Opt imasi Terke nd ala - Lagra Lagra nge - Kuh Kuh n - Tucker
2011
Metode Lagrange Rangkuman Misalkan fungsi tujuan diketahui: Maksimumkan ( , ) , Dengan syarat ( , ) = Buat faktor pengali Lagrange, misalkan λ.
Penyelesaian: Menentukan Menentukan nilai x dan y pada titik kritis yang memenuhi syarat ( , ) = Langkah penyelesaian:
i. ii.
Buat fungsi syarat (constraint) menjadi ( , ) − = 0 Buiat fungsi Lagrange: ( , , λ) = ( , ) + λ[( , ) − ]
iii.
Nyatakan syarat optimum:
iv. v.
Selesaiakn persamaan untuk mendapatkan x, y, dan λ. Buat kesimpulan.
∂ L 0 , ∂ L = 0 , dan ∂ L 0 = = ∂ x ∂ y ∂λ
Coso Lg_1. Maksimumkan Fungsi Utilitas: U ( x, y ) = x. y dengan syarat 4 x + 2 y = 30 Penyelesaian: Ubah constraint menjadi 4 x + 2 y − 30 = 0
i.
ii. Buat fungsi Lagrange : L( x, y, λ ) = xy + λ (4 x + 2 y − 30) iii. Hitung derivative:
∂ L = − 4 = 0 y λ ∂ x ∂ L = x − 2λ = 0 § ∂ y ∂ L § = (4 x + 2 y − 30) = 0 ∂λ §
… (1) … (2) … (3)
iv. Selesaikan persmaan, tentukan nilai x, y, dan λ:
(4 x + 2 y − 30) = 0
= 30
− 4 x , Karena sesuai persamaan (1): − 4λ = 0 atau = 4λ , maka y y
⇔
y
⇔
4λ
= 30
− 4 x . Dari persamaan (2) didapat x
⇔
4λ
= 30
− 4(2λ )
2
2
2
⇔ 8λ = 30 − 8λ 1
…(3)
Sumary
= 2λ
Opt imasi Terke nd ala - Lagra nge - Kuh n - Tucker
2011
⇔ 16λ = 30 . Didapatkan λ
= 30 = 1,875 . 16
→ didapat y = 4(1,875) = 7,5 Substitusi ke persamaan (2): x − 2λ = 0 → didapat x = 2(1,875) = 3,75 Substitusi ke persamaan (1): y − 4λ = 0 v. Hitunglah Utilitas Total: U ( x, y ) = x. y
= 3,75 × 7,5 = 28,125
Catatan:
§
λ menunjukkan tingkat perubahan Utilitas akibat perubahan pendapatan (Income).
§
∂ L ∂[ xy + λ ( I − 4 x − 2 y )] = =λ ∂ I ∂ I
Soal Latihan Lagrange: 1. Tentukan nilai optimum = + , dengan syarat + = 1 2. Tentukan nilai maksimum ( , ) = , dengan syarat + = 3 3. Tentukan nilai ekstrim serta jenis titik ekstrim dari ( , ) = − − 3 + 6 + 24 − 50 . (Cara biasa, tidak perlu pengali Lagrange).
4. Tentukan nilai optimum = 4 − 2 , dengan syarat − = 20 . Jelaskan jenis niali optimum tersebut, maksimum atau minimum! 5. Maksimumkan ( , ) = − 10 , dengan syarat − = 18
2
Sumary
Opt imasi Terke nd ala - Lagra nge - Kuh n - Tucker
2011
Syarat Kuhn_Tucker Coso K-T_1. Maksimumkan ( , ) = 15 + 30 + 4 − 2 − 4 dengan syarat:
• •
+ 2 ≤ 30 ≥ 0, ≥ 0
Penyelesaian: i. Karena tujuannya memaksimumkan, maka fungsi kendala diubah menjadi “ ≤ 0”
: + 2 − 30 ≤ 0 : − ≤ 0 : − ≤ 0 ii. Fungsi Tujuan, misalkan fungsi Lagrange: ( , , , , ) ) dengan pengali Lagrange , , dan
= 15 + 30 + 4 − 2 − 4 + ( + 2 − 30 ) + ( − ) + ( −) iii. Syarat Stasioner
§ § § § §
∂ Z = + − + − = 15 4 y 4 x α β 0 ∂ x ∂ Z = 30 + 4 x − 8 y + 2α − γ = 0 ∂ y ∂ Z = x + 2 y − 30 = 0 ∂α ∂ Z = − x = 0 ∂β ∂ Z = − y = 0 ∂γ
…(1) … (2) … (3) …(4) … (5)
Harus memenuhi syarat: ( , ) = 0 , ( , ) = 0 , dan ( , ) = 0 , sehingga harus dibuat nilai = 0 , dan = 0 Agar ( , ) = 0 terpenuhi perlu dibuat ≠ 0 dan ( , ) = 0 Didapatkan persamaan-persamaan (1): 15 + 4 y − 4 x + α = 0 (2): 30 + 4 x − 8 y + 2α = 0 (3): x + 2 y − 30 = 0
dengan = 0 , dan = 0
iv.Selesaikan persaman (1), (2), dan (3) Eliminasi (1) dan (2)
3
Sumary
Opt imasi Terke nd ala - Lagra nge - Kuh n - Tucker
×2 ×1
15 + 4 − 4 + = 0 30 − 8 + 4 + 2 = 0
30 + 8 − 8 + 2 = 0 30 − 8 + 4 + 2 = 0 16 − 12 = 0 disederhanakan menjadi −3 + 4 = 0 (4)
2011
…
Eliminasi (3) dan (iv)
×3 ×1
+ 2 − 30 =
3 + 6 − 0 90 = 0 −3 + 4 = 0 −3 + 4 = 0 + 10 − 9 0 = 0 = Substitusi = 9 ke (3): −3 + 4 ( 9 ) = 0 . Didapatkan =
v. Kesimpulan Nilai maksimumkan ( , ) = 15 + 30 + 4 − 2 − 4 adalah
( 12,9 ) = 15 ( 12 ) + 30 ( 9 ) + 4 ( 12 ) ( 9 ) − 2 ( 12 ) − 4 ( 9 ) = 2 7 0
Coso K-T_2. Minimumkan f ( x, y ) = ( x − 4 ) + ( y − 4 ) , dengan syarat: 2
2
g1 : x + y ≤ 4 g 2 : x + 3 y
i.
≤9
Ubah kendala (constraints) menjadi
§ g1 : 4 − x − y ≥ 0 § g 2 : 9 − x − 3 y ≥ 0 ii. Buat fungsi minimasi: f ( x, y ) = ( x − 4 )
2
+ ( y − 4 )2 − λ (4 − x − y ) − γ (9 − x − 3 y )
iii. Tentukan derivative pertama sama dengan nol (Stasioner):
∂ f 2( 4) = x − + λ + γ = 0 , → ∂ x ∂ f ( = 2 y − 4) + λ + 3γ = 0 , → § ∂ y ∂ f (4 § = − − x − y ) = 0 ∂λ ∂ f = −(9 − x − 3 y ) = 0 § ∂γ §
4
Sumary
x
=
y
=
− (λ + γ ) + 8 2
− (λ + 3γ ) + 8 2
Opt imasi Terke nd ala - Lagra nge - Kuh n - Tucker
Syarat Kuhn-Tucker λ
≥ 0 , γ ≥ 0 , dan
λ. g 1
= 0 serta γ .g 2 = 0
≥0 γ ≥ 0 λ
λ (4 − x − y ) = 0
… (1)
γ (9 − x − 3 y ) = 0
… (2)
iv. Substitusikan x dan y ke persamaan (1) dan (2)
− (λ + γ ) + 8 − − (λ + 3γ ) + 8 = 0 2 2
(1): λ 4 −
⇔ λ 4 + (λ + γ ) − 8 + (λ + 3γ ) − 8 = 0
2
2
⇔ λ (4 + λ + 2γ − 8) = 0 ⇔ λ (− 4 + λ + 2γ ) = 0 Yang memenuhi persamaan adalah λ
= 0 atau
λ
= 4 − 2γ
− (λ + γ ) + 8 − 3 − (λ + 3γ ) + 8 = 0 2 2
(2): γ 9 −
⇔ γ 9 + (λ + γ ) − 8 + 3(λ + 3γ ) − 24 = 0
2
2
⇔ γ (9 + 2λ + 5γ − 16) = 0 ⇔ γ (− 7 + 2λ + 5γ ) = 0 Yang memenuhi syarat γ = 0 atau γ =
7 − 2λ 5
= 0 , maka γ = 7
ü
Jika λ
ü
Jika λ = 4 − 2γ , maka , γ =
5
5γ = 7 − 2(4 − 2γ )
→
5γ
7 − 2λ 5
=7
− 2(4 − 2γ ) 5
= 7 − 8 + 4γ →
γ = −1
Jika γ = 0 , maka λ = 4 − 2(0 ) = 4
ü
v. Keimpulan: Solusi minimum didapat pada saat γ = 0 dan λ Tenyukan nilai x dan y. x = y
=
− (4 + 0) + 8 = 2
− (4 + 0 ) + 8 2
2
=2
Nilai Minimum f ( x, y ) = (2 − 4)2 + (2 − 4) 2 = 8
5
Sumary
2011
=4
