CURSO PRE-FACULTATIVO 2012 CARRERAS DE MEDICINA, ENFERMERIA, NUTRICION, FISIOTERAPIA, LABORATORIO CLINICO, RADIOLOGIA, FONOAUDIOLOGIA, TERAPIA OCUPACIONAL REVISORES
Bhylenia Rios, Jhemis Molina, Joacir Colombo Willy Portugal, Zara Yujra, Daniel León Marco Antonio Paco
MATEMATICAS 2012
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MATEMATICAS
CONTENIDO CONJUNTOS ....................................................................................................................... 2 SISTEMAS NUMÉRICOS ................................................................................................ 13 NOTACIÓN CIENTÍFICA ................................................................................................. 17 ÁLGEBRA .......................................................................................................................... 22 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES ................................................................. 36 FACTORIZACIÓN ............................................................................................................. 38 EXPONENTES, RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAÍCAS ........................... 48 ECUACIONES ................................................................................................................... 50 LOGARITMOS ................................................................................................................... 60 INTRODUCCIÓN A LA ESTADISTICA ......................................................................... 70 GLOSARIO ......................................................................................................................... 91
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CONJUNTOS Revisado por: Bhylenia Rios En la teoría de conjuntos definimos a un conjunto como la colección de objetos que tienen una característica especial que permite que los mismos estén agrupados. Estos objetos pueden ser: Personas, animales, plantas, números, etc. De esta definición podemos identificar los siguientes componentes de un conjunto:
Elementos Un elemento es un objeto que pertenece a un conjunto.
Ejemplo: José pertenece al Curso Preuniversitario de la Carrera de Medicina.
Los elementos de un conjunto se representan por letras minúsculas del alfabeto, números o símbolos que nos ayuden a identificarlos. a, b, c…,1, 2, 3, …, ▲, □, … Notación Para poder denotar un conjunto usualmente se utilizan letras mayúsculas del alfabeto, tales como: A, B, C, …, X, Y, Z Un Conjunto se escribe de la siguiente manera: Nombre del conjunto = {elementos}
Ejemplo:
A = {a, e, i, o, u}
REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO Los conjuntos se pueden representar:
Por Extensión Es la forma de expresar un conjunto nombrando a cada uno de sus elementos que lo componen siempre y cuando se pueda.
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CURSO PRE-FACULTATIVO 2012 Ejemplo:
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A = {a, e, i, o, u} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Por Comprensión Es la forma de expresar un conjunto enunciando una propiedad particular de todos sus elementos, la misma que debe satisfacer a cada uno de los mismos. Ejemplo: Usando los conjuntos anteriores A = {x/ x es una Vocal del Alfabeto} B = {x/ x
,x
0
x 9}
Gráficamente Se puede representar a un conjunto a través de los Diagramas de Venn, que son Curvas Cerradas, indicando a todos sus Elementos dentro de la Curva. Ejemplo: Usando el conjunto anterior A = {a, e, i, o, u} A
.a
.u
.e .i
.o
Para poder mencionar que un determinado elemento pertenece o no pertenece a un conjunto determinado se hace uso de los símbolos
y
, respectivamente.
En el ejemplo anterior podemos decir que: .e
CONJUNTOS ESPECIALES
a
A
b
A
.i
Conjunto unitario .o Un conjunto que tiene como un solo elemento. Ejemplo:
C = {x/ x
2 , x =4} = {2}
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Conjunto Finito Un conjunto finito es aquel del cual se conoce tanto el primer como el último de sus elementos, en otras palabras podemos contar el total de sus elementos. Ejemplo: A= {3, 5, 7, 8}
El conjunto A tiene 4 elementos
B= {x/x = 2k, k=0, 1, …, 4 } = {0, 2, 4, 6, 8} El conjunto B tiene 5 elementos
Conjunto Infinito Se dice que un conjunto es infinito cuando los elementos del conjunto no se pueden terminar de contar. Ejemplo: A= {x/x = 2k, k=0, 1, 2, 3, 4 … } = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…}
Conjunto Universo Es el conjunto formado por todos los elementos de un cierto tipo y se denota por Ejemplo: A = {x/x
}
Como el conjunto A hace referencia al Conjunto de Números Enteros, entonces concluimos que
A
Conjunto Vacío También conocido como conjunto nulo, es el conjunto que no contiene ningún elemento y es denotado por la letra griega Ø ó { }. Ejemplo: A = {Números pares cuya última cifra sea impar} = { } = Ø
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RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Inclusión Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A es parte del conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen al conjunto B. Esta relación se la denota de la siguiente forma:
A
B
B
{ x/ x A
x B}
B A
Igualdad Sean A y B dos conjuntos, se dice que el conjunto A y B son iguales, si todos los elementos de A pertenecen al conjunto B y todos los elementos de B pertenecen al conjunto A . Esta relación se la denota de la siguiente forma:
A
.a
B
.o
.e
=
.a
.o
.e
.
.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión de dos Conjuntos La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por elementos de A o de B o de ambos conjuntos y se.e denota por:
.e
A B {x / x A x B}
.i
.i
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.o
.o
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Lo cual se lee: “A” unión “B”, es el conjunto formado por elementos x, tal que x pertenece a “A” ó x pertenece a “B”. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A
B= {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Intersección de dos Conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a “A” y a “B” y se denota por:
A B {x / x A x B} Que se lee, “A” intersección “B” es el conjunto formado por los elementos x, tal que x pertenece a “A” y x pertenece a “B”. Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A B= {1, 2}
Diferencia de Conjuntos La diferencia de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de “A” que no pertenecen a “B” y se denota por:
A B {x / x A x B}
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Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A B= {3, 4, 5}
Diferencia Simétrica La diferencia Simétrica de dos conjuntos “A” y ”B” es el conjunto formado por elementos de “A” o de ”B” pero no de ambos, denotado por:
A B {x / x A x B} Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {-2, -1, 0, 1, 2} Entonces, A B= {3, 4, 5, -2, -1, 0}
Complemento de un Conjunto Dado el conjunto universo
. El complemento de un conjunto “A” es el
y A
conjunto formado por elementos de
que no pertenecen al conjunto “A” y se
denota por: Ac
AC Ejemplo: Si
{x / x U
x
A}
= {x N/x < 10} y A = {1, 3, 5, 7}, entonces: AC = {2, 4, 6, 8, 9}
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Ejercicios Propuestos 1. Expresar por comprensión los siguientes conjuntos: a) A= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…….} A= { x / x
,x
0}
b) B= { Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo} B= { x / x es un día de la semana} c) C= { 5, 10, 15, 20, 25, 30,…} C= { x / x
x=k*5, donde K= 1, 2, 3, 4……}
2. De los siguientes conjuntos A={ h, o, l, a}, B={ s, a, l, u, d, o} y C={ y, i, n} hallar: a) A
B = { h, o, l, a}
{ s, a, l, u, d, o}={ h, o, l, a, s, u, d}
b) A B C={ h, o, l, a} { s, a, l, u, d, o} { y, i, n}={ } c) (A C )C = ({ h, o, l, a}
{ y, i, n} ) C = { h, o, l, a, y, i, n } C = { s, u, d}
3. Indicar como se obtiene el área seleccionada
A- (B U C)
4. De un grupo de estudiantes: 10 estudian Medicina, 12 estudian Enfermería y 4 estudian ambas materias. a) Indicar el número total de estudiantes, son 18 b) Indicar el número de estudiantes que estudian una de las carreras, son 14
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5. Del siguiente conjunto indicar las siguientes operaciones
a) AUB={2, 6, 4, 8, 9, 7, 5, 3} b) A B={2} c) B- A={7, 5, 3}
6. Expresar por Extensión los siguientes conjuntos: a) A= {x/x = 2k+1, donde k=0, 1,…..} b) B= {x
/ x2 – 8x + 15 = 0}
c) C= {x
/ -7
d) D= {x
/ x=2k, donde k= 0,1,2,3, …, 11}
x+3
13}
7. Expresar por comprensión los siguientes conjuntos: a) A= {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} b) B= { Ene, Feb, Mar, Abr, May, Jun, Jul, Ago, Sep, Oct, Nov, Dic} c) C= { 3, 7, 9} d) D={4, -3} 8. Indique si los siguientes conjuntos son Finitos, Infinitos, Unitarios o Vacíos: a) A = {x
/ 2x2 – 8x + 4 = 0}
b) B = {x
/ log2(4x)3 = 1}
c) C = {x
/ x=2k+1, donde k= 0, 1, 2, 3, …}
d) D = {x
/ x=2*5+1}
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9. Dados los siguientes conjuntos:
U {x Z / 4 x 10}, A {x Z / x 7}, C {x N / x 10} Hallar: a)
A B
b)
A C
c) B d)
C
BC
A C
A C
B
BC
C
e) A f)
C
A B
C
C
B C
10. Utilizando los diagramas de Venn, sombrear cada uno de los siguientes conjuntos: g)
A
B
C
h) A
BC
C
i)
A
B
j)
A
B
C k) A
C C
A C
C
C
B CC
11. Se llevan 64 niños a un Centro de salud, para vacunarlos sorpresivamente; A 24 se les aplica la vacuna X; a 22 la Y; a 26 la Z; a 7 la X y la Y; a 8 la Y y la Z; a 9 la X y la Z; 13 niños logran escapar sin que se logre vacunarlos. Calcular a cuantos se les aplicó: a) Solo la vacuna X
b) La X y Y pero no la Z
d) La X o Y pero no la Z
e) Dos vacunas
c) La X o Y f) No se les aplicó la X
12. En el diagrama a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles. ¿Cuántas personas no tomaban té?
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a) 2
b) 4
c) 5
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d) 6
e) 12
13. De 234 alumnos, se sabe que 92 quieren estudiar Medicina, 87 Derecho y 120 ninguna de las dos carreras. ¿Cuántos quieren estudiar ambas al mismo tiempo? a) 27
b) 22
c) 66
d) 65
e) Ninguna
14. En un grupo de 30 estudiantes perteneciente a un curso, 15 no estudiaron Matemáticas y 19 no estudiaron Lenguaje. Si tenemos un total de 12 alumnos que no estudiaron Lenguaje ni Matemáticas. ¿Cuántos alumnos estudian exactamente una de las materias mencionadas? a) 15
b) 10
c) 7
d) 8
e) Ninguna
15. De los siguientes conjuntos A={ a, b, c}, B={ s, a, l, u, d, o} y C={ a, e, i, o, u} que sub conjunto es unitario. a) unión
b) intersección
c) A-B
d)A-C
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e) A B
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SISTEMAS NUMÉRICOS Revisado por: Jhemis Molina NÚMEROS NATURALES Los números naturales son los que se emplean para contar. Los números naturales son la sucesión de los enteros positivos cuyo conjunto se simboliza por N. N = {1, 2, 3,…} Los números naturales son cerrados, o cumplen con las propiedades de clausura, respecto de las operaciones de adición y multiplicación: Si a ε N y b ε N entonces (a + b) ε N (clausura para la adición) Si a ε N y b ε N entonces (a × b) ε N (clausura para la multiplicación) Ejemplo. 2 ε N y 3 ε N 2 + 3 = 5 ε N (clausura para la adición) 2 × 3 = 6 ε N (clausura para la multiplicación) NÚMERO ENTEROS Los enteros constan de los números naturales, el cero y los negativos de los números naturales, cuyo conjunto se designa por Z. El conjunto de los enteros, de manera concisa, se escribe Z = {x|x
N ó x = 0 ó x = –n para algún n en N }
Se escribe también Z = { … , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, … } El conjunto de los enteros Z incluye al conjunto de los números naturales N. El conjunto de los enteros Z es cerrado respecto de las operaciones de la adición, de la multiplicación y también de la sustracción; es decir, que la suma, producto y diferencia de dos enteros es, a su vez, un entero. Observación. El conjunto de los enteros Z no es cerrado respecto de la operación de división. Por ejemplo, el cociente de los enteros 5 y 9 no es necesariamente un entero. Todos los enteros positivos, con excepción del número uno, se pueden clasificar ya sea como números compuestos o como primos. Un entero positivo se llama compuesto si es distinto de uno y puede ser
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expresado como el producto de dos o más enteros positivos, los cuales son sus factores. En ciertos casos, algunos de estos factores se pueden repetir. Por ejemplo, 6 y 24 son números compuestos porque 6 = 2 × 3
y
24= 6 × 4. Un número entero positivo se llama primo si es distinto de uno y no es compuesto; en otras palabras, la única forma en que podemos expresar un número primo p como el producto de dos enteros positivos es p = p × 1 ó p = 1 × p. Ej. 2, 3, 5, 7, 11, … son números primos, mientras que 4, 6, 8, 9, … no son números primos. Todo entero compuesto se puede descomponer en un producto de números primos, puesto que cada factor compuesto puede, a su vez, descomponerse en factores menores hasta que, en último término, todos los factores sean primos. NÚMEROS RACIONALES Un número racional es el que puede expresarse como el cociente de un entero p por un entero q diferente de cero. El conjunto de los números racionales se designa por Q, y brevemente se escribe
Q = { x | x = p/q donde p
Z, q
Z, q ≠ 0 }
El conjunto Q de los números racionales es cerrado respecto de las operaciones de adición, multiplicación, sustracción y división (excepto por cero); es decir, que la suma, producto, diferencia y cociente (excepto por cero) de dos números racionales es también un número racional. Llevando a cabo la operación de la división, todo número racional se puede representar como un decimal. Algunas representaciones "terminan" después de un número finito de cifras, esto es, las últimas cifras son cero. Por ejemplo: a)
4 2
2
b)
60 80
3 4
0,75
En cambio, otras expresiones decimales nunca terminan, tales como
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c)
1 3
0,3333 ....
d)
8 7
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1,1428571428 57.....
En estas últimas expresiones decimales, se puede observar que en cada período, los dígitos, después de un cierto momento, se repiten con el anterior, formando un grupo como “3” y “142857”. Esto
es siempre
verdad para todos los números racionales. Por tanto, la condición necesaria
y suficiente para que un número sea racional, es que en su
expresión decimal con cifras infinitas éstas presenten periodicidad. NÚMEROS IRRACIONALES El conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales. Es decir, los números irracionales son aquellos que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. El desarrollo decimal de un número irracional es infinito y no periódico, por ejemplo: √2 = 1.414213562 … π = 3.14159265 … El conjunto de los números irracionales se simboliza por Q’. NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que son racionales o irracionales, y está constituido por números positivos, negativos y el cero. Los números reales se pueden representar por puntos de una línea recta. Se elige un punto llamado origen para representar el cero. Los números a la derecha del cero, son los llamados números positivos, y los números a la izquierda del cero son los llamados números negativos. El cero mismo no es ni positivo ni negativo. Los conjuntos de números, que en forma gráfica se puede observar a continuación, se relacionan de la manera siguiente:
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N
Z
Q (Q
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Q’)
R
TM1. Conjuntos de Números en forma gráfica
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NOTACIÓN CIENTÍFICA Revisado por: Joacir Colombo
INTRODUCCIÓN La notación científica es la forma abreviada para expresar cantidades numéricas suficientemente grandes o al contrario cantidades suficientemente pequeñas. Para lograr este cometido se usan potencias de base diez (10) con lo cual se permite que las expresiones, en las mediciones científicas, puedan ser más explicitas, más compactas y más sencillas de utilizar, para lo cual se utiliza la siguiente nota notación:
a 10 n Donde: a R y puede ser un número comprendido en el rango 1 a 10 n Z ya sea positivo (+) o negativo (-). La base de la potencia es 10. La notación científica básicamente consiste en representar una cantidad como producto de un número por una potencia de 10. Si se quiere escribir un número ordinario en notación científica o el proceso inverso se procede de la siguiente manera: Para números mayores a 1: Por ejemplo para la cantidad 950 000 (novecientos cincuenta mil), se pone un punto decimal y se recorre 5 lugares de derecha a izquierda y, de esta forma, se obtiene: 9.5x105. Si se quiere realizar la operación inversa, es decir convertir un número escrito en notación científica a decimal, se recorre el punto decimal hacia la derecha y en los espacios en blanco se rellena con ceros. Por ejemplo si se tiene la siguiente cantidad 1.5x106 se escribiría 1 500 000 (un millón quinientos mil). Para los números menores a 1: Por ejemplo sea la cantidad 0.00000025 para escribir en notación científica se recorre el punto hacia la derecha 7 lugares obteniéndose 2.5x10-7. Para realizar
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la operación inversa: sea la cantidad 3.8x10-8 se recorre el punto 8 lugares hacia la izquierda y se obtiene: 0.000000038. En los siguientes ejemplos se muestra como se puede expresar algunas cantidades en notación científica: a) 312.546 = 3.12546 x10 2
e) 0.000 000 0637 = 6.37 x10-8
b) 1 452.25 = 1.45225 x10 3
f) 17 000 000 = 1.7 x 10 7
c) 0.089752 = 8.9752 x10-2
g) 5 830 000 = 5.83 x 10 6
d) 0.00005 = 5 x10-5
h) 0.000 000 000 007 = 7 x 10-12
Ejercicios (ver 3.4 Respuesta a ejercicios propuestos) 1. Escribir en notación científica las siguientes cantidades: a) 125.265 b) 2 256.879
g) 1 130 000 000 000 h) 9 724 000 000.000
c) 875223.56
i) 0.000 000 008
d) 0.000154789
j) 0.00034
e) 0.123654
k) 0.000706
f) 0.123654
l) 640.000
2. Escribir en notación decimal las siguientes cantidades: a) 3,14156 x10 4
e) 4,14159 x 104
b) 2,91 x102
f) 2,24 x104
c) 3,2564 x104
g) 5,45 x107
d) 1,89 x 104
h) 3,06 x103
OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.Para realizar operaciones como se trabaja con potencias de base diez se usan las mismas reglas de potenciación. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN.Para poder efectuar estas operaciones con notación científica, primeramente se debe asegurar que todas las potencias de 10 sean semejantes, caso contrario hay que procurar que lo sean.
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Ejemplos: a) 4.28x 10 6 +1.254 x10 6 = 5.534 x 10 6 b) 3.141 x 10 3 – 2.912 x 10 2 = 3.141 x 10 3 – 0.2912 x 10 3 = 2.8498 x 10 3 c) 2.60x108+3.55x107+8.23x106= 2.60x108+0.355x108+0.0823x108 = 3.0373x108 d) 5.6 x 10 3 + 6.56 x 10 3 = 12.16 x 10 3 e) -3 x 10 11 + 9 x 10 11 = 6 x 10 11 f)
2 x10 6 + 4 x10 5 = 2 x10 6 + 0.4 x10 6 = 2.4 x10 6
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN CON NOTACIÓN CIENTÍFICA.Para realizar las multiplicación simplemente se multiplican los valores decimales y se suman las potencias de 10, con lo cual se obtienen resultados que (en algunos casos) se debe volver a expresar en notación científica. De igual manera se procede en la división, con la única diferencia que se deben restar las potencias de 10 del numerador menos la potencia de 10 del denominador. Ejemplos: a) a 3 . a 5 = a 3+5= a 8 .
.
.
b) 1.589 10 2)x( 4.346 10 3) = ( 1.589 4.346) x10 2-3 = 6.905794 x 10 -1 c)
= a 5-3= a 2 .
d) 8.44 10 4
8.44 x 10 4-2 = 3.43 x 10 2
= .
2.46 10 2
2.46
EJERCICIOS PROPUESTOS.3. Sumar y restar los siguientes números decimales: a) 1.28 x10 4 +3.464 x10 2 + 2.4689x106
d) 1.23x103 -2.945x104
b) 2.568x103 +0.24x10 6 +1.3
e) 9.124x103 -2.945x102
c) 2.912x106 +6.145x104 -2.9145x102
f) 1.25x103 -1.25x101
Multiplicar y dividir los siguientes números decimales: a) (2.256 x104)(3.56 x10-3) b) (1.025 x1010 )(0.256 x105 )(1.658 x103) c) (5.45 x10 3)( 1,28 x10 4 ) d) (7.89 x10 6)(2.56 x10 4)
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e) (3.65 x10 10)/(2.13 x10 2) f) (1.36 x10 -5)/(0.234 x10 4) g) (4.21 x10 8)/(8.45 x10 -4) h) (2.34 x10 3)(4.56 x10 2)/(0.89 x10 7) i) (2.5 x10 3)(4.66 x10 4)/(1.66 x10 2) j) (1.728)(17.28)/(1.728 x10 -4)
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Escribir en notación científica: a) 1.25x102
g) 1.13x1012
b) 2.25687x103
h) 9.724x1012
c) 5.7522356x105
i) 8x10-9
d) 1.54789x10-4
j) 3.4x10-4
e) 0.87452x10-1
k) 7.06x10-4
f) 1.23654x10-1
l) 8x102
2.-Escribir en notación decimal a) 3.14156
d) 0.000189
g) 0.000000545
b) 0.0291
e) 4145.9
h) 0.00306
c) 32.564
f) 22400
3.- Sumar y restar los números decimales: a) 2.4820464 x106 b) 2.5693 x103 c) 2.97315855 x106 d) -2.822 x104 e) 8.8295 x103 f) 1.2375 x103 4.-Multiplicar y dividir las siguientes cantidades a) 8.03136x101
g) 4.98224x1011
b) 4.350592x1018
h) 1.198x10-1
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CURSO PRE-FACULTATIVO 2012 c) 6.976x107
i) 1.30898876x101
d) 20.1984x1010
j) 701807.229 x105
MATEMATICAS
e) 1.71361502x108 f) 5.812x10-9 EJERCICIOS CON SELECCIÓN MÚLTIPLE.1) Escribir en notación científica: 0.27569 a) 27.569 x10 2 b) 27.569 x10 -2 c) 2.7569 x10 2 d) 0.27569 x10 e) Ninguno 2) Escribir en notación decimal: 615.9 x10 3 a) 6195.0 b) 619.5 c) 61590 d) 615900 e) Ninguno
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MATEMATICAS
ÁLGEBRA Revisado por: Willy Portugal DEFINICIÓN.El Algebra es la rama de las matemáticas que estudia las operaciones, como las sumas, restas, multiplicación y división de conjuntos de números. Estos números se representan por símbolos o variables.
De igual forma se puede decir que es una extensión de la aritmética cuyo objetivo es simplificar y generalizar todo lo referente a los números, empleando para ello letras, números, guarismos, etc.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA.Es un conjunto de letras, números y signos que indican una serie de operaciones a realizarse, es decir, son todas aquellas que tienen una parte numérica y una parte literal. Por ejemplo, la expresión 8a3b2c es una expresión algebraica, en este caso un monomio, el cual tiene como parte numérica al número 8 y como parte literal a3b2c. Nótese que los exponentes se consideran parte literal. Una expresión algebraica esta conformada por dos o más términos.
Por ejemplo los siguientes términos son expresiones algebraicas:
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MATEMATICAS
TÉRMINO ALGEBRAICO.-
Es la parte de una expresión conformada por letras y números, el cual, esta separado de otro término a través de un signo (positivo o negativo).
ELEMENTOS DE UN TÉRMINO.Un término está compuesto por un signo, un coeficiente, parte literal y exponente. Por ejemplo:
Variable.- Es toda magnitud que cambia de valor y puede ser expresada por las últimas letras del abecedario. Constante.- Es toda magnitud que tiene un valor y no cambia. TÉRMINOS SEMEJANTES. Son todos los términos que tienen la misma parte literal y están elevados a un mismo exponente. En cuanto al coeficiente y signo, estos pueden ser distintos o no.
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MATEMATICAS
CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES.
Profundizando un poco más en lo mencionado anteriormente, existen básicamente los siguientes tipos de expresiones algebraicas: a)
Monomios: Es una sola expresión algebraica. Ejemplos de monomios son:
4x4y2 como se puede ver es un solo término con parte numérica y parte literal 8a3b2c en este caso la letra c no tiene exponente, cuando esto suceda se asume que dicho exponente es 1, así: 8a3b2c1 m2n3
b)
en este caso aparentemente no hay una parte numérica, cuando esto suceda sabremos que hay un 1, así: 1 m2n3
Polinomios: Son dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte literal) que se están sumando o restando. Ejemplos de polinomios son: Este es un polinomio de dos términos o binomio. Aunque las 3x2y +5x3y2 sus partes literales aparentemente son iguales, estas son diferentes, pues los exponentes no son iguales. 3x4 +xyz -2y2z Ahora tenemos un polinomio de tres términos o trinomio. a3 -a2b +2ab2 -5b3
Otro ejemplo de polinomio.
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MATEMATICAS
GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. GRADO DE UN MONOMIO.El grado absoluto de un monomio esta dado por la suma de todos los exponentes de todas las variables que componen dicho monomio Por ejemplo: El grado de 12x6 y4z es 6+4+1=11
GRADO DE UN POLINOMIO.Esta dado por la suma de todos los exponentes de todas las variables que componen el término de mayor grado. Por ejemplo: 5x3yz5 + 7x4y6z5 – 4x2y3z5, el grado del polinomio respecto a x es 4
OPERACIONES ALGEBRAICAS.Para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de términos se respeta los signos de agrupación. Por ejemplo:
SUMA DE POLINOMIOS Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3
1. Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
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P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x) 2. Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 3. Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3 RESTA DE POLINOMIOS La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número. Por ejemplo: Sea la siguiente expresión 3 ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. 3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2
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Multiplicación de polinomios P(x) = 2x2 − 3
Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
DIVISIÓN ALGEBRAICA. DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS. La división de dos monomios (dividendo y divisor) se efectúa hallando el cociente de los coeficientes y el de los factores literales, multiplicando luego dichos cocientes. Ejemplo.
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Efectuar la división de:
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO. Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio y luego se suman los cocientes obtenidos. Ejemplo: Dividir las siguientes expresiones:
DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Resolver la división de polinomios: P(x) = 2x5 + 2x3 − x − 8
Q(x) = 3x2 −2x + 1
P(x) : Q(x) A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x5 : x2 = x3
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Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes. 5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x2 : x2 = 8
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10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x3+2x2 +5x+8 es el cociente. Ejercicios y problemas resueltos de polinomios 1. Dados los polinomios: P(x) = 4x2 − 1 Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2 R(x) = 6x2 + x + 1 S(x) = 1/2x2 + 4 T(x) = 3/2x2 +5 U(x) = x2 + 2 Calcular: a) P(x) + Q (x) = (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) = x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 = x3 + x2+ 6x − 3 b) P(x) − U (x) = (4x2 − 1) − (x2 + 2) = 4x2 − 1 − x2 − 2 = 3x2 − 3 c) P(x) + R (x) = (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) = 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 = = 10x2 + x
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d) 2P(x) − R (x) = 2(4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) = 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 = 2x2− x− 3 e) S(x) + T(x) + U(x) = (1/2x2 + 4 ) + (3/2x2 +5 ) + (x2 + 2) = = 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 = 3x2 + 11 f) S(x) − T (x) + U(x) = = (1/2x2 + 4) − (3/2x2 +5) + (x2 + 2) = 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 = 1 2. Dados los polinomios: P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1 Q(x) = x3 − 6x2 + 4 R(x) = 2x4 −2 x − 2 Calcular: a)
P(x) + Q(x) − R(x) = = (x4 −2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2x − 2) = = x4 −2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2 x + 2 = = x4 − 2x4 + x3 −2x2 − 6x2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 = = −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5
b)
P(x) + 2 Q(x) − R(x) = =(x4 −2x2 − 6x − 1) + 2(x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 −2 x − 2)= = x4 − 2x2 − 6x − 1 +2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2 x + 2 = = x4 − 2x4 + 2x3 −2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 = = −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9
c)
Q(x)+ R(x) − P(x)= = (x3 − 6x2 + 4) + ( 2x4 −2 x − 2) − (x4 −2x2 − 6x − 1) = = x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2 x − 2 − x4 +2x2 + 6x + 1=
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= 2x4 − x4 + x3 − 6x2 +2x2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1= = x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3 3. Resolver : a) (x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) = = x6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6= = x6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 = = x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6 b) (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) = = 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x = = 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x = = 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x c) (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) = = 6x6 − 10x5 − 12 x4 + 8x3 − 6 x2 − 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2+ 15x + +18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 = = 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12 x4 + 25x4 + 18x4 + +8x3 − 30x3 + 30x3− 6 x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 = = 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18 4. Dividir el polinomio (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)
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5. Dividir (x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Determinar el grado de las expresiones siguientes
2. Realizar las operaciones solicitadas
3. Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas
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4. Realizar las siguientes operaciones combinadas
5. Dividir los polinomios a) P(X) =(4x2y -2xy2 + 8x3) y Q(X) = 2x b) P(x) = (x4 +4x3 +x2 -x1) y Q(x) = (x2 + x1) c)
P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8
y Q(x) = 3x2 −2 x + 1
¿Cuál es la solución de los siguientes ejercicios?
6. Resolver
a) xn+1 + 2xn+2 - xn+3
b) xn+1 + 2xn+2 - xn-3
c) xn+1 - 2xn+2 + xn-3
d) xn+1 - 2xn+2 - xn+3
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7. Sean los polinomios:
Calcular: 2 M(x)+ 4N(x)+ 3K(x) a) 11x2 – 8x
b) 11x2 + 8x
d) 11x2 – 3x
e) Ninguno.
c) 11x + 8x2
8. Resolver
a)
x2 –
b)
x2 +
d)
x2 – 3xy + 5y
e) x2 –
c)
x2 – 2
9. Resolver
a)
b)
d)
e) Ninguno
c)
10. La edad de un padre es m; el hijo tiene 23 años menos y el abuelo tiene 32 años más que el padre. ¿Cuál será la suma de las edades de estas tres personas dentro de n años? a) 3m + 3n +9
b) 3m + 3n
c) 3m2 + 3n +9
d) 3m +55
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e) Ninguno
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PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Revisado por: Willy Portugal PRODUCTOS NOTABLES Los Productos Notables son casos especiales que se ven dentro de la multiplicación algebraica, los cuales se pueden obtener en forma directa el resultado, sin necesidad de efectuar la operación. BINOMIO AL CUADRADO.A
B2
A2
2AB B 2 ;
A
PRODUCTO DE BINOMIOS.x a x b x 2 a b x ab ;
B2
px
a qx
A2
b
2AB B 2 pqx 2
aq
bp x
ab
PRODUCTO DE SUMA Y DIFERENCIA (DIFERENCIA DE CUADRADOS).A B A B A 2 B2 BINOMIO AL CUBO.A B 3 A 3 3A 2 B 3AB2 A B 3 A 3 3A 2 B 3AB2
B3 B3
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.A A
B A2 B A2
AB B 2 AB B 2
A3 A3
B3 B3
COCIENTES NOTABLES Son casos especiales de división algebraica exacta (vale decir que no tienen residuo), donde los divisores son binómicos. PRIMER CASO.an bn a b
an
1
a n 2 b a n 3b 2
.... b n
1
.... b n
1
SEGUNDO CASO.-
an bn a b
an
1
a n 2 b a n 3b 2
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MATEMATICAS
TERCER CASO.-
an bn a b
?
CUARTO CASO.-
an bn a b
an
1
a n 2 b a n 3b 2
.... b n
1
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FACTORIZACIÓN Revisado por: Zara Yujra
FACTORES Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES.-
Factorización,
es
la
operación
que
tiene
por
finalidad,
transformar una expresión algebraica racional o entera en otra equivalente que sea igual al producto de sus factores primos o enteros. Factorizar significa convertir una suma algebraica en producto de sus factores.
5.2 MÉTODOS FACTORIZACIÓN.CASO I. FACTOR COMÚN El factor común de dos o más expresiones algebraicas es la parte numérica y/o literal que esté repetida en dichas expresiones. Puede presentarse de tres formas: a) Factor común monomio
Se llama así, cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio. Por ejemplo: 1) ax + ay + az = a(x + y + z) 2) 26x6 – 2x4 + 14x2 = 2x2(13x4 – x2 +7) 3) 100a2b3c – 150ab2c2 + 50ab3c3 – 200abc2 = 50abc(2ab2 – 3bc + 3bc + b2c2 - 4c)
b) Factor común polinomio
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Se llama así, cuando el factor común que aparece en la expresión es un polinomio. Por ejemplo: 1) a(x + y) – b(x + y) = (x + y)(a - b) 2) 9(u + v + w)2 – 18(u + v + w)3 = 9(u + v + w)2 [1-2(u + v + w)] = 9(u + v + w)2 (1 – 2u – 2v 2w) 3) 4m(a2 + x -1) + 3n(x-1+a2) = 4m(x -1 + a2) + 3n(x-1+a2) = (x -1 + a2)(4m + 3n)
c) Factor común por agrupación
Ejemplo:
1) ax – bx + ay – by
= (ax + ay) – (bx + by)
= a(x + y) – b(x+y) = (x + y)(a - b) 2) 2a2x – 5a2y + 15by – 6bx
= (2a2x – 6bx) – (5a2y – 15by)
= 2x(a2 – 3b) – 5y(a2 – 3b) = (a2 – 3b) (2x – 5y) 3) 2x2y + 2xz2 + y2z2 + xy3
= (2x2y + xy3) + (2xz2 + y2z2 )
= xy(2x + y2) + z2(2x + z2 ) = (2x + y2) + (xy + z2 )
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CASO II. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Este caso de factorización es de la forma: a2 + 2ab +b2 = (a + b)2 a2 - 2ab +b2 = (a - b)2
Este trinomio se caracteriza por:
a)
Tener dos términos que son cuadrados perfectos y siempre con
signo positivo.
b) El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos. Ejemplo: 1) 4x2 – 12xy + y2 = (2x - 3y)2 2) 4(1 + a)2 – 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1)2 = [2(1 + a) + (b - 1)]2 = [2 + 2a + b - 1)]2 = [2a + b + 1)]2 3) 9(x - y)2 + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)2 = [3(x - y) + 2(x + y)]2 = [3x - 3y + 2x + 2y)]2 = [5x - y)]2
CASO III. DIFERENCIA DE CUADRADOS
Este caso de factorización es de la forma: a2 – b2 = (a + b)(a - b)
Para factorizar esta diferencia de cuadrados, se extrae la raíz cuadrada de a y de b y se forma un producto de la diferencia de las raíces multiplicada por la suma de ellas.
Ejemplo:
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1) 4x6 – 81y2 = (2x3)2 – (9y)2 2) 16x2y2 – 81a2b2c2
= (4xy)2 – (9abc)2 = (4xy + 9abc) (4xy - 9abc)
3) a2nb4n – 25n4
= (anb2n)2 – (5n2)2 = (anb2n +5n2) (anb2n - 5n2)
CASO IV. TRINOMIO DE LA FORMA: x2 + bx + c Ejemplo: 1) x2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2) 2) y2 + 50y + 336 = (y + 42)(y+8) 3) x2 -2x – 528 = (x - 24)(x + 22) CASO V. TRINOMIO DE LA FORMA: ax2 + bx + c Ejemplo: 1) 2x2 + 29x + 90 Primera Forma de Solución: 2x2 + 29x + 90 // Multiplicando y Dividiendo entre dos =((2x)2 + 29(2x) + 180)/2 Factorizando caso IV
= [(2x + 20)(2x + 9)]/2 Simplificando: = (x + 10)(2x + 9) Segunda Forma de Solución: Por la Regla de la Aspa ax2 + bx + c = (mx + p)(nx+q) m
p
n
q
Se cumple:
1) mn = a
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2) pq = c 3) mq + np = b
El Problema consiste en hallar dos pares de números: m, n, p y q tales que: mn=a, pq=c y la suma del producto cruzado sea b, es decir: mq + np = b, estos números se obtienen por ensayos. Aplicando la Regla de la Aspa al ejemplo: 2x2 + 29x + 90 = (x + 10)(2x+9) 1 2
10
9
Se cumple: 1) mn = 2 2) pq = 90 3) mq + np = 9 + 20 = 29 2) 20a2 - 7a - 40 Primera Forma de Solución: 20a2 - 7a - 40 // Multiplicando y Dividiendo entre veinte =((20a)2 - 7(20a) - 80)/20 Factorizando caso IV = [(20a - 32)(20a + 25)]/20
Simplificando: = (5a - 8)(4a + 5) Segunda Forma de Solución: Aplicando la Regla de la Aspa al ejemplo: 20a2 - 7a - 40 = (5a - 8)(4a + 5)
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-8
4a
5
Se cumple:
MATEMATICAS
1) mn = 20a2 2) pq = -40 3) mq + np = 25a – 32a = -7a
3) 4n2 + n - 33 Primera Forma de Solución: 4n2 + n - 33 // Multiplicando y Dividiendo entre cuatro =((4n)2 + (4n) - 132)/4 Factorizando caso IV = [(4n - 12)(4n -11 25)]/4 Simplificando: = (n + 3)(4n - 11) Segunda Forma de Solución: Aplicando la Regla de la Aspa al ejemplo: 4n2 + n - 33 = (n + 3)(4n - 11) 1 4 Se cumple:
3
-11 1) mn = 4 2) pq = -33 3) mq + np = -11 + 12 = 1
5.3 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm).El mcm de dos o más polinomios es el polinomio de menor grado y menor coeficiente que es el múltiplo común de cada uno de ellos. Para hallar el mcm de dos o más polinomios se sigue el siguiente procedimiento: Paso 1: Se determina si se puede factorizar las expresiones.
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MATEMATICAS
Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores primos.
Paso 3: El mcm es igual al producto de todos los factores comunes y no comunes, para lo cual se toma a los factores con mayor exponente. Ejm.: Hallar el mcm de los siguientes polinomios: 3x + 3, 6x − 6
Factorizamos cada polinomio: 3(x +1), 6(x −1)
Una vez factorizados los polinomios procedemos a sacar los factores primos de los coeficientes numéricos 3 y 6. 3 3 1
6 3 2 1 3 Tomamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente con los cuales obtenemos su producto. De los coeficientes numéricos seria 2 x 3 = 6 y de la parte literal sería (x + 1)(x – 1), con lo cual concluimos que el mcm es igual a: mcm = 6(x + 1)(x – 1)
5.4 MÁXIMO COMÚN DIVISOR.-
El MCD de dos o más polinomios es el polinomio de mayor grado y mayor coeficiente que sea divisor de los polinomios dados. Para hallar el MCD se debe proceder a:
Paso 1: Se factoriza si se puede las expresiones que se estudia. Paso 2: Se descompone cada polinomio en el producto de sus factores
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MATEMATICAS
primos. Paso 3: El MCD es igual al producto de todos los factores comunes, tomando cada factor con el menor exponente. Ejm.: Hallar el MCD de los siguientes polinomios: 48r3t 4 , 54r 2t6 , 60r 4t 2
Primero determinamos si se puede factorizar o no los polinomios. Posteriormente se obtiene el producto de los factores primos. 48 2 24 2 12 2 62 33 1
54 2 27 3 93 33 1 60 2 30 2 15 3 55 1
Para hallar el MCD solo tomamos el producto de los factores comunes con su menor exponente, así: MCD = 2 x 3 r2t2 = 6r2t2
5.5 EJERCICIOS.Factorizar cada uno de las siguientes expresiones algebraicas, aplicando según corresponda los casos estudiados:
EJERCICIOS RESUELTOS: [1] a20 – a16 + a12 – a8 + a4 – a2 = a2 (a18 – a14 + a10 – a6 + a2 – 1) [2] x(2a + b + c) – 2ª – b – c = x(2a + b + c) – (2a + b + c) = (2a + b + c)(x - 1)
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CURSO PRE-FACULTATIVO 2012 [3] 4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx
MATEMATICAS
= (4a3x – 3amx) + ( 3bm – 4a2b) = ax (4a2 – 3m) - b(4a2 – 3m) = (4a2 – 3m)(ax - b)
[4] m2 – 8m – 1008
= (m - 36)(m - 28)
[5] (a - 1)2 + 3( a - 1) – 108 = [(a - 1) + 12][ (a - 1) - 9] = (a + 11)(a - 10) EJERCICIOS PROPUESTOS: [6] x8y8 - 15 x4y4 – 100a2
Resp. (x4y4 – 20a)( x4y4 + 5a)
[7] (2a - c)2 - (a + c)2
Resp. 3a(a – 2c)
[8] Hallar el mcm y MCD de los siguientes polinomios y factorizar su resultado a) 9a2bx, 12ab2x2, 18a3b3x b) 6y2z4, 24y3z2 Resp. a) mcm: 36a3b3x2; MCD: 3abx b) mcm: 24y3z4 ; MCD: 6y2z2 [9] 6x4 + 5x2 - 6
Resp. (3x2 – 2) (2x2 + 3)
[10] up+q + vp+q + (uv)p + (uv)q
Resp. (uq + vp) (up + vq)
EJERCICIOS CON RESPUESTAS DE SELECCIÓN MULTIPLE [11] x16 – y16 Resp. Elegir la respuesta correcta: a) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x6 + y6) b) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x8 + y8) c) (x - y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4) (x10 + y10) [12] 64a4b8 – 64a2b4c4d6 + 16c8d12 Resp. Elegir la respuesta correcta: a) (8a2b4 – 4c4d6) (8a2b4 + 4c4d6)
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MATEMATICAS
b) (8a2b4 – 4c4d6) c) (8a2b4 – 4c4d6)2 [13] a8 + b8 + 2a2b2(a4 + b4) + 3a4b4 Resp. Elegir la arespuesta correcta: a) a4b4 – a2b2 + b4 b) (a4b4 – a2b2 + b4)2 c) a4b4 – a2b2 + b4 + 1 [14] u8 – 14u4 + 25 Resp. Elegir la arespuesta correcta: a) (U4 – 2u2 – 5)2 b) (U4 – 2u2 – 5) (U4 + 2u2 – 5) c) (U4 – 2u2 – 5) [15] 12(x – y)2 + 7(x - y) - 12 Resp. Elegir la arespuesta correcta: a) (4x – 4y + 3)(3x – 3y - 4) b) (4x – 4y - 3)(3x – 3y + 4) c) (4x – 4y - 3)(3x – 3y - 4)
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MATEMATICAS
EXPONENTES, RADICALES Y FRACCIONES ALGEBRAÍCAS Revisado por: Daniel León EXPONENTES Exponente natural Se define: An = A.A.A……. A
n
“n” veces
LEYES DE EXPONENTES Es el conjunto de teoremas y definiciones que estudian a las diferentes relaciones, operaciones y transformaciones que se puedan realizar con los exponentes. En esta sección se hace un resumen de las propiedades de la ley de los exponentes que
n
son válidos para cualquier número
con a y b, considerados como expresiones
algebraicas 1. Producto de dos potencias de la misma base:
aman
am
n
2. Potencia de una potencia:
(a m ) n
a mn
3. Potencia del producto de dos factores
(ab) n
a nbn
4. Cociente de dos potencias de la misma base:
a
a m n , m n, a 0
an 5. Exponente Cero:
a0 1 LEYES DE SIGNOS +
*
+
=
+
-
*
-
=
+
+
*
-
=
-
-
*
+
=
-
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MATEMATICAS
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Producto de dos potencias de la misma base:
a 3a4 = a3+4 = a7 2. Cociente de dos potencias de la misma base:
a6 a2
a6 - 2 = a4
3. Potencia de una potencia:
(a2)6 = a2*6 = a 4. Potencia del producto de dos factores:
(a * b)6 = a6 * b6 RADICALES Llamaremos radical simple a la expresión n a , cumpliéndose que: Las cantidades a y b serán positivas siempre que n sea un número par. LEY DE RADICALES La ley de los radicales se basan en las leyes de los exponentes, pues: m
an
n
am
En base a esta definición tenemos las siguientes leyes: 1.
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MATEMATICAS
ECUACIONES Revisado por: Marco Antonio Paco Ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, y
se
denominan miembrosdelaecuación.Unaecuaciónesunaigualdadyelresolverimplicaelencontrar elvalorde lasvariablesqueestánenla expresiónalgebraica,en las que aparecen valores conocidos (datos), y desconocidos (incógnitas), relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.
Las ecuaciones que analizaremos en este curso son: i) Ecuaciones lineales con una incógnita. ii) Ecuaciones lineales con dos incógnitas.(sistema de dos ecuaciones) iii) Ecuaciones de segundo grado con una incógnita (ecuación de segundo grado)
7.2. Ecuaciones lineales con una incógnita. Son aquellas donde hay una sola variable en la ecuación y el resolverla implica encontrar el valor de la variable.
Ejemplo 1: Si la altura de una persona (cm) madura es, dos veces la longitud de su brazo (cm) mas 15 cm. Determinar la altura de una persona en metros, si la longitud de su brazo es 75 cm.
Ecuación que relaciona la altura (y) y la longitud del brazo (x) en centímetros:
y = 2x + 15 Reemplazamos en la ecuación:
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MATEMATICAS
y = 2 ×75 + 15 1m y = 165 cm × = 1, 65m 100 cm 7.2. Ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas. Son aquellas que conforman un sistema de dos ecuaciones y el resolver implica encontrar los valores de las dos incógnitas, para resolver esta ecuación existen cuatro métodos, que son: i) Método por igualación. ii) Método por sustitución iii) Método por reducción iv) Método por determinantes
i)
Método por igualación.
El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda.
Ejemplo 2:Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
ïìï x + í ïï x î
2y = 3y =
1 - 1
(1) (2)
De ambas ecuaciones (1) y (2) despejaremos la incógnita x De (1):
x = 1- 2 y De (2):
x = - 1+ 3 y FACULTAD DE MEDICINA, ENFERMERIA, NUTRICION Y TECNOLOGIA MÉDICA
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MATEMATICAS
Como:
x= x Entonces:
1- 2 y = - 1+ 3 y Despejar y:
3 y + 2 y = 1+ 1 5y = 2 y=
2 5
Reemplazar en (1):
2 x = 1- 2 × 5 4 x = 15 1 x= 5 Solución:
ii)
x=
1 2 ; y= 5 5
æ1 2 ö o çç , ÷ ÷ çè5 5 ÷ ø
Método por sustitución.
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra, dando lugar así a una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta sustituimos su valor en la ecuación despejada y calculamos la segunda incógnita.
Ejemplo 3:Resolver la siguiente ecuación.
ïìï 3x í ïï x î
2y = y =
4 - 8
(1) (2)
De (2) despejar y:
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MATEMATICAS
y = x+ 8 Reemplazar en (1)
3 x - 2 (x + 8) = 4 Despejar x:
3 x - 2 x - 16 = 4 x = 4 + 16 x = 20 Reemplazar en (2):
y = 20 + 8 y = 28 Solución:
iii)
x = 20; y = 28
o (20, 28)
Método por reducción.
El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.
Ejemplo 4: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
ìï 2 x ïí ïï x + î
2y = 3y =
- 7 (1) 8 (2)
Conseguir que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos pero cambiados de signo:
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CURSO PRE-FACULTATIVO 2012 ìï 2 x ïí ïï x î ìïï 6 x í ïïî 2 x
-
2y =
- 7
+
3y =
8
+
6y = 6y =
- 21 16
8x
=
x= -
MATEMATICAS (1) ×3 (2) ×2
- 5
5 8
Reemplazamos en (2):
5 + 3y = 8 8 5 3y = 8 + 8 69 y= 3×8 23 7 y= o y= 2 8 8
-
Solución:
iv)
x= -
5 7 ; y= 2 8 8
æ 5 7ö o çç- , 2 ÷ ÷ ÷ çè 8 8 ø
Método por determinantes.
Se resuelve por la regla de Cramer, es un método de álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea el cálculo de determinantes, y da lugar a una forma operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Ejemplo 5: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.
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CURSO PRE-FACULTATIVO 2012 ïìï x + í ïïî 5 x +
MATEMATICAS
2y =
- 7
3y =
- 8
Para determinar la variable x, sus coeficientes son reemplazados por el resultado de cada ecuación. Se multiplica en diagonal, la diagonal diagonal
es positiva y la
es negativa
- 7 2 x=
- 8 3 (- 7)×3 - 2 (- 8) = 1 2 1×3 - 5 ×2 5 3
- 21 + 16 - 5 = 3 - 10 - 7 5 x= 7
x=
Para determinar la variable y:
1 - 7 5 - 8 (- 8)×1- 5 (- 7) = - 7 - 7 - 8 + 35 27 x= = - 7 - 7 y=
x= Solución: x =
27 6 o x= - 3 7 7
5 6 ; y= - 3 7 7
æ5 6ö o çç , - 3 ÷ ÷ ÷ çè7 7ø
7.3. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Son aquellas ecuaciones que tienen la forma general:
ax2 + bx + c = 0 Donde a, b, c son constantes y a es diferente de cero, para resolver se puede
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MATEMATICAS
utilizar la ecuación general o el método de factorización del aspa.
Ejemplo 6: Resolver la siguiente ecuación cuadrática por a) formula y b) factorización.
x2 - 3x - 10 = 0 a) Formula; donde a = 1; b = – 3;c = – 10. Reemplazando en la ecuación cuadrática:
x=
- b±
b2 - 4ac 2a 2
x= x= x=
- (- 3)± (- 3) - 4 ×1×( 10) 2 ×1 3±
9 + 40 2
3± 7 2
Hallando los dos valores:
3+ 7 10 ; x1 = ; x1 = 5 2 2 3- 7 - 4 x2 = ; x2 = ; x2 = - 2 2 2 x1 =
b) Por factorización.
x 2 - 3 x - 10 = 0
(x - 5)(x + 2) = 0 Despejando cada factor:
x1 - 5 = 0; x1 = 5 x2 + 2 = 0; x2 = - 2
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MATEMATICAS
7.4EJERCICIOSPROPUESTOS.-
Ecuaciones lineales: 1) El tamaño del cuerpo de un pez es 2 veces el tamaño de su cabeza. Determinar la longitud de la cabeza de un pez que tiene una longitud de 54 cm a) 27 cm
b) 18 cm
2) Hallar x: a) a-b
1 a
x a
b
a
e) ninguno
d) (a+b)(a-b)/(2b)
e) ninguno
b
b) (a+b)(a-b)
a2 a b c
d) 35 cm
x
3) Hallar el valor de x:
a)
c) 6 cm
c) (a+b)(a-b)/(2a)
x a ab
x b ac
c2 b) a b c
x c bc
a 2 b2 c) a b c
a2 d) a b c
b2 e) a b c
Sistema de ecuaciones: Resolver por cualquier método.
ìï 2 x ï 4) í ïï x + î a)
æ 45 50 ÷ ö çç,1 ÷ ÷ çè 101 101ø
- 7 (x + 1) 8(2 - y )
2y = 3y = b)
æ 5 51 ö ÷ çç, ÷ çè 101 101÷ ø
æ45 50 ö ÷ ,- 1 ÷ ÷ çè101 101ø
c) ç ç
æ 47 51 ÷ ö ççe) , ÷ çè 100 100 ÷ ø
d)
ninguno
5)
a)
ìï 2 ïï x í ïï - 1 + ïïî x
æ ö çç- 3, - 5÷ ÷ çè ø 3÷
3 = y 3 y- 1 = b)
- 1 - 8 æ 1 3÷ ö çç- , - ÷ çè 3 5 ÷ ø
c)
æ 5÷ ö çç- 3, ÷ ÷ çè 3ø
d)
æ 5÷ ö çç3, - ÷ ÷ çè 3ø
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æ ö çè3 5 ø÷
1 3 e) ç ÷ ç , ÷
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CURSO PRE-FACULTATIVO 2012 ìï x ï 6) íï ïïî 3 x a)
æ4 7 ÷ ö çç , ÷ çè 9 9 ÷ ø
+
2 y
=
2
-
3 y
=
- 1
b)
æ2 7 ÷ ö çç , ÷ çç 3 3 ÷ ÷ è ø
MATEMATICAS
æ16 49 ÷ ö , ÷ çè 9 9 ÷ ø
c) ç ç
æ16 49 ÷ ö , ÷ çè81 81 ÷ ø
d) ç ç
e) ninguno
Ecuaciones cuadráticas. Resolver por cualquier método. 7) a)
5 1 ;3 2
8) a)
6 x2 - 7 x - 5 = 0 b)
-
5 1 ; 3 2
5 1 ;3 2
c)
-
c)
1 ;4 3
d)
5 1 ; 3 2
d)
-
e) ninguno
x 2 + 5 x + 4 = 4 x (x - 2)
5 ;4 3
b)
3; -
3 2
1 1 ;3 2
e) ninguno
Miscelánea. 9) A nivel del mar un globo tiene un radio de 12 cm, si este sube a 120 m.s.n.m. su volumen se incrementa en un 75 %, ¿Cuál es el radio del globo a 120 m.s.n.m.? (considerar que v a)
1,717 cm
3
b) 67,12 cm
3
4 3
r3 )
c) 14,46 cm
3
d) 965,5 cm
3
e) 0,904 cm
3
10) Cierto doctor (mejor mantener el anonimato) fue beneficiado en su salario con un incremento del 15 % y un bono fijo de 250 Bs. Adquiere de ese modo un sueldo fijo de 6000 Bs. ¿Cuánto era su sueldo inicialmente? a)
5000 Bs
b) 5500 Bs
c) 4500 Bs
d) 4800 Bs
e) ninguno
11) Cierto granjero tiene conejos y gallinas, este cuenta 50 cabezas y 140 patas. Determinar cuanto tiene de cada especie. (considerar que sus animales son normales – nada de animales con 3 cabezas ni cinco patas) a)
30 conejos, 20 gallinas b) 25 conejos, 25 gallinas c) 20 conejos, 30 gallinas
d) ninguno
12) En un cultivo bacteriano se observo que una bacteria X “llena” toda la caja
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MATEMATICAS
Petri en 6 días y que una bacteria Y lo “llena” en 3días. Si se sembrara ambas bacterias en la caja Petri, ¿en que tiempo lo “llenarían”? a)
9 días
b) 6 días
c) 3 días
d) 1 día e) ninguno
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MATEMATICAS
LOGARITMOS Revisado por: Jhemis Molina Definición de Logaritmos Logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación
Aquí están los nombres que reciben cada uno de los elementos:
Representación gráfica de logaritmos en varias bases: el rojo representa el logaritmo en base e, el verde corresponde a la base 10, y el púrpura al de la base 1,7. Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (b, 1) para la base b, debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.
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El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.Siendo a la base, x el número e y el logarítmo. con a>0 y a≠1 Logaritmos decimales: Son los que tienen base 10. Se representan por log (x). Logaritmos neperianos: Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x). Por ejemplo:
De la definición de logaritmo podemos deducir: No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo. No existe el logaritmo de cero. El logaritmo de 1 es cero. El logaritmo en base a de a es uno.
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MATEMATICAS
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos:
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:
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5. Cambio de base:
Ecuaciones logarítmicas 1.
2.
3. 4.
5.
Logaritmo natural o neperiano El logaritmo con base e se denomina logaritmo natural y se denota ln x, esto quiere decir, que ln x es la inversa de la función exponencial definida por f(x) = ex.
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El logaritmo natural es un logaritmo que tiene como base el número 2,718281828… Debido a que es muy incómodo trabajar con un número que tiene muchos decimales, se le ha asignado la letra “e”: e = 2,718281828… El logaritmo natural de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para obtener x. El nombre de logaritmo neperiano proviene del escocés John Neper, inventor de los primeros logaritmos y su uso es fundamentalmente en el cálculo diferencial. Algunas propiedades básicas de los logaritmos naturales son las siguientes:
ln 1 = 0
ln e = 1
ln ex = x
eln x = x
ln (x * y) = ln x + ln y
ln(x/b)
ln (x)r = rln x
= ln x – ln y
Log 2,718281828 A Loge A
Log e A
Ln A
LnA
Así que cuando se aplica la definición de logaritmos a un ejercicio cualquiera debemos tomar en cuenta este cambio de notación. Por ejemplo:
LnA n Log e A n A
en
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64
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MATEMATICAS
Otro ejemplo
Ejercicios Propuestos 1) Hallar el logaritmo de:
Respuesta.:
a) log2 4 =
f) log2 0,5 =
b) log3 27 =
g) log2 0,25 =
c) log2 16 =
h) log2 0,125 =
d) log5 125 =
i) log6 216 =
e) log3 243 =
j) log 100000 =
a) 2,
b) 3,
h) – 3, i) 3,
c) 4,
d) 3
e) 5,
f) – 1, g) – 2,
j) 5
2) Resolver aplicando las propiedades de logaritmos. a) log (5 . 3) = ?
b) log (23 . 3) = ?
c) log (7 : 3) = ?
d) log (2 . 3 : 4)5 =?
e) Respuesta.:
a) log 5 + log 3,
b) 3. log 2 + log 3,
c) log 7 – log 3,
d) 5. (log 2 + log 3 – log 4), e) ½ (log 3 + log 5) – log 2. 3) Cambio de base:
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65
CURSO PRE-FACULTATIVO 2012 a) log2 5 =
?
c) log3 7 = ?
b) log32 =
?
d) log5 24 = ?
Respuesta: a) log 5 / log 2,
b) log 2 / log 3,
MATEMATICAS
c) log 7 / log 3,
d) log 24 / log 5.
4) Ecuaciones:
Respuesta: a) 2 ;
b) – 4 y 4;
c) 2;
d) 2,3 y – 1,3;
e) 2.
5) Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido desarrollar una técnica basada en la concentración de material radiactivo en su interior. Cuanto más joven es la roca mayor concentración de material radiactivo encontraremos. C(x) = k. 3
–t
es la fórmula que se utiliza, donde C
(x)
representa la
concentración del material radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos de años y "k" la concentración del elemento en el momento de formarse la roca. Si k = 4500 a)¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que hallemos una concentración de 1500?; b) ¿Qué concentración tendríamos al cabo de dos siglos?; c)¿En qué tiempo se acabaría este material?. Respuesta: a) como t = 1, pasaron cien años. b) 1,7 .10 – 92 c) La ecuación no tiene como resultado el número cero, por lo que teóricamente siempre quedaría un mínimo resto de material radiactivo. Aplicaciones de Logaritmos en pH. El pH es una medida de la acidez o basicidad de una solución. El pH es la concentración de iones o cationes hidrógeno [H+] presentes en determinada sustancia. La sigla significa "potencial de hidrógeno" (pondus Hydrogenii o potentia Hydrogenii; del latín pondus, n. = peso; potentia, f. = potencia; hydrogenium, n. = hidrógeno).
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66
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MATEMATICAS
Este término fue acuñado por el químico danés Sørensen, quien lo definió como el logaritmo negativo de base 10 de la actividad de los iones hidrógeno. Esto es:
Algunos valores comunes del pH Sustancia/Disolución
pH
Disolución de HCl 1 M
0,0
Jugo gástrico
1,5
Jugo de limón
2,4
Refresco de cola
2,5
hidrógeno, se le puede aproximar empleando
Vinagre
2,9
la concentración molar del ion hidrógeno.
Jugo de naranja o manzana 3,0
Desde entonces, el término "pH" se ha utilizado universalmente por lo práctico que resulta para evitar el manejo de cifras largas y complejas. En disoluciones diluidas, en lugar
de
utilizar
la
actividad
del
ion
Por ejemplo, una concentración de [H+] = 1 × 10–7 M (0,0000001) es simplemente un pH de 7 ya que: pH = –log[10–7] = 7
Cerveza
4,5
Café
5,0
Té
5,5
Lluvia ácida
< 5,6
El pH típicamente va de 0 a 14 en disolución
Saliva (pacientes con cáncer) 4,5 a 5,7
acuosa, siendo ácidas las disoluciones con
Orina
5,5-6,5
pH menores a 7, y básicas las que tienen pH
Leche
6,5
mayores a 7. El pH = 7 indica la neutralidad
Agua pura
7,0
Saliva humana
6,5 a 7,4
Sangre
7,35 a 7,45
Agua de mar
8,0
logarítmico sobre la concentración de una
Jabón de manos
9,0 a 10,0
solución: p = –log[...] , también se define el
Amoníaco
11,5
pOH, que mide la concentración de iones
Hipoclorito de sodio
12,5
OH-.
Hidróxido sódico
13,5 a 14
de la disolución (donde el disolvente es agua).
Se
considera
que
p
es
un
operador
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67
CURSO PRE-FACULTATIVO 2012
MATEMATICAS
Puesto que el agua está disociada en una pequeña extensión en iones OH– y H+, tenemos que: Kw = [H+][OH–]=10–14 en donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno, [OH-] la de iones hidróxido, y Kw es una constante conocida como producto iónico del agua. Por lo tanto, log Kw = log [H+] + log [OH–] –14 = log [H+] + log [OH–] 14 = –log [H+] – log [OH–] pH + pOH = 14
Por lo que se puede relacionar directamente el valor del pH con el del pOH. En disoluciones no acuosas, o fuera de condiciones normales de presión y temperatura, un pH de 7 puede no ser el neutro. El pH al cual la disolución es neutra estará relacionado con la constante de disociación del disolvente en el que se trabaje. El valor del pH se puede medir de forma precisa mediante un potenciómetro, también conocido como pH-metro, un instrumento que mide la diferencia de potencial entre dos electrodos: un electrodo de referencia (generalmente de plata/cloruro de plata) y un electrodo de vidrio que es sensible al ión hidrógeno. También se puede medir de forma aproximada el pH de una disolución empleando indicadores, ácidos o bases débiles que presentan diferente color según el pH. Generalmente se emplea papel indicador, que se trata de papel impregnado de una mezcla de indicadores. Algunos compuestos orgánicos que cambian de color en función del grado de acidez del medio en que se encuentren se utilizan como indicadores cualitativos para la determinación del pH. El papel de litmus o papel tornasol es el indicador mejor conocido. Otros indicadores usuales son la fenolftaleína y el naranja de metilo. A pesar de que muchos potenciómetros tienen escalas con valores que van desde 1 hasta 14, los valores de pH pueden ser menores que 1 y mayores que 14. Por
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MATEMATICAS
ejemplo el ácido de batería de automóviles tiene valores cercanos de pH menores que cero, mientras que el hidróxido de sodio varía de 13,5 a 14. Un pH igual a 7 es neutro, menor que 7 es ácido y mayor que 7 es básico a 25 ºC. A distintas temperaturas, el valor de pH neutro puede variar debido a la constante de equilibrio del agua (Kw). La determinación del pH es uno de los procedimientos analíticos más importantes y más usados en ciencias tales como química, bioquímica y la química de suelos. El pH determina muchas características notables de la estructura y actividad de las biomacromoléculas y, por tanto, del comportamiento de células y organismos
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MATEMATICAS
INTRODUCCIÓN A LA ESTADISTICA Por: Bhylenia Rios y Willy Portugal La estadística es una ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos que se utiliza para recolectar, resumir y clasificar el comportamiento de los datos con respecto a una característica que es materia de estudio o investigación.
Una vez analizada la información o los datos, la estadística entra en otros temas como ser tomar decisiones y predecir respecto a la fuente de datos.
Concepto de Estadística.
1. Es un conjunto de métodos
que permiten la recolección, agrupación,
presentación de los datos mediante graficas o formulas, con los cuales se pueden tomar decisiones. 2. La Estadística es una disciplina que utiliza recursos matemáticos para organizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad, e inferir conclusiones respecto de ellos.
Tipos de Estadística.
a) Estadística Descriptiva. El objetivo de la estadística descriptiva es describir un conjunto de datos, organizar los datos de forma tal que se puedan ver las tendencias y normas, se pueda dibujar gráficos, calcular estadísticos y redactar informes se llama estadística descriptiva, para esto se realizan los siguientes pasos:
Ordenar los datos Recopilarlos en tablas estadísticas: distribuciones de frecuencias. Gráficos de la distribución de frecuencias. Cálculo de estadísticos: resumen de datos. Interpretar resultados: presentación informe.
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70
CURSO PRE-FACULTATIVO 2012
MATEMATICAS
b) Estadística Inferencial. Es el conjunto de métodos posibilitan la generalización
o técnicas
que
o toma de decisiones en base a una
información parcial obtenida mediante técnicas descriptivas, es la exposición de predicciones y toma de decisiones. El objetivo de la Inferencia Estadística es hacer afirmaciones sobre la población basadas en la información disponible en la muestra.
Predicción ó Probabilidad Estimación de parámetros. Toma de decisiones.
Variables y sus clasificaciones.
Los datos estadísticos
son números que representan objetos concretos,
cantidades o medidas, como ser peso de una persona, número de alumnos, etcétera, los cuales permiten contarlos y medirlos. Las unidades estadísticas son todos los elementos componentes de la población que son objeto de estudio, por ejemplo en el Censo de población la unidad estadística que es objeto de estudio es la persona.
Las variables se pueden representar con letras como ser X,Y,, ..,Z; por ejemplo se quiero representar la edad de varias personas se realiza de la siguiente forma.
X: edad de la persona x1 = 20, x2 = 10, x3 = 19, x4 = 15, ………, xn=21
a) Variables Cualitativas. Son aquellas que no son medibles, que representan las cualidades de lo que se está estudiando, como ser sexo, religión, estado civil, nivel de instrucción.
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MATEMATICAS
Cualitativas Nominal. Los elementos solo pueden ser clasificados en categorías, pero no se da un orden o jerarquía, pueden ser color de los ojos, barrio de residencia, etcétera. Cualitativas Ordinal. Son elementos que pueden ser clasificados en categorías que tienen un orden o jerarquía, la diferencia entre valores no se pueden realizar o no son significativas, por ejemplo grado de estudio, cargo en una empresa, etcétera.
b) Variables Cuantitativas. Son aquellas que son medibles o numeradas y se caracterizan por que pueden ser cuantificables y a su vez pueden ser: Ejemplo: Edad – Precio de un producto – ingreso mensual – estatura – peso, etc. X = Edad del Individuo
Cuantitativas Discretas. Los discretos son datos puntuales que a simple pregunta se obtiene una respuesta, pueden ser la edad, números de hijos, etcétera. Cuantitativas Continuas. Son datos que se encuentran dentro de un intervalo para reducir la cantidad de inversiones como ser ingreso, estatura, etcétera. Población y Muestra. a) Población (N). Para la estadística población es algo mas general que solo la agrupación de individuos, es el conjunto de cosas, animales, etc. que poseen algunas características en común y que conforman la totalidad de lo que se estudia.
b) Muestra (n). Es un
subconjunto
de la población
total
la cual debe ser
representativa, la cual sirve para estudiar a toda la población que es representada por ella, por lo tanto la muestra siempre es menor que la población.
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MATEMATICAS
Construcción de tablas de Frecuencias. Después de realizar una encuesta, el primer paso que se debe dar es ordenar, clasificar a los datos de una forma simple, obtener conclusiones útiles ya sea directamente o por cálculos posteriores con la finalidad de hacer un análisis más confiable de los mismos para lo cual se realizan los siguientes pasos:
1. Revisión y corrección de los datos encuestados 2. Construcción de tablas de frecuencia 3. Representación tabular, cuadros estadísticos o gráficos 4. Interpretación de datos
Datos No Agrupados Son aquellos datos que normalmente son escasos, para la cual solo se los ordena de manera creciente anotando las veces que aparece cada datos observado.
Ejemplo. Se obtuvieron 10 notas de estudiantes de su primer parcial sobre 25 puntos de la materia de estadística y se quiere construir la tabla de frecuencias de las siguientes notas:
16
18
11
19
16
24
23
16
11
18
19
23
24
Obteniendo datos iniciales: Número de datos(n)= 10 ni= Notas de primer parcial Por ser escasos los datos la tabla de frecuencias será: Primero se ordenan los datos de manera ascendente 11
11
16
16
16
18
18
Se puede observar que los datos se pueden agrupar de acuerdo a la cantidad de repeticiones.
ni
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CURSO PRE-FACULTATIVO 2012 16 18 11 19 16 24 23 16 11 18
Notas 11 16 18 19 23 24
MATEMATICAS
ni 2 3 2 1 1 1
Datos Agrupados Son aquellos datos para los cuales se construye una tabla de frecuencias obteniendo el rango, número de intervalos, ancho de clase y frecuencias. a) Rango o Recorrido(R). Permite averiguar el rango o diferencia que existen entre los datos encuestados para lo cual se halla el dato máximo y mínimo de los observados. R = máximo xi – minino xi b) Número de Intervalos (K). Él número de intervalos proporciona la cantidad de subconjuntos que agrupa a los datos o cantidad de filas que tendrá la tabla de frecuencias. n= número de datos observados
c) Ancho de Clase (C). Indica cuantos valores se tomaron en cada clase los cuales deben redondearse
a un número entero
en caso que el resultado sea real.
d) Frecuencia Absoluta (ni). Se llama frecuencia absoluta a los valores que se obtienen en la encuesta los cuales están agrupados en cada intervalo.
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MATEMATICAS
Ejemplo. Se obtuvieron las notas de 50 estudiantes del anterior semestre de la materia de estadística y se quiere construir la tabla de frecuencias de acuerdo a los siguientes datos: 8
81
74
5
40
36
82
31
30
17
59
46
97
41
47
90
38
75
30
36
16
36
66
95
82
10
77
23
78
92
14
19
1
28
49
62
99
28
29
6
100
96
78
84
37
22
84
100
92
22
Obteniendo datos iniciales: Número de datos(n)= Número Máximo= Número Mínimo= Rango= Numero de Intervalos= Ancho de Clase=
50 100 1 99 7,071≈ 7 14,14≈ 14
Trazar la tabla de frecuencias colocando el Límite Inferior (Li) y Limite Superior (Ls), el numero de filas que tendrá la tabla está determinado por el valor obtenido en el Número de Intervalos = 7, por lo cual tendrá 7 filas Li - Ls
ni
Intervalo 1 Intervalo 2 Intervalo 3 Intervalo 4 Intervalo 5 Intervalo 6 Intervalo 7 El límite inferior se debe comenzar con el dato mínimo y a este valor se le suma el ancho de clase para obtener el límite superior y posteriormente se llena la columna de la frecuencia absoluta (ni) contando el número de notas que existe en cada intervalo Para Límites Reales
Ancho de clase=14 1+14=15 15+14=29 …..
Li - Ls 1 - 15 15 - 29 29 - 43 43 - 57 57 - 71 71 - 85 85 - 100
ni 6 8 11 3 3 10 9
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MATEMATICAS
Para Límites Aparentes
Ancho de clase=14 1+14=15 16+14=30 …..
Li - Ls 1 - 15 16 - 30 31 - 45 46 - 60 61 - 75 76 - 90 91 - 105
ni 6 11 8 4 4 9 8
e) Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni). Esta frecuencia nos permite acumular la frecuencia Absoluta, lo cual implica ir sumando de la siguiente forma: N1= n1 N2= n1+n2 N3= n1+n2+n3 ....... Nk = n1+n2+.……+nk = n f) Frecuencia Relativa (fi). Se llama frecuencia relativa al valor de porcentaje y proporción que ocupa en la muestra un determinado intervalo de datos.
Cuya ∑ será igual a 1
Cuya ∑ será igual a 100 g) Frecuencia Relativa Acumulada (Fi). Esta frecuencia nos permite acumular la frecuencia relativa. F1= f1 F2= f1 + f2 F3 = f1 + f2+ f3 ....... Fk = f1 + f2 +.……+ fk= 1 ó 100
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MATEMATICAS
h) Punto Medio ó Marca De Clase (Xi). Se lo obtiene para el calculo de algunas formulas y obtiene el punto medio de cada intervalo.
Ejemplo. Del ejemplo anterior hallar la frecuencia relativa y absoluta, sus respectivas frecuencias acumuladas y punto medio Li - Ls 1 - 15 16 - 30 31 - 45 46 - 60 61 - 75 76 - 90 91 - 105
ni 6 11 8 4 4 9 8
Ni 6 17 25 29 33 42 50
fi 0,12 0,22 0,16 0,08 0,08 0,18 0,16
Fi 0,12 0,34 0,50 0,58 0,66 0,84 1
fi% 12 22 16 8 8 18 16
Fi% 12 34 50 58 66 84 100
Xi 8 23 38 53 68 83 98
Gráficos Estadísticos Para representar la información de manera grafica se pueden utilizar varios tipos de gráficos estadísticos:
a) Histograma. Es una serie de rectángulos
proporcionales
a la frecuencia
absoluta, para lo cual se usa en el eje horizontal se usa la clase (Limite Inferior y Superior) y en el eje vertical la frecuencia absoluta (ni).
b) Polígono de Frecuencia. Un polígono es un gráfico de línea trazada sobre los puntos medios de los techos de los rectángulos del Histograma o directamente
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MATEMATICAS
graficando en el eje horizontal se usa el punto medio o marca de clase (xi) y en el eje vertical la frecuencia absoluta (ni).
Frecuencia Absoluta (ni)
POLIGONO 20 10 ni
0 0
8
23
38
53
68
83
98
105
Punto Medio o Marca de Clase (Xi)
c) Ojivas. Para graficar en el eje horizontal se usa la clase (Limite Superior) y en el eje vertical una frecuencia acumulada (Ni, Fi, Fi% ), por lo cual el grafico se mostrara la frecuencia de manera creciente.
Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni)
OJIVA 60 40 20
Ni
0 1
15
30
45
60
75
90
105
Limite Superior (Ls)
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MATEMATICAS
Frecuencia Relativa Acumulada (Fi)
OJIVA 1.5 1 0.5
Fi
0 Ls
1
15
30
45
60
75
90
Limite Superior (Ls)
Para realizar la ojiva decreciente se usa una frecuencia acumulada (Ni, Fi, Fi%) pero ordenada al revés para lo cual se coloca al nombre de la frecuencia un apostrofe ( Fi%’, Ni’, Fi’) Li - Ls 1 - 15 16 - 30 31 - 45 46 - 60 61 - 75 76 - 90 91 - 105
ni 6 11 8 4 4 9 8
Ni 6 17 25 29 33 42 50
Ni’ 50 42 33 29 25 17 6
fi 0,12 0,22 0,16 0,08 0,08 0,18 0,16
Fi 0,12 0,34 0,50 0,58 0,66 0,84 1
Fi’ 1 0,84 0,66 0,58 0,50 0,34 0,12
fi% 12 22 16 8 8 18 16
Fi% 12 34 50 58 66 84 100
Fi% 100 84 66 58 50 34 12
Frecuencia Relativa Acumulada en Porcentaje (Fi%')
OJIVA DECRECIENTE 200 100 0
Fi%' 1
15
30
45
60
75
90
105
Limite Superior (Ls)
Frecuencia Absoluta Acumulada (Ni%')
OJIVA DECRECIENTE 100 50 Ni’
0 1
15
30
45
60
75
90
105
Limite Superior (Ls)
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MATEMATICAS
d) Barras. Para graficar en el eje horizontal se usa la clase (Limite Superior) y en el eje vertical la frecuencia absoluta (ni). La característica de este grafico es igual a la des histograma pero las barras separadas una de la otra.
Frecuencia Absoluta (ni)
BARRAS 15 10 5
ni
0 15
30
45
60
75
90
105
Limite Superior (Ls)
e) Torta. Para graficar la torta se debe calcular primero el espacio que ocupa cada clase, para lo cual en la tabla de frecuencias se aumenta una nueva columna para calcular el espacio de cada área, cuya suma de todas las áreas es igual a 360. De manera opcional a los gráficos se puede incluir el porcentaje de ocupa que es simplemente el valor de la frecuencia relativa en porcentaje (fi%).
Li - Ls 1 - 15 16 - 30 31 - 45 46 - 60 61 - 75 76 - 90 91 - 105
ni 6 11 8 4 4 9 8
fi% 12 22 16 8 8 18 16
Ai 43,2 79,2 57,6 28,8 28,8 64,8 57,6
TORTA 16%
22%
18% 8%
12%
15 30 45
8%
16%
60
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MATEMATICAS
Medidas de Tendencia Central Frecuentemente se necesita tener una sola medida de la información esta medida tiene que ser representativa de todas las observaciones que indique la tendencia de los datos. La sumatoria se denota ∑ que implica la agrupación de varios datos del mismo tipo mediante la suma de los mismos de la siguiente forma. xi= Variable que representa a los datos x1, x2, x3, x4,...xn La suma de los datos x1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn La suma de los datos utilizando una sumatoria
a) Media Aritmética o Promedio (
). Los promedios son una medida de posición
que dan una descripción compacta de cómo están centrados los datos y una visualización más clara del nivel que alcanza la variable, pueden servir de base para medir o evaluar valores extremos o raros y brinda mayor facilidad para efectuar comparaciones.
Para datos no agrupados =
x1 + x2 + x3 + x4 + ... + xn -------------------------------n
Para datos agrupados
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MATEMATICAS
b) Mediana (Me). Es el valor de la observación que ocupa la posición central de un conjunto de datos ordenados según su magnitud. Es el valor medio o la media aritmética de los valores medios. Geométricamente la mediana es el valor de la variable que corresponde a la vertical que divide al histograma en dos áreas iguales. Cuando determinados valores de un conjunto de observaciones son muy grandes o pequeños con respecto a los demás, entonces la media aritmética se puede distorsionar y perder su carácter representativo, en esos casos es conveniente utilizar la mediana como medida de tendencia central.
Para datos no agrupados
Para calcular la mediana se debe ordenar los datos en forma ascendente.
i) Cuando n es impar. La mediana será el número que se encuentre en el centro de todos los números. ii) Cuando n es par. La mediana será el promedio de los dos números que se encuentren en el centro Para datos agrupados
Donde: Li = Límite inferior Ni – 1 = Frecuencia Acumulada anterior Ci ó Xi= Ancho de clase ni = Frecuencia de intervalo mediana
c) Moda (Mo). Es el valor de un conjunto de datos que ocurre más frecuentemente, se considera como el valor más típico de una serie de datos. Para datos agrupados se define como Clase Modal el intervalo que tiene más frecuencia.
La moda puede no existir o no ser única, las distribuciones que presentan dos o más máximos relativos se designan de modo general como bimodales o multimodales.
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MATEMATICAS
Para datos no agrupados Es el número o números que más veces se repite Para datos agrupados
Donde: Li = Límite inferior Ci ó Xi = Ancho de clase = ni menos ni-1 = ni menos ni +1
Ejercicios Propuestos 1. En una encuesta se tomo como referencia las ventas de ropas por semana de las diferentes agencias de una tienda. Y se formo la siguiente tabla:
Intervalo de la moda Intervalo de la mediana
Li 2 16 30 44 58 72 86
- Ls - 16 - 30 - 44 - 58 - 72 - 86 - 100
ni 7 7 12 9 4 4 7 50
Ni 7 14 26 35 39 43 50
fi 0,14 0,14 0,24 0,18 0,08 0,08 0,14 1
Fi 0,14 0,28 0,52 0,7 0,78 0,86 1
fi% 14 14 24 18 8 8 14 100
Fi% 14 28 52 70 78 86 100
Xi 9 23 37 51 65 79 93
ni * xi 63 161 444 459 260 316 651 2354
a) Hallar el promedio 2354 = -----------=47,08≈47 50 b) Hallar la mediana Ci =Ls –Li = 58-44=14 = 44 +
50 14 ----- - 26 ---- = 2 9
=44 + (25-26) 1,56 = 44 + (-1) 1,56 = 44 - 1,56 = 42,44 ≈ 42
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MATEMATICAS
c) Hallar la moda = ni - ni-1= 12-7= 5 = ni - ni +1=12-9= 3 Ci =Ls –Li = 44-30 =14 5 = 30 + ------- 14 = 5+3 5 5 = 30 + ------- 14 =30 + -------8 4
35 7 = 30 + ------ = 30 + 8,75 = 38,75 ≈ 39 4
2. Se tomo una muestra a 12 personas a las cuales se les pregunto cuantas veces se resfriaron en este invierno: 6 2
8 3
5 8
5 4
0 3
6 8
a) Construir su tabla de frecuencias ni 6 8 5 5 0 6 2 3 8 4 3 8 b) Graficar las barras
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Número de Veces de resfrios 10 8 6 ni
4 2 0 6
8
5
5
0
6
2
3
8
4
3
8
c) Calcular las medidas de tendencia central Promedio 6+8+5+5+0+6+2+3+8+4+3+8 58 = ------------------------------------------ = -------- = 4,83 ≈ 5 12 12 Mediana Se ordenan los datos de manera ascendente, y como la cantidad de datos es par (12) se debe obtener el promedio de los dos números del centro. xi 0 2 3 3 4 5 5 6 6 8 8 8
5+5 Me = --------- = 5 2
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Moda xi 0 2 3 3 4 5 5 6 6 8 8 8
Mo = 8
3. Calcular el promedio de la siguiente tabla Li 0 14 28 42 56 70 84
-
Ls 14 28 42 56 70 84 98
ni 6 6 11 4 3 10 10
Completando la tabla Li 0 14 28 42 56 70 84
-
Ls 14 28 42 56 70 84 98
ni 6 6 11 4 3 10 10 50
xi 7 21 35 49 63 77 91
xi * ni 42 126 385 196 189 770 910 2618
2618 = -----------=52,36≈52 50
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4. Indicar cuál es el intervalo de la mediana y de la moda indicando el porque
Li - Ls
ni
Intervalo 1 Intervalo 2 Intervalo 3 Intervalo 4 Intervalo 5 Intervalo 6 Intervalo 7 El intervalo de la mediana será el intervalo 4 ya que se encuentra al centro de todos los intervalos.
Para la moda se debe conocer el valor de la frecuencia absoluta y el intervalo(s) será el que tiene la frecuencia mayor. 5. De la siguiente tabla graficar la torta Li - Ls 0 - 14 14 - 28 28 - 42 42 - 56 56 -70 70 - 84 84 - 98
ni 6 8 6 8 4 7 5
Completando los datos Li - Ls 0 - 14 14 - 28 28 - 42 42 - 56 56 -70 70 - 84 84 - 98
ni 6 8 6 8 4 7 5
Ai 49 65 49 65 33 57 41
44
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0 - 14 14 - 28 28 - 42 42 - 56 56 - 70 70 - 84 84 - 98
6. Se realizo una encuesta a 80 personas que están escritas en una materia de la universidad de decimo semestre, a los cuales se les pregunto la edad que tienen: 30 32 24 34 30 25 36 26 a) b) c) d)
31 23 25 40 25 32 26 33
31 40 26 29 34 27 31 25
24 35 33 28 39 32 40 33
36 38 38 35 27 28 34 26
37 30 33 37 27 36 31 33
30 23 29 33 23 40 31 28
40 37 23 28 24 26 28 36
35 26 32 36 26 29 40 40
35 23 29 37 23 40 34 31
Construir su tabla de frecuencias Graficar las barras y torta Calcular las medidas de tendencia central Interpretar los resultados
7. Un grupo de fábricas de constructoras invierten en miles de dólares en una determinada ciudad a objeto de ampliar su mercado en el rubro de construcción. 27 0 15 8 27 10 a) b) c) d) e) f) g)
22 40 2 7 19 0
26 1 12 38 30 17
14 14 13 5 9 10
0 28 36 18 37 25
38 37 5 7 22 27
8 3 23 8 26 20
35 6 22 12 40 8
12 26 27 17 20 25
9 26 5 16 14 15
Construir su tabla de frecuencias Calcular las frecuencias relativas y absolutas Calcular las frecuencias absolutas y relativas acumuladas Indicar cuál es el valor más significativo y menos significativo Graficar las barras, ojivas y torta Calcular las medidas de tendencia central Interpretar los resultados
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8. A partir de los siguientes datos:
a) b) c) d) e) f)
Calcular las frecuencia relativa Calcular las frecuencias acumuladas Indicar cuál es el valor más significativo y menos significativo Graficar las barras, ojivas y torta Calcular las medidas de tendencia central Interpretar los resultados
9. Completar los datos de la siguiente tabla Li - Ls 3-5 6 - 10 11 – 17 18 – 24 25 – 31 32 - 40
ni 8
Ni 8 23
fi
Fi
0,225 0,200 70
0,875
80 10. Clasifica las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas VARIABLE
CUALITATIVA CUANTITATIVA NOMINAL ORDINAL CONTINUA DISCRETA
Edad de personas Forma de pago al realizar una compra Estado civil Número de habitaciones por casa Salario mensual percibido por los empleados Marcas de Automóviles Grado de estudio de las personas Número de acciones vendidas Censos anuales del estudiantes Longitud de cerrojos producidos en una fábrica Peso de una persona al nacer
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Predicción de las ganancias por acción
11. De los siguientes datos calcular el promedio 1327 1601 1254 874 1636 1427 1661 893 984 a) 1296
b) 1295,22
c) 1290
d) 1294
e) 1293,22
12. De la siguiente tabla indicar cuándo es el valor correspondiente a la frecuencia absoluta 5 (n5)
a) 7
Li - Ls
ni
0 - 13 13 - 26 26 – 39 39 – 52 52 – 65 65 - 78 78 - 91
4 5 7 12
b) 8
Ni 9 28 36 43 50
7
c) 4
d) 6
e) 5
13. Se tomo una muestra de estudiantes a los cuales se les pregunto cuántos hijos desean tener en el futuro, y de los datos se obtuvo las modas de un total de: 4 2
3 3
a) No Hay moda Trimodal
6 5
1 3
4 4
b) Una moda
0 2
0 4
6 4
c) Bimodal
d) Multimodal
e)
14. De los siguientes datos calcular la mediana
11 a) 9
13 b) 10
9 c) 11
10
13 d) 12
14
13 e) 13
15. De los siguientes notas se quiere construir su tabla de frecuencias y se para lo cual se quiere averiguar cuánto es el Ancho de Clase
a) 12
b) 10
c) 14
d) 13
e) 13,5
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GLOSARIO Conjunto. Colección de objetos que tienen una característica particular. Elementos. Objeto que pertenece a un conjunto. Conjunto unitario. Conjunto que tiene como un solo elemento. Conjunto Finito. Es aquel del cual se conoce tanto el primer como el último de sus elementos. Conjunto Infinito. Se dice que un conjunto es infinito cuando los elementos del conjunto no se pueden terminar de contar. Conjunto Universo. Es el conjunto formado por todos los elementos de un cierto tipo y se denota por Conjunto Vacío. Conjunto nulo, es el conjunto que no contiene ningún elemento y es denotado por la letra griega Ø ó { }. Algebra. Rama de las matemáticas que estudia las operaciones, como las sumas, restas, multiplicación y división de conjuntos de números mediante números y letras. Expresión algebraica. Conjunto de letras, números y signos que indican una serie de operaciones. Constante. Magnitud que tiene un valor y no cambia. Polinomio. Dos o más expresiones algebraicas (con diferente parte literal) que se están sumando o restando. Variable.- Magnitud que cambia de valor. COEFICIENTE:
El
coeficente
de
un
monomio
es
el
número
que
aparecemultiplicando a las variables. FACTOR: Uno de los números, las variables, o las expresiones que se multiplican para obtener un producto. FACTOR COMUN: Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor. FACTOR COMUN POLINOLIO: Sacar factor común a un polinomio consiste en
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aplicar la propiedad distributiva. FACTORIZACION: Proceso de re-escribir una expresión como producto de factores. MAXIMO COMUN DIVISOR: El MCD de dos o más factores es igual al producto de sus factores primos comunes en su menor exponente. MINIMO COMUN MULTIPLO: El mcm de dos o más factores es igual al producto de sus factores primos comunes en su mayor exponente. NUMEROS PRIMOS: Son aquellos que tienen sólo dos dividores: la unidad y el mismo número. POLINOMIOS: Suma de términos que tienen exponentes enteros positivos. TERMINO
SEMEJANTES:
Los términos semejantes de una expresión
algebraica son los monomios que tienen el mismo grado. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado Estadística.- Ciencia que proporciona un conjunto de métodos que se utiliza para recolectar, resumir y clasificar el comportamiento de los datos. Estadística Descriptiva. Describe un conjunto de datos de tal forma que se puedan ver las tendencias, normas y se pueda dibujar gráficos. Estadística Inferencial. Es el conjunto de métodos o técnicas que posibilitan la generalización o toma de decisiones en base a una información parcial obtenida mediante técnicas descriptivas. Variables Cualitativas. Son aquellas que no son medibles, que representan las cualidades de lo que se está estudiando. Variables Cuantitativas. Son aquellas que son medibles o numeradas y se caracterizan por que pueden ser cuantificables. Variables Cualitativas Nominales. Variables que pueden ser clasificados en categorías, pero no se da un orden o jerarquía. Variables Cualitativas Ordinales. Son elementos que pueden ser clasificados en categorías que tienen un orden o jerarquía.
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Variables Cuantitativas Discretas. Los discretos son datos puntuales que a simple pregunta se obtiene una respuesta, pueden ser la edad, números de hijos, etcétera. Variables Cuantitativas Continuas. Son datos que se encuentran dentro de un intervalo.
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