Matematicas I

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Eusebio Pillado Hernández Director Académico Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Director de Administración y Finanzas Lic. Oscar Rascón Acuña Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas MATEMÁTICAS 1 Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2009 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora todos los derechos reservados. Primera edición 2009. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: EQUIPO TÉCNICO Coordinación general: Luz María Grijalva Díaz Elaboradores disciplinares: Alma Lorenia Valenzuela Chávez Matemáticas I Nydia Gabriela Estrella Química I Luz María Grijalva Díaz Introducción a las Ciencias Sociales Diego Navarro Gil Taller de Lectura y Redacción I Ética y Valores I María del Socorro Salas Meneses María Enedina Duarte Camacho Informática I Moisés Galaz Duarte Lengua Adicional al Español I Gabriela Rivera Ramos Orientación Educativa Revisión Disciplinaria: Guadalupe Borgo Valdez Jesús Rolando Gutiérrez Duarte Corrección de Estilo: Flora Inés Cabrera Fregoso Supervisión Académica: Patricia Pérez Munguía Nancy Vianey Morales Luna Diseño: Joaquín Rivas Samaniego Grupo Editorial: Bernardino Huerta Valdez Francisco Peralta Varela Joaquín Rivas Samaniego Ana Isabel Ramírez Vásquez Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez Coordinación General: Lic. Jorge Alberto Ponce Salazar Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2009. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 12,130 ejemplares.

2

PRELIMINARES

PRELIMINARES

3

DATOS DEL ALUMNO Nombre: _______________________________________________________________ Plantel: __________________________________________________________________ Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________ E-mail: _________________________________________________________________ Domicilio: ______________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Ubicación Curricular

COMPONENTE:

HORAS SEMANALES:

FORMACIÓN BÁSICA

05

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

CRÉDITOS:

MATEMÁTICAS

4

PRELIMINARES

10

Índice Presentación ...................................................................................................................................................... 7 Mapa conceptual............................................................................................................................................... 8 BLOQUE 1. RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS ...................................... 9 Secuencia didáctica 1. Conociendo los números ........................................................................................ 10 Diferentes formas de representar números............................................................................................. 13 Secuencia didáctica 2. Jerarquía de operaciones ....................................................................................... 25 Símbolos de agrupación .......................................................................................................................... 26 Secuencia didáctica 3. Expresiones algebraicas ......................................................................................... 29 Lenguaje algebraico ................................................................................................................................ 30 BLOQUE 2: UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES ........................................................... 39 Secuencia didáctica 1. Los números reales ................................................................................................. 40 Los números Naturales ............................................................................................................................ 42 Los números Enteros ............................................................................................................................... 42 Los números Racionales ......................................................................................................................... 43 Los números Irracionales......................................................................................................................... 44 Propiedades de los números Reales ...................................................................................................... 47 Operaciones de números enteros ........................................................................................................... 52 Operaciones con números racionales .................................................................................................... 60 Secuencia didáctica 2. Razones y proporciones ........................................................................................ 65 Razones ................................................................................................................................................... 67 Proporciones ............................................................................................................................................ 69 BLOQUE 3: REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS ..................................................... 75 Secuencia didáctica 1. Sucesiones y series................................................................................................. 76 Sucesiones ............................................................................................................................................... 78 Series........................................................................................................................................................ 88 BLOQUE 4: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I ................................................... 95 Secuencia didáctica1. Polinomios de una variable ...................................................................................... 96 Leyes de los exponentes ......................................................................................................................... 97 Polinomios ................................................................................................................................................ 98 Operaciones con polinomios................................................................................................................... 99 Productos Notables ............................................................................................................................... 103 Secuencia didáctica 2. Factorización de polinomios ................................................................................. 108 Factorización .......................................................................................................................................... 109 BLOQUE 5: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II ................................................ 117 Secuencia didáctica 1. Continuación de Factorización de polinomios ..................................................... 118 Continuación de Factorización .............................................................................................................. 119 Secuencia didáctica 2. Fracciones algebraicas ......................................................................................... 127 Multiplicación de fracciones .................................................................................................................. 128 División de fracciones ............................................................................................................................ 131 BLOQUE 6: RESUELVE ECUACIONES LINEALES I ..................................................................... 135 Secuencia didáctica 1. Ecuaciones lineales ............................................................................................... 136 Despeje de ecuaciones lineales ............................................................................................................ 137 Secuencia didáctica 2. Relación de la ecuación de primer grado con la función lineal ........................... 153 Construcción de gráficas a partir de ecuaciones lineales .................................................................... 154 Construcción de la gráfica de la función lineal ..................................................................................... 159 PRELIMINARES

5

Índice

(continuación)

BLOQUE 7: RESUELVE ECUACIONES LINEALES II .................................................................... 169 Secuencia didáctica 1. Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2x2) ........................... 170 Interpretación gráfica ............................................................................................................................. 172 Secuencia didáctica 2. Métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas .......... 179 Métodos de Reducción.......................................................................................................................... 181 Método numérico de Determinantes (Regla de Cramer) ...................................................................... 194 BLOQUE 8: RESUELVE ECUACIONES LINEALES III................................................................... 203 Secuencia didáctica 1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3 x 3) ..................................... 204 Interpretación gráfica ............................................................................................................................. 208 Secuencia didáctica 2. Métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas ........... 212 Métodos de Reducción.......................................................................................................................... 213 Método numérico de Determinantes ..................................................................................................... 219 BLOQUE 9: RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I ............................................................ 229 Secuencia didáctica 1. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita .............................................. 230 Métodos algebraicos de resolución de ecuaciones de segundo grado .............................................. 234 BLOQUE 10: RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS II ......................................................... 257 Secuencia didáctica 1. Funciones cuadráticas .......................................................................................... 258 Gráfica de la función cuadrática ............................................................................................................ 260 Aplicaciones de la función cuadrática ................................................................................................... 279 Glosario ....................................................................................................................................................... 284 Bibliografía ................................................................................................................................................... 288

6

PRELIMINARES

Presentación El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura de: Matemáticas 1, está diseñado considerando el modelo de competencias y el enfoque centrado en el Aprendizaje, respondiendo así a las nuevas disposiciones establecidas en la Reforma Integral de la Educación Media Superior implementada a nivel nacional. La estructura de este material didáctico integra competencias genéricas y disciplinares básicas que desarrollarás con aprendizajes múltiples, que permitirán apropiarte del conocimiento en forma crítica, analítica y propositiva. Con la mediación del maestro(a), este módulo te guiará a una nueva experiencia, a un reto: construir tu propio conocimiento. Es un documento guía que se verá enriquecido con las orientaciones y aportaciones de tu maestro (a), para cumplir con su cometido final, y como alumno profundices con autonomía, disciplina científica e interés intelectual, en tu propio conocimiento. Tu institución, el Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, ha trabajado fuerte y sin límite alguno, para entregarte un módulo perfectible y a la vez, de la calidad que lo requiere la Reforma, la Sociedad Mundial y sobre todo tú como alumno (a).

PRELIMINARES

7

MATEMÁTICAS 1 contiene

ÁLGEBRA con el fin de

RESOLVER PROBLEMAS para ello requiere adquirir conocimientos de

Introducción al Álgebra

la cual consta de

• Conocer los números • La jerarquía de las operaciones • Expresiones algebraicas • Los números reales y sus propiedades • Razones y proporciones

Polinomios de una variable

Requieren de

• Leyes de los exponentes • Operaciones con exponentes • Productos notables • Factorización • Simplificación de fracciones

Despeje de ecuaciones lineales

se necesita

• Formas de la ecuación lineal • Relación de la ecuación lineal con la función lineal • Graficas de ecuaciones y funciones lineales

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas contiene

Interpretación gráfica

Ecuaciones de segundo grado de una incógnita Se resuelve mediante

Métodos de solución

Graficación Métodos algebraicos

y se dividen en

Reducción se divide en

• Series y sucesiones

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

• Suma o resta • Sustitución • Igualación

Numérico es

• Determinantes (Regla de Cramer)

los cuales son

• Despeje • Factorización • Fórmula general

Resuelve problemas aritméticos y algebraicos

Unidades de competencia:

Construye e interpreta modelos aritmé éticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y exp presiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y em mpleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas a aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explica ar y describir su realidad. Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagrama o textos, provenientes de situaciones cotidianas y loss traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

Atributos a desarrollar en el bloq que: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de e manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance e de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus prrocesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un prob blema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y co onsidera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congru uente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Tiempo asignado: 7 horas

Secuencia didáctica 1. Conociendo los números. Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente las siguientes preguntas y contesta según tu proceder y el de tus profesores de Matemáticas de secundaria.

1.

¿Se te dificultan las Matemáticas? Si es así, describe por qué

2.

¿De qué forma aplicas las Matemáticas en tu entorno?

3.

¿Qué tipo de apoyos didácticos utilizaban tus profesores de Matemáticas en sus clases y cómo los usaban?

4.

Marca con una 3 la frecuencia con que el profesor utilizaba las siguientes estrategias.

Estrategias Tareas individuales Tareas en equipo Exposición por parte del docente Exposición por parte del alumno Investigación Proyectos Elaboración de ensayos Mapas conceptuales Analogías Resumen Organizador previo Debates Solución de casos Lluvia de ideas Portafolio de evidencias Otros: 5.

10

Siempre

Casi siempre

Casi nunca

¿Qué cambiarías de la clase de Matemáticas para que fuera más significativa para ti?

RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS

Nunca

Evaluación Actividad 1:

Producto: Cuestionario

Puntaje:

Conceptual Identifica las estrategias aplicadas por su profesor de matemáticas en secundaria.

Saberes Procedimental Reconoce las estrategias utilizadas por los profesores de matemáticas en secunadaria.

Actitudinal Se compromete con actitud propositiva a reflexionar el cuestionario que se le plantea.

Distingue la aplicación de las matemáticas en su entorno. Propone mejoras al curso de matemáticas. Autoevaluación

C

MC

NC

Calificación otorgada por el docente

Actividad 2: INSTRUCCIONES: Realiza una investigación acerca del origen de los números y entrega un reporte escrito de por lo menos una cuartilla, destacando con marca-textos las ideas principales. Dicha investigación debe estar sustentada en por lo menos tres libros y tres sitios de Internet

+++++

Evaluación Actividad 2: Conceptual Reconoce el origen de los números.

Producto: Reporte escrito Saberes Procedimental Indaga el origen de los números. Explora información del origen de los números. Sintetiza la información encontrada del origen de los números.

Autoevaluación

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Acepta la necesidad de la numerología. Aprecia los cambios que ha sufrido la numerología a través del tiempo.


BLOQUE 1

11

Desarrollo Actividad 3: INSTRUCCIONES: Con ayuda de tu profesor, analiza en el grupo las ideas principales del reporte escrito de tu investigación anterior y regístralas en el espacio siguiente.

Evaluación Actividad 3: Conceptual Conoce la forma de los números de algunas culturas antiguas.

Producto: Registro de ideas

Puntaje:

Saberes Procedimental Expresa con claridad las ideas principales en grupo.

Actitudinal Aprecia la necesidad del origen de los números. Muestra disposición para compartir las ideas extraídas.

Identifica las ideas principales en el texto.

Autoevaluación

12


Respeta a los integrantes del grupo en el proceso de comunicación. C

MC

NC


Diferentes formas de representarr números. La necesidad de contar se originó en tiiempos primitivos, el hombre requería contar en aquellos tiempos sus pertenencias como: las piezas de caza, los utensilios, los miembros de la tribu, entre otras máss. Algunas investigaciones antropológicas han encontrado muescas ordenadas talladas en paredes rocosas que son evidencia de numeración antigua. numeración, algunos de los cuales se presentan Existen vestigios de diferentes tipos de n a continuación. CIVILIZACIÓN

SIMBOLOGÍA

Numeración Antigua Egipcia

I 1

Numeración Romana

V 5

X 10

L 50

C D M 100 500 100 00

Numeración Antigua Griega

Numeración Antigua Griega durante el siglo III A.C.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Numeración Maya

BLOQUE 1

13

Actividad 4: INSTRUCCIONES: Completa la tabla, determinando la civilización, el número o la representación correspondiente

CIVILIZACIÓN

NÚMERO

REPRESENTACIÓN

Numeración Antigua Griega durante el siglo III A.C. Numeración Maya

44

Numeración Antigua Griega

6860

Numeración Egipcia

10141

MCMXCIX

Actividad 4: Conceptual Conoce la forma de los números de algunas culturas antiguas

Autoevaluación

14


Evaluación Producto: Complementación de la tabla Saberes Procedimental Ubica los nombres y formas de algunos números antiguos. Realiza la escritura y la identificación de algunos números antiguos.

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Acepta la dificultad de la expresión de los números de algunas culturas antiguas. Aprecia la necesidad de utilizar un sistema de numerología más práctico.


La complejidad con la que se escribían los números hizo necesaria una nueva escritura: los números indoarábigos. Los números son necesarios en todo lo que nos rodea, los utilizamos en el hogar, la industria, la agricultura, el comercio, etc., sobre todo en el comercio, dado que definitivamente somos una sociedad de e consumo en la que se requiere estar al tanto de ofertas, rebajas, cambios monetarios y d de cómo fluctúa la economía en nuestro país. El porcentaje juega un papel muy impo ortante en el manejo de cantidades, éste es una de las expresiones matemáticas más u utilizadas. En los medios de comunicación existe una diversidad de formas de expresar p porcentajes y constantemente los encontraremos en gráficas y tablas. Durante los Censos Económicos1 se recopiló información de 864 plantas potabilizadoras de agua y 632 plantas tratadoras. De ahí se concluye que para cuidar este recurso se requiere de la capaciitación de hombres y mujeres en la captación, tratamiento y suministro de agua. Otro rresultado indica que de las 96,803 personas que laboran en el sector, 84.8% son hombres y 15.2%, mujeres.

Datos curiosos Existe una numeración especial que usan los comerciantes para que el cliente no conozca el precio real del producto y a su vez esté presente en la mercancía, le llaman el código oculto, el cual consiste en elegir una palabra de 10 letras diferentes y asignarle los números dígitos.

Las funciones que realizan los trabajadores son de mantenimiento a las redes de distribución de agua, control de calid dad del agua potable, estudios de impacto en medioambiente, emisión y cobro de rec cibos, así como diversos trabajos administrativos y contables. n los medios de comunicación. Es muy necesario Ejemplos como éste, existen muchos en entender el uso de los porcentajes e inte erpretarlos y sobre todo saber calcularlos, debido a que en cualquier momento podemos rrequerir de ellos. Cuando una persona invierte el 10 % de su sueldo en pagar el plan de su telefonía celular, se gasta $10 de cada $100 qu ue gana. Se puede expresar el tanto por ciento 10 como una fracción que tiene denominad dor 100, en este caso sería , que significa 10 100 de cada 100, y como sabemos, cualquier fracción se puede expresar en forma decimal realizando la operación de división.

1

http://cuentame.inegi.gob.mx/economiia/parque/Agua.html BLOQUE 1

15

Todo lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla. Porcentaje

Se lee

Fracción

Decimal

Significado

15 %

Quince por ciento

15/100

0.15

15 de cada 100

50 %

Cincuenta por ciento

50/100

0.5

50 de cada 100

6%

Seis por ciento

6/100

0.06

6 de cada 100

Para calcular el porcentaje de cantidades sólo es necesario multip plicar el porcentaje (en su expresión d decimal) por la cantidad, como por ejemplo: El 38% del a alumnado de una preparatoria de Ciudad Obregón son mujeres, si su población tota al es de 1230 ¿cuántas mujeres hay? El resultado a este problema se obtiene convirtiendo primero 38% a su expresión decimal y esto se obtiene dividiendo 38 entre 100, para posteriorm mente multiplicarlo por 1230 obtenien ndo así la cantidad de mujeres que hay.

38 = 0.38 100

1230(0.38) = 467.4

Por lo que ressulta que hay 467 alumnas en esa preparatoria. Sitios Web re ecomendados:

e página de Internet puedes practicar la obtención de porcentajes. En la siguiente http://descarte es.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Porcentajes_m mprevelles/Cal culo_porcenta ajes.htm

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RAICOS RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBR

Actividad 5: INSTRUCCIONES: Encuentra la solución de cada uno de los siguientes problemas.

1.

En el colegio se llevarán a cabo los eventos deportivos y en uno de los planteles el 25 % del alumnado practica algún deporte; si el plantel tiene 1620 alumnos. ¿Cuántos alumnos pueden participar en algún evento deportivo?

2.

El precio de una blusa es $320 y el impuesto al valor agregado es del 15 %. ¿Cuál es el valor total de la blusa?

3.

Gustavo fue a comprar un libro que costaba $420 y cuando pasó a la caja le dijeron que tenía descuento y sólo pagó $352.80. ¿A qué porcentaje corresponde el descuento aplicado?

4.

La caja de ahorros de la empresa donde trabaja Sandra le ofrece un 5% anual para los $ 8000 que tiene ahorrados. ¿Qué interés obtendrá Sandra por su capital en un año?

Evaluación Actividad 5: Conceptual Identifica la existencia de los números decimales en la aplicación de porcentajes. Autoevaluación

Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Realiza la obtención de porcentajes.

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Se interesa en cómo se relacionan los decimales con su vida diaria.


BLOQUE 1

17

Algunas cantidades conocidas expresadas con decimales son: Masa del electrón 9 . 1 × 10

− 28

uma

Cantidad de pesticidas permitidos en agua potable 0 . 0005 mg / lt Gravedad promedio en la tierra

9.8 m / s 2 Densidad de 0 . 126 g / ml

Para transformar una fracción a decimal es muy sencillo, sólo es necesario llevar a cabo la división, pero para convertir de decimal a fracción es necesario primero identificar el tipo de decimal para después decidir qué procedimiento utilizar. Ejemplo:

5 = 0. 5 10 429 = 4.29 100 19 = 0.76 25 43 = 7.1666... = 7.16 6 53 = 4.8181... = 4.81 11 A continuación se nombrará y ejemplificará cada uno de los diferentes decimales y sus trasformaciones a fracción. 1.

Decimales finitos: Son aquéllos cuya cifra decimal tiene fin.

Ejemplo: 5.25, 0.006, 3.575, 0.1, 4.94 Para convertir cada uno de ellos a fracción se requiere eliminar el punto, dividiendo entre 10 si termina en décimas, en 100 si termina en centésimas, entre 1000 si termina en milésimas, y así sucesivamente; y posteriormente simplificar la fracción obtenida, si acaso es simplificable.

1 10 525 21 5.25 = = 100 4 494 247 4.94 = = 100 50 3575 143 3.575 = = 1000 40 6 3 0.0006 = = 10000 5000 0.1 =

18


Verifica cada uno de estos resultados en tu calculadora. 2.

Decimales infinitos. Son aquéllos con cifras decimales que no tienen fin, es decir que siguen infinitamente; éstos pueden ser infinitos periódicos o semiperiódicos. Decimales infinitos periódicos. Son aquéllos que tienen una o más cifras decimales repetidas infinitamente, formando así el periodo. Para convertir a fracción este tipo de números, se requiere eliminar la extensión decimal y realizar un proceso de conversión. A continuación se muestra este proceso.

Ejemplos: Convertir los siguientes números con extensión decimal a fracción. 1) 0 . 3 Proceso Se expresa el número en su forma infinita Se le asigna una letra al número Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 10

Para eliminar la extensión se realiza una resta de los números anteriores

Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible

Transformación 0 . 3 = 0 . 333 ...

n = 0.333... 10 n = 3.333 ...

10 n = 3.333... − n = 0.333... 9n = 3 n=

3 1 = 9 3

2) 2 . 6 Proceso Se expresa el número en su forma infinita Se le asigna una letra al número Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 10 Para eliminar la extensión se realiza una resta de los números anteriores


Transformación 2 . 6 = 2 . 666 ... n = 2.666... 10 n = 26 . 666 ...

10 n = 26 .666 ... − n = 2.666 ... 9 n = 24

n=

24 8 = 9 3

BLOQUE 1

19

3) 4. 25 Proceso Se expresa el número en su forma infinita Se le asigna una letra al número Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 100

Transformación 4 .25 = 4 . 2525 ...

n = 4.2525 ... 100 n = 425 .2525 ...

100 n = 425 .2525 ... − n = 4.2525 ...


99 n = 421

n=


421 9

4) 0 .324 Proceso Se expresa el número en su forma infinita

Transformación 0 .324 = 0 . 324324 ...

Se le asigna una letra al número Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 1000

n = 0.324324 ... 1000 n = 0.324324 ...



1000 n = 324 .324324 ... − n = 0.324324 ... 999 n = 324

n=

324 12 = 999 37

Verifica cada uno de estos resultados en tu calculadora. Decimales infinitos semiperiódicos. Son decimales que aparecen con una o más cifras

antes del periodo. Las cifras que no son periódicas se llaman antiperiodo.

Este caso es similar al proceso anterior, sólo que se requiere buscar la forma de obtener la misma extensión decimal, para esto se multiplicará el número por 10, 100, 1000, etc. dependiendo del antiperiodo y se realizarán combinaciones de sustracción, como se verá en los siguientes ejemplos.

20


Ejemplos: 1) 0 .1 5 Proceso Se expresa el número en su forma infinita Se le asigna una letra al número

0 . 1 5 = 0. 1555 ...

Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí llega la primera cifra del periodo

100 n = 15 .555 ...

Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 10, debido a que hasta ahí llega el antiperiodo.

Transformación n = 0.1555 ...

10 n = 1 .555 ...

100 n = 15.555... Para eliminar la extensión se realiza una resta de los números anteriores


− 10 n = 1.555... 90 n = 14 n=

14 7 = 90 45

2) 0.25 2 Proceso Se expresa el número en su forma infinita Se le asigna una letra al número Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 1000, debido a que hasta ahí llega la primera cifra del periodo Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí llega el antiperiodo.

Transformación 0.25 2 = 0.25222 ... n = 0.25222 ... 1000 n = 252 .222 ...

100 n = 25.222 ...



− 100 n = 25.222... 900 n = 227 n=

227 900

BLOQUE 1

21

3) 0 .15 45 Proceso Se expresa el número en su forma infinita Se le asigna una letra al número Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 10000, debido a que hasta ahí llega el primer periodo Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí llega el antiperiodo.

Transformación 0 . 15 45 = 0 . 154545 ...

n = 0.154545 ... 10000 n = 1545 . 4545 ...

100 n = 15 .4545 ...


− 100 n =

15.4545...

9900 n = 1530 n=


1530 17 = 9900 110

4) 2 .4 6 Proceso Se expresa el número en su forma infinita Se le asigna una letra al número Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí llega el primer periodo Con base en el primer número se crea otro con la misma extensión, multiplicando éste por 10, debido a que hasta ahí llega el antiperiodo.

Transformación 2 . 4 6 = 2. 4666 ... n = 2.4666 ... 100 n = 246 . 666 ...

10 n = 24 .666 ...


− 10 n = 24.666...


90 n = 222 n=

222 37 = 90 15

3. Decimales infinitos no periódicos. Son aquéllos cuya extensión decimal no se acaba y no se repiten; en este caso, estos números no se pueden convertir en fracción. Los decimales infinitos no periódicos se manejarán en el próximo bloque. Verifica cada uno de estos resultados en tu calculadora.

22


Actividad 6: INSTRUCCIONES: Realiza las siguientes conversiones, de fracción a decimal y de decimal a fracción y comprueba cada uno de los resultados en tu calculadora.

De fracciones a decimales. 2 1) = 5

2)

7 = 5

3)

1 = 3

4)

11 = 100

5)

82 = 225

6)

41 = 90

7)

14 = 9

8)

47 = 10

De decimales a fracciones. 1) 0. 52 = 2) 0 .45 = 3) 7 .5 = 4) 0.2 15 = 5) 2 . 10 2 = 6) 1 . 6129 =

Evaluación Actividad 6: Conceptual Identifica la necesidad de expresar en diferentes formas los números decimales.

Autoevaluación

Producto: Ejercicios de conversión. Saberes Procedimental Obtiene la conversión de los números decimales en sus diferentes formas de expresión. Realiza la comprobación (con la calculadora) de las operaciones obtenidas en la actividad. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Reconoce el proceso de transformación de los decimales. Aprecia el uso adecuado de la calculadora en el proceso de aprendizaje.


BLOQUE 1

23

Cierre Actividad 7: INSTRUCCIONES: De diferentes fuentes oficiales, recoleta información relevante en tu vida cotidiana, que contenga números decimales y porcentajes. Coméntala en clase y entrega un reporte de tu investigación. Recomendaciones: las fuentes pueden ser del INEGI, SHCP, SECTUR, etc


Producto: Reporte de investigación.

Puntaje:

Saberes Conceptual Reconoce los decimales y porcentajes.

Autoevaluación

24


Procedimental Realiza una búsqueda de información que contenga números decimales, que provengan de fuentes de investigación. Analiza porcentajes de situaciones o casos investigados. C

MC

NC

Actitudinal Formula juicios de la información obtenida de las fuentes de consultadas.


Secuencia didáctica 2. Jerarquía de operaciones. Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: Realiza las siguientes operaciones sin usar calculadora y, posteriormente, úsala para verificar su resultado. Comparte tu trabajo con tus compañeros y comenten las diferencias. 1) 4 − 3 • 5 + 1 =

2) (7 − 2 ) • 6 − 9 =

3) 10 + 3 • ( 4 − 6 ) =

4) ( 4 + 2 ) • (11 − 3 ) =

5) 8 + 14 ÷ ( 2 − 9 ) =

6) ( 4 + 2 ) ÷6 − 2 =

Evaluación Producto: Solución de problemas con operaciones.

Actividad 1:

Puntaje:

Saberes Conceptual Identifica la jerarquía de las operaciones de los números (reales).

Procedimental Aplica las operaciones entre los diferentes tipos de números.

C Autoevaluación

MC

NC

Actitudinal Reconoce la importancia de la jerarquía de las operaciones y del uso de la calculadora.


BLOQUE 1

25

Desarrollo Símbolos de agrupación. Ciertas expresiones incluyen símbolos de agrupación “( )”, “[ ]”, “{ }” que, dependiendo de su ordenamiento, es necesario expresarlas correctamente o pueden llevar a resultados diferentes. Los signos y símbolos usados en lenguaje matemático tienen una función análoga a los signos de puntuación usados en el lenguaje común; por ejemplo en la siguiente frase. “María dijo el psicólogo es incoherente en su comportamiento” María dijo, el psicólogo es incoherente en su comportamiento María, dijo el psicólogo, es incoherente en su comportamiento Con esto se comprueba que las oraciones son diametralmente opuestas en significado. Para realizar operaciones entre varios números, es necesario llevar un orden. Si existen paréntesis se efectúa primero la operación que esté contenida en éstos; si no, se requiere darle prioridad a la potenciación, seguida de la multiplicación y la división, y por último, a la suma y resta. Si existen paréntesis anidados, la operación se efectúa de adentro hacia fuera.

René Descartes (1619 D C) Crea la geometría analítica, contribuyó a crear la “Edad de la Razón”

Ejemplos: 1) 5 + 3 • 8 − 2 = 27 2) ( 5 + 3 ) • 8 − 2 = 62 3) 5 + 3 • ( 8 − 2 ) = 23 4) ( 5 + 3 ) • ( 8 − 2 ) = 48 5)

26

18 18 ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ − 4 ⎬3 = ⎨6[7 + 6] + − 4⎬3 = ⎨6[7 + 3(2)] + 3 3 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 18 ⎧ ⎫ − 4⎬3 = {78 + 6 − 4 }3 = {80 }3 = 240 ⎨6[13] + 3 ⎩ ⎭


Actividad 2: INSTRUCCIONES: Realiza las siguientes operaciones siguiendo la jerarquía de las mismas.

1)

18 + 6 ÷ 3 − 5 =

2)

{[(18 + 6 ) ÷ 3 ] − 5} =

3)

{[2 (23 − 10 )] − 12 } =

4)

3 {2 [(12 − 4 ) ÷ 4 (10 ÷ 5 )] − 6} =

5)

3 [(2 (12 − 4 ÷ 10 − 8 ) − 6 )] =

Evaluación Producto: Ejercicios de solución.

Actividad 2:

Conceptual Identifica la jerarquía de las operaciones de los números (reales). Autoevaluación

Saberes Procedimental Aplica las operaciones entre los diferentes tipos de números. C

MC

NC

Puntaje:

Actitudinal Aprecia la jerarquía de las operaciones para un resultado correcto.


BLOQUE 1

27

Cierre Actividad 3: INSTRUCCIONES: Introduce los datos de la actividad anterior en tu calculadora para verificar los resultados

Evaluación Actividad 3: Conceptual Reafirma el uso de la calculadora.

Autoevaluación

Producto: Ejercicios de operación.

Puntaje:

Saberes Procedimental Actitudinal Realiza una práctica en la Aprecia la calculadora como una calculadora para determinar el herramienta de apoyo en su orden de las operaciones. aprendizaje. Ejecuta ejercicios que requieran un orden operacional. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Sitios Web recomendados: En las siguientes páginas de Internet puedes practicar más sobre la jerarquía de las operaciones. http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/ejercicio_jerarquia_de_op_.html http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf

28


Secuencia didáctica 3. Expresiones algebraicas. Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: Responde las siguientes conocimientos previos de secundaria.

preguntas

apoyándote

de

tus

1.

¿Qué es Álgebra?

2.

¿Cómo la aplicaste en tus clases de matemáticas?

3.

Escribe, al menos, tres expresiones algebraicas que recuerdes de tus clases de secundaria.

4.

Describe cómo las utilizarías en tu vida cotidiana.

Actividad 1: Conceptual Identifica el concepto de Álgebra.

Evaluación Producto: Cuestionario. Saberes Procedimental Describe sus conocimientos sobre el Álgebra

Puntaje: Actitudinal Reconoce sus conocimientos previos sobre Álgebra. Muestra disposición para exteriorizar sus conocimientos previos.

Autoevaluación

C

MC

NC


BLOQUE 1

29

Desarrollo Lenguaje algebraico ¿Sabías que… La palabra Álgebra tiene origen de la palabra árabe “Aljabru “, originada por el matemático Alkhwarizmi.

En un juego, Carmen, Nilsa, Alma, Sandra, Nora y Letty se comunican en ese orden lo siguiente: Carmen le dice un número a Nilsa; Nilsa le suma 6 y se lo dice a Alma; Alma le resta 2 y se lo dice a Sandra; Sandra lo multiplica por 4 y se lo dice a Nora; Nora le resta 8 y se lo dice a Letty, finalmente esta última tiene que “adivinar” qué número le dio Carmen a Nilsa. El problema para Letty además de adivinar es recordar todas las operaciones que se hicieron en el transcurso del juego, así que decide hacer una fórmula para recordar el proceso mientras adivina el número inicial, y lo hace de la siguiente forma. Letty le pone letra al primer número proporcionado por Carmen Nilsa le suma 6 Alma le resta 2 Sandra lo multiplica por 4 Nora le resta 8

C C+6 C+6 – 2 4( C +6 – 2 ) 4( C +6 – 2 ) – 8

De esta forma, para Letty es más fácil adivinar, porque expresa todas las operaciones mediante una fórmula en que fue sustituyendo números. L=4( C +6 – 2 ) – 8 Así es que si Nora le comunica a Letty el número 38, para ella es más fácil adivinar usando la fórmula. En el transcurso de la historia de la humanidad, los individuos han ido construyendo diferentes lenguas como el español, el inglés o el francés, entre muchos otros, con la principal finalidad de lograr la comunicación. Ahora bien, en el desarrollo de las matemáticas, el lenguaje algebraico ha sido herramienta fundamental, cuya aplicación es necesaria para facilitar el procedimiento en la solución de problemas. Al-khwarizmi.

Para facilitar el proceso se debe convertir el lenguaje verbal al lenguaje algebraico y viceversa, teniendo en cuenta que las operaciones fundamentales de adición (suma), sustracción (resta), multiplicación y división se expresan con palabras especiales tales como: Suma: Gana, aumenta, más, se incrementa, crece, etc. Resta: Diferencia, menos, disminuye, baja, pierde, decrece, etc. Multiplicación: Producto, dos veces, doble o duplo, triple, cuádruplo, etc. División: Dividido por, cociente, razón, mitad, tercera parte, semi, etc. También en un problema algebraico la palabra “es”, “resulta”, “se obtiene” etc., es dada por el símbolo de la igualdad (=). Como se observó, al trasladar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, se requiere el uso del alfabeto y los números, los cuales adquieren nombres especiales, como son: 30


Literal. Se refiere a nombrar con una letra del alfabeto a una variable y sirven para representar números desconocidos. Expresión algebraica. Es una combinación de números y/o literales por medio de operaciones matemáticas. Una expresión algebraica puede estar compuesta de: Variable

Exponente

3x 2 Coeficiente

Término algebraico

La siguiente tabla contiene algunas expresiones comunes utilizadas en Álgebra. Lenguaje verbal

Lenguaje algebraico

Un número aumentado en 4

x+4

La semisuma de dos números

m+n 2

La diferencia de dos números

a−b

El cociente de dos números aumentado en 2

x y

+2

Un número par

2n

El producto de dos números

xy

La suma de tres números consecutivos El triple de un número La edad del padre hace 5 años La edad de María es el quíntuplo de la edad de Daniel El producto de los cuadrados de dos números El cubo de la suma de dos números La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos números

n + ( n + 1) + ( n + 2 )

3a x −5 m = 5d

x2y2

(a + b )

3

x2 + y2

BLOQUE 1

31

Actividad 2: INSTRUCCIONES: Completa la siguiente tabla, escribiendo el lenguaje verbal o algebraico, según sea el caso.

Lenguaje verbal

Lenguaje algebraico

Un número disminuido en 12

m+n 2 La tercera parte de un número menos el cuádruplo del mismo x−y x+y

El 45% de una mezcla

El producto de los cubos de dos números dos números aumentado en 9

La suma de dos números pares consecutivos

Susana es cuatro años menos que Manuel

Seis veces un número disminuido en 15 es – 18

Carolina tiene el triple de la mitad de la edad de Saúl

x2 − y2

El cubo de la suma de dos números

32


3

x2 + x


Producto: Complementación de la tabla.

Conceptual Traduce de lenguaje verbal a lenguaje algebraico y viceversa.

Saberes Procedimental Analiza y practica el traslado del lenguaje verbal al lenguaje algebraico.

Autoevaluación

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Reconoce la facilidad de manejo de situaciones al momento de asignarles variables.


A continuación se mostrarán ejemplos más estructurados y relacionados con algunas situaciones que has visto en algún momento de tu vida cotidiana; primero se manejarán paso a paso para obtener como último resultado la expresión algebraica que los modela, y posteriormente notarás que el planteamiento de los problemas es más directo, que a fin de cuentas eso es lo que tendrás que lograr. En algunos casos deberás apoyarte en dibujos para poder visualizar mejor el planteamiento. Ejemplos. 1.

La edad de Lucía es el triple de la edad de Moisés y la suma de sus edades es 68. ¿Qué edad tiene cada uno?

Lenguaje verbal La edad de Lucía La edad de Moisés es el triple que la de Lucía La suma de sus edades La suma de sus edades es 68 2.

Lenguaje algebraico x 3x x + 3x x + 3x = 68

Lourdes y Alonso tienen un total de $ 342 en sus alcancías. Si Alfonso tiene $105 más que Lourdes ¿cuánto dinero tiene cada uno? Lenguaje verbal

Lenguaje algebraico

El dinero de Lourdes Alfonso tiene $105 más que Lourdes El dinero de Lourdes más el dinero de Alfonso

m m +105 m + m +105

El total de dinero de Lourdes y Alfonso es $342

m + m +105 = 342

3.

Ada Loveace (1815 – 1852) Fue la primera programadora en la historia de las computadoras. Ella escribió las instrucciones para la "máquina analítica" de Charles Babbage.

¿Cuál es el perímetro de un terreno rectangular, si su longitud es el triple que su anchura? Lenguaje verbal

Lenguaje algebraico

Anchura del terreno

x

La longitud del terreno (triple de la anchura)

3x

El perímetro del terreno

2(x) + 2(3x)

BLOQUE 1

33

Como se observa en los tres ejemplos anteriores, la expresión que resolvería cada uno de los problemas está dada en el último renglón de cada recuadro, pero a diferencia del ejemplo 1 y 2, el ejemplo 3 no tiene una solución única. Comenta con tus compañeros esta situación. Con un poco de práctica te darás cuenta que no es necesario ir formando la expresión algebraica de forma tan detallada como se hizo en los ejemplos, irás adquiriendo la habilidad para expresarla de forma directa. Como por ejemplo. 1.

La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él.

Si “x” representa al número, entonces la expresión algebraica es: x x = −7 3 2

2.

Una persona realizó dos inversiones de un total de $10,000. En una de las inversiones obtuvo un 10% de utilidad, pero en la otra obtuvo una pérdida de 13%. Si la pérdida neta fue de $ 495, ¿qué cantidad tenía en cada inversión? Primera inversión x

Segunda inversión 10,000 − x

Ganancia de la primera inversión

Pérdida de la segunda inversión

0.1 x

0 . 13 (10 ,000 − x )

Pérdida neta 0 . 13 (10 ,000 − x ) − 0 . 1 x = 495

3.

Una enfermera mezcló 50 onzas de una solución de sal al 8 % con 40 onzas de la misma solución al 5 % de la misma solución. ¿Cuál es el porcentaje de sal en la mezcla?

50 onzas Solución al 8% Cantidad de sal

40 onzas

+ 0.08 (50)

Solución al 5%


Solución al x %

= x (90) 100

0.05 (40)

0.08(50 ) + 0.05(40 ) =

34

90 onzas

x (90) 100

Posteriormente, podrás resolver estos problemas, pero por ahora lo más importante es que adquieras la habilidad de cambiar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico.

Actividad 3: INSTRUCCIONES: Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones

1.

En una máquina de golosinas sólo se pueden depositar monedas de $5 y de $10, si hay 100 monedas que suman $720 ¿cuántas monedas de cada denominación hay en la máquina?

2.

Una computadora costó $12,000. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es el 20% de dicho precio?

3.

Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de $52 el kilo y otra de $35 el kilo. Si la combinación pesa 5 kilos y la vende a $46 el kilo ¿Cuántos kilos de cada clase forma la mezcla?

4.

José tiene actualmente

5.

La base de una pintura al óleo rectangular es de 5 pulgadas menor que el doble de su altura, y el perímetro es de 62 pulgadas. ¿Qué dimensiones tiene el cuadro?

1 de la edad de su padre. Dentro de diez años tendrá la mitad de la edad 3 correspondiente de su padre. ¿Cuál es la edad actual de José?

BLOQUE 1

35

Evaluación Actividad 3: Conceptual Traduce de lenguaje cotidiano a lenguaje algebraico Autoevaluación

Gottfried Wilhem Leibnitz (1646 - 1716) Físico, filósofo y matemático alemán. Construyó una máquina para multiplicar.

.

“No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicárselo a tu abuela.” Albert Einstein

36


Producto: Problemas de aplicación.

Puntaje:

Saberes Procedimental Actitudinal Reconoce la facilidad de manejo de Realiza ejercicios de situaciones situaciones al momento de asignarles que se modelarán con expresiones variables. algebraicas C MC NC Calificación otorgada por el docente

Cierre Actividad 4: INSTRUCCIONES: En equipo construye una hipótesis para la solución de e los problemas de la actividad antterior, regístrala en este espacio y coméntala en el grupo.

BLOQUE 1

37


Producto: Exposición

Conceptual Interpreta la solución de problemas.

Saberes Procedimental Expone la solución de problemas de la vida cotidiana, para su análisis.

Coevaluación

38


C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Se compromete con los integrantes del equipo. Se responsabiliza de sus acciones. Tiene apertura de comunicación.


Utiliza magnitudes y números Rea ales Unidades de competencia:

Construye e interpreta modelos aritmé éticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y exp presiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y em mpleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas a aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explica ar y describir su realidad. Identifica las características presentes e en tablas gráficas, mapas, diagrama o textos, provenientes de situaciones cotidianas y loss traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

Atributos a desarrollar en el bloq que: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de e manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance e de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus prrocesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un prob blema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y co onsidera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congru uente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


Secuencia a didáctica 1. Los números reales. Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: Rea aliza la siguiente actividad en equipo. 1. 2.

Haz una lista en tu cuaderno de lo os nombres y tipos de números que conoces. Con respeto y tolerancia, intercam mbien opiniones acerca de los números que conoce cada uno de los integrantes del equipo y anota loss números que piensen que están correctos. Nombre del número

a Representación numérica


Producto: Registro de acuerdos

Puntaje e:

Concep ptual Identifica la diverssidad de números.

Saberes Procedimental Expresa con claridad la notación numérica.

Actitudinal Tiene apertura a para hacer las anotac ciones individuales.

Interioriza en sus conocimientos previos para expresarlos.

Muestrra disposición para integra ar las ideas expresadas.

Clasificación de lo os números.

Respetta a los integrantes en el proces so de comunicación. Coevalua ación

40

UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES

C

MC

NC

Calificación otorgad da por el docente

Desarrollo

Actividad 2: INSTRUCCIONES: En equipo, in ntercambia opiniones con tus compañeros acerca a de la utilidad y aplicación de los diiferentes números. Anota a continuación la lista que acordaron en el equipo.

Nombre del número

Ejemplo de aplicación


Producto: Registtro de observaciones.

Conceptual Identifica los números.

S Saberes Procedim mental Ubica la aplica ación de los números en el ho ogar.

Identifica la utilidad de los números.

Puntaje: Actitudinal Aprecia el uso y aplicación de los números en su vida cotidiana. Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.

Coevaluación

C

MC

NC


BLOQUE 2

41

Los números Naturales. Los números surgieron de la necesidad de contar pertenencias, objetos, personas, etc. Cuando contamos objetos se inicia con 1, luego 2, 3, 4, etc. ¿Qué tan grande es este conjunto de números?, imaginemos que estamos en la playa y tomamos una pizca de arena y la colocamos en nuestra mano, podríamos contar el número de granos de arena que tenemos sin ninguna dificultad. Pues bien, podríamos contar, por dar un ejemplo 34 granos de arena, iniciando la cuenta en 1, 2, 3, 4, …., 34. Pero luego imaginemos que quisiéramos contar una cantidad mayor de granos de arena, el proceso sería laborioso, pero al fin de cuenta no imposible; algo similar se tiene con las estrellas, pero en este caso sería imposible el contarlas todas. Esto nos da una idea de lo que es el infinito, debido a que el conjunto de números naturales no tiene fin.

¿Sabías que… la cruz roja utiliza un símbolo + y no una cruz en su emblema. La explicación matemática a esto es que los griegos daban mucha importancia a los números y símbolos, en este caso el símbolo más (+) significaba "vida", así pues es sinónimo de la acción que representa la cruz roja?

Existe una polémica acerca de considerar al cero como elemento de los números naturales; como se inventaron para contar objetos, que representaría el cero, precisamente eso, la ausencia de objetos dirían los especialistas en teoría de conjuntos (probabilidad y lógica), entonces algunos consideran al cero como elemento de los números naturales, y otros más conservadores como los especialistas en teoría de números que no lo reconocen como tal así es que no lo incluyen. El conjunto de números que utilizaremos es el de mayor tendencia: el conjunto en el que se excluye el cero como elemento uno de sus elementos. Los números naturales se representan con la letra N y su notación de conjunto es: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,....}

Los números Enteros. Estos son conocidos como números deudos, dado que nacen como una necesidad de representar deudas. Estos son usados para ubicar posiciones de objetos con respecto a un punto de referencia, como por ejemplo, cuando se quiere ubicar un objeto por encima o debajo del nivel del mar para operaciones prácticas, los que están por encima del nivel del mar serían los números positivos y los que están por debajo del nivel del mar son los números negativos. Estos números tienen las siguientes características: son infinitos, numerables y sirven para contar unidades completas, es decir, podemos tomar dos números consecutivos y no existe un número intermedio. Al igual que los números naturales, estos no tienen fin, tanto hacia la derecha como a la izquierda. El conjunto se describe de la siguiente forma:

Z = {....,−6, − 5, − 4, − 3, − 2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,....}

42


Los números Racionales. Investigando los jeroglíficos de diferentes civilizaciones como los egipcios, babilonios, griegos, entre otros, se encontró que dichas civilizaciones conocieron las fracciones desde tiempos muy remotos; al analizar los jeroglíficos egipcios se encontró que las utilizaban para la construcción y la agrimensura. Los números racionales se expresan como el cociente de dos números enteros, de ahí que se le denomine con la letra Q por “quotient”, que significa “cociente”. El término “racional” proviene de “razón”. Al número racional se le conoce como fracción, porque puede ser expresado con numerador y denominador de números enteros, a excepción del cero como denominador. Por ejemplo:

3 5 , − , 6, 0, etc. En las dos primeras fracciones se observa de forma clara la 2 4 estructura de fracción.

3 2

Numerador Denominador

Recordemos que cualquier número entero se puede escribir como una fracción con denominador 1, por ejemplo, el 6 se puede representar de la siguiente forma.

6=

6 1

Numerador Denominador

Así que al generalizar la definición en su forma de fracción de los números racionales, tendríamos que expresarlo de la siguiente forma:

Pitágoras de Samos (580 – 500 A C) Fue un metafísico, moral, religioso y científico. El saber geométrico de los pitagóricos estaba en la geometría elemental.

⎧a ⎫ a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0⎬ Q= ⎨ ⎩b ⎭ También se sabe que cuando tenemos un número fraccionario podemos realizar la división entre el numerador y el denominador, como en los siguientes ejemplos.

a) b) c) d) e)

6 = 6 = 6 .0 1 1 = 0 .5 2 5 = 1 . 66666 .... = 1 . 6 3 25 = 3 . 5714285714 28 ..... = 3 .571428 7 47 = 1 . 0444 .... = 1 . 0 4 45

Como se ve en los ejemplos, los números se expresan con desarrollo decimal y pueden ser finitos, como en el caso a) y b), o infinito periódico como en el caso c), d) y e). De aquí que, se enuncia la definición de números racionales con base en la forma de su desarrollo decimal.

BLOQUE 2

43

Los números racionales (Q): Son números con desarrollo decimal finito o infinito periódico. Javier fue a comprar 2/3 de kilo de Carne para asar, pero Karla, la dependienta del lugar, le dijo que no podía darle esa cantidad, Javier extrañado porque sabía que tenían suficiente producto se molestó al recibir la respuesta de Karla, se quedó pensando por que la negativa de su solicitud. ¿Cuál fue el motivo por el que Karla no podía darle la cantidad de carne que Javier pedía?

Los números Irracionales. Los antiguos griegos notaron que la recta no estaba completa con los números Racionales, al identificar ciertos puntos en ella a los cuales sólo se podían aproximar con fracciones. El filósofo matemático Pitágoras de Samos, quien estudiando el triángulo rectángulo encontró que dichos números no pueden ser expresados como un cociente, se estaba enfrentando a otro tipo de números que por ser “desconocidos” desconcertaron de manera alarmante a los estudiosos dado que muchas suposiciones y demostraciones geométricas eran falsas o incompletas, incluso llegaron a contemplar mantenerlo en secreto porque contradecían su doctrina. Hasta el siglo XVI fue cuando consideraron llamar número irracional a los números con desarrollo decimal infinito no periódico. Algunos de ellos se pueden encontrar al resolver un problema. Como por ejemplo. Johan Lambert (1761 D C) Dice que el numero Pi es irracional.

2 = 1 .4142135623 73 .... 3 = 1 .4422495703 07 .... e = 2 .7182818284 5904 ....

π = 3 .1415265348 9793 .... Como se observa en los ejemplos, el desarrollo decimal que presentan estos números es infinito no periódico y con base a la definición planteada en los números racionales, no podríamos expresarlos como un cociente de dos números enteros. ¿Sabías que… Fue el filósofo y matemático Euclides de Megara quien demostró que el número irracional

Analizando todos los conjuntos que se mencionaron anteriormente, se observa que los Naturales están incluidos en los números Enteros, y éstos a su vez están incluidos en los Racionales. Pero ellos no tienen ninguna relación con los Irracionales, pues bien, todos ellos forman parte de los números Reales, como se muestra en el siguiente diagrama.

2 no puede expresarse como un número racional.

R I

Q Z N

44


Actividad 3: INSTRUCCIONES: Identifica los s siguientes números con la letra “N” si son naturrales, “Z” para los enteros, con “Q” a los Racionales, con “I” si son Irracionales. Completa la tabla colocando un número del conjunto indicado. Represéntalos en la recta numérica. Número

4

4

-6

3

Conjunto

−

10

Z

I

1 2

Q

Gráfica

−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −22 −1

Actividad 3: Conceptual Identifica elementos de los subconjuntos de los números reales.

0

1

Evaluación mplementación Producto: Com de la tabla. Saberes Proce edimental Esboza en una gráfica los números reale es.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Puntaje: Actitudinal Acepta la variedad de los números.

Ubicar los números reales. Autoevaluación

C

MC

NC


Ejemplos. 1. Juan, es estudiante de primer añ o de arquitectura, y quiere comprobar que la medida de la altura que tiene divid dida entre la medida de su ombligo a los pies, cumple con el número áureo, el cua al es un número irracional.

2.

Al contar el número de niños que a asistieron para ir a un paseo escolar, la maestra utiliza números naturales.

BLOQUE 2

45

3.

Una perso ona que se traslada de un piso a otro en un edificio, donde los pisos que están porr encima de la planta baja serían los positivos y los que q se encuentran por debajo de e la planta baja, serían los negativos.

4.

Don Javie er requiere repartir $ 2565.00 entre sus 4 hijos para que q compren material para sus e estudios.

Actividad 4: INSTRUCCIONES: Obserrva dentro y fuera de tu casa para que enlistes los elementos que se relacionan con los números Reales, anota la lista en el sigu uiente espacio determinando a qué conjjunto pertenece, N, Z, Q, I.

Actividad 4: Conce eptual Concepto de loss números Reales. Identifica la utilid dad de los números Realess.

Evaluación Producto: Registro de observaciones Saberes Procedimental Ubica la aplicación de los números Reales en el hogar. Expresa correctamente la notación de conjunto de los números Reales.

Puntaje: Actitudinal A Aprecia el uso y aplicación de los números en su u vida cotidiana. Se compromete con sí mismo a buscar la utilid dad de los números Reales en su vida v cotidiana. Admite la impo ortancia de los números Reales para exxpresar todo tipo de magnitudes (variables, constantes, discretas o continuas).

Autoeva aluación

46


C

MC

NC


Actividad 5: INSTRUCCIONES: Comenta en el grrupo el resultado de tus observaciones y anota en e el siguiente espacio los elementos que e te resulten más interesantes, además marca co on 3 al conjunto(s) al cual pertenece cada ejemplo.

N

EMPLOS EJE

Actividad 5: Conceptual Identifica los subconjuntos de números Reales. Identifica la utilidad y aplicación de los números.

E Evaluación a de Producto: Tabla clasificación Saberes Procedimental Ubica la apliccación de los números en el hogar. Relaciona los subconjuntos os reales con de los número las aplicacioness.

Z

Q

I

R

Puntaje: Actitudinal Aprecia el uso y aplicación de los números en su vida cotidiana. Disposición para integrar las ideas expresadas. Respeta a los integrantes del grupo en el proceso de comunicación.

Autoevaluación

C

MC

NC


Propiedades de los números Rea ales. El deporte es una actividad muy imporrtante en nuestras vidas, nos proporciona salud, vitalidad, integración social y retos. En los deportes existen reglas que permiten organizar a los jugadores, así como tam mbién, establecer roles y condiciones en las que se llevarán a cabo, como la medida de e los espacios en los que se desarrollan y el tipo de aditamentos.

BLOQUE 2

47

Actividad 6: INSTRUCCIONES: Es scribe en el siguiente espacio las reglas más importantes de tu deporte favorito o.


Producto: Texto

Puntaje:

Conce eptual Reconoce la imp portancia de las reglas

Saberes Procedimental Aplica el reglamento en el deporte

Actitudinal Muestra respeto a las reglas

Autoeva aluación

C

MC

NC


Como se obsserva, las reglas dan la pauta a seguir en muchas s actividades; de igual forma, las Ma atemáticas no son la excepción. Existen “reglas” en lo os números reales que permiten realizzar operaciones, se les conocen como propiedades de d los números reales. A continuación se enuncian algunas de las propiedades de los núm meros reales, tomando en cuenta que e a, b y c ∈R , esto se lee, a, b y c pertenecen a los números n reales.

48


Propiedad

Operación

Definición

Suma

( a + b)∈ R

Multiplicación

( ab )∈ R

Suma

a+ b = b+ a

Multiplicación

ab= ba

Suma

( a + b) + c = a + ( b + c )

Multiplicación

( ab)c = a( bc)

Cerradura

Conmutativa

Asociativa

Significado El resultado de sumar o multiplicar dos números reales, también es número real.

El orden al sumar o multiplicar los números reales, no afecta el resultado. No importa el orden al asociar la suma o multiplicación de tres o más números reales, el resultado siempre será el mismo.

Ejemplo

3 + 5 = 8∈R (4)(6) = 24 ∈R

5+3 = 3+5 (9)(2) = (2)(9)

( 6 + 3 ) + 2 = 6 + ( 3 + 2)

[(5)(4)]7 = 5[(4)(7)]

a+ 0 = a

Si a un número real se le suma el cero (neutro aditivo), se queda igual.

8+0 = 8

( a)(1) = a

Si un número real se multiplica por 1 (neutro multiplicativo), se queda igual.

(13)(1) = 13

Suma

a + ( − a) = 0

Si a un número se le suma su inverso, se obtiene como resultado el 0 (neutro aditivo).

9 + ( −9 ) = 0

Multiplicación

⎛ 1⎞ ( a)⎜ ⎟ = 1 ⎝ a⎠

Si un número se multiplica por su inverso multiplicativo, se obtiene como resultado 1 (neutro multiplicativo).

Suma Neutro Multiplicación

Inverso

Distributiva

Suma respecto a la multiplicación

a ( b + c) = ab + bc

El factor se distribuye a cada sumando

⎛ 1⎞ (2)⎜ ⎟ = 1 ⎝2⎠

5 ( 3 + 4 ) = ( 5 )( 3 ) + ( 5 )(4 )

Todas las propiedades antes mencionadas se utilizan en operaciones, pero en pocas ocasiones se perciben. También se usan otras propiedades de los números reales que se denominan propiedades de la igualdad de los números reales, las cuales son:

BLOQUE 2

49

Propiedad Aditiva

D Definición Si

Multiplicativa

a = b , enttonces, a + c = b + c Si

a = b , eentonces, ac= bc a=a

Reflexiva Simétrica

Transitiva

Si

Si

Signific cado ales, podemos sumar Si dos números son igua un mismo número a amb bos lados de la igualdad y ésta se sigue cumpliendo. Si dos números son igua ales, podemos multiplicar un mismo núm mero a ambos lados de la igualdad y ésta se sigue s cumpliendo. m Un número es igual a sí mismo.

a = b , entonces, b = a

a = b y b = c , entonces, a = c

Si tenemos la igualdad de dos números, podemos cambiar el lado o izquierdo con el derecho y no afectaría la igualdad. Si tenemos dos igualdades y uno de los términos es el mismo parra las dos igualdades, entonces podemos estab blecer una igualdad entre los términos restanttes.

A continuació ón se mostrarán algunos ejemplos en donde puedes p visualizar las propiedades d de la igualdad. Reflexiva. Esta es una d de las propiedades que se podría decir que es “obvia”, en el sentido de que un elemento e es igual a sí mismo. Una persona es igual a ella mism ma y a nadie más.

Simétrica. La simetría sse encuentra en la naturaleza, pero un ejemplo muy m claro es cuando tenemos el re esultado de una ecuación, y muchas veces el alumno tiene duda de cómo reportar el ressultado, sin tomar en cuenta que es la misma.

x = 5 sería lo mismo si se dejara como 5 = x Transitiva. Si el peso de 5 botellas es igual al peso de 2 libros, y el peso de estos 2 libros equivale al peso de un na caja de regalo, entonces decimos que las 5 botella as pesan lo mismo que la caja de regalo.

50


Otras propiedades muy importantes son n: Aditiva. Si se pone en una balanza dos libros q que pesan lo mismo, al añadirle una manzana de igual peso en ambos lados, la balanza ssigue en equilibrio.

Multiplicativa. Si ahora se tiene una balanza en eq quilibrio con dos objetos, y recordando que la multiplicación es la simplificación de la a suma, entonces, multiplicar por dos a ambos lados significaría tener el mismo objeto o dos veces por lo que resultaría la balanza en equilibrio.

Actividad 7: INSTRUCCIONES: Realiza el siguiente crucigrama utilizando las propiedades de los números reales. 1

2

3

4

5

6

7 8

9

BLOQUE 2

51

Actividad 7 continu uación:

Horizontales: 1.

( 2 )(1) =

de… 2 es un ejemplo d

3. (π + 5)∈ R es un ejemplo de la propiedad… 4. Al multiplicar ambos lados de una igualdad ésta se conserva. 5.

3 ⎛ 3⎞ + ⎜ − ⎟ = 0 ejemplifica a la propiedad… 4 ⎝ 4⎠

Verticales: 2. Es la propiedad aditiva que permite cambiar el orden de los sumandos sin que la respuesta se vea afectada.

7. En 3x − 6 + 6 = 2 + 6 se está aplicando la propiedad…

6. Al sumar el cero a cualquier nú úmero real, éste no se modifica. 8. 2( x + 3) = 2( x) + 2(3) , ejem mplo de la propiedad… 9. Es la propiedad que permite c cambiar el orden en que se asocia al sumar o multiplicar tres o más números reales sin que el resultado cambie.

Evaluación Actividad 7: Conce eptual Identifica las p propiedades de los números rea ales.

Autoeva aluación

Producto: Crucigrama

Puntaje:

Saberes Procedimental Selecciona los ejemplos correspondientes a las propiedades de los números reales. C

MC

NC

Actitudinal Realiza con veracidad el crucigrama.


Operacione es con números enteros. Desde la infa ancia, los niños realizan operaciones fundamentales s, para comprar algún dulce, para in ntercambiar canicas, para hacer reparticiones equitativas en los juegos; pero a medida que avanzan en las operaciones, parecieran ser co omplicadas, pero no lo es tanto, sólo o es conocer a fondo las operaciones fundamenta ales y darles el orden correcto. Un ejemplo m muy divertido y que causa mucha polémica es el siguie ente problema. “Tres am migos comen en un restaurante, el mesero les comun nica que el importe de su c cuenta es de 30 pesos, por lo que cada uno apo orta 10 pesos. Sin embarg go, el mesero regresa y ofrece una disculpa porque al a revisar la cuenta el dueñ ño del restaurante descubre que existe un error y que en realidad debería an pagar 25 pesos, por lo que el mesero les regresa 5 pesos; los amigos deciden repartirlos de la siguiente manera: 1 peso para cada uno de 52


ellos y 2 pesos para el mesero co omo propina. Uno de los amigos al analizar la situación descubre que falta un p peso y argumenta que seguramente el dueño se quedó con él; esta es la forma en que hizo su cuenta: Cada uno de nosotros dio 10 pessos, pero como nos regresaron 1, entonces aportamos 9 cada uno, lo que rrepresenta 27 pesos en total, más 2 que le dimos al mesero da como resultad do 29, de manera que falta 1 peso.” Esta situación es confusa porque están planteando el problema de dos formas diferentes. ¿Cuál es la justificación para encontrar el peso perdido?

Actividad 8: INSTRUCCIONES: Escribe cuál es la justificación para encontrar el peso perdid do.

Eva aluación Actividad 8: Conceptual Interpreta el lenguaje verbal.

Autoevaluación

Producto: Descriipción

Puntaje:

Sa aberes Procedim mental Contrasta diferen ntes planteamientos d de problemas con números ente eros.

Actitudinal Descubre y explica la importancia del planteamiento de los números enteros.

C

MC

NC


Esto ayuda a priorizar las operacione es fundamentales, por lo que se requiere repasarlas y salvar las dificultades que e puedas tener en el transcurso de tu vida académica. Las operaciones de suma y resta de nú úmeros enteros es la más usada en nuestras vidas, como los siguientes ejemplos. Juan se encuentra a su prima Sofía y en ntre la plática, le pregunta. - Oye Juan, ¿y mi tío cómo se encuentra a de salud? BLOQUE 2

53

- Bien, afortun nadamente salió de la gripa tan fuerte que lo tenía en cama. -¿Mi tío Pedro o es mayor que mi mamá verdad?, ¿cuántos años tien ne? -Déjame ver, m mmm mi papá nació en Octubre de 1945. Este es un c caso claro en el que se realiza la resta sin tener que formalizar la operación, y e ejemplos como éste se tienen todos los días sin darse e cuenta. A continuació ón se plantea una serie de problemas en los que tend drás que utilizar las operaciones ffundamentales de suma y resta para conocer su respuesta.

Actividad 9: INSTRUCCIONES: Le ee con cuidado cada una de las situaciones que se te plantean y realiza las operaciones correspondientes para con nocer la respuesta correcta. 1.

Santiago estaba haciendo un recuento de sus gastos, recordó que tenía en un n principio $5689, posteriormente le pagaron $145 53 que le debían, tuvo que pagar $2561 en deudas, compró un regalo a su novia, el cual le costó $562 2 y pagó $2500 en asistencia debido a que estudia en n Tijuana. ¿Cuánto le quedó para sus gastos personales?

2.

Sandra se casó teniendo 24 añ ños en 1994. ¿En qué año cumplirá 85 años? ¿Qué edad tiene ahora mismo?

3.

Uno de los operadores de transsporte de la línea “La Costa”, realiza su recorrido a Ba ahía Kino 4 veces, de ida y vuelta en el día, transsportando en promedio 35 personas, de las cuales 12 son de medio boleto y el resto de boleto entero o, cada boleto cuesta $ 100. ¿Cuánto tendrá que entrregar el conductor al cabo de su jornada?

4.

En un edificio, los pisos se enumeran como sigue: planta baja, 1er. piso, 2do. piso, etc. Luis está buscando a un amigo, pero n no sabe exactamente en qué piso está trabajando o, así que decide buscarlo según su intuición, sig guió esta secuencia: primero decide ir de la planta baja b al tercer piso, luego baja dos, sube 5 y finalme ente baja 4 y ahí lo encontró, ¿en qué piso se encuen ntra trabajando su amigo?

5.

Un día de invierno la temperaturra en la madrugada era de 7º C. Durante la mañana subió 13º C, en la tarde descendió 6º C y en la noc che bajó 4º C. ¿Qué temperatura había en la noche?

Actividad 9: Conceptual Reconoce las p propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas.

Autoeva aluación

54


Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Emplea las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas en la resolución de problemas tipo.

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la im mportancia del rol que juegan las op peraciones aritméticas en ejemplos de la vida cotidiana.

Calificación otorgada a por el docente

Si se te dificultaron algunos problemas de la actividad anterior, puede ser debido a que no leíste con detenimiento, o bien por tener dificultades en las operaciones fundamentales; para superarlas se repasarán algunas operaciones de suma y resta, sobre todo para observar el signo del resultado de cada una de ellas. Suma: La suma de dos números positivos es positivo y la suma de dos números negativos resulta negativo. Ejemplos: 1) 7 + 5 = 12

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

2) −7 + (−5) = −12 recordando lo visto en la secundaria, lo podemos visualizar como −7 − 5 = −12

−13

−12 −11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

Resta: Esta se lleva a cabo entre dos números de signos diferentes. Ejemplos: 1) 7 − 5 = 2

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

−3

−2

−1

8

9

10

1

2

2) −7 + 5 = −2

−12

−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

0

BLOQUE 2

55

Actividad 10: INSTRUCCIONES: Efectúa las operaciones indicadas. 1) 85 + 45 + 3 + 63 + 10 = 2) −4 − 7 − 18 − 54 = 3) 43 − 6 − 12 + 39 − 26 = 4) −25 + 15 − 3 − 14 + 12 = 5) La dueña de una pequeña empresa d de comida registra las entradas y salidas de efectivo durante d la última semana del mes. Día Lunes Martes Mié ércoles Jueves Viernes Sábado Domin ngo Entrada $ 1256 $ 156 $ 2210 $0 $ 2158 $ 1116 $ 1325 Salida $ 324 $ 316 $ 536 $ 123 $ 538 $ 560 $ 478 ¿Cuánto quedó en efectivo en caja para a inicio de la siguiente semana?

6) Un submarino está sumergido a 257 m bajo el nivel del mar, disparó un cohete en forma vertical v y subió 650 m. ¿A qué altura sobre el nivel del m mar llegó el cohete?

7) A Sandra su papá le proporcionó un a tarjeta de crédito con un saldo a favor de $2500, con la condición de que no gastara más de lo que ha abía depositado, en caso contrario, ella tendrá que pagar. Sandra cuenta con $1436 en efectivo, también p para utilizarlo en sus compras. Artícu ulo Precio Blusa Aeropostal $ 450 Pantalón Levis $ 560 Mochila para computadora $ 750 Tenis Vans $ 650 Útiles escolares $356 ¿Tendrá Sandra que pagar de su dinero o a la tarjeta?, si es así, ¿cuánto dinero le quedará? 8) Si te ofrecieran aumentar el sueldo en n forma sucesiva $500 cada quincena o $1,500 cad da mes ¿qué escogerías? Justifica tu respuesta.

9) Problema curioso: ¿Cómo podemos medir 9 minutos con dos relojes de arena de 4 y 7 minutos?

56


Actividad 10: Conceptual Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas.

Autoevaluación

Evaluación Producto: Solución de problemas Saberes Procedimental Emplea las propiedades fundamentales de las operaciones aritméticas en la resolución de problemas tipo.

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la importancia del rol que juegan las operaciones aritméticas en ejemplos de la vida cotidiana.


También existen situaciones en las que no importa el signo del número sino la cantidad que representa, como por ejemplo: Jaime se encuentra en una disyuntiva, su jefe le habló por teléfono y le dijo que colocara el reglamento de la empresa a 2m de una fotografía que está colocada en la pared de su oficina, el problema que tiene es que no proporcionó información de colocarlo a la derecha o izquierda. En este caso, sólo se le proporcionó la distancia, sin ningún sentido. Si se representa este problema en la recta se tendrá una situación especial, llamada valor absoluto.

−3

−2

−1

0

1

2

3

El valor absoluto de un número es su distancia al número cero en la recta numérica. Se simboliza mediante las barras con el número en su interior. Ejemplos: 1) 5 = 5

−10 −9 −8

−7 −6

−5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2) − 7 = 7

−10 −9 −8

−7 −6

BLOQUE 2

57

3) 0 = 0

−10 −9 −8

−7 −6

−5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−5 −4 −3 −2 −1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4) − 9 = 9

−10 −9 −8

−7 −6

Actividad 11: INSTRUCCIONES: En n los casinos venden tarjetas para jugar en las máquinas de azar. Una persona tiene un saldo de 10 dólares en su tarjeta y decide e jugar de un dólar a la vez, si sólo tiene tiempo de jugar 5 veces y en cada oca asión gana o pierde el dólar aposta ado. eras de que se desarrolle el juego. 1. Escribe 6 posibles mane 2. Realiza el recorrido de llos 6 juegos en la recta numérica.

58


Actividad 11: Conceptual Ubica en la recta numérica: números Reales y sus simétricos, considerando el concepto de valor absoluto.

Autoevaluación

Evaluación presentación Producto: Rep gráfica Saberes Proce edimental Establece hipó ótesis para el desarrollo del juego.

Puntaje: Actitudinal Se interesa en el proceso de soluciones posibles. Acepta la presencia de las Matemáticas en el juego azaroso.

C

MC

NC


Actividad 12: INSTRUCCIONES: Calcula el valo or de cada una de las siguientes expresiones. 1) 2 =

2) − 19 = 3) 10 − 19 = 4) − 14 − 3 = 5) 8 − 18 = 6) 4 + 23 = 7) 20 − 4 = 8) − 19 − 34 = 9) 21 − 56 = 10) − 32 − 13 =


Producto: Eje ercicios

Puntaje:

Conceptual Identifica el concepto de valor absoluto.

Saberes Proce edimental Practica ejerciicios de valor absoluto.

Actitudinal Muestra interés en la realización de ejercicios.

Autoevaluación

C

MC

NC


BLOQUE 2

59

Operacione es con números racionales. Te darás cuen nta que en este segundo bloque has estado repasan ndo temas que viste en la secundaria, sobre todo en operaciones básicas. Ahora se retom marán las operaciones con racionales, también conocidos como fracciones. En los próxim mos bloques requerirás generalizar esstas operaciones, es decir, no sólo con números sino con literales. Un problema muy conocido que puedes encontrar en el libro El hombre h que calculaba es, “los 35 camellos”. Hacía poca as horas que viajábamos sin interrupción, cuando no os ocurrió una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Berremís puso en práctica, co on gran talento, sus habilidades de eximio algebrista. Encontramo os, cerca de una antigua posada medio abandonada a, tres hombres que discutía an acaloradamente al lado de un lote de camellos. Furiosos se e gritaban improperios y deseaban plagas: - ¡No puede e ser! - ¡Esto es un robo! - ¡No acepto o! El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba. - Somos he ermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como here encia, esos 35 camellos. S Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo o yo recibir la mitad, mi he ermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más m joven, una novena parrte. No sabemos sin embargo, como dividir de es sa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otro os dos, pues la mitad de 35 5 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la no ovena parte de 35, si tampo oco son exactas las divisiones?

Actividad 13: INSTRUCCIONES: Ela abora un problema parecido al de los 35 camello os el cual se resuelva con fraccion nes diferentes.


Producto: Diseño de problema

Puntaje:

Conc ceptual Reconoce las o operaciones con números racion nales en problemas com munes.

Saberes Procedimental Diseña ejemplos con operaciones de números racionales.

Actitudinal Muestra cre eatividad en el diseño del problema.

Autoeva aluación

60


C

MC

NC


Sitios Web recomendados: Este sitio es en donde encontrarás el libro El hombre que calculaba http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo03. html

Adición o suma de racionales. Recordando la estructura que tienen lo racionales,

a b

donde a y b son números

enteros y b no puede ser cero. A continuación se ejemplificarán cada uno de los casos de suma de fracciones. Igual numerador.

a b

c

+

a+c

=

b

b

Ejemplos: 1)

4 7

3

2) −

3) −

9

+

5 5 3

7 +

−

4+9

=

7

11

=

5 2 3

=

=

13 7

−3 + 11 5

−5 − 2 3

=

=

8 5

−7 3

Diferente denominador.

a b

+

c d

Eudoxo de Cnido (406 a 315 A C ) Establece la teoría de la semejanza

ad + bc

=

bd

Ejemplos: 1)

4 5

2) −

+

2 3

14 7

+

= 5 9

(4 )( 3 ) + (2)( 5 ) (5 )( 3 )

=

=

22 15

( −14 )( 9 ) + (5 )( 7 ) (7 )( 9 )

=

−91 63

Como te darás cuenta, en los dos casos anteriores, los denominadores no son términos que tengan algún divisor en común (a excepción del 1), y aplicar la técnica de multiplicar cruzado los números para encontrar la respuesta es muy sencillo. En el caso de que sus

BLOQUE 2

61

denominadores tengan factores en común se obtiene el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de ellos. Ejemplos: 1)

4 5

2) −

+ 1 6

2

=

15 5

+

8

(3)(4) + (1)(2) 15

=

=

(4)(−1) + (3)(5) 24

14 15 =

−11 24

En cuanto a la multiplicación y división de fracciones el procedimiento a seguir es el siguiente: Multiplicación. Se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador, para obtener el numerador y el denominador respectivamente. Se puede multiplicar directo y simplificar la operación después, si es posible, o bien, si tienen factores que se puedan simplificar con anterioridad antes de llevar a cabo la operación, en este caso, primero se eliminan y después se multiplica. Ejemplos: Recuerda la ley de los signos para la multiplicación y división.

(+)(+) = + (−)(−) = + (+)(−) = − (−)(+) = −

+ + − − + − − +

=+ =+ =− =−

1) −

3 5

•

9

=

8

( −3 )( 9 ) (5 )( 8)

=−

27 40

9 ⎛ 4 ⎞⎛ 9 ⎞ (4 )( 9 ) 36 2) ⎜ ⎟⎜ ⎟ = = = ⎝ 5 ⎠⎝ 8 ⎠ (5 )( 8 ) 40 10

(4)(9) 9 ⎛ 4 ⎞⎛ 9 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ 5 ⎠⎝ 8 ⎠ (5)(4)(2) 10

o bien

División. En el caso de la división de dos fracciones, se cruzan las multiplicaciones. Al igual que la multiplicación una vez hecho el cruce, se puede simplificar primero antes de llevar a cabo la multiplicación. Ejemplos: 1)

2 5

÷

7 3

(2)(3)

=

(5)(7)

=

6 35

o bien, si está expresada como cociente de fracciones

2 5 = (2)(3) = 6 7 (5)(7) 35 3

2)

2 9

÷

5 3

3)

62


=

(2)( 3 ) (9 )( 5 )

=

6 45

=

2 15

o bien

3 2 = ( −3)(2) = − 1 = − 1 9 (2)(3)(3) 3 3 2

−

2 9

÷

5 3

=

(2)(3) (3)(3)(5)

=

2 15

Actividad 14: INSTRUCCIONES: Resuelve las siiguientes operaciones simplificando la respuesta a en caso de ser posible. 1)

3

7

+

11 11 7

2) −

3

3) −

4)

3 20

5) −

−

5

9

+

5

+

1 8

8

150

=

8

5

2

=

+

3

3

−

+

2

=

4 4

75

+3=

+

3 225

=

⎛ 3 ⎞⎛ 5 ⎞ 6) ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎝ 8 ⎠⎝ 2 ⎠

7) −

3

÷

9

11 22

=

⎛ 5 ⎞⎛ 11 ⎞ 8) ⎜ − ⎟⎜ ⎟= ⎝ 4 ⎠⎝ 10 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 1 ⎞ 9) ⎜ − ⎟⎜ − ⎟⎜ − ⎟(5 ) = ⎝ 4 ⎠⎝ 6 ⎠⎝ 15 ⎠

5 24 = 10) 10 3 2 1− 3 1− 11)

1+

2 3 1+

2 3 = 2 3

BLOQUE 2

63

Evaluación Actividad 14: Conceptual Reconoce las p propiedades fundamentales de las operaciones co on fracciones. Autoeva aluación

Producto: Ejercicios

Puntaje:

Saberes Procedimental Practica ejercicios de operaciones con fracciones.

Actitudinal Muestra inte erés en la realización de ejercicios.

C

MC

NC


Cierre Actividad 15: INSTRUCCIONES S: Analiza con detenimiento los siguientes proble emas y resuélvelos.

1.

Sonia tenía 8 tazas de harina para hornear pastel, si tiene que echar 3 1 taza as en un recipiente y 2 2 1 en otro. ¿Cuántas tazas de harina le quedan? 3

2.

Alejandra está siguiendo una dieta para adelgazar. El primer mes bajó 2 1 kilos, el segundo 3 1 5 1 o recuperó kilos y el cuarto mes perdió 2 . Si su s peso inicial fue de perdió 1 kilos, el tercero 5 8 2 78 kilos, ¿cuánto pesó al fin nalizar el cuarto mes?

3.

Se presentaron aspirantess a 3 carreras en la universidad para realizar el exxamen de admisión, 25 0 de ellos desean de ellos quieren ing gresar a Ingeniería Industrial en Sistemas (IIS), 10 46 23 ingresar a Ingeniería Indusstrial Administrador (IIA) y los 60 restantes que representan 1 quieren 46 ingresar a geología. a) ¿Cuántos alumnos en total se presentaron al examen? b) ¿Cuántos alumnos aspiran a las carreras de IIS e IIA?

64

4.

El profesor de deporte req quiere sustituir los balones de futbol por estar en mal estado, si hay 10 balones nuevos más que lo os viejos, y estos 10 son 1 del total, ¿Cuántos balon nes nuevos son? 4

5.

Diego prometió estudiar 8 horas en la semana de exámenes, si hasta ahora ha h estudiado 3 2 . 3 ¿Cuántas horas más tiene que estudiar?

6.

un vestido y compró 2 1 m de tela, el primer día Luz María confeccionará u a ocupó 1 1 m, el 4 2 3 1 segundo día ocupó m,, si todavía le falta 1 m para terminar, ¿Cuánto má ás tiene que comprar 8 8 para terminar el vestido?


Actividad 15: Conceptual Reconoce las propiedades fundamentales de las operaciones con fracciones.

Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Proced dimental Emplea las pro opiedades fundamentaless de las operaciones con fracciones en la resolució ón de problemas tipo. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la importancia del rol que juegan las operaciones con fracciones en ejemplos de la vida cotidiana.


Secuencia didáctica 2. Razo ones y proporciones. Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: Observa el viideo “El número de oro, φ (Phi), la divina proporc ción” y trae a la clase la siguiente lista a de elementos. 1. Una cinta métrica. 2. Una flor (margarita, rosa, girrasol, etc.) que cumpla con los números de Fibon nacci. O bien, cualquier otro objeto de la n naturaleza que lo cumpla. 3. En equipo de 5 personas, re eportar los datos siguientes.

Objeto

Número de Fibonacci

bla. 4. Realizar las siguientes mediidas de tu cuerpo y reportarlo en la siguiente tab Lugares d de medición

Medida en ce entímetros

Estatura Longitud de los brazos extendidos Anchura mayor de los hombros Del codo a la punta de la mano Del codo al ángulo de la axila Pie Del Pie hasta debajo de la rodilla Desde la parte inferior de la barbilla a a la nariz Desde el nacimiento del pelo a las cejas Desde el pie hasta el ombligo

BLOQUE 2

65

Actividad 1 continuación: 5. Verifica las medidas que establece el arquitecto Marcus Vitruvio Pollio. Proporciones Longitud de los brazzos extendidos es igual estatura Anchura mayor de lo os hombros es 1 de la estatura 4 Del codo a la punta de la mano es 1 de la estatura 5 Del codo al ángulo d de la axila es 1 de la estatura 8 1 Del pie hasta debajo o de la rodilla de la estatura 4 Desde la parte inferior de la barbilla a la nariz es igual desde el nacimiento del pelo a las cejas La altura entre la distancia desde el pie hasta el ombligo

Actividad 1: Conceptual Identifica formas distintas de comparación y relación entre números reales, tales como: razones, proporciones y variaciones.

Autoevaluación

Evaluación Producto: Registro de observaciones y mediciones. Saberes Procedimental Selecciona elementos que cumplen con la serie de Fibonacci. Realiza mediciones para la asignación de proporciones. C

MC

NC

El video lo pue edes encontrar en http://www.yo outube.com/watch?v=j9e0auhmxnc


Puntaje: Actitudinal Se compromete a pro oporcionar los materiales para la actividad. Reconoce la existenc cia de las matemáticas en la naturaleza.


Sitios Web re ecomendados:

66

Resu ultado

Desarrollo Razones. En la naturaleza hay múltiples coincidencias matemáticas incluso en el cuerpo humano. En el último ejercicio de la actividad anterior, te habrás dado cuenta que es muy cercano al número áureo del cual se habló en el video. Φ =

1+

5 2

= 1 . 618034 ...

Otro ejemplo de este número tan especial se encuentra en las espirales de la piña del pino.

También en el caracol y en otros animales.

Se ha estado comentando sobre la razón y proporción, ahora se formalizará esta información. Razón. Es una comparación de dos cantidades semejantes. Por lo general se expresa como cociente de las cantidades. Ejemplo. Diego puede leer 350 palabras por minuto y un lector promedio lee 250 palabras por minuto. ¿Cuánto más rápido lee Diego? Para poder encontrar la relación, se divide: 350 7 = 350 5 Esto es, por cada 5 palabras que lee un lector promedio, Diego lee 7. BLOQUE 2

67

Las comparac ciones pueden ser denotadas de diferentes formas. 1) 7 : 5 2) 7 ÷ 5 3)

7 5

4) 7 a 5 c del mismo Las comparaciones por medio de una razón están limitadas a cantidades mplo, para expresar la relación entre 9 m y 35 cm ambas cantidades deben tipo. Por ejem escribirse en términos de la misma unidad. Entonces, la fo orma que deben ser omo están expresadas relacionadas es 9 m : 0.35 m , por convencionalismo y además co

5. en la misma u unidad, se eliminan las unidades y se expresa 9 : 0.35 Como la razó ón también es una fracción, se pueden utilizar tod das las operaciones y propiedades d de éstas.

Actividad 2: INSTRUCCIONES: An naliza con detenimiento los siguientes problemas s y resuélvelos.

68

1.

Entre Socorro y Nidia junta aron $3500 para hacerle un presente a su amiga a que se casará próximamente. Si Nidia aportó ó $1500. ¿Cuál es la razón entre lo aportado por Soco orro y lo aportado por Nidia para el regalo?

2.

En una carrera de relevos, Ab bel corre un tramo de 120 m y Héctor corre un segun ndo tramo de 140 m. ¿Cuál es la razón entre la d distancia recorrida por Abel y la recorrida por Héctor?

3.

Para pintar una casa se mezzcló pintura blanca con pintura verde. Si se utilizarron 3 galones de pintura blanca y 2 galones de pintura verde. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de pinturas usadas?

4.

En un examen hay 25 pregu untas de correspondencia y 10 preguntas de desarrollo. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de pre eguntas de desarrollo y las de correspondencia?


Actividad 2: Conceptual Interpreta la razón en problemas de la vida cotidiana. Autoevaluación

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Analiza ejemplos de la vida cotidiana para establecer relaciones entre varios elementos. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad de los modelos matemáticos para describir situaciones donde las magnitudes mantienen la misma razón.


Proporciones. Proporción. Es la igualdad de dos razones. Proporción directa. Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. Cuando se tiene una relación dos elementos entre cuyas cantidades prevalece una razón, utilizando proporciones se pueden calcular cantidades que no estén contempladas. Ejemplo 1. En un laboratorio de Fisiología, al medir durante cierto tiempo los litros de sangre que bombea el corazón de una persona cuyo peso es de 70 kg, se obtuvieron los siguientes datos:

Litros de sangre que bombea al corazón

20

35

50

60

Tiempo en minutos

4

7

10

12

Leonardo Pisano Fibonacci (1170 – 1250) Introduce los números de Fibonacci y la serie de Fibonacci. Aproximó las raíces cúbicas obteniendo una respuesta que en la notación decimal es correcta en 9 dígitos.

Se observa en la tabla que a medida que aumenta el tiempo, aumentan los litros de sangre que bombea el corazón. Y viceversa, a medida que disminuye el tiempo, disminuye el bombeo de sangre. Al tomar las comparaciones se tienen las siguientes razones.

20 35 50 60 =5 , = 5, = 5, =5 4 7 10 12 Como las razones son constantes, podemos igualar los cocientes, así se construyen las proporciones.

20 35 50 60 = = , y otras posibles combinaciones. 4 7 10 12 Dos o más cantidades son directamente proporcionales cuando su cociente es constante o igual.

BLOQUE 2

69

Para comprobar una proporción es necesario reordenarla utilizando la regla de 3 simple directa que dice, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Ésta se obtiene a partir de las propiedades de los números reales (multiplicativa e inverso multiplicativo), que posteriormente se abordará con detenimiento en el tema de despejes de ecuaciones. a c = b d ad = cb

Cuando se desea obtener información a partir de una proporción se requiere de la conocida regla de 3 simple. Ejemplo 2. Un saco de papas pesa 40 kg, entonces dos sacos de papas pesan 80 kg. De un cargamento de papas con 1040 kg ¿Cuántos sacos se podrán hacer? Número de sacos Peso en kg

1 40

2 80

... ...

x 1040

... ...

En este caso se establecen las proporciones

1 2 x = = 40 80 1040 Cualquier relación que se tome cumple con la misma razón, así que se elige en este caso: 1 x = 40 1040 En este momento aplicamos la regla de 3 simple (1)(1040) x= = 26 40 La proporcionalidad directa se observa de la siguiente forma. 26(1) 2(1) Número de sacos Peso en kg

1 40

2 80 2(40) 26(40)

70


... ...

26 1040

... ...

Proporción inversa. Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. En este caso si se tiene: a c = b d La regla a utilizar es la regla de 3 simple inversa. ab = cd

Ejemplo 1. Si 3 hombres necesitan 24 días para enyesar una casa, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? Hombres 3 6 9 ... 18 Días 24 12 8 ... x Se utiliza la regla de 3 simple inversa para comprobar los datos obtenidos en la tabla y de la misma forma obtener el dato faltante. (3)( 24 ) = (6)(12) 3 6 = 72 = 72 24 12

(3 )( 24 ) = (9 )( 8 )

3 9 = 24 8

72 = 72

Utilizando el mismo procedimiento para resolver el problema, se tiene: 3 18 = 24 x (3 )( 24 ) = (18 )( x )

(3)( 24 ) 18

= x

x = 4

La proporcionalidad inversa se visualiza mejor de la siguiente forma.

“Un Matemático que no es también algo de poeta, nunca será un matemático completo.” Karl Weierstrass

6(3) 3(3) 2(3) Hombres Días

3 6 24 12

9 8

... ...

18 4

1 (24) 2 1 (24) 3 1 (24) 6 BLOQUE 2

71

Cierre Actividad 3: INSTRUCCIONES: Resuelve en equipo los siguientes problemas.

1.

Si 4 kilos de plátanos cuestan $50, completa la siguiente tabla: Kilos Precio

2.

2

4.5

8

9.5

$75

12 $140.60

Considerando que 8 operarios efectúan un trabajo en 24 días, completa la siguiente tabla: Operarios Días

4

6

12 8

20

3.

Una cuatrimoto en Puerto Peñasco recorre 120 metros en 4 minutos. ¿Qué distancia recorre en 2 minutos si mantiene su velocidad constante?

4.

14 albañiles efectúan un trabajo en 10 días. ¿Cuánto demorarían 42 albañiles trabajando la misma cantidad de horas diarias, con el mismo ritmo de trabajo?

5.

Una llave que arroja 12 litros por segundo de agua, demora 10 horas en llenar una piscina. ¿Cuánto demora una llave que da 20 litros por segundo?

6.

A María le heredaron un terreno rectangular y le ofrecen elegir uno de 30 m de frente y 18 metros de fondo. Si puede cambiar las dimensiones del terreno, pero no el área, ¿cuál deberá ser el fondo si ella pide que el frente sea de 40 m?

7.

En un plano, cuya escala es 1 : 100, una puerta mide 2 mm. de ancho por 3.2 mm. ¿Cuáles son las medidas verdaderas de la puerta?

8.

Calcula el valor de 4 huevos si una docena cuesta $54.

9.

Un automóvil recorre en 3 hrs. una distancia de 252 km. ¿Cuánto recorrerá en 6 horas si va a la misma velocidad?

10. En un sembrado hay 25.000 árboles de aguacates. Si de cada 50 se pierden 6, ¿cuántos árboles en total se perderán? 11. Las estadísticas muestran que de cada 30 fumadores compulsivos 5 adquieren enfermedad pulmonar antes de los 50 años. Si en una ciudad hay 24.000 fumadores compulsivos, ¿cuántos casos de enfermedad pulmonar se producirán?

12. El profesor califica proporcionalmente al número de reactivos correctos que han obtenido los alumnos. Si Luis con 32 reactivos correctos obtuvo 6 de calificación, ¿Cuánto obtuvo Alma que tenía 40 correctos?

72


Actividad 3: Conceptual Identifica formas diferentes de comparación y relación entre números reales, tales como: razones, proporciones y variaciones. Comprende el significado de razón y proporción.

Evaluación Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Utiliza modelos de variación proporcional directa e inversa. Aplica reglas que subyacen a una serie de fenómenos que involucran a las razones y proporciones.

Reconoce modelos de variación proporcional directa e inversa. Coevaluación

Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad de los modelos matemáticos para describir situaciones donde las magnitudes mantienen relaciones de variación proporcional, directa o inversa. Muestra disposición para integrar las ideas expresadas. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.

C

MC

NC


BLOQUE 2

73

74


Realiza sumas y sucesiones de núm meros



Atributos a desarrollar en el bloq que: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediantte representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance e de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la informac ción y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus prrocesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, cong gruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


Secuencia didáctica 1. Sucesiones y series. Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: Analiza con detenimiento cada una de las partes de esta actividad y responde correctamente.

1.

Encuentra el siguiente término de cada unas de las secuencias de números y escríbelo en el cuadro correspondiente.

a)

1, 2, 3, 4,

,...

b)

1, 4, 9, 16 ,

,...

c)

3, 7, 11, 15,

,...

d)

7, 14, 21, 28,

,...

e)

1, 2, 4, 8, 16 ,

,...

f)

60 50, 40, 30,

,...

g)

1 1 1 , , , 9 27 81

h)

0, 1, 0, 1, 0, 1,

,...

,...

2.

Aquiles que está a 10 km de la tortuga, es 10 veces más veloz que ella. ¿Conseguirá alcanzarla? Reflexiona sobre la oración anterior y contesta la pregunta justificando la respuesta.

3.

La diagonal del ortoedro formado por n cubos consecutivos es:

d= 3

76

REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS

Actividad 1 continuación:

d= 6

d = 11

d = 18

¿Cuál es el valor de la medida de la diagonal del siguiente ortoedro?

Evaluación Actividad 1: Conceptual Identifica la dependencia entre una secuencia de números. Autoevaluación


Puntaje:

Saberes Procedimental Determina los números subsecuentes de secuencias de números.

Actitudinal Realiza la actividad con interés.

C

MC

NC


BLOQUE 3

77

Luis Villalba, compositor y crítico musical español (1873-1921), establece que música es la sucesión de una o varias series simultáneas de sonidos concertados, modulados y ritmados según el número, en orden a la expresión o emoción, así sentimental como estética. El concepto más actual de la música según algunos serialistas la sitúa como un arreglo ordenado de sonidos simples de distinta frecuencia en sucesión (melodía), sonidos en combinación (armonía) y sonidos (y silencios) en sucesión temporal (ritmo).

Desarrollo Como habrás observado en el video del “número de oro” del bloque anterior, se habla de una secuencia de números que está presente en la naturaleza, las obras de arte, la música, la composición molecular, el universo, entre otras. Es por ello que es importante observar el comportamiento y estudiar las secuencias de números.

Sucesiones. Una sucesión es un conjunto de números ordenados u otras cantidades que son llamados términos, y éstos se obtienen mediante la aplicación de una regla. Ejemplos. a)

1, 2, 3, 4, 5, ...

b)

3, 5, 7, 9, 11, ...

c)

15, 20, 25, 30, 35, ...

d)

5, 4, 3, 2, 1

e)

14, 19, 24, 29, 34

f)

1 1 1 1 1 1 , , , , , ,... 2 4 8 16 32 64

Como se muestra en los ejemplos, existen sucesiones finitas e infinitas. Se dice que una sucesión es finita, cuando posee un número fijo de términos, e infinita, cuando no tiene un número fijo de términos, es decir no tiene fin. Los incisos a), b), c) y f) son sucesiones infinitas, y los puntos suspensivos que acompañan a la serie, además de indicar que sigue hasta el infinito la sucesión, llevan el mismo patrón de comportamiento. Los incisos d) y e) son sucesiones finitas. La forma de distinguir a cada término de una sucesión es con la letra a , de tal manera que al primer término se le denomina a1 , al segundo término a2 , el tercer término a3 , y así sucesivamente, al término en general se le nombra el n-ésimo término y es an , por lo que la sucesión de términos ordenada quedaría:

78


a1, a2 , a3 ,..., an ,... Si se conoce la expresión que proporciona el n-ésimo término, se pueden encontrar todos los demás sustituyendo el número de término en la expresión, como se muestra a continuación. Ejemplo 1. Encontrar los cinco primeros términos de la sucesión cuyo n-ésimo término sea

an = 8 n − 3 Número de Término (n) 1 2 3 4 5

Fórmula

Resultado

a1 = 8(1) − 3

5

a2 = 8(2) − 3

13

a3 = 8(3) − 3

21

a4 = 8(4) − 3

29

a5 = 8(5) − 3

37

La sucesión ordenada es: 5, 13, 21, 29, 37, …

“Para Tales... la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos.”

Ejemplo 2. Encontrar el vigésimo quinto término de la sucesión anterior.

Aristóteles

an = 8 n − 3

a25 = 8(25 ) − 3 a25 = 197 En otras ocasiones el término general de la sucesión no se conoce, pero éste se puede calcular a partir del primer término a1 , junto con una regla para determinar cualquier término an+1 del término anterior a2 , con la condición de n ≥ 1. En este caso se dice que la sucesión es recursiva y a la expresión se le llama fórmula de recurrencia. Ejemplo 3. Encuentra los primeros cuatro términos de la sucesión definida por

an+1 = an + (n + 3) n 1 2 3

Fórmula

a2 = 5 + (1 + 3) = 9

a1 = 5 y

Resultado

a3 = 9 + (2 + 3) = 14

a4 = 14 + (3 + 3) = 20

9 14 20

Los primeros cuatro términos de la sucesión son: 5, 9, 14, 20

BLOQUE 3

79

Actividad 2: INSTRUCCIONES: Utiliza la calculadora para resolver las siguientes sucesiones. 1.

2.

3.

80

Encuentra los primeros cinco términos de la sucesión.

a)

an = 2(3)

b)

an = (− 3 )

c)

an =

d)

an =

2 3

n

n

n−2

n+2 n

Encuentra los primeros cuatro términos de las sucesiones infinitas recursivas, definidas para cada caso. a)

a1 = 3 y an+1 = 2an − 4

b)

a1 = 4 y an+1 = −5 an

c)

a1 = 3 y an+1 = nan − 2

Encuentra el término indicado en cada una de las siguientes sucesiones. a)

an = (− 1) , a7

b)

an =

c)

an = (− 2) , a3

n

(− 2 )n n2

, a9

2n



Producto: Ejercicios.

Conceptual Identifica la forma del nésimo término de una sucesión.

Saberes Procedimental Aplica la fórmula del n-ésimo término para encontrar términos específicos de una sucesión. C

Autoevaluación

MC

Puntaje:

NC

Actitudinal Aprecia la facilidad para encontrar términos específicos a partir de la fórmula del n-ésimo término de una sucesión.


Deducción del término general. También se puede dar el caso de no tener información del n-ésimo término de una sucesión, de tal manera, que observando el comportamiento de cada uno de los términos puede encontrarse la regla a la cual se sujetan. Ejemplo 1. Dada la siguiente sucesión infinita de números pares, encontrar el término n-ésimo.

n

an

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

… …

Como se observa en la tabla, n es la ubicación que le corresponde a cada término de la sucesión y cada uno de los términos de la sucesión son el doble de su ubicación, por lo que el término en general es:

an = 2n

Ejemplo 2. En el caso de la sucesión infinita de números impares, el n-ésimo término se construiría de la siguiente forma.

n

an

1 1

2 3

3 5

4 7

5 9

… …

En esta sucesión, sus términos son una unidad menos que el doble de su ubicación, por lo que el n-ésimo término está dado por la fórmula:

an = 2 n − 1 Ejemplo 3. Ahora se encontrará el n-ésimo término de una sucesión que no es tan conocida como las anteriores.

n

an

1 1

2 5

3 9

4 13

5 17

… …

En esta sucesión no es tan fácil encontrar el comportamiento ni la relación de la ubicación con cada término.

BLOQUE 3

81

Aunque los términos de la sucesión van creciendo de cuatro en cuatro, la fórmula del nésimo término debe depender de la ubicación, así es que se tienen que relacionar. Para ello debes utilizar tus habilidades de Aritmética para poder hallarla. En este caso la relación está dada por:

an = 4 n − 3

Ejemplo 4. También se pueden establecer sucesiones más elaboradas, como:

n

an

1 0

2 3

3 8

4 15

5 24

… …

El crecimiento que tienen los términos de la sucesión no son constantes, es decir, del primer término al segundo hubo un aumento de 3, del segundo al tercero hubo un aumento de 5, del tercero al cuarto subió 7, del cuarto al quinto subió 9, por ello, se puede pensar que están involucradas las potencias, así que si se piensa en términos de potencias, cada término es igual a la ubicación elevada al cuadrado disminuida en una unidad.

an = n 2 − 1

Actividad 3: INSTRUCCIONES: Encuentra el término general de cada una de las siguientes sucesiones.

82

a)

2, 6 10, 14, ...

b)

4, 7 12, 19, ...

c)

1, 4 7, 10, ...

d)

3, 6 9, 12, ...

e)

3, 7 11, 15, ...

f)

1, 4 9, 16, ...

g)

1, 8, 27, ...

h)

5, 9, 13, ...

i)

7 13, 25, ...

j)

1,

1 1 , , ... 4 9




Conceptual Identifica la dependencia de los términos de una sucesión.

Saberes Procedimental Construye la fórmula del n-ésimo término de sucesiones. C

Autoevaluación

MC

Puntaje:

NC

Actitudinal Aprecia la utilidad de expresar matemáticamente regularidades y patrones.


Sucesión o progresión aritmética. Es la sucesión cuyos términos, después del primero, se forman sumando un número fijo, de tal forma que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera es una constante y a ésta se le llama diferencia de la progresión y se denota con la letra d. A continuación se ejemplificarán algunas sucesiones aritméticas. Ejemplo 1. Se establecerá el comportamiento de la sucesión 5, 11, 17, 23, 29, ... , para comprender la definición de sucesión aritmética. La diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es d = 6 La fórmula de la sucesión aritmética es:

an = a1 + (n − 1)d

n

Fórmula

1

a1 = 5 + (1 − 1)6

Resultado 5

2

a2 = 5 + (2 − 1)6

11

3

a3 = 5 + (3 − 1)6

17

4

a4 = 5 + (4 − 1)6

23

5

a5 = 5 + (5 − 1)6

29

…

…

…

BLOQUE 3

83

Actividad 4: d las INSTRUCCIONES: Encuentra el término que se pide en cada una de es. siguientes sucesione 1.

Encuentra el 12vo. término de la sucesión aritmética 5, 13, 21,…

2.

Encuentra el 18vo. término de la sucesión aritmética, 9, 7, 5,…

3.

Encuentra el término 24 de la sucesión aritmética 3, 8, 13,…

4.

Encuentra el término 16 de la sucesión 11, 9, 7,…

5.

Encuentra el término 14 de la progresión aritmética − 1, −

1 1 , , ... 3 3



Concep ptual Identifica sucesiones aritméticas.

Saberes Procedimental Aplica las fórmulas correspondientes para hallar el modelo del n-ésimo término que caracteriza a una sucesión aritmética.

Autoevalu uación

84


C

MC

Punttaje:

NC

Actitudinal Apre ecia la facilidad en la utilizzación de la fórmula para enco ontrar el n-ésimo término de una sucesión aritmética.

Calificación otorga ada por el docente

Actividad 5: INSTRUCCIONES: Resuelve los s siguientes problemas. 1.

Un teatro tiene 30 filas, 15 asien ntos en la primera fila, 17 asientos en la segunda fila, 19 en la tercera, y así sucesivamente, ¿cuántos asientos hay en la fila 30?

2.

El piso del patio de una casa tie ene forma de trapecio y se construyó con 20 hileras de e ladrillos. Si en la primera hilera tiene 14 ladrillos y la veinteava tiene 33 ladrillos, ¿cuántos ladrillos tendrá la 15va. hilera?

3.

Un objeto que cae libremente re ecorre 4.9 metros durante el primer segundo, 14.7 du urante el siguiente, 24.5 durante el tercero, y así suc cesivamente, ¿qué distancia recorre durante el décimo segundo?

Evaluación Actividad 5: Conceptual Identifica e interpreta sucesiones aritméticas.

Autoevaluación

Producto: Problemas de aplicación Saberes P Procedimental Aplica la fórmulla de sucesión aritmética.

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés en la aplicación de la fórmula de sucesión aritmética.


BLOQUE 3

85

Sucesión o prrogresión geométrica. Es la sucesió ón cuyos términos, después del primero, se forman n multiplicando por un número fijo, d de tal forma que la división de dos términos sucesivo os cualesquiera es una constante que e se denomina razón (r). El término gen neral se obtiene mediante la fórmula:

an = a1r n−1 Ejemplo 1. Para encontra ar el n-ésimo término de la sucesión geométrica 2, 4, 8, 16, …, primero se debe encontra ar la razón. Al dividir dos ttérminos consecutivos obtenemos siempre el mismo valor constante. 4 8 16 =2 =2 =2 es decir, la razón es r = 2 2 4 8

n 1 2 3 4 … n-ésimo

Fórmula

a1 = 2(2)

1−1

a2 = 2(2)

2−1

a3 = 2(2)

3 −1

a4 = 2(2) …

an = 2(2)

…

4 −1

Resultad do 2 4 8 16 …

n−1

…

…

Actividad 6: INSTRUCCIONES: Encuentra el término que se pide de las siguientes sucesiones. 1.

86

Encuentra el 6to. término de la sucesión geométrica 4, 12, 36,…

2.

cesión geométrica, 3, 15, 45,… Encuentra el 9no. término de la suc

3.

Encuentra el término 14 de la suce esión geométrica 3, 9, 27, 81,…

4.

Encuentra el término 8 de la sucessión 1, – 2, 4, –8,…

5.

Encuentra el término 5 de la progre esión aritmética 16, 8, 4,…



Producto: Ejerciicios.

Conceptual Identifica sucesiones geométricas.

Saberes P Procedimental Aplica las fórmu ulas correspondientes para hallar el modelo o del n-ésimo término que caracteriza a un na sucesión geométrica.

Autoevaluación

C

MC C

Puntaje:

NC

Actitudinal Aprecia la facilidad en la utilización de la fórmula para encontrar el n-ésimo término de una sucesión geométrica.


Actividad 7: INSTRUCCIONES: Resuelve los s siguientes problemas. 1.

En una cuenta de ahorro, Julio o depositó $1000 al final del primer año. El banco agrega el 5% de interés capitalizzable cada año. ¿Cuánto dinero habría al finalizar 13 años?

2.

Un auto recorre 36 m en un min nuto; 12 m al siguiente minuto; 4 m al siguiente y asíí sucesivamente. ¿Cuánta distancia habrá recorrid do al finalizar 11 minutos?

3.

Una persona tiene 2 padres (1a a. generación atrás), 4 abuelos (2a. generación atrás)), 8 bisabuelos y así sucesivamente. ¿Cuántos an ncestros tendría 13 generaciones atrás?

4.

Una bola se deja caer desde u una altura de 24 m. El primer rebote alcanza una alttura de 12 m; el segundo, 6 m y así sucesivame ente. ¿Cuál es la distancia total que ha recorrido la bola al final del quinto rebote? (Importante: La a caída inicial de la bola es especial porque la bo ola sólo baja, a diferencia de cada rebote en que sube y después baja.)

5.

En una competencia de ciclism mo, dos participantes se preparan. El primero com mienza con 1000 metros, y todos los días agrega 1000 metros más, en tanto que el segundo empieza a con 200 metros y cada día duplica lo hecho el día anterior. ¿Cuántos metros recorre cada uno el décimo día?

BLOQUE 3

87


Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica la fórmula de sucesión aritmética.

Conceptual Identifica e interpreta sucesiones aritméticas.

C

Autoevaluación

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra interés en la aplicación de la fórmula de sucesión aritmética.


Sitios Web recomendados: Consulta el siguiente sitio para ampliar tus conocimientos. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0101-01/ed99-0101-01.html

Series A la suma de los términos de una sucesión se le denomina Serie. Puede ser una suma finita o infinita según sea el número de términos que se toman.

a1, a2 , a3 ,..., an

ó

a1, a2 , a3 , a4, ...

La notación que se utiliza para expresar una serie, es la letra mayúscula griega Sigma , como se muestra a continuación.

∑

n

∑a k =1

k

= a1 + a2 + a3 + ... + a n

k es el índice de la sumatoria, 1 y n son los valores mínimo y máximo de la variable, también se puede llevar a cabo una sumatoria parcial en donde se puede sumar una parte de la sucesión. n

∑a

k=m

k

= a m + a m + 1 + a m + 2 + ... + a n

Ejemplos. Calcular las siguientes series. 1.

5

∑ 7 k = 7(1) + 7(2 ) + 7(3 ) + 7(4 ) + 7(5 ) = 105 k =1

2.

5

∑ 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35 k =1

3.

6

∑ 2k

2

= 2(3 ) + 2(4 ) + 2(5 ) + 2(6 ) = 172

k =3

88


2

2

2

2

Actividad 8. INSTRUCCIONES: Calcula las siguientes series. 6

∑ (3 k − 2 ) =

1.

k =1 4

∑k

2.

3

=

k =1 6

1

∑k=

3.

k =3 4

∑ (0.125 )

4.

k

=

k =1 4

∑ (− 3 )

5.

k

=

k =1 9

∑2 =

6.

k =5



Conceptual Identifica los componentes de la sumatoria de términos.

Saberes Pro ocedimental Aplica la nottación sumatoria encontrar su valor.

Autoevaluación

C

MC

Puntaje:

NC

para

Actitudinal Aprecia la notación sumatoria como parte de los conocimientos a desarrollar.


Series aritméticas y geométricas.. Series aritméticas. La suma (S) de los n términos de una sucesión aritmética finita está dada por la expresión: n

∑a

k

=

n

(a1 + a n ) , es decir,

2 la fórmula se escribe: k =1

a1 + a2 + a3 + ... + an =

Sn =

n

2

n

2

(a1 + an ) , y para mayor facilidad

(a1 + an )

BLOQUE 3

89

Ejemplo 1. Encontrar la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 7, 15, 23,… Primero se obtiene el 10mo. término de la sucesión aritmética.

an = a1 + (n − 1)d

a10 = 7 + (10 − 1)8 a10 = 79 Ahora se aplica la fórmula de la serie. n (a1 + an ) 2 10 (7 + 79 ) = 2 = 430

Sn = S10 S10

Ejemplo 2. Dada la progresión aritmética 5, 12, 19, 26,…, encontrar la suma de los primeros 12 términos. Se obtiene el 12vo. término de la sucesión aritmética.

an = a1 + (n − 1)d

a12 = 5 + (12 − 1)7 a12 = 82 Ahora se aplica la fórmula de la serie.

(a1 + an ) 2 12 (5 + 82) = 2 = 522

Sn = S12 S12

n

Series geométricas. La suma (S) de los n términos de una sucesión geométrica finita está dada por la expresión: n

∑a k =1

k

=

a1 (1 − r ) 1− r

n

, es decir, a1 + a2 + a3 + ... + a n =

fórmula se escribe: Sn =

(

a1 1 − r n

(

a1 1 − r n 1− r

) , y para mayor facilidad la

)

1− r

Ejemplo1. Encontrar la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 3, 6, 12,… Primero se obtiene el 10mo. término de la sucesión geométrica.

an = a1r n−1 a10 = 3(2)

10 −1

a10 = 1536

90


Ahora se aplica la fórmula de la serie.

Sn = S10 =

(

a1 1 − r n

)

1− r 3 1 − 2 10

(

)

1− 2 S10 = 3069 Ejemplo 2. Dada la progresión geométrica 5, 15, 45, 135,…, encontrar la suma de los primeros 8 términos. Se obtiene el 8vo. término de la sucesión geométrica.

a n = a1r n−1

a8 = 5(3 )

8 −1

"Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo"

a8 = 10935 Ahora se aplica la fórmula de la serie.

Sn = S8 =

a1 1 − r n

(

)

1− r 5 1− 38

)

(

Galileo Galilei

1− 3 S8 = 16400 Lo más importante de estas series es su aplicación en problemas reales, como los siguientes. 1.

Carolina compró una casa y pagará mensualmente $3000 durante el primer año, y cada año se aumentará la mensualidad en $200. ¿Cuánto pagará en total al cabo de los 10 años?

La sucesión aritmética de pago mensual es: $3000, $3200, $3400,… Sólo que habrá que estructurar una nueva secuencia por año y ésta es: $36000, $38400, $40800,… El 10mo. término de la sucesión aritmética anual es:

an = a1 + (n − 1)d

a10 = 36000 + (10 − 1)2400 a10 = 57600

BLOQUE 3

91

Ahora se aplica la fórmula de la serie.

n (a1 + an ) 2 10 (36000 + 57600 ) = 2 = 468000

Sn = S10 S10

Carolina pagará al cabo de 10 años $468000. 2.

En un cultivo de bacterias, el número de ellas se triplica cada día en ciertas condiciones de temperatura, nutrición y humedad. Si hay 1200 bacterias al final del primer día, ¿cuántas habrá después de 6 días?

La razón de crecimiento r es 3, por lo que el 6to. día crecerían:

an = a1r n−1

a6 = 1200(3)

6 −1

a6 = 291600 Ahora se aplica la fórmula de la serie para poder encontrar cuántas habrá en total al cabo de los 6 días.

Sn = S6 =

(

a1 1 − r n

1− r 1200 1 − 3 6

(

1− 3 S6 = 436800

Al final del sexto día habrá 436800 bacterias.

92


) )

Cierre Actividad 9: INSTRUCCIONES: Resuelve los s siguientes problemas. 1.

Una de las secciones de un au uditorio tiene 6 hileras de asientos. Si la primera tien ne 15 asientos, la segunda 13, la tercera 11, y así sucesivamente, hallar la capacidad de la sección.

2.

Si Abel empieza ahorrando $15 5 pesos y cada día ahorra $5 más, ¿cuánto habrá aho orrado al terminar el 30vo. día?

3.

Jaime gana un salario anual d de $9000 en la empresa donde labora. Su jefe le ha prometido un aumento de $1300 cada año, d durante los siguientes 5 años. ¿Cuánto ganará en tota al durante esos 5 años?

4.

El valor de un automóvil se dep precia un 10% cada año, si el precio de un automóvil es de $120,000. ¿Cuál sería su valor al cabo de 5 años?

5.

En una ciudad de 354,470 ha abitantes, la población crece a razón de 1.2% cada año. Estima la población dentro de 20 años.

6.

Una persona invierte $80,500 al 5% de interés capitalizable. ¿Qué cantidad de dinero d recibirá el inversionista al final de 4 años?

BLOQUE 3

93

Evaluación Actividad 9: Conceptual Reconoce términos de sucesiones y series aritméticas y geométricas.

Autoevaluación

94


Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica las sucesiones y series aritméticas y geométricas.

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad y aplicabilidad de las series y sucesiones aritméticas y geométricas.


Realiza transformaciones algebraica as I



Atributos a desarrollar en el bloq que: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediantte representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance e de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la informac ción y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus prrocesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congru uente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equiposs de trabajo.


Secuencia didáctica 1. Polinomios de una variable. Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: Completa la siguiente tabla.

Expresión

Base(s)

Exponente(s)

Desarrollo

Resultado

63

6

3

6 ⋅6 ⋅6

216

4

− (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2)

− 24

(− 2)4

4

−2

3y2

73 ⋅ 72 48 45

4

(5 )

5

3y2

(2 ⋅ 5 )4

2y5

4

3 2

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝5⎠

7⋅7 ⋅7 ⋅7 ⋅7

4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4 4⋅4⋅4⋅4⋅4

(5 )(5 ) = (5 ⋅ 5 ⋅ 5 )(5 ⋅ 5 ⋅ 5 ) 3

3

3

⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠

3


Producto: Complementación de la tabla

Conceptual Identificar las leyes de los exponentes

Saberes Procedimental Distingue las diferentes leyes de los exponentes.

Autoevaluación

96

REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Se interesa en la obtención del desarrollo de las leyes de los exponentes


Desarrollo Leyes de los exponentes. Actividad 2: INSTRUCCIONES: Realiza la siguie ente actividad en equipo y tomando como base la actividad anterior, determina a las leyes de los exponentes. Nombre Producto de potencias Potencia de potencias Potencia de un producto Potencia de una fracción División de potencias de igual base Potencia cero Potencia negativa

Ley

Condiciones

a∈R

a m ⋅ a n = a m+ n

n, m ∈N

Ejemplo de demostración 43 ⋅ 42 = 4 ⋅2 44 ⋅3 4. ⋅ 4{ ⋅4 = 1 4 3 veces

4

a∈R

(a )

m n

n, m ∈N a∈R

a, b∈R b ≠ 0 m∈N

⎛ a⎞ ⎜ ⎟ ⎝ b⎠

a∈R

am

a ≠ 0 n, m∈N

a

a∈R

am

a ≠ 0 m∈N

am

a, b ∈R

a−m

a, b ≠ 0 n, m∈N

b −n

n

=4

2 veces

5

En E la multiplicación de d dos bases iguales, los exponentes se suman s

= a m ⋅n

(a ⋅ b)m

n, m ∈N

3+2

Interpretación

= am ⋅ b m

m

=

am bm

= a m− n

= a m− m = a 0 = 1

=

bn am


Producto: Comple ementación de la tabla

Puntaje:

Conceptual Identificar las leyes de los exponentes

S Saberes Procedimental Distingue las diferrentes leyes de los exponentes. Demuestra las leyyes de los exponentes.

Actitudinal Se interesa en la demostración de las leyes de los exponentes. Muestra disposición al realizar la actividad.

Coevaluación

C

MC

NC


BLOQUE 4

97

Polinomios s. Polinomio. Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos t algebraicos. mbre Nom Monomio (mo ono=uno).

Definición Expresión algebraica que consta de un solo término Expresión algebraica que consta de dos términos Expresión algebraica que consta de tres términos Expresión algebraica que consta de dos o más términos. El binomio y el trinomio son casos especiales de polinomios.

Binomio (bi=d dos) Trinomio (tri=tres) Polinomio (po oli=varios)

Ejemplos 4 xy

3

6ab + 5a 2 3x 2 + x − 1 x 2 y 2 − 9z

− 2 a 2 + 7 ab + 3 b x 3 + 2x 2 + x + 5

Grado de un n polinomio. Es la suma mayor de los exponen ntes de cada término algebraico. Grado: 3+4=7 − 2 x 3 y + 6 x 3 y 4 − 5 xy

Términos

Actividad 3: INSTRUCCIONES: Completa la siguiente tabla. Exp presión 3

4

Nombre Polinomio

3

4 xy + 3 xy + x y − 3 x y

Grrado 5

3a4 b 2 + 5 a5 8 a2 b 5 − 7mn2 + 10m 6 n + 3 n x3 + 2x2 + x + 5 2 a2 b + 2 ab2 + 1 a3 b 3 3 5 4

Evaluación Actividad 3: Concep ptual Clasifica el grado y tipo de polinomios. Autoevaluación

98



Diferencia polinomios. C

Saberes Procedimental los tipos y grados

MC

NC

Punta aje:

de

Actitudinal Admite la necesidad de la clasifficación de polinomios para su uso posterior.


Operaciones con polinomios. Suma de polinomios. Para llevar a cabo la suma de polinomios es necesario identificar los términos semejantes, es decir, los términos que tengan las mismas variables con iguales exponentes, para así poder sumar dichos términos. Ejemplo 1. Marco Antonio es el supervisor en una compañía que distribuye carnes frías y debe realizar el inventario del mes, para ello, tiene que contar los productos que hay en almacén y compararlos con los productos que había en el inventario anterior y los que salieron a la venta; los productos que tiene que contar son: paquetes de salchicha, jamón, quesos, entre otros. PAQUETES EN ALMACÉN

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=4

+

+

+

=6

+

=8

+

+

Si a cada producto se le asigna una variable, se tendría la siguiente expresión. x + x + x + x = 4x y + y + y + y + y + y = 6y z + z + z + z + z + z + z + z = 8z

En otras palabras, los productos que hay en existencia en el almacén son:

4 x + 6y + 8z Existen varios métodos para sumar, pero realmente se basan en lo mismo, en identificar los términos semejantes y reducirlos. Uno de ellos es el método que todos aprenden en la primaria, en donde se acomodan las unidades, decenas, centenas, etc.

235 + 49 284 De la misma forma se acomodan los términos de un polinomio, acomodando los términos semejantes.

BLOQUE 4

99

Ejemplo 2. Para sumar lo os polinomios

7x3 + 3x2 + 5x + 6

y

9x2 − x − 2

Se acomodan n de la siguiente forma: 7x3 + 3x2 + 5x + 6 2

9x − 3

+

x−2

2

7 x + 12 x + 4 x + 4

Otra forma, ess hacerlo directo.

(7 x

3

) (

)

+ 3 x 2 + 5 x + 6 + 9 x 2 − x − 2 = 7 x 3 + 12 x 2 + 4 x + 4

El resultado 7 x 3 + 12 x 2 + 4 x + 4 ya no se puede reducir porque e no tiene términos de igual variable con la igual potencia (semejantes).

Actividad 4: INSTRUCCIONES: I. Reduce las siguientes expresiones, realizando las operaciones corres spondientes. 1)

x + 2y + 5x 2 y − 9 x + 7 x − 3 y − 12 x 2 y =

2)

3 2 − 5 3 + 2 − 11 3 + 5 2 + 20 3 =

3)

Sen x + 2 Cos 2 x + 5 Sen x − 3 Cos 2 x − 8 Sen x + Cos x =

4)

1 3 5 2 1 7 xy − ab + xy + ab − ab + xy = 2 4 2 3 6 2

5)

2 x 2 yz − 3 xy 2 z + 5 xyz 2 − 7 xxy 2 z − x 2 yz + 6 xyz 2 =

II. Encuentra el perímetro de la as siguientes figuras. 2)

1)

2m − 2

9 m + 11 5 2

3

3m + 9 3x

100

2

+ 2x − 1


Actividad 4 continuación: s2 − 4

3)

4s − 5

4)

s+1

r+4 3s2 − 7s + 4

3 r + 12

− a 2 + 19

3 a + 17 2 2

t 2 + 2t − 3 2

t + 5t − 11

5)

2 a − 17

2

6) a2 − 3 a − 29 5 4

t2 + 2

3 a 2 − 44

− 1 a + 19 2 4


Producto: Ejercicio os

Puntaje:

Conceptual Identifica las operaciones de suma y resta de polinomios.

S Saberes Proced dimental Ejecuta sumas y re estas de polinomios. Calcula perímetross de figuras geométricas.

Autoevaluación

C

NC

MC

Actitudinal Reflexiona respecto a la ventaja de realizar diferentes operaciones básicas con polinomios. Reconoce sus errores en los procedimientos algebraicos y busca solucionarlos.


Multiplicación o producto de polinomioss. Al igual que la suma en la primaria, tamb bién aprendieron a multiplicar mediante un algoritmo. Uno de los métodos para multiplicar pollinomios, parecido al que aprendieron es:

5x 2 − 3x + 2 ×

− 7x − 3

Glosario: Algoritmo. Secuencia de pasos que permite hallar la solución de un ejercicio o problema.

− 35 x 3 + 21x 2 − 14 x − 15 x 2 + 9 x − 6 − 35 x 3 + 7 x 2 − 5 x − 6 La forma que es más usada en este e nivel académico, es empleando la propiedad distributiva, se dice que se multiplican té érmino a término. BLOQUE 4

101

(5 x

2

− 3 x + 2 (− 7 x − 3 ) = −35 x 3 − 15 x 2

)

(5 x

2

− 3 x + 2 (− 7 x − 3 ) = −35 x 3 − 15 x 2 + 21x 2 + 9 x

(5 x

2

− 3 x + 2 (− 7 x − 3 ) = −35 x 3 − 15 x 2 + 21x 2 + 9 x − 14 x − 6

)

)

Posteriormente se reducen los términos semejantes, obteniéndose así el resultado final.

(5 x

2

)

− 3 x + 2 (− 7 x − 3 ) = −35 x 3 − 15 x 2 + 21x 2 + 9 x − 14 x − 6 = −35 x 3 + 7 x 2 − 5 x − 6

Pareciera que el proceso anterior es mucho más largo que el primer método, pero no es así, porque puedes realizar las multiplicaciones sin necesidad de separarlas por pasos, quedando así únicamente el último paso del segundo método.

Actividad 5: INSTRUCCIONES: Efectúa los siguientes productos y simplifica términos semejantes.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

(− 3 a )(1 − 4 abc + 5 a c ) = (3 x y )(3 x y + 2 xy − 4 ) = 4

2

2

4

2

3

3

27 2 2 ⎛ 4 2 ⎞⎛ 9 ⎞ m+ m n − n⎟ = ⎜ n ⎟⎜ 16 ⎝ 9 ⎠⎝ 16 ⎠

(m + 4)(m − 4) = (− 2a + 6b)(6b + 2a) = (− 4a − 7b)(− 7b + 4a) = (a − 7)(a + 4) = ( x + 5y )( x − 3 y ) = (2a − 4b)(2a + 3b) =

10) (4 a + 5 b) = 2

11) (3 x 2 − 2 y ) = 2

2

1 ⎞ ⎛ 12) ⎜ 3 a + b ⎟ = 2 ⎠ ⎝ 13) 14) 15)

( x − 3 )3 = (2a + 3 )3 = ( x − 5y )3 =

3 ⎞⎛ 1 3 ⎞ ⎛1 16) ⎜ x + y ⎟⎜ x + y ⎟ = 2 4 2 4 ⎝ ⎠⎝ ⎠ 17) (4a − 3b)(2a + 7b) =

18) (7 xy + 1)(2 xy − 3) = 102




Puntaje:

Saberes Procedimental Ejecuta multiplicaciones de polinomios.

Conceptual Identifica operaciones de multiplicación de polinomios.

C

Autoevaluación

MC

NC

Actitudinal Reconoce sus errores en los procedimientos algebraicos y busca solucionarlos.


Productos Notables. Dentro de los productos de polinomios existen productos notables1, reciben este nombre aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Los productos notables más conocidos son: Nombre Representación algebraica

Binomios conjugados

(a + b )(a − b ) = a 2

− b2

b a

= a

Representación gráfica

a2

ab

=

b

a2

Área = (a + b)(a − b)

=

1

ab

–

ab

b2

–

a2

Regla

–

+

b2

El producto de dos binomios conjugados es el cuadrado del término de signos iguales menos el cuadrado del término de signos diferentes.

http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

BLOQUE 4

103

Nombre Representación algebraica

Binomio al cuadrado (a + b )2 = a 2 + 2 ab + b 2

a2

a


b2

=

b a

ab =

+

+

b

Área = (a + b )

2

2ab

a2

b2

Regla

El cuadrado de un binomio es: el cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.


Binomios con un término común (a + b)(a + c) = a 2 + ( b + c)a + bc


c

ac

bc

a

a2

ab

a

b

Área = (a + b )(a + c )

a 2 + (b + c)a + bc

Regla

El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común más el producto de la suma de los términos no comunes con el término común más el producto de los términos no comunes.


Binomio al cubo (a + b )3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 a2 b ab2

b Representación gráfica

a a

+ b

Volumen = (a + b )

Regla

104

a 3

b

b

a2 b

a3

ab2 b3 a2 b ab2

a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 +

El binomio al cubo es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.


Actividad 6: INSTRUCCIONES: Efectúa los s siguientes productos notables utilizando la regla que corresponda.

2)

( x + 3)( x − 4) = ( x + 5)( x − 2) =

3)

(a + 2 )3

1)

4) 5) 6) 7) 8) 9)

=

(5 y − 2)(5 y − 2) = (− a − 5b)(− a + b) = (2 x − 1)3 = (u − a)2 =

(a − 7)(a + 7) = (7 xy + 1)(7 xy + 1) =

10) ( x + 2y ) = 3

11) (2m + 1)(2m + 1) =

12) (2m − 3n)(2m + 3n) =

13) (2n − 3)(3n + 1) = 14)

( x + 5 )3

=

15) ( x + a)( x − a) =

16) (3s + 2) = 2

17) (a + 8b)(a − 7b) = 2

1 ⎞ ⎛ 18) ⎜ x − y ⎟ = 2 ⎠ ⎝

19) (a + 11)(a + 4) =

20) (2a + 1)(2a − 1) =

21)

( x + 7 )2

=

22) (6 x − 2)(6 x − 4) = 23) ( x + 5)( x − 5) =

24) (2 x − 1) = 3

25) (5 x − 7)(5 x + 7) = Evaluación Actividad 6:


Puntaje:

Conceptual Identifica el producto de binomio, aplicando patrones de productos notables.

S Saberes Proce edimental Emplea productoss notables para determinar y expre esar el resultado de multiplicaciones d de binomios.

Actitudinal Reflexiona respecto a la ventaja de realizar diversas transformaciones algebraicas para simplificar o interpretar resultados. Reconoce sus errores en los procedimientos algebraicos y busca solucionarlos.

Autoevaluación

C

MC

NC


BLOQUE 4

105

Es común que en la solución de problemas cotidianos se utilicen expresiones algebraicas en las que se requiere aplicar operaciones fundamentales entre polinomios, como se muestra a continuación Ejemplo 1. Natalia es dueña de un predio rectangular cuyo largo es tres veces el ancho, y desea construir una refresquería de dimensiones cuadradas de 6m de lado. Natalia desea saber cuánta superficie libre le quedará después de construir. 6m 6m

x

3x

La superficie del predio es: (3 x )( x ) = 3 x 2

La superficie de la refresquería es: (6)(6) = 36 Por lo que la superficie restante es: 3 x 2 − 36 Ejemplo 2. Se desea construir una caja con un cartón cuadrado y se elabora recortando cuadrados en las esquinas de 5 cm de lado, como se muestra en la figura. Para expresar el volumen de la caja se procede de la siguiente manera: 5 x – 10 x

5

5

x – 10

5 x

x – 10 El volumen de la caja es: lado x lado x altura. La expresión algebraica que lo modela es: Volumen= ( x − 10)( x − 10)(5)

(

Volumen= 5 x 2 − 20 x + 100

)

Volumen = 5 x 2 − 100 x + 500

106


x – 10

Cierre Actividad 7: INSTRUCCIONES: En equipo enc cuentra la expresión algebraica que modela lo os siguientes problemas y desarrolla llas expresiones encontradas. 1. La suma de dos números es 14 y la a suma de sus cuadrados es 97.

2.

Valeria tiene 5 años más que Héc ctor y la suma de los cuadrados de sus edades dismin nuida en 15 es 322.

3.

La longitud de una sala excede all ancho en 4 m, si el ancho se aumenta 2m y el largo se duplica, el área será el tripe que la original.

4.

La sección amarilla vende su esspacio rectangular por cm2, los anunciantes deben incluir en los anuncios un margen de 1 cm po or cada lado. Una tienda de autoservicio contrata reg gularmente un anuncio de 375 cm2 (impresión y márgenes). Expresa el área de la impresión.

1 1

5.

Se compraron dos piezas de tela a que juntas miden 9 m, el metro de cada pieza co ostó lo mismo que los cuadrados de los metros comprados de cada pieza y además una costó 4 ve eces lo que la otra.

Evaluación Actividad 7: Conceptual Interpreta los problemas para obtener expresiones algebraicas. Identifica el tipo de expresiones obtenidas.

Producto: Problemas de aplicación

Puntaje:

S Saberes Procedim mental Propone estrateg gias para la representación de lo os problemas.

Actitudinal Aprecia el uso de polinomios en el planteamiento de problemas.

Utiliza productos n notables para el desarrollo de las exp presiones.

Propone maneras creativas de solucionar un problema. Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.

Coevaluación

C

MC

NC


BLOQUE 4

107

Secuencia a didáctica 2. Factorización de polinomios. Inicio

Sabías que… El hueso de Ishango es un largo hueso marrón, más específicamente, el peroné de un babuino, con un cuarzo incrustado en uno de sus extremos. Se piensa que se utilizaba para realizar conteos.

Muescas enc contradas en el hueso de Ishango, datan de más de 20,000 años, hecho que algunos a arqueólogos interpretan como la prueba del conocim miento de los números primos, debid do a que las muescas encontradas parecen aislar los s números primos: 11, 13, 17 y 19.

Actividad 1: INSTRUCCIONES: En n equipo, analicen las siguientes preguntas y al lllegar a una conclusión anoten su respuesta en el espacio correspondiente. 1.

¿Qué son los números primos?

2.

¿Cómo se obtienen los números p primos?

3.

Encuentra los números primos me enores de 100.

4.

Si el número 24 puede ser expressado en la multiplicación de los números primos 2 y 3, debido a que 24 = (2)(2)(2)(3) . Expresa los siguuientes números en sus factores primos. 6= 8= 36= 42= 54= 165=

108




Puntaje:

Conceptual Define los números primos.

Saberes Procedimental Analiza propuestas para la obtención de los números primos.

Actitudinal Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales.

Propone formas números primos.

de

encontrar

los

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.

Coevaluación

C

MC

NC


Desarrollo Así como los números se pueden descomponer en multiplicaciones de números primos, que comúnmente llamamos factores primos, los polinomios también son susceptibles de expresarlos en factores, es decir, expresarlos en la multiplicación de varias expresiones algebraicas más sencillas.

Factorización. Al proceso de expresar a los polinomios en factores se le denomina Factorización, y dependiendo del tipo de expresión que se desea factorizar es la técnica a utilizar. A continuación se mencionarán las técnicas más utilizadas a este nivel. Factor común. Consiste en extraer la expresión algebraica que esté presente en cada uno de los términos de una expresión más compleja, como se muestra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1. Para factorizar la expresión 12 x 2 + 18 x Se descompone en:

12 x 2 + 18 x = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ x + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ x Por lo que el factor que está presente en los dos términos algebraicos es:

2 ⋅3 ⋅ x La técnica que se utiliza para factorizar por factor común, es extraer el máximo número de factores que estén presentes en los términos para expresarla como una multiplicación de factores, como se muestra a continuación. 12 x 2 + 18 x = 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ (2 ⋅ x + 3 ) = 6 x (2 x + 3 )

Al observar el resultado, se concluye que la Factorización por factor común proporciona un monomio por un polinomio.

BLOQUE 4

109

La Factorización es el proceso inverso de la multiplicación de polin nomios, en particular de los produc ctos notables. A continuación se mostrarán ejemplos de Factorización por factor común. 1.

81x + 72 = 9 ( x + 8)

2.

y 2 − 3 y = y (y − 3)

3.

14 a 2 + 28 8 a = 14 a (a + 2 )

4.

25 x 3 + 10 0 x 2 = 5 x 2 (5 x + 2 )

5.

16 x 2 y 4 − 20 x 3 y 2 = 4 x 2 y 2 4 y 2 − 5 x

6.

32 m 3 n 4 − 16 m 4 n 2 + 8 m 2 n = 8 m 2 n 4 mn 3 − 2 m 2 n + 1

7.

− 25 a 2 c + 35 a 3 b − 10 a 2 b 2 c 2

8.

27 2 2 9 ⎛ 36 2 18 3 2 3 ⎞ xy + x y− x y = xy ⎜ 4 y + x 2 − xy ⎟ 25 10 5 ⎝ 5 5 2 ⎠

(

)

( ) = 5 a (− 5 c + 7 ab − 2 b c ) 2

2

2

Si notaste en los ejemplos anteriores, el número que se extrajo es el e que comúnmente se llama Máximo o Común Divisor que viste en la secundaria, y adem más, las variables son aquellas que ttienen la menor potencia o exponente.

Actividad 2: INSTRUCCIONES: En n equipo, factoricen las siguientes expresiones allgebraicas y comenten las dificulta ades que se presentaron. 1.

qx + qy + qn =

2.

26n + 13mn + 52m − 39m 2 n 2 =

3.

6 x 4 + 54 x 2

4.

12 x 2 − 15 x 3 + 12 x − 9 x 4 =

5.

42mn 2 + 18 m 2 n =

6.

9 4 5 27 5 3 18 3 3 3 2 2 a b = a b + a b − a b − 16 8 4 20 0

7.

20 x 4 − 12 x 3 + 4 x =

8.

10a3 b 4 c 5 − 5 a2 b 2 c 2 + 25ab2 c 4 =

9.

− 16r 3 s 3 − 8r 3 s + 4 s 6 − 2r 2 s 3 =

10. 5c 2 x 5 − 25c 2 x 2 − 12c 4 x 2 = Evaluación Actividad 2:


Puntaje:

Conceptu ual Comprende las té écnicas de extracción de facttor común simple y por agrupación.

Saberes Procedimental Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de Factorización.

Actitudinal Propone maneras creativas de solucionar los ejercicios. Tiene aperttura para hacer las anotaciones individuales. Respeta a los l integrantes en el proceso de e comunicación.

Coevaluac ción

110


C

MC

NC

Calificación otorgada por p el docente

Diferencia de cuadrados. En la secuencia anterior, se trabajó con los binomios conjugados y su producto da como resultado diferencia de cuadrados. ( x + a)( x − a) = x 2 − a 2 Así que se puede escribir:

x 2 − a 2 = ( x + a)( x − a)

La diferencia de cuadrados tiene como requisito, poseer dos términos, uno positivo y el otro negativo, además, tener potencias pares, cuadradas, cuartas, sextas, etc. Ejemplo 1. Para factorizar 16 x 2 − 9 y 2 se necesita representar cada término como expresiones elevadas al cuadrado. 16 x 2 − 9 y 2 = (4 x ) − (3 y ) 2

2

Como las bases de las expresiones elevadas al cuadrado son 4x y 3y éstas serán los términos de los binomios conjugados, en donde 4x representará al término de signos iguales y 3y a los términos de signos diferentes, como se muestra a continuación. signos positivos

⎧(4 x + 3 y )(4 x − 3 y ) ⎪ 16 x − 9 y = ⎨ ⎪(− 4 x + 3 y )(− 4 x − 3 y ) ⎩ 2

2

Eratósthenes de Cirene (276 – 194 A C) Trabajó en geometría y en números primos. Ideó un método con el cual pudo medir la longitud de la circunferencia de la tierra.

signos negativos

Realiza los productos de ambos resultados para que compruebes que las dos opciones son factorizaciones que provienen de la misma diferencia de cuadrados. Como observamos en el ejemplo anterior, dos son las opciones de Factorización, pero convencionalmente se toma sólo un resultado y es el positivo. Como antes se mencionó, las potencias pueden ser pares, ahora se ejemplificará con diferencias de cuadrados que poseen exponentes pares mayores que dos. Ejemplo 2. Al igual que en el ejemplo anterior, 144u 6 − 36 requiere ser expresado como potencias cuadradas.

(

144 u 6 − 36 = 12 u 3

) − (6 ) 2

2

BLOQUE 4

111

Ahora se exp presan los binomios conjugados, tomando únicam mente uno de los dos resultados po osibles, el positivo.

(

)(

144 u 6 − 36 = 12 u 3 + 6 12u 3 − 6

)

Actividad 3: INSTRUCCIONES: En equipo, factoricen las siguientes expresiones s algebraicas y comenten las dificu ultades que se presentaron.

1.

a 2 − 16 =

2.

4 − y2 =

3.

m2 n2 − 1 =

4.

25 r 2 − 9 s 2 =

5.

x 4 − 121 =

6.

81a2 − 169b 2 =

7.

− 9c 6 + 49 =

8.

25 2 x −9 = 16

9.

−

10.

9 2 49 x + y = 4 64

36 x 4 9y 2

− 121x 2 y 4 z 6 =

Evaluación Actividad 3: Conceptual Comprende las té écnicas de Factorización bassadas en productos notable es, como es la diferencia de cu uadrados.


Puntajje:

Saberes Procedimental Utiliza las técnicas para encontrar la Factorización de diferencia de cuadrados.

Actitudinal Propone maneras creativas de solucionar los ejercicios. Tiene apertura para hacer las anotac ciones individuales. Respe eta a los integrantes en el proc ceso de comunicación.

Coevalua ación

112


C

MC

NC


Trinomios cuadrados perfectos. Este tipo de trinomios son perfectos porque provienen de desarrollar un binomio al cuadrado

(a + b ) 2

= a 2 + 2 ab + b 2

Visto de otra forma, el trinomio tiene que cumplir los siguientes requisitos para poder expresarse como un binomio al cuadrado.

a2 + 2 ab + b 2

±a

±b

Los términos deben tener raíz cuadrada exacta, recordando que una raíz cuadrada puede tener dos posibles resultados.

2 ab El doble producto de las raíces debe cumplir con el término de en medio del trinomio, dependiendo del signo de este término, se eligen las raíces de igual o diferente signo.

Ejemplo 1. Para factorizar 4 x 2 + 12 x + 9 es necesario extraer las raíces del primer y tercer término y al duplicar la multiplicación de sus raíces debe dar como resultado 12 x , sólo así se podrá expresar como un binomio al cuadrado.

4 x 2 + 12 x + 9 ±2x

±3

Sólo ahora que se comprobaron las condiciones se puede expresar como: 4 x 2 + 12 x + 9 = (2 x + 3 )

12 x Coincide el doble producto con el término de en medio, y como es positivo, se eligen las raíces del mismo signo, conviene más elegir las positivas.

2

Nótese que los términos que forman al binomio al cuadrado son las raíces encontradas.

BLOQUE 4

113

Ejemplo 2 Ahora, al facto orizar x 2 − 10 x + 25 y verificar las condiciones, su Fa actorización queda:

x 2 − 10 x + 25 ±x

La Factorización queda:

±5

x 2 − 10 x + 25 = ( x − 5 )

−10 x En este caso se requiere elegir las raíces de diferente signo para que coincida también el signo del término de en medio.

2

Nótese que los términos que forman al binomio al cuadrado son las raíces encontradas pero con diferente signo.

Actividad 4: INSTRUCCIONES: E En equipo, factoricen las siguientes expresiones algebraicas y comenten las dificulltades que se presentaron.

1.

x 2 + 14 x + 49 =

2.

y 2 − 20 y + 100 =

3.

4 x 2 − 20 x + 25 =

4.

x 2 − 6 xy + 9 y 2 =

5.

25a 2 + 60ab + 36b 2 =

6.

x2 − x + 1 = 4

7.

m2 +

8.

16 x 4 − 40 x 2 y + 25 y 2 =

9.

4 − 20 r + 25 r 2 =

1 1 m+ = 2 16

10. 24 xy 2 + 9 x 2 + 16 y 4 =

114


Evaluación Actividad 4: Conceptual Comprende las técnicas de Factorización basadas en productos notables, como son los trinomios cuadrados perfectos


Puntaje:

S Saberes Proc cedimental Utiliza las técnica as para encontrar la Factorización de trinomios cuadrados perfectos.

Actitudinal Propone maneras creativas de solucionar los ejercicios. Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.

C

Coevaluación

MC

NC


Cierre Actividad 5: INSTRUCCIONES: Factoriza las s siguientes expresiones algebraicas, e identifica la a técnica utilizada al factorizar.

Polinomio

Factorización

Nombre N de la técnica utilizada

19 x 2 y 2 − 27 x 3 y 4 z + 3 xyz + 18 x 5 y 2 z = 22 Cos x + 44 Cos 2 x − Cos 3 x + 11Cos 5 x =

m 2 − 121 =

5 xy( x + y ) − 2y( x + y ) − ( x + y ) − 15x( x + y ) = 9 x 2 − 30 xy 2 + 25 y 4 = 25 6 x −1= 49

12a2 b 3 + 28ab 2 − 16a 2 b − 32ab b3 = 28 4 14 7 21 6 6 m n+ mn 4 p − m5n5 p5 − m p = 25 15 30 5

m 2 − 2 mn + n 2 = x 4 − 36 = 11 2 3 22 2 3 2 44 33 a b c− a b c + ab 4 − bc = 15 30 5 10

16 x 2 + 40 x + 25 =

BLOQUE 4

115



Puntaje:

Conceptual Comprende las técnicas de Factorización basadas en productos notables.



Distingue las diferentes formas de Factorización.

Establece relaciones entre procesos inversos al multiplicar y factorizar.

Autoevaluación

116


C

MC

NC

Considera a la Factorización como un proceso que facilita procesos algebraicos.


Realiza transformaciones algebraicas s II


Construye e interpreta modelos aritmé éticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y exp presiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y em mpleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas a aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explica ar y describir su realidad. Identifica las características presentes en n tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y loss traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.



Secuencia didáctica 1. Continuación de Factorización de polinomios. Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: En equipo, analicen las siguientes preguntas y al llegar a una conclusión anoten su respuesta en el espacio correspondiente.

1.

Desarrolla los siguientes factores:

( x + 3)(2 x − 5 ) = (3 x − 2)(4 x + 1) =

118

2.

Analizando el desarrollo de los binomios anteriores, describe una técnica para factorizar x 2 − x + 20

3.

Factoriza el polinomio anterior y comprueba la técnica que escribiste.

4.

Describe una técnica para factorizar 10 x 2 + 29 x − 21

5.

Factoriza el polinomio anterior y comprueba la técnica que escribiste.

REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II

Evaluación Actividad 1: Conceptual Comprende la multiplicación de polinomios en particular de productos notables.


Puntaje:

Saberes Procedimental Establece relaciones entre procesos inversos al multiplicar y factorizar.

Actitudinal Propone maneras creativas de solucionar los ejercicios.

Formula técnicas de Factorización.

Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.

Coevaluación

C

MC

NC


Desarrollo Continuación de factorización. Como el nombre de la secuencia lo dice, es la continuación de la Factorización de polinomios. En la secuencia anterior se desarrollaron las técnicas para factorizar diferencias de cuadrados, factor común y trinomios cuadrados perfectos. Ahora se desarrollarán técnicas para los trinomios que no son cuadrados perfectos. Los trinomios que se factorizarán son los de la forma ax 2 + bx + c Este trinomio proviene del producto de dos binomios. A este trinomio se le conoce como expresión cuadrática, donde:

ax 2 bx c

es el término de segundo grado o cuadrático es el término lineal es el término independiente

“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles"

Descartes

Primero se abordará el caso en donde a = 1 Trinomios de la forma x 2 + bx + c Analizando los siguientes ejemplos se desarrollará la técnica para factorizar este tipo de trinomios. Ejemplo1. Siguiendo la regla en el producto de ( x + 3 )( x + 4 ) , se obtiene:

( x + 3 )( x + 4 ) =

x 2 + (3 + 4 ) x + (3 )(4 )

= x 2 + 7 x + 12

.

Para encontrar el proceso inverso (Factorización), se requiere encontrar dos números que multiplicados den el término independiente y sumados o restados proporcionen el coeficiente del término lineal.

BLOQUE 5

119

Para factorizar x 2 + 7 x + 12 se debe hallar dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7. Esta es la única pareja que cumple con las dos condiciones

Números probables 3,4 – 3, – 4

Multiplicados

(3 )(4 ) = 12 (− 3)(− 4 ) = 12

Sumados 3+4 =7 − 3 − 4 = −7

Para expresar la Factorización, se acomodan en los factores el término igual, que en este caso es x, y los números encontrados, como se muestra a continuación: x 2 + 7 x + 12 = ( x + 3 )( x + 4 )

Realiza el producto de los factores encontrados para que compruebes que la Factorización está bien realizada. Ejemplo 2. Ahora se factorizará la expresión x 2 − 10 x + 24 Se tiene que encontrar dos números que multiplicados den 24 y que sumados den –10. Números probables 1, 24

(− 1)(− 24 ) = 24 (2)(12) = 24 (− 2)(− 12 ) = 24 (3 )(8) = 24 (− 3)(− 8) = 24 (4 )(6) = 24 (− 4 )(− 6) = 24

– 1, – 24 2, 12 – 2, – 12 3, 8 Esta es la única pareja que cumple con las dos condiciones

Multiplicados (1)(24) = 24

– 3, – 8 4, 6 – 4, – 6

Sumados 1 + 24 = 25 − 1 − 24 = − 25 2 + 12 = 14 − 2 − 12 = − 14 3 + 8 = 11 −3 − 8 = −11 4 + 6 = 10 − 4 − 6 = −10

Por lo que la Factorización resulta: x 2 − 10 x + 24 = ( x − 4 )( x − 6 )

También se podría expresar como, x 2 − 10 x + 24 = ( x − 6 )( x − 4 )

Esto debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, que en otras palabras se le conoce como “el orden de los factores no altera el producto”. A medida que practiques las factorizaciones de este tipo, visualizarás con mayor rapidez los números que cumplen con las dos condiciones, posiblemente los encuentres antes de buscar los números probables.

120


Ejemplo 3. Para factorizar x 2 + 2 x − 35 , se tiene que encontrar dos números que multiplicados den − 35 y restados den 2. ¿Por qué ahora se dice restados? Por la simple razón de que la multiplicación debe ser − 35 , para ello, tendría que ser un número negativo y el otro positivo, y al ser de diferente signo ya no sería una suma sino una resta. Números probables 1, – 35 – 1, 35 5, – 7 – 5, 7

Multiplicados

(1)(− 35) = −35 (− 1)(35) = −35 (5)(− 7) = −35 (− 5)(7 ) = −35

Restados 1 − 35 = − 34 −1 + 35 = 34 5 − 7 = −2 −5 + 7 = 2

Esta es la única pareja que cumple con las dos condiciones

La Factorización se expresa: x 2 + 2 x − 35 = ( x − 5 )( x + 7 )

Ejemplo 4. Para factorizar x 2 − 12x − 13 , se tiene que buscar dos números que multiplicados den − 13 y restados − 12 . Sin necesidad de hacer la tabla de los números probables, la única pareja que cumple con las dos condiciones es − 13 y 1 , quedando de esta forma la Factorización. x 2 − 12 x − 13 = ( x − 13 )( x + 1)

“No podemos resolver problemas usando el mismo tipo de pensamiento que usamos cuando los creamos.” Albert Einstein

BLOQUE 5

121

Actividad 2: INSTRUCCIONES: En equipo, factoricen las siguientes expresiones algebraicas y comenten las dificultades que se presentaron.

1.

x 2 + 16 x + 63 =

2.

x 2 − 5 x − 36 =

3.

y 2 − 23 y + 132 =

4.

m2 − 5m − 66

5.

a2 + 8a − 20 =

6.

2 + x 2 − 3x =

7.

y 2 − 54 − 3 y =

8.

x 2 − 17 x + 52 =

9.

u 2 + 6u − 40 =

10. x 2 + 9 x + 14 =

Evaluación Actividad 2: Conceptual Comprende las técnicas de Factorización basadas en productos notables, como son los trinomios de la forma 2

x + bx + c .

Coevaluación

122



Puntaje:

Saberes Procedimental Utiliza las técnicas para encontrar la Factorización de trinomios de la forma


x 2 + bx + c . Aplica de forma correcta las leyes de los signos y la descomposición de números. C

MC

NC



Trinomios de la forma ax2 + bx + c , con a ≠ 0, 1 Este tipo de polinomios son generados al multiplicar binomios de diferentes términos, como:

(3 x − 2)(4 x + 5 ) = 12 x 2 (3 x − 2)(4 x + 5 ) = 12 x 2

+ 15 x − 8 x − 10 + 7 x − 10

Analizando los coeficientes obtenidos, 12 se obtuvo de multiplicar (3 )(4 ) 7 se obtuvo de sumar los productos (3 )(5 ) + (− 2)(4 ) − 10 se obtuvo de multiplicar (2 )(− 5 )

Todo con base en los coeficientes de los binomios.

Euclides (365 – 300 A C) Fue quien escribió la famosa obra titulada “Los elementos Geométricos” compuesta de 13 libros.

A continuación se generaliza el trinomio para obtener la técnica que se utilizará en este tipo de factorizaciones. ax 2 + bx + c = (d x + e )(f x + g )

a = (d )(f ) b = (d )(g ) + (e )(f ) c = (e )(g ) Ejemplo 1. Para factorizar 5 x 2 − 13 x − 6 se requiere encontrar los coeficientes d, e, f y g , los cuales se obtienen con los posibles factores de los coeficientes conocidos del trinomio, como se muestra a continucación.

5 = (d )(f )

− 13 = (d )(g ) + (e)(f ) − 6 = (e)(g )

Por facilidad primero se buscarán los extremos

Dos números que multiplicados den 5 da como opciones:

d=5 y f =1 d = −5 y f = −1

d =1 y f = 5 d = −1 y f = −5

Ambas opciones con el mismo signo.

BLOQUE 5

123

Dos números que multiplicados den − 6 da como opciones: e = 3 y g = −2 e = −3 y g = 2

e = −2 y f = 3 e = 2 y f = −3

e = −6 y f = 1 e = 6 y f = −1

e = 1 y f = −6 e = −1 y f = 6

El término de en medio sirve para comprobar las posibles asignaciones que se le den a d, e, f y g . Ahora se asignarán 4 opciones para realizar la Factorización. Si d = 5 , f = 1, e = 3 y g = −2 los factores se expresan,

(dx + e)(f x + g ) = (5 x + 3 )( x − 2) (e)(f )

6

(d )(g )

−10

Pero debe de cumplir con que la suma del producto de extremos y medios es igual a − 13

(d )(g ) + (e )(f ) = −10 + 6 = −4 Como se ve en la operación anterior, resultó − 4 y debía de ser − 13 , por lo que la asignación propuesta para los coeficientes de los binomios es incorrecta, debe de probarse con otra asignación. Ahora se probará con la siguiente asignación. Si d = 5 , f = 1, e = 2 y g = −3 los factores se expresan ,(dx + e )(f x + g ) = (5 x + 2 )( x − 3 )

(e)(f ) (d )(g )

Pero debe de cumplir con que la suma del producto de extremos y medios es igual a − 13

2 −15

(d )(g ) + (e)(f ) = −15 + 2 = −13 Como cumple con que la suma de los productos de los extremos y medios es − 13 , entonces se encontró la asignación correcta. Por lo que se puede expresar la Factorización. 5 x 2 − 13 x − 6 = (5 x + 2 )( x − 3 )

124


Actividad: 3 INSTRUCCIONES: En equipo, factoricen las siguientes expresiones algebraicas y comenten las dificultades que se presentaron.

1.

5 x 2 − 14 x − 3 =

2.

8 x 2 − 10 x + 3 =

3.

3 x 2 + x + −10 =

4.

3 x 2 − 13 x + 4 =

5.

4 y 2 + 3 y − 10 =

6.

14u 2 + 23u − 15 =

7.

9 x 2 − 11x + 2 =

8.

6t 2 − 19t + 10 =

9.

6m2 − 20m − 16 =

10. 5 x 2 − 2 x − 7 =

Evaluación Actividad 3: Conceptual Comprende las técnicas de Factorización basadas en productos notables, como son los trinomios de la forma 2

ax + bx + c .

Coevaluación


Puntaje:

Saberes Procedimental Utiliza las técnicas para encontrar la Factorización de trinomios de la forma


ax 2 + bx + c . Aplica de forma correcta las leyes de los signos y la descomposición de números. C

MC

NC



BLOQUE 5

125

Cierre Actividad 4: INSTRUCCIONES: Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

1.

4 x 2 − 4 xy − 3 y 2 =

2.

x 2 − x + 90 =

3.

m2 − 7m + 12 =

4.

7x 2 − 6x − 1 =

5.

9 x 2 − 30 xy 2 + 25 y 4 =

6.

10 x 2 − 13 x − 3 =

7.

6 y 2 − 17 y + 5 =

8.

x 2 − 9 xy + 20 y 2 =

9.

2m 2 − mn − n 2 =

10. 8 x 2 − 6 xy + y 2 =



Puntaje:

Conceptual Comprende las técnicas de Factorización basadas en productos notables.



Distingue las diferentes formas de Factorización.

Establece relaciones entre procesos inversos al multiplicar y factorizar.

Autoevaluación

126


C

MC

NC

Aprecia a la Factorización como un proceso que facilita procesos algebraicos.


Secuencia didáctica 2. Fracciones algebraicas. Inicio Actividad: 1 INSTRUCCIONES: I. Encuentra los factores primos de las siguientes fracciones, para simplificarlas. 1)

630 = 525

2)

⎛ 15 ⎞⎛ 28 ⎞ ⎜ ⎟⎜ − ⎟= ⎝ 14 ⎠⎝ 45 ⎠

II. Coloca en el cuadro “V” si es verdadera o “F” si es falsa la simplificación aplicada en cada una de las siguientes fracciones.

1)

a+ b a+ b b = = a+ c a+ c c

2)

(a − 3 b )(4 + 7 b ) = (a − 3 b )(4 + 7 b ) = (4 + 7 b ) (a − 3 b )4 − 7 b (a − 3 b )4 − 7 b 4 − 7 b

3)

a3 + b a3 + b = = a2 + b a a

4)

− 3 b(4 + 7 b ) 3(4 + 7 b ) = − b(4 − 7 b ) (4 − 7 b )

5)

2 − 5x 2 − 5x 2 − x = = 5a 5a a

6)

an an a = = bn b n b

Evaluación Actividad 1: Conceptual Reconoce la forma correcta de simplificar fracciones.


Puntaje:

Saberes Procedimental Realiza descomposición de números. Efectúa simplificaciones correctamente.

Actitudinal Reconoce sus errores en los procedimientos algebraicos y busca solucionarlos. Aprecia a la Factorización como un proceso que facilita procesos algebraicos.

Autoevaluación

C

MC

NC


BLOQUE 5

127

Desarrollo Fracción algebraica. Es un cociente que posee expresiones algebraicas, tanto en el numerador como en el denominador. Debido a que en planteamientos posteriores de problemas cotidianos se encontrarán múltiples expresiones tan complejas como lo son las fracciones algebraicas, es muy importante simplificarlas. Para poder simplificar las expresiones algebraicas, en la mayoría de los casos, se requiere de la Factorización. El principio fundamental de una fracción es: Si cada miembro de una fracción se multiplica o se divide por una cantidad diferente de cero, el valor de la fracción no se altera. a an = b bn

a a÷n = b b÷n

También en las fracciones se tienen que considerar los signos, tanto de la fracción, del numerador y denominador. A continuación se visualizan las diferentes formas de presentar a los signos. 1)

a −a a −a = = − = − b −b −b b

2) −

a −a a = = b b −b

Multiplicación de fracciones. Recordando, las fracciones se multiplican multiplicando numerador con numerador y denominador con denominador.

a c ac ⋅ = b d bd Ejemplo 1. Para simplificar la fracción:

x 2 − 25

x 2 − 3 x − 10 esto se logrará mediante la Factorización.

x 2 − 25 2

x − 3 x − 10

128


=

( x − 5)( x + 5) ( x − 5)( x + 2)

, es necesario expresarla como producto, y

Una de las condiciones para poder eliminar el término igual, tanto en el numerador como en el denominador, es que sea una cantidad diferente de cero, debido a eso: Si x ≠ 5 entonces se puede llevar a cabo la eliminación.

( x − 5 )( x + 5 ) = ( x − 5 )( x + 5 ) = ( x − 5 )( x + 2 ) ( x − 5 )( x + 2 )

x+5 x+2

Ejemplo 2. ⎞⎛ 3 x 2 − 13 x − 10 ⎞ ⎛ x2 − 9 ⎟ es necesario ⎟⎜ Ahora al simplificar las fracciones ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎟⎜ ⎝ x − 8 x + 15 ⎠⎝ x + 5 x + 6 ⎠ convertirlas a sus factores. ⎞⎛ 3 x 2 − 13 x − 10 ⎞ ( x + 3 )( x − 3 )(3 x + 2 )( x − 5 ) ⎛ x2 − 9 ⎟ ⎟⎜ ⎜ , para poder eliminar los ⎜ x 2 − 8 x + 15 ⎟⎜ x 2 + 5 x + 6 ⎟ = ( x − 5 )( x − 3 )( x + 3 )( x + 2 ) ⎠ ⎠⎝ ⎝ términos iguales en el numerador y denominador, tiene que considerarse que x ≠ 5, 3, − 3 , puesto que estos valores hacen el denominador cero. El valor de x = −2 también convierte el denominador en cero, lo cual provoca que la fracción no exista, pero no sería un condicionante para la eliminación.

Así que tomando en cuenta estos valores, se puede hacer la eliminación.

( x + 3 )( x − 3 )(3 x + 2)( x − 5 ) = 3 x + 2 ( x − 5 )( x − 3 )( x + 3 )( x + 2 ) x + 2

Ejemplo 3. En este caso, el denominador es un monomio por lo que habrá que factorizar sólo el numerador 35 x 6 − 15 x 5 + 20 x 4 − 10 x 3 + 45 x 2 5x

2

=

(

5x2 7x4 − 3x3 + 4x2 − 2x + 9 5x

)

2

La condición es x ≠ 0 , por lo que eliminando el término queda:

(

)

5 x2 7 x4 − 3x3 + 4 x2 − 2x + 9 = 7 x4 − 3 x3 + 4 x2 − 2x + 9 5 x2

BLOQUE 5

129

Actividad 2: INSTRUCCIONES: Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

1.

2.

12 x 5 y 3 z 6 + 18 x 4 y 5 z 2 6x4 y 3 z2

3x 4 + 7x 3 + 2x 2 x 3 + 7 x 2 + 10 x

=

=

3.

⎛ s 2 + 2 s − 63 ⎞⎛ s 2 + 5 s − 6 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ s 2 + 2 s − 24 ⎟⎜ s 3 + 8 s 2 9 s ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠

4.

⎛ 5a 2 + 7a - 24 ⎞⎛ a − 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ a 2 − 6 a + 8 ⎟⎜⎝ 5 a − 8 ⎟⎠ = ⎠ ⎝

5.

⎛ 2t 2 3t − 2 ⎞⎛ 3t 2 − 19t + 6 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ 3t 2 − 7t + 2 ⎟⎜ 2t 2 − 11t − 6 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠

Actividad 2: Conceptual Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser simplificadas.

Autoevaluación

130


Evaluación Producto: Ejercicios

Puntaje:

Saberes Procedimental Utiliza una o varias técnicas de transformación para descomponer un polinomio en factores.

Actitudinal Actúa de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados.

Obtiene factores comunes, factorizando con las técnicas aprendidas y reduce éstos. C MC NC Calificación otorgada por el docente

División de fracciones. Para dividir las fracciones, se multiplica como se muestra a continuación. a b = ad c bc d

a c ad ÷ = ó b d bc

Para poder eliminar términos iguales es necesario efectuar la división y las factorizaciones, o si se desea primero factorizar y posteriormente hacer la división. El punto es que sólo cuando todos los términos están expresados como multiplicación se puede llevar a cabo la eliminación. Ejemplo 1.

Para simplificar la expresión

2x2 + x − 3 2

x + 4x − 5

÷

2x 2 + 7x + 6 2

2 x + 11x + 5

2x2 + x − 3 x2 + 4 x − 5

=

÷

2x2 + 7 x + 6 2 x 2 + 11x + 5

(2 x + x − 3)(2 x (x + 4 x − 5)(2 x 2

2

2 2

, se llevará a cabo la división.

) + 7 x + 6)

+ 11x + 5

Ahora se realizan las factorizaciones correspondientes.

(2 x + x − 3)(2 x (x + 4 x − 5)(2 x 2

2

2 2

) = (2 x + 3)( x − 1)(2 x + 1)( x + 5) ( x + 5)( x − 1)(2 x + 3)( x + 2) + 7 x + 6)

+ 11x + 5

La condición para hacer la eliminación: x ≠ −5, 1, − 3 2

(2 x + 3 )( x − 1)(2 x + 1)( x + 5 ) = 2 x + 1 ( x + 5 )( x − 1)(2 x + 3 )( x + 2 ) x + 2

Sitios Web recomendados: Revisa el siguiente sitio para que practiques tus conocimientos. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/tema3_ccs s_eda05/entrada.htm

BLOQUE 5

131

Actividad 3: INSTRUCCIONES: Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

1)

2 a2 + a − 3 2 a2 + 7 a + 6 ÷ = a 2 + 4 a − 5 2 a 2 + 11a + 5

2)

6x2 − 5x + 1 2x2 + 3x − 2 ÷ 2 = 3 x 2 − 10 x + 3 x + 5x + 6

3)

4)

5)

6x2 + x − 1

⋅

x2 − x − 6

2x2 + 5x + 2 3x2 − 7x + 2

=

x2 − 9 x 2 + 6 x − 27 ÷ = 5 x + 15 10 x 2 + 90 x

12 x 2 + 16 x − 3 2

4 x − 8 x − 21

÷

6 x 2 + 23 x − 4 2 x 2 + 3 x − 20

=

Evaluación Actividad 3: Conceptual Identifica expresiones racionales con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser simplificadas. Reconoce expresiones racionales en forma simplificada a partir de factores comunes y la división de polinomios. Autoevaluación

132



Puntaje:



Obtiene y reduce factores comunes, factorizando con las técnicas aprendidas. Ejecuta divisiones entre polinomios.

C

MC

NC


Cierre

Actividad 4: INSTRUCCIONES: En equipo, simplifiquen las siguientes fracciones algebraicas. 1.

2.

3.

4.

⎛ 10 x 2 − 3 x − 1 ⎞⎛ 15 x 2 + 7 x − 2 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 25 x 2 − 1 ⎟⎜ 6 x 2 + x − 2 ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠

7 x 2 − 35 x 2 − x − 20

÷

21x 2 + 21x x 2 − 16

=

⎛ 3 x 2 − 12 x ⎞⎛ x 2 − x ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ x 2 − 1 ⎟⎜ 5 x 2 − 20 x ⎟ = ⎝ ⎠⎝ ⎠

12 x 2 + 16 x − 3 2

4 x − 8 x − 21

÷

6 x 2 + 23 x − 4 2 x 2 + 3 x − 20

=

5.

⎛ x 2 + 9 x + 18 ⎞⎛ 5 x − 25 ⎞ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎝ 5 x + 15 ⎟⎠ = ⎜ x−5 ⎠ ⎝

6.

⎛ m2 + 2m ⎞⎛ m2 − 2m − 8 ⎞⎛ m2 + 4 m ⎞ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎜ m2 − 16 ⎟⎜ m3 + m2 ⎟⎜ m2 + 4 m + 4 ⎟ = ⎠ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝

BLOQUE 5

133

Actividad 4 continuación: 7.

8.

9.

⎛ x 2 + 7 x + 10 ⎞⎛ x 2 − 3 x − 4 ⎞⎛ x 2 − 2 x − 3 ⎞ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎜ x 2 − 6 x − 7 ⎟⎜ x 2 + 2 x − 15 ⎟⎜ x 2 − 2 x − 8 ⎟ = ⎠ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝

⎛ 6 x 2 + x − 2 ⎞⎛ 5 x 2 + 9 x − 2 ⎞⎛ 6 x 2 + 18 x ⎞ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎜ 6 x 2 + 4 x ⎟⎜ 2 x 2 + 5 x − 3 ⎟⎜ 5 x 2 + 9 x − 2 ⎟ = ⎠ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝

x 2 − 14 x + 48 x 2 − 17 x + 72

÷

x 2 − 3 x − 18 x 2 − 7 x − 18

=

⎛ x 2 − 13 x + 36 ⎞⎛ x 2 − 100 ⎞ x 2 + 6 x − 40 ⎟⎜ ⎟ 10. ⎜⎜ ⎟⎜ x 2 − 2 x − 63 ⎟ ÷ x 2 + 5 x − 14 = x2 − 4 ⎝ ⎠⎝ ⎠

Evaluación Actividad 4: Conceptual Identifica diferentes operaciones algebraicas, susceptibles de ser simplificadas mediante la eliminación de factores. Reconoce las condiciones para que se lleve a cabo una eliminación.

Coevaluación

134



Puntaje:



Obtiene y reduce factores comunes, factorizando con las técnicas aprendidas.

Propone maneras creativas de solucionar los ejercicios.

Ejecuta divisiones entre polinomios.

Tiene apertura para hacer las anotaciones individuales.

Escribe expresiones racionales en forma simplificada utilizando factores comunes y la división de polinomios. C

MC

NC

Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.


Resuelve ecuaciones lineales I





Secuencia didáctica 1. Ecuaciones lineales. Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: Analiza las siguientes preguntas y contesta correctamente cada una de ellas.

1.

Alicia y Arturo tienen un total de $342 en sus alcancías. Si Arturo tiene $105 más que Alicia, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

2.

La edad de Jacinto es el doble de la edad de Perla y entre los dos tienen 48 años. Encuentra la edad de cada uno.

136

3.

Grafica la recta 3 x + 2 y = 6

4.

GIGANTE ofrece un 50% de descuento al precio marcado de un artículo y aún así obtiene una utilidad de un 8%. Si le cuesta $15.60 cada artículo, ¿cuál debe ser el precio marcado?

RESUELVE ECUACIONES LINEALES I

Evaluación Actividad 1: Conceptual Identifica los conocimientos previos que posee de ecuaciones lineales.


Puntaje:

Saberes Procedimental Aplica diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales.

Analiza y modela situaciones empleando ecuaciones lineales. Autoevaluación

C

MC

NC

Actitudinal Aprecia la importancia de la conexión de sus conocimientos de secundaria con los actuales.


Desarrollo Despeje de ecuaciones lineales. En bloques anteriores has encontrado cómo un problema cotidiano lo puedes representar con lenguaje algebraico y viceversa, también manejaste el uso de tablas y comportamientos recurrentes en series y sucesiones; todo este conocimiento se verá reflejado en el presente tema, ya que a partir de aquí, empezarás a resolver problemas, no sólo a plantearlos y representarlos, sino a darles solución. Para ello se requiere una serie de conceptos que deben ser familiares para ti, dado que son temas impartidos en secundaria. Para iniciar enunciaremos la definición de ecuación. Ecuación. Es una igualdad que se cumple para algunos valores o letras. Como por ejemplo:

x+5 = 8

Para que sea verdadera esta ecuación el único valor que puede tomar x es 3, entonces decimos que la solución a esta ecuación es x = 3 . Se dice que la solución «satisface» a la ecuación, cuando se sustituye su valor y se verifica la igualdad. 3+5 =8 8=8 Los elementos de una ecuación son: 1. 2. 3. 4. 5. 1.

Miembros. Términos. Incógnitas. Grado. Solución

El rey Hicso Ekenenre Apopi (1600 A.C.) Escribió el principal texto matemático egipcio, el papiro de rhind. Éste contiene lo esencial del saber matemático egipcio, contiene unas reglas para cálculos de adiciones y sustracciones de ecuaciones, ecuaciones de primer grado, problemas de aritmética y otras cosas.

Miembros. Son cada una de las expresiones que aparecen en ambos lados del símbolo igual. Primer miembro

Segundo miembro

5 x + 2 = 3 x + 16

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137

2.

Términos. Son los sumandos que forman a cada uno de los miembros de la ecuación.

5 x + 2 = 3 x + 16

Términos 3.

Incógnita(s). Es el valor desconocido que se pretende encontrar, y puede haber una o más de ellas, también conocidas como variables o literales.

5 x + 2 = 3 x + 16 Una incógnita Dependiendo del número de letras distintas se dice que es de una, dos, tres, o más incógnitas. 4.

Grado. Es el mayor grado de los monomios que forman a sus miembros. Primer grado

5 x + 2 = 3 x + 16 En este caso es de primer grado, porque ambos miembros poseen al 1 como exponente, sólo que por convencionalismo no se escribe. 5.

Solución. Es el valor que puede tomar la incógnita para que la igualdad se establezca, dependiendo del grado y del número de las incógnitas, pueden ser varias soluciones.

5 x + 2 = 3 x + 16 La solución para esta ecuación es:

x =7 Puesto que al sustituir el valor encontrado en la incógnita de la ecuación se cumple la igualdad.

5(7 ) + 2 = 3(7 ) + 16 35 + 2 = 21 + 16 37 = 37

138


A las ecuaciones de primer grado se les conoce como ecuaciones lineales. Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones lineales.

1)

2)

5 x − 3 = −2 x + 18

4)

3 1 1 2 x− = x+ 4 3 2 3

n−4 3

5)

=

m+2 2

3u − 4v = −2u + 6v

“La música es el placer que el alma experimenta contando sin darse cuenta de que cuenta.” Leibnitz

3)

4( 2 x − 1) = 5( x + 3 )

6)

2 x − 7 y = −5

Las tres primeras son ejemplos de ecuaciones lineales con una incógnita y los últimos tres son ejemplos de ecuaciones lineales con dos incógnitas. La representación general de una ecuación lineal es: Ax + B = 0 con la condición de que A ≠ 0 . Por supuesto que ésta es la representación más simplificada que se puede tener en una ecuación; como observaste en los ejemplos anteriores, la(s) incógnita(s) pueden estar en ambos miembros de la ecuación y además, poseer paréntesis y denominadores. Para resolver las ecuaciones lineales con una incógnita, es recomendable seguir los siguientes pasos. 1. 2. 3. 4.

Quitar paréntesis. Quitar denominadores. Agrupar los términos que posean la incógnita en un miembro y los términos independientes en el otro. Reducir los términos semejantes.

Para llevar a cabo estos pasos, se requiere de las propiedades de los números reales que manejaste en el segundo bloque, a continuación se justificará paso a paso el despeje de una ecuación utilizando las propiedades de los números reales y posteriormente se explicará la técnica que se utiliza en el despeje sin necesidad de utilizar las propiedades. Utilizaremos la ecuación que nos sirvió de modelo para explicar los elementos de una ecuación. Despeje de la ecuación

5 x + 2 = 3 x + 16 5 x + 2 − 2 = 3 x + 16 − 2 5 x + 0 = 3 x + 16 − 2

Propiedad de los Números Reales aplicada Ecuación original Se desea eliminar del primer miembro el 2 , así que se utiliza la propiedad aditiva para sumar −2 a ambos miembros. Como el −2 es el inverso aditivo de 2 , se obtiene el neutro aditivo.

BLOQUE 6

139

5 x = 3 x + 16 − 2 5 x = 3 x + 14 5 x − 3 x = 3 x + 14 − 3 x 5 x − 3 x = 3 x − 3 x + 14 5 x − 3 x = 0 + 14 5 x − 3 x = 14 2 x = 14 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟2 x = ⎜ ⎟14 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛ 1⎞ 1 ⋅ x = ⎜ ⎟14 ⎝2⎠ ⎛ 1⎞ x = ⎜ ⎟14 ⎝2⎠

x =7

Siendo 0 el neutro aditivo al operarlo con 5x , éste queda igual. Se realiza la operación entre los términos independientes. Se utiliza la propiedad aditiva de nuevo, para sumar −3x a ambos miembros de la ecuación. Se aplica la propiedad conmutativa de la suma para invertir el lugar tanto de 14 como de −3x . Como −3x es el inverso aditivo de 3x , se obtiene el neutro aditivo. Al operar el neutro aditivo con 14, éste queda igual. Se realiza la reducción de términos semejantes. Se aplica la propiedad multiplicativa, para multiplicar por 1 a ambos miembros de la ecuación. 2

Al ser 1

2

el inverso multiplicativo de 2 , se obtiene

el neutro multiplicativo Y cuando se opera el neutro multiplicativo con x, ésta permanece igual. Por último, se lleva a cabo la operación entre 1

14

2

y

El proceso anterior es extenso, pero es necesario que lo conozcas para que comprendas por qué se despeja en forma reducida sólo utilizando algunos de los pasos del cuadro anterior, de hecho, los pasos que se requieren para un despeje corto son los que están sombreados, y aún así se pueden reducir más. A continuación se muestra la forma de simplificación corta. Despeje de la ecuación

5 x + 2 = 3 x + 16

Ecuación original.

5 x = 3 x + 16 − 2

Como el 2 en la ecuación original estaba sumando pasa al segundo miembro restando.

5 x = 3 x + 14

Se realiza la resta.

5 x − 3 x = 14

El 3x estaba sumando en el segundo miembro, por lo que pasa al primero restando.

2 x = 14 x =

14 2

x =7

140


Descripción

Se realiza la reducción de términos semejantes. El coeficiente de la x está multiplicando pasa dividiendo. Se realiza la división para así encontrar la solución.

Si eres más hábil con las operaciones puedes hacer el proceso mucho más corto todavía, piénsalo. Siempre lo más importante de las matemáticas es poder aplicarlas y que le encuentres sentido a lo que representan, así que tomaremos varios ejemplos aplicados para practicar el despeje de las ecuaciones y al mismo tiempo irás desarrollando más habilidades en el planteamiento de problemas. En los siguientes ejemplos visualizarás el planteamiento de problemas así como despejes de ecuaciones lineales, éstos irán desde lo más sencillo hasta lo complejo. Ejemplo 1. Entre Said y Raymundo van a comprar una bolsa de canicas que cuesta $56, pero Said tiene $12 menos que Raymundo. ¿Cuánto tiene cada uno? Para resolver este problema es necesario asignar la variable. x : Es el dinero que tiene Raymundo

Demócrito (460 – 370 A C) Es más conocido por su Teoría Atómica, pone como realidades primordiales a los átomos y al vacío. Encontró la fórmula del volumen del cono y de una pirámide.

x − 12: Es el dinero que tiene Said Entre los dos comprarán una bolsa de canicas que cuesta $56, entonces el planteamiento del problema con la variable asignada se expresa de la siguiente forma:

x + x − 12 = 56 Esta es una de las ecuaciones más sencillas, no posee paréntesis ni denominadores, por lo que procederemos a despejarla. Despeje de la ecuación

x + x − 12 = 56 2 x = 56 + 12 2 x = 68 x =

68 2

x = 34

Descripción Ecuación original. Se reducen términos semejantes y −12 pasa al otro lado de la igualdad sumando. Se realiza la suma de los términos del segundo miembro. El coeficiente de la variable pasa dividiendo. Se efectúa la división, obteniéndose así el resultado.

Además del resultado que tienes, debes de interpretarlo y solucionar el problema real. Al sustituir el valor encontrado en la asignación de la variable, se obtiene que: Raymundo tiene $34 y Said tiene $22. Ejemplo 2. La edad de Carolina es la mitad de la de Emily; la de Valeria es el triple que la de Carolina y la edad de Angélica es el doble de la de Valeria. Si las cuatro edades suman 60, ¿qué edad tiene cada una?

BLOQUE 6

141

Cuando se tie enen relaciones de multiplicación entre los elementos del problema, en este caso las edad des de las chicas, es recomendable asignarle la varia able a la más pequeña, de esta forma a la ecuación que se obtiene es más sencilla. Carolina y : Edad de C 2 y : Edad de Emily 3 y : Edad de Valeria

de Angélica 2(3 y ) : Edad d

Dado que la suma de las edades es 60, entonces, el planteamiento del problema se expresa así: y + 2 y + 3 y + 6 y = 60

Resolviendo la a ecuación lineal. Despeje de la ecuación y + 2 y + 3 y + 6 y = 60 12 2 y = 60

y =

60 12

y =5

Descripció ón Ecuación original. Se reducen términos semejante es. El coeficiente de la variable pas sa dividiendo. Se efectúa la división, obteniéndose así el resultado.

Del resultado tenemos que: Carolina tiene e 5 años de edad, Emily tiene 10 años, Valeria tiene 15 5 años y Angélica tiene 30 años. Ejemplo 3. -¡Javier!, -le d dice Mónica a su esposo-, ganas $7700 mensuales y este e mes le invertiste a tu auto el triple de la mitad de lo que me diste a mí menos $200. ¿Pues qué es lo que tiene tu auto?? –Si Javier repartió su dinero entre el coche y lo qu ue le dio a su esposa, ¿cuánto reparrtió a cada uno? Asignación de e la variable.

w : Dinero quue le dio a Mónica ⎛w⎞ 3⎜ ⎟ − 200 : Dinero que invirtió en el auto ⎝2⎠ El planteamiento del problema es:

⎛w ⎞ 2 = 7700 w + 3⎜ ⎟ − 200 ⎝2⎠

142


Resolviendo la ecuación. Despeje de la ecuación

⎛w ⎞ w + 3⎜ ⎟ − 200 = 7700 ⎝2⎠ 3w w+ − 200 = 7700 2

5w 2

= 7700 + 200 5w 2

w =

Descripción Ecuación original. Se recomienda primero eliminar paréntesis. Se reducen términos semejantes y −200 se pasa al otro lado de la igualdad sumando.

= 7900

Se efectúa la suma.

(2 )7900

El 2 que está dividiendo a la variable se pasa multiplicando y el 5 que la está multiplicando pasa dividiendo. Se efectúan las operaciones y se obtiene el resultado.

5

w = 3160

Por lo tanto Javier le dio a su esposa $3160 e invirtió en su auto $4540. Tendrá mucho que explicar…. Ejemplo 4. Los ingenieros de una constructora están planeando una casa-habitación, tienen diseñado un plano en donde el largo de una sala-comedor de forma rectangular es el doble de su ancho. Pero están viendo la conveniencia de aumentar 2m las dimensiones de ésta y así el área aumentará 28m2. Hallar las medidas del largo y ancho de la salacomedor original. Asignando variables.

x : La medida del ancho 2x : La medida del largo Las medidas modificadas.

x + 2 : La medida del ancho 2 x + 2 : La medida del largo Ahora, las áreas se ven modificadas de la siguiente forma área modificada = área original + 28

( x + 2 )(2 x + 2 ) = ( x )(2 x ) + 28

BLOQUE 6

143

Resolviendo la ecuación. Despeje de la ecuación

( x + 2 )(2 x + 2 ) = ( x )(2 x ) + 28 2 x 2 + 2 x + 4 x + 4 = 2 x 2 + 28

2 x 2 + 2 x + 4 x − 2 x 2 = 28 − 4

6 x = 24 x=

24 6

x =4

Descripción Ecuación original. Se recomienda primero eliminar los símbolos de agrupación. 2 x 2 que está en el segundo miembro pasa restando al primero y 4 que está en el primer miembro de la ecuación pasa restando al segundo. Se reducen términos semejantes. El 6 que está multiplicando a la variable pasa dividiendo. Se efectúan la división y se obtiene el resultado.

Las medidas originales de la sala-comedor son: el ancho es de 4 m y el largo es de 8m. Ejemplo 5. La siguiente lectura1 es importante, para entender la relación de las Matemáticas con la Química. Un poco más acerca de la contaminación del aire… Un “contaminante” es una sustancia que está “fuera de lugar”. Un buen ejemplo de ello puede ser el caso del gas ozono (O3). Cuando este gas se encuentra en el aire que respiramos, es decir, bajo los 25 kilómetros de altura habituales, es un contaminante que tiene un efecto dañino para la salud, por lo que en esa circunstancia se le conoce como “ozono malo”. Pero el mismo gas, cuando está en la estratósfera, forma la capa que protege de los rayos ultravioletas del Sol a todas las formas de vida en la Tierra, siendo considerado, en este caso, como “ozono bueno”. Un lugar importante en la contaminación de la atmósfera es ocupado por las emisiones gaseosas resultantes de la combustión de los combustibles fósiles: gas natural, petróleo diesel, gasolina y queroseno. Estos gases contaminantes son de naturaleza muy diversa. Los contaminantes más comunes son el dióxido de carbono (CO2), el monóxido de carbono (CO), y los óxidos de nitrógeno (NO), en particular NO y NO2.

1

http://www.educarchile.cl/portal.base/web/vercontenido.aspx?guid=4ea990dc-6549-4549-8b8b9db8c0cc6d8d&id=133094

144


Clasificación de los contaminantes: Generalmente, se distingue entre contaminantes primarios y secundarios del aire. Los primeros son emitidos como tales, mientras que los contaminantes secundarios se forman en complejas reacciones que ocurren en la atmósfera y en las que intervienen, frecuentemente, el oxígeno atmosférico y la radiación solar.

La Purificación del aire: respuesta necesaria a su contaminación La purificación del aire es un proceso complejo. Los gases contaminantes son dispersados y diluidos por el movimiento de grandes masas de aire (vientos, corrientes de convección, etc.) y los contaminantes gaseosos más solubles en agua disminuyen su concentración atmosférica a través de diversos fenómenos climáticos (formación de neblina y lluvias, principalmente), pero también suelen contaminar los suelos y aguas. Hemos dicho que el aire contiene cerca de una quinta parte en volumen de oxígeno, pero en el caso de las ciudades donde existe una gran contaminación, es necesario enriquecer el aire con más oxígeno. Una forma de poder hacerlo es disminuyendo la tala de árboles y creando más áreas verdes, que favorezcan el consumo de anhídrido carbónico y la formación de oxígeno….

BLOQUE 6

145

El ejemplo de contaminación del aire es el dióxido de azufre, que al combinarse con el oxígeno del aire se produce trióxido de azufre, y éste, al combinarse con la humedad atmosférica, ocasiona lo que conocemos como lluvia ácida, la cual ocasiona grandes daños. SO 2 + O 2 → SO 3 + H 2 O → H 2 SO 4

Dióxido + Oxígeno de Azufre

Trióxido + Agua de Azufre

Ácido sulfúrico (lluvia ácida)

Para que se lleve a cabo esta reacción tiene que cumplirse la Ley de Conservación de la materia, que significa que la cantidad de reactivos que se utilizan debe ser igual a la cantidad de productos obtenidos. En el caso de SO 2 + O 2 → SO 3 no se cumple con la Ley de conservación de la materia, porque de las sustancias reactivas hay cuatro átomos de Oxígeno, mientras que en el producto hay sólo tres. Para ello se requiere balancear la reacción y con ecuaciones lineales se puede realizar. Si se le asignan coeficientes a las sustancias, podemos observar la reacción de la siguiente forma: aSO 2 + bO 2 → cSO 3

Observamos la reacción, el azufre no se modifica, entra y sale con la misma cantidad de átomos, así que en ese caso a = c , en cuanto al Oxígeno quedaría 2a + 2b reaccionan y salen 3c , así que tenemos la ecuación:

2a + 2b = 3c Como a = c se le puede asignar cualquier cantidad, si a = 8 , entonces la ecuación queda: 2(8 ) + 2 b = 3 (8 )

16 + 2b = 24 2b = 24 − 16 2b = 8 b=4 Al sustituir los valores obtenemos la reacción balanceada. aSO 2 + bO 2 → cSO 3 8 SO 2 + 4 O 2 → 8 SO 3

Ejemplo 6. Gilberto es empleado de una empresa de servicio de paquetería; un día sus compañeros le plantearon un problema y le pagarían una cantidad de dinero si lograba resolverlo, fue tanto el alboroto, que empezaron a hacer apuestas entre ellos para ver si lograría solucionarlo. El problema planteado fue el siguiente:

146


En el almacén hay dos paquetes que pesan 40 Kg. y 120 Kg., entre ellos hay una distancia de 2 pies (ver Fig. 1). Él debe levantar los paquetes al mismo tiempo, y la condición es utilizar su fuerza y no hacer uso de maquinaria especializada para levantamiento de carga. Gilberto meditó un rato y finalmente aceptó.

120 Kg.

40 Kg.

2 pies

Fig. 1

Todos estaban a la expectativa observándolo; se dirigió al taller, encontró una barra de metal liviana pero resistente de 13 pies de largo, colocó la barra por debajo de los paquetes, utilizó un soporte en forma de yunque y levantó los paquetes. Era tanto el asombro de sus compañeros que empezaron a cuestionarle cómo lo hizo y lo único que les contesto fue, -dame una palanca y un punto de apoyo y moveré el mundo, Arquímedes lo dijo-, y tranquilamente se fue con el dinero que ganó. ¿Cómo resolvió el problema? Existe una ley en física que se llama la Ley de las palancas, y consiste en equilibrar fuerzas con el uso de palancas o barras. Como lo muestra la figura 2. d1

Thales de Mileto (640 – 560 A C) Se le atribuyen los 5 teoremas de la Geometría elemental. Como astrónomo, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, se cree que descubrió la Osa Menor, Creía que el año tenía 365 días, entre otros descubrimientos importantes.

d2

w1

w2 Fig. 2

Donde, w1 y w 2 son los pesos de los objetos, d 1 y d2 son sus respectivas distancias al punto de apoyo. La ley de las palancas basándose en la figura anterior dice: w 1d 1 = w 2 d 2

BLOQUE 6

147

Así que el problema que tuvo que resolver Gilberto fue el siguiente: Si conocía su peso, que es de 90 Kg., el peso de las cajas, la separación entre ellas y la longitud de la barra que utilizaría, sólo requirió resolver una ecuación para saber dónde colocaría el punto de apoyo y poder levantar los paquetes.

40 Kg.

x

120 Kg.

11 – x 13 – x

Utilizando la ley de las palancas, la ecuación que representa a este problema es: 90 ( x ) = 40 (11 − x ) + 120 (13 − x )

Y se encuentra la solución despejando la variable como se ha visto en los problemas anteriores, primero eliminando paréntesis, como se muestra a continuación:

90x = 440 − 40x + 1560− 120x 90x + 40x + 120x = 440 + 1560 250 x = 2000 x =

2000 250

x =8 Por lo tanto, Gilberto sólo tenía que colocarse al final de la barra y el punto de apoyo colocarlo a 8 pies de él.

Sitios Web recomendados: Ingresa a este sitio, ahí encontrarás múltiples ejercicios y problemas resueltos. http://algebrabaldor.webcindario.com/index.htm

Primero practicarás un poco los despejes antes de resolver las aplicaciones.

148


Actividad 2: INSTRUCCIONES: En equipo resuelvan las siguientes ecuaciones lineales y comenten las dificultades que se les presenten.

1.

x+4 =9

8.

3x =6 7

2.

2x − 6 = 6x + 4

9.

12 =6 7w

10.

n−6 n+2 = 4 3

3.

2 1 3 x− = 3 4 2

4.

3 1 1 2 x− = x+ 4 3 2 3

11. ( 2 x − 1)( 4 x + 1) = ( 8 x − 3 )( x − 2 )

5.

4( 2 x − 1) = 5( x + 3 )

12.

x −1 x − 3 − = −1 3 2

6.

( x + 1)2 − x 2 = 17

13.

1 2 ( x + 1) − ( x + 5 ) = 2 2 3

7.

3( 2 y − 1) − 2 y = 5( y − 3 )

14. x − 2( x − 1) = 3 x − 5( x + 2 )

BLOQUE 6

149

Actividad 2: Conceptual Describe técnicas para resolver ecuaciones de una variable.

Evaluación Producto: Ejercicios Saberes Procedimental Aplica diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable.

Puntaje: Actitudinal Asume una actitud de apertura que favorece la solución de los ejercicios. Respeta a los integrantes en el proceso de comunicación.

Coevaluación

C

MC

NC


Cierre Actividad 3: INSTRUCCIONES: En equipo, expresa la ecuación que modela cada uno de los siguientes problemas y despeja cada una de las ecuaciones encontradas para que des solución a éstos.

150

1.

Agustín tiene 12 monedas menos que Enrique y entre ambos tienen 78 monedas ¿Cuántas monedas tiene cada uno?

2.

El perímetro de un rectángulo es 108 cm, si el largo es el triple que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

3.

El precio de venta de una mochila es de $448 luego de aplicar un 20% de descuento. ¿Cuál es el precio regular de la mochila?

4.

Un agente de ventas visitó 20 clientes en tres días. Si el segundo día visitó uno más que en el primero y en el tercer día a tres más que en el segundo. ¿Cuántas visitas efectuó cada día?



Jaime está construyendo una casa de dos plantas, compró un tramo de varilla de ½’ y recortó 2 del tramo para utilizarlo en un castillo; después recortó la mitad del 3

sobrante y éste equivale a la longitud original del tramo disminuido en 10 m ¿Cuánto mide el tramo de varilla que compró Jaime?

6.

Entre Fátima y Julissa pesan 45 Kg. Si en un subibaja Fátima se sitúa a 4 pies del punto de apoyo y Julissa a 6 pies del mismo, quedan en equilibrio. ¿Cuál es el peso de ambas niñas?

7.

Beto enyesa una pared en 8 horas y Nacho lo hace en 12 horas, ¿en cuánto tiempo pueden enyesar juntos la pared?

8.

Sofía tiene actualmente la mitad de la edad de Aarón, y dentro de doce años tendrá 5

7

de la que

Aarón tenga entonces. ¿Cuáles son sus edades actuales?

BLOQUE 6

151


Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 294 kilómetros entre sí, se dirigen uno hacia el otro con una diferencia de velocidades de 20 kilómetros por hora y se encontrarán dentro de una hora y media. ¿Cuál es la velocidad de cada automóvil?

10. Luly mezcló 50 onzas de una solución de yodo al 48% con 30 onzas de una solución al 72% de la misma sustancia. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la mezcla?

Evaluación Actividad 3: Conceptual Analiza y modela situaciones empleando ecuaciones lineales. Describe técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable.

Producto: Problemas de aplicación Saberes Procedimental Aplica diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable. Formula y soluciona, con técnicas algebraicas, en situaciones que se representan mediante ecuaciones lineales.

Puntaje: Actitudinal Aprecia la utilidad de las ecuaciones lineales en la representación de problemas. Propone maneras creativas de solucionar un problema. Asume una actitud de apertura que favorece la solución de problemas.

Coevaluación

152


C

MC

NC


Secuencia didáctica 2. Relación de la ecuación de primer grado con la función lineal. Inicio Actividad 1 : INSTRUCCIONES: Analiza las siguientes preguntas y contesta correctamente cada una de ellas. 1.

Si dos números sumados dan como resultado 24, ¿Qué ecuación representa esta oración?

2.

¿Qué valores satisfacen la ecuación anterior?, ¿serían los únicos?

3.

Si tu respuesta anterior fue negativa, enuncia 10 resultados posibles que cumplan con la ecuación anterior.

4.

En la siguiente tabla, representa los valores que obtuviste. Primer número

5.

Segundo número

En una gráfica, representa los valores de la tabla.

BLOQUE 6

153



Puntaje:

Conceptual Identifica una ecuación lineal.

Saberes Procedimental Construye ecuaciones lineales para solucionar diversas situaciones.

Actitudinal Aprecia el conocimiento previo de bloques anteriores.

Ubica la sustitución de valores en la ecuación lineal. Ubica puntos en el plano cartesiano. Autoevaluación

Traza la gráfica de una ecuación lineal. Contrasta valores de una ecuación lineal. C

MC

NC

Posee una actitud positiva en el desarrollo de la actividad.


Desarrollo Construcción de gráficas a partir de ecuaciones lineales. En la primera secuencia de este bloque se ejemplificó algunas ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, como la siguiente. 2x + 3y + 6 = 0

Aquí observamos la forma general: Ax + By + C = 0

Con A ≠ 0 y B ≠ 0 . Estas ecuaciones se obtienen a partir de la relación entre las variables “ x ” y “ y ”, estas relaciones se encuentran en múltiples problemas. Ejemplo 1. Don Agustín posee varias hectáreas y le dijo a su hijo, -mira Gustavo, te voy a dar un terrenito aquí en mis tierras para que levantes tu casa; tengo 160 m de cerco para que elijas las medidas que gustes, ¡eso sí!, respeta que sea rectangular y utilices todo el cerco que te ofrezco; empieza a decidir para que cerques el lugar, luego lo verifico y le hablo al notario- ¿qué decisión tomará Gustavo? Gustavo tiene varias alternativas, como el cerco mide 160 m, entonces debe considerar un rectángulo de 160 m de perímetro.

y x El perímetro de un rectángulo se obtiene al sumar todos sus lados, por lo que la expresión algebraica que lo modela es: Perímetro = x + y + x + y = 2 x + 2 y

154


Como el perímetro es la longitud del cerco y éste es de 160 m, entonces la expresión obtenida es: 2 x + 2 y = 160

La siguiente ecuación se puede simplificar en una ecuación que es equivalente, porque ambos miembros se pueden dividir entre dos, así que se obtiene: x + y = 80

De esta manera, es más sencillo encontrar los valores tanto de x como de y . Como una variable depende de la otra, es decir, si x = 20 entonces forzosamente “ y ” debe ser igual a 60 para que sumados den 80, y así ir probando con diferentes parejas de números. Una opción es despejar una variable como se muestra a continuación. y = 80 − x

Y de esta forma es más sencillo darle valores a la “x”, sustituirlos y así encontrar sus respectivos valores de “y”. De esta manera se puede encontrar una serie de parejas de valores “x” y “y” para acomodarla en la siguiente tabla. x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

y 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

Así Gustavo puede tomar dos ejemplos de ellos para verificar si cumple con la longitud del cerco que le dio su papá. 50 30

45 30

35

35 René Descartes (1596-1650)

50 45

BLOQUE 6

155

Como son muchos los resultados, Gustavo tendrá que pensar muy bien qué medidas deberá de elegir. ¿Sabías que… Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes, el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un «punto de partida» sobre el cual edificar todo el conocimiento

Utilizando este problema como guía, se puede trazar una gráfica que modele estos puntos, como lo hacías en la secundaria, en el plano cartesiano2, en donde el eje horizontal es el eje de las “x” y el eje vertical es el eje de la “y”. A la variable “x” se le denomina Variable independiente, porque su valor es asignado por la persona que está realizando la gráfica, y a la variable “y” se le conoce como variable dependiente, porque su valor depende o está en función del valor asignado a x, como se obtuvo en la tabla de datos anterior. Como se observa en ella, el comportamiento de los puntos describe una línea recta, con ella también se reafirma que proviene de una ecuación lineal de dos incógnitas. Cuando se realiza el despeje de x + y = 80 , se visualiza mejor la dependencia de las variables. y = 80 − x

75

y

A esta expresión también se le conoce como función, porque el valor de “y” está en función o depende del valor que tome “x”. Más adelante se verá con mayor detenimiento lo que es una función.

70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 -10 -5

-5

x 5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 8

-10 15

2

Las coordenadas cartesianas son un sistema de referencia respecto de un eje (recta), dos ejes (plano), o tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) “x” y “y” se denominan respectivamente abscisa y ordenada, y se representan como (x, y). http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

156


Actividad 2 : INSTRUCCIONES: Analiza el siguiente problema y responde lo que se te pide.

1.

Un automóvil está en el restaurante de la Pintada a 50 Km. de Hermosillo y empieza a moverse a velocidad constante de 80 Km rumbo a Cd. Obregón. Si se toma como punto de partida a hr

Hermosillo, la ecuación que modela este problema es: d = 80 t + 50

Donde d es la distancia a la que se encuentra de Hermosillo y t el tiempo transcurrido. a) Completa la siguiente tabla. t (hr) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 b)

d (Km)

Traza la gráfica con los datos que obtuviste en la tabla. d (K m) 400 350 300 250 200 150 100 50

-2

-1

t (hr ) 1

2

3

4

-50 -100 -150

BLOQUE 6

157

Actividad 2 continuación: c)

d)

Si Cd. Obregón se encuentra a 252 Km. de Hermosillo, ¿cuánto tiempo tardó en llegar?

El tiempo es una variable continua, es decir, podemos tomar valores que están entre 0 y 0.5, o entre cualquier otro intervalo de tiempo que se quiera, ¿cómo cambiaría la gráfica que trazaste si consideras que el tiempo es continuo?, grafica el problema tomando la continuidad del tiempo y además, que el auto se detiene al llegar a Cd. Obregón. d (K m) 400 350 300 250 200 150 100 50

-2

-1

t (hr ) 1

2

3

4

-50 -100 -150

2.

158

e)

¿Para qué valores del tiempo no tiene sentido este problema?, justifica tu respuesta.

f)

¿Para qué valores de la distancia no tiene sentido este problema?, justifica tu respuesta.

En el problema anterior analizaste varios aspectos, como es transformar una gráfica de puntos a una continua y sobre todo, la relación que existe entre una función lineal y una ecuación de primer grado, ¿en qué inciso se dio esta relación?, y ¿cómo surgió ésta?


Actividad 2: Conceptual Identifica la relación entre funciones y ecuaciones lineales.

Evaluación Producto: Cuestionario Saberes Procedimental Transita de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas situaciones.

Puntaje: Actitudinal Aprecia las representaciones gráficas de funciones como instrumento de análisis visual de su comportamiento. Aprecia la utilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones, para simplificar procesos y obtener soluciones precisas.

Autoevaluación

C

MC

NC


Construcción de la gráfica de la función lineal. Anteriormente se ha hablado sobre función, ahora se explicará con detenimiento lo que es una función. El concepto de función implica la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos; esta relación se establece mediante una regla de asociación que puede ser verbal o matemática, como por ejemplo: 1.

La temperatura en el ambiente a lo largo de un día depende de la hora; es decir, cada instante de tiempo está asociada a una temperatura.

2.

Cuando se desea llenar de agua un tanque, el nivel del agua depende del tiempo transcurrido. Si el nivel del agua cambia uniformemente a razón de 10 cm , y el min

tanque tiene una altura de 85 cm. entonces la relación que existe entre el nivel y el tiempo se da con la siguiente expresión: h = 10 t

3.

El pago de un refrigerador está en función del plan de pago mensual que ofrece una tienda departamental.

Si se considera a la ecuación lineal de dos incógnitas Ax + By + C = 0 , y se despeja “y”, se observa mejor la relación que tienen las variables. Ax + By + C = 0 By = − Ax − C

y =

− Ax − C

y =−

B A C x− B B

BLOQUE 6

159

Ejemplo 1. Si se tiene la ecuación 2 x − 3 y + 6 = 0 , al despejarla se puede encontrar mejor la relación que existe entre las variables. 2x − 3y + 6 = 0 −3 y = −2 x − 6

−2 x − 6

y = y =−

−3 2

x−

−3

y =

2

6 −3

x+2

3

Se puede decir que la variable “y” está en función de “x” porque existe una relación o asociación entre ellas, si a cada valor de “x” que asignes, lo multiplicas por 2 y le 3

sumas 2, vas a obtener un único valor de “y”. De aquí se puede visualizar la definición de función, la cual es: Función. Es la regla de asociación o correspondencia entre los conjuntos X y Y, de tal forma que cada elemento de un conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y. Con esto decimos que los elementos “y” del conjunto Y, están en función de los elementos “x” del conjunto X, esto queda más claro en esta notación. y = f( x )

Así que la función y =

2 3

x + 2 se puede reescribir como: f( x ) =

2 3

x+2

Este tipo de formas de expresar una función lineal y otras que no son lineales, las abordarás con mayor detenimiento en asignaturas posteriores, en ellas realizarás gráficas más complejas y encontrarás más aplicaciones y propiedades de las funciones. A continuación, mediante un ejemplo, se analizarán otros aspectos que posee la función lineal. Ejemplo 2. Se desea llenar de agua una piscina que tiene inicialmente un nivel de 1m, la llave con 1 que se llenará logrará subir el nivel uniformemente a razón de metro por hora, si la 2 piscina tiene una altura de 5 m, entonces la relación que existe entre el nivel y el tiempo se da con la siguiente expresión: h=

160


1 2

t +1

Uno de los métodos para graficar consiste en darle valores al tiempo y encontrar los respectivos valores de la altura.

La gráfica del problema es:

t 0 1 2 3 4 5 6 7

h 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

8

5

8

h(m)

7 6 5 4 3 2 1 t (hr ) -1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 -2

En la gráfica se observa cómo la línea empieza en 1, ya que contenía en un inicio 1 m de agua y además, termina en 5, debido a que en 8 horas transcurridas la piscina se llenaría. Ahora se descontextualiza la función, es decir, sin tomar en cuenta las limitantes del tiempo y altura, la gráfica se tomaría de la función lineal sin restricciones, utilizando valores negativos. h=

1 2

t +1

BLOQUE 6

161

8

h(m)

7 6 5 4 3 2 1 t (hr ) -2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 -2 -3

Analizando esta gráfica y observando los valores de la función se darán cuenta que: a)

1 es la razón de crecimiento de la gráfica, ésta se relaciona con el grado de 2 inclinación de la recta, esto es, por una unidad que se avanza el eje vertical, en el eje horizontal se avanzan dos.

b) 1 es donde se intersecta la gráfica con el eje vertical. Debido a este análisis se puede generalizar la función lineal y graficar sin necesidad de llevar a cabo una tabla. La función lineal es de la forma y = −

m =−

A C x − , si se hace B B A B

b=−

C B

Entonces se obtiene la forma: y = mx + b

A “m” se le conoce con el nombre de pendiente y representa la inclinación de la línea recta, y “b” se denomina la ordenada en el origen, la cual representa la intersección de la línea recta con el eje vertical. Ahora se tomará otro ejemplo para visualizar esta nueva forma de graficar, utilizando la pendiente y la ordenada en el origen, esto es, usando “m” y “b”.

162


Ejemplo 3. Graficar la función y = − 3 x + 6

m = −3

b=6

Primero se ubica b en el eje vertical. 9

y

8 7 6 5 4 3 2 1 −5

−4

−3

−2

x

−1

1

2

3

4

5

6

7

−1 −2 −3

Para graficar una recta sólo se necesitan dos puntos para trazar la línea, por lo que el otro punto se grafica a partir del punto encontrado utilizando la pendiente, o sea “m”. −3 , esto significa que por cada 3 unidades que va hacia abajo en el eje m = −3 = 1 vertical avanza 1 unidad hacia la derecha en el eje horizontal. 9

9

y

8

8

7

7 6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 −5

−4

−3

−2

−1

y

1

x 1

2

3

4

5

6

7

−5

−4

−3

−2

−1

x 1

−1

−1

−2

−2

−3

−3

2

3

4

5

6

7

BLOQUE 6

163

Actividad 3: INSTRUCCIONES: Grafica las siguientes ecuaciones lineales utilizando la pendiente y la ordenada en el origen.

1)

3x − 2y − 8 = 0

4)

4 x − 3 y − 18 = 0

2)

x+ y−3=0

5)

5x + y − 7 = 0

3)

−7x + 4 x + 20

6)

3x − 2y − 9 = 0

Actividad 3: Conceptual Reconoce la ecuación en dos variables y = mx + b como forma de la función lineal. Identifica los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una función lineal. Autoevaluación

164


Evaluación Producto: Ejercicios. Saberes Procedimental Utiliza los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una variable lineal. Transita de ecuaciones a funciones lineales.

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia las representaciones gráficas de funciones como instrumento de análisis visual de su comportamiento.


Actividad 4: INSTRUCCIONES: Analiza el siguiente problema y responde lo que se te pide.

Una máquina que costó $60,000 se deprecia linealmente $5,000 al año, la ecuación que modela el valor de la máquina en función del tiempo es: V = 60 ,000 − 5,000 t

a) ¿Cuánto vale la máquina al transcurrir un año?

b) ¿Cuánto vale al transcurrir 2.5 años?

c) ¿Cuánto vale al transcurrir 10 meses?

d) ¿En qué tiempo la máquina pierde la mitad de su precio original?

e) ¿En qué tiempo vale $10,000?

BLOQUE 6

165

Actividad 4 continuación: f)

Para t = 0 , ¿cuánto vale la máquina?

g) ¿En qué tiempo V=0?

h) Grafica los valores que encontraste en los incisos f) y g), después une los dos puntos para que traces la función.


Producto: Cuestionarios.

Conceptual Reconoce la ecuación en dos variables y = mx + b

Saberes Procedimental Transita de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas situaciones.

como forma de la función lineal. Reconoce diversas técnicas para graficar.

Puntaje:

Aplica diversas técnicas para graficar la función lineal.

Actitudinal Reconoce la importancia de la conexión entre funciones lineales y ecuaciones lineales, para examinar y solucionar situaciones. Aprecia la utilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones, para simplificar procesos y obtener soluciones precisas. Propone maneras creativas de solucionar problemas.

Autoevaluación

166


C

MC

NC


Cierre

Actividad 5: INSTRUCCIONES: Analiza los siguientes problemas y responde lo que se te pide.

1. Una radiodifusora cobra 6 dólares por transmitir los primeros 5 spots comerciales y por cada spot adicional cobra 1.5 dólares. a) Construir la función que relaciona los costos con el número de spots.

b) Trazar la gráfica correspondiente.

c) Los requerimientos de las empresas A, B y C son de 10, 15 y 17 spots diarios, respectivamente, ¿cuánto deberán pagar por este servicio?

d) ¿Cuántos spots puede contratar una empresa si dispone de 15 dólares diarios?

BLOQUE 6

167


El costo de contado de un refrigerador es de $4000, el precio de crédito es adicionarle $120 de intereses mensuales.

a) Construye la función que relaciona el precio con el plan mensual.

b) ¿Cuánto pagaría a 3, 6, 12, 18 meses?

c) Una persona piensa pagar a crédito hasta $5000, ¿qué plan mensual le convendría?

d) Elabora la gráfica.



Conceptual Reconoce la ecuación en dos variables y = mx + b

Saberes Procedimental Transita de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas situaciones.

como forma de la función lineal. Reconoce diversas técnicas para graficar.

Autoevaluación

168


Puntaje:

Aplica diversas técnicas para graficar la función lineal.

C

MC

NC

Actitudinal Aprecia la utilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones, para simplificar procesos y obtener soluciones precisas. Asume una actitud de apertura que favorece la solución de problemas.


Resuelve ecuaciones lineales II



Atributos a desarrollar en el bloq que: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediantte representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la informac ción y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina nfiabilidad. entre ellas de acuerdo a su relevancia y con 7.1 Define metas y da seguimiento a sus prrocesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congru uente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de ttrabajo.


Secuencia a didáctica 1. Sistema de dos ecua aciones lineales con dos in ncógnitas (2 x 2). Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: An naliza las siguientes preguntas y contesta correc ctamente cada una de ellas. Una empresa va a comprar trajes sa astre como uniforme en dos de sus departamentos y además algunas empleadas decidie eron comprar blusas como complemento, todas al mismo precio. En el departamento d de Recursos Humanos compraron 5 trajes y 8 blusas s que costaron $6490, y en el departam mento de Contabilidad compraron 9 trajes y 6 blusas s por las que pagaron $9330. ¿Cuál es el precio unitario de cada prenda?

170

a)

Determina las dos ecuaciones qu ue representan la compra de cada departamento.

b)

Grafica cada una de las ecuaciones encontradas.

c)

¿Cómo ubicarías la solución del problema en la gráfica?

RESUELVE ECUACIONES LINEALES II

Actividad 1 continuación: d)

¿Qué método algebraico conoces para resolver este problema?

e)

Describe el método que mencionaste en el inciso anterior.

Evaluación Actividad 1: Conceptual Describe los conocimientos previos que posee de ecuaciones lineales. Explica un método de solución de ecuaciones lineales.

Autoevaluación


Puntaje:

Saberes Procedimental Analiza y modela situaciones empleando ecuaciones lineales.

Actitudinal Muestra disposición al realizar la actividad.

Grafica ecuaciones lineales.

C

MC

NC


BLOQUE 7

171

Desarrollo Interpretación gráfica. En el bloque anterior conociste las ecuaciones lineales, solución de problemas y su representación gráfica. Existen problemas más estructurados que implican varias situaciones y se requiere utilizar más de una ecuación. Con el siguiente problema se iniciará el desarrollo de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2). Ejemplo 1. Teresa invirtió parte de su dinero al 9% y el resto al 14% y le arrojó un ingreso total de $2765. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $3215. Para encontrar la cantidad de dinero que había en cada una de las inversiones, primero se debe encontrar las ecuaciones que modelan las dos situaciones. La asignación de variables es:

x : Primera cantidad de dinero invertida

y : Segunda cantidad de dinero invertida

9 14 x+ y = 2765 . Para eliminar los 100 100 denominadores se multiplica por 100 ambos miembros de la ecuación, quedando la ecuación:

De la inversión original se deriva la ecuación

9 x + 14 y = 276 ,500

De la inversión intercambiada se obtiene la ecuación Hipócrates de Quios (Hacia el 460 A C) Es el primero en redactar unos Elementos, es decir, un tratado sistemático de matemáticas. .

14 9 x+ y = 3215 , y 100 100

eliminando los denominadores la ecuación se transforma en: 14 x + 9 y = 321 ,500

El sistema 2 x 2 que modela este problema involucra ambas ecuaciones y se simboliza de la siguiente manera:

⎧9 x − 14 y = 276,5000 ⎨ ⎩14 x + 9 y = 321,500 A este sistema también se le conoce como ecuaciones simultáneas, porque la solución a éste debe cumplirse para ambas. También en la gráfica se refleja la simultaneidad debido a que se trazan las líneas en un mismo Plano Cartesiano. Utilizando cualquiera de los métodos de graficación para ecuaciones lineales que se abordaron en el bloque anterior (tabla, pendiente-ordenada en el origen, intersección de ejes), se tiene la siguiente gráfica.

172


24000

y

20000

16000

12000

8000

4000 x −8000

−4000

4000

8000

12000

16000

20000

24000

28000

32000

−4000

−8000

Las líneas rectas se cortan en un punto el cual es parte de ambas, es decir, ese punto es el que satisface las dos ecuaciones, por lo que sería la solución al problema. El punto encontrado es una pareja de coordenadas (x, y) que se ubica en el plano cartesiano. En este caso no se pueden localizar los valores exactos. Sólo observando la gráfica, se alcanzaría una aproximación de éstos. Para encontrar la solución se requieren métodos algebraicos para obtener con exactitud la solución. Posteriormente se abordarán estos métodos.

Actividad 2: INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios. I. Traza las gráficas de los siguientes sistemas.

⎧2 x − 3 y + 7 = 0 a) ⎨ ⎩ x + 2y − 7 = 0

⎧ 7 x + 2 y + −6 = 0 b) ⎨ ⎩14 x + 4 y + 13 = 0

BLOQUE 7

173

Actividad 2 continuación: ⎧ 3x − y + 4 = 0 c) ⎨ ⎩− 6 x + 2 y − 8 = 0

II.

⎧4 x − y − 12 = 0 d) ⎨ ⎩ x + 4y + 4 = 0

Analiza las siguientes gráficas y contesta lo que se te pide.

a)

7

y

b)

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

.

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1−1

174

y

1

2

3

4

5

6

7

x

1

8

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1−1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

−5

−5

−6

−6

−7

−7

−8

−8

x 1

2

3

4

5

6

7

1.

¿En qué punto se cortan las rectas de la gráfica del inciso a)?

2.

¿En qué punto se cortan las rectas de la gráfica del inciso b)?

3.

¿Qué podrías decir de las soluciones de ambos sistemas?

4.

¿Cómo describirías la gráfica de un sistema 2x2 con una infinidad de soluciones? Traza la gráfica que describiste.


8


Producto: Ejercicios y cuestionario

Conceptual Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2) mediante las gráficas de funciones lineales. Autoevaluación

Puntaje:

Saberes Procedimental Resuelve sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando métodos gráficos.

Actitudinal Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta, al realizar la actividad.

Realiza gráficas de sistemas de 2 x 2. C

MC

NC


Actividad 3: INSTRUCCIONES: Realiza la siguiente actividad en equipo. Coloca en el paréntesis que se encuentra en cada sistema, la letra que corresponda a la gráfica que lo describe. a)

7

y

b)

6

3

3

2

2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1−1

1

2

3

4

5

6

7

x

1

8

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1−1

y

d)

6

7

8

7

y

6 5

5

4

4

3

3

2

2 1

−8

6

−8

−8

−7

5

−7

−7

−6

4

−6

−6

−5

3

−5

−5

−4

2

−4

−4

−3

1

−3

−3

−2

x

−2

−2

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1−1

6 4

4

7

y

5

5

c)

7

1

2

3

4

5

6

7

x

1

8

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1−1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

−2 −3 −4 −5 −6 −7 −8

BLOQUE 7

175

Actividad 3 continuación: (

(

⎧3 x − 4 y − 2 = 0 ) ⎨ ⎩4 x + y + 10 = 0

⎧ 4 x + 21 = 7 y ) ⎨ ⎩14 y − 8 x = 3

(

⎧5 x − 2 y = 0 ) ⎨ ⎩3 x + y = 0

(

1 ⎧ ⎪⎪ x − 3 y − 2 = 0 ) ⎨ ⎪− 3 x + 1 y = − 3 ⎪⎩ 4 4 2

Evaluación Actividad 2: Conceptual Identifica diferentes gráficas de sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2. Coevaluación

Producto: Ejercicios de relacionar. Saberes Procedimental Distingue las ecuaciones lineales 2 x 2 y sus gráficas. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Realiza la actividad con apertura y buena disposición.


Como te habrás dado cuenta, la gráfica revela el comportamiento de las ecuaciones, y en ocasiones, su solución. Clasificación de sistemas. Los sistemas se clasifican dependiendo del tipo de solución.

“El progreso y el perfeccionamiento de las matemáticas están íntimamente ligados a la prosperidad del Estado.”

1.

Solución única. Ocurre cuando se cortan las rectas en un punto, al sistema se le conoce como Consistente.

2.

Solución nula. Ocurre cuando las rectas son paralelas, el sistema se denomina Inconsistente.

3.

Solución múltiple. Ocurre cuando las dos rectas coinciden en cada uno de sus puntos, los cuales son una infinidad. Las rectas están sobrepuestas y al sistema se le llama Dependiente.

Napoleón I

176


Cierre Actividad 4: INSTRUCCIONES: Realiza las siguientes actividades. I.

Identifica los sistemas consistentes, inconsistentes y dependientes de las actividades 2 y 3, luego escríbelos en el espacio correspondiente. CLASIFICACIÓN Sistema Solución

Consistentes

Única

Inconsistentes

Nula

Dependientes

Múltiple

II.

SISTEMAS

Completa la siguiente tabla considerando que los coeficientes del sistema 2 x 2 en general ⎧ a1 x + b1 y + c1 = 0 se expresan ⎨ ⎩ a2 x + b2 y + c 2 = 0

CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA

SISTEMA ⎧ a1 x + b1 y + c1 = 0 ⎨ ⎩ a2 x + b 2 y + c 2 = 0

a1

COCIENTES b1

c1

a2

b2

c2

BLOQUE 7

177


III. Compara los cocientes de los coeficientes de cada sistema y contesta las siguientes preguntas. a) ¿Cómo son los cocientes de los sistemas dependientes? b) ¿Cómo son los cocientes de los sistemas inconsistentes? c) ¿Cómo son los cocientes de los sistemas consistentes? d) Escribe las condiciones que deben cumplir los cocientes de los coeficientes del sistema en general, ⎧ a1 x + b1 y + c1 = 0 , para determinar cuándo es consistente (solución única), inconsistente ⎨ ⎩ a2 x + b 2 y + c 2 = 0 (solución nula) y dependiente (solución múltiple).

178



Producto: Complementación de tablas.

Conceptual Identifica los sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2.

Saberes Procedimental Clasifica el tipo de sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 y su solución.

Autoevaluación

Puntaje: Actitudinal Muestra disposición para el análisis y clasificación de los sistemas.

Deduce la clasificación de sistema con base en sus coeficientes. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Secuencia didáctica 2. Métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: Analiza la siguiente gráfica y contesta lo que se te pide.

⎧ x + 2y − 7 = 0 La solución al sistema ⎨ se observa en la gráfica. ⎩5 x − y − 13 = 0 a)

¿Cuál es el valor de “x” y “y”, según la gráfica?

7

y

6 5 4 3 2 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1−1

b)

Sustituye los valores obtenidos en las ecuaciones para verificar que satisface el sistema y anota en este espacio las operaciones.

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9

−2 −3 −4 −5 −6 −7 −8

c)

Multiplica la segunda ecuación por dos y súmale la primera ecuación, anota las operaciones en este espacio.

BLOQUE 7

179

Actividad 1 continuación: d) ¿Qué tipo de resultado obtuviste?

e) Despeja el resultado obtenido del inciso anterior.

f)

¿Cómo obtendrías el otro valor?



Conceptual Identifica los sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2.

Saberes Procedimental Clasifica el tipo de sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 y su solución.

Autoevaluación

180


Puntaje: Actitudinal Muestra disposición y apertura al realizar la actividad.

Deduce la clasificación de sistema con base en sus coeficientes. C MC NC Calificación otorgada por el docente

Los métodos de solución algebraicos y numéricos, son procedimientos que ayudan a resolver con exactitud un sistema de ecuaciones, es decir, es encontrar una pareja de valores que al sustituirlos en cualquiera de las ecuaciones del sistema éstas se satisfacen. Los métodos que se desarrollarán en n este bloque son los métodos algebraicos de Reducción y el método numérico de De eterminantes.

El éxito no se logra con la suerte, es el resultado de un esfuerzo constante.

En los métodos algebraicos, como su n ombre lo indica, se utilizan procesos algebraicos, como son: la suma o resta de polin nomios, simplificación de términos semejantes, despejes de variables, así como la sustitución de las mismas, entre otros.

Dominio público

El método numérico de Determinanttes requiere cambiar el sistema y expresarlo únicamente con números, el cual se solu uciona con la ayuda de la Aritmética.

Métodos de Reducción. Éstos consisten en simplificar el sistem ma de dos ecuaciones con dos incógnitas a una ecuación con una incógnita, de tal man nera, que se pueda despejar y encontrar el valor de una de ellas para posteriormente susstituirlo y encontrar el valor restante. Los métodos de reducción son: Suma o Resta, Sustitución e Igualación. Suma o resta. Como se mostró en la secuencia antterior, la gráfica de un sistema no siempre es suficiente para encontrar su solución, por ello, se requiere de utilizar métodos que permitan encontrarla con exactitud, a continuación, con los siguientes ejemplos se representará el método de suma o resta a. Ejemplo 1. Un salón de belleza cobra $630 por ha acer reflejos y $450 por maquillaje. En el mes de Agosto registró haber efectuado 10 07 servicios entre reflejos y maquillaje, que representaron un ingreso de $61110. ¿C Cuántos servicios de cada uno llevó a cabo? Para resolverlo primero se requiere expresar el sistema de ecuaciones que lo representa. Asignación de variables.

x : Número de reflejos. y : Número de maquillajes.

x+ y = 107 ⎧ ⎨ ⎩630 x + 450 y = 61110

El método de suma o resta consiste en n convertir el sistema de 2 x 2, en una ecuación lineal con una incógnita que puedas desspejar, se logra mediante los siguientes pasos:

BLOQUE 7

181

A continuación se etiquetarán las ecuaciones del sistema para ayudar en la explicación del método. x+ y = 107 ( A) ⎧ ⎨ ( B) ⎩630 x + 450 y = 61110 1.

Se elige una de las variables para eliminarla, en este caso se elegirá la variable “y” (cualquiera que elijas te llevará a la misma solución).

2.

Para eliminar “y” se necesita tener el mismo coeficiente con signo contrario, para poder restarse, para ello se multiplica la ecuación A por − 450 , quedando de la siguiente forma: − 450 x − 450 y = − 48150 630 x + 450 y = 61110

3.

Se efectúa la reducción de términos.

−450 x − 450 y = −48150 630 x + 450 y = 61110 = 12960

180 x

Quedando así una ecuación con una incógnita. 4.

Se despeja la variable para encontrar su valor. x=

12960

180 x = 72

5.

Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales, para así obtener una ecuación de una incógnita y poder despejarla. En este caso se elige la ecuación A, porque es más sencilla de sustituirla. x + y = 107 72 + y = 107 y = 107 − 72 y = 35

6.

182


La solución x = 72 y y = 35 ; la interpretación de la solución es:

El salón en el mes de Agosto realizó 72 reflejos y 35 maquillajes. Es recomendable sustituir los valores encontrados en ambas ecuaciones para comprobar que la solución es correcta. La gráfica de este sistema es la siguiente: y 90 80 70 60 50 40 30 20 10 -30 -20 -10 -10

x 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 110

-20 -30 -40

Ejemplo 2.

⎧2u + 3v − 2 = 0 Resolver el sistema ⎨ por el método de suma o resta. ⎩5u − 2v + 33 = 0 1.

Recomendación.

Se etiquetan las ecuaciones.

⎧2u + 3v − 2 = 0 ( A) ⎨ ⎩5u − 2v + 33 = 0 ( B) 2.

Se elige la variable u para eliminar, así que se requiere que ambas ecuaciones tengan el mismo coeficiente con signo contrario, para ello se multiplica la ecuación A por – 5 y la ecuación B por 2, como se muestra a continuación.

Para que se facilite la aplicación de cualquier método algebraico, elimina paréntesis y denominadores de los sistemas de ecuaciones.

−10 u − 15 v + 10 = 0 10 u − 4 v + 66 = 0

3.

Ahora se lleva a cabo la reducción de términos semejantes.

−10u − 15v + 10 = 0 10u − 4v + 66 = 0 − 19v + 76 = 0

BLOQUE 7

183

4.

Se despeja la ecuación.

5.

Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales, en esta ocasión se sustituirá en A y posteriormente se despejará la ecuación obtenida.

−19 v = −76 − 76 v= − 19 v=4

2u + 3 v − 2 = 0

2u + 3(4 ) − 2 = 0 2u + 12 − 2 = 0 2u + 10 = 0 2u = −10

Hipatia (370 – 415) Filósofa, astrónoma y matemática, contribuyó a la invención de aparatos como el aerómetro y construyó el astrolabio. Defensora del heliocentrismo (teoría que defiende que la tierra gira alrededor del sol).

− 10 2 u = −5

u=

6.

La solución es u = − 5 y v = 4

Sitios Web recomendados: En el siguiente sitio podrás bajar el graficador Winplot, el cual te ayudará a graficar los sistemas de ecuaciones y así comprobar las soluciones de éstos. http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

184


Actividad 2: INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes sistemas por el método de suma o resta.

1.

⎧ x+ y =7 ⎨ ⎩− 2 x − 4 y = −22

2.

⎧ 8 x + 5 y = 39 ⎨ ⎩ 6 x − 5y = 3

3.

⎧ 9 x − 8y = 1 ⎨ ⎩− 7 x + 2 y = −5

4.

1 ⎧ 2 ⎪⎪ 3 x + 4 y = 3 ⎨ ⎪− 4 x − 5 y = −9 4 ⎩⎪ 3

BLOQUE 7

185

Evaluación Actividad 2: Concep ptual Reconoce la solución de un sistema de dos ec cuaciones con dos incógnita as (2 x 2), mediante el método de suma o resta.

Autoevalu uación


Pun ntaje:

Saberes Procedimental Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2 empleando el método de suma o resta.

Actitudinal Asume una actitud de ape ertura que favorece la solu ución de los ejercicios. Rec conoce sus errores en los méttodos algebraicos y busca solucionarlos.

C

MC

NC


Sustitución. Como su nom mbre lo dice, el método de sustitución consiste en de espejar una variable de una de las ec cuaciones y sustituir en la otra, a continuación se muestra m el método de sustitución co on los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. Un hombre rrema río abajo a una velocidad de 13 Km

h velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del río.

y río arrriba 3 Km

h

. Hallar la

Asignación de e variables. x : Velocidad del bote en agua tranquila. y : Velocidad del río.

“Las abejas..., en virtud de una cierta intuición geométrica..., saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.” Papus de Alejandría

Cuando el bote va río abajo, la velocidad que lleva el río está a su favor; la ecuación que representa es ta situación es: x + y = 13

Cuando el bo ote va río arriba, va remando contra corriente, porqu ue la velocidad del río hace disminuir su velocidad; la ecuación que lo describe es: x − y = 3

Por lo tanto ell sistema que describe al problema es: ⎧ x + y = 13 ⎨ ⎩x − y = 3

186


Para resolver el sistema por el método de sustitución se seguirán los siguientes pasos: 1.

Primero se etiqueta el sistema. ⎧ x + y = 13 ⎨ ⎩x − y = 3

2.

( A) ( B)

Ahora se elige una ecuación para despejar una de las variables, en este caso elegiremos despejar x en la ecuación A. x + y = 13 x = 13 − y

3.

Como todavía no se ha transformado en una ecuación con una incógnita, se toma el despeje y se sustituye en la ecuación que no se ha utilizado, es decir, se sustituye en B. x−y =3 13 − y − y = 3

4.

Se reducen los términos semejantes y se despeja la variable. 13 − 2 y = 3 − 2 y = 3 − 13 − 2 y = −10 − 10 y = −2 y =5

5.

Se sustituye el valor encontrado en el primer despeje que se hizo de la otra variable (paso 2), para encontrar su valor.

x = 13 − y x = 13 − 5 x=8 6.

Por lo que la solución es x = 8 y y = 5 , tenemos que el bote rema a una velocidad de 8 Km y la velocidad del río es 3 Km . h h

Ejemplo 2.

⎧3 ( x + 2 ) = 2 y , primero se eliminan los paréntesis y se Para resolver el sistema ⎨ ⎩2( y + 5 ) = 7 x acomoda el sistema. ⎧3 x + 6 = 2 y ⎨ ⎩2 y + 10 = 7 x

→

⎧ 3 x − 2y + 6 = 0 ⎨ ⎩ − 7 x + 2 y + 10 = 0

BLOQUE 7

187

Para resolverlo por el método de sustitución, se desarrollan los siguientes pasos. 1.

Se etiqueta el sistema.

( A) (B )

⎧ 3 x − 2y + 6 = 0 ⎨ ⎩− 7 x + 2 y + 10 = 0

2.

Se elige la ecuación B para despejar “y”.

−7 x + 2 y + 10 = 0 2 y = 7 x − 10 y=

3.

7 x − 10 2

Se sustituye el despeje en la ecuación A. 3 x − 2y + 6 = 0 ⎛ 7 x − 10 ⎞ 3 x − 2⎜ ⎟+6=0 2 ⎝ ⎠

4.

Se elimina el paréntesis y se reducen términos semejantes. 3 x − 7 x + 10 + 6 = 0 − 4 x + 16 = 0 − 4 x = −16 − 16 x = −4 x =4

5.

Se sustituye el valor encontrado en el primer despeje (paso 2), y se encuentra el valor de la variable restante. y= y=

7 x − 10 2 7(4 ) − 10 2

y=9

6.

La solución es x = 4 y y = 9 .

Sustituye los valores en el sistema para que compruebes que lo satisface.

188


Actividad 3: INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución.

1.

⎧ 3 x + 4 y = 13 ⎨ ⎩− 5 x + 6 y = −9

2.

⎧2w − z = −4 ⎨ ⎩3 w + 5 z = 7

3.

⎧− s − 6 t = 8 ⎨ ⎩7 s − 15 t = 1

4.

⎧y x ⎪⎪ = 4 5 ⎨ ⎪y = x −1 ⎪⎩ 3 3

BLOQUE 7

189



Conceptual Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2), mediante el método de sustitución.

Autoevaluación

Puntaje:

Saberes Procedimental Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2 empleando el método de sustitución.

Actitudinal Asume una actitud de apertura que favorece la solución de los ejercicios. Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.

C

MC

NC


Igualación. Este método consiste en despejar la misma variable de las dos ecuaciones e igualarlas. De igual forma que los métodos anteriores, se tomarán ejemplos para describir el método. Ejemplo 1. Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que dos paquetes de 60Kg. y 120 Kg. se equilibren. Si se le agregan 30 Kg. de peso al de 60 Kg., la carga de 120 Kg. debe recorrerse a 1 m. más de distancia del punto de apoyo para mantenerse en equilibrio. Hallar la distancia original entre ambas cargas. d

Asignación de variables. d1

d2

60Kg

d1 : Distancia del paquete de 60 Kg. al punto de apoyo. d2 : Distancia del paquete de 120 Kg. al punto de apoyo.

120 Kg

El sistema de ecuaciones queda.

⎧60d1 = 120d 2 ⎨ ⎩90d1 = 120(d 2 + 1) El método de igualación consiste en despejar la misma variable de las dos ecuaciones, así que aprovechando la forma que tiene el sistema se despejará d1 . A continuación se presenta el proceso. 1.

Se etiquetan las ecuaciones.

⎧60d1 = 120d 2 ⎨ ⎩90d1 = 120(d 2 + 1)

190


( A) (B)

2.

Se despeja de la ecuación A la variable d1 .

d1 =

120d2

60 d1 = 2d2

3.

Se despeja de la ecuación B la variable d1 .

90d1 = 120(d2 + 1) d1 = d1 = 4.

120(d 2 + 1) 90 4(d 2 + 1)

Se igualan los dos despejes. 2d 2 =

5.

3

4 (d 2 + 1) 3

Se quitan paréntesis y se realiza el despeje de d2 .

6d 2 = 4(d 2 + 1) 6d 2 = 4 d 2 + 4 6d 2 − 4 d 2 = 4 2d 2 = 4 d2 = 2 6.

Se sustituye el valor de d2 en cualquiera de los despejes, en este caso se elige el despeje del paso 2.

d1 =

120d2

60 d1 = 2(2) d1 = 4 7.

La distancia original entre las cargas es la suma de las distancias al punto de apoyo por lo que la solución al problema es:

d = d1 + d 2 d =4+2 d=6 La separación que hay entre ellas es de 6 m.

BLOQUE 7

191

Ejemplo 2.

5 ⎧3 ⎪⎪ 4 x − 6 y = −4 Resolver el sistema ⎨ por el método de igualación. ⎪7 x − 1 y = 3 ⎪⎩ 8 3 1.

Se eliminan los denominadores de ambas ecuaciones, multiplicando por el M.C.M. de cada una de ellas.

⎧⎛ 3 5 ⎞ ⎪⎜ x − y = −4 ⎟(12) 6 ⎪⎝ 4 ⎠ ⎨ ⎪⎛⎜ 7 x − 1 y = 3 ⎞⎟(24 ) ⎪⎝ 8 3 ⎠ ⎩ Sólo el que no hace nada, no se equivoca.

2.

⎧9 x − 10 y = −48 ⎨ ⎩21x − 8 y = 72

→

Se etiqueta el sistema ⎧9 x − 10 y = −48 ⎨ ⎩21x − 8 y = 72

Dominio público

3.

Se elige la variable x para despejarla de las dos ecuaciones.

21x − 8 y = 72 21x = 8 y + 72

9 x − 10 y = −48 9 x = 10 y − 48 x= 4.

( A) (B )

10 y − 48

x=

9

8 y + 72 21

Se igualan los dos despejes y se despeja la variable. 10 y − 48

=

8 y + 72

9 21 21(10 y − 48 ) = 9(8 y + 72 ) 210 y − 1008 = 72 y + 648 210 y − 72 y = 648 + 1008 138 y = 1656 y = 12

5.

Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de los despejes del paso 3. x= x=

10 y − 48 9 10(12) − 48

x=8

6.

192


La solución del sistema es: x = 8 y y = 12

9

Actividad 4: INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación. 1.

⎧ x − y =0 ⎨ ⎩3 x + 2 y = 5

2.

⎧4 w − 3 z = 7 ⎨ ⎩2w − z = 5

3.

⎧2 s + 3 t = 3 ⎨ ⎩ s+ 5t = 4

4.

1 29 ⎧2 ⎪⎪ 5 x − 4 y = 20 ⎨ ⎪2 x + 2 y = 4 ⎪⎩ 7 3 21

Evaluación Actividad 4: Conceptual Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2), mediante el método de igualación.

Autoevaluación


Puntaje:

Saberes Procedimental Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2 empleando el método de igualación.

Actitudinal Muestra una buena disposición al realizar los ejercicios. Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.

C

MC

NC


BLOQUE 7

193

Método numérico de Determinantes (Regla de Cramer). La regla de Cramer es un teorema en Álgebra Lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor de Gabriel Cramer, quien publicó la Regla en su Introductión à l´anályse deslingnes courbes algébriques de 17501. El método de determinantes tiene importancia teórica debido a que es muy explícito para la solución de sistemas. Gabriel Cramer (1704-1752)

Se describirá el método utilizando la forma general del sistema 2 x 2, como se presenta a continuación.

⎧ a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩ a2 x + b2 y = c2 El método de determinantes requiere expresar los coeficientes del sistema en forma ordenada, como se muestra a continuación. ⎡ a1 ⎢ ⎣⎢ a 2

⎡ a1 ⎢ ⎣⎢ a2

b1 c 1 ⎤ ⎥ b 2 c 2 ⎦⎥

b1 c1 ⎤ ⎥ b2 c2 ⎦⎥

Donde la primera columna representa los coeficientes de la variable “x”, la segunda columna representa los coeficientes de la variable “y”, y la tercer columna representa las constantes, además, la primera fila corresponde a la primera ecuación y la segunda fila corresponde a la segunda ecuación. A este arreglo numérico se le conoce como Matriz, y puede ser cuadrado o rectangular. El determinante de una matriz cuadrada (2 x 2) es el valor asociado a la matriz, como se muestra a continuación. ⎡a b⎤ Si la matriz es ⎢ ⎥ , entonces, el determinante se obtiene de la siguiente forma ⎣c d ⎦ a b = (ad ) − (bc ) c d

1

194

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer


Para resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se requiere obtener tres ⎡a b1 c 1 ⎤ tipos de determinantes de la matriz ⎢ 1 ⎥. ⎢⎣ a 2 b 2 c 2 ⎥⎦

1.

El determinante del sistema, que se forma con los coeficientes de las incógnitas.

D=

2.

b1 = (a1 b2 ) − (b1 a2 ) b2

El determinante de la variable x, que se forma sustituyendo en el determinante del sistema los coeficientes de la x por las constantes.

Dx = 3.

a1 a2

c1 c2

b1 = (c1 b2 ) − (b1c 2 ) b2

El determinante de la variable y, que se forma sustituyendo en el determinante del sistema los coeficientes de la “y” por las constantes.

D=

a1 a2

c1 = (a1c2 ) − (c1 a2 ) c2

Una vez obtenidos los tres determinantes, las variables se obtienen mediante los cocientes: Dy D x= x y = D D Ejemplo 1. ⎧5 x + y − 8 = 0 mediante el método de determinantes, Para resolver el sistema ⎨ ⎩3 x − 2 y − 10 = 0 primero se acomodan los términos constantes en el segundo miembro de cada ecuación, como se muestra a continuación: ⎧5 x + y = 8 ⎨ ⎩3 x − 2 y = 10

Las variables deben quedar acomodadas en el primer miembro y las constantes en el segundo miembro.

BLOQUE 7

195

Ahora, se desarrollan los siguientes pasos. 1.

Se expresa el sistema en su forma matricial.

⎡5 ⎢ ⎣⎢ 3 2.

1 8⎤ ⎥ − 2 10 ⎦⎥

Se obtienen los determinantes. 5 3

D=

Dx =

D=

3.

1 = (5 )(− 2 ) − (1)(3 ) = − 10 − 3 = − 13 −2

8 10

5 3

1 = (8 )(− 2 ) − (1)(10 ) = − 16 − 10 = − 26 −2

8 = (5 )(10 ) − (8 )(3 ) = 50 − 24 = 26 10

Se sustituyen en los cocientes para obtener el valor de las variables. x=

Dx D

=

− 26 =2 − 13

y =

Dy D

=

26 − 13

= −2

La solución al sistema es x = 2 y y = − 2 .

Ejemplo 2. Sofía es estudiante de Agronomía, solicitó una beca de estudio y para conservarla tiene que cursar tres materias de Naturales y dos de Humanidades equivalentes a 36 créditos en segundo semestre; mientras que para el tercer semestre, deberá cursar cuatro de Naturales y tres de Humanidades los cuales son 50 créditos. ¿Cuántos créditos tiene cada área? Asignación de variables.

m : Créditos del área de Naturales. n: Créditos del área de Humanidades. El sistema queda de la siguiente forma: ⎧3 m + 2 n = 36 ⎨ ⎩4 m + 3 n = 50

Y su forma matricial queda:

⎡3 ⎢ ⎣⎢4

196


2 36 ⎤ ⎥ 3 50 ⎦⎥

Ahora se obtendrán los determinantes correspondientes. 3 4

D =

2 = (3 )(3 ) − (2 )(4 ) = 9 − 8 = 1 3

Dm =

36 50

Dn =

3 4

2 = (36 )(3 ) − (2 )(50 ) = 108 − 100 = 8 3

36 = (3 )(50 ) − (36 )(4 ) = 150 − 144 = 6 50

Se sustituyen en los cocientes para obtener el valor de las variables. m=

Dm D

=

8 =8 1

n=

Dn D

=

6 =6 1

Por lo tanto, las asignaturas del área de Naturales valen 8 créditos y las del área de Humanidades 6 créditos.

Actividad 5: INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes sistemas por el método de determinantes. 1.

⎧ 9 r − 9 s = 18 ⎨ ⎩− r + 4 s = −2

2.

⎧ x + y = 14 ⎨ ⎩ − x − 5 y = −30

BLOQUE 7

197


2 1 p + q = −3 3 4 4 5 p− q = 9 3 4

3.

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪− ⎪⎩

4.

⎧ 5 x − 6 y = −1 ⎨ ⎩− 5 x + 8 y = 3

Evaluación Actividad 5: Conceptual Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2), mediante el método de determinantes.

Autoevaluación

198



Puntaje:

Saberes Procedimental Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2 empleando el método de determinantes.

Actitudinal Aprecia la facilidad del método de determinantes.

C

MC

NC

Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.


Cierre

Actividad 6: INSTRUCCIONES: Escribe el sistema que representa a cada uno de los problemas y resuélvelos con cualquiera de los métodos de solución.

6.

Un avión recorre 2400 millas para llegar a una ciudad. De ida llevaba el viento a favor y tardó 4 horas en llegar, pero de regreso, con el viento en contra, demoró 6 horas. ¿Cuál es la velocidad del avión y la velocidad del viento?

7.

El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 4 unidades menor que el doble del segundo. Encuentra ambos números.

BLOQUE 7

199

Actividad 6 continua ación: 3.

4.

200

Hace 5 años la edad de un muchacho era un quinto de la que tenía su pa adre, y dentro de 10 años el hijo tendrá la mitad de la edad de su padre. Determina las edades actuales.

En la tienda de autoservicio, 10 paquetes de maíz y 7 de chícharos cuestan 12.53 3 dólares, mientras que 7 de maíz y 9 de chícha aros cuestan 12.52 dólares. Encuentra el precio por paquete de cada producto.


Actividad: 5.

6.

Si 3 veces el recorrido de Abel más 4 veces el recorrido de Pablo es igual a 60 vueltas, mientras que 2 veces el recorrido de Abel es igual al recorrido de Pablo más 7 vuelta ¿Cuántas vueltas da Abel y Pablo a la pista del deportivo?

Si se le resta 2 al numerador de una fracción y se suma 1 al denominador, su valor resulta ser Pero, si se resta 7 al numerador y suma 2 al denominador resulta

1 . 2

1 . Encuentra la fracción. 3

BLOQUE 7

201

Evaluación Actividad 6: Conceptual Reconoce la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2), mediante diferentes métodos. Ubica e interpreta soluciones diversas utilizando sistemas 2 x 2.

Autoevaluación

202


Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Expresa y soluciona situaciones diversas utilizando sistemas 2 x 2. Aplica los sistemas de ecuaciones de 2 x 2 empleando métodos algebraicos. Construye ideas y argumentos relativos a la solución y aplicación de sistemas de ecuaciones. C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia la diversidad y efectividad de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones 2 x 2. Asume una actitud de apertura que favorece la solución de los ejercicios.

Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos. Calificación otorgada por el docente

Resuelve ecuaciones lineales III





Secuencia didáctica 1. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3 x 3). Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: Analiza las siguientes preguntas y contesta correctamente cada una de ellas.

204

1.

Uno de los teoremas más importantes de los triángulos es que la suma de la medida de los ángulos 2 interiores de un triángulo es de 180º. El ángulo más pequeño del triángulo es del ángulo de 3 tamaño mediano. El ángulo más grande es 30º menor que 3 veces el ángulo mediano. ¿Cuál es el sistema de ecuaciones que modelan las tres situaciones diferentes de la que se compone este problema?

2.

Si el método de suma o resta consiste en reducir el sistema de 2 x 2 por eliminación de una variable a una ecuación lineal de una incógnita, para poder despejar. ¿Cómo describirías el método de suma o resta para el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas?

3.

Si el método de sustitución consiste en reducir el sistema 2 x 2 despejando una variable y sustituyendo en otra ecuación, para reducirlo a una ecuación lineal con una incógnita. ¿Cómo describirías el método de sustitución para el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas?

RESUELVE ECUACIONES LINEALES III



Conceptual Identifica sus conocimientos previos sobre los métodos de solución algebraica.

Saberes Procedimental Infiere sobre los métodos de solución de tres ecuaciones con tres incógnitas a partir de los métodos de solución algebraica de los sistemas 2 x 2.

Autoevaluación

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Muestra disposición al realizar la actividad.


Desarrollo Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas describen tres situaciones en un mismo problema, dichas situaciones tienen que ir encaminadas a describir las mismas variables, como por ejemplo: Encontrar tres números tales que la suma del primero y el segundo excede en 18 al tercer número; la suma del primero y el tercero excede en 78 al segundo, y la suma del segundo y el tercero excede en 102 al primero.

Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor y la electricidad: la voluntad.

Asignación de variables. Dominio público x : Primer número.

y : Segundo número. z : Tercero número. El sistema se expresa como:

⎧ x + y = z + 18 ⎪ ⎨ x + z = y + 78 ⎪ y + z = x + 102 ⎩ Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas tienen forma similar al sistema de 2 x 2.

⎧ a1 x + b1 y + c1 z = d1 ⎪ ⎨ a2 x + b2 y + c2 z = d 2 ⎪a x + b y + c z = d 3 3 3 ⎩ 3 Al igual que en el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, también existen sistemas que son consistentes (solución única), inconsistentes (solución nula) y dependientes (solución múltiple), por ejemplo:

BLOQUE 8

205

Ejemplo 1.

⎧ x + y − z = 18 ⎪ La solución del sistema ⎨ x − y + z = 78 es x = 48 , y = 60 ⎪− x + y + z = 102 ⎩

y z = 90 . Deben

satisfacer el sistema, esto es, al sustituir los valores en el sistema se debe cumplir la igualdad. x + y − z = 18 x − y + z = 78 − x + y + z = 102

(48) + (60) − (90) = 18

(48) − (60 ) + (90) = 78

18 = 18

78 = 78

− (48) + (60) + (90) = 102 102 = 102

De esta forma se comprueba que la solución al sistema es correcta. En este caso se dice que es un sistema consistente, con solución única. Ejemplo 2.

⎧ 4 x + 2 y − 6 z = −8 ⎪ El sistema ⎨ 2 x + y − 3 z = −4 tiene una infinidad de soluciones, algunas de ellas son: ⎪− 6 x − 3 y + 9 z = 12 ⎩ x=0 x=4 x = −1

y = −1 y =3 y =1

Sustitución de la primera solución. 4 x + 2 y − 6 z = −8

4(0 ) + 2(− 1) − 6(1) = −8 − 8 = −8 − 6 x − 3 y + 9 z = 12 − 6(0 ) − 3(− 1) + 9(1) = 12 12 = 12

2 x + y − 3 z = −4 2(0 ) + (− 1) − 3(1) = −4 − 4 = −4

Sustitución de la segunda solución. 4 x + 2 y − 6 z = −8 2 x + y − 3 z = −4

4(4 ) + 2(3 ) − 6(5 ) = −8 − 8 = −8

2(4 ) + (3 ) − 3(5 ) = −4 − 4 = −4

Sustitución de la primera solución. 4 x + 2 y − 6 z = −8

4(− 1) + 2(1) − 6(1) = −8 − 8 = −8

z =1 z=5 z =1

− 6 x − 3 y + 9 z = 12 − 6(4 ) − 3(3 ) + 9(5 ) = 12 12 = 12

2 x + y − 3 z = −4 2(− 1) + (1) − 3(1) = −4 − 4 = −4

− 6 x − 3 y + 9 z = 12 − 6(− 1) − 3(1) + 9(1) = 12 12 = 12

En este caso es un sistema dependiente con solución múltiple. Ejemplo 3.

2x − y + z = 3 ⎧ ⎪ El sistema ⎨− 4 x + 2 y − 2 z = 8 no tiene solución, y esto se puede verificar cuando se ⎪ 6 x − 3 y + 3 z = 10 ⎩ aborden los métodos de solución algebraica. 206


Actividad 2: INSTRUCCIONES: Considera ando la clasificación de los sistemas 2 x 2 con base en sus coeficientes. Escribe las s condiciones que deben cumplir los cocientes de los ⎧ a1 x + b1 y + c1 z = d 1 ⎪ coeficientes del sistema ⎨ a2 x + b 2 y + c2 z = d 2 para determinar cuá ándo es ⎪a x + b y + c z = d 3 3 3 ⎩ 3 consistente (solución única),, inconsistente (solución nula) y dependiente (solución ( múltiple).

Evaluación Actividad 2: Conceptual Explica la clasificación de los sistemas 3 x 3, con base en sus coeficientes.

Autoevaluación

Producto: Classificación

Puntaje:

Saberes P Procedimental Clasifica el tipo o de sistema de ecuaciones line eales 3 x 3 y su solución.

Actitudinal Se interesa por realizar la actividad con eficiencia.

Deduce la classificación de sistema con base en sus co oeficientes. C

MC

NC


BLOQUE 8

207

Interpretación gráfica. Una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio como se muestra en la figura. z

y

x

A diferencia del plano cartesiano de dos dimensiones (eje horizontal y vertical), el plano cartesiano ubica las tres dimensiones. Lo mismo sucede en el cine, cuando se presenta una película en 3D (tres dimensiones), en la que se percibe la profundidad y da la sensación de estar dentro de ella. Para ubicar los puntos del plano que representa una ecuación, es necesario despejar una variable (dependiente) y sustituir valores en las otras dos variables (independientes); esta forma de graficarla es muy laboriosa. En niveles posteriores aprenderás formas más fáciles para llevar a cabo la graficación manual. También puedes hacer uso de programas de graficación como es el graficador Winplot para que visualices los planos. A continuación se presenta la gráfica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Ejemplo 1.

x+y+z=6 ⎧ ⎪ Para que visualices mejor la gráfica del sistema ⎨ x − 2 y + 2 z = 5 se presentarán los ⎪− 3 x + y + 3 z = 10 ⎩ planos de las ecuaciones por separado. La gráfica de x + y + z = 6 es:

z

y x

208


z

La gráfica de x − 2 y + 2 z = 5 es:

y x

La gráfica de la ecuación − 3 x + y + 3 z = 10 es: z

y x

x+y+z=6 ⎧ ⎪ Por lo tanto la gráfica del sistema ⎨ x − 2 y + 2 z = 5 se logra al sobreponer los planos ⎪− 3 x + y + 3 z = 10 ⎩ de cada una de las ecuaciones que lo conforman, y la intersección de ellos daría como resultado las coordenadas del punto que satisfacen al sistema, esto es, proporciona la solución de éste:

BLOQUE 8

209

z

Solución del sistema a

y x

Cierre Actividad 3: INSTRUCCIONES: I. Proporciona un ejjemplo de cada uno de los sistemas. 1. Sistema consistente (solución única).

2. Sistema inconsistente (solución n nula).

3. Sistema dependiente (solución n múltiple).

210


Actividad 3 continuación: II. Realiza un ejemplo gráfico de los siguientes sistemas. 1.

Sistema inconsistente.

2.

Sistema dependiente.


Producto: Ejem mplos

Conceptual Reconoce la clasificación de los sistemas 3 x 3.

Saberes Procedimental Propone ejemp plos de sistemas 3 x 3 de acuerdo a su c clasificación.

Puntaje:

Esboza las grá áficas de sistemas 3 x 3 de acuerdo a su c clasificación. Autoevaluación

C

MC

NC

Actitudinal Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta, al realizar la actividad.


BLOQUE 8

211

Secuencia a didáctica 2. Métodos para resolver sistemas s de tres ecuac ciones con tres incógnitas. Inicio Actividad 1. INSTRUCCIONES: En n equipo, escribe el sistema de ecuaciones que modela m cada uno de los siguientes s problemas.

212

1.

37. El menor disminuido en 1 equivale a un tercio de d la suma del La suma de tres números es 3 mayor y el mediano; la diferenc cia entre el mediano y el menor equivale al mayor dism minuido en 13. Encontrar los números.

2.

Entre Álvaro, Javier y Carmen tienen 140 pesos. Carmen tiene la mitad de lo que tiene Álvaro, y Álvaro tiene 10 pesos más que Javier ¿Cuánto tiene cada uno?

3.

Encontrar tres números tales q que la suma del primero y el segundo excede en 3 al doble del tercer número; la suma del primero y el tercero es igual al segundo, y la suma del segundo y el tercero excede en 14 al primero o.

4.

Si Adrián le da un peso a Carlo os, ambos tiene lo mismo; si Beatriz tuviera un peso menos, m tendría lo mismo que Carlos, y si Adriá án tuviera cinco pesos más, tendría tanto como el do oble de lo que tiene Carlos. ¿Cuánto tiene cad da uno?

5.

Si al doble de la edad de M Marco se suma la edad de José, se obtiene la edad de Jorge aumentada en 32 años. Si al tercio de la edad de José se suma el doble de la a de Jorge, se obtiene la de Marco aumentada en 9 años, y el tercio de la suma de las edades de e Marco y José es un año menos que la edad d de Jorge. Encuentra las edades de cada uno de ellos s.



Producto: Problemas.

Puntaje:

Conceptual Identifica las ecuaciones lineales.

Saberes Procedimental Analiza y modela situaciones para formar sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Actitudinal Aprecia la utilidad de los sistemas 3 x 3.

Coevaluación

C

MC

NC


Desarrollo Los métodos para resolver los sistemas 2 x 2 (Reducción y Determinantes), también se aplican en los sistemas de 3 x 3, un poco más estructurados pero el principio es el mismo. Los métodos de Reducción (suma o resta, sustitución e igualación) consisten en reducir el sistema de 3x3 a un sistema de 2x2, y posteriormente, reducirlo a una ecuación lineal de una incógnita, la cual es despejada para encontrar el primer valor y después se va sustituyendo para encontrar el segundo y tercer valor. El método de Determinantes es básicamente el mismo, a excepción de un aumento en las filas de cada uno de los determinantes, éste se verá más adelante. A continuación se desarrollarán los métodos para poder dar solución a los problemas que se plantearon en la actividad 1.

Métodos de Reducción. Suma o resta. Se ejemplificará el método siguiendo el desarrollo de un ejemplo, en éste se mostrará cómo se va reduciendo el sistema de 3 x 3 a un sistema de 2 x 2, para finalmente reducirlo a una ecuación lineal de una incógnita. Ejemplo.

⎧ 6 x + 4 y − 5 z = −1 ⎪ Para resolver el sistema ⎨− 2 x + 8 y + 3 z = 4 se seguirán los siguientes pasos: ⎪ 4 x − 4 y − 7 z = −6 ⎩ 1.

Se etiquetan las ecuaciones para que sean más fáciles de identificarlas.

⎧ 6 x + 4 y − 5 z = −1 ⎪ ⎨− 2 x + 8 y + 3 z = 4 ⎪ 4 x − 4 y − 7 z = −6 ⎩ 2.

( A) ( B) (C )

Elegir una de las variables para eliminar. En este caso se elige la “y” por ser la más sencilla de eliminar.

BLOQUE 8

213

3.

Se elige la ecuación A y C para eliminar “y” realizando la suma o resta correspondiente en cada uno de los términos.

6 x + 4 y − 5 z = −1 4 x − 4 y − 7 z = −6 10 x 4.

− 12 z = −7

Se elige la ecuación B y la ecuación C, ésta última se multiplica por dos para poder eliminar “y”.

−2 x + 8 y + 3 z = 4 8 x − 8 y − 14 z = −12 6x 5.

− 11z = −8

Se toman las dos ecuaciones para formar un nuevo sistema. Se etiquetan de igual manera las ecuaciones del nuevo sistema.

¿Sabías que… muchos artistas se interesaron por las matemáticas y muchos matemáticos por el arte?

⎧10 x − 12 z = − 7 ( D ) ⎨ ⎩ 6 x − 11z = − 8 ( E )

6.

Se elige la variable “x” para eliminar, multiplicando la ecuación D por 3 y la ecuación E por – 5 y procediendo a sumar o restar en cada término.

30 x − 36 z = −21 − 30 x + 55 z = 40 19 z = 19 7.

8.

Se despeja la variable z. 19 z = 19 19 z= 19 z =1 Obtenido el primer valor, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema 2 x 2, en este caso elegiremos la ecuación D para llevar a cabo la sustitución para encontrar el valor de x.

10 x − 12 z = −7 10 x − 12(1) = −7 10 x = −7 + 12 10 x = 5 x= x=

214


5 10 1 2

9.

Se sustituyen los dos valores encontrados en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema 3 x 3, para encontrar el valor de la variable restante. En este caso se elegirá la ecuación A.

6 x + 4 y − 5 z = −1 ⎛ 1⎞ 6⎜ ⎟ + 4 y − 5(1) = −1 ⎝2⎠ 3 + 4 y − 5 = −1 4 y = −1 − 3 + 5 4y = 1 1 y= 4 Por lo que el resultado del sistema es: 1 1 x= y= 2 4

z =1

El punto solución se expresa: ⎛1 1 ⎞ ⎜ , , 1⎟ ⎝2 4 ⎠

A continuación se tomará el mismo sistema de suma o resta para desarrollar los métodos posteriores y así puedas decidir el método que más se te facilita. Sustitución. Este método consiste en despejar una de las variables de una ecuación y sustituirla en las otras dos para poder construir el sistema 2 x 2, posteriormente se seguirá con el método de sustitución de 2 x 2 para encontrar el valor de la primer variable e ir sustituyendo posteriormente en las demás y así encontrar los valores de las variables faltantes. Ejemplo.

⎧ 6 x + 4 y − 5 z = −1 ⎪ Para resolver el sistema ⎨− 2 x + 8 y + 3 z = 4 se seguirán los siguientes pasos: ⎪ 4 x − 4 y − 7 z = −6 ⎩ 1. Se etiquetan las ecuaciones para que sean más fáciles de identificarlas. ⎧ 6 x + 4 y − 5 z = −1 ( A) ⎪ ( B) ⎨− 2 x + 8 y + 3 z = 4 ⎪ 4 x − 4 y − 7 z = −6 (C ) ⎩

BLOQUE 8

215

2.

Se despeja la variable x de la ecuación C. 4 x − 4 y − 7 z = −6 4 x = −6 + 4 y + 7 z x=

3.

− 6 + 4y + 7z

4 Se sustituye el valor del despeje en la ecuación A y B, para conformar el sistema de 2 x 2.

6 x + 4 y − 5 z = −1 ⎛ − 6 + 4y + 7z ⎞ 6⎜⎜ ⎟⎟ + 4 y − 5 z = −1 4 ⎠ ⎝ ⎛ − 6 + 4y + 7z ⎞ ⎟⎟ + 4 y − 5 z = −1 3⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ − 18 + 12 y + 21z + 4 y − 5 z = −1 2 − 18 + 12 y + 21z + 8 y − 10 z = −2 20 y + 11z = 16 Anaxágoras de Clazomenae (499 – 428 A C) Fue encarcelado por decir que el sol no era un Dios y que la luna reflejaba la luz del sol. Mientras permanecía en prisión trató de solucionar el problema de la cuadratura del círculo, encontró un cuadrado con el área igual a la obtenida por un círculo.

4.

− 2x + 8y + 3z = 4 ⎛ − 6 + 4y + 7z ⎞ − 2⎜⎜ ⎟⎟ + 8 y + 3 z = 4 4 ⎠ ⎝ ⎛ − 6 + 4y + 7z ⎞ ⎟⎟ + 8 y + 3 z = 4 − 1⎜⎜ 2 ⎠ ⎝ 6 − 4y − 7z + 8y + 3z = 4 2 6 − 4 y − 7 z + 16 y + 6 z = 8 12 y − z = 2

Se expresa el sistema y se etiquetan las ecuaciones. ⎧20 y + 11z = 16 ⎨ ⎩12 y − z = 2

5.

( D) (E)

Se despeja la variable “z” de la ecuación E.

12 y − z = 2 − z = 2 − 12 y z = −2 + 12 y 6.

Se sustituye el despeje en la ecuación D.

7.

20 y + 11z = 16 20 y + 11(− 2 + 12 y ) = 16 20 y − 22 + 132 y = 16 152 y = 38 38 y= 152 1 y= 4 Se sustituye el valor encontrado en el despeje del paso 5. z = −2 + 12 y ⎛ 1⎞ z = −2 + 12⎜ ⎟ ⎝4⎠ z = −2 + 3 z =1

216


8.

Se sustituyen los valores de “y” y “z” encontrados en el despeje del paso 2. x=

x=

−6 + 4 y + 7 z 4 ⎛ 1⎞ − 6 + 4⎜ ⎟ + 7 (1) ⎝4⎠

René Descartes. Cierta vez observó una mosca deambular por el techo de la habitación e ideó como escribir un recorrido con una ecuación. Pensó la forma de aplicar el álgebra a la geometría y la geometría al álgebra.

4 − 6 + 1+ 7 x= 4 2 x= 4 1 x= 2 Por lo que el resultado del sistema es: 1 1 z =1 x= y= 2 4

De la misma forma que fue en el método de suma o resta. Igualación. El método de igualación consiste en despejar la misma variable de las tres ecuaciones para hacer dos igualaciones, de esta forma se construye el sistema 2 x 2, que posteriormente se puede resolver por el método algebraico de igualación para sistemas de 2 x 2. Ejemplo.


Se etiquetan las ecuaciones para que sea más fácil identificarlas.

⎧ 6 x + 4 y − 5 z = −1 ( A) ⎪ ( B) ⎨− 2 x + 8 y + 3 z = 4 ⎪ 4 x − 4 y − 7 z = −6 (C ) ⎩ 2.

Se despeja la variable “y” de las tres ecuaciones. 6 x + 4 y − 5 z = −1 4 y = −1 − 6 x + 5 z y =

− 1− 6x + 5z 4

−2 x + 8 y + 3 z = 4 8y = 4 + 2x − 3z y=

4 + 2x − 3z 8

4 x − 4 y − 7 z = −6 − 4 y = −6 − 4 x + 7 z y =

− 6 − 4 x + 7z −4

BLOQUE 8

217

3.

Se igualan por parejas los despejes para formar dos ecuaciones, en este caso se iguala el primer y segundo despeje y se desarrolla; posteriormente, se igualan el primer y tercer despeje, y de igual forma se desarrolla.

−1 − 6 x + 5 z

=

−1 − 6 x + 5 z

4 + 2x − 3z

− 10 x + 12 z = 7

− 12 x − 2 x + 10 z + 3 z = 4 + 2 − 14 x + 13 z = 6

Se forma el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y se etiquetan las ecuaciones. ⎧ − 14 x + 13 z = 6 ⎨ ⎩ − 10 x + 12 z = 7

5.

( D) (E)

Se despeja de ambas ecuaciones la misma variable, en este caso se despejará la variable z. −14 x + 13 z = 6 13 z = 6 + 14 x z=

6.

−10 x + 12 z = 7 12 z = 7 + 10 x

6 + 14 x 13

z=

7 + 10 x 12

Se igualan los dos despejes.

6 + 14 x

7 + 10 x = 13 12 12 (6 + 14 x ) = 13 (7 + 10 x ) 72 + 168 x = 91 + 130 x 168 x − 130 x = 91 − 72 38 x = 19 19 x= 38 1 x= 2

218

−6 − 4 x + 7 z

−4 4 ⎛ − 1− 6 x + 5z ⎞ ⎛ − 6 − 4 x + 7z ⎞ 4⎜ ⎟ = 4⎜ ⎟ −4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 1− 6 x + 5z = 6 + 4 x − 7z − 6 x − 4 x + 5z + 7z = 6 + 1

4 8 ⎛ − 1− 6 x + 5z ⎞ ⎛ 4 + 2 x − 3z ⎞ 8⎜ ⎟ = 8⎜ ⎟ 4 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 2 − 1− 6 x + 5 z = 4 + 2 x − 3z − 2 − 12 x + 10 z = 4 + 2 x − 3 z

4.

=


7.

Se sustituye el valor del la variable x en cualquiera de los despejes del paso 5, en este caso elegiremos el primer despeje.

z=

6 + 14 x 13

⎛ 1⎞ 6 + 14⎜ ⎟ ⎝2⎠ z= 13 6+7 z= 13 z =1 8.

Se sustituyen los dos valores encontrados en cualquiera de los despejes del paso 2 para encontrar el valor de la variable y.

y=

y= y= y= 9.

−1 − 6 x + 5 z 4 ⎛ 1⎞ − 1 − 6⎜ ⎟ + 5(1) ⎝2⎠

Platón (427 – 347 A C) Creía que era imposible estudiar la Filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas. Hizo colocar a la entrada de la Academia, su frase célebre y signtificativa: “no entres aquí si no eres geómetra”. Le dio un orden lógico a la geometría. Se debe a platón la mayor claridad de las definiciones, axiomas y postulados.

4 − 1− 3 + 5 4 1 4

Por lo que el resultado del sistema es: 1 1 x= y= 2 4

z =1

Dependiendo del tipo del sistema y de tus habilidades en la utilización de los métodos puedes hacer combinaciones de ellos, esto es, puedes iniciar con sustitución y terminar con suma o resta, o viceversa; también puedes combinarlos con los de igualación. Tú decidirás cuál es el método o combinación más adecuada para resolver los sistemas.

Método numérico de Determinantes. Éste se aplica de igual forma que en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, sólo hay un ligero cambio en la forma de resolver los determinantes de cada una de las variables y el sistema, pero prácticamente es la misma metodología. Se tomará el mismo ejemplo que en el anterior para que realices la comparación de métodos.

BLOQUE 8

219

Ejemplo.


Se verifica que esté acomodado el sistema, si no es así hay que acomodar las variables en el primer miembro y la constante en el segundo miembro de las ecuaciones. En este caso ya están acomodadas.

2.

Se expresa la forma matricial del sistema, como se muestra a continuación. ⎡ 6 4 ⎢ ⎢− 2 8 ⎢ 4 −4 ⎣

3.

− 5 − 1⎤ ⎥ 3 4 ⎥ − 7 − 6 ⎥⎦

Se expresan los determinantes del sistema y las variables.

6 4 −5 3 D= −2 8 4 −4 −7

−1 4 − 5 Dx = 4 8 3 −6 −4 −7

6 −1 − 5 Dy = − 2 4 3 4 −6 −7

6 4 −1 Dz = − 2 8 4 4 −4 −6 4.

Para resolver cada uno de los determinantes, se deben repetir en cada uno de ellos las dos primeras filas y resolver el determinante como se muestra a continuación.

6

4

−2 8 D = 4 −4 6 −2 −1 4 Dx = − 6 −1 4 6

4 8 4 8 −4 4 8

6

220


−5 3 −5 3 − 7 = (56 + 80 − 72 ) − (240 + 12 − 112 ) = −76 −5 3

3 − 7 = (− 168 − 60 − 12 ) − (− 80 − 108 − 14 ) = −38

−1 − 5 4 3 4

−2 8 Dz = 4 − 4 6 −2

3 − 7 = (− 336 − 40 + 48 ) − (− 160 − 72 + 56 ) = −152

−1 − 5

−2 4 Dy = 4 − 6 6 −2

−5

4 8

−1 4 − 6 = (− 288 − 8 + 64 ) − (− 32 − 96 + 48 ) = −152 −1 4

5.

Se realizan los cocientes para encon ntrar el valor de las variables.

x=

y=

z=

6.

Dx D Dy D

Dz D

=

=

=

− 76 1 = − 152 2 − 38 − 152

=

1 4

− 152 =1 − 152

Por lo que el resultado del sistema e es: 1 1 z =1 x= y= 2 4

Como te habrás dado cuenta, todos los métodos resultaron con la misma solución, cual debe de ser, tu elegirás el más convenie ente para ti. Por lo pronto en la siguiente actividad se te proponen varios sistemass para que los practiques.

Actividad 2: INSTRUCCIONES: Resuelve los sig guientes sistemas 3 x 3, utilizando cualquiera de d los métodos algebraicos. Se te re ecomienda que varíes los métodos para que lo os practiques.

1.

⎧ x + 3 y − 2z = 7 ⎪ ⎨3 x + 5 y + z = −4 ⎪− 2 x − 6 y − z = 1 ⎩

2.

⎧ 2x + 5y − z = 1 ⎪ ⎨− 3 x − 4 y + z = −10 ⎪4 x + 7 y + 2 z = −5 ⎩

BLOQUE 8

221


222

3.

2x − 6y + z = 3 ⎧ ⎪ x − + 7 y + 9 z = −9 3 ⎨ ⎪− 4 x + 8 y + 5 z = 9 ⎩

4.

⎧4 x − 2 y + z = −4 ⎪ ⎨x + 3y − 2z = 7 ⎪ 10 x − y + z = 12 ⎩

5.

⎧ 3 x + 2y − 2z = 1 ⎪ ⎨ 2 x − y − 10 z = −5 ⎪ x + 4y + 8z = 1 ⎩



6.

⎧ 3x + 3y + z = 3 5 ⎪ ⎪ 1 x y z 2 10 4 + + = ⎨ 3 ⎪ 1 x y z 6 5 − − = ⎪⎩ 2

7.

⎧− 3 x − 4 y + z = 0 ⎪ 6 x + 2z = 0 ⎨ ⎪3 x − 4 y + 3 z = 0 ⎩

8.

⎧10 x + 9 y − 10 z = 0 ⎪ ⎨ 8 x − 6 y + 5 z = −7 ⎪6 x + 3 y + 20 z = −6 ⎩

BLOQUE 8

223

Evaluación Actividad 2: Concep ptual Comprende los m métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con trres incógnitas. Autoevalu uación


Punta aje:

Saberes Procedimental Utiliza los métodos de solución algebraicos y numéricos para resolver un sistema de 3 x 3.

Actitudinal Aprec cia la simplicidad de los métodos de solución para resolvver sistemas de 3 x 3.

C

MC

NC


Cierre Actividad 3: INSTRUCCIONES: E En equipo, plantea el sistema que representa a ca ada uno de los siguientes proble emas y resuélvelos por alguno de los métodos de d solución.

224

1.

Al comprar 1 Kg. de plátanos, 1 Kg. de papas y 1 litro de aceite pagué $47. El aceite a cuesta el cuádruple que el kilo de papas.. El kilo de plátanos y el kilo de papas juntos, cuestan n la mitad que el litro de aceite más $5. ¿Cuál es el costo de cada artículo?

2.

La suma de tres números es 3 37. El menor disminuido en 1 equivale a un tercio de d la suma del mayor y el mediano; la diferenc cia entre el mediano y el menor equivale al mayor dis sminuido en 13. Encontrar los números.



Entre Álvaro, Javier y Carmen tiene en 140 pesos. Carmen tiene la mitad de lo que tiene Álvaro, Á y Álvaro tiene 10 pesos más que JJavier ¿Cuánto tiene cada uno?

4.

Tony, Ana y Sebastián fueron a c comer pizza. Entre Tony y Sebastián comieron el doble que Ana. Ana comió el doble que Sebastián. E Entre los tres se terminaron una pizza. ¿Qué porción n de pizza comió cada uno?

5.

Encontrar tres números tales que la suma del primero y el segundo excede en 18 al tercer número; la suma del primero y el tercero excede en 78 al segundo, y la suma del segundo y el tercero t excede en 102 al primero.

BLOQUE 8

225

Actividad 3 continuac ción: 6.

226

Calcula el volumen de el prisma rectangular si: 5 veces el largo más 2 vec ces el ancho menos 3 veces la altu ura es igual a 8 cm. El doble de la altura, más el larg go, menos el ancho es igual a 13 c cm; 3 veces el ancho, menos 2 veces la altura más el doble del largo es igual a 5 cm.

7.

Si Adrián le da un peso a Carlos, a ambos tiene lo mismo; si Beatriz tuviera un peso menos, tendría lo mismo que Carlos, y si Adrián tuviera cinco pesos más, tendría tanto como el doble de e lo que tiene Carlos. ¿Cuánto tiene cada uno?

8.

Alicia acumuló 255 puntos en tres exámenes de Química. La suma de las calificaciones s del primer y segundo examen exceden al terc cero en 55, y la calificación del tercer examen excede a la del primero en 20, ¿qué calificación ob btuvo en cada examen?



Si al doble de la edad de Marco o se suma la edad de José, se obtiene la edad de Jorge aumentada en 32 años. Si al terc cio de la edad de José se suma el doble de la de Jorge, se obtiene la de Marco aumentada en 9 años, y el tercio de la suma de las edades de Marco y José es un año menos que la edad de Jorge. Encuentra las edades de cada uno de ellos.

10. Jaime le dijo a Mario, -Se me c meras cifras de tu calló mi agenda al agua y sólo puedo leer las prim número telefónico, que son 672 28; las últimas se han borrado-. Mario, a quien le gustan mucho las matemáticas, le respondió, -Te falta un número de tres cifras; para encontrarlo, la cifrra de las unidades menos la de las decenas más la de las centenas es igual a 2. El triple de la cifra de la as unidades más la de las decenas es igual a la de las centenas más 4. La cifra de las decenas menos la de las centenas más 11 veces la de las unidadess es igual a 0. Resuelve el sistema y encontrarás mi nú úmero-.

BLOQUE 8

227

Evaluación Actividad 3: Conceptual Ubica e interpreta situaciones diversas utilizando sistemas 3 x 3.

Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica los métodos de solución para resolver sistemas 3 x 3.

Puntaje: Actitudinal Aprecia la diversidad y efectividad de los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones 3 x 3. Asume una actitud de apertura que favorece la solución de los ejercicios. Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.

Coevaluación

228


C

MC

NC


Resuelve ecuaciones cuadráticas I

Unidades de competencia: Construye e interpreta modelos aritmé éticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y exp presiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y em mpleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas a aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explica ar y describir su realidad. Identifica las características presentes en n tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y loss traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.



Secuencia didáctica 1. Ecuaciones de segundo grado con una

incógnita.

Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES: I. Analiza y responde las siguientes preguntas. 1.

En la siguiente figura, ¿cuál es el valor de x, si con los datos se obtiene un área que mide 24cm2? x x +5

2.

¿Qué proceso utilizaste para resolver el problema anterior?

3.

En la siguiente figura, ¿cuánto vale x, si el área mide 40 cm2?

x+2 9 x +9

4.

Compara los dos problemas anteriores y explica qué dificultades encontraste para poder resolverlos

II. Observa el ejemplo para que completes la siguiente tabla. Ecuación x

2

− 8 x + 12 = 0

x

2

− 16 = 0

x

2

+ 7x = 0

x

2

− 10 x + 25 = 0

x2 + 2x − 3 = 0 2x

230

2

+ 7x − 4 = 0

RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I

Factorización

( x − 6 )( x − 2) = 0

Solución ó x =

x = 6

2



Puntaje:

Saberes Procedimental Obtiene la solución de los factores que componen a una ecuación cuadrática.

Conceptual Identifica la solución de una ecuación cuadrática expresada en factores.

C

Autoevaluación

MC

NC

Actitudinal Aprecia los conocimientos previos para identificar la solución de ecuaciones cuadráticas.


Desarrollo Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita también son conocidas como ecuaciones cuadráticas, y su forma general es: ax

2

+ bx + c = 0

con

a ≠ 0

Sus componentes son:

ax 2

Término cuadrático

bx

Término lineal

c

Término independiente

Como te habrás dado cuenta en la tabla de la primera actividad, el término lineal puede excluirse, así como el término independiente, pero como su condición lo dice, no se puede prescindir del término cuadrático. La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente cuadro sinóptico visualizarás su estructura. Completas: ax

Clasificación de las ecuaciones cuadráticas

2

+ bx + c = 0

Puras: Incompletas

Mixtas:

ax

ax

2

+ c = 0

2

+ bx = 0

BLOQUE 9

231

Actividad 2: INSTRUCCIONES: Trransforma las siguientes ecuaciones quitando los paréntesis y simplificando términ nos semejantes, para que las clasifiques en completas o incompletas (puras o mixtas). Ecuación modificada

Ecuación original

Clasificación

( x + 5)( x − 5) = 11 (n − 6)(n − 2) = −9n + 32 ( x − 2)( x + 3) = x + 19 x+4 =

( x − 7 )2

2( x − 8 ) x−4

+ ( x + 1) = 7 ( x − 1) + 4 43 2

2

2 y ( y − 5) + y ( y + 2) = 35

a−3 2a − 3

=

a−1 a−2

Evaluación Actividad 2: Concep ptual Identifica ecuacio ones completas e incom mpletas de segundo grado de una variable. Autoevaluación

232


Producto: Complementación de la tabla Saberes Procedimental Distingue las ecuaciones completas e incompletas de segundo grado con una variable. C

MC

NC

Punta aje: Actitudinal Aprec cia los conocimientos de Álgeb bra que le facilitan realizar la actividad con eficiencia.


Pareciera que las ecuaciones que desarrollaste en la actividad anterior no tienen sentido práctico, a continuación se te presenttarán algunos ejemplos aplicados, en donde la ecuación que los modela es muy parecida a alguna de ellas. Los siguientes ejemplos son ejercicios del libro Álgebra de Baldo or. 1.

La suma de dos números es 9 y la ssuma de sus cuadrados es 53. Hallar los números. x : Primer número. 9 − x

2.

: Segundo número.

x 2 + (9 − x ) = 53 2

Un número positivo es los 3 5 de otrro y su producto es 2160. Hallar los números. y : Número mayor.

3 5

3.

y : Número menor.

Antonio tiene 3 años más que JJaime y el cuadrado de la edad de Antonio, aumentado en el cuadrado de la ed dad de Jaime, equivale a 317 años. Hallar ambas edades. z : Edad de A. z − 3

4.

: Edad de B.

z 2 + ( z − 3 ) = 317 2

Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números. a : Número menor. 3a

5.

⎛3 ⎞ y ⎜ y ⎟ = 2160 ⎝5 ⎠

: Número mayor.

(3 a )2

La longitud de una sala excede a su u ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumentara en 4 m, el área sería el doble. Hallarr las dimensiones de la sala. x : Longitud de la sala. x − 4

6.

− a 2 = 1800

: Ancho de la sala.

( x + 4)( x ) = 2[( x )( x − 4)]

mero de sacos de azúcar por 1000 bolívares. Si Un comerciante compró cierto núm hubiera comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 bolívares menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno? x : Número de sacos que compró. x + 10

: Número de sacos que hubie era comprado.

1000 : Costo de cada saco que com mpró. x 1000 hubiera comprado 10 más. − 5 : Costo de cada saco si h x

( x + 10 )⎛⎜ 1000 ⎝

x

⎞ − 5 ⎟ = 1000 ⎠ BLOQUE 9

233

7.

Un homb bre compró cierto número de naranjas por $1.50. Se S comió 5 naranjas y vendiendo o las restantes a 1 cvo. más de lo que le costó cada a una, recuperó lo que había gasstado. ¿Cuántas naranjas compró y a qué precio? x : Número de naranjas.

úmero de naranjas que le quedaron. x − 5 : Nú

150 : Pre ecio de cada naranja en cvs. x 150 Precio de venta. + 1: P x

( x − 5 )⎛⎜ 150 + 1⎞⎟ = 150 ⎝ x

8.

⎠

Se han co omprado dos piezas de tela que juntas miden 20 m; el e metro de cada pieza costó un número de pesos igual al número de metros de la pie eza. Si una pieza costó 9 veces lo o que la otra, ¿Cuál era la longitud de cada pieza? x : Longittud de la primera pieza.

: Longitud de la segunda pieza. Costo o total de la primera pieza. (20 − x )2 : Costo total de la segunda pieza. 20 − x x2 :

(20 − x )2

= 9x2

Para resolver las ecuaciones cuadráticas se requiere aplic car algunos métodos algebraicos, lo os cuales varían, dependiendo del tipo de ecuación que q se presente.

gebraicos de resolución de ecuaciones de segundo s grado. Métodos alg La solución de una ecuación cuadrática es el valor de la incógnita a que al sustituirla en la ecuación la ssatisface, es decir, se cumple la igualdad. Por lo general una ecuación cuadrática tie ene dos soluciones, y en ocasiones sólo una, com mo se muestra en los siguientes eje emplos. Ejemplo 1. cuadrática x 2 − 2 x − 35 = 0 tiene dos soluciones, La ecuación c al sustituirlas en la ecuación, ésta se satisface.

x 2 − 2 x − 35 = 0

x 2 − 2 x − 35 = 0

(7 )2 − 2(7) − 35 = 0

(− 5)2 − 2(− 5) − 35 = 0

49 − 14 − 35 = 0

25 + 10 − 35 = 0

0= 0

234


x = 7

0= 0

ó

x = −5

, porque

Ejemplo 2. La ecuación cuadrática

x2 − 6x + 9 = 0

tiene una solución,

x = 3

x2 − 6x + 9 = 0

(3)2 − 6(3) + 9 = 0 9 − 18 + 9 = 0 0= 0 A las soluciones también se les conoce como raíces de la ecuación. Para encontrar con exactitud las soluciones de una ecuación cuadrática, primero se estudiarán las raíces o soluciones de las ecuaciones incompletas por su simplicidad, y posteriormente las raíces de las ecuaciones completas. Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas. Recordando, las ecuaciones incompletas se dividen en puras y mixtas. Solución de ecuaciones puras. Las ecuaciones puras carecen de término lineal, por lo que se puede llevar a cabo el despeje de la ecuación, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo. Encontrar las raíces de la ecuación x 2 − 16 = 0 Este tipo de ecuaciones se pueden resolver despejando la ecuación, dado que tenemos un sólo término con variable, por lo que el despeje se lleva a cabo de la siguiente forma. x 2 − 16 = 0 x 2 = 16 x = ± 16 x = ±4

Las raíces de la ecuación son: x1 = 4 ó x 2 = −4 Éstas también se pueden expresar como conjunto solución: Cs = { 4, − 4 } El conjunto solución consiste en expresar las soluciones separadas por comas y encerradas entre llaves; no es necesario guardar orden entre los elementos del conjunto. A continuación se generalizará el método, partiendo de la forma que tienen las ecuaciones puras en general.

ax 2 + c = 0 ax 2 = − c x2 = −

c a

x=± −

c a

BLOQUE 9

235

Las raíces de la ecuación resultarían: x1 =

−

c a

c a

x2 = − −

El conjunto solución se expresa:

⎧⎪ c c ⎫⎪ Cs = ⎨ − , − − ⎬ a a ⎭⎪ ⎪⎩ Solución de ecuaciones mixtas. Las ecuaciones mixtas carecen del término independiente, así que la opción de solución es la Factorización por factor común, como se muestra en el siguiente ejemplo. Para resolver la ecuación

3x

2

− 7x = 0

, se factoriza la variable.

3x2 − 7x = 0 x (3 x − 7 ) = 0

Como el resultado de la Factorización es una multiplicación cuyo producto es cero, sólo pueden pasar dos cosas, que x = 0 ó 3 x − 7 = 0 . Como se observa, ya se tiene la primera solución, y la segunda se despeja de la ecuación lineal, como se muestra a continuación.

3x − 7 = 0 3x = 7 x= Las raíces de la ecuación son:

x1 = 0

ó

7 3 x2 =

7 3

El conjunto solución es: Cs = ⎧⎨ 0, 7 ⎫⎬ ⎩ 3⎭ Generalizando el proceso, se toma la ecuación mixta Factorización.

ax

2

+ bx = 0

ax 2 + bx = 0

x (ax + b ) = 0 ax + b = 0

x = 0

ó

ax = − b x=−

b a

b Las raíces de la ecuación son: x1 = 0 ó x 2 = − a b⎫ ⎧ Y el conjunto solución queda expresado como: Cs = ⎨ 0, − ⎬ a⎭ ⎩

236


y se lleva a cabo la

Actividad 3: INSTRUCCIONES: Resuelve las s ecuaciones puras y mixtas que identificaste en la actividad 2, utiliza este espacio para que realices las operaciones.


Producto: Ejerrcicios

Puntaje:

Conceptual Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas.

Saberes P Procedimental Aplica las técn nicas algebraicas de despeje o extracción de factor común as ecuaciones para resolver la incompletas.

Actitudinal Aprecia la utilidad de utilizar métodos específicos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

Autoevaluación

C

C MC

NC


BLOQUE 9

237

A continuación, se elegirán las ecuaciones puras y mixtas de los problemas aplicados 2, 4 y 5, que se plantearon como ejemplos en el desarrollo de esta secuencia, con el objetivo de desarrollar los métodos y darles solución. 2. Un número positivo es los 3 5 de otro y su producto es 2160. Hallar los números. y : Número mayor.

3 y : Número menor 5

⎛3 ⎞ y ⎜ y ⎟ = 2160 ⎝5 ⎠ 3 2 y = 2160 5 (2160 )(5 ) y2 = 3 10800 2 y = . 3 y 2 = 3600 y = ± 3600 y = ± 60 La solución de la ecuación es: y 1 = 60 ó y 2 = −60 El problema aplicado descarta el número negativo, por lo tanto, el número mayor es 60 y el número menor es 36. 4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números. a : Número menor. 3a

: Número mayor.

(3 a)2 − a2 2

= 1800

2

9 a − a = 1800 8 a 2 = 1800 1800 8 a 2 = 225 a2 =

a = ± 225 a = ±15 La solución de la ecuación es: a1 = 15 ó a2 = −15 En este caso no se tiene ninguna condición para los números, se toman ambas soluciones para analizarlas y descubrir la respuesta correcta. 1) 2) 238


Si se toma al número menor como 15 , el mayor sería 45 . Esta afirmación es verdadera. Si se toma al número menor como − 15 , el número mayor sería − 45 . Esta afirmación es falsa, dado que − 15 es mayor que − 45 .

Por lo tanto, los números buscados son

15

y

45

.

5. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumentara en 4 m. el área sería el doble. Hallar la as dimensiones de la sala. x : Longitud de la sala. x − 4

: Ancho de la sala.

( x + 4 )( x ) = 2[( x )( x − 4 )] x 2 + 4x = 2x2 − 8x x 2 + 4 x − 2x 2 + 8x = 0 − x 2 + 12 x = 0 x (− x + 12) = 0

x=0

ó

− x + 12 = 0 − x = −12 x = 12

Las soluciones de la ecuación son: x1 = 0 ó x 2 = 12 Como la sala no puede tener longitud cero, se descarta la primera solución, entonces, la longitud de la sala es 12 m y el ancho 8 m.

Actividad 4: INSTRUCCIONES: En equipo, elab boren tres problemas aplicados que se plantee en con ecuaciones cuadráticas puras, y tre es problemas con ecuaciones cuadráticas mixtas s.

BLOQUE 9

239

Evaluación Actividad 4: Conceptual Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas incompletas.

Producto: Diseño de problemas.

Puntaje:

Saberes Procedimental Diseña aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas incompletas.

Actitudinal Se compromete con el equipo para realizar la actividad. Escucha con atención las aportaciones de sus compañeros.

Coevaluación

C

MC

NC


Solución de ecuaciones cuadráticas completas. Las ecuaciones cuadráticas completas, se pueden resolver por varios métodos que se derivan de la Factorización, por ello, es muy importante que repases el bloque de Factorización de trinomios. Los métodos son: 1. Factorización de trinomios. 2. Completar el trinomio cuadrado perfecto. 3. Fórmula general. A continuación se desarrollarán cada uno de los métodos. Factorización de trinomios. Para utilizar este método se requiere que el trinomio sea factorizable, es decir, encontrar los números enteros que cumplan las condiciones del proceso de Factorización, como por ejemplo: Ejemplo 1. Para encontrar la solución de la ecuación x 2 + números que multiplicados den 63 y sumados 16.

16 x + 63 = 0

, se pide encontrar dos

x 2 + 16 x + 63 = 0 ( x + 9 )( x + 7 ) = 0

Al igual que en el método de solución para ecuaciones mixtas, hay dos posibilidades cuando el producto de dos números es cero, cualquiera de los factores pueden ser cero, por lo tanto se tiene la siguiente separación: x+9 = 0 x = −9

ó

Las raíces de la ecuación son: x 1 = −9 ó x 2 = −7

x+7 =0

Y el conjunto solución se expresa como: Cs = {− 9, − 7}

240


x = −7

Ejemplo 2. Resolver la ecuación 14 u 2 + 23 u − 15 = 0 Recuerda que para factorizar esta ecua ación debes buscar la colocación exacta de una combinación de números, primero buscar los posibles números que multiplicados den ue multiplicados den − 15 , para poder hacer las 14 , y después los posibles números qu combinaciones. 14 u 2 + 23 u − 15 = 0

(7u + 15)(2u − 1) = 0

7u + 15 = 0 7u = −15 15 u=− 7

ó

2u − 1 = 0 2u = 1 1 u= 2

15 5 1 ó u2 = 7 2 ⎧ 15 1 ⎫ Y el conjunto solución se expresa como: Cs = ⎨− , ⎬ ⎩ 7 2⎭

Las raíces de la ecuación son: u1 = −

Actividad 5: INSTRUCCIONES: Resuelve los pro oblemas aplicados 1, 3, 6, 7 y 8 que se plantearo on como ejemplos en el desarrollo de esta secuencia.

BLOQUE 9

241

Evaluación Actividad 5: Conceptual Identifica el método de Factorización para problemas aplicados que se modelan con ecuaciones cuadráticas.

Autoevaluación


Puntaje:

Saberes Procedimental Aplica el método de Factorización para resolver problemas aplicados de ecuaciones cuadráticas.

Actitudinal Demuestra interés para resolver los problemas aplicados. Aprecia la importancia de los métodos de solución para solucionar problemas aplicados.

C

MC

NC


Completar trinomio cuadrado perfecto. En la sección anterior se resolvieron ejemplos sencillos de Factorización, pero en ocasiones las ecuaciones son más complicadas de factorizar, es decir, no es tan sencillo encontrar las combinaciones de números enteros que cumplan con las condiciones debido a que frecuentemente no son números enteros, pero aún así, se pueden expresar como factores. Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizará el método de completar trinomio cuadrado perfecto. Recordando, el trinomio cuadrado perfecto proviene de desarrollar un binomio al cuadrado, como se muestra a continuación.

(2 x − 3 )

2

2

= 4 x − 12 x + 9

El cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Entonces, si se desea hacer el proceso inverso (Factorizar), recuerda que se tienen que verificar las condiciones para que resulte un binomio al cuadrado, como lo viste en el bloque 4, por ejemplo: Al factorizar 4 y 2 − 20 y + 25 = 0 , primero se verifica si es o no trinomio cuadrado perfecto.

4 y 2 − 20 y + 25 = 0 ± 2y

±5

−20 y Si cumple con la condición de ser el doble producto, y además, las raíces se deben elegir de signo contrario, para que el producto sea negativo. 242


La ecuación anterior quedaría expresada como: 4 y 2 − 20 y + 25 = 0

(2 y − 5 )2

=0

Para resolverla se despeja la variable quitando primero el cuadrado, eso se logra al aplicar raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación, obteniéndose así:

(2 y − 5 )2

=0

2y − 5 = ± 0 2y − 5 = 0 2y = 5 5 y= 2 El ejemplo anterior sirvió para visualizar cómo se puede factorizar una ecuación que es un trinomio cuadrado perfecto, pero cuando no lo es, es más complicado de factorizar por los métodos anteriores; en estos casos, se recomienda completar el trinomio cuadrado perfecto, esto es, forzar al trinomio para que cumpla con ser cuadrado perfecto. A continuación se mostrarán ejemplos en los cuales la ecuación no cumple con ser trinomio cuadrado perfecto y hay que completarlo. Ejemplo 1. Resolver la ecuación 4 x 2 − 24 x + 11 = 0 Como se observa, el término independiente no tiene raíz cuadrada exacta, por lo que no cumpliría con ser trinomio cuadrado perfecto. Para hacerlo más sencillo, se divide la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático. 4 x 2 − 24 x + 11 0 = 4 4 11 =0 x2 − 6x + 4

Se envía el nuevo término independiente al segundo miembro de la ecuación. 11 4 Aplicando la propiedad aditiva, se suma a ambos miembros de la ecuación un término que ayude a que el primer miembro sea un trinomio cuadrado perfecto. Para ello se suma la mitad del término lineal elevado al cuadrado a los dos lados de la igualdad, como se muestra a continuación.

Nicolás Copérnico (1473 – 1543) “La tierra es el centro del Universo; el Sol, la Luna y los cinco planteas son satélites que giran diariamente en torno a nuestra majestuosa tierra en un círculo perfecto. Más allá se encuentran las estrellas fijas, que todo lo rodean. Éstas son las verdades fundamentales que escribió el gran Claudio Tolomeo hace más de mil quinientos años y que son evidentes para los sentidos”.

x2 − 6x = −

2

11 ⎛ 6 ⎞ ⎛ 6⎞ x − 6x + ⎜− ⎟ = − + ⎜− ⎟ 4 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 11 x2 − 6x + 9 = − +9 4 25 x2 − 6x + 9 = 4

2

2

BLOQUE 9

243

El primer mie embro de la ecuación ya es un trinomio cuadrado perfecto, p debido a que cumple con q que el doble producto de las raíces del término cuadrático e independiente es igual al térm mino lineal, por lo que se puede expresar el binomio al a cuadrado.

( x − 3 )2

25 4

=

esado el binomio al cuadrado, se despeja para encon ntrar la solución. Una vez expre

( x − 3 )2

=

25 4

x −3 = ± x −3 = ±

25 4 5 2

x =3±

5 2

es de la ecuación son: Las solucione

x1 = 3 +

5 2

11 x1 = 2

x2 = 3 −

5 2

1 x2 = 2

⎧ 11 1 ⎫ olución es: Cs = ⎨ , ⎬ El conjunto so ⎩ 2 2⎭

Con el siguie ente ejemplo se presentan, de forma más sintetizzada, los pasos para completar el ttrinomio cuadrado perfecto, con el fin de observar me ejor el proceso. Ejemplo 2. Para resolver la ecuación 3 x 2 − 5 x − 8 = 0 .

8 5 x− =0 3 3 5 8 x2 − x = 3 3

x2 −

2

x2 −

2

⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 5 8 2 3 x − x+⎜ ⎟ = +⎜ 3 ⎟ ⎜2⎟ 3 3 ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

5 8 ⎛5⎞ ⎛5⎞ x − x+⎜ ⎟ = +⎜ ⎟ 3 3 ⎝6⎠ ⎝6⎠ 2

244


5 25 8 25 x+ = + 3 36 3 36

2

2

5⎞ 121 ⎛ ⎜x− ⎟ = 6⎠ 36 ⎝ 5 121 =± 6 36 5 11 x− =± 6 6 5 11 x= ± 6 6 x−

Las soluciones de la ecuación son: 5 11 + 6 6 16 x1 = 6 8 x1 = 3 ⎧8 ⎫ El conjunto solución es: Cs = ⎨ , − 1⎬ ⎩3 ⎭ x1 =

x2 = x2 =

5 11 − 6 6 −6

6 x 2 = −1

en los valores en la ecuación y se verifica que se Para comprobar la solución se sustituye cumple la igualdad, otra forma de co omprobación es desarrollar los factores que se forman con las soluciones, como se muestra a continuación: 8⎞ ⎛ ⎜ x − ⎟( x + 1) = 0 3⎠ ⎝ 8 8 x2 + x − x − = 0 3 3 8 8⎞ ⎛ 3 ⎜ x 2 + x − x − ⎟ = 3(0 ) 3 3⎠ ⎝ 3x2 + 3x − 8x − 8 = 0 3x2 − 5x − 8 = 0

Actividad 6: INSTRUCCIONES: Resuelve las sig guientes ecuaciones cuadráticas completando trinomio cuadrado perfecto. 1.

x2 − 3x − 6 = 0

2.

3x

3.

− 2x2 − 3x + 2 = 0

4.

3x

2

2

+ 2x − 9 = 0

− 5x − 7 = 0

BLOQUE 9

245



Conceptual Comprende el método de completar trinomio cuadrado perfecto para solucionar ecuaciones cuadráticas completas.

Puntaje:

Saberes Procedimental Utiliza el método de completar trinomio cuadrado perfecto para solucionar ecuaciones cuadráticas completas.

Actitudinal Aprecia la utilidad de utilizar el método de completar trinomio cuadrado perfecto para resolver ecuaciones cuadráticas. Realiza con empeño la actividad.

C

Autoevaluación

MC

NC


Fórmula general. Este método se deriva del anterior, debido a que se completa el trinomio cuadrado perfecto con la ecuación general de segundo grado, obteniéndose así la fórmula general, como se muestra a continuación.

ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c 0 = a a c b x2 + x + = 0 a a c b x2 + x = − a a 2

⎛b⎞ ⎛b⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c b x2 + x + ⎜ a ⎟ = − + ⎜ a ⎟ ⎜2⎟ a ⎜2⎟ a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2

x2 +

c ⎛ b ⎞ b ⎛ b ⎞ x+⎜ ⎟ =− +⎜ ⎟ a a ⎝ 2a ⎠ a 2 ⎝ ⎠

2

2

b ⎞ c b2 ⎛ ⎜x + ⎟ =− + a 4 a2 2a ⎠ ⎝ 2

− 4 ac + b 2 b ⎞ ⎛ ⎜x + ⎟ = 2a ⎠ 4 a2 ⎝ x+

b b 2 − 4 ac =± 2a 4 a2

x+

b =± 2a x=− x=

246


b 2 − 4 ac 2a b ± 2a

b 2 − 4 ac 2a

− b ± b 2 − 4 ac 2a

Ésta última es la llamada fórmula general, en la que sólo es necesario sustituir los coeficientes de la ecuación y se obtienen las soluciones utilizando aritmética.

x=

− b ± b 2 − 4 ac 2a

Ejemplo 1. Resolver la ecuación 4 y 2 − 20 y + 25 = 0 utilizando la fórmula general. Primero se identifican los coeficientes de los términos de la ecuación y después se sustituyen en la fórmula. a=4

b = −20 c = 25 x = x = x = x = x = x =

−b±

− (− 20 ) ± 20 ±

3x

2

(− 20 )2 2 (4 )

− 4 (4 )(25 )

400 − 400 8

20 ±

0

8 20 8 5 2

La solución de la ecuación es x = Ejemplo 2. Resolver la ecuación a=3

b 2 − 4 ac 2a

5 2

− 5x − 8 = 0

b = −5 c = −8 x= x= x=

− b ± b 2 − 4 ac 2a − (− 5 ) ±

(− 5 )2 2(3 )

− 4 (3 )(− 8 )

5 ± 25 + 96 6

5 ± 121 6 5 ± 11 x= 6 x=

BLOQUE 9

247

Las soluciones o raíces de la ecuación son: 5 + 11 x1 = 6 16 ó x1 = 6 8 x1 = 3

x1 = x1 =

5 − 11 6 −6

6 x 1 = −1

Ejemplo 3. Resolver la ecuación 2 x 2 + 7 x + 4 = 0

a=2 b=7 c=4 x= x= x=

−b±

b 2 − 4 ac 2a

−7±

(7 )2 − 4 (2 )(4 ) 2 (2 )

−7±

49 − 32 4

− 7 ± 17 4 Las soluciones o raíces de la ecuación son: x=

x1 =

− 7 + 17 4

ó

x2 =

− 7 − 17 4

Como habrás observado en los ejemplos anteriores, éstos tienen una o dos soluciones. El tipo de solución de una ecuación cuadrática depende del término discriminante.

b

2

− 4 ac

, llamado

Analizando el discriminante, se tiene las siguientes opciones de solución. 1. Si 2. Si 3. Si

b

2

− 4 ac > 0

b

2

− 4 ac = 0

b

2

− 4 ac < 0

se obtienen dos raíces reales diferentes. se obtienen dos raíces reales iguales (una solución). se obtienen dos raíces imaginarias diferentes.

Pero, ¿que son las raíces reales e imaginarias? ¿Sabías que… En 1777, Leonhard Euler definió a − 1 =i (por imaginario)

248

Las raíces reales son números que pertenecen al conjunto de los números reales, éstos se estudiaron en el bloque 2. Ejemplo de ellos son:


3, − 5, 1 , 0, 3, 11 2

Las raíces imaginarias son números que no son reales. Éstos provienen de raíces pares de números negativos. Como por ejemplo:

− 1,

− 4,

4

− 8,

6

− 32

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.

i 2= –1 Los números complejos están formados por una parte real y una parte imaginaria, y tienen la siguiente forma. a+bi

Donde a es la parte real, y bi es la parte imaginaria, por lo tanto, las ecuaciones con discriminante negativo poseerán parte imaginaria.

Leonard Euler (1777 D C) Matemático suizo simboliza la raíz cuadrada de -1 con la letra i de imaginario.

Ejemplo 4. Resolver la ecuación x 2 − 4 x + 20 = 0 a=1

b = −4 c = 20 x= x= x=

− b ± b 2 − 4 ac 2a − (− 4 ) ±

(− 4 )2 2(1)

− 4 (1)(20 )

4 ± 16 − 80 2

4 ± − 64 2 4 ± 8i x= 2 x = 2 ± 4i x=

Las soluciones de la ecuación son dos números complejos.

x1 = 2 + 4 i

ó

x 2 = 2 − 4i

BLOQUE 9

249

Actividad 7: INSTRUCCIONES: Sin rresolver las ecuaciones, determina la naturaleza de las raíces mediante el discriminan nte de éstas. 1.

x

2.

− x2 + 5x = 7

3.

x2 − 3x − 8 = 0

4.

3x2 − 2x + 5 = 0

5.

6 x 2 + 10 = 17 x

6.

5x

7.

2x2 − 7x − 5 = 0

8.

3x2 − 5x + 1= 0

9.

5x

2

− 5 x − 36 = 0

2

2

− 11 x − 12 = 0

= −5 x + 1

10. − 4 x 2 − 3 = 8 x

Evaluación Actividad 7: Concep ptual Identifica raíces re eales y complejas de ecu uaciones cuadráticas.

Autoevalu uación

250



Punta aje:

Saberes Procedimental Clasifica la naturaleza de las soluciones de ecuaciones cuadráticas.

C

MC

NC

Actitudinal Aprec cia la utilidad de conoc cer con anticipación la naturaleza de las soluciones de un na ecuación cuadrática.


Actividad 8: INSTRUCCIONES: En equipo, resue elvan las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula general y verifiquen los res sultados. 1.

2 x 2 + 6 = 24

2.

x2 + 6x + 8 = 0

3.

18 x 2 + 3 x = 0

4.

y 2 − 12 y + 32 = 0

5.

3 x 2 + 147 = 0

6.

40 m

7.

k 2 + 10 k − 20 = 0

8.

t 2 − t − 30 = 0

9.

25 x 2 + 60 x + 36 = 0

10. x 2 +

2

− 20 m + 16 = 0

1 x − 18 = 0 2

Evaluación Actividad 8: Conceptual Comprende el método de solución de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Autoevaluación

Producto: Ejerc cicios.

Puntaje:

Saberes P Procedimental Aplica la fórmu ula general para resolver adráticas. ecuaciones cua

C

MC

NC

Actitudinal Comenta la facilidad de la fórmula general para resolver cualquier tipo de ecuaciones cuadráticas.


BLOQUE 9

251

Actividad 9: INSTRUCCIONES:: Completa la tabla expresando los factores de d la ecuación, y coloca en el parén ntesis el número que corresponda a la ecuación correcta. c

Raíces de la ecuación

252

Factores

( x + 4 )( x − 9 ) = 0

Ecuación E

(

)x

(

) 25 x

(

) 9x

x1 = 0 , x 2 = 7

(

) 9x

2

− 16 = 0

5.

x 1 = 1 + 2 i , x 2 = 1 − 2i

(

) 3x

2

+ x−2=0

6.

x1 = 1 + 3 , x 2 = 1 − 3

(

) 4x

2

− x − 18 = 0

7.

x1 =

5 2 5 2 + i , x2 = − i 3 3 3 3

(

8.

x1 =

4 4 + 2i , x 2 = − 2i 3 3

(

) 2x

9.

x1 =

9 , x 2 = −2 4

(

)

x2 − 2x − 2 = 0

10.

x1 = −

(

)

x2 − 2x + 5 = 0

11.

x1 = 0 , x 2 = −

(

) 9x

12.

x1 = 6 , x 2 = 7

(

)

1.

x1 = −4 , x 2 = 9

2.

x1 =

3.

x=−

4.

2 , x 2 = −1 3 4 5

4 4 , x2 = 3 3

3 2


1

)

2

− 7x = 0

2

2

+ 40 x + 16 = 0

− 30 x + 29 = 0

x 2 − 5 x − 36 = 0 2

2

+ 3x = 0

− 24 x + 52 = 0

x 2 − 13 x + 42 = 0

Evaluación Actividad 9: Conceptual Identifica raíces reales y complejas y escribe ecuaciones a partir de éstas.

Autoevaluación

Producto: Completar la tabla

Puntaje sugerido:

S Saberes Pro ocedimental Construye ecuac ciones a partir de la solución de éstass.

Actitudinal Se interesa por realizar la actividad de forma efectiva. Reconoce sus errores en los métodos algebraicos y busca solucionarlos.

C

MC

NC


Sitios Web recomendados: Entra a este sitio para que com mpruebes los resultados que obtuviste al solucionar las ecuacion nes cuadráticas. http://www.disfrutalasmatematicas..com/algebra/ecuacionescuadraticas-solucionador.html

Cierre Actividad 10: INSTRUCCIONES: En equipo, e escriban la ecuación cuadrática que describe cada uno de los siguientes problemas1 y rresuélvanlos por alguno de los métodos algebraiicos.

1

1.

La suma de dos números es 2 28 y la de sus cuadrados es 16 menos que el triple del producto de los números. Encuentra los númerros.

2.

Una excursión geológica costó ó $120 dólares. Si hubieran ido 3 estudiantes más, el costo por estudiante habría sido de $2 menos. ¿Cuá ántos estudiantes fueron a la excursión?

Los ejercicios 1-7, fueron tomados del libro Algeb bra Elemental de Gobran.

BLOQUE 9

253

Actividad 10 0 continuación: 3. Un hombre e pintó una casa por $800 dólares. El trabajo le llevó 20 2 horas menos de lo que se suponía a y entonces ganó $2 más por hora de lo previsto. ¿En ¿ cuánto tiempo se suponía que pintaría la casa?

254

4.

Un hombre desea consttruir una caja metálica abierta. La caja debe tener una a base cuadrada, los lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5184 pulgadas cúbicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar para construir la caja.

5.

Un equipo de remeros p puede recorrer 12 millas río abajo y regresar en un total de 5 horas. Si la velocidad de la corriente e es de 1 milla por hora, encuentre la velocidad a la a que puede remar el equipo en aguas tranquilas.



t se El porcentaje de utilidad de un traje fue igual al precio de costo en dólares. Si el traje vendió a $144, ¿Cuál fue el precio de costo del traje?

7.

Encuentra las dimensiones de un terreno rectangular que tiene un perímetro de 858m y un área de 45200m2.

8.

Se quiere cercar un terreno recttangular de 5376m2. ¿Cuántos metros de cerca de alambre se necesitan para cercarlo, si su largo o es el doble del ancho?

9.

Determina las medidas de un rectángulo que en la base mide 4cm más que el ancho y su área es de 192m2.

10. Cuando Fátima se casó con Raúl, él tenía 6 años más que ella, si el cuadrado de la ed dad de Raúl aumentado al cuadrado de la ed dad de Fátima equivale a 1476. ¿Qué edad tenían cuando se casaron?

BLOQUE 9

255



Conceptual Ubica e interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas.

Saberes Procedimental Representa y soluciona situaciones con ecuaciones cuadráticas.

Puntaje: Actitudinal Aprecia la aplicabilidad de las ecuaciones cuadráticas para representar y resolver diversas situaciones. Reconoce la importancia de colaborar en equipo para la solucionar problemas prácticos.

Autoevaluación

256


C

MC

NC


Resuelve ecuaciones cuadráticas II

Unidades de competencia: Construye e interpreta modelos aritmé éticos, algebraicos y gráficos, aplicando las propiedades de los números reales y exp presiones aritméticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y em mpleando las literales para la representación y resolución de situaciones y/o problemas a aritméticos y algebraicos concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explica ar y describir su realidad. Identifica las características presentes en n tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y loss traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.

Atributos a desarrollar en el bloq que: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediantte representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. 5.6 Utiliza las tecnologías de la informac ción y comunicación para procesar e interpretar información. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. 7.1 Define metas y da seguimiento a sus prrocesos de construcción de conocimientos. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con passos específicos. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, cong gruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equ ipos de trabajo.


Secuencia didáctica 1. Funciones cuadráticas. Inicio Actividad 1: INSTRUCCIONES:

Completa la tabla de valores para que grafiques la función y = 2( x − 1) − 3 2

I.

y

x -2 -1 0 1 2 3

y

x

II.

Analiza las funciones y sus gráficas, para que contestes las preguntas correspondientes.

y = ( x − 2) + 4

y = − ( x − 2) + 4

2

2

y

y

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 -3

258

-2

-1

-1

1

x 1

2

3

4

5

6

7

-3

-2

-1

-1

-2

-2

-3

-3

RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS II

x 1

2

3

4

5

6

7


¿Qué diferencia encuentras entre las dos funciones presentadas?

2.

De acuerdo a esa diferencia, ¿qué sucede con sus gráficas?

3.

¿Cuál es el punto más bajo de la gráfica de la izquierda?, ¿cuál es el punto más alto de la gráfica de la derecha? 1 2 2 2 y = ( x + 3) − 4 y = 4( x + 3) − 4 y = ( x + 3) − 4 2 y

y 6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

1 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

y

6

-1

1

2

3

2

1

x -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1

1

x 1

2

3

-7

-6

-5

-4

-3 3

-2

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-3

-3

-4

-4

-4

-5

-5

-5

-6

-6

-6

x 1

2

3

4.

¿Qué diferencia encuentras entre las tres funciones presentadas?

5.

De acuerdo a esa diferencia, ¿qué sucede con sus gráficas?

6.

¿Cuál es el punto más bajo de las tres gráficas?, ¿cómo se relaciona éste con las funciones?

7.

Si te ubicas en el punto más b bajo de cada una de las funciones y recorres una unid dad a la derecha y a la izquierda:

a)

¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la primera gráfica, hasta encontrar un punto de la función?

b) ¿Cuántas unidades recorres h hacia arriba en la segunda gráfica, hasta encontrar un n punto de la función? c) ¿Cuántas unidades recorres h hacia arriba en la tercera gráfica, hasta encontrar un punto p de la función? 8.

¿Cómo relacionas los resultad dos de los incisos anteriores con las funciones?

BLOQUE 10

259

Evaluación Producto: Complementación de la tabla y cuestionario.

Actividad 1:

Saberes Procedimental Distingue el comportamiento de las gráficas a través de los parámetros.

Conceptual Identifica el efecto que tienen los parámetros en el ancho y concavidad de la parábola.

C

Autoevaluación

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Aprecia a los parámetros como instrumento de análisis visual del comportamiento de funciones cuadráticas.


Desarrollo En el bloque 5 se definió el concepto de función, que en otras palabras, es la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos, de tal manera que a cada elemento del primer conjunto se asocia o corresponde un elemento del segundo conjunto; si la relación se establece mediante una expresión de segundo grado, entonces se le llama función cuadrática, como se muestra a continuación.

f ( x) = ax 2 + bx + c

ó

y = ax 2 + bx + c con

a, b, c ∈ ℜ

a≠0

Una función cuadrática describe en su gráfica lo que se conoce como Parábola, a continuación se abordarán los tipos de graficación para que visualices la forma de la parábola.

Gráfica de la función cuadrática. Existen varios métodos para graficar y visualizar el comportamiento de una función cuadrática, el método más conocido es la tabulación, es decir, la obtención de una tabla de valores correspondiente a la función. También está la forma paramétrica, que se basa en valores específicos que posee la función y por último, la intersección con los ejes, la cual es muy limitada cuando la función no se intersecta lo suficiente como para realizar la gráfica.

Graficación por tabulación. Apolonio de Perga (262 – 190 A C) Fue conocido como “El gran geómetra”, su famoso libro “Secciones Cónicas”, introdujo los términos Parábola, Elipse e Hipérbola.

Ejemplo 1. 2

Graficar la función y = x + 4 x + 3 Para trazar la gráfica de esta función, se encontrarán algunos puntos que servirán de guía para dibujarla, éstos se encontrarán sustituyendo valores en la variable independiente (x), para encontrar los correspondientes valores de la variable dependiente (y). Anteriormente se dijo que la variable independiente recibía su nombre porque los valores asignados son decisión de quien va a graficarla. Para encontrar los correspondientes valores de “y”, se sustituirán cada uno de los valores asignados a la variable independiente en la función, obteniéndose así, los puntos de guía para trazar la gráfica, como se muestra a continuación.

260


y

9 8

x –5 –4 –3 –2 –1 0 1

y 8 3 0 –1 0 3 8

7 6 5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

x 1

-1

2

3

4

5

-2 -3 -4

Utiliza tu calculadora para verificar que los datos de la tabla son correctos. 9

La gráfica queda de la siguiente forma:

y

8 7 6 5

-

4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

x 1

-1

2

3

4

5

-2 -3 -4

Ejemplo 2. 2 Para graficar la función y = − x + 4 x , se toman los siguientes valores y la gráfica queda de la siguiente forma.

7

y

6

x –1 0 1 2 3 4 5

y –5 0 3 4 3 0 –5

5 4 3 2 1 -3

-2

-1

-1

x 1

2

3

4

5

6

7

-2 -3 -4 -5

BLOQUE 10

261

En la actividad 1 se plantearon algunas preguntas que tenían que ver con la ubicación y la dirección de la parábola, esto es, dónde se encontraban los puntos más altos y bajos, y hacia dónde estaba dirigida la parábola, hacia arriba o hacia abajo. Esto va encaminado a construir una forma más rápida de graficación, para ello, es necesario identificar algunos elementos importantes que se visualizarán en la siguiente figura. 9

y

8 7 6

Ramas de la Parábola

5 4 3 2 1 -3

-2

-1

-1

x 1

2

3

4

5

6

7

-2

Vértice

-3 -4

El vértice es el punto por donde pasa el eje de simetría de la parábola; dependiendo de su concavidad, éste es el punto más alto o más bajo de la parábola. Al vértice se le asignan coordenadas especiales para poder distinguirlo de cualquier otro punto de la parábola, a la coordenada “x” se le asigna la letra “h”, y a la de “y” se le asigna la letra “k”. V ( h, k )

Encontrar el vértice es una de las preguntas más concurridas en la aplicación de la parábola, como por ejemplo: 1.

262


La trayectoria que sigue un proyectil al ser lanzado es una parábola. Aquí interesaría saber ¿cuál es la altura máxima a la que llega el proyectil?, ¿qué distancia tiene cuando toca el suelo? o preguntas particulares de la ubicación del proyectil en algún momento especial.

2.

En el salto de un motociclista, éste tiene que calcular con mucha precisión la distancia que debe recorrer para poder llegar al lugar deseado, para ello tiene que ubicar el punto más alto al que va a llegar, para saber qué distancia va a recorrer, por supuesto que también tiene que considerar la velocidad, el impulso, la inclinación de las rampas, entre otras más.

3.

Los arquitectos diseñan puentes en forma de parábolas, porque además de lo estético, éstas tienen varias propiedades que favorecen a la resistencia de la construcción.

Son muchas las aplicaciones que se pueden dar a la parábola, pero requiere de un mayor conocimiento de sus elementos y propiedades. En asignaturas posteriores conocerás la parábola desde un punto de vista geométrico y conocerás todos sus elementos. Las ramas de la parábola indican su orientación y ésta depende a su vez del signo del coeficiente cuadrático, como lo habrás notado en la actividad 1. 2

Tomando la función cuadrática en general y = ax + bx + c , entonces: 1. Si a > 0 , la parábola tiene las ramas hacia arriba, en este caso se dice que es cóncava hacia arriba. 2. Si a < 0 , la parábola tiene las ramas hacia abajo, en este caso se dice que es cóncava hacia abajo. Con la siguiente actividad irás conociendo más sobre la ubicación del vértice y las diferentes formas de la parábola.

BLOQUE 10

263

Actividad 2: INSTRUCCIONES: Obs serva el ejemplo para que completes la tabla.

Forma ordinaria

y = 2( x − 3) + 1 2

dinaria a De la forma ord la forma gen neral

y = 2( x − 3) + 1 2

y = 2( x 2 − 6 x + 9 ) + 1 2

y = 2 x − 12 x + 1 18 + 1 y = 2 x 2 − 12 x + 1 19

Tabla de valores x 1 2 3 4 5

Vértice

Gráfica

y 9 3 1 3 9

9

V(3,-1)

y

8 7 6 5 4 3 2 1 -3

-2

-1

-1 -2 -3 -4

y = ( x + 2) − 5

y=−

264

1 2

2

x

y

( x + 4 )2

x

y


x 1

2

3

4

5

6

7


De la fo orma ordinaria a la fo orma general

Forma ordinaria

y = 3( x − 1) + 1 2

y=−

1 4

( x + 2 )2 + 7

Tabla de valores x

y

x

y

Gráfica

Vértice

E Evaluación Actividad 2: Conceptual Reconoce la gráfica de una función cuadrática. Ubica las coordenadas del vértice de una parábola a través de la gráfica. Autoevaluación


Puntaje:

Saberes Pro ocedimental Realiza la gráfica a de una función cuadrática.

Actitudinal Se interesa por realizar la actividad con eficiencia.

C

MC

NC


BLOQUE 10

265

Graficación por medio de parámetros. Como te habrás dado cuenta en la actividad 2, la función cuadrática tiene dos formas, la forma ordinaria que es la que se expresa con el binomio al cuadrado y la forma general que es donde se explicita el trinomio. Forma ordinaria: y = a( x − h) + k 2

2 Forma general: y = ax + bx + c

La forma ordinaria permite extraer las coordenadas del vértice (h, k) de forma directa. Si no te diste cuenta, compara las funciones ordinarias de la actividad 2 con el vértice que expresaste de la gráfica. Cuando se toma la forma ordinaria para graficar, se dice que se grafica mediante parámetros, porque se toman los valores de a, h y k como parámetros para determinar el comportamiento de la función y esbozar la gráfica. Con los siguientes ejemplos se explicará la graficación de la función cuadrática mediante parámetros. Ejemplo 1.

Para graficar la función y = 2( x − 4) − 5 , se analizan los parámetros y cómo influyen en la gráfica. 1. a = 2 , eso significa que se abre hacia arriba por ser positivo. 2. h = 4 , es la primera coordenada del vértice. 3. k = −5 , es la segunda coordenada del vértice. 2

y

5 4 3 2 1 -2

-1

x 1

-1

2

3

4

5

6

7

8

Para empezar a graficar, primero se coloca el vértice en el plano cartesiano.

-2 -3 -4 -5 -6 -7

5

y

4 3 2 1 -2

-1

-1

x 1

2

3

4

5

6

-2 -3 -4 -5 -6 -7

266


7

8

Ubicándose en el vértice, se desplaza una unidad a la derecha y a la izquierda, para subir dos unidades en ambos lados, esto es, subir el valor del parámetro a.

Y finalmente se traza la gráfica. 5

y

4 3 2 1 -2

-1

x 1

-1

2

3

4

5

6

7

8

-2 -3 -4 -5 -6

¿Sabías que…

-7

Ejemplo 2. Graficar la función y = − 1. 2. 3.

a=−

1 2

( x + 2)

2

Las Olimpiadas Internacionales de Matemáticas se iniciaron como competencias en Hungría en 1894, se les denominó "Competencias Eötuös", quedando claro su carácter competitivo?

+7

1

, eso significa que se abre hacia abajo por ser negativo. 2 h = −2 , es la primera coordenada del vértice. k = 7 , es la segunda coordenada del vértice. 8

y

7 6 5 4

Se ubica el vértice.

3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

x 1

2

3

-1 -2

8

y

7 6 5 4

A partir del vértice se desplaza una unidad a la derecha, una unidad a la izquierda y media unidad hacia abajo.

3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

x 1

2

3

-1 -2

BLOQUE 10

267

Se traza la gráfica. 8

y

7 6 5 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

x 1

2

3

-1 -2

Como se ha visto en esta sección, la forma de graficar con parámetros depende de la forma ordinaria de la función, el problema está cuando se tiene que graficar una función cuadrática que esté expresada en su forma general. Para ello se requiere cambiar de trinomio a un binomio al cuadrado y eso sucede únicamente si éste es trinomio cuadrado perfecto, de no ser así, se tendrá que completar. Ejemplo 3. 2

Graficar la función y = x + 4 x + 1 Visualizando a la función como una ecuación de dos variables, el proceso de completar trinomio cuadrado perfecto sería el mismo. Proceso de completar trinomio cuadrado perfecto

y = x 2 + 4x + 1

y − 1= x 2 + 4 x y − 1+ 4 = x 2 + 4 x + 4 y + 3 = ( x + 2)

2

y = ( x + 2) − 3 2

Descripción Se verifica que el coeficiente del término cuadrático sea 1, de no ser así, se divide toda la ecuación entre el coeficiente del término cuadrático. Se pasa el término independiente al primer miembro de la ecuación. Se suma a ambos miembros la mitad del término lineal elevado al cuadrado. Se expresa el binomio al cuadrado en el segundo miembro, y a su vez se reducen términos semejantes en el primer miembro. Se despeja “y”, pasando el término independiente al segundo miembro, quedando así la forma ordinaria.

De la forma ordinaria se deduce que: a = 1 y V (− 2, − 3 )

268


Por lo que la gráfica queda. 5

y

4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

x 1

2

3

4

-1 -2 -3 -4 -5

Para evitar todo este proceso, de la forma general de la función cuadrática se deducirá la forma ordinaria y así, obtener las fórmulas de las coordenadas del vértice. y = ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c a a y b c = x2 + x + a a a y c b − = x2 + x a a a y

=

2

⎛ b⎞ ⎛b⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b − + ⎜ a ⎟ = x2 + x + ⎜ a ⎟ ⎜2⎟ a a ⎜2⎟ a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y

y a

¿Sabías que…

2

c

− y a

y a

2

c

b ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ + ⎜ ⎟ = x2 + x + ⎜ ⎟ a ⎝ 2a ⎠ a ⎝ 2a ⎠

−

−

c a

+

b2

b ⎞ ⎛ =⎜x + ⎟ 2a ⎠ 4 a2 ⎝

4 ac − b 2 4 a2

b ⎞ ⎛ =⎜x + ⎟ 2 a⎠ ⎝

2

En Grecia en los años 500-000 A.C. se adquiere en toda su pureza el concepto de número y se descubren los números irracionales por medio de un caso particular del célebre Teorema de Pitágoras?

2

2

2

b ⎞ 4 ac − b 2 ⎛ =⎜x + ⎟ + a ⎝ 2a ⎠ 4a2 y

2 ⎡⎛ b ⎞ 4 ac − b 2 ⎤ y = a⎢⎜ x + ⎟ + ⎥ 2a ⎠ 4 a 2 ⎥⎦ ⎢⎣⎝ 2

b ⎞ 4 ac − b 2 ⎛ y = a⎜ x + ⎟ + 2a ⎠ 4a ⎝ 2

b ⎞ b2 ⎛ y = a⎜ x + ⎟ +c− 2a ⎠ 4a ⎝ De aquí se deduce que h = −

⎛ b b2 ⎞ b b2 ⎟ ,c− y k=c− , por lo que el vértice es: V ⎜⎜ − 4 a ⎟⎠ 2a 4a ⎝ 2a BLOQUE 10

269

Actividad 3: INSTRUCCIONES: Grafica las siguientes funciones utilizando los parrámetros a, h y k.

1.

y = 6x2

2.

y = x2 + 5

3.

y = 2(x − 1)2 + 9

4.

270

1 y = − ( x + 3) 2 − 2 6


5.

y = −(x − 4)2 + 6

6.

y = −5 x 2 − 10x − 14

7.

y = 2x 2 + 16x + 40 4

8.

y = x 2 + 12x + 32 2



Conceptual Comprende el método de graficación por parámetros de funciones cuadráticas en su forma general y ordinaria.

C

Autoevaluación

Puntaje:

Saberes Procedimental Emplea el método de graficación por parámetros para bosquejar la gráfica de funciones cuadráticas.

MC

NC

Actitudinal Aprecia la facilidad del método de graficación por parámetros para esbozar la gráfica de funciones cuadráticas.


Graficación por intersección de ejes. Para encontrar la intersección con el eje de las abscisas (X), debe cumplirse que y = 0 . Y para ubicar el corte con el eje de las ordenadas (Y) forzosamente x = 0 . Para graficar la función cuadrática utilizando la intersección con los ejes, se debe tomar en cuenta las siguientes opciones. 1.

Cuando la función corta a los ejes en tres puntos. y

y

x x

2.

Cuando la función corta a los ejes en dos puntos. y

y

x

x

BLOQUE 10

271

3.

Cuando la función corta a los ejes en un punto. y

y x

x

Al hacer x = 0 ó y = 0 , se transforma la función en una ecuación que habrá que resolver. Lo anterior se representará en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1. 2

Graficar y = 2 x + 5 x − 12 encontrando la intersección con los ejes. Primero se encontrarán las intersecciones con el eje de las abscisas (X). A éstas se les conocen como los ceros o raíces de la función. Si y = 0 , entonces la función queda: 0 = 2 x 2 + 5 x − 12

Obteniéndose una ecuación cuadrática, que por comodidad, se resolverá por la Fórmula General. x= x=

a=2 b=5 c = −12

x= x=

x1 =


− (5 ) ±

4

(5)2 − 4(2)(− 12) 2(2 )

− 5 ± 25 + 96 4 − 5 ± 121

4 − 5 ± 11 x= 4 −5 + 11

6 x1 = 4 3 x1 = 2

272

− b ± b 2 − 4 ac 2a

x2 = x1 =

−5 − 11 4 − 16

4 x 1 = −4

⎞ ⎛3 Las coordenadas de los puntos que intersectan al eje de las abscisas son: ⎜ , 0 ⎟ y ⎝2 ⎠

(− 4, 0 )

Para encontrar la intersección con el eje de las ordenadas, se hará x = 0 , por lo tanto se tiene: y = 2(0 ) + 5 (0 ) − 12 y = − 12 2

Las coordenadas del punto que intersecta al eje de las ordenadas es: (0 , − 12 ) y 2

-6

-4

-2

x 2

4

6

8

1

-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16

Como te habrás dado cuenta, el vértice no se encuentra utilizando este método, tendrías que apoyarte en las fórmulas vistas en el método de completar trinomio cuadrado perfecto para hallar el vértice y poder determinar hasta dónde baja la función.

⎛ b b2 ⎞ ⎟ V ⎜⎜ − , c− 4 a ⎟⎠ ⎝ 2a ⎛ (5)2 ⎞⎟ 5 V⎜ − , − 12 − ⎜ 2(2) 4(2) ⎟⎠ ⎝ 121⎞ ⎛ 5 V⎜ − , − ⎟ = (− 1.25, − 15.125) 4 8 ⎠ ⎝ Ahora se dibujan los puntos para trazar la gráfica.

y 2

-6

-4

-2

x 2

4

6

8

1

-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16

BLOQUE 10

273

Ejemplo 2. 2 Graficar la ecuación y = −4 x + 24 x − 36

Cuando y = 0 , se tiene que resolver la ecuación cuadrática. 0 = − 4 x 2 + 24 x − 36

a = −4 b = 24 c = −36 x= x=

Zenón de Elea (490 – 430 A C) Inventó la demostración llamada ad/absurdum (del Absurdo), que tomaba por hipótesis las afirmaciones del adversario y que por medio de hábiles deducciones conduce al adversario a aceptar la tesis contradictoria.

x=

− b ± b 2 − 4 ac 2a − (24 ) ±

(24 )2 − 4(− 4 )(− 36 ) 2(− 4 )

− 24 ± 576 − 576 −8

− 24 ± 0 −8 x=3 x=

Las coordenadas del único punto que corta al eje de las abscisas son (3, 0 ) ; como no existe otro punto que corte con el eje de las X, entonces, el punto (3, 0 ) tiene que ser el vértice. Si x = 0 , entonces se obtiene el resultado: 2 y = −4 (0 ) + 24 (0 ) − 36 y = −36 El punto donde se intersecta con el eje de las ordenadas es: (0 , − 36 ) 4 y -12

-8

-4

4 -4 -8 -12 -16 -20 -24 -28 -32 -36

274


x 8

12

Ejemplo 3. 2 Graficar la ecuación y = x + 8 x + 18

Haciendo y = 0 , se tiene:

0 = x 2 + 8 x + 18

x=

a=1 b=8 c = 18

x= x= x=

− b ± b 2 − 4 ac 2a − (8 ) ±

(8 )2 − 4(1)(18 ) 2(1)

− 8 ± 64 − 72 2 −8± −8 2

Esto significa que sus raíces son complejas, con parte real e imaginaria, por lo que no existe un número real en el eje de las abscisas que pertenezca también a la función, en otras palabras, la función no corta al eje de las X. Cuando x = 0 , el valor encontrado es:

y = (0 ) + 8(0 ) + 18 y = 18 2

22 y 20 18

El punto de corte con el eje de las ordenadas es: (0, 18 )

16 14 12 10 8 6 4 2 -12 -10 -8

-6

-4

-2

-2

x 2

4

6

8

10

-4 -6

22

y

20

Con un punto no se puede trazar la gráfica de la parábola, por lo que se requiere conocer las coordenadas del vértice.

18 16 14 12

⎛ b b2 ⎞ ⎟ ,c− V ⎜⎜ − 4 a ⎟⎠ ⎝ 2a ⎛ 8 (8 )2 ⎞⎟ V⎜ − , − 18 − ⎜ 2(1) 4(1) ⎟⎠ ⎝ V (− 4, − 2 )

10 8 6 4 2 -12 -10 -8

-6

-4

-2

-2

x 2

4

6

8

10

-4 -6

BLOQUE 10

275

Ejemplo 4. Graficar y =

1 2 x 2

0=

1

x2

2 0 = x2

Si y = 0 , ento onces:

0= x on ser el vértice, por lo Se ha encontrado el punto que corta a los dos ejes y coincide co apoyar en la graficación paramétrica o en la obtenció ón de más puntos para que se debe a poder graficarrla. 4

y

3 2 1

x -3

-2

-1

1

2

3

-1 -2 -3 -4

bicando los cortes con Como notaráss, el método para graficar funciones cuadráticas ub los ejes, pued de ser poco práctico, sin embargo, en problemas apllicados es donde tiene mayor utilidad d.

Actividad 4: INSTRUCCIONES: En equipo, contesten las siguientes preguntas.

276

1.

¿Cómo se podría determinar el núm mero de raíces o ceros de una función cuadrática sin graficarla?

2.

Antonio encuentra que si su compañía produce x artículos diarios, el costo está dad do por la ecuación C = 420 − 0 .8 x + 0 .002 x 2 , ¿cuánttos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea mínimo?, ¿cuál sería ese costo mín nimo?



Una persona lanza verticalme ente hacia arriba una pelota desde lo alto de un edificio, y la altura en cada instante de tiem mpo la describe la función H = 16 t 2 + 80 t + 45 . a) ¿Cuál es el tiempo en que e la pelota tarda en alcanzar la altura máxima?

b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

c) ¿Cuál es la altura del edific cio?

pelota en tocar el suelo? d) ¿Cuánto tiempo tarda la p

e) Traza la gráfica de la alturra de la pelota al trascurrir el tiempo.

4.

La utilidad mensual en mile m la función es de dólares de una compañía se expresa mediante q se producen y U = − 2 x 2 + 24 x − 37 , donde x representa el número de artículos, en cientos, que venden en un mes. artículos que la compañía debe producir y vender por mes para que la a) ¿Cuál es la cantidad de a utilidad sea máxima?

b) ¿Cuál es el monto de la uttilidad máxima?

BLOQUE 10

277

Actividad 4 continuació ón:

c) ¿Con cuántos artículos producidoss y vendidos no se tiene utilidad alguna?

ulos mensuales, ¿cuánta utilidad se genera? d) Si se producen y venden 750 artícu

e) Traza la gráfica de la utilidad.



Conceptual Identifica la relación entre funciones y ecuac ciones cuadráticas.

Saberes Procedimental Representa y resuelve situaciones mediante ecuaciones y funciones cuadráticas.

Punta aje: Actitudinal Aprec cia la importancia de la conexxión entre funciones y ecuac ciones cuadráticas, para examinar y solucionar situac ciones. Escuc cha con atención las aporta aciones de tus comp pañeros.

Coevalua ación

278


C

MC

NC


Aplicaciones de la función cuadrática. La utilidad de la función cuadrática es básicamente para encontrar puntos máximos o mínimos, y de algunas posiciones de puntos en particular. Como se muestra en el siguiente ejemplo. Un fabricante de cajas de cartón recibió un pedido para construir cajas abiertas de bases cuadradas con una altura de 5 cm, de tal manera que tengan diferente capacidad. El fabricante logra elaborar las cajas recortando cuadros de 5 cm de lado, en las esquinas de las hojas cuadradas de cartón. ¿Cuáles son los volúmenes de las cajas construidas con las hojas de cartón cuadradas de diferentes dimensiones de que dispone el fabricante? 5

x – 10

x

5

5

x – 10

5

x

x – 10

x – 10

El volumen de la caja es: (lado)( lado)(altura) La expresión algebraica que describe el volumen (y) es:

y = ( x − 10 )( x − 10 )(5 )

(

)

y = 5 x 2 − 20x + 100

y = 5 x 2 − 100x + 500 Ésta es una función que proporciona todos los posibles volúmenes de las cajas. La función proviene de un binomio al cuadrado, se puede aprovechar esta situación y plantear la forma ordinaria de la función cuadrática.

y = 5( x − 10)

2

El vértice de la función cuadrática es V (10 ,0 ) y el coeficiente del término cuadrático proporciona la abertura, el cual es a = 5 La gráfica del volumen se visualiza de la siguiente forma:

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

y

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

BLOQUE 10

279

Conociendo la función y la gráfica, se pueden contestar varios cuestionamientos de interés como por ejemplo: 1. El volumen mínimo es cero, y no tiene volumen máximo. 2. La parte izquierda de la gráfica no tendría sentido, dado que x representa la longitud del cuadrado de cartón de donde se elaborará la caja y como x − 10 es el largo y ancho de la caja, las cantidades menores de 10 proporcionarían longitudes negativas, por lo que en el sentido práctico, sólo se tomaría la gráfica del vértice a la derecha. 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -2 -1-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Jean-Victor Poncelet

(1788 - 1867) Ingeniero y matemático francés. Fundador de la moderna geometría proyectiva.

3.

y

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Si se desea saber en particular el tamaño del cuadrado de cartón que el fabricante debe utilizar para una caja con volumen 8000 cm3, se sustituye este valor en la función y se despeja x, como se muestra a continuación.

y = 5( x − 10 )

2

8000 = 5( x − 10 ) 8000 2 = ( x − 10 ) es 5 2 1600 = ( x − 10 ) 2

± 1600 = x − 10 10 ± 40 = x x 1 = 10 + 40

x 2 = 10 − 40

x 1 = 50

x 1 = − 30

Por tratarse de una longitud la que se busca, se descarta el valor negativo, por lo tanto, la longitud del cuadrado que se utilizará para elaborar una caja de 8000 cm3, debe ser de 50 cm. 4.

Si se desea conocer el volumen que contendrá una caja elaborada de un cuadro de 80 cm de longitud, se tendrá que resolver la siguiente ecuación. La cual se forma sustituyendo el valor deseado en x. 2 y = 5( x − 10 ) y = 5(80 − 10 ) y = 5(70 )

2

y = 24500

280


2

El volumen que contendrá la caja es de 24500 cm3.

Éstos son algunos ejemplos de las inte errogantes que puedes encontrar en problemas que se modelan con funciones cuadrátic cas.

Cierre Actividad 5: INSTRUCCIONES: Plan ntea los siguientes problemas con una función cuadrática y resuelve las preguntas c correspondientes. 1.

Los cuadernos que produce Ricard do en su fábrica tienen un costo de $16 cada uno. Él calcula que si vende a x pesos cada cuaderno, po odrá vender aproximadamente 200 − x a la semana. a) ¿Cuál es la utilidad semanal m áxima que Ricardo tendrá al vender a x pesos cada cuaderno? c b) ¿Cuánta es la utilidad que tendrá?

2.

Patricia desea construir un jardín de forma rectangular al pie de su ventana, ella po osee 10 m de á en tres de sus lados. alambre para cercarlo y sólo lo hará a) ¿Cuáles deben ser las dimensio ones para que el jardín tenga área máxima? b) ¿Cuál es el área máxima?

3.

Santiago se encuentra sentado en las gradas del estadio de béisbol, él cachó una pelotta y la devolvió 1 2 a pelota se describe mediante la función h = − t + t + 7 , donde h a los jugadores. La trayectoria de la 8 es la altura medida en metros, y t el tiempo medido en segundos. ota en alcanzar su altura máxima? a) ¿En cuánto tiempo tarda la pelo b) ¿Cuál es la máxima altura alcan nzada? c) Si nadie la pudo cachar, ¿en qu ué momento toca el suelo? d) ¿A qué altura se hallaba Santiag go?

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282

4.

Don Saúl sembrará un poco de maízz en su parcela, y tiene 63 m de cerco para proteger la siembra del ganado, si el terreno en el que sembrará es de forma rectangular. ones que proporcionarán la mayor área de siembra? a) ¿Cuáles deben ser las dimensio b) ¿Cuál es la máxima área?

5.

Se cercará un corral rectangular co on dos cercas interiores para que contenga 3 partes iguales, en las que se colocarán tres tipos de g ganado diferente. Si se tiene un total de 240 m de cerrco, ¿cuáles son las dimensiones del corral para que su área sea máxima?

6.

La suma de dos números es 24, encuentra dichos números con la condición de que su s producto sea máximo.


Evaluación Actividad 5: Conceptual Comprende la aplicación de las funciones cuadráticas para examinar y resolver situaciones.

Autoevaluación

Producto: Problemas de aplicación. Saberes Procedimental Aplica las funciones y ecuaciones cuadráticas para plantear y resolver situaciones.

C

MC

NC

Puntaje: Actitudinal Pone en práctica los conocimientos adquiridos de las funciones cuadráticas y de los bloques anteriores, para plantear y resolver situaciones.


Sitios Web recomendados: Entra a los siguientes sitios y utilízalos para enriquecer tus conocimientos. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/vertice.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Marcela%20Martinez/funcion_c uadratica_caracteristicas_nuevo.htm http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Externos/fcuadraticas/paginas/ aplicaciones1.htm

¿Sabías que… Los pueblos de Babilonia, Sumeria, Egipto y Creta durante los años 2500-1800 A.C. tuvieron las siguientes aportaciones a la Aritmética: las tablas matemáticas babilónicas que contienen cuadrados, cubos, inversos y tablas de multiplicación de números?

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Glosario Algoritmo. Secuencia de pasos que permite hallar la solución de un ejercicio o problema. Base. Un número utilizado varias veces como factor. Binomio. Una expresión algebraica que contiene exactamente dos términos. Binomio al cubo. Es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. Coeficiente (numérico). El número que aparece como factor en una expresión. Conjunto solución. El conjunto de números que hacen verdadera una proposición Constante. Un símbolo cuyo valor no cambia en un problema determinado. Coordenadas. La abscisa “x” y la ordenada “y” de un punto (x,y) en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares. Cuadrado. La palabra usada para representar el resultado de elevar un número o un polinomio a la segunda potencia. Cuadrado de un binomio. El cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo término. Cuadrado perfecto. Un entero que es el cuadrado de otro entero o un polinomio que es el cuadrado de otro polinomio. Cubo. La palabra que designa el resultado de elevar un número o un polinomio a la tercera potencia. Decimales finitos. Son aquéllos cuya cifra decimal tiene fin. Decimales infinitos. Son aquéllos con cifras decimales que no tienen fin. Decimales infinitos no periodicos. Son aquéllos cuya extensión decimal no se acaba y no se repiten. Decimales infinitos periodicos. Son aquéllos que tienen una o más cifras decimales repetidas infinitamente, formando así el periodo. Decimales infinitos semiperioditos. . Son decimales que aparecen con una o más cifras antes del periodo. Denominador. Es la parte de la fracción que nos indica las partes iguales en los que se divide la unidad. Diferencia. Es el resultado de quitar al minuendo del sustraendo Dígito. Cualquiera de los diez números 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9.

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Discriminante. El valor de la expresión b 2 − 4 ac en donde a, b y c son los coeficientes de una ecuación de segundo grado. Ecuación. Una proposición que establece que dos expresiones, de las cuales por lo menos una contiene una incógnita, son iguales. Ecuación cuadrática completa. Se da siempre que los coeficientes de la incógnita y el término independiente sean diferentes de cero. Ecuación cuadrática incompleta. Es cuando el coeficiente del término lineal y del independiente son cero o al menos uno de ellos es igual a cero. Ecuaciones consistentes. Un sistema de n ecuaciones de primer grado con n incógnitas que tiene solución única. Ecuación cuadrática (segundo grado). Una ecuación que puede escribirse en la forma ax 2 + bx + c = 0 , en donde a, b y c son números reales y a a ≠ 0 . Ecuación de primer grado con una incógnita. Una ecuación que puede escribirse en la forma ax + b = 0, la incógnita aparece a la primera potencia. Ecuaciones dependientes. Un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas que tiene un número infinito de soluciones. Están relacionadas de tal forma que una puede obtenerse de la otra mediante la multiplicación de cada término por una constante adecuada. Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución. Ecuaciones inconsistentes. Un sistema de 2 ecuaciones incógnitas que no tienen solución común (solución nula).

de primer grado con 2

Exponente. El número escrito arriba y a la derecha de otro número (base) que indica el número de veces que la base se toma como factor en un producto. Expresión. Un número, o letra, o una combinación de ambos obtenida mediante operaciones algebraicas. Expresión algebraica. Es una combinación de números y/o literales por medio de operaciones matemáticas. Expresión aritmética. Es la combinación de números y operaciones básicas. Factor común. Consiste en extraer la expresión algebraica que esté presente en cada uno de los términos de una expresión más compleja, Función. Es la regla de asociación o correspondencia entre los conjuntos X y Y, de tal forma que cada elemento de un conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y. Factor común. Un número o expresión algebraica que es factor de dos o más términos. Factores primos. Son números primos que dividen a un número compuesto. Factorizar. Descomponer una expresión en sus factores.

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Fórmula general. Fórmula que se utiliza para encontrar las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado, x =

− b ± b 2 − 4 ac 2a

Fracción. El cociente indicado de dos números o expresiones; si la fracción es

a , “a” b

se llama el numerador y “b” el denominador. Fracciones equivalentes. Fracciones que representan el mismo valor, aunque tanto el numerador como el denominador sean diferentes. Función. Es la relación entre dos conjuntos de pares ordenados, con la propiedad de que a cada elemento del primer conjunto llamado dominio le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto llamado rango o imagen . Gráfica (de una ecuación). Lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Grado de un polinomio. Es la suma mayor de los exponentes de cada término algebraico. Monomio. Expresión que contiene un término. Numerador. Es la parte de la fracción que nos indica la cantidad que se toma de la unidad. Número entero. Todo elemento del conjunto {...,–4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4,...}. Número racional: Son números de la forma

a donde a y b son enteros y b es b

diferente de cero, además tienen expansión decimal finita o periódica infinita.

Número irracional. Es aquél que no puede expresarse como el cociente de dos enteros. Número natural. Todo elemento del conjunto {1,2,3,4,5,6,....} Número primo. Entero positivo mayor que uno que no tiene más divisores que el mismo y la unidad. Número racional. Es aquél que puede expresarse como el cociente de dos enteros (fracción). Números reales. El conjunto de números que comprende a todos los números racionales y a todos los números irracionales. Origen. Punto de referencia O(0,0) en un sistema de coordenadas. Ortoedro. Paralelepípedo en el que todas sus caras son rectángulos perpendiculares entre sí. Polinomio. Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. Proporción. La proposición que expresa la igualdad de dos razones.

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Raíz de una ecuación. Un valor de la incógnita que satisface la ecuación. Razón. Relación que existe entre dos cantidades. La división indicada de una cantidad entre otra. Recíproco. Un número es el recíproco de otro si el producto de ambos es 1. Serie. Es la suma de los términos de una sucesión. Sucesión. Es un conjunto de números ordenados u otras cantidades. Sustracción. Es cuando se compara el minuendo y el sustraendo. Sustraendo. Es la cantidad menor en la operación de sustracción. Término. Una expresión que consta de un número, letra o de una combinación de ambos empleando sólo las operaciones de multiplicación y división. Trinomio cuadrado perfecto. Es el resultado de elevar un binomio al cuadrado.

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Bibliografía

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ARGUDIN, Yolanda. Educación Basada antecedentes. Editorial Trillas. México, 2006.

BALDOR, Aurelio, Álgebra. Grupo Editorial Patria. México, 2008.

BUSTAMANTE, Alfonso. et. al. Matemáticas 1. Ed. Trillas. México, 2008.

CATALANO, Ana. Diseño curricular en normas de competencias laboral: conceptos y orientaciones metodológicas. Banco Internacional de Desarrollo. Buenos Aires. Argentina, 2004.

CUÉLLAR, Juan. Matemáticas I para Bachillerato. Mc Graw Hill. México. 2004.

CUESTA, Vilvaldo. et. al. Álgebra, con enfoque en Competencias. Book Mart, México, 2008.

Dirección General de Educación Tecnológica Industrial (DGTI). Compendio de Secuencias Didácticas. Primera Edición. México, 2005.

DE OTEYZA, Elena. Conocimientos fundamentales de Matemáticas, Álgebra. Pearson Educación. México, 2006.

GOBRÁN, Alfonse. Algebra Elemental. Grupo Editorial Iberoamérica. México, 1990.

IBÁÑEZ, Patricia y García, Gerardo. Matemáticas 1. Thompson Learning. México, 2005.

LÓPEZ, Rebeca y Gómez, María. Matemáticas 1, con enfoque en Competencias. Book Mart, México 2008.

MIGUEL DIAZ, Mario. Modalidades de enseñanza coentradas en el desarrollo de competencias orientaciones para promover el cambio metodológico en el espacio europeo de euducación superior. Ediciones Universidad de Oviedo. España, 2006.

PULIDO, Antonio. Matemáticas 1. Inova Educativa. México, 2005.


en

Competencias,

nociones

y

Matematicas I

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