Ceunsp 1º Semestre Sistemas de Informação Trabalho de Lógica Matemática
Rodrigo Alves Bravo Salinas, nº 36 RGM 084624
[LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM] O que é Lógica de Primeira Ordem, classes sintáticas, elementos, construção e interpretação de fórmulas usando símbolos lógicos. 2
Índice Introdução ............................................................................. 3 Classes sintáticas – Termos e fórmulas ............................. 4 Elementos .............................................................................. 4 Constantes ............................................................................ 4 Variáveis ............................................................................... 4 Predicados ............................................................................ 4 Quantificadores ..................................................................... 5 Entendendo a lógica e a fórmula .......................................... 6 Lógica e fórmula na prática ..................................................... 7 Conclusão ............................................................................... 8 Bibliografia .............................................................................. 9
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Introdução
A
Lógica de Primeira Ordem, também chamada de Lógica de Predicados, é estendida pela Lógica de Segunda Ordem e é um suplemento para a Lógica Proposicional, sendo que a Lógica Proposicional não possui uma linguagem adequada para representar relações entre objetos e não permite identificar a repetição de certos elementos dentro de um mesmo texto. A Lógica de Primeira Ordem é dotada de uma linguagem mais rica, tem várias aplicações importantes não apenas para matemáticos e filósofos como também para estudantes de Ciência da Computação. A principal diferença entre Lógica de Primeira Ordem é o compromisso ontológico, isto é, o que cada linguagem pressupõe sobre a natureza da realidade. A Lógica Proposicional pressupõe que existem fatos que são válidos ou não-válidos no Universo enquanto a Lógica de Primeira Ordem pressupõe que o Universo consiste em objetos com certas relações entre eles que são válidas ou não-válidas.
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Classes sintáticas – Termos e fórmulas A Lógica de Primeira ordem é dividida em duas classes sintáticas: a dos termos e a das fórmulas. Os termos denotam os vários objetos de discurso. As fórmulas denotam as asserções (fatos) sobre os termos. Na classe sintática encontramos alguns elementos que a lógica proposicional não nos permite, tais como constantes, variáveis, predicados e quantificadores.
Elementos Constantes Se referem a algum substantivo: uma pessoa, um lugar, um objeto, etc. Exemplo: Paulo, casa, maçã, Japão, carro, etc. Também se utiliza para os números Exemplo: 1, 2, 3, etc. Pode ser representada por qualquer letra minúscula como “a, b, c, ...” para dar valor a uma constante e pode-se utilizar números na frente das letras, se necessário, para representar maior número de variáveis.
Variáveis São representadas por letras minúsculas, geralmente representadas pelas letras “x, y, z” e são utilizadas para dar valor a algo não identificado no Universo. Exemplo: Alguém, algo, etc. Pode-se utilizar números na frente das letras, se necessário, para representar maior número de variáveis.
Predicados São propriedades ou relações, em outras palavras, são aquelas expressões que dizemos algo de alguém ou de algum objeto e suas relações entre os mesmos. Tipicamente se identificam por meio de um verbo que empregamos a dizer algo de certo objeto. Os predicados são geralmente representados pela letra inicial desta expressão.
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Exemplos: Usaremos a e b para representar uma constante e a primeira letra do predicado maiúscula. Fernanda é linda. = La Pedro e Lucas brincaram hoje. = Bab Os predicados se classificam segundo os números de argumentos.
Exemplos: Unário Tem um único argumento: “José é um menino. = Ma” Binário Tem dois argumentos: “Clara é amiga de Ana. = Aab” Ternário Tem três argumentos: “Jonas está sentado entre Gabriel e Felipe. = Sabc”
Quantificadores Representados por
(universal) e
(existencial).
Quantificador Universal: (pronuncia-se “Para todo...”) Significado: “para todos”, “para cada”, “para qualquer”, “qualquer que seja”, “para todo”, “todos”, “tudo”.
Exemplo: Toda árvore tem folhas. x(Fx) -> Para qualquer x, Fx --> Para qualquer árvore, árvore tem folhas. Quaquer que seja x, Fx --> Quarquer que seja a árvore, árvore tem folhas. Todas x, Fx --> Todas árvores, árvore tem folhas.
Quantificador Existencial: (pronuncia-se “Existe...”) Significado: “existe”, “existe um elemento”, “existe pelo menos um elemento”, “existe um elemento tal que”, “algo”, “alguma coisa”.
Exemplo: Algumas árvores tem folhas. x(Fx) -> Para algum x, Fx
--> Para alguma árvore, árvores tem folhas. Existe pelo menos um x tal que Fx --> Há pelo menos uma árvore tal que árvores tem folhas. Há um x que é F --> Há uma árvore que tem folhas. 6
Entendendo a lógica e a fórmula Considere o seguinte conjunto de frases: 1. Marcos é um homem. 2. Marcos é brasileiro. 3. Dilma é presidente 4. Todos os brasileiros são leais a Dilma ou odeiam Dilma. 5. Os brasileiros vaiam presidentes a quem não sejam leais. 6. Marcos vaiou a Dilma. Estes fatos podem ser representados como um conjunto de FBF (Fórmula Bem Formulada): 1. homen(Marcos) 2. brasileiro(Marcos) 3. presidente(Dilma) 4.
x brasileiro(x) → leal(x,Dilma) v odeia(x,Dilma)
y brasileiro(x) ^ presidente(y) ^ vaia(x,y) → ~leal(x,y) 5. x 6. vaia(Marcos, Dilma). Símbolos utilizados na Lógica de Primeira Ordem: Conectivos: Variáveis: Constantes: Símbolos de predicados: Quantificadores: Parênteses: Termos:
• → ↔ x, y, z, ... , x 1, y2, z3, ... a, b, c, ... , a 1, b2, c3, ... P, Q, R, S, ...
~
(universal), (existencial) () , [] , {} as variáveis e as constantes são designadas pelo nome genérico de termos os quais serão designados por t1 , t2 , ... , tn ...
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Exemplos: "Maria é inteligente" : I(m) ; onde "m" está identificando Maria e "I" a propriedade de "ser inteligente". "Alguém gosta de Maria" : G(x,m) ; onde G representa a relação "gostar de" e "x" representa "alguém".
De modo geral temos: P(x) : significa que x tem a propriedade P . (∀x)P(x): significa que a propriedade P vale para todo x, ou ainda, que todos os objetos do Universo considerado tem a propriedade P. (∃ x)P(x): significa que algum x tem a propriedade P, ou ainda, que existe no mínimo um objeto do Universo considerado que tem a propriedade P.
Lógica e fórmula na prática: 1. Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas. Pedro não é amigo de Jonas. Logo, Pedro não é amigo de Carlos. ∀(x)
(P(x,c) ~ P(p,j) ~ P(p,c)
→ P(x,j))
Onde P(x,y) significa que x é amigo de y e c, p, j são constantes que representam Carlos, Pedro e Jonas respectivamente. 2. Todos os humanos são racionais. Alguns animais são humanos. Portanto, alguns animais são racionais. ∀(x)
(P(x) → Q(x)) (x) (R(x) ∧P(x)) ∃ (x) (R(x) ∧Q(x))
Onde P, Q, R simbolizam as propriedades de: ser humano, ser racional e ser animal respectivamente.
Conclusão A Lógica de Primeira Ordem é mais elevada que a Lógica Proposicional e suplemento da mesma por possuir uma linguagem mais avançada tendo uso de variáveis, constantes e predicados. As variáveis representam objetos que não estão identificados no Universo considerado ("alguém", "algo", etc.). As constantes representam objetos identificados no Universo ("Thiago", "o ponto A", etc. ). Os predicados representam propriedades ou relações entre os objetos do Universo. Os quantificadores são representados pelos símbolos e que são utilizados para expressar “Para todo...” e “Existe...”, respectivamente, sobre um objeto do Universo. As fórmulas são representadas por símbolos que em sequência lógica expressam algo do Universo.
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Bibliografia http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm http://iblogbox.com/pig/docview/v.php?url=http %3A//www.lcmat.uenf.br/page_attachments/0000/0136/AulaRevisao_IAUENF2010.ppt Youtube – Lógica de predicados Texto - Lógica de Primeira Ordem – Carlos Bacelar Almeida
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