multiplicada por 1. x + 2y - z = 3y - 2z = x - y + z =

1 (ec. 2) 0 Suma de las ecuaciones (ec. 4). 1 (ec. 1)

- x + 4y - 3z = - 1 (ec. 3) Multiplicada por 1. 3y - 2z =

0 Suma de las ecuaciones (ec. 5).

Ahora eliminamos la variable y utilizando (ec. 4) y (ec. 5).

-3y + 2z = 0 (ec. 4)

Multiplicada por 1.

3y - 2z = 0 (ec. 5) 0 = 0

Verdadero

Como obtuvimos la proposición verdadera 0 0, este sistema es dependiente y tiene un número infinito de soluciones. ✺

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Solución de problemas Una ecuación con tres variables, x y y z, representa un plano. Considere un sistema de ecuaciones de tres ecuaciones con tres variables. Responda las siguientes preguntas. 1. Si los tres planos son paralelos entre sí, como se ilustra en la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común los tres planos? ¿El sistema es consistente o inconsistente? Explique su respuesta.

2. Si los tres planos muestran una disposición como la que se ilustra en la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común? ¿El sistema es dependiente? Explique su respuesta.

I

I II

III

III II

3. Si dos de los planos son paralelos entre sí y el tercer plano interseca cada uno de los otros dos planos, ¿cuántos puntos tendrán en común los tres planos? ¿El sistema es consistente o inconsistente’ Explique su respuesta. 4. ¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales con tres variables tenga exactamente I

a) cero soluciones, II

b) una solución, c) dos soluciones? Explique su respuesta.

III

5. En un sistema de ecuaciones lineales con tres variables, si las gráficas de dos ecuaciones son planos paralelos, ¿es posible que el sistema sea a) consistente, 6. Si los tres planos muestran una disposición como la que se ilustra en la figura, ¿cuántos puntos tendrán en común? ¿El sistema es consistente o inconsistente? Explique su respuesta.

II III I

b) dependiente, c) inconsistente? Explique su respuesta. 7. Tres soluciones para la ecuación Ax By Cz 1 son (1, 2, 1), (1, 1, 2) y (1, 2, 2). Determine los valores de A, B y C, y escriba la ecuación utilizando los valores numéricos encontrados. 8. Tres soluciones para la ecuación Ax By Cz 14 son (3, 1, 2), (2, 2, 1) y (5, 3, 24). Determine los valores de A, B y C, y escriba la ecuación utilizando los valores numéricos encontrados.

Escriba un sistema de ecuaciones lineales con tres variables que tenga la solución dada. Explique cómo determinó su respuesta. 9. (3, 1, 6).

10. (2, 5, 3).

11. a) Determine los valores de a, b y c tales que los puntos (1, 1), (1, 5) y (3, 11) pertenezcan a la gráfica de y ax2 bx c.

12. a) Determine los valores de a, b y c tales que los puntos (1, 7), (2, 5) y (3, 5) pertenezcan a la gráfica de y ax2 bx c.

b) Determine la ecuación cuadrática cuya gráfica pasa por los tres puntos indicados. Explique cómo determinó su respuesta.

b) Determine la ecuación cuadrática cuya gráfica pasa a través de los tres puntos indicados. Explique cómo determinó su respuesta.

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8.2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: APLICACIONES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1

1

Utilizar sistemas de ecuaciones para resolver problemas de aplicación.

2

Utilizar sistemas lineales con tres variables para resolver problemas de aplicación.

3

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables.

4

Reconocer sistemas inconsistentes y sistemas dependientes.

5

Evaluar un determinante de una matriz 3 × 3.

6

Utilizar la regla de Cramer con sistemas de tres variables.

Utilizar sistemas de ecuaciones para resolver problemas de aplicación Mujeres y hombres en la fuerza de trabajo (Porcentaje de población en la fuerza de trabajo civil)

Muchos de los problemas de aplicación que se resolvieron en capítulos anteriores usando una sola variable pueden resolverse usando dos variables. En seguida se presentan algunos ejemplos que muestran cómo pueden describirse los problemas de aplicación mediante sistemas de ecuaciones.

100 80

Porcentaje

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Hombres

60

Mujeres

40 20 0

EJEMPLO 1

Cambios en la fuerza de trabajo La gráfica de la figura 8.2 indica que, en Estados Unidos, el porcentaje de hombres en la fuerza de trabajo está disminuyendo de manera constante, mientras que el porcentaje de mujeres está aumentando gradualmente. La función m(t) 0.25t 85.4, en donde t años desde 1955, puede usarse para calcular el porcentaje de hombres que participa en la fuerza de trabajo, y la función w(t) 0.52t 35.7 puede usarse para calcular el porcentaje de mujeres. Si esta tendencia continúa, determine en qué año el porcentaje de mujeres que participa en la fuerza de trabajo será igual al porcentaje de hombres.

’60 ’70 ’80 ’90 ’00

Año Fuente: Departamento de Trabajo de Estados Unidos.

FIGURA 8.2

Solución

Entienda el problema y traduzca Considere las dos funciones dadas anteriormente como el sistema de ecuaciones. Para determinar en qué año el porcentaje de mujeres será igual al porcentaje de hombres, podemos establecer las dos funciones de tal manera que sean iguales, y despejar el tiempo, t.

Realice los cálculos porcentaje de mujeres = porcentaje de hombres

0.52t + 35.7 = - 0.25t + 85.4 0.77t = 49.7 t L 64.5 Por lo tanto, el porcentaje de mujeres que participa en la fuerza de trabajo será igual al porcentaje de hombres aproximadamente 64.5 años a partir de 1955. Como 1955 64.5 2019.5, el porcentaje será igual en el año 2019. ✺

Responda

EJEMPLO 2

Velocidad de una canoa La familia Vázquez viaja en canoa por un río , a una velocidad promedio de 4.75 millas por hora cuando reman con la corriente a favor, y 2.25 millas por hora cuando lo hacen a contracorriente. Determine la velocidad de la canoa con la corriente a su favor, y la velocidad de la corriente.

Solución

Entienda el problema Cuando los Vázquez viajan con la corriente a su favor, la velocidad de la canoa es igual a su velocidad más la velocidad de la corriente. Cuando viajan a contracorriente, la velocidad de la canoa es igual a su velocidad menos la velocidad de la corriente.

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Sea s velocidad de la canoa con la corriente a favor

Traduzca

c velocidad de la corriente El sistema de ecuaciones es: velocidad de la canoa viajando con la corriente a favor: velocidad de la canoa viajando a contracorriente: Realice los cálculos

s c 4.75 s c 2.25

Usaremos el método de la suma, para resolver este sistema de

ecuaciones.

s + c = 4.75 s - c = 2.25 2s = 7 s = 3.5 La velocidad de la canoa con la corriente a favor es de 3.5 millas por hora. Ahora determinaremos la velocidad de la corriente.

s + c = 4.75 3.5 + c = 4.75 c = 1.25 La corriente tiene una velocidad de 1.25 millas por hora, y la velocidad de la canoa con la corriente a favor es de 3.5 millas por hora. ✺

Responda

EJEMPLO 3

Solución

Salario Yamil Bermúdez, un vendedor de electrónicos, recibe un salario semanal más una comisión porcentual sobre sus ventas. Una semana en que vendió mercancía por $3000, su paga total fue de $850; la semana siguiente, en que vendió mercancía por $4000, su pago total fue de $1000. Determine cuál es su salario semanal y cuál su porcentaje de comisión. El pago de Yamil consiste de su salario semanal más la comisión. Se nos da información acerca de dos semanas específicas que podemos usar para determinar su salario semanal y su porcentaje de comisión.

Entienda el problema

sea s su salario semanal

Traduzca

r su porcentaje de comisión En la semana 1, su comisión sobre $3000 es 3000r, y en la semana 2, su comisión sobre $4000 es 4000r. Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es

salario + comisión = pago Primera semana s + 3000r = 850 r Segunda semana s + 4000r = 1000 Realice los cálculos

-s - 3000r = - 850 s + 4000r = 1000 1000r = 150

Sistema de ecuaciones. Primera semana multiplicada por 1. Segunda semana. Suma de ecuaciones.

150 r = 1000 r = 0.15 La comisión de Yamil es de 15% sobre sus ventas. Ahora determinaremos su salario semanal, sustituyendo r por 0.15 en cualquiera de las ecuaciones.

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s + 3000r = 850 s + 300010.152 = 850

Sustituya r por 0.15 en la ecuación de la primera semana.

s + 450 = 850 s = 400 Responda El salario semanal de Yamil es de $400, y su porcentaje de comisión so-

✺

bre ventas es de 15%.

EJEMPLO 4

Paseo en caballo Benjamín Aceves sale de su rancho montando su caballo a 5 millas por hora. Media hora más tarde, José Domínguez sale del mismo rancho y se dirige por la misma ruta montando su caballo a ocho millas por hora. a) ¿Cuánto tiempo tardará José en alcanzar a Benjamín? b) Cuando José alcance a Benjamín, ¿a que distancia del rancho estarán?

Solución a) Entienda el problema Cuando José alcance a Benjamín, ambos habrán recorrido la misma distancia, aunque José la habrá cubierto en 12 hora menos, ya que él salió 12 hora después que Benjamín. Usaremos la fórmula distancia velocidad tiempo, para resolver este problema. Traduzca

sea b = tiempo del recorrido de Benjamín j = tiempo del recorrido de José

Construiremos una tabla para organizar la información.

Velocidad Tiempo Distancia Benjamín

5

b

5b

José

8

j

8j

Tanto Benjamín como José recorrieron la misma distancia, así que escribimos

distancia de Benjamín = distancia de José 5b = 8j Nuestra segunda ecuación proviene del hecho que José ha viajado 12 hora menos que Benjamín. Por lo tanto, j = b - 12 . Así, nuestro sistema de ecuaciones es:

5b = 8j j = b -

1 2

Resolvemos este sistema de ecuaciones usando el método de la sustitución. Como j = b - 12 , sustituimos j por b - 12 en la primera ecuación y despejamos b.


5b = 8j 1 b 2 5b = 8b - 4 -3b = - 4 -4 1 b = = 1 -3 3 5b = 8ab -

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Por consiguiente, el tiempo que Benjamín ha estado viajando es 113 horas. Para obtener el tiempo que José ha viajado, restaremos 12 hora del tiempo de Benjamín.

j = b -

1 2

1 1 3 2 4 1 8 3 5 j = - = - = 3 2 6 6 6 j = 1

José alcanzará a Benjamín 56 de una hora (o 50 minutos) después de que el primero haya salido del rancho. b) Puede utilizar ya sea la distancia recorrida por Benjamín o la recorrida por José para determinar la distancia recorrida desde el rancho. Utilizaremos la distancia recorrida por José. Responda

5 8 5 20 2 d = 8j = 8a b = # = = 6 6 1 6 3 3 2

Así, José alcanzará a Benjamín cuando estén a 6 3 millas del rancho.

EJEMPLO 5

Solución

✺

Mezcla de soluciones La ingeniera química Alicia Hernández desea crear un nuevo limpiador para el hogar con una concentración de 30% de fosfato trisódico (TSP). Para obtener 6 litros de dicho limpiador,Alicia necesita mezclar una solución con concentración de 16% de TSP con otra cuya concentración es de 72%. ¿Cuántos litros de cada una de estas soluciones necesita mezclar? Para resolver este problema partiremos del hecho de que la cantidad de TSP en una solución se determina multiplicando el porcentaje de concentración de la solución por el número de litros (el volumen) de la misma. Alicia necesita mezclar dos soluciones, con concentración de 16% y 72%, respectivamente, para obtener 6 litros de una solución con una concentración de 30%.

Entienda el problema

sea x = número de litros de la solución de 16%

Traduzca

y = número de litros de la solución de 72% Dibujaremos un diagrama (figura 8.3) y después haremos una tabla que nos ayude a analizar el problema.

16% Solución

Volumen

FIGURA 8.3

x

Concentración 16%

72% Solución

y

72%

Mezcla

6

30%

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Solución

Concentración de solución

Número de litros

Cantidad de TSP

solución de 16%

0.16

x

0.16x

solución de 72%

0.72

y

0.72y

Mezcla

0.30

6

0.30162

Como la suma de los volúmenes de la solución de 16% y la solución de 72% da por resultado 6 litros, nuestra primera ecuación es

x + y = 6 Deducimos la segunda ecuación a partir del hecho de que ambas soluciones se mezclan.

a

cantidad de TSP cantidad de TSP cantidad de TSP b = a b b + a en la solución de 16% en la solución de 72% en la mezcla 0.16x + 0.72y = 0.30162

Por lo que, el sistema de ecuaciones es

x + y = 6 0.16x + 0.72y = 0.30162 Al despejar y en x y 6, obtenemos y = - x + 6. Al sustituir y por x 6 en la segunda ecuación, obtenemos


0.16x + 0.72y 0.16x + 0.721-x + 62 0.16x - 0.72x + 4.32 -0.56x + 4.32 -0.56x

= 0.30162 = 0.30162 = 1.8 = 1.8 = - 2.52

x =

-2.52 = 4.5 -0.56

Por lo tanto, Alicia debe utilizar 4.5 litros de la solución con concentración de 16%. Como las dos soluciones deben sumar 6 litros, hay que utilizar 6 4.5 o 1.5 litros de la solución con concentración de 72%. ✺ En el ejemplo 5, la ecuación 0.16x 0.72y 0.30(6) podría simplificarse multiplicando ambos lados de la ecuación por 100. Esto daría por resultado la ecuación 16x 72y 30(6) o 16x 72y 180. Entonces, el sistema de ecuaciones sería x y 6 y 16x 72y 180. Si resuelve este sistema, deberá obtener la misma solución. Compruébelo.

2 Utilizar sistemas lineales con tres variables para resolver problemas de aplicación Ahora veamos algunas aplicaciones que implican el uso de ecuaciones con tres variables.

EJEMPLO 6

Préstamos bancarios La juguetería Diversión para chicos debe pedir un préstamo de $25,000 para pagar una ampliación. En vista de que no puede obtener todo ese dinero de un solo banco, pedirá tres préstamos a igual número de bancos diferentes.

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El primero cobra 8% de interés. En el segundo banco pedirá un préstamo de $2000 más que la mitad de la cantidad solicitada al primer banco. La tasa de interés del segundo banco es de 10%. El resto de los $25,000 se obtendrá mediante un préstamo de un tercer banco que cobra 9% de interés. El interés anual total que paga Diversión para chicos por el préstamo de los tres bancos es de $2220. ¿Cuánto dinero pidió prestado esta juguetería a cada tasa?

Solución

Nos piden determinar cuánto se pide prestado a cada una de las tres tasas de interés. Por lo tanto, este problema tendrá tres variables, una para cada monto que se pidió prestado. En vista de lo anterior, tendremos que determinar tres ecuaciones para nuestro sistema de ecuaciones. Entienda el problema

sea x = cantidad prestada por el primer banco y = cantidad prestada por el segundo banco z = cantidad prestada por el tercer banco

Traduzca

Como la cantidad total prestada es de $25,000, sabemos que

x + y + z = 25,000

La cantidad total prestada es $25,000.

En el segundo banco, Diversión para chicos pidió prestado $2000 más que la mitad del dinero solicitado al primer banco. Por lo tanto, la segunda ecuación es

y =

1 x + 2000 El segundo préstamo, y, es $2000 más que 21 del primero, x. 2

Para obtener nuestra última ecuación, partimos del hecho de que el monto total que cobran los tres bancos por concepto de interés es de $2220. El porcentaje de interés de cada banco se determina multiplicando la tasa de interés por la cantidad prestada.

0.08x + 0.10y + 0.09z = 2220

El pago total por interés es $2220.

Así, nuestro sistema de ecuaciones es

x + y + z = 25,000 y =

(1)

1 x + 2000 2

(2)

0.08x + 0.10y + 0.09z = 2220

(3)

Ambos lados de la ecuación (2) pueden multiplicarse por 2 para eliminar las fracciones.

1 2 1y2 = 2 a x + 2000b 2 2y = x + 4000 -x + 2y = 4000

Propiedad distributiva. Restar x en ambos lados.

Podemos eliminar los decimales de la ecuación (3) multiplicando ambos lados de la ecuación por 100, para obtener

8x + 10y + 9z = 222,000 Nuestro sistema de ecuaciones simplificado es, entonces

x +

y + z = 25,000

-x + 2y

= 4000

(ec. 1) (ec. 2)

8x + 10y + 9z = 222,000 (ec. 3)

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Realice los cálculos Existen varias formas de resolver este sistema. Utilicemos (ec. 1) y (ec. 3) para eliminar la variable z.

-9x - 9y - 9z = - 225,000 (ec. 1) Multiplicada por 9. 8x + 10y + 9z = -x +

y

222,000 (ec. 3) - 3000 Suma de las ecuaciones (ec. 4).

=

Ahora usamos (ec. 2) y (ec. 4) para eliminar la variable x y despejar y.

x - 2y = - 4000 (ec. 2)

Multiplicada por 1.

-x + y = - 3000 (ec. 4) - y = - 7000 Suma de las ecuaciones. y =

7000

Ahora que conocemos el valor de y, podemos despejar x.

- x + 2y = 4000

(ec. 2)

-x + 2170002 = 4000

Sustituya y por 7000 en (ec. 2).

-x + 14,000 = 4000 -x = - 10,000 x =

10,000

Por último, despejamos z.

x + y + z = 25,000 (ec. 1) 10,000 + 7000 + z = 25,000 17,000 + z = 25,000 z =

8000

La juguetería Diversión para chicos pidió prestados $10,000 a 8%, $7000 a 10% y $8000 a 9% de interés. ✺

Responda

EJEMPLO 7

Botes inflables Cierta empresa tiene una pequeña planta que fabrica tres tipos de botes inflables: para una, dos y cuatro personas. La fabricación de cada bote requiere de tres departamentos: corte, ensamblaje y empaque. Los departamentos de corte, ensamblaje y empaque pueden utilizar un total de 380, 330 y 120 horaspersona por semana, respectivamente. El tiempo que cada departamento requiere para fabricar un bote aparece en la siguiente tabla. Determine cuántos botes de cada tipo deben producirse por semana para que la planta opere a toda su capacidad.

Tiempo (personahora) Bote para una persona

Bote para dos personas

Bote para cuatro personas

0.6

1.0

1.5

Ensamblaje

0.6

0.9

1.2

Empaque

0.2

0.3

0.5

Departamento Corte

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Solución

Entienda el problema Nos dicen que se fabrican tres tipos de botes diferentes, y nos piden determinar la cantidad que se produce de cada uno. Como este problema incluye tres cantidades por determinar, el sistema tendrá tres ecuaciones con tres variables. Traduzca

Usaremos la información proporcionada en la tabla.

sea x = el número de botes para una persona y = número de botes para dos personas z = número de botes para cuatro personas El número total de horas que se requiere para cortar los tres tipos de botes debe ser igual a 380 horaspersona.

0.6x + 1.0y + 1.5z = 380 El número total de horas que se requiere para ensamblar debe ser igual a 330 horaspersona.

0.6x + 0.9y + 1.2z = 330 El número total de horas que se requiere para empacar debe ser igual a 120 horas persona.

0.2x + 0.3y + 0.5z = 120 Por lo tanto, el sistema de ecuaciones es

0.6x + 1.0y + 1.5z = 380 0.6x + 0.9y + 1.2z = 330 0.2x + 0.3y + 0.5z = 120 Al multiplicar cada ecuación del sistema por 10, se eliminan los números decimales y se obtiene un sistema de ecuaciones simplificado.

6x + 10y + 15z = 3800 (ec. 1) 6x + 9y + 12z = 3300 (ec. 2) 2x + 3y + 5z = 1200 (ec. 3) Realice los cálculos Primero eliminaremos la variable x utilizando (ec. 1) y (ec. 2), y después (ec. 1) y (ec. 3).

6x + 10y + 15z =

3800

-6x - 9y - 12z = - 3300 y + 3z = 6x + 10y + 15z =

500

(ec. 1) (ec. 2) Multiplicada por 1. Suma de las ecuaciones, (ec. 4).

3800 (ec. 1)

- 6x - 9y - 15z = - 3600 (ec. 3) Multipliccada por 3. y

=

200 Suma de las ecuaciones (ec. 5).

Observe que al sumar las dos últimas ecuaciones, las variables x y z se eliminaron simultáneamente. Ahora que conocemos el valor de y, podemos despejar z.

y + 3z = 500 (ec. 4) 200 + 3z = 500 3z = 300 z = 100

Sustituya y por 200.

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Por último, determinamos x.

6x + 10y + 15z = 3800

(ec. 1)

6x + 1012002 + 1511002 = 3800 6x + 2000 + 1500 = 3800 6x + 3500 = 3800 6x = 300 x = 50 La planta debe producir 50 botes para una persona, 200 botes para dos personas y 100 botes para cuatro personas por semana. ✺

Responda

3

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables Ahora utilizaremos las matrices para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables. Usaremos el mismo procedimiento de transformaciones de filas que empleamos para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales. Nuestro objetivo es obtener una matriz aumentada en forma triangular

1 C0 0

a b p 1 c 3 qS 0 1 r

donde a, b, c, p, q y r son constantes. Esta matriz representa el siguiente sistema de ecuaciones.

1x + ay + bz = p 0x + 1y + cz = q 0x + 0y + 1z = r

x + ay + bz = p y + cz = q o z = r

Al construir una matriz aumentada, trabaje por columnas, comenzando por la del extremo izquierdo y finalizando con la del extremo derecho. Siempre termine las operaciones en una columna antes de pasar a la siguiente. En cada columna, primero obtenga 1 en la posición indicada, y después obtenga los ceros. El ejemplo 2 ilustra este procedimiento.

SUGERENCIA

CONSEJO PARA ESTUDIAR

Al usar matrices, tenga cuidado de mantener todos los números alineados de forma apropiada en filas y columnas. Un pequeño error al copiar números de una matriz a otra provocará que nuestro intento de resolver un sistema de ecuaciones sea incorrecto. x - 3y + z = 3 Por ejemplo, el sistema de ecuaciones, 4x + 2y - 5z = 20 , cuando se representa - 5x - y - 4z = 13 de manera correcta con la matriz aumentada, C

1 4 -5

-3 2 -1

1 3 - 5 3 20 S , da lugar a la -4 13

solución (1, 2, 4). Sin embargo, una matriz que parece muy similar, C conduce a la terna ordenada incorrecta a -

25 130 206 ,,b. 53 53 53

1 4 -5

-3 -1 2

1 3 - 5 3 20 S , -4 13

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EJEMPLO 2

Utilice matrices para resolver el siguiente sistema de ecuaciones

x - 2y + 3z = - 7 2x - y - z = 7 -x + 3y + 2z = - 8

Solución

Primero escriba la matriz aumentada.

1 C 2 -1

-2 -1 3

3 -7 3 -1 7S 2 -8 1

Después utilice las transformaciones de filas para cambiar la primera columna a 0. 0

Como el número de la primera fila de la primera columna ya es 1, trabajaremos con el número 2 de la segunda fila, primera columna. Multiplique los números de la primera fila por 2 y sume los productos a los números respectivos de la segunda fila, con lo que cambiará el 2 por 0. Ahora la matriz es

1 C 0 -1

-2 3 3

3 -7 -7 3 21 S -2R1 + R2 2 -8

Continúe hacia abajo en la primera columna y cambie el número 1 de la tercera fila por 0. Multiplique los números de la primera fila por 1, y sume los productos a la tercera fila para obtener

1 C0 0

-2 3 1

3 -7 -7 3 21 S 5 -15

1R1 + R3

Ahora trabajaremos con la segunda columna. Queremos cambiar los números de esa

ta columna a la forma 1, donde a representa un número. Como hay un 1 en la tercera 0

fila de la segunda columna, y queremos un 1 en la segunda fila de la segunda columna, intercambiamos la primera y segunda filas de la matriz. Esto da

1 C0 0

-2 1 3

3 -7 3 5 -15 S -7 21

Intercambiar R1 y R2.

Continuando el trabajo hacia abajo en la segunda columna, ahora cambiaremos el número 3 de la tercera fila por 0, multiplicando los números de la segunda fila por 3 y sumando los productos a la tercera fila. Esto da por resultado

1 C0 0

-2 1 0

3 -7 3 5 -15 S -3R2 + R3 -22 66

Ahora trabajaremos con la tercera columna. Queremos cambiar los números de b

esta columna a la forma c , donde b y c representan números. Debemos cambiar el 1

número 22 de la tercera fila por 1. Podemos lograrlo multiplicando los números de 1 la tercera fila por - 22 . Esto da como resultado

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1 -2 3 -7 C 0 1 5 3 - 15 S 0 0 1 - 3 - 221 R3 Ahora esta matriz tiene la forma deseada. A partir de ella obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

x - 2y + 3z = - 7 y + 5z = - 15 z = -3 La tercera ecuación nos da el valor de z en la solución.Ahora podemos despejar y, sustituyendo z por –3 en la segunda ecuación.

y + 5z = - 15 y + 51-32 = -15 y - 15 = - 15 y =

0

Ahora despejamos x, sustituyendo y por 0 y z por –3 en la primera ecuación.

x - 2y + 3z = - 7 x - 2102 + 31-32 = -7 x - 0 - 9 = -7 x - 9 = -7 x =

2

La solución es (2, 0, 3). Compruébelo sustituyendo los valores apropiados en cada una de las ecuaciones originales. ✺

4

Reconocer sistemas inconsistentes y sistemas dependientes Al resolver un sistema de dos ecuaciones, si usted obtiene una matriz aumentada en la que todos los números de una fila al lado de la barra vertical son ceros, pero no hay ceros que les correspondan en el otro lado, significa que el sistema es inconsistente y no tiene solución. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones con el que se obtiene la siguiente matriz aumentada es un sistema inconsistente.

B

1 2 5 ` R 0 0 4

— Sistema inconsistente.

La segunda fila de la matriz representa la ecuación

0x + 0y = 4 que nunca es verdadera. Si obtiene una matriz con ceros en toda una fila, el sistema de ecuaciones es dependiente. Por ejemplo, un sistema de ecuaciones que produce la siguiente matriz aumentada es un sistema dependiente.

B

1 0

-3 -2 R ` 0 0

— Sistema dependiente.

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La segunda fila de la matriz representa la ecuación

0x + 0y = 0 que siempre es verdadera. Los sistemas de ecuaciones con tres ecuaciones cumplen reglas similares.

1 C0 0 1 C0 0

2 0 1 3 0 4

4 5 0 3 -1 S -2 3 -1 2 3 0 0S 1 -3

— Sistema inconsistente.

— Sistema dependiente.

Solución de problemas 1. Al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices, si se intercambian dos filas de la matriz, ¿cambiará la solución del sistema? Explique.

2. ¿Puede decir si un sistema de tres ecuaciones con tres variables es consistente, dependiente o inconsistente sin resolverlo? Explique.

Resuelva los ejercicios 3 a 5 mediante matrices. 3. Ángulos de un tejado En una sección triangular de un tejado, el ángulo más grande es 55° mayor que el ángulo más pequeño que es 20° mayor que el ángulo restante. Determine la medida de cada ángulo.

z x

5. Plátanos Sesenta y cinco por ciento de la producción mundial de plátano es controlada por las empresas Chiquita, Dole y Del Monte (todas de Estados Unidos). Chiquita, la empresa más grande, controla 12% más de la producción que Del Monte. Dole, la segunda empresa en tamaño, controla 3% menos que el doble del porcentaje que controla Del Monte. Determine los porcentajes que corresponden a cada sector del círculo de la gráfica que se muestra.

y

Producción mundial de plátanos

Otras

4. Ángulo recto Un ángulo recto se divide en tres ángulos más pequeños. El más grande de los tres ángulos mide el doble del más pequeño. El tercer ángulo mide 10° más que el ángulo más pequeño. Determine la medida de cada ángulo.

Chiquita Dole

Del Monte z

6. x + y + z = 2

y

-3y + 4z = 11 -3x + 4y - 2z = - 11

x

5

7. 2x + y - 2z = 4

2x + 2y - 4z = 1 6x + 8y - 4z = 1

Evaluar un determinante de una matriz 3 3 Para el determinante

a1 3 a2 a3

b1 c1 b2 c2 3 b3 c3

el determinante menor de a1 se encuentra tachando los elementos de la misma fila y la misma columna donde aparece el elemento a1. Los demás elementos forman el de-

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terminante menor de a1. Los determinantes menores de los demás elementos se localizan de manera similar.

a1 b1 3 a2 b2 a3 b3

c1 c2 3 c3

`

b2 b3

c2 ` c3

Determinante menor de a1.

a1 b1 3 a2 b2 a3 b3

c1 c2 3 c3

`

b1 b3

c1 ` c3


a1 b1 3 a2 b2 a3 b3

c1 c2 3 c3

`

b1 b2

c1 ` c2


Para evaluar los determinantes de una matriz de 3 3, utilizamos los determinantes menores. En el siguiente recuadro se muestra cómo evaluarlos por el desarrollo de menores de la primera columna.

Desarrollo de los determinantes mediante los menores de la primera columna Determinante Determinante Determinante menor menor menor de a2 de a3 de a1 p p p a1 b1 3 a2 b2 a3 b3

EJEMPLO 3

4 3 Evalúe 3 1

-2 5 -3

c1 b c2 3 = a1 ` 2 b3 c3

c2 b c b ` - a2 ` 1 1 ` + a3 ` 1 c3 b3 c3 b2

c1 ` c2

6 0 3 utilizando el desarrollo del determinante mediante los meno-1

res de la primera columna.

Solución

Seguiremos el procedimiento indicado en el cuadro.

4 33 1

-2 5 -3

6 5 03 = 4` -3 -1

0 -2 ` - 3` -1 -3

6 -2 ` + 1` -1 5

6 ` 0

= 4351-12 - 1-3204 - 331 - 221 -12 - 1 -3264 + 131 - 220 - 51624 = 41- 5 + 02 - 312 + 182 + 110 - 302 = 41- 52 - 31202 + 11-302 = - 20 - 60 - 30 = - 110

El determinante tiene un valor de 110.

✺

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6

Utilizar la regla de Cramer con sistemas de tres variables La regla de Cramer puede aplicarse también a los sistemas de ecuaciones con tres variables como sigue. Regla de Cramer para un sistema de ecuaciones con tres variables Para evaluar el sistema

a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2 a 3 x + b3 y + c3 z = d3 con

a1 D = 3 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 3 c3

d1 Dx = 3 d2 d3

b1 b2 b3

c1 c2 3 c3

a1 Dy = 3 a2 a3

d1 d2 d3

c1 c2 3 c3

a1 b1 Dz = 3 a 2 b2 a 3 b3

d1 d2 3 d3

entonces

x =

Dx D

y =

Dy D

z =

Dz D

,

D Z 0

Observe que los denominadores de las expresiones para x, y y z son todos el mismo determinante, D. Las constantes d reemplazan a las a, los coeficientes numéricos de los términos x en Dx; a las b, los coeficientes numéricos de los términos y en Dy, y a las c, los coeficientes numéricos de los términos z en Dz.

EJEMPLO 4

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando determinantes.

3x - 2y - z = - 6 2x + 3y - 2z =

1

x - 4y + z = - 3

Solución

a1 = 3 a2 = 2 a3 = 1

b1 = - 2 b2 = 3 b3 = - 4

c1 = - 1 c2 = - 2 c3 = 1

d1 = - 6 d2 = 1 d3 = - 3

Utilizaremos el desarrollo de los determinantes menores de la primera columna para evaluar D, Dx, Dy y Dz.

3 3 D = 2 1

-2 3 -4

-1 3 -2 3 = 3 ` -4 1

-2 -2 ` - 2` 1 -4

= 31- 52 - 21-62 + 1172 = - 15 + 12 + 7 = 4

-1 -2 ` + 1` 1 3

-1 ` -2

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-6 Dx = 3 1 -3

-2 3 -4

-1 3 -2 3 = -6 ` -4 1

-2 -2 ` - 1` 1 -4

-1 -2 ` + 1 -32 ` 1 3

-1 ` -2

= - 61-52 - 11-62 - 3172 = 30 + 6 - 21 = 15 3 Dy = 3 2 1

-6 1 -3

-1 1 -2 3 = 3 ` -3 1

-2 -6 ` - 2` 1 -3

-1 -6 ` + 1` 1 1

-1 ` -2

-6 -2 ` + 1` -3 3

-6 ` 1

= 31-52 - 21-92 + 11132 = - 15 + 18 + 13 = 16 3 3 Dz = 2 1

-2 3 -4

-6 3 13 = 3` -4 -3

1 -2 ` - 2` -3 -4

= 31-52 - 21-182 + 11162 = - 15 + 36 + 16 = 37 Encontramos que D 4, Dx 15, Dy 16 y Dz 37. Por lo tanto,

x =

Dx 15 = D 4

y =

Dy D

16 = 4 4

=

z =

Dz D

=

37 4

A 154 , 4, 374 B .Observe que la terna ordenada lista a x, y y z en

La solución del sistema es este orden.

✺

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones con tres variables en donde una o más ecuaciones no tienen una variable, insertamos la variable con el coeficiente 0. Así,

2x - 3y + 2z = - 1 2x - 3y + 2z = - 1 x + 2y = 14 se escribe x + 2y + 0z = 14 x - 3z = - 5 x + 0y - 3z = - 5

SUGERENCIA

Al evaluar los determinantes, si cualesquiera dos filas (o columnas) son idénticas, excepto por signos opuestos, el determinante tiene un valor de 0. Por ejemplo,

` 5 32 5

5 5

-2 ` =0 y -2

-3 4 6 53 = 0 y -3 4

`

5 -5

5 3 -5 6

-2 ` =0 2 -3 3 8

4 -4 3 = 0 2

Como en el caso de los determinantes de una matriz de 2 2, cuando el determinante D 0, no se puede utilizar la regla de Cramer, ya que la división entre cero es indefinida. Entonces, hay que utilizar un método distinto para resolver el sistema, o evaluar Dx, Dy y Dz para determinar si el sistema es dependiente o inconsistente. Si D 0, Dx 0, Dy 0 o Dz 0, entonces el sistema es dependiente. Si D 0, Dx 0, Dy 0 o Dz 0, entonces el sistema es inconsistente.

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Actividad de cierre A continuación te presentamos una tabla para que te evalúes, pero también es posible que la intercambies con alguno de tus compañeros para que ambos definan sus logros (coevaluación). El objetivo es reflexionar acerca de la presentación de un proceso para la resolución de problemas matemáticos, además deberás presentar un comentario fundamentado. Aspectos

Nivel elemental

Nivel intermedio

Nivel avanzado

Nivel experto

Introducción

No se presentaron con claridad los aspectos introductorios como objetivo, estructura.

Es vaga la introducción, no se percibe totalmente el objetivo del mismo.

Se presenta una introducción, pero se percibe que ésta puede mejorarse para su comprensión.

Se denota una presentación de la introducción con claridad, estructura y presentando el objetivo de la misma.

Desarrollo

No se presenta argumentación sólida.

Los argumentos son débiles.

El número de argumentos son suficientes.

Los argumentos son totalmente convincentes.

Cierre

Se da una valoración personal no muy relacionada con las ecuaciones lineales, los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y de tres incógnitas.

La valoración se encuentra parcialmente relacionada con las ecuaciones lineales, sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y de tres incógnitas.

La valoración se encuentra en la justa relación con las ecuaciones lineales.

La valoración presentada es magistral, inclusive se refuerzan con ejemplos.

Nota: Estas actividades de cierre se desarrollarán durante los bloques VI,VII y VIII.

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BLOQUE IX

Resuelve ecuaciones cuadráticas I • Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: - Extracción de factor común - Despeje de la variable cuadrática • Identifica ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable. • Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas incompletas. • Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas. • Describe el procedimiento de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable. • Identifica raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas. • Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas completas.

M

uchas situaciones de la vida real pueden representarse o calcularse mediante el uso de ecuaciones cuadráticas, tal como se verá a lo largo de este capítulo.

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BLOQUE IX • Resuelve ecuaciones cuadráticas I • 401

Bloques IX y X Resuelve ecuaciones cuadráticas I y II Unidades de competencia • Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos aplicando las propiedades de los números reales, expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables; empleando las literales para la representación, resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes con su vida cotidiana y escolar que le ayuden a explicar y describir su realidad. • Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje algebraico.

Atributos de las competencias genéricas 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo, ante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Nota: Estas actividades de inicio se desarrollarán durante los bloques IX y X.

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Actividad inicial Pretendemos que resuelvas el problema que te presentamos y que con otro compañero muestren al grupo un procedimiento genérico para resolver problemas matemáticos. Por medio de este problema surge la posibilidad de crear un algoritmo.

Problema 1 En el clásico de futbol entre América y Chivas, el portero Guillermo Ochoa al patear un balón en un saque de meta, genera la situación que se muestra en la siguiente gráfica.

y

B(11 m, 4 m)

C(22 m, 0 m) x A(0,0) La gráfica corresponde a una función cuadrática. Con base en la situación planteada, responde los cuestionamientos siguientes. Si sabes que la forma general de una función cuadrática es: y = ax2 + bx + c. 1. El modelo matemático que representa la situación planteada es:

2. Considerando la posición del balón, ¿Qué significa el punto de coordenadas B (11 y 4 m)?

3. En el modelo matemático que encontraste, de alguna manera separa las magnitudes constantes y las magnitudes variables.

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4. El valor del discriminante de la ecuación cuadrática que se genera con la función obtenida por la situación planteada es:

5. Si el valor del discriminante es un valor negativo, las raíces de la ecuación cuadrática serán:

6. ¿Es posible tener en la situación planteada el valor de x = -3 m?, Justifica tu respuesta.

7. ¿Es posible tener en la situación planteada el valor de y = -4 m? Justifica tu respuesta.

Actividades extra clase 1.

Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x2 – 49 = 0 b) y2 + 11 = –50 c) (x + 1.8)2 = 0.81 d) 3y2 + 12y = 0 e) 18z2 – 6z = 0 f)

1 3

a2 – 43 a = 0

g) 3x2 + 33x + 72 = 0 h)

5 2

x2 + 32 x – 54 = 0

i) x2 – 6x + 8 = 0 j) –3x2 + 6x = 6 2.

Resuelve los siguientes problemas: a) La fórmula para calcular la distancia d en pies necesaria para detener un automóvil específico sobre una su1 perficie de pavimento seco es: d = 10 x2, en donde x es la velocidad del automóvil en millas por hora, antes de que se apliquen los frenos. Si la distancia necesaria para detener el automóvil es 90 pies. ¿Cuál era la velocidad antes de frenar?

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b) El producto de dos enteros impares consecutivos es 63. Determina dichos números. c) Manuel Cortés planea asfaltar la entrada de su cochera. Determina las dimensiones de la entrada rectangular, si su área es de 381.25 pies cuadrados y el largo es de 18 pies mayor que su ancho. d) Margarita Chávez invirtió inicialmente $800.00 en una cuenta de ahorros cuyo interés se paga cada año. Si después de 2 años el saldo de la cuenta es de $898.8, determina la tasa de interés anual. Es momento de reflexionar sobre lo realizado. Para ello, forma equipos de dos integrantes. • ¿Encontraron fácilmente el procedimiento de solución de cada uno de los ejercicios planteados? • El texto de las situaciones planteadas, ¿es continuo o discontinuo? • Los ejercicios que se presentan, ¿son suficientes para plantear y redactar problemas relativos a situaciones de tu realidad y adquirir la habilidad de resolverlos? • ¿Cómo fue tu desempeño en el trabajo individual?, ¿y en el grupal? • ¿Dónde se les presentó mayor dificultad? • Describan brevemente los procedimientos que siguieron para detectar a qué tipo de factorización o producto notable pertenece cada uno de los ejercicios planteados.

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9.1 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETANDO EL CUADRADO 1

Usar la propiedad de la raíz cuadrada para resolver ecuaciones.

2

Entender los trinomios cuadrados perfectos.

3

Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.

En esta sección se presentarán dos nuevos conceptos, la propiedad de la raíz cuadrada y cómo completar el cuadrado. La propiedad de la raíz cuadrada se utilizará en varias secciones de este libro. Las ecuaciones cuadráticas que no pueden resolverse mediante factorización pueden solucionarse completando el cuadrado, o mediante la fórmula cuadrática.

1

Usar la propiedad de la raíz cuadrada para resolver ecuaciones Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. Hasta ahora sólo hemos utilizado la raíz cuadrada positiva. En esta sección utilizaremos ambas, tanto la raíz cuadrada positiva como la raíz cuadrada negativa de un número. Raíz cuadrada positiva de 25

Raíz cuadrada negativa de 25

125 = 5

- 125 = - 5

Una manera práctica de indicar las dos raíces cuadradas de un número es utilizado el símbolo más o menos, ;. Por ejemplo, las raíces cuadradas de 25 pueden indicarse mediante ;5, expresión que se lee “más, menos 5”. La ecuación x2 25, tiene dos soluciones: las dos raíces cuadradas de 25, que son ;5. Si verifica cada raíz, verá que ambos valores satisfacen la ecuación. La propiedad de la raíz cuadrada puede utilizarse para determinar las soluciones a ecuaciones con la forma x2 a. Propiedad de la raíz cuadrada Si x2 a, donde a es un número real, entonces x = ; 1a.

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva las siguientes ecuaciones.

a) x2 – 9 0

b) x2 5 80

a) Sume 9 a ambos lados de la ecuación para aislar la variable.

x2 - 9 = 0 x2 = 9 x = ; 19 = ;3

Aislar la variable. Propiedad de la raíz cuadrada.

Compruebe las soluciones en la ecuación original.

x = 3 x2 - 9 = 0 ? 32 - 9 = 0 0 = 0

Verdadero

x = -3 x2 - 9 = 0 ? 1- 322 - 9 = 0 0 = 0

Verdadero

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En ambos casos la comprobación nos da un resultado verdadero, lo que significa que tanto 3 como 3 son soluciones de la ecuación.

x2 + 5 = 80 x2 = 75 x = ; 175 = ; 125 13 = ; 513

b)

Aislar la variable. Propiedad de la raíz cuadrada. Simplificar.

✺

Las soluciones son 5 13 y - 5 13 .

No todas las ecuaciones cuadráticas tienen soluciones reales, como se ilustra en el ejemplo 2:

EJEMPLO 2

Resuelva la ecuación x2 7 0.

Solución

x2 + 7 = 0 x2 = - 7 x = ; 1- 7 = ; i17

Aislar la variable. Propiedad de la raíz cuadrada.

Las soluciones son i 17, y - i 17 , ambos son números imaginarios.

EJEMPLO 3 Solución

Resuelva a) (a 4)2 32

✺

b) (z 3)2 28 0

a) Como el término que incluye la variable ya está aislado, empiece usando la propiedad de la raíz cuadrada.

1a - 422 = 32 a - 4 = ; 132 a = 4 ; 132 = 4 ; 116 12 = 4 ; 412

Propiedad de la raíz cuadrada. Sumar 4 a ambos lados. Simplificar.

Las soluciones son 4 + 4 12 y 4 - 4 12 . b) Inicie restando 28 en ambos lados de la ecuación para aislar el término que contiene la variable.

1z + 322 + 28 = 0 1z + 322 = - 28

Ahora utilice la propiedad de la raíz cuadrada.

z + 3 = ; 1- 28 z = - 3 ; 1-28 = - 3 ; 128 1-1 = - 3 ; i14 17

Restar 3 de ambos lados. Simplificar 128 y reemplazar 1 - 1 con i.

= - 3 ; 2i17 Las soluciones son - 3 + 2i 17 y - 3 - 2i 17 . Observe que las soluciones a la ecuación (z 3)2 28 0 no son números reales, sino números complejos. ✺

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2

Entender los trinomios cuadrados perfectos Ahora que conocemos la propiedad de la raíz cuadrada, podemos centrar nuestra atención en otra técnica para resolver ecuaciones cuadráticas: cómo completar el cuadrado. Para entender este procedimiento, es necesario que sepa cómo formar trinomios cuadrados perfectos. Recuerde que un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que puede expresarse como el cuadrado de un binomio.A continuación se ofrecen algunos ejemplos. Trinomios cuadrados perfectos

x2 x2 x2 x2

+ + -

8x + 16 8x + 16 10x + 25 10x + 25

= = = =

Factores

1x 1x 1x 1x

+ + -

421x 421x 521x 521x

+ + -

Cuadrado de un binomio

42 42 52 52

= = = =

1x 1x 1x 1x

+ + -

422 422 522 522

En un trinomio cuadrado perfecto con coeficiente principal de 1, existe una relación entre el coeficiente del término de primer grado y el término constante. En tales trinomios el término constante es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término de primer grado. Examinemos algunos trinomios cuadrados perfectos para los que el coeficiente principal es 1.

x2 + 8 x + 16 = 1x + 422

C 12 182 D 2 = 1422

x2 - 10 x + 25 = 1x - 522

C 12 1-102 D 2 = 1- 522

Cuando un trinomio cuadrado perfecto con coeficiente principal de 1 se escribe como el cuadrado de un binomio, la constante del binomio es la mitad del coeficiente del término de primer grado del trinomio. Por ejemplo,

x2 + 8 x + 16 = 1x + 4 22 1 2 182

x2 - 10 x + 25 = 1x - 5 22 1 2 1-102

3

Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado Ahora analizaremos la técnica de completar el cuadrado. Para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, sumamos una constante en ambos lados de la ecuación, de modo que el trinomio restante sea un trinomio cuadrado perfecto. Luego utilizamos la propiedad de la raíz cuadrada para resolver la ecuación resultante. Éste es un resumen del procedimiento.

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Para resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado 1. Si es necesario, utilice la propiedad de la multiplicación (o división) de la igualdad para hacer que el coeficiente principal sea 1. 2. Reescriba la ecuación aislando la constante en el lado derecho. 3. Tome la mitad del coeficiente numérico del término de primer grado, elévela al cuadrado y sume la cantidad resultante en ambos lados de la ecuación. 4. Reemplace el trinomio con el cuadrado de un binomio. 5. Utilice la propiedad de la raíz cuadrada para tomar la raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación. 6. Despeje la variable. 7. Compruebe sus soluciones en la ecuación original.

EJEMPLO 4 Solución

Resuelva la ecuación x2 6x 5 0 completando el cuadrado. Como el coeficiente principal es 1, el paso uno ya no es necesario. Pase la constante, 5, al lado derecho de la ecuación, restando 5 en ambos lados de la misma.

Paso 2:

x2 + 6x + 5 = 0 x2 + 6x = - 5 Paso 3: Determine el cuadrado de la mitad del coeficiente numérico del término de primer grado, 6.

1 162 = 3, 2

32 = 9

Sume este valor en ambos lados de la ecuación.

x2 + 6x + 9 = - 5 + 9 x2 + 6x + 9 = 4 Paso 4: Siguiendo este procedimiento, producimos un trinomio cuadrado perfecto en el lado izquierdo de la ecuación. La expresión x2 6x 9 es un trinomio cuadrado perfecto que puede expresarse como (x 3)2. 1 el coeficiente numérico del término 2 1 de primer grado es 162 = +3. 2

1x + 322 = 4 Paso 5:

Utilice la propiedad de la raíz cuadrada.

x + 3 = ; 14 x + 3 = ;2 Paso 6:

Por último, despeje x restando 3 en ambos lados de la ecuación.

x + 3 - 3 = -3 ; 2 x = -3 ; 2 x = - 3 + 2 or x = -3 - 2 o x = -1 x = -5

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Paso 7:

Compruebe ambas soluciones en la ecuación original.

x = -1 x2 + 6x + 5 = 0 ? 1- 122 + 61- 12 + 5 = 0

x = -5 x2 + 6x + 5 = 0 ? 1-522 + 61- 52 + 5 = 0

?

1 - 6 + 5 = 0 0 = 0

?

Verdadero

25 - 30 + 5 = 0 0 = 0

Verdadero

Como ambos números cumplen, tanto 1 como 5 son soluciones de la ecuación original. ✺

SUGERENCIA

Cuando resolvemos la ecuación x2 bx c 0 completando el cuadrado, obtenemos b 2 x 2 + bx + a b en el lado izquierdo y una constante en el lado derecho de la ecuación. 2 b 2 b 2 Luego reemplazamos x 2 + bx + a b con a x + b . En la figura que sigue se muestra 2 2 por qué

b 2 b 2 x2 + bx + a b = a x + b 2 2 b b 2 . Por lo tanto, el área es a x + b . 2 2 El área del cuadrado también puede determinarse sumando las áreas de las cuatro secciones, como sigue: La figura es un cuadrado con lados de longitud x +

x2 +

b b b 2 b 2 x + x + a b = x2 + bx + a b 2 2 2 2

b 2 b 2 Al comparar las áreas, vemos que x 2 + bx + a b = a x + b . 2 2 x

EJEMPLO 5 Solución

b 2

x

x2

b x 2

b 2

b x 2

冢冣 b 2

2

El área de este pedazo representa el término que sumamos en cada lado de la ecuación cuando completamos el cuadrado.

Resuelva la ecuación x2 3x 18 completando el cuadrado. El coeficiente numérico del término elevado al cuadrado debe ser 1, no 1. Por lo tanto, empiece multiplicando ambos lados de la ecuación por 1, para hacer que el coeficiente del término al cuadrado sea igual a 1.

- x2 = - 3x - 18 - 11-x22 = - 11- 3x - 182 x2 = 3x + 18

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Ahora pase todos los términos, excepto la constante, al lado izquierdo de la ecuación.

x 2 - 3x = 18 Tome la mitad del coeficiente numérico del término x, elévela al cuadrado y sume el producto en ambos lados de la ecuación. Luego reescriba el lado izquierdo de la ecuación como el cuadrado de un binomio.

3 2 9 a- b = 2 4 9 9 x2 - 3x + = 18 + 4 4

1 3 1-32 = 2 2

ax -

3 2 9 b = 18 + 2 4

ax -

3 2 72 9 b = + 2 4 4

ax -

3 2 81 b = 2 4

Completar el cuadrado. Reescribir el trinomio como el cuadrado de un binomio.

3 81 = ; Propiedad de la raíz cuadrada. 2 A4 3 9 x - = ; Simplificar. 2 2 3 9 x = ; Sumar 32 en ambos lados. 2 2 3 9 3 9 x = + o x = 2 2 2 2 6 12 = 6 x = - = -3 x = 2 2 x -

✺

Las soluciones son 6 y 3. En los ejemplos siguientes se obviarán algunos de los pasos intermedios.

EJEMPLO 6 Solución

Resuelva la ecuación x2 6x 17 0.

x2 - 6x + 17 = 0 x2 - 6x = - 17

Pasar el término constante al lado derecho.

x2 - 6x + 9 = - 17 + 9 Completar el cuadrado. 1x - 322 = - 8

Escribir el trinomio como el cuadrado de un binomio.

x - 3 = ; 1- 8 Propiedad de la raíz cuadrada. x - 3 = ; 2i12 Simplificar. x = 3 ; 2i12 Despejar x. Las soluciones son 3 + 2i 12 y 3 - 2i 12 .

✺

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EJEMPLO 7

Resuelva la ecuación 3m2 6m 24 0 completando el cuadrado.

Solución

-3m2 + 6m + 24 = 0 1

-

1 1 Multiplicar por - para obtener 3 1-3m2 + 6m + 242 = - 102 3 3 un coeficiente principal de 1. m2 - 2m - 8 = 0

Ahora procedemos como antes. Pasar el término constante al lado derecho.

m2 - 2m = 8 m2 - 2m + 1 = 8 + 1

Completar el cuadrado.

1m - 12 = 9

Escribir el trinomio con el cuadrado de un binomio.

2

m - 1 = ;3 Propiedad de la raíz cuadrada. m = 1 ; 3 Despejar m. m = 1 + 3 o m = 1 - 3 m = 4 m = -2 ✺ Si se le pidiera resolver la ecuación - 14 x2 + 2x - 8 = 0 completando el cuadra do, ¿qué haría primero? Si respondió, “Multiplicar ambos lados de la ecuación por 4 para hacer que el coeficiente principal sea igual a 1”, su contestación es correcta. Para resolver la ecuación 23 x2 + 3x - 5 = 0, multiplicaría ambos lados de la ecuación por 32 para obtener un coeficiente principal de 1. Por lo general, las ecuaciones cuadráticas que no pueden resolverse con facilidad por medio de factorización se resolverán mediante la fórmula cuadrática que se presentará en la siguiente sección. No obstante, hemos presentado el procedimiento para completar el cuadrado porque lo utilizaremos para deducir la fórmula cuadrática.

EJEMPLO 8

r nt b , n puede usarse para determinar el monto, A, cuando un capital inicial, p, se invierte a una tasa de interés anual, r, capitalizable n veces en un año durante t años.

Interés compuesto La fórmula para calcular el interés compuesto: A = p a 1 +

a) En un principio, Josh Adams invirtió $1000 en una cuenta de ahorros cuyo interés compuesto se paga anualmente (una vez al año). Si después de dos años el monto, o saldo, en la cuenta es de $1102.50, determine la tasa de interés anual, r. b) Trisha McDowel invirtió $1000 en una cuenta de ahorros cuyo interés compuesto se paga trimestralmente. Si después de 3 años el monto en la cuenta es $1195.62, determine la tasa de interés anual, r.

Solución

a) Entienda el problema Se nos ha dado la siguiente información:

p = $1000,

A = $1102.50,

n = 1,

t = 2

Se nos pide determinar la tasa anual, r. Para hacerlo, sustituimos los valores apropiados en la fórmula y despejamos r. Traduzca

A = pa1 +

r nt b n

1102.50 = 1000a1 +

r 1122 b 1

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1102.50 = 100011 + r22 1.10250 = 11 + r22


Propiedad de la raíz cuadrada; usar la raíz principal , ya que r debe ser positiva.

11.10250 = 1 + r 1.05 = 1 + r 0.05 = r Responda


Restar 1 en ambos lados de la ecuación.

La tasa de interés anual es de 0.05 o 5%.

b) Entienda el problema

p = 1000,

Se nos dieron estos datos:

A = $1195.62,

n = 4,

t = 3

Para determinar r, sustituimos los valores apropiados en la fórmula y despejamos r.

A = pa1 +

Traduzca

r nt b n

1195.62 = 1000a1 + Realice los cálculos

1.19562 = a1 + 2 C 1.19562 = 1 +

r 4

1.015 L 1 +

r 4


Dividir ambos lados entre 1000. Sacar la raíz 12 en ambos lados (o elevar ambos lados a la potencia

1 ). 12

Calcular 2 C 1.19562 con la ayuda de una calculadora.

r 4

Restar 1 en ambos lados de la ecuación.

0.06 L r


0.015 L

Responda

r 12 b 4

r 4132 b 4

La tasa de interés anual es, aproximadamente, de 0.06 o 6%.

En este capítulo trabajaremos con raíces y radicales. Si no recuerda cómo evaluar o simplificar radicales, repáselo ahora.

Solución de problemas En los ejercicios 1 a 8 se da el área, A, de cada rectángulo. a) Escriba una ecuación para determinar el área. b) Despeje x en la ecuación. 1.

2. A 21

x2

✺

A 35

x2 x5

x3

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3. Distancia necesaria para detenerse en la nieve La fórmula para calcular la distancia, d en pies, necesaria para detener un automóvil específico sobre una superficie con nieve es d = 16 x 2, en donde x es la velocidad del automóvil, en millas por hora, antes de que se apliquen los frenos. Si la distancia necesaria para detener un automóvil fue de 24 pies, ¿cuál era la velocidad del automóvil antes de que se aplicaran los frenos? 4. Distancia necesaria para detenerse en el pavimento seco La fórmula para calcular la distancia, d en pies, necesaria para detener un automóvil específico sobre una superficie de pavimento seco es d = 101 x 2, en donde x es la velocidad del automóvil, en millas por hora, antes de que se apliquen los frenos. Si la distancia necesaria para detener un automóvil fue de 90 pies, ¿cuál era la velocidad del automóvil antes de que se aplicaran los frenos?

5. Enteros El producto de dos enteros impares consecutivos es 63. Determine cuáles son esos dos enteros impares. 6. Enteros El más grande de dos enteros es 2 unidades mayor que el doble del más pequeño. Si el producto de ambos enteros es 12, determine ambos números. 7. Jardín rectangular Delia Martínez delimitó un área de su jardín para dedicarla a plantar tomates. Determine las dimensiones del área rectangular, si el largo es 2 pies mayor que el doble del ancho, y el área mide 60 pies cuadrados. 8. Entrada de cochera Manuel Cortés planea asfaltar la entrada de su cochera. Determine las dimensiones de la entrada rectangular, si su área es de 381.25 pies cuadrados y el largo es 18 pies mayor que su ancho.

9.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS MEDIANTE FACTORIZACIÓN 1 2

1

Reconocer ecuaciones cuadráticas. Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización.

Reconocer ecuaciones cuadráticas En esta sección introducimos las ecuaciones cuadráticas, que son aquellas que contienen un término de segundo grado y ninguno de un grado mayor. Ecuaciones cuadráticas Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma ax 2 + bx + c = 0 donde a, b y c son números reales, a Z 0.

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas x2 + 4x - 12 = 0 2x2 - 5x = 0 3x2 - 2 = 0 Las ecuaciones cuadráticas como éstas, en las que uno de los lados está escrito en orden descendiente de la variable y el otro es igual a 0, están en su forma estándar. Ciertas ecuaciones cuadráticas se resuelven por factorización. En el bloque X daremos dos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas que no es posible resolver por factorización. Para resolverlas con este método empleamos la propiedad del factor cero. Como sabe, si multiplicamos por 0, el producto es igual a 0. Es decir, si a 0 o b 0, entonces ab 0. Lo inverso también es cierto. Si un producto es igual a 0, al menos uno de sus factores debe ser igual a 0. Propiedad del factor cero Si ab 0, entonces a 0 o b 0.

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A continuación enseñamos la forma de utilizar la propiedad del factor cero para resolver ecuaciones.

EJEMPLO 1 Resuelva la ecuación 1x + 321x + 42 = 0. Solución Como el producto de los factores es igual a 0, de acuerdo con la propiedad del factor cero, uno de los factores o ambos, debe ser igual a 0. Igualamos con 0 cada factor y resolvemos la ecuación resultante. x + 3 = 0 x + 4 = 0 o bien x + 3 - 3 = 0 - 3 x + 4 - 4 = 0 - 4 x = -3 x = -4 Por tanto, si x vale ya sea 3 o 4, el producto de los factores es igual a 0. Las soluciones de la ecuación son 3 y 4. x = -4 Comprobación x = - 3 1x + 321x + 42 = 0 1x + 321x + 42 = 0 ? ? 1 -3 + 321 - 3 + 42 = 0 1- 4 + 321 -4 + 42 = 0 ? ? 0112 = 0 -1102 = 0 0 = 0 Verdadero.

0 = 0 Verdadero.

✺

EJEMPLO 2 Resuelva la ecuación 15x - 3212x + 42 = 0. Solución Igualamos cada factor a 0 y despejamos x. 5x - 3 = 0 o bien 5x = 3 3 x = 5 Las soluciones de la ecuación son 35 y 2.

2

2x + 4 = 0 2x = - 4 x = -2

✺

Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización A continuación daremos un procedimiento general para resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización. Para resolver una ecuación cuadrática por factorización 1. Escribimos la ecuación en forma estándar con el término cuadrático con coeficiente positivo. Esto dará como resultado que un lado de la ecuación sea 0. 2. Factorizamos el lado de la ecuación que no es igual a 0. 3. Igualamos a 0 cada uno de los factores que contiene la variable y resolvemos cada ecuación. 4. Comprobamos cada solución encontrada en el paso 3 en la ecuación original.

EJEMPLO 3 Resuelva la ecuación 3x2 = 12x. Solución Para que el lado derecho de la ecuación sea igual a 0, restamos 12x de ambos lados de la ecuación. Después factorizamos 3x de ambos términos. ¿Por qué hicimos el lado derecho de la ecuación igual a 0, en lugar del lado izquierdo? 3x2 = 12x 2 3x - 12x = 12x - 12x 3x2 - 12x = 0 3x1x - 42 = 0

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Ahora igualamos a 0 cada factor. 3x = 0 0 x = 3 x = 0

o bien

x - 4 = 0 x = 4

Las soluciones de la ecuación cuadrática son 0 y 4. Compruebe x 0 primero y x 4 después en 3x2 = 12x. ✺

EJEMPLO 4 Resuelva la ecuación x2 + 10x + 28 = 4. Solución Para hacer el lado derecho de la ecuación igual a 0, restamos 4 de ambos lados de la ecuación. Después, factorizamos y resolvemos. x2 + 10x + 24 = 0 1x + 421x + 62 = 0 x + 4 = 0 x = -4

o bien

x + 6 = 0 x = -6

Las soluciones son 4 y 6. Comprobará estos valores en la ecuación original. Comprobación

x = -4

x2 + 10x 1-42 + 101-42 16 - 40 - 24 2

28 28 28 28 4

+ + + +

x = -6 = ? = ? = ? = =

4 x2 + 10x + 28 = ? 2 4 1-62 + 101-62 + 28 = ? 4 36 - 60 + 28 = ? 4 - 24 + 28 = 4 Verdadero. 4 =

4 4 4 4 4 Verdadero.

✺

EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación 4y2 + 5y - 20 = - 11y. Solución Como no todos los términos están en el mismo lado de la ecuación, sumamos 11y en ambos lados. 4y2 + 16y - 20 = 0 Obtenemos el factor común. 41y2 + 4y - 52 = 0 Factorizamos el trinomio restante. 41y + 521y - 12 = 0 Ahora despejamos y. y + 5 = 0 y = -5

o bien

y - 1 = 0 y = 1

Como 4 es un factor que no contiene una variable, no lo igualamos con 0. Las soluciones de la ecuación cuadrática son 5 y 1. ✺

EJEMPLO 6 Resuelva la ecuación -x2 + 5x + 6 = 0. Solución Cuando el término cuadrático es negativo, por lo general lo convertimos en positivo multiplicando ambos lados de la ecuación por 1. - 11-x2 + 5x + 62 = - 1 # 0 x 2 - 5x - 6 = 0

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Obsérvese que el signo de cada término en el lado izquierdo de la ecuación cambió, y que el lado derecho de ésta sigue siendo igual a 0. ¿Por qué es así? Ahora procedemos igual que antes. x2 - 5x - 6 = 0 1x - 621x + 12 = 0 o bien

x - 6 = 0

x + 1 = 0

x = 6 x = -1 La comprobación con la ecuación original demostrará que las soluciones son 6 y 1.✺ CÓMO EVITAR ERRORES COMUNES

Hay que tener cuidado en no confundir la factorización de un polinomio con el empleo de la factorización como método para resolver una ecuación. CORRECTO Factor:

INCORRECTO

2

x + 3x + 2

x2 + 3x + 2

Factor:

1x + 221x + 12

1x + 221x + 12 x + 2 = 0 o x + 1 = 0 x = -2 x = -1

¿Sabe qué es lo que está mal en el ejemplo de la derecha? Es mucho. La expresión x 2 + 3x + 2 es un polinomio (un trinomio), no una ecuación. Como no es una ecuación, no es posible resolverla. Al tener un polinomio, no puede incluirse “ 0” para convertirlo en ecuación. Correcto C

Resuelto:

2

x + 3x + 2 = 0

1x + 221x + 12 = 0

x + 2 = 0

o bien

x + 1 = 0

x = -2

x = - 1cc

EJEMPLO 7 Resuelva la ecuación x2 = 36. Solución Restamos 36 de ambos lados de la ecuación; después, factorizamos con la fórmula de la diferencia de dos cuadrados. x2 - 36 = 0 1x + 621x - 62 = 0 o bien x - 6 = 0 x + 6 = 0 x = -6 x = 6 Las soluciones son 6 y 6.

✺

EJEMPLO 8 Resuelva la ecuación 1x - 321x + 12 = 5. Solución Comenzamos por multiplicar los factores, después escribimos la ecuación cuadrática en forma estándar.

1x - 321x + 12 x2 - 2x - 3 x2 - 2x - 8 1x - 421x + 22 x - 4 = 0 o bien x = 4

= = = = x

5 5 0 0 +

Multiplicar los factores. Escribir la ecuación en forma estándar. Factorizar.

2 = 0 Propiedad del factor cero. x = -2

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Las soluciones son 4 y 2. Comprobaremos estos valores en la ecuación original. Comprobación

x = 4

x = -2

1x - 321x + 12 14 - 3214 + 12 1152 5

SUGERENCIA

= ? = ? = =

5 1x - 321x + 12 5 1-2 - 321 - 2 + 12 5 1- 521 - 12 5 Verdadero. 5

= ? = ? = =

5 5 5 5 Verdadero. ✺

En el ejemplo 8, quizás estuvo tentado a comenzar el problema con el planteamiento de x - 3 = 5 o bien x + 1 = 5. Esto hubiera llevado a una solución incorrecta. Recuerde que la propiedad del factor cero sólo se cumple cuando un lado de la ecuación es igual a 0. En el ejemplo 8, una vez que obtuvimos 1x - 421x + 22 = 0, fue posible emplear dicha propiedad.

Solución de problemas En los ejercicios 1 a 4, construya una ecuación cuadrática que tenga las soluciones dadas. Explique la manera en que determinaron las respuestas. 1. 4, - 2 x2 - 2x - 8 = 0

2. -3, -5 x2 + 8x + 15 = 0

5. Las soluciones de una ecuación cuadrática son

1 1 y- . 3 2

3. 6, 0 x2 - 6x = 0

4. 0, - 4 x2 + 4x = 0

6. Las soluciones de una ecuación cuadrática son

2 3 y- . 3 4

a) ¿Cuáles fueron los factores con coeficientes enteros que igualamos a 0 para obtener dichas soluciones?

a) ¿Cuáles factores con coeficientes enteros igualamos a 0 para obtener dichas soluciones?

b) Escriba una ecuación cuadrática cuyas soluciones sean

b) Escriba una ecuación cuadrática cuyas soluciones sean

2 3 y- . 3 4

1 1 y- . 3 2

9.3 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS 1

1

Resolver aplicaciones factorizando ecuaciones cuadráticas.

Resolver aplicaciones factorizando ecuaciones cuadráticas En la sección 9.2 aprendimos a resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización. En esta sección estudiaremos y resolveremos problemas de aplicación en los que es necesario solucionar ecuaciones cuadráticas para obtener la respuesta. En el ejemplo 1 resolveremos un problema que involucra una relación entre dos números.

EJEMPLO 1 Problema numérico El producto de dos números es 78. Encuentre los dos números si uno de ellos es 7 unidades mayor que el otro.

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Solución

Entender y traducir

El objetivo es encontrar los dos números. Sea x = número menor x + 7 = número mayor x1x + 72 x2 + 7x 2 x + 7x - 78 1x - 621x + 132

Calcular

x - 6 = 0 x = 6

o bien

= = = =

78 78 0 0

x + 13 = 0 x = - 13

Recuerde que x representa al más pequeño de los dos números. Este problema tiene dos soluciones posibles.

Número menor Número mayor

Solución 1

Solución 2

6 x + 7 = 6 + 7 = 13

-13 x + 7 = - 13 + 7 = - 6

Así, las dos soluciones posibles son 6 y 13, y 13 y 6. Comprobar

El producto de los dos números es 78. Un número es 7 unidades mayor que el otro.

6 y 13

-13 y -6

6 # 13 = 78

1-1321 - 62 = 78

13 es 7 más que 6.

6 es 7 más que 13.

Respuesta Una solución es: el número más pequeño es 6, el más grande es 13. Una segunda solución es: el número más pequeño es 13, el número mayor es 6. Usted debe proporcionar ambas soluciones. Si la pregunta hubiera sido encontrar dos números positivos cuyo producto es 78, la única solución habría sido 6 y 13. ✺

En el conjunto de ejercicios empleamos los términos enteros consecutivos, enteros pares consecutivos y enteros impares consecutivos.Vimos antes que los enteros consecutivos se representan con x y x 1, y los enteros pares consecutivos o impares consecutivos con x y x 2. A continuación resolveremos un problema de aplicación que involucra geometría.

EJEMPLO 2 Publicidad El departamento de marketing de una compañía editorial importante planea elaborar un anuncio rectangular grande para anunciar un libro nuevo durante una convención. Quieren que el largo del anuncio sea 3 pies mayor que el ancho (figura 9.1). Los anuncios en la convención tienen un área máxima de 54 pies. Encuentre el largo y ancho del anuncio si el área ha de ser de 54 pies cuadrados.

Solución

Entender y traducir Necesitamos encontrar el largo y ancho del anuncio. Emplearemos la fórmula para el área de un rectángulo.

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Sea x = ancho

Un libro nuevo de Dean Bonke Viv ir para vele ar D ean

x + 3 = largo x

área = largo # ancho 54 = 1x + 32x

Bon

ke

54 = x2 + 3x

Calcular x3

0 = x2 + 3x - 54

FIGURA 9.1

o bien

x 2 + 3x - 54 = 0

1x - 621x + 92 = 0 o bien

x - 6 = 0

x + 9 = 0

x = 6

x = -9

Como el ancho del anuncio no puede ser un número negativo, la única solución es


ancho x 6 pies,

largo x 3 6 3 9 pies

El área, largo # ancho, es 54 pies cuadrados, y el largo mide 3 pies más que el an-

✺

cho, por lo que la respuesta coincide.

EJEMPLO 3 Campo gravitacional de la Tierra En el campo gravitacional de la Tierra, la distancia, d, en pies, que un objeto cae durante t segundos una vez que se libera, está dada por la fórmula d = 16t2. Mientras está en la parte más alta de una montaña rusa, los anteojos de un usuario se zafan de su cabeza y caen fuera del carro. ¿Cuánto tiempo toma que lleguen al suelo, que está 64 pies más abajo?

Solución

Entender y traducir

Sustituimos 64 por d en la fórmula y luego des-

pejamos t. d = 16t2 64 = 16t2 64 = t2 16

Calcular

4 = t2 A continuación restamos 4 de ambos lados de la ecuación y escribimos 0 en su lado derecho, para que quede en forma estándar. 4 - 4 0 o bien t 2 - 4 1t + 221t - 22 t + 2 = 0 t = -2

o bien

= = = =

t2 - 4 t2 - 4 0 0 t - 2 = 0 t = 2

Comprobar y responder Como t representa el número de segundos, debe ser un número positivo. Así, la única respuesta posible es 2 segundos. Tomaría 2 segundos que los anteojos (o cualquier otro objeto que cayera bajo la influencia de la gravedad) cayeran 64 pies. ✺

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9.4 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS MEDIANTE LA FÓRMULA CUADRÁTICA

1

1

Deducir la fórmula cuadrática.

2

Utilizar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones.

3

Escribir una ecuación cuadrática dadas sus soluciones.

4

Usar el discriminante para determinar el número de soluciones reales para una ecuación cuadrática.

5

Estudiar problemas de aplicación que utilicen ecuaciones cuadráticas.

Deducir la fórmula cuadrática La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación cuadrática. De hecho, es el método más útil y versátil para resolver ecuaciones cuadráticas. Por su eficiencia, por lo general se le utiliza en lugar del método de completar el cuadrado. La forma general de una ecuación cuadrática es ax2 bx c 0, en donde a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término de primer grado y c es la constante. Forma general de la ecuación cuadrática

x2 - 3x + 4 = 0

Valor de coeficientes

a = 1,

b = - 3, c = 4

1.3x2 - 4.2 = 0

a = 1.3,

b = 0,

5 3 - x2 + x = 0 6 5

5 a = - , 6

b =

3 , 5

c = - 4.2 c = 0

Podemos deducir la fórmula cuadrática empezando con una ecuación cuadrática dada en la forma general y completando el cuadrado, como se estudió en la sección anterior.

ax2 + bx + c = 0 ax2 b c + x + = 0 a a a x2 + x2 +

c b x = a a

b2 b b2 c x + = - + 2 a a 4a 4a2

Dividir ambos lados entre a. Restar c>a en ambos lados. Tomar 1/2 de b>a (esto es, b>2a), y elevarlo al cuadrado para obtener b2>4a2, luego sumar esta expresión en ambos lados.

ax +

b 2 b2 c b = a 2a 4a2

Reescribir el lado izquierdo de la ecuación como el cuadrado de un binomio.

ax +

b 2 b2 - 4ac b = 2a 4a2

Escribir el lado derecho de un denominador común.

x +

b b2 - 4ac = ; 2a A 4a2

Propiedad de la raíz cuadrada.

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x +

b 2b2 - 4ac = ; 2a 2a

b 2b2 - 4ac Restar b>2a en ambos lados. ; 2a 2a

x = x =

Regla del cociente para radicales.

- b ; 2b2 - 4ac 2a

Escribir con un denominador común para obtener la fórmula cuadrática.

2 Utilizar la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones Ahora que sabemos cómo deducir la fórmula cuadrática, la utilizaremos para resolver ecuaciones.

Para resolver una ecuación mediante la fórmula cuadrática 1. Escriba la ecuación cuadrática en la forma general, ax2 bx c 0, y determine los valores numéricos de a, b, and c. 2. Sustituya a, b, y c con los valores correspondientes en la fórmula cuadrática, y luego evalúe la fórmula para obtener la solución.

Fórmula cuadrática x =

EJEMPLO 1 Solución

-b ; 2b2 - 4ac 2a

Resuelva la ecuación x2 2x 8 0 mediante la fórmula cuadrática. En esta ecuación a 1, b 2 y c 8.

x =

- b ; 2b2 - 4ac 2a

x =

- 122 ; 21222 - 41121 - 82 2112

=

- 2 ; 14 + 32 2

=

-2 ; 136 2

=

-2 ; 6 2

x =

-2 + 6 2

x =

4 = 2 2

o

x =

-2 - 6 2

x =

-8 = -4 2

Una verificación mostrará que tanto 2 como 4 son soluciones para la ecuación. Observe que las soluciones de la ecuación x2 2x 8 0 son dos números reales. ✺

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La solución del ejemplo 1 también podría haberse obtenido mediante la factorización, como se ilustra a continuación.

x2 + 2x - 8 = 0

1x + 421x - 22 = 0 x + 4 = 0 x = -4

o

x - 2 = 0 x = 2

Cuando se le pida resolver una ecuación cuadrática sin especificar el método para hacerlo, intente primero mediante factorización. Si la ecuación no se puede factorizar con facilidad, utilice la fórmula cuadrática. Al resolver una ecuación cuadrática mediante la fórmula cuadrática, los cálculos pueden ser más sencillos si el coeficiente principal, a, es positivo. Por lo tanto, si tuviera que resolver una ecuación cuadrática como x2 3x 2, sería recomendable que la reescribiera como x2 3x 2 0.

EJEMPLO 2 Solución

Resuelva 9x2 6x 1 mediante la fórmula cuadrática. Empiece sumando 9x2 en ambos lados de la ecuación para obtener

0 = 9x2 - 6x + 1 o 9x2 - 6x + 1 = 0 a = 9, b = - 6, c = 1 -b ; 2b2 - 4ac 2a -1- 62 ; 21- 622 - 4192112 = 2192

x =

=

6 ; 136 - 36 6 ; 10 6 1 = = = 18 18 18 3 1

Observe que la solución de la ecuación 9x 2 6x 1 es un solo valor, 3 . Algunas ecuaciones cuadráticas tienen como solución un solo valor. Esto sucede cuando b2 4ac 0. ✺


Todo el numerador de la fórmula cuadrática debe dividirse entre 2a.

CORRECTO x =

- b ; 2b2 - 4ac 2a

INCORRECTO x = -b ; x =

EJEMPLO 3 Solución

Resuelva la ecuación p 2 +

2b2 - 4ac 2a

-b ; 2b2 - 4ac 2a

2 1 p + = 0 mediante la fórmula cuadrática. 5 3

No se preocupe por el cambio de la variable. La fórmula cuadrática se utiliza exactamente igual a como se hace cuando la variable es x. Podríamos resolver esta ecuación mediante la fórmula cuadrática con a 1, b = 25 , y c = 13 . Sin embargo, cuando una ecuación cuadrática tiene fracciones, casi siempre es más fácil multiplicar ambos lados de la misma por el mínimo común denominador. En este ejemplo, el mínimo común denominador es 15.

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2 1 p + b = 15102 5 3

15ap2 +

15p2 + 6p + 5 = 0 Ahora, podemos utilizar la fórmula cuadrática con a 15, b 6 y c 5.

p =

-b ; 2b2 - 4ac 2a

=

- 6 ; 21622 - 41152152 21152

=

-6 ; 1-264 30

=

- 6 ; 1-4 166 30

=

- 6 ; 2i166 30

2 1-3 ; i1662 = 30 1

15

=

Las soluciones son

-3 ; i166 15

-3 + i166 -3 - i166 . Observe que ninguna de estas solucioy 15 15

nes es un número real; ambas son números complejos.


✺

Algunos estudiantes aplican correctamente la fórmula cuadrática, pero al llegar al último paso cometen un error por no saber simplificar de la manera apropiada. A continuación se ilustra este problema tanto en su forma correcta como en la incorrecta. Cuando ambos términos del numerador y el denominador tienen un factor común, se puede dividir entre ese factor común, como sigue:

CORRECTO 2 11 + 2132 2 + 413 = 1 + 213 = 2 2 1

1

3 12 + 132 1

6 + 313 = 6

6

=

2 + 13 2

2

Los siguientes son algunos errores comunes. Estúdielos con cuidado para no cometerlos. ¿Puede explicar por qué es incorrecto cada uno de los procedimientos siguientes?

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INCORRECTo 1

1

3 + 2 15 3 + 215 = 2 2

2 + 3 2 + 3 = 2 2 1

1 2

3 + 16 3 + 26 3 = 2 2

4 + 315 4 + 315 = 2 2

1

1

Observe que (2 3)/2 se simplifica a 5/2. Sin embargo 13 + 2 152>2, 13 + 162>2, y 14 + 3 152>2 no pueden simplificarse más.

EJEMPLO 4 Solución

Dada f(x) 2x2 4x, determine todos los valores reales de x para los que f(x) 5. Queremos determinar todos los valores reales de x para los que

2x2 + 4x = 5 Para ello podemos utilizar la fórmula cuadrática. Primero, escriba la ecuación en la forma general.

2x 2 + 4x - 5 = 0 Ahora, utilice la fórmula cuadrática con a 2, b 4 y c 5.

x =

-b ; 2b2 - 4ac 2a - 4 ; 21422 - 41221 - 52

=

=

2122

- 4 ; 156 - 4 ; 2114 = 4 4

Luego factorice el 2 de ambos términos del numerador y divida entre el factor común.

2 1-2 ; 1142 - 2 ; 114 * x = = 4 2 1

2

- 2 + 114 - 2 - 114 . y 2 2 Observe que la expresión del ejemplo 4, 2x2 4x 5, no es factorizable. Por lo tanto, el ejemplo 4 no podría resolverse mediante factorización. ✺ Así, las soluciones son

Si todos los coeficientes numéricos de una ecuación cuadrática tienen un factor común, debe factorizarlo antes de utilizar la fórmula cuadrática. Por ejemplo, considere la ecuación 3x2 12x 3 0. Aquí, a 3, b 12 y c 3. Si utilizamos la fórmula cuadrática, a la larga obtendríamos como soluciones x = - 2 ; 13. Al factorizar la ecuación antes de utilizar la fórmula, obtenemos

3x2 + 12x + 3 = 0 31x2 + 4x + 12 = 0 Si consideramos x2 4x 1 0, entonces a 1, b 4 y c 1. Si usamos estos nuevos valores de a, b y c en la fórmula cuadrática, obtendremos la solución idéntica, x = - 2 ; 13 . Sin embargo, los valores más pequeños de a, b y c permiten que los cálculos sean más simples. Resuelva ambas ecuaciones mediante la fórmula cuadrática para corroborar lo anterior.

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3

Escribir una ecuación cuadrática dadas sus soluciones Si nos dan las soluciones, podemos deducir la ecuación correspondiente siguiendo el procedimiento a la inversa. Este procedimiento se ilustra en el ejemplo 5.

EJEMPLO 5

Escriba una ecuación que tenga las siguientes soluciones: a) - 4 y 1

Solución

b) 3 + 2i y 3 - 2i

a) Si las soluciones son 4 y 1, escribimos

x = -4

o

x = 1

x + 4 = 0 x - 1 = 0 1x + 421x - 12 = 0 2

x - x + 4x - 4 = 0 2

x + 3x - 4 = 0

Igualar las ecuaciones a 0. Propiedad del factor nulo. Multiplicar los factores. Reducir términos semejantes.

Así, la ecuación es x2 3x 4 0. Muchas otras ecuaciones tienen soluciones 4 y 1. De hecho, cualquier ecuación de la forma k(x2 3x 4) 0, donde k es una constante, tiene esas soluciones. ¿Puede explicar por qué?

o x = 3 - 2i x = 3 + 2i x - 13 + 2i2 = 0 x - 13 - 2i2 = 0 3x - 13 + 2i243x - 13 - 2i24 = 0 x # x - x13 - 2i2 - x13 + 2i2 + 13 + 2i213 - 2i2 = 0

b)

x2 - 3x + 2xi - 3x - 2xi + 19 - 4i22 = 0

x2 - 6x + 9 - 4i2 = 0 x2 - 6x + 9 - 41-12 = 0 x2 - 6x + 13 = 0

Igualar las ecuaciones a O . Propiedad del factor nulo. Multiplicar. Propiedad distributiva; multiplicar. Reducir términos semejantes. sustituir i2 = - 1. Simplificar.

La ecuación x2 6x 13 0 tiene las soluciones complejas 3 2i y 3 2i.

✺

En el ejemplo 5 a), determinamos que la ecuación x2 3x 4 0 tiene las soluciones 4 y 1. Considere la gráfica de f(x) x2 3x 4. La intersección del eje x de la gráfica de f(x) ocurren cuando f(x) 0 o cuando x2 3x 4 0. Por lo tanto, las intersecciones x de la gráfica f(x) x2 3x 4 son (4, 0) y (1, 0), como se muestra en la figura 9.2. En el ejemplo 5 b), determinamos que la ecuación x2 6x 13 0 no tiene soluciones reales. Así, la gráfica de f(x) x2 6x 13 no tiene intersección en el eje x. La gráfica de f(x) x2 6x 13 se muestra en la figura 9.3.

4 Usar el discriminante para determinar el número de soluciones reales para una ecuación cuadrática La expresión bajo el signo radical en la fórmula cuadrática se denomina discriminante.

b2 - 4ac (')'* discriminante El discriminante proporciona el número y la clase de soluciones de una ecuación cuadrática.

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y y

10 9

4

8

3

7

2

6

1

5

6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

4

x

3

2 3 4 5

f (x) x2 6x 13

2 1

f (x) x 3x 4 2

4 3 2 1 1

6

1

2

3

4

5

6

7

8

x

2

FIGURA 9.2

FIGURA 9.3

Soluciones de una ecuación cuadrática Para una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, a Z 0: Si b2 - 4ac 7 0, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales distintas. Si b 2 - 4ac = 0, la ecuación cuadrática tiene una sola solución real. Si b 2 - 4ac 6 0, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.

EJEMPLO 6

Solución

a) Determine el discriminante de la ecuación x2 8x 16 0. b) ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación dada? c) Utilice la fórmula cuadrática para determinar la solución o las soluciones. a) a = 1,

b = - 8,

c = 16

b2 - 4ac = 1- 822 - 41121162 = 64 - 64 = 0

b) Como el discriminante es igual a 0, sólo hay una solución real. c)

-b ; 2b2 - 4ac 2a - 1-82 ; 10 8 ; 0 8 = = = = 4 2112 2 2

x =

✺

La única solución es 4.

EJEMPLO 7

Sin proporcionar las soluciones, determine si las ecuaciones siguientes tienen dos soluciones reales y distintas, una solución real o ninguna solución real. a) 2x 2 - 4x + 6 = 0

Solución

b) x 2 - 5x - 8 = 0

c) 4x 2 - 12x = - 9

Utilizamos el discriminante de la fórmula cuadrática para responder estas preguntas. a) b2 - 4ac = 1-422 - 4122162 = 16 - 48 = - 32

Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales. b) b2 - 4ac = 1-522 - 41121 -82 = 25 + 32 = 57

Como el discriminante es positivo, esta ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

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c) Primero reescriba 4x2 12x 9 como 4x2 12x 9 0.

b2 - 4ac = 1- 1222 - 4142192 = 144 - 144 = 0

✺

Como el discriminante es 0, esta ecuación tiene una sola solución real.

El discriminante puede utilizarse para determinar el número de soluciones reales de una ecuación de la forma ax2 bx c 0. Como las intersecciones del eje x de una función cuadrática, f(x) ax2 bx c, ocurren en donde f(x) 0, el discriminante también puede usarse para determinar el número de intersecciones del eje x de una función cuadrática. La figura 9.4 muestra la relación entre el discriminante y el número de intersecciones del eje x para una función de la forma f(x) ax2 bx c. Gráficas de f (x) = ax 2 + bx + c Si b2 - 4ac 7 0, f1x2 tiene dos intersecciones distintas del eje x. y

Si b2 - 4ac = 0, f1x2 tiene una sola intersección del eje x.

y

y

y

x

FIGURA 9.4

5

y

x

o

o

x (a)

y

x

o

x

Si b2 - 4ac 6 0, f1x2 no tiene intersecciones del eje x.

x (b)

(c)

Estudiar problemas de aplicación que utilicen ecuaciones cuadráticas Ahora veremos algunos problemas de aplicación que involucran el uso de ecuaciones cuadráticas.

EJEMPLO 8

Teléfonos celulares María Ortiz es propietaria de un negocio que fabrica y vende teléfonos celulares. El ingreso, R(n), de la venta de teléfonos celulares se determina multiplicando el número de teléfonos celulares por el costo por teléfono. Suponga que el ingreso por la venta de n teléfonos celulares, n 50, es

R1n2 = n150 - 0.2n2 donde (50 0.2n) es el precio por teléfono celular, en dólares. a) Determine el ingreso cuando se venden 40 teléfonos celulares. b) Para tener un ingreso de $480, ¿cuántos teléfonos celulares deben venderse?

Solución

a) Para determinar el ingreso cuando se venden 40 teléfonos celulares, evaluamos la función de ingreso para n 40.

R1n2 = n150 - 0.2n2 R1402 = 40350 - 0.214024 = 40150 - 82 = 401422 = 1680 El ingreso por la venta de 40 teléfonos celulares es de $1680.

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b) Entienda el problema Queremos determinar el número de teléfonos celulares que deben venderse para tener un ingreso de $480. Así, necesitamos hacer R(n) 480 y despejar n.

R1n2 = n150 - 0.2n2 480 = n150 - 0.2n2 480 = 50n - 0.2n2 0.2n2 - 50n + 480 = 0 Ahora podemos utilizar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación. Traduzca

b = - 50,

a = 0.2,

c = 480

-b ; 2b - 4ac 2a - 1- 502 ; 21- 5022 - 410.2214802 = 210.22 2

n =


=

50 ; 12500 - 384 0.4

50 ; 12116 0.4 50 ; 46 = 0.4 50 + 46 50 - 46 n = = 240 o n = = 10 0.4 0.4 =

Como el problema especificó que n 50, la única solución aceptable es n 10. Así, para obtener un ingreso de $480, María Ortiz debe vender 10 teléfonos celulares. ✺ Responda

Una fórmula importante en física es h = 12 gt2 + v0 t + h0 . Cuando un objeto se lanza hacia arriba desde una altura inicial, h0, con una velocidad inicial v0, esta fórmula puede usarse para determinar la altura, h, respecto del piso en cualquier instante t. En la fórmula, g es la aceleración provocada por la gravedad. Como la aceleración en la Tierra es de 32 pies/seg2, en la fórmula utilizamos 32 para g cuando se hable de la Tierra. Esta fórmula también puede usarse para describir la trayectoria de cualquier objeto proyectado en la Luna y en otros planetas, pero el valor de g tendría que cambiarse de acuerdo con la fuerza de gravedad de cada cuerpo celeste. Utilizaremos esta fórmula en el ejemplo 9.

EJEMPLO 9

Lanzamiento de una pelota Betsy Farber se encuentra parada en la parte superior de un edificio, y lanza una pelota hacia arriba desde una altura de 60 pies, con una velocidad inicial de 30 pies por segundo. Utilice la fórmula h = 12 gt2 + v0 t + h0 para responder las siguientes preguntas. a) A partir de su lanzamiento, ¿cuánto tiempo tardará la pelota en estar a 25 pies respecto del piso? Redondee la respuesta a la décima más cercana. b) A partir de su lanzamiento, ¿cuánto tiempo tardará la pelota en golpear el suelo?

Solución

a) Entienda el problema Ilustraremos este problema con un diagrama (véase la figura 9.5).Aquí g 32, v0 30 y h 60. Se nos pide determinar el tiempo, t, que tarda la pelota en alcanzar una altura, h, de 25 pies respecto del nivel del piso. Sustituimos estos valores en la fórmula y después despejamos t.

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1 2 gt + v0 t + h0 2 1 25 = 1-322t2 + 30t + 60 2 h =

Traduzca

Realice los cálculos Ahora escribimos la ecuación cuadrática en forma general y despejamos t mediante la fórmula cuadrática.

0 = - 16t2 + 30t + 35 o -16t2 + 30t + 35 = 0 a = - 16, b = 30, c = 35 -b ; 2b2 - 4ac t = 2a - 30 ; 213022 - 41- 1621352 = 21-162 - 30 ; 13140 = -32 - 30 + 13140 - 30 - 13140 t = o t = -32 -32 L - 0.8 L 2.7

60 pies

25 pies

FIGURA 9.5

Responda Como el tiempo no puede ser negativo, la única solución razonable es

2.7 segundos. Por lo tanto, alrededor de 2.7 segundos después de su lanzamiento, la pelota estará a 25 pies del piso. b) Entienda el problema Deseamos determinar el momento en que la pelota golpeará el piso. En ese instante, la distancia entre la pelota y el piso es 0. Por lo tanto, sustituimos h 0 en la fórmula y despejamos t.

1 2 gt + v0 t + h0 2 1 0 = 1-322t2 + 30t + 60 2 0 = - 16t2 + 30t + 60 a = - 16, b = 30, c = 60 h =

Traduzca


t =

-b ; 2b2 - 4ac 2a

=

- 30 ; 213022 - 41- 1621602 21-162

=

- 30 ; 14740 -32

- 30 + 14740 -32 L - 1.2

t =

- 30 - 14740 -32 L 3.1

o t =

Responda Como el tiempo no puede ser negativo, la única solución razonable es 3.1 segundos. Por lo tanto, la pelota golpea el piso alrededor de 3.1 segundos después de su lanzamiento. ✺

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Resuelve ecuaciones cuadráticas II • Identifica la relación entre funciones y ecuaciones cuadráticas. • Reconoce la ecuación en dos variables y = ax2 + bx + c, como la forma de la función cuadrática, y las ecuaciones en una variable d = ax2 + bx + c, como casos particulares de la anterior. • Describe la función cuadrática en la forma estándar y = a(x – h)2 + k para trazar su gráfica. • Comprende el efecto del parámetro a en el ancho y concavidad de la parábola, y asocia las intersecciones-x de ésta con las raíces de ax2 + bx + c = 0. • Interpreta la fórmula cuadrática.

¿A

lguna vez ha tenido que calcular las dimensiones de un jardín rectangular, o el tamaño de un letrero rectangular, o los materiales necesarios para un piso de madera en una habitación rectangular? Es frecuente que las decisiones estén influidas por la cantidad de material disponible, o por una relación que deseamos mantener entre la longitud y el ancho de los lados de un rectángulo, o por el área de éste. El conocimiento de las ecuaciones cuadráticas lo ayudará a tomar decisiones.

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BLOQUE X • Resuelve ecuaciones cuadráticas II • 433

10.1 ECUACIONES CUADRÁTICAS: APLICACIONES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1

1

Resolver problemas de aplicación adicionales.

2

Despejar una variable de una fórmula.

Resolver problemas de aplicación adicionales Ya hemos analizado unos cuantos problemas de aplicación que involucran el uso de ecuaciones cuadráticas. En esta sección exploraremos varios más. También estudiaremos cómo despejar una variable en una fórmula.

EJEMPLO 1

Utilidades de una compañía. pañía nueva:

Empezamos determinando las utilidades de una com-

a) Calcule la utilidad (o pérdida) de la compañía después del primer año. b) Calcule la utilidad (o pérdida) de la compañía después de 8 años. c) Calcule el tiempo necesario para que la compañía alcance el punto de equilibrio.

Solución

a) Para calcular la utilidad después de 1 año, evaluamos la función con 1.

p1n2 = 1.2n2 + 4n - 8 p112 = 1.21122 + 4112 - 8 = - 2.8 Así, al final del primer año la compañía proyecta una pérdida de $2.8 miles, es decir, de $2800. b) p182 = 1.21822 + 4182 - 8 = 100.8 Por lo tanto, al final del octavo año la utilidad proyectada de la compañía es de $100.8 miles, es decir, de $100,800. c) Entienda el problema La compañía alcanzará el punto de equilibrio cuando la utilidad sea 0. Así, para determinar el punto de equilibrio (ni pérdidas ni ganancias) resolvemos la ecuación

1.2n2 + 4n - 8 = 0 Podemos utilizar la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación.

a = 1.2,

Traduzca

n =


n L

b = 4,

c = -8

-b ; 2b2 - 4ac 2a

=

- 4 ; 21422 - 411.221 -82 211.22

=

- 4 ; 116 + 38.4 2.4

=

-4 ; 154.4 2.4

L

-4 ; 7.376 2.4

-4 + 7.376 -4 - 7.376 L 1.4 o n L L - 4.74 2.4 2.4

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Como el tiempo no puede ser negativo, el momento en que la compañía llega al punto de equilibrio es aproximadamente a los 1.4 años. ✺

Responda

Ahora consideremos otro ejemplo en que se utiliza la fórmula cuadrática para resolver una ecuación cuadrática.

EJEMPLO 2

Esperanza de vida La función N(t) 0.0054t2 1.46t 95.11 puede usarse para calcular el promedio de número de años de esperanza de vida restante para una persona de t años de edad, en donde 30 t 100. a) Calcule la esperanza de vida restante para una persona de 50 años de edad. b) Si una persona tiene una esperanza de vida restante de 14.3 años, calcule su edad actual.

Solución

a) Entienda el problema En principio, es lógico que entre mayor sea la persona menor será su esperanza de vida restante. Para determinar la esperanza de vida restante de una persona de 50 años de edad, sustituimos t por 50 en la función y evaluamos.

N1t2 = 0.0054t2 - 1.46t + 95.11 N1502 = 0.005415022 - 1.461502 + 95.11

Traduzca

= 0.0054125002 - 73.00 + 95.11


= 13.5 - 73.00 + 95.11 = 35.61 Responda y compruebe La respuesta parece razonable. Así, en promedio, una persona de 50 años puede esperar vivir otros 35.61 años, para llegar a una edad de 85.61 años.

b) Entienda el problema Aquí se nos da la esperanza de vida, N(t), y se nos pide determinar la edad actual de la persona, t. Para resolver este problema, sustituimos N(t) por 14.3 y despejamos t; para ello utilizaremos la fórmula cuadrática.

N1t2 = 0.0054t2 - 1.46t + 95.11 14.3 = 0.0054t2 - 1.46t + 95.11

Traduzca

0 = 0.0054t2 - 1.46t + 80.81 a = 0.0054, b = - 1.46, c = 80.81 -b ; 2b2 - 4ac 2a - 1- 1.462 ; 21- 1.4622 - 410.00542180.812 210.00542 1.46 ; 12.1316 - 1.745496 0.0108 1.46 ; 10.386104 0.0108


t = = = = L

1.46 ; 0.6214 0.0108

1.46 + 0.6214 0.0108 L 192.72

t L

o

1.46 - 0.6214 0.0108 L 77.65

t L

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Como 192.72 no es una edad razonable, podemos omitir este resultado. Por lo tanto, en promedio, las personas con una esperanza de vida restante de 14.3 años, tienen alrededor de 77.65 años de edad. ✺

Responda

Problemas de movimiento Ya antes estudiamos los problemas de movimiento; los que analizaremos a continuación se resuelven mediante la fórmula cuadrática.

EJEMPLO 3

Paseo en una lancha de motor Es un día precioso, por lo que Carlos Cortés decide dar un paseo en su lancha de motor. Después de recorrer 12 millas en una dirección, decide regresar. Su paseo tuvo una duración de 5 horas; en el camino vio un cartel que indicaba que la corriente del río se movía a una velocidad de 2 millas por hora. Si Carlos hizo todo el trayecto a la misma velocidad, determine la velocidad de la lancha en aguas tranquilas.

Solución

Nos piden determinar la velocidad de la lancha en aguas tranquilas, por lo que hacemos r velocidad de la lancha en aguas tranquilas. Sabemos que el paseo duró 5 horas; por lo tanto, el tiempo en que Carlos recorrió el trayecto de ida y el de regreso debe sumar 5 horas. Ya que distancia velocidad tiempo, podemos determinar el tiempo dividiendo la distancia entre la velocidad. Entienda el problema

Dirección

Traduzca

Distancia Velocidad

Tiempo

Trayecto de ida (a favor de la corriente)

12

r + 2

12 r + 2

Trayecto de vuelta (en contra de la corriente)

12

r - 2

12 r - 2

trayecto de ida trayecto de vuelta tiempo total

12 12 + = 5 r + 2 r - 2


1 r + 2 21r - 22a

1r + 221r - 22 a

12 12 + b = 1r + 221r - 22152 r + 2 r - 2

12 12 b + 1r + 221 r - 2 2a b = 1r + 221r - 22152 r + 2 r - 2

Multiplicar por el MCD. Propiedad distributiva.

121r - 22 + 121r + 22 = 51r2 - 42 12r - 24 + 12r + 24 = 5r2 - 20 2

24r = 5r - 20

Propiedad distributiva. Simplificar.

2

o 5r - 24r - 20 = 0 Si utilizamos la fórmula cuadrática con a 5, b 24 y c 20, obtenemos

r =

24 ; 1976 10

r L 5.5

o

r L - 0.7

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Puesto que la velocidad no puede ser negativa, la velocidad o rapidez de la lancha en aguas tranquilas es de alrededor de 5.5 millas por hora. ✺

Responda

Observe que en situaciones de la vida real, la mayoría de las respuestas no son valores enteros.

Problemas de trabajo

EJEMPLO 4

A consecuencia de un huracán A consecuencia de un huracán, el sótano de los Duval se inundó. Para drenar el agua, la familia cuenta con una pequeña bomba, pero además pidió prestada una más al departamento de bomberos. El jefe de bomberos informó a los Duval que si ambas bombas trabajaban al mismo tiempo, el sótano quedaría seco en alrededor de 6 horas; además les dijo que la bomba del departamento de bomberos tenía mayor potencia, por lo que si sólo se utilizara ésta, vaciarían el sótano en 2 horas menos que si utilizaran únicamente la otra. Si se usara cada una de estas bombas por separado para drenar el agua, ¿cuánto tiempo necesitaría cada una para vaciar el sótano?

Solución

Entienda el problema Recuerde que anteriormente se dijo que la velocidad de trabajo multiplicada por el tiempo de trabajo da como resultado la parte de la tarea realizada.

Sea t el número de horas que tarda la bomba más lenta en terminar sola el trabajo. t 2 el número de horas que tarda la bomba más rápida en terminar sola el trabajo.

Bomba

Velocidad del trabajo

Bomba más lenta

1 t

6

6 t

1 t - 2

6

6 t - 2

Bomba más rápida

Traduzca ¢

Tiempo Parte de la tarea trabajando realizada

parte de la tarea realizada parte de la tarea realizada ≤ + ¢ ≤ = 1 por la bomba más lenta por la bomba más rápida

6 6 + = 1 t t - 2 Multiplicar

6 6 ambos lados b = t1t - 22112 t1t - 22 a + por el MCD t t - 2 t(t 2).

6 6 t 1t - 22a b + t1 t - 2 2a b = t2 - 2t t t - 2 61t - 22 + 6t = t2 - 2t 6t - 12 + 6t = t2 - 2t t2 - 14t + 12 = 0


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Usando la fórmula cuadrática, obtenemos

14 ; 1148 2 t L 13.1 o t L 0.9 t =


6 6 + = 1 (con valot t - 2 res redondeados). Sin embargo, si aceptamos a 0.9 como solución, significaría que la bomba más rápida terminaría la tarea en un tiempo negativo (t 2 0.9 2 1.1), lo cual no es posible. Por consiguiente, 0.9 horas no es una solución aceptable. La única solución es 13.1 horas, que es el tiempo aproximado que la bomba más lenta tardaría en vaciar el sótano, mientras que la otra bomba necesitaría de 13.1 2 11.1 horas para realizar la misma tarea. ✺ Responda

2

Tanto 13.1 como 0.9, satisfacen la ecuación

Despejar una variable de una fórmula Cuando en una fórmula aparece una variable elevada al cuadrado, para despejar la variable podría ser necesario utilizar la propiedad de la raíz cuadrada, Sin embargo, en la mayoría de las fórmulas, cuando se usa la propiedad de la raíz cuadrada, sólo se utilizará la raíz principal o raíz positiva, ya que por lo general se busca una cantidad que no puede ser negativa.

EJEMPLO 5

a) La fórmula para determinar el área de un círculo es A pr2. Despeje r de esta ecuación. b) La ley de Newton de la gravitación universal establece que toda partícula en el universo atrae a otra partícula con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Podemos representar esta ley como

F = G

m1 m2 r2

Despeje r de la ecuación.

Solución

A = pr2 A = r 2 Aislar r2 dividiendo ambos lados entre p. p

a)

A = r Ap b)

m1 m2 r2 2 r F = Gm1 m2 Gm1 m2 r2 = F


F = G

r =

Multiplicar ambos lados por r2. Aislar r2 dividiendo ambos lados entre F.

Gm1 m2 Propiedad de la raíz cuadrada. A F

✺

En el ejemplo 5, como r debe ser mayor que 0, sólo tomamos la raíz cuadrada principal, o positiva, cuando usamos la propiedad de la raíz cuadrada.

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EJEMPLO 6

Diagonal de una maleta La diagonal de una caja puede calcularse mediante la fórmula

d = 2L2 + W2 + H 2 d

H

donde L es la longitud, W es el ancho y H es la altura de la caja. Véase la figura 10.1. a) Determine la diagonal de una maleta con longitud de 30 pulgadas, ancho de 15 pulgadas y altura de 10 pulgadas.

W

L

FIGURA 10.1

Solución

b) Resuelva la ecuación para el ancho, W. a) Entienda el problema Para determinar la diagonal, necesitamos sustituir los valores apropiados en la fórmula y realizar los cálculos.

d = 2L2 + W2 + H 2

Traduzca

d = 213022 + 11522 + 11022 Realice los cálculos

Responda

= 1900 + 225 + 100 = 11225 = 35

Por lo tanto, la diagonal de la maleta mide 35 pulgadas.

b) El primer paso para despejar W es elevar al cuadrado ambos lados de la fórmula.

d = 2L2 + W2 + H 2 2 d2 = A2L2 + W2 + H 2 B Elevar al cuadrado ambos lados. d2 = L2 + W2 + H 2 d2 - L2 - H 2 = W2 2d2 - L2 - H 2 = W

EJEMPLO 7

Conos

Utilizar 11a22 = a, a Ú 0. Aislar W2.

Propiedad de la raíz cuadrada. ✺

El área de la superficie de un cono circular recto es

s = pr2r2 + h2

a) Como señalamiento, en las carreteras se utilizan conos color naranja; cada uno de ellos mide 18 pulgadas de alto y tiene un radio de 12 pulgadas. Determine el área de la superficie de cada cono. b) Despeje h de la fórmula.

Solución

a) Entienda el problema y traduzca Para determinar el área de la superficie, sustituimos los valores apropiados en la fórmula.

s = pr2r2 + h2 = p1122211222 + 11822 Realice los cálculos

= 12p1144 + 324 = 12p1468 L 815.56

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El área de la superficie es de casi 815.56 pulgadas cuadradas. b) Para despejar h, necesitamos aislarla en un lado de la ecuación. Esto se puede hacer de varias formas, una de ellas es la siguiente:

Responda

s = pr2r2 + h2 s = 2r2 + h2 pr a

Dividir ambos lados entre pr.

s 2 2 b = A2r2 + h2 B pr s2 = r2 + h2 p2r2

s2 - r2 = h2 p2r2 s2 - r2 = h A p2r2 Otras respuestas que también son aceptables son h =

Elevar al cuadrado ambos lados. Utilizar 11a22 = a, a Ú 0. Restar r2 en ambos lados.


s2 - p 2 r4 2s2 - p 2 r4 yh = . 2 2 A pr pr

✺

Explique por qué.

Solución de problemas 1. Utilidad La utilidad de una compañía que vende tractores, es P(n) 2.4n2 9n 3, en donde P(n) son cientos de dólares. a) Determine la utilidad cuando se venden 6 tractores. b) ¿Cuántos tractores deben venderse para obtener una utilidad de $20,000?

4. Matrícula escolar Para calcular el total de estudiantes inscritos entre los años 1990 y 2008 en el nivel básico y secundario en Estados Unidos, se puede utilizar la función N(t) 0.043t2 1.22t 46.0, en millones. En la ecuación t es el número de años desde 1989, 1 t 19.

2. Utilidad La utilidad de la compañía Anderson, que vende refrigeradores, es P(n) 6.2n2 6n 3, en donde P(n) son dólares. a) Determine la utilidad cuando se venden 5 refrigeradores. b) ¿Cuántos refrigeradores deben venderse para obtener una ganancia de $675?

3. Temperatura La temperatura, T, en grados Fahrenheit, del radiador de un automóvil durante los primeros 4 minutos de conducción es una función del tiempo, t. La temperatura puede determinarse mediante la fórmula T 6.3t2 12t 32, 0 t 4. a) Cuando se arranca el automóvil, ¿cuál es la temperatura del radiador? b) Después de 1 minuto de conducir el automóvil, ¿cuál es la temperatura del radiador? c) ¿Cuánto tiempo después de que se arrancó el automóvil la temperatura del radiador alcanza los 120°F?

a) Calcule el total de niños inscritos en 1995. b) ¿En qué años el total de niños inscritos es de 54 millones de estudiantes? 5. Costo de una casa El costo, C, de una casa de campo en Norkfolk,Virginia, es una función del número de pies cuadrados, s, de la casa. Este costo puede calcularse por medio de la función

C = - 0.01s2 + 80s + 20,000,

1200 … s … 4000

a) Calcule el costo de una casa de 1500 pies cuadrados. b) Si Tomás Bañuelos tiene $150,000 para comprar una casa, ¿qué tan grande puede ser ésta?

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10.2 PLANTEAMIENTO DE ECUACIONES EN FORMA CUADRÁTICA

1

1

Resolver ecuaciones con forma cuadrática.

2

Resolver ecuaciones con exponentes racionales.

Resolver ecuaciones con forma cuadrática En ocasiones se nos presenta la necesidad de resolver ecuaciones que, aunque no son cuadráticas, pueden reescribirse en forma cuadrática para darles solución ya sea mediante factorización, completando el cuadrado o a través de la fórmula cuadrática.

DEFINICIÓN

Una ecuación que puede escribirse en la forma au2 bu c 0, para a 0, en donde u es una expresión algebraica, está en la forma cuadrática. Cuando le den una ecuación en la forma cuadrática, haga una sustitución para transformarla a au2 bu c 0. En general, si los exponentes son positivos y la expresión está en orden descendente de la variable, hacemos u igual al término de en medio, sin el coeficiente numérico. Por ejemplo,

Ecuación de la forma cuadrática 4

2

Sustitución 2

y - y - 6 = 0

u = y

21x + 522 - 51x + 52 - 12 = 0

u = x + 5

Ecuación con la sustitución u2 - u - 6 = 0 2u2 - 5u - 12 = 0

Para resolver ecuaciones con la forma cuadrática, utilizamos el procedimiento siguiente, ilustrado en el ejemplo 1.

Para resolver ecuaciones con la forma cuadrática 1. Haga una sustitución que tenga como resultado una ecuación de la forma au 2 + bu + c = 0, a Z 0, en donde u es una función de la variable original. 2. Despeje u en la ecuación au 2 + bu + c = 0. 3. Reemplace u con la función de la variable original del paso 1 y resuelva la ecuación resultante para la variable original. 4. Verifique si hay soluciones extrañas, sustituyendo las soluciones aparentes en la ecuación original.

EJEMPLO 1

a) Resuelva la ecuación x4 - 5x2 + 4 = 0. b) Determine las intersecciones del eje x de la función f1x2 = x4 - 5x2 + 4.

Solución

a) Para obtener una ecuación en la forma cuadrática, escribimos x4 como 1x22 . 2

x4 - 5x2 + 4 = 0

1x 2 - 5x2 + 4 = 0 2 2

Reemplazar x4 con 1x22 para obtener una ecuación en la forma deseada.

Ahora, haga u = x2. Esto produce una ecuación en la forma cuadrática.

2

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u2 - 5u + 4 = 0 1u - 421u - 12 = 0 u - 4 = 0 o u - 1 u = 4 u x2 = 4 x2 x = ; 14 x x = ;2 x

Sustituir x2 por u. Despejar u.

= = = = =

0 1 1 ; 11 ;1

Reemplazar u por x2. Despejar x.

Compruebe las cuatro soluciones posibles en la ecuación original.

x = 2 x - 5x2 + 4 = 0 4

?

24 - 51222 + 4 = 0 ? 16 - 20 + 4 = 0

x = -2 x4 - 5x2 + 4 = 0

x = 1 x - 5x2 + 4 = 0

1 -224 - 51- 222 + 4 = 0 ? 16 - 20 + 4 = 0

14 - 51122 + 4 = 0 ? 1 - 5 + 4 = 0

?

x = -1 x 4 - 5x2 + 4 = 0

4

?

1- 124 - 51 -122 + 4 = 0 ? 1 - 5 + 4 = 0 ?

0 = 0

0 = 0

0 = 0

0 = 0

Verdadero

Verdadero

Verdadero

Verdadero

Por lo tanto, las soluciones son 2, 2, 1, 1.

3, 3, 1, 3, 6, 1

FIGURA 10.2

EJEMPLO 2 Solución

b) Las intersecciones del eje x ocurren en donde f(x) 0. Por consiguiente, la gráfica cruzará el eje x en las soluciones de la ecuación x4 5x2 4 0. Con base en la parte a), sabemos que las soluciones son 2, 2, 1 y 1. Así, las intersecciones del eje x son (2, 0), (2, 0), (1, 0) y (1, 0). La figura 10.2 es la gráfica de f(x) x4 5x2 4, como se ilustra en una calculadora graficadora. Observe que la gráfica cruza el eje x en x 2, x 2, x 1 y x 1. ✺ Resuelva la ecuación p4 2p2 8.

p4 + 2p2 - 8 = 0 Igualar la ecuación a 0. 1p22 + 2p2 - 8 = 0 Escribir p4 como 1p222 para obtener 2

una ecuación en la forma deseada.

2

Ahora determine u = p . Esto da una ecuación en la forma cuadrática.

u2 + 2u - 8 = 0 Sustituir p2 por u. 1u + 421u - 22 = 0 Despejar u en la ecuación. u + 4 = 0 o u - 2 = 0 u = -4 u = 2 2 p = -4 p2 = 2 Reeplazar u con p2. p = ; 1-4 p = ; 12 Despejar p. p = ; 2i Compruebe las cuatro posibles soluciones en la ecuación original.

p = 2i 4

p = 12

p = -2i 2

p + 2p = 8

12i24 + 212i22 = 8 ?

4

2

p + 2p = 8

1 -2i24 + 21-2i22 = 8 ?

4

p = - 12 2

p + 2p = 8

p4 + 2p2 = 8

11224 + 211222 = 8

1- 1224 + 21- 1222 = 8

4 + 2122 = 8

4 + 2122 = 8

?

?

2 4i4 + 212 221i22 = 8

1 -224i4 + 21- 222i2 = 8

16112 + 81-12 = 8

16112 + 81- 12 = 8

8 = 8

8 = 8

16 - 8 = 8

16 - 8 = 8

Verdadero

Verdadero

Verdadero

Verdadero

Por lo tanto, las soluciones son 2i, - 2i, 12 , y - 12 .

✺

? ?

? ?

?

?

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Las soluciones para ecuaciones como p4 2p2 8 deben comprobarse. En general, en este tipo de ecuaciones no se introducen soluciones extrañas, a menos que se cometa algún error. Sin embargo, pueden introducirse soluciones extrañas cuando se trabaja con exponentes racionales, como se mostrará en el ejemplo 6.

SUGERENCIA

EJEMPLO 3 Solución

En ocasiones los estudiantes despejan u en la ecuación, pero luego olvidan terminar el problema despejando la variable original. Recuerde que si la ecuación original está en términos de x debe obtener valores para x. Si la ecuación está en términos de p (como en el ejemplo 2) debe obtener valores para p, y así sucesivamente.

Resuelva la ecuación 412w + 122 - 1612w + 12 + 15 = 0. Si determinamos u = 2w + 1, la ecuación se transforma en

412w + 122 - 1612w + 12 + 15 = 0 4u2 - 16u + 15 = 0

Sustituir 2w + 1 por u.

Ahora podemos factorizar y resolver.

12u - 3212u - 52 = 0

2u - 3 = 0 2u = 3 u =

3 2

o

2u - 5 = 0 2u = 5 u =

5 2

No hemos terminado, ya que la variable original en la ecuación es w, así que debemos despejar w no u. Por lo tanto, ahora sustituimos u por 2w 1 y despejamos w.

3 2 3 2w + 1 = 2 1 2w = 2 1 w = 4 u =

5 2 5 2w + 1 = 2 3 2w = 2 3 w = 4 u =

Sustituir u por 2w + 1.

Una comprobación mostrará que 41 y 34 son soluciones de la ecuación original.

EJEMPLO 4 Solución

✺

Determine las intersecciones del eje x de la función f(x) 2x2 x1 1. Las intersecciones del eje x ocurren en donde f(x) 0. Por lo tanto, para determinar las intersecciones del eje x debemos resolver la ecuación

2x -2 + x -1 - 1 = 0 Esta ecuación puede expresarse como

21x-122 + x-1 - 1 = 0 Cuando determinamos u = x-1, la ecuación se transforma en

2u2 + u - 1 = 0 12u - 121u + 12 = 0 2u - 1 = 0 u + 1 = 0 o 1 u = u = -1 2

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Ahora sustituimos u por x1.

1 2 1 1 = x 2 x = 2

x-1 =

o

x-1 = - 1 1 = -1 x x = -1

Una comprobación mostrará que 2 y 1 son soluciones de la ecuación original. Por lo tanto, las intersecciones del eje x son (2, 0) y (1, 0). ✺ La ecuación del ejemplo 4 también podría expresarse como

2 1 - 1 = 0 + 2 x x Un segundo método para resolver esta ecuación consiste en multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador, x2, y luego simplificar.

x2 ¢

2 1 - 1 ≤ = x2 # 0 + x x2 2 + x - x2 = 0 x2 - x - 2 = 0

1x - 221x + 12 = 0

x - 2 = 0 x = 2

o

x + 1 = 0 x = -1

Las ecuaciones de esta sección pueden resolverse por más de un método.

2

Resolver ecuaciones con exponentes racionales Al resolver ecuaciones que tienen la forma cuadrática y exponentes racionales, primero debemos eliminar los exponentes elevando ambos lados de la ecuación a alguna potencia.Al elevar ambos lados de una ecuación a una potencia, podemos introducir soluciones extrañas. Por lo tanto, siempre que elevemos ambos lados de una ecuación a una potencia, debemos verificar todas las soluciones en la ecuación original para asegurarnos de que ninguna es extraña. Ahora resolvamos dos ejemplos para mostrar cómo trabajar con ecuaciones que tienen exponentes racionales. Utilizaremos el procedimiento que ya conocemos.

EJEMPLO 5 Solución

Resuelva la ecuación x2/5 x1/5 6 0. Esta ecuación puede reescribirse como

1x1>522 + x1>5 - 6 = 0

Determine u = x1>5. Entonces, la ecuación se transforma en

u2 + u - 6 = 0 1u + 321u - 22 = 0 u + 3 = 0 u - 2 = 0 o u = -3 u = 2 Ahora sustituimos u por x1/5 y elevamos ambos lados de la ecuación a la quinta potencia para eliminar los exponentes racionales.

o x1>5 = -3 1x 2 = 1- 325 x = - 243 1>5 5

x1>5 = 2 1x 2 = 2 5 x = 32 1>5 5

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Las dos posibles soluciones son 243 y 32. Recuerde que siempre que eleve ambos lados de una ecuación a una potencia, como hicimos aquí, necesita comprobar si hay soluciones extrañas. Comprobación

x = -243 2>5

1 -24322>5

x = 32

1>5

x + x - 6 = 0 ? + 1-24321>5 - 6 = 0

x

2>5

13222>5

11 5 -24322 + 1 5 - 243 - 6 = 0

+ x1>5 - 6 = 0 ? + 13221>5 - 6 = 0

5 3222 + 1 5 32 - 6 = 0 11

?

1-322 - 3 - 6 = 0 ?

? ?

22 + 2 - 6 = 0

?

?

9 - 3 - 6 = 0

4 + 2 - 6 = 0

0 = 0

0 = 0

Verdadero

Verdadero

✺

Como ambos valores satisfacen la ecuación, las soluciones son 243 y 32.

EJEMPLO 6 Solución

Resuelva la ecuación 2p - 1p - 10 = 0. Podemos expresar esta ecuación como

2p - p1>2 - 10 = 0

21p1>22 - p1>2 - 10 = 0 2

Si determinamos u = p1>2, esta ecuación tiene la forma cuadrática.

2u2 - u - 10 = 0 12u - 521u + 22 = 0 2u - 5 = 0 o u + 2 = 0 u = -2

2u = 5 u =

5 2

Sin embargo, como en la ecuación original la variable es p, debemos despejar p. Por lo tanto, sustituimos u por p1/2.

p1>2 =

5 2

p1>2 = - 2

Ahora elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación.

5 2 2 1p1>22 = a b 2 25 p = 4

1p1>22 = 1- 222 2

p = 4

Para terminar, debemos comprobar las dos posibles soluciones en la ecuación original. Comprobación

2a

p =

25 4

p = 4

2p - 1p - 10 = 0

2p - 1p - 10 = 0

25 25 ? b - 10 = 0 4 A4

2142 - 14 - 10 = 0

25 5 ? - - 10 = 0 2 2

8 - 2 - 10 = 0

0 = 0

?

?

Verdadero

-4 = 0

Falso

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Como 4 no satisface la ecuación, es una solución extraña; la única solución es 254 .

✺

El ejemplo 6 también podría resolverse escribiendo la ecuación como 1p = 2p - 10 y elevando ambos lados al cuadrado.

Solución de problemas 1. Indique un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma ax4 bx2 c 0. 2. Indique un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma ax2n bxn c 0. 3. Indique un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma ax2 bx1 c 0. 4. Indique un procedimiento general para resolver una ecuación de la forma a(x r)2 b(x r) c 0. 5. Escriba una ecuación de la forma ax4 bx2 c 0 que tenga como soluciones ; 2 y ; 4. Explique cómo obtuvo su respuesta. 6. Escriba una ecuación de la forma ax4 bx2 c 0 que tenga como soluciones ; 3 y ; 2i. Explique cómo obtuvo su respuesta. 7. Escriba una ecuación de la forma ax4 bx2 c 0 que tenga como soluciones ; 12 y ; 13 . Explique cómo obtuvo su respuesta.

8. Escriba una ecuación de la forma ax4 bx2 c 0 que tenga como soluciones ; 2i y ; 5i. Explique cómo obtuvo su respuesta. 9. ¿Es posible que una ecuación de la forma ax4 bx2 c 0 tenga exactamente una solución imaginaria? Explique. 10. ¿Es posible que una ecuación de la forma ax4 bx2 c 0 tenga exactamente una solución real? Explique. 3 3 = 60 x x2 a) multiplicando ambos lados por el MCD. b) escribiendo la ecuación con exponentes negativos.

11. Resuelva la ecuación

2 2 - 2 x x a) multiplicando ambos lados por el MCD. b) escribiendo la ecuación con exponentes negativos.

12. Resuelva la ecuación 1 =

10.3 GRAFICACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS 1

Determinar cuando una parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

2

Determinar el eje de simetría, el vértice y las intersecciones del eje x de una parábola.

3

Graficar funciones cuadráticas por medio del eje de simetría, el vértice y las intersecciones.

4

Resolver problemas de máximos y mínimos.

5

Entender el desplazamiento de las parábolas.

6

Escribir funciones en la forma f1x2 = a1x - h22 + k.

En esta sección estudiaremos con mayor profundidad las gráficas de funciones cuadráticas, denominadas parábolas. En la parte 3 se explica cómo graficar funciones cuadráticas usando el eje de simetría, el vértice y las intersecciones. En la parte 5 estudiaremos patrones en las gráficas de las parábolas, y utilizaremos dichos patrones para determinar traslaciones, o desplazamientos, que pueden usarse para graficar parábolas.

1

Determinar cuando una parábola abre hacia arriba o hacia abajo Las parábolas tienen una forma parecida a la de la letra U, pero su abertura puede estar hacia arriba o hacia abajo. Para una función cuadrática de la forma f(x) ax2 bx c, el signo del coeficiente principal, a, determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. Cuando a 0, la parábola abre hacia arriba (vea la figura 10.3a). Cuando a 0, la parábola abre hacia abajo (vea la figura 10.3b).

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a 0, a 0, f (x) ax2 bx c Parábola con apertura Parábola con apertura hacia abajo hacia arriba y

y Vértice x

x

Vértice Eje de simetría

FIGURA 10.3

Eje de simetría

(a)

(b)

En el caso de las parábolas que abren hacia arriba, el vértice es el punto más bajo de la curva. El valor mínimo de la función es la coordenada y del vértice. El valor mínimo se obtiene cuando la coordenada x del vértice se sustituye en la función. En cuanto a las parábolas que abren hacia abajo, el vértice es el punto más alto de la curva. El valor máximo de la función es la coordenada y del vértice. El valor máximo se obtiene cuando la coordenada x del vértice se sustituye en la función.

2 Determinar el eje de simetría, el vértice y las intersecciones del eje x de una parábola Las gráficas de funciones cuadráticas de la forma f(x) ax2 bx c, tienen simetría respecto de una recta vertical que pasa por el vértice. Esto significa que si dobláramos el papel a lo largo de esta línea imaginaria, denominada eje de simetría, los dos lados de la parábola coincidirán (vea la figura 10.3), A continuación se establece la ecuación para determinar el eje de simetría. Para determinar el eje de simetría Para una función de la forma f1x2 = ax 2 + bx + c, la ecuación para determinar el eje de

simetría de la parábola es x = -

b 2a

Ahora deduciremos la fórmula para encontrar el eje de simetría, y determinaremos las coordenadas del vértice de la parábola; comencemos con una función cuadrática de la forma f(x) ax2 bx c y completemos el cuadrado con los primeros dos términos.

f1x2 = ax2 + bx + c b = aax2 + xb + c a

Factorizar a.

b b2 , y su cuadrado es 2 . Sumemos y restemos este 2a 4a término dentro del paréntesis; el resultado es cero. Un medio del coeficiente de x es

f1x2 = acx2 +

b b2 b2 x + 2 - 2d + c 2a 4a 4a

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Ahora reescribimos la función de la manera siguiente.

f1x2 = a B x2 +

b2 b2 b x + ¢ 2 ≤ R - a ¢ 2≤ + c a 4a 4a

= aax +

b 2 b2 b + c 2a 4a

Reemplazar un trinomio con el cuadrado de un binomio.

= aax +

b 2 b2 4ac b + 2a 4a 4a

Escribir fracciones con un denominador común.

= aax +

b 2 4ac - b2 b + 2a 4a

Combinar los dos últimos términos; escribir con la variable a primero.

= acx - a La expresión c x - a -

2 b 4ac - b2 bd + 2a 4a

2 b b d siempre será mayor o igual a cero, ¿por qué? Si a 0, la 2a

parábola abrirá hacia arriba y tendrá un valor mínimo. Como c x - a un valor mínimo cuando x = -

2 b b d tendrá 2a

b , el valor mínimo de la gráfica se presentará cuando 2a

b . Si a 0, la parábola abrirá hacia abajo y tendrá un valor máximo; éste se 2a b presentará cuando x = - . Para determinar el punto más bajo o el más alto de una 2a b parábola, sustituimos x por en la función, a fin de conocer el valor de y. El par orde2a nado resultante será el punto en que se da el vértice de la parábola. Como el eje de simex = -

tría es la recta vertical que pasa por el vértice de la parábola, su ecuación se determina mediante la coordenada x del par ordenado. Así, la ecuación para determinar el eje b b 4ac - b2 . Observe que cuando x = , el valor de f(x) es . de simetría es x = 2a 2a 4a ¿Puede explicar por qué? Para determinar el vértice de una parábola La parábola representada por la función f1x2 = ax 2 + bx + c tendrá como eje de b simetría x = y como vértice 2a

¢-

b 4ac - b2 , ≤ 2a 4a

Ya que con frecuencia determinamos la coordenada y-del vértice sustituyendo la coordenada x del vértice en f1x2, el vértice también puede designarse como

a-

b b , fa - b b 2a 2a

La parábola dada mediante la función f(x) ax2 bx c abrirá hacia arriba cuando a sea mayor que 0, y hacia abajo cuando a sea menor que 0. Recuerde que para determinar la intersección del eje x de la gráfica de f(x) ax2 bx c, hacemos f(x) 0 y resolvemos la ecuación

ax2 + bx + c = 0

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Esta ecuación puede resolverse por factorización, mediante la fórmula cuadrática o completando el cuadrado. El discriminante, b2 4ac, puede usarse para determinar el número de intersecciones con el eje x. La siguiente tabla resume la información acerca del determinante.

Discriminante, b 2 4ac

Número de intersecciones

Posibles gráficas de f(x) ax 2 bx c y

y x

70

Dos x y

y x

=0

Una x y

y x

60

Ninguna x

3 Graficar funciones cuadráticas por medio del eje de simetría, el vértice y las intersecciones En esta parte trazaremos gráficas de funciones cuadráticas.

EJEMPLO 1

Examine la ecuación y x2 8x 12. a) Determine si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. b) Determine la intersección del eje y. c) Determine el vértice. d) Determine las intersecciones del eje x, si las hay. e) Trace la gráfica.

Solución

a) Como a es 1, es decir, menor que 0, la parábola abre hacia abajo. b) Para determinar la intersección del eje y, hacemos x 0 y despejamos y.

y = - 1022 + 8102 - 12 = - 12

La intersección del eje y se da en el punto (0, 12).

c) Primero determinamos la coordenada x y luego la coordenada y del vértice.

x = y =

b 8 = = 4 2a 21-12

41-121 -122 - 82 4ac - b2 48 - 64 = = = 4 4a 41-12 -4

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El vértice está en (4, 4). La coordenada y del vértice podría haberse obtenido también sustituyendo x por 4 en la función, y determinando el valor de y correspondiente, que es 4.

y 5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Vértice (4, 4)

d) Para determinar las intersecciones del eje x, hacemos y 0. 1 2 3

5 6 7 8 9

0 = - x2 + 8x - 12 or x2 - 8x + 12 = o 1x - 621x - 22 = x - 6 = 0 o x - 2 x = 6 o x

x

0 0 = 0 = 2

Así, las intersecciones del eje x se dan en (2, 0) y (6, 0). Estos valores también podrían determinarse por medio de la fórmula cuadrática (o completando el cuadrado). e) Utilice toda esta información para trazar la gráfica (figura 10.4).

Intersección del eje y

Eje de simetría

✺

Si al determinar las intersecciones del eje x obtiene valores irracionales para la fórmula cuadrática, utilice su calculadora para estimar estos valores, y luego trace los valores decimales. Por ejemplo, si obtiene x = 12 ; 1102>2, evaluaría 12 + 1102>2 y 12 - 1102>2 en su calculadora para obtener 2.58 y 0.58, respectivamente (resultados redondeados al centésimo más cercano). Por lo tanto, las intersecciones del eje x se darían en (2.58, 0) y (0.58, 0).

FIGURA 10.4

EJEMPLO 2

Examine la función f(x) 2x2 6x 5. a) Determine si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. b) Determine la intersección del eje y. c) Determine el vértice. d) Determine las intersecciones del eje x, si las hay. e) Trace la gráfica.

Solución

a) Como a es 2, es decir, mayor que 0, la parábola abre hacia arriba. b) Ya que f(x) es lo mismo que y, para determinar la intersección del eje y hacemos x 0 y despejamos f(x) (o y).

f102 = 21022 + 6102 + 5 = 5 La intersección del eje y se da en (0, 5). c)

y =

y

(w, q)

2

FIGURA 10.5

b 6 6 3 = = - = 2a 2122 4 2

4122152 - 62 4ac - b2 40 - 36 4 1 = = = = 4a 4122 8 8 2

El vértice está en A - 32 , 12 B . La coordenada y del vértice también puede determinarse

8 7 6 5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 1

x = -

evaluando f A - 32 B .

d) Para determinar las intersecciones del eje x, hacemos f(x) 0.

0 = 2x2 + 6x + 5 1 2 3 4 5

x

Este trinomio no puede factorizarse. Para determinar si esta ecuación tiene alguna solución real, evaluamos el discriminante

b2 - 4ac = 62 - 4122152 = 36 - 40 = - 4

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Como el discriminante es menor que 0, esta ecuación no tiene soluciones reales. Esta respuesta era de suponerse, ya que la coordenada y del vértice es un número positivo y, por lo tanto, se ubica por arriba del eje x; ya que la parábola abre hacia arriba, no puede intersectar al eje x. e) La gráfica se muestra en la figura 10.5. ✺

4

Resolver problemas de máximos y mínimos Como se ilustra en la figura 10.6a, las parábolas que abren hacia arriba tienen un valor mínimo en su vértice. Por otra parte, como se muestra en la figura 10.6b, las parábolas que abren hacia abajo tienen un valor máximo en su vértice. Si le dan una función de la forma f(x) ax2 bx c, debe saber que el valor máximo o mínimo estará en 4ac - b2 b , y será . Existen muchos problemas de la vida real en los que se requiere 2a 4a determinar los valores máximo o mínimo. y ax2 bx c a 0, valor mínimo

a 0, valor máximo

y

y

x

b 2a x

y

FIGURA 10.6

EJEMPLO 3

冢 2ab ,

4ac b2 4a

冢 2ab ,

4ac b2 y 4a

x

4ac b2 4a

b 2a

4ac b2 4a

冣

x

冣

(a)

(b)

Béisbol Tommy Magee juega béisbol con los Cardenales de Yorktown. Durante la séptima entrada en un partido contra los Azulejos de Arlington, Magee batea de hit hacia el jardín (vea la figura 10.7); el contacto entre su bate y la bola se da a 3 pies del suelo. Para este hit en particular, la altura de la bola respecto del suelo, f(t), en pies, en el instante t, en segundos, puede calcularse mediante la fórmula

f1t2 = - 16t2 + 52t + 3 a) Determine la altura máxima que alcanza la bola de béisbol. b) Determine el tiempo que tarda la bola en alcanzar su máxima altura. c) Determine el tiempo que tarda la bola en chocar contra el suelo.

FIGURA 10.7

Solución

a) Entienda el problema La bola de béisbol sigue la trayectoria de una parábola que abre hacia abajo (a 0); a consecuencia de la gravedad, la bola se eleva hasta una altura máxima para luego caer hacia el suelo. Para determinar la altura máxima que alcanza la bola, usamos la fórmula y =

Traduzca

a = - 16, y =

4ac - b2 . 4a b = 52,

4ac - b 4a

2

c = 3

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=

=

41-162132 - 15222 41-162 - 192 - 2704 -64

- 2896 -64 = 45.25 =

Responda

La bola de béisbol alcanza una altura máxima de 45.25 pies.

b) La bola de béisbol llega a su altura máxima en

t = -

b 52 52 13 = = = 2a 21-162 -32 8

o 1

5 8

o 1.625 segundos

c) Entienda el problema y traduzca Cuando la bola de béisbol choca contra el suelo, su altura (y) respecto de éste es 0. Por lo tanto, para determinar cuándo golpea el suelo, resolvemos la ecuación

-16t2 + 52t + 3 = 0 Usaremos la fórmula cuadrática para resolverla.

t =


-b ; 2b2 - 4ac 2a

=

-52 ; 215222 - 41- 162132 21-162

=

- 52 ; 12704 + 192 -32

=

-52 ; 12896 -32

-52 ; 53.81 -32 - 52 + 53.81 -52 - 53.81 t L o t L -32 -32 L - 0.06 segundos L 3.31 segundos L

El único valor aceptable es 3.31 segundos. La bola de béisbol choca contra el suelo después de aproximadamente 3.31 segundos. Observe que en la parte b) el tiempo que tarda la bola en alcanzar su altura máxima, 1.626, no es exactamente la mitad del tiempo total que está en el aire, 3.31 segundos. La razón es que fue golpeada a una altura de 3 pies, y no al nivel del suelo. ✺

Responda

EJEMPLO 4

Área de un rectángulo Considere el rectángulo siguiente, cuya longitud es x 3 y cuyo ancho es 10 x 10 x x3

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a) Determine una ecuación para calcular el área, A(x). b) Determine el valor de x que proporciona el área (máxima) más grande. c) Determine el área máxima.

Solución

a) Para calcular el área de un rectángulo hay que multiplicar su longitud por su ancho. Por lo tanto, la función para determinar el área es

A1x2 = 1x + 32110 - x2 = - x2 + 7x + 30

b) Entienda el problema y traduzca La gráfica de la función es una parábola que abre hacia abajo. Así, el valor máximo se alcanza en el vértice. Por lo tanto, el área b máxima se da en x = . 2a Realice los cálculos Responda

x = -

b 7 7 = = = 3.5 2a 21-12 2

El área máxima se alcanza cuando x es 3.5 unidades.

c) Para determinar el área máxima, sustituimos cada x de la ecuación que se obtuvo en la parte a) por 3.5.

A1x2 = - x 2 + 7x + 30 A13.52 = -13.522 + 713.52 + 30 = - 12.25 + 24.5 + 30 = 42.25 Observe que en el rectángulo la longitud es x 3 3.5 3 6.5 unidades, y el ancho es 10 x 10 3.5 6.5 unidades. En realidad el rectángulo es un cuadrado, y su área es (6.5)(6.5) 42.25 unidades cuadradas. Por consiguiente, el área máxima es 42.25 unidades cuadradas. ✺ En el ejemplo 4c), el área máxima pudo haberse determinado también utilizando 4ac - b2 la fórmula y = . Determine el área máxima utilizando dicha fórmula. La res4a puesta debe ser la misma que se mencionó antes, 42.25 unidades cuadradas.

EJEMPLO 5

Corral rectangular Juan Briones construye un corral rectangular para unos terneros recién nacidos (vea la figura 10.8). Si planea utilizar 100 metros de cerca, determine las dimensiones del corral con la mayor área.

Solución

Entienda el problema Se nos ha informado cuál es el perímetro del corral, 100 metros. La fórmula para determinar el perímetro de un rectángulo es P 2l 2w, así que, en este problema, 100 2l 2w. Por otro lado, se nos piden maximizar el área, A, en donde

A = l#w

FIGURA 10.8

Necesitamos expresar el área en términos de una variable, no de dos. Para hacerlo en términos de l, despejamos w en la fórmula del perímetro, 100 2l 2w, y luego hacemos una sustitución. Traduzca

100 = 2l + 2w 100 - 2l = 2w 50 - l = w

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Ahora sustituimos 50 - l por w en A = l # w. Esto da


A = lw A = l150 - l2 A = - l2 + 50l En esta ecuación cuadrática, a 1, b 50 y c 0. El área máxima se obtendrá cuando

l = -

b 50 = = 25 2a 21-12

La longitud que dará el área máxima es 25 metros. El ancho, w 50 l, también será igual a 25 metros. Por lo tanto, un cuadrado con dimensiones de 25 por 25 metros dará el área máxima.

Responda

El área máxima también puede determinarse sustituyendo l 25 en la fórmula 4ac - b2 A l(50 l), o mediante A = . En cualquier caso, la respuesta es 625 me4a tros cuadrados. ✺ Cuando obtuvimos la ecuación A = - l2 + 50l, en el ejemplo 5, podríamos haber completado el cuadrado como sigue:

- 1l2 - 50l2 - 1l2 - 50l + 625 - 6252 - 1l2 - 50l + 6252 + 625 - 1l - 2522 + 625

A = = = =

Con base en esta ecuación, podemos determinar que el área máxima, 625 metros cuadrados, se alcanza cuando la longitud es de 25 metros.

5

Entender los desplazamientos de las parábolas Ahora veremos otro método para graficar parábolas. En él, se comienza con una gráfica de la forma f(x) ax2, y ésta se desplaza, o traslada para obtener la gráfica de la función que se está buscando. Como referencia, la figura 10.9a muestra las gráficas de f(x) x2, g(x) 2x2 y h1x2 = 12 x2. La figura 10.9b muestra las gráfica de f1x2 = - x2, g1x2 = - 2x2, y h1x2 = - 12 x2. y

y

6

6

5

2

3 2

h(x) qx

2

1

2

2

3

4

5

1 6

x

6 5 4 3 2

h(x) qx2

3

FIGURA 10.9

4

f (x) x2

3

6 5 4 3 2 1 1

5

g(x) 2x2

4

2

4

5

6

x

2 3

4

4

5

5

6

6

(a)

3

f (x) x2 g(x) 2x2

(b)

Trazando los puntos, usted puede verificar que cada una de las gráficas es correcta. Observe que en las figuras 10.9a y b el valor de a en f(x) ax2 determina el ancho

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de la parábola. Conforme |a| aumenta, la parábola se hace más angosta, y conforme |a| disminuye, la parábola se hace más ancha. Ahora consideremos las tres funciones f(x) x2, g(x) (x 2)2 y h(x) (x 2)2. Estas funciones se grafican en la figura 10.10. (Si lo desea, trace los puntos para verificar que éstas son las gráficas de las funciones.) y 8

5

f (x) x2

4 3

h(x) (x 2)2

g(x) (x 2)2

1

6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

x

2 3 4

FIGURA 10.10

Observe que las gráficas de g(x) y de h(x) son idénticas a la gráfica de f(x), salvo que g(x) se ha trasladado, o desplazado, 2 unidades hacia la derecha, y h(x) se ha trasladado 2 unidades hacia la izquierda. En general, la gráfica de g(x) a(x h)2 tendrá la misma forma que la gráfica de f(x) ax2. La gráfica de una ecuación de la forma g(x) a(x h)2 estará desplazada horizontalmente respecto de la gráfica de f(x) ax2. Si h es un número real positivo, la gráfica de g(x) a(x h)2 estará desplazada h unidades hacia la derecha respecto de la gráfica de f(x) ax2. Si h es un número real negativo, la gráfica de g(x) a(x h)2 estará desplazada |h| unidades hacia la izquierda respecto de la gráfica de f(x) ax2. Ahora considere las gráficas de f(x) x2, g(x) x2 3 y h(x) x2 3, ilustradas en la figura 10.11. Trace los puntos para verificar que estas gráficas corresponden a las tres funciones. y 8 7 6

g(x) x2 3

5 4

f (x) x2

3 2

h(x) x2 3

1 6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

x

2

FIGURA 10.11

4

Observe que las gráficas de g(x) y de h(x) son idénticas a la gráfica de f(x), salvo que g(x) se ha trasladado 3 unidades hacia arriba y h(x) se ha trasladado 3 unidades hacia abajo. En general, si k es un número real positivo la gráfica de g(x) ax2 k es la gráfica de f(x) ax2 desplazada k unidades hacia arriba, y |k| unidades hacia abajo si k es un número real negativo. Ahora considere las gráficas de f(x) x2 y g1x2 = 1x - 222 + 3, ilustradas en la figura 10.12.

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y

8 7 6 5

g(x) (x 2)2 3

4

f (x) x

2

3

(2, 3)

2 1 6 5 4 3 2 1 1

FIGURA 10.12

1

2

3

4

5

6

x

2

Observe que la gráfica de g(x) tiene la misma forma general que la de f(x). La gráfica de g(x) es la gráfica de f(x) trasladada 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba. Esta gráfica y el análisis anterior conducen a las siguientes conclusiones importantes. Para cualquier función f(x) ax2, la gráfica de g(x) a(x h)2 k tendrá la misma forma que la gráfica de f(x). La gráfica de g(x) será la gráfica de f(x), pero desplazada según las siguientes condiciones:

• Si h es un número real positivo, la gráfica se desplazará h unidades hacia la derecha. • Si h es un número real negativo, la gráfica se desplazará |h| unidades hacia la izquierda.

• Si k es un número real positivo, la gráfica se desplazará k unidades hacia arriba. • Si k es un número real negativo, la gráfica se desplazará |k| unidades hacia abajo.

Examine la gráfica de g(x) (x 2)2 3 en la figura 10.12. Observe que su eje de simetría está en x 2 y su vértice se da en (2, 3). La gráfica de cualquier función de la forma

f1x2 = a1x - h22 + k será una parábola con eje de simetría en x h y vértice en (h, k).

Ejemplo

f1x2 = 21x - 422 + 5 f1x2 = - 12 1x - 622 - 4

Eje de simetría

x = 4 x = 6

Vértice

(4, 5)

16, - 42

La parábola abre hacia

arriba, a 7 0 abajo, a 6 0

Ahora considere f(x) 2(x 5)2 3. Podemos reescribir esta función como f(x) 2[x (5)]2 3; por lo tanto, h tiene un valor de 5 y k tiene un valor de 3. La gráfica de esta función tiene su eje de simetría en x 5 y su vértice en (5, 3).

Ejemplo

f1x2 = 31x + 422 - 2 2 f1x2 = - 12 A x + 13 B + 14

Eje de simetría

x = -4 x = - 13

Vértice

1 - 4, - 22 A - 13 , 14 B

La parábola abre hacia

arriba, a 7 0 abajo, a 6 0

Ahora estamos preparados para graficar parábolas utilizando las traslaciones.

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EJEMPLO 6

La gráfica de f(x) 2x2 se ilustra en la figura 10.13. Tomándola como guía, grafique g(x) 2(x 3)2 4.

Solución

La función g(x) puede escribirse como g(x) 2[x (3)]2 4. Por lo tanto, en la función h tiene un valor de 3 y k un valor de 4. Así, la gráfica de g(x) será la gráfica de f(x) desplazada 3 unidades hacia la izquierda (ya que h 3) y 4 unidades hacia abajo (ya que k 4). Las gráficas de f(x) y g(x) se ilustran en la figura 10.14.

y 2 1 4 3 2 1 1 2 3

1

2

3

4

x

f (x) 2x2

y 2

4

1

5 6

6 5 4 3 2 1 1

7

1

2

3

4

5

6

x

2

8

3

(3, 4)

9

f (x) 2x2

4

10

5 6

FIGURA 10.13

7

g(x) 2(x 3)2 4

8 9

✺

FIGURA 10.14

En la parte 2 de esta sección iniciamos con una función de la forma f(x) ax2 bx c, y completamos el cuadrado para obtener

f1x2 = acx - a -

2 b 4ac - b2 bd + 2a 4a

Además, se mencionó que el vértice de la parábola de esta función es a Suponga que en la función sustituimos h por tenemos

b 4ac - b2 , b 2a 4a

b 4ac - b2 y k por . Entonces ob2a 4a

f1x2 = a1x - h22 + k que sabemos da por resultado una parábola con vértice en (h, k). Por lo tanto, las dos funciones f(x) ax2 bx c y f(x) a(x h)2 k tienen el mismo vértice y el mismo eje de simetría para cualesquiera funciones dadas.

6

Escribir funciones en la forma f 1x2 = a1x - h22 + k Si queremos graficar parábolas utilizando desplazamientos, necesitamos cambiar la forma de la función de f(x) ax2 bx c a f(x) a(x h)2 k. Para hacerlo, completamos el cuadrado. Al completar el cuadrado obtenemos un trinomio cuadrado perfecto, que puede representarse como el cuadrado de un binomio. En los ejemplos 7 y 8 se explica el procedimiento, mismo que usaremos nuevamente cuando analicemos las secciones cónicas.

EJEMPLO 7

Solución

Dada f(x) x2 6x 10. a) Escriba f(x) en la forma f(x) a(x h)2 k. b) Grafique f(x). a) Utilizamos los términos x2 y 6x para obtener un trinomio cuadrado perfecto.

f1x2 = 1x2 - 6x2 + 10

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Ahora tomamos la mitad del coeficiente del término en x y lo elevamos al cuadrado. 2 1 c 1-62 d = 9 2

Luego sumamos este valor, 9, dentro de los paréntesis. Como sumamos 9 dentro del paréntesis, sumamos 9 fuera de los paréntesis. Sumar 9 y 9 a una expresión es como si sumáramos 0, ya que su valor no cambia.

f1x2 = 1x2 - 6x + 92 - 9 + 10 Al hacer esto hemos creado un trinomio cuadrado perfecto dentro de los paréntesis más una constante fuera de los paréntesis. Expresamos el trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio.

f1x2 = 1x - 322 + 1 Ahora la función está en la forma que buscábamos. b) Como a 1 es mayor que 0, la parábola abre hacia arriba. El eje de simetría de la parábola está en x 3, y su vértices se da en (3, 1). La intersección del eje y puede obtenerse con facilidad sustituyendo x 0 y determinando el valor de f(x). Cuando x 0, f(x) (3)2 1 10. Por lo tanto, la intersección del eje y se da en 10. Trazando el vértice, la intersección del eje y y unos cuantos puntos más, obtenemos la gráfica de la figura 10.15. Para compararlas, la figura también muestra la gráfica de y x2. y 11 10 9 8

f (x) (x 3)2 1

7 6 5

y x2

4 3 2 1

6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

7

x

2

FIGURA 10.15

EJEMPLO 8

(3, 1)

✺

Dada f(x) 2x2 10x 13. a) Escriba f(x) en la forma f(x) a(x h)2 k. b) Grafique f(x).

Solución

a) Cuando el coeficiente principal no es 1, factorizamos los términos que incluyen la variable.

f1x2 = -21x2 + 5x2 - 13 Luego completamos el cuadrado Un medio del coeficiente de término de x al cuadrado p 2 1 25 c 152 d = 2 4

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Si sumamos 254 dentro de los paréntesis, en realidad sumamos - 2 A 254 B o - 252 , ya que cada término dentro de los paréntesis se multiplica por 2. Por lo tanto, para compensar, debemos sumar 252 fuera de los paréntesis.

25 25 b + - 13 4 2 5 2 1 = - 2ax + b 2 2

f1x2 = - 2ax2 + 5x +

b) Como a 2, la parábola abre hacia abajo. El eje de simetría está en x = - 52 y el vértice se da en A - 52 , - 12 B . La intersección del eje y está en f(0) 13. Trazamos unos cuantos puntos y dibujamos la gráfica. El resultado debe ser igual al que se muestra en la figura 10.16, en donde también se ilustra la gráfica de y 2x2 para comparar. y

冢e, q冣 8 7 6 5 4

2 1 1 1 2

f (x) 2冢x e冣2 q

3

1

2

3

4

x

y 2x2

4 5 6 7

FIGURA 10.16

Observe que f1x2 = - 2 A x +

B - 12 no tiene intersecciones con el eje x. Por lo

5 2 2

tanto, no hay valores reales de x para los que f(x) 0

✺

Una segunda manera de cambiar la ecuación de f(x) ax2 bx c a la forma b 4ac - b2 f(x) a(x h)2 k es hacer h = . Después, se determinan los yk = 2a 4a valores para h y k, y luego se sustituyen los valores obtenidos en f(x) a(x h)2 k. Por ejemplo, para la función f(x) 2x2 10x 13 del ejemplo 8, a 2, b 10 y c 13; entonces

b -10 5 = = 2a 21-22 2 2 41-221 -132 - 1-1022 4ac - b 1 k = = = 4a 41-22 2 h = -

Por lo tanto,

f1x2 = a1x - h22 + k 5 2 1 = - 2cx - a - b d 2 2 5 2 1 = - 2ax + b 2 2 Esta respuesta coincide con la que se obtuvo en el ejemplo 8.

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Solución de problemas De las funciones de los ejercicios 1 a 18, identifique cuál corresponde a cada una de las siguientes gráficas.

a)

b)

y 2

6

4

2

2

c)

y

x

2

4

y

6

4

6

4

2

4

2

4

d)

y

2

4 2

4

2

2

4

2

x

x

6

4

2

2

6

2

x

2

1. f1x2 = 21x + 322 - 1

2. f1x2 = - 21x + 322 - 1

3. f1x2 = 21x - 122 + 3

4. f1x2 = - 21x - 122 + 3

5. 4x2 9x

6. x2 x 30 0

7. 4x2 11x 3

8. 1.2r2 5.7r 2.3

Para cada rectángulo, a)) determine el valor de x que da el área máxima, y b)) determine el área máxima.

9.

10.

11. 29 x

18 x

x4

12.

x7

19 x

26 x

x5

x2

13. Venta de pilas La función para calcular el ingreso por la venta de n pilas es R(n) n(10 0.02n) 0.02n2 10n. Determine a) el número de pilas que deben venderse para obtener el ingreso máximo, y b) el ingreso máximo. 14. Venta de relojes La función para calcular el ingreso por la venta de n relojes es R(n) n(25 0.1n) 0.1n2 25n. Determine a) el número de relojes que deben venderse para obtener el ingreso máximo, y b) el ingreso máximo. 15. Matrícula El número de alumnos inscritos en una escuela puede calcularse mediante la función

N1t2 = - 0.043t2 + 1.22t + 46.0 donde t es el número de años desde 1989 y 1 t 15. ¿En qué año se obtendrá el máximo de alumnos inscritos? 16. Escuelas sanas En Estados Unidos, el porcentaje de estudiantes que afirman que en sus escuelas se consumen drogas puede calcularse mediante la función

f1a2 = - 2.32a2 + 76.58a - 559.87 donde a es la edad del estudiante y 12 a 20. ¿A qué grupo de edad pertenecen los estudiantes que representan el porcentaje más alto entre los que afirman que en sus escuelas se consumen drogas?

Véase ejercicio 11 17. ¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de f1x2 = 1x - 222 + 52 y g1x2 = 1x - 222 - 32 ? 18. ¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de f(x) 2(x 4)2 3 y g(x) 3(x 4)2 2? 19. ¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de f(x) 2(x 4)2 3 y g(x) (x 1)2 3? 20. ¿Cuál es la distancia entre los vértices de las gráficas de f1x2 = - 13 1x - 322 - 2 y g1x2 = 21x + 522 - 2? 21. Escriba la función cuya gráfica tiene la forma de la gráfica de f(x) 2x2 y su vértice en (3, 2). 22. Escriba la función cuya gráfica tiene la forma de la gráfica de f1x2 = - 12 x 2 y su vértice en A 23 , - 5 B .

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Actividad de cierre El producto de haber presentado ante tus compañeros, el procedimiento genérico para resolver problemas matemáticos como un algoritmo. Elabora una serie de criterios que te permitan determinar si los compañeros de tu salón han comprendido lo que pretendiste explicarles y, posteriormente establece los mismos dentro de la siguiente escala para autoevaluarte. Criterios

1

2

3

4

5

Enseguida, envía al portafolio electrónico el producto que has presentado ante tus compañeros con el objetivo de compartir los resultados con tus compañeros.

Nota: Estas actividades de cierre se desarrollarán durante los bloques IX y X.

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ALGUNAS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a) Realización de proyectos Tobón (2006) se refiere ampliamente a la realización de proyectos formativos (PF). Según este autor, los proyectos coadyuvan al desarrollo de al menos una competencia, ya que mediante la realización de actividades se resuelven problemas contextuales de relevante interés para los involucrados. Ser competente para el trabajo, para la vida en sociedad y para la vida en familia son exigencias que el mundo actual hace a la escuela. Por ello, el trabajo por proyectos es ideal para fomentar competencias transferibles a la vida misma. Beneficios s&AVORECEAPRENDIZAJESCONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES s%NFRENTAALALUMNOALAREALIDADDEMANERACRÓTICA s'ENERAEVIDENCIASDETRABAJO s(ACEDELESTUDIANTEUNAPRENDIZACTIVO s0ROPICIAELTRABAJOCOLABORATIVO ¿Cómo llevarlo a cabo? Todo proyecto debe cumplir con lo siguiente: 1. Establecer qué se quiere lograr (propósitos). 2. Planear. 3. Llevar a cabo o poner en marcha. 4. Evaluación. Características s%SUNAACTIVIDADCONLACUALELPROFESORESTIMULAASUSALUMNOSPARALARESOLUCIØN de una situación concreta. De esta manera, participan en la decisión tanto el profesor como los estudiantes. Puede ser que el docente proponga un proyecto o que tomen la iniciativa los alumnos. s3E TRABAJA A PARTIR DE EXPERIENCIAS CONCRETAS PREPARÉNDOSE PARA ACTUAR Y entender situaciones futuras. Pero sobre todo, se construyen conocimientos. s3EPLANTEANUNCONJUNTODEACTIVIDADES YASEAPARAPRODUCIRALGO SATISFACERUNA necesidad o resolver un problema a mediano plazo. Las actividades planeadas anticipan actitudes y logros. s3EORGANIZA PLANEAYSETOMANDECISIONESALLLEVARACABOELPROYECTO s,OSPROYECTOSSEGENERANAPARTIRDELOSPROGRAMASDEESTUDIONOSONPARTEDE ellos); es decir, puede ser que no nos los soliciten pero debemos ver la posibilidad de utilizar este tipo de estrategia didáctica, atendiendo a diversos factores. Asimismo, podemos trabajar en el desarrollo de una o más competencias con la realización del proyecto, ya que se puede prestar para hacer confluir diversos campos formativos o implicarse en uno. Depende de las cuestiones a resolver.

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s,AEVALUACIØNDELPROYECTOPERMITIRÉIDENTIlCARFORTALEZASYDEBILIDADESTANTO a nivel individual como colectivo. Para tal efecto, pueden diseñarse rúbricas que el estudiante conozca de antemano para suscitar la posibilidad de anticipar desempeños esperados, a través de indicadores precisos como manifestación de las competencias que pretendemos contribuir a desarrollar. Debemos recordar que evaluaremos los desempeños por medio de las evidencias, que en este caso será la presentación física del informe producto del proyecto o la presentación ante sus compañeros de los resultados del mismo (mediante carteles, láminas, videos, etc. El ingenio es esencial en la presentación de resultados).

b) Aprendizaje basado en problemas (ABP) Los problemas son situaciones a las que se enfrenta el estudiante, que constituyen un verdadero reto sin llegar a necesitar de un tiempo tan prolongado que necesiten ser abordados por medio de un proyecto. Está claro que el proyecto permite la resolución de un problema; pero no todo problema es factible de ser resuelto mediante un proyecto. Beneficios s0ROPORCIONAUNAEXPERIENCIAPRÉCTICAPARARESOLVERPROBLEMASDELAVIDADIARIAY del mundo real. s&OMENTAELAPRENDIZAJEACTIVO s6INCULALAESCUELACONLAVIDAREAL FOMENTANDOELAPRENDIZAJEBASADOENLA práctica. s,OSESTUDIANTESPUEDENINDAGAREINTERVENIRENSUENTORNO s#OMPROMETEACTIVAMENTEALOSALUMNOSCONELPROBLEMAPLANTEADOYELLOS se saben protagonistas en la solución del mismo, dando paso al aprendizaje significativo. s$ESARROLLACOMPETENCIASDECOMUNICACIØNATRAVÏSDELTRABAJOCOLABORATIVO ya que invita al diálogo, a la toma de decisiones, la negociación y a establecer acuerdos. ¿Cómo llevarlo a cabo? Se propone que el profesor presente a sus alumnos una situación problemática, lo más auténtica, innovadora y creativa posible. Esta situación problemática es el foco central de la enseñanza. Para elegirla debe tomarse en cuenta el programa de estudio, las características y necesidades de los estudiantes, el contexto social y escolar, y debe considerarse que: s,OSALUMNOSASUMIRÉNLARESPONSABILIDADDESOLUCIONARELPROBLEMA%STOSE convierte en el hilo conductor de toda la situación de aprendizaje. Primero, porque han de pensar en el problema, comprendiéndolo; para después reunirse a trabajar colaborativamente en la propuesta de soluciones, bajo la guía del profesor. Sin embargo, no hay que olvidar que es necesaria la actividad independiente de los estudiantes durante este proceso.

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s3EREACTIVANCONOCIMIENTOSPREVIOS SECONSTRUYECONOCIMIENTOVISUALIZANDO una o múltiples opciones para su solución. s%SNECESARIOUTILIZARESTRATEGIASPARALAORGANIZACIØNDELCONOCIMIENTOVINCULANDO el conocimiento académico con la situación o problema de la vida real. s%S TRASCENDENTE QUE PROPORCIONE A LOS ALUMNOS LOS RECURSOS PARA ABORDAR EL problema, como: materiales necesarios para manipular, documentos para analizar, recuerdo conjunto de situaciones anteriores a las que se han enfrentado y que podrían servir para enfrentar la nueva. s%S NECESARIO DISE×AR ACTIVIDADES CON DISTINTOS NIVELES DE COMPLEJIDAD ASÓ como estar presente durante todo el proceso, mediando, ya sea evaluando, supervisando, apoyando, marcando pautas, etc. Esto es de crucial importancia para el éxito de la estrategia. El profesor se encuentra cerca y la evaluación formativa cobra vida durante la resolución de los problemas. Esta estrategia es muy útil en matemáticas.

c) Análisis o estudio de casos La resolución de problemas y el análisis de casos comparten la misma esencia, con una variante, en éste último se presenta el problema a través de una historia o una narración. De esta manera, un caso muestra su complejidad e invita a la empatía, ya que la historia debe llevar al estudiante a sentir, pensar y recrear lo que vivieron los protagonistas de esa situación y pensar en múltiples alternativas para su solución. Beneficios s$ESARROLLACOMPETENCIASPARACRITICAR REmEXIONAR ARGUMENTAR TOMARDECIsiones y practicar la tolerancia a la frustración. Características s3ERELACIONACONELPROGRAMADEESTUDIOS s5TILIZALANARRATIVA s%SEMOTIVO s'ENERADILEMAS s0ROPICIAELDEBATE s'ENERAAMBIENTESDECONTROVERSIAPROPICIANDOUNAINTENSARELACIØNENTRELOS estudiantes y el profesor. s%SCLAROYPRECISO s%SREAL s)NVOLUCRAPERSONAJESlCTICIOSOREALES s#ONTIENESUlCIENTEINFORMACIØN ¿Cómo llevarlo a cabo? Se propone que el profesor presente a sus alumnos un caso auténtico, innovador y cercano a los alumnos. Para elegirlo debe tomarse en cuenta el programa de estudio, las características y necesidades de los estudiantes, el contexto social y escolar.

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Además, debe considerarse que: s,OSALUMNOSTENDRÉNLARESPONSABILIDADDEPROPONERSOLUCIONESALPROBLEMA planteado. Al igual que en el aprendizaje basado en problemas, la búsqueda de soluciones se convierte en el hilo conductor de toda la situación de aprendizaje. Primero, porque han de pensar en el problema, comprendiéndolo; para después reunirse a trabajar colaborativamente, bajo la guía del profesor. No hay que olvidar que es necesaria la actividad independiente de los estudiantes durante este proceso. s3EREACTIVANCONOCIMIENTOSPREVIOS SECONSTRUYECONOCIMIENTOVISUALIZANDO una o múltiples opciones para su solución. s%SNECESARIOUTILIZARESTRATEGIASPARALAORGANIZACIØNDELCONOCIMIENTOVINCULANDO el conocimiento académico con la situación o problema de la vida real. s%S NECESARIO DISE×AR ACTIVIDADES CON DISTINTOS NIVELES DE COMPLEJIDAD ASÓ como estar presente durante todo el proceso, mediando, ya sea evaluando, supervisando, apoyando, marcando pautas, etcétera. s,AEVALUACIØNFORMATIVATAMBIÏNCOBRAVIDADURANTEELESTUDIODECASOS

Matematicas I - Allen R. Angel.pdf

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