INTRODUCCION
En hidráulica el tratamiento matemático de los problemas, con base exclusivamente en los métodos analíticos, no siempre permite llegar a una solución completa, a menos que se establezcan hipótesis que, además de restar generalidad a la solución, pueden llegar a dar resultados erróneos a tal grado que no tengan relación alguna con el comportamiento real del fenómeno. Es por eso el surgimiento de la hidráulica experimental ya que mediante modelos que traten de simular fenómenos naturales en estructuras hidráulicas, se puedan obtener datos más cercanos a la realidad también esto se hace por el costo que es relativamente considerable tomando en cuenta los resultados que se obtiene ya que con estos prototipos son una escala de obras de grandes dimensiones. El procedimiento para construir estos modelos se basa en las teorías de similitud hidráulica. Un modelo hidráulico debe tener similitud geométrica la cual implica una igualdad entre todas las medidas del sistema real y el prototipo y cuando la relación entre las medidas verticales y horizontales es diferente el modelo ha sido distorsionado. La similitud cinemática la cual la relación del tiempo y las partículas, sean semejantes, esto es la similitud entre las líneas de corriente de ambos flujos y la similitud dinámica implica que a las partículas de ambos sistemas estén sometidos a fuerzas iguales. Cuando se ha cumplido la similitud dinámica se obtiene ciertos números adimensionales los cuales deben de ser los mismos en el modelo y el prototipo los cuales son: número de Froude, número de Reynolds y el número de Euler estos se utilizan para conocer cómo actúa la fuerza de inercia en estos modelos y/o prototipos. También se analiza como es el flujo del líquido en orificios, compuertas y vertederos para obtener coeficientes de velocidad, contracción y gasto mediante el uso de varias ecuaciones que se utilizan en la hidráulica como la de continuidad, conservación de la cantidad de movimiento y la de Bernoulli entre otras para tener una idea de cómo funcionan y se comportan estos sistemas. Existen algunos dispositivos de medición para conocer las características hidráulicas del escurrimiento: gastos, velocidades, presiones, tiempos, etc., De un fluido en un sistemas hidráulico estos dispositivos pueden ser (tubo de Venturi, tubo de Pitot y el rotámetro).
HIDRAULICA EXPERIMENTAL Página
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La hidráulica experimental es la que busca desarrollar modelos físicos en laboratorios para tratar de simular la realidad y dar alternativas de manejo para los prototipos o casos reales.
1.-Modelos hidráulicos Muchos de los fenómenos que ocurren en la naturaleza y dentro del campo de la hidráulica son tan complejos que no es fácil tratarlos únicamente con métodos matemáticos. Por lo anterior es conveniente recurrir al empleo de técnicas de la hidráulica experimentales, como herramientas como puedes ser pequeñas representaciones de estructuras y máquinas para obtener soluciones prácticas. Algunas de las aplicaciones más comunes se presentan en: estudios de propagación de oleaje, acción de mareas y corrientes, movimiento de sedimentos, estabilidad de estructuras sujetas a la acción del oleaje, efecto de estructuras en protección de playas, acción del oleaje sobre embarcaciones atracadas o en movimiento, propagación de mareas, funcionamiento de estuarios, erosión y sedimentación de cauces, control de avenidas, obras de toma, cárcamos de bombeo, vertederos, conducción de agua a presión, difusión térmica y desechos, etc. En hidráulica, el término modelo corresponde a un sistema que simula un objeto real llamado prototipo, mediante la entrada de cierta información, se procesa y se presenta de manera adecuada para que se pueda emplear en el diseño y operación de obras de ingeniería civil. Se han desarrollado métodos por los cuales se puede construir un modelo físico a escala reducida es una representación a escala del objeto real o prototipo, y cumple ciertas condiciones matemáticas definidas con los resultados de este modelo es posible predecir la conducta de una estructura o prototipo. Los principios en que se basa este procedimiento incluyen las teorías de similitud hidráulica. El análisis de las relaciones básicas de las diversas cantidades físicas incluidas en el movimiento y la acción dinámica del fluido denominada análisis dimensional.
Figura 1
Figura 2
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2
Los modelos hidráulicos han encontrado creciente aplicación para controlar y modificar diseños analíticos de estructuras hidráulicas. Mediante el uso de modelos físicos es posible experimentar a costos relativamente bajos, hasta obtener condiciones óptimas. En la actualidad se dispone de técnicas avanzadas de modelación física de fenómenos hidráulicos que, unidas al desarrollo de instrumento de medición y equipos generadores de fenómenos a escala, permiten predecir con alto grado de certidumbre lo que pueda ocurrir en el prototipo y, por tanto, se obtienen resultados óptimos en los aspectos de funcionalidad, estabilidad y economía de las estructuras a construir. Esto justifica ampliamente la utilización de modelos hidráulicos. El empleo de un modelo hidráulico implica establecer un programa definido de investigación experimental sobre todas las variables que intervienen, en forma particular o en grupo. Lo anterior se hace para poder verificar en su caso la validez de soluciones analíticas de un problema dado, o determinar las leyes de relación entre las diferentes variables que, extrapoladas al prototipo, permitan optimizar la eficiencia de cada uno de los elementos del sistema modelo-prototipo
Figura 3
Figura 4
Dentro de los modelos hidráulicos se pueden clasificar en: Modelos Físicos, Modelos Analógicos y Modelos Matemáticos. -Modelo físico Es la simulación física de un fenómeno hidráulico, que ocurre en relación con una obra de ingeniería, en un sistema semejante simplificado que permite observarlo y controlarlo con facilidad, además confirmar la validez del diseño de la obra, optimizarla o notar de los efectos colaterales, que deberán ser considerados durante la operación de la misma. Según las características propias de los modelos se pueden clasificar en: Clasificación respecto de la semejanza geométrica con el prototipo:
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« Modelos geométricamente semejantes: Son aquellos en los que se conserva la semejanza de todas las variables geométricas. Existe un único factor de reducción o amplificación, llamado escala, de todas las magnitudes geométricas y las que se derivan de ellas, además de la igualdad de ángulos correspondientes entre el modelo y el prototipo. Ejemplos: modelos de desarenadores, desgravadores, bocatomas, canales. « Modelos geométricamente distorsionados: Se conserva la semejanza con el prototipo, pero los factores a usar de reducción o ampliación son distintos para diferentes dimensiones del mismo. Es frecuente que las dimensiones horizontales tengan una escala o factor y las dimensiones verticales, otras. Este tipo de modelos es usual en estructuras marítimas. Clasificación respecto de la movilidad y deformabilidad del contorno: « Modelos de contorno fijo: Hay casos en que la deformabilidad del contorno no es relevante al fenómeno, por lo tanto, se puede representarse simplificadamente en el modelo como si fuera fijo o indeformable. Los modelos de este tipo serían, por ejemplo: sistemas de presión, canales revestidos o cauces naturales donde el fondo no experimente muchos cambios. « Modelos de contorno móvil: Existen situaciones en que el modelo debe representar el contorno móvil en una forma confiable, ya que los fenómenos que ocurren, caso del escurrimiento vienen determinado por la movilidad y deformabilidad de la sección. Estos casos son frecuentes en obras hidráulicas y de mecánica fluvial. El modelo puede tener sólo lecho móvil y los bordes fijos, o bien tener el perímetro móvil o lecho móvil por zonas. -Modelos analógicos Es la reproducción de un fenómeno en estudio de un prototipo en un sistema físico diferente al original (modelo), pero que aprovecha la similitud de las leyes matemáticas. Su uso no es muy frecuente en la actualidad. Es común que uno de los dos fenómenos sea de menor dificultad, por lo que éste se emplea para resolver el otro. Lo anterior ofrece una posibilidad de resolver problemas hidráulicos basándose en mediciones hechas sobre un fenómeno análogo, siendo los más comunes: « Analogía entre un flujo a través de medios permeables y flujo laminar en capas delgadas. « Analogía entre flujo laminar y flujo turbulento. « Analogía entre un flujo a través de medios permeables y la deformación de una placa elástica bajo carga.
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« Analogía eléctrica y otros fenómenos físicos (como hidráulicos, mecánicos, etc.). Modelos matemáticos Son aquellos en la que se hace uso de las ecuaciones o expresiones matemáticas que definen de una manera simplificada el fenómeno en estudio que ocurre en el prototipo. Son tres los modelos matemáticos: « Modelos determinísticos: Los procesos físicos involucrados se expresan a través de relaciones funcionales determinísticas en los que no se considera la probabilidad de ocurrencia del fenómeno. « Modelos estocásticos: Los procesos físicos se representan haciendo uso de variables aleatorias, probabilísticas que involucran el fenómeno en estudio. « Modelos de simulación numérica: Son modelos en los que se emplea, principalmente, ecuaciones diferenciales y condiciones iniciales de borde, que son resueltos utilizando técnicas de análisis numérico, tales como métodos de diferencias finitas y elementos finitos. La aplicación de cualquiera de los dos tipos de modelos, físicos, analógicos y matemáticos, tiene limitaciones, ya que ésta depende de la complejidad del problema en la intervención de las variables y sus fronteras a tratar, siendo en algunos casos los modelos matemáticos los más apropiados. La experimentación se basa en la construcción y operación de un modelo reducido a escala cuyo tamaño se supedita a factores como espacio disponible, capacidad de las instalaciones del costo del modelo, efectos de escala, etcétera. Para la operación se requieren los aparatos y dispositivos que midan las características hidráulicas del escurrimiento: gastos, velocidades, presiones, tiempos, etc.
Figura 5 Laboratorio de hidráulica con modelos hidráulicos a escala
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1.1.-Similitud geometría cinemática y dinámica Las condiciones de diseño traducen ciertas analogías entre prototipos y modelos que pueden ser de orden geométrico, cinemático y dinámico. Estas definiciones se conocen como similitudes. « Similitud geométrica Cuando dos figuras son geométricamente semejantes hay correspondencia punto a punto entre ellas y dos puntos correspondientes se denominan puntos homólogos. Se llaman homólogos a las líneas, superficies y volúmenes que se correspondan entre sí. La similitud geométrica implica que sea igual la relación de todas las longitudes en los sistemas. La relación de las dimensiones lineales homologas define la escala de similitud geométrica, es una constante. El modelo será en general geométricamente semejante al prototipo. En ciertos casos para estudio en modelos de puertos y ríos, la escala de reducción para las dimensiones verticales y horizontales es diferente, se dice entonces que el modelo ha sido “distorsionado”. Las formas en plantas son geométricamente semejantes pero las secciones transversales han sido dilatadas en el sentido vertical. Una consecuencia de la similitud geométrica exacta es que la relación de áreas y volúmenes entre ambos sistemas (modelo y prototipo) se pueden expresar en términos del cuadrado y cubo, en algunos casos es recomendable que la similitud geométrica solo en lo que se refiere las dimensiones sobre planos horizontales y las dimensiones verticales pueden quedar distorsionadas con
Figura 6
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6
otra escala de líneas donde el conservar la misma escala de líneas en las tres direcciones significaría tener tirantes muy pequeños en los modelos. La similitud geométrica implica, de un modo estricto, que sea igual la relación de todas las longitudes homologas en los dos sistemas. Esto es, si dentro de los flujos ciertas dimensiones se seleccionan y además, se designan con p al prototipo y con m al modelo (Fig. 6), la similitud geométrica significaría, por ejemplo, que le =
Sp Sm
Donde
le
es la escala de líneas que cuantifica el tamaño relativo de los dos
sistemas. Una consecuencia de la similitud geométrica exacta es que la relación de áreas y volúmenes en ambos sistemas se puede expresar en términos del 2 A e =l e cuadrado y del cubo de l e , esto es: 2
V c =l e
En algunos casos, es factible que la similitud geométrica exista solo en lo que se refiere a las dimensiones sobre planos horizontales y las dimensiones verticales pueden quedar distorsionadas con otra escala de líneas (como el caso de los modelos de ríos o de puertos) donde el conservar las misma escala de líneas en las tres direcciones significaría tener tirantes muy pequeños en los modelos. Se tendrían así, por ejemplo, escalas de líneas de dimensiones verticales y horizontales, como sigue: l ev =
H P Sp = … H m Sm
l eh=
Bv … Bm
La similitud geométrica se extiende también a la rugosidad superficial de las paredes que limitan al flujo, pues si el modelo tiene un tamaño igual a un décimo l del prototipo (¿¿ e=10) , entonces la altura de las proyecciones de las ¿ rugosidades debe estar en la misma relación. Esto es difícil de lograr en la práctica, por lo que en ocasiones es necesaria una distorsión geométrica en la
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dimensión longitudinal de la conducción respecto a las otras dos dimensiones, con objeto de lograr la misma relación de pérdidas de energía en ambas estructuras. « Similitud cinemática Si en dos sistemas geométricamente semejantes se producen movimientos o flujos periódicos o transitorios, o si aparecen allí deformaciones lentas, es necesario introducir la noción de tiempos homólogos (o instantes correspondientes) y de partículas homologas (o partículas correspondientes). La similitud cinemática entre dos sistemas de flujo se interpretan como la semejanza geométrica entre las líneas de corriente de ambos flujos, sin distorsión o con ella. Cuando dos sistemas son cinemáticamente semejantes, partículas homologas ocupan en tiempos homólogos posiciones homologas. Es fácil notar que los vectores velocidad y aceleración en puntos homólogos tienen direcciones homologas en tiempo homólogos. En consecuencia, las trayectorias de las partículas son curvas homologas. Si se trata de flujos permanentes las líneas de corriente homologas son líneas de corriente semejantes. « Similitud dinámica Se dice que dos sistemas son dinámicamente semejantes si las partes homologas de tales sistemas están sometidas a sistemas de fuerzas homologas. Implica que haya similitud geométrica o distorsionada, además de que sea la misma la relación de las fuerzas dinámicas en puntos homólogos. Es aparente en particular que si entre los dos sistemas la distribución de masas es semejante (lo que puede implicar en una cierta medida la similitud geométrica), en virtud de la similitud cinemática trae consigo la similitud dinámica. Existen escalas de velocidad, de fuerzas, tiempos, densidades, viscosidades, etc. Que miden la relación entre las características de los fluidos y propiedades referidos a dos puntos homogéneos Además por definición se conoce que:
t e=
ve=
le te
le ve
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Q e = Ae V e ae =
le t 2e
pe =
ye ge
v e=
μe pe
Con las definiciones de escala antes dadas, la ecuación equivalente para el prototipo es: 2
v ∂( m ) le ∂ v m 2 ¿ + ∂ sm v e tn ∂ t m
( )
Los términos entre paréntesis, de esta ecuación, relacionan las diferentes escalas utilizadas y es igualmente valido utilizar los recíprocos (exceptuando el último).Por ejemplo igualando el primero con el que corresponde al de la aceleración (de valor de 1), por definición de escalas, resulta lo siguiente: p p v 2p Pm v 2m = pp pm Esto es, para que haya similitud dinámica, por lo que respecta a la fuerza de 2 presión, es necesario que el parámetro Eu= pv / p sea el mismo en el modelo y en el prototipo. En general, p representa la diferencia de presiones Δp, entre dos puntos de flujo o entre un punto y la presión atmosférica. Este parámetro es adimensional y es la relación entre la fuerza de inercia y la debida al gradiente de presiones.
1.2.-Leyes de similitud. Condiciones de Froude, Reynolds y Euler. Cuando se divide la fuerza que actúa en un fenómeno hidráulico por la fuerza de inercia (siempre está presente), se obtiene un numero adimensional el cual debe ser el mismo en el modelo y prototipo en punto homólogos, cuando se cumpla la similitud dinámica. Las expresiones adimensionales, en el lenguaje hidráulico se les designan como leyes de similitud.
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Por medio de un razonamiento análogo se obtuvieron tres parámetros adimensionales a saber los cuales son: número de Froude, número de Reynolds, numero Euler. « Numero de Froude F r 2=
fuerza de inercia v2 = fuerza gravitacional gl
En general se representa como la raíz cuadrada de la relación de fuerzas, es decir: Fr=
v √ gl
El número de Froude tiene importancia en flujos con velocidades grandes que ocurren por la acción exclusiva de la gravedad; tal es el caso del flujo turbulento a superficie libre, donde los efectos viscosos son despreciables. A medida que aumenta el número de Froude, mayor es la reacción inercial de cualquier fuerza; en tanto disminuye, mayor es el efecto de la fuerza gravitacional. Cuando el flujo es horizontal, la acción del peso desaparece y con ella la influencia del número de Froude. « Numero de Reynolds fuerza de inercia vl vl ℜ= = = fuerza viscosa μ/p v El segundo número se llama de Reynolds y se acostumbrar a escribir: ℜ=
vl v
Es válido en aquellos flujos a poca velocidad donde las fuerzas viscosas son las más importantes. Un número de Reynolds grande indica una preponderancia marcada de las fuerzas de inercia sobre las viscosas, como por ejemplo el flujo turbulento, en que la viscosidad tiene escasa importancia y el fenómeno depende solo del número de Euler. Cuando este es pequeño depende de ambos números. El número de Reynolds se usa a menudo como el criterio de semejanza en la prueba de modelos de naves áreas, cuerpos sumergidos en un flujo, medidores de gasto, transiciones en conductos, etcétera, en los cuales las características del flujo están sujetas a efectos viscosos. Página
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« Numero de Euler Eu=
fuerza de inercia p v 2 = fuerza de presion ∆ p
El primer parámetro de los obtenidos arriba se llama número de Euler y rige ∆ p de las aquellos fenómenos donde son preponderantes los cambios presiones. Con
p=γ / g
y h=∆ p/γ , se escribe así:
p v2 v2 Eu= = ∆ p gh Parámetro que tiene importancia en fenómenos de flujo ocasionados por una gradiente de presiones donde la densidad y la aceleración del fluido intervienen primordialmente en el fenómeno y las fuerzas viscosas pierden importancia. Es decir, el movimiento depende de la forma del flujo, con una configuración prácticamente invariable de las líneas de corriente. Esto ocurre en problemas de flujo a presión como en las tuberías, orificios, válvulas, compuertas, distribución local de presiones sobre un obstáculo, etc.
Como ya se había señalado, para lograr similitud dinámica es necesario que los números antes definidos resulten iguales en el modelo y en el prototipo. En la práctica no se pueden satisfacer todos los parámetros de manera simultánea y se da preferencia a aquel o aquellos que tengan mayor importancia en el flujo. Sistemas a presión. En este caso, los cambios de presión se deben a una combinación de los efectos dinámicos producidos por la aceleración, viscosidad y gravedad. En el caso común de un flujo de densidad constante, el efecto de gravedad es una distribución de presiones hidrostáticas, superpuesta a una presión variable debida a otros efectos, de ahí que el número de Reynolds sea el más importante y deba ser igual en modelo y prototipo. V e le =1 ve
Donde
Ve
es la escala de velocidad y
ve
de viscosidad cinemática; resulta
entonces lo siguiente: _________________________
V e=
V e μe = l e pe l e
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2
le le t = = e La escala de tiempos es: ______________ V e ve V e v 2e μ2e a = La de aceleraciones: _______________ e t = l 3 = p2 l 3 e e e e 2 μ2e 3 μe F =m a = p l = e 0 e e 2 3 La de las fuerzas viscosas: _____ e pe l e p e
F e μ2e P = Y por último depresiones: ___________ e A = p l 2 e e e Al utilizar el criterio de semejanza de Reynolds puede demostrarse que las fuerzas gravitacionales se anulan y no tiene, por lo tanto, efectos sobre las características del flujo. Sin embargo, en la mayoría de los estudios con modelos el número de 1 x 106 a 20 x 106 , por la cual la utilización de este Reynolds varía desde criterio de semejanza es poco usual en la práctica. Sistemas a superficie libre. En este caso, la presión relativa (medida a partir de la atmosférica en un punto cualquiera) no se puede modificar arbitrariamente sin afectar la geometría de la superficie libre. Como la fuerza de gravedad es la más importante, el número de Fronde debe ser igual en el modelo y el prototipo. Las aproximaciones en las leyes de similitud y la dificultades inherentes a la similitud geométrica exacta, se le conoce con el nombre de efectos de escala, los cuales pueden tener muy diversos orígenes, la estimación aproximada de dichos efectos no es posible si se construyen modelos de diferentes tamaños y se comparan con los resultados obtenidos, deduciendo con ello la verificación o aproximación a la ley de similitud utilizada.
1.3.-Planeacion y construcción de modelos hidráulicos El modelo debe ser lo más pequeño como sea posible es por eso debido a los factores de la economía, y aun así obtener valores resultados buenos pero se debe tener en cuenta que los modelos demasiado pequeños pueden resultar incomodos para realizar mediciones adecuadas. En un modelo a escala mediana habrá mayor flexibilidad para obtener de manera fácil los objetos requeridos, si bien estos implican disponibilidad de espacio y amplio caudal de agua. No hay reglas fijadas para poder elegir el tipo de escala de
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un modelo, a pesar de ser uno de los factores más importantes en la planeación del modelo. Se debe procurar siempre que la semejanza geometría sea exacta, a menos de que por razones de peso optar por modelos distorsionados. Los planos del modelo, lo más aproximado posible, evitando los errores con el ahorro en el tiempo de la construcción del modelo. Para poder proceder a la construcción del modelo lo primero que se debe de realizar es realizar esquemas y bosquejos para construcciones más o menos rutinarias o también planos minuciosamente detallados de las porciones más importantes y criticas del momento. El modelo no debe ser estrictamente igual al prototipo, si las superficies sobre las cuales fluye el agua se reproducen en su forma, el modelo cumplirá con su contenido. Los modelos para vertedores pueden construirse de láminas metálica sobre bastidores. Los lechos de ríos y canales se pueden modelar con mortero de cemento sobre tela metálica o construyendo sobre plantillas las proporciones adecuadas de grava y arena. El uso de los materiales plásticos es particularmente apropiado para la simulación de conductos de acero o mampostería para facilitar la observación visual. Las escalas distorsionadas son usadas cunado se necesita apartarse de la similitud geométrica para objetos definidos y limitados. Por lo general se recurre a la distorsión de los modelos de canales fluviales, puertos y estuarios, para los cuales las dimensiones horizontales son muy grandes en proporción a las dimensiones verticales. Cuando las dimensiones resultantes en el modelo, en lo que se refiere a tirantes y pendientes, son muy pequeñas para producir resultados importantes, se requerirá una escala vertical distorsionada, la cual no conviene que sea mayor de cinco veces la escala horizontal. El movimiento de un fluido en el modelo y el en el prototipo, para que sea similar en forma completa, no es suficiente con que se cumpla con las similitudes geométrica y cinemática, también es necesario tomar en consideración la acción de fuerzas sobre las partículas de un fluido, tales como fricción, tensión superficial, gravedad o peso, fuerzas de inercia, etc. Lo anterior implica que la relación de fuerzas homólogas también debe ser constante, estableciéndose así la escala dinámica de fuerzas. En el diseño de estructura hidráulicas comunes se ha determinado cuales son los factores típicos que gobiernan su comportamiento y por lo tanto su modelación y diseño. Algunos ejemplos: Tipo de estructura factores de diseño típicos: Página
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ESTRUCTURAS DE CONTROL a. Tomas
Descarga niveles de agua. Velocidad, pérdidas, presión.
b. Muros de contención
(fuerzas), vibraciones, inestabilidades Vórtices, demanda de aire, sedimentos. Hielo, cavitación, oleajes.
c. Compuertas d. Ataguías e. Divisoras de aguas
Patrones de flujo Tabla 1
CONDUCCION a. Vertederos b. Canales c. Túneles
Niveles de agua, perdidas. Velocidades, perdidas, entrada. De aire, cavitación. Tabla 2
DISPARADORES DE ENERGIA a. Ampliaciones abruptas b. Difusores
Niveles de agua, perdidas. Presión, vibración, demanda de aire. Cavitación, abrasión, oleaje.
Tabla 3 2.-Flujo en orificios, compuertas y vertederos
Para poder tomar en cuenta los parámetros no considerados en la formulación teorice de un fenómeno, suelen considerar coeficientes de corrección a los valores teóricos obtenidos que proporcionen valores reales. El flujo a través de orificios, vertederos y compuertas son ejemplos típicos donde estos coeficientes encuentran aplicación.
Coeficiente de descarga (Cd): Es la relación entre el caudal real que pasa a través de un dispositivo y el caudal real. Cd=
cuadal real caudal ideal
Coeficiente de velocidad (Cv): Es la relación entre la velocidad media real en la sección recta de la corriente y la velocidad media ideal que se tendría son rozamiento.
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Cv=
velocidad media real velocidad mediaideal
Coeficiente de contracción (Cc): Es la relación entre el área de la sección recta contraída de una corriente y el área del orificio a través del cual fluye el fluido. Cc=
area del flujo contraido area delorificio
Se cumple que: Cd=Cv∗Cc « Flujo en orificios En un recipiente lleno de líquido, en una de sus paredes laterales se le perfora un orificio de pequeñas dimensiones y con un área A. El orificio descarga una gasto un gasto Q cuya magnitud se puede calcular, para esto sé que el nivel del agua del recipiente.
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Figura 7
Figura 8
15
« Flujo en compuertas Q=Cd b∗a √2∗g∗Y 1 Donde: Cd = coeficiente de descarga B = ancho de compuerta A = abertura de compuerta Y1 = profundidad del flujo aguas arriba de la compuerta.
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« Flujo en vertederos
Figura 9 Figura 10
3
Q=
2 √ 2 g . C d . b .h 2 3
Donde: b = ancho del vertedero h = carga de aguas arriba del vertedero Cd = coeficiente de descarga (en un vertedero son contracciones laterales puede emplearse Cd = 0.61 + 0.08 h/w).
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Figura 11Figura 12
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Figura 13
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2.1.- Coeficientes de velocidad, contracción y gasto y sus aplicaciones Los coeficientes de velocidad, en un orificio, son básicamente experimentales. Sin embargo, en teoría es posible encontrar la magnitud del coeficiente de gasto para un orificio circular a partir de movimiento aplicada sobre un volumen de control limitado por la frontera del control del chorro en contacto con el aire, la sección contraída y, dentro del recipiente, por una superficie semiesférica de radio igual al del orificio (figura 14). Para hacer lo anterior, se designa como v1 la velocidad de una partícula sobre la semiesfera de radio R, trazada en la Fig. 14 cuyas direcciones radial al centro de la semiesfera.
Figura 14 Derivación del coeficiente de contracción para orificio de pared delgada.
La superficie de la semiesfera vale: Y la correspondiente a la sección contraída: De la ecuación de continuidad se obtiene:
A 1=2 π R 2 A 0=C 0 A=C 0 π R2 v 1=
A0 V A1
Sustituyendo las dos primeras ecuaciones en la ecuación de la continuidad esta resulta que:
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1 v 1= C 0 V 2 Para aplicar la ecuación de la cantidad de movimiento, es necesario conocer la velocidad media sobre la semiesfera en la dirección del escurrimiento. La componente paralela al eje del orificio de las velocidades v 1 , sobre la superficie de la semiesfera, vale
v 1 cos θ ; es decir, que la variación según la ley cosenoidal
como se muestra en la Fig. 14 que muestra la distribución de las componentes de la velocidad normales a la sección del orificio. De este modo, la media de las componentes de la velocidad, sobre la superficie semiesférica, se obtiene por la 2 igualación del volumen del cilindro V 1 π R con el volumen encerrado por la superficie de ley cosenoidal. V 1=
πR
2
∬ cos θ dA A
cos θ= √
Y, con
V 0=
θ
v1
2 v1 R
3
R2−r 2 , dA=2 πr dr R
entonces:
R
∫ √ R 2−r 2 rdr 0
La integración conduce al estado siguiente: V 0=
[
3
]
−2 v 1 2 2 2 −2 v 1 ( R −r ) = 3 [−R 3 ] 3 3R 3R
Finalmente se tiene que:
3 V 0= v 1 2
Sustituyendo resulta:
V 0=
C0 V 3
Por lo tanto, es posible evaluar los coeficientes
β
que interviniera en la
ecuación de la cantidad de movimiento. Por una parte, el coeficiente
β
para la
sección contraída vale 1, pues se supone que la distribución de la velocidad
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coincide con la media; sin embargo, el coeficiente
β
para la semiesfera tiene un
valor distinto de 1 y resulta al saber: θ
∬ v 21 cos θ dA β 1=
A
A V 2s
dA=2 πr dr
De la Fig. 14, sen 2 θ=
y además
r2 r2 2 ; cos θ=1− R2 R2
Con estas expresiones y considerando la ec. de V1 el valor de R
2
C 0V 1 β 1= 2∫ AV s 0 3
2
(
2
2 r 1 C0 V 1− 2 2 πr dr= 2 R AVs 2
)
2
[
2
πR πR − 2 4
2
β 1 es:
]
Y de la ec. de Vo resultan entonces que: 2
β 1=
9 πR 9 C2 V 2 = =1.125 2 2 2 c 8 8 π R Cc V
Es necesario conocer las fuerzas que impulsan al volumen de agua limitado por la sección contraída y las ecuaciones de la esfera; en un punto E sobre la semiesfera actuara la presión p. la ecuación de Bernoulli para la línea de corriente, aplicada a este punto, es: 2 p va H=z + + γ 2g
Si se acepta que la carga
H es muy grande en comparación con el radio del
orificio, puede entonces despreciarse z y, por tanto, sobre toda la semiesfera la presión será constante y de valor:
(
p=γ H −
v 21 2g
) Página
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Por lo cual la componente en la dirección del movimiento del empuje o fuerza total, sobre la superficie de la semiesfera, es: 2
(
pA=γ H−
)
v1 A 2g
En la sección contraída actúa la presión atmosférica, por lo que la fuerza sobre dicha sección será cero. La masa del líquido descargada a través del orificio es: γ C AV g c
La cual se acelera desde la velocidad media V
velocidad media
Vs
sobre la semiesfera, hasta la
en la sección contraída. Así, de acuerdo con las Ecuaciones
anteriores, la ecuación de la cantidad de movimiento se expresa como sigue:
[
γ A H−
( )]
1 Cc V 2g 2
2
=
γ 9 Cc A CcV V − V g 8 3
(
)
Con lo cual resulta: V2 3 1 1 2C c − C c + C 20− 2 =0 2g 4 4 Cv
[
]
O bien eliminando la carga de velocidad, se tiene que:
( 34 − 14 ) C −2C + C1 =0 2 c
0
2 v
Por tanto: C2c −4 C c +
2 =0 C 2v
Debido a que
C0 debe ser menor que 1, la raíz valida en estas ecuaciones la
correspondiente al signo negativo del radical; así, se obtiene la ecuación:
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√
C c =2− 4−
En la tabla
2 C20 se presentan los valores de
anterior, para diferentes valores de
Cv
Cv
y
Cd
y de la definición
calculados con la Ec. Cd .
COEFICIENTES DE GASTO 0.99 0.98 0.97
0.96
0.95
Cv
1
Cc
0.586
0.60
0.615
0.631
0.647
0.664
Cd
0.586
0.594
0.603
0.612
0.621
0.631
Tabla 4
3.- Dispositivos de medición (tubo de Venturi, tubo de Pitot, rotámetro). « Tubo de Venturi El tubo de Venturi consiste en que un fluido en movimiento dentro de un conducto cerrado disminuye su presión al aumentar la velocidad después de pasar por una zona de sección menor, llamada “garganta”. Si en esta parte estrecha se introduce el extremo de otro conducto o tubo, se produce una aspiración del fluido contenido en él. Este efecto, demostrado en 1797, recibe su nombre del físico italiano: Giovanni Battista Venturi (1746-1822).
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Figura 15 tubo de Venturi
Se puede deducir una expresión para la rapidez de flujo v1 en función de las áreas transversales A1 y A2 y la diferencia de altura h en los tubos verticales, quedando: v 2=
√( ( ) ) 2g ∆H 2 A2 1− A1
De esta fórmula, podemos concluir que entre mayor sea la diferencia de alturas entre los dos tubos, mayor debe ser la velocidad del fluido en el estrechamiento. También podemos ver (un poco más difícilmente) que a mayor diferencia entre las áreas 1 y 2, es mayor la velocidad en la parte estrecha. Se pueden medir directamente las presiones en la parte normal y en la parte angosta del conducto, colocando manómetros en dichas partes. Se puede demostrar que aplicando la ecuación de Bernoulli, la velocidad del líquido se obtiene con la siguiente expresión:
Además de determinar la velocidad de los fluidos en un conducto, el tubo de Venturi tiene otras aplicaciones: el suministro de gasolina de un motor con carburador se consigue utilizando un tubo de Venturi; los rociadores o atomizadores, como los utilizados para pintar, también aplican este efecto estos algunos de los más comunes en los que se utiliza. « Tubo de Pitot Página
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El tubo tiene una forma de L y al introducirse en el líquido en movimiento (como las aguas de un río), debido a la presión, el agua se eleva en el tubo hasta alcanzar cierta altura sobre la superficie de la corriente. Conociendo esta altura, la velocidad del fluido se obtiene con el Teorema de Torricelli: V1= c √ 2 gH Dónde: H= Carga total que produce el flujo en m (altura de líquido) C= Coeficiente de descarga, puede escribirse en relación al coeficiente de velocidad y al de contracción.
« Rotámetro
Figura 16 tubo de Pitot
Este instrumento es un medidor de caudal en tuberías con caídas de presión constante y de área variable. Consiste de un flotador que funciona como indicador y se mueva libremente en el interior de un tubo vertical cónico, el tubo posee un extremo angosto en la parte inferior. Por este extremo se encuentra la entrada del fluido, cuando el flujo se activa, en ese momento el flotador comienza a funcionar hasta que el área anular, entre la pared del tubo y el flotador, sea tal que la caída de presión dentro del tubo vertical sea suficiente para equilibrar al flotador. Cuando se trata de presiones bajas, el tubo cónico es de vidrio y para hacer mediciones cuando existen presiones altas, el tubo es de metal, este se encuentra graduado con una escala lineal. Dependiendo de la posición en la que se indique que se equilibre el flotador, el caudal o gasto del fluido en la tubería será distinto.
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El fundamento sobre el funcionamiento del rotámetro se basa en que el empuje realizado es directamente proporcional al desplazamiento del émbolo, basándose en el principio de Arquímedes que dice: “Todo cuerpo sumergido en un líquido, experimenta un empuje vertical y hacia arriba al peso del líquido, desalojándolo”. La altura en la que se desplace el flotador será equivalente a un determinado flujo. Cuando aparte del caudal es necesario conocer la velocidad del desplazamiento, se puede despejar V en la fórmula de la continuidad, la cual es: Q=VA Q Despejando la velocidad queda: V = A Donde: Q=caudal V=velocidad A=Área del rotámetro.
Figura 17 Rotámetro
Ejemplos resueltos
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Ejemplos propuestos
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Conclusiones La hidráulica experimental es una rama de la hidráulica que ha tenido una gran aceptación ya que es una herramienta que ayuda al ingeniero a dar soluciones factibles a ciertos problemas ingenieriles, en la hidráulica los problemas que se plantean son complejos o desconocidos ya que no es fácil conocer por ejemplo el comportamiento hidráulico de flujo del agua al pasar por una presa y al ser captada por una toma. Para poder resolver problemas de este tipo primero se deberá conceptualizar y esquematizar el problema, después se elegirá una técnica física, matemática o análoga para estudiar el problema. A este proceso se le llama modelación. Esta consiste en simular un fenómeno real, simplificando en mayor o menor medida por ultimo describirlo y cuantificarlo. Con modelación hidráulica se pueden hacer representaciones de vertederos, canales, tuberías y presas que son estructuras hidráulicas, pero para poder hacer un prototipo de este tipo tenemos que basarnos en las leyes de similitud hidráulica, como las simulaciones de estos prototipos son desarrolladas en laboratorio las condiciones son controladas y estos tienen muchas aplicaciones. Estos modelos se deben ajustar más a la realidad para aumentar la confiabilidad de los resultados también sirven para optimizar el diseño de obras hidráulicas, y si se realiza un buen diseño esto evitara el riesgo de colapso ya que puede
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ocasionar perdidas económicas y en peor escenario vidas humanas. Estos modelos has llegado a ser de mucha importancia en los proyectos de obras hidráulicas pos los resultados que presentan y su costo no es demasiado elevado en comparación a los ahorros que puede aportar en un futuro. Los modelos matemáticos tiene algunas deficiencias debido a que se basan en soluciones numéricas utilizando ecuaciones matemáticas las cuales no pueden describen el fenómeno en estudio es por eso que también se utilizan los modelos físicos o prototipos ya que ellos permiten evaluar diversas alternativas de dimensiones y ubicaciones posibles es porque gracias a la modelación hidráulica y a las diferentes ecuaciones para conocer sus propiedades. Con todo se puede hacer un proyecto de sistemas u obras hidráulicas más eficiente.
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