Kegiatan 4.2
Memahami Hubungan Antar Sudut
Mari kita perhatikan gambar-gambar berikut ini
C
R T 1
C
y
y B
P
B
4
x
3
x
O
A
O
Sudut berpelurus
A
Sudut berpenyiku
y + y + x x = = 180o
2
S
Q
Sudut bertolak belakang
y + y + x x = = 90o Gambar 4.22 Hubungan antar dua sudut
Pada Gambar 4.18 terdapat sudut berpelurus, sudut berpenyiku dan sudut bertolak belakang. Pada kegiatan kali ini kalian akan memperlajari ketiga bentuk hubungan antar sudut tersebut yang rinciannya dikemas dalam kasus-kasus berikut ini. a.
Sudut Berpelurus dan Sudut Berpenyiku Masalah
4.3 Sekolah
Hutan
Bukit
Utara Barat Laut
Timur Laut
θ Barat
α
σ
β
Gambar di samping mendeskripsikan keadaan lingkungan sekitar rumah tinggal Prapto dan Eko.Pada gambar juga sangat jelas diberikan arah mata angin setiap tempat yang biasa dikunjungi atau dilewati oleh Prapto dan Eko.
Timur
Misalnya, rumah Prapto dan Eko adalah poros arah mata angin, Barat Daya Tenggara dan sudut antara letak bukit dan Selatan gedung sekolah adalah 35º, serta besar sudut antara gedung pejabat Rumah Sakit Kedai pos terhadap hutan adalah 65º. Jika Masjid posisi Prapto dan Eko sekarang berada di taman permainan, dan Gambar 4.23 Denah rumah Prapto dan Eko akan berjalan melingkari lintasan arah mata angin, berapakah besar sudut yang terbentuk dari posisi awal terhadap posisi hutan? Pejabat Pos
Taman Permainan
Matematika
223
Alternatif Pemecahan Masalah Ayo Ayo Kita Amati
Untuk mengetahui besar sudut yang terbentuk dari posisi awal terhadap posisi hutan, lakukanlah tahapan-tahapan kegiatan berikut. 1. 2. 3. 4. 5.
Coba cermati dengan teliti Gambar 4.23. Kita hendak menerapkan konsep sudutsudut berpenyikud an berpelurus dalam menyelesaikan masalah ini. Berapa banyak pasangan sudut berpenyiku dan berpelurus berpelurus pada Gambar Gambar 4.23 di atas? Berikanpenjelasanmu untuk setiap jawaban yang kalian miliki. Berilah nama/simbol untuk setiap setiap sudut yang terkait terkait dengan pertanyaan soal seperti tertera pada Gambar 4.19 Tentukan jumlah jumlah besar sudut antara antara sudut sudut β dengan sudut σ dan sudut θ dengan besar sudut α. Kemudian tentukan jumlah besar sudut β + σ + θ Bila perlu gunakan gunakan cara lain untuk untuk mengetahui mengetahui besar sudut yang terbentuk dari posisi awal terhadap posisi hutan dengan langkah-langkah yang menurut kalian lebih mudah.
?
Ayo A yo Kita Menanya
Terkait dengan fokus perhatian di atas, coba buatlah pertanyaan yang memuat katakata berikut: 1 “besar sudut” dan “berpenyiku, berpelurus” 2. “besar sudut” dan “σ + θ” Tulislah pertanyaan kalian di buku tulis. Sedikit Informasi A
Untuk mempermudah dalam menyelesaikan Masalah 4.3, coba perhatikan uraian berikut ini. B
Contoh 4.5
r
Gambar di samping menunjukkan bahwa bahwa: m∠ AOB = r , m∠ BOC = s = s , m∠ AOB AOB + + m∠ BOC = = 90º.
s
C
O Gambar 4.24 Sudut berpenyiku
224
Kelas VII SMP/MTs Edisi Revisi
Semester I
m∠ AOB AOB = = 90 − m∠ BOC m∠ BOC = = 90 − m∠ AOB Hubungan antara m∠ BOC dan dan m∠ AOB AOB disebut disebut sudut berpenyiku. Gambar 4.25 di samping menunjukkan bahwa,
B
+ u = 180º 180º.. t + = 180º − u. t =
A
t
u
u = 180º − t . C
O Gambar 4.25 Sudut berpelurus
Sudut AOB AOB dengan sudut BOC disebut sudut berpelurus.
Dengan memperhatikan Gambar 4.24 dan 4.25, lengkapilah besar sudut berdasarkan hubungan antar sudut
Hubungan Antar Sudut 1.
Sudut Berpenyiku
Dua sudut dikatakan berpenyiku, jika jumlah besar kedua sudut tepat ... 0 2.
Sudut Berpelurus
Dua sudut dikatakan berpelurus, berpelurus, jika jika jumlah besar kedua sudut tepat ... 0
Masalah
4.4
Suatu ketika, Pak Yusak mendapat undangan jamuan makan malam dari seorang pejabat daerah di suatu restoran mewah. Pelayan restoran sudah menyiapkan semua menu makanan andalan restoran tersebut pada sebuah meja.
S o p I g a S a p i
S a a y u ur r As e m e m
e n g ah r o G e r k a n I k a l M b a m S
r a k a B a n I k
g o r e n G n g U d a N a s s i i P u ti t i h h L a l a p a n
Posisi awal Pak Yusak
Gambar 4.26 Susunan makanan di atas meja
Matematika
225
Mereka duduk melingkar pada meja menu tersebut, yang dilengkapi dengan teknologi untuk menggeser setiap menu makanan. Satu geseran (berlawanan arah putaran jarum jam) setiap menu itu berarti menekan sekali tombol hijau. Jika besar sudut satu geseran hanya 45º, harus berapa kali Pak Yusak menekan tombol hijau, jika dia berturut-turut mengambil sop iga sapi dan sambal merah?
Alternatif Pemecahan Masalah
Ayo Ayo Kita Amati
Untuk mengetahui berapa banyak tombol hijau yang harus di tekan, lakukanlah tahapan-tahapan kegiatan berikut: 1.
Dengan memperhatikan Satu kali penekanan tombol, menu hanya bergeser sejauh 45º. Tentukan Tentukan besar sudut yang diperlukan diperlukan untuk menggeser posisi sop iga sapi ke hadapan Pak Yusak.
2.
Dengan memperhatikan besar sudut yang diperlukan untuk menggeser posisi sop iga sapi ke hadapan Pak Yusak. Yusak. Tentukan Tentukan banyak tombol yang harus ditekan oleh Pak Yusak. Yusak.
3.
Setelah Pak Yusak menekan menekan tombol tombol sebanyak sebanyak yang dibutuhka tadi, maka berapa berapa banyak lagi yang harus ditekan ditekan tombol tersebut setelah setelah mengambil sop iga sapi? sapi?
4.
Simpulkan berapa total tombol tersebut yang di tekan untuk memperoleh memperoleh menu sop iga sapi dan sambal merah dari posisi semula
?
Ayo A yo Kita Menanya
Terkait dengan fokus perhatian di atas, coba buatlah pertanyaan yang memuat katakata berikut: 1. “posisi duduk” dan “menu makan malam” 2. “tombol” dan “bergeser” Tulislah pertanyaan kalian di buku tulis.
226
Kelas VII SMP/MTs Edisi Revisi
Semester I
Ayo Kita Ayo Menalar
1.
Jika posisi awal Pak Yusak menghadap menu sop iga iga sapi, maka maka berapa kali ia harus menekan tombol hijau agar mendapatkan udang goreng?
2.
Jika posisi posisi awal Pak Yusak menghadap menghadap ikan bakar, kemudian ia menekan menekan tombol tombol sebanyak 3 kali, maka menu makanan apa yang diperoleh Pak Yusak? Yusak?
3.
Posisi awal awal Pak Yusak menghadap menghadap sambal merah, kemudian salah salah seorang seorang tamu yang lain menekan tombol 2 kali. Jika setelah itu Pak Yusak Yusak ingin mendapatkan menu makanan sayur asem berapa kali Pak Yusak Yusak harus menekan tombol hijau?
3.
Pada Masalah 4.4 posisi awal, untuk memperoleh menu menu apa Pak Yusak harus menekan tombol geseran paling banyak? Berapa kali? Ayo A yo Kita Berbagi
Diskusikan hasil jawaban jawaban kalian pada kegiatan menalar tersbut dengan teman sebangku, jika perlu mintalah bantuan guru untuk memastikan jawaban kalian itu.
b.
Sudut saling betolak belakang Ayo Ayo Kita Amati
Perhatikan Gambar 4.27 dan Gambar 4.28 berikut ini. P
R T 1 4
2 3
S
Q
Gambar 4.28 Dua garis yang saling bertolak belakang
Sumber: Kemdikbud
Gambar 4.27 Lintasan kereta api
Matematika
227
Garis RS dan garis PQ, Garis RS garis PQ, berpotongan berpotongan di titik T seperti pada Gambar 4.28, sehingga membentuk empat sudut, yaitu ∠T 1, ∠T 2, ∠T 3, dan ∠T 4. Tentukan m∠T 1, m∠T 2, m∠T 3, dan m∠T 4? Alternatif Pemecahan Masalah
Untuk mengetahui cara menetukan besar sudut-sudut tersebut, amatilah gambargambar berikut: P
R
P
R
T 1 4
P
R
T 1
T 1
4
2
3 S
Q
S
(a) P
Q
R
R
S
4. 5.
4
2
3 Q
S
(b)
3.
R T
2 3
2.
P
T
4
Q
(e)
P
T
1.
S
(c)
Q (d)
S
Q (f)
Pada gambar (a) dan (b) termasuk sudut berpelurus, yaitu m∠T 1 + m∠T 2 = 180º dan m∠T 3 + m∠T 4 = 180º Pada gambar (c) dan (d) (d) juga juga termasuk termasuk sudut berpelurus yaitu m∠T 1 + m∠T 4 = 180º dan m∠T 2 + m∠T 3 = 180º Pada gambar (e) dan (f) termasuk sudut sudut bertolak belakang, m∠T 1 = m∠T 3 dan m∠T 2 = m∠T 4 Perhatikan gambar (e). Bagaimana kalian menemukan m∠T 1 dengan m∠T 3. Jelaskan. Perhatikan gambar (f). Bagaimana kali kalian an menemukan m∠T 2 dengan m∠T 4. Jelaskan.
?
Ayo A yo Kita Menanya
Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatla h pertanyaan yang memuat katakata berikut: 1. “Hubungan” dan “T 1 dan T 2, T 3 dan dan T T 4” 2. “sudut pelurus” pelurus” dan “sudut “sudut bertolak belakang” Tulislah pertanyaan kalian di lembar kerja/buku tulis.
228
Kelas VII SMP/MTs Edisi Revisi
Semester I
= + +
Ayo Kita Ayo Menggali Informasi
Mari kita perhatikan gambar berikut ini Pasangan ∠ AOB dengan ∠COD, dan pasangan ∠ BOC dengan ∠ AOD merupakan B C sudut-sudut bertolak belakang. Selain itu, pada gambar tersebut, ∠ AOB dan ∠ BOC adalah pasangan sudut berpelurus, sedemikian
O
sehingga berlaku: D
A
m∠ AO AOB B + m∠ BO BOC C = 180º, maka m∠ BO BOC C = 180º − m∠ AO AOB B.
(1)) (1
m∠ AO AOB B + m∠ AO AOD D = 180º, maka m∠ AO AOD D = 180º − m∠ AO AOB B.
(2)) (2
Dari (1) (1) dan dan (2) (2),, berlaku bahwa, m∠ BOC = = m∠ AOD = 180º − m∠ AOB AOB.. Dengan cara yang sama, dapat diperoleh ∠ AOB dan ∠COD adalah pasangan sudut yang bertolak belakang dan besarnya sama. Tunjukkan!
c.
Hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar
Sekarang, coba perhatikan kembali gambar lintasan kereta api dan modelnya di bawah ini. Garis k dan garis l, l, dipotong oleh garis garis m pada Gambar 4.29 sehingga membentuk delapan sudut. Sudut-sudut ini mempunyai nama khusus sesuai dengan posisinya. Gambar 4.29 Rel kereta api
Nama
Sud ut
Sudut-sudut luar
∠1, ∠2, ∠7, ∠8
Sudut-sudut dalam
∠3, ∠4, ∠5, ∠6
Sudut dalam berseberangan Sudut luar berseberangan
m
1 4
∠3 dan ∠6, ∠4 dan ∠5 ∠1 dan ∠7, ∠2 dan ∠8
Sudut dalam sepihak
∠3 dan ∠5, ∠4 dan ∠6,
Sudut-sudut sehadap
∠1 dan ∠5, ∠2 dan ∠6, ∠3 dan ∠7, ∠4 dan ∠8
5 8
2 3
k
6 7 l
Matematika
229
1. Apakah yang yang terjadi apabila garis garis k dan garis l sejajar? sejajar? 2. Coba kalian tentukan hubungan dari dari sudut-sudut berikut: a.
Sudut-sudut luar
b. Sudut-sudut dalam c.
Sudut dalam berseberangan
d. Sudut luar berseberangan e.
Sudut dalam sepihak
f.
Sudut-sudut sehadap Ayo A yo Kita Berbagi
Diskusikan dengan kelompok kalian pada kegiatan menalar. Kemudian tukarkanlah hasil karya kalian dengan kelompok lain. Bandingkan hasil kerja kelompok kalian dengan karya kelompok yang lain. Bila perlu presentasikan di depan kelas hasil karya kalain yang sudah dibandingkan dengan kelmpok yang lain. Sedikit Informasi
Perhatikan contoh soal dan pembahasannya berikut ini. Contoh 4.5 º
120
Perhatikan gambar di samping. Tentukanlah nilai x nilai xºº × y × yºº + z + z º
2 x º
68
5 z z + +3
º
52 3 y
Gambar 4.30 Pasangan sudut-sudut bertolak belakang
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus memahami pasangan sudut yang saling bertolak belakang. Pasangan-pasangan sudut bertolak belakang dari Gambar 4.30 sebagai berikut. • 68 sama besar dengan 5 z + + 3 bertolak belakang 68 = 5 z + + 3 z = = 13
230
Kelas VII SMP/MTs Edisi Revisi
Semester I
•
120 sama besar dengan 2 x 2 x x = = 120 x = x = 60 • 3 y y sama sama besar dengan 52 3 y y = = 52 y = y = 14
bertolak belakang
bertolak belakang
Jadi nilai x nilai x + + y y + + z z = = 60 + 14 + 13 = 87.
Contoh 4.6
Perhatikan posisi setiap pasangan sudut pada gambar di samping. Tentukanlah nilai x nilai x.. Penyelesaian
A
D
2 x xºº
Karena AB = AC , maka segitiga ABC adalah segitiga sama kaki. Akibatnya m∠ ABC = m∠ ACB ACB.. 145 + m∠ ABC = 180º
E
F
145º
berpelurus
B
maka m∠ ABC = 35º m∠ ACB ACB = = m∠ ABC = 35º kaki sudut segitiga sama kaki ABC kaki ABC m∠ ACF = 145º
pelurus ∠ ACB
m∠ ACF + + 2 x x =180º =180º
sepihak
C
A1 2 x xºº
145 + 2 x x = = 180
145º
2 x x = = 180 – 145 2 x x = = 35
F
C
x = 17,5 Dengan diperoleh x diperoleh x = = 17,5º, tentunya sudah lebih mudah bagi kalian untuk menentukan besar sudut yang lain Contoh 4.7
Perhatikan gambar di berikut ini. m∠Q3 = (5a (5 a + 23)º
Diketahui: m∠ P 2 = (3 (3a a + 45)º dan
Tentukanlah besar m∠Q1.
Matematika
231
Penyelesaian
Karena sehadap, m∠ P 1 = m∠Q1 = (3 (3a a + 45)º. Di sisi lain, m∠Q1 dan m∠Q3 adalah dua sudut yang saling bertolak belakang, maka m∠Q1 = m∠Q2 = (5 (5a a + 23).
P 1
2
4
Q
3
Dari kedua hubungan tersebut, kita dapatkan:
1 2
4
3
3a + 45
= 5a + 23
5a − 3a
= 45 − 23
2a
= 22
a
= 11
Akibatnya, m∠Q1 = 5(11) + 23 = 78. Contoh 4.8
Pada gambar di samping, diketahui m∠S 1 = (4b (4 b + 62), dan m∠T 2 = (5 (5b b + 37). Tentukanlah
S 1
2
4
T
besar m∠S 2 + m∠T 1.
3
Penyelesaian
1 2
4
3
∠S 2 dan ∠T 2 sehadap
Akibatnya m∠S 2 = m∠T 2
(*)
∠T 1 dan ∠T 2 berpelurus
akibatnya m∠T 1 + m∠T 2 = 180
?!
(**)
dari (*) dan (**) di dapat m∠T 1 + m∠S 2 = 180 Latihan
4.2
1. Nyatakanlah setiap sudut sudut di bawah ini, ini, apakah termasuk sudut lancip, tumpul, atau siku-siku. Jelaskan dengan gambar. a.
b.
232
1 3 2 3
sudut lurus
putaran penuh
Kelas VII SMP/MTs Edisi Revisi
Semester I
