UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Ciencias Básicas
Ciclo
2015-1
EXPERIMENTO 5
Vaciado de un depósito Objetivo Temático Estudio de la ecuación de continuidad. En esta práctica pretendemos realizar un ajuste empírico del vaciado de un deposito cilíndrico en el intervalo en que el proceso esta gobernado por una curva exponencial.
Objetivo Específico Es encontrar una constante empírica C en el proceso del vaciado de una Pipeta que está gobernado por una curva exponencial.
Materiales
Pipeta graduada
Recipiente con agua. Regla
Cronometro.
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Ciencias Básicas
Ciclo
2015-1
Fundamento Teórico Consideremos a un depósito cilíndrico de sección S, lleno con cierta cantidad de un líquido incompresible de densidad , que contiene un sumidero en su parte inferior. Hipótesis: (despreciar la viscosidad, tensión superficial, capilaridad y resistencia de las paredes de la Pipeta) Supondremos que cuando se abre el sumidero (boquilla inferior de la Pipeta), a través de éste se descarga al exterior un flujo másico, cuya salida es proporcional a la diferencia de nivel (altura), entre la superficie del líquido (parte superior) y el sumidero dada por m=−Cy ´
…[1]
y es la altura desde el sumidero hasta el nivel de la Dónde superficie libre del líquido. El
parámetro
C ,
de
dimensiones
−1
−1
[M L T ] ,
ha
de
ser
determinado experimentalmente.
S
y0
dm
dy
m
y
Cy
Aplicando la ecuación de continuidad a este problema (ver figura 1) se tiene que la masa contenida en el depósito sufre la siguiente variación por unidad de tiempo: dm =−Cy dt
…[2]
Como la masa encerrada en el depósito en cierto instante está dada por Figura 1
2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Ciencias Básicas
Ciclo
2015-1
m=ρ Sy
…[3]
Podemos combinar ambas ecuaciones y obtener la función que nos da el decrecimiento del nivel de líquido en función del tiempo: ρS
dy =−Cy dt
dy −C = dt y ρS
…[4]
…[5]
integrando la ecuación anterior y y0 −C (¿)= (t−0) ρS ln¿
……[6]
Despejando “ y ” obtenemos (
y= y 0 e
−C t) ρS
…[7]
donde y0 es la altura de líquido sobre el nivel del sumidero cuando t = 0.
Parte experimental Usaremos una Pipeta como depósito cilíndrico, y agua como líquido experimental. Antes de llenar la Pipeta debemos medir los siguientes parámetros:
3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Ciencias Básicas
Ciclo
2015-1
S
Superior V V0 cm
3
L y0 Inferior
y
h
Cy
a) La distancia en cm que medía entre la marca superior y la marca inferior de la escala de la Pipeta (distancia L en la figura 2), lo que nos servirá para convertir en alturas las lecturas de volumen vaciado (en cm 3) que iremos haciendo sucesivamente; b) La distancia en cm desde la abertura de salida hasta la marca inferior de la escala de la Pipeta (distancia h en la figura 2), esto nos servirá (combinado con la conversión entre longitudes y volúmenes obtenida de la medida anterior) para obtener en cada medida los valores de “y” cuando leamos el volumen de líquido que queda en la Pipeta. Véase sobre la figura 2 que si medimos la longitud L que abarca la parte graduada de la Pipeta, correspondiente a un volumen total V0 (Para el experimento 25 cm3), la altura del nivel de agua sobre el punto de salida cuando se haya descargado un volumen V es “ y ”, lo obtendremos de la siguiente manera como 4
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Ciencias Básicas 2015-1
y 0=L+h= y +
V S
Ciclo
…[7]
además S=
V0 L
…[8]
combinando [7] y [8] se tiene despejando “y” y=
(
V 0−V L+ h V0
)
…[9]
En este caso la Pipeta es de 25 cm 3, se tomarán las medidas cada 2 cm3.
Procedimiento y Análisis Se llena una Pipeta de 25 cm3, se enrasa a cero (en este momento la altura del líquido sobre el punto de salida es y0 = L + h, (véase figura 2) y se anota el volumen V = 0 para t = 0 (se tapa con el dedo por la parte superior de la Pipeta para empezar a vaciarlo). Seguidamente se destapa completamente y tomando medidas del tiempo que tarda en vaciar un volumen de aproximadamente 2 cm 3. Se anota el tiempo y el volumen vaciado (V ≈ 2 cm3). A continuación se llena otra vez, se enrasa de nuevo, y abriendo destapando se toma el tiempo que tarda en vaciar aproximadamente 4 cm3. Se anota el nuevo tiempo y el nuevo volumen (V ≈ 4 cm3). Este proceso se repite tantas veces como sea necesario, vaciando cada vez 2 cm3 más que la vez anterior y anotando el volumen vaciado y el tiempo correspondiente.
5
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Ciencias Básicas
Ciclo
2015-1
Datos del laboratorio
Puntos
Altura (m)
Tiempo 1
Tiempo 2
Tiempo 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.26 0.2403 0.2206 0.2009 0.1812 0.1615 0.1418 0.1221 0.1024
0 0.48 0.94 1.70 2.39 3.00 3.73 4.41 5.09
0 0.41 0.94 1.75 2.45 3.09 3.72 4.46 5.10
0 0.43 1.10 1.69 2.43 3.01 3.64 4.40 5.11
Volumen
V0 (
V0
Tiempo promedio (s) 0 0.44 0.99 1.71 2.42 3.03 3.69 4.42 5.10
y la altura h de la Pipeta:
m3
h
−6
) : 25x 10
(
m
):
0.1024
Calculo del área S
Se tiene el volumen graduado definido que ocupa la Pipeta y con una regla se mide una porción de la altura de la Pipeta, se calcula el área S, dividiendo este volumen graduado entre la altura medida hallamos S .
V =1 ml . ; d=0.985 cm
V =S . d 1 ml=(S)(O.985 cm)
S
(
m2
):
−4
1.0152 x 10 Tabla Tiempo ( s )
0 0.44 0.99 1.71 2.42 3.03 3.69 4.42 5.10
N°1 Volumen ( ml 0 2 4 6 8 10 12 14 16
)
Altura y ( m )
Ln(y)
0.26 0.2403 0.2206 0.2009 0.1812 0.1615 0.1418 0.1221 0.1024
-1.347 -1.426 -1.511 -1.605 -1.708 -1.823 -1.953 -2.103 -2.279 6
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Ciencias Básicas
Ciclo
2015-1
Análisis de los datos En este punto se dispone de la tabla 1 con cuatro columnas: los tiempos (variable independiente) y los volúmenes vaciados (variable dependiente). 1. En primer lugar se utiliza la ecuación [9] para convertir los volúmenes vaciados V en alturas “y”, que se añaden a la tabla de datos en la tercera columna. 2. Seguidamente se toman los logaritmos neperianos Ln(y), añadiendo en la cuarta columna. 3. Se transforma la ecuación [6] en una relación lineal entre el tiempo t y el Ln(y) “ ln y=ln a+cx ” 4. Se representa gráficamente Ln(y) frente al tiempo t, y se calcula la pendiente y la ordenada en el origen.
Calculando la ecuación lineal: Usando los datos de la tabla 1 Tiempo ( s ) = t
Ln(y) = Y
0 0.44 0.99 1.71 2.42 3.03 3.69 4.42 5.10
-1.347 -1.426 -1.511 -1.605 -1.708 -1.823 -1.953 -2.103 -2.279
ln y=ln a+ct → Y =mt+ n
m=
N ∑ ( t i . y i ) −∑ t i ∑ y i 2
N ∑ t i2−( ∑ t i )
t 2i ∑ y i−∑ t i ∑ ( t i . y i ) ∑ n= 2 N ∑ t 2i −( ∑ t i) Operando nos queda m=−0.1761 n=−1.3239
Siendo la ecuación ln y=−0.1761 t−1.3239
Graficando “Tiempo vs Ln(y)”
7
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Ciencias Básicas
Ciclo
2015-1
TIEMPO VS Ln(Y) 0
0
1
2
3
4
5
6
-0.5 -1
Ln(Y) (m) -1.5
f(x) = - 0.18x - 1.32
-2 -2.5
TIEMPO (s)
Ajuste de la curva exponencial
Para hacer el ajuste de una curva exponencial de la forma
cx
: y=a e
, la idea
es convertir la curva exponencial en una lineal con ayuda de los logaritmos. cx
cx
cx
y=a e → ln y=ln a e → ln y =ln a+ ln e → ln y =ln a+ cx ln y=Y ,
n=ln a
m=c
→
Y =mx +n
Usando los datos de la obtenidos anteriormente y con ayuda de esta tabla obtendremos la ecuación de la curva exponencial. Tiempo ( s )
Altura y ( m )
0 0.44 0.99 1.71 2.42 3.03 3.69 4.42 5.10
0.26 0.2403 0.2206 0.2009 0.1812 0.1615 0.1418 0.1221 0.1024
ln y=−1.3239−0.1761 x m=c=−0.1761
8
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil Departamento Académico de Ciencias Básicas
Ciclo
2015-1
n=ln a → a=e n=0.26 6 y=a ecx → y =0.266 e−0.1761 x
9
Graficando “Tiempo vs Altura”
ALTURA VS TIEMPO 0.3 0.25
f(x) = 0.27 exp( -0.18 x )
0.2
ALTURA (m)
0.15 0.1 0.05 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
TIEMPO (s)
Comparando experimental −c
t
la
formula
−c
y (t )= y 0 e ρS =0.26 e 0.10152
con
t
la
ecuación
exponencial
y=0.266 e−0.1761 x
Siendo:
y 0 : altura inicial=0.26 m
ρ : densisas del agua=1000
Kg 3 m
S : area de la Pipeta=1.0152 x 10−4 m2 c : constante cualquiera Dependiendo del experimento la constante “C” varia, en este caso: −c =−0.1761 → c=0.0179 0.10152 Porcentaje de error de las alturas iniciales:
|
%ERROR=
0.26−0.266 | | 0.26 |× 100 =2.3
y o (teorico) − y 0(experimental ) y o(teorico )
=
Conclusiones.
La constante “C” hallada experimentalmente presenta una ecuación lineal con respecto al diferencial de masa. Existe un margen de error en las alturas iniciales, debido a la mala toma de tiempos al observar los meniscos, esto afectara a las demás alturas, propagándose el error. Se determinó el modelo matemático para el cálculo de tiempo de vaciado con respecto a la altura.
Observaciones nuestra hipótesis hemos despreciado la viscosidad, tensión superficial, capilaridad y resistencia de las paredes de la Pipeta, esto debido a que no influye de manera considerable en el vaciado del líquido. En
Bibliografía. Fundamentos de la física (HALLIDAY) Física General (BURBANO) Guía de laboratorio de física (UNI)
