EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
FÍSICA SEMANA 01_A: MAGNITUDES. DIMENSIONES. 1.‐MAGNITUD FÍSICA O CANTIDAD FÍSICA
Es toda propiedad que encontramos en un cuerpo o fenómeno que se puede medir. Medir es comparar una cantidad de magnitud física desconocida con otra que sea conocida y con‐ vencionalmente aceptada llamada unidad. Ejemplo: *La densidad de la madera de una mesa. *La velocidad de un automóvil. *La frecuencia del sonido, etc 2.‐UNIDAD.
Es una cantidad de magnitud física elegida convencional y arbitrariamente. Convencional significa que existe un acuerdo aceptado por los países participantes para reconocer las unidades y arbitraria que existe un organismo que hace de árbitro y selecciona cuales deben ser las unidades a utilizarse. En la actualidad desde 1960 el conjunto de unidades de uso oficial es el SISTEMA INTER‐ NACIONAL DE UNIDADES SI y el organismo encargado de la selección de unidades es la Conferencia General de Pesas y Medidas que se reúne en Francia cada 4 años La última fue la número 23, el año 2007. 3.‐SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES.
Está formada por unidades fundamentales, de‐ rivadas y suplementarias.
3.1 UNIDADES FUNDAMENTALES O DE BASE Se caracterizan por ser elementales no se pueden descomponer en unidades más sim‐ ples e independientes entre sí. 1 metro m: unidad de longitud. 2 kilogramo kg: unidad de masa. 3 segundo s: unidad de tiempo. 4 ampereA: unidad de intensidad de corri‐ ente eléctrica. 5 kelvin K: unidad de temperatura. 6 candela cd: unidad de intensidad luminosa. 7 mol mol: unidad de cantidad de sustancia 3.2 UNIDADES SUPLEMENTARIAS 1 radián rad: unidad de ángulo plano 2 estereorradián sr: unidad de ángulo sólido La mejor preparación UNI
3.3 UNIDADES DERIVADAS 1 metro cuadrado m 2: unidad de área. 2 metro cúbico m 3: unidad de volumen. 3 metro por segundo m/s: unidad de velo‐ cidad. 4 metro por segundo cuadrado m/s 2: uni‐ dad de aceleración. 5 newton N kg. m/s 2: unidad de fuerza 6 joule J kg. m 2/s2: unidad de trabajo, energía y calor, etc *Las otras unidades irán apareciendo confor‐ me avanzamos en el curso. 4.‐REGLAS Y RECOMENDACIONES DEL SI PA‐
RA EL USO DE LAS UNIDADES. 1 El símbolo de las unidades se escribe siem‐ pre en minúscula kilogramo kg, excepto los que provienen de apellido de científico ampere A. 2 Los símbolos de las unidades no llevan pun‐ to N. incorrecto, correcto ni se plura‐ lizan agregando la letra “s” cds incorrecto, cd correcto. 3 Las unidades que resultan de un producto de unidades se leen de corrido N . m new‐ ton metro y las que resultan de un cociente se leen interponiendo la palabra “por” kg/m 3 kilogramo por metro cúbico. Ejercicio: Leer la expresión:
J mol.K
Respuesta: Joule por mol kelvin. 4 Las cantidades mayores a 3 dígitos se agru‐ pan de tres en tres y no se utilizan comas o puntos 5 000 000 5 millones. 5 La coma se utiliza como separador de la parte decimal 2,5 dos unidades y cinco de‐ cimos. 6 Los prefijos siempre se colocan adelante del símbolo de la unidad, con mayúscula los múl‐ tiplos, excepto el kilok y con minúscula los submúltiplos. kilo k 103 petaP1015 megaM 106 exaE1018 giga G 109 zetaZ1021 teraT1012 yotaY1024 Página
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
milim103 microµ106 nanoη 109 picop 1012
femtof 10 15 attoa 1018 zeptoz 10 21 yoctoy1024
5.‐DIMENSIÓN DE UNA MAGNITUD FÍSICA
Es una expresión literal que expresa cualquier magnitud en función de las fundamentales. NOTACIÓN: Sea “X” una magnitud física o cantidad física [ X ] = La M bT c I d J eθ f N g Donde L:longitud, M:masa, T:tiempo, I:intensidad de corriente eléctrica, J:intensidad luminosa, : temperatura, N:cantidad de sustancia. 6.‐ADIMENSIONALES
Son aquellas expresiones que no se pueden expresar en función de las fundamentales y su dimensión se reemplaza por * o 1. Se consideran adimensionales a los números reales, las razones trigonométricas, los logaritmos y los ángulos. 7.‐PRINCIPIO DE HOMOGENIDAD
Establece que una ecuación física es dimensio‐ nalmente homogénea si cada uno de sus térmi‐ nos poseen las mismas dimensiones. Sea la ecuación dimensionalmente homogénea E AB C/D Se cumple E AB C/D
PREGUNTAS Y PROBLEMAS
01.‐Señale la alternativa que no corresponde a
una magnitud física. A Volumen B energía D gravedad E masa
C tiempo
02.‐Determine la verdad V o falsedad F de
las siguientes proposiciones: I. El color de una sustancia es una cantidad físi‐ ca. II. Una cantidad física puede carecer de unidad de medida. III. Todas las cantidades físicas poseen dimen‐ sión. A VVV B FFF C VFV D VVF E FFV 03.‐Señale las proposiciones correctas:
I. Una cantidad física puede tener dos dimen‐ siones diferentes. II. Dos cantidades físicas diferentes pueden te‐ ner la misma dimensión. III. Una cantidad física puede ser adimensional. A solo I B solo II C II y III D I y II E todas 04.‐Señale la alternativa correcta:
COMENTARIO Una ecuación dimensionalmente homogénea no es correcta necesariamente.
A Todos los países del mundo aceptan en la actualidad el sistema internacional. B Una magnitud física fundamental puede pa‐ sar a ser derivada y viceversa. C Como el ampere es igual a coulomb por se‐ gundo es una unidad derivada. D La unidad N.m 2/C2 se lee: “newton por me‐ tro cuadrado entre coulomb cuadrado”. E Un MHz equivale a 1 000 Hz.
8.‐PRINCIPALES DIMENSIONES
05.‐Indique si las proposiciones son verdade‐
Área L2 Volumen L3 Velocidad LT 1 Aceleración LT2 Fuerza LMT 2 Trabajo torque L 2MT2 Velocidad angular T 1 Aceleración angular T 2 Carga eléctrica TI La mejor preparación UNI
ras V o falsas F. I. Una ecuación física es dimensionalmente ho‐ mogénea. II. Si una ecuación es dimensionalmente homo‐ génea es correcta. III. Todas las constantes de las ecuaciones físi‐ cas son adimensionales. A FFF B VVV C VVF D FVV E VFF
Página
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI α d 2t 2
V =
06.‐La ecuación
2 M
+ β F tan φ
describe correctamente el movimiento de una partícula. Siendo su velocidad, su diáme‐ tro, su masa, la fuerza aplicada, el ángu‐ lo descrito y el tiempo. La dimensión del pro‐ ducto αβ es: A LM‐2T‐1 B L‐2MT C L2M‐1T‐2 D LT2 E L‐1T‐2 07.‐Determine la dimensión de , si h satisface
h=
ρ x 5 I 2 D
2
e−
D A
Donde: densidad, posición, inten‐ sidad de corriente eléctrica, carga eléctri‐ ca, constante dimensional. A L‐2MT2 B LM‐1T‐2 C L2MT‐2 D L2M‐1T2 E LMT 08.‐La siguiente ecuación ao2 x tan(135) 2ω R1 ρ
=−
ρ 1 + K
Es dimensionalmente correcta. Indique la di‐ mensión de la cantidad si a o es aceleración, es radio, ρ , ρ 1 son densidades y es velo‐ cidad angular. A LT‐3 B L2MT‐2 C L2MT‐3 D L2T‐1 E LT3 09.‐Se conoce que la fuerza que experimenta
un cuerpo en un fluido depende del área de su superficie, de la densidad del fluido y de la velocidad de dicho cuerpo. Considerando que la constante de proporcionalidad es adimen‐ sional, halle la suma de los exponentes de estas cantidades físicas en la ecuación de la fuerza. A 3 B 4 C 5 D 6 E 7 CEPRE2008‐I 10.‐En la ecuación
e
α x −1 yz
= α
es una densidad volumétrica de masa. Si el producto xy tiene unidades de masa, entonces la dimensión de es: A M2L1,5 B M‐1L1,5 C M‐2L‐1,5 D ML‐1,5 E M‐1L‐1,5 UNI2008‐I La mejor preparación UNI
SOLUCIONARIO
01.‐C La gravedad es una propiedad de la materia debido a la cual aparece la fuerza de atracción gravitatoria pero no se puede medir, carece de unidad y lo que se mide es la acelera‐ ción de la gravedad, la fuerza de la gravedad, etc. 02.‐B I. F El color no tiene unidad de medida. II. F Si una cantidad física carece de unidad de medida no tiene con quién comparar, en consecuencia no se puede medir. III. F El ángulo plano es una cantidad física su unidad es el radián pero no se puede expresar en función de las fundamentales y es adimensional. 03.‐C I. F Las dimensiones son únicas para cada cantidad física. II. V Un ejemplo lo tenemos en: trabajo fuerza . desplazamiento trabajo fuerza . desplazamiento trabajo L2MT2 torque fuerza x vector posición torque fuerza x vector posición torque L2MT2 El trabajo está asociado con el movimiento mecánico de cuerpo y el torque con la rotación de un cuerpo alrededor de un punto. III. V El ángulo plano y el ángulo sólido. 04.‐B A F En la actualidad son 51 países los que aceptan el SI. B V La elección de las magnitudes funda‐ mentales está cargo de la conferencia general de pesas y medidas que se reúne en Francia Sevres cada cuatro años. En la última reu‐ nión, la número 23º, el año 2007 se comentó la posibilidad de hacer revisiones en la unidades fundamentales. C F El ampere es fundamental. El coulomb es un ampere.segundo. D F Se lee: “newton metro cuadrado por ki‐ logramo cuadrado”. E F equivale a 1 000 000 Hz.
Página
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
05.‐E I. V Las ecuaciones físicas son aquellas que expresan leyes físicas y son dimensionalmente homogéneas. II. F Una ecuación dimensionalmente homo‐ génea significa que sus términos son de igual dimensión pero sabemos que dos magnitudes diferentes pueden tener igual dimensión por lo tanto en una ecuación dimensionalmente ho‐ mogénea podemos estar frente a términos que sean diferentes magnitudes físicas y no se pue‐ dan igualar. III. F Existen dos tipos de constantes: las constantes físicas que poseen dimensiones como la constante de Planck 6,63 10 34 J.s y las constantes numéricas que son adimensio‐ nales como el 2π de la fórmula del período de un péndulo simple T = 2π L g 06.‐E Del principio de homogeneidad se de‐ duce ⎡ α d 2t 2 ⎤ [V ] = ⎢ ⎥ = [ β F tan φ ] 2 M ⎣ ⎦
Se reemplaza cada magnitud por su dimensión
[α ] L T = 2
LT
−1
2
= [ β ] LMT −2 *
* M
Despejando α y β tenemos: [α ] = ML−1T −3 y [ β ] = M −1T Por lo tanto la respuesta es:
[αβ ] = L−1T −2 07.‐C Todo exponente es adimensional, por lo tanto tenemos: ⎡D ⎤ = * ⎣ A⎦
reemplazamos la dimensión de A y despeja‐ mos [ D ] = TI …I Luego con toda la ecuación: ⎡ ρ x5 I 2 − D A ⎤
[ h] = ⎢
⎣ D
2
⎥ ⎦
L− M .L .I 3
[ h] =
e
( TI )
5
2
2
*
[ h] = L2 MT − 2 La mejor preparación UNI
08.‐A Hallamos las dimensiones en ambos miembros: ⎡ ao2 ⎤ ⎡ x tan(135) ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢− ⎥ 2 R ω ρ 1 ⎣ ⎦ ⎣ ρ 1 + K ⎦ −2 2
( LT ) −1
−3
=
[ x] * −3
*T .L.ML ML [ x] = LT −3
Observación [ ρ1 + K] = [ ρ 1] = [ K] = ML−3 09.‐BDel enunciado expresamos la fuerza en función del área, de la densidad y de la veloci‐ dad, de la siguiente manera: x y z F = A ρ V Reemplazamos cada magnitud por su respec‐ tiva dimensión: x y z LMT −2 = ( L2 ) ( ML−3 ) ( LT − 1 )
LMT − = L − + M T − Igualando exponentes de i T: z2 ii M: y1 iii L: 2x3yz 1 x 1 2x 3y z
2
y
z
10.‐D Hallamos las dimensiones a ambos miembros de la igualdad:
⎡ eα x ⎣
−1
yz
⎤ = [α ] ⎦
Recordemos que e es la base de logaritmos ne‐ perianos entonces es un número y en conse‐ cuencia es adimensional. * = [α ] Como el exponente es adimensional tenemos: ⎡⎣α x −1 yz ⎤⎦ = *
Reemplazando dimensiones: ⎡ y⎤ −3 * ⎢ ⎥ ML = * ⎣x⎦ ⎡ y⎤ −1 3 ⎢⎣ x ⎥⎦ = M L …I
Del dato se sabe que De I y II tenemos que
[ xy ] = M …II
[ x] = ML −
1,5
Página
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
FÍSICA SEMANA 01_B: VECTORES 01.‐MAGNITUDES ESCALARES
Son aquellas que para quedar completamente determinadas necesitan de un número y una unidad de medida correspondiente. El número y la unidad juntos es llamado MÓDULO. MÓDULO NÚMERO Y UNIDAD Ejemplos: Masa, tiempo, trabajo, densidad, área, etc.
Notación: P se lee ”vector P” P P se lee “módulo del vector P” PROPIEDADES: 1.‐“Dos vectores o más vectores son iguales si poseen igual módulo, igual dirección e igual sentido” B
L
A
02.‐MAGNITUDES VECTORIALES
Son aquellas que para quedar completamente determinadas necesitan además del módulo una dirección y un sentido.
C
L
L
MÓDULODIRECCIÓNSENTIDO Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, aceleración, fuer‐ za, cantidad de movimiento, etc. 03.‐VECTOR
Es un concepto matemático que reúne la noci‐ ón de cantidad y orientación. El hombre utiliza los números para expresar la idea de cantidad y los vectores para expresar simultáneamente las ideas de cantidad y de orientación. Gráficamente se representa con un segmento de recta orientado flecha.
A = B = C
2.‐“Dos vectores son colineales si existe un nú‐ mero real que al multiplicarse por uno de ellos nos da el otro vector” Sean los vectores A y B : A y B son colineales si y solo si A = nB donde n Luego: si n0 los vectores son además paralelos y si n0 los vectores son además anti‐paralelos. Ejemplo: En la figura tenemos:
B
SENTIDO orientación
A
DIRECCIÓN línea de acción
C
P
MÓDULO longitud
A, B
θ
X
θ: Nos indica la dirección y se mide en sentido antihorario a partir del eje positivo de las X. La mejor preparación UNI
y C son colineales los tres vectores po‐ seen igual dirección A y C son paralelos igual dirección y senti‐ do A y B son anti‐paralelos igual dirección pero sentidos opuestos Página
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
03.‐ADICIÓN DE VECTORES Es la operación que consiste en obtener a par‐ tir de un conjunto de vectores un solo vector llamado SUMA O RESULTANTE. Para la hallar la resultante se presentan los si‐ guientes casos: I. VECTORES PARALELOS La resultante siempre posee la misma direcci‐ ón y sentido de los vectores y su módulo es la suma de módulos de los vectores.
IV. DIRECCIONES SECANTES Regla del para‐ lelogramo. Atribuida a Simon Stevin, Brujas 1548 ‐ La Haya 1620 Los vectores se deben colocar con el origen co‐ mún y la dirección de la resultante se obtiene trazando paralelas a los vectores y trazando la resultante desde el origen común hasta el pun‐ to de intersección de las rectas paralelas.
A
S = A+ B
B
S
A
S = A+ B
θ
II. VECTORES ANTIPARALELOS La resultante siempre posee la misma direcci‐ ón de los vectores, el sentido del mayor y su módulo es la diferencia de módulos de los vectores.
B
A
S=
2 2 A + B + 2 AB cos θ
S = A+ B
B
S = A− B
III. VECTORES PERPENDICULARES Los vectores se deben colocar con el origen co‐ mún y la dirección de la resultante se obtiene trazando paralelas a los vectores y trazando la resultante desde el origen común hasta el pun‐ to de intersección de las rectas paralelas. El módulo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los módulos de los vectores.
V. VECTORES CONSECUTIVOS Regla del polígono Para dos o más vectores se colocan los vecto‐ res en forma consecutiva y se traza la resultan‐ te desde el inicio del primer vector hasta el fi‐ nal del último vector. El módulo se determina geométricamente dependiendo de la informa‐ ción brindada en el problema.
B
A
S
C
A
S S=
2 2 A +B
Se cumple
S = A+ B +C
B La mejor preparación UNI
Página
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
OBSERVACIÓN Si los vectores forman una secuencia cerrada polígono cerrado la resultante es nula.
Definición:
u=
P P
=
vector P modulo del vector P
B
A
S =0
C
De todos los vectores unitarios que podríamos definir, convencionalmente hemos escogido tres que están asociados a las direcciones X, Y, Z. Z
D k
j
04.‐VECTOR UNITARIO Es un vector que posee módulo 1 sin unida‐ des y sirve para definir una dirección. Existen tantos vectores unitarios como direcciones podamos definir. dirección 1 dirección 2
u1
u2
dirección 3
u3
i X
05.‐SUSTRACCIÓN DE VECTORES La sustracción de vectores se considera un ca‐ so particular de la adición. Para dos vectores A − B se transforma la di‐ ferencia en una suma donde al minuendo A se le suma elopuesto del sustraendo − B , es decir: A + (− B) . Gráficamente tenemos:
A
u
La mejor preparación UNI
D = A− B
−B
B El módulo del vector diferencia D es: D=
P
D = A + (− B )
A
Para hallar un vector unitario debemos cono‐ cer previamente un vector en la dirección que queremos definir. dirección elegida
Y
A2 + B 2 − 2 AB cos θ
En el caso de más de dos vectores se cambia por sus opuestos todos aquellos vectores que están precedidos por un signo menos y luego se procede a sumar los nuevos vectores.
Página
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
EJEMPLO: En el cubo de 1 m de arista determi‐ ne el módulo del vector: E = A − B − C − D z
B
D
A
y
06.‐DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL Es la operación contraria a la adición y consis‐ te en obtener dos o más vectores, llamados componentes, a partir de uno solo vector. Cualquier vector se puede descomponer en componentes con la condición que la suma vectorial de las componentes nos devuelva el vector original. Sea el vector P
V 2
C
x
B
RESOLUCIÓN: 1º Cambiamos los vectores precedidos por un signo menos por sus respectivos opuestos y luego aplicando el método del polígono los or‐ denamos en forma consecutiva para hallar la resultante. Nos queda la siguiente figura: z
A
V 1
A
y
x 2º Hallamos la resultante uniendo el inicio y el final. z
C
D
A
y
E
C
P
y
D
−B
x
V n
C
−B
2
Lo podemos descomponer en varias compo‐ nentes: en 2 componentes P = x+ y en 3 componentes P = A+ B +C . . . . . . P = V 1 + V 2 + ... + V n en “n” componentes 07.‐DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR Es aquella que consiste en descomponer un vector en dos componentes mutuamente rec‐ tangulares. En el plano x‐y: y
P
1m x
Py
1m
3º Finalmente en el triángulo rectángulo som‐ breado calculamos la longitud del vector E E 2 Rpta. La mejor preparación UNI
x Px Página
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
z
P = Px i + Py j
Se denota:
En el plano x‐y‐z:
2 z
M
y
3
P
Pz
y Px
4
x
El vector M se ha descompuesto en tres vec‐ tores perpendiculares y que van paralelos a los ejes x, y, z. De acuerdo a la figura se puede expresar como:
Py
x
Se denota: P = Px i + Py j + Pz k
M = −4 j + 3k − 2i
EJEMPLO: Expresar en componentes rectan‐ gulares el vector M . z
Luego ordenamos y queda:
M = −2i − 4 j + 3k
OBSERVACIÓN: Las operaciones de suma y resta con vectores expresados en componentes rectangulares se pueden realizar independientemente con cada una de sus componentes:
2
y
3
x
EJEMPLO: Sean los vectores A = 3i − 4 j − 5k y B = −2i + 3 j − 2k Determine: i A + B ii A − B iii B − A
4
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN: Para encontrar las componentes rectangula‐ res de un vector en el espacio, es recomenda‐ ble trazar una secuencia de vectores desde el inicio hasta el final del vector dado, haciendo que dichos vectores sigan trayectorias perpen‐ diculares entre si y paralelas a los ejes x, y, z. Observe la siguiente figura:
La mejor preparación UNI
i A+ B =i − j −7k
ii A− B = 5i −7 j −3k
iii B − A =−5i + 7 j +3k
Página
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
08.‐MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Cuando un escalar multiplica a un vector el módulo se multiplica por el escalar, la direcci‐ ón se mantiene constante y el sentido se con‐ serva si el escalar es positivo 0 y se invi‐ erte si el escalar es negativo 0. Sea un vector A = ai + b j + ck y n un escalar, entonces: Si n0
xn
A
θ
B
A
A cosθ
PRODUCTO ESCALAR DE LOS VECTORES UNITARIOS Aplicando la definición tenemos:
nA
i . i = j . j = k . k = 1
Si n0
A
xn
i .
j = j . k = i . k = j . i = k . j = k . i = 0
PRODUCTO ESCALAR CON COMPONENTES RECTANGULARES Sean los vectores:
A = Ax i + Ay j + Az k
n A = nai + nb j + nck
B = Bx i + By j + Bz k
09.‐MULTIPLICACIÓN DE VECTORES I. PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO Es la multiplicación de dos vectores que nos da como resultado un escalar. Este tipo de producto se ha definido debido a la existencia de magnitudes físicas en la natu‐ raleza que presentan ese comportamiento co‐ mo el trabajo mecánico y el flujo magnético. Sean dos vectores A y B Definición:
nA
En componentes rectangulares:
A . B = A B cos θ
Donde θ es el ángulo que forman los vectores. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Hallar el producto escalar de dos vectores sig‐ nifica multiplicar el módulo de uno de ellos por el módulo de la componente del otro vec‐ tor en la dirección del primero.
A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
III. PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ Es la multiplicación de dos vectores que nos da como resultado un vector. Este tipo de producto se ha definido debido a la existencia de magnitudes físicas en la natu‐ raleza que presentan ese comportamiento co‐ mo el torque también conocido como momen‐ to de una fuerza y la fuerza magnética. Definición: Módulo:
A × B = A B senθ
A× B =
Dirección:
A× B
B
θ
A
La mejor preparación UNI
Página 10
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
Donde θ es el ángulo que forman los vectores.
PREGUNTAS Y PROBLEMAS
INTERPRETACIÓN GEOMETRICA Hallar el producto vectorial de dos vectores significa hallar un vector perpendicular a los vectores que estamos multiplicando y cuyo módulo representa el área del paralelogramo que forman dichos vectores. z
01. Señale la alternativa que solamente contie‐
ne cantidades vectoriales. A Fuerza, trabajo y velocidad. B Aceleración, torque y cantidad de movimi‐ ento. C Desplazamiento, impulso y potencia. D Presión, torque y velocidad angular. E Cantidad de movimiento, impulso y trabajo.
A× B
02. Determine la verdad V o falsedad F de
las siguientes proposiciones. I. Todo vector posee una unidad. II. La adición de vectores es conmutativa y aso‐ ciativa. III. La multiplicación de dos vectores siempre es un vector. A VVV B VVF C VFF D FFV E FVF
B y
S
A
x
S A× B
PRODUCTO VECTORIAL DE LOS VECTORES UNITARIOS Aplicando la definición tenemos:
03. Señale que proposiciones son incorrectas
sobre los vectores. I. Cuando un vector se multiplica por un esca‐ lar la dirección y sentido se conservan. II. Todo vector puede ser descompuesto en un número ilimitado de componentes. III. El producto vectorial de dos vectores unita‐ rios también es unitario. A Sólo I B I y II C I y III D sólo III E todas
i × j = k, j ×k =i, k ×i = j
i ×k =− j, k × j =−i, j ×i =−k
i ×i = j× j = k×k = 0
PRODUCTO VECTORIAL CON COMPONENTES RECTANGULARES Sean los vectores:
04. Determine el vector unitario de la resultan‐
te de los vectores mostrados, sabiendo que el lado todos los cuadraditos son iguales.
A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
Se multiplica cada una de las componentes del primer vector por las componentes del segun‐ do vector y aplicando el producto vectorial de los vectores unitarios tenemos:
A×B = AxBy k + AxBz(−j) + AyBx(−k) +AyBzi +AzBx j +AzBy(−i)
A× B = (Ay Bz − Az By )i + ( Az Bx − Ax Bz ) j + ( Ax By − Ay Bx )k
⎛ i ⎜ A × B = ⎜ Ax ⎜ Bx ⎝
j Ay By
La mejor preparación UNI
k ⎞
⎟ Az ⎟ Bz ⎟⎠
A D
i + j
B
2
−i − j
2
E
−i + j
2
C
i − j
2
i − j
2
Página 11
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI 05. Dado el cubo de la figura de lado 1 m, halle
la suma de A + 2 B + C A 3i + 2 j
z
B
B
i + 2 j
Determine el ángulo que forman los vectores z P y Q. A arc cos1/5
A
C i − 2 j
09. Cada uno de los 4 cubos tiene 1 m de arista.
B arc cos2/5
P
Q
C arc cos3/5
C
D −3i − 2 j
y
x
E −i + 2 j
E arc cos4/3
06. En el paralelogramo de la figura se sabe
que M y N son puntos medios, halle la suma de t + r + s en función de los vecto‐ los vectores N res a y b . A 1, 5a + b a
B − a − 1, 5b C
0, 5a + 3b
r
D −1, 5a − b
A = 2i + j − 3k y
siguiente operación ( A
i B)( A × B) .
A 26 ( 2i − j + k )
B 2 ( 2i − j + k )
C 52 ( 2i − j + k )
D 52 ( 2i + j + k )
E 26 ( 2i + j + k )
08. Si los vectores
A = 2i + 3 j + 2k y
B = bi + 2b j + 4k son perpendiculares, halle
el vector unitario de la suma A + B . A C E
3i + 5 j + 6 k
70 3i + 5 j + 6 k
14
B D
3i + 5 j + 6 k 14 i + j + 6 k
01. B Son vectores: desplazamiento, veloci‐ dad, aceleración, fuerza, impulso, cantidad de movimiento, torque, velocidad angular, acele‐ ración angular, etc. son escalares: trabajo, potencia, energía, pre‐ sión, etc. 02. E I. F los vectores unitarios no tienen unidad, son adimensionales. II. V la adición de vectores es conmutativa es decir se pueden permutar los vectores y se ob‐ tiene la misma resultante o suma: A
S
38
B
S
B
38
i + j + 6k
SOLUCIONARIO
B = 4i + 3 j − 5k , determine el resultado de la
rrespondientes vectores unitarios a, b , c . Indique la veracidad V o falsedad F de las proposiciones siguientes:
II. Si A× B= C a×b= c III. Si A × B = C B × A = −C A VVV B FFF C FFV D FVV E VFF
b
10. Si se tienen los vectores A, B, C y los co‐
t
E −1, 5a + b 07. Dados los vectores:
x
ic I. a i b = b
s
M
y
D arc cos2/3
A
A+ B = B+ A
La mejor preparación UNI
Página 12
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
y es asociativa, es decir se pueden sumar los vectores, agrupándolos en cualquier forma y se obtiene siempre la misma resultante.
A
B
B
A+ B
A
B + C
C
S
S
A = −i + k
B
B = i + j 2 B = 2i + 2 j
A
z
C
C
C = − k
y
x
( A + B) + C = A + (B + C ) S III. F Existen dos formas de multiplicar los vectores, el producto escalar que nos da un escalar como resultado y el producto vectorial que nos da un vector. 03. C I. F cuando el escalar es negativo el sentido se invierte. II. V Se puede descomponer en dos, tres, etc. III. F Si los vectores unitarios forman entre si un ángulo de 60°, el módulo de su producto vectorial es 1 1 sen60° 0,865.
luego sumamos las componentes i, j, k de cada vector por separado obteniendo:
S = A+ 2B + C = i + 2 j
06. D Se llenan los lados vacíos con vectores que es‐ tén en función de los conocidos, y como M y N son puntos medios se divide entre dos los vec‐ tores de esos lados.
b /2 N b /2
a/2
M a/2
04. C Trasladamos los vectores adecuadamente para formar una secuencia cabecita‐colita y apli‐ cando la regla del polígono trazamos la resul‐ tante desde el inicio hasta el final.
s
a
t
r
b del gráfico y de acuerdo a la regla del polígono tenemos: r = −b / 2 − a / 2 − a / 2
t = −b + a / 2
S
s =b/2−a
−j
r + s +t
i
luego la resultante se descompone en sus componentes rectangulares y se divide entre su módulo para hallar su vector unitario.
S=
i − j
= −3a / 2 − b
07. C Sean los vectores: A = 2i + j − 3 k y B = 4i + 3 j − 5k
i
Ai B
= (2)(4) + (1)(3) + ( −3)( −5) = 26 …α
2
05. B Cada vector se descompone en sus componen‐ tes rectangulares: La mejor preparación UNI
⎛ i j k ⎞ ⎜ ⎟ A × B = ⎜ 2 1 −3 ⎟ ⎜ 4 3 −5 ⎟ ⎝ ⎠
ii
Página 13
EUREKA, el primer grupo de estudio UNI
A×B =[(1)(−5) −(−3)(3)] i −[ (2)(−5) −(−3)(4)] j +[(2)(3) −(1)(4)] k
A × B = [ 4] i − [ −2] j + [ 2] k
0 + 0 + 2 = 5 5 cos θ cos θ = (2 / 5)
θ = arc cos(2/5)
A × B = 4i + 2 j + 2k …β
de α y β tenemos ( Ai B)( A × B ) = 26(4i − 2 j + 2k ) ( Ai B)( A × B)
I. F Sean los vectores unitarios a, b , c
supongamos que los vectores a y b forman 60° entre sí y b y c que formen 90° entre sí entonces
= 52(2i − j + k )
08. E Si los vectores A y B son perpendiculares entonces su producto escalar es cero, por lo tanto tenemos: A = 2i + 3 j + 2k y B = bi + 2b j + 4k Ai B 2b32b24 0 2b6b8 0 b 1 entonces el vector B es −i − 2 j + 4k la suma será A + B = i + j + 6k su unitario es A + B i + j + 6k u = = 38 A+ B
10. C
C
09. B El ángulo entre dos vectores lo podemos calcu‐ lar con ayuda del producto escalar, para esto primero expresamos los vectores en sus com‐ ponentes rectangulares z
P
Q
60°
60° a
A
Como c es unitario su módulo debe ser 1. Verifiquemos si se cumple. a × b = c = a b sen60º = 1× 1× 3 / 2
como vemos el producto vectorial de dos vec‐ tores unitarios no es unitario. III. V
C
B
A
A
b
c
B
a ib = b ic 11cos60°11cos90° 1/20 es falso. II. F
−C
B
y
x
P = i + 0 j + 2k
Q = 0i + 2 j + 1k
Recordando:
P iQ
= P Q cos θ
La mejor preparación UNI
Página 14
