Libro de Matematica Actuarial

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA CONCEPTOS BÁSICOS Y ECONOMÍA DEL SEGURO. IMPORTANCIA

Las Las oper operac acio ione ness de segu seguro ross han han sido sido esa esa!" !"ec ecid idas as con con e" #ni$ #ni$oo de proegers proegersee respeco respeco a conraie$ conraie$pos pos %nancier %nancieros& os& "os $is$os 'ue puedan suceder a"eaoria$ene ( 'ue )or$an pare de p"anes )uuros de personas& e$presas& ec. Lo 'ue se raa de hacer con e" seguro desde e" puno de *isa de" asegurado es rans)or$ar una p+rdida de gran i$paco i $paco o se*eridad (,o )recuencia en un gaso %-o  conocido ""a$ado pri$a& 'ue ser*ir# para $iigar "a posi!"e p+rdida. Las co!er co!erura urass con segur seguros os "i$ia "i$iann a'ue"" a'ue""os os conra conraie ie$po $poss %nanci %nancier eros os a"eaorios& eniendo en cuena 'ue "as operaciones de seguros no reducen "a pro!a pro!a!i" !i"ida idadd 'ue acone acone/ca /cann esas esas p+rdid p+rdidas as o suces sucesos os 0en +r$in +r$inos os de seguros& siniesro1. 2#s !ien& "a operaci3n de seguros proporciona inceni*os %nan %n anci cier eros os para para "ogra "ograrr un unaa co!e co!er rur uraa a "as "as p+ p+rd rdida idas4 s4 en eno onc nces es&& un unaa operac operaci3n i3n de seguros seguros es un $edio para reduc reducir ir e" i$pac i$paco o %nancier %nancieroo ad*e ad*ers rsoo 0p+r 0p+rdi dida da par pari$ i$on onia ia"1 "1&& i$pid i$piden en se rea" rea"ic icen en nor$ nor$a" a"$e $en nee "as aci*idades )uuras. La -usi%caci3n econ3$ica de una enidad aseguradora& es 'ue conri!u(e a un !ienesar genera"& $e-orando e5pecai*as 'ue "os p"anes )uuros no se *ean *ean )rusr )rusrado adoss por p+rdid p+rdidas as de!ida de!idass a suceso sucesoss a"eao a"eaorio rioss i$pre i$pre*is *isos os 0siniesros14 0siniesros14 ( por "o ano no causen p+rdidas pari$onia"es ad*ersas a su o$ador (,o asegurado. Anes de e$pe/ar nuesro e$a en $aeria de seguros es i$porane repasar "os siguienes concepos6 •

• • •

Pro!a! o!a!i"i"id idad ad66 Es "a posi posi!i !i"i"ida dadd 'u 'uee ocur ocurra ra o 'u 'uee se prod produ/ u/ca ca deer$inado aconeci$ieno& 'ue nos sir*e para ca"cu"ar 0en eor7a de e"ec e"ecci cion ones es de de"" cons consu$ u$ido idorr (,o (,o prod produc uco orr en cond condic icio ione ness de ince incer ridu idu$! $!re re11 e" *a"o *a"orr espe espera rado do ( "a *aria *aria!i !i"id "idad ad de posi posi!" !"es es resu"ados. Siniesro6 Ocurrencia de riesgo asegurado. Pri$a6 Es e" precio de" seguro. Riesgo6 Es "a pro!a!i"idad de ocurrencia de un siniesro.

DOS LEYES QUE SE MANEJAN EN SEGUROS Ley de los Grades N!"eros .

E" an#"isis de riesgo es $u( di)erene para e" asegurador ( para e" asegurado& "a ra/3n es "a 8Le( de "os Grandes N9$eros:& "a $is$a 'ue opera en e" caso de" asegurador pero no en e" caso de" asegurado. Dicha "e( dice 'ue $ienras $#s grande sea e" n9$ero de unidades de riesgo& $#s seguro es 'ue "a e5periencia de p+rdida e)eci*a sea igua" a "a e5periencia de "a p+rdida pro!a!"e& por "o 'ue a $edida 'ue au$ena e" n9$ero de unidades e5puesas 0(a sea personas u o!-eos1 e" riesgo dis$inu(e.

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA E" asegurado no puede reducir su riesgo ui"i/ando esa "e(& pues no iene a su a"cance e" su%ciene n9$ero de unidades para reducir e" riesgo. M#$#al%dad.

La co$pa;7a seguros o seguridad seguridad socia"& asu$e riesgos de un gran n9$ero n9$ero de personas& %-ando 'ue "as canidades con "as 'ue cada uno de e""os apore apore *7a pri$as& pri$as& ha!r# ha!r# de conri!ui conri!uirr a" resar resarci$ ci$ien ieno o de "os da;os da;os o p+rdidas co"eci*as& es decir& es "a consecuci3n de una una co!erura co"eci*a ( $anco$unada )rene a "os riesgo indi*idua"es de sus asegurados4 !usca so"idaridad ane p+rdidas de pocos& de un grupo grande so$eido a riesgos. TRATAMIENTO DEL RIESGO.

a. La Asunci3n Asunci3n de" Riesgo6 Riesgo6 0No 0No asegura$ie asegura$ieno& no& "as personas personas o e$pr e$presas esas $uchas *eces asu$en direca$ene sus riesgos& en ese puno "as personas o e$presas desinan un )ondo para hacer )rene a posi!"es p+rdidas 'ue se pueda dar en e" )uuro. Esa aciud no es un auo seguro. !. La cesi cesi3n 3n o
Sea = e" da;o consiguiene en +r$inos %nancieros por incendio en una na*e indusria"& si =>? indica "a ausencia de da;o& ( => 5$a5 denoa "a p+rdida oa" de" edi%cio& cu(o *a"or es 5$a54 por "o ano& e" iner*a"o 0? 5$a51 es e" con-uno de posi!"es resu"ados. PRINCIPIO DE ESPERAN+A MATEMÁTICA DE LA UTILIDAD

Dado Dado 'u 'uee en ning ningun unaa de nu nues esra rass aci aci*i *ida dade dess pode pode$o $oss pro* pro*ee eerr "as "as consecuencias de nuesras decisiones& sino 'ue a "o $#s& pode$os ordenar nuesras nuesras decisiones decisiones con re"aci3n re"aci3n a "a inceridu$!re inceridu$!re asociada asociada a nuesras e5pecai*as )uuras& se ha e"a!orado "a ""a$ada 8eor7a de "a ui"idad:. Enonces& @c3$o pueden decidirse "as in*ersiones en presencia de u-os de ca-a a"eaorios Para eso es necesario disponer una eor7a de e"ecci3n 'ue

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA esa!"e/ca crierios de e"ecci3n 'ue per$ian ener en cuena e" riesgo  rendi$ieno4 de a" $anera 'ue $a5i$ice "a ui"idad esperada de "os recursos. E" pro!"e$a de "a disri!uci3n de "os recursos disponi!"es enre consu$o e in*ersi3n residir# enonces en $a5i$i/ar "a ui"idad eniendo en cuana "a esperan/a $ae$#ica de "os recursos ( "os riesgos asu$idos para "a o!enci3n de e""a& por eso es )unda$ena" usar e" crierios de esperan/a $ae$#ica de "a ui"idad co$o crierio de e"ecci3n en )uuros a"eaorios& ( deer$inar "a )unci3n de ui"idad 'ue per$ia ordenar e*enua"idades. Cenra$os "a aenci3n en "as decisiones de "os consu$idores en genera" ( "a ui"idad 'ue "es reporar# "a e"ecci3n enre opciones arriesgadas. Se supone 'ue odos "os decisores o$an decisiones raciona"es& ( son capaces de o$ar decisiones raciona"es enre un gran n9$ero de a"ernai*as& a$!i+n "os decisores pre%eren ener $#s 'ue $enos 0No saciedad1 es odo "o 'ue se precisa para )unda$enar "a decisi3n de esperan/a $ae$#ica de "a ui"idad co$o crierio de e"ecci3n en )uuro a"eaorio ( deer$inar "a )unci3n de ui"idad de" decisor. Enonces "os decisores raar#n de $a5i$i/ar "a esperan/a $ae$#ica de "a ui"idad de sus recursos6 Represena$os sus recursos 0r1.

U ( r )

max E [ U ( r ) ] =

 a "a )unci3n de ui"idad de un ene& co$o )unci3n de

∑ U  (r )∗ p i

i

i

Inerpreaci3n6 La esperan/a $ae$#ica de "a ui"idad es6 "a su$a de "as ui"idades asociadas a disinos resu"ados posi!"es ponderadas por sus pro!a!i"idades de ocurrencia. E'e"(los*

. Una persona iene dos opciones6
U$%l%dad

?&F ?.??? ?&? .??? ?&F .??? @Cu#" es "a esperan/a de "os recursos en "a segunda opci3n

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA 0,25∗50000+ 0,50∗35.000 + 0,25∗5000 =$ 32.500

@Hu+ a"ernai*a "e con*iene a "a persona Se pre%ere "a segunda opci3n pues "a esperan/a de "os recursos es $a(or en F.??. F. Ana"ice$os e" siguiene caso6 CASO

P-RDIDA POSIBLE O EPOCISI/N TOTAL

 F 

 .??? ???.???

EPECTATI0A DE P-RDIDA

?&? ? ????

Una p+rdida de  podr7a ser de poca preocupaci3n para "a persona 'ue o$a "as decisiones& 'ue pre)erir7an reener e" riesgo ( asu$ir "a p+rdida en caso de 'ue acone/ca4 sin e$!argo "a p+rdida de ???.??? podr7a ser caasr3%ca para "a e$presa4 en ese caso& e" o$ador de decisiones podr7a esar dispueso a pagar $#s de "a p+rdida esperada 'ue es de ?.???& con e" %n de o!ener e" seguro. E" hecho de 'ue "e o$ador de decisiones esar7a dispueso a pagar $#s de su p+rdida esperada conc"ui$os 'ue "a eor7a de *a"or esperado es inadecuado para $ode"ar ese co$pora$ieno. A0ERSI/N AL RIESGO Y PRIMA DE RIESGO.

. Cuando "a )unci3n de ui"idad crece $enos 'ue proporciona"$ene es c3nca*a& "a ui"idad $argina" con respeco a "os recursos es decreciene U  (r)<0 & e" decisor es ad*erso a" riesgo. F. Cuando "a )unci3n de ui"idad crece $#s 'ue proporciona"$ene es con*e5a& "a ui"idad $argina" respeco a "os recursos es creciene U  (r)>0

& es propenso a" riesgo . En caso 'ue "a )unci3n de ui"idad creciera en )or$a consane& se raar7a de una reca& "a ui"idad crece de $anera proporciona". U  (r)=0

&

En seguros& Cuando "a persona o ene reci!e $#s ui"idad de "a operaci3n hecha con inceridu$!re ( por "o ano es $a(or 'ue "a ui"idad esperada de "os $is$os se dice 'ue e" decisor es ad*erso a" riesgo& si es $enor es Propenso a" riesgo& ( si es igua" se dice 'ue es indi)erene a" riesgo. A0ERSI/N AL RIESGO Si U  [ E ( r ) ] > E [ U  ( r ) ] : adverso alriesgo ,la cuvaescóncava

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NEUTRAL AL RIESGO Si U  [ E ( r ) ] = E [ U  ( r ) ] : indiferente respecto alriesgo , lacurva eslineal

PROPENSION AL RIESGO Si U  [ E ( r ) ] < E [ U  ( r ) ] : propenso al riesgo, lacurva es comvexa

No$a* E )eeral e (ar$%&%(a&%1 de o(era&%oes 2a&%eras se s#(oe 3#e $odos so Ad4ersos al r%es)o. INDEMNI+ACI/N 5PRESTACI/N6 PRIMA PURA7 PRIMA BRUTA

Considere$os una persona 'ue posee un !ien ( 'ue corre riesgo de ser desruido en un )uuro& asocie$os una *aria!"e a"eaoria ξ a" $ona-e de "a posi!"e p+rdida re"ai*a a" !ien& con una )unci3n de disri!uci3n conocida. Enonces  E ( ξ ) & "a esperan/a $ae$#ica de "a p+rdida esperada en e" )uuro& se "a puede inerprear co$o "a p+rdida $edia a "argo p"a/o& si e" e5peri$eno de e5poner e" !ien a"

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA riesgo pudiera o!ser*arse un gran n9$ero de *eces en "as $is$as condiciones& es decir& se !asa en dos grandes "e(es6 de "os grandes n9$eros ( $uua"idad4 suponiendo 'ue no e5ise des*iaci3n de siniesra"idad o p+rdidas. Suponga$os 'ue e" ene asegurador se esa!"ece con e" %n de co"a!orar en "a reducci3n de consecuencias %nancieras de "a ocurrencia de" riesgo 0desrucci3n de !ien1. Por "o 'ue e" asegurador e$ie p3"i/as por "as 'ue se co$pro$ee a pagar a" propieario de" !ien asegurado una canidad igua" o $enor 'ue "a p+rdida %nanciera& si e" !ien asegurado se *iera da;ado o desruido durane e" per7odo de *igencia ( seg9n "as condiciones de "a p3"i/a. E" pago a"eaorio "igado a" $ona-e de "a p+rdida se ""a$a 8inde$ni/aci3n: "a $is$a 'ue no podr# ser $a(or a "a su$a asegurada. J "a conraparida de" co$pro$iso por pare de" asegurado ree-ado en "a p3"i/a se ""a$a Pri$a. La pri$a se deer$ina $ediane e" principio de e'ui*a"encia %nancieroacuaria" enre asegurador ( asegurado. Para una operaci3n de seguros indi*idua"& supone$os 'ue "a )unci3n de ui"idad de" asegurador es "inea"& e" asegurador adopa e" principio de *a"or esperado& es decir& e" asegurador esa!"ece co$o precio E ( ξ )= P

!#sico para "a co!erura oa" de "a p+rdida esperad ""a$ada pri$a pura6

a&

Dada "a pri$a pura& e" asegurador necesia hacer cieros recargos para cu!rir gasos ad$inisrai*os& co!ran/as ( ciera seguridad )rene a p+rdidas& es decir& ese 9"i$o recargo es# desinado a cu!rir des*iaciones de "a siniesra"idad con respeco a su *a"or $edio& por "o 'ue su c#"cu"o a$!i+n depender# de oras opciones co$o reaseguro ( reser*as de so"*encia.
>

 P + Pρ + c , ρ > 0, c > 0

π 

>

 P (1 + ρ )+ c , ρ > 0, c > 0

π 

.

Donde  P∗ ρ   represenan "a canidad asociada a "os gasos 'ue *ar7an con "as p+rdidas esperadas ( con e" riesgo cu!iero en "o re"ai*o a "as des*iaciones respeco a "as rec"a$aciones esperadas& es decir& cuando a "a pri$a pura se "e su$a un recargo de seguridad& se conoce co$o pri$a pura recargada o pri$a pura con recargo de seguridad 0 P (1 + ρ ) 1& ese recargo se desina a cu!rir "as des*iaciones a"eaorias negai*as de siniesra"idad con respeco a su *a"or $edio ( conri!u(e a garani/ar "a so"*encia de" asegurador. J "a

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA consane c se re%ere a "os gasos esperados 'ue no *ar7an con "as p+rdidas. Si e" asegurado iene una )unci3n de ui"idad

U ( r )

 ( se en)rena a

posi!"es p+rdidas ξ & se $osrar# indi)erene a pagar una canidad de pri$a P a" asegurador& ( 'ue ese se co$pro$ea a cu!rir "as p+rdidas ( asu$ir e" riesgo& se denoa co$o6 U  ( r − P ) = E [ U ( r − ξ ) ]

En donde e" pri$er +r$ino signi%ca "a ui"idad& pagando "a pri$a para o!ener proecci3n %nanciera4 ( e" segundo +r$ino represena "a ui"idad esperada de no co$prar e" seguro. En ese caso a" due;o de" !ien es indi)erene enre asegurarse o no. Co$o $enciona$os en p#rra)os aneriores& si e" asegurador no dispone de una su!*enci3n en caso de 'ue "a p+rdida sea $a(or a "a p+rdida esperada& "a co$pa;7a correr7a e" riesgo de 'ue!rar& por "o ano e" asegurador de!e co!rar una pri$a superior a "as p+rdidas esperadas para e*iar sus p+rdidas por des*iaciones de siniesra"idad. En ese caso e" decisor se supone ad*erso a" riesgo ( por "o ano esar7a dispueso a pagar una canidad superior a su p+rdida esperada& para e*iar ese riesgo& en ese caso6 U  ( r − P ) > E [ U  ( r − ξ ) ]

Sea UA 0r1& una )unci3n de ui"idad gen+rica de" asegurador ( r A "os recursos $onearios acua"es de" asegurador& enonces "a pri$a acepa!"e $7ni$a π  & para cu!rir p+rdida a"eaoria ξ & desde e" puno de *isa de" asegurador se puede o!ener $ediane "a e5presi3n siguiene6 U  A ( r A )= E [ U  A ( r A + π −ξ ) ]

Donde e" pri$er $ie$!ro es "a ui"idad asociada a "a siuaci3n acua" de" asegurador ( e" segundo $ie$!ro es "a ui"idad esperada asociada a "a pri$a !rua a"eaoria

ξ

π 

  ( a hacerse cargo de "a p+rdida

& es decir& e" asegurador se $osrar7a indi)erene enre

"a siuaci3n acua" ( cu!rir unas posi!"es p+rdidas co!ro de una pri$a

π 

ξ

  $ediane e"

.

Pueso 'ue e" asegurador es ad*erso a" riesgo& se endr# 'ue "a ui"idad esperada es $enor o igua" a "a ui"idad deseada6

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA U  A ( r A )= E [ U  A ( r A + π −ξ ) ] ≤U  A ( r A + π − μ )

Donde se podr7a conc"uir 'ue

πμ

Por ora pare sa!e$os 'ue "a )unci3n de ui"idad es# !asada en "as pre)erencias de" decisor ( pueso 'ue un asegurador puede ser una asociaci3n& e$presa& ec. La deer$inaci3n de "a )unci3n de ui"idad de" asegurador UA0r1 es una cuesi3n !asane co$p"icada en "a pr#cica. SIMILITID Y DI8ERENCIAS ENTRE MATEMÁTICA 8INANCIERA Y  ACTUARIAL

SI2ILI
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Cada ra$o de seguros es di)erene& desde "a gesi3n operai*a de "os co$ercia"es& hasa e" c#"cu"o de "a pri$a 'ue ree-e e" principio de e'ui*a"encia %nanciero acuaria".

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA CONTRATO DE SEGUROS

E" conrao de seguros es un con*enio o conrao enre dos pares6 "a co$pa;7a de seguros ( e" asegurado& en e" 'ue se esa!"ece 'ue e" asegurador se co$pro$ee a cu!rir econ3$ica$ene a" asegurado& denro de "os "7$ies con*enidos& cuando presene un siniesro& 0Ro!o& Incendio& Ka""eci$ieno& ec.1& durane "a *igencia de" conrao 0P3"i/a1. Co$o conraparida e" asegurado se co$pro$ee a pagar una pri$a a" asegurador. E" resarci$ieno se dar# sie$pre ( cuando se cu$p"an "as condiciones ( e5c"usiones descrias en "a p3"i/a de seguros.
• •

•

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E" siniesro es "a ocurrencia de" riesgo Asegurado. E" conrao de seguros es por naura"e/a6 Bi"aera"& oneroso& principa"& con$uai*o ( a"eaorio Bi"aera"6 O!"igaci3n rec7proca enre asegurado ( asegurador. Oneroso6 Las pares reci!en una ui"idad de proeger e" !ien& e" uno una ui"idad en +r$inos psico"3gicos ( e" oro por reci!ir "a pri$a. Principa"6 E" conrao es principa" pues no depende de oro ( iene su propia auono$7a& no as7 en %an/as. Con$uai*o6 La pri$a 'ue paga 'uien conraa e" seguro es# per)eca$ene co$pensada& por "a proecci3n ( ran'ui"idad 'ue reci!e. Es a"eaorio6 se desconoce si su resu"ado *a a presenar ganancias o p+rdidas.

En nuesro pa7s& ene$os regu"aci3n en e$a de seguros& co$o es "a "e( de seguros pri*ados ( e" decreo Supre$o M& dado 'ue e" e$a de ese "i!ro no es pro)undi/ar e$as "ega"es& de-a$os a" "ecor "a posi!i"idad de a*eriguar esos e$as. 0ARIABLES ALEATORIAS RELACIONADAS CON LA 0IDA*

Anes de re*isar "as *aria!"es re"acionadas con "a *ida& *a"e repasar "os ipos de *aria!"es 'ue e5isen6 Conin9a ( discrea& "a pri$era& puede o$ar "os *a"ores en un iner*a"o 0in%nio n9$ero de *a"ores1& "a *aria!"e discrea o$a *a"ores eneros en un iner*a"o. En e" caso de seguros de *ida "a *aria!"e a"eaoria es "a edad de $uere o )a""eci$ieno ( super*i*encia. La $uere no es riesgo& por'ue es ciera& pero no se sa!e cu#ndo ""egar#& eso es e" riesgo& en donde e" iner+s asegura!"e es e" iner+s econ3$ico de "os !ene%ciarios.

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA Si "a edad de $uere o )a""eci$ieno $edi$os en a;os cu$p"idos esa$os ha!"ando de una *aria!"e discrea& no as7 si "a edad de $uere $edi$os co$o un puno en e" ie$po& en ese caso ser# una *aria!"e conin9a. 0ARIABLES ALEATORIAS

Coninua6 Se asocia con una disri!uci3n de densidad )051& puede o$ar un *a"or en cua"'uier iner*a"o& en $ae$#ica ( c#"cu"o acuaria"& "a *aria!"e a"eaoria es "a edad de )a""eci$ieno o super*i*encia de una persona o grupo de personas. Considere$os un e-e$p"o en donde "a edad de )a""eci$ieno es nuesra *aria!"e a"eaoria ( esa denoada por

ξ

.

Por e-e$p"o& e" n9$ero de a;os de super*i*encia de una persona es "a *aria!"e a"eaoria& si se sa!e 'ue "a edad $#5i$a 'ue a"can/an "as personas es de ?? a;os& enonces "a *aria!"e a"eaoria puede o$ar di)erenes *a"ores 0 ξ 1 enre ?&??& en senido pr#cico& 'ue "a *aria!"e a"eaoria o$e un *a"or espec7%co co$o &Q a;os es re$oa& por "o ano resu"a $#s signi%cai*o enconrar "a pro!a!i"idad de ocurrencia de" e*eno en un iner*a"o espec7%co por e-e$p"o enre ? ( ?. Es decir ?

ξ

?.

Co$o conc"usi3n6 Cuando "a "ongiud de" iner*a"o iende a ?& "a pro!a!i"idad de 'ue ξ o$e un *a"or denro de ese iner*a"o a$!i+n iende a ?4 "a pro!a!i"idad de 'ue ξ

o$e un *a"or en paricu"ar es ?. La pro!a!i"idad de 'ue ξ perene/ca a a"g9n iner*a"o& no se *e a)ecada si uno de "os dos e5re$os de" iner*a"o es# inc"uido o e5c"uido. E-e$p"o6  p ( ξ ≤ 15 ) = p ( ξ < 15 ) + p ( ξ =15 )

¿ p ( ξ < 15 )+ 0 ¿ p ( ξ < 15 )

La pro!a!i"idades asociadas con "as *aria!"es a"eaorias coninuas se pueden presenar gr#%ca$ene& hare$os un e-e$p"o para *er6  p (2 ≤ ξ ≤ 5 )= p ( 2< ξ < 5 )

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA Se puede hacer una gr#%ca $ediane "a )unci3n !a-o esa gr#%ca enre "as recas pro!a!i"idad 'ue por "a inegra"6

ξ

ξ

>F (

 ! = f  ( x ) ξ

& a" 'ue e" #rea

>& represena "a

 asu$a un *a"or enre F ( . Esa #rea esa de%nida

5

∫ f  ( x ) dx

 p (2 ≤ ξ ≤ 5 )=

2

Eso es "a )unci3n de densidad de pro!a!i"idad de disri!uci3n de enonces

f  ( x )  0

ξ

ξ

( de%ne "a

& dado 'ue "as pro!a!i"idades no son negai*as&

& ( −" ≤ ξ ≤ + " =1 .

Ley del Co"(le"e$o.

Anes de enrar a desarro""ar c#"cu"os de pri$as de seguros es necesario desarro""ar a"gunos concepos para usar "a disri!uci3n de" ie$po de super*i*encia ( "a disri!uci3n 'ue corresponde a "a *aria!"es a"eaoria ξ & asociada a "a edad de )a""eci$ieno,'uie!ra de una reci+n nacido o de una e$presa creada. Si 5 es "a edad de una persona en un $o$eno deer$inado& en donde 5 puede o$ar *a"ores enre ? ( e" "7$ie superior de super*i*encia .

Sea ξ "a *aria!"e a"eaoria re"acionada con "a edad de )a""eci$ieno,'uie!ra de un reci+n nacido. J K051 es "a )unci3n de disri!uci3n de "a *aria!"e  # ( x )= P ( ξ ≤ x ) $ x > 0

ξ

& por "o ano6

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA

Se resu$e co$o "a )unci3n de disri!uci3n de 5 co$o "a pro!a!i"idad 'ue "a *aria!"e a"eaoria

ξ

 o$e *a"ores $enores o igua" a 5.

Por e-e$p"o6 K 0?1> Pro!a!i"idad 'ue "a *aria!"e a"eaoria

ξ

 o$e *a"ores

≤ 10

E-e$p"os6 . P"anee e" siguiene e-ercicio6 Pro!a!i"idad de )a""eci$ieno de un reci+n nacido enre  ( F? a;os.  P ( 15 < ξ ≤ 20 )

f  ( 20 ) = P ( ξ ≤ 20 )

f  ( 15 ) = P ( ξ ≤ 15 ) f  ( 20 ) −f  ( 15 )

lim  # ( ! )=0

 ! %−&

lim  # ( ! ) =1

 ! % + &

8UNCI/N DE SUPER0I0ENCIA

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA Siguiendo con "a cadena de nuesro an#"isis& si K051 es "a pro!a!i"idad 'ue "a *aria!"e a"eaoria o$e *a"ores $enores o igua"es a 5& de%ni$os )unci3n de super*i*encia de "a siguiene $anera6 s ( x ) = 1− # ( x ) s ( x ) = 1− P ( ξ ≤ x )

Hue se inerprea co$o "a pro!a!i"idad 'ue so!re*i*a despu+s de 5 a;os.  Por "o ano6 = ? T

S051  ?

En genera"6 S0?1>  S01>? Por "o ano lim s ( x ) = 0  x % &

E-e$p"o6 Gra%'ue ( e5prese en )unci3n de disri!uci3n ( en )unci3n de super*i*encia& @cu#" es "a pro!a!i"idad 'ue un reci+n nacido )a""e/ca enre "a edad 5 ( (& donde (5. On )unci3n de disri!uci3n

Es $as pro!a!"e 'ue )a""e/ca e" ricien nacido en J 'ue en 5 K0(1K051 Con )unci3n de super*i*encia

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA

S051s0(1 Es $as pro!a!"e'ue e" ricien nacido cu$p"a 5 a;os 'ue ( a;os. Por "o ano6 Kunci3n de super*i*encia6 Pro!a!i"idad de so!re*i*a depues de. Kuci3n de Disri!uci3n6 Pro!a!i"idad de )a""eci$ieo anes de. LEJ DEL CO2PLE2EN
s ( x ) =1− # ( x )

E-e$p"os s ( 30 )− s ( 90 )

¿ 1− f  ( 30 )−(1 −f  ( 90 )) −f  ( 30 ) + f  ( 90 ) f  ( 90 ) −f  ( 30 )

Por "o ano 6  P ( x ≤ ξ ≤ !|ξ > x )

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA  P ( x ≤ ξ ≤ ! )  P ( ξ > x ) f  (  ! )− f ( x ) 1− f  ( x )

o a$!i+n6

s ( x )− s (  ! ) s ( x )

TIEMPO 8UTURO DE SUPER0I0IENCIA

Se a 5 "a edad de una persona& por "o ano e" ie$po )uuro de super*i*encia de una persona de edad 5 es6 ' ( x )=ξ − x

Es decir e" ie$po )uuro de super*i*encia es "o 'ue "e 'ueda por *i*ir a "a persona de edad 5. NO2ENCLA Pro!a!i"idad 'ue una persona de edad 5 )a""e/ca denro de  a;os& es decir& "a pro!a!i"idad de una persona de 5 a;os )a""e/ca anes de "a edad 5.  5

'  >

 5

 P ( ' ( x ) ≤ t ) $ t  0

P > Pro!a!i"idad 'ue una persona de edad 5 ""egue con *ida  a;os $#s.  5

P>

 5

' ( x ) > t   P ¿

P >  '5

 5

'  > Pro!a!i"idad 'ue una persona de 5 a;os so!re*i*a  a;os $#s ( )a""e/ca en "os n a;os siguienes. ,n 5

'  >

,n 5

P ( t ≤ ' ( x ) ≤ t + n )

DEDUCCIONES

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA . P5>

1−

P>

 5

s ( x )−[ s ( x )− s ( x + t ) ]

P>

s ( x )

 5

P>

 5

F. '5>

1−

'>

'

,n 5

s ( x + t ) s ( x )

s ( x + t ) s ( x )

 5

.

s ( x ) − s ( x + t ) s ( x )

s ( x )− s ( x + t ) s ( x )

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA

'>

,n 5

s ( x + t )−s ( x + t + n ) s ( x )

P  W n'5

 5

MODELOS DE MORTALIDAD

SUPER0I0IENCIA

QUIEBRA.

TABLAS

DE

O!ser*ar una generaci3n desde e" naci$ieno hasa "a $uere de "a 9"i$a persona de "a generaci3n. 2ide6 • • • • •

Naci$ienos N9$ero de Personas )a""ecidas Se5o Edad de )a""eci$ieno Ku$ador,no )u$ador

Con odos esos daos consrui$os "a a!"a de $ora"idad. Sea6 l0

> N9$ero de reci+n nacidos& en donde cada edad de )a""eci$ieno iene asociada una pro!a!i"idad ( una deer$inada disri!uci3n de super*i*encia. l x =l 0∗s ( x ) $donde s ( x ) =

l x l0

4 'ue es "a pro!a!i"idad 'ue un reci+n nacido so!re*i*a

a "a edad 5. Por "o ano6

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA P>

s ( x + t ) s ( x )

'>

s ( x )− s ( s + t + n ) l x −l x +t  = s ( x ) lx

 5

 5

'

,n 5>

d x

 >

lx + t  lx

s ( x + t )−s ( x + t + n) l x +t −l x +t +n = s ( x ) lx

 > N9$ero de )a""eci$ienos en "a edad 5.

d x =l x −l x +n

 
 μ x = ¿ 2

EXERCICIOS Sa!iendo 'ue un deer$inado secor Indusria" se caraceri/a por'ue6 '?  > ?&?& '>?&?4 'F>?&M?4 '>& ( 'ue e" co"eci*o inicia" es# consiuido por ??? personas se pide6 d?& "&d& "F& dF& "& d& "M. Se pide dar "as e5presiones de "as siguienes pro!a!i"idades6 a. Pro!a!i"idad 'ue uno de ? so!re*i*a  a;os !. Pro!a!i"idad de 'ue uno de ? a"cance "a edad  c. Pro!a!i"idad de 'ue uno de ? )a""e/ca enere "os  ( Y d. Pro!a!i"idad de 'ue uno de ? so!re*i*a& a" $enos Y? a;os $#s. Si una a!"a de )a""eci$ieno *iene represenada por "a )unci3n " 5> ??? √ 1000− x & ca"cu"ar6

a. Pro!a!i"idad de super*i*encia desde e" origen hasa "os Q !. Pro!a!i"idad de 'ue eniendo & )a""e/ca anes de "os ?

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA ESPERANZA DE VIDA CO2PLE
0

e x

& es decir& "a esperan/a de" ie$po )uuro de

super*i*encia . " 

Recordando 'ue

∫

'  x = l x +t  dt  0

Se iene 'ue 0

e x =

'  x l x

Por "o ano6 e > Esperan/a de *ida de un reci+n nacido 0 0

0

e 10

> Esperan/a de *ida de uno de ? a;os.

A coninuaci3n ca"cu"a$os L5& en donde ser# un pro$edioenre e" n9$ero de so!re*i*i*ienes enre F per7odos seguidos. L5> "5"5,F 2ODELOS PARA OPERACINES DE SEGUROS DE VIDA Co$nuaci3n N  n

(  =

1

( 1 + i )t 

Por "o ano

n

( 

 es e" *a"or acua" %nanciero

VALORES AC
En esa secci3n *a$os a *er operaciones de seguros 'ue su$inisran un pago de una deer$inada canidad a" )a""eci$ieno de un asegurado& nor$a"$ene a" operar en e" ca$po disconinuo& hace$os "a hip3esis 'ue

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA e" pago se hace a" %na" de" a;o de )a""eci$ieno& cuando opera$os en e" ca$po coninuo "a operaci3n se hace a" $o$eno de )a""eci$ieno. . VALOR AC
,

ξ

5

{

0 con pro)a)ilidad t*x  t + 1 (  con pro)a)ilidad t / *x 0 con pro)a)ilidad t + 1 Px

}

t + 1 Noa6 (   pues es a" %na"i/ar e" a;o en e" 'ue sucedi3 e" siniesro.

Esa operaci3n "a *a$os a denoar de "a siguiene $anera6 ,A5 >

t + 1

( 

W ,'5

l x +t −l x +t +1

t + 1

l x

W

( 

Si $u"ip"ico ( di*ido por t + 1

(  ∗d x + t  l x

 x

W

(   x ( 

Por "o ano

 x + t + 1

A>

, 5

( 

∗d x +t 

l x( 

 x

Con$uaci3n NF

 x

( 

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA  x + 1

+  x =( 

d x

 x

  x =(  l x

Por "o ano nuesra operaci3n de seguros ser#6 +  x +t 

A>

  x

, 5

E-$p"os6 Suponga 'ue una persona de F? a;os "e ineresa co$prar un seguro de *ida por ??.??? si )a""ece enre "os M? ( M a;os. F. VALOR AC
ξ

{

( parao / *x fallece entre x ! x+ 1  t = 0 2 (  1 / *x fallece entre x+ 1  ! x + 2  t =1 3 (   2 / *x falleceentrex + 2 ! x + 3  t =2

}

Cuando e" )a""eci$ieno es denro de" pri$er a;o se acua"i/a con (a 'ue e" pago se rea"i/a a" %n de" per7odo.

\\\\\\\\\\\\\\\.. si ,'5\\\\\\\\\\\\\\\\\.>?&&F&&M&&n ?\\\\\\\\\\\\\\\\.... si nP5

1

( 

t + 1

( 

4

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA

n− 1

❑ ∑ ,'5 W =

Por "o ano&

t + 1

( 

t  0

n −1

>

❑ ∑ = t  0

n− 1

>

A

, 5

+  x + t 

∑ =  x t  0

Con$uaci3n N  " 

 -  x =

+  + ∑ =

 x t 

t  0

Dado esa nue*a con$uaci3n6 Ca"cu"ar6 t −1

+  x

+ ∑ =   t 

0

t 

 x

1

  x

[∑

> A56n]

" 

t = 0

" 

+  x +t −

+  + ∑ =

]

 x t 

t  n

Ree$p"a/ando con e" *a"or de con$uaci3n ^ 'ueda6

> A 56]> 

 -  x − -  x +t    x

UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA E-ercicios Una Persona de F? a;os desea conraar un seguro cu(a su$a asegurada sea de ??.??? si )a""ece anes de "os Y?& deer$ine e" *a"or acuaria". . VALOR AC
&

t / 1 A x ∑ = t  0

&

¿∑ t = 0

+  x +t    x

 -  x  A  x =   x

Ca"cu"ar "a pri$a 'ue iene 'ue pagar una persona de edad 5>F?&?&?&Y?&Q?4 'ue pague a sus deudos en caso de )a""eci$ieno cuando sea 'ue ocurra. M. VALOR AC
UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA

Dado 'ue esa$os raando de un seguro di)erido cu(o pago se hace a" %na" de" a;o de )a""eci$ieno& e" per7odo enre 5 ( 5$ no e5ise co!erura& ese per7odo se ""a$a per7odo de di)eri$ieno& "a co!erura co$ien/a desde 5$ a _. En Caso de )a""eci$ieno enre "a edad 5$ ( 5$F& e" pago se rea"i/ar# enre 5$F.

$,

ξ x

{¿

0  param / *x t + 1

( 

$ t / *x

ξ

A > E $,

$, 5

} 5



.

+ (  ∗t / * ∑ =  t 

1

 x

t  m

 x −¿  A x : m ¿ A ¿

]

 -  x  -  x − -  x +m   x

−

A>

$, 5

  x  -  x +m  x

. VALOR AC
UNIVERSIDAD DE CUENCA ECON. LUIS GABRIEL PINOS LUZURIAGA

 A  x : m+ n

A  >

$,n 5

 -  x − -  x + m+n   x

A  >

$,n 5

−



]

A  x : m

]

 -  x − -  x + m   x

 -  x + m− -  x + m +n   x

E-ercicios6 Una persona de ? a;os es# ineresado en una operaci3n de seguros 'ue presa "os siguienes !ene%cios6 a. ??.??? si )a""ece anes de "os ? a;os !. ??.??? si )a""ece enre "os ? ( Q? a;os. Una persona de F a;os es# ineresado en una operaci3n de seguros6 a. F?.??? en caso de )a""eci$ieno a sus deudos en cua"'uier $o$eno 'ue eso ocurra !. Si )a""ece enre "os M? ( ? a;os& "os deudos reci!en ??.??? $#s Uno de F` "e ineresa un seguro 'ue6 a. M?.??? si )a""ece anes de "os M !. Q?.??? si )a""ece enre "os M ( Y? a;os c. ?.??? si )a""ece pasado "os Y?. SEGUROS VARIABLES . VALOR AC
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La Varia!"e a"eaoria asociada con esa operaci3n es6 0I ξ 156n] Donde6