Kuhn Tucker

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES LETRAS Matemática para economistas 3 Optimización con restricciones de desigualdad Semestre Académico 2016-2

1.

Problema de maximización

Definición 1. Consideremos el siguiente programa,   m´ ax f (x 1 , . . . , x n )    s.a. g (x , . . . , x ) ≤ b 1 1 n 1 P: ..  .    g m (x 1 , . . . , x n ) ≤ bm con f , g i : U ⊂ Rn −→ R. 1. Región factible: Es el conjunto de puntos x que verifican las restricciones de (P) y lo denotaremos por S, esto es, S = {x ∈ U : g1 (x) ≤ b1 , . . . , g m (x) ≤ bm }. 2. Una restricción g i (x) ≤ bi se dice activa en x si, g i (x) = bi . La restricción g i ≤ bi se dice inactiva en x si, g i (x) < bi . 3. Conjunto de índices activos: Es el conjunto de índices de las restricciones que son activas en x, esto es I(x) = {i : g i (x) = bi }

1.1.

Condiciones de primer orden para óptimos locales

El siguiente resultado da condiciones necesarias, llamadas también de primer orden, para la solución de problemas de maximización restringida. Proposición 1 (Condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker). Dado el programa P. Supongamos que las funciones f , g i son de clase C 1 sobre un conjunto abierto U ⊂ Rn que contiene a la región factible S. Sea x ∈ S tal que el conjunto {∇g i (x) : i ∈ I(x)} es linealmente independiente, siendo I(x) el conjunto de índices activos. Si f alcanza un máximo local para P en x, entonces existen escalares λ1 , . . . , λm , verificando las siguientes condiciones: i) ∇ f (x) =

m X

λi ∇g i (x),

i=1

ii) λi (bi − g i (x)) = 0, i = 1, . . . , m,

A. Beltrán C.

Optimización con restricciones de desigualdad

iii) λi ≥ 0, i = 1, . . . , m, iv) g i (x) ≤ bi , i = 1, . . . , m. Observación 1. 1. De (ii) se deduce que los multiplicadores λi asociados a las restricciones no activas son nulos. 2. Las condiciones (i − i v) son llamadas condiciones de Kuhn-Tucker (CKT), las mismas que pueden ser expresadas en terminos de la función Lagrangiana asociada al programa, esto es si L(λ, x 1 , . . . , x n ) = f (x) + λ1 (b1 − g1 (x)) + · · · + λm (bm − g m (x)), las condiciones de KT quedan descritas por las siguientes expresiones: i) L x 1 (λ, x) = 0, ii) λi

∂L ∂ λi

...,

L x n (λ, x) = 0,

(λ, x) = 0, para i = 1, . . . , m

iii) λi ≥ 0, para i = 1, . . . , m ∂L iv) (λ, x) ≥ 0, para i = 1, . . . , m. ∂ λi 3. La condición referida al hecho que el conjunto {∇g i (x) : i ∈ I(x)} sea linealmente independiente es llamada cualificación de las restricciones. Este requisito es ∂ gi (x) tenga rango equivalente a que el rango de la matriz jacobiana J g (x) = ∂ xj maximal, siendo i ∈ I(x). m´ ax x 2 + y 2 + y − 1 Ejemplo 1. Consideremos el siguiente programa P : s.a x2 + y2 ≤ 1 La función lagrangiana asociada al programa es L(λ, x, y) = x 2 + y 2 + y − 1 + λ(1 − x 2 − y 2 ) y las condiciones de Kuhn-Tucker son i) 0 = L x = 2x − 2λx = 2x(1 − λ), ii) λ

∂L ∂λ

0 = L y = 2 y + 1 − 2λ y = 2 y(1 − λ) + 1,

y

= 0, es decir, λ(1 − x 2 − y 2 ) = 0,

iii) λ ≥ 0, ∂L

≥ 0, esto es x 2 + y 2 ≤ 1. ∂λ Se presentan los siguientes casos: iv)

a) Si la restricción no es activa, i.e. g(x, y) = x 2 + y 2 < 1 entonces λ = 0. Al sustituir este valor en las condición (i) resulta x = 0 y y = − 12 . Este punto verifica las condiciones CKT. abc

2

A. Beltrán C.


b) Si la restricción es activa, entonces g(x, y) = 1. De la relación (i) resulta que x = 0 1 1 o λ = 1 y y = 2λ−2 . Si x = 0 y y = 2λ−2 , entonces λ = 23 y λ = 21 . Cuando λ = 32 ,

se obtiene el punto (0, 1). Y cuando λ = 21 , se obtiene (0, −1), los cuales verifican condiciones de KT. Finalmente, si λ = 0 y y = obtiene x =

p ± 23 .

1 , 2λ−2

entonces y = ± 21 . Al sustituir en x 2 + y 2 = 1 se

Resultando los puntos (

p 3 , − 12 ) 2

y (−

p 3 , − 12 ). 2

Los puntos obtenidos verifican la cualificación de las resstricciones. Por lo tanto, podemos concluir que los puntos (0, 12 ), (0, −1), (0, 1) son los candidatos a resolver el programa planteado.  m´ ax x + y     s.a. x + 3y ≤ 9  2x + y ≤ 8 Ejemplo 2. Resuelva gráficamente el siguiente programa, P :   −x ≤ −1    −y ≤ −1

Formulación de Kuhn-Tucker En problemas de economía es frecuente considerar al programa (P) condiciones de no negatividad, en tal sentido dicho programa queda formulado de la siguiente forma   m´ ax f (x)     g1 (x) ≤ b1  s.a. .. 0 P : .    g m (x) ≤ bm    x ≥ 0, · · · , x ≥ 0 1

n

Este programa puede ser descrito como el programa (P). Esto es,  m´ ax f (x)     s.a. g1 (x) ≤ b1    ..   .  g m (x) ≤ bm P:   −x 1 ≤ 0    ..    .   −x n ≤ 0 En tal caso la lagrangiana asociada toma la forma siguiente L(λ1 , . . . , λm , , µ1 , . . . , µn , x 1 , . . . , x n ) = f (x)+λ1 (b1 −g1 (x))+· · ·+λm (bm −g m (x))+µ1 x 1 +· · ·+µn x n y las condiciones de primer orden son dadas por a) 0 = L x j = abc

∂ fi ∂ xj

− λ1

∂ gj ∂ xi

− · · · − λm

∂ gi ∂ xj 3

+ µ j , para j = 1, . . . , n

A. Beltrán C.


b) λi Lλi = 0, para i = 1, . . . , m c) λ j ≥ 0, para j = 1, . . . , m

µ j x j = 0, para j = 1, . . . , n

y y

d) g i (x) ≤ bi , para i = 1, . . . , m

µ j = 0, para j = 1, . . . , n. y

x j ≥ 0, para j = 1, . . . , n.

Al definir la función L por L (λ1 , . . . , λm , x 1 , . . . , x n ) = f (x) + λ1 (b1 − g1 (x)) + · · · + λm (bm − g m (x)), la función L queda expresada en la forma siguiente L(λ, x, µ) = L (x, λ) + µ1 x 1 + · · · + µn x n . Luego, al expresar las condiciones anteriores en términos de L se obtiene el siguiente resultado. Proposición 2 (Condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker). Dado el programa   m´ ax f (x)     g1 (x) ≤ b1  s.a. .. 0 P : .    g m (x) ≤ bm    x 1 ≥ 0, · · · , x n ≥ 0 con f , g i : U ⊂ Rn −→ R funciones de clase C 1 sobre algún conjunto abierto U de Rn . Suponga que el conjunto {∇g i (x) : i ∈ I(x)} es linealmente independiente. Si f alcanza un máximo local para P 0 en x, entonces existen escalares λi , para i = 1, . . . , m verificando las siguientes condiciones a) L x i (λ, x) ≤ 0, b)

∂L ∂ λj

(λ, x) ≥ 0,

x i · L x i (λ, x) = 0, λj

∂L ∂ λj

x i ≥ 0, i = 1, . . . , n, donde x = (x 1 , . . . , x n ).

(λ, x) = 0, λ j ≥ 0, para j = 1, . . . , m.

 m´ ax    s.a. Ejemplo 3. Consideremos el siguiente programa P :   

xy x+y ≤ 100 x ≤ 40 x ≥ 0, y ≥ 0

En este caso, la función lagrangiana asociada es de la forma L (λ1 , λ2 , x, y) = x y + λ1 (100 − x − y) + λ2 (40 − x). Al aplicar las condiciones de primer orden a este programa resulta, a) L x = y − λ1 − λ2 ≤ 0 y L y = x − λ1 ≤ 0. b) xL x = x(x − λ1 − λ2 ) = 0, abc

yL y = y(x − λ1 ) = 0 4

A. Beltrán C.


c) x ≥ 0, y ≥ 0 d) Lλ1 = 10 − x − 10 ≥ 0,

Lλ2 = 40 − x ≥ 0

e) λ1 Lλ1 = λ1 (100 − x − y) = 0,

λ1 Lλ2 = λ2 (40 − x) = 0

f) λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0 Se presentan los siguientes casos: i) Cuando g1 = x + y y g2 = x no son activas, es decir λ1 = λ2 = 0. Al sustituir estos valores en (a) aparece una contradicción. ii) Cuando g1 no es activa y g2 es activa. Se tiene λ1 = 0 y x = 40. Contradice la condición x ≤ λ1 . iii) Cuando g1 es activa y g2 no es activa. En este caso se tiene, x + y = 100 y λ2 = 0. Al sustituir en la condición (b) resulta, x( y − λ1 ) = 0

y

y(x − λ1 ) = 0

resultando los siguientes casos: (0, 0), (λ1 , λ1 ). El primer caso contradice la condición x + y = 100. La segunda al sustituir en la condición resulta x = y = 50, esto también contradice la condición x ≤ 40. vi) Cuando g1 y g2 son activas. Se tiene, x = 40 y x + y = 100. resultando y = 60 y λ1 = 40 y λ2 = 60. Por lo tanto, el único punto obtenido es (x, y) = (40, 60) y λ = (λ1 , λ2 ) = (40, 60).  2  ax x − x2 + y 2  m´ x2 Ejemplo 4. Analice el siguiente programa: s.a. + y2 ≤ 98 2   x, y ≥ 0 Solución Aplicando las condiciones de Kuh-Tucker, para encontrar los candidatos a resolver el programa dado. En este caso, la función lagrangiana asociada es dada por 2 9 x2 x L(λ, x, y) = x − + y2 + λ − − y2 . 2 8 2 a) L x = 1 − x − λx ≤ 0 y L y = 2 y − 2λ y ≤ 0 b) 0 = x L x = x(1 − x − λx),

0 = y L y = y(2 y − 2λ y) = 2 y 2 (1 − λ)

c) x ≥ 0, y ≥ 0 d)

abc

∂L ∂λ

≥ 0, esto es

x2 2

+ y2 ≤

9 8

5

A. Beltrán C.

e) λ

∂L ∂λ


= 0, es decir, λ

9 8

−

x2 2

−y

2

=0

f) λ ≥ 0. Se presentan los siguientes casos: i) Cuando la restricción no es activa, g(x, y) = 89 , se tiene λ = 0. Al sustituir este valor en (b) resulta x(1 − x) = 0 y y = 0. Por lo tanto, se obtienen los puntos P1 = (0, 0) y P2 = (1, 0). Solamente, el punto P2 verifica las CKT. ii) Cuando la restricción es inactiva, se tiene en (b) se tiene x = 0,

o

x2 2

+ y 2 = 89 . Además, de las expresiones

1 = x(1 + λ) y

y =0

o λ = 1.

Si x = 0 y y = 0. En particular, al sustituir x = 0 en la primera relación en (a) se llega a una contradicción. Por lo tanto, se descarta el punto (0, 0), pues no verifica 2 las CKT. Si x = 0 y λ = 1. Al sustituir x = 0 en la relación x2 + y 2 = 89 , resulta,

3 3 y = ± 2p . Luego, otro candidato a resolver el problema es el punto (0, 2p ) con 2 2 λ = 1. 2 1 Cuando x = 1+λ y y = 0. Al sustituir estos valores en x2 + y 2 = 89 , se obtiene que λ < 0. De esta manera, se descarta los puntos obtenidos en este caso. 1 y λ = 1 se obtiene x = 12 y y = ±1. Luego, el punto Finalmente, cuando x = 1+λ

( 21 , 1) verifica las CKT.

1.2.

Condiciones suficientes o de segundo orden

Proposición 3 (Condiciones de segundo orden de Kuhn-Tucker: Programación cóncava). Si en el programa  ax f (x 1 , . . . , x n )  m´ s.a. g j (x 1 , . . . , x n ) ≤ b j j = 1, . . . , m P:  x 1 ≥ 0, . . . , x n ≥ 0 se verifican la siguientes condiciones: i) La función objetivo f es diferenciable y cóncava, ii) todas las funciones restrictivas g j son convexas, iii) el punto x ∈ S verifica la condición de regularidad y satisface las condiciones de Kuhn-Tucker para máximo. Entonces x es máximo global para P.

abc

6

A. Beltrán C.


 ax  m´ s.a. Ejemplo 5. Resuelva el siguiente programa 

p K+ L rK + wL ≤ 0 , donde r, w ∈ K ≥ 0, L ≥ 0 p

R+ . p p La función lagrangiana asociada es L (λ, K, L) = K + L + λ(M − r K − w L). Usando las condiciones de primer orden de KT, 1 1 a) LK = p − λr ≤ 0, L L = p − λw ≤ 0. Asimismo, 2 K 2 L 1 1 KLK = K p − λr = 0, LL L = L p − λw = 0, 2 K 2 L b) Lλ = M − r K − w L ≥ 0,

L ≥ 0, K ≥ 0,

λLλ = λ(M − r K − w L) = 0, λ ≥ 0

Se presentan los siguientes casos: i) Cuando la restricción g(K, L) no es activa. En tal caso, λ = 0, y esto conduce a una constradicción en las condiciones anteriores. ii) Cuando la restricción es activa, esto es r K + w L = M . De las condiciones en (a) se obtiene, 1 1 K =0 ∨ y L = 0 ∨ p = 2λw p = 2λr 2 K L De estas cuatro casos, el único que verifica las condiciones de primer orden es cuando 1 1 p = 2λr y p = 2λw. Al combinar las condiciones resulta K L v Mr Mw 1 t r2 + w r L= 2 , K= 2 , λ= >0 2r Mw w + wr r + rw Este punto verifica la cualificación de restricciones, pues la restricción es lineal. De esta manera, (K, L) es el único candidato a resolver el problema planteado. p p Por otro lado, la matriz hessiana de la función objetivo q(K, L) = K + L es   − p1 3 0  H(q) =  4 K 0 − p1 4

L3

y sus menores principales de orden 1 y 2 respectivamente son 1 D1 = − p <0 4 K3

y

D2 =

1 > 0. p 16 (K L)3

Por lo tanto, la función q es cóncava. Asimismo, la función restrictiva g es lineal, es convexa. Luego, aplicando las condiciones de segundo orden concluimos que el punto (K, L) es un máximo globlal. abc

7

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Proposición 4 (Condiciones suficientes de máximo local). Dado el programa m´ ax f (x 1 , . . . , x n ) P: s.a. g j (x 1 , . . . , x n ) ≤ b j , j = 1, . . . , m donde f , g i : U ⊂ Rn −→ R son funciones de clase C 2 en un abierto U que contiene a la región factible S. Si se cumplen las siguientes condiciones: i) x ∈ S verifica la condición de regularidad y las condiciones de Kuhn-Tucker, ii) La matriz hessiana H L = L x i x j de L evaluado en (λ, x) es definida negativa sobre

n

M (x) = v ∈ R : J g (x) · v = 0,

donde

J g (x) =

∂ gj ∂ xi

(x) , j ∈ I(x) ,

es decir, v t H L (λ, x) · v < 0, para todo v ∈ M (x), con v 6= 0. Entonces x es un máximo local estricto para P. Ejemplo 6. Dado el programa  m´ ax x 1 x 2    s.a. x 1 + x 2 + x 3 ≤ 5 P: 2 2 2 4 − x1 − x2 − x3 ≤ 0    x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0 Se puede considerar como  m´ ax x 1 x 2     s.a. x 1 + x 2 + x 3    4 − x 12 − x 22 − x 32 P: −x 1     x2    x3

≤ ≤ ≥ ≥ ≥

5 0 0 0 0

Se verifica que el punto x = (x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 25 , 25 , 0) satisface las condiciones de primer

orden de KT y el vector asociado es λ = ( 25 , 0, 0, 0, 52 ). En este caso, las restricciones activas son g1 (x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + x 2 + x 3 ≤ 5 y g5 (x 1 , x 2 , x 3 ) = −x 3 ≤ 0. El resto de restricciones: g2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = 4 − x 12 − x 22 − x 32 ≤ 0,

g3 (x 1 , x 2 , x 3 ) = −x 1 ,

g4 (x 1 , x 2 , x 3 ) = −x 2

no son activas. Luego, el conjunto de índice activos es I(x) = {1, 5}. Asimismo, el conjunto ∇g1 (x) = (1, 1, 1), ∇g5 (x) = (0, 0, −1) es linealmente independiente, o equivalentemente el rango de la matriz jacobiana J g (x) de g = (g1 , g5 ) tiene rango maximal 2, donde 1 1 1 J g (x) = 0 0 −1 abc

8

A. Beltrán C.


Ahora identificamos los elementos del espacio tangente al conjunto de las restricciones activas, esto es M (x) = {v = (a, b, c) ∈ R3 : J g (x) · v = 0} = {(a, −a, 0) : a ∈ R∗ }. Por otro lado, la matriz hessiana es dada por  L x1 x1 L x1 x2  H L (λ, x) = L x2 x1 L x2 x2 (λ,x) L x3 x1 L x2 x2

H L de la función lagrangiana respecto a x = (x 1 , x 2 , x 3 )      −2λ2 1 0 0 1 0 L x1 x3 2λ2 0  L x2 x3  = 1 = 1 0 0 0 0 2λ2 (λ,x) 0 0 0 L x 3 x 3 (λ,x)

Luego,    0 1 0 a t    −a = −2a2 < 0 v · H L (λ, x) · v = a −a 0 1 0 0 0 0 0 0 Por lo tanto, H L es definida negativa. De la proposición (4) concluimos que el punto x es un máximo local del programa dado.

abc

9

A. Beltrán C.

2.


Problema de minimización Para el caso de un programa de minimización de la forma m´ın f (x 1 , . . . , x n ) P: s.a. g j (x 1 , . . . , x n ) ≥ b j , j = 1, . . . , m

se puede reducir al caso de maximización, esto es m´ ax − f (x 1 , . . . , x n ) s.a. −g j (x 1 , . . . , x n ) ≤ −b j ,

2.1.

j = 1, . . . , m

Condiciones de primer orden

Otra forma de abordar el programa de minimización planteado es tratarlo directamente. En tal caso, las condiciones de primer orden es dado en la siguiente proposición. Proposición 5 (Condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker). Dado el programa P. Supongamos que las funciones f , g i son de clase C 1 sobre un conjunto abierto U ⊂ Rn que contiene a la región factible S. Sea x ∈ S tal que el conjunto {∇g i (x) : i ∈ I(x)} es linealmente independiente, siendo I(x) el conjunto de índices activos. Si f alcanza un mínimo local para P en x, entonces existen escalares λ1 , . . . , λm , verificando las siguientes condiciones: i) ∇ f (x) =

m X

λi ∇g i (x),

i=1

ii) λi (bi − g i (x)) = 0, i = 1, . . . , m, iii) λi ≥ 0, i = 1, . . . , m, iv) g i (x) ≥ bi , i = 1, . . . , m. La función lagrangiana asociada al programa (P) es L(λ, x 1 , . . . , x n ) = f (x) + λ1 (b1 − g1 (x)) + · · · + λm (bm − g m (x)), y las condiciones de KT descritas en términos de esta función son: i) L x 1 (λ, x) = 0, ii) λi

∂L ∂ λi

...

L x n (λ, x) = 0,

(λ, x) = 0, para i = 1, . . . , m

iii) λi ≥ 0, para i = 1, . . . , m iv)

abc

∂L ∂ λi

(λ, x) ≤ 0, para i = 1, . . . , m.

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Si consideramos la formulación de Kuhn-Tucker, es decir   m´ın f (x 1 , . . . , x n ) s.a. g j (x 1 , . . . , x n ) ≥ b j , j = 1, . . . , m P0 :  x 1 ≥ 0, x n ≥ 0 las condiciones de primer orden de Kuhn-Tucker son: a) L x i (λ, x) ≥ 0, b)

2.2.

∂L ∂ λj

(λ, x) ≤ 0,

x i · L x i (λ, x) = 0, λj

∂L ∂ λj

x i ≥ 0, i = 1, . . . , n, donde x = (x 1 , . . . , x n ).

(λ, x) = 0, λ j ≥ 0, para j = 1, . . . , m.

Condiciones de segundo orden

En el caso, Para el caso de un programa de minimización de la forma m´ın f (x 1 , . . . , x n ) P: s.a. g j (x 1 , . . . , x n ) ≥ b j , j = 1, . . . , m las condiciones de segundo orden es dado en la siguiente proposición. Proposición 6 (Condiciones de segundo orden de Kuhn-Tucker: Programación convexa). Si en el programa  f (x 1 , . . . , x n )  m´ın s.a. g j (x 1 , . . . , x n ) ≥ b j j = 1, . . . , m P:  x 1 ≥ 0, · · · , x n ≥ 0 se verifican la siguientes condiciones: i) La función objetivo f es diferenciable y convexa, ii) todas las funciones restrictivas g j son cóncavas, iii) el punto x ∈ S satisface la condición de regularidad y las condiciones de Kuhn-Tucker para mínimo. Entonces x es mínimo global para P. Por otro lado, en el caso m´ın f (x 1 , . . . , x n ) P: s.a. g j (x 1 , . . . , x n ) ≥ b j ,

j = 1, . . . , m

las condiciones de segundo orden son dadas en la siguiente proposición. Proposición 7 (Condiciones suficientes de máximo local). Dado el programa m´ın f (x 1 , . . . , x n ) P: s.a. g j (x 1 , . . . , x n ) ≥ b j , j = 1, . . . , m donde f , g i : U ⊂ Rn −→ R son funciones de clase C 2 en un abierto U que contiene a la región factible S. Si se cumplen las siguientes condiciones: abc

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i) x ∈ S verifica la condición de regularidad y las condiciones de Kuhn-Tucker, ii) La matriz hessiana H L = L x i x j respecto de x de L evaluado en (λ, x) es definida positivo sobre ∂ gj n M (x) = v ∈ R : J g (x) · v = 0, con J g (x) = (x) , j ∈ I(x) , ∂ xi esto es, v t · H L (λ, x) · v > 0, para todo v ∈ M (x), con v 6= 0. Entonces x es un mínimo local estricto para P.

3.

Cualificación de las restricciones

Para que las condiciones de Kuhn-Tucker sean necesarias, en caso que el candidato obtenido se encuentre en la frontera de la región factible, se debe cumplir la condición llamada cualificación de las restricciones. Esta condición implica detectar si existen o no irregularidades que pueden presentarse en la frontera de la región factible. Supongamos que x es un punto frontera de la región factible y posible candidato a resolver cualquiera de los programas planteados anteriormente, la propiedad de cualificación de las restricciones se cumple en cualquiera de los siguientes casos: a) Si las restricciones g j son lineales. b) El conjunto {∇g j (x) : j ∈ I(x)} es linealmente independiente. c) Existe un entorno V ⊂ Rn de x tales que g j son funciones convexas sobre V , y existe z ∈ V tal que g j (z) < b j , pra todo j ∈ I(x). Esta condición es llamada de Slater. m´ ax −y , la función lagrangiana asociada Ejemplo 7. Dado el programa 2 s.a. x − y 3 ≤ 0 es L(λ, x, y) = − y + λ(−x 2 + y 3 ), y las condiciones de KT de primer orden son: L x = −2λx = 0,

L y = −1+3λ y 2 = 0,

λLλ = λ(−x 2 + y 3 ) = 0,

Lλ = −x 2 + y 3 ≤ 0,

λ ≥ 0.

Se presentan los siguientes casos: a) Cuando la restricción g(x, y) = x 2 − y 3 ≤ 0 no es activa, λ = 0, contradice la relación −1 + 3λ y 2 = 0. b) Cuando la restricción g(x, y) ≤ 0 es activa, x 2 = y 3 . En este caso, tampoco se obtienen puntos que satisfagan las condiciones de Kuhn-Tucker. Sin embargo, al resolver el programa mediante el método gráfico se obtiene que el punto (0, 0) resuelve el programa planteado, pero no verifica la cualificación de la restricción, 2 pues ∇g(x, y) = (2x, −3 y ) = (0, 0). Asimismo, como ∇ f (x, y) = (0, −1), (0,0)

(0,0)

(0,0)

no existe un escalar λ tal que ∇ f (0, 0) = λ∇g(0, 0), es decir, la restricción no califica y por tanto las condiciones de KT no son necesarias. abc

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4.


Teorema de la envolvente

m´ ax f (x, c) , donde x = (x 1 , . . . , x n ) s.a. g j (x) ≤ b j y c = (c1 , . . . , ck ) un vector cuyas componentes son los paraámetros c j de (P). La función valor óptimo o función objetivo indirecta Φ(c) asociada al programa es definida como el máximo valor de f (x, c) sujeta a las restricciones, esto es, si x es solución al programa con vector asociado λ, enntonces

Consideremos el programa siguiente P :

Φ(c) = f (x, c). La función lagrangiana asociada al programa es L(λ, x, c) = f (x, c) +

m X

λ j (b j − g j (x))

j=1

El teorema de la envolvente afirma, ∂Φ ∂ cj

=

∂ L ∂ c j (λ,x)

y permite determinar el efecto en el valor óptimo de la función objetivo al modificar ligeramente algunos parámetros de (P), llamadas variables exógenas. Este proceso se conoce como análisis de sensibilidad.

Referencias [1] BARBOLLA, Rosa, Emilio CERDÁ y Paloma SANZ. Optimización. Cuestiones, ejercicios y aplicaciones a la economía. 2da Ed. Madrid. Prentice Hall, 2001. abc

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A. Beltrán C.


[2] MALASPINA, Uldarico Matemáticas para el análisis económico. Pontificia Universidad Católica del Perú. 1994.

abc

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Kuhn Tucker

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