STATISTIKA NON-PARAMETRIK
UJI CHI KUADRAT Pengujian Hipotesis Deskriptif untuk 1 Sampel
Oleh :
Suci Barlian Sari
(H12115025)
Melly Amelia
(H12115009)
UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang karena anugerah dari-Nya kami dapat menyelesaikan makalah ini. Sholawat dan salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan besar kita, yaitu Nabi Muhammad SAW yang telah menunjukkan kepada kita jalan yang lurus berupa ajaran agama Islam yang sempurna dan menjadi anugerah serta rahmat bagi seluruh alam semesta. Penulis sangat bersyukur karena telah menyelesaikan makalah yang menjadi tugas Statistika Non-Parametrik dengan judul "UJI CHI KUADRAT" . Disamping itu, kami mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kami selama pembuatan makalah ini berlangsung sehingga terealisasikanlah makalah ini. Demikian yang dapat kami sampaikan, semoga makalah ini bisa bermanfaat dan jangan lupa ajukan kritik dan saran terhadap makalah ini agar kedepannya bisa diperbaiki.
Makassar, Februari 2017
Penyusun
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ...........................................................................................
i
DAFTAR ISI .......................................................................................................
ii
BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Masalah ......................................................................
1
1.2
Rumusan Masalah ..................................................................................
1
1.3
Tujuan ...................................................................................................
1
BAB II PEMBAHASAN 2.1
Defenisi Chi-Kuadrat..............................................................................
2
2.2
Manfaat Chi-Kuadrat...............................................................................
3
a) Uji beda frekuensi yang diamati dan diharapkan................................
4
b) Uji kebebasan ( independensi) dua faktor...........................................
6
c) Uji Distribusi Populasi dengan Distribusi Sampel..............................
10
BAB III PENUTUP 3.1
Kesimpulan..............................................................................................
13
DAFTAR PUSTAKA...........................................................................................
14
2
BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Sebagaimana telah sering dilihat, hasil-hasil yang diperoleh dalam sampel tidak tepat sama dengan hasil-hasil yang secara teoritis diharapkan sesuai dengan aturanaturan abilitas. Misalnya, meskipun menurut pertimbangan – pertimbangan teoritis kita dapat mengharapkan 50 kali ”angka” dan 50 kali ”gambar” jika sebuah mata uang yang seimbang dilemparkan sebanyak 100 kali, namun dari hasilnya yang demikian jarang diperoleh secara tepat. Andaikan bahwa dalam suatu sampel tertentu suatu himpunan kemungknan peristiwa E1, E2, ... , Ek tampak terlihat dengan frekuensi-frekuensi o1, o2, ... , ok yang disebut frekuensi yang diamati dah bahwa menurut aturan-aturan probabilitas peristiwaperistiwa diharapkan terjadi menurut frekuensi-frekuensi e 1, e2, ... , ek yang disebut frekuensi yang diharapkan. (perhatikan tabel 1.1) Peristiwa E1 E2 .... Frekuensi yang o1 o2 .... diamati Frekuensi yang e1 e2 .... diharapkan Tabel 1.1 Seringkali kita ingin mengetahui apakah frekuensi
Ek ok ek yang diobservasi berbeda
secara signifikan dari frekuensi yang diharapkan. Untuk kasus dimana hanya ada dua peristiwa maka dapat diselesaikan dengan metode chi-kuadrat. Chi-kuadrat adalah salah satu jenis uji komparatif non parametris yang dilakukan pada dua variabel, di mana skala data kedua variabel adalah nominal. (Apabila dari 2 variabel, ada 1 variabel dengan skala nominal maka dilakukan uji chi square dengan merujuk bahwa harus digunakan uji pada derajat yang terendah). 1.2 RUMUSAN MASALAH 1. Apakah pengertian dari Chi-kuadrat? 2. Apakah manfaat dari distribusi chi-kuadrat? 1.3 TUJUAN 1. Untuk mengetahui pengertian dari Chi-Kuadrat. 2. Untuk mengetahui manfaat dari distribusi chi-kuadrat. BAB II PEMBAHASAN
1
2.1 DEFINISI CHI-KUADRAT Chi-kuadrat adalah teknik analisis komprasional yang mendasarkan diri pada perbedaan frekuensi data yang sedang diobservasi (Sudijono: 2008). Suatu ukuran mengenai perbedaan yang terdapat antara frekuensi yang di observasi dengan frekuensi 2 yang diharapkan disebut chi-kuadrat ( X ) . Chi-kuadrat dapat ditentukan oleh:
2
X=
( o 1−e 1 ) e1
2
+
( o 2−e 2 ) e2
2
+…+
( ok −ek ) ek
2
k
=∑ i =1
( o i−e i )
2
ei
(Tejo Dwi: 1993) Nilai ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai ² selalu positif. Bentuk distribusi ² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom. Perhatikan table 2.1 Table 2.1: Nilai Chi-Kuadrat
1 2 3 4 5
Taraf Signifikansi 50% 30% 0.455 1.074 0.139 2.408 2.366 3.665 3.357 4.878 4.351 6.064
20% 1.642 3.219 4.642 5.989 7.289
10% 2.706 3.605 6.251 7.779 9.236
5% 3.481 5.591 7.815 9.488 11.070
1% 6.635 9.210 11.341 13.277 15.086
6 7 8 9 10
5.348 6.346 7.344 8.343 9.342
7.231 8.383 9.524 10.656 11.781
8.558 9.803 11.030 12.242 13.442
10.645 12.017 13.362 14.684 15.987
12.592 14.017 15.507 16.919 18.307
16.812 18.475 20.090 21.666 23.209
11 12 13 14 15
10.341 11.340 12.340 13.332 14.339
12.899 14.011 15.19 16.222 17.322
14.631 15.812 16.985 18.151 19.311
17.275 18.549 19.812 21.064 22.307
19.675 21.026 22.368 23.685 24.996
24.725 26.217 27.688 29.141 30.578
16 17 18 19 20
15.338 16.337 17.338 18.338 19.337
18.418 19.511 20.601 21.689 22.775
20.465 21.615 22.760 23.900 25.038
23.542 24.785 26.028 27.271 28.514
26.296 27.587 28.869 30.144 31.410
32.000 33.409 34.805 36.191 37.566
21 22 23 24
20.337 21.337 22.337 23.337
23.858 24.939 26.018 27.096
26.171 27.301 28.429 29.553
29.615 30.813 32.007 33.194
32.671 33.924 35.172 35.415
38.932 40.289 41.638 42.980
dk
2
25
24.337
28.172
30.675
34.382
37.652
44.314
26 27 28 29 30
25.336 26.336 27.336 28.336 29.336
29.246 30.319 31.391 32.461 33.530
31.795 32.912 34.027 35.139 36.250
35.563 36.741 37.916 39.087 40.256
38.885 40.113 41.337 42.557 43.775
45.642 46.963 48.278 49.588 50.892
Berapa nilai ² untuk db = 5 dengan = 0.010? (15.0863) Berapa nilai ² untuk db = 17 dengan = 0.005? (35.7185)
Contoh :
Pengertian pada Uji ² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah penolakan
H0
atau taraf nyata pengujian
Perhatikan gambar berikut :
: luas daerah penolakan
H0
= taraf nyata pengujian
+
0
2.2 MANFAAT CHI KUADRAT Beberapa manfaat dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain : a) Untuk menguji apakah frekuensi yang diamati berbeda secara signifikan dengan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan. b) Untuk menguji kebebasan (independensi antar faktor dari data dalam daftar kontingensi c) Untuk menguji apakah data sampel mempunyai distribusi yang mendekati distribusi teoritis tertentu atau distribusi hipotesis tertentu (distribusi populasi), seperti distribusi binomial, distribusi poisson, dan distribusi normal.
3
a). Uji beda frekuensi yang diamati dan diharapkan Misalkan
kita mempunyai suatu sampel tertentu berupa kejadian A1, A2, A3,
…,Ak yang terjadi dengan frekuensi o1,o2,o3,…,0k, yang disebut frekuensi yang diobservasi (diamati) dan bahwa berdasarkan probabilitas kejadia-kejadian yang diharapkan adalah dengan frekuensi e1,e2,e3, …,ek, yang disebut frekuensi yang diharapkan atau frekuensi teoritis. Dalam hal ini ingin diketahui perbedaan yang signifikan antara frekuensi yang diobservasi dengan frekuensi yang diharapkan Kejadian Frekuensi yang diobservasi Frekuensi yang diharapkan
A1, A2, A3, …,Ak o1,o2,o3,…,0k e1,e2,e3, …,ek
Perbedaan antara frekuensi yang diobservasi dengan yang diharapkan ditentukan sebagai k
χ =∑ 2
( o i−e i )
i=1
2
ei
Jika χ2 = 0, maka frekuensi yang diobservasi dengan frekuensi yang diharapkan adalah tepat sama. Jika χ2>0, maka frekuensi observasi berbeda dengan frekuensi yang diharapkan. Makin besar nilai χ2 , makin besar beda antara frekuensi obsevasi dengan frekuensi yang diharapkan. Frekuensi yang diharapkan dapat dihitung atas dasar hipotesis nol (H0). Langkah-langkah untuk melakukan uji chi-kuadrat, adalah sebagai berikut : 1.
Merumuskan hipotesis yang akan diuji meliputi, H0 dan H1
2.
Menetapkan taraf signifikansi α dan derajat kebebasan nilai kritis a.
χ 2α
θ
untuk memperoleh
dimana :
θ=k−1 , jika frekuensi yang diharapkan dapat dihitung tanpa harus menduga
parameter populasi dengan statistik sampel. b.
θ=k−1−m , jika frekuensi yang diharapkan dapat dihitung hanya dengan menduga parameter populasi sebanyak m dengan taksiran statistik sampel
4
3.
Menentukan statistik uji (statistik hitung) : 2 k ( oi−e i ) 2 χ h=∑ ei i=1
4.
Menyimpulakan apakah menolak atau menerima H0. Tolak H0 jika nilai χ 2h > χ 2α
dan terima H0 jika
χ 2h ≤ χ 2α .
(Supranto:hal 485: 1985) Contoh 1 •
Uji keselarasan dengan frekuensi harapan sama
Contoh Soal: Pemerintah menghendaki bahwa inflasi pada tahun 2014 sebesar 9,5% per tahun. Kota
Inflasi (%)
Data di beberapa kota besar adalah sebagai berikut:
Jakarta
8,08
Dengan data tersebut, tentukan apakah target atau
Bandung
10,97
harapan pemerintah masih sesuai dengan
Semaran
12,56
kondisi sebenarnya dengan taraf nyata 5%!
g Surabaya
7,15
Denpasar
12,49
Penyelesaian : -
Menentukan hipotesis
Ho : tidak ada perbedaan antara nilai observasi dengan nilai harapan H1
: ada perbedaan antara nilai observasi dengan nilai harapan -
Menentukan taraf nyata dan nilai kritis
Lihat tabel Chi kuadrat df = n – k df = 5 – 1 = 4 -
Uji Statistik chi kuadrat
5
-
Menetukan daerah keputusan Menentukan keputusan Berdasarkan daerah keputusan X² jatuh pada wilayah H₀ diterima. ATAU Karena X² yang di hitung < dari X² di tabel maka keputusannya Hipotesis awal diterima
Contoh 2 : Diketahui bahwa peluang nampaknya salah satu permukaan dadu homogen masingmasing= 1/6. Jika Sebuah dadu dilembpar sebanyak 120 kali. Frekuensi yangyang dihasilkan untuk muka1,2,3,4,5, dan 6 yang muncul adalah 16, 24, 23, 15, 17 dan 25. Ujilah bahwa dadu tersebut simetris? Penyelesaian: H 0= p1= p2 =…= p 6=
1 6
H 1= paling sedikit satu tandasama dengan makatidak berlaku Muka dadu Pengamata n Diharapkan
1
2
3
16
24
23
1/6 x120 = 20
20
20
4 1 5 2 0
5 17 20
6 2 5 2 0
Dengan menggunakan rumus 2
X=
( o 1−e 1 ) e1
2
2
+
( o 2−e 2 ) e2
+…+
( ok −ek )
2
ek
( 16−20 )2 ( 24−20 )2 ( 15−20 )2 ( 17−20 )2 ( 25−20 )2 X= + + + + =5,00 20 20 20 20 20 2
Dengan
α =0,05
lebih besar dari
dan dk=5, dari tabel chi-kuadrat didapat
χ 20,95=11,07
yang
χ 2h=5,00 . Dengan demikian hasil pengujian non-signifikan dan
hipotesis H0 diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa dadu itu dibuat dari bahan yang homogen. b). Uji kebebasan ( independensi) dua faktor
6
Uji ini digunakan untuk menguji hipotesis mengenai ada atau tidak adanya hubungan (asosiasi)atau kaitan antara dua faktor. Misalnya, apakah prestasi belajar mahasiswa ada hubungan dengan kondisi sosial ekonomi orang tuanya, apakah agama yang dipeluk ada hubungannya dengan ketaatan beribadah. Jika tidak ada hubungan antar dua faktor tersebut, maka dikatkan bahwa dua faktor itu saling bebas atau independen. Prosedur chi-kuadrat dapat dipakai juga untuk menguji ada tidaknya pengaruh dari satu faktor terhadap faktor lainnya.
Misalkan dilakukan surveh pada 1.000 orang di Medan dan ingin diketahui apakah penghasilan masyarakat ada hubungannya dengan tingkat pendidikan. Penghasilan sebagai faktor 1 dan pendidikan sebagai faktor 2. Penghasilan dibedakan menjadi dua katagori, yaitu penghasilan rendah dan tinggi. Sedangkan pendidikan dibagi menjadi tiga tingkat, yaitu SMU ke bawah, sarjana muda, dan sarjana (termasuk pasca sarjana). Hasil survey tersebut disajikan pada tabel kontingensi berikut : Penghasilan
Pendidikan SMU kebawah Rendah 182 Tinggi 154 Total Kolom 336 Tabel di atas adalah tabel kontingensi
Total Baris Sarjana muda Sarjana 213 203 138 110 351 313 berukuran 2 x 3, yang terdiri dari
598 402 1.000 2 baris dan 3
kolom. Bilangan dalam sel disebut frekuensi yang diobservasi, sedangkan totalnya disebut frekuensi marjinal. Untuk menguji kebebasan dua faktor digunakan statistik hitung : k
χ =∑ 2 h
( f 0−f i )
i=1
2
fi
Derajat kebebasan θ = (Jml baris – 1) (kolom – 1). f Frekuensi harapan e = jumlah menurut baris x jumlah menurut kolom/ jumlah total. Jika nilai
χ 2h > χ 2α , maka hipotesis nol (H0) ditolak sedangkan jika tidak, maka
hipotesis nol (H0) diterima. 7
Dengan demikian frekuensi yang diobservasi dan yang diharapkan secara lengkap adalah sebagai berikut : Penghasilan Pendidikan Total SMU kebawah Sarjana muda Sarjana Baris Rendah 182 (200,9) 213 (209,9) 203 (187,2) 598 Tinggi 154 (135,1) 138 (141,1) 110 (125,8) 402 Total Kolom 336 351 313 1.000 1. Ho : dua faktor saling bebas, penghasilan saling bebas dengan pendidikan. 2. Taraf signifikansi = 5% dan θ=(2−1) x (3−1)=2 3. χ2h = 7,8542 4. Nilai χ2h>χ2α, maka disimpulkan Ho ditolak pada taraf signifikansi 5%. Artinya antara penghasilan dan pendidikan masyarakat tidak saling bebas. Contoh Soal: Ada keyakinan bahwa apabila IPK tinggi, maka akan mendapatkan penghasilan tinggi. Berdasarkan keyakinan tersebut, perusahaan karir center tahun 2008 melakukan penelitian terhadap 751 sarjana dari berbagai perguruan tinggi yang bekerja di sektor perbankan di Jakarta. Berikut adalah hasilnya:
8
column
H0 : Tidak ada hubungan antara IPK H1 : Ada hubungan antara IPK denga
9
10
c). Uji Distribusi Populasi dengan Distribusi Sampel Uji ini digunakan untuk mengetahui sejauh mana kesesuaian atau tingkat kesesuaian antara distribusi sampel dengan distribusi populasi, disebut juga uji kebaikan suai (test goodness of test). Tahapan uji keselerasan apakah suatu distribusi mengikuti kurva normal atau tidak adalah sebagai berikut : 1. Membuat distribusi frekuensi 2. Menentukan nilai rata-rata hitung
X´
dan standar deviasi σ dengan
menggunakan data berkelompok. 3. Menentukan nilai Z setiap kelas, dimana Z = (X-μ)/ σ 11
4. Menentukan probabilitas tiap kelas dengan menggunakan nilai Z. 5. Menentukan nilai harapan dengan mengalikan nilai probabilitas dengan jumlah data. 6. Melakukan uji chi-kuadrat untuk menentukan apakah distribusi bersifat normal atau tidak. Contoh : Beberapa analis memprediksi 20 saham terfavorit yang layak dibeli dan dipertahankan untuk satu-dua minggu. Berikut adalah harga saham dari 20 perusahaan tersebut tanggal 5 Desember2003. Dari data harga saham di bawah ini, ujilah apakah harga saham mengikuti distribusi normal? No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Perusahaan Aneka tambang Asahimas FG Astra AL Astra OP Danamon Baerlian Laju Tanker Berlina Bimantara Dankos Darya Varia Perusahaan Dynaplast Enseval Putra Gajah Tunggal Indocement Kalbe farma Komatsu Matahari Mayora Medco Mustikasari
H.Saham 1350 2225 1675 1525 1925 900 1575 3175 1125 800 H.Saham 1400 1900 600 1900 975 1475 525 950 1400 435
12
1. Buat tabel distribusi frekuensi : No Interval Kelas Frekuensi (fo) 1 435 -983 7 2 984 – 1.532 6 3 1.533 – 2.080 5 4 2.081 – 2.628 1 5 2.629 -3.176 1 2. Hitung nilai rata-rata hitung dan standar deviasi No 1 2 3 4 5
Interval 435 -983 984 – 1.532 1.533 – 2.080 2.081 – 2.628 2.629 -3.176
F 7 6 5 1 1
X 709 1.258 1.806 2.354 2.902
fx 4.963 7.548 9.030 2.354 2.902
Nilai tengah 709 1.258 1.806 2.354 2.902 data berkelompok.
x-x -631 -82 466 1.014
(x - x)2 397.972 6.699 217.296 1.028.50
f(x - x)2 2.785.802 40.197 1.086.479 1.028.500
1.562
0 2.440.31
2.440.313
3 Σ fx 26.797 Σ f(x - x)2 X = Σ fx/n=26.797/20 1.340 S=√ Σ f(x - x)2/n-1 3. Menentukan nilai Z dari setiap kelas, dimana Z = (X-μ)/σ
7.381.291 623
4. Menentukan probabilitas tiap kelas dengan menggunakan nilai Z. Misalnya :
Z435 = (435-1.340)/623 = -1,45 Z984 = (984-1.340)/623 = -0,57 dan seterusnya
Interval 435 -983 984 – 1.532 1.533 – 2.080 2.081 – 2.628 2.629 -3.176
Kisaran Z
Kisaran
Prob Harapan
-1,45 – (-0,57) -057 – 0,31 0,31 – 1,19 1,19 – 2,07 2,07 – 2,95
Probabilitas 0.4265-0.2157 0.2157-0.1217 0.3830-0.1217 0.4808-0.3830 0.4984-0.4808
0.2108 0.3374 0.2613 0.0978 0.0176
5.Menentukan nilai harapan (fe)= n.p Interval
F
Prob Harapan
Fe
435 -983 7 984 – 1.532 6 1.533 – 2.080 5 2.081 – 2.628 1 2.629 -3.176 1 6. Menentukan pengujian chi - kuadrat
0.2108 0.3374 0.2613 0.0978 0.0176
4.2 6.7 5.2 2.0 0.4
a. Ho : tidak ada beda antara frekuensi yang diharapkan dengan yang teramati dari harga saham. H1 : ada beda antara frekuensi yang diharapkan dengan yang teramati dari harga saham. b. Menentukan nilai kritis dengan derajat bebas = n-1, dimana n = jumlah kelas. Nilai kritis untuk ө = 5-1=4, dan taraf signifikansi = 5% adalah 9,488. 2
c.
Mencari χ2hitdengan rumus
( f 0 −f i ) fi
dengan prosedur
F fe (f0 – fe) (f0 – fe)2 (f0 – fi)2/fi 7 4.2 2,8 7,8 1,8 6 6.7 -0,7 0,6 0,1 5 5.2 -0,2 0,1 0,0 1 2.0 -1,0 0,9 0,5 1 0.4 0,6 0,4 1,2 2 χ hit 3,6 2 2 d. χ hit(3,6) <χ α(9,488) dapat disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan antara frekuensi harapan dan yang nyata, sehingga distribusi harga saham dapat dikatakan sebagai distribusi normal.
BAB III PENUTUP 3.1 KESIMPULAN
Chi-kuadrat adalah teknik analisis komprasional yang mendasarkan diri pada perbedaan frekuensi data yang sedang diobservasi. Adapun beberapa manfaat dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain :Untuk menguji apakah frekuensi yang diamati berbeda secara signifikan dengan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan, untuk menguji kebebasan (independensi antar faktor dari data dalam daftar kontingensi, untuk menguji apakah data sampel mempunyai distribusi yang mendekati distribusi teoritis tertentu atau distribusi hipotesis tertentu (distribusi populasi), seperti distribusi binomial, distribusi poisson, dan distribusi normal.
DAFTAR PUSTAKA
Furqon, (2004), Statistika Terapan untuk Penelitian, ALFABETA, Bandung
Sudijono, Anas, (2009), Pengantar Statistik Pendidikan, PT. RajaGrafindo Persada, Jakarta Sudjana, (2002), Metoda Statistika, Tarsito, Bandung Supranto,J, (1985), Statistika: Teori dan Aplikas Statistika dan Probabilitas, Erlangga, Jakarta
