BAB I PENDAHULUAN
Akar pangkat dua
Diukur waktu jatuhnya bola baja kecil jatuh dari berbagai ketinggian. Data menunjukkan kesesuaian dengan waktu jatuh prediksi
, Di mana h adalah
tinggi dan g adalah percepatan perce patan gravitasi.
Dalam matematika , akar kuadrat dari angka yang angka yang merupakan merupakan nilai y sehingga y sehingga y =
2,
atau, dengan kata lain, sejumlah y sejumlah y yang persegi yang persegi (hasil perkalian angka dengan sendirinya, atau y atau y × y) adalah.
[1]
Sebagai contoh, 4 adalah akar kuadrat dari 16,
2
karena 4 = 16.
Setiap non-negatif bilangan non-negatif bilangan real memiliki akar non-negatif yang unik persegi, yang disebut akar kuadrat utama, yang dilambangkan dengan
, Di mana √ disebut
tanda radikal atau radikal atau radix. Misalnya, akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dilambangkan
2
, Karena 3 = 3 × 3 = 9 dan 3 adalah non-negatif. Istilah yang memiliki akar sedang dipertimbangkan dikenal sebagai radicand tersebut. Radicand adalah jumlah atau ekspresi di bawah tanda radikal, dalam contoh 9.
Setiap angka positif memiliki dua akar kuadrat: negatif. Bersama-sama, kedua akar dilambangkan
, Yang positif, dan
, Yang
(Lihat singkat ± ). Meskipun
akar kuadrat utama dari suatu bilangan positif hanya satu dari dua akar kuadrat, penunjukan "akar kuadrat" sering digunakan untuk merujuk pada akar kuadrat utama. Untuk positif a, akar kuadrat utama juga dapat ditulis dalam eksponen notasi, sebagai 1/2. [2]
Akar kuadrat dari angka negatif dapat dibahas dalam kerangka bilangan kompleks . Secara umum, akar kuadrat dapat dipertimbangkan dalam konteks di mana gagasan "mengkuadratkan" dari beberapa obyek matematika didefinisikan (termasuk algebras dari matriks , cincin endomorfisma , dll)
Akar kuadrat positif seluruh nomor yang tidak kuadrat sempurna selalu bilangan irasional : nomor tidak dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat (artinya mereka tidak dapat ditulis persis seperti m / n, di mana m dan n adalah bilangan bulat). Ini adalah teorema Euclid X, 9 hampir pasti karena Theaetetus dating kembali ke sekitar tahun 380 SM.
[3]
Kasus tertentu
diasumsikan tanggal kembali lebih
awal ke Pythagorean dan secara tradisional dikaitkan dengan Hippasus . Ini adalah persis panjang diagonal dari sebuah persegi dengan panjang sisi 1.
BAB II ISI
A.PENGERTIAN AKAR KUADRAT Akar kuadrat
Di dalam matematika, akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r 2
sedemikian sehingga r = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadrat kan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x.
Setiap bilangan real tak-negatif, katakanlah x memiliki akar kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebut akar kuadrat utama , yang dilambangkan oleh akar ke-n sebagai 1/2
. Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasi eksponen, sebagai x . Misalnya, akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dituliskan dengan
2
, karena 3 = 3
× 3 = 9 dan 3 tak-negatif. Bagaimanapun, akar kuadrat utama dari sebuah bilangan positif hanya satu dari dua akar kuadratnya.
Setiap bilangan positif x memiliki dua akar kuadrat. Salah satunya adalah yang bernilai positif, sementara yang lainnya adalah
, yakni
, yakni yang bernilai
negatif. Kedua-dua akar kuadrat itu dilambangkan dengan
. Akar kuadrat dari
bilangan negatif dibahas di dalam kerangka kajian bilangan kompleks. Lebih umum
lagi, akar kuadrat dapat dipandang dari beraneka konteks di mana notasi "penguadratan" beberapa objek matematika didefinisi (termasuk aljabar matriks, gelanggang endomorfisma, dll).
Akar kuadrat dari bilangan bulat yang bukan merupakan kuadrat sempurna adalah selalu bilangan irasional (disebut juga bilangan takrasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat. Misalnya,
tidak dapat
dituliskan secara tepat oleh m/n, di mana n dan m adalah bilangan bulat. Meskipun demikian, ia adalah nilai yang pasti dari panjang diagonal sebuah persegi yang panjang sisinya sama dengan 1. Kejadian ini telah dikenal sejak zaman kuno, dengan ditemukannya bahwa
adalah irasional oleh Hippasus, murid dari Pythagoras.
( Lihat Akar kuadrat dari 2 untuk membuktikan ketakrasionalan bilangan ini dan irasional kuadrat untuk membuktikan semua bilangan asli yang bukan kuadrat )
Radikan adalah bilangan atau penyajian matematika di bawah tanda akar. Di dalam
penyajian
, ab + 2 adalah radikan.
B.ASAL USUL AKAR KUADRAT
Sifat
Grafik fungsi
, menghasilkan setengah parabola dengan irisan kerucut
vertikal.
Fungsi akar kuadrat utama
(biasanya hanya disebut sebagai "fungsi akar +
kuadrat") adalah fungsi yang memetakan himpunan bilangan real taknegatif R
∪
{0}
kepada himpunan itu sendiri, dan, seperti semua fungsi, selalu memiliki nilai balikan yang tunggal. Fungsi akar kuadrat juga memetakan bilangan rasional ke dalam bilangan aljabar (adihimpunan bilangan rasional);
adalah rasional jika dan hanya
jika x adalah bilangan rasional yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua kuadrat sempurna. Di dalam istilah geometri, fungsi akar kuadrat memetakan luas dari persegi kepada panjang sisinya.
Untuk setiap bilangan real x
(lihat nilai mutlak)
Untuk setiap bilangan real taknegatif x dan y,
and
Fungsi akar kuadrat adalah kontinu untuk setiap bilangan taknegatif x dan terdiferensialkan untuk setiap bilangan positif x. Turunannya diberikan oleh
Deret Taylor dari √1 + x di dekat x = 0 konvergen ke | x | < 1 dan diberikan oleh
Komputasi Sebagian besar mesin hitung memiliki tombol akar kuadrat. Lembar kerja komputer dan perangkat lunak lainnya juga seringkali digunakan untuk menghitung akar kuadrat. Program perangkat lunak komputer biasanya menerapkan rutin (perulangan) yang baik untuk menghitung fungsi eksponensial dan logaritma natural atau logaritma, dan kemudian menghitung akar kuadrat dari x menggunakan identitas
or
Identitas yang sama dieksploitasi ketika menghitung akar kuadrat den gan tabel logaritma atau slide rule.
Metode iteratif penghitungan akar kuadrat yang paling biasa dilakukan oleh tangan dikenal sebagai "Metode Babilonia" atau "Metode Heron" dinamai demikian untuk menghargai filsuf Yunani Kuno Heron dari Iskandariyah yang pertama memaparkan [1]
metode ini.
Metode ini melibatkan algoritma sederhana, yang menghasilkan suatu
bilangan yang semakin mendekati nilai akar kuadrat sebenarnya tiap kali perulangan dilakukan. Untuk menentukan r , akar kuadrat dari bilangan real x:
1. Mulakan dengan nilai pemulai positif sembarang r (semakin dekat ke akar kuadrat x, semakin baik).
2. Ganti r dengan rata-rata antara r dan x/r , yaitu:
(Adalah cukup
untuk mengambil nilai hampiran dari rata-rata itu untuk memastikan konvergensi.) 3. Ulangi langkah ke-2 hingga r dan x/r cukup dekat dengan nilai yang diharapkan.
Kompleksitas waktu untuk menghitung akar kuadrat dengan n angka ketelitian setara dengan perkalian dua bilangan yang memiliki n-angka.
Perhitungan Kebanyakan kalkulator saku memiliki kunci akar kuadrat. Komputer spreadsheet dan lainnya software juga sering digunakan untuk menghitung akar kuadrat. Kalkulator saku biasanya menerapkan rutinitas efisien untuk menghitung fungsi eksponensial dan logaritma natural atau logaritma , dan menggunakannya untuk menghitung akar kuadrat dari bilangan real positif yang menggunakan identitas
atau
Identitas yang sama dimanfaatkan ketika menghitung akar kuadrat dengan tabel logaritma atau mistar .
Yang paling umum metode iteratif perhitungan akar kuadrat dengan tangan yang dikenal sebagai " metode Babilonia "atau" metode Heron "setelah filsuf abad pertama
Yunani Heron dari Alexandria , yang pertama kali menggambarkannya.
[4]
Metode ini
menggunakan skema iteratif yang sama sebagai Newton-Raphson hasil bila diterapkan pada fungsi pada setiap titik adalah
, Menggunakan fakta bahwa kemiringannya , Tapi mendahului dengan berabad-abad.
[5]
Ini melibatkan algoritma sederhana, yang menghasilkan sejumlah lebih dekat dengan akar kuadrat yang sebenarnya setiap kali diulang. Ide dasarnya adalah bahwa jika x adalah melebih-lebihkan dengan akar kuadrat dari sejumlah non-negatif nyata maka akan menjadi meremehkan dan sehingga rata-rata dari dua angka wajar dapat diharapkan untuk memberikan pendekatan yang lebih baik (meskipun bukti formal dari pernyataan yang tergantung pada ketimpangan sarana aritmatika dan geometris yang menunjukkan rata-rata ini selalu melebih-lebihkan dari akar kuadrat , seperti yang tercantum di bawah ini , sehingga menjamin konvergensi). Untuk mencari x:
1. Mulailah dengan nilai awal yang positif sewenang-wenang x (lebih dekat dengan akar kuadrat dari, iterasi lebih sedikit akan dibutuhkan untuk mencapai presisi yang diinginkan). 2. Ganti x oleh rata-rata antara x dan a / x, yaitu: Newton-Raphson
, Mewakili metode
mengakibatkan
(Hal ini cukup untuk mengambil nilai perkiraan rata-rata untuk memastikan konvergensi )
1. Ulangi langkah 2 sampai x dan a / x sedekat yang diinginkan.
Jika positif, konvergensi adalah "kuadratik," yang berarti bahwa dalam mendekati batas, jumlah digit yang benar kira-kira dua kali lipat dalam setiap iterasi berikutnya. Jika a = 0, konvergensi ini hanya linear.
Menggunakan identitas
perhitungan akar kuadrat dari angka positif dapat dikurangi dengan yang nomor dalam jangkauan, [1 4). Ini menyederhanakan menemukan nilai awal untuk metode iteratif yang dekat dengan akar kuadrat, yang merupakan polinomial atau piecewiselinear pendekatan dapat digunakan.
The kompleksitas waktu untuk menghitung akar kuadrat dengan digit n presisi setara dengan yang mengalikan dua n-digit angka.
Metode lain yang berguna untuk menghitung akar kuadrat adalah algoritma akar Pergeseran n , diterapkan untuk
.
Square akar dari sebuah bilangan imajiner
Alun-alun akar i dalam bidang kompleks
Akar kuadrat dari i diberikan oleh
Hasil ini dapat diperoleh secara aljabar dengan mencari b dan sedemikian rupa sehingga
atau ekuivalen
Ini memberikan dua persamaan simultan
dengan solusi
Pemilihan akar utama kemudian memberikan
Hasilnya juga dapat diperoleh dengan menggunakan rumus de Moivre ini dan pengaturan
yang memproduksi
C.CONTOH AKAR KUADRAT
1. Faktorkanlah !! »
2. Faktorkanlah !!
3. Uraikanlah atas Faktor - faktor :
4.
5. x ( x + 1 ) = x ( 2x - 3)
x2 + x = 2x2 - 3x x2 - 4x = 0 x(x-4)=0 x = 0 atau x = 4
Pada contoh penyelesaian diatas dijelaskan bahwa x ditunkan terlebih dahulu, sehingga membentuk x kuadrat atau x2 dan berpindah ruas. Catatan 2 sama dengan kuadrat.
6.
( x2 + 2 ) ( x + 2 ) = ( x2 + 2 ) ( 2x - 1 ) ( x + 2 ) = ( 2x - 1 ) x=3
Pada kasus penyelesaian diatas digunakan cara eliminasi, yaitu menghilangkan faktor yang sama seperti x2 + 2 pada ruas kiri dan x2 + 2 pada ruas kanan yang dihilangkan karena bersifat positif. Sehingga hasil penurunanya adalah ( x + 2 ) = ( 2x - 1) sehingga x bernilai 3.
7.
Cara faktorisasi. Cara ini cukup menarik dan t aktis.
Misal, berpakah akar dari 64?
Maka 64 = 2×32 = 2x2x16 = 4×16 Maka akar 64 = akar 4 x akar 16 =2x4 = 8 (Selesai).
8.
Misal, berapa akar dari 72? Maka 72 = 9×8 = 9x4x2 Jadi akar 72 = 3x2x akar 2 = 6akar2 = 6√2.
9.
Tentukan himpunan penyelesaian atau akar-akar persamaan 9x2-16=0 jika x variabel pada himpunan bilangan real.
Jawab :
9x2-16=0
(3x)2-42=0
(3x+4)(3x-4)=0
3x=-4 atau3x=4
x=-4/3 atau x=4/3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4/3,4/3}
10.
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat 2x2-5x-3=0 jika x variabel pada himpunan bilangan real.
Jawab :
Dua bilangan yang jumlahnya -5 dan hasil kalinya 2x(-3)=-6 adalah 1 dan -6 sehingga diperoleh 2x2-5x-3=0
(2x+1)(2x-6)=0
2x+1=0 atau 2x-6=0
x=-1/2 atau x=3
jadi, himpunan penyelesaian adalah {-1/2,3}.
BAB III PENUTUP Sebuah akar kuadrat dapat dibangun dengan kompas dan sejajar. Dalam karyanya Elements , Euclid ( . fl 300 SM) memberikan pembangunan mean geometrik dari dua kuantitas di dua tempat yang berbeda: Proposisi II.14 dan Proposisi VI.13 . Karena rata-rata geometrik dari a dan b adalah
, Seseorang dapat membangun
hanya
dengan mengambil b = 1.
Konstruksi ini juga diberikan oleh Descartes dalam bukunya La Géométrie , lihat gambar 2 pada halaman 2 . Namun, Descartes membuat klaim tidak ada orisinalitas dan pendengarnya akan menjadi cukup akrab dengan Euclid.
Bukti kedua Euclid dalam Buku VI tergantung pada teori segitiga yang sama . Biarkan AHB menjadi segmen garis panjang + b dengan AH = dan HB = b. Buatlah lingkaran dengan diameter AB sebagai dan membiarkan C menjadi salah satu dari dua persimpangan dari akord tegak lurus di H dengan lingkaran dan menandakan CH panjang sebagai h. Kemudian, dengan menggunakan Thales 'teorema dan seperti dalam bukti Pythagoras 'teorema oleh segitiga yang sama , segitiga AHC mirip dengan segitiga CHB (karena memang keduanya ke segitiga ACB, meskipun kita tidak perlu itu, tapi itu adalah inti dari bukti teorema Pythagoras ') sehingga AH: CH adalah sebagai HC: HB yaitu
dari mana kita menyimpulkan dengan silang-
perkalian yang
dan akhirnya bahwa
. Catatan lebih lanjut bahwa jika
Anda adalah untuk menandai titik tengah O segmen garis AB dan menarik jari-jari OC panjang
maka jelas OC> CH yaitu
(Dengan kesetaraan
kapan dan hanya jika a = b), yang merupakan aritmatika-geometri kesenjangan ratarata untuk dua variabel dan, seperti disebutkan di atas , adalah dasar dari Yunani Kuno pemahaman "metode Heron".
Metode lain konstruksi geometris menggunakan hak segitiga dan induksi : tentu saja, akan dibangun, dan sekali dan
bisa,
telah dibangun, segitiga siku-siku dengan 1
untuk kaki yang memiliki sisi miring dari
. The Spiral of Theodorus
dibangun menggunakan akar kuadrat berturut-turut dengan cara ini.
