Libro Razonamiento Matematico Operadores Matematicos Torres Lozano 2010 II

Lic. René Suca Yunga

OPERADORES

9

D.R. 6989 DREP

Jr. Atahuallpa 348 - 436 Ayaviri

DEFINICIÓN DE VECTOR Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial. Se trata de segmentos de recta con orientación; si se dibujan a escala se representa la medida de la cantidad. Para Para repr repres esen enta tarr la direc irecci ción ón de las las ca cant ntid idad ades es vect vector oria iale less se han han idea ideado do a los los VECT!ES. Ejemplos" #espla$amiento #espla$amiento%% velocidad% &uer$a% impulso% aceleración% campo el'ctrico% etc. ELEMENTOS DE UN VECTOR (1nea de acción

o l o u d * ó

Sentido

+

α

#irección

(1nea hori$ontal

Ejemplo Eje mplo práctico vectores concurrentes concurrentes

Módulo: (lamado tambi'n )!*+ o T+*+,% es la medida de la longitud del • Módulo: (lamado vector% el módulo se representará mediante la notación" vector or no apar aparec ecee con con &lec &lecha ha enci encima ma se + : se lee -*ódulo de + ; si un vect sobreentiende sobreentiende que se re&iere al módulo% es decir" + + Dirección: n: Es el ángulo que &orma el vector con respecto a un sistema de coordenadas • Direcció cartesianas /por lo general se toma la orientación con respecto al semieje positivo de las abscisas0. Sentido: !epresentado por la &lecha del vector. • Sentido: !epresentado


10

OPERADORES

• Línea de Acción: Es aquella l1nea donde se encuentra contenido el vector a trav's de

la cual puede desli$arse. Rere!entación Analítica de un Vector #ados dos puntos + 2 3 que determinan un vector sobre el plano% la &orma vectorial se de&ine por" V

o tambi'n

3 +

V

Punto &ina l Punto inicia l

E"e#lo Ilu!trati$o %: 4n vector 3 en el plano pasa por los puntos P/5% 60 2 7/8% 90 determinar su módulo" Solución: (a e:presión vectorial está dada por" 3 7 P 3

/8% 90 /5% 60

3

i 5 j

Cálculo del módulo del vector" 3

 9 / 509

3

Rta&

6

E"e#lo Ilu!trati$o ': 4n vector C en el espacio pasa por los puntos !/5% 6% módulo" Solución: (a e:presión vectorial está dada por"

C

C

i  j 9=

/8% <%

60 /5% 6%

80

C

S

80 2 S/8% <%

60 determinar su

!

Cálculo del módulo" C

 9 / 09

C

<> <> 

99 C

>

Rta&

CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES: %& Vectore! colineale!: Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma l1nea de acción. 3

C

+

'& Vectore! i(uale!: #os vectores serán iguales cuando tienen la misma dirección% módulo 2 sentido. ( < ? ?( 9 +

3

??

(<


OPERADORES

9

)& Vector unitario: Es aquel cu2o módulo es la unidad 2 tiene por misión indicar la dirección 2 sentido de un determinado vector. +

*& s1.

+ +

u

+ u

Vectore! aralelo!: Son aquellos que tienen sus l1neas de acción paralelas entre

(<

(9

+

θ

(5 C

3

α

En la &igura" θ α β #adas las rectas paralelas" (< ?? ( 9 ?? ( 5 (os vectores" + ? ? 3 ? ? C tambi'n son paralelos Por consiguiente se cumple tambi'n"

β

+

3

C

+

3

C

vectores unitarios iguales

+& Vectore! colanare!: Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano. 3

C

+

.

,& Vectore! oue!to!: #os vectores serán opuestos cuando tienen igual dirección% módulo pero sentido contrario. (< ? ? ( 9 (< +

(9

α

3

β

-& Vectore! concurrente!: Son aquellos que sus l1neas de acción se cortan entre s1% en un mismo punto. C

g



3

+

10


OPERADORES

Se observa que las l1neas de acción de los vectores -

+

%

3 2 C concurren en el punto

O.ERACIONES CON VECTORES ADICIÓN: +l vector -suma tambi'n se le llama resultante. (a resultante produce el mismo e&ecto que los sumandos. %& M/TODO DEL TRI0N1ULO Este m'todo es válido sólo para dos vectores coplanares 2 concurrentes

β b

a

γ

α !

a

b

S

Pasos a seguir" • Se &orma el triángulo% cuando son 2SÓLO3 9 vectores • Para hallar el valor de ! se aplica la (e2 de (am2 o de senos" ! sen β

a sen γ

b sen α

'& M/TODO DEL .ARALELO1RAMO

+ 7 7

!

S

7 7

θ

Pasos a seguir" • (a suma / S 0 o resultante / ! 0 es la diagonal del paralelogramo &ormado. • (a suma o resultante se denota"

3

+

3

!

• +)+(@TAC+*E)TE" !

+9 3 9

9+3 cos θ ; (e2 del paralelogramo

)& M/TODO DEL .OL41ONO )&% M5todo del .olí(ono A6ierto: Se usa generalmente para sumar más de dos vectores. Se colocan uno a continuación del otro% manteniendo constante su V+(!% #A!ECCAB) 2 SE)TA#. (a resultante es el vector que parte del origen del primero 2 llega al e:tremo del ltimo. Ejemplo" a <

9

b

5

c


OPERADORES

9

Constru2endo el pol1gono" b

9

a <

5

R

c

(a resultante es"

!

a

b

c

d

;

d

)&' .olí(ono Cerrado: En este caso todos tienen la misma secuencia /horario0. El e:tremo del ltimo llega al origen del primero. +

3

(a !esultante es" !

E

!

C

D

+ 3 C # E D



#

E

DIFERENCIA 8 D 9 (a di&erencia de vectores es llamada tambi'n resultante di&erencia. Vectorialmente" # + / 30 # + 3 Por la (e2 de cosenos" #

7 7

−3

+9

#

39

9+3 cos/
+ 7 7

#

θ

+

9

3

9

9 +3 co s θ

3

CASOS .ARTICULARES  .OSICIONES RELATIVAS DE LOS VECTORES: %& Cuando α  2 los vectores

+

2

+

3 son paralelos 2

+

del mismo sentido.

3 ! má :

3

'& Cuando α
! +

2

+

+

3

3

3 son paralelos 2

de sentidos opuestos.

+ 3

! m1n

+

3

10


)& Cuando α H % los vectores

+

2

OPERADORES

3 son

perpendiculares.

3 !

!

+

9

3

9

+

*& Cuando dos vectores tienen el mismo módulo 2 &orman >I. +

+ =J

!

!

J 2 3

J

J 5

,;

3 =J

+& Cuando dos vectores tienen el mismo módulo 2 &orman <9I. +

! +

J 2 3

J

J

J < 9 E

3

J

,& Cuando dos vectores tienen el mismo módulo 2 &orman HI. +

3 =J

!

!

J 2 3

J 9

+ =J

DESCOM.OSICIÓN RECTAN1ULAR DE UN VECTOR K E:presión vectorial de + +2 = +sen θ

+

+:i +2 j

+

+ cos θi +sen θj

+

"

J


OPERADORES

+

+/co s θ i

9

sen θ j0

Como par ordenado" +

+/co s θ % se n θ 0

Co#onente! rectan(ulare! de un $ector en el lano: (as componentes rectangulares están dadas por" +: +2

+cos θ +sen θ

Módulo del $ector

+

: +

Dirección del $ector

A

+:

9

+2

9

re!ecto al e"e <: tan θ

+2 +:

Vectore! en el E!acio +nálogamente a los puntos del plano cartesiano que están representados por un par ordenado% los puntos del espacio se representan mediante ternas de nmeros o coordenadas espaciales. .unto! en el e!acio: /:% 2% $0 J" eje de abscisas K K" eje de ordenadas L" eje de cotas K

a9 a5 cota

O

P/:% 2% $0

L

O

+

+/a <% a 9 % a 5 0 a<

ordenada

Z

J abscisa

X

Compo nentes de un vector en !

5


10

OPERADORES

E=re!ión $ectorial de un $ector en R ) 4n vector + /a < % a 9 % a 5 0 % se puede escribir como combinación lineal de sus vectores unitarios canónicos% as1" +

a
a 9j

a 5=

#ados dos puntos en el espacio% se puede hallar el vector que dichos puntos determinan% aplicando" V

P&in a l

Pin icial

Módulo de un $ector en R ) El módulo de un vector + a
K

a<

9

a9

9

a5

9

#el grá&ico" Vector Unitario #ado un vector" + /a < % a 9 % a 5 0 % se de&ine como vector unitario en la dirección de + % a la e:presión"

a9 +



a5

a<

L

J

4+

+ +

4+

a
a 99

a 59

Dirección de un $ector en R ) : (a dirección de un vector en ! 5 % está dada por sus ángulos de orientación con respecto a los 5 ejes coordenados. K a los cosenos de dichos ángulos se denominan co!eno! directore!. Co!eno! directore!: (as direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados están dados por" Y

a9

a5 L

α " ángulo de inclinación con respecto al eje J

β



γ

+

β "ángulo de inclinación con respecto al eje K

α a<

γ "ángulo de inclinación con respecto al eje L J


OPERADORES

#irección con el eje J"

cos α

#irección con el eje K"

cos β

a< + a9 +

#irección con el eje L"

9

Cosenos directores

a5 +

cos γ

.roiedad:

co s

9

α co s

9

β cos

9

γ

<

O.ERACIONES CON VECTORES EN

)

R

a9 SUMA  DIFERENCIA DE VECTORES: #ados dos vectores" + a
/a <

b < 0i

/a

#

/a <

b < 0i

/a

9

b 9 0j

/a 5

b 5 0=

9

b 9 0j

/a

b 5 0=

5

69 MULTI.LICACIÓN DE UN VECTOR .OR ESCALAR EN R ) #ado el vector" + a
r/a < i

a 9j

a 5 =0

r+

ra
ra 9 j

ra 5 =

#onde el vector r+ % es mltiplo 2 necesariamente paralelo al vector + . .roiedade! de la Multilicación or e!calar: #ado los vectores + 2 3 ! 5 2 los escalares r% s ! % se cumple" <. r + ? ? + 9. /r s0+ r+ s+ 5. r/+ 30 r+ r3 . r/s+0 s/r+0 /rs0+ c9 .RODUCTO INTERNO O .RODUCTO .UNTO EN

)

R

:

#ados dos vectores" + a
O6!er$e >ue:

a
a

9b 9

a

5b 5


10

OPERADORES

En R ' % para un vector + a
+

a<

9

a9

9

+

9

En R ) % para un vector + a
+

a<

9

a9

9

a5

9

+

9

Otra de?inición: Es posible tambi'n de&inir el producto interno mediante la relación" +

#onde" + " módulo del vector + 3 " módulo del vector 3 θ " ángulo &ormado por los vectores

3

+

+3 cos θ

2

3

.roiedade! del .roducto Interno: #ado los vectores +% 3 2 C ! 5 2 los escalares r% s

! % se cumple"

<. + 3 3 + 9. + + + 9 5. /r+0 3 r/+ 30 . + /3 C0 + 3 + C 6. /+ 30 /+ 30 + 9 3 9 >. Si + 3

+ 3



I#ortante: #el vector suma% de acuerdo a las propiedades" S + 3 S S /+ 30 /+ 30 S9

+9

9+ 3 3 9

Por de&inición de producto interno" S

9

+

9

3

9

9 +3 co s

3

9

9 +3 co s

+nálogamente% para el vector di&erencia" #

9

O6!er$e: @E!ta e! la le del co!eno!B

+

9

θ


OPERADORES

d9 .RODUCTO VECTORIAL O .RODUCTO CRU EN

9

)

R

#ados dos vectores" + a
3

i

j

=

a<

a9

a5

b<

b9

b5

/a 9 b 5

a 5 b 9 0i

/a
a 5 b < 0j

/a < b 9

a 9 b < 0=

.roiedade! del .roducto Vectorial #ado los vectores +% 3 2 C ! 5 2 los escalares r% s ! % se cumple" <. + 3 3 + 9. + /3 C0 /+ 30 C + 3 5. r/+0 3 r/+ 30 . /+ 30 C + C 3 C 6. + 3 +3sen θ >. Si" + ?? 3 + 3  8. Si + 3 + 3 +3

+

θ 3

Representación gráfica del producto vectorial

.roducto de $ectore! canónico!: Puesto que un vector siempre es paralelo a s1 mismo" i i j j = =  +demás" j

i j = j = i = i j

=

i

Re(la de la #ano dereca: Sirve para determinar la dirección del vector @O6!er$eB

D

Duer$a aplicada

+ 3

r

+ 3 + #irección del torque

r D

3

τ

θ

rDsen θ

τ

r D

El momento de fuerza es un ejemplo práctico del producto vectorial

Interretación 1eo#5trica del $ector

AE F


10

OPERADORES

El vector + 3 % está representado por un vector perpendicular% tanto al vector al vector 3 . Su módulo es igual al área del paralelogramo &ormado. b

+ 3 +

+ 3

+3sen θ

Para el triángulo"

h

θ

O

+Y

como

3 +sen θ

bserve" +Y bh ; +demás h (uego" +Y b h +3sen θ

Triángulo < + 3 9

+

b

+V

3

< 9

+

3

< 9

+3se n θ

DOLE .RODUCTO VECTORIAL +

F9 .RODUCTO TRI.LE EN

/3

C0

/+ gC03

/+ g30C

)

R

#ado los vectores +% 3 2 C R ) % se de&ine como producto triple +g /3 C0 a la e:presión de&inida por un determinante de la &orma" +g /3

+:

+2

+$

3:

32

3$

C:

C2

C$

C0

+: /3 2 C $

3$C 2 0

+2 /3 : C $

3 $ C: 0

+$ /3: C2

32 C: 0

Interretación (eo#5trica de +g /F C0 : El producto triple +g /3 C0 de los vectores +% 3 2 C es igual al volumen del paralelep1pedo &ormado por dichos vectores. V

+

+ g/3 C0

3 Vparalelep1pedo

+g /3

C0

C

E"e#lo Ilu!trati$o ;% #ados los vectores + 9i 9 j = 2 a0 El producto escalar + 3

3

;i

9 j ; = . Calcular"


OPERADORES

b0 El coseno del ángulo que &orman los vectores c0 El producto vectorial + 3

+

2

9

3

Solución: a0 + 3 /9% 9% <0 / % 9% 0 + 3

b0 cos θ

F

;

;

+ 3

+ 3 + 3

F

/9% 9% <0 / ;% 9%

cos θ 9

9

9

9

<

9

9

/ ;0

;0 9

cos θ cos θ

c0

+ 3

i

j

=

9

9

<

;

9

;

/ F

90i

/ F

;0j

/;

F0=

9

9

/ ;0

F   5/>0 F cos θ

;j

<9 =

E"e#lo Ilu!trati$o ;' #eterminar el área limitada por los puntos /<% 9% 50 ; / 9% % 0 2 /<% % <0 . Solución: Mra&icando" 3/ 9% E% ;0

P +/<% 9% 50

P

3 +

5i 9 j =

7

C +

9 j 9=

Se sabe que" 7 C/<% E% <0

SV SV

< P 7 9 < 9
< P 7 9 i j = P 7 5 9 <  9 9 SV

/ 909 SV

9i > j >=

> 9 / >09

Rta&

E"e#lo Ilu!trati$o ;) Nallar el volumen del tetraedro que &orman los vectores" + i j 9= ; 3 9i 5 j = ; C i j 5= Solución:

; H

Rta&


10

OPERADORES

El volumen del tetraedro es la tercera parte del volumen del paralelep1pedo. Entonces por el producto triple" V

< +./3 C0 5

<

V

5

+ g/3 C0

+plicando la solución del determinante" V

< < 9 5 <

< 5 <

+

9 < 5

<

3

Rta&

5

C

S

P

7 T

E"e#lo Ilu!trati$o ;* En la &igura P7! es un cuadrado% T es punto de tangencia a la semicircun&erencia% e:presar el vector + en &unción de los vectores 3 2 C.

3

+

C



Solución: En el

P

: S

(

:

7 !S7 por : el Teorema de Pitágoras" +

T

9

( :

3 (

(

; :(

( : :

9

(

9

(9 ( 

En el triángulo vectorial !7S" 

C (

!

!S

3

5 C 

+demás" !T

3 5C 

!S

 !S 6

; !T 6

 3 5C / 0 6 

3 5C 6

!T

(uego en el triángulo vectorial !T7 !T + +

3 3 5C 3 6

+

3 5C 6

Rta& L

E"e#lo Ilu!trati$o ;* #e acuerdo al grá&ico% un vector P tiene una dirección perpendicular al triángulo +3C% 2 posee un módulo de F >< .

C P ;

5



9

!


OPERADORES

Encontrar una e:presión cartesiana para P .

9

vectorial

Solución: Coordenadas 2 vectores direccionales en el grá&ico" + /5% % 0 3 /% 9% 0 C /% % 0

E:presiones vectoriales 3+

5i

3C

L

9j

9j

C/% % ;0

;=

P

Vector unitario perpendicular al plano +3C. 3C

4

+3

i

j

=



9

;

5

9



Fi <9 j

>9

>=

5 L

9/i > j 5=0 9 9

;

4

59

i > j 5= ><



9

3/E% 9% E0

+/5% % 0

K

(uego" P

P 4

F

><

;i

>j

5= P

><

F/; i

>j

5 =0

Rta&

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