IE–0431 –0431 0431 04 31 Sistemas Sis Si stem emas as de Control II Ciclo de 2008 Identi tifficación Exp xpe erim imen ental tal Ing ng.. Leona eonado do Marí Marín n Paniagua Paniagua
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Introducción
Para poder aplicar las técnicas de sintonización de los contr controladores dores PID, PID, es nece necesa sario ide identi ntifi fica carr pri primera erament ente la dinámica del proceso controlado ( M M ode odelado de Sis Si stem temas). La obtención btención de la di dinámica del del pro proceso, ceso, requier equiere e que que el el mismo sea excit excitado en alguna for forma y que que ta tanto nto su ent entrrada com como su res respu pues estta sea sean re registra stradas, das, con con est esto se obti obtien ene e la la curv cur va de de reacción reacción (curva de respuesta) del proceso. Par Para identi dentifi fica car el mo model delo a partir de la cur curva de respue spuesta sta del del pro proceso ceso se util utilizan zan pr procedim ocedimient entos básicam sicament ente grá gr áfico fi coss. Con en modelo del proceso identificado, se utiliza un procedimiento de sintonización para obtener así los parámetros para el ajuste del controlador (K c , T i , T d) .
Introducción
Para poder aplicar las técnicas de sintonización de los contr controladores dores PID, PID, es nece necesa sario ide identi ntifi fica carr pri primera erament ente la dinámica del proceso controlado ( M M ode odelado de Sis Si stem temas). La obtención btención de la di dinámica del del pro proceso, ceso, requier equiere e que que el el mismo sea excit excitado en alguna for forma y que que ta tanto nto su ent entrrada com como su res respu pues estta sea sean re registra stradas, das, con con est esto se obti obtien ene e la la curv cur va de de reacción reacción (curva de respuesta) del proceso. Par Para identi dentifi fica car el mo model delo a partir de la cur curva de respue spuesta sta del del pro proceso ceso se util utilizan zan pr procedim ocedimient entos básicam sicament ente grá gr áfico fi coss. Con en modelo del proceso identificado, se utiliza un procedimiento de sintonización para obtener así los parámetros para el ajuste del controlador (K c , T i , T d) .
Identificación Experimental
Señal de Entrada
Señal de Prueba del Salida Método de Sistema Identificación
Método de Sintonización
Parámetros del Modelo
Parámetros del Controlador PID
Introducción
Las técnicas técnicas de identi dentifi fica caci ció ón exper experiment ental util utilizada zadas s pa para la identificación de los modelos simples (orden reducido) requeridos para sintonizar los controladores PID, se clasifican como: Méto Métodos dos de lazo lazo ab abierto: to: El control controla ador puede uede o no es estar tar inst nstalado y si lo est está, oper perará en modo “manual” durante la prueba: 1. Métodos que utilizan la curva de reacción del proceso (respuesta al escalón) Méto Métod dos de de lazo lazo Ce Cerrado: el control controla ador se encue cuentra tra oper perando en“automático” durante la prueba: 1. Métodos de oscilación mantenida 2. Métodos de realimentación por relé 3. Métodos de control P
Curvas de Reacción
Los métodos a estudiar son en el dominio del tiempo y se fundamentan en la determinación de los parámetros del modelo cur va de rea r eacci cción ón. a partir de la curva C urv ur va de de Rea R eacc ccii ón: ón: es la respuesta experimental de un sistema ante nte una entr entrada deter determ minada nada (tipo escalón generalmente). La curva de reacción del proceso se obtiene mediante una prueba en lazo abierto con el sistema funcionando en el punto de opera peració ción desea deseado do.. Ahí se apli plica manual nualmente ente un cam cambio bio escalón en la salida del controlador (entrada al proceso) y se registra stra est esta seña señal y la de de salida del pro proceso, ceso, desde desde el el insta nstante nte en en que se se apl apliicó el esca escallón de entr entrada, da, hast hasta a que que el sistem sistema a alcance cance un nue nuev vo punt punto de ope operració ción est estable, si si est este es un un pro proceso ceso auto-regulado.
Curvas de Reacción
Sistema N o-Autorregulado: Sistemas que al ser excitados con una señal escalón, en un tiempo determinado, la salida del sistema se incrementa o reduce indefinidamente, limitado únicamente por las características constructivas del sistema. Sistema Autorregulado: Sistemas que al ser excitados por un escalón, la salida sufre un cambio que, después de transcurrido un tiempo finito, alcanza un valor constante en régimen permanente.
Curvas de Reacción
Tiempo muerto o R etardo de Transporte: Tiempo que transcurre desde el momento en que se excita el sistema hasta que se produce un cambio en la variable de salida. Este se modela como:
y (t ) u t L salida del retardo de transport e
la entr ada
Aplicando T. Laplace:
Y ( s) U ( s)
e
Ls
Modelos utilizados en la Identificación
Las funciones de transferencia de los modelos que usualmente se requiere identificar son de: k p Primer Orden: P( s) Ls T s 1 k p e Primer Orden más tiempo muerto: P ( s ) T s 1 k p Segundo Orden Sobreamortiguado: P( s) T1s 1 T2 s 1
Segundo Orden Subamortiguado: P( s)
n2 k p s 2n s 2
2 n
k p
n2 s 2 2 n s 1
Modelos utilizados en la Identificación
Las funciones de transferencia de los modelos que usualmente se requiere identificar son de:
Segundo Orden Sobreamortiguado más tiempo muerto: T1 T 2 T T 1 Ls Ls k p e k pe a T2 / T 1 P( s) T1s 1 T2 s 1 Ts 1 aTs 1 0 a 1 Segundo Orden Subamortiguado más tiempo muerto: Ls n2 k p e Ls k pe 2 2 P( s) 2 2 s 2n s n n s 2 n s 1 Integrante: P(s)
k p e
Ls
s
P( s)
k p s T s 1
Modelos utilizados en la Identificación
En donde se definen las variables:
T , T1 , T 2 Constantes de tiempo
n
Frecuencia natural no amortiguada
P( s)
FT del modelo (planta o proceso)
k p
Ganancia estática
n
Periodo natural
Razón de amortiguamiento
L s
Tiempo muerto aparente Variable Compleja
Métodos basados en la Curva de Reacción
Métodos de identificación experimental que utilizan la respuesta del sistema a una entrada escalón (curva de reacción del proceso): Sistemas de primer orden: Medición directa de los parámetros del modelo sobre la curva de respuesta Sistemas integrantes: Medición directa de los parámetros del modelo sobre la curva de respuesta Sistemas de segundo orden o mayor: 1. Métodos de la tangente (Miller, Strejc, Ziegler y Nichols) 2. Métodos de dos puntos (Alfaro, Bröida, Chen yYan, Ho, Smith, Viterková) 3. Métodos de tres puntos (Jahanmiri y Fallahi, Stark,Alfaro 123c) 4. Métodos de las áreas características o momentos (Nishikawa) Para sistemas subamortiguados: Medición directa de los parámetros del modelo basada en la respuesta de un sistema de 2º orden
Sistema Integrante
Modelos Integradores: Medición Directa de la C.R.
Ls Sistemas no Autoregulados. k p e FT del Modelo a obtener: P ( s ) s Pendiente Recta y Tangente t k p Magnitud del Escalón de u Excitación
tiempo muerto del sistema L tiempo muerto k p la ganancia,
del modelo
Sistemas de Primer Orden
Modelos de Primer orden:
Sistema autoregulado de Primer Orden:el sistema y el modelo son de primer orden, se identifica el modelo por Medición Directa de la curva de reacción. La respuesta de un sistema de primer orden a una entrada escalón está dada por la ecuación: y (t ) k p 1 e t T u El tiempo muerto asociado al modelo es el tiempo muerto del sistema. Si el sistema tiene un tiempo muerto despreciable, entonces el término exponencial desaparece. La constante de tiempo T se calcula trazando una línea tangente a la curva de reacción (63,2%de y ). y La ganancia del modelo se determina como: k p u
Sistemas de Primer Orden
Modelos de Primer orden
P( s)
k p T s 1
k p yu u
T
Sistemas de Primer Orde
Modelos de Primer orden másTiempo muerto (POMTM)
P(s)
k p e Ls T s 1
k p yu u
L
T
Sistemas de Segundo Orden
Este tipo de sistemas pueden ser representados mediante un modelo de primer orden más tiempo muerto o un modelo de segundo orden más tiempo muerto.
Sistemas de Segundo Orde
Modelo de POMTM, Métodos con RectaTangente: Método de Ziegler-Nichols
Tangente al punto de inflexión
P( s)
k p e Ls T s 1
k p yu u
Sistemas de Segundo Orde
Modelo de POMTM, Métodos con RectaTangente: Método de la tangente modificado de Miller
Tangente al punto de inflexión
P( s)
k p e Ls T s 1
k p yu u
Sistemas de Segundo Orde Modelos de Primer orden más tiempo muerto: Métodos de 2 Puntos
El trazo de la recta tangente no siempre es posible (medición con ruido), además, una variación en la pendiente de la recta tangente afectaría tanto el tiempo muerto como la constante de tiempo del modelo. Algunos métodos de la recta tangente garantizan que la respuesta del modelo coincida en al menos 1 punto con la respuesta del sistema. Se desarrollaron métodos que garantizan que la respuesta del modelo y la del sistema coincida en 2 puntos. Estos métodos consiste en escoger las coordenadas de dos puntos de la curva de reacción y sustituirlos en la ecuación del modelo en el dominio del tiempo. Con esto se logra establecer un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas para así despejar el valor de T y L en el modelo
Sistemas de Segundo Orde
Modelo de POMTM, Métodos de 2 Puntos: Método de Smith
T 1, 5 t63 t 28 P( s ) L t63 T
k p e Ls T s 1
k p yu u
Sistemas de Segundo Orde
Modelo de POMTM, Métodos de 2 Puntos: Método “1/4 - 3/4” de Alfaro
T 0,9102 t75 t 25 L 1, 2619t25 0,26192t 75
P( s )
k p e
Ls
T s 1 k p yu u
Sistemas de Segundo Orde
Modelo de POMTM, Métodos de 2 Puntos: Método de 2 Puntos General
P( s)
k p e
Ls
T s 1
T a t2 t1 L bt1 1 b t 2
k p yu u
Sistemas de Segundo Orde
Modelo de Primer orden más tiempo muerto, Métodos de 2 Puntos: Método de 2 Puntos General, valores de las constantes Constantes para la identificación de los modelos de POMTM Método
%p1 (t1)
%p2 (t2)
a
b
Alfaro (¼ – ¾)
25
75
0,910
1,262
Bröida
28
40
5,500
2,800
Ho et al.
35
85
0,670
1,290
Chen yYang
33
67
1,400
1,540
Smith
28
63
1,500
1,500
Viteckováet al
33
70
1,245
1,498
P( s )
k p e
Ls
T s 1
T a t2 t1 L bt1 1 b t 2
k p yu u
Sistemas de Segundo Orde
Modelo de Polo Doble más tiempo muerto (PDMTM ), Métodos de 2 Puntos: Se extienden algunos métodos de 2 puntos para identificar este tipo de modelo, esto debido a que el # de parámetros a identificar es el mismo que para un modelo de POMTM. Método de 2 Puntos General, valores de las constantes Constantes para la identificación de los modelos de PDMTM Método
%p1 (t1)
%p2 (t2)
a’
b’
Alfaro (¼ – ¾)
25
75
0,578
1,555
Ho et al.
35
85
0,463
1,574
Viteckováet al
33
70
0,794
1,937
k p e
L ' s
P( s)
T ' s 1
T ' a ' t2 t1 2
L ' b ' t1 1 b ' t 2
k p yu u
Sistemas de Segundo Orden
Modelos de Segundo orden más tiempo muerto (SOMTM): Método de 3 puntos: Método de Stark Modelos a Identif icar:
P( s)
P( s)
k p e Ls
T1s 1 T2 s 1 k p n2 e Ls s 2 2n s n2
Sistema de Segundo Orden sobreamortiguado
Sistema de Segundo Orden subamortiguado
Sistemas de Segundo Orden
Modelos de SOMTM: Método de 3 Puntos: Método de Stark
Modelos a Identificar:
P(s)
k p e
Ls
T1s 1 T2 s 1
P(s)
k p n2 e Ls s 2 n s n 2
2
Sistemas de Segundo Orde
Modelos de SOMTM: Método de 3 Puntos: Método de Stark , Cálculo Secuencial: f 3 L t 45 yu n k p yu u 2 1 k p T 1 para 1 t45 t 15 u n x t75 t 15 2 1 0,0805 5, 547 0,475 x T 2 para 1 2
n
x 0,356
f 2 ( ) 0, 708(2,811)
para 1
f 2 ( ) 2, 6 0, 60
para 1
n
f 2 ( ) t75 t 15
sobreamortiguado
P(s)
k p e
Ls
T1s 1 T2 s 1
subamortiguado
f 3 ( ) 0,922(1, 66)
k p n2 e
Ls
P( s )
2 2 s 2 s
Sistemas de Segundo Orde
Modelos de SOMTM: Método de 3 Puntos: Método 123c: Extensión del método ¼ - ¾ de Alfaro (POMTM y PDMTM ) para los casos de un modelo de SOM TM utilizando los siguientes puntos sobre la curva de reacción
k p y u
Sistemas de Segundo Orde
Modelos de SOMTM: Método de 3 Puntos: Método 123c: k e k e T '' T 1 Ecuaciones: P(s) L '' s
L '' s
p
p
T1s 1 T2 s 1
T '' s 1 aT '' s 1
a T2 / T 1
Método Simplificado
L '' L ' (PDMTM)
Método General
L ' 1, 5552t25 0, 5552t 75 T ' 0,5776 t75 t 25 T ''
2T '
T1 T '' L '' t75 1,3421 1,3455a T ''
T2 aT '' t50 L '' 1, 4362T '
1 9844T '
0,9866 0,8036a
T2 aT ''
1 a T1 T ''
a
T ''
t75 t 25
L ''
0, 6240t25 0, 9866t50 0, 3626t 75 a 0, 3533t25 0, 7036t50 0, 3503t 75
5
Ejemplo
Step Response System: Gm1 Final Value: 5
4.5
Sistema de Primer Orden: Modelo de POMTM
4
3.5
3
e d u t i l p
2.5
m A
2
1.5
1
0.5
0
System: Gm1 Time (sec): 2.5 Amplitude: 3.16
5
empo
Step Response System: Gm1 Final Value: 5
4.5
Sistema de Primer Orden: Modelo de POMTM
4
3.5
3
e d u t i l p
System: Gm1 Time (sec): 2.5 Amplitude: 3.16
0.632 y 3,16 k p
2.5
m A
yu
u
5 1
5
L 0, 424 0.5 2
T 2, 5 0, 5 2 1.5
1
0.5
0
P(s)
k p e
Ls
Ts 1
5e 0,5 s 2s 1
2
Ejemplo
Step Response
1.8
1.6
1.4
1.2
e d u t i l
1
p
m A
0.8
0.6
0.4
0.2
Sistema de Segundo Orden: Modelo de POMTM
2
empo
Step Response System: Gm1 Final Value: 2
1.8
1.6 System: Gm1 Time (sec): 5.25 Amplitude: 1.61 1.4
1.2
e d u t i l p
Sistema de Segundo Orden: Modelo de POMTM: Método
de Ziegler-Nichols 1
m A
0.8
0.6
0.4
0.2
k p
yu
u
2 1
2
L 1 T 5, 25 1 4, 25 Ls k p e 2e s
P(s)
Ts 1
4, 25s 1
2
empo System: Gm1 Final Value: 2
1.8
Sistema de Segundo Orden: Modelo de POMTM: Método de
1.6
Smith k p
1.4
System: Gm1 Time (sec): 3.85 Amplitude: 1.26
1.2
e d u t i l p
yu
y 2 2 u 1
u 0, 632 y 1, 26 0, 283 y 0, 566
1
m A
T 1, 5 t63 t 28 1, 5 3,85 2, 22 2, 445
0.8
L 3,85 2, 445 1, 405 0.6 System: Gm1 Time (sec): 2.22 Amplitude: 0.566 0.4
0.2
P(s)
k p e
Ls
Ts 1
2e1,405 s 2, 445s 1
2
empo
Step Response
Sistema de Segundo orden: Modelo de Segundo Orden: Método de Stark:
1.8
1.6
System: Gm1 Time (sec): 4.73 Amplitude: 1.5
1.4
1.2
e d u t i l p
1
m A
System: Gm1 Time (sec): 2.92 Amplitude: 0.9
0.8
0.6
x
y 2 2 u 1 0,15 y 0,30 0,45 y 0,90 0,75 y 1,50 k p
t 45 t 15 2,92 1,68 0,41 t 75 t 15 4,73 1,68
1,06
0.2
System: Gm1 Time (sec): 1.68 Amplitude: 0.3
n 0,707 f 3 1,578
T 1 1,996 2 T 2 1
f 2 2,156
0.4
L 0,688
P( s )
2e0,688 s
2s 1 s 1
empo
Step Response
2
1.8
Comparación Sistema Real y el Modelo
1.6 Sistema Real Z &N 1.4
Smith Stark
1.2
e d u t i l p
1
m A
0.8
0.6
0.4
0.2
Ejemplo Metodo 123c
1, 25e 0,25 s
Sistema de cuarto orden P( s) 16 s 1 4 s 1 2 s 1 s 1 Curva de Reacción: Step Response
1.4 System: P Final Value: 1.25 1.2
1
u 1 System: P Time (s ec): 30.2 Amplitude: 0.937
0.8 e d u t i l p m A
0.6
System: P Time (sec): 18.9 Amplitude: 0.625
0.4
0.2
0
System: P Time (s ec): 11.5 Amplitude: 0.312
Ejemplo Metodo 123c Sistema de cuarto orden P( s)
1, 25e 0,25 s
S2 n
16 s 1 4 s 1 2 s 1 s 1
Modelos Identificados: ejecutar id123cv26_ana.m
2
y K 1
m
k y k
Step Response
1.4
POMTM:
P1 ( s ) PDMTM:
P2 ( s )
1,25e 6,44 s
1.2
16, 94 s 1 1
1,25e 0,98 s
10, 75s 1
SOMTMs:
P3 ( s )
1, 25e
0.8 e d u t i l p m A
0,98 s
13, 56 s 1 7, 94 s 1
SOMTMg:
P4 ( s )
2
1,25e
2,73 s
0.6 P P1 P2 P3
0.4
P4
P1 s S 21 0,1278 P2 s S 22 0,0615 P3 s S 23 0,0386
0.2
P4 s S 24 0,0142
15, 42 s 1 4,83s 1 0
0
20
40
60 Time (sec)
80
100
120
Sistemas Subamortiguados
Los sistemas de orden superior a 2 cuya respuesta es subamortiguada pueden ser representados por Modelo de segundo orden Subamortiguado más tiempo muerto siempre y cuando el sistema tenga 2 polos complejos conjugados 2 Ls dominantes. k p n e P(s) 2 2 s 2n s n En la respuesta del sistema subamortiguada se deben identificar las siguientes variables.
y p1 , t p1 Valor yTiempo al primer pico.
ym1 , t m1 Valor yTiempo al primer mínimo. y p 2 , t p 2 Valor yTiempo al segundo pico.
yu
Valor final de la respuesta.
Sistemas Subamortiguados
Modelo de SOMTM para sistemas subamortiguados
Modelo a Identificar: k p n2 e Ls P(s) 2 2 s 2 n s n
L
Sistemas Subamortiguados Método de identificación con base en el sobrepaso máximo. Con los datos medidos en la curva de reacción subamortiguada se identifica el modelo con las siguientes ecuaciones: yu y0 y ln 2 k p 2 u u 2 ln 2 n y p1 yu T 1 2 T 2 t m1 t p1 yu y0
Si t p1 T 2 entonces el sistema es de segundo orden y se 2 modelo con: k p n P( s ) 2 s 2n s n2 Si t p1 T 2 entonces el sistema es de orden superior a 2 y se 2 Ls modelo con: k p n e L t p1 T 2 P( s ) 2 Representa l as restantes s 2n s n2 constantes de tiempo del sistema
Sistemas Subamortiguados Método de identificación con base en el decaimiento. Con los datos medidos en la curva de reacción subamortiguada se identifica el modelo con las siguientes ecuaciones:
k p
yu y0
u
y u
y p 2 yu y p1 yu
2
2 2 n ln T n T
Se mide directamente desde la curva de respuesta
n
2 T 1
2
n
ln 2 4 2 ln 2
Si t p1 T 2 entonces el sistema es de segundo orden y se 2 k p n modelo con: P( s ) 2 2 s 2 n s n Si t p1 T 2 entonces el sistema es de orden superior a 2 y se Ls modelo con: L t p1 T 2 k p n2 e P( s ) 2 2 Representa l as restantes s 2 s
Métodos de Lazo cerrado
Métodos de lazo Cerrado: el controlador se encuentra operando en“automático”durante la prueba: Métodos que utilizan la información última del sistema: 1. Métodos de oscilación mantenida (Z&N). 2. Métodos de realimentación por relé. Métodos que utilizan la respuesta del sistema en lazo cerrado: 1. Métodos de control P.
Métodos de Oscilación Mantenida
Utilizan la información última del sistema para identificar un modelo. Procedimiento de Ziegler y Nichols: se pretende determinar la información última (Ganancia última y periodo de oscilación último) al llevar el sistema al límite de estabilidad utilizando un controlador P. r (s)
e(s)
+
-
C(s) K c
u(s)
P(s)
y(s)
Se deben desactivar otros modos de control (Integral, derivativo) para realizar el procedimiento
Métodos de Oscilación Mantenida Procedimiento de Ziegler y Nichols: Debe llevarse el sistema al punto normal de operación con el modo P, ajustado en un valor que asegure la estabilidad del lazo (Ganancias bajas) Se perturba el sistema con incrementos y decrementos del valor deseado (entrada escalón) y se observa el comportamiento del lazo de control, si es estable se incrementa la ganancia hasta lograr una oscilación sostenida (límite de estabilidad del sistema), con esto se determina la información última: El valor de la ganancia del controlador en el límite de estabilidad es la ganancia última: K cu El periodo de oscilación de la respuesta en el límite de estabilidad es el periodo último: T u Una vez identificada la información última se retorna el sistema a un punto de operación estable.
Métodos de Oscilación Mantenida Procedimiento de Ziegler y Nichols: sistema oscilando en el punto de operación
Métodos de Oscilación Mantenida Procedimiento de Ziegler y Nichols: Desventajas Requiere llevar el sistema hasta el punto de estabilidad límite. Aparte de las grandes variaciones que presentan las variables en ese punto, existe siempre el riesgo de que el sistema se inestabilice ante la presencia de una perturbación o por un ajuste errado del modo proporcional del controlador. El procedimiento no es susceptible de ser incorporado dentro de un procedimiento de auto-sintonía del controlador. En un procedimiento de auto-sintonía, los parámetros del controlador deben ajustarse automáticamente bajo demanda del operador o de una señal externa, esto difiere de un controlador adaptivo, en el cual sus parámetros son actualizados en forma continua durante la operación.
Métodos de Oscilación Mantenida Método de realimentación por relé de Aström y Hägglund: Un sistema que tenga un retraso de fase de por lo menos -180º a altas frecuencias, oscilará con un periodo de oscilación igual al periodo crítico bajo el control de un relé. El procedimiento puede ser incorporado dentro de un procedimiento de auto-sintonía del controlador, el cual incluirá un relé para realizar la prueba de identificación. No requiere llevar el sistema al límite de estabilidad.
PID r(t )
+
-
Relé
Planta
y(t )
Métodos de Oscilación Mantenida Método de realimentación por relé de Aström y Hägglund:
K cu
4d
a
4d '
a'
T u T c
Métodos de Oscilación Mantenida Modelos a partir de la información última: Una vez determinada la información última del sistema estase puede utilizar para identificar un modelo de POMTM o de PDMTM
P( s) T
T u
2
k p e
2
2
2 T T u L Atan 2 T u
k p
P( s )
T s 1 K cu k p 1
Se determina de una prueba de lazo cerrado (servocont rol) con el controlador P con u na ganancia arbitraria
k p e
L ' s
Ls
T'
T u
2
T ' s 1
2
K cu k p 1
2 T ' T u L ' 2 Atan 2 T u
y k p K c r y
Métodos de Oscilación Mantenida
Cálculo de la ganancia Kp, Se determina de una prueba de lazo cerrado (servocontrol) con el controlador P con una ganancia arbitraria r(t )
y 0,8 2 k p K c r y 2 1 0, 8
Método 1D2u
Obtiene un modelo de POMTM (123c ) a partir de la curva de reacción del modelo de PDMTM identificado con la información crítica T'
T u
2
T 1, 5758T '
K cu k p 1
2 T ' T u L ' 2 Atan 2 T u
P( s)
k p e
L L ' 0,5077T ' y k p K c r y
Ls
T s 1
Usualmente da un mejor modelo de POMTM que el obtenido con la información crítica
Aproximaciones del Tiempo Muerto
Sistema realimentado:
r (s) +
e(s)
-
C(s)
u(s) +
d (s) +
P(s)
y(s)
M yr ( s )
C (s ) P ( s )
1 C (s ) P ( s ) k p e Ls
Si la planta es de Primer orden más tiempo muerto: P( s ) Ls T s 1 C (s )k p e Ls ( ) C s k e p 1 T s M yr ( s ) Ls Ls C (s )k p e T s 1 C ( s)k p e 1 T s 1 Polinomio Característico: pc ( s ) T s 1 C ( s )k p e Ls Este es una función no racional en s, para encontrar las raíces de este polinomio debe aproximarse el tiempo muerto de alguna forma.
Aproximaciones del Tiempo Muerto
Aproximación del tiempo muerto mediante series: Primer orden: e
Ls
1 Ls
Segundo orden: e Ls 1 Ls 0, 5L2 s 2
Son Válidas para valores de L muy pequeños
Aproximaciones de Padé para el tiempo muerto: Primer orden: e Segundo orden
e
Ls
Ls
1
Ls
2 Ls
1 0, 5Ls 1 0, 5 Ls
2 2
Ls
1 0, 5 Ls 0, 0833 L2 s 2
12 2 2 Ls 1 0, 5 Ls 0, 0833 L2 s 2 1 2 12
Aproximaciones del Tiempo Muerto
Comparación del tiempo muerto de 0,5s y su aproximación de pade de 3to orden utilizando Matlab®: pade (0.5,3);
