CAPÍTULO 1. Capitalización simple Operaciones en régimen de simple Las operaciones en régimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando no se acumulan y no generan intereses en períodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada período se calculan siempre sobre el mismo capital -el inicial-, al tipo de interés vigente en cada período. Este régimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un año).
1.1. Capitalización simple 1.1.1. Concepto Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de la ley financiera en régimen de simple.
1.1.2. Descripción de la operación Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente -capital inicial-, se trata de determinar la cuantía final (Cn) que se recuperará en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operación se contrata (tiempo -n- y tipo de interés -i-). Este capital final o montante se irá formando por la acumulación al capital inicial de los intereses que genera la operación periódicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el final de la operación, se añaden finalmente al capital inicial.
1.1.3. Características de la operación Los intereses no son productivos, lo que significa que:
• •
A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producirnuevos intereses en el futuro y, por tanto Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial, altanto de interés vigente en dicho período.
Gráficamente para una operación de tres períodos:
1.1.4. Desarrollo de la operación El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente: Momento 0: C0
Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0x i = C0x (1 + i) Momento 2: C2 = C0 + I1 + I2 = C0 + C0x i + C0x i = C0x (1 + 2 i) Momento 3: C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = C0 + C0x i + C0x i + C0 i = C0x (1 + 3 i) ... Momento n: Cn = C0 + I1 + I2 + ... + In = C0 + C0x i + ... + C0x i = C0 + C0x nx i Cn = C0 x (1 + n x i)
Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante todos los períodos. A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización simple) no solamente se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restante. Finalmente, hay que tener en cuenta que «n» lo que indica es el número de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea). EJEMPLO 1 Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 años en régimen de capitalización simple.
C4 = 2.000 x (1 + 4 x 0,08 ) = 2.640 € EJEMPLO 2 Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos 1.000 euros al 5% de interés anual para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés un punto porcentual. En este caso la fórmula general de la capitalización simple no es aplicable al ser diferente el tipo de interés en cada período. El montante será, igualmente, el resultado de añadir al capital inicial los intereses de cada período, calculados siempre sobre el capital inicial pero al tipo vigente en el período de que se trate. C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = 1.000 + 1.000 x 0,05 + 1.000 x 0,06 + 1.000 x 0,07 = 1.180 €
1.1.5. Cálculo del capital inicial Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:
Cn = C0 x (1 + n x i) despejando C0 resulta:
EJEMPLO 3 ¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual para ese plazo?
1.1.6. Cálculo de los intereses totales Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos. Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i1 + C0x i2 + ... + C0x in C0 x (i1 + i2 + ... + in)
Si i1 = i2 = ... = in = i se cumple: Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i + C0x i + ... + C0x i C0 x i x n
Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencias entre ambos: I n = C n - C0
EJEMPLO 4 ¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% simple anual?
Por suma de los intereses de cada período: Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0x i + C0x i + C0x i + C0x i = C0 x i x 4 = 300 x 0,07 x 4 = 84 € También se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial: C4 = 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384 In = 384 - 300 = 84 € EJEMPLO 5 ¿Qué interés producirán 6.000 euros invertidos 8 meses al 1% simple mensual? In = C0 x i x n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480 €
1.1.7. Cálculo del tipo de interés Si se conocen el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización simple y despejar la variable desconocida. Cn = C0 x (1 + n x i) Los pasos a seguir son los siguientes: Pasar el C0 al primer miembro:
Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 en los dos miembros):
Despejar el tipo de interés, dividiendo por n la expresión anterior:
EJEMPLO 6 Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5 años se obtenga un montante de 1.500 euros.
1.1.8. Cálculo de la duración Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de interés, partiendo de la fórmula general de la capitalización simple y despejando la variable desconocida. Punto de partida: Cn = C0 x (1 + n x i) Pasar el C0 al primer miembro (dividir por C0 la ecuación anterior): Cn --- = 1 + n x i C0 Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 a los dos miembros): Cn --- - 1 = n x i C0 Despejar la duración n, dividiendo por i:
EJEMPLO 7 Un capital de 2.000 euros colocado a interés simple al 4% anual asciende a 2.640 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.
1.2. Tantos equivalentes Normalmente los tipos de interés suelen venir expresados en términos anuales, pero no siempre se devengan con esa periodicidad, sino que, en la mayoría de las ocasiones, la acumulación de los intereses al capital inicial se hace en períodos más pequeños (meses, trimestres, semestres, ...). La cuestión es ¿por el hecho de modificar la frecuencia de cálculo de intereses me beneficiaré o, por el contrario, me veré perjudicado? En este sentido, lo lógico es pensar que cualquiera que sea el número de veces que se calculen los intereses, al final el importe total de los mismos no haya variado, esto es, el resultado final de la operación no se vea afectado. En consecuencia, si se cambia la frecuencia de cálculo de los intereses habrá que cambiar el importe del tanto de interés aplicado en cada caso. Surge el concepto de tantos equivalentes.
1.2.1. Concepto Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, se dice que son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante.
1.2.2. Relación de tantos equivalentes Los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión:
i = ik x k
donde k se denomina frecuencia de capitalización y se define como el número de partes iguales en las que se divide el período de referencia (considerando como tal el año), pudiendo tomar los siguientes valores: k = 2 -> semestre i2 = tanto de interés semestral k = 3 -> cuatrimestre i3 = tanto de interés cuatrimestral k = 4 -> trimestre i4 = tanto de interés trimestral k = 12 -> mes i12 = tanto de interés mensual
EJEMPLO 8 Determinar el montante resultante de invertir 700 euros durante 3 años en las siguientes condiciones: a) Interés anual del 12% Cn = 700 x (1 + 3 x 0,12) = 952 € b) Interés semestral del 6% Cn = 700 x (1 + 3 x 0,06 x 2) = 952 € c) Interés mensual del 1% Cn = 700 x (1 + 3 x 0,01 x 12) = 952 €
1.3. Descuento simple Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento simple. Es una operación inversa a la de capitalización.
1.3.1. Características de la operación Los intereses no son productivos, lo que significa que:
• •
A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto Los intereses de cualquier período siempre los genera el mismo capital, al tanto de interés vigente en dicho período.
En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de interés aplicado. El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C0–) será de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera. Gráficamente:
Elementos: D: Descuento o rebaja. Cn: Valor final o nominal. C0: Valor actual, inicial o efectivo. i ó d: Tanto de la operación. Por tanto, el capital presente (C0) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresión: D = Cn – C 0 Además, el descuento, propiamente dicho, no es más que una disminución de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto se calcula como el interés total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe el capital futuro). Se cumple: D = Capital x Tipo x Tiempo Y, según cuál sea el capital que se considere para el cómputo de los intereses, estaremos ante las dos modalidades de descuento que existen en la práctica:
• •
Descuento racional, matemático o lógico, y Descuento comercial o bancario.
En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en este tipo de operaciones el punto de partida es un capital futuro (Cn) (conocido) que se quiere sustituir por un capital presente (C0) (que habrá de calcular), para lo cual será necesario el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone.
1.3.2. Descuento racional El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C0) empleando un tipo de interés efectivo (i). Al ser C0 (el capital inicial) aquel que genera los intereses en esta operación, igual que ocurría en la capitalización, resulta válida la fórmula de la capitalización simple, siendo ahora la incógnita el capital inicial (C0).
Así pues, a partir de la capitalización simple se despeja el capital inicial, para posteriormente por diferencias determinar el descuento racional: Cn = C0 (1 + n x i) • Cálculo del capital inicial: Cn C0 = ------------1+nxi • Cálculo del ahorro de intereses (Dr): Cn Cn x n x i Dr = Cn – C0 = Cn – -------------- = -------------1+nxi 1+nxi De otra forma: Cn Cn x n x i Dr = C0 x i x n = --------------- x i x n = ----------------1+nxi 1+nxi
1.3.3. Descuento comercial Los intereses generados en la operación se calculan sobre el nominal (Cn) empleando un tipo de descuento (d). En este caso resulta más interesante calcular primero el descuento (Dc) y posteriormente el capital inicial (C0). Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los períodos descontados (n), y en cada período tanto el capital considerado para calcular los intereses como el propio tanto se mantiene constante, resulta:
Dc = Cn x d + Cn x d + … + Cn x d = Cn x n x d <----------------------------------> n veces
El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc): C0 = Cn – Dc = Cn – Cn x n x d = Cn x (1 – n x d)
C0 = Cn x (1 – n x d)
EJEMPLO 9 Se pretende anticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con vencimiento dentro de 3 años a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operación.
Caso 1: Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional):
100 C0 = ---------------- = 76,92 € 1 + 3 x 0,1 Dr = 100 – 76,92 = 23,08 € o bien: Dr = 76,92 x 0,1 x 3 = 23,08 € Caso 2: Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal (descuento comercial):
Dc = 100 x 0,1 x 3 = 30 € C0 = 100 – 30 = 70 € o bien: C0 = 100 x (1 – 3 x 0,1) = 70 €
1.3.4. Tanto de interés y de descuento equivalentes Si el tipo de interés (i) aplicado en el descuento racional coincide en número con el tipo de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sería el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cómputo del cálculo de intereses; de forma que siempre el descuento comercial será mayor al descuento racional (Dc> Dr) –como ocurre en el ejemplo 9.
No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relación entre tipos de interés y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad u otra. Será necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de interés, para lo cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidades de descuentos: Dr = Dc. Sustituyendo los dos descuentos por las expresiones obtenidas anteriormente: Cn x n x i ------------- = Cn x n x d 1+nxi Y simplificando, dividiendo por Cn x n: i ------------ = d 1+nxi Obteniéndose el tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i:
i d = ------------1+nxi
Análogamente, conocido d se podrá calcular el tanto i:
d i = -------------1–nxd
La relación de equivalencia entre tipos de interés y descuento, en régimen de simple, es una función temporal, es decir, que un tanto de descuento es equivalente a tantos tipos de interés como valores tome la duración (n) de la operación y al revés (no hay una relación de equivalencia única entre un i y un d).
EJEMPLO 10 En el ejemplo 9 si consideramos que el tanto de interés es del 10% anual. ¿Qué tipo de descuento anual deberá aplicarse para que ambos tipos de descuento resulten equivalentes? Si i = 10% Entonces se ha de cumplir: 0,1 d = ---------------- = 0,076923 = 7,6923% 1 + 3 x 0,1 Comprobación:
Calculando el valor actual y el descuento considerando un tipo de interés del 10% (descuento racional): 100 C0 = ---------------- = 76,92 € 1 + 3 x 0,1 Dr = 100 – 76,92 = 23,08 € Calculando el valor actual y el descuento considerando el tipo de descuento antes calculado del 7,6923% (descuento comercial): Dc = 100 x 0,076923 x 3 = 23,08 € C0 = 100 – 23,08 = 76,92 € o bien: C0 = 100 (1 – 0,076923 x 3) = 76,92 €
2. Equivalencia financiera de capitales Cuando se dispone de varios capitales de diferentes cuantías y situados en diferentes momentos de tiempo puede resultar conveniente saber cuál de ellos es más interesante desde el punto de vista financiero (porque valga más o menos que los demás). Para decidir habría que compararlos, pero no basta con fijarse solamente en las cuantías, se tendría que considerar, a la vez, el momento de tiempo donde se encuentran situados. Además, la comparación debería ser homogénea, es decir, tendrían que llevarse todos los capitales a un mismo momento y ahí efectuar la comparación. Comprobar la equivalencia financiera entre capitales consiste en comparar dos o más capitales situados en distintos momentos y, para un tipo dado, observando si tienen el mismo valor en el momento en que se comparan. Para igualar los capitales en un momento determinado se utilizará la capitalización o el descuento.
2.1. Principio de equivalencia de capitales: concepto Dos capitales, C1 y C2, que vencen en los momentos t1 y t2 respectivamente, son equivalentes cuando, valorados en un mismo momento de tiempo t, tienen la misma cuantía. Esta definición se cumple cualquiera que sea el número de capitales que intervengan en la operación. Si dos o más capitales se dice que son equivalentes resultará indiferente cualquiera de ellos, no habiendo preferencia por ninguno en particular. Por el contrario, si no se cumple la equivalencia habrá uno sobre el que tendremos preferencia y, en consecuencia, lo elegiremos. Si el principio de equivalencia se cumple en un momento de tiempo concreto, no tiene por qué cumplirse en otro momento cualquiera (siendo lo normal que no se cumpla en ningún otro momento). Consecuencia de esta circunstancia será que la elección de la fecha donde se haga el estudio comparativo afectará y condicionará el resultado.
2.2. Aplicaciones del principio de equivalencia: sustitución de capitales La sustitución de un(os) capital(es) por otro u otros de vencimientos y/o cuantías diferentes a las anteriores, sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.
Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan las mismas cuantías. A este momento de tiempo donde se realiza la valoración se le denomina época o fecha focal o, simplemente, fecha de estudio. Para plantear una sustitución de capitales el acreedor y el deudor han de estar de acuerdo en las siguientes condiciones fundamentales:
• • • •
Momento de tiempo a partir del cual se computan los vencimientos. Momento en el cual se realiza la equivalencia, teniendo en cuenta que al variar este dato varía el resultado del problema. Tanto de valoración de la operación. Decidir si se utiliza la capitalización o el descuento.
Casos posibles: a. b. c.
Determinación del capital común. Determinación del vencimiento común. Determinación del vencimiento medio.
2.2.1. Determinación del capital común Es la cuantía C de un capital único que vence en el momento t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, …, Cn, con vencimientos en t1, t2, … , tn, respectivamente, todos ellos conocidos en cuantías y tiempos. Para su cálculo se valorarán en un mismo momento al tanto elegido, por una parte, los capitales de los que se parte y, por otra, el capital único desconocido que los va a sustituir. Si la equivalencia se plantea en 0:
Realizando la valoración con tipo de interés (i):
de donde se despejará C. Realizando la valoración a tipo de descuento (d): C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1 - t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t x d) despejando finalmente C, queda:
Si el estudio se realiza en el momento t, habrá que tener en cuenta que aquellos capitales que tengan un vencimiento inferior a t habrá que capitalizarlos (empleando un tipo de interés i), mientras que aquellos capitales con vencimientos superiores habrá que descontarlos, pudiéndose emplear bien un tipo de interés o bien de descuento.
Realizando la valoración con tipo de interés (i):
Se despejará C, pues todo lo demás se conoce.
EJEMPLO 11 Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 meses, respectivamente.
Propone sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 meses. Se pide: Calcular el importe a pagar si la operación se concierta al 8% de interés simple anual. 1.er caso: fecha de estudio en 0:
C = 11.032,53 € 2.º caso: fecha de estudio en 9:
C = 11.033,56 €
2.2.2. Determinación del vencimiento común Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir:
Para obtener este vencimiento habría que proceder de la misma forma que en el caso del capital común, siendo ahora la incógnita el momento donde se sitúa ese capital único. Así, por ejemplo, si la equivalencia se realiza en el origen a tanto de interés (i):
Realizando la valoración con tipo de interés (i):
simplificando:
Realizando la valoración a tipo de descuento (d): C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1 - t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t x d) se quitan los paréntesis y queda: C1 - C1 x t1 x d + C2 - C2 x t2 x d + ... + Cn - Cn x tn x d = C - C x t x d reordenando en el primer miembro: C1 + C2 + ... + Cn - d [C1 x t1 + C2 x t2 + ... + Cn x tn] = C - C x t x d
de donde se despeja t.
EJEMPLO 12
Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 meses, respectivamente. De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de 11.200 euros. Se pide: Calcular el momento de pago si la operación se concierta al 8% de interés simple anual. La fecha de estudio es el momento cero.
t = 11,41 meses
2.2.3. Determinación del vencimiento medio Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... , tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir: C = C1+ C2 +... + Cn El cálculo es idéntico al vencimiento común, lo único que varía es la cuantía del capital único que sustituye al conjunto de capitales de los que se parte, que ahora debe ser igual a la suma aritmética de las cuantías a las que sustituye. Realizando el estudio de equivalencia en el origen y empleando un tipo de descuento d, quedaría así:
C1 x (1 - t1 x d) + C2 x (1 - t2 x d) + ... + Cn x (1 - tn x d) = C x (1 - t x d) quitando los paréntesis: C1 - C1 x t1 x d + C2 - C2 x t2 x d + ... + Cn - Cn x tn x d = C - C x t x d reordenando en el primer miembro:
dividiendo la ecuación por – d:
En definitiva, el vencimiento medio resulta ser una media aritmética ponderada de los vencimientos de los capitales de partida, siendo el importe de dichos capitales los factores de ponderación.
EJEMPLO 13 Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 meses, respectivamente. De acuerdo con el acreedor acuerdan hoy sustituir las tres deudas por una sola de 11.000 euros. Se pide: Calcular el momento de pago si la operación se concierta al 8% de descuento simple anual. La fecha de estudio es el momento cero.
t = 8,55 meses De otra forma:
3. Descuento de efectos 3.1. CONCEPTO El descuento bancario es una operación financiera que consiste en la presentación de un título de crédito en una entidad financiera para que ésta anticipe su importe y gestione su cobro. El tenedor cede el título al banco y éste le abona su importe en dinero, descontando el importe de las cantidades cobradas por los servicios prestados.
3.2. CLASIFICACIÓN Según el título de crédito presentado a descuento, distinguimos:
•
•
Descuento bancario, cuando el título es una letra de cambio. – Descuento comercial. Cuando las letras proceden de una venta o de una prestación de servicios que constituyen la actividad habitual del cedente. – Descuento financiero. Cuando las letras son la instrumentalización de un préstamo concedido por el banco a su cliente. Descuento no cambiario, cuando se trata de cualquier otro derecho de cobro (pagarés, certificaciones de obra, facturas, recibos ).
3.3. CÁLCULO FINANCIERO DEL DESCUENTO El importe anticipado por la entidad al cliente se denomina efectivo o líquido, y se obtiene restando del importe de la letra (nominal) el importe de todos los costes originados por el descuento (intereses, comisiones y otros gastos). Intereses: cantidad cobrada por la anticipación del importe de la letra. Se calcula en función del nominal descontado, el tiempo que se anticipa su vencimiento y el tipo de interés aplicado por la entidad financiera.
t Intereses = N x ------- x d 360
siendo: N: Nominal del efecto. t: Número de días que el banco anticipa el dinero. d: Tipo de descuento anual, en tanto por uno. Comisiones: también denominado quebranto o daño, es la cantidad cobrada por la gestión del cobro de la letra que realiza el banco. Se obtiene tomando la mayor de las siguientes cantidades:
• •
Un porcentaje sobre el nominal. Una cantidad fija (mínimo).
Otros gastos: son los denominados suplidos, donde se pueden incluir los siguientes conceptos: el timbre, correspondiente al IAJD y el correo, según la tarifa postal.
EJEMPLO 14 Se desea descontar una letra de 3.250 euros cuando aún faltan 60 días para su vencimiento en las siguientes condiciones:
• • •
Tipo de descuento: 14% anual. Comisión: 3‰ (mínimo 5 euros). Otros gastos: 2 euros.
Se pide: Conocer el efectivo recibido por el cedente.
Nominal
3.250,00
Intereses (3.250 x 0,14 x 60/360) 75,83 Comisión protesto (3.250 x 0,003) 9,75 Otros gastos 2,00 Total gastos
Efectivo
87,58
-----------3.162,42
3.4. LETRA DEVUELTA Es aquella que se devuelve al cedente al no ser atendido su pago a su vencimiento por parte del librado. Si la letra había sido descontada previamente, el banco se la cargará en cuenta del cliente, junto con los gastos originados por el impago.
•
Gastos de devolución:
•
– Comisión de devolución. – Correo. Gastos de protesto:
•
– Comisión de protesto. – Coste del protesto. Intereses: Cuando el banco cobre con posterioridad a la fecha de vencimiento de la letra devuelta por impagada. Se calcularán sobre la suma del nominal de la letra impagada más el importe de todos los gastos originados por el impago, por el período transcurrido entre vencimiento y cargo.
EJEMPLO 15 Llegado el vencimiento de la letra del ejemplo 14, ésta es devuelta por impagada, cargándose en la cuenta del cedente por los siguientes conceptos:
• • •
Comisión de devolución: 1‰. Comisión de protesto: 2‰. Correo: 2,50 euros.
Se pide: Determinar el importe adeudado en la cuenta corriente del cedente.
Nominal ..
Comisión devoluc. (3.250 x 0,001) . Comisión protesto (3.250 x 0,002) . Correo ..
Total gastos .
Adeudo en c/c .
3.250,00 3,2 5 6,5 0 2,5 0 12,25
-----------3.262,25
3.5. LETRA DE RESACA O RENOVACIÓN Se designa así a aquella que se emite para recuperar otra anterior que ha sido devuelta, junto con los gastos que originó su devolución. Se trata de determinar cuál ha de ser el nominal de esta nueva letra de forma tal que todos los gastos se le repercutan a quien los originó (el librado). Para su cálculo se tratará como una letra que se emite y descuenta en unas condiciones normales, con la particularidad de que ahora el efectivo es conocido (la cantidad que se desea recuperar –nominal impagado más los gastos de la devolución más los gastos del giro y descuento de la nueva letra–) y el nominal es desconocido (que hay que calcular).
EJEMPLO 16 Finalmente para recuperar la letra devuelta por impagada del ejemplo 15 se llega al acuerdo de girar una nueva letra con vencimiento a 30 días, en las siguientes condiciones:
• • •
Tipo de descuento: 15%. Comisión: 3‰. Otros gastos: 10 euros.
Se pide: Determinar el importe de la nueva letra.
E’ = N’ – (I’ + C’ + F’) 3.262,25 = N’ – N’ x 0,15 x 30/360 – 0,003 x N’ – 10 N’ = 3.323,77 €
3.6. DESCUENTO DE UNA REMESA DE EFECTOS En ocasiones no se descuentan los efectos de uno en uno, sino que se acude al banco con un conjunto de ellos, una remesa de efectos, agrupados por períodos temporales, para descontarlos conjuntamente en las mismas condiciones generales. El documento en el que se liquida el descuento de la remesa se denomina factura de negociación. Proceso de liquidación:
• •
• •
Confeccionar la factura con todos los efectos que componen la remesa. Sumar cada una de las tres siguientes columnas: – Importe nominal. – Importe intereses. – Importe comisiones. Si han existido gastos (correo, timbres, etc.) sus importes se consignarán aparte. El importe líquido resultante de la negociación se obtendrá restando del nominal total de la remesa el montante de todos los gastos habidos.
EJEMPLO 17 Se presenta a descuento la siguiente remesa de efectos:
Efecto Nominal Días de descuento A B C
30.000 20.000 15.000
20 25 30
Las condiciones del descuento son:
• • •
Tipo descuento: 12%. Comisión: 5‰ (mínimo 90 euros). Correo: 6 euros/efecto.
Se pide: Descontar la remesa anterior. Solución:
Efecto Nominal Días Tipo Intereses Porcentaje Comisión A B C
30.000 20.000 15.000
20 25 30
12% 12% 12%
65.000
200,00 166,67 150,00
5‰ 5‰ mínimo
516,67
Nominal
Interés . Comisión Correo ..
340
6 6 6 18
65.000,00 516,6 7 340,0 0 18,00
Total gastos ..
Efectivo .
150 100 90
Correo
874,67
------------64.125,33
4. Cuentas corrientes 4.1. DEFINICIÓN Un contrato de cuenta corriente es un acuerdo entre dos partes con relaciones comerciales frecuentes, por el que ambas se comprometen a ir anotando el importe de las operaciones que hagan entre ellas para liquidarlas todas juntas en la fecha que señalen. Pueden pactarse estas cuentas corrientes entre empresas o particulares, pero donde más se usan es en las relaciones entre los bancos y sus clientes. Las cuentas corrientes bancarias, a su vez, pueden ser de dos tipos: de depósito y de crédito.
Una cuenta corriente de depósito es un contrato bancario por el que el titular puede ingresar fondos en una cuenta de un banco, o retirarlos total o parcialmente sin previo aviso. En la cuenta corriente de crédito es el banco quien concede al cliente (acreditado) la posibilidad de obtener financiación hasta una cuantía establecida de antemano (límite del crédito). Comenzaremos estudiando las primeras, que si bien es cierto que se trata más de un instrumento de gestión en virtud del cual el banco se compromete a realizar, por cuenta de su cliente, cuantas operaciones son inherentes al «servicio de caja», pueden llegar a convertirse en una fuente de financiación (descubierto bancario).
4.2. CLASES DE CUENTAS CORRIENTES Las cuentas corrientes de depósito se pueden clasificar según diversos criterios. I. Según sus titulares:
• • •
Individual: abierta a nombre de un solo titular. Conjunta: cuando hay dos o más titulares, exigiéndose que cualquier acto deba ser realizado conjuntamente por todos los titulares, exigiendo la entidad la firma de todos ellos. Indistinta: cuando hay dos o más titulares, pudiendo disponer cualquiera de ellos de los fondos utilizando únicamente su firma.
II. Según el devengo de interés:
•
•
Cuentas corrientes sin interés: son aquellas en las que no se paga ningún tanto por el aplazamiento de los capitales. Para hallar la liquidación bastará calcular la diferencia entre el Debe y el Haber de dicha cuenta. Cuentas corrientes con interés: en este caso los capitales producen interés por el período que media entre la fecha valor de la operación y la fecha de liquidación de la cuenta.
En las cuentas corrientes con interés, éste puede ser:
• •
Recíproco: cuando a los capitales deudores y a los acreedores se les aplica el mismo tanto de interés. No recíproco: cuando el tanto aplicado a los capitales deudores no es el mismo que el aplicado a los capitales acreedores.
Para liquidar estas cuentas no bastará con calcular la diferencia entre las sumas del Debe y del Haber sino que deberemos hallar también el interés.
4.3. NORMAS DE VALORACIÓN Valorar una operación en una cuenta bancaria es adjudicarle una fecha a efectos del cálculo de intereses. En este sentido hay que diferenciar entre la fecha donde tiene lugar la operación (fecha operación) y la que se considera para el cómputo de intereses (fecha valor). La Circular 8/1990 del Banco de España establece las condiciones mínimas de valoración que deben aplicar las entidades financieras, distinguiendo entre operaciones de abono y de adeudo.
ABONOS Clase de operaciones
Fecha de valoración a efectos
del devengo de intereses 1. Entregas en efectivo. 1.1. Realizadas antes de las 11 de la mañana. 1.2. Las demás.
El mismo día de la entrega. El día hábil siguiente a la entrega.
2. Entregas mediante cheques, etc. 2.1. A cargo de la propiedad entidad (sobre cualquier oficina). 2.2. A cargo de otras entidades (1).
El mismo día de la entrega. Segundo día hábil siguiente a la entrega.
3. Transferencias bancarias, órdenes de entrega y similares. 3.1. Procedentes de la propia entidad. 3.2. Procedentes de otras entidades.
El mismo día de su orden en la oficina de origen. El segundo día hábil siguiente a su orden en la oficina de origen (2).
4. Descuento de efectos.
Fecha en la que comienza el cálculo de intereses (3).
5. Presentación de recibos de carácter periódico, cuyo adeudo en cuenta ha autorizado previamente el deudor.
El mismo día del adeudo.
6. Venta de divisas.
El día hábil siguiente al de la cesión de las divisas.
7. Venta de valores.
El día hábil siguiente a la fecha de la venta en Bolsa.
8. Abono de dividendos, intereses y títulos amortizados, de valores depositados.
El mismo día del abono.
9. En cuentas de tarjetas de crédito, de garantía de cheques y similares.
El mismo día.
10. Otras operaciones.
Véanse notas.
(1) Incluido el Banco de España. (2) A cuyo efecto esta fecha deberá constar en la información referente a la transferencia. (3) En el cálculo de intereses no se incluirá el día del vencimiento del efecto.
ADEUDOS Clase de operaciones
Fecha de valoración a efectos del devengo de intereses
1. Cheques. 1.1. Pagados por ventanilla o por compensación interior en la oficina librada. 1.2. Pagados en firme por otras oficinas o entidades.
El mismo día de su pago.El mismo día de su pago, a cuyo efecto la oficina pagadora estampará su sello con indicación de la fecha de pago. Si faltase este requisito se adeudará con valor del día de su cargo en cuenta.
2. Reintegros o disposiciones.
El mismo día de su adeudo en la cuenta librada.
3. Órdenes de transferencia, órdenes de entrega y similares.
El mismo día de su orden (1).
4. Efectos devueltos. 4.1. Efectos descontados. 4.2. Cheques devueltos.
El día de su vencimiento. El mismo día de valoración que se dio al abonarlos en cuenta.
5. Recibos de carácter periódico cuyo adeudo en cuenta ha autorizado previamente el deudor. 5.1. A cargo del deudor. 5.2. Devolución del cliente.
Fecha del adeudo. La valoración aplicada en el abono.
6. Compra de divisas.
El mismo día de la entrega de las divisas.
7. Compra de valores.
El mismo día de la compra en bolsa.
8. Efectos domiciliados.
Los efectos cuyo pago se domicilie en una entidad de depósito, tanto en el propio efecto como en el aviso de cobro, serán adeudados en la cuenta de librado con valor día del vencimiento, tanto si proceden de la propia cartera de la entidad domiciliada como si le han sido presentados por entidades a través de la Cámara de Compensación o de una cuenta interbancaria.
9. Derivados de tarjetas de crédito y similares.
Según contrato de adhesión.
10. Otras operaciones.
Véanse notas.
(1) En las transferencias ordenadas por correo se entenderá por fecha de la orden la de recepción en la entidad. Notas: a) En todas las demás operaciones no contempladas expresamente, los adeudos y abonos se valorarán el mismo día en que se efectúe el apunte, si no se produce movimiento de fondos fuera de la entidad. En caso contrario, los abonos se valorarán el día hábil siguiente a la fecha del apunte. b) La consideración de los sábados como días hábiles o inhábiles deberá estar en función de la clase de operación de que se trate. Si su formalización hubiese de retrasarse por imperativos ajenos a la entidad (pagos a Hacienda, operaciones de bolsa, Cámara de Compensación, etc.) será día inhábil. En los restantes casos, en que la operación pueda formalizarse en el día, será considerado hábil. …/…
4.4. LIQUIDACIÓN DE CUENTAS CORRIENTES Conocidos los capitales y el tanto de interés, que se fija de antemano, sólo falta hallar el tiempo durante el cual produce intereses cada capital. Para ello se pueden seguir tres métodos: directo, indirecto y hamburgués. A continuación se comentará brevemente el funcionamiento de los dos primeros y se estudiará con más detalle el método hamburgués, que es el sistema que actualmente se emplea.
4.4.1. Método directo Considera que cada capital, deudor o acreedor, devenga intereses durante los días que median desde la fecha de su vencimiento hasta el momento de liquidación.
4.4.2. Método indirecto En este sistema los capitales generan intereses desde la fecha en la que se originan hasta una fecha fija denominada época. Ello supone un cálculo de intereses que no se corresponden con la realidad, por lo que cuando se conozca la fecha de liquidación deben rectificarse.
4.4.3. Método hamburgués o de saldos Este método recibe el nombre de hamburgués porque se usó por primera vez en Hamburgo. Y de saldos porque los números comerciales se calculan en base a los saldos que van apareciendo en la cuenta (y no en función de los capitales). Los pasos a seguir para liquidar la cuenta por este método son los siguientes: 1. Se ordenan las operaciones según fecha-valor. 2. Se halla la columna de saldos como diferencia entre el Debe y el Haber de capitales. Cada vez que hagamos una anotación cambiará el saldo de la cuenta. 3. Hallar los días, que se cuentan de vencimiento a vencimiento, y del último vencimiento a la fecha de cierre. 4. Se calculan los números comerciales multiplicando los saldos por los días y se colocan en el Debe si el saldo es deudor, o en el Haber si el saldo es acreedor. 5. A partir de aquí terminaremos la liquidación del siguiente modo:
a. Cálculo del interés. Intereses deudores = Suma de números deudores x Multiplicador fijo del banco
b. c.
Intereses acreedores = Suma de números acreedores x Multiplicador fijo del cliente El multiplicador fijo es el cociente resultante de dividir el tipo de interés de liquidación (anual) entre el total de días del año (360 ó 365). Cálculo del IRC (Impuesto de Rentas de Capital) sobre los intereses acreedores. Cálculo del saldo a cuenta nueva.
EJEMPLO 18 Liquidar por el método hamburgués la siguiente cuenta, cuyo titular, Óscar de Lózar, ha realizado los siguientes movimientos:
Fecha 06-05 14-05 23-05 11-06
Concepto Ingreso Cheque Cheque Ingreso
Cuantía
apertura a compensar a su favor c/c en efectivo
Signo
35.000 Haber 20.000 Haber 5.000 Debe 10.000 Haber
Las condiciones de liquidación son las siguientes:
• • • •
Fecha de liquidación el 30 de junio Por cada apunte una comisión de 3 euros IRC: 15% El interés anual aplicado es el 6%
Liquidación del período 06-05 al 30-06.
Fecha Movimiento
Cuantía Signo Saldos Signo Días
Números acreedores
06-05
Ingreso apertura 14-05 Ch./ comp. s/f Cheque c/c 23-05 Ingreso efectivo 11-06
35.000 20.000 5.000 10.000
H H D H
35.000 55.000 50.000 60.000
30-06
Cálculo de los números comerciales acreedores: 35.000 55.000 50.000 60.000 Total
x x x x
280.000 8= 495.000 9= 950.000 19 = 1.140.000 19 = ---------------2.865.000
H H H H
8 9 19 19
280.000 495.000 950.000 1.140.000
55
2.865.000
Cálculo de los intereses acreedores:
Retención impuestos (15% de 470,96) = 70,64 Comisión de administración (número de apuntes) = 3 x 4 = 12 Saldo después de la liquidación: 60.000 + 470,96 – 70,64 – 12 = 60.388,32
EJEMPLO 19 Liquidación por el método hamburgués de la siguiente cuenta corriente, cuya titular es la señora Manuela Jiménez Orgaz, en la que se aplican las siguientes condiciones:
• • •
Tipo anual de interés para saldos acreedores: 1% Tipo anual de interés para descubiertos: 12% Comisión sobre mayor descubierto: 2% sobre el mayor saldo descubierto contable en el período de liquidación. Fecha de liquidación: 30 abril. La entidad bancaria utiliza 365 para calcular los intereses deudores y acreedores. IRC: 15%
• • •
A lo largo del período se han producido los siguientes movimientos:
Fecha 01-03 14-03 14-03 27-03 30-03 10-04
Concepto
Cuantía
Apertura Ingreso en efectivo Letra a su cargo Transferencia a su favor Recibo luz Entrega en efectivo
Vencimiento
0 30.000 6.000 18.000 45.000 20.000
01 marzo 15 marzo 05 marzo 28 marzo 03 abril 11 abril
Liquidación del período 01-03 al 30-04.
Fecha Operac Concepto . 14-03
Letra a
Cuantí a
6.000
Sign o
D
Fech Saldo a s Valor 05-03
6.000
Sign o
Día s
D
10
Números acreedore s
Números Deudore s 60.000
14-03 27-03 30-03 10-04
s/cargo Ingreso efectivo Transferenci a s/f Recibo luz Entrega efectivo
30.000 18.000 45.000 20.000
H H D H
15-03 28-03 03-04 11-04
24.00 0 42.00 0 3.000 17.00 0
H H D H
30-04
13 6 8 19
56
312.000 (1) 252.000 (2) 323.000 (3)
887.000 (4)
(5)
24.000 (6)
84.000 (7)
Saldo antes de la liquidación: 17.000. Cálculo de los números comerciales acreedores: (1) 24.000 x 13 = (2) 42.000 x 6 = (3) 17.000 x 19 = Total
312.000 252.000 323.000 -----------887.000 Cálculo de los intereses acreedores:
Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la fórmula de interés simple (carrete): Intereses (15-03 a 28-03) = 24.000 x 13/365 x 0,01 = Intereses (28-03 a 03-04) = 42.000 x 6/365 x 0,01 = Intereses (11-04 a 30-04) = 17.000 x 19/365 x 0,01 =
8,55 6,90 8,85 -------24,30
Total
Cálculo de los números comerciales deudores:
(5) 6.000 x 10 = (6) 3.000 x 8 =
60.000 24.000 ---------
Total
84.000 Cálculo de los intereses deudores:
Al mismo resultado habríamos llegado aplicando la fórmula de interés simple (carrete):
Cálculo de retenciones sobre los intereses acreedores (rendimiento de capital mobiliario): 15% x 24,30 = 3,65 Cálculo de comisión sobre mayor descubierto: La comisión se calcula sobre los saldos en fecha operación, no en fecha valor. Por tanto, para ver si procede ésta habrá que ordenar los movimientos según se han producido realmente (fecha operación).
Fecha operac. 14-03 14-03 27-03 30-03 10-04
Concepto Letra a s/cargo Ingreso efectivo Transferencia s/f Recibo luz Entrega efectivo
Cuantía
Signo
6.000 30.000 18.000 45.000 20.000
30-04
D H H D H
Saldos 6.000 24.000 42.000 3.000 17.000
Signo
Días
D H H D H
0 13 6 8 19 46
Se podrá cobrar una comisión sobre el mayor descubierto en fecha operación (en el supuesto de que ocurriera más de uno durante el período liquidado). Estando prohibidas las comisiones de apertura y similares en los descubiertos en cuenta corriente por valoración. Así pues, de acuerdo con las fechas operación, sólo se ha producido un descubierto provocado por el pago del recibo de la luz el 30 de marzo por importe de 3.000 sobre el que se aplicará el 2% establecido: 2% x? 3.000 = 60 Saldo después de la liquidación: + 17.000 + 24,30 – 27,62 – 3,65 – 60 = + 16.933,03
5. Crédito bancario: la póliza de crédito Difícil es encontrar una empresa que no disponga de al menos una póliza de crédito contratada con una entidad financiera. Y ello es porque al mismo tiempo que como instrumento de financiación (la más usada) es la vía a través del cual se articula gran parte de los cobros y pagos de la actividad ordinaria. En primer lugar, conviene diferenciar el crédito frente al conocido préstamo bancario. La diferencia está básicamente en dos puntos:
• •
El crédito permite la disposición gradual de las cantidades necesarias, en la cuantía y por el tiempo que se desee. Mientras que en el préstamo se dispone de una sola vez de toda la cantidad prestada. En la póliza se paga por la cantidad dispuesta y en función del tiempo de disposición. Por el contrario, en el préstamo se paga por el total aunque no se haya usado.
Los créditos se formalizan en una póliza en la que se establecen las condiciones de funcionamiento: límite del crédito, tipo de interés, comisiones, frecuencia de liquidación, etc., instrumentándose a través de una cuenta bancaria que funciona y se liquida de forma parecida a las cuentas corrientes y que permite cuantificar cómo se ha usado el dinero del banco y, en consecuencia, calcular el coste de la operación.
5.1. COSTES DERIVADOS DEL USO DE UNA PÓLIZA DE CRÉDITO Intereses: calculados sobre los diferentes saldos vigentes, en función del tiempo de su vigencia y del tipo contratado:
• •
Intereses deudores (o normales), por aquella parte del crédito que se haya dispuesto, siempre que no haya superado el límite contratado. Intereses excedidos, por aquella parte dispuesta por encima del límite de crédito acordado.
Comisión de apertura: en función del límite de crédito concedido (cuantía que, en principio, podemos disponer como máximo), pagadera de una sola vez al principio. Comisión de disponibilidad: en función del saldo medio no dispuesto, es lo que hay que pagar por la parte del crédito contratado (límite) y no utilizado. Comisión de excedido: sobre el mayor saldo excedido, es decir, sobre la parte utilizada por encima del límite del crédito. Se habla de comisión sobre el mayor saldo excedido, porque solamente se podrá cobrar una comisión de excedido por cada período de liquidación, por lo que calculará sobre el mayor habido en dicho intervalo de tiempo.
5.2. LIQUIDACIÓN DE LA CUENTA DE CRÉDITO La liquidación de estas cuentas se lleva a cabo por el método hamburgués, sistema que realiza los cálculos a partir de los saldos que va arrojando la cuenta a medida que se registran, por orden cronológico, los movimientos que se vayan produciendo. Los pasos para la liquidación son:
1. Cálculo del saldo de la cuenta cada vez que se realiza un nuevo movimiento. 2. Hallar los días que cada saldo está vigente. 3. Cálculo de los números comerciales, multiplicando cada saldo por los días que está vigente, clasificando los números a su vez en: deudores, excedidos y acreedores, según que los saldos sean deudores, excedidos o acreedores, respectivamente.
4. 5.
Esto debe hacerse así porque después se aplica distinto tanto de interés al saldo deudor de los saldos excedidos del crédito (los que superan el límite contratado), así como a los saldos acreedores (a favor del cliente), aunque tal situación no es muy frecuente. La suma de números deudores, excedidos y acreedores. Cálculo de los intereses, que serán: Intereses deudores = Números deudores x Multiplicador deudor Intereses excedidos = Números excedidos x Multiplicador excedido Intereses acreedores = Números acreedores x Multiplicador acreedor El multiplicador fijo es el cociente entre el tipo de interés a aplicar (en tanto por uno)
6.
y el número de días que tiene un año (360 ó 365). Una vez calculados los intereses, se cargarán en cuenta los deudores y los excedidos y se abonarán los intereses acreedores. Se calculan y se cargan en cuenta: La comisión sobre saldo medio no dispuesto, teniendo en cuenta que: Saldo medio no dispuesto = Límite de crédito – Saldo medio dispuesto siendo: Suma de números deudores Saldo medio dispuesto = ------------------------------------Días que dura el crédito
7. 8.
La comisión sobre el saldo mayor excedido. Por último se halla el saldo a cuenta nueva como diferencia entre el Debe y el Haber de capitales.
EJEMPLO 20 El señor don Javier Casal de Blas ha contratado con su banco una póliza de crédito en las siguientes condiciones:
• • • • • • •
Límite de crédito: 20.000 euros Interés deudor (dentro del crédito concedido): 10% Interés excedido: 22% Interés acreedor: 1% Comisión de disponibilidad: 5‰ trimestral Comisión por máximo excedido: 1‰ trimestral Liquidación por trimestres vencidos.
A lo largo del primer período de liquidación se han producido los siguientes movimientos: 15-04 Concesión de la póliza. Cargo de 400 euros por comisiones. 20-04 Pago de una factura de 5.000 euros 10-05 Pago de un talón de 10.000 euros A lo largo del segundo período de liquidación se han producido los siguientes movimientos: 08-08 Pago facturas varias 6.000 euros 16-09 Ingreso en efectivo de 22.000 euros A partir de estos datos se realizarán las siguientes liquidaciones: Liquidación del período 15-04 al 15-07.
Fech a
Concept o
15-04 Comisión
Cuantí a
400
Sign o
D
Saldo
400
Sign o
D
Día s
5
Número s deudore s 2.000
Números excedido s
Números acreedore s
aper. Pago 20-04 factura 10-05 Pago talón
5.000 10.000
D D
5.400 15.40 0
D D
15-07
20 66
108.000 1.016.40 0
91
1.126.40 0
Cálculo de los números comerciales deudores: 400 x 5 = 5.400 x 20 = 15.400 x 66 =
Total
2.000 108.000 1.016.400 ------------1.126.400 Cálculo de los intereses deudores:
Cálculo de la comisión de disponibilidad:
Saldo medio no dispuesto = 20.000 – 12.378,02 = 7.621,98 Comisión por disponibilidad = 0,005 x 7.621,98 = 38,11 Saldo después de la liquidación: – 15.400 – 312,89 – 38,11 = – 15.751,00 Liquidación del período 15-07 al 15-10
Fech a
Cuantí Concepto a
Sign o
Saldo
Sign o
Día s
Número s deudore s
Números excedido s
Números acreedore s
Liquidació n 15-07 Pago 08-08 factura 16-09 Ingreso efectivo
351 6.000 22.000
D D H
15.75 1 21.75 1 249
15-10
Cálculo números deudores
24 39 29
378.024 780.000
92
1.158.02 4
Cálculo números excedidos
15.751 x 24 = 378.024 20.000 x 39 = 780.000 ----------------------------Total
D D H
1.751 x 39 = 68.289
68.289
68.289
7.221
7.221
Cálculo números acreedores
249 x 29 = 7.221
1.158.024
Cálculo de los intereses
Cálculo de la comisión de disponibilidad
Saldo medio no dispuesto = 20.000 – 12.587,22 = 7.412,78 Comisión por disponibilidad = 0,005 x 7.412,78 = 37,06 Cálculo de la comisión por máximo excedido: Comisión por único excedido = 0,001 x 1.751,00 = 1,75 Saldo después de la liquidación: + 249 – 321,67 – 41,73 + 0,20 – 37,06 – 1,75 = – 153,01
CAPÍTULO 2. Capitalización compuesta.
Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en régimen de simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores).
1. Capitalización compuesta 1.1. CONCEPTO Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital por otro equivalente con vencimiento posterior mediante la aplicación de la ley financiera de capitalización compuesta.
1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN El capital final (montante) (Cn) se va formando por la acumulación al capital inicial (C0) de los intereses que periódicamente se van generando y que, en este caso, se van acumulando al mismo durante el tiempo que dure la operación (n), pudiéndose disponer de ellos al final junto con el capital inicialmente invertido.
1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN Los intereses son productivos, lo que significa que:
• •
A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los períodos siguientes. Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de dicho período.
Gráficamente para una operación de tres períodos:
1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente:
Momento Momento Momento = C0 x (1 Momento = C0 x (1 … Momento
0: C0 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 x i = C0 x (1 + i) 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 x i = C1 x (1 + i) = + i) x (1 + i) = C0 x (1 + i)2 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 x i = C2 x (1 + i) = + i)2 x (1 + i) = C0 x (1 + i)3 n: Cn = C0 x (1 + i)n
Expresión que permite calcular el capital final o montante (Cn) en régimen de compuesta, conocidos el capital inicial (C0), el tipo de interés (i) y la duración (n) de la operación. Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación no varía. En caso contrario habrá que trabajar con el tipo vigente en cada período. A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización compuesta) además de calcular montantes, podremos, conocidos tres datos cualesquiera, despejar el cuarto restante.
EJEMPLO 1 Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta.
C10 = 200 x (1 + 0,05 )10 = 325,78 € Si se hubiese calculado en simple: C10 = 200 x (1 + 0,05 x 10) = 300 € La diferencia entre los dos montantes (25,78 euros) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final.
1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma: Cn = C0 x (1 + i)n de donde se despeja C0:
EJEMPLO 2 ¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese plazo?
1.500 ----------------- = 1.334,99 C0 = € (1 + 0,06)2
1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencia entre ambos:
In = Cn – C 0
EJEMPLO 3 ¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% compuesto anual? 300 I4?
C4 = 300 x (1 + 0,07)4 = 393,24 € In = 393,24 – 300 = 93,24 €
1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida. Cn = C0 x (1 + i)n Los pasos a seguir son los siguientes:
•
•
Pasar el C0 al primer miembro: Cn ---- = (1 + i)n C0 Quitar la potencia (extrayendo raíz n a los dos miembros):
•
Despejar el tipo de interés:
EJEMPLO 4
Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 años se obtenga un montante de 1.601,03 euros.
1.000 x (1 + i)12 = 1.601,03
1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de interés, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida.
•
Punto de partida:
•
Pasar el C0 al primer miembro:
•
Extraemos logaritmos a ambos miembros:
•
Aplicamos propiedades de los logaritmos:
•
Despejar la duración:
EJEMPLO 5 Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.
2.000 x (1 + 0,04 )n = 3.202 log Cn – log C0 log 3.202 – log 2.000 = 12 n = ---------------------- = -----------------------------años log (1 + i) log 1,04
1.9. ESTUDIO COMPARATIVO DE LA CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA Si el estudio se realiza con un capital de 1.000 euros colocados a un tipo del 10% efectivo anual, durante 6 años, el siguiente cuadro recoge el montante alcanzado al final de cada período en un caso y otro:
Años
1
2
3
4
5
6
En simple..........
1.100,0 0
1.200,0 0
1.300,0 0
1.400,0 0
1.500,0 0
1.600,00
En compuesta...
1.100,0 0
1.210,0 0
1.331,0 0
1.464,1 0
1.610,5 1
1.771,56
Donde se observa que el montante obtenido en régimen de simple va aumentando linealmente, cada año aumentan 100 euros (los intereses del año, generados siempre por el capital inicial de 1.000 euros). Por su parte, en la operación en compuesta, cada año se van generando más intereses que en el período anterior: la evolución no es lineal sino exponencial, consecuencia de ser el capital productor de los mismos cada año mayor (los intereses generan nuevos intereses en períodos siguientes). Gráficamente:
Transcurrido un período (1 año si se considera tipos anuales) el montante coincide en ambos regímenes, para cualquier otro momento ya no existe ninguna coincidencia, siendo las diferencias entre ambos sistemas cada vez mayores. De la misma forma, se cumple que para períodos inferiores al año el montante es mayor en régimen de simple y, a partir del año, es mayor en compuesta. Éste es el motivo de la preferencia de la capitalización simple en operaciones a corto plazo y la compuesta para el largo plazo.
2. Tantos equivalentes La definición de tantos equivalentes es la misma que la vista en régimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante. Como ya se comentó cuando se hablaba del interés simple, la variación en la frecuencia del cálculo (y abono) de los intereses suponía cambiar el tipo de interés a aplicar para que la
operación no se viera afectada finalmente. Entonces se comprobó que los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión: i = ik x k Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez más grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los intereses y antes generarán nuevos intereses, por lo que existirán diferencias en función de la frecuencia de acumulación de los mismos al capital para un tanto de interés dado. Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicación de un tipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año en las siguientes condiciones:
a. Interés anual del 12% Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00
b. Interés semestral del 6% Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60
c. Interés trimestral del 3% Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51 Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses se está realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados. Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización, el montante final siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.
2.1. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES EN COMPUESTA Los tantos en compuesta para que resulten equivalentes han de guardar la siguiente relación: 1 + i = (1 + ik)k donde k es la frecuencia de capitalización, que indica:
• •
El número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año). Cada cuánto tiempo se hacen productivos los intereses, esto es, cada cuánto tiempo se acumulan los intereses, dentro del período, al capital para producir nuevos intereses.
Esta relación se obtiene a partir de la definición de equivalencia vista anteriormente, obligando a que un capital (C0) colocado un determinado período de tiempo (n años) genere el mismo montante (Cn) con independencia de la frecuencia de acumulación de intereses (i o ik): Utilizando el tanto anual i, el montante obtenido será:
Cn = C0 x (1 + i)n Utilizando el tanto k-esimal ik, el montante obtenido será:
Cn = C0 x (1 + ik)nk Si queremos que el montante sea el mismo en los dos casos, se tiene que producir la igualdad entre los resultados de ambas operaciones, esto es, dado que la operación es la misma –ya que lo único que ha cambiado es la frecuencia de cálculo de los intereses–, se debe conseguir el mismo capital final en ambos casos, por tanto, obligando a que se cumpla esa igualdad de montantes: C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nk Simplificando la igualdad, eliminando C0 y la potencia n: C0 x (1 + i)n = C0 x (1 + ik)nk Quedando finalmente: (1 + i ) = (1 + ik)k
Expresión que indica la relación en la que han de estar los tantos, i e ik, para que produzcan el mismo efecto, es decir, para que sean equivalentes. El valor de i en función de ik será: i = (1 + ik)k – 1
El valor de ik en función de i será: ik = (1 + i)1/k – 1
EJEMPLO 6 Determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año a un tanto del 12% efectivo anual, suponiendo:
a. Devengo anual de intereses: i = 0,12 Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00 €
b. Devengo semestral de intereses: Puesto que el tipo que se conoce es anual y ahora la frecuencia de cálculo es semestral, habrá que calcular previamente el tanto semestral equivalente al anual de partida, para después calcular el montante. i2 = (1 + 0,12)1/2 – 1 = 0,05830 Cn = 1.000 x (1 + 0,05830)2 = 1.120,00 €
c. Devengo trimestral de intereses: Igual que en el caso anterior, habrá que calcular el tanto trimestral equivalente al anual conocido. i4 = (1 + 0,12)1/4 – 1 = 0,028737 Cn = 1.000 x (1 + 0,028737)4 = 1.120,00 € Los resultados son los mismos, debido a la utilización de intereses equivalentes.
3. Tanto nominal (Jk) Por una parte, nos encontramos con la necesidad de aplicar la relación anterior de equivalencia de tantos si queremos que, aun trabajando en diferentes unidades de tiempo, los resultados finales sigan siendo idénticos. Por otra, hay que ser conscientes de la dificultad que supone el conocer y aplicar dicha expresión de equivalencia. En este punto surge la necesidad de emplear un tanto que permita pasar fácilmente de su unidad habitual (en años) a cualquier otra diferente y que financieramente resulte correcta: el tanto nominal. El tanto nominal se define como un tanto teórico que se obtiene multiplicando la frecuencia de capitalización k por el tanto k-esimal: Jk = i k x k Expresión pensada para pasar fácilmente de un tanto referido al año (el tanto nominal) a un tanto efectivo k-esimal, ya que el tanto nominal es proporcional. Así pues, en compuesta, los tantos de interés pueden ser tantos efectivos (i o ik) o nominales (Jk), teniendo en cuenta que el tanto nominal (también conocido como anualizado) no es un tanto que realmente se emplee para operar: a partir de él se obtienen tantos efectivos con los que sí se harán los cálculos necesarios. A continuación se muestran las relaciones existentes entre tantos nominales y tantos efectivos anuales.
Tabla de conversión de tantos nominales a tantos anuales efectivos (TAE) La fórmula de cálculo es: i = (1 + ik)k – 1 = (1 + Jk/k)k – 1
Frecuencia de capitalización
k=1
k=2
k=4
Semestral Trimestral
k = 12
Interés nominal
Anual
Mensual
8%
8,000%
8,160%
8,243%
8,300%
9%
9,000%
9,202%
9,308%
9,381%
10%
10,000%
10,250%
10,381%
10,471%
11%
11,000%
11,303%
11,462%
11,572%
12%
12,000%
12,360%
12,551%
12,683%
El tipo de interés efectivo anual correspondiente a un tipo nominal aumenta a medida que aumenta el número de capitalizaciones anuales. Es decir, cada tipo nominal está calculado para trabajar en una determinada unidad de tiempo y sólo en ésa; si se quiere cambiar a otra unidad distinta, habrá que volver a recalcular el tanto nominal, para que el resultado final no cambie. Tabla de conversión de tantos efectivos anuales (TAE) a tantos nominales La fórmula de cálculo es: Jk = ik x k = [(1 + i)1/k – 1] x k Frecuencia de capitalización
k=1
k=2
k=4
k = 12
Interés efectivo anual
Anual
8%
8,000%
7,846%
7,771%
7,721%
9%
9,000%
8,806%
8,711%
8,649%
10%
10,000%
9,762%
9,645%
9,569%
11%
11,000%
10,713%
10,573%
10,482%
12%
12,000%
11,660%
11,495%
11,387%
Semestral Trimestral
Mensual
El tipo de interés nominal correspondiente a un tipo efectivo anual disminuye a medida que aumenta el número de capitalizaciones anuales. Igual que antes, si queremos conseguir un mismo tanto efectivo anual a partir de un tanto nominal, éste deberá ser diferente en función de la frecuencia de capitalización para la cual se haya calculado.
4. Descuento compuesto
4.1. CONCEPTO Se denomina así a la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la ley financiera de descuento compuesto. Es una operación inversa a la de capitalización.
4.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN Los intereses son productivos, lo que significa que:
• •
A medida que se generan se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto. Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital del período anterior, al tanto de interés vigente en dicho período.
En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto aplicado. El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C0–) será de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que un capital deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera. Al igual que ocurría en simple, se distinguen dos clases de descuento: racional y comercial, según cuál sea el capital que se considera en el cómputo de los intereses que se generan en la operación:
• •
Descuento racional. Descuento comercial.
4.3. DESCUENTO RACIONAL Para anticipar el vencimiento del capital futuro se considera generador de los intereses de un período el capital al inicio de dicho período, utilizando el tipo de interés vigente en dicho período. El proceso a seguir será el siguiente: Gráficamente:
Paso a paso, el desarrollo de la operación es como sigue: Período n: Cn Período n–1: Cn-1 = Cn – In = Cn – Cn-1 x i Cn-1 x (1 + i) = Cn
Cn Cn-1 = ------------(1 + i) Período n–2: Cn-2 = Cn-1 – In-1 = Cn-1 – Cn-2 x i Cn-2 x (1 + i) = Cn-1 Cn-1 Cn Cn-2 = ------------ = -----------(1 + i)1 (1 + i)2 Período n–3: Cn-3 = Cn-2 – In-2 = Cn-2 – Cn-3 x i Cn-3 x (1 + i) = Cn-2 Cn-2 Cn Cn-3 = ----------- = ---------(1 + i)1 (1 + i)3 Período 0: C 0 = C 1 – I 1 = C 1 – C0 x i C0 x (1 + i) = C1 C1 Cn C0 = ---------- = -----------1+i (1 + i)n
Los intereses se calculan finalmente sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de la anticipación del capital futuro. Se trata de la operación de capitalización compuesta, con la particularidad de que el punto de partida ahora es el capital final y se pretende determinar el capital actual. De otra forma, partiendo de la expresión fundamental de la capitalización compuesta, Cn = C0 x (1 + i)n, se despeja el capital inicial (C0): C
n
C = ---------0 (1 + i)n
Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendrá el interés total de la operación (Dr), o descuento propiamente dicho:
Dr = Cn x [1 - (1 + i)-n]
EJEMPLO 7 Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta a un tipo de interés del 5% anual compuesto?¿Cuánto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?
C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000 24.000 C0 = -------------- = 20.732,10 € 1,053 Dr = 24.000 - 20.732,10 = 3.267,90 € De otra forma más directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente: Dr = 24.000 x [1 - (1 + 0,05)-3] = 3.267,90 €
4.4. DESCUENTO COMERCIAL En este caso se considera generador de los intereses de un período el capital al final de dicho período, utilizando el tipo de descuento (d) vigente en dicho período. El proceso a seguir será el siguiente: Gráficamente:
Paso a paso, el desarrollo de la operación es como sigue: Período n: Cn Período n-1: Cn-1 = Cn - In = Cn - Cn x d = Cn x (1 - d)
Período n-2: Cn-2 = Cn-1 - In-1 = Cn-1 - Cn-1 x d = Cn-1 x (1 - d) = = Cn x (1 - d) x (1 - d) = Cn x (1 - d)2 Período n-3: Cn-3 = Cn-2 - In-2 = Cn-2 - Cn-2 x d = Cn-2 x (1 - d) = = Cn x (1 - d)2 x (1 - d) = Cn x (1 - d)3 Período 0: C0 = Cn x (1 - d)n
Una vez calculado el capital inicial, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, se obtendrá el interés total de la operación (Dc): Dc = Cn - C0 = Cn x [1 - (1 - d)n]
Se desea anticipar un capital de 10.000 euros que vence dentro de 5 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta a un tipo de descuento del 10% anual? ¿Cuánto nos habremos ahorrado por el pago anticipado?
C0 = 10.000 x (1 - 0,10)5 = 5.904,90 € Dc = 10.000 - 5.904,90 = 4.095,10 € De otra forma más directa, sin tener que calcular el capital inicial previamente: Dc = 10.000 x [1 - (1 - 0,10)5] = 4.095,10 €
4.5. TANTOS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES Una vez estudiados los dos procedimientos de descuento, se intuye que descontando un capital cualquiera, el mismo tiempo y con el mismo tanto, los resultados serán diferentes según se realice por un procedimiento u otro. Sería conveniente encontrar la relación que deben guardar los tantos de interés y los tantos de descuento para que el resultado de la anticipación fuera el mismo cualquiera que sea el modelo de descuento empleado. Se trata de buscar la relación de equivalencia entre tantos de descuento y de interés. Esta relación de equivalencia debe conseguir que el resultado final sea el mismo en uno y otro caso, es decir, se tiene que cumplir la igualdad entre ambos descuentos Dr = Dc, por tanto:
simplificando, dividiendo por Cn:
Restando la unidad y, posteriormente, multiplicando por – 1: 1 ---------- = (1 - d)n (1 + i)n Finalmente, extrayendo raíz n a la ecuación, queda la relación de equivalencia buscada: 1 1 – d = -------1+i
El tanto de descuento comercial d equivalente al tanto i será: i d = --------1+i Análogamente, encontraremos un tipo de interés equivalente a un d: d i = --------1–d Hay que tener en cuenta que la relación de equivalencia es independiente de la duración de la operación. Por tanto, se cumple que para un tanto de interés solamente habrá un tipo de descuento que produzca el mismo efecto (sea equivalente) y viceversa, sin tener en cuenta el tiempo en la operación. EJEMPLO 9 Se desea anticipar el pago de una deuda de 24.000 euros que vence dentro de 3 años. Si el pago se hace en el momento actual, ¿qué cantidad tendremos que entregar si la operación se concierta…? 1.er caso: a un tipo de interés del 5% anual compuesto (descuento racional): C0 x (1 + 0,05)3 = 24.000 24.000 C0 = -------------- = 20.732,10 € 1,053 2.º caso: a un tipo de descuento del 5% anual compuesto (descuento comercial):
C0 = 24.000 x (1 - 0,05)3 = 20.577,00 € Por tanto, aplicando un tipo de interés y de descuento idénticos los resultados son distintos, siendo mayor el valor actual obtenido en el descuento racional debido a que el capital productor de intereses es el capital inicial (más pequeño) y en consecuencia menor el ahorro por la anticipación. Para conseguir el mismo resultado habría que calcular el tipo de descuento equivalente al 5% de interés mediante la relación de equivalencia: 0,05 d = ------------ = 0,047619 1 + 0,05 Actualizando comercialmente al nuevo tipo de descuento, el resultado será: C0 = 24.000 x (1 – 0,047619)3 = 20.732,10 €
5. Equivalencia de capitales en compuesta Para comprobar si dos o más capitales resultan indiferentes (equivalentes) deben tener el mismo valor en el momento en que se comparan: principio de equivalencia de capitales. El principio de equivalencia financiera nos permite determinar si dos o más capitales situados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos. Ya vimos en las operaciones en simple la definición y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo válidos. La diferencia fundamental viene dada porque en régimen de compuesta la fecha donde se realice la equivalencia no afecta al resultado final de la operación, por tanto, si la equivalencia se cumple en un momento dado, se cumple en cualquier punto y, si no se cumple en un momento determinado, no se cumple nunca.
5.1. APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: SUSTITUCIÓN DE CAPITALES La sustitución de unos capitales por otro u otros de vencimientos y/o cuantías diferentes a las anteriores sólo se podrá llevar a cabo si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes. Para ver si dos alternativas son financieramente equivalentes se tendrán que valorar en un mismo momento de tiempo y obligar a que tengan el mismo valor, pudiéndose plantear los siguientes casos posibles:
5.1.1. Determinación del capital común Es la cuantía C de un capital único que vence en t, conocido, y que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos.
5.1.2. Determinación del vencimiento común Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir:
5.1.3. Determinación del vencimiento medio Es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, ... , Cn, con vencimientos en t1, t2, ... ,tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir: C = C1 + C2 + ... + Cn
EJEMPLO 10 Un señor tiene tres deudas de 2.000, 4.000 y 5.000 euros con vencimientos a los 6, 8 y 10 años, respectivamente, llegando al acuerdo con el acreedor de sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los 9 años. Se pide: Calcular el importe a pagar en ese momento si la operación se concierta al 8% de interés compuesto anual. 1.er caso: fecha de estudio en 0:
2.000 4.000 5.000 C ----------- + ---------- + ----------- = --------1,086 1,088 1,0810 1,089 resultando: C = 11.469,05 € 2.º caso: fecha de estudio en 9:
5.000 2.000 x 1,083 + 4.000 x 1,08 + ---------- = C 1,08 resultando: C = 11.469,05 € EJEMPLO 11 Un señor tiene dos cobros pendientes de 5.000 y 8.000 euros con vencimientos a 3 y 5 años, respectivamente. Si quisiera sustituir ambos capitales por uno sólo, acordándose la operación a un tipo de interés del 6%, calcular el momento del cobro único en los siguientes supuestos: 1.º La cuantía a recibir fuera de 12.000 euros. 2.º La cuantía a recibir fuera de 13.000 euros. 1.er caso: vencimiento común
5.000 8.000 12.000 ----------- + ----------- = ----------1,063 1,065 1,06t 12.000 4.198,10 + 5.978,07 = ---------1,06t 12.000
10.176,17 = ----------1,06t 12.000 1,06t = ---------------10.176,17 12.000 log ---------------10.176,17 0,071597 t = -------------------------- = ---------------- = 2,83 años log 1,06 0,025306 2.º caso: vencimiento medio
5.000 8.000 13.000 ---------- + --------- = -----------1,063 1,065 1,06t 13.000 10.176,17 = ----------1,06t 13.000 log ---------------10.176,17 0,106359 t = -------------------------- = ---------------- = 4,20 años log 1,06 0,025306
Nota. En compuesta no se puede aplicar la fórmula vista en régimen de simple para el cálculo del vencimiento medio: C1 x t1 + C2 x t2 + ... + Cn x tn t = vencimiento medio = -------------------------------------------C1 + C2 + ... + Cn
CAPÍTULO 3. Rentas 2. Rentas constantes Las rentas de cuantía constante pueden, a su vez, subdividirse en unitarias o no unitarias, pospagables y prepagables, temporales o perpetuas, inmediatas, diferidas o anticipadas, enteras y fraccionadas. Iremos analizando cada uno de estos supuestos.
2.1. RENTA CONSTANTE, UNITARIA, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA Vamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene un número determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tanto están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).
2.1.1. Cálculo del valor actual Comenzaremos por la renta constante más fácil, la que tiene como término la unidad (renta unitaria), cuya representación gráfica es la siguiente:
Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están cada uno de los capitales hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminología anùi, donde n representa el número de capitales e i el tanto de valoración:
que supone la suma de n términos en progresión geométrica decreciente de razón:
que se puede calcular con la siguiente expresión:
que permite sumar n términos en progresión decreciente, donde a1 es el primer término de la progresión, an es el último término y r es la razón. Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta y simplificando posteriormente:
expresión que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre sí hasta su origen al tanto de interés i. Sin embargo, el importe de los capitales no suele ser unitario. En el supuesto de encontrarnos con una renta constante cuyos términos fueran de cuantía c, el valor actual se representa por Anùi y se obtendría de la siguiente forma:
Sacando factor común el término c:
Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y entera de n términos, anùi:
La expresión Anùi indica, pues, que la renta es constante de cuantía diferente de la unidad.
EJEMPLO 1 Calcular el valor actual de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 euros cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.
Moviendo los capitales uno a uno:
Utilizando la renta:
EJEMPLO 2 Calcular el valor de la imposición que tendremos que realizar en un banco que capitaliza al 12% de interés efectivo anual compuesto, si queremos disponer de 20.000 euros al final de cada uno de los próximos 5 años.
Las cantidades a recibir en el futuro constituyen una renta constante, temporal, pospagable, inmediata y entera. Por tanto, para que exista equivalencia entre la imposición y los reintegros, aquélla debe coincidir con el valor actualizado de estos últimos. Así, la imposición inicial será el valor actual de la renta formada por los reintegros al tanto que genera la operación.
2.1.2. Cálculo del valor final Seguimos trabajando con la misma renta constante, unitaria, temporal –n capitales–, pospagable, inmediata y entera; pero ahora vamos a calcular su valor final, es decir, valoraremos todos los términos de la renta en su final (momento n), quedando gráficamente así:
Aplicando la definición de valor final y llevando los términos uno a uno, capitalizando en régimen de capitalización compuesta al tanto de la renta i, desde donde se encuentra cada uno hasta el final, se obtiene el valor final, que se nota con la siguiente terminología snùi siendo n el número de capitales e i el tanto de valoración:
Que no es sino la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón r = 1 + i, que se puede calcular con la siguiente expresión:
donde a1 es el primer término de la progresión, an es el último término y r es la razón. Aplicando dicha fórmula a los términos capitalizados de la renta y simplificando posteriormente queda:
Al mismo resultado hubiésemos llegado si se capitaliza el valor actual de la renta hasta su final empleando el mismo tanto de valoración:
por tanto el valor final de la renta será la capitalización de su valor actual.
Comprobación:
En el supuesto de ser los términos de cuantía c, el valor final (Snùi) se calculará así:
Simplificando, tomando factor común el término c:
Donde el corchete es el valor final de la renta unitaria, temporal de n términos, pospagable, inmediata y entera, snùi:
Y, de igual forma, se puede obtener capitalizando el valor actual:
EJEMPLO 3 Calcular el valor final de una renta de tres términos anuales vencidos de 100 euros cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual.
Desplazando los capitales uno a uno:
V3 = 100 x (1 + 0,1)2 + 100 x (1 + 0,1) + 100 = 331 € Utilizando la renta:
Capitalizando el valor actual: V3 = 248,69 x (1 + 0,1)3 = 331 €
EJEMPLO 4 Calcular el importe acumulado en un banco al cabo de 5 años, si imponemos al final de cada uno de ellos 20.000 euros siendo el tipo de interés de la cuenta el 12% efectivo anual. El importe acumulado después de 5 años será el valor final de la renta formada por las imposiciones que se han realizado, utilizando como tanto de valoración el tipo de interés de la propia cuenta.
EJEMPLO 5 Calcular el número de ingresos de 25.000 euros que tenemos que realizar al final de cada año para reunir 209.845,94 euros en un banco que capitaliza al 6% efectivo anual. En este caso se conoce la cuantía a imponer periódicamente, que constituye una renta constante, y el saldo que queremos tener constituido (el valor final de la renta); lo que se
desea conocer es el número de imposiciones a realizar, esto es, el número de términos de la renta (n) que constituyen las imposiciones.
y mediante logaritmos se despeja la incógnita n:
2.2. RENTAS PREPAGABLES Vamos a estudiar una renta constante (términos de igual cuantía), temporal (tiene un número determinado de capitales), prepagable (los términos vencen al principio del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tipo de interés están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).
2.2.1. Cálculo del valor actual Comenzaremos por la renta constante que tiene como término la unidad (renta unitaria), cuya representación gráfica es la siguiente:
Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde está cada capital hasta el origen se obtiene el valor actual que notaremos por änùi:
que supone la suma de n términos en progresión geométrica decreciente de razón:
que se puede calcular con la siguiente expresión:
Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta y simplificando posteriormente:
expresión que permite mover n capitales de una unidad monetaria equidistantes entre sí hasta su origen, al tanto de interés i. Otra posibilidad consiste en calcular el valor actual de la renta prepagable valorando por separado el primer capital, que ya está en el origen, y el resto de capitales (n – 1) como renta pospagable inmediata:
Para rentas constantes cuyos términos fueran de cuantía c, el valor actual (Änùi) se obtiene valorando en el origen cada uno de esos capitales:
Sacando factor común c:
Donde el corchete es el valor actual de la renta unitaria, temporal, prepagable, inmediata y entera, änùi:
La expresión Änùi indica que la renta es constante de cuantía diferente de la unidad.
Nota: los valores actuales y finales de las rentas prepagables se obtienen a partir de las rentas pospagables multiplicando por (1 + i), es decir, las rentas prepagables son el resultado de capitalizar un período las rentas pospagables.
EJEMPLO 6 Calcular el valor actual y final de una renta de tres términos anuales situados a principios del año de 100 euros cada uno a un tanto de interés del 10% efectivo anual. • Valor actual
Moviendo los capitales uno a uno:
Utilizando la renta:
• Valor final
Moviendo los capitales uno a uno: V3 = 100 x (1 + 0,1)3 + 100 x (1 + 0,1)2 + 100 x (1 + 0,1) = 364,10 € Utilizando la renta:
Capitalizando el valor actual: V3 = 273,55 x (1 + 0,1)3 = 364,10 €
2.3. RENTAS PERPETUAS Las rentas perpetuas son aquellas cuyo número de términos es infinito. Por este motivo a este tipo de rentas sólo se le podrá calcular valor actual pero nunca el valor final, y todo ello con independencia de que sea pospagable o prepagable, constante o variable, etc. El valor actual de estas rentas se obtendrá viendo qué ocurre si aplicamos las fórmulas empleadas para rentas temporales y en lugar de utilizar un número finito de capitales (n) trabajamos con infinitos términos (∞∞). En definitiva, se trata de trabajar con el concepto matemático de los límites, cuando la duración de la renta (y por tanto, el número de capitales) tiende a infinito.
En el caso de renta constante, pospagable, inmediata y entera: • Renta unitaria:
• Renta no unitaria: Será la cuantía del término multiplicado por la renta unitaria:
En el caso de una renta constante, prepagable, inmediata y entera, se puede hacer uso de la definición de renta perpetua, pero también se puede hacer uso de la regla habitual de calcular la renta prepagable multiplicando por (1 + i) la misma renta considerada pospagable. • Renta unitaria:
• Renta no unitaria:
Hallar el valor actual de una renta perpetua semestral con un término de 25.000 euros si el tanto de valoración es el 12% nominal capitalizable por semestres, en los siguientes casos: a) Si los capitales son pospagables. b) Si los capitales son prepagables.
a) Pospagables:
b) Prepagables:
2.4. RENTAS DIFERIDAS Son aquellas que se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoración se denomina período de diferimiento de la renta. Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n términos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoración elegido. Gráficamente quedaría:
Al aplicar la definición de valor financiero en el momento t:
Sacando factor común:
quedará:
Donde el corchete representa el valor actual de la renta unitaria, temporal (n términos), pospagable, inmediata y entera (anùi), que posteriormente se descuenta como un capital único, al mismo tipo (i), durante el período de diferimiento (d). Por tanto, se obtendría el mismo resultado si valoramos la renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente se descuenta dicho valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, en régimen de descuento compuesto al tanto de interés vigente durante el período de diferimiento. Gráficamente sería:
Analíticamente quedaría así:
Expresión esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: d/anùi, donde n representa el número de términos de la renta, i, el tanto de valoración y d, el período de diferimiento. Si la renta fuera constante, pero de cuantía diferente de la unidad (no unitaria) todo lo dicho seguiría siendo válido y bastaría con multiplicar el valor de la renta unitaria por la cuantía del término.
El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, si lo que se quiere calcular es el valor final de la renta, aplicando la definición de valor final se ratará como una renta inmediata, aunque también se podría obtener dicho valor final a partir del valor actual diferido:
Vn = V0 x (1 + i)n = Vt x (1 + i)d+n
EJEMPLO 8 Calcular el valor actual y final de una renta cuya duración es de 5 años, con términos anuales prepagables de 2.700 euros sabiendo que se empiezan a devengar dentro de 3 años. Tanto de valoración 11% efectivo anual. Se trata de una renta diferida 3 años, con términos prepagables y 5 términos. • Valor actual:
• Valor final:
El diferimiento no afecta al valor final, que se podía haber calculado como el de una renta inmediata de 5 términos prepagables:
2.5. RENTAS ANTICIPADAS Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final. El tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de valoración se denomina período de anticipación de la renta. Si partimos de una renta unitaria, temporal (de n términos) y pospagable se trata de valorar los capitales directamente, uno a uno, en el momento de valoración elegido. Gráficamente quedaría:
Al aplicar la definición de valor financiero en el momento t:
Vn+h = (1 + i)h + (1 + i)h+1 + (1 + i)h+2 + ... + (1 + i)
h+n-1
Sacando factor común (1 + i)h quedará lo siguiente:
Vn+h = (1 + i)h x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ... + (1 + i)n-1]
Donde el corchete representa el valor final de la renta unitaria, temporal (n términos), pospagable, inmediata y entera (snùi), que posteriormente se capitaliza como un capital único, al mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h). Por tanto, si primero se valora la renta en su final y posteriormente capitalizamos el valor final, como un solo capital, se obtendría el mismo resultado.
Analíticamente quedaría así:
Expresión esta que puede notarse de forma abreviada de la siguiente forma: h/s nùi, donde n representa el número de términos de la renta, i, el tanto de valoración y h, el período de anticipación. La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizará como si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación entre diferentes valores de la renta:
Todo lo anterior se cumple, de igual forma, para rentas constantes de cuantía diferente a la unidad (no unitarias).
EJEMPLO 9 Calcular el valor actual y final de una renta de 3 términos anuales de 1.000 euros pagaderos por vencido si la valoración al 7% anual se efectúa a los 8 años de comenzada la renta. Se trata de una renta anticipada, puesto que la valoración se realiza 5 años después de haberse hecho efectivo el último capital. No obstante, la anticipación no afecta al valor actual que se resolverá como una renta inmediata.
• Valor actual:
• Valor final:
también:
V8 = V0 x (1 + 0,07)8 = 2.624,32 x (1 + 0,07)8 = 4.509,06 €
1. Rentas
Hasta ahora las operaciones financieras que venimos realizando se componían de un capital único (o pocos) tanto en la prestación como en la contraprestación. Sin embargo, hay un gran número de operaciones que se componen de un elevado número de capitales: la constitución de un capital, los planes de jubilación, los préstamos, ... En todas ellas intervienen muchos capitales y sería difícil y poco práctico moverlos de uno en uno, como lo hemos hecho hasta ahora. Surge la necesidad de buscar un método matemático que nos facilite la tarea de desplazar un elevado número de capitales con relativa facilidad: las rentas. Se trata de unas «fórmulas» que en determinados casos permitirán desplazar en el tiempo un grupo de capitales a la vez.
1.1. CONCEPTO La renta se define como un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes de tiempo. Para que exista renta se tienen que dar los dos siguientes requisitos:
• •
Existencia de varios capitales, al menos dos. Periodicidad constante, entre los capitales, es decir, entre dos capitales consecutivos debe existir siempre el mismo espacio de tiempo (cualquiera que sea).
1.2. ELEMENTOS • • • • • • •
Fuente de la renta: fenómeno económico que da origen al nacimiento de la renta. Origen: momento en el que comienza a devengarse el primer capital. Final: momento en el que termina de devengarse el último capital. Duración: tiempo que transcurre desde el origen hasta el final de la renta. Término: cada uno de los capitales que componen la renta. Período: intervalo de tiempo entre dos capitales consecutivos. Tanto de interés: tasa empleada para mover los capitales de la renta.
Gráficamente:
1.3. VALOR FINANCIERO DE UNA RENTA EN EL MOMENTO t (Vt) Es el resultado de llevar financieramente (capitalizando o descontando) todos los términos de la renta a dicho momento de tiempo t. Casos particulares
Si t = 0 (siendo 0 el origen de la renta) nos encontramos con el valor actual, esto es, resultado de valorar todos los términos de la renta en el momento cero. Si t = n (siendo n el final de la renta) se define como el valor final, resultado de desplazar todos los términos de la renta al momento n.
1.4. CLASES 1.4.1. Según la cuantía de los términos • •
Constante: cuando todos los capitales son iguales. Variable: cuando al menos uno de los capitales es diferente al resto, pudiéndose distinguir: – Variables sin seguir una ley matemática, cuando varían aleatoriamente. – Variables siguiendo una ley matemática, cuando lo hacen con un orden. - En progresión geométrica. - En progresión aritmética.
1.4.2. Según el número de términos • •
Temporal: tienen un número finito y conocido de capitales. Perpetua: tienen un número infinito o demasiado grande de capitales.
1.4.3. Según el vencimiento del término • •
Pospagable: los capitales se encuentran al final de cada período de tiempo. Prepagable: los capitales se sitúan a principio de cada período.
1.4.4. Según el momento de valoración • • •
Inmediata: valoramos la renta en su origen o en su final. Diferida: cuando se valora la renta en un momento anterior a su origen. Anticipada: el valor de la renta se calcula con posterioridad al final.
1.4.5. Según la periodicidad del vencimiento • • •
Entera: el término de la renta viene expresado en la misma unidad de tiempo que el tanto de valoración, cualquiera que sea la unidad tomada. No entera: el término de la renta viene expresado en una unidad de tiempo distinta a la del tanto de valoración. Fraccionada: el término de la renta se expresa en una unidad de tiempo menor que aquella en la que viene expresada el tipo de valoración de la renta.
1.4.6. Según la ley financiera • •
Simple: emplea una ley financiera a interés simple, para desplazar los capitales. Compuesta: la ley financiera empleada es la de capitalización compuesta.
Para el correcto empleo de las fórmulas financieras de las rentas, será necesario clasificar las rentas atendiendo a cada uno de estos criterios y, en función de la combinación que presente habrá que aplicar una u otra, según proceda. A las diferentes rentas que estudiemos a continuación se les va a hallar el valor actual y final y para ello bastará con recordar la fórmula matemática que permite sumar una serie de términos que varían en progresión geométrica, creciente o decreciente. Estas expresiones son las siguientes:
a1 - an x r S = -----------------1-r fórmula de la suma de n términos en progresión decreciente, an x r - a1 S = ----------------r-1 para el caso de la suma de n términos en progresión creciente, donde a1 es el primer término de la progresión, an es el último término y r es la razón que siguen los términos.
3. Rentas variables en progresión geométrica Este tipo de rentas sirve para valorar un conjunto de capitales equidistantes en el tiempo cuyas cuantías son variables siguiendo una ley en progresión geométrica, esto es, cada término es el anterior multiplicado por un mismo número (que se denomina razón de la progresión geométrica) y que notaremos por q. Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la razón de la progresión (q).
3.1. RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA Vamos a estudiar una renta variable (términos que siguen una progresión geométrica), temporal (tiene un número determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tanto están en la misma unidad de tiempo). Aunque no se diga expresamente se calculará en régimen de compuesta (renta compuesta).
3.1.1. Cálculo del valor actual La representación gráfica de la renta anteriormente citada es la siguiente:
Se trata de valorar en el origen todos los términos que componen la renta. Para ello llevaremos, uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde está cada capital hasta el origen, obteniéndose el valor actual, que se nota con la siguiente terminología: A(c; q) nùi, expresión que recoge la información de la renta (n
términos al tanto i) y también datos de la progresión que siguen los capitales (primer término –c– y razón de la progresión –q–):
Sacando factor común: c ---------(1 + i) se obtiene:
donde el corchete es la suma de n términos en progresión geométrica creciente de razón: q r = -------1+i Aplicando la expresión que suma términos que siguen esta ley: a1 – an x r S = --------------------1–r siendo a1 el primer término de la progresión, an, el último término y r, la razón. Aplicando dicha fórmula a los términos actualizados de la renta, el valor actual de la renta queda de la siguiente forma:
de donde finalmente se puede obtener:
expresión que solamente se podrá utilizar cuando q ≠ 1 + i. Cuando se cumple: q = 1 + i, la expresión del valor actual quedará de la siguiente forma:
sacando factor común:
El corchete, al simplificarse, no es más que la suma aritmética de n veces la unidad, quedando el valor actual así:
3.1.2. Cálculo del valor final A partir del valor actual se podrá calcular el valor de la renta en cualquier otro momento, utilizando la relación que existe entre los valores financieros en los diferentes momentos de tiempo. En concreto, el valor final será el resultado de capitalizar el valor actual antes calculado.
EJEMPLO 10 Hallar el valor actual y final de los ingresos anuales vencidos de un trabajador que el primer año va a ganar 20.000 euros y espera que crezcan un 5% anual de forma acumulativa para un horizonte temporal de 4 años. a) Suponiendo una tasa de valoración del 7%. b) Suponiendo una tasa de valoración del 5%.
a) Valorando al 7%:
b) Valorando al 5%:
Nota. A idénticos resultados se hubiera llegado si desplazamos uno a uno los capitales a la fecha de estudio.
3.2. RENTAS PREPAGABLES Para una renta variable con términos en progresión geométrica, temporal (n capitales), pospagable, inmediata, entera y valorada en compuesta, la representación gráfica queda de la siguiente forma:
3.2.1. Cálculo del valor actual Una posibilidad consiste en valorar los n capitales moviendo, por una parte, el primer capital, que ya está en el origen y el resto de capitales, n–1, como renta pospagable inmediata de n– 1 términos:
Otra posibilidad consiste en convertirla en pospagable multiplicando por (1 + i) todos los términos.
3.2.2. Cálculo del valor final Se puede obtener capitalizando el valor actual de la misma renta.
3.3. RENTAS PERPETUAS El cálculo de la renta en progresión geométrica perpetua se realiza, como las demás rentas perpetuas, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito:
resultando finalmente que el límite, y por tanto el resultado del valor actual, está en función de la relación existente entre el valor de la razón de la progresión (q) y (1 + i), y sólo tendrá sentido financiero cuando q < 1 + i, quedando el siguiente valor actual:
3.4. RENTAS DIFERIDAS Cuando se valoran con anterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen de la renta y el momento de valoración se denomina período de diferimiento de la renta. Para valorar la renta diferida, primero valoraremos renta en su origen (se considera como inmediata y se calcula su valor actual) y posteriormente descontaremos dicho valor actual (como un solo capital) hasta el momento t elegido, en régimen de descuento compuesto al tanto de interés vigente durante el período de diferimiento. Gráficamente sería:
El resultado final quedaría así:
El diferimiento solamente afecta al valor actual, por tanto, el valor final se calcula como en una renta inmediata.
3.5. RENTAS ANTICIPADAS Son aquellas que se valoran con posterioridad a su final, siendo el período de anticipación de la renta el tiempo que transcurre entre el final de la renta y el momento de su valoración. Valoraremos la renta, tratándola como renta inmediata, en su final y posteriormente capitalizamos este valor, al mismo tipo (i), durante el período de anticipación (h). También se podrá valorar la renta en su origen y posteriormente capitalizamos hasta el punto deseado.
El resultado será:
La anticipación solamente afecta al valor final pero no al valor actual, que se realizará como si de una renta inmediata se tratara, cumpliéndose la siguiente relación, como en cualquier otro tipo de renta, entre diferentes valores de la renta:
Vn Vn+h V0 = --------------- = ---------------(1 + i)n (1 + i)n+h
EJEMPLO 11 Determinar el valor actual de los ingresos de una empresa para los próximos 15 semestres si para el primer período ascienden a 500 euros y se estima un incremento semestral del 8% durante los primeros 10 semestres y manteniéndose constante a partir de entonces. Tipo de valoración el 10% efectivo semestral. Los 15 ingresos constituyen una renta, pero tomados conjuntamente sería aleatoria. Por el contrario, si se consideran en primer lugar los 10 primeros términos (renta en progresión geométrica inmediata) y a continuación los 5 últimos (renta constante y diferida), podremos emplear fórmulas de rentas. Así:
4. Rentas variables en progresión aritmética Este tipo de rentas se refiere a un conjunto de capitales cuyas cuantías van variando y lo hacen siguiendo una ley en progresión aritmética, esto es, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en una misma cuantía (que se denomina razón de la progresión aritmética) y que notaremos por d, siempre expresada en unidades monetarias. Para calcular cualquier término basta con conocer, por tanto, el primero de ellos (c) y la razón de la progresión (d).
4.1. RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y ENTERA Vamos a estudiar una renta variable en progresión aritmética, temporal (tiene un número determinado de capitales), pospagable (los términos vencen al final del período), inmediata (valoraremos la renta en su origen y su final) y entera (términos y tanto están en la misma unidad de tiempo).
4.1.1. Cálculo del valor actual La representación gráfica de la renta anteriormente citada es la siguiente:
Aplicando la definición de valor actual y llevando los términos uno a uno, descontando en régimen de descuento compuesto al tanto de la renta i, desde donde están hasta el origen se obtiene el valor actual, que se nota con la siguiente terminología A(c; d) nùi, expresión que además de recoger la información de la renta, recoge la información de la progresión (c; d):
de donde finalmente se puede obtener la siguiente expresión:
que se puede convertir en esta otra fórmula de cálculo:
Nota: se ha prescindido del desarrollo matemático de esta demostración, reflejando el resultado final del mismo.
4.1.2. Cálculo del valor final A partir del valor actual se podrá calcular cualquier otro valor financiero, utilizando la relación que existe entre los diferentes valores financieros en los distintos momentos de tiempo: Valor final:
EJEMPLO 12 Hallar el valor actual y final de una corriente de gastos anuales vencidos de un negocio que el primer año van a ser 2.000 euros y se espera que aumenten 100 euros cada año, suponiendo una tasa de valoración del 7% y para un horizonte temporal de 4 años.
• Valor actual:
• Valor final:
Nota: a idénticos resultados se hubiera llegado si valoramos uno a uno los capitales en la fecha de estudio.
4.2. RENTAS PREPAGABLES En este caso, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o final (según proceda) de la renta pospagable.
4.3. RENTAS PERPETUAS El cálculo de la renta en progresión geométrica perpetua se realiza, como para cualquier renta perpetua, a través del límite cuando la duración (n) tiende a infinito:
resultando finalmente:
Todas las fórmulas se han desarrollado suponiendo que la razón es positiva (d > 0), es decir, que los términos van aumentando, aunque siguen siendo válidas para el caso contrario, bastaría con cambiar el signo de la razón (d) en las fórmulas.
4.4. RENTAS DIFERIDAS Y ANTICIPADAS Serán diferidas cuando se valoran con anterioridad a su origen y anticipadas cuando se valoran después de su final.
Como en cualquier otro tipo de renta, se pueden establecer relaciones entre diferentes valores de la renta. Así:
Vn Vn+h V0 = ------------ = -------------(1 + i)n (1 + i)n+h
5. Rentas fraccionadas El fraccionamiento de las rentas consiste en dividir cada período de varios sub-períodos (k) asociando a cada subperíodo un capital. Por tanto, el fraccionamiento de una renta de n períodos la transforma en otra de n x k términos referidos a otros tantos subperíodos. A la hora de estudiar este tipo de rentas distinguiremos entre:
• •
Rentas fraccionadas constantes. Rentas fraccionadas en progresión geométrica.
•
Rentas fraccionadas en progresión aritmética.
Todas las fórmulas vistas hasta ahora son válidas para rentas enteras, ya fueran constantes o variables. Pero, ¿servirán para cuando la renta es fraccionada? La respuesta es afirmativa, siempre que se hagan los ajustes previos para convertirlas en rentas enteras.
5.1. RENTAS FRACCIONADAS CONSTANTES Son aquellas en las que la unidad de tiempo en la que viene expresado el tanto de interés de la renta es mayor que el tiempo del término, cualquiera que sea una y otra. Para resolver este tipo de rentas fraccionadas se puede proceder de dos formas distintas, que lógicamente llegan al mismo resultado final:
• •
Secciones Inicio Operacion
Utilizando el tanto equivalente. Utilizando el factor de transformación (o de conversión).
5.1.1. Método del tanto equivalente Se trata de transformar el tipo de interés del problema en otro equivalente en la misma unidad de tiempo que los capitales de la renta.
5.1.1.1. Rentas fraccionadas pospagables Haciendo el estudio para el caso de una renta temporal de n períodos, siendo los términos constantes de frecuencia k, vencidos e inmediata y el tanto de valoración i (en la unidad del período), la representación gráfica será:
En primer lugar, a partir del tipo de interés i se calcula el tanto equivalente que venga expresado en la unidad de los capitales (k-ésimos), para ello utilizaremos la relación de tantos equivalentes en compuesta: ik = (1 + i)1/k – 1 Resultando una renta constante (de cuantía c), temporal (de n x k términos), pospagable, inmediata y entera (al tanto ik):
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Si queremos calcular el valor actual se deberían actualizar a un tanto ik todos los capitales:
Finalmente:
Para el caso de renta perpetua:
El valor final se calculará, bien valorando los términos uno a uno hasta el final de la renta al tanto ik, quedará de la siguiente forma:
o bien capitalizando el valor actual previamente calculado:
EJEMPLO 13 Determinar el valor actual de una renta de 5 años de duración, siendo el tanto de valoración el 7% efectivo anual y sus términos de 850 euros trimestrales pospagables. Al venir el tipo de la renta en años y los términos en trimestres, la renta es fraccionada. Teniendo otras características: constante, temporal (20 términos trimestrales), pospagable e inmediata. Para su cálculo se convierte el tipo anual en un tipo trimestral equivalente, tratándose como una renta entera.
5.1.1.2. Rentas fraccionadas prepagables Si seguimos la renta del caso anterior, pero introduciendo un único cambio consistente en que los capitales se sitúan al principio de cada subperíodo, la situación queda así:
resultando una renta constante (de cuantía c), temporal (de n x k términos), prepagable, inmediata y entera (al tanto ik):
El valor actual se calcula actualizando a un tanto ik todos los capitales:
Finalmente:
Para el caso de renta perpetua:
El valor final se calculará, a partir de los términos de la renta, uno a uno hasta el final de la renta al tanto ik:
o bien capitalizando el valor actual previamente calculado:
5.1.2. Método del factor de transformación En este caso se trata de emplear los datos del problema y la información complementaria que se suministraría. En principio, lo normal será contar con tablas de valores actuales unitarios (anùi) , y de tantos nominales [Jk (i)], referidos al tanto i del supuesto. Haciendo el estudio para el caso de una renta temporal de n períodos, siendo los términos constantes de frecuencia k, vencidos e inmediata y el tanto de valoración i (en la unidad del período). La representación gráfica será:
Para el cálculo del valor actual partimos de la expresión empleada anteriormente con el método del tanto equivalente:
Pero ahora, en lugar de utilizar el tanto ik y trabajar con una renta de n x k términos, vamos a tener en cuenta las siguientes expresiones: • La relación de tantos equivalentes en compuesta: (1 + i) = (1 + ik)k que generalizando para n períodos y elevando ambos miembros a (–1), queda: (1 + i)-n = (1 + ik)-n x k • El tanto nominal equivalente al tipo efectivo i: Jk (i) que nos permite conocer ik a partir del nominal: Jk (i) ik = ----------k sustituyendo estos cambios en el valor actual de partida queda: 1 – (1 + i)-n 1 – (1 + i)-n V0 = c x ------------------- = c x k x -------------------Jk (i) Jk (i) --------k Si multiplicamos y dividimos el segundo miembro por i:
simplificando, queda:
siendo el cociente: i ----------Jk (i) el denominado factor de transformación. Al mismo resultado se hubiera llegado si sustituimos los k términos de un período por un único capital equivalente expresado en la unidad del tanto i y repitiendo esa operación para el resto de períodos se habrá convertido la renta en entera (tanto de valoración y términos de la renta en la misma unidad de tiempo –en la unidad del tipo de interés de partida–). Este capital equivalente puede tomarse al final del período (pospagable) o al principio (prepagable), sin que eso afecte al resultado final. Así, si el capital equivalente se considera pospagable, será el valor final de la renta formada por los k términos fraccionados constantes llevados al final de período:
Una vez calculado X, se trataría de actualizar una renta constante, de n términos de cuantía X, pospagable y entera.
Para el caso de renta perpetua:
El valor final se calculará, bien valorando los términos uno a uno hasta el final de la renta al tanto ik:
o bien capitalizando el valor actual previamente calculado:
Para rentas prepagables:
EJEMPLO 14 Se trata de resolver el ejemplo anterior a través del factor de transformación, por tanto, se pide el valor actual de una renta de 5 años de duración, siendo el tanto de valoración el 7% efectivo anual y sus términos de 850 euros trimestrales pospagables. Contamos con la siguiente información adicional:
EJEMPLO 15 Determinar el valor actual de una renta perpetua, siendo el tanto de valoración el 7% efectivo anual y sus términos de 850 euros trimestrales prepagables. Se dispone, como información adicional, del tanto nominal trimestral equivalente al 7% efectivo anual: J4 (0,07) = 0,0682341. Es una renta constante, perpetua, prepagable, inmediata y fraccionada (tanto de valoración anual y términos trimestrales).
5.2. RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Son aquellas en las que los términos siguen una progresión pero la razón de la variación se produce en una unidad de tiempo mayor que aquella en la que vienen dados los capitales, cualquiera que sea el tipo de interés de la renta. Por ejemplo, el caso de la renta formada por las nóminas de un individuo que cobra mensualmente y tiene subidas salariales anuales calculadas sobre el sueldo del año anterior: los sueldos varían anualmente pero se mantienen constantes dentro del año.
Conviene recordar que las fórmulas de las rentas en geométrica utilizadas sólo se pueden aplicar cuando los términos, el tanto de valoración y la razón de la renta están expresados en la misma unidad (obligatoriamente la de la razón, para que haya progresión). Por tanto, el ejemplo anterior (y cualquier caso parecido) no se podría resolver aplicando directamente las fórmulas de las rentas en progresión geométrica sin más.
Deberemos trabajar obligatoriamente en la unidad de tiempo en la que se produce la variación de los capitales (la unidad de la razón), lo que supondrá transformar, si es necesario, el tanto de valoración del problema (a través de la expresión de tantos equivalentes en compuesta). Por lo que se refiere a los capitales, éstos se mantienen constantes a nivel de subperíodo, dentro de cada período, y sólo varían de un período a otro (en el caso del ejemplo anterior, los sueldos se mantienen constantes dentro del año y varían de un año para otro), y de la misma manera que se cambia el tipo de interés, se deberán sustituir los términos por otros equivalentes en la unidad de la razón de la progresión. En el ejemplo de partida, la situación quedará gráficamente como sigue:
Se calculan términos anuales equivalentes a los términos constantes k-esimales:
No obstante, bastará con obtener el primero de ellos, porque según se observa los demás varían en progresión con la razón de partida (q). Con carácter más general, una renta variable en progresión geométrica de razón q, con términos k fraccionados, pospagables, temporal (de n períodos), al tanto i de valoración, la representación será la siguiente:
El cálculo del primer término equivalente c1 será:
y a continuación se tratará como una renta en progresión geométrica entera.
5.2.1. Valor actual
Si se quiere emplear una terminología en la que se aprecie el fraccionamiento, la expresión del valor actual queda así:
Siendo: k: la frecuencia de fraccionamiento. b x k: la suma aritmética de los capitales del primer período de la renta. q: la razón de la progresión. n: el número de períodos (en la unidad de tiempo de la razón). i: el tipo de interés en la unidad de tiempo de la razón. A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable, final, perpetuo, diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones ya comentadas para estos cálculos en cualquier tipo de renta.
5.2.2. Valor final
5.2.3. Prepagable
Es importante resaltar el hecho de que en las rentas prepagables, cuando se convierten en pospagables multiplicando por (1 + tipo de interés) habrá que hacerlo con el tanto en el que vienen los capitales (1 + ik).
5.2.4. Perpetua
EJEMPLO 16
Calcular el valor actual de la siguiente renta:
• • • •
Duración: 3 años. Términos semestrales vencidos de 1.000 euros durante el primer año. Aumento anual acumulativo de los términos de un 10%. Tanto de valoración del 8% efectivo anual.
Se trata de una renta variable en progresión geométrica (aumento de tipo acumulativo) por años, con términos semestrales vencidos (fraccionada), temporal e inmediata.
• Cálculo del valor actual empleando la terminología del fraccionamiento:
• Cálculo del valor actual empleando el término equivalente:
• Cálculo del valor final:
5.3. RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Al igual que en el caso de las geométricas fraccionadas, los términos varían, en este caso de forma lineal (aumento/disminución constante), produciéndose la variación con una unidad de tiempo mayor que aquella en la que vienen los capitales, cualquiera que sea el tipo de interés de la renta (por ejemplo, variación anual y capitales semestrales; variación trimestral y capitales mensuales, …). Las fórmulas de las rentas en aritmética sólo se pueden aplicar cuando los términos, el tanto de valoración y la razón de la renta están expresados en la misma unidad (obligatoriamente la de la razón, para que haya progresión). Por tanto, las situaciones anteriores (y cualquier caso parecido) no se podrán resolver aplicando directamente las fórmulas de las rentas en progresión aritmética sin más. Deberemos trabajar obligatoriamente en la unidad de tiempo en la que se produce la variación de los capitales (la unidad de la razón), lo que supondrá transformar, si es necesario, el tanto de
valoración del problema (a través de la expresión de tantos equivalentes en compuesta). Por lo que se refiere a los capitales, éstos se mantienen constantes a nivel de subperíodo, dentro de cada período, y sólo varían de un período a otro y de la misma manera que se cambia el tipo de interés, se deberán sustituir los términos por otros equivalentes en la unidad de la razón de la progresión. Para el caso de una renta variable en la que los términos aumentan periódicamente una cantidad d (progresión aritmética de razón d), con términos fraccionados, pospagables, temporal (de n períodos), al tanto i de valoración, la representación será la siguiente:
Calculando el primero de los términos equivalentes (c1):
el resto de términos equivalentes se obtienen a partir del primero, porque varían en progresión aritmética, siendo la razón el valor final de la renta que forma los aumentos constantes (d):
Trabajando en la unidad de variación de los capitales (la de la razón):
5.3.1. Valor actual
Si se quiere emplear una terminología en la que se aprecie el fraccionamiento, la expresión del valor actual queda así:
Siendo: k: la frecuencia de fraccionamiento. b x k: la suma aritmética de los capitales del primer período de la renta. d x k: la suma aritmética de los aumentos de un período respecto a otro (razón de la progresión). n: el número de períodos (en la unidad de tiempo de la razón). i: el tipo de interés en la unidad de tiempo de la razón. A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable, final, perpetuo, diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones ya comentadas para estos cálculos en cualquier tipo de renta.
5.3.2. Valor final
5.3.3. Prepagable
En las rentas prepagables, cuando se convierten en pospagables multiplicando por (1 + tipo de interés) habrá que hacerlo con el tanto en el que vienen los capitales (1 + ik).
5.3.4. Perpetua
EJEMPLO 17 Calcular el valor actual y final de la siguiente renta:
• •
Duración: 3 años. Términos semestrales vencidos de 1.000 euros durante
• •
el primer año. Aumento anual de los términos de un 10% sobre las cuantías del primero de ellos. Tanto de valoración del 8% efectivo anual.
Se trata de una renta variable en progresión aritmética (aumento de tipo lineal) por años, con términos semestrales vencidos (fraccionada), temporal e inmediata. Gráficamente:
• Cálculo del valor actual empleando la terminología del fraccionamiento:
• Cálculo del valor actual empleando el término equivalente:
• Cálculo del valor final:
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6. Rentas continuas Será una renta continua todo conjunto de capitales separados entre sí por períodos infinitesimales. Parece, pues, que este tipo de rentas se pueden entender como rentas fraccionadas donde el fraccionamiento tiende a ser infinito dentro de cada período. En la práctica se pueden considerar rentas continuas aquellas cuya frecuencia de fraccionamiento del término sea superior a 12.
6.1. RENTA CONSTANTE, TEMPORAL, POSPAGABLE, INMEDIATA Y CONTINUA Comenzaremos por la unitaria, tomando como referencia la unidad en la que viene expresado el tanto, y subdividiendo los períodos en infinitos subperíodos.
Si queremos calcular el valor actual de una renta unitaria, temporal, pospagable, inmediata y fraccionada, tendiendo este fraccionamiento a infinito (anù i), el desarrollo es el siguiente:
por otra parte:
aplicando la regla de L'Hopital:
el resultado final es:
Cuando la renta es constante de cuantía c:
Iguales resultados se obtendrían si la renta se considera prepagable, puesto que al ser infinitesimal el subperíodo no hay diferencias entre el inicio y el final del mismo. El cálculo del valor final se obtendría capitalizando el valor actual:
Las rentas perpetuas son aquellas cuya duración tiende a infinito. El valor actual de estas rentas se obtendrá con el concepto matemático del límite, cuando la duración de la renta tiende a infinito.
Cuando la renta es constante de cuantía c:
Conclusión: las rentas continuas, a efectos de cálculo, se pueden considerar como una renta fraccionada con frecuencia de fraccionamiento superior a 12, pudiéndose aplicar todas las fórmulas de las rentas fraccionadas cambiando el Jk (i) por Ln (1 + i).
EJEMPLO 18 Calcular el valor actual y final de la renta formada por los ingresos generados por una empresa sabiendo que éstos son de 100 euros diarios durante 5 años, siendo el tanto de valoración el 12% efectivo anual. Considérese año comercial. Al venir los términos en una unidad de tiempo (días) inferior a la del tanto de valoración (año), se trata en principio de una renta fraccionada. Pero, como además, la frecuencia de fraccionamiento es superior a 12, la trataremos como renta continua. Temporal de 5 años e inmediata.
Si se hubiese resuelto como renta fraccionada, a través del tanto equivalente, en cuyo caso habría que calcular el tanto diario a partir del tanto anual de partida, el resultado sería el siguiente:
Como se puede apreciar, existen ciertas diferencias entre los resultados obtenidos por uno y otro sistema, debido a que al trabajar con el tanto equivalente no se ha tenido en cuenta la consideración del límite que las otras expresiones sí que llevan implícitas.
6.2. RENTA CONTINUA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Se trata de una renta fraccionada en progresión geométrica con la particularidad de que ahora en lugar de haber un número finito de subperíodos consideraremos infinitos. Considerándola temporal e inmediata, la representación gráfica será la siguiente:
El valor actual de la renta, tanto pospagable como prepagable, quedará:
EJEMPLO 19 Calcular el valor actual y final de la renta formada por los ingresos de una persona, sabiendo que éstos son de 100 euros diarios durante 5 años, aumentando de manera acumulativa un 3% cada año, siendo el tanto de valoración el 12% efectivo anual. Considérese año comercial.
Al venir los términos en una unidad de tiempo (días) inferior a la del tanto de valoración (año), se trata, en principio, de una renta fraccionada. Pero, como además, la frecuencia de fraccionamiento es superior a 12, la trataremos como renta continua. Temporal de 5 años e inmediata.
• Valor actual:
• Valor final:
No obstante, se podría haber resuelto como renta fraccionada, a través del término anual equivalente:
• Valor actual:
• Valor final:
Como se puede apreciar, al igual que en los ejemplos anteriores, existen ciertas diferencias entre los resultados obtenidos por uno y otro sistema.
A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: final, perpetuo, diferido y anticipado, sin más que tener las consideraciones ya comentadas para estos cálculos en cualquier tipo de renta.
6.3. RENTA CONTINUA VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA Se trata de una renta fraccionada en progresión aritmética, de razón d, con la particularidad de que ahora en lugar de haber un número finito de subperíodos consideraremos infinitos. Partiendo de una renta temporal e inmediata, cuya representación gráfica es la que sigue, obtendremos el resto de posibles casos que nos podemos encontrar.
El valor actual de la renta, tanto pospagable como prepagable, quedará:
Siendo D la razón de la progresión aritmética:
A partir del valor actual pospagable se puede obtener el resto de valores: prepagable, final, perpetuo, diferido y anticipado.
7. Rentas a interés simple Se trata de valorar un conjunto de capitales con vencimientos equidistantes en un determinado momento pero la duración de la operación no supera el año, por tanto, se trata de operaciones a realizar en régimen de simple. A diferencia de lo que ocurría con las rentas valoradas en régimen de compuesta, en las rentas en simple (que emplean leyes financieras en régimen de simple), por las particularidades de este tipo de leyes, habrá que distinguir a la hora de calcular valores actuales y finales. De hecho, solamente se obtienen expresiones fáciles de emplear cuando los valores actuales se realizan a tipo de descuento y los valores finales a tipo de interés.
7.1. VALOR ACTUAL Para el caso de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera valorada a un tipo de descuento (d) la situación será:
Aplicando la definición de valor actual empleando descuentos comerciales simples:
V0 = c x (1 – d) + c x (1 – 2d) + c x (1 – 3d) + ... + c x (1 – nd) Simplificando: V0 = c x [(1 + 1 + … + 1) – (d + 2d + 3d + … + nd)] Dentro del corchete el primer paréntesis es una suma de n veces la unidad y el segundo es una suma de n términos en progresión aritmética, por tanto:
Si, en cambio, la renta fuera prepagable, manteniéndose las demás características sin cambios, el cálculo será:
Aplicando la definición de valor actual empleando descuentos comerciales simples: V0 = c + c x (1 – d) + c x (1 – 2d) + c x (1 – 3d) + ... + c x [1 – (n – 1) d] Simplificando, igual que en el caso anterior:
Finalmente:
A idénticos resultados hubiéramos llegado si en lugar de calcular los valores actuales de los n capitales iguales hubiéramos considerado un único capital igual a la suma de todos ellos, que se hiciese efectivo en el vencimiento medio. En efecto, para el caso de términos, n términos pospagables, el vencimiento medio vendría dado por: 1+2+3+…+n Vm = -------------------------n Siendo el numerador la suma de n términos en progresión aritmética que será la semisuma de los extremos por el número de términos, queda: (1 + n) x n --------------2 (1 + n) x n n+1 Vm = ------------------ = ------------------ = --------n 2n 2 Por tanto, habrá que descontar desde ese punto un único capital de cuantía c x n:
resultando:
En el caso de capitales prepagables, el vencimiento medio sería:
0 + 1 + 2 + 3 + … + (n – 1)
[0 + (n – 1)] x n ---------------------2
Vm = ------------------------------------- = ---------------------n n (n – 1) x n n–1 Vm = ----------------------------- = ------------------2n 2 Por tanto, habrá que descontar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:
Obteniendo el mismo resultado que moviendo los capitales uno a uno:
EJEMPLO 20 Calcular el valor actual de la siguiente renta:
• • •
Duración: 1 año. Términos cuatrimestrales de 100 euros. Tipo de descuento: 2% simple cuatrimestral.
a) Suponiendo términos vencidos. b) Suponiendo términos prepagables. a) Términos vencidos:
Desplazando los capitales uno a uno: V0 = 100 x (1 – 0,02) + 100 x (1 – 2 x 0,02) + 100 x (1 – 3 x 0,02) = 288 € Aplicando la fórmula:
b) Términos prepagables:
Desplazando los capitales uno a uno: V0 = 100 + 100 x (1 – 0,02) + 100 x (1 – 2 x 0,02) = 294 € Aplicando la fórmula:
7.2. VALOR FINAL Para el caso de una renta pospagable, temporal, constante, inmediata y entera la situación será:
Aplicando la definición de valor final empleando capitalización simple: Vn = c + c x (1 + i) + c x (1 + 2i) + c x (1 + 3i) + ... + c x [1 + (n – 1) i] Simplificando: Vn = c x [(1 + … + 1) + (i + 2i + 3i + … + (n – 1)) i] Dentro del corchete el primer paréntesis es una suma de n veces la unidad y el segundo es una suma de n–1 términos en progresión aritmética (semisuma de los extremos multiplicando por el número de términos), por tanto:
Resultando finalmente:
En el caso de una renta prepagable, manteniéndose sin cambios las demás características:
Aplicando la definición de valor final empleando capitalización simple: Vn = c x (1 + i) + c x (1 + 2i) + c x (1 + 3i) + ... + c x (1 + ni) Simplificando: Vn = c x [(1 + … + 1) + (i + 2i + 3i + … + ni)] Siendo el primer paréntesis n y el segundo la suma de n términos en progresión aritmética i + ni/2 x n, resulta:
Finalmente:
A idénticos resultados hubiéramos llegado si en lugar de calcular los valores finales de los n capitales iguales hubiéramos considerado un único capital igual a la suma de todos ellos, que se hiciese efectivo en el vencimiento medio. En efecto, para el caso de n términos pospagables, el vencimiento medio vendría dado por: 1+2+3+…+n Vm = -------------------------n
Operando en el numerador: (1 + n) x n ---------------2 (1 + n) x n n+1 Vm = -------------------- = ------------------ = ---------------n 2n 2 Por tanto, habrá que capitalizar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:
Resultando:
En el caso de capitales prepagables, el vencimiento medio sería: [0 + (n – 1)] x n ---------------------0 + 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) 2 (n – 1) x n Vm = ------------------------------------- = -------------------------- = -------------------n n s2n n–1 Vm = -------------2 Por tanto, habrá que capitalizar desde ese punto un capital único de cuantía c x n:
obteniendo el mismo resultado que moviendo los capitales uno a uno:
CAPÍTULO 4. Préstamos 1. Concepto de préstamo 2. Reembolso único sin pago periódico de intereses préstamo simple 3. Reembolso único con pago periódico de intereses préstamo americano 4. Amortización con términos amortizativos constantes método francés 5. Método de cuota de amortización constante método lineal 6. Método de amortización con términos amortizativos variables en progresión 7. Método de amortización con términos amortizativos variables en progresión 8. Préstamos diferidos • 9. Préstamos con intereses fraccionados 10. Sistema de amortización Sinking-Fund • 11. Préstamos con intereses prepagables 12. Valor finaciero del préstamo usufructo y nuda propiedad 13. Tantos efectivos 14. Préstamos con interés revisable 15. Tantos efectivos de los préstamos según el Banco de España
CAPÍTULO 5. Empréstitos • •
1. 2. 3. 4.
Concepto. Generalidades Empréstito clase I. Tipo I. Puro Empréstitos clase I. Tipo II Empréstitos clase I. Tipo III
• • •
5. 6. 7. 8. 9.
Empréstito de cupón periódico prepagable Empréstitos clase II. Tipo I. Puro Empréstito clase II. Tipo II Tantos efectivos Probabilidad en los empréstitos
CAPÍTULO 6. Valores mobiliarios • •
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Introducción Ampliaciones de capital Ampliación blanca Operaciones al contado con acciones Operaciones a crédito con acciones Deuda pública Pignoración de valores mobiliarios
